/
Автор: Иос Г.
Теги: электромагнетизм электродинамика теоретическая физика физика элементарных частиц
Год: 1963
Текст
с/. ос
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
<► зики
■ г
г. иос
КУРС
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ПЕРЕВОД С ДЕСЯТОГО
НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
Под редакцией проф. Б. М. Яворского
Часть I
МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
Москва 1963
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Известный «Курс теоретической физики» Георга Иоса впервые
вышел в 1932 г. и выдержал многочисленные переиздания.
Покойный акад. А. Ф. Иоффе высоко оценивал достоинства этой книги
и несколько раз возвращался к мысли о необходимости перевести
этот курс на русский язык. Книга Г. Иоса охватывает все основные
разделы курса теоретической физики и содержит математическое
^ведение, в котором изложены все сведения из математики,
необходимые для понимания содержания курса. При сравнительно
небольшом объеме книга отличается достаточно серьезным
уровнем изложения и вместе с тем, в подавляющем большинстве
разделов, физической ясностью основных идей. Это и обеспечило
книге столь большую популярность. При переводе с 10-го
немецкого издания и переводчики, и редактор старались не нарушить
общего стиля книги. Лишь в ряде мест были внесены уточнения и
исправления, а также добавлено небольшое число задач. Сочтено
целесообразным разбить книгу на две части, потому что в одном
томе она выглядит несколько громоздкой.
Книга Г. Иоса может быть с успехом использована студентами
физико-математических факультетов пединститутов, изучившими
курс общей физики. Большое число задач (с решениями)
позволяет каждому читателю проверить себя и убедиться, насколько
он усвоил данный раздел. В первую часть перевода включены:
математическое введение и разделы — механика (включающая
теорию упругости, гидро- и аэромеханику, релятивистскую
механику), макроскопическая электродинамика (включающая
квазистационарные поля, электромагнитные волны и оптику),
электронная теория (включающая электродинамику движущихся сред).
Во вторую часть включены термодинамика и статистическая
физика, атомная и ядерная физика. Как первая, так и вторая части
содержат некоторые дополнительные главы из различных
областей физики.
В первой части главы VII—XI третьего раздела переведены
Ю. Е. Дурасевичем. Остальное содержание первой и второй частей
переведено С.С. Филипповым.
Б. М. Яворский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ НЕМЕЦКОМУ ИЗДАНИЮ
Автор этой книги не ставил перед собой задачу привести
читателя прямо к вершинам последних достижений науки. Цель
учебника — расширить кругозор читателя, помочь ему увидеть
эти вершины и дать необходимую подготовку для их
непосредственного штурма. Учебник охватывает большое количество
материала, который изложен весьма сжато. Поэтому читатель должен
очень внимательно работать над текстом. Часть материала
преподнесена в виде задач, которые задуманы не столько как
упражнения для закрепления полученных знаний — для этого
существуют специальные задачники,— сколько для расширения
кругозора читателя. Разбор наиболее трудных задач облегчается
приведенными в приложении решениями. При отборе материала
автор отдавал предпочтение вопросам, наиболее важным для
современных физиков-экспериментаторов и инженеров. На пер-
вый план всегда выдвигалось физическое содержание теории, а
не математический формализм. В таких разделах, как общая
теория электропроводности электролитов, набросаны лишь основные
физические идеи, потому что подробное их изложение
потребовало бы применения непропорционально сложного
математического аппарата.
При построении новых теорий физикам нередко приходится
создавать новый математический аппарат; при этом они обычно
не занимаются его обоснованием, вызывая нарекания со стороны
математиков. В оправдание можно заметить, что физики не
могут ожидать, пока новый математический аппарат будет строго
обоснован, подобно тому как химики не стали ожидать, пока
будет дано физическое объяснение силам валентности.
При изложении материала автор стремился к наибольшей
доходчивости, руководствуясь своим преподавательским опытом.
Оригинальность изложения не всегда означает его улучшение,
поэтому для некоторых разделов классической физики автор
предпочел традиционный способ изложения, ставший уже
стереотипным.
Автор.
ВВЕДЕНИЕ
НАЗНАЧЕНИЕ И МЕТОДЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Если бы физика была чисто экспериментальной наукой, то ее
задача исчерпывалась бы обнаружением и тщательным описанием
тех или иных явлений природы. Например, можно было бы
довольствоваться наблюдением и описанием явлений свечения при
прохождении тока через разреженные газы. Такой метод работы в наше
время с полным основанием считается неудовлетворительным, тем
более, что даже современной технике информации не под силу
создать картотеку, позволяющую указать, что будет происходить
при заданных условиях в той или иной установке. Как только
ставится вопрос о взаимосвязи явлений, мы вступаем в область
теории, которая связывает друг с другом наблюдаемые явления и
не только объясняет обнаруженные, но и предсказывает новые
явления, основываясь на более или менее непосредственно
проверяемых основных гипотезах. Тем самым теория дает для огромного
материала наблюдений логическое упорядочение вместо
алфавитного. В приведенном примере газового разряда для «объяснения»
явления нужны теоретические представления о строении атомов
из электрически заряженных частиц и о механизме возникновения
носителей заряда. При этом мы обнаружим, что объяснить явление
далеко не просто, так как в нем совместно проявляются многие
эффекты. Поэтому с точки зрения теории мы не всегда будем
считать явление «простым», если оно легко получается на опыте.
Только теория может решить, имеем ли мы дело с чистыми, простыми
в смысле теоретической оценки, условиями опыта. В нашем приме-
5
ре опыт, в котором с атомами газа сталкиваются электроны,
обладающие одинаковой скоростью, рассматривается теорией как более
простой, несмотря на большие экспериментальные трудности его
осуществления. Зная зависимость взаимодействия электронов с
атомами от скорости электронов, можно попытаться объяснить
более сложное явление тлеющего разряда.
Таким образом, ставя зачастую перед экспериментом труд-
ные, порой неразрешимые задачи, теория, с другой стороны,
часто облегчает работу физику-экспериментатору, вскрывая
необходимые связи между величинами. Эти связи позволяют
косвенно определять труднодоступные величины и тем самым
делают излишними сложные измерения. Пусть, например,
оптику-практику поставлена задача: измерить коэффициент
отражения металлического зеркала. Непосредственное его
определение связано с утомительным и, кроме того, не очень
точным фотометрированием. Но тот, кто знает теорию
отражения света металлами, вместо этого измерит два угла —
главный угол падения и главный азимут, которые однозначно
определяют коэффициент отражения.
i Откуда же берет теория свои гипотезы о связях между
отдельными физическими величинами и процессами? В конечном счете,
только из опыта. Искусство теоретика состоит в том, чтобы из
экспериментального материала в том виде, как он получен,
выделить наиболее важные связи и вывести из них следствия, которые
дадут повод к новым экспериментам. Самодовлеющей теории, не
использующей никаких экспериментальных результатов, не
существует. Число возможностей слишком велико,чтобы даже
величайший гений мог создать чисто интуитивно картину мира,
согласующуюся с опытом. Отказ от эксперимента — вот причина,
почему античные естествоиспытатели (философы) исчерпали себя
лишь в теоретических построениях, которые сохранили свое значение
лишь в тех случаях, когда они были связаны с наблюдениями
природы (астрономия, механика). Ход мыслей, подобный
выраженному в известном гегелевском диалоге: «Есть только семь
планет» — «Но этому противоречат факты» — «Тем хуже для
фактов», — кажется нам теперь совершенно бессмысленным, хотя в
случае противоречий между следствиями хорошо обоснованной
теории и опытом мы ищем ошибку столь же часто в опыте,
как и в вычислениях» Однако всегда основы теории должны быть
$
созданы с самого начала в соответствии с наблюдаемыми
фактами.
Если, таким образом, первая задача теории состоит во вскрытии
взаимосвязей явлений, то следующая отличительная черта ее —
математическая формулировка этих связей* Математика является
набором инструментов теоретика» Ее использование представляет
собой рационализацию мыслительной работы, так как получение
важных следствий из исходных гипотез идет главным образом по
проторенному пути однажды выученных вычислительных правил.
Но при этом никогда не следует упускать из виду смысл
вычислительных операций. Как показывает опыт, формальная сторона
вычислений часто заслоняет, в особенности для начинающих,
физический смысл того, что вычисляется. Вследствие того положения,
которое математика занимает внутри теоретической физики, в
задачу физика-теоретика не входит давать математические
доказательства. Он должен полагаться на безошибочность
предоставленного ему математикой инструмента. Даже в тех случаях, когда
он сам вынужден создавать себе инструмент, он может не
задерживаться на математических доказательствах существования, если
результат физически очевиден. Во всяком случае, строгие
требования чистой математики часто находятся в противоречии с
реальными физическими условиями. Если, например, определить
плотность как предельное значение, к которому приближается
отношение массы к объему при неограниченном уменьшении
объема, то вследствие факта атомистичности структуры при слишком
малых объемах мы придем к колебаниям плотности, зависящим
от того, содержит или нет элемент объема атомное ядро.
Предосудительные в строгой математике «малые величины» в физике
незаменимы. Физические дифференциалы имеют не слишком
малые значения, хотя с ними при вычислениях обращаются, как
с «бесконечно малыми величинами». По этим причинам
практическое овладение дифференциальным и интегральным
исчислениями для физика-теоретика гораздо важнее, чем знание их
строгих оснований, например упомянутого выше предельного
значения.
Поскольку теоретическая и экспериментальная физика
неразрывно связаны и лишь при согласовании их действий может быть
получена ясная картина природы, может возникнуть вопрос, имеет
ли смысл раздельное изложение их в книгах и лекциях. Когда
7
речь идет о получении общих представлений, этот вопрос решается
положительно. Тогда в каждой области можно сосредоточить
внимание на многих проверенных экспериментальных фактах, не
входя в подробности их получения. Если же вы желаете
продвинуться дальше в определенной области, то нужно овладеть как
экспериментальной техникой, так и теорией. Поэтому в
современных монографиях всегда дается обзор и теории, и эксперимента.
Наконец, вряд ли надо напоминать, что при решении серьезных
технических проблем невозможно обойтись без количественного
теоретического исследования.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
Предварительное замечание
В этом учебнике основные правила дифференциального и
интегрального исчислений предполагаются известными. Выходящие за
эти рамки математические сведения, используемые в дальнейшем,
собраны в первом разделе, чтобы впоследствии не прерывать
физических рассуждений вспомогательными вычислениями. Особенно
ценным инструментом теоретической физики является векторное
исчисление, которое было развито в основном физиками. Понятия
векторного исчисления имеют непосредственный наглядный смысл,
так что многие физические законы получили свою точную
формулировку лишь на языке векторов. Поэтому было бы совершенно
неправильно рассматривать векторное исчисление только как
сокращенный способ вычислений (как «вычислительную
стенографию»)*
Глава I
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие вектора
Наряду о величинами, которые характеризуются заданием
одного числа (такими, как температура, масса и т. п.) и называются
скалярами, в физике встречаются такие величины, которые
заданием одного числа еще не определены. Из них самую важную
группу составляют те, для которых, помимо абсолютной величины,
надо знать еще направление. Пусть, например, тело с центром
тяжести в точке Р смещается на 2 см, так что центр тяжести тела
переместится в точку Р', о которой можно лишь сказать, что она
лежит на поверхности сферы с центром в точке Р и радиусом 2 см.
Новое положение центра тяжести тела будет указано однозначно
лишь тогда, когда мы фиксируем еще и направление смещения,
например задавая географическую долготу и широту на сфере в
определенной системе координат. Два смещения точки легко сложить
9
в одно, эквивалентное третьему. Вместо того чтобы смещать
точку Р в некотором направлении в положение Р\ а из него в другом
направлении в Р", мы могли бы ее сместить прямо в Р" в
направлении, заданном третьей стороной треугольника РР'Р"
(рис. 1). Так как этот способ можно применять повторно,
используем его, чтобы задать смещение иначе. Поместим точку Р в начале
прямоугольной системы координат. Сдвинем Р сначала на отрезок
а по оси X (в положение Рх), затем из Р± на отрезок Ь
параллельно оси Y (в положение Р2) и, наконец, из Р2 на отрезок с параллель-
но оси Z (в положение Р'). Вместо этого мы могли бы сразу
сдвинуть Р в направлении РР' на отрезок d = V а2 -{- b2 -f- с2 (рис. 2).
Таким образом, мы видим, что
смещение точки Р однозначно определено
заданием трех чисел а, Ь и с, которые мы
назовем компонентами смещения.
\2
Р'
'• b \
Рис. 1. Сложение двух
смещений.
Рис. 2. Прямоугольные
компоненты смещения точки Р.
Многие физические величины подчиняются тому же закону
сложения, что и смещение точки, и поэтому могут быть определены
заданием трех чисел. Такие величины мы называем векторами.
Вектор можно графически изобразить направленным отрезком
(стрелкой), длина которого в каком-нибудь масштабе равна
абсолютному значению физической величины, а направление его задает
направление последней. Эта возможность геометрически
наглядного изображения вектора является его особым преимуществом по
сравнению с другими нескалярными величинами, встречающимися
в физике (например, тензорами), для которых не существует такого
простого изображения.
Два вектора следует считать равными, если они совпадают по
величине и направлению. Так как параллельное смещение в
пространстве не изменяет направления, то два вектора следует
рассматривать как равные, даже если они лежат не на одной прямой,
а лишь на параллельных прямых. Поэтому физические величины,
изменяющиеся при параллельном смещении, нельзя безоговорочно
представлять векторами. Примером такой величины является сила,
приложенная к твердому телу, которое может поворачиваться во*
круг оси. При параллельном смещении изменяется плечо рычага,
и тем самым изменяется действие силы.
10
Далее, следует иметь в виду, что не всякая физическая
величина, однозначно представимая направленным отрезком, является
вектором. Необходимо исследовать, выполняется ли для нее закон
сложения, имеющий место для смещений точки. Так, например,
поворот твердого тела вокруг оси может быть представлен
стрелкой, направленной вдоль оси вращения, причем длина стрелки
составляет столько сантиметров, сколько угол поворота содержит
градусов. Пусть направление стрелки определено так, что, если
смотреть вдоль нее, поворот представляется происходящим по часовой
стрелке. Однако если сложить сопоставленные двум поворотам
стрелки так же, как выше складывались векторы, то
соответствующий их сумме поворот в общем случае не эквивалентен двум
последовательным поворотам. Только для бесконечно малых поворотов
справедлив векторный закон сложения.
Векторы обозначаются полужирным шрифтом или стрелкой над
буквой.
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора
на скаляр
Мы покажем сейчас, что описанное в § 1 сложение двух
смещений точки имеет все свойства суммы. Для этого в общем случае
определим сумму двух векторов А и В как вектор С, который
получается, если от конца вектора А отложить вектор В и от
начала А провести вектор к концу В (рис. 3). Это сложение запишем
в виде векторного равенства
С - А + В. (1)
Векторное равенство заменяет три скалярных равенства, потому
что, как уже говорилось в § 1, вектор определяется заданием
трех чисел — его компонентов, и два вектора равны тогда, и только
тогда, когда соответственные компоненты их совпадают. (Вектор
получается сложением трех составляющих векторов, определяемых
заданием его компонентов. Поэтому два равных вектора получатся
лишь в том случае, если все три компонента их тождественны.)
Эта геометрическая сумма коммутативна, как и обычная сумма,
т. е. она не зависит от порядка слагаемых. Если от конца вектора
В отложить вектор А и от начала В провести вектор к концу А,
получится тот же самый вектор С (рис. 3); параллельное смещение
не существенно. Далее, векторная сумма ассоциативна, т. е. если
сумма состоит из нескольких слагаемых, то их можно
группировать любым способом:
S « (А + В) + С = А + (В + С) = В + (А + С). (2)
Доказательство этого утверждения непосредственно следует из
рисунка 4.
И
Сумма двух одинаково направленных векторов получается
посредством сложения их длин при сохранении направления. Отсюда
сразу же вытекает определение произведения вектора на число:
т\ по смыслу умножения означает сумму, состоящую из т
слагаемых А, т. е. вектор того же направления, но с длиной в т раз
большей. Это приводит к одному важному представлению вектора.
Рис. 3. Сложение Рис. 4. Ассоциативность вектор-
векторов, ного сложения.
Если задать направление вектором е единичной длины, то каждый
вектор А, параллельный этому направлению, получается
умножением единичного вектора е на абсолютную величину (длину) А,
которую мы обозначим | А [ или той же буквой, но курсивом:
А = Ле = |А[е. (3)
Представим себе вектор, составленный из трех векторов, имеющих
направления трех осей прямоугольной системы координат. Длины
этих векторов, которые мы назовем прямоугольными
компонентами А, обозначим Ах, Ау, А2, а единичные векторы, направленные
по координатным осям, обозначим i, j, k. Тогда вектор
записывается с помощью своих компонентов так:
\A = AJ-\-AJ-\-Azk.\ (4)
Разностью векторов С и А называется вектор В, который,
будучи прибавленным к А, даст вектор С. Из рисунка 3 видно, что
вектор В получится, если к концу вектора С приложить вектор А
в обратном направлении и соединить начало С с другим концом А.
Отсюда вытекает смысл умножения вектора на (—1): оно означает
обращение его направления. В самом деле, в соответствии с
формальными законами обычной арифметики, вычитание вектора А можно
рассматривать как прибавление вектора —А.
Задачи1
1. Выразить уравнением, что три вектора А, В, С образуют замкнутый
треугольник с единым направлением обхода.
2. Выразить уравнением: а) параллельность двух векторов А и В; б)
компланарность трех векторов А, В, С.
1 Решения задач приведены в конце книги.
12
§ 3. Скалярное произведение двух векторов
В физике встречаются различные комбинации из векторов,
имеющие если не все, то по крайней мере важнейшие признаки
произведений. Определим скалярное произведение двух векторов как
число {скаляр), равное произведению абсолютных величин обоих
векторов, умноженному на косинус угла между ними. Скалярное
произведение мы будем обозначать точкой между сомножителями:
А • В = АВ cos(A,B). (5)
Скалярное произведение положительно, если угол Между
векторами острый, и отрицательно, если угол тупой. Так как ^cos(A,B)
равно проекции вектора А на направление вектора В, то
скалярное произведение можно определить также, как произведение
длины одного вектора на проекцию другого вектора на
направление первого. Отсюда получается простое выражение
проекции вектора А на направление, заданное единичным вектором е:
она равна скалярному произведению А • е.
Скалярное произведение коммутативно:
А • В = В • А, (6)
так как в его определении (5) порядок множителей не играет
никакой роли.
Далее, скалярное произведение обладает важнейшим свойством
обычного произведения чисел—дистрибутивностью относительно
сложения, которая выражается равенством:
А • (В + С + D + ...)=А • В + А • С + А • D + .... (7)
Действительно, проекция суммы векторов на направление А
совпадает с суммой проекций (рис. 5). Согласно определению
скалярного произведения, отсюда следует
справедливость равенства (7).
Но в одном пункте скалярное
произведение двух векторов отличается от
произведения двух чисел. Последнее
обращается в нуль, лишь когда один из
множителей равен нулю. Скалярное произве- Рис. 5. Проекция суммы
дение обращается в нуль, кроме того, еще векторов,
и тогда, когда cos(A,B) равен нулю, т. е.
когда векторы перпендикулярны друг к другу. Поэтому для
трех единичных векторов прямоугольной координатной системы,
которые мы всегда будем обозначать i, j, k, справедливо
равенство:
i • j = j • k = k • i --= 0. (8)
13
Квадратом вектора назовем скалярное произведешь store
вектора на равный ему по величине и направлению. Так как в этом
случае cos(A,B) ~ U оно, очевидно, равно квадрату абсолютной
величины вектора:
Д2 « а . а « Л2. (9)
Обратно, абсолютную величину вектора можно записать в виде:
Л = КДЛ (10)
Отсюда для единичных векторов прямоугольной координатной
системы имеем:
i.i-j.j-k.k^l. (И)
Если заданы прямоугольные компоненты обоих векторов:
А - AJ + Ау\ + Azk и В - В J + Ву] + Bzk,
то, вычисляя по обычным правилам и используя дистрибутивность,
получим:
A.B = AxBJ.l + AJCByU+... .
При помощи уравнений (8) и (11) это равенство сводится к
А.Ъ = АхВх + АуВу + АгВг
(12)
Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений
их соответственных компонентов.
В прямоугольных координатах компоненты совпадают с
проекциями на оси. Поэтому
Ax = i-A. (13)
Отсюда легко видеть, что если С есть
сумма А и В, то и каждый компонент С
равен сумме соответствующих компонентов.
В самом деле, умножив равенство (1) на
1, получим:
СХ = АХ+ВХ. (14)
Рис. 6. Контравариантные
и ковариантные
компоненты вектора.
В косоугольных координатах уравнение (13)
'уже не выполняется. В атом Легко убедиться в
двумерном случае, изображенном на рисунке 6.
Если рассматривать направленные по осям
векторы А* й А? , которые в сумме дают А, как
компоненты вектора А, то они не равны его ортогональным проекциям
на оси. Но конец вектора А можно фиксировать также заданием проекций Ах
и Лу, по которым он может быть построен как точка пересечения прямых (втрех-
мерном случае — плоскостей), проходящих через концы проекций
перпендикулярно к осям. Поэтому прямоугольные проекции также можно рассмат-
14
риззть как компоненты, определяющие вектор. Компоненты, которые в
сумме дают вектор, называются контр авариантными, а ортогональные проекции
вектора на оси — ковариантными. Названия связаны с различным
поведением их при линейных преобразованиях осей. Это различие существенно, "
когда применение косоугольных координат оказывается необходимым
(например, в общей теории относительности).
Задачи
8. Каков геометрический смысл равенства (А + В)а = А* + 2А-В + В2?
4, Что означает (А + В)»(А — В) для случая Аа *=* Ва?
5* Вычислите угол между направлениями, определяемыми единичными
векторами st- =я i cos «*• + j cos fr + k cos ~(i (i =3 1,2).
§ 4. Векторное произведение двух векторов.
Плоская площадка как вектор
Не менее важна, чем скалярное произведение, другая операция
умножения двух векторов, дающая в результате вектор.
Определим векторное произведение векторов А н В как вектор Р,
перпендикулярный к плоскости, проходящей через А
и В, и равный по абсолютной величине пло- /~— у
щади параллелограмма со сторонами А и л/ ~у /
В, т. е. АВ sin (А,В). Выберем направление /\ /
Р так, чтобы, если смотреть вдоль него,
кратчайший поворот вектора А (первого
множителя) в сторону В (второго множителя)
представлялся происходящим по часовой
стрелке (рис. 7). Вследствие этого выбора
векторное произведение теряет свойство
коммутативности, которое еще имелось у ска- рис. 7. Определение
лярного произведения. Действительно, ее- векторного произведе-
ния.
ли переставить сомножители, то наше
условие означает, что поворот от В к А должен
казаться происходящим по часовой стрелке» а для этого
необходимо обратить направление вектора Р, Векторное произведение
мы будем обозначать косым крестом:
Р = АХВ- — ВХА. (15)
Абсолютная величина векторного произведения равна, по
определению,
Р ^ i4Bsin(A,B). (150
Важнейшим свойством произведений, без которого название
«произведение» было бы неоправданным, является
дистрибутивность относительно сложения. Векторное произведение также
обладает этим свойством:
Ax(B + C+D + ...) ^АхВ + АхС +AxD + н. (16)
a
15
Доказательство (16) не составляет трудности, мы предоставляем
его читателю (см. задачу 6). Отсюда следует, что
аАХВ = а(АХВ)=Ах аВ, (16')
т. е. скалярный множитель можно относить к любому из векторов
или выносить за знак векторного произведения.
Мы видели, что скалярное произведение при ненулевых
сомножителях обращается в нуль, когда векторы перпендикулярны друг
другу. В отличие от скалярного, векторное произведение
обращается в нуль при параллельных сомножителях. Равенство
А X В = 0
при ненулевых векторах А и В выражает параллельность А и В.
В частности, А X А = 0. Для векторов i, j, k имеем:
jxi=jxj = kxk=0, (17)
i X j = k; j X k = i; k X i = I (18)
При помощи этих соотношений можно, используя свойство
дистрибутивности, получить следующее выражение векторного
произведения через компоненты:
А X В = (Л,! + Ау)+А2к) X (Bvi+Byi+B2k) =
= (AyBz - AzBy) i + (Л A - AJB2\ j + (Л v5y - AyBx) k.
Его можно записать в виде определителя:
1 АХВ =
j
Ау
вх
j
А
By
к 1
м
Вг\
I
Изменение знака векторного произведения при перестановке
сомножителей находит здесь свое отражение в изменении знака
определителя при перестанрвке двух строк.
Если задано векторное произведение Р, то этим определены
следующие свойства параллелограмма, построенного на его
сомножителях А и В: 1) его положение в пространстве: он лежит в
плоскости, перпендикулярной к Р; 2) направление обхода: если
смотреть вдоль Р, то контур параллелограмма обходится по часовой
стрелке; 3) площадь параллелограмма равна длине Р. Форма
параллелограмма остается неопределенной. Если отвлечься от формы
параллелограмма, то ясно, что всякой плоской площадке может
быть сопоставлен вектор, направление и величина которого
однозначно определяются по вышеустановленным правилам
ориентацией, направлением обхода и площадью площадки. Для векторов
ft, поставленных в соответствие граням замкнутого многогранника,
16
имеет место следующая важная теорема: если каждой грани
сопоставлен вектор, направленный наружу, то сумма этих векторов
равна нулю.
(20)
Zfl = 0 для замкнутых многогранников
Докажем эту теорему сначала для тетраэдра. Обозначим через А, В, С
.три вектора, выходящие из вершины (рис. 8). Тогда три грани,
сходящиеся в вершине, будут представлены векторами — А X В,
1в
X
1
соответствующие трем
С и — Сх А. Основание представлено векторным произве-
дением — (С —В) х (В — А). Раскрывая в этом выражении
скобки и прибавляя векторные произведения,
боковым граням, получим нуль. Всякий
многогранник может быть разбит рядом
плоскостей на тетраэдры. Для
каждого тетраэдра справедлива только что
доказанная теорема. Внутри
многогранника каждая грань встречается в двух
тетраэдрах, причем с
противоположными направлениями нормалей, так 4to
при образовании суммы добавленные
при разбиении многогранника
поверхности дают нулевой вклад и остается
только сумма по внешним граням.
Можно пойти еще дальше. Произвольную
замкнутую поверхность («оболочку») можно апроксимировать
многогранником, гранями которого являются куски касательных
плоскостей. В предельном случае исчезающе малых граней
этот многогранник совпадет с оболочкой и сумма перейдет в
интеграл:
с-в
(С-В)х(В-А)
Рис. 8. Представление
граней тетраэдра
векторными произведениями.
j>df = 0 для замкнутых поверхностей
(21)
Знак интеграла снабжен кружком, что означает интегрирование
по замкнутой поверхности. Такие интегралы по замкнутым
поверхностям очень часто встречаются в векторном анализе.
Хотя параллелограмму, образованному двумя векторами, мы можем
поставить в однозначное соответствие их векторное произведение Р, все же
существует известная разница между параллелограммом и сопоставляемым ему
вектором. Если взять отражение параллелограмма в его плоскости, направ*
ление его обхода не изменится, тогда как сопоставленный ему вектор изменит
знак. Эта принципиальная разница между векторами, соответствующими
смещению (полярными векторами) и направлению обхода (аксиальными
векторами), становится заметной, если перейти от правой системы координат к
левой. Но в большинстве случаев нет надобности делать такой переход, и для
практических вычислений это различие не существенно. В четырехмерном
векторном исчислении теории относительности это различие, наоборот, ясно
выражено: полярный вектор имеет там 4, а аксиальный — 6 компонентов.
17
Задачи
6. Доказать равенство (16) для двух слагаемых.
7. Что представляет (А X В)2 + (А • В)2?
8. В аналитической геометрии все теоремы о плоскостях и прямых
можно вывести почти без вычислений» если вместо координат
пользоваться радиусом-вектором г, задавая направления единичными векторами.
Вывести этим способом уравнения: а) плоскости, проходящей на расстоянии
р от начала координат, нормаль к которой имеет направление п; б)
расстояния точки г0 от зтой плоскости; в) плоскости, проходящей через три точки
гь г2, г3.
§ 5. Последовательные перемножения векторов
а) Умножение вектора на скалярное
произведение двух других векторов. Скалярное
произведение есть просто число, поэтому умножение вектора А
на скалярное произведение В ♦ С означает определенное в § 2
умножение вектора А на это число, т, е.
вектор с тем же направлением, что и А, Мы
пишем А(В . С) или (В « С)А. Разумеется,
произведение А(В * С) отлично от (А • В)С;
первое — вектор с направлением А, второе —
вектор с направлением С.
б) Скалярное умножение век*
Рис, 9. Образование Т ° Р 3 На векторное произв*
смещанного произведи Д е н и е двухдругих векторов,
ния С'Р^С*(АХВ). Пусть Р = А х В, Тогда произведение
С • Р = С ♦ (А X В) означает объем парад*
лелепипеда, построенного на трех векторах А, В и С,
Действительно, вектор Р по абсолютной величине равен площади
параллелограмма, построенного на векторах А и В (рис. 9), Так как
]С|со$ (С,Р) — высота параллелепипеда, то произведение
С . Р = (CJJPJcos (C,P)
равно его объему. С равным успехом можно построить основание
параллелепипеда на векторах С и А и соответствующее векторное
произведение умножить скалярко на В, так что объем может быть
представлен также произведением В* (Сх А), Такое
произведение трех векторов называется смешанным. Так как при перестанов*
ке сомножителей в векторном произведении последнее меняет
знак, смешанное произведение тоже меняет при этом знак. Как
видно из рисунка 9, В X А есть вектор, направленный вниз,
поэтому cos (С, Р) станет отрицательным. Для знака смешанного
произведения можно установить следующее правило:
произведение А • (В X С) положительно, когда векторы А, В, С
расположены друг относительно друга так же, как оси правой системы
координат.
18
A-(BXC)=
Ar
вк
cx
Ay
fi
Sy
Ar
вг.
c2
Поэтому
A . (В x С) = В . (С х А) =* С . (А х В) -
= - А • (С х В) = — В • (А х С) = — С • (В х А). (22)
Если заданы компоненты всех трех векторов, то
А-(В X С) = (AJ + Ау] + Агк) . {(ByCz- BjOy)i + (ВгСх -BxCz)}-\-
+ (ВхСу-~ВуСх)к}.
Результат можно записать в форме определителя:
(23)
Равенства (22) выражают, следовательно, известное свойство
определителей менять знак при перестановке двух строк.
в) Векторное умножение вектора на
векторное произведение двух других
векторов, Пусть Р =* В х С. Тогда
векторное произведение
R=AXP = AX(BXG)
означает вектор, лежащий в плоскости
векторов В и С. В самом деле, вектор
Р = ВХ С перпендикулярен к В и С,
a R = А х Р в свою очередь
перпендикулярен к Р и поэтому должен
лежать в плоскости, образованной
векторами В и С (рис. 10). Но любой
вектор V, компланарный В и С, при
надлежащем выборе коэффициентов аир
может быть представлен в виде
Линейной комбинаций:
Рис. 10. Образование век-
шторного произведения
|*=*:АХР=>АХ(ВХС).
V = аВ + рС.
Найдем значения й и р для вектора R» Не ограничивая общности
результата, можно выбрать систему координат, у которой ось X
направлена вдоль вектора С, ось Y лежит в плоскости В и С. Тогда
\^АХ\ + Ау\+А2к,
H = BJ+Byl
Векторное произведение В X С примет простой вид:
ВХС = — ВуСхку
и мы получим:
А X (В X С) - - AуВуСх\ + А*ВуСJ.
19
Прибавляя и вычитая вектор AJixCx\, получим:
А X (В X С) = АХСХ (BJ + Ву\) - (А^ + АуВу) Сх\.
(При группировке членов в правой части равенства мы
использовали наш выбор координатных осей.) В результате нами получена
важная формула разложения:
А X (В х С) = В(А • С) — С(А • В) = (А • С)В — (А • В)С. (24}
Таким образом, коэффициентами аир являются скалярные
произведения А- Си —А • В.
При помощи этой формулы разложения можно преобразовывать
и более сложные произведения. Пусть, например, дано скалярное
произведение двух векторных произведений:
Р = (А X В) • (С X D).
Положив А X В = Е, по формуле (22) получим:
Р = Е • (С X D) = — С • (EXD) = -C«[(AXB)XD] =
= С [D X (А X В)],
или, по формуле разложения (24),
P==CfA(DB) — B(A-D)}.
Таким образом,
(А X В) . (С X D) = (А . С) (В . D) — (В . С) (А . D). (25)
Задача
9. Преобразовать (А X В) X (С X D).
§ 6. Дифференцирование вектора по скаляру.
Приложение к теории пространственных кривых
Пусть вектор v является непрерывной функцией от скалярной
переменной и, пробегающей непрерывный ряд значений:
v = у(и).
Придадим скалярной величине приращение Аи; при этом вектор
изменится на
Av = v(u + Аи) — v(u).
По аналогии со скалярными функциями назовем производной —
du
предел отношения:
V' = ^lim v(« + A»)-v(a) , С26)
du uu-*o Ли
20
Аналогичным образом определяются и высшие производные,
например:
d(-)
v//=_U/==d!v = 1.niv-(a + A«)-v-(«)> (27)
du du2 ли-o Да
Пусть," например, задан радиус-вектор г точки
пространственной кривой как функция длины дуги s, отсчитываемой от некоторой
начальной точки. В этом случае абсолютная величина Аг совпадает
с As и предел отношения — означает вектор единичной длины, имею-
As
щий направление касательной к кривой (рис. 11). Этот единичный
касательный вектор обозначим t:
t = ~. (28)
ds
Правила дифференцирования произведений векторов остаются
такими же, как и для произведений обычных скалярных функций,
в чем легко убедиться, совершая предельный переход. Таким
образом,
li^B)_ = A.dB + rfA.B=A.dB + B.dA (29)
du du du du du
Но в случае векторного произведения надо следить, чтобы
сохранялся правильный порядок сомножителей:
1ШШ_АХ^ + -ХВ=-АХ^-ВХ^. (30)
du du du du du
Если вектор v имеет постоянную длину, то v2 = const и
du du
Это означает, что производная от вектора постоянной длины
перпендикулярна к нему (поскольку ни ~, ни v не должны
обрати
щаться в нуль). Геометрически это очевидно: если длина
постоянна, конец вектора может перемещаться лишь по поверхности
сферы, и бесконечно малое приращение вектора направлено по
касательной к сфере, т. е. перпендикулярно к самому вектору.
Применим это соотношение к единичному касательному
вектору t. Так как длина этого вектора всегда равна 1, его производная
должна быть перпендикулярна к нему, т. е. это вектор, лежащий
в нормальной плоскости кривой. Как разность двух
последовательных положений касательного вектора, этот вектор лежит также и
в соприкасающейся плоскости, следовательно, его направление
совпадает с направлением главной нормали, для задания которого
мы введем единичный вектор п. Чтобы вычислить абсолютную ве-
21
личину вектора
d\
ds
заметим, что участок кривой, на котором
рассматриваются два последовательных близких положения
касательной, можно заменить кругом кривизны, центр которого М
лежит в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из
середин двух последовательных линейных элементов (рис. 12).
Угол дф между двумя
последовательными положениями
касательной совпадает с углом между
перпендикулярными к ним
радиусами круга кривизны. Если р —
радиус этого круга, то в пределе
ds = pd<p. (31)
Рис. 11. Единичный
касательный вектор.
Рис. 12.
Пространственная кривая и
сопровождающий трехгранник.
С другой "стороны, | Л | =<*р, откуда
Таким образом, получена следующая важная формула:
ds
ds2
(32)
Кривизна получается отсюда извлечением квадратного корня из
скалярного квадрата вектора :
*=} -V (£)'- /(£)"+(3)'+(£Г <33>
Единичный вектор Ь, перпендикулярный к соприкасающейся
плоскости, дает направление бинормали. Если условиться, что
векторы t, n и Ь, взятые в такой последовательности, должны составлять
правую тройку, то
b-txn. (34)
Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость и бинормаль имеют
гй>
всегда одно и то же направление, поэтому производная -р равна нулю.
ds
Если же кривая не плоская, эту производную можно рассматривать как меру
22
db
отличия кривой от плоской; абсолютная величина — называется кри-
ds
db
чением х. Направление —- определяется следующим образом. Во-первых,
as
аЪ
по свойству единичного вектора, —— перпендикулярно к Ь, т. е. параллель-
as
но соприкасающейся плоскости. Во-вторых, дифференцируя условие
перпендикулярности b и t, т. е. b • t = 0, имеем:
♦т + ь-т"^0»
as as
dt
а так как b перпендикулярно и к п = р ~» т0
ds
—
ds
db
т. е. вектор — перпендикулярен к(и, будучи параллельным соприкасаю-
ds
щейся плоскости, совпадает, следовательно, по направлению с главной
нормалью п. Будем считать кручение положительным, когда вращение b
представляется происходящим по часовой стрелке, если на него смотреть вдоль
направления t. Это дает следующую векторную формулу:
db
-«~-%п. (35)
Эти примеры показывают, как сильно упрощает дифференциальную
геометрию и делает ее наглядной использование векторного исчисления. Читателя,
интересующегося дальнейшими применениями, мы отошлем к современным
учебникам дифференциальной геометрии1, поскольку в дальнейшем мы
используем только приведенные выше элементарные, сведения. - -
Задачи
dk
10, Когда А X — => 0?
du
11. Пусть произвольная поверхность F ограничена плоской кривой.
Показать, что b X F =* 0, где Р «* J dt.
§ 7. Пространственное дифференцирование скалярной
величины
Если скалярная величина, например температура, задана как
функция точки, мы говорим, что задано скалярное поле. Пусть
в определенной точке скалярная функция точки имеет значение и.
Изменение этой функции при смещении точки на отрезок ds
зависит от направления смещения, т. е, производная —— принимает
ds
бесконечно много значений в зависимости от направления смеще-
ния ds. Однако можно показать, что изменение и по любому направ*
* См,, например, П. К. Ра ще вский, Курс дифференциальной
геометрии, изд. 3, Гостехиздат, М.-~Л., 1950. (Прим, перев.)
23
лению можно получить, зная лишь один вектор, определяемый
посредством операции дифференцирования, В самом деле, с одной
стороны, в прямоугольных координатах
ds = dx\ -f- dy\ + dzk.
С другой стороны, с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка,
du^todx + ^dy+tO. dz.
дх ' ду * l dz
Как видим, du можно рассматривать как скалярное произведение
ds на вектор
дх ' ду ' dz '
который мы назовем градиентом и:
(36)
gradu=rxt+Fyi+T2k
1 du = ds-grad#
•
Таким образом.
(37)
Смысл градиента заключается в следующем. Если мы имеем дело
с непрерывной функцией (разрывы и<у<лючим пока из
рассмотрения), то все точки пространства с одинаковыми значениями и
образуют поверхности уровня (рис. 13). Эти поверхности
характеризуются постоянством значения и при смещении точки вдоль них.
Следовательно, если ds0 лежит в касательной плоскости к
поверхности уровня, то ds0 . grad и = 0 (для смещения на поверхности
уровня. Но т§к как ни d$Q, ни grad и не должны обращаться в
нуль, это значит, что вектор grad и перпендикулярен к поверхности
уровня).
Из определения скалярного произведения следует далее, что
при одном и том же абсолютном значении ds приращение du
достигает наибольшей величины, когда ds совпадает по направлению с
gradw. И обратно, вектор gradw указывает направление
наибольшего изменения (наискорейшего роста) функции и, откуда и
происходит название «градиент». Его абсолютная величина, согласно
fin
формуле (37), равна производной — при условии, что du
определяется для смещения, нормального к поверхности уровня.
Производная от и в любом другом направлении, согласно (37),
получается умножением этой величины на косинус угла между градиентом
и направлением смещения. Отсюда вытекает простой графический
способ построения различных значений -^- при заданном направле-
24
нии rfs (рис. 14). Восставим из точки Я0 перпендикуляр к
поверхности уровня и отложим на нем по обе стороны от Р0 отрезки,
длина которых равна абсолютной величине grad и. На каждом из
этих отрезков, как на диаметре, построим сферу, касающуюся по-
верхности уровня в точке Р0. Величина производной — в любом
ds
направлении будет равна при этом длине хорды, проведенной из
точки Ро в этом направлении.
9гайц
Рис. 13. Поверхности
уровня и градиент.
дгааи
(дгай и)
Рис. 14. Построение
производим
ной --— по градиенту,
as
Ян
Таким образом, производная — скалярного поля и в направ-
ds
лении s получается проектированием вектора grad и на
направление s.
В дальнейшем нам встретится множество примеров того, как физические
соображения в самых различных областях естественным образом приводят
к понятию градиента. Укажем здесь лишь один почти тривиальный пример —
принятое на географических картах изображение рельефа горизонталями.
Горизонтали являются линиями равной высоты. Ортогональные к ним
траектории являются линиями уклона, т. е. направлениями, по которым высота
меняется наиболее быстро, по которым скатываются камни на гладких
склонах и вода сбегает вниз.
Образуя градиент скалярного поля, мы получаем векторное
поле, так как grad и является изменяющейся от точки к точке
векторной величиной. Однако не всякое
векторное поле v может быть получено как
градиент некоторого скалярного поля. Если
оно обладает таким свойством, то оно
обладает еще и другим, более важным
свойством, являющимся следствием первого.
Представим себе кривую С, расположенную в
нашем векторном поле v (рис. 15). Разобь-.
ем ее на линейные элементы ds и определим линейный
интеграл вдоль кривой С как предел суммы скалярных
произведений v . ds, когда линейные элементы ds становятся бесконечно
малыми. При этом суммирование должно начинаться от Р0 и кон-
с
Рис. 15. Замкнутый
путь интегрирования.
25
чаться в Pv Если вектор v является градиентом некоторого скаля*
рам, то линейный интеграл от Р0 до Рг не зависит от формы
кривой, потому что отдельные слагаемые интегральной суммы
vrfs — d$-gradu — du,
согласно определению градиента, представляют приращения
функции и при смещении на ds, и сумма этих приращений равна
разности значений и в точках Pi и Ро. Но эта разность не зависит от
пути, по которому мы приходим из точки Р0 в точку Рг
Если имеются два пути С и С, то, обращая направление
обхода С, получим замкнутую кривую с единым направлением
обхода. Но на второй ее части (вследствие обращения направления)
все линейные элементы ds изменили свой знак, абсолютная же
величина линейных интегралов по обоим путям одинакова.
Поэтому интеграл по замкнутой кривой обращается в нуль. Мы
получили важную теорему: если векторное поле может быть представлено
как поле градиента некоторой скалярной функции тонки, то
линейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а интеграл
по замкнутой кривой обращается в нуль:
Рг
grad uds = их—щ,
0 d)gradtf.ds = 0.
Кружок на знаке интеграла означает, что контур интегрирования—
замкнутый.
Из определения градиента по формуле (36) следует весьма
полезное при вычислениях правило: если и является функцией от
более простой скалярной функции v точки, то вследствие
равенства
ди _ du dv
dx dv дх
получаем:
grad и=- grad v. (39)
dv
Задачи
12. Что такое grad r (r — расстояние от начала координат)?
13. Пусть скалярная функция f(r) точки зависит только от
расстояния г от начала координат. Вычислить grad Rr).
§ 8. Понятие дивергенций и теорема Гаусса — Остроградского
Для произвольного векторного поля также можно поставить
вопрос о приращении вектора поля v при смещении на ds (no
аналогии с постановкой вопроса в § 7)» Легко видеть, что для-рычисле-
26
(38)
(380
ни я этого приращения надо знать три градиента прямоугольных
компонентов вектора поля. Эти градиенты определяют
абсолютные величины приращений компонентов. Таким образом, мы
приходим к образованию из 9 скаляров (трех векторов). С такого рода
величинами мы познакомимся позже. Теперь же мы рассмотрим
другую имеющую физический смысл дифференциальную операцию,
которая векторному полю ставит в соответствие некоторое
скалярное поле.
Для лучшего понимания этой операции придадим вектору поля
следующий конкретный смысл. Пусть вектор v представляет
плотность потока жидкости, т. е. количество жидкости, проходящее
за секунду через площадку в 1 см2, перпендикулярную к
направлению v (рис. 16). Тогда количество жидкости, проходящее через
ориентированный элемент поверхности di
за секунду, равно скалярному
произведению v • di, потому что количество
жидкости, проходящей через поверхность,
определяется направленным
перпендикулярно к поверхности компонентом v„. Рис- 16* Поток через эле-
Mf*HT ПОЙРПХНОСТИ /IT
Рассмотрим часть пространства х в вектор- v
ном поле, ограниченную произвольной
замкнутой поверхностью. Ориентированные элементы
поверхности обозначим di. Ориентацию их выберем так, чтобы нормали
были направлены наружу. Тогда выходящее наружу через элемент
di количество жидкости составляет v • di; поток, направленный
внутрь, дает отрицательный знак. Суммирование по всей
поверхности, т. е. поверхностный интеграл (pv • di, дает тогда избыток
вытекающей за секунду наружу жидкости. Если внутри нет
источника, то интеграл должен обратиться в нуль. Если же внутри ееть
источники, то этот интеграл определяет расход источников,
находящихся внутри замкнутой поверхности; разумеется, он зависит и
от величины области т. Поэтому истинной мерой
производительности источников будет величина поверхностного интеграла,
деленная на объем области. Если источники распределены во всем
пространстве непрерывно, то таким способом можно получить
производительность для каждого элемента объема Дт. Предел этой
величины при бесконечно малом элементе объема обозначается div v
(дивергенция, или расхождение):
divv=lim — (fiv-df = —(6 v-df. (40)
д-с-0 Дт: J dxJ
Если компоненты v являются непрерывными функциями точки
с конечными производными, то этот предел конечен и не зависит
от формы элемента объема. Конечность предела легко
доказывается следующим образом. Выберем элемент объема в форме малой
сферы радиуса р. Пусть в центре ее вектор поля имеет значение v0.
27
Тогда отклонения его от среднего значения по порядку величины
сравнимы с радиусом р. Элемент поверхности сферы равен
p2sinfrdftdcp. Подынтегральное выражение имеет вид (v0-f-wp) «df,
где w — конечный переменный вектор, точное значение которого
нам не понадобится. Первая часть интеграла (j)v0. df=vQ.(j) di
обращается в нуль, потому что d)df = 0, согласно формуле (21). Вторая
часть даст величину порядка р. р2. Так как объем сферы равен
4яр3/3, то после деления на него должна
получиться конечная величина. *ч*ь-
Рассмотрим теперь конечную область
пространства, ограниченную замкнутой
поверхностью (рис. 17). Разобьем эту
область на элементы объема. Для каждого
из них, по определению дивергенции,
J7
\л
V-
г*"
Г
А—7
P7I
V-
Л
у
/'
Рис. 17. К теореме
Гаусса—Остроградского,
div v dx — О) v • di.
§
Просуммируем обе части равенства по всем элементам объема.
Слева получим интеграл по всему объему fdivvrft. Справа все
элементы поверхности, лежащие внутри области, встречаются
при интегрировании дважды (как поверхности двух соседних
элементов объема), причем с противоположно направленными
нормалями. Их вклады в интеграл взаимно уничтожаются,' потому что
на них вектор v оба раза имеет одно и то же значение в силу
предположенной непрерывности. Остается только интеграл по
внешней поверхности. Мы пришли к теореме Гаусса —
Остроградского:
(ftv.df = f divvdx
(41)
Интеграл по замкнутой поверхности от
вектора v равен интегралу от
дивергенции v, взятому по заключенному внутри
этой поверхности объему. Для
гидродинамического примера эта теорема кажется почти
очевидной. Но полученное таким образом
соотношение справедливо и в общем случае
для любого векторного поля.
Чтобы выразить дивергенцию через
прямоугольные компоненты, возьмем в качестве
элемента объема параллелепипед с ребрами dx, dy
/
/'
k
/
J
/•
X
dz
Рис. 18. К
вычислению div v.
28
и dz (рис. 18). Количество жидкости, втекающей в него в точке
х через площадку dydz с внешней нормалью, направленной против
оси X, равно dydz (vx)xt потому что поток через элемент
поверхности определяется только нормальным компонентом вектора
плотности потока. Через противоположную площадку,
расположенную в точке х + dx, вытекает количество жидкости, равное dydz
(vx)x+dx . Нормаль к этой площадке направлена в
положительном направлении оси X, так как все нормали к поверхности
должны быть направлены наружу. Разлагая (vx)x+dx в ряд Тейлора
и ограничиваясь членом первого порядка, мы найдем, что эти две
площадки дают следующий вклад в разность между количествами
вытекающей и втекающей жидкости:
(vx-\-dfxdx-vxyydz.
Аналогичные вклады дают и две другие пары площадок. Таким
образом,
фТ.Л -(£+£+£) ***
и, после деления на объем dxiydz,
ox ' ду ' dz
(42)
Задачи
14. Найти div г из соображений наглядности и по формуле.
15. Вывести дифференциальное уравнение, выражающее закон
сохранения массы в потоке сжимаемой жидкости. Какой вид принимает это
уравнение, если жидкость несжимаема?
$ 9. Понятие ротора и теорема Стокса
Другая не менее важная дифференциальная операция одному
векторному полю ставит в соответствие другое векторное поле.
Будем исходить из выведенного в § 7 соотношения (38'), согласно
которому интеграл по замкнутой кривой от вектора v равен нулю,
если v является градиентом некоторого скалярного поля. Однако
в случае произвольных векторных полей такой интеграл отнюдь
не обращается в нуль. Взяв отношение его к площади,
ограниченной контуром, совершим предельный переход, устремляя к нулю
эту площадь. Мы получим важную характеристику поля. В этом
случае также можно показать, что предел не зависит от формы
границы элемента поверхности. Как и для дивергенции, оценивая
порядки величин, можно показать, что этот предел имеет смысл,
когда v является непрерывной дифференцируемой функцией
точки. Величина интеграла зависит, однако, от положения элемента
поверхности, в чем можно убедиться на следующем простом при-
29
мере. Пусть вектор v во всем пространстве имеет одинаковое
направление, но его абсолютная величина меняется в
перпендикулярном направлении (т рис. 19 это изображено различной длиной
стрелок). Расположим элемент поверхности так, чтобы его нормаль
была направлена вдоль вектора v. Тогда на всем контуре v
перпендикулярен к dsr поэтому каждый элемент контура дает нулевой
вклад в интеграл и весь интеграл равен нулю. Если же нормаль
направлена перпендикулярно к v, то в случае прямоугольного кон-
X
Рис. 19.
Зависимость линейного
интеграла от
положения элемента
поверхности.
Рис. 20. К
образованию ротора.
тура, изображенного на рисунке 19, интеграл по отрезкам,
расположенным перпендикулярно направлению v, равен нулю, но вклад
параллельных v частей пути интегрирования не равен нулю,
поскольку мы предположили, что абсолютная величина v на этих
отрезках различна. Следовательно, предел
*-№i$Ym*-h§Ved*
(43)
зависит от направления нормали п ограниченного контуром
элемента поверхности df. Покажем теперь, что можно получить этот
предел для любого направления нормали, зная его значения для
трех некомпланарных направлений, в качестве которых
целесообразно выбрать направления координатных осей. Для этой цели
выберем в качестве элемента поверхности малый треугольник df =
= А ВС у вершины которого лежат на координатных осях (рис. 20).
Вместо обхода треугольника ABC можно последовательно
обходить треугольники ОВС — dfx, OCA = dfy и ОАВ = dfz и для
каждого из них находить пределы
—-(ftv-ds, ..
ОВС
Легко видеть, что
Lndf = Lxdfx + Lydfy -f Lzdf#
(430
(44)
30
так как в сумме интегралов по контурам треугольников каждая
сторона, лежащая на оси, проходится дважды в
противоположных направлениях, и остается лишь интеграл по сторонам ABt
ВС и С А. С другой стороны, согласно формуле (20) § 4,
df-nd/^id/, + jd/, + kd/, (45)
(здесь п — единичный вектор нормали к d/, направленный наружу
от тетраэдра, a i, j, k направлены внутрь). Если cos a, cos p, cos 7—
направляющие косинусы нормали п, то уравнение (45) в
компонентах имеет вид:
dfx s= df cos оц dfy = df cos §, dfz « d/ cos f.
Подставляя эти величины в уравнение (44), получим:
Ln = L^ cos a -j- Ly cos ? + Lz cos 7. (46)
Это соотношение можно истолковать как скалярное произведение
единичного вектора нормали п на вектор с компонентами Lx, Ly,
Lz. Этот вектор назШае^бя ротором v:
rotv = iI, + JLy + kLr ^ (47)
Таким образом,
L„d/^^v.ds==n.rotvd/==(rotv). df. (48)
Подобно тому как в случае дивергенции, переходя от бесконечно
малых объемов к конечным областям, мы
получили теорему Гаусса—Остроградского,
здесь мы тоже полупим важное
соотношение, рассматривая произвольную
поверхность, ограниченную кривой (в общем
случае не плоской) с заданным направлением
обхода $ш^1|)>^ на
бесконечно малые элементы и на каждом
из них выберем такое же направление обхода, как и на граничной
кривой. Тогда для каждого элемента поверхности можно написать:
Ряс. 21. К теореме
С$окса.
(£v - ds = (rot v) • df.
Складывая все эти уравнения, мы избавляемся от интегралов по
внутренним линиям, разбивающим поверхность, потому что
каждый отрезок их проходится два раза в противоположных
направлениях. Таким образом, в левой части остается интеграл по
граничной кривой. Мы получили важную теорему Стокса:
ф у. ds = \ (rot v)
.df
(49)
31
Интеграл от вектора v no замкнутому контуру С равен
поверхностному интегралу от rot v, взятому по любой поверхности Fy
границей которой служит кривая С.
Отсюда тотчас же следует важное свойство вектора rot v: его
дивергенция равна нулю. Покажем это. Обозначим rot v = w.
Для произвольной замкнутой поверхности можно написать
теорему Гаусса — Остроградского:
(hw.df = I divwdi: = Г divrot v dx.
F
Разделим эту поверхность замкнутой кривой на две части Ft и F2
(рис. 22). Очевидно,
(divrotvdx = ( w.dfa + Г
F F2
w.df9
rot v-df.
rot v • di 2.
Рис. 22.
Отсутствие
источников у rot v.
о—
г
V
t в
Рис. 23. К
определению компонентов
rot v.
Применим теперь к каждой части поверхности теорему Стокса.
Заметим, что при интегрировании по всей поверхности все нормали
должны быть направлены наружу, тогда как в теореме Стокса
направление нормали к поверхности определяется направлением
обхода кривой С. Если всегда понимать под di вектор, направленный
наружу, то при преобразовании второго интеграла следует
обратить его знак, вследствие чего
(divrot \di = фу.ds — ф v.ds=0.
с с
Так как это равенство выполняется для произвольного объема,
отсюда получаем:
(50)
divrot v = 0
Далее, равенство нулю интеграла от градиента скалярной
функции точки [§ 7, (38')] по замкнутому контуру можно с помощью
теоремы Стокса выразить в виде:
rot grad и = 0
(51)
32
Выразим еще компоненты вектора rot v через компоненты вектора
v. Согласно формулам (47) и (43'), Х-компонент rot v получается,
если рассматривать элемент поверхности, лежащий в плоскости
YZ. Возьмем его в виде квадрата со сторонами длины 2Л,
параллельными координатным осям (рис. 23). В интеграл вдоль
горизонтального отрезка дает вклад только ^-компонент v, вдоль
вертикального — только Z-компонент. Обозначим индексом 0 значения
величин в центре квадрата. Тогда на стороне АВ vy равно
на стороне CD
«*+(£).*+(£).*
Интеграл по отрезку АВ равен
в +л
A —h
по отрезку CD
D -Л
f v. Л = Jtyfy = - 2Л (vy)u- Ш (?g) .
Сумма их равна
в d
(Vds + fv-ds = —4A»p] .
Аналогичным образом вычисляется интеграл по вертикальным
отрезкам
А
J,.*+.JT.*_4*(b)
Так как площадь квадрата составляет 4Л2, то после деления на
нее имеем1:
Аналогично получаем:
(rotvb = ^-
'* ду
(rotv)y = ^-
OZ
/~~i .л °Vy
dvy
dvz
dvv
(rotv»« = i-as.
1 Мы опускаем здесь индексы 0, но производные по-прежнему относятся
к центру площадки.
2 г. Иос 33
или
rotv = ^_^\| + /^_i!5f\j + /*y_*£\k
[ду дг) ' [dz дх)'^ [дх ду I '
Если условиться понимать под «произведением» символа
производной — на величину и производную Д то это равенство мо-
дх дх
жно записать в форме определителя:
(52)
rot v =
i
д
дх
vx
J
д
ду
vy
к
д
dz
vz
Задача
16. Вычислить rot г.
§ 10. Оператор «набла»
Сравнивая формулы:
, . ди , . ди , , ди
дх ду dz
divv = ^ + ^ + -*
дх ' ду дг '
rotv=i/^-^4-i/^ —^4-к {д^1—^Л
\ду дг Г Лдг дх } ' \ дх ду j '
(36)
(42)
(52)
легко заметить, что с помощью введенного в § 9 «произведе-
ния» — на величину и можно все эти формулы вывести из
дх
одного вектора с компонентами —, —, —. Этот
символика- ду dz
ческий вектор обозначается V; его называют «набла» по
названию финикийского струнного инструмента, имевшего такую
форму.
V=if+j| + k| (53)
dx dy dz
Умножим скалярную величину и на этот векторный оператор.
Получим:
V«=4"+jJ + l4" = grad«. (54)
dx dy dz
Если умножим оператор у.скалярно на вектор v, то, по
определению скалярного произведения, мы получим сумму произведений
соответствующих компонентов:
V.v = ^+^ + -* = <livv.
дх ' ду ' дг
(55)
34
Наконец, формула (52) из § 9 представляет собой векторное
произведение оператора V на v:
V X v = rot v. (56)
Из формального совпадения операций grad, div и rot с
произведениями непосредственно следует дистрибутивность этих операций
относительно сложения:
V-(vx + v2)= V-vx+V-v2, .и т. д.
(57)
Не зависящее от координат определение оператора V можно
получить, исходя из определения дивергенции и обобщая его:
divv = v-v = lim — (J)<if-v>
Дт-*0 At:.
V
Дт—>*0 At j
di.
(58)
Тогда
grad и = Vm = lim— (ft dtu,
rot v = V X v
lim ^&dix v.
Поверхность уровня
Доказательство правильности этих формул проведем на примере
градиента. Так как при образовании предела элемент объема
совершенно произволен, выберем его в
виде малого цилиндра с осью,
направленной вдоль grad u> т. е.
перпендикулярной к поверхности уровня (рис. 24). С
точностью до малых высшего порядка
и на нижнем основании цщщвдра.
имеет значение щ-rh \ grid и [, на верхнем
основании н0 -f* h\ grad и j. При
составлении поверхностного интеграла
следует обратить внимание на то, чтобы
элементы d\ всегда были направлены
наружу. Интеграл по боковой
поверхности цилиндра равен нулю, потому что в каждом поперечном
сечении цилиндра и имеет постоянное значение, и для каждого
элемента поверхности найдется другой, равный по величине и
противоположно направленный. Рассуждая аналогично, мы получим
сумму интегралов по верхнему и нижнему основаниям, умножая
площадь основания Af на разность значений а (для верхнего
основания направление Af совпадает с направлением grad и):
Рис. 24. К вычислению
градиента.
(j)df. u = A/-2Agrada =*= Axgradw #
(580
2*
35
Разделив на объем цилиндра и перейдя к пределу, получим
формулу (58).
Эти формулы позволяют получить важные обобщения теоремы
Гаусса — Остроградского, которые доказываются совершенно так
же, как и она:
(j) d\ . и = jgradw dx, (59)
j)di X v = j rot v dx. (60)
§11. Образование градиента в векторном поле.
Основные понятия тензорного исчисления
В § 7 был исследован вопрос, как изменяется скалярная
функция точки при смещении на направленный отрезок ds. Такой же
вопрос можно поставить и в отношении векторных полей: как
изменяется вектор v при смещении в пространстве на ds? Эту задачу
можно свести к случаю скалярных функций точки, если исходить
из компонентов вектора. Задание векторного поля равносильно
заданию трех скалярных полей — компонентов векторного поля.
Согласно результатам § 7 приращения компонентов можно записать
в виде:
dvx = ds-gradi>v= &dx±^dy+^ dz9
x б x dx ] dy u^ dz
dvv = ds.grad vv = ^1 dx + ^ dy^-Ъ. dz, (61)
y y dx dy dz
dvz = ds.grad v2 == ^d* + —*dr/ + ^ dz.
z s 2 dx r dy "~ dz
Таким образом,
dv = \dvx-\-]dvy-\-\Ldvz =
= (ds.grad vx) i + (ds-grad vy)l + (ds.grad vjk. (6Г)
Эту формулу можно записать в сокращенном символическом виде:
d\ = (ds.y)v j (62)
(произносится «ds— векторный градиент ot'v»).
Для вычисления d\ необходимо знать три вектора или 9
скаляров. Мы увидим впоследствии, что такого рода образования,
состоящие из 9 чисел, также имеют определенный физический смысл.
Из формул (61) видно, что компоненты вектора dv являются
линейными функциями компонентов вектора ds и коэффициенты этих
функций — частные производные -^, -^ и т. д.
dx dy
36
Рассмотрим теперь несколько подробнее линейные векторные
функции такого рода. Пусть компоненты вектора w являются
линейными функциями компонентов вектора v:
^^ЯхА + я^ + яЛ
wy = ci21vx + a22vy + a23vzt (63)
Эти формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие
между векторами v и w. Таблица коэффициентов a.k имеет
самостоятельное значение лишь в том случае, если она обладает
следующим свойством: компоненты вектора w получаются из
компонентов вектора v no формулам (63) при любом выборе системы
координат, относительно которой взяты компоненты этих векторов.
В этом случае коэффициенты ajk называются компонентами,
тензора {аффинора). (Слово «тензор» заимствовано из теории упругости,
где встречаются подобные образования; слово «аффинор» своим
происхождением обязано тому, что при v = г коэффициенты ajk
задают аффинное преобразование пространства.)
Вектор является изображением заданной в пространстве
физической величины, имеющей направление; но в зависимости от
выбора системы координат компоненты его принимают различные
значения. В системе i, j, k
t^ = v.i, yy-v.j, ^ = v.k.
Для повернутой относительно нее системы Г, j', k' можно
записать:
«'^М + М + М.
J' = M + M+M. (64)
к' = М + Ы+Р»к-
Если система координат Г, j',k' тоже прямоугольная, то, как
известно из аналитической геометрии, $lk являются направляющими
косинусами новых осей координат относительно старых. В этом
случае имеют место соотношения:
Рп+ & + & = !.
и вообще
?m--U'S{;{: (65>
Впрочем, эти соотношения легко вывести непосредственно,
составляя скалярные произведения Г • V — 1, Г . j'=0 и т. д. Отсюда
получаются следующие выражения для старых осей через новые:
J^Pwi' + M' + Pak'. (66)
к = Р13!' + Р23Г + Рззк'.
37
Это очевидно, ведь направляющие косинусы оси i относительно
осей \\ У к'— это ри, ра1, р81 г т. д.
В новой (повернутой) системе координат компоненты v равны:
^' = v.i/ = p11vi + p12v.j + p13v.k=p11^ + pi2yy + pi3^
V = vj,/ = ?21v.i + |522v*j + p23V-ks=p21^+p22yy + p23^ (67)
Vz, -v.k/=p3iV-i + p32V-j + P33V.k^p3i^ + P32^ + p33^
т. е. компоненты вектора преобразуются так же, как и
координатные оси. Пээтому выполняются также соотношения:
Vy - РМ tV + Р22 *V + Рз2 «V . (68)
^^Рм^'+Рм^ + РавЪ'*
Как же должны преобразовываться компоненты тензора #/Л,
чтобы формулы, связывающие компоненты w с компонентами v, не
изменялись при изменении системы координат? В старой системе
координат эти формулы имеют вид:
Wy = «21 0r+ «22 ?у+ «23 Vz, (69)
^= «31 V*+ «32 ?у+ «Jti 4*
в новой (повернутой) системе координат:
wy> = а'21 cv -f a'22 vy + a'23 v2>, (70)
0>*' - «'si *V + «'з2 *V + «'зз^' •
Обе тройки чисел wx9 wy, wt и wx„ w „ w2, должны определять
один и тот же вектор w. Умножая первое из равенств (69) на
(Зп, второе на р12, третье на р13, складывая их и принимая во
внимание (67), получим:
wx, = ($пап + p^j + PaAi)^ + (PiAt + Ms® + М32К +
+ (Pi Aa + M23 + PiAate- (71)
Если подставить сюда выражения (68) для vx% vy, vg, to wx, будет
выражено как функция от vx,9 v lf v2,< Но это выражение должно
совпадать с выражением (70). Приравнивая коэффициенты при ^, ,
получаем:
«И = Р?1 «11 + PilPiA« + PllPl3«l3 + PlrflAl + Р?2«22 +
+ Pi2p18^ + Pi8PiAi + PiaPiA2+P?afl88 и т. д. (72)
Таким образом, компоненты тензора преобразуются при вращении
системы координат так, что новые компоненты становятся
линейными функциями всех старых, причем коэффициентами служат
квадраты и произведения $ik. При вычислениях полезно следующее
правило: чтобы найти коэффициенты преобразования для компонен-
за
та тензора a'ik9 положите vx, = vx', vx = vt и т. д. и при
помощи формул (67) составьте произведение v{v^ компонентов вектора
(раскрывая скобки, нельзя при этом переставлять множители vt *и
vk); тогда коэффициенты при vtvk равны искомым
коэффициентам при а1к.
Рассматривая в (63) коэффициенты в i-й строке как компоненты
вектора
a^a^+a^j+a^k (73)
и записывая компоненты вектора w в виде скалярных
произведений вектора v на векторы ах, а2, а3:
w = (аг v)I + (а2. v)j + (а3- v) k,
мы придем к представлению тензоров через векторы. Но эти три
вектора at зависят от выбора системы координат, что видно уже
на примере, рассмотренном в начале этого параграфа (векторы
grad vx> grad vy и grad vz зависят от системы координат).
Согласно формулам (63), компоненты w являются линейными
функциями компонентов v. Такая функциональная зависимость
удовлетворяет соотношению
Ф(у1 + у2) = Ф(у1) + Ф(у2) (74)
(дистрибутивность относительно сложения). Но дистрибутивность
является существенным свойством произведения (от других свойств
произведения чисел мы отказались уже в случае векторного произ-
зедения). Поэтому мы можем представлять себе вектор w как
результат умножения вектора v на тензор Ф. Согласно (73), этот тен)
зор может быть представлен тремя парами («произведениями»)
векторов:
0 = aii + a2j + a3k. (75)
«Произведение» а^ мы назовем диадой, составленной из векторов
аг и i (векторы не разделяются никаким знаком). Первый вектор
диады называется предыдущим, второй — последующим. Под
произведением Ф • v мы понимаем вектор, который получается, если
последующие векторы диад скалярно умножить на v, а под v • Ф—
вектор, получаемый при скалярном умножении на v предыдущих
векторов диад:
O.v = a1(i.v) + aa0-v)+a8(k.v)f (76)
v.© = (a1.v)I + (a1.v)| + (a8.v)k. (77)
В общем случае эти два вектора различны. Назовем
сопряженным тензором Ф^, тензор, который получается из Ф при
перестановке предыдущих и последующих векторов в его диадах:
Ф,-1а1 + ]а2 + ка3, (78)
®ff-v = i(a1.v)4-J(a2-v) + k(a3.v).
Сравнивая (78) с (77), видим, что
у.Ф = Фс.у. (79)
(Стоит ли скаляр ax» v перед вектором i или после него,
разумеется, безразлично.) Переход к сопряженному тензору в
координатном представлении означает замену столбцов строками (и наоборот)
в таблице коэффициентов.
Диада также обладает важнейшим свойством произведений —
дистрибутивностью относительно сложения:
(a1 + a2)i = a1i + a2i. (80)
в самом деле, если скалярно умножить предыдущие векторы на
Вектор v, мы получим:
v-(a1 + a2)i = (v.a1)i-|-(v.a2)i,
что выражает дистрибутивность скалярного произведения. Это и
доказывает соотношение (80).
Теперь можно с новой точки зрения рассмотреть выражение
(ds- V)v, с которого мы начали. Составим диаду из оператора V
и вектора v. Мы получим:
ж (\ J^4-i^4-k-^>li4-(i^4- А 4-k ^l] 14-
\ дх ^J ду ^ дг ) [ \ дх Г J ду ' дг /3~ "' _
= (grad vx) i + (grad vy)j -f (grad vz)k. (81)
Помножим теперь этот тенвор слева на смещение ds. Мы получим
как раз выражение (62). Таким образом,
(ds • V) v = (ds • grad vx) i + (ds • grad vy) j + (ds. grad vz) к. (82)
Диада, составленная из оператора V и вектора поля v,
есть*тензор, который мы назовем векторным градиентом v. Если умножить
этот тензор слева на вектор смещения ds, получится приращение
вектора v при смещении на ds. Отсюда для радиуса-вектора г
получаем:
(ds- V)r = ds,
(а.у)г = а.
Возвратимся еще раз к тензорам вообще. Тензор называется
симметричным, если
Фс = Ф, в компонентах: аш = аИ, (83)
и антисимметричным (кососимметричным), если
Фс = — ф9 в компонентах: аи = 0, аш = —аш. (83')
Как видно из условий (83) и (83'), симметричный тензор имеет
только 6, а антисимметричный тензор — только 3 независимых
40
компонента, т. е. столько же, сколько и вектор. Действительно, в
трехмерном пространстве любой антисимметричный тензор можно
представить в виде вектора, потому что, как легко видеть,
произведение антисимметричного тензора Ф на вектор v равно
векторному произведению v на вектор aS2i -f- a13) + a21k, построенный
из компонентов тензора. В физике особенно важны симметричные
тензоры, которые можно изобразить поверхностью второго
порядка. Будем откладывать векторы v как радиусы-векторы г от
некоторой фиксированной точки О. Тензор 0 ставит в соответствие
каждому вектору г другой вектор w = г'. Обозначим скалярное
произведение г. г' через р. Оно равно
г.г' = р = г.(в.г) = апх2 + а12ху -\-a1Bxz + а21ух + а22у*-\-...
Но, по предположению, в — симметричный тензор, поэтому
р = г. (в. г)=апх2 + а22у2 + а^г2 + 2а12ху + 2a23yz + 2a31zx> (84)
откуда следует, что
х' = апх + а12у + aizz = -~|j»
r' = lgradp. (85)
Отсюда вытекает графический способ построения вектора г'.
Согласно (85), г' направлен по нормали к поверхности р = const,
восставленной из конца Р вектора г.
Если построить поверхность р = 1, то
абсолютная величина г', согласно (84),
обратна величине проекции г на
направление нормали в точке Р (рис. 25).
Поверхность р = 1 называется
тензорным эллипсоидом, хотя без
дополнительных предположений о коэффициентах она
может бЫ£Ь любой поверхностью второго Рис. 25. Тензорный
порядка. [Такое изображение симметрич- эллипсоид.
ного тензора поверхностью второго
порядка возможно потому, что как симметричный тензор, так и
поверхность второго порядка имеют 6 независимых коэффициентов.'
Далее, каждой такой поверхности принадлежит выделенная система
координат — система главных осей.
В этой системе координат поверхность описывается уравнением
p = aix**+any** + amz*\ (840
а тензор, отнесенный к этим новым осям i*, j*, k*, принимает
простой вид:
Ф = a,i*i* +a„j*j* + anIk*k*, (75')
так что компоненты w определяются формулами:
&х* = aiy/> «v* = ял*» «V = адЛ (86)
41
Задачи
17. Записать выведенные в § б формулы Френе (32) и (35) теории прост*
ранственных кривых с помощью векторного градиента.
18. Найти направления главных осей тензорного эллипсоида,
воспользовавшись тем, что по этим направлениям г' = Хг.
§ 12. Вычисление векторных дифференциальных выражений
с помощью оператора «набла»
Использование оператора V позволяет легко и быстро
выполнять операции, grad, div, rot, (a . V) над произведениями
скалярных или векторных функций точки, делая их чисто формальными.
Нужно только иметь в виду, что V является не только символом
дифференцирования, но и вектором. Все, что стоит справа от
символа дифференцирования, подлежит дифференцированию. При
дифференцировании обычных функций всегда можно величины,
рассматриваемые как постоянные, писать слева от символа
дифференцирования. Но векторные произведения и особенно диады не
коммутативны (правда, в случае векторного произведения можно
поменять порядок сомножителей, изменив одновременно знак).
Чтобы иметь возможность оставлять величины, не подлежащие
дифференцированию, под знаком V, будем отмечать их индексом с.
Далее, переходя к пределу, как и в случае дифференцирования
обычных произведений, можно показать, что вообще
пространственное дифференциальное выражение [grad, div, rot, (a . V)J от
произведения равно сумме соответствующих выражений от произведем
ний, в которых только один множитель рассматривается как
переменная величина. Таким образом, мы получаем следующее рабочее
правило для пространственного дифференцирования произведений:
пишем дифференциальное выражение с помощью символа V в виде
суммы дифференциальных выраэюений, в которых подлежит
дифференцированию только один множитель; преобразуем их по пра-'
вилам векторной алгебры так, чтобы все величины, которые не надо
дифференцировать, оказались слева от знака V, и интерпретируем
полученное таким способом выражение, вводя снова специальные
обозначения grad, div и /и. n.
Поясним этот способ вычислений на примерах наиболее часто
встречающихся выражений.
а) Произведения скалярных функций т о ч -
к и.
grad uvw = Vuvcwc -f- \Jucvwc + S7ucvcw =
= vw grad u-\-uw grad v -f- uv grad w. (87)
б) Произведение скалярной и векторной
функций точки.
div от = V • uvc -|- V * ucv = v. grad u-\-u div v, (88)
42
rotuv ~ AX«vf+ VXttcv=«gradaXv + «rotv. (89)
V (от) = V^v + 4u\c = uVv + (V«) v. (90)
в) Произведения векторных функций т о ч -
к и.
grad v • w = V v • wff + V vc • w.
Так как
vXrotw = vX(VXw) = V(vw) —(v-V)w =
— grad vw — (v. V)w,
то
grad v• w = vXrot w + (v• V) w + wXrot v + (w- V) v, ^
diwXw= V'(vXw,)+ V-(v,Xw) - w-(VXv) ^v.(VXw) =
=w. rot v — v. rot w, (92)
• rotvXw= V X(vXw,) + V X(v,Xw) =
?= (w. V) v — wdivv — (v- V) w-j-vdiv w. (93)
г) Вторые производи ы е.
,. , __ __ Q ди , д ди , д ди
divgradu^ у-Уа — — Ьт--гтт-г =
& дх дх ' ду ду дг дг
= *±+*И-+*± = Ьиш (94)
дх* ' ду* * dz* v
В случае простых функций точки скалярное произведение
оператора V на себя можно положить равным оператору Лапласа А.
Но в случае произведений это приводит к ошибкам, как показывает
следующий пример:
div gradwt>=div (иgrade;-)- v gvadu)=ukv + v^u + 2gradtf . grado.
Поэтому рекомендуется в случае произведений две операции V
выполнять последовательно, не пользуясь правилом v • V = Д.
rot grad и = У xv^ = 0. (61)
Этот результат, полученный в § 9, здесь следует чисто формально
из правила векторной алгебры, согласно которому произведение
вида А X <хА равно нулю, То же самое относится и к другому
полученному в § 9 соотношению:
div rot v = у (V х v) = 0. (50)
Однако выражение grad div v нельзя упростить, пользуясь
языком векторного исчисления. В прямоугольных координатах этот
вектор имеет вид:
|jLdivv + J~divv+k^divv = !^
дх * ду 1 дг \ дх* ' дхду 1 дхдг) 1
+ j(*«i+*2L + i^^ (95)
Кдхду 1 ду* l dydzl [ [дхдг^ дудг ^ дг* 1 к }
43
При помощи выражения grad div v можно преобразовать
выражение rot rotv:
rot rot v — V X (V x v) == V(V • v) — (V • V)v = grad div v —
-(V-V)v. (96)
Эта формула имеет важное применение в электродинамике. Здесь
стоит скалярное произведение символа V на себя перед вектором.
Если записать этот вектор в компонентах, то все выражение
rot rotv нетрудно вычислить, причем оказывается, что член.
(V • V)v является вектором со следующими компонентами:
<^-'(^+^+^)+«(3-+3-+£)+
+ к №- + **- + -**\ = ibVx + ]Д*У + к А^ = Av. (97)
~ \ дх* * ду* ~ dz* ) х ' J у Г г '
Таким образом, правило V • V = А сохраняется и здесь.
Итак, мы получили важное соотношение
rot rot v = grad div v — Av
(98)
Задачи
19. Вычислить поверхностные интегралы:
a) (j)(br)df, б) (j)r(i.df).
Вектор \ — постоянный.
30. Вычислить А — .
г
21. Преобразовать поверхностный интеграл
ф (и grad v — v grad u)»d\
1
в интеграл по объему. Применить результат к случаю v = —. Так как
функция — разрывна в нуле, следует исключить начало координат из области
интегрирования, так что поверхностный интеграл должен быть
распространен еще и на малую сферу, окружающую начало, нормаль к которой
направлена внутрь.
§ 13. Векторные дифференциальные операции
в ортогональных криволинейных координатах
Во многих встречающихся на практике случаях целесообразнее
разлагать вектор не в Декартовых прямоугольных координатах, которыми мы до
сих пор исключительно пользовались, а применять другие параметры,
часто подсказываемые самой задачей. Если мы желаем изучать, например,
распространение электромагнитных волн над Землей, то единственно
возможные координаты — это координаты на сферической поверхности
44
~~~~~ t
(долгота и широта). В пространстве точка фиксируется тремя параметрами
«, vt ш, Тогда прямоугольные координаты являются функциями этих
параметров:
х « <?i (и, v, w), у =?2(«, о, w), z = 'f3(M, v, w). (99)
Если фиксировать одну координату, например и, то уравнения (99) представ-
ляют собой уравнение поверхности и =* const в параметрической форме. Точно
так же мы получим другую поверхность при и= const. Через каждую
точку пространства проходят три поверхности, которые соответствуют трем
координатным плоскостям. Ограничимся такими системами координат, в
которых три координатные поверхности образуют ортогональную систему, т. е.
попарно перпендикулярны (рис. 26). Почти всегда употребляются только
такие криволинейные координаты. В случае
сферических координат легко видеть, что
координатные поверхности (сферы, радиальные конусы
и меридианальные плоскости) перпендикулярны
друг другу. К ортогональным координатам
принадлежат также эллиптические координаты,
поверхности которых состоят из софокусных
эллипсоидов, одно- и двуполостных
гиперболоидов. Если координатные поверхности
перпендикулярны друг другу, то и линии их
пересечения, называемые координатными линиями, тоже
перпендикулярны. Касательные к ним в точке
пересечения трех поверхностей мы зададим
единичными векторами u, v, w. Они соответствуют
осям i, j, k. Отличие от Декартовых
координатных осей состоит в том, что направления
касательных меняются от точки к точке. Если дано
векторное поле А, то под его компонентами в
точке Р мы будем понимать проекции А на
направления u, v, w в этой точке. При этом скалярное и
векторное произведения сохраняют свой вид.
Отличия от формул в Декартовых координатах
появляются только при дифференциальных
операциях вследствие изменяемости векторов u, v, w. Пусть координата и
получает приращение du, т. е. мы продвигаемся в направлении и на отрезок
dsu = U (н, vt w) du и. (100)
При этом функция U(ut vt w) меняется от точки к точке. В большинстве
конкретных случаев ее можно найти непосредственно из чертежа. Точно так же
ds:V =я V (и, v, w) dv v, dsw = W (и, v, w) dw w. (100')
Отсюда легко получить компоненты градиента скалярного поля <р: они
являются проекциями градиента на направления u, v, w, а эти проекции раЕ-
ны производным — , взятым по этим направлениям. Таким образом,
формул (100) и (100') следует, что
Рис. 26. Ортогональные
криволинейные
координаты.
из
grad^ = — —,
1 дф
. (Ю1)
Для вычисления дивергенции вектора А будем исходить из определения (40)
на странице 27. В качестве элемента объема выберем «элементарный
параллелепипед», образованный координатными поверхностями. Рассмотрим его
грани, перпендикулярные к и (одна из них строго перпендикулярна, другая—
с точностью до величин второго порядка малости). На этих гранях в
поверхностный интеграл дает вклад только «-компонент Ай. В точке и площадь
45
элемента поверхности равна J d$v \*]dsw | =* \VW \udvdw, а в точке и + du
она составляет (VW) dvdw. С учетом противоположного направления
нормалей поток вектора А изнутри через эти две грани равен
— (К Щи ^dw + (Аи VW)u+du dvdw *= ^~~^ dudvdw.
Прибавим сюда аналогичные выражения для других пар граней и разделим
на объем UVWdudvdw. Тогда получим:
div А =
1
WW
д (AUVW) d(AvWU) , d(AuUV)
ди
+
dv
+ ■
dw J
Если в качестве А взять вектор gracfy, получим:
(102)
(ЮЗ)
Прти образовании ротора поступим так же, как в случае прямоугольных
Декартовых координат: будем последовательно обходить «прямоугольники»,
лежащие на координатных поверхностях. При этом опять надо иметь в виду,
что длины противоположных сторон несколько различны. Поэтому при обходе
на поверхности и = const линейные интегралы вдоль плиний приближенно
равны (kvV)wdv и {r-AvV)w^4wdv, вдоль плиний (—AwW)vdw и (AwW)v^dvdw.
Записывая эти выражения в развернутом виде и складывая их, а затем деля
на площадь, получим w-компонент ротора. Точно так же вычисляются о- и
w -компоненты:
(104)
Вывод выражения для векторного градиента в криволинейных координатах
несколько затруднителен; так как оно к тому же малоупотребительно, мы
откажемся от его вывода.
Задача
22. Вычислить grad ф ,div А, Д^ и rot А в Цилиндрических (z, р, у,) и
сферических (г, 9, 6) координатах.
§ 14. Вырождение векторных дифференциальных операций
при наличии поверхностей разрыва в поле
Во всех выведенных до сих пор соотношениях векторного анализа
Предполагалось, что функция точки в рассматриваемой области пространства
непрерывна. Однако в физике нередко встречаются случаи, когда скалярное или
46
векторное поле принимает различные значения на разных сторонах
некоторой поверхности. В таких случаях пределы, при помощи которых
определяются наши дифференциальные операции, становятся бесконечными,
Рассмотрим, например, образование дивергенции:
div v
= nmTj
v.df.
Этот предел имеет смысл лишь в том случае, когда в малом объеме Дх вектор
v непрерывен. Но если поле испытывает разрыв (скачок) на поверхности,
проходящей через Дт, элемент объема можно выбрать в
виде малого цилиндра, основания Д| которого
расположены близко к поверхности разрыва, а боковая
поверхность перпендикулярна к ней (рис. 27). В случае
непрерывного поля v при уменьшении высоты этого
цилиндра разность v2 — vx значений поля на обоих
основаниях цилиндра тоже стремится к нулю. Но в
нашем случае она переходит в разность значений v на
двух сторонах поверхности разрыва. Если разделить
интеграл (fcv^df, взятый по поверхности этого
цилиндра, на объем Дх, то в пределе получим бесконечность, потому что Дх при
сжимании цилиндра может быть сделан бесконечно малой величиной более
высокого порядка, чем этот интеграл. Чтобы в подобных случаях получить
конечное предельное значение, можно делить не на объем цилиндра, а лишь
на площадь основания Д/j. Получаемый при этом предел называется
поверхностной дивергенцией v (обозначается Div v):
Рис. 27.
Поверхность разрыва
в векторном поле.
Div v = Jim
ЬФ
v.df.
(105)
Если единичный вектор нормали п к поверхности разрыва направить от
нижней стороны (1) к верхней (2), то при достаточно малом элементе поверхности
на нижней стороне
и на верхней стороне
l
I v«df = + гьу2Д/.
. Для нижней стороны надо писать справа знак минус, потому что при
интегрировании по замкнутой поверхности нормаль к ней всегда направлена
из заключенной внутри области наружу, а на нижней стороне вектор п
направлен внутрь. Так как поверхностный интеграл по боковой поверхности
цилиндра при сжимании его может быть сделан бесконечно малой более
высокого порядка, то наш предел является суммой выражений для нижнего и
верхнего оснований цилиндра:
Div v=a iim — n.(v2 — vi) Д/==п«(у2 — vx).
(106)
He только дивергенция определяется как предел отношения поверхностного
интеграла к объему, заключенному внутри поверхности. Такое определение
представляет вообще независимое от координат определение оператора v
47
(см. формулу (58) на стр. 35). Поэтому для поверхностей разрыва мы
получаем по аналогии с обычным оператором v вырожденный «поверхностный
оператор v», который мы обозначим значком || . В зависимости от способа его
применения к скалярной или векторной функции точки мы получим
следующие частные его значения:
поверхностный градиент:
поверхностная дивергенция:
поверхностный ротор:
поверхностный векторный градиент:
| и = Grad и = п (и2 — их)\ (107)
| .у = Divv = n . (v2 — vx); (108)
X v = Rot v = n X (v2—vx); (109)
v = n(v,- vx). (110)
При наличии поверхности разрыва I в рассматриваемой области
интегрирования V теорема Гаусса — Остроградского должна быть дополнена членом,
соответствующим поверхностной дивергенции на этой поверхности разрыва.
Делается это так. Окружим поверхность разрыва расположенной близко к
ней замкнутой поверхностью (рис. 28), которая исключает из области
интегрирования поверхность разрыва. Применим
теперь теорему Гаусса — Остроградского к
нормальной области интегрирования, полученной
после вырезания поверхности разрыва. Следует
помнить, что, кроме внешней поверхности Flt в
интеграл дает вклад и вновь возникшая
поверхность F2:
Рис. 28. Теорема Гаусса—
Остроградского при
наличии поверхности разрыва
в области
интегрирования.
ф v-di 4- ф \-d\ = I div v dz.
А А у
Если мы опять обозначим через п единичный
вектор нормали к поверхности разрыва,
направленный от стороны 1 к стороне 2,
ф v.df => \ n-Vid/— ( n-\2df = •
то
F,
f Divvd/.
Поэтому
ф v-df = div vdz + f Div v df.
(111)
Как выполняется операция || над произведением функций точки,
имеющих поверхность разрыва? Что будет означать здесь величина, отмеченная
индексом с, если формально перенести правила вычислений из § 12? Эти
вопросы разъясняет следующая простая выкладка:
П (U2V2 — UiVi)
Г Р1 + Р2 ,
Ui + U2
■ Ui) + (V2
-ot)];
обозначим средние значения — и —
как обычно принято, чертой
сверху, и тогда
Grad uv = 11 uvc + 11 ucv = пгГ(и2 — и{) + nu(v2 — Vi). С112)
Таким образом, индекс с при одной из величин после знака || означает, что
для этой величины следует взять среднее из двух значений, относящихся
к разным сторонам. Тем самым все правила вычислений из § 12 можно
формально перенести на вырожденные дифференциальные операции.
48
§ 15. Приложение. Основные понятия матричного
исчисления1
В § 11 компонентами тензора были названы коэффициенты а^ линейного
преобразования, причем предполагалось, что выполняются определенные
указанные там трансформационные свойства. В очень многих областях физики
полезно рассматривать как алгебраические величины произвольные таблицы
коэффициентов такого рода, причем нет надобности ограничиваться
квадратными таблицами. Такая таблица из т строк и п столбцов называется
матрицей типа т, п. Отдельные коэффициенты а^ называются матричными
элементами. Их совокупность обозначается || а^ || , или просто А. Две матрицы равны
тогда, и только тогда, если все их элементы совпадают. Таким образом,
матричное равенство заменяет тп числовых равенств. Матрица, все элементы
которой равны нулю, называется нулевой и обозначается 0. Квадратная
матрица, у которой отличны от нуля только диагональные элементы,
называется диагональной матрицей. Если все эти элементы равны 1, то она
называется единичной и обозначается Е. Квадратная матрица называется
симметричной, если элементы, расположенные симметрично относительно диагонали,
равны, т. е. а^ = а^, и антисимметричной, если эти элементы отличаются
только знаком, а диагональные элементы равны нулю, т. е. если а^ = —ам
и ац == 0. Матрица Л, получаемая из А заменой столбцов строками и
наоборот, называется транспонированной по отношению к А. Следовательно,
симметричная матрица совпадает с транспонированной к ней.
Как и для тензоров, которые представляют частный случай матриц,
сумма двух матриц, по определению, равна матрице, каждый элемент которой
равен сумме соответствующих элементов слагаемых. Поэтому вполне
логично, что умножение матрицы на число [х означает умножение каждого ее
элемента на число (х .
До сих пор просто повторялось содержание стр. 37 и далее, но в
другой форме записи. Действительно, полезным матричное исчисление
становится только после определения произведения матриц, которое позволяет
заменить громоздкие суммы в формулах новой символикой. Мы опять будем
исходить из линейной подстановки, которая при помощи матрицы Л выражает
переменные z# через переменные у^ Пусть переменные уь сами получены
при помощи матрицы В из переменных xk. Если выразить z^ через xki то z^
тоже будут линейными функциями от х^. Непосредственным вычислением
легко убедиться, что их коэффициенты с^ будут иметь следующий вид:
Cik = 2-1 aublkt (1)
/
т. е. матричный элемент с^ получается умножением элементов i -й строки
матрицы А на соответствующие элементы &-го столбца матрицы В и
сложением полученных произведений. Такое соединение двух матриц разумно
назвать произведением, ибо, как легко убедиться, оно обладает свойством
дистрибутивности:
А(В + С) = АВ+ АС (2)
и ассоциативности:
А(ВС) = (АВ) С. (3)
1 Хотя в дальнейшем матричное исчисление используется очень мало,
мы поясним основные его понятия, так как в современной квантовой
механике эти понятия широко применяются.
49
Однако оно не коммутативно, как и векторное произведение, потому что
результат будет иным, если переменные г^ выражаются через уъ при помощи
матрицы В, а у& через xk при помощи матрицы Л. Когда произведение двух
матриц оказывается в порядке исключения коммутативным, такие матрицы
называют перестановочными. Так, единичная матрица Е перестановочна
с любой матрицей. При умножении матрицы на нулевую матрицу 0 всегда
получается нулевая матрица. Однако и произведение двух отличных от О
матриц может оказаться равным нулевой матрице, так что из обращения в нуль
произведения матриц нельзя заключить, что одним из сомножителей
является нулевая матрица. Из правила образования матричных элементов
произведения получается следующее соотношение для транспонированных матриц:
(ТВ)*=~ВА. (4)
Определение произведения применимо не только к квадратным матрицам.
Правилом (1) можно пользоваться, когда число столбцов первого множителя
равно числу строк второго. Поэтому всегда можно матрицы типа тп
умножать на матрицы типа /гг, причем произведение будет матрицей типа тг.
Это позволяет писать и векторы в виде матриц из одного столбца или из одной
строки. Например:
-СО-
(5)
Поэтому результат подстановки, определяемой матрицей Л, можно записать
в виде;
"-(?)
• At. (6)
Произведение матрицы Л типа 3,3 на матрицу г типа 3, 1 является матрицей
типа 3, 1, т. е. вектором.
Если разрешить систему линейных уравнений с матрицей Л,
выражающих уь через х^ относительно дг*, т. е. выразить х^ как функции от yki —
чтобы это было возможно, определитель матрицы Л, согласно известным
теоремам алгебры, должен быть отличен от нуля, — то получается новая
матрица, которую называют матрицей, обратной к Л, и обозначают Л**"1. Так как
матрица Л преобразует переменные xk в ykf а матрица Л"**1 — переменные
yk снова в х^ имеем:
А~ХА = АА"Х = Е ■ (7)
(вторую часть равенства можно проверить, исходя из yk).
При образовании обратной матрицы от обратной должна получиться
старая матрица:
. (Л-1)-1 - Л. (8)
Далее,
(АВГ] = В-М-1. (9)
В самом деле, если умножить обе части равенства (9) на АВ и воспользоваться
ассоциативностью, получим:
Е = АВВ~1А-]= АА~] « £. (10)
Ортогональной называется матрица, у которой сумма произведений
соответственных элементов двух строк обладает следующим свойством:
S(0, если / Ф /,
""^"Ь.есл. /-/. (П)
50
Это свойство можно выразить еще иначе. Суммы произведений (11)
представляют матричные элементы произведения матрицы Л на
транспонированную по отношению к ней матрицу Л. Если матрица Л ортогональна, то
А А « Е. (12)
Но уравнение (12) является также определением матрицы Л""1, обратной к Л.
Таким образом, ортогональная матрица обладает следующим свойством:
транспонированная по отношению к ней матрица совпадает с обратной. Такой
ортогональной матрицей является, например, система направляющих
косинусов осей прямоугольной системы координат, повернутой относительно
другой такой же системы [см. формулы (64), стр. 37].
Можно рассматривать также матрицы с комплексными элементами.
Если матрицу Л транспонировать и заменить все ее элементы комплексно
сопряженными величинами, то полученная матрица Л+ называется сопряженной
с Л. Эрмитова, или самосопряженная, матрица характеризуется свойством
Л == Л"*"- Унитарная матрица определяется свойством UU^ =Я. Для
вещественных матриц сопряженная матрица совпадает с транспонированной, так
что в этом случае самосопряженная матрица является симметричной, а
унитарная — ортогональной.
Задача .
18 а. Задача 18 на языке матричного исчисления формулируется
следующим образом. Задана л-мерная симметричная квадратная матрица Л.
Требуется найти те векторы г (матрицы из одного столбца), для которых
Аг * Хг или (Л — Щт =» 0.
Показать, что 1) в случае n-мерного пространства задача сводится к решению
уравнения л-й степени для X; 2) векторы г, принадлежащие различным
значениям X, перпендикулярны друг другу (так как в уравнения войдут лишь
отношения компонентов векторов г, абсолютные величины последних можно
положить равными 1); 3) матрица S, образованная из этих векторов, взятых в
качестве строк, является ортогональной; 4) матрица S~lAS является
диагональной, причем по диагонали у нее стоят корни X/ вышеупомянутого
уравнения л-й степени.
Глава II
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ УЧЕНИЯ О КОЛЕБАНИЯХ
И ВОЛНАХ
§ 1, Простые гармонические колебания
Простейший периодический, во времени процесс (колебание)
математически описывается функцией синус или косинус, Если
процесс повторяется v раз в секунду, то он записывается в виде
а — Л sin2itvf или и ~ A cos2r^t. (1)
А называется амплитудой, v — частотой колебания. Для
упрощения записи, наряду с частотой v, введем еще угловую частоту «> »
— 2tcv. Мгновенное значение <о£ определяющее состояние
колебания в Данное мгновение, называется фазой колебания.
Описываемый синусоидальной или косинусоидальной функцией процесс
51
является не только математически, но, как 'увидим далее, и
физически простейшим колебанием. Его называют гармоническим коле-
банием.
Вычисления существенно облегчаются, если вместо
тригонометрических функций с их теоремами сложения, для каждого
случая различными, воспользоваться показательной функцией с
мнимым показателем, которая связана с тригонометрическими
функциями формулой Эйлера1:
еш = cos w/ + i sin w/. (2)
Это представление приводит также к чрезвычайно важному
графическому способу изображения колебательного процесса в
Гауссовой комплексной числовой плоскости (ср. гл. III), где точка,
изображающая комплексное число
г = Аеш, (3)
вращается по кругу радиуса А с угловой скоростью а>. Проекции
на вещественную и мнимую ось равны
х = Re(z) = A cos w/; у = Im (г) = A sinw/. (4)
Но так как физика имеет дело с вещественными величинами,
конечные результаты вычислений с комплексными величинами
нужно уметь перевести в вещественные. Это делается очень просто:
комплексное равенство означает, что равны как вещественная,
так и мнимая части выражений, стоящих в обеих частях равенства.
Поэтому физическое содержание равенства выражается как
вещественной, так и мнимой его частями.
Часто важную роль играет квадрат амплитуды Л2. При
вычислениях с комплексными величинами его легче всего получить,
умножая величину z на комплексно сопряженную с ней г*:
Л2 = гг*. (5)
Большое преимущество использования комплексных величин
при вычислениях проявляется, когда требуется сложить два
колебания одинаковой частоты, но разной фазы. Когда имеется одно
колебание, то начало отсчета времени безразлично, поэтому мы
записываем его в виде (1) или (3). Для второго колебания функция
и в общем случае достигает наибольшего значения не
одновременно с первым, а несколько позже или раньше. В таких случаях
говорят, что имеется сдвиг фаз 8 между первым и вторым
колебаниями2. В вещественном представлении
иг = A^cosut, и2 = А2 cos (оз/ + s)
1 Когда х — сложное выражение, вместо ех часто пишут ехр х. Мы будем
часто пользоваться этим в дальнейшем.
2 Правильнее было бы говорить «разность фаз», на название «сдвиг фаз»
общеупотребительно.
52
и сумма двух колебаний
ui + и2 ^ ^cosco/ + 42cos8coso>/— Л2$тЗ since/. (6)
Последнее выражение можно снова представить в виде одного
косинусоидального колебания. Для этого надо так преобразовать
коэффициенты при sin со/ и cos со/, чтобы после выделения общего
множителя они приобрели свойство синуса и косинуса некоторого
угла 9, т. е. чтобы сумма их квадратов равнялась единице:
(А! + Аг cos 5) cos со/ — А2 sin § sin о>/ = V(A1 + A2 cos о)2+Л* sin2 8 X
w Г Аг + Л2 cos Ь .
X J ■ COS w —
\y(Al + A2cos S)2 + A\ sin2 5
42sinb л. ,
Sin со/
Полагая
V(Ai + Л2cos b)* + Al sin2 5
Л! +/l2cosB
(7)
V(Ai + A2cos 5)2 + AI sin2 5
i42sin5
K(^i + Л2 cos 5)2 + Л* sin2 Ь
= cos?, (8)
= sin cp, (9)
получим:
Ul + u2=]/^li^^ (10)
Из вида подкоренного выражения явствует, что амплитуда А
результирующего колебания получается как третья сторона
треугольника, две другие стороны которого
образованы амплитудами Ах и Л2, причем
внешний угол между ними равен 8.
Сдвиг фаз 9 между результирующим
колебанием и колебанием иг тоже
получается из этого треугольника: угол Рис< 29. Сложение двух
<р — это угол, который образует третья сдвинутых по фазе коле-
сторона иг + иг с первой их (рис. 29). баний.
Но это построение полностью
соответствует сложению двух комплексных чисел в числовой
плоскости. Как известно, они складываются как векторы. Итак, чтобы
получить сумму двух колебаний с одинаковыми частотами, но
сдвинутых по фазе, следует сложить представляющие их комплексные
числа; абсолютная величина и направление радиусатвектора их
суммы представляют амплитуду и фазу результирующего колебания.
В электротехнике такой способ изображения колебаний
применяется весьма широко и называется векторной диаграммой.
Но следует иметь в виду, что комплексные числа, которыми
изобрази
жаются колебания, не являются векторами в пространстве, Такое
построение можно провести для любого момента времени. Так как
сдвиг фаз всегда один и тот же, весь треугольник вращается как
жесткая фигура с угловой скоростью <*п Поэтому можно выбрать
любое его положение, например направить вектор, изображающий
первое колебание, вдоль вещественной оси.
Если надо сложить более двух колебаний, то вектор
результирующего колебания получают, прибавляя последовательно
векторы отдельных колебаний и соединяя начало первого вектора с
концом последнего, На
практике часто приходится складывать
большое число N колебаний с
одинаковыми амплитудами а,
когда каждые два последова,
тельных слагаемых имеют один,
и тот же сдвиг фаз Др. На
векторной диаграмме получают*
ся при этом правильные
ломаные, которые при уменьшении
амплитуд отдельных колебаний
приближаются к дугам
окружностей. Сдвиг фаз между
первым и N*u колебаниями
составляет (N — 1)Д<р; при больших
N можно писать просто МДр. При Д<р » 0 мы получим наибольшее
значение результирующей амплитуды, равное Na. При увеличении
Д<Р этот отрезок сгибается в дугу окружности со все большей
кривизной. Когда дуга замыкается в полную окружность, т. е. при Af^
=—, результирующая амплитуда обращается в нуль. При
дальнейшем росте сдвига фаз после замыкания окружности остается еще
дуга, но уже меньшего радиуса, которая обусловливает снова
конечное значение результирующей амплитуды, пока она снова
не обратится в нуль при Д? = —, и т. д.
Как видно из рисунка 30, при произвольном сдвиге фаз Д<у
результирующая амплитуда равна
Рис. 30. Сложение большого числа
колебаний при различных сдвигах фаз.
А = 2r sin
#Ду
где гЛ/Дср ** Na. Таким образом,
Na
sin
N\y
#А<р
(И)
54
или, полагая Nky ** 9» '
sin -L-
A = Na—* (1Г)
Комплексная форма записи позволяет легко построить также
производную dzjdt. Дифференцируя (3), получим:
dZ ш A [(Jit
dt
Это комплексное число получается из г умножением на ю и
поворотом на — -против часовой стрелки. Дифференцируя еще раз,
получим:
dt2
&ч =_шМ^ =— ш22.
Радиус-вектор этого комплексного числа направлен прямо
противоположно радиусу-вектору числа г. Далее, отсюда видно, что
простое гармоническое колебание удовлетворяет дифференциальному
уравнению
d*z . о Л
(12)
которое называется уравнением незатухающего гармонического
колебания.
Точно так же неопределенный интеграл
можно построить, поворачивая вектор г по часовой стрелке на —
и деля его на ю.
§ 2. Разложение сложных периодических процессов в ряды
по гармоническим колебаниям (ряды Фурье).
Интеграл Фурье
Пусть функция и = /(/) описывает какой-то процесс,
повторяющийся v раз в секунду, т. е.
f{tJr\)~fV)- (13)
Предположим, что /(/) на одном периоде имеет конечное число
максимумов и минимумов и что при наличии конечного числа разрывов
второго рода (т. е. допускается обращение f(t) в бесконечность)
55
интеграл ]f{t)dt все же сходится. Наконец, допустимо и конечное
число разрывов первого рода (скачков функции). Функция /(/),
обладающая указанными свойствами на интервале, равном одному
периоду, а следовательно, и на всем бесконечном интервале
—оо < t < + оо (за исключением точек разрыва), может быть
представлена рядом из простых колебательных функций,
расположенных по кратным значениям основной частоты v. Такие ряды по
имени открывшего их ученого называются рядами Фурье. По по*
воду доказательства возможности разложения функции /(/) в ряд
Фурье в приведенных выше весьма общих предположениях следу*
ет обратиться к .учебникам математики. Здесь будет разобран
только способ определения коэффициентов. Лучше всего исходить из
комплексной формы записи:
/СО = ао + ахем + а/ш + ...+ апепШ + ...
= S Vя'"' • (14)
Так как слева в равенстве стоит вещественная величина,
коэффициенты ряда должны быть такими, чтобы мнимые члены справа
не появлялись. Для определения а0 проинтегрируем обе стороны
равенства по периоду, т. е. от 0 до —. Вследствие периодичности
комплексной показательной функции интегралы от всех членов
справа (за исключением члена с а0) обратятся в нуль. В самом
деле,
f^'dt^^le1""']" =-^(^*'-^)=0. (15)
Поэтому а0 определяется формулой
j7Wdt = ^а0, или а0 = -£- (/(/)dt = Щ\ (16)
о о
Для определения других коэффициентов умножим обе части (14)
на e~ni(at и проинтегрируем от 0 до —. Опять в правой части все
члены обратятся в нуль, кроме того, который имеет коэффициент
1 /(0 — обычное обозначение среднего значения [(t).
56
ап, так как после умножения на е л/ц)/ он не содержит
экспоненциального множителя и при интегрировании дает — ал. Таким образом,
со
2тс
dt
и точно так же
2тс
а
о
(17)
(18)
Переход к обычной вещественной форме ряда Фурье
1/(0
= b0Jrb1 cos to/ -f-
COS >W
• . . + 6,
+ ^sin
л=1
x COS Яш/
Ло)/-|-
sin nut
+ •■•
(19)
производится следующим образом: в каждом члене комплексного
ряда вещественная часть отделяется от мнимой и попарно
группируются члены ссп и а_п:
2* 2*
апе = — (cos №t + / sin nut) \
Г / (/) cos /zw/ dt—i Г/(/) sin mt dt
о о
2ic 2it
я_„ * я'ю' = --(cos mot—i sin /го)/) j Г / (/) cos mtdt -f- г Г /(/) sin пЫ dt
[о о
if
fl„ *"'"' + a-n е~ПШ1 = — C0S "^ f / (0 C0S mtdt +
TC J
0
CO
+ — sin mot f / (/) sin flco/d/.
Следовательно,
(20)
57
Следует обратить внимание на то, что в случае комплексного ряда
суммирование производится от п = —оо до п = ;+ оо, а в случае
вещественного — от л = 0 и 1 до я = -f" °° • В физике в ряде
случаев функция /(/) задается не аналитическим выражением, а
кривой, полученной из опыта. Поэтому интегралы приходится
находить численным или графическим способом при помощи вычис-
лительных машин или специальных приспособлений
(вычислительные шаблоны и т. д.).
Подставляя в ряд Фурье выражения для коэффициентов, мы
представим его единой формулой. При этом необходимо изменить
обозначение переменной интегрирования, иначе / будет
употреблено два раза в различном смысле. Обозначим переменную
интегрирования через а, тогда
fit) = I! — е"Ш ? }{*)е-пЫл da=; £ JLt f(a)enia' <*-> da.
(21)
Введем период колебания т = — . Так как функция /(/)
периост
дическая, можно интегрировать не от 0 до т, а от — — до -j- — .
Тогда формула (21) приобретает следующий вид^
/«0= L -f J f^e d*' (22)
Отсюда можно сделать предельный переход к непериодическим
функциям, рассматривая их как предельный случай периодических
функций, у которых период простирается от — оо до -[-00*
Полагая —= As, получим:
Л0= Е * j Mr*""**» d*. (23)
Но, по определению, предел суммы
оо
5] ? («As) As
я = 0
при As -»О равен определенному интегралу Г ср (s) ds. Далее,1
о
-foo 0 оо +°°
j ^(5)^= J _<p(s)ds+f <p(s)rfs= J] cp(nAs)As. (24)
58
Отсюда следует, что при t -* со выражение (23) переходит в
интеграл
f(t)^ ids \ f(*)e d%= \e ds j f(*)e da. (25)
-00 «—00
Вторая форма записи f(t) позволяет лучше понять смысл этого
тождества: непериодическая функция может быть выражена через
непрерывную последовательность гармонических периодических
функций, амплитуды которых задаются интегралом
J/W
е aa,
и являются функцией их порядкового числа («номера»)^.
Возможность такого представления имеет большое значение для
математической обработки функций, которые не могут быть описаны единым
аналитическим выражением. Пусть, например, дано простое
гармоническое колебание, имеющее начало и конец, т. е.
начинающееся в момент / = 0 и обрывающееся при t = 7\ Такое колебание
нельзя описать функцией e2zM9 так как последняя является
математическим выражением колебания, продолжающегося от / =
= — оо до / == -f~ оо. Однако определенную таким образом
функцию можно подставить в интеграл Фурье и получить распределение
содержащихся в ее спектре частот, которое имеет, конечно,
максимум при 5 == v. Чем короче продолжительность колебания, тем
шире его «полоса частот».
Группируя члены интегральной суммы попарно и применяя
формулу Эйлера, так же как и в случае ряда Фурье, можно
перейти от комплексного представлений интеграла Фурье к
вещественному:
(26)
Задачи
23. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию, которая от 0 До -—
имеет значение 0, от— до х — значение 1, затем сноба нуль и т. д.
J»
24* Выразить e^at cos at через непрерывную последовательность
незатухающих гармонических колебаний и указать, насколько частота,
соответствующая амплитуде, квадрат которой равен 1/2 от квадрата максимальной
амплитуды, отличается от частоты в максимуме.
59
§ 3. Модулированные колебания и биения
В радиотехнике часто приходится иметь дело с
«модулированными» колебаниями. Так называются колебания, у которых
амплитуда тоже является периодической функцией времени, но
изменяется медленнее по сравнению с самим колебанием. Так, например,
«несущая» частота радиопередатчика может иметь порядок 106 гц,
а частота модуляции, т. е. частота изменения амплитуды, составлять
в среднем около 500 гц. Такое модулированное колебание при
помощи вещественных функций представляется в виде:
и = А{\ 4- В coscOiOcos'coo/, co^gv (27)
Пока В < 1, что обычно имеет место, получается изображенная
на рисунке 31 картина изменения колебаний во времени.
Рис. 31. Колебание, модулированное синусоидой.
Из тригонометрии известно, что
2 COS (Oxt COS (O0t = COS (C00 -J- (Ox)t -J- COS (0)0 — G)x)/.
Применяя это соотношение к (27), получим иное представление
того же самого процесса:
АВ АВ
и = A cos o)0^ -J cos (o)0 -J- idj) t -\ cos (o)0 — сох) /. (28)
Таким образом, в модулированном колебании, помимо несущей
частоты о)0, присутствуют также «боковые» частоты со0 — ^и co0-f-
-f- ®v Это обстоятельство важно для приема радиопередач: если
(Oj — наибольшая частота модуляции, то приемник должен
примерно одинаково принимать всю область частот от со0 — (ог до со0 -f- ©lf
и в этой области не должны работать другие передатчики, если надо
обеспечить прием без помех.
Если колебание модулировано просто косинусоидальной
функцией, то в представлении его в виде суммы несущая частота
отсутствует:
А А
U = A COS wxt COS u></ = — COS (o)0 -J- (0^ / -J COS (o)0 — Wj) t. (29)
60
Этот особый случай модулированных по амплитуде колебаний
называют биением. Так как при модуляции нас интересует только
абсолютная величина амплитуды, угловая частота модуляции
равна в этом случае 2ы19 а не ©1Э как можно было бы заключить на
первый взгляд на основании формулы (29). Обратно, если заданы
два колебания одинаковой амплитуды, угловые частоты которых
отличаются на Дсо = 2<ov то при их сложении получается
колебание, частота которого является средней из частот заданных
колебаний, а амплитуда нарастает и спадает с угловой частотой 2<йх = Дсо.
Какая часть равенства (29) — правая или левая — описывает
«истинный» процесс? Такой вопрос не имеет смысла. Обе части
являются различными описаниями одного и того же явления, и
физический способ его получения может соответствовать как
левой, так и правой части (29). Тоже самое можно сказать о формулах
(27) и (28).
При несоизмеримых частотах складываемых.колебаний биение
представляет простейший пример почти периодического процесса. Действительно,
если отношение ых и о)2 иррационально, то значение w, которое имелось в
определенный момент времени t, строго говоря, не повторяется периодически.
Однако для любого заданного числа е можно указать «период», через
который это значение и повторяется с точностью до «♦
§ 4. Сложение колебаний вдоль разных осей.
Фигура Лиссажу
До сих пор мы рассматривали совершенно произвольные
периодические функции и. Существует два способа наглядного
изображения таких функций: в виде графика, по оси абсцисс которого
отложено время /, а по оси ординат — смещение и, и в виде
векторной диаграммы в комплексной плоскости. Придадим теперь нашей
функции определенный смысл: будем считать, что и является
координатой х точки Ру движущейся вдоль оси X. Если и другие
координаты (компоненты радиуса-вектора точки Р) являются
периодическими функциями времени, то возникает вопрос, какую кривую
описывает точка Р — конец радиуса-вектора? Ограничимся
наиболее важным случаем плоского движения, т. е. будем считать
координату z равной нулю. Движение в плоскости XY не следует,
конечно, смешивать с вращением вектора в комплексной плоскости.
Если бы мы пожелали и здесь воспользоваться этим способом
наглядного представления колебаний, то нам пришлось бы для
каждой координаты ввести свою комплексную плоскость с
вращающимся в ней вектором. Но для нахождения траектории точки Р проще
исходить из вещественного представления. Запишем:
х = acos со/, у = 6cos (со/ — 8), (30)
т. е. сначала предположим, что оба колебания имеют одинаковую
частоту. В зависимости от сдвига фаз 8 мы получим весьма раз-
61
нообразнЫе фигуры колебания. Пусть сначала 8 = 0. В этом
случае точка Р остается на прямой, которую можно назвать осью ко*
лебания:
У - А.
х а
она может быть построена как диагональ прямоугольника со
сторонами а и Ь. Колебание такой формы мы назовем линейным.
Далее, если 8 заключено между 0 и —, то, исключая t, получим
следующее уравнение траектории точки Р:
х /"] 7*
У^Ь— co$8-f b\/ i—^sin8,
или
(у — — xcosbY = b2 /l_-^jsin28. (31)
Это — уравнение кривой второго порядка. Из параметрического
представления (30) видно, что ни х, ни у не могут обращаться в
бесконечность. Следовательно, мы имеем эллипс. Его главные оси
можно определить методами, известными из аналитической
геометрии. При 8 = — получаем:
х= a cos ш/, у = Ь sin о)/.
Как известно, эти уравнения дают параметрическое представление
эллипса
а2 ' б2
главные оси которого совпадают с осями координат.
Направление, в котором точка Р пробегает эллипс, можно
установить из его параметрического представления. Пусть в
начальный момент t = 0; при этом Р находится на оси X и
координата х достигает наибольшего значения. С увеличением /
уменьшается ху но возрастает у. Такой вид колебания мы назовем левым
эллиптическим.
Увеличим теперь 8 до те. При этом получим:
х = а cos ш/, у = — Ь cos ш/, — ~ ,
х а
т. е. линейное колебание, симметричное с первым линейным
колебанием относительно оси Y. При 8 = — мы получим такой же
эллипс, как и при 8 =2 —, но он будет пробегаться в
противоположном направлении; это — правое эллиптическое колебание. При 8 =»
= 2я мы снова возвратимся к исходному линейному колебанию.
Если амплитуды а и Ь равны, то при 8 = — (или —) мы получим
круговое движение как частный случай эллиптического; назовем
его соответственно левым, (или правым) круговым колебанием. С
помощью аналогичных рассуждений легко построить эллипсы и для
промежуточных сдвигов фаз (рис. 32).
Если вместо вещественных функций воспользоваться мнимой
показательной функцией:
х^г^ае***, у - z2 = Ье'ы~ь\ (32)
то отношение компонентов радиуса-вектора вещественно тогда, и
только тогда, когда сдвиг фаз равен нулю или я, т. е. когда
колебание линейное. Действительно, из (32) следует, что
JL^-51 =_*_£-« (33)
х гг а
Ш
Рис. 32. Эллипти- Рис. 33. Фигура Лиссажу
ческие колебания, при почти равных
частотах.
Итак, в случае комплексного представления имеется простой
критерий эллиптичности колебания: комплексность отношения
компонентов х и у.
Когда частоты различны, сдвиг фаз непрерывно меняется. Если
разность частот мала по сравнению с самими частотами, это
изменение сдвига фаз происходит медленно, и можно записать:
х = a cos u>ttt
у = 6cos [o)^ + (о>2 — (jdj)/] = b cos (iuxt + e/). (34)
В этом случае сдвиг фаз 8 является линейной функцией времени,
и точка Р последовательно описывает все кривые, соответствующие
различным сдвигам фаз, непрерывно переходя с одной кривой на
другую, т. е. описывает приближенные эллипсы, Возникающая
при этом фигура названа по имени открывшего ее ученого
фигурой Лиссажу. Она постепенно равномерно покрывает весь прямо-
угольник со сторонами 2а и 2Ь (рис. 33). Фигура Лиссажу —
простейший пример условно периодической системы. У таких систем,
играющих важную роль в небесной механике, а также отчасти и
в атомной физике, каждая координата точки Р является
периодической функцией времени. Но сама траектория замыкается лишь
63
в том случае, если оба периода связаны дополнительным условием:
их отношение должно быть рациональным числом. Только в этом
случае можно с полным правом говорить о периодическом движении.
Так как всякий вектор, например вектор напряженности
электрического поля, можно представить как радиус-вектор, наши
рассуждения носят общий характер и применимы также к случаям,
когда речь идет не о реальном движении материальной точки, а
лишь о геометрии движения конца некоторого вектора.
В заключение отметим еще одно важное обстоятельство. Правое
и левое круговые колебания равной амплитуды и частоты при
сложении всегда дают линейное колебание. Ось этого колебания
определяется сдвигом фаз обоих круговых колебаний. Если
хх = a cos со/, ух = a sin о/ (35)
— правое и
х2 = a cos (со/ — 8), у2 = —a sin (со/ — Ь) (36)
— левое круговые колебания, то, складывая их и преобразуя по
формулам тригонометрии, получаем:
хг + х2 = 2я cos—cos Ш }, (37)
</i + Уг = 2<* sin — cos Ш — —). (38)
Таким образом, Х- и F-компоненты результирующего колебания
имеют одинаковую фазу, т. е. колебание всегда линейно.
Направление оси колебания получается, если разделить выражение (38) на
(37):
Этот результат можно получить еще проще, представляя круговые
колебания в комплексной плоскости:
гг = аеГ" и z2 = а <Г' (со/~5). (40)
Их сумма
гг + г2 = ает [ ** ы~6;2) + е~1 ы~т] =
= 2a^8/2cosK—8/2) (41)
представляет колебания вдоль одной оси, повернутой
относительно вещественной оси на угол 8/2.
Этот метод всегда применим для круговых колебаний. Его не
следует смешивать с введенными в § 1 векторными диаграммами,
где физический смысл имела лишь вещественная часть
комплексного числа; в случае же круговых колебаний само комплексное
число дает правильную картину процесса.
64
Тот же результат получается и графически при сложении
мгновенных радиусов-векторов. Можно показать геометрически, что
результирующая ось колебания повернута на 8/2 (рис. 34).
Задача
25. Начертить замкнутые фигуры колебания при
различных значениях сдвига фаз для случая, когда частоты
колебаний по осям X и Y относятся, как 1 : 2.
§ 5. Распространение волн
До сих пор речь щла о колебаниях одной
точки. Перейдем теперь к рассмотрению колебаний,
происходящих в каждой точке пространства (на- Р»с- $4- Сложе-
пример, в упругой среде). В простейшем случае £евого№круго-
колебательное состояние изменяется только в од- вых колебаний
ном направлении, скажем, в направлении оси X, в линейное ко-
т. е. оно является функцией только от л: и не зави- лебание.
сит от координат у и z. Пусть в точке х = О
U(tt0) = AeM. (42)
Процесс называется волной, бегущей вдоль оси Ху если в каждой
точке с координатой х происходит такое же колебательное
движение, как и в точке ^^0, но запаздывающее по фазе; в точке х
в момент t имеется такое же состояние, как в точке 0 в
момент t — 2»:
u{tix)=*Aei(*(t'~^\ (43)
где v — фазовая скорость, т. е. скорость распространения фазы
колебания.
Здесь предполагается, что амплитуда не зависит от
координаты. Мы рассмотрим в этой главе только такие незатухающие
волны. Но в общем случае амплитуда может зависеть от координат;
например, в поглощающей среде она затухает по закону е-**.
1 : Итак, пусть незатухающая волна распространяется вдоль оси X.
Тогда и является периодической функцией не только от
времени, но и от координаты х. Представим себе, что в момент t0 сделан
моментальный снимок распространяющегося колебательного
процесса. Ему соответствует уравнение
и (tQ> х) вэ Ае * е v,
(44)
Мгновенное значение и в точке х = 0 повторяется при увеличении
х на расстояниях, равных целому кратному величины -^- = — э
(О V
потому что мнимый показатель возрастает при этом на величину,
кратную 2я, т. е, значение показательной функции не изменяется.
3 Г, Иоа 65
Расстояние, на котором фаза волны меняется на 2я, называется
длиной волны X. Из сказанного вытекает соотношение, которое
является основным в учении о волнах:
V
Х = —, или I Xv = t> |. (45)
Длина волны X частота = фазовая скорость.
Волна, подобная рассмотренной, у которой переменная и зависит,
кроме времени, только от координаты в направлении
распространения, называется плоской волной, потому что a=const в плоскостях,
перпендикулярных к направлению распространения. Простая
гармоническая плоская волна является частным решением
дифференциального уравнения, которое мы сейчас выведем.
Продифференцируем и дважды по t и дважды по х:
д*и ,/"(Нг) ь2и <**/Л*-т)
гЛ=— шМе и = Ае , (46)
dt2 дх2 а2 • \ ;
Мы видим, что
2£ e -L 2!£ /471
дх2 о2 а/2 * v ;
Общее решение этого дифференциального уравнения в частных
производных второго порядка должно содержать две
произвольные функции. Легко видеть, что этому уравнению удовлетворяет
любая функция / (/ — —), а также любая функция g lt + — \
(последняя соответствует волне, распространяющейся вдоль оси
X в отрицательном направлении). Итак, общее решение уравнения
(47) имеет вид:
и='['-т)+*['+т)- (48)
Если у плоской волны нормаль п (т е. перпендикуляр к
плоскостям равной фазы) ориентирована произвольным образом
относительно координатных осей, то уравнения плоскостей равной фазы
имеют вид г . n = const и плоская волна представляется в виде:
л ^ \ v' л «• Л *cosa + у cos Р + г cos y \ /ЛО/х
и = Ае =лехр t® It — —• - j • (48')
Дифференцируя это выражение дважды по t и дважды по коор-
д2и д2и д2и ^ .
динатам и складывая , и —, получим самое общее диф-
дх2 ду2 дг2 •
ференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция и:
дх2 * ду2 ~* dz2 U~ v2 dt2
(49)
66
Формула (48') представляет всего лишь одно частное решение
этого уравнения. Другое очень важное частное решение уравнения
(49) — сферическая волна, у которой и зависит только от
расстояния г от центра О. Когда и не зависит от п&лярного и
азимутального углов ср и v, выражение Аи проще всего преобразовать к
сферическим координатам, воспользовавшись формулой векторного
анализа Аи = divgrad и:
grader) = J . 1г,
дг г
,. л /\ ди 1 ,. , г^г /д2и 1 ди 1 \
divgrada(r) = — . — div r -4 I— • . —).
s w дг г * г [дг* г дг г*)
Так как div г = 3, то
А д2и , 2 ди
дг2 ' r дг
и уравнение (49) принимает в этом случае вид:
£"+--=—— (50)
дг2 ' г дг v2 dt2 " ч '
Частным решением этого уравнения является функция
и-Ав'-('-т), (51)
Г
в чем легко убедиться непосредственной подстановкой (51) в (50).
Это простая гармоническая волна, распространяющаяся
равномерно из начала координат О вдоль радиусов-векторов во все стороны.
Поверхности равной фазы — сферы, определяемые уравнением г =
= const. В отличие от плоской волны амплитуда сферической
волны убывает как — в соответствии с увеличением площади
волновых поверхностей. Общее решение уравнения (50), состоящее из
расходящейся от О и сходящейся к О волн, имеет вид:
"-7И'-7)+*('+7)1- <52>
Задача
26. Написать уравнение цилиндрической волны и его решение.
§ 6. Сложение нескольких волн, распространяющихся
в одном направлении. Линейно и эллиптически
поляризованные волны. Групповая скорость
а) Случай, когда фазовая скорость не
зависит от частоты (дисперсия отсутствует).
Если в точке х = 0 величина и — сложная функция времени,
разложимая в ряд Фурье, и дисперсия отсутствует, то процесс
повторяется в каждой точке со сдвигом фазы, соответствующим ско-
3*
67
рости распространения фазы. Для представления такой волны
нужно лишь заменить в ряде Фурье / на t —- . Если величина,
удовлетворяющая воЛновому уравнению, имеет векторную
природу, и этот вектор направлен вдоль оси X, т. е. вдоль
направления распространения волны, то говорят, что имеются чисто
продольные волны. В этом случае картина процесса обладает осевой
симметрией относительно оси X: в плоскостях, перпендикулярных
к оси X, никакое направление не выделено. Если же Х-компонент
вектора равен нулю, говорят о чисто поперечных волнах. Пусть
фазовая скорость двух компонентов вектора, перпендикулярных
к направлению распространения, одинакова. Если в точке О сдвиг
фаз между этими компонентами равен нулю (т. е. колебание
линейно, см. § 4), то при распространении волны колебание остается
линейным в каждой точке. В этом случае говорят о линейно
поляризованной волне и называют плоскость, образуемую
направлениями распространения и колебания, плоскостью поляризации. Если
колебание в точке О эллиптично, то при том же предположении о
фазовой скорости оно остается эллиптическим всюду в
пространстве. Мы имеем эллиптически поляризованную волну, частным
случаем которой является волна, поляризованная по кругу.
Рассмотрим теперь случай, когда фазовые скорости двух
компонентов несколько различаются. Представим нашу векторную
функцию точки радиусом-вектором, лежащим в плоскости,
перпендикулярной к оси X:
у = acoso)U - J,
z = bcos<»(t — JL) =bcos*\t—~+x(~ -M.
V V2 J L V! \Vi V2 J J
Сравнение с формулами (30) § 4 показывает, что сдвиг фаз не
зависит от времени, но меняется вдоль оси X (рис. 35). Точки на оси
О Я ЗТ ЗЯ _ 5Ж 3JT 7JT 27Т
Рис. 35. Сложение двух взаимно перпендикулярных
поляризованных волн с различными фазовыми скоростями.
X с равными сдвигами фаз, т. е. с одинаковыми фигурами
колебания (например, прямыми), отстоят друг от друга на расстояние Л,
определяемое из уравнения
«А /- М = 2«, или — = -L_JL# (53)
\ V\ 02 / Л Хх Х2
68
Точно так же при сложении двух противоположно поляризованных
по кругу волн равной амплитуды, но с различными фазовыми
скоростями мы получим сдвиг фаз, зависящий от координаты, Но
согласно результатам § 4, два колебания такого рода при сложении
всегда дают линейное колебание и положение оси колебания
определяется сдвигом фаз. Если последний меняется от точки к точке,
это значит, что ось колебания, а с нею и плоскость поляризации
постепенно поворачиваются вокруг направления распространения.
б) Случай, когда имеется дисперсия, т. е.
фазовая скорость зависит от частоты. Если
парциальные колебания, содержащиеся в сложном колебательном
процессе, распространяются с различными скоростями, то в общем
случае при наложении всех этих колебаний получается
непериодический процесс, о котором мало что можно сказать.
Но если составляющие колебания близки друг к другу,
получается процесс, который легко описать. В простейшем случае
речь идет о сложении двух мало отличающихся по частоте
колебаний равной амплитуды, которые дают модулированное колебание
(биение). Пока отсутствует дисперсия, модуляция
распространяется, разумеется, с той же скоростью, что и несущая волна. Если же
имеется дисперсия, то мы получаем другую скорость, называемую
групповой. В самом деле, пусть ®х = со + Да) и vx = v -|—-Доь
do)
Тогда модулированная волна имеет вид:
F (*, t) = COS U)! (t — — ^-(-COSO) lt——\ =
■'-[?K)+r('-T)HfH)-7H)J'
В аргументе первого косинуса с достаточной точностью можно
положить иг = (о и vx = v:
'м-««-('~)«[т'-т(^--гН-
Пренебрегая членами высшего порядка малости, можно написать:
<0! о) /1 <о dv \ д
Vi V \ V V2 do/
Тогда
F(*,0 = 2cosy(/— ^-)cosu> // М,
где для краткости мы положили
J jl± ^ d (~) = d (у) = J_
v v2 do» doo dv V *
69
Смысл этого выражения следующий. Имеется волна частоты ш.
Ее амплитуда испытывает периодические колебания с частотой Дсо,
также распространяющиеся в форме волны1. Но в то время как
фаза волны распространяется со скоростью v, скорость
распространения колебания амплитуды (групповая скорость) V
определяется соотношением
(54)
Выразим групповую скорость V еще через X, считая X независимой
переменной. Так как v/l=*v, формулу (54) можно переписать в виде:
V*=-
dv
ш
— X2
dl
Дифференцируя формулу (45) по X, получим:
dv dv
Подставляя отсюда в предыдущую формулу выражение для X —- и ис-
ак
пользуя еще раз формулу (45), получим2:
dv
(54')
Групповая скорость V в общем случае совпадает со скоростью
распространения сигнала. В самом деле, если в точке х = 0 мы
имеем колебательный процесс, начинающийся в момент / = 0 и
кончающийся при t = Ту то этот процесс, как и всякая
непериодическая функция, может быть представлен с помощью непрерывной
последовательности простых гармонических функций (см. § 2).
Если время Т не очень мало, то получается узкая полоса
боковых частот, для которой при не слишком большой диспер-
1 Так как нас интересует только абсолютная величина амплитуды, час-
тота равна Aw, а не — (ср. стр. 61).
2 Выражения для фазовой скорости v и групповой скорости V принимают
особенно простой вид, если вместо длины волны X ввести волновое число
2тс to du)
k = -— ; таг да v == — и к= —-- . (Прим. перев.)
Л к dk
70
сии1 можно считать величину — постоянной. Как при суперпо-
зиции двух мало отличающихся отдельных волн получается
модулированная волна, так и при суперпозиции непрерывной
последовательности еГолн в нашем случае в каждой точке возникает
ограниченное во времени колебание. Поэтому скорость распространения
такой группы волн также равна V. Сигналы можно давать, только
включая или выключая колебательный процесс (отдельные горбы
или впадины неограниченной волны не могут служить для передачи
сигналов). Поэтому V является скоростью распространения
акустических или оптических сигналов.
Задача
27. Как должна зависеть фазовая скорость v от v, чтобы групповая
скорость V была обратно пропорциональна фазовой скорости?
§ 7. Сложение волн одинаковой частоты,
распространяющихся по разным направлениям.
Стоячие волны
а) Суперпозиция двух волн,
распространяющихся в противоположных
направлениях. Пусть
их = А е \ v }
— волна, бегущая вдоль оси X в положительном направлении, и
щ = Ае^и)
— волна такой же амплитуды, распространяющаяся вдоль оси X в
отрицательном направлении. Их сумма равна
=2i4cos( [-— е v 2 J =2Л cos I j—J e K 2 \
Это значит, что Аены+Щ) представляет собой колебание,
имеющее во всем пространстве одинаковую фазу. Благодаря множителю
1 Короткий цуг волн в среде с большой дисперсией быстро
расплывается, так как составляющие его синусоидальные колебания различной частоты
распространяются с разными скоростями t/. Длительность и форма
колебаний в какой-либо точке пространства оказываются зависящими от расстоя-
ния, пройденного группой волн. Таким образом, термин «групповая скорость»
утрачивает свой буквальный смысл. (Прим. перев.)
71
cos (— + "~) амплитуда является периодической функцией от х.
Период абсолютной величины амплитуды составляет — = — •
Существенная особенность бегущей волны — конечная скорость
распространения фазы — полностью утрачена. Поэтому такое
явление называется стоячей волной. Если амплитуды складываемых
волн не одинаковы, то на стоячую волну накладывается волна,
бегущая в том же: направлении, что и волна с большей амплитудой.
Амплитуда ее равна разности амплитуд складываемых волн.
б) Суперпозиция двух плоских волн,
распространяющихся под углом друг к другу.
Часто встречается, особенно в оптике, случай, когда плоская вол-
Рис. 36. Суперпозиция падающей и отраженной
волн при наклонном падении. Косинусоида
показывает распределение амплитуд (отрицательная
амплитуда означает скачок фазы на я).
на падает на плоскость и отражается от нее. Выберем систему
координат так, чтобы эта плоскость была координатной плоскостью XY.
Угол, который составляет с осью Z нормаль п к фронту волны,
обозначим а. Пусть п лежит в плоскости YZ (рис. 36). Тагда нормаль
п' фронта отраженной волны, согласно законам оптики и акустики,
тоже лежит в плоскости YZ и составляет с осью Z угол а.
Уравнение плоской волны, бегущей в направлении единичного вектора
В, согласно (48'), имеет вид:
и = Ае к v J = i4exp *и> I/
X COS a + У COS ft + COS 7
V
В нашем случае (см. рис. 36)
n = sinaj — cosak; n' = sin a j + cosak .
Суперпозиция обеих волн дает:
у sin a»— г cos a\ t - . I, i/sina+axosa
ux~\"Ub**Aexpm(t
«= 2A exp | to L
t
у sing
]4~ A exp fa(t -
))-cos(—)'
ь
(56)
72
т. е. волну, бегущую вдоль оси Y в направлении биссектрисы угла
между двумя нормалями, и фронт которой модулирован по
амплитуде с периодом —. Фазовая скорость этой комбинированной волны
cos а
равна -2-*. При а ^ 0 мы снова получим стоячую волну.
sina
Глава III
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Конформное отображение плоскости на плоскость
Многие задачи теоретической физики особенно просто решаются
методами теории функций комплексной переменной. Поэтому мы
приведем здесь краткий вывод некоторых наиболее часто
применяемых теорем теории функций. Тот, кто желает познакомиться с
более строгим их обоснованием, должен обратиться к учебникам
по теории функций1.
Если аргумент функции / — комплексное число z = х + iy,
то и значение функций f(z), вообще говоря, тоже будет
комплексным числом w = и + iv. Представим комплексное число z точкой
на Гауссовой числовой плоскости, а комплексное число w —
точкой на другой числовой плоскости. Тогда функция /(£)
устанавливает соответствие между точками z-плоскости и ^-плоскости,
которое мы назовем отображением. Функция f{z) называется
регулярной в тех точках, где ее значение w конечно и, кроме того, предел
f'(z)=lim ?* + ь*)-Пг) (1)
д2-о Дг
конечен и не зависит от способа приближения к точке г. Мы
утверждаем, что функция w = /(г), регулярная в некоторой области
плоскости г, отображает эту область на плоскости w, причем это
отображение конформное, т. е. малые фигуры преобразуются в
себе подобные, и углы сохраняются (за исключением точек, в
которых f'{z) = 0). Для доказательства рассмотрим в плоскости z
малый треугольник, образованный точками г0; г0 + Дх2; г0+Д2г
(рис. 37). В плоскости w этим точкам соответствуют точки w0;
w0 + &xw = a>0 + /'(zD)AiZ; ^о+Д2^ = оУо + /'(2о)Л22. Таким
образом, величины Axw и A2w получаются умножением комплексных
чисел AjZ и А2г на одно и то же комплексное число f'(z0). Но это
и означает, что А^и Д2г поворачиваются на один и тот же угол
1 См. например, Привалов И. И», Введение в теорию функций
комплексного переменного, йзд* 9, М,, 1954. (Прим. ред.)
73
и растягиваются в одинаковое число раз1. Итак, подобие
треугольников доказано. Следовательно, при отображении все углы
сохраняются. Поэтому отображение, осуществляемое функцией w =
= /(г), называется конформным. В плоскости г два семейства
прямых х = const и у = const образуют прямоугольную
координатную сетку. В силу конформности этим прямым в плоскости w со-
У
0
Плоскость г
цг0+/>2г
Уг0+л,г
*Г
W0 + L2 W
Плоскость w
w0+&,w
Рис. 37. Конформное отображение.
ответствуют два семейства взаимно ортогональных кривых. В
качестве примера рассмотрим функцию
1 iz -iz 1 ix-y I -ix+y
^-{-ш = до = cosz = — (е -\-е )=— е ~r-ze =
т. е.
= ch у cos х — i sh у sin x,
и = ch у cos x, v = — sh у sin x.
Плоскоеть 2
I I I
ХХХХХХХХХХЛ
I ., J.O.
% % J% ff/J
I I i
«XXXXXXXXXl
» i
ч- \ '
+ \ .JU»
Плоскость iv
./
.+**•
\
\
/■
j
i
V/
♦/ Г
/ - - J
-/
/ v
./
__j4k#'\^ *7
>/ 4«
V,
* \
Рис. 38. Отображение w=cos z.
1 При '.умножении комплексного числа zi = рхб/ср1 на другое
комплексное число гг = р2б^3 радиус-вектор числа Zi поворачивается на
угол ср2 и растягивается в р2 раз: z1z2=p1p2e'(<Pr*~<Pa).
74
Исключая х или t/, получим уравнения
_*1+_е_в1н -£ г—I.
ch2t/ sh21/ cos2 л- sin2*
Следовательно, прямые х = const отображаются на плоскости до
в гиперболы с фокусами —1 и + 1> а прямые, параллельные оси X
(у = const), — в эллипсы с теми же фокусами (рис. 38). Как
известно из аналитической геометрии, эти софокусные конические
сечения образуют ортогональную систему. Полоса плоскости г
между х = 0 и х = я отображается на всю плоскость w. Для
отображения всей плоскости z потребовалось бы бесконечно много
листов для плоскости w.
Задача
28. Рассмотреть отображение w = г -\ *
z
§ 2. Условия Коши — Римана и уравнение Лапласа
И вещественная, и мнимая части функции /(г) = w = и + to
являются функциями от двух переменных х и у. Однако две
произвольно взятые функции и(х, у) и v(x, у) нельзя рассматривать,
вообще говоря, как вещественную и мнимую части некоторой
функции комплексной переменной. Функции и и v, происходящие от
одной комплексной функции, удовлетворяют особым условиям.
В самом деле, обозначим производную функции / по ее аргументу
через /'(г).
Так как и + iv = / (х + iy) = / (z) и — = 1, ~- == U то
длг #г дх
(2)
Умножив первое уравнение на i и приравнивая левые части,
мы получим дифференциальные уравнения Коши — Римана:
(3)
которые должны связывать функции и и v. Но каждая из функций
и и v сама по себе тоже не может быть выбрана произвольно. В
самом деле, если продифференцировать первое из уравнений (3) по х,
ди
— =г
дх
ди
-—- ~~;
ду
ди
——
ду
i ■ ■
до
_-.
дх
75
а второе — по у и сложить их, мы получим дифференциальное
уравнение Лапласа:
^ + ^=Да = 0. (4)
Дифференцируя первое из уравнений (3) по у% а второе — по х и
вычитая его из первого, получим:
дх* 1 ду* '
Таким образом, как вещественная, так и мнимая части
комплексной функции ад удовлетворяют уравнению Лапласа: Дм = 0 и
Ду = 0.
§ 3. Линейные интегралы в комплексной плоскости.
Интегральная теорема Коши
В плоскости комплексного переменного составим интеграл
"f{z)dz
вдоль кривой С от точки Р0 ДО точки Рг (рис. 39). Оказывается,
интеграл вдоль любой другой кривой С между этими точками имеет
такое же значение, если в области, заключенной между двумя
кривыми, функция /(г) регулярна, или, что то же самое: интеграл
по замкнутому контуру равен нулю, если функция регулярна в об*
ласти, ограниченной контуром. Для доказательства выделим
вещественную и мнимую
частей f (z) dz = ф(и + iv) (dx + idy)=* £(udx — vdy) -f- * ф (vdx+udy).
Полагая в первом интеграле f(x = u, Ky=* — vt а во втором
К'х = v, К'у= и, можно записать их в виде:
ф К • ds и <£ К' • ds.
Преобразуя их по теореме Стокса, получим:
фК' • ds= J rot К' • di - Г J Ы-^Uxdy
(df имеет только Z-компонент). Но подынтегральные выражения
в двойных интегралах равны нулю в силу уравнений Коши — Ри-
мана (3). Теорема доказана. Далее можно показать, что если
функция имеет особенность внутри области, ограниченной контуром С,
и поэтому интеграл по контуру С не обращается в нуль, то
интеграл по любому другому контуру С будет иметь такое же значение,
76
если в области, заключенной между кривыми С и С, функция /
регулярна. Действительно, если кривые С и С ограничивают
область, в которой функция /, а с нею и и v регулярны (рис. 40),
то к ней можно применить предыдущие рассуждения1. Но при
этом следует иметь в виду, что контур области должен обходиться
так, чтобы ее внутренняя часть оставалась все время слева.
Поэтому направление обхода внутренней кривой С должно быть
обращено. Если же кривые обходятся в одинаковом направлении,
то
с с
Итак, если внутри контура С имеется лишь одна особая точка z0,
мы можем стянуть контур интегрирования в малую окружность
с
Ра
Рис. 39. Линейный
интеграл в.
плоскости комплексного
переменного г.
Рис. 40.
Обход вокруг
особой
точки z0.
Рис. 41. К
вычислению интеграла по
контуру,
окружающему особую точку.
радиуса р с центром в точке г0. В большинстве случаев особенность
состоит в том, что в точке г0 функция имеет полюс конечного
порядка /г, т. е. ее разложение в степенной ряд в окрестности точки г0
содержит члены с отрицательными степенями г—г0 не выше я-й:
(г — го)""1, ..., (г — z0)~n. Но легко показать, что значение
интеграла определяется только членом с (г — г0) К
В самом деле,
положим:
z — z0 = petcp, dz = ipe{<?dy
(рис. 41). Тогда
j>(z-z0)»dz = j*p'
2тс
/*-H Л*+\Щ
rt-h 1 L Jrt
1 Применение теоремы Стокса станет математически корректным, если
обе кривые связать линией разреза, которая при интегрировании по контуру
проходится дважды в противоположных направлениях и поэтому не вносит
вклада в интеграл. Производя разрез, мы получаем односвязный контур,
ограничивающий область.
77
Вследствие периодичности комплексной показательной функции
интеграл обращается в нуль при всех п Ф — 1. Но при п = — 1
"£i^ = 2«i. (5,
!МИ
ре'*
Итак, если внутри контура интегрирования заключена особая тон-
ка z0 функции /, то интеграл по замкнутому контуру равен
умноженному на 2ni коэффициенту при (z — z0)~l в разложении функции
f в ряд в окрестности точки г0. Этот коэффициент называется
вычетом функции / в точке г0. Если контур охватывает несколько
особых точек, то легко видеть, что интеграл равен умноженной
на 2ni сумме вычетов в особых точках. Если обходится точка z =
1 л dt
= оо, то делают подстановку г = —, dz = , в
результате которой обход бесконечно удаленной точки сводится к обходу
начала координат. И в этом случае важен коэффициент при z~~ly
потому что при указанной подстановке член с г"""1 даст под
интегралом член, пропорциональный Г"1, т. е. — = .
г t
Задача
29. С помощью теоремы Коши вычислить интеграл
f 4<р
■Jr
_ . -f-e coscp
0
Указание: выразить cos <? через et(? и ввести новую переменную г = Л
Глава IV
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
И ЕЕ РЕШЕНИЕ
§ 1. Постановка задачи
В дифференциальном исчислении рассматривается задача о
нахождении тех значений независимой переменной х, при которых
данная функция у = f(x) имеет экстремальное значение. Как
известно, необходимым условием экстремума функции является
обращение в нуль первой производной. Аналогично для функции
нескольких переменных необходимое условие экстремума состоит в
обращении в нуль всех частных производных -s ~, ... .
Гораздо ду
78
до труднее решить следующую задачу. Дан определенный
интеграл, у которого подынтегральная функция зависит от х, у и
первой производной у':
/- ^F(xtytyf)dx.
Для какой функции у(х) значение этого интеграла достигает
максимума или минимума? В отличие от простой задачи на экстремум
функции здесь неизвестна сама функция у(х); она должна быть
определена так, чтобы интеграл принимал экстремальное значение.
Такого рода задачи очень часто встречаются как в геометрии, так
и в физике. Вот простейший пример: найти кратчайшую линию,
соединяющую две данные точки Р0 и Pv На плоскости это прямая.
Но если обе точки и соединяющая их линия должны лежать на
произвольной заданной поверхности, то уравнение этой так
называемой геодезической линии может быть получено лишь
посредством решения поставленной выше задачи на экстремум
интеграла, которая является основной задачей вариационного
исчисления.
§ 2. Вывод уравнения Эйлера — Лагранжа
Попытаемся свести основную задачу вариационного
исчисления к определению экстремума известной функции. Для этого
рассмотрим, помимо у, близкие к ней функции у от х, которые мы
получим следующим образом. Пусть е — малая величина и -ц(х) —
произвольная непрерывная и дифференцируемая во всем
интервале интегрирования функция от х, с непрерывными же
производными. Подставим в интеграл вместо у и уг близкие функции у' = у -f
+ щ, у' — у' -\- £7l'- Но при этом надо потребовать, чтобы
пробные функции у на концах интервала^
интегрирования совпадали с функцией у(х)
(рис. 42), т. е. ограничить произвол в
выборе функции т] условием, чтобы на
концах интервала она обращалась в нуль. В
самом деле, например, при сравнении
различных кривых, соединяющих две данные
точки, все конкурирующие кривые
должны проходить через обе эти точки.
После подстановки пробных функций в
интеграл / он станет функцией от е. Условие
экстремальности интеграла при у = у(х)
сводится теперь к тому, что функция
/ (г) должна иметь экстремум при е= 0:
Рис. 42. Близкие
функции.
/ (е) = j F (х, у + £ т), У' + е V) dx = Extr (при е — 0).
(1)
79
Таким образом, мы свели задачу к простому определению
экстремума заданной функции. Условие экстремума гласит;
(<LL) =
0. (2)
Разложим стоящую под знаком интеграла функцию F в ряд
Тейлора по степеням е:
/(*) = |{/?(х,г/,/) + б7]^4-£^^ + члены се*,г*, ...}d*. (3)
*0
Здесь допустимо дифференцирование по е под знаком интеграла,
которое дает:
L ш* И 4^L+Y—+ члены с e,e*t ... Itfr. (4)
4
*,
Это выражение должно обращаться в нуль при е = 0. Члены,
содержащие е, обратятся в нуль автоматически. Поэтому в качестве
условия экстремума получаем:
Второй аден можно преобразовать интегрированием по частям:
х0 х0 х0
Здесь первый член в правой части обращается в нуль, так как
переменная т) на границах равна нулю. Таким образом,
0=(*L) aK\dP^y^^±dP^y^]dx. (6)
\ ds Д=о J Ч ду dx ду' J w
х0
Но ввиду произвола в выборе функции тг) интеграл будет обращать*
ся в нуль для любых функций т\ лишь в том случае, если множи*
тель в скобках в подынтегральном * выражении равен нулю. Мы
пришли к дифференциальному уравнению Эйлера — Лагранжа:
d dF (х. у, у') dF(x, у, у') ^q
dx ду' ду
(7)
которому должна удовлетворять функция у, дающая интегралу
экстремальное значение.
Значительно более трудное исследование рода экстремума
(максимум или минимум) встречается в физике сравнительно редко,
поэтому нам нет надобности рассматривать его здесь. Зато весьма
важен случай, когда F является функцией нескольких зависимых
переменных yk и их производных. По аналогии с приведенным
выше рассуждением введем близкие функции:
Уг = У1 + £1%; •••; Ук = Ук + ч%~л у/=*уг + ьу>
причем опять % должны обращаться в нуль на границах
интервала интегрирования. Тогда интеграл становится функцией от /
переменных ev ,.., e/t В этом случае условие экстремума состоит
в обращении в нуль частных производных
dl («lt«„ ... ,е/) ?ъ (*L_±*L)dx9
fck J \дУк dx ду' I
х0 vk
при sk = 0. Отсюда видно, что каждая зависимая переменная yk
удовлетворяет тому же самому уравнению Эйлера — Лагранжа:
f^-?=° »-Ь2 /).
dx dyk dyk
При малых е разность
'(*)-/(0) . . .
называют обычно «вариацией» интеграла и обозначают
(JLL)
\ dz /е«0
обозн
Ь J F (*, у, у') dx.
Вместо (1) пишут уравнение
Ь j> (х, у, у') dx=> j IF(х, у, у') dx = 0,
Xq Xq
выражающее обращение в нуль вариации, для чего функция у, разумеется,
должна удовлетворять уравнению Эйлера — Лагранжа, как и для
уравнения (1). bF называется вариацией функции F.
Из этой формы вариационной задачи легко получить важное следствие.
Пусть F — полная производная от функции G (х, у):
F(x,y,y')=>"jjG(x>y)-
Тогда интеграл вычисляется непосредственно:
) FdX " I d7 *** = ° (Xl'Vl) ~ °(ДГ" Ул)'
81
Так как на границах варьированная функция совпадает с первоначальной,
то при любой зависимости у от х
Ь j Fdx^bG (хъух) — Ь G (х0,у0) = 0.
Таким образом, требованию обращения в нуль вариации интеграла в этом
случае удовлетворяет любая функция у(х) и экстремальная задача теряет
смысл.
Задача
30. Доказать, что если в интеграле, экстремум которого ищется,
подынтегральная функция F не зависит явно от х, то первый интеграл уравнения
Эйлера имеет вид:
dF
F —#' —= const.
ду'
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
МЕХАНИКА
Глава I
МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
§ 1. Основные понятия кинематики
В этой главе будет рассмотрено движение материальной
точки. Так называется тело, собственными размерами которого по
сравнению с другими расстояниями, встречающимися в
интересующей нас задаче, можно пренебречь, т. е. его
можно схематически представить как точку, ^Jz^v+Uy
обладающую массой (см. § 2). Положение ^/0^п^т
материальной точки мы будем задавать ра- 4уг +аг ч q
диусом-вектором г, отложенным от непод- jf J^\ ° гр ф
вижной точки О; иногда при вычислениях *^*+*А й*
удобно разложить г на компоненты. Пусть ' б
положение движущейся материальной tojjkh
Р в момент / определяется радиусом-векто- ^е^Лл^и^'
ром г, а в момент / + Д^ — радиусом-векто- ки: aj траектория,
ром г-|-Аг(рис. 43, а). Предел отношения б) годограф вектора
Дг А . л скорости.
— при А/ -> 0 называется скоростью, т. е. ско- г
рость — это вектор:
Направление вектора скорости определяется бесконечно малым
вектором Дг, который в пределе направлен по касательной к
траектории. Сам вектор v в общем случае тоже является функцией от
времени. Мы получим наглядную картину изменения скорости,
откладывая векторы v как радиусы-векторы от нового центра Ог
(рис. 43, б). Каждому моменту времени при этом соответствует
определенное положение конца радиуса-вектора v. Когда
материальная точка Р движется по траектории в реальном пространстве,
конец радиуса-вектора v описывает кривую, называемую
годографом вектора скорости.
1 Дифференцирование по времени мы часто будем обозначать точкой над
буквой.
83
Ускорением называется предел приращения вектора v,
отнесенного к единице времени, т. е. ускорение является производной
вектора скорости по времени: >■
dv • dv2
а=— =v = —- г. (2)
dt dt* '
Так как v — радиус-вектор точки годографа, ускорение самой
материальной точки равно скорости движения конца
радиуса-вектора v по годографу.
Движение называется равномерным и прямолинейным, когда
вектор v постоянен. В случае криволинейного движения
постоянной может быть только абсолютная величина скорости; при этом
материальная точка за равные интервалы времени описывает
участки траектории одинаковой длины.
а) Разложение ускорения на касательную
и нормальную составляющие. Если обозначить,
как на стр. 21, единичный вектор касательной через t и
абсолютную величину v через vt то
dv dv ds . /оч
V == — = = V t (3)
dt ds dt w
Дифференцируя, получаем:
dt ^ ds dt dt* ^ p '
(ср. с формулой (32) на стр. 22). Здесь п — единичный вектор
нормали, направленный в сторону вогнутости кривой, р— радиус
кривизны. Таким образом, величина касательного ускорения, т. е.
компонента, направленного вдоль траектории, равна:
dv d2s /сч
а -д. __ 5= — (5)
' [dt dt* v '
Величина нормального ускорения, направленного перпендикулярно
к траектории в сторону ее вогнутости, составляет
а„ = —. (6)
Р
Из формулы (4) видно, что вектор ускорения всегда лежит в
соприкасающейся плоскости траектории.
б) Разложение ускорения в
прямоугольных координатах:
r = *i-f#j + zk,
r = il + yj + zkt (7)
г =xi+yj-\- 2k,
84
или:
«*=*. ay = #, a^ = г. w
в) Разложение ускорения в полярных
координатах г, у на плоскости. Введем два взаимно перпендикулярных
единичных вектора ег и е , причем ег направлен в сторону возрастания г,
а е — в сторону возрастания ? ; в отличие от векторов i, j, k их
направление изменяется со временем. Так как производная
единичного вектора перпендикулярна к нему» то
W~** dt 9 dt "~ *r dt
(рис, 44). Дважды дифференцируя по времени выраже- Рис. 44. Разложе-
ние ние скорости и ус-
л корения в поляр-
получим: ^ ... ных координатах
r»rer + fers=r er+?r е? , на плоскости.
r=*rtr+ г er+i'ref + f ге9+у ге9 = (г — г ?2) е, +(?г + 2 у г ) t?
откуда
*-;-'?•. о)
§ 2. Основные законы механики Ньютона
а) Закон инерции (первый закон) гласит; тело, не
испытывающее никакого внешнего воздействия, продолжает оставаться
в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.
Этот закон вовсе не очевиден; напротив, он представляет собой
гениальную экстраполяцию человеческого опыта, В самом деле,
мы не можем ни одно тело до конца изолировать от внешних
воздействий, так как нельзя исключить Землю и звезды с их
гравитационным действием.
б) Сила и ускорение. Если мы хотим изменить
состояние движения тела, например шара, покоящегося на
горизонтальной плоскости, и воспользуемся для этого своими мускулами, то
потребуется известное напряжение, тем большее, чем больше
желаемое изменение скорости. Это напряжение, которое мы называем
силой, как непосредственное ощущение невозможно определить
точнее. Направление ускорения определяется направлением
действия наших мускулов. Следовательно, сила, как и ускорение,
является векторной величиной. Но повседневный опыт говорит
нам, что, для того чтобы вызвать одинаковое ускорение а, могут
потребоваться весьма различные силы в зависимости от природы
тела (например, в зависимости от того, будет наш шар железным
85
или деревянным). И, наоборот, действие одной и той же силы F
зависит от природы тела, но при этом направление ускорения у
всех тел одно и то же. Мы должны, следовательно, приписать еще
каждому телу некоторую скалярную величину, которую мы
называем инертной массой т тела. Опыт показывает, что эти величины
связаны уравнением
с d\ d4
F = ma = m — = m —
dt at*
(10)
Будем исходить из следующих основных единиц измерения
физических величин: 1 см для длины, 1 г для массы и 1 сек для времени.
Не вводя в (10) никакого множителя пропорциональности, мы тем
самым сделали определенный выбор единицы силы. Сила, котсдоая
телу с массой в 1 г сообщает ускорение 1 см/сек2, называется диной.
В уравнении (10) молчаливо предполагается, что инертная
масса тела является его неизменным индивидуальным свойством.
Более общая форма записи основного (второго) закона имеет вид:
Fd i ч dK
= — (mv) = —
dt v ' dt
(10a)
Введенная здесь величина K~mv называется количеством движения.
Второй закон механики Ньютона гласит: сила равна изменению
количества движения за единицу времени.
Повсюду в природе мы наблюдаем изменения состояния
движения тел, происходящие и без вмешательства наших мускулов.
Причиной их мы считаем «силы», которые действуют на тела таким же
образом, как наши мускулы в приведенном выше примере.
Исследование этих сил, которые могут быть весьма разнообразной
природы, является одной из основных задач физики. Но в механике
мы считаем силы заданными и занимаемся вычислением их действия.
Если на одно тело действует несколько сил, то каждая из них
вызывает соответствующее ускорение:
F, = /па^
Но общее ускорение равно векторной сумме отдельных ускорений,
а инертная масса т — одна и та же. Поэтому
та
= /и 2 *i =%mat= £ F* = F-
Таким образом, мы можем все силы F/t приложенные к одной
материальной точке, заменить их равнодействующей F.
Основной закон механики Ньютона, как и большинство
физических законов, имеет вид дифференциального уравнения.
Изменение количества движения за конечный промежуток времени
можно получить, исходя из заданных начальных условий, повторным
применением этого закона, т. е. интегрированием
дифференциального уравнения. Особая сила методов теоретической физики заклю-
86
чается именно в формулировке законов природы в форме
дифференциальных уравнений. Закономерности падения тел, полета
подброшенного тела, движения планет можно вывести из единого
закона; это обусловлено тем, что столь разнообразные явления в
каждый малый промежуток времени подчинены одинаковым законам.
В большинстве случаев, чтобы проинтегрировать уравнение (10),
его следует представить в подходящей для данной задачи системе
координат. В общем случае при этом получается система трех
дифференциальных уравнений второго порядка. Так как общее
решение такой системы содержит шесть произвольных постоянных,
процесс будет определен однозначно, лишь когда известны эти
постоянные. Последние фиксируются заданием векторов начального
положения и начальной скорости.
в) Закон равенства действия и
противодействия. Этот непосредственно очевидный закон имеет
особое значение в применениях к сложным системам. Он гласит: если
тело А действует на тело В с силой F, то В действует на А с
равной по величине и противоположно направленной силой — F.
Наглядным примером этого является перетягивание каната.
Задачи
31. На материальную точку действует периодическая сила F = Asin<oJ.
Найти движение точки при различных начальных скоростях.
32. На поверхности Земли на каждое тело действует сила,
пропорциональная его массе т и направленная к центру Земли. Если ограничиться
небольшой областью, то эту силу можно считать постоянной, а Землю —
плоской. При этих предположениях проинтегрировать уравнения движения
при различных начальных скоростях и начертить траектории движения и
годографы скорости (теория свободного полета тела в безвоздушном
пространстве).
§ 3. Интегралы от силы по времени и пути. Работа и энергия
а) Интеграл от силы по времени. Действие
силы, приложенной к материальной точке в течение некоторого
промежутка времени, можно оценивать двумя разными способами,
каждый из которых имеет определенный физический смысл. Во-впер-
вых, силу можно умножить на время, в течение которого она
действует. Во-вторых, ее можно умножить на перемещение, которое
она вызывает, т. е. скалярно умножить на вектор. Если сила
переменная, то вместо умножения на конечное время следует взять
сумму произведений мгновенных значений силы на элементы времени,
т. е. интеграл l?dt\ аналогично следует поступить и во втором
случае. Интеграл по времени может быть записан с помощью основного
закона механики в виде:
f-S* —(г),-"й^-к-к' (И)
87
Таким образом, интеграл от силы по времени^ называемый
импульсом силЫ) равен полному изменению количества движения,
Благодаря уравнению (11) количество движения т— иногда называют
dt
тоже импульсом, хотя первоначально этот термин относился только
к левой части уравнения. Уравнение (11) оказывается особенно
полезным в случае сил, которые хотя и очень велики, но действуют
лишь очень короткое время А/, причем произведение FA/ остается
конечным» Следовательно, они вызывают конечное изменение
количества движения, Для такого рода кратковременных сил,
называемых ударными, нам не требуется знать точную зависимость силы
от времени. Изменение количества движения дает нам сразу
произведение TAt, где F — среднее значение ударной силы.
б) Интеграл от силы по пути. Работа,
производимая силой F при перемещении материальной точки на rfr,
определяется как скалярное произведение F * rfr1. На конечном пути
вдоль кривой С работа определяется как предел суммы
элементарных работ F • rfr, т* е. она выражается интегралом
'1
4=jF.dr. (12)
Го
Подставим в это выражение вместо F равный ему, согласно основ-
ному закону механики, вектор т — и перейдем к
интегрированию по времени с помощью соотношения dv —~Л.
dt
Мы получим:
а - fV.i;« _ fe. t«_f „ [i . (*)■] _ f w_ $ . (I3)
H *o $o
Полная работа силы равна, следовательно, разности между
конечным и начальным значениями выражения — mv2, которое
называется кинетической энергией материальной точки. Работа силы
на данном пути равна разности кинетических энергий в конечном
и начальном состояниях. Из определения работы и основного
свойства скалярного произведения следует, что сила, которая все
время перпендикулярна к траектории материальной точки, не может
производить работу и, следовательно, не может вызвать
изменение кинетической энергии. Такая сила может изменить лишь
направление скорости, но не ее абсолютную величину.
1 Дифференциал пути мы обозначаем здесь dv вместо rfs, чтобы отметить,
что положение материальной точки определяется радиусом-вектором г.
88
Задачи
33. На стакане лежит карта, а на ней—монета. Почему при медленном
снимании карты монета остается на ней, а при быстром выдергивании па*
цвет в стакан? (Предполагается, что трецие твердых тел не зависит от
скорости,)
34. Связано ли с произведенной работой ощущение усталости, которое мы
испытываем, когда держим груз на вытянутой руке?
§ 4. Консервативные силы. Потенциал
Силы можно разделить на два больших класса, смотря по тому,
зависит ли произведенная ими при перемещении тел работа от
вида пути. Это различие можно характеризовать и несколько иначе.
Пусть материальная точка Р, находящаяся в
силовом поле, т. е. в части пространства, в
каждой точке которого действует
определенная сила F, перемещается из положения Р0 в
Рг по пути С (рис. 45).. Возьмем интеграл от
силы по этому пути. Если происходит об- Рис. 45. Движение ма-
ратное перемещение из Рг в Р0, то для сил териалышй точки по
первого класса этот интеграл от Рг до Р0 по замкнутому пути,
любому пути С отличается только знаком
от интеграла по пути С, потому что путь С проходится в
противоположном направлении. Следовательно, интеграл по замкнутой
кривой Р^Р%Р^ в случае сил первого класса равен нулю. Силы
такого рода, к которым относится, например, сила тяжести,
называются консервативными. Если в безвоздушном пространстве тело
подбросить вверх по вертикали, сообщив ему определенную
начальную скорость, то оно возвратится в исходную точку с такой же
скоростью, кинетическая энергия его не изменится, на всем пути в
целом не будет произведено никакой работы. Иначе обстоит дело,
когда имеется сопротивление воздуха или жидкости, т. е. добавочные
силы тревдя* В этом случае подброшенное вверх тело
возвращается в исходную точку с уменьшенной скоростью и интеграл фF* dr,
согласно уравнению (13), не может обратиться в нуль. Силы
этого второго класса называются неконсервативными. Классы сил
названы так потому, что в случае сил первого рода механическая
энергия сохраняется (происходит лишь превращение кинетической
энергии в потенциальную и обратно, см. ниже), тогда как в случае
сил второго рода имеет место превращение механической энергии
в другие формы энергии (в первую очередь в теплоту).
Рассмотрение консервативных сил можно упростить, введя так
называемую силовую функцию. Поскольку работа, производимая
консервативным силовым полем при перемещении материальной
точки, не зависит от формы пути, каждую точку поля можно
характеризовать значением работы, производимой при перемещении из
некоторой «нормальной точки» г0 в точку г. Эта величина называет-
С^
89
ся силовой функцией или потенциалом силового поля. Таким
образом, наряду с векторным силовым полем, определяемым в каждой
точке тремя числами, можно ввести значительно более простое
скалярное поле. Обычно берут силовую функцию с обратным знаком
и обозначают эту величину через (/. При малом перемещении dx
U изменяется на dx • gradt/.
Поэтому элементарная работа силы равна:
dA = F • dx = — dil = — grad U . dx, (14)
откуда
F- — gradi/. (140
Итак, любая консервативная сила может быть представлена в виде
взятого с обратным знаком градиента скалярной функции U* Для
конечного перемещения из уравнения (13) получаем:
Г, Г1
Л = | F.dr=lm(t;12-^) = -Jgradt/.dr = f/0-f/1. (15)
Го Го
Обозначая кинетическую энергию — mv% через Г, можем записать:
Тг + иг = Т0 + U0 = const. (16)
Соотношение (16) называется в механике законом сохранения
энергии. Величина U имеет размерность энергии и называется
потенциальной энергией1. Смысл уравнения (16) можно сформулировать так:
сумма кинетической и потенциальной энергии в случае
консервативных сил остается постоянной.
Закон сохранения энергии представляет собой первый интеграл
основного уравнения механики, так как он содержит только v —
первую производную от г. Но основное уравнение, как векторное,
эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям.
Поэтому нужно написать еще два дифференциальных уравнения
первого порядка, чтобы получить все независимые первые интегралы
уравнений движения.
В большинстве случаев, если задано силовое поле F, легко
указать потенциал, градиентом которого является F. Математически
задача сводится к интегрированию системы уравнений;
F =_dU p __dU p dU
дх' ty" ду* 2~~~ дг>
которой можно воспользоваться также для проверки правильности
найденного для U выражения.
1 Слово «потенциал» употребляется также и в переносном смысле, когда
вектор является градиентом скалярной величины, не совпадающей с
потенциальной энергией по смыслу и размерности (например, потенциал скоростей,
электростатический потенциал и др.).
90
Задача
35. Материальная точка удерживается возле неподвижного центра
упругой силой, т.е. силой, пропорциональной удалению г от центра и
направленной к центру. Найти потенциал, соответствующий этой силе.
§ 5. Центральные силы. Теорема площадей
Центральной называют силу, линия действия которой проходит
все время через одну и ту же неподвижную точку О. При этом
величина силы может быть произвольной функцией точки.
Естественно выбрать точку О в качестве начала координат, так что
центральная сила имеет вид F = / (х, у, z) г.
Для центральных сил легко доказать важную теорему, дающую
еще два первых интеграла основных уравнений механики. Умножим
основное уравнение механики векторно на г. Так как F коллинеар-
на г, а векторное произведение двух коллинеарных векторов равно
нулю, мы получим:
0 = т х Sr> или г X ё = О-
dt2 dt2
Первый интеграл этого уравнения имеет вид:
v, dv n
гХ- = 2с. (17)
Действительно, дифференцируя (17), мы получим:
dtx7t+rxdt>-rxdt>-u*
Векторное произведение г X j- имеет простой геометрический
смысл. Абсолютная величина вектора гх* равна удвоенной
площади треугольника, заметаемого радиусом-
вектором за время dt (рис. 46). Разделив эту ^г^
площадь на dt, мы получим площадь, заметаемую J^
радиусом-вектором в единицу времени — так назы- Ot
ваемую секторную скорость с. Таким образом, \rxctr
уравнение (17) выражает постоянство секторной
скорости при действии любой центральной силы рис 46. к оп-
(второй закон Кеплера, или теорема площадей), ^рной^коро-
Кроме того, поскольку произведение г X т* ст
dt
равно постоянному вектору, нормаль к
плоскости векторов г и dx сохраняет постоянное направление, т. е.
траектория является плоской кривой. Поэтому векторное
уравнение (17) представляет только два скалярных уравнения, но эти
91
уравнения вместе с законом сохранения энергии образуют пол*
ную систему первых интегралов уравнений движения.
Вектор L = m [гх~ называется моментом количества дви-
Огсвния (относительно точки О).
Задачи
36. Доказать следующее обобщение теоремы площадей: если
направление силы, действующей на материальную точку, проходцт все время через
неподвижную ось, то теорема площадей выполняется для проекции
траектории на плоскость, перпендикулярную к оси.
37. По заданному уравнению траектории г = / (у) и секторной скорости
с определить вид центральной силы. Воспользоваться уравнениями (9).
(Исторически именно на этом пути был открыт закон всемирного тяготения.)
§ 6. Силы тяготения. Движение планет
Во времена Ньютона были уже известны как эмпирические
факты законы Кеплера, описывающие движение небесных тел. Ньютон
вывел из них закон всемирного тяготения, который гласит: два
тела с массами тг и т% притягиваются друг к другу с силой,
пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между ними:
р^ ~mim2
Г12
(18)
До сих пор мы рассматривали массу тела как меру его инерции,
т. е. как отношение ускоряющей силы к величине ускорения. Здесь
же проявляется совершенно иное свойство — тяготеющая (тяжелая)
масса. Априори ниоткуда не следует, что инертная и тяготеющая
массы должны совпадать, точнее, что отношение инертной и
тяжелой масс должно иметь значение, одинаковое для всех тел. Если
положить это отношение равным единице, то численное
значение ньютоновской постоянной тяготения равно f = 6,67 . 10~~8
с^секГ2 г~~1*
На равенстве тяжелой и инертной масс основана общая теория
относительности. Все экспериментальные попытки найти
индивидуальные отличия этих масс для различных веществ не увенчались
успехом.
Траектории планет солнечной системы, если отвлечься от малых
возмущений, целиком определяются полем тяготения Солнца. Так
как масса Солнца М неизмеримо больше масс всех планет, мы можем
считать его неподвижным и выбрать его в качестве начала нашей
системы отсчета. (Строго говоря, следовало бы рассматривать дви-
92
жение около общего центра масс (центра инерции) (см. гл. II),
который действительно покоится.) На планету массы т действует сила
F=-T^r, (19)
потенциал которой, очевидно, равен
[/=_т^ (20)
Поскольку движение происходит в центральном поле,
траектория будет плоской кривой. Уравнение ее удобно задать в полярных
координатах, выбрав центр Солнца в качестве начала координат.
Первые интегралы уравнений движения записываются при помощи
теорем о сохранении энергии и секторной скорости:
2
Mm
1 гх-
| dt
1 a Mm
=: Г2<р = 2С.
Если мы хотим описать временной ход движения, мы должны
определить г и <р как функции времени, для чего необходимо еще раз
проинтегрировать эти уравнения. Вместо этого мы ограничимся
выводом уравнения траектории, описываемой планетой. Исключим
из указанных двух уравнений время, что легко сделать при помощи
соотношений
dt dr • • 2с * % , «•«
dt a<p ra
(ср. стр. $5). Из закона сохранения энергии получаем:
г* U?j г* г ~~ ^° го '
В этом уравнении легко разделяются переменные г и ?:
« dr
av =
/(
2 2-уМ \ ■ 2*\М 4с^
Введя новую переменную и = -—, получим:
*+с—-Г- 2е,<"
/(■4-^г)
+ 2fM«—4с3иа
Но этот интеграл легко представить в виде арккосинуса:
-I
*r в + I arccos *-«*
Уа + 2Ьх—е*2 l У* ^2+«e *
93
Обращая функцию в правой части и вводя сокращение
l/ 2 2f/M
получим;
1-"^C0S^+C)
4с* 2col
причем ,«-, a .= -.
, Ч2М2
Р
1 — г COS (<p + С)!
(21)
Будем отсчитывать угол <р от положения, при котором г достигает
максимума, т. е. положим С = 0. При этом мы получим известное
уравнение конического сечения в полярных координатах,
отнесенное к фокусу как к полюсу. Итак, мы получили первый
закон Кеплера: траектории тел солнечной системы являются
коническими сечениями, в одном из фокусов которых находится
Солнце.
Траектория будет эллипсом, параболой или гиперболой, в
зависимости от того, будет ли эксцентриситет е меньше, равен или
больше единицы. Подставляя в (21) значения эксцентриситета г и
величины а, мы получим эллипс при
ИЛИ
г
— <—, или — та < -^ •
2 r0 2 ° ^ Го
Для параболы соответственно
—mv = J
2 ° г0
и для гиперболы
2 ° г0 *
Следовательно, в зависимости от того, будет ли кинетическая
энергия меньше, равна или больше, чем абсолютная величина
потенциальной, траектория будет эллипсом, параболой или гиперболой.
Таким образом, в случае эллипса полная энергия отрицательна.
В случае эллипса можно вывести еще следующие соотношения.
Параметр эллипса
р-~-а(1~е2),
а
94
(a — большая, b — малая полуось) согласно уравнению (21),
4с2
равен 4с2/чМ. Таким образом, 1 — е2 =
чМа
Тогда площадь эллипса равна:
cz = vab = гса2 к 1 — е2 = ■ _
У -\Ма
где т — период обращения планеты. Отсюда
*-% ™
Это — третий закон Кеплера: квадраты времен обращения двух
планет относятся, как кубы больших полуосей.
Если для вычисления 1 — s2 использовать не параметр р, а
значение эксцентриситета, получаемое из (21), то, приравнивая оба
выражения, мы получим:
i£i _. 1 _ J^L ( -2 2^м J- Ч2Д12
или
/ 2 2-(М у_т*М* \
A V° г0 + 4с* J
2 ° r0 2a v '
Это означает, что полная энергия Е планеты, двигающейся по
эллиптической орбите, зависит только от большой полуоси. Всем
эллипсам с одинаковыми большими полуосями, в том числе и
окружности, соответствует одна и та же энергия. Эта теорема позволила
упростить некоторые вычисления старой атомной механики.
Отрицательный знак полной энергии получается за счет того, что
абсолютная величина потенциальной энергии превосходит
кинетическую энергию. (По определению потенциала, начало отсчета
потенциальной энергии выбрано так, чтобы она обращалась в нуль на
бесконечности и на конечном расстоянии имела отрицательный знак.)
§ 7. Квазиупругие силы и гармонические колебания
Если тело подвешено на упругой пружине или резиновом
шнуре, то при малых отклонениях от положения равновесия возникает
сила, возвращающая его в это положение. Эта сила
пропорциональна удлинению пружины и направлена в сторону положения
равновесия, которое мы выберем в качестве начала системы отсчета*
Таким образом,
F = — kr.
Мы будем называть все центральные силы такого вида, которые
не обязательно должны иметь упругую природу (см. задачу 38),
квазиупругими силами. Уравнение движения в этом случае
т— + £г = 0. (24)
95
И адесь можно было бы записать первые интегралы с помощью
закона сохранения энергии и теоремы площадей, но это уравнение
легко проинтегрировать до конца непосредственно. Положим:
г = ьех\ тогда г = X2 a eli.
Подставляя эти выражения в уравнение (24), мы получим
«характеристическое уравнение» для X:
тХ2 + £ = 0,
корни которого
Поэтому общее решение уравнения (24), содержащее два
произвольных постоянных вектора:
г=аехр(;/!/)+Ьехр(-*У!ф (25)
или в вещественном виде (ср, стр. 52):
r = Acos/£f + Bsinj/|*. (25')
Положив здесь t *= 0, получим значения векторов А и В:
т. е.
r^roCos/A t + Voy<!Lsiny±t. (25")
Вектор г разлагается, следовательно, на два вектора, один из
которых параллелен вектору начального положения, а другой —
вектору начальной скорости; их абсолютные величины являются
простыми периодическими функциями времени. Чтобы получить
траекторию движения, введем единичные векторы ег и е^,
направленные параллельно г0 и v0. Тогда координаты точки Р в этой
косоугольной системе координат равны:
V
cos]/|*, 4 = vQY%slnY±t.
Исключая t, получим уравнение эллипса также в косоугольных
координатах, причем оси координат являются двумя сопряженными
диаметрами этого эллипса:
Таким образом, траектория материальной точки, на которую
действует квазиупругая сила, является в общем случае эллипсом,
причем векторы начального положения и начальной скорости направ-
96
лены вдоль двух сопряженных диаметров этого эллипса, а силовой
центр находится в центре эллипса. Если направления векторов v0
и г0 совпадают, то колебания будут прямолинейными. Частота
гармонических колебаний, обычно называемая собственной частотой
незатухающих колебаний, определяется, согласно (25), деленным
на 2л; корнем из отношения коэффициента упругости к массе:
2% V .
(26)
Задача
38. Материальная точка, двигающаяся по прямой, находится под
действием электростатической силы притяжения Fx = — ~ и силы отталкивания
X
F2 = + Р/*10 . Найти частоту колебаний, возникающих при малых
отклонениях от положения равновесия х0.
§ 8. Гармонические колебания при наличии трения
Пусть на материальную точку Р действует, помимо
квазиупругой силы, еще сила трения, что имеет место в действительности при
любом колебании. Предположим, что сила трения
пропорциональна скорости материальной точки (это имеет место при движении
точки с малой скоростью в воздухе или в жидкости; напротив,
трение твердых тел друг о друга в широких пределах не зависит от
скорости). Направление силы трения противоположно направлению
скорости. Поэтому действующая на Р сила равна:
Мы ограничимся далее рассмотрением одномерного движения и
обозначим переменную через х. Тогда уравнение движения
«S+p-irt-**-0- <2Т>
Будем опять искать решение в виде:
х=аеи.
Мы получим характеристическое уравнение
тХ2 + рх + ^ = 0.
Его корни
х1== £-+i/J! А и х -_i l/JL-A
1 2т V 4т* т и Л* ~* 2т V Am* m*
Здесь следует различать два случая.
а) р2 > 4 km, В этом случае все величины вещественны и общее
решение при р2 > Акт имеет вид:
2т
х= е
Ы/£-£<)+»«*(-/£-£')]•*»
4 Г. Иос
97
Этот Случай апериодического движений соответствует сильному
затуханию. Материальная точйа медленно бозвращается в положение
равновесий, достигаемое при /=<*>.
В предельном случае Р2 = 4 km тоже поручается апериодическое дви*
жение. На первый взгляд мы имеем только одну постоянную интёгрирсша-
ния (двойной корень характеристического уравнения). Но легко убедиться,
что в этом случае выражение bte1* тоже является решением, так что общее
решение имеет вид:
2т *
(а + Ы) = (а + Ы) ехр
[-VU
(29)
б) р2 < 4 km. Корни комплексные. В пoкaзafeляx имеется
мнимая часть:
/~2т *
Ы<У1-£.<)+*-р(-<У£-£4
Это выражение можно привести к вещественному виду при помощи
формулы Эйлера:
*==* е
2т
(*<»VZ-&'+'*Vi-&>)-
или
,_c.-*'«.(/i-6«_t>
(30)
(Постоянные интегрирования в этом случае будут иными.) Мы
снова получили
гармоническое колебание, но
амплитуда его убывает по
экспоненциальному закону (рис.
47). Эти затухающие коле*
бания обладают
следующими свойствами. Их
частота
= ii/A_ii
2п V т Am?
Рис. 47. Затухающее колебание.
меньше частоты
хающих колебаний
4т2
незату-
2п
1/±.
V т
Отношение двух последовательных максимумов функции (30)
составляет '—" ^^
р=*
2т
(31)
98
Натуральный лбг&рифМ этого отношения называйся логарифмы*
честя декрементом ттухания 8. Если считать, чтз период
колебания % совпадает с периодом незатухающих к#лебаний, что при
малбм занухании не вноеит существенной ошибки, те мы получим
слёДу!оЩёе прбсЙё выражение для логарифмического декремента:
• ■»£'*!&■ «"1
§ 9. Вы>гуЖд6нные колебания. Резонанс
К 6МШ$ которые до сих п$р учитывались при рассмотрении ли-
нейнФРё КЙЩнйя, Д<5бЗШШ еще перябдичёскую вйёШШбю силу:
При й'алцчии т|ёх^шл — *61зиупругой, силы трения и
периодической вййднот силы —* уравнение движения примет вид:
m&±$d-$ + kx==F0cos*t. (32)
Для упрощения обозначений введем собственную частоту
свободного незатухающего колебания:
2 k
0)0 == — ,
m
Тогда
d2x , В dx | 2 F0 A , /ООА
d/2 ' m dt ' ° m v '
Чтобы проинтегрировать это уравнение, воспользуемся следующей
теоремой из теории линейных дифференциальных уравнений: если
g(t) — частное решение неоднородного уравнения и /(/, Л, В) —
общее решение соответствующего однородного уравнения
d2x , § dx , 2 n
dP^m dt~ °
то сумма g(0 + /(ft Л, В) является общим интегралом
неоднородного уравнения. Благодаря линейности уравнения (32'), в котором
нет произведений зависимой переменной и ее производных, сумма
g(t) + /(*> ^i В) удовлетворяет уравнению (32'), в чем легко
убедиться непосредственной подстановкой в уравнение. Так как это
решение содержит две произвольные постоянные, оно является
общим решением. Решение однородного уравнения мы получили в
предыдущем параграфе, Нам осталось найти лишь частное решение
неоднородного уравнения. Так как сила Fa является периодической
функцией с угловой частотой со, естественно искать решение в виде
периодической функции с такой же частотой. Но так как в уравнение вхо-
4* 99
дят как первая, так и вторая производная от х> уравнению нельзя
удовлетворить решением в виде одного синуса или одного косинуса.
Поэтому будем искать решение в виде:
х = р cos utf -J- q sin utf = Vp2Jr Яг cos(orf — <p) ,
где коэффициенты p н q неизвестны. Подставляя это выражение в
уравнение (32'), потребуем, чтобы коэффициенты при sin ™t и cosu>/
по отдельности удовлетворяли уравнению. Мы получим систему
двух уравнений для определения р и q:
р(%—*2) + я- = ->
т т
p- — q (о>о— со2) = 0.
Решая эту систему, получим:
2
m/7o(^o -<*>2) _ Po,F0
р== __° : , q = ^и> f (зз)
m2 (u>* — to2)2 + Э2о>2 m2 (a>* — a,2)2 + paw2
x = Ce
"Km2
"2m
/ 2
(0) -
V 0
cos(]/A.
^0
_(1)2)2+p2u)2
4ffl24
COS (ш/ -
-,) +
]/ m2 (O,2o~a)2)2+p2(02 P ГП (a>o-a>2)
Следовательно, при малом затухании (случай б из § 8) общее
решение имеет вид:
(34)
Первый член представляет затухающее колебание с периодом,
равным периоду собственного колебания при наличии затухания. Он
соответствует процессу включения колебаний, определяемому
начальными условиями, из которых находятся постоянные С и f. Но
это колебание затухает со временем. Второй член представляет
установившееся (стационарное) состояние — колебание с частотой со
внешней силы. При большом затухании (случай а из § 8) первый
член становится апериодическим, а вид второго члена не меняется.
Частное решение, соответствующее стационарному состоянию,
гораздо легче найти, если воспользоваться векторной диаграммой,
которая быстро приводит к цели при отыскании стационарного
решения задачи колебания. Запишем возмущающую внешнюю силу
в виде Fa = F0 el(ot и будем искать решение в виде:
х^аеР"'-**.
100
Подставляя х в уравнение (320 » получим:
\ 1 т [ °) т 9
или:
а ( о) — о)-
т) т
(ззо
Абсолютная величина комплексного числа, стоящего в левой
части, равна:
т
«/<*-«?+*£
(рис. 48). Отсюда
а =
Л)
V
Ш2 (0)^—0)2)2 +рЯ(0»
(ззо
Но комплексные числа в правой и левой частях уравнения (330
должны совпадать не только по абсолютной
величине, но и по фазе, откуда получаем:
tgcp =
ро>
т(соо2_а)2)
(зз,,/)
Рис. 48. Построение
амплитуды и фазы
вынужденного
колебания.
(рис. 48). Таким образом, как сдвиг фаз
между вынуждающей силой и вынужденным
колебанием, так и амплитуда вынужденного
колебания зависят от разности со20 — со2. Сдвиг
фаз при очень медленных колебаниях в пределе
стремится к нулю и возрастает до те для
бесконечно быстрых колебаний, проходя через значение я/2 при со = со0
(резонанс, см. ниже). Если частота вынуждающей силы совдадает
с собственной частотой незатухающего колебания (а не с
собственной частотой реальной системы с затуханием), то говорят о
резонансе1. При полном отсутствии затухания амплитуда при резонансе
обратилась бы в бесконечность («резонансная катастрофа»). Для
построения графика зависимости амплитуды от частоты возмущающей
силы — так называемой резонансной кривой — удобно выбрать в
качестве ординаты квадрат амплитуды. Если взять значение а из
уравнения (33"), то
*2 =
РЧ
тя((0 — w2)2 + ^2
т*
К
'— 0)2^2
+ Р2—2
Точнее, это резонанс скоростей (см. задачу 39).
101
В качестве независимой переменной х возьмем «рассогласование»
© — о)0. Вблизи резонанса положим приближенно
о)/о)0 =1, о>0-{- о) = 2<й, ш0 — о)2 = — 2<*>л;.
При этом получается простая резонансная кривая, изображенная
; на рисунке 49:
} я* /
атах 1/ 1
2¥~
/1
/1 ;
/ '/
^s£/\
l/f
1 \
1 \.
1 _._Z_
Я
зл
4
*
2
Л
4
4mV+p2'
При
4 /п¥ + р2
0 GJ-Ц?
Рис. 49. Зависимость
квадрата амплитуды (за единицу
принято максимальное
значение) и сдвига фалы
вынужденного колебания от
частоты вынуждающей силы.
мы получим
2т т
* = р/2т,
Ьсоо
2* #
ИЛИ 0)-
Окончательно
со0 __ JJ_
(О0
2^
(35)
Итак, мы получили следующую теорему: разность между частотой,
при которой квадрат амплитуды достигает половины своего
максимального значения, и собственной частотой, m.j. полуширина
резонансной кривой, отнесенная к собственной частШе колебания, при-
ближенно равна логарифмическому декременту, деленному на 2л.
Следовательно, чем меньше затухание в системе, тем острее
резонанс. Если сделать те же допущения в формуле (33"')> то мы
получим, что сдвиг фаз на краях резонансной полосы составляет -~
Зл;
Задача
39. Если вычислить резонансную кривую без приближений, сделанных
в тексте, то окажется, что частота, при которой квадрат амплитуды достигает
максимума, отлична от собственной частоты как незатухающего, так и
затухающего колебания, Но максимум квадрата скорости остается при со = а>0 .
Максимум же среднего значения энергии находится в другом месте. Найти
положения максимумов этих величин.
§ 10. Ангармонические колебания. Явление срыва
Строго квазиупругие силы, которые пропорциональны
отклонениям при сколь угодно большой величине последних, в природе не
встречаются. Реальные силы связи выражаются степенными ряда-
102
мй по степеням отклонения. В большинстве елучаев'длй их
представления достаточно добавить к линейному члену лишь одни член
следующей степени. Возможны два принципиально различных вида
сил связи. Если сила симметрична, т. е. в обе стороны от положения
равновесия одинакова по величине, то в выражение для силы
входят только нечетные степени отклонения. В противном случае,
когда сила не симметрична, колебание тоже несимметрично. Мы
ограничился здесь более часто встречающимся случаем симметричного
колебания и д$ба$им к квазиупругой силе — кх еще член + 8**-
Далее предположим* что е положительно, т. е. с ростом
отклонения коэффициент упругости уменьшается. Уравнение свободных
колебаний такой системы интегрируется без труда. Правда, при
этом результат выражается через эллиптические функции.
Существенно, что с ростом амплитуды собственная частота уменьшается.
Качественно это легко объяснить, представив себе, что истинный
коэффициент упругости заменяется средним коэффициентом
квазиупругой силы, который при ббльших отклонениях х,
разумеется, меньше, в соответствии с видом нашей силы, поэтому и
собственная частота тоже уменьшается [см, формулу (26) ], При действии
периодической внешней силы такая система ведет се£я весьма
своеобразно. Легко видеть, что даже при отсутствии захухашя здесь
не может имел» места резонансная катастрофа. В стщ д§д§, если
при бесконечно малых начальных амплитудах ©ьщолиедр условие
резонанса, то в результате увеличения амплитуды прдащщят
рассогласование частоты внешней силы и собственной чястртн, так что
при бдльщих амплитудах условие резонанса уже не вьт$#шяется.
Амплитуда в установившемся состоянии может быть определена
следующим приближенным способом. Уравнение двцщцид в рас*
сматриваемом случае:
т ~ + kX — ex^ = F0cos^t. (36)
Стационарное решение является всегда периодической функцией
времени с основной частотой —, и поэтому оно представимо в виде
2 тс
ряда Фурье по частотам, кратным со. В качестве первого
приближения выберем основное колебание:
х% = acosco/.
Амплитуду а надо еще определить. Подставим это выражение в урав*
нение (36) и, используя соотношение
1 3
cos8 Ы = — cos 3 Ы А— cos Ы, -
придем к уравнению
| — mau)2 -J- ka ea3 j cos utf — — a3 cos ЗЫ = F0 cos <*>/•
103
Поскольку основное колебание должно удовлетворять уравнению
(36), справедливо равенство
1±а8 + (ш« —<0fo)a+^ = O, (37)
Am т
причем мы обозначили здесь собственную частоту Vk/m,
соответствующую незатухающим колебаниям, т. е. бесконечно малым
амплитудам, через о)0 . Ниже мы обсудим способ определения корней
этого уравнения, но сначала покажем, как получить следующие
d2x
приближения. Разрешая уравнение (36) относительно— ипод-
dt2
ставляя в правую часть первое приближение, в силу (37) мы
получим:
= — COS urf COS Ы Ч — COS Ы Н COS 3u)/ =
dt* m m Am Am
ss — ш2а cos Ы + — cos 3orf#
4m
Интегрируя это выражение, получим:
аз еа3^*
х2 = a cos Ы — s cos3w/ = a cos Ы - cos 3 utf. (38)
2 36та)2 36 А: ш2 v '
Это второе приближение можно снова подставить в уравнение (36).
Таким способом можно получить сколь угодно большое число
членов ряда Фурье. Вопрос о сходимости этого ряда остается открытым.
Во всяком случае, этот ряд сходится при малых е.
Обсудим теперь вопрос о решении кубического уравнения (37).
Корни его а можно получить графически как точки пересечения
кубической параболы
3 е а3
У
с прямой
4 т и2
с
»-м-4)«-*■
(рис. 50). Будем уменьшать величину о>, начиная с какого-либо
большого значения ее. Сначала наклон прямой будет отрицательным, и
существует только одна точка пересечения * Р0. При о> = о>0 тоже
будет лишь одна точка пересечения. При дальнейшем уменьшении
со прямая достигнет положения, при котором она будет трижды
пересекать кубическую параболу в точках Pv P2, Р3, так что
возможны три различные амплитуды. Резонансная кривая имеет
несимметричный вид, изображенный на рисунке 51. Если бы затухания не
было, то обе ветви соединялись бы только на бесконечности. Но так
как затухание существует всегда, кривая не растет до
бесконечности, а закругляется, как показано на рисунке. Если начать с
малой частоты и постепенно увеличивать ее, то, как показывает под-
104
робное исследование, при малом возмущении стабильной будет
амплитуда, соответствующая нижней ветви. Увеличивая со , мы
достигаем, наконец, граничной точки G, справа от которой существует
только верхняя ветвь, что соответствует единственной
вещественной точке (Р0) пересечения на рисунке 50. При непрерывном
изменении о амплитуда должна, следовательно, перепрыгнуть от
последней на нижней ветви точки на верхнюю ветвь. Такого рода
скачки амплитуды, часто наблюдаемые при колебательных процессах
и вызываемые ангармоничностью,
называются явлением срыва.
Рис. 51. Вид
резонансной
кривой ан-
гармоничных
систем,
(
Задача
40. По аналогии с изложенным в тексте рассмотреть несимметричное
ангармоническое колебание с силой связи вида F = — kx + **2 и
определить среднее значение отклонения от положения покоя.
§ 11. Механика несвободной материальной точки.
Плоский математический маятник
Движение материальной точки обычно бывает ограничено
связями. Рассмотрим, например, движение материальной точки, под*
вешенной на нити длины /. Ее движение ограничено в том смысле,
что она не может выйти за пределы сферы радиуса /, но
внутренность сферы для нее доступна. Связь — в этом случае
геометрическое условие — следует представить неравенством | г [ <; /. Но
чаще встречается случай удерживающей связи, когда движение
осуществляется по определенной поверхности или кривой (т. е.
пересечению двух поверхностей), так что связь задается одним или
двумя (в случае кривой) уравнениями. Физическая реализация этих
геометрических условий происходит в конечном счете всегда
посредством «сил». В приведенном выше примере таковыми являются
молекулярные силы сцепления между частицами нити, а в точке
прикрепления — между частицами нити и шарика. Но нам нет
надобности углубляться в атомистическое толкование этих сил.
Достаточно заменить выражающее связь геометрическое условие
эквивалентной силой — реакцией связи, чтобы свести механику несво-
Рис. 50.
Графическое
построение амплитуды
вынужденного
qJ\ гармонического
колебания.
105
бодной «дафиальной точки к уже рассмотренному случаю оад&щ-
ной материальной точки.
Существенным свойством всякой реакции связи является ее
перпендикулярность к поверхности, ограничивающей движение
материальной точки» В самом деле, если бы это был® не так, то рфак*
ция связи одна, без помощи внешних сил, могла бы привести в
движение материальную тЬчку, что противоречит нашему
повседневному опыту. В подобном случае, например, шар, першшчально
покоившийся на горизонтальной гладкой поверхности, сам по себе
пришел бы в движение. Касательная сила, правда, может
появиться в том случае, если поверхность шероховатая, т. е. если между
этой поверхностью и материальной точкой существует трение. Но
сила трения по самой своей природе не является реакцией связи1.
Если N — абсолютная величина реакции связи и п -^ единичный
вектор нормали к поверхности, то уравнение движения имеет вид:
m-|f = F + tfn. (39)
Пусть задано уравнение поверхности: f(xt у, г) — 0. Градиент
функции / тоже направлен по нормали к поверхности. Г1бэтому можно
записать реакцию связи в виде:
N = Xgrad/, (40)
где X *-* еще не определенная величина, зависящая от координат.
Тогда уравнение ДЁйЖенйя примет вид:
m-^==F + Xgrad/, (41)
или в компонентах;
mi-^ + X-f, my=F, + \$-9 mz^Fz+\^. (41')
ox * oy oz
Здесь присутствует еще одна неизвестиая величина X, но мы имеем
и еще оДйо уравнение / — 0, так что количество нШвёс?ных равно
числу уравнений. Аналогично можно рассмотреть случай, когда
материальная то^ка вынуждается оставаться на кривой,
определяемой пересечением двух поверхностей fx = 0 и !ъ =* 0, Тогда
система урабйййй состоит из уравнения движения:
m f = F + \ grad Д + X, grad /, (4 Xй)
1 Автор рассматривает по существу только идеальные связи
(нормальные ре##Цйн) . Б отечественной литературе рассматриваются также реакции
сйявей, не перпендикулярные к поверхности (ври каченДи)е а иногда и силы
трения тоже причисляют к реакциям связей вотличи£6т йринятего в тексте
разделения (см., например, А.. А. Космодемьянские, Курс
теоретической механики, Учпедгиз, 1949, стр. 198; Л.Д.Ландау и
Е. М» Л и ф ш и ц, Механика, Фиаматгиз, 1956, стр. 155), (Прим. перев.)
106
с двумя новыми неизвестными^ и Х2 и двух уравнений
поверхностей.
Так как движение все вреэдя связано повер&достью, кркдый
элемент пути ds иердендикулярен реакции связи N* Поэтому р§ш$>
ции связей не производят работы. Следовательно, они §ьщадают
из баланса энергии. В частности, если силы являются консерватизм
ными, то закрн сохранения энергии имеет такой: же вид, как и для
свободной материальной точки:
уй*ф£/~(?. (42)
Если в задаче фигурируют только две координаты
(щюсвдедвижение), связанные еще уравнением кривой, на которой должна на-
ходиться материальная точка, то одного закона сохранения энер*
гии уже достаточно для интегрирования уравнения движения.
Действительно, при ноиощи уравнения кривой межнв выразить одну
координату через другую. Тогда мы получим дифференциальное
уравнение для ©дней переменной.
Примером подобного рода является математический маятник.
Как известно, так называется материальная точка масш т,
закрепленная на невесомой нити длины /. Эта нить определяет
сферическую поверхность, за которую не может выйти материальная
точка. Ограничимся случаем плоского движения, которое можно
реализовать, придавая маятнику определенное отклонение а и
отпуская его без толчка. Плоскость качания такого кругового маятника
определяется тогда его начальным положением и положением рав-
невесия (вертикалью). Траектория маятника останется плоской и
в тем случае, если материальной точке будет сообщена начальная
скорость в направлении касательной к окружности, по которой
указанная плоскость сечет сферу. Если же начальная скорость,
сообщенная материальной точке, не лежит в этой плоскости, то мы
получим пространственную траекторию. Для пространственного
маятника, помимо закона сохранения энергии, нужен еще один первый
интеграл уравнений движения, в качестве которого в данном случае
может служить обобщенная теорема площадей (см. задачу 36;
доказательства мы не приводим). Для плоского маятника закон
сохранения энергии имеет вид:
у /V + tngl (1 ~ cos i) =» С. (43)
(Потенциал силы тяжести имеет вид mgz, уравнение связи в
полярных координатах запишется просто: г = /.) Когда маятник не
переворачивается •— этот случай мы исключим из рассмотрения, —•
всегда имеются две точки поворота, в которых скорость и вместе
с нею у обращаются в нуль. Обозначим максимальное отклонение,
соответствующее точке поворота, через а. Так как в ней ф = 0, то
rngl (1 — cos a) = С
107
и закон сохранения энергии примет вид:
<р2 -)—- (cos a — cos <
При малых амплитудах это уравнение проинтегрировать легко
Разлагая cos
мы получим;
2 + — (cos а — cos 9) = 0. (44)
о уравнение проинтегрировать ле:
Разлагая cos а и cos <? в ряд и ограничиваясь членами-i— и -^—,
или
5 = /+<"-л
• TaV-Z-f*- <45)
8 результате интегрирования получаем:
arcsin-J- = ]/^ / + *. или ? = «sin(]/"-!-/ + *). (46)
Постоянная интегрирования k будет равна нулю, если положить
9 = 0 при / = 0, т. е. маятник должен проходить через положение
равновесия при / = 0. Таким образом, мы получаем простое
гармоническое колебание с частотой
-Ll/JL
2* V I '
(47)
Следовательно, период колебания математического маятника равен:
= 2и|А. (47')
т
" g
Дифференцируя уравнение (43) по t, мы вернемся к собственно
уравнению движения, которое, конечно, можно было вывести и непосредственно:
9 + —sin<p«=0. (48)
В первом приближении, полагая sin ср « «р, мы получим дифференциальное
уравнение гармонического колебания, решение которого имеет вид (46).
Разлагая синус в ряд и учитывая еще один член, мы получим уравнение типа
ангармонического колебания, рассмотренного в § 10 (правда, без учета внешней
периодической силы):
*+Т*-7Т = °- (49)
При сколь угодно больших амплитудах интегрирование уравнения
(44) производится так. Если исходить из закона сохранения энергии
(44) и заменить cos ф на 1 — 2sin2 — и cos а на 1 — 2sin2 — ,
2 2
то после разделения переменных мы получим вместо
приближенного уравнения (45) точное уравнение:
*Е = 2 j/f dU (50)
-|/"sin2.f__Sin2_l_
V 2 2
108
Интеграл от левой части будет эллиптического типа; он не может быть
выражен через элементарные функции. Но его легко привести к нормальному
виду. Полагая
ср а
sin — =3 sin — sin и, (51)
мы получим:
du i/ g dt
l/l— sin3-!, sin2«
-/+•
Интегрируя это уравнение от t = 0 до t = t при начальном условии ср = О
(и = 0) при t = 0, получим:
1 JA—'i
sinJ«
а
Этот интеграл протабулирован как функция от « и ~, и его можно найти
во многих таблицах1. Если
то обратная функция называется «амплитудой» (обозначается am):
х = am l — > */) . Таким образом,
« = ат(±., ]/Т/) и sini = sinAsinam(j., j/X<). (53)
Определим еще реакцию связи, удерживающей материальную точку на
круговой траектории. По ньютоновскому закону равенства действия и
противодействия (стр. 87) реакция связи равна по величине силе, с которой
материальная точка натягивает нить, и направлена противоположно ей. Эта
сила направлена по радиусу, потому что она перпендикулярна к поверхности
связи.
Абсолютную величину реакции связи можно найти из уравнения
движения для нормального компонента траектории. Будем считать, как обычно,
направление к центру кривизны положительным направлением нормального
ускорения. Тогда
v2 /2ф2 , д,
т — = т Y =я — mg cos cp -f- N.
Р *
Подставляя для ср2 его выражение из уравнения (44), получим:
N = mg (3 cos ср — 2 cos а). (54)
Реакция N изменит знак, т. е. сила натяжения перейдет в силу давления при
3 cos cpg. = 2 cos a.
1 См., например, Янке и Эмде, Таблицы функций с формулами и
кривыми, изд.З, М., 1959. На странице 160этой книги приведены кривые,
наглядно показывающие отклонение от предельного случая а = 0.
109
Если а > — то это уравнение"имеет корень, совместимый с "условием~<р< «•
Следовательно, пока амплитуда а не превосходит" тг/2, нить остается все
время натянутой. Но произвольно большие амплитуды нельзя реализовать
на маятнике с нитью, потому что существует точка, в которой маятник пе«
рестает быть таковым. Если мы возьмем, например, амплитуду, равную тс, т. е.
маятник, для которого была бы достижима точка, находящаяся вертикально
над точкой подвеса, то в этом случае
2
cos <tg = ~* —, чешт 13Г49\
о
Причина этой трудности лежит в том, что нить не является полной
физической реализацией геометрического условия г = /, так как она исключает
только точки с г > /, но не с г < I (неудерживающая связь). Реализацией
удерживающей связи была бы невесомая штанга.
Задачи
41. Для какой кривой период движения математического маятника^не
зависит от амплитуды? (Указание: ввести длину дуги s как функцию
от г = /(1 — cos ср).) ,•#
42. Предположим, что мотоциклист на ровной улице моэ$ет ехать, не
скользя, по кривой с радиусом Юм со скоростью 20км/час. С какой скоростью
должен он ехать по внутренности вертикального цилиндра из того же
материала с радиусом в 5 лс, чтобы двигаться по горизонтальной траектории,
не соскальзывая вниз? (Считать, что сила трения пропорциональна силе
нормального давления и не зависит от скорости.) J " *""'- '~'- ***'*
Глава II
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ МЕХАНИКИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
Предварительное замечание
Всякую физическую механическую систему можно представить
схематически в виде системы материальных точек и к точкам этой
системы применить выведенные в главе I теоремы, При этом мы
получим ряд теорем, которые относятся к поведению системы как
целого. Область применимости этих теорем почти не ограничена, так
как в конечном счете каждое тело можно представить себе как
систему очень большого числа материальных частиц: электронов,
протонов и нейтронов. Силы, действующие на отдельные материальные
точки, бывают двоякого рода; одни исходят от одних материальных
точек системы и действуют на другие — это внутренние силы;
другие — внешние силы — имеют свое происхождение вне
системы.
Здесь особенно важен ньютоновский закон равенства действия
и противодействия.
по
§ 1. Теорема о движении центра инерции
(1)
(2)
Рассмотрим систему N материальных точек. На k-ю
материальную точку действуют следующие силы; система внешних сил,
которые мы заменим их равнодействующей F^; затем сила Fj$ со
стороны первой материальной точки, сила F2k со стороны второй
материальной точки, вообще /-я материальная точка действует на
k-ю с силой Fjk.
Таким образом, уравнение движения k-й материальной точки
имеет вид:
Таких уравнений будет N, по одному для каждой материальной точ
ки. Просуммируем эти уравнения. Мы получим:
к к к*] /
Так как нет внутренних сил, имеющих в наших обозначениях
одинаковые индексы, то в двойной сумме комбинации k «* / исключены.
Каждой силе Fjk> т. е. силе, которая действует со стороны /-й
материальной точки на &-ю, соответствует сила F^, e которой
k-я материальная точка действует на /-ю. Эти силы по закону
равенства действия и противодействия равны и направлены в
противоположные стороны. Следовательно, двойная сумма обращается
в нуль: внутренние силы системы при суммировании выпадшот. В
правой части уравнения (2) остается только векторная сумма
внешних сил, действующих на материальные точки системы, которая
называется главным вектором системы внешних сил, Определим
центр инерции (центр масс) системы как точку, радйус-йёктор
которой r*t отложенный от произвольной точки О и умй£$$8ный
на пблную массу М сиетемь*, равен векторной сумме радиуебй-век-
торов всех материальных точек системы, умноженных на их массы;
(3)
Подставляя это выражение в уравнение (2), получим следующую
теорему:
(4)
Центр инерции системы тссы М двигается так же, как двигалась
бы материальная точка той же массы под действием главного сектора
системы внешних сил, прилшенных, к тонком механической системы.
Ш
В частности, если внешние силы отсутствуют или их
равнодействующая Л ^ равна нулю, то центр инерции остается в покое или
движется равномерно и прямолинейно. В этом случае уравнение (4)
принимает вид:
Л1г*=0,
и его легко проинтегрировать:
Afr* = J] Щ vk — К = const.
k
Таким образом, когда равнодействующая внешних сил равна нулю,
полное количество движения системы К остается постоянным
(закон сохранения количества движения). На этой теореме основано
объяснение реактивного движения, и в частности явления отдачи
при стрельбе. Если орудие, находящееся на гладкой
горизонтальной плоскости, производит выстрел, то оно должно откатиться
назад с такой скоростью, чтобы общий центр инерции орудия и
снаряда оставался на вертикали, проходящей через место выстрела.
В самом деле, если пренебречь трением орудия о землю, то на него
не действует никакая другая внешняя сила, кроме силы тяжести,
а последняя не имеет горизонтальной составляющей. Иначе говоря,
если сумма количеств движения орудия и снаряда до выстрела была
равна нулю, то и после выстрела она должна оставаться равной
нулю. Пусть т0 — масса орудия, тс — масса снаряда, v0 и \е —- их
скорости после выстрела; тогда
О = m0v0 + meve и —-^ = -В..
v0 mc
Так как чаще всего внешней силой является сила тяжести, центр
инерции называют обычно центром тяжести. Для нахождения его можно
воспользоваться следующими элементарными рассуждениями. Для радиуса-вектора
г* центра тяжести двух материальных точек с массами тА и т2 справедливо
уравнение
(тх + т2) г* = mil*! + m2r2 ,
или:
mi. (г* — Тх) = т2(г2 — г*);
последнее означает, что векторы г* — гх и г2 — г* параллельны. Но так как
конец радиуса-вектора г* является концом первого из них и началом второго,
то три точки — mi, m2 и центр тяжести, — должны лежать на одной прямой.
Центр тяжести делит отрезок между точками тх и т2 в отношении
I г* — гг [ т2
|Г2-Г*| 1Щ
Таким образом, мы получили следующую теорему: центр тяжести двух
материальных точек с массами тх и т2 делит соединяющий их отрезок в
отношении, равном отношению масс, так что он лежит ближе к большей массе.
Если добавить еще одну материальную точку т3, то мы получим общий центр
112
тяжести как центр тяжести массы т3 и найденного выше центра масс тх и т^
которому приписывается масса т\ + т2. Таким же образом поступают и при
добавлении новых материальных точек. Легко видеть, что найденный таким
способом центр тяжести ряда материальных точек не зависит от порядка
суммирования.
Задачи
43. Две материальные точки mi и т2 находятся в равновесии на
расстоянии а друг от друга. При изменении расстояния на малый отрезок х
появляются силы, пропорциональные х и возвращающие точки в первоначальное
положение. Найти собственные частоты системы.
43а. Из закона сохранения количества движения вывести формулу,
связывающую мгновенную скорость движения ракеты с ее мгновенной массой.
(Указание: скорость с истечения газов по отношению к ракете считать
постоянной.)
436. Определить, какую часть стартовой массы ракеты должна
составлять масса топлива, чтобы одноступенчатая ракета достигла скорости v =
= 8000 м1секу если скорость истечения газов по отношению к ракете с = 2000
Ml сек.
§ 2. Поведение полного момента количеств движения
системы
В § 5 главы I уже говорилось, что векторное произведение mrxr,
называемое моментом количества движения материальной точки,
имеет смысл секторной скорости радиуса-вектора, умноженной на
2т. Векторная сумма ]£] tnk (rkx rk) = L, которая называется
полным моментом количеств движения системы материальных
точек, является одной из важнейших механических величин1.
Рассмотрим ее поведение. Для этого умножим уравнение движения
материальной точки векторно на rk и просуммируем по всем точкам
системы. При этом получится:
2m*(rftX"^) = ^r*xF*+££r*xFy*- (5)
k k кФ\ /
Левая часть уравнения представляет собой, как было показано в
§ 5 главы I, производную по времени от величины У\щ(ткХ^ »
т. е. от полного момента количеств движения. Далее, векторное
произведение радиуса-вектора rk точки приложения силы F^ на
вектор силы называется моментом силы Fk. Обозначим его через
М# . Его абсолютная величина равна произведению величины силы
на ее плечо относительно точки О. Сумма ^ rk X F^ = М назы-
k
вается главным моментом системы внешних сил. Второй член в пра-
1 Величина момента зависит, вообще говоря, от выбора точки О, от
которой отложен радиус-вектор г (см. ниже, стр. 114).
ИЗ
вой части, являющийся главным моментом внутренних сил, равен
нулю, если внутренние силы между двумя точками направлены вдоль
соединяющей их прямой, т. е. являются центральными силами. В
самом деле, так как F^ = — F^, то для любой йары материальных
точек
Ч X Fjk + rj X F*y = (rk-rj) X ¥& (6)
Стоящее в правой части векторное произведение равно нулю, так
как предполагается, что вектор F^ кбллинеарен вектору rk — iy
Следовательно, в правой части уравнений (5) остается только
первый член.
thtnk{vk X rk) = —= Y±Tk XF^ = M
dt *j n, л, „, ^
k
(7)
В системе материальных точек, в которой внутренние силы между
каждыми двумя точками действуют в направлении соединяющей эти
точки прямой, изменение полного момента количеств движения в еди<
ницу времени равно главному моменту внешних сил.
Сделанное при выводе этой теоремы ограничение не
существенно, Из соображений симметрии нельзя представить себе силу,
действующую между двумя точками, которая была бы направлена не
пф соединяющей их прямой, потому что, кроме этого направления,
никаких выделенных направлений нет. Иногда в качестве
противоположного примера приводят элементарный закон Био и Савара.
Но следует иметь в виду, что в этом случае речь идет о силе,
действующей между элементом проводника с током (т. е. отрезком прямой,
а не точкой) и точечным магнитным полюсом.
В частности, если на систему не действуют внешние силы или
главный момент их равен нулю, то полный момент количеств
движения системы, согласно уравнению (7), должен оставаться
постоянным1. Именно в этой форме теорема позволяет объяснить
целый ряд явлений повседневной жизни, например раскачивание
качелей сб<#ветствующими движениями стоящих на них детей,
вращательные движения падающей кошки или известные опыты с
вращающейся скамьей. Важное применение эта теорема находит в
учении о магнетизме, где она дает объяснение гиромагнитному
эффекту (см. раздел IV, глава IV).
В общем случае величина полного момента количеств движения зависит
от выбора Точки О, относительно кдторбй бн в£ят. Но 6н не зависит от
положения точки О в тбм случае, кргда центр тяжести системы йоквится, В
самом деле, ббозначим радиус-вектор какой-либо новой точки отсчета О' через
г0 и все йсхбДяЩйе из Hefo радиусы-векторц — через Гд', Тфгда
Ч = гд + U\
1 Эта теорема называется законом сохранения полного момента
количеств движения системы. (Прим, пере*.)
№
Полный момент количеств движения, отнесенный к точке О, равен
к
и отнесенный к точке О':
к
Подставим в выражение для L вместо г* вектор Го + г'*. Так как гв= 0, ма
получим:
L = 2j Щ (Го + r'k) X г'А = г0 X 2j тк *'k + 2jm* (*"'* X r'k).
к к к
Но первый член обращается в нуль, когда
к
т. е. когда центр тяжести системы покоится»
§ 3. Полная энергия системы материальных точек
Умножим скалярно уравнение движения k-ft материальной
точки на —— и просуммируем по всем материальным точкам. Мы
dt _
получим:
^ * dt2 dt dt 2 *-* k \ dt )
k k
-ZO+SS'--^- «
Интегрируя это уравнение по времени от tQ до t> лолучим:
к к
= 2 J F^+Ej-.E*/*'** (9)
* ГЛ(/0) * *k{to) I
В левой части стоит полное изменение кинетической энергии Г
системы, в правой части — сумма работ внешних и внутренних сил.
Работы внутренних сил системы при вычислении энергии ни в коем
115
случае не выпадают, как можно было бы ожидать по аналогии с
двумя предыдущими параграфами.
Кинетическая энергия может быть разложена на две части,
каждая из которых имеет свой наглядный смысл. Введем другую
систему координат, начало которой О' совпадает с центром тяжести
системы. Будем отличать относящиеся к этой системе
радиусы-векторы штрихом. Тогда
г* = г* + г'4
к
1 V.„ fdr'kV
+iS
2^ "\dt
(10)
Но второе слагаемое равно нулю, потому что г* = М l V mkvk
в силу (3) является радиусом-вектором центра тяжести, а
последний по условию равен нулю в штрихованной системе координат.
Первое слагаемое представляет собой кинетическую энергию
материальной точки с массой, равной полной массе системы и
сосредоточенной в центре тяжести. Третий член представляет
кинетическую энергию движения системы относительно центра тяжести,
рассматриваемого как покоящийся. Таким образом, можно сказать,
что кинетическая энергия равна сумме энергии переноса системы,
масса которой мыслится сосредоточенной в центре тяжести, и
энергии движения частей системы относительно центра тяжести.
Предположим теперь, что внутренние силы обладают
потенциалом. Потенциал силы, действующей между точками / и k,
является функцией расстояния между ними и тем самым функцией от
координат обеих точек:
Vjk = Vjk<r/d = Ujk{Vl&-xd*+ty^ (И)
Мы получим силу, действующую на точку k, считая точку /
закрепленной и смещая точку k в потенциальном поле,
определяемом функцией Ujk. Другими словами, надо рассматривать
координаты точки / как постоянные, а координаты точки k — как
переменные:
Аналогично получаем:
116
Сумма работ, производимых при малых смещениях точек / и k>
равна:
Так как Ujk зависит от шести координат двух точек, то,
согласно (11), при образовании полного дифференциала от Ujk мы
получим сумму работ ?jk.dvk и FkJ.drp взятую с обратным знаком.
Следовательно, если в уравнение (9) ввести в правую часть
потенциал внутренних сил, то мы должны написать:
ЕЕ1*/*-**- -ySIX* »*л. (15)
* / к i
Появление множителя 1/2 легко понять, если начать с точки / =
= 1 и написать энергию ее взаимодействия Ulkc другими точками
(где k пробегает все значения от 2 до N). Но для точки / = 2 счет
k надо начинать уже с 3, потому что энергия ее взаимодействия с
точкой 1 уже учтена для первой точки и т. д. Если же
суммирование распространить на все комбинации у и k, то нужно разделить
сумму на 2.
Если и внешние силы имеют потенциал, то закон сохранения
энергии, согласно уравнению (9), примет вид:
k кф} j k k+\ j
(16)
Сумма кинетической, внешней и внутренней потенциальной энергии
системы остается постоянной, если как внешние, так и внутренние
силы, действующие между материальными точками системы, имеют
консервативную природу.
Задачи
44. Шар радиуса г и плотности р скатывается по плоскости, наклоненной
к горизонту под углом а. Какую скорость имеет центр шара после
прохождения пути s и как относится эта скорость к скорости, которая достигается при
скольжении по наклонной плоскости без трения?
45. Рассмотреть центральный удар двух шаров с массами т\ и т2,
скорости которых направлены вдоль прямой, соединяющей их центры: а) для
случая идеально упругих шаров, у которых при ударе механическая энергия
сохраняется (т. е. не переходит в теплоту); б) для случая не вполне упругого
удара, при котором шар т2 приобретает внутреннюю энергию е.
117
§ 4. Принцип виртуальных перемещений,
принцип Даламбера и уравнения Лагранжа первого рода
Есди на произвольна взятую k-ю материад$цу{о точку системы
действзедрт несколько сил и отдельные материальные точки системы
совершенно свободны, т. е. не существует никаких связей,
выражаемых геометрическими условиями, то естественным условием
Ш&> чт® система не придет в движение, т. е. что она находится
* ЩЩйсум* под действием сил, является равенство нулю их
радшадействующей F*:
Представим себе кащую материальную точку немного сдвинутой
из своего положения на вектор 8гл; тогда tyMMa^F^Sr^
представляет собой полную работу, совершенную при такого рода
«виртуальных^, т. е. воображаемых, перемещениях* Так как каждая
<$до F^ в отдельности равна нулю, зга сумма, разумеется, тоже
равна нулю. Следовательно, если система свободных материальных то-
чек находится в рмновесищ то полная рабжа всех сил, внутренних
и внешних, при малых виртуальных перемещениях должна быть
равна нулю. Бели силы имеют потенциал V = ]£J Uk> то
Yfk-*k «-2*%~-K/~0. (17)
k
Но радодртво нулю зцрвдшя ЬЦ означает, что функция V имеет
эветршадыше значение. В состоянии равновесия потенциальная
эц%ръц% системы свободных материальных точек имеет
экстремальное ттение.
На первый взгляд эти рассуждения представляются тривиаль-
нщв, Их польза выявляется лишь тогда, когда существуют связи,
щарШйевдые в виде геометрических условий, например, если
рассеяние между двумя материальными точками должно сохраняться,
или отдельные материальные точки должны находиться на опреде-
ленщх поверхностях. Но реакции связей, как уже было показано
в § 11 главы I, по самой своей природе не могут производить работы,
поэтому принцип виртуальных перемещений сохраняется
неизменным и при равновесии системы со связями, причем под F* следует
понимать только заданные «активные» силы . Но зато условия
равновесия F^ = 0 больше не обязательны. Напротив, при заданной
«активной» силе равновесие может поддерживаться благодаря
реакции. Например, в случае тела, покоящегося на горизонтальной
опоре, сила тяжести компенсируется реакцией опоры. Математически
это отличие от свободных систем выражается в том, что
перемещения Ьхк уже не независимы, они должны удовлетворять дополнитель-
118
ным условиям. Запишем уравнение^! 7) в координатах, которые для
простоты обЬаначйм не xkf yht zk% а просто пронумеруем все
подряд. Тогда наша фмма примет вид:
SfM = 0. (170
i
Если система состоит из N точек, то сумма имеет ZN членов.
Каждое уравнение связи понижает- тасло 3N произвольных
перемещений на единицу. В самом деле, из уравнения связи можно выразить
одно, например последнее, перемещение через остальные и
подставить в уравнение (IV), квторое будет после этого содержать только
независимые переШЬцёШя. Но горазд© белее удобен следующий
изобретенный Лагранжем спесеб (принцип внр?уздьных перемещений).
Пусть наложенные на систему связи описываются конечными
уравнениями между координатами xt (голономные связи), которые не
зависят от врймёйн (сйшционарные, или склерадшйные, связи).
Пусть число этих урайЬений связи равно /. Дифференцируем
каждое из / урШ&$Ш& сййзн fk (xi9 xti ... 9#3n) = 0:
Умножим эти уравнения на некоторые произвольные множители
Xk и прибавим их к уравнению (17'). Мы получим:
?(^+x'f+x.f+-+x'S8^0-
(19)
В этой сумме, которая по-прежнему состоит из SN членов,
подбором множителей \к можно добиться, ч¥обы, скажем, поёЛеДШё /
членов (скобок) обрат&дись в нуль. Остальные (3N—f) членов
содержат только (BN -~ I) перемещений, т. е. столько же, скбль-
ко имеется независимых величин §xt. Но если оставшиеся 6xi
независимы друг от друга, то коэффициенты йри 8л;, должны
обращаться в нуль каждый по отдельности, потому чтЪ сумма должна
быть равна нулю. В самом деле, эти перемещения совершенно
произвольны, и их можно выбрать так, чтёбы, например, все bxt', кроме
bxh9 были равны нулю. Тогда в сумме останется единственный
член — прШЕзв^Ш^йе
('•+*.£+•••+».£)«*•
Но так как bxh, по предположению, отлично от нуля, множитель
[Рн + К
dxh l dxh)
119
должен быть равен нулю. Таким образом, из условия обращения
нашей суммы в нуль мы получили систему уравнений:
P, + Xl|4-...+X,|L_0,
'»+*■£+•■•+*.£-Л
Хотя все эти уравнения имеют одинаковый вид, происхождение
их различно. Из этих уравнений / выполняются потому, что мы так
выбрали I величин \k. Остальные же (3N — /) уравнений
выполняются потому, что после такого выбора lk остальные (3N—1)
перемещений не зависят друг от друга. К этим 3N уравнениям надо
добавить еще / уравнений связи, чтобы число уравнений было равно
числу неизвестных, т. е. (3N + I).
С другой стороны, если рассматривать вместо геометрических
условий реакции связей N^,, которые реализуют эти условия, то
мы получим свободную систему, для которой, согласно сказанному
выше, имеет место равенство:
Ft + N^O. (21)
Сравнивая (21) с уравнениями (20), мы видим, что реакции
представляются в виде:
До сих пор мы имели дело только с равновесием, со статикой.
Совершенно аналогично мы можем поступать и в динамике.
Обозначим главный вектор приложенных к &-й материальной точке
«активных» сил через F^, и реакций — через N*. Тогда
При виртуальных перемещениях реакции сами по себе в целом не
могут производить работу, следовательно, ^N^.8^ = 0, и мы
получаем уравнение, называемое принципом Даламбера:
(23)
Так как уравнения связи ограничивают свободу выбора 8г^, из
уравнения (23) еще нельзя заключить, что каждый член в сумме
равен нулю. Далее мы должны действовать так же, как и в статике.
120
Пронумеруем снова координаты, но при этом будем иметь в виду,
что каждая масса встречается трижды, т. е. m3kj= Щк^\ = тзл-2 •
Тогда уравнение (23) примет вид:
£(^-тл)Ц-0. (24)
i
Дифференцируя каждое из / уравнений связи, которые опять
предполагаются конечными, получим:
Умножим снова каждое уравнение на неопределенный множитель
Ik и прибавим все эти уравнения к (24). Тогда получится:
E(^-wA + Vfk + Vfk+ .-. +*|Ц-)Ц-0. (25)
i
Точно так же, как и в статике, мы можем так распорядиться /
величинами Л£, чтобы I первых членов суммы обратились в нуль.
Остальные (3N— /) членов содержат {3N— /) перемещений, т. е. столько
же, сколько независимых переменных. Так как эти Ьх; можно
выбрать произвольно, множители в скобках при них тоже должны
обращаться в нуль. Таким образом, мы получим систему
уравнений, известную под названием уравнений Лагранжа первого рода:
m3NX3N = F3N + К -Д71- + Х2 -^7. + ' • • + 11
*3* *3N -<3N~r -1 дХш Л" -2 дХш "Г .- "Г а, дх^ .
Из (26) видно, что члены, добавляющиеся к Ft в правых
частях уравнений, являются компонентами реакций связей, которые
можно ввести взамен геометрических условий, чтобы
рассматривать систему как свободную. Число уравнений соответствует числу
переменных: 3N уравнений Лагранжа содержат, кроме 3N
координат материальных точек, еще / множителей, но имеется еще /
уравнений связи. Если удастся проинтегрировать систему
уравнений (26) совместно с / уравнениями связи, то мы получим при этом
и компоненты реакций, так как мы определим величины Хл.
Реакциям равны и противоположно направлены силы давления или
натяжения, с которыми действуют материальные точки на тела,
осуществляющие геометрические связи. (Пример. Если
материальная точка находится на идеально гладкой горизонтальной поверх-
121
ностй и, удерживаемая нитью, движется по окружности, то пй нее
действуют следующие силы: сила тяжести которая, компенсируется
реакцией опоры горизонтальной поверхности, и
«центростремительная» сила нити, удерживающая вращающуюся материальную
точку. На нить со стороны материальной точки действует
«центробежная» сила, равная по величине «центростремительной».)
Другой способ рассуждений, удобный для многих задач, состоит
в следующем. Основное уравнение
F_mi*=0
dt*
можно рассматривать как уравнение равновесия между
приложенной активной силой F и «силой инерции» — т— • Основной за-
di*
кон механики можно сформулировать поэтому так: во
время ускорения на массу т действует • сила инерции *—• m — ,
которая уравновешивается приложенной силой. Тем самым
формально динамика сводится к статике, и рассуждения, проводимые в
статике, можно перенести в динамику, так что мы снова придем к
уравнениям (23). Различие этих двух способов рассмотрения мы
поясним на примере пружинных весов, на чашке которых находится
человек, и он ускоряет себя приседанием. Без введения силы
инерции мы имеем:
m — ^—mg + F
dt* 6 ]
(F — сила противодействия пружины).
Другой способ рассуждения: на пружину действует сила F'f
она должна быть равна равнодействующей приложенных сил.
Таковыми являются, во-первых, сила тяжести = mg, во-вторых, сила
инерции — т — . Следовательно,
6 dt*
Согласно принципу равенства действия и противодействия, F' «
= —F. Это доказывает, что оба способа дают один и тот же результат.
Хотя второй способ (формальный) часто приводит к цели быстрее,
все же следует иметь в виду, что первый способ больше
соответствует физическому смыслу рассматриваемого явления.
§ 5. Уравнения Лагранжа второго рода
в обобщенных координатах
Уравнения Лагранжа первого рода относятся к прямоугольным
координатам. Но гораздо целесообразнее положейие материальных
точек определять другими параметрами. При этом почти всегда
уравнения связи можно свести к условиям постоянства некоторых
параметров, которые тем самым выпадают из уравнений движения.
122
Хотя введение уравнений связи допустимо при любых кверДйнЭтах,
мы рассмотрим здесь нормальный случай, когда вместо <W
Прямоугольных координат с / уравнениями связи появляются f ~ SN —
— / независимых параметров qv q2, ..., qf—обобщенные
координаты системы. Пусть, например, связи таковы, чтб все точки сйбтёмы
могут находиться только на поверхности шара. В этом случае
естественными координатами являются сферические координаты г, d, ft
а переменными величинами являются только углы #и <р. Задача
состоит в том, чтобы выразить уравнения связи в таких
произвольных координатах. Для этой цели представим себе, что
прямоугольные координаты заданы как функции независимых переменных
(обобщенных координат) qk :
*/ = */(<?i> ft. ....?/)• (27)
Заменим теперь в принципе Даламбера
2(^-/11^^ = 0 (24)
переменные xlt oxt и xt через qk и их производные по времени qk
(обобщенные скорости). Во-первых,
s*' = l?s<'+l>+- + !78" (28>
Появившиеся после подстановки выражений (28) в уравнение Да-
ламбера члены xt—L можно преобразовать следующим образом.
Легко убедиться, что
1 dqk dt\ l dqj l dt\dqkJ '
Мы можем теперь рассматривать xt как функции 2/ переменных
qk nqk\ Тогда из уравнения (28') следует:
?h.= **L (30)
dqk дЯк
1 Введение q^ в качестве новых переменных наряду с q^ иногда вызывает
недоумение. Поэтому следует пояснить этот пункт. Единственной независимой
переменной является время, от которого лг/ и а*/ зависят через qk и <?#. Но если
некоторая функция F (у, у') дифференцируется по независимой переменной х9
то можно записать:
d ^ dF dy dF dy'
dx dy dx dy' dx
Таким образом, и в этом простейшем примере надо дифференцировать F по у\
как если бы у' была независимой переменной.
123
Первый член правой части тождества (29) примет вид:
dt
dxi
"^гй)"^(т1^)- (31)
Второй член тоже допускает преобразование, которое приводит
к следующим выражениям:
±(^UJ^qi+^q2+...
d*xi
dt \dqkj dqxdqk /x ' dq2dqk 'a '" ' dqfdqk
д I dxi • , dxt ' , , dxi Л д •
<?/ =
^
Отсюда
' Л U?J dqk\2 l У
Используя соотношения (28) и (29), получаем:
"* V/ d д 1 ч а 1 -я\ *
(32)
(33)
(ззо
Далее примем, что действующие силы имеют потенциалы U,
которые мы будем считать функциями только от qk. Тогда
,M__«,|__(^lfc + iu.fc + ... + <^bq,). (34)
Подставляя выражения (33') и (34) в принцип Даламбера,
получим:
2[^(т"^)-24;(±».«)+Е
8^-0. (35)
V — т^х\ представляет собой полную кинетическую энергию Т
системы. Отсюда получается система уравнений Лагранжа
второго рода для консервативных систем:
d d(T-U) д(Т-Ц) ^0
dt dqk dqk
(36)
(Благодаря независимости перемещений lqk в каждом члене суммы
в (35) взятый в квадратные скобки множитель должен обращаться
в нуль; кроме того, U зависит только от qk> но не от дк, так что
124
dU/dqk^Q.) Входящая в уравнение (36) разность между
кинетической и потенциальной энергией называется функцией
Лагранжа L системы:
(37)
L = T — U
Функция Лагранжа зависит от обобщенных координат qk и
обобщенных скоростей qk . Используя ее, мы запишем уравнения
Лагранжа второго рода в виде:
дЬ
dL
dt dqk
*4k
= 0
(38)
Если, помимо консервативных сил Fu имеются еще
неконсервативные силы F/, то работа, совершаемая ими при виртуальном
перемещении, может быть найдена, если подставить значения 8д^
из уравнения (28):
{Ъ*(
dqf
ъ+№;Цъ+ ••• +№''%\ъю
Коэффициенты при bqk называются компонентами обобщенных сил,
относящихся к обобщенным координатам qk ; их обозначают через
Qk' . Тогда уравнения Лагранжа второго рода при наличии
неконсервативных сил примут вид1:
дЬ
dt dqk
dL
^k
Qk
(40)
До сих пор мы рассматривали только наиболее часто встречающийся
случай системы с голономными и стационарными связями.
Случай, когда уравнения, выражающие х*г как функции от qk , сами
содержат время в явном виде — связи голономные и нестационарные (реоном-
ные), — а также случай, когда соотношения между хь и q^ имеют вид не-
интегрируемых дифференциональных уравнений:
bx^a^bq. + a^^
; +
••+в?)]
ч
(неголономные связи), мы рассматривать не будем.
Задача
46. Написать в сферических координатах уравнения движения
материальной точки по поверхности покоящейся Земли.
1 В отечественной литературе принято называть компонентами
обобщенных сил и члены dL/dqK (консервативные силы); их обозначают обычно
через QK . (Прим. перев)
125
§ 6. Обобщенные импульсы. Уравнения Гамильтона
Для систем с голономными стационарными связями, когда *,
заданы как неявные функции от qknpn помощи квнечнт и не
содержащих явно времени уравнений связи, киЯеТМеШя энергия Т
является однородной квадратичйой функцией прбЙЗёоДных по
времени от qk:
I i
В прямоугольных координатах каждый ЯШпонёнт Количества
движения (импульса) определяется равенством
Р*|-«Л-^2тт^в,аТГ- (42)
По аналогии с этим равенством мы назовем обобщенным импульсом
величину
Pk = dTt-'Jk) = Ptfi+P»b + • • • +Pfk Ь ; (43)
хотя эта величина может даже не иметь размерности импульса, в
зависимости от размерности обобщенной координаты. Мгновенное
состояние системы однозначно характеризуется заданием
положений и скоростей (импульсов) всех точек. Поэтому обобщенные
импульсы следует рассматривать как новые переменные,
равноправные с обобщенными координатами, подобно тому как в уравнениях
Лагранжа второго рода производные qk были равноправными
переменными наряду с qk.
Согласно (43), обобщенные импульсы являются линейными
однородными функциями от обобщенных скоростей qk. Исследование
показывает, что определитель системы / уравнений (43) йе равен
нулю, поэтому она может быть разрешена относительно qk, так что
и обобщенные скорости qk в свою очередь являются однородными
линейными функциями от обобщенных импульсов pk. Выразим
теперь уравнения движения в обобщенных импульсах. При этом
мы получим новую форму уравнений, которую предложил
Гамильтон и которая является наилучшим исходным пунктом для многих
исследований в механике, в особенности в небесной и
статистической механике. Поэтому уравнения Гамильтона получили
название уравнений движения в канонической форме. Введение
обобщение
ных импульсов (43) в уравнения Лагранжа (36) в случае только
консервативных сил, когда U не зависит of qk, дает:
dpk _ dL(qk, 4) (44)
dt - dqi • '
Это уравнение еще несовершенно, потому что в правой части
функция Лагранжа содержит qk вместо рн. Можно было бы по-
пытат^ря выразить qk через pk при помощи преобразования (43).
Но проще ввести новую функцию Я от qk и pk:
Н (р*, qk) =%Pk<ik — L (Л. </k)> (45)
к
которая называет^ функцией Гамильтона.
Полный дифференциал этой функции равен:
k
6 k k k
Так как пртедаиальцая энергия зависит только от координат, но
не от скоростей, то
±-£kb& = Pk. (47)
d<lk dqk
Вследствие этого первый и третий члены в (46) взаимно
уничтожаются. Приравнивая коэффициенты при dpk и aqk , мы получим:
А_ «..«__« (48)
ЯРк dqk dqk
Подставляя эти выражения в «смешанное» уравнение (44), получим:
&pk e _ ян цд.
dt dqk% '
Таким образом, каноническая форма уравнений движения имеет
вид:
dt dqk ' dt dpk
Щ
Для консервативных сил, котрррми мы теперь ограничимся, смысл
Н очень прост. Полная производная по времени
^ = УЖ^4-У —^ (51)
dt ^ dqk dt '^ dpk dt K '
k k
обращается в нуль в $илу уравнений Гамильтона (50).
Следовательно, И сохраняется во времени. Легко доказать, что Н означает
полную энергию £. Действительно, кинетическая энергия Т, соглас-
127
но (41), является однородной квадратичной функцией второй степени
от qk . По теореме Эйлера об однородных функциях
(в этом легко убедиться и непосредственно). Но тогда из (45) следует:
H(pk,qk) = 2T-(T-U) = T + U = E\. (53)
§ 7. Принцип наименьшего действия Гамильтона
Наряду с Лагранжевой и Гамильтоновой формами уравнений
движения, в обобщенных координатах большое значение имеет еще
одна форма. Она задается не в виде дифференциальных уравнений,
а в виде условия экстремума некоторого функционала. Идея о
формулировке законов природы в форме вариационного принципа столь
же стара, как и само научное мышление. Преимущество такой
формулировки в ее простоте и независимости от конкретного выбора
координат. Нахождение вариационного принципа механики для
нас облегчается изложенным выше материалом. Сравним
уравнение Лагранжа второго рода с уравнением Эйлера — Лагранжа для
простейшей вариационной задачи (стр. 80). Мы видим, что с
точностью до обозначений они совпадают. Вместо независимой
переменной х у нас входит время t, функция, обозначенная на странице
80 через F, в нашем случае является функцией Лагранжа L.
Уравнения Лагранжа второго рода соответствуют, таким образом,
экстремальному значению интеграла
и t,
5 = \ldt = §(T—U)dt.
*0 *0
Интеграл по времени от функции Лагранжа называется действием S
(по Гамильтону). Следовательно, закон движения можно задать
еще в такой форме: движение системы, протекающее по законам
механики, выделяется из всех мыслимых движений тем, что интеграл
по времени от функции Лагранжа, взятый между двумя положения-
ми системы, т. е. функция действия S, принимает экстремальное
значение. Это и есть знаменитый Гамильтонов принцип
наименьшего действия. Из приведенных до сих пор рассуждений нельзя
заключить, имеем ли мы дело с минимальным или максимальным
значением. Но этот вопрос для дальнейшего не существенен.
Итак, мы получили следующие формулы:
A l l
bS=*b$Ldt = b$(T — U)dt = b§(2T — E)dt = 0
. (54)
(Здесь Е — полная энергия.)
128
= q;. (56)
Если имеются еще неконсервативные силы, то, согласно § 5, уравнения
Лагранжа имеют вид:
±JL__JL-Q--o, (55)
dt dqk dqk *k V ;
В этом случае уравнения Лагранжа уже не являются уравнениями Эйлера
вариационной задачи, но необходимого вида уравнения можно получить, есяш
удастся определить такую функцию М координат и их производных, чтобы
d дМ дМ
dt 6qk dqk
В самом деле, тогда функция
L* = L — M = T — U — М (57)
приводит к дифференциальным уравнениям
jL^-iL'-o, (58)
dt dqk dqk
которые являются уравнениями Эйлера вариационной задачи
Ь J L* dt = 0. (59)
Такой случай встречается, например, в задаче о движении электрона в
магнитном поле Н. При этом сила, действующая на электрон, равна FMarH =
е
— _,-— у X Н (см. разд. IV, гл. II, § 2). Так как эта сила всегда перпенди-
с
куля^на к траектории, потому что вектор v направлен по касательной к
траектории, то она не может производить работу, в связи с чем эту силу нельзя
получить из скалярного потенциала. Если положить Н= rot А, то можно
е
показать, что функция М = —А • v удовлетворяет уравнению (56). Ра-
с
зумеется, не всегда можно указать такую функцию М, т. е. система
уравнений (56) может оказаться иеинтегрируемой.
§ 8. Канонические преобразования
Часто бывает нужно произвести замену переменных. Для этого
можно, например, ввести новые обобщенные координаты
посредством уравнений
Як *= Як [Qv Яъ • • • » Ч/)>
затем выразить кинетическую энергию как функцию новых
обобщенных координат и их производных по времени и, наконец,
получить новые обобщенные импульсы по формулам
— дТ
Но принцип Гамильтона дает возможность решить эту задачу
гораздо более изящным и в то же время более общим способом.
Поставим вопрос, как должны выглядеть формулы преобразований при
5 г. иос 129
одновременной замене обобщенных 'координат и импульсов, чтобы
новые переменные снова обладали свойством обобщенных
координат и импульсов, т. е. чтобы они снова удрэлетворяли
каноническим уравнениям. Для этого необходимо и достаточно, чтобы новые
переменные тоже удовлетворяли принципу Гамильтона, В срою
очередь для этого достаточно, чтобы разность подынтегральных
выражений в действии S являлась полным дифференциалом
некоторой функции от старых и новых обобщенных координат (см.
стр. 81), т. е.
или, в силу (45),
2jPk<lk — H(pkiqk)—2jPkqk + ft(Pb> qii^ — F(qk,'qk). (60)
В самом деле, интегрируя это соотношение о? t0 до tv мы
получим:
ЦраЛ —# (P*.fc)]#— jlEPblk — H{pk> qk)\dt =
= [^(fe«Sk— [F(Qk>b)k-
Вариация правой части этого равенства рарнд нулю, так кдк концы
интервала интегрирования закреплены. Из формул (45) и (54)
следует, что вариация первого интеграла в левой части тоже равна
нулю. Поэтому и вариация STQporo интеграла равна нулю, т. е.
новые переменные являются опять канонически сопряженными
обобщенными координатами и импульсами. Выполняя
дифференцирование в правой части соотношения (60) и приравнивая
коэффициенты при соответствующих членах, мы получим следующие
формулы преобразования:
п __ дР (gkt 7k) 7Г — dF fa*»0*)
H(pkiqk)^H(^k^k). (61)
Выразим из уравнений для pk обобщенные координаты qk как
функции от pk и qk. Подставив их в уравнения для pk9 получим
выражения для pk как функции от pk и qk. Впрочем, эти
вычисления редко приходится проводить в такой общей форме.
Произвольная функция F (qk, <7л) называется производящей функцией
преобразования.
Вместо функции от старых и новых обобщенных координат шж*
но исходить также из функции от старых обобщенных координат
130
и новых обобщенных импульсов. При этом мы получим особенно
важные соотношения. В этом случае к правой части уравнения (60)
надо добавить еще выражение V pk qk, которое при варьи-
dt ™
ровании интеграла по времени тоже дает нуль. Итак, мы
запишем:
Проведя те же действий, что и выше, и приравняв коэффициенты
при соответствующих членах, мы получим следующие формулы
преобразования:
дЯк °Pk (63)
§ 9. Циклические переменные. Уравнение Гамильтона — Якоби
Если функция Гамильтона, для консервативных систем
совпадающая с полной анергией, не зависит от обобщенной координаты
qt, то из уравнений Гамильтона (50) следует, что
<ei = -%L = o, (64)
at oqi
т. е. что соответствующий обобщенный импульс является
сохраняющейся величиной. Такая координата называется циклической
(название происходит от того, что в случае Кеплерова движения этим
свойством обладает азимутальный угол <р). Если все обобщенные
координаты системы циклические, то из уравнений Гамильтона
следует, что
df = dH{Pl,P2'pk-''Pf)=Fk(pvPi, ... ,pf), (65)
т. е. что dqjdt являются постоянными величинами как функции
от сохраняющихся импульсов. Поэтому сами обобщенные
координаты линейно зависят от времени. Таким образом, в случае
циклических переменных интегрирование уравнений движения
производится непосредственно. 6 этом случае, вместо того чтобы исходить
из уравнений Лагранжа или Гамильтона и пытаться их
проинтегрировать, можно попытаться найти производящую функцию
канонического преобразования, приводящего только к циклическим
координатам.
Обозначим сохраняющиеся обобщенные импульсы через ak.
Мы должны найти такую функцию SL от старых обобщенных
координат и новых обобщенных импульсов, чтобы
Щр»М**Н(*& (66)
5* 131
В соответствии с формулами (63) следует положить:
Pk= 9цл И ЬЯЛЯ fc—2- (6?)
Функция 5£ удовлетворяет дифференциальному уравнению
Гамильтона — Якоби, которое получается, если в функцию Гамильтона
(53) (стр. 128) подставить вместо рк величины dSJdqk:
H[qk,
dSL \ „
(68)
Здесь Е — значение энергии системы1. Е следует рассматривать
как сохраняющуюся величину, потому что сами
дифференциальные уравнения не содержат значение энергии. Следовательно,
можно отождествить Е с одной из постоянных аЛ, например с аг.
Полное решение этого дифференциального уравнения первого порядка,
но второй степени (потому что Я является квадратичной функцией
от pk) содержит в случае / обобщенных координат / постоянных
интегрирования, из которых одна положена равной £. Вместо
этого можно ввести / произвольных постоянных, но тогда Е должна
быть функцией от alt o^, ..., af и не может быть добавлена в качестве
произвольной постоянной интегрирования. Таким образом,
решение имеет вид:
SL {qk> £, а2ос3, ... , af) = 0; E = ax, (69)
или, в более общем случае,
5£>*'а1'а2> ••• >а/) = 0; E = E(zv ... ,af). (70)
В первом случае, согласно (65), все dqjdt равны нулю, кроме
dqjdt, потому что2 Е = Я.
1 Такой вид уравнение Гамильтона — Якоби имеет, если система
консервативна, т. е. Е = corist. В общем случае, когда энергия не сохраняется,
т. е. функция Гамильтона Н явно зависит от времени, уравнек-ие Гамильтона—
Якоби имеет вид:
dS / dS \
где S(<7fc> 0 — действие по Гамильтону. (Прим. перев.)
8 Двойного обозначения энергии Е и И нельзя избежать по следующей
причине. H(pb,qk) означает функцию Гамильтона от обобщенных
координат и импульсов. Для консервативных систем она совпадает с полной
энергией £, которая является сохраняющейся величиной. При переходе к
циклическим переменным Н зависит только от сохраняющихся величин. В этом
случае можно писать вместо Н также £•
132
Между производящей функцией SL этого преобразования к
циклическим переменным и действием по Гамильтону S имеется тесная
связь. При движении дифференциал SL равен:
dSL = J-^ dqk = 2 pkdqk = £ P*<7* dt9 (71)
потому что аЛ — постоянные, и их дифференциалы равны нулю.
Согласно (52),
поэтому
dSL = 2Tdt (72)
и
SL — Sj,0)=2 J ГЛ. (73)
С другой стороны, действие по Гамильтону равно:
S= J 2Tdt — Et (74)
(см. § 7). Таким образом,
S = 5L — £/ . (75)
Следовательно, SL представляет собой не, зависящую явно от
времени часть действия по Гамильтону 5. Поэтому SL называется также
укороченным действием или действием по Лагранжу.
§ 10. Периодические и условно периодические системы.
Угловая переменная. Угловые переменные Кеплерова движения
Рассмотрим сначала систему с одной координатой х, например
линейный осциллятор. Мы назьюаем систему периодической с
периодом т, если при целых п выполняется условие
X (t + Пх) же X (t).
Так как, согласно § 9, циклическая переменная ср линейно зависит
от времени, т. е. . ,
? = 7*, t = ?/т,
Декартова координата х также является периодической функцией
от циклической координаты ср. Будем называть циклическую
координату ср угловой переменной и обозначать ее w9 если период
равен единице:
x{w+ !) = *(«;). (76)
133
В простейшем случае точки, равномерно движущейся по кругу, одна
из ее координат—полярный угол <р — является циклической
переменной, но угловой переменной будет величина w » <р/2тс,потому что
Декартова координата х периодична по этой переменной с периодом
1. Обобщенный импульс, канонически сопряженный с угловой
переменной, называется переменной действия и обозначается J.
Переменные w и J носят название канонических переменных.
Преимущество использования канонических переменных
состоит в том, что частота системы получается в этом случае
непосредственным дифференцированием функции Гамильтона. В самом деле,
пусть Я задана как функция от переменной действия J (Н не
может зависеть от канонически сопряженной с J обобщенной
координаты, т. е. угловой переменной, потому что она является
циклической). Тогда
dw dH , , s • ,__
— = — = Т, т. е. w = it+b. (77)
dt dJ
С другой стороны, всякая периодическая функция от / с частотой
v при весьма общих предположениях о ее свойствах (см. стр. 55)
представима в виде ряда Фурье:
спе . (78)
Этот ряд является периодической функцией от величины v/ с
периодом 1. Но, по предположению, w—угловая переменная, поэтому
х является также периодической функцией от величины ^ с
периодом 1, т. е. ^ совпадает с v.
Какую сохраняющуюся величину нужно выбрать в качестве
нового обобщенного импульса, чтобы канонически сопряженная
с ним обобщенная координата была не только циклической, но и
угловой переменной? Во всяком случае, производящая функция
преобразования должна удовлетворять уравнению Гамильтона —
Якоби^ Поэтому обозначим ее опять через SL. Если бы мы знали
вид SL как функции от q и J, то можно было бы вычислить
^_^Hp=__£_J (79)
[ср. § 9, формулы (67)]. Поскольку величина J сохраняется,
приращение w за время движения равно:
Требование, чтобы w была угловой переменной, означает, что,
когда система вернется в прежнее состояние, w должна возрасти
134
на 1. Следовательно, если проинтегрировать w по периоду, то
должно получиться:
1
Это требование будет удовлетворено, если ввести в качестве
сохраняющейся величины так называемый фазовый интеграл:
J=,j)pdq. (82)
Знак ф означает, что интеграл берется до периоду, т. е. по всей
области изменения координаты q.
Итак,способ отыскания угловой переменной состоит в следующем.
Пусть функция Гамильтона, т. е. энергия в случае
консервативных систем, задана в каких-нибудь координатах q и импульсах #.
Надо заменить р в H(p,q) на dSJdq и написать уравнение
Гамильтона — Якоби, которое в случае одной переменной является
обыкновенным дифференциальным уравнением. Когда оно решено, т. е.
сведено по крайней мере к одной квадратуре, надо взять интеграл
■№«
(83)
по всей области изменения q, который будет функцией от
постоянной интегрирования Е. Раарешая это уравнение относительно Е,
мы получим, с одной стороны, функцию Гамильтона как функцию
от перемещюй действия и вместе с тем частоту
dE dH /0у|ч
v =* — = —. (84)
dJ dJ v '
С другой стороны, подставляя J в интеграл уравнения
Гамильтона — Явдбд, мы совзрвдида яреобразоаашш к угловой ©ершешюй.
Поясним этот способ на примере линейного гармонического осциллятора
(ср. задачу 35, стр. 91). Имеем:
Следовательно*
Уравнение Гамильтона-
или
T = ±-mx*. U = y*
p_m;.r-£p..
-Якоби имеет вид:
dS, г
—L^ l/2m£-/wfoe».
!35
Отсюда легко найти границу изменения х ( р = —t должно оставаться
вещественным J:
un = -]/^ <*< + ]/-
На пути от дгпип к л-тах х возрастает, поэтому х и вместе с тем р и dSL jdx
положительны. На обратном пути х убывает и производная dSLjdx
отрицательна. Интеграл по периоду
J ^&dlLdx = ф/2m£ — mkx* dx = /ШS) l/?^-xa dx
представляет собой, следовательно, площадь круга с радиусом ]/"2£/& , умно*
женную на yftnk. Таким образом,
k
к/mk, или Е = Н « A-V — •
Отсюда получаем частоту:
v = ^ = _Ll/X,
dJ 2к V т
которая была уже найдена элементарным способом (см. стр. 96). Если взять
неопределенный интеграл от dSL /dx и подставить -_ j/ kjm вместо £, мы
2к
получим производящую функцию SL преобразования к угловой переменной.
Дифференцируя ее по У, получим w. Вычисления не представляют труда,
потому что интеграл \ У" 2тЕ — mkx2 dx легко берется. Поэтому приведем
только результат:
ч> = ±атсв\пЛ/ГкУШх.
> = -Larcsin1 f*Vb»
2к V J
В данном случае метод Гамильтона — Якоби оказывается гораздо сложнее,
чем непосредственное интегрирование уравнения движения, которое
произведено в § 7 главы I. Действительная польза метода Гамильтона — Якоби
проявляется полностью лишь для сложных систем небесной или атомной
механики, где он является весьма ценным вспомогательным средством.
Прежде чем распространить метод Гамильтона — Якоби на
случай системы с несколькими степенями свободы, мы поясним
сначала понятие условно периодического движения, которое возможно
при нескольких степенях свободы. Пусть Декартовы координаты
xk — периодические функции от угловых переменных wk с
периодом 1:
**К+ 1» Щ+ I • • •) = xk(wv w2, ...), (85)
а также
Ч {Щ + nv w2 + /z2, ...) = ** К> Щ •. О (850
136
при любых целых nk. Подобно тому как ряд Фурье является самым
общим представлением периодических функций от одной
переменной, функции от нескольких переменных с числом периодов,
равным числу переменных, выражаются аналитически в наиболее
общем виде посредством кратного ряда Фурье:
** = 222 ••• С. ew<'**"*+«+---> (86)
/ т р
Переменные wk зависят от времени линейно: wk — vkt-\-bk.
Подставляя это выражение в ряд Фурье, объединяя постоянные
множители е2%1пььь с коэффициентами Cj^ и обозначая новые
коэффициенты через Df^ , мы получим:
ч = 222 ••• DZ... г*™*******-*, (в?)
I m р
Этот кратный ряд Фурье уже не представляет периодическую
функцию от времени. Правда, отдельные множители, например е2**"?1* »
возвращаются к исходному значению через тх = — сек. Но
другие множители е2%ьп^^ * через тх сек к исходному
значению не возвращаются, потому что различные vk
предполагаются независимыми. Только при наличии дополнительных условий,
налагаемых на v^, например v4 = v2 = v3 = ул> может быть
достигнута истинная периодичность во времени. Поэтому
такие системы называют условно периодическими. Простой пример
условно периодической системы — материальная точка,
совершающая гармонические колебания вдоль осей X и Y с несоизмеримыми
частотами. Результирующая траектория — так называемая фигура
Лиссажу — никогда не замыкается, поскольку частоты имеют
иррациональное отношение; со временем она плотно заполняет весь
прямоугольник, т. е. с течением времени проходит сколь угодно
близко к каждой точке внутри него. Аналогичным свойством
обладают все траектории при условно периодических движениях. Ими
плотно заполняется определенная область пространства, но
траектория не замыкается со временем, т. е. настоящей периодичности нет.
Условно периодические движения появляются в тех случаях,
когда уравнение Гамильтона — Якоби (68) может быть решено
методом разделения переменных — единственным методом,
приводящим к успеху, если только система вообще обладает периодичностью.
Под разделением переменных мы понимаем решение уравнения
посредством предположения, что
Sz. (ft.?* ... .qf)=SM+St(qj+ ... +Sf\qf). (88)
137
Тогда
dSL dSk
лвЖ=Ж' (89)
и уравнение (68) распадается на некоторое число обыкновенных
дифференциальных уравнений вида:
(-gf)8 + /(<7*)=«„ (90)
причем энергия Е является функцией от постоянных
интегрирования:
ЕваЕ^Ор ... ,«,). (91)
Канонические переменные находятся в этом случае так же, как
и в случае с одной степенью свободы. Пусть S L — производящая
функция преобразования, зависящая от старых обобщенных
координат qk и новых обобщенных импульсов Jk. Тогда применимы
формулы (63) при "qk = wk и pk = Jk .
Представим себе, что все обобщенные координаты qk, кроме
одной, qh> фиксированы. Так как «переменные» действия являются
постоянными, приращение угловой переменной при изменении
Чн Равно:
dhwk = ^dqh, (92)
НО
Щ~ dJk '•
поэтому
d2Sr
Предположим теперь, что уравнение Гамильтона — Якоби
допускает разделение переменных qk\ тогда
d*a>'-jki£dq» <94>
Приращение wkf когда qh пробегает всю свою область
изменения, равно
Введем теперь фазовый интеграл
J^^dq^^p.dq, (96)
в качестве переменной действия. Тогда
V»* ~ ( 1 "РИ ? ^ (97)
0 при h Ф k,
138
Но это означает, что, когда^л пробегает всю область своего
изменения, переменная wh возрастает на 1, или обратно, что
координата qh является периодической функцией от wh с периодом 1.
Хотя каждая из переменных qk является простой периодической
функцией, однако периоды разных qh различны. Поэтому система
является условно периодической, и Декартовы координаты, которые
могут зависеть сразу от нескольких qkt становятся условно
периодическими функциями от переменных wk. Введенные таким
способом переменные wk и Jk удовлетворяют, следовательно, всем
требованиям, которые предъявляются к каноническим переменным.
Поэтому, если выразить энергию не через постоянные интегриро*
вания akf а через фазовые интегралы, то частоты системы мы
получим путем дифференцирования, потому что, согласно (65) и
приведенным выше рассуждениям,
*-*-£• w
Поясним этот способ подробнее на примере Кеплерова движения (стр.
92). Так как в этом случае сила притяжения зависит только от расстояния
г от притягивающего центра, удобно воспользоваться сферическими
координатами. Квадрат элемента длины имеет вид:
ds2 = dr2 + г2 dW + г2 sin2 ft d <?*. (99)
Поэтому
T » — m (-J* - ~i- m (г* + г2Ъ* + г2 sin2 $f). (100)
Тогда обобщенные импульсы равны:
pr = mrt рь =mr24, р? = mr2sin2d^' (101)
Кинетическая энергия, записанная через обобщенные импульсы, имеет вид:
г~^(р'+^+-^Ьгр0-
(102)
В случае поля тяготения, создаваемого массой М, находящейся в начале
координат, потенциальная энергия равна:
i,„12*L«_±. (юз)
Г Г
Уравнение Гамильтона —■ Якоби имеет вид:
2m L \ dr ) ^ r2 \ dft J ^ r2sin2# \ d? ) \ r K
Полагая
получим:
_1
2m
5L=5r(r)+Sd(«)+S?W, (Ю5)
Iml \ dr ) r2 \ dftj ^ r2sin2tf \ d? J J r
139
Это уравнение распадается на три уравнения с постоянными интегрирования
dSa
«* и <ф
d-9
9 t
= at
dft
sin2 # * *
1
2m
- — «£,
r
или:
ИЪ db V Ь sin2#
(107)
(108)
(109)
(1070
(108')
(109')
Эти уравнения имеют несколько более общий характер, чем уравнения (90)
и (91), потому что уравнения (108) и (109) содержат постоянные
интегрирования из уравнений (107) и (108). Но дальнейший ход решения такой же,
как и в предыдущем примере. Интегрирование уравнений во второй форме
сводится к квадратурам. Для вычисления фазовых интегралов /^ надо
определить границы области изменения переменных, для чего опять можно
воспользоваться второй формой уравнений. Так как а — постоянная, р и
вместе с ним <р знака не меняют. Если система условно периодическая, то период
<р равен 2к. Таким образом,
1
J9 = J a9 d4 =
2пс
9 »
2« У?
(ПО)
Иначе ведет себя полярный угол ft. Так как р$ должно быть вещественным и
конечным, границы изменения Ф определяются из уравнения (108'):
sinflmin = sin(rc — #max)!
(Ш>
При возрастании Ь корень следует взять с положительным знаком, а при
убывании — со знаком минус, как уже разъяснялось на примере линейного
осциллятора. Интеграл от ftmin до Фтах и обрат но легко вычислить. Он равен:
J У а* sin2#
1 2я (а^ — а ) ,
(П2)
откуда
2п
140
Подставляя эти фазовые интегралы вместо постоянной интегрирования в
выражение для dSr/drt получим:
>,-§у
Г ЧтЬ (Jb 4Л)2 J ,m-
Если рассматривается движение периодического или условно
периодического типа, то и здесь следует определить минимальное и максимальное
значения г, приравнивая подкоренное выражение нулю, и эти величины должны
быть положительными, потому что радиус-вектор мы считаем всегда
положительным. Как показывает решение квадратного уравнения для г, эти
условия выполняются только в том случае, когда £ отрицательна. Это согласуется
с полученным в § б главы I результатом, согласно которому при
'положительных значениях Е движение происходит по гиперболической орбите, на
которой имеется только одно конечное положительное экстремальное
значение г, а при отрицательной полной энергии получается периодическое
движение по Эллиптической орбите. Если Е отрицательна, пределы
интегрирования по г берем от гт[п до /*тах и с обратным знаком корня от rmax До гт[П.
Вычислить этот интеграл элементарным путем хотя и можно, но довольно
сложно. При помощи же методов интегрирования, даваемых теорией
комплексного переменного (см. стр. 78), он вычисляется очень быстро и дает:
Отсюда
— 2я2 тЬ2
Е~ (',+/*+/,)» ' (1Ь)
Таким образом, энергия Е выражена как функция от переменных действия:
E = H-(JrtJb,J9). (116)
Частоты системы находятся теперь дифференцированием. В нашем случае
энергия зависит только от суммы Jr-\-J% +Л> » поэтому в виде исключения
оказывается, что
зн дн дн
v'=i7, = ">=т; -'*-«;• (117)
т. е. в действительности имеется лишь один период, что соответствует
замкнутости эллиптической о^йтй.
Вообще говоря, следует ожидать столько же независимых частот,
сколько имеется степеней свободы, т. е. в нашем случае три, потому что фазовых
интегралов столько, сколько координат, и энергия в общем случае зависит
от каждого из них по-разному. КогДа число независимых частот оказывается
меньше, говорят, что система вырождена, разность между числом степеней
свободы и числом различных частот называется степенью вырождения.
Значит, наша система вырождена дважды. Вырожденные системы встречаются
довольно часто. В таких случаях величины Jr , Jb , J? не являются
истинными переменными действия. Действительно, снимем вырождение,
добавляя малые возмущающие силы. Следует потребовать, чтобы некоторые
угловые переменные полученной при этом невырожденной системы в пределе,
при стремлении возмущаюЩих сил к нулю, переходили в константы
вырожденной системы. Но для угловых переменных, канонически сопряженных с
Jr, J§, У , это не имеет места. Истинные канонические переменные можно полу-
141
чить, исходя Из невырожденной первоначально системы н устремляя
возмущающие силы к нулю. Приведем без доказательства эти переменные, широко
известные в астрономии как элементы Делоне. Первая переменная действия—
встречающаяся в выражении энергий сумма
канонически сопряженная с ней угловая переменная — средняя аномалия
М, которая связана соотношением М = -~(а —esin и) (е — эксцентриситет)
с эксцентрической аномалией и, входящей в параметрическое представление
эллипса х = a cos и, у = Ь ьхпи. Вторая переменная
Перигелий
Рис. 52. Кеплеро-
во движение.
действия равна умноженному на 2к значению полного
момента количества движения: Л = 2*£,
Соответствующая ей угловая переменная Wg представляет собой
деленное на 2к угловое расстояние перигелия от
линии узлов, т, е. от прямой пересечения плоскости
орбиты с плоскостью XV неподвижной системы
координат1. В случае невозмущенчого Кеплерова эллипса она
постоянна (рис. 52). Третий обобщенный импульс J8
представляет собой умноженный на 2я Z-компонент
момента количества движения, т. е. J3 = 2kL2.
Соответствующая ему обобщенная координата w3 есть
деленный на 2тс угол между линией узлов и осью
X. В случае невозмущенного Кеплерова эллипса она
тоже постоянна.
Глава III
МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
§ 1. Кинематика твердого тела
а) Число степеней свободы твердого тела.
Твердым телом называется система материальных точек,
расстояние между которыми сохраняется, т. е, отдельные материальные
точки жестко связаны друг с другом. Следовательно, мы
абстрагируемся от деформаций, имеющихся в любом реальном физическом
теле.
Положение твердого тела относительно произвольной системы
координат будет определено, если задать положение начала О'
и направления i\ j', W осей неизменно связанной с самим телом
системы координат. Положение начала (У этой системы
определяется тремя его координатами. Направления осей можно определить
направляющими косинусами al9 p/t ъ этих осей относительно
неподвижной системы координат:
1 Неподвижная система координат может быть ориентирована
произвольным образом, но решение существенно упрощается при надлежащем
выборе ее ориентации (например, можно направить ось Z вдоль направления
возмущающей силы).
142
«'-М+РЛ + тЛ
Г = М + М + тЛ (1)
Но эти девять коэффициентов связаны шестью уравнениями:
1-г-*;+й+т,2. (2)
1-^^^ + Й + тз2;
0 = i'. J/=e1at1+p1p1+TlTl,
o-j/.k/-er1ea + plpi4-Tt78f (3)
O-k'.r^ttjei + Papi + TsTi-
Таким образом, только три переменные независимы.
Следовательно, положение твердого тела полностью определяется шестью
числами (координатами), т. е. число степеней свободы равно шести.
Часто оказывается полезным ввести вместо девяти
направляющих косинусов, связанных шестью уравнениями, три независимых
переменных. Для этой цели удобны углы Эйлера &, <р, ф (рис. 53).
д — угол между осями Z и Z'. Плоскость XY
сечет плоскость X' Y' по прямой, которую мы
называем линией узлов; направление ее будем
задавать единичным вектором п. Проведем в
плоскости X' V прямую, перпендикулярную к
п; направление ее будем задавать единичным
вектором т\ ф — угол меэкду линией узлов и
осью Ху <р — угол между осью X' и линией уз- рис. 53. Эйлеровы
лов в плоскости X' Y'. Если заданы углы Эй- Углы ®> *• Ф-
лера, то легко построить координатные оси Г, j',
к'. Сначала надо найти линию узлов в плоскости XY, откладывая
угол ф. Затем построим плоскость X'У7, проходящую через линию
узлов под углом & к плоскости XY4 Перпендикуляр к этой
плоскости является осью Z', Положение оси X' в плоскости X'Y'
определяется углом 9-
Число степеней свободы твердого телй уменьшится, если
закрепить в нем некоторые точки* Пусть, например, закреплена одна
точка. Выберем ее в качестве начала координат О, тогда положение
твердого тела полностью определяется тремя углами Эйлера &, ф, <р,
следовательно, число степеней свободы равно трем. Если закрепить
две точки, то остается единственная возможность вращения вокруг
оси, проходящей через эти точки. В этом случае положение тела
полностью определяется заданием угла поворота. Твердое тело с
двумя закрепленными точками имеет, следовательно, всего лишь
одну степень свободы. Если закрепить еще одну точку, не лежащую
на оси вращения, то тело будет полностью закреплено* Мы будем
143
рассматривать движения твердого тела, возможные при различных
ограничениях числа степеней свободы, а в заключение рассмотрим
также общее движение свободного твердого тела.
б) Вращение твердого тела вокруг
неподвижной оси. Угловую скорость и направление оси можно
характеризовать одновременно одним вектором. Для этого
представим эти величины в виде вектора <*>, направленного вдоль оси так,
что, если смотреть вдоль него, вращение представляется по часовой
стрелке. Абсолютная же величина ш равна величине угловой
скорости о). Но это представление будет иметь смысл лишь
в том случае, если нам удастся показать, что
введенный та*шм способом вектор о> удовлетворяет
законам векторного исчисления: векторная сумма двух
векторов угловой скорости, направленных вдоль
пересекающихся осей, определяет направление оси ре-
Рис. 54. Ли- зультирующего вращения и абсолютную величину
нейная и уг- его угловой скорости. Покажем, что это действи-
ловая ско- тельно так. Пусть и>г — первая угловая скорость,
рост Тогда линейная скорость vt точки Р с
радиусом-вектором г, отложенным от какой-либо точки О на оси,
определяется векторным произведением о^ X г (рис. 54). В самом
деле, величина линейной скорости равна произведению о)2 на
расстояние р точки Р от оси вращения, т. е. равна ooj jrising, r).
Такую же величину имеет ( о^Хг |. Далее, направление vt
перпендикулярно оси, что также отражено в векторном
произведении а^ X г. Пусть через точку О проходит вторая ось а>2, тогда
линейная скорость, обусловленная вращением о»2, равна
v2 = w2 X г. Результирующая линейная скорость равна:
V = Vx + Va = (Ojl X Г -f o>2 X Г,
или, вследствие дистрибутивности векторного произведения,
v = К + о>2) X г = со X г. (4)
Итак, мы можем заменить угловые скорости шх и о>2 угловой
скоростью со, получаемой по закону векторного сложения. Умножая
обе части уравнения (4) на dt, мы получим такой же закон сложения
для поворотов на бесконечно малые углы.
Но эту возможность представления угловых скоростей и
бесконечно малых поворотов векторами нельзя распространить на
конечные повороты вокруг двух пересекающихся осей. Каждому
конечному повороту около данной оси можно было бы сопоставить
вектор, длина которого равна углу поворота. Но на простых примерах
видно, что такие повороты складываются по гораздо более
сложному закону, чем векторы. Конечный поворот означает
ортогональное преобразование осей, т. е. это — тензор, и два
последовательных преобразования можно заменить одним, но не таким простым
способом, как сложение векторов.
144
в) Плоское движение твердого тела.
Рассмотрим теперь движение, при котором все точки тела
перемещаются параллельно некоторой плоскости. В этом случае все точки,
лежащие на одном перпендикуляре к этой плоскости, описывают
конгруэнтные траектории, поэтому достаточно рассмотреть
движение плоской фигуры на другой, покоящейся плоскости. Такое
движение можно реализовать, передвигая лист бумаги на плоском
столе. Легко видеть, что это движение тоже обладает тремя степенями
свободы. Действительно, если фиксировать одну точку подвижной
плоскости, то последняя может вращаться вокруг этой точки.
Таким образом, для полного определения
положения подвижной плоскости доста- р/ ^J\
точно задать две координаты фиксирован- /^^^^^\
ной точки и угол поворота вокруг нее. А<^\ / /"~^*Р*
Можно показать, что в любой момент pK^'^s '/'/''
произвольное плоское движение можно ' ^^--^>>'
рассматривать как вращение вокруг мгно- р°
венного центра. Действительно, выберем Рис.55. Построение мгно-
две произвольные точки Рг и Р2. Пусть венного центра вращения.
за время Д/ выбранные нами
точки переместились в положения Р/ и Р2' (рис. 55). Построим
перпендикуляры к отрезкам РХРХ' и P2P2t проходящие через их
середины; пусть они пересекаются в точке Р0. Треугольники Р^РХР2
и Р0Я/Р2' равны, потому что по построению Р0Рг = Р0Рг' и PQP2 =
= /уУ, а так как система жесткая, то PjP2 = Рг'Р2. Поэтому
треугольник Р0РгР2 можно совместить с треугольником P0PiP2
посредством, вращения вокруг точки Р0. Но положение системы при
плоском движении полностью определяется заданием двух
произвольных точек, поэтому, если исходить из другой пары точек, мы
должны прийти к той же самой точке Я0. Устремим теперь Д/ к
нулю. Тогда отрезки РгРх' и Р2Р2' перейдут в отрезки касательных
к траекториям, совпадающие по направлению с векторами
скорости и перпендикулярные к отрезкам РгР0 и P2PQ. Мгновенное
состояние плоского движения можно, следовательно, рассматривать как
вращение вокруг точки Я0, называемой мгновенным центром вращения.
Будем отмечать последовательные положения мгновенного
центра вращения как в движущейся плоскости, так и в неподвижной.
Тогда мы получим две кривые, называемые подвижной и
неподвижной центроидами (исключение составляет тривиальный случай
простого вращения вокруг неподвижной точки). По определению
мгновенного центра вращения, обе центроиды должны содержать
этот центр в каждый момент времени. Поэтому при бесконечно
малом повороте вокруг мгновенного центра близкие к нему точки двух
центроид должны совместиться, что возможно лишь в том случае,
если обе кривые соприкасаются в мгновенном центре и катятся
без скольжения друг по другу. Это проиллюстрировано на рисунке
56, где кривые для наглядности заменены ломаными:
145
г) Движение твердого тела вокруг
неподвижной точки находится в таком же отношении к плоскому
движению, как сферическая геометрия — к плоской. Подобно
тому как при рассмотренном выше плоском движении точки,
находящиеся на одном перпендикуляре к плоскости движения,
описывают конгруэнтные траекторий при движении вокруг закрепленной
точки, все точки, лежащие на одной прямой, проходящей через
неподвижный центр, описывают подобные и подобно
расположенные относительно неподвижного центра сферические кривые.
Поэтому достаточно рассмотреть движения на поверхности сферы с
неподвижным центром. Можно представить себе
при этом, что подвижная сфера смещается по не-
подвижной, как выше пбдвижная плоскость
двигалась по неподвижной. На сфере можно
сделать построение, вполне аналогичное тому пост-
н&юЗби*»*»" N роению, которое мы делали для плоскости. При
иентроада этом мы Прйдем к ПОняТйю мгновенного Центра вра-
Рис. 56. Каче- щения на сфере. Отмечая положение мгновенного
ние центроид центра на обеих сферах, мы получим две сфери-
друг по другу. ческие кривые, соответствующие подвижной и
неподвижной центроидам. Так же, как и на
плоскости, движение характеризуется качением подвижной
«центроиды» по неподвижной. В действительности мы имеем дело с двумя
катящимися друг по другу конусами1, направляющими которых
являются наши «центроиды». По существу и в случае плоского
движения следовало бы говорить о качении друг по другу двух
цилиндров, образующие которых перпендикулярны к плоскости
движения.
д) Произвольное движение твердого тела.
Положение твердого тела определяется положением начала и
направлениями осей системы координат, неизменно связанной с
телом. Поэтому тело из одного положения можно перевести в другое,
бесконечно близкое, выполняя сначала перенос начала, а затем
бесконечно малый поворот осей в новое положение. При этом всегда
можно добиться, чтобы ось мгновенного вращения совпадала с
направлением переноса, так что твердое тело всегда может быть
переведено в бесконечно близкое положение посредством бесконечно
малого винтового движения. Мы не будем здесь это доказывать,
потому что далее этот факт не используется. Отмечая положения
мгновенных осей этих винтовых движений как в неподвижной, так и
в движущейся системах координат, мы получим две поверхности.
Но при движении эти поверхности будут не просто катиться друг
1 Мгновенная ось вращения тела с одной закрепленной точкой
описывает конические поверхности как в движущейся системе отсчета, неизменно
связанной с телом, так и в неподвижной системе. Эти поверхности
называются соответственно, подвижным и неподвижным аксоадами. (Прим. пери.)
на
по другу, как в случае плоского или сферического движения, но еще
и смещаться вдоль мгновенной общей образующей. Это движение
называется качением-скольжением,
§ 2, Общие законы статики и динамики твердого тела,
Эквивалентные системы сил, приложенные к твердому телу
Как было показано в главе I, необходимым и достаточным
условием равновесия одной материальной точки или отсутствия
ускорения является равенство нулю равнодействующей всех
приложенных к ней сил. Согласно общей механике системы
материальных точек, равенство нулю главного вектора всех сил
обусловливает отсутствие ускорения центра инерции системы, Если центр
инерции находился в покое, когда на него никакие силы не
действовали, то он останется в покое и после приложения системы сил с
главным вектором, равным нулю. Но это еще не означает, что система
материальных точек покоится, потому что возможны еще
вращательные ускорения вокруг центра тяжести. В случае твердого тела
необходимым и достаточным условием отсутствия ускорений такого
рода является равенство нулю главного момента системы сил:
M = 2r|XF,.
В самом деле, ввиду жесткости связей между отдельными материала
ными частицами изменения моментов количества движения
отдельных частиц должны иметь одинаковый знак, так что они не могут
взаимно компенсироваться, как это может быть в случае
произвольной системы материальных точек. Поэтому, полагая М = О, из
уравнения (7) § 2 главы II получаем;
т, е. когда полный момент количеств движения L сохраняется,
сохраняются также моменты количества движения всех материальных
частиц. В частности, если главный вектор системы сил тоже равен
нулю и до этого тело было неподвижно, то оно останется в покое.
Необходимое и достаточное условие равновесия некоторой системы
сил, приложенной к твердому телу, состоит, следовательно, в
обращении в нуль главного вектора и главного момента этой системы
сил:
^F^F^Oh^XF/^M-O. (5)
Действие системы сил, приложенной к твердому телу, полностью
определяется двумя этими векторами. В статике это очевидно. В
следующих параграфах мы покажем, что и во все уравнения
динамики входят только эти два вектора. Все системы сил, имеющие
одинаковые главные векторы F и М, эквивалентны по своему действию.
147
До сих пор, встречавшиеся векторные величины можно было
произвольным образом подвергать параллельным переносам, не
изменяя их значения. Это не применимо к силам, приложенным к
твердому телу. Действительно, смещая параллельно вектор силы,
приложенный в точке Р1У мы изменяем момент этой силы (момент силы
не изменяется только при смещении точки приложения вдоль
направления вектора силы). Сила, приложенная к твердому телу,
является скользящим вдоль прямой вектором, который можно смещать,
не изменяя его, только вдоль его направления.
Величина главного момента системы сил в общем случае
зависит от положения точки О, относительно которой оц взят. Но есть
важный случай, когда от положения точки О главный момент не
зависит. Это будет в тех случаях, когда главный вектор системы сил
равен нулю. Сместим точку О на вектор 8 в положение О' и отметим
штрихами векторы, отложенные от точки О'. Тогда г' = г — 8
и
Sr/XFl = 2r«XF'-S8XF's=2r'XF'-8><F- <6>
Выражение ^]8 xFz равно нулю при любом направлении вектора
8 лишь в том случае, если F = 2^Ft равен нулю, т. е. если центр
инерции покоится или движется равномерно и прямолинейно.
Скалярное произведение F . М во всех случаях не зависит от
положения точки О. Действительно, умножая тождество (6) ска-
лярно на F, мы получим:
F.Jr/xF^F.^XF!, (7)
потому что член F . (8 х F) обращается в нуль.
Далее, можно показать, что всегда имеется ось, относительно точек
которой главный момент М направлен вдоль F. Эта ось называется централь»
ной осью системы сил. Обозначая главный момент, отнесенный к точке 0\
через М', мы определим радиус-вектор S новой точки отсчета так, чтобы
М' = М — Б X F = iF. <8)
Здесь 1 — скалярная величина, которую надо еще определить. Умножая
это уравнение скалярно на F, получим:
М' • F = М • F = fF2,
откуда
MF
и
»XF = M-,F = M--^~MF2-F(M-F) ~FX<MXF), (9,
• р2 р2 р2 % '
148
Отсюда следует, что
где X—произвольная скалярная величина. В этом легко убедиться,
подставляя выражение (10) в уравнение (9). Но уравнение (10) представляет собой
уравнение прямой, на которой должен находиться конец радиуса-вектора 5,
и эта прямая параллельна вектору F. В частности, если вектор М уже
параллелен вектору F, то центральная ось параллельна вектору F и проходит
через точку О.
Простейшая система сил с равным нулю главным вектором F,
но не равным нулю главным моментом М состоит из двух
противоположно направленных и равных по величине сил, приложенных
в двух разных точках гх и г2 (пара сил). Момент этой пары М =
= (гх—г2) X F представляет собой вектор, перпендикулярный к
плоскости параллельных сил и равный по величине произведению силы
F на плечо пары, т. е. на расстояние между прямыми действия сил
пары.
Согласно вышеизложенному, действие системы сил,
приложенной к твердому телу, полностью определяется ее главным вектором
F и главным моментом М, поэтому любую систему сил можно
заменить одной силой F и одной парой, момент которой равен
главному моменту М сил системы. Такая совокупность F и М называется
динамическим винтом (или динамой).
На практике часто встречается случай, когда линии действия сил,
приложенных к твердому телу, лежат в одной плоскости. В этом случае
величину и линию действия главного вектора системы сил можно определить с
помощью следующего простого построения, известного в технике под
названием плана сил. На рисунке 57, а изображены четыре данные силы Fb F2, F3,
F4 , расположенные на своих линиях действия. Главный вектор F этих сил
определяется посредством векторного сложения (рис. 57, б). Ломаная
Рис. 57. «Планы сил» для плоской системы сил:
«веревочный многоугольник», б — «многоугольник сил».
149
Pi F2 Рз Р4 называется силовым многоугольником. Чтобы найти линию
действия главного вектора, проведем сначала на силовом многоугольнике из
произвольно выбранной точки О (полюса) прямые F01, F1>2, F2>3» F3.4 и ^4,0 к на~
чалам и концам векторов сил. Эти прямые тоже можно истолковать как силы.
Из полученных при построении замкнутых треугольников следует, что каждая
из заданных сил уравновешивается двумя вспомогательными силами, если
их приложить в одной и той же точке линии действия заданной силы. Кроме
F0 J и F40 , все вспомогательные силы встречаются на чертеже по два раза
с противоположными направлениями. Следовательно, если мы направим их
вдоль одних и тех же прямых, они взаимно уравновесятся, и останутся лишь
две вспомогательные силы F^j и F 40, которые, по построению,
уравновешиваются силами F%t F|>3 и F3i4# F4 , соответственно. Так как при добавлении
вспомогательных сил система будет полностью уравновешена, силы F0?J и F4>0
должны уравновешивать главный вектор заданной системы сил, так что
линия его действия должна проходить через точку пересечения линий
действия F0 | и F40> Проведем на рисунке 57, а через произвольную точку на
линии действия Fj параллели к F01 и к F1>2, через точку пересечения F1>2 cF2 _
параллель к F23h т. д.; наконец, через точку пересечения линий действия
F3 4 и ^4 — параллель к F4>0. Точка пересечения линий действия F0 j и F4t0
лежит на линии действия главного вектора, направление которой
определяется замыкающей стороной F в ауювом многоугольнике.
Построенная на рисунке 57,0 ломаная называется веревочным
многоугольником, потому что веревка под действием заданных сил приняла бы
такую форму. Если силовой многоугольник—замкнутый, то ?01 и F4QHa
рисунке 57, а параллельны друг другу, т. е. заданная система сил эквивалентна
паре сил. Если же эти параллели совпадают (в этом случае веревочный
многоугольник тоже замкнутый), то заданные силы находятся в равновесии;
Задача
47. Лежащая концами на опорах балка на расстоянии 1/3 ее длины от
конца несет груз весом Р кг. Обращая описанное выше построение,
определить величину давлений на опоры. Как обобщить решение на случай
нескольких грузов?
§ 3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Момент инерции и его вычисление
Изложение динамики твердого тела мы начнем с простейшего
случая «одномерного» движения вокруг неподвижной оси,
определяемого единственной обобщенной координатой — углом
поворота ср. Пусть ось закреплена двумя подшипниками в точках О и О',
главный вектор системы внешних сил равен F, а главный момент М.
Применяя общие уравнения механики системы материальных
точек и рассматривая тело как свободное, мы должны учесть действие
подшипников, которое описывается их реакциями, приложенными
к твердому телу. Под этим подразумевается следующее. Если бы
подшипников не было, то, вообще говоря, ось вращения
перемещалась бы в каком-нибудь направлении. Подшипники предотвращают
это движение, зато ось оказывает давление на подшипники. Мы
можем представить себе, что подшипники заменены их реакциями,
150
которые в каждый момент равны по величине и направлены
противоположно силам давления осей. Реакции, приложенные в
точках О и О', мы обозначим Nr и N/. Выберем один из
подшипников О в качестве начала системы отсчета (т. е. одна из реакций
будет приложена в начале координат, так что г X Nr = 0). Тогда
уравнение, описывающее изменение полного момента количеств
движения тела, имеет вид:
~=r'XN/ + M. (П)
Направим ось Z нашей системы отсчета вдоль оси вращения. Так
как г' — r'k, Z-компонент векторного произведения г' X N/
равен нулю. Поэтому реакция в Z-компоненте уравнения (11)
отсутствует, и мы получим более простое уравнение
тг=м» (12)
которое мы и будем рассматривать в дальнейшем. Пусть вектор
угловой скорости равен
о) = u)k. (13)
Тогда
L ** JX^ х v,)- J miti Х(ш X rt) *=
= u>]£ mtv]—^/^(ш.г^сок £ m?\— ш £ m^ (к. г,), (14)
откуда
L2 = со J] т?- — со £ m, (k. г/-
- «> 2 ^ fri X к)* = о) Jm, (*J + у]). (15)
Величина
£/п,(г, X к)2 - Jyn,{х* + у?) = J]m$*i=J£
(16)
называется моментом инерции тела относительно оси 2. Она
обозначается JZ2no причине, которая будет вскоре ясна. Из уравнения
(12) мы получаем следующее уравнение движения:
jJl^Zl^M, (17)
zzdt zzdt*
Так как положение вращающегося тела определяется только углом
ср, этого уравнения достаточно для изучения временного хода
движения. Если же мы хотим определить реакции подшипников, то
151
надо привлечь и другие компоненты уравнения (11). Сравнивая (17)
с основным уравнением механики точки с одной степенью
свободы:
d*x „
т — = F„
dt% x
мы видим, что оба уравнения математически тождественны, причем
имеется следующее соответствие:
момент инерции Jzz —■+ масса т
угловое ускорение d2y/dt2 —> линейное ускорение d2x/dt2
компонент момента внешних сил, компонент силы
параллельный оси вращения —> в направлении движения
Легко видеть, что кинетическая энергия имеет вид:
1 [dx\z
— снова аналогия с — т —- .
2 \dtj
В механике точки важную роль играли колебательные
движения, возникающие под влиянием квазиупругой силы Fx = — kx.
В случае вращательного движения твердого тела тоже возможны
моменты сил, пропорциональные углу отклонения, направленные вдоль
оси вращения и препятствующие движению, т. е.. имеющие вид
М2 = — D<p, Им соответствует уравнение движения
Jd^ + D?=0. (19)
Момент инерции относительно оси вращения мы обозначили здесь
для краткости J (вместо JZ2).
Размерность множителя пропорциональности D совпадает с
размерностью момента. Поэтому его называют возвращающий
момент. Такой момент возникает, например, когда тело
подвешено на проволоке, закрепленной на верхнем конце, и немного
повернуто вокруг нее; при этом проволока оказывается закрученной. Так
как уравнение (19) с точностью до обозначений совпадает с
уравнением (24) (стр. 95), мы можем сразу написать выражение для
частоты крутильных колебаний твердого тела под влиянием
момента, пропорционального углу отклонения и направленного в
обратную сторону:
1 l/~D 1 *i /"возвращающий
2% V J 2л г момент ине
момент
момент инерции
(20)
Чтобы определить J, надо вычислить величину 2]т^Д которая
в случае непрерывного распределения массы с плотностью о дол-
152
жна быть заменена интегралом Г\ \ofdxdydz. Как мы сейчас
убедимся, момент инерции относительно любой оси можно вычислить
без интегрирования, если известны моменты инерции относительно
трех взаимно перпендикулярных осей тела, пересекающихся в
центре инерции.
Покажем сначала, что вычисление момента инерции
относительно оси, не проходящей через центр инерции, может быть сведено
к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей
через центр инерции и параллельной к первой. Пусть г* — радиус-
вектор центра инерции, проведенный из некоторой точки оси,
выбранной в качестве начала отсчета. Радиусы-векторы
отдельных материальных частиц, отнесенные к центру тяжести, мы
обозначим штрихом. Тогда
Г/ = г* + г/, (21)
и если направление оси задано вектором с, то
/=5>, (г, X с)» = £ т, (г* X с)2 + 2 mi (г/ X с>2' <22>
так как член
2 £/Мг* X с).(г/ X с) - 2(г*Х с) • £т<(г/ X с)
в силу ]£ /га// =0 (см. стр. 116) обращается в нуль.
Второй член в (22) представляет собой момент инерции тела
относительно оси, проходящей через его центр инерции, первый —
момент инерции полной массы тела, помещенной в центре инерции,
относительно рассматриваемой оси. Мы получили теорему Штей-
нера:
Момент инерции твердого тела относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через
центр инерции параллельно данной оси, и момента инерции
полной массы тела, сосредоточенной в центре инерции, относительно
данной оси.
Применим теорему Штейнера для вычисления момента инерции
относительно произвольной оси, проходящей через начало системы
отсчета О, которое не обязательно совпадает с центром инерции.
Пусть направляющие косинусы оси относительно произвольной
системы координат, неизменно связанной с твердым телом, равны
cos a, cos[3, cosf. Тогда
J = J mt (r, X с)2 - J] mt [(yt cos у — г, cos р)2 + (г, cos a — xt cos 7)2+
+ (*;COsp-^cosa2)]= (23)
= 2 Щ iy] + г]) cos2 a+2m/ & + ХЬ cos2P+£ т* (*? + У?) cos*>-
— 2^jnlyizl cos p cos f — 2^jnizixl cos -j cos a—2 ^ m^iHi cos a cos p.
153
Следовательно, момент инерции является квадратичной функцией
от направляющих косинусов оси. Коэффициенты этой
квадратичной функции при квадратах направляющих косинусов раты
моментам инерции относительно трех координатных ооей\
Jjnt(*l + xh*=Jyy. (24)
а при попарных произведениях направляющие косинусов равны
величинам
S ЩУ& = Jy„ (25)
называемым центробежными моментами инерции (девиационными
моментами) по причине, которая будет разъяснена ниже (стр. 160).
Попытаемся нагладно представить момент инерции как
функцию от направления оси с помощью поверхности (см. стр. 41).
Для этой цели отложим от начала отсчета О вдоль каждого
направления оси радиус-вектор R, по длине равный обратной величине
корня из момента инерции относительно этой оси, т. е. положим:
|R| = i /=—= — . (26)
Отнесем полученную поверхность к системе координат с началом
в точке О. Тогда
cos а =* — == V7x, cos p = VI у, cos у = VJz, (27)
R
и уравнение поверхности, на которой лежит конец вектора R,
согласно формуле (23), примет вид:
Jxx& + Jyyy* + *я? - 2Jxyxy - 2Jyzyz - 2Jzxzx = 1. (28)
Это уравнение поверхности второго порядка. Она представляет
собой эллипсоид (в частности, это может быть эллипсоид вращения
или шар), потому что из физических соображений ясно, что момент
инерции относительно любой оси не равен нулю, следовательно,
поверхность, описываемая концом радиуса-вектора длины /?=> 1/VJ,
не может уходить в бесконечность. Так как величины Jxx и т. д.
154
могут зависеть от выбора начала отсчета, каждому началу отсчета
О соответствует свой эллипсоид инерции. Из аналитической reoMet*
рии известно, что для любой поверхности второго порядка
существует выделенная система координат (система главных осей), в
которой уравнение поверхности принимает простой вид
V4V + V-1. (29)
Величины Jv Jn и Jm называются главными моментами инерции.
Если известны оси главных моментов инерции и их абсолютные
величины, то момент инерции относительно любой другой оси,
проходящей через точку О, легко построить графически или найти
аналитически, как обратную величину квадрата радиуса-вектора той
точки эллипсоида инерции, которая лежит на этой оси. Если О —
центр инерции, то при помощи теоремы Штейнера можно вычислить
момент инерции относительно произвольной оси. Так как
поверхность второго порядка имеет 6 независимых коэффициентов, то в
общем случае нужно измерить 6 моментов инерции. Иногда из
соображений симметрии можно заранее указать положение
главных осей инерции, совпадающих с осями симметрии. Шесть
величин, определяющих эллипсоид инерции, можно истолковать еще
так: 3 величины определяют главные моменты инерции, а 3
других — ориентацию системы главных осей в теле, т. е. в системе
координат, неизменно связанной с телом.
В системе главных осей инерции кинетическая энергия
вращающегося твердого тела имеет простой вид. В общем случае:
Так как
(О =й 0)С,
то
Для величины 2 т, (с X г,)2 мы уже получили координатное
представление (23). Так как в системе главных осей инерции Jkl = О
при k Ф U то
Т = 1 со2 (/, cos2 а' + Ju cos2 р' + /ш cos2 ?')• (30)
Кроме того,
ft) *.t ft).,. t I ft) ~ t /щ,
cosa'=-i, cosp' = -^-> cosf*=_L. (31)
ft) 4 0) ft)
Поэтому выражение кинетической энергий при разложении и>
по связанным с телом главным осям инерции имеет вид;
г=jov* +'„•;. +'hi«V).. <32>
155
При этом величины J\ , «/ц, Jm относятся к неподвижному началу
отсчета, а в случае свободно перемещающегося в пространстве
тела — к центру инерции.
Задачи
48. Вычислить момент инерции куба относительно его диагонали.
49. Если физический маятник при колебании относительно двух
параллельных осей, удаленных на разные расстояния Si и s2 от центра тяжести,
имеет одинаковые периоды колебания, то длина математического маятника
с таким же периодом колебания равна s± + s2. Доказать это утверждение
(теория оборотного маятника)*
50. На каком расстоянии должна находиться точка подвеса маятника от
центра тяжести, чтобы малое изменение этого расстояния имело бы
возможно меньшее влияние на период колебаний?
51. Во многих случаях для представления двухатомной молекулы
достаточна модель жесткой «гантели», в которой массы Mi и Мг находятся на
неизменном расстоянии а друг от друга. Эта гантель движется в пространстве,
одновременно вращаясь. Представить кинетическую энергию в виде суммы
энергии переноса и вращения.
§ 4. Движение твердого тела с одной закрепленной точкой.
Основы теории волчка
а) Связь полного момента количеств
движения с угловой скоростью. При изучении
вращения твердого тела вокруг неподвижной оси для описания вре-
меннбго хода движения (без нахождения реакций) нам
понадобился только тот компонент полного момента количеств движения,
который параллелен оси вращения. Но" если освободить один из
концов оси, то ось, вообще говоря, не останется неподвижной, она
будет вращаться вокруг точки О. Чтобы применить закон сохранения
полного момента количеств движения, надо рассмотреть сначала
связь между вектором полного момента количеств движения L
и вектором угловой скорости о>, даваемую уравнением
L = со£ тр- — £ Щ*1 (h - »,). (14)
Записывая это уравнение в компонентах по осям, мы получим:
А* = Хт' (*? + у\ + zt) °v- 2 mixi (w*+уру+zi*z)>
или
Lx = /*Л — Jxy*y — Jxz">» (33)
и точно так же:
Ly = — Jxyvx + Jyy«>y — Jyp„
Lz = — Jxj*x — Jyz^y + JzJ°z-
Следовательно, компоненты L являются линейными однородными
функциями от компонентов о>. Матрица коэффициентов
симметрична, потому что коэффициенты, расположенные симметрично от-
156
носительно диагонали, равны. При любом выборе системы
координат мы должны, конечно, получить один и тот же вектор L, если
будем исходить из одного и того же вектора <о. Согласно сказанному
на страницах 37 и 40, это является критерием того, что наши
6 коэффициентов и есть компоненты симметричного тензора
инерции. По заданному вектору о> можно найти вектор L при
помощи тензорного эллипсоида:
Jxx& + Jyyy* + '«*» - 2Jxyxy - 2Jyzyz - 2Jzxzx = 1 (34)
(ср. стр. 41). Этот эллипсоид совпадает с эллипсоидом инерции
(28) из предыдущего параграфа. Чтобы найти вектор L, надо
провести радиус-вектор г, параллельный о>. Тогда L направлен по
нормали к эллипсоиду в конечной точке радиуса-вектора г.
Абсолютная величина L определяется соотношением L • г = 1. В общем
случае направление нормали отлично от направления
радиуса-вектора, т. е. направление получающегося момента количества
движения в общем случае не совпадает с направлением оси вращения.
Оба направления параллельны только для трех главных осей
инерции. Обозначим штрихами компоненты векторов, отнесенных к
системе главных осей, определяемой формой тела и распределением
масс. Тогда
Lx'=Jl"x» Ly'=JYpy» ^V^III**'. (35)
Эта штрихованная система координат неизменно связана с
телом, будучи системой главных осей эллипсоида инерции, т. е.
она меняет свое направление при вращении тела. Но все
выведенные до сих пор законы сохранения, как например закон
сохранения полного момента количеств движения при отсутствии
внешних сил, относятся к неподвижной системе координат, а
вращающийся вместе с телом наблюдатель отметит движение вектора
полного момента количеств движения.
Быстро вращающееся твердое тело называется волчком (гирос-
копЬм). Наиболее простым оказывается теоретическое
рассмотрение волчка с тремя равными моментами инерции, называемого
шаровым волчком. Он не обязательно имеет форму шара, но массы
в нем должны быть распределены так, чтобы его эллипсоид инерции
являлся шаром. В силу уравнения (35) в случае шарового волчка
вектор L всегда совпадает по направлению с ш. По другим
причинам обычные технические гироскопы являются телами вращения,
у которых совпадают только два момента инерции, так что
эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения. Волчки с тремя
различными моментами инерции, математическое рассмотрение
которых весьма сложно, в обычной механике встречаются очень
редко, хотя в атомной механике они играют некоторую роль, как
модели многоатомных несимметричных молекул. Поэтому мы
ограничимся рассмотрением симметричного волчка. Направим ось к'
157
вдоль его оси симметрии, которую будем называть просто осью
волчка. Обозначим через / момент инерции относительно оси
волчка и через J± — момент инерции относительно
перпендикулярной к ней оси. Введем далее обозначение — = &♦ Численное
значение & заключено между 0 и 2. В этом легко убедиться
следующим образом. Ввиду осевой симметрии *' = у\ поэтому
у = J (х/2 + *//2) dm = 2 J х'Чт, (36)
J^± = §(x'* + z'*)dm~±J+^ г'Чт. (37)
Так как в формуле (37) к J/2 прибавляется положительная
величина, то 1/2 < 1/& < оо или 2 > » > 0.
У симметричного волчка ось симметрии к', полный момент
количества движения L и вектор мгновенной угловой скорости <о
лежат в одной плоскости. В самом деле, описанное выше построение
вектора L по со при помощи эллипсоида инерции благодаря
вращательной симметрии выполняется в меридианальной плоскости.
Аналитически мы получим тот же результат, если сумеем выразить
о) в виде суммы компонентов, параллельных Ьик'. Запишем
сначала ш и L в компонентах, отнесенных к неизменно связанной с
телом системе координат, и объединим перпендикулярные к к'
компоненты ю в один вектор о>'±. При этом мы получим:
Исключая со'±, получим:
L e L (px, i+v jo + у«,в, к' = -£ ш'х+-Ч*'. (39)
<*=у L —(&—1)а>,,к\ (40)
На рисунке 58 графически представлено содержание уравнений
(38) - (40).
б) Свободный симметричный волчок.
Рассмотрим теперь поведение симметричного волчка, на который не
действует момент сил. В этом случае вектор L постоянен.
Дифференцируя уравнение (40), получим:
Согласно изложенному на странице 144, при вращении скорость
изменения — радиуса-вектора г равна ш х г. Так как любой век-
at
153
тор, в том числе и единичный вектор оси к', можно представить
в виде разности двух радиусов-векторов, для которых справедливо
то же самое соотношение, то
Поэтому
—- =coXk' и о).-— = 0.
at at
% = (1 -b) ^fk' + <l -»)«,. (со X k').
(41)
(42)
Из формулы (42) следует, что ыг, постоянна, так как при
скалярном умножении этого равенства на к', используя (41) и к' со =
— ш2,, мы получим ~2р = 0, Не только а>г„ но и абсолютная ве-
*
5
~<ч
3
<Ъ
~
*
aN
_
_
4С
*Ь
W/
чн\
3 \
/cj
Рис. 53. Взаимное
расположение векторов
к', о, и L у волчка.
неподвижней
тсоид
•Подбитый QKCQU&
Рис. 59. Аксоиды
свободного гироскопа.
личина ш остается неизменной, потому что при скалярном
умножении (42) на «а, в силу ш2, =» const и <л>ф X к') = О, мы
получим:
ai^=5AL_/5=o, (43)
dt
dt
Но uy ч= о) . к', поэтому и угол между ши к' должен
оставаться постоянным. Как видно из рисунка 58, который можно
отнести к любому моменту времени, тогда и угол между L и к'
тоже имеет постоянное значение. Единственная возможности
изменения векторов определяется лишь тем, что плоскость рисунка
58 вращается вокруг неизменного направления L. Общее движение
свободного симметричного волчка, называемое щтацией> ид»
регулярной процессией, состоит, следовательно, в том, что
мгновенная ось вращения <* волчка описывает конус вокруг неподвижной
в пространстве оси L, а сам волчок вращается вокруг ф. С Другой
159
стороны, как указывалось в § 1, всякое движение твердого тела с
одной неподвижной точкой можно интерпретировать как качение
подвижного аксоида по неподвижному, причем общая образующая
их определяет направление мгновенной угловой скорости. В нашем
случае неподвижный аксоид — это конус, описываемый вектором
а) вокруг L, а подвижный аксоид — конус, который описывает ш
вокруг к' (рис. 59). Оба аксоида являются прямыми круговыми
конусами. Так как волчки обычно вращаются с большой скоростью
вокруг своей оси, а нутация возникает в результате возмущений
(как это происходит, будет разобрано ниже), то углы между к',
L и <о малы, потому что вектор L всегда близок по направлению к
к'. Угловая же скорость вращения оси к1 вокруг неподвижной оси
L сравнима с о>2,, т. е. велика. В самом деле, согласно (40), соответ-
ствующий компонент равен —L. Полагая приближенно | L | = Л»>2,,
«/
мы получим величину этого компонента: &uv, но 9- на
практике обычно мало отличается от 1.
Пример. Земля представляет собой волчок, угловая скорость
которого относительно мала, но момент количества движения велик из-за
огромного момента инерции. В результате сплюснутости Земли $ =* 301/300.
Вследствие перемещений масс возникают малые колебания полюса, который
блуждает внутри окружности с радиусом около 4 м (!) на поверхности Земли.
Согласно нашим рассуждениям, угловая скорость вращения воруг L составляет
для Земли 2к (301/300) суток ""1. Не связанный с Землей наблюдатель будет
видеть вращение земной оси вокруг L с такой угловой скоростью. Для
земного наблюдателя из этой величины надо вычесть угловую скорость
нормального суточного вращения Земли (2тс суток т1), т. е. для земного наблюдателя
угловая скорость перемещения полюса составит 2тс/300 суток ""1, а период
Т = 300 суток. Наблюдаемый в действительности период составляет 420 суток.
Отклонение от вычисленного значения происходит в результате
деформируемости Земли.
Рассмотрим еще один возможный случай движения свободного
волчка. Пусть о> постоянна по величине и направлению. В этом
случае соотношение (42) может быть выполнено только при условии,
чтошЦк', а в силу формулы (40) тогда и L || к'.
Следовательно, если ось вращения совпадает с осью симметрии, волчок может
длительно вращаться вокруг этой оси. Отсюда и происходит
название «девиационные моменты» для смешанных компонентов
тензора инерции, потому что для осей, не совпадающих с осью
симметрии, эти компоненты не равны нулю и при вращении вокруг
таких осей появляются блуждания (девиации) оси симметрии.
в) Волчок под действием внешнего момен-
т а. Представим себе волчок К, подшипники которого укреплены
в шаровом кожухе G (рис. 60), свободно плавающем в жидкости,
причем центр тяжести волчка совпадает с центром шара. Ось
волчка выберем опять в качестве оси к'. Приведем сначала волчок во
вращение, прилагая к нему момент сил, параллельный к'. Когда
будет достигнуто желаемое число оборотов, прекратим действие
160
этого момента. Будем считать, что трение в подшипниках
отсутствует. Тогда волчок будет вращаться сколь угодно долго с
достигнутым числом оборотов, если считать, что все действующие на него
моменты не обладают компонентом Мг,. При этих предположениях
и)2, постоянна, независимо от того, действует или нет на волчок
какой-либо внешний момент. Действительно, подставляя в основное
уравнение (7) (стр. 114) значение L из (40), получим:
-- dL J do) , J
dt О dt ft
l)^Elk' + ^(&-
dt
1) 0) . (
1 г dt
dk'
(44)
Умножая скалярно это уравнение на к', в силу к'— = 0 и
dk' п
о.— = 0, получим:
J da
dt ~т" О
Допустим теперь, что кожух
вращается с угловой
скоростью 2. Найдем момент сил,
необходимый для того,
чтобы вызвать такое вращение.
Так как ш отнесена к
неподвижной системе отсчета, а не
к вращающейся системе,
связанной с кожухом, можно
было бы ожидать, что о>
равно векторной сумме 2 и
о)2,к\ Но так как при
отсутствии трения в подшипниках
к'- компонент 2 не может
передаваться волчку, мы
должны предположить, что
о) = 2 +(шг,~ 22,)к' =
= 2'^-{-а>2,к- (46)
+ 7,(*-1)
dio2,
~df
или
dt
= 0.
(45)
к (земная ось)
Рис. 60.
на
Действие внешнего момента
гироскоп. Гирокомпас.
Мы обозначили здесь
перпендикулярный к к'
компонент 2 через 2/. Только при
таком предположении
соотношение к' • о) = о>г,
сохраняется. Разложим теперь полное изменение момента
количества движения на два компонента, один из которых может быть
интерпретирован как соответствующий равномерному вращению
кожуха, а другой является разностью между полным изменением
6 Г. Иоо
161
момента количества движения и моментом, соответствующим
вращению кожуха. Для этого подставим в (44)^ выражение (4&) для ак
Учитывая (45), получим:
м J d&\ , J dk' J /ft u dk' J d&x , . dW ,,~
M = = ч—« . — (*— 1) «v — = i -4- Л>^ — • (47)
0 d*
Так как
Ь dt
отсюда получаются две важные формы основного уравнения:
# d/ l d/ Ъ dt
+ ЛХХ к'
(48)
У всякого встречающегося на практике волчка /шг, представляет
основную часть момента количества движения, которую мы
обозначим через L*.
Рассмотрим теперь несколько частных случаев.
1) Равномерное вращение рамки волчка
вокруг неподвижной оси.
Равномерное вращение рамки волчка, и вместе с нею оси волчка,
имеет гораздо большее значение, чем описанная выше нутация.
Оно называется прецессией и представляет собой наиболее
бросающееся в глаза явление. Свяжем с рамкой оси координат i", j", k",
причем пусть ось к" совпадает с осью волчка к' (рис. 60).
Компонент угловой скорости 2, параллельный к7, не дает никакого
вклада в векторное произведение 2 X к", поэтому уравнения (48)
в нашем случае примут вид:
М= L* —= L*2 Xkr
dt
(480
Производная единичного вектора
dir
dt
перпендикулярна к
вращающемуся вектору к". Поэтому действующий момент М
должен совершать такое же вращательное движение. &го имеет место
в случае постоянной силы, линия действия которой не преходит
через центр тяжести волчка. Пусть, например, к кожуху (радиус
которого равен а) на оси j" прикреплена масса т и ось волчка
находится в наклонном положении (рис. 60). Обозначим единичный
вектор направления силы тяжести через g0, угол между g0 и \пг,
равный углу между осью волчка и горизонтом, через 3.
Тогда
М = mgaj" X g0 = ~~ mga sin 8
(49)
162
Следовательно, момент силы все время перпендикулярен к оси к' »
-к".
Из уравнения (48') при заданном моменте определяется лишь
абсолютная величина перпендикулярного к к' компонента угловой
скорости 2. Направление оси, вокруг которой рамка постоянно
вращается, получается следующим образом. Так как — сов-
dt
падает по направлению с М, из уравнений (48') и (49) следует, что
dW
— перпендикулярна к g0, т. е.
dt
^•go = 0. (50)
Интегрируя это уравнение, получим:
k'. g0 = cos / — — Ь } =*= const. (51)
Вращение оси волчка должно, следовательно, происходить так,
чтобы угол между нею и направлением силы тяжести оставался
постоянным, т. е. ось к' должна описывать конус вокруг направления g0.
Абсолютная величина угловой скорости 2, в силу уравнений
(48') и (49), оказывается равной:
Q± MIL* mga tgb
cos 5 ~~ cos 5 L* ^ '
Следовательно, волчок не движется в направлении силы тяжести,
как невращающееся тело, а отклоняется под прямым углом. Это
явление сразу же бросается в глаза. Согласно пункту б), при
малых возмущениях угол раствора конуса нутации остается малым;
угол же раствора конуса прецессии предопределен заранее и даже
при малом моменте сил со временем возникает заметное на глаз
изменение направления оси и только величина скорости прецессии
стремится к нулю вместе с величиной момента.
2) Возникновение нутации свободного
волчка при ударе.
Пусть свободный волчок вращается вокруг своей оси
симметрии и в момент / = 0 к нему прикладывают на короткое время
At силу, момент которой равен М. Интегрируя уравнение (48)
и обозначая интеграл момента силы по времени через N, получим:
N= С МЯ = — 2 '-f Л» Т— = — 2' +/ovAk'. (53)
J Ф х л z J dt О "- [ '
о о
При таком ударе изменение скорости за короткое время At может
быть заметным, несмотря на то, что изменение пути будет
бесконечно малой более высокого порядка вследствие кратковременности
действия силы. Поэтому можно пренебречь величиной Дк\ Итак,
а*
163
после удара к вращению вокруг оси симметрии добавится
перпендикулярный к ней компонент 2 '± — N&//, так что возникнет
нутация свободного волчка, рассмотренная в пункте б). При
этом S'j_ соответствует величине, обозначенной в формуле (38)
через а>'±# Ось L, первоначально совпадавшая с ш, может быть
выведена из этого положения не только ударом извне, но и
перераспределением масс внутри волчка (см. пример в пункте б).
Нутация может накладываться на прецессию, когда прецессирую-
щий волчок испытывает еще ударный момент или когда, как в
случае вращения Земли, в результате перераспределения масс
возникает угол между первоначально совпадавшими направлениями L
и о). Ударный момент имеется и в том случае, когда момент,
вызывающий прецессию, прикладывается внезапно: ведь всякую
кратковременную силу можно представить как внезапное включение
длительно действующей силы и быстро следующее за ним включение
противоположной силы. Так как конус нутации всегда имеет
малый угол раствора, нутация вызывает лишь ребристость конуса
прецессии, которой можно пренебречь в случае технических
волчков.
3) Примеры.
Астрономическая прецессия земной оси. Вследствие сплюснутости Земли
и наклона земной оси к плоскости ее орбиты («к плоскости эклиптики»)
притяжение Солнца при зимнем и летнем положении Земли вызывает
вращательный момент, который стремится повернуть земную ось перпендикулярно
орбите (рис. 61, а). В весеннем и осеннем положении Земли такой момент не
Рис. 61. К возникновению астрономической прецессии.
возникает. Но так как Земля обладает огромным моментом количества
движения, то можно ожидать, что прецессия будет очень медленной и для
собственно прецессии можно взять средний момент притяжения Солнца. К нему
добавляется еще средний момент притяжения Луны, который вследствие
малости расстояния до нее по порядку величины такой же, как солнечный.
Усреднение проще всего произвести, представляя себе массы Солнца и Луны
равномерно распределенными по орбитам, которые они описывают
относительно Земли, причем достаточно предположить, что орбиты круговые.
Притяжение этих колец, плоскости которых с достаточной точностью можно
считать совпадающими, создает средний вращающий момент. Как видно из
рисунка 61, б, сила тяготения старается поставить земную ось
перпендикулярно к плоскости этих колец, т. е. вектор момента силы перпендикулярен к
плоскости, образуемой нормалью к кольцам и земной осью. Момент силы тяготе-
164
ния вращается вместе с прецессирующей Землей в плоскости кблец точно
так же, как в п.\1) он вращался в горизонтальной плоскости. Поэтому ось
Земли описывает конус вокруг перпендикуляра к плоскости земной орбиты.
Период прецессии составляет 27 000 лет.
К этой прецессии вследствие колебаний моментов сил тяготения
добавляется астрономическая нутация, не имеющая ничего общего с нутацией,
рассмотренной на странице 160. (Последняя происходит в результате
внутреннего перераспределения масс, а не вследствие изменений внешних моментов,
как было разъяснено выше, в п.* 2).)
Гирокомпас. Пусть волчок закреплен в рамке, которая может
вращаться вокруг вертикальной оси а (рис. 62). Если бы волчок находился на
покоящейся Земле, то он сохранял бы направление своей оси, потому что на него
не действовал бы никакой момент. Но вследствие вращения Земли,
происходящего вокруг оси к с угловой скоростью со, рамка (которая предполагается
сначала неподвижно связанной с Землей) будет вращаться; при этом она
испытывает со стороны волчка момент М'. В силу закона равенства действия и
противодействия этот момент противоположен тому моменту, который вызвал
бы вращение оси волчка, поэтому, согласно (48'), он равен:
М'
— L*cok X к'.
(54)
W
При произвольном положении оси в горизонтальной плоскости этот момент
имеет как вертикальный компонент М'а, так и горизонтальный М'±.
Вертикальный компонент, согласно изложенному в § 3, вызывает вращение
рамки вокруг оси а, горизонтальный
компонент уравновешивается
подшипником Р (вращение вокруг горизонтальной
оси невозможно). Если же ось
волчка лежит в меридиональной плоскости,
определяемой вертикалью и
направлением земной оси к (положение ki земной
оси на рисунке 62), то вектор Mi' не
имеет вертикального компонента и
поэтому рамка не вращается вокруг оси а,
т. е. направление север — юг
является положением равновесия,
причем устойчиво то направление,
которое соответствует меньшему углу между
векторами к и к', связанными с
вращательным движением обычным образом.
Вследствие малости со направляющее
действие в этом устройстве столь мало,
что трение в подшипниках оси а с
трудом преодолевается. Устройство
применяемого ныне гирокомпаса соответствует рисунку 60. Чтобы момент, с
которым волчок действует на кожух, компенсировался, нужно лишь подвесить
к кожуху груз т в плоскости, перпендикулярной к оси волчка. Чтобы этот
груз создавал момент, ось волчка не должна быть строго горизонтальной,
она должна составлять угол 5 с горизонтальной плоскостью. Тогда в
обозначениях рисунка 60:
Рис. 62. Первый тип гирокомпаса.
tnga\,r X go + M' = tnga}" X go — £*"k Xk' = 0.
(55)
Так как векторные произведения перпендикулярны к плоскостям,
содержащим сомножители, равенство произведений означает, что векторы к, к', j",go
лежат в одной плоскости, т. е. в положении равновесия ось волчка должна
снова находиться в меридиональной плоскости.
165
Задачи
52, Найти наклонение оси волчка в описанном в конце этого параграфа
случае как функцию географической широты у и груза т. (Указание:
обратить внимание, что высота полюса равна географической широте.)
53, Снаряды, выбрасываемые из нарезных орудий и имеющие в
результате этого вращение вокруг своей оси, отклоняются от прямой. Как объяснить
качественно это явление и в каком направлении отклоняются снаряды с
правым вращением, т. е. снаряды, вращение которых представляется по часовой
стрелке, если смотреть вдоль траектории? (Указание; сопротивление воздуха
пытается отклонить острие снаряда.)
Глава IV
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ)
§ 1. Геометрия малых смещений
Рассмотренное в предыдущей главе абсолютно твердое тело, как
известно, представляет собой абстракцию, В реальных физических
твердых телах, например в стальном стержне, частицы в
действительности связаны друг с другом не абсолютно жестко. Под
влиянием внешних сил они испытывают малые смещения друг
относительно друга — тело деформируется. Правда, в большинстве
случаев деформации столь малы, что во многих процессах ими можно
пренебречь. Однако нередко представляют интерес процессы,
обусловленные как раз упругими свойствами, например колебания
пружины. Теория упругости представляет собой обширную область
математической физики, имеющую также большое практическое
значение. Здесь мы рассмотрим лишь некоторые принципиальные
вопросы из этой области.
Современные представления о строении вещества позволяют
во многих случаях понять, почему для достижения деформации
необходимы значительные силы. Без воздействия внешних сил
твердое тело находится в состоянии внутреннего равновесия, в котором
его атомы или молекулы находятся на таких расстояниях друг от
друга, что действующие между ними силы взаимно
уравновешиваются. Всякое изменение этих расстояний, вызванное внешними
силами, тотчас же приводит к нарушению равновесия между силами
притяжения и отталкивания, и их совместное действие создает
внутреннее давление или натяжение, уравновешивающее внешние силы.
Можно представить себе, что атомы связаны друг с другом
пружинами. Такая довольно грубая модель все же позволяет понять, как
деформация, возникшая в ограниченной части тела,
распространяется затем на все тело. Статическая задача теории упругости
состоит в вычислении деформаций, возникающих под влиянием
заданных сил. Распространение упругих возмущений с течением времени
составляет динамическую задачу теории упругости. Например, если
Щ
в упомянутой выше модели вывести несколько атомов из
положения равновесия и предоставить их самим себе, то они начнут
колебаться около положений равновесия и это колебание будет
распространяться по телу вследствие связи их с другими атомами. Но при
вычислениях мы не будем пользоваться атомистической картиной.
Мы будем описывать процессы макроскопически как происходящие
в сплошной среде, заполняющей пространство. Это значит, что
рассматриваемые элементы объема не слишком малы, так что они
содержат достаточно большое число атомов (см. стр. 7).
Познакомимся теперь с геометрическими и кинематическими
соотношениями при бесконечно малых деформациях. Рассмотрим столь
малую окрестность некоторой точки Р0, что можно пренебречь
квадратом расстояния любой точки Р этой окрестности от Р0. При
деформировании тела каждая точка йолучает смещение s = ил -f-
-f* Щ + wk, которое мы будем считать тоже малым. Кроме того,
эти смещения должны мало отличаться для соседних точек, так что
произведениями частных производных —, —, —, —, ...
дх ду дг дх
друг на друга и на компоненты s тоже можно пренебречь. Пусть
точка Р0 получает смещение s0» Тогда смещение точки Р, радиус-вектор
которой относительно Р0 обозначим г, равно:
s = s0 + (г . V)s, (1)
или в координатах:
„ = Mo + r.grad„ = «0 + (f)/+(|)r, + (f)/, (2)
Индекс 0 при производных указывает, что во всей рассматриваемой
окрестности можно считать производные равными их значениям
в точке Р0, в соответствии с нашим предположением о малости
компонентов смещения и самой окрестности. Разумеется,
предполагается также непрерывность среды, т. е. отсутствие разрывов или
изломов тела. Этими уравнениями компоненты s определяются как
линейные функции от г. Но больший интерес представляет связь
между первоначальным вектором г — Р0Р и вектором f' — PJP\
в который переходит г после деформирования. Эту связь
математически можно рассматривать как преобразование окрестности
точки Р0, определяемое деформацией.
Из рисунка 63 видно, что
Г' = г + (s — So) = г + (г . v)s,
или:
г'-г- (г . V)s. (3)
i§7
ди
Hz
В координатной записи1:
'-5*+('+£)'+£*
№
дх ду
f>.D
Таким образом, это преобразование тоже линейное.
Так как переход от г к г' не зависит от выбора системы координат,
коэффициенты уравнений (4)
представляют собой 9 компонентов тензора.
Преобразование окрестности точки
Р0 в окрестность точки Р0' является
аффинным преобразованием
пространства, при котором, по определению,
прямая переходит в прямую, плоскость в
плоскость и сохраняется
параллельность. Последнее легко проверить в
векторной форме записи. Семейство
параллельных прямых с направлением, задаваемым вектором t,
может быть записано при помощи одного параметра X:
г = г, + Xt. (5)
Каждому вектору г^ соответствует одна прямая этого семейства.
Подставляя (5) в (3), получим:
r' = rl + Xt + [(ri + Xt).V]s = ri + (r/.V)s + X[t + (t. V)]s. (6)
Это снова уравнение семейства параллельных прямых с
Рис. 63. Малые смещения
окрестности точки Р.
Г;=Г,+(Г, • V)S, t' = t+(t.V)S.
(7)
Но в преобразовании, определяемом уравнениями (4), может
содержаться еще часть, соответствующая повороту окрестности
как жесткого целого. При этом вектор г изменяется, но никакие
внутренние силы не появляются, так как в рассматриваемой части
пространства не произошло действительной деформации. При
определении сил, вызванных изменением расстояний между точками,
мы должны вычесть из преобразования (4) ту часть, которая
обусловлена чистым поворотом. Это можно сделать следующим образом.
На странице 144 было показано, что скорости точек твердого тела,
вращающегося с угловой скоростью «>, определяются формулой
v = <о х г. * (8)
1 В дальнейшем мы опускаем для простоты индекс 0 при частных
производных.
168
Возьмем ротор от этого равенства (см. стр. 43):
rot v = V X(wXr)=(fl(V-r)-(o).V)r = (tidivr —(o).v)r = (9)
= 3(0 Ш =- 2(0.
Таким образом, при заданном поле скоростей rot v определяет
удвоенную угловую скорость. (Это заключение остается в силе, если
на вращение накладывается общий параллельный перенос vT, при
котором вектор ут одинаков для всех точек и при образовании
ротора выпадает.) За малое время dt приращение вектора г,
вызванное вращением твердого тела, равно:
4рг = (»Х1)Л = ^(го'^Л) Xr = -7(r0ts)Xnl (Ю)
Изменение г, обусловленное чистой деформацией, которое мы
обозначим йдеф г, определяется разностью:
^деф Г = Г' — Г —rfBpr. (И)
Таким образом, собственно деформация определяет следующее
преобразование:
г" = г + ^дефг-г + (г . v)s-|(rot s) хг,
или в координатах:
\ ~ дх} ~ 2 \ ду ~ дх) * 1 2 \ дх ] дг )
„ 1 ( ди , dv\ , /, , dv \ , 1 I dv , dw\„
2 \ дх ^ дг ) ~ 2 \ дг l ду) * ' \ 1 дг }
Коэффициенты Tik этого преобразования образуют симметричный
тензор, который можно интерпретировать геометрически как
эллипсоид (см. стр. 41). Уравнение этого эллипсоида имеет вид:
(,+£)*+-('+t)>+(l+3"+(#+£)*«*
, / dv , dw \ , / dw , ди \ „ ,
Г \дг ^ ду) и ^\дх ^ дг )
Он называется эллипсоидом деформации. Его главные оси
называются главными осями деформации. Направление вектора г"
определяется нормалью к поверхности эллипсоида, проведенной через
конец вектора г (см. стр. 41). Вдоль главных осей эллипсоида оба
эти вектора имеют одинаковое направление. Это означает, что
только отрезки, направленные вдоль главных осей деформации,
испытывают чистое растяжение (сжатие) без поворота.
1 Собственно, следовало бы писать rotds, но мы и так уже условились
все смещения s считать малыми.
169
Коэффициенты (1+ —V — / 1""/") и т# д* имеют слеДУ~
ющий наглядный смысл. Преобразование (13) переводит вектор i
в вектор
ч-(1+£)'+т£+£)'+т(£+£>- <15>
а вектор j — в вектор
' 2 \ду т дх } г \> ду J s [ 2 \dz * ду) х }
Пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, получим:
КИМ V?-i * Ki-iji *
i| 1 ~ d* |j| - ду
(17)
Следовательно, величины — , — и — определяют относитель-
дх ду дг
ные изменения длин отрезков, лежащих на осях Ху Y и Z.
В недеформированном состоянии векторы i и j
перпендикулярны друг к другу, после деформирования они образуют угол,
который мы обозначим через — •
ся от ic/2. Тогда
V
sin i
(16)
потому
для г
что он
'■•г/ ■
1 • 1 «-Н
иг;
[ мало отличает-
(18)
и пренебрегая
COS (
дм
произведениями производных —, ... , получим:
дх
*i*«/»*</«f+ £• (19)
Таким образом, удвоенный компонент Т12 тензора деформации
означает изменение угла между осями ХиУ при деформировании тела.
Аналогичный смысл имеют и другие компоненты. Если главные оси
деформации совпадают с координатными осями X, Y, Z, то в
координатном представлении тензора деформации компоненты Tw Г23,
Тп равны нулю. Это означает, что направления осей остаются
нормальными к поверхности эллипсоида деформации, т. е. для этих
направлений имеет место чистое растяжение или сжатие. К такому
же выводу мы пришли выше, исходя из свойств эллипсоида.
Чтобы вычислить изменение объема, отнесенное к 1 см?,
надо вычислить разность объемов параллелепипедов, образуемых
векторами i, j, k до и после деформирования, т. е. разность
170
(г] X r"k)
1. Вычисляя соответствующий определитель, мы
(20)
V" — V _
V
ди , ди , dw ,.
= 1 1 =divs
дх ду dz
получим:
Компоненты вектора х" — г' можно получить из уравнений (13),
перенося в левые части компоненты вектора г. Введем для частных
производных и их комбинаций, физический смысл которых выяснен
выше, следующие сокращения:
*11 =
^22 ^
^33 ==
ди
7*'
dv
Ту'
dw
Tz'
te12 —
^#23 ==
2^3i ^
5»
dz
dw
Их
+
+
+
д*
ди
dz.
— ^21»
— ^32»
= 2е13.
(21)
Тогда
' X"-
у"-
Z"-
— X =
-у =
— Z =
eU X "Г е12
' ецх "Г^га
б31 ■* ~Г eS2
У + «И*.
г/ + е»г,
у+«з»2. <
(22)
Тензорный эллипсоид, соответствующий этому симметричному
преобразованию, имеет такие же направления осей, как и эллипсоид
деформации (14). Это легко показать аналитически, но и без
вычислений это очевидно: если в направлении оси вектор г" коллинеарен
вектору г, то то же самое справедливо и для разности г" — г.
В системе главных осей смешанные компоненты тензора eik равны
нулю, и тогда остаются лишь компоненты
ди' л ди' л dw' /00ч
а*':
ду'
dz'
Отмеченные штрихом компоненты векторов и координаты ^отнесены
к системе главных осей. Величины ev elv еш называются главными
растяжениями.
Задача
64. Вычислить относительное изменение длины отрезка, направляющие
косинусы которого относительно главных осей деформации равны аъ а%, а$.
§ 2. Состояние напряжения в деформированном теле
Выделим внутри упругого тела, испытывающего деформацию,
элемент объема dz с массой dm. С одной стороны, на все его атомы
действуют объемные силы, например сила тяжести, которые не за-
171
висят от того, находится ли атом внутри объема или на его
поверхности. К такого рода силам относится также «сила инерции»
— dm — (см. стр. 122), когда тело находится в состоянии
ускоренного движения. С другой стороны, между соседними атомами
действуют силы, соответствующие пружинам в модели,
упомянутой в § 1.
В силу закона равенства действия и противодействия
внутренние силы, с которыми действуют друг на друга атомы
рассматриваемого элемента объема, в сумме уравновешивают друг друга, и
остаются лишь силы, действующие на элемент объема со
стороны атомов, расположенных у его
поверхности, которые, следовательно,
пропорциональны не объему нашего элемента, а площади его
поверхности. Назовем напряжением Р силу,
действующую на единицу площади поверхности.
Напряжение не обязательно перпендикулярно к
элементу поверхности; в общем случае оно
содержит нормальный компонент (давление или
натяжение) и касательный компонент («скалы-
Рис 64 к вающее» напряжение, стремящееся сдвинуть
напряжения!6^ параллельные элементы поверхности друг
относительно друга). Покажем, что для любого
элемента поверхности с заданным направлением нормали можно
определить напряжение Р, если в этой точке известны
напряжения на площадках с тремя некомпланарными направлениями
нормалей, направленными, например, вдоль осей прямоугольной
системы координат. Выберем в качестве элемента объема малый
тетраэдр, три грани которого dfx, dfr dfz лежат в координатных
плоскостях, а четвертая df имеет внешнюю нормаль п (рис. 64). Далее,
обозначим Рь Р2, Р3 напряжения на площадках с нормалями,
направленными вдоль осей XyY и Z. Но векторы внешних нормалей
к граням нашего тетраэдра, лежащим в координатных плоскостях,
направлены против осей X, Y и Z. Поэтому Plf Р2, Р3 — это
напряжения, с которыми грани нашего тетраэдра действуют на
прилегающие к ним элементы поверхности с нормалями,
направленными вдоль осей. Согласно закону равенства действия и
противодействия, приложенные к тетраэдру напряжения, создаваемые
соседними с ним элементами, равны — Pj, —Р2, —Р3. Запишем
теперь условия равновесия нашего бесконечно малого тетраэдра.
При этом достаточно учитывать только поверхностные, т. е.
пропорциональные площадям граней, силы, потому что объемные силы,
пропорциональные объему тетраэдра, являются бесконечно
малыми высшего порядка. Таким образом, первое условие равновесия —
обращение в нуль главного вектора сил — имеет вид:
P#-Pi#,-P2d/y-P8d/, = 0. (24)
172
Так как
ndf=ldfx + ldfy + kdfz, (25)
т. е.
dfx =a d/(n . I) = d/cosa; d/y = d/cosP; d/f = d/cosf, (26)
TO
P = Px cos a + P2 cos 8 + P3 cos ?. (27)
Обозначим через Pn, P12, P13 компоненты вектора Р^
направленные вдоль осей X, Y, Z, через P2l, P22, P23 — соответствующие
компоненты вектора Р2 и т. д. Представим предыдущее равенство
в компонентах:
рх=ри cos a -f- P21 cos р + Р31 cos f,
Ру = Р12 cos a + P22 cos р + рз2 cos т, (28)
^ = ^i3 cos a + P23 cos 3 -J- ^33 cos ?.
Эти уравнения каждому направлению нормали п ставят в
соответствие определенный вектор напряжения Р.
Смысл коэффициентов Pik можно выяснить, рассматривая
единичный куб с гранями, параллельными координатным плоскостям.
Например, для граней, параллельных плоскости YZ, имеем;
cos а=1, cos р = cos 7 = О,
так что
Рх ==z Р11> Ру ^ Р1Ъ г z = ^13»
т. е. Рп представляет нормальный компонент Р, а Р12 и Р13 — два
касательных компонента, лежащих в плоскости YZ. Вообще
коэффициенты с двумя одинаковыми индексами означают натяжения,
а коэффициенты со смешанными индексами — «скалывающие»
напряжения.
Коэффициенты Pik представляют собой снова компоненты
тензора, потому что связь между Рипне должна, разумеется,
зависеть от выбора системы координат. В следующем параграфе мы
покажем, что величины Plk определяют симметричный тензор; следо-.
вательно, его можно геометрически представить эллипсоидом.
Тензор Pik и соответствующий ему эллипсоид называются тензором
и эллипсоидом напряжений. Если направить оси координат вдоль
главных осей эллипсоида, то смешанные компоненты тензора
обратятся в нуль, и в этой системе координат останутся лишь
диагональные элементы Рр Рп, Рш матрицы коэффициентов. Эти три
величины называются главными напряжениями. В этой выделенной
системе координат связь между компонентами напряжения,
приложенного к площадке с нормалью п, и главными напряжениями
становится очень простой; обозначая штрихом величины,
отнесенные к этой системе, имеем:
рх, = р, cos a', Ри< = Рц cos р/, Рг' = Pihcos т'. (29)
173
§ 3. Условия равновесия упругого тела
Основные уравнения механики системы материальных точек
дают следующие условия равновесия сил, действующих на
конечный объем упругого тела: главный вектор и главный момент
приложенных к объему сил должны быть равны нулю, т. е.
J Fdx + (pd/ = 0, (30)
JrX F<h + (£rxPd/ = 0. (31)
Здесь F — главный вектор всех объемных сил, действующих на
единицу объема. Интегралы по поверхности распространяются на всю
границу рассматриваемого объема. При суммировании всех
напряжений,' приложенных к отдельным элементам объема, внутренние
напряжения выпадают, так как на каждой поверхности раздела
действуют два взаимно противоположных напряжения, в соответствии
с тем, что внутренняя поверхность раздела принадлежит обоим
соседним элементам объема.
Запишем Х-компонент уравнения (30):
§Fxdx-\-§Pxdf = $Fxdx + § (Pucosa+P81cosp + P8iCOSTf)d/.
(32)
Введем вспомогательный вектор:
"iWni + ^iJ + ^ik (33)
(ниже мы покажем, что тензор Plk — симметричный, так что этот
вектор совпадает с Рг). Тогда в (32) интеграл по поверхности
можно преобразовать при помощи теоремы Гаусса в интеграл по
объему:
P^d/=^P1-nd/=^P1 df= jdivfVt. (34)
Аналогично преобразуем К-и Z-компоненты уравнения (30). Так
как условие равновесия должно выполняться для каждого
элемента объема, то в координатной записи мы получим следующие
уравнения:
f,+*f;-F,+f+^+f=o,
2 [ 3 z [ дх г ду ^ дг
174
■* 32
Pa
P«.
— ^2S>
— P
= -P«
Далее, Х-компонент уравнения (31) имеет вид:
${yFg-zFJdx+${yP,-zPy)df = 0. (36)
Так же, как и выше, можно записать:
§(yPz-zPy)df=§(yT8-zPi.df = j(div^~divzI^)dT.
(37)
Так как
div*/P3j== ydiwP^+^^grsdy = ^
= t/divP3 + P3 • J = ydivP3+P23,
то Х-компонент уравнения (31) примет вид:
y(Fz + div?;)-z(Fy+divP;)-Pb2 + P23~Q. (39)
В силу первого условия равновесия члены в скобках равны нулю;
второе условие равновесия приводит к симметрии тензора
напряжений:
■* 32 == ^28»
(40)
(последние два равенства получаются аналогично первому). К
условиям внутреннего равновесия следует добавить условия
равновесия поверхности, которые получаются следующим образом.
Если известны действующие на элементы внешней поверхности
напряжения Ра, обусловленные внешними силами, то снова можно
воспользоваться уравнениями (28). Таким образом,
К = рп cos а + рп cos р + Р31 cos т,
^=^i2COsa4-P22cosp + P32cosT, (41)
К = Р13 C0S a + P23 C0S Р +Р33 COS 7,
причем Plk = Pkl.
§ 4. Связь между тензором деформации и тензором напряжений
Условия равновесия (35) еще не достаточны для ответа на
следующий вопрос: каково состояние равновесной деформации при
заданных внешних силах? Нам не хватает главного — связи
между величинами, характеризующими напряжения и деформации.
Так как каждая из этих величин состоит из шести компонентов, в
общем случае можно ожидать, что каждый компонент тензора
деформации является функцией от всех компонентов тензора напряжений,
и если предположить связь, линейной, то это приводит к системе
175
уравнений с 36 постоянными. Но в зависимости от свойств
симметрии рассматриваемого вещества эти уравнения значительно
упрощаются. Мы рассмотрим только изотропные вещества (не
кристаллы). В этом случае, как увидим, можно обойтись всего лишь двумя
постоянными. Для изотропного вещества оси эллипсоидов
напряжений и деформации должны совпадать. Действительно, оси
эллипсоида напряжений определяют направления, по которым
напряжения направлены вдоль нормалей к поверхности, т. е. являются
чистыми натяжениями. Из соображений симметрии ясно, что в
изотропных телах в этих направлениях могут возникать лишь сжатия
или растяжения, но не боковые смещения. Согласно
сказанному в § 1, это как раз является существенным свойством главных
осей деформации. Поэтому запишем сначала связь между тензорами
напряжений и деформации в этой выделенной системе координат.
Основу так называемой классической теории упругости
образует закон Гука, согласно которому нормальное напряжение
пропорционально относительному удлинению («ut tensio, sic vis» —
каково растяжение, такова и сила). Как показывает опыт, закон Гука
справедлив лишь для малых деформаций, при больших
деформациях он теряет силу. Запишем это соотношение для оси I в виде Р{ =
=Ее , где Е — линейный модуль упругости материала (модуль
Юнга). Из опыта известно, что при растяжении тело испытывает
уменьшение своих поперечных размеров. Отношение поперечного
сжатия, т. е. изменения длины единичного отрезка, перпендикулярного
к направлению натяжения, к продольному растяжению
называется коэффициентом Пуассона [х. Опыт показывает, что в пределах
применимости закона Гука |л остается постоянным. Следовательно,
если вдоль трех осей действуют напряжения Pv Рп, Рш, то
напряжения Рп и Рш вызывают сокращения в направлении оси I,
равные по величине ц.еп= —Рп и реш= ~^ш- Точно так же
определяются и сокращения вдоль остальных осей. Все вместе дает:
61 = т {Pl ~ *{Ри +Рш)}= 4т {Pi ~ ГТ;(Р| + р»+р>»)}.
«II = -J { Рп - Ц (Л., + /»!)} = ^ \Pll ~ ^ (Pl + Ри + Л,1)} .
вш= -j { Рт - И (Pi +Ри) } = ^[Рш- ^ЧЛ +Рц + Рш)}.
(42)
Остается записать, эти уравнения в произвольной системе
координат, т. е. сделать преобразование координат в уравнениях (42),
полученных в выделенной системе координат — системе главных осей.
176
Дело в том, что в общем случае главные оси в деформированном
теле меняют свое направление от точки к точке, так что они не
удобны для описания процессов. Обозначим углы, которые ось I образует
с новыми осями X, Y и Z, через (I, х), (I, у) и (I, г) и аналогично
обозначим углы, образуемые осями II и III с новыми осями.
Обозначим, далее, единичные векторы по осям I, II, III через ср сд , с1Ш
а по новым осям — через i, j, k. Тогда
i = Cj cos (I, x) + cn cos (II, x) + cIU cos (III, x)f
j = Cj COS (I, y) + C„ COS (II, y) + CIU COS (III, y)9 (43)
k = c, cos (I, z) + cn cos (II, z) + cm cos (III, z).
Согласно выведенному на странице 38 закону преобразования
тензорных компонентов, мы получим:
еп = е{ cos2 (I, х) + еп cos2 (II, х) + ет cos2 (III, x)9
е22 = ех cos2 (I, у) + еп cos2 (И, у) + ет cos2 (III, у),
^зз = е\ cos2 (I z) + еп cos2 № г) + ^ш cos2 (III, г),
*ia = *2i = *i cos С1» *) cos (I У) + еп c°s (И, a:) cos (II, у) +
+ еш cos (III, л:) cos (III, у), (44)
£, COS (I, у) COS (I„ 2) + ец C°S (И, #) COS (II, Z) +
4- em cos (III, */) cos (III, г),
e, cos (I, z) cos (I, *) -j- en cos (II, г) cos (II, x) -f-
+ еш cos (III, z) cos (III, x).
Отсюда видно, что сумма еп + е22 -[- е33 = div s не зависит от
выбора системы координат и равна ег + еп + ет. Такие величины
называются инвариантами тензора. Второй инвариант, которым
мы позже воспользуемся (см. стр. 181), имеет вид:
*ii *» + *22 *зз + ^зз еп — ( е]2 + е\ъ 4- 4) = (45)
= е\ еп "т" еи еш ~т ет е\ •
Такие же формулы преобразования получатся и для
компонентов тензора напряжений Pik. Поэтому, выражая в формулах
преобразования (44) ev ew еш при помощи уравнений (42) через Р
Ри> Ли и используя соотношения
cos2 (I, x) 4- cos2 (II, x) + cos2 (III, x) = 1,
cos(I, x) cos (I, y) 4- cos (II, x) cos (II, #) 4- cos (III, x) cos (III, y)=0 и т. д.,
177
^23 — ^32
^31 == ^13
мы получим следующие уравнения'
еи =
{р"—гт;(Pii4_ Р2з+Рзз)} • е»-1^гр»
еЫ
1+fl
(46)
Последняя тройка уравнений,
отсутствующая в системе главных осей, имеет
следующий смысл. Для единичного куба с гранями,
параллельными координатным плоскостям, Pj
означает силу, которая действует на одну из
граней, перпендикулярных к оси X (другую
мы считаем закрепленной). Тогда Р12 —
касательный компонент Ри направленный вдоль
оси У; 2е12 — изменение угла между осями
X и У (см. рис.65). Согласно (46), эти
величины пропорциональны друг другу. Множитель
Е
пропорциональности это та величи-
2(1 + (а)
на, которую в технике называют модулем сдвига S; он не
является новой независимой постоянной, характеризующей
вещество, так как определяется через Е и р:
V- /Ч ;
/V,г «
1 ' J
1 '
! У
И/
//
/ /
ч
\
I
i
/
рп
Рис. 65. К
определению модуля сдвига.
2(1 + ^'
(47)
Объемный модуль сжатия или его обратная величина,
коэффициент сжимаемости *, тоже определяется через Е и р.. Определим
% как относительное уменьшение объема под влиянием
всестороннего равномерного нормального давления, равного по величине
единице. Из этого определения и уравнения (20) следует;
х^ V'~V ю «п + еь + вм (48)
Подставляя значения eik из уравнений (46) и учитывая, что Рп =
Р, получим:
=5S Р =S P SS
^22 *33 —
1—2р.
(Рц + Ри + РЛ =
3 (1—2fx)
(49)
Так как растяжение всегда должно приводить к увеличению объема,
то р. не может быть больше 7*« При \х = 7* вещество несжимаемо,
178
Если разрешить систему уравнений (46) относительно
компонентов тензора напряжений, то
1 + ft I 1 — 2m. ) 1 + [x
^33 ^ Г—" ( *33 + Г— (*11 + *22+ *33) }t ^31 = Г-— 3*1
(50)
Если подставить в уравнения (35) эти значения напряжений и
значения eik из формул (21), мы получим систему
дифференциальных уравнений, которые содержат только величины смещений и, а,
до и их производные. Для Х-компонента получится уравнение
F 1 Е Год2" , 2„ /а^, уР . JjgMl .
* ' 2(i+fi)l a*2 l 1-2(х\ал-2 ' ал-^ ' а^аг/J *
~ 2 (1 + (х) \ а*/2 ~ ал% ~ dxdz ~ dz* J
или
^ + -JL_/An + -1_ A (^ + ^ + ^\) = о. (51)
■*~2(l+fi)\ *1—2fi^\ajr 1 ду * dzj) v '
Точно так же
уЛ2(1+,и)\ ~\-2рду\дх [ ду ' dzjj v '
И
z ~ 2 (1 + р.) 1 п i - 2^ а* \ а* а# j az /J '
Это — общая система уравнений для деформации изотропного
упругого тела. В векторной форме она имеет вид:
2(1+rt
J As -j grad div s 1 = 0
(52)
К ней следует добавить еще граничные условия, задающие
смещения или распределение напряжений на поверхности,
§ 5. Энергия упруго деформированного тела.
Упругий потенциал
При изгибании стержня должна быть совершена работа, которая
превращается в потенциальную энергию, сосредоточенную внутри
стержня. Мы можем узнать величину запаса энергии, освобождая
стержень, т. е. снимая деформирующую силу. Тогда упруго
деформированный стержень мгновенно распрямляется и, обладая опреде-
179
ленной кинетической энергией, проходит через положение
равновесия. Энергия упругой деформации как потенциальная энергия
межмолекулярных сил непрерывно распределена по всему телу и
больше всего она там, где упругие деформации достигают
наибольшего значения. Мы будем искать выражение для плотности энергий,
т. е. предел отношения энергии к объему для каждого элемента
объема (при этом элемент объема не должен быть слишком малым,
что само собой разумеется после сказанного на стр. 7). Обозначим
плотность энергии через U, причем следует иметь в виду, что
обозначенная в главеП через U величина отлична по размерности от
введенной здесь (см. сноску на стр. 90).
Чтобы получить выражение для £/, рассмотрим единичный куб
(так что количество энергии, заключенное в нем, равно средней
плотности энергии). Ребра куба направим вдоль главных осей
деформации. Поэтому куб испытывает только растяжения, но не сдвиги.
Грань, перпендикулярная к оси I, в деформированном состоянии
имеет площадь (1 + еп) (1 + ет). Сила, действующая на нее,
равна, следовательно, Pj(l + еи) (1 -f- eln). Удлиним теперь
ребро, параллельное оси I и имеющее в деформированном состоянии
длину (1 +*i)» на lev Тогда напряжение Р, произведет работу
М1-Р1(1 + *п)(1 + в111)Ч
(Увеличение напряжения Рр вызванное дальнейшей деформацией,
будет второго порядка малости.) Эта работа равна увеличению
потенциальной энергии, вызванному изменением деформации. Далее
величинами еи и ет в скобках можно пренебречь по сравнению с
1; тогда для удлинения оси I мы получим следующее приращение
потенциальной энергии:
Wi-i^i-*.*.. <53>
т. е»
pi~%- (530
Аналогичные формулы получаются и для других осей. Если
подставить в них выражения для Pv Рп, Рш из (42) или (50), мы
получим:
г»~ де,
(54)
180
Легко убедиться, что эти уравнения будут удовлетворены, если
положить:
u(*v ew ^ii)=^TTTlir{(^ + ^п+^п)+Г^1 (ei+ ^ii+^iii)2}-<55>
Эта формула дает выражение плотности энергии как функции от
главных растяжений. Для каждой точки пространства она
предполагает выбор выделенной системы координат — системы главных
осей, которая меняется от точки к точке. Поэтому мы перейдем к
произвольной системе координат, так чтобы выражение годилось
для всего тела. Для этого не надо делать общих преобразований,
потому что входящие в эту формулу величины легко выразить через
инварианты тензора. Второй член в скобках является как раз
таким инвариантом. Далее, в силу (45)
е\ + 4 + е\п = (ei + еп + етУ ~2(е1 *ц+ еп eUi+ emei ) =
^ ( еп + *22 + *3з)2- 2 ( *Ц *22 + *22 *33 + *33 *11 ~ ( 4 + 4 + 4\У'
Заменяя 2eik на elk-\-eki> получим:
U{eik)-
-2(еп
Е
2(1+!*)
в22 "Г б22 е
+
'{г-
33 +
4 +
о ^И "Г ^22 Т"
е2 4- е2 \
^32 ~ ^13 Г *
+ <
^зз) —
>2 4-е2
'23 1 с31
+
(56)
(57)
Сравнивая это выражение с (50), мы видим, что вообще
Р -Ж
ik~ deik'
Величина U (eik) поэтому с полным правом может быть названа
упругим потенциалом, потому что напряжения получаются из нее
посредством дифференцирования. Наконец, можно еще выразить
в (56) деформации через напряжения. При этом получится
совершенно аналогичное выражение, которое мы выписывать не будем.
§ 6. Элементарная теория изгиба
Точное решение статической задачи теории упругости требует
интегрирования уравнения (52) с учетом граничных условий для
каждого конкретного случая. В общем случае это приводит к очень
сложным решениям. Поэтому для многих технически важных
задач развиты приближенные методы решения, в которых с самого
181
начала уже сделаны известные упрощения и которые дают точность,
достаточную для многих целей.
В качестве примера такого упрощенного метода приведем
предложенную И. Бернулли теорию изгиба балки постоянного сечения.
Теория Бернулли исходит из следующих предположений.
Представим себе, что в каждом сечении выделена некоторая точка,
например центр тяжести. Прямая, образованная этими точками,
которую мы назовем осью балки, изогнется в кривую, лежащую в
вертикальной плоскости, если изгиб вызван только силой тяжести.
Представим себе, далее, что наша
балка состоит из ряда тонких
горизонтальных слоев. При изгибе в середине
балки окажется слой, который не будет
испытывать удлинения, поэтому назовем
его нейтральным слоем. Слои, лежащие
ниже нейтрального, будут сжиматься, а
лежащие выше — растягиваться (см.
рис. 66). Форма изогнутой балки
определяется только изменениями длины
этих слоев. Дальнейшее
предположение теории Бернулли состоит в том,
что плоские сечения,
перпендикулярные к оси балки, и после изгиба
остаются плоскими и перпендикулярными
к оси балки. При этих
предположениях нетрудно вычислить упругие
напряжения, действующие на некоторое
выделенное сечение балки. Рассмотрим
два соседних сечения, находящиеся на расстоянии dx, которые
после изгиба составляют угол dy. Будем отсчитывать координату X от
того конца балки, который закреплен, вправо; координату Z от
нейтрального слоя вверх и координату Y в перпендикулярном
направлении. Введем также радиус кривизны р нейтрального слоя.
Из рисунка 66 видно, что слой, находящийся на расстоянии z от
нейтрального, испытывает относительное удлинение, равное
(р +J)j9_— ?<*?_ _. 2 *± г
dx
Изгиб балки.
(58)
dx ax p
(производная dy/dx равна как раз кривизне 1/р)»
Сила, действующая на элемент сечения dzdy, по определению
линейного модуля упругости Я, равна
dF = — dzdy.
Р
Полная сила, действующая на все сечение, равна
F = —Hzdzdy.
(59)
182
Она должна быть равна нулю, потому что при изгибе в целом не
возникает растяжения, а следовательно, и смещения сечений. Это
значит, что нейтральный слой по-прежнему проходит через центры
тяжести сечений, для которых ^zdzdy=0. Но результирующий
момент упругих сил не равен нулю, он стремится повернуть
сечение вокруг оси, лежащей в нейтральном слое и параллельной оси Y.
Величина этого момента, направленного против оси Y (см. рис.
66), равна
IMI
f zdF = — f f zMzdy = — J. (60)
Геометрическая величина №z2dzdy в переносном смысле
называется моментом инерции / сечения, хотя размерность этой
величины иная.
В случае балки прямоугольного сечения, изображенном на
рисунке 66, интеграл берется от у =» 0 до у ~ Ь и от z = — с/2
до z — + с/2, где Ъ — ширина и с — толщина балки.
Этот момент упругих сил должен быть уравновешен моментом
внешних сил. Если изгиб вызван грузом Q = mg, помещенным на
свободном конце балки с координатой х « а, то момент этого
груза в точке х, отстоящей на а — х от точки его подвеса, равен
|M'| = Q(a — *). (61)
Вектор этого момента направлен вдоль оси Y в положительном
направлении. Таким образом, условие равновесия сечения,
расположенного на расстоянии х от места закрепления балки, имеет вид:
— = Q(a — x). (62)
р.
Отсюда легко получить уравнение для нейтрального слоя после
изгиба. Так как эта кривая лишь немного отклоняется от
горизонтали, кривизну можно положить всюду равной — d2z/dx2 \ так
что искомое уравнение принимает вид:
— = — -У~(а~х). (63)
dx* EJK ; v '
Дважды интегрируя его, получим:
Q [ах% х*\ . . /сл.
г==-ш[т-т)+с*х+с*' . (64)
1 Знак надо взять отрицательный, так как кривая вогнута книзу.
183
Так как при х = О г =
dz
dx
О , то обе постоянные интегриро-
(65)
вания сг и с2 равны нулю и мы получим, что конец балки (х = а)
опустится на
О^а^
а~~ EJ 3
Деформация сечения, не рассмотренная Бернулли, тоже легко
может быть получена в случае первоначально прямоугольного
сечения. Так как выше нейтрального слоя слои растягиваются
подлине и сжимаются в поперечном направлении,
а ниже — расширяются в поперечном
направлении, то первоначально параллельные
вертикальные стороны прямоугольника после изгиба
должны сходиться кверху, так что
прямоугольник перейдет в сектор кругового кольца (рис. 67).
Введем теперь радиус кривизны р2 полоски,
вырезаемой нейтральным слоем из поперечного
сечения балки, и обозначим радиус кривизны
самого нейтрального слоя через рх вместо р.
Тогда, рассуждая как и выше, для полоски
поперечного сечения на высоте z над
нейтральным слоем мы получим величину
относительного удлинения (на самом деле, сжатия):
(р2 — z)dy — p2<fy ^
dy
dy
Рис. 67
Двоякое
искривление
элемента балки.
Но для растяжения по длине балки в этой же
точке мы имели величину -f- z/px.- По
определению коэффициента Пуассона,
[х = — iLf или р2 = — JL
(66)
Первоначально плоский слой на высоте z изогнется в поверхность
гиперболического типа, отношение радиусов кривизны которой
равно [х. На этом основан изящный и простой метод
определения [х (см. зад. 56).
Задачи
55. Вычислить прогиб полой трубы длиной а и радиусами г,- и га>
нагруженной посередине. (Указание: чтобы свести эту задачу к рассмотренной
выше, надо представить себе, что труба сплошная и на концах ее действуют две
силы, направленные вверх и равные по величине каждая половине груза.)
56. Пластинка прямоугольного сечения опирается серединой на
подставку и нагружена на концах. На середине прогнувшейся пластинки лежит
плоская стеклянная пласти.нка. Все приспособление освещается сверху
монохроматическим светом. В тонкой щели между пластинками возникают
интерференционные полосы равной толщины (см. разд. III, гл. XI). Они дают
картину линий уровня поверхности, возникающей в результате изгиба
пластинки. При помощи приближенного представления этой поверхности вблизи
184
ее вершины показать, что эти линии уровня являются гиперболами, угол
между асимптотами которых связан простым соотношением с р. Принять во
внимание, что у вершины
дх2 н ' ду2 Р2 ' Р2 fi
и что р! и р2 можно считать постоянными в разложении г вблизи вершины.
57. Проволока длины / и радиуса а закреплена на одном конце, а другой
ее конец закручен на угол <р. Найти возникающий при этом вращательный
момент, пропорциональный <р. (У к а з а н и е: разложить мысленно
проволоку сначала на тонкие полые концентрические цилиндры, а последние в свою
очередь — на узкие прямоугольные призмы, которые при кручении
испытывают только деформации сдвига.)
§ 7. Волны в неограниченных упругих средах.
Продольные волны в стержнях
В конце § 4 было получено фундаментальное уравнение (52),
которое используется как в статических, так и в динамических
задачах теории упругости. Применим его к следующей динамической
задаче: исследуем возмущения, распространяющиеся в
неограниченной среде, на которую не действуют внешние объемные силы.
Если плотность среды равна р , то сила инерции, отнесенная к
единице объема, равна — pd2s/dt2 (см. стр. 122). При отсутствии иных
объемных сил уравнение (52) примет вид:
р ^1 = §.— (д8 + _L_ grad div s).- (67)
v Ы2 2(1+p.) 1 * i-2^6 J v '
Это дифференциальное уравнение в частных производных второго
порядка допускает бесчисленное множество решений. Рассмотрим
сначала простой частный случай, когда вектор смещения s зависит
лишь or одной координаты, например от х, так что частные
производные по у иг равны нулю. Тогда уравнение (67) в координатах
примет вид:
д2и ^ Е (д*и , Л д2и ) = Е (1 — \х) д*и
9 dt2 ~~ 2 (1 + ц.) I дх2 ' 1 — 2[х дх2 J (1 + ц) (1 — 2ц) дх2 9
d2v E d2v /CQv
р = * (о8)
г dt2 2 (1 + fi) дх2 '
d2w E d2w
9 dt2 ~~ 2 (1 + fjL> дх2 *
Но это — уравнения плоских волн, распространяющихся вдоль
оси X. Фазовая скорость для смещений, направленных вдоль оси
X, т. е. вдоль направления распространения волны, равна:
*i-V ni(1Hirt 2i - (69)
185
Для смещений, перпендикулярных направлению распространения,
фазовая скорость иная:
V
2р(1+(х)
(70)
В этом можно убедиться, сравнивая уравнения (68) с волновым
уравнением (47) на странице 66, (Фазовая скорость равна обратной величине корня
из коэффициента при — в волновом уравнении, если коэффициент при —j
равен 1.) Первый вид волн, как известно, называется продольными
волнами, а второй — поперечными. Разделение на продольные и поперечные
волны можно получить и другим, менее формальным, способом, который
лучше поясняет физический смысл этого разделения. Именно, воспользуемся
известным соотношением векторного анализа As = grad divs — rot rot s.
Подставляя его в основное уравнение (52), получим;
p^ = ¥irTJt^rgraddivs-rotrotT (67)
Разложим теперь s на две части: s = sx + s2» и потребуем выполнения ус*
ловий:
rot sx = 0, divsx Ф 0,
div s2 = 0, rot s2 =£ 0.
(71)
st — волна чистого сжатия, потому что вообще изменение объема, согласно
формуле (20), определяется выражением
ди dv , dw
div 8== — + —-+ — .
ох ду дг
При этом rot sx = 0, так что отдельные элементы объема не скручиваются.
Поскольку мы предположили, что вектор смещения s не зависит от у и z, то
в уравнении для sx остается только Х-компонент:
9 dt* (I + p.) (1 — 2|х) дх* " { '
Сравнивая это уравнение с (68), видим, что волна сжатия совпадаете
продольной волной. Так как divs^^ 0 , то для &% сжатие отсутствует. Из
div $2 = 0 следует ди2/дх = 0, потому что dv2/dy = 0 и dw^Jdz = 0,
по предположению. Волна без сжатия, как мы назовем эту часть, Является,
следовательно, поперечной. Записав уравнения для Y- и Z* компонентов (67'),
дЧг Е d*v2 &w2 Е d*w2
р ___ л р __ (73)
* а/2 2 (1 + fi) дх* * dt* 2 (1 + Н-) djfi K '
мы убедимся, что эта волна действительно совпадает с поперечными волнами,
так как уравнения (73) совпадают с полученными для поперечных волн
уравнениями (68).
Отношение фазовых скоростей продольной и поперечной волн
равно:
с± _ -|/2(1-ri (74)
ct - V 1-2^ '
Для многих веществ р — 1/4t и это отношение равно Уз. При
землетрясениях наблюдаются обе волны, поэтому из отношения ско-
т
ростей их распространения можно определить величину ц для той
части земной коры, в которой распространяются волны. Она ока-
зывается равной 0,29.
Помимо этих пространственных волн, на границе двух слоев с
различными упругими свойствами возникают еще как продольные, так и
поперечные поверхностные волны, соответствующие рассмотренным в разделе III,
гл« VIII, электрическим поверхностным волнам. По имени открывшего
их ученого они называются волнами Рэлея.
Следует отличать распространение волн в неограниченной
среде от распространения их в стержне, поперечные размеры которого
малы по сравнению с его длиной, Представим себе, что
неограниченная среда разделена на такие стержни, оси которых совпадают с
направлением распространения волны. Тогда видно, что условия
на поверхности для отдельного свободного стержня и для стержня,
мысленно вырезанного из неограниченной среды, различны. В
случае отдельного свободного стержня поперечное сжатие происходит
беспрепятственно. Поверхность стержня, мысленно вырезанного
из однородной среды, упруго связана с окружающей средой.
Поэтому поперечное сжатие вызывает возникновение напряжений,
сопротивляющихся ему. По этой причине продольные волны в
тонких стержнях рассматривать гораздо легче» Нам не надо для этого
обращаться к общим уравнениям. Дифференциальное уравнение
распространения продольных волн в свободном стержне можно
получить следующим образом. Рассмотрим элемент dx стержня,
заключенный между двумя поперечными сечениями. Если растяжение
на левом конце его составляет! — ) , а на правом конце (— ]
\ &х /х * &х ) х+ dx
то равнодействующая сил, действующих на наш элемент, равна
где q — площадь сечения стержня, Е — его линейный модуль
упругости. Основное уравнение Ньютона дает
д2и , П д2и . д2и р д2и 1пах
ар—dx = qE dx,, или == — . (76)
4i dt* ч дх* дх* Е dt* v ;
Таким образом, скорость распространения продольных волн в
стержне составляет:
-V?
(77)
§ 8. Поперечные колебания натянутых струн и мембран
Во многих простых случаях целесообразно исходить не из
общих уравнений, подгоняя их к специальной задаче, а вывести
уравнения заново из основных принципов теории упругости, учиты-
137
вая упрощающие условия задачи. К этим случаям относятся
поперечные колебания натянутых струн и мембран, которые имеют
значение не только в акустике: возникающие при их изучении
математические вопросы встречаются в различных областях физики, в
частности в атомной физике.
Под струной мы подразумеваем упругое тело, поперечные
размеры которого столь малы по сравнению с длиной, что оно
оказывает пренебрежимо малое сопротивление изгибу. Из рассуждений
§ 6 следует, что с уменьшением поперечного сечения упругий
стержень оказывает все меньшее сопротивление изгибу.
Неограниченно уменьшая поперечные размеры, можно ограничиться ближайшей
окрестностью нейтрального слоя, так что напряжения,
противодействующего изгибу, больше не будет. Почему же в таком случае
струна все-таки может колебаться? Положение вещей полностью
меняется, если учесть, что струна закреплена между двумя
неподвижными точками. В состоянии покоя в ней существует некоторое
напряжение Р, которое направлено перпендикулярно ко всем
поперечным сечениям, имеющим равную площадь q. Напряжения
сдвига не возникают благодаря полной гибкости струны. Таким
образом, направление напряжения всегда совпадает с касательной к
средней линии струны. Если теперь вывести струну из положения
равновесия, то связанное с этим удлинение приведет к увеличению
напряжения. Но и это увеличение напряжения не является
причиной поперечных колебаний. Мы увидим ниже, что по сравнению с
истинной причиной оно является величиной более высокого
порядка малости. Истинная причина состоит в следующем. В
деформированном состоянии касательные к струне, проведенные через концы
элемента dx, имеют несколько различные направления,
вследствие чего возникает равнодействующая, направленная перпен-
Рис. 68. Натянутая струна.
дикулярно к прямой равновесия (рис. 68). Если мы ограничимся
случаем плоских колебаний и примем плоскость колебаний за
плоскость XY, то F-компонент является смещением, которое мы до сих
пор обозначали через у. В состоянии покоя для всех элементов
струны у = 0. На левом конце элемента dx в отклоненном состоянии
действует сила — qPt{x) (здесь t — единичный вектор касательной).
На правом конце — сила qPt(x + dx). Компоненты
равнодействующей имеют вид:
Fx = qP cos (a -f da) — qP cos a, (7n,
Fy = qP sin (a + da) — gP sin a. K >
188
Ограничимся случаем малых смещений, так что можно положить:
cos а « 1 — — э sin а ^ а ^j tg а = -^-.
2 d*
Точно так же изменение напряжения Р мало по сравнению с уже
существующим напряжением. Если пренебречь всеми величинами
второго порядка, то результирующая в поперечном направлений
равна:
(Изменение напряжения в продольном направлении следует учи-
тыватЬу потому что здесь все величины — второго порядка.)
Тогда уравнение движения для поперечных колебаний нашего
элемента примет вид:
™ dt* v дх*
или:
*L~JL*«L. (80)
Как видим, в это уравнение, имеющее вид хорошо известного
волнового уравнения (ср. стр. 66), совершенно не входит упругость
струны, но входит ее напряжение. Решение этого уравнения
yx = Aexp[iu(t — *y JLjj,
соответствующее волне, распространяющейся в положительном
направлении оси X, удовлетворяет дифференциальному
уравнению, но не удовлетворяет граничным условиям, согласно которым
в любой момент должно быть у = 0 при х = 0 и при х = / (/ —
длина струны). Решение
у% = Aexp[to\t + ху -£•) ],
соответствующее волне, распространяющейся в противоположном
направлении, точно так же не удовлетворяет граничным условиям.
Разность этих решений благодаря линейности дифференциального
уравнения тоже будет его решением, для которого по крайней мере
для ряда значений ш выполняются граничные условия. Эта разность
имеет вид:
У^Уг-~Уг= Аеш[ехр (тх у j?) — ехр(—Ых ]/-£)J =
= 2*Ле'ш/sin (ш* ]/-£). (81)
189
Как видим, при х — О наше требование выполняется для любого
значения /, а при х = I — только в том случае, когда u>/ Vp/P
является целым кратным тс, т. е. когда частота имеет вид:
V
я 2/
и У р
(82)
Таким образом, колебание струны можно рассматривать как
стоячую волну, возникающую в результате суперпозиции двух
волн с частотой vw, бегущих навстречу друг другу. Граничные
условия делают возможной не любую частоту, а лишь дискретную
последовательность частот, которые принимают бесчисленное
множество значений, так как п изменяется от 1 до сю. К этому
результату можно прийти и несколько иным путем. Ввиду его
принципиальной важности мы укажем и этот путь. Будем искать решение
уравнения (80), как обычно, в виде:
y = w(x) eM. (83)
После отделения временного множителя ем мы получим
дифференциальное уравнение, зависящее только от х:
—-4-—^=0, (84)
dx* l P v '
Вводя сокращенное обозначение
/:
f=*> (85)
можно переписать это уравнение в виде:
d2w
dx*
\-k2w=0. (86)
Как известно, это уравнение при любом значении k имеет два
независимых решения: e+lkx и e~~ikx (или cos&x и sin kx). Но
решение удовлетворяет граничным условиям лишь при
определенных значениях параметра k2t называемых собственными
значениями. Будем искать решение в виде:
w = sin kx. (87)
Чтобы при х = / было у = 0, k должно быть целым кратным от
гс/7, т. е.
Таким образом, как и выше,
Р
190
>-&Vr- <89>
Функций, являющиеся решениями дифференциального уравнения
(86) и сверх того удовлетворяющие граничным условиям,
называются собственными функциями дифференциального уравнения,
принадлежащими собственным значениям k. В нашем случае
собственными функциями являются sin-^-x. При учете временного
множителя в уравнении (83) должны удовлетворяться как мнимая,
так и вещественная части. Поэтому
у = ап cos 2tcv^ sin ^- (90)
и
у = bn sin 2irv^ sin — (91)
представляют решения, удовлетворяющие граничным условиям.
Но тогда и ряд
во оо
У =* S ап cos 2™л' s*n ~^Г" "Ь S ^ sin 2:rv^ sin ~~^ $2)
является решением краевой задачи, потому что сумма решений
тоже является решением однородного уравнения. (В случае
бесконечной суммы предполагается, что ряд сходится.) Коэффициенты
ап и Ьп определяются из условия, чтобы при t = 0 смещение у0 и
распределение скоростей у0 являлись заданными функциями от х,
т. е. чтобы выполнялись не только граничные условия в
любой'момент времени, но и начальные условия. Таким образом,
Уо
(*)= S^sin^-, (93)
п=\
y(*)=£2KVAsin-^. (94)
Коэффициенты рядов определяются по способу, указанному для
рядов Фурье. Правая часть (93) является ни чем иным, как рядом
Фурье, который должен представлять заданную функцию в
интервале от 0 до /• Чтобы определить, например, коэффициент ат9
умножим обе части (93) на sin^^ и проинтегрируем от 0 до /. Тогда
в правой части все члены обратятся в нуль, за исключением члена
ит к следующему значению для ат:
i
-j^Wsin^dx (95)
с sin-^^, который приводит к следующему значению для ат:
i
I
о
191
(ср. стр. 57). Аналогичным образом из равенства (94) получим: *
Ът~-±—[ yoWsin^dx. (96)
о
В зависимости от начальных условий высшие гармоники будут
иметь различные амплитуды. Колебания струны доходят до наших
ушей по воздуху и, если эти колебания лежат в пределах
слышимости, они воспринимаются как звук, высота которого определяется
основной частотой vt, а «тембровая окраска» — амплитудами
высших гармоник с частотами vn. Таким образом, формулы (95) и (96)
являются математическим выражением того факта, что звук
определенной частоты воспринимается нами по-разному, в зависимости
от того, исходит он от струны, возбужденной щипком или ударом.
В качестзе примера на определение коэффициентов разберем
случай, когда струну ударили по середине, что примерно соответствует
струне фортепиано. Сформулируем начальные условия. При t = О
должно быть всюду у0 — 0, но у0 на отрезке от -^ до ——
(а — ширина молоточка) имеет значение vQ, а на остальной части
струны у0 = 0. Тогда ат = 0 и
1±а
2
Ьт = - i>0sin —dx =
™ml J I
I—a
о
= —— cos —cos —-— L (97V
Если удар произведен не по середине, как здесь предполагается,
то значения коэффициентов будут иными.
Не представляет труда -рассмотреть двумерный аналог
колебаний струны — колебания мембран. И в этом случае толщина D
пластинки столь мала, что она не сопротивляется изгибу. Как и
в случае струны, силы, возвращающие пластинку в положение
равновесия, возникают лишь тогда, когда она закреплена по
краям. Будем считать граничную кривую плоской, и плоскость
равновесия мембраны выберем в- качестве плоскости XY нашей
системы координат. Пусть на каждый элемент поверхности опять
действует постоянное напряжение Р. Рассмотрим элемент
поверхности dxdy в отклоненном положении. Равнодействующая Fiz
напряжений, параллельных плоскости YZ:
F« - DP ■£■dxdy'
192
а перпендикулярных к ней:
Fu = DP%\dxdy.
OX2
В целом в направлении оси Z действует сила, равная по величине
и уравнение движения нашего элемента имеет вид:
oDdxdy ^i = DP dxdyi— -f -*!*\,
r * d/2 \dx* ! at/2/
или
i!i.+ Zi = xi!i. (98)
Помимо дифференциального уравнения, решения должны
удовлетворять еще граничным условиям, которые состоят в том, что вдоль
граничной кривой в любой момент z = 0. Вместо этого можно
задать вдоль граничной кривой неизменные во времени значения г
дг
или — Из того, что дифференциальное уравнение (98) — уравне-
дх •
ние второго порядка, можно было бы заключить, что граничное
условие может состоять в задании обеих величин. Но это не так.
Легко видеть, что задание обеих величин z и -~ переопределяет
задачу. Представим себе, что в полосе, параллельной оси К,
производится последовательное интегрирование дифференциального
уравнения численным или графическим способом, причем оно
начато с того элемента поверхности, положение и наклон которого
заданы заранее. Дифференциальное уравнение, определяющее при-
ращение производной — , позволяет определить положения и на-
дх
клоны последующих элементов поверхности. Продолжая интегри-
дг
рование до конца полосы, мы получим значения г и , не
совпадающие, вообще говоря, с заданными граничными
значениями. Поэтому можно задавать только положение или только
наклон элемента мембраны на краю.
Будем искать решение снова в виде:
z = w{x, y)eM. (99)
Как и в случае струны, мы получим:
*• + *•+**» = <>. * = •/£. ОТ
И здесь в общем случае решения уравнения удовлетворяют
граничным условиям лишь для дискретной последовательности соб-
7Г\ иос 193
ственных значений k%. Принадлежащие им собственные функции
могут быть, однако, сложными специальными функциями, в
зависимости от вида границы (при круговой границе это будут Бесселе-
вы функции). Несмотря на это, при заданных начальных условиях
коэффициенты ряда, построенного из собственных функций, можно
определить таким же способом, как и для ряда Фурье. А именно,
можно показать, что все собственные функции уравнения Aw -f-
+ k2w = 0, обращающиеся на границе в нуль, обладают свойством
ортогональности, аналогичным свойству обращения в нуль
интеграла
С • ткх . пкх л
\ sin sin ах.
о
Итак, в общем случае при т Ф п
J/«£.* = о, (Ю1)
где интегрирование производится по всей области определения
функции /, т. е. в нашем случае по всей поверхности мембраны.
Проведем доказательство сразу для трехмерного случая. Пусть
fm и /„ — две различные собственные функции. Тогда по теореме
Гаусса и используя уравнение (100), получим:
§ (fm grad /„ - fn grad fm). df = J (/тД/п - /„ Д/J dx = (102)
■*!)/«ЛА
-К*!
,2
m n'
Интеграл по поверхности следует взять по всей границе нашей
трехмерной области, а интеграл по объему — по всей области.
Так как и /т, и fn на границе все время равны нулю, то левая часть
равенства дает нуль. Предполагая, что km^=kni мы получим:
1/«ЛА = о. (ЮЗ)
Предположим теперь, что произвольная функция точки g(#, у, z)
представлена в виде суммы собственных функций:
т g(x, у, 2) = а1/1 + а2/2+ ... +ajm+ ... (104)
Тогда коэффициенты ряда можно определить тем же способом, что
и коэффициенты ряда Фурье. Умножим обе части (104) на fm и
проинтегрируем по всей области, ограниченной краем или
поверхностью (в случае мембраны — по всей поверхности мембраны).
Благодаря ортогональности собственных функций все члены ряда
в правой части обратятся в нуль, за исключением члена
lajldx>
194
поэтому его коэффициент равен:
J ё {*> у, *) fmdt
dz
m
(105)
Собственные функции определяются лишь с точностью до
произвольных постоянных множителей, которые обычно фиксируются
условием (Ymdt =* 1. В таком случае говорят, что собственные
функции нормированы на единицу.
Задача
58. Найти решения дифференциального уравнения для прямоугольной
мембраны, имеющей длину а и ширину Ь (испытать подстановку до (лг, у) =
Глава V
МЕХАНИКА ЖИДКИХ И ГАЗООБРАЗНЫХ ТЕЛ
(ГИДРО- И АЭРОМЕХАНИКА)
§ 1. Равновесие жидких и газообразных тел
(гидростатика)
Жидкие и в особенности газообразные тела отличаются тем,
что они почти не оказывают сопротивления изменению формы (но
не объема). Но если у жидкости сжимаемость исключительно
мала, т. е. изменению объема противодействуют большие силы, у
газов сжимаемость очень большая. Кроме того, газ всегда
оказывает давление, стремясь расшириться и занять любой допустимый
объем. Если мы применим к жидким и газообразным телам законы
теории деформируемых тел, выведенные в предыдущей главе, то
отсутствие упругого сопротивления изменению формы скажется
в том, что в идеальной невязкой жидкости все касательные
напряжения Р12, Р23, Р31 равны нулю. Правда, при движении реальных
жидкостей могут возникать касательные напряжения. Если два
слоя такой жидкости движутся друг относительно друга с
определенной скоростью, то они воздействуют друг на друга с
касательными силами, пропорциональными относительной скорости. Но
благодаря этой пропорциональности в состоянии покоя
касательные силы трения исчезают. Поэтому в гидростатике нет никакой
разницы между вязкими и невязкими жидкостями. Равенство
нулю касательных напряжений Р12, Р23, Р31 приводит к отсутствию
членов с произведениями ху, yz, zx в уравнении тензорного
эллипсоида в любой системе координат. Таким образом, любая
система координат является системой главных осей, а это возможно
лишь в том случае, если эллипсоид представляет собой шар. Но
7*
195
тогда все нормальные напряжения должны быть равны между со-
бой: Рп = Р22 = Р33 = —р1. На элемент объема жидкости
действует, следовательно, нормальное давление р, одинаковое по всем
направлениям. Тем самым условия равновесия деформируемых тел
существенно упрощаются. Система уравнений (35), страница 174,
примет вид:
F = grad p. (1)
В гидромеханике принято объемные силы относить не к единице
объема, а к единице массы. Если р — плотность жидкости и G —
вектор объемной силы, действующей на 1 г вещества, то объемная
сила, действующая на 1 см3 вещества, равна pG, а основное
уравнение гидростатики примет вид:
G = — grad p. (Г)
р
В теории упругости равновесие определяется соотношением
между тензорами напряжений и деформации, в гидростатике
нужно добавить еще соотношение между плотностью и давлением. Для
собственно жидкостей, вообще говоря, сжимаемостью можно
пренебречь, т. е. считать р постоянной. Для газов следует принять
закон Бойля — Мариотта (см. ниже).
Из многочисленных задач гидростатики или аэростатики мы
выберем две: убывание давления атмосферы с высотой и форму
поверхности тяжелой вращающейся жидкости.
В первой задаче сделаем следующие предположения. Выбрав
ось Z по вертикали, мы достигнем тем самым независимости
решения от координат х и у, если считать Землю плоской, что,
разумеется, допустимо, если рассматривать небольшой участок земной
поверхности. Обозначим плотность на высоте z через р(г). На
единицу массы действует сила —gk (ось Z предполагается
направленной вверх). Вследствие независимости от х и у, gradp сведется к
единственному компоненту -£-к. Таким образом, мы получим
dz
уравнение
-«--£. «
При постоянной температуре для газов имеет место закон Бойля—
Мариотта, согласно которому плотность пропорциональна
давлению:
-*---*-. (3)
Ро Ра
1 Так как в теории упругости нормальные напряжения считаются
положительными, когда они направлены по внешней нормали к замкнутой
поверхности, то давлению р, направленному внутрь, мы должны приписать
отрицательный знак.
196
Подставляя это выражение в уравнение (2), получим:
Р Ро
Интегрируя от z = 0 (поверхности Земли) до z = z, получим:
!„-£-=_ Л gar,
Ро Ро
или:
p=pi^u I (4)
Следует иметь в виду, что эта барометрическая формула
справедлива лишь в предположении, что атмосфера по всей высоте имеет
одинаковую температуру.
Интегрирование гидростатического уравнения особенно просто,
когда плотность можно считать постоянной, а внешние силы имеют
потенциал U. В этом случае
G = — grad U. (5)
Тогда уравнение (Г) приводит к соотношению
grad U-\ grad p = О,
р
которое при постоянном р легко интегрируется:
(/+ — = const. (6)
р
Это уравнение показывает, что при сделанных предположениях
поверхности равного давления являются поверхностями равного
потенциала действующих сил. Итак, поверхность тяжелой
жидкости всегда является поверхностью равного давления, потому что,
вообще говоря, она всегда находится под давлением атмосферы.
Таким образом, эта поверхность должна быть эквипотенциальной.
В случае покоящейся жидкости, подверженной лишь действию
силы тяжести, эта поверхность равного потенциала является сферой
с центром в центре Земли.
Постараемся теперь определить форму поверхности жидкости,
которая вращается с угловой скоростью ш вместе с содержащим ее
вертикальным цилиндрическим сосудом вокруг оси этого цилиндра.
В данном случае может показаться, что мы имеем дело с
динамической задачей. Но в действительности после кратковременного
процесса установления наступит состояние, при котором жидкость
вращается вместе с сосудом как целое, так что относительного
движения отдельных ее частей уже не происходит. Следовательно,
наблюдатель, вращающийся вместе с сосудом, будет
констатировать установление равновесия. На отдельные элементы объема,
197
помимо силы тяжести, действует еще «центробежная сила», точнее,
сила инерции, которая направлена противоположно нормальному
ускорению отдельных вращающихся частиц. Во вращающейся
системе эту силу можно рассматривать как «активную». Потенциал
силы тяжести равен gz> если ось Z направить вверх по оси
цилиндра. Центробежная сила направлена по радиусу, т. е.
перпендикулярна к цилиндру Ух2 -\- у2 = г = const. Вектор силы направлен
наружу и равен по величине со2г, т. е. он является взятым с
обратным знаком градиентом функции U = — o)V2/2. Поверхности
равного давления, к которым принадлежит также поверхность
жидкости, получаются из уравнения (6):
г = const* (7)
Ч w
Следовательно, они являются параболоидами вращения,
меридиональное сечение которых описывается уравнением
г ^ = const. (70
Ч
Если выбрать начало координат в нижней точке меридиональной
параболы, то уравнение поверхности жидкости примет вид:
0)2
г = х2.
Ч
Разумеется, вершина параболы лежит ниже, чем поверхность
покоящейся жидкости, но у стенок жидкость стоит выше.
Стоит упомянуть о том, что рассмотренное здесь явление было
использовано (правда, без существенного успеха) для получения параболического
зеркала из поверхности вращающейся ртути.
Задача
59. Из уравнений гидростатики вывести принцип Архимеда, согласно
которому тело, погруженное в жидкость, испытывает выталкивающую силу,
равную по величине весу вытесненной жидкости. (Учесть, что выталкивающая
сила является равнодействующей сил давления.)
§ 2. Основные уравнения гидродинамики
Если жидкость не находится в состоянии покоя, т. е. равновесие
отсутствует, то говорят, что имеется поток жидкости. Состояние
движущейся жидкости полностью определено, если известна скорость
потока в каждой точке пространства в каждый момент времени. В
большинстве встречающихся на практике задач рассматривается
установившееся движение жидкости (стационарный поток), когда
вектор скорости потока в каждой данной точке не меняется со
временем. Пусть, например, нас интересует подъемная сила,
действующая на летящий с постоянной скоростью самолет. При этом
можно представлять себе самолет неподвижным, а воздух — непрерыв-
198
но движущимся с постоянной скоростью навстречу самолету (это
действительно имеет место в опытах с моделями в аэродинамических
трубах). Распределение скоростей потока около самолета в этом
случае не зависит от времени. В случае неустановившегося движения
следует различать два рода кривых: траектории, т. е. пути,
описываемые отдельными частицами жидкости с течением времени, и
линии тока, которые получаются следующим образом. Представим
себе, что в определенный момент в каждой точке потока в виде
маленьких стрелок нарисованы векторы скорости частиц. Эти
стрелки можно соединить кривыми, касательные к которым в каждой
точке направлены вдоль стрелок. В нестационарном потоке картина
линий тока меняется со временем. Вследствие этого частица,
переместившаяся за время dt из точки Р в точку Р\ будет иметь в Р'
уже не ту скорость, которая соответствовала этой точке согласно
картине линий тока в момент / (когда частица была еще в точке Р).
Таким образом, только в стационарном потоке траектории частиц
и линии тока совпадают.
Как и в теории упругости, мы сведем динамическую задачу
гидромеханики к статической посредством введения силы инерции —
d4 *
р —, действующей на единицу объема, согласно принципу
Даламбера. Равновесие между силой инерции, объемными силами
и силами давления, действующими на элемент объема, согласно
уравнению' (Г), наступит при условии
pG —Р — =gradp,
dt1
ИЛИ
^=G-igradp. (8)
dt2 p
Разложим полное приращение скоростей частиц жидкости в
d2v dv
элементе объема за секунду, т. е. вектор — = —, на чисто
временную и пространственную части. Последняя возникает за счет
того, что элемент объема через промежуток времени dt
переместится в точку г -+- drt в которой скорость потока равна v + dv =
= v + (dr . v) v. Следовательно, эта часть изменения скорости,
отнесенная к единице времени, составляет:
1 Символом do мы будем обозначать пространственную часть изменения;
dQv/dt иногда называют производной переноса (конвективной производной),
a dvjdt — локальной производной, так как она относится к определенной
точке пространства, а не к определенной частице; полное изменение
скорости данной частицы жидкости в единицу времени dvjdt = dvjdt + dQv/dt
называют также субстанциональной производной. (Прим. перев.)
199
С другой стороны, за время dt в случае неустановившегося
движения картина потока изменилась, так что частица застанет в
точке г + йт то состояние, которое соответствует моменту времени t -f-
+ dt. Пренебрегая членами высшего порядка малости, можно
положить, что это чисто временное изменение имеет значение,
соответствующее точке г. Обозначим это приращение скорости через
d\/dt. Полное ускорение равно сумме чисто временного и
пространственного приращений скорости за секунду, и из уравнения (8)
получим:
dv i
^ + (v.V)v=G — j gradp
(10)
К этому основному уравнению гидродинамики следует
добавить еще одно, которое называется уравнением непрерывности.
Масса жидкости, вытекающей за секунду через поверхность
произвольного объема, составляет (fpv-rff. (Так как под интегралом стоит
скалярное произведение v . di, то количество втекающей жидкости
автоматически считается отрицательным.) Это количество должно
быть равно убыли количества жидкости за секунду в
рассматриваемой части пространства, если внутри нее нет источников. Таким
образом,
pv.df = -|jPdx. (11)
Если поверхностный интеграл преобразовать в интеграл по объему
с помощью теоремы Гаусса, то, учитывая, что это уравнение
должно выполняться для любого объема, получим уравнение
непрерывности:
$
div (pv) = _ |£ |
Vl ' dt'
(12)
Для несжимаемых жидкостей оно упрощается:
divv = 0. (12')
Согласно смыслу выражения (v . V) v (см. стр. 36), основное
уравнение гидродинамики (10) в координатах запишется так:
(10а)
dvx
dt
dvy
ИГ
dv*
dt
а уравнение
+
+
+
dvx i
dx
dvz ,
x dx '
dvx ,
dvv ,
> dy
непрерывности:
d(?vx) 1
dx l
_d(?vy) ,
dy
dvx
z dz
dvv
z dz
z dz
д (?v2)
dz
Gx-
S<V
Gz-
P
P
p
d9
dt'
dp
dx
dp
dy
dp
dz
(12a)
200
Запись (10а) основных уравнений гидродинамики, называемых
также уравнениями Эйлера, позволяет видеть особые математические
трудности, возникающие в гидродинамике. Так как в уравнения
входят произведения компонентов скорости на их производные, эти
уравнения уже не линейные, и в отличие от линейных
дифференциальных уравнений в частных производных, встречающихся в
других разделах физики, например уравнений электромагнитного поля,
для них не выполняется закон суперпозиции решений, который
бывает весьма полезным (см. исследование колебаний струны,
стр. 191).
В дальнейшем мы ограничимся, во-первых, рассмотрением
установившихся движений, т. е. все чисто временные (локальные)
частные производные положим равными'нулю. Получающиеся при этом
ограничении уравнения для стационарного потока мы преобразуем
еще раз, что позволит провести дальнейшее подразделение видов
движения жидкости, а именно на вихревое и невихревое движения.
На странице 43 была выведена следующая формула векторного
анализа:
vXrotw = vX(VXw) = V(v,«w)-(v.V)w =
= grad (v,. w) — (v- V) w.
При w = v из нее следует, что
v X rot v = grad (v,- v) — (v. V) v= — grad v2 — (v. V) v.
Применим эту формулу для преобразования выражения (v«V)v.
Для стационарного потока получим:
— gradv2 — v xrotv = G — — gradp. (13)
2 P
Интегрирование уравнений существенно облегчается, если
рассматриваемый поток имеет всюду rot v = 0 (невихревое, или
потенциальное, движение). Действительно, если rot v = 0, то v можно
представить в виде градиента скалярной функции Ф — потенциала
скоростей. Задача сведется к нахождению одной скалярной функции
точки Ф.
Задачи
60. С помощью уравнений (10а) вычислить скорость стационарного
истечения тяжелой жидкости из малого отверстия в дне сосуда, если высота
уровня ее в сосуде равна А.
61. Вычислить таким же способом скорость истечения газа,
находящегося под избыточным давлением pi — p0. Предполагается, что для газа
справедлив закон Бойля — Мариотта р/р = const. Сила тяжести роли не играет,
и ею можно пренебречь.
201
§ 3. Потенциальное движение
а) Уравнение Бернулли. Пусть сила, действующая
на единицу массы, обладает потенциалом: G = — grad U (что
почти всегда имеет место). В этом случае из последней формы (13)
уравнений гидродинамики, интегрируя вдоль линии тока, на которой
ds совпадает по направлению с v, т. е. произведение (v X rotv)ds
равно нулю, мы получим в общем случае:
р р р р
Г— gradv2-ds — f(v X rotv).ds= — \gvadU-ds — f — gradp.rfs.
А» Ро Ро Ро (Н)
Для несжимаемых жидкостей отсюда следует:
T + " + 4=^ + ^ + ? = «™t
(15)
Это уравнение выполняется вдоль линии тока любого потока, как
безвихревого, так и вихревого. Но значение постоянной, вообще
говоря, меняется от линии к линии. В том случае, когда движение
невихревое, т. е. во всем пространстве rot v = О, интегрирование
(14) можно выполнить, очевидно, вдоль произвольной кривой.
Следовательно, в этом случае для всех линий тока постоянная должна
быть одна и та же. И обратно, если поток выходит из безвихревой
v2
области1, в которой величина -2--J- U0 -{- — имеет одинаковое
значение для всех линий тока, то и во всем пространстве поток
останется потенциальным. Это справедливо, например, для случая
истечения жидкости из сосуда, так как на всей поверхности жидкости
v2
все три слагаемые величины —- -J- £/0 + — имеют постоянные
значения.
б) Расчет безвихревых (потенциальных)
потоков. Уравнение Бернулли (15) показывает, что
невихревое движение не просто математическая абстракция, оно должно
очень часто встречаться в природе. Например, когда в
аэродинамической трубе продувается воздух для определения подъемной силы
модели самолета, то на входе трубы воздух имеет единые скорости
и давление. Потенциал силы тяжести (которой здесь, впрочем,
можно пренебречь) тоже имеет для всех линий тока практически одно
и то же значение. Следовательно, в силу сформулированных выше
законов вокруг профиля должно было бы установиться течение,
1 Это ограничение необходимо, так как при rotv fl v величина
,.2
~~+^о +— тоже сохраняет постоянное значение для всех линий тока.
2 р
202
соответствующее решению, найденному в предположении
отсутствия вихрей. Но такой чисто потенциальный поток приводит к
парадоксальным результатам. Так, на погруженный в него
бесконечно длинный круговой цилиндр с осью, перпендикулярной к потоку,
не действуют никакие силы. Теория отказывает потому, что даже
жидкости, которые можно считать идеальными благодаря их малой
вязкости (т. е. пренебречь их внутренним трением), прилипают к
поверхности, тогда как чисто потенциальный поток требует
гладкого обтекания (ср. граничные условия для потенциального
потока вокруг цилиндра, стр. 207). В пограничном слое вследствие
прилипания имеется большое падение скорости, и поэтому там rot v
уже не равен нулю. Вязкость жидкости, сколь бы она ни была мала,
обусловливает отрыв пограничного слоя, который следует
рассматривать в предельном случае как поверхность разрыва в смысле,
определенном на странице 47. При этом возникают отдельные
вихри. Такие поверхности разрыва могут возникать и в стороне от
препятствия, когда два потока с различными скоростями сливаются
позади острого края препятствия (крыла). Несмотря на это, методы
исследования потенциального потока все же находят применение,
особенно в двумерном случае. Дело в том, что в случае тел,
имеющих хорошо обтекаемую форму, движение жидкости может очень
мало отличаться от потенциального. С чисто математической точки
зрения скачок касательной составляющей скорости на поверхности
разрыва можно представить как поверхностный ротор скорости.
В таких потоках речь идет уже не о безвихревом течении в
строгом смысле, как в пункте а)1.
Обратимся теперь к математическому описанию невихревого
движения. Положим:
v = grad Ф. (16)
Уравнение непрерывности для несжимаемых жидкостей в этом
случае примет вид:
div v = div grad Ф = ДФ = 0, (17)
а собственно уравнения гидродинамики для стационарного потока
— gradc/2=G grad p. (18)
Всякую функцию Ф, удовлетворяющую дифференциальному
уравнению ДФ = 0, можно интерпретировать, таким образом, как
потенциал скоростей некоторого безвихревого потока. Задача состоит
в том, чтобы найти такое решение, которое удовлетворяет физичес-
1 Следует отметить, что во многих книгах по гидродинамике название
«вихревое» сохраняется для вихревого движения в более узком смысле, а
параллельный поток с градиентом скорости, перпендикулярным к нему,
у которого rot v Ф 0, не причисляется к вихревым.
203
ким условиям конкретного случая. Когда оно найдено, поле
скоростей получается из него с помощью операции градиента, а
собственно уравнения гидродинамики (18) нужны лишь для
вычисления распределения давления. В качестве простейшего
пространственного потенциального потока исследуем сферически
симметричное решение уравнения Лапласа АФ = 0. В этом случае
уравнение (17) имеет вид:
*•+£**«<) (19)
(см. стр. 67). Легко видеть, что
Ф = - + Ъ (20)
является его решением. Градиент его дает поле скоростей:
v=-lr0. (21)
Таким образом, поток направлен радиально от точки О или к
точке О. В первом случае в точке О находится источник, во втором —
сток. Постоянная а определяется расходом источника, т. е. объемом
жидкости Q, проходящим за секунду через поверхность сферы,
окружающей точку О, который равен:
Q = _ 4тсг2~ = — 4тга. (22)
Итак, если Q задано, то оно определяет а. Аддитивная постоянная
b не существенна для потока, потому что при образовании
градиента она выпадает. Обычно потенциал нормируют так, чтобы на
бесконечности он обращался в нуль, т. е. полагают 6 = 0.
Несколько сложнее решить задачу, когда в заданный
параллельный поток с потенциалом Ф = v0x внесено препятствие в виде
шара. Дополнительные условия состоят в следующем. На большом
расстоянии от шара поток должен быть невозмущенным
параллельным потоком. На поверхности шара нормальный компонент
скорости должен быть равен нулю, но в идеальной жидкости без трения
вполне допустимо скольжение жидкости по поверхности шара. (В
этом пункте имеется расхождение с новейшей гидродинамикой,
которая ближе соответствует действительности, так как учитывает
прилипание пограничного слоя.)
Мы не будем приводить полностью решение этой задачи, потому
что существенные черты его выявляются уже на примере двумерной
задачи о потоке вокруг бесконечно длинного кругового цилиндра,
а именно равенство нулю равнодействующей сил давления,
действующих на препятствие, что находится в вопиющем противоречии
с опытом.
204
При рассмотрении двумерного потока, когда картина линии
тока одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных к оси Z,
можно получить большое число решений уравнения Лапласа при
помощи конформного отображения. Связь двумерной задачи о
потенциале с конформным отображением плоскости комплексной
переменной основана на следующем.
Во-первых, по определению потенциала скоростей:
дФ дФ /1С/Ч
vx= —, о, = —, (160
* дх у ду9 У '
divv = АФ = 0 (170
(уравнение непрерывности). Далее, условие отсутствия вихрей в
двумерном случае имеет вид:
^у-^^О. (23)
дх ду
В силу (160 это условие выполняется автоматически. Введем теперь
другую функцию Y, положив:
Тогда уравнение непрерывности удовлетворяется автоматически,
но условие отсутствия вихрей требует, чтобы функция Y
удовлетворяла уравнению ДЧ** = 0. Итак, если в двумерном случае
мы имеем функцию, удовлетворяющую уравнению Лапласа, то
из нее можно получить линии тока двумя способами: во-первых,
при помощи операции градиента, во-вторых, при помощи (24).
Обратно, если определенный поток получается как из потенциала Ф,
так и из «функции тока» Y по формулам (24), то
dw _ w дФ сиг ,25
дх ~~ ду ' ду ~~ дх • '
потому что компоненты vx и vy9 полученные обоими способами,
должны быть равны. Уравнения (25) совпадают с условиями Коши —
Римана (см. стр. 75), которым удовлетворяют вещественная Ф
и мнимая Y части функции от комплексной переменной z = x -}-
+ iy. Кроме того, как вещественная, так и мнимая части функции
комплексной переменной удовлетворяют уравнению Лапласа.
Поэтому можно сказать, что любая комплексная функция
W=<D+*¥ = /(*+ДО (26)
определяет картину потока, причем кривые Ф = const
являются линиями равного потенциала, а ортогональные к ним
траектории — линиями тока. Согласно теории конформного отображения,
линии Ф = const перпендикулярны к линиям "*F = const,
вследствие чего последние являются как раз линиями тока. Меняя ро-
205
лями функции Фи ?, мы получим другую картину потока, в
которой линии ¥== const означают эквипотенциальные линии, а линии
Ф =* const — линии тока. Составим производную1;
йЖ~дЖ~e£j- -^
dz дх дх дх
tv7/ uw dW 0Ф , . 0W .. /л«,
W e — = — = — + <~ я0*-^ (27)
Легко видеть, что комплексное число И?' по абсолютной величине
равно скорости потока и соответствующий ему вектор является
зеркальным отображением вектора v относительно оси X; IF
называется комплексной скоростью, a W — комплексным потенциалом.
Исследуем теперь отображение, которое, как легко видеть, не
нарушает осевой симметрии:
д2) = Ф + ЛР = a In г,
или:
г= е
= *e(cos£ + /sin£). (28)
Разделяя вещественную и мнимую части, получим:
х = еФ1а cos (Ф/а), у = еФ/а sin (ЧГ/а), (29)
а исключая W или Ф, получим:
*2 + yl e ^ т# е# ф = a 1П Г (30)
или:
*=tgl. (31)
х а
Линии равного потенциала Ф = const являются концентрическими
окружностями с центром в О, а линии тока, следовательно,
прямыми, исходящими из О (рис. 69, а). Таким образом, поток
представляет собой двумерный аналог рассмотренного выше потока,
выходящего из источника. Постоянная а определяется количеством
жидкости, проходящим через поверхность кругового цилиндра
единичной высоты за единицу времени.
Если считать Y = const линиями равного потенциала, то
линии тока имеют вид окружностей (рис. 69, б). Эта картина потока
является прототипом циркуляционного потока. Если точку О
отделить от потока малой окружностью, то во всей остальной области
rot v = 0. Но линейный интеграл фу . rfs, взятый по одной из
окружностей, окружающих точку О, не равен нулю, потому что при
интегрировании по окружности вектор ds все время коллинеарен
вектору v, так что каждый член интегральной суммы
положителен. В § 5 мы снова вернемся к этому типу потока.
~ dW dW dW dW dz dz
1 Равенство — = — следует из —- = — T~> потому что —=» 1.
dz dx дх dz дх дх
206
Познакомимся теперь с двумерным аналогом задачи об
обтекании шара. Это задача об обтекании кругового цилиндра потоком,
который является параллельным на большом расстоянии от
цилиндра. Выберем систему координат так, чтобы невозмущенный
поток был параллелен оси X, и будем искать такую функцию W =
=/ (z), которая осуществляет отображение всей плоскости W на часть
плоскости г, лежащую вне круга радиуса R. Кроме того, чтобы
нормальные компоненты скорости на поверхности препятствия были
равны нулю, сама окружность должна быть линией тока, т. е.
линией 4е = const. Наконец, при больших z комплексная скорость
W = — должна переходить в вещественную величину v = jv|.
Рис. 69. Двумерное течение Рис. 70. Обтекание
жидкости: а — поток с точеч- кругового цилиндра,
ным источником; б —
циркуляционный поток.
Мы сейчас покажем, что этим требованиям удовлетворяет
функция
W = v[* + l)> (32)
или:
• + Я_„(, + ^)+,., (,__£_). ,320
Разрешая уравнение (32) относительно г, легко убедиться, что для
каждого значения W можно найти значение z по абсолютной
величине большее, чем /?, т. е. что существует однозначное соответствие
между точками плоскости W и частью плоскости z, лежащей вне
круга. Далее, мы видим, что кривая V = 0 состоит из круга хг +
-j- У2 = R2 и прямой у = 0, так что эта линия тока совпадает
с границей круга. Наконец, в пределе при больших z производная
от функции W, т. е. комплексная скорость W, стремится к
вещественной величине и.
Из полной симметрии картины потока до и после препятствия
(рис. 70) явствует, что абсолютная величина комплексной скорости
Д7Г = — 9 а вместе с ней и физической скорости, принимает одина-
dz
ковые значения в двух точках окружности, расположенных симмет-
207
рично относительно оси У. В силу уравнения Бернулли (15)
отсюда следует, что в этих точках равны также давления, так что
равнодействующая всех сил давления равна нулю. Таким образом,
в этом случае простой потенциальный поток приводит к
парадоксальному результату. Причины этого уже указывались выше.
§ 4. Общие теоремы о вихревых и циркуляционных потоках
а)Различие между вихрем и циркуляцией.
Будем называть интеграл T=(£vds по замкнутому контуру С
циркуляцией скорости вдоль этого контура. На основании
теоремы Стокса
(fiv • ds = Trot v. d\
можно было бы ожидать, что в потоке, в котором всюду rot v=0,
должна быть равна нулю и циркуляция вдоль любого контура. Но
пример потока с круговыми линиями тока вокруг точки О (см.
выше, рис. 69, б), когда сама точка О вырезана из потока малой
окружностью, показывает, что и при безвихревом потоке циркуляция
может быть отлична от нуля. Это противоречие возникает потому,
что при вырезании точки О область потока перестает быть односвяз-
ной, т. е. в ней существуют замкнутые кривые, которые нельзя
стянуть в точку. Таковы все кривые, охватывающие малую окружность
вокруг точки О. Но при выводе теоремы Стокса молчаливо
предполагалась односвязность области, в которой задано поле v. Если же
мы в двумерном потоке сделаем область, занятую потоком, неодно-
связной, вырезая из нее часть плоскости, то, несмотря на
отсутствие вихрей в рассматриваемой области, циркуляция может быть
отлична от нуля. В математике справедливость теоремы Стокса в
таких случаях обеспечивается проведением линий разрезов,
делающих область односвязной (см. стр. 77). Но теорему Стокса
можно сохранить и иначе, заменяя препятствие, которое вырезается
из поля потока, соответствующим распределением вихрей rot v на
поверхности или внутри препятствия. Такой способ имеет большое
значение, в частности, для трехмерного случая.
б) Теорема Томсона о сохранении
циркуляции. Рассмотрим частицы жидкости, расположенные в момент
/ = 0 на замкнутой кривой С0. Так как мы исключаем разрывы в
жидкости, то с течением времени частицы, которые вначале были
соседними, останутся таковыми, т. е. эти частицы все время
образуют замкнутую линию С, которая будет как-то деформироваться.
Положение частицы на С можно задать одним параметром X ,
например длиной дуги. Составим теперь циркуляцию вдоль С:
Г = фу.& = фу.|л. (33)
208
Продифференцируем это выражение по времени. Параметр X никак
не связан со временем, поэтому можно поменять порядок
дифференцирования по t и по X1:
dt -Г dt dl £ dk\dt] $ dt dl ' jf dl\2 )
(34)
Предположим теперь, что внешние силы — консервативные, т. е.
что они имеют потенциал U:
** =_ gradt/ — Igradp-— grad[t/+/(p)] = — gradV.
Так как grad V —, то
s dl dl
d^ = -&d-Vdi + &±(±-vAdi.
dt -Г dl j J dl \ 2 /
Первообразные функции V и — v2 являются однозначными
функциями точки, поэтому интегралы по замкнутому пути С равны нулю,
и мы получим:
-=0, или Г = const. (35)
dt
Циркуляция остается постоянной вдоль замкнутой линии,
состоящей из одних и тех же частиц жидкости, если внешние силы имеют
консервативную природу.
в) Теоремы Гельмгольца о вихрях. Из
теоремы Томсона легко получить ряд важных следствий (Гельмгольц
получил их другим способом). Представим себе картину линий поля
вектора rot v, т. е. кривых, касательные к которым в каждой точке
пространства определяют направления rot v — направления а>
осей вращения частиц жидкости. Чтобы иметь также меру
абсолютной величины поля, условимся считать, что количество линий поля
rot v, пересекающих перпендикулярную к ним единичную
площадку, пропорционально абсолютной величине rot v. Назовем
линии поля rot v вихревыми линиями.
Установим сначала следующий результат. Вихревые линии не
имеют внутри жидкости ни начала, ни конца, т. е. они являются
либо замкнутыми линиями, либо они кончаются и начинаются на
граничных поверхностях (если жидкость ограничена). Это
утверждение непосредственно следует из общей формулы векторного
анализа: div rot v = 0.
1 Хотя здесь имеются две переменные t и X, мы пишем полную
производную по времени d/dtf потому что частная производная d/dt выше (§ 2)
употреблялась в ином смысле. Здесь же идет речь о полном изменении v во
времени, а не об изменении v в фиксированной точке пространства.
20S
Назовем вихревой трубкой поверхность, образованную из
вихревых линий. Если сечение вихревой трубки столь мало, что
на нем можно считать rot v постоянным, то говорят о
вихревой нити. Для вихревых нитей имеет место теорема, согласно
которой произведение сечения на абсолютную величину rot v,
называемое интенсивностью вихревой нити, постоянно вдоль всей
вихревой нити. Действительно, возьмем поверхностный интеграл по
отрезку вихревой нити, заключенному между двумя сечениями qx и
<72, перпендикулярными к rot v. Тогда интеграл по боковой
поверхности равен нулю, потому что d\ на ней всюду
перпендикулярен к rot v, и остается только
интеграл по сечениям qt и q2. Так как
внутри этого объема вихревые линии начинаться
не могут и rot v на одном сечении
совпадает по направлению с rff, а на дру-
РИС* тоубкаХреВаЯ гом — пРотивоположен емУ» то
|rotv|191 = |rotv|a%. (36)
Далее, можно показать, что каждая вихревая нить все время
состоит из одних и тех же частиц жидкости, т. е. перемещается
вместе с образующей ее жидкостью. Возьмем на вихревой трубке
замкнутый контур С, не охватывающий трубку (рис. 71). Так как на
ограниченной контуром С части поверхности трубки rot v все
время перпендикулярен к df, то по теореме Стокса циркуляция
v . ds равна нулю. По теореме же Томсона циркуляция вдоль кри-
с
вой, которую образуют частицы, составляющие в момент / контур С,
все время должна оставаться равной нулю. Следовательно, контур
С остается все время на поверхности вихревой трубки. Так как это
утверждение справедливо для любого контура на поверхности
вихревой трубки, не охватывающего ее, то всю эту поверхность
можно представлять себе как состоящую из кусков, циркуляция вдоль
границ которых равна нулю. А это означает, что трубка все время
состоит из одних и тех же частиц жидкости.
То же самое справедливо и для вихревых нитей, потому что
вихревую нить можно представлять себе как общую образующую двух
вихревых трубок. Блуждание вихревых нитей можно наблюдать,
например, на кольцах дыма, получаемых курильщиком путем
выталкивания воздуха изо рта. Частицы дыма при этом являются
указателями положения частиц воздуха. Кольцо дыма плывет в потоке,
выходящем изо рта. Вращение воздуха вокруг оси кольца можно
наблюдать, правда, лишь на первой стадии, потому что оно вскоре
пропадает вследствие не учитываемой нами вязкости воздуха.
Рассмотрим теперь контур /С, охватывающий вихревую нить.
Циркуляция вокруг этого контура равна интенсивности вихревой
нити (теорема Стокса). Так как по теореме Томсона циркуляция
вдоль этого контура, состоящего из частиц жидкости, сохраняется
$
210
бо времени, то и интенсивность вихревой нити должна сохраняться.
Таким образом, мы получили следующую теорему: в идеальной жид-
кости интенсивности вихревых нитей сохраняются, т. е. вихри
не могут возникать или уничтожаться.
г) Закон Био и Савара для потока,
создаваемого вихревой нитью. Если задано вихревое
поле rot v, то по нему можно рассчитать поле скоростей потока. Мы
сделаем это для простейшего случая одной вихревой нити с
интенсивностью Г. Эта задача вполне аналогична задаче вычисления
магнитного поля тонкого проводника, по которому течет ток /. В
самом деле, для контура, охватывающего вихревую нить, можно
записать:
ф y.ds = J rot v.df = | rot v| q = Г, (37)
а для контура, охватывающего проводник с током (см. раздел III,
гл. V), Ихмеет место аналогичное соотношение:
(fiH.ds= f rotH.df = jrotH |<7 = —. (370
Но для магнитного поля решение хорошо известно — это закон
Био и Савара:
dsxr0 ^
-я-
г2
где ds — элемент тока, г0 — единичный вектор направления от
элемента тока к рассматриваемой точке. Следовательно, в
гидродинамическом случае по аналогии:
"АХ*^ (38)
-If.
4* J
§ 5. Плоский циркуляционный поток
а) Циркуляция при обтекании
препятствия. Задача о плоском потенциальном потоке, дополненная
циркуляционным членом, имеет большое практическое значение.
Чисто потенциальный поток приводит к парадоксальным
результатам, что мы видели на примере обтекаемого цилиндра. При
добавлении же члена, дающего конечное значение циркуляции, но не
создающего вихрей в жидкости, можно получить хорошее согласие с
опытом. Добавляемый член учитывает изменение, вносимое
прилипанием граничного слоя. Правда, для более точных расчетов следует
учесть, что в принципе не бывает двумерных задач, что препятствие
всегда ограничено и по длине и что возмущения, возникающие на
его концах, двумерным решением не учитываются. Для
представления плоского потока применима, как и в §3, плоскость
комплексной переменной. Линии тока получаются из комплексной функции
AVff
по способу, описанному в § 3. Производная — дает комплексную
dz
211
скорость W. При помощи ее вычисление циркуляции вокруг
препятствия производится особенно просто. Возьмем контур
интегрирования вокруг профиля; так как препятствие окружается линиями
тока и v направлена по касательным к линиям тока, то
dy __ vy
их vx
или:
(39)
(390
vxdy — vydx = 0.
Поэтому
Г = (j) v• ds = (J) [vxdx + vydy + i {vxdy — vydx)] = j)W'dz (40)
[cp. (27)]. Комплексный интеграл вычисляется особенно просто с
помощью интегральной теоремы Коши. Поскольку на больших
расстояниях от препятствия возмущение обращается в нуль и поток
переходит в невозмущенный параллельный поток, то комплексная
скорость может быть разложена в ряд по
степеням 1/z, если точку z=0 поместить внутри
препятствия:
W'=W'
+ "f + lf + «
Рис. 72. К
формуле Жуковского.
Тогда по теореме Коши (стр. 78)
ш_
(41)
(42)
б) Формула Жуковского для
подъемной силы. Главный вектор сил
давления потока на препятствие тоже легко вычислить при помощи
функции комплексной переменной. Сила, действующая на единицу
длины цилиндрического препятствия, равна:
F = j> pnds,
(43)
где п — направление внутренней нормали к поверхности
препятствия (рис. 72). Так как на поверхности препятствия нормальный
компонент скорости равен нулю, то интеграл берется по линии тока
и к нему можно применить формулу Бернулли:
p+L v2=k.
Таким образом,
S)pr\ds = —9-(V)nv2ds-\-(§)knds.
(44)
Второй интеграл в правой части равен нулю в случае плоской
кривой. Это легко показать. Обозначим через t единичный вектор
212
касательной, а вектор нормали к плоскости кривой — через Ь;
тогда п = b х t и
(j> knds = k (j) b X tds = &b X §tds = &b X <j> ds = 0 (45)
(для всякой замкнутой кривой <£ ds =0). Для вычисления первого
интеграла целесообразно ввести комплексное число
Z = Fy-\-iFx, (46)
радиус-вектор которого в комплексной плоскости является
зеркальным отображением вектора силы относительно биссектрисы
первого координатного угла. Из формул (43) и (44) следует, что
Fy=—f Фv*cos (п> у) ds' Fx=z~ij) v*cos (n,*)ds' (47)
а из рисунка 72 видно, что
ds cos (ny у) = dx, ds cos (n,x) = — dy. (48)
Таким образом, мы получаем:
2 = - \ j) v* {dx - idy) = - f (j) (»!+ vy)(dx - /dt/). (49)
Прибавляя к подынтегральному выражению член 2i (vxdy — vydx) X
X (vx — ivy)t который равен нулю в силу (39'), получим:
1=~ i §{v* ~ 2iVxV> ~ v>){dx+'dy)=~~ i § w*dz- (50)
Комплексная скорость W может быть представлена в виде ряда (41)
по убывающим степеням г, потому что вносимое препятствием
возмущение на больших расстояниях исчезает. Соответствующий
комплексный потенциал имеет вид:
W = a0+Wooz + a_1\nz -a-f+... (41')
Согласно сказанному выше, коэффициент а_х связан с циркуляцией
соотношением
«-,= £. (42')
Следовательно, в интеграле £)Wr2dz существен лишь член,
пропорциональный 1/г. При возведении (41) в квадрат коэффициент при
этом члене оказывается равным 2 W'^a^ и значение интеграла
W4z = 2iti.— W (51)
Таким образом,
Z = - 9TW„ = - рГ (vx9Q - ivy00). (52)
213
$
Отсюда следует, по определению Z, что
Fx=lmZ=z-\-pYyy00i Fy=ReZ=—pryx<>0\. (53)
Это соотношение называется формулой Жуковского для
подъемной силы. Из него видно, что простой потенциальный поток не
действует на круговой цилиндр, потому что комплексная скорость
vR*
W = v —'
zu
которая соответствует выражению (32), не даст под интегралом
(§W'2dz члена с 1/г. В действительности позади препятствия
возникает вихревая область, что происходите результате отрыва
пограничного слоя от цилиндра, и наши расчеты в этом случае неприменимы.
Турбулентный отрыв пограничного слоя может быть уменьшен,
если цилиндру сообщить вращение. В этом случае на решение (32)
накладывается еще поток по окружностям вокруг цилиндра.
Соответствующий комплексный потенциал мы получили уже в § 3, он
имеет вид Л1пг, так что полный поток определяется потенциалом
(54)
(55)
W=*v |
'+7
а комплексная скорость равна:
Циркуляция
W =*
равна
Г = 2«iA,
г2
+ Л1пг,
А
+ 7-
откуда А =
Г
2я/
(56)
Если допустить полное прилипание пограничного слоя, то при
угловой скорости о) цилиндра радиуса R величина циркуляции
составляет Г = 2тса)7?2. Если первоначально поток был направлен
вдоль оси X, то в направлении оси Y появляется сила
/?у = —p.2iru>/22t>. (57)
Эта сила направлена в ту сторону, по которой направления потока
и вращения цилиндра совпадают: Г положительна, когда
внутренность контура при обходе лежит слева от него1. Эта довольно
неожиданно появляющаяся поперечная сила, названная по имени
открывшего ее ученого «эффектом Магнуса», нашла однажды
интересное (хотя и не экономичное) техническое применение в роторном
судне.
1 Выражение (57) справедливо лишь в предельном случае, когда не
происходит отрыва пограничного слоя. В действительности же циркуляционная
скорость жидкости, ответственная за подъемную силу, составляет примерно
~ , так как всегда имеется частичный отрыв пограничного слоя.
214
Сравнительно простое конформное отображение позволяет
перенести картину потока с циркуляцией вокруг кругового цилиндра
на случай профиля, соответствующего применяемому в
авиационной технике сечению крыла. В зависимости от величины
добавляющейся циркуляции получаются картины потока типа а) или в) (рис.
73); случай б) является переходным. В случае а), когда циркуляция
мала, поток должен был бы идти вокруг задней кромки кверху, а
в случае в) — книзу. Как показывает опыт, в действительности
такое обтекание острых краев не имеет места; истинная циркуляция
соответствует гладкому стеканию с конца, т. е. случаю б).
Следовательно, подъемную силу профиля
можно рассчитать заранее, если
воспользоваться конформным отображением потока,
обтекающего круговой цилиндр, но при
этом следует иметь в виду, что двумерное
решение — довольно грубое.
=Г^Щ1|^^=Г
Рис. 73. Потенциальное
и циркуляционное
обтекание профиля крыла
самолета.
Может возникнуть вопрос, как совместить
возникновение циркуляции вокруг профиля с
теоремой Томсона о сохранении циркуляции?
Представим себе профиль, внесенный в простой
параллельный поток, в котором циркуляция вдоль
любого контура равна нулю. Казалось.бы, что по
теореме Томсона при этом не должно возникнуть
циркуляции. Однако если вначале
рассматривался поток без циркуляции, то на заднем краю
встречаются два потока с различными
скоростями. Следовательно, там образуется поверхность
разрыва (см. § 3, б). Поэтому теорема Томсона
применима лишь для контуров, окружающих
профиль на большом расстоянии, и для таких
контуров циркуляция остается равной нулю. По
мере того как образуется циркуляция вокруг
профиля, на заднем краю его возникает вихрь с противоположной циркуляцией,
так называемый «пусковой вихрь». Когда его интенсивность станет равна
окончательной величине циркуляции вокруг профиля, он оторвется, и после
этого картина потока становится стационарной. Благодаря одновременному
существованию этого вихря и циркуляции вокруг профиля циркуляция вдоль
контура, проходящего на большом расстоянии от профиля, все время равна
нулю, потому что контур охватывает также и вихрь.
§ 6. Распространение волн в жидкостях и газах
(звуковые волны)
Среди нестационарных процессов в жидкостях и газах
математически особенно легко описывается распространение волн сжатий
и разрежений, потому что при этом изменения скорости и плотности
столь малы, что все произведения этих величин можно отбросить.
Так, в уравнениях Эйлера можно отбросить член (v . V)v, и при
отсутствии внешних сил мы получим:
■- gradp.
р
(58)
215
Представим теперь плотность в виде:
P*=7[l+o(x9y,29f)], (59)
где р — средняя плотность, с — отклонение от нее. Подставим
это выражение в уравнение непрерывности (12) и снова
пренебрежем величинами второго порядка. После деления на р получим:
^ + divv = 0. (60)
Уравнение (58) эквивалентно трем скалярным уравнениям. Вместе
с уравнением (60) мы имеем четыре уравнения для пяти
переменных vx, vyf vzi р, о. Следовательно, нужно иметь еще одно
соотношение между р и р или а. Для газов естественно использовать
закон Бойля — Мариотта ~ = ^-, который уже применялся в § 1
- р?.
(р — среднее давление). Но расчет скорости звука на его основе
приводит к неправильной величине. Причина кроется в том, что этот
закон справедлив лишь при постоянной температуре, в то время как
сжатия и разрежения в среде следуют столь быстро друг за другом,
что вызванные ими по законам термодинамики локальные
изменения температуры (см. разд. V, гл. III) не успевают выравниваться.
Поэтому следует применить закон адиабатического сжатия,
справедливый при полной теплоизоляции. Если вместо объема
подставить обратно пропорциональную ему плотность, этот закон примет
вид:
^ = ^=(1 + о)*«1+Та (61)
(f — отношение удельных теплоемкостей ср и cv).
Отсюда
grad p = /??grad с. (62)
Если пренебречь произведениями малых величин, то можно
написать:
-grad/?==^-grada. (63)
Р р
Подставляя это выражение в упрощенное гидродинамическое
уравнение (58), получим:
£„£1 grade. (64)
Из уравнений (60) и (64) v легко исключить. Так как можно менять
порядок дифференцирования по времени и по координатам,
достаточно продифференцировать уравнение (60) еще раз по / и образовать
дивергенцию от уравнения (64). Приравнивая оба полученных
выражения для — div v, получим:
dt
216
div grad a = Aa = 1 -
PI
d/2
(65)
Таким образом, отклонение плотности от среднего значения
удовлетворяет волновому уравнению, причем фазовая скорость равна
■"-!/¥•
(66)
(67)
Средняя плотность р зависит от температуры:
гдер0 — плотность при 0°С, Ь — температура по Цельсию, a = 1/273
(см. разд. V, гл. II). Поэтому скорость звука при температуре &
равна:
,~=|/
Р1(1-М»
Ро
(68)
Так как р0 пропорциональна давлению /?, то скорость звука v не
зависит от давления.
Задача
62. Вычислить скорость звука в воде, зная ее сжимаемость: %=
= бО.КГ^а/илГ"1; f«l.
§ 7. Гидродинамика вязких жидкостей
а) Простой линейный ламинарный поток.
Закон Гагена — Пуазейля. Ламинарным называется
поток, в котором жидкость течет как бы параллельными слоями,
скользящими друг относительно друга с различной скоростью.
В простейшем случае все слои движутся в одинаковом направлении,
например вдоль оси X. Вследствие внутреннего трения более
быстро текущий слой оказывает ускоряющее воздействие на
прилегающий к нему слой, пытаясь увлечь его за собой. И обратно, более
медленно текущий слой тормозит более быстрый. Уже Ньютон указал
правильный вид этой тормозящей силы: она должна быть
пропорциональна площади / поверхности соприкосновения слоев и спаду
скорости в перпендикулярном к потоку направлении.
Следовательно, если скорость v возрастает в направлении оси Z, то на слой г =
=0 действует прилегающий к нему сверху слой с касательной силой,
равной по величине
^ = V|. (69)
217
В этом случае сила направлена вдоль оси X, т. е. ее следует считать
положительной. Множитель пропорциональности г, называется
коэффициентом внутреннего трения или коэффициентом вязкости.
Ламинарный параллельный поток имеет место, например, при
медленном протекании вязкой жидкости по цилиндрической трубе.
Из опыта известно, что жидкость прилипает к стенке, поэтому
скорость возрастает по направлению к оси трубы и производная — от-
* dr
рицательна. Рассмотрим элемент объема в виде полого цилиндра
с внутренним радиусом г и внешним радиусом г + dr. Слой
жидкости, прилегающий к внутренней поверхности цилиндра,
действует на нее в положительном направлении оси X с силой, равной
где /—длина трубы. Слой, прилегающий к внешней поверхности
цилиндра, вследствие убывания скорости с ростом г тормозит рассмат-'
риваемый элемент объема с силой
Далее, пусть на одном конце трубы давление равно pv на другом
р0 (у выхода). Тогда результирующая сил давления, приложенных
к нашему элементу объема, составляет 2ъгйг(рх —- р0). В
стационарном состоянии (равномерное движение) все силы должны
уравновешиваться. Поэтому, если пренебречь величинами высшего
порядка малости,
2щ1% + 2щ1г^ = 2щ1 '± (rd£j ==-2*r(pl-p0). (70)
(71)
Легко найти первый интеграл этого уравнения
^ = _ (Pi - Ро)г i £
dr 2у * г в
Повторно интегрируя, получим:
v = — Pl=lEo.r±+Clnr+D. (72)
2т)/ 2
Постоянные интегрирования С и D определяются следующим
образом. Так как v на оси трубы (т. е. при г = 0) должна оставаться
конечной, следует положить С = 0. Далее, на стенке трубы (т. е.
при г = а) должно быть v = 0, откуда
Таким образом, решение имеет вид:
\v=r^^-r*) I. (73)
218
Если отложить векторы скорости от какого-нибудь сечения трубы,
то их концы заполнят поверхность вращения, меридиональное
сечение которой является параболой. Поэтому говорят, что в нашем
случае течение имеет параболический профиль скоростей. Полный
объем жидкости, вытекающей из трубы за секунду, мы получим,
взяв интеграл fv-df по сечению. В нашем случае он равен:
^
:Ро (а* _ Г2}. 2ъгйг - *fo-/*>>fl4
4V ' Вт\1
(74)
Это и есть закон Гагена — Пуазейля, согласно которому
количество жидкости, вытекающей за секунду из трубы, пропорционально
четвертой степени ее радиуса и разности давлений на концах
трубы и обратно пропорционально длине трубы и коэффициенту
вязкости.
Простой ламинарный поток — не единственно возможная форма
потока в трубе. При увеличении скорости в определенный момент
произойдет резкое изменение характера потока: 1) скорость
вытекания жидкости уже не будет пропорциональна разности давлений,
она будет нарастать медленнее; 2) значения скорости и давления в
определенной точке перестанут быть постоянными во времени,
будут наблюдаться колебания около их среднего значения
(«пульсация» скорости и давления); 3) будет происходить постоянное
перемешивание жидкости, что легко заметить, если ввести в поток
подкрашенные струйки. Это состояние потока называется
турбулентным. Возникновение турбулентности определяется критическим
значением безразмерной величины — числа Рейнольдса, которое
для трубы с круглым сечением радиуса а определяется формулой
Re = ^, (75)
где р—плотность, v — скорость. Для возникновения
турбулентности существует, по-видимому, резкая нижняя граница. До сих
пор не удавалось получить турбулентное течение при Re < 2200.
Возникнет ли турбулентность при Re > 2200, зависит от того,
насколько свободен поток, в частности, в начале трубы. Теория
турбулентности и условия перехода от ламинарного режима движения
к турбулентному представляют собой по существу еще не
решенную задачу гидродинамики.
б) Учет трения при произвольных формах
потока. Для вычисления напряжений, действующих на
элемент объема вязкой жидкости, можно воспользоваться формулами
теории упругости, если вместо смещений иу v, w (стр. 167)
подставить их производные по времени, потому что силы трения начинают
219
"и~ дх'
ду
toz
033 ~ Tz'
сул dvx , dvy
^-Tj^-dx-
23 dz ^ ду
9е - ** 4- dVx
гвз1 " дх + dz
— 2^21,
= ^32»
= 2еи.
действовать лишь при движении. Тогда формулы (21) (стр. 171)
примут вид:
(76)
Будем считать жидкость несжимаемой. Тогда еп + е22 + е33 = 0.
Вместо характеристик упругости Е и (а надо ввести теперь
коэффициент вязкости т]. Для этого будем исходить из рассмотренного выше
частного случая линейного ламинарного потока. Выберем теперь
ось Y вдоль потока, а ось X в направлении возрастания скорости.
Тогда
vx = 0, vy = v, иг = 0 (77)
и уравнения теории упругости (стр. 179) дадут величину
касательного напряжения, действующего вдоль оси Y на перпендикулярную
к оси X поверхность:
Я12=-^-е12 = —— -. (78)
12 1+|х 12 2(1+ц)Лг- '
Согласно (69), касательная сила, отнесенная к единице площади
поверхности, равна г\——. Из сравнения обоих выражений следу-
dx
ет, что надо заменить на ?). Таким образом,
Р.-*%. Р.-,(Ь + *)-Р. (79)
Я.-**. !>„_,(£ + £)_,>„
Согласно уравнениям (35) (стр. 174), компоненты
равнодействующей создаваемых напряжениями дополнительных сил,
действующих на единицу объема, равны:
F e_Pn + d_p,^ = div р 2^+ £, + **в
&*• % дг d,v d# аг
= ./2^ + ^ + ^+^ + ^-Л (80)
Ч д*2 <fy2 l дл% дл-dz { dz* )'
^ = i|[A^ + £divv)=T1A^ (81)
или:
220
(так как div v = 0), и аналогично:
Fy = Ji&vyt Fz = т]Д vz. (81')
Добавим эту силу к рассмотренным ранее силам, действующим на
единицу объема жидкости. В векторной форме это даст
дополнительный член t]Av, который можно представить в виде — т] rot rot v,
воспользовавшись известной формулой векторного анализа:
rot rot v = grad div v — Av
и тем, что divv = 0. Тогда уравнение гидродинамики для
несжимаемых вязких жидкостей примет вид, называемый уравнением
Навье — Стокса:
|Y+(v.V)v = G-jgradp-|rotrotv
(82)
Здесь мы обозначили, как и выше, через G внешнюю силу,
действующую на грамм вещества. Если ввести в это уравнение
напряжения, возникающие благодаря вязкости, то по формуле (80)
- +(v-V)v =G — Igradp-f — (i div Px+ j div P2 + k div P3), (83)
dt p p
в) Формула Стокса для силы сопротивления,
действующей на медленно движущийся в
жидкости шар. Трение, испытываемое равномерно
движущимся в вязкой жидкости шаром, впервые удалось вычислить
Стоксу. Результат будет, разумеется, такой же, если считать
шар неподвижным и жидкость текущей со скоростью v0. Таким
образом, речь идет о нахождении частного решения
уравнения (82), соответствующего обтеканию шарообразного
препятствия. Затем из полученной картины потока можно вычислить
равнодействующую всех сил, действующих на шар. Стоке
рассматривал случай столь малых скоростей, что членом (v • V)v,
содержащим произведения vx——, ..., можно пренебречь. Следовательно,
дх
для стационарного движения, которое нас интересует, левая часть
уравнения (82) считается равной нулю. Но это приближение, как
заметил сам Стоке, в случае цилиндра приводит к парадоксальным
результатам. Правильнее было бы учитывать и при малых
скоростях член (v. V)v по крайней мере в виде (v0« V)v, т. е. при
производной от скорости по направлению заменить скорость v на
скорость в невозмущенном потоке v0. В случае шара это дает лишь
малый дополнительный член к выражению, полученному Стоксом,
чем оправдывает его задним числом. Поэтому мы приведем
вычисления, произведенные Стоксом, поскольку они относительно
просты.. Так как нас интересуют только силы вязкости, мы
пренебрежем также силой тяжести G как внешней силой, действующей на
жидкость, влияние которой скажется тогда лишь в гидростатиче-
221
ском выталкивании шара. Иначе говоря, благодаря малой
скорости мы можем заменить все силы, не связанные с трением,
гидростатическими силами, о которых мы не имеем права забывать при
вычислении полной силы. Например, если шарик падает в вязкой
жидкости, то надо учесть ее выталкивающее действие. Итак, для
вычисления сил вязкости представим себе жидкость, не
подверженную тяготению, так что уравнения гидродинамики в нашем
случае будут иметь вид:
grad р = т]Ду; div v = 0. (84)
Будем искать v в виде суммы потенциального течения vx = gradO
и непотенциального v2. Тогда
grad р = т,Д grad Ф + т)Дv2 = r,grad Д Ф + т}Ду2. (85)
Предположим, далее, что v2 удовлетворяет уравнению Дуа = 0.
Тогда при интегрировании уравнения (85) получим:
р = т]Дф + р0. (86)
Условие несжимаемости divv = 0 дает еще одно уравнение:
div grad Ф + div v2 = ДФ + div v2 = 0. (87)
Простейший вид v2, который можно себе представить — когда
лишь один компонент v2x отличен от нуля (он должен
удовлетворять уравнению Av2x = 0). Простейшее сферически симметричное
решение этого уравнения имеет вид:
v2x = ±. . (88)
Иначе говоря, мы положили:
v2=-i, div v2=i-grad — = a~. (89)
r г дх '
Из уравнения (87) дляф, подставляя (89), получим:
а!
ДФ + а-^ = 0. (90)
ал-
Частным решением этого уравнения, как легко видеть, будет:
В самом деле,
A® = _£±Are_±idivgradr = -^div^
2 дх 2 дх ъ 2 дх г
Ф=-^. (91)
2 дх К '
а д А _ ад J: л _ а д
\_
г
2 дх\г г3 I дх
\г г3 J дх
.222
Чтобы получить достаточное количество произвольных постоянных,
подбор которых позволит удовлетворить граничным условиям,
добавим к решению (91) еще функции, удовлетворяющие уравнению
Дф = о, т. е. пропадающие при подстановке в уравнение (90).
Так как наше частное решение на бесконечности обращается в
нуль, мы должны прежде всего добавить член, соответствующий
нашему предположению, что на больших расстояниях от шара
имеет место простой параллельный поток вдоль оси X. Таким членом
является v0 х. Далее, уравнению Аф = 0 удовлетворяет,
например, функция b/r, а также частные производные от \/г по х всех
порядков (вследствие перестановочности операций — и А , Мы
покажем сейчас, что всем граничным условиям можно
удовлетворить, добавляя еще всего лишь одну функцию b ( . Таким
образом, мы ищем решение вида:
v=grad(V+^-fg)+i|, (92,
или в компонентах:
•* ° ' дх* 2 дх* ' г ол [г* г») 2 [г г*}^ г'
у дхду
д27
v z=b —- —
2 dxdz
а д2г _
2 дхду ~~
а д*г _
2 dxdz ~~
Ь^М JL-JL —
гь ""*" 2 г3 '
* Зл*2 , а хг
При любых значениях х, у и z все компоненты v должны
обращаться в нуль при г — R. Для компонентов vy и vz это будет
достигнуто, если положить:
» = -a-f. (93)
При этом в компоненте vx коэффициент при х2 тоже обращается
в нуль. Приравнивая нулю остальные члены этого компонента,
получим:
a = _*e.2* т.е. b = ?f3. (94)
223
Таким образом, решение, удовлетворяющее граничным условиям,
имеет вид:
* ° V 4 г 4 гУ 4 г3 \ г2У
„.__1й5а-е)ед
Из уравнений (86), (90) и (94) находим давление:
р==рв + 1,ДФ = р0~оч-^=рв-^^х (96)
Равнодействующую сил, приложенных к шару,' мы получим,
вычисляя по компонентам скорости напряжения при помощи
уравнений (79) и вычисляя затем интеграл от напряжений и давления по
поверхности шара (ср. стр. 173 и далее). Мы получим:
F = — j)pdi +$ [Рх cos (n, i) -f P2 cos (n, J) + P3 cos (n, k)] df. (97)
Давление взято с отрицательным знаком в соответствии с условием,
принятым ранее (см. стр. 196). Из соображений симметрии ясно,
что равнодействующая всех сил должна быть направлена вдоль
оси X:
Fx = F= — ^pUdf+§[Plxcos(nt i) + P21cos(n, j) +
+ P3iCos(n, k)l d/. (98)
Ввиду симметрии тензора напряжений (Р21 = Р12)
[Pncos (n, i) + Р21 cos (n, j) + Р31 cos (n, k)] df = Рх. df, (99)
так что равнодействующая равна:
F = $)(?!—pi), dh (100)
Этот интеграл берется по сфере радиуса R. Но вычисления можно
упростить, заметив, что div (Pj — pi) = 0. Действительно,
div(P1 — pl) = divP1— ^.
Это выражение равно нулю в силу наших предположений, что
видно из уравнения (83), если его записать в компонентах. Поэтому
теорема Гаусса — Остроградского позволяет заключить, что
величина интеграла не изменится, если его взять по сфере бесконечно
большого радиуса. Площадь поверхности сферы при г -> оо растет
как г2, и все члены, которые при этом стремятся к нулю быстрее,
224
v2 \
чем 1/г2, можно отбросить (например, члены вида — ]. Поэтому
при больших г компоненты скорости будут иметь более простой
вид:
'Vex?
^г + -г
а лг»
2г
2 г»
v =£S
°~~f£ (95')
[здесь а = — (3/2) о0#]. Для вычисления напряжений нам нужны
производные:
9 V^/0O_ Г» *
^
(101)
Используя формулы (79) и (96), находим:
/у = ^ (Р2 — ip).df =»
Г Г * /, Зл-2\. Затух*. 3ai)z*2. . / , ат.*\1
=-3a7i(j)£ (*l + yj + 2k).df-^0|.df=»
df =
=-ЗаЧф£г.Л- ^ftl-df.
(102)
Второй интеграл равен нулю, потому что подынтегральное
выражение — постоянная. В первом интеграле
dt = rrsindd&dcp, -=cos2&,
Г2
(103)
поэтому
к 2тс
— Зац Г Г cos2frsin»dfrdcp
F =
Sat\'2K
COS3 Ь
о о
= —4тгат]. (104)
Подставляя значение (94) для а, получим окончательную формулу:
(105)
F = бтет] vQ R
Итак, сила сопротивления прямо пропорциональна радиусу шара и
скорости шара относительно жидкости. Эта формула находит, в
частности, применение в электронной теории (см. разд. IV). Она
хорошо подтверждается при малых скоростях для шариков,
падающих в вязкой жидкости.
8 Г. Иос
225
§ 8. Поверхностное натяжение жидкости
а) Определение коэффициента
поверхностного натяжения. Большое число широко известных
явлений (например, мыльные пузыри) показывает, что поверхность
жидкости подобна натянутой перепонке, и увеличение ее
поверхности требует затраты энергии. Почему возникает это натяжение?
Для объяснения сил сцепления в жидкости мы должны допустить
существование притяжения между молекулами, быстро
убывающего с расстоянием и поэтому почти незаметного в газообразном
состоянии вещества. (Лишь при очень большом сближении молекул
вступают в действие силы отталкивания между молекулами,
обусловливающие заполнение жидкостью некоторого объема.)
Поэтому любое скопление молекул, на которое не действуют внешние
силы, примет конфигурацию, при которой все молекулы будут
находиться на наименьших возможных расстояниях друг от друга,
т. е. оно примет форму шара1. Всякая деформация шара
увеличивает его поверхность и увеличивает среднее расстояние между
молекулами, т. е. требует работы против сил притяжения. Если
оформить эту мысль математически и вычислить полную потенциальную
энергию данного количества жидкости, мы получим энергию как
сумму двух частей, одна из которых пропорциональна объему, а
другая—поверхности. Но поверхность растет как вторая, а объем — как
третья степень линейных размеров, так что явления, связанные
с поверхностной энергией, будут тем заметнее, чем меньше
рассматриваемый объем (и вместе с ним — количество жидкости).
Итак, положим в основу следующее выражение для
поверхностной энергии:
J* U = а/, (106)
где / — величина поверхности, а а — множитель
пропорциональности, называемый коэффициентом
поверхностного натяжения. Рассмотрим участок
Рис. 74. К по- поверхности, окруженный замкнутой кривой С, ко-
нятию поверхност- r rj j **~ r
ного натяжения, торая переходит при увеличении поверхности в
кривую С' (рис. 74). Согласно формуле (106), для
увеличения поверхности необходимо затратить
некоторую работу. Ее можно интерпретировать как работу,
совершаемую против сил, приложенных к контуру С по нормали к
нему. Обозначим через F силу, действующую на 1 см граничного
контура. Пусть о/г — смещение линейного элемента ds вдоль
направления лежащей на поверхности нормали к С. Тогда работа,
1 Пожалуй, следует отметить, что хотя силы тяготения действуют и между
молекулами, но они столь малы, что их нельзя даже сравнить с силами
молекулярного притяжения, имеющими электрическую природу.
226
затраченная на преодоление
формации С, равна:
поверхностного натяжения при де-
:(£ Fdsl
;оя.
(107)
Подобно натяжению мембраны, F имеет одну и ту же величину
вдоль всего граничного контура, т. е. F можно вынести за знак
интеграла, a (£dson равен изменению 8/ площади поверхности. Из
формул (106) и (107) мы находим величину приращения
потенциальной энергии:
IU = ЬА = Fbf = ей/.
(108)
'Fdu
Рис. 75. Поверхностное
натяжение и нормальное
давление.
Таким образом, коэффициент
поверхностного натяжения равен силе F,
действующей на 1 см границы поверхности.
б) Поверхностное
давление на искривленных
поверхностях. Уравнение
равновесной формы поверхнос-
т и. Рассмотрим сначала цилиндрическую
поверхность и силы, действующие на
элемент поверхности, ограниченный двумя
образующими и двумя ортогональными к ним кривыми (рис. 75).
Натяжения, действующие на две последние кривые,
направлены вдоль образующих и поэтому не могут создать
равнодействующую, перпендикулярную к поверхности. Силы же,
приложенные к образующим, составляют между собой угол d<? и
дают равнодействующую, направленную в сторону вогнутости
поверхности, как показано на рисунке 75. Обозначим длины
образующих через dsif а ортогональных к ним кривых—через ds2.
Тогда равнодействующая сил, приложенных к образующим, при
малых углах составляет dFx = Fdstd<f. Введем теперь радиус кри-
еизны /?!= — . Тогда'
d<$
dFx = F
dsLds2
Ri
Fdf
Rl
ad[
Ri '
откуда поверхностное давление равно:
а
(109)
В случае поверхности двоякой кривизны возьмем элемент
поверхности, ограниченный двумя парами близких линий кривизны. (Как
известно, нормали к поверхности, восстановленные в близких точ-
8*
227
ках на линии кривизны, пересекаются; линии кривизны
направлениями своих касательных определяют плоскости нормальных
сечений с наибольшей и наименьшей кривизной.) Так как оба
семейства линий кривизны перпендикулярны друг к другу, для каждой
пары сторон нашего элемента поверхности можно повторить
рассуждения, проведенные выше для образующих цилиндра
(поверхности с одной кривизной). Полная сила,
направленная перпендикулярно к
элементу поверхности, составляет:
Направленное внутрь поверхностное
давление равно:
Это выражение называется формулой Лапласа. В этой формуле
Rx и R2 следует считать положительными, когда соответствующий
центр кривизны лежит внутри жидкости. В случае вогнутой
поверхности нормальное давление может принимать отрицательные
значения, т. е. переходит в натяжение.
Для вычисления равновесной формы поверхности жидкости
применим принцип виртуальных перемещений. Представим себе,
что поверхность деформирована, как показано на рисунке 76, так
что каждый элемент ее смещен на Ьп вдоль своей нормали. Будем
считать это смещение положительным, если оно направлено наружу.
Тогда работа, совершенная против поверхностного давления и
равная увеличению потенциальной энергии, составляет:
К этой величине добавляется еще часть, обусловленная
потенциалом внешних сил, в частности силы тяжести. Действительно, в
результате смещения в местах с высоким потенциалом станет больше
(или меньше) частиц жидкости, а в местах с низким потенциалом —
наоборот. Так как изменения энергии при виртуальных
перемещениях малы по сравнению с действительными разностями
потенциалов вдоль поверхности, мы можем при вычислении этих изменений
потенциальной энергии пользоваться значениями ее, относящимися
к недеформированной поверхности. Обозначим это значение,
отнесенное к грамму вещества, через Ф. Эта часть изменения энергии
составит:
8£/а= f рФ rf/ о/г. (112)
Рис. 76. К
определению равновесной
формы поверхности
жидкости.
228
Условие равновесия имеет, следовательно, вид:
«/= Г а f—+ —) dfbn+ \?<bdfbn=*
} \Ri Ri) f
=/[e(i+^)+p*]^e0- . (113)
Но смещения Ъп не совсем произвольны. Они не должны привести
к изменению объема жидкости, т. е. интеграл f d/8n должен быть
равен нулю. Поэтому из равенства нулю интеграла в уравнении
(113) еще нельзя заключить, что подынтегральная функция равна
нулю. Чтобы удовлетворить дополнительному условию,
воспользуемся опять Лагранжевым методом неопределенных множителей,
который был изложен на страницах 119 и 120 для случая обращения в
нуль вариации суммы и без труда может быть перенесен на
вариацию интеграла как предела суммы. Итак, умножим
дополнительное условие
81/= j rf/S/z = 0 (114)
на множитель X, который можно внести под знак интеграла,
памятуя, что на поверхности он сохраняет постоянное значение.
Сложим уравнения (113) и (114). Рассуждая так же, как и на
странице 119, мы можем теперь из равенства нулю интеграла заключить,
что и подынтегральное выражение равно нулю:
^ + ±)+^+х_о
(115)
Это и есть уравнение равновесной формы поверхности жидкости.
Постоянная X определяется по известным в какой-нибудь точке
поверхности жидкости значениям Rlf R2 иФ. Например, если мы
рассматриваем поднятие поверхности жидкости у стенок сосуда,
то X легко найти для середины мениска, где поверхность можно
считать плоской, так что от этого уровня удобно отсчитывать
потенциал силы тяжести. В этом случае X = 0.
в) Граничные условия. Для решения уравнения
поверхности нужно задать еще граничные условия. В нормальных
условиях жидкость ограничена сосудом, стенка которого
определяет границу верхней поверхности жидкости. На рисунке 77
показан разрез, перпендикулярный к этой границе. На поверхности
соприкосновения жидкости со стенкой тоже существует
поверхностное натяжение а^, зависящее от природы материала стенки и
жидкости. (Так как поверхностное натяжение зависит от природы ве-
229
ществ, соприкасающихся на граничной поверхности, то и в рас-
смотренном выше случае поверхностного натяжения следовало бы
различать природу газа над жидкостью, но различия для разных
газов не велики. Строго говоря, а означает поверхностное
натяжение жидкости, соприкасающейся со своим собственным паром.)
В состоянии равновесия компонент поверхностного натяжения а,
направленный вдоль стенки, должен уравновешиваться
поверхностным натяжением а^. Нормальный компонент поверхностного
натяжения а проявляется лишь в отрицательном давлении на
стенку. Отличие же касательного компонента равнодействующей от
нуля привело бы к смещению.границы верхней поверхности
жидкости вдоль стенки. Назовем обращенный- внутрь жидкости угол
менаду стенкой и поверхностью жидкости краевым
углом ft. В случае смачивания, изображенном на
рисунке 77, & — острый угол, и условие равновесия
имеет вид:
a cos & -j- oilf = О,
или:
Рис. 77.
Краевой угол
поверхности
жидкости.
COS&=: — -**.
(116)
(Ибо
Таким образом, в этом случае a]f имеет
отрицательное значение. При
> 1 не существует
конечного краевого угла, жидкость распространяется по стенке в виде
тонкой пленки. Практически это соответствует краевому условию
& = О1. Этот случай имеет место, например, для границы
вода — стекло (при условии, что поверхность стекла абсолютно
чистая).
г) Тонкие пленки жидкости. У тонкой пленки
жидкости (например, у стенки мыльного пузыря) имеются две близко
расположенные параллельные поверхности. Поэтому
поверхностное давление искривленной пленки имеет удвоенное значение по
сравнению с давлением поверхности жидкости. Так, внутри
шарообразного мыльного пузыря с радиусом Rt ~ R2~ R оно равно
4а
(И7)
Чтобы пузырь был в равновесном состоянии, давление внутри него
должно превышать атмосферное давление как раз на эту величину.
В случае незамкнутой пленки полное давление с обеих сторон
одинаково, поэтому та часть его, которая обусловлена поверхностным
1 Жидкость распространяется в этом случае и по вертикальной стенке.
Работа, совершаемая против силы тяжести, в случае достаточно тонкой
пленки столь мала, что она практически никак не ограничивает распространение.
230
натяжением, равна нулю. Уравнение поверхности в случае
незамкнутой пленки принимает вид:
к+к-°- (118)
Стоящее в левой части выражение представляет собой удвоенную
среднюю кривизну. Поверхности со средней кривизной, всюду
равной нулю, называются минимальными, потому что при заданной
граничной кривой они представляют собой поверхности с
наименьшей площадью. Непосредственно очевидно, что всякая натянутая
пленка, каковой является и тонкая пленка жидкости, принимает
форму минимальной поверхности.
Задачи
63. Вычислить высоту поднятия смачивающей жидкости (cos Ф = 1) в
тонкой трубке радиуса г0. „•.«*
64. Между двумя одинаковыми параллельными проволочными кольцами,
центры которых лежат на общем перпендикуляре к их плоскостям, образована
пленка из мыльной воды. Найти получающуюся при этом поверхность
вращения. /
Глава VI
МЕХАНИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Пространство и время в ньютоновской механике
В главе I мы говорили о «траектории» и «скорости»
материальной точки. При этом молчаливо подразумевалось существование
системы отсчета (системы координат), в которой положение точки
в каждый момент времени определяется тремя числами, а также
существование устройства для измерения времени (часов),
позволяющего отмерять равные промежутки времени, через которые мы
регистрируем положение частицы. Такой системой отсчета могут
быть, например, направления, определяемые странами света и
силой тяжести, а в качестве масштаба времени можно взять
какую-нибудь часть суток, т. е. времени обращения Земли вокруг
оси. Действительно, применяя такие системы отсчета и единицы
времени, мы находим, что законы механики, которые были
выведены в предыдущих главах, оправдываются с очень хорошей
точностью. Но существуют системы отсчета, в которых основной
закон механики F = т —— не выполняется. Например, если
мы, не изменяя действующих на точки сил, будем вращать
систему координат, то траектории материальных точек во
вращающейся системе координат будут иными. Мы можем восстановить
применимость ньютоновской механики, если добавим к реально
действующим силам силы инерции — «центробежные силы»,
вызываемые вращением.
231
Как возникают эти силы инерции? На этот вопрос Ньютон дал
ответ, допустив существование абсолютного пространства,
которое «по своей природе, безотносительно к какому-либо телу,
всегда неизменно и неподвижно».
Основной закон механики справедлив только в таких системах,
которые покоятся в абсолютном пространстве или, как мы сейчас
увидим, движутся относительно него равномерно и прямолинейно.
Упомянутые выше центробежные силы, появляющиеся при
вращении, вызваны ускорением нашей системы отсчета относительно
абсолютного пространства. Тем самым пространство, являющееся
вместе с временем формой существования материи, приобретает
физическую реальность; мы можем заметить его проявление — не-
выполняемость ньютоновской механики в ускоренных системах
отсчета. Современная физику приводит к отрицанию такого
абсолютного пространства, которое в теории электричества было названо
мировым эфиром, она признает только соотношения и взаимосвязи
между формами материи, существующими в пространстве и
времени, и видит причину центробежных сил в ускорении не
относительно абсолютного пространства, а относительно масс вселенной.
Аналогичную гипотезу делает Ньютон и относительно времени —
должно существовать абсолютное время, которое течет независимо
от процессов, используемых нами для измерения времени, и
независимо от мыслящих существ. Представление об абсолютном
времени также не выдерживает критики. Это сразу видно, если поставить
вопрос, что произойдет, если скорости протекания всех физических
и химических процессов, а вместе с тем и нашего процесса
мышления, внезапно удвоятся. Так как мы не имеем никакого средства,
которое могло бы послужить для проверки этого утверждения,
бессмысленность такой постановки вопроса становится очевидной.
Вместе с этим и предположение об абсолютном времени, которое
исходит из того, что где-то в пространстве существуют
«нормальные» часы, определяющие его течение, теряет свой смысл. И все же,
следует считать особо гениальным творением Ньютона то, что,
введя эти два понятия, проблематичность которых вряд ли
ускользнула от него, он создал вполне достаточную основу для механики
макроскопических тел.
§ 2. Инерциальные системы. Преобразование Галилея
Мы будем исходить из опытного факта, что существуют
системы отсчета, в которых вычисленные на основе ньютоновских
законов механики движения тел совпадают с наблюдаемыми на опыте.
Достаточно вспомнить хотя бы о вычислениях движений планет в
небесной механике, для которых применяется система отсчета,
начало которой покоится в центре тяжести солнечной системы. Но
мы не будем повторять вслед за Ньютоном: эта система отсчета
покоится в абсолютном пространстве или движется относительно
232
него равномерно и прямолинейно. Мы ограничимся тем, что
назовем систему, в которой выполняются законы Ньютона,
инерциальнои системой (потому что в ней выполняется закон инерции). Спра
ведливость наших расчетов зависит, очевидно, и от разумного
выбора меры времени. Но как получить критерий того, является ли
наша система отсчета вместе с нашими часами инерциальнои
системой в пространстве и времени? Для этого воспользуемся в
принципе простейшим механическим явлением — прямолинейным
движением материальной точки, на которую не действуют никакие
силы. В качестве меры времени можно выбрать интервал между
прохождениями точки мимо двух последовательных вех, которыми
мы предварительно разметим на равные отрезки прямую, по
которой движется наша материальная точка. Правда, для этого
недостаточно испробовать лишь одно направление. Если наш масштаб
ускорен относительно действительно инерциальнои системы, то
при таком способе мы получим неравномерно идущие часы,
которые дадут нам при других движениях абсурдные результаты. Легко
видеть, что для того, чтобы система была инерциальнои,
необходимо и достаточно, чтобы в ней три материальные точки, получившие
начальные скорости в трех некомпланарных направлениях, при
отсутствии внешних сил двигались по прямолинейным
траекториям. Равномерным разделением прямой можно получить тогда
инерциальную меру времени в форме интервалов, за которые
проходит равные отрезки одна из этих точек.
Мы утверждаем: если известно, что система отсчета £ инерци-
альная, то законы ньютоновской механики справедливы и в любой
другой системе отсчета £', движущейся относительно £
равномерно и прямолинейно, если в обеих системах используется одна
и та же мера времени. (Это молчаливое предположение, что мера
времени не изменяется при переходе к движущейся системе
отсчета, как увидим позже, является как раз уязвимым местом этих
почти самоочевидных рассуждений.) Действительно, обозначим
вектор, соединяющий начала координат систем £ и £' (точки О и
О'), через R и величины, отнесенные к движущейся системе,
отметим штрихом. Тогда
r=r'+R. (1)
Дифференцируя это равенство по времени, имеем:
г= r'+ R. (2)
Так как R — скорость сиетемы £' относительно £, то
формула (2) означает, что абсолютная скорость г' всегда равна сумме
относительной скорости г' и переносной скорости R. В частности,
если R постоянна, то повторным дифференцированием получим:
г - г\ (3)
233
В этом случае и ускорение в обеих системах одинаково, так что
F=mr = тт\
что и требовалось доказать. Преобразование г == г' -f" v* вместе
с одинаковостью исчисления времени во всех инерциальных
системах отсчета называется преобразованием Галилея. Направим
оси i и V вдоль вектора скорости системы Е\ абсолютную
величину которой мы .обозначим v> и предположим, что в момент t = О
начала координат обеих систем совпадают. Тогда в координатном
представлении преобразование Галилея будет иметь вид:
х = х' + vt, У = У\ г = z', t = Г. (Г)
Из преобразования Галилея следует, что никакими
механическими опытами невозможно обнаружить отличие покоя от
равномерного и прямолинейного движения. Это утверждение
называется принципом относительности Галилея. Примером такого
движения в некотором приближении является движение Земли по
орбите1. Но перенесение этих рассуждений на электродинамику (опг
тику) приводит к выводу о возможности обнаружить отличие
покоя от движения, что в случае положительного результата
доказало бы реальность абсолютного пространства (мирового
эфира). Однако поставленные с этой целью опыты дали
отрицательный результат,, что послужило поводом к ревизии
существовавших в механике Ньютона представлений о пространстве
и времени.
§ 3. Ускоренные системы отсчета.
Свободное падение на вращающейся Земле
Рассмотрим теперь ускоренные движения системы Е'
относительно инерциальной системы Е. Выделим два особо важных
случая.
а) Прямолинейно движущиеся
равноускоренные системы отсчета. Предположим, что наша
система отсчета Е' движется с постоянным ускорением а,
направленным против оси к. В момент / = О пусть она совпадает с системой
Е и начинает свое движение с нулевой начальной скоростью. Та-
1 Движение Земли по орбите не является, конечно, ни прямолинейным,
ни равномерным. Однако в течение достаточно короткого промежутка
времени дугу орбиты можно приближенно считать отрезком прямой; ускорение
же орбитального движения Земли очень мало. (Прим. перев.)
234
кую систему можно реализовать, например, предоставив ящику
возможность свободно падать вниз. Связь между механическими
величинами в системах Е и Е' будет тогда следующей:
t=r'-i^k, (5)
r=r' — д/k, (б)
r = l>—ak. (7)
В системе E имеем F = mx = mr' — mak, так что при тех же
действующих силах в системе Е'
mr/=F+mak. (8)
К равнодействующей приложенных сил теперь добавилась еще сила
инерции так. Если а равно ускорению свободного падения g, то
сила инерции как раз уравновешивает силу тяжести — mgk.
Следовательно, в падающем ящике сила тяжести оказывается
выключенной. С другой стороны, если представить себе, что ящик помещен
в такое место, где не действует сила тяжести, но ящик двигается
с ускорениемg вдоль оси + к, то на тело, помещенное внутри
ящика, действует сила инерции mg, направленная против оси к. Тогда
находящийся внутри ящика наблюдатель может решить, что он
находится в поле сил тяжести. Эта эквивалентность ускоренной
системы отсчета и системы, находящейся в поле тяготения, положена
в основу общей теории относительности (см. стр. 263).
Существенным условием этой эквивалентности является то, что при этом для
всех тел одинаково отношение инертной массы, входящей в
основной закон Ньютона, к тяжелой массе, входящей в закон
всемирного тяготения. Отношение этих масс может бъпъ положено
равным 1, что соответствует определенному выбору гравитационной
постоянной. Опыт подтверждает такой выбор.
Теперь обратимся к другому важному случаю.
б) Равномерно вращающиеся системы
отсчета. До сих пор рассматривались движения, при которых
единичные векторы Г, j', k" сохраняли свои направления,
выбранные совпадающими с направлениями i, j, к. Но в случае вращения
системы Е' векторы Г, j', к' изменяют свои направления. Пусть
начала обеих систем совпадают и ось вращения проходит через
общее начало. Тогда
г - х\ + у\ + zk = x'Y + у'У + z'k'. (9)
При дифференцировании по времени единичные векторы тоже
являются переменными:
dt ~ dt J " dt [ dt { J dt i dt* '
235
Первые tpn члена представляют относительную скоросФь,
последние три — переносную, т. е. скорость, которой обладает жестко
связанная с системой £' точка. Если вектор угловой скорости
равен О), ТО
Подставляя эти выражения в равенство (10), можно объединить
последние три члена в один:
*>ХП+У'(«> ХЛ+г>Хк')= <*>Х (*Т + уТ + Л')=«>Хг. (12)
Обозначим дифференцирование в системе Е' через —■. Тогда
тождество (10) можно переписать в виде:
Это тождество справедливо для любого вектора, потому что вместо
х, у, z мы можем подставить компоненты этого вектора.
Символически можно записать:
Дифференцируя тождество (13) еще раз по / и применяя только что
полученное правило, имеем:
d*r
d/2
или:
d' /dr\ , w dr d'/d'r , w \ , w /d'r , w \ /1C4
= - h т(йХ- = ~ hw X r) +<o X b<*> X П. (15)
dt\dt) l • dt dt\dt ~ ^ )~ ^ [dt ~ )' У '
5£ = £!r+2aiX-+«X(«Xi). (16)
di* dt* * dt l v ' v '
Первый член представляет собой относительное ускорение, третий —
переносное ускорение, т. е. ускорение, которое имеет неизменно
связанная с системой Е' точка относительно системы Е. Но в
отличие от скорости, абсолютное ускорение не равно сумме
относительного и переносного ускорения. Здесь добавляется еще третье
слагаемое — удвоенное векторное произведение угловой скорости
на относительную скорость. Этот член, появляющийся только при
движении рассматриваемой материальной точки в системе Е' ,
называется (по имени открывшего его ученого) ускорением Корио-
лиса. Основной закон механики при наличии ускорения Кориоли-
са принимает вид:
236
F=m0-m^+2m(u,x|-r) + ma>X(coXr), (17)
или в движущейся системе:
т
dt*
2т L X —) — т о>Х ("> X г)
(170
Таким образом, к внешним силам добавляется, во-первых,
«центробежная сила» — то) X (озХг) и, во-вторых, «Кориолисова сила» —
-*.(.х-£-)-
В качестве примера появления этих сил при вращении системы
отсчета рассмотрим свободное падение с учетом вращения Земли.
Все системы отсчета, жестко связанные
с Землей, вследствие суточного вращения
Земли, строго говоря, не являются инер-
циальными системами (однако
угловой скоростью движения Земли по
орбите можно пренебречь, потому что она
в 365 раз меньше). Правда, отклонения
этих систем от инерциальной столь
малы, что в большинстве случаев ими
пренебрегают. Однако есть ряд
механических опытов, которые позволяют
обнаружить существование суточного
вращения Земли. По современным
представлениям, они доказывают лишь вращение
относительно всех остальных масс
вселенной. Направим ось к инерциальной системы отсчета вдоль земной
оси. Систему Е' ориентируем следующим образом: ее ось к' мы
направим вверх по вертикали в точке с географической широтой ср.
Вертикаль определяется направлением равнодействующей силы
тяжести и центробежной силы и, строго говоря, не проходит через центр
шарообразной Земли, но с достаточной точностью можно считать,
что угол между этим направлением и земной осью составляет ( -—<р).
Мы пренебрегаем здесь также сплющенностью Земли. Далее, ось
Г направим на юг, тогда ось у будет направлена на восток (рис.
78). В системе Е' уравнение движения имеет вид:
Рис. 78. К механике
на вращающейся Земле.
d'4
М = — mgk'-
-2mLx —
)•
(18)
(Центробежная сила содержится в члене — mgk', если под g
понимать ускорение свободного падения в данном месте.) Угловая
237
скорость о) в системе Е' имеет компоненты — u>cos<pi' и + »sin<pk't
В координатной записи
т — = 2тю sin ф • -^-,
m^V =_2m-Dsin?.— -2mi>cos9.—, (18')
dt2 dt dt '
d2zf t л dtf'
dt* ' <tt
При свободном падении без учета вращения Земли компоненты
скорости вдоль осей Г и j' равны нулю. Поэтому и при учете враще-
0 dx' dy' dz'
ния Земли величины и —— малы по сравнению с —-,
dt dt dt
так что мы получим упрощенные уравнения:
&х Л d*y' 0 dz' dH' „ /Шч
— =0, —2- = — 2o)cosf. — , — = —g. (19)
dP dp Т dt ' dt* '
Первое из них означает, что не происходит отклонения в
направлении север — юг. Третье при интегрировании с начальными
условиями г/ = ( ——) =0 дает:
\ dt /о
(20)
d£ = -gt9*=-LgP.
dt ° 2
Подставляя эти выражения во второе уравнение, получим:
££ = +2«#cos<p. (21)
(Atr \
ss 0,
dt /о
получим:
1 ; ^з i
(22)
i/ = ">g j cos.<
Таким образом, получается отклонение падающего тела к востоку^
пропорциональное кубу времени падения, что подтверждается на
опыте.
Задачи
65. Рассчитать движение свободно колеблющегося маятника с учетом
движения Земли (памятник Фуко). (Указание: здесь можно пренебречь 2-ком-
понентом скорости.)
238
66. С помощью формулы (14) разложить полное изменение момента
количества движения твердого тела на две части, одна из которых отнесена к
системе, жестко связанной с телом, а другая обусловлена вращением зтой
системы координат. При помощи этого разложения записать основное уравнение
N1 = dLJdt в компонентах <о, направленных вдоль главных осей инерции.
Эти уравнения называются уравнениями Эйлера для волчка.
§ 4. Движущиеся системы отсчета в акустике.
Допплер-эффект
Прежде чем переходить к трудностям, которые вызывает в
оптике представление об абсолютном пространстве, исследуем
сначала аналогичные вопросы для звука,
где соотношения весьма наглядны и
эффекты вполне заметны вследствие
относительно малой скорости
распространения звука в воздухе по
сравнению с технически достижимыми
скоростями. Мы знаем, что звук от
источника, находящегося в воздухе, при 0°С
распространяется со скоростью с = 331
м/сек. В системе отсчета, неподвижно
связанной с покоящимся источником
звука и воздухом, через секунду звук
диусом с. Пусть имеется масштабная
но находящаяся в покое (положение
Рис. 79. Кажущаяся
скорость звука при движении
масштаба.
достигнет сферы с ра-
линейка, первоначаль-
а на рис. 79). При
помощи ее измерим скорость с. Пусть теперь масштаб движется
относительно воздуха. Тогда относительно движущегося масштаба
мы будем измерять относительную скорость сот. (Направление сот
определяется направлением масштабной линейки.) Но абсолютная
скорость должна быть все время равна с. Поэтому если направление
и величина скорости масштаба заданы вектором v, то всегда
с = сот + v, или
Слт == С
(23)
В частности, если масштаб движется вдоль самого себя (положение
б на рис. 79), то
Сот = С — V, (23')
а если он движется перпендикулярно себе (положение в на рис. 79),
то
<=vi
■tr.
(23")
Как известно, движение относительно источника звука
связано с изменением воспринимаемой высоты звука (Допплер-эффект),
Представим себе, что сначала источник звука и наблюдатель по-
239
коятся. Источник создает в секунду ^уплотнений, следующих друг
за другом на расстоянии
Х0 =
Движущуюся звуковую
волну можно представить себе в виде длинной линейки,
передвигаемой со скоростью с, на которой нанесены деления на расстояниях Х0,
Поэтому мимо места, где находится наблюдатель, за секунду
проходит vH= с/Х0 = v^ уплотнений. Пусть теперь наблюдатель дви*
жется к источнику звука. Тогда мимо него дополнительно
проходит столько колебаний за секунду, сколько их умещается на прой*
денном им за секунду пути, т. e.t>/X0. Таким образом,
.+С". + '.7-.(' + 7)
(24)
При удалении наблюдателя от источника звука знак в скобках
изменится. Допплер-эффект, возникающий при движении
источника звука, будет существенно иным. Он обусловлен сокращением
длины волны, которое проис-
3* * 3 2 1
Покоящийся - п л 0
источник звука |~
Движущийся
источник звука
Рис. 80. К возникновению Допплер-эф-
фекта при движении источника звука.
ходит следующим образом.
Если бы источник покоился,
то за время одного колебания
первое возбуждение
(например, уплотнение) удалилось
бы от него на расстояние Х0.
Но тем временем источник
звука продвинется вперед на
— = ~ Х0, так что расстояние
N С
между источником и первым
уплотнением уменьшится на
величину —Х0. Это
уменьшение будет одинаковым для всех интервалов между уплотнениями.
В самом деле, за время следующего колебания первое возбуждение
удалится еще на Х0, а второе исходит уже из нового положения
источника звука, так что расстояние между первым и вторым
уплотнениями тоже окажется уменьшенным на —Х0. Рисунок 80 по-
с
ясняет этот процесс для первых четырех уплотнений. Здесь
положения источника звука и уплотнений изображены вверху для
покоящегося источника, а ниже для движущегося источника через 1,
2, 3 и 4 секунды. Следовательно, мимо наблюдателя за секунду
проходит —= -
колебаний, т. е.
1 — v/c
(25)
240
Если сравнить это выражение с предыдущим случаем, то мы
увидим, что лишь в первом приближении, когда можно пренебречь
высшими степенями отношения (_!!_), будет безразлично,
движется ли наблюдатель к источнику или источник движется к
наблюдателю (при удалении источника в формуле (25) надо взять
противоположный знак). Это происходит потому, что среда,
проводящая звук (воздух), определяет выделенную систему отсчета £,
относительно которой следует рассматривать все движения.
Различие этих двух случаев бросается в глаза, если положить v = с.
Тогда при движении наблюдателя vH = 2v?, а при движении
источника звука vH = оо.
§ 5. Движущиеся системы отсчета в оптике.
Опыт Майкельсона
Согласно представлениям классической физики, в теории
электричества эфир является носителем электромагнитных, в том числе
и оптических, процессов. Напрашивается вывод, что все результаты,
полученные для звука, можно перенести в оптику. Но это приводит
к непреодолимым трудностям. Существование Допплер-эффекта,
приблизительно равного по величине ожидаемому, согласно
формуле (25), доказано как для спектров звезд, движущихся к Земле
или от нее, так и для света каналовых лучей, т. е. быстро летящих
светящихся положительных ионов (см. разд. IV, гл. II). Если бы
можно было увеличить скорость источников света или наблюдателя
или увеличить точность настолько, чтобы измерялись еще и
величины второго порядка по — , то это дало бы возможность без тру-
с
да проверить существование эфира. Действительно, как мы видели
в акустике, при наличии покоящейся среды члены второго
порядка в допплеровском смещении зависят не только от относительной
скорости источника и наблюдателя, но и от скорости их
относительно среды. Лишь недавно удалось увеличить точность измерения
Допплер-эффекта для каналовых лучей настолько, что были
измерены члены второго порядка (см. § 7, д).
Легче добиться необходимой точности в эксперименте, в
котором измеряется скорость распространения света относительно
движущейся в эфире системы отсчета. Так как распространение света
в эфире происходит со скоростью с, то для системы, движущейся
в эфире со скоростью v, относительная скорость света равна с — v.
Непосредственное измерение или сравнение скорости света в
различных направлениях на Земле, которая, если рассматривать толь*
ко ее движение по орбите вокруг Солнца, движется
приблизительно прямолинейно и равномерно со скоростью около 30 км/сек,
лежит все же вне экспериментальных возможностей. Но такое срав-
241
нение станет возможным, если использовать несколько иное
приспособление, в котором сам свет служит для измерения этих исче-
зающе малых разностей во времени. Эта установка впервые была
осуществлена Майкельсоном и
впоследствии неоднократно повторялась
различными исследователями. В ней пучок
света из источника L, падая на
полупрозрачную посеребренную стеклянную
пластинку G, расщепляется на два пучка,
перпендикулярные друг другу. Каждый
из них проходит расстояние / и,
отражаясь от зеркал St и S2, возвращается
обратно (рис. 81). Предположим, что
плечо / направлено вдоль движения
Земли, тогда относительная скорость
света составляет с — v при прохождении
в направлении движения Земли ис + t) на обратном пути. Время
прохождения света туда и обратно в этом плече составляет:
сСЭ-
VI
$л
Lk —-
v
Рис. 81. Схема опыта
Майкельсона.
*1 =
/
с — v с +
\-V С \ С2 J
(26)
В перпендикулярном к этому плечу направлении относительная
скорость света составляет V с2 — v2, так что время прохождения
света в этом втором плече туда и обратно равно:
t - 2/
2 Yc*-v*
"0+-К+-)-
(27)
Таким образом, существует, правда очень маленькая, разность
между этими временами:
U = tt-
■'а =
(28)
Если считать скорость движения Земли по орбите равной 30 км/секу
а длину плеч / = 30 м, то А^ = 10~15 сек. Несмотря на малость,
эту разность можно обнаружить, если для измерения использовать
световые колебания. Действительно, число Z колебаний за время
10~~15 сек для желтого света (X = 6 . 10~~5 см) составляет:
А/.
- 10-
15
3 . 101°
6- 10
-5
4-. (29)
Таким образом, разность времен составляет 1/2 периода
колебания. Если повернуть аппарат на 90D, то оба плеча меняются ролями
и разность будет противоположного знака, так что разность между
242
двумя положениями составляет даже полный период колебания.
Так как оба пучка исходят от одного источника света, при
наложении их наблюдается интерференционная картина (см. разд. III,
гл. XI) в виде полос, которые можно считать полосами равной
толщины в щели, образованной зеркалом Sx и изображением зеркала
S3 в полупрозрачной пластинке. В положении, при котором плечо
/ направлено по движению Земли, мы получим определенную
систему полос. Повернем теперь аппарат на 45°. Тогда оба плеча по
соображениям симметрии будут равноправны, первоначальная
разность времен в т/2, соответствующая сдвигу фаз гс, пропадет,
Рис. 82. Регистрация интерференционных полос при вращении аппарата
Майкельсона.
и места, которые сначала были темными, станут светлыми, т. е.
система полос сместится на полуширину полосы. Продолжая
поворачивать аппарат в том же направлении, мы придем к положению,
при котором поворот составит 90°,. тогда должно произойти
смещение интерференционной картины на полную ширину полосы. Все
эти рассуждения справедливы, конечно, при сделанном выше
предположении, что свет проходит путь в 30 ж, относительная скорость
Земли в эфире составляет 30 км/сек, а длина волны — 6000А . Опыт
Майкельсона и Морлея, сделанный приблизительно при
рассмотренных выше условиях, показал отсутствие такого смещения полос.
На рисунке 82,а приведена фотография системы
интерференционных полос, которая получена следующим образом.
Перпендикулярно к интерференционным полосам была помещена щель Щ
шириной в 0,2 мм (см. рис. 82, б), и во время вращения аппарата
фотопластинка продвигалась мимо щели. Если бы интерференционные
полосы при вращении аппарата смещались, то при движении
пластинки получились бы волнистые линии. На фотографии видно, что
полосы идут совершенно прямо. Таким образом, опыт
Майкельсона и Морлея, многократно повторенный, дал отрицательный ответ
на вопрос о существовании покоящейся среды, в которой
распространяются световые волны, т. е. о существовании мирового эфира или
абсолютного пространства.
243
§ 6. Пространство и время в теории относительности.
Преобразование Лоренца
Если сбросить со счетов неудовлетворительные спекулятивные
гипотезы, то результат опыта Майкельсона неизбежно приводит
к ревизии наших представлений о пространстве и времени.
Отрицательный результат опыта Майкельсона ясно показывает, что
абсолютное пространство является фикцией. Если мы хотим привести
в систему наши знания о явлениях, происходящих с большими
скоростями, сравнимыми со скоростью света, то необходимо
отказаться и от абсолютного времени, бессмысленность которого была
показана уже в § 1. Действительно, в классической механике
имеются недостатки в определении времени. Что означает, например,
выражение: «Два явления произошли одновременно в точках А и В»?
Если постулировано абсолютное время, то не возникает никакого
вопроса о смысле этого выражения. Но в физике необходимо иметь
экспериментальный критерий для проверки правильности этого
высказывания, и здесь начинаются трудности. Мы должны иметь
в А и В синхронные часы, которые показывают абсолютное время.
Тогда два явления называются одновременными, если в моменты
их совершения часы показывают одинаковое время. Но как
синхронизировать часы? Можно представить себе, что в середине С
отрезка АВ помещены два зеркала под углом 45° к отрезку АВ, так
что находящийся там наблюдатель может одновременно видеть
точки А н В. Будем считать часы синхронными, если в точке С
наблюдатель в каждый момент видит на них одно и то же время. С
точки зрения абсолютных представлений они не будут, однако, в этом
случае точно синхронными. Действительно, если мы делаем опыт
на Земле, движущейся в эфире, то свет, обеспечиваюдий
наблюдение обоих часов, проходит отрезок вдоль направления движения
Земли за время — , а против — за время — (длина отрезка
C-~V C+V
АВ = 2/). Какое же значение для v мы должны принять? К
скорости движения Земли по орбите добавляется, конечно, еще
скорость движения солнечной системы относительно неподвижных
звезд и, по-видимому, очень большая скорость движения Млечного
Пути относительно внегалактических систем, но с точки зрения
представления об абсолютном пространстве может существовать
еще и общая скорость всей материи относительно эфира. Результат
опыта Майкельсона освобождает нас от необходимости отвечать
на этот вопрос, потому что он показывает, что скорость света на
движущейся Земле по всем направлениям одна и та же. Таким образом,
предложенный выше критерий для синхронизации часов в некоторой
системе оправдан. Но результат опыта Майкельсона приводит к
заключению, что две движущиеся относительно друг друга системы
должны иметь различное исчисление времени. На это
обстоятельство впервые обратил внимание Г. А. Лоренц. Действительно, в
244
каждой из cncfeM мь* устанавливаем, что свет за секунду достигает
сферы радиуса с. Преобразование Галилея, в котором t' — /,
следовательно, не может быть правильным. Причина того, что
неправильность его не была обнаружена раньше, лежит в большой
величине скорости света, по сравнению с которой все механические
скорости столь малы, что отклонения от преобразования Галилея были
обнаружены лишь при помощи тончайшей оптической методики. Что
преобразование Галилея несовместимо с результатом опыта Май-
кельсона, легко заметить, применяя это преобразование к
сферической волне, наблюдаемой в покоящейся системе. При этом
получается уравнение сферы, центр которой не совпадает с началом
координат. Поэтому мы должны попытаться найти такие формулы
преобразования, которые преобразовывали бы и / и в любой системе
давали бы для распространения света сферическую волну с центром
в начале. Иначе говоря, должно удовлетворяться тождественно
уравнение
x2 + y2 + z2 — сП2 г х'2 + у'2 + г'2 — с2?2 = 0. (30)
Для простоты направим оси X и X' вдоль вектора
относительной скорости систем 2 и2'. Далее, предположим, что поперечные
координаты не меняются при преобразовании, так что тождество
сведется к
Х2 _ с2/2 _ Х'2 _ C2f2 = 0. (300
Наблюдатель в системе 2', пользуясь своими масштабами и
часами, обнаружит, что система 2 движется относительно него с
такой же скоростью, с какой относительно
наблюдателя в системе 2 движется система 2', потому
что различие в измеренных обоими
наблюдателями скоростях указывало бы на наличие движения
относительно абсолютного пространства.
Следовательно, О' в системе 2 должно иметь координату
х = vt, аО ъсистеме2х — координату х' = — vt'.
Простейшее уравнение, приводящее к таким
результатам, имеет вид: Рис. 83. к пре-
х' = k(x-vt) и х = К(х' + vt% (31) облр^ацнаИЮ
Исключим из второго уравнения х\ подставляя в
него значение х' из первого уравнения. При этом получится:
vt
7F
о'
М'-Н'-г)]- (32)
Подставляя в правую часть уравнения (30'), выражающего
результат опыта Майкельсона, значения х' и t\ получим:
д;2 _ СЦЪ _ £2(^2 _ 2xvt -f V2t2) +
^ 21
з 0. (33)
245
Чтобы это равенство выполнялось тождественно, необходимо,
чтобы коэффициенты при x2t xt и t2 по отдельности обращались в нуль*
Мы располагаем двумя постоянными k и Ы% которые можно выбрать
так, чтобы удовлетворить этим условиям. Приравнивая нулю ко*
эффициент при я2, получим^
~ о* v* k' ~ о* А'я
Приравняем нулю коэффициент при t2:
_са —£2а24-Л2с2=0, илла^
v^i
Приравнивая нулю коэффициент при xt, получим:
(v2 — с2) Ш + с 2 = О
и, подставляя сюда значение k, найдем:
Ы = (1_ v2/c2)~K
Легко убедиться, что при этих значениях k и k' коэффициент при
х2 тоже обращается в нуль.
Итак, мы получили следующие формулы преобразования,
которое называется преобразованием Лоренца:
(34)
При с -* со мы получим преобразование Галилея, которое при
конечном v представляет собой первое приближение к
преобразованию Лоренца. В дальнейшем отношение — мы будем
обозначать через рэ как это обычно принято. Дифференцируя формулы
(34), мы скова получим, что скорость — точки О' в системе Е,
dxr
а также скорость —- точки О в системе 2' по абсолютной
величине равна v.
246
§ 7. Следствия из преобразования Лоренца
а) Относительность понятий
одновременности и последовательности событий. Пусть
два события происходят в системе 2 одновременно в точках хг и
х2, т. е. tx =» t2. Тогда
4 v v
h — ~~Г xi h — ~"T Н
, с2 , с2
Таким образом, /',_ и Г2 различны. Два события в различных точках
хги х2, одновременные для покоящегося в системе 2 наблюдателя,
не будут одновременными для наблюдателя, движущегося
относительно 2. Возникает вопрос, не может ли и последовательность
событий зависеть от состояния движения наблюдателя. Пусть t2 >
> tv т. е. t2 — tx > 0. Тогда
v
'•'-V- /fEf* • <35'>
Чтобы в системе 2' получалась вещественная разность времен
(t2—txf), скорость v системы 2' должна быть меньше с. Разность
(*,' — //) будет положительна, если t2 — /х > *2~~~*1 , Далее мы
с
увидим, что наибольшая скорость, с которой может
распространяться процесс, связывающий причину со следствием,
равна с. (Если бы существовал более быстрый процесс, то мы
использовали бы его вместо света для определения одновременности
событий.) Таким образом, порядок следования двух причинно
связанных событий никогда не может быть обращен, поскольку с
является наибольшей возможной скоростью. Однако порядок
следования двух событий, не связанных причинно, согласно
вышесказанному, может быть обращен.
б) Удлинение времени. Пусть находящиеся в точке
хг часы посылают сигналы с интервалом
д* « t% _ tv
В движущейся системе, согласно (34), этот интервал будет
воспринят как
W - h~h = — ^==. (36)
Таким образом, интервал Д/ движущемуся наблюдателю представ-
л яёТСЯ р астянутым.
247
в) Сокращение длины. По определению, измерение
длины состоит в том, что масштаб помещается вдоль измеряемого
отрезка и на нем отсчитывается расстояние между делениями,
которые совпадают в определенный момент с концами измеряемого
отрезка. Пока масштаб и измеряемый отрезок покоятся друг
относительно друга, это определение представляется тривиальным.
Иначе обстоит дело, если они движутся с относительной скоростью
v. Пусть в системе измеряемого отрезка расстояние между концами
его, измеренное покоящимся в этой системе масштабом, равно / =
= x2—xv С точки зрения движущегося наблюдателя, сорласно (34),
оно равно:
х^ x'B^=Jl=lMl=M. (37)
/1 — р
Но моменты времени t2 и tx должны быть определены так, чтобы
в системе наблюдателя концы отрезка совпадали с
соответствующими делениями масштаба в один и то же момент, т. е. должно быть
не t2 = tv a t2' = tx\ Из преобразования Лоренца при t2 = txf
получаем:
t2 t х — (х2 хг)
v
так что
/' = х—х\ - (*з —*i) V\—f . (38)
С точки зрения движущегося наблюдателя, размеры отрезка
сократились в отношении V\ — ра : 1. Тело, которое покоящемуся
наблюдателю представляется шаром, движущимся наблюдателем
будет восприниматься как сплюснутый эллипсоид.
г) Релятивистская теорема сложения
скоростей. В ньютоновской механике переносная и относительная
скорости складываются просто как векторы (см. стр. 233). В
релятивистской механике, основанной на преобразовании Лоренца,
сложение скоростей гораздо сложнее. Пусть система £' движется
относительно 2 вдоль оси X со скоростью v. Пусть в системе Е'
точка обладает скоростью и' = и J V + иу'У + и2 к\ где
а,'=*1, »'=&-, а/=^. (39)
х dtf> у &V z dt' v '
Каковы компоненты их , иу , и2 скорости точки в системе 2?
Дифференцируя преобразование Лоренца, мы получим:
и
X
dx' dt' dt' v
— -—- -f- v— 1— — u¥
'— dx dV dt dt dt' t.
* -t: = —7=ЧГ • (4°)
dt /i — f dt /l-?2
248
Таким образом,
иг =
(и/ + v) (l - J>- u)j
l-p
Решая это уравнение относительно иХу найдем:
(41)
Тогда из формулы (40) следует, что
dt
1 +
Так как у' = у, то
у dt dt dt' dt
1 +
и аналогично:
и//1 — З2
1.+ -
ш.
(42)
(43)
(44)
При сложении двух скоростей, близких к скорости света, не может
получиться скорости, большей чем с. Этому препятствует
знаменатель уравнения (41). Релятивистская теорема сложения
скоростей дает простое объяснение изменения показателя преломления в
движущихся телах (эффект Физо, см. разд. IV, гл. V).
Хотя скорость света оказывается предельной возможной
скоростью, нельзя все же отрицать, что бывают скорости больше с.
Например, в оптике рассматриваются среды с показателем
преломления п < 1. Это значит, что в них фазовая скорость света и > с.
Однако в случае передачи сигналов мы имеем дело с групповой
скоростью распространения света, которая для всех средне.
Рассмотрим другой пример—геометрическую сверхсветовую скорость.
Пусть конец очень длинной линейки скользит вдоль оси Y
прямоугольной системы координат и линейка наклонена под очень
малым углом & к оси X. Тогда точка пересечения линейки с осью X
бежит вдоль нее со скоростью -?— , где v — скорость переме-
щения линейки вдоль оси Y. Очевидно, что и в этом случае легко
достичь сверхсветовой скорости, сделав ft достаточно малым. Но
такая геометрическая сверхсветовая скорость никогда не может
связывать причину и следствие.
249
д)Допплер-эффект и аберрация. Пусть источник
света L! находится в системе 2' и посылает сферическую волну,
которая описывается математически выражением
S' = il exp Г2«/ v' I? — — ]+ Й'1 t
(45)
Все величины, относящиеся к системе 2', мы отметили штрихом.
Пусть сферическая волна достигла наблюдателя
Р, находящегося в системе 2, координаты
которого в 2 равны л: и у, а в 2' — х' и у\
причем оси X и X' выбраны в направлении
перемещения системы 2' относительно 2 (рис. 84).
Пусть в системе 2х луч, идущий из U в Р,
составляет с осью X' угол &\ так что
r'*cos\$'
Рис. 84.
Сферическая волна от
движущегося
источника.
г' = xf cos Ь' + (/'sin »'.
(46)
Тогда сферическая волна в системе 2' примет вид:
S' =f ехр[2*Ь' (/' _^cosr + /sinr|+ .^
Наблюдатель, находящийся в системе 2, считает, что приходящие
световые волны исходят от точечного источника света,
находящегося в его системе. Следовательно, для него волны описываются
выражением
А _._ f^./^ *cosfl+#sinft\
г I V с
S = — ехр
*) + *].
(47)
Но координаты и время обеих систем связаны преобразованиями
Лоренца. Если выразить величины со штрихами через величины
без штрихов по формулам (34), то, приравнивая выражения для S
uS\ мы получим соотношение, которое должно выполняться в
любой точке и в любой момент времени» Но это возможно лишь в том
случае, если в показателях экспонент коэффициенты при х, у и t
порознь равны друг другу. Из
2тЛ'
следует, что
VX
(л-— uOcosd' у sin
/т
2яЬ
('-
inft'
С У
1 + — cosfl'
с
(48)
(49)
250
COb<t l+pcoe*'f sin* l+>eos*' • lg* cosfl'+fi
(50)
Уравнение (49) является выражением Допплер-эффекта в
оптике, которое с точностью до величин первого порядка совпадает
с Допплер-эффектом в акустике. Следует отметить, что при
наблюдении в направлении, перпендикулярном к движению ( ft = тс/2),
наблюдается эффект второго порядка (в акустике в этом случае
v7 строго равно v ). Действительно» в этом случае, согласно (50),
cos &' = — р и, по (49), v «= v' Vl -~ f*s. Опыт по проверке
поперечного Допплер-эффекта явился одним из важных
экспериментальных подтверждений теории относительности.
Точность наблюдения продольного эффекта Допплера доведена
до возможности обнаружить величины второго порядка. При этом
наблюдается определенная линия в спектре каналовых лучей как
в направлении их движения, так и в противоположном напрелении,
и измеряется отклонение средней частоты от частоты покоящегося
источника. Средняя частота, согласно (49), равна:
7= v' (1 — p)-i/2~vv'/1 + ilj.
Из формул же (24) и (25) получается:
7=/ (1 -Н2).
Результат опыта был в пользу первого значения средней частоты.
Формулы (50) для угла д имеют следующий смысл.
Наблюдатель в системе 2 видит движущийся источник света в том
направлении, где он находился в момент выхода световой волны, только
что пришедшей в точку Р.
За время распространения света г'/с источник света
продвинулся на расстояние vr'/c. Как видно из рисунка 84, пренебрегая
величинами второго порядка, можно приближенно записать:
v
f'C05 #'+>*' "
С
COS Ь я» '
Г V
г' + — cos &'
с
Полагая в знаменателе [в малом члене с коэфф, ~ J cosO■ = cosft',
мы получим формулу (50). Мы не заметили бы этого смещения, если
бы системы все время двигались равномерно и прямолинейно
относительно друг друга. Но так как направление движения Земли
по ее орбите вокруг Солнца чере: полгода изменяется на
противоположное, то происходит обращение этого смещения, наблюдаемое
как аберрация.
251
Весьма распространено следующее объяснение явления аберрации,
основанное на баллистической аналогии. Луч света можно сравнить с
траекторией снаряда, пробивающего в объективе и в окуляре телескопа отверстия.
Тогда вследствие поперечного движения телескопа линия, соединяющая оба
отверстия, будет наклонена к направлению на источник света под
вычисленным выше углом. Так как аберрация является эффектом первого порядка,
т. е. эффектом, зависящим от первой степени отношения v/ct то и в
классической, дорелятивистской, механике, а также в электродинамике в этом
приближении должна получаться для нее та же самая величина.
§ 8* Геометрическое представление преобразований Лоренца.
Четырехмерный мир. Мировые векторы
Для сравнения преобразований Лоренца и Галилея
рассмотрим простой график движения (рис. 85, а). По оси абсцисс отложим
Рис. 85. Геометрическая интерпретация преобразований Галилея
и Лоренца: а — преобразование Галилея, б — преобразование
Лоренца.
не само время, а величину т = ct. По оси ординат, которую мы
назовем осью х, будем откладывать длину пройденных отрезков х.
Равномерное движение изобразится на этом графике прямой с
угловым коэффициентом р =—. Световой сигнал соответствует прямой
с
с угловым коэффициентом 1. Пересчитаем теперь все величины к
системе отсчета, движущейся со скоростью v. Если имеет место
преобразование Галилея /' = t, хг = х — vt, то на нашей
диаграмме это означает, что в качестве новой оси т' мы выбрали прямую
с угловым коэффициентом р, а ось х осталась неизменной. Если
на старой оси т единица определялась отрезком ОМ, то
единичный отрезок оси т' будет представлен отрезком ОМ', где М! —
точка пересечения с осью т' прямой, проходящей через М
параллельно оси х.
Новая система координат будет косоугольной, но ось х остается
прежней.
252
Иначе обстоит дело, если выполняется преобразование
Лоренца. Как мы сейчас покажем, новые оси и единичные отрезки на них
можно построить следующим образом (см. рис. 85, б). Начертим
гиперболы
т2 — х2 = 1 и т2 — х2 = — 1, (51)
асимптотами которых т2 — х2 = 0 являются линии
распространения световых сигналов. Новую ось т! проведем как прямую с
угловым коэффициентом (3. Конец М' единичного отрезка на ней
будет теперь точкой пересечения этой прямой с гиперболой т2 —
— х2 = 1. В соответствии с тем, что в теории относительности
преобразуется также и время, следует искать и новую ось х\ Таковой
будет прямая с угловым коэффициентом 1/р, т. е. прямая,
симметричная с осью т! относительно биссектрисы первого
координатного угла. Единичный отрезок на оси х' определяется точкой X'
пересечения ее с гиперболой т2 — х2 = — 1. Покажем, что при
этих предположениях переход от прямоугольной системы
координат т, х к косоугольной системе т\ х' означает преобразование
Лоренца. Во-первых, переход к косоугольным координатам при
сохранении начала отсчета означает линейное однородное
преобразование координат:
т = \т! -f- рх' , х = vm' + рх'. (52)
Для определения коэффициентов рассмотрим концы единичных
отрезков на новых осях. Для точки М' имеем т! = 1, х' = О,
т. е. т = X. С другой стороны, абсцисса точки М' как точки
пересечения прямой х = §т с гиперболой т2 — х2 = 1 равна (1 —[i2)~"1/a .
Таким образом, X = (1 — (32)~~1/2. Ордината этой точки равна
# = v = (3m = [3(l — р2)~-1/з. Точно так же при помощи координат
точки X' найдем, что
(ju = р (1 — р*)-V* И р = (1-р2Г1/а.
Итак, мы получили:
V
f А- х'
__ т'+рдг'
т — г или t =
yizzj* уг=р • (53)
х = ■ ' или л; =
У"1 —pa Vl~?2 '
что и требовалось доказать.
Отсюда вытекает интересное разбиение многообразия xt. Так
как наибольшая возможная скорость процесса, связывающего
причину и следствие, равна с, то прямая, изображающая такой процесс,
не может иметь угловой коэффициент, больший единицы. Поэтому
на рисунке 85, б справа от точки О («настоящего» момента времени)
253
в заштрихованной области лежат точки событий, причинно
обусловленных событием О, т. е. эта область изображает «будущее». В
заштрихованной области слева от точки О лежат все события,
которые сами могли вызвать событие О, т. е. эта область представляет
«прошедшее». События, лежащие в незаштрихованных областях, не
могут находиться в причинной связи с событием О. Эти, и только
эти, события могут быть сделаны одновременными с
/V событием О посредством перехода к движущейся
(._ г системе отсчета. Для этого надо провести ось х*
f\ через такое событие, чтобы т! стало равным нулю,
j Если учесть также координаты у и z, то вместо
J двух световых прямых мы получим четырехмер-
±—к—/' кый конус х2 + у2 + г2 — т2 = 0, что по су-
_\^ ществу ничего не меняет в наших
рассуждениях»
Рйс. 86. К пре- Но для формальных вычислений гораздо важ-
образованию нее другое представление, правда, лишенное такой
координат при наглядности, так как в нем используются комп-
повороте. лексные числа. Вместо координаты т = ct введем
мнимую координату / = ict. Тогда
*2 + У2 + z2 + P s х'2 + у'2 + z'2 + I'2. (54)
Это равенство означает, что при преобразовании координат в
четырехмерном пространстве (х, у, г, /) квадрат радиуса-вектора
остается неизменным. Как и в трехмерном пространстве,
единственный (не считая отражений) тип преобразования, при котором
сохраняется г2,—это поворот системы координат. Легко показать, что
поворот в плоскости х, I равносилен преобразованию Лоренца.
Пусть ось /' образует с осью / угол <р. Тогда, согласно известным
соотношениям аналитической геометрии1 (рис. 86):
V = / cos ? + *sin<p,
х' = — / sin <p + *cos ?. (55)
Подставляя сюда
или
cos<f = ■ г , sin? = ;-.-, v o , (57)
tg? = -/? (56)
1 Легче всего получить формулы (55), записав радиус-вектор г в обеих
координатных системах:
г « Л + х\ = VY + х'\\
Далее, из рисунка 86 видно, что
I = cos о Г — sin 'f Г и i — sin yY + cos <f W
Эти выражения надо подставить в предыдущую формулу и приравнять
коэффициенты при Г и Г.
254
получим:
xf = * + * М __ x—vt
l — i$x с2
V = - или /' = г (58)
т. е. преобразование Лоренца.
Мы пришли к важному заключению, что переход от системы
отсчета 2 к системе 2', движущейся относительно первой со
скоростью vt соответствует вращению системы координат в
четырехмерном пространстве (х, у, z, /), причем угол поворота определяется
формулой (56). Это обстоятельство позволяет общие законы,
независящие от выбора системы отсчета, записывать при помощи
векторов четырехмерного пространства, называемых мировыми
векторами (мы их будем выделять чертой снизу). Векторное
исчисление в четырехмерном пространстве строится по аналогии с
обычным векторным исчислением. Подобно тому как законы
ньютоновской механики, представленные в форме обычных векторных
уравнений, можно записать в некоторой системе координат, так и
мировые векторные уравнения можно записывать в некоторой системе
отсчета в координатном представлении. Запись их в другой,
повернутой относительно первой, системе координат соответствует
переходу к системе, движущейся относительно первой.
Изложим основы векторного исчисления в четырехмерном
пространстве. Сложение и вычитание мировых векторов определяется
сложением или вычитанием соответственных компонентов.
(Методы начертательной геометрии позволяют и здесь производить
сложение графически.) Так как четырехмерная система координат
тоже предполагается прямоугольной, то для единичных векторов
имеем:
1-1 = 1, j • j = 1, k . k =* 1, 1 . 1 = 1, i . j =0,
i • k = 0, I . 1 = 0, J . k = 0 и т. д. (59)
Тогда скалярное произведение двух мировых векторов
,и = И,1+Иу1 + иЛ+"11 И V; = Gj + Gyj+^k+Ujl. (60)
можно определить выражением
u*v:=uxvx + uyvy + uzvg + ulvl.
Несколько сложнее определить векторное произведение, потому
что оно в сущности представляет собой антисимметричный
тензор, и чисто случайно в трехмерном пространстве
антисимметричный тензор можно представить вектором. Но в четырехмерном
пространстве антисимметричный тензор имеет 6 компонентов, а
вектор — 4. Поэтому мы определим векторное произведение двух ми-
255
ровых векторов и X v как антисимметричный мировой тензор Ф,
компоненты которого являются определителями второго порядка,
принадлежащими матрице:
их «у иг и,
v* vy v2 V[
г. е.
ф*у = ".гРу — и,»*. Ф« = «*0, — lhv*> ^xt = uxvl — ulvxt
фу« = «>»* — "^я фу/ = "у^ —"/УУ ФЛ=",^ — %2г.
Трехмерному оператору v соответствует четырехмерный оператор
(61)
действуя которым на мировые векторы или скаляры, совершенно
так же, как и для оператора у» получим следующие
дифференциальные операции:
, . ди , . ди , , ди , , ди
gradu = vu = i — i- j— +k — + 1 — ,
— дл- д*/ дг d/
div v = у . v =
дх
^vy _i_ ^vz i ^y/
d*/ dz dl
(62)
(63)
rot v = v X v =
A JL JL
&V d*/ 02
dl
Vr Vu Ur V,
(64)
"y v* w/
Вместо уравнения div rot v = 0 получается несколько более
сложное свойство антисимметричных мировых тензоров rot v.
Пусть Ф = rot v, т. е.
Ф
ху
•■ dVy/dx—dvJdij, Фхг = dvjdx — dvxjdz, Фх1 = dvjdx -
%'г== <^/д# — дсу'дг, Фу, = dvjdy — Зуу д/, Фл = dfy/d* •
Тогда
dvjdl,
- dvjdl.
дФ
ХУ
дФ
Уг
дФ2х
dz
дФ
дх
дФ
ду
О,
и . дФ
dl
дФг1
дх
дЧх
У1 л- —- 4-
^ % ^
dz
дФх
0,
00
+ ■
а/
дФ
(65)
а/
+ ^ = 0.
а*
§ 9. Основной закон механики в теории относительности.
Изменяемость массы и связь ее с энергией
В основе механики Ньютона лежит преобразование Галилея.
Наша задача — видоизменить механику таким образом, чтобы ее
законы были совместны с преобразованием Лоренца, правиль-
256
в
[У
1
1 и
I/
—^ и
iV
ки
Г
А\ Х=,
^
)
X1
ность которого доказана экспериментами. В механике
макроскопических тел скорости столь малы, что в настоящее время
невозможно обнаружить отклонения от механики Ньютона в земных
опытах. Однако электрически заряженные элементарные частицы
(например, электроны) часто имеют скорости, столь близкие к с, что
для них вычисления на основе обычной механики приводят к
совершенно неверным результатам. Вывод основных законов
релятивистской механики производится обычно в электродинамике.
Между тем можно вывести новые законы и из чисто механических
рассуждений. Попытаемся ввести понятия
количества движения (импульса) и
энергии в механике, основанной на
преобразованиях Лоренца, и определить
соответствующие им математические
выражения таким образом, чтобы
оставались выполненными законы сохранения
импульса и энергии. Простейший
процесс, для которого сохранение
импульса и энергии определяет результат, это
столкновение двух одинаковых шаров.
Допустим, что в каждой из систем 2и2/
находится по наблюдателю на оси Y, которые бросают шары,
первый — вдоль оси У, а второй — по оси V в отрицательном
направлении (рис. 87). Предварительно установлено равенство масс
шаров в одной и той же системе отсчета. Скорости шаров,
измеренные каждым из наблюдателей в своей системе, должны быть
численно равны одной и той же величине и. Вследствие движения
системы 2' произойдет столкновение шаров. Пусть времена бросания
выбраны так, что прямая, соединяющая центры шаров и
проходящая через точку их соприкосновения в момент их встречи,
направлена вдоль оси У. Так как шары предполагаются гладкими, то при
их соприкосновении не могут возникнуть касательные силы.
Поэтому Х-компоненты скоростей при столкновении не изменятся.
Согласно теореме сложения скоростей (43), компоненты скоростей
шаров до столкновения в системах Ни И' равны:
Рис. 87. Мысленный опыт
Толмена (в рамке —
положение шаров в момент
соударения).
wax = 0> Way^U» Wbx = V> Wby-=—uV\—$\
wax = -V> w'a=uYl-p,w'==0,wb~-u<
(66)
'by'
Здесь индекс а относится к шару, брошенному наблюдателем в
системе 2, а индекс Ь — к другому шару. Обозначим знаком — над
буквой все величины после столкновения. Чтобы можно было
применить закон сохранения количества движения, предположим
теперь, что и в релятивистской механике вектор количества движения
коллинеарен вектору скорости, но скалярный множитель,
означающий в ньютоновской механике постоянную массу шара, заменим
9 Г, Иос
257
переменным множителем а. Как скаляр, он может зависеть только
от скалярной величины, и естественно предположить, что таковой
является величина скорости w. Будем писать a (w), заключая
соответствующие значения w в скобки. При этих предположениях в
системе 2 для Х-компонента количества движения получим
следующий закон сохранения:
а (и) .0 + Л ]Д»+г* /i__J\V с = а(и).0 +
+ *(/«• + «'(l-^)')-«f (67)
откуда
и = ± и, (68)
В ньютоновской механике в рассмотренном здесь случае
должно быть и — — и. Так как релятивистская механика при малых
скоростях должна переходить в ньютоновскую, то и здесь знак
должен быть отрицательным. Далее, для У-компонента количества
движения получается уравнение
»<">-»-'(t/°'+'Mi-^))-"/1-^
-»(В).„-«(|/ *■+„■■ (.-£)). „ [/I3ZT
При и — —и это уравнение удовлетворяется, если
(69)
'(/"
I 4 1 &\\ а(ц)
+ «Ml-
V
с JI л/ 1 _ Л1
с2
(70)
Уменьшая начальную скорость шаров, мы получим в пределе при
ы-*0
а(у)= "(°> - (71)
К
При очень малых скоростях v мы должны получить то же, что и в
ньютоновской механике, в которой скалярный множитель а
является массой т. Если и в теории относительности этот скалярный
множитель мы назовем массой, то окажется, что масса растет с
увеличением скорости. Обозначим массу в состоянии покоя через т0.
Тогда мы получим фундаментальное соотношение:
I т = «*_ I (72)
258
Сформулируем теперь основной закон механики в
первоначальной ньютоновской форме, в которой сила приравнивается
производной от количества движения (импульса) по времени:
r=-l(mv)ggJl Д?_. (73)
dt v ; dt /l — ра ;
Отличие от ньютоновской механики тела с постоянной массой т
состоит в том, что т теперь уже нельзя вынести за знак
производной, потому что т тоже переменная величина.
Инертная масса, входящая во второй закон Ньютона, в
определенной системе отсчета, где тело обладает скоростью v, будет
различной в зависимости от того, происходит ускорение вдоль на-,
правления первоначальной скорости или перпендикулярно к нему.
Чтобы • показать это, расположим нашу систему координат так,
чтобы ось X была направлена вдоль скорости, а ускорение лежало
в плоскости XY, т. е. в этой системе:
dx dy n dz Л
dt -x dt y dt z
dP-x dv d2y d*z n
— = — = a„ —- = av, — = 0.
dt2 dt x dt* y dt2
Так как vx = v, vy = 0, то, выполняя дифференцирование в
уравнении (73), получим:
d гпрУу 1Щ_
dt УТ^ЦР "" УГ=ГР2
У W/ 1/^1 Q2 lAl _ Й2 У Х '
Инертная масса, входящая в качестве множителя
пропорциональности в соотношение между силой и ускорением, имеет,
следовательно, для Х-компонента величину т0(1 — (32)~а/а, а для К
-компонента — величину т0(1 — (32)~~1/а. Таким образом, векторы силы
и ускорения не совпадают по направлению, причем ускорение
составляет со скоростью больший угол, чем сила, потому что
продольная инертная масса больше поперечной.
Формулировка основного закона механики в виде уравнения
(73) предполагает выбор определенной системы отсчета. В
движущейся относительно нее системе отсчета величины, входящие в
уравнение (73), должны бить преобразованы при помощи
преобразования Лоренца. С точки зрения теории относительности это
неудовлетворительно. Соотношение, которое выполняется во всех
системах отсчета, должно выражаться уравнением между мировыми
векторами. Тогда его можно записать в некоторой четырехмерной
системе координат и тем самым получить формулировку закона в
той или иной системе отсчета. Попытаемся найти это уравнение.
9*
259
Во-первых, для каждого момента времени имеется выделенная
система отсчета, а именно та, которая движется со скоростью v
материальной точки; назовем ее системой покоя. Соответствующее ей
время назовем собственным временем т. Согласно формуле (36),
для системы, в которой точка имеет скорость v и время в которой
мы обозначим через /, будет выполняться соотношение
^=vT=rF' (76>
Возьмем четырехмерный радиус-вектор, определяющий
координаты и время нашей материальной точки:
£_= xi -\- у] -f- zk -j- Л.
Дифференцируя его по собственному времени, мы получим новый
мировой вектор и — четырехвектор скорости (4-х скорость).
В системе покоя этот вектор имеет вид u = ic\\ потому что
производные —, — и — равны нулю. Квадрат длины вектора 4-х
dz dz dz
скорости не зависит от системы координат и равен — с2, т. е.
является постоянным для всех движений. В другой
четырехмерной системе координат со временем /, в которой скорость
материальной точки равна v, получим:
dt dz [dt [ dt J j dt ' / V\ - p2 v '
Таким образом, пространственные компоненты вектора 4-х
скорости в этой системе совпадают с компонентами трехмерного вектора
v (1 — р2)""~1/2, а временной /-компонент равен ic{\ — р2)~1/а.
Следовательно, в написанной выше формуле основного закона
механики вместо v (1 — р2)~ч* можно подставить пространственные
компоненты и (которые мы объединим в трехмерный вектор ur):
F = ^(mour)=/l-p2 ±- (m0ur). (78)
Далее, вместо силы F введем мировой вектор Р — «4-х силу»,
пространственные компоненты которого в системе покоя совпадают с
компонентами F, а в другой системе отсчета они связаны
соотношением
Рг= г1— . (79)
Тогда основной закон механики примет привычный вид:
(80)
— dz —
Эта форма записи позволяет вывести ряд важных следствий.
260
Подобно тому как это делалось при выводе закона сохранения
энергии в классической механике, умножим скалярно правую и
левую части уравнения (80) на ш Тогда получим:
P.u = jKu).a=: -~Т*(т0и*) = 0. (81)
— — ах — — 2 ах —
Правая часть дает нуль, потому что и, как указывалось выше, имеет
постоянную длину ic. Если левую часть (81) записать в
компонентах, объединяя пространственные компоненты в трехмерные векторы,
то мы получим:
г г \ II ух^р 1^1—ра * l yi-_p
Произведение F . v представляет собой работу, производимую в
единицу времени. В правой части заменим Pt его значением из
уравнения (80):
р •—. JL / m0ic \ __ 1 d_ / m0 ic \
1 ~~ dz [ УП=Т2 / ~~ УГнР dt \ yYZZJ*)"
Тогда получим:
Р xr d m0 с2 dN
d/ 1^1 — ра dt
Чтобы выяснить смысл величины N, разложим ее в ряд по
степеням (3:
Л = т^(1-£)-* =m0^+-|-m0^ + -f^^+--- (82)
Как видим, члены разложения имеют размерность энергии, причем
второй член равен обычной кинетической энергии, а последующие
члены дают поправку к ней, учитывающую изменяемость массы.
Что же означает первый постоянный член? Эйнштейн увидел в нем
один из фундаментальнейших законов физики: если v = 0, то
массе т0 соответствует энергия т0с2:
(83)
Это и есть знаменитый закон взаимосвязи массы и энергии. В
более общей форме он гласит, что всякой энергии соответствует
инертная масса, получаемая делением Е на с2.
Согласно этому закону, всякое увеличение энергии
(например, посредством нагревания) связано с увеличением инертной
массы, но это увеличение массы при энергиях, которыми мы
располагаем в лабораторных условиях, в большинстве случаев столь
мало, что не может быть проверено непосредственно. Иначе обстоит
дело при тех условиях, которыми отличаются некоторые ядерные
реакции. Для них обнаружены дефекты массы, соответствующие
огромной выделяемой энергии. Потеря массы звездами вледствие
отдачи энергии тоже далеко не мала (см. задачу 67),
261
В качестве исторической справки отметим следующее. Преобразование
времени было найдено уже в 1887 г. Фойгтом в работе, оставшейся
незамеченной. В 1892 г. Лоренц вновь открыл его в оптике движущихся тел. В 1900 г.
Лармор впервые записал его в принятом ныне виде, а в 1904 г. появилась
работа Лоренца, в которой оптика движущихся тел рассматривалась
целиком с точки зрения преобразования Лоренца. Следствия из него,
приведенные в § 7, были получены независимо друг от друга Пуанкаре и Эйнштейном
в 1905 г., но работа Эйнштейна содержала еще фундаментальный закон
взаимосвязи массы и энергии.
Задача
67. Какую массу теряет Солнце за год, если на 1 см2 поверхности Земли
за минуту падает около 2 кал лучистой энергии? (Расстояние от Земли до
Солнца составляет около 150 • 106ot.)
§ 10. Основные идеи общей теории относительности
Преобразование Лоренца относится только к таким системам
отсчета, которые движутся друг относительно друга
прямолинейно и равномерно. Для этого рода движений было найдено, что
гипотеза абсолютного пространства является излишней и
противоречит опыту. Гораздо сложнее обстоит дело в случае ускоренно
движущихся, например вращающихся, систем. На первый взгляд
кажется очевидным существование абсолютного пространства, в
котором выполняется основной закон Ньютона. Действительно,
появление сил инерции, вроде центробежной или Кориолисовой силы,
указывает на ускоренное движение рассматриваемых тел
относительно этого пространства. Но не сказать ли осторожнее:
ускоренное движение имеет место относительно остальных масс вселенной?
Если не мировой эфир, а массы вселенной являются причиной
центробежных сил, то последние должны были бы исчезнуть, если
убрать остальную материю вселенной, — опыт, который, к
сожалению, невозможно выполнить! Тем не менее, уже в 1896 г. были
поставлены опыты, имевшие целью обнаружить появление малых
центробежных сил для тел, покоящихся вблизи больших
вращающихся масс, которые в известной мере должны были служить заменой
масс вселенной. Этот опыт и в настоящее время был бы
безуспешным из-за слишком малого отношения масс. Во всяком случае
создание теории, объясняющей силы инерции действием материи, шло
по длинному и трудному пути. Во-первых, пришлось отказаться от
почти самоочевидной истины: применимости Эвклидовой геометрии
в четырехмерном пространственно-временном многообразии, на
что мы опирались и в специальной теории относительности, когда
писали выражение для квадрата радиуса-вектора:
£2 _ Х2 _J_ у2 + Z2 +/2 a
Идея о том, что физическое пространство, в котором мы живем,
может не обладать свойствами пространства Эвклидовой геометрии,
не нова. Представление о том, что метрика пространства определяет-
26?
Ся физическими условиями, было последовательно развито
Лобачевским и Риманом. Измеряя на поверхности Земли небольшие
треугольники неточными измерительными приборами, мы придем к
заключению, что все теоремы Эвклидовой геометрии выполняются
(в частности, справедлива теорема о сумме углов треугольника). Но
если перейти к большим треугольникам, образуемым нитями,
натянутыми между достаточно удаленными точками на земной
поверхности, то при более точном измерении мы найдем, что сумма углов
больше я. Точно так же и треугольник, стороны которого в
пространстве реализуются, например, посредством лучей света, мог
бы иметь сумму углов, отличную от я.
Основная идея эйнштейновской общей теории относительности
состояла в том, чтобы определить метрику
пространственно-временного многообразия через распределение материи и ее скорость так,
чтобы в системе отсчета, относительно которой материя движется
ускоренно, силы инерции появлялись автоматически. При этом
используется эквивалентность полей тяготения и ускорения,
упоминавшаяся на странице 235. Последняя основана на том, что для всех
тел отношение инертной (входящей в основной закон механики) и
тяжелой (фигурирующей в законе всемирного тяготения) масс
одинаково и его можно поэтому положить равным единице. Это
равенство отнюдь не является очевидным. Но оно составляет основу
общей теории относительности, подобно тому как отрицательный
результат опытов по обнаружению «эфирного ветра» составляет
основу специальной теории относительности. В общей теории
относительности основной закон механики гласит: материальная
точка (или световой луч), на которую не действуют электромагнитные
силы, в пространственно-временном многообразии описывает
кратчайшую линию (обобщенную прямую), причем метрика этого
многообразия обусловлена распределением материи и ее скоростей. Эта
связь математически выражается очень сложным образом, и мы не
можем вывести ее здесь. Выражение для кратчайшей линии в
неэвклидовой метрике тоже выглядит далеко не просто. Новое состоит
в том, что сила тяготения, не принадлежащая к электромагнитным
силам, при этом оказывается просто свойством пространства и что
центробежные силы должны быть одинаковыми, когда Земля
вращается вокруг своей оси и когда вся остальная вселенная
вращается вокруг той же оси.
В некоторых пунктах общая теория относительности приводит
к небольшим отклонениям от классической физики. Например, для
орбиты ближайшей к Солнцу планеты Меркурия получается малое
возмущение, обусловливающее поворот ее перигелия на 43" в
столетие. Изменение метрики вблизи больших масс приводит к тому,
что световой луч, проходящий вблизи Солнца, должен испытывать
небольшое отклонение, так что положение звезд, видимых близко
к Солнцу при солнечных затмениях, оказывается немного
сдвинутым. Наконец, изменение временной метрики, вызываемое тяго-
263
тением, приводит к тому, что линии в спектре источника
излучения, находящегося в сильном гравитационном поле (например, на
Солнце), наблюдателю вне этого поля представляются смещенными
в красную сторону относительно таких же линий, возникающих вне
гравитационного поля. Все три эффекта наблюдаются.
Мысль определить метрику пространственно-временного
многообразия таким образом, чтобы она содержала в себе силы
природы, когда мировой закон представлен в форме экстремального
принципа, после увенчавшего ее успеха в случае гравитации,
представляется столь заманчивой, что ее пытались распространить и на
явления электродинамики. Так, Эйнштейн и другие исследователи
неоднократно пытались построить при помощи еще более общей
геометрии единую теорию поля, включающую также
электромагнитное поле. Но приходится констатировать, что такой мировой закон,
который в своей основе показывает лишь невероятную возможность
приспособления математического аппарата, в лучшем случае
охватывает лишь одну сторону мира. Он не охватывает, например,
атомной структуры, электронов, мезонов, протонов и световых
квантов. Идея получения элементарных частиц как особых точек поля
требует еще более сложных нелинейных уравнений.
Итак, если специальная теория относительности с ростом
используемых в лабораториях скоростей стала незаменимым
вспомогательным средством при исследованиях атома и атомного ядра, то
общая теория относительности принимается во внимание лишь
в космологических вопросах. .
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА
Предварительное замечание
При теоретическом рассмотрении электрических и магнитных
процессов применяются два различных метода. Первый метод —
феноменологический — оперирует с макроскопически измеримыми
величинами и свойствами и заключается в математической
формулировке полученных из опыта соотношений между такими величинами.
При этом удается охватить огромный комплекс явлений одной
системой дифференциальных уравнений. На многие вопросы, в том
числе имеющие большое техническое значение, можно получить
точные численные ответы, интегрируя эти уравнения с учетом
конкретных условий задачи. В этом методе мы имеем дело только с
полученными из опыта законами и следствиями из них, выведенными
математически. Следовательно, феноменологический метод не
содержит никаких дополнительных гипотез и не может никогда
прийти в противоречие с опытом. При таком макроскопическом изучении
электромагнитных явлений мы не учитываем атомистического
строения электрических зарядов и вещества, считая, что электрические
заряды сплошным непрерывным образом распределяются на
заряженных участках тел (подобно тому как в механике упругих тел
или гидромеханике мы отвлекаемся от атомистической структуры
вещества и пользуемся представлением о непрерывно протяженных
телах).
Вместе с тем целый ряд закономерностей, таких, например, как
законы электролиза или явление дисперсии, вообще не
охватываются макроскопической теорией. Для объяснения подобных явлений
необходимо сделать какие-то предположения о строении вещества
и зарядов, в правильности которых можно убедиться не
непосредственным наблюдением, а лишь проверкой их следствий. Этот второй
метод называется микроскопической, или электронной, теорией. Мы
займемся сначала макроскопической теорией, но в некоторых
случаях для наглядности будем рассматривать и атомистическую
картину процессов.
265
Глава I
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ (ВОЗДУХЕ)
§ 1. Определения
а) Напряженность электрического поля и
электрический заряд. Начнем с рассмотрения
устройства, назначение которого будет выяснено позже (см. стр. 432).
Две горизонтальные металлические пластины закреплены на
янтарных опорах на расстоянии нескольких сантиметров параллельно
друг другу (рис. 88). В пространстве между пластинами с помощью
пульверизатора создано облачко из
мельчайших капелек масла, которые можно
наблюдать в микроскоп. Капельки под действием
силы тяжести и трения воздуха (сила трения
1-
1
Рис. 88. Пробные определяется законом Стокса, см. стр. 225)
тела в электрическом падают вниз с постоянной скоростью. Если
поле. коснуться теперь верхней пластины
стеклянной палочкой, натертой шелком (при
этом нижняя пластина должна быть соединена проволокой с
землей), то движение капелек изменится: часть из них начнет
подниматься вверх, другая — падать быстрее или медленнее, а иные
капельки повиснут неподвижно. Проследив за одной
определенной капелькой, можно заметить, что скорость ее движения то и
дело меняется (это особенно заметно, если вблизи помещен препарат
радия), но направление движения остается вертикальным. Из этого
наблюдения мы заключаем, что на капельку стала действовать новая
сила, появление которой связано с прикосновением стеклянной
палочки к верхней пластине. В результате этого в пространстве между
пластинами возникло электрическое силовое поле, накладывающееся
на уже существовавшие там силы. Далее, величина силы и ее знак
зависят, по-видимому, от состояния капельки. Поэтому можно
предположить, что вектор электрической силы представляет собой
произведение вектора Е, не зависящего от состояния капельки, на
численную величину е, которую называют электрическим зарядом
капельки1:
F = eE
(О
Вектор Е называется напряженностью электрического поля. Таким
образом, напряженность электрического поля численно равна
силе, действующей на единичный положительный заряд,
помещенный в данную точку поля. По изменению скорости движения капель-
1 Капельки заряжаются уже при распылении масла.
2б§
ки вверх или вниз можно судить об изменении величины
действующей на нее силы. Согласно сказанному, можно, например,
заключить, что под влиянием ионизующего излучения радия капелька
меняет свой заряд.
По традиции знак заряда выбирается следующим образом:
частице, отталкивающейся от верхней пластины, к которой
прикоснулась стеклянная палочка, приписывается положительный заряд.
С точки зрения современных представлений этот выбор нельзя
назвать удачным, потому что важнейшей заряженной частице —
электрону — приписан отрицательный заряд, а направление
электрического тока оказывается при этом противоположным направлению
движения электронов.
б) Силовые линии и поток напряженности
электрического поля. Пусть напряженность
электрического поля Е измерена в каждой точке пространства при помощи
пробного тела, заряд которого мы будем произвольно считать
сначала положительным и единичным. Тогда электрическое поле
можно изобразить векторами Е, отнесенными к каждой точке
пространства. Однако такой чертеж будет неразборчив. Поэтому удобнее
рисовать кривые, касательные к которым в каждой точке
указывают направление напряженности поля. Вообще говоря, можно
чертить эти кривые, называемые силовыми линиями, с произвольной
густотой. Но мы примем условие, согласно которому плотность
силовых линий будет изображать величину напряженности
электрического поля. Дело в том, что силовые линии напряженности
электростатического поля образуют систему траекторий, ортогональных
к некоторому семейству поверхностей (этим свойством обладает
далеко не всякое векторное поле), и в каждой точке пространства
можно провести плоскость, которая касается проходящей через эту
точку ортогональной к силовой линии поверхности. Мы условимся,
что число силовых линий, проходящих через единичную площадку
ортогональной поверхности, должно быть равно напряженности
электрического поля. Число электрических силовых линий,
проходящих через произвольный участок поверхности, называется по-
током вектора напряженности электрического поля через этот
участок. Как видно из рисунка 16, стр. 27, поток вектора Е через
произвольный элемент поверхности di составляет:
<*Ф = Е-Л. (2)
Таким образом, поток через любую конечную поверхность F
составит:
Ф= fE.df. (3)
F
267
§ 2. Электрический заряд (количество электричества)
как источник потока силовых линий
Интеграл (j)E»df по замкнутой поверхности F, окружающей
некоторый объем, выражает разность между числом силовых линий,
входящих в объем и выходящих из него. Вернемся к опыту, описан*
ному в § 1. Рассматривая всевозможные замкнутые поверхности F9
нигде не пересекающие пластин и не заключающие внутри только
одну пластину, можно установить, что во всех этих случаях интеграл
обращается в нуль1. Следовательно, силовые линии не могут
начинаться или оканчиваться в пространстве между пластинами.
Иначе будет,, если окружить, например, поверхностью F верхнюю
пластину. При этом поверхностный интеграл (j)E.df будет иметь
определенное, отличное от нуля, значение. Очевидно, это как-то связано
с тем, что мы коснулись этой пластины натертой стеклянной
палочкой. Можно предположить, что при этом пластине сообщается
электрический заряд. Это можно непосредственно проверить, поместив
пластину в аналогичную систему больших размеров. Тогда заряд
ее обнаруживается по действию сил точно так же, как в случае с
масляными капельками. Примем значение интеграла за меру заряда*
находящегося внутри замкнутой поверхности, т. е. положим:
■ (J)E.df.
(4)
(Выбор системы единиц пока еще не сделан.) Электрический заряд,
или количество электричества, играет, следовательно, двойную роль:
активную как источник поля и пассивную как объект, на который
действует электрическое поле. Назовем объемной плотностью заряда
в точке Р предел отношения заряда, содержащегося в элементе
объема около точки Р, к величине этого объема At:
р = iimi* ~ lim JL,— = div E. (5)
Дт-+0 А^ Ат-*9 Ах •
Таким образом, в каждой точке пространства дивергенция
напряженности электрического поля пропорциональна плотности заряда э
этой точке. Предел отношения — не всегда конечен. В природе
наряду с пространственными зарядами встречаются также
поверхностные заряды. Если заключить участок заряженной поверхности
в малый цилиндр с основанием Д/ и образующими,
перпендикулярными к поверхности, то высоту этого цилиндра можно сделать сколь
угодно малой, не изменяя при этом заключенного в нем заряда. Оп-
1 Разумеется, при этом между пластинами не должно быть заряженных
капелек.
268
ределим поверхностную платность заряда о как предел отношения
•— при Д/-> 0, т.е. как количество электричества, приходящееся на
единицу площади поверхности. Возьмем интеграл от напряженности
электрического поля по поверхности такого малого цилиндра (см.
стр. 47, рис. 27), причем стороны поверхности мы будем различать
Индексами 1 и 2 и нормаль к ней направим от 1 к 2. Мы получим при
этом:
Д/(п.Е1—п.Е1)~Де, (6)"
так как интеграл по боковой поверхности дает вклад высшего
порядка малости. Пусть предел отношения — отличен от нуля; тогда
величина п»Е2—гъЕх тоже должна быть отлична от нуля. Это
означает, что нормальный компонент напряженности
электрического поля п-Е принимает различные значения на разных сторонах
поверхности, т. е. испытывает скачок. Выражение п-(Е2—Ех)
называют поверхностной дивергенцией Е (пишется DivE) (см. стр.
47). Используя это понятие, можно сказать, что поверхностная
плотность заряда, распределенного по поверхности, пропорциональна
поверхностной дивергенции Е:
Div E ~ а. (7)
Рассмотрим теперь поле заряда е, сконцентрированного в одной
точке. Из соображений симметрии ясно, что силовые линии
расходятся от него по радиусам во все стороны с одинаковой плотностью. В
этом случае ортогональными поверхностями являются сферы с
центром в е. Поток вектора Е через сферу радиуса г составляет:
ф=$
E.rff.
сф
Так как плотность силовых линий на всей сфере одинакова, то |Е|
на всей сфере постоянна и поэтому
Ф = (£ E-df = 4тгг21 Е | = те, т.е. |Е| = -^-.
У ill» ii Аш2
(Здесь введен множитель пропорциональности ?.) Сила,
действующая на другой заряд е\ равна:
|Р| = —. (8)
Это и есть закон Кулона1. Система единиц определяется выбором
множителя пропорциональности 7. Если положить в формуле (8)
^ = 4я, то е выражается в абсолютных электростатических
единицах заряда (единицах заряда в системе СГСЭ).
1 Вспомним известную картину силовых линий между двумя равными
по величине и противоположными по знаку точечными зарядами, где все
силовые линии начинаются на положительном заряде и кончаются на отрица-
269
В теории электричества, кроме этой системы, применяют еще
три другие системы единиц, из них наиболее часто систему СГС
(Гаусса)у в которой все электрические величины выражаются в
электростатических единицах, а все магнитные — в
электромагнитных единицах, о которых будет сказано позже (стр. 304); и
рационализованную систему МКС А, в которой основными единицами
являются ж, кг, сек, а1. В этой системе единица силы называется
ньютон (\н = 105 дин). Система СГС по сей день незаменима
для решения задач в атомной физике. Система МКСА имеет
большие преимущества в задачах макроскопической физики и
электротехники. Однако при ее использовании нужно иметь в виду,
что даже такие величины, как число молекул в одном моле, изменяют
в ней свое значение, потому что в этой системе употребляется
тельном. От сферической симметрии поля одного точечного заряда ничего
не остается, мы же воспользовались ею для вычисления силы, действующей
между двумя точечными зарядами. Противоречие здесь только кажущееся.
Другая картина получилась в результате суперпозиции полей обоих
зарядов. Но так как собственное поле каждого заряда не действует на него
самого, то при определении силы, с которой действует первый заряд на второй,
не имеет смысла учитывать поле второго заряда. Однако если бы мы ввели
еще третий заряд, то на негр действовала бы сила, получающаяся в
результате сложения полей обоих зарядов.
1 При построении системы единиц для измерения электрических и
магнитных величин на основе системы единиц механических величин (например,
СГС или МКС) необходимо произвольно выбрать единицу измерения одной
из электрических или магнитных величин. Это объясняется тем, что во все
уравнения электромагнетизма входят, наряду с механическими величинами,
по крайней мере две электромагнитные величины. В системе СГСЭ в качестве
четвертой основной единицы выбрана единица измерения диэлектрической
проницаемости среды — электрическая постоянная е0» которую полагают
безразмерной величиной, равной 1. Аналогично в системе СГСМ четвертой
основной единицей является магнитная постоянная (л0, равная 1.
Система СГС (Гаусса) является комбинацией из систем СГСЭ и СГСМ; в ней
принято е0 = ^0 = 1 (безразмерные величины). Но такое произвольное
приписывание численных значений и размерностей сразу двум
электромагнитным величинам приводит к тому, что в формулах электродинамики,
связывающих электрические величины с магнитными, появляется особый
коэффициент — электродинамическая постоянная с, по размерности и численно
совпадающая со скоростью света. В системе МКСА (практической)
четвертой основной единицей является абсолютный ампер (1 а = 0,1 единицы силы
тока в системе СГСМ). Во многие формулы электродинамики входит
множитель 4гс ; однако наиболее употребительные формулы можно освободить от
этого множителя («рационализовать»), если ввести 4тс в знаменатель формул,
выражающих законы Кулона и Био — Савара. Всякая система единиц, для
которой произведено такое преобразование, называется рационализованной;
в электро- и радиотехнике широкое распространение получила
рационализованная система МКСА. Системы МКСА и СГС (Гаусса) введены в СССР
ГОСТом 8033—56. Система МКСА вошла как составная часть в систему СИ
(Международную систему единиц — System International), которая была
принята XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 г. и введена в
СССР как предпочтительная с 1 января 1963 г. (ГОСТ 9867—§\)(Прим. перев.)
270
не грамм-молекула, а килограмм-молекула. В дальнейшем при
вычислениях мы будем в основном пользоваться системой СГС, но
важнейшие формулы будут приведены также и в системе МКСА.
В системе МКСА единицей заряда является а*сек, единицей
напряженности электрического поля вольт на метр— в/м (см.
следующий параграф). Формула (4), выражающая связь между
зарядом и напряженностью поля, приобретает размерный множитель
пропорциональности — так называемую электрическую постоянную
(диэлектрическую проницаемость вакуума):
г0 = 8,859.10"12 а-сек/в-м
В формуле (8) следует положить:
в системе СГС ^ = 4тг,
<J)E.df = 4тге, (4а)
divE = 4up, (5a)
DivE = 4Tca. (7a)
в системе МКСА у = 1/е0,
e = s0(j)E.df, (46)
P = a0divE, (56)
a = e0DivE. (76)
Закон Кулона принимает вид:
в системе СГС
в системе МКСА
F =
(8а)
F =
ее'
4тсе0/'а
(86)
§ 3. Электростатический потенциал
Работа, производимая электростатическим полем при
перемещении заряда е на ds, равна:
dA = Fds = eE-ds.
(9)
Если заряд е перемещается на конечное расстояние вдоль кривой С
от Р0 до Pv то полная работа на данном пути получается
суммированием элементарных работ:
Рх Рг
Л= Г eE-ds =e Г E-ds.
(10)
Оказывается, что эта работа не зависит от пути С, по которому
заряд перемещался из точки Р0 в Рх. Вследствие независимости
интеграла J E-ds от пути при интегрировании по замкнутой
кривой получится:
CJ) E.ds = 0, (Ю7)
271
т. е. электростатическое поле Е является безвихревым. Из
векторного анализа известно, что всякое безвихревое поле можно
представить как градиент скалярного поля. Это дает значительное
упрощение: в каждой точке вместо численных значений трех
компонентов вектора достаточно знать численное значение одной скалярной
величины.
Компоненты вектора определяются тогда при помощи операции
градиента, т. е. чисто дифференциальной операции. В качестве
такого скалярного поля можно выбрать работу, совершаемую
электрическим полем при перемещении единичного заряда из некоторой
точки Р0 в рассматриваемую точку Р, потому что
dA = grad^.ds,
а из формулы (9) при е = 1 получается dA = E«ds, так что Е =
= grad Л. Но удобнее, как и для потенциальной энергии в
механике, взять скалярную функцию с обратным знаком, т. е. работу,
затрачиваемую при перемещении единичного заряда в направлении,
противоположном действию сил поля (ср. стр. 90). Эту величину
мы называем потенциалом <рэлектростатического поля. Следует иметь
в виду, что лишь произведение еу имеет размерность работы. Введя
это понятие, можно записать:
(П)
Образуя дивергенцию от напряженности поля, в силу формул (5а)
и (56) получим:
div grad <р =Д? = — Ащ (12а) или
г0Д? = — р
(126)
(уравнение Пуассона). Это уравнение является дифференциальным
уравнением для электростатического потенциала. В частности, в
пространстве, где нет зарядов, потенциал удовлетворяет уравнению
Лапласа:
Д? = 0.
(13)
Ввиду важности уравнения (13) приведем выражения для Ду в
прямоугольных координатах:
Дер =
д2<р , а29 , д2<|>
дх* ду* ' дг*
в цилиндрических координатах:
(14)
(15)
272
ив сферических координатах:
A? = ^1 + -1J1+ * *± + ±*L + ±ctg**L (16)
r ar2 r dr l r2sin2^ a*2 l r2 a&2 ' г2 ь a& '
(ср. стр. 46, задача 22); в формулах (15) и (16) азимут обозначен
буквой а.
Задачи
68. Можно ли создать электростатическое поле постоянного
направления, в котором величина напряженности возрастает в направлении,
перпендикулярном к Е?
69. В воздухе у поверхности земли электрическое поле Земли составляет
100 в/м, на высоте 1500 м — 25 в/м. В обоих случаях электрическое поле
направлено к центру Земли. Чему равен поверхностный заряд Земли и
средний пространственный заряд атмосферы между высотами 0 и 1500 м?
70. В газовом разряде между параллельными пластинами при помощи
зондов измерена зависимость потенциала от расстояния х от катода. Как
найти отсюда напряженность электрического поля и распределение
пространственных зарядов?
§ 4. Простейшие случаи электростатического поля в вакууме
(в воздухе)
Предварительное замечание
Задачу вычисления электростатического поля можно считать решенной,
если найдено распределение потенциала, потому что тогда поле можно
найти, применив к потенциалу операцию градиента, т. е. простым
дифференцированием. Поэтому задача сводится к нахождению решений уравнения для
потенциала, удовлетворяющих заданным дополнительным условиям,
определяемым конкретной задачей. Если распределение зарядов задано во всем
пространстве, то задача решается непосредственно. Но в большинстве слу-'
чаев распределение зарядов неизвестно. Опыт показывает, что существуют
тела (проводники), внутри которых не может существовать
электростатическое поле, но заряды на них могут свободно перемещаться. Поэтому
поверхность каждого проводника следует рассматривать как эквипотенциальную
поверхность (поверхность равного потенциала), и надо искать решение
уравнения A'f = 0, удовлетворяющее граничным условиям, определяемым
положениями проводников. Распределение же зарядов на поверхности
проводников определяется затем как Div grad <р. В этом случае задачу решить
значительно труднее.
А. В ПОЛЕ ОТСУТСТВУЮТ ПРОВОДНИКИ
а) Потенциал точечных зарядов. Начнем с
рассмотрения простейшего случая, когда задано распределение
точечные зарядов. Пусть сначала имеется один точечный заряде. Его поле
обладает сферической симметрией, оно найдено уже в § 2.
Соответствующий потенциал легко получить, но мы найдем его несколько
более общим путем. В случае сферической симметрии
дифференциальное уравнение для потенциала в пространстве, свободном от
зарядов, согласно (16), имеет вид:
273
Решение его имеет вид:
9 = ^ + 5. (18)
Здесь В — значение потенциала на бесконечности. Таким образом,
потенциал определяется лишь с точностью до произвольной
аддитивной постоянной. Нормируем потенциал, приняв, что он на
бесконечности обращается в нуль. Это требование можно считать общим,
потому что из бесконечности все конечные системы зарядов
представляются точечным зарядом. Таким образом, в качестве краевого
условия в нашей задаче потребуем, чтобы <р на бесконечности
обращался в нуль по крайней мере как 1/г. Взяв поверхностный
интеграл по сфере с точечным зарядом е в ее центре, найдем постоянную
Л. В силу уравнения (4а) она равна е [в системе МКСА А = -^~
4ТТ£0
в силу (46)].
Если имеется несколько фиксированных точечных зарядов, то
их поля складываются, не возмущая друг друга, и потенциал
получается как сумма потенциалов отдельных зарядов:
<Р=У! —, или V—е±- в системе МКСА. (18')
^О *-* 4*е0г/
В случае непрерывного пространственного и поверхностного
распределения заряда эти формулы переходят в
Эти формулы, выражающие принцип суперпозиции электрических
полей, можно вывести из дифференциального уравнения
потенциала при помощи формулы Грина. Приведем доказательство для
случая пространственного заряда. Пусть ср и ф — две непрерывные
вместе с их частными производными первого и второго порядка функции.
Тогда, применяя теорему Гаусса—Остроградского к векторам cpgrad ф
и ф grad ср, а затем вычитая одно выражение из другого, получим
формулу Грина:
(j) ср grad ф. di — j) ф grad ср. df = J срДф^ — J фДсрйт. (20)
Пусть ср удовлетворяет дифференциальному уравнению Дер = — 4тгр,
а функция ф имеет вид —, где г — расстояние заряда pdx от точки
Р0, в которой мы ищем потенциал (см. рис. 89). Таким образом, эта
функция имеет особенность в точке Ро, и точку Ро надо исключить
из области интегрирования. Для этого окружим ее малой сферой
радиуса а и будем считать, что эта сфера образует часть
поверхности нашей области интегрирования Нормали к элементам поверх-
274
ности, согласно предположениям, сделанным при выводе теоремы
Гаусса (см. стр. 27), направлены из области интегрирования
наружу, т. е. внутрь нашей малой сферы. В качестве внешней
поверхности области интегрирования возьмем сферу бесконечно большого
радиуса. Интеграл по этой сфере равен нулю, потому что хотя
площадь поверхности стремится к бесконечности как г2, но ср убывает
как 1/г, значит, grad ср убывает как 1/г2, и произведения ср grad ф
и ф grad ср убывают как 1/г3. Таким образом, остается только интеграл
по малой сфере радиуса а, на поверхности которой ср в пределе имеет
значение <р0, соответствующее точке Ро. Этот интеграл равен:
тс 2тс
ф = + Г Г Ар grad- Lgradcp^j .na2sinfrd»d<p = 4то2-^~. (21)
сф 0 0
Здесь п — единичный вектор нормали,
направленный внутрь малой сферы. (Второй интеграл /'
стремится к нулю при а -> X), потому что grad ср, /
как и ср, конечен в точке Ро.) Поэтому из урав- {
нений Аср = — 4тгр и А — =0 при помощи \
r \
формулы (20) получаем: "^ --'
1 f Дер , Г ?dz /ооч Рис. 89. К тео-
ср0 = — — 1 — dx = I ±— . (22) реме Грина в
4я J r J r электростатике.
Аналогичным образом можно получить
потенциал поверхностных зарядов. Чтобы исключить поверхности
разрыва из области интегрирования, надо ввести добавочные
граничные поверхности, окружающие поверхности разрыва и тесно
прилегающие к ним.
б) Потенциал шара радиуса а с
постоянной объемной плотностью заряда р.
Необходимо различать внешнее пространство, в котором Дер = 0, и
внутреннее пространство, в котором Дер = — 4тср. Вне шара мы имеем
решение уравнения Лапласа, обладающее сферической симметрией:
А
г
где А определяется, согласно формуле (4а), полным зарядом шара:
».~П?. (23)
Таким образом, в точке, лежащей вне шара, действие его заряда
такое же, как если бы весь заряд находился в центре шара. Это
решение должно быть справедливым и при г = а:
ТЛ«) = ^. (23')
275
При отыскании решения для точек внутри шара, которое, конечно,
зависит опять только от г, следует иметь в виду, что аддитивная
постоянная потенциала уже выбрана для потенциала вне шара,
Дело в том, что оба решения при г = а должны непрерывно
переходить друг в друга, потому что скачок <р означал бы бесконечно
большую напряженность поля. Напряженность поля внутри шара
определяется потоком вектора Е в соответствии с уравнением (4а):
Е,-^г.. (24,
Потенциал получится с правильной постоянной, если исходить из
уравнения
а а
r<a r<a
Вычисления с учетом (23') приводят к решению:
^т+?-?^Ю' (25)
Следует обратить внимание, что зависимость <р* от г квадратичная,
т. е. такая же, как в механике для потенциала упругой связи.
Если в точке Р внутри шара поместить отрицательный заряд, то
действующая на него сила будет направлена к центру. Таким образом,
отрицательный заряд, которому сообщен начальный толчок, будет
совершать гармонические колебания внутри равномерно
заряженного положительно шара.
в) Потенциал диполя. Диполем называется система
зарядов, состоящая из отрицательного заряда — е и сдвинутого
относительно него на вектор ds и равного ему положительного
заряда + е> Произведение eds должно иметь конечное значение р,
которое называется электрическим моментом диполя. Следовательно,
при уменьшении расстояния ds заряд должен возрастать так, чтобы
произведение eds оставалось конечным. Итак, электрический
момент диполя — векторная величина. Если обозначить расстояние
«точки наблюдения» Р от отрицательного
заряда через г_, а от положительного заряда —
•J через г+, то потенциал диполя в точке Р имеет
Рис. 90. Диполь.
9 = e(_X + J_). (2б)
Пусть г— радиус-вектор, проведенный от диполя к точке Р;
можно считать, что г = г_. Разность в скобках представляет собой
изменение скалярной функции — при смещении начала вектора г
27$
на ds\ из рисунка 90 видно, что такое же изменение функция —
испытывает при смещении конца Р вектора г на — cfs. Следовательно,
7L = -L_ds.gradJ- = 7L + ^!:, (27)
откуда
7 = 2ELI = EJ: = l£L CoS (р, г); в системе МКСА 9 = -Е^_. (28)
г3 г3 г2 4к£0г3
Таким образом, потенциал диполя убывает как — и зависит от
угла между радиусом-вектором г и направлением момента диполя.
Следовательно, поле диполя уже не сферически симметричное, а
лишь осесимметричное.
г) Потенциал двойного слоя. Двойным слоем
называется поверхность, покрытая диполями, моменты которых
направлены по нормали к поверхности. Обозначим дипольный
момент, приходящийся на 1 еж2, через р. Тогда потенциал в точке Р в
силу (28) равен:
y = J |р|сод(«.,г) du (29)
Если слой однородный, т. е. |р| = const, то
? = [p|jcos(n,2r)d/t ^
Телесный угол dQ, под которым элемент поверхности виден из
точки Р, определяется площадью той части сферы единичного радиуса
с центром в Р, которую вырезает конус с вершиной в точке Р и
направляющей — границей элемента df. Эта площадь по абсолютной
величине как раз равна подынтегральному выражению в (29').
Таким образом, в случае однородного слоя
?Чр1°. (3°)
Условимся считать, что радиус-вектор г всегда направлен к точке
Р. Тогда потенциал <р положителен, если точка Р лежит с
положительной стороны поверхности. До сих пор мы рассматривали
скачки только напряженности поля. Но на двойном слое сам потенциал
испытывает скачок, так что поле внутри двойного слоя было бы
бесконечным, если бы его толщина была действительно равна нулю
(чего на самом деле не бывает).
Рассмотрим сначала замкнутый двойной слой, имеющий,
например, форму сферы. Конусы с вершинами, лежащими вне сферы,
прорезают сферу дважды, причем косинусы углов между п и г имеют
противоположные знаки (нормаль п к сфере должна быть, как
всегда, направлена наружу). Следовательно, соответствующие dQ
попарно уничтожаются. Во внешнем пространстве потенциал равен
27?!
нулю. Но конусы с вершиной внутри сферы пересекают ее лишь один
раз (под конусом здесь следует понимать одну его часть, а не всю
поверхность, которая получается при продолжении образующих
за вершину). Знак dQ при этом отрицательный, потому что п и г
направлены в противоположные стороны. Интеграл (29')
распространяется на всю поверхность единичной сферы. Таким образом,
Ъ-<Р/ = 4*|р|. (31)
Используя понятие поверхностного градиента, можно записать:
(310
Grad <р = 4тгр; в системе МКСА: s0Grad <р = р
Это же уравнение справедливо и для незамкнутых поверхностей.
Действительно, любую незамкнутую поверхность можно дополнить
до замкнутой. Потенциал добавленной части не испытывает скачка
при переходе через исходную поверхность, и поэтому весь скачок
потенциала (ЗГ) обусловлен исходным незамкнутым слоем.
Двойной электрический слой возникает, например, когда
металлическая пластинка опущена в раствор соли, и соответствующий ему
скачок потенциала называют мало удачным, но укоренившимся выра-
жейием «электродвижущая сила» (э.д.с).
Б. ПРОВОДНИКИ В ПОЛЕ
а) Сферический конденсатор. Пусть имеются две
проводящие концентрические сферы с радиусами а и Ь. При
помощи изолированного проводника на внутреннюю сферу подан заряд е.
Внешняя же сфера заземлена, т. е. поддерживается при
постоянном потенциале <?Ь9 который можно положить равным нулю.
Разумеется, решение уравнения для потенциала должно быть опять
сферически симметричным:
?=— Л-В, (18)
Г
но постоянные будут в этом случае иными. Постоянная А опять
определяется потоком вектора Е, создаваемым зарядом е, т. е. А—е.
Значение В определяется условием, чтобы при г = Ъ потенциал
<Р = ¥& . Тогда
<р = 1 _|_ ^. в системе МКСА ср =
г Ъ 4тг£0г
При этом на внутренней сфере
?а = % +е (- 7"); в системе МКСА <?а=уь +
е .
-Ч1-
4ш0 \ а
. (32)
i)-
(33)
278
Емкостью1 системы называется отношение заряда к разности
потенциалов между поверхностями проводников. Таким образом,
емкость сферического конденсатора равна: х
С =
ab
в системе МКСА С =
Ат^аЬ
(34)
. „ - <р& b — о. Ь — а
Если радиус внешней сферы безгранично увеличивать, то
С = ау в системе МКСА С = 4тг£0а, (35)
т. е. емкость сферы, удаленной от всех прочих проводников, в
электростатической системе единиц равна ее радиусу в сантиметрах. В
системе МКСА а выражается в метрах, а емкость сферы с радиусом
в 1 см равна 1,11 • 10~12 ф =
= 1,11 пф ^ 1 пф (ф —
фарада, практическая единица
емкости; пф — пикофарада:
1 пф = ю-12 ф).
б) Точечный заряд
и бесконечная
проводящая плоскость
с нулевым
потенциалом. Проводящая
плоскость, которую мы выберем
в качестве плоскости XY
нашей системы координат,
делит пространство на две части
(рис. 91). В полупространстве г > 0 потенциал определяется
условием, чтобы он обращался в нуль на плоскости XY и чтобы для
любой поверхности, окружающей точечный заряд е,
находящийся в этом полупространстве в точке х = у — 0, z = а, было:
Рис. 91. Поле точечного заряда,
расположенного вблизи от проводящей
плоскости.
h
>grad<?.df = — 4тге.
В полупространстве z < 0 потенциал на границе должен обращаться
в нуль и, кроме того, интеграл (pgrad? • d\ по любой замкнутой
поверхности должен быть равен нулю, потому что в этом
полупространстве нет зарядов. Эти условия будут выполнены, если положить
? = 0 при z < 0.
Решение для верхнего полупространства легко найти с помощью
так называемого метода изображений. Пусть в точке,
представляющей собой зеркальное отражение точки е в плоскости XY,
помещен заряд — е. Тогда потенциал, создаваемый этими двумя
зарядами в полупространстве z > 0:
<р = *[_ —
(36)
1 Точнее, взаимной емкостью. (Прим. ред.)
279
удовлетворяет всем поставленным выше условиям. Как сумма
потенциалов, создаваемых точечными зарядами, это выражение
удовлетворяет уравнению потенциала. Для точек, лежащих в плоскости
XY, г = г\ поэтому потенциал в этой плоскости обращается в нуль.
Наконец, замкнутые поверхности в полупространстве z > О могут
либо содержать заряд е, либо не содержать никаких зарядов, потому
что заряд — е не лежит в этом полупространстве1. Все силовые
линии, выходящие из е, оканчиваются на плоскости XY. Так как в
полупространстве z < О поля нет, напряженность электрического
поля испытывает скачок на плоскости XY, т. е. на ней должен
существовать поверхностный заряд. Чтобы определить его, вычислим
сначала напряженность поля:
Ев-ра,|Тв1г,-±г,'. (37)
Так как на поверхности проводника г = г', вектор Е0
перпендикулярен к плоскости XY и направлен против оси Z. Его величина
равна:
|E0I=^sin» = ^a (370
(рис. 91). В силу уравнения (7а), § 2, плотность поверхностного
заряда равна:
—-5?- (38>
Легко проверить, что полный заряд, «наведенный» на проводящей
поверхности, равен — е, в соответствии с тем, что все силовые
линии, выходящие из + е, оканчиваются на плоскости XY. Для
проверки достаточно вычислить интеграл yodf.
Задачи
71. Вычислить элементарным способом силу, с которой притягиваются
две пластины плоского конденсатора, несущие заряды ей — е. (Указание:
воспользоваться картиной силовых линий и учесть сказанное в сноске на
странице 269; возмущениями от краев пренебречь.)
72. Вычислить емкость цилиндрического конденсатора длины / см,
радиусы цилиндров которого составляют an b см, а также емкость плоского
конденсатора, состоящего из двух металлических поверхностей площади /,
расположенных на расстоянии d друг от друга. Возмущениями от краев
пренебречь.
73. Точечный заряде находится на расстоянии R от центра проводящего
шара, потенциал которого равен нулю. Определить распределение
потенциала. (Указание: в этом случае опять можно воспользоваться виртуальным
точечным зарядом, помещенным внутри шара и заменяющим действие шара.)
74. Как расположены эквипотенциальные поверхности в особой точке,
в которой Е = 0? (Указание: поместить начало координат в особую точку и
разложить потенциал в степенной ряд по координатам. Рассмотреть, в
частности, случай осевой симметрии.)
Предполагается, что заряд не находится на границе 2 = 0. (Прим. ред.)
280
Глава II
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ИЗОЛЯТОРАХ
(ДИЭЛЕКТРИКАХ)
§ 1. Формальное введение понятий «электрическое смещение»
и «свободный заряд». Граничные условия на поверхности,
разделяющей два диэлектрика
Рассмотрим следующий опыт. Заряженный плоский конденса*
тор соединен с электрометром, измеряющим напряжение (разность
потенциалов) между пластинами; сначала между пластинами
находится воздух. Вставим между пластинами эбонитовую (или
стеклянную) пластинку, изолирующие свойства которой известны. При
этом напряжение понизится. Однако если вынуть пластинку из
конденсатора, оно снова достигнет прежнего значения. Таким образом,
емкость конденсатора увеличивается при введении изолирующей
среды (см. определение емкости, стр. 278). Так как при введении
изолирующей пластинки заряды, сидящие на обкладках
конденсатора, не могли измениться, приходится заключить, что связь
между напряженностью поля и зарядом, установленная в гл. I, § 2,
должна быть видоизменена, когда электрическое поле создается не
в воздухе, а в другой среде. В действительности даже присутствие
воздуха немного влияет на разность потенциалов и тем самым на
величину напряженности поля. Это обнаружится, если откачать объем
между пластинами конденсатора. Правда, это влияние столь
мало, что обычно им можно пренебречь. Но с принципиальной
стороны надо уточнить рассуждения главы I, подчеркнув, что
полученные там результаты верны, строго говоря, только для
вакуума.
Отношение напряженности электрического поля в вакууме к
напряженности в изоляторе (диэлектрике) при одном и том же рас-
пределении зарядов называется относительной диэлектрической
проницаемостью среды и обозначается е;
Введем теперь вектор D (называемый электрическим смещением),
который и в диэлектрике связан с зарядом так же, как вектор Е
в вакууме, т. е. в любой среде имеют место соотношения:
D.df = 4ic£, divD = 4itp, Div D = 4jw, (2a)
а в вакууме:
<J> Евак. df = 4яе, div Евак = 4крэ Div Евак = 4iw. (26)
281
§
Если все величины выражены в системе МКСА, то в
уравнениях (2а) справа надо опустить множитель 4тс, а в уравнениях (26)
заменить его на 1/г0. Из уравнения (1) следует, что векторы D и
Е связаны соотношением
D = sE
или в системе МКСА
D = CqcE
(3)
Эта простая связь между D и Е имеет место лишь в изотропных телах,
например в газах и в аморфных телах. В анизотропных кристаллах
соотношение (1) должно быть изменено. В таких телах напряженность поля Е
является более сложной линейной функцией от напряженности поля в
вакууме: диэлектрическая проницаемость является не скаляром, а тензором. Но
мы ограничимся пока только изотропными телами.
Истинное поле в диэлектрике, измеряемое, например, при
помощи пробного тела, можно представить себе как поле зарядов,
которые создали бы в вакууме такое же поле, какое они создают в
данном диэлектрике. Эти заряды называются свободными. Для них:
(J) E. df = W, div Е = 4яр', Div Е = 4*з' (4)
(штрихом обозначены здесь «свободные» заряды). Истинные заряды
являются либо пространственными зарядами, либо поверхностными
зарядами на поверхностях проводников1. «Свободные» же заряды,
как сейчас будет показано, возникают и на поверхности раздела
двух диэлектриков. Так как на поверхности раздела двух
диэлектриков нет истинных зарядов, то
DivD = 31£<1>-32£!f = 0. (5)
Но это означает, что Div E отлична от нуля, потому что нормальные
компоненты Е оказываются равными друг другу только после
умножения на et. Поверхность раздела двух диэлектриков является,
следовательно, местом нахождения создающих поле свободных
зарядов. Исследуем теперь поведение касательных компонентов Е. Будем
исходить из следующего экспериментального факта:
электростатическое поле всегда является безвихревым, даже в пространстве
возле границы двух различных диэлектриков. Это значит, что если
перемещать единичный заряд в одном диэлектрике по некоторому
пути вдоль границы, а в другом — по обратному пути (см. рис. 92),
1 Согласно принятой в настоящее время в отечественной литературе
терминологии, свободными называются все электрические заряды, способные
перемещаться на макроскопические расстояния (например, электроны в
металлах) или нанесенные на диэлектрик заряды, нарушающие его
нейтральность. Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, и ионы в решетках
твердых диэлектриков называются связанными. По терминологии автора
наши свободные заряды называются истинными, а свободными называется
совокупность истинных и связанных зарядов. (Прим. перев.)
282
то интеграл (j) E-ds по замкнутому пути должен быть равен нулю.
Так как при указанном выборе контура величина интеграла
определяется лишь касательными компонентами Е, то отсюда следует,
что они одинаковы на обеих сторонах поверхности раздела
диэлектриков:
7(0.
Е{1)= Е
(2)
(6)
3-
Это уравнение можно переписать также
в виде:
п х (Е2 — Ех) - Rot Е = 0. (6')
Рис. 92. Линейный
интеграл по
контуру,
расположенному возле
поверхности раздела.
Непрерывность касательных комнонентов напряженности
электрического поля у поверхности раздела двух диэлектриков имеет место
не только для электростатических полей. Она является общим
свойством электрического поля и позже будет обоснована гораздо более
общим способом (см. гл. VIII).
Краевые условия (5) и (6) определяют
показатель преломления для силовых
линий напряженности электрического поля.
Рассмотрим плоскость, проходящую через
касательную к силовой линии в первой
среде и нормаль к поверхности раздела
(рис. 93). Из (6) следует, что вектор Е2
тоже должен лежать в этой плоскости. Далее,
если а — угол между касательной к
силовой линии и нормалью к поверхности
раздела, то из Div (гЕ) = 0 вытекает
уравнение
гхЕх COS аг = е2£2 COS ?2,
(7а)
*■ п
*Г\
V
\
2
Рис. 93. Преломление
силовых линий на
поверхности раздела
двух диэлектриков.
т. е. при ех Ф е2 нормальные составляющие не равны:
/7(0 ^ /7(2)
Из
Rot Е = 0
следует:
Ех sina1 = Е2 sin a2, (76)
т. е, Е[1) = Ef] . Деля уравнения (7а) и (76) друг на друга,
получим закон преломления силовых линий:
(7)
283
§ 2. Поляризация диэлектриков
Рассмотрим однородный диэлектрик, в котором имеется
однородное поле Е. Плотность силовых линий BeKtopa D в е раз больше
плотности силовых линий вектора Е. Представим себе, что в малом
цилиндре с образующими, параллельными вектору Е, вещество
с диэлектрической проницаемостью е удалено, а вместо него на
основания цилиндра.помещены такие заряды, что поле не изменилось.
В освобожденном пространстве теперь D = Е, а вне цилиндра, как
и раньше, D == еЕ. Так как Е, по предположению, всюду имеет
одно и то же значение, то на основаниях цилиндра должны
начинаться и оканчиваться линии смещения.
Основания цилиндра несут истинные заряды,
плотность которых определяется уравнением (2).
На верхнем основании (см. рис. 94):
\D=s£
dt
+ 4* V j ' ' l/ 4tc
а на нижнем:
Рис. 94. Поляризация
диэлектрика.
•_«~<|E|-.|ED«.
е —1
4я
Таким образом, удаленный элемент объема dx = qdl обладает элек
трическим дипольным моментом:
dp- ±^±Eqdl = e"1
4я
4*
Edx
(8)
Электрический момент, отнесенный к 1 еж3, называется вектором
поляризации или поляризованностью (интенсивностью
поляризации):
Р=
4тс
Е=*Е
(9)
где % =
е — 1
4тс
Таким образом,
D = еЕ = (1 + 4«х) Е = Е + 4*Р
(10)
В системе МКСА е = 1 + х и D = е0 Е + Р, но все таблицы для
% составлены в соответствии с определением (9). Введенная здесь
характеристика диэлектрика *, связанная с е простым образом
[ см. формулу (9) ], назвтается диэлектрической восприимчивостью
среды. Таким образом, все элементы объема диэлектрика можно
заменить диполями g моментами xEdt*
284
Далее будет подробно показано (см. разд. IV, гл. IV) , что в физическом
элементе объема, который содержит еще много атомов или молекул,
результирующий дипольный момент возникает двояким образом. Если молекулы
сами являются диполями (полярные молекулы с положительной и
отрицательной частью), то при отсутствии поля их электрические дипольные моменты
взаимно нейтрализуются, вследствие хаотичности их ориентации. Поле
стремится ориентировать диполи в одном направлении, а тепловое движение
препятствует этому упорядочению. Чем больше напряженность поля, тем
больше параллельный полю результирующий электрический момент при
заданной температуре, но при заданном поле с ростом температуры он
уменьшается. По аналогии с подобным явлением в магнетизме такого рода восприимчи-
лость может быть названа «параэлектрической». Если же молекулы не об-
вадают собственными дипольными моментами, то последние возникают в поле
вследствие смещения электронных оболочек. Этот эффект не зависит от
температуры и может проявляться наряду с «параэлектрической»
восприимчивостью. Если дипольный момент отдельной молекулы появляется только
в поле, то можно говорить о «диэлектрической» восприимчивости.
Если, помимо распределения истинных зарядов, известна еще
поляризация как функция точки, то электростатический
потенциал можно получить, интегрируя по объему и поверхностям.
Согласно уравнению (28) (стр. 227),
потенциал диполя с моментом Pdt равен: ~Го Рд г% Ра Го
р.г . '$гаачг° f-^ grad*?
т Рис. 95, Образова-
Поэтому в присутствии диэлектрика: ^^нГТочГ
Сф , Ccdf , С Р.г . /1П истока» и «точки
<р = I £ [- I —L J^. \ fa. (И) наблюдения».
Здесь г—радиус-вектор, проведенный, как всегда, от «точки
истока» (от элемента объема dx) к «точке наблюдения» Р потенциала
Ф(Р). Для однородного диэлектрика (диэлектрическая
проницаемость всюду одинакова) из уравнений (3) и (10) следует, что при
отсутствии пространственных зарядов div Р = 0. В этом случае в
формуле (11) последний интеграл по объему можно преобразовать
в интеграл по поверхности. Действительно, тогда
^^=j^divPdx + jp.grad,±dx= j^fdx. (12)
Здесь индекс q означает, что при образовании градиента от —
«точка наблюдения» фиксирована, а дифференцирование
производится по координатам" «точки истока». Как видно из рисунка 95,
grad<7r =— grader, где индекс а означает дифференцирование по
координатам «точки наблюдения»1.
1 В координатном представлении легко показать, что производные
функции от г по координатам «точки истока» равны по величине и противоположны
по знаку производным по соответствующим координатам «точки наблюдения»
(см. далее, на стр. 286).
285
Поверхностному интегралу в уравнении (12) можно дать еще
другое толкование. Если диэлектрик граничит с вакуумом (в
котором Р = 0), то
p.df = —DivPd/
и в силу формулы (10):
p.df=I>!X£d/ = a'd/. (13)
На поверхности диэлектриков вследствие их поляризации
находятся, таким образом, «свободные» заряды1, и дополнительное поле
можно рассматривать как поле, созданное действием этих
свободных зарядов, поверхностная плотность которых определяется
уравнением (13).
§ 3. Простейшие случаи электростатического поля
в диэлектриках
Формула (11) в § 2 определяет потенциал, дифференцированием
которого можно найти напряженность электростатического поля,
когда распределение зарядов и интенсивность поляризации заданы.
Но в общем случае распределение зарядов неизвестно (см. гл. I, § 4);
неизвестна и поляризованность как функция точки. Так как Р =
=*Е, то, чтобы задать Р, надо было бы знать электрическое поле Е,
которое в свою очередь изменено присутствием диэлектрика. Эта
задача решается точно лишь в немногих случаях. При отсутствии
пространственных зарядов речь идет о нахождении такого решения
уравнения А? = 0, которое удовлетворяло бы следующим условиям:
во-первых, ? на поверхностях проводников должно иметь
постоянные значения; во-вторых, на поверхностях раздела двух
диэлектриков должно быть Rot E=0 (непрерывность касательных
компонентов) и Div (гЕ) = 0 (заданный скачок нормального компонента
Е). Примером случая, для которого существует точное решение,
является изменение первоначально однородного поля Е0 при
внесении в него шара из диэлектрика. Сделаем естественное
предположение, что поляризованность в шаре— однородная и
параллельная Е0 и неизвестна лишь ее абсолютная величина Р = |Р|.
Можно показать, что если выбрать надлежащим образом величину Р,
то дополнительное поле, возникающее от диполей поляризованного
шара, в сумме с первоначальным полем удовлетворяет граничным
условиям. Поле равномерно поляризованного шара можно рассмат-
Действительно, если xq, yq, zq <— координаты «точки истока», а ха, yat za —
координаты «точки наблюдения», то
г = V>a - xqY + (Уа — Уд)2 + (га — zq)2, т. е. — = — _, и т. д.
1 См. сноску на странице 282.
286
*
ривать как поле двух сдвинутых друг относительно друга на
отрезок ds разноименно заряженных шаров с одинаковыми по величине
объемными плотностями зарядов—р и +р. Чтобы каждый элемент
объема имел дипольный момент Pdt, должно выполняться
соотношение
Pdz == pdxds, (14)
или
ds = —.
ie\ 4тга3 , 4т:а3 /1 , ds-r\ 4т:а3 P-r /1СЧ
v = —— р+—р (—+ — ) = —— <15)
Вне. шара (г > а) дополнительный потенциал срш равен
~&
(см. стр. 275).
Если вектор Р постоянный, то grad (P-r) = Р1. Поэтому
общее поле во внешнем пространстве равно
E^ = E0-l^grad^^(E0-4^p) + ^r =
= EJ') + E<'). (16)
Таким образом, поле уже не однородно, потому что появился
компонент, направленный от центра шара по радиусу-вектору к точке
Р (см. рис. 96).
Внутри шара дополнительный потенциал равен:
C=_&P(a._i) + 2^_^+?E_') = f Р. , „„
[см. формулу (25) на стр. 276]. Из формул (9) и (17) вытекает, что
общее поле внутри шара
Е«>=-^Р = Е0--^Р. (18)
е — 1 3
Поле внутри шара остается однородным, потому что, по
предположению, вектор Р должен совпадать по направлению с вектором Е.
К полю в вакууме Е0 добавляется противоположно направленное
4я
поле Р, источниками которого следует считать свободные
о
поверхностные заряды, причем их плотность определяется
уравнением (13):
в' = — Div P . (19)
1 Это непосредственно очевидно из определения градиента (стр. 24).
Формально тот же результат получится, если взять производные — компо-
ди
ненты градиента -- и т. д. от выражения
и = р.г = Рхх + Руу + Pzz.
287
(Аналогичная ситуация имеет место для тел, помещенных в
магнитное поле; в этом случае говорят о «размагничивающем действии»
граничных поверхностей, и множитель-^, который получается в
О
случае шара, иногда называют «множителем размагничивания».)
Остается показать, что граничные условия выполнены.
Обозначая угол между г и Е0 через Ь (см. рис. 96), при г = а для
касательных компонентов имеем:
£{e) = £0sin»«
- —Psin»=JSj°=£0sin»——Psinft. (20)
За3 * о з . '
Таким образом, непрерывность касательных компонентов
выполняется автоматически. Нормальные компоненты должны
удовлетворять уравнению:
,(*)
ееЕа cos» —в . —Pcos»+e . —Pcos»»
0 * За3 l e а3
= е(Е^ = в,Е0 COS & — — В{ Р cos »,
(21)
В рассмотренном здесь случае (е^ = 1, е/ = е) это приводит к
соотношению:
4тс е + 2
(22)
(оно записано прямо в векторной форме,
потому что направления Р и Е0 совпадают).
Подставляя (22) в (18) и (16), получим поле
внутри и вне шара. Внутри шара оно имеет очень
простой вид:
Е(«)в з Е (23)
е -(- 2
При бесконечно большой диэлектрической
проницаемости поле ЕЦ) обращается в нуль.
Но в электростатике то же самое будет и
внутри проводящего шара. Таким образом,
формула (22) при в = оо дает поляризованность
Рис. 96. Шар из ди- изолированного проводящего шара, помещен-
электрика в однород- ного в поле Е0 в вакууме:
ном поле.
Следовательно, полный электрический момент проводящего шара
равен
4тса3.
р =—р
а3ЕП!
(24)
288
а его поляризуемость, т. е. отношение электрического
момента к напряженности электрического поля, равна кубу радиуса
шара.
Задачи
75. Из однородно поляризованного диэлектрика удален шар радиуса а,
а в остальном его объеме однородность поляризации не нарушена. Каково
поле, создаваемое в центре шаровой полости поляризованным диэлектриком?
(Дополнительное поле можно связать со «свободными» зарядами на границе
шара.)
76. Вычислить емкость сферического конденсатора, в котором пространство
от г = а до г = Ь занято диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
еь а от г = Ь до г — с — с диэлектрической проницаемостью е2.
77. Точечный заряд находится вне полупространства z < О,
заполненного диэлектриком. Вычислить поле в обоих полупространствах. (Здесь
также можно воспользоваться методом изображений (стр. 279) и, подбирая
величины зеркально-симметричных виртуальных зарядов, найти решение,
удовлетворяющее всем граничным условиям.)
Глава III
ЭНЕРГИЯ И ПОНДЕРОМОТОРНЫЕ СИЛЫ В ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОМ
ПОЛЕ
§ 1. Потенциальная энергия системы зарядов
в заданном поле
В отличие от предыдущего параграфа мы будем считать
электростатическое поле Е заданным, а помещенные в него заряды
столь малыми, что они не влияют на распределение зарядов,
создающих поле.
Потенциальная энергия простого точечного заряди в точке с
потенциалом <р равна:
U. = *t. (25)
Для диполя потенциальная энергия равна:
Ud = — еу + е Cf + dsigrad <p) = — eds- Е = — р Е. (26)
(Здесь ср—потенциал в точке, где находится отрицательный заряд.)
В однородном поле потенциальная энергия диполя может меняться
только за счет изменения угла между р и Е; при параллельном
переносе диполя энергия не меняется, т. е. при этом никакой работы
не производится. Но так как работа представляется скалярным
произведением силы на путь, то это означает, что на диполь в
однородном поле не действует никакая сила, могущая вызвать его переме*
щение. При повороте на угол Ъ$ полем производится работа,
равная ЛШ, где М —величина момента сил, действующего на диполь
со стороны поля. Таким образом,
МЬЬ = — bUd = — Е \ р | sin Ш,
Ю Г. Иос
289
и момент, действующий на диполь в электрическом поле, равен
М-= — |p|£sin». (27)
Знак минус означает, что этот момент стремится уменьшить угол 6-.
До сих пор мы считали дипольный момент заданным. Но
большой интерес представляет также случай, когда электрический
момент диполя пропорционален полю, т. е. имеет вид аЕ. На
положительный заряд действует сила £Е, которая стремится удалить его от
отрицательного заряда (последний считается закрепленным). При
равновесии эта сила уравновешивается равной ей внутренней силой.
Если поле возрастает на dE, то приращение энергии равно
приращению энергии диполя (26) плюс работа, произведенная против
внутренней силы при смещении заряда на dr. Так как edx = dp, то
dUd' = — р . dE — Е . dp + *Е • dr = — р . dE = — аЕ . dE.
Полная энергия такого диполя в поле Е получается
интегрированием от нуля до Е:
£/,, = _^Е*=--!^. (28)
Задача
78. Определить силу, действующую на диполь в неоднородном
электростатическом поле, если задана его ориентация по отношению к полю.
§ 2. Полная энергия электростатического поля
Для вычисления полной энергии поля в электростатике имеется
два разных способа, дающих совершенно эквивалентные
результаты. Более старая теория дальнодействия рассматривает
только заряды и мгновенно действующие между ними силы. Теория
близкодеиствия предполагает энергию распределенной
в пространстве между зарядами: где имеется электрическое поле,
там есть и непрерывно распределенная энергия. Преимущества
теории близкодеиствия сказываются лишь в области быстро
меняющихся полей, где только она приводит к существованию
электромагнитных волн (см. гл. VII).
Станем сначала на точку зрения теории дальнодействия.
Рассмотрим потенциальную энергию двух точечных зарядов ег и е2 в
вакууме. Она определяется потенциалом кулоновской силы:
U = ^ ; в системе МКСА V =* gl*2 . (29)
Потенциальную энергию системы п точечных зарядов можно
вычислить, рассматривая сначала один заряд ev к которому затем из
бесконечности приближается заряд е2 на расстояние г12, затем к
ним из бесконечности приближается заряд е3 на расстояния г13 и
г23 и т. д. Полная работа, которая должна быть произведена при
этом, т. е. потенциальная энергия поля, равна:
290
ex e2 | ег e3 _j_ £?i £4 j__ _±_ e2es j_e2e& , ; £3^4
r23
f/ _, gl g2 I gl g3 _[_ ^1 <?4 1 , _±_f2_£3 I !i££ 1 ^ J-f^J-
>*12 ^13 Г14 Г23 ^24 Г34
в системе МКСА:
i
Множитель 1/2 следует добавить потому, что при двойном
суммировании каждая комбинация i и k встречается дважды. Далее,
штрих при знаке Е означает, что комбинации i = k исключаются.
Заметим, что V — ( в системе МКСА V ^—Л означает
i I
электростатический потенциал, создаваемый всеми остальными
зарядами в месте нахождения заряда ek. Следовательно, можно
написать также:
"=-f !>*'*■ (31)
Это соотношение (справедливое также и в системе МКСА) можно
перенести на случай непрерывного распределения зарядов. В
случае пространственного заряда е = pdx, в случае заряда,
распределенного по поверхности, е = cdf. Таким образом, энергия поля при
наличии пространственных и поверхностных зарядов равна:
</ = -!
2
C<f PdT-|-— («pad/
(310
(это соотношение выполняется также и в системе МКСА).
В теории близкодействия каждому элементу объема в
электрическом поле приписывается определенное количество энергии.
Проще всего предположить, что плотность энергии и, т. е. энергия
поля, заключенная в 1 см3, пропорциональна квадрату
напряженности электрического поля. В самом деле, квадрат вектора Е —
простейшая скалярная величина, которую можно связать с
другой скалярной величиной — энергией. К тому же в
электростатической системе единиц Е2 имеет размерность эрг/см3. Множитель
пропорциональности надо определить так, чтобы получилось
численное согласие с теорией дальнодействия. Эквивалентность обоих
подходов легко показать. Применим теорему Гаусса к произведению
Еср. Так как на бесконечности Е убывает как —, а ср — как —, то
интеграл по бесконечно большой сфере равен нулю:
0=(()E.<pdf= fE.gradfdx + TcpdivEdT. (32)
10*
291
Поскольку
Е = — grad<p, div E = 4тер [ = — в системе МКСА ),
то
ГеМх = Г 4rcpcpdx (= — Cp<pdx в системе МКСА"). (33)
С другой стороны, когда имеются только пространственные заряды,
то в силу (ЗГ) полная энергия поля
Таким образом, численное совпадение получится, если положить
плотность энергии в вакууме равной:
в системе СГС в системе МКСА
-Хв. ._-LsP.. (34>
Если имеются поверхностные заряды, т. е. поверхности разрыва E,
то при применении теоремы Гаусса их следует вырезать из поля
посредством близко прилегающих к ним замкнутых поверхностей.
Тогда в силу (ЗГ) поверхностные заряды дадут вклад — j <pad/.
В среде с диэлектрической проницаемостью е сила, действующая
между двумя точечными зарядами, уменьшается в е раз, так что,
теория дальнодействия дает:
i k i k
Но — представляет собой свободный заряд1 ек'9 который в среде
с диэлектрической проницаемостью е создает поле Е точно такое,
какое в вакууме создает истинный заряд ek. При переходе к
непрерывному распределению зарядов следует поэтому писать:
^^jw'dx+^jV#. (350
Полагая снова в теории близкодействия и пропорциональным Е2,
найдем при помощи того же преобразования, которое привело к
уравнению (32), что плотность энергии в однородном диэлектрике равна:
в системе СГС в системе МКСА
ы = —Еа = —E.D
8тс 8к
fo е2 == -is. Е. D
(36)
1 См. сноску на странице 282.
292
Во второй форме это уравнение справедливо также и для
анизотропных тел, в которых направления Е и D не совпадают.
Рассмотрим еще изменение энергии поля при внесении в него
диэлектрического тела. При этом тело должно быть столь мало,
чтобы распределение зарядов, создающих поле, существенно не
изменилось. Пусть сначала имеется поле в вакууме Е0 = D0. При
внесении диэлектрического тела мы получим иную напряженность
поля Е и смещение D в каждой точке. Поэтому изменение энергии
определяется соотношением:
U-U0=±$ (E.D-E0.D0)dx. (37)
«тс 0
Это выражение можно преобразовать следующим образом. В
тождестве
E.D-E0.D0 = E.(D-D0) + (E-E0).D0
положим Е = — gradcp, так как Е — безвихревое поле (это —
основное свойство электростатического поля); D— D0— поле без
источников, потому что, по предположению, при внесении
диэлектрического тела истинные заряды1 — источники D — не изменяются.
Далее, на бесконечности Е и D убывают как —, а ?—как —.
г2 г
Поэтому теорема Гаусса при интегрировании по бесконечно
большой сфере дает:
О = (j) <p(D- D0) . dt = - J E . (D- D0) dz + Jcpdiv (D- D0) dz.
Как уже было сказано, div (D—D0) всюду равна нулю, поэтому
Ce.(D —D0)dx = 0
и
£/-£/„= «У (E-Eo).D0A. (38)
По той же причине равен нулю и интеграл IЕ0 • (D — D0) dz;
умножая его на и прибавляя к (38), получим:
8тс
£/-£/. = -^ J(E • D0-E0 • D0)dx = JL j(E . E0-E0. D)rft =
= -tJi7E-E»^ (39)
1 См. сноску на странице 282.
293
так как, по предположению, D0 = E0. Воспользуемся
определением восприимчивости и поляризованности, тогда
U-U, = —L J*E . E0dx = _ ± Jp . Е>. (40)
При небольших значениях восприимчивости под знаком интеграла
без существенной ошибки можно заменить Е • Е0 на Е20, т. е.
пренебречь изменением поля. Тогда физический смысл этого
выражения легко выяснить: в поле Е0 единица объема диэлектрика
приобретает дипольный момент * Е0; согласно (28), энергия диполя,
индуцированного полем, равна Е0. Вследствие изменения
поля внутри диэлектрика (вычисленного на стр. 287 для шара) в
формулу (40) вместо Eq входит скалярное произведение Е • Е0.
Это уменьшение энергии поля при постоянных зарядах,
создающих поле, легко наблюдать на примере плоского конденсатора,
если вдвигать в него диэлектрик; не следует смешивать его с
увеличением энергии диэлектрика при приложении поля. В этом случае
заряды, создающие поле, увеличиваются. Согласно (36),
изменение плотности энергии составляет
du = — E-dE= 1-±^*E.dE= — E.dE + P.dE=
4* 4ic 4* ^
= — E . dE + E . dP.
4я
В последнем выражении первый член представляет изменение
энергии вакуума, а второй -= изменение энергии тела, в котором
Р^О.
Задачи
79. Показать, что энергия заряженного конденсатора составляет -— С?2.
Вычислить изменение энергии при внесении диэлектрика: а) при постоянном
заряде конденсатора, б) при постоянном напряжении.
80. Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы построить из
бесконечно удаленных зарядов шар радиуса а, равномерно заряженный по
объему с плотностью р .
§ 3. Вычисление сил, действующих в электростатическом поле.
Теория «метода поднимающегося уровня»
В механике положение равновесия системы можно определить
из условия минимума потенциальной энергии. Согласно
результатам § 2, энергия электростатического поля эквивалентна
потенциальной энергии зарядов, и поэтому ее можно отождествить с
потенциальной энергией в механике. Вследствие этого положение
равновесия системы определяется из условия минимума суммы
294
энергии электрического поля и механической потенциальной энергии
(например, потенциальной энергии силы тяжести). В качестве
примера разберем теорию «метода поднимающегося уровня»,
применяемого для измерения диэлектрической восприимчивости
жидкостей и особенно удобного при аналогичных магнитных
измерениях. Пусть имеется U-образная трубка сечения q, наполненная
жидким диэлектриком, одно колено которой помещено в
электрическое поле, направленное перпендикулярно к оси трубки (на
рис. 97 следы силовых линий, перпендикулярных плоскости
рисунка, показаны точками). Под действием поля
уровень жидкости в находящемся в поле
колене поднимается. Пусть d — плотность
жидкости, Л0 — высота уровня ее при отсутствии
поля. Тогда работа поля против силы тяжести
составляет q(h—hQ)2gd [масса q(h—h0)d
перемещается из правого колена в левое, центр
тяжести ее поднимается при этом на h—Л0]. При
малых значениях восприимчивости, когда Е «
~Е0 (ср- § 2), полная энергия системы составляет:
Рис. 97. К «методу
поднимающегося
уровня».
п
(4С)
Таким образом, полная энергия зависит от h, и условие минимума
имеет вид:
°-Th=~\^q+2q{h~K)ed' (42)
Разность уровней жидкости в обоих коленах составляет:
H = 2(h-h0) = ^f. (43>
2gd
Как явствует из вывода, Е0 — значение первоначального поля в
том месте, где находится уровень жидкости в левом колене; в
других же местах напряженность поля измерять не требуется.
В некоторых случаях желательно знать не положение
равновесия, а силы, действующие на систему. В качестве примера
рассмотрим движение незаряженной капельки масла, имеющей форму
шарика, в неоднородном поле, для чего необходимо знать
действующие на нее силы. Пусть радиус а шарика столь мал, что поле
Е0 в области порядка размеров шарика можно считать однородным.
Согласно формуле (22) (стр. 288), вектор поляризации внутри
шарика составляет:
4к е+2 °
295
и по точной формуле электростатическая энергия равна:
0 2 е+2 о
(44)
Далее, поле Е0 меняется от точки к точке. Энергия системы
зависит, таким образом, от положения центра шарика. Если поле Е0
задано, то каждой точке пространства, в которой может находиться
центр шарика, соответствует определенное значение энергии.
Точки, соответствующие равным ее значениям, можно соединить
поверхностями равного уровня энергии. Смещая шарик на ds, мы
иолучим, с одной стороны, изменение потенциальной энергии на
dU = grad U . ds = — — — grad E* . ds. (45)
С другой стороны, сила, действующая на шарик, производит
работу
dA = F . ds.
Так как последняя равна уменьшению потенциальной энергии, то
F = — i—igradE2. (46)
Поскольку е > 1, направление силы совпадает с направлением
роста Е20. Следовательно, шарик будет перемещаться в сторону
большей напряженности электрического поля. Диэлектрической
проницаемости е в магнетостатике соответствует магнитная
проницаемость |х (см. гл. V), которая у одних веществ больше, у
других — меньше единицы. В последнем случае будет иметь место
вытеснение шарика из магнитного поля; это различие послужило
поводом к различению парамагнитных и диамагнитных тел.
Задача
81. На одном конце коромысла равноплечих весов подвешена плоская
металлическая пластинка площади I на расстоянии а от второй такой же
металлической пластинки. Какой дополнительный груз надо положить на
другую чашку весов, чтобы при заряжании второй пластинки до потенциала <р
(относительно весов) восстановилось равновесие: а) в воздухе, б) в среде с
диэлектрической постоянной £?
Глава IV
СТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Закон Ома
Согласно вышеизложенному, в проводниках нельзя
поддерживать электростатическое поле. Но при постоянном подведении
энергии в проводниках может существовать постоянное во времени
296
поле, которое внешне отличается от электростатического прежде
всего тем, что оно связано с непрерывным выделением тепла. Но
оно отличается от электростатического поля еще и в другом
отношении. Например, в растворах электролитов можно
непосредственно наблюдать, что в таком поле происходит перенос электрического
заряда. Это непрерывное упорядоченное движение электрических
зарядов, называемое кратко электрическим током, проявляется,
далее, в одновременном существовании магнитного поля, которое
будет рассмотрено в главе V.
Силой тока I называется количество электричества,
проходящее через поперечное сечение проводника в единицу времени:
'-•£• <»
Плотность тока j определяется как вектор, направление
которого совпадает с направлением движения положительных
зарядов, а его величина равна количеству электричества,
пересекающему за секунду плоскую единичную площадку, перпендикулярную
к j. Тогда сила тока через произвольную поверхность равна:
/= Jj-df= J|j|cosO,n)d/. (2)
Из экспериментальной физики известно, что в металлах и
электролитах ток пропорционален приложенной разности потенциалов1
<Pj—ср2. Множитель пропорциональности мы обозначим —; R
называется сопротивлением. Сопротивление зависит от
температуры. Поэтому закон Ома имеет вид:
/ =9-^, (3)
при условии, что температура специально поддерживается
постоянной, несмотря на выделение тепла, вызванное током. Во
многих случаях запись закона .Ома в виде:
?i — ?2 = /#
(4)
имеет больший физический смысл. Если имеется проводник с
током, то разность потенциалов между точками, сопротивление
между которыми составляет /?, равна IR. Если имеется неразветвлен-
ная цепь, состоящая из последовательно соединенных
сопротивлений, то, согласно второму правилу Кирхгофа, сумма разностей
потенциалов на концах отдельных сопротивлений должна быть
равна сумме приложенных напряжений (от машин, батарей и т. п.).
1 Здесь не делается различия между напряжением и разностью
потенциалов. Имеется в виду отсутствие источников тока на участке цепи с
сопротивлением. (Прим. ред.)
297
Это справедливо также для любого замкнутого контура цепи при
обходе его в одном направлении. Первое правило Кирхгофа,
согласно которому в местах разветвления цепи сумма уходящих
токов равна сумме приходящих, является частным случаем свойства
отсутствия источников и стоков электрического тока, которое
представляется почти очевидным1.
Получим теперь закон Ома в дифференциальной форме,
который связывает лишь локальные величины, соответствующие
определенной точке. В случае цилиндрического проводника
сопротивление R пропорционально его длине / и обратно пропорционально
его сечению q. Сопротивление одного кубического сантиметра
проводника называется удельным сопротивленим р, а обратная
величина — удельной проводимостью а. Таким образом, сила тока
выражается следующим образом:
/=JPiz^a, (5)
Vi — ¥2/' равно по величине напряженности поля, направленного
вдоль образующих цилиндра, а I/q—абсолютная величина
плотности тока. Так как в изотропном теле ток проходит в направлении
поля, наше рассуждение пригодно для любого малого цилиндра,
выделенного в проводнике с током. Поэтому уравнение (5) можно
записать в векторной форме:
j = oE
(6)
Содержание закона Ома состоит в том, что в проводнике,
подчиняющемся ему (металлы, растворы электролитов), о не зависит
от напряженности поля.
Напряженность электрического поля и в проводнике с
постоянным током является безвихревым вектором. На поверхности
раздела двух проводников тоже не возникает поверхностных вихрей:
Rot Е - п X (Е2 — Ех) = 0, или £<2) = Е?\ (7)
Но нормальный компонент Е испытывает скачок на поверхности
раздела. Действительно, поверхностная дивергенция от j должна
быть равна нулю, потому что, какое количество зарядов входит
в поверхность с одной стороны, такое же количество должно
выходить и с другой стороны, т. е.
Divj = п • (]2-)J = n . faEj-^E,) - 0, или a,Ef «aJS™. (8)
1 Это свойство выражается формулами (8) и (10). Нигде в цепи не
происходит накопления электрических зарядов. Источники постоянного
напряжения подобны насосам, приводящим в движение электрические заряды;
они не создают заряды и не поглощают их. (Прим» перев.)
298
Излом линий тока на поверхности раздела двух проводников будет,
следовательно, таким же, как излом силовых линий векторов
D и Е на поверхности раздела двух различных диэлектриков
(см. стр. 283):
tes^jL. (9)
tg a2 <J2
Внутри проводника линии тока тоже не могут начинаться, т. е.
divj = divaE = —adivgrad? = — оДу = 0. (10)
Таким образом, в случае стационарного электрического поля <р
внутри однородного проводника удовлетворяет тому же
дифференциальному уравнению, что и в электростатике, а на поверхностях
раздела выполняются такие же граничные условия, но
материальная константа имеет иной физический смысл.
Это свойство стационарных полей можно использовать для
экспериментального получения картины распределения поля. Если мы хотим
получить картину поля вокруг заряженного тела произвольной формы, то
можно взять металлическую модель этого тела, поместить ее в большую
металлическую ванну с радтвором электролита и построить
эквипотенциальные поверхности при помощи зонда и мостиковой схемы, соединив тело с
одним, а сосуд с другим полюсом источника напряжения. Так как проводимость
электролитического раствора мала по сравнению с проводимостью металла,
то и в стационарном поле условие эквипотенциальности поверхности тела
практически выполнено.
Задачи
82. Конденсатор емкости С в момент t = 0 имеет потенциал ?о и затем
разряжается через сопротивление R. Вычислить зависимость силы тока от
времени.
83. Конденсатор С заряжается от постоянного источника напряжения
<ро через большое сопротивление /?. Параллельно конденсатору включена
неоновая лампа с напряжением зажигания <р3« Какова частота
возникающего при этом пульсирующего тока?
§ 2. Выделение теплоты в стационарном электрическом поле
При перемещении электрического заряда е из точки с
потенциалом <?i в точку с потенциалом <р2 совершается работа
А = е(<?г-Ь) (11)
(см. стр. 272). Эта работа, которая при свободно перемещающемся
заряде переходит в его кинетическую энергию, в случае
стационарного электрического поля превращается в Джоулеву теплоту,
выделяемую током. (С атомистической точки зрения эта теплота
выделяется в результате «трения» при движении зарядов.) Таким образом,
если по проводнику течет ток /, то на отрезке между двумя
эквипотенциальными поверхностями с потенциалами <рх и ср2 за секунду
выделяется количество теплоты
Q-/(?!-ft) .02)
299
(в единицах мощности), потому что / — это количество
электричества, которое проходит за одну секунду разность потенциалов
срх — <ра. Выражение (12) называется законом Джоуля—Ленца.
Найдем его дифференциальную форму. Выберем элемент объема в
форме цилиндра, образующими которого являются линии тока, а
основаниями — эквипотенциальные поверхности. Пусть высота
цилиндра равна Л, а сечение — q. Тогда разность потенциалов
между его основаниями
?i — Та = ^ | grad ср [ = Л { Е |
(предполагается, что ?1>92)- Сила тока равна / = q\\\. Таким
образом, количество теплоты, выделяемое за секунду в элементе
объема dxy равно:
rfQ=|j| . |Е| -qh = oE2dx = -£- dx. (13)
с
Это соотношение выполняется для произвольного элемента
объема.
Глава V
МАГНЕТОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
§ 1. Сходство и отличие электростатического
и магнетостатического полей
Много общего с электрическими явлениями имеют явления
магнитные, тесно связанные с первыми. Подобно тому как
электростатическое поле можно поддерживать без подвода энергии, так и
магнитные поля, например поле между полюсами постоянного
стального магнита, могут существовать без подвода энергии. Такие
магнитные поля называются магнетостатическими. К ним можно
причислить также магнитные поля стационарных электрических
токов. Правда, в этом случае электрическая энергия рассеивается
в проводниках, но этот расход энергии является следствием
конечного сопротивления проводников и не имеет никакого отношения
к магнитному полю, напряженность которого зависит только от
силы тока. Если сделать сопротивление сколь угодно малым, а
существование сверхпроводников (см. разд. IV, гл. V) дает
возможность реализовать такие условия, то и магнитные поля
электрических токов можно поддерживать без расхода энергии.
Если по аналогии с электростатическим полем попытаться
измерить напряженность поля при помощи магнитного пробного
тела, то мы столкнемся с первым различием между
электростатическим и магнетостатическим полями: не существует пробных тел
с избыточным магнитным зарядом. Даже самая малая частица
стального магнита представляет собой магнитный диполь, который
зоо
ведет себя в магнитном поле так же, как электрический диполь в
электростатическом поле. Поэтому напряженность магнитного поля
Н можно измерить лишь по моменту сил, действующих на
небольшой магнит (магнитную стрелку) с известным магнитным
моментом рт. Этот момент сил равен:
М = —|P«|-|H|sin», или М = ртХН (1)
(см. соответствующие вычисления в электростатике на стр. 289).
Положение равновесия соответствует углу & = 0, и при малом
отклонении от равновесия возникает момент сил,
пропорциональный &, так что возвращающий момент составляет (см. стр. 152):
D = |pJ-|H|. (10
При известном моменте инерции можно определить D по периоду
колебаний [см. формулу (20), стр. 152]. Это—известный метод
Гаусса для измерения горизонтального компонента напряженности
магнитного поля Земли. Чтобы определить по моменту сил М
напряженность поля Н, нужно знать еще магнитный момент рт
пробного - тела. Так как для поля, создаваемого системой магнитных
зарядов, справедливы те же законы, что и для полей электрических
зарядов, то поле магнитного диполя можно вычислить по формулам
электростатики (см. стр. 276). Зная силовое действие, которое поле
оказывает на вспомогательный магнит, можно составить второе
уравнение для определения неизвестных величин: рт и Н. Если
сила выражена в единицах СГС, то рт и Н то^е выражаются в
системе СГС1. Детали эксперимента мы не будем здесь разбирать.
Определенная таким способом единица напряженности магнитного
поля называется эрстед (э). В системе МКСА единица
напряженности поля определяется через создающий поле ток (см. § 2).
Вследствие того что отдельных магнитных зарядов не
существует, дивергенция магнитного поля в вакууме всюду равна нулю:
div H = 0. (2)
Магнетостатшеское поле в вакууме не имеет источников.
Электростатическое поле в вакууме, которое может иметь источники,
обладает существенным свойством — оно полностью безвихревое.
Но магнитное поле далеко не всегда безвихревое, как показывает
простой пример магнитного поля, создаваемого прямолинейным
проводником, по которому течет ток. Как известно из курса общей
физики, в этом случае силовые линии являются окружностями с
центрами на оси проводника, лежащими в перпендикулярных
к нему плоскостях. Линейный интеграл (j) Н . ds не может
обратиться в нуль, если в качестве контура выбрать одну из таких
окружностей, потому что при этом суммируются величины одного
знака. Таким образом, магнетостатическое поле, окружающее ли-
См. сноску на странице 270.
301
нейный ток, не является безвихревым. Итак, электростатическое
поле в вакууме является безвихревым полем с источниками, а магне-
тостатическое поле в вакууме является вихревым полем, нигде не
имеющим источников.
Подобно тому как электростатическое поле между двумя
пластинами конденсатора при заполнении промежутка между ними
веществом с диэлектрической проницаемостью г уменьшается в е
раз, так и магнитное поле между полюсами магнита изменяется
при введении среды в промежуток между полюсами. Величина,
соответствующая диэлектрической проницаемости г, которая
определяется аналогично ей отношением Нвак/Н, называется в этом
случае относительной магнитной проницаемостью |х, а величина
[хН, формально соответствующая электрическому смещению D,
называется магнитной индукцией В1. Для единицы этой величины,
в системе СГС совпадающей по размерности с напряженностью
поля, принято название гаусс (гс). Как и в случае электрического
поля, действие среды обусловлено ее магнитной поляризацией, т. е.
намагничиванием. Магнитная величина, аналогичная вектору
поляризации Р, называется намагниченностью, (интенсивностью
намагничивания или вектором намагничивания):
J = xmH = ^H. (3)
Численные значения магнитной восприимчивости *т могут
существенно отличаться от значений диэлектрической
восприимчивости. Существуют вещества с положительными и с
отрицательными значениями %т. В отличие от электрической поляризации,
которая всегда направлена по полю, намагниченность может быть
направлена как по полю, так и против него, в зависимости от
природы вещества. В случае электрической поляризации различают
два рода возникновения поляризации (см. стр. 285). Те же две
возможности имеются и для намагничивания, но различие между ними
здесь сразу бросается в глаза, потому что упорядочение ориентации
уже существующих магнитных моментов атомов и молекул и в этом
случае приводит к положительным значениям хт (парамагнитные
вещества), а возникновение магнитных моментов у частиц вещества
в поле приводит к отрицательным значениям %т (диамагнитные
вещества). Диэлектрическая восприимчивость в жидких и
твердых телах составляет от 0,1 до 10, а магнитная восприимчивость—,
всего лишь Ю-4 и меньше, если исключить несколько
ферромагнитных веществ. У последних же она велика, например у технического
железа %т достигает 400, но она не постоянна, а зависит от
напряженности магнитного поля. Исходя из механизма возникновения
парамагнитной восприимчивости, легко понять, что если результи-
1 Как известно, фактически соответствие как раз обратное: Е -> В,
D -> Н. (Прим. ред.)
302
рующий магнитный момент единицы объема возникает вследствие
ориентирования уже существующих магнитных моментов
атомов или молекул, то он не может быть пропорциональным Н при
сколь угодно больших значениях Н: верхняя граница такого
результирующего момента определяется тем, что в конце концов все
векторы моментов частиц окажутся ориентированными по полю.
После этого экскурса в атомистическое толкование магнитной
восприимчивости вернемся к феноменологическому описанию маг-
нетостатического поля, во многом аналогичному электростатиче*
скому полю. Поскольку истинные магнитные заряды не существуют,
всегда
divB-div^H^O и DivB-^Я^ —^Я(п2) -0. (4)
Но Н можно представить как поле свободных1 магнитных заря*
дов, находящихся на неоднородностях среды:
div Н - 4тсРт, Div Н = 4ъат. (5)
Если по поверхности раздела двух сред не течет конечный
(«поверхностный») ток, то Rot H = 0. Силовые линии на границе
раздела двух сред преломляются по закону тангенса:
l*H = £L. (6)
tga2 \к%
Истинных отдельных магнитных зарядов не существует; нет и
проводников магнетизма. Правда, высокое значение магнитной
проницаемости ферромагнитных тел приводит к тому, что в силу
закона тангенса магнитные силовые линии направлены снаружи
почти перпендикулярно к их поверхностям, так что эти тела в
отношении картины статических магнитных силовых линий ведут себя
практически как «проводники магнетизма».
Выражение плотности энергии магнитного поля тоже
аналогично соответствующему выражению для электрического поля:
в системе СГС в системе МКСА3
=, Л. н2 - — В . Н
8« 8гс
2 2 Го
(7)
Поэтому, как уже было сказано в § 3, гл. III, все вычисления,
проведенные там для электростатического поля, справедливы и в
случае магнетостатического поля.
Задача
84. В первом приближении Землю можно рассматривать как однородно
намагниченный шар. Определить наклонение как функцию магнитной
широты <рт.
1 См. сноску на странице 282.
2 Величина (л0 определена в гл. VI, § 1 (стр. 316).
303
§ 2. Вычисление магнетостатического поля в вакууме
при заданном распределении токов
В курсе общей физики при расчетах магнитного поля
стационарных токов исходят обычно из элементарного закона,
определяющего магнитное поле, создаваемое элементом тока,— из закона
Био—Савара. Между тем этот закон неудобен для получения более
общего дифференциального соотношения; кроме того, его нельзя
проверить экспериментально, так как в стационарном поле не
существует изолированных элементов тока, а только замкнутые
токи. Поэтому удобнее исходить из другого экспериментального
факта. Если измерить магнитное поле проводника с током,
методы измерения были пояснены в § 1, и взять линейный интеграл
Hds по любой кривой, охватывающей проводник, то его
значение пропорционально силе тока и не зависит от выбора контура
интегрирования1:
(J) Н . ds = ?/• <8)
Если измерять Н в единицах СГСМ (как известно, это получается
при Гауссовом методе измерения поля, описанном в § 1), а / — в
применявшихся до сих пор абсолютных электростатических
единицах, то надо положить множитель пропорциональности равным:
— —
с
где с = 3-Ю10 скорость света2. Тогда получится чис-
С6К
ленное совпадение величин, стоящих в правой и левой частях
уравнения (8). Если же положить f = 4*, то тем самым выбрана
новая единица для /, которая называется абсолютной
электромагнитной единицей силы тока: СГСМ(/), но мы не будем пользоваться
этой единицей (ср. стр.270). Следует отметить, что практические
единицы ампер (а), вольт (в) и т. п. являются десятичными
кратными абсолютных электромагнитных единиц. В системе МКСА нет
специальной единицы напряженности магнитного поля. Если в (8)
изложить f = 1, то напряженность поля определится через
создающий его ток, т. е. размерность ее равна а/м.
Приведем теперь закон (8) к дифференциальной форме. Пусть
имеется проводящее тело, в котором вектор плотности тока j
задан как функция точки. Вообразим в этом проводнике малый
замкнутый контур С. Тогда ток, пересекающий ограниченную им
площадку, равен:
/ = j • Л,
1 Это выражение называется законом полного тока. (Прим. ред.)
2 См. сноску на странице 270.
i
304
где df — вектор, представляющий ориентированную элементарную
площадку, ограниченную контуром С. По определению ротора, для
этого элемента поверхности можно записать:
(j)H.ds = rotH.df.
с
Это выражение должно совпадать в силу исходного предположения
(8) с выражением:
С С
Так как это соотношение должно выполняться для любого
элемента поверхности, то для стационарных и медленно меняющихся
полей:
в системе СГС в системе МКСА
(9)
rot Н = —- = — оЕ
rot Н = оЕ
Такова дифференциальная форма этого закона. Векторная
форма этих уравнений указывает на совпадение линий тока (т. е.
линий, касательные к которым совпадают с направлениями вектора j)
с линиями вектора rot H. Так как дивергенция ротора всегда
равна нулю, линии тока нигде не могут начинаться и оканчиваться,
они должны замыкаться в конечной области или на бесконечности.
В случае электростатического поля задача состояла в том,
чтобы определить безвихревое векторное поле по его источникам
(заданному распределению зарядов). Решение этой задачи
облегчалось введением электростатического потенциала, который легко
вычислить, интегрируя по источникам поля. Здесь же
рассматривается иная задача — вычисление поля без источников по
распределению вихрей (в нашем случае токов). Эта задача тоже
облегчается введением вспомогательной величины, которая является
уже не скаляром, а вектором и называется векторным потенциалом
А. Положим:
H = rotA. (10)
Тем самым сразу учитывается отсутствие источников у магнитного
поля. Дальше, согласно формуле (98) (стр. 44):
rot Н = rot rot A = grad div A — А А = -^-. (11)
Без ограничения общности можно положить div А = 0.
Действительно, если это не так, то, не меняя Н, можно добавить к А такой
безвихревой вектор Alt который имеет те же источники, что и А,
но с противоположным знаком (т. е. rot Ах = 0 и div А, = — div A,
тогда А' = А + At удовлетворяет условию div А' = 0 и rot А' = Н).
305
Для векторного потенциала получится то же самое
уравнение, что и в электростатике для скалярного потенциала:
ДА = —^lf (12)
с
в компонентах:
ДЛГ = _1^, Д4„ = -4-^, Д4 = -^ 03)
С С С
(см. стр. 44). Но решение уравнений (13) известно из
электростатики. Если мы имеем дело лишь с пространственно распределенными
токами (поверхностные токи, соответствующие поверхностным за*
рядам, мы пока исключим из рассмотрения), то решение гласит:
*•-№•*>-№■*•-№• (14>
Записывая его в векторной форме, получим:
(15)
_ Г id
JS
При помощи этого уравнения легко вычислить поле линейного
проводника с током. В проводнике вектор j направлен вдоль qch
проводника. Поэтому, вводя направленные линейные элементы
проводника ds и обозначая площадь его сечения через q, получим:
j dx = qd$. (16)
Я
Таким образом,
так как / во всем проводнике имеет одно и то же значение. Интеграл
следует взять по всем элементам ds проводника. Чтобы найти
напряженность магнитного поля Н в точке Р, надо образовать ротор А.
При этом дифференцируются координаты «точки наблюдения» Р,
т. е. конца радиуса-вектора г, проведенного от каждого элемента
ds к точке Р. Таким образом, переменные, по которым
производится интегрирование и дифференцирование, совершенно не зависят
друг от друга. Поэтому:
H = lrotj^=Jlrot^==Jj(gradixds\ = J^^.(18)
В системе МКСА в правой части уравнения (12) отсутствует
множитель 4гс/с. В этой системе
Нмкса= {^г^~. (Щ
зое
Здесь г0 — единичный вектор в направлении от элемента
проводника ds к точке Р. Это уравнение можно интерпретировать так:
каждый элемент проводника с током вносит в напряженность поля
/ *is V г
вклад — . Но это и есть закон Био — Савара, согласно кото-
с г2
рому напряженность магнитного поля, создаваемого элементом ds
проводника с током / в точке Р, перпендикулярна к плоскости,
образованной вектором ds и радиусом-вектором г, проведенным от ds
n / ds . sin ft
к Р, и равна по величине -— .
Далее, нетрудно показать, что замкнутый линейный ток
(например, круговой ток) создает такое же магнитное поле, какое
создал бы двойной магнитный слой произвольной формы («магнитный
листок») с плотностью магнитного момента //с, опирающийся на
контур тока1.
Для этого надо воспользоваться несколькими преобразованиями
из векторного анализа, причем необходимо внимательно следить
за тем, что варьируется: положение «точки наблюдения» Р или
создающего поле элемента проводника ds. Все производные,
относящиеся к смещению точки Р, обозначим индексом а, производные же,
относящиеся к смещению элемента проводника, — индексом q.
Напомним, что grad^ f (г) = — grad^ / (г) (см. стр. 285). Найдем
сначала выражение для векторного потенциала в точке Р, для чего
воспользуемся одним следствием теоремы Стокса. Пусть и —
скалярная функция точки и требуется перейти от линейного интеграла
tyuds к поверхностному. Умножим интеграл на произвольный
постоянный вектор а и преобразуем его, воспользовавшись теоремой
Стокса и формулой (89) (стр. 43):
a^p«ds= (pu^ds = J rot («a).df = j (gradw X a).df»
~a>j df x grad«.
Так как вектор а совершенно произволен, то справедливо равенство
(р uds = J df x gradtt.
Применим это равенство к векторному потенциалу (17), причем
следует иметь в виду, что точка Р у нас фиксирована, так что все
производные берутся по координатам элемента проводника.
Тогда
A = ^^=^jdfxgrad^ = ^-J(nxgrad,-1-) d/.(19)
1 Магнитный двойной слой определяется так же, как электрический
(см. стр. 277).
307
Чтобы найти поле Н, надо взять rot А по координатам точки Р:
н = -f rotaj( nxgr4-7)d/==7~j'ro4n xgr4T)d/ =
■^гоЦпх graded/. (20)
—/
с
Выражение под знаком интеграла можно преобразовать,
воспользовавшись оператором V:
rote(nXgrada-i-)=:VaX (nx Ve-J-) = n(v«- Vej) -
-Va(n.Va-f).
Ho Va • V„— = Д«— = 0. Поэтому
H = +Jgrada(+-i-n.gradaJ_jd/ = -grad.J(^-^-r)dA (21)
Таким образом, в этом случае магнитное поле обладает потенциалом:
где г — радиус-вектор, проведенный от элемента поверхности,
опирающейся на контур, к точке Р. Сравним формулу (22) с формулой
(290 Для потенциала двойного слоя (стр. 277). Это сравнение
показывает, что магнитный момент, приходящийся на 1 см\ по
величине составляет 1\с\ нормали п к поверхности, определяющие
направление диполей на магнитном листке, ориентированы так, что, если
смотреть на контур вдоль направления п,ток в нем,представляется
идущим по часовой стрелке. В системе МКСА дипольный момент,
приходящийся на 1 м2, составляет |х0/.
Однако потенциал срт имеет различные значения на разных
сторонах поверхности, потому что при полном обходе вокруг
проводника с током интеграл фн -ds должен принимать значение — /, а
вклад сколь угодно малого отрезка ds, пересекающего двойной слой,
исчезающе мал. Это подтверждает найденный на странице 278
результат, согласно которому потенциал двойного слоя испытывает
скачок на 4тс'рт| при переходе через этот слой. Итак, результат, вы*
ражаемый формулой (21), можно сформулировать следующим
образом.
Магнитное поле замкнутого тока эквивалентно полю магнит-
ного двойного слоя. Поверхность, занятая двойным слоем, может
иметь произвольную форму, лишь граница ее обязана совпадать
308
с контуром тока. Указанная эквивалентность полей нарушается в
точках, лежащих на самой поверхности; при переходе через нее
магнитный потенциал двойного слоя изменяется на 4я|рда|.
Задачи
85. При геомагнитных измерениях на линии Нью-Йорк — Англия —
Нью-Йорк обходили контур, ограничивающий площадь в 13,1 • 106 км2,
против часовой стрелки, если смотреть по направлению к центру Земли. При
этом оказалось, что (j)H»ds == — 64 • 104 э*см. Что это означает?
86. Вычислить магнитное поле внутри и гне бесконечного
прямолинейного цилиндрического проводника радиуса /?, если вдоль него течет ток /.
87. Показать, что векторный потенциал А, соответствующий
однородному магнитному полю Н = Як, имеет вид:
А = --»-* ДО-*»-
§ 3. Вычисление магнитного поля токов
в присутствии ферромагнетиков
Опыт показывает, что линейный интеграл ф Н • ds, взятый по
любому замкнутому пути, охватывающему проводник с током,
принимает значение —/ив том случае, если пространство вокруг про-
с
водника заполнено средой (однородной или неоднородной) с
магнитной проницаемостью р, отличной от единицы1. Отсюда следует,
что уравнение (9) не зависит от магнитной проницаемости среды.
Это в свою очередь означает, что в отличие от электростатики, где
напряженность поля заряженных тел при заполнении пространства
средой с диэлектрической проницаемостью е уменьшалась в е раз,
напряженность магнитного поля токов остается неизменной при
заполнении всего пространства средой с магнитной проницаемостью
{л. Но так будет лишь при заполнении всего пространства (см. ниже).
С другой стороны, при формальном перенесении результатов
электростатики напряженность магнитного поля фиктивных
«магнитных зарядов» или диполей в среде с магнитной проницаемостью
р. уменьшается в [х раз. Поэтому в случае кругового тока в среде с
проницаемостью р., чтобы поле Н не изменилось, должна
увеличиться плотность магнитных диполей на эквивалентном магнитном
листке в \х раз, т. е. приписать магнитному листку плотность дипольного
момента — (в системе МКСА |А|х07).
с ^
Если же заполнить ферромагнетиками лишь отдельные части
пространства, то и в магнетостатике обнаружится изменение
напряженности поля, причем весьма значительное вследствие
больших значений магнитной проницаемости. В силу независимости
р. заметно отличается от единицы только у ферромагнетиков.
309
уравнения (9) от среды измененное поле Н и поле в пустоте Н0 имеют
одни и те же вихревые линии, а именно линии тока (линии
векторного поля j). Поэтому добавляющееся к Н0 поле Н~Н0
—безвихревое и может быть представлено как градиент скалярного
потенциала. Естественно предположить, что этот скалярный
потенциал — просто потенциал диполей намагниченных тел. В обычном
случае, когда отдельные ферромагнитные тела с однородными про-
ницаемостями граничат с воздухом, это предположение можно
доказать так. Хотя, согласно сказанному в§ 1, пространственная
дивергенция Н отсутствует, однако имеется отличная от нуля
поверхностная дивергенция на граничных поверхностях. Она
обусловливает распределенные по поверхности «свободные» магнитные
заряды с поверхностной плотностью от' согласно соотношению
Div Н- Div (Н — Н0) = 4хот'.
(Поле в пустоте не имеет источников, поэтому Div H0 -равна нулю.)
С другой стороны, поскольку пространственные источники
отсутствуют, то
div H = div (H — Н0) = — div grad<pm == — Асрот = 0.
Решение этого уравнения известно из электростатики. Когда
имеются только поверхностные источники, решение имеет вид:
Так как Div В всегда равна нулю (отсутствие истинных магнитных
зарядов), то
Div J = — — Div H » — а '
4я т
Таким образом, потенциал дополнительного поля имеет вид:
Г DivJ л*
Интегрирование производится по поверхности всех
ферромагнетиков. Так как последняя состоит из отдельных замкнутых
поверхностей, то дополнительный потенциал имеет вид, приведенный в
конце § 2, гл. II для электростатического случая. При помощи
формул (12) и (13) (стр. 285 и 286), используя приведенные там
рассуждения в обратном порядке и применяя теорему Гаусса, можно
представить этот потенциал в виде интеграла по объемам, занятым
ферромагнетиками:
«.—Еф^-Е^-Е^'*- <24>
Но последнее выражение представляет собой как раз потенциал
диполей намагниченных тел.
310
Если бы поле, вызывающее намагниченность J, не менялось от
присутствия ферромагнетиков, то определение его было бы простой
задачей. Тогда можно было бы по распределению токов вычислить
сначала поле в пустоте Н0, а затем по нему определить
намагниченность внесенных в него тел и, наконец, рассчитать отсюда
дополнительное поле диполей. Но получаемый таким путем результат
принципиально неверен. Это видно уже из рассмотренного в
электростатике примера (шар в первоначально однородном поле).
Согласно уравнению (23) (стр. 288), поле,
определяющее намагниченность, будет уже
не Н0, а
Н, = -2-Н» (25)
(л + 2
т. е. при (а = 2000 всего лишь 0,15%
от Н0!
Как и в электростатике (см. гл. II, § 3),
точное вычисление поля возможно лишь
для тел простой формы. Практически
важный случай—поле между полюсами
кольцеобразного электромагнита —
приближенно вычисляется иным путем. Рассмотрим
простой случай, когда кольцо из
ферромагнитного материала равномерно
покрыто обмоткой с током (рис. 98). Из соображений симметрии ясно,
что силовые линии магнитного поля могут быть лишь
окружностями с центрами на оси симметрии кольца. Если взять интеграл ф Н • ds
по окружности Ки лежащей вне обмотки, то он равен нулю,
потому что контур Kt не охватывает ни одной линии тока; точно так
же обстоит дело для контура /(2 во внутреннем просвете кольца, Но
при обходе окружности внутри обмотки каждый из п ее витков
охватывается по одному разу, поэтому интеграл по замкнутому
контуру равен —— . Следовательно, поле ограничено пространст-
с
вом внутри обмотки, где величина его составляет;
Рис. 98. Кольцевой
магнит.
Я = hUL = Н ъ в системе МКСА Я = — ; (26)
— 2п ас ас 2жа
а — средний радиус кольца. Здесь особенно наглядно виден смысл
единицы напряженности поля в системе МКСА : — — число
2гса
ампервитков (ав) на 1 м. Если сечение кольца мало по сравнению
с его диаметром, то поле внутри кольца приблизительно
однородное. Пусть теперь в железном кольце вырезана щель ширины 1а.
Каково поле На в этой щели? Если допустить, что силовые линии
311
сохраняют форму окружностей, то На легко вычислить. Но в
действительности имеет место значительное рассеяние поля, т. е.
вблизи щели поле уже не ограничено кольцом, а выходит за его пределы.
Если отвлечься от этого рассеяния, то вследствие непрерывности
нормального компонента В на границе железо — воздух
Р Hi = Ha. (27)
С другой стороны, интеграл по контуру от напряженности
магнитного поля равен:
t,Ht+iaHa= liZz + iji.-tzzL^
где lt — длина той части круга, которая проходит в железе.
Отсюда
На = 4** 1 Iе т (28)
'*+ —
\>-
Измеряемое в действительности поле На вследствие рассеяния
будет меньше вычисленной выше приближенной величины На.
Отношение HJHa называется коэффициентом рассеяния.
Поток силовых линий через воздушный зазор с площадью
поперечного сечения q равен:
Фо^Над=,-±^
lg j ч_
Я И
В электротехнике эта формула употребляется как формальная
аналогия закона Ома, причем величина 4кп1/с (в системе МКСА
просто л/, т. е. число ампервитков) называется «магнитодвижущей
силой», а стоящее в знаменателе выражение — «магнитным
сопротивлением». Хотя эта аналогия формальна, однако она дает основное
правило для расчета «магнитных цепей». Например, если магнито-
провод состоит из нескольких последовательных частей с
различными сечениями qJf то для приближенного вычисления магнитного
потока надо в качестве магнитного сопротивления взять
выражение У-^-.
^V/ Я/
§ 4. Пондеромоторные силы, действующие на проводник с током
в магнитном поле
Определение сил, действующих на проводники с током в
магнитном поле, существенно облегчается теоремой, выведенной в
§ 2 и 3. Согласно этой теореме, замкнутый ток в среде с магнитной
312
проницаемостью ц ведет себя как магнитный листок, покрытый
диполями с плотностью — , направленными по нормали к поверх-
с
ности (направление нормалей определяется направлением текущего
в контуре тока, см. стр. 308). При помощи формул, выведенных в
электростатике (гл. III), можно определить силу, действующую на
листок, как силу, с которой поле действует на совокупность
диполей. Эту силу можно получить даже из потенциала, хотя, как
увидим ниже, этот потенциал не имеет ничего
общего с полной энергией поля. Применим этот
способ к двум важным случаям.
1. Найдем момент сил, действующих в
однородном поле на катушку с п витками
(гальванометр с вращающейся катушкой, рис. 99). Если
через катушку течет ток /, то магнитный момент рт
рт катушки В воздухе Составляет —±- , где /— Рис. 99. Катушка'
с с током в магнит-
площадь витка. Направление магнитного мо- нэм поле.
мента перпендикулярно к плоскости витков.
Если это направление составляет с полем Н угол Ь, то, согласно § 1,
гл. III, момент сил имеет величину:
М = —^tfsinft (29)
с
и направлен так, что стремится вернуть катушку к устойчивому
положению равновесия рт\\ Н. Противодействующий момент
создается обычно кручением нити подвеса. Если катушка без тока имеет
положение покоя при Ь = — , то момент М
будет максимальным. При малых отклонениях от
этого положения можно положить ' sin fr ^ 1.
Так как момент, возникающий при
закручивании нити, пропорционален отклонению а =——fr
Рис. юо. Скользя- то вблизи положения равновесия
щии участок про- г
водника с током в го
магнитном поле. Da, = —-— /, (29')
с
(
где D — возвращающий момент. Таким образом, при
сделанных предположениях угол отклонения катушки пропорционален
току.
2. Вычислим силу, действующую на подвижный отрезок
проводника в магнитном поле. Представим себе, что в цепи имеется
маленький скользящий участок ds (рис. 100). Определим силу,
действующую в однородном магнитном поле Н на этот участок. Сог-
313
ласно формуле (26) (стр. 289), в воздухе 0*« 1) энергия
«магнитного листка», эквивалентного всей цепи, равна:
(/-— — Гн-df = — — Н . Гdf = — — H.f.
с J с J с
(30)
Так как магнетостатическая энергия при равновесии имеет
минимум, то сила действует так, чтобы магнитный поток через
поверхность листка имел возможно большее значение. Следовательно, на
рисунке 100 сила обусловливает смещение скользящего участка
вправо. При малом изменении площади, происходящем при
смещении участка ds на 8а, энергия изменяется на
с
H.Sf.
Но вектор 8f можно представить как векторное произведение 8а х
X ds (порядок множителей должен быть именно таким, чтобы по*
лучилось правильное направление нормали). С другой стороны, при
таком смещении сила производит работу, равную уменьшению
потенциальной энергии, т. е. пропорциональную увеличению площади;
F . 8а = — 8£/ = + -L Н * (8а X ds) - —(ds X Н) . 8а.
Отсюда сила равна:
F =
ds X Н = — j X Hdx.
(31)
Эта сила стремится увеличить или уменьшить площадь контура в
зависимости от направления тока. Она действует, конечно, всегда,
независимо от того, могут ли перемещаться участки цепи или они
закреплены. Поэтому при очень сильных токах в катушках
возникают значительные силы сжатия, вызванные их собственным
магнитным полем.
Если магнитная проницаемость среды равна \ь, то магнитный
момент на единицу площади эквивалентного магнитного листка в р.
раз больше, чем в воздухе (см. § 3), и в формулах (30) и (31) появится
дополнительный множитель ^, т. е. сила равна:
в системе СГС
в системе МКСА
F= Ji-jxHdx
F = |i|x0j X Hdx
(31')
Хотя при вычислении сил можно заменить замкнутый ток
магнитным листком, следует остерегаться отождествлять используемую
здесь потенциальную энергию (30) с энергией поля. Дело в том, что
при перемещении проводника в поле появляется новое явление,
рассмотренное в следующей главе,—«индуктированное» напряжение,
314
которое ослабляет ток. Для поддержания постоянного значения
тока нужно подводить энергию, и в конечном счете при постоянном
значении / полная энергия поля «случайно» оказывается
увеличенной как раз на такую величину, на какую должна была
уменьшиться магнетостатическая потенциальная энергия, согласно
приведенным выше вычислениям.
Задача
88. В момент t = 0 через гальванометр с вращающейся катушкой в
коротком импульсе тока прошло количество электричества е. Найти
максимальное отклонение. (Начальная скорость определяется интегралом от силы
за время прохождения импульса тока.)
Глава VI
МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИЕСЯ ВО ВРЕМЕНИ
(КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ) ПОЛЯ
Определение квазистационарных полей
Все рассмотренные до сих пор электрические и магнитные поля
не зависели от времени. Теперь мы перейдем к рассмотрению
меняющихся во времени полей. В этой главе будут рассмотрены
сравнительно медленно меняющиеся поля, имеющие большое
практическое значение. Как будет показано в следующей главе,
электрические поля распространяются со скоростью света. Но если
рассматривать, с одной стороны, не слишком быстрые изменения, а с другой—
не слишком большие размеры системы, то можно считать, что
состояние поля в каждой точке пространства соответствует
мгновенному распространению поля. Соотношения, полученные при
этом предположении, во всяком случае, верны в области
технических переменных токов (от 10 до 1000 гц).
§ 1. Закон электромагнитной индукции
(второе основное уравнение электромагнитного поля)
Пусть имеется замкнутый линейный проводник в магнитном
поле и магнитная проницаемость окружающей среды равна |х. Если
поле Н меняется, то, как известно из курса экспериментальной
физики, по проводнику течет «ток индукции». Следовательно, в
проводнике существует электрическое поле Е. Так как взят линейный
проводник, то Е направлено вдоль линейных элементов ds. Линейный
интеграл (р Е . ds с направлением обхода контура, совпадающим,
скажем, с направлением Е, не может быть равен нулю, потому что
подынтегральная функция не меняет знака. Таким образом, мы
впервые встречаемся с электрическим полем, которое не является
безвихревым. Величина интеграла ф Е . ds называется индуциро-
315
ванной электродвижущей силой (э. д. с). Причина такого
названия заключается в следующем. Пусть удален малый участок
проводника между точками Рг и Р2. Тогда работа, которая необходима для
перенесения единичного заряда против поля из Р2 в Pv составляет:
-л-$
Е • ds
(потому что длина удаленного отрезка Р{Р2 предполагается исче-
зающе малой). Между точками Рг и Р2 имеется, следовательно,
разность потенциалов (напряжение) указанной выше величины,
которая может привести, например, к искровому пробою промежутка
РХР2. Закон электромагнитной индукции (основанный на опыте!)
гласит: индуцированная э. д. с. пропорциональна скорости
уменьшения потока магнитной индукции через поверхность,
ограниченную контуром проводника. При этом предполагается обычное
соответствие между нормалью к поверхности, ограниченной контуром,
и направлением его обхода. Поэтому закон индукции
математически формулируется так (в системе СГС коэффициент
пропорциональности равен 1/с, где с — электродинамическая постоянная1:
В практической системе единиц напряжение измеряется в в, а
скорость изменения магнитного потока — в а • м/сек. Поэтому в
формулу должна войти новая размерная магнитная постоянная [х0,
численное значение которой равно1:
{л0= 1,256. Ю-6 tLE^
а • м
Таким образом, закон индукции в системе МКСА имеет вид:
фе.л = -А|м1Н.л. (ia)
При помощи теоремы Стокса интеграл по контуру <£ Е • ds
преобразуется в поверхностный интеграл:
(j)E.ds=s Crot E.df = — ii.(VH.df. (2)
Для покоящихся тел интегрирование по координатам и
дифференцирование по времени независимы, поэтому
Г rotE. df = — i- fA^Hj.df. (3)
Так как это уравнение справедливо для любой поверхности, то
подынтегральные выражения в обоих поверхностных интегралах
1 См. сноску на странице 270.
316
должны быть равны. Отсюда получается второе основное
уравнение электромагнитного поля:
в системе МКСА
(П)
rotE
в
=
системе
с dt
сгс
= —
1
с
дВ
dt
rotE = -(Mi0^
ot
В теории Максвелла предполагается, что это индуцированное
электрическое поле имеется в пространстве и тогда, когда в нем нет
проводника, так что его нельзя обнаружить непосредственно по
напряжению, возникающему на концах проводника. Таким образом,
теория Максвелла приписывает уравнению (II) универсальное
значение.
Задача
89. Вычислить ток индукции, возникающий в результате движения
катушки гальванометра, а также вызванное им затухание колебаний катушки.
§ 2. Взаимная индукция и самоиндукция
а) Вычисление взаимных индуктивностей.
Пусть имеются два контура с токами. Ток, текущий в контуре /,
создает магнитное поле Hlf силовые линии которого пересекают
контур 2. Если ток 1Х меняется, то в контуре 2 индуцируется э. д. с,
равная:
9,-фЕ..*, — f-Jf •«*" fifH,.dlr (4)
Если во всем пространстве имеется однородная среда с магнитной
проницаемостью ц, то Нх можно получить, согласно § 2, гл. V, из
векторного потенциала:
H^rotA,, A1=-LCMl = A(f)^L.
С J Г12 С J Г12
1 1
Отсюда по теореме Стокса:
J4 . di2 = Jrot A, • dtt = фА, • ds2 = Афф^Ь. (5)
2 1 2
Таким образом, в контуре 2 индуцируется э. д. с. :
„,_$*,.*,_ _ifi^*£*. (6)
Величина ^фф^_^('в системе МКСА fg ф ф **' *» ) ,
зависящая только от геометрического расположения контуров и
магнитной проницаемости среды, называется взаимной индуктив-
317
частью (коэффициентом взаимной индукции) (в системе МКСА она
измеряется в генри, гя). Формула (6) примет вид:
£a = <|)E2-ds2=-L12^. (60
Так как в выражение для L12 оба контура с током входят
совершенно симметрично, то, вычисляя э. д. с. %19 индуцированную в
контуре 1 при изменении тока, текущего в контуре 2, получим:
L12 = L2V (/)
б) Самоиндукция. Рассмотрим теперь один контур с
током. Изменение тока в нем приводит к изменению магнитного
потока через поверхность, ограниченную контуром. Вследствие этого,
согласно второму основному уравнению электромагнитного поля
(стр. 317), в контуре индуцируется э. д. с. По аналогии с
определенной выше взаимной индуктивностью определим индуктивность
контура (коэффициент самоиндукции) как положительную величину
L1V зависящую от формы контура и проницаемости окружающей
среды, которая удовлетворяет уравнению
фЕ.& = -1и^.. (8)
Здесь тоже справа должен быть отрицательный знак, потому что
направление индуцированного поля при увеличении тока /
противоположно существующему току. Это утверждение называется
правилом Ленца. (Если бы было наоборот, то в результате
самоиндукции существовавший первоначально ток усиливался бы, в свою
очередь была бы индуцирована еще большая э. д. с. и ток
непрерывно нарастал бы.)
Если при вычислении индуктивности контура поступать таким
же образом, как при вычислении взаимной индуктивности, т. е.
определять поле, создаваемое другими элементами проводника в
месте нахождения рассматриваемого элемента проводника ds, и,
интегрируя затем по всем элементам проводника, находить
индуцированную при изменении тока э. д. с. , то полученные при этом
формулы будут иметь весьма ограниченную применимость. При
вычислении взаимной индукции можно было рассматривать
проводники как линейные, потому что расстояние между контурами
предполагалось большим по сравнению с поперечными сечениями
проводников. В случае самоиндукции расстояния могут быть и весьма
малыми. Поэтому ток, текущий в контуре У, приходится разлагать
на отдельные нити тока и учитывать взаимное влияние этих нитей.
Вычисление индуктивности оказывается поэтому более трудоемким,
чем вычисление взаимной индуктивности. За деталями читателю
следует обратиться к более подробным учебникам1.
1 См., например, И. Е. Т а м м, Основы теории электричества, Гостех-
издат, 1956, стр. 240. (Прим. перев.)
318.
В случае катушек речь идет в основном о магнитном поле,
создаваемом другими витками в том месте, где находится
рассматриваемый виток, так что нет надобности разлагать ток на нити тока.
В этом случае индуктивность легко вычислить с достаточной
точностью несколько иным способом. Пусть имеется длинная катушка
с п витками, свернутая в виде кольца (см. рис. 98). Длина катушки
/, ее поперечное сечение q предполагается малым по сравнению с
радиусом кольца а» В этом случае, согласно формулам на странице
311, поле внутри катушки равно:
тт 4жп1 4жп1
2%ас 1с
Если ток меняется, то потокосцепление, т. е. магнитный поток,
умноженный на число п витков, тоже меняется, и это изменение
составляет в секунду:
д С u At № дН „ 4кп dl
dt У dt ' v dt ' ч Ic dt
(Интеграл здесь и в следующей формуле включает и суммирование
по всем п виткам.)
Таким образом, индуцированная э. д. с. равна:
X с* I dt
Следовательно, индуктивность кольцеобразной катушки равна:
L = 4J^ (в системе МКСА L = ^^) . (9)
Этот результат можно считать приближенно верным и для
достаточно длинной прямой катушки. Приближение состоит в том, что при
этом пренебрегают искажением однородного поля на концах
катушки.
в) Преобразование выражения для
энергии магнитного поля. Энергия системы линейных
проводников стоком определяется в основном энергией магнитного поля,
создаваемого токаГми, текущими в проводниках.
Электростатической энергией в таких случаях можно пренебречь ввиду малой
напряженности электрического поля. Выражение для магнитной
энергии при помощи понятий индуктивности и взаимной индуктивности
можно привести к очень удобной форме. Будем исходить из формулы
^J-jVHPdT, (10)
(стр. 303). Пусть пространство заполнено однородной средой с
магнитной проницаемостью р. (Окончательное выражение будет спра-
319
ведливо также и в том случае, когда среда неоднородная, т. е.
(а является функцией координат.) Н не имеет источников в
однородной среде, а р-Н не имеет их нигде. Поэтому можно положить:
Н = rot A.
Согласно сказанному на странице 43, Hrot А=A. rot Н + div (A X
X Н). Подставим это выражение в (10) и преобразуем второй
интеграл в поверхностный, взятый по сфере бесконечно большого радиуса.
А убывает с расстоянием как — (см. стр. 306), следовательно,
rot А убывает как—. Поэтому интеграл обращается в нуль. В
результате имеем:
£/w = -i^jA.rotHdx= -g-J A.jdx. (11)
Если имеются только линейные проводники, которые должны быть
замкнутыми, так как по ним течет ток, то из (11) следует:
k
где Ik — ток в &-м проводнике. Разложим теперь векторный
потенциал А в области k -го контура на части А1? А2,..., которые
создаются отдельными токами (в том числе также и &-м током). Тогда, в
силу уравнения (5) и определения индуктивности и взаимной
индуктивности:
& А, .*, = -*- Lik /, и $ А, . dsk = -*- LkkIk. (12)
Окончательно получается:
+ L22P+2L23/a/3+ ... +LnnIl)
. (13)
Задачи
90. Заряд — e вращается по окружности радиуса а вокруг
неподвижного заряда + е. Определить энергию, которую получает система, если
включить магнитное поле Н. Считать, что направление поля составляет угол
I дН I
Ь с нормалью к орбите (для облегчения решения принять — = const).
I М I
91. Вычислить взаимную индуктивность двух коаксиальных
проволочных контуров с радиусами ах и а2, центры которых расположены на
расстоянии г друг от друга.
92. Показать, что для двух проводников всегда Ln L22 > ^?2. •
320
§ 3. Стационарные цепи переменного тока
Спустя некоторое время после включения тока в цепи, к
зажимам которой приложено периодическое напряжение,
устанавливается стационарный процесс периодического изменения тока. Для
такой цепи переменного тока введение комплексных сопротивлений
дает возможность формально распространить на нее законы Ома
и Кирхгофа, имеющие место для цепей постоянного тока.
\ Пусть к зажимам цепи с последовательно включенными
омическим сопротивлением R и индуктивностью L приложено
переменное напряжение V. К приложенному напряжению добавляется еще
напряжение, вызванное самоиндукцией, т. е.
V — L— = IR. (14)
dt
Если величиной R можно пренебречь, то
V = L%. (14')
Будем рассматривать чисто периодические процессы:
V = V0e*»*9 I = I0e^. (15)
Тогда
dl » .j. .
— = iwLel03t = ml
dt °
V = ЫЫ. (16)
Из сравнения этого соотношения с законом Ома видно, что
формально можно считать индуктивное сопротивление равным шЬ. Но
какое физическое значение имеет это мнимое индуктивное
сопротивление? ЕЬли на векторной диаграмме (см. стр. 53) вектор тока
отложить в положительном направлении по вещественной оси, то
в силу (16) вектор напряжения будет направлен в положительном
направлении по мнимой оси. Это значит, что в цепи, состоящей
только из индуктивности, фаза напряжения опережает фазу тока
на — . Амплитуда тока, согласно (16), при данной амплитуде
напряжения V0 составляет
/• = 7i. (17)
Таким образом, вещественное индуктивное сопротивление RL
равно L&.
Если цепь вместо индуктивности содержит емкость, то в случае
постоянного напряжения, после кратковременного тока зарядки
10* Г. Иос
321
при включении напряжения, никакого тока не будет. В случае
переменного напряжения возникает периодическая зарядка и
разрядка конденсатора и идет переменный ток, для которого тоже
можно указать мнимое сопротивление, соответствующее емкости. Так
как ток / равен количеству электричества, протекающему через
поперечное сечение цепи в единицу времени, то заряду,
накапливающийся в конденсаторе, определяется интегралом по времени
t
\ I dt, если считать, что в момент / = О конденсатор разряжен.
о
Тогда напряжение на конденсаторе, которое должно быть равно в
каждый момент напряжению на зажимах цепи, если пренебречь
сопротивлением подводящих проводников, составляет:
t #
V = — Г ./#, или — = —. (18)
С J dt С * '
о
В случае синусоидального напряжения — = iw и
dt
v=h- <19>
Сопротивление емкости для переменного тока составляет,
следовательно, 1/ЫС1. Так как в этом случае i стоит в знаменателе, что
соответствует —i в числителе, то напряжение отстает по фазе от
тока на тс/2.
Если пользоваться комплексными сопротивлениями для
самоиндукции и емкости, то все цепи переменного тока можно
рассматривать совершенно так же, как и цепи постоянного тока. Нужно
лишь в конце вычислений начертить векторную диаграмму для
тока и напряжения и определить из нее соотношения между
амплитудами и фазами тока и напряжения. В качестве примера
рассмотрим цепь, в которой последовательно включены омическое
сопротивление, индуктивность и емкость. По закону Кирхгофа
V = VR+VL+VC =l(R + mL + ±). (20)
Если отложить на векторной диаграмме / в положительном
направлении вдоль вещественной оси, то VL будет направлена по мнимой
оси вверх, a Vc — по мнимой оси вниз. Амплитуда напряжения по
абсолютной величине равна:
Уо=Л,/яа+(«>*—if (21)
1 Вещественное емкостное сопротивление Rc равно 1/соС. (Прим. ред.)
322
(см. рис. 101). Фаза напряжения опережает фазу тока на угол <р,
тангенс которого равен:
О) С
tg? = о (22)
1
Амплитуда тока, при напряжении У0 на зажимах цепи, равна:
/о =
/^2+K-i)J
(23)
Если учитывать только амплитуды, то полное сопротивление цепи
составляет, следовательно,
Это сопротивление достигает минимального
значения при
o)L
1 2 1
— ИЛИ (D2 = .
М"^'
/?/
(24)
Рис. 101. Векторная
диаграмма тока и напряже-
В этом случае исчезает сдвиг фаз между V ния в цепи переменного
и /, что соответствует резонансу. Действи- тока,
тельно, в следующем параграфе будет
показано, что при этом частота напряжения, приложенного к
зажимам цепи, совпадает с частотой собственных колебаний контура,
состоящего из индуктивности и емкости.
Для вычисления мощности, т. е. работы, производимой током за
секунду, воспользуемся вещественной частью наших уравнений:
V = V0 cos ш/, / = /0 cos (о>/ — <р).
(25)
Мгновенная мощность Wt в момент / равна:
Wt = VI = К0/о cos со * cos (urf — 9). (26)
Большой интерес представляет, однако, усредненная по времени
мощность W {активная мощность). Для этого достаточно
вычислить среднюю мощность за период:
cos uit cos (mt — <f) = — I (cos Ы cos ш/ cos <p -f- cos Ы sin o)^ sin <f) Л =
COS ф
2
Итак, активная мощность равна:
W = -^V0I0cos,
IQ2*
(27)
(28)
323
Следовательно, при чисто индуктивном или чисто емкостном
сопротивлении ||<р|=— \ электрическая энергия не расходуется.
Поэтому переменные токи целесообразно регулировать не при помощи
сопротивлений, а при помощи индуктивностей (дросселей).
Сходство уравнения (28) с выражением для механической
работы (произведением силы на путь и на косинус угла между ними),
которое особенно бросается в глаза на векторной диаграмме,
глубокого смысла не имеет, но полезно как мнемоническое правило.
Задачи
93. Вычислить сопротивление переменному току цепи, состоящей из
параллельно включенных индуктивности и емкости.
94. Показать, что колебательный контур, содержащий в качестве
индуктивности катушку с железным сердечником, представляет собой
ангармоническую систему, к которой применимы результаты, полученные на странице
102 и далее.
§ 4. Нестационарные состояния (переходные процессы)
в цепях переменного тока
Соотношения между током и напряжением в цепях переменного
тока, полученные при помощи векторной диаграммы, относятся к
стационарному состоянию, устанавливающемуся спустя некоторое
время после включения напряжения. Для описания переходных
процессов, происходящих при включении напряжения и зависящих от
начальных условий, способ рассуждений, использованный в § 3,
неприменим, поскольку в нем не содержится никаких постоянных
интегрирования, подбирая которые можно было бы удовлетворить
начальным условиям. С математической точки зрения решения,
соответствующие стационарному состоянию, являются частными
решениями, поэтому следует найти общие решения. Рассмотрим
последовательно несколько систем, переходя от более простых к более
сложным.
а) Свободный колебательный контур,
состоящий из емкости и индуктивности. Заменим
напряжения на емкости и индуктивности выведенными в §3
выражениями этих величин через производную и интеграл от тока. Для
?случая, когда омическим сопротивлением можно пренебречь,
dt * С J
Idt = 0. (29)
Дифференцируя по /, получим дифференциальное уравнение
колебаний, хорошо известное из механики:
L — + — / = 0. (30)
324
Общее решение его имеет вид:
/ = aei»J ^_ ье-ы^ ^31)
где
(32)
1
О), =
/1С 1 #
Мы получили формулу Томсона для частоты свободных
незатухающих колебаний в контуре. В вещественной записи
/ = A cos %t + В sin о)</, (ЗГ)
или / = /0 cos (%t — <р).
б) Свободный колебательный контур с
затуханием (с омическим сопротивлением). В
случае, когда омическим сопротивлением пренебречь нельзя,
дифференцирование первоначального уравнения дает:
L^_i_#^4~—/ = 0. (33)
dt2 l dt l С Х }
И это дифференциальное уравнение тоже хорошо известно из
1 R2
механики. Полученное там общее решение при — > — в
вещественной записи имеет вид:
I=Ae 2Lcos(u)07 — ?). (34)
Амплитуды колебания убывают по экспоненциальному закону,
вследствие чего колебание называется затухающим. Частота
затухающих колебаний ш0' меньше собственной частоты незатухающих
колебаний:
V = V — — — < ">о = V — (ЗЕ)
Отношение двух последовательных максимальных значений тока
одного знака, в силу основного свойства показательной функции,
является постоянным и носит название декремента затухания тока.
Обычно пользуются его натуральным логарифмом, который
называется логарифмическим декрементом затухания:
eXP(^JzQ __g_, *-2*
ехр[- £ (/+,)]
= 1П______Х_ = — т = —;. (36)
Если затухание не слишком велико, то можно положить период
колебания равным периоду незатухающего колебания; тогда для
11 Г. Иоо
325
логарифмического декремента получится более простое
приближенное выражение;
«««*/£
(37)
/:
1 Я2
В случае — < — вообще нет периодических решений. Общее
LC 4L2
решение имеет вид:
£~Ё)<} (38>
(апериодический контур).
1 R2
Промежуточный случай — = тоже является апериодиче-
ским и соответствует промежуточному случаю в механике,
рассмотренному на странице 98.
в) Вынужденные колебания в контуре с
затуханием. Если к контуру приложено периодическое
напряжение, то первоначальное уравнение имеет вид:
L-^ + /?/ + -i-j /# = Vee<««, (39)
Дифференцирование его по t дает:
Общее решение этого уравнения можно получить при помощи
доказанной на странице 99 теоремы, согласно которой общее решение
неоднородного дифференциального уравнения (40) равно сумме
общего решения соответствующего однородного уравнения
(уравнения без правой части), т. е. уравнения (33), и частного решения
неоднородного уравнения. Общее решение уравнения (33) нами уже
получено. Частное решение уравнения (40) тоже уже известно, а
именно это есть решение, выведенное в § 3 (соответствующее
стационарному состоянию).
Таким образом, при — > —- общее решение имеет вид:
Rt
I «= е-а (л cos V/ +В sin «VO Н УосозИ-'у) . t (41)
Leo — J_
326
Смысл этого решения следующий: первые два члена представляют
затухающий колебательный процесс с частотой и/0, а последний —
незатухающую периодическую функцию с частотой приложенного
напряжения <о. Вначале вследствие наложения обоих колебаний
возникает сложный переходный процесс, который благодаря
экспоненциально убывающему множителю в первом члене постепенно
переходит в стационарный процесс, соответствующий второму члену.
г) Связанные колебательные контуры. Из
многих технических возможностей взаимосвязи контуров
рассмотрим лишь самую простую: два контура с индуктивной связью. У
таких контуров катушки с индуктивностями Ь1г и Lo2
расположены так, что они обладают взаимной индуктивностью L12. Но и этот
случай исследуем лишь настолько, чтобы показать то
принципиально новое, что возникает в таких связанных колебаниях.
При дифференцировании уравнения первого контура получается:
г ¥к +£1а— + A e о. (42)
Точно так же для второго контура:
L^+Z^ + A^o. (43)
12 dP ' 22 dP ' С,
Чтобы исключить /г, продифференцируем (43) еще два раза по t:
Ll2^+L22^ + Ca dt* -U' l44)
Но из (42):
dt* Ln \ " dP ' d1 J
Дважды дифференцируя, получим:
dt* L12 \ n dt* ~ Cx dP I
Введем сокращения:
a = LnLn-Ll2, Ь = ^ + ^, c^~L. (47)
При подстановке (45) и (46) в (44) получается дифференциальное
уравнение четвертого порядка для /х:
аы±+ь£!± + с/1 = о. (48)
Будем искать решение снова в виде:
It = AeV. (49)
Характеристическое уравнение имеет вид:
ак*+Ы? + с = 0. (60)
•ц* 327
Из четырех его корней лишь два существенно различны:
(другие два отличаются от них лишь знаками). Величина а всегда
положительна (см. задачу 92), Ъ и с — существенно
положительные величины. Можно показать, что при L12 ^= О всегда
4аа а 4а2
т. е. обе частоты а^ и со2 всегда вещественны. Таким образом, для It
существуют одновременно две разные частоты о^ и и>2, не
совпадающие с собственными частотами контуров. Подставляя (49) в (45),
можно показать, что то же самое будет и для /2. Итак, решение для
1Х имеет вид:
I^Ae^ + Be-*"1* +Cei(*J + De-l<*2t . (54)
Сложение двух колебаний с различными периодами приводит к
появлению биений, т. е. медленных периодических изменений
амплитуды, что видно из следующего простого тригонометрического
преобразования:
cos wt t + cos юа t = 2 cos CDl"~c°2 t . cos ^ 2 t.
112 2 2
Правая часть равенства представляет колебание с угловой часто-
о 0)1 4- (о о о
ТОи -!—-—-, амплитуда которого «модулирована» угловой
частотой о)х — о)а (ср. стр. 60). Так как колебания в обоих контурах
предполагаются незатухающими, то энергия контура У, когда
амплитуда колебаний в нем уменьшается до нуля, не может
уничтожиться и должна перейти к контуру 2. Биения, возникающие в
обоих контурах, должны иметь, следовательно, сдвиг фаз — , так
что минимуму амплитуды в контуре 1 соответствует максимум
амплитуды в контуре 2, и сумма энергий (квадратов амплитуд)
остается постоянной. Это можно проверить непосредственным
расчетом, который мы не будем здесь приводить.
5. Скин-эффект
Закон электромагнитной индукции вместе с уравнением (9),
страница 305, выведенным уже для стационарных токов и
выражающим связь между распределением токов и магнитным полем,
определяет все электромагнитные процессы в однородных средах при
328
низких частотах. При наличии различных сред следует еще
добавить граничные условия непрерывности касательных компонентов
Е и Н. Оба уравнения по существу представляют шесть
дифференциальных уравнений первого порядка в частных производных для
шести компонентов Е и Н. Среди бесчисленного множества решений
такой системы в каждом отдельном случае надо отыскать то,
которое соответствует данной физической задаче. Именно в этом, а не
в отыскании общих интегралов уравнений, состоит основная
трудность. Рассмотрим простой случай. Пусть имеется очень длинный
толстый прямой проводник, по которому течет переменный ток '(на
концах приложено переменное напряжение). В случае
постоянного тока плотность тока внутри проводника была бы одинаковой, по
всему сечению, если проводник однородный. Но в случае
переменного тока вследствие закона электромагнитной индукции плотность
тока возрастает от центра сечения проводника к его периферии.
Нетрудно найти зависимость плотности тока от расстояния р от
оси при помощи упомянутых дифференциальных уравнений. Вот
эти уравнения:
rotH = ^i, rotE= — rot j = — -^- —. (55)
О a J с dt V }
H можно исключить следующим образом. Образуем ротор от
второго уравнения, а первое продифференцируем по /. Так как мы имеем
дело с покоящимися телами, дифференцирование по координатам
(операция ротора) и по времени может быть произведено
независимо. Поэтому
— rot Н = rot —.
dt dt
Умножим еще первое уравнение на — — и сложим оба уравне-
0
ния. Получим:
rot rot j = grad div j - Aj = -1^^-.
Поскольку divj = 0, это уравнение сведется к уравнению
Д] = ^^. (56)
с2 dt
Из соображений симметрии ясно, что в бесконечно длинном
проводнике вектор j направлен вдоль оси проводника, которую мы
выберем в качестве оси Z, т. е.
j=«i(p, t)k. (57)
Таким образом, получается скалярное уравнение, имеющее в
цилиндрических координатах следующий вид:
"ф2~ ~*~ р "dp "~ "с2" dt щ (° '
329
Поскольку и является, очевидно, периодической функцией
времени, примем, что
« = /(р)е'т'. (59)
Для f получается обыкновенное дифференциальное уравнение:
■^ + ±£-i.^f = o. (60)
ара р ар с2
Обозначим
_*!=£!? «а» (61)
с:
и введем новую переменную: х = ар,
£--£.. и т. д. (62)
Тогда уравнение (60) примет вид:
ТГ + -Чг+/-0. (63)
d*2 А* d*
Мы получили дифференциальное уравнение для цилиндрических
функций нулевого порядка. В данном случае пригодно только
решение, непрерывное в нуле. Эта функция обозначается J^x)1.
Итак,
и = AJ0 (ар) еш « AJ0 (V^i УЩ^ ±\ еШ, (64)
где А — амплитудный множитель. Вещественная и мнимая части
функции J0{V—ix) встречаются во многих задачах и
табулированы, причем для них введены обозначения:
Re [J0(V— iх)] = berx, Im [J0(V — ix)] = bei x. (65)
В этих обозначениях2 решение имеет вид:
и = A [ber (\/TZ^ ±\ + / bei (УЩ^ ±Х\ еш\ (66)
или
и = A l/ber2(j/*4^">±\ + bei2(УЩГи±\.ew+* t
(660
1 См. ч. II, Приложение 1, гл. II, уравнение (6); а также, например,
В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. II, стр. 141.
2 Таблицы функций В. Томсона ber д*, bei x см.: Е.Янкеи Ф.Эм-
д е, Таблицы функций с формулами и кривыми, М., 1949, стр. 352»
330
где
bei I У^жарш — J
tg? = ■ -
ber ( У"4ттсг{аю — J
Таким образом, не только амплитуда, но и фаза зависит от радиуса.
При больших значениях [х (железный проводник) обе зависимости
сказываются уже при достаточно малых
частотах переменного тока (1 ги).
Картину зависимости амплитуды и фазы от
радиуса можно видеть на рисунке 102,
на котором длина радиуса-вектора изо- й ~~ ГТ
бражает плотность тока, а полярный Рис. 102. Распределение
УГОЛ — фазу, соответствующую ука- амплитуды и фазы тока
занным на рисунке расстояниям от оси. в медном Цилиндрическом
jj r j r o проводнике радиуса 1 см
Из диаграммы видно, что переменный г (^ = 2^.583^).
ток как бы вытесняется из толщи
проводника к его поверхности. Это явление
получило название «скин-эффект». Для определения амплитудного
множителя А надо проинтегрировать / по всему сечению, в
результате чего получим полный ток / как функцию от Л, откуда можно
выразить А через /.
Глава VII
БЫСТРОПЕРЕМЕННЫЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ
(ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ)
ЧАСТЬ I. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
В ОДНОРОДНЫХ ИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
§ 1. Электромагнетизм. Первое основное уравнение
электромагнитного ноля
Закон электромагнитной индукции устанавливает, что всякое
изменение магнитного потока в вакууме, пронизывающего
некоторую поверхность, ограниченную кривой С, влечет за собой
возникновение электрического вихревого поля. Последнее
характеризуется некоторым конечным значением линейного интеграла
(pE-tfs вдоль выбранной замкнутой кривой С. Обратимость
электрических и магнитных процессов, неоднократно наблюдавшаяся
нами ранее, позволяет предположить далее, что изменение потока
напряженности электрического поля вызовет в свою очередь появ*
ление магнитного вихревого поля. (До сих пор приходилось
встречаться с магнитными вихрями лишь при наличии конвекционных
токов.)
ДО
Итак, для вакуума получаем:
в системе СГС rot Н = — —, в системе МКСА rot Н = е0 —. (1)
с dt dt
Обобщение этого уравнения было получено Максвеллом,
предположившим, что при наложении электрического поля
элементы объема диэлектрика поляризуются (см. стр. 284), Наличие
«электрического тока» в этом случае можно было объяснить тем,
что при образовании диполей (в процессе поляризации) должно иметь
место смещение электрических зарядов. Поясним это. Допустим,
что поляризация вызывается в небольшом цилиндре в направлении,
параллельном его поверхности. Площадь поперечного сечения
цилиндра примем равной единице, а высоту — равной dh. Выше
указывалось (стр. 284), что свободные поверхностные заряды наверх-
нем и нижнем основаниях цилиндра в этом случае соответственно
равны:
б+ = + |Р|, а_ = -|Р|.
Если изменение поляризации составляет dP, то плотность
зарядов на каждом основании изменится соответственно на + | dP \
или — \dP |. Чтобы этот заряд попал на поверхность раздела, он
должен пройти через соответствующее основание цилиндра. Поэто-
dP
му в верхней его половине при изменении поляризации «ток» —
dt
d? ,
положителен, а в нижней половине отрицателен , но фак-
dt
тически имеет противоположное направление. Таким образом, во
всем поляризуемом объеме, при изменении вектора поляризации,
dP
возникает ток поляризации i = —; существование этого тока,
р dt
обусловленного смещением электрических зарядов, является уже
не предположением, а твердо установленным фактом. Следуя
учению Максвелла, можно утверждать, что «истинный ток смещения»
(обусловленный смещением зарядов) может возникнуть только в
диэлектрике. Однако предыдущие рассуждения не позволяют
достаточно строго обосновать член для вакуума, в частности,
с dt
в отношении знака. Для его обоснования ограничимся пока тем
обстоятельством, что все вытекающие из уравнения (1) следствия
подтверждаются на опыте. (Позднее будет приведен другой вывод
уравнений поля, также построенном на очень небольшом
количестве исходных предпосылок.) Итак, в случае диэлектрика выражение
для ротора напряженности магнитного поля окажется трехчленом
следующего вида:
х u 4я] . 1 дЕ , 4тс dP 4тсаЕ , 1 дЕ , 4ж дЕ /Пч
rotH = 1 —^ -= — + — _ + —-*_ (2
с с dt с dt с с dt с dt
332
Два последних члена в уравнении (2) обычно объединяют в
е дЕ
один , т. е. записывают:
с dt
в системе СГС в системе МКСА,
... е дЕ , 4 тс _
rot Н = \--— оЕ
с dt с
rot Н == ег0 \- оЕ
dt
Член , в соответствии с идеей Максвелла, называют
с dt
током смещения в отличие от тока проводимости.
§ 2. Волновое уравнение для напряженности поля
в диэлектриках как следствие уравнений поля
Как следует из вышеизложенного, для покоящихся изотропных
диэлектриков справедливы оба основных уравнения Максвелла:
rot Н = — — или rot Н = ее0 — (I)
с dt dt
rotE- — £— или rotE-— №o—# (II)
с dt dt
При отсутствии пространственных зарядов (подобного рода
специальные случаи пока не рассматриваются) к уравнениям I и II
присоединяются еще уравнения
divE = divH = 0, (III)
выражающие отсутствие источников электрических и магнитных
полей в объеме.
Из уравнений (I) и (II) методом, применявшимся на странице
329, могут быть исключены Е или Н. Если, например, нужно
исключить Н, достаточно образовать ротор от уравнения (II), а
уравнение (I) продифференцировать по t. Тогда с учетом уравнения (III)
и соотношения rot rot E = grad div E — ДЕ можно записать, что
с2 dt*
или, соответственно,
AE = £soWo—. (3)
Выражение (3) представляет собой дифференциальное уравнение
для компонентов вектора Е электромагнитной волны. Аналогичное
уравнение для компонентов вектора Н может быть получено
исключением вектора Е. Из огромного множества явлений, описываемых
дифференциальными уравнениями такого типа, рассмотрим
простейший случай — синусоидальную (гармоническую)
электромагнитную волну. Под такой волной понимают процесс распростране-
333
ния электромагнитного поля, при котором все характеризующие его
величины зависят только от одной координаты, например от
координаты х (ср. со стр. 66).
Во всех плоскостях, перпендикулярных к оси X, компоненты
вектора Е имеют постоянные значения. С математической точки зре-
д д
ния это означает исчезновение всех производных — и — .
ду дг
Таким образом, записанное выше уравнение
принимает следующий вид:
^ » 0. (4)
дх у '
Отсюда следует, что поле, зависящее от координат, не может иметь
компонента в направлении оси X. Поскольку, далее, постоянные
во всем пространстве поля не представляют здесь интереса, мы
можем заключить на основе уравнения (4), что Ех = 0. Аналогичные
соображения приводят также к выводу, что и Нх = 0.
Таким образом, из уравнений (III) непосредственно следует по-
перечность плоских волн.
Для компонентов Еу и Е2 получается, соответственно:
й-^,«'-Д (5)
дх* дР дх* dt* w
««oWV
где а2 =* — или, соответственно, в системе МКСА а2:
с2
Допуская, далее, простую периодическую зависимость Еу и Ег
от времени в виде:
Еу=?{х)еш и Ег~8{х)е1{Ы+ь\ (6)
где 8 — начальная фаза, введенная нами для общности, можно
получить уравнения, выражающие зависимость компонентов поля от
координаты х:
^ + о>2а2/=0 и ^ + a>2a2g = 0. (7)
dx* ' ' d/« * s v ;
Формулы (7) представляют собой широко известные
дифференциальные уравнения колебательного движения, интегралы которых имеют
вид:
f~Ae±Mt~ax) и е~Ве±1*ах. (8)
Подстановка (при отрицательном знаке в экспоненте) приводит
к выражениям:
Еу-А^*{'—*> и Ег^ВеШ{'~ах)+п. (9)
334
Формулы (9) представляют собой уравнение плоской волны,
распространяющейся в положительном направлении оси X с фазовой
скоростью
\ с 1
v = — = или, соответственно, v = ; (10)
(положительный знак в экспоненте означал бы противоположное
направление распространения волны).
В случае вакуума е = р = 1, поэтому в системе СГС можно
записать: V = С.
Таким образом, введенная на странице 304 постоянная с имеет
весьма важный физический смысл: она представляет собой, как
известно, скорость распространения электромагнитных волн в
вакууме: Из рассмотрения размерностей е0 и |л0 заключаем, что в системе
МК.СА будет иметь место иное соотношение, а именно:
1
У £о^о
Разность фаз 8 может быть выбрана произвольно, так как Еу и Е2
не зависят друг от друга. Самой общей формой является,
следовательно, эллиптически поляризованная волна, при которой конец
вектора Е описывает эллипс относительно некоторой точки. Если
же колебания вектора Е происходят лишь вдоль некоторой прямой
и при этом 8 = 0, то имеет место линейно поляризованная волна.
Для вычисления компонентов Н следует исходить из уравнений
Максвелла (I) и (II) для электромагнитного поля.
Второе из них дает при Ел. = 0:
— (t п~ \
*я*-0 * аЯ*- дЕ>- Ущ шЛс l~ C Х)
dt ' с dt дх с
откуда интегрированием получим:
Н» = 0, Нг=У±Ае { ' =VjE> <»)
или, соответственно,
H*-VWEr <12>
Так как ни поле, постоянное во времени, ни поле, постоянное в
пространстве, не представляют особого интереса, то независимые от
времени функции х> являющиеся результатом интегрирования,
можно принять в (12) равными нулю. Стало быть, в линейно поляризо*
ванной волне векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и образуют
с направлением распространения волны (которое мы будет
характеризовать в общем случае единичным вектором п) правовинтовую
335
систему координат с осями Е, Н, п, последовательность которых
соответствует ортам 1, j, k.
Электромагнитные волны охватывают огромную область
физических явлений, единая природа которых была понята не сразу.
Решение этой проблемы усложняло то обстоятельство, что свойст-
Злектрические
колебания
Инфракрасное
излучение
Видимая часть —!
-Ю6
-Ю*
-Ю3
-Ю2
-10
- 1
-Ю'1
' Ю'2
г ю'3
г*
Радиоволны
Короткие и
ультракороткие
радиоволны
— Инфракрасное излучение
= паров ртути
Остаточное свечение
Коротковолновое
_^ инфракрасное излучение
10 1 видимая часть спектра
Лучи Рентгена
f- *учи
"10
-Ю~8
-to'*,
\-Ю'ю
10'"
£
спектра > лИУльтрафиолетовая часть спектра
„ \-l0~5 1—область Шумана
Ультрафиолета- —л v\—область Лимана-Мцлликена
fa* часть спектра—N .5 IJ Длинноволновые лучи
и • Рентгена
Лучи Рентгена
If' ^ичи
Космические лучи
(волновой аспект)
Рис. 103. Полный спектр электромагнитных волн.
(Длины волн нанесены в логарифмическом масштабе;
числа означают длины волн в сантиметрах.)
ва излучения различных частот v (или соответствующих длин волн
в вакууме X = c/v) оказались существенно отличными. Об этом
убедительно говорит сравнительная таблица, приведенная на
рисунке 103. В настоящее время все области этого спектра детально
изучены.
336
В оптике отношение фазовой скорости в вакууме с к скорости
в данной среде называют показателем преломления п. Тогда в
соответствии с формулами (10):
Соотношение (13) называется формулой Максвелла. Последняя,
однако, не всегда справедлива (например, для воды: е = 80, р. = 1,
п = 1,33).
Для согласования с опытом необходимо, чтобы значения
входящих в формулу величин были выбраны для одной и той же частоты,
поскольку е зависит от v, а следовательно, п = / (v). Практически,
однако, е можно считать постоянной вплоть до дециметровых
радиоволн. Заметим, что изучение характера зависимости между е и п,
установление того факта, что для некоторых веществ измерения s
вполне согласуются с данными об оптическом показателе
преломления п (измеренном, например, для некоторых линий натрия), а
для других веществ результаты измерений ей п не согласуются,
привело к открытию различия между диэлектриками с
различным типом поляризации и к созданию электронной теории
дисперсии.
§ 3. Вектор потока электромагнитной энергии
(вектор Умова — Пойнтинга)
Плотность энергии поля электромагнитных волн составляет
и = _L (££2 + [1Яа)| в системе МКСА и = — (еЧЕ* + |х|х0#2). (14)
8тс 2
Так как в плоской волне [ Н | = 1/ ~1 Е [ или, соответственно,
в системе МКСА I Н I = V~ I EI, то
гЕ2 = |лН2 или, соответственно, гг0Е2 = jxjx0H2. (15)
Следовательно, энергия электромагнитного поля в этом случае
наполовину электрическая, наполовину магнитная. Чтобы
убедиться в существовании энергии электромагнитного поля, достаточно
превратить ее в каком-либо месте поля в другой вид энергии,
например во внутреннюю, и калориметрически определить количество
теплоты, переносимой излучением в одну секунду. Если скорость
распространения волн обозначить через v, то за время dt через 1 см2
поверхности, перпендикулярной к направлению распространения
волны, будет перенесена энергия, заключенная в объеме
параллелепипеда длиной vdt с основанием в 1 см2, т. е. энергия
dU=^ (eE2+ *Ш2) = ^L . — г£2 = — I Е|.| Н I. (16)
337
Можно поэтому условно представить поток энергии в виде вектора,
численное значение которого равно количеству энергии,
перенесенной за 1 сек через 1 см2 поверхности, перпендикулярной к
направлению распространения волны, а направление совпадает с
направлением движения волны. Введенный таким образом вектор S
называют, по имени открывших его ученых, вектором Умова —
Пойнтинга. Он может быть записан в следующем виде:
в системе СГС в системе МКСА
S-^-EXH
S = EXH
(17)
Так как Е и Н являются периодическими функциями времени,
вектор S в каждой точке пространства тоже подвержен периодическим
изменениям от нуля до некоторого максимума. Однако знак его при
этом сохраняется, так как S выражается векторным произведением
векторов Е и Н, изменяющихся в одинаковых фазах. Поэтому при
всех мгновенных значениях векторов Е и Н поток энергии всегда
совпадает с направлением распространения волны.
Задача
95. Солнце излучает на каждый 1 см2 земной поверхности примерно
2 кал/мин. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и
магнитного полей.
§ 4. Распространение электромагнитных волн в металлах
Для металлов, т. е. для сред, имеющих отличную от нуля
удельную электропроводность о, уравнения Максвелла имеют вид:
I. rot Н = 1 Е,
с dt с
п.
ш.
rotE = -^,
с dt
divE = divH = 0
Пользуясь методом, применявшимся ранее в § 2, снова
исключим Н, тогда для Е получится следующее выражение:
в системе СГС в системе МКСА
ас е^2Е I 4яа{лдЕ Лс д*Е , dE /1Q4
ДЕ =s -£- С — ДЕ = ee0uu0 Н 1М«а —. (18)
с2 dt* ' с2 dt or™ dt* ' ° dt
Если зновь обратиться к рассмотрению плоских волн,
распространяющихся вдоль положительного направления оси X, т. е.
принять, что
338
Для составляющих Еу и Е2 периодическую зависимость от време*
ни можно выразить в виде:
Ey = f{x)eM и E, = g<tieM+i\ (19)
Для простоты можно ограничиться в дальнейшем рассмотрением
только линейно поляризованных волн, электрический вектор
которых расположен в плоскости XY, т. е. принято, что Ez = 0.
Если значение функции координат f подставить в волновое
уравнение, то получится дифференциальное уравнение гармонических
колебаний с комплексными коэффициентами:
£ + (•£_,te)/sss0. ' (20)
Решение его имеет вид:
f(x) = Ав± Т у*»*-*-**ф»*9 (21)
Если принять, что о = 0, и выбрать перед корнем знак минус, то
это решение будет соответствовать незатухающей волне,
распространяющейся вдоль положительного направления оси X, Для
большего удобства целесообразно ввести следующее сокращенное
обозначение:
]/£|Х(1)2 /• 4Я0|Ш = О) (П /*), (22)
из выражения (22) для п и х получаются уравнения:
ft2 X2 = S[A,
ш = J5if =- iil = jxax (x — период колебания). (23)
(О V
Решение этих уравнений приводит к следующим выражениям:
в системе СГС в системе МКСА
(24)
Таким образом, пользуясь указанными сокращениями, можно
записать:
, , П сох* to ,. Л v
£у = Ле/Ш' в"ta) Т * <Г — = Аё~ Т ** М*~Т х\ (25)
Мнимый член — U в формуле (22) обусловливает убывание
амплитуды по экспоненциальному закону, т. е. х является коэффициентом
затухания; п — показатель преломления, он связан со ско-
339
- = , ,.((-2)
ростью распространения фазы. Поэтому обозначение «,
совпадающее с обозначением показателя преломления, в
диэлектриках вполне оправдано. В отношении % надо
отметить следующее: так как — = ^-, то коэффициент зату-
С Лвак
хания имеет вид: е Лвак или е , если х = лвак. Следовательно,
на расстоянии х, равном длине волны в вакууме, амплитуда
колебаний уменьшается в е2™ раз.
Далее, при помощи второго уравнения Максвелла можно
вычислить Н. Как и в случае диэлектриков, ограничимся
рассмотрением Z-компонента, для которого:
сох
dHz с dEv со . . . л с х ^
_* = тА = -(х + шЛе е 26
dt (х дх (х '
следовательно,
Нг=—(п — Ы)Ае ,° е . (27)
Далее:
п — Ы^ Vn* + *2 е~1\ tg т = */"• (28)
Отсюда
СОХ г Я \
Нж = ±Уп* + ~у*.Е„е =±Vn*+**Ae с е с .(29)
[X (X
Таким образом, в металлах между векторами Е и Н существует
некоторая разность фаз, причем Н отстает от Е на угол ?. Согласно
изложенному в этом параграфе, каждый проводник должен
поглощать электромагнитные волны, а каждый диэлектрик их
пропускать. Нетрудно, однако, привести примеры, противоречащие
этому выводу. Раствор NaCl, несмотря на хорошую
электропроводность, совершенно прозрачен для видимого света, тогда как
эбонит, напротив, обладает высокими изоляционными свойствами,
но непрозрачен для света. Объясняется это отступление тем, что
проводимость, так же как и показатель преломления, зависит от
частоты электромагнитных колебаний.
Практически, однако, эту зависимость можно не принимать во
внимание, если длина волны излучения не менее одного сантиметра.
Зависимость электропроводности от частоты будет рассмотрена во
второй части теории электромагнетизма (см. гл. VIII).
§ 5. Диполь Герца как источник излучения
До сих пор рассматривались плоские волны без учета их
происхождения. Реальные источники таких волн имеют малые
размеры. Например, размеры антенны передающей радиостанции можно
340
считать малыми в сравнении с радиусом действия передатчика; то
же самое можно сказать об атомах или молекулах газообразных
веществ, излучающих свет. Представление о плоской волне, хотя бы
приблизительно, может соответствовать действительности лишь на
значительных расстояниях от источника, излучающего волны.
Герц нашел такое решение уравнений электромагнитного поля,
которое характеризует источник излучения и поле его излучения во
всем пространстве. Рассмотрим вывод Герца. Уравнения
Максвелла для вакуума имеют следующий вид:
II. rotE = •,
с dt
III. divE = divH = 0.
Ранее указывалось, что при определении магнитного поля
постоянных токов было целесообразно выражать Н, образуя ротор из
вспомогательного вектора А (векторного потенциала), связь которого
с распределением токов выражается достаточно просто. Подобным
образом следует поступить и сейчас. Формулы могут быть
значительно упрощены, если в качестве векторного потенциала взять
производную по времени от вспомогательного вектора Z и ввести
множитель 1/с.
Пусть
H = Irot-=i^-rotZ (30)
с dt с dt '
(дифференцирование по времени с дифференцированием по
координатам перестановочно). Если подставить значение Н в уравнение
(I), то после интегрирования по t получится:
E = rotrotZ = graddivZ — AZ. (31)
Далее, для удовлетворения уравнения II необходимо, чтобы
выполнялось соотношение:
rotE = -irot|?, (32)
откуда интегрированием получим:
E==~i"f + grad<P. (33)
Произвольный вектор grad<p вводится здесь в качестве постоянной
интегрирования, так как из равенства роторов двух векторов мож-
341
но лишь заключить, что они отличаются друг от друга на величину
некоторого градиента скалярной функции <?,
Для согласования выражений (31) и (33) необходимо принять,
что
9 = div Z, (34)
a Z в свою очередь должно удовлетворять волновому уравнению
AZ = ——. (35)
с3 д/а Ч '
Опуская решение, соответствующее плоской волне (такое
решение не могло бы быть регулярным в точке, где находится
источник), рассмотрим случай сферической волны, у которой
поверхности одинаковых фаз являются сферами. Выражая AZ в
сферических координатах и учитывая, что переменной является только
г, получим уравнение (35) в виде:
?? 4- — — — — — (Ш
дг* ~*~ г дг ~~ с2 дР "
Временную зависимость Z примем в виде простой периодической
функции
2 = ¥(г)еш. (37)
Уравнение для функции F (г) выразится в этом случае так;
?!E + A^ + -F = 0. (38)
Решением его является функция
/cor
¥=*Le C =Ро/(г), (39)
в чем нетрудно убедиться подстановкой. Знак минус соответствует
здесь волне, распространяющейся от центра источника. Отсюда
следует:
z = PA±! = £i«", ,40,
где
р/"=р(0.
Заметим, что в отличие от плоской волны, амплитуда
сферической волны не остается постоянной и уменьшается
пропорционально 1/л Искомые векторы напряженности Е и Н электромагнитно-
342
го поля получатся после некоторых преобразований простым
дифференцированием. Начнем с вычисления Н.
rot Z - rot p (t)f(r) = grad/(r)xp (t) -
df df i<»t
= ^r0xp-j^ r0Xp0 (41)
(r0—единичный вектор, совпадающий по направлению с г),
причем в соответствии с уравнением (39) можно записать:
Й-(_<=_.Г)в~ '. (42,
dr \ сг г2/ ч '
Отсюда следует:
H = --.rotZ=7(- + -)e poXr0. (43)
Вектор Н можно представить, следовательно, в виде двух частей —
векторов одинакового направления, но по-разному зависящих от
/*. На каком расстоянии от источника будет преобладать та или иная
часть, можно выяснить следующим преобразованием:
Вклад в напряженность Н обоих членов определяется
соотношением между г и длиной волны X. В ближней зоне (г < X)
преобладает первый член, в дальней (г > X), так называемой волновой, зоне
наоборот, — второй. Между ними расположена область, в которой
величина Н примерно в равной мере определяется обоими членами.
В ближней зоне выражение для Н принимает следующий вид:
H^ = -e C *— РоХг0. (45)
Соотношение (45) аналогично формуле Био —Савара (стр. 307)
для магнитного поля, созданного элементом тока, и отличается
от последнего лишь множителем е с , т. е.
/.* = g-fap/". (46)
i<or
Множитель е с учитывает конечную скорость распространения
магнитного поля, которая обусловливает возрастающее отставание
по фазе поля в различных точках по мере увеличения расстояния
343
этих точек от источника, где задано мгновенное значение тока
(«запаздывающее поле»). Чтобы получить представление о таком
источнике (элементарном переменном токе), рассмотрим диполь, длина
и направление которого 1 заданы. Пусть на концах диполя имеется
периодический заряд:
q = q/"'. (47)
Электрический момент диполя в таком случае тоже должен быть
периодической функцией времени:
поэтому
Р = <71=<7о«'шЧ (47)
* = *?!. (48)
dt dt v ;
Но — является током перезарядки. Следовательно, полученное
dt
решение дает магнитное поле жесткого диполя с периодическим
электрическим моментом р. Такой диполь называют
электрическим осциллятором. Позже будет показано, что и электрическое поле
в ближней зоне соответствует электростатическому полю диполя
с периодически изменяющимся моментом.
Таким диполем может быть короткая линейная антенна,
индуктивно связанная с колебательным контуром. Важно отметить, что
в противоположность постоянному току (для которого
элементарный закон Био — Савара, строго говоря, неприменим в силу
невозможности изолировать отдельные элементы тока) в области быстрых
колебаний «элементы» тока могут быть реализованы
экспериментально. Однако и в этом случае закон Био — Савара дает
удовлетворительное описание поля только в непосредственной близости от
«элемента» тока и лишь в первом приближении.
Дело в том, что на большом расстоянии от источника поля, в
«волновой зоне», основной вклад в выражении (43) дает второй член,
поэтому
. fa Г\ jar
н =-^Д* с рвхгв-*—1£еХг0. (49)
Это уменьшающееся пропорционально 1/г магнитное поле
пропорционально уже не первой производной от р, т. е. согласно (48) —
антенному току, а второй производной, т. е. изменению антенного
тока.
Для вычисления Е целесообразно исходить из уравнения
Е = rot rot Z = grad div Z — AZ (31)
344
с учетом того, что Z удовлетворяет волновому уравнению, т. е. что
E-graddiv Z ~ —. (31')
6 с2 ЬР ч '
Известно, что
divZ=£ divp0 = е divp0/(r) =
г
- <?""< Pograd/(r) = ем • -у;р0.г. (50)
г dr
Отсюда
8гаай^=^[р..г.(2-±д,+ 1^.]\ 0„
причем
±/в/_*_±)Г ' (52)
_ /(0'
dr2
Далее,
= /_^. + ^+1\е с. (53)
1 a*z «• 1 п '-('-т)
■7а?в—7-7^ ' (54)
Для описания поля в ближней зоне следует учитывать лишь
самую высокую степень 1/г, т. е. третью степень (так как г0
представляет собой единичный вектор). Однако третья степень не входит в
выражение (54), следовательно, в ближней зоне электрическое поле
описывается скалярным потенциалом
^ = _divZ. (55)
Численное значение VN может быть найдено из уравнения (50),
если пренебречь в нем низшими степенями 1/г:
VN^e <>=2*e \ (56)
г3 г2
Выражение (56) называют запаздывающим потенциалом, так как
оно учитывает конечную скорость распространения
электромагнитных возмущений и обусловленное этим фактом возрастание разности
Чтобы яснее представить себе степени г, произведение р0«г в
первом члене принято равным р0 • г0 г и затем сокращено на г.
345
фаз по мере увеличения расстояния от источника до точки наблю*
дения.
Для вычисления Е в волновой зоне необходимо учесть (собрать)
все члены, содержащие 1//*, но так как г20= 1, то в соответствии с
уравнениями (51—54) получится:
io)\
(<-т)
'W
С*Г
И-Ро—fro' Ро)Г] =
*»(*-±)
ГоХ(РоХГо).
(57)
Из уравнений (49) и (57) при условии, что ось диполя является
полярной осью, следует, что вектор Н имеет в волновой зоне
направление параллелей, а вектор Е — направление меридианов.
Векторы Е и Н образуют в свою очередь с
направлением распространения поля г0 правовинтовую
систему (см. рис. 104). Однако амплитуды ЕиН,
в противоположность фазам, не остаются
постоянными на волновых сферических
поверхностях, а изменяются в соответствии с векторным
произведением р0 X г0, пропорционально sin 9,
где б—угол, образованный направлением г0 с
осью диполя.
Следовательно, линейный осциллятор в
направлении своей оси не излучает.
Далее заметим, что вблизи 8 = 0 в ближней
зоне уже нельзя полностью пренебрегать
членом, содержащим 1/г3, так как, уменьшаясь, он
все же не обращается в нуль при 9 = 0, где
расположены заряды диполя. Наглядное представление об этом дают
известные схемы Герца, изображающие «моментальные снимки»
электрического поля с помощью силовых линий (рис. 105).
Перейдем теперь к рассмотрению вектора S. Направление его
совпадает с г0, а мгновенное значение определяется векторным
произведением векторов Ew и Н^, умноженным на
Рис. 104.
Положение векторов ЕиН
в волновом поле
дипольного
излучателя.
Таким образом,
Ак
Ew | = — ро sin 6 cos со
IH
w\
Отсюда
|S|-^
MY
p20sin26 cos2w^ — -V
(58)
^0 Sin 9 COS 0)
(59)
346
Так как cos29 = l/2, то среднее по времени значение S выразится
соотношением
* ' 8ъс*г* °
(60)
Наглядное представление о распределении энергии излучения по
различным направлениям дают полярные диаграммы. Построение
диаграмм производят в определенном масштабе с таким расчетом,
Рис. 105. Мгновенная картина электрических силовых линий поля излучения
диполя.
чтобы длина радиуса-вектора р была численно равна излучаемой
энергии. Уравнение полученной таким образом кривой для энергии
излучения линейного осциллятора может быть записано в
следующем виде:
p = Posin26. (61)
Среднее значение энергии, проходящей через сферическую
поверхность радиуса г в одну секунду, может быть выражено
поверхностным интегралом:
(£s.df = -^ —р'.2«г2 Г sin2 0 sin 9dQ = -£ . — 2e. ■!/>'. (62)
Эта энергия равна энергии Р, потерянной источником излучения
за I секунду:
3X4 Р°-
(63)
347
Выражение (63) может быть записано в другом виде, если
амплитуду дипольного момента заменить в нем на амплитуду тока /0,
согласно уравнению (48). Если при этом принять также, что длина
элемента проводника («антенны») ds = /, то, в соответствии с
уравнением (46), получается:
— if /2 (1
(64)
Заметим, что «потери» энергии W источником на излучение,
подобно Джоулевой теплоте, пропорциональны квадрату тока и могут
быть вычислены из соотношения:
¥ = ^-. (65)
Омическое сопротивление, вызывающее такую же потерю
энергии, как и излучение, называют «сопротивлением излучения
системы» и обозначают Rs.
Из определения следует, что
#5 = |!!/±V ед. СГС или 80тг2Ш%^. (66)
При длине антенны в 1/10 длины волны «сопротивление
излучения» достигает примерно 10 ом, т. е. значительно превышает
омическое сопротивление антенны.
Задача
96. На примере вектора Н показать, что фазовая скорость в переходной
области от ближней к волновой зоне может быть больше с.
Глава VIII
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
ЧАСТЬ II. ПРОЦЕССЫ,
ПРОИСХОДЯЩИЕ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДВУХ СРЕД
§ 1. Вывод уравнений поля и граничных условий
из закона сохранения энергии в электромагнитном поле
При составлении основных уравнений поля исходным моментом
служили широкоизвестные опытные факты. Однако строгого
обоснования первого уравнения получить на этой основе все же не
удалось. Даже граничные условия были получены лишь для
статических и стационарных полей. Поэтому следует дать более строгое
обоснование уже полученных ранее соотношений, исходя из пяти
нижеследующих предпосылок:
348
1) полагаем, что плотность энергии электрического поля
в системе СГС в системе МКСА
"эл = ^Е2, "эл-^Е2; (1)
2) то же для магнитного поля:
"магн = ~ Н2 или, соответственно, имагн = ^ Н2; (2)
3) поток энергии принимаем равным
S = — ЕхН или, соответственно, S = ЕХН; (3)
4) допускаем далее, что
^цэл = 0£2
dt
численно равно энергии электрического поля, ежесекундно
превращаемой в Джоулеву теплоту в каждой единице объема;
5) на основании известного эмпирического факта наложения
электромагнитных полей принимается принцип суперпозиции,
требующий, чтобы уравнения поля были линейными и однородными
относительно Е и Н1.
Уравнения для электромагнитного поля в однородной среде
можно получить, исходя из закона сохранения энергии: ежесекундное
уменьшение электромагнитной энергии, содержащейся в
произвольном объеме, должно быть равно сумме Джоулевой теплоты,
выделяющейся в проводниках, и энергии, излучаемой через поверхность,
ограничивающую рассматриваемый объем. Из сказанного следует:
dt J V 8я ' 8rc J J \ 4* a/ ,4k dt j
= JaE2dx + |)£(ExH).df. (5)
Применяя далее теорему Гаусса и учитывая соотношение
divExH = H.rotE —E.rotH,
получим:
(7*Е.~+ [*Н.— -f 4noE2-fcH.rotE — cE-rot H^dx-O. (6)
1 Нелинейность уравнений, возникающую в силу зависимости е и ц
от Е и Н при наличии сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, мы не будем
здесь принимать во внимание.
349
Так как интеграл (6) равен нулю для любого произвольного
объема, то и подынтегральное выражение также должно быть равно
нулю. При условии выполнения соотношения (5), это требование
приводит к уравнениям Максвелла:
rotH = -- + -aE=7- + -J( (I)
rotE = -Jia-5 =_Л^в. (II)
с dt с dt w
Аналогичным образом можно получить и граничные условия.
Будем исходить при этом из того очевидного требования, чтобы,
при условии конечной проводимости, полностью отсутствовали
потери энергии на поверхности раздела двух сред при переносе
энергии из одной среды в другую. Полагая для удобства, что нормаль
к поверхности раздела совпадает с осью системы координат, можно
записать сформулированное выше условие непрерывности вектора
потока энергии в следующем виде:
S?>= ± (Е(1) X Н{1% = S™ = ± (Е(2> X Н(2)), (!)
или:
£<»#<'>_ НхХ) £(1) = Ef H{2)- H? Е{2\ (8)
Требование непрерывности потока энергии должно выполняться
для любых электромагнитных полей, поэтому с необходимостью,
получаются следующие соотношения:
Е? = Ё? Н™=Й? (9)
у у » у у >
или:
или, если воспользоваться понятием поверхностного ротора,
Rot Е = п X (Е2 — Ех) = 0, Rot Н = 0. (IV)
Полученное условие непрерывности тангенциальных компонентов
Е и Н определяет и нормальные компоненты, так как оба вектора
должны удовлетворять уравнениям поля в обеих
соприкасающихся средах.
В заключение заметим, что из уравнения (IV) и уравнения
электромагнитного поля вытекает всеобщность установленной в
электростатике и учении о магнетизме непрерывности нормальных
компонентов векторов D = sE и В = [хН, и, следовательно, скачок
нормальных компонентов векторов Е и Н на границе раздела.
350
§ 2. Поверхностные волны
Рассмотренный выше случай свободного диполя Герца не
отражает в полной мере действительного положения вещей,
особенно в тех случаях, когда речь идет о длинноволновом излучении. Дело
в том, что свободный диполь в земных условиях практически
неосуществим, так как на характер излучения существенно влияет
близость Земли. Полное же решение (с учетом этого влияния)
представляет значительные трудности. Для упрощения расчетов
земную поверхность считают бесконечной плоскостью, делящей все
пространство на две цоловины, каждая из которых заполнена
однородной средой. В силу этого придется рассмотреть два решения,
одно для воздуха, а другое для Земли. Полученные решения,
наряду с уравнениями поля, должны удовлетворять граничным
условиям. При этом целесообразно ограничиться простейшей задачей —
доказать возможность существования особой разновидности
плоской волны, амплитуда которой достигает максимума на границе
раздела двух сред. В силу этой особенности волны такого рода
называются поверхностными, или волнами граничного слоя, или,
наконец, связанными волнами. Переходя к решению, заметим, что
выделение поверхностных волн из общего процесса излучения как
части из целого представляет собой некоторый произвол.
Пусть положительное направление оси X указывает на
направление распространения волны, а плоскость раздела совпадает с
плоскостью XY прямоугольной системы координат. Тогда в
однородной среде векторы Е и Н плоской волны должны быть
перпендикулярны направлению распространения волны. Однако при
таком подходе граничные условия в обеих средах выполнены быть не
могут. Естественно допустить поэтому двоякую возможность:
а) волна неоднородна, амплитуда волны является функцией
расстояния z от плоскости раздела сред;
б) волна строго поперечна, однако, если вектор Н направлен
вдоль оси Yt имеется отличный от нуля компонент Ел..
Итак, следует считать, что
H = HyL Hy =f(z)e *('"$. (10)
Вопрос о фазовой скорости рассматриваемой волны остается
пока открытым. Однако естественно ожидать, что она определяется
электрическими характеристиками обеих сред. Первое уравнение
Максвелла дает при этом для компонентов Е следующие
соотношения:
йг с 01 с
0= -1^+1^ Я; (12)
с at с
**
3d
tJi-JL )
_*7« "^.L^i + i^ (13)
v с dt с
Из уравнения (12) видно, что £у можно принять равным нулю,
но Ех Ф 0. Второе уравнение Максвелла также устанавливает, что
Е не зависит от координаты Y, поэтому можно принять, что
tuft— ~)
дЕх дЕг Ы(а £ / к ^ v /л лх
■л5—if—"Т/(г)е • (14)
Пусть теперь £y и Ег представляют собой компоненты волны,
распространяющейся вдоль положительного направления оси X.
Тогда
Ех = 8(г)е"°('-^; (15)
Е, = к®е*-Я. (16)
Если подставить значения Ех и Ег в уравнения (11) ^- (Н),
получим, соответственно, из уравнения (11):
df
— с
eiz) = ——
4тса 4
из уравнения (13): _
4тса 4 £а)*
А(г) = °—
4тса 4" £(0*
и, наконец, из уравнения (14) с учетом (11) и (13) искомое
дифференциальное уравнение для функции /(г):
«L = Ь /J— т)+i£^ г-1/. (19)
dz* [ \v* с2/ ' с3 J
Решение его имеет одинаковый вид для обеих сред:
f(z) = Aef\ (20)
где
р-±уг^(^_у)+*5^/. (2оо
Так как случай решений, экспотенциально возрастающих
пропорционально z, не имеет смысла, необходимого выбирать знак корня
с таким расчетом, чтобы для воздуха (г > 0) действительная его
352
часть была отрицательной, а для Земли (z < 0), напротив,
положительной. Если обозначить все величины, относящиеся к
воздушному пространству, индексом /, получим:
(21)
у
Для Земли (z<0) соотношение (21) примет вид:
Hy = Ae+*zeia^\ (22)
причем, согласно уравнению (20),
2 _ _£^7 м2 i*W
у С4 С2
со2 „ еа, 0 4тсаа,со .
р2 = -Л со2 — I.
(23)
Условия непрерывности тангенциальных компонентов векторов
Е и Н, которые должны быть действительными в любой момент
времени, могут быть удовлетворены лишь в том случае, когда фазовые
скорости одинаковы по обе стороны границы раздела, т. е. если
v = vt. (24)
Далее, из условия Н{1) = Ну получается при z = 0 соотношение
А = Аг. (25)
Тангенциальный компонент вектора Е можно получить из
уравнений (15), (17) и (20): %
* ' 4тса/ + sjooj ' * 4тса + £w*
Граничные условия приводят к уравнению
?1 __ Р
Atzgi -f- е/о>/ 4тса + еа>/
(27)
Уравнение (27) вместе с (23) и (24) позволяет определить еще
оставшиеся неизвестными pl9 р и v. Введем для простоты следующие
обозначения:
—; - «* + [V - fy, (28)
«53
фЦ* 4*Д{Ш* , Q . ,
4xa 4* ea)*
(29)
47ГСГ; + ejcoj
Уравнения (23) принимают теперь более простой вид:
^-rf-*i. —-Л1"6' <30>
Отсюда
*-±УгЁ?"' <31>
а следовательно, согласно уравнению (27), получим:
P = -Pz<7. (32)
Наконец, из уравнений (30) и (31) видно, что
Заметим, что в соответствии с принятыми сокращениями все три
величины (pj, р и v) являются комплексными. Отделяя
действительную часть показательной функции от мнимой, можно записать
полученное выше решение в следующем виде:
Н[
И)
У
A^^e-^e^-T—^f). (34)
Анализ соотношения (34) приводит к ряду важных заключений:
1) амплитуда волны уменьшается пропорционально расстоянию
от поверхности раздела;
2) затухание происходит и в направлении распространения
волны (вдоль оси X);
3) поверхностями одинаковых фаз являются не плоскости х =
=const, перпендикулярные к границе раздела сред, а некоторые
наклонные плоскости: — -[- — = const.
U О)
Если решение (34) подставить в уравнения (15) и (16), то нетрудно
убедиться в наличии разности фаз между X и Y — компонентами
вектора Е. Разность фаз указывает на то, что конец вектора Е
движется не nb прямой, а по эллипсу.
Плоскость этого эллипса, однако, не перпендикулярна к
направлению распространения волны (как это всегда имеет место при эл-
354
липтической поляризации «свободных» волн), а лишь содержит это
направление.
Приведенные выше расчеты относятся к случаю плоской
волны и не учитывают особенностей источника их возникновения.
Поэтому естественное продолжение теории должно состоять в том,
чтобы найти такое решение для обеих сред, которое, удовлетворяя
граничным условиям, соответствовало бы вместе с тем решению
Герца. Исследование данной проблемы не входит в задачу этой книги.
§ 3. Отражение и преломление на границе раздела
двух диэлектриков
В области очень коротких длин волн, с которыми имеет дело
оптика, поверхностные волны, рассмотренные нал:и в § 2, обычно не
принимаются во внимание. Оправдывается это тем, что любой
излучающий атом всегда находится на столь значительном расстоянии
от возможных граничных поверхностей, что его можно
рассматривать как свободный излучатель в однородной среде. Если же
испускаемые атомами волны попадают на поверхность раздела двух
различных сред, то одна часть излучения отражается, а другая
преломляется. Допустим, что расстояние до излучателя настолько
велико, что волну с достаточной точностью можно считать плоской,
а волновой фронт — неограниченно протяженным.
В качестве поверхности раздела двух непоглощающих сред,
представляющих собой идеальные диэлектрики, удобно выбрать
плоскость XY прямоугольной системы координат.
Пусть, наконец, падающий луч лежит в плоскости XZ и
направление его п задано. О направлении п' отраженного луча и п"
преломленного луча мы не будем, однако, высказывать никаких
специальных предположений. Достаточно принять, что плоскости,
в которых лежат эти лучи, и ось Z образуют с плоскостью XZ
соответственно углы <р' и <р". Тогда, если обозначить через 8, 9' и в"
углы, образованные падающим, отраженным и преломленным
лучами с перпендикуляром к плоскости раздела, т. е. с осью Z (ср.
рис. 106, стр. 357), получится:
n = sin б i-f cos б к,
n' = sin 6' cos <p' i-f sin 6' sin?'j — cos 6'k, (35)
n" = sin 6" cos f i+ sin 6" sin <p"j + cos 6"k
и для векторов Е падающей, отраженной и преломленной волн при
v = с/п:
iJt^UIh) tu [f„2l (x sin 6 -f г cos 8)1 ,
355
Af ia>'It—~ (x sin 6' cos <p' -f- у sin 6' sin ?' — zcos 6') J-f /S
. „/. п"гпл
... i<u»\t—Jh (* sin 6" cos f* -f у sin 6" sin?" + *cos6") ] -f/б" /Л_
= A e l c J » (36)
а для векторов Н:
H = l/ii nXE, H' = 1Л*-п'хЕ', H" = l^— n'XE". (37)
V н Ун9 У h*
Исключая из рассмотрения ферромагнитные вещества, можно
принять, что (л да 1, а |/:е= п. На поверхности раздела (г =0)
потребуем, чтобы при любых значениях х и у, в любой момент
выполнялись условия;
Е 4- Е ' — Е "-
£, + £/ = £/; * '
У + ^У = «у .
Это возможно лишь в том случае, если показатели степени при £
во всех трех числах окажутся равными. Последнее приводит в свою
очередь к ряду важных соотношений. Прежде всего:
о = а/ в а>". (40)
Это означает, что при отражении и преломлении на покоящейся
поверхности раздела частота излучения не меняется. Далее
следует также, что 8' = 8" = 0, или те, т. е. что разность фаз может
принимать лишь одно из двух значений: 0 или те; кроме того,
<р' = <р"в0. (41)
Следовательно, отраженный и преломленный лучи лежат в
плоскости падения (в данном случае — XZ), определяемой
направлением падающего луча и нормалью к границе раздела. Наконец,
получаем три основных соотношения:
sin9 = sin9' (закон отражения), (42)
ях sin 8 ^/la sin 0", (43)
или
4^Ц = — = п (закон преломления)* (43')
356
§ 4. Поляризация и соотношения интенсивностей
при отражении и преломлении
Законы, сформулированные в § 3, вытекают из весьма
элементарных рассуждений. Однако полученные таким образом выводы
не позволяют ответить на естественно вытекающий из предыдущего
изложения вопрос о том, как изменяется интенсивность излучения
при отражении и преломлении, какова, в частности, интенсивность
отраженного света.
Электромагнитная теория отвечает на этот вопрос, исходя из
граничных условий. Требование непрерывности тангенциальных
компонентов при равенстве показателей преломления приводит к
соотношениям:
Ах + А/ - Л/, (44) (п X А), + (п' + А')х =* (n" X А\ • п, (46)
Ау + А/ = А/, (45) (п X А)у + (п' X А% - (п" X А")у • п. (47)
В компонентах можно записать:
(п хА)х = — Ау cos 9; (п' X А'),, = Л/ cos 9;
(п"хА") = —Л/cosO". (48)
(п X А)у = — Az sin 9 + Ахcos 9; (n' X А')у = —A/ sin 9 — A/cos 9;
(п" X А") = — Л/ sin 9" + Л/ cos 9". (49)
Однако такого рода запись не удобна для решения
поставленной выше физической задачи. Естественным было бы разложение
на компоненты, расположенные в плоскости падения и
перпендикулярные к этой плоскости. Предположим далее, что падающий свет
линейно поляризован. Основной характеристикой линейно
поляризованного света необходимо считать «плоскость колебаний»,
подразумевая при этом плоскость, в которой происходят колебания
вектора Е. Понятием о «плоскости поляризации» по возможности
пользоваться не следует, так как по традиционной терминологии в
этом случае подразумевают плоскость колебаний вектора Н, а
последний, безусловно, менее важен для анализа взаимодействия
излучения с веществом, чем вектор Е (например, для анализа
механизма фотоэлектрического эффекта).
За положительное направление компонентов, перпендикулярных
плоскости падения, во всех трех лучах принимается
положительное направление оси Y:
As = Ay, As = Ay , As = Ау , (50)
12 Г. Иос
357
Положительное направление компонентой, параллельных плоскости
падения, установим так, чтобы вращение их относительно луча в
сторону положительного направления оси Y происходило по
часовой стрелке. Отсюда (см. рис. 106) следует, что
Ах = Ар cos 9, Л/ = - Л/ cos О, Л/ = - Л/ cos 9"; (51)
Л _ A, sin S, Л/= -Л/sin 9, Л/= -Л/sin 9". (52)
А'
Подстановка этих значений в
уравнения (44) — (49) приводит к
четырем уравнениям для четырех
неизвестных Ар, Л/, Ар" и Л/:
(Ар — Л/) cos 9 = Л/cos 9"; (53)
AS + A/ = A/; (54)
(As — Л/) cos 9 = п Л/ cos 9"; (55)
Ар + Ар' = пАр". (56)
™ л Решение этих уравнений весьма
Рис. 106.. Отражение и прелом- __ тло ^««т,™^, /со\ „ /ка\
ление света в диэлектрике. простое. Из уравнении (53) и (56)
непосредственно вытекает:
1 \ Ар
У
1 *
V
0\
\
sin t
. cos 0—cos 0" . .
sin в" /, sin 20 — sin 20" /C7.
= Лп . _ , . _„, (57)
n cos и — cos o"
и ' _— Л __. /1
лр л* л cos 6 + cos 6" p sin0 '^sin20 + sin20"
■■" COS 6 + COS 0 '
sin 6"
ИЛИ
Л' Л" tg(0 + 0»)
(570
Точно так же из уравнений (54) и (55) следует:
A'--A sin(9-6,,)
J * sin (0 + 0")
(58)
Далее, путем подстановки этих значений в уравнения (54) и (56),
получается:
358
A" ~ A» sin 6
f 1 J- sinecos6 —sin 6"cose" \
V si n 0 cos 0 + sin 0" cos 0* /
__V 2sin0"cos0
_lf_ sin (0+0") cos (0—0")
U/=
л
1 —
sin (0 — 0") "
sin (0 + П .
__ * 2s in 0 cos 0" ,
~~ s sin (0 + 0")
(59)
(60)
Уравнения (57) —(60), по имени их автора, носят название формул
Френеля. Отрицательный знак в уравнении (58) означает следующее:
если 9 > 6" (отражение от оптически более плотной среды при
л > 1), то As при отражении меняет свое направление на обратное.
У Арг при 9 -j- 9" < — , правда, тот же знак, что и у Ар,
однако положительное направление, согласно стр. 358, будет
противоположным. Поэтому в действительности оба компонента
при отражении от более плотной среды меняют свой знак, т. е.
возникает «фазовый скачок» вектора Е на те. Изменение фазы может
иметь место, в частности, в различных интерференционных явлениях,
где он приводит к возникновению дополнительной разности хода,
равной Х/2. Учет этого обстоятельства здесь очень важен, ибо
картина интерференции целиком зависит именно от разности хода ин-
терфер ирующих вол н.
Отношение амплитудного значения компонентов,
перпендикулярных плоскости падения, к амплитудным значениям
компонентов, параллельных этой плоскости, дает тангенс угла и' плоскости
колебания. При делении уравнения (58) на (57) получаются
соотношения:
Itgtf'l-tgH COS(9-9"> ; (61)
1 * j * cos (0 + 0") '
и точно так же из уравнений (60) и (59):
|tga"| = tgacos(9 — 9"). (62)
Физический смысл полученных соотношений состоит в следующем:
уравнение (61) прежде всего показывает, что для 9 -j- G" = к/2
справедливы соотношения: |tg«'[ = оо, и' = тг/2.
Следовательно, если направления отраженного и преломленного лучей
взаимно перпендикулярны, то плоскость колебания
отраженного света всегда перпендикулярна к плоскости падения, так как
компонент, параллельный этой плоскости, как это видно из
уравнения (57), вообще не отражается. Таким образом, если на границу
раздела падает естественный свет, плоскость колебания которого
с равной вероятностью может принимать любую из возможных
ориентации, то при отражении мы получим поляризованный свет; плос-
12*
359
кость колебания в этом случае ориентирована уже не произвольно,
а перпендикулярно к плоскости падения.
В старой литературе плоскость падения называют «плоскостью
поляризации», а последняя совпадает с плоскостью колебаний
вектора Н.
Если закон преломления рассматривать с учетом соотношения
Qp 4- 0 " = тг/2 , то для угла падения, при котором
естественный свет после отражения оказывается полностью
поляризованным, получается формула:
tgO, = n L (63)
известная в физике как закон Брюстера. Угол 9р называют углом
Брюстера или углом полной поляризации.
Во всех тех случаях, когда естественный свет отражается под
углами, отличными от угла Брюстера, наблюдается лишь
частичная поляризация, так как при этом в отраженной волне
присутствуют компоненты, параллельные плоскости падения. Значение их,
однако, не столь велико, как компонентов, перпендикулярных
плоскости падения. Так как 9 и 9" не могут быть больше тг/2, то
для отраженного света всегда выполняется неравенство:
\tgt/\>tgu. (64)
Соотношение (64) показывает, что плоскость колебания линейно
поляризованного при отражении света всегда смещается при
вращении плоскости падения.
Из уравнения (62) следует, далее, что у преломленного луча
плоскость колебаний смещается в сторону плоскости падения, но
никогда не совпадает с этой плоскостью. Следовательно, полной
поляризации проходящего света получить невозможно.
Сравнительно высокую степень поляризации проходящего света можно
достичь, пропуская естественный свет через стопу
плоскопараллельных пластин.
В случае перпендикулярного падения света формулы Френеля
не дают однозначных решений, но зато именно в этом случае
особенно простым оказывается непосредственное решение системы
уравнений (53) — (56), а именно:
А ' — А п~~ * • А " ~ .^р •
рп + \ г я + 1 (65)
'Л+1 /1+1
Здесь, как и следовало ожидать, \Ар\ и \AS\ совершенно не
отличаются друг от друга, ибо плоскость падения остается
неопределенной.
360
Отношение интенсивностей отраженного и падающего света
называют отражательной способностью или коэффициентом
отражения. Для нормального падения:
*eil-£.'efiL=i)!. (66)
/ Л2 (я + 1)2
Задачи
97. Степенью поляризации называют отношение
/с-/
р =
1Р
Is + h
Определить степень поляризации при отражении света от стекла (п ~
= 1,5), если угол падения составляет 45°.
98. Показать, что при отражении и преломлении на диэлектрике
выполняется закон сохранения энергии.
§ 5. Полное отражение
Закон преломления sin 9" = — sin 9 в случае перехода све-
п
та из среды, оптически более плотной, в среду менее
плотную (т. е. в случае п < 1) может привести к значениям sin 9" > 1,
соответствующим мнимым значениям 9"и Ар" .
В элементарной теории ограничиваются лишь констатацией
этого факта и заключают на его основе, что свет вообще не проникает
в этом случае во вторую среду, а имеет место полное отражение.
Нас, однако, не должны смущать комплексные значения углов
9", так как комплексные функции были введены уже в самом
начале расчетов. Оказывается, что, распространяя формулу Френеля
и на этот случай, можно получить новые весьма важные выводы.
Учитывая, что
sin 9" = — sin 9, cos 9" = — Ksin29 — л2 , (67)
п п
получим:
c<«A/vt*A «■•*, fl" ,♦«* A» COS 6 — l/"sin26 — П2
sin о cos о—sin о cos о n2 r
AP == AP sin б cos 0 + sin 6" cos в" = Ap ~i r • <68)
^ cos 6 + — ^sin26~-n2
Л2
Комплексная величина, на которую умножается Ар, имеет
вид:
*£-«-«♦ (69) при*9-£!£Ь£. (70)
pe^lv n2cos0
Последнее означает, как это видно из уравнения
Ер>-А,.* №«>"', (71)
361
что при полном отражении компонент, параллельный плоскости
падения, испытывает смещение по фазе на угол 2f.
Точно так же устанавливается, что
As — A,
при
cos б-»^/sin2 6—п2 ___
cos 0 + i jAsin20 — л2
j/'sin2 8 — я2
= Лс б-2^
tg^
cos Ь
(72)
(73)
Итак, фазовое смещение обоих компонентов неодинаково, они
находятся по отношению друг к другу в противофазе. Это означает, что
первоначально линейно поляризованный свет оказывается
эллиптически поляризованным. Разность фаз б между обоими
компонентами определяется при этом соотношением
* = 2 (?-<[>).
Для определения 8 следует исходить из условия, что
tg"T = *8в —Ф) ~
i + tg?tg* ^Л
sin2 6-
n2 cos2 6
f)
(74)
,(75)
откуда после некоторых преобразований получается:
Модулированный
волновой фронт
Оптически долее
плотная среда
, Ь COS б У Sin8 в — П2
tg-2" = -
sin3 в
(76)
Затухающий
болнойой фронт
Оптически менее
плотная среда
Рис. 107.
Неоднородные волны при полном
отражении.
Так как комплексные величины, на
которые умножаются Ар и AS9 дают в итоге
единицу, то амплитуда при отражении не
уменьшается, а термин полное отражение вполне
оправдывается.
Несколько неожиданными кажутся
поэтому результаты, к которым приводит
применение формул Френеля ко второй среде, где,
согласно элементарной теории, не должно
происходить каких-либо изменений. Если
угол 9" превышает значение я/2, то он
становится комплексным. Поэтому запишем его
в виде ic/2 + /р и примем следующие
формулы:
cos/p = chp, sin/p=*shp, ch2p — sh2p== 1.
(77)
362
Следовательно,
sin 6" =* clip = —, cos 0" = — /shp - — — К sin2 8—п2 .(78)
n n
Отсюда
л x ch 3 . iz sh 3 \ — v>z sh ft / * ch (S v
^^ = лг/е ^ cin* cln* }=A"e c<'n> e { c^ К (79)
Таким образом, из формул Френеля без дополнительных
расчетов можно заключить, что для приведенных выше значений
sinG" и cos й" амплитуда А" не обращается в нуль, причем
уравнение (79) описывает неоднородную волну, амплитуда которой
чрезвычайно быстро уменьшается по мере проникновения во вторую
сРеДУ- [Числовой пример для случая стекло — воздух In = —)
показывает, что при 0 = 60° амплитуда уменьшается в 180 раз на
расстоянии, равном длине волны.]
Фазовая скорость распространения этих волн составляет
с
n2chp
Факт существования поверхностных волн становится еще более
очевидным, если принять во внимание, что и в первой среде, при
условии ее неограниченной протяженности, суперпозиция падающей и
отраженной волн приводит к возникновению синусоидально
модулированного волнового фронта, движущегося вдоль поверхности
раздела. Этот вывод вытекает из следующего преобразования (ср. со
стр. 72):
, /, х sin б 4- z cos 8 ч . . х sin В— гсоввч
Z?, + £,'-V < ^ )+Аре1"С- *Г->"> -
ол /CDZCOS8 . О„ \ *« Ь J+-£- /Qf\\
= 2Ар cos ( (- -£- ) е ч сщх ' 2 . (ои)
\ c/ni 2 /
Некоторое представление о характере явлений, протекающих в обеих
средах, дает рисунок 107. Процесс, протекающий во второй среде,
изображается здесь в виде ответвления от волны в первой среде.
Несостоятельность всевозможных попыток экспериментального
обнаружения «световой пленки» во второй среде объясняется тем,
что любой эксперимент такого рода вызывает неизбежные
возмущения. Поэтому отражение впервой среде будет уже неполным
Вместе с тем вполне оправдана и такая экстраполяция, при которой
внешними возмущениями (в силу их крайней малости) можно пренебречь.
Вычисление вектора Умова — Пойнтинга для явления полного
отражения показывает, что в этом случае в любой момент времени
существуют места, где энергия вступает во вторую среду, и места,
где она переходит в первую, причем положение этих мест периоди*
чески изменяется.
363
Задача
99. Какой показатель преломления должно иметь вещество
относительно воздуха, чтобы при однократном полном отражении получить свет,
поляризованный по кругу? Под каким углом свет должен падать на поверхность
раздела стекло — воздух, чтобы круговую поляризацию можно было
получить в результате двух полных отражений?
§ 6. Поглощающие среды (металлооптика)
При рассмотрении плоских волн в проводящих однородных
средах оказалось необходимым (гл. VII, § 4) ввести комплексный
показатель преломления, причем величины п и * являлись
функциями г и а. Однако для оптических частот обе эти величины
существенно зависят от частоты, поэтому в оптике проводники
обычно характеризуют величинами п и х, а не г и а [ в и а могут быть
вычислены по известным лих при помощи соотношения (23) (см.
стр. 339), но в области оптических явлений это не дает ничего
нового].
Следовательно, в формулах Френеля следует принять
sin 6" = —^—, (81)
n— it.
cos 6" = —1-— V(n — h)2 — sin2 9. (82)
п — i%
А '
Отношение —7 вновь получается комплексным. Между компонен-
тами, параллельными плоскости падения и перпендикулярными
этой плоскости, как и ранее, имеется разность фаз; поэтому при
отражении линейно поляризованный свет превращается в
эллиптически поляризованный.
Можно записать поэтому, что
А/ _ л, cos (6-6") S=S_AL п /83)
Ap' Ap cos (в+ 6") Л/ # '
Если устранить разность фаз включением компенсатора (в виде
соответствующим образом подобранной кристаллической
пластинки), то, в соответствии с уравнением (83), можно записать:
^"'i-TijHi- (84)
\Т COS (0 — 8")
Учитывая далее, что комплексное выражение — мо-
r cos (6 + 6")
жет быть приведено к виду pei0, характер поляризации
(эксцентриситет и положение эллипса) возможно полностью определить,
A f
так как разность фаз 3 и отношение — — р возможно указать
ар
364
для любого значения угла падения. Эллипс поляризации, вообще
говоря, должен лежать в плоскости, перпендикулярной п\
Возможна, в частности, такая ориентация, при которой одна из осей
эллипса расположена в плоскости падения, а разность фаз между А/ и
Ар составляет тс/2. Угол 0* в этом случае называют главным углом
падения; угол плоскости колебаний, восстановленной при помощи
компенсирующей пластинки (пластинки в «четверть волны»), —
главным азимутом и!*. При этом предполагается, что азимут
падающего света составляет с плоскостью колебаний 45°.
Согласно уравнению (83):
Отсюда следует:
при
_d/ = /p = l±ii^ii^. (85)
ар' 1 — tg в* tg е-'*
tg S* tg 9"* = t±l = е*г (86)
9 — i
tgX = — =ctg«'*[cM. (84)],
• p
X=JL_«'*. (87)
Следовательно, введенный здесь вспомогательный угол /
является дополнительным к главному азимуту а'*. Но так как в
классической оптике плоскостью поляризации называют плоскость
магнитного вектора Н, то х и равно как раз приводимому в таблицах
значению главного азимута. Если в выражение tg О* tg 6"*
подставить значение sinG"* и cosG"*, согласно уравнениям (81) и (82), то
это приведет к соотношению:
tg8*sin8* _^ (g8)
V (п — t*)2 — sin2 0*
Отделение действительной части комплексного выражения от
мнимой дает два уравнения для неизвестных п и у. как функций
наблюдаемых величин 6* и /. Действительные же значения п и *
таковы, что \(п—**)2|> sin26*, поэтому, пренебрегая в
формуле (88) величиной sin26*, можно получить весьма простые
приближенные формулы, точность которых, однако, в большинстве
случаев вполне достаточна:
jg-6*sin6* = &г . (89)
п — Н
Сравнивая величины углов в комплексных выражениях, получаем:
tg 9* sin S* = V п2 + х2 ;
x/n = tg2x. . (90)
365
Следовательно,
п = tg9*sin&*cos2x;
(91)
Для отражательной способности металлов из уравнения (65)
на странице 360 получаем:
^JL **<*-». (92)
А' п — 1 —ix
A n + 1—iy, be'? Ь
Для вычисления интенсивности важно лишь отношение
квадратов амплитуд, поэтому для отражательной способности будем
иметь:
\Ь) (я+1)а + %а п*+г* + 1+2п ' К )
Из формулы следует, что, чем больше */, тем ближе к единице
значение дроби. Поэтому наиболее сильное отражение наблюдается
для таких длин волн, которые наиболее интенсивно поглощаются.
Именно поэтому окраска тел в отраженном и проходящем свете
такова, что цвета их оказываются дополнительными. Тонкая золотая
фольга в проходящем свете кажется поэтому голубой.
Если плоская волна падает на поверхность раздела вакуум — металл
наклонно, то преломленная волна имеет сложный характер. Плоскости
одинаковых амплитуд не будут совпадать с плоскостями одинаковых фаз,
потому что отдельные части волнового фронта (т. е, плоскости одинаковой фазы)
проходят в этом случае через различные по толщине слои поглощающего
вещества.
Однако рассмотренный нами на странице 355 вывод закона преломления
можно распространить и на случай комплексного показателя преломления,
подобно тому как формулы Френеля, содержащие закон преломления, были
формально распространены на металлы. Если же без учета поглощения
исходить только из наблюдаемых на опыте значений отношения синусов
падающего и преломленного лучей, то при помощи довольно громоздких
вычислений можно показать, что само это отношение зависит от угла между
плоскостями одинаковых фаз и одинаковых амплитуд, т. е. от угла падения. Таким
образом, обычный закон преломления теряет свою силу. Однако
практическое значение этого удивительного результата невелико.
Глава IX
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ЧАСТЬ III. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
(КРИСТАЛЛООПТИКА)
§ 1. Уравнения Максвелла для анизотропных сред
В анизотропных средах и в первую очередь в кристаллах, не
относящихся к кубической системе, уравнения Максвелла
становятся более сложными, так как поляризуемость атомов здесь не
366
может быть выражена простой скалярной величиной» как у
свободного атома, где при любой ориентации она в среднем одинакова
по всем направлениям. Учитывая, однако, что в анизотропных
средах атом рассматривается в составе кристаллической решетки,
необходимо исключить возможность свободного вращения, а
следовательно, и возможность усреднения по всем ориентациям.
Следует учесть, кроме того, что анизотропия свободного атома может
усилиться за счет влияния соседних атомов. Если же для
различных компонентов вектора Е величина поляризации окажется
различной, то вектор Р уже не может иметь направление вектора Е,
хотя зависимость между Р и Едолжнабыть по-прежнему линейной.
Таким образом, зависимость Р от Е должна выражаться линейной
векторной функцией, а восприимчивость ЧГ— тензором:
Р = ЧГ. Е. (1)
Вектор электрического смещения D должен быть линейной функ
цией Е, а диэлектрическая постоянная Ф — тензором:
0 = Е + 4кР=Е + 4*ЧГ. Е = Ф- Е, (2)
или в компонентах:
DX = £11 Ех + £12 Еу + £13 Ег\
Dy = е21 Ех + s22 Еу + Чз Ег; (3)
Dz = hi Ех "~Ь £32 Еу "г Ззз Дг
Исключим из рассмотрения ферромагнитные тела, т. е. положим,
что [х = 1. Второе уравнение Максвелла останется при этом без
изменений, поэтому обратимся к первому уравнению. Так как
всякое изменение поляризации означает движение электрического
заряда и вместе с тем наличие тока плотности —, то для любой
среды, вообще говоря, справедливо уравнение
rotH = -L^ + i^ = -L^. (4)
с dt { с dt с dt . w
Если вернуться к выводу уравнений Максвелла, основанному на
законе сохранения энергии (стр. 331), то для получения уравнения
(4) пришлось бы допустить, что плотность электрической энергии
вообще и для анизотропных тел в частности составляет:
иэл = —<- Е . D, (5)
on
тогда как вектор потока энергии —Е X Н содержит лишь Е
и Н.
367
Закон сохранения энергии приводит здесь к следующему
выражению:
(6)
или:
с
f(H.rotE — E.rotH)dx = A_Lf(E. D + H2)dx
J dt 8k J
8jc J \ a< at ' a/ /
(7)
Для получения уравнения Максвелла необходимо, как и ранее (см.
стр. 35Q), приравнять коэффициенты при Е и Н,
При составлении первого уравнения никаких трудностей не
возникает, а второе может быть записано в форме (4) только при
условии, что
(8)
с 3D п аЕ
Е . — = D . —
dt
dt
Последнее означает, что Ф представляет собой симметричный
тензор. Действительно, если записанное в компонентах условие (8):
-Н31£, ^Л.ез2Е,^14-ЧзЕг^
1 31 z dt ' 32 z dt г dt
sn *^x ~~^f ~T Ei2 Ey -^- -f- г13£г —^- -\~
dE,
dt
ЭЕх
dt
-{+«и^+*я,^ + «»^ +
dt
T-i Oil % I /7» U'-'Z
должно быть справедливым для всех значений Ех, Еу и EZ) то
необходимо, чтобы
(9)
*ik
Hi
Связь между D и Е в этом случае может быть наглядно
представлена при помощи тензорного эллипсоида диэлектрической
проницаемости. Для этого примем, что Е = г1 и
1 Переводной коэффициент, учитывающий различие размерностей Е и г,
удобно выбрать равным единице.
36S
D.r = f11^ + 2eia^ + ffe^ + 2ee^ + e882e + 2^12yf=s 1. (10)
Тогда (см. стр. 41) получим направление D как направление
нормалей к поверхности эллипсоида, а величину D — как обратное
значение проекции г на нормаль.
Для удобства мы будем пользоваться в дальнейшем системой
отсчета, координатные оси которой совпадают с главными осями
эллипсоида. Уравнение (10) при этом значительно упрощается и
принимает следующий вид:
si*'2 + sii#'2 + eniz'2=l. (П)
Величины ei , ец ,. ещ называют главными значениями тензора
диэлектрической проницаемости кристалла. Из формулы (11)
следует, что оси эллипсоида пропорциональны величинам ~р= э
- , > . Учитывая далее, что в изотропных средах ско-
У *п У еш
рость света равна -£= , величины .1 , ■ _ , -~— можно
У« V гх у г\\ / еш
назвать по аналогии главными лучевыми скоростями в
кристаллах.
Главные оси эллипсоида (11), называемого эллипсоидом
Френеля, оказываются, таким образом, пропорциональными главным
лучевым скоростям. В выбранной здесь системе отсчета, где
уравнение эллипсоида отнесено к главным осям, справедливы также
следующие простые отношения:
Dx> = е, Ех>, Dy> = еп Еуг, D2> = еш ЕЖ' . (12)
Но так как в , е е различны, результирующий вектор D не
будет больше параллельным Е.
Однако в той же координатной системе уравнение (12)
позволяет получить следующие соотношения:
Ех. - — D*9 Еу> =-L Dy9 Ег, = -i-D, . (13)
ei еи еш
Формулы (13) показывают, что главные оси эллипсоида Френеля
являются одновременно и главными осями тензорного эллипсоида,
который, напротив, дает Е как функцию D. Уравнение такого
эллипсоида
J**'3 ti'2 7'*
1—^-f-:~=l (14)
369
показывает, что его оси пропорциональны корням из главных
значений тензора диэлектрической проницаемости, т. е. главным
значениям тензора показателя преломления. Его назьюают поэтому
эллипсоидом показателя преломления. Соответствующий тензор
обозначают Ф"""1, т. е,
Е = Ф-1.0. (15)
§ 2. Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах
Допустим, что электрический вектор Е характеризует плоскую
волну. Плоскости одинаковых фаз будем считать
перпендикулярными к единичному вектору п. Допустим также, что в
направлении п фазовая скорость равна v.
Тогда
Е = Еое'ш('-^. (16)
Из второго уравнения Максвелла получим в этом случае:
£=cnrtE.«",<'-1^) ^EoXgrad/^'-^. (17)
Так как grad (г . п) = п, то после интегрирования по t1 будем
иметь:
н в _£_ etm(f-^rKx E„ = Н,*'"*'-1^ (18)
V
при
Н0 = |пХЕ0. (19)
Отсюда следует, что вектор Н перпендикулярен к плоскостям, в
которых лежат векторы Е и п. Первое уравнение Максвелла
принимает вид:
™ =crotH = crotHoe"°^-L^) = -^^(/-4r-)nXH.(20)
dt v
1 Если принять г • п = «, то grad u= n и grad e v -.
_, — е и gra ^ и^ следовательно,
v
ЕоХ grade V " J =— e V v J n X E0.
v
370
После интегрирования и подстановки значения Н0 из
уравнения (19) получим:
D^_4^^^)nX(nXE0)==D0,^^).
(21)
Согласно этому уравнению DJ_n. Таким образом, ориентация
векторов D и Н соответствует чисто поперечным волнам.
Путем разложения двойного векторного произведения из
уравнения (21) можно получить соотношение,
очень важное для дальнейшего изложения:
или:
D = -ME-n(n.E)],
D — E + (n . E)n = 0.
(22)
Рис. 108. Положение
векторов D, E, H, n и S
в анизотропной среде.
Уравнение (22) показывает, что векторы D,
Е и п лежат в одной плоскости, а Н
перпендикулярен к этой плоскости. В этой же
плоскости лежит и вектор S = 1(e^ H),
причем он образует с п тот же угол 6, что
и Е с D (рис. 108). Вектор S указывает
направление потока энергии. Это значит, что
в этом направлении перемещается ограниченная часть волнового
фронта, причем нормаль к нему всегда сохраняет направление п.
Этот процесс можно сравнить с движением подразделения солдат,
марширующих развернутым строем, которому скомандовали:
«полоборота направо, марш». Скорость потока энергии, как видно из
рисунка, составляет:
v= v
cos б
(23)
V называют также лучевой скоростью. Если перейти к
компонентам тензорного эллипсоида в системе координат, отнесенной к его
главным осям, и выразить во втором члене Е через D, то из
уравнения (22) получим:
/1 V2\ ъ _ с rw П • Е COS a
\Dy = п . Е cos а, или D х = -. г,
(i-f)Dv = n-EcosP, «н^^,
(24)
371
/1 t>2 \ о ~ г? г* П • Е COS 7
D = п • Е cos т, или D,= —j - •
еш с2
Выразим, далее, скалярное произведение D • п через
компоненты тензорного эллипсоида, согласно уравнениям (24), и разделим
полученное выражение на произведение Е • п. Тогда, учитывая,
что D • п = 0 (так как Dj_n), а Е . п Ф О, получим:
COS2 а , COS2 3 I COS2 7 r\
"1 Ь* *+~ 1 v* "т" ~ и2" ~
(25)
е1 С2 еЦ С2 еШ С2
Соотношение (25) представляет собой квадратное уравнение
относительно v, выраженной в функции компонентов единичного
вектора п. Таким образом, к каждой волновой нормали следует
отнести две, вообще говоря, фазовые скорости. К направлению
оси X (cosa = 1, cos [3 = 0, cos у = 0) относятся, в частности,
SII eIII
Поэтому вместо выражения —= можно подставить значение глав-
ных лучевых скоростей vY, v{]t vuv Уравнение (25) принимает
при этом более стройный вид:
COS2 а , COS2 Р
V2 — V2 tP" — V2 С2 — V2
0.
Из уравнения (24) следует также, что
Г) .Г) . Г) — COS a # COS2 3 # COS2 Y /ос\
1Г — U2 V — V2 V — V2
Таким образом, если для некоторого направления найдены
скорости v' и т/\ то направления соответствующих векторов D' и D"
получаются простой подстановкой v' и v" в соотношение (26).
Учитывая далее, что '
D'. D' = (п • Е') (п . Е") с4
COS2 a
( У2 - v'%) ( У2 - t;"2)
, cos23 . cos2 7
"r( °?-«^К-о (4-""Ж,-""2)
можно заключить: D' __L D"f
372
(27)
Поскольку, однако, справедливо тождество
COS2 a COS2 a __ (t/2 — у"*) COS2 a
и2 — у'2 v2 — и"2
ТО
П/ D" = (п * ^') (п * Е" ) с* ] сид~ " щ=>~ д г
/2 — «'•''г
к—-2)(
{ ( COS2 а
) v2 -v'*
cos2 7
vm~v'%
-?
— fl"2) '
cos2 а
У2 — и"
cos2 7
ill
(28)
COS2 ft COS2 ft , Wo- I K.KJO- l , (<>7*
,2 __„/3 „2 _„"2 "Г ,.2 ,./a d2 _ „*2 \ ' KL* '
Понятно, что v' и v" представляют собой корни уравнения (25'),
поэтому суммы положительных и отрицательных членов,
естественно, выпадают.
Геометрически направление вектора D может быть найдено при помощи
тензорного эллипсоида показателя преломления следующим образом:
пересечем эллипсоид плоскостью, перпендикулярной к п. Сечением эллипсоида
окажется эллипс, главные оси которого совпадают с направлениями D' и D".
Докажем это. Главные оси характеризуются тем, что в направлении этих осей
г2 принимает экстремальные значения. Дополнительным является, кроме того,
условие, что г относится как к плоскости г • п = 0, так и к эллипсоиду
г • Ф • г = 1. Условие экстремума дает:
г . Ьг = 0, (29)
а вариации дополнительных условий:
п • Ьг « 0 и Ьг . Ф-1 . г = О1. (30)
Если ввести множители Лагранжа X и pt , то получим уравнение
г + Хп + рьф-"1 г=0. (31)
Если учесть, что г • п = 0 и г • Ф"""1. г =1, то скалярное умножение на
г или, соответственно, на п приведет к выражениям:
pt = -r2,
X =: Г2 П • Ф-1 . Г.
Отсюда
-V + " (п • Ф""*1 • г) — Ф-1 . г « 0. (32)
г2
Так как в тензорном эллипсоиде г = D / р ( р — размерная постоянная,
зависящая от свойств среды2, то
-g-D-ф-' . D +п (п . Ф-1 .D)=-^D-E + n(n.E)=0. (33)
* Поскольку в соответствии с уравнением тензорного эллипсоида Е=Ф »г
имеет направление нормали, а условие, согласно которому вариация
распространяется и на эллипсоид, означает, чтойг должно быть перпендикулярно Е.
2 Для сравнения уравнений (22) и (33) введение коэффициента р дейст-
с2
вительно необходимо, так как при г = D получилось бы выражение D2 = -_,
V2
не имеющее физического смысла.
373
Соотношение (33) полностью совпадает с основным уравнением (22), если при-
v2 р2
нять в последнем, что— = —.
с2 D2
Когда таким способом будут найдены оба вектора D' и D",
относящиеся к одной нормали, направления связанных с ними
векторов Е' и Е" определятся как нормали к поверхности эллипсоида
в точках, совпадающих с концами векторов D' и D".
Следует заметить, что векторы D' и D" могут быть и не
перпендикулярны между собой, но векторы Н' и Н" всегда
перпендикулярны плоскостям D' и п или, соответственно, D" и п. Так как Е'
и Е" тоже могут быть не перпендикулярны друг другу, то одной
волновой нормали соответствуют два направления векторов S:
S^-E'XH' и S"= — Е" X Н".
(Соответствующие единичные векторы обозначим через s' и s".)
Таким образом, по заданному п еще нельзя однозначно определить
ориентацию других векторов, в то время как D вполне однозначно
определяет направления n, E, S и значение v. Действительно, п
должен быть перпендикулярен D, а при заданном D направление
Е однозначно определяется тензорным эллипсоидом, так как п,
D и Е должны лежать в одной плоскости (см. уравнение 22).
Величина v при заданном векторе D может быть проще всего
получена из уравнения (22), причем скалярное умножение на D
приводит к уравнению:
v=°^-cv°IEIIE. (34)
С другой стороны, если исходить из направления вектора S,
то получаются аналогичные соотношения, однако векторы Е и D
меняются в них местами. Так как D, Е и s также лежат в одной
плоскости, то справедливо уравнение
D + aE + ps = 0.
Коэффициенты аир можно получить скалярным умножением
полученного соотношения на s или, соответственно, на п. Умножение
на s дает р = — D.s, так как sJ_E.
Учитывая далее, что n_LD, умножение на п с последующей
подстановкой р приводит к выражению:
a== (D - ») (s • п)
374
С другой стороны, из уравнения (22) вытекает, что
D.s=-4("'S)(E.n)
и, следовательно,
^2 г2 г2
а^—±- (П . s)2 « — i~cos2§= — —.
Отсюда
i^E-D + (s.D)s = 0
(36)
Сравнение этого выражения с уравнением (22) показывает, что
D и Е поменялись местами, а отношение — заменено на — .
с2 V2
Обозначая компоненты s, т. е« направляющие косинусы луча
через cos A, cos 5, cos Г и выражая во втором члене D через Е,
получим уравнения для компонентов Е:
(37)
, ___ D • s cos A
£ ,
1 уъ
Е =
D 'scos В
£"~" уа
Р D . s cos Г
вШ~ У2
Уравнения (37).позволяют выразить скалярное произведение E-s
в виде;
' ~ (38)
о? cos2 Л
1 *
U-V*
v2 cos2 Б
11
«f.-^
"шс°^ =о|
2 1/2 !
Здесь si, 81Ь £ш заменены соответственно отношениями
сг сг с2
v2 ' #■ * и2 '
I II III
Соотношение (38) представляет собой [ср. с уравнением (25)]
квадратное уравнение относительно V, выраженной в функции
компонентов s. Направления векторов Е' и Е" по аналогии с D' и D"
можно получить или путем расчетов из уравнения (37), или
геометрически как направление главных осей эллипса, образованного
сечением эллипсоида Френеля плоскостью, перпендикулярной s и
проходящей через центр эллипсоида.
Направления D' и D" определяются затем из эллипсоида
Френеля уже известным способом, так как D' и D" здесь вновь не
перпендикулярны друг другу.
375
§ 3. Поверхность нормалей и лучевая поверхность
(поверхность волны). Оптические оси
Рассмотрим теперь световое возмущение, распространявшееся
из точечного центра. Такой центр может и не быть действительным
источником света. Согласно часто применяемому в теории
дифракции принципу Гюйгенса можно с известным
правом — более подробно об этом в
следующей главе — рассматривать любую точку
волны как центр возникновения новых волн.
Поэтому возбуждение, исходящее из точки О,
можно представить себе таким образом, что в
любом направлении от О существует элемент
поверхности, представляющей собой часть
плоского волнового фронта. По истечении
секунды волновой фронт распространится в
направлении нормалей на расстояние v. Если на
каждой из нормалей отложить отрезки ОР =
=г= vt то конечные точки этих отрезков
образуют поверхность, называемую поверхностью
нормалей.Одрако в действительности часть
возникшего волнового фронта по истечении секунды лежит уже не
на нормали, а где-то в стороне от конечной точки Р (см. рис. 109).
Дело в том, что огибающая всех волновых фронтов образует
новую поверхность, на которой лежат лишь отдельные части новых
фронтов, прошедших через точку О. Эту поверхность называют
лучевой или, иначе, поверхностью волны. Рассмотрим сначала
поверхность нормалей. Уравнение этой поверхности можно получить из
уравнения (25'), если заменить в нем v на г и cos а, ... на.1, ...
Лучевая
поверхности
Рис. 109.
Возникновение фронта волны
обыкновенного и
необыкновенного лучей.
/ 2
(39)
Выражение (39) характеризует двуполостную поверхность шестой
степени. Наличие двух оболочек отражает здесь тот факт, что
каждому направлению нормали соответствуют два значения фазовой
скорости. Рассмотрим теперь кривые пересечения этой
поверхности с координатными плоскостями, которые являются плоскостями
симметрии тензорного эллипсоида Френеля. Пересечение
поверхности (39) плоскостью у = 0 дает:
(^-г2)(^п-г2)л;2 + (^-г2)(^-г2)^ = 0.
Эта кривая распадается на окружность
(390
376
и овал четвертого порядка
Если допустить теперь, что
vi < он < vuu
то из полученных соотлошении следует, что в плоскости у = 0, и
только в ней, окружность и овал имеют действительные точки
пересечения. Действительно, если в уравнении овала принять г = vn
то коэффициенты при х и z получат разные знаки, поэтому
уравнению могут удовлетворять действительные значения х и z.
Указанные точки замечательны тем, что они являются общими
для обеих оболочек поверхности шестой степени. Направления от
центра этой поверхности к этим точкам, определяемые уравнением
/*
^ = tga=±-|/ -Щ—ji*. (40)
называются оптическими осями.
Далее следует, что направляющие косинусы волновых
нормалей, совпадающих с одной из осей, например осью, соответствующей
положительному знаку корня, определяются из следующих
соотношений:
cos a = J = i / J£l I , cos p -0,
(41)
Если эти значения подставить в уравнение (25'), то получится, что
i/ = v" = vn, т. е. что в направлении оси существует только одна
фазовая скорость. Из соотношений (41) непосредственно следует, что
Dv становится неопределенным, так как в уравнении (24) выпадают
2
cosp и -1 -£•
siii c
Отношение Dz Dr, как и следовало ожидать, даст ctg a, так как
условие DJ_n выполняется при любых возможных значениях
J
V"l+tg*a
/ v2 - v2
f III \
/ v2 -v2
cos т = sin a = -| / _Ш Ц
377
F-компонентов. Следовательно, и D также может иметь все
возможные направления в плоскости, перпендикулярной п. Но, с
другой стороны, геометрическое построение должно было бы дать два
значения осей эллипса, образованного пересечением тензорного
эллипсоида. Противоречие разрешается тем, что эллипс в этом
случае становится окружностью, а направление вектора D остается
неопределенным. Таким образом, оптические оси перпендикулярны к
плоскостям круговых сечений тензорного эллипсоида.
Неопределенность в направлении D приводит в свою очередь и к
неопределенности в направлении сопряженного луча; однако отсюда еще не
следует, что различные возможные направления лучей можно
получить вращением полученной системы векторов (рис. 109)
относительно оси, совпадающей с п. Дело в том, что угол между D и Е,
а следовательно, и между п и s зависит только от D. Поэтому
естественно принять, что п является не осью конуса, описываемого
различными направлениями лучей, а само служит образующей такого
конуса. Но так как ось Y лежит в плоскости кругового сечения и,
следовательно, является одним из возможных направлений D, и так
как в плоскости этого сечения направления D и Е совпадают, то и
s должно совпасть с п.
Угол между двумя оптическими осями уменьшается по мере
того, как vlu приближается к значению vn , а в предельном случае
при v]u = vu обе оси совпадут с осью X, В конечных точках совпав-
дающих осей окружность касается овала. Именно так обстоит дело
в оптически одноосных кристаллах. Эллипсоид Френеля и
тензорный эллипсоид показателя преломления становятся в этом
случае эллипсоидами вращения; поэтому, как это и следует из уравне*
ния (39), поверхность нормалей распадается на шар г2 = v\n и
поверхность вращения четвертого порядка:
( "и— г2)х2 + ( v\ —r2)(y2 + z2) = 0. (39")
С практической точки зрения интерес представляет не столько
поверхность нормалей, сколько лучевая поверхность или так
называемая поверхность волны. Последняя представляет собой
геометрическое место точек, удаленных от центра на расстояние, равное
лучевой скорости в данном направлении. В полученных таким
образом точках следует искать действительные части волнового фрон-
та, который на всем своем протяжении представляет собой
плоскость, касательную к лучевой поверхности.
Если из точки О опустить на такую касательную плоскость
перпендикуляр, то снова получится точка, принадлежащая
поверхности нормалей. Следовательно, поверхность нормалей — это
поверхность оснований перпендикуляров к лучевой поверхности. Урав-
378
нение лучевой поверхности можно получить, если в уравнение (38)
подставить г вместо V и-,... вместо cos Л,...
г
Тогда, после подстановки, получится:
А < *п - '2) ( *П1 - '2) х* + < ( 4 - г") ( v] - г») у2+
+ v2m{v]- r2)(v2n-r2)z2 = 0. (42)
Выражение v\ х?п v\n (х2 -J- у2 -f- г2) называется членом низшей
степени.
Так как все другие члены содержат г2, то после деления на этот
общий множитель получается уравнение лучевой поверхности не
6-го, а 4-го порядка. При пересечении этой поверхности
координатными плоскостями в сечениях
получатся окружности и эллипсы (см.
рис. 110). Должна быть и такая
плоскость, в которой окружность и
эллипс имеют действительные точки
пересечения. Прямые, соединяющие
эти точки, называют оптическими
осями.
Если луч имеет направление одной
из оптических осей, то одному
направлению луча соответствует бесконечное
множество направлений нормалей,
которые описывают поверхность конуса. У одноосных кристаллов
лучевая поверхность распадается на шар г2 — v2n и эллипсоид
вращения:
Рис. 110. Два фронта волны,
распространяющейся в дву-
осном кристалле.
y* + z*
1-0.
I
(43)
§ 4. Преломление плоских волн на плоской границе
раздела анизотропных тел
Так как условия непрерывности тангенциальных компонентов
Е и Н должны, естественно, выполняться и для анизотропных сред,
то полученные на странице 355 выводы, приводящие к законам отра*
жения и преломления, могут быть непосредственно распространены
и на этот случай. Следует лишь принять во внимание, что через п
в обоих случаях обозначено направление волновой нормали, как
это непосредственно следует из уравнения плоской волны для
анизотропных сред (см. § 2), Таким образом, на границе анизотропной
среды волновая нормаль остается в плоскости падения и подчиняет-
379
ся закону преломления. Однако установление этого факта по
существу еще ничего не означает, поскольку в отличие от изотропных
сред показатель преломления в данном случае сам зависит от
направления нормали. Следовательно, для подстановки в уравнение
правильного значения показателя преломления надо было бы
наперед знать направление преломленной нормали. Решение задачи
возможно на основе построения, к
которому прибегают иногда и в случае
изотропных тел.
В основе этого построения лежит прин:
цип Гюйгенса, согласно которому любую
точку волны рассматривают как центр
вторичных волн. Волновой фронт,
соответствующий некоторому моменту времени,
получается при этом как огибающая
поверхность всех вторичных волн. (Более
подробно это изложено в следующей главе.)
Применим этот принцип к случаю преломления
плоской волны на поверхности кристалла
(рис. 111). Вторичные волны здесь
придется рассматривать исходящими из
различных точек поверхности кристалла и
учитывать, что первичное возбуждение
достигает точек А и С поверхности кристалла
в разное время. Причина этого состоит в
том, что точки одинаковой фазы падающей
волны лежат в плоскости АВ. В тот
момент, когда первичное возбуждение достигает лишь точки С,
вторичное возбуждение, исходящее из точки Л, уже достигает
в кристалле волновой поверхности, соответствующей моменту
ВС
времени —. При этом предполагается, что первая среда — ва-
с
куум.
Аналогичным образом можно определить и положение волновых
поверхностей, относящихся ко всем остальным точкам, лежащим
между А и С. Однако огибающей поверхностью должна быть
плоскость, проходящая через точку С; поэтому для построения нового
волнового фронта достаточно провести через С плоскость,
касательную к волновой поверхности, относящейся к точке А (рис. 111, а).
В направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, волновой
фронт имеет бесконечную протяженность. Поэтому в
действительности речь идет о плоскости, касательной к системе волновых
поверхностей, относящихся к точкам прямой, которая проведена
перпендикулярно плоскости рисунка через точку А. Представим себе
теперь световой луч, преломленный в точке Л, для которого в
окрестности этой точки реализуется лишь небольшой элемент
волнового фронта. Этот элемент в силу сказанного выше должен содержать
Плоскости
падения
Рис. 111. К построению
преломленного луча и
его волнового фронта.
380
точку касания с волновой поверхностью. На рисунке 111,6
изображена волновая поверхность в сечении, перпендикулярном
плоскости рисунка 111, а. Верхняя прямая проектируется на рисунке
111, а как точка А. Обе точки касания (к каждой оболочке
относится по одной) лежат, вообще говоря, не обязательно в плоскости
рисунка 111, а, т. е. не в плоскости падения. Поэтому преломленный
луч, вообще говоря, не подчиняется закону преломления.
Итак, во всех практически встречающихся случаях следует
четко различать, о чем идет речь: о преломлении нормали или о
преломлении луча, т. е. очень ограниченной части волнового фронта.
Различие это сказывается уже в простейшем случае прохождения
света через плоскопараллельную пластинку из анизотропного
материала. Если плоская волна падает перпендикулярно на такую
пластинку, то нормаль не преломляется. Однако соответственно
двум скоростям распространения, относящимся к одному
направлению нормали, внутри пластинки существуют две плоские
волновые поверхности, параллельные направлению нормали. Если
плоскую кристаллическую пластинку внести в параллельный пучок
лучей между коллиматором и зрительной трубкой спектроскопа, то
никакого двойного преломления не наблюдается, так как в данном
случае речь идет лишь о направлении нормали. Другое дело, если
из волнового фронта выделить ограниченный пучок. Такой пучок
испытывает двойное преломление, потому что в общем к одной
нормали относятся уже два направления луча.
Особый интерес представляет случай, когда у двуосного
кристалла волновая нормаль имеет направление одной из оптических
осей. Направлению нормали соответствует при этом бесконечное
множество направлений лучей; поэтому при прохождении через
кристалл тонкого пучка на экране наблюдается светлое кольцо.
Возникновение кольца связано с тем, что при вхождении в
кристалл очень тонкого и практически параллельного пучка
последний становится расходящимся и принимает форму конуса. При
выходе света из кристалла вновь наблюдается преломление,
в результате которого пучок принимает форму кругового
цилиндра.
Эффект двойного лучепреломления можно получить, если на
поверхности пластинки поместить точечный источник, излучающий
свет во всех направлениях. Роль такого источника может
выполнить, например, диффузно освещенная пластинка с отверстиями.
Если поместить такую же диафрагму и с противоположной стороны
кристаллической пластинки, то она выделит один определенный
луч. Такой луч действительно будет испытывать двойное
лучепреломление, так как к нему относятся два различных направления
нормалей, в силу чего для каждого из лучей показатель преломления
различен. Если фиксированный таким образом луч имеет
направление одной из оптических осей, то к одному направлению луча
относится бесконечное множество нормалей. Преломление последних
381
приводит к тому, что лучи после выхода т кристалла описывают
поверхность конуса. Этот случай называют внешней конической
рефракцией.
До сих пор молчаливо допускалось, что падающий свет непо-
ляризован, т. е. что не существует преимущественного направления
колебаний вектора Е. Вернемся теперь к случаю
перпендикулярного падения плоской волны. Два взаимно перпендикулярных
направления D перпендикулярны в свою очередь к нормали ti; поэтому,
пользуясь старыми обозначениями, можно утверждать, что
векторы D' и D" лежат в плоскости пластинки. Направлениями D и п
определяется также плоскость колебания вектора Е (ср. с рис.
108). Пусть теперь на пластинку падает линейно поляризованный
свет и электрический вектор образует с
одним из двух векторов D угол и. Тогда
вектор Е можно разложить на два компонента
вдоль направлений D' й D". При этом следует
иметь в виду, что каждому из компонентов
отвечает различная фазовая скорость.
Вследствие этого при выходе света из
пластинки существует некоторая разность фаз, и
линейно поляризованный свет становится
поляризованным по эллипсу. Если же внести
каким-либо способом противоположную
разность фаз, то эллиптически поляризованный
свет можно превратить в линейно
поляризованный (так называемый принцип
компенсаторов для «эллиптического» света).
В заключение объясним происхождение причудливых картин,
возникающих при прохождений поляризованного света через
плоскопараллельную пластинку из анизотропного вещества. Если
поляризованный свет направить на такую пластинку под углом % то
внутри ее можно выделить два различных направления нормалей.
Каждое из них связано с одной1 плоскостью колебаний вектора D,
а следовательно, и Е. Плоскость колебаний в падающем свете,
вообще говоря, не совпадает с одним из этих направлений; поэтому в
каждом из них имеются отличные от нуля компоненты. В месте
выхода из кристаллической пластинки обе нормали вновь
приобретают одно и то же направление, что непосредственно следует из
принципа обратимости лучей. Однако внутри кристалла обе волны
прошли все же различные расстояния; поэтому при выходе возникает
некоторая разность фаз. Наличие разности фаз указывает, как и
раньше, на то, что в общем случае выходящий свет является эл-
Рис. 112. Двойное
лучепреломление в
плоской пластинке.
1 Не следует думать, что для каждой из преломленных нормалей
существуют в свою очередь две плоскости колебаний. Наоборот, построение
преломленного волнового фронта показывает, что к каждой из обеих нормалей
относится вполне определенная скорость v , а следовательно [согласно
уравнению (26)], й вполне определенное направление вектора D.
382
липтически поляризованным (сравните с рассмотренным выше
случаем нормального падения). Разность фаз, согласно рисунку 112,
определяется уравнением
V V' С V" )
Если углы между перпендикуляром к плоскости падения и
преломленными внутри кристалла нормалями обозначить через <|/
и <]/', то при толщине пластинки d
АВ = — ; АС = -i- ; BD = ВС sin? = d(tg ф" — tg f) sin?),
cos У cosy'
стало быть,
«» __ , r/siny7 sin^ 1_\ 1 /sin ф'sin у 1 \ 1 "[
""Ш [\ с o"Jco5^ V с о'/cos4*'J"
Так как волновая нормаль подчиняется закону преломления, то
sin у ___ si'ir]/' s\n¥ .
- 9
С V V
следовательно,
5 , /CQSY COS^'X /лл.
= (~7^ —^/ • ^
а для наиболее распространенного случая почти
перпендикулярного падения
8«o>df- -). (44')
\ у' и" /
Если разность фаз составляет 2ятг, то выходящая волна окажется
линейно поляризованной в той же плоскости. Такая волна может
быть погашена при помощи второй призмы Николя, повернутой
относительно первой (поляризатора) на угол тс/2.
Если падающий свет имеет форму сходящегося пучка, то все
направления, соответствующие углу ср, дадут темноту. Углам
преломления ф' и ф" в этом случае соответствует б = 2тс. Стало быть,
эти направления дадут для определенной длины волны в
фокальной плоскости линзы темные кривые, называемые изохроматами.
Такие кривые не являются, однако, единственными. Дело в том,
что имеется и другая возможность: плоскость колебания падающей
волны при определенных углах падения может совпадать как раз
с одной из возможных плоскостей колебаний в кристалле. В этом
случае вторая волна вообще отсутствует, не возникает и
эллиптическая поляризация. Образующаяся таким образом темная
кривая называется изогирой,
заз
Задача
100. Показать, что при прохождении света через пластинку одноосного
кристалла, плоскости которой перпендикулярны оптической оси, можно
получить на экране при помощи двух николей систему концентрических колец,
разрезанных по двум взаимно перпендикулярным направлениям,
совпадающим с плоскостью колебаний поляризатора и анализатора.
Глава X
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
IV ЧАСТЬ. ВЛИЯНИЕ ОГРАНИЧЕНИЯ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ
(ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ)
§ 1. Общая проблема дифракции и попытки ее решения.
Формула Кирхгофа
В предыдущих разделах рассматривались почти
исключительно неограниченные волновые фронты. Даже в тех случаях, когда
речь шла об ограниченных световых пучках, как например в
оптике кристаллов, пришлось исходить из предположения, что
ограниченная волна распространяется так же, как неограниченная.
Сечение пучка, полученное при прохождении света через диафрагму,
предполагалось неизменным. В действительности это не совсем
так. Простейшие опыты убеждают в том, что свет попадает и в ту
часть, куда, согласно приведенному предположению, он попасть
не может.
Эта часть названа областью геометрической тени, а само явле-
' ние проникновения света в область геометрической тени
получило название дифракции света.
Математически проблема дифракции от препятствия может быть
сформулирована следующим образом. Необходимо найти такое
решение волнового уравнения для Е и Н, которое удовлетворяло бы
дифференциальным уравнениям для обеих областей (т. е. для
препятствия и остального пространства) и которое, кроме того,
удовлетворяло бы требованию непрерывности тангенциальных
компонентов Е и Н на границах. При этом необходимо иметь в виду, что
6, |i и а для обеих областей различны. Если бы такое решение
действительно удалось найти, то тем самым были бы решены
вопросы об интенсивности, характере поляризации и других особенностях
излучения в области за препятствием.
Однако математические трудности подобного решения
настолько велики, что до сих пор удалось получить решение лишь для
наиболее простых случаев (дифракция плоской волны от шара,
цилиндра или экрана).
Для огромного множества практически важных случаев
известен лишь приближенный метод расчетов. По существу этот метод
представляет собой математическую интерпретацию уже известного
384
нам принципа Гюйгенса, согласно которому каждая точка волне
может рассматриваться как центр вторичных сферических волн.
В соответствии с первоначальной формулировкой Гюйгенса,
волновой фронт, соответствующий некоторому моменту времени,
получался в виде огибающей поверхности первичных волн. Френель
усовершенствовал этот принцип в том отношении, что для
нахождения возбуждения света в некоторой точке Р предложил
рассматривать результат наложения первичной и вторичной волн с учетом
имеющейся между ними разности фаз. Эта мысль и нашла свое
математическое выражение в формуле Кирхгофа, вывод которой
приводится ниже.
Введем скалярную величину [/, под которой будет значиться один
из компонентов вектора Е. Для выбора этого компонента
существенно лишь то, что интенсивность пропорциональна U2 и U
удовлетворяет волновому уравнению
ы/= -**£. (1)
с2 dt* v ;
Зависимость U от времени вновь принимается в виде
монохроматической колебательной функции:
U = и (*, у, г) еш. (2)
Интересующая нас зависимость U от координат выразится при
этом дифференциальным уравнением
Ди + й*и = 0, (3)
где
*-Т-Т. (4)
Пусть теперь заданы две функции и и v, удовлетворяющие
волновому уравнению. Тогда формула Гаусса в применении к
векторной величине и grad v — v grad и при интегрировании по любой
области пространства, в которой подынтегральная функция
сохраняет непрерывность, приводит к формуле Грина:
(j)(Hgrad0 — vgradu)df = f (ukv — vku)dx = ?k2(vu — uv)dz = 0.
(5)
В качестве функции v мы выберем сферическую волну,
исходящую из точки Р области интегрирования. Без учета зависимости
от времени такую волну можно записать в виде:
o = -i—. (6)
385
Формула (6) обладает, однако, тем свойством, что в точке Р
приводит к бесконечности. Поэтому для применения соотношения
(5) придется исключить эту точку, окружив ее малой сферой с
центром в точке Р. Поверхность сферы включается в область
интегрирования F. Внешняя нормаль поверхности в данном случае
должна быть направлена к центру сферы (рис, ИЗ). Таким образом,
должно выполняться следующее уравнение:
F
a-ikr
w grad
У
+ (\)(ugrad
сфера
е
,-tkr
grad и) • di -f-
r-lkr
0-lkr
-grad
■)
di =0.
(7)
Интеграл по поверхности малой сферы
вычислить легко, так как дополнительный
член grad и при неограниченном
уменьшении радиуса сферы выпадет из
подынтегрального выражения в силу непрерывности
и и grad и, так как di уменьшается
пропорционально г2, а в знаменатель дроби /*
входит в первой степени. Непрерывность и
позволяет также принять при интегрировании
т. е. взять значение этой функции в центре. Следует
Рис. 113. к выводу
формулы Кирхгофа.
а = Ur
учесть, наконец, что
grad
o-ibr
Г2 "+" r
o—lkr \
(8)
где г0 — единичный вектор, направленный от центра сферы.
Поэтому
d\ = — r0 df = — г0 г2 sin bdbdy. (9)
В предельном случае, при г = 0, вычисление интеграла
-ikr
— • di приводит к выражению 4тор.
«MJ)l
i grad
Отсюда
(Ю)
Это и есть известная формула Кирхгофа, выражающая световое
возбуждение в точке Р через интеграл по некоторой ограниченной об-
366
Ласти, содержащей эту точку. Если, например, речь идет о
дифракции от малого отверстия, то в качестве области интегрирования
следует выбрать экран, содержащий это отверстие. Однако для
применения формулы (10) проблема дифракции по существу должна
быть уже заранее решена, так как возбуждение на отверстии и
экране предполагается известным. Напрашивался путь
приближенных вычислений, по которому и пошел Кирхгоф. Достигнутые им
результаты подтверждают плодотворность его метода. Кирхгоф
допустил, что в свободном отверстии возбуждение такое же, какое
существовало бы и при отсутствии экрана. Поэтому он принял, что и,
а также grad и на самом экране равны нулю. Понятно, что исходя
из такого предположения, ничего не говорящего об особенностях
материала, из которого сделан экран, не могут быть решены такие
тонкие вопросы, как, например, поляризация. Однако в тех
случаях, когда дело идет о распределении света не в непосредственной
близости от краев отверстия, расчеты по методу Кирхгофа хорошо
согласуются с экспериментальными данными.
§ 2. Принцип обратимости в теории дифракции.
Классификация явлений дифракции
Применим формулу Кирхгофа к частному случаю. Пусть
первичное возбуждение исходит из точечного источника света Q;
тогда справедливо соотношение:
«--*—!-. (11)
Отсюда следует:
grad^-fj-.-N+^^N)^
' grad ^L = - (-L *-/» + ILeri» V (12)
где rq — радиус-вектор, проведенный от Q к какой-либо точке
отверстия, г—радиус-вектор, проведенный от точки наблюдения Р,
а индексом 0 обозначены соответствующие единичные векторы (рис.
113). Так как r^0 . di ■= cos (n,r^) df, то
^ = -^J ———I f — +ik Jc0$ (n>r) —y— + * J cos (n,g
по
отверстию
(13)
Пусть теперь источник света и точка наблюдения удалены от
отверстия на расстояние, много большее, чем длина волны. При таком
387
допущении можно пренебречь величиной — или, соответственно,
г
1 2тс
— сравнительно с k = —; поэтому из (13) следует:
^ = -5Г J Icos (n>r> -cos Wld/- (14>
^ J /r^
Если допустить далее, что г и vq велики в сравнении с размерами
отверстия, вызывающего дифракцию, то в знаменателе
подынтегрального выражения и во входящих в него угловых величинах г и
rq можно считать постоянными и поэтому их можно вынести за знак
интеграла. В показателях степени этого сделать нельзя, так как
величина коэффициента k = — зависит от длины волны и вхо-
дит в отношение г/а. Упрощенное таким образом выражение
принимает вид:
ир = qcos(^r)cosg:r,)j Г e_ik (r + rq) dA {15
2А rrq J
Формулы (13) — (15), записанные в системах координат,
отнесенных к источнику света и точке наблюдения, оказываются
симметричными. При их перестановке изменяется только знак. Это
означает: если источник света Q создает в некоторой точке Р излучение
определенной интенсивности, то при перенесении этого источника
в точку Р такая же интенсивность излучения окажется в точке Q.
Сказанное не следует, однако, истолковывать как обратимость
распространения света в том смысле, что при заданном распределении
интенсивности в окрестности точки Р уже известно распределение
интенсивности, создаваемой точечным источником в обратном
направлении, т. е. что отверстие действует как линза. Дело в том, что в
приведенной выше теореме ничего не говорится о распределении
интенсивности вблизи точки Q.
Вторую, на первый взгляд очень странную, теорему
сформулировал Бабине. Если представить себе какую-либо фигуру в виде
отверстия в непрозрачном экране, а затем ту же фигуру в виде
непрозрачного экрана на фоне большого отверстия, то обе фигуры
(экраны) можно назвать дополнительными. Теорема Бабине
утверждает, что дополнительные экраны, внесенные в широкий световой
пучок, дают совершенно одинаковые картины дифракции, если
ограничиться наблюдением в области геометрической тени для
свободного пучка.
Для доказательства этого утверждения допустим, что
изображение источника Q получено при помощи линзы, имеющей
достаточно большое отверстие. Предельным случаем такого рода отверстия
было бы отверстие, при котором в область геометрической тени свет
388
не попадает совершенно. Однако и в данном случае можно считать,
что в точке Р, расположенной вблизи границы геометрической тени,
возмущение и равно нулю. Если же между источником света и его
изображением поместить экран с небольшим отверстием, то и в
точке Р обнаружится некоторое возмущение uv Дополнительный
экран в аналогичных условиях даст возмущение и2. Таким образом,
интеграл Кирхгофа для подсчета возмущения по всему отверстию
(равный нулю) будет складываться из двух частей, взятых по
дополнительным экранам. Поэтому
О = их + щ
2 2
и, = и2
(16)
Пусть далее имеется плоский экран с отверстием (рис. 114).
С центром этого отверстия связана прямоугольная система
координат. Плоскость XY этой системы совмещена с плоскостью экрана,
а ось Z проведена в сторону точки
наблюдения. Координаты источника
света будем обозначать далее индексами q:
xQ, Уду zq> а чеРез х, у, z будем
выражать координаты точки
наблюдения. Координаты элемента поверхности
отверстия обозначены на рисунке 114
через $, t\. Расстояния г и rq определятся
при этом следующими соотношениями:
r'2=(xg-t)2+(yQ
--n)2 + zg\
(17)
Рис. 114. К дифракции
на отверстии в экране.
Далее: через RQ и R на рисунке обозначены расстояния от начала
координат до источника света и, соответственно, до точки
наблюдения, а направляющие косинусы прямых QO и ОР — через
*\q t\q
и, соответственно, а = —, р
ложение по степеням £ и -ц дает при этом:
X, Раз-
R
'+г, = Я + /г, + 6(«о-а) + ч(рв
1 («oS + gpr,)? 1 (аб + Н)1
2 Rq 2 R
■Р)+
1 1+1 ilW
+ ... =# + ^ + <р(М). (18)
Выражение (18) позволяет классифицировать явления дифракции:
если источник света и точка наблюдения настолько удалены от
экрана, что квадратичными членами в <$> (S, tj) можно пренебречь,
13 Г. Иос
389
то говорят о дифракции Фраунгофера; в противном случае имеет
место дифракция Френеля. Если разложение (18) подставить в
интеграл Кирхгофа, получим:
.•ч
ир = ,4cos(n,r)-cos(n,rgjj e _tk {R+Rg) С e_lk 9 (E, „ rf/> (j9)
2 A, Rq R J
§ 3. Дифракция Фраунгофера на щелк
В соответствии с принятой выше классификацией, надо
учитывать при дальнейших расчетах, что как источник света, так и
точка наблюдения, расположены настолько далеко от дифрагирующего
отверстия, что световые пучки оказываются практически
параллельными. Подобные условия можно осуществить, поместив источник
света в фокусе линзы и изучая дифракционную картину в
фокальной плоскости другой линзы (см. гл. XI). Начнем с рассмотрения
дифракции на щели шириной а, имеющей в направлении ч]
бесконечную протяженность. Зависимость от координаты Y в этом
случае отсутствует; поэтому интеграл Кирхгофа принимает более
простой вид;
up = const | e~ik («o-«* d%. (20)
о
Вычисление этого интеграла может быть осуществлено с особой
наглядностью и простотой графически, при помощи векторной
диаграммы. Для построения ее нужно разделить щель на узкие полоски,
или зоны, шириной dl и просуммировать возмущения, вносимые
отдельными полосами. При изменении 5 от 0 до а скачками величиной
dl разность фаз увеличивается тоже «скачками» величиной К (а0 —
— о) dl\ поэтому векторы, относящиеся к любым двум
последовательно расположенным зонам, образуют угол k (а0—a)d£. Так как
ширина всех зон dl одинакова, то и возмущения, даваемые
каждой из них, также равны по величине. Поэтому график будет иметь
вид правильной ломаной линии, которая в предельном случае
бесконечно большого числа полос переходит в дугу окружности (см.
стр. 54). Замыкание ломаной означает, что результирующая равна
нулю. Разность фаз между возмущениями от первой и последней
полос составляет при этом 2тг. Это так называемый первый
минимум. Условиями минимумов являются выражения вида:
k (a0 — a) a = п 2тг, где п = 1, 2, 3 . •.,
или
(а0 — a) a = rik I (21)
(условие минимума при дифракции на одной щели). Между этими
минимумами расположены относительные максимумы. Графически
390
это соответствует тем случаям, когда в векторной диаграмме
результирующая становится диаметром круга, т. е. при условии,
что
k (а0 — а) а = (2л -{- 1)«, где /г = 1, 2, 3 ...,
или
(ч
а) а = —-2— X
(22)
(условие максимума при дифракции на одной щели).
При заданном направлении падения, например
перпендикулярном к оси Х9 амплитуда света в определенных направлениях
становится функцией, соответствующей
разности хода между краями щели. Эта
разность хода может быть найдена из
векторной диаграммы на странице 54.
Результат показан на рисунке 115
(штриховая линия — амплитуда,
сплошная — интенсивность).
Если щель закрыть на половину ее
ширины, то при нечетном п свет
должен наблюдаться в направлении
прежних минимумов. На векторной
диаграмме в этом случае не реализуется вторая половина замыкающихся
окружностей.
Перейдем теперь к рассмотрению дифракции на одномерной
решетке, представляющей собой совокупность большого числа
одинаковых щелей. Пусть а — расстояние между
соответствующими точками соседних щелей. Суммарное действие получается
путем сложения возмущений, вызываемых отдельными щелями. В
тех случаях, когда
(23)
Рис. 115. Распределение
интенсивности при.
дифракции на одной щели.
(а0 — а) а = КК
(условие максимума при дифракции на решетке), эти возмущения,
очевидно, имеют одинаковые фазы; поэтому они дают максимумы
(см. рис. 116).
Рис. 116. Векторная диаграмма для штриховой дифракционной решетки*
13* 391
Так как угол дифракции, определяющий направление на
максимумы и минимумы, при заданном угле падения зависит от длины
волны, то такая решетка очень удобна для спектрального
разложения света, причем h = 1, 2, 3... в формуле (23) обычно называют
порядком спектра. Как же определить направления на минимумы?
Векторная диаграмма вновь приводит к выводу, что первый
минимум возникает при условии, что результирующие векторы,
соответствующие отдельным щелям, образуют замкнутую
ломаную линию. Разность фаз между возмущениями от первой и
последней щелей составляет при этом 2тг, а между возмущениями
от двух соседних щелей — А2те + ~-. Здесь h —по-прежнему
порядок ближайшего максимума, a JV — число щелей решетки.
Итак, при заданном направлении на максимум -порядка h условие
ближайшего минимума запишется в виде:
(а0-а)а = АХ + -£- (24)
(условие минимума при дифракции на решетке).
Таким образом, имеется полная возможность вычислить
разрешающую способность решетки, т. е. найти наименьшую
разделяемую решеткой относительную разность длин волн. Опыт
показывает, что две волны можно считать разделенными, если
дифракционный максимум для одной из них совпадает с минимумом для другой.
Пусть, например, угол а определяет направление на максимум для
волны X + dX , т. е. выполняется условие:
(а0 — а)а.= А (X + dX).
Тогда, учитывая, что в то же место должен попасть и минимум,
соответствующий длине волны X, можно записать, что
(а0 — а)а = АХ-[- —,
откуда
X fiN'
Разрешающей способностью А спектрального аппарата принято
называть обратное значение записанного выше выражения, т. е.
А = — = hN (порядок спектра X общее число штрихов)
.(25)
Для определения направлений на максимумы и минимумы
совершенно безразлично, как возникает результирующее возмущение от
отдельного элемента решетки. Существенно лишь то, чтобы на рав-
392
ных расстояниях имелись пропускающие, отражающие или
рассеивающие свет элементы. Относительное расположение этих
элементов влияет лишь на распределение интенсивности между
отдельными участками спектра или между спектрами различных
порядков.
Теперь обратимся к двухмерной решетке. Пусть в направлении
£ отдельные отверстия решетки повторяются на расстоянии а друг
от друга, а в направлении т\ — на расстоянии Ь. Условия
максимумов получатся так же, как и выше, — построением. Это
приводит к следующим соотношениям:
К — «) а = AtX,
фо-0) *-*.*.
При заданном угле падения направления на
дифракционные максимумы порядка hx и h2 устанавливаются
однозначно, так как направляющими косинусами аир
определяются конические поверхности, построенные на осях X и Y.
Линии пересечения этих двух конических поверхностей и
определяют как раз направления на максимумы порядка hx и h2. Задание
третьего направляющего косинуса для пространственной решетки
определяло бы еще один конус вокруг оси Z, который не имел бы,
однако, общих точек с линиями максимумов, образованными
двумя другими коническими поверхностями. Следует заметить, что с
практической точки зрения очень велико значение именно
трехмерных пространственных решеток, а не рассмотренных выше
двухмерных. Примером такого рода решеток являются кристаллы
(М. Лауэ, 1912 г.). Применение кристаллических трехмерных
решеток, постоянная которых очень мала, особенно необходимо при
изучении коротковолнового излучения (например, лучей Рентгена),
так как технические возможности искусственных решеток не
позволяют (без применения особых приемов) получить
сколько-нибудь заметную дифракцию. Здесь будут рассмотрены только
ромбические решетки, в которых имеются три взаимно
перпендикулярных направления с расстояниями между узлами, равными а> Ь и с.
Этим, естественно, охватываются и более простые решетки, в
которых два или три расстояния равны между собой. Падающая на
кристалл волна вызывает вынужденные колебания атомов в узлах
решетки. Колеблющиеся атомы становятся центрами вторичных
волн. Важно заметить, что в данном случае вторичные волны
являются уже физической реальностью, а не просто удобной
интерпретацией математической формулы, как это имело место в связи с
применением принципа Гюйгенса для вакуума. Принцип Гюйгенса
применим, впрочем, и для изучения реального физического
процесса в кристаллах, так как вынужденные колебания атомов, а
следовательно, и возникающее вторичное излучение также находят-
393
ся в фазе с первичной волной, как и фиктивные вторичные волны
Гюйгенса. Для направлений максимумов имеем теперь три условия:
(а0—а) а — Нг1]
(То — Т)с = нз\
(27), или
К
■в)-т
h3\
(То —Т) =
а=ап
(270, илиЬ =?о
Т = То"
а
" Ъ
(27-,
Добавление третьего условия потребует дополнительных
расчетов для определения положения дифракционных максимумов, так как
при любом выборе а0, р0, ^о направляющие косинусы а, (3, ^>
определяемые из уравнения (27")* вообще говоря, не удовлетворяют
уравнению а2 + (S2 + т2 ~ Ь Последнее означает, что для
получения дифракционного максимума должно быть установлено
некоторое соотношение между направлением падающей волны и ее
длиной. Такого рода зависимость можно получить, если возвести в
квадрат, а затем сложить уравнения (27"). Это приводит к
выражению:
Ла0 + .
Х=2-
Ь с
а2 Ьа с2
(28)
Аналогичные преобразования формул (27х) приводят к выражению,
допускающему наглядную интерпретацию. Если угол отклонения
обозначить через &, то в силу того, что
cos& = aa0 + |3p0-f ТТо»
2(1-^)^1^+-^ +
или
»**->/*
1 />а С2
(29)
Если у трех порядковых чисел hv hv hb имеется общий множитель
т9 то, вынося его из-под знака радикала, получим соотношение:
2 sin
2 Га*
4-JL + -JL
(30)
где h{ , h2, A3 — простые числа,
394
На рисунке 117 изображена плоскость, в которой расположены
узлы решетки. Назовем ее кристаллической* Система таких
плоскостей характеризуется наименьшими простыми числами,
пропорциональными обратным значениям осевых отрезков, измеренным в
масштабе соответствующих постоянных
решетки. Так, например, [010] обозначает
систему плоскостей у = Ь, 2Ь, ЗЬ и т. д.
Числа ЛД Л2*, А3* называют показателями
системы кристаллических плоскостей. Они и
представляют собой как раз действительные
(измеряемые всегда в масштабе а% Ь, с) обратные
значения осевых отрезков той плоскости
системы, которая расположена ближе всего к
началу координат.
Понимать это нужно следующим
образом: пусть действительными осевыми
отрезками одной из плоскостей будут /, т, п (измеренными в см), тогда
Рис. 117. Семейство
плоскостей [320]
в кристалле.
A, :h2 : hz =
m
о
n
или, после введения коэффициента пропорциональности t,
f ta tb tc
*=-7Гэ /H=-t, /*=--«-•
h% h h
1 2 3
Если необходимо, чтобы эта плоскость была бы кристаллической,
то записанному выше уравнению должны удовлетворять
целочисленные значения координат, т. е. х = ра, у = qb, z = re.
Подстановка этих значений дает: рНг* + qh2* + rh* = t. Так как левая
часть уравнения представляет собой сумму целых чисел, то и t
должно быть целым числом. Поэтому наименьшим значением t
будет единица. Однако согласно правилам аналитической
геометрии, плоскость, осевые отрезки которой равны соответственно
JL, —, —, удалена от начала координат на расстояние:
d =
1
V а2
+~ +
h?
(31)
Формула (31) выражает одновременно и расстояние между любыми
двумя соседними плоскостями системы. Таким образом, мы
приходим к совершенно новой интерпретации уравнения (30).
Величины ht* — это прежде всего порядковые числа, оставшиеся в
выражении для определения угла дифракции после исключения общего
395
множителя. Если, однако, интерпретировать их как показатели
системы плоскостей, то подкоренное выражение можно выразить через
расстояние между этими плоскостями и в результате получится:
2d sin — = ml
2
(32)
(условие максимума для пространственной решетки).
Важно отметить, что средняя плоскость, расположенная
между направлением падения и направлением отклонения,
принадлежит к системе кристаллических
плоскостей, которые характеризуются числами
Ах*, Л2*, Л3* .Уравнением ее будет (s0— г)2=
—(s— г)2, или (s0 — s) • г == 0. Если
подставить вместо компонентов s0 — s
значения из (27') и сократить на общий
множитель, то получится уравнение:
Рис. 118. Дифракция на
пространственной решетке
как результат
интерференции волн, отраженных от
отдельных плоских
решеток.
h\*
hi У
5
V
= 0.
Поэтому формально явление дифракции можно рассматривать как
отражение от кристаллических плоскостей. Разность хода,
возникающая при отражении от ближайшей кристаллической плоскости,
определяется соотношением:
AB + BD — ЛС =
2d
sin--
2
•2dctg —cos — = 2dsin —
ь 2 2 2
(33)
Уравнение (32) означает, следовательно, что при отражении от от-
7Г Ь
падения , рас-
дельных кристаллических плоскостей угол
стояние между плоскостями d и длина волны X должны
удовлетворять условию, согласно которому разность фаз между
отдельными частями волны составляет 2ттс. Углы, для которых
выполняется уравнение (32), называют углами скольжения. Таким образом,
для получения отраженного от кристаллических плоскостей
монохроматического света (этот случай называется «глубинным
отражением») необходимо позаботиться о том, чтобы при вращении
кристалла угол между кристаллическими плоскостями и волновой
нормалью принимал все возможные значения.
Так как до сих пор расчеты велись для вполне определенного угла
падения Ь , то казалось бы^ что на практике необходимо пользоваться
параллельным пучком. В области рентгеновских лучей ввиду невозможности полу-
396
чить изображение при помощи линзы параллельный пучок можно выделить
лишь при помощи двух узких щелей. Между тем Брэгг и де Бройль открыли
своего рода условие фокусирования, благодаря которому даже
расходящийся пучок, прошедший через одну щель, дает для любой длины волны вполне
четкую линию. Достигается это тем, что при вращении кристалл"
относительно точки О (см. рис. 119) расстояние от оси
вращения О до точки наблюдения В должно быть
равно расстоянию от щели «S до оси вращения О,
т. е. спектр должен наблюдаться на окружности,
описанной радиусом SO вокруг оси О. При
симметричном положении кристалла КК точки В
достигает лишь одна из отраженных в точке О волн
(одна длина волны). При любом другом
положении кристалла К'К' точки В достигает волна
только той же длины. Если через точки 5,0 и
В провести окружность, которая при SO = OB
касалась бы КК, то сечение ее поверхностью
кристалла даст точку отражения R. То, что SR и
RB в свою очередь образуют с поверхностью
кристалла угол -_-, можно легко понять из следую-
щих соображений:
1) ^SOB — ^iSRB (так как оба опираются на дугу SB),
о.
2) ^iSOK = ^SRO = -—. (как вписанный угол или, соответственно,
угол, образованный касательной и хордой SO).
Следовательно, ^ВОК = ^ BRK'.
Заметим, что преимущества такого расположения состоят не в
повышении интенсивности, а в том, что в отражении последовательно участвует вся
поверхность кристалла, а это исключает влияние случайных дефектов его
структуры. Вместо того чтобы придавать различные положения
относительно луча одному и тому же кристаллу, можно пойти по пути применения
мелких, беспорядочно расположенных кристалликов (порошковый метод Де-
бая — Шеррера). В таком порошке всегда найдутся кристаллики,
плоскости которых соответствуют положению угла скольжения.
Задачи
101. Указать соотношение интенсивности дифракционных спектров
различного порядка для решетки, состоящей из чередующихся совершенно
прозрачных и совершенно непрозрачных полос одинаковой ширины.
102. В экране имеются две параллельные щели на расстоянии Ь друг от
друга. Какова будет картина дифракции, если пучок параллельных лучей
падает а) перпендикулярно к экрану, б) под малым углом е относительно
нормали к экрану? В какой зависимости от е и Ь находится видимость
дифракционного изображения при наличии обоих пучков?
103. Кубический кристалл KCI ограничен плоскостями [100], [010] и
[001]. Кристалл вращают вокруг оси, параллельной сечению плоскостей
[100] и [010]. Перпендикулярно к этой оси падает излучение с
длиной волны \ = 1541 • 10"~и см (линия Ка рентгеновского спектра меди).
Какие кристаллические плоскости с индексами <2 отражают и какие углы
будут соответствующими углами скольжения &/2? Постоянную
кубической решетки принять равной 3,13 А = 3,13»10~8cw.
397
§ 4. Дифракция Френеля на щели и круглом отверстии.
Зонные пластинки
Рассмотрим вначале случай двухмерной решетки. Пусть имеется
источник света в виде светящейся линии бесконечной
протяженности и перпендикулярной к плоскости чертежа (см. рис. 120).
Зависимость от координаты Y при этом
исключается. Пусть, далее, прямая,
соединяющая источник света и точку
наблюдения, перпендикулярна плоскости
диафрагмы и проходит через один из ее краев. Так
как в этом случае а0 = а = 0, то разло-
£2 / 1 1 \
жение © (?, ъ) начнется с члена — —I .
Рис. 120. К двухмерной т \ » v 2 \R l Rq)'
дифракции на экране. поэтому для возбуждения и в точке,Р
получится следующее выражение:
»?=ше J' * (34)
где k = — [см. уравнения (19) —(20), § 3].
А.
Если для вычисления интеграла вновь применить графический
метод, то в отличие от случая, разобранного в § 3, векторы,
соответствующие возбуждению от отдельных элементов щели dl, уже не
образуют между собой равные углы. Наличие квадратичного
члена в разложении приводит к тому, что величина этих углов
будет возрастать пропорционально WE". Последнее означает, что
кривизна линии увеличивается по мере увеличения ее длины.
Поэтому кривая принимает форму спирали. Зависимость от
частных значений X, R, Rq может быть устранена при помощи
подстановки:
«V4(*+i)-« —nfJ+iJ- №
которая приводит к выражению:
А ■***
fe-TV\-* + W*= \ x Je-'- ds. (36)
398
Специальная кривая г = \е 2 ds, параметры которой х, у в
о
прямоугольной системе координат имеют вид:
А А
Х = J C°S (f S' )&' * = ~ j Sln (1 **) dS' ' (3?)
0 0
называется спиралью Корню (рис. 121). При помощи этой кривой
можно решить ряд вопросов. Прежде всего радиус-вектор,
проведенный из О в некоторую точку А спирали (см. ур. 35), позволяет
Рис. 121. Спираль Корню. (Цифры на кривой
указывают значения параметра.)
определить возбуждение в точке Р как функцию ширины щели. Из
рисунка видно, что этот радиус-вектор пробегает бесконечное
множество экстремальных значений, разность между которыми
становится все меньше по мере приближения к полюсу / спирали. Для
второй половины щели спираль имеет вид, совершенно
симметричный относительно первоначального изображения; однако при
построении векторов следует обращать внимание на то, что для этой
половины нужно брать их направления от точек спирали к ее началу.
Пользуясь полной спиралью, можно определить возбуждения в
точке Р при любом произвольном положении щели на оси (j, если края
399
ее определены, например, через £х = а и £а = Ь. Для этого
достаточно от возбуждения в точке $х = а отнять вектор, относящийся
к £2 = by т. е. провести на спирали отрезок прямой, соединяющий
точки, соответствующие координатам а и Ь.
Далее, при помощи спирали Корню можно с хорошим
приближением исследовать распределение света в плоскости, проведенной
через Р параллельно экрану. Если рассмотреть, например,
некоторую точку Р', расположенную вблизи точки Р, то небольшим
наклоном прямой QP' можно пренебречь. Поэтому возбуждение в Р'
будет таким же, какое было бы в точке Р, если бы экран кончался
не при 6 == 0, а при % = — —J- (ср. рис. 120). По мере возрас-
R+Rq
тания отрицательных значений х = РР' точки Р и Р' пробегают
по верхней спирали, а отрезки прямой, проведенные к ним из
полюса, монотонно убывают. Таким образом, в области геометрической
тени наблюдается равномерное уменьшение яркости. Смещение
точки Р в сторону положительных значений х равноценно
перемещению края экрана в отрицательном направлении, следовательно,
прибавляются еще радиусы-векторы нижней спирали. Последнее
означает, что в области света возникнет последовательный ряд
максимумов и минимумов. Максимальное усиление света,
соответствующее удвоенной амплитуде или учетверенной интенсивности, лежит
в области геометрической тени. Действие всей волны, ведущее
к удвоению амплитуды или учетверению интенсивности,
изображается вектором, соединяющим полюсы спирали. Этот метод
приводит к результатам, хорошо согласующимся с опытными
данными.
Исследуем теперь распределение интенсивности точечного
источника света на прямой, перпендикулярной плоскости экрана.
Так как а0 = а = 0, то для возбуждения в точке Р справедливо
соотношение:
ир =_i- e-lkiR+R"} f f е-1>+^ + ^) йЫъ
^RRq J J
(38)
Для случая круглой диафрагмы (радиуса а) удобнее перейти к
полярным координатам. Тогда получится:
Up = _L_ г™* > Ji _ €- т a'(w+jq) J. (39)
1 -ik(R+R )
e ч
R + Rq
Интенсивность может быть выражена через квадрат комплексной
величины в следующем виде:
/р sin2 - а2 (! + —). (40)
р (R+Rq)* 2X U Rq)
400
При этом проведено умножение двух комплексно-сопряженных
величин:
(1 - e~ix){\ - eix) - 2(1 -cosx) = 4sin2 -.
Следовательно, по мере увеличения отверстия яркость
периодически то увеличивается, то уменьшается. Однако необходимо
принять во внимание, что эту формулу нельзя распространять на
отверстия любой величины. Максимум интенсивности наблюдается
при условии:
JL+.L-e.+Di. (41,
Сравнивая полученное выражение с элементарной формулой линзы,
можно провести параллель между отверстием и линзой с фокусным расстоянием
/ = —^ . Однако в максимумах существенного усиления освещен-
(2m+l)A
ности не наблюдается. Этого можно достичь лишь в том случае, если в
отверстии выделить те зоны, которые своей фазой вызывают уменьшение
результирующей амплитуды. Аналогичное влияние оказывает исключение
отдельных зон у щели и переход к решетке. Разделение на зоны следует проводить-
таким образом, чтобы края последовательно расположенных зон, половина
которых прикрыта, давали разность фаз 2 тк. Необходимо, следовательно,
чтобы
«£и (х | *) _ «?*п(1 , *)
Ь V Я ^ Rq) X \R^ Rq)
+ 2ттс,
или
2 2 2mA /у|Г)ч
P/i+i - ?п = -I г" • <42)
—+ —
R Rq
Уравнение (42) соответствует наиболее полному эффекту усиления
освещенности, который наблюдается при условии, что площади поверхностей всех зон
имеют одинаковую величину я( ^n+i ^n \ , Радиус зоны, расположенной
непосредственно у центра отверстия и половину поверхности которой
необходимо закрыть, определяется выражением:
2 2тк
• i
11 _L *
~R+Rq
При помощи разделенной таким образом пластинки можно добиться
значительного усиления освещенности в точках, удовлетворяющих уравнению
—- + —.= J~ . Подобные пластинки или линзы называют зональными.
R Rq р\
401
Г л а в а XI
ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ И ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ
§ 1. Основы геометрической оптики.
Законы Ферма и Малюса
Геометрическая оптика ставит своей задачей определить
средствами математики характер распространения света в оптических
приборах и разработать физические основы наиболее совершенных
конструкций таких приборов. Все выводы геометрической оптики
основаны на ряде исходных предпосылок, значительно
упрощающих реальные физические явления, а именно: 1) прямолинейное
распространение светового луча в однородной среде, 2)
независимость различных световых пучков, 3) обратимость лучей, 4)
закон отражения, 5) закон преломления.
Первые три положения указывают на то, что геометрическая
оптика отвлекается от явлений дифракции. Более того, она вообще
не затрагивает волновую природу света, так как в области
дифракционных явлений понятие о луче теряет смысл. Правда, в случае
плоской волны, падающей на некоторую диафрагму, еще можно
говорить о луче, направление которого совпадает с волновой нормалью;
однако после дифракции к отклоненным в сторону частям волны
относятся самые различные нормали и, следовательно, множество
лучей. Таким образом, при расчете оптических приборов
средствами геометрической оптики явления, вызванные дифракцией на
различных диафрагмах, не принимаются в расчет. Их приходится
поэтому учитывать особо, средствами, которые дает теория
дифракции. Именно так поступают, например, при определении
разрешающей способности приборов.
Первая, четвертая и пятая из перечисленных выше исходных
предпосылок приводят к двум важным законам, имеющим довольно
общий характер. Первый из них, открытый Ферма, может быть
сформулирован следующим образом: световой луч всегда имеет такое
направление, при котором оптический путь (геометрический путьХ
X показатель преломления среды) является экстремальным, т. е. .
J] ntst = экстремум. (1)
Для сред, показатель преломления которых непрерывно
изменяется от точки к точке, условие (1) принимает вид:
J nds = экстремум. (Г)
Для доказательства этого утверждения необходимо
рассмотреть отдельно падающий, отраженный и преломленный лучи. Так
402
как отрезок прямой является кратчайшим расстоянием между
двумя точками в однородной среде, то справедливость закона Ферма
для этого случая очевидна.
При анализе отражения доказательство сводится к первому
случаю, так как, согласно
представлениям геометрической оптики, свет,
попадающий в точку Р2, можно
рассматривать исходящим из Р\
(зеркального изображения Рх). Поэтому
действительный путь света
оказывается равным PJPV т. е. состоящим из
прямолинейных отрезков, а,
следовательно, также является
экстремальным.
Далее следует показать
справедливость закона преломления. Пусть
преломление происходит в плоскости
XY, а падающий и преломленный
лучи лежат в плоскости YZ. Наряду с
оптическим ходом луча (через начало
координат) будем рассматривать и другое предполагаемое
направление, проходящее через точку с координатой 8л: и Ъу, расположенную
в плоскости XY. Тогда (ср. рис. 122) получатся следующие
соотношения:
Ы = пг (rt + §гх) + п2 (га + Ьг2) — (п^ + /у^ =
Рис. 122. Применение
принципа Ферма к преломлению света.
-«i/Tbf-^KvR- (2)
Если пренебречь при этом величинами второго порядка, то,
Ы = ( П'У1 — JMl——\ ц,
Vt+y'i
V
г2+У2
2 ^ a2
однако, поскольку справедлив закон преломления, можно записать:
«ij/i
ЩУг
Vt+A Vt+'
-= пх sin ol± — п2 sin a2 = 0.
В то же время известно, что в геометрической оптике любой ход
луча всегда можно определить, пользуясь понятием о преломлении
и отражении; поэтому закон Ферма оказывается доказанным в
общем виде.
403
Если некоторая точка Р отображается в какой-либо другой
точке Р\ то в образовании изображения участвует множество лучей,
каждый из которых подчинен законам геометрической оптики.
Вместе с тем каждый из лучей должен соответствовать экстремальному
значению оптического пути, а это возможно лишь в том случае,
если для всех лучей оптический путь окажется постоянным. С
точки зрения волновой оптики требование постоянства
оптического, пути для получения изображения вытекает из требования,
чтобы любую точку изображения волны достигали в одинаковых
фазах.
Чтобы понять существо закона, являющегося вторым
важнейшим и наиболее общим законом оптики, напомним, что в линейной
геометрии различают такие пучки лучей, у которых прямые
представляют собой нормали точек некоторой поверхности (ортотом-
ные лучевые системы), и такие, у которых нет ортогональных
плоскостей (неортотомные системы). Лучи, исходящие из одной точки,
всегда ортотомны, так как шаровые поверхности, описанные вокруг
этой точки, обязательно ортогональны лучам. Утверждается, что
при отражении и преломлении свойства ортотомии не
нарушаются даже при изменении первоначального вида шаровой
ортогональной поверхности. С точки зрения волновой оптики этот закон Малю-
са является само собой разумеющимся, поскольку световому лучу
всегда соответствует определенный волновой фронт. Поэтому от
чисто геометрического доказательства этого закона можно
отказаться. Из этого закона следует очень важный вывод: если
рассмотреть отрезки двух лучей, ограниченные двумя волновыми
поверхностями, то оптический путь между ними должен быть равен длине
этих отрезков. Это утверждение справедливо и для того случая,
когда лучи, перпендикулярные к волновой поверхности, где-то
позже пересекаются. Вторая волновая поверхность проходит тогда
через точку пересечения и имеет там общую точку.
§ 2. Свойства коллинеарного изображения
(изображения Гаусса)
Оптическое изображение можно считать идеальным, если все
световые лучи, исходящие из одной точки, вновь пересекаются в
некоторой точке и если отрезки прямых, соединяющих две точки,
изображаются прямыми, а плоскости — плоскостями. О
возможности получения такого рода изображения средствами оптики
наперед сказать ничего нельзя. Однако, допуская такую возможность,
целесообразно исследовать на этой основе при помощи несложных
математических преобразований особенности расположения точек
предметного пространства относительно точек пространства
изображений. Соответствие между координатами 5, т], С точки Р и
координатами (■', т]'э С точки Р' может быть выражено математически при
404
помощи линейных подстановок, имеющих одинаковые
знаменатели:
£' = ai* + М + с& + di г __ а2$ + b2r\ + с& + d2
ао& + b0ri + с0С + d0 * а0£ + М + соС + d0
00' + М + ^о^ + d0
Можно убедиться, что плоскость W + tm{ + лС — р = 0 при
переходе из предметного пространства в пространство изображений
преобразуется в плоскость, а пересечение двух плоскостей в
пространстве изображений соответствует пересечению двух плоскостей
в предметном пространстве. Аналогичное соответствие имеет место
и в случае пересечения трех плоскостей—точка соответствует точке.
Мы ограничимся рассмотрением изображений, симметричных
относительно оптической оси (т. е. центрированных).
Если ось 5 является осью симметрии, то достаточно
исследовать изображение в меридианном сечении с координатами £ и т].
Симметрия изображения требует, чтобы при замене т] на — tj
координата \ оставалась неизменной, а координата у{ изменяла
знак. Вследствие этого в соотношениях (3) коэффициенты Ь0,
bv а2 и d2 должны исчезнуть, и для центрированных изображений
мы получаем более простые выражения:
r~ fll6 + dl , </]' = —М—, (зо
а0£ + d0 а£ + d0
или, после разрешения относительно 5 и tj,
£ — d^ -" rfl т) = (Mo — Ml) *)' /д/л
- a05' + fli ' M- floS' + <*i) *
Плоскость a0£ + d0= 0 является сопряженной по отношению
с бесконечно удаленной плоскостью пространства изображений, а
плоскость а0¥ — ах — 0 — с бесконечно удаленной плоскостью
предметного пространства. Эти плоскости называются
фокальными плоскостями предметного пространства или, соответственно,
пространства изображений. Точки пересечения этих плоскостей с
оптической осью называются фокусами F и F'.
Дальнейшее упрощение полученных соотношений можно
осуществить путем специального выбора нулевых точек оси (• и (•'.
Наиболее целесообразно совместить эти точки с фокусами, а за
положительное направление осей в пространстве предмета и
пространстве изображения принять направление распространения света1.
1 Такое решение, точно так же как и выбор знаков при / и f и углов и
и и' (на следующих страницах), соответствует требованиям, обычно
применяемым в оптике.
. 405
Координаты установленной таким образом системы мы
обозначим через х и у или, соответственно, х' и у'»
Таким образом, получается:
* = $ + -> У = Т, xf^l-^9 */' = V. (4)
cto a0
Сокращения вида
-а--Л
<*0
Oo^i — airf0
7/'
(5)
позволяют получить из уравнения (3) следующие формулы
изображения:
(6)
—
У
_—
XX' =
L
*
= //',
____
*'
/'
Введенные таким образом соотношения для / и /' называют
фокусными расстояниями предметного пространства или, соответственно,
пространства изображения. Покажем теперь, что величины /и /'
совпадают с фокусными расстояниями, введенными в
элементарной теории линз.
и'
Отношение — называют поперечным увеличением. Для точек
у
плоскости х = — /\ которым соответствует плоскость хг = — f\
это отношение равно единице. Две эти плоскости называются
главными плоскостями предметного пространства или, соответственно,
пространства изображений; точки пересечения их с осью —
главными точками Н или, соответственно, #'. Оптическая ось, фокусы
и главные точки дают полное схематическое представление о любой
оптической системе изображений. Величины / и /' считают
положительными, если в направлении распространения света фокальная
плоскость располагается за главной плоскостью.
Если через е обозначить расстояние от предметной точки до
главной плоскости предметного пространства {предметное
расстояние), а через е\ соответственно, — от точки изображения до
главной плоскости пространства изображений (расстояние изображений),
то
— е = — / — х,
-Г + х;
1 Так как j£ обычно отрицательно (рис. 123), то х = — / оказывается
положительным, следовательно, главная плоскость лежит справа от фокаль-.
ной.
406
поэтому
(*-/)(«,'-/') =/f, или L + L=L (7)
в е
Принимая, что в пространстве изображений и предметном
пространстве показатели преломления сред одинаковы (ср. стр. 413),
соотношению (7) можно придать следующий вид:
Формула (70 является элементарной формулой линзы,
справедливой для случая, когда / = — /'.
Важно отметить, что применяемый в элементарной оптике метод
отсчета е и ё от плоскости, проходящей через оптический центр
линзы, оказывается непригодным для сложных оптических систем,
например для фотообъективов. Дело в том, что главные плоскости
^-^ у-
"Л ^\L
F
ш х -
в
N
]//' f
в' V
X'
**а
р'
Рис. 123. Построение изображения точки,
находящейся на конечном расстоянии.
таких систем могут быть значительно удалены друг от друга, а в
ряде случаев расположены даже за пределами линз.
Для построения изображения в такой системе выбираются
аксиальный и фокальный лучи (рис. 123). Аксиальный луч пересекает
главную плоскость предметного пространства в точке А; этой
точке соответствует лежащая на том же расстоянии от оптической оси
точка А' главной плоскости пространства изображения; фокальный
луч, проходящий через Аг и фокус F' пространства изображений,
соответствует аксиальному лучу в предметном пространстве. С
другой стороны, фокальный луч, проходящий через Fy пересекает
главную плоскость предметного пространства в точке В. Ему
соответствует аксиальный луч в пространстве изображений, проходящий
через точку В' соответствующей главной плоскости. Пересечение
обеих лучей в пространстве изображений дает точку Р',
сопряженную точке Р предметного пространства. Р' называют изображением
точки Р. Особый интерес представляет случай, когда предметная
точка находится в бесконечно далекой плоскости предметного
пространства, т. е. когда направление падения задано углом и. Этому
направлению соответствует точка фокальной плоскости
пространства изображений, координату которой можно найти следующим об-
407
разом: луч, имеющий направление и и проведенный через фокус
F, пересечет главную плоскость предметного пространства в точке А.
Последней соответствует точка А\ расположенная на том же
расстоянии от оптической оси в
v К| || 1 главной плоскости
пространен^ I. ~f r\ L r J ства изображений. Фокаль-
\F' ^ ному лучу FA соответствует
при этом аксиальный луч
А'Р', пересекающий
фокальную плоскость пространства
изображений в точке Р'.
Таким образом (см. рис.
124), должно выполняться
условие:
Рис. 124. Построение изображения
точки, находящейся в бесконечности.
у' =/tga = — f'igu
(8)
Уравнение 8 дает возможность пересчитать угловые величины
(например, угловые расстояния между светилами на небосводе)
в линейные, отсчитываемые в фокальной плоскости.
По аналогии с поперечным увеличением введем продольное
увеличение оптической системы, измеряемое отношением разностей
абсцисс двух сопряженных точек соответственно пространства
изображений и предметного пространства. Дифференцируя уравнение
(о), получим для продольного увеличения соотношение:
dx'
dx
х*
X'
X
(9)
Так как величина найденного таким образом увеличения
зависит от х, то коллинеарное изображение не будет уже подобным
предмету.
Если, согласно сделанному ранее допущению, считать, что /
и /' имеют разные знаки, то при перемещении предмета в том же
направлении должно двигаться изображение. Такое изображение
называют прямодвижущимся. Только оно и может быть физически
реализовано при условии соблюдения избранного правила знаков
даже в случае отражения).
Угловым увеличением (отношением сходимостей) будем называть
отношение тангенсов углов, образованных сопряженными лучами
с положительным направлением оси х' или, соответственно, х. Это
отношение, вычисленное для определенной точки оптической оси,
постоянно для данной системы, так как из рисунка 125 вытекает,
что
tg«' ^ f + x = f + x _(f + x)x_x
t' + x'
igu
/' +
IL Пх + f) v
(10)
408
Нетрудно видеть, далее, что произведение поперечного
увеличения на угловое уже не зависит от выбора точки на оптической оси
Рис. 125. К определению углового увеличения.
и потому является постоянным для всего пространства
изображений.
Действительно,
у' tg«' = f
у tg« /'*
(И)
Сложение двух изображений. Наибольший
интерес представляет случай гомоцентрических пучков в
центрированных системах. В качестве исходных положений примем следующие:
а) гомоцентрические пучки подчинены законам коллинеарного
отображения (коллинеарным называют отображение, при котором
ft, К
л,
г; f2 n2nl Fi 9
D
нв
JL
-/,
-/'
Рис. 126. Суперпозиция двух изображений.
каждая точка отображается в виде точки и каждая прямая — в виде
прямой);
б) два последовательно осуществленных коллинеарных
отображения могут быть заменены одним; иными словами: две коллинеа-
ции могут быть замещены одной. Определим теперь положение
четырех основных точек результирующего изображения: фокусы F,
главные точки Н и соответствующие им плоскости. На рисунке 126
изображены фокальные и главные плоскости сложной системы.
Индексы 1 и 2 относятся к отдельным ее частям. Буквами F и Н
одновременно обозначены и точки, и соответствующие плоскости.
409
Пусть теперь в предметном пространстве проведен луч,
параллельный главной оптической оси и пересекающий главные
плоскости Нг и Н{ в точках с координатой у. Такой луч должен
пройти далее через фокус ^J; поэтому его наклон относительно оси в
пространстве изображений первой части системы может быть
выражен соотношением
*«■'-£•
Результирующий фокус F' может быть найден, если отыскать
предварительно точку пересечения выбранного луча с оптической
осью в пространстве изображений второй части оптической
системы. Такая точка и будет как раз сопряженной по отношению к
F/. Поэтому если расстояние F/ F2, называемое интервалом
между первым и вторым изображениями, обозначить через D и считать
D положительным при условии, что F2 расположено справа от F/,
то в соответствии с уравнением (6) (стр. 406), получим:
X2{FS) = D, *2(iY) = *2 F = —^- • (13)
Положение главной плоскости Н' можно определить графически,
исходя из следующих соображений: если Н'— главная плоскость
результирующего изображения, то удаленный на расстояние у от
оси и параллельный ей луч должен пройти через фокус F'.
Следовательно, Н' находится как раз на пересечении луча,
параллельного оси, с лучом, проведенным через F\ и сопряженным с лучом
Т7/ Я/. Фокусное расстояние /', т. е. расстояние F'H', можно
получить математически, применяя формулу (10) (стр. 408) к
угловому увеличению второго изображения и принимая во внимание, что
Щ = и/
Итак,
/2 /1 /2
С другой стороны, согласно рисунку 126, где точка F'
расположена левее Н\ следует записать:
Отсюда
Аналогичным образом можно получить:
tg«'
1
V
= tg«a' =
_ D
h'h'
У
Г
•
(14)
РгР-Ц^- US') и т = ТГ- <14'>
U I /1/2
410
Если по обе стороны линз, образующих оптическую систему,
находится одна и та же среда (например, воздух), то оба фокусных
расстояния, как это будет показано ниже, окажутся равными по
величине и противоположными по знаку. В случае тонких линз
можно принять также, что главные плоскости каждой из линз
практически совпадают; поэтому расстояние между линзами d может быть
выражено соотношением d = D + // — f2f или, соответственно,
d = D + // + //. Если подставить эту величину вместо
интервала, то при указанном выше условии, что линзы находятся в
воздухе, получим:
Jl_ === JL j 1 d_ l^JiJL,!-— ПБ)
Г h'^h' h'h' И / fi t*hh9 ( '
При плотном прилегании одной линзы к другой выражение
упрощается и принимает вид известного соотношения:
т'т+т:- (16>
В этом простейшем случае обратное значение фокусного
расстояния системы равно сумме обратных величин фокусных расстояний
каждой линзы. Величину— называют оптической силой,
обозначают через ср и измеряют в диоптриях (1 диоптрия — это
оптическая сила линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м).
В заключение следует напомнить, что соотношения (15) и (16)
справедливы лишь в том случае, если /2 = — /2', т. е. если справа
и слева от линз показатели преломления сред одинаковы.
Задачи
104. Видимый угловой размер Солнца составляет 30'. Определить
величину его изображения, полученного при помощи линзы, фокусное
расстояние которой 2 м.
105. Определить положение изображения, если объектом отображения
служит плоскость, расположенная наклонно к главной оптической оси.
§ 3. Оптическое отображение. Закон синусов Аббе.
Изменения первичного пучка, исходящего из одной точки
а) Отображение параксиальных точек
узкими пучками. Пусть световой пучок исходит из какой-
либо точки, расположенной на главной оптической оси. Если
ограничивающие пучок лучи образуют весьма малые углы с оптической
осью, то их синусы и тангенсы могут быть заменены значениями
самих углов. В отношении точек, не лежащих на оси, надо считать,
411
Рис. 127. Получение изображения
при помощи преломляющей
сферической поверхности.
что расстояние их до оптической оси настолько мало, что может быть
измерено длиною дуг, центры которых лежат на той же оси.
Если при выполнении указанных выше условий центры
преломляющих сферических поверхностей также лежат на оптической оси,
то имеет место коллинеарное отображение. Свойства
коллинеарности отображения можно сохранить и в том случае, если
преломление происходит на любой поверхности вращения, так как в
пределах узких пучков такие
поверхности могут быть с
достаточной точностью заменены
касательной сферической
поверхностью.
Таким образом, при
определенных (принятых выше)
условиях любая система
преломляющих поверхностей
вращения с общей осью приводит
к одному коллинеарному
отображению. (Сюда же можно отнести и тот случай, когда часть
поверхностей системы является отражающей, так как при этом
л= — 1.)
В качестве примера следует рассмотреть преломление на
сферической поверхности, разделяющей две среды, показатели
преломления которых равны соответственно п (слева) и nf (справа).
В отношении знаков принимается следующее правило: все
отрезки оси слева от границы раздела будут считаться
отрицательными; справа от границы — положительными. Кривизна будет
считаться положительной, если выпуклая сторона сферы обращена в
сторону падающего луча.
Пусть теперь дочка Р, лежащая на оптической оси (рис. 127),
находится на расстоянии — s от вершины преломляющей
поверхности S; луч, выходящий из точки Р под углом е к оси, пересекает
ее после преломления вторично в точке Р\ т. е. на расстоянии s'
от поверхности раздела. Необходимо показать, что расстояние s'
не зависит от угла в, т. е. что исходящий из точки Р пучок вновь
сходится в точке Р'. Если соединить точку перегиба луча К с
центром шаровой поверхности М и обозначить угол SMK через ^,
то из рисунка 127 следует:
Г— s a
= — и
s' — r
(17)
Так как, согласно закону преломления, па = л'р, то от
почленного деления соотношения (17) получится:
(s — г) s'
(s' - г) §
п'
п
(18)
413
или
«(т-тН(т-у>
(19)
В формулы (18) и (19) не входят углы а и [3; поэтому выражение
пА ) является инвариантом.
Уравнение (19) можно записать в иной форме;
— п\п ft — п
(20)
откуда путем сравнения с уравнением (7) при е = s, er = — s' или,
пг
соответственно, е' = s\ е = — s. Следовательно,
/=
лг
/' = -
П'Г
ИЛИ
/
п'
п
(21)
(22)
Если подставить уравнение (22) в выражение (11), то, при
условии, что tg и = и, получится уравнение Гельмгольца •<— Лагран-
жа:
(23)
пуи = п'' у'и'
Произведение nL yt ut вновь оказывается инвариантом; поэтому
даже при любом количестве поверхностей уравнение (23)
устанавливает соотношение между соответствующими величинами и
углами предметного пространства и пространства изображений
(большое изображение — узкое отверстие, малое изображение —
широкое отверстие).
Уравнение (22) позволяет перейти к рассмотрению наиболее
общего случая соединения двух изображений, при котором
показатели преломления пространства изображений и предметного
пространства различны.
Пусть для простоты система состоит из одной тонкой линзы, и
поэтому d равно нулю.
Уравнение (14) принимает при этом следующий вид:
h-h
h
1
п2
t h'U h' h'h' U njw
При переходе к оптическим силам получится:
"aY^afi' + ^V.
(24)
(25)
413
Пусть, далее, слева от линзы показатель преломления среды
равен я0, а справа от линзы л2. Показатель преломления материала
линзы nv Тогда, в соответствии с уравнением (25), получится:
'Vf' = "i?i/ + >VP2/> (26)
где cp'j и <р'2 означают оптические силы передней и задней
преломляющих поверхностей.
Таким образом, доказано, что преломление на сферической
поверхности, может быть описано уравнением, аналогичным формуле
(7), если принять следующие допущения:
_ пг — f nr ~ р
п' — п пг — л
и, наконец, отсчитывать расстояние до предмета и изображения от
плоскости, перпендикулярной оптической оси и проходящей через
вершину преломляющей сферической поверхности.
В случае тонкой линзы эта плоскость соответствует
совпадающим главным плоскостям пространства изображений и предметного
пространства; поэтому расстояние от нее до фокальных плоскостей
должно быть равно / и /'.
Действительно, из уравнений (20) и (21) вытекают соотношения:
и s'=/' при s = —оо
S = —/ ПрИ S' = <х>.
Таким образом, если х и х' отсчитывать от фокальных
плоскостей (s' = х' + f и — s = — х — /), то в результате
получается первое уравнение коллинеарности (6). Следует показать теперь
справедливость второго
основного уравнения (6). Чтобы
найти взаимное соответствие
между положениями
предмета и изображения для
параксиальной точки Q (рис. 128),
представим, что прямая РР'
Рис. 128. Получение изображения точки, поворачивается вместе с пуч-
лежащей не на оптической оси. ками лучей на небольшой
угол PMQ. Точка Р займет
при этом положение Q, а Р' совместится с Q'. Малые дуги PQ
и P'Q' с достаточной точностью можно рассматривать как
расстояния у и у' точек Q и Q' от оптической оси; поэтому, согласно
рисунку 128 и уравнению (19), можно записать:
414
Учитывая, далее, что — s = — х — f, s' = xf + f и хх' =
//', окончательно получаем:
Л1 = — x'f + #' = _ *'tf + *> = _ *1 = _ JL (28)
у xf'+ff t'U + x) Г хш }
Таким образом, в рассматриваемом случае выполняется и второе
уравнение коллинеарности.
б) Изображение параксиальных точек
широкими пучками.
Если при построении изображения иметь дело с широкими
световыми пучками, то принятые ранее допущения (sins^e, s' не
зависит от е) оказываются неприемлемыми. Исходящий из точки Р
широкий пучок лучей уже не будет пересекать оптическую ось в
одной точке Р'. В данном случае можно говорить лишь о
совокупности точек, которые образуют каустическую кривую, а в
пространстве — каустическую поверхность, огибающую лучи преломленного
пучка. Однако для каждой пары точек можно найти
математическую поверхность такого свойства, что преломление на ней всех
лучей, исходящих из точки Р9 даст коллинеарное изображение Р'.
При выводе формул следует исходить из требования постоянства
светового пути. Для случая отражения такой математической
поверхностью является, как известно, эллипсоид вращения,
фокусы которого совпадают с точками Р и Р\
Если точка Р перемещается в бесконечность, эллипсоид
становится параболоидом вращения. Однако практическое значение
такого случая невелико, так как даже параксиальные точки,
расположенные в плоскости, перпендикулярной оптической оси, не дают
четкого изображения. Чтобы получить при помощи широкого
пучка не только изображение осевой точки, но и изображение
элемента поверхности, перпендикулярного к оси, необходимо соблюдение
еще одного условия. Оно было найдено независимо Клаузиусом
и Аббе. Для вывода его надо исходить из рассмотрения отдельных
точек элемента предмета da и изображения da'.
Пусть луч, выходящий из точки Р± (рис. 129) в направлении s,
пересекает преломляющую поверхность в точке Qv а оптическую
ось — в точке Р/. Второй луч, выходящий из другой точки Р2,
пересечет преломляющую поверхность в точке Q2. Вектор QtQ2 обо-
начим через db. Будем считать также, что векторы da, da', db
находятся в одной плоскости, хотя, вообще говоря, в таком
ограничении нет необходимости. Ввиду малости численных значений da,
da', db геометрические пути P1Q1 и P2Q2 могут отличаться лишь
на незначительную величину ds. To же самое можно сказать и в
отношении QXP' и Q2P2'. Если слева от преломляющей поверхности
показатель преломления принять равным п, а справа от нее п\
то, вводя для краткости обозначения Рг(?х = s; PaQ2 = s + dsy
415
QtPi = s'; Q^PJ = s' + ds', можно выразить оптические пути
света в следующем виде:
Lx = (Р1Р1) = ns + n's'Lz = (РгР2') = n(s + ds) + n'(s' + ds').
(a)
Рис. 129. К условию синусов.
Если изображение создается пучками, средние лучи которых
служат направлениями, показанными на рисунке 129, то,
согласно теореме Ферма, оптические пути Lx и L2 должны быть постоянны
для всех лучей пучка, поэтому и разность Lx — L2 должна быть по*
стоянной. Пусть она выражена через s, s', da и da'. В замкнутом
четьт^хугольнике P^^Qi
da + (s + ds)(s + ds) — db — ss = 0.
(6)
Скалярное умножение на s (поскольку s2 = 1, s . ds = 0) дает:
ds = s • db — s • da. (в)
Точно так же
ds' = s' . da' — s' . db. (r)
Отсюда
(Lt — L2) = ns • da — ns . db + n's'-db — n's'.da'. (д)
Однако, согласно закону преломления,
ns • db = n's' • db, (e)
причем это уравнение справедливо и в том случае, если db лежит
не в плоскости падения s или, соответственно, s' (ср. задачу 106).
Следовательно,
Lx — L2 = const = ns- da — n's' • da
(ж)
Пусть луч пучка образует с da (или da') угол е0 (или в0'); тогда
для всех лучей справедливо уравнение:
nda (cos s — cos e0) = n'da! (cos s' — cos e0'). (з)
416
Уравнение (ж) и выражает искомое соответствие между предметом
и изображением.
Пусть теперь векторы da и da' перпендикулярны к оси
центрированной системы, т. е. е0 = е0' = —. Пользуясь прежними
обозначениями, можно записать, что |daj=#, \d&'\ = y'. Тогда,
учитывая, что в = —+ и» е' = —+ */'• получится:
nysinu = riyf sin и'
(29)
Уравнение (29) выражает известное условие синусов Аббе. Смысл
его состоит в том, что при точечном изображении
перпендикулярного к оптической оси элемента поверхности отношение синусов
углов, образованных лучами предметного пространства и
пространства изображений с оптической осью, имеет вполне определенное
постоянное значение —, где через В обозначено увеличение
п
У- , вычисленное для соответствующих (сопряженных) точек оси.
у
Если, с другой стороны, da и da/ совпадают с направлением
самой оси (т. е. если s0 = е0' = 0, е = и, г' = и\ | da | = dx, | da' |=
= dx'), то получается условие для определения глубины резкости;
его можно записать в следующем виде:
ndx sin2 — = rid* sin2 - . (30)
2 2 '
Уравнения (29) и (30) противоречат друг другу; это говорит о том,
что при помощи широких пучков нельзя получить точного
изображения даже малого элемента объема. Тем более нельзя добиться
коллинеарного изображения для больших предметов.
Сравнение уравнений (11) и (29) показывает, что совмещение
условий синусов и тангенсов возможно лишь при малых значениях
н. Исключение составляет случай отражения от плоскости.
Физические и математические требования здесь совместимы в силу того,
что п = — п\ у = у\ и = — и'.
'• в) Изображение периферийных точек
узкими пучками. Коллинеарное изображение точки,
значительно удаленной от оптической оси, не может быть получено даже
при помощи элементарных световых пучков. Легко убедиться в том,
что меридиональные и сагиттальные лучи пучка пересекаются на
различных расстояниях от преломляющей сферической
поверхности. Но в то же время каждому из элементарных пучков
соответствует некоторая ортогональная поверхность. Естественно
поэтому, что кривизна такой поверхности неодинакова в различных
направлениях. Наглядное представление об этом дает рисунок 130,
417
изображающий световой пучок в пространстве изображений.
Ортогональная* поверхность ABCD ограничена на рисунке двумя
парами кривых. В точках Е и F пересекаются нормали к линиям
кривизны АВ и CD. Все другие нормали к линиям кривизны
того же семейства образуют при пересечении каустическую
линию EF,
Аналогичным образом могут быть построены нормали к AD>
ВС и другим кривым этого семейства. Точки пересечения нормалей
образуют при этом вторую каустическую линию GH, которая,
вообще говоря, неперпендикулярна EF. Обе каустические линии в
общем случае неперпендикулярны
также к центральному лучу
—s пучка. При переменной
кривизне ортогональной
поверхности перпендикулярность
каустических линий к центральному
Рис. 130. Астигматичный лучу может быть соблюдена
элементарный пучок. только с известным
приближением и лишь при условии
медленного изменения главных радиусов кривизны АЕ и AG.
Расстояние между двумя каустическими линиями EF и GH
называют астигматической разностью Д.
Только в том идеальном случае, когда главные радиусы
кривизны ортогональной поверхности равны по величине, точка
отображается точкой.
Задачи
106. Показать, что закон преломления и закон отражения справедливы
и для синусов тех углов, которые образуют падающий и преломленный
(отраженный) лучи с любой плоскостью, проведенной через перпендикуляр
к точке падения. Решить ту же задачу для косинусов углов, которые образуют
эти лучи с любой прямой, лежащей в преломляющей плоскости.
107. Почему в призматическом спектрографе спектральные линии
искривлены?
108. Вычислите фокусные расстояния и определите положения главных
плоскостей для толстой линзы с показателем преломления л.
109. В какой форме может быть записан закон синусов для бесконечно
далекой предметной точки главной оптической оси? (Ввести высоту падения
лучей h.)
§ 4. Разрешающая способность оптических систем
Если допустить, что специальным подбором компенсаторов
удалось создать объектив, который, согласно математическим
расчетам, должен давать коллинеарное изображение (например, какой-
либо далекой звезды), то и в этом случае наблюдение показало бы,
что в пространстве изображений имеется не точка, а маленький диск,
окруженный концентрическими кольцами. Причиной этому
является, как известно, дифракция, причем упомянутый выше пример
■^**
418
со звездой следует отнести к дифракционным явлениям Фраунгофера,
так как даже в том случае, если изображение наблюдается в
фокальной плоскости объектива телескопа (т. е. на конечном расстоянии),
дифракция на краях круглой оправы отверстия объектива
приведет к отклонению лучей в самых различных направлениях.
Интеграл дифракции для круглого отверстия может быть записан при
помощи функций Бесселя. Ход кривой интенсивности качественно
не отличается при этом от аналогичной кривой для щели; однако
первый минимум при перпендикулярном падении лежит в
направлении Ь, для которого
г sin Ь = 0,61 X,
где г—радиус отверстия.
Следовательно, две точки могут быть разделены, если главный
дифракционный максимум от одной из них совпадает с первым
минимумом от другой. В случае круглого отверстия это приводит к
выражению:
Формула (31) показывает, что изменение разрешающей
способности может быть достигнуто не путем повышения увеличения
оптической системы, а лишь за счет применения объективов больших
диаметров, так как, чем больше г, тем больше светосила и меньше А&.
У микроскопа предмет располагается приблизительно в
фокальной плоскости объектива; поэтому минимально разрешимое
расстояние Ае между двумя точками составит:
п sin и *
где и — угловое отверстие объектива (входной зрачок), а п —
показатель преломления среды между объективом и предметом.
Задача
ПО. Вычислить спектральную разрешающую способность призмы как
dn
функцию ее размеров и дисперсии вещества призмы — .
§ 5. Основы интерференционной оптики.
Кривые равной толщины и равного наклона
При конструировании некоторых оптических приборов,
например интерферометров, явления дифракции у краев не играют
существенной роли, в то время как интерференция когерентных
пучков имеет решающее значение. Чередование интерференционных
максимумов и минимумов может быть получено, в частности,
при наложении двух когерентных волн, отраженных от перед-
419
ней и задней плоскостей тонкого клиновидного слоя. Положение
максимумов и минимумов определяется здесь разностью фаз меж-
ду интерферирующими пучками, а последняя зависит от длины
оптического пути между передней и задней гранями клина
(рис. 131).
Важно заметить, что получение устойчивой интерференционной
картины возможно лишь в том случае, если в определенном месте
клина разность хода постоянна и одинакова для всех лучей. Строго
говоря, такое условие выполнить невозможно, так как это
потребовало бы применения физически неосуществимого параллельного
пучка. Принципиальная трудность состоит здесь в том, что для
получения параллельного пучка нам пришлось бы поместить в
фокусе линзы точечный источник бесконечно большой яркости. В
действительности всякий источник света обладает
конечной яркостью и имеет определенную
протяженность. Световой пучок после преломления на
линзе не является в силу этого строго
параллельным; поэтому и условие постоянства разности хо-
_ да при данной толщине клина выполняется лишь
J с известным приближением.
Рис. 131. Полу- При данном угле падения интерференционные
чение линий максимумы наблюдаются в тех направлениях, для
равной толщи- которых разность хода между лучами, отраженными
ны- от передней и задней граней клина, выражается
четным числом полуволн.
Разность хода, равная нечетному числу полуволн, определяет
положение интерференционных минимумов. Глаз или объектив,
направленные на переднюю сторону клина, фиксируют, таким
образом, светлые и темные полосы, называемые кривыми равной
толщины. Однако по мере увеличения углового отверстия и расстояния
между обеими поверхностями клина, видимость
интерференционных полос уменьшается.
Интерференционная картина может
возникнуть и в том случае, если световой пучок падает на
плоскопараллельный преломляющий слой.
Разность хода между лучами, отраженными от перед- г
ней и задней поверхностей этого слоя, зависит от Рис> 132. Обра-
угла падения лучей (рис. 132). Плоскопараллель- зование' линий
ные пластинки применяются, например, в интер- равного накло-
ферометре Фабри — Перо. на*
Если допустить, что показатель преломления
среды, находящейся перед такой пластинкой, приблизительно
равен показателю преломления вещества самой пластинки, то при
угле падения а разность хода составит:
AC-\-CD — AB = — — 2dtgasina = 2dcosa. (32)
1 COS a e x '
.J
420
Направления на максимумы и минимумы могут быть выражены
следующими соотношениями:
1. 2d cos a = пгк (максимум);
2. 2d cos а = (2ш+1) X (минимум).
Так как все лучи, образующие с перпендикуляром к пластинке
равные углы а, дают в фокальной плоскости линзы кольцо (или
центральный круг), то кривые равного наклона будут иметь вид
концентрических колец. По мере увеличения расстояния между
пластинками ширина колец уменьшается; однако в противоположность
кривым равной толщины видимость интерференционной картины
ограничивается здесь главным образом тем, что ни один из реальных
источников света не является вполне монохроматическим.
Если допустить, что каждая спектральная линия состоит лишь
из двух монохроматических компонентов, то и в этом случае
интерференционные картины от каждого из компонентов оказываются
сдвинутыми, максимумы и минимумы их не совпадают; поэтому
картина становится расплывчатой.
В действительности же любая спектральная линия содержит
целый набор длин волн, испускаемых атомами источника; поэтому
интенсивность распределяется непрерывно, и имеются лишь
отдельные резкие максимумы*
Интерференционные картины, возникающие в каждой из
спектральных областей, накладываются, и изображение теряет всякую
четкость. Если в образовании картины участвуют лишь два
интерферирующих луча, то построением векторной диаграммы можно
получить следующий закон спада интенсивности для каждой полосы:
/ = «/Макс c°s2 ~ (? — разность фаз). (33)
Значительно более крутой спад кривой и, следовательно, еще
большая разрешающая способность спектрального прибора могут
быть получены при одновременном действии значительного
количества пучков (ср. стр. 392).
Практически такие лучи получаются многократным отражением
света от двух параллельных граней посеребренной
плоскопараллельной пластинки или в воздушном зазоре между двумя пластинками.
Именно этот метод применяется в интерферометре Фабри — Перо.
Разрешающая способность прибора может быть определена
особенно просто, если принять, что интенсивность света не меняется
по мере возрастания числа отражений (Л/). При таком допущении
можно непосредственно воспользоваться методом векторных
диаграмм, примененным ранее для расчета разрешающей способности
дифракционной решетки;
А « N.rn. (34)
14 Г. Иоо
421
В случае интерферометра N сравнительно мало, а порядковое
число т, т. е. разность хода между смежными лучами, наоборот,
велико. Если толщина пластинки составляет, например, 0,25 см,
а освещение осуществляется зеленым светом (X = 5*10"~5сж),
то при нормальном падении т = — = 104, в то время как в
к
дифракционной решетке т не превышает четырех.
То обстоятельство, что интенсивность света в действительности
не остается постоянной, а убывает с ростом числа отражений по
закону геометрической прогрессии, заставляет несколько изменить
приведенные выше рассуждения. Дело в том, что побочного
минимума в силу этого обстоятельства вообще не возникнет, а
положение второго максимума, при котором он может еще восприниматься
отдельно, должно быть предварительно установлено.
Практически же интерферометр характеризуют тем, что
указывают эквивалентное число лучей равной толщины, составляющее
примерно 20. Следовательно, в нашем примере А = 2Л05.
Чтобы получить это число измерением, надо учесть, например, что от-
о
носительная разность длин волн желтого дуплета натрия 5890 А
и 5896 А составляет, круглым счетом, 10 .Следовательно, при
помощи рассмотренного интерферометра можно было бы разделить
две линии, длины волн которых отличаются друг от друга на одну
двухсотую часть.
Недостатком интерференционного спектрографа является его
малая область дисперсии, требующая предварительного
разложения другим спектральным аппаратом. В противном случае
интерференционные кольца, соответствующие волнам различной длины,
сливаются, образуя крайне запутанную картину. Областью
дисперсии ДХ называют такую разность длин волн, при которой имеет
место наложение одной интерференционной картины порядка т
на другую картину порядка т + 1.
При этом
т(Х + ДХ) = (т+1)Х,
или АХ = Х/т. (35)
В приведенном примере область дисперсии составляет лишь
— интервала D = линии натрия.
Задача
111. Вычислить разность хода при отражении от передней и
задней граней плоскопараллельной стеклянной пластинки, если пучок
параллельных лучей падает в воздухе на пластинку под углом а к ее нормали.
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Предварительное замечание
Изложенная в разделе III теория, которая находит свое полное
выражение в уравнениях Максвелла для электромагнитного поля
в покоящихся телах, оперировала с доступными измерению
свойствами вещества: проводимостью а, диэлектрической проницаемостью
г и магнитной проницаемостью [х, а также связанным с ними
показателем преломления п. Но, как уже указывалось, эти величины
не являются неизменными константами вещества, они зависят от
температуры, давления, а для быстро меняющихся полей — и от
частоты. Относительно этой зависимости величин а, г, ц
макроскопическая электродинамика по самому своему существу ничего
не может сказать. Надо попытаться получить правильную картину
зависимости этих величин от различных переменных, задавшись
определенными представлениями о структуре вещества и
электрических зарядов. Таким образом, в отличие от теории поля, которая
оперирует только макроскопическими величинами, придется ввести
вспомогательные микроскопические представления, которые порой
нельзя непосредственно проверить, так что их правильность
можно контролировать лишь экспериментальной проверкой
вытекающих из них следствий.
Глава I
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ РАСТВОРОВ ЭЛЕКТРОЛИТОВ
§ 1. Основные явления в растворах электролитов
и их толкование
Соли, щелочи и кислоты называют электролитами.
Электропроводность их растворов — явление, в котором уже давно
наблюдались закономерности, не подчиняющиеся уравнениям
Максвелла. Они привели к гипотезам о структуре электричества.
Поэтому и надо начинать с их рассмотрения.
14*
423
Ток проводимости в растворах электролитов следует закону
Ома в очень широком диапазоне напряженностей электрического
поля. Практически при постоянной температуре проводимость
не зависит от напряженности поля. Лишь при очень больших
напряженностях поля найдены малые отклонения от закона Ома.
Электропроводность растворов связана с переносом вещества.
На электродах из раствора соли осаждаются вещества,
содержащиеся в растворе или образующиеся в результате химических реакций
на электродах. При этом имеет место известный закон Фарадея,
который можно сформулировать следующим образом: для осаждения
одного грамм-эквивалента1 вещества из раствора электролита
требуется всегда одно и то же количество электричества:
| F = 2,894 ЛО1* ед. СТСЭ/моль = 9649» 104 а.сек/кмоль.\
(Под грамм-эквивалентом вещества подразумевается масса
вещества, которая может заместить один грамм-атом водорода в
химических соединениях, т. е. 107, 9 г одновалентного серебра, —. 63,6 г
двухвалентной меди, —.138,9 г трехвалентного лантана.)
о
Закон Фарадея приводит к атомистическому строению
электрических зарядов. Один моль серебра содержит #л = 6,02.1023
атомов серебра. Перенос этого числа атомов связан с переносом
количества электричества F. Следовательно, атом переносит в среднем
заряд
е = £ = 4,80 .10~10 ед. СГСЭ = 9649'104 а.сек = 1,60- 1(Г,9а.сек.
Так как во всех опытах получается именно эта величина,
естественно предположить, что это не просто среднее значение, а
действительно каждый одновалентный атом несет заряд е, каждый двух-
F
валентный — заряд -тг—^ = 2 е. Заряд е называют элемен-
тарным электрическим зарядом. Существование этого атома
электричества с полной очевидностью доказано рядом опытов. Атомы,
несущие один или несколько элементарных зарядов, называют
ионами. Они обладают подвижностью в растворах электролитов. Как
возникают ионы в растворах? Из рентгено-структурных
исследований известно, что кристалл NaCl, например, состоит не из
нейтральных атомов, а из положительных ионов Na+ и отрицательных
ионов СР.При растворении в воде кристаллическая решетка
распадается, и можно ожидать, что ионы сохранят свой заряд, хотя
имеется, конечно, возможность объединения части из них в нейтральные
1 1 моль в системе СГС имеет размерность [г], в системе МКС — [кг],
и тогда пишут кмоль.
424
молекулы NaCl. Что носители заряда образуются не под действием
электрического поля, а при растворении, следует из того, что
проводимость остается одной и той же, начиная от самых малых напря-
женностей поля и кончая самыми высокими.
Пусть в 1 см3 раствора электролита содержится N,
положительных Z, -валентных и N_ отрицательных 2_-валентных ионов;
скорость положительных ионов равна v,9 отрицательных — v_ .
Тогда через площадку в 1 см\ перпендикулярную к направлению
тока, за одну секунду проходит количество электричества
l = (Z+N+v+ + Z_N^oJe (1)
(/ — величина плотности тока). Так как раствор все время
остается нейтральным, то
N+Z+ = N_Z_, (2)
Поэтому
l = N+Z+e(v++vJ. (Г)
Действительно, через единичную площадку в направлении поля
проходит столько положительных ионов, сколько их содержится
в параллелепипеде высоты v+9 т. е. N+ v+* Точно так же в
противоположном направлении через эту площадку проходит N_ o_
отрицательных ионов, что соответствует току положительных зарядов
по направлению поля.
Чтобы выполнялся закон Ома, т. е. чтобы / была
пропорциональна напряженности поля £, в силу уравнения (1) v, и у_ должны
быть пропорциональными напряженности пел я и не должны
зависеть от времени. На первый взгляд кажется, что постоянная сила
ZeE9 действующая на Z-валентный ион, должна привести к
ускоренному движению, т. е. скорвсть должна зависеть от времени. Но
на ион, помимо электрического поля, действует еще сила
сопротивления — трение, обусловленное наличием среды. Можно сделать
следующее, довольно смелое предположение: если имеется шарик
атомных размеров, то для него все еще справедлив закон Стокса для
трения шарика в вязкой жидкости (см. стр. 225). Тогда
сопротивление трения, пропорциональное скорости, равно:
6vtfio (3)
(R — радиус шарика, т\ — вязкость жидкости). После
кратковременного переходного процесса наступает равновесие между силой
трения и напряженностью электрического поля. Отсюда мы
получим следующее выражение для скврости:
0 = 5*- (4)
425
Скорость, достигаемая ионом в поле с единичной напряженностью,
называется подвижностью иона:
и = — = — . (5)
Обычно принято относить ее к полю с напряженностью 1 в/см. Если
в уравнение (1) ввести подвижность, то оно преобразуется к виду:
/ = (Z+ ЛГ+ и+ + Z_tf_ и J eE = N+Z+eE (u+ + uj. (6)
Таким образом, удельная проводимость раствора электролита равна:
с = (Z+N+ и+ + Z_tf_ и J e = N+Z+e (к++ uj. (7)
Отсюда видно, что одна проводимость еще не определяет
подвижности отдельных ионов. Она определяет лишь сумму подвижностей.
Пусть известно, например, что подвижности ионов обоих знаков
одинаковы, или, в общем случае,
известно отношение подвижностей
+ положительных и отрицательных
ионов. Его действительно можно
toXZuK* c^k^uec» определить на опыте (см. ниже).
анимы «атионы Тогда, зная концентрации отдель-
Рис. 133. Изменение концентрации ны* ионов, можно найти и их под-
в результате прихода и ухода вижности. Далее, из формулы (5)
ионов. видно, что подвижность тем
больше, чем меньше вязкость
растворителя. Так как вязкость всех жидкостей убывает с повышением
температуры, это объясняет увеличение проводимости растворов
электролитов при повышении температуры.
Отношение проводимостей можно определить измерением
перемен в концентрации ионов возле электродов при прохождении
тока, помещая внутри сосуда стенку из полупроницаемого
материала, которая препятствует выравниванию концентраций в
результате диффузии. Это ясно из простейшего примера электролита с
одновалентными ионами. На катоде осаждаются не только те
катионы, которые пришли к нему в результате прохождения тока, ной те,
которые «освободились» благодаря уходу противоположно
заряженных партнеров. Поэтому достаточно подвижности ионов одного рода,
чтобы на обоих электродах вызвать осаждение вещества. В
противном случае у электродов возникал бы избыточный заряд, но он как
раз компенсируется осаждением избыточных ионов. Однако
изменение концентрации у катода определяется лишь теми катионами,
которые освободились в результате ухода анионов (см. рис. 133,
на котором отношение подвижностей катионов и анионов принято
равным 3:2). Таким образом, изменение концентрации у катода
в поле напряженности Е, выраженное в грамм-молекулах
растворенной соли, составляет:
426
f
a N и В ,6.
Апк=-Й7Г <*>
(NA — число Авогадро, т. е. число молекул в одном моле), а
изменение концентрации у анода
А^=-т^- ()
Когда оба иона одновалентны, N_ = N. и
АпА u-l. '
(10)
Изменения концентраций, выраженные в грамм-молекулах
растворенной соли, обратно пропорциональны подвижностям приходя-
дящих к электродам ионов.
В этой форме утверждение справедливо и для раствора
электролита, в котором ионы имеют валентности Z, и Z_, т. е. для
раствора соли с химической формулой Kz_ AZ+(K— катион; А — анион;
Z. > Z_ — взаимно простые числа). Хотя в этом случае Z_ N_ =
= Z, N+ вместо N_ = N+ , но убыль концентрации у анода,
выраженная в грамм-молекулах соли, вычисляется по убыли
катионов посредством деления на Z_ NA (ср. химическую формулу),
так что валентности при вычислении отношения выпадают.
Отношение подвижностей дает также отношение долей, которые
приходятся на каждый род ионов в общем переносе заряда. Если
обозначить долю заряда, переносимую катионами, через q+t а
анионами — через q_ = 1 — q, , то из формулы (6) получаем:
Я+i = Z+N+u+eE> qJ=Z_N_u_eE.
Таким образом,
Т1-Т=Т^-ТС- (П)
Величины q, и q_ называются числами переноса.
Из измерений проводимости и чисел переноса при помощи
уравнений (6) и (11) можно определить подвижности ионов по
отдельности. Они очень малы; например, в водных растворах при
комнатной температуре они составляют (в единицах см.сек~1/ в . см~1):
для Li+ 36,8.1(П3, Na+46,0.1(T5, К+67,6.1 (T5,Mg++47, 6.1(Г5.
Если по этим числам при помощи закона Стокса вычислить радиусы
ионов, то получатся величины, имеющие порядок 10~8 см> Но эти
радиусы не совпадают с радиусами свободных ионов в газе, что вид-
427
но из того, что они убывают в ряду Li — Na — К вместо того,
чтобы увеличиваться, как это следует из хорошо обоснованных
результатов атомной физики. Причина этого кроется в том, что на
поверхности маленького иона напряженность электростатического п©ля
больше, чем на поверхности большого (сферически симметрично
распределенный заряд по законам электростатики эквивалентен
заряду, сосредоточенному в центре шарика). Это
электростатическое поле приводит к прилипанию молекул растворителя к ионам,
которое постепенно ослабевает с увеличением расстояния от центра
иона. Следовательно, наблюдаемый радиус является эффективным
радиусом иона, имеющего «оболочку» из молекул растворителя.
Поэтому и подвижность двухвалентных ионов Mg++He отличается
существенно от подвижности иона Na"*", хотя на него в том же поле
действует вдвое большая сила. Если не считать ионы Н+ и ОН~,
для которых возможны еще другие процессы вследствие их
аномально большой подвижности (329-10""5 для Н+ и 150• 10"*для ОН"* ),
то можно сказать, что подвижность всех ионов приблизительно
одинакова, потому что, чем больше заряд и вместе с ним сила,
действующая на ион в поле, тем больше и эффективный радиус иона,
определяющий сопротивление трения.
§ 2. Зависимость проводимости растворов электролитов
от концентрации. Теория Дебая — Хюккеля и Онзагера
Пусть растворено р грамм-эквивалентов электролита на 1 см? и
и-я. часть его распалась на ионы, а (1 — а)-я часть осталась в виде
нейтральных молекул и поэтому не играет роли при переносе
электричества. Согласно уравнению (7), проводимость равна:
о = apNA e(u+ +uj= apF {u+ + и J. (12)
Отношение—, называемое эквивалентной проводимостью Л, не
р
будет зависеть от концентрации лишь в том случае, есяи: .
1) степень диссоциации а не зависит от концентрации;
2) подвижности и и и__ тоже не зависят от концентрации.
В действительности наблюдается сильная зависимость
эквивалентной проводимости от концентрации. Это можно объяснить,
лишь допустив, что не выполняется хотя бы одно из указанных
предположений. Пусть не выполняется первое предположение. Это
соответствует точке зрения классической теории электролитов,
связанной главным образом с именем Аррениуса. Основная
предпосылка ее состояла в объяснении сопротивления трения
взаимодействием ионов с молекулами растворителя. На первый взгляд это
объяснение весьма правдоподобно, потому что, например, в растворе
NaCl, содержащем 1 моль на литр, отношение числа ионов к числу
молекул воды составляет 18 : 1000. Но это объяснение не учиты-
428
%
вает огромную величину электростатических сил, которые
создаются элементарными зарядами на расстояниях порядка нескольких
атомных радиусов»
Одновременное существование молекул и продуктов их распада
представляет собой химическое равновесие, Термодинамика дает
закон такого равновесия — закон действующих масс (см. разд. V,
а
гл. V), который в данном случае гласит: произведение р при
1—-а
заданной температуре постоянно, оно называется «постоянной
действующих масс» К; но эта «постоянная» является функцией
температуры: К = К (Т). Отсюда видно, что с уменьшением
концентрации а приближае1гся к единице. При малых концентрациях в
числителе можно приближенно положить а ^ 1, так что доля
ассоциированных молекул 1 — а пропорциональна эквивалентной
концентрации. Если классическое представление верно, то отношение
эквивалентной проводимости Л, найденной при конечной
концентрации, к эквивалентной проводимости А0 при концентрации,
стремящейся к нулю,, дает степень диссоциации а, которая должна
удовлетворять закону действующих масс. В действительности это
выполняется в широких пределах для так называемых слабых
электролитов, т. е. для веществ с малой эквивалентной проводимостью при
средних концентрациях, к которым относятся в первую очередь
органические кислоты и соли. Тем резче бросаются в глаза
противоречия, которые имеют место для сильных электролитов, т. е.
наиболее употребительных неорганических солей, кислот и
оснований. Для них произведение
А\2
(-
....раа^Ц. р (13)
может меняться на несколько порядков. Этому уже давно пытались
дать объяснение, согласно которому не выполняется второе из
сформулированных выше предположений, причем даже в
сравнительно концентрированных растворах (до~0,ОЬмолярных) имеет
место полная диссоциация и взаимодействующие ионы тормозят друг
друга. Однако лишь Дебаю и Хюккелю удалось преодолеть
большие математические трудности при вычислении сил, действующих
между ионами. Теория, созданная Дебаем и Хюккелем, была
впоследствии значительно улучшена Л. Онзагером, Здесь приводятся
лишь основные идеи их теории,
* Рассмотрим некоторый положительный ион и подсчитаем число
положительных и отрицательных ионов, находящихся в его
окрестности, В среднем за большое время (или в среднем для большого
числа положительных ионов) число отрицательных ионов в ближайшей
окрестности рассматриваемого иона будет больше, чем
положительных. Оценим среднее значение плотности зарядов. Получится
429
сферически симметричное распределение отрицательных зарядов
с быстро убывающей наружу плотностью. Наоборот, вокруг
отрицательного иона имеется облако положительных зарядов. Как
можно представить себе возникновение этих проникающих друг друга
«атмосфер», яснее всего можно показать на примере
кристаллической решетки (см. часть 2, рис. 10). Там тоже ионы, ближайшие к
положительному иону, имеют отрицательный знак, и наоборот.
Аналогичным образом, но менее упорядоченно, следует представить
себе и структуру растворов электролитов. Вычисление действующих
между ионами сил становится возможным благодаря замене
отдельных ионов в окрестности рассматриваемого иона средним
непрерывным пространственным зарядом,
который получится, если
фиксировать через некоторые
промежутки времени положения
соседних ионов и потом
произвести усреднение по большому
числу таких конфигураций. На
рисунке 134 эта средняя плотность
а б ионного облака показана
плотностью почернения.
Рис. 134. Распределение заряда: Первая тормозящая сила, до-
а) вокруг покоящегося иона, о) во- ^ r r ' *
круг движущегося иона. бавляющаяся к стоксовскому
трению, возникает следующим
образом. Ионная атмосфера
требует некоторого времени для установления сферической симметрии,
соответствующей статистическому равновесию. Если за время dt
рассматриваемый ион сместится на ds, то распределение зарядов
около него не успевает сместиться полностью и будет ближе к тому
состоянию, которое соответствовало прежнему положению иона
(рис. 134, б). Но это означает, что перед движущимся ионом
слишком мало, а позади него — слишком много противоположных
зарядов. Электростатические силы приведут поэтому к торможению. Эта
дополнительная тормозящая сила названа «релаксационной силой».
К ней добавляется еще одна сила — «электрофорная». При
движении шарика в вязкой жидкости скорость жидкости у его
поверхности, к которой она прилипает, равна скорости шарика и убывает
ори удалении от него (см. стр. 223 и далее). Вблизи
положительного иоца преобладают отрицательные ионы, движущиеся в
противоположном направлении. Вследствие теплового движения молекулы
растворителя могут перейти из непосредственной окрестности
отрицательных ионов в «сферу прилипания» положительного иона.
При этом они переносят некоторое количество движения,
направленное противоположно движению рассматриваемого иона. Иначе
говоря, последний движется не в покоящемся, а в медленно
текущем навстречу растворителе. Количественные расчеты,
основанные на этих идеях, привели к следующим результатам.
430
1. Подвижность иона зависит не только от его собственных свойств
и свойств растворителя , но и от природы других ионов. Только
при бесконечно сильном разбавлении ионы движутся независимо.
Приведенные в § 1 числа являются предельными значениями
подвижности при концентрации, стремящейся к нулю.
2. Обе силы, которые добавляются к сопротивлению трения, в
первом приближении, как и стоксовское трение,
пропорциональны скорости ионов. Следовательно, закон Ома выполняется
(правда, лишь в первом приближении — при малых напряженностях
поля). В действительности при очень больших напряженностях
поля (105 в/см) наблюдаются значительные отклонения в сторону
увеличения проводимости при увеличении поля, что прекрасно
согласуется с теорией. В предельном случае бесконечно больших полей
дополнительные силы исчезают, так что наблюдающееся тогда
отклонение от предельного значения проводимости при бесконечно
сильном разбавлении может быть истолковано действительно как
ассоциация ионов в молекулы.
3. При сильном разбавлении отклонение от предельного зна-
„ . А
чения проводимости, определяемое величиной 1 , пропорцио-
нально корню из концентрации, а не самой концентрации, как в
законе действующих масс.
4. Для различных растворителей отклонения при равных
концентрациях тем больше, чем меньше диэлектрическая
проницаемость растворителя. Это легко понять: формула для силы
взаимодействия между двумя точечными зарядами содержит е в
знаменателе, так что с уменьшением диэлектрической проницаемости
действующие между ионами силы увеличиваются.
Неполное образование ионных «атмосфер» происходит не
только в очень сильных полях, но и в быстропеременных. Вследствие
этого при высокочастотных токах (соответствующих длине волны
10 м или меньше) дополнительные силы исчезают. Если перейти к
еще более коротким волнам, то при длине волны в несколько
сантиметров электропроводность растворов электролитов полностью
исчезает. Этот факт был давно известен из опыта и получил
теоретическое объяснение: вследствие больших инертных масс ионов они
не могут более следовать за изменениями поля. Здесь начинается
область оптических явлений, где растворы простых солей, вроде
NaCl, должны рассматриваться как диэлектрики, чем объясняется,
кстати, их прозрачность.
Задача
112. Для оценки величины электростатических сил вычислить: а) силу
притяжения двух элементарных зарядов е=4,80«10—10 ед. СГСЭна
расстоянии порядка межатомного (10~8 см); б) притяжение положительных и
отрицательных ионов одного моля каменной соли, разделенных и помещенных на
противоположных полюсах Земли (12 700 км); в) силу расталкивания такого
же количества одноименных ионов, если их собрать на сфере радиуса 10 еж.
431
Глава II
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ В ГАЗАХ
§ 1. Прямое определение элементарного электрического
заряда по методу Милликэна
Прежде чем рассматривать теорию электрического разряда в
газах, надо ответить на вопрос, является ли единичный заряд
одновалентного иона, определяемый из законов электролиза, лишь
средним значением (ведь больше этого из опыта заключить нельзя) или
действительным значением наименьшей величины электрического
заряда. Экспериментальное доказательство правильности
последнего заключения было дано Милликэном. Метод Милликэна состоит
в наблюдении под микроскопом малых частиц в электрическом поле,
которые несут небольшое число элементарных зарядов. Милликэн
употреблял для этой цели капельки масла, получаемые распылением
и наблюдаемые в микроскопе методом контрастного изображения.
Эти капельки находились в вертикально направленном
электрическом поле (см. рис. 88, стр. 266). В отсутствие поля скорость падения
v0 этих капелек определялась из условия равновесия между силой
трения и силой тяжести. Если приписать капелькам шаровую
форму — для капелек масла это вполне законно, — то при радиусе
капельки а, плотности масла с9 плотности воздуха <зв и вязкости
воздуха т] можно написать уравнение:
fawvQ = ^a6(a — c>B)g. (1)
Измеряя v0> можно определить радиус шарика и тем самым массу
частицы. Скорость падения vx в электрическом поле Е определяется
уравнением:
Gm\av1 = егЕ -j а3 (о — ав) g = etE -}- бкг^ц. (2)
о
Отсюда величина заряда равна:
е — 6*?)fl (gi — °о) (3^
1 Е '
Из опытов Милликэна вытекало, что заряды et являются
небольшими целыми кратными следующей величины:
\е - 4,8020 . 1(ГШ ед. СГСЭ = 1,602! . 1(Г1У а . сек\.
При точном вычислении следует внести еще газокинетическую
поправку к закону Стокса, учитывающую то обстоятельство, что
капельки нельзя считать бесконечно большими по сравнению с
величиной свободного пробега молекул.
Метод Милликэна дает не только доказательство существования
элементарного количества электричества е, но и точную его величи-
432
ну. Эти измерения определяют одновременно и NA, потому что фа-
радеевский заряд F = NAe, приходящийся на 1 грамм-эквивалент,
может быть очень точно измерен непосредственно. Отсюда следует:
I NA = 6,0236♦ 1023 моль~х = 6,0236♦ 102в кмрльГ1 I.
§ 2. Природа катодных лучей. Электрон
Если откачать стеклянную трубку, снабженную двумя
электродами, до нескольких тысячных долей мм рт. ст. и приложить к
электродам напряжение в несколько тысяч вольт, то на стенке
трубки, противоположной катоду, наблюдается зеленая
флуоресценция стекла, независимо от положения анода. Флуоресценция будет
ещё сильнее, если внутри трубки на пути между катодом и
светящимся пятном на стенке поместить экран из сернистого цинка и
наблюдать свечение на нем. Причина свечения исходит от катода, она
получила название «катодных (или электронных) лучей». Для
определения природы этих лучей решающее значение имеет
следующее наблюдение. Флуоресцирующее пятно отклоняется, если луч
проходит через электрическое или магнитное поле, причем
направление отклонения соответствует отрицательному заряду частиц
луча. Такие же лучи получатся, если взять в качестве катода
проволоку и накалить ее током от батареи, а трубку откачать до такой
степени, что при холодном катоде она вообще перестанет проводить
электричество. Этот способ получения катодных лучей, как
выяснится впоследствии, гораздо проще, и мы положим его в основу
дальнейших рассуждений. Пусть анод имеет вид плоской пластинки
с маленьким отверстием, расположенной против катода. Большая
часть исходящих из катода лучей попадает на анод. Гальванометр,
включенный в цепь катод — анод, будет показывать наличие тока.
Это значит, что катодные лучи переносят электрический заряд.
Проходящий через дырочку в аноде луч направим на
флуоресцирующий экран, расположенный дальше за анодом. На экране будет
наблюдаться светящееся пытнышко. На траекторию лучей между
анодом и экраном можно воздействовать посредством
электрического или магнитного поля. По аналогии с процессами при
электролизе естественно предположить, что в катодных лучах летят
частицы, массу т и заряд е которых мы пока не знаем. Но одно отличие
от электролиза обнаруживается сразу же: при обращении
приложенного напряжения ток прекращается. Частицы,
осуществляющие здесь перенос электричества, все одного знака —
отрицательного.
Скорость v0 частиц можно определить по-приложенному
напряжению V при помощи закона сохранения энергии:
eV = ±mv\. (4)
433
Следовательно,
fo=/'
m
(40
Ноеи/n все еще неизвестны. Необходимые для их определения
уравнения следует попытаться получить из отклонения луча в
электрическом и магнитном полях. Отклонение в электрическом поле
вычислить легко. Пусть отклоняющее поле перпендикулярно
направлению первоначальной скорости частицы, которое
принимается за ось X, Вдоль оси Y действует тогда постоянная сила еЕ.
Следовательно, возникает такая же задача, как при вычислении
траектории горизонтально брошенной материальной точки, движущейся
под действием силы тяжести. Из уравнений
тх = 0, ту = еЕ (5)
после двукратного интегрирования с учетом начальных условий
получается:
х = ?</, у = ■—-. (6)
Исключая время, получим уравнение траектории:
"—гг* (7)
(парабола). После прохождения пути а в электрическом поле Е
отклонение составит:
, еЕа? Ed* /Q4
Й*=-1^Г = 17 (8)
\ejrn исключается подстановкой выражения (4") для о0]. Таким
образом, по отклонению в электрическом поле можно определить
лишь напряжение V, которое в данном случае может быть
измерено непосредственно.
Теперь получим уравнение, определяющее отклонение в
магнитном поле. Выкладки упрощаются, если направить поле
перпендикулярно первоначальному направлению луча вдоль оси Z. На
странице 314 была вычислена сила, действующая со стороны магнитного
поля на элемент проводника с током. Она равна:
F = ijXHdx.
с
Элемент объема dx, заполненный зарядом с плотностью р и
движущийся со скоростью v, представляет собой элемент конвекцион-
434
ного тока плотности pv (см. стр. 425). Сила, действующая на этот
элемент объему, будет, следовательно, равна:
F = i-vX Hdx= -iv XH
с с
(9)
(е = pdt). Отсюда следует, что эта сила всегда перпендикулярна к
направлению движения, определяемому вектором v.
Следовательно, магнитное поле не может производить работы, т. е. оно может
изменять лишь направление v, но не может менять его величину и
вместе с тем кинетическую энергию. Далее, так как F
перпендикулярна и к Н, в направлении оси Z не будет ускорения. Значит, Z-
компонент скорости остается равным нулю, так как, по
предположению, он был равен нулю при входе в поле. Зато поле приводит
к появлению У-компонента скорости. Таким образом, получается:
dt ' dt
и H=tfk.
(Щ
Уравнение движения в компонентах имеет вид:
т-
d?x
= ±Я-
т
d*y
■ Н
dx
(П)
dy
dt2 с dt ' dt2 с dt
После однократного интегрирования с учетом начальных условий
(при х = у = 0 скорость равна по величине v0 и направлена вдоль
оси X) получается:
dt тс dt mc
(12)
Возведение этих равенств в квадрат и сложение их позволяют
исключить скорость, так как величина ее остается постоянной; в
результате получается следующее уравнение траектории:
2mcvo
х* + у* +
еН
г/ = о.
Это — уравнение окружности радиуса
Р =
mcvp
еН
(13)
(14)
касающейся оси X в точке О. Траектория заряженной частицы в
магнитном поле, перпендикулярном к первоначальному направлению
движения частицы, превращается в круговую-, плоскость траектории
перпендикулярна к направлению магнитного поля, а радиус прямо
пропорционален начальной скорости и обратно пропорционален
напряженности поля. Если магнитное поле имеет ограниченную
протяженность, так что лишь отрезок оси X длины Ъ лежит в поле,
и если напряженность его Н не слишком велика, то в уравнении
траектории (13) можно пренебречь у- по сравнению с у. Тогда части-
435
ца, после прохождения пути Ь в магнитном поле, отклонится на
величину
М*—=1/^--^. (15)
м 2mcv0 У т с /81/ v '
Сделанное приближение сводится к тому, что в правых частях
уравнений движения (11) мы пренебрегаем изменениями
компонентов v под действием поля, т. е. считаем -У = 0 и ~ = i/0. Оп-
dt dt
ределить v0, e и т по отдельности невозможно, так как имеются
лишь два уравнения (4) и (15). Из них можно определить v0 и ~.
Найденное таким способом значение — составляет:
т
р- = 5,273.1G17 ед. СГСЭ/г = 1,759.1011 а-сек/кг ,
т. е. оно в 1840 раз больше, чем отношение е/т для самого легкого
иона — иона Н+. Значение е/т оказывается всегда одним и тем
же, независимо от того, получают ли катодные лучи при помощи
горячего катода или при помощи холодного катода (в трубке,
откачанной не до конца), независимо от рода оставшегося в трубке
газа. Естественно попытаться отождествить величину е с
элементарным зарядом, встречающимся при электролизе, и определить
отсюда массу частиц в катодных лучах. Она оказывается в 1840
раз меньшей, чем масса атома водорода. Если же положить массу
этих частиц равной массе атомов оставшегося в трубке газа, то
независимость отношения е/т от природы газа представляется
весьма загадочной. Таким образом, появилось новое понятие — атом
отрицательного электричества, который был назван электроном.
Величина его массы т0 может быть найдена по величине
элементарного заряда е и по приведенному выше значению
отношения е/т0:
т0 = 9,108.10"28 г
(масса атома водорода составляет 1,6732.10~24 г).
Весьма важно, что при точных измерениях отношение е/т
оказывается не постоянным, а уменьшающимся с .увеличением
скорости. Эту зависимость экспериментально впервые обнаружил
Кауфман следующим образом. Он пропускал электроны одинакового
направления, но с различной величиной скорости через
поперечные электрическое и магнитное поля, направленные так, чтобы
отклонение в магнитном поле было перпендикулярно к отклонению
в электрическом. Пусть в плоскости экрана выбрана система
координат с началом в точке прохождения неотклоненного луча,
ось X направлена вдоль отклонения в электрическом, а ось Y —
436
вдоль отклонения в магнитном поле. Тогда по формулам (8) и (15)
получается:
еЕа? еНЬ*
X = ц~ щ
2ти0 2тсщ
Если рассматривать v0 как непрерывно меняющийся параметр, то
эти формулы дают параметрическое уравнение кривой, на которой
будут расположены точки попадания на экран отклоненных
электронов при различных скоростях. Если исключить v0, получится:
2тс2Еа? 0
X = U\
еНЧ* *
Это — парабола с вертикальной касательной в начале координат.
Меняя направление электрического псля, можно с большой
точностью получить направление касательной в точке О,
соответствующей бесконечно большой скорости, даже если в гродессе
наблюдения не удается достичь этой точки. Результат опытов был
следующим. Касательная составляет конечный угол с осью У. Так как
приведенное уравнение параболы, помимо констант, связанных с
конструкцией прибора, содержит лишь величину е/т, это
несоответствие можно объяснить лишь уменьшением отношения е/т с
увеличением скорости. Но теория относительности дает
увеличение массы с увеличением скорости по закону
т = —, °
(см. стр. 258), так что для предположения об изменении е нет
никаких оснований. Эта формула хорошо объясняет результаты опыта
Кауфмана. Чтобы отличить эту формулу от формулы, выведенной
на основании представления о покоящемся эфире, необходимы были
дальнейшие опыты, гораздо более точные, потому что
предсказываемые обеими формулами отклонения массы движущегося электрона
от его массы покоя различаются лишь на 20% (см. стр. 489).
Результаты'этих опытов были в пользу релятивистской
формулы. Таким образом, связь между ускоряющим напряжением и
скоростью катодных лучей должна быть несколько изменена. Вместо
уравнения (4) закон сохранения энергии имеет теперь вид:
V'-i ')=
(ср. стр* 261). Поэтому все измерения отношения е/т,
выполненные при конечной скорости, следует привести к Hyjfefcoft скорости,
что и было уже сделано для приведенных выше чисел.
тх*
437
Задачи
113. В опытах по отклонению катодных лучей экран помещают обычно
не непосредственно у конца поля, а оставляют некоторое пространство,
свободное от поля. Показать, что наблюдаемое на экране отклонение можно
рассматривать как получаемое следующим образом: лучи поворачивают под
углом в середине поля, причем этот угол равен углу между касательной к
траектории на краю поля и первоначальным направлением луча.
114. Из точечного электронного источника выходит слабо
расходящийся пучок катодных лучей. Угол раствора конуса электронных лучей равен
2а. Скорость всех электронов равна v. Показать, что магнитное поле,
параллельное оси конуса лучей, на определенном расстоянии вновь соберет лучи
в одну точку (теория «магнитной линзы»).
§ 3. Обзор возможностей образования носителей заряда в газах
В настоящее время нет сомнений, что атом является сложным
образованием из электрических зарядов. Положительно
заряженное «ядро», размеры которого (1(Г"13 см) по сравнению с размерами
всего атома (газокинетический поперечник Ю-8 см) исчезающе
малы и в котором сконцентрирована вся масса атома (если не считать
очень малых масс внешних электронов), окружено оболочкой из
электронов, заполняющих приблизительно всё пространство,
соответствующее газокинетическому объему. В электрически
нейтральном атоме число электронов, находящихся вне ядра, равно
числу положительных элементарных зарядов в ядре, и оба эти
числа совпадают с номером рассматриваемого элемента в
периодической системе Менделеева. Атом, потерявший один или несколько
электронов из оболочки вследствие внешних воздействий,
представляет собой положительный ион. Атом с лишним электроном
является отрицательным ионом. Молекула — это система с
несколькими ядрами, которая, как и атом, может превращаться как в
положительный, так и в отрицательный ион. Тенденция к
образованию отрицательных ионов встречается в основном у атомов тех
элементов, которые стоят в периодической системе перед
благородными газами. Они образуют однократно заряженные анионы:
F~\ СР , Br~", J~\ В твердом или жидком металле значительная часть
электронов свободно движется между положительными ионами.
Состояние этого электронного газа можно рассматривать по
аналогии с состоянием газа, растворенного в твердом или жидком
теле.
Освобождение электрона из атома или из поверхности металла
требует совершения вполне определенной для каждого вещества
работы — работы выхода. Работа выхода обычно выражается
через разность потенциалов, которую должен пройти электрон, чтобы
получить нужную для выхода энергию. Величина этого
потенциала ионизации колеблется для свободных атомов от наименьшего
значения 3,88 в для Cs до наибольшего значения 24,48 в у Не.
438
Если свободный электрон достиг скорости, соответствующей
этой критической энергии, то он может при столкновении с атомом
вырвать электрон из его электронной оболочки, причем этот
процесс преимущественно вызывают электроны, скорость которых не
намного превосходит критическую, тогда как быстрые электроны
реже вызывают ионизацию при соударении. Положительные ионы
тоже могут ионизовать атомы при соударении с ними, но ударяю
щая частица должна иметь существенно большую скорость, потому
что при столкновении частиц с приблизительно одинаковыми
массами происходит значительная передача кинетической
энергии от одной частицы к другой, в соответствии с законами
соударений. Но и при скоростях, которые теоретически достаточны
для ионизации, выход электронов все же мал. В отличие от
электронного удара, вероятность ионизации тяжелыми частицами
возрастает с увеличением скорости. Вместо соударения атома с
положительным ионом можно рассматривать и столкновение с
нейтральным атомом, в результате которого при определенных условиях
тоже происходит ионизация. Так как нейтральные атомы своими
скоростями обычно обязаны тепловому движению, этот процесс,
который становится заметным при температурах выше3000°С, назвали
термической ионизацией. Термодинамика позволяет вычислить
степень ионизации газа при определенных температуре и давлении.
Далее, коротковолновое излучение (X < 3000 А) тоже может
вызывать ионизацию. При обмене энергией между атомами и
излучением свет ведет себя так, как если бы он состоял из дискретных
квантов энергии, пропорциональных частоте света и поглощаемых
или испускаемых как целое. Множитель пропорциональности —
знаменитая постоянная Планка {квант действия), которая
обозначается h. Численная величина ее равна;
/г = 6,6252. Ю-27 эрг.сек
Чтобы излучение могло вызвать ионизацию, квант /*v должен быть
не меньше энергии ионизации. Если энергию ионизации
обозначить eVl9 то
fa>eVt. (17)
Свет можно характеризовать не частотой, а длиной волны, тогда
при подстановке численных величин получится легко
запоминающееся соотношение между длиной волны и соответствующей энергией
электрона:
X(A).V»= 1240o.
При соударении атома с электроном, скорость которого еще
недостаточна для ионизации, но при которой соответствующая ей
разность потенциалов V превосходит потенциал возбуждения из-
439
лучения Va, может произойти испускание света атомом. При з^ом
частота испускаемого света удовлетворяет неравенству, протк^
воположному (17):
h*<eVa. (170
Все перечисленные здесь воздействия могут приводить также
к освобождению электронов из поверхности металлов (вторичные
электроны от электронных или ионных ударов,
фотоэлектрический эффект на поверхности металлов, тепловая эмиссия
электронов). Работа выхода электронов из металла меньше, чем потенциал
ионизации (она составляет от 2 до 5,5 эв). Особо важное значение
имеет последняя из упомянутых возможностей освобождения
электронов из металла: как абсорбированный газ при нагревании
выходит из поглотителя, так и из металла при нагревании до 2000°С
могут «испаряться» электроны. Выход электронов начинается
при более низких температурах (~600°С), если металл покрыт
тонким слоем оксида (окисла щелочноземельного метадла).
Освобождение электронов из металла может быть вызвано
также освобождением энергии при нейтрализации иона на
поверхности металла, в результате чего металл получает освободившуюся
энергию. Так, если ион Не+ (работа ионизации 24,5 эв) попадает
на поверхность металла (работа выхода ~5 эв)т то после
нейтрализации иона освобождается энергия 19,5 эв, которая достаточна для
освобождения трех электронов. Но действительный выход в
среднем составляет около 1/50 электрона на ион. Подавление этого
эффекта играет заметную роль при гашении разряда в
газонаполненных счетчиках быстрых частиц (см. разд. VII, гл. IV) путем
добавления органических паров.
Наконец, при очень сильных электрических полях (Е ~~
106 в/см) происходит холодная (автоэлектронная) эмиссия, когда
электроны освобождаются из металла только действием поля.
Объяснение этого явления дано в разделе VII, гл. III.
В заключение упомянем еще об образовании ионов при
химических реакциях (например, ионизация воздуха при медленном
окислении фосфора и т. п.).
§ 4. Несамостоятельный электрический разряд. Пробой
Самостоятельным называется разряд, который сам создает
носителей заряда, необходимых для прохождения тока.
Несамостоятельным называется разряд, при котором все носители заряда или
часть их создаются внешними источниками ионизации, так что
разряд прекращается, когда перестают действовать источники
ионизации.
Простейший случай несамостоятельного разряда имеет место
при чисто электронном разряде в высоком вакууме. Электроны со-
440
сдаются либо путем освещения катода (электровакуумный
фотоэлемент), либо путем его нагревания и увлекаются полем к аноду.
Максимальная величина тока определяется условием, что все
электроны, освобождаемые за секунду из катода, достигают анода.
Этот ток,. который нельзя усилить путем дальнейшего увеличения
разности потенциалов между анодом и катодом, называется током
насыщения. С другой стороны, даже при совсем небольшой
отрицательной разности потенциалов между холодным и горячим
электродами против поля могут идти лишь немногие электроны,
обладающие особенно большими скоростями. Кривая зависимости тока
от напряжения (характеристика) имеет, следовательно, вид,
качественно показанный на рисунке 135. Строгий вывод этой
зависимости довольно сложен, потому что
потенциал в пространстве между катодом и анодом
нельзя считать зависящим линейно от
расстояния (что было бы вполне естественно
при холодном катоде): поле искажается
пространственным зарядом электронного облака,
окружающего горячий катод. То обстоятель- Рис* 13^* Вид вольт"
^J ^ ^ амперной характерис-
ство, что при отрицательном напряжении тики лампы с подо-
между холодным и горячим электродами гревным катодом,
не идет сколько-нибудь значительного тока,
делает трубку с накаленным катодом весьма полезной для .
технических применений (электронная лампа). Если между катодом
и анодом поместить сетку, через отверстия которой могут свободно
проходить электроны, то электронный ток, достигающий анода,
будет очень сильно зависеть 'от потенциала сетки относительно
катода. Поэтому даже небольшое изменение напряжения на сетке
вызывает сильное изменение анодного тока. Это управляющее
свойство сетки делает лампу с тремя электродами (триод)
важнейшим конструктивным элементом в радиотехнике.
Рассмотрим теперь случай, когда газ, находящийся между
электродами, ионизуется искусственно, например рентгеновскими
лучами, а на электродах не происходит ничего особенного. Здесь
тоже возможен ток насыщения, а именно, когда все ионы,
образующиеся за одну секунду в объеме газа (разрядном промежутке),
будут достигать электродов, не соединяясь по пути с
противоположно заряженными ионами. Если в 1 см* за секунду образуется
q пар ионов и расстояние между электродами равно / см, то
плотность тока насыщения равна /н = qle ед. СГСЭ. На первый
взгляд это представляется парадоксальным: чем дальше
расположены электроды, тем больше ток. Однако следует принять во
внимание, что это соотношение относится к наибольшему
достижимому току и что при увеличении расстояния между электродами
необходимо повысить и напряжение, чтобы сохранить ток насыщения.
На опыте при дальнейшем повышении напряжения вскоре
наблюдается новое увеличение тока, вызванное образованием но-
441
вых, вторичных ионов при соударениях первичных электронов и
ионов с атомами газа. Вместо этого довольно сложного случая
рассмотрим более простой, когда первичные электроны образуются
не в объеме газа, а только на катоде. Пусть на 1 см2 катода
освобождается п0 электронов за секунду (например, в фотоэлементе
под действием света). Ток насыщения в вакууме в этом случае имел
бы плотность /н = п0е. Пусть каждый электрон на 1 см пути
образует а пар вторичных ионов (а скорости положительных ионов еще
недостаточны для ионизации) и через 1 см2 сечения трубки,
имеющего координату х, за секунду проходят п0 первичных и пх{х)
вторичных электронов, всего п(х) электронов. Тогда на отрезке
(х, х -\- dx) за секунду образуется
dn = noidx (18)
новых электронов. Интегрирование от х = 0 до х = / дает полное
число электронов, приходящих к аноду:
п = пьеа1, откуда / = еп0ехр (а/). (19)
Такая же плотность тока получается на катоде как сумма токов,
создаваемых приходящими положительными вторичными ионами
и уходящими первичными электронами. Из формулы (19) видно,
что при наполнении фотоэлемента газом фототок чрезвычайно
усиливается.
Здесь нет резкого предельного значения тока, потому что при
дальнейшем увеличении напряжения возникают все новые
возможности для ионизации. Поэтому рассмотрим теперь
также ионизацию газа положительными ионами,
которая начинается при более высоких
напряжениях. Пусть каждый положительный ион на 1 см
х x+dx + пути образует р пар ионов. Пусть, далее, с 1 см2
катода под внешним воздействием выходят за се-
Рис. 136. к ра- кунду п0 первичных электронов, а на анод
приди и^р и обр аз о- х°Дят п1 электронов. Так как на аноде не могут
вании вторич- освобождаться положительные ионы, это число
ных ионов. определяет полный ток, который на катоде
складывается из электронного и ионного токов. Если
рассмотреть опять малый промежуток (л:, х + dx)> то слева от
х образуются п, а справа (без учета бесконечно малых величин)
п1 — п пар ионов за секунду (рис. 136). В стационарном состоянии
при токе насыщения через 1 см2 сечения за секунду тоже должны
проходить на левом конце рассматриваемого промежутка вправо п
электронов, а на правом конце влево п1 — п положительных
ионов. Поэтому число вторичных электронов, образуемых на
отрезке dx, равно:
dn = [пх + (пх — пЩ dx = [л (<х — Р) + п$\ dx. (20)
1 Гпгп
! I
I
442
Интегрируя, получим:
л(я—В + л^Св^*. (21)
При х = О должно быть п = я0, откуда
С-д0(а — 0) + iiP. (22)
Таким образом, единственная постоянная интегрирования уже
определена. Граничное условие при х = / дает уравнение для ях:
«1 (* - Р) + «iP = [«о (* - » + п^-™ , (23)
разрешая которое относительно п0, получим:
_ п0(«—Э) в(а~'3)/
(230
Интересно, что в этом уравнении знаменатель может обращаться
в нуль при
a = ps(a-p)/ или Z = —i-. (24)
a —0
В этом случае уже при совсем небольших значениях щ получается
необыкновенно большое значение п1 (математически оо). Первичные
электроны играют в этом случае лишь роль зажигателей процесса,
который следует отождествить с электрическим пробоем1.
Коэффициенты ионизующей способности аир, во-первых,
пропорциональны числу столкновений на единице длины пути и, во-
вторых, зависят от кинетической энергии, приобретаемой между
двумя столкновениями. Число столкновений пропорционально
давлению р, а энергия, приобретаемая на длине свободного пробега,
пропорциональна отношению напряженности поля к давлению2
Е/р. Поэтому можно написать:
a~W(£/p), р~Ж£/р). . ' (25)
Если учесть, что при плоских электродах Е = V/1, и обозначить
множитель пропорциональности, который не должен содержать V,
р и /, через <7, то из уравнения (24), получится:
4ibIn*(i)
1р I \1р
1 Электрический пробой часто называют возникновением разряда. (Прим.
ред.)
2 Потому что энергия пропорциональна произведению напряженности,
поля на длину свободного пробега, обратно пропорциональную давлению.
443
Таким образом, в соотношении, определяющем пробой, вместо
коэффициентов ионизации теперь стоят функции от V, I и р,
относящиеся к пробою. Рассматривая (26) как уравнение для
определения пробивного напряжения I7, мы видим, что в случае плоских
электродов пробивное напряжение зависит только от произведения
расстояния между пластинами на давление. Этот закон был открыт
эмпирически Пашеном. Он справедлив также для шаровых
электродов, если радиусы шаров меняются в таком же масштабе, как и
расстояния между ними.
Закон Пашена хорошо подтверждается на опыте, но описанный
здесь механизм возникновения электрического разряда не
единственный, приводящий к нему. Согласно современным
представлениям, ионизация положительными ионами играет незначительную
роль. Гораздо важнее косвенное освобождение электронов из
металла катода, происходящее следующим образом. Электрон не
только ионизует, но и возбуждает атомы, с которыми он сталкивается,
даже когда его энергия недостаточна для ионизации.
Возбужденные атомы испускают свет. Этот свет освобождает электроны из
катода посредством фотоэффекта, потому что работа выхода из
металла меньше, чем для свободных атомов. Тогда условием
зажигания разряда является требование, чтобы каждый первичный
электрон повлек бы за собой выход по крайней мере одного
электрона из катода. Пусть ? — среднее число электронов, косвенно
освобождаемых из катода одним электроном. Так как число
вторичных электронов, образуемых первичным электроном на отрезке
длины /, согласно сказанному выше, равно eal —lt то должно быть
Т(еа/-1)^1. (27)
Для возбуждения атомов справедливо все сказанное выше о
коэффициентах аир. Поэтому и т зависит только от V/tp9 так что
закон Пашена остается в силе и при таком механизме зажигания,
Таунсендовская теория возникновения разряда не противоречит
наблюдениям вплоть до значений произведения pi ^ 500 тор-см1.
При больших значениях pi становится непонятным прежде всего
короткое время установления разряда (~10~6се/с). Снимки в
камере Вильсона (см. разд. VII, гл. IV, § 1) показывают, что
пространственные заряды, возникающие от медленных
положительных ионов, приводят к образованию каналов, в которых
концентрируется разряд и которые чрезвычайно быстро продвигаются
вперед. В этих случаях, следовательно, пространственный заряд,
который до сих пор не учитывался, играет решающую роль. При
значениях pi выше 10 660 тор*см и это объяснение представляется
не вполне удовлетворительным.
1 1 тор—1 мм рт.ст. (единица давления).
444
§ 5. Самостоятельный разряд. Тлеющий и дуговой разряды
Выше на основании теории Таунсенда был произведен расчет
условий зажигания разряда, но при этом остались без внимания
искажения поля объемными зарядами. Стационарные
(установившиеся) формы разряда, основными видами которых являются
тлеющий и дуговой разряды, отличаются тем, что электрическое поле в
разрядном промежутке определяется в основном величиной и
расположением объемных зарядов и совершенно не похоже на
первоначальное поле. В этом
параграфе мы рассмотрим свойства
установившегося разряда, не вдаваясь в
подробности условий перехода
пробоя в длительный разряд,
которые очень сложны.
Кривая потенциала в
«тлеющем разряде», возникающем при
небольших силах тока в трубке,
наполненной разреженным газом,
в основном соответствует схеме,
приведенной на рисунке 137.
Участкам кривой, отгличающим-
Рис. 137. Световые явления и
кривая потенциала в тлеющем
разряде:
ся различным наклоном, отвечают ; — Астоново темное пространен
в известной мере различные све
во, 2 — поверхностное свечение,
товые явления в соответствующих 3 - Круксово темное пространст-
J во, 4 — отрицательное свечение,
5 — Фарадеево темное
пространство, 6 — положительный столб.
частях разрядного промежутка,
как указано на рисуне 137. Но
объяснение этих явлений очень
сложно, и заниматься здесь ими
нецелесообразно. Сильный подъем потенциала у катода называется
катодным падением потенциала. Численно оно определяется как
разность потенциалов между катодом и местом, где напряженность
поля, т. е. скорость роста потенциала, является наименьшей. Эта
разность потенциалов не зависит от силы тока (до определенной
величины, при которой катод целиком будет закрыт катодным
свечением) и от давления газа. Она зависит лишь от природы
наполняющего трубку газа и металла катода, При нормальных условиях
величина катодного падения потенциала — порядка 200 е. Катодное
падение потенциала — важнейший элемент тлеющего раарВД*ьОно
примерно соответствует минимальному напряжению, йрй котором
разряд вообще может существовать. Как объяснить возникновение
столь большой асимметрии между катодом и анодом? В основе ее
лежит различие между электронами и положительными ионами,
которое обусловливает совершенно различное поведение
положительного и отрицательного объемного заряда. Согласно уравнению
eV = eElf^-mv29 (28)
445
где lf — длина свободного пробега, электрон при прохождении
такой же разности потенциалов, что и ион с атомным весом А,
приобретает вК1840 А раз большую скорость. Кроме того,
вследствие крайне малых размеров электронов длина lf их свободных
пробегов, т. е. расстояние, которое они проходят без столкновений,
сопряженных с потерей энергии, гораздо больше, чем для
положительных ионов. Кинетическая теория газов дает для среднего
свободного пробега атома с радиусом г0, проходящего среди
покоящихся атомов с радиусами rv плотность которых составляет пг см~3,
следующее выражение:
lf = - . (29)
Если эти атомы сами движутся со скоростью, близкой_к скорости
налетающего атома, то добавляется еще множитель 1/1/2. Скорость,
достигаемая ионами, по порядку величины равна газокинетической,
так что для нее справедливо последнее замечание. Скорость же
электронов настолько больше, что атомы газа можно рассматривать
как покоящиеся. Таким образом, для электрона (г0«0) длина
свободного пробега составляет:
/. = т—. (30)
«Г!/li
а для иона:
/, = —а ' . (31)
Поэтому в одном и том же поле скорость электронов относится к
скорости ионов, как
l/~184(M.4j/T : 1 или как 102/Л : 1.
Отсюда можно сделать следующее заключение: в пространстве,
свободном от объемных зарядов (характеризующемся линейным
ростом потенциала), будет:
п+ = п_, j = /+ + /_ = еп+ v+ + еп__ v_.
d2V
(Действительно, в силу уравнения Пуассона, — = 0 там, где
отсутствуют пространственные заряды.) Таким образом,
-Ь-=— =102 VA. (32)
1+ *>+
В свободном от объемных зарядов пространстве (в основном это
анодный столб разряда) электронный ток по крайней мере в 100
раз больше, чем ток положительных ионов.
446
Сделаем теперь упрощающее предположение, что ток у катода
создается только положительными ионами, а у анода только
электронами, и что поле с обеих сторон одинаково по величине. Так как
/ = NeV,
то пространственные заряды eN у катода и у анода относятся по
меньшей мере, как 1021/Л : 1. В силу уравнения Пуассона
*¥ =_ 4тгр = — 4nNe, (33)
кривая потенциала у катода должна, следовательно, иметь
сильную вогнутость в сторону оси абсцисс, а у анода — небольшую
выпуклость в ту же сторону. Эти рассуждения имеют лишь
качественный характер. В действительности у катода часть тока тоже
переносится электронами, освобождающимися из металла отчасти
при ударе ионами, отчасти при нейтрализации зарядов ионов на
поверхности металла (см. стр. 440). Именно это освобождение
электронов из катода совершенно необходимо для поддержания
разряда. Катодное падение потенциала в зависимости от газа и
металла электродов составляет 200—300 в.
При отсутствии внешнего сопротивления, ограничивающего
ток, в достаточно плотных газах (р > 0,1 атм) тлеющий разряд
переходит в дуговой, в котором сила тока значительно больше.
Характерное отличие дугового разряда от тлеющего состоит в
гораздо меньшем катодном падении — всего около 10 в, так что оно
примерно равно анодному падению. В наиболее известном случае
дуги между двумя угольными электродами это легко объяснить.
Вследствие ударов положительных ионов катод столь быстро
раскаляется, что начинает испускать тепловые электроны. Поэтому
отпадает необходимость освобождения вторичных электронов из
катода, которое существенно для тлеющего разряда; отпадает
необходимость в большой скорости ионов, т. е. в большом катодном
падении потенциала. И в столбе, температура которого доходит до
5000°, тепловая ионизация тоже является основным процессом
образования носителей заряда. Если сравнить этот процесс с
электролизом, может возникнуть вопрос, почему здесь не наступает
со временем истощение носителей. Различие состоит в том, что
ионы, нейтрализуемые у катода электронным облаком,
возвращаются снова в виде нейтральных атомов в разрядный промежуток.
Потеря электронов, уходящих на анод, компенсируется ударной
ионизацией, добавляющейся к тепловой ионизации в области
анодного падения потенциала.
Но существуют дуги, для которых тепловая эмиссия из катода
не играет роли. К ним принадлежит, например, дуга, горящая в
известных ртутных лампах. Вследствие низкой точки кипения
ртути катод вообще не может нагреться до столь высокой
температуры, чтобы началась термоэлектронная эмиссия. Возникновение
447
дуги с холодным катодом раньше объясняли эмиссией электронов
из катода под действием большой напряженности поля в области
катодного падения потенциала, которая в этом случае очень
коротка. Но холодной эмиссии недостаточно для того, чтобы покрыть
большой дефицит электронов, соответствующих дуговому разряду
с его сильным током. Новое объяснение, подтверждаемое
расчетами, основано на следующем явлении, характерном для холодных
катодов. Все такие дуги стягиваются к катоду в тонкий шнур,
который кажется исходящим из «катодного пятна», быстро бегающего
по поверхности катода. (В случае угольной дуги тоже говорят о
катодном пятне, но плотность тока там гораздо меньше, чем в
дугах с холодным катодом; для угольной
дуги она составляет~500 а/см2, а для дуги с
холодным катодом—35 000 а/см2.)
Вследствие большой плотности тока
температура в катодном пятне приблизительно в
1,3 раза больше, чем в столбе, в
результате чего достигается гораздо более
высокая степень ионизации газа. Эта зона
высокой температуры отделяется от
холодного металла очень тонкой переходной
зоной, через которую положительные ионы
попадают на поверхность металла, где
они, 'как и при электролизе,
нейтрализуются, присоединяя электроны
проводимости. Катодное пятно заменяет,
следовательно, горячий катод. В некоторых приборах с тугоплавким
вольфрамовым катодом могут возникать обе формы дуги, но при
отсутствии катодного пятна катод раскаляется значительно сильнее.
Детали механизма возникновения катодного пятна еще не до
конца выяснены. По-видимому, здесь имеет место принцип
минимума, согласно которому устойчиво лишь такое распределение
тока, которое соответствует минимальному катодному падению
потенциала. С этим, вероятно, связано и некоторое сужение дуги
возле катода, наблюдаемое также и у дуги между угольными
электродами (см. выше).
Почти для всех дуг характерно, что при увеличении тока число
носителей резко возрастает и в результате сопротибление
разрядного промежутка столь резко падает, что напряжение на
электродах уменьшается. Это приводит к так называемой «падающей»
характеристике дуги, когда соотношение между напряжением на
электродах и силой тока определяется формулой
Рис. 138.
Вольт-амперные характеристики
дуги и омического
сопротивления: а — дуга,
б—омическое
сопротивление, в—дуга плюс
омическое сопротивление.
^ = a + f>
(34)
X. е. вместо закона Ома V = IR имеет место прямо
противоположное соотношение.
448
Проводник с падающей характеристикой V = I (/) нельзя
непосредственно присоединить к полюсам источника напряжения, что понятно из
диаграммы, приведенной на рисунке 138. Дело в том, что если ток случайно возрастет,
то напряжение на концах такого проводника понизится. В результате ток
возрастет еще больше и напряжение упадет еще дальше и т. д. В случае же
проводника с поднимающейся характеристикой (например, в случае омического
сопротивления) при увеличении тока возрастает и напряжение, так что
ток возвращается к своему равновесному значению, потому что батарея при
увеличении тока не может обеспечить необходимого напряжения. Поэтому
следует позаботиться о том, чтобы характеристика всей системы была
поднимающейся, для чего надо последовательно подключить проводник с
поднимающейся характеристикой.
§ 6. Возникновение катодных, каналовых и анодных лучей.
Масс-спектрограф. Электронная оптика
Получив некоторое представление о процессах в дуговом
разряде, можно понять и возникновение различных лучей при
благоприятных обстоятельствах в газоразрядной трубке. Ранее было
указано, что у катода имеется сильное поле, в котором
положительные ионы разгоняются до значительных скоростей. Наблюдаемые
при низких давлениях по их флюоресцирующему действию
катодные лучи являются электронами, освобожденными при ударах
положительных ионов. Это те электроны, которым удалось пройти
всю разность потенциалов без существенной потери энергии на
столкновения. Но для поддержания разряда необходимо, чтобы
определенная часть освобожденных электронов создавала бы
новые электроны и ионы в газе путем столкновений.
Сами положительные ионы, достигающие больших скоростей
в области катодного падения потенциала, тоже можно наблюдать
в виде лучей, если просверлить катод и оставить позади него
пространство, свободное от поля. Тогда часть ионов в виде
«каналовых лучей» уходит за катод и ионы теряют там постепенно свою
скорость в результате столкновений с частицами газа,
находящимися только в тепловом движении. Отличие каналовых лучей от
катодных состоит прежде всего в том, что положительные ионы,
образующие каналовые лучи, могут сами испускать свет в отличие
от электронов, которые в условиях газового разряда могут
заставить светиться лишь другие вещества. В излучении каналовых
лучей, отчетливо наблюдается Допплер-эффект (см. стр. 251). Как и
для катодных лучей, для каналовых лучей тоже можно определить
скорость v и удельный заряд —, измеряя их отклонение в
электрическом и магнитном полях. При этом оказывается, как и
следовало ожидать, что скорости ионов неодинаковы, йотому что
свободный пробег в катодном падении для разных частиц заметно
различается.
У анода тоже можно получить лучи из положительных ионов,
если принять специальные меры для увеличения анодного падения
449
потенциала, а анод сделать из материала, способного испускать
положительные ионы (например, соль металла). Как было
разъяснено выше, малая величина анодного падения потенциала
обусловлена большой скоростью электронов. Если отрицательные заряды
искусственно утяжелить, связав их с атомами, то у анода должно
возникнуть столь же сильное поле, как и у катода. Этого
утяжеления отрицательных зарядов можно достичь путем добавления к
наполняющему газу электроотрицательных атомов, т. е. таких
атомов, которые имеют тенденцию к образованию отрицательных
ионов (например, атомы галогенов). Практически это достигается
тем, что в качестве анода используется галоидная соль, катионы
которой дают начало анодным лучам, а галоген сначала испаряется
в виде нейтральных атомов.
Определение отношения — для каналовых и анодных лучей
имеет особое значение потому, что им можно воспользоваться для
определения атомного веса ионов, поскольку заряд их известен (он
равен одному или нескольким элементарным зарядам). Из формул
(8) и (15) видно, что при прохождении одинаковой разности
потенциалов все частицы отклоняются одинаково, но магнитное
отклонение зависит как от разности потенциалов V, так и от —. Это об-
М
стоятельство можно использовать, чтобы устранить неоднородность
каналовых лучей, частицы которых прошли различные разности
потенциалов. Надо сначала разделить пучок в электрическом поле
по V, затем выделить при помощи щели S2 (см. рис. 139) узкий
пучок, содержащий только
-Л^ТТДтггг п Фокальна* плоскость ИОНЫ, ПрОШеДШИе ОДНу И
|^ТЩЩ^£^Г /?ht\ ^**^\ ТУ же Разность потенциа-
' "" ^"/^t^^TJM fj. i - лов» и затем разделить этот
s2 \M0^sJ^ Г пучок по массам в магнит-
"^'- ном поле. Разрешающая
способность такого прибо-
Рис. 139. Схема масс-спектрографа. ра зависит, разумеется, от
однородности лучей,
которая в свою очередь зависит от ширины щели 52. Последняя
ограничена требованием, чтобы интенсивность проходящего через нее
пучка не была слишком снижена. Астон создал прибор,
названный «масс-спектрографом», в котором осуществлена идея
фокусировки пучка частиц с неодинаковой скоростью на
фотопластинке. При малом угле а отклонения частицы вследствие
прохождения ею пути а в электрическом поле этот угол можно получить,
интегрируя уравнения (5):
«= ^ = £^-=i*. (35)
dx Mv2Q 2V
450
Угол (3 отклонения частицы в поперечном магнитном поле при
прохождении в поле пути Ь, согласно (15), равен:
рв^ = 1/х._™ (36)
При расстоянии 1г между серединами областей с электрическим и
магнитным полями и расстоянии /2 между центром магнитного
поля и пластинкой полное отклонение лучей, измеренное в
плоскости, перпендикулярной к первоначальному направлению
движения, составляет:
ft^ + ga + Z^ (37)
Можно считать, что лучи надламываются под углом в центре поля,
а дальше идут прямолинейно (ср. задачу 113). Если пройденная
частицами разность потенциалов неодинакова (пусть ее колебания
составляют dV), то углы отклонения лежат в интервалах
& = -«f и<9--Р|£. (38)
которые получаются при последовательном логарифмировании и
вычислении производных от выражений (35) и (36).
Лучи, отличающиеся пройденным напряжением, но имеющие
одинаковое отношение е/М, образуют, следовательно, пучок с
поперечным сечением
^ = [('i + 4)*+f]f. <39>
Это сечение сведется к нулю, если выражение в квадратных скобках
обратится в нуль. Этого можно достичь всегда, если аир имеют
различные знаки, т. е. отклонение в магнитном поле
противоположно отклонению в электрическом. Положим поэтому р = — ?.
1Х определяется размерами прибора, а а при определенном
напряжении тоже имеет постоянное значение. Единственной переменной
величиной остается расстояние /2 фокуса от центра магнитного
поля. Если приравнять нулю выражение в квадратных скобках в
(39), то получится уравнение (в полярных координатах /2,-у)
фокальной кривой, т. е. кривой, на которой пучки, соответствующие
различным значениям —, имеют нулевое сечение. Это уравнение
имеет вид:
/.—^. (40)
Y — 2а
Направление не отклоненных магнитным полем лучей является
полярной осью кривой. Если ввести новую полярную ось, состав-
451
ляющую с этой осью угол 2а, и угол Ф = т — 2а, отсчитьгоаемый
от нее, то уравнение нашей фокальной кривой примет вид:
12Ъя21ъ*тЪ = 21га. • (41)
Это —прямая, параллельная к новой полярной оси и отстоящая от
нее на расстояние 2а/г Она определяет, следовательно, положение
пластинки, когда лучи, соответствующие одинаковым значениям
е/М, соберутся в фокусах, лежащих на пластинке. Магнитное
поле играет здесь двоякую роль, Во-первых, оно разделяет
частицы с различными массами, во-вторых, оно собирает частицы с
одинаковыми массами, но различными скоростями (различие в
скоростях возникает оттого, что ионы образуются в разрядном
промежутке на разных расстояних от катода).
Эта «классическая» конструкция масс-спектрографа, замененная
ныне более «светосильной», является одним из первых устройств
электронной оптики; действительно, здесь все время шла речь о
«фокусировке». Электронная оптика основана на формальной
аналогии между путями лучей света в различных преломляющих
средах и траекториями материальных точек в силовых полях (см. разд.
VII, гл. II, § 3). Последовательное проведение этой аналогии и
расчет отдельных силовых полей как «линз» (ср. задачу 114)
позволили сконструировать электронно-оптические приборы, из которых
самым известным является электронный микроскоп.
Глава III
ОСНОВНЫЕ ИДЕИ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПРОВОДИМОСТИ
МЕТАЛЛОВ
§ 1. Электроны как носители тока в металлах
Среди твердых тел имеется некоторое количество солей,
обладающих хорошей электролитической проводимостью. К ним
относится, например, AgJ . В таких солях ток переносится ионами,
что непосредственно проверяется по доявлению продуктов
осаждения на электродах. Но для класса веществ, называемых
металлами, проводимость на много порядков больше. Характерным
признаком металлов является как раз их высокая электропроводность,
не связанная с переносом вещества. Поэтому можно думать, что
проводимость в них осуществляется электронами, движущимися
между атомами и ионами кристаллической решетки. Из
справедливости закона Ома для металлов можно заключить, как и для
электролитов, что силы взаимодействия между электронами и
составными частями решетки приводят к появлению сил трения rv,
пропорциональных скорости (г — коэффициент трения), т. е.
—еЕ = rv (1)
(знак минус взят потому, что заряд электронов отрицательный)*
452
Определив отношение elm для носителей тока в металле, Тол-
мен получил непосредственное экспериментальное доказательство
того, что ток в металлах переносится электронами. Так как
электрон обладает не только зарядом, но и инертной массой, то
для определения этого отношения пригодны опыты, в которых
проявляется инерция электронов. Представим себе, например,
устройство, в котором свободно подвешен металлический
проводник. Если он при прохождении тока покоился и затем ток
внезапно выключили, то электроны будут еще обладать
определенным количеством движения, которое уничтожается трением внутри
металла. Согласно закону сохранения импульса, это количество
движения передастся телу как целому, и тело отклонится. Так как
существуют очень чувствительные приборы для обнаружения
слабых токов, для эксперимента удобнее использовать обратный
эффект, при котором относительное движение электронов, т. е. ток,
вызывается механическим ускорением всего металлического тела.
Именно на этом пути удалось определить отношение е/т.
Приведем сначала рассуждения для бесконечно длинного прямого
цилиндрического проводника, который движется вдоль своей оси с
постоянным ускорением а. Согласно сказанному на странице 235, на
каждый электрон в проводнике действует сила инерции — та, и
под действием этой силы и силы трения электроны достигают
относительной скорости:
та
v = -™. (2)
Возникающая при этом плотность тока равна:
j= + — a, (3)
где N—число электронов в 1 еж3. Неизвестная величина N может
быть выражена через проводимость а, так как в силу (1) имеет
место соотношение:
j = аЕ = — New = — Е, (4)
откуда
а = — (5)
j=Ta. (6)
Рассмотрим теперь проводник, согнутый в кольцо, который
совершает ускоренное движение — колебания вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости кольца. Хотя ускорение при этом будет не
постоянно, но для каждого мгновения можно применить
соотношение (6), где а — мгновенное ускорение. Ускорение а и вместе с ним
15 г. иос
453
ток j направлены по касательной к кольцу. В этом случае
получатся круговые токи, которые в результате изменений, вызываемых
колебаниями, создают переменное магнитное поле, индукционное
действие которого на неподвижную катушку можно вычислить
точно так же, как на странице 317 было вычислено действие
переменного тока, получаемого обычным способом. Так как в формуле
(6) содержится лишь одна неизвестная величина —, можно опреде-
т
лить численное значение —, которое в пределах ошибок опыта
т
совпало со значением— для свободных электронов.
т
Далее, возникает вопрос, в каком состоянии находятся
электроны проводимости в металле. Простейшее предположение состоит в
том, что электроны беспорядочно движутся в промежутках между
атомными остатками, подобно атомам газа. Есть основание
предполагать, что в среднем каждый атом теряет по одному электрону,
так что препятствия на пути движения электронов оказываются
положительно заряженными. Это представление об электронном
газе уже использовалось в главе II, § 3 для объяснения картины
возникновения эмиссии электронов из горячего катода. На основе
такого представления мы попытаемся получить дальнейшие
сведения о формально введенной постоянной трения г.
§ 2. Вывод закона Ома для металлов
Предположим, что электроны проводимости внутри металла
находятся в беспорядочном тепловом движении, подобно атомам
газа. Обозначим среднюю скорость этого движения через vr Для
простоты будем считать, что у всех электронов скорость теплового
движения равна vT> хотя в деиствительвдсти имеется некоторое
распределение электронов по скоростям. Если к металлу
приложено внешнее поле, то возникает еще направленное вдоль поля
движение электронов, которое накладывается на беспорядочное
тепловое движение. Но приобретать неограниченную скорость под
действием поля электроны не могут: в результате столкновений с
атомными остатками они вскоре теряют полученную ими добавочную
кинетическую энергию. Назовем «эффективным» такое неупругое
столкновение, при котором вся полученная электроном энергия
передается атомному остатку. Кроме того, возможны еще упругие
соударения, которые нет надобности учитывать. Длиной свободного
пробега / называется длина пути между двумя «эффективными»
неупругими соударениями. Время между двумя неупругими
столкновениями составляет:
454
если считать дополнительную скорость, полученную от поля,
малой по сравнению со скоростью vT теплового движения1. За время
т сек скорость, достигаемая электроном в поле, согласно основному
уравнению механики, составит: •
t, « . (8
J m
Следовательно, средняя скорость упорядоченного движения за
время между двумя соударениями составит:
"'— S"^' (9)
Вследствие полной беспорядочности теплового движения, в
среднем оно не переносит никакого заряда. Поэтому для плотности
тока существенна лишь дополнительная скорость, приобретенная в
поле. Если число свободных электронов в 1 см3 равно N> то
величина плотности тока равна:
Так как ни один из множителей, из которых составлена а, не
зависит от поля Е, плотность тока оказывается пропорциональной
напряженности поля, т. е. мы получили закон Ома.
О температурной зависимости величин [N, U vT можно сказать
следующее. Согласно представлениям о строении металлов, N во
всяком случае не зависит от температуры. Далее, если
рассматривать электроны как одноатомный газ, то, согласно закону
равномерного распределения энергии по степеням свободы (см. раздел VI,
гл. II) при температуре Т в среднем:
\mvl - j-kT, (11)
где k —* универсальная газовая постоянная на одну молекулу,
называемая постоянной Больцмана, т. е. R/NA. Таким образом, vT
пропорциональна уА7\ Из опыта известно, что у чистых металлов а
обратно пропорциональна температуре, откуда следует, что /
убывает как l/VT9 так что произведение tvT не зависит от
температуры. Качественно ясно, что температура на обе эти величины
действует в противоположные стороны: увеличивающиеся при повышении
температуры амплитуды колебаний решетки приводят к учащению
=-, где v < vT есть скорость электрона, приобретенная под
vT +v
действием поля. (Прим» ред.)
15* S55
столкновений электронов с ионами, а тепловая скорость электронов
возрастает. Но согласно новейшей теории (см. § 4), vr
практически не должна зависеть от температуры, так что / убывает как 1/7\
§ 3. Теплопроводность металлов. Закон Видемана — Франца
Высокая теплопроводность металлов, на несколько порядков
превосходящая теплопроводность твердых диэлектриков,
позволяет думать, что в металлах и теплопроводность обусловлена
свободными электронами. При помощи представления об электронном
газе можно вычислить теплопроводность металлов и связать ее с
электропроводностью. Для простоты снова пренебрежем
статистическим распределением скоростей и длин свободных пробегов и
будем производить вычисления для средней тепловой скорости v
(обозначенной в § 2 через vT) и для одного значения /. Но
компоненты v нельзя считать одинаковыми для всех электронов, потому что
все направления скорости равновероятны. Пусть имеется градиент
температуры вдоль оси Z (направленной вверх), так что каждому
значению z соответствует своя температура T(z) и энергия тепло-
з
вого движения u(z) = —kT(z). Возьмем площадку в 1 см2,
расположенную на высоте 2 = 0 перпендикулярно к оси Z, и подсчитаем
энергию, которую за 1 сек переносят электроны, пересекающие
эту площадку. Для этого предположим, что электрон имеет
энергию u{z)y если последний раз он испытал столкновение в слое,
лежащем на высоте г, и сохраняет эту энергию до следующего
столкновения. Если и (0) = щ и Г(0) == Г0, то
Следовательно, интересующий нас поток энергии, переносимой
электронами, равен:
s = 2"(tg-^-[«o + (f-)/], аз)
где n(vz) — число электронов в 1 см3, у которых Z-компонент
скорости равен vv Сумма берется по всем возможным значениям
vz и z. Но эти величины не независимы друг от друга. В самом
деле, если электрон имеет скорость v, то между vz n z существует
следующая связь:
cos(k,v) = cos& = -^« —. (14)
V I
Здесь длина среднего свободного пробега / — это среднее
расстояние, которое электрон проходит от места предыдущего столкнове-
450
ния до пересечения с плоскостью z = О1. Далее, выражение
I>n(vz) • vz должно быть равно нулю, так как в противном случае
через сечение z = 0 проходил бы электрический ток — е 2n(vjvz.
Следовательно, через 1 см2 за секунду переносится количество
энергии, равное:
^ \ z) l dz ^ 2 \ г) I dz 2 dz v '
При усреднении cos2 Ф по всем направлениям получается cos2 ft =
=V8« Таким образом, тепловой поток равен:
S^±-kNlv—. (16)
2 dz v '
Коэффициентом теплопроводности аг называется множитель
пропорциональности в формуле S = от—.
Таким образом,
aT=—kNlv. (17)
Для ^температурной зависимости отдельных множителей
справедливо все сказанное в § 2. Отношение коэффициентов
теплопроводности и электропроводности имеет простой вид:
/ D \2 I
(18)
ст 1 kNlv -6kT j
! о _ 2 eW/o ~" \
' к
)'г.з(
)'г = з(
' R
н
Это и есть закон Видемана—Франца, согласно которому отношение
коэффициентов теплопроводности и электропроводности
пропорционально абсолютной температуре. Закон хорошо
подтверждается на опыте, и множитель пропорциональности в известных
границах температур близок к значению 3(R/F)2.
§ 4. Возражения против развитой выше теории.
Современная электронная теория
Хотя представление об электронном газе объясняет многие
явления, наблюдаемые при прохождении тока через металлы, все
же нельзя закрывать глаза на то, что некоторые следствия разви-
1 Мы заменили расстояние г = z/cos ft, которое электрон проходит
между плоскостями z = г и z = 0, длиной среднего свободного пробега /.
На первый взгляд, такая замена представляется сомнительной: ведь не все
электроны испытывают следующее столкновение в плоскости z = 0. Однако
следует учесть, что для электрона вероятность пройти расстояние г, не
испытав столкновения, равна e~rlt, причем она не зависит от выбора точки на
траектории электрона, от которой отсчитывается г. Поэтому, например,
среднее расстояние, которое электроны пройдут после пересечения плоскости
2=0, равно /. Отсюда ясно, что и среднее расстояние, которое электроны
проходят от места столкновения до плоскости г = 0, тоже равно /.
457
той теории приводят к грубым противоречиям с опытом. В первую
очередь следует отметить вопрос о вкладе электронов в плотность
энергии металла и в его удельную теплоемкость. Согласно закону
равномерного распределения энергии по степеням свободы (см.
раздел VI, гл. II), на каждую степень свободы системы приходится
энергия, равная kT/2. Если предположить, как и выше, что по по*
рядку величины число свободных электронов равно числу атомов,
то количество энергии в одном моле металла должно увеличиться
з
на — kT9 что соответствует трем степеням свободы движения элек-
тронов. Тогда удельная теплоемкость на моль cv = (—) была бы
равна не — (это значение подтверждается на опыте при достаточно
9R
высоких температурах — закон Дюлонга и Пти), а >—, что пол-
ностью противоречит опыту. Это противоречие объяснилось, когда
выяснили, что электронный газ вследствие его огромной плотности
(каждый атом дает один электрон и число электронов в 1 см3
равно числу атомов в 1 смв твердого тела) и малой массы электронов
нельзя рассматривать при помощи обычной статистики.
Современная электронная теория, развитая на основании этих
представлений, будет обсуждаться во II части (раздел VI, гл. V).
Г л а в а IV
ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ,
ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ И МАГНИТНОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ
§ 1. Возникновение электрической поляризации
диэлектриков и намагничивания магнетиков
Макроскопическая теория оперирует с диэлектрической и
магнитной пронидаемостями, а также с векторами электрического
смещения D и магнитной индукции В. Однако в микроскопической
теории ясный физический смысл имеют только векторы
поляризации и намагниченности. Вектор поляризации Р, т. е.
результирующий электрический дипольный момент 1 см^ вещества (в случае
магнетизма — намагниченность J), согласно сказанному на
странице 284, связан с D и Е (соответственно с В и Н) следующим
образом:
D = Е + 4тсР, В = Н + 4icJ.
Для изотропных тел вектор поляризации параллелен
напряженности поля. Для анизотропных тел Р является линейной
векторной функцией от Е, т. е. получается из Е применением линейного
преобразования. Ограничимся здесь изотропными телами, для ко-
458
торых связь между Р и Е (соответственно между J и Н)
определяется просто скалярной величиной — восприимчивостью х (соответст-
- венно, диэлектрической или магнитной).
Результирующий дипольный момент как в электрическом, так и
в магнитном случае может возникать двояким образом. Во-первых,
молекулы рассматриваемого вещества могут обладать
электрическими (или магнитными) моментами. Тогда в отсутствие поля ди-
польные моменты ориентированы хаотически и не создают
результирующего момента. При приложении поля они упорядочиваются,
причем молекулы стремятся занять положение, соответствующее
наименьшей энергии, т. е. ориентироваться своими моментами
вдоль поля. Но их ориентированию мешает тепловое движение,
так что полное ориентирование может наступить лишь при
бесконечно сильном поле или при абсолютном нуле температуры. Как
видим, поляризация или намагничивание веществ с такими
молекулами сильно зависит от температуры. В теории магнетизма для
намагничивания веществ, молекулы которых имеют свой
магнитный момент, уже давно установилось название «парамагнетизм».
В случае поляризации диэлектриков, молекулы которых
обладают собственным моментом, название «параэлектричество» не
стало общепринятым; обычно говорят об ориентационной
поляризации.
Во-вторых, дипольный момент отдельной молекулы может
создаваться полем. В случае электронной (деформационной)
поляризации молекул возникновение его легко понять. Электронная
оболочка не связана жестко с ядром; поэтому электрическое поле
вызывает смещение центра тяжести электрических зарядов оболочки
относительно ядра, а так как они отрицательны, то направление
их смещения противоположно полю. Возникающий при этом
дипольный момент, по определению, направлен от отрицательного
к положительному заряду, т. е. совпадает по направлению с Е.
Деформационная и ориентационная поляризации не отличаются
по знаку. Но для деформационной поляризации не существует
зависимости от температуры, потому что в ней нет ориентирования
«готовых» диполей, а происходит только их наведение,
индуцирование вдоль поля. Такая поляризация существует и у веществ с
жесткими диполями, потому что в них тоже имеет место сдвиг центров-
тяжести положительного и отрицательного зарядов в поле. Но обе
эти части не трудно разделить, опираясь на результаты,
полученные в следующем параграфе.
Возникновение намагничивания диамагнитных веществ
несколько сложнее. Как будет показано (разд. VII, гл. I, § 8), действие
магнитного поля на электроны атома состоит в том, что возникает
дополнительное вращение электронов вокруг направления поля
с угловой скоростью со = -^—Я. (Выведенная в указанном ме-
2тс
сте теорема Лармора относится в первую очередь к атомам.) Это
459
вращение электрических зарядов создает магнитный момент,
который, как показывает расчет, направлен против поля. Таким
образом, диамагнитная восприимчивость отличается по знаку от
парамагнитной, поэтому эти два вида магнетизма стали различать
уже давно. Парамагнитный момент атома, согласно квантовой
теории, должен быть целым кратным некоторой основной величины —
магнетона Бора. У парамагнитных веществ диамагнитная
восприимчивость, которая существует всегда, играет роль лишь
маленькой поправки к парамагнитной восприимчивости.
§ 2. Теория деформационной поляризации,
оптического показателя преломления и дисперсии
Пусть рассматриваемое вещество содержит в 1 см? N атомов
или молекул, не обладающих собственным электрическим диполь-
ным моментом. Предположим сначала, что расстояния между
отдельными частицами столь велики, что можно пренебречь их
взаимным влиянием. В поле Е каждая частица приобретает момент,
который можно считать пропорциональным полю. Действительно,
речь идет о возмущении положения равновесия системы электронов,
причем возникают электрические силы, стремящиеся вернуть
систему к положению равновесия и в первом приближении
пропорциональные отклонению. Эти восстанавливающие равновесие силы
уравновешивают силу поля; следовательно, отклонение, а вместе
с ним и дипольный момент пропорциональны напряженности поля.
Таким образом,
р = аЕ. (1)
Вектор поляризации соответственно равен:
р = х£ = МхЕ. (2)
Диэлектрическая проницаемость равна:
е = п2 = 1 + 4*Wa. (3)
По определению, е = п2 (см. стр. 337). Но в этом соотношении
е нельзя уже рассматривать как статическую диэлектрическую
проницаемость. Поскольку мы ограничимся сначала случаем
вещества с очень малой плотностью, можно положить приближенно
п2—1 z^2(n—1). Тогда для показателя преломления получается
следующая приближенная формула:
п — 1 ж 2*/Va. (30
В переменном поле амплитуда смещения электронной оболочки
должна зависеть от частоты, потому что связь «квазиупругая».
Если предположить далее, что смещается один-единственный элек-
460
трон, который совершает вынужденные гармонические колебания,
то его движение описывается уравнением:
т — + £* = — еЕ0е^г . (4)
dt2
Стационарное решение этого уравнения имеет вид:
(см. стр. 100). Если ввести собственную частоту колебаний
электрона о)0 = Vk/m, то эта формула примет вид:
*—=#^- »
4 о '
Таким образом, дипольный момент атома, обусловленный
смещением одного электрона, равен:
р = р„^ = У' (7)
т (or — со2)
v о '
откуда поляризуемость равна:
0> (О2
О
Если число электронов, участвующих в поляризации атома, равно
/(/ называется силой осциллятора), то значение поляризуемости
будет примерно в / раз больше и показатель преломления
определится формулой:
2*(v*-v«)
в которой о) заменено на 2?rv.
В этой простейшей дисперсионной формуле уже содержатся все
существенные свойству оптического показателя преломления. При
приближении частоты падающего света к собственной частоте
вынужденные колебания электронов становятся столь сильными,
что атом поглощает всю падающую на него энергию и рассеивает
ее по всем направлениям. Линии поглощения свободных атомов
лежат почти исключительно в ультрафиолетовой части спектра.
Поэтому при наблюдении зависимости показателя преломления от
частоты в видимой области, т. е. при v < v0, показатель
преломления всегда больше единицы. При уменьшении длины волны, т. е.
при увеличении частоты v, мы приближаемся к собственной часто-
1 Согласно формуле (9) (стр. 435), всегда существует добавочное
действие магнитного поля световой волны. Но им можно пренебречь, потому что
возникающие при этом скорости электронов малы по сравнению ее, а Ей Н
в системе единиц СГС имеют одинаковый порядок величины.
461
те; разность v02 — v* становится все меньше, и показатель
преломления сильно растет в области коротких волн. Это — обычное
поведение показателя преломления стекол и жидкостей, поэтому его
называют нормальной дисперсией. По другую сторону частоты по*
глощения, согласно формуле (9), показатель преломления
становится меньше единицы, поэтому в этой области короткие волны
преломляются меньше, чем более длинные волны. Это обращение
обычной последовательности цветов в призматическом спектре
было названо аномальной дисперсией, хотя с точки зрения теории
здесь нет никакой аномалии.
Дисперсионная формула может быть уточнена в различных
отношениях. Во-первых, следует учесть то обстоятельство, что атом
или молекула имеет не одну, а много линий поглощения. Каждая
из них вносит свой вклад в показатель преломления,
пропорциональный силе осциллятора, так что можно записать
9ж ***
Ne*/m V fi
2* « ^-v«
(10)
Далее, колебание квазиупруго связанного электрона
сопровождается излучением света (см. стр. 347), которое вызывает
определенное затухание, вследствие чего показатель преломления
вблизи линии поглощения не обращается в бесконечность. При учете
затухания показатель преломления становится комплексным и
вещество вблизи линии поглощения ведет себя подобно металлу,
Подробно на этом обстоятельстве останавливаться не будем.
Очень важно учесть взаимодействие диполей, которым нельзя
пренебрегать при переходе к плотным веществам (жидкостям и
твердым телам). В этих случаях в точке нахождения
рассматриваемого атома действует микроскопическое поле Е', которое не
совпадает с макроскопически определяемым полем Е (в случае
конденсатора, например, — по приложенному напряжению).
Диэлектрическая восприимчивость же всегда определяется как отношение
вектора поляризации к макроскопической напряженности поля.
Различие между Ей Е; состоит в том, что макроскопическое поле
создается действием внешнего поля и поля всех зарядов, а в
создании микроскопического поля, действующего на рассматриваемый
диполь, этот диполь не участвует (см. примеч. на стр. 269). Чтобы
вычислить добавочное поле соседних диполей, окружим
рассматриваемый атом малой сферой и рассмотрим сначала действие всех
диполей, лежащих вне сферы, т. е. представим себе, что из нашей
сферы удалено вещество. Тогда на поверхности сферы возникает
поверхностный заряд и дополнительное поле вычисляется, как
показано на странице 287, где такой же поверхностный заряд
получался с противоположным знаком; оно равно + ~ Р (см. так-
462
же задачу 75). Действие частиц, расположенных внутри сферы, как
показал Лоренц, равно нулю в тех случаях, когда либо имеется
полная неупорядоченность в расположении атомов, либо
рассматриваемый атом является узлом регулярной кристаллической
решетки; другими словами, оно равно нулю во всех изотропных
телах. Дипольный момент отдельного атома или молекулы равен,
таким образом:
p = a(E + ±Lp). (П)
а вектор поляризации определяется из уравнения
P=tfa(E+^P), (12)
решение которого имеет вид:
Р = *Е=^Е = NaE
4* i„±LN*' (13)
3
Уравнение (13) вместо простой связи между N9 a и е или п2,
даваемой формулой (3), устанавливает следующую связь:
4я ., е — 1 я2 — 1 „ лк
— Nx = = v-. (14)
3 б+ 2 /г2+2 '
Таким образом, для всех плотных веществ имеет место следующая
дисперсионная формула, называемая формулой Лоренц—Лорентца:
/г2~1
л2 + 2 "
_ NeP/n
~" Зтс
1
fl
N2
(15)
Эта формула при п ж 1 переходит в формулу (10). Моль вещества
содержит NА молекул; если вещество имеет плотность р и
молекулярный вес М, то 1 г его содержит __± молекул, а 1 см9
N = NA p/M (16)
молекул. Подставляя это выражение в (15), получим:
л2—1 М NAe2/m
S-X^b-- 07)
Величина, стоящая слева и имеющая размерность удельного или
молярного объема, называется молярной рефракцией.
При экстраполяции уравнения (15) на бесконечно длинные
волны, т. е. к v = 0, получается следующее уравнение для
статической диэлектрической проницаемости;
463
• -1 _!mm^ h
i 01
Для многих веществ такая экстраполяция дает правильное
значение статической диэлектрической проницаемости; но для ряда
веществ, таких, например, как вода, при этом получается
совершенно неправильное значение е. Причина этого кроется в том,
что таким способом можно получить лишь деформационную часть
поляризации, так как ориентационная часть, как будет показано
в следующем параграфе, при оптических частотах исчезнет
вследствие инерционности процесса ориентирования молекул.
Молекулы вещества, для которого из формулы (15') получается правильное
значение е, не имеют, следовательно, постоянных дипольных
моментов при отсутствии внешнего поля.
Задачи
115. По аналогии с молярной рефракцией,рефракцией тела,
обладающего массой т и плотностью р, называют выражение
__ ri*—\ m
я2 + 2 ' р '
Показать, что рефракция смеси равна сумме значений рефракций ее
компонентов.
116. Используя формулы (7) (стр. 461) и (63) (стр. 347), показать, что
энергия, рассеиваемая во все стороны «атомным диполем» из падающей на
него волны в результате вынужденных колебаний, в случае видимого света
пропорциональна 1Д4, а в случае рентгеновских лучей рассеиваемая
энергия не зависит от длины волны. Собственные частоты атома или
молекулы лежат в области коротковолнового ультрафиолетового излучения
(первый род рассеяния, обусловливающий голубой цвет неба, называется релеев-
ским рассеянием, а второй род — томсоновским рассеянием).
117. Вычислить фазовую и групповую скорости электромагнитных волн
в среде, содержащей N свободных электронов в 1 см3.
§ 3. Диэлектрическая восприимчивость веществ
с полярными молекулами
В § 1 уже говорилось, что в веществах, молекулы которых
обладают постоянным электрическим моментом, при наложении
поля возникает ориентация этих моментов (ориентационная
поляризация). Это явление происходит прежде всего в том случае, если
молекулы свободны, т. е. в первую очередь в газах и жидкостях.
Кроме того, внешнее поле должно изменяться столь медленно,
чтобы инерция молекул допускала установление их равновесного
распределения, прежде чем поле изменит свое направление. В
частности, в силу инерции молекул ориентационная часть поляризации,
обусловливающая большую диэлектрическую проницаемость
воды, исчезает при переходе к частотам, соответствующим длине
волны порядка нескольких сантиметров.
464
Чтобы найти степень упорядоченности диполей как функцию
от температуры и напряженности поля, воспользуемся теоремой
статистической механики (см. ч. II, разд. VI, гл. II), согласно
которой число частиц системы, находящихся в состоянии с
энергией и> пропорционально e~ulkT9 где k—постоянная Больцмана.
Потенциальная энергия диполя р в поле с напряженностью Е
равна:
и = — р • Е = — рЕ cos &.
Будем отмечать направления дипольной оси точками на
поверхности единичной сферы. Тогда число этих точек, лежащих в зоне
между полярными углами & и & + dft, будет пропорционально площади
и
зоны 2irsin&d& и, кроме того, оно пропорционально е kT .
Поэтому можно положить:
рЕ cosfr
dN = Ce~w~~smMb. (19)
Здесь множитель 2гс включен в коэффициент пропорциональности
С, который выражается через число N частиц в 1 см3;
п РЕ C0S ^
N^C Г е kT smbdb. (20)
Обозначая
получим:
о
рЕ cos ft
——————— —. j£
kT
^ kT
N^C- j ^-—shJL;. (21)
JPE
kT
Если решить это уравнение относительно С и подставить
найденное значение С в (19), то получим:
л/ F pE CQS d
dN = — ph E e kT sin & db. (22)
2kTsh~-
kT
Если ось диполя составляет угол Ь с направлением Е, то его
компонент, параллельный полю, равен р cosfr. При суммировании по всем
диполям компоненты, перпендикулярные полю, выпадут, и
получится следующая величина результирующего дипольного момента
на 1 смг, т, е. величина вектора поляризации (поляризованности):
Л/ 2Р * рЕ C0S d
Р а е Г е kT zosbsmbdb. (23)
kT о
465
Применив такую же подстановку, как и выше, найдем:
Р =
+ кТ
2p£sh~^- JpB
Ri kT
NpkT
e*xdx =
NpkT
2p£sh-£-
kT
\xex — i
+
kT
pE_
' kT
или:
P^Np
'«"■(£)■
щ]-"«■($)■ ™
Функция cth* , которая называется классической функцией
Ланжевена, обозначается Цх). При малых значениях х эта
функция растет как х/3, что видно из ее разложения в ряд, а при
больших значениях х Цх) стремится к единице. Последнее необходимо,
чтобы результат вообще имел физический смысл, так как Np
является наибольшим возможным значением поляризованности
(насыщение поляризации), которое достигается, когда все диполи
ориентируются в направлении поля.
При малых напряженностях поля и не слишком низких
температурах — почти во всех опытах эти условия выполняются —
достаточно положить L{x) ^z лг/3. Так как Р всегда направлена вдоль
Е, то
Р =
Np*
3kT
Е.
(25)
Таким образом, в определенных пределах значений Е и Т
диэлектрическая восприимчивость веществ с полярными молекулами тоже
не зависит от поля, и в этой области можно воспользоваться фор-
р2
мулами § 2, заменяя в них а на -*~. При этом из (14) получается
2>kT
следующая формула для ориентационной части диэлектрической
проницаемости при учете взаимодействия диполей:
£+2
4nNp*
9kT
аналогичным образом получается молярная рефракция:
е-1 М 4те NApP
е + 2
Р
kT
(26)
(27)
При выводе формулы (25) для поляризованности было сделано
почти само собой разумеющееся предположение, что допустимы
любые ориентации дипольных моментов относительно поля. Такое
466
же предположение считается очевидным в случае намагничивания
парамагнетиков. Однако, согласно принципам квантовой теории,
возможен лишь дискретный ряд положений магнитных моментов
атомов в магнитном поле. Точное квантовомеханическое/ решение,,
которое будет рассмотрено в дальнейшем (см. ч. II, раздел VTI, гл.1,
§ 10), приводит к «пространственному квантованию» и дает вместо
классической квантовую функцию Ланжевена.
Задача
118. Вычислить дипольный момент молекулы воды, считая, что
деформационная и ориентационная поляризованности складываются аддитивно
(е = 80 при Т = 290° К, оптический показатель преломления равен 1,33).
§ 4. Парамагнитная, ферромагнитная
и антиферромагнитная восприимчивости.
Сегнето- и антисегнетоэлектрики
В кристаллах, состоящих из ионов, имеется еще одна часть
поляризации и диэлектрической проницаемости, связанная со
смещением всех ионов друг относительно друга в целом. Вследствие
большой массы ионов этот вклад исчезает при оптических
частотах.
Наконец, существуют кристаллы с очень большими значениями
диэлектрической проницаемости (до 70 000), которые называются
сегнетоэлектриками. Объяснение сегнетоэлектричества будет дано
в конце этого параграфа по аналогии с ферромагнетизмом.
Носителями постоянных электрических дипольных моментов
являются только молекулы, потому что во всех атомах центр
тяжести отрицательных зарядов совпадет с центром положительных.
Но свободные атомы вполне могут обладать магнитными
моментами. Парамагнетизм отличается от электрической поляризации
полярных молекул еще одной особенностью. Из того, что
парамагнитная восприимчивость солей мало изменяется при их растворении,
можно заключить, что твердое агрегатное состояние не является
препятствием для ориентирования магнитных моментов. Если
предположить сначала, что все ориентации равновероятны, то все
формулы § 3 можно применить к магнитному случаю, причем под
р следует понимать магнитный момент атома или молекулы. Если
пренебречь взаимодействием диполей, то в слабых полях из
формулы (25) для вектора намагничивания (намагниченности) получается:
J = ^lH, (28)
и для восприимчивости (на 1 смд)
* = -^1. (29)
467
Деление * на плотность р дает значение воспримчивости на 1 г, а
умножение последней на молекулярный вес М — молярную
восприимчивость:
Y_^_^ = .j£-£., (30)
* ~~ р — гит srt ~~ т v '
где Jм — дипольный момент на 1 моль, т. е, магнитный момент,
которым будет обладать один моль вещества при полной
ориентировке магнитных моментов; С называется постоянной Кюри. Она
определяется экспериментально из температурной зависимости х-
Зная ее, можно найти молярный магнитный момент JM по формуле1:
JM = \>r3RC- (31)
При выводе предполагается, что возможны любые ориентации
магнитных моментов относительно поля, но согласно квантовой
теории из них осуществляются лишь немногие направления.
Подробнее об этом говорится в разделе VII. Исследуем здесь лишь
особо важный случай, когда возможно лишь параллельное и
антипараллельное ориентирование магнитного момента относительно
поля. Принцип Больцмана и в этом случае определяет
распределение. Пусть N+ — число параллельно ориентированных моментов,
a N- — число антипараллельных моментов (Af+ + Af_ = N). Тогда
рН _рН^
м kT кг kT
N.=—— , N =— . (22а)
+ рН оН f ~ vH dH v '
Отсюда следует:
рН_ _рН_ ' ~ £Я _рИ
kT kT kT , kT
e + e e + e
JM = N+p~N_p = Npth^r.
Вместо функции Цх) = ctfoc— l/x вошла функция th*. Кривая и
теперь имеет типичный вид кривой насыщения, но угловой
коэффициент ее в начале равен 1 вместо 1/3. При дальнейших
выкладках следует лишь заменить во всех формулах функцию Цх)
функцией th*r. Полученный результат будет соответствовать тому кван-
товомеханическому случаю, когда разрешены лишь два
направления магнитных моментов.
Ферромагнетизм, Если учесть взаимодействие элементарных
магнитных моментов, положив действующее на них микроскопиче-
ческое поле РГ равным сумме макроскопического поля Н и
величины, пропорциональной намагниченности, то оказывается, что
дополнительный член с найденным в § 2 множителем пропорцио-
1 Хотя теперь известно, что эта оценка не верна, все же результаты
обычно выражают в «эффективных моментах» JM, т. е. в моментах, получающихся
из формулы (30). Это объясняется соображениями удобства сравнения теории
с экспериментом.
468
нальности — противоречит опыту. Поэтому в качестве множителя
пропорциональности в общем случае вводится эмпирическая
постоянная V.
Без учета пространственного квантования, когда функцию Цх)
можно заменить на х/39 для намагниченности получается следующее
уравнение:
J = ^(H + vJ). (32)
Из (32) для J получается:
i VH Np*H m.
ък(т-*>!£-) "зл(г-в)» v*>
где 0 = р (эта величина имеет размерность температуры).
Тогда для молярной восприимчивости получается закон:
X = 3R {Т _L в)» (34)
называемый законом Кюри — Вейсса. График зависимости 1/^ от
температуры представляет собой для закона Кюри—Вейсса прямую,
пересечение которой с осью абсцисс определяет
характеристическую температуру 0. Если значение 0 положительно, то должна
существовать температура, при которой восприимчивость
принимает огромные значения. Это наблюдается в действительности для
небольшой группы веществ — ферромагнетиков — уже при
довольно высоких температурах. Но многие другие вещества ведут
себя подобным образом лишь вблизи абсолютного нуля.
Характеристическая температура 0, выше которой ферромагнетики ведут
себя как простые парамагнетики, называется точкой Кюри. Но
при высоких значениях ферромагнитной восприимчивости
приближенная формула (32) уже неприменима, и приходится пользоваться
функцией Ланжевена. В этом случае имеются два уравнения для
J и Н:
(35)
»*т
1 J| — Н'~" , (36)
из которых надо исключить Н'. Это можно сделать графически.
Пусть по оси абсцисс отложена величина х = pH'/kT, а по оси
ординат у = \J\/Np (рис. 140). Намагниченность, соответствующая
определенному значению напряженности поля Я, определяется
точкой пересечения кривой у = L(x) и прямой
_ kT Н_
У \Np* Х vtfp#
469
Рис. 140. К определению
намагниченности ферромагнетика.
При этом масштаб на оси ординат определяется из условия, что
единица соответствует насыщению намагниченности Np.
Замечательно, что при Н = 0 иногда, кроме точки пересечения О,
получаются еще две точки пересечения, расположенные симметрично
относительно О, которые
соответствуют большому
значению намагничения. Это
происходит в том случае, когда
наклон прямой меньше, чем
наклон касательной к кривой
Ланжевена в точке О, причем
пограничной температурой
является точка Кюри.
Следовательно, ниже точки Кюри
в ферромагнитных веществах
возможно спонтанное
намагничивание и в отсутствие
макроскопического поля Я.
Таким образом, явление остаточного намагничивания
объясняется внутренним полем вещества. Но большое значение
постоянной v, которое у ферромагнитных веществ по порядку величины
достигает 104 вместо—, остается все же загадочным.
о
Лишь квантовая механика нашла
способ объяснить его при помощи
представления об «обменном» взаимодействии
спиновых моментов электронов (см.
раздел VII, гл. III). В большинстве
случаев v оказывается отрицательной
величиной, что приводит к
антиферромагнетизму, рассмотренному ниже.
Остается еще объяснить получаемую
из опыта кривую намагничивания
ферромагнетика, которая для
последовательных процессов намагничивания и пере-
магничивания имеет вид петли и
называется «петлей гистерезиса» (см. рис.
141). Из рисунка видно, что при
данном Н возможны самые разнообразные
значения J, в зависимости от
предыстории испытуемого образца (предыдущих
воздействий на него магнитного поля). Как уже говорилось, при
отсутствии внешнего поля (Н = 0) возможно спонтанное
намагничение ферромагнетика; значение его соответствует одной из двух
симметричных относительно О точек пересечения прямой с кривой L{x)
(рис. 140). Более подробное исследование показывает, что
устойчивы именно состояния спонтанной намагниченности, а состояние с
Рис. 141. Петля
гистерезиса: / — кривая
первичного
намагничивания, RO — остаточная
намагниченность, КО —
коэрцитивная сила.
470
/ = О неустойчиво. Казалось бы, при малейшем отклонении
значения поля от Н = 0 намагниченность должна вырасти скачком
от 0 до значения спонтанной намагниченности. Но в
действительности это значение J достигается лишь в наиболее сильных
внешних полях, которые только позволяет создать техника. Однако эти
«сильные» внешние поля столь малы по сравнению с внутренним
полем, что если начертить рисунок 140 в правильном масштабе,
они могут обусловить лишь очень небольшие смещения прямой.
Они служат, очевидно, лишь для того, чтобы преодолеть некоторое
«трение», которое препятствует установлению большого значения
намагниченности, соответствующего уже нулевому полю. Так как
это «трение» зависит исключительно от материала и его обработки,
получается большое разнообразие кривых намагничивания.
Величина спонтанной намагниченности может быть изменена в
результате понижения температуры, т. е. поворотом секущей прямой.
Если измерить температурную зависимость спонтанной
намагниченности, то для железа и никеля получается хорошее согласие с
теорией (только на рисунке 140 для этого вместо кривой L(x) надо
построить кривую th*). Это означает, как будет показано дальше
(см. ч. II, раздел VII, гл. I, § 9), что для ферромагнетиков
ответственные за ферромагнетизм электроны не имеют орбитального
момента. Это связано также с аномальным значением для них
гиромагнитного отношения, о котором будет идти речь в следующем
параграфе. Но отсюда еще нельзя заключить, что это —
электроны проводимости, потому что и у солей всей группы железа в
результате взаимного возмущения электронных орбит магнитные свойства
таковы, какими они должны быть при свободных электронах (см.
ч. II, раздел VII, гл. I, § 10).
Исследования намагничивания монокристаллов в значительной
степени способствовали прояснению затронутого выше основного
вопроса, а именно, почему вообще необходимо значительное поле
для создания спонтанного намагничивания? Кривые
намагничивания вдоль различных направлений кристаллографических осей
в монокристалле железа показаны на рисунке 142. Объяснить их
вид можно на основе следующих представлений1. В кристалле
имеются предпочтительные направления намагниченности,
например в случае кубической решетки железа это направление
ребер кубов (кривая [100] на рисунке). Но между положительным и
отрицательным направлениями на оси [100] нет никакого
различия. По-видимому, в отсутствие поля большие области в кристалле
намагничены в одном из этих шести преимущественных
направлений. Ввиду равноправия взаимно противоположных направлений
внешне это намагничивание никак не проявляется. Но при прило-
1 Теория технической кривой намагничивания и магнитной анизотропии
в значительной мере была разработана Н. С. Акуловым. {Прим. ред.)
471
1600
Рис. 142. Намагничивание
монокристаллов железа по
различным направлениям.
жении поля магнитные моменты этих областей поворачиваются по
направлению поля, если оно совпадает с направлением одного из
ребер куба. Так как эти направления и энергетически
равноправны, для этого не требуется затраты работы, и вращение происходит
очень легко, что видно из крутого подъема кривой намагничивания
для этих направлений. Правда,
между двумя противоположными
направлениями может существовать
потенциальный барьер, связанный
с тем, что. промежуточные
направления, через которые проходит при
перевороте вектор намагниченности,
соответствуют большим энергиям.
Существование потенциального
барьера приводит к тому, что кривая
намагничивания в начале поднимается
не строго вертикально, при
выключении поля некоторые области
спонтанной намагниченности (домены) еще
сохраняют прежнее направление,
потому что тепловой энергии
недостаточно для преодоления
потенциального барьера. Этим объясняется
остаточная намагниченность. Если поле имеет иное направление,
например вдоль диагонали куба (ось [111]), то сначала все
домены поворачиваются в направлении того ребра куба, которое
ближе всего к направлению поля (см. рис. 143). Дальнейшее
увеличение результирующей намагниченности может быть достигнуто
лишь в результате дальнейшего
приближения направлений магнитных моментов к
направлению поля, т. е. отхода их от
направлений ребер куба, на что требуется
затрата работы. Поэтому намагничивание
идет легко до /Hac/V3, а затем кривая
поднимается значительно медленнее. На
рисунке 142 это хорошо заметно. При
выключении поля направления моментов
возвращаются к направлениям ребер,
соответствующим наименьшей потенциальной
энергии, т. е. процесс вращения в отличие от
процесса переориентировки не имеет гистерезиса. Аналогично
кривая намагничивания для случая, когда поле направлено вдоль
диагонали грани (ось [110]), становится пологой при Уна(У 27
Для технических поликристаллических материалов кривая
намагничивания получается не просто в результате наложения
различных кристаллических эффектов. Проявляется еще одно обстоя-
Рис. 143.
Намагничивание в направлении
диагонали куба.
472
тельство — внутренние напряжения, которые тоже вызывают
преимущественное направление намагничивания. Например, в
растянутой железной проволоке преимущественным является
направление натяжения. Истинный вектор намагниченности в области
однородного внутреннего напряжения устанавливается так, что сумма
трех энергий — энергии поля, энергии магнитной анизотропии
кристалла и энергии упругой деформации — принимает
наименьшее значение. Так как напряжения не одинаковы в различных
местах, то имеются области различной намагниченности (домены),
граничащие друг с другом, причем наложение внешнего поля
содействует росту одних таких областей за счет других (смещение
границ доменов). Это смещение границ можно наблюдать под
микроскопом при помощи «полос Акулова—Биттера». Маленькие
магнитные частицы коллоидного раствора Fe203 осаждаются
преимущественно на границах доменов и их распределение характеризует
положение границ. Математическая формулировка приведенных выше
качественных рассуждений весьма громоздка, и дать ее здесь
невозможно. Следует, однако, отметить, что в последние годы
количественная теория ферромагнетизма добилась крупных успехов в
объяснении процессов намагничивания.
Антиферромагнетизм. Как уже упоминалось, гораздо чаще
встречается случай, когда v принимает отрицательное значение, т. е.
отрицательна энергия обменного взаимодействия соседних
элементарных магнитных моментов, что вызывает антипараллельное
расположение этих моментов. Вещества, обладающие этим свойством,
называются «антиферромагнетиками», а само сеойство —
«антиферромагнетизмом». Для антиферромагнетизма характерно
отрицательное значение температуры Кюри в. Но так как эта температура
является лишь указанием области, где упорядочивающие силы
больше, чем препятствующее упорядочению действие теплового
движения, антиферромагнетики при температуре Т = 101 резко
меняют свойства. Эта точка называется «точкой Нееля», по имени
открывшего ее ученого. В антиферромагнитном кристалле имеются
две магнитные подрешетки — «вставленные» друг в друга
кристаллические решетки с противоположно направленными намагничен-
ностями. Каждая из подрешеток имеет вдвое большую постоянную
решетки, чем у аналогичной решетки ферромагнитного вещества,
и это удвоение постоянной решетки было обнаружено ниже точки
Нееля в опытах по дифракции нейтронов (см. раздел VII, гл. IV).
Важнейшие черты антиферромагнетизма можно описать,
воспользовавшись линейной частью функции Ланжевена. Предположим,
что магнитные моменты частиц подрешетки А испытывают
действие лишь своих ближайших соседей, т. е. моментов частиц
подрешетки В. Правда, это предположение слишком сильно упрощает
положение вещей, так что приводит к количественным
расхождениям между столь упрощенной теорией и экспериментом. По
аналогии с уравнением (32) положим:
473
^=£(H + vJfi), J,=^(H + vJ,), (37)
где, как и раньше, С = 3k •
Если сложить эти уравнения и разрешить их относительно
J = JA -J- Jg, то получится:
-'-xH-^ + Ja-jr^. <38)
или:
= с
где
(39)
e=yv«0). (40)
Точкой Нееля называется та температура TN% при которой
существует намагниченность каждой из подрешеток в отсутствие поля.
Из уравнений (37) при Н = 0 получается:
■>л=^-->в и 3в=т-*а* (41)
* N N
Оба уравнения совместны только при
Т„ = -в(>0). (42)
Точка Нееля в нашем идеализированном случае равна
абсолютной величине температуры Кюри (отрицательной). В
действительности TN обычно в 1,5—2 раза меньше, чем J 01. Причина этого
уже указывалась выше. Так как при Т — TN и Н = 0
намагниченность каждой из подрешеток дает iA = ^~JB, то закон Кюри —
Вейсса (39) выполняется лишь при температурах выше точки Нееля*
Поведение антиферромагнитных монокристаллов при
температурах ниже точки Нееля можно упрощенно описать следующим
образом. Намагниченность в обеих решетках должна быть
направлена вдоль одной из осей кристалла. При Т = 0 обе
намагниченности равны по величине и противоположны по направлению, и
параллельное им поле не может ничего изменить. Следовательно,
при понижении температуры i\\ должно уменьшаться от
значения, соответствующего точке Нееля, до нуля. Когда поле
направлено перпендикулярно к этой оси, оно стремится сделать
направления моментов 3А и JB не параллельными (рис. 144). Момент силы,
с которой поле Н действует на магнитный момент Зв , приближенно
474
равен |JB( • |Н|. Ему противостоит момент силы сцепления,
обусловленный действием намагниченности JA; этот момент при малом
угле отклонения ? равен по величине |vJ^[-|JB |-<j>. Поэтому в
состоянии равновесия
I
|Н|
?:
IvJ,
(43) а
и намагниченность, перпендикулярная к оси,
составляет
^-xA-|JB|T.
Поскольку
J-4| =
получается:
Хх = '
(44)
Рис. 144. Действие
вращающего момента
внешнего и
внутреннего поля на одну из
решеток
антиферромагнетика.
независимо от температуры при Т < TN. Так
ведет себя, например, MnF2 (см. рис. 145).
Технически важную разновидность антиферромагнетиков пред*
ставляют ферриты. Это регулярные кристаллы типа Мп О . Fea03>
гдеМ1Г = Со, Ni, Fe, Mn. Их называют ферримагнетиками. Не'
сколько упрощенно можно определить ферримагнетики как такиб
антиферромагнетики, у которых моменты противоположно
ориентированных подрешеток не одинаковы по
величине, т. е. при Т = 0 имеется
намагничение в целом в одном из направлений.
Следовательно, они ведут себя практически
как ферромагнетики, но отличаются от
них существенным преимуществом —
малой проводимостью.
Сегнетоэлектричество и антисегнето-
электричество. Как уже упоминалось,
Рис. 145. Зависимость аналогичные ферромагнетизму и антифер-
Хц и г± от температу- ромагнетизму явления имеются и в области
РЫ н1тТп^Ка/нит" электрических явлений. Они состоят в ано-
НЫЛ КрМСТаЛЛаЛ. о
мально высоких значениях диэлектрической
проницаемости (до 70 000), наблюдаемых
у ряда веществ. В отличие от случая магнетизма электрические
поля соседних атомов достаточны для того, чтобы при
определенных условиях вызвать такой же эффект, какой дает обменное
взаимодействие в случае магнетизма. Правда, у важнейшего из
этих веществ — титаната бария BaTi02, по-видимому, дело
вовсе не в явлении ориентационной поляризации. Из формулы
о
(13) (стр. 463) видно, что при Net = — поляризация Р, а
4ти
475
вместе с нею и диэлектрическая проницаемость е, стремится
к бесконечности. В действительности столь высокие значения Na
не достигаются, но достигаемое значение Мх не отличается так
сильно от —, как в случае магнетизма, где оно на много порядков
4те
меньше. Кроме того, множитель — для внутреннего поля относит-
о
ся лишь к случаю полной беспорядочности, а также к случаю
кубической симметрии поля окружающих атомов или ионов. Если же
вычислить внутреннее поле, исходя из известной структуры ВаТЮ2,
то получается множитель ~ 8, добавляющийся к —. Этого доста-
о
точно, чтобы обратить в нуль знаменатель в (13). Существование
точки Кюри, выше которой сегнетоэлектричество исчезает,
обусловлено лишь температурной зависимостью N (т. е. объемным
коэффициентом расширения), а также а. Напротив,
сегнетоэлектричество сегнетовой соли — первого вещества, у которого И. В.
Курчатовым были открыты сегнетоэлектрическиесвойства,—обусловлено,
по-видимому, силами взаимодействия электрической природы,
которые ориентируют молекулы воды в кристалле. На это указывает
существование второй, нижней точки Кюри, ниже которой
молекулы, по-видимому, не способны поворачиваться. Наблюдались
также и антисегнетоэлектрические вещества.
§ 5. Магнетизм орбитальных электронов.
Гиромагнитное отношение.
Теория магнитной восприимчивости диамагнетиков
С точки зрения современных представлений о строении атома
причина его магнитного момента обусловлена в первую очередь
элементарными токами, предположение о существовании которых
высказал еще Ампер. Эти токи создаются электронами,
вращающимися вокруг ядра. Если период обращения электрона составляет т
сек, то его круговая орбита есть круговой ток, сила которого
равна —е/т. Следовательно, его магнитный момент равен
Р = ---, (45)
с t
где f*— площадь, охватываемая электронной орбитой, если считать
ее плоской. Так как движение электронов происходит под действием
центральных сил, выполняется теорема площадей, и вместо f/t
можно писать rff/rfr. Секторная скорость равна деленному на 2т
механическому моменту количества движения 1. Поэтому для
магнитного момента получается уравнение
|р = е-\.\ (46)
476
Эта важная формула показывает, что каждому орбитальному
магнитному моменту соответствует момент количества движения,
связанный с инертной массой электрона и его скоростью.
Это можно доказать экспериментально. Согласно теореме о
сохранении момента количества движения системы, последний
остается постоянным при отсутствии моментов внешних сил. Поэтому,
если намагничиванием создать результирующий момент количества
движения тела или путем размагничивания (например, путем
нагревания выше точки Кюри) уничтожить его, то кристаллическая
решетка тела должна прийти во вращательное движение, причем ее
момент количества движения будет равен по величине и
противоположен по направлению результирующему моменту количества
движения электронов. Это явление, названное эффектом
Эйнштейна—де Гааза, наблюдается в действительности. По величине
механического момента количества движения и намагниченности
можно проверить соотношение (46). Но множитель
пропорциональности при I, называемый гиромагнитным отношением, для всех
ферромагнетиков неожиданно оказался вдвое больше, чем е/2т&,
а для солей редких земель, для которых этот эффект тоже
наблюдается, он в 0,3—6 раз больше. Об этой аномалии будет подробно
сказано позже (ч. II, раздел VII, гл. I, § 9). Укажем здесь, что это
привело к необходимости приписать самому электрону,
независимо от его обращения по орбите, собственный магнитный момент и
момент количества движения («спин»).
Обратный гиромагнитный эффект (намагничивание в результате
вращения) наблюдался в 1914 г. Барнеттом незадолго до открытия
эффекта Эйнштейна—де Гааза.
Если атом имеет несколько электронов, то их моменты
количеств движения и вместе с тем магнитные моменты могут взаимно
компенсировать друг друга. В таком атоме, который сам по себе
не магнитен, магнитное поле создает момент, направленный против
поля. Найдем этот момент (конечно, такой индуцированный момент
имеется и у парамагнитных атомов, но он мал по сравнению с уже
существующим моментом, и поэтому, вообще говоря, им можно
пренебречь). По теореме Лармора, упоминавшейся в § 1
(доказательство см. раздел VII, гл. I), магнитное поле вызывает
прецессионное движение всей системы электронов в атоме вокруг оси,
проходящей через ядро параллельно полю Н. Угловая скорость этого
движения равна:
а) = — Н. (47)
2тс v '
Прецессия создает дополнительный момент количеств движения:
1 = w2r'Xv' = mS г/Х(иХГ;) = т£[г|(о-(ггш)г,]. (48)
477
Здесь сумма взята по всем электронам атома, г, — радиус-вектор
t-ro электрона относительно ядра, которое служит началом
координат. Если выбрать ось Z по направлению поля, то Z-компоне.нт
этого момента количеств движения равен:
/. = «"Stf - г] cos2 *,)=«•£(*» + у)). (49)
При усреднении по времени только он дает отличный от нуля
результат. Так как поле не вызывает ориентирования атомов, в
среднем все ориентации атома равновероятны. Из соотношения х2 «+•
+ У2 + z2 = г2 следует, что
Средняя величина индуцированного магнитного момента по
формуле (46) равна:
Отсюда молярная восприимчивость равна:
(52)
Формула (52) дает правильный (отрицательный) знак
диамагнитной восприимчивости. Средние радиусы орбит, вычисляемые по
этой формуле, хорошо совпадают с радиусами, полученными из
других данных.
Глава V
СВЕРХПРОВОДИМОСТЬ
§ 1. Основные уравнения
Сверхпроводящее состояние открыто Каммерлинг-Оннесом в
1911 г. Оно характеризуется прежде всего неизмеримо малым
сопротивлением электрическому току. При понижении температуры
сопротивление всех проводников уменьшается, но переход в
сверхпроводящее состояние сопровождается внезапным падением
сопротивления при определенной температуре от конечного значения до
нуля. Температурный интервал, в котором происходит этот спад,
478
не превышает нескольких сотых долей градуса. Середину этого
интервала обычно называют критической температурой Тс
сверхпроводящего перехода; для чистых металлов она составляет от
0,2° до 10°К, У химических соединений, обладающих
металлической проводимостью, например у гидридов и нитридов металлов,
встречаются и более высокие критические температуры. Так как
еще открывают все новые сверхпроводники, целесообразно
указать лишь те группы периодической системы, в которых до сих
пор еще не найдено признаков сверхпроводимости. Это первая
группа (щелочные металлы и Си, Ag, Au) и ферромагнитные
металлы. Очевидно, что для возникновения сверхпроводимости
необходима некоторая минимальная плотность электронов
проводимости, которая не достигается у одновалентных металлов с
одним электроном на атом и с большими расстояниями между
атомами.
Исчезновение сопротивления — не единственный признак
сверхпроводимости. В. Мейсснер открыл еще одно свойство, которое
можно грубо охарактеризовать как обращение в нуль магнитной
проницаемости [х. Если поместить сверхпроводящее тело в
магнитное поле, то при очень большой его проводимости, согласно
обычной теории Максвелла, на поверхности его индуцируется ток,
магнитное поле которого уничтожает поле внутри тела, а поле вне его
будет таким, как если бы тело имело нулевую проницаемость. Но
по теории Максвелла не должно произойти ничего особенного при
охлаждении тела в магнитном поле. Однако оказалось, что в этом
случае при некоторой температуре ниже критической
устанавливается распределение поля, соответствующее сверхпроводящему
состоянию. Казалось бы, поведение сверхпроводника можно
вывести из уравнений Максвелла для предельного случая о = оо и
\i = 0. Но это сделать не удается. В феноменологической теории
сверхпроводимости рассматривается такое дополнение уравнений
Максвелла, которое правильно описывает явления в
сверхпроводниках и характеризует сверхпроводник одной величиной,
зависящей от температуры. Сначала уравнения Максвелла берутся без
изменений. В металлах можно положить е=1. Хотя, согласно
новейшим результатам, \х, по-видимому, можно тоже считать
равным 1, мы все же будем считать, что \ь может иметь произвольное
значение. Итак, в уравнениях:
rotH-i-^ + ^j,
с dt с
rot Е = ,
с dt
div E = 4тср,
div В - 0,
В = 1Ш
479
(I)
(И)
(III)
(IV)
(V)
новое состоит в том, что j и р разлагаются теперь на нормальную и
сверхпроводящую части. Необходимость сохранять омическую
часть также и ниже критической точки вытекает из поведения
сверхпроводников в высокочастотных полях. Оно выглядит так,
как будто лишь малая часть электронов участвует в токе
сверхпроводимости, соответствующем короткому замыканию, а
остальные электроны ведут себя «нормально». Итак, пусть
Для каждой части независимо выполняется уравнение
непрерывности:
%divjH + -^ = 0; divjc+^ = 0. (VI)
Для нормального тока, как и раньше, положим:
Jh = *E. VII)
В феноменологической теории сверхпроводимости предполагается,
что для электрона, не испытывающего «сопротивления трения»,
полю пропорциональна не скорость, а ускорение, так что
-|-(Ш = Е, (VIII)
где X — новая величина, зависящая от температуры.
Для связи между током сверхпроводимости и магнитной
индукцией устанавливается соотношение, которое в своей основе
представляет перенесение рассуждения § 5, гл. IV на макроскопические
кольцевые токи:
crot(Xjc) = — В. (IX)
Постоянная сверхпроводимости X растет с увеличением
температуры и в критической точке становится бесконечной, что
обеспечивает переход к нормальному проводнику.
К уравнениям поля надо добавить еще граничные условия:
DivB = 0; DivJH+^==0; (X)
DivE = 4*K + *c); Divjc+^ = 0,
где а — плотность поверхностных зарядов.
480
На границе двух сверхпроводников добавляется еще одно
граничное условие, которое следует из конечности В и уравнения (IX):
Rot (Xjc) = о,
или
§ 2. Стационарные поля
Применим сначала эти уравнения к простейшему случаю
стационарных полей. В этом случае все производные по времени
равны нулю. В силу уравнения (VIII) Е = 0; тогда из уравнения (VII)
следует: jH = 0, так что j = jc, т. е. остается стационарный ток
сверхпроводимости. Как и при нормальном проводнике,
rotH = -^j. (1)
с
Но магнитное поле и ток связаны еще одним уравнением,
вытекающим из уравнений (V) и (IX):
rot(X]) = —JiH. (2)
с
Если во всем сверхпроводнике температура одинакова, то X не
зависит от координат, и это уравнение можно записать в виде:
rotj = —АН. (2')
Из уравнений (1) и (2) можно исключить Н или j, образуя ротор
от одного из них. Поскольку div jaH = 0h div j = 0,
rotrot H - — ДН = —rot j = — i5t H, (3)
а также
rotrot j = -Aj = -^ rot H = - iS. j. (4)
сЛ с2 Л
Пусть имеется бесконечный сверхпроводник, ограниченный
плоскостью z = 0 и заполняющий полупространство z > 0.
Предположим, что в полупространстве z < 0 (в вакууме) имеется
постоянное магнитное поле Н0. Согласно граничному условию (X)
и соотношению
divH = ^ + ^ + —= 0,
дх ду дг
Нг должно быть в обеих областях одинаково. Однако Hz = const
является решением уравнения (3) лишь в том случае, когда Нг=0.
481
Следовательно, у Н может быть отличным от нуля только
касательный компонент, который будем считать направленным по
оси Y. Таким образом, положим:
при z < 0; Нг = Нх = 0, Яу = Я0,
приг>0: Hz-Hx = 0f Яу==/(2)'.
Внутри сверхпроводника решение уравнения (3) (с учетом
непрерывности Н) имеет вид:
Щ = Н^\ где p-i-y^". (5)
Для плотности тока из уравнения (1) получаем:
Таким образом, и постоянный ток, и магнитное поле в
сверхпроводнике затухают с глубиной. Глубина проникновения их 1/(3
пропорциональна i/X. Из различных независимых измерений находят
всегда один и тот же порядок величины 1/р^10"~5см при 0,5°
ниже критической точки.
§ 3. Оптические свойства сверхпроводников
В высокочастотных полях (оптика) отношение тока
сверхпроводимости к нормальному току получается следующим образом.
Поскольку ток сверхпроводимости связан с нормальным током
через напряженность поля Е (уравнения (VII) и (VIII)), то всегда
Jh = ^|(Mc). (7)
Если jc — периодическая функция времени
Jc.o
je-Jc^ <8>
то
)н'=аа)Мс,0*
*»(Н~) (9)
Нормальный ток опережает ток сверхпроводимости на тс/2.
Отношение амплитуд равно произведению оо>Х. Если величину X
определять из упомянутой выше глубины проникновения, то уже для
инфракрасных волн оказывается, что амплитуда нормального тока
на два порядка больше тока сверхпроводимости. Это прекрасно
согласуется с отрицательным результатом всех попыток
обнаружить изменения оптических свойств при переходе в
сверхпроводящее состояние. Именно это обстоятельство принудило
предположить существование нормального тока наряду с током
сверхпроводимости.
482
Глава VI
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ
§ 1. Электромагнитная индукция в движущихся телах
с точки зрения электронной теории
Полное объяснение всех электромагнитных процессов в
движущихся телах возможно лишь при помощи теории относительности,
которая сама обязана своим происхождением исследованию этих
процессов. Однако электронная теория дает столь простое и
наглядное описание большинства электромагнитных процессов, что
имеет смысл рассмотреть их сначала с точки зрения этой теории.
Применять же сразу тяжелую артиллерию формального аппарата
теории относительности не целесообразно, тем более, что точность
измерений в большинстве опытов недостаточна, чтобы обнаружить
различия в результатах электронной теории и теории
относительности. Электронная теория исходит из предположения, что
электромагнитное поле возникает в покоящемся «эфире», т. е. в
абсолютном пространстве, проникающем все тела, тогда как заряды,
поляризация и намагничивание связаны с телами и движутся вместе
с ними. Уже в механике теории относительности (раздел II, гл. VI)
указывалось, что гипотеза эфира, проникающего все тела,
опровергается результатами ряда опытов, точность которых достаточна для
этого. Поэтому все результаты расчетов электронной теории
являются лишь приближениями, но весьма полезными. Запишем
уравнения поля в следующем виде1:
rotH = 7^+T^ + T<p+v+-p-v-)' (I)
rotE = --L^-i^, (2)
с dt с dt w
divE = 4*(P+-p_), (3)
divH = 0. (4)
Движение тел оказывает влияние в первую очередь^ на члены
dp dJ —
— v —, Р и pv,
dt dt' * *
1 Приведенные здесь формулы отличаются от общепринятых, в которых
4тс
член проводимости имеет вид просто — pv. Они выбраны потому, что в элект-
с
ролитах, например, вполне может существовать ток проводимости, тогда
пространственный заряд в (3) равен нулю и уравнения (1) и (3) будут
противоречить друг другу при обычной форме записи.
483
К этим уравнениям надо добавить еще выражение для силы, с
которой электромагнитное поле действует на движущийся заряд е:
F = eE + i-vXH. (5)
с
Таким образом, магнитное поле не действует на покоящийся
заряд, и его действие проявляется лишь тогда, когда заряд
движется. Если рассматривать любую силу, действующую на
электрический заряд, как электрическую силу, то величину
Е' = — vXH (50
с
следует рассматривать как напряженность «индуцированного
электрического поля».
Рассмотрим теперь с точки зрения электронной теории ряд
экспериментов.
а) Обычная индукция в движущемся
замкнутом проводнике.
Во втором уравнении Максвелла, описывающем закон
электромагнитной индукции, предполагается, что изменение потока
индукции вызвано изменением магнитного поля во времени при
неизменном пути интегрирования. Между тем этот закон применяют и
в том случае, когда в неподвижном и неизменном во времени
магнитном поле поток индукции получается в результате движения
замкнутого контура, но при этом не заботятся об обосновании
возможности такого перенесения. Покажем при помощи уравнения (5),
что это действительно допустимо. Интегрирование
индуцированного электрического поля по всему замкнутому контуру дает:
Е'. ds = — ф (v X Н) . ds. (6)
Правая часть этой формулы представляет собой изменекие
магнитного потока во времени при движении замкнутого контура. Для
доказательства этого рассмотрим два последовательных положения
контура: в момент /ив момент / + Л, причем возможность
деформации контура не исключается. Если соединить соответственные
линейные элементы проводника в двух последовательных
положениях векторами перемещения vdt9 то получится замкнутая
поверхность, по которой следует взять интеграл от напряженности
магнитного поля. Так как в однородной среде с магнитной
проницаемостью [х дивергенция магнитного поля Н равна нулю, этот
поверхностный интеграл по теореме Гаусса—Остроградского равен нулю.
Далее, элемент боковой поверхности можно записать в виде:
df6=-(vxds)dt
§
484
(см. рис. 146). Таким образом,
0 = — JH . Л+ J H. Д-Л|Н.(уХЛ),
откуда получается изменение магнитного потока через контур
за время dt:
d<& = J H . Л — JH . df - — <иф (v X Н) . ds. (7)
Поэтому в формуле (6)
§
(vXH).ds = -^. (8)
В среде с магнитной проницаемостью р сила, действующая на
движущийся заряд, в (а раз больше. Поэтому
индуцированная э. д. с. тоже в [л* раз больше; Ф в формуле
(8) — поток магнитной индукции. В силу этого
безразлично, вызвано ли временное изменение
потока индукции изменением напряженности
магнитного поля во времени при неподвижном
проводнике или это изменение — результат движения
замкнутого проводника в неподвижном и
постоянном поле. Справедливость этого утверждения в Рис. 146. Ин-
элементарной электротехнике молчаливо подразу- дукция в дви-
мевается. жущемся кон-
б) Поляризация диэлектриков туре'
(опыт Вильсона). При вращении полого
цилиндра из диэлектрика вокруг оси, параллельной магнитному
полю, в нем индуцируется электрическое поле. Оно действует
на электроны диэлектрика, квазиупруго связанные с атомами, и
вызывает их смещение относительно ядер, т. е. радиально
направленную поляризацию, величина которой составляет:
р = ^aV><H (9)
с
(если пренебречь внутренним полем). Здесь N — число атомов в
1 еж3, а a — поляризуемость. Используем известную связь между
Na н & (см. стр. 460).
Тогда
p^s^O^H 0
4к с '
В нашем случае вектор поляризации Р направлен радиально и
равен по величине
. 16 г. Иос 485
Таким образом, вращающийся диэлектрик оказывается
поляризованным, и его можно сравнивать с постоянно поляризованным
телом («электретом»). На поверхности находятся «свободные» заряды,
плотность которых'*/ определяется величиной Р, как было
показано на странице 286. Обнаружение этих зарядов производится
так же, как и для обычных поляризованных тел. Внутренняя и
внешняя стенки цилиндра должны быть снабжены металлическими
обкладками. В данном случае безразлично, вращаются ли они
вместе с цилиндром или нет, потому что магнитное действие, которое
могут оказывать движущиеся заряды, здесь не существенно. Если
во время вращения цилиндра соединить обе обкладки с землей, то
все силовые линии, выходящие из поверхности диэлектрика, будут
оканчиваться на обкладках, т. е. на них будет «наводиться» заряд,
равный по величине, но противоположный по знаку «свободному»
заряду на поверхности диэлектрика. Если теперь отключить
обкладки и прекратить вращение или выключить магнитное поле, то
поляризация в объеме диэлектрика исчезнет, так что на обкладках
окажется поверхностный заряд с плотностью а = Р, который
создаст напряжение между обкладками, измеряемое при помощи
электрометра. Это напряжение определяется емкостью
цилиндрического конденсатора и электрометра. Измерения подтверждают
выводы теории.
в) Опыт В. Вина. Возникающее при движении в
магнитном поле смещение зарядов в атомах (т. е. поляризация атомов) в
одном особо благоприятном случае может быть обнаружено
оптическими методами. Как обнаружил Штарк, линии спектра
водородного атома в электрическом поле расщепляются на множество
компонентов (Штарк-эффект). В опыте Вина каналовые лучи водорода
проходят через перпендикулярное к их направлению магнитное
поле. Последнее эквивалентно электрическому полю,
перпендикулярному к плоскости векторов v и Н и равному по величине
vH/c. Если смотреть вдоль направления магнитного поля, то
действительно наблюдается такая же картина расщепления
спектральных линий, как при наблюдений! Штарк-эффекта в направлении,
перпендикулярном к электрическому полю.
§ 2. Магнитные действия движущихся зарядов
а) Опыт Роуланда. Простейший опыт,
доказывающий эквивалентность движущегося заряженного тела
электрическому току, состоит в том, что заряженному телу сообщается
большая скорость и измеряется магнитное действие этого
искусственного «конвекционного тока» (тока переноса)* Так поступил
Роуланд, когорый заставил быстро вращаться заряженную
изолированную металлическую пластинку и получил магнитное
действие, определяемое третьим членом в правой части
уравнения (1).
486
-t^.
б) Опыты Рентгена и Эйхенвальда. Эйхенваль-
ду и Рентгену удалось показать, что и «свободные» заряды на
поверхности поляризованного диэлектрика при механическом движении
эквивалентны току. В опыте Эйхенвальда диск из диэлектрика
вращался между пластинами заряженного конденсатора.
Наблюдавшееся при этом магнитное действие совпадало с вычисленным
на основе данных о поверхностной плотности свободных
зарядов а = |Р| и скорости вращения диэлектрика.
На другом приборе те же исследователи
показали, что при помощи механического движения
можно вызывать также изменение поляризации,
которое соответствует второму члену в уравне-
1 нии (1). В этом приборе вращался опять диэлект-
Рис. 147. Опыт рик, а пластины конденсатора были разрезаны на
Эйхенвальда и две половинки, и каждая из половин была заряже-
Рентгена. на Противоположно (рИС# j47). При переходе
через линию разреза вектор поляризации
диэлектрика изменяет свой знак, так что в плоскости разреза течет
вертикальный «ток смещения», поле которого можно обнаружить при
помощи магнитометра.
в) Опыт Троутона и Нобля. Плоский конденсатор
подвешивался так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг оси,
параллельной пластинам. Опыт ставился для того, чтобы
проверить, повернется ли заряженный конденсатор так, что его
пластины станут параллельными направлению
движения Земли по орбите. Легко видеть, что
из представления о существовании
«неподвижного эфира» следует, что движение Земли
должно вызывать вращающий момент,
действующий на конденсатор. Действительно,
представим себе, что заряды е пластин собраны
на двух шариках, находящихся друг от
друга на расстоянии, равном толщине конденсато- ^ис- 14^# икн°^бь^у
ра (рис. 148). Пусть плотность заряда в Р°Утона и о я.
шариках равна р. Движение Земли
обусловливает перенос заряда +е, соответствующий элементу тока1
Ids^ev. (11)
Этот элемент тока по закону Био и Савара создает магнитное
поле, которое в месте нахождения отрицательного заряда равно:
Н-^-*!*-', (12)
сг3 сг3
1 В самом деле, пусть шарик разбит на пластинки, перпендикулярные
к v. Движущаяся пластинка площади q и толщины ds соответствует элементу
тока pqvds. При интегрировании этого выражения по всем пластинкам при
постоянных р и v получится объем шарика, помноженный на pv, откуда и
следует (11).
16*
487
где г — вектор, направленный от положительного к
отрицательному заряду. Это магнитное поле перпендикулярно к плоскости
векторов v и г и действует на отрицательный заряд, который тоже
движется со скоростью v, с силой
Р^-е1*-Н^_Л*Х(УХг) П3)
с с2 г* v ;
Величина этой силы, перпендикулярной к плоскости векторов Н
и v, равна:
F-^i^i. (14)
с2 г* v '
Магнитное поле, создаваемое движением отрицательного заряда,
действует на положительный заряд с такой же по величине, но
противоположно направленной силой. Эти две силы создают
вращающий момент, направленный вдоль оси подвеса и равный по
величине:
M=Frcos» = — — sin»cos&-=i — — sin2». (15)
re2 2 г с2 '
Таким образом, этот момент старается повернуть ось конденсатора
перпендикулярно, а пластины — параллельно «эфирному ветру».
Далее, е2/г представляет электростатическую энергию (/эл
системы. Если подставить эту величину в формулу (15), получится (с
точностью до множителя 2) формула, которая соответствует
строгому решению задачи без упрощающих предположений о
распределении зарядов:
M = £/M/-!L\ sin 2»
(16)
Согласно этой формуле при зарядке конденсатора, ось которого
составляет угол — с направлением движения Земли, должен воз-
4
никать вращающий момент U9Jll~\ , который еще вполне можно
наблюдать. Но даже точнейшие опыты не обнаружили никаких
признаков существования такого вращающего момента.
Отрицательный результат опыта Троутона и Нобля, принадлежащего к тем
немногим опытам, в которых возможно наблюдение величин порядка
vl/c2, находится, таким образом, в противоречии с теорией
«покоящегося эфира».
г) Изменяемость массы электрона.
Магнитное поле движущегося точечного заряда обладает определенным
образом распределенной в пространстве энергией, для создания
которой нужно затратить работу; электрон уже по этой причине
обладает инерцией, которая, как показывают вычисления,
увеличивается с увеличением скорости. Это означает, что инертная
масса электрона увеличивается вместе со скоростью, причем увеличение
различно при ускорении, параллельном направлению скорости и
перпендикулярном к нему. Поэтому говорят о продольной и
поперечной массе. Согласно вычислениям Абрагама, для жесткого
шарообразного электрона в первом приближении продольная масса
равна:
т, = т0(1 + -|"£), (17)
а поперечная масса:
m<=m°{l+ii)- -(18>
Здесь опять v/c входит не ниже, чем во второй степени. Поэтому
следует ожидать, что и это явление тоже можно использовать для
решения вопроса о существовании покоящегося эфира. Как
упоминалось на странице 437, это изменение массы электрона уже
давно наблюдалось в действительности. Теория относительности
приводит к формулам (74) и (75) (стр. 259), которые тоже содержат
поправочные члены, пропорциональные (v/c)2 и отличающиеся от
приведенных здесь членов приблизительно на 20%. Наиболее
точные измерения решили вопрос в пользу релятивистских формул и
показали ошибочность формул (17) и (18), вытекающих из представ-
ления о неподвижном эфире.
§ 3. Распространение электромагнитных волн
в движущихся средах
а) О п ы т Ф и з о. Классическим опытом по распространению
света в движущейся среде является опыт Физо, позволяющий при
помощи интерференционного рефрактометра измерять небольшое
различие в показателях преломления движущейся и покоящейся
воды. Можно было бы ожидать, что скорость текущей воды просто
складывается с фазовой скоростью света, определяемой из
показателя преломления для покоящейся воды. Но при этом возникают
трудности: этот эффект увлечения должен полностью сохраняться
и для вещества с очень малой плотностью (например, в быстро
движущемся газе), тогда как в вакууме он не должен существовать,
потому что там нечему течь. Таким образом, получается скачок
при переходе от вакуума к разреженному газу, а это противоречит
опыту. Наблюдения показали, что в действительности к фазовой
скорости света добавляется не вся скорость течения v, а лишь
величина (1 Ли. Величина (1 ], стремящаяся к нулю,
489
когда п стремится к единице, называется «коэффициентом
увлечения» Френеля. Этот результат следует также из теории
покоящегося эфира, но в теории относительности он получается гораздо
проще из релятивистского закона сложения скоростей (см. стр. 249),
б) Опыт Майкельсона. Для обнаружения влияния
движения Земли на распространение света было предложено очень
большое число опытов. Но во всех этих опытах, за исключением
одного опыта Майкельсона, точность измерений недостаточна для
обнаружения эффекта выше первого поряд-
^ ка относительно v/c. Из теории покоящегося
^WL эфира следует, что при совместном равно*
/^^\\ мерном поступательном движении источника
1/7 ^^ света, промежуточной аппаратуры и наблю-
sffi? G ^ms3 дателя не должен появляться эффект первого
\хч jyf порядка. В этом смысле все упомянутые
\N\n/// опыты не противоречат теории покоящегося
/у)$\ эфира. Однако эта теория предсказывает эф-
\g 6 N* u фект второго порядка, для наблюдения
которого из всех оптических опытов достаточ-
Рис. 149. Опыт ную точность имеет лишь опыт Майкельсона,
Саньяка. подробно описанный на странице 242.
Отсутствие эффекта второго порядка в опыте Май-
кельсона, наряду с отрицательным
результатом опыта Троутона и Нобля и отклонениями изменений масс
электрона от «абсолютной» формулы (17), а также новые
измерения оптического Допплер-эффекта второго порядка доказывают,
что представление о покоящемся эфире не может соответствовать
действительности.
• К этим четырем «классическим» доказательствам теории относительности
недавно прибавился пятый опыт — опыт Таунса, который превосходит
точность опыта Майкельсона в тысячу раз. Описание его довольно сложно; еле*
дует отметить лишь, что по теории покоящегося эфира ожидается зависимость
собственной частоты резонатора для сантиметровых волн от ориентировки
его относительно движения Земли; но эта зависимость на опыте не
наблюдается.
в) Допплер-эффект и аберрация света. Об
этих явлениях тоже шла речь на странице 250, где они были
подробно рассмотрены.
г) Опыт Саньяка. В этом опыте источник света,
оптический аппарат и наблюдатель совершают общее вращательное
движение. Хотя все части системы движутся совместно, все же
наблюдается влияние вращения. Этот прибор изображен на рисунке 149.
Полупрозрачная пластинка G делит луч света на два луча, из
которых один пробегает четырехугольник, образованный
зеркалами, в направлении вращения, а другой в противоположном
направлении. При воссоединении этих лучей, осуществляемом при
помощи той же пластинки, как и в опыте Майкельсона, возникает ин-
490
терференционная картина, которая фотографируется на пластин*
ку, вращающуюся вместе с прибором. Опираясь на классическое
представление о сложении скоростей, Вычислим время, за которое
свет вернется снова кСпо каждому из двух направлений, подобно
тому как это было сделано для опыта Майкельсона. Если световой
луч проходит по кривой г = г(у) (полюсом системы координат
является центр вращения) и линейный элемент du кривой составляет
в определенный момент угол Ь = arccos — с направлением
ds
скорости переноса fo>, обусловленной вращением, то
относительная скорость света при обходе по направлению, совпадающему с
направлением вращения, составит:
у_ = с — о»г cos & '= с — г2о) —,
ds
а при обходе в противоположном направлении:
v+ = с -4- г2 ш —2- ,
ds
Разйость времён обхода составляет:
ds Г ds
ds ds
Если дополнительные члены малы, то приближенно можно считать:
где / — охватываемая площадь. Смещение полос составляет:
Д2 = 4-^, (19)
где X —длйШ волны ceefa (см. стр. 242). Таким образом,
смещение пропорционально произведению угловой скорости на площадь/.
Эта смещение действительно наблюдается на опыте при самых
разнообразных значениях сои/. В одном т опытов Саныгк
использовал быстро вращающийся дней диаметром около 1 м, а в другом
опыте — гораздо больший путь для света на борту корабля,
причем угловая скорбеть получалась благодаря тому, что корабль
описывал циркуляцию с малмм ргадиуеом. В йоеледующие годы
Майкельсон и Гейл использовали для подобного опыта вращение
Земли^ причем они брали длину светового пути в несколько
километров, для того чтобы компенсировать малое значение ш. Их
установка тех#и<*ески отличается тем, что в ней нельзя определить
нулевое положение полос путем выключений вращения. Поэтому
использовался еще второй путь света, не охватывающий никакой
491
•
площади, так что его интерференционная картина служила в
качестве нулевой отметки для картины, получаемой в основной
установке. Далее, в этом опыте, если он проводится не на полюсе,
вектор угловой скорости направлен не по нормали к плоскости
аппарата, а на величине смещения полос сказывается только
нормальный компонент о). Результаты опыта полностью совпали с
вычислениями. Таким образом, в случае вращающихся систем
представление о покоящемся эфире и в оптике не противоречит
экспериментальным фактам. Но это отнюдь не доказывает существование
эфира, так же как и механические явления—Кориолисовы и
центробежные силы не доказывают существования абсолютного
пространства (см. стр. 262). Опыт Майкельсона и Гейла представляет собой
оптический аналог опыта с маятником Фуко. Он имеет значение
постольку, поскольку он лишает основания все попытки
объяснения отрицательного результата опыта Майкельсона увлечением
эфира. Действительно, трудно представить себе, что при
поступательном движении Земли по орбите происходит полное увлечение
эфира, а при вращении Земли вокруг своей оси оно совершенно
отсутствует. Как уже говорилось на странице 263, упомянутые
механические опыты можно объяснить в рамках общей теории
относительности, т. е. без использования представления о покоящемся
эфире. То же самое относится и к опыту Саньяка.
§ 4. Релятивистски инвариантная запись уравнений
электромагнитного поля
Математическая формулировка теории покоящегося эфира состоит в ис-
д
пользовании формул (1) — (5), причем частные производные ~- для
движущихся тел образуются в соответствии с преобразованием Галилея, т. е.
(как и в гидродинамике) полное изменение некоторой величины и во време-
ди
ни ^равно сумме чисто временного изменения -— в фиксированной точке
ot
и изменения, получаемого при перемещении рассматриваемой точки;
\*gradu. Однако эта теория приводит, как уже упоминалось, в случае
эффектов второго порядка к противоречиям с опытом. Хотя расхождения
между теорией и экспериментом очень малы, теория все же должна их объяснить.
Весьма знаменательно, что уравнения электронной теории, как будет
показано ниже, легко записать в виде уравнений между мировыми векторами.
Таким образом, они инвариантны по отношению к преобразованию Лоренца,
а не к преобразованию Галилея. Можно подумать, что это вещь сама собой
разумеющаяся, потому что преобразование Лоренца было введено так,
чтобы волновое уравнение было инвариантно относительно него. Однако
волновое уравнение является следствием уравнений электромагнитного поля,
а не наоборот (в теории упругости тоже имеется волновое уравнение !).
Далее, свойство инвариантности уравнений электромагнитного поля относителы
но преобразований Лоренца, которое в первом приближении совпадает с
преобразованием Галилея, позволяет заключить, что и в теории покоящегося
эфира нельзя ожидать эффектов первого порядка при совместном движении
всех частей электромагнитной системы.
492
Чтобы упростить запись уравнений (1) — (4), придется ограничиться
слабо магнитными телами, тогда в уравнении (2) можно пренебречь членом
dJ/dt. Далее, ток смещения dP/dt объединим с током проводимости,
4*
т. е. члены — р/ vr- будем считать суммой конвекционного тока не-
с
связанных зарядов и тока, возникающего при смещении связанных зарядов
из положения равновесия. Тогда уравнения (1) — (4) внешне будут выглядеть
д?
так, как если бы в них не было члена — . Однако надо помнить, что в каж-
dt
дом конкретном случае pv, кроме собственно тока проводимости, содержит
еще член, соответствующий смещению зарядов. Тогда уравнения (1) и (3)
в координатной записи примут вид:
+ дН2 дН\) diEx 4тс 7 ч
дНг , дНх diEv 4тс /
-if + -5Г- 1Г" т^'*-*-'-)-
^_Нг_^!_4. (20,
дх ду dl с
+ д1Е к | diEv г diEy л . / ч
17+1Г + ^ = 47ГГ(р+-р-)'
/
где вместо t введено обозначение — .
1С
Уравнения же- (2) и (4) примут вид:
Ар А-п А
ду1Ег~ dzlEy~ dl
д .„ д .„ д
—iEv — — iEz — —
dz * дх z dl
iEz — ~~ iEy — —^ Hx = 0,
—iEx — — iEz — —Яу =0,
(21)
iiE>-~}yiE*-iiH>~»>
д д д
дх ду у dz
—Нх + —Ну + — Нг = 0.
Покажем, что (20) и (21) — это запись в компонентах двух уравнений,
связывающих мировые векторы и Цензоры. Во-первых, посмотрим, как изменяется
плотность заряда р при преобразовании Лоренца. Сам заряд е = рДт, никак не
связанный с состоянием движения, не должен изменяться при преобразовании
Лоренца. С другой стороны, все объемы в результате Лоренцова
сокращения уменьшаются в отношении >/ 1 — р2 : 1. Поэтому плотность р
движущемуся наблюдателю представляется увеличенной в отношении - ~: 1.
Если обозначить плотность заряда, воспринимаемую движущимся вместе
с зарядом наблюдателем, через р0, то
9 ^ т/-1~Г^2 или Р Уb^J2 =хРо (инвариант). (22)
493
Умножим на этот инвариант компоненты 4-х -скорости и, которые равны:
vx Vy vz te
(см. стр. 260). В результате получатся компоненты мирового вектора j,
который называется вектором 4-х-тока, причем положительные заряды дадут
4-х-ток j, , а отрицательные —J_-
Но "компоненты |_, с точностью до множителя 4тс/с, равны правым частям
уравнений (20), потому что при умножении "|/^ 1 — (Ja сокращается.
Следовательно, левые части этих уравнений тоже должны быть компонентами 4-х-век-
тора. Этот 4-х- вектор получается из мирового тензора посредством
операции, не зависящей от выбора системы координат. Подобная операция
применялась для трехмерного случая в теории упругости (стр. 174), но для нее не
было введено особого обозначения. Рассмотрим ее сначала в трехмерном
пространстве для тензора вида:
W = aii + a2j + a3k.
Умножим W на оператор v слева:
v . V =i (v . ax)i + (v • a2)j + (v • a3)k. (23)
Получился вектор с компонентами div at, div аг, div аз. Этот вектор можно
назвать векторной дивергенцией тензора W. Перенесение этой операции на
четырехмерный случай не вызывает никаких трудностей. Тензором
электромагнитного поля F называется мировой тензор с компонентами:
0
-нг
яу
1ЕХ
я*
0
~НХ
iEy
-Ну
нх
0
iEy
-1ЕХ
— iEy
-iEz
0
Ясно, что компоненты мирового вектора в левых частях уравнений (20)
являются как раз компонентами 4-х-вектора дивергенции мирового тензора F.
Таким образом, уравнения (20) можно записать в виде:
4я
(24)
Система же (21), согласно формулам (65) на странице 256, означает, что
антисимметричный мировой тензор F является четырехмерным ротором
мирового вектор-потенциала А:
vX A
(25)
Формулировка законов электродинамики, даваемая формулами (24) и (25),
имеет большое преимущество перед обычными трехмерными векторными
уравнениями: электрическое и магнитное поля объединены в единое целое —
тензор JF, и разложение его на электрические и магнитные компоненты
зависит от состояния движения наблюдателя. Поле, которое покоящемуся
наблюдателю представляется чисто магнитным, для движущегося наблюдателя
может содержать электрическую часть. При этом пересчет сводится к чисто.
494
формальной задаче преобразования компонентов мирового (четырехмерного)
тензора. Например, в опыте В. Вина, описанном на странице 486, мировой
тензор F в системе, в которой аппарат покоится, имеет вид:
О Я О О
-Я 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Но для частиц каналовых лучей, движущихся со скоростью v вдоль оси X,
в силу закона преобразования тензорных компонентов (см. стр. 38), этот
тензор имеет вид:
0 Я cos f 0 0
— Я cos у 0 0 — Я sin <p
0 0 0 0
0 Я sin у 0 0,
потому что
/' ев / cos <р + х sin <р, х' « — / sin <р + * cos Ь tg ? = — *?.
Отсюда видно, что появляется электрический компонент:
и—
— ## с
fEy'-Z/stay-y—-, или£/~у=Г'
который с точностью до величин второго порядка совпадает с компонентом,
получаемым из уравнения (5'). В то же время магнитный компонент, с
точностью до членов второго порядка, не изменяется.
Задача
119. Вывести формулу для коэффициента увлечения Френеля из
релятивистской теоремы сложения скоростей.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
Глава I
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
И ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКЕ
§ 1. Условие отсутствия дисторсии и его связь
с условием синусов
На странице 417 было выведено условие стигматичности
изображения перпендикулярного к оси элемента поверхности в
предположении отсутствия сферической аберрации, т. е. отсутствия
искажения изображения лежащей на оси точки, получаемого при помощи
широкого пучка. При этом мы пренебрегали квадратами линейных
размеров элемента поверхности. Поэтому полученное там условие
синусов гарантирует хорошее качество изображения лишь малого
участка поверхности, например поля зрения микроскопа. Однако
если ослабить требование стигматичности изображения, то можно
получить достаточно хорошее изображение значительно большего
участка. Мы ограничимся рассмотрением другого крайнего
случая — изображения большого поля зрения посредством узких
пучков. Предельным случаем является камера-обскура, в которой не
используется никакая оптика, и каждой точке объекта
соответствует ее изображение посредством очень узкого пучка, причем
резкость изображения определяется малостью отверстия камеры.
Если используется какая-либо оптическая система, то нет
надобности ограничиваться очень узкими пучками, но они должны быть
все же достаточно узки, чтобы можно было пренебречь другими
аберрациями, например описанным на странице 418 астигматизмом
наклонных пучков. Умение добиться малости этих аберраций при
не слишком малом отверстии активных пучков, т. е. достижение
достаточной стигматичности изображения при большом поле
зрения и относительно широких пучках, — вопрос искусства оптика-
конструктора. Мы же просто пренебрежем этими аберрациями.
Пусть пучок действующих лучей ограничен отверстием А В с
центром на оптической оси, которое называется апертурной диафрагмой.
На рисунке 150 она расположена перед системой линзЯ,
обозначенной двумя поверхностями. В этом случае Л В является одновременно
входным зрачком. Если же между, объектом и апертурной
диафрагмой имеются еще линзы, то входной зрачок является изображением
апертурной диафрагмы в этих линзах. Действительно, луч, проходя-
496
щий через край входного зрачка, в дальнейшем пройдет, очевидно,
через край апертурной диафрагмы. Точно так же граница
выходящего пучка определяется изображением апертурной диафрагмы в
системе линз, расположенной за нею (А'В' на рис. 150), потому
что луч, проходящий через край АВ, должен пройти и через край
А'В'. Это изображение апертурной диафрагмы называется выход-
ным зрачком. Лучи, проведенные от точек объекта (или
изображения) к центру О входного (или О' выходного) зрачка, называются
главными лучами. Они являются осями пучков, идущих от точек
Рис. 150. К условию отсутствия дисторсии.
объекта (изображения) к отверстиям входного (выходного)
зрачков. Пусть точки Р\ Q\ R\ ... являются изображениями точек
Р, Q> Rt ..., лежащих на перпендикулярной к оптической оси
прямой. Найдем условие подобия изображения и объекта. Очевидно,
должно быть P'R' : Q'R' = PR : QR. Обозначим через / и Г
расстояния плоскостей объекта и изображения от соответствующих
зрачков. Тогда
tgu\ : tgw'a = tg«x : tg«2,
т. е. условие подобия изображения объекту (условие отсутствия
аберрации, называемой в оптике дисторсией) имеет вид:
Ш± = const.
tg«i'
Сравним это условие с условием синусов, которое можно
записать в аналогичной форме, поскольку остальные величины для
соответствующих плоскостей одинаковы. На первый взгляд эти
условия кажутся несовместимыми. Тем не менее это не так — по
крайней мере в известных границах. Дело в том, что условие
синусов относится к углам, которые составляют с осью лучи, идущие
от лежащей на оси точки R к различным точкам зрачков; эти углы
обозначены на рисунке 150 через v. Следовательно, система S
497
должна быть рассчитана так, чтобы она удовлетворяла условию
синусов для плоскости PQR и условию тангенсов для главных
лучей. При этом в первую очередь должна быть достигнута
достаточно хорошая стигматичность изображения, тогда как с дистор-
сией изображения во многих случаях можно примириться.
Например, если система коррегирована так, что условие синусов
выполняется для изображения зрачков, т. е. для
углов и, то искажение изображения P'Q'R'
объекта PQR будет весьма сильным.
Легко рассчитать, какой вид будет иметь
изображение в плоскости PQR квадратной
сетки, помещенной в плоскости P'Q'R',
если вместо условия тангенсов
выполняется условие синусов. И обратно, если
искаженную сетку поместить в плоскость
PQRy то в плоскости P'Q'R' получится
квадратная сетка. Аббе воспользовался
Рис. 151. Один квадрант этим для создания чувствительного спо-
контрольной фигуры Аб- соба испытания микрообъективов на вы-
бе для проверки выпол- полнение условия синусов. Пробная сетка
нени. условия синусов. помещается в плоскости объекта PQR,
совмещенной с плоскостью входного зрачка А В
микрообъектива, который представляет собой малое отверстие, и
при хорошем выполнении условия синусов в плоскости P'Q'R', для
которой рассчитана пробная сетка, должна быть видна квадратная
сетка. На рисунке 151 изображен один квадрант фигуры,
рассчитанной подобным образом.
§ 2. Фокусное расстояние электронных линз
Параллелизм между геометрической оптикой и механикой
материальной точки позволяет представить траекторию электрона в
электрическом поле как путь светового луча в неоднородной
среде. Этой среде должен быть приписан показатель преломления
/г, пропорциональный скорости электрона [см. ч. II, разд. VII, гл. II,
формулы (15) и (16)1. В рассматриваемом случае коэффициент
пропорциональности не существен. Если скорости электронов
обусловлены только электрическими полями, т. е. если
пренебречь тепловыми начальными скоростями, то п можно положить
равным корню из разности потенциалов V между
рассматриваемой точкой и катодом [см. формулу (4') на стр. 434]. Если
ограничиться слабо наклоненными к оси пучками, то осесимметрич-
ное электрическое поле (рис. 152) соответствует последовательности
сферических поверхностей с центрами на оси, которые мы
исследовали на странице 411 и далее. Единственное отличие от оптики
состоит в том, что показатель преломления меняется здесь
непрерывным образом, тогда как в оптике сферические поверхности обычно
498
являются границами областей с постоянными показателями
преломления, меняющимися скачкообразно от области к области.
Однако переход от одного случая к другому не представляет труда,
если пренебречь расстояниями между сферами; правда, при этом
результат будет лишь грубым приближением к действительности.
Повторно применяя формулу (26) (стр. 414), мы яолучим следующее
выражение для преломляющей силы последовательности из k
слоев, ограниченных
центрированными
сферическими поверхностями:
9 '<=
1
nk+\
S п*ъ'- w
/=1
С другой стороны, из
формулы (21) (стр. 413)
получается величина
преломляющей силы
сферической поверхности радиуса
р, если показатель
преломления испытывает на
ней скачок Дя,;
?* = —£«
(2)
Рис. 152. Электростатическая линза
(тонкими линиями изображены поверхности
равного потенциала.)
Если п изменяется вдоль оси непрерывным образом, то
dn = — dx
dx
, \ С \ dn .
ф' = — \ _ — dx.
n'J p dx
В случае электрического поля n = VV и
-4-оо -f-oo
*'~ — Г -dVVdx- — f
1 ^к
pVV dx
dx.
(3)
(4)
(5)
Пределы интегрирования можно положить равными *—оо и + со,
dV л
потому что в пространстве, где нет поля, — =* 0, так что подын-
dx
тегральное выражение там обращается в нуль. Поэтому V
означает постоянный потенциал на большом расстоянии за линзой.
Радиусы кривизны эквипотенциальных поверхностей можно выразить
через значения потенциала V(x) вдоль оси, воспользовавшись
формулами дифференциальной геометрии и уравнением потенциала
499
В этом — коренное отличие световой оптики от электронной,
затрудняющее изготовление электронных линз. В обычной оптике
радиусы кривизны и показатели преломления можно выбирать
независимо друг от друга и компенсировать за счет этого искажения,
даваемые линзами. В электронной оптике радиусы кривизны
определяются законом изменения показателя преломления вдоль
оси. Результат несколько громоздких вычислений гласит:
*VV J VV dx* bVV J \dx)
И£*
8V>
(мы произвели здесь интегрирование по частям, воспользовавшись
тем, что dV/dx на больших расстояниях обращается в нуль).
Рассматривая рисунок 152, легко понять, что постоянное
пренебрежение расстояниями между сферами приведет к накоплению
значительной ошибки. Но оптический расчет с учетом этого
обстоятельства становится очень сложным. Поэтому расчет траекторий
электронов в электронной оптике приводит к цели, вообще говоря,
быстрее, чем аналогия с геометрической оптикой; с другой стороны,
последняя имеет то преимущество, что здесь можно пользоваться
готовыми формулами. Вычислим теперь фокусное расстояние
вторым способом. Для узких пучков положим приближенно проекцию
скорости электрона на ось равной самой скорости:
$-..*.-V%V. (7)
где V— потенциал в данной точке относительно катода.
Для радиального компонента движения, характеризуемого
изменением расстояния г от оси, можно записать:
dt*
-'i('^)—tB- (8>
где Ег — радиальный компонент электрического поля (мы восполь-
dr dr dx dr \ г> *
зовались тем, что — = — . — = v — . В отсутствие объем-
dt dx dt dt }
ного заряда Ег можно выразить через значения аксиального
компонента Ех на самой оси. Возьмем цилиндр радиуса г и малой
длины /, ось которого совпадает с осью системы. Если внутри
цилиндра нет зарядов, — что в общем случае имеет место, ибо
объемным зарядом электронного тока можно пренебречь, — то
интеграл по его поверхности дает:
2мй£, + /Ч/-^-0, или fi, —_л-т-. (9)
500
Тогда уравнение траектории принимает вид:
VV ± (yv^U—L^. (10)
dx у dx) 4 dx* y }
Отсюда видно, что
1) е/т выпадает, т. е. результаты справедливы для
заряженных частиц любого рода;
2) уравнение однородно относительно V, т. е. пропорциональные
изменения потенциалов всех электродов ничего не меняют
(поэтому электронный микроскоп с электростатическими линзами менее
чувствителен к колебаниям напряжения, чем с
электромагнитными линзами);
3) уравнение однородно относительно г и х. Например, при
уменьшении всех размеров микроскопа в п раз увеличение
остается прежним.
Чтобы проинтегрировать уравнение траектории, преобразуем
его к виду:
УЮ!*+±«!Ш*. + ±*ШГв<). (11)
' dx2 l 2 dx dx ' 4 dx2 v '
Мы имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с зависящими от х коэффициентами, которые определяются
посредством измерения или вычисляются. Это уравнение можно привести
к более простому виду, положив:
г = /?(*)./(У) (12)
и определив /(!/) так, чтобы член с dr/dx выпал. Очевидно,
/(]/) = l/-vs (13)
так что для R(x) получается уравнение
'£*- 3-(^Yr = F(x)R. (14)
dx* 16К2 [dx ) w v ;
Проинтегрировать это уравнение можно лишь методом
последовательных приближений, подобно тому как мы интегрировали
уравнение (36) на странице 103.
Чтобы определить фокусное расстояние, рассмотрим луч,
идущий от некоторой точки объекта параллельно оси на расстоянии а
от нее. Точка пересечения F' этого луча с осью позади линзы
называется задним фокусом .Согласно определению фокусного
расстояния,
—'$),• »ли*'=-7(£), <i5>
(ср. стр. 408). Так как фокус находится уже в области постоянного
потенциала V, то, по формуле (12),
(£),-(£),. ■"""*• (16)
501
Перед линзой расположена область постоянного потенциала Vr
Поэтому
a = /?eViTv*. (17)
Чтобы определить (dR/dx)F, из уравнения (14), в первом
приближении можно взять для R значение, которое R(x) имеет слева от
линзы, т. е. aV0m. Тогда, интегрируя, получим:
(2),-(2).—£-" 14(f)'* <18>
(Так как фокус находится в области, где поле отсутствует, верхний
предел интегрирования можно положить равным оо.) Отсюда
преломляющая сила линзы равна:
^e±v£+f-(-Y*- (19)
т 16 VхЬ J V* \dx J K }
—00
В случае отдельной линзы потенциал с обеих сторон одинаков,
и мы получим лучшую формулу для преломляющей силы
отдельной линзы, выражая dV/dx через Е:
(20)
Аналогичным образом выводится формула для фокусного
расстояния короткой магнитной линзы, поле Н которой обладает
вращательной симметрией:
(21)
Здесь V -=» разность потенциалов, пройденная электронами.
Глава II
ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
§ 1. Пьезоэлектрический эффект
При деформации ионных кристаллов с определенным типом
структуры решетки возникает электрическая поляризация в
объеме, которая проявляется в появлении поверхностного заряда, как
Щ
Рис. 153. К
пьезоэлектрическому
эффекту.
было показано на странице 286. Это явление было названо
пьезоэлектрическим эффектом. Качественно возникновение поляризации
при деформации кристалла можно объяснить следующим образом.
Рассмотрим ячейку кристалла, имеющую форму правильного
тетраэдра, в центре которого находится четырехкратно заряженный
положительный ион, а в вершинах — однократно заряженные
отрицательные ионы (рис.
153). Так как центры
тяжести положительно-.
го и отрицательных
зарядов совпадают,
ячейка в целом не обладает
дипольным моментом.
Если теперь вершина
тетраэдра смещается
вниз, а центральный ион
остается на месте, то в
результате смещения
центра тяжести отрицательных ионов
возникает электрический дипольный момент.
В простых кристаллических решетках, как
у NaCl, поляризация при деформации не
возникает, так как вследствие симметрии
решетки смещения положительных и
отрицательных ионов скомпенсированы. Основной
предпосылкой пьезоэлектрических свойств
является наличие так называемой полярной
оси, обладающей тем свойством, что
перпендикулярная к ней плоскость не является
плоскостью симметрии кристалла. Связь
между деформацией и поляризованностью
линейная, поэтому компоненты вектора
поляризации можно представить в виде:
Рис. 154,
а)—кристалл кварца (л е-
вовращающий) с
естественными
гранями, б) —• пьезо-
пластинка,
вырезанная из
кристалла кварца.
Рх = Til еП + Tl2 *22+ Tl3 *33 + Tl4 *28 + Tl5 4l + Tl6 *12>
Ру = Т21 *Ц + Т22 *22 + Т23 Ч* + Т24 ^23 + Т25 *31 + Т26 *12>
PZ = Т31 *11 + Т32 *22 + T3S *33 + Т34 ^23 + Т35 *81 + Тзб *12-
(1)
Здесь ^—компоненты тензора деформации (см. стр. 171), а
коэффициенты ilk называются пьезоэлектрическими коэффициент
тами*
1 При численных расчетах следует иметь в виду, что в теории
пьезоэлектричества принято считать смешанные компоненты тензора деформации
eik вдвое больше введенных на странице 171 величин, т. е. они представляют
собой просто изменения углов между отрезками, которые были в недеформи-
рованном состоянии параллельны осям, а не половины этих изменений.
БОЗ
Число независимых коэффициентов может уменьшаться в
зависимости от симметрии кристалла. У важнейшего пьезоэлектрического
кристалла — кварца — матрица коэффициентов в специальной
системе координат, согласованной с осями симметрии кристалла
(рис. 154), имеет следующий вид:
Тп — Тп ° Ti4 О О
О 0 0 0 _Tl4 _Tll (2)
О 0 0 0 0 0
Вместо компонентов тензора деформации можно ввести
компоненты тензора напряжений1. Однако для кристалла связь между
этими тензорами гораздо сложнее, чем для изотропного тела, для
которого она может быть описана при помощи двух модулей,
например Е и р-. Симметричная матрица коэффициентов линейного
преобразования, связывающего шесть компонентов тензора
напряжений с шестью компонентами тензора деформации, в общем
случае имеет 21 независимый коэффициент. Если выразить при
помощи этого преобразования eik через Pik, то получаются
соотношения вида:
^х ^ 811 ^11 4~ 812 ^22 813 ^33 Л~ йЫ^23 ~\~ 815 ^31 4~ 81G ^12>
*У ~ 821 "ll ^23 * 33 °25 ^31 + &Л> (3)
*Z ^ 831 *11 "Г" 832 *22 "Т 833 *33 "Т 834 ™23 ~Г 835 °81 "Т 83G °12-
Коэффициенты 8/Л выражаются через *\ik и матричные элементы
преобразования, связывающего eik с Pik; они называются
пьезоэлектрическими модулями.
Обратно, при приложении электрического поля к
пьезоэлектрическому кристаллу вследствие поляризации возникают упругие
напряжения и деформации. Компоненты тензора деформации
линейно выражаются через компоненты вектора напряженности
электрического поля, причем коэффициентами являются
пьезоэлектрические модули 8/Л. В этом можно убедиться, составив
выражение для энергии кристалла в электрическом поле, подобно
тому как было получено выражение (56) на странице 181.
Таким образом,
*п = 8п Ех + 821 Еу + 83i Е2\ е23 = 814 Ех + ЬиЕу 4- §34 Е2\
е22 = 812 Ех + 822 Еу + 832 Ez\ еВ1 «= 816 Ех + о25 Еу + S35 Ez\ (4)
*зз = 8i3 Ех + 82з Еу + 833 Е2\ е12 = 816 Ех + 826 Еу + 836 Ez.
1 Со времени открытия пьезоэлектричества братьями Пьером и Жаком
Кюри (1880 г.) для пьезоэлектрических кристаллов принято считать
положительными давления, направленные внутрь; т. е. величины — Р^ (в
противоположность условию, принятому'на стр. 172). Это следует иметь в виду при
пользовании соотношениями (3).
504
Для взятых с обратным знаком компонентов давления
получаются соотношения, аналогичные (4), в которых коэффициентами при
Et являются ?/*.
В случае кварца
(5)
"ll ""* Til ^х,
Р<ьг == Тп^*'»
Рзз = 0;
еи ^ °п ^*>
е2& == °11 ^-ДГ»
^33 == ^»
р — у F -
*31 == Tl4*V
"12 ^ Тп *V»
^23 == °14 ^лг»
^31 — "U^y*
еп = 2о11£у<
Выбор системы координат, в которой справедливы эти
соотношения, ясен из рисунка 154. Приведем еще численные значения
коэффициентов (знаки соответствуют правовинтовому кварцу):
Тп = 4,77 . 10* ед. СГС,
Тм= 1,23.-10* ед. СГС,
811== 6,36. 10-8ед. СГС,
814 = — 1,69 . 10-8 ед. СГС.
§ 2. Применение пьезоэлектриков для стабилизации
колебательных контуров
Важнейшее применение пьезоэлектриков основано на
использовании резонанса между частотой электрического колебательного
контура и механического собственного колебания среза пьезокри-
сталла в виде бруска или пластины. Мы рассмотрим простейший
случай, когда из среза кристалла в виде пластинки вырезан брусок,
как показано на рисунке 154, а и б. Пусть напряжение приложено
к продольным граням бруска так, что поле направлено вдоль оси
X. При этом брусок растягивается и сжимается в продольном
направлении (вдоль оси Y), и в случае резонанса в нем могут
возникать значительные продольные колебания.
Частота собственных колебаний бруска длины / вычисляется
аналогично колебаниям струны (стр. 187). Собственные колебания
рассматриваются как стоячие волны, возникающие при наложении
волн, бегущих слева направо и справа налево. Согласно формуле,
приведенной на странице 187, скорость распространения
колебаний равна корню из отношения модуля упругости к плотности.
В нашем случае следует взять значение модуля упругости
кристалла вдоль направления бруска. Но граничные условия здесь иные:
концы свободны, и на них амплитуда смещения достигает наиболь-
605
шего значения. (Последнее можно вывести математически из
граничных условий для упругих волн, подобно тому как это делается
для электромагнитных волн; впрочем, непосредственно очевидно,
что на свободных концах, где движению ничто не препятствует,
амплитуда колебаний максимальна — в отличие от закрепленных
концов струны.) Следовательно, основная гармоника должна иметь
на концах пучности, а в середине узел. Тогда, как и в случае
струны, длина бруска определяет длину полуволны, и частота основной
гармоники равна;
*-i~bVT- <6>
Существенно, что в стоячей волне все точки колеблются в
одинаковой фазе. Поэтому брусок можно мысленно заменить
эквивалентной ему системой, состоящей из двух масс на концах (каждая
равна четверти массы бруска), связанных пружиной такой
жесткости, чтобы собственная частота этой системы была равна частоте
основной гармоники бруска. Обе массы колеблются навстречу друг
Другу, так что для каждой половины применимы гораздо более
простые закономерности вынужденного колебания материальной
точки (ср. стр. 99). Если бы колебания бруска не затухали, то в
случае резонанса их амплитуда нарастала бы до бесконечности.
В действительности всегда имеется затухание, правда, небольшое,
обусловленное, во-первых, трением на границе воздух —
поверхность бруска и, во-вторых, внЯ'рснними причинами,
атомистическая природа которых еще недостаточно ясна; возможно, что
при абсолютном нуле у совершенно не имеющей дефектов
кристаллической решетки это внутреннее трение исчезает. Для
дальнейшего особо важным является соотношение между фазами
вынуждающей силы и колебаний бруска или эквивалентных масс, отклонение
которых от положений равновесия мы обозначим через и. Это
соотношение представлено графически на рисунке 49 (стр. 102).
Особенноцтглядное графическое представление получится, если
объединить обе изображенные на рисунке 49 кривые в одну,
построив в полярных координатах график амплитуды а отклонения
и как функции сдвига фаз <р. Для этого исключим величину ш02— а>2
из уравнений (33") и (33г//) (стр. 101), воспользовавшись
соотношением
sin*?- tga* . (7)
Тогда в полярных координатах мы получим следующее уравнение:
a = ^sin?. (8)
рсо
Так как коэффициент затухания р для кварцевых кристаллов
мал, то область частот, в которой амплитуда имеет заметную ве-
506
личину, очень мала, и о> можно в этой области считать постоянной.
Тогда (8) представляет собой уравнение окружности. Колебания
отстают по фазе от возмущающей силы, поэтому, если
условиться считать направление полярной оси соответствующим фазе
вынуждающей силы, окружность должна лежать ниже полярной
оси, как показано на рисунке 155. Эта окружность является
векторной диаграммой периодических величин F и и.
Вынуждающая сила определяется выражением
F^
, v
О)
где V э* V0eM — приложенное электрическое напряжение, Ь —
ширина, с— толщина бруска
(см. рис. 154).
Амплитуда
нансе равна:
при резо-
(10)
Так как затухание
зависит от выбора
электродов, а также и от малых
дефектов кристалла,
коэффициент |3 нельзя назвать
материальной константой.
Напротив, обычно
измеряют ширину резонансной
кривой, чтобы определить
р для данного кристалла.
Поляризованность Р
следует за деформацией и
без запаздывания по фазе,
т. е. на векторной
диаграмме Р совпадает по направ-
\^i
У р
Р
V
Рис, 155. Векторная диаграмма,
изображающая сдвиг фаз между вектором
поляризации и вектором механического
смещения в пьезокрйсталле.
dP
лению с а. Ток смещения равен — = ЫР, т. е. опережает и на
диаграмме на */2. Меняя частоту вынуждающей силы, можно
построить всю резонансную кривую бруска. При малых частотах и
почти совпадает по направлению с V, но вектор тока смещения
направлен вдоль шУ; кристалл ведет себя как емкость — ток
опережает напряжение на тс/2 (см. стр. 322). При приближении к резо*
нансной частоте и значительно возрастает по величине и при
резонансе отстает по фазе от У на тг/2, тогда как ток смещения совпадает
по фазе с напряжением. Мы получили существенный результат:
при резонансе система ведет себя как малое омическое
сопротивление (малое потому, что величина тока смещения становится боль-
507
шой), конденсатор оказывается практически замкнутым накоротко,
т. е. емкость становится бесконечно большой. При частотах выше
резонансной и еще больше отстает по фазе от V, ток смещения тоже
начинает запаздывать относительно напряжения. Система ведет
себя подобно цепи с индуктивностью (или с отрицательной емкостью,
что для резонанса означает то же самое) [см. формулу (23)стр. 323].
В этих рассуждениях мы пренебрегли
обычной малой емкостью кварцевого конденсатора и
током смещения, обусловленным ею, потому что при
резонансе он мал по сравнению с
пьезоэлектрическим током смещения. Пусть теперь кварцевый
пьезокристалл подключен параллельно
переменному конденсатору колебательного контура,
позволяющему настраивать контур на всевозможные
частоты (рис. 156). При отсутствии пьезокристалл а
для увеличения частоты емкость С пришлось бы
непрерывно уменьшать. Это видно из
соотношения
ъ
Рис. 156.
Включение
пьезокварца в
контур для
стабилизации его
частоты.
1
LC
(")
Графиком функции С = Ди>02) является в этом случае обычная
гипербола. Но при приближении к резонансной частоте пьезокри-
сталла к С добавляется емкость кварца, т. е. С приходится
уменьшать сильнее, чем без кварца. При резонансе емкость кварца
становится бесконечной, так что потребовалось бы бесконечная
отрицательная емкость С переменного
конденсатора, чтобы в сумме получалось
значение емкости, соответствующее
частоте о)0. В действительности дело обстоит
несколько иначе, чем в наших
идеализированных рассуждениях, и емкость
кварца достигает лишь конечной, хотя
и очень большой величины.
Дальнейший ход кривой С = /(о)02) при наличии
пьезокристалла можно получить,
рассуждая и далее таким же образом (рис.
157). Итак, стабилизирующее действие
кварцевого кристалла объясняется тем,
что для изменения а>0 вблизи резонанса пьезокристалла требуется
большое изменение С. Другими словами, если происходит небольшое
изменение С, например в результате изменения температуры, то
оно практически вовсе не скажется на собственной частоте
колебательного контура.
Рис.
157. Стабилизация
частоты.
503
Глава III
ЭФФЕКТЫ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА ПРИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ РАЗРЯДЕ
В ВАКУУМЕ И В ГАЗАХ
§ 1. Характеристика диода
Диод (двухэлектродная электронная лампа с подогревным
катодом) имеет вольтамперную характеристику, вид которой
качественно представлен на рисунке 135 (стр. 441). Мы выведем здесь
количественную зависимость между током и напряжением,
предполагая, что катод и анод можно считать плоскостями,
параллельными друг другу, т. е. пренебрегая краевыми эффектами.
Другими словами, мы рассмотрим одномерную задачу (единственную
координату обозначим через х). Далее, мы пренебрежем начальными
скоростями электронов. В этом случае отличный от нуля ток будет
наблюдаться лишь при положительной разности потенциалов
между анодом и катодом, тогда как в действительности некоторый,
хотя и небольшой, ток течет даже при малой отрицательной
разности потенциалов. Вычислим распределение потенциала между
пластинами при сделанных нами предположениях; оно уже не будет
линейным, так как искажается объемным зарядом. Выпишем
сначала исходные уравнения.
Скорость электронов в точке с потенциалом V относительно
катода определяется уравнением
— mv2 = eV. (1)
2 v '
В силу приведенных на странице 425 соображений
геометрического характера, плотность тока имеет вид1:
/ = ру. (2)
Объемный заряд и потенциал связаны друг с другом уравнением
Пуассона2:
ДУ = 4тср (3)
(см. стр. 272). Плотность тока / постоянна во всем пространстве
между электродами, так как она не зависит от координат у я г,
а сила тока в цепи всюду одинакова. Исключая риг; при помощи
уравнений (1) и (2), получим следующее уравнение для потенциала:
1 В виде исключения будем считать здесь положительным
направлением тока направление движения отрицательных электронов.
2 Правая часть взята со знаком плюс, так как заряд электрона
отрицательный.
509
Это уравнение легко интегрируется, если обе части его
умножить на —. Считая потенциал катода равным нулю, получим:
Поскольку мы пренебрегли начальными скоростями электронов,
то при |— \ < 0 тока не будет, потому что все электроны
заворачиваются полем обратно к катоду. Наоборот, при ( —) >0
\dxl о
все выходящие из катода электроны достигнут анода (ток
насыщения). Поэтому в интересующей нас области токов следует положить
( —) S* 0. (Это условие сильно упрощает вычисления, в действн*
\dxjb
тельности вследствие наличия начальной скорости у электронов
низшая точка потенциала лежит не у самого катода, но это не
изменяет существенно результата.) Приняв это условие
относительно поля у катода, мы получим:
f-lOCJ.fW. (6)
Это уравнение интегрируется методом разделения переменных:
f~-r
~ .х9 или V~tf*. (7)
Постоянная интегрирования равна нулю, потому что мы
положили потенциал катода равным нулю. Мы получили распределение
потенциала между электродами при наличии объемного заряда.
Отсюда зависимость плотности тока от напряжения Va на аноде
имеет следующий вид: __
где а — расстояние между электродами.
Этот «закон степени 3/2», разумеется, справедлив лишь при
достаточно малых токах. Когда достигается ток насыщения, /
становится постоянным, потому что поле отсасывает все электроны,
испускаемые из катода. Благодаря наличию начальных скоростей
у электронов кривая / — V^ плавно, без излома переходит в
горизонтальную прямую, соответствующую току насыщения, как
изображено на рисунке 135 (стр. 441).
§ 2. Колебания плазмы
Под плазмой понимают сильно ионизованную газовую среду,
характеризующуюся почти полным равенством концентраций
положительных и отрицательных заряженных частиц, т. е. объемный
510
заряд плазмы в среднем равен нулю. Такова, например, плазма
положительного столба тлеющего разряда; линейный рост
потенциала вдоль него (см. рис. 137 на стр. 445) показывает, что в нем нет
объемных зарядов. Таким образом, плазма представляет собой смесь
электронов, ионов и атомов в нормальном и возбужденном
состояниях. Мы покажем сейчас (для одномерного случая), что в плазме
могут возникать высокочастотные колебания. Пусть в отсутствие
колебаний в плазме имеется п0 электронов в I смд и напряженность
электрического поля составляет Е0, а в возмущенной плазме
плотность электронов составляет п электронов в 1 смъ и напряженность
паля Е. Так как ток практически целиком обусловлен движением
электронов (см. стр. 446), то мы рассмотрим только этот вид тока.
Имеют место следующие соотношения:
1. Уравнение движения электронов:
«£—«*. о)
2. Уравнение, определяющее объемный заряд:
^ = -4*е(я-я0). (2)
ОХ
3. Уравнение непрерьюности для потока электронов такое же,
как в гидродинамике (см. стр. 200):
д(пу) __ дп /Q4
4. Первое уравнение электромагнитного поля, которое мы
запишем в таком же виде, как на странице 483:
(с rot % = 4тгУ = ~ — 4теда. (4)
Здесь J означает сумму тока смещения и конвекционного тока.
Уравнение (3) содержится в (4). Действительно, из (4) следует, что
dt дх дх
потому что дивергенция вектора J — с rot H тождественно равна
нулю. С другой стороны, дифференцируя уравнение (2) по t, имеем:
дх dt " dt
Приравнивая оба выражения, мы получим вновь уравнение
непрерывности. Легко видеть, что скорость электронов подчиняется
дифференциальному уравнению колебаний. В самом деле, умножая
уравнение (2) на v и прибавляя к нему уравнение (4), получим:
f + °f =f -*<' + *" V- (5)
511
(Чтобы уяснить смысл первого равенства, надо вспомнить значение
символов d/dt и d/dt как локальной и субстанциональной
производных — см. сноску к стр. 199.) При помощи (1) мы получаем
отсюда уравнение
d2v , 4ке2п0 4neJ /c.
dt2 { т т ;
Полный ток J постоянен не только в пространстве, но и во
времени. В самом деле, добавочное поле Е — Е0 создается только
зарядами; переменные магнитные поля в его создании не участвуют.
Поэтому rot Е = 0. Но из уравнений Максвелла следует, что
rot rot E =5 — — —, так что при rot Е = 0 должно быть и — = О,
с3 dt F dt
Частное решение уравнения (6), которое имеет вид
» = -. (7)
представляет среднюю скорость потока электронов, на которую
накладываются колебания электронов, описываемые общим
решением соответствующего однородного уравнения:
v = A sin (ш/ —а), где ш = 2е ]/~?. (8)
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
)1 (стр. 12). А + В + С^О.
2 (стр. 12). а) В = аА; б) С === аА + рВ (аир- скаляры).
3 (стр. 1б). Равенство представляет теорему косинусов из
тригонометрии; положительный знак члена 2ABcos (А, В)
объясняется тем, что здесь угол (А, В) — внешний угол треугольника.
4 (стр. 15). При А2 = В2 (А + В).(А — В) = 0, т. е. векторы
А + В и А — В взаимно перпендикулярны. Но эти векторы
образуют диагонали параллелограмма, построенного на векторах А и
В. Таким образом, мы получаем теорему: диагонали ромба
взаимно перпендикулярны.
.5 (стр. 15). cos ft = sx • s2 == cos axcos a2 + cos^cos^ + cos^coS^.
6 (стр. 18). Спроектируем векторы В, С и В + С на плоскость,
перпендикулярную к вектору А. В этой плоскости лежат
векторные произведения А X В и др., которые получаются из
построенных проекций поворотом на тс/2 и умножением на [А|, потому что
абсолютные величины проекций равны [ В {sin (А, В) и т. д.
Проекция суммы векторов равйа сумме проекций, а при повороте и
512
умножении на число а параллелограмм проекций переходит в
подобный ему параллелограмм. Этим доказано утверждение
теоремы, выражаемой равенством (16).
7 (стр. 18). A2B2sm4 + А2В2со$Ч = А2В2.
8 (стр. 18). а) Проекция проведенного к произвольной точке
плоскости радиуса-вектора г на нормаль п к этой плоскости
должна быть равна р. Поэтому уравнение плоскости имеет вид:
г • п = р,
или в координатах:
х cos а + у cos р + г cos т — р = 0.
б) Ро = (г0—г) • п = г0 . п — р.
в) Векторы (г — гх), (г2 — гх) и (г3 — тх) должны быть
компланарными, т. е. построенный на них параллелепипед должен иметь
нулевой объем, или их смешанное произведение равно 0. Таким
образом, искомое уравнение плоскости имеет вид:
(г — гх) . [ (г2 — гх) X (г, — тх) ] = 0;
или в координатах:
\х — хх у —ух г — zx
х2 хх у% ух z2 zx
j %з ^i Уз У\ ^з %i
9 (стр. 20). Положив А X В = Е, применим формулу (24):
Е X (СХ D) - С(Е. D) —D(E.C)-C[(AXB).D] —D[(A ХВ).С].
Этот вектор лежит, очевидно, в плоскости векторов С и D. Положив
теперь С X D = F, получим
(А X B)XF-B(A . F) —А(В . F) = B[A>(CXD)] — A[B.(C X D)],
т. е. вектор, лежащий в плоскости векторов А и В. Следовательно,
векторное произведение (А X В) X (С X D) направлено вдоль
прямой, по которой пересекается плоскость векторов А и В с
плоскостью векторов С и D. Впрочем, в этом легко убедиться и чисто
геометрически.
10 (стр. 23). Когда А имеет постоянное направление.
11 (стр. 23). Поскольку для любой замкнутой поверхности
di = 0, интеграл по кривой поверхности равен по величине и
противоположен по знаку интегралу по плоской площадке,
ограниченной кривой. Этот последний интеграл представляет собой
вектор, направленный по нормали к плоскости, т. е. он совпадает
по направлению с бинормалью к плоской кривой.
12 (стр. 26). Поверхности уровня функции r(x\ y> z) — сферы,
поэтому градиент имеет-радиальное направление. При смещении
на их вдоль радиуса функция г(х, //, z) получает приращение dr =
= 0.
§
513
« d\r\, так что абсолютная величина градиента равна единице.
Следовательно, grad r — единичный вектор, совпадающий по
направлению с радиусом-вектором- г. Этот единичный вектор
обозначается в книге г0.
13 (стр. 26). grad/ = 1'gradr - ^г0 = Л^г.
dr dr u r dr
14 (стр. 29). Выберем элемент объема в виде части
сферического слоя, заключенного между сферами с радиусами г и г + dr9
вырезаемой телесным углом rfS. Радиус-вектор г перпендикулярен
к обеим сферическим поверхностям, так что интеграл по
поверхности равен:
фг . dt = dQ (r + drf — dQr3 = 3d2r2dr.
Объем нашего элемента составляет dx = dQr2dr. Предел отношения
интеграла к объему дает величину дивергенции: div г = 3.
Непосредственно по формуле тот же результат получается сразу:
дх J ду * дг
15 (стр. 29). Увеличение массы жидкости, находящейся
внутри произвольного мысленно выделенного в жидкости объема V,
означает изменение плотности жидкости и в единицу времени
составляет I -£ dx. Сохранение массы требует, чтобы такая же мас-
,jdt
v
са жидкости поступала в единицу времени внутрь объема V через
его поверхность F, т. е. уравнение баланса массы для объема V
имеет вид:
js*—$"■*
V F
(знак минус означает, что поток массы через поверхность
направлен внутрь ее). Интеграл по замкнутой поверхности
преобразуется в интеграл по объему при помощи теоремы Гаусса —*
Остроградского, так что уравнение примет вид:
I -JL dx = — ( div pv dz.
Ввиду произвольности объема V отсюда получается искомое
дифференциальное уравнение:
5+divpv-0,
Gt
называемое уравнением непрерывности. Если жидкость не
сжимаемая (р = const), то dp/dt = 0, и уравнение непрерывности
принимает вид:
div v = 0.
514
16 (стр. 34). Проведем из начала координат О
радиусы-векторы к точкам произвольного замкнутого контура. При переходе
от некоторого радиуса-вектора к соседнему йт = ds. Поэтому
(hrds == mdl — ]=0, откуда следует, что и rot г=**0. Тот же ответ
получается и по формуле (52), потому что ^ = 0 и т. д.
17 (стр. 42). (t.y)t = ~, (tv)b = -*n.
Р
18 (стр. 42). Согласно условию, если х, у, z — координаты
некоторой точки на главной оси тензорного эллипсоида, то
«11* + «12 У + «13 * *" X<*V
«21* + «22# + «2з*авХ#> (!)
«з 1 * + «за У + «аз z =■ х г •
Эта система линейных однородных по х, у, z уравнений имеет
решения лишь в том случае, если
(ап — X) ап а13 I
«21 («22—Х) «23 «0. (2)
«31 «32 («33 —1)\ V-
Уравнение (2) называется вековым, или секулярным, уравнением.
Это — уравнение 3-й степени по X. Если один из его корней
подставлен в систему (1), то из уравнений этой системы определяются
отношения у/х и г/х, т.е. определяется направление одной из
главных осей.
Если координатные оси совпадают с главными осями, то корни
X уравнения (2) определяют отношения [Ф.г|: \г\ для векторов
г, направленных вдоль главных осей. Так как эти отношения не
зависят от выбора системы координат, то и йюэффйцйекты секуляр*
ного уравнения не должны от наго зависеть. Б системе главных
осей остаются лишь диагональные элементы тензора, которые мы
обозначили а{, ап, аш. Отсюда следует, что выражения
«11 + «22+«3$ = «1+«1!+«Ш'
«11 «22 + «22#33 + «33 «11 — { «?2 + «23 + Ul) *"
= а\ aii+*ii*iii + й1па1 »
«11 «22 «33 + «1* «23 «31 + «13 «82 «*1 ~
— («11 «23 + йП #13 + «33 «У *= °* «" аП1
инвариантны относительно выбора системы координат. Эти
тензорные инварианты используются на странице 181.
515
18а (стр. 51). Утверждение 1) уже доказано в задаче 18 для
трехмерного случая. Покажем, что оно справедливо и в ^-мерном
случае. Вместо лг, у, г мы обозначим координаты через xv xv x3, ...,
хп. Тогда система уравнений (1) в решении задачи (18) после
подстановки корня ^(Л) соответствующего секулярного уравнения
примет вид:
Ц%4") = ^Л,*Г (' = 1.2, ... ,п), (1а)
k
а для другого корня 1{1)
Serf = ^l)x{il) е-*^. • .-.*)• (2а)
k
Умножим каждое уравнение системы (1а) на соответствующее х^1К
а каждое уравнение системы (2а) на *(Л>, сложим все уравнения в
каждой системе и вычтем вторую сумму из первой:
S 2х? а» хТ - S S ХТ а« *?' - <x<ft) -X<0)S *<Л) *i° • (3>
i k ik i
По условию, матрица А — симметричная, т. е. alk *= аы, поэтому
двойные суммы в левой части равны друг другу и разность слева
равна 0. Сумма в правой части представляет собой обобщение
понятия скалярного произведения на случай п измерений.. Таким
образом, если «собственные» векторы с компонентами *<А) их^
принадлежат различным корням секулярного уравнения (Х(Л)=^=Х(/)),
то их скалярное произведение равно 0, т. е. эти векторы
перпендикулярны друг другу. Поскольку уравнения однородные, они
определяют лишь отношения компонетов х(н), т. е. направления
векторов, абсолютные величины которых можно выбрать произвольно,
например положить их равными 1 («нормировка на единицу»).
Тогда величины #<Л) представляют собой направляющие косинусы
собственных векторов матрипы А относительно осей
первоначально выбранной системы координат. (В трехмерном случае
собственные векторы определяют направления главных осей поверхности
второго порядка, которой соответствует матрица А.) Поэтому из
п2 компонентов лг<Л) п собственных векторов можно составить
матрицу S, расположив компоненты, принадлежащие собственному
значению Х(Л), в один столбец; обратная к ней матрица 5""]получается
транспонированием: S"1 = S. Пусть х\ — компоненты
некоторого вектора г в системе координат, определяемой собственными
векторами матрицы А; тогда компоненты его в произвольной
системе координат получаются по матричной формуле
г = Sr*
516
(см. стр. 38, где это преобразование представлено в развернутом
виде). Применим теперь к вектору г матрицу А:
г' = Ат = ASr*
(матричная запись справедлива в любой системе координат).
Чтобы получить отсюда компоненты преобразованного вектора г' в
собственной системе матрицы Л, согласно сказанному на странице
38, надо выполнить преобразование
r/*=S-,r,=S-1ASr*.
Производя необходимые выкладки, легко убедиться, что S~~^4S —
диагональная матрица, у которой по диагонали стоят X*1', Х<2>, ...
Впрочем, этот результат очевиден, так как в системе собственных
векторов матрицы А компоненты преобразованного вектора г'*
имеют вид:
*!* = х(1\ £=№,
vl 'ч > ~2
19 (стр. 44). а) Согласно формуле (59),
(р udi = J gradadi.
В нашем случае и = i . r, grad (i . г) = i, поэтому
ф (I • г) dt = J i dx = i V,
где У — объем, ограниченный замкнутой поверхностью
интегрирования. __^
б) Искомый интеграл (вектор) обозначим через v. Определим
сначала проекцию вектора v на ось i, для чего умножим скалярно
v на i:
i. v = <j> (i • r) (i . di) = i . <J> (i . r) dt = i2V=V.
Разобьем теперь объем на цилиндрические элементы с осями,
параллельными вектору i. На боковой поверхности цилиндров
I . dt = 0; верхнее и нижнее основания каждого цилиндра вместе
дают в подынтегральном выражении r(i • di) вектор, параллельный
вектору I. Поэтому и весь интеграл представляет собой вектор,
параллельный оси i: v = iV.
20
(стр. 44). А—= divgrad — = div I—^ j == + ~ -grad r —
1 г 1
div г. Так как grad r = —, div r=3, то A — = 0.
r3 r r
21 (стр. 44). Решение см. на стр. 274.
22 (стр. 46). В цилиндрических координатах:.
(grad^ = f, (grad ф)„ = |t, (grad*), = -1 |t ;
ог ар р of
J- A SA* , l д / А ч , l M9
divA-ljr+T-3?(p^)+1-^;
17 г. иоо 517
1 д . . i алр
(rotA)p ---^--Jl,
(rotA),--^.—ji;
т аг* ' a?* ' p 3p ' p2 a?2'
В сферических ксюрдинатах;
ferad ft - f, (grad «, = i-1, (grad ■», = -L-% jt ;
1 Г д дА%1
(rotA)*=-4-i-aA_^Mf)l,
(rot A), =J-^(M,)_^];
T dr* l r dr l r2 a^2 l г* б дЪ [ r* sin* & dy*
23 (стр. 59). В вещественном представлении / (t) = —,
&л = — \ 1 . cosпш*<# = <), сл —— ( sinnutdt,
т. е. для нечетных п
<* Г ~ Л2**0 2
сл «= cos п а> М =
ТТЛ О) L Ju/co ЛЯ
и для четных п с„ = 0.
24 (стр. 59). Согласно формуле (25), коэффициент разложения
для интервала (s, s + ds) равен
оо
~2я /$* .
I
As= \ e-'xcosvxe~*lsxdx
518
(переменная интегрирования обозначена здесь через х).
Вычисление этого интеграла дает:
4 = -L f е~*х в1<йХ-2*ш dx + — \ ё-*х е~ых-™ьхdx
J- JL
2 . 2
а — i (со — 2ns) » а + i (ш + 2rcs)
В большинстве встречающихся на практике случаев а <£ о,
поэтому в окрестности а>, где As заметно отличается от нуля, первое
слагаемое имеет гораздо большую величину. Для А_ получается
комплексно сопряженное выражение. Амплитуда гармонического
колебания частоты s получается путем сложения обоих
комплексно сопряженных членов разложения в интеграле Фурье и перехода
к вещественному представлению; она равна абсолютной величине
As (илиЛ__). Если пренебречь ^вторым слагаемым, то квадрат
амплитуды (определяющий, например, интенсивность света) равен:
* а2 + 4и2 (v — s)2
Таким образом, при v=s:
г I т * г
«W ^ — и Jm ~ ~7Г •'шах ПРИ
V-S>/2=iT
25 (стр. 65). Получаются все промежуточные фигуры между
восьмеркой (соответствующей 8 = 0) и дугой параболы (8 = —
26 (стр. 67). В случае цилиндрической волны уравнение имеет
вид:
ф2"* р dp с2 dt*'
т. е. не зависит от азимута <р. Полагая и = v(p)ela)t, получим:
d2v , 1 dv , со2
j j y = 0.
dp2 p dp c2
Замена переменной а; = рш/с приводит к уравнению Бесселя
нулевого порядка:
d2v , 1 dv , n
J ^ я = 0.
dx2 * * d* j
Это уравнение имеет два независимых решения: цилиндрическую
функцию первого рода (функцию Бесселя) J0(x) = J0{pa>/c)f
конечную при х = 0, и цилиндрическую функцию второго рода
Л'оМ (Функцию Неймана), имеющую при х = 0 логарифмическую
особенность. Общее решение можно представить в виде суммы этих
17* 519
решений, умноженных на произвольные постоянные. Таблицы
цилиндрических функций см.: Я н к е и Э м д е, Таблицы функций
с формулами и кривыми, изд. 3, М., 1959. Более подробно о
свойствах цилиндрических функций-сказано в Приложении к ч. II.
27 (стр. 71). Полагая— =fcn интегрируя дифференциальное
уравнение (54), получим дисперсионную формулу:
v =
у k V ^ — С2 '
28 (стр. 75). Решение см. на стр. 207, формула (32) и далее.
29 (стр. 79).
dz
J 1 + ecos? J , , e tA9 t ,Л i J
^ + ?""+<-*) ' H-., + f('+T) .
о
dz
-if
Для s < 1 знаменатель подынтегрального выражения обращается
в нуль при
г'~-7+/?-' " *--T-W
1.
Точка zx лежит внутри контура интегрирования. Разложим
знаменатель на элементарные дроби:
! =—1— (-J L_\
- —. (2—ZxXZ —22) *!— Z2 \Z — ZX Z—Z2J
Коэффициент при (г —* Zj)-1 (вычет подынтегральной функции в
точке гг) равен:
2 I/ 4--1
По теореме о вычете получаем:
2*
J 1 + s cos cp ~ d.2l/"T~[" ""fT^#
30 (стр. 82). По условию, F = F(y, yr). Выполняя
дифференцирование по л: в уравнении Эйлера — Лагранжа, получим:
аз F г , д* F „ dF п
У + т^У — — ==0-
д*/' ду ду'1 ду
520
ар
Умножим это уравнение на у\ прибавим и вычтем выражение */" —->
в результате получим:
dx V ду' }
откуда и следует доказываемое утверждение.
31 (стр. 87). Из уравнения движения
d2r A . ,
т — =5 A sin &t
di*
следует, что
dv A . • ^
— =- cos Ы -f- С.
Пусть при t = О
,0, т. е. С = v<H
Повторное интегрирование дает:
(£).=Ve
= — —Sin orf + (V0 + — ) f + l
mw2 \ ты)
Обратите внимание, что и при v0 = 0 на колебания накладывается
равномерное поступательное движение. ---
32 (стр. 87). Если к — единичный вектор, направленный по
вертикали вверх, то сила имеет вид F = — mgk и уравнение
движения гласит:
d% г
Так как масса сокращается, движение не зависит от массы.
Однократное интегрирование дает уравнение годографа:
Следовательно, годограф —* вертикальная прямая. Повторное
интегрирование при начальном условии г = 0, когда t = 0, дает
следующее уравнение траектории:
Таким образом, траектория —* плоская кривая, и плоскость ее
определяется векторами к и v0. Выберем ее в качестве плоскости
XZ и обозначим через а угол между начальной скоростью v0 и
осью X. Тогда
х = tvQ cos a,
z = /y0sina — /2,
521
Исключая t% получим уравнение траектории (параболы):
z =s х tg а — 71—
9« COS4а
О
г = О при л: = 0 и при # = s, где s — горизонтальная дальность
броска, которая определяется из условия
sg v2
{§ а = 2Уо2СО^а • 0ТКУДа S = —Sitl 2a'
Таким образом, при а = ~ дальность броска наибольшая, и при
бросании тела под углом а = —(- (5 она такая же, как при
бросании под углом а = —— р.
33 (стр. 89). Движение передается монете благодаря силе
трения, которая у твердых тел практически не зависит от их
относительной скорости и пропорциональна давлению; в данном случае
она равна pmg, где р — коэффициент пропорциональности.
Выберем ось X в направлении движения и начало отсчета — на краю
стакана. Пусть край карты в исходном положении совпадает с
краем стакана, а монета лежит в центре. Движение монеты описы-
вается формулой х = а + pg— , где а — радиус стакана. Если
v — скорость карты, то ее край переместится к другому краю
стакана за т = 2a/v сек. Если монета падает в стакан, это значит,
что за время т она проходит расстояние, меньшее радиуса
стакана, т. е.
г 2v2
Это соотношение дает ответ на поставленный вопрос.
34 (стр. 89). Механическая работа не производится, поэтому
ощущение усталости должно иметь другие причины. Можно
провести аналогию с электромагнитом, удерживающим груз. В этом
случае механическая работа тоже не производится, а энергия
электрического тока переходит в теплоту. Затрата энергии не связана
с удержанием груза: если бы обмотка электромагнита не имела
сопротивления, то энергия электрического тока не рассеивалась
бы, хотя электромагнит удерживал бы тот же~груз.
35 (стр. 91). U = -| , потому что grad U = +krr0 = kr.
36 (стр. 92). Неподвижную ось будем считать осью Z, тогда
522
Умножая это равенство векторно на г, получим:
Х[лгхк = тгх^.
di*
Чтобы получить проекцию на плоскость, перпендикулярную к
оси Z, умножим предыдущее равенство скалярно на к; это дает:
0=[г х 51 •откуда [г х % -const*
что и требуется доказать.
37 (стр. 92). В уравнениях (9) (стр. 85) перейдем
отдифференцирования по t к дифференцированию по <р, согласно правилу:
d _ ' d _ 2с d
It ~~ d? "" r2 d? "
Простое вычисление приводит к выражению
В частности, если уравнение траектории имеет вид:
г, Е-
1—£ COSf
(коническое сечение), то
1
г г*
38 (стр. 97). В положении равновесия силы сравниваются:
Р _ а
*
ю'
*?*
(о
о о
При смещении на отрезок s в первом приближении
'i-if + Sr-.
0 (2)
*0
так что полная сила, действующая на материальную точку массы
/я, равна:
Поэтому частота равна:
V *>
ш = , / _п_ . (4)
' т
523
39 (стр. 102). Максимум квадрата амплитуды — это максимум
функции
Он достигается при
т2(с^ — со2)2 + Р2
2 2 Ра
<о<* = о)Л —
0 2т2
Кинетическая энергия достигает максимума в точке нулевого
отклонения; TJ
функции
нения; так как она пропорциональна х2, надо искать максимум
т2(ш2 -ш2)а + Р2
о
Этот максимум достигается при ы ~ ы0. Обратите внимание, что
колебательная система с затуханием — не консервативная (трение
приводит к рассеиванию энергии), так что потенциальная энергия
в точках поворота, которая пропорциональна квадрату
амплитуды, не равна кинетической энергии в точке нулевого отклонения.
Среднее значение энергии равно:
£ = fa«( «J+«»•).
Эта величина имеет максимум при
2 2 Р2
0 4т2
(мы пренебрегли здесь малыми членами), т. е. приблизительно при
собственной частоте затухающего колебания.
40 (стр. 105). При добавлении квадратичного члена к упругой
силе — kx колебания становятся несимметричными, потому что
добавленный член не меняет знака при замене х на —х, так что
в двух симметричных относительно нуля точках сила имеет
различную величину. Уравнение движения имеет вид:
т — + kx -4- в*2 = FQ cos ш/, (1)
В первом приближении решение ищется в виде:
х0 = a cos Ы + Ь. (2)
Постоянная 6 учитывает асимметрию решения. Подставляя (2) в
(1), определим а и Ь так, чтобы постоянный член и основное
колебание удовлетворяли уравнению (1).
Поскольку cos2a>/ = — (1 + cos2o)/), это дает два уравнения:
Ь2+ — & + — а2 = 0, (3)
524
ало2_ 0)2)_2s-^+^=0. (4)
4 и ' mm
Если е мало, то Ь2 ^ 0 и из уравнения (3) получаем:
*--£. п
(Второе решение содержит е в знаменателе, и поэтому мы его не
рассматриваем, так как нас интересуют лишь малые поправочные
члены.) Подставляя (5) в уравнение (4), получим кубическое
уравнение:
£*+(„*_ ej)e+£i. о. (6)
вполне аналогичное полученному в тексте для случая симметричных
колебаний. Это уравнение решается графически и при определенных
условиях тоже имеет три вещественных корня. Таким образом, и
в этом случае имеется явление срыва.
41 (стр. ПО). Обозначим высоту точки поворота над самой
низкой точкой траектории через z0. Тогда из закона сохранения
энергии следует:
или:
djrVTgVT^T. / (V)
Мы будем искать s как функцию от г: s = / (г), — = /' (г) —.
Тогда уравнение (Г) примет вид:
dt dt
dt = -Д=- /l^L dz. (2)
Проинтегрируем его от z = 0 до г = z0. При этом интеграл от
левой части равен т/4, так что
JL- > fj^£L. (3)
о
Интеграл в правой части не должен зависеть от г0. Между тем
параметр г0 входит в (3) как в подынтегральное выражение, так и в
качестве верхнего предела интегрирования. Положим
2 = угй. (4)
Тогда
i _ 1
х 1 Г Vzpf'^dy = _Д^ (* Vyzaf'(yza)dy ,g
J V\-y Vis) Vd~~y)y * -
4 Y^g
0 6
525
Независимость от г0 будет достигнута, если
VyzQ Г (yz0) = Vlff (z) = const = а. (6)
При этом условии интегрирование дает:
/(*) = s = 2aKF. (7)
Легко показать, что это уравнение циклоиды. Из условия (6)
следует;
ds a '
или:
г = а2 sin2? = — (1 — cos 2?), (9)
а также
ax = cos yd$ = 1- = 1 1- a<p, (Ю)
sin ^ sin<p
или:
x=|.(2? + sin29). (11)
Уравнения (9) и (11) дают известное параметрическое
представление циклоиды.
42 (стр. НО) Обозначим через т) коэффициент трения. Тогда для
плоской мостовой
„2
а для вертикальной стены
Исключая т], находим:
vi
rl *
°22
mg = n — m.
f/ы,
Ответ: 45 км/час.
43 (стр. 113). Поскольку центр инерции движущихся точек
остается в покое, его удобно выбрать в качестве начала координат;
будем считать координату х2 точки т2 положительной, а координату
хх точки тх — отрицательной. Тогда условие задачи можно
записать в виде:
тххг + т2х2 = 0 (1)
и
х2 — хг = а +*, (2)
Уравнение движения массы т2 имеет вид:
Щ-^- + к(х% — х1 — а) = 0. (3)
а*8
526
Исключим хг при помощи уравнения (1):
Введем «приведенную» массу р, положив:
i-JL + ±. (5)
Тогда уравнение (4) принимает обычный вид уравнения колебаний:
d2x2 i k ka
dt* l p * m2
(6)
с постоянным членом, определяющим положение равновесия
точки т2. В самом деле, частное решение уравнения (6) имеет вид:
40>"-^Ь_—5SL_et (7)
П%2 till -{- /722
а общее решение:
Ar2=40)+^sinM —8), 0)0=1/-. (8)
Итак, выражение для собственной частоты в нашем случае
получилось такое же, как и у простейшего осциллятора, только массу т
осциллятора пришлось заменить «приведенной» массой [х.
43а (стр. 113). Если на ракету не действуют никакие внешние
силы (в том числе и гравитация), то количество движения ракеты
в момент t равно векторной сумме количеств движения ракеты в
момент t -f dt и выброшенного за интервал времени dt топлива.
Пусть т и v — масса и скорость ракеты в момент t, масса
выброшенных ракетой за время dt газов равна dm, а скорость их в
неподвижной системе отсчета равна и. Тогда
mw = (m — dm) (v + dy) -\-dm-u$
или, если пренебречь произведением d/n.dv,
mdx -J- (u — v)dm = 0.
Ho u — v — это скорость истечения газов с по отношению к
ракете, и направление этого вектора противоположно направлению
вектора rfv. Поэтому в проекции на направление движения ракеты
это уравнение выглядит так:
mdv — cdm = 0
Однако здесь dm — убыль, а не приращение массы ракеты. Если
понимать под dm, как обычно, приращение т, то уравнение
следует переписать в таком виде:
Am
mdv-^cdm — Q, или dv = — с —.
527
Пусть в начальный момент времени v = v0 и т = т0. Тогда
интегралом этого уравнения является соотношение, впервые
полученное Циолковским:
- vQ = с In
m0
436 (стр. ИЗ). При vQ = 0, с; = 8000 ж/се/с,с = 2000 ж/с^/с
формула Циолковского дает: mjm = е4. Поэтому на долю топлива
должно приходиться
что составляет — 98,2% стартовой массы ракеты.
44 (стр. 117). Энергия вращения вокруг оси имеет вид
— 2jmfi>2d), где dl — расстояние i-й точки от оси. Поэтому надо
сначала вычислить выражение / = ^т^ (момент инерции) для
шара. В сферических координатах d — rsinft и
г % 2тс
/=:р f Г Г г4 sin3 'd drd Od«p =
5.3
0 0 0
Таким образом, энергия вращательного движения равна
(1)
(2)
Далее, кинетическая энергия поступательного движения
составляет:
Т„ = ±м№)\ ' (3)
п 2 \dt)
В случае качения без скольжения ds и dtp связаны соотношением
ds — rdf. (4)
Закон сохранения энергии дает:
r-(lAf + ±A*)(*)'-Af*.sin«,
откуда
/ds\a _ 10
Ui 7
gs-sina
(5)
(6)
10
В случае скольжения без трения и без качения множитель — надо
заменить множителем 2.
528
45 (стр. 117). Обозначим скорости до столкновения через и, а
после столкновения — через и. В случае вполне упругого удара
закон сохранения количества движения и закон сохранения
энергии дают два уравнения, достаточные для определения vi и w.
т^ + т2и2 = m1vx + Щи» (1)
т{ и] -\-т2и\ = т{ v\ ~{-m2v22, (2)
откуда
(mi — m2) «i + 2т2ц2 r, __ (т2 •— mi) щ + 2т1и1 /Q4
^i = ; > vz — ; • Щ
тх + т% тг + т2
В случае не вполне упругого удара закон сохранения энергии
имеет вид:
т{и]+т2и\ = m{v2 + m2v22+2e. (20
В этом случае
v = 2!» 1 \0h m«/ 9 (30
v* =
46 (стр. 125), В сферических координатах
ds2 = #2(dd2 + sin2ftd<p2)-
Следовательно, кинетическая энергия дается выражением
r-'^^ + sin2^2).
В случае консервативных сил уравнения Лагранжа имеют вид:
mR2ti — mR2 sin О cos ft ф2+ — = 0.
m#2 sin2 % + 2m/?2 sinft cos О frp + — = 0.
47 (стр. 150). Линии действия искомых сил и их» главного векто.
pa P известны; они являются вертикалями. Поэтому силовой мно.
гоугольник вырождается в отрезок вертикальной прямой длины Р
Из произвольной точки О (полюса) проведем к концам этого отрез
ка прямые, которые будут соответствовать прямым F0>1 иР4Д)нари
сунке 57. Через произвольную точку прямой Р проведем паралле
ли к прямым F01 и F40, которые пересекут вертикали, проходящие
529
«2 +
«1 +
m2
— "2-+
mi
-]/("!-
-«2>2-
m2
-]/(«x-
-Uiy-
, + »!
mi
.2,(1.
-2./-L
\m1
m2/
"m^/
через концы балки, в некоторых точках А и В (это построение
соответствует веревочному многоугольнику). Далее, в силовом мно*
гоугольнике надо провести через точку О линию, параллельную к
отрезку АВ, она разделит отрезок Р на два отрезка, отношение
которых равно отношению сил давления на опоры. В случае
нескольких грузов надо сначала найти главный вектор сил, а,затем
выполнить описанное здесь построение.
48 (стр. 156). Из соображений симметрии ясно, что главные оси
инерции, проходящие через'центр куба (совпадающий с его центром
инерции), параллельны ребрам куба. Моменты инерции
относительно этих осей одинаковы, поэтому эллипсоид инерции — сфера;
следовательно, моменты инерции относительно любых осей,
проходящих через центр инерции куба, одинаковы. Поэтому
достаточно вычислить, например, момент инерции относительно оси Z:
+а/Ь +а/2 +а/2
J = P J J I W + lfidxdydz = y£-.
~al2 —a/2 —a/2
49 (стр. 156). Пусть Js — момент инерции оборотного маятника
относительно оси, проходящей через его центр тяжести.
Приравнивая выражения для квадратов периодов колебаний
математического и физического маятников, получим соотношение:
J. — Js + Ms*
g Msg
или:
При заданном / оно является квадратным уравнением
относительно s, поэтому сумма его корней
«! + %='•
50 (стр. 156). Период колебания физического маятника
выражается формулой
где s — расстояние центра тяжести от точки подвеса, J — момент
инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести, и
М — масса маятника. Вводя обозначение J/M = а, перепишем
предыдущую формулу в виде
1 Г \ сГ
= —г=\/ S~\
2* Vs У s '
53Q
откуда следует, что
Дт
2*
'V71/T+!
-*Ь
Дт обращается в нуль при— = 1, или Ms2 = «Л В этом случае
период колебаний равен т = 2тгК25^ГИз сравнения его с периодом
колебаний т = 2куЩ математического маятника видно, что
«приведенная» длина маятника должна быть равна / = 25.
51 (стр. 156).
Г = 1«У + 1л«Л (1)
j = a\M{ + c?2Mr (2)
Здесь аг и а2 — расстояния масс Mt и М2 от центра инерции,
- *' -а, а^-^-а, (3)
откуда
J = V<a\ где — «JL-f-TT* (4)
52 (стр. 166). Из рисунка 60 (стр. 161) видно, что угол
между векторами к и к; равен <р — 8. Поэтому из уравнения (55)
(стр. 165) вытекает следующее равенство для абсолютных
величин векторных произведений:
mga sin 8 = L*u sin (<p — 8),
Решая это уравнение относительно 8, получим:
tg.8 =
sins»
mga
+ cos <p
L*
53 (стр. 165). Отклонение снарядов — очень сложная проблема.
Основным здесь является гироскопический эффект. Сопротивление
воздуха стремится направить ось снаряда обычной формы по
касательной к траектории. Следовательно, возникает вращающий
момент, направленный горизонтально и перпендикулярно к оси
снаряда. Ось тела, обладающего вращательной симметрией, является
его главной осью инерции. Поэтому, согласно уравнению (48')
(стр. 162), направление изменения вектора L и вместе с ним
смещения оси снаряда совпадает с направлением вращающего момента.
При правовинтовом вращении снаряда его острие смещается при
этом вправо и подъемная сила, действующая на снаряд так же,
как на наклонно стоящую в потоке доску, отклоняет траекторию
531
снаряда вправо. Но через пол-оборота прецессии острие снаряда
уже будет отклонено влево. Часто встречается неверное
утверждение, будто прецессия происходит столь медленно, что за
пол-оборота прецессии снаряд уже достигнет цели. В действительности
острие снаряда вообще описывает не дугу окружности, а нечто
вроде циклоиды, оставаясь все время справа от касательной к
баллистической траектории. Это происходит вследствие изменения
наклона оси снаряда; при этом точка приложения силы
сопротивления воздуха меняется. Эффект Магнуса (см. стр. 214), имеющий
чисто аэродинамическую природу, действует в противоположном
направлении, но он много слабее гироскопического эффекта.
54 (стр. 171). _ _•
Ar _ Yr"* —Ух*
г - • V* ;
откуда
Дг
" ~~~ Их
• dv
, dw
+ "i7
«?+
<+
2 1
1 (ди
2 [ду
2\дг
1 /dw
2\дх
«Момент инерции»
+
+
+
dv\
dw \
ди\
сечения
1*2 +
!а3 +
!а1«
равен
га 2я
55 (стр. 184).
У= Г f r»sin»?drdp = j(r*a—r\).
п о
Отсюда стрела прогиба равна:
А- <*>*
12тс (г4— г4)£
v a i'
56 (стр. 184). Поместим начало координат в вершине
поверхности. По условию,
- - - CD
<?!£ = I = _ ii (О)
ду* pi pi * U
(£).-(£).-*- °- <3>
Интегрирование уравнений (1) и (2) с учетом (3) дает
уравнение поверхности:
532
z = ^-(*2-H</2). (4)
2pi
Линии уровня г = const — гиперболы с асимптотами, которые
составляют с осью X угол а:
tg2a = i. (5)
и-
57 (стр. 185). Рассмотрим элемент объема в виде заключенного
между углами Ь и Ь -\-db сектора полого цилиндра высоты / с
внутренним радиусом г и внешним г + dr. При закручивании
проволоки верхнее основание такой призмы смещается на г^ и, согласно
сказанному на странице 178, возникает упругая сила
d*F = Srdrd$r^t
I '
момент которой равен:
d^M = rd2F = Sr-^drdft.
I
Интегрирование по всему кольцу дает:
l T>
а интегрирование по цилиндрическим слоям от г = 0 до г = а
М = <р = Dy.
Здесь D — «возвращающий момент» проволоки.
58 (стр. 195). На краю мембраны все время г = О, поэтому
можно рассматривать частные решения уравнения колебаний
мембраны вида:
z = cmns\xi-—$m-±e mn ^ (1)
Они удовлетворяют уравнению при
*mn=TV 5+S'l/ 7' (2)
где m, n — целые числа. Формула (2) определяет собственные
частоты мембраны, а формула (1) — ее собственные колебания.
Решение, удовлетворяющее начальным условиям, следует искать,
как и для струны, в виде суммы (здесь — двойной) частных
решений:
оо оо
2= S Ei4m«sin^sIn^cos2icvmef +
оо оо
+ £ 2^sin^sin^-sin2^vmrt^ (3)
а Ъ
533
Коэффициенты Атп и Втп определяются так, как указано на
странице 135:
а Ь
Атп= ~ И7о(*> У)sin ^ sin^dxdy,
о о
5тя=
/ял Л£,
о о
■ f f /о (*. У) sin ^ sin ^ d*dy.
Здесь функция /0 (х, у) определяет начальную форму мембраны,
а Л (*> У) — распределение скоростей при t = t0.
59 (стр. 198). На каждый элемент поверхности d\ действует
сила dF = — pdi (знак минус соответствует тому, что давление
р считается направленным внутрь). Равнодействующая этих сил
равна:
F = — (j) p rff == — J gradpdx. (1)
Если pg — сила тяжести, действующая на 1 еле3, то, согласно
уравнению (Г) (стр. 196),
F-— Jpgdx = — gj pdt, (2)
60 (стр. 201). Направим ось Z вниз и положим z = 0 на
поверхности жидкости. Если сосуд широкий, а отверстие мало, течение
можно считать стационарным. Нас интересует только Z-компонент
скорости, поэтому из уравнения (10а) (стр. 200) получаем:
dv ^ 1 dp
. °5в*-7л- (1)
Интеграл этого уравнения имеет вид:
£-*-f + C. (2)
При наших предположениях в самом сосуде можно положить v =
= 0 и р считать равным гидростатическому давлению pgz, тогда
С = .0. У отверстия (при z = h) давление обращается в нуль;
получается следующая скорость истечения: vh = V2gh. Эта формула
выражает теорему Торричелли, согласно которой скорость
истечения равна скорости, приобретаемой при свободном падении с
высоты h.
61 (стр. 201). Пусть ось X направлена вдоль струи газа; тогда
t,*»-!^ (1)
dx p dx
7 = Г» ®
Р Pi
534
откуда
0£в_*1& (3)
dx pi p dx
Интеграл этого уравнения имеет вид:
i=-ulnp + C. (4)
L Pi
Внутри сосуда можно считать v = 0, откуда С = (pjpj \npv
Таким образом, скорость истечения определяется соотношением
1 = ^. (5)
2 Pi Ро
Для другого газа плотности р\ при тех же давлениях внутри и
снаружи сосуда можно записать:
.£. = &-in а. • (so
2 p'i Ро
Следовательно, скорости истечения обратно пропорциональны
плотностям:
e*:i>'«=P' :p (6)
На этом соотношении основано определение плотности газов в эф-
фузиометре Бунзена.
62 (стр. 217). У воды адиабатный и изотермный коэффициенты
сжимаемости приблизительно одинаковы, потому что cp/cv мало
отличается от единицы1. Поэтому можно записать:
p = p(i+*p)=7(i+*). а)
откуда следует, что
gradp= — grade. (2)
Из этого равенства, как и в § 6, вытекает волновое уравнение:
Следовательно, скорость звука в воде равна:
~ 1
Так как
у. = 50/1,013 . 1012 (дин/см2Г\
то v = 1423 м/сек.
(4)
1 У некоторых жидкостей ср и cv значительно отличаются друг от
друга. Так, у этилбромида cplcv = 1,87.
535
63 (стр. 231). Уравнение (115) (стр. 229) в случае поверхности
вращения в цилиндрических координатах принимает вид:
dz
ad dr
, ^ + Pg2 + X = 0. (1)
r dr ~
IMS)"
(Здесь потенциальная энергия 1 г вещества >U = gz, а знак минус
перед первым членом соответствует вогнутой поверхности.)
Расстояние по оси г будем отсчитывать от уровня жидкости в широком со-
А?
суде. Тогда следует положить Х= 0, потому что при г = 0 — и
dr
d2z/dr2 тоже равны нулю. Принимая во внимание, что высота z0
поднятия жидкости в капилляре должна быть намного больше его
радиуса г0, можно положить
* = *о + С (2)
и пренебречь С по сравнению с z0. Тогда
г —
а d dr /Q
7 7, -—^ =fS** (3)
У^Щ
/If
При г= О — = 0, поэтому интеграл этого уравнения имеет вид:
dr
dr _ pgz0r
/■+(1)
2 2я
(4)
Выражение, стоящее в левой части, при г = го равно cos Ъ.
Поэтому в нашем случае (cos Ь = 1) высота поднятия столбика жидкости
*о= —. (5)
Еще проще можно получить этот результат следующим образом:
так как имеет место полное смачивание, то сила поверхностного
натяжения 2яг0а должна уравновешивать вес столбика жидкости
z0nrG2pg. Приравнивай эти величины, мы получим формулу (5).
64 (стр. 231). Давление с обеих сторон жидкой пленки
одинаково, поэтому в формуле (110) (стр. 228) надо положить р = 0.
Уравнение
Ri R*
определяет класс так называемых минимальных поверхностей,
которые имеют наименьшую площадь при заданной длине грани-
536
цы. Нас интересует поверхность вращения, принадлежащая
этому классу. Это катеноид — поверхность, получающаяся в
результате вращения цепной линии у = сЬл: вокруг оси X.
65. (стр. 238), Согласно сказанному на странице 108, при
небольшой амплитуде маятник ведет себя подобно осциллятору с
«коэффициентом квазиупругой связи» k = — . Далее, если
пренебречь Z-компонентом скорости, уравнения движения нашего
маятника примут вид:
т =d2?L + kxf = 2mcosin9 — , (1)
dP ' dr w
m^_L£y' = _2mG)sincp^ (2)
dt* ~ * T dt w
(см. уравнение (18') на стр. 238). Вводя комплексную переменную
х' + iy\ их можно объединить в одно уравнение:
£(* +<У) + ~ (*' + *У) = - 2to sin <p 1 {х' + /t/'). (3)
Введем теперь систему координат ($', V), которая вращается с
угловой скоростью a) sirup в направлении, противоположном
вращению Земли. Тогда
х' + *У = (6' + i40e-'"'sln9f
^ (^ +1>0 ь= e-^^sin ^^ (Г+ /V) — /- sin ср е-'^sin ^ (Г + /V), (4)
^(^ + ¥)-^^sin9^(^+/n0-
-2/a)sincp^^sincpl <^ + tY)-^2sin2(p^^sincp (F + iY).
dt
Пренебрегая со2, получим:
|а(^+^) + ^Г+^)=0. (5)
Таким образом, во вращающейся системе отсчета (£', V)
уравнение маятника имеет обычный вид. Это означает, что для земного
наблюдателя плоскость качаний маятника вращается с угловой
скоростью о sin ср.
66 (стр. 239). При разложении уравнения (7) (стр. 114) на
компоненты в неизменно связанной с телом системе главных осей
инерции следует учесть, что
dL drh • . у ¥ d<o d,o>
d7 = -^ + <0><L' ЗГв*Г-
В этой системе
537
Поэтому
Эти уравнения называются уравнениями Эйлера для волчка. При
М = 0 эти уравнения удовлетворяются следующими решениями:
с^, = const, шу, == а>2, = О,
или:
®у, = const, о)2, = &х, = О,
или:
а>2, = const, wx, = &yt = 0.
Иначе говоря, когда момент сил равен нулю, твердое тело может
вращаться вокруг одной из главных осей инерции. Исследование
этих решений на устойчивость показывает, что, вращение вокруг
осей с наибольшим или наименьшим моментом инерции устойчиво,
а вокруг оси со средним моментом инерции — неустойчиво,
67 (стр. 262). Излучаемая за год энергия составляет:
4Я-150М022.2.4,19.10-60.24.365 эрг.
Разделив эту величину на 9-1020 см2/сек2, мы найдем, что Солнце
ежегодно теряет массу в 138 триллионов тонн.
68 (стр. 273). Нет, потому что ротор такого поля отличен от
нуля (см. рис. 19 на стр. 30).
69. (стр. 273).
с = — 2,В5. Ю-4 ед. СГСЭ = — 8,85.10^ а*сек/см\
р = 1,32. Ю-9 ед. СГСЭ - 4,4.10~19 а-сек/см*.
70 (стр. 273). Дифференцирование потенциала дает — Е,
повторное дифференцирование позволяет определить — 4яр,
Дифференцирование построенной по данным измерений кривой легче всего
производить при помощи зеркальной линейки, которую можно
установить строго по нормали к кривой (если угол не совсем
прямой, то кривая образует излом со своим зеркальным отражением).
Тангенс угла между линейкой и осью Y равен угловому
коэффициенту касательной.
71 (стр. 280). Однородное поле в пространстве между
пластинами равно y/d (d — расстояние между пластинами, <р — разность
потенциалов), а вне конденсатора оно равно нулю, если пренебречь
небольшим возмущением поля на краях конденсатора. Такое поле
возникает в результате наложения полей обеих пластин. Силовые
538
линии напряженности поля каждой пластины представляют собой
перпендикулярные к пластинам прямые; вне конденсатора
напряженности поля, складываясь, взаимно уничтожаются, а внутри
него удваиваются. Согласно сказанному в сноске на странице 269,
сила, с которой положительный заряд действует на отрицательный,
равна:
F = 3:
Так как емкость плоского конденсатора равна:
с-±-
ш
(см. формулу (7) в решении задачи 72), то
Обратите внимание, что в выражение силы через заряд расстояние
между пластинами конденсатора не входит.
72 (стр. 280). В цилиндрических координатах потенциал <р не
зависит от полярного угла а и г, поэтому
т dr*~ r dr w
Решение уравнения Лапласа (1) имеет вид:
<Р = Л1п г + В. (2)
Следовательно,
9а~А\па + В, <р, = Л1п6 + В. (3)
При <$ь = 0 получаем:
9 = ?* —J-. (4)
Отсюда находим напряженность поля:
Е = &- . 12 « Js. _!_ г0 (5)
. а г г Ъ
In т" 1п "*"
и заряд, приходящийся на единицу длины цилиндрического
конденсатора:
фЕ.Л-4м-К£?. (6)
в In
а
539
Таким образом, емкость цилиндрического'конденсатора на
единицу длины составляет;
£ 1
I Ь*
2!п —
а
Для плоского конденсатора решение имеет вид:
V-Ax + B. £-i,C=JL. (7)
Искажением поля на краях конденсатора мы пренебрегли.
73 (стр. 280). Пусть виртуальный точечный заряд — ё
находится на расстоянии Rr от центра шара. Тогда
е ё
*-7—?. . О)
На поверхности шара <р = 0, поэтому
ё г'
7 = Г (2)
Пусть радиус а шара образует угол # с прямой, соединяющей центр
шара с зарядом е. Тогда
а2
е— = r— = fl'2 + a2-2a/?'cosft в £' * + ~--2acosft
еа г2 Я2 + а2 — 2a/? cos ft R * a2 # * '
R + — — 2a cos ft
Это соотношение будет выполнено при любом #, если
*-**|-£. (4)
Отсюда определяется положение и величина виртуального заряда.
74 (стр. 280). Если поместить начало координат в особую
точку, то разложение потенциала в степенной ряд по координатам
дает:
9 = % + ахх + а2у + a3z + апх2 + а22*/2 + ^з^2+
+ 2a12xy-]-2a23yz-{-2a31zx-{- ... (1)
Надлежащим поворотом координатных осей можно избавиться от
произведений координат, так что разложение примет вид:
? = % + Ьгх + Ь2у + &3* + bnx* + b22y* + b33z* + ... (2)
Компоненты напряженности поля равны:
~(!й=-'" 4*).=-»*-©.=-»- <3>
Следовательно, в особой точке коэффициенты bt обращаются в
нуль. В неособой точке существует касательная к эквипотенциаль-
540
ной поверхности плоскость (с текущими координатами £, ?], С); в
особой точке вместо нее будет касательный конус
Ьп¥ + Ь22г?+ЬзР = 0. (4)
В зависимости от знаков коэффициентов особенность может иметь
различный характер. Но уравнение Лапласа для потенциала
Д? = 2(Ьи + 622 + 6зз) = 0
приводит к условию
^33 = — (^11 + &22)-
Таким образом, поверхность, описываемая уравнением (4), будет
обычным конусом, и единственно возможный характер
особенности — вершина конуса (в геометрии на плоскости ей соответствует
двойная точка кривой). В осесимметричном случае угол раствора
конуса фиксирован: Ь22 = Ьп, поэтому Ь33 = — 2blv и тангенс
половины угла раствора равен:
tga = VT
Если рассмотреть кривые равного потенциала в меридиональном
сечении, то это условие должно выполняться для касательных к
эквипотенциальным кривым в так называемой «абарической»
точке (в такой точке притяжения Земли и Луны или двух точечных
зарядов уравновешивают друг друга).
75 (стр. 289). На странице 286 и далее^рассмотрен случай
однородно поляризованного шара. При этом было найдено, что
дополнительное поле, создаваемое «свободными» зарядами на его
поверхности, равно Р. Наш случай как раз противополож-
о
ный: среда вне шара однородно поляризована. Поэтому Div P имеет
противоположный знак, «свободные» заряды — такие же по величи-
чине, но с противоположными знаками, поэтому создаваемое ими
добавочное поле равно:
Е' = + - Р.
1 3
76 (стр. 289). Радиальный компонент электрического смещения
£>, всюду равен ~ . Далее,
Ег = — 4- при а<г <&,
Ег = — — при b < г < с.
£2 Т
Таким образом,
541
Так как емкость определяется соотношением
то в нашем случае для нее получаем:
С еха гго ' Ь \£2 Ч}*
11 (стр. 289). Пусть в точке, представляющей собой зеркальное
отражение заряда е в плоскости XY, помещен заряд —е'. Тогда
в полупространстве I (г > 0) можно положить:
i г г, •
При этом условие фЕ. dl = 4л£ не нарушается/поскольку
замкнутая поверхность лежит целиком в полупространстве I и не
охватывает виртуальный заряд —е\ Однако в диэлектрике надо
положить:
Чтобы удовлетворить граничным условиям, мы можем
распорядиться двумя величинами € и е".
Заданная величина скачка нормального компонента Е дает
уравнение е + ег — е" = 0. Непрерывность касательного компонента
будет обеспечена, если на границе диэлектрика всюду <?{ = <рп.
В самом деле, при этом условии производные dy/ds, взятые вдоль
границы, по обе стороны от нее одинаковы. Отсюда получается
второе уравнение для ег и е":
Отсюда получаем:
■е —
е'= е и е"
£ + 1 £ + 1
78 (стр. 290). На заряд—е действует сила—<?Е, на заряд +е —
сила е [Е + (ds . v)E]. Таким образом, на весь диполь действует
сила F = (р . v)E.
79 (стр. 294). Поверхностный заряд равен:
/ /
а энергия:
^=}j (?i-?2)^/= }С(?1-ср2)*.
542
Обозначая разность потенциалов через ср, получим:
При постоянном заряде ср,==г — ?> С = еС, т. е. £/'= — U. От-
сюда следует, что
2 V s / 2s 4ndT
Этим доказана формула (40) (стр. 294), потому что
l—s
4тс d l U17 ed
= -*, i = [Eo|f i = |E|f /d = x.
При постоянном напряжении W = е£/.
80 (стр. 294). В формулу (ЗГ) (стр. 291) надо подставить
потенциал ср* внутри равномерно заряженного по объему шара,
определяемый формулой (25) (стр. 276), и взять интеграл по г в пределах
от 0 до а. При этом получается:
£/ =
16тс2р2а5 з е2
15 б а '
где е — полный заряд шара.
81 (стр. 296). Обозначим расстояние верхней пластины от
нижней (неподвижной) через г, а высоту уравновешивающего груза —
через z\ Тогда
</-</«+"■„-■^+«*'.
При условии постоянства заряда, т, е. при
^ = const, или --^-cp8z+ — ^8z = 0, (2)
Akz 4kz* t ~AK2dz w
состояние равновесия характеризуется уравнением:
1 8т:22 l 6
Так как Ьг' = — 8г, то при г = а
(3)
m = -?*£. .(4)
8ти^2 v '
Появление г в числителе, на первый взгляд, несколько
неожиданно: ведь сила притяжения зарядов в среде с диэлектрической
постоянной е уменьшается в г раз. Однако в формуле (4) сила
притяжения выражена через разность потенциалов. (См. также задачи
71 и 79.)
543
82 (стр. 299). Пусть за время dt конденсатор теряет количество
электричества de; при этом разность потенциалов на его обкладках
изменяется на
Согласно закону Ома,
dt ~/F#
/ = - = -^ (2)
Отсюда получается дифференциальное уравнение, определяющее
зависимость потенциала от времени:
Решение его имеет вид:
— J..
1п? = ——+ 1п<р0, или <р==ср0е *С. (4)
Отсюда для силы тока получаем:
/-а Г* (5)
83 (стр. 299). Зависимость напряжения на обкладках
конденсатора от времени при его зарядке определяется так же, как и в
задаче 82. Она имеет вид:
Если считать, что разрядка конденсатора через неоновую лампу
происходит мгновенно, то период пульсаций Т целиком
определяется временем зарядки конденсатора до напряжения <?= ср3:
?о—¥з
84 (стр. 303). Однородно намагниченный шар эквивалентен
магнитному диполю, помещенному в его центре. Потенциал диполя
имеет вид:,
т.-^'. (1)
Поэтому напряженность магнитного поля определяется формулой:
H = -gradcpm=_^ + l(Pm.r)r. (2)
Радиальный компонент напряженности поля равен:
и _ PmSiny 3pmsin<p ___ 2pmsiny
544
а касательный компонент равен:
Ht-'-*f*. (4)
Величина наклонения I находится из формулы:
tg/=^ = 2tg<p (5)
85 (стр. 309). Из формулы
H-ds = — = 0,4тс/ (ампер)
с
следует, что к Земле течет ток, плотность которого составляет
3,9 • 1СГ12 а/см2, т. е. во много раз больше плотности обычных
электрических токов в воздухе. Впрочем, существование столь
значительной вихревой части у магнитного поля Земли
сомнительно. „
86 (стр. 309). Из соображений симметрии ясно, что магнитные
силовые линии — окружности с центрами на оси цилиндрического
проводника, лежащие в перпендикулярных к этой оси плоскостях.
В случае постоянной плотности тока / в проводнике уравнение
позволяет найти напряженность магнитного поля внутри
проводника:
йсгЯ,-^ откуда #< = 2-^,
С С
и вне проводника:
о и 4*2Я2/ 2kR4 2/
2кгНе = —ь^ откуда Не = —^ = —.
С ГС ГС
Здесь г — расстояние точки, для которой рассчитывается
напряженность поля, от оси проводника.
87 (стр. 309). Легко проверяется непосредственным
вычислением.
88 (стр. 315). Пусть катушка гальванометра имеет п витков
площади /. При прохождении тока / через катушку в нормальном
положении (плоскость витков параллельна магнитному полю Н)
на нее действует вращающий момент -J— I = ql. Если момент
с
инерции катушки равен / и коэффициент затухания ее колебаний
р, то уравнение движения катушки имеет вид:
/i+P?+0? = ^. (1)
Здесь D — возвращающий момент. Предположим, что за время
прохождения импульса тока катушка не успела заметно отклонить-
545
*
ся. Тогда уравнение (1) легко проинтегрировать и найти
приобретенную катушкой угловую скорость <р> которая оказывается
пропорциональной количеству прошедшего через катушку
электричества:
Jy = q ydU или ?=у. (2)
Далее следует рассматривать свободные затухающие колебания
катушки:
/9 + |3? + £?= 0. (3)
Условию ср = 0 при t = 0 удовлетворяет решение
t_A-*'dn(J^e:i). <4)
Второе начальное условие, согласно которому при t = 0 <р
определяется формулой (2), позволяет определить постоянную А:
%~? = АЩБК, откуда А = у^. ' (5)
Время tm первого максимального отклонения определяется из
уравнения:
о = _ isl„(J^E ,.)+ J3gEE«*(J^E,.) (6)
или
27 Ч~ Р ( '
При обычных условиях, когда затухание мало 02 < 4D/),
величина, стоящая в правой части этого равенства, приближается к
tg —, так что
s 2
ч
t
т
<1 Vi> Р>
и тогда
Tmax-AexpU-^V . (8)
Ydj *\ aYdj}*
Следует отметить, что коэффициент затухания (3 обусловлен в
основном током, индуцируемым при колебаниях катушки (см.
задачу 89). При работе с гальванометром обычно пользуются «градуи-
ровочным множителем» С — числом, на которое надо умножить
отсчитываемое по шкале гальванометра отклонение, чтобы
получить силу тока или количество электричества. Из уравнения (8)
следует, что если пренебречь затуханием, то в баллистическом
режиме
Cb = VDJ/q9
646
а в режиме постоянного отклонения
С0 = D/q.
Таким образом,
Cb = CQV7jD^C0>x/2K, (9)
где х — период колебания катушки.
89 (стр. 317). При отклонении от положения покоя, в котором
нормаль к плоскости катушки перпендикулярна к полю Н,
изменение магнитного потока в единицу времени в среде с магнитной
проницаемостью ^ = 1 составляет
£-/.*». (о
Поэтому индуцированная э. д. с. равна:
Vi~-<^L<f~-q? (2)
о
и индуцированный ток
Л--** (3)
Прохождение этого тока по катушке приводит к появлению
вращающего момента;
M-ql^-^. (4)
Таким образом, коэффициент затухания В в задаче 88 равен q2/R =
- <fnH)*/c*R.
90 (стр. 320). См. стр. 476, а также ч. II, разд. VII, гл. I, § 8.
91 (стр. 320). Ответ:
С
2тс
fjL ££L dsidsz cos у \х Г, Г* ах cos у d у
-*и
ги с2 J J ]/"aJ + aa —^acosy+a?
(В нашем случае угол, который составляют векторы ds± и rfs2,
равен азимутальному углу ср.) Этот интеграл можно свести к
эллиптическому интегралу, значение которого определяется из таблиц.
Мы ограничимся здесь случаем двух почти одинаковых контуров,
расположенных на малом расстоянии г друг от друга. Введем
наименьшее и наибольшее расстояния между линейными элементами
контуров:
/Я^ + К-а/ и (72 = ^ + (а1 + а2)а.
Тогда
«я-р««4а1о11 r£ ~p* + (q*-p*) sin* i.
647
В этом случае взаимная индуктивность равна:
тс
I
/,12=Л.2*а2.2 \_=*£*2*1== = ^К9
yrp2 + (^_p2)sin2|.
б
Так как <7 > Р> то при достаточно больших углах <р можно
пренебречь величиной р в знаменателе по сравнению с q\ при малых
углах этого делать нельзя, потому что ф умножается на sin2—.
Поэтому разобьем наш интеграл на две части, каждую из которых
можно вычислить приближенно:
« л d (l —2 sin2 -~ ) dcp
J [/" Р2 + Я2 J J Vsin-
-ta7-^T(ln7-2)'
2
= ?fl/ln 2aiQI
Поскольку г<ах и — «>1, окончательно получаем:
<7
L12«~«47ra2(ln fll = —
12 с* Ч /гЧ-^-а.)*
Полученные нами результаты были известны уже Максвеллу,
92 (стр. 320). Из формулы ит = —■ I H2dx видно, что энергия
электромагнитного поля — положительная величина. Поэтому
дискриминант квадратичной формы в уравнении (13) (стр. 3^20)
не может быть отрицательным, т. е.
^11 ^22 2^ ^12»
Физический смысл этого результата легко понять, если рассмотреть
магнитные потоки, которые каждая из катушек посылает через
себя и через другую катушку. В лучшем случае (например, если
обе катушки намотаньГна общий железный сердечник) LnL22 =
= / 2
42 •
93 (стр. 324). Известная формула для параллельно включенных
сопротивлений
R Ri R2
применима также и для комплексных сопротивлений.
Таким образом,
_ = _-fiU)C, откуда Z=- —;,
Z ЫЬ 1 — w^ LL
и при резонансе, когда ш = --=, z=«>.
548
94 (стр. 324). С увеличением напряженности поля магнитная
проницаемость [д. = | В |/| Н | железа уменьшается, поэтому
индуктивность катушки с железным сердечником убывает при
увеличении амплитуды тока, а собственная частота колебательного
контура при этом увеличивается.
95 (стр. 338). Формула S = -EXH позволяет определить
4я
среднюю плотность потока энергии в пустоте, где |Е| = [Н|:
Отсюда
1 ' 8w 60
|Е|«4 |Л-^-1(Г2еД- СГСЭ& 10 в/см.
96 (стр. 348). В переходной области следует учитывать оба
члена в формуле (43) на странице 343. Это дает:
Н=^/?+|"(РоХг0)Г("^+81 где 8 = iarctg(-^).(D
Следовательно, фаза выражается формулой:
<р(*,г) = «> (V — - — -arctgi-V (2)
Фазовая скорость — это скорость г Движущейся вместе с
волной точки, для которой <р = const. Дифференцируя (2), получим:
0-1-I + —V-i.. (3)
с
' Г2со2
откуда
;= с—>с, (4)
1 +
(?г
97 (стр. 361). В данном случае & = 45°,
Г = 28°7',5, Js = 0,046/0, / = 0,0042/0.
Поэтому Р = 83%.
98 (стр. 361). Проведем вычисления для случая нормального
падения (случай наклонного падения рассматривается
совершенно аналогично). В вакууме |Н| = |Е[, в диэлектрике |Н| =п|Е|.
Далее,
1Е/|=7Тт1ЕИ£/'1 = -хт1Е].
п + 1 п -j- i
Так как
18 Г. Иос 649
to m предыдущих соотношений следует, что
Отсюда видно, что |S| = |S'| + IS"!. Заметим, что «ели в каждой
среде положить |S| просто пропорциональным Л2, то баланс
энергии не получится, потому что множитель пропорциональности
содержит я.
99 (стр. 364). Должно выполняться условие:
. Ь _ cos ft V^sin2 ft-"к2 __ t
lg 2 ~" sin2 ft ~~ i$
причем в этой формуле п означает показатель преломления для
перехода света из более плотной среды в воздух, т. е. я< 1.
Положим п «= —, где я'—обычный показатель преломления вещества.
п'
Надо найти наименьшее значение п\ при котором еще возможно
равенство tg -«* ** U Это —задача об экстремуме фушцинпзк/(shift);
она приводит к уравнению
cos2 ft 1 — х*
из которого получается экстремальное значение ri ** £,41* При
двукратном отражении
^ ь ^K^V/o" 1 cosftVsln2^^
Для /г = 2/3 углы падения Составляют:
\ = 50°20' и &2 = 53°10\
100 (стр. 383). Из соображений симметрии ясно, что кривые
равного сдвига фаз будут окружностями. Положение плоскостей
колебаний в кристалле можно найти следующим образом. Для
обыкновенного луча поверхность волны — сфера, так же как и
поверхность нормалей. В случае одноосного кристалла в
уравнении (26) (стр. 372) надо положить: vll^=vlll. Направим ось X
вдоль оптической оси кристалла; тогда npje v *= vu Dx = 0, т. е.
вектор D перпендикулярен к оси X. Так как для
обыкновенного луча всегда v^vn, то и плоскость D всегда перпендикуляр*
на к оси. С другой стороны, плоскость D перпендикулярна к п,
и направление D определяется прямой, tto которой эти плоскости
пересекаются. Для всех лучей, принадлежащих одной и той же
плоскости падения, D имеет одинаковое направление —
перпендикулярное к этой плоскости. Если плоскость падения
перпендикулярна к направлению колебаний, определяемому первым николем,
550
то в кристалле распространяется только обыкновенный луч* в
противоположном случае обыкновенный луч отсутствует. Изоги-
ра имеет, следовательно, вид прямого креста.
101 (стр. 397). Из векторной диаграммы (рис. 116), которая
как раз соответствует нашему случаю, видно, что если А —
амплитуда падающей на решетку световой волны, то распределение
амплитуд в главных максимумах дифракционной картины получается
следующее: в максимуме нулевого порядка Л/2, первого порядка—
Л/it, второго (и вообще всех четных порядков) — нуль, третьего
порядка — Л/Зтс и т. д. В максимуме (2п~\-1)-го порядка
амплитуда равна Л/(2д-|-1)*. Интенсивности равны соответственно:
Полная интенсивность всего проходящего через решетку света
равна:
'-?+£('+1+4+- • -+^ш+- ■ •) - *(i+S)=f
как это и должно быть, потому что решетка поглощает
половину падающего' на нее света, интенсивность которого равна Л3.
Таким образом, все дифракционные спектры 1-го, 2-го и т. д.
порядков вместе имеют такую же интенсивность, как и нулевой
спектр.
102 (стр. 397). Если расстояние Ъ между щелями велико по
сравнению с шириной а щели, то дифракционная картина
выглядит так же, как и для одной щели, но она испещрена добавочными
минимумами и максимумами, расстояния между которыми
определяются условием (а — а0) Ь = hxl. При нормальном падении
волны на плоскость щелей а = ЛхХ/6, при наклонном падении под
малым углом е к нормали а! = -~- + е. Видимость
интерференционен
ных полос будет наилучшей, когда
а = а , т. е. — = — + е, или Ъ = ~ — .
Ь Ь s
При изменении Ь видимость сначала ухудшается, потом снова
становится хорошей, когда Д& = — #
г
Это соотношение используется при интерферометрическом
измерении углового расстояния между двумя близкими звездами, а
также при измерении угловых диаметров звезд (в этом случае •
приблизительно равно расстоянию между центрами двух половинок
видимого диска звезды).
103 (стр. 397). Из уравнения (30) (стр. 394) получаем:
2 4,06 ^ пх * % Г з
1Ь*
551
Мы ограничимся лишь теми отраженными лучами, которые
перпендикулярны к оси вращения (для которых Л3* = 0).
Тогда получаются следующие результаты:
*
1
1
1
1
А
0
0
0
0
т
1
2
3
4
»/2
14°20'
29°30'
47°40'
80W
*;
1
1
2
К
1
1
1
m
1
2
1
0/2
20°20'
44°10'
33°20'
Отражение от плоскости Ах* = 2, йа* = 0 совпадает с отражением
второго порядка от плоскости hx* = 1, Z^* == 0. Точно так же
углы, соответствующие переставленным значениям Ах* и А2*,
совпадают с приведенными выше, поэтому мы их не выписали.
104 (стр. 411). По формуле yf = /tga получаем ответ: 1,74 см.
105 (стр. 411). Пусть плоскость объекта пересекает главную
ось в точке Р, а переднюю главную плоскость — по прямой G.
В пространстве изображений им соответствуют сопряженная точка
Р' и сопряженная прямая G', которые и определяют плоскость
изображения. В случае тонкой линзы обе главные ^плоскости
можно считать совпадающими, так что, для того чтобы построить по
точкам объекта сопряженные с ними точки изображения,
достаточно провести из каждой точки объекта луч через центр линзы и
продолжить его до пересечения с плоскостью изображения. Отсюда
видно, что верхней половине пространства объектов соответствует
нижняя половина пространства изображений.
106 (стр. 418). Вообразий сферу с центром в точке
преломления луча и радиусом, равным единице. Точки пересечения с этой
сферой нормали к преломляющей плоскости, падающего и
преломленного лучей и их проекций на заданную плоскость определяют
два прямоугольных сферических треугольника. Обозначим угол
падения а, угол лреломления а", углы, образуемые падающим и
преломленным лучами с заданной плоскостью, ft и ft" и угол
между этой плоскостью и плоскостью падения — через [3. Тогда
по теореме синусов сферической тригонометрии
sin 0 = sin a sin (3, sin ft" = sin a" sin £,
откуда
sinft/sinft" = sina/sina" = n<
Точно так же доказывается и второе утверждение. Если
заданная прямая, лежащая в преломляющей плоскости, образует угол р
с прямой, по которой пересекаются плоскость падения и
преломляющая плоскость, а падающий и преломленный лучи — углы ? =*
= __« и т"=_ —а", то
cos к"
552
Обозначим углы, которые образуют падающий и преломленный
лучи с заданной прямой, через 8 и 8". Из соответствующих
сферических треугольников получаем:
cos 8 = cos у cos p, cos 8" = cos ?" cos p,
откуда
cos 5 __ cos ^
COS V COS f"
107 (стр. 418). Каждой точке щели спектрографа соответствует
пучок параллельных лучей, и каждому такому пучку — точка в
фокальной плоскости камеры. Но перпендикулярно к ребрам
призмы проходят лишь лучи, выходящие из середины щели (на схемах
чертят обычно только такой ход лучей). Лучи, исходящие из
верхней и нижней частей щели, идут через призму наклонно;
непосредственным вычислением можно убедиться, что они отклоняются
призмой сильнее, чем лучи, идущие от середины щели.
108 (стр. 418). С учетом знаков для фокусных расстояний
передней и задней поверхностей линзы можно записать:
£ Т\ £ Г ПГ1 £ ПГ2 £ Г ^2
п — 1 п—1 п—1 п — 1
Если d — толщина линзы в центре, то интервал составляет:
-Я- -// + * + /..
Поэтому
£ _ flfl __ ПГгГ2
D (n-l)R'
£, _. _ /l' h' __ пгхт%
где
D (n-1)/?'
R = n(r2 - гг) + (n - \)d.
109 (стр. 418). Запишем условие синусов в следующей форме:
sm# __ п' у'
sinu' n у *
Оно выполняется, конечно, и для параксиальных пучков, когда
синусы можно заменить углами. Пусть из лежащей на главной оси
на расстоянии s точки под углом и выходит луч, пересекающий
первую главную плоскость на расстоянии h от оси. Тогда sin и =
= h/s. Если s очень велико, то его можно приближенно заменить
расстоянием х от первой главной плоскости (в случае
параксиальных пучков). Далее, у и у' малы, и для параксиальных пучков
можно положить: у'/у » — f/x.
Тогда
sin и п
553
Отсюда следует, что относительное отверстие объектива
(определяемое как отношение поперечника^ падающего параллельно оси
пучка, к фокусному расстоянию) в воздухе не может превышать
1 : 0,5; в противном случае оказалось бы нарушенным условие
синусов.
НО (стр. 419). Пусть свет целиком заполняет призму. Согласно
геометрической оптике, длина оптического пути одинакова для
всех лучей между двумя перпендикулярными к лучам плоскостями.
Рассмотрим два луча, один из которых проходит у основания
призмы, а другой — у вершины. Тогда
nb — 2/ = 0, (1)
где Ь — длина основания, / — путь верхнего луча в воздухе
с каждой стороны от вершины. С другой стороны, ограничение
ширины светового пучка приводит к дифракции, как от щели
соответствующей ширины. Направление первого минимума
соответствует разности хода крайних лучей, равной X:
пЬ — 21' = X. (2)
Если этому направлению соответствует нулевой максимум для
близкой длины волны X -J- rfX, т. е.
/й + 6 ^А-2/' = 0, (3)
то в фокальной плоскости объектива обе спектральные линии еще
различимы отдельно.
Вычитая уравнение (2) из (3), мы получим:
X л t. dn
Таким образом, разрешающая способность А призмы равна
произведению ее основания Ъ на относительную дисперсию показателя
преломления dnjdk*
111 (стр. 422). Разность хода лучей составляет:
д/== J^_2d.tg^sina==2d.]/Vz2— sin2a.
COS a'
112 (стр. 431). а) Сила притяжения двух элементарных зарядов
на расстоянии 1СГ8 см равна:
4'80М°-2° =2,30.10-з дан.
б) Сила притяжения двух эквивалентных (фарадеевских)
зарядов на расстоянии 12600 км равна:
6.02^10^4,803.10-20 =()10
12600*.101*
554
Так как 1 дина = — грамм-силы, эта сила, выраженная в
981
технических единицах, составляет 54 тонны!
в) Плотность заряда в шаре радиуса R равна
Пусть уже имеется заряженный шар радиуса г, плотность заряда
в котором равна р. Чтобы нанести на этот шар заряженный слой
толщины dr с такой же плотностью заряда, требуется совершить
работу, равную
3 г 3
Потенциальная энергия всего шара радиуса R, т. е. работа,
затрачиваемая при его построении из рассеянных на бесконечности за-
рядов, составляет:
" S/**
5#
J 3 ^ 15 ^
(ср. задачу 80). При расширении на dR энергия шара уменьшается на
dU= — —dR.
Эта величина равна работе, производимой против удерживающего
заряды давления: pdv = р • 4nR*dR. Отсюда находим:
3 i78 3.96492*9.1G*« л 1П23 дин , 1т7
р = = = 4* 1023 —^s4*1017 атм.
' 5 4ж№ 5.4*.10* см%
113 (стр. 438). Отклонение частицы в электрическом поле Е
конденсатора длины а на краю его составляет:
4м~ ДГ. (1)
Угловой коэффициент касательной к траектории может быть
найден из уравнений (6) или (7) (стр. 434). Он равен
, dy Ea ^ч
^ ^ 2К w
Если экран находится на расстоянии / см от конденсатора, то
отклонение пятна на экране составит;
и £аа , £а/ JEfc/а . А /а , А,
""-«г + ет-^ + Н*4"')1*"' (3)
555
114 (стр. 438). Поскольку а мало, можно положить cos a ^ 1,
т. е. считать, что компонент скорости, параллельный полю, у всех
электронов одинаков. Проекция траектории электрона на
плоскость, перпендикулярную к полю, является окружностью.
Следовательно, траектории всех электронов — винтовые линии. Легко
показать, что время одного оборота для всех электронов
одинаково. В самом деле, из уравнений (II) и (12) (стр. 435) следует, что
dt* тс2
Это — уравнение гармонических колебаний. Поэтому период
равен т в _2™L# Таким образом, период оборота не зависит от о, так
еН
что все частицы совершают полный оборот за одно и то же время
и вновь собираются в некоторой точке оси пучка. Итак,
продольное магнитное поле играет роль «электронной линзы»; такие линзы
находят применение в электронной оптике (см. стр. 452).
115 (стр. 464). Пусть в т граммах первого вещества содержится
v2 молекул: тогда в 1 смг имеется Nx^^x*— молекул, где рг —
плотность первого вещества. Следовательно, его рефракция равна:
2 <
vfte-J-j.J-^. (1)
3 «,+2 pi
Точно так же для второго вещества:
Смесь содержит vx -[- va = v молекул со средней поляризуемостью
а, поэтому для нее
3 л2+2 р V;
Так как поля электрических моментов отдельных молекул
складываются линейно, то средняя поляризуемость для смеси вычисляется
по простому правилу:
7а *'! + *", (4)
vx + v2
Подставляя это выражение в формулу (3), получим: /? = /?х ~f~ /?2.
116 (стр. 464). Согласно формуле (7) (стр. 461), амплитуда
переменного электрического момента, создаваемого в атоме полем
световой волны, равна:
т («;- с*2)
556
Полный поток энергии, излучаемый переменным диполем во все
стороны, согласно формуле (62) (стр. 347), равен:
W4 а **а>4 £3
с ш «" —
о
2
В области видимого света и>0 > ю, так что S пропорционально ш4.
В области Рентгенова излучения, наоборот, % < ш , так что со4 в
числителе и знаменателе сокращаются. Длина волны голубого
компонента белого солнечного света приблизительно вдвое
меньше длины волны красного компонента. Поэтому голубой свет
рассеивается приблизительно в 16 раз сильнее, чем красный, чем и
обусловлен голубой цвет неба.
117 (стр. 464). Поскольку в этом случае v0 = 0, то
n*_i—М? = _£.
откуда
и=±= cv
1 « d (v/u) _ 1 d уг-ъ—р; _ v
игр dv с dv су v2— С
Следовательно, фазовая скорость электромагнитных волн больше с.
Таковы условия распространения электромагнитных волн в
плазме [например, в ионосфере].
118 (стр. 467). Имеем:
9kT t + 2 na+2
(для X = фс можно считать приближенно п = — ]. Отсюда
р=0,8-1(Г18. ед. СГСЭ.
Так как в жидкости происходит ассоциация молекул,
приводящая к насыщению части диполей, то полученное нами значение
оказывается несколько заниженным. Экспериментальное значение
р равно 1,8 . 10"~18; его можно получить, производя измерения для
газообразного состояния (водяного пара). Для некоторых веществ
правильное значение р можно получить по данным измерений,
проведенных с растворами, если молекулы самого растворителя
не полярные.
119 (стр, 495). Для покоящейся среды п0 = —. Далее,
согласно
557
но формуле (41) (стр. 249), фазовая скорость в среде, движущейся
со скоростью и < в относительно наблюдателя, равна:
v =•
Vo+U
ищ
XZV0-{-U'
1+«&
Таким образом,
-"+i,-k)-
Таблица 1
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Соотношения между единицами измерения физических величин
В большинстве формул в этой книге физические величины
выражены в единицах системы СГС, в некоторых случаях также в
системе МКС, вошедшей как составная часть в Международную
систему единиц СИ. Если в формулу требуется подставить величину,
выраженную в других единицах, то ее следует предварительно
умножить на соответствующий числовой множитель, указанный
в этой таблице. Если же результат, полученный по формуле, надо
выразить в иных единицах, то его надо разделить на
соответствующее число. Все электрические величины предполагаются
выраженными в электростатических единицах, все магнитные величины —
в электромагнитных единицах.
Механические величины:
Сила:
Давление:
1 кГ (килограмм-сила)
1 атм = 760 мм ртхт.
1 мм рт.ст. = 1 тор
1 am = 1 кГ/см2
1 Бар (стандартная
атмосфера)
1 мб (миллибар)
Энергия: 1 дж = 107 эрг
1 кал =4,19.107 эрг
1 ккал «4Л9.1010 эрг
1 эв (электрон-вольт) =
= 1,60. КГ» эрг
1 моль-эв = 9,65.10й эрг
1 квт-час =3,6.1013 эрг
1 кГм =9,8Ы07 эрг
1 Л'С.-час= 0,737 квт-час
981000 дш*=9,81«
(ньютон)
: 1,013.10б дин/см2
1,013-105 н/м2
1013 мб
= 1333 дш/см*
= 981 000 дин/см2
106 дин/см2
* 103 дин/см*
= 4,19 нм
:4190 н-м
23030 кал
1,35 л.с.-час
558
Мощность: I em = 107 эрг/сек
1 л. с. =75 кГм/сек=
= 7,37-109 зрг/шс
Модуль упругости: 1 техн. ед. = 1 кГ/мм2 = 98,ЫО*^ 10* дин/см*
Коэффициент сжимаемости: 1 техн. ед. = 1 атмГ1— (1/98,1). 1СГ4^
10
дин *
Электромагнитные величины:
(Размерность электростатических единиц при повторении
не указывается)
Заряд:
1 к (кулон) = 1 а*сек— ЗЛО9 см3!2 г112 сек 1
1 ед. СГСМ
Сила тока: 1 а (ампер)
1 ед. СГСМ
Напряжение:
Сопротивление:
Емкость:
Напряженность
магнитного
поля:
Индуктивность:
1 в (вольт)
1 ед. СГСМ
1 ом (2)
1 ед. СГСМ
1 ф (фарада)
1 ед СГСМ
1 мкф
(pF—микрофарада)
1 а/м
1 ен (генри)
1 ед. СГСМ = 1 см
= ЗЛ010 ед. СГСЭ
= 3.109 см3*2 г1'2 сек~*
= 3.1010 ед. СГСЭ
= — см112 г112 сект1
300
1 ед. СГСЭ
е0= 8,859. КГ»
3.10"
1
9-1011
1
СМ
сек
ед. СГСЭ
9-1020
= 9.10" см,
= 9.10м ед. СГСЭ
= 9.105 см
= 1,256.1(Г2 9 (эрстед)
1
■. см L сек'
ед. СГСЭ
а-сек
9.1011"
1
9.102(>
1х0= 1,256.1(Гв^^
Полезно помнить:
1. При изменении потока магнитной индукции на 1 ее*см2/сек
индуцируется э. д. с, равная 1СГ8 в.
559
2. Для лампы с силой света в 1 се поток излучаемой энергии
через площадку в 1 см2 на расстоянии 1 м равен 900 арг/сек;
из этой энергии около 1 % приходится на видимую область
спектра,
3. Потенциал возбуждения (ионизации) и длина волны квантов
соответствующей энергии связаны следующим соотношением:
X (ангстрем) . V (вольт) = 12 400.
4. Дебройлевская длина волны и ускоряющая разность
потенциалов для электронов связаны соотношением:
X (ангстрем) ="}/jr
150
(вольт) *
б. К вычислению энергий ядерных реакций по дефектам масс:
l£l = 1,07. Ю-9 а. е.м.
с2
Дефект массы в 1 лег на 1 моль соответствует приблизительно
энергии в 1 Мэв на атом.
Таблица 2
Физические константы
I. Основные константы:
<? = 4,8029.10-10 ед. СГСЭ =
= 1,6020в.10~19 а-сек
/п = 9,1083.10-28 г
= 0,0005487в
Мр= 1,67239.10~24 a
Mi
Заряд электрона
Масса электрона
атомный вес1
Масса протона
атомный вес1
Масса атома водорода
атомный вес1
Масса нейтрона
атомный вес1
Постоянная Планка
Постоянная Больцмана
Скорость света
Гравитационная постоянная
1 Атомный вес дается по физической шкале, в которой 160 «16; в
химической шкале 1б»0043О«16. *
= 1,007593
1 = 1,008142
Мп= 1,67470.10-24 а
= 1,008982
Л = 6,6252.10~26 эрг/сек
k = l,38044.10~le эрг/град
0 = 2,99793О.1О10 см/сек
1 = 6,67.10""8 смъ г"1 сек"2
560
# IL Производные
Удельный заряд электрона
Удельный заряд протона
Магнетон Бора
Магнетон Бора на моль1
Ядерный магнетон
Число Авогадро1
Эквивалентный (фарадеевский)
заряд1
Число Лошмидта (число
молекул газа в 1 см3 при
нормальных условиях2)
Объем моля идеального газа
при нормальных условиях2
Универсальная газовая
постоянная2
Постоянная Стефана—Больцма-
на
Постоянная Вина
Постоянная Ридберга
Радиус первой орбиты в атоме
водорода (по Бору)
константы:
± =5,27305.Ю17ед.СГСЭ/з
т
- -2,87193.10иед. СГСЭ/а
м
jxB -Э^З^КГ21 э-см*
Napb = 5,5869 э»смъ-моль~1
№ =5,0504.10-24 э*смъ
NA = 6,02V 1023 моль^1
F = eNA =
==2,8936вЛ014-^^.«
, а*сек
моль
=96512!
МОЛЬ
NQ^2t687tA019 см-*
i>0 = 22,42r103 см*/моль
kNA = R ==8,3169.107 эрг/град*
-моль—1,9867 кал/град*моль
о = 5,669.10~~5 эрг*см"2*
• град~~**секГ1
6=0,28978 см*град
#00= 109 737,3! смг1
^ = 0,529172-Ю-8 см
1 Атомный вес предполагается заданным по физической шкале (см. сноску
273,16° К=»0°С и давлении p»760 mm рт. cm.
на предыдущей странице)
* При температуре Т
ПРЕДМЕТНЫЙ
Аббе закон синусов 411, 415—.417,
496, 553
Аберрация 250 и д., 490
— сферическая 496
Абсолютно твердое тело 166
Азимут главный 8» 365
Аксоид 146, 159, 160
«Активные» силы 118, 120, 198
Амплитуда (функций) 109
Анодное падение потенциала 447,
449
Аномалия средний 142;
— эксцентрическая 142
Антенна 340, 344, 348
Антисегнетоэлектрикй 467, 476
Антиферромагнетизм 470, 473
Апертурная Диафрагма 49S
Архимеда принцип 198
Ассоциаций молекул 557
Астигматизм 418, 496
Атомный вес 560
Аффинор 37
Аэродинамическая труба 199, 202
Аэростатика 196
Бабине теорема 388
Барнетта эффект 477
Бернулли уравнение 202, 208
Бесселевы функции 194, 419, 519
Биения 61, 328
Бинормаль 22, 513
Био—Савара закон 114,211, 307, 488
Близкодействие 290
Брюстера закон 360
Вариация 81, 229
Вектор 10;
— аксиальный 17; — единичный 12,
21; —мировой 255 и д., 492 и д.;
562
УКАЗАТЕЛЬ
•—намагниченности 302, 458, 467;
— поляризации 284, 468, 465, 603;
•—полярный 17;—скользящий 148;
— Умова — Пойнтинга 337—338,
346, 363
Векторное исчисление 9 и д.
— — четырехмерное 17, 255 н д.,
493 й д.
Векторы коллкнезрные 91; —
собственные 516
Величины макро- и
микроскопические 462, 468
Взаимодействие обменное 470
Винт динамический (динама) 149
Вихрь 203, 208 и д.
— пусковой 215
Волна без сжатия 186
— звуковая 215, 240; —плоская 66,
3S4 и д., 370;-- поляризованная
линейно 68, 335, 339; —
поляризованная по кругу 68; —
поляризованная эллиптически 68» 335; —
сжатия 188, 215; — сферическая 67, 341,
385; — цилиндрическая 67, 519
Волны в неограниченной упругой
среде 185 и д.;
— поверхностные 187, 351; —
продольные 68, 185 и д.; — Релея 187;
— стоячие 71 и д.,
190;—электромагнитные 331 и д.
Волчок 157 и д.
Восприимчивость диэлектрическая 284
и д., 294, 459;
*— диамагнитная 478; — магнитная
302, 459 и д.; — молярная 467 и д.,
478; — парамагнитная 460, 467;—па-
раэлектрическая 285; 459; —
ферромагнитная 467
Вращение Земли 160, 164
— тела вокруг неподвижной точки
144, 150
Время абсолютное 232
— собственное 259
Вычет 78
Вязкость 203, 217 н д., 426
Гагена — Пуазейля закон 217 и д.
Газ электронный 43&, 456
Галилея преобразование 232 и д.,
245 и д., 492
Гамильтона принцип 128 и д.
— уравнения 126 и д.
Гамильтона — Якоби уравнение 131
и д.
Гамма-лучи 336
Гармоники высшее 192
Гаусса — Остроградского теорема 28
Гашение разряда 440
Герца диполь 340 и д., 351
Гндростатщса 195
Гирокомпас 161, 16$
Гиромагнитные явления 477
Гироскоп 157 и д.
Гистерезис 470
Главный вектор системы сил 120, 147,
J 72, S&9; — момент системы сил 114,
148, 174
Глубина проникновения 482
Годограф вектора скорости 83, 84,
521
Гравитация 263
Градиент 24, 35
— векторный 36, 40; •—
поверхностный 48, 278
Грамм-эквивалент 424
Граничные условия для преломления
электромагнитных волн 348
— условия для преломления
электромагнитных волн в анизотропной
среде 379 и д.
Граничные условия на поверхности
раздела диэлектриков 261—%Ш
—условия на поверхности раздела
проводников 298—299
Грина формула 274
Давление 196, 504, 558
—< гидростатическое 534;-«нор*
мальное ПО; — поверхностное 227
Даламбера принцип Ш в д., 199
Дальнодействие 290
Движение апериодическое 96
— винтовое 146; — внхревое 201;
— жидкости (установившееся) 198,
201 и д.; — молекулы 156; —невнх-
ревое 201; — планет 92 к д,; —
плоское 145; — потенциальное 201 и д.;
— равномерное и прямолинейное*
84, 85; — твердого тела 145 и д.; —
условно периодическое 136; *■* шара
в жидкости 221 н д.
Двойной слой магнитный 307
электрический 277
Дебая — Хюккеля теория
электролитов 429
Дебая —Шерера метод 39?
Девиации 160
Действие- н противодействие 87
— по Гамильтону 126; — Лагран-
жу 133; —укороченное 133
Декремент затухания 99, 325
Делоне элементы 142
Дефект массы 261, 560
Деформация 142, 166 и д.
— равновесная 175; -~ сдвига 185
Джоулева теплота 299, 349
Джоуля-—-Ленца закон 300
Диаграмма векторная 53, 100 и д.,
321, 390, 421, 507, 551
Двада 39
Диамагнетики 296, 302, 459
Дивергенция 27
— поверхностная 47, 269, 310;«—■
векторная тензора 494
Дннама (динамический винт) 149
Динамика 120, 147
Диоптрия 411
Диполь атомный 459, 464
— Герца 340 и д., 351; —магнитный
300, 644; — электрический 276, 542
Дисперсия 67, 265
— аномальная 462; — нормальная
462; — относительная 554
Дисперсии теория (электронная) 337,
460 и д.
Днсторсия 496
Дифракционная решетка 391-«393,
561
Дифракционные максимумы 393, 394,
419
Дифракция 376, 384 и д., 554
— нейтронов 473; — Фраувгофера
390, 418; — Френеля 390, 398
Дифференциальное уравнение
колебаний 55, 334, 511
Дифференциальные операции
векторные 42 н д.
Дифференциалы физические 7
Диэлектрики 261 и д.
Длина волны 66
_« — де-Бройля 560; —
оптического путн 402, 554; — свободного
пробега 443, 446, 456, 457
Домены 472 — 473
Допплер-эффект 239, 250, 449, 490
Дроссель 324
5»
Емкость т> 321, 507, 542, 559
— отрицательная 507
Единицы измерения физических
величин 86, 270, 304, 558—559
Жидкость вязкая 195, 217 и д.
— идеальная 195, 203, 211;
—несжимаемая 200 и д., 220
Жуковского формула 212 и д.
Закон Био —Савара 114, 211, 304,
307, 343, 488; — Бойля — Мариотта
196, 201, 216; — Брюстера 360;
— взаимосвязи массы и энергии 261;
— Видемана — Франца 456—457;
— всемирного тяготения 92, 235,
263; — Гагена — Пуазейля 217 и д.;
— Гука 176; —действующих масс
429; — Дюлонга и Пти 458; —
зависимости массы от скорости 260, 437,
489; — инерции 85, 233; — Кулона
269; —Кюри — Вейсса 469, 474,
— Малюса 402, 404; — Ома 298, 321,
424, 431, 452, 544; — отражения 356,
379, 402, 418; — Пашена 444; —
преломления 356, 361, 366, 379, 402, 412,
418; — преломления силовых линий
283, 299, 303; — равенства действия
и противодействия 87, 109 и д., 172;
— равномерного распределения
энергии по степеням свободы 455, 458;
— синусов Аббе 411, 415, 496, 553;
— сохранения импульса 453;
—сохранения количества движения 112,
257, 453, 529; — сохранения полного
момента количества движения 114,
156; —сохранения энергии в
механике 90, 117;—-сохранения энергии
в электромагнитном поле 348 и д.,
361, 368; — степени */2 510; — Сток-
са 225; 266, 425, 432; — Фарадея
424; — Ферма 402; —
электромагнитной индукции 315 и д., 331, 484
Законы Кеплера 91, 94, 95
— Кирхгофа 297—298, 321—322; —
Ньютона 85 и д.; — электролиза
265, 424 и д«
Заряд истинный 282
— магнитный фиктивный 309; —
объемный 445, 509; — поверхностный
268, 542; пространственный 268, 273,
333, 444; — свободный 282, 286,289,
303, 486, 310, 332, 541; — связанный
282; — точечный 269, 273; —
элементарный (электрический) 424, 432,
554, 560; — удельный 436, 449,561;
— Фарадея 433, 554, 561; —
эквивалентный 424, 554, 561; -~
электрический 266, 268, 559
Зона волновая 343 и д.
Зонные пластинки 398, 401
Зрачок входной 419, 496
— выходной 497
Изгиб 181 и д.
Излучение диполя 340 и д.
Изображение Гаусса 404 и д.
— коллинеарное 404 и д.
Изображения центрированные 405
Изогира 383, 551
Изохроматы 383
Импульс 88
— силы 88; — обобщенный 126 и Д.
Инварианты тензорные 177, 181, 515
Индуктивность 318, 321, 507, 559
— взаимная 317, 320, 327, 548
Индукция взаимная 317
— магнитная 302, 458; — тока в
движущемся контуре 484
Инерция 85, 92
— молекул 464; — электронов 453
Интеграл Кирхгофа 389—390
— фазовый 135 и д.; — Фурье 59,519
Интегралы движения 90 и д.
— эллиптические 109, 547
Интенсивность вихревой нити 210
—- намагничивания 3Q2; —
поляризации 284
Интерференция 359, 419 и д. .
Интерферометр Фабри —Перо 420 —
421
Интерферометры 419
Ионизация излучением 439
— термическая 439; —ударная 439,
447
Ионосфера 557
Ионы 424, 438
— вторичные 442
Источники 27, 200, 204
Камера Вильсона 444
Камера-обскура 496'
Катеноид 537
Качение 106, 528
Качение—скольжение 147
Квант 439, 560
Квантование пространственное 467,
469
Кварц 503 и д.
Кеплера законы 91, 94, 95
Кеплерово движение 92, 131, 133, 139
Кинематика твердого тела 142 и д.
— материальной точки 83 и д.
Кирхгофа правила 297, 298
Колебания ангармонические 102 и д.,
108; — вынужденные 99 и д., 326,
460, 464, 506; — вынужденные
атомов 393; — гармонические 51 и д.,
95 и д., 108; —затухающие 98, 100,
317, 325, 462, 506; —в контуре
323 и д., 505 и д., 533, 549; —
круговые 63; — крутильные 152; —
линейные 62; — мембраны 187, 192 и
д., 533; —модулированные 60, 328;
— незатухающие 97, 101.; —
плазмы 510 и д.; — решетки 456; —
струны 187 и д.;—эллиптические 62
Количество движения 86, 257
— электричества 267, 546
Компенсатор 364, 382
Компоненты вектора 10, 12
— ковариантные и контравариант-
ные 15; — тензора 37
Конденсатор 299, 507 — 508, 543 и д.
— плоский 280, 281, 487, 538 и д.
— сферический 278 — 279, 289; —
цилиндрический 280, 539
Контур апериодический 326
— колебательный 324, 327 и д., 344,
506; — с затуханием 323; —
свободный 324
Контуры колебательные связанные 327
Конус касательный 540—541
— нутации 163; — прецессии 163
Координаты косоугольные 14, 96, 252
— обобщенные 123;
—ортогональные криволинейные 44 и д.; —
сферические 45, 46, 272, 518, 529; —
цилиндрические 46, 272, 517, 536, 539;
— эллиптические 45
Кориолисова сила 237, 262, 492
Кориолисово ускорение 236
Коши — Римана условия 75, 205
Коши теорема интегральная 76
Коэффициент взаимной индукции 318
— внутреннего трения 218; —
вязкости 218 и д.; — затухания 339—340,
506, 545—547; — квазиупругой связи
537; — отражения 361; —
поверхностного натяжения 226; — Пуассона
176,. 184; — рассеяния 312; —
самоиндукции 318; — сжимаемости 178,
535, 559; — теплопроводности 457;
— трения 526; — увлечения
Френеля 490, 495
Коэффициенты ионизации 443 и д.
— пьезоэлектрические 503; — Фурье
56, 191, 194
Краевой угол 230
Кривизна линии 22
— средняя поверхности 231
Кривые равного наклона 421
— равной толщины 420
Кристаллооптика 366
Кристаллы ионные 502;
— одноосные 378 и д., 383, 544
Кручение 23, 185
Кулона закон 269
Лагранжа неопределенные
множители 119, 229, 373
Лампа ртутная 447
— электронная 441
Лапласа оператор 43
— уравнение 76, 204, 272, 275, 539,
541; —формула 228
Линейный осциллятор 135, 346, 347
Линза магнитная 438
— тонкая 552; — электронная 438,
498, 556; — электростатическая 499
Линии вихревые 209
— поглощения 461, 462;—силовые
267, 269, 301, 311, 545; — тока 199,
305, 310; — уровня 133, 184
Линия каустическая 415, 418
— узлов 142,143; —
эквипотенциальная 206
Листок магнитный 307—312
Лоренца преобразование 244 и д.,
492 и д.
Лоренца сила 129, 484
Луч необыкновенный 376
— обыкновенный 376, 550 и д.;
— фокальный 407
Лучепреломление двойное 382
Лучи главные 497
— Рентгена 336, 393; — анодные 449;
— каналовые 241, 251, 449, 486; —
катодные 433, 438, 449; —
сагиттальные 417;
— электронные 433, 438
Магнетон Бора 460, 561
— ядерный 561
Магнетостатика 309
Магнитопровод 312
Магнуса эффект 214
Максимум интерференционный 419
и д.
Масса инертная 86, 92, 235, 499, 259
— материальной точки 83; —
нейтрона 560; —покоя 258, 437;—
поперечная 489, 259; — приведенная
527; — продольная 259, 489;
—протона 436, 560; — ракеты
(мгновенная) 113; — тяготеющая (тяжелая)
92, 235, 263; — электрона 436, 560
Масс-спектрограф 449
Матричное исчисление 49—51
Маятник математический 106 и д.,
156, 530; — оборотный 156, 530; —
плоский Г06 и д.; —
пространственней 107; — приведенный 531;—*-
— физический 156, 530; — Фуко 235*
492, 537
Международная система единиц (СИ)
270, 558
565
Мениск 229
Металлоштика 364
Метод Дебая — Шервра 397
— изображений 279, 289; — Милли*
кена 432; — подымающегося
уровня 294—295; — разделения
переменных 137 и д.; —
феноменологический 265, 303
Метрика пространства 262
Механизм зажигания разряда 443*«*
444
Механика квантовая 49, 468—468
— небесная 13$; — релятивистская
257 и д.
Микроскоп 419
— электронный 452, 501
Минимум интерференционный 419 к д.
Многоугольник веревочный 150* 530
— силовой 149, 530
Множители Лагранжа 119, 229, 37&
Множитель размагничивания 288
Модули пьезоэлектрические 504
Модуль сдвига 178
— сжатия (объемный) 178;--» упру*
гости (Юнга) 176 н д., 559
Молекулы полярные 285» 464, 557
Момент возвращающий 152, 301, 313,
533, 545;—диполя 276, 284 и Д„
458 н д., 556;— инершш 150 н д.,
183, 301, 528 и д.; — количеств
движения полный 113 и д., 142, 147,
151, 156; — количества движения
материальной точки 92, ИЗ, 477;
— магнитный 301, 309, 476, 478; —
— магнитный молярный 468;—ор«
битальный 477; — пары 149; —
силы ИЗ, 148, 289, 301; — системы
сил главный 114, 148» 174
Моменты девиационные 154, 160
Мощность 559
— активная 323; — мгновенная 323
Набла 34
Намагничивание 302, 311, 458
~* индуктированное 314; —
остаточное 470; — спонтанное 470
Надр*ж*ние внутреннее 174, 473
— механическое 171 н д., 473;—
касательное ' 172, 195;«— пробивное
444; — скалывающее 172 и д,
— электрическое 297, 559
Напряжения главные 173
Напряженность магнитного ноля 301,
559; — электрического коля 266
Насыщение намагниченности
470;—поляризации 466
Натяжение поверхностное 226, 229
Николь 550
Нить вихревая 210
Нормаль главная 21
Нормировка собственных лекторов
на единицу 516
«и- потенциала 204, 274; -~
собственных функций 195
Носители заряда 425, 438, 440, 452
и д.
Нутация 159 и д., 163 и д,
Ньютона законы- 85 и д.
Область геометрической тени 384, 388,
400; — дисперсий интерферометра
422
Оболочка атома электронная 438, 459
Обтекание кругового цилиндра 207
— профиля крыла самолета 215
Общая теория относительности 92,
235, 262 и д.
Объем удельный 463
Одновременность событий 244, 247
Ома закон 296 и д., 321, 424, 431,
452, 544
Оператор Лапласа 43, 46
— «набла» 34; — «набла» 1Ш«
верхностный 48
Оптика волновая 402, 404
— геометрическая 402 и л* 496
498; — движущихся тел 261» 489
к д.; •— электронная 449, 452, 496
и д., 556
Опыт В. Вина 486, 495
— Вильсона 485; — Кауфмана
436—437; — Майкедьсона и Мор-
лея 241 и д., 490; — Рентгена и
Эйхенвальда 486—487; — Pov-
ланда 486; — Саньяка 490—492;
— Таунса 490; — Толмена 453;
— Толмена мысленный 257;
— Троутона п Нобля 487—488;
— Фиэо 489
Орбита гиперболическая 141
— эллиптическая 94, 141
Ортогональности осйктаенных
функций 194
Ортотомные лучевые системы 404
Основная задача вариационного
исчисления 78 и д.
Основной закон механики 86, 88,231
в теории относительности
256—260
Основные уравнения злектромаг*
нитного поля: первое 331 и д„
второе 317
Оси кристаллографические 471;
— оптические 376—379
Ось вращения 144 и д»;
— деформаций (главная) 169,
171, 177, 180; — инерции
(главная) 155, 157, 239, 530, 531, 53?»
5§&
538; -* оптическая (главная)
405, 411, 552; — полярная
(кристалла) 503; — системы сил
(центральная) 148
Осциллятор 344, 461, 527, 537
■— линейный 135, 346, 347; —
электрический 344
Отверстие объектива
(относительное) 554
Отклонение падающего тела к
востоку 238
— светового луча в поле тяготения
263
Относительное изменение объема
170
-— отверстие объектива 554;
— поперечное сжатие 176;
— удлинение 170 и д.; —
ускорение 236
Отношение гиромагнитное 471,
476 и д.
— заряда к массе 436, 450, 453, 561
Отображение коллинеарное 409 и д.;
— конформное 73 и д., 205
Отражательная способность 361, 366
Отражение электромагнитных волн
355 и д.
Отрыв пограничного слоя 214
Падение потенциала (катодное) 445
— тел 87; •— тел на вращающейся
Земле 237 — 238
Пара сил 149
Парамагнетики 296, 302, 459, 467
Переменная действия 134 и д.?
— циклическая 131 нд,
Переменные канонически
сопряженные 130
— канонические 134 и д,; — угловые
133
Перемещения виртуальные 118^ 228
Перигелий 142, 263
Периодическая састема элементов
Менделеева 438, 479
Петля гистерезиса 470
Плазма 510, 557
Планы сил 149
Планка постоянная 439, 560
Пленки тонкие (жидкие) 230 и д.
Плечо пары 149
Плоскость главная 406, 552, 553
— колебаний 357; — наклонная 117;
— нормальная 21; — падения 356;
— поляризации 68, 857; —
соприкасающаяся 21; — спрямляющая
22; — фокальная 405 и д., 554;
— эклиптики 164
Плотность 9, 152, 185, 196, 216, 535
— заряда объемная 268, 275, 555;
— заряда поверхностная 269;
— магнитного момента 307 — 309;
— оптическая 361; — тока 297 и
д., 509; — энергии в однородном
диэлектрике 292; — энергии
магнитного поля 303, 349; — энергии
металла 458; — энергии упругой
деформации 180—181; — энергии
электрического поля 291 и д., 349,
367; — энергии электромагнитного
поля 337
Поверхности минимальные 231, 536
— уровня 24, 513; —
эквипотенциальные 197, 273, 280, 299, 499
Поверхность волны (лучевая) 376
— нормалей 376
Поворот бесконечно малый 144, 146
— системы координат 37, 254
Подвижность ионов 426
Показатели системы кристаллических
плоскостей 395
Показатель преломления 249, 336,
339, 460 и д., 489, 498 и д.
Поле безвихревое 301, 305
— векторное 25, 90; —вихревое 211,
302, 331; — магнетостатическое
300 и д.; — магнитное Земли 301,
304 ид.;—- магнитное тока 297, 300,
304 и д.; — магнитное однородное
309; —силовое 89 и д.; 266;
— скалярное 23, 90; — скоростей
204; — тяготения 92, 139, 235;
— электрическое Земли 273;
— электростатическое 266 и д.,
281 и д., 428
Полная энергия небесного тела 94
и д.
> системы материальных точек
115 и д., 127 и д,
— энергия электростатического
поля 290 и д.
Полное отражение 361 и д.
Полный момент количеств
движения 113 и д., 142, 147, 151, 156
Полосы Акулова — Биттера 473
— интерференционные 134, 243, 551
Полюс магнитный 114
Поля квазистационарные 315 и д.
—- макро- и микроскопические 462;
— стационарные 296, 305, 481
Поляризатор 384
Поляризация атомов 486
— диэлектрика 284, 332, 458, 485,
487, 502 и д.; — молекул
(деформационная) 459 и д.; — молекул
(ориентационная) 459, 464; —
молекул (электронная} 459; — света
(круговая) 364
Поляризованность 284, 294
567
Поляризуемость 289, 366, 461, 485,
556
Поперечник атома газокинетический
438
Порядок дифракционного спектра
392
Последовательность событий 247
Постоянная Больцмана 455, 465, 560
— Вина 561; —газовая 561; —
гравитации 560; — действующих масс
429; — Кюри 468; магнитная 316;
— Планка 439, 560; —
кристаллической решетки 395, 398; — Ритберга
561; — сверхпроводимости 480;
— Стефана — Больцмана 561;
тяготения 92; — электрическая 271;
— электродинамическая 270, 316
Потенциал векторный 305 и д., 320,
341
— внешних сил 117, 197, 209, 228;
— внутренних сил 116—117;
— возбуждения 439, 560;
—двойного слоя 277, 308; — диполя 276—277,
285, 310, 544; — запаздывающий 345;
— ионизации 438, 560; —
комплексный 206 и д., 213;—силового поля 90;
202; — силы тяжести 107, 202,228—
229; — скоростей 201 и д.; —
упругий 179, 181; электростатический
271 и д., 305
Поток безвихревой 202
— вектора напряженности
электрического поля 267; — вектора
магнитной индукции 316, 485, 559;
— двумерный 204, 211;— жидкости
198 и д.; —ламинарный 217 и д.;
— магнитный 312, 319, 537, 548; —
стационарный 198 и д., 534; —
тепловой 457; — циркуляционный 206
211; —энергии 337 и д., 557, 559
Потокосцепление 319
Правило Ленца 318
Превращение энергии 89, 299
Предметное пространство 404 и д.,
552
— расстояние 406
Преломление электромагнитных волн
348, 355 и д.
Преобразование аффинное 37, 168;
— Галилея 232 и д., 245 и д., 492;
— линейное 36, 253; — компонентов
вектора и .тензора 37—38; —
Лоренца 244 и д., 492 и д.; —
ортогональное 37, 50, 144
Преобразования канонические 139
и д.
Прецессия 162 и д., 478, 532
— астрономическая 164; —
регулярная 159
Призма Николя 383—384, 550
Принцип Архимеда 198
— Больцмана 465, 468;
—вариационный (в механике) 128;
—виртуальных перемещений 118 ид.,
228; — Гамильтона (наименьшего
действия) 128 и д.; — Гюйгенса
376, 380, 384, 393; — Даламбера
118 и д., 199; —обратимости в
теории дифракции 387 и д.; —
равенства действия и противодействия
87, 109 и д., 122, 15Д, 165, 17; —су.
перпозиции 71, 349
Пробой электрический 443
Проводимость удельная 298, 429 и д,
— эквивалентная 428
Проводники 273 и д., 298 и д.
Произведение векторное 15
Производительность источников 27
Производная конвективная
(переноса) 200; — локальная 200,
201, 512; —субстанциональная 200,
512
Производящая функция
канонического преобразования 130
Проницаемость диэлектрическая 271,
281, 458 и д., 460, 464
— магнитная 296, 309, 458, 549
Пространство абсолютное 232, 239,
262
— изображений 404 и д., 552; —
четырехмерное 254 и д.
Профиль скоростей 219
Процесс нестационарный 215;
— переходный 324 и д.
Пуассона уравнение 212, 446—447, 509
Пульсация скорости и давления 219
Путь оптический 402, 412
Пучки гомоцентрические 409
— параксиальные 553
Пьезокристалл 508
Пьезоэлектричество 502 и д.
Пятно катодное 448
Работа 88 и д., 271 и д., 290, 299
— внутренних сил 115;
— выхода 438; — ионизации 440
Равновесие жидких и газообразных
тел 195 и д.
— материальной точки 113; —
системы материальных точек 118;
— твердого тела 147 и д.; —
упругого тела 174—175; — химическое 429
Равнодействующая 86, 118, 147
Радиоволны 336
Разность фаз 52, 335, 340, 346
Разрешающая способность
оптической системы 418—419
—* способность спектрального ап-
568
парата 392, 421—422, 554
Разряд дуговой 445
— несамостоятельный 440 и д.;
— самостоятельный 440, 445 и д.;
— тлеющий 445; —установившийся
445; —электрический (в газах)
440 и д., 509
Ракета ИЗ, 527
Распределение по скоростям 454,
456
Рассеяние магнитного поля 312
Расстояние изображений 406
Растяжение 169
Растяжения главные 171
Расход источника 27, 204
Расхождение 27
Реакции связей 106 и д., 118, 120, 150
— ядерные 261, 560
Резонанс 101 и д., 323, 505, 548
Релеевское рассеяние света 464
Рентгеновы лучи. 336, 393, 441, 557
Рефрактометр интерференционный
489
Рефракция 463 и д., 556
— коническая (внешняя) 381
— молярная 463, 466
Решетка двумерная 393, 398
— кристаллическая 367, 424, 452,
471, 503; —трехмерная 393
Ротор 31
— поверхностный 48, 203, 283, 350;
— четырехмерный 256, 494
Ряды Фурье 55 и д., 104, 137, 191 и д.
Самоиндукция 317, 318, 321
Сверхпроводимость 300, 479 и д.
Свет поляризованный 357 и д., 362,
382
Свечение катодное 445
Связи 105 и д., 118 и д.
— голономные 119, 125;
—идеальные 106; неголономные 125;
— нестационарные 125; — реоном-
ные 125;—склерономные 119;
— стационарные 119, 125
Связь индуктивная 327, 344
— квазиупругая 460; — неудержи-
вающая 110;—удерживающая 105
Сдвиг фаз 52, 62, 101 и д., 506, 550
Сегнетоэлектрики 349, 367, 376
Сжатие 170
Сжатие адиабатическое 216
— поперечное 176
Сжимаемость жидкостей и газов 195,
217
Сила 85, 558
— выталкивающая 198, 211;
—касательная 217 и д.; — Кориолиса
237, 262, 492; — коэрцитивная
470; — магнетодвижущая 312;
— обобщенная 125; — оптическая
(системы линз) 411; — подъемная
198, 212 и д.; — релаксационная 430;
— света 559; — тока 297 и д., 559;
— трения 89, 97, 116, 195,
522;—тяжести 89, 118 и д., 162 и д., 171, 182,
235, 237, 534; — ударная 88; —
упругая 88,91,533;—центробежная 122,
198, 231, 262, 492;
—центростремительная 122; — электродвижущая
278, 315, 485; — электрофорная 430
Силы внешние ПО н д.
— внутренние 110 и д., 168, 172}
— гравитационные 85, 93, 226;
— инерции 122, 172, 185, 189 и д.,
231 и д., 262;—квазиупругие 95,
152; —консервативные 89, 107, 209,
529; —межмолекулярные 166, 179,
226; —неконсервативные 89, 125,
129; — объемные 171, 185, 196;
— пондеромоторные 289, 312;
— центральные 91 и д., 114, 477?
— электростатические (Кулоновы)
97, 272, 290
Система ангармоническая 324
— вырожденная 141; — отсчета
движущаяся 233, 241; — инерциальная
232 и д.; — неинерциальная 234 и д.;
— отсчета вращающаяся 235, 537;
— равноускоренная 234
Системы периодические 133 и д.
— неортотомные 404; -сил
(эквивалентные) 147 и д.; —«условно
периодические 133 и д.
Скаляр 9
Скин-эффект 328 и д.
Скольжение 528
Скорость абсолютная 233, 239
— групповая 69, 464; —звука 217,
239, 535; —истечения 113, 201, 527,
534, 535; — комплексная 206 и д.;
— лучевая (в кристаллах) 369;
— мгновенная 113; —обобщенная
123; —относительная 234, 236, 239;
— переносная 234, 236; — потока
198 ид.; —потока энергии 371;
— распространения волн 66 и д.,
185 и д., 335 и д.; —
распространения сигнала 70; —сверхсветовая
(геометрическая) 249; —света 241
и д., 335, 489 и д., 560; —секторная
— 91, ИЗ, 477; —теплового
движения электронов 454 и д.; —угловая
1,44, 151, 156 и д., 236, 459, 478;
— фазовая 65, 70, 185 и д., 217, 249,
335, 348, 363, 370, 376, 464, 489, 549,
557
Сложение волн 67 и д.
569
— колебаний 52 и д., 61 и д.;
—скоростей в теории
относительности 249
Слой пограничный 203 и д., 211 ид.
Смачивание 230, 231
Смещение красное 263
— электрическое 281 и д., 315, 485
Собственные значения 190 и д., 516
Сокращение длины в движущейся
системе отсчета 248
Сопротивление 297, 559
— емкостное 322; — излучения 348;
— индуктивное 321;
—комплексное 321 и д., 548; — магнитное 312;
— омическое 321, 507; —полное
323; — удельное 298
Состояние стационарное 100, 213
Спектр электромагнитных волн 336
Спин электрона 477
Спираль Корню 399
Среды анизотропные 366 и д., 458
— сплошные 167, 265
Стабилизация частоты
колебательного контура 505 и д.
Статика 120, 147
Степень вырождения 141
— диссоциации 428 и д.; —
ионизации 439; — поляризации
света 360, 361
Столб положительный (в
газоразрядной трубке) 445, 511
Столкновения упругие 454
Струна 188
Суперпозиция волн 67 и д., 190, 349
Счетчики частиц газонаполненные 440
Твердое тело 142 и д.
Телескоп 418
Тембр 192
Температура критическая перехода в
сверхпроводящее состояние 479
Тензор 37 и д., 144, 168, 173
—• деформации 170 и д., 503; —
диэлектрической восприимчивости 367;
— диэлектрической проницаемости
282, 367 и д.; —инерции 157, 160;
— мировой 255 и д., 492 и д.; —
напряжений 173 и д., 224, 504; —
показателя преломления 369; —
электромагнитного поля 494
Теорема Гаусса — Остроградского 28,
36, 174, 200, 224, 274, 293, 310, 349,
385, 514
— Коши (интегральная) 76, 212;
— Лармора 459, 477; —о вычете
78, 520; площадей 91 и д., 477;
— площадей обобщенная 92, 107;
— сложения скоростей
(релятивистская) 248, 490, 495; — Стокса 31,
570
— 76, 208, 307, 316—317; — Томсо-
на о сохранении циркуляции 208,
210, 215; ~ Торричелли 534; —
Ферма 416; —Эйлера об однородных
функциях 128
Теоремы Гельмгольца о вихрях 209
Теория дисперсии (электронная) 337,
460 и д.
— Максвелла 317, 332;
—относительности 231 и д., 483, 492; — Та-
унсенда возникновения разряда 444,
445; — электролитов Дебая — Хюк-
келя 429 и д.; — электронная 2250
265, 423 и д.
Теплоемкость удельная 216, 458
Теплопроводность металлов 456
Ток индукции 315, 317
— конвекционный 331, 434, 486, 511;
— насыщения 441, 510;
—нормальный 480; —переноса 486;
— проводимости 333, 483; —
сверхпроводимости 480; —смещения 332,
487, 507, 511
Точка абарическая 541
— истока 285; — Кюри 469; —
материальная 83; —наблюдения 285,
306—307, 387; — Нееля 473—474;
— поворота 107, 136 и д., 525
Точки главные 406;
— сопряженные (в оптике) 552
Траектории жидких частиц 199
Траектория баллистическая 532
Траектория движения материальной
точки 83, 96
— заряженной частицы в
магнитном поле 435
Трение 89, 97, 160 и д., 425; —
внутреннее 203, 217 и д., 425
Трехгранник сопровождающий 22
Триод 441
Трубка вихревая 210
Турбулентность 219
Турбулентный отрыв пограничного
слоя 214
Увеличение поперечное 406
— продольное 408; — угловое 408
Углы Эйлера 143
Угол Брюстера 360
— дифракции 392, 396; — краевой
230; — отражения 355; — падения 8,
355, 365; — полной поляризации 360;
— преломления 355; — скольжения
396, 398
Удар 88, 117, 163—164, 192
— упругий 117, 529; — центральный
117
Удлинение времени в движущейся
системе отсчета 247
•— относительное 170 и д.
Уравнение Бернулли 202, 208
— Бесселж 519; — вековое 515;
— волновое 66» 186, 217, 333». 345,
385, 492, 535; — Гамильтона —
Якоба 131 ид.; — гармонических
колебаний 55, 508, 527,566; — Гельмгольца
— Лагранжа 413; ■— гидростатики
(основное) 196 и д.; — колебаний
мембраны 193; — колебаний струны
189; — Лапласа 204,539,541; — На-
вье — Стокса 221; — непрерывности
200,511,514; —плоской волны 66,185
335; — Пуассона 272, 446 — 447, 509;
— равновесной формы поверхности
жидкости 227; — секулярное 515 и
д.; — траектории планеты 93 и д.;
— фокальной кривой
масс-спектрографа 451; —■ характеристическое 96
и д.; — Циолковского 528; —
Эйлера—Лагранжа 79 н д., 128, 520
Уравнения Гамильтона 126 и д.
— гидродинамики основные
(Эйлера) 198 и д., 215 и д.; —движения
86 и д., 106; — движения в
канонической форме 126; — канонические
130;— Лагранжа второго рода 122
и д., 529; — Лагранжа первого
рода 118, 121 и д.; — Максвелла 333
и д., 350, 367; — Максвелла для
металлов 338; — связей 119 и д.;
— Эйлера для волчка 239, 537;
— электромагнитного поля 333, 483
Ускорение 84 и д., 234
— абсолютное 236; — касательное
84; — Кориолиса 236; — нормальное
84, 198; — относительное 236; —-
переносное 236, — угловое 152
Условие синусов Аббе 411, 415—417,
496, 533
— тангенсов 417, 497
Условия Коши —Римана 75, 205
Фаза колебания 51
Ферриты 475
Ферромагнетики 302, 309, 349, 467 и д.
Фигура Аббе 498
Фигуры дополнительные 388
— Лиссажу 63, 137
Фокусные расстояния 406, 498 и д.,
553
Фокусы 405 и д.
Формула барометрическая 197
Формула Бернулли 202, 212
— Грина 385, 274; — дисперсионная
461 и д., 520; — Жуковского 212 и
д.; — Кирхгофа 384—386; — Лапласа
228; — линзы 401, 407; — Лоренц—
Лорентца 463; — Максвелла 337;—«
Стокса 221, 225; —Томсона 325;
— Циолковского 528; — Эйлера
52, 98
Формулы изображения 406
— Френе 22—23, 42; — Френеля 359«
361 и д<
Фотометрирование 8
Фотоэлемент электровакуумный 441
Фронт волны 355, 371, 376, 380
Функции Бесселя 419, 519
— Неймана 519; — собственные 191
и д.; — Томсона 330; —
цилиндрические 194, 330, 419, 519
Функция Лагранжа 125 и д.
— Ланжевена 466 и д.; —
Гамильтона 127 и д.; — однородная 126 и
д.; — силовая 89 и д.; —тока 205 и
д.;— экстремальная 78 и д.
Фурье интеграл 59,
— ряд 55 и д., 104, 137, 191 и д.
Характеристика диода 5Q9
— падающая 448—-449
Цвета дополнительные 366
Центр вращения (мгновенный) 145
— инерции 92, 147, 153, 526 и д.; —
масс 92, 113; — тяжести 92, 113 и д.,
147, 153, 530
Центроида 145
Цепь магнитная 312
Циклоида 526, 532
Циркуляция 208 и д.
Частицы элементарные 264
Частота 51, 97, 135 и д.
— затухающих колебаний 98, 325,
524; — колебаний атома 461; —
незатухающих колебаний 97, 113; —
несущая 60; — угловая 51
Частоты боковые 60
— колебаний струны 190; —
мембраны (собственные) 533; —
системы 137 и д.
Числа переноса 427
Число Авогадро 427, 433, 561
— Лошмидта 561; —Рейнольдса
219; — степеней свободы системы
119 и д., 142 и д.
Ширина резонансной кривой 102, 507
Широта магнитная 303
Штарк-эффект 486
Штейнера теорема 153
Э.д.с. индуцированная 316, 547, 559
Эйнштейна — де-Гааза эффект 477
Эйнштейна закон взаимосвязи массы
и энергии 261
Эксцентриситет орбиты 94 и д., 142
Электрет 486
Электролиты 423 и д.
Электрон 433, 436, 489
Электроны вторичные 440, 442
— проводимости в металлах 454
Электропроводность газов 432 и д.
— металлов 452 и д.; — растворов
электролитов 423 и д.; — удельная
298, 338
Элементы Делоне 142
Эллипсоид деформации 169—170
— инерции 155, 157, 530; —
напряжений 173; — показателя
преломления 370; — тензорный 41 и д., 171,
195, 368, 375, 378, 515; —Френеля
369, 376
Эмиссия автоэлектронная 440,
— термоэлектронная 447; —
холодная 448
Энергия внутренняя 117
— вращательного движения 528; —
движения частей системы
относительно центра тяжести 116; —
заряженного конденсатора 294; —
ионизации 439; — кинетическая 88 и Д.,
115 и д., 124, 152, 155; —кристалла
в электрическом поле 504; —
магнитного листка 314; —магнитного
поля 314, 319; — магнитной
анизотропии 473; — механическая 89; —
переноса системы 116; — поверхностная
226; — потенциальная 89 и д., 118,
179, 226, 272, 289 и д., 314;
—упругой деформации 179, 473; —
электрического поля 290 и д., 349, 367;
— электромагнитного поля 337, 548;
— ядерных реакций 560
Эфир 232, 241, 262, 483
Эфирный ветер 263, 488
Эффект Барнетта 477
— гиромагнитный 114, 477; —
гироскопический 531;— Допплера 239,
250 и д., 449, 490; —Магнуса 214,
532; — Мейсснера 479; —
пьезоэлектрический 502 и д.; — Физо 249,
489—490; — фотоэлектрический 358,
440, 444; —Штарка 486
Юнга модуль 176 и д., 559
Явление срыва 102 и д., 525
Ядро атома 438.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. Назначение и методы теоретической физики &
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТЕМАТИКИ
Предварительное замечание 9
ГЛАВА I. Векторное исчисление
§ 1. Понятие вектора 9
§ 2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на
скаляр 11
§ 3» Скалярное произведение двух векторов 13
§ 4. Векторное произведение двух векторов. Плоская
площадка как вектор 15
§ 5. Последовательные перемножения векторов 18
§ 6. Дифференцирование вектора по скаляру. Приложение к
теории пространственных кривых 20
§ 7. Пространственное дифференцирование скалярной величины 23
§ 8. Понятие дивергенции и теорема Гаусса — Остроградского 26
§ 9. Понятие ротора и теорема Стокса 29
§ 10. Оператор «набла» 34
§ 11. Образование градиента в векторном поле. Основные
понятия тензорного исчисления 36
§ 12. Вычисление векторных дифференциальных выражений с
помощью оператора «набла» 42
§ 13. Векторные дифференциальные операции в ортогональных
криволинейных координатах 44
§ 14. Вырождение векторных дифференциальных операций прн
наличии поверхностей разрыва в поле 46
§ 15. Приложение. Основные понятия матричного исчисления • 49
ГЛАВА II. Математические основы учения о колебаниях и волнах
§ 1. Простые гармонические колебания 51
§ 2. Разложение сложных периодических процессов в ряды по
гармоническим колебаниям (ряды Фурье). Интеграл Фурье 55
§ 3. Модулированные колебания и биения 60
573
§ 4. Сложение колебаний вдоль разных осей. Фигура Лиссажу 61
§ 5. Распространение волн 65
§ 6. Сложение нескольких волн, распространяющихся в одном
направлении. Линейно и эллиптически поляризованные
волны. Групповая скорость 67
§ 7. Сложение волн одинаковой частоты, распространяющихся
по разным направлениям. Стоячие волны 71
ГЛАВА III. Некоторые сведения из теории функций комплексной
переменной
§ 1. Конформное отображение плоскости на плоскость 73
§ 2. Условия Коши — Рнмана и уравнение Лапласа 75
§ 3. Линейные интегралы в комплексной плоскости.
Интегральная теорема Коши '. 76
ГЛАВА IV. Основная задача вариационного исчисления н ее решение
§ 1. Постановка задачи ....,.*...»*»*».••• 78
§ 2. Вывод уравнения Эйлера — Лагранжа **»»»*••» 79
РА ЗДЕ Л ВТОРОЙ
МЕХАНИКА
ГЛАВА I. Механика материальной точки
§ 1. Основнне понятий кинематики 83
§ 2. Основные законы механики Ньютона 85
§ 3. Интегралы от силы по времени и пути. Работа и энергия • 87
§ 4. Консервативные силы. Потенциал 89
§ 5. Центральные силы. Теорема площадей . . . » 91
§ 6. Силы тяготения. Движение планет 92
§ 7. Квазиупругие силы и гармонически* колебания 95
§ 8. Гармонические колебания при наличии трений 97
§ 9. Вынужденные колебания. Резонанс 99
§ 10. Ангармонические колебания. Явление срыва 102
§ 11. Механика несвободной материальной точки. ПлоскйИ
математический маятник 105
ГЛАВА II. Общие теоремы механики системы материальных точек
Предварительное замечание ПО
§ 1. Теорема о движении центра инерции 111
§ 2. Поведение полного момента количеств движения системы . 113
§ 3. Полная энергия системы материальных точек 115
§ 4. Принцип виртуальных перемещений, принцип Даламбера
и уравнения Лагранжа первого рода 118
§ 5. Уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных
координатах . . 122
§ 6. Обобщенные ймпульськ Уравнения Гамильтона 126
§ 7. Принцип наименьшего действия Гамильтона 128
574
§ 8. Канонические преобразования • 129
§ 9. Циклические переменные. Уравнение Гамильтона — Якоби 131
§ 10. Периодические и условно периодические системы. Угловая
переменная. Угловые переменные Кеплерова движения . 133
ГЛАВА III. Механика твердого тела
§ 1. Кинематика твердого тела 142
§ 2. Общие законы статики и динамики твердого тела.
Эквивалентные системы сил, приложенные к твердому телу ..... 147
§ 3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Момент
инерции и его вычисление 150
§ 4. Движение твердого тела с одной закрепленной точкой.
Основы теории волчка 156
ГЛАВА IV. Механика деформируемых твердых тел (теория упругости)
§ 1. Геометрия малых смещений 166
§ 2. Состояние напряжения в деформированном теле 171
§ 3. Условия равновесия упругого тела 174
§ 4. Связь между тензором деформации и тензором напряжений 175
§ 5. Энергия упруго деформированного тела. Упругий потенциал 179
§ 6. Элементарная теория изгиба 181
§ 7. Волны в неограниченных упругих средах. Продольные
волны в стержнях 185
§ 8. Поперечные колебания натянутых струн и мембран .... 187
ГЛАВА V. Механика жидких и газообразных тел (гидро-и
аэромеханика)
§ 1. Равновесие жидких и газообразных тел (гидростатика) . . 195
§ 2. Основные уравнения гидродинамики 198
§ 3. Потенциальное движение 202
§ 4. Общие теоремы о вихревых и циркуляционных потоках . 208
§ 5. Плоский циркуляционный поток 211
§ 6. Распространение волн в жидкостях и газах (звуковые волны) 215
§ 7. Гидродинамика вязких жидкостей • 217
§ 8. Поверхностное натяжение жидкости 226
ГЛАВА VI. Механика теории относительности
§ 1. Пространство и время в ньютоновской механике ..... 231
§ 2. Инерциальные системы. Преобразование Галилея .... 232
§ 3. Ускоренные системы отсчета. Свободное падение на
вращающейся Земле 234
§ 4. Движущиеся системы отсчета в акустике. Допплер-зффект . , 239
§ 5. Движущиеся системы отсчета в оптике. Опыт Майкельсона 241
§ 6. Пространство и время в теории относительности.
Преобразование Лоренца 244
§ 7. Следствия из преобразования Лоренца 247
§ 8. Геометрическое представление преобразований Лоренца.
Четырехмерный мир. Мировые векторы 252
575
§ 9. Основной закон механики в теории относительности.
Изменяемость массы и связь ее с энергией 256
§ 10. Основные идеи общей теории относительности 262
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
МАКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА И ОПТИКА
Предварительное замечание 265
ГЛАВА I. Электростатическое поле в вакууме (воздухе)
§ 1. Определения 266
§ 2. Электрический заряд (количество электричества) как
источник потока силовых линий 268
§ 3. Электростатический потенциал 271
§ 4. Простейшие случаи электростатического поля в вакууме
(в воздухе) 273
ГЛАВА II. Электростатическое поле в изоляторах (диэлектриках)
§ 1. Формальное введение понятий «электрическое смещение» и
«свободный заряд». Граничные условия на поверхности,
разделяющей два диэлектрика 281
§ 2. Поляризация диэлектриков 284
§ 3. Простейшие случаи электростатического поля в диэлектриках 286
ГЛАВА III. Энергия и пондеромоторные силы в электростатическом
поле
§ 1. Потенциальная энергия системы зарядов в заданном поле 289
§ 2. Полная энергия электростатического'поля 290
§ 3. Вычисление сил, действующих в электростатическом поле.
Теория «метода поднимающегося уровня» 294
ГЛАВА IV. Стационарное электрическое поле
§ 1. Закон Ома 296
§ 2. Выделение теплоты в стационарном электрическом поле . • 299
ГЛАВА V. Магнетостатическое поле
§ 1. Сходство и отличие электростатического и магнетостатиче-
ского полей 300
§ 2. Вычисление магнетостатического поля в вакууме при
заданном распределении токов • 304
§ 3. Вычисление магнитного поля токов в присутствии
ферромагнетиков 309
§ 4. Пондеромоторные силы, действующие на проводник с током
в магнитном поле 312
ГЛАВА VI. Медленно меняющиеся во времени (квазистационарные) поля
Определение квазистационарных полей 315
§ 1. Закон электромагнитной индукции (второе основное
уравнение электромагнитного поля) 315
676
§ 2. Взаимная индукция и самоиндукция 317
§ 3. Стационарные цепи переменного тока 321
§ 4. Нестационарные состояния (переходные процессы) в цепях
переменного тока 324
§ 5. Скин-эффект 328
ГЛАВА VII. Быстропеременные электромагнитные поля
(электромагнитные волны).
Часть I. Распространение электромагнитных волн в однородных
изотропных средах
§ J. Электромагнетизм. Первое основное уравнение
электромагнитного поля 331
§ 2. Волновое уравнение для напряженности поля в
диэлектриках как следствие уравнений поля 333
§ 3. Вектор потока электромагнитной энергии (вектор Умова —
Пойнтинга) 337
§ 4. Распространение электромагнитных волн в металлах . . . 338
§ 5. Диполь Герца как источник излучения 340
ГЛАВА VIII. Электромагнитные волны.
Часть II. Процессы, происходящие на границе раздела двух сред
§ 1. Вывод уравнений поля и граничных условий из закона
сохранения энергии в электромагнитном поле 348
§ 2. Поверхностные волны 351
§ 3. Отражение и преломление на границе раздела двух
диэлектриков 355
§ 4. Поляризация и соотношения иитенсивностей при отражении
и преломлении 357
§ 5. Полное отражение . . . . 361
§ 6. Поглощающие среды (металлооптика) . • • 364
ГЛАВА IX. Электромагнитные волны.
Часть III. Распространение волн в анизотропных средах (кристаллооптика)
§ 1. Уравнения Максвелла для анизотропных сред 336
§ 2. Плоские электромагнитные волны в анизотропных средах . 370
§ 3. Поверхность нормалей и лучевая поверхность (поверхность
волны). Оптические оси 376
§ 4. Преломление плоских волн на плоской границе раздела
анизотропных тел 379
ГЛАВА X. Электромагнитные волны.
Часть IV. Влияние ограничения световых пучков (теория дифракции)
§ 1. Общая проблема дифракции и попытки ее решения.
Формула Кирхгофа 384
§ 2. Принцип обратимости в теории дифракции. Классификация
явлений дифракции . . 387
§ 3. Дифракция Фраунгофера на щели 390
577
§ 4. Дифракция Френеля на щели и круглом отверстии.
Зонные пластинки 398
ГЛАВА XL Элементы геометрической и волновой оптики
§ 1. Основы геометрической оптики. Законы Ферма и Малюса . 402
§ 2. Свойства коллинеарного изображения (изображения Гаусса) 404
§ 3. Оптическое отображение. Закон синусов Аббе. Изменения
первичного пучка, исходящего из одной точки 411
§ 4. Разрешающая способность оптических систем 418
§ 5. Основы интерференционной оптики. Кривые равной толщины
и равного наклона . . . . . 419
РАЗДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
МИКРОСКОПИЧЕСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Предварительное замечание 423
ГЛАВА I. Электропроводность растворов электролитов
„ § 1. Основные явления в растворах электролитов и их толкование 423
§ 2. Зависимость проводимости растворов электролитов от
концентрации. Теория Дебая — Хюккеля и Онзагера 428
ГЛАВА II. Электропроводность в газах
§ 1. Прямое определение элементарного электрического заряда
по методу Милликэна 432
§ 2. Природа катодных лучей. Электрон 433
§ 3. Обзор возможностей образования носителей заряда в газах . 438
§ 4. Несамостоятельный электрический разряд. Пробой .... 440
§ 5. Самостоятельный разряд. Тлеющий и дуговой разряды . . 445
§ 6. Возникновение катодных, каналовых и анодных лучей. Масс-
спектрограф. Электронная оптика 449
ГЛАВА III. Основные идеи классической теории проводимости металлов
§ 1. Электроны как носители тока в металлах 452
§ 2. Вывод закона Ома для металлов 454
§ 3. Теплопроводность металлов. Закон Видемана — Франца ♦ 456
§ 4. Возражения против развитой выше теории. Современная
электронная теория 457
ГЛАВА IV. Электронная теория диэлектрической проницаемости,
показателя преломления и магнитной проницаемости
§ 1. Возникновение электрической поляризации диэлектриков
и намагничивания магнетиков 458
§ 2. Теория деформационной поляризации, оптического
показателя преломления и дисперсии 460
§ 3. Диэлектрическая восприимчивость веществ с полярными
молекулами * . . * . 464
§ 4. Парамагнитная, ферромагнитная и антиферромагнигная
восприимчивости. Сегнето- и антисегнетоэлектрики ...♦.*. 467
578
§ 5. Магнетизм орбитальных электронов. Гиромагнитное
отношение. Теория магнитной восприимчивости диамагнетиков • . ♦ 476
ГЛАВА V. Сверхпроводимость
§ 1. Основные уравнения 478
» § 2. Стационарные поля 481
§ 3. Оптические свойства сверхпроводников 482
ГЛАВА VI. Электродинамика движущихся тел
§ 1. Электромагнитная индукция в движущихся телах с точки
зрения электронной теории # . .... 483
§ 2. Магнитные действия движущихся зарядов 486
§ 3. Распространение электромагнитных волн в движущихся
средах ... 489
§ 4. Релятивистски инвариантная запись уравнений
электромагнитного поля «»,•,.«•.*..* 492
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ
ГЛАВА I. Дополнительные сведения о геомет^йтской и электронной
оптике
§ 1. Условие отсутствия дисторсии и его связь с условием синусов 496
§ 2. Фокусное расстояние электронных «низ 498
ГЛАВА II. Пьезоэлектричество и его применение
§ L Пьезоэлектрический эффект , . . . . 502
§ 2. Применение пьезоэлектриков для стабилизации
колебательных контуров . * 505
ГЛАВА III. Эффекты объемнаго заряда при электрическом разряде
в вакууме и в газах
§ 1. Характеристика диода .,.•♦..... 509
§ 2. Колебания плазмы 510
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ 512
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица 1. Соотношения между единицами измерения
физических величин 558
Таблица 2. Физические константы 560
Предметный указатель 562
Георг Мое
КУРС ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Ч а с т ь 1
МЕХАНИКА И ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор Ю. Я. Дрожжин
Переплет художника Ю. М* Сигова
Художественный редактор Я. В. Любарский
Технический редактор В. Я. Корнеева
Корректор В. Г. Соловьева
♦ * #
Сдано в набор 7/1 1963 г. Подписано к печати 30/IX 1963 г. 60x90Vie.
Печ. л. 3674. Уч.-изд. л. 32,81. Тираж 34 000 экз. Заказ № 265.
* • #
Учпедгиз. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41,
Полиграфкомбинат Приволжского совнархоза,
г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Цена без переплета 98 коп. Переплет 15 коп.