Текст
ИНСТИТУТ МЕЖДУНАРОДНОГО ПРАВА И ЭКОНОМИКИ
Е.Б.КУЗИНА
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
Упражнения и задачи
с объяснением способов решения
Москва • 1996
ББК 87.4
К 89
К 89 Кузина Е.Б. Практическая логика. Упражнения и задачи
с объяснением способов решения. — М.: Институт международ-
ного права и экономики. Издательство "Триада, Лтд", 1996. — 160 с.
Предлагаемое учебное пособие предназначено для выработки практических
навыков решения всех основных типов логических задач, предусмотренных
стандартным (54-часовым) курсом логики. В связи с этим оно может быть
использовано во всех высших, а также в средних специальных и общеобразо-
вательных учебных заведениях — везде, где преподается логика. Учебное
пособие содержит, кроме упражнений с подробными образцами их выполнения,
теоретический материал по всем разделам общего курса логики. Оно будет
полезно для студентов при подготовке к семинарским занятиям, для преподава-
телей, а также для всех, кто занимается логикой самостоятельно.
ЛР № 062195 от 02.02.93 г.
Формат В4ч108/32 Печать офсетная. Усл. печ. лист. В,4.
Тираж 5 000 экз. Зак. 285.
ТОО “Триада ЛТД" по заказу Института международного права
и экономики.
Отпечатано с готовых диапозитивов в типографии
ИПО Профиздат
109044 Москва, Крутицкий вал, 1В. Плр. № 050003 от 19.10.94 г.
ISBN 5-88774-027-2
ISBN 5-86344-048-1
© Кузина Е.Б., 1996
© Оформление, “Триада, Лтд”, 1996
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основная трудность, с которой сталкиваются студенты при
изучении логики, состоит в неумении решать практические ло-
гические задачи, что существенно затрудняет и усвоение теоре-
тического материала. И наоборот, умение решать такие задачи
всегда дает необходимую базу для глубокого и сознательного ус-
воения логической теории, существенно облегчает ее запомина-
ние.
Предлагаемое учебное пособие строится как задачник с до-
статочно развернутым теоретическим введением к каждому раз-
делу, где даются основные сведения из традиционного курса ло-
гики по 54-часовой программе. Затем идут собственно упражне-
ния. В конце каждого упражнения, которое содержит обычно
10—15 примеров, дается образец решения, т.е. разбирается кон-
кретный пример, решение которого приводится в пошаговой
последовательности. Довольно большое количество однотипных
задач предназначено для выработки устойчивых навыков реше-
ния, для достижения определенного автоматизма в решении, что
закладывает основы так называемой логической интуиции.
Содержащиеся в этой книге упражнения охватывают такие
разделы курса, как “Понятие”, “Суждение”, “Вопрос”, “Умоза-
ключение” и “Логические основы аргументации”. В теме “Поня-
тие” содержатся упражнения по темам: содержание и объем по-
нятия, операции ограничения, обобщения и деления понятий,
отношения между понятиями, операции с классами, диаграммы
Венна, определение, виды понятий. Тема “Суждение” включает
разделы: структура и виды простых суждений, категорические
суждения, выделяющие, исключающие и определенно-частные
суждения, сложные суждения, отношения между суждениями.
В теме “Вопрос” содержатся упражнения на определение струк-
туры и вида вопроса, его синтаксической и семантической кор-
ректности и видов ответов. Тема “Умозаключение” включает
разделы: дедуктивные умозаключения (непосредственные, сил-
логизм и энтимема, умозаключения из сложных суждений), ин-
дуктивные умозаключения (полная и неполная индукция), умо-
заключения по аналогии. В теме “Логические основы аргумента-
ции” содержатся упражнения на выявление структуры и опреде-
ление типа доказательства, на построение различных видов до-
казательств и на обнаружение ошибок в доказательствах.
Упражнения, включенные в предлагаемое учебное пособие,
составлены на основе опыта преподавания логики различным
категориям учащихся. В основном это — оригинальные разра-
ботки автора, но вместе с тем имеются упражнения, взятые из
некоторых зарубежных книг по логике.
3
Тема: ПОНЯТИЕ
1. Что такое понятие?
Содержание и объем понятия, части и элементы объема
Понятие — это мысль, в которой обобщаются и выде-
ляются предметы по их более или менее существенным
признакам. Понятие выражается в слове или словосочета-
нии, иначе говоря, в имени. Понимание имени означает
возникновение мысли (1) об основных признаках
именуемых предметов и (2) о классе этих предметов. Поэ-
тому в понятии выделяют две стороны: мыслимые предме-
ты и признаки, по которым эти предметы обобщены в по-
нятии. Например, в понятии “треугольник” обобщаются
все треугольники на том основании, что каждый из них
обладает свойствами замкнутой геометрической фигуры,
ограниченной тремя сторонами. Две указанные характерис-
тики, понятия называются соответственно его объемом и со-
держанием. Все обобщаемые предметы составляют объем, а
признаки, по которым они обобщаются, — содержание по-
нятия.
Понятия (особенно научные) обычно задаются через
содержание, т.е. посредством указания общих и отличи-
тельных признаков мыслимых в данном понятии предме-
тов. Задать содержание понятия — значит указать доста-
точную совокупность признаков, каждый из которых не-
обходим для отличения мыслимых в понятии предметов
от всего остального. Для этого необходимо знать, какие
признаки бывают и какие из них следует включать в со-
держание. Признаком называется все то, в чем предметы
могут быть сходны друг с другом или отличаться один от
другого. Признаком может быть наличие (положитель-
ный признак) или отсутствие (отрицательный признак) у
предмета того или иного свойства, состояния или отноше-
ния его к другим предметам.
Признаки бывают необходимые и случайные. Необхо-
димыми называются те, без которых предмет утрачивает
свое качество, перестает быть самим собой. Так, напри-
мер, канистра без крышки теряет свое качество быть ем-
костью для горючего или смазочных масел (которые легко
воспламеняются), поэтому признак “плотно закрывающа-
4
яся” является необходимым признаком канистры. Слу-
чайными называются те признаки, без которых предмет
может вполне обойтись, не теряя своего качества. По-
скольку канистра может не быть железной, или не быть
алюминиевой, или не быть пластмассовой, постольку лю-
бой из этих признаков является случайным.
В свою очередь необходимые признаки делятся на ос-
новные и производные. Основные — это те, которые обус-
ловливают все другие необходимые признаки, тогда как
последние называются производными. Например, равен-
ство диагоналей в четырехугольнике обусловлено равенст-
вом углов, поэтому первый признак является производ-
ным от второго.
Производные признаки делятся на собственные (отли-
чительные) и несобственные. Собственными называются
признаки, присущие только предметам данного класса.
Так, признак “обладать членораздельной речью” — соб-
ственный для человека. Несобственные признаки прису-
щи не только предметам данного класса, но и другим. На-
пример, “ровнодиагональность” — несобственный при-
знак квадрата, его имеют все прямоугольники.
В целом получается такая классификация признаков:
В содержание понятия включаются только необходи-
мые признаки, желательно основные. Производные обыч-
но включают только собственные и лишь тогда, когда в
имеющейся совокупности признаков нет основного, от ко-
торого он производен.
Каждый из предметов, мыслимых в понятии, называ-
ется элементом его объема. Элемент объема — отдельный
предмет, обладающий всеми признаками, включенными в
содержание данного понятия, или, говоря проще, каж-
дый предмет, к которому можно отнести имя, выражаю-
щее это понятие. Назвать какой-то предмет элементом
5
объема некоторого понятия можно лишь после обнаруже-
ния у этого предмета всех тех признаков, которые зафик-
сированы в содержании как существенные или отличи-
тельные для мыслимых в понятии предметов.
Кроме знания, что такое объем понятия и элемент объ-
ема, необходимо уметь находить части объема, т.е. такие
совокупности элементов объема, которые обладают ка-
ким-то особым признаком, отличающим их от остальных
элементов. Часть можно выделить в каждом объеме, со-
держащем более одного элемента. Например, в объеме по-
нятия “периодическое издание” можно указать такую
часть, как еженедельные издания, или другую часть — пе-
риодические издания, выпускаемые в Москве. Добавление
к содержанию понятия нового признака, присущего лишь
некоторым обобщенным в понятии предметам выделяет
часть объема. Если же добавляемый признак присущ всем
элементам объема, то он не выделяет часть объема. Напри-
мер, добавив к содержанию понятия “глагол” (часть речи,
обозначающая действие или состояние предмета и отвеча-
ющая на вопрос “что делать?”) признак “изменяющаяся в
настоящем времени по лицам и числам”, мы не укажем
никакой части объема, так как данный признак присущ
всем глаголам.
У пражнения
1. Охарактеризуйте перечисленные после двоеточия при-
знаки предметов, мыслимых в приведенных ниже по-
нятиях:
а) квадрат: четырехугольник, равнодиагональный, рав-
носторонний, диагонали взаимноперпендикулярны,
равноугольный, сторона равна 20 см, диагонали в точ-
ке пересечения делятся пополам;
б) голова: часть тела, имеет глаза, состоит из черепной ко-
робки и лица, покрыта волосами, внутри черепной ко-
робки находится мозг;
в) существительное русского языка: отвечает на вопрос
“кто?” или “что?”, склоняется, обозначает предмет, в
предложении является подлежащим или дополнени-
ем, имеет множественное число;
г) карандаш: предмет для письма, в деревянном корпусе,
с грифельным стержнем, длиной 20 см, оставляет след
на бумаге, круглый;
д) неделя: период времени, продолжительностью в
7 дней, с понедельника по воскресенье включительно,
6
в конце этого периода один или два дня нерабочих;
е) государство: политическая организация общества, осу-
ществляющая охрану экономической и социальной
структуры общества, управление им, подавление клас-
совых противников господствующего класса, имеет ар-
мию, спецслужбы для охраны общественного порядка,
осуществляет свои функции через структуры исполни-
тельной власти;
ж) поезд: состав сцепленных железнодорожных вагонов,
приводится в движение электровозом, предназначен
для перевозки грузов или пассажиров, движется по
рельсам;
,з) роман: художественное произведение, эпического жан-
ра, большое, с множеством героев, несколькими сю-
жетными линиями, хотя бы одна линия — любовная,
охватывающее длительный период в жизни героев;
и) река: водный поток, постоянный, с шириной устья не
менее 10 м, с естественным течением по руслу от исто-
ка до устья, с притоками, впадающий в море или озеро;
к) стол: предмет мебели, имеет широкую горизонтальную
доску (столешницу), ножки длиной 73—78 см, предна-
значен для приема пищи, изготавливается из дерева.
Образец. Преступление: общественно опасное деяние,
совершенное дееспособными гражданами, предусмотрен-
ное уголовным законом, посягающее на общественный
строй, его политическую и экономическую системы, на го-
сударственную и общественную собственность, на лич-
ность, на политические, трудовые, имущественные и дру-
гие права граждан, на их собственность, наказываемое ли-
шением свободы.
Необходимые основные признаки: (1) общественно
опасное деяние, (2) предусмотренное уголовным законом.
Необходимые производные признаки: совершенное дее-
способными гражданами (от признака (2) предусмотренное
уголовным законом), сложный признак, в котором перечис-
лены объекты посягательства (от обоих основных призна-
ков).
Случайные признаки: наказываемое лишением свободы.
2. Какие из перечисленных признаков следует включить
в содержание соответствующих понятий и будет ли
этих признаков достаточно для адекватного задания
содержания?
а) автобус: автомобиль для перевозки пассажиров, имею-
щий не менее 30 мест, общественный или государ-
ственный, с местами для сидения;
б) автомобиль: транспортное средство, самодвижущееся,
7
с двигателем внутреннего сгорания, для перевозки
грузов и пассажиров по безрельсовым путям, имеет
пневматические колеса;
в) мост: сооружение для переправы через реку, имеет опо-
ры на обоих берегах, имеет проезжую и пешеходную
часть, ограничен перилами;
г) море: водное пространство, с горько-соленой водой,
большое, часть океана;
д) параллелограмм: четырехугольник, стороны попарно
параллельны, попарно равны, углы попарно равны,
неравные диагонали, диагонали в точке пересечения
делятся пополам;
ж) рассказ: художественное произведение, небольшого раз-
мера, в эпическом жанре, прозаическое, с одним глав-
ным героем, описывающее один эпизод из его жизни;
з) металл: химически простое вещество, ковкое, с харак-
терным блеском, теплопроводное, электропроводное, с
примесями, в природе существует в виде руды.
Образец. Плакат: цветной настенный рисунок на бума-
ге, большого формата, отпечатанный в типографии, снаб-
женный агитационным или рекламным текстом.
В содержание понятия “плакат” из перечисленных
признаков следует включить: настенный рисунок, снаб-
женный агитационным или рекламным текстом (осталь-
ные признаки несущественны). Указанных признаков до-
статочно для адекватного раскрытия содержания.
3. Укажите содержание следующих понятий: сутки;
профсоюзный комитет; мост через Атлантический оке-
ан; забытые в метро перчатки; дружба; западная стра-
на; Евгений Онегин; человек, проживший 110 лет; од-
ноклассник; редакционная коллегия; беззаботность;
человек, проживший 110 лет в XIX веке; параллель-
ность, коллеги, отдаленное место.
Образец. Сослуживец — человек, который служит
вместе с кем-нибудь или работает с кем-нибудь в одном уч-
реждении.
4. Укажите некоторые элементы объемов следующих по-
нятий: Великая Отечественная война; однокурсники;
беспокойство; США; партия; сборник упражнений по
логике; король, королевство, коронация; болезнь,
больной; банда; идеализм; параллельные прямые, па-
раллельность, параллелограмм; деление, делимость,
•делимое; гражданин, гражданство; сосед, соседство;
наследование, наследство, наследник; ложь, лож-
ность, лживость; правитель, правительство, монарх,
монархия.
8
Образец. Соседи: Иван Иванович и Иван Никифорович
(из повести Н.В.Гоголя “Как поссорились Иван Иванович
с Иваном Никифоровичем”), Миша и Коля из рассказов и
повестей Н.Носова, а также любая другая пара или боль-
шая группа людей, живущих поблизости друг от друга.
5. Назовите некоторые части объемов следующих поня-
тий: государство, книга, научная теория, университет,
парламент, однокурсники, беззаконие, неграмотность,
демонстрация, граница, обман, законодательство, рас-
суждение, делимость, комплект учебников, мировоз-
зрение, физический закон, движение, равенство, со-
звездие.
Образец. Отец: отец шестнадцатилетней дочери; моло-
дой отец; отец, бросивший своих детей.
6. Передают ли одну и ту же мысль оба выражения в сле-
дующих парах?
а) человек, забывший все, что он знал человек, забыв-
ший все;
б) школьник, который выше любого своего одноклассни-
ка — школьник, который не ниже любого своего од-
ноклассника;
в) незнаменитый, непопулярный, неизвестный писа-
тель — неизвестный писатель;
г) заброшенный дом — дом, в котором давно никто не жи-
вет;
д) неумышленная порча государственного имущества —
порча государственного имущества по халатности;
е) период времени с 25 марта по 25 сентября — период
времени, когда день длиннее ночи;
ж) дождливая, пасмурная погода — дождливая погода;
з) человек, пользующийся правом бесплатного проезда
на городском наземном пассажирском транспорте и
метро — человек, пользующийся правом бесплатного
проезда на городском пассажирском транспорте;
и) самый высокий мальчик в классе — мальчик, который
в классе выше всех;
к) человек, у которого есть дети и внуки — дед.
Образец. Человек, проживший 70 лет — человек, кото-
рому 70 лет: данные два выражения можно понимать как
передающие разные мысли. Первое выражает понятие о
людях, которые прожили 70 лет (при этом им может быть
больше 70), тогда как второе выражает понятие о людях,
которым ровно 70 лет.
9
2. Ограничение и обобщение понятий
Переход от понятия с большим объемом к понятию с
меньшим объемом называется ограничением понятия.
При этом следует иметь в виду, что объемы сравнимы
(можно сказать, какой больше и какой меньше) лишь в
том случае, если один из них целиком входит в другой, т.е.
составляет его часть. Объем понятия А целиком входит в
объем понятия В в том и только том случае, если каждый
элемент первого (А) является элементом второго (В), но не
наоборот.
Ограничение производится всегда путем изменений,
вносимых в содержание. Как было сказано выше, добавле-
ние к содержанию признака, присущего не всем, но неко-
торым мыслимым в понятии предметам, (т.е. информа-
тивно непустого) выделяет в объеме часть, и ведет к умень-
шению объема. К уменьшению объема ведет вообще любое
увеличение содержания, что отражается в так называемом
законе обратного отношения: чем больше содержание
-понятия, тем меньше его объем. Поэтому, кроме добав-
ления информативно непустого признака, ограничить
понятия можно, уточнив его содержание путем исклю-
чения информативно непустого признака, стоящего через
союз “или”. Например, при переходе от понятия “умыш-
ленное или случайное убийство” к понятию “умышленное
убийство” осуществляется ограничение.
Уточнение содержания может быть произведено также
путем замены менее определенного признака более опре-
деленным. Например, понятие “человек, прочитавший не-
которые романы Л.Толстого”, можно ограничить, заменив
указанный признак более конкретным: “прочитавший ро-
маны “Воскресение” и “Война и мир”.Точно так же,
заменив признак “сдавший (хотя бы) некоторые экзамены
на “отлично” на признак “сдавший все экзамены на “от-
лично”, получим сужение объема, так как каждый, сдав-
ший все экзамены на “отлично”, является, сдавшим (хотя
бы) некоторые экзамены на “отлично”, но не наоборот.
При ограничении объем получившегося понятия
полностью входит в объем исходного, что обычно
изображают круговыми схемами (кругами Эйлера).
Например, “родитель близнецов” - “мать близнецов”.
10
родитель
близнецов
Схема читается так: всякая мать близнецов является
родителем близнецов, но не наоборот.
Как говорилось выше, указать часть можно лишь в
объеме, содержащем более одного предмета. Значит, поня-
тия с объемом, содержащим только один предмет (единич-
ные понятия), ограничить нельзя. Если ограничение мно-
гоступенчато, то оно заканчивается, когда доходит до по-
нятия с единичным объемом. Единичное понятие являет-
ся пределом ограничения. Например, “литературное про-
изведение” — “произведение научно-фантастической ли-
тературы” — “научно-фантастический роман” — “научно-
фантастический роман И.Ефремова” — “роман “Туман-
ность Андромеды”. Отношения объемов понятий при мно-
гоступенчатом ограничении изображаются схематично в
виде концентрических кругов:
литературное произведение
произведение научно-фантастической_____
литературы
научно-фантастический роман------------
научно-фантастический роман И. Ефремова
роман “Туманность Андромеды’
Схема читается, начиная с самого меньшего понятия:
Роман “Туманность Андромеды” есть научно-фантасти-
ческий роман И.Ефремова; всякий научно-фантастичес-
кий роман И.Ефремова есть научно-фантастический ро-
ман (но не наоборот) и т.д.
Если производится обратная операция, т.е. соверша-
ется переход от понятия с меньшим объемом к понятию
с большим объемом, это называется обобщением поня-
тия. Обобщение производится четырьмя способами, об-
ратными тем, что дают ограничение:
1) отбрасыванием информативно непустого признака,
включенного в содержание посредством “и”;
И
2) присоединением такого признака через “или”;
3) заменой в признаке единичного имени на общее имя
со словом “некоторые”;
4) заменой слова “все” в таком признаке на слово
“некоторые”.
Пределом обобщения являются категории — наиболее
общие понятия. Как и при ограничении, здесь нужно сле-
дить, чтобы не перейти в другой род, например, от поня-
тия “человек” к понятию “человечество”, или от понятия
“факультета университета” к понятию “университет”. Как
и при ограничении, отношение объемов при обобщении
имеет вид концентрических кругов.
Упражнения
1. Определите, произведена ли операция ограничения по-
нятия:
а) печатное издание — книга;
б) абзац — предложение;
в) правление банка — председатель правления банка;
г) издательство — секретариат издательства;
д) город Европы — город Англии;
е) автомобиль — автомобильный мотор;
ж) город — населенный пункт Московской области;
з) среднее учебное заведение — гимназия;
и) коллектив учителей — учитель;
к) студент МГУ — студент юридического факультета уни-
верситета;
л) зима — январь;
м) сложноподчиненное предложение — придаточное пред-
ложение;
н) голова животного — голова собаки;
о) веселый человек — веселящийся человек;
п) предложение — законченная мысль;
р) законодательство — закон;
Образец. Милиция — отделение милиции: операция
ограничения не произведена, поскольку милиция — это
административное учреждение для охраны общественного
порядка, а отделение милиции — не разновидность такого
учреждения, а его структурная единица.
2. Найдите общие понятия для следующих пар понятий:
а) праздничный день, воскресенье;
б) правило без исключения, правило с исключением;
в) подследственный, подсудимый;
г) лишение свободы (уголовная санкция), исправительно-
трудовые работы;
12
д) диверсия, разрушение взрывом моста;
е) убийство, расстрел;
ж) юго-восточная Азия, Средняя Азия;
з) двоеженство, многоженство;
и) ссылка, высылка;
к) оружие, орудие убийства.
Образец. Экзамен, зачет — форма отчетности учащихся.
3. Исключите только одно понятие из ряда, так чтобы ос-
тавшиеся можно было включить в один общий род,
укажите этот род:
а) медь, серебро, железо, алюминий, золото;
б) медь, железо, алюминий, бронза, золото;
в) наречие, глагол, подлежащее, местоимение, прилага-
тельное;
г) прилагательное, наречие, глагол, существительное,
местоимение;
д) врач, слесарь, учитель, юрист, ученый;
е) врач, юрист, слесарь, учитель, бухгалтер;
ж) автобус, трамвай, пригородный электропоезд, метро,
троллейбус;
з) автобус, такси, троллейбус, трамвай, метро;
и) волк, заяц, белка, лиса, тигр;
к) волк, лиса, тигр, заяц, лев;
л) “собака”, “слепой”, “кошка”, “хорошо”, “корова”;
м) “собака”, “кошка”, “хорошо”, “корова”, “хлеб”.
Образец. Прямоугольник, окружность, треугольник,
куб, трапеция: если исключить понятие “куб”, останутся
плоские геометрические фигуры; прямоугольник, окруж-
ность, ромб, трапеция, треугольник: если исключить по-
нятие “окружность”, останутся геометрические фигуры,
ограниченные прямыми.
4. Можно ли рассматривать второе понятие в следующих
парах как результат обобщения первого?
а) староста группы — староста курса;
б) торговый зал магазина — магазин;
в) москвич — житель столицы;
г) президент — глава государства;
д) институт — вуз;
е) книга — литература;
ж) студент — человек, имеющий среднее образование;
з) реформирование — изменение;
и) спор — обмен мнениями;
к) конфискация — изъятие имущества;
л) знакомый — человек, фамилия которого известна;
м) чашка — чайный сервиз;
13
н) опубликованная монография — написанная монография;
о) противоправное действие — аморальное действие.
Образец. Единогласное решение, неизменное решение:
второе понятие не является результатом обобщения перво-
го, так как не всякое единогласное решение является не-
изменным решением.
5. Какая операция (обобщение или ограничение) произ-
ведена?
а) запрет - неразрешение;
б) агрессивность — активность;
в) закрытая книга — неоткрывавшаяся книга;
г) невиновность — непричастность;
д) закрытая дверь а- запертая дверь;
е) число, делящееся на 6 — четное число;
ж) человек, потерявший паспорт — человек, потерявший
паспорт или удостоверение;
3) украденная вещь — пропавшая вещь;
и) член профкома — председатель профкома;
к) вращение — движение;
л) конституция с поправками — конституция с множест-
вом поправок;
м) человек, сангвиник.
Образец. Еженедельная газета — газета, выходящая
регулярно: произведена операция обобщения, так как вся-
кая еженедельная газета есть газета, выходящая регуляр-
но, но не наоборот, не всякая газета, выходящая регуляр-
но, является еженедельной.
6. Определите, произведено ли последовательное много-
ступенчатое обобщение и ограничение:
а) крупный город — многонаселенный город — столица —
столица крупного государства;
б) рассказ — повесть — роман;
в) сосед по квартире — человек, живущий в соседней
квартире — человек, живущий в том же доме — чело-
век, живущий в соседнем доме;
г) тонна — центнер — килограмм — грамм;
д) факультет университета — гуманитарный факультет
университета — факультет МГУ, исторический фа-
культет МГУ;
е) Украина — Киевская область — Киев;
ж) дорога — шоссе — автомагистраль — Минское шоссе;
з) 25 — число, оканчивающееся на 25 — число, оканчи-
вающееся на 5 — число, делящееся на 5.
Образец. Квадрат — ромб — параллелеграмм — трапе-
ция: производится операция обобщения при переходе от
14
первого понятия ко второму и от второго к третьему, пере-
ход от третьего к четвертому обобщением не является, так
как трапеция — это четырехугольник, у которого только
одна пара параллельных сторон, поэтому параллелограмм
трапецией не является, и'значит, последовательного мно-
гоступенчатого обобщения нет. Обобщение было бы мно-
гоступенчатым, если бы четвертое понятие было, напри-
мер,’’четырехугольник, в котором имеются параллельные
стороны”.
7. Расположите понятия в таком порядке, чтобы объем
последующего включался (или был равен) в объем
предыдущего, т.е. в порядке уменьшения объемов:
а) человек, всегда ходящий без головного убора — чело-
век, иногда ходящий без головного убора — человек,
осенью ходящий без головного убора — человек, летом
и осенью ходящий без головного убора — человек, хо-
дящий летом или осенью без головного убора;
б) число, делящееся на какое-нибудь четное число — чис-
ло, делящееся на 2 — число, делящееся на 2 и на 4 —
число, делящееся на 2 или на 4 — число, делящееся на 4;
в) сложное предложение — предложение, включающее
придаточное предложение — сложное предложение с
союзом “так как” или “ибо” — сложноподчиненное пред-
ложение — сложное предложение с союзом “так как”;
г) животное — млекопитающее животное — позвоночное
животное — теплокровное животное — сельскохозяй-
ственное животное;
д) европейский город — город северного полушария — го-
род на берегу Волги — город европейской части Рос-
сии — Самара;
е) общественный класс рабовладельческого общества —
общественный класс антагонистического общества —
господствующий класс в рабовладельческом обществе —
класс рабовладельцев — господствующий класс Древ-
него Египта.
Образец. Односоставное предложение — предложение —
предложение, состоящее из одного существительного —
назывное предложение — простое предложение. Распола-
гаем в порядке уменьшения объемов: предложение — про-
стое предложение (так как каждое простое предложение
есть предложение, но не наоборот) — односоставное пред-
ложение (всякое односоставное предложение является
простым, но не наоборот) — назывное предложение (вся-
кое назывное предложение — односоставное, но не наобо-
рот) — предложение, состоящее из одного существитель-
ного (всякое такое предложение — назывное, но не всякое
15
назывное предложение состоит из одного слова—сущес-
твительного).
8. Произведите обобщение и ограничение следующих по-
нятий:
а) люди, живущие на последних этажах;
б) Московская область;
в) медицинский институт;
г) студенческая группа;
д) студент, знающий всех преподавателей;
е) зрение;
ж) человек, знающий 3 иностранных языка;
з) студент, сдавший логику или психологию на “отлично”;
и) ромб;
к) лифт, останавливающийся на четных этажах;
л) человек, проживший 300 лет;
м) человек, проживший 110 лет в XIX веке.
Образец. Умышленное или неосторожное преступле-
ние. Обобщение: общественно опасное деяние. (Понятие
“преступление” не является более общим по отношению к
данному, так как любое преступление или умышленно,
или неосторожно и поэтому понятие “преступление” рав-
нообъемно данному. А понятие “общественно опасное дея-
ние” шире данного, так как преступлением является толь-
ко предусмотренное уголовным законом общественно
опасное деяние). Ограничение: умышленное преступле-
ние, затем, например, умышленное убийство, умышлен-
ное убийство с отягчающими обстоятельствами и т.д.
9. Что можно сказать о принадлежности свойства а пря-
моугольникам, если:
а) свойство а присуще всем параллелограммам;
б) свойство а присуще некоторым параллелограммам;
в) свойство а не присуще ни одному параллелограмму;
г) свойство а не присуще некоторым параллелограммам;
д) свойство а присуще всем квадратам;
е) свойство а присуще некоторым квадратам;
ж) свойство а не присуще ни одному квадрату;
з) свойство а не присуще некоторым квадратам;
и) свойство а присуще всем ромбам.
Образец. Свойство а не присуще ни одному ромбу. Если
свойство а не присуще ни одному ромбу, а некоторые и
только некоторые ромбы, как известно, прямоугольники,
то свойство а может быть присуще некоторым прямоуголь-
никам, тем, которые не ромбы (например, свойство непер-
пендикулярности диагоналей), но может быть и не присуще
ни одному прямоугольнику (например, свойство неравенст-
ва противоположных углов).
16
3. Деление объема понятия
Деление объема понятия — это систематическое пере-
числение всех непересекающихся частей объема по како-
му-то одному основанию. Напомним: непересекающиеся
части получаются, если каждый элемент объема входит
только в одну часть. Основанием деления может быть лю-
бой признак, который видоизменяется, т.е. имеет различ-
ные модификации в разных частях объема или, по край-
ней мере, имеется только у части элементов объема.
В соответствии с задачами операции деления формули-
руют четыре требования к правильному делению:
1) деление должно производиться по одному основанию;
2) члены деления (части, на которые делится объем) не
должны пересекаться;
3) деление должно быть соразмерным, т.е. сумма чле-
нов деления должна быть равна делимому объему;
4) деление должно быть последовательным, иными
словами, ни один член деления не может входить в другой,
и все они находятся на одном уровне.
Во всех случаях, когда затруднительно осуществить
деление по видоизменению признака, можно ограничить-
ся так называемым дихотомическим делением. “Дихото-
мия” буквально означает “деление на две части”. Оно осу-
ществляется тем простым способом, что указывают какую-
либо часть объема, а все остальное содержится в объеме
противоречащего понятия. Например, заводы бывают ма-
шиностроительные и не-машиностроительные; животные
бывают живородящие и не-живородящие; люди делятся
на детей и не-детей. При дихотомическом делении во вто-
рой части, начинающейся с “не”, содержатся все разно-
видности по видоизменению признака, по которому выде-
лена первая часть, и тем самым обеспечивается полнота
деления. В понятие “не-машиностроительные заводы”
входят все типы заводов, кроме машиностроительных, в
понятие “неживородящее животное” — все типы живот-
ных по способу размножения, кроме живородящих, а в “не-
детей” — все возрастные категории людей, кроме детей.
При изучении раздела “Деление” нужно хорошо усво-
ить, что делится не предмет, а объем понятия, что долж-
ны быть перечислены разновидности обобщенных в поня-
тии предметов, а не части предмета. Ошибки расчленения
предмета на части можно избежать, если пользоваться та-
17
ким нехитрым приемом: не употреблять при осуществле-
нии деления выражений типа “делятся на”, “состоят из”,
но только глагол “бывают”. Это почти наверняка убережет
от ошибки. Например: “Административные области Рос-
сийской Федерации делятся на районы”. Производится ли
здесь операция деления понятия “административные об-
ласти Российской Федерации”? Очевидно, нет, ибо речь
идет не о разновидностях административных областей, а о
районах, которые ни элементами, ни частями объема это-
го понятия быть не могут. Если же выражение “делятся
на” заменить словом “бывают”, которое всегда подходит
при делении объема, мы увидим, что получается бессмыс-
лица, свидетельствующая, что перед нами — не деление
объема.
Упражнения
1. Определите, произведена ли операция деления объема
понятия:
а) дерево: корни, ствол, крона;
б) Европа: Западная Европа, Восточная Европа;
в) дом: одноэтажный, многоэтажный;
г) дерево: лиственное, хвойное;
д) год: зима, весна, лето, осень;
е) Солнечная система: Юпитер, Венера, Земля и т. д.;
ж) дом: фундамент, стены, крыша;
з) Россия: европейская часть России, азиатская часть Рос-
сии;
и) житель России: житель европейской части России, жи-
тель азиатской части России;
к) время года: зима, весна, лето, осень;
л) транспорт: военный, гражданский, пассажирский,
междугородный;
м) школа: администрация школы, педагогический кол-
лектив школы, учащиеся;
н) магазин: универсальный, продовольственный, хозяй-
ственный, обувной;
Образец. Часы: стекло, циферблат, механизм, задняя
крышка. Операция деления объема понятия “часы” не
произведена, так как понятия “стекло”, “циферблат”, “ме-
ханизм”, “задняя крышка” не являются видовыми по от-
ношению к понятию “часы”, т.е. предметы, мыслимые в
этих понятиях — не разновидности часов, как это должно
быть при делении объема.
2. Нарушено ли в следующих делениях правило соразмер-
ности?
18
а) группы людей: стихийно возникшие, организованные,
устойчивые, организационно оформленные;
б) государства: демократические, монархические, дикта-'
торские, фашистские;
в) рейсовые автобусы: ходящие по расписанию, ходящие
регулярно, ходящие очень редко, ходящие нерегуляр-
но;
г) урок: очень интересный, интересный, не очень интерес-
ный, неинтересный, скучный;
д) предложение: простое, сложное, распространенное,
двусоставное;
е) дерево: лиственное, хвойное, широколиственное, без
листьев;
ж) женщина: незамужняя, замужняя, мать, бабушка;
з) ’ университет: российский, зарубежный, американский;
и) город: большой, небольшой, маленький, поселок город-
ского типа;
к) хлеб: теплый, мягкий, немягкий и черствый.
Образец. Звуки: гласные, согласные, звонкие, глухие,
шипящие. Правило соразмерности в этом делении не на-
рушено, так как звонкие, глухие и шипящие звуки явля-
ются согласными и, кроме гласных и согласных, разно-
видностей звуков по роли голосового тона в них нет. Та-
ким образом, первые два члена деления уже делают деле-
ние полным, а последние три члена не делают его избыточ-
ным.
3. Какие из приведенных в предыдущем упражнении деле-
, ний включают члены дихотомии, а какие не включа-
ют?
Образец. Деление из образца предыдущего упражне-
ния не включает членов дихотомии, поскольку деление
звуков на гласные и согласные хотя и является делением
на две части, однако понятия “гласный звук” и “соглас-
ный звук” вряд ли можно считать противоречащими.
4. Укажите делимые понятия и основания деления:
а) инвалиды, престарелые, пассажиры с детьми;
б) проселок, шоссе, автомагистраль;
в) холерик, сангвиник, флегматик, меланхолик;
г) республика, монархия, конституционная монархия;
д) зима, весна, лето, осень;
е) подлежащее, сказуемое, дополнение, определение, об-
стоятельство;
ж) уменьшаемое, вычитаемое, разность.
Образец. Уголовная ответственность, гражданская от-
ветственность, административная ответственность, дис-
19
циплинарная ответственность. Делимое понятие — “юри-
дическая ответственность”, основание деления — харак-
тер правонарушений, связанный с типом правоотноше-
ний.
5. Нарушено ли правило непрерывности (последователь-
ности) в следующих делениях?
а) наука: гуманитарная, социальная, естественная;
б) документ: паспорт, удостоверение личности, аттестат
зрелости, свидетельство о браке.
в) автозавод: автозавод, производящий грузовые автомо-
били; автозавод, производящий легковые автомобили;
автогигант; автозавод, производящий грузовые и лег-
ковые автомобили;
г) треугольник: прямоугольный, равносторонний, равно-
бедренный, тупоугольный.
д) газеты: ежедневные, еженедельные, выходящие нере-
гулярно.
е) рабочий: высококвалифицированный, с высшим обра-
зованием, малоквалифицированный, подсобный ра-
бочий.
Образец. Члены предложения: подлежащее, сказуе-
мое, второстепенные члены предложения. Деление непос-
ледовательно, так как последний член деления более об-
щий, чем первые два. Если есть член деления “второсте-
пенные члены предложения”, то в одном ряду с ним до-
лжен стоять член деления “главные члены предложения”,
в данном же делении вместо него перечислены эти глав-
ные члены, т.е. деление начато на более низком уровне.
6. Проверьте правильность деления, в случае неправиль-
ности попробуйте произвести деление правильно:
а) поезд: скорый, пассажирский, товарный;
б) студент: способный, старательный, ленивый, неуспева-
ющий;
в) лифт: скоростной, останавливающийся на всех этажах,
пассажирский;
г) социальные группы: рабочие, военнослужащие, врачи,
академики, учителя;
д) запрещенный для провоза багаж: громоздкий, пачкаю-
щий, взрывоопасный;
е) пассажир: сидящий, стоящий, читающий, смотрящий
в окно;
ж) банки: коммерческие, частные, государственные, меж-
дународные;
з) книга: иллюстрированная, красочная, детская, хорошо
оформленная;
20
и) воинское преступление: по отношению к начальнику,
по отношению к имуществу, по отношению к оружию,
уклонение от службы;
к) соучастник преступления: исполнитель, организатор,
подстрекатель, пособник;
л) стекло: матовое, цветное, дымчатое, рифленое;
м) ручка: чернильная, шариковая, капиллярная, перье-
вая;
н) обувь: кожаная, модельная, сезонная, валяная;
о) имущество: приобретенное, полученное по наследству,
переданное во временное пользование, подаренное, ук-
раденное;
Образец. Магазин: универсальный, продовольствен-
ный, хозяйственный, обувной. Деление неправильное:
прежде всего оно непоследовательно, так как если есть
член деления “продовольственный магазин”, то должен
быть член деления “промтоварный магазин” — это первый
уровень деления. Далее член деления “универсальный ма-
газин” предполагает такой член деления, как “специали-
зированный магазин”, но это уже — разновидности пром-
товарных магазинов, т.е. второй уровень деления. Хозяй-
ственные и обувные магазины — разновидности специали-
зированных магазинов, и здесь мы переходим на третий
уровень Деления. Вместе с тем данное деление неполное:
перечислены не все виды магазинов. Правильное деление
может быть, например, таким: магазины бывают продо-
вольственные и промтоварные.
7. Произведите многоступенчатое разветвленное деление
(классификацию) объема понятия “преступление”.
Указание: Выберите основание для первого этапа
деления и затем — основание деления каждой
получающейся части.
4. Отношения между понятиями
Отношения устанавливают только между так
называемыми сравнимыми понятиями. Понятия называ-
ются сравнимыми, если их можно отнести к общему
классу, или — более точно — если они имеют ближайший
общий род. В противном случае понятия называются
несравнимыми, как например, “самолет” (род — транспор-
тное средство) и “помидор” (род — овощ), “человечество”
(род — множество людей) и “человек’’(род — животное),
“капитализм” (род — общественный строй) и “капита-
21
лист” (род — человек). Сравнимые понятия могут нахо-
диться в отношениях либо совместимости, либо несовмес-
тимости.
Понятия совместимы, если у них есть общие элемен-
ты объемов, причем могут быть три варианта совмести-
мости:
а) все элементы первого объема являются
элементами второго и наоборот — все эле-
менты второго суть элементы первого (от-
ношение эквивалентности);
б) все элементы одного объема суть элемен-
ты другого объема, но обратное неверно
(отношение подчинения А к В);
в) некоторые (но не все) элементы одного
объема являются элементами другого и на-
оборот, т.е. у двух объемов есть элементы
общие (совпадающие) и несовпадающие
(отношение перекрещивания).
Этими определениями и нужно руководствоваться при
установлении отношений совместимости. Прежде чем ска-
зать, что понятия А и В, например, “дочь” и “внучка”, рав-
нозначны, нужно проверить себя двумя утверждениями:
“Всякая дочь — внучка” и “Всякая внучка — дочь”. Если
оба они истинны, то эти понятия, действительно, эквива-
лентны. Подчинение понятий А и В, например, “дочь” и
“мать”, проверяется составлением двух таких утвержде-
ний: “Всякая мать — дочь”, но “Не всякая дочь — мать”.
Значит, “дочь” — более широкое, подчиняющее понятие,
а “мать” меньше по объему, оно подчиненное. Наконец,
перекрещивание А и В имеет место тогда, когда верны та-
кие утверждения: “Только некоторые предметы А суть В”
и “Только некоторые В суть А”. Только некоторые матери
— Сестры и только некоторые сестры — матери. Следова-
тельно, “мать” и “сестра” — перекрещивающиеся поня-
тия.
Аналогичным образом устанавливаются отношения
несовместимости, при которых объемы понятий не име-
ют общих элементов, иначе говоря, А и В несовместимы,
если ни один элемент А не является элементом В и наобо-
рот. При несовместимости тоже могут быть три варианта:
22
а) несовместимые понятия в сумме исчерпы-
вают весь родовой объем (противоречие)-,
В = не А
б) они не исчерпывают весь родовой объем и
находятся на разных полюсах (противопо-
ложность)-,
в) не исчерпывая всего объема, они явля-
ются двумя разновидностями в пределах
одного класса (соподчинение).
Однако при практическим определении отношений
обычно устанавливают просто несовместимость, напри-
мер, понятия “троллейбус” и “трамвай” несовместимы,
потому что ни один трамвай не является троллейбусом и
наоборот. Различить же противоречие, противополож-
ность и соподчинение можно только содержательно.
У пражнения
1. Ответьте на следующие вопросы, обоснуйте ваши отве-
ты теоретически или хотя бы посредством примера:
а) Можно ли считать понятия равнообъемными на том ос-
новании, что у них одинаковые содержания?
б) Могут ли быть равнообъемными понятия с полностью
различными (кроме общего родового признака) содер-
жаниями?
в) Можно ли считать понятия перекрещивающимися на
том основании, что в их содержаниях есть общие (по-
мимо родового) признаки?
г) Могут ли быть несовместимыми понятия, в содержани-
ях которых есть общие (помимо родового) признаки?
Образец: Могут ли быть совместимыми понятия, в со-
держаниях которых нет ни одного (кроме родового) общего
признака? — Могут, так как каждый предмет обладает
очень многими свойствами и поэтому может быть подведен
под множество разных понятий. И в таком случае эти по-
нятия совместимы. В содержания же этих понятий могут
быть включены полностью различные совокупности приз-
наков, как например, “слово, обозначающее предмет” и
“слово, состоящее из 5 букв”. Итак, приведенные понятия
совместимы, поскольку можно указать предмет, являю-
щийся элементом одного и другого понятия: например,
“палка”.
2. Установите отношения между понятиями, изобразив
их графически:
23
а) родственник, родство, родственные отношения, супру-
жеские отношения, муж;
б) человек, имеющий детей; человек, имеющий несколь-
ких детей; человек, имеющий двоих дочерей и сына;
отец;
в) человек, читающий в метро; человек, читающий во
всех видах транспорта; человек, читающий газету;
пассажир, читающий газету;
г) деньги; бумажные деньги; монеты; фальшивые деньги;
деньги, находящиеся в обращении; советские деньги;
д) металл, металлический блеск, электропроводность,
ковкость;
е) параллельные прямые, параллелограмм, параллель-
ность, ромб;
ж) государство, столица государства, европейская столи-
ца, Токио;
з) король, глава монархического государства, монархи-
ческое государство, нефтяной король;
и) существительное, глагол, главный член предложения,
сказуемое, подлежащее;
к) произведение художественной литературы, повесть,
высокохудожественное произведение искусства, кар-
тина;
л) средство связи, телефон, телефонный аппарат, телефон-
ный разговор;
м) разведчик, разведка, шпионаж, деятельность развед-
чика;
н) письмо, конверт, ненаписанное письмо, неотправлен-
ное письмо;
о) подросток, подростковая преступность, хулиган, мало-
летний преступник;
п) банда, главарь банды, бандит, преступная группа;
Образец. Проект закона (А), закон (В), законность (С),
беззаконие (D). Чертим первый круг, который символизи-
рует множество всех проектов законов. Второй круг, кото-
рый символизирует множество всех законов, находится
полностью за пределами первого, поскольку ни один закон
не является проектом закона. Третий круг, символизиру-
ющий объем понятия “законность”, находится вне первого
и второго, так как законность не является ни законом, ни
проектом закона. Наконец, четвертый круг, символизиру-
ющий объем понятия “беззаконие”, находится вне первых
трех, ибо беззаконие не является ни законностью, ни зако-
ном, ни проектом закона. Таким образом получается схема:
24
3. Назовите понятия, находящиеся во всех возможных от-
ношениях к данным: нищий; ночь; консерватор; умно-
жение; засушливое лето; Северный полюс; вражда; ма-
териалист; смелость; сторонник; обвинитель; опти-
мист; экономический кризис; засушливое лето.
Образец. Кислота. Эквивалентное: химическое соеди-
нение, характеризующееся диссоциацией в водном
растворе с образованием HgO+; подчиненное: однооснов-
ная кислота; подчиняющее: химическое соединение; пе-
рекрещивающееся: химическое соединение серы; сопод-
чиненное: соль; противоречащее: не-кислота; противопо-
ложное: щелочь.
4. Ответьте на следующие вопросы и обоснуйте ваши ответы:
а) если понятия А и В эквивалентны, то обязательно ли
эквивалентны понятия, им противоречащие (1А и I В)?
б) если А подчинено В, то в каком отношении находятся
понятия, им противоречащие?
в) если понятия А и В несовместимы, то в каком отноше-
нии находятся понятия, им противоречащие?
г) если понятия А и В перекрещиваются, то обязательно
ли перекрещиваются 1А и 1 В?
д) если понятия А и В противоположны, то в каком отно-
шении находятся IА и 1В?
Образец. Если понятия А и В совместимы, то совмести-
мы ли противоречащие им понятия? — Если А и В совмес-
тимы и не занимают вместе весь универсум, то противоре-
чащие им понятия совместимы за счет свободной от А и В
части универсума (см. схему 1 пересечение штриховок).
Если же совместимые понятия занимают вместе весь уни-
версум, то противоречащие им понятия несовместимы —
их будет разделять общая для А и В часть (см. схему 2).
схема 1
-----в-
схема 2
25
5. Каждому ряду понятий а)—к) соответствует схема
1—10. Найдите для каждого ряда понятий соответ-
ствующую ему схему (на схемах понятия каждого ря-
да обозначены по порядку буквами А, В, С, D):
а) коллективное решение, неправильное решение, неиз-
менное решение, принятое единогласно решение;
б) плодотворный урок, сорванный урок, урок истории,
урок, на который никто не пришел;
в) Лондон, европейская столица, город северного полуша-
рия, город России;
г) ошибка, ошибочность, обнаруженная ошибка, исправ-
ленная ошибка;
д) лес, хвойный лес, дерево, сосна;
е) движение, вращение, быстрое движение, скорость;
Ж) атом, электрон, протон, ядро атома;
з) Бермудский треугольник, равносторонний треуголь-
ник, остроугольный треугольник, равнобедренный
треугольник;
и) испуг, испуганный человек, пугливый человек, чело-
век, чувствующий страх;
к) болезнь, больной человек, больное сердце, человек с
26
Указание. Начертите схемы отношений понятий
каждого ряда и сопоставьте их с приведенными.
6. Ответьте на следующие вопросы и обоснуйте ваши от-
веты:
а) Если понятия А и В несовместимы, то в каком отноше-
нии должно находиться произвольное понятие С к по-
нятию А, чтобы обеспечить несовместимость С с В?
б) Если понятия А и В пересекаются, то какое отношение
понятия А к произвольному понятию С обеспечивает
пересечение В с С?
в) Если понятие А несовместимо с понятием В, то какое
отношение понятия А к произвольному понятию С
обеспечивает совместимость В с С?
г) Если понятие А подчинено понятию В, то в каком от-
ношении должно находиться А к произвольному поня-
тию С, чтобы обеспечить подчинение понятия С поня-
тию В?
Образец. Если понятие А является подчиняющим для
В, то какое отношение А и С обеспечивает, чтобы С было
подчиняющим для В? — Чтобы С было подчиняющим для
В, оно (С) должно быть либо эквивалентным А, либо под-
чиняющим для А, иначе говоря, только когда А пол-
ностью включается в С, всякое подчиненное ему является
подчиненным С.
5. Операции с классами (объемами понятий).
Диаграммы Венна
Оперирование с понятиями предполагает также уме-
ние образовывать сложные понятия из более простых, или
иначе говоря, представлять объемы понятий по сложно за-
данной совокупности признаков. Например, чтобы пред-
ставить объем понятия “детективный или фантастиче-
ский роман, кроме американского” необходимо объеди-
нить множество детективных и множество фантастиче-
ских романов и исключить из полученного множества все
американские романы. Для этих целей нужно знать смысл
основных операций с классами или множествами: объеди-
нение, пересечение, вычитание множеств и образование
дополнения к множеству.
Операция объединения двух множеств АиВ (АиВ)
состоит в образовании класса, включающего все элемен-
ты А и все элементы В. Например, объединение класса
27
целых яблок с классом половинок яблок даст класс, куда
войдут все целые яблоки и все половинки яблок, а объеди-
нение класса волков с классом хищников даст класс хищ-
ников, поскольку все волки уже в него включены. Опера-
ция объединения в содержаниях понятий отражается
обычно дизъюнктивным соединением признаков.
Графически объединение классов отражается следую-
щими схемами (в зависимости от фактического отноше-
ния объединяемых множеств). Результат операции на
всех схемах показан штриховкой:
1. АиВ
г.АиВ
З.АиВ
4.АиВ
Операция пересечения двух множеств А и В (АпВ) со-
стоит в создании класса, включающего все те и только
те элементы, которые входят в А и В одновременно. На-
пример, пересечение класса российских городов с классом
городов-миллионеров даст класс российских городов-мил-
лионеров, пересечение класса волков с классом хищников
даст класс волков, а пересечение классов яблок и полови-
нок яблок будет пустым классом, так как не существует
такого предмета, который был бы одновременно яблоком
и его половинкой. Операция пересечения в содержаниях
понятий отражается конъюнктивным соединением при-
знаков.
Графически пересечение классов изображается следу-
ющими схемами (в зависимости от фактического отноше-
ния пересекаемых множеств):
1.АпВ
2. Ап В
З.АпВ
Операция вычитания класса В из класса А (А\В) да-
ет класс, состоящий из всех тех и только тех элементов
А, которые не являются элементами В. Например, при
вычитании класса российских городов из класса городов-
миллионеров получится класс не-российских городов-
28
миллионеров, а при вычитании класса городов-миллионе-
ров из класса российских городов получится класс россий-
ских городов, население которых менее 1 млн. человек.
Вычитание класса волков из класса хищников даст класс
хищников-не-волков, а обратное вычитание (хищников из
волков) приведет к пустому множеству, потому что, если
мы истребим среди волков всех хищников, волков не оста-
нется вовсе. Операция вычитания классов в содержаниях
понятий отражается обычно соединением признаков пос-
редством слов “кроме”, “за исключением”, “но не”, что со-
ответствует конъюнктивному присоединению признака,
противоречащего данному.
Графически вычитание классов изображается следую-
щими схемами (в зависимости от фактического отноше-
ния классов):
1.А\В 2. А\В 3. А\В 4. В\А 5.А\В
Дополнением множества А (А') является множество,
состоящее из всех тех и только тех элементов, которые
не входят в А, иначе говоря, дополнение к А получается,
когда из универсального класса (U) вычитают класс А
(U\A). Например, дополнением к множеству квадратов (в
универсуме геометрических фигур) является множество
всех геометрических фигур, кроме квадратов, т.е. мно-
жество не-квадратов, дополнением ж множеству детей бу-
дет множество не-детей и т.д. Множество и дополнение к
нему выражаются противоречащими понятиями.
Графически дополнение к классу изображается схе-
мой:
Находят обычно сложные классы, или объемы поня-
тий со сложно заданными содержаниями, на графических
схемах, называемых диаграммами Венна. Диаграмма
29
Венна представляет собой прямоугольник, символизиру-
ющий универсальный класс. Этот универсум разбивается
горизонтальными и вертикальными линиями на класс и
дополнение к нему по каждому классу, над которыми про-
изводятся операции. Например, для нахождения класса
((АиВ) пС') универсум разбивается сначала на А и А' (схе-
ма 1), потом — на В и В'(схема 2), при предположении, что
классы А и В независимы друг от друга, т.е., что существу-
ют элементы, общие для А и В (1), существуют элементы
В, которые не входят в А (2), также существуют и такие,
которые не входят в В, но входят в А (3), и существуют эле-
менты, не входящие ни в А, ни в В (4). И наконец, универ-
сум разбивается на класс С и С', также при предположе-
нии независимости С от А и В (схема 3).
схема 1 схема 2 схема 3
Собственно нахождение сложного класса начинается
на полностью расчерченной диаграмме (схема 3). В нашем
примере ((А и В) n С') нужно осуществить две операции:
(1) объединение А и В, (2) пересечение полученного ре-
зультата с С'. Результат первой операции представлен на
схеме 4, результат второй — на схеме 5.
схема 4 схема 5
Для нахождения объемов понятий со сложно задан-
ным содержанием необходимо сначала сопоставить каж-
дому признаку выделяемый им класс предметов, заменить
конъюнкцию признаков на пересечение соответствующих
классов, дизъюнкцию признаков — на объединение клас-
сов, а отрицательные признаки представить как дополне-
ние к соответствующему классу. Например, объем поня-
30
тия “водное животное, не являющееся китом и дельфи-
ном” будет сложным классом (Ап(В'пС')), где А — класс
водных животных, В — класс китов, С — класс дельфи-
нов. Объем понятия “детективный или фантастический
роман, кроме американского” есть сложный класс ((А с В)
n С'), где А — детективные романы, В — фантастические
романы, С — американские романы.
Для установления отношений между такими понятия-
ми, объемы которых нужно находить на диаграммах Вен-
на, чертят две полностью идентичные диаграммы, разби-
вая по всем тем простым классам, которые встречаются в
обоих понятиях. Например, нужно установить отношение
между понятиями: “детективный или фантастический ро-
ман” и “американский детективный роман”. Это значит —
установить отношение между сложными классами: (А с В)
и (С п А), в каждый из которых входят по два класса, но
всего их три: А, В, С. Поэтому обе диаграммы должны
быть расчерчены по А, В и С.
Затем найдем объем каждого понятия на его диаграм-
ме и посмотрим, в каком отношении они находятся.
На диаграммах мы видим, что объем второго понятия
составляет часть объема первого, значит, второе понятие
находится в отношении подчинения к первому.
Отношения группы совместимости на диаграммах Вен-
на определяют так же, как на кругах Эйлера. На диаграм-
мах видны и отношения группы несовместимости, кото-
31
рые на кругах неразличимы. Проще всего увидеть на диаг-
раммах отношение противоречия, при котором объемы по-
нятий вместе исчерпывают весь универсум. Труднее раз-
личать на диаграммах соподчинение и противополож-
ность. Следует запомнить, что объемы соподчиненных по-
нятий занимают на диаграммах просто разные места (не
исчерпывая вместе весь универсум), тогда как объемы
противоположных понятий занимают диагонально распо-
ложенные клеточки на диаграммах: понятие, у которого
весь объем заключен в 1 клетке 8-миклеточной
диаграммы противоположно понятию, весь объем которо-
го заключен в 8, 2 противоположно 7, 3 противоположно
6, 4 противоположно 5, понятие, объем которого весь за-
ключается в 1 и 2 (занимает 2 клеточки) противоположно
понятию с объемом 7 и 8, а 3 и 4 противоположно 5 и 6.
У пражнения
1. Произведите объединение, пересечение, вычитание
объемов следующих понятий:
а) ромб, равносторонний параллелограмм;
б) студент, первокурсник;
в) город, населенный пункт Московской области;
г) крокодил, бегемот;
д) учебник, книга по физике;
е) собака, голова собаки;
ж) отец; человек, имеющий детей;
з) существительное женского рода, оканчивающееся на
“ь”; существительное 3-го склонения;
и) правительство, премьер-министр;
к) сосновая ветка, ветка хвойного дерева;
л) число, кратное 5; число, оканчивающееся на 5.
Образец. Грабитель, рецидивист. В результате объеди-
нения получится понятие “грабитель или рецидивист”, в
объем которого войдут все грабители и все рецидивисты.
В результате пересечения получится понятие “грабитель-
рецидивист”. В результате вычитания второго понятия из
первого получтся понятие “грабитель-не-рецидивист”, а
при вычитании первого из второго — понятие “рециди-
вист-не-грабитель”. Дополнением к первому будет поня-
тие “не-грабитель”, а ко второму — “не-рецидивист”.
2. В каких отношениях находятся понятия АиВ, если:
а) АПВ = АиВ;
б) А\В = А, AuB = U;
в) А\В Ф О, В\А Ф О, А\В Ф В\А
32
г) Ап В = А, АиВ = В;
д) А\В.= О, В\А*О;
е) А\В = В\А = О;
ж) В\А = В, А и В U.
Образец: Ап В = О, Аи В /U. Понятия А и В находят-
ся в отношении соподчинения или противоположности:
они несовместимы, как видно из АпВ = О, и в то же вре-
мя не исчерпывают весь универсум.
3. Пусть универсум (U) — множество чисел, А — множе-
ство четных чисел, В — множество чисел, делящихся
на 5, С — множество чисел, делящихся на 3, а их отно-
шения представлены на следующей схеме — диаграм-
ме.Эйлера — Венна:
Составьте понятия, соответствующие каждой из 8
областей, и для проверки их непустоты назовите по одно-
му элементу из каждой.
Образец. Область 6 (ВпСпА') составляют нечетные
числа, делящиеся на 5 и на 3, например, 15, 45 75.
4. Укажите на той же диаграмме области, соответствую-
щие сложным классам:
а)АиВиС; 6)AnBnC; в)(АиВоС)'; г)(АпВпС)';
д)(АпВ)\С; е)А\(ВиС); ж)(АиВ)пС; з)(АпВ)иС;
и) (АиВиС) \ (АпВпС); к) (АпВ) и(ВпС) и(АпС).
Образец: (АпВ) \ (СпВ). (АпВ) — это области 4+7.
(СпВ) — это области 6+7. При вычитании второго из пер-
вого получается область 4.
5. Укажите на той же диаграмме области:
а) чисел, делящихся на 15;
б) чисел, делящихся на 6;
в) чисел, делящихся на 30;
г) чисел, делящихся на 10;
д) чисел, не делящихся на 15
е) чисел, не делящихся на 6;
ж) чисел, не делящихся на 30;
Образец. Укажите область чисел, не делящихся на 10.
Поскольку на 10 не делятся те числа, которые не являют-
2 Зак. 285
33
ся четными или не делятся на 5, искомая область состоит
из полей 1+2+3+5+6+8.
6. Найдите на диаграммах Венна сложные классы:
а) (А'пВ)'п(С'оВ'); б) (A n С'МВиА');
в) (АиС)и(АпВ); г) (Ао С)'п(АоВ)';
д) (АоВ')'п(ВпС)'; е)((ВпС)'п(А'иС))'.
Образец. (АиВ) п (В
пС).
А А'
В
В '
С С' С С'
В результате первой операции получаются клетки 1—6;
в результате второй — 2, 4; в результате третьей — 2,4.
7. Запишите символически сложные классы, соответст-
вующие заштрихованным областям на следующих ди-
аграммах Эйлера — Венна:
Образец. Диаграмма9: (Au (BnC) \ (AnB nС).
34
8. Установите с помощью диаграмм Венна отношения
между классами:
а) ((АпВ') иА) и ((ВпА')иВ');
б) ((АпВ)иА') и ((АиА')л(ВиВ'));
в) ((A nB)u (А' п В')) и ((А иА') п(Ви В'));
г) ((АиС)и(АпВ)) и (А'иВ');
д) ((A n С') и С) и ((А иВ) n С');
е) ((AnС')' о В) и ((А' иС)пВ)'.
Образец. (А'и В') и ((A n С')' п В).
Первый класс найден на левой диаграмме, он занимает
клетки 3—8, второй класс найден на правой диаграмме, он
занимает клетки 1, 3, 4. Поскольку у этих классов есть об-
щие части (клетки 3 и 4) и есть различные, отношение
между данными классами — перекрещивание.
9. Установите с помощью диаграмм Венна отношения
между следующими понятиями:
а) студент, сдавший экзамены по истории и психологии,
но не сдавший зачет по информатике; студент, не сдав-
ший экзамен по истории или по психологии, но сдав-
ший зачет по информатике;
б) человек, знающий хотя бы один из 3 языков (англ., фр.,
итал.); человек, знающий французский и итальян-
ский, но не знающий английского языка;
в) произведение детективного жанра, не являющееся ни
высокохудожественным, ни увлекательным; увлека-
тельное, хотя и не высокохудожественное произведе-
ние;
г) уважаемый или не уважаемый, но популярный поли-
тик; серьезный и уважаемый политик.
д) писатель, о котором нельзя сказать, что он талантлив
или глубок, хотя и не лишенный своеобразия; писа-
тель, о котором нельзя сказать, что он глубок и талан-
тлив, однако своеобразен;
Образец. Четное число, не делящееся на 6, меньшее
100; число, делящееся на 6, или четное число, меньшее
100. Запишем содержания этих понятий символически,
35
обозначив признак “четное число” — А, признак “деляще-
еся на 6” — В, признак “меньшее 100” — С: (А & 1В & С) и
(Bv (А & С)). Этим содержаниям соответствуют классы:
(АпВ' пС) и (В и(А п С)), между которыми и нужно ус-
тановить отношение с помощью диаграмм Венна.
6. Определение, его виды
Определение — это операция раскрытия содержания
понятия или придания смысла некоторому термину. Оп-
ределением также называют высказывание, в котором за-
фиксирован результат этой операции.
Определение дается во всех случаях, когда отвечают
на вопрос “что это такое?” или “что имеется в виду под вы-
ражением...?” Без него не обходится ни один урок в шко-
ле, ни одна лекция, вообще никакое информационно-язы-
ковое общение. Определения даются, когда нужно сооб-
щить, какими отличительными признаками обладают те
или иные предметы, и когда требуется задать или уточ-
нить смысл некоторого термина. Легко заметить, что зада-
чи этих двух типов определений различны: в первом —
целью является раскрытие сущности или отличительных
особенностей класса предметов, о которых идет речь, во
втором — разъяснение словоупотребления. Определения
первого типа называются реальными, второго — номи-
нальными.
Все определения, независимо от их цели, выражены в
высказываниях той или иной формы (обычно — в одном
высказывании, иногда — в группе высказываний). В зави-
симости от формы этих высказываний определения разде-
ляют на явные и неявные. Наиболее широко употребимы-
ми являются явные определения, где определяемое
вынесено влево и не встречается в правой (определяющей)
части. Например, определение “Амперметр — это физи-
ческий прибор для измерения силы тока”, явное, т.к.
определяемое понятие “амперметр” стоит слева и больше в
определении не встречается.
Определения, не имеющие такой формы, называются
неявными. Наиболее простым видом неявных определе-
ний являются контекстуальные, когда смысл неизвестно-
го выражения раскрываются на протяжении какого-то
контекста и тем самым выясняется содержание обозначен-
36
ного этим выражением понятия. Весь тот контекст, из ко-
торого становится ясным смысл неизвестного выражения,
является определением. Другие виды неявных определе-
ний употребляются лишь в специальных науках и доволь-
но сложны для беглого ознакомления.
Наиболее часто встречающийся вид определений —
это явные родо-видовые определения, или определения че-
рез род и видовое отличие. Это такие определения, где оп-
ределяющая часть начинается с указания родового при-
знака определяемых предметов, т.е. признака, присущего
более широкому, чем определяемый, классу. В приведен-
ном определении амперметра таким родовым признаком
является “физический прибор”, присущий не только ам-
перметрам. Родовой признак — первый ориентир, указы-
вающий, в какой области следует искать определяемые
предметы. После него дается видовое отличие этих пред-
метов, т.е. спецификация их в пределах области, указан-
ной родовым признаком. Так, среди всех физических при-
боров выделяются те, которые измеряют силу тока.
Среди родо-видовых определений можно выделить, по
крайней мере, три подвида в зависимости от способа, ка-
ким происходит спецификация, т.е. от типа видового от-
личия.
Во-первых, Интересующие нас предметы можно специ-
фицировать, указав дополнительно к родовому признаку
отличительные признаки этих предметов. Например,
“квадрат — это ромб с прямыми углами”. “Ромб” — родо-
вой признак, “прямоугольный” — видовое отличие, т.е.
признак, присущий из всех ромбов только квадратам. Та-
кого типа родо-видовые определения называются атрибу-
тивными.
Во-вторых, класс определяемых предметов можно
специфицировать, указав в видовом отличии, как эти
предметы происходят естественным образом или как их
можно получить (создать, построить). Например, “квад-
рат — это ромб, получаемый взаимно перпендикулярной
установкой его смежных сторон”. Здесь тот же самый ро-
довой признак (“ромб”), а видовое отличие указывает про-
цедуру построения квадрата из ромба. Такие определения
называются генетическими.
В-третьих, предметы могут быть специфицированы
указанием в видовом признаке операции, позволяющей
37
их отличить. Эта операция рассчитана либо на специфи-
ческую реакцию определяемых предметов, либо на легко
обнаруживаемый результат. Например, “Квадрат — это
такой ромб, что если к любой из его сторон приложить ос-
нование транспортира, совместив точку “0” с вершиной,
то примыкающая к ней сторона соединит точку “0” и от-
метку на шкале “90°”. В этом определении видовое отли-
чие описывает процедуру различения квадратов среди
всех ромбов. Такие определения называются операцио-
нальными.
Упражнения
1. Найдите в следующих определениях определяемое и
определяющее и скажите, является ли определение яв-
ным:
а) Определение — это операция раскрытия содержания
понятия или придания смысла некоторому термину.
б) Определения, в которых определяющая часть начина-
ется с указания родового признака определяемых
предметов, т.е. признака, присущего более широкому,
чем определяемый, классу, называются родо-видовыми;
в) Если каждый элемент объема одного понятия является
элементом объема другого понятия и наоборот, поня-
тия называются эквивалентными;
г) ах1=а, ах(п+1) = (ахп) + а;
д) Родители, дети, родные братья и сестры, супруги счи-
таются ближайшими родственниками;
е) Шар представляет собой тело, образованное вращением
полукруга вокруг диаметра.
Образец. 1)2 — четное число,
2) если п — четное число, то п+2 — четное число,
3) никакое другое число четным не является.
Определяется понятие “четное число”, определение не-
явное, так как состоит из трех утверждений, где определя-
емое понятие не вынесено влево, а встречается несколько
раз.
2. Установите, являются ли следующие явные определе-
ния родо-видовыми (в родо-видовых укажите родовой
признак и видовое отличие):
а) Членовредительство — нанесение увечья кому-нибудь
или умышленное нанесение увечья себе;
б) Умный человек — это тот, который молчит, когда его
не спрашивают;
в) Свобода — отсутствие стеснений и ограничений, связы-
38
вающих общественно-политическую жизнь и деятель-
ность какого-либо общественного класса;
г) Коллегия — группа должностных лиц, образующих ад-
министративный, совещательный или распорядитель-
ный орган;
д) Мякина — остатки колосьев, стеблей и другие отходы
при молотьбе;
е) Шантаж — угроза разглашения компрометирующих
сведений с целью вымогательства;
ж) Резидент — тайный представитель разведки в каком-
нибудь районе иностранного государства;
з) Оптимизм — бодрое и жизнерадостное мироощущение,
при котором человек во всем видит светлые стороны;
и) Числитель — делимое в дроби;
Образец. Истязание — систематическое нанесение по-
боев. Определение можно считать родо-видовым: родовой
признак “нанесение побоев”, видовое отличие “системати-
ческое”.
3. Найдите видовое отличие в следующих родо-видовых
определениях и установите их вид:
а) Эллипс — замкнутая кривая, получаемая при сечении
конуса или цилиндра плоскостью.
б) 10 метров — отрезок, на котором условная мера длины
1 метр укладывается десять раз.
в) Историк —это человек, который любит и знает исто-
рию и профессионально занимается ею.
г) Вино — алкогольный напиток, получаемый путем сбра-
живания фруктового сока.
д) Логик — это человек, который проверяет правильность
рассуждения, используя специальные правила.
е) Алкоголь — сложное вещество, которое при приеме
внутрь вызывает опьянение.
ж) Кокаин — ядовитое вещество, добываемое из тропиче-
ского растения.
з) Подлежащее — это главный член предложения, отвеча-
ющий на вопросы “кто?” или “что?”.
и) Барометр — это прибор, который получается, если за-
паянную сверху стеклянную трубку опустить незапа-
янным концом в ртуть.
к) Энциклопедист — это человек, который даст ответ на
любой вопрос.
Образец. Пирога — узкий длинный челн, выдолблен-
ный из ствола дерева. Видовое отличие “выдолбленный из
ствола дерева”. Определение генетическое, так как видо-
вое отличие указывает способ создания предмета.
39
7. Правила, определения
Правила определения и связанные с их несоблюдением
ошибки бывают собственно логическими, как например,
соразмерность и недопущение круга в определениях; ком-
муникативно-прагматическими (ясность, краткость, не-
использование незнакомых терминов) и фактическими
(выделение по существенным признакам).
Правило соразмерности требует равенства объемов
определяемого и определяющего понятий или
взаимозаменяемости определяемого и определяющего
терминов во всех констекстах. Правило недопущения
круга требует, чтобы, во-первых, в определяемой и
определяющей частях одного определения не встречались
синонимичные выражения типа “Закрытое общество - это
общество, которое замкнуто”. Такая ошибка — круг в
одном определении — называется тавтологией в
определении. Во-вторых, круг может встречаться в систе-
ме определений, по крайней мере в двух, когда некоторое
понятие из определяющей части первого определения рас-
крывается в другом определении с привлечением первого
определяемого понятия. Например, “Родственники — это
люди, находящиеся в родстве” ...’’Родство — это отноше-
ние, в котором находятся родственники*’ или “Объем по-
нятия — это множество всех его элементов”...’’Элемент
объема понятия — это отдельный предмет, входящий в
объем понятия”. В этих парах определений понятие из оп-
ределяющей части первого определения (“родство”,
“элемент объема понятия”) раскрывается через понятие,
являющееся определяемым в первом определении (“ро-
дственники”, “объем понятия”).
Требование ясности предписывает использовать в оп-
ределяющих частях всех определений уже определенные
выше понятия, т.е. вводить новые понятия последователь-
но —- от известного к неизвестному. Фактическое требова-
ние — определять понятие по существенным признакам —
исторически относительно, поскольку с развитием позна-
ния меняется понятие сущности, и определения, прежде
удовлетворявшие этому требованию, со временем переста-
ют ему удовлетворять.
40
Упражнения
Установите вид и правильность следующих определений:
а) Дезертирство - неявка на военную службу с целью
уклониться от нее.
б) Взятка — деньги или вещи, передаваемые должност-
ному лицу как оплата его преступных действий.
в) Безапелляционное решение — решение, не подлежа-
щее обжалованию в апелляционном порядке.
г) Студент — человек, закончивший среднюю школу и
поступивший в вуз.
д) Самолет — летательный аппарат тяжелее воздуха.
е) Судьба — ход жизненных событий, не зависящий от во-
ли человека.
ж) Беззаконие — положение, при котором общественная
жизнь не обеспечивается законами.
з) Попугай — птица тропических стран с ярким и пест-
рым оперением.
и) Альбинос — человек черного племени, одержимый не-
дужною белизною кожи и волос, причем глаза бывают
красные, как у белого кролика.
к) Отсутствие — положение, когда нет в наличии чего-
нибудь или кого-нибудь.
л) Милиционер — должностное лицо милиции по охране
общественного порядка.
м) Миллионер — обладатель богатства, оцениваемого в
миллионы рублей.
н) Оккупация — насильственное занятие чужой террито-
рии военной силой.
о) 125 — число, получаемое возведением 5 в степень.
п) Вытрезвитель — медицинский пункт для приведения в
трезвое состояние.
Образец. Газета — периодическое издание в виде боль-
ших листов бумаги, освещающее события политической
жизни. Определение явное, родо-видовое, атрибутивное.
Неправильное: нарушено правило соразмерности, опреде-
ление слишком узкое, так как в газете могут освещаться
события не только политической, но и экономической,
культурной, спортивной жизни.
8. Виды понятий
Логический анализ понятия предполагает знание того,
что понятия бывают различными и эти различия проявля-
ются в их функционировании, а потому должны учиты-
41
ваться в обращении с ними. Обычно классифицируют по-
нятия по пяти различным основаниям: (1) по логическому
и фактическому объему; (2) по “конгломеративности” эле-
мента объема; (3) по характеру элементов объема; (4) по
наличию отрицательного признака в содержании (5) по
характеру признаков содержания.
Для классификации понятий по основанию (1) необхо-
димо различать логический и фактический объем. Логи-
ческий объем — это множество предметов, мыслимых в
понятии, независимо от того, существуют ли они в ре-
альности. Например, логический объем понятия “вечный
двигатель” составляют все мыслимые вечные двигатели;
логический объем понятия “московский тракторный за-
вод” составляют все тракторные заводы, которые, возмож-
но, когда-либо существовали или, возможно, будут суще-
ствовать в Москве; логический объем понятия “дерево” —
все мыслимые деревья. Фактический объем понятия —
это множество реальных предметов, обладающих всеми
признаками, включенными в содержание понятия. Фак-
тический объем понятий “вечный двигатель” или “мос-
ковский тракторный завод” пуст, так как в реальности не
существует вечных двигателей и в Москве нет тракторных
заводов, фактический же объем понятия “дерево” не пуст,
его составляют все реальные деревья. Итак, понятие мо-
жет иметь непустой логический объем, но пустой факти-
ческий. Вместе с тем есть понятия, у которых и логиче-
ский объем пуст: это понятия с самопротиворечивым со-
держанием, включающим несовместимые признаки, на-
пример, “четное число, не делящееся на 2”, “вечный дви-
гатель, требующий для работы постоянного поступления
энергии”. Очевидно, что логически пустые понятия необ-
ходимо являются и фактически пустыми: то, что нельзя
помыслить из-за несовместимости его признаков, не мо-
жет существовать. Таким образом, первый член нашей
классификации — логически пустые понятия.
Фактически непустые понятия могут быть общими и
единичными. Общими называются понятия, объем кото-
рых включает более одного элемента, например, “четное
число” (в объеме бесконечно много элементов), “москов-
ский автозавод” (в объеме два элемента), “персонаж рус-
ских сказок” (в объеме несколько элементов). Единичны-
ми называются понятия, объем которых состоит ровно
из одного элемента. Примеры единичных понятий: “се-
42
годняшний президент США”, “главный герой романа
Пушкина “Евгений Онегин”, “число, которое больше 3, но
меньше 5”.
В целом классификацию понятий по этому основанию
можно представить таким образом:
По основанию (2), которое мы назвали “конгломера-
тивностью” элемента объема, понятия делятся на: собира-
тельные и несобирателъные. Понятие является собира-
тельным, если каждый его элемент представляет собой
множество каких-то вещей, и эта конгломеративность
существенна для его качества. Если же элемент объема
является целостным предметом, понятие называется
несобирательным. Например, “сервиз”, “очередь” или
“синдром “ — понятия собирательные, поскольку каждый
элемент любого из них — это множество чего-либо: посу-
ды, людей или симптомов. Например, такой элемент объ-
ема первого понятия, как мой чайный сервиз в горошек,
представляет собой множество чашек, блюдец и другой по-
суды. Элемент объема второго, например, очередь, стоя-
щая сейчас в кассу Большого театра. Это — множество лю-
дей. В третьем понятии есть такой элемент объема, как
синдром приобретенного иммунодефицита — совокуп-
ность симптомов данного заболевания.
По основанию (3) — характеру элементов объема, поня-
тия делятся на конкретные и абстрактные. Если эле-
мент объема — предмет (материальный или идеаль-
ный ), явление, ситуация, то понятие конкретное. Если
же элементом является свойство или отношение — по-
нятие абстрактное. Например, понятия “дружба”, “па-
раллельность”, “работоспособность” являются абстрак-
тными, так как в них мыслятся отношения или свойства,
а понятия “идеализм”, “вечный двигатель”, “революция”
— конкретные, потому что в них мыслятся предметы, со-
бытия пусть даже не существующие.
По основанию (4) - наличию отрицательного признака
43
в содержании, понятия делятся на отрицательные — ког-
да такой признак есть, и положительные — когда тако-
го признака нет. Если параллельные прямые — это пря-
мые, лежащие в одной плоскости и не пересекающиеся, то
понятие “параллельные прямые” — отрицательное. И ес-
ли считать несчастьем горестное событие, а не отсутствие
счастья, то понятие “несчастье” — положительное. Грам-
матические признаки слов, которыми выражаются поня-
тия, такие, как “не-” или “без-.”, не имеют прямого отно-
шения к отрицательности понятия.
По основанию (5) — характеру признаков содержа-
ния, понятия делятся на относительные и безотноси-
тельные. Относительными называются такие поня-
тия, в содержании которых имеется признак, прямо ука-
зывающий на отношение к какому-то другому предмету.
Например, “сосед” — понятие относительное, потому что
сосед — это человек, проживающий рядом с каким-нибудь
другим человеком, или предмет, занимающий ближайшее
к какому-то другому предмету место. Сущность относи-
тельного понятия проявляется именно в соотнесенности
его с другим. Невозможно быть просто соседом, так ска-
зать, ничьим, просто директором или ничьим мужем. Во
всех относительных понятиях обобщаются предметы, рас-
сматриваемые не сами по себе, а как вступившие в какие-
то отношения, как выполняющие некоторые функции. В
содержания безотносительных понятий, включены
только признаки-свойства, которые присущи или не при-
сущи предмету самому по себе и существенны для него са-
мого по себе.
Каждое понятие обычно характеризуется по всем ука-
занным видам. Например, понятие “рабочий класс” — об-
щее, собирательное, конкретное, положительное, безотно-
сительное. Оно — общее, потому что рабочий класс бывает
разный, можно назвать такой его вид, как пролетариат,
т.е. рабочий класс на определенной стадии развития капи-
тализма. Оно — собирательное, поскольку элементом объ-
ема является, например, рабочий класс Англии XIX в.,
который есть множество наемных рабочих. Это понятие
конкретное, так как в нем мыслится не свойство и не отно-
шение, а предмет. Оно — положительное и безотноситель-
ное, потому что в его содержании нет отрицательного при-
знака и признаки его содержания не указывают на отно-
шение к чему-либо.
44
Упражнения
1. Определите, какие из следующих понятий являются
логически пустыми, а какие — лишь фактически пус-
тыми: российский город, разрушенный атомным взры-
вом; отрицательное натуральное число; мост через Ат-
лантический океан; человек, проживший 300 лет; че-
ловек, проживший 110 лет в XIX веке; тупоугольный
равносторонний треугольник; инженерный факультет
МГПУ; находящиеся в обращении советские деньги;
число, делящееся на 4, но не делящееся на 2.
Образец. Украденная у себя самого вещь — понятие
логически пустое, так как украсть — это тайно похитить
не принадлежащее себе имущество, значит, признаки дан-
ного понятия самопротиворечивы.
2. Разделите перечисленные ниже понятия на единичные
и общие: имя существительное, несклоняемость (су-
ществительного), январь, демократия, подлежащее,
крупнейшая библиотека страны, профессионал, про-
тивозаконность, алфавит, свобода, молодежь, иммуни-
тет, президент, расизм, параллельность, простое чет-
ное число, сутки, здание ГУМа, роман А.С. Пушкина,
квадрат со стороной 20 см, декан философского фа-
культета Ростовского университета.
Образец. Верховный суд; Верховный суд Российской
Федерации; суд. Первое и третье понятия — общие, т.к.
верховные суды и суды, бывают разные, второе понятие -
единичное, поскольку мыслится один суд.
3. Какие из перечисленных ниже понятий — собиратель-
ные, а какие — несобирательные?
Демократия, друзья, парламент, правительство, род-
ственные отношения, предложение, коллекция почто-
вых марок, литература, собрание сочинений, сторон-
ник, футбольная команда, скрытность, артель, законо-
дательство, НАТО, клиентура, редакционная колле-
гия, горная гряда.
Образец. Абзац — понятие несобирательное, потому
что элементом объема его является структурная единица
текста от красной строки до следующей красной строки,
т.е. отдельный предмет, а не множество.
4. Разделите перечисленные ниже понятия на конкрет-
ные и абстрактные:
Беззаботность, Евгений Онегин, алиби, верность, сорат-
ник, профессионализм, идеал, противозаконность, бис-
45
сектриса, красота, профессия, иммунитет, периферия,
ложность, материализм, равенство треугольников,
объективная реальность, реальность происходящего,
противоположность, русалка, родственные отноше-
ния, инерция.
Образец. Синус, угол, подобие, прямоугольность. Пер-
вое, третье и четвертое понятия — абстрактные: в первом
мыслится отношение противолежащего катета к гипоте-
нузе, в третьем — отношение геометрческих фигур, в чет-
вертом — свойство геометрической фигуры. Второе поня-
тие — конкретное, так как мыслятся предметы — углы.
5. Раскройте содержание следующих понятий и укажите,
какие из них — отрицательные, а какие — положи-
тельные:
Несобирательное понятие, регресс, противодействие,
несклоняемость, противоядие, независимое государст-
во, алиби, осторожность, запрет, враг, иммунитет, без-
билетный пассажир, профан, покорность, рассеян-
ность, непустое понятие, сирота, Незнайка.
Образец. Безразличие — понятие положительное, так
как безразличие — это равнодушное отношение к кому-
либо или чему-либо: в раскрытом таким образом содержа-
нии нет отрицательного признака. Покой (физич.) — по-
нятие отрицательное, поскольку покой — это отсутствие
движения, неподвижность: в содержание включен отри-
цательный признак.
6. Какие из следующих понятий — относительные и ка-
кие — безотносительные?
Западная страна, подлежащее, верность, соратник,
предложение, независимое государство, друзья, про-
курор, обвинитель, придаточное предложение, кол-
лекция почтовых марок, биссектриса, литература,
профессионал, враг, иммунитет, защитник, перифе-
рия, безбилетный пассажир, отдаленное место, клиен-
тура, запрет, покорность.
Образец. Лидер, деление, делимое, дуэль. Первое и
третье понятия — относительные, так как лидер — это ру-
ководитель какой-либо организации или группы, а дели-
мое — это член деления, число, которое делится на какое-
либо число. Второе и четвертое понятия — безотноситель-
ные, потому что деление — это математическая операция,
а дуэль — поединок с целью защитить честь дворянина.
7. Дайте следующим понятиям все (пять) характеристики
видов понятий:
46
Редакционная коллегия, имя существительное, подле-
жащее, Зевс, верность, соратник, сирота, независимое
государство, однокурсники, иностранный язык, пери-
ферия, придаточное предложение, биссектриса, красота,
профессионализм, Баба Яга, противозаконность, им-
мунитет, защитник, клиентура, домовой, английский
язык, главнокомандующий, убийство, законодатель-
ство, содружество, НАТО, незнакомец, алфавит, свобо-
да, ассистент, Комитет советских женщин.
Образец. Максимум (т.е. наибольшая величина в неко-
тором данном ряду): общее (в разных рядах разные макси-
мумы), несобирательное (величина — это не множество),
конкретное (величина — это не свойство и не отношение),
положительное (в содержании нет отрицательных призна-
ков), относительное (величина всегда данного ряда в соот-
несении с другими величинами этого ряда).
Тема: СУЖДЕНИЕ
1. Суждение и предложение
Суждение — это мысль, в которой утверждается или
отрицается а) свойство у предмета (действие предме-
та, наличие или отсутствие некоторой ситуации), б)
отношение между предметами, или в) существование
предмета. Суждение выражается обычно в повествова-
тельном предложении, иногда — в вопросительном; это —
так называемые риторические вопросы (“Зачем же он при-
шел, если болен?”), или в восклицательном (“Какое чуд-
ное было лето!”). Основной логической характеристикой
суждения (а также высказывания, т.е. суждения, выра-
женного в предложении) является его истинностное значе-
ние — каждое суждение является либо истинным, либо
ложным и этим оно отличается от всех прочих форм мыс-
ли. Если о предмете нечто утверждается или отрицается в
соответствии с действительностью, то суждение является
истинным, в противном случае оно является ложным. На-
пример, “Волга — крупнейшая европейская река” — ис-
тинное высказывание, так как предмет суждения — Волга
— действительно обладает указанным свойством. А вы-
сказывание “Санкт-Петербург старше Москвы” — ложно,
47
поскольку в действительности Санкт-Петербург и Москва
не находятся в указанном отношении.
Хотя мысль, суждение, не может существовать без ма-
териальной оболочки — предложения, каждое суждение
не связано однозначно с каким-либо определенным пред-
ложением, иначе говоря, оно может быть выражено раз-
ными предложениями. Прежде всего одну и ту же мысль
можно выразить в разных языках. В этом случае предло-
жения будут различны и по строю и по составу. Но так же
она может по-разному оформляться и в одном языке. На-
пример, в предложениях: “Некоторые существительные
русского языка не склоняются”, “В русском языке встре-
чаются существительные, которые не склоняются” выра-
жено одно и то же суждение,
С другой стороны, почти любое повествовательное
предложение может выражать различные суждения. Ска-
зать, какая именно мысль выражена в предложении:
“Завтра меня здесь не будет” —: трудно. Его можно толко-
вать как дающее ответ на любой из следующих четырех
вопросов:
1) Когда меня здесь не будет?
2) Кого завтра здесь не будет?
3) Где меня завтра не будет?
4) Буду ли я здесь завтра?
Очевидно, эти вопросы запрашивают различную ин-
формацию, и каждый раз требуемую информацию можно
выразить приведенным предложением. Следовательно,
оно может выражать четыре мысли, четыре суждения.
Связывание воспринимаемого предложения с каким-то
определенным суждением, т.е. понимание, происходит
благодаря контексту, а в устной речи — и по интонацион-
ному выделению.
Поскольку в суждении нечто утверждается или отри-
цается о чем-то, в нем выделяют две части: то, что гово-
рится, и то, о чем говорится. То, о чем говорится, — пред-
мет суждения — обычно уже известно, уже упоминалось,
а то, что говорится, выражает новую информацию, кото-
рая дается именно в этом суждении; она-то и подчеркива-
ется интонационно. Понятие о предмете суждения назы-
вается субъектом суждения, а новая, сообщаемая именно
в данном суждении информация — предикатом сужде-
ния. На предикат суждения всегда падает логическое уда-
рение. Проверить, правильно ли понято предложение,
48
действительно ли такое суждение выражено в нем, можно
с помощью нахождения главного смыслового вопроса к
этому предложению. Вопрос, кажущийся по смыслу на-
иболее подходящим, содержит в себе субъект суждения, а
то, о чем в вопросе спрашивается и что появляется в отве-
те, — предикат.
Упражнения
1. Определите, заключены ли в следующих языковых вы-
ражениях суждения:
а) Стемнело.
б) Вышедшее из-за туч солнце.
в) “Убит!”
г) “К чему теперь рыданья, пустых похвал ненужный хор
и жалкий лепет оправданья?”
д) “Судьбы свершился приговор!”
е) “Что ж? веселитесь...”
ж) “Он мучений последних вынести не мог”.
з) “Вы, жадною толпой стоящие у трона, Свободы, Гения
и Славы палачи!”
и) “Таитесь вы под сению закона”.
к) “Пред вами суд и правда — все молчи!..”
Образец. “О Дельвиг!
Начертали мне музы мой удел.
Но ты ль мои печали умножить захотел?”
В первом и третьем предложениях не выражаются
суждения, т.е. в них ничего не утверждается и не отрица-
ется. Второе предложение выражает суждение, в котором
субъектом является понятие “музы”, предикатом — “на-
чертали мне мой удел”.
2. Какие суждения могут быть выражены в следующих
предложениях (найдите их субъекты и предикаты):
а) Иван Иванович — сосед Ивана Никифоровича.
б) Нет студента, который не испытывал бы трудностей
при изучении логики.
в) Цыплят по осени считают.
г) Невозможно выучить иностранный язык без регуляр-
ных и интенсивных занятий.
д) Владимир понял, что ошибся, лишь когда незнакомец
подошел вплотную.
е) Каждый может освоить этот курс самостоятельно.
ж) Это решение не лучше любого другого.
з) “Да, были люди в наше время”.
и) Эта картина была подарена музею им. Пушкина до-
черью художника.
49
к) “Скупой спускается пушкинский рыцарь подвалом сво-
им любоваться”.
Образец. Страшнее кошки зверя нет.
В данном предложении могут быть выражены сужде-
ния:
1) Предикат — “нет”, субьект — “зверя страшнее кош-
ки”: суждение существования.
2) Предикат — “нет страшнее”, субъект — пара поня-
тий “кошка”, “зверь”: суждение с отношением.
3) Предикат — “кошки”, субъект — “страшнее зверя
нет”: суждение атрибутивное.
3. Определите методом постановки главного смыслового
вопроса, какое суждение выражено в каждом предло-
жении (или самостоятельной части предложения) в
следующих контекстах:
а) “Синицын узнал его. Это был Дубровский”,
б) “Но есть и божий суд, наперсники разврата!
Есть грозный суд: он ждет;
Он не доступен звону злата,
И мысли и дела он знает наперед”.
в) “Двое иностранцев попросили водителя “Жигулей” от-
везти их в Шереметьево. В машине, кроме того, были
еще двое пассажиров. Мирным этот рейс не был. По до-
роге иностранцам пригрозили ножом. У них отобрали
деньги. После этого их высадили из машины”.
г) “До станции оставалось еще с версту. Кругом было ти-
хо... Налево чернело глубокое ущелье... На темном не-
бе начинали мелькать звезды, и мне показалось, что
они гораздо выше, чем у нас на севере. По обеим сторо-
нам дороги торчали голые, черные камни; кой-где из-
под снега выглядывали кустарники, но ни один сухой
листок не шевелило”.
Образец. “Время шло медленно. Все было тихо. В гос-
тиной пробило двенадцать”. В первом предложении выра-
жено суждение с субъектом “время шло” и предикатом
“медленно”, поскольку главный смысловой вопрос: “Как
шло время?” Во втором предложении выражено суждение
с субъектом “все было” и предикатом “тихо”, так как глав-
ный смысловой вопрос: “Как все было?” В третьем предло-
жении выражено суждение с субъектом “в гостиной про-
било” и предикатом “двенадцать”, а главный смысловой
вопрос: “Сколько пробило в гостиной?”
4. Выражена ли одна и та же мысль в обоих суждениях в
следующих парах?
50
а) Все мы получили не то, что хотели. — Все мы не полу-
чили того, что хотели.
б) Он не был мужчиной ни красивым, ни интересным. —
Он был мужчиной некрасивым и неинтересным.
в) Никто в группе не был готов к семинару. — Все в груп-
пе были не готовы к семинару.
г) а не делится ни на одно четное число — а делится толь-
ко на нечетные числа.
д) Субъект частных суждений не является распределен-
ным. — Субъект частных суждений является нерас-
пределенным.
е) N не относится к тем людям, которые если берутся за
дело, то доводят его до конца. — N относится к тем лю-
дям, которые если берутся за дело, то не доводят его до
конца.
Образец. Это событие не является ни необходимым, ни
желательным. — Неверно, что это событие является необ-
ходимым и желательным. Данные два суждения не выра-
жают одну и ту же мысль, поскольку, если неверно, что со-
бытие является необходимым и желательным, то оно не
обязательно не необходимо и не желательно: оно также
может быть необходимым, но нежелательным или не необ-
ходимым, но желательным.
2. Виды простых суждений
Суждения обычно делят на три вида по типу предиката.
1. Атрибутивные, отражающие, что предмету или
классу предметов присуще или не присуще некоторое
свойство. В этих суждениях предикат — мысль о свойст-
ве, субъект — одно понятие. Например, “Растения при ды-
хании выделяют кислород”. Субъект — понятие “расте-
ние”, предикат — свойство “выделять при дыхании кисло-
род”.
2. Суждения с отношениями, или об отношениях, те,
в которых утверждается или отрицается отношение
между двумя, тремя или более предметами (классами
предметов). Предикатом в них является мысль об отно-
шении, субъектом — соответственно пара, тройка и т, д.
понятий, в зависимости от того, сколько “участников”
предполагает это отношение. Например, “Иван Иванович
и Иван Никифорович были друзьями” — суждение с отно-
шением, причем двухместным, так как отношение “быть
друзьями” предполагает двоих участников. “Были друзь-
51
ями” здесь предикат, а пара понятий “Иван Иванович”,
“Иван Никифорович” — субъект. В суждении: “Иван Ива-
нович не подарил Ивану Никифоровичу ружье” преди-
кат — трехместное отношение “подарил”, а субъект трой-
ка: “Иван Иванович”, “Иван Никифорович”, “ружье”.
3. Суждения существования, в которых предикат от-
ражает существование или несуществование какого-то
предмета или класса предметов. Например, “Нет безвы-
ходных ситуаций!” Здесь отрицается существование тако-
го класса предметов, как безвыходная ситуация. Таким
образом, субъект — понятие “безвыходная ситуация”,
предикат “существует” и перед ним отрицательная части-
ца “не”.
Каждое суждение в зависимости от того, приписывает
ли оно свойство (отношение, существование) субъекту или
отрицает свойство (отношение, существование) у субъек-
та, является утвердительным или отрицательным. Чтобы
считать суждение отрицательным, нужно найти предикат
и указание на то, что он отрицается, т.е. перед предикатом
должна стоять отрицательная частица “не”. Если такая
частица перед предикатом не выделена, то суждение счи-
тается утвердительным. Возьмем, например, предложе-
ние “Некоторые школьники не умеют читать”. Можно
считать, что в нем выражено суждение, утверждающее у
некоторых школьников свойство не уметь читать, или —
другое суждение — отрицающее у некоторых школьников
свойство уметь читать. В первом случае суждение — ут-
вердительное, с предикатом “не умеют читать”, во вто-
ром — отрицательное, с предикатом “умеют читать”.
В атрибутивных суждениях субъект может быть еди-
ничным или общим понятием, и в зависимости от этого
они называются соответственно единичными и множес-
твенными. В последнем случае при субъекте обычно име-
ется показатель его количества, т.е. указывается, ко всему
объему субъекта относится предикат или к части его объ-
ема. Этот показатель называется квантором и выражает-
ся словом “все” (“каждый”, “любой” и пр.) либо словом
“некоторые” (“бывают”,' “встречаются”, иногда” и пр.).
Первый называется квантором общности, а второй —
квантором существования. И поскольку каждое сужде-
ние — либо утвердительное, либо отрицательное, общая
классификация множественных суждений такова: обще-
52
утвердительные (А), частноутвердительные (I), общеотри-
цательные (Е) и частноотрицательные (О).
Общеутвердительные имеют вид: Все S суть Р (Все ки-
ты живут в воде). Отношение субъекта и предикат в них
отражается схемой:
которая показывает, что субъект в полном объеме
включается в предикат, занимая лишь его часть. Это озна-
чает, что общеутвердительное суждение дает информацию
обо всем объеме субъекта, и поэтому, субъект называется
распределенным, но лишь о части объема предиката, и по-
этому предикат называется нераспределенным.
Частноутвердительные имеют вид: Некоторые S суть Р
(Некоторые млекопитающие живут в воде). Отношение
субъекта и предиката в них таково:
Как видно из схемы, субъект и предикат не.распреде-
лены, поскольку каждый из них лишь частично включа-
ется в другой.
Общеотрицательные имеют вид: “Ни одно S не есть Р”
(Ни один кит не живет на суше). Отношение субъекта и
предиката может быть представлено схемой:
из которой видно, что каждый из терминов полностью
исключен из другого и поэтому распределен.
Частноотрицательные имеют вид: “Некоторые S не
суть Р” (Большинство млекопитающих не являются мор-
скими животными). Отношение субъекта и предиката от-
ражается схемой:
53
где мы видим, что предикат полностью исключен из той
части субъекта, о которой идет речь, что показано штри-
ховкой. На этом основании предикат считается распреде-
ленным, а субъект нераспределенным.
Единичные суждения — те, в которых субъект — еди-
ничное понятие, имеют вид: “а есть Р” (Санкт-Петербург
расположен в устье Невы) — единично-утвердительное —
или “а не есть Р” (Нева не впадает в Ладожское озеро) —
единично-отрицательное. Если посмотреть схемы отноше-
ния в них субъекта и предиката легко заметить, что эти от-
ношения точно такие, как в общих суждениях, т.е. пре-
дикат либо приписывается всему объему субъекту, либо
отрицается у всего объема субъекта:
Поэтому в традиционной логике единичные суждения
приравниваются к общим. Это важно запомнить для ана-
лиза умозаключений.
Упражнения:
1. Выявите суждения (укажите субъект и предикат) в сле-
дующих предложениях и определите, являются они
суждениями атрибутивными, с отношениями или су-
ществования:
а) “Есть в осени первоначальной короткая, но дивная пора”.
б) Каждый день шел дождь.
в) Иван Иванович и Иван Никифорович были добрыми со-
седями.
г) “Есть такая партия!”.
д) Некоторые природные явления еще не объяснены.
е) N скорее всего украл эту вещь.
ж) Бывают дети, которые учатся прилежно.
з) Нелюбознательных детей не бывает.
и) Многие первокурсники не могут перевести этот текст
без словаря.
к) Дубровский с Машей так и не встретились.
л) Все вечера он проводил дома.
м) Не было вечера, который он провел бы дома.
54
Образец. Осенние дни значительно короче летних. —
Субъект суждения — пара понятий “осенние дни”, “летние
(дни)”, предикат — “значительно короче”. Суждение с от-
ношением, так как предикат — отношение, субъект — па-
ра понятий. Могут быть и другие варианты понимания
данного предложения: с предикатом “осенние дни” и субъ-
ектом “значительно короче летних” или, наоборот, с пре-
дикатом “летние” и субъектом “осенние дни значительно
короче. В обоих этих случаях суждения атрибутивные.
2. Найдите предикаты в следующий суждениях и опреде-
лите, являются эти суждения утвердительными или
отрицательными:
а) Все мы получили не то, что хотели.
б) Этот город не больше поселка.
в) Без труда не вытащишь и рыбку из пруда.
г) Некоторым современным британцам читать Шекспира
нелегко.
д) В большинстве известных учебников не рассматривает-
ся этот вопрос.
е) Ни в одной книге нет стольких ошибок, как в этой,
ж) “Никогда не забудут жители Краснодона этой ночи”,
з) Нет семиклассника, которому не известна теорема Пи-
фагора.
и) Не бывает пирожных бесплатных.
к) Никто не может быть свободным от общества, в кото-
ром живет.
Образец. Некоторые научные проблемы столетиями не
удается решить. Предикат “столетиями не удается ре-
шить”. Это свойство приписывается некоторым научным
проблемам. Таким образом, суждение утвердительное.
3. Определите тип категорических суждений (найдите
квантор, субъект и предикат):
а) Никакие экстренные меры здесь не помогут.
б) Кое-какие книги о путешествии Колумба были в
школьной библиотеке.
в) Некоторые умеющие читать люди нигде не учились.
г) Какую книгу этого издательства ни возьми — в любой
есть опечатки.
д) Любая работа, в которой нет новых идей, не достойна
премии.
е) Некоторые современники динозавров не вымерли до
сих пор.
ж) Никто без аттестата о среднем образовании не может
быть принят в институт.
з) В некоторых отраслях есть нерентабельные предпри-
ятия.
55
и) В каждой библиотеке есть книги, к которым обраща-
ются очень редко.
к) Многим студентам не приходится пересдавать экзаме-
ны.
л) Вокруг некоторых коммерческих структур формиру-
ется криминогенная среда.
м) Ни одно государство не обходится без армий.
н) Что ни день он принимал гостей,
о) Он никогда не принимал гостей.
п) Большинство людей не могут быть свободными от об-
щества, в котором живут.
Образец. Все стрелки, не сделавшие ни одного прома-
ха, были включены в команду. Квантор — “все” (общнос-
ти), субъект — “стрелки, не сделавшие ни одного прома-
ха”, предикат - “были включены в команду”. Таким обра-
зом, суждение общеутвердительное.
4. Составьте суждения с указанными субъектом и пре-
дикатом, так, чтобы их отношения соответствовали
приведенным ниже схемам и скажите, какие из полу-
ченных суждений истинны, а какие ложны;
a) S — русский дворянин, Р — великий писатель;
б) S — ромб, Р — равносторонний четырехугольник;
в) S — четное число, Р — правильная дробь;
г) S — магазин, Р — торговое предприятие;
д) S — глагол, Р — может быть в предложении подлежа-
щим;
е) S — хищник, Р — крокодил.
Образец. S — книга, Р — лучший подарок:
1. Каждая книга — лучший подарок. Ложное.
2. Некотрая книга — лучший подарок. Истинное.
3. Ни одна книга не является лучшим подарком. Ложное.
4. Некоторые книги не являются лучшим подарком.
Истинное.
5. Составьте суждения с указанными в предыдущем уп-
ражнении субъектом и предикатом в соответствии с задан-
ной ниже распределенностью терминов:
a) S' Р+ 6)S+ Р+ в)S' Р' r)S+ Р'
Образец. а) Некоторые книги не являются лучшим
подарком.
б) Ни одна книга не является лучшим подарком.
56
в) Некоторая книга — лучший подарок.
г) Любая книга — лучший подарок.
3. Выделяющие, исключающие и определенно-частные
суждения
К категорическим суждениям обычно относят также
выделяющие, исключающие и определенно-частные суж-
дения, хотя, строго говоря, они не являются простыми.
В выделяющих суждениях подчеркивается, что только
данному субъекту приписывается или только у него от-
рицается указанный предикат. Иначе говоря, выделяю-
щее суждение отражает тот факт, что только предмет
суждения обладает (не обладает) указанным в предикате
свойством. Выделяющими могут быть все шесть рассмот-
ренных типов атрибутивных суждений. Они имеют фор-
му: S, и только S, суть (не суть) Р.
Все выделяющие суждения являются суждениями
сложными, состоящими из двух суждений: в первом нечто
говорится про S, а во втором говорится, что это не имеет
места для не-S. “Все члены нашей группы, и только они,
присутствуют на собрании” означает: 1) что все члены на-
шей группы присутствуют на собрании; 2) что на собрании
нет посторонних. Информация, заключенная во второй
части, делает предикат во всех выделяющих суждениях
распределенным.
Исключающими называются общие суждения, в кото-
рых после субъекта имеется указание на исключение'.
“Все S, кроме S', суть (не суть) Р”. Например, “Все глаго-
лы с суффиксами -еть и -ать, кроме 11 глаголов-исключе-
ний, относятся к первому спряжению” — общеутверди-
тельное исключающее. Или: “Все первокурсники, кроме
названных выше, не сдали зачетные книжки” — общеот-
рицательное исключающее. Каждое исключающее сужде-
ние — это два суждения: “Все предметы S, если они не яв-
ляются S', суть Р” и “Ни одно S' не есть Р” (утвердитель-
ное) или “Ни один предмет S, если он не является S', не
есть Р” и “Все S' суть Р” (отрицательное).
Частные суждения, в которых перед кванторным
словом стоит слово “только”, называются определенно-
частными: “Только некоторые S суть Р” и “Только неко-
торые S не суть Р”. Суждения такого вида также можно
57
считать сложными, содержащими по два простых сужде-
ния: “Некоторые S суть Р” и “Некоторые S не суть Р”.
У пражнения:
1. Образуйте выделяющие суждения на основе следую-
щих пар:
а) Во всяком равностороннем треугольнике любая биссек-
триса является медианой и высотой. Во всяком нерав-
ностороннем треугольнике не любая биссектриса явля-
ется медианой и высотой.
б) Некоторые врачи — хирурги. Ни один не-врач не явля-
ется хирургом.
в) Ни один сын не является дочерью. Все не-сыновья —
дочери.
г) Некоторые подсудимые могут быть признаны виновны-
ми. Ни один не-подсудимый не может быть признан
виновным.
Образец. Некоторые четные числа делятся на 6. Ни од-
но нечетное число на 6 не делится. — Некоторые четные
числа и только четные числа делятся на 6.
2. Сформулируйте исключающие суждения, эквивалент-
ные данным:
а) Только ядовитые грибы нельзя употреблять в пищу.
б) Только в существительных третьего склонения на кон-
це после щипящей пишется “ь”.
в) Из всех известных учебников только этот является под-
ходящим.
г) Из всей нашей группы только N еще не сдал зачет по
информатике.
Образец. Из всех четных чисел на 6 делятся только те,
которые делятся на 3. — Ни одно четное число, кроме тех,
которые делятся на 3, не делится на 6.
3. Образуйте определенно-частные суждения из следую-
щих:
а) Некоторые металлы — твердые вещества, а другие не
являются твердыми веществами.
б) Отдельные студенты-вечерники не работают, но боль-
шинство работают.
в) Большинство живородящих животных — млекопита-
ющие, но некоторые живородящие не являются мле-
копитающими.
г) Собирательные понятия в большинстве своем не явля-
ются абстрактными, однако встречаются среди них и
абстрактные.
58
д) Бывали в ту зиму и морозы, однако большей частью дни
были слякотные.
Образец. Большинство существительных русского
языка имеют множественное число, однако есть и такие,
которые не имеют множественного числа. — Только неко-
торые существительные русского языка имеют множес-
твенное число.
4. Определите вид суждений и укажите распределенность
терминов в них:
а) Только любящие детей люди могут работать в детском
саду.
б) Только некоторые любящие детей люди работают в дет-
ском доме.
в) Ни один из присутствующих, за исключением N, не
был на субботнике.
г) Лишь завтра можно пересдать этот экзамен.
д) Некоторые млекопитающие и только они являются
грызунами.
е) Кроме названных, все присутствующие свободны,
ж) Лишь отдельные студенты еще не сдали этот экзамен,
з) “Ты один не умывался”.
и) Ни один участник похода, и только участник похода,
не был на следующий день на занятиях.
Образец. Лишь в 102-ой группе отдельные студенты
еще не сдали этот экзамен. Субъект — “студенты 102-ой
группы”, предикат — “еще не сдали этот экзамен”, Кван-
торное слово — “отдельные” (квантор существования с
указанием его определенности), “лишь” — показатель вы-
деляющего суждения. Таким образом, имеем определен-
ное частноутвердительное выделяющее суждение.
4. Сложные суждения
Сложные суждения рассматриваются в логике только
с точки зрения их истинностных значений, которые зави-
сят от истинностных значений простых суждений и от ти-
па связи простых суждений в сложное. Некоторые труд-
ности может представлять определение типа сложного
суждения, выявление его логической формы, поскольку
грамматическая форма предложений, в которых оно выра-
жено, не всегда отражает логическую форму. Для ее выяв-
ления во всех случаях необходим тщательный анализ
смысла предложения. Нужно отметить, что сложные суж-
59
дения часто выражаются в простых предложениях. На-
пример: “Исторический, юридический и филологический
факультеты МГУ размещаются в первом гуманитарном
Корпусе”. Это сложное конъюнктивное суждение, состоя-
щее из трех простых, его логическая форма: (р & q & г).
Для определения истинностных значений сложных
суждений необходимо знать определения основных логи-
ческих связок: конъюнкции, дизъюнкции (слабой и стро-
гой), импликации, эквиваленции и отрицания. Напомним
эти определения: какими бы ни были суждения А и В, ес-
ли они принимают значения, выписанные в двух левых
столбцах приведенной ниже таблицы, то суждения, обра-
зованные связыванием их &, v, v, z>, =, 1 , принимают
значения, выписанные соответственно в шести правых
столбцах:
А В А&В Av В Av В А=>В АеВ 1А
И И И И Л И и Л
и л л и и л л л
л и л и и и л и
л л л л л и и и
Пусть нужно определить, при каких истинностных
значениях простых суждений будет истинным суждение
формы: ((1 р & q) d (г v р)). Чтобы построить таблицу ис-
тинности, нужно сначала, считая, что все три простые
суждения (обозначенные здесь пропозициональными пе-
ременными р, q и г) независимы друг, от друга, перебрать
все возможные сочетания их значений. Таких сочетаний
будет 28, а в общем случае — 2”, где п — число различных
простых суждений. Итак, для нашего случая в трех пер-
вых слева столбцах таблицы восемью строками записыва-
ют все сочетания значений пропозициональных перемен-
ных. Механический перебор всех сочетаний осуществля-
ется, если для первой переменной записать половину
строк (четыре строки) “и” и половину “л”, для второй пе-
ременной чередовать “и” и “л” через две строки, а для по-
следней — через одну.
После заполнения входных столбцов начинаем опреде-
лять истинностные значения сложного суждения, начи-
ная с самых мелких подформул, руководствуясь скобка-
ми, а именно подформул: (1) 1 р; (2) (1 р & q); (3) (г v р).
60
Заключительным шагом будет нахождение значения всей
формулы: ((1 р & q) □ (г v р)). Таким образом, в таблице,
кроме входных столбцов, появляются еще 4 столбца, где
последний называется результирующим, т.е. дающим от-
вет на вопрос, при каких условиях истинно данное слож-
ное суждение. (Ip&q) (г vp) ((1p&q)zj(rvp)).
Р Q г |р
и и и л л и и
и и л л л и и
и л и л л и и
и л л л л и и
л и и и и и и
л и л и и л л
л л и и л и и
л л л и л л и
Как видим, оно истинно при всех вариантах (наборах)
значений простых суждений, кроме случая, когда р — л,
q — и, г — л (шестая строка).
Упражнения:
1. Запишите логическую форму сложных суждений и оп-
ределите их вид (по главному знаку).
а) Если человек читал книгу, то знает ее содержание или
основную идею.
б) Неверно, что Иванов не учился ни в вузе, ни в техникуме,
в) Он не был ни прилежным, ни способным.
г) На этом факультете учатся только способные студенты.
д) Н. не будет получать стипендию, разве что сдаст экза-
мен до завтра.
е) “Когда в товарищах согласья нет, на лад их дело не пой-
дет”.
ж) Неверно, что хотя бы один из них двоих не имел эту ин-
формацию.
з) Пойдешь налево — коня потеряешь, а не пойдешь —
сам погибнешь.
и) Я никогда не решился бы на это, не будь его рядом.
к) Фемистокл знал каждого жителя Афин в лицо и по име-
ни.
л) “Попадется зверю в когти, меньше будет ей терпеть,
легче будет умереть”.
м) “Коли лгу, пусть Бог велит не сойти живой мне с мес-
та”.
н) Как юристы, так и журналисты, изучают логику в от-
личие от психологов.
61
о) Но если психологи имеют некоторую математическую
подготовку, то у филологов нет и этого.
п) “Швед, русский — колет, рубит, режет”.
р) Только один иэних троих знал об этом.
Образец. На этом факультете учатся только способные
или по крайней мере очень прилежные студенты. Данное
суждение состоит из трех простых: студент учится на этом
факультете (р), студент способен (q), студент прилежен (г).
Логическая форма: (р z> (q v г)). Суждение условное.
2. Постройте истинностные таблицы для логический форм
суждений: а) — о) и укажите условия истинности этих
суждений.
Образец. р q г (p=>(qvr))
и и и и и
И и л и и
и л и и и
и л л л л
л и и и и
л и л и и
л л и и и
л л л и л
Суждение данной формы истинно во всех случаях, кро-
ме того, когда первое простое суждение с нем истинно, а
два других ложны.
3. Найдите среди следующих формул тождественно-ис-
тинные и тождественно-ложные и собственно
выполнимые формулы:
a) (p&q) ее (1 р v 1 q);
б) ((р q)&(p => г)) => ((1 q v 1 г) 1 р);
в) (P => q) v (q=> р);
г) (J р q) = (1 q => (p&r));
Д) (((Р => q) => Р> => р);
е) ((p&q) v (p&r)) => (p&(q v г)).
Указание. Постройте истинностные таблицы для каж-
дой формулы и найдите те формулы, которые всегда ис-
тинны, те, которые всегда ложны, и те, которые иногда ис-
тинны, иногда ложны.
4. Определите, являются следующие суждения логиче-
ски необходимыми, возможными (логически недетер-
минированными) или невозможными:
а) Если из того, что моя вера в Бога обеспечивает мне по-
падание в рай, следует, что Бог существует, то, если я
не попаду в рай, значит, Бога не существует.
62
б) Если тот факт, что мое попадание в рай всецело обус-
ловлено моей верой в Бога, означает существование Бо-
• га, то, хотя я и не верю в Бога, Бог существует.
в) Неверно, что Бог существует, только если моя вера в не-
го обеспечивает мне попадание в рай, но либо Бога Нет,
либо, если я верю в него, то попаду в рай.
Указание. Запишите логическую форму суждений,
постройте их истинностные таблицы и по ним решите, вы-
ражает ли данная форма необходимое суждение, невоз-
можное суждение, логически недетерминированное суж-
дение.
5. Ответьте на следующие вопросы задачи Кислера:*
Браун, Джонс и Смит обвиняются в подделке сведений
о подлежащих налоговому обложению доходах.
Они дают под присягой такие показания:
Браун: Джонс виновен, а Смит не виновен.
Джонс: Если Браун виновен, то виновен и Смит.
Смит: Я невиновен, но хотя бы один из них двоих виновен.
а) Если показания всех обвиняемых верны, то кто вино-
вен, а кто невиновен?
б) Если все трое невиновны, то кто совершил лжесвиде-
тельство?
в) Если невиновный говорит правду, а виновный лжет, то
кто виновен, а кто невиновен?
г) Если все трое виновны, то кто говорит правду, а кто
лжет?
д) Может ли лгать Браун, если Джонс и Смит оба говорят
правду?
е) Может ли Джонс лгать, если Браун и Смит говорят
правду, и кто в этом случае виновен, а кто невиновен?
Указание: Постройте общую истинностную таблицу
для логических форм показаний всех обвиняемых, поме-
тив авторов показаний. Входные столбцы таблицы означа-
ют виновность или невиновность обвиняемых, а результи-
рующие столбцы для формул — истинность или ложность
их показаний.
Образец. Возможно ли, что тот, кто виновен, говорит
правду, а тот, кто невиновен лжет?
Ответ будет положительным, если в таблице найдется
строка, где при истинности высказывания: “Браун вино-
вен” истинно и показание Брауна и так же для всех осталь-
ных, а при ложности высказывания “Браун виновен” лож-
* Задача взята с некоторыми изменениями из книги С.Клини
“Математическая логика”
63
но и его показание, и так же для всех остальных. Иначе го-
воря, ответ будет положительным, если найдется такая
строка в таблице, что истинностные значения формул со-
впадут с истинностными значениями переменных во вход-
ных столбцах (при условии, что эти переменные символи-
зируют высказывания, утверждающие виновность).
6. Решите следующие задачи с помощью истинностных
таблиц:
а)’ В ходе расследования одного уголовного преступления
были установлены следующие факты:
1) Никто, кроме А, В и С в преступлении не замешан,
и по крайней мере один из этой тройки виновен.
2) Если А виновен и В не виновен, то С виновен.
3) С никогда не действует в одиночку.
4) А никогда не ходит на дело вместе с С.
Чья невиновность, исходя из этих фактов, не вызывает
сомнений?
б) Мистер М. сообщил в полицию, что его ограбили. В хо-
де расследования подозрение пало на А, В и С и было
установлено, что:
1) Если А виновен, то у него был ровно один сообщник.
2) Если В не виновен, то С также не виновен.
3) Если виновны ровно двое подозреваемых, то А — один
из них.
4) Если С не виновен, то В также не виновен.
Против кого полиция выдвинула обвинение?
в) Одного человека судили за участие в ограблении. Обви-
нитель и защитник в ходе судебного заседания заяви-
ли следующее:
Обвинитель: Если подсудимый виновен, то у него был
сообщник.
Защитник: Неверно!
Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему?
г) По обвинению в ограблении перед судом предстали А,
В и С. Они заявили следующее:
А: Если я или В виновны, то С виновен.
В: Я не виновен, но А или С виновны.
С: Ни один из нас не виновен.
При этом стало известно, что АиВ сказали правду, а С со-
лгал. В свете этого факта чья виновность и чья неви-
новность не вызывают сомнений и чья виновность ос-
тается под вопросом?
д) На острове рыцарей (которые говорят только правду) и
лжецов (которые только лгут) два аборигена АиВ вы-
сказали следующие утверждения:
А: Мы оба лжецы.
64
В: Ровно один из нас лжец.
Можно ли определить, кто такой А? Можно ли опреде-
лить, кто такой В?
е) На том же острове А высказывает утверждение:
Я не рыцарь, но В рыцарь.
Можно ли отсюда определить, кто есть кто?
ж) Можно ли заключить, кто рыцарь, а кто лжец, исходя
из такого высказывания аборигена этого острова о себе
и своем приятеле: “По крайней мере один из нас
лжец”?
з) На том же острове за совершение некоторого преступ-
ления судили двух местных жителей М и Н. Обвини-
тель (также местный житель, о котором было, однако,
не известно рыцарь он или лжец) на суде сделал следу-
ющие заявления:
1) М виновен.
2) М и Н не могут быть виновны оба.
Можно ли что-нибудь утверждать относительно виновно-
сти М и Н, а также сказать, является обвинитель рыца-
рем или лжецом?
и) Можно ли ответить на вопросы из предыдущей задачи,
исходя из следующих заявлений обвинителя:
1) М не виновен или Н виновен.
2) М виновен.
к) Я люблю по крайней мере одну из трех девушек Мари-
ну, Ирину или Анну. Если я люблю Ирину, а не Анну,
то я также люблю Марину. Я или люблю Анну и Мари-
' ну или не люблю их обеих. Если я люблю Анну, то я
люблю и Ирину. Кого из девушек я люблю?*
Образец. На острове рыцарей и лжецов — три острови-
тянина А, В и С, каждый из которых — рыцарь либо лжец.
А и В утверждают:
А: В — лжец.
В: А и С однотипны (оба рыцари или оба лжецы).
Кто такой С: рыцарь или лжец?
Обозначим суждение “А — лжец” переменной р, суж-
дение “В — лжец” — переменной q, суждение “С — лжец”—
переменной г. Далее рассуждаем так: если неверно, что
А — лжец, то сказанное им истинно, т.е. (1 р q), а если А —
лжец, то сказанное им ложно, т.е. (р r> I q). Точно так же,
если В — лжец, то сказанное им ложно, а если он — не
лжец, то сказанное им истинно, т.е. (qz> I (Р s г)) & (1 q => (р
= г)). Таким образом получаем два конъюнктивных сужде-
ния: (lpz>q)&(pr?lq) и (qz>"|(psr))&(lqr>(psr)). Стро-
* Задания этого упражнения взяты из книги Р.Смаллиан “Как же называ-
ется эта книга?”.
3 Зак. 285
65
им для них общую истинностную таблицу и по ней опреде-
ляем, кто такой С.
р q г (1Р => 0) & (р => 1 q) (q => 1 (р ж г)) & (] q (р s г))
и и и и л л л л и л л и и
и и л и л л и и л и л и л
и л и и и и и л и и и и и
и л л и и и и и л л и л л
л и и и и и и и л и л и л
л и л и и и л л и л л и и
л л и л л и и и л л и л л
л л л л л и и л и и и и и
Поскольку обе формы выполняются только в третьей и
пятой строках, в которых г — и, значит С — лжец.
5. Отрицание суждений
В некоторых случаях простые и сложные суждения
выражаются в предложениях, начинающихся со слов “не-
верно, что” или “не”. Это значит, что отрицается сужде-
ние, которое стоит после таких слов. Например, “Невер-
но, что некоторые студенты могут не сдавать экзамены”,
или “Неверно, что они оба причастны к этому преступле-
нию” или “Не всякий студент посещает все лекции”. Для
прояснения смысла суждений, предваренных отрицанием
их следует преобразовывать в эквивалентные суждения,
перед которыми отрицание не стоит.
1. Отрицание единично-утвердительного суждения эк-
вивалентно единочно-отрицательному, и наоборот, отри-
цание единично-отрицательного эквивалентно единично-
утвердительному.
2. Отрицания категорических суждений эквивалент-
ны:
1А эквивалентно О; 10 эквивалентно А;
1Е эквивалентно I; 11 эквивалентно Е.
Легко заметить, что при таких эквивалентных преоб-
разованиях меняется качество суждения и количество.
3. Отрицание утвердительного единично-единичного
суждения с отношением эквивалентно соответствующему
отрицательному суждению, а отрицание отрицательно-
го — соответствующему утвердительному.
66
4. Отрицание утвердительного единично-множествен-
ного или множественно-единичного суждения с отноше-
нием эквивалентно соответственно отрицательному еди-
нично-множественному (с другим квантором) или мно-
жественно- (с другим квантором) единичному суждению.
Отрицания таких отрицательных суждений эквиваленты
соответствующим утвердительным суждениям (с заменой
кванторов).
Иначе говоря:
R(a, x);
Vx R(a, x) эквивалентно Эх
Vx R(x, а) эквивалентно Эх R(x, a);
Эх R(a, x) эквивалентно Vx R(a, x)
Эх R(x, а) эквивалентно Vx
R(a, x) эквивалентно Эх R(a, x);
R(x, a):
R(a, x) эквивалентно Vx R(a, x);
R(x, а) эквивалентно Vx R(x, a).
Vx
Vx 1 R(x, а) эквивалентно Эх R(x, а):
Тзх"-
1 Эх
5. Аналогично преобразовываются и отрицания мно-
жественно-множественных суждений с отношениями —
меняется качество суждения и кванторы:
"Iv xVyR(x, у) эквивалентно Эх 3у1 R(x, у);
"1V x3yR(x, у) эквивалентно SxVyl R(x, у);
1 Эх VyR(x, у) эквивалентно Vx3 y"l R(x, у);
1 Эх Эу R(x, у) эквивалентно VxVyl R(x, у);
"1V xVy 1 R(x, у) эквивалентно Эх 3yR(x, у);
1V х Эу "1 R(x, а) эквивалентно 3xVy R(x, а);
13xVy 1 R(a, х) эквивалентно Vx3yR(a, х);
1 ЭхЭ у 1 R(x, а) эквивалентно VxVy R(x, а).
6. Отрицание сложных суждений различных видов
производится согласно следующим эквивалентностям:
1 (А & В) эквивалентно 1A v 1 В;
l(Av В) эквивалентно 1А &1 В;
1 (A В) эквивалентно А &"| В;
1(Ае В) эквивалентно (1А & В) v (А&1 В);
"1 (A v В) эквивалентно А = В.
У п р а ж н е н и я:
1. Преобразуйте следующие категорические суждения с
внешним отрицанием в суждения без внешнего отри-
цания:
а) Неверно, что ни в одной отрасли нет нерентабельных
предприятий.
б) Неверно, что встречаются нелюбознательные дети.
в) Не все дети нелюбознательны.
67
г) Неверно, что бывают правила без исключений.
д) Не для любого правила есть исключения.
е) Неверно, что ни в одной библиотеке нет книг, к кото-
рым обращаются очень редко.
ж) Неверно, что ни одно пирожное не является бесплат-
ным.
з) Не каждое государство обходится без армии.
и) Не существует солдата, который не мечтает стать гене-
ралом.
к) Неверно, что ни один солдат не мечтает стать генера-
лом.
л) Не всякому студенту приходится пересдавать экзаме-
ны.
Образец. Не было дня в этом месяце, когда бы не шел
дождь. — Отрицание стоит перед частноотрицательным
суждением (с субъектом — “день в этом месяце”, предика-
том — “(день), когда шел дождь” и квантором существова-
ния — “было”). Отрицание частноотрицательного сужде-
ния эквивалентно общеутвердительному: “Каждый день в
этом месяце шел дождь”.
2. Преобразуйте отрицания следующих суждений с отно-
шениями в суждения без внешнего отрицания:
а) Неверно, что берлинское метро удобнее московского.
б) Неверно, что N учится лучше, чем любой студент его
группы.
в) Неверно, что 15 не делится ни на какое нечетное число,
г) Неверно, что 15 делится на какое-нибудь ч:етное число,
д) Неверно, что какой-нибудь российский город больше
Москвы.
е) Неверно, что ни один школьник не знает больше, чем
этот студент.
ж) Неверно, что всякий мужчина чей-нибудь отец.
з) Не существует мужчин, не являющегося чьим-либо сы-
ном.
и) Неверно, что всякий может обмануть всякого.
к) Неверно, что ни один не может обмануть никого.
л) Не существует европейской реки, которая длиннее лю-
бой американской.
Образец. Не существует школьника, который не знал
бы некоторых своих одноклассников. Отрицается частно-
частноотрицательное суждение. При эквивалентном пре-
образовании его в суждение без внешнего отрицания меня-
ются все его кванторы и качество, т.е. получается обще-об-
щеутвердительное суждение: Каждый школьник знает
всех своих одноклассников.
68
3. Преобразуйте следующие сложные суждения с внеш-
ним отрицанием в эквивалентные им суждения без
внешнего отрицания:
а) Неверно, что, если не знаешь ответ, то есть смысл за-
давать вопрос.
б) Неверно, что Волга или Сена — американские реки.
в) Неверно, что одна сторона стремилась к мирному реше-
нию конфликта, в то время как другая не стремилась.
г) Неверно, что, если есть Бог, то он не всемогущ.
д) Неверно, что революция может начаться только в том
случае, если в стране сложилась революционная ситу-
ация.
е) Неверно, что волки не сыты или овцы не целы.
ж) Неверно, что только один из них двоих должен пойти
на эту встречу.
з) Неверно, что они оба не должны пойти на эту встречу,
и) Неверно, что, если нападение было внезапным, то пре-
ступник физически не слаб.
к) Неверно, что рост преступности является следствием
отсутствия твердой власти.
л) Неверно, что программа кандидата выполнима и при
этом он ее не выполнит.
Образец. Неверно, что человек может одновременно
учиться на двух факультетах МГУ. Отрицается конъюн-
ктивное суждение (р & q). Отрицание конъюнкции эквива-
лентно дизъюнкции отрицаний, таким образом, получает-
ся суждение: Человек не учится на одном факультете МГУ
или не учится на другом факультете.
6. Отношения между суждениями
Если два или несколько суждений сравнимы, т.е. име-
ют хотя бы отчасти общее содержание, то между ними объ-
ективно существуют некоторые отношения. Логика инте-
ресуется отношениями суждений прежде всего по их ис-
тинностным значениям — могут ли быть эти суждения вмес-
те истинными, могут ли он быть вместе ложными, обусловли-
вает ли истинность одного истинность другого И Т.Д.
Простые суждения сравнимы, только если они имеют
одинаковые субъект и предикат. Сложные суждения
обычно считают сравнимыми лишь в том случае, если в
их составе есть хотя бы одно общее простое суждение.
Для определения отношения между любыми двумя (или
большим количеством) суждений нужно знать, в чем суть
69
каждого отношения. Все отношения делятся на две груп-
пы: совместимости и несовместимости. Суждения назы-
ваются совместимыми, если могут одновременно быть
истинными, и несовместимыми, если не могут быть од-
новременно истинными. Совместимость бывает трех ви-
дов: 1) суждения эквивалентны, если всегда принимают
одинаковые истинностные значения; 2) одно из них нахо-
дится в отношении подчинения (логического следования)
к другому — при этом подчиненное суждение обязательно
истинно во всех случаях, когда истинно подчиняющее; 3)
суждения частично-совместимы (субконтрарны), если
невозможна их совместная ложность.
Несовместимость различают двух видов: 1) противоре-
чие суждений имеет место тогда, когда эти суждения не
могут принять одинаковые значения — ни истинные, ни
ложные; 2) противоположность имеет место, когда суж-
дения не могут быть одновременно истинными, а одновре-
менно ложными могут быть.
Определим, в каком отношении находятся суждения:
“Он не знает ни того, ни другого” и “Он знает только одно-
го из них”. Сначала запишем их логические формы:
(1р & 1 q) и (р v q).
Для установления отношений между ними построим
их совместную истинностную таблицу. (Если в высказыва-
ниях встречаются разные составляющие, то таблица стро-
ится с учетом всех переменных. Например, для установле-
ния отношений между суждениями вида: (р v q) и (р э г)
нужно построить таблицу для трех переменных р, q, г.).
В нашем случае таблица будет иметь вид:
р q 1р Tq (1 р & 1 q) (PYq)
и и л л Л л
и л л и л и
л и и л л и
л л и и и л
Сравнивая результирующие столбцы (они выделены
вертикальными линиями), видим, что суждения эти не
бывают одновременно истинными, но бывают одновремен-
но ложными (первая строка), значит они несовместимы и
находятся в отношении противоположности.
Кроме пяти рассмотренных отношений, сравнимы»,
суждения иногда бывают независимыми, иначе говоря
70
могут иметь все четыре сочетания своих истинностных
значений, т.е. ии; ил; ли; лл.
Отношения между простыми категорическими сужде-
ниями устанавливаются по логическому квадрату, так что
дело заключается лишь в том, чтобы правильно опреде-
лить типы этих суждений, и, если суждение предварено
отрицанием, заменить его эквивалентным без внешнего
отрицания. Нужно также иметь в виду, что не обозначен-
ное на логическом квадрате отношение эквивалентности
имеет место и для простых суждений, в этом отношении
находятся суждения, различные по количеству и качест-
ву, когда при этом одно из них предварено отрицанием,
т.е. 1А эквивалентно О, 10 эквивалентно A, 11 эквива-
лентно Е, 1Е эквивалентно I. Семантические определения
всех отношений для категорических суждений те же, что
и для сложных.
У пражнения:
1. Могут ли быть правы оба человека, один из которых
высказывает первое суждение (из следующих пар), а
другой — второе?
а) Во всех книгах есть опечатки. — В некоторых книгах
есть опечатки.
б) Некоторые крокодилы — людоеды. — Ни один кроко-
дил не является людоедом.
в) Неверно, что никакое умение не дается без труда. — Не-
верно, что всякое умение дается без труда.
г) Неверно, что некоторые книги бесполезны. — Неверно,
что все книги бесполезны.
д) Не в каждой библиотеке есть этот учебник. — Ни в од-
ной библиотеке нет этого учебника.
е) Каждый может разобраться в этой теореме. — Неверно,
что никто не может разобраться в этой теореме.
ж) Нет трудностей, который нельзя преодолеть. — Не вся-
кая трудность преодолима.
з) Не всякий ребенок любит сладкое. — Некоторые дети
любят сладкое.
и) Не существует полной демократии. — Каждая демо-
кратия неполна.
к) Некоторые научные открытия не вполне понятны со-
временникам. — Не каждое научное открытие вполне
понятно современникам.
Образец. Не всякое правило имеет исключение. — Ни
одно правило не имеет исключений.
71
Определяем вид первого и второго суждений, исходя
из того, что они должны иметь одинаковые субъект (“пра-
вило”) и предикат (“имеет исключение”): 1А и Е соответ-
ственно. Поскольку отношения по логическому квадрату
можно установить только между суждениями без внешне-
го отрицания, преобразовываем 1А в эквивалентное О. От-
ношение между О и Е — подчинение (от второго к перво-
му), при котором оба суждения могут быть истинными.
Значит, ответ на вопрос упражнения — утвердительный.
2. Определите отношения между категорическими сужде-
ниями:
а) Не каждый человек грамотен. — Некоторые люди гра-
мотны.
б) Всякое открытие ведет к новым проблемам. — Не вся-
кое открытие ведет к новым проблемам.
в) Неверно, что некоторые существительные не склоняют-
ся. — Неверно, что все существительные склоняются.
г) Ни одно событие не имело таких последствий. — Не
каждое событие имело такие последствия.
д) На всякого мудреца довольно простоты. — Не на всяко-
го мудреца довольно простоты.
е) Не все то — золото, что блестит. — Некоторые блестя-
щие предметы — золото.
ж) Некоторые книги не кажутся безвредными. — Не все
книги не кажутся безвредными.
з) Неверно, что ни один учебник логики не читается лег-
ко. — Не все учебники логики читаются легко.
и) Ни в одном уголовном кодексе нет статьи о спекуляции.
— Неверно, что ни в одном уголовном кодексе нет статьи
о спекуляции.
к) В некоторых учебниках нет опечаток. — Неверно, что
существуют учебники, в которых есть опечатки.
л) Ни в одном послевоенном году не было такой засухи. —
Неверно, что в отдельные послевоенные годы была та-
кая засуха.
м) Нет ничего тайного, что не стало бы явным. — Не су-
ществует такого тайного, которое стало бы явным.
н) Каждая война сопровождается жертвами и потеря-
ми. — Не бывает войн без жертв и потерь.
о) В отдельные дни августа шел дождь. — Ни один день
августа не был дождливым.
п) Встречаются животные, съедающие за день больше
собственного веса. — Большинство животных не
съедает за день больше собственного веса.
Образец. Некоторые задачи из этого учебника может
решить только специалист. — В этом учебнике нет задач,
72
которые может решить только специалист.
Определим типы суждений, при условии идентичнос-
ти их субъектов и предикатов. При субъекте “задачи этого
учебника” и предикате “может решить только специа-
лист” первое суждение — I, второе — 11 (“Не существует
задач этого учебника, которые может решить только спе-
циалист”). Отношение между ними — противоречие, как
между любым суждением и его отрицанием. (Либо экви-
валентно преобразуем 11 в Е и увидим на логическом квад-
рате между Е и I противоречие.)
3. Сформулируйте категорические суждения, эквивален-
тные, противоречащие, подчиняющие либо подчинен-
ные данным, а также — если это возможно — противо-
положные и частично совместимые с данными:
а) Люди здесь все обходительные.
б) Встречаются такие экземпляры, что и не определить, к
какому виду они относятся.
в) Во многих стихах В.А.Жуковского романтизм сочета-
ется с мистицизмом.
г) Не бывает людей, никогда ни в чем не ошибающихся,
д) Неверно, что никакое доброе дело не остается безнака-
занным.
е) Не существует повести, которая печальнее, чем повесть
о Ромео и Джульетте.
ж) Ничто не вечно под Луной.
з) Не все знающие английский язык, специально его учи-
ли.
Образец. Не бывает трудностей, которые нельзя пре-
одолеть.
Рассматривая это суждение как категорическое, най-
дем его субъект, предикат и определим его вид: субъ-
ект — “трудности”, предикат — “непреодолимые” (“кото-
рые нельзя преодолеть”), вид — 11. Ему эквивалентно — Е:
“Ни одна трудность не является непреодолимой”, проти-
воречит I: “Некоторые трудности непреодолимы”, ему
подчинено О: “ Некоторые трудности не являются непре-
одолимыми”, ему противоположно А: “Все трудности не-
преодолимы”. Подчиняющего для него и частично совмес-
тимого с цим нет.
4. Найдите среди перечисленных высказываний противо-
речащие и эквивалентные:
a) N учил логику, но не знает ее.
б) Неверно, что N учил логику и знает ее.
в) N знает логику, хотя и не учил ее.
г) Неверно, что, если N учил логику, то знает ее.
73
д) Если N не знает логику, то не учил ее.
е) Неверно, что N учил логику или знает ее.
ж) N не учил логику или не знает ее.
з) Если N учил логику, то знает ее.
и) Неверно, что N не учил логику и не знает ее.
к) N не учил логику и не знает ее.
л) ЬЬверно, что N не учил логику или знает ее.
м) N учил логику или знает ее.
н) Неверно, что, если N не знает логику, то не учил ее.
о) Неверно, что, если N знает логику, то учил ее.
Указание: Для ответа запишите логические формы
всех суждений, составьте их общую истинностную табли-
цу и найдите (1) пары суждений, которые во всех строках
таблицы принимают разные значения (это — противоре-
чащие суждения) и (2) группы суждений, принимающих
во всех строках одинаковые значения (эквивалентные
суждения).
5. Образуйте суждения, противоречащие данным и сфор-
мулируйте их без внешнего отрицания (проверьте себя
таблицами):
а) “Быть можно дельным человеком и думать о красе ног-
тей”.
б) Это событие не является ни необходимым, ни жела-
тельным.
в) Не сегодня, так завтра выпадет снег.
г) Если ясно мыслишь, то ясно излагаешь.
д) Пушкин на 12 или 13 лет был старше своей жены.
е) Кризис неизбежен, разве что будут приняты экстраор-
динарные меры.
ж) Политическая ситуация обострится только в случае
экономического кризиса.
з) Либо выборы будут перенесены, либо кандидата не из-
берут.
и) Ни та, ни другая сторона не стремилась к мирному раз-
решению конфликта.
к) Строительство канала начнется при условии достиже-
ния договоренности между двумя странами.
л) Если Иван Иванович был добрым соседом Ивана Ники-
форовича, то должен был подарить ему ружье.
м) Не может начаться революция, если в стране не сложи-
лась революционная ситуация.
Образец. Эта проблема не будет решена, если не поя-
вится принципиально новый подход.
Противоречащее суждение образуется всегда отрица-
нием данного суждения и в нашем случае имеет вид: “Не-
верно, что эта проблема не будет решена, если не появится
74
принципиально новый подхдд”. Для формулировки его
без внешнего отрицания запишем логическую форму:
1 (1 q => 1 р), где р — проблема будет решена, q — появится
принципиально новый подход. Затем преобразуем эту
форму согласно приведенным в предыдущем разделе экви-
валентностям: (1 q & р) и сформулируем суждение: “При-
нципиально новый подход не появится, а эта проблема бу-
дет решена”.
6. Определите, в каких отношениях находятся сложные
суждения в следующих парах:
а) Студент не допускается к сдаче экзаменов, если он не
сдал зачеты. — Если студент сдал зачеты, то он допус-
кается к сдаче экзаменов..
б) Научная проблема либо решается, либо объявляется не-
разрешимой. — Неверно, что если научная проблема
не решается, то она объявляется неразрешимой.
в) Число может не делиться на 9, но при этом делиться на
3. — Неверно, что если число не делится на 3, то оно не
делится на 9.
г) Повернувшись спиной к наиболее интригующим собы-
тиям человеческой истории, невозможно понять логи-
ку этой истории. — Неверно, что логику человеческой
истории можно понять только при условии рассмотре-
ния наиболее интригующих ее событий.
д) Неверно, что летом не было дождей или было холод-
но. — Если летом не было холодно, то были дожди.
е) Свидетель не знает потерпевшего или не говорит прав-
ды. — Если свидетель говорит правду, то он не знает
потерпевшего.
ж) Неверно, что только один из этих двух экзаменов не
был трудным. — Оба эти экзамена были трудными.
з) Никто не хотел умирать, не зная, за что умирает. — Либо
человек знал, за что умирает, либо не хотел умирать.
и) Неверно, что, не зная правил грамматики, нельзя пи-
сать грамотно. — Неверно, что либо человек знает пра-
вила грамматики, либо не может писать грамотно.
к) Если углы геометрических фигур соответственно не
равны, то лишь в этом случае фигуры не подобны. —
Неверно, что если геометрические фигуры не подобны,
то их углы соответственно равны.
Образец. Либо глагол в неопределенной форме оканчи-
вается на “ить”, либо он не относится ко второму спряже-
нию. — Неверно, что глагол в неопределенной форме не
оканчивается на “ить” в том и только том случае, если он
не относится ко второму спряжению.
75
Запишем логические формы данных суждений и
построим их общую таблицу:
р q (р V lq) 1 (1 р s 1 q)
и И и Л Л л ил
и л л и и л ли
л и л л и и л л
л л и и л И ИИ
Как видно по рёзультирующим (выделенным) столб-
цам, данные суждения находятся в отношении противоре-
чия.
7. Проверьте сокращенным табличным методом, совмес-
тимы ли следующие множества высказываний:
а) Если пассажир не оплатил свой проезд, он подвергает-
ся штрафу. Если проезд не оплачен, то пассажир не
подвергается штрафу лишь в том случае, если он имеет
право на безбилетный проезд. Некоторые пассажиры,
не имея права на безбилетный проезд, не оплачивают
проезд и принтом не подвергаются штрафу.
б) Либо свидетель не был запуган, либо, если Генри по-
кончил жизнь самоубийством, то записка была найде-
на. Если свидетель был запуган, то Генри не покончил
жизнь самоубийством. Если записка была найдена, то
Генри покончил жизнь самоубийством*.
в) Каждый студент сдает зачеты и экзамены. Если студент
не получил все зачеты, он не может сдавать экзамены.
Если студент не сдавал экзамены, он не может считать-
ся сдавшим экзамены. Если студент не считается сдав-
шим экзамены, он не получает стипендию. Иногда сту-
дент, не получив зачеты, получает стипендию.
г) Если вечер скучен, то Алиса начинает плакать или
Анатоль рассказывает смешные истории. Если Силь-
вестр приходит на вечер, то или вечер скучен, или
Алиса начинает плакать. Если Анатоль рассказывает
смешные истории, то Алиса не начинает плакать.
Сильвестр приходит на вечер тогда и только тогда, ког-
да Анатоль не рассказывает смешные истории. Если
Алиса начинает плакать, то Анатоль рассказывает
смешные истории*.
д) Если курс ценных бумаг растет или процентная ставка
снижается, то либо падает курс акций, либо налоги не
повышаются. Курс акций понижается тогда и только
тогда, когда растет курс ценных бумаг и растут налоги.
Если процентная ставка снижается, то либо курс ак-
ций не понижается, либо курс ценных бумаг не растет.
76
Либо повышаются налоги, либо курс акций понижает-
ся и снижается процентная ставка.
е) Контракт будет выполнен тогда и только тогда, если
дом будет закончен в феврале. Если дом будет закончен
в феврале, то мы сможем переехать 1 марта. Если мы
не сможем переехать 1 марта, то мы должны внести
квартплату за март. Если контракт не будет выполнен,
то мы должны внести квартплату за март. Мы не будем
вносить квартплату за март*.
Образец. Если Петя и Вася пойдут в поход, то Коля не
пойдет. Он пойдет в том и только том случае, если в поход
пойдет Олег. Но Олег не пойдет в поход без Васи. А Вася в
поход не пойдет.
Запишем логические формы данных суждений и пред-
положим, что они все вместе могут быть истинными:
((p&q)=>lr), (r = s), (lqr> |s), |q
и и ии
Выведем из этого предположения все следствия. Во-
первых, в третьей формуле есть 1 q, которое — тоже и.
Тогда 1 s в ней — тоже и, поскольку в истинной импли-
кации с истинным антецедентом консеквент обязательно
истинен. Но тогда s во второй формуле — ложно, а вместе
с ним ложно и г, т.к. они эквивалентны. В этом случае 1 г
в первой формуле — истинно и, стало быть, вся она истин-
на (импликация с истинным консенвентом всегда
истинна). Таким образом, когда q — л, г — л, s — л, все 4
высказывания истинны, значит они совместимы.
8. Логически отредактируйте дискуссию, установив отноше-
ния между высказываниями, выявив единомышлен-
ников и оппонентов, устранив высказывания, не несу-
щие новой информации (предполагается, что каждый
из участников дискуссии высказывает по одному суж-
дению):
а) Наказание за преступление должно быть неотврати-
мым, но не жестоким.
б) Если наказание должно быть неотвратимым, то оно не
должно быть жестоким.
в) Неверно, что, если наказание не должно быть жесто-
ким, то оно должно быть неотвратимым.
г) Первый выступающий не прав. (Я не согласен с выска-
зыванием а).)
д) Либо наказание не должно быть жестоким, либо оно не
должно быть неотвратимым.
* Отмеченные задания этого упражнения взяты из книг: Р.Столл “Множест-
ва”. “Логика”. “Аксиоматические теории” и Э.Миндельсон “Введение в
математическую логику”.
77
е) Наказание должно быть неотвратимым только в том
случае, если оно не должно быть жестоким.
ж) Неверно, что наказание должно быть неотвратимым и
жестоким.
Указание: Запишите логические формы всех сужде-
ний и постройте для них общую истинностную таблицу.
Устраните, если есть, повторы (эквивалентные высказы-
вания). Выявите противоположные (если такие есть) точки
зрения — это основные оппоненты, затем выявите сторон-
ников каждой из них (совместимые с ними высказывания).
Если эти последние не добавляют никакой информации к
высказываниям основных оппонентов (подчинены им), то
их можно исключить. Подумайте, какие отношения будут
между высказываниями каждой из сторон, если противо-
положных точек зрения у участников дискуссии нет, а
есть только противоречащие.
9. Упростите систему высказываний (“инструкцию”), ло-
гически отредактировав ее:
а) Если непосредственный начальник отдает подчиненно-
му приказ, то подчиненный должен его выполнять.
б) Приказ может быть невыполнен, только если он проти-
воречит распоряжению высшего начальства.
в) Непосредственный начальник не может отдать приказ,
противоречащий распоряжению высшего начальства.
г) Распоряжения высшего начальства таковы, что проти-
воречить им ничто не может.
д) Если приказ не противоречит распоряжению высшего
начальства, то, если он отдан — он должен быть вы-
полнен.
Указание: Используйте указание к предыдущему уп-
ражнению. Не забудьте, что инструкция должна быть вы-
полнима и максимально компактна. В заключение ответь-
те на вопрос, в каких отношениях находятся высказыва-
ния, оставшиеся после такого логического редактирова-
ния.
10. Ответьте на следующие вопросы и обоснуйте ответы,
исходя из определений отношений между суждения-
ми:
а) В каком отношении находятся отрицания двух проти-
воречащих суждений?
б) В каком отношении находятся отрицания двух проти-
воположных суждений?
в) Могут ли два независимых суждения подчиняться од-
ному суждению?
78
г) Может ли одно суждение подчиняться каждому из двух
противоречащих суждений?
д) Если одно суждение подчиняется второму, то в каком
отношении находятся их отрицания?
е) Если два суждения независимы, то обязательно ли не-
зависимы их отрицания?
ж) Если одно суждение противоречит другому, а оно про-
тиворечит третьему, что можно сказать об отношении
первого и третьего суждений?
з) Могут ли два несовместимых суждения подчиняться
третьему?
и) В каком отношении находятся отрицания двух субкон-
трарных суждений?
к) Если одно суждение подчиняется второму, а второе —
третьему, то в каком отношении находятся первое и
третье суждения?
л) Может ли одно суждение подчиняться каждому из двух
противоположных суждений?
м) Могут ли быть три противоречащих суждения?
н) Могут ли быть три противоположных суждения?
о) Могут ли быть три субконтрарных суждения?
п) Если два суждения противоречат друг другу, то в каком
отношении находится одно из них к отрицанию второ-
го?
р) Если два суждения противоположны, то в каком отно-
шении находится одно из них к отрицанию второго?
Образец. Если одно суждение подчиняется второму, то
в каком отношении оно находится к отрицанию второго?
Если одно суждение подчиняется второму, то оно не
бывает ложным, когда истинно второе. Поскольку отрица-
ние имеет обратные истинностные значения, первое суж-
дение истинно всегда, когда отрицание второго ложно.
Значит, они не могут быть вместе ложными. Но истинны-
ми вместе они могут быть, так как, когда второе суждение
ложно (а его отрицание соответственно истинно) первое,
подчиненное ему суждение, могло быть истинным. Отно-
шение между ними — субконтрарность.
Этот же результат можно получить по логическому
квадрату: в отношении подчинения может находиться
только частное суждение к общему, отрицание общего —
другое по качеству частное суждение. Значит, речь идет об
отношении одного частного суждения к другому частно-
му. Это отношение — субконтрарность.
79
Тема: ВОПРОС КАК ФОРМА МЫСЛИ
1. Логическая структура и виды вопросов.
Корректные и некорректные вопросы
Вопрос — это форма мысли, в которой выражено тре-
бование уточнить или получить новую информацию на
основе уже имеющейся. Иначе говоря, в вопросе (1) содер-
жится некоторая исходная информация, (2) фиксируется
ее недостаточность или недостоверность и выражается
требование дополнить или уточнить эту информацию.
Первая часть вопроса называется его предпосылкой, а вто-
рая оператором вопроса. Например, в вопросе “Был ли
А.С. Пушкин камер-юнкером Его императорского вели-
чества?” содержится информация, что А.С.Пушкин, воз-
можно, был камер-юнкером Его императорского величест-
ва — это предпосылка вопроса — и выражение требования
уточнить эту информацию (слово “ли” вместе с особым
строем предложения и особой интонацией при произнесе-
нии) — это оператор вопроса. В вопросе: “В каком году
А.С. Пушкин стал камер-юнкером Его императорского ве-
личества?” содержится информация о том, что он был ка-
мер-юнкером (предпосылка вопроса) и словами “в каком
году” выражено требование новой информации (оператор
вопроса).
Вопросы, в которых информацию требуется уточнить,
называются уточняющими, закрытыми или “ли”-вопро-
сами. Закрытыми — потому что по своей форме они пред-
полагают один из двух возможных ответов (да, нет), т.е.
множество возможных ответов ограниченное. “Ли”-вопро-
сами они называются из-за наличия в вопросительном
предложении частицы “ли”. (Этой частицы в вопроситель-
ном предложении может и не быть, например: “Ты при-
дешь завтра в университет?” Тогда мы понимаем, что это
— вопрос лишь по особой, вопросительной, интонации.)
Уточняющие вопросы можно рассматривать как требова-
ние устранить неопределенность посредством выбора од-
ной из двух альтернатив в строгом дизъюнктивном сужде-
нии вида: р v 1 р. Например, вопрос: “Вчера в Москве был
дождь?” можно рассматривать как требование выбрать од-
ну из альтернатив в дизъюнкции: “Вчера в Москве был
дождь или вчера в Москве не было дождя”.
80
Уточняющие вопросы могут также иметь предпосылку
вида: р v q, тогда вопрос выражает требование выбрать од-
ну из этих альтернатив. Например, в вопросе: “М.Ю. Лер-
монтов родился в 1813 или в 1814 году?” содержится тре-
бование уточнить информацию посредством выбора меж-
ду указанными в предпосылке датами. Такого типа вопрос
может содержать в предпосылке и большее число альтер-
нитив, например: “Ваш экзамен будет во вторник, среду
или четверг?”, где требуется выбрать среди трех альтерна-
тив. Однако если альтернатив три или более, то вопрос
обычно строится уже как восполняющий, или открытый’.
“В какой день будет Ваш экзамен?” Вопрос такого типа со-
держит требование дать новую информацию, а множество
ответов на него самим вопросом не ограничено, оно откры-
то. Он содержит вопросительное местоимение, и поэтому
иногда называется “что?”-вопросом.
Вопросы могут быть корректными и некорректными.
Прежде всего они могут быть построены так, что их просто
нельзя понять, тогда они называются неправильно постро-
енными, или синтаксически некорректными. Вопрос мо-
жет быть синтаксически некорректным по разным причи-
нам, например, (1) если его предпосылка является не суж-
дением, а пропозициональной формой. Таким будет во-
прос: “Когда демонстрировался приключенческий фильм
о войне?”, а также вопрос “Когда демонстрировался при-
ключенческий фильм о войне по телевидению?” Их пред-
посылки: “демонстрировался (неизвестно где) приключен-
ческий фильм о войне (неизвестно какой)” и “демонстри-
ровался приключенческий фильм о войне (неизвестно ка-
кой) по телевидению” не являются суждениями, так как
не утверждают ничего определенного.
Чтобы такой вопрос сделать синтаксически коррект-
ным, нужно либо поставить все неопределенные парамет-
ры его предпосылки под операторы вопроса: “Когда, где и
какой фильм демонстрировался”, т.е. сделать вопрос
сложным, либо заменить их определенными: “Когда де-
монстрировался фильм “Подвиг разведчика” по телевиде-
нию?”, либо поставить перед этими неопределенными па-
раметрами кванторы, например: “Когда демонстрирова-
лись где-нибудь все приключенческие фильмы о войне?”
Вопрос может быть синтаксически некорректным так-
же, (2) если его предпосылка выражена предложением, не
имеющим смысла, например: “Где родились Уральские
4 Зак. 285
81
горы?” Предпосылку этого вопроса — “Уральские где-то
родились” — понять невозможно, она не осмысленна. Та-
кой синтаксически некорректный вопрос нельзя сделать
корректным.
Синтаксически корректные вопросы — в которых
предпосылка является правильно построенным и поэтому
ясным суждением — в свою очередь делятся на семанти-
чески корректные и семантически некорректные. Семан-
тически корректным называется вопрос, предпосылка
которого — истинное суждение, а семантически некор-
ректным называется вопрос, предпосылка которого —
ложное суждение. Так, вопрос: “В каком году был открыт
университет в Москве?” является семантически коррект-
ным, так как его предпосылка — “в Москве был (когда-то)
открыт университет” — истинное суждение, а вопрос: “В
каком году был открыт университет в Калуге?” в настоя-
щее время является семантически некорректным.
Если умышленно задается семантически некоррект-
ный вопрос, то он называется провокационным. При этом
неважно, имеет ли он личный или общий характер и ка-
кой-то этический оттенок. Одинаково провокационны и
вопрос экзаменатора: “Как можно ограничить понятие
“Солнечная система”?”, и вопрос: “По каким дням вы
бьете свою жену?”, если спрашивающему известно, что вы
ее не бьете, и вопрос: “В каком году был открыт универси-
тет в Калуге?” при условии, что спрашивающий знает, что
в Калуге нет и никогда не было университета. •
Вопросы могут быть также эпистемически (познава-
тельно) корректными и некорректными в зависимости от
того, (1) существует ли объективно ответ на него и (2) не
содержится ли он уже в вопросе. Поскольку вопрос — это
форма мысли, в которой выражено требование новой ин-
формации на основании уже имеющейся, постольку пред-
полагается, что имеющаяся информация, с одной сторо-
ны, меньше требуемой, а с другой — что получение новой
может быть осуществлено в один шаг. Если взять вопрос:
“Сколько углов в треугольнике?” легко заметить, что он
как вопрос неосмыслен — информация, которая в нем за-
прашивается, в предпосылке уже содержится, поэтому
можно считать его эпистемически некорректным. С дру-
гой стороны, вопрос: “Какое ускорение сообщит сила в
1 ньютон этому телу?” также эпистемически некорректен,
поскольку для ответа на него нужно знать массу этого те-
82
ла, которая в предпосылке не указана. Если же данный во-
прос стоит в контексте, из которого можно узнать массу
тела, то он будет эпистемически корректным, но только
после ее установления.
Наконец, эпистемически некорректным будет вопрос,
предпосылка которого не может быть оценена (по крайней
мере, в настоящее время) как истинная или как ложная.
Таким, например, является вопрос: “Как выглядят разум-
ные существа, прилетающие на Землю из созвездия Жи-
раф в летающих тарелках?”
Упражнения:
1. Найдите предпосылку в следующих вопросах и опреде-
лите, являются ли они семантически корректными?
а) Какие вещества получаются при разложении молекулы
водорода?
б) Как звали вторую жену А.С. Пушкина?
в) Почему понятие “МГУ” является общим?
г) Какие электровозы выпускает КАМАЗ?
д) Какие детективы нужно читать, чтобы стать юристом?
е) Сколько элементов входит в объем понятия “столица
Франции”?
ж) На каком факультете МГУ учился Президент СССР?
з) Кто из студентов вашей группы на сегодняшний день
не имеет задолженностей?
и) Имеют ли некоторые преподаватели МГУ высшее обра-
зование?
к) Сколько студентов вашей группы имеют среднее обра-
зование?
л) Как называется поэма Н.В. Гоголя?
м) Сколько из взятых вами в библиотеке книг вы должны
вернуть в библиотеку?
и) Сколько городов России называется “Москва”?
Образец. В каких случаях умышленное убийство счи-
тается преступлением? Предпосылкой данного вопроса
является суждение: В некоторых случаях умышленное
убийство считается преступлением. Это суждение истин-
но, значит, вопрос семантически корректен.
2. Найдите в следующих вопросах предпосылку и опера-
тор вопроса и определите являются, следующие вопро-
сы синтаксически или семантически некорректными:
а) Кто были первые космонавты?
б) Какая планета вращается вокруг Солнца?
в) Был ли дождь?
г) Какова цена всех этих покупок?
83
д) В каком году произошло землетрясение?
е) Дальтоники близоруки или дальнозорки?
ж) С какой целью дует ветер?
з) На сколько километров простирается наша страна?
и) Верно ли, что километр больше килограмма?
к) В каком месяце бывают дожди — в сентябре или октяб-
ре?
л) Когда вы сдавали экзамен?
Образец. Как звали Генерального секретаря ЦК КПСС?
Предпосылка данного вопроса: У Генерального секретаря
КПСС было какое-то имя. Оператор вопроса выражен сло-
вом “как?” (“каково это имя?”). Однако “Генеральный
секретарь КПСС” — общее имя, его значением является
любой из множества Генеральных секретарей КПСС (Ста-
лин, Брежнев, Андропов и т.д.), поэтому вопрос непоня-
тен, из предпосылки неизвестно, имя какого по счету Ге-
нерального секретаря хотят узнать. Таким образом, во-
прос синтаксически некорректен.
3. Эпистемически корректно ли составлены следующие
задачи? Если некорректно, то в чем состоит некоррект-
ность?
а) Когда Петя пошел гулять со своим другом Васей, у не-
го в кармане было 5 тысяч рублей, а когда вернулся до-
мой, обнаружил в кармане всего 200 рублей. На какую
сумму Петя с Васей съели мороженого?
б) Петя учит стихотворение из 40 строк, тратя на запоми-
нание каждой строки 2 минуты. За сколько минут он
забудет это стихотворение, если Петя забывает стихи в
два раза быстрее, чем учит?
в) Петя копает червей для рыбалки, углубляясь каждую
минуту на 30 см. В этом месте на глубине 1 м 20 см про-
ходит кабель, снабжающий током местную телесту-
дию, которая транслирует интересную передачу. Через
сколько минут подойдет к концу эта интересная пере-
дача?
г) В одной квартире преступники украли одну правую та-
почку и две левые, а в другой — только одну правую.
Сколько пар тапочек украли преступники в обеих
квартирах?
д) Василиса Премудрая и Змей Горыныч играли в шаш-
ки. Сначала Василиса съела у Горыныча 3 шашки, а он
у нее — 5. Потом Василиса съела у Горыныча 6 шашек,
а он у Василисы — 2. После следующего хода Васили-
са съела у Горыныча 3 шашки, а Горыныч съел саму
Василису. Можно ли считать, что Змей Горыныч выиг-
рал у Василисы Премудрой партию в шашки?
84
е) В первой банке 6 крупных соленых огурцов, во второй
— 9 средних, а в третьей — два маленьких, но очень го-
лодных крокодильчика. Сколько раз сунет руку в эти
банки Петр Петрович, если, таская из банок по одному
огурцу, начнет с первой, потом прикончит вторую и уж
тогда примется за третью?
ж) Пожарных учат надевать штаны за 3 секунды. Сколь-
ко штанов успеет надеть на себя хорошо обученный по-
жарный за 5 минут?
з) За время летних каникул Вовочка несколько раз стре-
лял из рогатки и каждый раз попадал в милицию.
Сколько раз попадал в милицию Вовочка, если извест-
но, что милиционеры 3 раза вставляли стекла в своей
милиции в июне, 9 раз — в июле и 14 раз — в августе?
и) Встав на цыпочки и вытянув руки вверх, Митенька мо-
жет дотянуться до нижней полки кухонного шкафа.
Расстояние от нижней полки этого шкафа до верхней,
где стоит клубничное варенье, — 48см. Митенька вы-
растает в месяц на 2см. Сколько лет понадобится Ми-
теньке, чтобы добраться до клубничного варенья, не
вставая на стул?*
Образец. Девочка раскладывала по коробочкам 70 пу-
говиц. В одну коробочку они положила 18 больших пуго-
виц с двумя дырочками, во вторую — 12 больших пуговиц
с четырьмя дырочками, в третью — 15 средних пуговиц с
двумя дырочками, в четвертую — 20 средних пуговиц с че-
тырьмя дырочками. Оставшиеся пуговицы были черны-
ми, и она положила их отдельно. Сколько черных пуговиц
было у девочки?
Данная задача эпистемически некорректна, так как
первые четыре категории пуговиц выделены по одному
сложному основанию “величина пуговицы и количество
дырочек”, пятая категория пуговиц выделена по цвету —
их девочка положила отдельно. Однако нет никаких осно-
ваний относить вопрос задачи именно к этой пятой катего-
рии: он более общий: “Сколько черных пуговиц было у де-
вочки?” Ответить на него, исходя из условия задачи, не-
возможно, поскольку неизвестно, сколько черных пуго-
виц было в первых четырех категориях.
4. Проанализируйте логическую структуру, синтаксис и
семантику следующих вопросов и установите их виды:
а) Сколько экзаменов вы должны сдавать в ближайшую
зимнюю сессию?
б) Как звали отца Веры Павловны из романа Н.Г. Черны-
шевского “Что делать?”?
* Задачи этого упражнения взяты из книги Г.Остера “Задачник”.
85
в) Верно ли, что среда или четверг является рабочим днем?
г) Чьей победой закончилось Бородинское сражение?
д) Сколько лет длилась Тридцатилетняя война?
е) Какие преступления против жизни уголовно наказуе-
мы?
ж) Почему США, Англия и Франция открыли “второй
фронт” во Второй мировой войне лишь в 1944 году?
з) Находятся ли станции московского метро под землей?
и) В каком году началась Первая мировая война — в 1914
или в 1915?
к) Почему началась перестройка в СССР?
л) Какие санкции предусмотрены Уголовным кодексом
РФ за умышленное убийство?
Образец. Расположены ли Англия и Франция на остро-
вах?
Вопрос сложный, конъюнктивный, состоит из двух
уточняющих вопросов: Расположена ли Англия на остро-
ве (островах)? и Расположена ли Франция на острове (ос-
тровах)? Оба вопроса синтаксически и семантически кор-
ректны, значит, сложный вопрос также является уточня-
ющим и корректным.
2. Ответы, их виды
Ответ — это суждение, дающее информацию, запра-
шиваемую в вопросе. Например: “На какой полке (из не-
которого множества данных) стоит эта книга?” — “Эта
книга стоит на верхней полке”. Ответ всегда основывается
на предпосылке вопроса, она является его субъектом, в на-
шем случае — “эта книга стоит”, а предикат ответного
суждения — “верхняя полка” — дает требуемую в вопросе
информацию, указывает определенный предмет из пред-
метной области переменной, стоящей под оператором во-
проса, — области полок.
Если указанное условие не выполняется, то суждение
нельзя считать ответом на вопрос, или говорят, что ответ
несоответственный. Умение отличить соответственный
ответ от несоответственного является критерием понима-
ния вопроса. Соответственный ответ полностью или
частично дает запрашиваемую в вопросе информацию (не
обязательно верную), а несоответственный — другую, не
относящуюся к делу информацию. Так, на вопрос: “В ка-
ком городе родился А.С.Пушкин?” соответственными бу-
дут, например, ответы: “А.С.Пушкин родился в Петербур-
86
ге”; “А.С.Пушкин родился в Москве”; “А.С.Пушкин ро-
дился в одном из городов Центральной России”;
“А.С.Пушкин родился в городе, расположенном на Вол-
ге”. Несоответственными ответами следует считать:
“А.С.Пушкин родился в 1799 году”; “А.С.Пушкин родил-
ся в дворянской семье” и т.п.
Ответ можно дать только на синтаксически коррект-
ный вопрос. Если он при этом семантически некорректен,
то единственно возможным (соответственным) ответом на
него является суждение, отрицающее предпосылку вопро-
са. Например: “Как произвести ограничение понятия “Сол-
нечная система”?” — “Это понятие ограничить нельзя”.
Если вопрос эпистемически некорректен, то ответ невоз-
можен до получения необходимой дополнительной инфор-
мации.
Среди соответственных ответов могут быть правила
ные и неправильные. Если в ответ на вопрос дано истинное
суждение, то ответ называется правильным, а если лож-
ное, — ответ неправильный. Из приведенных соответ-
ственных ответов на вопрос о месте рождения Пушкина
правильными являются второй и третий, а первый и чет-
вертый — неправильные.
Как правильные, так и неправильные ответы могут
быть полными, неполными и избыточными: полные дают
всю требуемую информацию и полностью снимают неоп-
ределенность; неполные — только часть информации, так
что Неопределенность лишь уменьшается; избыточные,
кроме требуемой, дают и дополнительную информацию.
Из рассмотренных четырех ответов полными будут пер-
вый и второй, неполными — третий ц четвертый. Избы-
точным ответом мог быть такой: “А.С.Пушкин родился в
Москве в семье штабс-капитана С.Л.Пушкина в 1799 г.”.
Или ответ: “А.С.Пушкин родился в северо-восточной час-
ти Москвы”.
Кроме того, ответы могут быть прямыми и непрямыми
(косвенными). В прямом — требуемая информация выра-
жена явно, в непрямом — имплицитно, через отношение к
другой содержащейся в ответе информации. Все приведен-
ные в качестве примеров ответы — прямые. Косвенными
ответами могут быть высказывания: “А.С.Пушкин родил-
ся в городе, основанном в 1147 г. князем Ю.Долгоруким”.
“А.С.Пушкин родился в городе, который до 1712 года был
столицей Российской империи”.
87
Упражнения:
1. Укажите среди перечисленных соответственные отве-
ты на вопрос: “Когда был открыт Московский универ-
ситет?” и охарактеризуйте каждый из них:
а) Московский университет не был открыт.
б) Московский университет был открыт в 18 веке.
в) Московский университет был открыт по инициативе
М.В. Ломоносова.
г) Московский университет был открыт раньше Петербург-
ского.
д) Московский университет был открыт в 20 веке.
е) Московский университет был открыт задолго до моего
рождения.
ж) Московский университет был открыт в царствование
Елизаветы Петровны.
з) Московский университет был открыт, когда в этом по-
явилась необходимость.
и) Московский университет был открыт в 1825 году,
к) Московский университет был открыт, а потом закрыт,
л) Московский университет был открыт через 30 лет пос-
ле Российской академии наук.
Образец. Какие хвойные деревья растут в Подмос-
ковье?
а) В Подмосковье растут разные хвойные деревья.
б) В Подмосковье растут сосны.
в) В Подмосковье не растут хвойные Деревья.
г) В Подмосковье растет много хвойных деревьев.
Ответы б) и в) — соответственные, причем б) — непол-
ный, в) — ответ, исходящий из того, что вопрос семанти-
чески некорректный. Ответы а) и г) — несоответственные,
они вообще не касаются запрашиваемой информации.
2. Отметьте, какие типы ответов можно дать на закрытые
вопросы:
сю Правильный
сю Прямой
г~। Полный
сю Неправильный
сю Косвенный
сю Неполный ।—। Избыточный
Указание: Вспомните, почему вопрос называется за-
крытым, и проанализируйте все возможности ответов на
него.
3. Сформулируйте все возможные типы соответственных
ответов на вопросы:
а) Кто автор романа “Идиот”?
б) Сколько друзей-мушкетеров было у д'Артаньяна?
88
в) Прогуливаете ли вы лекции?
г) Часто ли вы прогуливаете лекции?
д) Сколько лекций в неделю вы прогуливаете?
е) Почему нельзя осуществить деление объема поня-
тия “велосипед”?
Типы ответов: а) правильный, прямой, полный;
б) правильный, косвенный, полный;
в) неправильный, прямой, полный;
г) неправильный, косвенный, полный;
д) правильный, прямой, неполный;
е) правильный, косвенный, неполный;
ж) неправильный, прямой, неполный;
з) неправильный, косвенный, неполный;
и) неправильный, косвенный, избыточный;
к) неправильный, прямой, избыточный;
л) правильный, косвенный, избыточный;
м) неправильный, косвенный, избыточный.
Образец. Сколько станций Московского метрополитена
имеют два входа?
а) неправильный, прямой, неполный — Два входа име-
ют менее 10 станций Московского метрополитена.
б) неправильный косвенный полный — Два входа име-
ют столько же станций Московского метрополитена,
сколько дней в январе.
Тема: УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
1.Общая характеристика и виды умозаключений
Суть умозаключения как формы мышления заключа-
ется в переходе от имеющегося знания к новому. В струк-
туре умозаключения выделяют (1) посылки — суждения,
содержащие имеющееся (данное) знание и (2) заключе-
ние (следствие) — суждение, содержащее новое знание
(полученное на основании посылок). Основная логиче-
ская характеристика умозаключения — правильность.
Умозаключение называется правильным, если осуще-
ствляется в соответствии с объективными законами мыш-
ления и теми приемами и рекомендациями, которые выра-
ботаны логикой. В этом случае их заключения достигают
максимально возможной для данного способа рассужде-
ния убедительности.
89
Умозаключения могут быть классифицированы по
многим основаниям, наболев существенным из которых
является вид перехода от посылок к заключению: (1) пере-
нос информации от посылок к заключению может осущес-
твляться без добавления новой информации — информа-
ция следствия оказывается не больше, чем совокупная ин-
формация посылок; (2) в процессе перехода от посылок к
заключению информация посылок переносится с добавле-
нием новой; (3) информация посылок служит как бы об-
разцом для “создания” новой информации на основе неко-
торых косвенных свидетельств. Эти различия в способах
перехода от старого знания к новому дают три основные
группы умозаключений, которые традиционно называют-
ся дедуктивными, индуктивными и традуктивными (по
аналогии ).
От способа перехода зависит и характер заключения
(следствия) — его достоверность или вероятность (при ус-
ловии достоверности посылок). Если в заключении нет ни-
какого нового знания по сравнению с тем, что было в по-
сылках, то заключение достоверно; если же информация
заключения больше или другая, чем информация посы-
лок, то заключение лишь более или менее вероятно. Умо-
заключения первого типа называются демонстративны-
ми, а второго типа — недемонстративными.
2. Дедуктивные умозаключения
2.1. Непосредственные умозаключения
по логическому квадрату
Дедуктивные умозаключения — наиболее “логичный”
тип умозаключений, так как они дают полностью обосно-
ванные посылками заключения. Правильным дедуктив-
ным умозаключением называют такое, которое не добав-
ляет информации в заключение и поэтому обеспечивает
получение истинного заключения из истинных посылок.
Иначе говоря, в правильном дедуктивном умозаключении
между посылками и заключением должно существовать
отношение логического следования, т.е. такое отношение,
что при истинных посылках заключение не может быть
ложным.
90
Рассмотрение дедуктивных умозаключений обычно
начинают с простейших, называемых непосредственны-
ми, т.е. из одной посылки. Такими умозаключениями яв-
ляются все переходы по логическому квадрату, когда ис-
тинность или ложность одного суждения с необходи-
мостью влечет определенное истинностное значение дру-
гого. Проверка их правильности состоит в сопоставлении
приписываемого следствию истинностного значения с
тем, которое ему предопределено логическим отношением
с посылкой. Например, нужно проверить умозаключение:
“Все рыбы дышат жабрами, значит, неверно, что ни одна
рыба не дышит Жабрами”. Его посылка — общеутверди-
тельное суждение, а заключение — отрицание общеотри-
цательного суждения, т.е. частноутвердительное сужде-
ние. Мы видим, заключение находится с посылкой в отно-
шении подчинения, что означает: при истинном первом
(посылке) второе (заключение) не может быть ложным.
Значит, умозаключение правильно.
Возьмем другое рассуждение: “Если неверно, что все
студенты прилежны, то истинно, что некоторые студенты
прилежны”. Его посылка — отрицание общеутвердитель-
ного суждения или можно сказать проще: мы исходим из
того, что общеутвердительное суждение ложно. Заключе-
ние в нем утверждает истинность соответствующего част-
ноутвердительного суждения. Такое умозаключение, как
легко увидеть, неправильно, поскольку утверждаемая ис-
тинность его следствия не предопределяется логическим
отношением (подчинения) посылки и заключения: при
ложности подчиняющего подчиненное не обязательно ис-
тинно, оно может быть и ложным.
Упражнения:
1. Проверьте по логическому квадрату наличие отноше-
ния следования:
а) Из истинности высказывания: “Не все книги интерес-
ны” следует ложность высказывания: “Ни одна книга
не интересна”.
б) Из ложности высказывания: “Не все книги интересны”
следует ложность высказывания: “Ни одна книга не
интересна”.
в) Из истинности высказывания: “Не все книги интерес-
ны” следует истинность высказывания: “Неверно, что
некоторые книги интересны”.
г) Из истинности высказывания: “Ни один кит не дышит
91
жабрами” следует истинность высказывания: “Неко-
торые киты не дышат жабрами”.
д) Из истинности высказывания: “Не все убийства рас-
крываемы” следует ложность высказывания: “Ни одно
убийство не раскрываемо”;
е) Из ложности высказывания: “Не все убийства раскры-
ваемы” следует ложность высказывания: “Ни одно
убийство не раскрываемо”;
ж) Из истинности высказывания: “Не все убийства рас-
крываемы” следует истинность высказывания: “Неко-
торые убийства раскрываемы”;
з) Из истинности высказывания: “Некоторые убийства не
раскрываемы” следует ложность высказывания: “Все
убийства раскрываемы”;
и) Из ложности высказывания: “Ни одно убийство не рас-
крываемо” следует ложность высказывания: “Все
убийства раскрываемы”;
к) Из истинности высказывания: “Ни одно убийство не
раскрываемо” следует истинность высказывания: “Не-
которые убийства не раскрываемы”;
л) Из истинности высказывания: “Некоторые убийства
раскрываемы” следует истинность высказывания:
“Некоторые убийства не раскрываемы”;
Образец. Из ложности высказывания: “Некоторые
убийства раскрываемы” следует истинность высказыва-
ния “Некоторые убийства не раскрываемы”. Первое вы-
сказывание частноутвердительное, второе — частноотри-
цательное. Из ложности частноутвердительного высказы-
вания, действительно, следует истинность частноотрица-
тельного, поскольку эти высказывания субконтрарны, а
при таком отношении оба высказывания не могут быть
ложными.
2. Правильны ли следующие непосредственные умоза-
ключения?
а) Всё жидкости упруги, значит, неверно, что есть неуп-
ругие жидкости.
б) Неверно, что некоторые жидкости не упруги, значит,
некоторые жидкости упруги.
в) Неверно, что некоторые экзамены легко сдать, значит,
неверно, что все экзамены легко сдать.
г) Неверно, что некоторые экзамены трудны, значит, все
экзамены не трудны.
д) Некоторые экзамены трудны, значит, некоторые экза-
мены не трудны.
е) Не все небоскребы выше 45 этажей. Значит, все небо-
скребы не выше 45 этажей.
92
ж) Не все учащиеся прилежны, значит, неверно, что ни
один из них не прилежен.
з) Большинство домов в этом районе кирпичные, значит,
не все дома в этом районе кирпичные.
и) Некоторые газы инертны, значит, некоторые газы не
являются инертными.
к) Не все кенгуру прыгают на 6 ногах, значит, некоторые
кенгуру этого не делают.
л) Не все газы легко воспламеняются, значит, неверно,
что некоторые газы легко воспламеняются.
м) Неверно, что некоторые личные местоимения не скло-
няются, значит, некоторые личные местоимения скло-
няются.
н) Не все существительные русского языка склоняются,
значит, не все существительные русского языка не
склоняются.
о) Ни один японец не говорит по-испански, значит, невер-
но, что все японцы говорят по-испански.
Образец. Не все овощи ядовиты, значит, неверно, что
некоторые овощи ядовиты. В данном умозаключении из
отрицания общеутвердительного суждения выводится от-
рицание частноутвердительного. Но это неправильно, так
как посылка эквивалентно преобразуется в частноотрица-
тельное суждение, а заключение — в общеотрицательное,
но из частного общее не следует.
3. Осуществите все возможные выводы по логическому
квадрату из следующих посылок:
а) Все студенты обязаны сдавать экзамены.
б) Не каждый студент сдает их успешно.
в) Некоторые студенты не являются на экзамены.
г) Неверно, что некоторые студенты могут не явиться на
экзамен без уважительной причины.
д) Некоторые студенты предпочитают сдавать экзамен не
со своей группой.
е) Неверно, что существуют студенты, знающие больше
экзаменатора.
ж) Ни один студент не освобождается от сдачи экзаменов,
з) Неверно, что ни один студент не может закончить курс
экстерном.
Образец. Некоторые металлы не окисляются. Данное
суждение частноотрицательное. Если оно истинно, то мож-
но заключить о ложности противоречащего ему общеутвер-
дительного суждения. О значениях же общеотрицательно-
го и частноутвердительного суждений ничего сказать нель-
зя. Поэтому единственно возможный вывод из данного
суждения: Ложно, что все металлы окисляются.
93
2.2. Непосредственные умозаключения путем
преобразования структуры суждения
Непосредственные умозаключения, строящиеся этим
способом, основаны на том, что отношение субъекта и
предиката в посылке должно обусловливать отношение
терминов заключения. Для преобразования структуры
суждения существуют два основных способа — превраще-
ние и обращение, которые можно сочетать в том или дру-
гом порядке и получать более сложные типы преобразова-
ния — противопоставление предикату и противопо-
ставление субъекту.
Превращение суждения заключается в эквивалент-
ном преобразовании путем изменения его качества, т.е.
утвердительное суждение становится отрицательным, а
отрицательное — утвердительным. Однако, чтобы преоб-
разование было эквивалентным, кроме изменения качест-
ва суждения, его предикат должен быть заменен на проти-
воречащее понятие. Таким образом, “Все S суть Р” превра-
щается в “Ни одно S не есть не-Р”, “Некоторые S суть Р”
превращается в “Некоторые S не суть не-Р”, “Ни одно S не
есть Р” превращается в “Все S суть не-Р”, а “Некоторые S
не суть Р” превращается в “Некоторые S суть не-Р”.
Обращение суждения осуществляется перестановкой
субъекта и предиката при соблюдении правила, что не
распределенный первоначально термин не может ока-
заться распределенным в результате преобразования.
Соблюдение данного правила накладывает ограничения
на эту операцию, так что в одних случаях обращение мо-
жет происходить чисто (без изменения количества сужде-
ния) — так обращаются частноутвердительные и общеот-
рицательные суждения. В других случаях оно происходит
с ограничением (уменьшение количества суждения) — так
обращаются общеутвердительные суждения. В третьих
случаях оно вообще невозможно — для частноотрицатель-
ных суждений. Итак, “Все S суть Р” обращается в “Неко-
торые Р суть S”, “Некоторые S суть Р” обращается в “Неко-
торые Р суть S”, “Ни одно S не есть Р” обращается в “Ни
одно Р не есть S”.
Для противопоставления предикату нужно произвес-
ти сначала превращение и результат обратить. Для про-
тивопоставления субъекту нужно проделать эти опера-
ции в обратном порядке.
94
Проверка правильности таких умозаключений осу-
ществляется либо воспроизведением соответствующих
операций и сравнением их результата с данным заключе-
нием, либо графически. Для проверки первым способом
нужно определить, какая предположительно операция
осуществлялась. Увидеть превращение или обращение не-
сложно. При противопоставлении предикату на месте
субъекта оказывается понятие, противоречащее предика-
ту, а на месте предиката — субъект исходного суждения.
При противопоставлении субъекту на месте субъекта ока-
зывается предикат исходного суждения, а на месте преди-
ката — понятие, противоречащее субъекту исходного.
Удобнее проверять эти умозаключения графически.
Существуют семь базисных (модельных) схем отношений
субъекта и предиката в категорических суждениях, кото-
рые приведены ниже. Поскольку рассматриваемые непо-
средственные умозаключения относятся к дедуктивным,
они правильны лишь тогда, когда из истинной посылки не
может быть получено ложное заключение. На этом и осно-
вывается идея проверки: веете модельные схемы, которые
подходят для посылки, должны подходить и для заключе-
ния.
Модельные схемы: Суждения, где S — субъект, Р — предикат
95
Рассмотрим умозаключение: “Если
всякое
преступление аморально, то кое-что неаморальное не
является преступлениями”, где посылка — A (S, Р), за-
ключение О (не-Р, S).
Первый способ: преобразование состоит в противопо-
ставлении предикату, т.е. последовательном превращении
и обращении; после превращения получается Е (S, не-Р),
обращение которого можно произвести чисто и получить
Е (не-Р, S), но поскольку суждение О можно получить из
Е, умозаключение правильно.
Второй способ: посылка истинна на 1 и 2 схемах. По-
смотрим, удовлетворяют ли они заключению. Не-Р, т.е. та
часть универсума, которая находится за пределами Р, не
захватывает S вообще, значит, заключение истинно на
этих схемах и умозаключение, таким образом, правиль-
но.
Упражнения:
1. Произведите превращение следующих суждений:
а) Некоторые юристы — адвокаты.
б) Все адвокаты — юристы.
в) Ни одно простое решения не являются подготовленным,
г) Некоторые простые решения не являются подготовлен-
ными.
Образец. Некоторые существительные не являются соб-
ственными именами. — Суждение частноотрицательное,
оно превращается в частноутвердительное. — Некоторые
существительные являются несобственными именами.
96
2. Произведите обращение следующих суждений:
а) Некоторые ученые работают в вузе.
б) Некоторые ученые не работают в вузе.
в) Ни один математик не знает историю,
г) Все знающие историю — историки.
Образец. Все имена существительные обозначают пред-
меты. — Суждение общеутвердительное, обращается с ог-
раничением — в частноутвердительное: Некоторые (сло-
ва), обозначающие предметы, являются именами сущест-
вительными.
3. Произведите противопоставление предикату для следу-
ющих суждений:
а) Все математики играют в шахматы.
б) Некоторые играющие в шахматы не являются матема-
тиками.
в) Некоторые европейские страны — члены НАТО.
г) Ни один не платящий членские взносы не является чле-
ном профсоюза.-
д) Все члены профсоюза платят членские взносы.
е) Ничто приятное не является необходимым.
ж) Некоторые изучающие логику являются студентами-
философами.
з) Некоторые необходимые вещи не являются приятными.
Образец. Ни один умный человек не сделает этого. —
Суждение общеотрицательное с субъектом — “умный че-
ловек” и предикатом — “сделает это”. Оно превращается в
общеутвердительное: Все умные люди не сделают этого (с
предикатом — “не сделают этого”), а оно в свою очередь об-
ращается в частноутвердительное: Некоторые (люди), не
сделавшие этого, являются умными людьми.
4. Произведите противопоставление субъекту для следу-
ющих суждений:
а) Все счастливые люди добры.
б) Ничто разумное не ставит меня в тупик.
в) Некоторые тигры — людоеды.
г) Некоторые тигры не являются людоедами.
д) Ни один прокурор не выступает защитником.
е) Некоторые растения не дышат углекислым газом.
ж) Некоторые дышащие углекислым газом организмы —
растения.
з) Всякая добродетель — благо.
Образец. Все разумное действительно. — Суждение об-
щеутвердительное, оно обращается в частноутвердитель-
ное: Кое-что действительное разумно, которое затем пре-
5 Зак. 285
97
вращается в частноотрицательное: Кое-что действитель-
ное не является неразумным.
5. Определите, какая операция преобразования структу-
ры посылки (превращение, обращение, противопо-
ставление субъекту или предикату) произведена и
правильно ли:
а) Из того, что все французы говорят по-французски, сле-
дует, что некоторые не-французы по-французски не го-
ворят.
б) Каждый грамотный человек обнаружит такую ошибку,
поэтому всякий, кто ее обнаруживает, является гра-
мотным.
в) Любая столица является административным центром
государства, поэтому любой административный Центр
государства не является не-столицей.
г) Большинство неумных людей не считает себя таковы-
ми. Значит, некоторые люди, считающие себя неумны-
ми, и на самом деле неумны.
д) В каждом прямоугольном треугольнике квадрат гипо-
тенузы равен сумме квадратов катетов. Значит, каж-
дый треугольник, в котором квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов, является прямоугольным.
е) Решение некоторых научных проблем не делает пере-
ворота в науке. Значит, совершение переворота в науке
иногда не является решением научных проблем.
ж) Каждый альпийский фазан красив, поэтому все не-кра-
сивые птицы не являются альпийскими фазанами.
з) Некоторые растения плохо переносят засуху. Значит,
некоторые плохо переносящие засуху организмы не
являются не-растениями.
и) Каждое отрицательное понятие имеет в своем содержа-
нии отрицательный признак, поэтому некоторые поня-
тия, имеющие в своем содержании отрицательный
признак — отрицательные.
к) Многие американские фильмы сентиментальны, зна-
чит, многие сентиментальные фильмы являются аме-
риканскими.
л) Некоторые люди мыслят логично, поэтому некоторые
мыслящие логично являются людьми.
Образец. Кое-что неполезное интересно, поэтому кое-
что интересное не является полезным, — Посылка — част-
ноутвердительтное суждение с субъектом — “неполезное”
и предикатом — “интересное”, заключение — частноотри-
цательное суждение с субъектом “интересное” и предика-
том — “полезное”. Таким образом, видим, что субъектом
заключения является предикат посылки, а предикатом за-
98
ключения — понятие, противоречащее субъекту посылки.
Значит, производилось противопоставление субъекту.
Проверим, правильно ли оно произведено. Обращаем по-
сылку в суждение: Кое-что интересное неполезно, а затем
превращаем это суждение в: Кое-что интересное не явля-
ется полезным. Это совпадает с данным заключением.
Значит, противопоставление субъекту произведено пра-
вильно.
6. Проверьте правильность непосредственных умозаклю-
чений посредством модельных схем:
а) Большинству мошенников удается избежать наказа-
ния. Значит, некоторые избежавшие наказания явля-
ются мошенниками.
б) Некоторым мошенникам удается избежать наказания.
Значит, некоторые из тех, кому не удалось избежать
наказания, не являются мошенниками.
в) Ни одно преступление не должно быть безнаказанным.
Значит, всякое наказуемое деяние — преступление.
г) Некоторые убийства остаютя нераскрытыми. Значит,
некоторые остающиеся нераскрытыми преступления
не являются убийствами.
д) Некоторые убийства совершены по неосторожности.
Значит, некоторые преступления по неосторожности
суть убийства.
е) Все силлогизмы с нераспределенным средним терми-
ном неправильны. Значит, ни один правильный силло-
гизм не является силлогизмом с нераспределенным
средним термином.
ж) Многие государственные служащие не берут взяток.
Значит, некоторые взяточники не являются государ-
ственными служащими.
з) Всякий преступник заслуживает наказания. Значит,
никто из незаслуживающих наказания не является
преступником.
и) Всякий преступник заслуживает наказания. Значит,
всякий заслуживающий наказания не является не пре-
ступником.
Образец. Каждый человек, добившийся общественно
значимых успехов, достоин уважения. Значит, некоторые
недостойные уважения люди не добились общественно зна-
чимых успехов. — Посылка в данном умозаключении об-
щеутвердительное суждение A(S,P), заключение — част-
ноотрицательное суждение О(не-Р,8). Посылка истинна
только на модельных схемах 1 и 2, приведенных выше. За-
ключение на обеих этих схемах тоже истинно. Значит,
между посылкой и заключением есть отношение логиче-
ского следования и умозаключение правильно.
99
2.3. Простой категорический силлогизм
Предварительно простой категорический силлогизм
можно охарактеризовать как дедуктивное умозаключе-
ние, в котором из двух категорических суждений выво-
дится третье категорическое суждение. Определение же
силлогизма может быть таким: это умозаключение об от-
ношении двух терминов (субъекта и предиката заключе-
ния ) на основании отношения каждого из них (в посыл-
ках) к некоторому общему (третьему) термину. Отсюда
следует, что в суждениях, входящих в силлогизм, встре-
чается только три понятия термина. Если же в умозаклю-
чении мы не находим трех категорических суждений или
ровно трех различных понятий, то это не силлогизм. Так,
умозаключение: “У многих людей есть книги, а поскольку
всякий учебник логики есть книга, значит, у многих лю-
дей есть учебник логики” — не является силлогизмом, так
как в нем содержится пять терминов (субъектов и пред-
икатов входящих в него суждений): “люди”, “имеющие
книги”, “учебник логики”, “книга”, “имеющие учебник
логики”. Итак, первый этап в анализе умозаключения,
представленного как силлогизм, или кажущегося силло-
гизмом — нахождение трех категорических суждений
(двух посылок и заключения) и их терминов.
Термины, между которыми устанавливается отноше-
ние, т.е. термины заключения называются крайними.
Установив их в заключении, находим их в посылках. Если
хотя бы один из них не будет найден — как в предыдущем
примере, где предиката заключения в посылках нет, — то
перед нами не силлогизм. После этого необходимо убе-
диться, что в посылках, кроме найденных крайних терми-
нов, имеется один общий термин — он называется сред-
ним. Помня, что термин силлогизма — это понятие, а не
слово, нужно внимательно посмотреть, одинаковый ли
смысл имеют одни и те же слова в обеих посылках и не
имеют ли разные слова одинаковый смысл. Например, в
умозаключении: “Человек должен отвечать за свои пос-
тупки, годовалый ребенок — человек, значит, годовалый
ребенок должен отвечать за свои поступки”, если его пер-
вую посылку считать истинной, среднего термина нет,
поскольку слово “человек” в посылках представляет раз-
ные понятия. И наоборот, в умозаключении “Многие мои
друзья читали романы N, а все, кто знаком с творчеством N,
100
считают его писателем интересным, стало быть, многие
мои друзья считают N интересным писателем” средний
термин есть — он выражен в одной посылке словами “чи-
тали романы N”, а в другой — словами “кто знаком с твор-
чеством N”.
Дальнейший анализ силлогизма проводится в соответ-
ствии с избранным способом его проверки. Проверить пра-
вильность силлогизма можно тремя способами. Первый —
заучивание правильных модусов по фигурам. Для исполь-
зования этого способа нужно уметь определять фигуру и
модус силлогизма. Фигуры силлогизма — это его разно-
видности по расположению терминов в нем или, можно
сказать, по положению среднего термина. Средний тер-
мин может быть субъектом в обеих посылках или преди-
катом в обеих посылках, или в одной — субъектом, а во
второй — предикатом, или, наоборот, в первой предика-
том, во второй — субъектом. Фигура силлогизма опреде-
ляется только при так называемом стандартном порядке
посылок — когда на первом месте стоит большая посылка,
т.е. посылка, содержащая то понятие, которое в заклю-
чении выступает предикатом, а на втором —посылка, со-
держащая субъект заключения — меньшая посылка. При
том же порядке посылок определяется и модус силлогиз-
ма, т.е. его разновидность по типу входящих в него сужде-
ний. Так, к примеру, силлогизм: “Все книги полезны, а
ничто полезное не вызывает у меня скуку,значит, ни одна
книга не вызывает у меня скуку”, относится к модусу ЕАЕ
первой фигуры (первая буква названия модуса — услов-
ное обозначение количества и качества большей посылки,
вторая — меньшей посылки, третья — заключения), и
поскольку среди правильных модусов первой фигуры есть
ЕАЕ, данный силлогизм правилен.
Для проверки силлогизма вторым способом — по об-
щим правилам —требуется найти термины силлогизма,
определить типы суждений — посылок и заключения — и
проставить распределенность терминов в них. После чего
нужно смотреть, выполнено ли каждое из правил. Если об-
наружено нарушение одного правила, можно проверку
прекратить —силлогизм неправильный. Общие правила
силлогизма включают два или три правила для терминов
и три правила для посылок. Правила терминов: 1) средний
термин должен быть распределен хотя бы в одной из посы-
101
лок, 2) термин, не распределенный в посылке, не может
быть распределен в заключении. (Иногда в правила терми-
нов включают требование ровно трех терминов, которое
следует из определения силлогизма.) Правила посылок: 3)
хотя бы одна из посылок должна быть утвердительной, 4)
если обе посылки утвердительные, то и заключение утвер-
дительное, 5) если одна из посылок отрицательная, то за-
ключение отрицательное. (Иногда эти три правила форму-
лируют в одном: число отрицательных посылок равно чис-
лу отрицательных заключений.)
Проверка приведенного выше силлогизма по общим
правилам заключается в том, что мы говорим: 1) в данном
силлогизме средний термин распределен в большей по-
сылке; 2) больший и меньший термины, будучи распреде-
ленными в заключении, распределены и в посылках; 3)
имеется одна утвердительная посылка; 4)—5) при одной
отрицательной посылке заключение отрицательное.
Наконец, третий способ проверки правильности силло-
гизма не предполагает вообще никаких специальных зна-
ний. Он заключается в графическом изображении отноше-
ния всех трех терминов в двух посылках и сравнении по-
лученной схемы с заключением. В нашем силлогизме от-
ношения терминов можно изобразить так:
поскольку “Все S суть М” и “Ни одно М не есть Р”, все S
входят в М, а ни одно М не входит в Р. Теперь посмотрим,
обязательно ли получается указанное заключение по этой
схеме. Действительно, “Ни одно S не есть Р” прочитывает-
ся по этой схеме с необходимостью. Значит, заключение
следует из посылок и силлогизм является правильным.
Если для отношения терминов в посылках подходит не
одна, а несколько схем и при этом хотя бы на одной из них
не проходит заключение, то силлогизм неправильный.
102
Упражнения:
1. Найдите заключение и посылки в следующих силлогиз-
мах:
а) Некоторые морские животные — млекопитающие —
ведь все киты — морские животные, и все они — мле-
копитающие.
б) В каждом квадрате диагонали взаимно перпендикуляр-
ны, и поскльку они перпендикулярны в каждом ромбе,
все квадраты — ромбы.
в) С. — умный человек, потому что он не сделал этого, как
и любой умный человек.
г) Все талантливые люди имею странности. N не талант-
лив, так как никаких странностей у него нет.
д) Общеутвердительные суждения обращаются с ограни-
чением, а частноутвердительные — без ограничения,
так что общеутвердительные суждения — это не част-
ноутвердителные.
е) Если он не хотел похитить эту вещь, то зачем же он ее
спрятал, как делает любой похититель?
ж) Многие существительные русского языка изменяются
по падежам, так же как и прилагательные, поэтому то
и другое суть одно и то же.
Образец. Ни один скупой человек не счастлив, ибо он
не доволен, тогда как всякий счастливый человек доволен.
Логико-грамматический анализ этой фразы показывает:
главное суждение, выраженное в ней, что ни один скупой
.человек не счастлив. Значит, это — заключение. Далее
идет обоснование его, на что указывает союз “ибо”. Таким
образом, первая посылка: Ни один скупой человек не дово-
лен, вторая посылка: Всякий счастливый человек дово-
лен. Союз “тогда как”, между посылками имеет смысл со-
юза “а” или “и”.
2. Найдите термины в следующих умозаключениях из ка-
тегорических суждений и определите, являются ли
они силлогизмами:
а) 6-й отдел РХСА тайно соперничал с гестапо. Шеллен-
берг был начальником 6-го отдела. Значит, Шеллен-
берг тайно соперничал с гестапо.
б) Штирлиц работал под непосредственным руководством
Шелленберга. А любой, кто не работал под его непо-
средственным руководством, вызывал у Шелленберга
недоверие. Значит, Штирлиц не вызывал недоверия у
Шелленберга.
в) Зачетная книжка является документом, который нуж-
но иметь при себе на экзамене, и у любого студента она
103
есть. Значит, у каждого студента есть документ, кото-
рый нужно иметь при себе на экзамене.
г) Квадрат любого отрицательного числа больше любого
отрицательного числа, любое положительное число
больше любого отрицательного числа. Значит, квадрат
любого отрицательного числа является положитель-
ным числом.
д) Всякий считающий меня человеком прав, а всякий,
считающий меня преступником, считает меня челове-
ком, поэтому всякий, считающий меня преступником,
прав.
е) Тригонометрия — часть математики, а математику изу-
чают в средней школе, значит, тригонометрию изуча-
ют в средней школе.
ж) “Bird” переводится на русский язык как “птица”, а
“birth” не “bird”, поэтому “birth” не переводится как
“птица”.
з) Присяжные вынесли вердикт “не виновен”, N был на
том процессе присяжным, значит его мнение было “не
виновен”.
и) Все поизведения Л.Н. Толстого невозможно прочитать
за один день, и поскольку роман “Война и мир” — про-
изведение Л.Н. Толстого, его невозможно прочитать за
один день.
к) Слово “многосложный” — многосложное слово, а мно-
госложное слово — это слово, состоящее более чем из
одного слога, значит, слово “многосложный” — слово,
состоящее более чем из одного слога.
Образец. Авторы лучших работ получат премии, а этот
авторский коллектив написал одну из лучших работ, по-
этому он получит премию. — Ищем термины умозаключе-
ния из двух категорических суждений, начиная с заклю-
чения: “Он (этот авторский коллектив) получит премию”.
Субъект — “этот авторский коллектив”, предикат — “по-
лучит премию”. В посылке: “Этот авторский коллектив
написал одну из лучших работ” имеется субъект заключе-
ния и термин “написал одну из лучших работ”, зто — тре-
тий термин данного умозаключения. В другой посылке со-
держится предикат заключения и термин “авторы луч-
ших работ”, который можно отождествить с термином
“написал одну из лучших работ”. Таким образом, терми-
нов три, и данное умозаключение — силлогизм.
3. Проведите полный анализ структуры следующих сил-
логизмов (найдите термины, определите фигуру и мо-
дус):
а) Некоторые из работавших со Штирлицем не знали, что
104
он советский разведчик. Кэт, правда, знала, что Штир-
лиц — советский разведчик. Значит, Кэт работала со
Штирлицем.
б) Все сотрудники 6-го отдела РХСА были “под колпаком”
у Мюллера. Штирлиц был сотрудником 6-го отдела
РХСА. Значит, он был “под колпаком” у Мюллера.
в) Ни один сотрудник 6-го отдела не был уверен, что за
ним не следят люди из гестапо. Мюллер не был сотруд-
ником 6-го отдела. Значит, он был уверен, что за ним
не следят люди из гестапо.
г) Каждый, кто был знаком с принципами работы геста-
по, знал, что оно следит за всеми сотрудниками РХСА.
Штирлиц знал, что гестапо следит за всеми сотрудни-
ками РХСА. Значит, он был знаком с принципами ра-
боты гестапо.
д) Некоторые из людей Шелленберга работали на Мюлле-
ра. Большинство работавших на Мюллера не доверяли
друг другу. Значит, некоторые люди Шелленберга не
доверяли друг другу.
е) В гестапо все знали, что Штирлиц назначает встречи
своим агентам в музее природоведения. Все знавшие об
этом считали, что Штирлиц работает на Шелленберга.
Значит, некоторые, считавшие что Штирлиц работает
на Шелленберга, не были сотрудниками гестапо.
Образец. Часть людей в СД считала, что всюду необхо-
димо провоцировать беседы на самые острые темы, и мно-
гие в СД это делали. Таким образом, все, кто считал, что
всюду необходимо провоцировать беседы на самые острые
темы, делали это.
Находим посылки и заключение и записываем силло-
гизм в стандартной форме. Отмечаем термины, начиная с
терминов заключения, т.е. крайних, находим их в посыл-
ках и общий в обеих посылках средний термин.
Часть людей в СД (М) считала, что всюду необходимо
провоцировать беседы на самые острые темы (S).
Многие (люди) в СД (М) это делали (Р).
Все, кто считал, что всюду необходимо провоцировать
беседы на самые острые темы (S), делали это (Р).
Отмечаем, что на первом месте в данном силлогизме
стоит меньшая посылка, тогда как должна стоять боль-
шая, и с учетом их мысленной перестановки определяем
фигуру силлогизма.
М Р
Данный силлогизм третьей фигуры.
Ml_______S
105
Далее определяем типы суждений-посылок и заключе-
ния, начиная с большей посылки, т.е. модус силлогизма:
НА
4. Проверьте правильность силлогизмов на по общим пра-
вилам:
а) Каждый учебник — полезная книга, так как он несет
информацию, а всякая полезная книга несет информа-
цию.
б) Многие разрешимые задачи кажутся сначала неразре-
шимыми. Все разрешимые задачи рано или поздно ре-
шаются. Поэтому большинство кажущихся сначала
неразрешимыми задач рано или поздно решается.
в) Все учащиеся, пропускающие занятия, испытывают
трудности при сдаче экзаменов. Но поскольку некото-
рые студенты не являются такими учащимися, они не
испытывают трудностей при сдаче экзаменов.
г) Вся имеющаяся в этой библиотеке литература являет-
ся научной. А поскольку некоторая литература по ис-
тории не является научной, ее нет в этой библиотеке.
д) Ни одна книга этого издательства не свободна от грам-
матических ошибок. Ни один учебник логики не издан
этим издательством. Значит, ни одна не свободная от
грамматических ошибок книга не является учебником
логики.
е) Все металлы имеют определенную температуру плавле-
ния, так как все кристаллические вещества имеют оп-
ределенную температуру плавления и некоторые крис-
таллические вещества — металлы.
ж) Каждое утро в этом июле было дождливым, но ни одно
не было холодным. Значит, все утра, бывшие дождли-
выми, не были холодными.
з) Большинство продаваемых теперь книг — детектив^,
тогда как большинство высокохудожественных книг к
этому жанру не относятся. Значит, большинство про-
даваемых теперь книг не являются высокохудожест-
венными.
и) Некоторые политические партии не имеют определен-
ной экономической программы, а ни одна не имеющая
такой программы партия не может рассчитывать на
победу. Значит, некоторые политические партии не
могут расчитывать на победу.
к) Квадрат любого отрицательного числа больше любого
отрицательного числа, а всякое число, большее любого
отрицательного числа, является положительным или
О. Значит, квадрат любого отрицательного числа явля-
ется положительным числом или О.
106
Образец. Ни одно доброе дело не остается безнаказан-
ным, а некоторые преступления остаются безнаказанны-
ми, стало быть ни одно преступление не является добрым
делом.
Находим посылки и заключение и записываем силло-
гизм в стандартной форме. Отмечаем термины и убежда-
емся, что их три. Определяем тип входящих в силлогизм
суждений и распределенность терминов в них.
Е Ни одно доброе дело (Р+) не остается безнаказан-
ным (М+).
I Некоторые преступления (S’) остаются безнаказан-
ными (М‘).
” Е Ни одно преступление (S+) не является добрым де-
лом (Р+).
Начинаем проверку силлогизма по общим правилам:
первое правило соблюдено — средний термин распределен
в большей посылке; второе правило нарушено — меньший
термин (S), не распределенный в посылке, распределен в
заключении. Значит, силлогизм неправильный. Проверку
можно не продолжать.
5. Проверьте следующие силлогизмы на круговых схемах:
а) Некоторые студенты работают, и многие студенты хо-
рошо учатся. Значит, некоторые из хорошо учащихся
работают.
б) Все обитатели этого аквариума — рыбы, а все рыбы не
имеют легких. Значит, ни одно имеющее легкие жи-
вотное не обитает в этом аквариуме.
в) Квадрат любого отрицательного числа больше любого
отрицательного числа. Ни одно отрицательное число
не является натуральным. Значит, квадраты некото-
рых отрицательных чисел не являются натуральными
числами.
г), Все растения вырабатывают при дыхании кислород, все
вырабатывющие при дыхании кислород организмы
полезны. Значит, некоторые полезные организмы не
растения.
д) Всякое знание не является бесполезным, и никакое зна-
ние не приносит вреда. Значит, все приносящее вред
бесполезно.
е) Все великие писатели так или иначе обращались к те-
ме любви, и большинство русских писателей обраща-
лось к этой теме. Значит, некоторые русские писатели
великие.
ж) Ни одно произведение этого писателя не было издано
при его жизни, а многие не издаются и теперь. Значит,
107
все, что было издано при жизни писателя, издается и
теперь.
з) Многие американские фильмы сентиментальны, и в
большинстве американских фильмов счастливый ко-
нец. Значит, некоторые сентиментальные фильмы
имеют счастливый конец.
и) Все дворяне, к которым Чичиков обращался с предло-
жением купить у них “мертвые души”, были удивлены
этим предложением, но все они надеялись совершить
выгодную сделку. Следовательно, все те, кто был удив-
лен предложением Чичикова, надеялись совершить
выгодную сделку.
к) Некоторые политики по видимости не заботятся о сво-
ем имидже, но ни один политик не может быть безраз-
личным к общественной оценке его деятельности. Зна-
чит, некоторые по видимости не заботящиеся о своем
имидже не могут быть безразличными к общественной
оценке их деятельности.
Образец. Каждая несчастливая семья несчастлива по-
своему. Семья Облонских была несчастлива по-своему. От-
куда можно заключить, что это была несчастливая семья.
Для проверки силлогизма на круговых схемах нужно
лишь найти посылки, заключение й три термина.
Каждая несчастливая семья (Р) несчастлива по-своему (М).
Семья Облонских (S) была несчастлива по-своему (М).
Семья Облонских (S) была несчастливой семьей (Р).
Изображаем отношения терминов в первой посылке,
затем — во второй, учитывая, что объем термина (М) уже
задан.
1 вариант
М4 (s)p
2 вариант
Как видим, отношению терминов в посылках удовлет-
воряют два варианта схемы, и по первому варианту заклю-
чение не проходит. Значит, силлогизм неправильный.
108
2.4. Энтимема
Проверка сокращенного силлогизма, энтимемы, на-
чинается с выяснения вопроса: что в ней пропущено — по-
сылка или заключение. Затем она восстанавливается, ес-
ли это возможно, в полный правильный силлогизм. Если в
энтимеме была пропущена посылка, то энтимема считает-
ся корректной, когда она не только формально может быть
восстановлена в правильный силлогизм, но и пропущен-
ная посылка содержательно истинна. Энтимема с пропу-
щенным заключением корректна, если она просто восста-
навливается в правильный силлогизм.
Пусть нужно проверить энтимему: “Эту ошибку мне
трудно обнаружить, так как я не знаю правил”. Восста-
новление представим по этапам.
1 этап. Определяем, что пропущено — посылка или
заключение — и записываем в стандартной форме: заклю-
чение — под чертой, посылки над чертой. На наличие за-
ключения в энтимеме указывают обычно слова: 1) “так
как”, “потому что”, “поскольку” и т.п. или 2) “значит”,
“поэтому”, “таким образом”. Слова первой группы пока-
зывают, что заключение стоит перед ними, а после них
идет объяснение для него, т.е. посылка, слова второй груп-
пы показывают, что после них идет заключение. Если же
никаких подобных слов нет, то в энтимеме пропущено за-
ключение. В данной энтимеме заключение: “Я с трудом
обнаружу эту ошибку”. Записываем его под чертой, а по-
сылку: “Я не знаю правил” — над чертой.
Я не знаю правил.
Я с трудом обнаружу эту ошибку.
Далее для энтимем с пропущенной посылкой:
2 этап. Находим крайние термины силлогизма в за-
ключении и в одной из посылок:
Я (S) не знаю правил (М).__________
Я (S) с трудом обнаружу эту ошибку (Р).
3 этап. Определяем вид суждений — заключения и по-
сылки — и распределенность терминов в них. Заключение
— утвердительное, значит, и посылку следует рассматри-
вать как утвердительное суждение (иначе энтимема не
восстановится). Если она утвердительная, то ее предикат,
средний термин силлогизма — “не знаю правил”.
109
А Все S~*~ суть M~
А Все S+ суть Р"
4 этап. Определяем, какие термины входят в восста-
навливаемую посылку, ее качество, и порядок терминов в
ней, чтобы были соблюдены правила распределенности
среднего и крайних терминов. В нее входят больший и
средний термины, она утвердительная, так как заключе-
ние утвердительное, средний термин в ней должен быть
распределенным, поскольку он не распределен в имею-,
щейся посылке, а больший термин может быть нераспре-
деленным (он не распределен в заключении).
А Все М~*“ суть Р"
А Все S~*~ суть М~
А Все S+ суть Р*
5 этап. Содержательно формулируем восстановлен-
ную посылку и оцениваем, истинна ли она.
Все незнающие правил с трудом обнаружат эту ошибку.
Истинность ее будет зависеть от того, о какой ошибке и
знании каких правил идет речь. Если мы признаем восста-
новленную посылку истинной, то энтимема корректна, ес-
ли ложной, то некорректна.
Рассмотрим еще одну энтимему: “Ни один второкурс-
ник не сдавал этот экзамен, а Иванов сдавал”.
1 этап. Определяем, что в ней пропущено. Обнаружив
обе посылки, делаем вывод, что пропущено заключение.
Восстановление, стало быть, будет состоять в выведении
из имеющихся посылок заключения. Записываем их над
чертой.
2 этап. Находим термины в посылках, принимая во
внимание, что их должно быть три, при этом отмечаем
средний термин.
Ни один второкурсник не сдавал этот экзамен (М)
Иванов сдавал этот экзамен (М)
3 этап. Определяем тип суждений-посылок и распре-
деленность терминов в них.
Е Ни один второкурсник+ не сдавал этот экзамен (М+)
А ИванрвЧ- сдавал этот экзамен (М‘)
4 этап. Определяем, можно ли вывести заключение
(если средний термин не распределен ни в одной из посы-
лок или обе посылки отрицательные, то заключение заве-
110
домо невозможно), каково оно по качеству и какие терми-
ны содержит.
Заключение здесь возможно, так как средний термин
распределен в первой посылке и одна посылка утверди-
тельная. Оно должно быть отрицательным, так как одна
посылка отрицательная, с терминами “Иванов” и “второ-
курсник”.
5 этап. Определяем вид суждения-заключения и пол-
ожение его терминов по правилу распределенности край-
них терминов.
В заключении оба термина могут быть распределены,
т.е. оно может быть общеотрицательным, поэтому поря-
док терминов не имеет значения. Заключение, таким обра-
зом, может иметь вид: “Иванов не второкурсник”, либо:
“Ни один второкурсник не Иванов (о котором идет речь)”.
По грамматическим соображениям лучше остановиться
на первом варианте. Итак, из имеющихся посылок следу-
ет, что Иванов не второкурсник.
Упражнения:
1. Определите, заключение или посылка (большая или
меньшая) пропущены в следующих энтимемах:
а) Некоторые книги вредны, так как все бесполезное яв-
ляется вредным.
б) Все англичане пьют чай с молоком, но ведь ни один
француз — не англичанин.
в) Если он не похищал эте вещь, то зачем же он ее спрятал?
г) Ни один учебник этого автора не пользуется популяр-
ностью. Так что данный учебник не является учебни-
ком этого автора.
д) Н. не знает критерия правильности умозаключения,
поскольку не может проверить предложенное ему умо-
заключение.
е) Эта задача неразрешима, поэтому ее и не решил ни один
математик.
ж) Прошлое лето было необычно холодным — ведь сред-
няя дневная температура была около 14 градусов.
з) Работа — не волк, поэтому в лес она не убежит.
и) Большинство существительных русского языка скло-
няется, а слово “навстречу” не склоняется.
к) Некоторые деревья вечнозеленые, поэтому они не рас-
тут на севере.
Образец. Некоторые города не имеют районного деле-
ния и в них менее 30 тысяч жителей.;— Если эти два кате-
горических суждения, связанные союзом “и” — энтимема,
111
то в ней нет заключения, ибо, когда заключение есть, име-
ются слова, показывающие, что одно суждение обосновы-
вается другим.
2. Восстановите по общим правилам силлогизма заключе-
ние (если оно возможно) в следующих энтимемах:
а) Некоторые математики быстро и точно считают, а все
математики люди.
б) Все студенты МГУ имеют среднее образование, но неко-
торые из них не заканчивали среднюю школу.
в) Ни один мошенник- не честен, а некоторых нечестных
людей удается уличить в нечестности.
г) Все волки хищники, и некоторые млекопитающие хищ-
ники.
д) Все волки хищники, а все хищники охотятся.
е) Некоторые врачи — кардиологи, и все участники сим-
позиума — кардиологи.
ж) Ф. не изучает логику, и он не является студентом юри-
дического вуза.
з) Превращение неблагородных металлов в золото было
научной проблемой, но впоследствии оказалось псев-
допроблемой.
и) Всякая лесть — умышленное извращение истины, но
иногда умышленное извращение истины приятно.
Образец'. Некоторые рассказы А. Кристи переведены
на русский язык, а некоторые романы Ж. Сименона не пе-
реведены на русский язык.
В данной энтимеме пропущено заключение. Записыва-
ем посылки одну под другой и находим средний термин и
два крайних термина. Затем определяем тип суждений-
посылок и распределнность терминов в них.
I Некоторые рассказы А. Кристи- переведены на рус-
ский язык (М-)
О Некоторые романы Ж. Сименона- не переведены на рус-
ский язык (М+)
Средний термин в одной из посылок распределен, а оба
крайние не распределены, значит, они не могут быть рас-
пределены в заключении. Однако заключение должно
быть отрицательным, поскольку одна из посылок отрица-
тельная, а в отрицательном суждении хотя бы предикат
распределен. Таким образом, заключение невозможно.
3. Восстановите большие посылки в следующей энтиме-
матической апологии христианства Тертуллиана:
“Сын Божий распят: не стыдимся этого, потому что это
постыдно; Сын Божий умер: вполне верим этому, пото-
112
му что это нелепо; и погребенный воскрес: это верно,
потому что невозможно.”
Указание: запишите меньшую посылку и заключение
каждой энтимемы в стандартной форме; найдите в заклю-
чении крайние термины; найдите в посылке меньший и
средний термины; определите вид имеющихся суждений
и распределенность терминов в них. Начинайте восстанов-
ление пропущенной большей посылки с определения, ка-
кие термины она содержит и какой (или оба) из них дол-
жен быть в посылке распределен; по распределенности
терминов определите тип восстанавливаемого суждения и
порядок терминов.
4. Корректны ли следующие энтимемы?
a) N готовится к экзаменам, значит, ему предстоит их сда-
вать.
б) Очевидно, что этот студент сдал все экзамены, потому
что он получает стипендию.
в) Все планеты Солнечной системы вращаются по
планетарным орбитам, поэтому Плутон - планета
Солнечной системы.
г) С. вызван в качестве свидетеля в суд, поэтому он обязан
туда явиться.
д) Эта сделка недействительна, так как совершена непра-
воспособными гражданами.
е) Сокровища Оружейной палаты являются народным до-
стоянием, так как они охраняются государством.
ж) Большинство преподавателей университета учились в
университете. Значит, и П. учился в университете.
з) М. находится под арестом, потому что он содержится в
строгой изоляции.
и) Некоторые атеисты не верят в загробную жизнь, по-
скольку все верящие в загробную жизнь не стремятся
улучшить жизнь земную.
к) Безличные предложения являются односоставными,
поэтому некоторые предложения, в которых нет под-
лежащего — безличные.
л) К. — неграмотный человек, поскольку пишет конспек-
ты с грамматическими ошибками.
м) Мошенничество — преступление, так как оно уголовно
наказуемо.
н) Ни один роман Горького не является занимательным,
из чего следует, что данное произведение не является
романом Горького.
о) Некоторые дети не любят мороженое, так как от моро-
женого у них болит горло.
п) Убийство является особо тяжким преступлением, пос-
113
кольку за убийство наказываются несовершеннолет-
ние.
Образец. Некоторые сложные вещества не растворяют-
ся в воде, поскольку все органические соединения —
сложные вещества.
Устанавливаем, что в энтимеме имеется заключение:
“Некоторые сложные вещества не растворяются в воде” и
посылка. Записываем в стандартной форме, находим тер-
мины и их распределенность.
Все органические соединения (М+) — сложные веще-
ства (S').
Некоторые сложные, вещества (S") не растворяются в
воде (Р+).
Для восстановления пропущенной посылки определя-
ем, что в нее входит средний и больший термины, причем
больший должен быть в ней распределен, и посылка эта
отрицательная: либо общая, и тогда порядок терминов в
ней может быть любым, либо частная, и тогда больший
термин в ней — предикат. В первом варианте получится:
“Ни одно органическое соединение не растворяется в во-
де”, во втором: “Некоторые органические соединения не
растворяются в воде”. Поскольку первый вариант посыл-
ки ложен, выбираем второй вариант — истинную посыл-
ку. Таким образом,-энтимема корректна, поскольку вос-
станавливается в правильный силлогизм с истинной по-
сылкой.
2.5. Умозаключения из сложных суждений
Среди умозаключений из сложных суждений есть так
называемые традиционные виды, которые обычно класси-
фицируют и называют по типу суждений-посылок: чисто
условные (все посылки — условные суждения), условно-
категорические, где одна посылка — условное суждение,
вторая — простое категорическое, разделительно-катего-
рические (посылки — разделительное и категорическое
суждения) и условно-разделительные (лемматические) с
несколькими условными и одной разделительной посыл-
ками. Определение их правильности основывается на зна-
нии правильных модусов (разновидностей) этих умоза-
ключений и сопоставлении логической формы проверяе-
мого умозаключения с формой правильных модусов.
Правильные модусы этих умозаключений:
114
1. Чисто-условные:
Az>B,Br>C
А^> В, Взэ С
АэС 1с=>1а
2. Условно-категорические:
АэВ, А Azz>B,~|B
в 1а
3. Разделительно-категорические:
AvB, 1а (1 В) AvB, А (В) АуВ, 1А (1 В)
В (А) 1В(1А) В (А)
4. У словно-разделительные (лемматические):
А^>С, В^>С, AvB
-
А^>В, А^>С, ]Ву]С
1А
АзС, Bz>D, AvB
CvD
А^>С, Bz>D,lCvlD
A vlB
Для проверки правильности умозаключений из слож-
ных суждений, не сводимых к перечисленным типам, ис-
пользуется прежде всего табличный метод, основанный на
том, что между посылками и выводом дедуктивного умо-
заключения должно существовать отношение логического
следования, означающее, что заключение не может быть
ложным, если все посылки истинны.
Возьмем умозаключение: “Все обучающиеся на этом
факультете студенты способны или прилежны. Если они
прилежны, то регулярно занимаются. Значит, если сту-
денты этого факультета не занимаются регулярно, то они
способны”, и проверим, правильно ли оно. Запишем его
форму:
(р v q), (q г) => (1 г zj р), где р обозначает “студент
этого факультета способен” q — “студент этого факультета
прилежен” г — “студент регулярно занимается”; => обоз-
начает “следует”. Построим общую таблицу для всех вхо-
дящих в это умозаключение суждений, отделив заключе-
ние от посылок двумя вертикальными чертами:
115
Р q г (pvq) (qz>r) (1Г Z) р)
1. И и и И и и
2. и и л и л и
3. и л и и и и
4. и л л и и и
5. л и и и и и
6. л и л и л л
7. л л и л и и
8. л л л л и л
В этой таблице нас интересуют строки, где посылки со-
вместно истинны. Это строки 1, 3, 4, 5. Смотрим, не полу-
чается ли ложным заключение хотя бы в одной из назван-
ных строк. Как видим, заключение везде в этих строках
истинно. Значит, умозаключение правильно.
Правильность умозаключения не всегда удобно прове-
рять по таблице, так как уже при четырех переменных
таблица содержит 16 строк, а при пяти переменных — 32
строки, поэтому чаще используется сокращенный способ
проверки. Он заключается в рассуждении “от противно-
го”, т.е. от предположения, что умозаключение непра-
вильно. Начинаем рассуждать: если умозаключение не-
правильно, то может быть ложным заключение при ис-
тинности всех посылок. В нашем случае:
(pvq), (qz>r) (1гэр)
и и л
Далее истинностные значения, полученные иэ этого
предположения, переходят на более мелкие части формул
вплоть до пропозициональных переменных. Каким обра-
зом это делается, продемонстрируем на нашем примере:
(pvq), по предположению, истинно, но ничего нельзя ска-
зать о значениях р и q, кроме того, что хотя бы одно из них
истинно (по табличному определению дизъюнкции). Так-
же не получаются определенные значения q и г из истин-
ности формулы (q zj г). Зато из ложности (1 г о р) следует,
что 1г — и, р — л (импликация ложна лишь в том случае,
когда у нее истинный антецедент и ложный консеквент).
Из истинности 1 г получается ложность г. Затем Найден-
ные значения риг подставляем во все вхождения этих
букв, так как р везде обозначает одно суждение и г везде
обозначает одно суждение. Таким образом, получается:
116
(р V q), (q z> r), drop)
ли ил иллл
Теперь из истинности (р v q) при том, что р — л, полу-
чается истинность q (в истинной дизъюнкции должен
быть хотя бы один истинный член). Подставляем это зна-
чение q во вторую посылку и приходим к противоречию:
когда антецедент формулы (q z> г) истинен, а консеквент
ложен, импликация должна быть ложна, а по нашему
предположению, она истинна.
(Р v q), (q z> г), (1 г зр)
лии и(и)л иллл
W л
Если предположение привело к противоречию, то оно
ложно, и истинно обратное — не может быть ложным за-
ключение при истинных посылках, а это значит, что умо-
заключение правильно.
Если же противоречия из подобного предположения не
возникает, то оно не опровергается, и общий вывод будет,
что следования нет, т.е. умозаключение неверно. Если
поручается несколько вариантов значений, то вывод о
правильности умозаключения можно сделать, лишь когда
все они приводят к противоречию, и наоборот, если найден
вариант истинностных значений, не приводящий к
противоречию — умозаключение неправильно.
Упражнения:
1. Определите вид и проверьте правильность умозаключе-
ний, приведя их к традиционным типам:
а) Если кража совершена “по наводке”, то у преступника
был сообщник, а если был сообщник, то налицо пре-
ступная группа. Если же преступление совершено
группой, то это — преступление с отягчающими обсто-
ятельствами. Значит, если кража совершена “по навод-
ке”, то она — с отягчающими обстоятельствами.
б) Если N хороший адвокат, то он выиграет это дело. N вы-
играл это дело. Значит, он хороший адвокат.
в) Лекция по логике может быть содержательной или за-
нимательной. Если лекция содержательна — ее кон-
спектируют, но не слушают, а если занимательна — ее
слушают, но не конспектируют. Значит, лекции по ло-
гике конспектируют, но не слушают или слушают, но
не конспектируют.
117
г) Если лекции не интересны, то их плохо посещают.
А когда лекции плохо посещают — учебная часть про-
веряет посещаемость. Если же учебная часть проверя-
ет посещаемость, то ее инспектора перегружены рабо-
той. Значит, если лекции интересны, то инспектора
учебной части не перегружены работой.
д) Человек или трус, или он протестует против незаконно-
го обращения. Если человек не трус, то он отстаивает
свои убеждения. Если человек не протестует против не-
законного обращения, то он заслуживает такого обра-
щения. Значит, или человек не отстаивает свои убеж-
дения, или он не заслуживает незаконного обращения.
е) У вас может быть либо социализм, либо свободная эко-
номика. Но вы не достигли социализма. Значит, у вас
свободная экономика.
ж) Если вы будете говорить правду, люди проклянут вас,
а если будете лгать, то вас проклянут боги. Но вы мо-
жете только говорить правду или лгать. Значит, вас
проклянут боги или люди.
з) На встрече присутствовали выпускники прошлых лет,
преподаватели факультета, студенты. N — выпускник
1980 года. Значит, он не преподаватель факультета и
не студент.
и) Чтобы быть допущенным к экзаменационной сессии,
достаточно сдать все зачеты. N не допущен к экзамена-
ционной сессии. Значит, он не сдал зачеты.
к) В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пош-
лины. Если в бюждете возникнет дефицит, то государ-
ственные расходы на общественные нужды сократят-
ся. Значит, если повысят пошлины, то государствен-
ные расходы на общественные нужды не сократятся.*
л) Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не узнала. А
не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала.
Значит, она его спросила.
м) Если он принадлежит к нашей компании, то он храбр
и на него можно положиться. Он не принадлежит к на-
шей компании. Значит, он не храбр или на него нельзя
положиться.
н) Если 1 — простое число, то это наименьшее простое
число. Если 1 — наименьшее простое число, то 0 не
есть простое число. 0 не является простым числом.
Следовательно, 1 — простое число.
о) Профсоюзы штата будут продолжать поддерживать гу-
бернатора, если он подпишет данный билль. А ферме-
* Задания к),л), м), о) упражнения 1 и а) упражнения 2 взяты ид книги:
С.Клини, “Математическая логика", задания в), г), е) упражнения 2 - из
Р.Столл “Множества Логика. Аксиоматические теории”.
118
ры окажут ему поддержку, если он наложит на него ве-
то. Губернатор либо не подпишет билль, либо не нало-
жит на него вето. Значит, губернатор потеряет либо
поддержку профсоюзов, либо поддержку фермеров.
п) Если не знаешь весь курс логики, то экзамен не сдашь.
А если пропускаешь занятия, то не знаешь весь курс.
Значит, если студент сдал экзамен по логике, то он не
пропускал занятия.
Образец. Если Д. убийца, то ему известно место и время
убийства. И то, и другое ему известно. Значит, Д. убийца.
Записав логическую форму данного умозаключения:
(р э (q & г)), (q & г) => р, видим, что одна посылка — ус-
ловное суждение (Аэ В), другая пбсылка — консеквент
первой (В), заключение — ее антецедент. Таким образом,
перед нами усложненный вариант условно-категорическо-
го умозаключения, неправильного модуса. Значит, данное
рассуждение неправильно.
2. Проверьте правильность следующих рассуждений пол-
ным табличным способом:
а) Если он автор этого слуха, то он глуп или беспринци-
пен. Он не глуп и не лишен принципов. Значит, не он
автор этого слуха.
б) Если погода будет хорошей, то мы поедем за город завт-
ра, а в противном случае — в следующее воскресенье.
Погода хорошая. Значит, в следующее воскресенье мы
не поедем за город.
в) Если завтра будет холодно, я надену теплое пальто, ес-
ли рукав будет починен. Завтра будет холодно, а рукав
не будет починен. Следовательно, я не надену теплое
пальто.
г) Если Джон ляжет сегодня поздно, он будет утром в оту-
пении. Если он ляжет не поздно, то ему будет казаться,
что не стоит жить. Следовательно, или Джон будет за-
втра в отупении, или ему будет казаться, что не стоит
жить.
д) Или этот предмет не сложен, или экзаменатор снисхо-
дителен. Если этот предмет интересен, то он сложен.
Экзаменатор не снисходителен. Значит, этот предмет
неинтересен.
е) Если цены возрастут, то политическая ситуация обост-
рится, а если не возрастут, увеличится дефицит. Мы не
допустим обострения политической ситуации. Значит,
увеличится дефицит.
ж) Если тело движется, то либо движение происходит в
том месте, где тело находится, либо оно происходит
там, где тела нет. Но движение не может происходить
119
ни там, где тело находится, ни там, где тела нет. Зна-
чит, тело не может двигаться.
з) Чтобы сдать экзамен по логике, достаточно знать тему
“Умозаключение”, а знать эту тему можно только в
том случае, если знаешь предыдущие темы. М. не зна-
ет предыдущих тем. Значит, он не может сдать экза-
мен по логике.
и) В отрицательных местоимениях, если ударение падает
на отрицательную частицу, то пишется “не”, а если не
на частицу, пишется “ни”. В местоимении “нигде” пи-
шется “ни”. Значит, в этом слове ударение падает не на
частицу.
к) Если в силлогизме не распределен средний термин или
обе посылки отрицательные, то силлогизм неправиль-
ный. В данном силлогизме средний термин распреде-
лен и нет двух отрицательных посылок. Значит, дан-
ный силлогизм правильный.
л) Ребенок болен или переутомлен. Если у него повышена
температура, то он болен. Но температура у него не по-
вышена. Значит, ребенок переутомлен.
м) Если произошло самоубийство, то не было несчастного
случая и убийства. В данном случае было убийство.
Значит, не было несчастного случая и не было само-
убийства.
Образец. Если разбивается витрина, то включается
звуковая сигнализация и одновременно поступает сигнал
в милицию. Если же при разбивании витрины не поступа-
ет сигнал в милицию, то не включается и звуковая сигна-
лизация. Значит, звуковая сигнализация включается
только вместе с поступлением сигнала в милицию.
Запишем логическую форму данного рассуждения
(pz>(q&r)), ((p&lr)2>lq) => (qsr)
и построим для нее общую истинностную таблицу:
р_ q г (р z> (q&r)) ((р & 1 г) Z) lq) т? III о1
и и и и и л и и
и и л л л и л л
и л и л л л и л
и л л л л и и и
л и и и и л и и
л и л и л л и л
л л и и л л и л
л л л и л л и и
120
' Отмечаем в таблице строки, где все посылки истинны,
и смотрим не является ли в этих случаях ложным заклю-
чение. И поскольку обнаруживаем строку, в которой при
истинных посылках ложно заключение (6-я строка), мо-
жем сказать, что данное рассуждение неправильно.
3. Проверьте правильность следующих рассуждений со-
кращенным табличным способом:
а) Если подозреваемый совершил эту кражу, то либо она
была тщательно подготовлена, либо он имел соучаст-
ника. Если бы кража была подготовлена тщательно,
то, если бы был соучастник, украдено было бы гораздо
больше, чем украдено теперь. Значит,подозреваемый
не совершал этой кражи*.
б) Если наступит мир, то возникнет депрессия, разве что
страна проведет программу перевооружения либо осу-
ществит грандиозную программу внутренних капита-
ловложений. Но такая программа не может быть осу-
ществлена. Значит, если наступит мир и не будет деп-
рессии, то будет проводиться программа перевооруже-
ния.
в) Намеченная атака удастся,только если захватить про-
тивника врасплох или же если позиции его плохо за-
щищены. Захватить его врасплох можно, если только
он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции
плохо защищены. Значит, намеченная атака не удаст-
ся.
г) Если мы не будем продолжать политику сохранения
цен, то мы потеряем голоса фермеров. Если же мы бу-
дем продолжать эту политику, то продолжится пере-
производство, разве что мы прибегнем к контролю над
производством. Без голосов фермеров нас не переизбе-
рут. Значит, если нас переизберут и мы не прибегнем к
контролю над производством, то продолжится пере-
производство .
д) Если он выполнит поручение царя, то получит полцар-
ства, а если не выполнит, то ему отрубят голову. В то
же время, если он выполнит поручение царя, то минист-
ру отрубят голову. Значит, либо ему отрубят голову,
либо, если он получит полцарства, министру отрубят
голову.
е) Если экзаменатор строг, то экзамен трудно сдать. Экза-
менатор строг, или студенты плохо посещают занятия.
Если студенты плохо посещают занятия, то плохо ра-
* Задания а)—г) упражнений 2—3 взяты из книги С.Клин “Математичес-
кая логика”, ж) — из книги Р.Столл, “Множества. Логика. Аксиоматичес-
кие теории”.
121
ботает администрация факультета. Однако, админист-
рация работает хорошо. Значит, экзамен трудно сдать,
ж) Если исход скачек будет предрешен сговором, или в
игорных домах будут орудовать шулеры, то доходы от
туризма упадут и город пострадает. Если доходы от ту-
ризма упадут, полиция будет довольна. Полиция ни-
когда не бывает довольна. Следовательно, исход ска-
чек не будет предрешен сговором.
з) Если рабочие объединены, они добиваются улучшения
условий своего труда. Если рабочие не осознали своих
классовых интересов, они не объединены. Значит, ес-
ли рабочие не осознали своих классовых интересов,
они не добиваются улучшения условий своего труда.
и) Если N серьезный политик, он не будет делать таких за-
явлений. А если у него есть программа, то он должен ее
изложить. N сделал такое заявление и не изложил
свою программу. Значит, он не серьезный политик, и у
него нет программы.
Образец. Если я пойду завтра на первое занятие, то дол-
жен буду встать рано, а если я пойду вечером на танцы, то
лягу спать поздно. Если я лягу поздно, а встану рано, то
буду вынужден обойтись пятью часами сна. Я просто не в
состоянии обойтись пятью часами сна. Значит, я должен
или пропустить завтра первое занятие, илй не ходить на
танцы.
Записываем логическую форму рассуждения и пред-
полагаем, что оно неправильно, т.е. при истинных посыл-
ках может быть ложным заключение:
((р zd q) & (гzd s)), ((s&q)zz>t), It => (1 р v 1 г)
Как видим, предположение о возможности истинных
посылок и ложного заключения привело к противоречию.
Значит, это невозможно, и данное рассуждение правиль-
но.
122
4. Ответьте на вопрос и обоснуйте ваш ответ:
а) Если умозаключение неправильно и его заключение ис-
тинно, что можно сказать об истинности его посылок?
б) Если умозаключение неправильно и все его посылки
истинны, что можно сказать об истинности его заклю-
чения?
в) Если умозаключение неправильно и его посылки лож-
ны, может ли быть истинным заключение?
г) Если умозаключение неправильно и его заключение
ложно, что можно сказать об истинности его посылок?
д) Если умозаключение правильно и его заключение ис-
тинйо, могут ли быть ложными посылки?
е) Если умозаключение правильно и его заключение лож-
но, что можно сказать об истинности посылок?
ж) Если умозаключение правильно и его посылки ложны,
что можно сказать об истинности заключения?
з) Если все посылки и заключение в умозаключении ис-
тинны, обязательно ли умозаключение правильно?
и) Если посылки и заключение ложны, обязательно ли
умозаключение неправильно?
к) Может ли неправильное умозаключение иметь истин-
ное заключение?
л) Может ли правильное умозаключение иметь ложное за-
ключение?
м) Можно ли из ложных посылок путем правильного умо-
заключения получить истинный вывод?
н) Можно ли из ложных посылок путем правильного умо-
заключения получить ложный вывод?
о) Можно ли из ложных посылок путем неправильного
умозаключения получить истинный вывод?
Образец. Можно ли из истинных посылок путем непра-
вильного умозаключения получить истинный вывод? —
Можно, поскольку неправильное умозаключение лишь не
гарантирует получение истинного вывода из истинных по-
сылок, но не исключает возможность его получения в не-
которых случаях.
3. Индуктивные умозаключения
Индуктивные умозаключения в целом отличаются от
уже рассмотренных, дедуктивных, характером перехода
от посылок к заключению. В них переход осуществляется
путем экстраполяции содержащегося в посылках знания
на более широкую область, и, таким образом, в заключе-
нии появляется информация, которой не было в посыл-
123
ках. В связи с этим заключение получается не достовер-
ным, а вероятным — ведь дополнительная информация в
заключении не обоснована в полной мере посылками.
3.1. Полная индукция
Недемонстративность индуктивного рассуждения как
типа умозаключения не характерна для полной индукции,
где заключение охватывает в точности тот класс пред-
метов, который рассмотрен в посылках, и, следователь-
но, дополнительная информация в заключении не появля-
ется, в нем в форме общего суждения выражается только
совокупная информация посылок. Естественно, что за-
ключение в таком выводе достоверно. Если мы рассмот-
рим все разновидности каких-то предметов: ....S п
(например, треугольников: остроугольные, тупоугольные
и прямоугольные) и выясним, что у каждой разновиднос-
ти есть какое-то свойство Р (например, сумма внутренних
углов равна 180°, то с достоверностью можно утверждать,
что все предметы рассматриваемого класса имеют это
свойство (в любом треугольнике сумма внутренних углов
равна 180°.
Смысл умозаключения по полной индукции состоит в
том, что свойство, которое может быть обнаружено лишь у
отдельных предметов или в отдельных разновидностях
предметов данного класса, приписывается в заключении
всему классу, выступает как его видовое свойство. Полная
индукция, как и дедукция, дает новое осмысление, новый
ракурс знания, содержащегося в посылках, но не добавля-
ет информации. Поэтому она, как и дедукция, имеет по-
знавательное значение, и в то же время выводы ее несом-
ненны.
Упражнения:
1. Какие выводы по индукции можно сделать из следую-
щих посылок? Какой вид индукции здесь использует-
ся?
а) Уголовная ответственность за убийство, изнасилова-
ние, умышленное нанесение телесных повреждений,
причинивших расстройство здоровья, наступает с 14
лет. Все эти преступления и только они относятся к
тяжким преступлениям против личности.
б) В силлогизмах первой фигуры правило о невозможное-
124
ти двух частных посылок является производным от
других общих правил. Также оно является производи
ним для силлогизмов второй, третьей и четвертой фи-
гур.
в) Общие понятия могут быть собирательными и несоби-
рательными, конкретными и абстрактными, положи-
тельными и отрицательными, относительными и без-
относительными. Это же можно сказать о понятиях
единичных и пустых.
г) Судья устраняется от участия в рассмотрении уголов-
ного дела, если он является потерпевшим, граждан-
ским истцом или ответчиком, или их родственником,
если он участвовал в данном деле в качестве следовате-
ля, обвинителя или защитника, или является их род-
ственником.
Образец. В сессию экзамен может быть назначен на лю-
бой рабочий день, а также на субботу или воскресенье. От-
сюда по полной индукции (поскольку известно, что этими
днями исчерпывается вся неделя) можно заключить, что в
сессию экзамен может быть назначен на любой день неде-
ли.
2. Выведите путем умозаключения по полной индукции:
а) правила первой фигуры силлогизма, если известно, что
AAA, (AAI), ЕАЕ, (ЕАО), АП, ЕЮ — все правильные
модусы первой фигуры;
б) правила второй фигуры силлогизма, если известно, что
ЕАЕ, (ЕАО), АЕЕ, (АЕО), ЕЮ, АОО — все правильные
модусы второй фигуры;
в) правила третьей фигуры силлогизма, если известно,
что AAI, IAI, АП, ЕАО, ОАО, ЕЮ — все правильные
модусы третьей фигуры.
Образец. Правильные модусы четвертой фигуры: AAI,
АЕЕ, (АЕО), IAI, ЕАО, ЕЮ. Какие правила можно вывести
из их обощения?
Мы видим, что большая посылка может быть утверди-
тельной (первые 4 модуса) или отрицательной (послед-
ниие 2 модуса), частной (4-й модус) или общей (все моду-
сы, кроме 4-го). Когда она утвердительная, меньшая по-
сылка всегда общая, но когда она отрицательная, мень-
шая может быть и частной, и общей; также если большая
посылка общая, меньшая может быть и утвердительной и
отрицательной. Поэтому можно вывести пока одно прави-
ло: при большей утвердительной посылке меньшая посыл-
ка всегда общая.
Меньшая посылка является утвердительной во всех
модусах, кроме 2-го и 3-го, и в этих случаях, мы видим, за-
125
ключение всегда частное, если же она отрицательная, за-
ключение может быть и общим, и частным. Значит, мож-
но сформулировать второе правило: если меньшая посыл-
ка утвердительная, то заключение частное.
3. Какие частные случаи должны быть рассмотрены, что-
бы методом полной индукции получить следующие
выводы?
а) Всякую формулу логики высказываний (т.е. формулу,
выражающую форму сложного суждения) можно за-
писать, используя только логические связки & и ] ;
б) Всякий угол, вписанный в окружность, равен полови-
не дуги, на которую он опирается;
в) В правильном силлогизме, если одна посылка частная,
то и заключение частное;
г) Понятие “тело вращения” может быть задано посредст-
вом генетического определения;
д) Истинностное значение сложного суждения любого ти-
па, кроме строго разделительного, есть “истина”, если
истинны составляющие его суждения;
е) Во всех телах молекулы подвижны;
ж) Вокруг любого треугольника можно описать окруж-
ность;
з) В слове “революция” не может быть падежного оконча-
ния “-ие”;
Образец. Во всех традиционных формах дедуктивных
умозаключений с условными посылками можно заклю-
чать от утверждения основания к утверждению следствия
и от отрицания следствия к отрицанию основания.
Чтобы получить такой вывод по полной индукции,
нужно рассмотреть все типы таких умозаключений, а
именно: чисто-условные, условно-категорические и услов-
но-разделительные. Только убедившись, что для каждого
из этих трех типов вывод верен, его можно выразить в об-
щей форме.
3.2. Неполная индукция: популярная и научная
Умозаключения неполной индукции представляют со-
бой перенос знания об исследованной части класса на весь
класс. Понятно, что, когда некоторый признак Р обнару-
жен у каждого из рассмотренных m предметов класса, со-
держащего п предметов (причем n>m), вывод о принад-
лежности этого признака всем предметам класса может
быть только вероятным. При этом вероятность заключе-
126
ния может колебаться от весьма незначительной до очень
большой.
Умозаключения неполной индукции раздедяют на по-
пулярную индукцию и научную. Различие между ними
состоит в принципах отбора тех предметов, знание о ко-
торых составит посылки индуктивного умозаключения.
В популярной индукции эти предметы берутся случайно
или почти случайно. Например, если нужно по индукции
получить вывод о гражданстве студентов определенного
факультета, то для популярной индукции достаточно вы-
яснить, гражданами каких государств являются первые
встретившиеся нам m студентов данного факультета. И ес-
ли окажется, что все они — граждане Российской Федера-
ции, можно заключить, что все студенты этого факультета
— российские граждане. Степень вероятности выводов по-
пулярной индукции зависит только от величины иссле-
дованной группы предметов и оценивается дробью ш/п.
Например, если двадцать встретившихся нам студентов
факультета оказались российскими гражданами, то вы-
вод, что все 500 студентов этого факультета — граждане
РФ, маловероятен (его вероятность 20/500, т.е. 1/25) и по-
высить вероятность при данном способе исследования
можно, лишь увеличивая группу опрошенных, т.е. увели-
чивая число посылок.
В научной же индукции предметы для исследования
отбираются по особым принципам, предполагающим зна-
ние того, какие факторы могут влиять на существова-
ние или модификации интересующего нас признака. От-
бор предметов для. посылок научной индукции либо пре-
следует цель отразить в выборке все разновидности пред-
метов класса, о котором делается вывод (популяции), все
их особенные виды, либо цель отбора состоит в том, чтобы
выбрать наиболее типичных представителей для посылок
индуктивного умозаключения, т.е. такие предметы, кото-
рые не имеют никаких индивидуальных особенностей,
способных повлиять на исследуемый признак. Если ста-
вится первая цель, индукция будет по репрезентативной
выборке, если вторая — по типичному представителю.
Вероятность выводов научной индукции зависит уже
не столько от числа рассмотренных предметов, сколько от
верности принципов отбора образца, т.е. от того, насколь-
ко правильно учтены факторы, влияющие на наличие и
изменение исследуемого признака, действительно ли ре -
127
презентативна выборка или действительно ли типичен
выбранный представитель.
Научная индукция по типичному представителю воз-
можна лишь в тех случаях, когда в популяции нет разно-
видностей, в которых исследуемый признак может видо-
изменяться, или если этими разновидностями можно пре-
небречь как исключениями. Она обычно используется для
получения выводов о классе, где индивиды практически
не отличаются друг от друга. Например, примерив один
костюм, человек может сделать вывод, что ему данная мо-
дель не подходит, т.е. знание об одном экземпляре он рас-
пространяет на весь класс. Будучи уверенным в типичнос-
ти данного костюма, в том, что он не отличается по покрою
и пошиву от других экземпляров, человек отказывается от
идеи примерить все костюмы этой модели.
По индукции могут быть получены также и так назы-
ваемые статистические выводы, т.е. выводы о том, что
определенный процент (часть) предметов некоторого клас-
са обладают каким-то свойством. Ход исследования и суть
умозаключения при этом остаются прежними. Например,
вывод, что такая-то часть выпускников московских школ
сразу поступает в вузы, получается методом популярной
индукции, если исследуются случайно встретившиеся вы-
пускники московских школ и процент поступивших среди
них в вузы экстраполируется на весь класс. Этот вывод
можно получить и по научной индукции, если процент
поступивших будет вычислен не в случайной группе, а в
репрезентативной выборке или в типичной группе.
К научной индукции относятся также методы уста-
новления причинных зависимостей. Эти методы дают воз-
можность предположить, какое из предшествующих неко-
торому явлению событий вызывает или обусловливает
его, иначе говоря, предположительно выявить некоторые
закономерности в наступлении интересующих нас явле-
ний. Они являются индуктивными не только потому, что
выводы их вероятны, но и потому, что на основании на-
блюдения некоторых частных случаев делается вывод о
закономерностях, об общем, ибо причинная связь являет-
ся устойчивой и необходимой.
Таких методов четыре: единственного сходства, един-
ственного различия, сопутствующих изменений и ос-
татков. Их можно сформулировать так:
Метод сходства: если два или более случаев подлежа-
128
щего исследованию явления имеют общим лишь одно
предшествующее обстоятельство, то оно и является, по-
видимому, причиной этого явления.
Метод различия', если случай, в котором исследуемое
явление наступает, и случай, в котором оно не наступает,
сходны во всех предшествующих обстоятельствах, кроме
одного, встречающегося лишь в первом случае, то оно, ве-
роятно, является причиной исследуемого явления.
Метод сопутствующих изменений: если исследуемое
явление изменяется определенным образом всякий раз,
когда изменяется одно из предшествующих ему обстоя-
тельств, это обстоятельство можно предположительно
считать причиной исследуемого явления.
Метод остатков: если из явления вычесть ту его
часть, которая, как известно из прежних индукций, есть
следствие некоторых определенных предыдущих обстоя-
тельств, то остаток данного явления должен быть след-
ствием остальных предыдущих.
Поясним эти методы на примерах. По методу сходства
человек заключает, что причиной его внезапного насмор-
ка, слезотечения, покраснения лица, т.е. аллергической
реакции, является цветущая береза, если он замечает у
себя эти симптомы всякий раз, когда попадает в лес в пе-
риод цветения березы. Вывод не достоверен, поскольку ал-
лергия у него может быть на какой-либо неучтенный ве-
сенний фактор или на сочетание каких-то факторов.
По методу различия мы заключаем, что причиной
смерти человека является ножевое ранение, если мы виде-
ли его живого, а потом обнаруживаем мертвым с ножевым
ранением. Вывод даже в таком, казалось бы, очевидном
случае лишь вероятен, так как умереть этот человек мог,
например, от инфаркта.
Методы сходства и различия часто используются со-
вместно — тогда говорят о соединенном методе сходства
и различия. С помощью его можно, например, попробо-
вать узнать, на что реагирует телефонный автомат, на ко-
тором написано “только жетон”, т.е. что является причи-
ной соединения: вес, материал или размер опускаемого в
прорезь автомата предмета. Опускаем жетон — соедине-
ние происходит, опускаем металлический (т.е. из другого
материала) диск того же веса, но отличного от жетона раз-
мера — соединение происходит, опускаем пластмассовый
(как и стандартный) диск того же размера, но другого веса
6 Зак. 285
129
— соединения не происходит. Отсюда можно заключить,
что причиной соединения является определенный вес
опускаемого предмета.
Методом сопутствующих изменений мы можем уста-
новить, что повышение температуры воды является при-
чиной ее расширения, когда наблюдаем, например, что ос-
тывший чай как бы оседает, занимает в чашке уже меньше
места, чем он занимал, когда был горячим.
Наконец, метод остатков может быть использован,
например, тогда, когда к врачу приходит пациент с пол-
ностью расстроенным здоровьем: у него боли в желудке,
ноет поясница, мучают головные боли и болят суставы.
Причиной этих недомоганий могут быть как заболевания
соответствующих органов, так и нервное расстройство.
Врач начинает исследовать желудок больного и если обна-
руживает гастрит, язву или еще что-нибудь, то считает
причиной желудочных болей обнаруженное заболевание.
Точно так же врач ищет причину болей в суставах и, до-
пустим, находит ее в остеохондрозе, а причину болей в по-
яснице находит в радикулите. Остается найти причину го-
ловных болей, и по методу остатков врач может предполо-
жить, что причина эта — нервное расстройство.
Упражнения:
1. В каком из умозаключений по неполной индукции в
следующих парах вывод более вероятен и почему?
а) Бубонная чума, брюшной тиф, холера, черная оспа,
бруцеллез имеют инкубационный период. Все эти забо-
левания — инфекционные. Значит, все инфекционные
заболевания имеют инкубационный период.
Грипп, корь, брюшной тиф, туберкулез, сифилис име-
ют инкубационный период. Все эти заболевания — ин-
фекционные. Значит, все инфекционные заболевания
имеют инкубационный период.
б) В 1939, 1945,1951, 1957,1963, 1970, 1980,1990 годах
на историческом факультете МГУ училось больше де-
вушек, чем юношей. Значит, на историческом факуль-
тете МГУ всегда училось больше девушек, чем юно-
шей.
В 1942, 1944, 1980, 1985, 1990, 1992,1994, 1996 годах
на историческом факультете МГУ училось больше деву-
шек, чем юношей. Значит, на историческом факульте-
те МГУ всегда училось больше девушек, чем юношей,
в) Существительные “корыто”, “стойло”, “железо”, “яр-
мо”, “ведро”, “серебро” оканчиваются но “о”, и все они
130
среднего рода. Поэтому можно сделать вывод, что все
существительные, оканчивающиеся на “о”, среднего
рода.
Существительные “метро”, “железо”, “брюхо”, “ран-
чо”, “ярмо”, “кашпо” оканчиваются на “о”, и все они
среднего рода. Поэтому можно сделать вывод, что все
существительные, оканчивающиеся на “о”, среднего
рода.
г) Умышленное убийство, доведение до самоубийства,
умышленное телесное повреждение, истязание,
изнасилование наказываются лишением свободы.
Значит, все преступления против личности наказы-
ваются лишением свободы.
Умышленное убийство, истязание, мужеловство,
похищение человека, заражение ВИЧ-инфекцией
наказываются лишением свободы, значит, все
преступления против личности наказываются
лишением свободы.
д) Существительные с суфиксом “-ишк-”, “-ышк-” “кар-
тузишко”, “перышко”, “умишко”, зернышко”, “ружь-
ишко”, “платьишко” не относятся к женскому роду и
обозначают неодушевленные предметы. Вместе с тем
все они оканчиваются на “о”. Значит, все существи-
тельные с такими суфиксами, не относящиеся к жен-
скому роду и обозначающие неодушевленные предме-
ты, оканчиваются на “о”.
Существительные с суфиксом “-ишк-”, “-ышк-” “паль-
тишко”, “солнышко”, “перышко”, зернышко”, “сер-
дчишко”, “платьишко” не относятся к женскому роду
и обозначают неодушевленные предметы. Вместе с тем
все они оканчиваются на “о”. Значит, все существи-
тельные с такими суфиксами, не относящиеся к жен-
скому роду и обозначающие неодушевленные предме-
ты, оканчиваются на “о”.
Образец. В Москве, Санкт-Петербурге, Минске, Киеве,
Тбилиси есть метрополитен. Это — города бывшего Совет-
ского Союза, население которых превышает 1 млн. чело-
век. Значит, во всех городах бывшего Советского Союза с
население свеше 1 млн. человек есть метрополитен.
В Санкт-Петербурге, Самаре, Тбилиси, Екатеринбурге,
Харькове есть метрополитен. Это — города бывшего Со-
ветского Союза, население которых превышает 1 млн. че-
ловек. Значит, во всех городах бывшего Советского Союза
с население свеше 1 млн. человек есть метрополитен.
Более вероятным следует считать вывод во втором ин-
дуктивном умозаключении, поскольку в его единичных
посылках (5 посылок выражены в одном сложном сужде-
131
нии) содержится информация о более разнообразных горо-
дах, нежели в первом, где перечислении только столицы и
Санкт-Петербург, также приравниваемый к столице.
2. Корректны ли следующие индуктивные выводы? Если
некорректны, то в чем? '
а) Когда я шел на свой первый экзамен в университете, я
забыл дома зачетную книжку. Этот экзамен я не сдал.
Во второй раз я оставил дома зачетку, идя сдавать за-
чет в конце 2-го курса. Этот зачет я также не сдал. Еще
раз я забыл взять зачетку, когда сдавал экзамен на
третьем курсе, который также не сдал. Так я пришел к
заключению, что забывать зачетку, когда идешь что-
нибудь сдавать, — плохая примета.
б) У старосты нашей группы другая примета — она ходит
на все экзамены в одной и той же одежде. Сдав в ней
первые два экзамена на “отлично”, наша староста ре-
шила ходить теперь на экзамены всегда в той же самой
одежде. И что примечательно — примета эта постоян-
но оправдывается.
в) Измена Родине, шпионаж, террористический акт, вре-
дительство являются особо опасными государственны-
ми преступлениями. Каждое из них наказывается ли-
шением свободы на срок до 15 лет с конфискацией
имущества. Значит, все особо опасные государствен-
ные преступления наказываются лишением свободы
на срок до 15 лет с конфискацией имущества.
г) 13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
13+23+33+43+53=152
13+23+33+43+53+63=212
Следовательно, сумма любых п кубов (третьих степе-
ней) натуральных чисел равна квадрату (второй степе-
ни) натурального числа.
д) Римские числа: МММХС, MMCLXIV, MMCDIX соответ-
ствуют следующим арабским: 3090, 2164, 2409. Зна-
чит, римских цифр всего семь: М обозначает тысячи, D
обозначает полутысячи, С обозначает сотни, L обозна-
чает полусотни, X обозначает десятки, V обозначает
пятерки, I обозначает единицы.
Образец: Вчера охранники проверяли у всех входящих
в наше учреждение пропуска. А во второй половине дня в
наше отделение милиции поступило сообщение о заложен-
ном в здании взрывном устройстве. То же самое было ме-
сяц назад и однажды в январе. Отсюда можно сделать вы-
вод, что всякий раз, когда проверяют пропуска, следует
ожидать сообщения о подложенном взрывном устройстве.
132
Умозаключение следует считать некорректным, посколь-
ку в посылках нет никакой информации о том, проверяют
ли пропуска только иногда или всегда, и если только иног-
да, то не поступает ли сообщений о взрывном устройстве,
когда их не проверяют.
3. Выявите закономерности расположения фигур в рядах
и выберите нужную из пронумерованных:
133
Указание: выявите параметры, по которым различа-
ются фигуры в рядах, проанализируйте, как эти парамет-
ры меняются от одной фигуры к другой, и выберите недо-
стающую в последнем ряду фигуру.
4. Какие методы установления причинных зависимостей
используются в следующих экспериментах? Какие вы-
воды можно сделать из этих экспериментов?
а) Исследуя конформизм детей дошкольного возраста,
психологи ставили такой эксперимент. Со словами:
“Сейчас вам дадут очень вкусную, сладкую кашу”
группе детей давали попробовать горько-соленую ман-
ную кашу, а потом спрашивали их по очереди, понра-
вилась ли каша. Первый ребенок обычно молчал или
вымученно говорил “понравилась”, с отвращением
глядя на кашу. Вслед за ним еще несколько человек
могли сказать “понравилась”. Но как только находил-
ся ребенок, который говорил, что каша не понравилась
— она горькая, все последующие смело и единодушно
отвечали: “ Каша плохая, горькая”.
В следующем эксперименте испытуемым был только один
ребенок. Вся группа, кроме него, была предупреждена,
что нужно уверенно отвечать: “Каша очень вкусная,
сладкая”. Испытуемый был последним в ряду опраши-
ваемых. В этом случае практически каждый испытуе-
мый уверенно отвечал, что и ему каша очень понрави-
лась — она сладкая, вкусная.
б) Для исследования механизмов памяти была проделана
серия таких экспериментов: испытуемому предлагали
ряд бессмысленных слогов, которые он должен был
вызубрить и воспроизвести. После многократных пов-
торений (число которых фиксировалось) ему это удава-
лось. Однако очень скоро эти слоги забывались. Когда
они уже полностью забыты, испытуемый снова читал
их и пытался запомнить путем повторений. И они за-
поминались быстрее, чем первоначально. После вто-
ричного забывания эти слоги давались для выучива-
ния в третий раз. Тогда на их запоминание требовалось
еще меньше повторений.
134
в) У человека вырабатывается условная реакция (быстрое
включение лампы) на слово “дорожка”. Затем слово за-
меняется синонимом “тропинка”, и оно вызывает ту
же условнорефлекторную реакцию. Сходные же по
звучанию слова (“морошка”, “картошка”) такой реак-
ции не давали. Та же условнорефлекторная реакция
имела место и при употреблении иностранного слова
того же значения (если испытуемый его знал). Если ис-
пытуемый не знал этого иностранного слова, реакция
не возникала.
Образец. В одной крупной библиотеке создали комна-
ты для научной работы, в которые не проникали никакие
звуки извне, а звуки, возникающие в самой комнате, по-
глощались, т.е. стояла абсолютная тишина. В этих комна-
тах никто не мог продуктивно работать — постепенно у
людей возникало сонливое состояние.
Из результата этого эксперимента можно по методу
различия сделать вывод, что абсолютная тишина является
причиной низкой трудоспособности при интеллектуаль-
ной деятельности, поскольку в обычных залах библиоте-
ки, не имеющих особой звукоизоляции, интеллектуаль-
ная работа идет более плодотворно, и экспериментальные
комнаты, судя по всему, не отличаются от обычных ни-
чем, кроме абсолютной тишины.
5. Вставьте пропущенные числа и буквы:
а) 82, 97, 114, 133, ?
е)
д)
5
9 14 ?
8 13 19 ?
2
4
Образец. 6, 7, 9, 13, 21, ?
135
Посмотрим, какую закономерность можно выявить в
представленном ряде чисел. Легко заметить, что разности
этих чисел будут соответственно: !, 2, 4, 8. Значит, мож-
но предположить, что их разности определяются как 2",
где п= 0,1, 2, 3 и т. д. Таким образом, следующая разность
будет 24 = 16, а число, которое нужно вставить — 37.
6. Получите каждый из следующих выводов методом по-
пулярной индукции и методом научной индукции по
репрезентативной выборке:
а) Все дома, построенные этим строительным управлени-
ем, высококачественны.
б) Все студенты юридических вузов изучают логику,
в) N% московских школьников страдают близорукостью.
Образец. N% выпускников МГУ 1995 года работают по
специальности. Для получения такого вывода методом по-
пулярной индукции достаточно зайти на один из факуль-
тетов МГУ, спросить, о скольких своих выпускниках 1995
года они имеют сведения и сколько из них работает по спе-
циальности. И если мы узнаем, что из известных 80 вы-
пускников этого факультета 60 работают по специальнос-
ти, т.е. 75%, то можно по индукции заключить, что
75% всех выпускников МГУ 1995 года работают по специ-
альности.
Если же индукция будет научная по репрезентативной
выборке, то нужно сначала выявить факторы, от которых
может зависеть интересующий нас признак. Это, напри-
мер, полученная в университете специальность, то, как
человек учился, т.е. получил ли он те знания, которые не-
обходимы для работы по специальности, пол. Затем разде-
лим всех Выпускников по всем сочетаниям этих парамет-
ров (выпускники 1-го факультета, мужчины, учившиеся
хорошо; выпускники 1-го факультета, мужчины, учивши-
еся слабо; выпускники 1-го факультета, женщины, учив-
шиеся хорошо и т.д.) и из получившихся групп возьмем по
нескольку выпускников, сохраняя пропорции всего иссле-
дуемого класса. Это и будет репрезентативная выборка.
Посчитав в ней процент работающих по специальности,
экстраполируем его на весь класс выпускников МГУ 1995
года.
7. Получите методами научной индукции по репрезента-
тивной выборке и по типичному представителю следу-
ющие выводы:
а) Все автобусы этого маршрута всегда ходят строго по
расписанию.
б) Все студенты, пропускающие семинарские занятия по
логике, испытывают трудности при сдаче экзамена.
136
в) N% студентов дневного отделения работают.
Образец. Во всякой библиотеке есть книги с вырванны-
ми листами. Чтобы получить этот вывод индукцией по
репрезентативной выборке, нужно учесть, что библиотеки
бывают детские и взрослые, научные и общего профиля,
закрытые и публичные, и в каждой из этих категорий чи-
татели могут по-разному относиться к книгам. Поэтому
необходимо просмотреть представителей каждой из
8 групп. Если в любом типе библиотек Имеются книги с
вырванными листами, то можно заключить, что они есть
во всех библиотеках.
Для индукции по типичному представителю нужно
выбрать (если это возможно) одну типичную библиотеку.
Если в ней имеются такие книги, можно предположить,
что они имеются везде.
4. Умозаключения по аналогии
В умозаключениях по аналогии на основании сходст-
ва двух предметов (в самом широком смысле) делается
вывод о том, что признак, обнаруженный у одного из них,
имеется и у второго. Поскольку информация заключения
не содержалась в посылке, для нее были-лишь косвенные
основания, заключение получается не достоверным, а бо-
лее или менее вероятным.
Умозаключение по аналогии делается всякий раз, ког-
да говорят, что у предмета В, как и у предмета А, вероят-
но, есть признак Р. Например, когда говорят, что эта зи-
ма, как и прошлая, вероятно, будет холодной, или что,
видимо, этот ребенок, как и его старший брат, будет болез-
ненным. Итак, для умозаключения по аналогии необходи-
мы два предмета, сходные в каких-то определенных при-
знаках. Тогда на основании этого сходства можно пред-
положить, что они сходны и в еще одном признаке, т.е. об-
наруженный у одного из предметов признак можно пред-
положить и у другого предмета, потому что этот признак,
возможно, как-то связан с теми признаками, в которых
эти предметы сходны.
В структуре умозаключений по аналогии, таким обра-
зом, различают общие для двух предметов (А и В) призна-
ки и переносимый признак.
А: а, Ь, с, d
В: а, Ь, С где а, Ь, с — обгцче прзнаки,
В: d, d — переносимый.
137
Вероятность выводов по аналогии может колебаться
очень значительно. Если -она крайне мала, говорят, сто
аналогия несостоятельна. Аналогию можно считать состо-
ятельной, только если перенос признака, обнаруженного у
одного предмета, на другой действительно имеет основа-
ния в общих признаках.
Состоятельность аналогии коррелирует с вероят-
ностью ее выводов. Аналогия состоятельна, если получен-
ное заключение достаточно вероятно для его практиче-
ской приемлемости. Дальше речь идет уже о повышении
степени вероятности вывода. Обычно к факторам, повы-
шающим его вероятность, относят: количество общих
признаков, их разнообразие, существенность, независи-
мость общих признаков друг от друга, однородность или
однопорядковость переносимого признака с общими. Все
эти факторы имеют одну тенденцию и цель, о чем нужно
всегда помнить. Их общая тенденция — схватить среди об-
щих признаков такой или такую совокупность признаков,
от которых зависит переносимый.
В тех случаях, когда можно с уверенностью сказать,
что переносимый признак следует из общих, налицо так
называемая строгая аналогия. Например, по строгой ана-
логии можно получить вывод о неправильности силлогиз-
ма: “Франция не является слаборазвитой страной и никог-
да не была колонией, значит, некоторые слаборазвитые
страны были колониями” на том основании, что очевидно
неправилен силлогизм: “Я — не англичанин и не китаец,
значит, некоторые англичане — китайцы”, имеющий та-
кую же структуру, что и первый. В этом рассуждении по
аналогии сравниваемыми предметами являются два сил-
логизма, общий признак — только один — структура (мо-
дус), переносимый признак — неправильность. И хотя об-
щий признак только один, аналогия строгая, она дает пол-
ностью достоверный вывод, т.к. известно, что структура
силлогизма является достаточным основанием для его
правильности или неправильности. Иначе говоря, един-
ственный общий признак здесь вполне обосновывает при-
знак переносимый.
Упражнения:
1. Определите, имеет ли место в следующих примерах
умозаключение по аналогии:
а) Этот директор, как и прежний, не сможет поднять дис-
циплину труда.
138
б) На втором курсе N будет учиться столь же плохо, как и
на первом, потому что он нерадивый студент.
в) Новая историческая книга этого автора будет пользо-
ваться таким же успехом, как и предыдущая, потому
что читатели с нетерпением ждут от него новых раз-
облачений.
г) Отношения между АиВ будут такими же, как между С
и D, поскольку А и С обладают сильным характером,
они ярко выраженные лидеры, тогда как В и D сходны
своей покладистостью, конформизмом и инертностью.
Образец. В конце слова “помощь” пишется мягкий
знак, потому что он пишется в конце всех существитель-
ных женского рода, оканчивающихся на шипящую.
Данное умозаключение не по аналогии, потому что вы-
вод делается о единичном предмете (слове) на основании
знания обо всем классе (существительных женского рода,
оканчивающихся на шипящую), а не о другом отдельном
предмете.
2. Состоятельны ли следующие умозаключения по аналогии?
а) И. и М. учились в одном классе, жили в одном доме,
родители того и другого имеют высшее образование.
И. после окончания школы поступил в вуз. Значит, и
М. поступит в вуз.
б) Убийство, расследованное год назад, совершенное И.,
было произведено в особой жестокостью, ножом, на
чердаке жилого дома, в дневное время. Новое убийство
имеет те же черты и совершено оно в том же поселке,
что и первое. Вероятно, это убийство совершил тот же
преступник.
в) Направление ветра не переменилось, поэтому завтра,
видимо, будет дождь, как и сегодня.
г) Второе издание этой книги будет распродано так же.
быстро, как и первое, поскольку тиражи первого и вто-
рого изданий одинаковы, они отпечатаны в одной и той
ме типографии и новое оформление книг похоже на
прежнее.
Образец. Москвичи предпочитают метро всем другим
видам общественного транспорта. Значит, и берлинцы
предпочитают метро всем другим видам общественного
транспорта.
Данное умозаключение по аналогии вряд ли можно
считать состоятельным, так как оно основывается, по ви-
димому, на таких сходствах Москвы и Берлина, как: оба
города — столицы с населением в несколько миллионов
человек и большой территорией. Однако оно не учитывает
такие важные для переносимого признака факторы, как
139
качество метрополитена, интервалы движения поездов,
качество и интервалы движения наземного транспорта,
загруженность улиц. Если в этих признаках Москва и Бер-
лин различаются, то при определенном их сочетании вы-
вод по аналогии может оказаться ложным.
3. Вставьте пропущенное число:
а)
2| 6
54 18
? 9
81 27
г) 16 (27) 43
29 ( ) 56
Образец. 16 (93) 15
14 ( ) 12
Чтобы вставить пропущенное число во втором ряду,
нужно выявить отношение, которым связаны числа в пер-
вом ряду. Будем считать, что тем же отношением связаны
числа второго ряда, и по этому отношению определим не-
достающее число. В первом ряду число в скобках состав-
ляет утроенную сумму крайних чисел, поэтому можно
предположить, что пропущенное число во втором ряду
также является утроенной суммой крайних, т.е. 78.
4. Получите следующие суждения в качестве заключений
в выводах по аналогии:
а) Транспорт в этом городе в выходные дни, видимо, сво-
боден.
б) Этот студент, наверное, сдаст экзамен по английскому
языку на “отлично”.
в) Эти два мальчика, видимо, подружатся.
г) Данное здание, скорее всего, проектировал архитектор N.
Образец. Это убийство совершил, по-видимому, тот же
преступник, что и убийство 3 недели назад в доме № 10.
140
Такой вывод можно получить по аналогии, если это
убийство сходно в некоторых характерных чертах с убий-
ством 3 недели назад в доме № 10: например, жертвой в
обоих случаях является молодая женщина, в обоих случа-
ях смерть наступила от множественных ножевых ране-
ний, в обоих случаях убийство произошло в лифте, оба
убийства совершены в дневное время и в одном микрорай-
оне.
Тема: ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АРГУМЕНТАЦИИ
1. Аргументативный процесс, его структура
Чаще всего термином “доказательство” называют
процесс обоснования истинности некоторого суждения, а
опровержением — процесс обоснования ложности.
Довольно распространенным является употребление
терминов “доказательство” и “опровержение” в более ши-
роком смысле — в смысле любого подкрепления (неполно-
го обоснования) тезиса и критики тезиса. Но чаще для про-
цедур неполного обоснования и неполного опровержения
употребляют термины “аргументация” и “критика”. Мы
будем говорить о доказательстве (опровержении), имея в
виду и более слабые их разновидности: аргументацию и
критику.
Доказательство (опровержение) включает: тезис —
суждение, для которого обосновывается та или иная, ис-
тинностная оценка; аргументы — суждения, подходя-
щие для этой цели, т.е. суждения, с помощью которых
можно обосновать такую истинностную оценку и кото-
рые приемлемы для адресата доказательства; демон-
страцию — умозаключение или цепочку умозаключений,
которая показывает связь аргументов с тезисом, и тем
самым обосновывает его оценку как истинного (вероятно-
го) или ложного (невероятного).
Для пояснения структурных элементов доказательст-
ва возьмем в качестве примера знакомое всем из школьной
геометрии доказательство теоремы, что диагонали в па-
раллелограмме при пересечении делятся пополам. Тези-
сом здесь является утверждение: диагонали параллелог-
рамма при пересечении делятся пополам. Аргументами
141
будут все те, уже известные как истинные, положения ге-
ометрии, которые нам потребуются при доказательстве, а
именно: (1) определение параллелограмма как четырех-
угольника с равными и параллельными противоположны-
ми сторонами; (2) доказанная ранее теорема о равенстве
накрестлежащих углов; (3) теорема о равенстве треуголь-
ников по стороне и двум углам; (4) теорема, что в равных
треугольниках против равных углов лежат равные сторо-
ны. Демонстрация будет представлена всеми теми шага-
ми, которые покажут, что из указанных четырех аргумен-
тов действительно следует тезис.
Истинностная оценка тезиса зависит от различных ти-
пов демонстрации и, возможно, разной степени обоснован-
ности аргументов.
1. Если аргументы несомненно истинны, как это пред-
полагается в классическом доказательстве, и демонстра-
ция включает в себя только демонстративные типы умо-
заключений, то тезис получает оценку “необходимо исти-
нен” или “необходимо ложен”.
2. Если при таких же аргументах в демонстрации
встречаются недемонстративные умозаключения, то тезис
получается лишь вероятно истинным (вероятным) или ве-
роятно ложным (невероятным). Степень его вероятности
зависит только от формы этих умозаключений и определя-
ется теми способами, какими определяется вероятность
вывода в недемонстративных рассуждениях.
3. Если аргументы доказательства в достаточной степе-
ни вероятны, но не вполне достоверны (каковыми, в час-
тности, являются все научные индуктивные обобщения,
многие так называемые закономерности и даже некоторые
научные законы), и проводится демонстрация первого ти-
па, то тезис в результате доказательства получается не ме-
нее вероятным, чем аргументы, а при опровержении —
ложным с той же степенью вероятности.
4. Если же при таких аргументах и демонстрация
включает недемонстративные способы рассуждения, то
тезис обоснован в меньшей степени, чем аргументы, ис-
тинность или ложность его довольно проблематична.
Упражнения:
1. Найдите тезис, аргументы и элементы демонстрации в
следующих доказательствах. Какой, по вашему мне-
нию, может быть истинностная оценка тезиса, полу-
ченная в результате этих доказательств?
142
а) “Каким же образом... дворянин и офицер один пощажен
самозванцем, между тем как все его товарищи злодей-
ски умерщвлены? Каким образом этот самый офицер и
дворянин дружески пирует с бунтовщиками, принима-
ет от главного злодея подарки, шубу, лошадь и полти-
ну денег? Отчего произошла такая странная дружба и
на чем она основана, если не на измене, или, по крайней
мере, на гнусном и преступном малодушии.”
б) Нужно писать грамотно для того, чтобы каждый мог
понять, что написано, ибо ошибки, особенно синтакси-
ческие, могут совершенно изменить смысл написанно-
го. Нельзя делать и орфографических ошибок, так как
написанное с ошибками труднее понять, особенно че-
ловеку, не совсем хорошо знакомому с данным язы-
ком. Не менее важно правильно построить предложе-
ние. Писать надо грамотно, потому что грамотное
письмо легче и лучше усваивается.
в) Кинетическая энергия тела зависит от его массы и ско-
рости. Одна и та же винтовочная пуля производит раз-
личные действия в начале полета, когда ее скорость ве-
лика, и в конце полета, когда скорость уменьшается.
Два молота различной массы, опускаемые с одной и
той же скоростью, совершают различные работы. Эти
примеры показывают , что кинетическая энергия тела
должна выражаться через массу и скорость.
г) “Если существующих вещей много, то их должно быть
столь много, сколько их есть, — не больше и не мень-
ше. А если их столь много, сколько их есть, то их чис-
ло ограничено. Но если существующих вещей много,
то их число неограничено: ибо всегда существуют дру-
гие вещи между существующими вещами, и снова дру-
гие между ними. Итак, число существующих вещей
ограничено и неограничено”.
д) Если длины сторон некоторого треугольника равны со-
ответственно 3, 4 и 5 см, то этот треугольник прямо-
угольный, так как сумма квадратов первых двух чисел
равна квадрату третьего числа, а такое соотношение
длин сторон имеет только прямоугольный треуголь-
ник.
е) “Существует абсолютное бытие, обусловливающее су-
ществование всего остального, и оно есть Бог. Ведь гра-
дация ступеней природного существования не может
продолжаться до бесконечности, и поэтому должно
быть, по крайней мере, одно существо, выше которого
нет ничего. Подобное бытие необходимо существует, и
может быть только одно такое бытие: если бы сущес-
твовало несколько подобных друг другу высших су-
143
ществ, то они было бы или частью еще высшего по от-
ношению к ним бытия, или же тождественны с ним.
Но если они были бы лишь частью его, они не были бы
высшими существами, и высшей сущностью было бы
стоящее над ними высшее бытие. Если же они тождес-
твенны с этим высшим бытием, то должны быть едины
с ним. Бог и есть это высшее, или абсолютное, бытие”,
ж) “Холмс сел за стол и написал несколько строчек на
клочке бумаги, которую он протянул Хопкинсу...
Удивленный детектив прочел записку вслух.
“Разыскивается дама, хорошо одетая и проживаю-
щая в респектабельном доме или квартире. У нее толс-
тый, мясистый нос и близко посаженные глаза. Она
морщит лоб, близоруко щурится, и, вероятно, у нее су-
тулые плечи. Есть данные, что в течение последних не-
скольких месяцев она, по крайней мере, дважды обра-
щалась к оптику...”
Заметив на наших лицах удивление, Холмс улыбнул-
ся.
— Все очень просто, — сказал он. — Трудно найти
предмет, который позволял бы сделать больше выво-
дов, чем очки или пенсне, особенно с такими редкими
стеклами. Откуда я заключил, что пенсне принадле-
жит женщине? Обратите внимание, какая изящная ра-
бота... Что же касается ее респектабельности и туале-
та, то и это просто: оправа дорогая, из чистого золота,
и трудно себе представить, чтобы дама, носившая та-
кое пенсне, была бы менее респектабельна во всех дру-
гих отношениях. Наденьте пенсне, и вы увидите, что
оно не будет держаться у вас на носу. Значит, у этой да-
мы нос весьма широк. Такой нос — обычно короткий,
мясистый,, хотя есть целый ряд исключений, вот поче-
му я не настаиваю на этой подробности в своем описа-
нии. У меня довольно узкое лицо, и тем не менее, ког-
да я надеваю пенсне, я вижу, что мои глаза расставле-
ны шире, чем стекла. Другими словами, глаза у этой
дамы близко посажены. Обратите внимание, Уотсон,
что стекла вогнутые и чрезвычайно сильные. Когда
женщина так плохо видит, это непременно должно
сказаться на ее облике. Я имею в виду морщины на
лбу, привычку щуриться, сутулые плечи.
— Понимаю, — сказал я. — Но почему вы решили,
что дама дважды посещала оптика?
Холмс взял пенсне.
— Обратите внимание, что зажимы с внутренней
стороны покрыты пробкой, чтобы меньше давить на
кожу. Одна пробковая прокладка бледнее и немножко
144
стерта, другая совершенно новая. Очевидно, что новая
надета недавно. Но и старая прокладка положена всего
несколько месяцев назад. А так как обе прокладки
одинаковые, я заключаю, что дама дважды чинила
пенсне в одном и том же месте”.
Образец: Движение не существует, так как не может
даже начаться, ведь прежде, чем пройти какой-то путь, те-
ло должно пройти половину пути, а прежде, чем оно прой-
дет половину пути, оно должно пройти четверть пути и так
далее до бесконечности: прежде, чем пройти какой-либо
самый малый отрезок, тело должно пройти его половину.
В приведенном доказательстве обосновывается тезис,
что движение не существует. Аргументом является ут-
верждение, что прежде, чем пройти какой-либо самый ма-
лый отрезок, тело должно пройти его половину. Демон-
страция состоит в переходе от аргумента к утверждению,
что движение не может начаться, а от него к тезису. Дока-
зательство неубедительно, поскольку сомнителен аргу-
мент.
2. Виды доказательств и опровержений
Доказательства и опровержения делятся на генетические
и по существу. В генетических доказательствах заключе-
ние об истинности тезиса получается из аргументов, пока-
зывающих происхождение тезиса и тот путь, которым те-
зис до нас дошел. Поэтому аргументы генетического доказа-
тельства не касаются существа содержания тезиса, а говорят
лишь о том, что источники и передатчики тезиса не вызыва-
ют сомнения или, по крайней мере, вызывают доверие.
Демонстрация в генетическом доказательстве — это рассуж-
дение о том, что при названных источниках и передатчиках
информации, составляющей содержание тезиса, последний
нужно признать истинным или достаточно обоснованным.
Генетические доказательства используются чаще в тех случа-
ях, когда нет возможности обосновать тезис по существу. Ге-
нетическое опровержение — это обоснование суждения, что
тезис противоречит информации, полученной из надежного
источника и дошедшего до нас надежным путем. В тех же
случаях, когда речь идет об использованных в доказательстве
источниках или передатчиках, вызывающих сомнения, оп-
ровержение не получается. Ненадежное или неудачное гене-
тическое доказательство никогда не может рассматриваться
как генетическое опровержение.
145
Доказательства по существу — это доказательст-
ва, где анализу подвергается само содержание тезиса, а
не его происхождение. Аргументы в таком доказательстве
относятся к содержанию тезиса, а демонстрация показы-
вает, что содержание аргументов имплицитно заключает в
себе содержание тезиса или подтверждает его. Доказа-
тельства по существу делятся на прямые и косвенные. Раз-
личие между прямым и косвенным доказательством за-
ключается не в различных типах используемых аргумен-
тов и не в способе демонстрации, а в направленности аргу-
ментации. Если аргументы и демонстрация обращены не-
посредственно к тезису, т.е. если демострируется связь
аргументов прямо с тезисом, то налицо прямое доказа-
тельство. Если же, помимо тезиса, в доказательстве
имеется еще одно или несколько суждений и процесс де-
монстрации обращает аргументы к ним, то это доказа-
тельство косвенное. Структуру прямого доказательства
схематически можно представить так:
где Т — тезис, ар.. ап— аргументы, а стрелки от аргумен-
тов к тезису — демонстрация.
Структура косвенного доказательства имеет вид:
где А — одно или несколько опосредствующих суждений.
Что представляют собой эти опосредствующие суждения?
Во-первых, это может быть антитезис, т.е. А = | Т. Тогда
косвенное доказательство называется доказательством
от противного. Поскольку антитезис — это суждение,
противоречащее тезису, его ложность достоверно свиде-
тельствует об истинности тезиса. Поэтому смысл доказа-
тельства от противного состоит в демонстрации ложности
антитезиса.
Примером может служить доказательство правильнос-
ти умозаключения сокращенным табличным методом,
146
описанное в разделе 1.4. предыдущей главы. Тезисом это-
го доказательства является суждение: данное умозаклю-
чение правильно. Антитезисом выступает предположе-
ние, что умозаключение неправильно. Из антитезиса вы-
водится следствие, что посылки умозаключения могут
быть истинными, а заключение ложным, и затем все про-
чие следствия относительно истинностных значений под-
формул и — наконец — пропозициональных переменных.
Аргументами такого доказательства являются табличные
определения логических связок. Противоречие, выражен-
ное в том, что одна и та же подформула является истинной
и ложной одновременно, свидетельствует о ложности
антитезиса. Значит, тезис истинен.
Другой тип косвенных доказательств — так называе-
мые разделительные доказательства. В них посредству-
ющее звено, на которое направлена аргументация (и кото-
рое мы обозначили как А), — одно или несколько сужде-
ний, находящихся в отношении субконтрарности к тези-
су. Разделительное доказательство можно представить та-
кой схемой:
(A v В v ... v К v Т), 1 А, 1 В, ...1К
Т
Суждения А, В, ... К, Т таковы, что одно из них обяза-
тельно истинно. И оно обнаружится, если все остальные
будут опровергнуты. Поэтому в разделительном доказа-
тельстве аргументы направлены на опровержение всех
альтернатив, кроме одной, и то, что она не опровергнута,
рассматривается как доказательство ее истинности.
Опровержение по существу полностью аналогично до-
казательству. Разновидности опровержения — те же, что
и доказательства: прямое и косвенное. Если аргументы на-
правлены непосредственно на обоснование ложности тези-
са, то опровержение прямое, а если они обращены на ка-
кое-то посредствующее суждение — опровержение косвен-
ное. Но следует заметить, что косвенные опровержения
встречаются чрезвычайно редко, так как они существенно
сложнее прямых — ведь продемонстрировать истинность
всегда труднее, чем показать ложность. Прямое опровер-
жение осуществляется тем способом, что и доказательство
от противного, а косвенное опровержение строится как
147
прямое доказательство, но только подтверждается аргу-
ментами антитезис.
Термин “опровержение” нередко употребляют еще в
одном смысле, не имеющем уже ничего общего с рассмот-
ренным. Это опровержение в смысле разрушения доказа-
тельства, т.е. демонстрация несостоятельности приведен-
ного кем-нибудь доказательства. При опровержении дока-
зательства, естественно, не нужно искать аргументы про-
тив тезиса или обосновывать свой тезис, несовместимый с
данным. Для опровержения, доказательства достаточно
показать, что приведенное доказательство имеет некото-
рые недостатки, т.е. что в нем нарушено хотя бы одно из
правил доказательства. Обнаружив в доказательстве лож-
ный аргумент или аргумент необоснованный, либо ошиб-
ку в демонстрации, можно считать, что доказательство оп-
ровергнуто. Тезис после такой операции приходится счи-
тать необоснованным, его истинностная оценка, как и до
всякого доказательства, неопределенна. Но ни в коем слу-
чае опровержение доказательства нельзя рассматривать
как опровержение тезиса. После опровержения любого до-
казательства тезис может быть доказан без погрешностей,
и, таким образом, истинность его будет обоснована.
Упражнения:
1. Определите вид доказательства, найдите тезис, а если
доказательство косвенное, — также опосредующие
суждения и тип косвенного доказательства, запишите
схему доказательства:
а) Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут
пересечься, так как если бы они пересеклись, то была
бы точка их пересечения, из которой на прямую опу-
щены два перпендикуляра. Однако это противоречит
теореме о невозможности опустить из одной точки на
одну прямую два перпендикуляра.
б) Это убийство могло быть совершено либо с заранее об-
думанным намерением, либо по неосторожности, либо
в состоянии аффекта. Последнее, однако, следует от-
вергнуть, так как известно, что между заряжанием
пистолета и выстрелом прошел известный промежуток
времени. То, что убийство совершено с заранее обду-
манным намерением, также нужно отвергнуть: обви-
няемый сознался в том, что зарядил пистолет, и это по-
казывает, что он не считает данное обстоятельство ули-
чающим его в преступлении. Таким образом, остается
148
убийство по неосторожности, при неумелом обраще-
нии с оружием.
в) В силлогизмах 3-й фигуры из двух утвердительных по-
сылок не может получиться отрицательное заключе-
ние. Поскольку обе посылки утвердительные, их преди-
каты не распределены. Но их предикаты — больший и
меньший термины силлогизма, значит, в заключении
оба термина также не распределены. Заключение, та-
ким образом, не может быть отрицательным, так как в
этом случае его предикат был бы распределенным.
г) В XII веке у монголов-кочевников сохранялось много
черт родового строя. Кровные связи еще имели очень
большую силу. В брачных отношениях господствовала
экзогамия, т.е. характерный для родового строя обы-
чай брать жен из чужого рода. Существовало много-
женство, что тоже типично для патриархального рода.
Женщина, взятая в род, уже не выходила из него и в
случае смерти мужа переходила к его ближайшему ро-
дственнику. Очень большое место занимал в быту мон-
голов родовой институт кровной мести. Наконец, свя-
то соблюдался культ предков, к которому допускались
только члены рода.
д) Понятия “абзац” и “предложение” находятся либо в от-
ношении подчинения (2-го 1-му), либо в отношении пе-
рекрещивания, либо они несовместимы. Если понятие
“предложение” подчинено понятию “абзац”, то, по оп-
ределению этого отношения, всякий элемент объема
понятия “предложение” является элементом объема
понятия “абзац” (т.е. всякое предложение есть абзац),
но не наоборот. Однако это неверно. Если эти понятия
несовместимы, то, по определению несовместимости,
ни один элемент объема понятия “абзац” не является
элементом объема понятия “предложение” т.е. ни один
абзац не есть предложение, что тоже неверно. Значит,
эти понятия перекрещиваются.
е) Понятия “абзац” и “предложение” находятся в отноше-
нии перекрещивания, так как некоторые абзацы явля-
ются предложениями, а это соответствует определе-
нию отношения перекрещивания.
ж) В XII веке родовые отнешения у монголов находились
уже в стадии разложения. Сведения об этом сохрани-
лись в народном эпосе, который был первоначально со-
бран в 1240 г. по распоряжению монгольского велико-
го хана Угедея под названием “Сокровенное сказание о
поколении монголов”. Эти сказания дают богатый ма-
териал для суждения о хозяйственном и общественном
строе древних монголов. Еще больше матеоиала дает
149
“Сборник летописей”, составленный в начале XIV века
на основании таких же монгольских сказаний персид-
ским ученым Рашид-ад-дином.
з) “При том же оный, часто поминаемый, неистовый дво-
рянин и разбойник, Иван, Иванов сын, Перерепенко, и
происхождения весьма поносного: его сестра была из-
вестная всему свету потаскуха и ушла за егерскою ро-
тою, стоявшею назад тому пять лет в Миргороде; а му-
жа своего записала в крестьяне. Отец и мать его тоже
были пребеззаконные люди, и оба были невообразимые
пьяницы. Упоминаемый же дворянин и разбойник Пе-
ререпенко своими скотоподобными и порицания до-
стойными поступками превзошел всю свою родню и
под видом благочестия делает самые соблазнительные
дела: постов не содержит, ибо накануне филипповки
сей богоотступник купил барана и на другой день велел
зарезать своей беззаконной девке Гапке, оговариваясь,
аки бы ему нужно было под тот час сало на каганцы и
свечи”.
и) “Если бы не существовало пустоты и все было заполне-
но телами, было бы невозможно движение и мир пред-
ставлял бы собой лишь огромную массу твердой, не-
податливой и неподвижной материи. Ибо если мир со-
вершенно заполнен, то никакое тело не может сдви-
нуться, не заняв при этом место другого; так, если тело
А приходит в движение, оно должно сместить другое
тело, по меньшей мере равное ему, — В, а В, чтобы
прийти в движение, в свою очередь должно сместить
третье тело. Но это может происходить лишь двояким
образом: либо такое смещение тел продолжается до
бесконечности, что нелепо и невозможно, либо оно со-
вершается по кругу и последнее смещенное тело зани-
мает место А. Итак, первое тело — А — не может дви-
гаться, если не может сдвинуться последнее тело — X.
Но тело X не может сдвинуться, так как для того, что-
бы сдвинуться, оно должно занять место А, которое
еще не свободно, и, значит, поскольку X не может
сдвинуться, А также не может прийти в движение.
Следовательно, все должно пребывать в неподвижнос-
ти. Но, мы видим, что это не так. Значит, существует
пустота”.
Образец. Земля неподвижна, ибо, если бы она двига-
лась, то камень, брошенный с высокой башни, упал бы не
к подножию ее, а на столько метров сзади башни, сколько
прошла движущаяся Земля за время падения камня. Мы
же наблюдаем, что камень падает к подножию башни.
150
Тезис — Земля неподвижна.
Антитезис — Земля движется.
Следствие из антитезиса — Камень, брошенный с вы-
сокой башни, должен упасть сзади башни.
Аргумент — Камень, брошенный с высокой башни, па-
дает не сзади, а к ее подножию.
Доказательство косвенное, от противного, аргумент
прямо противоречит следствию антитезиса.
2. Постройте доказательства:
а) В озере растут кувшинки, которые размножаются та-
ким образом, что каждый день покрывают в два раза
большую поверхность воды, чем в предыдущий, т.е.
площадь их ежедневно удваивается. Доказать, что ес-
ли вся поверхность воды будет сплошь покрыта кув-
шинками на 100-й день, то половина поверхности — на
99-й день.
б) Есть три непрозрачных ящика, в каждом из которых
лежат два шара: оба белые, оба черные, белый и чер-
ный. На ящиках наклеены этикетки, на которых
написано: “Белый & белый”, “Белый & черный”, “Чер-
ный & черный”, причем известно, что ни одна этикет-
ка не наклеена правильно (все они лгут). Доказать,
что, вытащив один шар из ящика с наклейкой “Белый
& черный”, всегда можно однозначно определить, в ка-
ком ящике какие шары.
в) В одном 3 классе столько же непослушных мальчиков,
сколько послушных девочек. Доказать, что в этом
классе мальчиков всего столько же, сколько всех по-
слушных детей.
г) В некотором древнем городе оракул состоял из трех оди-
наковых, стоящих в,один ряд статуй, в одной из кото-
рых был спрятан жрец истины, на все вопросы отвеча-
ющий только правду, в другой — жрец лжи, на все во-
просы отвечающий только неправду, в третьей — жрец
дипломатии, отвечающий как правильно, так и непра-
вильно. Доказать, что если у левой статуи спросить:
“Кто рядом с тобой?”, у средней — “Кто ты?”, у правой
— “Кто рядом с тобой?” и получить соответственно от-
веты: “Жрец истины”, “Жрец дипломатии”, “Жрец
лжи”, то можно однозначно установить, в какой статуе
какой жрец спрятан.
д) Обобщение предыдущего доказательства: доказать, что
всегда, когда о другом говорят, что он жрец истины
(ответы крайних статуй) и не говорят этого о себе (от-
вет средней статуи) можно однозначно решить вопрос,
кто есть кто.
151
е) Если большая посылка в силлогизме 4-й фигуры —ут-
вердительная, то меньшая посылка должна быть об-
щей;
Если одна из посылок в силлогизме 4-й фигуры — отрица-
тельная, то большая посылка должна быть общей.
ж) Любую денежную сумму, выраженную целым числом
рублей, большим 7, можно уплатить без сдачи, имея
лишь трех- и пятирублевые купюры в достаточном ко-
личестве.
з) Три мудреца заходят в абсолютно темную пещеру, где,
как им известно, лежат два белых и два черных колпа-
ка. Каждый мудрец надевает колпак (ему неизвестно
— белый или черный) и выходит из пещеры. Первый
вышедший не видит никого, второй видит первого в
колпаке, а третий видит их обоих в колпаках. Докажи-
те, что, продолжая движение в том же порядке “гусь-
ком”, один из мудрецов догадается, какого цвета на
нем колпак.
и) В совете старейшин одного дикого племени, состоящем
из 10 человек, был поставлен на голосование вопрос о
том, что дикарь К. виновен в укрывательстве запасов
мяса мамонта и за это должен быть съеден соплеменни-
ками. Четверо старейшин были согласны с тем, что К.
виновен в укрывательстве и должен быть съеден. Еще
четверо придерживались того мнения, что К. виновен в
укрывательстве, но съедение — слишком суровое на-
казание. И двое старейшин считали, что К. не виновен
в укрывательстве и не должен быть съеден. Докажите,
что вождь племени проведет большинством голосов ре-
шение о съедении К., если догадается поставить на гот
лосование два косвенных вопроса: (1) о виновности К.
в укрывательстве и (2) если К. виновен, то он должен
быть съеден.
Образец. Продовольственные запасы географической
экспедиции состоят из консервов и другой пищи. Консер-
вы составляют две трети всех запасов. Однако предвари-
тельный контроль установил, что две трети всех запасов
испорчены. Докажите, что не менее половины консервов
испорчено наверняка.
Поскольку другая пища составляет одну треть всех за-
пасов и она может быть вся испорчена, значит, минимум
еще одна (вторая) треть испорченных продуктов приходит-
ся на консервы. А поскольку консервов всего две трети от
общего количества продуктов и минимум одна из них ис-
порчена, то испорчена, по крайней, мере половина консер-
вов.
152
3. Правила доказательства.
Ошибки в доказательствах
Для каждого элемента структуры доказательства (те-
зиса, аргументов и демонстрации) существуют свои прави-
ла. По отношению к тезису обычно формулируют два
правила: (1) тезис должен быть ясно сформулирован и (2)
не меняться в ходе доказательства. Нарушение первого
требования может привести к так называемой потере тези-
са, когда доказывающий забывает или путает тезис. Нару-
шение второго правила ведет к подмене тезиса, что счита-
ется серьезной ошибкой доказательства. При этом нужно
заметить, что логической ошибкой считается лишь не-
гласная, тайная подмена тезиса. А в тех случаях, когда до-
казывающий видит, что ему не удается доказать или опро-
вергнуть выдвинутый тезис, он вполне может его ослабить
или каким-то еще образом изменить, и не обязан просто
отказываться от доказывания. Если же доказательство
(обоснование) проводится для нового научного знания, то
совершенно абсурдно требовать, чтобы если первоначаль-
но сформулированная гипотеза не доказывается, то она
была полностью отброшена. Видоизменение тезиса в про-
цессе доказательства, когда его не скрывают, — важный
компонент отыскания и обоснования истины.
По отношению к аргументам выдвигаются также два
требования: (1) аргументы должны быть истинными и (2)
истинность их должна быть обоснована до и независимо от
тезиса. Нарушение первого требования ведет к ошибке,
называемой “основное заблуждение” — использование
ложного аргумента. А нарушение второго — к ошибкам,
называемым “предвосхищение основания”, когда исполь-
зуется недоказанный аргумент, и “круг в доказательстве”,
когда при обосновании тезиса используется утверждение,
которое само в свою очередь подкрепляется тезисом. Сле-
дует оговориться, что требование, чтобы аргументы дока-
зательства были абсолютно истинными (несомненными),
обязательно лищь для доказательств в узком смысле, для
полного обоснования истинности. Однако во многих слу-
чаях полезнее достигнуть относительного подтверждения
тезиса, обоснования его достаточно вероятными, хотя и не
достоверными аргументами, чем совсем отказаться от
обоснования.
153
Наконец, требования к демонстрации. Они во всех
случаях сводятся к тому, что способы рассуждения при до-
казательстве должны быть правильными, т.е. в умозаклю-
чениях разных типов не должно быть ошибок, которые в
соответствующих разделах описаны. И поскольку способы
демонстрации не исчерпываются дедукцией, полной ин-
дукцией и строгой аналогией, то все используемые в дока-
зательствах вероятностные рассуждения должны быть
максимально обоснованными.
Упражнения:
1. Проанализируйте следующие доказательства и найдите .
ошибки в них:
а) Длины всех окружностей равны. Возьмем два произ-
вольных диска различных диаметров, через центры
которых проденем общую ось и жестко скрепим диски
(склеим). Начнем катить больший диск по плоскости,
тогда меньший будет “катиться” по мысленной плос-
кости, находящейся над первой. Поскольку диски
жестко скреплены, то количество оборотов, сделанных
большим диском при качении, всегда будет равно ко-
личеству оборотов, сделанных меньшим диском. И в то
же время путь, пройденный большим диском, равен
пути, пройденному меньшим диском. Но путь, прой-
денный диском при качении, равен длине его окруж-
ности, умноженной на количество сделанных оборо-
тов. Таким образом, поскольку пути, пройденные
большим и меньшим дисками, равны и диски сделали
одинаковое число оборотов, длины их окружностей
также равны.
б) Покупатель отдела головных уборов решил купить шля-
пу ценой 15 рублей. В оплату покупки он протянул
продавцу 50-ти рублевую купюру. Однако у продавца
не оказалось сдачи, тогда он разменял эту купюру в со-
седнем отделе и отдал покупателю шляпу и 35 рублей
сдачи. Покупатель ушел, а к продавцу отдела голов-
ных уборов вскоре подошел тот, у кого он разменивал
50-ти рублевую купюру и потребовал вернуть ему 50
рублей, ибо та купюра оказалась фальшивой. Прода-
вец отдела головных уборов, конечно, тут же отдал ему
50 рублей. Таким образом, продавец отдела головных
уборов, отдав покупателю шляпу за 15 рублей, 35 руб-
лей сдачи (и не получив от него фактически ничего), а
также, вернув 50 рублей продавцу соседнего отдела,
понес убыток в 100 рублей.
в) Трое путников заплатили за обед в придорожном ресто-
154
ране 30 рублей (сложившись каждый по 10 рублей).
Однако — только они вышли — официант решил, что
обсчитал их слишком сильно и послал мальчика вер-
нуть им 5 рублей. Мальчик же решил, что хватит им и
3 рублей, которые тут же отдал путникам, а себе оста-
вил 2 рубля за услугу. Таким образом, в итоге путники
заплатили за обед 27 рублей + 2 рубля остались у маль-
чика, и получается всего 29 рублей, т.е. 30 — 29.
г) Неумеренное употребление алкоголя вредно для здо-
ровья и вообще влечет всякие несчастья. Почти 90%
людей, умерших от рака пищевода и желудка, упот-
ребляли алкоголь много и регулярно, 81% людей,
ставших жертвами дорожно-транспортных происшес-
твий, также достаточно регулярно и неумеренно пили,
84% малолетних преступников происходят из семей,
где один или оба родите. I я — алкоголики, Почти 100%
людей, умерших от переохлаждения на улице (замерз-
ших) — также алкоголики.
д) В ряду натуральных чисел 1 является наибольшим чис-
лом. Предположим, что это не так и наибольшим чис-
лом является не 1, а некоторое число ш Однако, по-
скольку п2 — также натуральное число и п2 больше п,
значит, неверно, что п является наибольшим числом.
А из ложности антитезиса с необходимостью следует
истинность тезиса, т.е. что в ряду натуральных чисел
1 является наибольшим числом.
е) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутрен-
них углов, не смежных с ним.
Посмотрим нк чертеж: внешний ZBCE треугольника АВС
равен ZDAC как соответственный ему. Вместе с тем
ZDAC есть cyMMaZDAB и ZBAC. Но ZDAB = ZABC.
как накрест лежащий с ним. Значит, ZDAC = ZABC +
ZBAC и, следовательно, ZBCE = ZABC + ZBAC.
ж) Так как каждая молекула воздуха, т.е. молекула азота,
кислорода и т.д., движется со средней скоростью около
полукилометра в секунду, и так как земная атмосфера
— совокупность молекул воздуха (азота, кислорода и
т.д.), то земная атмосфера движется со скоростью око-
ло полукилометра в секунду.
з) “Вышеизображенный дворянин, которого уже самое
155
имя и фамилия внушает всякое омерзение, питает в ду-
ше злостное намерение поджечь меня в собственном
доме. Несомненные чему признаки из нижеследующе-
го явствуют: во-первых, оный злокачественный дворя-
нин начал выходить часто из своих покоев, чего пре-
жде никогда по причине своей лености и гнусной туч-
ности тела, не предпринимал, во-вторых, в людской
его, примыкающей о самый забор, ограждающий мою
собственную, полученную мною от покойного родите-
ля моего, блаженной памяти Ивана, Онисиева сына,
Перерепенка, землю, ежедневно и в необычайной про-
должительности горит свет, что же явное есть к тому
доказательство, ибо до сего, по скаредной его скупос-
ти, всегда не только сальная свеча, но даже каганец
был потушаем”.
и) “Оный же дворянин Перерепенко имеет посягательст-
во на самую жизнь мою и до 7-го числа прошлого меся-
ца, содержа в тайне сие намерение, пришел ко мне и
начал дружеским и хитрым образом выпрашивать у
меня ружье, находившееся в моей комнате, и предла-
гал мне за него, с свойственною ему скупостью многие
негодные вещи, как-то: свинью бурую и две мерки ов-
са. Но, предугадывая тогда же преступное его намере-
ние, я всячески старался от оного уклонить его; но
оный мошенник и подлец, Иван, Иванов сын, Перере-
пенко, выбранил меня мужицким образом и питает ко
мне с того времени вражду непримиримую”.
к) Существуют несоизмеримые отрезки (соизмеримыми
называются отрезки, для которых можно найти отре-
зок, укладывающийся целое число раз на каждом из
них). Такими отрезками являются, например, сторона
и диагональ квадрата. Отложим на диагонали (DB)
квадрата (ABCD) его сторону. Затем остаток диагонали
(BE) отложим на стороне (ВС), часть которой (BG) яв-
ляется теперь диагональю нового квадрата (BFGE). Ос-
таток этой диагонали будет стороной третьего квадра-
та, тогда как часть стороны второго квадрата — его ди-
агональю. Очевидно, что процесс никогда не закончит-
ся: мы не найдем отрезок, не оставляющий остатка,
т.е. укладывающийся целое число раз на диагонали и
стороне квадрата.
156
Образец. Очевидно, что тяжелые предметы по природе
своей стремятся к центру мира, а легкие удаляются от не-
го. Опыт же показывает нам, что тяжелые предметы стре-
мятся к центру Земли, а легкие удаляются от него. Следо-
вательно, центр мира совпадает с центром Земли.
Для доказательства тезиса, что центр мира совпадает с
центром Земли, приведено два аргумента, первый из кото-
рых сам требует обоснования. Таким образом, в доказа-
тельстве содержится ошибка — предвосхищение основа-
ния.
2. Проанализируйте следующие опровержения и опреде-
лите, что опровергается и почему опровергается:
а) “Если бы не было субстанциальных форм, говорят схо-
ластики, природные сущие были бы не целокупностя-
ми, называемыми per se; totum per se,'a акцидентально
сущими; но они являются целокупностями per se; сле-
довательно, субстанциальные формы существуют.
Здесь мы должны попросить тех, кто прибегает к этому
доказательству, пояснить, что они разумеют под “це-
локупностью per se; totum per se”. Если они разумеют
под этим, как оно и есть, сущее, состоящее из материи
и формы, то ведь это то же самое, как если бы они ска-
зали, что, не существуй субстанциальных форм -т- при-
родные сущие на состояли бы из материи и субстанци-
альных фоРм- А если они разумеют под этим нечто
иное, пусть они объяснят, что именно.
б) “Аристотель хочет доказать, что мир совершенен, с по-
мощью такого довода: Мир совершенен, так как он со-
держит тела; тело совершенно, так как оно содер-
жит три измерения; три измерения совршенны, так
как три суть все; три суть все, так как словом “все”
не пользуются, когда есть только одна вещь или две,
но только когда их три. С помощью этого довода мы
докажем, что малейший атом столь же совершенен,
как и мир, потому что он, равно как и мир, имеет три
измерения. Но это вовсе не доказывает, что мир совер-
шенен; наоборот, всякое тело как таковое по самой
своей сущности несовершенно и совершенство мира со-
стоит прежде всего в том, что он включает создания,
которые не являются телами”.
в) “Аристотель доказывает также, что небо не подверже-
но изменениям и уничтожению, поскольку оно совер-
шает круговое движение и поскольку нет ничего, что
было бы противоположно круговому движению.
Но, во-первых, не видно, как связана противополож-
ность движения с уничтожением или изменением тела.
157
И, во-вторых, тем более не ясно, почему круговое дви-
жение с востока на запад не противоположно обратно-
му круговому движению — с запада на восток”.
Образец. Гассенди доказывает наличие пустого про-
странства, рассуждая так: Если пространство А, будучи
уже совершенно заполнено воздухом, способно принять
под давлением еще некоторое количество воздуха, то ли-
бо входящий туда новый воздух должен проникать в про-
странство, уже занятое другим воздухом, что невозмож-
но, либо нужно, чтобы воздух, заключенный в простран-
стве А, не заполнял его целиком и между частицами воз-
духа оставались пустые пространства. Но г-н Гассенди
исходит из неполного перечисления — ведь помимо гипо-
тезы о проникновении, которую он справедливо считает
противоестественной, и гипотезы о распространенных
между частицами материи пустотах, которую он хочет
обосновать, есть еще третья гипотеза, что между более гру-
быми частицами воздуха есть более тонкая и более легкая
материя, способная выходить сквозь поры всех тел и что
она изгоняется частицами воздуха”.
Здесь опровергается доказательство Гассенди, на том
основании, что оно разделительное с неполным множест-
вом альтернатив. Ложность одной из них не свидетель-
ствует об истинности другой, так как существует по край-
ней мере еще одна альтернатива и истинной может быть
именно она. Тезис же доказательства не опровергается, он
остается просто недоказанным.
158
СОДЕРЖАНИЕ:
Предисловие...........................................3
Тема: ПОНЯТИЕ
1. Что такое понятие? Содержание и объем понятия,
части и элементы объема...........................4
2. Ограничение и обобщение понятий...............10
3. Деление оъбема понятия...,....................17
4. Отношения между понятиями.....................21
5. Операции с классами (объемами понятий).
Диаграммы Венна..................................27
6. Определение, его виды.........................36
7. Правила определения...........................40
8. Виды понятий..................................41
Тема: СУЖДЕНИЕ
1. Суждение и предложение....................<....47
2. Виды простых суждений.........................51
3. Выделяющие, исключающие
и определенно-частные суждения...................57
4. Сложные суждения..............................59
5. Отрицание суждений............................66
6. Отношения между суждениями....................69
Тема: ВОПРОС КАК ФОРМА МЫСЛИ
1. Логическая структура и виды вопросов.
Корректные и некорректные вопросы................80
2. Ответы, их виды..................................86
Тема: УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Общая характеристика и виды умозаключений........89
2. Дедуктивные умозаключения.....................90
2.1. Непосредственные умозаключения
по логическому квадрату........................90
2.2. Непосредственные умозаключения путем
преобразования структуры суждения..............94
2.3. Простой категорический силлогизм...... 100
2.4. Энтимема..................................109
2.5. Умозаключения из сложных суждений.........114
3. Индуктивные умозаключения....................123
3.1. Полная индукция......................... 124
3.2. Неполная индукция: популярная и научная...126
4. Умозаключения по аналогии........................137
Тема: ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АРГУМЕНТАЦИИ
1. Аргументативный процесс, его структура.......141
2. Виды доказательств и опровержений............145
3. Правила доказательства. Ошибки в доказательствах.153
159