Lecture Notes in Mathematics
Edited by A. Dold and B. Eckmann
463
Hui-Hsiung Kuo
University of Virginia
GAUSSIAN MEASURES IN BANACH SPACES
Springer-Verlag
Berlin •Heidelberg-New York
1976

X.-C. ГО
Гауссовские меры
в банаховых пространствах
Перевод с английского В. В. Ульянова
под редакцией В. В. Сазонова
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1979

УДК 519.21 + 517.43
Небольшая по объему, но очень содержательная книга.
Посвящена изучению широкого круга проблем, связанных с
гауссовскими распределениями на банаховых пространствах и
лежащих на стыке теории вероятностей и функционального
анализа. Изложение ведется на основе введенного Л. Гроссом
понятия абстрактного винеровского пространства. Затрагива-
Затрагиваются такие вопросы, как теория потенциала в гильбертовом
пространстве, стохастические интегралы на абстрактном вине-
ровском пространстве, интегрирование на бесконечномерных
многообразиях.
Книга представляет интерес для специалистов по теории
вероятностей и функциональному анализу. Она доступна сту-
студентам старших курсов математических специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
1702060000
20203-002
041@1)—79
02—79
© by Springer-Verlag Berlin-Heidelberg 1975. All
Rights Reserved. Authorized translation from
English language edition published by Sprin-
ger-Verlag Berlin-Heidelberg-New York
© Перевод на русский язык, «Мир», 1979
Х.-С. Го
ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Ст. научный редактор В. И. Авербух
Мл. научный редактор Л. С. Суркова
Художник A. Bt Захаров. Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор Н. И. Борисова. Корректор Н. И. Баранова
ИБ № 1285
Сдано в набор 31.05.78. Подписано к печати 24.01.79. Формат бОХЭО'Дв. Бумага типо-
типографская Кя 2. Латинская гарнитура. Высокая печать. Бум. л. 5,50, печ. л. 11,00.
Уч.-изд. л. 10,20. Изд. № 1/9635. Тираж 5400 экз. Цена 80 коп. Зак. 1188.
Издательство «Мир», 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-Й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой «Союзполиграфпрома» при Государственном комитете СССР по делам изда-
издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52, Измайловский про-
проспект. 29.

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Настоящая книга посвящена систематическому изложению
общей теории абстрактных винеровских пространств и ее при-
приложений. В ней затрагиваются также и некоторые смежные
вопросы.
В общих чертах абстрактное винеровское пространство
можно описать следующим образом. Пусть Я— сепарабель-
ное гильбертово пространство. Для всякого подмножества Я
вида ?={jceW; Ялте/7}, где Р — конечномерный проектор
в Я и F — борелевское подмножество РН, положим
JL*JL
dx;
здесь п — размерность РН и dx — мера Лебега на РН. Класс
множеств Е указанного вида образует алгебру, на которой \х
представляет собой конечно-аддитивную, но не а-аддитивную
меру. Пусть, далее, | • | — норма на Я, более слабая, чем ис-
исходная норма, В— пополнение Я по |-| и / — тождественное
отображение Я в В. Оказывается, что если | • | обладает не-
некоторыми дополнительными свойствами (является в некото-
некотором специальном смысле измеримой), то существует борелев-
ская мера \i' на 5, такая, что для любых Ьи ..., Ьт^В* и
любого борелевского A a Rm
V.'{{yeB;({bl9y)9...9 (Ьм,у))еА})~
= |i ({x 6 Я; «t%, *>,..., <rtm, x)) € А})
((bh У) обозначает значение функционала Ь\ на элементе у\ Р—
отображение, сопряженное к /; <•, •> — скалярное произведе-
произведение в Я). Таким образом, расширив пространство Я, можно
«превратить» не а-аддитивную меру \х в а-аддитивную меру \i'.
Фигурирующая в описанной схеме тройка (*', Я, В) и на-
называется абстрактным винеровским пространством. Понятие

6 Предисловие редактора перевода
это принадлежит Л. Гроссу и было абстрагировано им из
частного случая, когда Н есть пространство С равных в нуле
нулю абсолютно непрерывных вещественных функций на [0,1]
с производными из L2 [0,1], наделенное скалярным произве-
произведением
а | • | — равномерная норма. В указанном частном случае
В=*С [0,1] и \i'— классическая мера Винера. Выделение С
и рассмотрение связи между С и С делает прозрачными мно-
многие факты теории интегрирования в С по мере Винера. Ана-
Аналогично обстоит дело и в общей ситуации.
Первая из трех глав книги представляет собой системати-
систематическое и в значительной степени замкнутое изложение теории
абстрактных винеровских пространств; ранее монографиче-
монографического изложения этой теории не существовало. Попутно в ней
изучаются некоторые смежные вопросы теории меры в бана-
банаховых и гильбертовых пространствах.
Во второй главе речь идет о теоремах, утверждающих, что
две гауссовские меры либо эквивалентны, либо ортогональны.
Рассматриваются случаи гильбертова, классического функцио-
функционального и абстрактного винеровского пространств. В случае
эквивалентности, как правило, выводятся формулы для плот-
плотностей.
Наконец, последняя, третья глава посвящена специальным
вопросам и темам, связанным с понятием винеровского про-
пространства, таким, как бесконечномерная теория потенциала,
стохастические дифференциальные уравнения в банаховых
пространствах, бесконечномерное обобщение формулы Гаус-
Гаусса — Остроградского.
Материал второй и третьей глав частично пересекается
с материалом монографий Ю. А. Розанова «Гауссовские
бесконечномерные распределения» (М.: Наука, 1975) и
А. В. Скорохода «Интегрирование в гильбертовом простран-
пространстве» (М.: Наука, 1975). В книге Го, однако, этот общий
материал имеет другое освещение — почти всё пронизано
идеей абстрактного винеровского пространства.

Предисловие редактора перевода 7
Книга основана на курсе лекций, и это отразилось на ее
характере — изложение, как уже отмечалось, в большой сте-
степени замкнутое в себе, простое и детальное, однако степень
детализации не всюду одинакова. Ряд тем, особенно в послед-
последней главе, дан конспективно, приводятся лишь схемы дока-
доказательств, а порой автор и вовсе ограничивается одними фор-
формулировками результатов. Доказательства не всегда самые
короткие; иногда краткость приносится в жертву прозрачно-
прозрачности или методологическому единству.
При переводе в оригинале были замечены различные опе-
опечатки и мелкие неточности, они исправлены без специальных
на то указаний.
Книгу, особенно первые две главы, можно рекомендовать
для первого ознакомления с предметом. Изложение отдель-
отдельных вопросов, особенно в третьей главе, интересно и специа-
специалистам — автор подводит в ней читателя к области исследо-
исследований, еще весьма далекой от завершения и содержащей не-
немало увлекательных открытых проблем.
В. В. Сазонов

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе курса лекций под названием
«Применения теории меры», прочитанного весной 1974 года
в Университете штата Вирджиния. Как легко убедиться, пред-
предложенный материал не совсем удачно соответствовал назва-
названию курса. Основной целью курса было познакомить слуша-
слушателей с понятием абстрактного винеровского пространства и
изложить некоторые связанные с ним вопросы. Этот материал
вошел в первые две главы и первые три параграфа третьей
главы. Последние четыре параграфа главы III были добавле-
добавлены при переработке лекций.
Я с глубоким сожалением отказался от подробного обсуж-
обсуждения недавних работ Дж. Иллса, К. Д. Элуорти, Р. Рэймера
и других авторов, посвященных интегрированию на банахо-
банаховых многообразиях. Мне кажется, что включение этих резуль-
результатов в книгу было бы несколько претенциозным.
Я хочу выразить искреннюю признательность профессорам
Леонарду Гроссу и Киёси Ито за постоянную поддержку и то
влияние, которое они оказали на мое математическое разви-
развитие. Беседы с ними всегда были для меня источником вдох-
вдохновения. Мне хотелось бы также поблагодарить Тэйвана
Трента, выправившего рукопись. Особая моя благодарность
Барбаре Смит и Фугугэ Го, которые напечатали рукопись.
Эта книга писалась при частичной поддержке Националь-
Национального научного фонда,
Х-С, Го

Глава I
ГАУССОВСКИЕ МЕРЫ
В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В теории интегрирования в Нп фундаментальную роль
играет мера Лебега. Напомним, что мера Лебега однозначно
(с точностью до константы) определяется следующими усло-
условиями: (а) она принимает конечные значения на ограничен-
ограниченных борелевских множествах и положительна на непустых
открытых множествах; (Ь) она инвариантна относительно
сдвигов.
Можно задать вопрос: существует ли мера Лебега в беско-
бесконечномерных пространствах? Ответ отрицателен. Действитель-
Действительно, рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Н.
Пусть \х— борелевская мера на Я. Потребуем, чтобы она
удовлетворяла приведенным выше условиям (а) и (Ь), и до-
докажем, что это ведет к противоречию. Пусть {ей е2, ...} —
какой-нибудь ортонормированный базис в Я, Вп — шар ра-
радиуса 2~х с центром в еп и В — шар радиуса 2 с центром в на-
начале координат. Тогда 0 < \л(В\) = \i(B2) = ц(Вз) =...<«>.
Заметим, что все Вп попарно не пересекаются и содержатся
в В. Следовательно,, должно быть \х (В) ^ ? М- (Вп) = °°> что
п
противоречит (а).
Отметим, что то же самое рассуждение показывает, что
если вместо инвариантности ц относительно сдвигов потребо-
потребовать инвариантность относительно вращений, то и в этом слу-
случае желаемой меры ц не существует.
К счастью, в бесконечномерных пространствах сохраняет
смысл понятие гауссовской меры. Это понятие и будет основ-
основным предметом наших исследований в данной главе. Гауссов-
ская мера на Rn определяется следующим образом:
Pi (Е) = Bnt)"nl2 [ еч х т dx9 Е<=<% (Rn).
Мера pt инвариантна относительно вращений. Как мы только
что убедились, в случае гильбертова пространства мера pt не
может быть инвариантной относительно вращений. Тем не ме-
менее она оказывается инвариантной относительно вращений
некоторого другого гильбертова пространства, вложенного в
исходное. Это будет пояснено ниже в настоящей главе.

10 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Сначала мы рассмотрим борелевские меры в гильбертовых
пространствах (здесь в основном излагаются результаты Про-
Прохорова [39], Сазонова [41] и Гросса [17]). Затем изложим
результаты о гауссовских мерах в банаховых пространствах
(в основном принадлежащие Винеру [3, 4] и Гроссу [18]).
Изучению борелевских мер в гильбертовых пространствах мы
предпошлем краткий обзор теории операторов Гильберта —
Шмидта и ядерных операторов (см., например, [8]).
§ 1. ОПЕРАТОРЫ ГИЛЬБЕРТА —ШМИДТА
И ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство с нор*
мой | • |= У( •, •) и А — линейный оператор в Я.
Теорема 1.1. Пусть {еп} и {dn} — два произвольных орто-
нормированных базиса в Н. Тогда
?\n\Z\n\
л-1 л-1
Замечание. Из этой теоремы вытекает, что если ряд
оо
X [ Аеп |2 сходится для некоторого базиса {?л}, то сходимость
л-1
имеет место и для любого другого базиса {dn}. И точно так
00
же из расходимости ряда ? | Аеп |2 следует его расходимость
я-1
для любого другого базиса {dn}.
00
Доказательство. Заметим, что \Aenf— 2] \{Аеп, dm)l2.
m-l
Следовательно,
Zl^»P=Z Si (Aea, dm) f - E ? I (en, A4m) P =
Это справедливо для произвольных базисов {еп} и {dm}. По-
Полагая dm = em, мы получаем, что для любого ортонормирован-
ного базиса {dn}
m m
Подстановка в предыдущее соотношение дает

§ 1. Операторы Гильберта — Шмидта и ядерные операторы 11
Определение 1.1. Линейный оператор А в Н называется
оо
оператором Гильберта — Шмидта, если ? | Аеп |2 < оо для
п-1
некоторого ортонормированного базиса {еп} в Н. Норма Гиль-
Гильберта— Шмидта^ оператора А определяется формулой
л-1
Замечание. В силу теоремы 1.1, H-Afe не зависит от вы-
выбора {<?„}.
Теорема L2. (а) Ц А* ||2—1| А |Ь.
(Ь) ||аЛ||2 = |а|И||2 (а-скаляр).
F) ||Л||<||Л|к, где
(е) || АВ ||2 < || А || И В ||2, || АВ ||2 < || А ||21| В \\.
Замечание. Утверждение (а) надо понимать так: если А —
оператор Гильберта — Шмидта, то его сопряженный Л* также
есть оператор Гильберта — Шмидта и справедливо указанное
равенство. Аналогичные замечания относятся и к остальным
утверждениям.
Доказательство, (а) вытекает из доказательства теоре*
мы 1.1.
(b) очевидно.
(c) следует из соотношения
+ B)x\<\Ax
и неравенства Минковского
/, /оо у/,
Далее,
П-1 — . rt=-l П-1
= \x?i\Atenf = \x?\\
Д—1
Следовательно, \Ах\ < |х|||Л||2, что дает (d).

12 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Первое неравенство в (е) может быть доказано следую-
следующим образом:
поэтому
|| ЛВ ||2 <|| Л
Наконец,
#
Обозначения. 2\2>(Я) обозначает совокупность операторов
Гильберта — Шмидта в Я, а 9?(Н)—совокупность ограни-,
ченных линейных операторов в Я. По теореме 1.2, (d),
2?B)(Н)аЗ?(Н). Если пространство Я конечномерно, то
3?{2)(Н) = 3?(Н). Однако в случае бесконечномерного Я мы
имеем 3?B)(Н)Ф 2?(Н); например, тождественный оператор /
в Я принадлежит 9?(Я), но не прийадлежит 2{&{Н).
Определение 1.2. Пусть А и В принадлежат 2Ъ(Я). Опре-
Определим скалярное произведение Гильберта — Шмидта <<Л,В»
операторов А и В формулой
«Л,В»щ-?(Аея, Веп),
где {еп} — произвольный ортонормированный базис в Я.
Замечание. Приведенный выше ряд абсолютно сходится,
поскольку
2\(Аеп,
Кроме того, применяя те же рассуждения, что и в доказатель-
доказательстве теоремы 1.1, легко доказать, что «Л, В» определено
корректно.
Теорема 1.3. 5?B)(Я) со скалярным произведением «•,•>>
является гильбертовым пространством.
Доказательство. Утверждения (Ь) и (с) теоремы 1.2 пока-
показывают, что 3?B)(Н) есть векторное пространство. Ясно, что
«Л,Л» = || Л ||2. Докажем полноту ^(Я). Пусть {Л„} —
последовательность Коши в 2*B)(Я). В силу теоремы 1.2, (d),
{An}—последовательность Коши и в 9?(Н). Напомним, что
5Р(Я) является банаховым пространством относительно опе-
операторной нормы. Следовательно, существует оператор Л е
^(Я), такой, что
Нт||Лд-Л|| = 0.

§ 1. Операторы Гильберта— Шмидта и ядерные операторы 13
Мы должны доказать, что Л <= i?B> (Я) и lim || Ап — Л ||2 = 0.
Пусть е > 0. Тогда || Ап — Ат ||2 < е для достаточно больших
пит. Далее,
для достаточно больших m и я и произвольных s. Полагая
т->оои замечая, что lim || ЛЛ—- Л || = 0, видим, что
fe-1
для достаточно больших ах и произвольных s. Устремляя 5
-v оо, получаем
где п достаточно велико. Итак, ^-^e^fff), и поэтому
А = Ап + (А — Л„)<= ^B)(Я). Кроме того, || Ап — А ||2<е для
достаточно больших /г. Таким образом, lim || Ап — Л ||2 = 0. ф
Пример 1. Оператор А в /2, определенный формулой
А{аь аъ ..., ал, ...) = (аь -у-, ..., -^-, ...),
представляет собой оператор Гильберта — Шмидта в /2, и
n-l
Пример 2. Оператор Л:/2->/2, задаваемый равенством
Л (ai, a2, ..., anf ...) = {о.\аь a2a2, ..., апап, ...)»
является оператором Гильберта — Шмидта тогда и только
оо
тогда, когда Z I an I2 < °°-
Пример 3 (интегральный оператор Гильберта — Шмидта).
Пусть ks= L2(R2). Определим оператор К : L2(R) -L2(R)
положив
оо
Kf(s)= \ k(s,t)f(t)dt.
— оо
Тогда К — оператор Гильберта — Шмидта и
\k(s9t)\4sdt)jf2.
(\\\
j

14 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Конечно, нам надо проверить, что /C/eL2(R), когда /eL2(R).
Имеем
— ОО —ОО
] ( ] I * (s, t) рл? \ I / @ fdt\ds =
— oo ^ —oo ' ^—oo '
— OO — OO
—ifp
Тем самым, мы показали не только то, что К отображает
L2(R) в себя, но и то, что К — ограниченный оператор и
\\K\\ < 11*11*
Чтобы доказать, что К действительно является оператором
Гильберта — Шмидта, воспользуемся теоремой Фубини. Заме-
Заметим, что
ОО 00 00 00
— ОО —00
5 J k(s, t)?dsdt<oo,
—ОО — ОО
отсюда по теореме Фубини
оо
\ I k{s, t) fdt<oo для почти всех s,
т. е.
k (s, •) е L2 (R) для почти всех s.
Пусть {еп}.— ортонормированный базис в L2(R). Тогда для
почти всех s
Л-1
Отсюда
Л-1
оо
J k(s,t)en(t)dt
оо оо
¦IS
Л—1 —00
ds-
ds

§ 1. Операторы Гильберта — Шмидта и ядерные операторы 15
(по теореме о монотонной сходимости). Поэтому
оо
\ k{s,t)en(t)dt
•оо
Л I2 Л/ //о = \ \ \ b (q t\ I2 /// //c II b\\2 ^ oo Jt
J J
—оо —оо
Обратимся теперь к рассмотрению ядерных операторов
в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Для этого
используем полярное разложение операторов. Напомним, что
комплексное число z может быть записано в виде z = eiQa,
где \еш\ = 1 и а > 0. Аналогом сомножителя eiQ служит изо-
изометрический оператор, а аналогом а — положительный опе-
оператор.
Определение 1.3. Оператор в Я называется компактным,
если он переводит всякое ограниченное подмножество из Я
в множество, замыкание которого компактно.
Упражнение 1. Доказать, что компактный оператор огра-
ограничен. Показать также, что если dim (Я)= оо, то тождествен-
тождественный оператор не компактен.
Упражнение 2. (а) Доказать, что оператор проектирования
компактен тогда и только тогда, когда он конечномерен.
(Ь) Если А — компактный оператор и В — ограниченный
оператор, то как АВ, так и В А — компактные операторы.
Упражнение 3. Пусть {гп} — ортонормированный базис
в Я и {рп} — последовательность чисел, сходящаяся к нулю.
Положим
Показать, что Т — компактный оператор.
Теорема 1.4 (о полярном разложении). Всякий компакт»
ный оператор А в Я может быть записан в виде А = UT, где
Т — положительно определенный компактный оператор в Я,
a U — изометрическое отображение множества значений one»
ратора Т в Я.
Замечания. 1. Конечно, оператор U можно продолжить по
непрерывности на замыкание множества Т(Н). Обычно О
линейно продолжают на Я, полагая U равным 0 на ортого-
ортогональном дополнении к Т(Н). При таком U произведение UT
называется полярным разложением оператора 4,

16 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
2. Смысл теоремы в том, что для Т мы имеем спектраль-
спектральное представление и можем формулировать различные утверж-
утверждения относительно А в терминах этого спектрального пред-
представления.
3. Весьма часто Т обозначают через (ЛМ)'/а.
4. Доказательство этой теоремы основывается на следую-
следующей теореме о спектральном представлении, которую мы при-
приводим без доказательства (см., например, [34]).
Теорема 1.5. Для всякого самосопряженного компактного
оператора А существует такой ортонормированный базис {еп}
в Я, что
оо
Ах= ШК(х> en)ent
где %п — вещественные числа и %п->0 при п-*оо.
Замечание. Числа %п называются собственными значения-
значениями, а векторы еп — собственными векторами оператора А. За-
Заметим, что для положительно определенных операторов %п^0.
Доказательство теоремы 1.4. Рассмотрим оператор В =
= ЛМ. Он компактен (см. упр. 2, (Ь)). Далее, он положи-
положительно определен, поскольку
(ВХу х) = (А*Ах, х) = {Ах, Ах) = \Ах\2^0.
Следовательно, по теореме 1.5
оо
Вх=2,К(х, еп)еП9
где {еп} —ортонормированный базис вЯи^^0Дл^0 при
я->оо. Положим
оо
Tx=Z УМ*. еп)еп.
Оператор Т компактен (упр. 3) и, очевидно, положительно
определен.
Определим теперь оператор U на области значений Т(Н)
оператора Т, положив
U(Tx) = Ax, *e#.
Заметим, что \Ах\2 = (Вх,.х}=\Тх\2. Поэтому Тх = 0 вле-
влечет Ах = 0. Таким образом, U корректно определен и A=UT.
Далее,
р 2
Следовательно, | U(Tx) \ = | Тх\, т. е. V — изометрический
оператор в Т(Н). =fj=

§ 1. Операторы Гильберта— Шмидта и ядерные операторы 17
Определение 1.4. Компактный оператор Л в Я называется
оо
ядерным, если 2 К < °°> где Хп — собственные значения опе-
ратора (ЛМI/*.
Упражнение 4. Доказать, что произвольный оператор Гиль-
Гильберта — Шмидта компактен. Далее, оператор Л является опе-
оператором Гильберта — Шмидта тогда и только тогда, когда он
оо
компактен и 2 & < °°, где %п — собственные значения опе-
оператора (Л*ЛI/з. Доказать также, что в этом случае ||Л||2 =
/ °» V/2
— IV А21
— I Zj Лп I .
\rt-l /
Обозначения. 3?(\){Н) обозначает совокупность ядерных
операторов в Н. Если Ле<2?A)(Я), то ядерная норма опера-
оператора Л определяется формулой
Определение 1.5. Если оператор Де^^Я), то его след
(обозначаемый через tr Л) определяется следующим образом:
оо
tr А = ? (Аепу еп)9
1
л-1
где {еп} — произвольный ортонормированный базис в Я.
Замечания. Как легко видеть, tvA не зависит от выбора
{еп}. Далее, пусть {еп}—собственные векторы оператора
(ЛМI/а и <хп — соответствующие собственные значения. Тогда
Е | (АеП9 еп) | = Е | (UTen9 еп) | = ? «n I (Uen, еп) \ < I ап.
п—\ п=1 л—1 /»¦=
оо
Поэтому ряд Yd {Aen, еп) абсолютно сходится.
Теорема /.бТ'(а) ||аЛ||t = |a|||А||ь оеС.
(b) М + ВЦ.^ЦЛЦ. + ЦВ»,.
(c) || А || < || А ||,.
(d) Если A, fle=2\2)(#), то ЛВе27
(e) 1
(f) || АВ ||, < || А || || В ||ь \\АВ ||, < || А ||, || В ||,
@ И'II» =11Л ||,.

18 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Доказательство, (а) следует из равенства aA = eiepUT —
= (eiQU)(pT), где сс = ре'*9 и A = UT. Отметим, что eiQU
является изометрическим оператором и рГ — положительно
определенным компактным оператором.
(b) Доказать это утверждение предлагается читателю
в качестве упражнения 5.
(c) вытекает из соотношений
\Ax\ = \UTx\ = \Tx\ =
Е ап(х, еп)еп <? ап\{х, OIK К Е «nUI =
= 1*1 E «n = UIHII,.
(d) можно доказать так. Пусть А и В— операторы Гиль-
Гильберта— Шмидта, AB=UT — полярное разложение АВ, {ап} —
собственные значения оператора Т и {еп} — соответствующие
собственные векторы. Тогда
*я = <ТеП9 en) = (U*UTen, en) = (UTen, Uen) =
Заметим, что | Uen |= 1 и
(Uen9 Uem) = (U*Uen, em) = (en, em) = 6nm9
поэтому последовательность {Uen} ортонормированна (хотя,
возможно и не является базисом). Таким образом,
п
Следовательно,
= l *Л = ? <ВеЯ9 A*
i i
оо / оо \ 2
(e) вытекает из упр. 4 и того факта, что Z ^л^( Z К I
для неотрицательных Я,п.
(f) Пусть В^2?(\)Н и В = UT — полярное разложение
оператора В. Предположим, что Тх = Zап(х> еп)еп> ап^0,
и положим ^/Tx = Z V<?<*. еп)еп- Ясно, что л/Т€Е&{2)(Н)
ц ||Уг | = ^ад = ||В||г Отсюда вытекает, согласно (d), чтр

§ 1. Операторы Гильберта — Шмидта а ядерные операторы 19
АВ = AUT = (AU л/Г") л/Т е &П) (Я), поскольку л/Т €= &&> (Я)
и AU л/Т <= ?{2) (Я). Далее,
Второе неравенство в утверждении (f) следует из (g) и пер-
первого неравенства в (f).
(g) Пусть ^4 ^S'i(H) и A=UT — полярное разложение Л.
Определим л/Т, как и выше. Тогда А = (у л/Т) л/Т. Поэтому
А- = (Vf)' (f/ л/П* = Vf (У л/ГУ.
Следовательно,
Л12 -IУШ f/
Таким образом, доказано, что|| A* ||i<|| Л Id для всех A)()
Поэтому || Л ||, = || (AT ||, < || Л* ||,. Итак, || Л* ||, = || Л Ц,. #
Между прочим, из равенства Л = (U л/Т) л/Т вытекает
такое
Следствие 1.1. Любой ядерный оператор может быть пред-
представлен в виде произведения двух операторов Гильберта —
Шмидта.
Доказать следующую теорему предлагается читателю в ка-
качестве упражнения 6.
Теорема 1.7. 9?(\){Н), наделенное ядерной нормой, есть ба-
банахово пространство.
Замечания. 1. Из теоремы 1.2, (d), и теоремы 1.6, (е), сле-
следует, что ||А|| ^ ||Л||2 ^ ЦАЦ,. Поэтому справедливы включе-
включения
Отметим, что если сИтЯ=оо, то оператор Л из примера 1
не ядерный. Следовательно, первое включение является соб-
собственным. Ранее мы отмечали, что второе включение также
собственное.
2. Пусть Ж{Н)—совокупность компактных операторов
в Я. Можно показать, что Ж{Н)—замкнутое подпростран-
подпространство пространства 2*{Н). Следовательно, Ж{Н) относительно
операторной нормы есть банахово пространство. Имеем
ar(i, (Я) cz <?B) (Я) аЖ(Н)с:2> (Я).
Отметим, что в случае (ИтЯ = оо, как показывает пример 2,
второе включение является собственным. Из упражнения 1
следует, что последнее включение также собственное,

20 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых пространствах
3. Оператор А называется вырожденным, если А(Н) ко-
конечномерно. Пусть 2) обозначает совокупность всех вырож-
вырожденных операторов. Очевидно, 2) — подпространство прост-
пространства 3?{Н). Справедливы следующие включения:
3) cz 2{Х) (Я) с 2{2) (Я) <=:X(H)cz3? (Я).
Фактически можно показать, что
<2?A)(Я) есть пополнение Ф относительно нормы || • ||ь
2?B) (Я) есть пополнение Ф относительно нормы || • ||2,
Ж (Я) есть пополнение 3) относительно нормы || • ||.
4. Пространства 5>A)(Я), ^B)(Я) и Ж(Н) будут играть
важную роль в теории интегрирования в бесконечномерном
пространстве.
5. Если dim Я < оо, то, очевидно,
Л = i?(i) (Я) = #« (Я) = X (Я) = 2 (Н).
6.
§ 2. БОРЕЛЕВСКИЕ МЕРЫ
В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть Я — вещественное сепарабельное гильбертово про-
пространство. Символом Ш будем обозначать борелевское поле
в Я, т. е. а-поле, порожденное открытыми подмножествами
пространства Я. Борелевская мера на Я — это, по определе-
определению, любая мера, заданная на измеримом пространстве
(Я, Я).
Пример 1. Мера Дирака 6*0, сосредоточенная в фиксиро-
фиксированной точке хо пространства Я:
1, если хо^Е,
(
1
если
Пример 2. Пусть \i — борелевская мера на R и е — единич-
единичный вектор в Я. Мера Де, индуцированная мерой \i no направ-
направлению вектора е, — это борелевская мера на Я, определяемая
формулой
где [е] обозначает линейную оболочку вектора е и отображе-
отображение ?: [е] -*- R задается формулой ?(«?) = а.
Пример 3. Пусть \х — борелевская мера на Rn, P — орто-
ортогональный проектор в Я с d'\mP(H)= п и I — идентифици-
идентифицирующее отображение PH-+Rn. Индуцированная мера р, на Я
(зависящая от Р и ?) определяется соотношением

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 21
Определение 2.L Пусть \л — борелевская мера на Н. Кова-
Ковариационный оператор S^ меры \i определяется равенством
<5ц*> у) = ^ (х, z) {yt z) \i (dz), х, у <= Н.
я
Замечание. Оператор S^ может не существовать. Если он
существует, то он положительно определен и самосопряжен.
Пример 4. S6Xax = (x, *o)*o, поскольку
(Stxx, у) = {х, хо) (у, х0) = ((х, х0) хо, у).
Пример 5. Saex = (\t2\i(dt)\(x, e)e, потому, что
(SfiJ*> У) = \ <*, г) (у, г) Цв (dz) = J (x, z) (у, z) \ie (dz) =
Н [е]
= (х, е)(у,е)\ (г, е? ?е (dz) = (х, е) (t/, e) J ^ (dt).
[е] R
Замечание. Предположим, что \ t2\i(dt) = 1. Тогда Sae = Sfie
R
даже в том случае, когда меры 8е и \хе различны. Следова-
Следовательно, мера \х не определяется однозначно своим коварна*
ционным оператором. Тем не менее, как мы увидим позже,
гауссовская мера с нулевым средним полностью определяется
своим ковариационным оператором.
Для удобства введем еще следующее
Определение 2.2. Всякий положительно определенный са-
самосопряженный оператор* принадлежащий 3?(\)(Н)У будем на-
называть S-оператором в Н. Семейство всех S-операторов в Н
будем обозначать через У.
Замечание. Очевидно, 9* не является векторным простран-
пространством и будет рассматриваться лишь как множество. Заме-
Заметим, что если А е 9, то \\A\\\ = tr A.
Теорема 2.1. \\x\2\i(dx) < оо тогда и только тогда, когда
и
Sn<=?\ При этом
tvS[i=\\x?\i(dx).
н
Доказательство. Достаточность. Пусть {еп}~-орто-
нормированный базис в Н. По теореме о монотонной сходи-
сходимости
\ \х |2 |i (dx) = lim \ ((х, е,У +...+<«. еп?) ц (dx).

22 Гл. /. Гаусеовские меры в банаховых пространствах
Но
поэтому
х Р ц (rf*) = Hm У <V/> е,) = У <V/. е,> = tr 5Й < оо.
Необходимость. Прежде всего мы должны дока-
доказать существование ковариационного оператора. Ясно, что
\(х, г)(у, г>|<|х||у|-|гР. Отсюда
$<*> г) (у,
н
Следовательно, билинейная форма \(х, z)(yf z)\i(dz) непре-
н
рывна. Поэтому существует оператор 5^ е & (Я), такой, что
*> *)(У> z)\i(dz).
Я
Очевидно, S^ положительно определен и самосопряжен. Что-
Чтобы доказать включение 5Д е ^, достаточно показать, что ряд
00
У Euert, en) сходится для любого ортонормированного бази-
са {еп} в Я. Имеем
rt-1
Я
оо
У] (а:, О21* (dx) (по теореме о монотонной сходимости) =
Тем самым, помимо включения S^e^7, мы доказали также, что
и
Определение 2.3. Пусть и» — борелевская мера на Я.
Среднее значение меры jx есть элемент m^ e Я, такой, что
= ^
Я.

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 23
Замечание. Вообще говоря, гп^ не существует. Однако
если \ | х | \i (dx) < оо, то т^ существует и | /% | ^ \ | х \ \х (dx).
й н
Пример 6. Пусть \1 — борелевская мера на R, для кото-
которой \ t2\i (dt) < оо, но \t[i (dt) = оо1). Тогда 5д существует, а
R R
АПд не существует.
Упражнение 7. Построить меру \i, удовлетворяющую усло-
условиям примера 6. Построить борелевскую меру v в R, такую,
что 5^ не существует, но т$е существует.
Пример 7. Пусть {еп}—ортонормированный базис в Я и
= $пеп, Р« > 0, п = 1, 2, .... Пусть, далее, ап > 0 и
ап < оо. Определим борелевскую меру ц в Я с счетным но-
носителем, полагая ix({$nen}) = ап, п = 1, 2, ... . Предположим,
что ]?artPrt —°° и arfi2n~*® при п->оо (например, art=l/n2,
рп=уг^). Тогда оператор S^ существует и задается соотно-
соотношением
Очевидно, 5ц е ^(Я), однако S^ ф. У.'
Упражнение 8. Построить меру ц, такую, что Sy^{)
(но, естественно, 5де«2?(Я)). Построить меру jx, для которой
Sui = / — тождественному оператору в Я.
Определение 2.4. Функция ф:Я-*С называется положи»
тельно определенным функционалом, если для любых *ь
Х2, ..., *я ^ Я, п = 1, 2, ..., и произвольных чисел Си ^2, ...
..., сп из С справедливо неравенство
Определение 2.5. Характеристический функционал jl боре-
левской меры ц на Я определяется формулой
я
Замечание. Вообще говоря, (х может не существовать. Од-
Однако если ц(Я) < оо, то ji существует и |A(д:) | ^ \i(H) для
всех х е Я.
!) Конечно, такая мера принимает на ограниченных интервалах, содер-
содержащих 0, бесконечные значения. — Прим. перев.

24 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Упражнение 9. Если \i — вероятностная мера (т.е. ц(#) =
= 1), то р, — положительно определенный функционал и
Й@)=1.
Пусть ц — вероятностная мера на Н и ф — ее характери-
характеристический функционал. Посмотрим, насколько гладким может
быть функционал ф.
Прежде всего покажем, что он равномерно непрерывен.
Пусть задано некоторое е > 0. Найдется такое г > 0, что
ti(Sr) > 1—е/4, где5г= [х; \х\ ^г}. Имеем
= \ + \ (Scr — дополнение шара 5Г)
Sr Scr
Выберем б > 0, удовлетворяющее условию б < •—-. Тогда при
\х — у\ <б выполняется неравенство \у(х)—ф(у)| < е.
Следовательно, функционал ф равномерно непрерывен.
Однако в случае dim H = оо для ф можно получить нечто
большее, что и составляет основное содержание следующей
теоремы.
Теорема 2.2 (Прохоров). Функционал ф на Н является ха-
характеристическим функционалом некоторой вероятностной
меры на Н тогда и только тогда, когда (а) ф@)= 1 и ф поло-
положительно определен; (Ь) для любого е > 0 существует опе-
оператор Se e ^, такой, что
1 — Reф(*)<(Sex, х) + г при всех х&Н.
Замечание. Из (Ь), в частности, вытекает, что при малых
значениях (SBxt л:> разность 1 — Иеф(х). мала. Заметим, что
<5ед:, х) может быть малой величиной даже при больших |jc|.
Отметим также, что множество {(SBx, *>< а} есть эллипсоид
с полуосями (а/1\L2, (а/Х^1** ..., где %п ->- собственные значе-
значения оператора Se.
Доказательство. Необходимость. Пусть
Согласно упр. 9, выполняется (а). Пусть задано произвольное
е > 0. Выберем 0 < г < оо, такое, что \i(Sr) > 1 — е/2,

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 25
5, —шар {|jc|< г}. Тогда
Заметим, что
sr
"г
Поэтому достаточно показать, что
1 - Re \ е'«- »>|i (dy) < (Stx, x) + -§-
для некоторого оператора S8 s ^. Но
1 - Re \ енх' у'ц (dy) = \ A - cos <*, у» ц (dy) +
J(l-cos<x, y»|i
i.
Напомним, что для всех вещественных 8 справедливо не-
неравенство 1 — cos 8 <j 82/2. Следовательно,
A - cos (х, у)) р (dy) < у J <лг, ^/J |i (dy).
Применяя те же рассуждения, что и в доказательстве теоремы
2.1, устанавливаем существование оператора Se s ^, опреде-
определяемого формулой
(Ssx, у)=4
Отсюда немедленно следует доказываемый результат.
Замечания. 1. Если ковариационный оператор S^ меры ц
существует, то справедливо неравенство 1 — R()^
о
о
^ -=¦ (SpX, x). Однако Su не является, вообще говоря, S-onepa-
тором. Очевидно, когда S^ e ^, неравенство в (Ь) тривиально
выполняется, если взять S8 = 5^/2 для всех е > 0.
2. Заметим также, что Se служит ковариационным опера-
оператором следующей борелевской меры v в Я:

26 Гл. L Гауссовские меры в банаховых пространствах
Ясно, что мера v удовлетворяет условию теоремы 2.1 и по-
поэтому ее ковариационный оператор SB является 5-оператором.
Тем самым мы получаем другое доказательство включения
Достаточность. (Эта часть доказательства довольно
сложна; здесь мы должны будем воспользоваться теоремой
Бохнера для конечномерного случая.)
Шаг 1. Сначала установим некоторые свойства функцио-
функционала ф, вытекающие из (а):
(а. 1) |ф(л:)^1 и ф(л;) = ф(— х) для всех *e#,
(а. 2) | ф(х) — ф(у) |< 2 Vl 1 — Ф(х ~ У) I Для всех х, y<=Ht
(а. 3) 11 — <р (*) К V2" V1 — Re Ф (х) для всех х<=Н.
(а. 1) Возьмем л = 2, л:! ===== 0 и х2 = х. В силу (а), матрица
является положительно определенной в смцсле линейной ал-
алгебры. Следовательно, ф(*)==ф(—*)• Далее, определитель
этой матрицы неотрицателен, т. е. 1—ф(л:)ф(л:) ^ 0. Поэтому
|()|1
()|
(а.2) Возьмем п = 3, х\ ==0, х2 =х и хз = у. Из (а) выте-
вытекает, что матрица
(— х) 1 4>(у — х) 1= ф(л;)
положительно определена. Следовательно, ее определитель
D>0. Но
D = 1 + Ф (х) ф (у) ф (х - у) + ф (*) <р (у) ф (х - у) -1 <р (у) Р -
-1фМ
1^ *) [2 +
— I Ф (л; — у) Р =
= 1 + 2 Re [Ф (я) Ф (у) (Ф (х-у)-1)]-| ф (*)-ф (г/) |2-| Ф (х-у) f.

§ 2. Борелевские меры в гильбертовой пространстве 27
Далее,
I — IФ (д: — г/) I2 = A -К IФ (л: — г/) I A — IФ (аг —
2Re[Ф(л:)Ф(г/)(Ф(л: — у) — 1 )]<21 Ф(д:) 11Ф(у) 11 Ф(л;—у) — 1 К
<2|1-<р (*-*,) |.
Отсюда
О < D < 4 i 1 — Ф (лг — у) |
т. е.
(а. 3). Заметим, что при |z|<l
<l-2Rez+l=2(l-Rez).
Из (а. 1) нам известно, что |ф(л;)|^1, следовательно,
I 1 — Ф (а:) I2 < 2 A — Re Ф (л:)).
Значит,
Замечание, Свойство (а.2) показывает, что если функцио-
функционал ф непрерывен в нуле (относительно любой топологии1)),
то он непрерывен на всем пространстве Н (относительно той
же топологии). Из (а.З) вытекает, что непрерывность функ-
функционала Reф влечет за собой непрерывность ф (ср. с усло-
условием (Ь) доказываемой теоремы).
Шаг 2. Пусть {еп} — некоторый фиксированный ортонор-
мированный базис в Н. Для каждого п ^ 1 определим функ-
функцию гЬ 'на Rn, положив
ev ...,en
*ш% еп(п1> ••" О = Ф(<??1+ ••• +апеп)'
Заметим, что, согласно условию (Ь), функционал Retp непре-
непрерывен в нуле. Поэтому в силу (а.2) и (а.З) функционал ф не-
непрерывен на Н. Следовательно, функция tye e непрерыв-
непрерывна, положительно определена и г|эе е @) = 1 для каждого
п. В силу теоремы Бохнера для R", существует семейство
вероятностных мер {\in}, для которых
%v .... ,я (flp • • • > О = $ *'(в> У)К (*У)>
*) Имеются в виду линейные топологии. — Прим. пере&

28 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Легко видеть, что семейство мер {\хп} согласованно. Следова-
Следовательно, по теореме Колмогорова существуют вероятностное
пространство (Я, Р) и последовательность случайных величин
{Хп}> такие, что
ц„ = Ро(*ь ..., ХПУ\ п=1, 2, ... .
Таким образом,
ф @1*1 + •. • + сгпеп)
Шаг 3. Если мы
сможем
показать,
а
что
оо
У х2
*..
<оо
., ап).
почти
л1
всюду (это будет сделано на шаге 4), то уже несложно будет
завершить доказательство. В самом деле, положим
оо
Л» = Х; Хп(а)еп, oeQ.
Ясно, что X — измеримое отображение Я в Я. Положим, да-
далее, \i = P оХ~1. Очевидно, \i есть вероятностная борелевская
мера на Н. Пусть Qn — ортогональный проектор пространства
Н на линейную оболочку векторов ей *2, ..., ^л, т. е.
ех)е{ + (х, е2)е2+ ... + (х, еп)еп,
Тогда QnX=zlXkek. Согласно результату шага 2,
?—1
Полагая п->оо и замечая, что Qnx->x в Н при я->оо, в силу
непрерывности функционала ф получим ф(Рп^)-^ф(л:). При-
Применяя теорему Лебега о мажорируемой сходимости, находим
\их'х'йР при п^оо.
Следовательно,
ф (х) = J е^ и, *> dP = J б^ <*> ^м, (rfy), jc € Я,

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 29
Шаг 4. Убедимся, что Ys Х2п< оо почти всюду. Прежде
всего заметим, что
Поэтому
... dynt
так как левая часть вещественна.
Далее, пусть задано произвольное е > 0. Согласно пред-
предположению (Ь), существует оператор See^, такой, что
1 — Reф(а:)<(Sex, х) + г, х<=Н.
Следовательно,
. • + yn*k+td) Pi №/)>
где

30 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
является вероятностной мерой на R*. Правая часть послед-
последнего неравенства не превосходит
\ Pi (dy) —
r" г, y-i
J i /
i,/-1 Rft /=-1
Устремляя п->оо, применяя теорему Лебега о мажорируемой
сходимости к левой части предыдущего неравенства и вспоми-
вспоминая, что Se € ^, получаем
как только k ^ fe0, где fe0 — некоторое достаточно большое чи-
число. Отсюда
Наконец,
/7 = 1
2
n-l
/-1 dP (почему?)> 1 -2в.
Поэтому Р {х\ + ... + X2n+ ... < 00} > 1 — 2e для любого
e > 0 и, значит,
а это и есть то, что мы хотели доказать. ф
Приступим теперь к изучению гауссовских мер на Я. Нач-
Начнем с определения.

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 31
Определение 2.6. Гауссовская мера \х на Н — это борелев-
ская мера на //, такая, что для всякого элемента хеЯ из-
измеримая функция <х, •> имеет нормальное распределение,
т. е. существуют вещественные числа тх и ох, для которых
Лемма 2.1. Пусть \х — гауссовская мера на Н. Тогда ее
характеристический функционал задается формулой
(SuX, X)
д — среднее значение меры ща5ц — ее корреляционный
оператор1).
Замечания. 1. В определении 2.6 ничего не говорится о су-
существование тц и 5Д. Лемму надо, конечно, понимать так,
что когда mw и Sy, существуют, характеристический функцио-
функционал ф задается, как указано выше.
2. Можно показать, что jx = v=^jji=v для любых двух
борелевских мер на Н. Поэтому из предыдущей леммы выте-
вытекает, что гауссовская мера на Н однозначно определяется
своими средним значением и ковариационным оператором.
Доказательство. Имеем
Н
где ц* —распределение функции (я, ••). Отсюда
J
Производя замену переменных и вычисляя контурный инте-
интеграл, получаем
•Jmv —
q>(x)
*—Г
1) Корреляционный оператор S^ меры |i со средним пг^ определяется
формулой
<5цДГ, у) = \ (х, г — ту) (у, г — тй> \х (dz), xy у*=Н.
н
Если ту, = о» то корреляционный оператор совпадает с ковариационным. —
Прим. перев.

32 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Но
со
tnx = J t\ix (dt) = \ (х, у) \i (dy) = (х9 m») = (щ, х)
Н
/ - m J2 ц, (Л) = J (ж, у - m»? \x (dy) = (S^x, x),
Я
поэтому
E„ х, х)
Теорема 2.3 (Прохоров), (а) Если \х — гауссовская мера
на Я, то S» <= ?>.
(Ь) ?слг/ jco е Я и S е ?\ го функционал
является характеристическим функционалом некоторой (гаус-
совской) меры в Н.
Замечания. 1. Из теоремы,2.1 и утверждения (а) вытекает,
что \ | х |2 \i {dx) < оо. Следовательно,
н
\\x\\i(dx)<(\\x\2\i(dx)Y<oo,
и, согласно замечанию, сделанному после определения 2.3,
среднее значение пг^ существует.
2. Теорему можно сформулировать так: функционал
Ф (х) = е1 «*•*>-v« <5jc» *>
является характеристическим функционалом гауссовской
меры тогда и только тогда, когда Se?'.
Доказательство, (а) При доказательстве леммы 2.1 было
установлено равенство
Пусть задано произвольное 0 < е < Х1ъ Согласно теореме 2.2
существует оператор S8 e #\ такой, что
1 — Re<p{*)<(Sex, х) + г для всех хе Я.
Пусть Ля, я = 1, 2, ..., — ненулевые собственные значения
оператора 58 и {е,*} — соответствующие собственные векторы.

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 33
Выберем какой-нибудь ортонормированный базис {fn} в ker58
и положим
Sx*
Тогда S €= 9>, ker S = {0} и Eел:, х) < (Sx, x) для всех х е= Я.
Заметим, что
Поэтому
1-е 2 * ^ (Sx, х) + е для любого х е Я.
Утверждение:
D 1 Л
— In t j (Sjc, л:) дл!я всех
Действительно, предположим сначала, что {Sx, x>< е. Тогда
или
Следовательно,
ах < 2 In q——, если Eл:, х) < е.
(8 "Ч'/г
2 Eл: л?)У Х'
Тогда (Sy, t/) < e. Согласно доказанному выше,
Но
\ = 2{sGXt x) \(x, z-mllJ\i(dz) =
откуда и следует, что
Пусть с = — In-:——. Тогда в силу только что доказан-
ного утверждения
я
2 Ха-С4Го

34 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Из этого неравенства следует не только существование кор*
реляционного оператора 5Й меры \i, но и справедливость
включения Sp ев 9.
(Ь) Ясно, что ф@)= 1 и функционал ф положительно
определен.
Рассмотрим сначала случай лг0 = 0. Имеем
1 — Re ф (jc) == 1 — б
поскольку 1 — е~у ^ у для всех у ^ 0. Так как -j S е ?\ то
условие (Ь) теоремы 2.2 тривиально выполнено. Следователь-
Следовательно, согласно теореме 2.2, существует борелевская мера р,, для
которой ф (я) =ji (л*), х е Я, т. е.
<Sx, х)
Пусть \1Х — распределение функции <#, •>• Тогда
<Sx, х)
Поэтому распределение \лх является нормальным со средним
0 и дисперсией <S*, x>. Следовательно, \х — гауссовская мера
на Я.
Рассмотрим теперь случай х<>Ф0. Пусть $(х) — е 2
Тогда
В силу результата, полученного для случая ,хо = 0, суще-
существует гауссовская мера v на Я, для которой ty(x) = v(x)f
хбЯ. Определим борелевскую меру \л на Н следующим об-
образом:
(?) (?) Е
Легко видеть, что ц — гауссовская мера и
д (х) = е* «*• ^>v (х) = е* <*» ^>-ф (х) = ф (х). #
Следствие 2.1. В случае dim Я = оо не существует боре-
левской меры \х на Я, для которой р.(*) = е~|*|2/2.
Доказательство. Если такая мера \i существует, то харак-
характеристический функционал jl(jc) должен удовлетворять усло-
условию (Ь) теоремы 2.2; рассуждая, как в доказательстве части

§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 35
(а) теоремы 2.3, получаем, что /е^7. Однако мы знаем, что
в случае dim Я = оо тождественный оператор / не принад-
принадлежит Р7. #
Установим теперь свойство инвариантности гауссовских
мер, о котором мы упоминали во вводной части главы. Пусть
[I — гауссовская мера на Я с нулевым средним. Переходя,
если надо, к носителю меры р,, можно предполагать, что ее
ковариационный оператор.5 инъективен. (Определение носи-
носителя меры |я и его свойства см. в [25J.)
На пространстве-образе л/S (Н) определим скалярное
произведение < •, • >о, положив
<VS х, л/5 у)о = <*> у), х,уе=Н.
Заметим, что оператор л/S строго положительно определен
и является оператором Гильберта — Шмидта. Пространство
<yfS(H) со скалярным произведением <•, ->о есть гильбертово
пространство. Фактически У? — изометрия Я на <y/S (#)•
Следовательно, операторную"» рассматриваемый как оператор,
действующий из Я в л/S (Я), унитарен.
Обозначения. 1. H0 = ^S (Я). Ниже мы будем рассмат-
рассматривать (Я, \х) как пару (Яо, Я).
2. Для U^3?{H) через О мы обозначаем оператор, со-
сопряженный к JJ. Если Яо инвариантно относительно U, т. е.
U{Но) с: Но, то U\ff можно рассматривать как оператор в Яо.
Из теоремы о замкнутом графике легко следует, что этот опе-
оператор U\H^3?(H0). Мы будем обозначать его через Uo. Опе-
Оператор, сопряженный к оператору Уе^(Я0), будем обозна-
обозначать через V*.
Лемма 2.2. Пусть U^2{H) и U(H0)a:H0. Тогда Щ =
= sus~l.
Доказательство. Для х, у& Но имеем
(х, U*oy)o { 1
= <VS x,
-l
y\ = (x, SUS-ly\. #
Теорема 2.4. Пусть V^S{H) и U(H0)czH0. Предпо-
Предположим, что Uо — унитарный оператор в Но. Тогда \xU-1 = \i.
Доказательство. Легко видеть, что \iU~l — гауссовская
мера на Я с нулевым средним. Поэтому нам надо лишь пока-
показать, что ковариационный оператор 5 меры [i совпадает с ко-

36 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
вариационным оператором Т меры [iU~l. Для х, у ей
(Тх, у)
я
- J <*. I/a?> {у, Uz) |i (dz) = J <?/*, 2> <&t/, г) |i (dz) =
H H
= (SUx, Uy) = (USUxt y) = (U0SUx, y).
Но поскольку оператор Uo является Я0-унитарным, то
I Ihq- Поэтому, согласно лемме 2.2,
Следовательно, U0SO=S. Значит, (Txf r/>=<Sx, у} для всех
x,ys=HnT = S #
оо
Замечания. 1. Пусть S*= ? ая(я, ея)ея. Поскольку опе-
ратор S инъективен, то аЛ > 0 для всех п. В этом случае ха-
характеристический функционал ф меры \х задается равенством
2. Для указанного выше оператора S
§ 3. ВИНЕРОВСКАЯ МЕРА И ИНТЕГРАЛ ВИНЕРА В С [О, 1]
Пусть С [О, 1] обозначает пространство вещественных не-
непрерывных функций на интервале [О, 1], таких, что я@) = 0.
Относительно равномерной нормы ||я||= sup |дс(/)|оно яв-
ляется банаховым пространством. Пусть J? обозначает боре-
левское поле в С [О, 1]. Всякое подмножество / в С [О, 1] вида
/ = {*?= С [О, 1]; (*(/,), x(t2), ..., xOs?},
где 0</i<^2<-. .<f/$^l и Е — борелевское подмножество
в Rrt, будем называть цилиндрическим множеством. Очевидно,
семейство 31 цилиндрических подмножеств пространства
С [О, 1J является полем, но не а-полем. На самом деле, как

§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С [0,1] 37
мы увидим ниже, а-поле, порожденное полем 52, совпадает
с борелевским полем $.
Определение 3.1. Для цилиндрического множества /, опи-
описанного выше, мы полагаем
w (/) - [Bя)йU (t2 - tx) ... (tn - *Я_,)Г* X
X du\ du2 ... dun.
Замечание. Очевидно, w является конечно аддитивной ме-
мерой на поле 52. Основной результат этого параграфа — дока-
доказательство а-аддитивности w. Таким образом, w имеет един-
единственное продолжение (которое обозначаем по-прежнему че-
через w) на борелевское поле $.
Определение 3.2. Мера w называется винеровской мерой
(или мерой Винера) в С[0, 1], а интеграл в С[0, 1] относи-
относительно меры w — интегралом Винера (или винеровским ин-
интегралом). Для интегрируемой по мере Винера функции / ее
интеграл Винера будем обозначать так:
ЕШШ« J f(x)w(dx).
С [О, 1]
Прежде чем доказывать а-аддитивность w, дадим несколь-
несколько примеров интеграла Винера, чтобы иметь более конкретное
представление о винеровской мере. Заметим, что если 0<
, 1];
поэтому функционал f(x) = x(t) имеет нормальное распреде-
распределение с нулевым средним и дисперсией t.
Далее, возьмем 0 < 5 < t ^ 1 и рассмотрим случайную
величину x(t)—x(s). Пусть EczR2 есть множество Е =
= {(х, у)\ at^Zx — y^b}. Тогда, согласно определению w9
w({x; a^x(t)-x
-s) у
УBяJ S(t—s)
oo и-f/
t-s

38 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Произведя замену переменных и — v = tj и v = т2, получим
2 sits) )
s)
2
2
л/2я« J
Ъ
2 <^
Следовательно, случайная величина x(t)—x(s) имеет нор-
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией
t-s (t>s).
Тем самым мы установили следующий факт:
Пример 1,
\ (X(t)-X(s))w(dx) :=0,
С [0, 1]
С [О, I]
Упражнение 10. Показать, что если 0^ t ^ s ^ v ^ ,
то случайные величины x(s) — x(t) и х(и)— x(v) независимы.
Пример 2.
\ х @ х (s) w (dx) = min (/, s),
с [о, и
Доказательство. Предположим, что /^5. Тогда
Поэтому
Е. [х @ х (s)) = Ew [x (t) (x (s) - х (t))] + Ew [x (t)%
Ho
E. [x (t) (x (s) - x (/))] = E, [(x (t) - x @)) (x (s) - x (/))] =
= Ew[x(t)-x@)]XEw[x(s)-x(t)] (см. упр. 1О) =
= 0 (см. пример 1),
p Ew [x (tJ] = / (пример 1). Следовательно, Еш [^ (/) х (s)] = / =
= min (/, s). #

§ 3 Винеровская мера и интеграл Винера в С [О,1] 39
Упражнение 11. Пусть O^s</<1. Тогда
{x(t)-x(s)Vw(dx)=Q,
С [0, 1]
если р — нечетное натуральное число, и
С [О
где Г — гамма-функция.
Пример 3.
С [0,
2 *
С [б, 1] L0
Доказательство. Используем теорему Фубини и при-
мер 1. #
Ниже будут приведены более сложные примеры. Сейчас
мы хотим показать, что w имеет а-аддитивное продолжение
на а-поле, порожденное цилиндрическими множествами.
Обозначения. 1. С = С @,1].
2. 5 — множество двоично-рациональных чисел в [0, 1).
3. Ca = {*e=C; За = а(х): \ x(t) — *(s)|<a|/ — s|aV/, s).
4. Ba = {*<=C; 3a = a(x):
5. //а[а] = {л;е=С; 35b 52e5: I л: (^j)—x (s2) I > a | S!—
6. Ha = {x<=C; Va > 0 3su s2 e S:
I ^(^i) — x{s2) > a\ sx —
7. /а.в.*.я{ |(|)
*=lf 2, 3,..., 2«.
8. w* — внешняя мера, отвечающая w.
Следующая лемма — очевидное следствие предыдущих
определений.
Лемма 3.1. (а) 0 < a < р=^Ср с= Са с: С.
(b)Ca = fia, a>0.
(c) На= П #а[а]=П ^aKL an>09 an\oo.
а>0 л=1
(d) Ha

40 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Лемма 3.2. Пусть а > 0 и а > 0. Если х е С[0, 1] удовле-
удовлетворяет неравенству
Vfc = 0, 1, ..., 2п и V/i=lf 2, ...,
го
I *(si) - *fa) К 2а t _Д_а I sx -s21а Vsh s2gS,
Доказательство. В случае Si = 0 и s2 = 1 утверждение оче-
очевидно, поскольку 1 — 2~а ^ 2а. Поэтому предположим, что
5i < s2 и [si, s2] =7^= [0, 1]. Заметим, что каждый элемент s^S
представляется единственным образом в виде k/2ny где k не-
нечетно. Как легко понять, существует ровно один элемент
SogS, такой, что S\ ^ So ^ s2 и в представлении So = <
(q нечетно) р — наименьшее возможное.
Далее, если s0 ф su то
<mh
и если s0 ф s2y то
Рассмотрим следующие интервалы:
Пусть p = min(mi, щ) и ^ = max(m/, п&). Легко видеть, что
I х (s{) — х (s2) | <
*

§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С[0,1] 41
Лемма 3.3.
№Aп„ь.п)^А/ — — 2п{а~*2)е 2
Доказательство. Заметим прежде всего, что Ia,a,ktn — ци-
цилиндрическое множество. Напомним, что функция x(t)—x(s)
имеет нормальное распределение с нулевым средним и дис-
дисперсией t — s (t > s). Следовательно,
Л/2я i ( 1 \а
V Z а I "я* I
„пп {42-о
Но
для
Поэтому
А±.2Ч
Лемма 3.4. Для а>0 и а>0
fc=o
Доказательство. Ясно, что из леммы 3.2 вытекает вклю-
включение
оо
П
/г=0 ,
Отсюда
/г=0 ,

42 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Следовательно,
4 L *
* -*¦
2П ,_ ^ a' 0/t(l-2a)
2
= л/тт|о2"(а+1/а)е"|"<1а)- #
Замечание. Как легко понять, приведенный выше ряд рас*
ходится для а ^ 7г и сходится, когда 0 < a < х/2. Послед-
Последнее можно доказать следующим образом. Пусть б = !/г — а.
Выберем N настолько большое, что N > ^ . Заметим,
что е~х^.—тгдля больших jc. Следовательно, исходный ряд
мажорируется рядом
где ^о — некоторое достаточно большое число1), и поэтому
сходится. Фактически справедливо несколько более сильное
утверждение.
Лемма 3.5. Пусть а >0 и 0 < a < l/2. Если I —цилин-
—цилиндрическое множество, содержащееся в //a|2a z^l» T0
где 6=^"~a-
lim
a->oo a l-
!) Точнее,
— Прим. перев.

§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С[0,1] 43
Доказательство. Воспользуемся грубой оценкой
(*/>0). Имеем
#
Теорема 3.1 (Винер). Функция w о-аддитивна на о-поле,
порожденном 91.
Доказательство. Нам нужно показать, что для убывающей
последовательности цилиндрических множеств /rt, имеющей
пустое пересечение, справедливо равенство lim w (In) = 0.
Пусть
Шаг 1. Выберем замкнутое множество Gn с: Е„, такое, что
а>Aп\Кп)<г/2п+\ где
ь' i^ (An) An) An). n \
Пусть Ln = П tf/ е Л. Тогда LndKna/„. Отсюда да(/„) =
) ). Но
\}x
поэтому
Таким образом,
^ (/«) < -у + ^ (Ltt) для всех п.
Шаг 2. Докажем существование я0, такого, что w(Ln)<.
< е/2, как только п^по. (Тогда ш(/Л)<е для п^по. Сле-
Следовательно, lim ш(/„) = 0, что и требуется доказать.)
Пусть Ь = 2а(\ — 2~а)-1, где 0<а<!/2. Согласно лем-
леммам 3.4 и 3.5, можно выбрать b настолько большим, чтобы
w (I) < е/2, когда / cz Ha [b],

44 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Очевидно, //а[6]с={хЕС; \x(t)— x(s) | ^b\t—s\aVty s}.
Доказательство нашей теоремы будет завершено, если мы
установим существование яо, такого, что
оо
Заметим, что Мп \ 0 и f| Мп = 0. Предположим Мп?= 0
для всех п. Для каждого п выберем хп е Мп. Рассмотрим по-
последовательность {хп\ п = 1, 2, ...} в С [0, 1]. Она равносте-
равностепенно непрерывна, поскольку хп^ На[Ь]с. Далее, последо-
последовательность {xn(t)\ /г = 1, 2, ...} cz R ограничена для каж-
каждого /, потому что \xn(t) |^ bta. Следовательно, согласно тео-
теореме Арцела — Асколи; множество {хп\п= 1, 2,...} с С [0,1]
предкомпактно. Поэтому существует подпоследовательность,
которую ради удобства обозначим снова через {хп}, такая,
что хп->хое С[0, 1] равномерно. Очевидно, хо^На[Ь]с.
Фиксируем произвольное п0. Имеем хп е Мп> Vn ^ по. По-
Поскольку Мт компактно, то xq e М^. Следовательно, М
оо
для всех л. Итак, х0 е f) Mn. Мы пришли к противоречию,
оо
поскольку П Мп=0.
/1=1
Далее, напомним, что последовательность Мп убывающая.
Как мы только что убедились, невозможно, чтобы Мп Ф 0
для всех п. Следовательно, МЛо=0 для некоторого по и,
очевидно, Мп = 0 для п ^ п0. #
Теорема 3.2. (а) w(Ca)= 1, если 0 < a < l/2.
(b) w (Ca) = 0, если а > 7г-
Доказательство, (а) Имеем
Са = Ва (в силу леммы 3Л, (Ь)) = Нса (в силу леммы 3.1, (d)) =
оо
= U На[ап] (в силу леммы 3.1, (с)),
п«-1
где ап>0 и att->oo при п->оо. Поэтому
w(Ce) = lim w(Нса[ап)) = 1 - lim ш (На[ап]) =
= 1—0 (согласно лемме 3.4)= 1.
(Ь) Пусть
для всех k=l, 2, ..., 2/lj.
Ясно, что Я« [а] с: /а, а, „ для всех я= 1, 2, 3, ... .

§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С [О, 1] 45
Рассуждая, как и в доказательстве из упр. 10, убеждаем-
убеждаемся, что случайные величины х (-отг) — х [~~2*—)» ^ ==
= 1, 2, ..., 2п, независимы и каждая из них имеет нормаль-
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией 1/2п. Сле-
Следовательно,
w\
П S
2-
2й . ,_
fe-1 __
2n {in д/^- а-(о-У,) n In 2}
Итак, lim ш(/а, a, J = 0 для произвольных а > 0, a> Уг-
Таким образом, ш(Яа [a]) == 0 для любых а>0иа> Уг- Из
леммы 3.1 следует, что w(Ca) = 0 для а> Уг- Ф
Теперь мы хотим установить, что a-поле, порожденное ци-
цилиндрическими множествами, совпадает с борелевским полем
в С[0, 1]. Согласно двум следующим упражнениям, для дока-
доказательства равенства о[Щ = к} достаточно показать, что зам-
замкнутый единичный шар принадлежит а [Щ.
Упражнение 12. Пространство С[0, 1] с равномерной нор-
нормой сепарабельно.
Упражнение 13. Пусть X — сепарабельное метрическое
пространство. Тогда всякое открытое множество в X есть
счетное объединение открытых шаров.
Теорема 3.3.
Доказательство. Как легко видеть,
{г, И*И<1} =
оо
•= П {*: 1«@1<1 V/ = -|r. 6 = 1,2 2"}.

46 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Выведем теперь формулу Каца [35] для одного частного
случая. Приводимое здесь доказательство, отличающееся от
доказательства Каца, было предложено Ито [26].
Пусть /gL2[0,1]. Определим функционал ф/: С[0,1]-* R
формулой
1
<?f(x)=\x(t)f(t)dt.
о
Лемма 3.6. Функционал Wf имеет нормальное распределен
1 1
ние с нулевым средним и дисперсией \ \ min (/, s) f (t) f (s) dt ds.
о о
Доказательство. Пусть g(t), 0 ^ /^ 1, — функция ограни-
ограниченной вариации. Тогда интеграл Стильтьеса 0g (x) s= \ g(t)dx(t)
о
существует для каждого xgC[0, 1]. Позже мы увидим (тео-
(теорема 5.1), что функционал 0g нормально распределен.
Пусть f €= L2 [0, 1]. Положим g (t) = ^ f (s) ds. Тогда
О
1
\
О
Следовательно, функционал qpf нормально распределен. Далее,
1 1
О
(согласно примеру 1) и
ш[ф|] = Еш$ \x(t)x(s)f(t)f(s)dtds =
о о
1 1
= \\Ew[x(t)x(s)]f(t)f(s)dtds =
О
о о
1 1
min(/, s)f(t)f(s)dlds. #
о о

§ 3 Винеровская мера и интеграл Винера в С[0,1] 47
Теорема 3.4 (Кац).
[1 -.
-a $ х (tJ dt I
е ° J =
а>0.
Доказательство. iZ/аг У. Заметим, что С[0, l]cL2[0, 1]
(вещественные функции). Пусть {?«(•)}—ортонормирован»
ный базис в L2[0, 1]. Тогда
О
Отсюда
Пе-<"^]=Е.[П/
Шаг 2. Определим оператор S в L2[0, 1], положив
Sf @ — \ m*n (^» s) f (s) ds.
о
Легко видеть, что
Пусть {К}—собственные значения оператора 5 и {еп}—со-
{еп}—соответствующие нормированные собственные векторы (мы счи-
считаем, что они совпадают с рассмотренными на предыдущем
шаге). Отметим, что уе независимы, поскольку
Еш [фе„Фет] = (Sen, вт) = K^nnl'
Следовательно,
| -|
; х (о2 dt I оо
EWU °
^ П A+ 2а <5е„, en))-'/j = П [A

48 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Шаг 3. Мы хотим найти собственные значения оператора
5. Имеем
1 t 1
Sf (t) = J min (t, s)f(s) ds = J 5/ (s) ds + t J f (s) ds.
о о t
Пусть Sf = kf9 ХфО. Так как функция Sf непрерывна, то
функция f = -j-Sf также непрерывна, а потому Sf дифферен-
дифференцируема. Следовательно,
1 1
Я/' @ = tf @ + J f (s) ds -tf(t) = \f (s) ds.
t t
В силу непрерывности /, производная f дифференцируема, и
Для получения граничных условий заметим, что /@) =
= 5/ @) = 0 и ff A) = \ / (s) ds = 0. Итак, мы должны решить
1
следующее уравнение:
Без труда находим решения:
И f<0 = V2 sin [(«-!
Таким образом,
= Vsech У 2а . #
Упражнение 14. Доказать, что
[-a J (х (t)-tx (I)J dt\ _.
e ° J=VV2acosech V2a .
Обсудим теперь вкратце вопрос о представлении решения
некоторого уравнения с частными производными интегралом
в функциональном пространстве (т. е. интегралом Винера в
С[0, 1]).

§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С [0,1] 49
Определение 3.3. Дельта-функция Донскера 8t, $ (t > О,
R) формально определяется равенством
оо
=-5г J e*{x {t)~l) dy, xe=C [О, 1].
— оо
Лемма 3.7.
Доказательство.
оо
— ОО
Лемма 3.8.
/ (|) Еш {G (х) 6t, s (*)} rf| = Еш {G (х) / (х (t))}.
Доказательство. Левая часть равна
оо \
—оо ^
(согласно формуле обращения для преобразования Фурье).
Теорема 3.5 (Донскер — Лионе). Функция
{-J V (x(s))dsl
является решением уравнения в частных производных
u(t,Q->0 при g->±
u(t, 9->4(l) яри /->О,
функция V ограничена снизу.
Доказательство. Очевидно,
-jKU(s))de
=1 - J ^(jc(x))e ° с/т

60 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Следовательно,
-$ V (х (s)) ds I
6,, i (x) V (х (т)) е ° / dx =
о
1 _il 1 Г Г5 ( -]v(x(s))ds \
л/2я/ 2я J J
2я -
О -оо
Но
Г -J V (х (s)) ds \
w\V(x(x))e ° .e^(«J =
Г
Ew\V(x{x))e °
J V(n)e'wE.U ° «t.4
(
по лемме 3.8 с f(%) = V{%)е*У* и GW =
<y/t —
— оо
Итак,
О —оо
Легко проверить, что функция u(tt |) удовлетворяет уравне-
уравнению в частных производных, приведенному в формулировке
теоремы. #
В заключение этого параграфа упомянем еще о мере Ви-
Винера шсвС[0, 1] с дисперсией с > 0,

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 51
Определение 3.4. Мера Винера с дисперсией, с > О опреде-
определяется равенством
г п --у,
L*-i J я
где /о = О> ио = О и
/ = {^С[0, 1]; (х(/0, x(t2), ..., *(*«))€=?>.
Теорема 3.6. Меры {wc} являются борелевскими мерами в
С [0, 1]. Далее, семейство {wc\ с > 0} образует полугруппу,
действующую в банаховом пространстве ограниченных равно-
равномерно непрерывных функций, определенных на С[0, 1].
Доказательство. Первое утверждение очевидно, рассужде-
рассуждения, при помощи которых устанавливается а-аддитивность
меры w = w\, применимы равным образом и к wc. Второе
утверждение предлагается доказать читателю в качестве
упражнения 15. #
§ 4. АБСТРАКТНОЕ ВИНЕРОВСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово про-
пространство с нормой | • | == У( •, •). Через ЗГ мы будем обо-
обозначать частично упорядоченное множество конечномерных
ортогональных проекторов Р в Н. (Для Р, Qg^" запись
P>Q означает, что P(H)zdQ(H).)
Подмножество Е пространства Н называется цилиндриче-
цилиндрическим множеством, если оно имеет вид
? = {*€=#; Px<=F},
где Р ^3^ и F — борелевское подмножество в РН. Семейство
всех цилиндрических множеств мы обозначаем через 31. Как
легко понять, $, образует поле, но не а-поле.
Определение 4.1. Всякая функция / на Н вида /(*) =
= (р(Рх), где Psf и ф — борелевская функция, определен-
определенная на РН, называется цилиндрической функцией.
Легко видеть, что функция / является цилиндрической то*
Гда и только тогда, когда она имеет вид
/(*)==¦«*. *1>> •••> (*> еп))>
где {еп} — некоторое ортонормированное множество и я|) —*
борелевская функция на Rn.

52 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Определение 4.2. Гауссовской (цилиндрической) мерой на
Н называется функция множеств ц:52->[0, оо), определен-
определенная следующим образом: если ?={^е Н\ Рх& F}f то
, 1 уг г -JJLJL
где п = dim РН и dx — мера Лебега на РН. Очевидно, мера
\i конечно аддитивна. Но и только:
Предложение 4.1. Мера [i не о-аддитивна.
Доказательство. Пусть {еп}—ортонормированный базис
вЯи
k = l, 2 ап}.
Ясно, что //= [J Еп при любом выборе аЛ|°°- Далее,
Для каждого п выберем ап настолько большим, чтобы
[л(Еп)<. 1/2Л+1. Очевидно, при этом можно выбрать числа ап
таким образом, чтобы они, возрастая, стремились к оо. Тогда
оо
? ц(?„)<72- Однако
л-1
оо
Итак, мера \х не а-аддитивна. Ф
Возьмем некоторый ортонормированный базис {ел}Г=1
в Н. Определим борелевскую меру \ie e в Rn, положив
I*., еп (р) = *{х^Н; «*, в,), .!., <** еп)) s f}.
Очевидно, (^ ; п=1, 2, 3, . .Д есть согласованное се-
мейство вероятностных мер. Следовательно, по теореме Кол-
Колмогорова существуют вероятностное пространство (Q, m) и
случайные величины gi, g2, ... , такие, что для любого п
т {со; (g, (со), g2 (со), ..., 1п (со)) gF} =

4. Абстрактное винеровское пространство 53
Предложение 4.2. Последовательность {?„} представляет
собой последовательность независимых гауссовских случай-
случайных величину каждая из которых имеет нормальное распреде-
распределение с нулевым средним и единичной дисперсией.
Доказательство. Имеем
пг {со; |/(со) < а} = \х {х е= Н; (х, ef) < а} =
2 1, 2, ....
Поэтому каждая случайная величина g/ нормально распреде-
распределена с нулевым средним и единичной дисперсией. Далее,
пусть / Ф k. Тогда
R2
1
-?r-e 2 dudv=*
du) =0.
Итак, |/ и ?* независимы для /=^ft. #'
Обозначение. lj=n(ej), /= 1, 2, 3, .... (Символ п обо-
обозначает нормальное распределение, введенноеСигалом [42].)
Пусть ЛеЯ. Используя предложение 4.2, получаем, что
оо
ряд из случайных величин X (ft, 0/)/г(ву) сходится в L2(Q, m)
к единственной случайной величине, которую мы обозначим
через /г(А).
Следствие 4.1. (а) Случайная величина /г (ft) шиеет яор-
мальное распределение с нулевым средним и дисперсией |А|2.
(b) Em[n(/i)n(^)] = <ft, fe>, ft, k^H, Следовательно, если
h Jl k, то n(h) и n(k) независимы.
Доказательство, (а) Имеем
Em [*'«№]= lim E
N
Г '2
N ЛГ
= lim IlEm[e^ftie/>"(e/)]= lim H>~1/2<ft>
1/ J1
lim e '-1

54 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых пространствах
(b) \h + k\2 = Em[n(h+kJ] (в силу (а)) =
= Em[(n(h) + n{k)J](s силу упр. 16, см. ниже)=
откуда немедленно следует (Ь). ф
Упражнение 16. Показать, что отображение п: Н ->»
->L2(Q, m) линейно.
Определение 4.3. Пусть / — цилиндрическая функция, за-
заданная равенством
/М = ф((*, */,), ..., (х, eJs))t
Определим случайную величину f, связанную с /, положив
f (со) == ф (п (efl) (со), ..., п (eJs) (со)), со с== Q.
Замечание. Вообще говоря, f не принадлежит L2(Q, m).
Поэтому мы будем использовать более слабую сходимость, а
именно сходимость по вероятности. Напомним, что последо-
последовательность случайных величин gn сходится по вероятности к
g, если для всякого е > 0 найдется такое По, что
m {®'> I ёп (ю) — 8 (©) I > 8) < 8» как только n
Вопрос. Пусть {ek}—ортонормированный базис в Я и
Рп — проектор на линейную оболочку векторов {еь ..., еЛ}-
Положим /„(*) = |РЛ*|2. Очевидно, fn есть цилиндрическая
функция и lim fn (jc) = | jc |2 для каждого х е Я. Сходится ли
последовательность frt по вероятности?
Ответ. Нет. Чтобы это увидеть, заметим, что для n^k
Но
и поэтому
когда п — &->оо.

§ 4 Абстрактное винеровское пространство 55
Определение 4.4. Полунорма ||-|| на Н называется измери-
измеримой, если для любого е > 0 существует проектор Ро е ^, та-
такой, что
|i{||P*||>e}<e VP: Ре^ и Р±Р0.
Замечание. Предыдущие рассуждения показывают, что в
случае dim (Я) = оо норма |-| неизмерима.
Упражнение 17. Пусть Dej?B)(#). Положим || х \\ = \Dx\,
хеЯ. Доказать, что || • || — измеримая полунорма.
Лемма 4.1. Если полунорма ||-|| измерима, то направлен-
направленность1) ЦР-1Г сходится по вероятности на Q, когда P-W
сильно по направленному множеству SF. (Предел будем обо-
обозначать через || -|Г.)
Замечание. Как легко понять, измеримость полунормы ||*||
существенна для справедливости утверждения леммы.
Доказательство. Шаг 1. Выберем возрастающую последо-
последовательность {Рп} а @", такую, что
Пусть задано произвольное е > 0. Выберем iV настолько
большим, чтобы 1/УУ<е. Тогда для n, m^N имеем
Pn — Pml PNi и потому
Очевидно,
Итак, II Ря(-) II" сходится по вероятности при /г->оо к неко-
некоторой случайной величине g.
Шаг 2. Предположим, что P>PjvhPg?". Тогда
< т {©; | ёГ (со) —1| PNx Щ (©) I > е}+
+ т {со; 11| PN (x) f (со) -1| Рх f (со) I > в}.
Но
т {со; | gr (со) — ||Р^|Г (со) | > е} < е
и
т {со; 11| PNx |Г (со) -1| Рх Щ (со) I > е} =
{ х ее Я; || (PN - Р) х || > -1} < ± < е.
!) Б оригинале net. — Прим. nepeq.

56 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Следовательно,
m{©;|fif(©)-||Pjcir(a>)|>2e}<2e.
Это означает, что направленность ||Р(-IГ сходится по веро-
вероятности к g, когда P-W сильно по направленному множе-
множеству &г. #
Лемма 4.2. Пусть || • || — измеримая полунорма. Тогда су-
существует постоянная с, такая, что ||дс||^с|*| для всех Н
Доказательство. Пусть а — число, для которого
ОО уз
~~ Ж/=4.
2
а
Выберем проектор Ро е #~ так, чтобы
МИР*И>72}<72 VP: PEf и Р1Р0.
Поскольку Р0Я конечномерно, найдется постоянная а, для
которой
Ш<а|#1 при всех у<=Р0Н.
С ДруГОЙ СТОрОНЫ, еСЛИ 2^0 И2? (РоЯI, ТО ПОЛОЖИМ
' \г\/ \г\
Ясно, что Pz^&~ и Р21Р0, поэтому
иначе говоря,
т. е.
Следовательно, 2 \\г II ^ пу или "г" < 2а"' 2'"
Наконец, произвольный элемент х е Я может быть един-
единственным образом записан в виде x=y-\-z, где у е РоЯ и
(РоЯI. Поэтому
Итак, || jc |) < с \х |, где с = У 2 (а2 + -^)'2 #

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 57
Лемма 4.3. Пусть || • || — измеримая полунорма на И и А —
ограниченный линейный оператор в Я. Тогда \ \ | • 111 = || А • ||
также является измеримой полунормой. При этом для произ-
произвольного е > О
m{@GQ; HI х ИГ (©) > И ||е} <m{© e Q; \\xf (со) > е}.
Доказательство см. в [16], стр. 383.
В силу леммы 4.2 всякая измеримая полунорма слабее ис-
исходной нормы на Я. Возьмем некоторую измеримую норму
11-11 и пополним Н относительно нее. Отметим, что простран-
пространство Н не будет полным относительно ||«||, в случае когда Я
бесконечномерно. Действительно, если бы оно было полным,
то по теореме об открытом отображении нормы ||-|| и |-|
были бы эквивалентны и потому норма | • | была бы изме-
измерима. Однако, согласно замечанию, приведенному после опре-
определения 4.4, | • | не измерима.
Обозначения. В — пополнение пространства Н относитель-
относительно ||-1|. Через i будем обозначать отображение включения Н
в В. Тройка (i, Я, В) называется абстрактным винеровским
пространством. Ниже мы увидим, что рассматривавшееся вы-
выше винеровское пространство С [0, 1] получается таким пу-
путем. Мы будем называть его классическим винеровским про-
пространством.
Упражнение 18. Пусть Н и Яо — пространства, описанные
в конце § 2, и / — отображение включения Яо в Я. Показать,
что (*, Яо, Я) — абстрактное винеровское пространство.
Замечание. Ниже мы увидим, что если В — гильбертово
пространство, то тройка (/, Я, В) получается способом, ука-
указанным в предыдущем упражнении.
Вернемся теперь к рассмотрению гауссовской цилиндриче-
цилиндрической меры \х на Я. Предложение 4.1 показывает, что она не
а-аддитивна на Ж. Всякий функционал j/eB* мы можем
(беря сужение на Я) рассматривать как элемент простран*
ства Я* = Я, так что можно вложить В* в Я. Положим
jl{xe=fi; ((*, ух), ..., (*
= |а {х е= Я; ((х, ух), ..., <*, уп)) е ?},
где у\ принадлежат В* и (•, •) обозначает каноническую би-
билинейную форму, приводящую Б и В* в двойственность.
Обозначения. Множества вида {х& В\ ((х,ух),... (х,уп)^
е Е} будем называть цилиндрическими множествами в В.
Семейство всех цилиндрических множеств в В обозначим че«
рез Я*

58 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Теорема 4.1 (Гросс). Д есть о-аддитивная функция на о-по-
ле, порожденном семейством Яв-
Замечание. Позднее мы увидим, что а-поле, порожденное
52в, совпадает с борелевским полем в В.
Доказательство теоремы основано на следующих леммах.
Лемма 4.4. Пусть || • II — измеримая полунорма на Н и
{ап\ п = О, 1, 2, ...} —последовательность положительных чи-
чисел. Тогда существует последовательность {Qn\ n=0,1,2,,, ,}с
с #~, такая, что
Z Q* = / (сильно);
(Ъ) ряд ||х||o=Il an\\Qnx\\
сходится для каждого х&Н и 0-Do — измеримая полунорма.
Замечание. Функция ||-|1о является нормой, если ||-|1 —
норма.
Доказательство. В силу определения измеримости полу-
полунормы ||-|| мы можем для каждого п^ 1 выбрать проектор
Pn&fF так, чтобы Рп\ 1 сильно и
Полагая Qo = P\ и Qn = Pn+\ — Рп, n^h получаем, очевид-
очевидно, утверждение (а).
Пусть an > 0 выбраны так, что
е 2 du = -yr9 n= 1, 2, 3, —э
и пусть геЯ, Тогда, поскольку Qn i- Pn, имеем
где Pq z — ортогональный проектор на линейную оболочку
вектора Qnz. Рассуждая так же, как и при доказательстве
леммы 4.2, находим, что
^l, n=h 2, 3, ....

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 59
С другой стороны, очевидно, найдется а<ь для которого
ЯоIIQozII^ — IQozI ПРИ всех 2?Я. Следовательно,
*-0
\!/2 / оо
оо
Отметим, что ряд ^Г (-giijf") сходится, так как ап ^ 1
ДЛЯ
/1=0
оо
всех достаточно больших п. Поэтому ряд ? an\\Qnz\\ схо-
сходится для каждого зеЯк некоторому числу, которое обо-
обозначим через ||г||0. Ясно, что ||-|1о — полунорма на Н.
Нам надо доказать измеримость ||-||о. Пусть задано про-
произвольное е > 0. Выберем N настолько большим, чтобы
\J2N~X < е. Предположим, что РеУ и РX Р#. Тогда
<m\ ? aJQ*P*II >-^
m{|!Q,
Применяя лемму 4.3 к измеримой полунорме ||Q«-|I и опера-
оператору Р, получаем
пг {II QnPx II > 1/ап2п} < m {|| Qw^ || > \/ап2п}.

60 Гл. L Гауссовские меры в банаховых пространствах
Следовательно,
Итак, полунорма ||-|(о измерима. ф
Следствие 4.2. Пусть (i, Я, В) — абстрактное винеровское
пространство. Тогда существуют другое абстрактное винеров-
ское пространство (to, Я, Во) и возрастающая последователь-
последовательность {Рп} d &~i сально сходящаяся к тождественному опера-
оператору в Я, такие, что (а) В0-норма сильнее В-нормы (а значит,
Во а В), (Ь) каждый проектор Рп можно продолжить по
непрерывности до проектора Рп в Во и (с) последовательность
Рп сильно сходится к тождественному оператору в 50 (отно-
(относительно В0-нормы).
Замечание. Из этого следствия вытекает существование
базиса Шаудера в Во. Ввиду приводимой ниже теоремы 4.4
и того обстоятельства, что, как доказал Энфло, базис Шау-
Шаудера существует не во всяком вещественном сепарабельном
банаховом пространстве, нельзя надеяться на то, что в общем
случае Во = В.
Доказательство. Пусть ||-|| обозначает 5-норму. Применяя
лемму 4.4 к последовательности {ап}у в которой ап ^ 1 для
всех п ^ 0, убеждаемся, что существует последовательность
{Qn\ я = 0, 1, 2, ...}с^, такая, что QQ 8Q SQ /
сильно и ||хНо = 2 ап IIQn*ll — измеримая норма в Я. Пусть
Во — пополнение пространства Я относительно II - IIо и /о —
отображение включения Я в Во. Тогда (to, Я, Во) — абстракт-
абстрактное винеровское пространство. Для хеЯ имеем
lim||Q0*+ ... +Qrt
Hm(aollQo*ll+ ... +an\\Qnx\\).
Следовательно, ||х|| ^ lUllo для всех ^еЯ,и выполняется (а).
Положим

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 61
Ясно, что {Рп} — возрастающая последовательность, сильно
сходящаяся к тождественному оператору в Я. Далее, для
II Рпх Но = Z fl/ II QfPnX II = Z a, || Qfx || < || * Но.
/=0 /=»0
Таким образом, при каждом п мы имеем ||Prt*llo^ lUllo для
всех Jtsff. Поэтому каждый проектор Рп продолжается по
непрерывности до ограниченного оператора Рп в Во. При этом,
как легко видеть, каждый оператор Рп является проекцией в
Во и1) II Л* Ив,, в0 ^ * • Следовательно, выполняется (Ь).
Чтобы доказать (с), заметим прежде всего, что для вся-
всякого х е Я
/-0
оо
= Z af\\Qix\\-*O при п->оо,
оо
поскольку ряд Z а! И Qix II годится. Далее, пусть у
/-о
Выберем последовательность {xk} в Н так, чтобы ||** — yl
при ^->-оо. Тогда
Отсюда немедленно следует, что \\Рпу — у\\о->О при л->-оо.
#
Лемма 4.5. Пусть || • || — измеримая норма на И и В — по-
пополнение пространства Н относительно ||-||. Тогда существует
измеримая норма ||*||о на Я, такая, что для каждого г>0
множество {х е Я; ||*||0 ^ г} предкомпактно в В.
Доказательство. Пусть {ап} — последовательность положи-
оо
тельных чисел, для которой V — < оо. Согласно лемме 4.4,
существует последовательность {Qn} cz У9 такая, что проек-
оо
торы Qn попарно ортогональны, J] Qn = / сильно и
I
/1=1
f) Относительно обозначения || Рп Пв0, в0 см- а^зац перед теоре-
теоремой 4.5. — Прим. перев.

62 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
есть измеримая полунорма на Н. Покажем, что ||-|1о и есть та
норма, существование которой мы доказываем. Пусть г > О,
Для доказательства предкомпактности множества {х е #;
IWIo^/*} в В достаточно показать, что если \\хп^о ^ г, п =
= 1, 2, ... , то последовательность {хп} содержит подпосле-
подпоследовательность Коши относительно нормы ||-||.
Для каждого 6=1, 2, 3, ... рассмотрим последователь-
последовательность {Qkxn}^v Поскольку ^||Q^n|KIUn||o<r, то
K-f *ля всех п-
к
Отсюда следует, что у последовательности {QkXn} имеется
сходящаяся подпоследовательность. Применяя диагональный
процесс, из последовательности {хп} выделяем подпоследова-
подпоследовательность (обозначаемую снова через {хп}), такую, что
{QkXn}—последовательность Коши относительно ||-||, для
всех к. Далее, согласно лемме 4.2, если уп-+у в норме |«|,
то уп-+у и в норме ||-1|. Следовательно, для всех у^Н
\imJQ{y+ ... +Qny\\.
Таким образом,
оо
~ \\Qnyl у^н.
л=1
В частности, имеем
оо
II Хп — Хт || ^ 2-» II QkXn — Qkxm II •
Заметим, что предыдущий ряд мажорируется рядом
оо
V 2г — < оо. Далее, каждый его член стремится к 0 при
n, m->oo. Следовательно, lim || хп —¦ хт \\ = 0. Значит, {хп}—
/г, т->оо
последовательность Коши относительно нормы ||-||. Ф
Лемма 4.6. Пусть ||.« || — измеримая полунорма в Н. Тогда
существуют такой оператор К^Ж(Н) и такая измеримая
полунорма ||• Но, что \\x\\ ^ II/(#11 о для всех л;еЯ.
Доказательство. Пусть {ап} — последовательность, такая,
что аЛ-^оо при /г->оо. В силу леммы 4.4 можно выбрать
проекторы Qn так, чтобы формула
оо
IUIIo= Z an\\QnX\\
«-I

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 63
определяла измеримую полунорму на Н. Зададим оператор
К: Н->Н9 положив
Кх = х/ап для х е QnH.
Ясно, что К^Ж{Н) (см. упр. 3). Далее, для х^Н имеем
II * II< S IIQnx II <tan\\ QnKx|| = || Кх Ib. #
Л=*1 /l=»l
Следствие 4.3. Пусть || • II — измеримая полунорма. Тогда
существует компактный оператор К в //, такой, что \\x\\ ^
^ |/С*| длях^Н.
Доказательство. Это вытекает из лемм 4.2 и 4.6. #
Пусть j/eB*. В силу леммы 4.2, сужение у па Н является
непрерывным линейным функционалом на Н, т.е. {/€ Я*.
Следовательно, В* cz H*. Но по теореме Рисса о представле-
представлении Н* = Н. Таким образом, мы имеем В* а На В. Через
(•, •) будем обозначать каноническую билинейную форму,
приводящую В* и В в двойственность, а через <•, •> — ска-
скалярное произведение в Н. В силу приведенного выше отожде-
отождествления
(х, у) — (Ху у) для любых хеВ* и у^Н.
Пример 1. Если Н = 12 и
11*11
ДЛЯ Х = (Х\, Х2у . . .)> то
и
(ОО
Я-1
Упражнение 19. Показать, что
([Тем самым мы получаем критерий, позволяющий проверять,
принадлежит ли данный элемент пространства Н простран-
пространству Б*.)
Доказательство теоремы 4.1. Шаг 1. Очевидно, для дока-
доказательства а-аддитивности ц на а-поле, порожденном &в, до-
ОО
статочно показать, что еслиВ= U Тп, где Тп суть II • Ц-откры-
тые цилиндрические множества, то 2
л-1

64 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
На шаге 2 мы покажем, что для произвольного е > О
найдется компакт С8, такой, что \х(Т) <е для всех Ге^в,
удовлетворяющих условию Т (]СВ = 0. Если считать это уже
доказанным, то а-аддитивность р, устанавливается следующим
образом. Пусть задано произвольное е > 0. Выберем Се, как
оо
указано выше. Тогда если В= U ГЛ, как выше, то СгаТ\[)
U T2 U . • • U Ты для некоторого N. Поэтому
/1=1 /1=»1 \М=»1
Отсюда немедленно следует, что X \i(Tn)^l, ибо е>0
м=1
произвольно.
Шаг 2. Докажем утверждение, которым мы воспользова-
воспользовались на шаге 1. Возьмем измеримую норму ||-|1о в Я, о кото-
которой говорится в лемме 4.5. Выберем г > 0 так, чтобы
m{coe=Q; || х |? (со) > г} < е
(относительно обозначения || • |? см. лемму 4.1). Пусть С8 —
замыкание множества {х е Я; ||jcoll ^ /*} в В. По лемме 4.5
множество С8 компактно в В. Далее, предположим, что Ге
е 52б и ГПС8 = 0. Множество Г можно представить в виде
Т = {х е В; ((д:, уО, ..., (д:, t/n) e ?},
где ? — борелевское подмножество в R", у/е5*, /=1,2, ... ,
и {#/} —ортонормированная последовательность в Я. Пусть Р
обозначает ортогональный проектор пространства Я на ли-
линейную оболочку L векторов {уи -.. > Уп}> т. е.
Р* = (х, У\)У\+ ... + <а:, Уп) Уп> х <=*Я,
и v — гауссовская мера на L. Тогда

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 65
(так как множества T(]L и Cef\L не пересекаются). Но
xe=L;||x|!o<r} =
:е=Я; ||Рд:||0<г} =
> 1 — m {«> е й; || х % (а>) > г) (по лемме 4.3) >
> 1 — е (в силу выбора числа г).
Следовательно,
v(CefU)>l-e
1-A-в) = е. #
В определениях 4.2 и 4.4 мы можем заменить ц на \if:
Функция (I/ называется гауссовской (цилиндрической) мерой
на Н с параметром t. Определим \xt на 31в аналогично ji.
Рассуждая, как и при доказательстве теоремы 4.1, можно по-
показать, что Д* имеет единственное а-аддитивнОе продолжение
на борелевское поле в В1) (р, = \i\).
Обозначения. Через pt мы будем обозначать продолжение
ji/ на борелевское поле ^в В. Это продолжение называется
винеровской мерой с дисперсией t. Ниже мы увидим, что се-
семейство {pt} образует сжимающую полугруппу в банаховом
пространстве ограниченных равномерно непрерывных функ-
функций на В.
Теорема 4.2. а-поле, порожденное 31В> совпадает с борелев-
ским полем в В.
Доказательство. Заметим, что В — сепарабельное банахово
пространство. Как и в случае классического винеровского
пространства (теорема 3.3), достаточно показать, что {IU||^
1}[Я]
<1}еа[Яв].
Пусть {ап\ п= 1, 2, ...} —множество, всюду плотное в В.
По теореме Хана —Банаха можно выбрать {zn\ /г=1,2,.. .}с
с Б* так, чтобы для всех п выполнялись равенства ||2Л||В* = 1
*) Выше уже отмечалось, а ниже (теорема 4.2) доказывается, что
с-поле, порожденное #в, есть борелевское поле в В, —Прим. перев%
3 х.-с. Го

66 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых пространствах
и (гп, ап) = || ап ||. Тогда
оо
{1иИ<1}=П {*е=В;|(*, zn)|<l}e=<r[<#B].
/2=1
Чтобы в этом убедиться, положим S=={||jc||^ 1} и Т =
оо
= [~] {^gB; |(jc, гя)|<1}. Очевидно, SaT. Обратно, пусть
||jc|| = r>l. Выберем ап так, чтобы ||jt — an|K(r — l)/2.
Тогда ||ая||>(г+1)/2 и
I (х, гп)] > | (ап, гп)\ — \(х — аП9 гп) \ >
Следовательно, хфЛ. Итак, SzdT. ф
Теорема 4.3. Пусть измеримая полунорма ||-|| задается
симметричной билинейной формой « , » в Я, т.е.
существует оператор Т^З?2(Н)У такой, что \\x\\ =
= |Тх\, х&Н. Полунорма || • || является нормой тогда и
только тогда, когда оператор Т инъективен.
Замечание. Ср. с упр. 17. См. также упр. 18 и следующее
за ним замечание.
Доказательство. Заметим, что подпространство {х е Я;
||а'||=0} пространства Я замкнуто, поскольку функционал
11*11 непрерывен, в силу леммы 4.2. Рассматривая, если необ-
необходимо, ортогональное дополнение к этому подпространству,
можно считать, что ||-||—измеримая норма. Поскольку били-
билинейная форма «*, у» непрерывна на Я, то существует огра-
ограниченный оператор S в Я, такой, что «я, #>> = <Sjc, у}. Оче-
Очевидно, оператор S самосопряжен и строго положительно
определен. Из леммы 4.6 следует также, что S — компактный
оператор в Я. Пусть Т обозначает положительный квадрат-
квадратный корень из S. Тогда для всех х^Н имеем || х \\ = \Тх\.
Оператор Т можно единственным образом продолжить по не-
непрерывности до изометричного оператора f, действующего
из В в Я. Фактически Т является • унитарным оператором.
Чтобы это установить, надо лишь показать, что Т есть ото-
отображение на. Отметим, что Т (В) представляет собой замкну-
замкнутое подпространство пространства Я. Таким образом, доста-
достаточно доказать, что ортогональное дополнение к Т(В) в Я
есть {0}. Предположим, <f*,y> = 0 для всех хбВ, где j/бЯ;
тогда для всех зеВ

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 67
Отсюда следует, что множество {0} есть ортогональное до-
дополнение к Т(В) в Я.
Далее, рассмотрим винеровскую меру р\ на В. Для х^В
= \ е * и t
2 "
(см. лемму 4.7 ниже) =
Для удобства будем обозначать через Т отображение if, где
i — оператор вложения пространства Н в В:
Имеем
|| Тх II2
=e 2
Таким образом, р\ — гауссовская мера в В. Далее, как легко
видеть, fG^fB) (в силу теоремы 2.3).
Наконец, пусть {ei}—ортонормированный базис в //.Тогда
{Тei} — ортонормированный базис в Н. Но
Sir (fet) |2 = S life* IP = S \\fet ||2 < oo,
i i i
поэтому T <= Si (#). #
Напомним, что пространство В* плотно вкладывается в//.
Пусть 2gB*,2#0. Тогда
pt {х е В; (*, z) < а) = /
«/1*1
iгI2
Следовательно, функционал 2GB* имеет нормальное распре-
распределение с нулевым средним и дисперсией t\z\2 относительно

68 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
меры pt. Таким образом, мы имеем всюду плотно определен-
определенное отображение п: Я -> L2(B,pt). Оно является изометрией
(с точностью до константы t). Продолжим п по непрерывно-
непрерывности на всё Я. Тогда для всякого АеЯ функционал <Л, •>
определен почти всюду в В (относительно меры pt). При
этом <А, •> имеет нормальное распределение со средним зна-
значением 0 и дисперсией t\h\2. Мы доказали следующую лемму.
Лемма 4.7. Для каждого h&H функционал <А, •> опре-
определен почти всюду в В относительно меры pt и имеет нор-
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией
t\h\*e (B9pt),T.e.
Упражнение 20. Пусть А — ядерный оператор в Я. Тогда
функционал (Ах, х) определен почти всюду в В относительно
pt и
\
Итак, в вещественном сепарабельном гильбертовом прост-
пространстве Я с гауссовской цилиндрической мерой щ можно
ввести понятие измеримости полунорм. Вообще говоря, суще-
существует бесконечно много измеримых норм, например каждый
инъективный оператор Гильберта — Шмидта Т задает изме-
измеримую норму, определяемую равенством \х\\ = |Гя|. Выбрав
произвольную измеримую норму ||-||, можно пополнить Н от-
относительно этой нормы и получить сепарабельное банахово
пространство В. В результате мы приходим к тройке (/,Я,В).
Естественно возникает следующий вопрос: всякое ли веще-
вещественное сепарабельное банахово пространство может быть
получено таким путем?
Теорема 4.4. Пусть В — произвольное вещественное сепа-
сепарабельное банахово пространство. Тогда существует такое
гильбертово пространство Я, всюду плотно вложенное в 5,
что В-норма измерима в Я, т.е. тройка (/, Я, В), где i — ото-
отображение включения Я в В, есть абстрактное винеровское
пространство.
Доказательство. Из сепарабельности пространства В выте-
вытекает существование возрастающей последовательности под-
подпространств {Fn}t удовлетворяющей условиям (a) dim Fn=n
оо
и (Ь) объединение Ks= [} Fn всюду плотно в В. Выберем по-
следовательность {zn\ п = \, 2, ...}, такую, что векторы z\,
22, ..., zn образуют базис в Fn. Пусть S= {х^В\ ||хЦ < 1}.

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 69
Шаг 1. Существует такая последовательность положитель-
положительных вещественных чисел {о^}, что если en = anzni n^l, то
п п
ЕSS, когда
Обоснование. Выбираем числа ап по индукции. Сна-
Сначала возьмем число аь для которого е\ = <x\Z\ e S. Если
уже выбраны аь ..., an-i, то подбираем ап следующим об-
образом. Рассмотрим отображение 0: Rrt->5, задаваемое пра-
правилом
(Рь R» ¦•-. P
Ясно, что 0 непрерывно. Далее,
РР^ ..., Рп_Р0);
Так как множество 0 l (S) открыто, а множество
Р„_р 0); Z
замкнуто, то можно найти такое число ап, что эллипсоид
/-1
лежит между этими двумя множествами. Ясно, что тогда же-
желаемое свойство выполнено для ей ^2, • • •, еп-\ и еп = апгп-
Шаг 2. Зададим скалярное произведение <•, ->о в К тре-
требованием, чтобы семейство {еп} было ортонормированно.
Пусть | • lo=V(#> • V Тогда К — предгильбертово прост-
пространство. В силу шага 1 имеем для х е К
1*1о<1=Н1*Н<1-
Следовательно,
|| х ||< | х |о для всех х е /С.
В силу этого неравенства, если последовательность {хп}
|о-последовательностью Коши в /С, то она будет
К С
| у
-последовательностью Коши. Следовательно, хп
является
также || •
-vxgB, так как пространство В полно. Пусть Яо обозначает
пополнение К относительно |-|0 нормы. Как мы только что
видели, KczHoczB.
Очевидно, Яо всюду плотно в 5, поскольку К всюду плот-
плотно в В. Однако неизвестно, измерима ли норма ||-|| в Яо.
Чтобы преодолеть эту трудность, мы прибегнем на следую-
следующем шаге к небольшому трюку.

70 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Шаг 3. Возьмем какой-нибудь инъективный оператор Гиль-
Гильберта— Шмидта А в #о и положим \х\ =\А~1х\о для хе
еЛ(Я0). Пусть Я = Л(Я0). Тогда Я— гильбертово прост-
пространство относительно нормы | • |. Очевидно, Я всюду плотно
в В. Далее, IUH < |*|о = И*|. Те же рассуждения, что и
в доказательстве теоремы 4.3, показывают, что ^^(Я).
Согласно упр. 17, \Ах\ есть измеримая норма в Я. Заметим,
что всякая норма, которая слабее измеримой нормы, также
измерима. Поэтому норма ||-|1 измерима в Я. Ф
Лемма 4.8. Пусть X — банахово пространство и Т — огра-
ограниченный линейный оператор из X в В. Если образ операто-
оператора Т содержится в Я, то Т является также ограниченным
оператором из X в Н.
Доказательство. Предположим, что хп-+х в X и Txn-*h
в Я. Поскольку Я-топология сильнее В-топологии (в силу
леммы 4.2), то Txn-+h в В. Но так как Т — непрерывный
линейный оператор из X в В, то должно быть h = Tx. По-
Поэтому из теоремы о замкнутом графике следует, что Т — не-
непрерывный оператор из X в Я. ф
Предположим теперь, что Т — ограниченный оператор из
В в В и пространство Я инвариантно относительно оператора
Ту т.е. Т(Н) d Я. Тогда ввиду предыдущей леммы оператор Т
можно рассматривать как ограниченный оператор в Я. Бу-
Будем через ||S|U, y обозначать операторную норму S, когда S
рассматривается как оператор, действующий из X в У. Таким
образом, использование символов ||Г||В,в, \\Т\\Н>в и ИЛ|//,я не
должно вызывать недоразумений. Напомним, что простран-
пространство В* вкладывается в В следующим образом: В* с Я с В.
Будем обозначать В*-норму через ||-Ц*. Из леммы 4.2 выте-
вытекает существование константы с, такой, что \х\ ^ с\\х\\+ для
всех jcefi*.
Теорема 4.5. Пусть Т — ограниченный оператор в В с ко-
конечномерным образом, содержащимся в В*. Тогда для про-
произвольного р ^ 1
&,н \\\x\\pPt(dx).
Замечания. 1. Неравенство || Tx \\ ^ || Лкя11*11, вообще
говоря, неверно.
2. Ниже мы докажем следующую теорему Фернйка: суще-
существует такое а > 0, что \ еа ^x^pt (dx) < °o. Следовательно^
в
интеграл \]U||P/Mdx) конечен для всех

§ 4. Абстрактное винеровское пространство 71
Доказательство. Пусть М — образ оператора Т и \xt — гаус-
совская мера в М с дисперсией t. Пусть, далее, Р — ортого-
ортогональный проектор пространства Я на М. Положим
Заметим, что
Из леммы 4.3 следует, что
(a) Т1(А)<|(Я/||Г||Я,Я)
(с заменой В на М) и
(b) IWOW.
Таким образом, имеем
\\\Tx\fpt(dx)= \\\Tx\\pvt(dx)
В
М
\\T\fHtH\\\xfpt(dx).
Теорема 4.6 (Гудмэн). Пусть А — ограниченный линейный
оператор в В с образом, лежащим в В*. Тогда А является
ядерным оператором в Я, причем
\\А\\{< \\\xfPi(dx)-\\A\\BiB..

72 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых' пространствах
Доказательство. Пусть Т — такой же оператор, как и в тео-
теореме 4.5. Согласно упр. 20,
tr TA= \(TAx,x)px(dx).
в
Отсюда
|tr77l|< \\(ТАх, x)\Pl(dx) =
в
= \\(Ax,rx)\Pl(dxX
В
И* И8 Pi W д/ S
<ИА"в, в» л/ S И**Ир»(djc> д/llг"д. я S"х
(по теореме 4.5) =
НМ||В в» \\\xfPl(dx)-\\r\\H H =
= \\\х\ГР1(йх)'\\А\\в ВЛТ\\Н н.
в
Предыдущее соотношение выполнено для всякого оператора
Т, удовлетворяющего условию теоремы 4.5. Легко видеть,
что оно справедливо также для всех вырожденных операто-
операторов Т в Н. Поэтому, в силу замечания 3 после теоремы 1.7,
это соотношение выполнено для всех операторов Т^Х(Н)..
Таким образом, для произвольного ТеХ(Н) мы имеем
\trTA\< \\\x\fPl(dx)'\\A\\BiBt\\T\\I{iH.
В
Но Ж(Щ* =2?\(Н) и билинейная форма, приводящая
Ж(Н) и 5?\{Щ в двойственность, задается равенством
(?, F) = tr EF. Следовательно, мы доказали не только то,
что А е i?(i)(#), но также, что
< \\\x\?Pi(dx).\\A\\BtB.. #

§ 5. С [0,1] как абстрактное винеровское пространство 73
Следствие 4А (Го). Пусть С — ограниченный оператор
в В с образом, лежащим в Н. Тогда С — оператор Гильбер-
Гильберта — Шмидта в Я, причем
\\Ch<(\\\xf
Доказательство. Пусть С\н обозначает сужение оператора
С на Н. Покажем, что образ оператора (С\н)* лежит в В*.
Пусть Хо е Н. Тогда
sup | < (С у х0, х) |/|| х || = sup | <jc0, Сх) |/|| х II < \х01 • IIС ||в, н.
Следовательно, (С |я)* аг0 е В* (в силу упр. 19) и
Поэтому
Положим Д = (С|Я)*С Тогда Л — ограниченный оператор,
действующий из В в В*. Из теоремы 4.6 вытекает, что
Л^(Я) и
Иlli< \\\x\rpx(dx)\\A\\BtB..
в
Следовательно, С^2?B)(Н). Далее, заметим, что
IIA \\Bt в. < || (С \НУ \\Ht а, || С ||а§ я < || С |||, я.
Итак,
Пу/2я. #
§ 5. С[0, 1] КАК АБСТРАКТНОЕ ВИНЕРОВСКОЕ ПРОСТРАНСТВО
Напомним определение абстрактного винеровского прост-
пространства. Возьмем вещественное сепарабельное гильбертово
пространство Н с нормой | • | и некоторую измеримую норму
11-11 на Н (см. определение 4.4). Согласно лемме 4.2, норма
II-If слабее
сительно ||
|. Пусть В — пополнение пространства Н отно-
| и i — отображение включения Н в В. Тройка
(/, Ну В) называется абстрактным винеровским простран-
пространством. Заметим, что в силу леммы 4.6 оператор i компактен.
Примером абстрактного винеровского пространства служит
Тройка (/, Я, В), где пространство В строится с помощью

74 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
инъективного оператора Гильберта — Шмидта в Н (см.
упр. 17). Фактически из теоремы 4.3 следует, что если В —
гильбертово пространство, то оно образуется при помощи
инъективного оператора Гильберта — Шмидта в Н.
Упражнение 21. Показать, что тройка (t, L2[0,1],Z/[0,1]),
где 1^р<2 и i — отображение включения L2[0, 1] в Lp[0t 1],
не является абстрактным винеровским пространством.
Упражнение 22. Доказать, что тройка (/, i?B)(//), Ж(#))
не является абстрактным винеровским пространством.
На самом деле понятие абстрактного винеровского прост-
пространства возникло из рассмотрения пространства С [0, 1]. Ни-
Ниже мы определим некоторое подпространство С пространства
С [0,1]. Это подпространство С играет важную роль в тео-
теории интегрирования в С[0, 1]. Подпространство С есть гиль-
гильбертово пространство относительно некоторой нормы и тройка
(*, С, С[0,1]) представляет собой абстрактное винеровское
пространство. Фактически именно по этой причине тройка
(i, Я, В) и получила свое название. Мы будем называть
(*, С, С[0,1]) классическим винеровским пространством.
Прежде чем определить С, введем определение стохасти-
стохастического интеграла (иногда его также называют интегралом
Винера, но мы уже закрепили этот термин за интегралом по
винеровской мере).
Пусть / — простая функция на [0,1], т.е. функция вида
п
где 0 < U < h < ,.. < tn+i ^ 1. Определим функцию 9(/):
С[0,1] -> R формулой
t
Заметим, что разности x(f/+i)—-x(t}), /=1,2, , л, являют-
являются независимыми гауссовскими случайными величинами
в С[0, 1], причем x(tj+\) —x(tj) имеет среднее значение 0 и
дисперсию tj+i — //. Следовательно, 6(/)—гауссовская слу-
случайная величина с нулевым средним и дисперсией
/-1
Таким образом, отображение /~>0(/) есть всюду плотно
определенная изометрия L2[0, 1] в L2(C[0, I], w). Это ото-
отображение единственным образом продолжается на L2[0, 1].

#5. С [0,1] как абстрактное винеровское пространство 75
Обозначение. Q(f)(x)z=~\f(t)dx(t). Этот интеграл назы-
о
вается стохастическим интегралом.
Замечание. Для произвольной функции [eL2[0, 1] инте-
интеграл \f(t)dx(t) определен ш-почти всюду в С [0,1].
о
1
Теорема 5.1. \ / (/) dx (t) является гауссовской случайной
о
1
величиной со средним значением 0 и дисперсией \ f (tJ dt.
о
Доказательство. Возьмем последовательность простых
функций //, сходящуюся к / в L2[0, 1]. Тогда 9(/;) сходится
к 9(/) в L2(C[0, I], w). Выберем подпоследовательность
(обозначим ее снова через 0 (//)), которая сходится к Q(f)w-
почти всюду. Тогда
[ewmx)w(dx)=\im
= lim e
/->oo
. 1
Следовательно, 0(/) имеет нормальное распределение с нуле-
нулевым средним и дисперсией \ / (/J dt. #
о
Теорема 5.2.
01 l I
\f(t)dx(t)\g(t)dx(t)\ =
о J
Доказательство. Это следует из того, что отображение
9: L2[0,1] -*L2(C[0, l],w) есть изометрия. #
Пусть С состоит из всех вещественных абсолютно непре-
непрерывных функций /, для которых /@) =0 и fe L2[0, 1]. Вве-
Введем скалярное произведение <•, •> в С по формуле

76 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Тогда С— гильбертово пространство и С а С. Действитель-
Действительно, если определить оператор D из L2[0, 1] в С равенством
t
Df(t)=<\f(s)ds, f<=L2[0, 1],
О
то D будет унитарным оператором из L2[0, 1] на С. Заметим,
что
Пусть | • | обозначает норму в С. Очевидно, норма
IIх||= sup |jc(/)| слабее нормы |-| в С, поскольку если fe
С, ТО ДЛЯ ]
1/@1-
зсех 0 ^ /
\f'(s)ds
0
^ 1
t
<\\f'(s)\
0
1
ds<$ins)i<fc<m.
0
Отметим, что пространство С сепарабельно, потому что оно
унитарно эквивалентно пространству L2[0, 1]. Пусть i — ото-
отображение включения С в С[0, 1].
Теорема 5.3. (/, С, С [0,1])—абстрактное винеровское
пространство.
Замечание. Эта теорема позволяет установить связь между
стохастическим интегралом и скалярным произведением в С',
Для фиксированной функции feC; имеем
1 1
(f. g) - S г (о в' @ dt = \ г (/) dg (/), g e a.
о о
Согласно лемме 4.7 </, •> продолжается на С[0, 1] как гаус-
совская случайная величина с нулевым средним и дисперсией
J Г (О2 *. Следовательно, для f e= L2 [0, 1]
о
J /(/)dx(t) = <D/, *>, jcgC[0, 1] (яу-почти всюду).
о
Используя это соотношение, можно получить иное дока-
доказательство формулы Каца (см. теорему 3.4). Читателю пред-
предлагается проделать это в качестве упражнения 23.
Справедливость теоремы 5.3 вытекает из трех приводимых
ниже лемм.
Лемма 5.1. С[0, 1] есть пополнение пространства С отно-
относительно равномерной нормы.

#5. С [0,1] как абстрактное винеровсков пространство 77
Доказательство. Пусть множество Ап состоит из функций
дсеС[0, 1], которые принимают рациональные значения
в точках k/2ny k=l, 2, ,.., 2Л, а между этими точками ли-
оо
нейны. Положим А = U Ап. Как легко видеть, А всюду плот-
но в С [0, 1]. Следовательно, С всюду плотно в С [0, 1], по-
поскольку А а С. ф
Лемма 5.2. Для каждого е > О
w{xz=C[0, I]; IU||<e}>0.
Доказательство. Для всякой функции *^С[0, 1] опреде-
определим меру wXi положив
, 1]).
В следующей главе мы докажем, что мера wx эквивалентна
w тогда и только тогда, когда х е С
Из доказательства леммы 5.1 вытекает, что можно вы-
выбрать счетное всюду плотное подмножество {z\% %2, ... zn, ...}
пространства С [0, 1] так, чтобы 2nGC для всех п. Пусть
b(x,r) в {у е С[0, 1]; \\у — х\\ ^ г}. Тогда для произвольного
е >0
оо
С [0, 1]= \]Ь(гп,г).
/1=1
Предположим теперь, что для некоторого е > О
w{x<=C[0, I]; ||*||<e} = 0.
Тогда
w{b(zn, 6)} = ^{xgC[0, 1]; ||х||<е} = 0 для всех п.
Следовательно, до {С [0, 1]}=0, и мы пришли к противоречию.
#
Лемма 5.3. || • || — измеримая норма на С.
Доказательство. Для каждого п определим полунорму
H-IU на С равенством
*(//)|; // = ^г, /=1, 2,...,
Ясно, что ||-Ил — измеримая полунорма на С и lim ||*||Л=Ы
М->оо
для любого xgC, Таким образом, выполнены условия A)
и B) теоремы 4 из [10], а справедливость условия C) вы-
вытекает из леммы 5.2. Следовательно, по этой теореме II • II
есть измеримая норма на С\ #

78 Гл. L Гауссовские меры в банаховых пространствах
Другое доказательство леммы 5.3 можно получить, ис-
используя теорему Дадли — Фельдмана — Ле Кама [21], тео-
теорему 3.1 и лемму 5.4, приводимую ниже. Пусть (Я, | • |) —ве-
—вещественное сепарабельное гильбертово пространство с гаус-
совской цилиндрической мерой \л (см. определение 4.2). Пусть,
далее ||-||—норма на Я, более слабая, чем |-|, и Б —попол-
—пополнение пространства Я относительно ||-||. Как и ранее, \х инду-
индуцирует меру Д, определенную на цилиндрических подмноже-
подмножествах пространства В. Дадли, Фельдман и Ле-Кам показали,
что р, имеет а-аддитивное продолжение на борелевское поле
в В тогда и только тогда, когда ||-|1 — измеримая норма на Я.
Следовательно, с учетом теоремы 3.1, для доказательства
леммы 5.3 достаточно установить справедливость следующей
леммы.
Лемма 5.4. w представляет собой о-аддитивное продолже-
продолжение гауссовской цилиндрической меры на С на борелевское
поле в С [О, 1].
Доказательство. Это следует из теорем 5.1 и 5.2 и унитар-
унитарности определенного выше оператора D из L2[0, 1] на С. ф
§6. СЛАБОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ТЕОРЕМА ГРОССА - САЗОНОВА
Отталкиваясь от квантовой теории поля, Сигал [42] ввел
следующее
Определение 6.1. Слабым распределением на топологиче-
топологическом векторном пространстве L называется класс эквивалент-
эквивалентности линейных отображений F топологического сопряжен-
сопряженного пространства L* в множество случайных величин, задан-
заданных на некотором вероятностном пространстве (зависящем
от F). Два таких отображения F\ и F2 эквивалентны, если
для произвольного конечного набора у\, у2, .*.., ун из L* слу-
случайные векторы
{Л Ш> Pi Ш> • • •, Fi Ы) и {F2 Ы, Л Ы, .... F2 (yk)}
имеют одинаковое распределение.
Понятие слабого распределения эквивалентно понятию ци-
цилиндрической меры. Пусть L — топологическое векторное про-
пространство. Цилиндрическое множество в L — это множество
вида
{xz=L; (ух(х) yk(x))e=E}, где уи ..., j*eL' и Ez=$(Rk).
Если К — конечномерное подпространство пространства L*,
содержащее у\, ..., #*, то мы говорим, что наше цилиндриче-
цилиндрическое множество имеет основание в /С. Пусть 91 — семейство
всех цилиндрических множеств и 91к — семейство тех из них,

§ в. Слабое распределение и теорема Гросса — Сазонова 79
которые имеют основание в К. Ясно, что 91 есть поле, а каж-
каждое Як есть а-поле.
Определение 6.2. Цилиндрической мерой на L называется
всякая неотрицательная конечно аддитивная функция v, опре-
определенная на Я, удовлетворяющая условию v(L) = l и а-адди-
а-аддитивная на Як для каждого конечномерного подпространства
К пространства L*.
Упражнение 24. Доказать существование взаимно одно-
однозначного соответствия между слабыми распределениями и
цилиндрическими мерами, такого, что если F соответствует v,
то
, ..., F(yk))<=E}=v{x; (yx(x)9 ...,
Пример 1. Пусть Н — вещественное сепарабельное гиль-
гильбертово пространство и я-линейное отображение, описанное
в следствии 4.1. Слабое распределение, определяемое отобра-
отображением п, называется нормальным распределением в Я с па-
параметром 1.
Пример 2. Слабое распределение, соответствующее цилин-
цилиндрической мере \ity определенной в § 4, называется нормаль-
нормальным .распределением в Н с параметром t. Оно обозначается че-
через nt. Для АеЯ случайная величина nt(h) имеет нормаль-
нормальное распределение со средним значением 0 и дисперсией
t\h\*
Если задано слабое распределение в топологическом век-
векторном пространстве L, представленное отображением F, то
можно построить соответствующую теорию интегрирования
в L. А именно, пусть / — цилиндрическая функция на L, т.е.
функция вида
f{)
где ф — борелевская функция BR*Hji,.,4y*e L*. Опреде-
Определим случайную величину
и если F(f) интегрируема, то положим
= E(F(f))
(Е — математическое' ожидание). Как легко видеть, величина
J/ не зависит от выбора представления F. Однако, для того
чтобы введенная операция интегрирования была полезной, мы
должны уметь интегрировать более широкий класс функций.
Для случая нормального распределения мы имеем удовлет-
удовлетворительный результат. Один специальный класс интегрируе-
интегрируемых в этом случае функций указан в теореме 6.2. Более ши-
широкое обсуждение вопроса имеется в [16]. Другая проблема

80 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
связана с тем, можно ли найти хорошее представление. Тео-
Теорема 6.1 утверждает, что абстрактное винеровское простран-
пространство обеспечивает такое представление.
Теорема 6.1. Пусть Я— вещественное сепарабельное гиль-
гильбертово пространство, H-II — измеримая норма на Н и В — по-
пополнение Я относительно ||-||, так что (i, Я, В) —абстрактное
винеровское пространство. Пусть pt — винеровская мера на В
с параметром t. Тогда тождественное отображение простран-
пространства В* на себя, рассматриваемое как всюду плотно опреде-
определенное отображение пространства Я* в множество случайных
величин на вероятностном пространстве (B,pt), продолжается
до представления нормального распределения пи
Доказательство. Это легко вытекает из леммы 4.7. Ф
Обозначим через Тш слабейшую топологию на Я, относи-
относительно которой все измеримые полунормы непрерывны1).
Напомним, что если Ле5?B)(Я), то \Ах\—измеримая по-
полунорма.
Упражнение 25. Е [ \ Ах Г]2 = || А ||, А е= ^B) (Я).
Теорема 6.2. Пусть f — комплекснозначная функция в Я,
удовлетворяющая условию: существуют две измеримые полу-
нормы ||-||о и 11-11, такие, что для каждого г>0 функция f
равномерно непрерывна относительно || • || на множестве
{лгеЯ; Мо^г}. Тогда направленность (f°P)^ случайных
величин сходится по вероятности, когда P-+I сильно по на-
направленному множеству 2Г. (Этот предел будем обозначать
через ].)
Замечание. Очевидно, всякая равномерно ?Гт-непрерывная
в Я функция / удовлетворяет указанному условию.
Доказательство. Напомним, что \\Р • ||0" сходится по вероят-
вероятности к || • If, когда Р->1 сильно по вГ (лемма 4.1), и слу-
случайная величина || • ||^ интегрируема (см. замечание 2 после
теоремы 4.5). Следовательно, для всякого заданного е > 0
найдутся г > 0 и Р; е У, такие, что
prob {||Рд:||Г > г> < е/3 VP\Ps=T и Р^Р\
Из предположений относительно функции / вытекает сущест-
существование такого б > 0, что при |U||0 < r, Wyh^r, \\x — у\\<8
I/(*)-/(</) К е.
С другой стороны, из измеримости || • || следует, что сущест-
существует такой проектор Р" е Ф', что
ргоЬ{||Р*|Г >Ь}< е/3 VP:P(=$~ и Р±Р".
Индекс т —от measurable (измеримый). — Прим. ре$.

§ 6. Слабое распределение и теорема Гросса — Сазонова 81
Возьмем проектор Ро ^ ЗГ, такой, что Ро> Р' и Ро > Я".
Тогда для Р, Q > Ро имеем
; ||Р*||о<г, ||Qjc||0<r, \\Px-Qx\\<6}cz
d{*e=#; \f(Px)-f(Qx)\<B).
Следовательно, для Р, Q > Ро
prob {| f (Pjc) — f (Qjc) |>e> <
Далее, положим е = 1/я и обозначим через Рп ортого-
ортогональный проектор Ро, полученный указанным выше образом.
Можно считать, что последовательность Рп возрастающая.
Как легко видеть, (/°Рл)" сходится по вероятности к некото-
некоторой случайной величине f. Точно так же, как и в доказатель-
доказательстве леммы 4.1, устанавливаем, что и направленность (foP)^
сходится по вероятности к /, когда Р-*/ сильно по ЗГ. ф
Упражнение 26. Пусть функция / удовлетворяет условию
теоремы 6.2. Доказать, что f = О тогда и только тогда, когда
J = 0 почти наверное.
Теорема 6.3. Пусть (/, Я, В) — абстрактное винеровское
пространство, g — непрерывная функция на В и f — сужение
g на Н9 т. е. f = goL Тогда f удовлетворяет условию теоре-
теоремы 6.2 и J = g почти всюду (относительно рх).
Замечание. Согласно теореме 6.1, (В, р\) можно рассмат-
рассматривать как вероятностное пространство для нормального рас-
распределения Aii, поэтому мы считаем, что функция / опреде-
определена на В.
Доказательство. Выберем последовательность {ап}, удов-
удовлетворяющую одновременно условиям, приведенным в дока-
доказательствах следствия 4.2 и леммы 4.5; например, можно
взять ап = /г2+1. Тогда одновременно справедливы утверж-
утверждения следствия 4.2 и леммы 4.5. Ниже ||-||о обозначает
бо-норму и используются те же обозначения, что и в след-
следствии 4.2 и лемме 4.5.
Поскольку для каждого г > 0 множество {^еЯ; Ikllo ^
^ г} предкомпактно относительно ||-|| и функция g \\-\\ -непре-
-непрерывна на В, то / удовлетворяет условию теоремы 6.2.
Отметим, что гауссовская цилиндрическая мера \ц допу-
допускает а-аддитивное продолжение на SS(Bq) и $(В). Следова-
Следовательно, Р\{В0) = 1. Возьмем последовательность {Рп} и соот-
соответствующую ей последовательность {Рп} из следствия 4.2,

82 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Очевидно,
f = lim in prob (/о Prt)" 0.
Но из следствия 4.2, (а), (с), и непрерывности g вытекает,
что для a;gB0
(/ ° РпГ (х) = g (Pnx) ~+g{x) при п->оо.
Таким образом, f(x) =g(x) для всех jjgBo, так что j =
почти всюду относительно р\.
Доказательство приводимой в конце параграфа теоремы
Гросса — Сазонова основывается на теореме Прохорова [39],
которую мы приведем без доказательства.
Обозначение. Мх — пространство конечных положитель-
положительных борелевских мер на полном сепарабельном метрическом
пространстве (X, р).
Определение 6.3. Говорят, что последовательность {[in}
в Мх слабо сходится к \х в Мх, если
П+ooJ
для всякой ограниченной непрерывной функции / на X.
Определение 6.4. Метрика Прохорова d в Мх определяется
следующим образом: расстояние между мерами |х и v —это
нижняя грань чисел е > 0, таких, что
для всякого замкнутого подмножества F пространства Х\
здесь
Fe = {x<=X; p(x, F)<e}.
Теорема 6.4 (Прохоров), (а) Мх с метрикой Прохорова
представляет собой полное сепарабельное метрическое про-
пространство.
(b) Топология, индуцируемая метрикой Прохорова, сов-
совпадает с топологией, индуцируемой слабой сходимостью2).
(c) подмножество JF с= Мх предкомпактно тогда и только
тогда, когда (i) существует М < оо, такое, что \х(Х) ^ М для
всех [I g^, и (и) для каждого е > 0 существует компактное
подмножество Кг пространства X, такое, что
И- (К°г) < е для всех \i ^ Jf.
4) lim in prob — предел по вероятности. — Прим. перев.
2) Точнее, запас сходящихся последовательностей в топологии, инду-
индуцируемой метрикой Прохорова, совпадает с запасом слабо сходящихся
последовательностей мер. — Прим. ред.

§ 6. Слабое распределение и теорема Гросса — Сазонова 83
Начиная с этого места, мы фиксируем некоторое вещест-
вещественное сепарабельное гильбертово пространство Я, и Ж бу-
будет обозначать Жн. Пусть \х е Ж. Из теоремы 2.2 вытекает,
что характеристический функционал (х меры \х равномерно
iTm-непрерывен. Таким образом, согласно теореме 6.2 и сле-
следующему за ней замечанию, определена случайная величина
(рьУ. Итак, каждой мере \х из Ж можно поставить в соответ-
соответствие некоторую случайную величину.
Теорема 6.5. Пусть последовательность мер {[in} из Ж
слабо сходится к |х. Если фп = Aл и ф=(х, то фп сходится
к ф по вероятности.
Доказательство. Фактически мы докажем более сильное
утверждение, а именно, что
^I Фп — Ф |2 —>0 при п->оо.
Ясно, что
Е | <рл - <р |2 = Е \ \ & <•¦ *-*Г (Ш (dx) - |i {dx)) (\in(dy) - |i (dy))9
H H
где {еи->х-&у обозначает случайную величину, соответ-
соответствующую функции е1 {Н' х~у) от АеЯ.
Заметим, что Е{и*> *-^>}" = e-I/2'*-0l\ Следовательно,
ЕI фл ~ ф I2 = J $*-'*! *~*|2 (|хя (dx) - |i (rfjc)) (|*я (rfy) - |i (dy)).
н н
Из наших предположений и теоремы 6.4 вытекает, что для
всякого е > 0 найдется такое компактное множество /С, что
ця(Щ<7 и !*(**) <{¦¦
Записав двойной интеграл из последнего равенства как сумму
\ \ + \ I, мы видим, что \ \ < е. Итак, нам нужно до-
кн ксн кон\
I Г Г I
I Г Г I
казать, что lim \ \ =0 для всякого компактного подмно-
жества К пространства Я.
Пусть задано некоторое б > 0. Найдется компактное мно-
множество L, такое, что
\in (Lc) < б и [I (Lc) < б.
Поскольку Ly^K — компакт в XXX, то существует откры-
открытое покрытие U(tj\), U(y2), ..., 0(ут) компакта /С, такое,
что для всех х е L
\f(x,y)-f (х, yi) I < 6, когда yeU(*/,),
глр f (y lA = p~~Va I x—y I2

84 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Но
f(x,y))pa(dx)-vHdx))
<\)f(x, y)(Vn(dx)-Mdx))
I Г
^ \ / (*> Ур (М-л (dx) — \i (dx))
\l
<\\f(x,y,)(Vn(dx)-p{dx))
и поэтому
н
26 <
-46<
-66, /=1,2, .... m,
для больших п.
#
Следовательно,
|И <\\\f(*. y)(*n(dx)-Mdx))
Теорема 6.6. Пусть {[in} — последовательность в Ж и фл=
= (in. Пусть, далее, ф — равномерно непрерывная в Тт-топо-
логии функция на Н, для которой ф@) = 1. Предположим,
что фп сходится к ф по вероятности. Тогда существует мера
\1^Ж, такая, что Д = ф и \хп слабо сходится к \х.
Доказательство. Допустим, мы имеем меру |х е Ж, такую,
что \кп слабо сходится к \л. Пусть г|) = (х. Тогда по теореме 6.5
\j) = lim in prob фЛ.
Таким образом, -ф = ф. Поэтому (ф — ф)" = 0 и, в силу упр. 26,
\|) —ф = 0, т. е. ф = Д.
Следовательно, нам надо лишь доказать существование
меры |хе/, к которой \лп слабо сходится. По теореме 6.4
для этого достаточно показать, что для любого е > 0 суще-
существует компактное множество К в Н, такое, что \л{Кс) < е,
п^1. Фактически, мы установим существование предком-
пактного множества S, для которого \in{S) > 1 — е при всех
достаточно больших п.
Шаг 1. Покажем, что | ф (jc) | ^1 для всех #е Н.
Пусть / — произвольная неотрицательная гла'дкая функ-
функция на С, имеющая компактный носитель и равная нулю
в единичном круге. Тогда функции /(ф(-)) и /(ф«(*))> п ^ 1>

§ 6. Слабое распределение и теорема Гросса — Сазонова 85
будут равномерно непрерывными в ^Гт-топологии. Но
f(qp(.)) = lim in probf (<pn(•)) = ()• Следовательно, /(ф(л;))для
А1->оо
всех х, и поэтому |ф(лс) | ^ 1 для всех х.
Шаг 2. Пусть 6 = 6(е)>0 (зависимость б от е будет
уточнена ниже). Существует измеримая полунорма ||-||, та-
такая, что
||*||<1=Нф(*)-1|<6.
Упражнение 27. Пусть |[ -1|2 — измеримая полунорма. До-
Доказать существование измеримой нормы ||»||з, удовлетворяю-
удовлетворяющей условию
II* h < II х Из для всех #
Таким образом, не теряя общности, мы можем и будем
предполагать, что ||-|| является измеримой нормой. Как легко
видеть, предыдущее соотношение влечет за собой неравенство
ReФ(д:) > 1 — 6 — 21|л;||2, хе=Н.
Шаг 3. Из леммы 4.6 и ее доказательства вытекает суще-
существование инъективного самосопряженного компактного опе-
оператора С и измеримой нормы ||»||о, таких, что ||х|| ^ ||Сл:||о.
Следовательно,
ReФ(д:) > 1 — б — 2ЦС^||§, *<=#.
Далее, пусть В и Во обозначают замыкания пространства
Н относюельно ||-|| и ||-|1о соответственно. Тогда С продол-
продолжается по непрерывности до ограниченного оператора, дей-
действующего из Во в В. Поскольку функция ф по предположе-
предположению равномерно непрерывна в ?Гт-топологии, то, согласно
теоремам 6.1 и 6.2, ф имеет смысл как случайная величина
на В. Поэтому предыдущее неравенство распространяется на
пространство Во следующим образом:
Reф(С^1^) > 1 — 6 — 21| г/|g, j/Gflo.
Шаг. 4. Пусть Ео обозначает математическое ожидание
относительно винеровской меры р\ на Во и а = 2?0 IIУ %• Из
предыдущего неравенства получаем
Но (согласно нашему предположению) ф« сходится к ф по ве-
вероятности и (согласно шагу 1) | фп| ^ 1, |ф| ^ 1. Таким об-
образом, переходя, если необходимо, к подпоследовательности,
мы находим, что
^Х^ЕСфСс^)] при п-*оо.

86 Гл. 1. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Итак, для больших п
ЯеЕ0[уп(С-1уУ]>1-Ь-а.
Шаг 5. Легко видеть, что
|С-Ч<оо
Пусть S = {*€=#; |С~'д;|<л/2}- Тогда
Поэтому, согласно шагу 4,
т. е.
MS)>l--*±f.
e
Наконец, умножая норму ||-||0 на константу, мы можем сде-
сделать число а как угодно малым (конечно, компактный опе-
оператор С также следует при этом умножить на некоторую кон-
константу). Итак, выберем норму ||-||0, для которой
Теперь подберем б > 0 так, чтобы
6<e(l-l)-a.
Тогда
\хп (S) > 1 — е для всех достаточно больших п.
Для завершения доказательства остается заметить, что
множество S = C{x еЯ; | х \ ^ <\/2) предкомпактно, так как
оператор С компактен. Ф
Теорема 6.7 (Гросс — Сазонов). Функционал ф на Н яв-
является характеристическим функционалом вероятностной ме-
меры на Н тогда и только тогда, когда он положительно опре-
определен, ЗГ'ш-непрерывен и удовлетворяет условию ф@) =1.
Доказательство. Необходимость была доказана выше (см.
замечание перед теоремой 6.5). Для доказательства достаточ-
достаточности рассмотрим последовательность Рп в ЗГ, сильно сходя-
сходящуюся к тождественному отображению. Пусть ф/г = (Р)

§ 7. Замечания к главе I 87
В силу конечномерной теоремы Бохнера существует мера цп,
для которой фп = A„. Согласно теореме 6.2, последователь-
последовательность фи сходится к ф по вероятности. Следовательно, по тео-
теореме 6.6 существует мера [ieif, такая, что <р = ji. Ф
§ 7. ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ I
§ 1. В [13] дано определение n-линейных отображений
типа Гильберта — Шмидта в сепарабельном гильбертовом
•пространстве, аналогичное определению 1.1. А именно, пусть
3?п(Н) обозначает семейство непрерывных я-линейных ото-
отображений Т: Я X # X ... X#-*R. Скажем, что Т есть ото-
п
бражение типа Гильберта — Шмидта, если ряд
I T(eilf ...,einf
сходится для произвольного ортонормированного базиса {^}~в1
в Я. Положим
\
l n' J
Пусть &*2) (H) обозначает семейство я-линейных отображе-
отображений типа Гильберта — Шмидта. Тогда 3S\) (H) является гиль-
гильбертовым пространством относительно скалярного произве-
произведения, определяемого равенством
(S,T)= E S(eh ein)T(eix,...,eln).
ll* '*•' tn:ssl
В действительности, как легко доказать по индукции, прост-
пространство 3?B){Н) унитарно эквивалентно гильбертову прост-
пространству операторов Гильберта — Шмидта, действующих из
1
?(
Пусть (/, Я, В) — абстрактное винеровское пространство.
Используя лемму 4.8 и следствие 4.4, по индукции можно до-
доказать включение
g"(B, .... В, Я; R)c=2%(/f).
Однако
например, отображение
S(xu ..., хп_2, h{, h2) = (xu e) ... (хп_2, e)(hl9 A8),

88 Гл. I. Гауссовские меры в банаховых пространствах
принадлежит 2?п(В, ..., В, Я, Я; R), но не принадлежит
2% (Я).
Далее, следствие 4.4 можно обобщить на я-линейные
отображения, а именно:
II Т ||2 < ап~{|| Т ||, Т е= 2 (Яь^^З Я; R),
где a = .t
\в
IIУII = sup {|
Для n-линейных отображений нет аналога ядерных опе-
операторов. Однако есть следующий аналог следа. Пусть Я и
Д' — два гильбертовых пространства и S — непрерывное били-
билинейное отображение Н X Н в К. Говорят, что 5 есть отобра-
отображение ядерного типа, если (i) Sx^ «2?A)(Я) для всех хе/С,
где (Sxh,k)H = <5(/г,k),x)Kj и (и) отображение Xb->trHSx
есть непрерывный линейный функционал на /С. Из этих, усло-
условий вытекает существование единственного вектора в /С, ко-
который мы обозначим через TR S, такого, что
(TRS, x)K = tvHSx,
Как легко видеть, TR S = 2 S (ek, ek)y где {ek} — ортонорми-
рованный базис в Н. Очевидны следующие утверждения.
(a) Пусть S — непрерывное билинейное отображение #Х
X И в /С, такое, что для всякого ортонормированного базиса
в Н ряд Yj I 5 (ek, ek) \K сходится и верхняя грань сумм
, ek)\K по всем ортонормированным базисам {ek} в Н
конечна. Тогда S — отображение ядерного типа.
(b) Пусть Т\, Г2е «2?B)(Я) и S — непрерывное билинейное
отображение НУ^Н в К. Тогда S-fTiX^]—отображение
ядерного типа.
§ 2. Пусть |х — гауссовская мера на Н со средним значе-
значением 0 и ковариационным оператором 5^, и пусть {е*}—ор-
тонормированный базис в Я, состоящий из собственных век-
векторов оператора Su, а {р*}—соответствующая последова-
последовательность собственных значений. Заметим, что функции
{<•>?*>} являются независимыми гауссовскими случайными
величинами в Я, причем случайная величина (•,?*> имеет

§ 7. Замечания к главе I 89
нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией
<S^, ен> = Р*. Выберем а > 0 так, чтобы 1 — 2оф* > 0 для
всех к. Тогда
\ еа I * lf|i (dx) = \ ек \i (dx) = Т\ \ еа (х> e^2\i (dx) =
н н к н
Это бесконечное произведение сходится, поскольку
= а V р^ < оо. Следовательно, \ еа| х^\х (dx) < оо, когда
к Н
О < а < min{l/2Pfc}. Однако для гауссовской меры в банахо-
банаховом пространств1е доказать этот результат уже гораздо слож-
сложнее. См. теорему Ферника в гл. III.
Теорему 2.4 можно обобщить на произвольное абстракт-
абстрактное винеровское пространство. Пусть U — ограниченный ли-
линейный оператор в пространстве В, такой, что U(H)aH и
сужение U на Я есть унитарный оператор в Я. Тогда
ptoU-l = pt.
§ 3. Физики использовали винеровскую меру задолго до
того, как Н. Винер показал, что она действительно является
мерой. Первоначальное доказательство теоремы 3.1 см. в [4]
или [5]. Наше доказательство основано на работах [17] и
[27]. Доказательство теоремы 3.4 заимствовано из [26]. Под-
Подробное обсуждение связи между интегралами в функциональ-
функциональном пространстве и уравнениями в частных производных
имеется в [24].
Пусть We — винеровская мера в С [0, 1] с параметром с>
> 0. Как легко видеть, wc(E) =w(e/л/с), Ее=&(С[0,1]).
Следовательно, по теореме 3.4
1
S-a J х (ty dt
е ° wc (dx) = Vsech V2<xc, a > 0.
с [о, i]
Это равенство можно обобщить на случай абстрактного вине-
ровского пространства (/, Я, В). Пусть отображение Ss
ei?(?, Я) таково, что оператор 1 + 2/aS(S|#)* имеет обрат-
обратный, a > 0. Положим
и(h) = [ ехр{/<АЭ Sx) - a| Sx |2} pt (dx), h^H.

90 Гл. /. Гауссовские меры в банаховых пространствах
Заметим, что если В = С[0, 1], /г = 0, t = c и Sx(t) =
= \x{s)ds, то мы получаем рассмотренный выше случай.
В [14] показано, что
a@) = (det[l + 2taS(S\H)*])lu
и
и (h) = и @) ехр {- / <[ 1 + 2/ctS (S |Я)Г' 5 (S \H)* A, h)/2}.
§ 4. Пусть # = L2[0, 1]. Один из вариантов отображения
п в следствии 4.1 дается стохастическим интегралом, опреде-
определенным в § 5:
1
n(f)(x)=\f(t)dx(t), где /gL2[0, 1] и х<=С[0, 1].
о
Для случая общего пространства л строится согласно лемме 4.7
и теореме 6.1. В любом случае отображение п можно полу-
получить, используя теорему Колмогорова, как мы это делали
в предложении 4.2 и следствии 4.1.
Хотя изложение в этом параграфе следует в основном ра-
работе [18], необходимо заметить, что мы приложили много
усилий к тому, чтобы найти более простые доказательства.
В первоначальных доказательствах, данных в [18], есть ссыл-
ссылки на несколько теорем из [16]. Мы же ссылаемся лишь на
одну теорему из [16] (лемма 4.3), простое доказательство
которой можно найти в [21], стр. 406.
Доказательство леммы 4.4, (Ь), значительно отличается
от первоначального. Мы используем лишь конечномерный ва-
вариант леммы 4.3. Следствие 4.2 применяется при доказатель-
доказательстве теоремы 6.3, а также в гл. III. В случае когда В — гиль-
гильбертово пространство, следствие 4.2 очевидно в силу теоре-
теоремы 4.3. Напомним, что любой оператор Ле?РB)(#) можно
разложить в произведение А = СК, где С^2?B)(Н) и /Се
е^(Я), Следовательно, лемма 4.6 очевидна, если ||-|| —
гильбертова норма.
Может показаться, что в качестве оператора К в след-
следствии 4.3 можно взять некоторый оператор Гильберта —
Шмидта. Однако это не так. Действительно, если бы это было
так, то для произвольной измеримой нормы ||*|| на Н и лю-
любого ортонормированного базиса {еп} в Н выполнялось бы
неравенство X || еп ||2 < оо,а это неверно для классического ви-
п
неровского пространства: как легко видеть, векторы
n=l, 2,...,

§ 7. Замечания к главе I 91
образуют ортонормированный базис в С, но||е„||=У2 для
всех п. Вот другой контрпример, предложенный Гудмэном.
Формула ||(лсь ..., хп, ...) || = sup n~l/i\ xn | задает измеримую
п
норму в /2. Возьмем еп = (О,... ,0,1,0,...), где 1 стоит на
п-м месте. Тогда \\еп\\ =п~1/* и ?||ej|2 = «э.
п
Тем не менее остается открытым следующий вопрос. Пусть
II-II—измеримая норма в Н. Существует ли ортонормирован-
ортонормированный базис {еп} в Я, такой, что 2l|ertll2< oo? Как легко ви-
п
деть, ответ положителен, если норма ||-|| гильбертова.
Доказательство теоремы 4.1 совпадает с первоначальным
доказательством Гросса, за исключением того, что мы упро-
упростили обозначения, вложив пространство В* в В. В гл. III бу-
будет представлено вероятностное доказательство этой теоремы,
принадлежащее Каллианпуру. Доказательства теорем 4.4 и
4.5 также не отличаются от первоначальных (см. [18] и [19]
соответственно).
Теорему 4.6 нам сообщили в личной беседе. Следствие 4.4
впервые опубликовано в [14].
§ 5. Пусть Q обозначает вероятностное пространство
С [0,1] с винеровской мерой w. Элементы пространства Q
будем обозначать буквой о. Стохастический процесс, опреде-
определяемый равенством W(t, со) ===== со(^), называется (одномер-
(одномерным) винеровским процессом или броуновским движением.
Интеграл И то — это интеграл вида
1
\f(t,
где функция f(^co) является неупреждающей относительно
W{t,(d) и \ /(/, coJd/ < сю почти всюду. Если f не зависит от
о
со, то интеграл Ито превращается в стохастический интеграл,
определенный в § 5. Обобщение интеграла Ито на случай
бесконечномерного винеровского процесса будет дано в гл. III.
Винеровская мера w на С [0, 1] продолжается до борелев-
ской меры w на L2[0,1] по формуле
1]), ?e=$(L2[0, 1]).
Как легко видеть, w — гауссовская мера на L2[0, 1] со сред-
средним значением 0 и ковариационным оператором S, который

92 Гл. L Гауссовские меры в банаховых пространствах
определяется равенством
1
5/ @=5 min^ s)f(s)ds.
О «
t
Отметим, что 5 = DB, где D/(/)= \ f(s)ds и оператор D со-
о
пряжен к D в L2[0, 1], т. е.6/(/)= \ f (s)ds. Раньше мы ви-
дели,_ что С = D(L2[01l]). Можно показать, что С'=
= VS(?2[0, 1]), где VS~~ положительный квадратный ко-
корень из оператора 5, т. е.
-i
2[(п-4)я]
П-1
Эта идея продолжения меры ш до й для перехода к прост-
пространству С была использована Кьюлбсом при изучении гаус-
совских мер в общем банаховом пространстве.
§ 6, Если функция f удовлетворяет условию, указанному
в формулировке теоремы 6.2, то она равномерно непрерывна
около нуля в ^щ-топологии (р. н. о. н. в &~т). Функция f на Н
называется р. н. о. н. в ЗГт, если существует такая последова-
последовательность ||-|U измеримых полунорм, что || • ||„ сходится к ну-
нулю по вероятности и / равномерно непрерывна в ?Гт-тополо-
гии на {хбЯ; \\х\\п ^ 1} для каждого п. В [16] показано,
что если / р. н. о. н. в ЗГту то заключение теоремы 6.2 справед-
ливо. Заметим, что если положить || х По = X! 2"ЛЕ [|| . ||л ] || х ||я,
/г-1
то f равномерно непрерывна в ^щ-топологии на {х е Н\
lU'llo ^ г} при всех г > 0. Таким образом, функция f p. н. о. н.
в Тт тогда и только тогда, когда существует измеримая по-
полунорма ||-Но, такая, что f равномерно непрерывна в ^Гт-то-
пологии на {а: е Я; ||д:||о ^ г} для всех г > 0.
Теорема 6.3 взята из [18], но доказательство, приведенное
здесь, намного проще. Теоремы 6.5 и 6.6 представляют собой
бесконечномерное обобщение теоремы Леви о непрерывности.
Доказательство теоремы 6.5 совпадает с оригинальным. В ори-
оригинальной формулировке теоремы 6.6 вместо ^7~т-топологии
используется ^-топология (^"-топология определяется как

§ 7. Замечания к главе I 93
слабейшая топология в Я, для которой функционал |Л-|
непрерывен для всякого оператора Гильберта — Шмидта А).
Кроме того, первоначальное доказательство весьма сложное
и техническое. Фельдман дал короткое доказательство этой
теоремы в [48]. Здесь мы не только ослабили условие на ф
(а именно, использовали ^т-топологию), но еще далее упро-
упростили рассуждения.
Теорему 6.7 независимо друг от друга получили Гросс [17]
и Сазонов [41]. В первоначальной формулировке этой теоре-
теоремы также использовалась ^"-топология. Приведенное нами
доказательство заимствовано из [17].

Глава II
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
ГАУССОВСКИХ МЕР
В 1944 г. Камерон и Мартин [31] обнаружили, что мера до
квазиинвариантна относительно сдвигов на произвольную аб-
абсолютно непрерывную функцию х, производная которой х1
есть функция ограниченной вариации. В 1950 г. Маруяма [37]
доказал, используя понятие стохастического интеграла (см.
§ 5, гл. I), что достаточно требовать, чтобы х' принадлежала
L2[0, 1] (т.е. *€= С, см. § 5, гл. I). В 1951 г. Суноути [45]
и Камерон и Грэйвс [30] независимо доказали теорему Ма-
руямы. Позже мы приведем формальное доказательство этой
теоремы, основанное на введенном Донскером [22] понятии
«плоского интеграла».
Кроме того, мы увидим, что если меру w сдвинуть на
функцию, принадлежащую С \ С, то получится мера, орто-
ортогональная к w. Это явление есть так называемая дихотомия
гауссовских мер. Фактически мы докажем, что в абстрактном
винеровском пространстве сдвиг меры pt на х приводит либо
к эквивалентной, либо к ортогональной мере р5, причем экви-
эквивалентность имеет место тогда и только тогда, когда х е Н
и 5 = /.
В 1948 г. Какутани получил замечательную теорему о бес-
бесконечном произведении мер. Именно, пусть \in ~ vn (символ
~ означает эквивалентность), л=1, 2, 3, ... . Тогда произ-
произведение ц = ?УМтг или эквивалентно произведению v=(^)vn,
п п
или ортогонально. В 1958 г. Фельдман и Гаек независимо
друг от друга обнаружили, что две гауссовские меры либо
эквивалентны, либо ортогональны. В то же самое время Си-
Сигал установил эту теорему о дихотомии в общем случае для
слабых распределений. Мы докажем теорему Фельдмана —
Гаека для гауссовских мер в гильбертовом пространстве (см.
§ 2 гл. I), следуя Варадхану [2], затем построим гауссовские
меры в пространстве функций и дадим простое доказатель-
доказательство теоремы Фельдмана — Гаека, найденное Шеппом. Нако-
Наконец, мы получим несколько формул преобразования для мер
в абстрактном винеровском пространстве.

§ 1. Сдвиг винеровской меры 95
§ 1. СДВИГ ВИНЕРОВСКОЙ МЕРЫ
Напомним, что если / — цилиндрическое множество вида
{х<=С[0, 1]; (*(/,), .... *(/„)) е?}, 0 </, < ... </„<1,
то значение w(f) винеровской меры на множестве / равно
. ..<tun.
Относительно ядра в последнем интеграле можно сделать
следующее наблюдение. Запишем Uk=x(tk), k= I, 2, «.., п.
Тогда
Конечно, последние две строки представляют собой чисто
формальные выражения, поскольку из § 3 гл. I нам известно,
что броуновские траектории нигде не дифференцируемы. Тем
не менее формально мы можем рассматривать ядро как
2
e
и положить
6х = е ° dx.
Если отображение /: С [О, 1]->R является до-интегрируе-
мым, то мы обозначаем
\ f(x)w{dx) через | f(xNx.
с [о, п
Определение 1.1. | f(x)bx называется плоским интегра-
интегралом Донскера.

96 Гл. It. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Пусть хо^С[О9 1]. Определим сдвиг wXo меры w на
равенством
, 1]).
Теорема 1.1. Если xQ e С, то мера wXo эквивалентна мере
w и производная Радона — Никодима задается соотношением
dw
1
Замечание. Интеграл \x[(t)dx{t) понимается как стоха-
о
стический интеграл (§ 5 гл. I), и производная dwxjdw опре-
определена 10-почти всюду. Когда Камерон и Мартин впервые
получили эту фррмулу, они рассматривали \x'Q(t)dx(t) как
о
интеграл Стильтьеса и поэтому предполагали, что х'о есть
функция ограниченной вариации, так что производная dwxjdw
была определена всюду в С [0,1].
Доказательство. Мы должны показать, что для произволь-
произвольной до-интегрируемой функции /
5 J f(x + xo)g(xo,x)w(dx)9
С [О, Ц С [0, 1]
где
-Чг\ x'Q{tJ dt-{ x[(t)dx{t)
g(xo,x) = e о о
Используя плоский интеграл Донскера, получаем
$
[0
$
С [0,
1
-V* $
e °
J f(y)
M
- -4*Mx'itHx'0(t)Jdt
\f( + ) o

§ 1. Сдвиг винеровской меры 97
1
(О2 dt- $
)
С 10, 1]
В случае абстрактного винеровского пространства (/, //,
В) справедлива следующая теорема. Ее доказательство мо-
можно рассматривать как оправдание применения плоского ин-
интеграла в доказательстве предыдущей теоремы. Для х е В
положим pt (х, Е) = pt (E -f а:) , Е ^$(В).
Теорема 1.2. Если h^Hy то мера pt[h, •] эквивалентна
мере pt и производная Радона — Никодима задается соотно-
соотношением Л IU \ 1 1
Замечание. <Л, •> рассматривается как случайная вели-
величина на 5. См. лемму 4.7.
Доказательство. Нам надо показать, что для произвольной
ргинтегрируемой функции /
J / (У) Pt (dy) = J / (х + h) е~Ъ{h |2" <Л' Лр# (Л,)в
в в
Очевидно, достаточно доказать это равенство для ограничен-
ограниченных непрерывных функций.
Пусть f — ограниченная непрерывная функция на В и
g = f\H. Из теоремы 6.3 гл. 1 вытекает, что g имеет смысл и
g = f почти всюду относительно pt. Следовательно, мы мо*
жем выбрать такую последовательность {Рп} аЗГ, сильно
сходящуюся к тождественному отображению, что g(Pn*) схо-
сходится к / почти всюду относительно pt. Имеем
\ f (У) Pt (dy) = Hm \g (Pnx) (у) pt (dy) =
. dim PnH L_
S
g(Pn
D '
pnH
S/ i ч dim PnH L I x+p h\2
g (Pnx + Pnh) (-}=) e « 'X+P» ' dx =
- - - D if \y2stt/
4(PnX)(*
= lim U (Pnx) (y) pt (dy),
Го

98 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
где
Ясно, что
ф(Рл-)->? 2t t f(-+h) no вероятности.
Перейдем, если необходимо, к такой подпоследовательности
Рп, что предыдущая сходимость будет сходимостью почти
всюду относительно ри В результате получим
\ f(y)Pt(dy) = 5 f(y±h)e-^lhl"T{y'hypt(dy). #
В В
Следствие 1.1. (а) Для каждого е > О
w{xz=C[0, I]; IUIKe}>0.
(b) Для каждого е > О
р,{*е= В; ||*||<в}>0.
Замечание. Из этого следствия вытекает, что винеровская
мера на непустых открытых множествах положительна.
Доказательство, (а) См. лемму 5.2 гл. I и теорему 1.1.
(Ь) Это утверждение получается при помощи тех же рас-
рассуждений, что и примененные в доказательстве леммы 5.2
гл. 1, только теперь вместо теоремы 1.1 надо воспользоваться
теоремой 1.2. Ф
$
Следствие 1.2. Если OeL2[0, 1], то функция е °
является w-интегрируемой и
1 1
J e ° w{dx) =
С №. 1]
t
Доказательство. Пусть лг0 (/) = \ 0 (s) ds. Тогда лго е С.
о
Положив /si в теореме 1.1, получим
1 1
-7*$ в (О2 dt-$Q(t)dx{t)
С [О. Ц

§ 2. Теорема Какатуни о бесконечном произведении мер 99
§ 2. ТЕОРЕМА КАКУТАНИ О БЕСКОНЕЧНОМ ПРОИЗВЕДЕНИИ МЕР
Пусть \i и v — две вероятностные меры на измеримом про-
пространстве (X, <%) и X — такая вероятностная мера, что обе
меры \х и v абсолютно непрерывны относительно нее. Напри-
Например, меру Я можно взять равной (\x + v)/2. Интеграл Хел-
лингера для pv определяется следующим образом:
Нетрудно проверить, что величина H(\i, v) не зависит от вы-
выбора меры X, и поэтому H(\i, v) часто обозначают через
Из определения немедленно вытекают следующие свой-
свойства #(ц, v):
(i) 0<Я(|1, v)< 1 (в силу неравенства Шварца);
(ii) #(n;v)
(Hi) H(\i, v)
(iv) \i~v=>H(\x, v)>0
(± означает ортогональность, ~ — эквивалентность).
Упражнение 28. Построить контрпример, показывающий,
что импликация, обратная (iv), неверна.
Пусть Q = RXRXRX.V и # = ф#A?). Рассмотрим
измеримое пространство (Q, $). Пусть {\хп} и {vn}—две по-
последовательности вероятностных мер на к. Положим \х =
= Hi X М^2 X ... и v = vi X v2 X ... . Тогда \i и v являются
вероятностными мерами на (Q, <%). Очевидно, если ц* -L v*
для некоторого k, то \i A. v. Но что будет, если \Xk ~ v* для
всех k? Доказательство следующей теоремы см. в [28].
Теорема 2.1 (Какутани). Если ixk ~ v*, k = 1, 2, ... , то
меры \i и v л^бо эквивалентны, либо ортогональны. При этом
оо
Ii ~ v гогCа w только тогда, когда Ц Я (щ, vfe) > 0, fi случае
d\
Пример I. Пусть
и dvk^-^==re 2t dx.

100 Гл. 11. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Для эквивалентности \х ~ v необходимо и достаточно, чтобы
оо
Y а? < оо. В этом случае
k
*i
1 V 2, 1 V
W L ak+T L ak*k
Л1 Л1
Доказательство. Используем легко проверяемую формулу
H(iikivk) = e'^~. #
Пример 2. Пусть
Если / =^ s, то |ilv, каковы бы ни были числа а^.
Доказательство. Используем легко проверяемую формулу
Н (Н, v*) = [2 VS/(/ + *)]* e-°*/4('+s). #
Пример 3. Пусть
•V "~~~ 1 f *-iy Oj • • • •
Для эквивалентности \х ~ v необходимо и достаточно, чтобы
оо 2
) j-<oo, В этом случае
оо 2 оо
Пример 4. Пусть
1 Иг ^ ^ 1 "Ж" ^
л 6 п y M /TV» —— . р Л /7 У
С? ИЛ П "V^j 7_—^— С UA,
Если 2 D — IJ < 00, то \х ~ v.
§ 3. ТЕОРЕМА ФЕЛЬДМАНА —ГАЕКА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
ГАУССОВСКИХ МЕР В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть Н — вещественное сепарабельное гильбертово про-
пространство. В § 2 гл. 1 мы показали, что гауссовская мера од-
однозначно определяется заданием вектора Шц пространства Н

§ 3. Теорема Фельдмана — Гаека 101
и 5-оператором 5р. в Я. Вектор т^ называется средним значе-
значением меры |л, a S^—ее ковариационным оператором. Теорема
Фельдмана — Гаека утверждает, что две произвольные гаус-
совские меры на Я либо эквивалентны, либо ортогональны.
Для удобства будем использовать запись \i = [a, S], кото-
которая означает, что \х — гауссовская мера на Я со средним зна-
значением а и корреляционным оператором S. Если 5е^, то
л/S обозначает положительный квадратный корень из опера-
оператора S. Заметим, что д/5" е ^B) (Я), если S е &.
Теорема 3.1. Пусть \i — [0, S] и v — [a, S]. Тогда \i ~ v
или (ilv б зависимости от того, выполняется включение
а е л/S (Н) или нет. Если \i ~ v, то производная Радона —
Никодима задается равенством
±L(X) = в-у,I ШГ1 а \2+(ШГ1 a, Ws)~l х).
Замечание. 1. Рассматривая Н как абстрактное винеров-
ское пространство (/, д/S (Я), Я), мы видим, что часть пре-
предыдущего утверждения совпадает с утверждением теоремы
1.2 для / = 1 и h = — а.
2. Заметим, что
я
Следовательно, ((л/sY a, (Vs)~ •) — случайная величина
на Я, имеющая нормальное распределение (относительно \х)
с нулевым средним и дисперсией | (У^Г) а \ .
Доказательство. Шаг 1. Если мера \х не ортогональна v, то
V
Для каждого h^H через \ih и Vh обозначим распределе-
распределения случайной величины <Л, •> относительно мер \х и v соот-
соответственно. Поскольку |л не ортогональна v, то для произволь-
произвольного h Ф О распределение \хн не ортогонально Vh. Отметим,
что \ih совпадает с распределением1) N@, <Sftf Л>), a vh — с
распределением N«a, Л>, <5Л, Л». Отсюда следует, что
'<*'*>' <оо>
т. е.
*) Ниже NF, d) обозначает нормальное распределение со средним Ъ и
дисперсией d. — Прим. перев.

102 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Шаг 2. Если аед/$(Я), то jx~v и производная -~[-{х)
задается так, как указано в теореме.
Рассмотрим Н как абстрактное винеровское пространство
(/, #о, Н), где Но = <\fs (H) и скалярное произведение в Но
определено соотношением
н. 1х, (л/з)Л>, х9 {/еЯ0.
Как легко видеть, \х есть винеровская мера р\ на Я и v совпа-
совпадает с h\(a, •). Поэтому доказываемое утверждение следует
из теоремы 1.2. #
Следствие 3.1. Пусть \х = [а, S] и v = [&, S]. Тогда \х ~ v
или |ы _L v в зависимости от того, а — Ь^ л/S (Н) или нет.
Доказательство. Достаточно заметить, что эквивалентность
и ортогональность сохраняются при сдвигах. ф
Упражнение 29. Найти производную Радона — Никодима
d[a,S]/d[b9S].
Теорема 3.2. Пусть \х = [0, Si] и v = [0, S2]. Если \i не ор-
ортогональна v, то S2 = V^i T -yfs[, где Т — некоторый положи-
положительно определенный ограниченный оператор, имеющий об-
обратный и удовлетворяющий условию Т — IеЗ?\2)(Н).
Доказательство. Пусть %\ Д2, ..., К, ... — ненулевые соб-
собственные значения*оператора S\ и е\> e2i ..., еп, ... — соответ-
соответствующие единичные собственные векторы. Положим
Ж = Us\9 52, ...); Л Я/S/ < оо > и определим отображение
Ф: Н->2в формулой
Ф (х) = ((х, ехIл/Ги ...,(х, еп)/лДГп, ...).
Отметим, что Ф есть отображение на и кегф = кег5ь Пусть
\х и v — распределения мер \х и v на 2ё. Через (Ф(х))/ будем
обозначать i-ю компоненту вектора Ф(х). Ясно, что для
/,/=1, 2, ...
\
(Ф (*)), (Ф (х)), dv (х) =

§ 3. Теорема Фельдмана — Гаека 103
так что
^ d\i (s) = 6Ф
Поскольку меры |л и v не ортогональны, Д и v также не орто-
ортогональны. Пусть Д„ и vn — сужения Д и v на первые п коорди-
координат. Заметим, что ДЛ есть гауссовская мера с нулевым сред-
средним и ковариационным оператором /, a vn — гауссовская мера
с нулевым средним и ковариационным оператором
/t\\ t\2 ... t\n \
Тп = [ \
Упражнение 30. Пусть К\ и %2 — две гауссовские меры на
Rn со средними значениями а,\ и аг и корреляционными опе-
операторами S\ и S2 соответственно. Тогда интеграл Хеллингера
для Х\ и Хг задается равенством
((S + S)(^i-a2), a,-?%>}.
Пусть теперь 9П,/, /= 1, 2, ..., п — собственные значения
оператора Тп> Тогда в силу предыдущего упражнения имеем
Поскольку Д не ортогональна v, то получаем Я(Д, v) > 0. От-
Отметим, что последовательность Я(ДЛ, vn), монотонно убывая,
сходится к Я(Д, v) при л-^оо. Следовательно, существует
постоянная Му такая, что H(\xntvn)> е~ш для всех п. Таким
образом,
? [2 InA+2е"'У) - Inвя,у] < М для всех п.
/-1
Отсюда вытекает, что
п .
(a) Z A — 0я, if < М Для всех п [поскольку A — л:J<

104 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
(Ь) существует 0 < с < оо, такое, что с < 9Л>/ < — для
всех п, /.
Определим оператор Т: Н-+Н, положив Тх = х, когда
xekerSi, и Tei = Yjtuefi /=1, 2, ... . Ясно, что Т поло-
положительно определен. Из (Ь) следует, что Т ограничен и имеет
обратный. Далее,
Z (^-6//J=lim t (U,-6цУ=Пт t A - К if < М
iy /=l Л-»оо /,/=1 n->oo /=l
(согласно (а)). Итак,
Упражнение 31. Если мера [0, Si] не ортогональна мере
[0, S2], то ker Si = ker S2.
В силу этого упражнения имеем V^i Т V*Si = ^2 н^ ker Sx.
Далее, для /=1, 2, ...
Следовательно, V5i^V5i = S2 на Я.
Теорема 5^. Яусгб jx = [O, Si] a v = [0, S2]. у
52 = д/Si Г д/Si, где Т — положительно определенный огра-
ограниченный оператор, имеющий обратный и удовлетворяющий
условию Т — /е^B)(Я). Тогда мера \х эквивалентна мере v
и производная Радона — Никодима задается равенством
г|? а 6л: определены ниже в доказательстве.
Замечание. Ограничиваясь, если необходимо, простран-
пространством (ker SiI, мы можем предполагать, что отображе-
отображение Si взаимно однозначно. Поэтому Я, как и выше, можно
рассматривать как абстрактное винеровское пространство

§ 3. Теорема Фельдмана — Гаека 105
(/, V5i (Н)> Н\ и \л будет винеровской мерой р\ на Н. Далее,
легко видеть, что v = р\ о L~\ где L = Vs2 (V^i) . Если опе-
операторы S\ и 52 связаны соотношением, указанным в теореме,
то оператор L обладает теми же свойствами, что и Т. Следо-
Следовательно, теорему 3.3 можно рассматривать как частный слу-
случай формулы преобразования для мер, которая будет обсуж-
обсуждаться в § 6.
Доказательство. Пусть {^}—ортонормированный базис в
//, состоящий из собственных векторов оператора Т — /, и
{bk} —соответствующие собственные значения. Тогда
Tek = $k+l)eki *=1, 2, ... .
Пусть Q = RXRX..., A = |iiX|i2X... и v = V!Xv2X..., где
1 -—
js=re 2 d# (не зависит k),
Поскольку 2 Р| < °°> то из примера 4 § 2 следует, что
мера jl эквивалентна v и
Упражнение 32. Показать, что существует подпростран-
подпространство Qo пространства Q, такое, что juL(fio) = v(Q0)= 1 и при-
приведенное выше бесконечное произведение сходится, когда
(x\f x2i ...)^Qo- Доказать также, что если Т — /^fW
то производную dv/d\x можно представить в виде
¦i—i
¦i—i
Определим отображение if»: Q-^-Я, положив
x = (xu x2, ...)
Легко проверить, что \ I 'Ф (лг) |2 ft (dx) = tr Sx и
<j
4> W Pv(djc) = trS^ = tr V^Г VsT=

106 Гл. //. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Поэтому г|э(х)е# почти всюду относительно как меры Д, так
и меры v. Такое отображение \|) часто называют случайным
вектором.
Докажем, что |ы = jut о г|Н и v = v о г|Н. Для этого заметим,
что pi о -ф—1 и voil) являются гауссовскими мерами с нулевым
средним. Далее,
*, г) (у, z) Д о г|Г* (dz) = J <х, * (г)) (у, *(г)) ji (rfz) =
н
оо
= X J
/Л1 U
( поскольку 2
ч
» Д))
Аналогично
я
Следовательно, |л == flог|?~х и v = voi|)-1. Отсюда вытекает, что
тх dv
\i ~ v. Из приведенного выше равенства для -^г- и соотно-
соотношения -^№W) = ^W легко получаем требуемую фор-
формулу. #
Лемма 3.1. Если меры [а\, S\] и [a2i S2] не ортогональны,
то [0, Si] и [0,5г] также не ортогональны.
Доказательство. Это легко следует из результата
упр. 30. #
Теорема 3.4. Меры [ai, Si] и [#2,5г] либо эквивалентны,
либо ортогональны. Они эквивалентны тогда и только тогда,
когда
(a) [аь Si] и [а2, Si] эквивалентны и
(b) [a2, Si] и [а2, S2] эквивалентны.
Замечание. Необходимое и достаточное условие для (а)
дано в следствии 3.1, а для (Ь)—в теореме 3.3.
Доказательство. Предположим, мера [аи Si] не ортого-
ортогональна [a2iS2]. Тогда по лемме 3.1 мера [0, Si] не ортого-
ортогональна [0, S2]. Следовательно, по теоремам 3.2 и 3.?

§ 4. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер 107
мера [0, Si] эквивалентна [0, S2]. Поэтому [a2i S\] и [а2, 52]
эквивалентны. Следовательно, [abSi] неортогональна [а2,Si].
В силу следствия 3.1, меры [аи Si] и [а2, Si] эквивалентны.
Итак, [ах, Si] и [а2, S2] эквивалентны. ф
§ 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ
ГАУССОВСКИХ МЕР В ФУНКЦИОНАЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть a'ogR" и А=(ац) — строго положительно опреде-
определенная матрица размера я X я. Через \А\ будем обозначать
определитель матрицы Л. Поскольку мы предположили, что
матрица А строго положительно определена, то |Л|>0. Га-
уссовская мера jn на R", соответствующая хо и Л, опреде-
определяется формулой
. . ч 1 —L(A-l{x-Xo),x-Jb> -
\х (dx) = , ~.п /ПГГ е 2 dx,
где А~х — оператор, обратный к оператору Л, <•, •> — евкли-
евклидово скалярное произведение и dx — мера Лебега на Rn. Лег-
Легко доказать следующую лемму.
Лемма 4.1. (а) \ (у, х) \i (dx) = {у, х0).
(b) \ (у, х — х0) (г, х — Хо) \i (dx) = (Ay, z).
R
(c) V>(y) = e 2
В случае когда матрица Л предполагается (лишь) положи-
положительно определенной, определитель \А\ может быть равен
нулю и поэтому нельзя определять меру ^ по приведенной
выше формуле. В этом случае мы определим меру \i через ее
преобразование Фурье (см. лемму 4.1, (с)), воспользовавшись
теоремой Бохнера. Например, если Л=0, то (я есть б-мера,
сосредоточенная в точке хо. Вообще, для всякого вектора
jtO?R" и всякой положительно определенной матрицы Л =
= (a,ij) размера пУ^п существует единственная гауссовская
мера (я, удовлетворяющая условиям леммы 4.1.
Пусть Л — произвольное множество индексов, Q = RA —
пространство вещественных функций со, определенных на Л,
и $ — наименьшее а-поле в Й, такое, что каждая координат-
координатная функция со(t),./gA, измерима.
Определение 4.1. Отображение р: ЛХЛ->К называется
ковариационной функцией, если для произвольного конечного
множества я = {t\,..., tk} cz Л матрица рЛ = (р (ti, tj)) поло-
положительно определена.

108 Гл. //. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Пусть /nefi и р — ковариационная функция. Всякому ко-
конечному подмножеству я множества Л можно поставить в со-
соответствие гауссовскую меру \хЛ, задаваемую вектором пгл и
матрицей рл, где пглAи ..., tk) = (m(ti)9 ..., m(tk)) и prt =
= (р(^, tj)). Легко проверить, что семейство мер {\ля\ я?А,
п конечно} согласованно. Следовательно, по теореме Колмо-
Колмогорова, существует единственная мера \л на Л, такая, что
|i {со; (со (/О, ..., со (/,)) s Е) = р" (?), я = (tu ..., tk}.
Эта мера называется гауссовской мерой, соответствующей
функции среднего значения m и ковариационной функции р.
Пример 1. Л = [0, 1]. Возьмем m = 0 и р(^, 5) = min(^, 5).
Соответствующая гауссовская мера сосредоточена на С[0, 1]
и является не чем иным, как винеровской мерой, рассмотрен-
рассмотренной в § 3 гл. I.
Пример 2. Л = [0, 1]. Возьмем /п = 0 и определим р фор-
формулой
\ при t = s,
о при t + s.
Соответствующая гауссовская мера сосредоточена на любом
абстрактном винеровском пространстве (i, L2@, 1], Б), где
BdlRt0'1}, и является а-аддитивным продолжением гауссов-
гауссовской цилиндрической меры в L2[0, 1].
Напомним, что если \х и v — вероятностные меры на изме-^
римом пространстве (Q, ^), то для них можно ввести инте-
интеграл Хеллингера
Я (\i, v) = \ Уdp, dv .
Определим еще один функционал — так называемый ]-фун-
]-функционал— следующим образом. Пусть ? = ц -+- v. Полагаем
По определению, подынтегральное выражение принимается
равным оо, если либо •^iL===0> либо -^ = 0 (одновременно
оба эти равенства выполняться не могут, поскольку
d\ ^ d\ Ч'
Свойства /-функционала:
(a) 0</ (|^,v) <oo;
(b) / (\х, v) < оо =$> |я ~ v.

§ 4. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер 109
Связь между Н и /:
(a) /<oo^#>0(/<oo=^|i~v=»#>0);
(b) #>0^>/<оо.
Упражнение 13. Построить контрпример, доказывающий
справедливость утверждения (Ь).
Цель этого параграфа — доказать, что если \х и v — две
гауссовские меры в функциональном пространстве (Q, ^?),
то импликация Н > 0 =#> / < оо все-таки справедлива. Для
доказательства нам потребуется теорема Хэлмса о сходи-
сходимости мартингалов [50].
Пусть C), <)—некоторое направленное множество и
(Q, Ыу \х) — некоторое измеримое пространство с конечной
мерой. Предположим, что 9Иа для каждого а^З) есть
а-подполе а-поля ^, причем а<6ф^ас^. Не ограни-
ограничивая общности, мы можем считать, что o[\J $A]=$.
as=3)
Определение 4.2. Направленность {ха\ а^З)} в Ll{Q)
называется мартингалом относительно семейства {$а\ а€
<^3)}, если
(a) случайная величина ха измерима относительно 3$а
для всех а е 3) и
(b) Е[хь\$а] —Ха, когда а< Ь.
Теорема 4.1 (Хэлмс). Пусть {ха\ а е 3)}—мартингал
в Ll(Q). Тогда следующие утверждения эквивалентны:
(a) Направленность {ха\ а?Й)} равномерно интегри-
интегрируема.
(b) Существует элемент Хооб!1^), такой, что ха =
= Е[хоо13$а] для всех ае2).
(c) Направленность {ха\ а^З)} сильно сходится в Ll(Q).
Замечание. Если для некоторого р > 1 мы имеем ха е
eLp(Q) при всех а, то утверждение об эквивалентности (Ь)
и (с) сохраняет силу для мартингалов в Lp(?l).
Доказательство. Поскольку в дальнейшем нам потребует-
ся только импликация (Ь) =^ (с), то лишь ее мы и докажем.
Так как $ = аГ U ^а1, то для произвольного фиксирован-
п
ного е > 0 найдется случайная величина хе= 2 ^1Я., где
T/eR и?|? U ^а» Для которой lUoo —хеHi <е/2. Ясно,
3>
что
II Хм — Хп
о-Е [Хг

110 Гл. П. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Но
НЕ [хм - хе \%а) ||, = J | Е [Хоо - хг\®а
J Е [| д:^ - *в || #e]d|i = J1^ - хе | djx = ||лг^ - хе\\х.
и й
Далее, существует элемент аг е 2), такой, что Ег^$а ,
i = 1, 2, ..., п. Поэтому если а > ае, то E[x8|^a] = хг. Сле-
Следовательно, всякий раз, когда а > ае, имеем
\\хоо-ха\\1<:2\\хоо-хе\\1<г. #
Фиксируем теперь две гауссовские меры jii и- (i2 на функ-
функциональном пространстве Q = RA. Пусть mi — функция сред-
среднего значения и р* — ковариационная функция меры |л/, /=1,2.
Положим (ы == (Ы1 И— |Ы2. Пусть семейство 3) состоит из всех
конечных подмножеств множества Л. Тогда 3) является на-
направленным множеством с частичным упорядочением, опре-
определяемым отношением включения множеств. Напомним, что
если я = {^i, ..., /4 g 2), то
Для каждого яе2) пусть $Л есть a-поле, порожденное
координатными функциями co(/i), ..., со(/д>). Обозначим че-«
рез [х? сужение меры j,i/ на $п.
Лемма 4.2. Пусть -a;* = -^—, /==1, 2. Тогда направлен-
направленность {х*\ п^2)} является мартингалом в V (Q, \i).
Доказательство. Это следует из равенства xf =
\
:}- *
da.
Лемма 4.3. х^х( = -р- в V (Q, |i).
Доказательство. Это вытекает из теоремы 4.1.
Положим
Я (я) == J л/^ • х* d\x и / (я) = J (xf - xj)ln -^-rf|*.
Лемма 4.4. (а) Н (щ)^ Н (п2), если я{ > я2.
(Ь) / (я^ ^ / (я2), ec^w Я! > я2.

§ 4. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер 111
(c) Я(ць (i2)=inf Я (я).
(d) J(\xu |X2)= sup /(я).
лей)
Доказательство, (а) Имеем
лемме 4.2) =
(Ь) Это утверждение вытекает из приводимого ниже
упражнения и того факта, что (х— у)(\пх — In у) есть вы-
выпуклая функция по х и у.
Упражнение 34. Если 9(хуу) —выпуклая функция на R2,
то
Утверждения (с) и (d) следуют из утверждения (а), (Ь)'
и леммы 4.3. ф
Лемма 4.5. Предположим, что р;, t = l,2 — строго поло-
положительно определенные функции, т. е. pj1 строго положитель-
положительно определены для всех п е 3). Тогда
Н (яJ = (det p« det p^'/ydet ^^- X
X ехр {- <(р« + р2")"' (mf - m"), mf - m«>}
и
/(я) - Itr {(# - Р7
Доказательство. Первая формула следует из упр. 30, а
вторую легко проверить непосредственным вычислением. #
Временные обозначения.
D (я) = (det -^i^-) (det pf det p"),
Очевидно, Я (я) -4 = D (я)

112 Гл. //. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Лемма 4.6. Если H(\iu \i2) > 0, то существует такая по-
постоянная М, не зависящая от я, что
О(я)<Л1, ?(я)<М для всех jig&
Доказательство. Если предположить, что m\ = m% то
Я(я) = ?)(я) ^ 1, поскольку //(л) <; 1. Но ?)(я) не зави-
зависит от т,-, поэтому и в общем случае должно быть D(jt) ^ 1.
Далее, е?(я) ^ 1, так как ? (я) ^ 0.
Из условия H(\i\, \i2) > 0 и леммы 4.4, (с), вытекает су-
существование б > 0, такого, что Я (я) ^6 для всех jtg2),
Следовательно,
? (я) = - 4 log Я (я) - log Z) (я) < - 4 In 6. #
Временные обозначения.
Q (л) == <((pf) l + ($f) X)(rri*-m*\ m* — mf).
Ясно, что 2/(я) = T(я) + Q (я).
Лемма 4.7. Если Н{\ли \л2) > 0, го существует такая по-
постоянная N, не зависящая от я, что
Т(я)<N, Q(я)<N для ecex я <= й>.
Доказательство, (а) Пусть Xi > 0, /= 1, 2, ..., я — собст-
собственные значения матрицы p^fp??) (множество я состоит из
п элементов). Тогда
Применяя неравенство а{+а2+... +ап < 4 A + ^-) A +
а/^0, получаем, что для всех лей)

§ 4. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер 113
(Ь) Пусть аь ..., ап > 0 — собственные значения матрицы
¦j(P? + Р?) [(Pf)""' + (Р?)] и *i« *2> • • • > *« — соответствую-
соответствующие собственные векторы, нормированные так, что
„.
Выразим вектор гая = т* —т* через векторы е{, ...,
mn = с{е{ + с2е2 + ... + спеп.
Тогда
Заметим, что
Т (Pf + Р") [(р?) + (Р?)"'] = / + у РГ (PS) + {[р? (р?)
Следовательно, матрицы
тСрГ + ЮКрТГ' + Ср?)] и р"(р?Г'
можно одновременно привести к диагональному виду, поэтому
для / = 1, ..., л имеем
(в силу леммы 4.6). Значит,
(по лемме 4.6). ф
Теорема 4.2. Пусть \ц =|ii(mi, pi) n fi2 = fi2(m2, P2) —две
гауссовские меры на Q = RA. Предположим, что pi и р2 стро-
строго положительно определены. Тогда
Доказательство. Это вытекает из лемм 4.2—4.7. ф
Теорема 4.3. Пусть \ц = \ц{т\9 pi) a jli2 = ^2(^2, Р2) — две
гауссовские меры в Q = RA. Тогда |Xi w Ц2 лабо эквивалентны,
либо ортогональны. Они эквивалентны в том и только том
случае, если Н(\ц, \i2) > 0, что в свою очередь имеет место
тогда и только тогда} когда J(\iu ^2) < °°.

114 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Доказательство. Случай 1: обе функции pi и р2 строго по-
положительно определены.
В этом случае по теореме 4.2 справедлива импликация
H{\i\, №) > 0=^J(\i\, №) < оо. Допустим, что мера juii не
ортогональна (ыг. Тогда H(\i\, ц2) > 0 и поэтому J(\i\, ц2) <со.
Следовательно, \ц ~ \х2 в силу свойства (Ь) /-функционала.
Импликация J(\i\, м,2) < оо =^H(\i\, \i2) > 0 справедлива оче-
очевидным образом:
Случай 2: существует подмножество п е 2), такое, что
в точности один из определителей det py, det р? равен нулю.
В этом случае, очевидно, \х\ _L ^х2.
Случай 3: остающийся.
В этом случае мы можем выбрать максимальное множе-
множество Ло с: Л, такое, что функции pi и р2 строго положительно
определены на Ло X Ло. Тогда мы знаем, что либо ^i ~ мя,
либо jii J_ \i2 на ^(Ло). Но эквивалентность или ортогональ-
ортогональность двух мер относительно ^S(Ao)—это то же самое, что
эквивалентность или ортогональность относительно 38(Л), ф
§ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ АБСТРАКТНЫХ ВИНЕРОВСКИХ МЕР
И ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ НИХ
Пусть (/, Я, В)—абстрактное винеровское пространство.
Как и раньше, через pt мы обозначаем винеровскую меру на
В с параметром L Для каждого лее В положим pt(x, А) =
= pt(A — х), А ^33(В). Таким образом, на (/, Я, В) опре-
определено семейства {pt (х, •); t > 0, х е В} борелевских мер.
Напомним, что пространство В* вкладывается в Я и (х, у) =
= <*,УУ для всех ^еЯиуеВ*.
Теорема 5.1. Меры р*F, •) и pt(x, •) либо эквивалентны,
либо ортогональны. Они эквивалентны тогда и только тогда,
когда х^Н.
Доказательство. Пусть {еп} — ортонормированный базис
в Я, содержащийся в В*. Определим отображение 0: 5Q
= RN равенством
в(*) = ((*• ех)9 ..., (х, еп), ...).
Ясно, что 8(Я) = /2. Пусть B = Q(B). Положим
и=ц* II, е(*)€=в.
Пусть / — отображение включения /2 в В. Тогда (/, /2, В) —
абстрактное винеровское пространство. Ясно, что 8 является
унитарным отображением Я на /2 и изометричным отображе-
отображением В на В. Отметим, что если \it — гауссовская цилиндриче-

§ 5. Эквивалентность абстрактных винеровских мер 115
екая мера на Я с параметром t, то ^об" — также гауссов-
екая цилиндрическая мера в h с параметром t. Положим
pt(x, A) = pt(Q~lx, Q~l(A))> xgB, Ле^(В).
Очевидно, /5* @, •) представляет собой а-аддитивное продол-
продолжение меры \ц об-1 на 3§(В). Пусть для п= 1, 2, ..,
1 -—
i^ 2tdx
и
Рассмотрим две меры-произведения v и va на Q:
где
В силу примера 1 § 2, v ^ va тогда и только тогда, когда ае
е /2. Заметим, что v является a-аддитивным продолжением
меры \ц о 0-1 на a-поле, порожденное цилиндрическими под-
подмножествами пространства Q. Следовательно, v сосредоточе-
сосредоточено на В и потому совпадает с pt(O, •). Далее, va = pt{a, «),
если а^В. Отсюда немедленно следует утверждение тео-
теоремы, ф
Теорема 5.2. При t=?s меры р*@, •) и ps(x, •) ортогональ-
ортогональны для любого jcgB.
Доказательство. Используем те же рассуждения, что и в
предыдущем доказательстве, только на этот раз привлекаем
пример 2 § 2. 41=
Теорема 5.3. Меры pt(x,*) и ps{y, •) либо эквивалентны,
либо ортогональны. Они эквивалентны тогда и только тогда,
когда t = s и х — у^Н.
Доказательство. Это непосредственно вытекает из тео-
теорем 5.1 и 5.2. #
Обратимся теперь к формулам преобразования для абст-
абстрактных винеровских мер.
Лемма 5.L Пусть Т = / + К — ограниченный линейный
оператор в В {напомним, что I обозначает тождественный
оператор). Если К{В)аН и Т\н =1 -\- К\н — обратимый
оператор в Я, то оператор Т: В-+В также обратим.
Доказательство. Т~1=1— (Т\Н)-{К, #

116 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
Пусть Т — линейное отображение пространства В в себя,
указанное в лемме 5.1. Обозначим через pt о Т борелевскую
меру ptoT(E) =pt(T(E)), Es=@(B).
Теорема 5.4. Пусть Т = I -\- К — линейное отображение
пространства В в себя. Предположим, что выполнены следую-
следующие условия:
(a) К(В) с: Я;
(b) Т обратимо как линейное отображение Н в себя\
(c) Кс=&оЛН)-
Тогда меры pt°T и pt эквивалентны и
det | Т |, jc e В.
(х) = е
dpt v )
Замечания. В силу следствия 4.4 гл. I, из условия (а) вы-
вытекает, что /Се i?B)(Я). Сигал [43] и Фельдман [47] по-
показали, что если выполнены условия (а) и (Ь), то меры pt ° T
и pt эквивалентны, и что при выполнении условий (а) — (с)
производная Радона — Никодима dpt°T/dpt может быть вы-
выражена приведенной выше формулой.
(Кх, х) интерпретируется как случайная величина на В
следующим образом. Запишем К = S*\S2> где Si, S2 е <2?B)(Я).
Функция <S2A, S\h) от h равномерно непрерывна на Я отно-
относительно ^т-топологии. Следовательно, по теореме 6.2 гл. I
мы имеем случайную величину <S2/i, S\h}^, определенную
на В. По определению (Кх, х) и полагается равным этой слу-
случайной величине. Легко видеть, что если {Рп} — последова-
последовательность в ^~, сильно сходящаяся к тождественному опера*
тору в Я, причем Рп{Н) а В*, то (PnKPnxy x) как функция от
xgB сходится по вероятности к (Кх> х) при п-^оо.
Доказательство. Достаточно показать, что для произвола
ной ограниченной непрерывной функции f
\f(y)pt(dy)= \f(Tx)gt(x)Pt(dx),
где
/ \ -4г&(К*'Х)+\Кх\*}
gt(x) = e 2t detI Г|.
Выберем возрастающую последовательность {Рп} ортогональ-
ортогональных проекторов в Я с dim Рп(Н) =п и Рп(Н) а В*. Соглас-
Согласно (Ь), пространство Т(РпН) также n-мерно. Пусть Qn — ор-
ортогональный проектор пространства Я на Т(РпЩ. Очевидно,
Qn-+I сильно в Я при п-+оо. Далее, Т является изоморфиз-
изоморфизмом РпН на QnH*

§ 5. Эквивалентность абстрактных винеровских мер 117
В силу теорем 6.2 и 6.3 гл. I
\f(y)pt(dy)=\im \ f(x)vLt(dx),
J ' /2->ОО •/
В (?„Я
га
где \it — гауссовская цилиндрическая мера на Я с парамет-
параметром /. Рассмотрим отображение Г:, РпН — QnH. Производя
замену переменных, легко получаем
= an \ f(TPnx)gt(Pnx)iit(dx) =
рпн
= an\f(TPnx)gt(Pnx)pt(dx)t
где an=det\I+PnKPn\/Aet\T\. Отметим, что аЛ->1 при n->oot
Непосредственным вычислением проверяется, что
\gt(x)pt(dx)=l9
в
) gi (Pnx) Pt (dx) = а^1 -> 1 при п -> оо.
в
Заметим, что функции gt и gt°Pn положительны. Далее,
gt°Pn сходится по вероятности к gt. Выберем подпоследова-
подпоследовательность, для удобства обозначаемую снова через {Рп}, та-
такую, что gt ° Рп сходится к gt почти всюду относительно pt.
Тогда из утверждения следующего упражнения вытекает, что
gt о Рп сходится к gt в L1 (В, pt).
Упражнение 35. Пусть (Q, ц) — вероятностное простран-
пространство и 1 <; р < оо, р е Lp (Q, \i), рп е Z/ (Q, |i). Предположим,
что
иРя^ф-* \1р1РФ и рп->р почти всюду при я->оо.
Тогда рЛ->р в LP(Q, \i).
Напомним, что функция / ограничена и f(TPn(-)) сходит-
сходится по вероятности к f(T(-)) при п-^оо. Выбирая соответ-
соответствующую подпоследовательность (обозначаемую по-прежне-
по-прежнему через {Рп}), заключаем, что
\ f (У) Pt (dy) = Hm an \ f (TPnx) ft (Pnx) pt (dx) =
= \f(Tx)gt(x)Pi(dx). #

118 Гл. //. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
§ 6. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ СДВИГА ИЗ ТЕОРЕМЫ 1.2
Пусть В и X — банаховы пространства. Функция /, опре-
определенная на открытом подмножестве U пространства В и
принимающая значения в X, называется дифференцируемой
по Фреше в точке х, если существует линейный оператор
Kt=3?{By X)t такой, что
Легко проверить, что оператор К единствен; он обозначается
через f'{x). Функция / называется Сх-функцией, если f'(x)
существует для каждого #е U и отображение x-^*f(x) мно-
множества U в 3?{В, X) непрерывно. Для произвольного банахо-
банахова пространства В, даже сепарабельного, класс вещественных
ограниченных (^-функций на В не слишком велик; напри-
например, в работах [1], [46] показано, что для многих сепара-
бельных банаховых пространств В этот класс не плотен в про-
пространстве ограниченных равномерно непрерывных функций.
Однако если рассмотреть сепарабельное банахово прост-
пространство В как абстрактное винеровское пространство (i,HyB),
то можно ввести более слабое понятие дифференцируемости,
для которого удается получить много хороших результатов.
Определение 6.1. Пусть f — функция, определенная на от-
открытом подмножестве U пространства В и принимающая
значения в банаховом пространстве X. Для каждого x^U
рассмотрим функцию g(h) =zf(x-\-h), fte (U — x) П#-Если
g k раз дифференцируема по Фреше в 0, то мы говорим, что/
k раз дифференцируема по подпространству Я в точке х (или,
короче, Я-дифференцируема в х). При этом gU)@) будем
обозначать через Dff(x). Отображение DJ f(x) является /-ли-
/-линейным отображением ЯХ ••• Х# (/ сомножителей) в X.
Будем говорить, что функция / k раз Н-дифференцируема на
U, если она k раз Я-дифференцируема в каждой точке х мно-
множества V.
В этом параграфе мы докажем, что всякую ограниченную
равномерно непрерывную функцию можно равномерно при-
приблизить бесконечно Я-дифференцируемыми функциями.
Аппроксимация осуществляется следующим образом. Поло-
Положим для всякой ограниченной измеримой функции
Ptf(x) =
Мы покажем, что для произвольной ограниченной равномер-
равномерно непрерывной функции f направленность ptf равномерно
сходится к / при *-^0 (теорема 6.1). Затем, применяя фор*

§ 6. Применение формулы сдвига из теоремы 1.2 119
мулу сдвига из теоремы 1.2, мы докажем, что для произволь-
произвольной ограниченной измеримой функции / функция ptf беско-
бесконечно //-дифференцируема (теорема 6.2).
Теорема 6.1. Если f — ограниченная равномерно непрерыв-
непрерывная функция на В, то ptf равномерно сходится к f при t->0.
Доказательство. Пусть задано произвольное е > 0. Най-
Найдется 6 > 0, такое, что
Поэтому
\Ptf(x)-f(x)\ =
+ y)-f(x))pt(dx)
в
*Pt(dy)+ J \f(x + y)-f(x)\pt(dy)>
Иг/11>8
где llflU — равномерная норма функции f. Но, как легко ви-
видеть, pts{E) = pt(E/^/s), E^&(B). Следовательно,
рЛу, IIу \\>ь)=pi (^=; II уII> 6) =
= Рх (х; || х || > ^) -> 0 при / -> 0.
Итак, Wptf — flU-»-0 при t-^-О. #
Теорема 6.2. Пусть f — ограниченная измеримая функция
на В. Тогда функция ptf бесконечно Н-дифференцируема,
Первые две производные задаются равенствами
( D (ptf) (х), h) = \ \ f (х + у) {h, у) pt (dy),
В
<D* (ptf) (x) h,k)=±\f(x + y){ ИЬШЬА -(h,k)}pt (dy),
в
где h, k^H.
Доказательство. Мы хотим показать, что
Имеем

120 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
(по теореме 1.2). Положим
i_ j_
У (Л, у) = е 2t ' 'У.
Тогда
± J (sh, у) = | «Л, r/> — s 1 Л |2> / EЙ, у).
Поэтому
в и
-s|Ap}/(sAf y)dspt(dy)
и, значит,
В
y)ST{</^>('(sM)-l)-sJ№(sM)}rfsjMrf</) =
0
= \ \!{х + у)-т{К у)[1 (sh, y)—l)pt(dy)ds —
в о
1
о в
1
о в
Но
Iа К7II/LП <Л. УJPt(dy)\'2 \f\\J(sh,y)-1 fpt(dy)\hds
1
= j II/L УМ Л | J (e^lftw -1)* ds,
IPK-II/L j
0
Следовательно
Применяя ту же самую технику, можно проверить фор-
формулу для второй производной и получить аналогичные фор-

7. Замечания к главе П 121
мулы для производных более высокого порядка, но вычисле-
вычисления в этом случае усложняются. ф
Используя идею предыдущего доказательства, можно вы-
вывести формулу интегрирования по частям для абстрактных
винеровских мер, см. [14].
Теорема 6.3. Пусть fug суть Сн-фунмщи, определенные
на В и принимающие значения в гильбертовых пространст-
пространствах F и G соответственно. Предположим, что выполнены сле-
следующие условия:
(a) \(\\f(x)\\FJ(\\g(x)\\GJpt(dx)<oo;
(b) существуют постоянные г > О и М < оо, такие, что
\\\f(x)\\F\\g(x)\\oPt(h,dx)<M для всех |Л|<г;
в
(c) функция
h\<r
pi-интегрируема.
Тогда для произвольного билинейного отображения <р из
F X G в любое другое гильбертово пространство К справед-
справедливо равенство
\<?(f(x),Dg(x)(h))Pt(dx) =
В
= 5 { у <А, х) ф (/ (*), g (х)) - Ф (Df (х) (Л), g (х))} Pt (dx),
В
где h^H.
§ 7. ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ II
§ 1. Рассматривая С как абстрактное винеровское прост-
пространство (/, С, С) и применяя теорему 5.1, мы видим, что ме-
мера wXo либо эквивалентна, либо ортогональна w. Меры wx
и w эквивалентны тогда и только тогда, когда х е С', т. е,
когда функция Хо абсолютно непрерывна и jco^L2[O, 1].
§ 2. Пусть $п есть а-поле в R X R X • • • , порожденное
v ^1 d*n т v
первыми п координатами, и Xn — -j^-> ... •¦j-11- Тогда Хп
является мартингалом в L1 (R X R X • • •, v) относительно ^5Л.
Данное Какутани доказательство его теоремы можно упро-
упростить, воспользовавшись теоремой о сходимости мартингалов.

122 Гл. II. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер
§ 3. Этот параграф основан на работе [2]. Понятие абст«
рактного винеровского пространства позволило упростить не«
которые доказательства.
§ 4. Доказательство теоремы 4.3 принадлежит Шеппу [51]«
Одна из общих проблем, которые обсуждали Гихман и
Скороход, такова. Предположим, что |i — гауссовская мера
на топологическом линейном пространстве. Как характеризо*
вать подпространство, относительно которого (л квазиинвари-
антна, т. е. такое подпространство, что мера \лх эквивалентна
(л тогда и только тогда, когда х принадлежит этому подпро-
подпространству? Подробности см. в [9].
§ 5. Наше доказательство теоремы 5.3 основано на теоре-
теореме Какутани. У Гросса [19] дается другое доказательство,
в котором используются теоремы, принадлежащие Сигалу
[43] и Фельдману [47].
Формулы преобразования для классического винеровского
пространства (/, С, С) можно найти в работах [32], [33].
Их доказательства очень громоздки.
В [10] получена формула преобразования для нелиней-
нелинейного диффеоморфизма между двумя открытыми подмноже*
ствами пространства В. Эта формула используется для по-
построения теории интегрирования на бесконечномерных много-
многообразиях.
§ 6. В гл. III мы покажем, что семейство {/?/} порождает
полугруппу, действующую в банаховом пространстве ограни-
ограниченных равномерно непрерывных функций на В. Очевидно,
эта полугруппа сжимающая, а теорема 6.1 говорит нам, что
она сильно непрерывна. Мы увидим, что для «хороших» функ-
функций / справедливо соотношение

Глава III
НЕКОТОРЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ОБ АБСТРАКТНОМ
ВИНЕРОВСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
В последние годы наблюдался растущий интерес к изуче-
изучению проблем, связанных с понятием абстрактного винеров-
ского пространства, а также к приложениям теории. В этой
главе мы приведем лишь очень небольшую часть полученных
за это время результатов.. Некоторые теоремы будут приве-
приведены с полными доказательствами, другие — лишь с набро-
наброском доказательства, третьи, к сожалению, — совсем без до-
доказательства. Тем не менее мы попытаемся увязать все эти
результаты между собой, насколько будет возможно.
§ 1. БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО С ГАУССОВСКОЙ МЕРОЙ
Напомним, что всякое вещественное сепарабельное бана-
банахово пространство можно рассматривать как абстрактное ви-
неровское пространство (теорема 4.4 гл. I). Точнее, если В—
заданное вещественное сепарабельное банахово пространство,
то существует сепарабельное гильбертово пространство Я,
которое является всюду плотным подпространством в В и на
котором 5-норма измерима. Очевидно, пространство Н мож-
можно выбирать многими способами. Теперь предположим, что
на В задана гауссовская мера. Можно ли подобрать абстракт-
абстрактное винеровское пространство (i, //, В) так, чтобы эта гаус-
гауссовская мера была а-аддитивным продолжением гауссовской
цилиндрической меры на Ю
Определение 1.1. Борелевская мера \х на вещественном се-
парабельном банаховом пространстве В называется гауссов-
ской, если для каждого у&В* случайная величина [у, •)
нормально распределена и существует элемент а^еВ, такой,
что для всех у&В*
(У', fl|i) = \ (У> х) [i (dx).
Элемент а^ называется средним значением меры jx.
Теорема 1.1 (Кьюлбс [36]). Пусть \х — гауссовская мера
на вещественном сепарабельном банаховом пространстве В.

124 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Предположим, что \л-мера всякого непустого открытого под-
подмножества пространства В положительна. Тогда существует
вещественное сепарабельное гильбертово пространство Н, та-
такое, что (i, H, В) есть абстрактное винеровское пространство
и |х = pi (aijx, •), где р\ — винеровская мера на В с парамет-
параметром 1, a i — отображение включения Н в В.
Замечания. 1. Из теоремы 5.3 гл. II следует, что простран-
пространство Н однозначно определяется мерой \х.
2. Если мера (х не удовлетворяет указанному в формули-
формулировке теоремы условию, то заключение теоремы следует не-
несколько видоизменить. А именно, пусть Во — наименьшее
замкнутое подпространство пространства В, такое, что
|лE0) = 1 (Во называется носителем меры \х). Тогда теорема
применима к (Во, \х).
Доказательство. Если пространство В конечномерно, то
теорема тривиальна. Поэтому будем считать, что dim В = оо.
Шаг 1. Поскольку пространство В сепарабельно, можно
выбрать счетное всюду плотное в В множество {an}"_i. Вос-
Воспользовавшись теоремой Хана — Банаха, найдем для каждо-
каждого п функционал гпеВ*, такой, что ||г,г||*=1 и (zn, an) =
= ||ап||, где ||-|| и ||-|1* — нормы в пространствах В и В* соот-
соответственно. Пусть {Кп}—последовательность положительных
оо
чисел, удовлетворяющая условию ? Ял= 1. Для х, j/бВ по-
ложим
оо
[х, у]= TiK(zn, x)(zn, у).
я— 1
Очевидно, [-, •] является скалярным произведением в В:
Положим | х 1о = л/[х, х] для х е В. Тогда
Следовательно, |х|о ^ IUII для всех #е В.
Шаг.2. Пусть Я — пополнение пространства В относитель-
относительно | -1о- Покажем, что 38(Я) ()В = <%(В). Поскольку норма
|-|о слабее нормы ||-||, то <%(Я) [\В а$(В). Следовательно,
достаточно установить включение 3&(В) с: 3$(Я). А для этого,
очевидно, достаточно доказать, что {х е В; ||д:|| ^ 1} е$(Я)«
Но
оо
€ у ~— О, II v II ^" 1 \ —— П ( ? (— /? * I (у *Л I ^" I \
Заметим, что Я*с=В*. Мы можем и будем отождествлять про-»
странства Я* и Я каноническим образом. Итак, имеем 5 с

§ 1. Банахово пространство с гауссовской мерой 125
а Я с: В*, Норму в В* будем обозначать через ||-||*. Отметим,
что Я всюду плотно в В*, ибо В всюду плотно в Я. Для каж-
каждого п выберем последовательность {**Л> <= #}Г=ь такую, что
Переупорядочим двухиндексную последовательность {х{^\
k= 1, 2, ..., п = 1, 2, ...} в одноиндексную последователь-
последовательность {х\у Х2У ...}. Очевидно,
оо
( y г— D, II у || <^* 1 1 , Г| ( у *— D. I Г у у\ \ <^" 1 \ (— ^? ( J~f\
Шаг 3. Положим Д(?) = \\(Е()В), Е^$(Я). Ясно, что
(л — гауссовская мера на Я и т^ = а^ Пусть Sp, — корреля-
корреляционный оператор меры Д. Тогда (по теореме 2.3 гл. I) 5д
является 5-оператором в Я. Его можно представить в виде
оо
=== Zu Cfl [Х> &п\ &П>
где сп > 0, 2 ^л < °° и {е„} — ортонормированный базис
в Н.
Пусть 1)
оо
J
Будем вместо а^ писать просто а. Рассмотрим сдвиг р,а меры
Д на а:
а), Е&ЗЦЙ).
Ниже мы покажем, что (i, Я, Я) есть абстрактное винеров-
ское пространство и Да — винеровская мера на Я с парамет-
параметром 1. Для хуу^Н положим
оо
(х, у) = Z [х, еп] [у, еп]/сп
1
/1=1
И | X | = V(*. ^>«
Как легко видеть, [х, у] = (л/^ху ^JS^y) для всех х и у
из Я. Далее, рассуждая так же^ак и в доказательстве тео-
теоремы 4.3 гл. I, получим, что У'Зд ^ &&) (Ю- Следовательно,
1) Ниже span — символ взятия линейной оболочки. — Прим. ред.

126 Гл. III. Результаты оо аострактном винеровском пространстве
| • |о — измеримая норма на Я. Поэтому (/, Я, Я) —абстракт-
—абстрактное винеровское пространство. Фиксируем произвольное Хо е
е Я. Тогда
dpa (у) = \ е Is* '**y] d Дв (у) -
^ *
Таким образом, Да—винеровская мера на Я с параметром 1.
Шаг ^f. Докажем, что На В и ||-||—измеримая норма
на Я.
Предположим, что Н фВ. Выберем какое-нибудь х е
еЯ\В. По теореме 5.3 гл. II меры р, и fix эквивалентны.
Следовательно, fiE) =jixE) = 1. Но Bf| (^ + *) =0, и мы
получаем следующее противоречие:
Согласно теоремам 2 и 3 из работы [21], ||-|| является изме*
римой нормой на Я. Таким образом, (f, Я, В) — абстрактное
винеровское пространство и, очевидно, \х = р\(а^ •). #
Существует другое доказательство предыдущей теоремы,
в котором используется теорема Фельдмана [47]. Приведем
набросок этого доказательства. Без ограничения общности
можно считать, что а^ = 0. Как обычно, \хх обозначает сдвиг
меры (л на х:
lix(E) = \i(E + x), Et
Пусть
Я = {л;е=В; \хх ~
Для каждого j^sfl положим
5
в
Из теоремы Ферника [49] вытекает, что \\\zf d\ix(z) < оо.
в
Следовательно, |л:*|? = <л:*, х?}х < оо для всех ^gB1, Че-
Через &х обозначим L2(B, \ix) -замыкание линейной оболочки
функционалов из В* и вещественных постоянных функций
на 5. Пусть
Т22 Я
— продолжение тождественного отображения х*-\-а*—>х*-\-а,
где x*gB* и aeR. По теореме Фельдмана отображение Т
ограничено и обратимо и Sx = T*xTx — /^ &$){2Х). Наконец,
х

§ 2. Вероятностное доказательство теоремы 4.1 гл. I 127
определим скалярное произведение <•, •> в Н по формуле
(x,y) = (Sxl, Sy\)Q.
Можно показать, что (/, Я, В)—абстрактное винеровское
пространство и \х = р\.
§ 2. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 4.1 ГЛ. I
Следующая лемма доказывается без труда.
Лемма 2J. Пусть Цп} — последовательность случайных
величин со значениями в полном метрическом пространстве
(X, р). Предположим, что {In} есть последовательность Коши
по вероятности, т. е. для любого е > О найдется положитель-
положительное целое N, такое, что
prob {со; р (In(со), lm(<о)) > е} < е для всех п, m^N.
Тогда существуют такая случайная величина g и такая под-
подпоследовательность {1Пк; k=l, 2, ...} последовательности
&п}> что lim?rt =g почти всюду. 1)
Доказательство теоремы 4.1 гл. I (Каллианпур [29]).
В силу измеримости нормы ||-|| существует такая возрастаю-
возрастающая последовательность {Р/1}с:5г, что Рл->/ сильно при
/г->оо и
ргоЬ{||Р*|Г>^г} <^Р\Р^5Г и Р±Рп.
Пусть {еп\ п= 1, 2, ...} —ортонормированный базис в Я, та-
такой, что {^i, е2> ... , еп^ является базисом в Pk(H). Опреде-
Определим последовательность случайных величин со значениями
в В, положив
lk()H(l)()h
где п(е})—случайные величины, определенные в § 4 гл. I.
Заметим, что {n(ej)t / = 1, 2, ...} представляет собой после-
последовательность независимых одинаково распределенных гаус-
совских случайных величин с нулевым средним и диспер-
дисперсией 1. Поскольку
1) Видимо, необходимо дополнительно потребовать сепарабельность
пространства (X, р), иначе функция р(?я, ?т) может оказаться неизмери-
неизмеримой (см. В. В. Сазонов, В. Н. Тутубалин, Распределения вероятностей на
топологических группах, Теор. вероят. и ее примен., 11 A966), № 1,
3—55). — Прим. перев.

128 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
ТО
Но Pk+i — Pk -L Pky и поэтому
Следовательно, {?&} — последовательность Коши по вероят-
вероятности. Согласно предыдущей лемме, существуют такая слу-
случайная величина | и такая подпоследовательность последо-
последовательности {Ik} (которую для удобства мы обозначаем снова
через {?*}), что ?*->! почти всюду.
Пусть v — распределение случайной величины ?, т. е.
Ясно, что v — борелевская мера на В. Доказательство будет
закончено, если мы покажем, что v является продолжением
гауссовской цилиндрической меры на Н. Для этого достаточ-
достаточно доказать, что при всяком zgB* (В*с: Нс:В)
Но
S
e4z,
в
С ei B. х) v (fa) = J е1 (г
в а
J е «о
а
Иг. И п(еЛе< I I
lim П E(*'(z-*/)"(*/>) =

§ 3. Интегрируемость
129
§ 3. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
Пусть (/, Я, 5) — абстрактное винеровское пространство
и {/?/; t > 0) — соответствующие винеровские меры. Обозна-
Обозначим через Q пространство непрерывных функций со на [0, оо)
со значениями в В, удовлетворяющих условию ю@) =0.
Тогда существует единственная вероятностная мера Р на
a-поле, порожденном координатными функциями <о-хо(/),
t > 0, такая, что если 0 = /0 < t\ < .. • < tn, то случайные
величины w(fy) —g)(^_i), / = 1, 2, ..., пу независимы, причем
©(// —©(f/_i) имеет распределение Ptrt^x на 5. Определим
№(/) :Q->5, положив 1^@ (со) =©("/). Случайная функция
W(t) называется винеровским процессом в В, стартующим
в 0. Отметим, что
Теорема 3.1 (Ферник [49]). Существует такое а > 0, что
x(dx) < oo.
Доказательство. Пусть X=W{1) и Y=WB) — {)
Случайные величины X и Y независимы, и ^распределением
каждой из них служит р\. Далее, (X + Y)/^/2 и (X — Y)l'\j2
также независимы и имеют распределение /?ь Предположим,
что t > s. Тогда
и || л: и+ || у II >V2<).
Заметим, что на плоскости ху множество точек, для которых
Iх —• у К <\/2s и л; + у > -\/2*, находится в первой четвер*
ти (см. рисунок).
б Хг-СЛ Го

130 Гл. HI. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Это множество содержится в области, определяемой условия-
^ / — s . t — s ~
ми х > —7=" и У > —7=^ • Следовательно,
л/2 V2
= р(\\
х\
Таким образом, получаем неравенство
Определим последовательность чисел tn с помощью формул
Очевидно,
Положим
Из предыдущего соотношения вытекает, что а„+1^а^. По-
Поэтому an<ao" = e2"lna°. Итак,
Р (II W A) || > ((У 2)"+I - 1) (л/2 + 1) s) =
Пусть h = (V2)"+4s. Тогда и > ((л/2)п+1 - l)(V2+l) s, и
мы получаем
Очевидно, это соотношение справедливо для всех и ^ 45.
Выберем s настолько большое, что oto< 1, и положим
а= -lnao/16s2, 6 = Р(||ГA)||<5).
Возьмем какое-нибудь положительное целое число N ^ 45.
Тогда
РA11^AI1>«)<^-^ для u>N.

§ 3. Интегрируемость ea"*llf и е^11*'1 131
Следовательно,
5
lX\\>N
оо
? e*(k+\Y Р (|| Ц7 A) |
Очевидно, можно выбрать а так, чтобы 0 < а < а. Тогда по-
последний ряд в предыдущем соотношении сходится, и мы за-
заключаем что
\\x\\>N
отсюда немедленно вытекает утверждение теоремы. ф
Теорема 3.2 (Скороход [44]). Существует такое Р > 0, что
Замечание. Очевидно, эта теорема является следствием
теоремы 3.1. Скороход получил этот более слабый результат
независимо в то же самое время, что и Ферник, в 1970 г.
Поскольку доказательство Скорохода носит более вероятно-
вероятностный характер, мы приведем его здесь.
Доказательство. Возьмем 0 < е < 1. Найдется такое 6>0,
что
Р { sup ||Г(/)||>1} <в.
Пусть т« — время выхода процесса W(t) из шара
IUH < п). Тогда
{щ sup
с{ю; т„_,((о)<6 и sup ||Г@-И?(т„-,)||>1}.
Следовательно, в силу независимости т„_[ и sup || W (t) —
-Г(тп-,)||,
Р{ sup ||Г(/)||>л}<Р{тя_,<в}Р{ sup \\W(t)-
0<f<6 «<8
Но поскольку W(t)—W(xn-i), t^Xn-u также является ви-
неровским процессом, то
Р{ sup ||Г(/)-^(тв-,)||>1}=Р{ sup \\W(t)\\>\).

132 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Поэтому
Р{ sup ||Г(/)||>л}<вР{тя-,<в}<
sup \\W(t)\\>n-\).
0<<<в
Отсюда следует, что
Р{ sup
Заметим, что для произвольного О 0 процесс ^fa
также винеровский. Таким образом, получаем
<P{sup
0<*<6
Следовательно,
С
i
о 1 во « П+1
V!T+?
R-l
Выберем p так, чтобы 0 < р < — V* 1п 8- Тогда последний
ряд в предыдущем соотношении сходится, так что
V g3 II *й pj (jlx) < 00. ф
в
§ 4. ТЕОРИЯ ПОТЕНЦИАЛА
PaccMofpHM уравнение Пуассона
— и= — f
в R у где А = д /дх\ + ... +3 /дхп*
Напомним, что решением этого уравнения служит потенциал
функции /, а именно
и(х)= [f(x~y)G{n)(dy)t
R*

§ 4. Теория потенциала 133
где G{n)(dy) — мера Грина на R":
Здесь (оп = 2(л/п)п/ГГ-~J — площадь поверхности единич-
единичной сферы в R".
Мы хотели бы обобщить понятие меры Грина на бесконеч-
бесконечномерный случай. Сделать это непосредственно, исходя из
предыдущей формулы, представляется невозможным. Но, как
легко проверить, меру Грина можно записать в виде
где
Это наводит на мысль, что в абстрактном винеровском про-
пространстве (/, Я, В) можно определить меру Грина G(dy) по
формуле
и затем определить потенциал функции / равенством
Gf(x)=\f(x-y)G(dy).
в
Однако в бесконечномерном случае возникает проблема но-
нового рода — проблема регулярности, а именно, неизвестно,
будет ли вторая производная потенциала Gf ядерным опера-
оператором или (хотя бы) оператором Гильберта — Шмидта. На
такого типа вопросы мы ответим ниже в этом параграфе.
Сначала же изучим некоторое свойство винеровской меры р/.
Для всякой ограниченной измеримой функции / положим
\ )9 t>0,
в
и pof = f.
Большая часть последующих теорем была доказана в [19].
Многие из первоначальных доказательств здесь упрощены.
Теорема 4.1. Семейство {pt\ t ^ 0} образует сильно непре-
непрерывную сжимающую полугруппу на банаховом пространстве
s4> ограниченных равномерно непрерывных комплекснознач-
ных функций на В.

134 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Доказательство. Ясно, что ptf^s?>f если f^st*. Согласно
замечаниям к § 6 из § 7 гл. II, нам достаточно показать, что
pt *ps = pt+s> где * обозначает операцию свертки, т. е.
в
Пусть Е — цилиндрическое множество, Е={у^В; ((у, е\),.,.
• • •» (#> е*)) <= р}> гДе векторы {е/; / = 1, ..., k) cz В* орто-
нормированы в Я. Определим проектор Q в пространстве В
формулой
, ek)eki ye=B.
Как легко видеть, Е — х = Е — Qx для любого х^В. Следо-
Следовательно, ps (Е — а:) = ps (Е — Qx) =\is(E — Qx), где \is —
гауссовская цилиндрическая мера с параметром s на линей-
линейной оболочке К множества {е}\ /=1, ..., k}. Далее,
\is(E — Qx) является цилиндрической функцией с основанием
в К. Поэтому
Vs (Е - Qx) Pt (dx) = J \xs (E - Qx) \it (dx).
к
Ho \xt * \xs = \it+s на /С. Следовательно,
\is (E — Qx) pt (dx) =
Таким образом, мы показали, что для всякого цилиндриче**
ского множеству Е
и легко видеть, что это равенство справедливо для произ-
произвольного борелевского подмножества Е пространства В. ф
Теперь естественно задать вопрос: каков инфинитезималь-
ный оператор полугруппы {/?*; / ^ 0}?
Здесь уместно рассмотреть два типа дифференцируемости
функций, определенных на открытом подмножестве V прост-
пространства В. Пусть /—функция на V со значениями в банахо-
банаховом пространстве X. Напомним, что функция / называется
дифференцируемой по Фреше в точке х е I/, если существует
линейное отображение /(е^(ВД), такое, что
Отображение /С, как легко видеть, определяется однозначно.
Оно обозначается через f'{x). Говорят, что / есть С1-функция,

§ 4. Теория потенциала 135
если /'(х) существует для каждого хе V и f есть непрерыв-
непрерывное отображение V в банахово пространство 3?(В, X). Выс-
Высшие производные /(fe)(x) и понятие С*-функции, & ^ 2, опре-
определяются аналогично. Другой тип дифференцируемости — это
Н-дифференцируемость (см. определение 6.1 гл. II); k-ю
//-производную функции / в точке х будем обозначать через
Dkf(x)t k^\. Очевидно, если f k раз дифференцируема по
Фреше, то она также k раз Я-дифференцируема и DJf есть
сужение /(/) на ЯХ ... Х^ (/ сомножителей), 1 ^ / ^ k.
Обратное, однако, неверно. Фактически Я-дифференцируемая
функция может даже не быть всюду непрерывной относитель-
относительно || -||-топологии в В.
Пример 1. Пусть h e Я. Положим f(x) = <x, h) при х е Я
и {(х) = 0 при х^В \ Я. Функция / бесконечно //-дифферен-
//-дифференцируема. Если яеЯ, то D/(x) =/z и D!f(x) =0 для /^2.
Если л; G В \ Я, то D'Y(jc) = 0 для всех / ^ 1.
Теорема 4.2. Пусть у функции и^зФ существуют первые
две производные и\ и'\ причем и" есть ограниченное и рав-
равномерно || ^-непрерывное отображение В в 2?(В, В*) (отно-
(относительно слабой операторной топологии). Тогда и принадле-
принадлежит области определения инфинитезимального оператора *§
полугруппы {pt\ t^O} и
Доказательство. Для х, у е В имеем
1
и(х + у) — и(х) = (и'(х), у) + \ A — s){и"(х + sy)у, у)ds.
о
Поскольку р*(— E) = pt(E) для всех ?eJ?(B), то
^ (и' (*)> У) Pt (dy) = 0 для всех х е В.
в
Следовательно,
1
у (p^w (х) - « (а:)) = J A - 5) J (а"(л; + 5Г/) у, y)\pt{dy)ds =
о в
1
= \ A - 5) J (u"(x + s V*~y)y> У)Pi (dy)ds.
о в
Здесь мы воспользовались тем, что pt(E)=p\(E/^/t) для про-
произвольного борелевского подмножества Е пространства В4

136 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
С другой стороны, как легко проверить,
\ (Тх9 х) р{ (dx) = tr Т для Т е 2Х (Н)
в
(см. упр. 25). Поэтому
tr&и(х) = \(и"(х)у, у)px(dy).
в
Таким образом,
\ A - s) J ([^ (х + 8 л/Г у) - и» Ш у, у) р{ (dy) ds
о в
о в
где
6* E, У) = SUg | ([и" (X + 5 VT у) - U" (*)] У, у) |.
Заметим, что если {хЛ} —счетное всюду плотное в В подмно-
подмножество, то в силу непрерывности и"
в, (s, у) = sup | ([и" (хп + s л/Г у) - иГ (хЛ у, у) |.
п
Следовательно, 0/E, у)—измеримая функция от 5 и у. Из
равномерной непрерывности и" вытекает, что
lim 8f (s, у) = 0 для всех s и у.
Далее, Bt(s, у)<Му\\2, где p = sup||^//W ||в в*< оо. По тео-
реме Лебега о мажорируемой сходимости
равномерно по х. Отсюда следует, что tvD2u^s& и
9u(x) = ^tvD*u(x). #
Пусть W(t) —винеровский процесс в S, стартующий в ну-
нуле, т.е. W(t) имеет непрерывные траектории, 1^@) =0 почти
наверное и приращения W(-) независимы, причем W(t)—
— W(s) имеет распределение pt-Si t> s. Если х^В, то х +
+ W[t) будет эинероэеким процессом, стартующим в х. Пусть

§ 4. Теория потенциала 137
xvx обозначает время первого выхода процесса x+W(t) из
открытого множества V, т. е.
В случае V = {у; || у — х ||< г} вместо xvx будем писать т?\
Как легко проверить, ?[т?)]< °°.
Определение 4.1. Пусть / — измеримая функция, опреде-
определенная в некоторой окрестности точки х е В. Обобщенный
лапласиан A/(jc) функции / в точке х задается равенством
если этот предел существует.
Определение 4.2. Конусом с вершиной х будем называть
замкнутую выпуклую оболочку точки х и какого-либо шара,
не содержащего х. Открытое множество V пространства В
называется сильно регулярным в точке x&dV (dV — гра-
граница множества V), если существует такой конус К с верши-
вершиной х, что V П К = 0. Множество V сильно регулярно, если
оно сильно регулярно в каждой точке границы д V.
Теорема 4.3. Пусть V а В — сильно регулярное открытое
множество up — ограниченная непрерывная функция на д V.
Тогда функция
удовлетворяет уравнению Ди = 0 и граничному условию
и(х) =р(*) для. всех x&dV, т.е. и является решением за-
задачи Дирихле для множества V и функции р.
Легко показать, что
Лемма 4.1. Пусть f(x) =l/2(Axf x), А<=2{В, В*). Тогда
Af(x) = tr(А|н) для всех хеВ.
Эту лемму можно доказать, используя стохастические ин-
интегралы (см. следующий параграф).
Теорема 4А. Пусть и — дважды дифференцируемая по
Фреше функция на открытом подмножестве V пространства
В, вторая производная которой ограничена. Предположим,
что отображение и"\ V->9?(ByВ*) непрерывно (относитель-
(относительно слабой операторной топологии) в точке х. Тогда

138 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Доказательство. Пусть яг — поверхностная мера на сфере
Sr= {х^ В; ||я||=г}, соответствующая винеровскому про-
процессу W, т. е.
пг (Л) = prob {W «)) ЕЛ},Ле| (Sr).
Тогда
= 1 НтX \ {и(х + у) - и(х))щ(dy)9
где c = E[tJ].
Заметим, что функция пг четна и пг(А) = щ(А/г) для
Л e^(Sr). Поэтому
i
Aw (*) = -| Нт \ A — 5) (j (и" (х + Г5у) у, у) щ (dy) ds.
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости
С другой стороны, в силу предыдущей леммы имеем для
А = и"(х)
Следовательно,
Теорема 4.5. Пусть и — дважды Н-дифференцируемая
функция на открытом подмножестве U пространства В, та-
такая, что D2u есть непрерывное отображение V в 2?((Я)
Тогда
Эту теорему можно доказать, используя стохастические
интегралы (см. § 5).
Лемма 4.2. Пусть g — ограниченная С1н-функция на В и
sup | Dg(x) | < оо. Тогда ptg также является Сн-функцией и
Ф (ptg) (*). h) = J (Dg (x + у), h) pt (dy), h<=H.
в

§ 4. Теория потенциала 139
Лемма 4.3. Пусть f — ограниченная Lip l-функция на В.
Тогда функция ptf дважды Н-дифференцируема и
(D2 (ptf) (х) Л, k) = ± J (Dpbtf (х + у), h) {yy k) pat (dy),
в
где а > О, Ь>0 и а + 6 == 1.
Доказательство. Запишем
Ptf (X) = J pbtf (х + у) pat
и применим лемму 4.2 (с учетом теоремы 6.2 гл. II). #
Определение 4.3. Будем называть тестовым оператором
всякий ограниченный оператор Тв В, образ которого конеч-
конечномерен и содержится в В*.
Замечание. Тестовый оператор Т можно рассматривать как
ограниченный оператор в Я. В случае когда мы трактуем Т
как оператор в Я, будем обозначать его через Т.
Лемма 4.4. Пусть f — ограниченная Lip l-функция на В и
Т — тестовый оператор. Тогда
tr fD%f (х)=±\ (Dpbtf (х + у), Ту)pat(dy),
в
где а > О, Ь > 0 и а + Ь = 1.
Теорема 4.6. Пусть f — ограниченная Lip 1 -функция на В.
Тогда
(a) D2ptf (х) <= ?\ (Н) для всех хе=В;
(b) для каждого с > О
есть равномерно непрерывное отображение [с, оо]Х# в
^(Я)
)()
(c) функция v(ty x) ==ptf(x) равномерно непрерывна на
[О, оо) X В;
(d) для каждого t > 0 производная dv/dt существует рав-
равномерно по х и
Замечание. Согласно теореме 4.1, \imv(tt х) = f (x) равно-
равного
мерно по х. Следовательно, ptf(x) есть решение уравнения
теплопроводности -^т-== ytr D2w(/, x) с начальным условием
и@, .) = /, при условии что функция / ограничена и удовлет-
удовлетворяет условию Липшица,

140 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Доказательство, (а) Пусть р —постоянная Липшица для
функции /, т. е.
Тогда для любого t > 0 имеем также
\Ptf(x)-Ptf(y)\<t\\x-y\\, х,
Поэтому для Аей
е-»о
Следовательно, согласно упр. 19, Dptf(x)&B* и l|Z)p//(x)IL^
^ Р для всех />0и^еВ. Здесь || • ||# обозначает 5*-норму
Воспользовавшись леммой 4.4, получим
< i РII f || \ || у || pat (dy) = (по теореме 4.6 гл. I)
в
= (at)-'''Hf\\\\\y\\Pl(dy).
в
Это верно для произвольного 0 < а < 1. Отсюда следует, что
| tr T&ptf (х) | < p^-'/j || f || J || у || Pl (dy).
Рассуждая так же, как и при доказательстве теоремы 4.6
гл. I, приходим к выводу, что для всех х е В
в
(Ь) Шаг 1. По теореме 6.2 гл. II
в
Из предположения об ограниченности и липшицевости функ-
функции / вытекает существование постоянной а > 0, такой, что
для /, 5 ^ с > 0 и х, х' е В

§ 4. Теория потенциала 141
На основании леммы 4.4 получаем
tr TD2ptf (x) = -у= \ (Dpbtf (x + ^Ш у), Ту) Pi (dy).
Следовательно,
(dy).
Поскольку b < 1 и можно положить а-+ 1, то мы заключаем,
что
II f II +
Напомним, что
в \i
(см. упр. 25) и что ||f|KI|f|b- Таким образом, получаем
\\\y\\pi(dy) +
Отсюда видно, что отображение
i-y. [с,
равномерно непрерывно для любого с > 0.
Шаг 2. Рассмотрим пространство (Во, II-Но) и проекторы
Qn, определенные в следствии 4.2 гл. I. Согласно принципу
равномерной ограниченности
Поэтому
IIQll<Af|||| для всех п.

142 Гл. HI. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Заметим, что \ \\у \\ор\ (dy) < оо, где р\ — винеровская мера
Во
на Во с параметром 1. Итак, по теореме Лебега о мажорируе-
мажорируемой сходимости
lim [\\Qny-y\\oPi(dy) = O.
п*°° в.
Шаг. 3. На шаге 1 мы доказали равномерную непрерыв-
непрерывность отображения D2p(.)/(-): [с, оо)Х B->-i?B)(#); следо-
следовательно, равномерно непрерывным будет для каждого п и
отображение QnD2p(.)f(-). Но для произвольного оператора
А € <?B) (Я)
II Qn-41|, < [dim Qn (//)]V21| Л |J2.
Поэтому QnD2p(.)f(-) для каждого п есть равномерно непре-
непрерывное отображение [с, оо)ХВ в 3?{\)(Н). Таким образом,
чтобы завершить доказательство утверждения (Ь), нам доста-
достаточно показать, что
Ит II QnD2ptf (х) - DWW Hi = О
Л->оо
равномерно по t> ск хеВ. В силу леммы 4.4
tr fD2ptf (x) = —ЦД (Dpbtf (x + У^~ у), Ту) р{ {dy)
И
tr TQnD2ptf (x) = -±r J (Dpbtf (x + V^" У\ TQny) Pl {dy\
а из доказательства утверждения (а) вытекает, что
II Dptf (x) \l < Р для всех / > 0 и хееВ.
Следовательно,
\bT(Q,J>*ptf(x)-D*ptf(x))\<
J Ajat J
Таким образом,
|| QnD2pt f (x) - D2ptf (x) Id < -4=- \ || Qny -y\\Pi (dy).
vat J
Устремляя а к 1, получаем, что для всех t>c и xe/J
(х) -

§ 4. Теория потенциала 143
Наконец,
\ II Qny -y\\Pi (dy) = JII Qny - у ||p, (dy) <
В
В Во
II Qny — У llo Pi (dy) = 5 II Qnf/ ~ У HoPi (d#) -> 0 при п-> oo,
в соответствии с результатом, установленным на шаге 2.
Итак,
lim || QnD*ptf (x) -DWW ||, = О
равномерно по />с и xgJ5.
(с) имеем
v (/. х) = л/ (*)=$/(* + У) Р/ Ш =$/(* + л/Г у) Pi
в в
Следовательно,
(d) Шаг /.
PiJ ix) = 5 Pe<(<+e/ (X + У) P(I_
в
= $ P*v+J(x + Vd ~ s4)« + *)'y)pl (dy).
e4t+e)
В
Аналогично
Ptf (x) = \ Pe*tf (x + VU ~e4)^. У) Pi (rfi/)-
в
Положим
9 (е, х) = J (pe4t+e)f - PeHf) (x + V(l-e4)(/ + e) у) pt (rfy)
в
и
Р (е, х) =
В
Тогда
Pi+ef (x) - Ptf (x) = 9 (e, x) + P (e, *).

144 Гл. ///. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Шаг 2.
В
Следовательно, для всех zeB
I (P*v+J ~ PJ) (*) | < Pe* (V'TT - V0 \ || у || р, (dy).
В
Таким образом,
равномерно по л;еВ.
Шаг 3. Напомним, что Dpsf(x)^B* для всех xsB, По-
Поэтому р(е, х) можно записать в виде
р(е, х) =
1
\ \ Ь{U е) {pptfj (х + У(! — е4)/ у + sK (/, е), у) p. (dy) ds,
Sb
о
где
С другой стороны, полагая f->-/ в лемме 4.4 и применяя
теорему Лебега о мажорируемой сходимости, получаем
tr D%f (x) - V-L_ J (Dp^f (x + Vd - *4)' Л У) Pi (dy).
в
Из утверждения (b) вытекает, что для каждого фиксиро-
фиксированного / > 0 след оператора D2ptf(-) равномерно непреры-
непрерывен. Используя этот факт и два предыдущих равенства для
р и tr D2ptf(x)9 легко проверить, что
lim 14- Р (е, x)-±trD*Pif(x)\ = Q
равномерно по^еб.
Следовательно, на основании результата, установленного
на шаге 2,
lim
т (Pt+*f М - Ptf W) —з-tr D2Ptf
= 0
равномерно по х^В, чем утверждение (d) и доказано,
Лемма 4.5. Пусть b > 0. Тогда <9ля любого п

§ 4. Теория потенциала 145
Доказательство. Пусть семейство векторов {ей ..., еп] с:
а В* ортонормированно в Я и К — его линейная оболочка.
Положим a = sup{|(y,e/)|; \\у\\<Ь, /=1, ..., п}. Тогда
шар (|| у || < Ь) содержится в цилиндрическом множестве
С = {г/е=В; \(yt e,)|<at /=1, ..., л}.
Поэтому
Р* (II y\\<b)<Pt (С) = BяО"^ J e-lxm dx,
А
где djc — мера Лебега на К и
A = {xt=K; \(x9 ef)\<a9 /=1, ..., п).
Отсюда немедленно вытекает утверждение леммы. ф
Лемма 4?. Пусть f — ограниченная непрерывная функция
на В с ограниченным носителем. Тогда для каждого xgB
интегралы
\DPif(x)dt и J D2Pif(x)dt
сходятся в И и в &(Н) соответственно.
Доказательство. По теореме 6.2 гл. II
(DPif (x), h) = 1 J / (* + у) (у, h) pt (dy),
| (Dptf (x), h)\^U\f(x + yfPt (dy)V2 Г J <y, hf pt (dy)V2 =
откуда
Следовательно,
| Dptf (x) | < -^г Г J / (
Отсюда следует, с одной стороны, что
и, значит,
\\Dptf{x)\dt <оо.
6 Х.-С. Го

146 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
С другой стороны, для каждого фиксированного х функция
/(* + •) равна нулю вне некоторого шара (\\у\\<.Ь)> по-
поскольку носитель функции f ограничен, и поэтому
|< * Г J t( V
У \-\\у\\<ь
По лемме 4.5
|== О (Г1/2~п/4) для любого п.
Можно подобрать такое /г, чтобы функция t-lI*-n/* была инте-
интегрируема на [1,оо) (годится любое /г>2). Далее, как легко
проверить, Dptf{x) непрерывно по /. Следовательно,
\ Dptf(x)\ dt <оо9
а значит, интеграл \ Dptf(x)dt сходится в Н.
о
Второе утверждение доказывается аналогично. Ф
Определение 4А. Мера Грина на В — это борелевская
мера, задаваемая равенством
G{A)=\ Pt(A)dt, АевЯ(В).
Потенциал измеримой функции / в В — это функция, опреде-
определяемая соотношением
Gf(x)=\f(x
при условии что интеграл в правой части существует.
Теорема 4.7. Пусть f — ограниченная Lip l-функция на В
с ограниченным носителем. Тогда D2Gf(x)& 2?A)(Я) для всех
хеВ и
Доказательство. Очевидно,

§ 4. Теория потенциала 147
Используя лемму 4.6, можно проверить, что функция Gf два-
дважды //-дифференцируема и ее вторая производная задается
формулой
Согласно теореме 4.6, D2ptf (x) e i?A) (Я). Докажем сходи-
оо
мость интеграла \ \\D2ptf(x)\\idt, откуда будет следовать, что
()w()
В доказательстве теоремы 4.6, (а), была получена оценка
№ptf(x)
Отсюда видно, что
1
$ II flWWIh <«<«>•
О
С другой стороны, для всякого фиксированного х функция
f(x + ') равна нулю вне шара {уЕб; \\y\\ < а/2} при неко-
некотором а, поскольку носитель функции / ограничен. Поэтому
(DpJ (x), h) - llm 1 [psf (x + eh) - pj (x)] =
>0 B
8->0
<
Воспользовавшись условием Липшица \f(x) — f(y) \ ^
^ P II x — у II, получаем
\\ppsf(x)i^$ps(\\y\\<a) для всех хе=В.
Используя эту оценку и лемму 4.4 и выполняя те же вычисле-
вычисления, что и в доказательстве теоремы 4.6, (а), приходим к не-
неравенству
II D%f (х) ||, < р (at)-'1' pbt (|| у \\< a) J || у || р, (йу),
В
где а>0, 6>0иа + 6 = 1. Беря а = Ь = 1/2> получаем
i/ a)

148 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Из леммы 4.5 следует, что для любого п
Можно выбрать п настолько большим, чтобы функция
была интегрируема на [1, оо). Далее, по теореме 4.6, (Ь), ото-
отображение D2p(.)f('): Uf °°)У.В-^3?^)(Н) равномерно непре-
непрерывно. Следовательно,
\\&Ptf(x)\\idt<oo.
5
Таким образом,
и поэтому
для всех jceB. Наконец,
tr D2ptf(x)dt
R
lim
Rfoo
R
lim [ 2dptf (x)/dt dt (по теореме 4.6, (d)) =
ефО. /?f 0 g
2 lim Ы(*)-р./(ж)]--2/(х). #
фо /?f о
Пич [38] обобщила теорему 4.6 на случай уравнения пара-
параболического типа
где А(х) = 1— С(х) удовлетворяет следующим условиям:
(i) С есть отображение В в множество симметричных
ядерных операторов в Я;
(п) существует такое в > 0, что А (х) ^ е/ для всех jcgB;
(Ш) существуют такой симметричный оператор Гильбер-
Гильберта— Шмидта Е в Н и такое семейство операторов
С0(*)е2Ч#),чтоед=?С0(х)?и ||Co(jc)|| < 1 для
всех х е В\
(iv) отображение Со дважды дифференцируемо по Фреше,
причем С% (х) является Lip 1-функцией от х\
(v) JCq(jc)| и |CJ(jc)| равномерно ограничены для х & В.

§ 5. Стохастический интеграл 149
Теорема 4.8. Если выполнены приведенные выше условия
(i) — (v), то существует такое семейство борелевских мер
\qt(xy dy)\ t > О, хеВ}, что для всякой ограниченной Lip 1-
функции f на В
(а) функция qtf(x)= \f(y)qt{xydy) дифференцируема по t
в
дважды Н-дифференцируема по х, причем D2qtf(x)&
S (Я) для всех к е В;
(b) Щ^-= tr A (x)D>qtf(x);
(c) lim qtf (x) — f (x) равномерно по х.
/фО
§ 5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть (/, Я, В)—некоторое фиксированное абстрактное
винеровское пространство. Согласно следствию 4.2 гл. I, су-
существуют абстрактное винеровское пространство (/, Я, Во) и
возрастающая последовательность {Qn\ n= 1, 2, ...} конечно-
конечномерных ортогональных проекторов в Я, такие, что (i) норма
||«|| слабее 50-нормы II-Но; (и) последовательность Qn схо-
сходится сильно к / в Н\ (iii) каждый проектор Qn продолжает-
продолжается до проектора в Во (обозначаемого по-прежнему через Qrt),
для которого || Qn ||во Bi < I; (iv) || Qnx — x \\0 -> 0 при n-> oo
для каждого х^В0. Таким образом, мы имеем следующую
ситуацию: В* ст В* с: И с= Во с= В. В этом параграфе {Qn} всю-
всюду обозначает последовательность проекторов, о которой го-
говорится выше. Через {pi) и {pt} обозначим винеровские меры
на В и Во соответственно.
Пусть К — вещественное гильбертово пространство. Рас-
Рассуждая так же, как и при доказательстве следствия 4.4 гл. I,
можно установить справедливость следующей леммы.
Лемма 5.1. Если А ^3?(В0, К) и А —сужение оператора
А на Я, то Ае5?B)(Я, К) (пространство операторов Гиль-
берта — Шмидта из Н в К). При этом
IIМ2<(\\\х%рх (dx))j/21| A\\Botк, А € 2(Во, К\
где ||-Иг—норма Гильберта — Шмидта на 3?<$)(Н, К).
Лемма 5.2. Пространство 3?(ВОу К) всюду плотно в
Доказательство. Для Ле5?B)(Я, К) положим An = AQn.
Тогда Ап<Е=2?{Во,К) и II Л* —Л ||2->0 при п->оо. ф
Лемма 5.3. Если Ае=&(В0, /С), то А*(К)аВ*0 и
(Ах> У)к — (*» А*У) для всех х е во и У s ^•

150 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Пусть W{t) — стандартный винеровский процесс в (/, //,
5). Заметим, что
prob {0; W (/, (u)gB0 для всех / ^ 0} = 1.
Обозначим через Jtt полное а-поле, порожденное семейством
{W() 0 *}
Определение 5.1. Пусть G — банахово пространство. Сто-
Стохастический процесс ?@ с фазовым пространством G назы-
называется неупреждающим, если функция ? измерима по совокуп-
совокупности переменных t, со и для каждого t ^ 0 функция %(t) яв-
является Л^-измеримой. Будем обозначать через L[G] множе-
множество неупреждающих процессов с фазовым пространством G,
s
таких, что Е \ || ? (/) \\2а dt < оо для всех 0 < 5 < оо.
о
Лемма 5.4. Если ? е L \2? (So, К) ], то
(a) для 5 < /
Е |? (8) (W (/) - Г (s)) ^ - (/ - s) Е [ || I (s) ||22];
(b) для s <t < и <v
Е <? (s) (Г (г) - W E)), ? (и) (W (v) - Г (и)))к = 0.
Доказательство. Мы докажем только (а). Справедливость
(Ь) устанавливается аналогично. Пусть
W(s))?K, n=l9 2,....
Тогда fn сходится к / почти всюду при п-> оо. Далее,
<n(s)\fBotK\\w(t)-w(s)\\i.
Поскольку процесс ? неупреждающий, то
5
Во
Поэтому по теореме Лебега о мажорируемой сходимости
E(f)=\imE(fn).

§ 5. Стохастический интеграл 151
Пусть {dk\ Л = 1, 2, ...}—какой-нибудь ортонормирован-
ный базис в К. Теорема о монотонной сходимости дает
Е (/„) = lim I Е <? (s) Qn (W (/) - W (s)), d,)% =
= lim ? Е (Qn (W (t) - W (s)), I {s) * d,f
(в силу леммы 5.3). Пусть теперь {еп\ л=1, 2, ...}—орто-
нормированный базис в Я, такой, что {е\у ..., ецП)}—базис
в Qn(H). Тогда
(Qn(W(t)-W(s))9
а, 3 = 1
Используя предположение о том, что процесс ? неупреждаю-
щий, и равенство
Е (W @ - Г (s), р р
получаем
Е (Qn (W (t) - Г E)), g E) * d/J = (f - s) E ? (ea, g (s
l
a=l
Следовательно,
k
E (/ n) = Hm I(/-s)EZ <g (s) ea, d})\ =
Mn)
E(/)= lim E(M = (t-s)E t\
n->oo a=l
||2]. #
Определение 5.2. Процесс ^gL[C] называется простым,
если существует конечное множество точек 0 = t0 < t\ < ...
... < /л, таких, что ?@ = ?;(//) для tj ^ t < /y+i, / = О, 1, ...

152 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Лемма 5.5. Если ? е L [i?<2) (#, К)], то существует после-
последовательность {?л} простых процессов в L \& (Во, К) ], для
которой
|Л-»0 при п-^оо
о
для каждого 0 < 5 < оо.
Пусть ? — простой процесс в L[2?(S0, К)] со скачками в
точках О < t\ < ... < tn. Для f/ ^ / < f/+i, 0 ^ / ^ п, поло-
положим
/с @ = 20 С (« OF (/i+i) - И^ (/,)) + с (//) AГ @ - Г (/,)).
Здесь предполагается, что to = 0 и ^+i = оо.
Очевидно, У;—мартингал с непрерывными траекториями
и ЕУ$ (t) = 0. Далее, по лемме 5.4
Предположим, что ^еЦ2?B>(Я, /С)], и пусть {^}—по-
{^}—последовательность, определенная в лемме 5.5. Для каждого
0 < s < оо последовательность {/^] сходится в L2( [0, 5] X Й)
к некоторому 6S. Очевидно, если s <Zv, то сужение процесса
&v на [0,s]XQ совпадает с Qs почти всюду. Следовательно,
можно определить процесс в, такой, что для почти всех /е
е [0, оо)
НЕ|/@
Далее, можно указать эквивалентный в процесс /$, который
обладает свойствами, указанными в следующей теореме.
Теорема 5J. Существует такой линейный оператор J из
2{H К [K] д У@
ущу р
> К)) в L[K], записываемый в виде
что
ор J из
о
(a) траектории процесса У$ непрерывны;
(b) У; — мартингал:
(c) prob{osupjyc@l^>6}

§ 5. Стохастический интеграл 153
Замечание. При /C = R условимся считать 2?$) (Я, R) = #.
Для ?eL[#] будем /&(/) записывать как \ (?E),
о
Лемма 5.6. Пусть ?e=L[^(B0, В*)]. Тогда
(a) для 5 < /
Е {(С (s) (Г (/) - W (s)), W{t)-W (s)f) =
(b) для 5 < / < w < v
- W (s)) ft (а) (У (v) - й? (а)), Г (v) - tt^ («))} =
= (V - U) E {tr С (И) (С E) (W (t) ~ tt^ E)), W (t) - tt7 (S))}
Лемма 5.7. Пусть процесс ?eL[i?(B0, В*)] млсбвг непре-
непрерывные траектории и \\ ? (/, со) ||в в* ^ Af < оо для ecejc / a
ло^та всел: со. Пусть, далее, пп={0 = to < t\ < ... < tn = t)—
некоторое разбиение отрезка [0, t]. Тогда последовательность
сумм
t
сходится в L2(Q) к \ tr| E) ds яра mesh(n«)->0!).
о
Пусть / — функция, заданная на открытом подмножестве
V пространства В. Точно так же, как была определена //-диф-
//-дифференцируемость, можно определить дифференцируемость по
пространству Во (В0-дифференцируемость). Если f дважды
Во-дифференцируема, то Df е= В* с: Н и D2f e &(В0> В*) с
2>
Лемма 5.8. Для всякой дважды В0-дифференцируемой
функции f на В
t t
f W (/)) = f@) + 5 (Df (W (s)), dW (s)> + ^ \ tr D2f (W (s)) ds.
о о
?) mesh(n,,) sa max (ti — ti-i). — Прим nepee.

154 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Доказательство. Имеем
(л*, у^ Во). Можно считать, что норма ||D2/||B в* ограничена.
Пусть пп = {0 = U < t\ < ... < tn = t] — векторное раз-
разбиение отрезка [0, t]. Тогда
f (W @) - / @) = Yj f (w ('z+i» "" / (w (*/)) =
/-0
n-\
= J) (Df (W (t,)), W (f/+1) - V @)) +
1 n
+ у 2j ^^ ^W ^№ (W ^/+1^"" W (*$' W ^'+^"" ^
/-0
/г—1
/-0
Применение теоремы 5.1, (d), дает
E
л-i
/=0
, W (tl+l) - W (t,)) - 5 (Df (W (s)), dW (s))
/-o
< const J] \ E\\W(t,)-W(s)%ds =
/-0 fy
Я-1 */+!
= const V \ E — tj) ds <
/-0
n-\
/-0
< const (mesh (nn)) t-> 0 при mesh (jtJ-> 0.

§ 5. Стохастический интеграл 155
Выше const обозначает постоянную, зависящую только от
(*)||B B.t \ \\y\fpddy)
и числа р, такого, что || у ||0 ^ Р|*/| для всех //еЯ (а значит,
UKPIIllo* для всех 2GBJ). По лемме 5.7
(D2/ (W {(,)) (Г (//+1) - Г (*,)), Г (*/+1) - W (/,)) -
- ^ trD2/ A17 (s))ds
о
стремится к нулю при mesh (я*)-»-0. Далее,
rt-l
/-о I в.
2
Lb0
при mesh(n^)->0. Следовательно,
в L2(Q) при mesh(nJ->0.
Наконец, можно выбрать подпоследовательность последо-
последовательности {пп} так, чтобы для этой подпоследовательности
в предыдущем соотношении вместо L2(Q) -сходимости имела
место сходимость почти всюду. Таким образом, для каждого
фиксированного t справедливость доказываемой формулы
установлена. Но интегралы в этой формуле имеют непрерыв-
непрерывные модификации. Поэтому формула справедлива для всех
;>о. #
Теорема 5.2 (лемма Ито). Пусть f(t, x) — вещественная
непрерывная функция на [0, оо)Х#. Предположим, что
(a) для каждого х^ В функция /(-, х) непрерывно диф-
дифференцируема и производная df/dt непрерывна на [0, оо)Х 5;
(b) для каждого t ^0 функция f(t, •) дважды И-диффе-
И-дифференцируема, причем производные Df и D2f суть непрерывные
отображения [0, оо)Х# и 2?{Н) соответственно.

156 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Если
где *е=В, EeL[^B)(H)], ot=L[H], то
t
f(t, X(t)) = f(O, x)+ \(t(s)mDf(s9 X(s))> dW(s))
t
\ {-g-(s, X (s)) + (Df (s, X(s)), a(s))
О
Доказательство. Рассуждая так же, как и в доказательстве
леммы 5.8, можно показать, что наше утверждение справед-
справедливо для функции /, удовлетворяющей условиям (а) и (Ь),
в которых Н заменено на Во.
Пусть теперь для / выполнены сами условия (а) и (Ь).
Рассмотрим при каждом п функцию fn(t, x) = f(t> Qnx). Тогда
_ df(t,Qnx)
dt ~ dt
D2fn(t,x)=QnD*f(t9Qnx)Qn.
Следовательно, в силу сказанного в предыдущем абзаце, до-
доказываемая формула справедлива для fn. Полагая /г-^оо, по-
получаем, что она верна и для /. ф
Если g(s) = /+ ?(s), где / — тождественное отображение
пространства В на себя и ^[[^(Я)], то мы полагаем
Теорема 5.3 (лемма Ито). Пусть f — вещественная непре-
непрерывная функция на [0, оо)Х#, удовлетворяющая условию
(а) теоремы 5.2 и следующему условию:
(Ь) для каждого t^O функция /(/, •) дважды Н-диффе-
ренцируема, причем D2f(t, х)е2?ц)(Н) для любого х и ото-
отображения
Df: [0, оо)ХЯ-># и D2/: [0, сх>)ХВ->^(
непрерывны.

5. Стохастический интеграл 157
Если
где 1 = / + ?, ? е= L \2(% (Я)] « ае/,[Я], то
t
f (t, X @) = / (О, х) + \ (I (sT Df (s, X (s)), dW is)) +
О
t
+ \ {f- (si X (s)) + (Df (s, X {$)), о (s)) +
О
, X(s))l(s))}ds.
Следствие 5.1. Пусть f — дважды непрерывно Н-дифферен-
цируемая функция на В, такая, что D2f(x)^ 3?(\)(H) для всех
xgB и D2f есть непрерывное отображение В в 27A)(Я).
Пусть, далее, т — момент остановки (относительно W(t))t удо-
удовлетворяющий следующим условиям: т < оо почти всюду и
Тогда
Следствие 5.2. Пусть А<=2?(В,В*) и и(х) = ^(Ах, х).
Тогда
(х) = tr (А \н) для всех х^В,
где А — обобщенный лапласиан.
Определение 5.3. Пусть К — гильбертово пространство,
G — пополнение К относительно некоторой более слабой нор-
нормы на /С. Такую пару (/С, G) будем называть условным бана-
банаховым пространством.
Очевидно, абстрактное винеровское пространство является
условным банаховым пространством. Обратное неверно. На-
Например, пара (?2[0, 1], Ll[0, 1]) есть условное банахово про-
пространство, но не абстрактное винеровское пространство.
Определение 5.4. Пусть К\ и /Сг — два гильбертовых про-
пространства. Непрерывное билинейное отображение S:
К\ X К\ -> #2 называется отображением ядерного типа, если

158 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
(i) для каждого х е /С2 выполняется включение Sx e
e57(i)(/Ci), где Sx — оператор, задаваемый равенством
<Sxy,z> = <S(yt2),x\ и
(ii) линейный функционал х н-MrS* непрерывен.
Из этого определения вытекает существование в Кг един-
единственного вектора, который мы обозначим ^через TRS, такого,
что для всех х е Къ
(TRS, *> = trS,.
Лемма 5.9. Если Т^ 3?B)(Н, К\) и S — непрерывное били-
билинейное отображение К\ X К\ в ^2, то билинейное отображение
S о [Т X Т]: Я X // -* Кг является отображением ядерного
типа.
Теорема 5.4 (лемма Ито). /7#c:r& (/Ci, Gi) w (/C2, G2) — 5ea
условных банаховых пространства, р — отображение [0, оо)Х
XGi e G2, удовлетворяющее следующим условиям:
(I) для каждого AreGi отображение р(-, jc) непрерывно
дифференцируемо и отображение df/dt: [0, oo)XGi-)-G2 «e-
р
(II) (Эля всякого t ^ 0 отображение р(/, •)'• Gi->G2
дифференцируемо по Фреше и производные р', р" непре-
непрерывны по совокупности переменных tt x, причем
р' (/, х) (Ki) с /С2, р^ (/, х) (Кг X iCi> с /С2.
55
О О
еде jcgG,, ^1[2?B)(Я, /(,)] а ore Lid], ro
р(t, X @) = Р @, х) + J [p' (s, ^Г (s))o? (s)] dU7 (s) +
S (7 <s' x W + P' (s> X <s» (° (s)) +
0
4 TR (p" (s, X (s)) о [? (s) X ? («)])} rfs.
Для |(s)=/+Us), где J<=2?(Bo, С) и
положим
t t
\ I (s) dW (s) = /IP @ + J ? (s) dlP (s).

§ 5. Стохастический интеграл 159
Теорема 5.5. (лемма Ито). Пусть (К\, G\) и (/С2, G2)—
два условных банаховых пространства. Предположим, что
пространство G[ имеет базис Шаудера. Пусть р — отображе-
отображение [0, oo)XGi в G2, удовлетворяющее условию (I) теоремы
5.4 и следующему условию:
(IV) для каждого t^O отображение p(t, •) дважды Кг
дифференцируемо, причем Dp(t, x)^S(K\, /C2), D2p(t, x) яв-
является билинейным отображением ядерного типа из К\ X К\
в /С2, а отображения
Dp: [О, oo]XG,->#(*!, ^2) и TRD2p: [О, oo)XG1->/C2
непрерывны.
Пусть, далее,
t t
где ? = /¦+?, J^S(BQiGl), %<=L[S?{2)(H,Kx)]y оеЦКх],
причем J удовлетворяет условию Dp(t, x) (J(B0))cz K2 для
всех tux. Тогда
t
р (/, X (/)) = р (О, х) + J [Dp (s, X (s)) о | (s)] dW (s) +
О
t
+ 5 { & (s, X (s)) + Dp (s, X (s)) (a (s)) +
О
+ { TR (D2p (s, ^ (s)) о [| (8) X I (s)])} ds.
Лемма 5.10. Пусть Ф — отображение полного метрического
пространства s& в себя. Предположим, ято существует нату-
натуральное число N, такое, что Фт является сжимающим отобра-
отображением для всякого m ^ N. Тогда Ф имеет единственную не-
неподвижную точку.
Пусть l(t% х) = J + l(t, х), где / € &(Во) и I — некоторое
отображение [а, оо)ХВ в i?B)(#), а ^ 0. Пусть, далее, а —
некоторое отображение [а, оо)Х# в В. Рассмотрим стоха-
стохастическое интегральное уравнение
t t
*(/) = v+$t(s, X{s))dW(s)+\o(s, X{s))ds.
a a
Теорема 5.6. Пусть отображения t, и а (см. предыдущий
абзац) удовлетворяют следующим условиям:
(а) ?(•,#) и о(-,х) для каждого х&В суть непрерывные
отображения [а, оо) в 3?р)(Н) и В соответственно]

160 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
(Ь) существует постоянная /С, такая, что для всех t ^ а и
Hit, x)-t(t,
IICC. *)fc<K(l+11*11),
l|o(*,*)ll<K(l+11*11).
Далее, предположим, что'функция v является Ma-измеримой
и Е || v ||2 < оо. Тогда стохастическое интегральное уравнение
t t
X(t) = v+\l(s,X(s))dW(s)+\a(s, X(s))ds
a a
имеет единственное непрерывное неупреждающее решение и
это решение представляет собой марковский процесс.
Доказательство. Достаточно разобрать случай а ^ t ^
^ Т < оо. Пусть зФ — банахово пространство непрерывных
неупреждающих процессов X(t) с фазовым пространством В,
таких, что
|||Х||1 = { sup I/
Определим отображение Ф пространства $? в себя, положив
t t
Ф (X) (t) = v + \ | (s, X (s)) dW (s)+\a (s, X (s)) ds.
Существует такая постоянная с, что ||х||<с|л:| для всех
j^Gff. Имеем
I *
I
|| Ф (X) (t) - Ф (У) (t) ||2 < 2с2 К [? (s, X (s)) -Us,Y (s))] dW (s)
+
t
+ 2 (/ - a) \ || a (s, X ($)) -a(s,Y (s)) f ds.
a
Поэтому
E || Ф (X) (t) - Ф (Y) (t) ||2 < 2c2 J E || I (s, X (s)) - ? (s, Y (s)) ||2 ds +
a
t
+ 2(T-a)\E\\o(s, X(s))-a(s,

§ 5. Стохастический интеграл 161
Положим а = 2К2 (с2 + Т — а). Тогда
t
ЕIIФ (Jf) @ — Ф (Г) @1|2 < а 5 Е П X (s) — Г (s) Ц2 rfs.
а
Как легко видеть, для m > 1 имеем
Следовательно,
Таким образом, Фт является сжимающим отображением для
больших т. Применяя лемму 5.10, получаем искомое решение.
Единственность очевидна. ф
Пусть С — симметричный компактный оператор в Я, та-
такой, что оператор / — С положительно определен. Положим
А = / — Си определим л/А следующим образом. Оператор С
можно представить в виде
оо
Сх=%Хп(х, еп)еп,
где {еп} —ортонормированный базис в Я. Тогда
оо
Ак=ЕA —К)(х, еп)еп.
Поскольку оператор А положительно определен, то 1 — %п ^
^ 0, и мы полагаем
= Z л/\—К(х, еп)еп.
Без труда доказывается следующая лемма.
Лемма 5.11. Предположим, что С— симметричный опе-
оператор.
(a) С<=Х(Н)=>^/А-1<=Х(Н).
(b) С е &W (Н) => лД- / е &ь) (Я).
(c) Се^A)(Я)=^л/Л-/е^A)(Я).
Рассмотрим теперь уравнение параболического типа
*°<JL&~bA(x)Pv(t, х),
где А {х) = I — С(х), а С удовлетворяет условиям теоремы
4.8. Поскольку С{х)— симметричный ядерный оператор в Я,

162 Гл. 111. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
то в силу предыдущей леммы д/'А (х) — I <= i?(n (#). Далее,
как легко видеть, существует постоянная /С, такая, что
<к\\х - у ||,
Следовательно, по теореме 5.6 стохастическое интегральное
уравнение
X(t)=x+\^A(X(s))dW(s)
имеет единственное решение X(t) для каждого xgB.
Теорема 5.7. Пусть {qt (*, dr/); / > 0, л: е В} — фундамен-
фундаментальное решение приведенного выше уравнения параболиче-
параболического типа, X(t) — решение приведенного выше стохастиче-
стохастического интегрального уравнения. Тогда
qt (x, dy) = prob {X B/) е= dy \X @) = л:}.
Доказательство. Достаточно показать, что при Т > 0
\f(y)qT/2(x,dy) = Ej(X(T))
в
для любой ограниченной Lip 1-функции f. Фиксируем Г>0
и положим
F(t,x)=\f (у) q^m (х, dy\ 0 < / < Т.
в
По теореме 4.8 функция
тождественно равна нулю для 0^/<Г и хеВ. С другой
стороны, применяя теорему 5.3 (лемму Ито) к F(t, x), полу-
получаем
t
F(t, X(t)) = F{0,x)+\g(s, X(s))ds +
0
t
+ J (л/А (X (s)) DF (s,, X (s)), dW (s)) =
о
) DF (s, X (s)),

§ 6. Теорема о дивергенции 163
Следовательно,
Ex[F(t,X(t))]=\f(y)qTl2(x,dy).
В
Полагая t f T и используя теорему Лебега о мажорируемой
сходимости, приходим к равенству
Ex[f(X(T))]=\f{y)qT/2{x,dy). #
В
Пусть Со — банахово пространство ограниченных непре-
непрерывных функций на В, обращающихся в нуль на бесконечно-
бесконечности (с равномерной нормой). Предположим, что функция4
f(x) = || х ||2 дважды Я-дифференцируема, причем отображе-
отображения Df: B-+H и D2/: B-+g{l){H) непрерывны и
sup||D2f (я) Hi < со. Рассмотрим стохастическое интегральное
Й
уравнение
X(Q = x+\l{X(s))dW(s)+\o(X(s))ds,
О О
где функции ^ и а не зависят от t и удовлетворяют условиям
теоремы 5.6. Процесс X(t) порождает полугруппу {Р*; /^0},
где
Теорема 5.8. Операторы {Pt\ t^O} образуют сильно не-
непрерывную сжимающую полугруппу на Со.
В заключение параграфа заметим, что было бы интересно
изучить свойства регулярности функции g(x) =Ex[f(X(/))].
В работе [13] получены некоторые результаты для одного
специального класса функций /. Однако для более широких
классов функций, например Lip 1-функций, вопросы о Я-диф-
ференцируемости функции g, о том, является ли D2g(x) ото-
отображением типа Гильберта — Шмидта или, может быть, ото-
отображением ядерного типа, остаются до сих пор открытыми.
§ 6. ТЕОРЕМА О ДИВЕРГЕНЦИИ
В формулировке теоремы о дивергенции для ориентиро-
ориентированного я-мерного риманова многообразия существенно ис-
используется понятие элемента объема, которое в свою очередь
опирается на понятие меры Лебега на Rn. Как было показано
в самом начале книги, мера Лебега не имеет бесконечномер-
бесконечномерного аналога. Однако, используя понятие абстрактной вине-
ровской меры pt(x, dy) в абстрактном винеровском простран-
пространстве (/, Я, 5), можно сформулировать один вариант теоремы

164 Гл. III. Результаты оО абстрактном винеровеком, пространстве
о дивергенции, который в случае, когда пространство В конеч-
конечномерно, сводится к обычному. Эта формулировка теоремы о
дивергенции принадлежит Гудмэну [20].
Определение 6.1. Вещественная функция /, заданная на
открытом подмножестве U пространства В, называется НС1-
функцией, если
(i) она непрерывна и Я-дифференцируема,
(ii) Df есть непрерывное отображение U в Я, причем
Df (х) е В* для всех х е U.
Теорема 6.1. Для всякого открытого покрытия {?/а;ае А)
пространства В существует такое НСх-разбиение единицы
{fn'yn= 1,2,...}, что носитель каждой функции fn содержит-
содержится в некотором множестве Ua-
Определение 6.2. Подмножество S пространства 5 назы-
называется НС]^поверхностью, если для каждого хе$ суще-
существуют открытая окрестность U элемента х и заданная на U
НС1 -функция /, такие, что
Определение 6.3. Говорят, что подмножество V простран-
пространства В имеет НО-границу, если для каждого x&dV (dV —
граница множества V) существуют окрестность U элемента х
и определенная на этой окрестности #С!-функция /, такие, что
и Vr\U = {yt=U; f(y)<0).
Теорема 6.2. Для произвольных 0 < а < Р существует
множество V с НСх-границей, для которого справедливы
включения
{II л: |1< а} CZ V с= {1! д: |1 < р}.
Замечание. Теорема тривиальна, если ||-|| является НС1-
функцией вне нуля.
Доказательство. Возьмем число с > 0, такое, что с < а <
< Р < с-1. Как легко видеть, функция f(x) = min {|| х ||, 2с-1}
есть ограниченная Lip 1-функция. 'Поэтому из теоремы 6.2
гл. II и доказательства теоремы 4.6, (а), следует, что ?* =
= ptf представляет собой ЯС!-функцию, а согласно теореме
6.1 гл. II, gt равномерно сходится к / при t-+0. Положим
г=(а + Р)/2. Тогда при достаточно малых t для множества
Vt = {gt < г} выполняются включения {|| х \\ < a} cz Vt cz
с: {11*11 <р}. Покажем, что Vt имеет ЯС^границу при ма-
малых t. Для этого достаточно доказать, что Dgt не обращается
в нуль на множестве {с < || х \\ < с~1} при малых /.
Пусть х—некоторый фиксированный вектор из множества
{с < II *|| < с-1}. Выберем ЛеЯ так, чтобы И Л — л:|| <
< || х Ц/4. Тогда || Л ||< 51| * 11/4. Поэтому при 0 < е < 1/2 и

§ 6. Теорема о дивергенции 165
II У II < II х ||/4 имеем || х -\- еЛ + у II <2с~'. Следовательно,
f(* + 8ft+t/) = ||x + e/i + y||.
Кроме того, если || у || < || х ||/4, то II х + у || < 2с-1, так что
/(* + */) = 11* + </1|.
Далее, при II у II < II д: 11/4 имеем также
= e[\\x-\-y\\-\\h-x-y\\].
Но
поэтому
\\x + Bh + y\\-\\x + y\\>±\\x\\^±
Таким образом, мы показали, что при 0 < е < >/г
С другой стороны, поскольку |/(м) — /(о) |<!||ы — f || для
всех и и i> из В, то
Следовательно,
[g (« + sA) 5 ()] 1 J (/ ( + eft + #) - / (х + у)) pt (dy)>
В
Полагая е->0, получаем
(Dgt{x)
Поэтому

166 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровском пространстве
Заметим, что pt {II у \\ < с/4} ->¦1 при t->0, и выберем 6 > О
так, чтобы рб {|| у || < с/4} > 6/7. Тогда
для всех х €Е {с< || * || < с~1}. ф
Определение 6.4. Пусть М — дифференцируемая поверх-
поверхность в Я. Одномерный ортогональный проектор Р в Я назы-
называется нормальным кМв точке хе М, если
Теорема 6.3. Для всякой НО-поверхности S в (i, Я, В)
существует единственное отображение N: S-*3?(B, В*),
у н-> JVy, такое, что
(a) <9ля каждого y^S сужение Ny\H является нормаль-
нормальным к (S — у)[\Н в 0 проектором;
(b) Eля каждого у е S отображение Jy = / — M/ есть го-
меоморфизм некоторой открытой окрестности точки y^S на
открытое подмножество множества ker Ny;
(c) отображение N: S-*2?(H) (с топологией, порожден-
порожденной операторной нормой) непрерывно.
Пусть S — некоторая ЯС^поверхность. Из предыдущей
теоремы вытекает, что для каждой точки у е S существуют
такое AgB* с|й|=1 и такая открытая окрестность U в S
этой точки, что (i) Nyh = h\ (ii) Nw/гфО для всех w & U\
(iii) Jy = /—Ny есть гомеоморфизм U на Jy(U)czker Ny. Это А
называется единичной нормалью в у, а [У — координатной
окрестностью точки г/. Как легко видеть, существует един-
единственная единичная нормаль п(у), для которой у~-еп(у)^ U
при малых е > 0. Эта нормаль п(у) называется внешней нор-
нормалью в у.
Теорема 6.4 (о существовании поверхностной меры).
Пусть S есть НО-поверхность в (/, Я, В). Для х^В и t>0
существует единственная борелевская мера ot(x, •) на S, та-
такая, что для любой координатной окрестности U точки у е S
и любого борелевского подмножества Е в U справедливо ра-
равенство
at (x9 E) =
5 1 ехр [— | ЛГУ (/^^ — х)
= -JU 5 |
Jy (E)
где h — единичная нормаль в у и /?,(•) — винеровская мера
на ker Ny с параметром t.
Эта мера ot(x, •) называется нормальной поверхностной
мерой на S с параметром растяжения t и сдвигом х.

§ 6. Теорема о дивергенции 167
Определение 6.5. Пусть f — измеримая функция, заданная
на подмножестве U пространства В и принимающая значения
в В*. Предположим, что она Я-дифференцируема и Df(y)^
е S{\) (Я) для всех г/G U. Пусть t > 0. Для xgB определим
дивергенцию функции f в точке х, положив
div,f xf(y) = tr Df (у) - 4 (/ (у), y-x),y<=U.
Теорема 6.5 (теорема о дивергенции). Пусть V — подмно-
подмножество пространства В, имеющее НО-границу. Предположим,
что функция g: V[)dV-> Я измерима и удовлетворяет следую-
следующим условиям:
(a) она Н-дифференцируема на V и Н-непрерывна на dV;
(b) отображение Dg: V-+3?(H) (со слабой операторной
топологией) непрерывно;
(c) для всех JteB, f>0 и h^H функции (g(-), Л>2 и
\Dg(-)h\ являются pt(x, dy)-интегрируемыми на V> а функ-
функция |g(-)l ot(xt dy)-интегрируема на dV.
Если Т — тестовый оператор, то
J div,., Tg (у) Pt (x% dy) = \ (Tg (у), п (у)) at (*, dy),
V dV
где ot{xy •) — нормальная поверхностная мера на dV с пара-
параметром растяжения t и сдвигом х.
Следствие 6.1. Пусть V — подмножество пространства В,
имеющее НО-границу. Предположим, что функция f: V\j
[)dV->-H измерима и удовлетворяет следующим условиям:
(a) она Н-дифференцируема на V и Н-непрерывна на dV\
(b) f(x) €= В* для всех х е= V, и sup || f (х) I < оо;
x<=V
(c) Df(x)^ 3?(\)(Н) для всех х^ V, и Df есть непрерыв-
непрерывное отображение V в 3?(Н) (со слабой операторной тополо-
топологией) ;
(d) для всех х^В и t>0 функция |/(-I является
ot{x,dy)-интегрируемой на dV, a ||D/(-)||iP^(a:, dy)-интегри-
dy)-интегрируема на V.
Тогда
$ div,, x fly) Pt (x, dy) = \ (f (у), п (у)) at (*, dy).
V dV
Можно попытаться получить теорему о дивергенции для
бесконечномерного многообразия. Поскольку в бесконечно-
бесконечномерном пространстве нет аналога меры Лебега, для бесконеч-
бесконечномерного многообразия нельзя определить понятие элемента
объема. Тем не менее можно сформулировать один вариант
теоремы о дивергенции для бесконечномерного многообразия

168 Гл. III. Результаты об абстрактном винеровеком пространстве
без использования несуществующего элемента объема. Изло-
Изложим вкратце этот подход. Пусть W—многообразие Римана-г-
Винера [10]. Оно представляет собой банахово многообразие,
смоделированное на (/, Я, В). Каждое касательное простран-
пространство к W наделено своей нормой и всюду плотно определен-
определенным скалярным произведением. При помощи стохастического
интеграла (§ 5) в [12] строится броуновское движение B(t)
на W. Положим
rt(x, E) = prob{B{t)<=E\B@) = x}, / > 0, *е=Г, ?<=#(№);
rt(x, dy) будет играть роль pt(xt dy) в формулировке теоремы
о дивергенции. Понятия ЯС^-поверхности и //^-границы
обобщаются на случай многообразия W очевидным образом.
Однако задача построения поверхностной меры, соответ-
соответствующей rt(x, dy), отнюдь не проста и остается пока нере-
нерешенной.
Представляет интерес обобщить теорему 6.5 и следствие
6.1 на случай негауссовских мер. Пусть X(t) — решение стоха-
стохастического интегрального уравнения из теоремы 5.6 и
qt (*> dy) = prob {X (t) e dy \X @) = x).
Вопрос о построении поверхностной меры, соответствующей
qi(x, dy), до сих пор открыт, и'сформулировать теорему о ди-
дивергенции Для этого случая пока не удается.
§ 7. ЗАМЕЧАНИЯ К ГЛАВЕ III
§ 1. Если в доказательстве теоремы 1.1 выбрать другую
суммируемую последовательность {Хп} положительных чисел
и другое счетное всюду плотнЪе в В подмножество {ап}, то
мы получим, вообще говоря, иное гильбертово пространство.
Однако в силу теоремы 5.3 гл. II гильбертово пространство Н
у нас всегда будет одно и то же. Заметим, что метод Кьюлбса
не дает конструктивного описания пространства Я.
Другое доказательство теоремы, намеченное в этом пара-
параграфе, позволяет характеризовать элементы пространства В,
принадлежащие Я, а именно:
Например, в случае когда В = С[0, 1] и \л есть винеровская
мера w, имеем
Syl(x)=\y'(t)dx(t)i xe=C[0, 1],
о
т. е. у—абсолютно непрерывная функция с /gL2[0, 1].

§ 7. Замечания к главе III 169
§ 2. Относительно связи между абстрактными винеров-
скими пространствами и гильбертовыми пространствами с
воспроизводящим ядром см. [25].
§ 3. В [19], [10], [38] в некоторых теоремах предполагает-
предполагается р\-интегрируемость функции ||-||г для различных/^ 1. Из
теорем Ферника и теоремы Скорохода следует, что'это пред-
предположение излишне.
§ 4. Наш метод доказательства теорем 4.6 и 4.7 отличается
от метода Гросса [19]. Наши оценки в доказательствах осно-
основаны по существу на леммах 4.3 и 4.4, и вычисления проще,
чем у Гросса.
§ 5. При изучении стохастических интегралов на абстракт-
абстрактном винеровском пространстве в статьях [11]—[13], [15]
нами делалось следующее предположение относительно (/, Я,
В): существует возрастающая последовательность {Рп} конеч-
конечномерных проекторов в В, таких, что Рп(В)аВ*9 проекторы
Рп сильно сходятся к тождественному оператору в 5, а Рп\н
сильно сходятся к тождественному оператору в Я. Этого пред-
предположения можно было не делать. Существования (f, Я, Во)
и {Qrt}, указанных в начале параграфа, вполне достаточно.
§ 6. Как отметил Гросс в [19], анализ на бесконечномер-
бесконечномерных многообразиях представляет собой область исследований
с богатыми возможностями. Теорема о дивергенции — лишь
первый шаг на пути1 построения теории когомологий на мно-
многообразиях Римана — Винера.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ *)
1. Боник, Фрэмптон (R. Bonic, J. Frampton), Differentiable functions on
certain Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 71 A965), 393—395.
2. Варадхан (S. S. R. Varadhan), Stochastic processes, Courant Institute,
New York University, 1968.
3. Винер (N. Wiener), The average value of a functional, Proc. London,
Math. Soc. 22 A922), 454—467.
4. —, Differential space, J. Math. Phys. 58 A923), 131—174.
5. —, Selected Papers of Norbert Wiener, SIAM and MIT Press, 1965.
6. Гаек (J. Hajek), A property of /-divergences of marginal probability
distributions, Czech. Math. J. 8 A958), 460—463.
7. —, On a property of normal distributions of an arbitrary stochastic
process, Czech. Math. J. 8 A958), 610—618.
8. Гельфанд И. М, Виленкин Н. #., Некоторые применения гармониче-
гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства («Обобщенные
функции», вып. 4), Физматгиз, М., 1961.
9. Гихман И. #., Скороход А. В., О плотностях вероятностных мер в
функциональных пространствах, УМН 21 A966), № 6, 83—152.
10. Го (Н.-Н. Kuo), Integration theory on infinite-dimensional manifolds,
Trans. Amer. Math. Soc. 159 A971), 57—78.
11. —, Stochastic integrals in abstract Wiener space, Pacific J. Math. 41
A972), 469—483.
12. —, Diffusion and Brownian motion on infinite-dimensional manifolds,
Trans. Amer. Math. Soc. 169 A972), 439—457.
13. —, Stochastic integrals in abstract Wiener space. II. Regularity proper-
properties, Nagoya Math. J. 50 A973), 89—116.
14. —, Integration by parts for abstract Wiener measures, Duke Math. J. 41
A974), 373—379.
15» Го, Пич (Н.-Н. Kuo, M. A. Piech), Stochastic integral and parabolic
equation in abstract Wiener space, Bull. Amer. Math. Soc. 79 A973),
478—482.
16. Гросс (L. Gross), Measurable functions on Hilbert space, Trans. Amer.
Math. Soc. 105 A962), 372—390.
17. —, Harmonic analysis on Hilbert space, Memoirs Amer. Math. Soc. №46,
1963.
18. —, Abstract Wiener spaces, Proc. 5th Berkeley Sym. Math. Stat. Prob.
v. 2, 1965, 31—42.
19. —, Potential theory on Hilbert space, J. Func. Anal. 1 A967), 123—181.
20. Гудмэн (V. Goodman), A divergence theorem for Hilbert space, Trans.
Amer. Math. Soc. 164 A972), 411—426.
') Для переводных книг в скобках указан год выхода оригинального
издания. — Прим. ред.

Список литературы 171
21. Лад ли, Фельдман, Ле-Кам (R. M. Dudley, J. Feldman, L. LeCam), On
semi-norms and probabilities, and abstract Wiener spaces, Ann. Math.
93 A971), 390—408.
22. Донскер (М. D. Donsker), On function space integrals, в сб. «Analysis
in function space» (ed. by W. T. Martin and I. E. Segal), 1963, 17—30.
23. —, Lecture notes in "Integration in function space", Courant Institute,
New York University, 1971.
24. Донскер, Лионе (M. D. Donsker, J. L. Lions), Volterra variational equa-
equations, boundary value problems and function space integrals, Acta Math.
108 A962), 147—228.
25. Ито (К. Но), The topological support of Gauss measures on Hilbert
space, Nagoya Math. J. 38 A970), 181—183.
26. —, Lecture notes in "Stochastic integrals", Cornell University, 1972.
27. Ffe (J. Yeh), Stochastic processes and the Wiener integral, Marcel Dek-
ker, New York, 1973.
28. Какутани (S. Kakutani), On equivalence of infinite product measures,
Ann. Math. 49 A948), 214—224.
29. Каллианпур (G. Kallianpur), Abstract Wiener processes and their repro-
reproducing kernel Hilbert spaces, Z. Wahrscheinlichkeitstheorie 17 A971),
113—123.
30. Камерон, Г рэйве (R. H. Cameron, R. Graves), Additive functionals on a
space of continuous functions, Trans. Amer. Math. Soc. 70 A951), 160—
176
31. Камерон, Мартин (R. H. Cameron, W. T. Martin), Transformation of
Wiener integrals under translations, Ann. Math. 45 A944), 386—396.
32. —, Transformations of Wiener integrals under a general class of linear
transformations, Trans. Amer. Math. Soc. 58 A945), 184—219.
33. —, The transformation of Wiener integrals by nonlinear transformations,
Trans. Amer. Math. Soc. 66 A949), 253—283.
34. Като (Т. Kato), Теория возмущений линейных операторов, «Мир», М.,
1972 A966).
35. Кац (М. Кае), On distributions of certain Wiener integrals, Trans. Amer.
Math. Soc. 65 A949), 1—13.
36. Къюлбс (J. Kuelbs), Gaussian measures on a Banach space, J. Func.
Anal. 5 A970), 354—367.
37. Маруяма (G. Maruyama), Notes on Wiener integrals, Kodai Math. Se-
Seminar Rep. 3 A950), 41—44.
38. Пич (М. A. Piech), A fundamental solution of the parabolic equation
on Hilbert space, J. Func. Anal. 3, A969), 85—114.
39. Прохоров Ю. В., Сходимость случайных процессов и предельные тео-
теоремы теории вероятностей, Теор. вероятн. и ее примен. 1 A956), 177—
238.
40. —, The method of characteristic functionals, Proc. 4th Berkeley Sym.
Math. Stat. Prob., 1961, 403—419.
41. Сазонов В. В., Замечание о характеристических функционалах, Теор.
вероятн. и ее примен. 3 A958), 201—205.
42. Сигал (I. E. Segal), Tensor algebras over Hilbert spaces, Trans. Amer.
Math. Soc. 81 A956), 106—134.
43. —, Distributions in Hilbert space and canonical systems of operators,
Trans. Amer. Math. Soc. 88 A958), 12—41.
44. Скороход А. В., Замечание о гауссовских мерах в банаховом простран-
пространстве, Теор. вероятн. и ее примен. 15 A970), 519—520.
45. Суноути (G. Sunouchi), Harmonic analysis and Wiener integrals, Tohoku
Math. J. 3 A951), 187—196.
46. Уитфилд (J. H. M. Whitfield), Differentiable functions with bounded
nonempty support on Banach spaces, Bull Amer. Math. Soc. 72 A965),
145-146.

172 Список литературы
47. Фельдман (J. Feldman), Equivalence and perpendicularity of Gaussian
processes, Pacific J. Math. 8 A958), 699—708.
48. —, A short proof of the Levy continuity theorem in Hilbert space, Is-
Israel J. Math. 3 A965), 99—103.
49. Ферник (M. X. Fernique), Integrabilite des vecteurs Gaussiens, C. R.
270 ser. A A970), 1698—1699.
50. Хэлмс (L. L. Helms), Mean convergence of martingales, Trans. Amer.
Math. Soc. 87 A958), 439—446.
51. Ulenn (L. A. Shepp), Gaussian measures in function spaces, Pacific J.
Math. 17 A966), 167—173.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Боник (R. Bonic) 170
Варадхан (S. S. R. Varadhan) 94,
170
Виленкин Н. Я. 170
Винер (N. Wiener) 10, 43, 89, 170
Гаек (J. Hajek) 94, 101, 170
Гельфанд И.М. 170
Гихман И. И. 122, 170
Го Х.-С. (Н.-Н. Кио) 6, 73, 170
Го Ф. (F. Кио) 8
Гросс (L. Gross) 6, 8, 10, 58, 82,
86, 91, 93, 122, 169, 170
Грэйвс (R. Graves) 94, 171
Гудмэн (V. Goodman) 71, 91, 164,
170
Дадли (R. M. Dudley) 78, 171
Донскер (М. D. Donsker) 49,94,171
Иллс (J. Eells) 8
Ито (К. По) 8, 46, 155, 156, 158,
159, 171
Йе (J. Yen) 171
Какутани (S. Kakutani) 94, 99, 121,
122, 171
Каллианпур (G. Kallianpur) 91, 127,
171
Камерон (R. H. Cameron) 94, 96, 171
Като (Т. Kato) 171
Кац (М. Кае) 46, 47, 171
Кьюлбс (J. Kuelbs) 92, 123, 168, 171
Ле-Кам (L. LeCam) 78, 171
Лионе (J. L. Lions) 49, 171
Мартин (W. Т. Martin) 94, 96, 171
Маруяма (G. Maruyama) 94, 171
Пич (М. A. Piech) 148, 170, 171
Прохоров Ю. В. 10, 24, 32, 82, 171
Розанов Ю. А. 6
Рэймер (R. Ramer) 8
Сазонов В. В. 7, 10, 82, 86, 93, 127,
171
Сигал (I. E. Segal) 53, 78, 94, 116,
122, 171
Скороход А. В. 6, 122, 131, 169, 170,
171
Смит (В. Smith) 8
Суноути (G. Sunouchi) 94, 171
Татубалин В. Н. 127
Трент (Т. Trent) 8
Уитфилд (J. H. M. Whitfield) 171
Фельдман (J. Feldman) 78, 93, 94,
101, 116, 122, 126, 171, 172
Фернйк (М. X. Fernique) 70, 89, 129,
131, 169, 172
Фрэмптон (J. Frampton) 170
Хэлмс (L. L Helms) 109, 172
Шепп (L A. Shepp) 94, 122, 172
Элуорти (К. D. Elworthy) 8
Энфло (P. Enflo) 60

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
абстрактное винеровское простран-
пространство 57
единичная нормаль 166
борелевская мера 20
броуновское движение 91
Винера теорема 43
Винера — Римана многообразие 168
винеровская мера 37, 51, 65
винеровский интеграл 37
— процесс 91, 129
винеровское пространство абстракт-
абстрактное 57
классическое 57
внешняя нормаль 166
вырожденный оператор 20
гауссовская мера 31, 51, 65, 108, 123
Гильберта — Шмидта норма 11
— оператор 11
— скалярное произведение 12
— тип 87
Го теорема 73
Грина мера 146
Гросса теорема 58
Гросса — Сазонова теорема 86
Гудмэна теорема 71
Дадли — Фельдмана—-Ле-Кама тео-
теорема 78
дельта-функция Донскера 49
дивергенция 167
Дирака мера 20
дифференцируемость по подпрост-
подпространству 118
Фреше 118, 134
дихотомия гауссовских мер 94
Донскера дельта-функция 49
— плоский интеграл 95
Донскера —Лионса теорема 49
измеримая полунорма 55
индуцированная мера 20
интеграл Винера 37
— Ито 91
— плоский 95
— стохастический 75
— Хеллингера 99
Ито интеграл 91
— лемма 155, 156, 158, 159
Какутани теорема 94, 99
Каца формула 47
классическое винеровское простран-
пространство 57
ковариационная функция 107, 108
ковариационный оператор 21
компактный оператор 15
конус 137
координатная окрестность 166
корреляционный оператор 31
Кьюлбса теорема 123
лапласиан обобщенный 137
лемма Ито 155, 156, 158, 159
мартингал 109
мера борелевская 20
— Винера 37, 51, 65
— гауссовская 31, 51, 65
— Грина 146
— Дирака 20
— индуцированная 20
по направлению 20
— цилиндрическая 79
метрика Прохорова 82
многообразие Римана — Винера 168
множество цилиндрическое 36, 51,
57, 78

Предметный указатель 175
неупреждающий процесс 150
норма Гильберта — Шмидта 11
нормаль внешняя 166
— единичная 166
нормальная поверхностная мера 166
нормальное распределение 79
нормальный к М проектор 166
носитель гауссовской меры 124
обобщенный лапласиан 137
оператор вырожденный 20
— Гильберта — Шмидта 11
— ковариационный 21
— компактный 15
— корреляционный 31
— тестовый 139
— ядерный 17
основание цилиндрического множе-
множества 78
отображение типа Гильберта —
Шмидта 87
— ядерного типа 88, 157
плоский интеграл Донскера 95
поверхностная мера 166
положительно определенный функ-
функционал 23
полярное разложение 15
потенциал 146
гроектор, нормальный к М 166
простая функция 74
простой процесс 151
Прохорова метрика 82
— теорема 24, 32, 83
процесс винеровский 91, 129
— неупреждающий 150
— простой 151
р. н. о. н. 92
равномерная непрерывность около
нуля 92
распределение нормальное 79
— слабое 78
сильная регулярность 137
скалярное произведение Гильбер-
Гильберта— Шмидта 12
Скорохода теорема 131
слабая сходимость мер 82
слабое распределение 78
след 17
случайный вектор 106
среднее значение меры 22
стохастический интеграл 75
теорема Винера 43
— Го 73
— Гросса 58
—- Гросса — Сазонова 86
— Гудмэна 71
— Дадли — Фельдмана — Ле-Кама
78
—- Донскера — Лионса 49
— Какутани 94, 99
— Каца 47
— Кьюлбса 123
— о дивергенции 164, 167
полярном разложении 15
существовании поверхностной
меры 166
— Прохорова 24, 32, 82
— Скорохода 131
— Фельдмана — Гаека 94, 101
— Ферника 70, 129
Хэлмса теорема 109
тестовый оператор 139
условное банахово пространство 157
Фельдмана — Гаека теорема 101
Ферника теорема 70, 129
формула Каца 47
функционал положительно опреде-
определенный 23
— характерстический 23
функция простая 74
— цилиндрическая 51
характеристический функционал 23
Хеллингера интеграл 99
Хэлмса теорема 109
цилиндрическая мера 79
— функция 51
цилиндрическое множество 36, 51,
57,78
эквивалентность слабых распределе-
распределений 78
ядерная норма 17
ядерный оператор 17
— тип 88, 157
^-функция 118, 134
CJj-функция 121
Я-дифференцируемость 118, 135
//(^-граница 164
//^-поверхность 164
ЯС'-функция 164
/-функционал 108
S-оператор 21

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 8
Глава I. Гауссовские меры в банаховых пространствах 9
§ 1. Операторы Гильберта — Шмидта и ядерные операторы ... 10
§ 2. Борелевские меры в гильбертовом пространстве 20
§ 3. Винеровская мера и интеграл Винера в С [0, 1] 36
§ 4. Абстрактное винеровское пространство 51
§ 5. С[0, 1] как абстрактное винеровкжое пространство .... 73
§ 6. Слабое распределение и теорема Гросса — Сазонова .... 78
§ 7. Замечания к главе I 87
Глава 11. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер .... 94
§ 1. Сдвиг винеровской меры 95
§ 2. Теорема Какутани о бесконечном произведении мер .... 99
§ 3. Теорема Фельдмана — Гаека об эквивалентности гауссовских
мер в гильбертовом пространстве 100
§ 4. Эквивалентность и ортогональность гауссовских мер в функ-
функциональном пространстве 107
§ 5. Эквивалентность абстрактных винеровских мер и формулы
преобразования для них 114
§ 6. Применение формулы сдвига из теоремы 1.2 118
§ 7. Замечания к главе II ' 121
Глава III. Некоторые результаты об абстрактном винеровском
пространстве 123
§ 1. Банахово пространство с гауссовской мерой 123
§ 2. Вероятностное доказательство теоремы 4.1 гл. I 127
§ 3. Интегрируемость е*иг и е*м 129
§ 4. Теория потенциала 132
§ 5. Стохастический интеграл 149
§ 6. Теорема о дивергенции 163
§ 7. Замечания к главе III 168
Список литературы 170
Именной указатель 173
Предметный указатель 174