в моноrрафии «Квантовая теория полей»
лауреат Нобелевской премии Стивен Вайнберr
соединил свою исключительную физическую интуицию
с даром ясноrо изложения, создав исчерпывающее и замкнутое
введение в квантовую теорию поля,
соответствующее самым современным научным представлениям.


в томе 111 подробно изложены основы суперсимметрии ....... активно
развивающейся области теоретической физики, которая вполне
может оказаться в центре будущеrо развития физики элементарных
частиц и rравитации. В тексте вводится и объясняется широкий
Kpyr понятий, включая алrебры суперсимметрии, суперсимметрич"
ные теории поля, расширенную суперсимметрию, супердиаrраммы,
непертурбативные результаты, теории суперсимметрий в простран..
ствах высших размерностей и суперrравитацию. Дан подробный
обзор феноменолоrических приложений суперсимметрии, включая
теории нарушения суперсимметрии, вызванноrо калибровочными
полями и rравитацией. Дано введение в плодотворную математи..
ческую технику, основанную на аналитичности и дуальности. В кни"
re освещено MHoro результатов, которые не упоминаются в друrих
моноrрафиях, часть из них получена заново. В конце каждой rлавы
приведенызадачи.


Моноrрафия является незаменимым справочным пособием
для всех физиков и математиков,
интересы которых связаны с квантовой теорией поля,
а также прекрасным учебником
для студентов старших курсов и аспирантов.




The Quantum Theory of Fields


Volume 111
Supersymmetry


Steven Weinberg


Uпiversity о( Texas at Austin


CAMBRIDGE
UNIVERSIТY PRESS




Стивен Вайнберr


v
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПаЛЕИ


ТОМ 111


Суперсимметрия


Перевод с анrлийскоrо
под редакцией А. В. Беркова


ф


ФАЗИС
Москва 2002




ББК 22.31
В 14
УДК 530.145


. ., " .
..." "".


.... -
.
.t.
. '/ 7'". ' ,о;)

. ..' rr
s { . ; '!\. \ ;...
'
'" Ф' '<

;$"


Издание поддержано фОНДОМ
«книrА
НАУКд
КУЛЬТУРА»


в а й н б е р r С.
Квантовая теория полей. ТОМ 111. Суперсимметрия
Перевод с анrл. под редакцией А.В.Беркова
М.: ФАЗИС, 2002. XXII+458 с.
ISBN 5..7036..0078..2


Издательство ФАЗИС
123557 Москва, Пресненский вал, 42-44
е-таil: phasis@aha.ru http://www.aha.ru/
phasis


ППП Типоrpафия «НаУка» Академиздатцентра РАН
121099 Москва r-99, Шубине кий пер., 6
Заказ N!! 5846


ISBN 5..7036..0078..2


<с> ФАЗИС, 2002




Содержание


Разделы, помеченные символом ,*, лежат несколько в стороне от основной линии
изложения и MOryт быть опущены при первом чтении.


От издателя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ХУ


Предисловие к тому 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI


Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. хх


24. Историческое введение. . . . . . . . . . . . . . .


1


24.1. Нетрадиционные симметрии и «No..Go» теоремы 1
SU(6) симметрия. Элементарная «No..Go» теорема для HeCTaRДapтHЫX полупростых
компактных алreбр Ли. Роль релятивизма.


24.2. Рождение суперсимметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4
Теория бозонной струны. Фермионные координаты. Суперсимметрия на мировом
листе. Модель Весса
Зумино. Предшественники.


Приложение А. SU(6) симметрия внерелятивистских кварковых


Приложение В. Теорема Коулмена---Мандулы .
Задачи ........


. .
.


8
13
24
24


моделях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Список литературы




УI


Содержание


25. Алrебры суперсимметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
25.1. Ipадуированные алrебры Ли и rрадуированные параметры 26
rрадуированные алreбры Ли и rpадуированные параметры. фермионныIe ибозонные
reHepaTopbl. Тождество супер
Якоби. rрассмановы параметры. Структурные KOH

станты как следствие правил умножения в суперrpуппе. Комплексные сопряжения.


25.2. Алrебры суперсимметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
Теорема Хaarа
ЛопушанскоnrCониуса. Лоренцовские преобразования фермион..
ных reHepaTopoB. Центральные заряды. Дрyrие бозонные симметрии. R..симметрия.
Простая и расширенная суперсимметрия. Четырехкомпонентные обозначения. Cy

перконформная алreбра.
25.3. Свойства reHepaTopoB суперсимметрии при пространственной


инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
Фазы преобразования четности в простой суперсимметрии. Мнимая четность фер

мионов. Матрицы четности в расширенной суперсимметрии. Обозначения Дирака.
25.4. Супермультиплеты безмассовых частиц . . . . . . . . . . . .. 46
Вненарушенной суперсимметрии известные частицы не имеют массы. Повышаю..
щие и понижающие спиральность операторы. простыIe суперсимметричные дубле

ты. Скварки, слептоны икалибрино. rравитино. Мультиплеты расширенной супер

симметрии. Проблема киральности для расширенной суперсимметрии.
25.5. Супермультиплеты массивных частиц. . . . . . . . . . . . .. 52
Повышающие и понижающие операторы 3"компоненты спина. Произвольные Mac

сивные мультиплеты для простой суперсимметрии. Усеченный супермультиплет.
rраницы на массы в расширенной суперсимметрии. Состояния БПС и короткие
супермультиплеты.


Задачи .........
Список литературы


58
58


26. Суперсимметричиые теории поля .............. 59
26.1. Прямое построение супермультиплетов полей . . . . . . . .. 59
Построение простейшеro N == 1 мультиплета полей. Вспомоrательное поле. Бес

нечно малые суперсимметричные законы преобразования. Четырехкомпонентные
обозначения. Снова о мультиплетах Весса
Зумино.


26.2. Произвольные суперполя ..................... 64
Суперпространственные спинорные координаты. rенераторы суперсимметрии как
дифференциальные операторы в суперпространстве. Преобразования суперсиммет..
рии в суперпространстве. Произвольные суперполя. Законы умножения. Супер

симметричные дифференциальные операторы в суперпространстве. Суперсиммет..




Содержание


УН


ричные действия для произвольных суперполей. Четность компонентных полей.
Подсчет фермионных и бозонных компонент.
26.3. Киральные и ли.'сйные суперполя . . . . . . . . . . . . . . .. 73
Условия киральности для произвольноro суперполя. Лево
 и правокиральные су..
перполя. Координаты x
. Дифференциальные связи. Правила для произведений.
Суперсимметричные
"члены.
..члены, эквивалентные D
членам. Суперпотенци"
алы. Келеровы потенциалы. Частичное интеrpирование в суперпространстве. Про

странственная инверсия киральных суперполей. Снова об R
симметрии. Линейные
суперполя.


26.4. Перенормируемые теории киральных суперполей . . . . . .. 82
Подсчет степеней. Кинематический лаrpанжиан.

член суперпотенциала. ;Полный
лаrpанжиан. Устранение вспомоrательных полей. Супералrебра на оболочке. Баку..
умные решения. Массы и KoHcTaHyыI связи. Снова лаrpанжиан Бесса
Зумино.


26.5. Спонтанное нарушение суперсимметрии в древесном


приближении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


90


Механизм О'Райферти. Связи, накладываемые R
симметрией. ПЛоские направле..
ния. rолдстино.


26.6. Интеrралы в суперпространстве, полевые уравнения
и суперполе тока . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Интеrpирование по Березину. D
 и
"члены как интеrpалы по суперпространству.
Потенциальные суперполя. Суперпространственные уравнения поля. Сохраняющи..
еся токи как компоненты линейных суперполей. Условия сохранения в суперпро

странстве.


26.7. Суперток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
Ток суперсимметрии. Суперпространственные преобразования, reнерируемые то..
ком суперсимметрии. Локальные суперсимметричные преобразования. Построение
супертока. Сохранение супертока. Тензор энерrии"импульса и R"ТOK. Масштабная
инвариантность и сохранение R. Неоднозначность супертока.


26.8. Келеровы потенциалы общеrо вида * . . . . . . . . . . . . .. 112
Неперенормируемые действия без производных. D..член келерова потенциала.
Келерова метрика. Лаrpанжиан. Нелинейные а"модели из спонтанноro наруше..
ния внутренней симм
ии. Келеровы мноroобразия. Комплексифицированные
фактор..пространства.


Приложение А. Майорановские спиноры
Задачи ........


. ..,. .


117
121
122


Список литературы


.
. .




VIII


Содержание


27. Суперсимметричные калибровочные теории . .


. . . 124


27.1. Калибровочно"инвариантные действия для киральных


суперполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124


Калибровочные преобразования киральных суперполей. Калибровочное супер..
поле v. Расширенная калибровочная инвариантность. Калибровка Весса
Зумино.
Суперсимметричные калибровочно
инвариантные кинематические члены для ки

ральных суперполей.


27.2. Калибровочно..инвариантное действие для абелевых
калибровочных суперполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
Супермультиплет напряженностей полей. Кинематический лаrpанжиан для абелева
калибровочноro супермультиплета. Члены Файе
Иллиопулоса. Абелево спинорное
суперполе напряженности поля
a. Лево.. и правокиральные части
a. Поле
a как
суперпространственная производная v. Калибровочная инвариантность W a . «Тож

дества Бьянки» в суперпространстве.


27.3. Калибровочно"инвариантное действие для произвольных
калибровочных суперполей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Кинематический лаrpанжиан для неабелевоro калибровочноro супермультиплета.
Неабелево спинорное суперполе напряженности поля
Aa. Лево.. и правокиральные
части WAa. е
член. Комплексный параметр связи t.


27.4. Перенормируемые калибровочные теории с киральными
суперполями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Суперсимметричный лаrpанжиан. Исключение вспомоrательных полей. Условия
ненарушенной симметрии. Подсчет независимых условий и полевых переменных.
Унитарная калибровка. Массы частиц спина О, 1/2 и 1. Ток суперсимметрии.
Неабелевы калибровочные теории с произвольным келеровым потенциалом. Масса
калибрино.


27.5. Нарушение суперсимметрии в древесном приближении.
Продолжение ................................ 158
Нарушение суперсимметрии в суперсимметричной квантовой электродинамике. Об..
щий случай: массы частиц спина О, 1/2 и 1. Правило сумм для масс. rолдстинная
компонента киральноro фермионноro поля и фермионноro поля калибрино.


27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории


возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 163


Отсутствие перенормировки вильсоновскоrо суперпотенциала. Однопетлевая пере..
нормировка членов, квадратичных по калибровочным суперполям. Доказательство
с использованием аналитичности и новых симметрий с внешними суперполями. От..
сyrствие перенормировки констант Фай
Иллиопулоса
A. При
A =: О нарушение
суперсимметрии зависит только от суперпотенциала. Неперенормируемые теории.




Содержание


IX


27.7. Мяrкое нарушение суперсимметрии * . . . . . . . . . . . . .. 170
Оrpаничения па нарушающие суперсимметрию радиационные поправки. Квадра..
тичные расходимости в диаrpаммах..roловастиках.


27.8. Друrой подход: калибровочно"инвариантные
суперсимметричные преобразования * . . . . . . . . . . . . . . . .. 173
Законы преобразования де Вита
Фридмана. Сохранение калибровки Весса
Зумино
с помощью комбинации суперсимметричных и расширенных калибровочных пре

образований.
27.9. Калибровочные теории с расширенной суперсимметрией *.. 176
N == 2 суперсимметрия из N == 1 суперсимметрии и R
симметрии. Лаrpанжиан
N == 2 суперсимметричной калибровочной теории. Исключение калибровочных по..
лей. Суперсимметричные токи. Расчет центральноro заряда Витrена
лива. От..
сутствие перенормировки масс. Монополи БПС. Добавочные rипермультиплеты.
N == 4 суперсимметрия. Расчет бета
функции. Теория с N =: 4 конечна. Дуальность
Монтонена
лива.


Задачи .. . . . .


Список литературы


191
192


28. Суперсимметричные версии стандартной модели


195


28.1. Суперполя, аномалии и законы сохранения ....... 196
Кварковые, лептонные и калибровочные суперполя. Должно быть по меньшей мере
два скалярных дублетных суперполя. Юкавские константы в

члене. Связи от ано"
малий. Неподавленное нарушение барионноro и лептонноro чисел. R
симметрия.
R
четность.
..член. Проблема иерархии. Массы счастиц. Космолоrические оrpани

чения на леrчайшие суперчастицы.


28.2. Суперсимметрия и объединение сильных
и элекrрослабых взаимодействий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Уравнения ренормrpуппы для беryщих калибровочных констант связи. Влияние
суперсимметри на бета
фунIЩИЮ. Расчет слабоro yrла смешивания и массы 06ъ

единения. Bcero два скалярных дублетных суперполя. Константа связи на шкале
объединения.


28.3. rде нарушается суперсимметрия? ................ 21 О
Нарушение суперсимметрии в древесном приближении исключается. Иерархия как
следствие непертурбативных эффектов в асимптотически свободных калибровоч

ных константах связи. Вызванное калибровочными полями и Ipавитацией пару..
шение суперсимметрии. Оценки масштаба, при котором происходит нарушение
суперсимметрии. Масса rpавитино. Космолоrические оrpаничения.




х


Содержание


28.4. Минимальная суперсимметричная стандартная модель . . . 216
Нарушение суперсимметрии суперперенормируемыми членами. Произвольный ла..
rpанжиан. Процессы с изменением аромата. Расчет переходов ко
 Ко. Вырожден-
ные скварки и слептоны. Нарушение еР. Расчет DapKoBoro хромоэлектрическоro
дипольноro момента. «Наивный анализ размерностей». Электрический дипольный
момент нейтрона. Оrpаничения на массы и(или) фазы.


28.5. Сектор с нулевыми барионным и лептонным числами . . . . 229
Вклад D
члена в скалярный потенциал. Вклад
..члена в скалярный потнциал. Чле-
ны MarKoro нарушения суперсимметрии. Условие стабильности вакуума, наклады..
ваемое на параметры. Нахождение минимума потенциала. Случай B
 * о. Mac

сы еР
нечетных нейтральных скаляров. Массы ер..четных нейтральных скаля-
ров. Массы заряженных скаляров. Оrpаничения на массы. Радиационные поправки.
Условия нарушения электрослабой симметрии. Чарджино и неЙТРалино. Нижняя
rpаница на 1
 1.


28.6. Нарушение суперсимметрии, вызванное калибровочными


полями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240


Поля
переносчики. Нарушение суперсимметрии в пропаrаторах калибровочных су..
пермультиплетов. Массы калибрино. Массы скварков и слептонов. Вывод на основе
аналитичности. Радиационные поправки. Численные примеры. Массы хиrrсовских
скаляров. Проблема
. Параметры A;j и C;j. rравитино как леrчайшая счастица.
Частица, следующая за леrчайшей.


28.7. Несохранение барионов и лептонов ............... 256
Взаимодействия с размерностью пять. Обмен калибрино. Подавление обменом rлю

ино. Эффекты от обмена бино и вино. Оценка времени жизни протона. Предпочти

тельные моды распада протона.


Задачи ..........


263


Список литературы


263


29. За рамками теории возмущений. . . . . . . .
29.1. Общие аспекты нарушения суперсимметрии . 271
Конечный объем. Энерrия вакуума и нарушение суперсимметрии. Частично Hapy

шенная расширенная суперсимметрия? Спаривание бозонных и фермионных co

стояний. Спаривание BaКYYМHoro и одноroлдстинноro состояний. Индекс Витrена.
Отсутствие нарушения суперсимметрии в модели Весса
Зумино. Модели сненару..
шенной супрсимметрией и нулевым индексом Виттена. Большие значения полей.
Взвешенный индекс Виттена.


271




Содержание


XI


29.2. Правила сумм для тока суперсимметрии . . . . . . . . . . . . 280
Правило сумм для плотности энерrии вакуума. Одноroлдстинный вклад. Нарушаю

щий суперсимметрию параметр F. Амплитуды мяrких roлдстино. Правило сумм для
спектральных функций суперсимметричноro тока. Одноroлдстинный вклад. Плот

ность энерrии вакуума, выраженная через вакуумные значенияfF
 и D
членов. Пра

вило сумм для энерrии вакуума в случае бесконечноro объема.
29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенциалу . . . . . . . 291
Неперетурбативные эффекты нарушают трансляционную инвариантность по внеш

нему полю и сохранение R. Остающиеся симметрии. Пример: обобщенная супер

симметричная квантовая хромодинамика. Структура индуцированноro суперпотен

циала для Cl > С2. Стабилизация вакуума roлым суперпотенциалом. Вакуумные
модули в обобщенной суперсимметричной квантовой хромодинамике при Не > Н/.
Индуцированный суперпотенциал линеен по roлым параметрам суперпотенциала
при Cl == С2. Однопетлевая перенормировка [W a , Wа]g--члена для всех Cl и С2.
29.4. Нарушение суперсимметрии в калибровочных теориях ... 303
В суперсимметричной квантовой электродинамике индекс Витrена обращается в
нуль. С"взвешенный индекс Витrена. В суперсимметричной квантовой электро

динамике суперсимметрия не нарушена. Подсчет состояний калибровочных полей
нулевой энерrии в суперсимметричной квантовой электродинамике. Подсчет индек

са Витrена для произвольных суперсимметричных чисто калибровочных теорий.
Вейль
инвариантность. В произвольных суперсимметричных чисто калибровочных
теориях суперсимметрия не нарушена. Индекс Витrена и R..аномалии. Добавление
киральных скаляров. Модель со спонтанно нарушенной суперсимметрией.
29.5. Решение Зайберrа
Виттена "* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Фундаментальный Н == 2 суперсимметричный лarpанжиан. Вакуумный модуль. Be

дущие неперенормируемые члены в эффективном лarpанжиане. Эффективный ла

rpанжиан для компонентных полей. Нахождение келерова потенциала и калибро

вочной константы связи из функции h(Ф). SU(2) R
симметрия. Препотенциал. Пре

образование дуальности. Трансляция h(Ф). Zs R
симметрия. SL(2,Z) симметрия.
Центральный заряд. Заряды и маrнитные заряды. Пертурбативное поведение при
больших 'аl . Монодромия на бесконечности. Синryлярности от дионов. MOHOДPO

мия В синryлярностях. Решение Зайберrа
Витrена. Доказательство единственности.


Задачи ........
Список литературы


335
335


30. Супердиаrраммы ....... . . . . . 337
30.1. Потенциальные суперполя . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Проблемы киральных связей. Соответствующая проблема в квантовой электроди

намике. Функциональные интеrpалы по потенциальным суперполям.




хн


Содержание


30.2. Суперпропаrаторы ......................... 340
Вызывающая беспокойство инвариантность. Замена переменных. Определяющее
свойство суперпропаrатора. Аналоrия с квантовой электродинамикой. Пропаrатор
потенциальноro суперполя. Пропаrатор киральных суперполей.


30.3. Вычисления с супердиаrpаммами ................ 344
Квантовое эффективное действие в суперпространстве. Локальность по фермион

ным координатам. D
члены и F
члены в эффективном действии. Подсчет суперпро

странственных производных. Отсутствие перенормировки F
членов.


Задачи ........


347


Список литературы


347


31.


Суперrpавитация
31.1. Суперполе метрики . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Тетрадный формализм. Преобразование rpавитационноrо поля. Преобразование по

ля rpавитино. Обобщенное преобразование суперполя метрики HfJ. Взаимодействие
H
 с супертоком. Инвариантность взаимодействия. Обобщенное преобразование
компонент H
. Вспомоrательные поля. Подсчет числа компонент. Взаимодействия
компонентных полей H
. Нормировка действия.


348


31.2. Ipавитационное действие ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Эйнштейновское суперполе E
. Компонентные поля E
. Лаrpанжиан для HfJ. Зна

чение К. Полный лаrpанжиан. llлотность энерrии вакуума. Минимальная энерrия
вакуума. Пространства де Ситrера и анти
де Ситrера. Почему энерrия вакуума
отрицательна? Стабильность плоскоro пространства. Преобразование Вейля.


31.3. Ipавитино. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Условия неприводимости для поля rpавитино. Пропаrатор rpавитино. Кинематиче

ский лаrpанжиан rpавитино. Уравнение поля rpавитино. Масса rpавитино из Hapy

шенной суперсимметрии. Масса rpавитино из s и р.


31.4. Вызванное аномалиями нарушение суперсимметрии . . . . . 370
Взаимодействие первоro порядка с масштабно неинвариантным суперполем х. Об

щая формула для х. Произвольное взаимодействие первоro порядка. Массы калиб

рино. Масса rлюино. Параметр В. Массы вино и бино. Параметры А.


31.5. Локальные преобразования суперсимметрии . . . . . . . . . . 374
Калибровка Весса
Зумино для суперполя метрики. Локальные преобразования cy

персимметрии. Инвариантность действия.




Содержание


XIII


31.6. Суперrpавитация во всех порядках ............... 377
Локальные суперсимметричные преобразования тетрады, rpавитино и вспомоrа

тельных полей. Расширенная спиновая связность. Локальное преобразование супер

симметрии произвольноro скалярноro супермультиплета. Правила умножения про

извольных суперполей. Действительные суперполя материи. Киральные суперполя
материи. Правила умножения киральных суперполей. Космолоrическая постоянная
и масса rpавитино. Лarpанжиан суперrpавитации и киральные поля с произвольным
келеровым потенциалом и суперпотенциалом. Устранение вспомоrательных полей.
Келерова метрика. Преобразование Вейля. Потенциал скалярноro поля. Условия
для плоскоro пространства иненарушенная суперсимметрия. Полный бозонный
лаrpанжиан. Каноническая нормировка. Комбинация суперпотенциала и келерова
потенциала. Модели без масштаба.


31.7. Вызванное rpавитацией нарушение суперсимметрии . . . . . 389
Ранние теории со скрытыми секторами. Калибровочная константа скрытоro ceктo

ра велика при энерrии А. Первая версия. Наблюдаемый и скрытый секторы. Сепа

рабельный roлый суперпотенциал. Произвольный потенциал. Слаrаемые порядка
к4 AS
 т:. Оценка А
 1011 fэВ. Члены
 и B
. Массы скварков и слептонов. Mac

сы калибрино. Параметры А. Вторая версия. Наблюдаемый, скрытый и модулярный
секторы. Динамически индуцированный суперпотенциал для суперполей модулей.
Эффективный суперпотенциал наблюдаемоro сектора.

член. Потенциал скаляров
наблюдаемоro сектора. Члены порядка к8 А 12
 т:. Члены мяrкоro наруше
ия cy

персимметрии. Оценка А
 1013 fэВ. Сдвиrи полей модулей. Отсутствие членов
C;j. Массы скварков и слептонов. Массы калибрино.


Приложение А. Тетрадный формализм
Задачи .. . . . . . . . . . .
Список литературы


411
415
415


32. Алrебры суперсимметрии в пространствах
высших размерностей. . . . . . . . . . . . . . . . . .. ..... 419
32.1. Общие алrебры суперсимметрии . . . . . . . . . 419
Классификация фермионных reHepaтopoB. Определение веса. Фермионные reHe

раторы в фундаментальном спинорном представлении. Фермионные rенераторы
коммутируют с P
. Общий вид антикоммутационных соотношений. Центральные
заряды. Антикоммутационные соотношения для нечетной размерности. Антиком

мутационные соотношения для четной размерности. fруппы R"симметрии.
32.2. Безмассовые мультиплеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
Малая rpуппа O(d
 2). Определение «спина» j. Исключение j > 2. Пропущенные
фермионные reнераторы. Число фермионных reHepaтopoB
 32. N =: 1 суперсим

метрия для d =: 11. Безмассовые частицы, отвечающие 3
формам. Суперсимметрии
типа IIA, IIB и reтеротическая суперсимметрия при d == 10.




XN


Содержание


32.3. р-Браны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Новые сохраняющиеся тензоры. Фермионные reHepaтopbl остаются в фундамен

тальном спинорном представлении. Фермионные reHepaтopbl продолжают КOMМY

тировать с P
. Условия симметрии на тензорные центральные зарядыI. Центральные
заряды в виде 2
формы и 5
формы для d =: 11.


Приложение А. Спиноры в высших размерностях .
Задачи ......... . . . .


Список литературы


440
447
447


Указатель авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450


Предметный указатель .......................... 455




От издателя


В Ваших руках, уважаемый Читатель, один из томов классическо"
ro труда лауреата Нобелевской премии Стивена Вайнберrа
 моноrpафии
«Квантовая теория полей», по праву считающейся энциклопедией в этой
области теоретической физики хх века.
Впервые эта моноrpафия вышла в свет на анrлийском языке визда..
тельстве Cambridge University Press в трёх томах: 1
й том «Основы»
 в
1995 roдy (и уже трижды переизданный, каждый раз
 с исправлениями);
2..й том «Современные приложения»
 в 1996 roдy (переизданнЫЙ уже два..
жды); 3
й том «Суперсимметрия»
 в 2000 roдy.
Судьба PYCCKOro издания этой моноrpафии оказалась, мяrко roворя,
непростой. Читатель, скорее Bcero, уже доrадался об этом хотя бы цо то..
му, что первым вышел в свет настоящий, третий том PYCCKOro издания.
Но и это удалось сделать в срок только блaroдаря подцержке истинных эн"
u u
тузиастов россиискои науки
 как ведущих специалистов, так и молодых
учёных. Большую помощь в подroтовке 3
ro тома оказали В. М. Вайнбер

М. М. Дёминов, Р. о. Зайцев, М. r. Иванов, r. я. Коренман, л. п. Котова; мой
приятный долr
 выразить им здесь искреннюю блaroдарность. Особая при..
знательность
 А. В. Беркову, потратившему MHOro сил на оперативное ре..
дактирование переводов. Блaroдарю также мноrих дрyrих специалистов, чья
подцержка и помощь позволила выйти в свет книrе, которая перед Вами. . .


В. ФWluппов
Москва, апрель 2002




Предисловие к тому 111


в этом томе рассматриваются квантовые теории поля, подчиняющие..
ся условию суперсимметрии, т. е. симметрии, которая объединяет в единые
мультиплеты частицы целоro и полуцелоro спина. Эти теории указывают на
возможные пути решения «проблемы иерархии»
 заrадки чудовищно боль

шоro отношения планковской массы к равному 300 rэв масштабу энерrии
нарушения электрослабой симметрии. Суперсимметрия обладает, кроме тo

ro, свойством единственности, которое мы всеrда ищем в фундаментальных
физических теориях. Имеется бесконечно большое число rpупп Ли, которые
можно использовать для объединения частиц одинаковоro спина в обычные
мультиплеты симметрии, но лишь восемь типов суперсимметрии в четырех
u
прос
ранственно"временных измерениях, из которых лишь один, простеи..
ший тип можно непосредственно связать с наблюдаемыми частицами.
Эти причины достаточны для TOro, чтобы посвятить третий том «Кван..
товой теории полей» суперсимметрии. В дополнение к этому, основанные
на суперсимметрии квантовые теории поля обладают рядом удивительных
свойств, отсутствующих в дрyrих теориях поля. Так, в ряде суперсиммет..
u
ричных теории константы связи не перенормируются ни в одном порядке
теории возмущений, дрyrие теории конечны, а некоторые даже допускают
точные решения. На самом деле, за последнее десятилетие большая часть
самых интересных работ по квантовой теории поля так или иначе была
связана ссуперсимметрией.
К сожалению, после четверти века исследований все еще нет никаких
прямых свидетельств наличия суперсимметрии, так как до сих пор не OT

крыто ни одной пары частиц, связанных суперсимметричным преобразова..
нием. Имеется лишь одно важное косвенное свидетельство суперсимметрии:
объединение SU(З), SU(2) и U(l) констант связи при высоких энерrиях при
наличии требуемых суперсимметрией дополнительных частиц осуществля

ется лучше, чем без них.
Тем не менее, блaroдаря внутренней привлекательности суперсиммет..
рии и тем возможностям, которые она открывает для решения проблемы
иерархии, я, как и мноrие дрyrие физики, выражаю разумную уверенность




Предисловие к тому 111


ХУН


в том, что, возможно, очень скоро будет доказано, что суперсимметрия имеет
отношение к реальному миру. Суперсимметрия
 rлавная цель планируемых
экспериментов при высоких энерrиях на существующих ускорителях и на
строящемся Большом адронном коллайдере в ЦЕРНе.
После историческоro введения (rлава 24) в rлавах 25
27 представле

ны основные технические вопросы описания суперсимметричных теорий
поля: структура aлrебр суперсимметрии и мультиплетов, общая схема по..
строения суперсимметричных лаrpанжианов и частные случаи построения
лаrpанжианов для теорий киральных и калибровочных суперполей. Затем,
в rлаве 28, эта техника используется для включения суперсимметрии в стан..
дартную модель электрослабых и сильных взаимодействий. В этой же rлаве
дан обзор экспериментальных трудностей и перспектив. В rлавах 29
32 идет
речь о математически более сложных вопросах: непертурбативные резуль

таты, супердиarpаммы, суперrpавитация и суперсимметрия в пространствах
большеro числа измерений.
Я пытался, по мере сил, сделать изложение суперсимметрии как можно
более ясным и самодостаточным. [де это было возможно, я не просто предъ

являл читателю взятые из литературы результаты, а демонстрировал приво

дящие к этим результатам вычисления. Если такие вычисления оказывались
слишком длинными или сложными для TOro, чтобы быть включенными J3 эту
книry, Я старался представить упрощенные версии расчетов, которые моrли
бы дать читателю представление о физической сути обсуждаемых вопросов.
Хочу особо отметить, что в эту книry включены вопросы, которые
вообще не обсуждались в ранее изданных книrах, отчасти потому, что со..
ответствующие результаты совсем новые. Сюда относятся: использование
аналитичности для изучения пертурбативных и непертурбативных радиаци

онных поправок; вычисление центральных зарядов; вызываемое rpавитаци..
ей и аномалиями нарушение суперсимметрии; индекс Вилена; нарушение
суперсимметрии полями модулей, а также первый обзор быстро развиваю

щейся области суперсимметрии в высших измерениях, в том числе теорий
с р..бранами.
С друroй стороны, я сократил стандартное обсуждение двух вопросов,
которые, как мне кажется, достаточно подробно освещены в ранее издан..
ных книrах. Один из них
 это использование сynердиаrpамм. Мноrие из
рассматривавшихся ранее приложений формализма супердиаrpамм к изуче

нию общей структуры радиационных поправок MOryт быть теперь получены
значительно проще с помощью описанных в разделах 27.6 и 29.3 рассужде..
ний, основанных на аналитичности. Дрyroй вопрос
 это суперrpавитация.
В разделах 31.1
31.5 я дал детальное и замкнутое описание суперrpави"
тации в пределе слабоro поля, которое, во
первых, достаточно для ясноro
понимания тoro, почему инrpедиенты теорий суперrpавитации
 rpавитон,




XVIII


Предисловие к тому 111


rpавитино и вспомоrательные поля
 такие, какие они есть, а, во"вторых,
позволяет вывести ряд самых важных результатов теории суперrpавитации,
в том числе, формулу для массы rpавитино и масс калибрино, порожден"
ных вызванным аномалиями нарушением суперсимметрии. В разделе 31.6
я обрисовал вычисления, обобщающие теорию суперrpавитации на rpавита..
ционные поля любой напряженности, однако эти вычисления столь длинны
и малосимпатичны, что я оrpаничился цитированием дрyrих источников,
rде эти результаты приведены. Однако в разделе 31.7 я привел более полное,
чем обычно делается, рассмотрение вызываемоro rpавитацией нарушения
суперсимметрии. Сожалею, что не сумел включить в книry вдохновляющие
работы последнеro десятилетия по связи суперсимметрии с теорией струн,
но теория струн выходит за рамки этой книrи, и мне не хотелось сообщать
результаты, для которых я сам не подroтовил базу для объяснения.
Список литературы содержит как ссьшки на классические работы по
суперсимметрии, так и полезные ссьшки на вопросы, которые упомянуты,
но подробно не рассмотрены в данной книrе. Я не всеrда знал, кто ответ..
ственен за представленные результаты, однако отсутствие ссьшки не следует
воспринимать как утверждение, что данный результат принадлежит мне. Тем
не менее, часть представленноro материала ориrинальна. Надеюсь, что мне
удалось в нескольких местах исправить рассмотрение ряда вопросов как
в ориrинальной литературе, так и в стандартных учебниках, в частности,
при доказательстве теоремы Коулмена
Мандулы, при рассмотрении матриц
u
четности в теориях расширеннои суперrpавитации, при включении новых
членов мяrкоro нарушения суперсимметрии в минимальную суперсиммет..
ричную стандартную модель, при выводе правил сумм для супертока и при
доказательстве единственности решения Зайберrа
Витrена.
К каждой rлаве даны задачи. Цель рЯ'Да из них
 просто поупражняться
в использовании описанной в данной rлаве техники вычислений. В дрyrих
задачах предлarается расширить результаты rлавы на более широкий класс
u
теории.
Читая лекции по курсу теории суперсимметрии, я убедился, что эта
книrа содержит достаточное количество материала для одноroдичноro курса
для студентов старших курсов. Я стремился к тому, чтобы данная книrа
бьша доступна студентам, знакомым с квантовой теорией поля на уровне,
который представлен в двух первых томах этоro труда. Вообще roворя, не
пр едполarается, что читатель прочел все, что написано в томах 1 и 2, но
для удобства тех счастливчиков, которым это удалось, я использую здесь те
же обозначения и даю, rде это возможно, перекрестные ссьшки на материал
предыдущих томов.


* * *




Предисловие к тому 111


XIX


Должен выразить особую признательность моим коллеrам по Texac

скому университету, особенно Луи Бойа, Филу Канделасу, Брайсу и Сесиль
де Витr, Вилли Фишлеру, Дэниелу Фриду, Иоакиму rOMecy, Вадиму Каплу..
новскому, и особенно Жаку Дистлеру. Неоценимую помощь при обсуждении
отдельных вопросов мне оказали Салли Доусон, Майкл Дайн, Майкл Дафф,
Лоуренс Холл, Хитоши Мураяма, Джо Польчински, Эдвард Витrен и Бруно
Зумино. Джонатан Эванс прочел всю рукопись этоro тома и сделал мно"
ro полезных замечаний. Я блaroдарю также Элис Уилсон, которая сделала
рисунки, Терри Рили за помощь в поиске бесчисленноro количества книr
и статей и Яну Даффи за помощь. Я признателен Маурин Стори из изда..
тельства Кембриджскоro университета за помощь в подroтовке рукописи к
изданию, и особенно моему редактору Руфусу Нилу за полезные дружеские
советы.


СТИВЕН вАЙНБЕРr


Остин, Техас
Май 1999 r.




Обозначения


При выборе обозначений в книre по суперсимметрии большие слож

ности связаны с тем, использовать ли двухкомпонентные или четырехкомпо

нентые обозначения для спиноров. В стандартных текстах по суперсиммет..
рии предпочитают двухкомпонентные вейлевские обозначения. Я выбрал,
наоборот, четырехкомпонентные дираковские обозначения, не считая пер..
вой стадии построения алrебры суперсимметрии и мультиплетов, поскольку
считаю, что это сделает книry более доступной тем физикам, которые pa

ботают в области феноменолоrии частиц и построения моделей. Было бы
u
rpYCTHO видеть, как увеличивается отдельныи анклав специалистов по cy

персимметрии, которые хорошо общаются дрyr с дрyroм, но из
за обозна

чений отрезаны от значительно большеro сообщества теоретиков
 специ

алистов по физике частиц. В любом случае, не составляет особоro труда
перевести выражения из четырехкомпонентноro формализма в двухкомпо

нентный. В использованном во всей книre представлении матриц Дирака,
в котором "15
 диаroнальная матрица с элементами + 1, + 1,
 1,
 1 на rлав

ной диаroнали, любой четырехкомпонентный майорановский спинор 'l'а (Ta

кой, как reHepaTop суперсимметрии Q, суперпространственная координата
8а или суперпроизводная
a) может быть записан через двухкомпонентный
спинор
a В виде



 ( e
* )
'I'
 ,




rде е
 2 х 2 антисимметричная матрица с е 12 == + 1. Двухкомпонентный спи

нор
a
 это то, что в друrих книrах часто называют 'I'
 == Wa, и тоrда (e
*)a
следует называть \f. Обзор полезных свойств четырехкомпонентных майо

рановских спиноров дан в приложении к rлаве 26.
Ниже приведены дрyrие обозначения, принятые в данной книrе.
Латинские индексы i, j, k и т. д., как правило, принимают значения
1, 2, 3, отмечая три пространственные координаты. Если это oroBopeHo oco

бо, латинские индексы принимают значения 1, 2, 3, 4, причем х 4 == it.




Обозначения


XXI


rреческие индексы 11, v, и т. д. из середины rpеческоro алфа..
вита в общем случае принимают значения 1, 2, 3, О, отмечая четыре
пространственно"временные координаты, причем хО
 временная коорди"
ната. Если возникает необходимость различать пространственно"временные
координаты в произвольной координатной системе и в локально инерциаль..
ной системе, то в первом случае используются индексы 11, v, и т. д., а во
втором
 индексы а, Ь, и т. д.
rреческие индексы сх, Р, и т. д. из начала rpеческоrо алфавита отмеча..
ют компоненты четырехкомпонентноro спинора (за исключением rлавы 24).
Чтобы избежать путаницы, я отклонился от обозначений т. 11 и использую
заrлавные буквы А, В, и т. д. для TOro, чтобы отмечать reHepaтopbI алrебры
симметрии. Компоненты двухкомпонентных спиноров помечены индекса..
ми а; Ь, и т. д. В частности, четырехкомпонентные reHepaTopbI суперсим

метрии обозначаются Qa, в то время как двухкомпонентные reHepaтopbI (две
нижние компоненты Qa) обозначаются Qa.
По повторяющимся индексам в общем случае проводится суммирова..
ние, если специально не oroBopeHo дрyroе.
Пространственно"временная метрика 11
v диаroнальна, причем 1111 ==
1122 == 1133 == 1, 1100 ==
 1.
Даламбертиан определяется как О = 11
va2 /ax
axv == V 2
 a 2 /at 2 ,
rде V 2
 лапласиан д 2 /axiax j .
«Тензор Леви
Чивита» E
vpa определяется как полностью антисиммет"
ричная величина с ЕО 123 == + 1.
Дираковские матрицы 1'fl определены так, что 1'
 1'v +1'v 1'
 == 211
v. Кроме
TOro, 1'5 == i1'01'11'21'з, а Р == if == 1'4. Коrда требуется явный вид матриц, они
задаются блочными матрицами


f ==
i [

],


. [ О О ]
1==
 l О О '


rде 1
 единичная 2 х 2"матрица, О
 2 х 2"матрица с нулевыми элементами,
а компоненты вектора (j
 обычные матрицы Паули:


аl == (

),


( О
i )
02 == i О '


аз == (

1).


Часто мы используем 4 х 4 блочные матрицы


15 == [

1]'


Е == [

],




ХХН


Обозначения


rде е
 опять антисимметричная 2 х 2"матрица i02. Например: наше соrnа

шение о фазах для четырехкомпонентных майорановских спиноров s можно
записать как s* ==
PY5 ES.
Ступенчатая функция e(s) имеет значение +1 при s > О и О при S < о.
Комплексное сопряжение, транспонирование и эрмитовое сопряжение
матрицы или вектора А обозначаются символами А * , А т и А t == А *Т соответ..
ственно. Мы используем звездочку * для обозначения эрмитовоro сопряже..
ния оператора или комплексноro сопряжения числа, за исключением случая,
коrда крест t используется для транспонирования матрицы, образованной
из эрмитово
сопряженных операторов или комплексно..сопряженных чисел.
Символы + э. с. или + к. с. в конце выражения означают добавление к ранее
выписанным слarаемым им эрмитово
 или комплексно..сопряженных слarае..
мых. Черта над четырехкомпонентным спинором u определяется как й == u t р.
Используется система единиц, в которой 1;, и скорость света с приня..
ты равными единице. Везде подразумевается, что
e есть заряд электрона
в рационализированной системе единиц, так что постоянная тонкой струк"
туры а == е 2 /4х
 1/137. Температуры даны в энерreтических единицах,
в которых постоянная Больцмана принята за единицу.
Числа в квадратных скобках в конце приводимых числовых данных
обозначают неопределенность в последних цифрах приводимоro числа. Если
не oroBopeHo особо, экспериментальные данные взяты из «Review of Particle
Physics», The Particle Data Group, Europeaп Physics Jourпal, С 3, 1 (1998).




24


Историческое введение


История суперсимметрии так же своеобразна, как и все, что связано
с историей науки. Предложенная в начале 70
x roдов, суперсимметрия с тех
пор превратилась в красивый математический формализм, объединяющий
частицы различноro спина в мультиплеты и нашедший rлубокие приме..
нения в фундаментальной физике. Однако до сих пор нет ни малейшеro
прямоro экспериментальноro подтверждения ее существования. У нас есть
только отдельные косвенные свидетельства тoro, что суперсимметрия имеет
отношение к реальному миру. Если (как я ожидаю) окажется, что
упер"
симметрия связана с природой, то это станет потрясающим успехом чисто
теоретическоro предвидения.
В rлаве 25 мы начнем построение суперсимметричных теорий из пер"
вых принципов. В этой же rлаве мы представим суперсимметрию, следуя
скорее хронолоrии, чем лоrике.


24.1. Нетрадиционные симметрии и «No..Go» теоремы


в начале 60..х roдов введенная rелл..Манном и Нееманом SU(3) сим..
метрия (обсуждавшаяся в разделе 19.7) успешно объяснила соотношения
между различными сильновзаимодействующими частицами разноro заряда
и странности, но одинаковоro спина. Затем возникла идея, что, возмож"
но, SU(3) является частью более широкой симметрии, которая обладает
нестандартным свойством объединять SU(3) мультиплеты разноro спина 1.
Внерелятивистской кварковой модели существует такая приближенная сим

метрия относительно SU(6)..преобразований кварковых спинов и ароматов,
аналоrичная раннее обнаруженной SU ( 4) симметрии в ядерной физике,
введенной в 1937 roдy Виrнером 2. Как подробно показано в Приложе..
нии А к этой rnаве, симметрия SU(6) объединяет псевдоскалярный мезон..
ный октет, состоящий из Х, К, К И 11, векторный мезонный октет, состоя..
щий из р, К*, К* и 0), и векторный мезонный синrлет <р в один 35..плет;




2


rлава 24. Историческое введение


барионный октет спина 1/2 N,
, Л и :::, с барионным декynлетом спи..
на 3/2 L\,
(1385), :::(1530) и Q в один 56
плет. На счету SU(6) симмет..
рии имеется ряд успехов, но в действительности она есть лишь следствие
приближенной независимости сил в модели кварков от спина и аромата.
rипотеза о симметрии SU (6) несколько слабее, чем предположение о неза..
висимости сил от спина и аромата, однако, как показано в Приложении А,
нет никаких свидетельств, что предсказания симметрии SU (6) более точ"
ны, чем предсказания, следующие из полной независимости от спина и
аромата. Те.м не менее бьти предприняты различные попытки обобщить
rpуппу симметрии SU(6) нерелятивистской модели кварков на полностью
релятивистскую квантовую теорию 3. Все эти попытки провалились, и ряд
авторов, сделав различные оrpаничивающие предположения, показали, что
это невозможно в принципе 4. Самая далеко идущая теорема этоro типа
была доказана Коулменом и Мандулой в 1967 roдy 5. Они сделали разум

ные предположения о конечности числа типов частиц массой меньше лю..
бой заданной массы, о существовании рассеяния почти при всех энерrиях
и об аналитичности S"матрицы. С их помощью они показали, что наиболее
общая алrебра Ли операторов симметрии, коммутирующих с S"матрицей,
переводящая одночастичные состояния в одночастичные и действующая на
мноroчастичные состояния как прямая сумма их действия на одночастич"
HЫ
 состояния, состоит из reHepaTopoB p
 и J
v rpуппы Пуанкаре и обыч..
ных reHepaTopoB внутренней симметрии, действующих на одночастичные
состояния посредством диаroнальных по импульсу и спину и не завися..
щих от этих величин матриц. В rлаве 25 мы используем эту теорему как
существенный элемент анализа всех возможных суперсимметричных ал

rебр в четырех пространственно
временных измерениях, а в rлаве 32

в пространстве
времени большеro числа измерений. В разделе 32.3 мы pac

смотрим суперсимметричные алrебры в теориях, С.одержащих протяженные
объекты, для которых теорема Коулмена
Мандулы неприменима.
Доказательство, данное авторами теоремы, остроумно и слож

но. В Приложении Б к этой rлаве приводится один из ero вариантов.
В этом разделе мы дадим очень простое, чисто кинематическое доказа

тельство одноro положения теоремы. Однако этоro будет достаточно, что..
бы ясно показать, почему нестандартная симметрия типа SU (6) возможна
в нерелятивистской теории и невозможна в релятивистской. Мы использу

ем лоренц"инвариантность для TOro, чтобы показать, что если алrебра Ли
всех операторов симметрии Ба, коммутирующих с rенераторами импуль"
са p
, состоит из самих reHepaTopoB p
 и эрмитовых reHepaTopoB БА неко"
торой зависящей от конечноrо числа параметров, полупростой компактной*


*Определения полупростой и компактной алreбр Ли см. в сноске в разделе 15.2.




24.1. Нетрадиционные симметрии и «No
Go» теоремы


3


подалrебры Ли d, то БА ДОЛЖНЫ быть rенераторами обычной внyrренней
симметрии, в том смысле, что они действуют на одночастичные состояния
посредством диaroнальных по импульсу и спину и не зависящих от этих ве..
личин матриц. В этом доказательстве мы не используем свойства S"матрицы,
конечность спектра частиц и предположения о том, как reHepaTopbI симмет..
рии действуют на физические состояния. Конечно, aлreбра Ли rpуппы su (6)
и полупростая, и компактная, поэтому эта теорема исключает использование
любой подобной симметрии в релятивистских теориях для вывода COOTHO

u
шении между частицами разноro спина.
Переходим к доказательству. Пусть все reHepaTopbI симметрии, KOM

мутирующие с 4
импульсом P
, образуют алrебру Ли, натянутую на re

нераторы Ба. Рассмотрим, как на эти reHepaтopbI действует собственное
преобразование Лоренца X
 ----+ Л
 vXV, которое представляется унитарным
оператором U(Л) в rильбертовом пространстве. Леrко видеть, что опера

тор U(Л)Баu
l(л) является эрмитовым reHepaTopoM симметрии, комму..
тирующим С Л
 v Pv. Поскольку матрица Л
 v несинryлярна, этот оператор
должен коммутировать с P
 и, следовательно, должен быть линейной KOM

бинацией Ба:


U(Л)Баu
l (Л) == LDP а(Л)Бр,
Р


(24.1.1 )


rде DРа(Л)
 множество действительных коэффициентов, которые реализу

ют представление однородной rpуппы Лоренца:


D(Л 1 )D(Л2) == D(Л 1 Л2).


(24.1.2)


Далее, оператор U(Л)Баu
l(л) удовлетворяет тем же коммутационным co

отношениям, что и Ба, поэтому структурные константы C
P этой алreбры
Ли являются инвариантными тензорами, в том смысле, что


ry
 а' ( ) Р' ( )
 (
 1 ) ry'
СаР ==
 D а Л D Р Л D
, Л Са,р,.
a'p'
'


(24.1.3)


Свертывая это с соответствующим выражением для C
, находим, что



P' 8'
gp8 ==
D р(Л)D 8(Л)gР'8"
р'8'


(24.1.4)


rде gp8 обозначает метрику алrебры Ли,


gp8 = LC
pC;.
ау


(24.1.5)




4


[лава 24. Историческое введение


Поскольку все эти reHepaTopbI коммутируют с p
, имеем С;р ==
cp
 == о,
откуда g
a == ga
 == о.
Все reHepaTopbl симметрии, кроме p
, мы будем различать с помо

щью нижних индексов А, В и т. д. вместо а, рит. д. Используя обращение
в нуль C
B ==
C

 В уравнении (24.1.5), получаем gAВ == ЦD CfCcjD. Мы
предположили, что reнераторы ВА задают полупростую, компактную aлreб

ру Ли, поэтому матрица gAB положительно определена. Уравнения (24.1.4)
и (24.1.2) показывают, что матрицы gl/2D(Л)g
1/2 реализуют действитель

ное ортоroнальное и, следовательно, унитарное конечномерное представле..
ние однородной rpуппы Лоренца. Однако, поскольку rpуппа Лоренца HeKOM

пактна, то единственным таким nредставление.м. является тривиШlьное,
для KOТOpOro D(Л) == 1. (Именно в этом месте существенно проявляется
релятивизм. Полупростая часть rpуппы rалилея является компактной rpуп

пой SU(2), которая, конечно, имеет бесконечное число унитарных конечно

мерных представлений.) При условии D(Л) == 1, reHepaTopbI ВА коммутируют
с U(Л) для всех преобразований Лоренца Л
V.
Действуя на состояние Ip,n) одной стабильной частицы импульса p
,
обладающей спином и дрyrими характеристиками, обозначаемыми индек"
сом n, коммутирующий с p
 оператор типа ВА, может дать только линейную
комбинацию таких состояний


BAlp,n) == L(bA(p))тпlp,т).
т


(24.1.6)


Тот факт, что ВА коммутирует с теми преобразованиями, которые вразде..
ле 2.5 были названы «бустами», означает, что ЬА(Р) не зависит от импульса,
а из TOro, что ВА коммутирует с вращениями, вытекает, что ЬА(Р) действуют
на спиновые индексы как единичные матрицы. Следовательно, ВА являются
reнераторами обычной внутренней симметрии, что и требовалось доказать.


24.2. Рождение еупереимметрии


Если бы теоретическая физика развивалась, следуя лоrике, то, после
доказательства теоремы Коулмена
Мандулы, кто.. н И будь в поисках исклю..
чений из этой теоремы заметил бы, что она имеет дело только с преобразо

ван иям и бозонов в бозоны И фермионов в фермионы, которые rенерируются
операторами, удовлетворяющими соотношениям коммутации, а не антиком..
мутации. Но тоrда возник бы вопрос: может ли релятивистская теория обла..
дать действующими нетривиалъно на спины частиц симметриями, перево..
дящими фермионы в бозоны и наоборот, операторы которой удовлетворяют
не коммутационным, а антикоммутационным соотношениям. Исследуя воз..
можную структуру такой суперaлrебры методами, описанными в следующей




24.2. Рождение cyпepcuм.мeтpии


5


rnаве, мы увидим, что суперсимметрия возникла бы тоrда как единственная
возможность.
Но все произошло не так. Суперсимметрия появилась в серии статей
о теории струн и независимо в паре почти незамеченных статей, о которых
мы расскажем позже, в которых не бьшо даже намека, что авторов заботила
теорема Коулмена
Мандулы.
Начиная с конца 60..х roдов, попытка построения элементов S"MaT"
рицы для процессов сильных взаимодействий, удовлетворявших ряду тео..
ретических требований, привела к новой картине различных типов ад..
ронов как разных мод колебаний струны 6. Точка на струне, помечен..
ная параметром а, имеет в момент времени t по фиксированным часам
пространственно"временные координаты X
(a,t). Тоrда теория движения
струны в пространстве"времени d измерений может рассматриваться как
двумерная теория поля с d бозонными полями И действием


I[Х] == т / da / dt ll [ дX
 axv
 дX
 aXV ]
2
v at at да да

 / + /
 aX
axv

 Т da da Т'I/lV да+ дa
 '


(24.2.1 )


rде Т
 константа, называемая натяжением струны; fl == О, 1 . . . , d
 1; и a:l:

двумерные координаты на световом конусе, причем 0:1: = t:f:a. это действие
может быть получено из более общеro выражения, полностью инвариантно..
ro * относительно преобразований двух координат на «мировом листе» ak


т / 2 ..j kl дх!! дХ"
I[Х] ==
2 d aТ'l/lV Detg g ikJk дal '


(24.2.2)


переходом в специальную систему координат, rде метрика мировоro листа gkl
удовлетворяет условию


..jDe tgl 1 == (

1)'


(24.2.3)


в электродинамике проблемы, связанные с отрицательным знаком действия
для времениподобных фотонов, устраняются блаroдаря калибровочной ин..
вариантности теории. Точно так же, здесь проблемы с отрицательным зна..
ком ll
v в выражениях (24.2.1) и (24.2.2) при fl == V == О устраняется блaroдаря
инвариантности действия (24.2.2) (при соответствующих rpаничных услови"
ях) относительно произвольных преобразований координат мировоro листа.


*Эта симметрия нарушаетСJl квантовыми аномалиями, подобными тем, что мы обсуж

дали в rnаве 22, за ИСЮlючением чисто бозонной теории в пространстве"времени с числом
измерений d == 26, или, после введения фермионов, в пространстве"времени с d == 10.




6


rлава 24. Историческое введение


в специальной системе координат, rде действие принимает вид (24.2.1), OCTa

ется важный след инвариантности относительно произвольных преобразо..
ваний координат мировоro листа: инвариантность относительно rлобалъных
КОНфОрМНЫХ преобразованuй:


о:!:
 f:i: ( о:!: ) ,


(24.2.4)


rде F
 пара независимых произвольных функций.
Частицы, описываемые такой струнной теорией, совсем не похожи
на те, что мы наблюдаем в реальном мире. В 1971 roдy Рамон 7, Неве и
Шварц 8, пытаясь, соответственно, ввести в теорию частицы полуцелоro
спина или с квантовыми числами пионов, предложили добавить d дублетов
фермионных полей ",i(o,t) и ",f(o,t). Вскоре после этоro Жерве и Сакита 9
написали действие для такой теории:



 ! + !
 [ дX
 дX
 .
 д .
 д ]
I[Х, '1']
 d а d а Т да+ дa
 + ''1'2 да+ 'l'2jl + ''1'1 дa
 '1' ljl ,


(24.2.5)


и заметили, что конформная инвариантность может быть сохранена, если
расширить конформные преобразования (24.2.4) так, чтобы они действовали
и на фермионные поля:


( d f + )
1/2
'l'f
 d а+ 'l'f,


( df
 )
1/2
'l'f
 d a
 'l'f ·


(24.2.6)


Жерве и Сакита подчеркнули, что кроме двумерной конформной инвариант..
ности и d"мерной лоренц"инвариантности, при соответствующих rpаничных
условиях эта теория обладает симметрией относительно бесконечно малых
преобразований, заменяющих бозонное поле X
 на фермионные поля "';:


д
O'l'f (а+, a
) == iTa.2 (a
) дa
 Х!! (а+, a
),
д
0'1' f ( а + , а
) == iT a.l ( а +) да+ Х jl ( а + , а
 ) ,
oX
( 0+, o
) == (Х2( o
 )'IIf (0+, o
) + а} (o+)",i (0+, o
),


(24.2.7)


rде Ql И а2
 две бесконечно малые фермuонные функции 0+ и o
 COOT

ветственно, подобные введенным в разделе 9.5 rpассмановым переменным.
Это бьш пример тoro, что впоследствии стали называть суперсимметрией,
т. е. симметрией, связывающей бозоны и фермионы. Но это пока что была
симметрия только двумерной теории поля, а не физической теории в четы..
рехмерном пространстве"времени.




24.2. Рождение cyпepcuм.мeтpии


7


Через несколько лет Весс и 3умино 10 снова вернулись к примеру
суперсимметрии, рассмотренному в работах 7
9, И отметили, что бьшо бы
естественно попытаться распространить идею суперсимметрии на кванто..
вые теории поля в четырехмерном пространстве"времени. Они по строи..
ли несколько суперсимметричных моделей. Простейшая из них содержала
одно майорановское (зарядово самосопряженное дираковское) поле "', два
действительных скалярных и псевдоскалярных бозонных поля А и В и два
действительных скалярных и псевдоскалярных бозонных вспомоrательных
поля F и G, и была инвариантна относительно бесконечно малоro преобра

зования*


оА == (а",) , оВ ==
i (аУ5"')'
о", == д
(A + iY5B)y
a+ (F
 iY5G)a,
oF == (ay
д
",), oG ==
i (aY5y
д
",) ,
rде а
 произвольный постоянный инфинитезимальный майорановский фер..
мионный с..числовой параметр. Если мы потребуем инвариантности дей

ствия относительно этих преобразований, то наиболее общая действительная
лоренц"инвариантная сохраняющая четность перенормируемая плотность
лаrpанжиана, которую можно построить из этих полей, имеет вид


(24.2.8)


111
!р ==
 2 д!!Ад !! А
 2 д!!Вд!! В
 2 'ii'Y!! д!! 'JI
1 1
+ 2 (F2+G2)+m[FA+GB
 2 'f1'J1]
+ g[F(A 2 + в2) + 2GAB
 V(A + iY5B)",].


(24.2.9)


Поскольку вспомоrательные поля F и G входят квадратично, можно полу..
чить эквивалентный лarpанжиан, положив эти поля равными тем значениям,
которые даются полевыми уравнениями:


F ==
тA
 g(A 2 +в2),


G ==
тB
 2gAB.


(24.2.1 О)


Тоrда плотность лarpанжиана принимает вид
!р ==
 !aIlAa!! А
 !aIlBa!! В
 !'ii'Y!!all 'JI
 !т 2 [А 2 + в2]
 !m'f1'Jl
2 r 2 r 2 122

 g тА(А 2 + в2)

 g2(A2 + в2)2
 gV(A + iY5 B )'JI. (24.2.11)


*Обозначения матриц Дирака, используемых здесь, объясняются в Предисловии и разде..
ле 5.4. В этой книre матрица 15 (
== 1) отличается на множитель i от матрицы, использован

ной в работе Весса и Зумино. Кроме TOro, определение ковариантно сопряженноro спинора V
любоro спинора '1' тоже отличается на множитель i по сравнению с Вессом и Зумино. По..
этому некоторые фазы в уравнениях (24.2.8)--{24.2.1 О) отличаются от фаз, полученных в 10.




8


[лава 24. Историческое введение


Эта плотность лarpанжиана показывает связи не только между скалярными
и фермионными массами, но также между взаимодействиями Юкавы и CKa

лярными самодействиями, что характерно для суперсимметричных теорий.
Весс и 3умино описали также суперсимметричные преобразования и полу

чили лarpанжиан для супермультиплета, содержащеro векторное поле. (Бо

лее подробно мы рассмотрим все это в rлаве 26.) Наконец, во второй статье
Весс и 3умино 11 вспомнили теорему Коулмена
Мандулы и связали кажуще

еся нарушение этой теоремы с тем, что reHepaTopbI симметрии в их модели
удовлетворяют антикоммутационным, а не коммутационным соотношениям.
Через несколько лет после этой работы Льоцци, Шерк и Олив l1а показали,
что можно построить теорию суперструн, обладающую суперсимметрией
как в пространстве"времени, так и на мировом листе, наложив соответству"
ющие периодические условия на поля в модели Рамона
Неве
Шварца.
Во время работы над первыми статьями по суперсимметрии в четы..
рехмерном пространстве
времени, Весс и 3умино не знали о том, что такая
симметрия уже упоминалась в паре статей, опубликованных в Советском
Союзе. В 1971 roдy rольфанд и Лихтман 12 расширили aлreбру rpуппы Пу..
анкаре, обсуждавшуюся в разделе 2.4, на супералrебру и использовали тре..
бование инвариантности относительно этой супералreбры для построения
суперсимметричных теорий поля в четырехмерном пространстве
времени.
Эта статья, хотя и бьша пророческой, содержала мало деталей и долro оста..
валась незамеченной. Независимо, в 1973 roдy Волков и Акулов 13 обнару

жили то, что сеroдня называется спонтанно нарушенной суперсимметрией,
но они использовали свой формализм, чтобы отождествить roлдстоуновский
фермион, связанный с нарушением суперсимметрии, с нейтрино. Эта идея
оказалась неудачной. для большинства теоретиков, особенно за предела..
ми COBeтcKoro Союза, изучение суперсимметрии как возможной симметрии
природы в четырехмерном пространстве
времени началась с работ Весса и
3умино 1974 roда.


Приложение А. SU(6) симметрия внерелятивистских кварковых
моделях


В этом приложении будет показано, как SU (6) симметрия, связываю..
щая частицы разноro спина, возникает внерелятивистских кварковых моде..
лях. это не имеет прямоro отношения к суперсимметрии, но дает истори..
ческий фон теоремы Коулмена
Мандулы, что существенно для построения
суперсимметричных aлrебр в разделах 25.1 и 31.1.
В общем случае rамильтониан нерелятивистской кварковой модели
может зависеть не только от координат и импульсов, но также от операторов




Приложение А. SU (6) сu.м.метрuя в нерелятuвuстскux кварковых .моделях 9


спина и аромата O
п) И лi п ), rде O
п) (; == 1,2,3) действуют на спиновые ин

дексы п..ro кварка как матрицы Паули 0i, определенные формулами (5.4.18),
а лi п ) (А == 1,2,. . . ,8) действуют на индексы аромата п..oro кварка как матри

цы rелл..Манна ЛА rpуппы SU(3), определенные формулами (19.7.2). (Там,
rдe n orносится к антикварку, оперaroры a
п) И лi п ) действуют как мarpи

цы
oT и
Л
 контраrpадиентных представлений.) Если бы мы предпо..
ложили, что не существует спин..орбитальной связи, так чтобы отдельно
сохранялся полный орбитальный момент Li, то можно было бы сказать, что
rамильтониан коммутирует не только с полным орбитальным моментом Li,
но также с полными спином и унитарным спином



 1
 (п)
Si == 2
 о; ,
п


т ==

 '\ (п)
.lA
 2
"'A ·
п


(24.А.l )


с дрyrой стороны, если бы мы предположили, что rамильтониан зависит
только от положения кварков и их импульсов и не зависит от их спинов
и ароматов, то такой rамильтониан коммутировал бы не только с полным
орбитальным моментом L, но также с кажды,М из операторов O
п) И лi п ).
Между этими двумя крайними случаями есть интересная возможность, что
помимо L;, Si и ТА rамильтониан также коммутирует с операторами


R . ==!


п),\ (п)
iA
 2
 IO, "'А ,
п


(24.А.2)


rде знак + берется для кварков, а знак
 для антикварков *. Операторы S;, ТА
и RiA образуют алreбру ли rpуппы SU (6) с коммутационными соотноmени"
ями


[S;,Sj] == iL€;jkSk, [ТА, ТВ] == iL/AВcTc, [S;, ТА] == о,
k С
[Si,RjA] == iL€ijkRkA, [TA,RiB] == iL/ABCRiC, (24.А.З)
k с
[RAi,RBj] == iбij L/ABcTc + jiБАВ L€ijkSk + iL€ijkdABCRkC
С k kC
Здесь /АВС и dABC обозначают соответственно полностью антисимметричные
и полностью симметричные числовые коэфициенты 14, отличные от нуля
значения которых равны
/123 == 1, /458 == /678 == ..;з /2,
/147 == /165 == /246 == /257 == /345 == /376 == 1/2,


(24.А.4)


*Знак
 ДтI антикварков возникает потому, что в RiA члены ДтI антикварков должны
действовать на индексы спинов и ароматов как матрицы
(a;\A)T ==
(
aT)(
\T).




10


[лава 24. Историческое введение


и


d146 == d157 ==
d247 == d256 == dЗ44 == dЗ55 ==
dЗ66 ==
dЗ77 == 1/2,
d118 == d228 == dЗЗ8 ==
d888 == 1/ V3, (24.А.5)
d448 == d558 == d668 == d778 ==
 1/(2 JЗ).


Эта симметрия сохраняется, если мы включим в rамильтониан двухчастич"
ное взаимодействие, зависящее от спинов и ароматов, и коммутирующее
с операторами RiA, Si и ТА. Такие взаимодействия представляются линейны..
ми комбинациями двухчастичных операторов вида


н(пт) ос (1:!: :t:a
n)a
m)) (
:!:
л
n)л
m)),


(24.А.6)


rде берется знак
, если одна из частиц n, т
 кварк, а дрyrая антикварк,
а знак + берется, если обе частицы
 либо кварки, либо антикварки.
Конечно, даже внерелятивистской кварковой модели симметрия
SU (6) в лучшем случае приближенная. Она нарушается спин..орбитальными
и спин..спиновыми силами, а также массой s--кварка, из..за чеrо симметрия
SU(3) по ароматам кварков понижается дО SU(2) и И(1) симметрИЙ,отвеча..
ющих за сохранение изо спина и rиперзаряда. Если мы исключим эффекты,
связанные с массой этоrо кварка, оrpаничившись адронами, построенны"
ми из леrких и.. и d..кварков и антикварков, то единственными ненулевыии
матрицами АА будут матрицы Аа (а == 1,2,3), которые для и
 и d..кварков
определяются матрицами Паули (5.4.18) (в этом контексте их принято обо..
значать
a) И матрица А8 (равная просто числу 1/ JЗ для кварков u и d
и
 1/ JЗ для антиквар ков й и d). Взаимодействие (24.А.6) принимает вид


н(nm) ос (1:i::t: a
n) a
m») ( 1 :i:
 't
n)'t
m)),


(24 .А. 7)


Помимо сохранения числа кварков, остается симметрия SU ( 4) с reHepaTo"
рами Si, Та И Ria, коммутирующими С (24.А.7). это бьшо предложено Виr..
нером 2 в 1937 roдy в качестве симметрии ядерных сил, хотя тоrда речь
mла о протонах и нейтронах, а не и
 и d
KBapKax. В ядерной теории взаи..
модействие (24.А.7) известно как потенцuШl Майорана, в отличие от взаи..
модействия, которое не зависит от спина и изоспина и называется пoтeH

ЦUШlо.м BUZHepa, или от взаимодействий, содержащих в (24.А.7) множитель,
зависящий только от спина, или только от изо спина, KoTopы
 называются
потенцuШlО.м Бартлетта и потенцuШlО.м rейзенберzа соответственно.
Интересно отметить, что хотя в нерелятивистских теориях нет Teope

тическоro барьера для симметрий типа SU(6), действующих как на спин,




Приложение А. SU (6) сu.м.метрuя в нерелятивистскux кварковых моделях 1 1


так и на тип частицы, нет ни одноzо экспериментШlЬНОZО факта, Koтo

рый ZOBOPWl бы, что идея О существовании SU(6) симметрии в нереляти..
вистской кварковой модели предпочтительнее, чем предположение О полноu
независимости от спинов и ароматов. Эти предположения совсем не экви

валентны. Если rамильтониан системы N нерелятивистских кварков и (или)
антикварков полностью не зависит от их спинов и ароматов, то ero симмет

рия будет SU(6)N, а не SU(6). Например, двухчастичное взаимодействие
типа (24.А.6) и различные друrие мноroчастичные взаимодействия наруша

ют SU(6)N дО SU(6). Конечно, в любом случае все эти симметрии при

ближенные. Но тоrда возникает вопрос: будет ли нарушение SU (6) менее
сильным, чем нарушение SU(6)N?
На этот вопрос нельзя ответить, изучая мультиплет, содержащий бари

онный октет, который состоит из нуклонов и rиперонов Л, 1: и 8. В нереля..
тивистской кварковой модели эти частицы интерпретируется как связанные
состояния трех кварков с нулевым орбитальным моментом. Поскольку эти
состояния не имеют цвета, то волновая функция полностью антисимметрич..
на по скрытым цветовым индексам и поэтому полностью симметрична при
комбинированной перестановке спина и аромата. Следовательно, барионным
октет следует поместить в симметричное тензорное представление третьеro
paHra 56 rpуппы SU(6), содержащее помимо барионноro октета декуплет
спина 3/2, который можно считать состоящим из знаменитоro «3..3» резо..
нанса
 и частиц 1:(1385), 8(1530), а. (Числа в скобках дают массы в МэВ,
если необходимо отличать эти частицы от частиц с одинаковыми изо спином
и странностью, но меньшей массой.) SU(6) симметрия дает хорошие пред..
сказания для мarнитных моментов барионов. Оператор заряда кварка имеет
вид q == е(лз/2 + лs/2 ..;3). Поэтому, если кварки имеют мarнитные момен"
ты 3q/2mN дираковских частиц с этим зарядом и массой mN/3, то оператор
мarнитноro момента равен



i == 3
N (
 RiЗ + 2
 Ri8),
rде flN = е /2mN
 ядерный MarHeToH, а RiA определяется СО от..
ношением (24.А.2). Несложно вычислить матричные элементы это

ro reHepaTopa rpуппы симметрии между членами мультиплета 56.
В результате получаются мarнитные моменты в единицах flN, рав"
ные +3,
2,
 1, +3,
 1,
 1,
2 для р, n, Л, 1:+, 1:
, 8
 и 80 соответ..
ственно, которые можно сравнить с соответствующими экспериментальны..
ми значениями +2.79,
1.91,
0.61, +2.46,
1.16,
0.65,
1.25. Соrласие
достаточно хорошее (за исключением 1:
), и оно может даже улучшиться,
если взять маrнитный момент кварка HeMHoro меньше 3flN. Если мы пред..
положим, что rамильтониан полностью не зависит от спина и аромата, то




12


rлава 24. Историческое введение


в силу симметрии трехкварковой волновой функции мы не получим ничеro
новоro. Состояния с нулевым уrловым моментом попрежнему будут принад

лежать мул ьти плету, состоящему из 6 х 7 х 8/6! == 56 членов. В частности,
оператор (24.А.6) имеет то же самое собственное значение 4 для любоro
состояния двух кварков, симметричноrо при одновременной перестановке
их спинов и ароматов, независимо от Toro, будет ли оно симметрично или
антисимметрично при перестановке спинов и ароматов по отдельности.
Чтобы решить, имеются ли у SU (6) какие"то преимущества по cpaB

нению с SU (6)N, полезнее изучать мезоны, которые внерелятивистской
кварковой модели интерпретируются как связанные состояния кварка и aH

тикварка. Если rамильтониан этих состояний полностью независим от спи

нов и ароматов, то ero симметрия определяется rpуппой SU(6)2, и мезонные
состояния принадлежат 36"мерному представлению (6,6); в то время как для
rpуппы SU(6) мы можем только сказать, что мезоны принадлежат одному
из двух представлений rpуппы SU(6), содержащихся в 6х6: присоединенно..
му представлению 35 или синrлетному представлению. Более точно, пред..
ставление 35 состоит из синrлета rpуппы SU(З) спина S == 1, октета rpуп..
пы SU (3) спина S == о и октета rpуппы SU (3) спина S == 1, соответствующими
reHepaTopaM Si, ТА и RiA rpуппы SU(6), который отщепляется от синrлета
rpуппы SU(З) спина S == о за счет взаимодействия (24.А.6). Поскольку все
ЭТ,! предположения, конечно, приближенные, то вопрос о том, будет ли сим

метрия SU (6) более точной, чем предположение о полной независимости от
спинов и ароматов, сводится к вопросу о том, будет ли расщепление между
синrлетом rpуппы SU(3) со спином S == о и остальными 35..ю состояниями
с тем же орбитальным моментом больше, чем расщепление внутри самоro
супермультиплета 35.
Кварк..антикварковые состояния с орбитальным моментом L == О име..
ют отрицательную четность Р и положительную зарядовую четность С (для
зарядово само сопряженных состояний), если полный спин S равен нулю,
и отрицательную С
четность, если S == 1. (Объяснение см. в разделе 5.5.)
Поэтому мультиплет 35 состоит из синrnета с J PC == 1

 , октета o
+ и oктe

та 1

, которые, соответственно, идентифицируются как <р(1020), псевдоска..
лярный октет х, 11, К, К и векторный октет р, 00, К*, К*. При энерrии 958 МэВ
существует еще SU(3) синrлет 11' с квантовыми числами O
+, который MO

жет рассматриваться как синrnет rpуппы SU(6). Отщепление ЭТОro синrлета
от частиц в мультиплете 35 ничуть не больше расщепления внутри самоro
этоrо мультиплета.
Можно возразить, что мезоны с орбитальным моментом L == О
не позволяют успешно проверить симметрии нерелятивистской кварко"
вой модели, потому что они включают roлдстоуновские бозоны х, 11, К
и К, становящиеся безмассовыми при нулевых массах кварков и и d




Приложение В. Теорема КОУJlМ,ена
Мандулы


13


и, следовательно, не очень хорошо описываемые этой моделью. Поэто..
му рассмотрим кварк..антикварковые состояния с L == 1. Эти состоя

ния имеют положительные Р и С для S == 1 и отрицательные Р и С
для S == о. Поэтому р"волновые мультиплеты 35 состоят из синrлетов rpуп

пы SU(3) с S == 1 и J Pc == 0++,1++,2++, которые можно отождествить
с /0(1370), /1(1285) и /2(1270); октета 1++ с S == О, отождествляемо..
ro с hl(1170), b l (1235), K 1 (1400) и Kl(1400); октетов S== 1: 0++, отож

дествляемоrо с /0(980), ао(980), К;(1950) и К;(1950), 1 ++, отождествля

eMoro с /1(1420), al(1260), К;(1650) и КТ(1650), 2++, отождествляемоro
с /2(1430), а2(1320), Kt(1980) и К{(1980). Кроме этих 35х3 состояний,
существует еще одна частица с правильными квантовыми числами, COOTBeт

ствующими р"волновому синrлету rpуппы SU(6)
 1+
 изоскаляр hl(1380).
Конечно, мы можем пере ставить местами h 1 (1170) и h 1 ( 1380), или опре..
делять синrлет rpуппы SU(3) и состояния изоскалярноrо октета 1+
, как
ортоroнальные линейные комбинации h l (1170) и hl (1380). Важно то, что
эти два изо скаляра 1 +
 существуют безо всякоro намека, что один из них,
принадлежащий синrлету rpуппы SU(6), отщепляется от частиц мультипле

та 35 более сильно, чем сами частицы мультиплета 35 дрyr от друrа. И опять
у нас нет никакоrо свидетельства, что симметрия SU (6) выполняется точ

нее, чем более сильное предположение о полной независимости от СIIJIНОВ
и ароматов.


Приложение В. Теорема Коулмена
Мандулы


В этом приложении мы даем доказательство знаменитой теоремы
Коулмена
Мандулы 5, соrласно которой единственно возможная алreбра Ли
(в противоположность супералrебре) reHepaTopoB симметрии состоит из re

нераторов трансляций Pfl' однородных преобразований Лоренца JflV и воз

можных reHepaTopoB внутренней симметрии, коммутирующих с Pfl и JflV
и действующих на физические состояния путем умножения их на не за..
висящие от спина и импульса эрмитовые матрицы*. Под «rенераторами
симметрии» здесь подразумеваются любые эрмитовые операторы, которые:
коммутируют с S
матрицей; имеют коммутаторы, являющиеся reHepaTopa

ми симметрии; переводят одночастичные состояния в одночастичные; дей..
ствуют на мноroчастичные состояния как прямая сумма их действий на
одночастичные состояния (как в (24.В.l)). Дальнейшие технические требо..
вания будут вводиться по мере необходимости в процессе доказательства.


*Как мы потом увидим, в теориях, включающих только безмассовые частицы, есть еще
одна возможность: к reHepaтopaM p
 и J
v добавляются reHepaTopbl D и Kfl' дополняющие
алrебру Ли до конформной rpуппы 15.




14


rлава 24. Историческое введение


Помимо общих принципов релятивистской квантовой механики, описанных
в rлавах 2 и З, единственные дрyrие предположения, требуемыIe для доказа..
тельства, таковы.


Предположение 1. Для люБО20 М существует лишь конечное число типов
частиц .массой, .меньшей М.
Предположение 2. Любое двухчастичное состояние участвует в какой

то реакции почти при всех значениях энер2ий (т. е. при всех энерzuяx, за
исключением, возможно, uзолироваННО20 .множества значений).
Предположение 3. Амплитуды упРУ2020 рассеяния двух частиц являются
аналитическими функциями У2Ла рассеяния почти при всех значениях энер

2ий и У2Лов* .
Нет необходимости предполаrать, что S"матрица определяется локаль

ной квантовой теорией поля. Представленное здесь доказательство HeMHoro
переделано и упрощено, в нем приводятся marи, которые Коулмен и Мандула
оставили для читателя.
Удобно начать с доказательства теоремы для подaлreбры, содержа..
щей те rенераторы симметрии Ба, которые коммутируют с оператором
4
импульса Pfl. (Эта часть теоремы интересна сама по себе; она исключает
симметрии в релятивистских теориях, действующие подобно SU (6) сим..
М6ТрИИ внерелятивистской кварковой модели.) Действие таких reHepaTopoB
симметрии на мноroчастичные состояния дается выражением


Баlрт,qп,...) == I:(ba(p))m'mlpт',qп,...,)
т'


+ I:(ba(q))п'п Ipт,qп"...,) +...,
п'


(24.В.l )


*Cтporo roворя, это предположение не выполняется в теорИJIX с инфракрасными рас..
ходимостями, такими, как квантовая электродинамика, rде, как показано в разделе 13.3,
элемент S
матрицы для любоro рассеяния, включающеro заряженные частицы, обраща

ется в нуль, за исключением упрyroro рассеяния вперед. В абелевых калибровочных
теориях, подобных электродинамике, эта проблема исключается применением теоремы
Коулмена
Мандулы к теории с фиктивной массой калибровочноro БОЗ0на. Тоrда можно рабо

тать с «инфракрасно
безопасными» величинами, типа масс и проинтеrpированными cooтвeт

ствующим образом сечениями рассеяния, которые конечны при стремлении массы калибро

вочноro бозона к нулю. Такой проблемы нет в неабелевых калибровочных теорИJIX, подобных
квантовой хромодинамике, коrда все безмассовые частицы запеprы. Симметрии, если они не
нарушены, будут определять элементы S
матрицы только для калибровочно
нейтральных
связанных состояний, таких, как меЗ0НЫ и барионы в квантовой хромодинамике. Насколько
мне известно, теорема Коулмена
Мандулы не была доказана для неабелевых калибровочных
теорий со свободными безмассовыми частицами, например, в квантовой хромодинамике с
большим числом ароматов кварков.




Приложение В. Теорема КОУJlМ,ена
Мандулы


15


rде т, пит. д.
 дискретные индексы, обозначающие z"ко мпонен ты спина
и сорт частицы (аромат) для частиц определенной массы V
PflPfl; Ьа(р)

конечные эрмитовые матрицы, определяющие действие Ва на одночастич

ные состояния.
Из уравнения (24.В.l) можно видеть, что отображение, переводя..
щее Ва в Ь а для HeKoToporo фиксированноro р является rомоморфизмом
в том смысле, что коммутационные соотношения


[Ва,Вр] == iLC
By
у


(24.В.2)


также справедливы для эрмитовых матриц Ь а :


[Ьа(р),Ьр(р)] == iLC
pby(p).
у


(24.В.3)


Хорошо известная теорема, доказанная в разделе 15.2, утверждает, что лю..
бая aлreбра Ли конечных эрмитовых матриц типа Ь а должна быть прямой
суммой компактной полупростой алrебры Ли и алrебр и ( 1 ). Однако, мы не
можем немедленно применить этот результат коператорным aлrебрам Ва,
потому что roмоморфизм между операторами Ва и матрицами Ь а (р) не обя..
зательно является изоморфизмом. для TOro, чтобы отображение бьшо изо..
морфизмом, надо потребовать также, что если только LaCaba(P) == о для
некоторых коэффициентов са И импульса р, то Lacaba(k) == о для всех им..
пульсов k, что эквивалентно условию LacaBa == о.
Вместо рассмотрения roмоморфизма, отображающеro Ва в одноча..
стичные матрицы Ьа(р), Коулмен и Мандула рассмотрели roмоморфизм,
который отображает Ва в матрицы, определяющие действие Ва на двухча

стuчные состояния с фиксированными 4"импульсами р и q:


(Ьа(р,q))m'п',тп == (Ьа(Р))т,тБп'n + (Ьа(q))п'nБт'т.


(24.В.4)


Инвариантность S"матрицы для упрyroro и квазиупрyroro рассеяния двух
частиц с 4"импуль сами р и q с переход ом в две ч астиц ы с им пульсами р'
и r/ и массами V
 p'
p'
 == V
 p
p
 и V
 q'
r/
 == V
 q
q
 приводит К
условию
ba(p',q')S(p',q';p,q) == S(p',q';p,q)ba(p,q). (24.В.5)
Здесь S(p',q';p,q) является матрицей той же размерности, чт
 b(p,q)
и b(p',q), определенной через связные матричные элементы S"матри

цы S(pт,qп
 p'm',qп,) по формуле
S(pт,qп
 р'т', q,п,) = б 4 (р' + q'
 р
 q) (S(p', q' ;р, q)) т'п' тп. (24.В.6)
,




16


rлава 24. Историческое введение


Соrласно предположению 2 и оптической теореме (см. раздел 3.6) для по..
чти любоro выбора р и q амплитуда упрyroro рассеяния не обращается
в нуль при рассеянии вперед, и тоrда из предположения 3 следует, что мат..
рица S(p',q';p,q) несинryлярна почти для всех значеНИЙ р' и q, лежащих
на тех же массовых поверхностях и удовлетворяющих условию сохране..
ния 4"импульса р' + q' == Р + q. Таким образом, формула (24.В.5) почти для
всех таких значений 4"импульсов является преобразованuе.:и подобия.
Отсюда следует, что если
acaba(p,q) == О почти для любых фиксиро"
ванных значений 4"импульсов р и q, то
acaba(p',q') == О почти для любых
значений 4"импульсов р' и q', удовлетворяющих условию р' + q' == Р + q
и лежащих на одних и тех же массовых поверхностях. К сожалению, от..
сюда совсем не следует, что
acaЬa(P') И
acaba(q) обращаются в нуль.
Мы можем только сказать, что эти матрицы пропорциональны единичной
матрице (с противоположными коефициентами). Чтобы двиrаться дальше,
необходимо рассмотреть не Ьа(р) или ba(p,q), а их части, имеющие равный
нулю след.
Из соотношения (24.В.5) немедленно вытекает, что


Trba(p',q') == Tr ba(p,q).


(24.В.7)


Если учесть со отнош ение (24.В.4), то
N( J
qllq ll) trba (p') + N( .;
PIl PIl) trba (q')
== N( J
qllqll) trba(p) +N( J
PIlPIl) trba(q),


(24.В.8)


rде N (т)
 число типов частиц массой т *. Маленькая буква «t» в знаке сле

да обозначает сумму по одночастичным, а не по двухчастичным индексам.
Чтобы это соотношение выполнялось почти для всех 4
импульсов, лежа..
щих на массовой поверхности и удовлетв оряющи х условию р' + q' == Р + q,
необходимо, чтобы функция trba(p)/N( y'
Pf.1pf.1) бьта линейной** по р:
trba(p)
 a f.1
( aP II , ( 24.В.9 )
N у'
 Pf.1 p f.1)
 ,


*Эти множители не бьши приведены Коулменом и Мандулой явно. Но они необходимы
для определения reHepaтopoB симметрии B
, ядра которых имеют равный нулю след. Коулмен
и Мандула сделали этот шаr без объяснения.
** Леrко видеть, что постоянный член в (24.В.9) исключается существованием процессов,
в которых не сохраняется число частиц. Эти процессы неизбежны в любой релятивистской
квантовой теории, удовлетворяющей принципу кластерноro разложения. Но даже если мы
рассмотрим только двухчастичныIe процессы и не воспользуемся этим apryмeHToM, посто

янный член в (24.В.9) приведет только к изменению действия внутренних симметрий на
физические состояния.




Приложение В. Теорема Коулм.ена
Мандулы


17


rде a
 не зависит от р (и от ничеro больше, кроме выписанных индексов). Мы
можем определить новые rенераторы симметрии, вычитая члены, линейные
по оператору импульса Pfl:


Б
 = Ба
 a
Pfl'


(24.В.l О)


которые, в соответствии с (24.В.9), представляются матрицами по одноча..
стичным состояниям и имеют равный нулю след:


( " )
 trba(p)
Ьа(р) "n
 (Ьа(Р))"n
 N( "';
Pf1pf1) ()"n'


(24.В.ll )


Поскольку Pfl коммутирует с Ба, и единичная матрица коммутирует со Bce

ми матрицами, то коммутаторы для Б
 будут такими же, как и для Ба, а
коммутаторы матриц Ь

 такими же, как коммутаторы матриц Ь а (р ):


[B
,
] == iLC
pBy == iLC
 [B
+4 Pf1]'
"'( "'(
[b
(p),b
(p)] == iLC
by(p) == iLC
p [b
(p) +4 Pf1]'
"'( "'(


(24.В.12)


(24.В.13)


Кроме TOro, из формулы (24.В.l 3) и тoro факта, что коммутаторы конечных
матриц b
P) имеют нулевой след, следует, что*
C
p
 == О. Подстановка
в соотношение (24.В.12), показывет, что коммутаторы матриц Б
 удовлетво..
ряют тем же коммутационным соотношениям, что и матрицы Ба:


[B
, B
] == i L C
pB
.
"'(
Поскольку Б
 является reHepaTopoM rpуппы, амплитуда рассеяния удовле..
творяет соотношению


(24.В.14)


Ь
 (р' , q') s (р' , q' ; р, q) == s (р' , q' ; р, q ) Ь
 (р, q) ,


(24.В.15)


rде b
(p,q) являются матрицами, представляющими Б
 на двухчастичных
состояниях:


( b
(p,q) ) == ( Ь
(p) ) бп'п + ( Ь
(p) ) бт'т
т'п' тп т'т п'п
,


(24.В.16)


*Это одно из тех мест, rде мы используем предположение 1, без чеrо коммутаторы не
обязательно имет нулевой след. Кроме TOro, здесь важно, что мы работаем с коммутаторами,
а не с антикоммутаторами, поскольку единичныIe матрицы не антикоммутируют с дрyrими
матрицами, а антикоммутаторы конечных матриц не обязательно имеют нулевой след.




18
rлава 24. Историческое введение
и удовлетворяющих тем же коммутационным соотношениям, что и B:
[b(p,q),b(p,q)] == iLCb(p,q).
у
(24.В.17)
Преимущество работы с этими двухчастичными матрицами состоит в том,
что поскольку S(p',q;p,q) несинryлярна, то, если LaCab(p,q) == о для HeKO
торых фиксированных 4"импульсов р и q, находящихся на массовых поверх
ностях, то LaCab(p',q') == о почти для всех р' и q', находящихся на тех же
массовых поверхностях и удовлетворяющих условию р' +q' == p+q. Так как
мы рассматриваем матрицы, след которых равен нулю, то
Lcab(p') == Lcab(q') == о.
а а
(24.В.18)
Из этоro хотелось бы сделать вывод, что Lacab(k) == о для всех 4им"
пульсов k, лежащих на массовой поверхности. Но до сих пор мы доказали
только, что La caь (р') == О почти для всех тех р', для которых q' == р + q  р',
причем р' и q' должны лежать на массовой поверхности. Чтобы обойти
это оrpаничение, используем прием Коулмена и Мандулы. Заметим, что ес..
ли LaCab(p,q) == о, то из формул (24.В.18) и (24.В.16) вытекает, что
Lcab(p,q') == о.
а
Следовательно, соrласно соотношению (24.В.15)), имеем
Lcab(k,p+q' k) ==0,
а
и поэтому
Lcab(k) == о
а
(24.В.19)
почти для всех 4"импульсов k, при условии, что 4"импульс р + q'  k лежит
на массовой поверхности. Условия, что q' и р + q  q' лежат на массовой
поверхности, оставляют два свободных параметра в q', так что у нас есть
достаточно свободы для выбора q'; условие, что р + q'  k тоже лежит на мас..
совой поверхности, в свою очередь, оставляет нам свободу выбрать любое
значение k по крайней мере внутри конечноro объема импульсноro про
странства. Выбирая р и q достаточно большими, этот объем можно сделать
таким большим, как нам это нужно. Поэтому, если La са Ь (р, q) == о для HeKO
торых фиксированных и лежащих на массовой поверхности 4"импулъсов р

Приложение В. Теорема КОУll.МенаМандулы
19
и q, то I,acab(k) == О почти для всех 4"импульсов k, лежащих на мас..
совой поверхности. Но тоrда, если I,acab(ko) =1: О для HeKOТoporo значе..
ния 4"импульса "о, лежащеrо на массовой поверхности, то процесс рассеяния
частиц с начальными 4"импульсами ko и k, лежащими на массовой поверх..
ности, и конечными J( и k" , будет запрещен rенерированной La са B симмет..
рией почти для всех k, J( и k", что противоречит нашему предположению об
аналитичности амплитуды рассеяния. Мы приходим к заключению, что ес..
ли Lacab(p,q) == о для некоторых фиксированных значений 4"импульсов р
и q, лежащих на массовой поверхности, то La cab(k) == О для всех значе..
ний k и поэтому LacaB == О, так что отображение, переводящее Ва в b(p,q),
является изоморфизмом.
Отсюда немедленно следует, что по скольку числ о неза висимых мат..
риц b(p,q) не может быть больше N( v pfl.pfl.)N( v qfl.qfl.). то и число
независимых reHepaTopoB симметрии Ва может быть только конечным. По..
этому, как это подчеркивали Коулмен и Мандула в доказательстве своей
теоремы, не обязательно делать независимое предположение оконечномер..
ности aлrебры симметрии.
Далее, теоремы раздела 15.2 roворят нам, что алreбра Ли конечных
эрмитовых матриц типа b(p,q) для фиксированных р и q является, aMoe
большее, прямой суммой полупростой компактной алrебры Ли и HeKoтoporo
числа алrебр Ли U ( 1 ). Мы уже видели, что эта aлrебра Ли изоморфна алreбре
reHepaTopoB симметрии B, и поэтому B должны также покрывать, самое
большее, прямую сумму компактной полупростой алrебры Ли и алrебр Ли
rpуппы И(1).
Сначала обратимся к алrебрам Ли U ( 1 ). для любой па..
ры 4"импульсов р И q, лежащих на массовой поверхности, можно найти
reHepaTop rpуппы Лоренца J, оставляющий 4"импульсы р и q инвариант..
ными. (Если р и q светоподобны и параллельны, то возьмем J, rенериру..
ющий вращения BOKpyr общеro направления векторов р и q. В противном
случае p+q будет времениподобным, и тоrда мы можем взять J, reнериру..
ющий вращения BOкpyr общеro направления р и q в системе центра масс,
rде р == q.) Мы можем выбрать базис двухчастичных состояний, в котором J
диаroнален, так что
Jlpт,qп) == o(т,п)lpт,qп). (24.В.20)
Оператор P коммутирует со всеми B, и [J,P] является линейной комбина..
цией компонент Pfl.' так что Pfl. коммутирует со всеми [J,B]. и поэтому re
нератор симметрии [J, B] должен быть линейной комбинацией Bf3, которые,
по определению, образуют полный набор reHepaTopoB симметрии, комму..
тирующих С P. Более конкретно, поскольку все матрицы, представляющие

20
rлава 24. Историческое введение
коммутатор reHepaTopoB симметрии, имеют нулевой след, то [J, B] должен
быть линейной комбинацией B. Но любой эрмитовый reHepa:rop B rpуп
пы U(l) из aлreбры B должен коммутировать со всеми B, и, в частности,
должен коммутировать с [J, BrJ:
[ B, [J, B]] == о.
Вычисляя среднее значение этоro двойноro коммутатора в двухчастичном
базисе, в котором J диaroнален, получаем
о == L (а(т', п')  а(т,п)) 1 (b(p, q)) m'п',тn 12,
т' ,п'
(24.В.21)
для любых т и n. Эти индексы принимают конечные значения, поэтому
если бы для любоro о существовали т и n, для которых о(т,n) == о и т'
и n', для которых о(т',n') =1: о, при условии, что (b(p,q))т'n',тn =1: О, то TO
rда должно бьшо бы существовать наименьшее о, для KOTOpOro правая часть
формулы (24.В.21) с этими т и n бьша бы положительно определенной,
что противоречит (24.В.21). Итак, мы делаем вывод, что матричный эле..
мент (b(p,q))т'n',тn должен быть равен нулю при всех т, n, т' и n', для
которых о(т'п') =1: о(т,n). Поскольку алreбра b(p,q) изоморфна алreбре B,
то каждый из U(1) reHepaTopoB B коммутирует с J. Так как можно выбрать
вектор р + q в любом времениподобном направлении, то каждый из reHepa..
торов U(1) B коммутирует со всеми rенераторами Jv однородной rpуппы
Лоренца. Тот факт, что они коммутируют с теми операторами, которые в
разделе 2.5 мы называли «бустами», означает, что (b(p))п'п независимы от
тpexMepHoro импульса. Кроме Toro, они коммутируют с вращениями, и, сле
довательно, (b(p))п'п действуют на спиновые индексы как единичные мат..
рицыI. Но тоrда эти rенераторы являются rенераторами обычной внутренней
симметрии.
Все это позволяет сказать, что B rенерируют полупростую компакт..
ную алrебру Ли. Из рассуждений раздела 24.1 (и отчасти более явно из..
ложенных apryмeHToB Коулмена и Мандулы) следует, что rенераторы полу..
простой компактной части алrебры Ли коммутируют с преобразованиями
Лоренца и, как это бьшо показано для reHepaTopoB rpуппы U(1), означа..
ет, что они тоже являются rенераторами внутренних симметрий. Итак, мы
показали, что rенераторы симметрии Ва, коммутирующие с P, являются
либо rенераторами внутренней симметрии, либо линейными комбинациями
компонент caMoro Pfl.

Приложение В. Теорема КОУll.МенаМандулы
21
Теперь следует рассмотреть возможность, коrда rенераторы симмет..
рии не коммутируют с оператором импульса. Действие произвольноrо reHe
ратора симметрии Аа на одночастичное состояние 'рп) 4"импульсом р дается
формулой
Aalp,п) == L ! at P ' (.Ja.(p',P))nl,n Ip"п,),
n'
(24.В.22)
rде п и п'  дискретные индексы, обозначающие zую компоненту спина
и сорт частицы. Конечно, ядро d а (р' , р) должно обращаться в нуль, если
только р и р' не лежат на массовой поверхности. Сначала мы покажем,
что .J а (р' , р) равно нулю для любых р' =1: р.
С этой целью заметим, что Аа является reHepaTopoM rpуппы, тоrда
A!  ! atx exp(ip -х)Аа.ехр( ip -х)Лх),
rде p  оператор 4"импульса, а f(x)  ФУНКЦИЯ, которую можно выбрать
произвольно. Действуя на одночастичное состояние, получаем
(24.В.23)
A'lp,п) == L ! d 4 p'J(P'  р) (.Ja(p',p))n'n 'р',п'),
n'
(24.В.24)
rде J  фурье..преобразование
j(k)  ! atxexp(ix-k)f(x)-
(24.В.25)
Предположим, что на массовой поверхности существуют такие два 4"им"
пульса р и р +  с  =1: О, что.J (р + , р) =1: о. Исходные, лежащие на массовой
поверхности 4"импульсы q, р' И q', связаны условием р' + q' == Р + q и поэто..
му q +, р' +  и q' +  не MOryт лежать на массовой поверхности. Если мы
возьмем такую функцию J(k), чтобы она обращалась в нуль вне достаточ..
но малой области BOKpyr , то оператор А' уничтожит все одночастичные
состояния с 4импульсами q, р' и q'. Останутся только одночастичные со..
стояния с 4"импульсом р. Поэтому такая симметрия запрещала бы любой
процесс рассеяния, коrда частицы с импульсами р и q переходят в состоя..
ния С импульсами р' и q', что противоречит предположениям 2 и 3, соrласно
которым рассеяние возможно почти при всех значениях энерrий и yrлов.
Этот результат не означает, что любой reHepaTop симметрии Аа должен
коммутировать с p, потому что ядра.Jа(р',р) MOryт содержать члены, про..
порциональные как самой б 4 (р'  р), так и ее производным. для учета такой
возможности, Коулмен и Мандула сделали «rpубое техническое предположе..
ние», что ядра .J а (р', р) являются обобщенными функциями. Это означает,

22
rлава 24. Историческое введение
что каждое ядро может содержать, в лучшем случае, конечное число Da
производных от б 4 (р'  р). Иными словами, предполarается, что каждый re..
нератор симметрии Аа действует на одночастичные состояния как полином
порядка Da по производным д /д p с матричными коэффициентами, которым
в этой точке разреmается зависеть от импульса и спина. Чтобы использовать
ранее полученные результаты для reHepaTopoB симметрии, коммутирующих
с операторами импульса, Коулмен и Мандула рассмотрели Dа..кратный ком..
мутатор операторов импульса с Аа
B I'.'Da  [p 1 [p 2 [p JlDa А ] ] ]
а  , ,... ,а ... ·
(24.В.26)
Матричные элементы коммутаторов BI"'Da С PJl между состояниями
с 4"импульсами р' и р пропорциональны Da + 1 множителям р'  р, умно..
женным на полином порядка Da по производным по импульсу, действую..
щим на б 4 (р'  р), И поэтому они обращаются в нуль. Поскольку reHepaTo"
ры BI..'Da коммутируют С операторами импульса, то в соответствии с уже
полученными результатами, они действуют на одночастичные состояния как
матрицы вида
b JlI."Da ( )  b I'..Da + JlI...Da 1
а р  а аа p '
(24.В.27)
rде bl'''Da  независящие от импульса эрмитовые матрицы со сле..
дом, равным нулю, rенерирующие aлrебру обычной внутренней симмет..
рии;" aI'..Da  численные постоянные, не зависящие от импульса, причем
и bI'..Da, И aI".Da симметричны по индексам fll ... f.!Da. Кроме TOro, ХО"
тя Аа и не обязаны коммутировать с p, они не MOryт уводить одночастичные
состояния с массовой поверхности. Тоrда, поскольку предположение 1 тре..
бует, чтобы оператор pp имел только дискретные собственные значения,
reHepaTopbl Аа должны коммутировать с PP. Отсюда, в частности, сле..
дует, что при D  1
О  [P I Р. [P 2 [p JlDa А ]] ]  2Р. B I'.'flDa
 l , , · · · ,а. ..  I а ,
следовательно
О  Ь  I ... JlDa ( )
 PI аР.
(24.8.28)
До тех пор, пока теория содержит массовые частицы, это равенство должно
выполняться для 4"импульса Р в любом времениподобном направлении, так
что при Da  1 должны выполняться условия
b I."Da  О
а ,
(24.В.29)
и
JlI".Da  I ...Da
аа  aa
(24.В.30)

Приложение В. Теорема КОУll.МенаМандулы
23
Но для Da  2 условие (24.В.30) вместе с симметрией aI...Da по ин..
дексам  1 . . . Da приводит К aI".Da == о. (Тоrда a1 2."Da == a21...Da
 2I...Da  2I ...Da  ' 2...Da  I 2...Da  I 2..'Da ) И
 aa  aa  аа  аа  aa . так,
у нас осталось, самое большее, два типа ненулевых reHepaTopoB симметрии:
те rенераторы симметрии с Da == О, для которых reHepaTop Аа коммутирует
с p и поэтому должен быть либо reHepaTopoM внутренней симметрии, либо
линейной комбинацией p, и те rенераторы симметрии с Da == 1, для которых
[pV,A a ] == av p,
(24.В.31 )
rде av  антисимметричные по  и v числовые константы. Из коммутато..
ра (24.В.31) следует, что
А  1. v J Б
а   2 'аа V + а,
(24.В.32)
rде Jv  reHepaTop преобразований собственной rpуппы Лоренца, который
в силу (2.4.13) удовлетворяет условию [PV,JPO] == i..,vp ра + i..,vo РР, а опера..
тор Ба коммутирует с P. Поскольку Аа и Jv являются rенераторами симмет..
рии, то оператор Ба должен быть линейной комбинацией reHepaTopoB внут"
ренней симметрии и (или) линейной комбинацией компонент P. Поэтому
равенство (24.В.32) завершает доказательство теоремы КоулменаМаИДулы.
* * *
В теориях только с безмассовыми частицами условие (24.В.30) не обя..
зано следовать из (24.В.28). Поскольку pp == о, мы можем также иметь
I...Da + I ...Da I
аа аа ос .., .
(24.В.33)
В этом случае алreбра симметрии состоит из aлreбр внутренних симмет..
рий и алrебры конформной rpуппы, которая определяется rенераторами K
и D вместе с reнераторами Jv и p rpуппы Пуанкаре. Коммутационные
соотношения имеют вид
[P, D] == iP, [K , D] == iK,
[P, К"] == 2i"'vD + 2iJV, [K, К"] == о, (24.В.34)
[JPO, K] == i..,p ка  i..,o КР, [р о ,D] == о,
а коммутационные соотношения (2.4. 12Н2.4. 14) для aлreбры Пуанкаре
i[Jv ,р О ] == ..,v p Jo  ..,P]Vo  ..,O JPv +..,0\1 JP,
i[P, JPO] == ..,p ро  ..,O рР, (24.В.35)
[P, рР] == о.

24
rлава 24. Историческое введение
Бесконечно малый элемент rpуппы
U( 1 + 00, Е, Л, р) == 1 + (i/2)1 voov + iPE + iЛD + iKp
(24.В.36)
индуцирует бесконечно малое пространственно"временное преобразование
x -----t x + oovxv +E +Лх + pxvxv  2xpvxv.
(24.В.37)
Эти формулы дают наиболее общий вид бесконечно малых преобразований
пространства"времени, инвариантных на световом конусе.
Задачи
1. Покажите, что в случае безмассовых частиц самая общая алrебра сим..
метрии, допускаемая предположениями теоремы КоулменаМандулы,
состоит из reHepaTopoB внутренней симметрии и либо алrебры Пуанка..
ре, либо конформной алrебры (24.В.34), (24.В.35).
2. Покажите, что действие ЖервеСакиты (24.2.5) инвариантно относи
тельно преобразования суперсимметрии на мировом листе (24.2.7).
3. Вычислите изменение плотности лаrpанжиана ВессаЗумино (24.2.9)
при пространственновременном преобразовании суперсиммет
рии (24.2.8).
Список литературы
1. В. Sakita, Phys. Rev. 136, В 1756 (1964); F. Gursey and L. А. Radicati,
Phys. Rev. Lett. 13, 173 (1964); А. Pais, Phys. Rev. Lett. 13, 175 (1964);
F. Gursey, А. Pais, and L. А. Radicati, Phys. Rev. Lett. 13, 299 (1964).
Эти статьи перепечатаны в сб.: Symтetry Groups in Nuclear and Particle
Physics, F. J. Dyson, ed. (W. А. Benjamin, New York, 1966), вместе с
полезными лекциями Дайсона по этим вопросам.
2. Е. Р. Wigner, Phys. Rev. 51, 106 (1937). Это воспроизведено в сб.:
Symmetry Groups in Nuclear and Particle Physics 1.
3. А. Salam, R. Delbourgo, and J. Strathdee, Proc. Roy. Soc. (London) А 284,
146 (1965); М. А. В. Beg and А. Pais, Phys. Rev. Lett. 14, 267 (1965);
В. Sakita and К. С. Wali, Phys. Rev. 139, В 1355 (1965). Это воспроиз"
ведено в сб.: Syттetry Groups in Nuclear and Particle Physics 1.
4. W. D. McGlinn, Phys. Rev. Lett. 12, 467 (1964); о. W. Greenberg,
Phys. Rev. 135, В 1447 (1964); L. Michel, Phys. Rev. 137, В 405

Список литературы
25
(1964); L. Michel and В. Sakita Апп. /пst. HeпriPoincare, 2, 167 (1965);
М. А. В. Beg and А. Pais, Phys. Rev. Lett. 14, 509, 577 (1965); S. Coleman,
Phys. Rev. 138, В 1262 (1965); S. Weinberg, Phys. Rev. 139, В 587 (1965);
L. О' Raifeartaigh, Phys. Rev. 139, В 1052 (1965). Это воспроизведено
в сб.: Syттetry Groups in Nuclear and Particle Physics 1.
5. S. Coleman and J. Mandula, Phys. Rev. , 159, 1251 (1967).
6. В качестве введения со ссьшками на ориrинальную литературу см.
моноrpафию М. В. Green, J. Н. Schwarz, and Е. Witten, Superstring theory
(Cambridge University Press, Cambridge, 1987); J. Polchinski, Striпg Theory
(Cambridge University Press, Cambridge, 1998).
7. Р. Ramond, Phys. Rev. D3, 2415 (1971). Эта статья перепечатана в сб.:
Superstrings  The First J 5 Years о/ SuperString Theory, J. Н. Schwarz, ed.
(World Scientific, Singapore, 1985)
8. А. Neveu and J. Н. Schwarz, Nucl. Phys. , В31, 85 (1971); Phys. Rev.
D4, 1109 (1971). Эта статья перепечатана в сб.: Superstrings  The First
J 5 Years о/ SuperString Тheory 7. См. также У. Aharonov, А. Casher, and
L. Susskind, Phys. Rev. , D5, 988 (1972).
9. J.L. Gervais and В. Sakita, Nucl. Phys. В34, 632 (1971). Эта статья пере
печатана в сб.: Superstrings  The First J 5 Years о/ SuperString Theory 7.
10. J. Wess and В. Zumino, Nuc/. Phys. В70, 39 (1974). Эта статья перепеча
тана в сб.: Supersyттetry, S. Fепarа, ed. (North HollandJWorld Scientific,
Amsterdam/Singapore, 1987).
11. J. Wess and В. Zumino, Phys. Lett. 49В, 52 (1974). Эта статья перепеча
тана в сб.: Supersyттetry 10.
llа. F. Gliozzi, J. Scherk, and D. Olive, Nucl. Phys. В122, 253 (1977).
12. Yu. А. Gol'fand and Е. Р. Likhtman, JETP Letters 13, 323 (1971). Эта
статья перепечатана в сб.: Supersyттetry 10.
13. D. V. Volkov and У. Р. Akulov, Phys. Lett. 46В, 109 (1973). Эта статья
перепечатана в сб.: Supersyттetry 10.
14. М. GellMann, Cal. Tech. Synchrotron Laboratory Report CTSL20 (1961),
не опубликовано. Эта работа перепечатана наряду с друrими статьями
по SU(З) симметрии в сб.: М. GellMann and У. Neeman, The Eightfold
Way (Benjamin, New York, 1964).
15. R. Haag, J. Т. Lopuszanski, and М. F. Sohnius, Nucl. Phys. , В88, 257
(1975). Эта статья перепечатана в сб.: Supersyттetry 10.

25
Алrебры суперсимметрии
В этой rлаве, следуя работе Xaara, Лопушанскоro и Сониуса 1, ис..
ходя из первых принципов, будет развита форма алreбры суперсимметрии.
Как мы увидим, в условиях применимости теоремы КоулменаМандулы эта
структура почти однозначно фиксируется требованием лоренц"инвариант"
ности. Затем непосредственно из алreбры суперсимметрии будет выведена
структура супермультиплетов одночастичных состояний.
 25.1. Ipадуированные алrебры Ли и rpадуированные параметры
В разделе 2.2 мы видели, как выразить любое непрерывное преобра..
зование симметрии в терминах алrебры Ли линейно независимых reHepaTo"
ров симметрии t a , удовлетворяющих коммутационным соотношениям [t a , tb]
== iLcbtc. Почти таким же путем суперсимметрия выражается в терминах
reHepaTopoB симметрии t a , которые образуют zрадуuрованную алreбру Ли 2,
реализуемую коммутационными и антикоммутационными соотношениями
вида
tatb  (  1 )l1al1btbta == i L btc.
с
(25.1.1)
(В этом разделе условие суммирования по дважды повторяющимся индексам
временно отменено.) Здесь величина l1а' называемая обычно zрадyuровкоU
оператора t a , для каждоro а есть либо +1, либо О, а b  набор числовых
структурных констант. rенераторы t a , для которых l1а == 1, называются фер..
.мuонны.мu; те reнераторы, для которых l1а == О, называются БОЗ0ННЫ.мu. COOT
ношение (25.1.1) содержит в себе коммутационные соотношения бозонных
операторов дрyr с дрyroм И С фермионными операторами, но антикомму..
тационные соотношения между фермионными операторами. Мы вернемся
вскоре к мотивировке формулы (25.1.1), а пока только посмотрим на ее след..
ствия для структурных констант.

25.1. rpaдyupoBaHHble Шlzебры Ли и zрадyuрованные парам.етры
27
Соrласно формуле (25.1.1), структурные константы должны удовле..
творять условиям
СЬа == ( 1 )l1al1bb.
(25.1.2)
Для любоro оператора, образованноro как Функционал полевых операторов,
произведение двух бозонных или двух фермионных операторов есть бо..
зонный оператор, а произведение фермионноro и бозонноro операторов 
фермионный оператор, так что
b == о, если не выполнено условие l1с == l1а +l1ь (mod 2).
(25.1.3)
Кроме TOro, для любоro оператора, образованноro указанным способом, эр..
митово..сопряженный оператор к бозонному или фермионному оператору
есть, соответственно, бозонный или фермионный оператор. Если операто..
ры t a эрмитовы, то структурные KOHcTaHThI удовлетворяют условию действи..
тельности
b * == Cba.
(25.1.4)
Структурные константы удовлетворяют также нелинейным оrpаниче..
ниям, следующим из тождества Якоби для супералrебры
(I)l1cl1a [[ta,tb},t c } + (I)l1al1b [[tb,tc},t a } + (I)l1bl1c [[tc,ta},tb} == о. (25.1.5)
Здесь «[...}» означает коммутатор/антикоммутатор, подобный тому, что сто..
ит В левой стороне формулы (25.1.1), но обобщенный на любые rpадуиро..
ванные операторы О, о' и т. п.
[о, d} = od  (1 )11(0)11(0')0' О == ( 1 )11(0)11(0') [о', о},
(25.1.6)
причем имеется в виду, что любому произведению reHepaTopoB О == tatbtc · · ·
сооТветствует rpадуировка 11 ( о) = l1а + l1ь + l1с · .. (mod 2). (Чтобы доказать
формулу (25.1.5), достаточно доказать, что коэффициенты при tatbtc и tatctb
обращаются в нуль. Тоrда, блaroдаря симметрии левой стороны соотношения
(25.1.5) при циклических перестановках аЬс ----+ Ьса ----+ саЬ, коэффициенты
при всех остальных произведениях reHepaTopoB также обращаются в нуль.
Коэффициент при tatbtc в формуле (25.1.5) равен
(  1 )l1сl1а  (  1 )l1 а l1ь (  1 )l1а(l1Ь+l1с) == о,
а коэффициент при tatctb равен
(  1 )l1аl1ь (  1 )l1ы1c (  1 )l1а(l1Ь+l1с)  (  1 )l1Ьl1с (  1 )l1сl1а == о,

28
rлава 25. Aлzебры суперсимметрии
что и требовалось доказать.) Подставляя формулу (25.1.1) в соотношение
(25.1.5), получим упомянутые выше оrpаничения
I,(  1 ) l1cl1a C:bCdc + I,(  1 ) l1al1b ctcCda + I,(  1 ) l1bl1c C:aCdb == О
d d d
Разумеется, если все reнераторы являются бозонными, то формула (25.1.5)
переходит в обычное тождество Якоби, а формула (25.1.7)  в обычное нели..
нейное условие (2.2.22) на структурные константы.
Соотношение (25.1.1) можно взять в качестве исходноro, но ему можно
также дать обоснование, подобное тому, которое было дано в разделе 2.2 для
обычных алreбр Ли, как необходимоro свойства конечных непрерывных пре..
образований симметрии. Отличие лишь в том, что теперь эти преобразования
зависят от непрерывных zрадуированных параметров. Элементы набора rpa..
дуированных с"числовых параметров, включающеro rpaccMaHoBbl парамет..
ры (см. раздел 9.5) наряду с обычными числами, можно рассматривать как
«числа», которые удовлетворяют ассоциативному и дистрибутивному пра..
вилам, но вместо простой коммутативности удовлетворяют соотношениям
(25.1.7)
аарЬ == (1 )l1 а l1ьрЬ а а,
(25.1.8)
rде обозначения аа, a, . .. использованы для тoro, чтобы отличать различ..
HIe значения a..ro пар ам етра, подобно тому, как в векторной алreбре мы
можем обозначить через 'lfJ и и а а..ые компоненты различных значений неко"
TOpOro действительноro вектора. Как и ранее, а..ый rpадуированный пара..
метр характеризуется rpадуировкой l1а' равной + 1 или О для фермионноro
или бозонноro параметра аа соответственно. Иными словами, эти парамет..
ры коммутируют, если хотя бы один из них бозонный, И антикоммутируют,
если они оба фермионные. Произведение аа рЬуС · .. множества rpадуирован..
ных параметров имеет rpадуировку l1а +l1ь +l1с +... (mod 2); иначе roворя,
такое про изведение является фермионным параметром, если оно содержит
нечетное число фермионных параметров, ибозонным параметром во всех
остальных случаях. Леrко видеть, что при такой rpадуировке произведе..
ния rpадуированных параметров удовлетворяют такому же коммутационно"
му или антиком мутационному соотношению, как (25.1.8).
Рассмотрим непрерывное преобразование Т ( а), заданное формальным
степенным рядом по rpадуированным параметрам аа:
Т(а) == 1 + I,aa ta + I,aaabtab +... ,
а аЬ
(25.1.9)
rде t a , tab, и т. д.  множество не зависящих от а операторных коэффи..
циентов. При этом для них не предполarаются выполненными какие..либо
aлreбраические соотношения типа (25.1.1). Поскольку параметры аа

25.1. Fрадyuрованные Шl2ебры Ли и zрадyuрованные параметры
29
удовлетворяют соотношению (25.1.8), коэффициенты tab... должны удовле..
творять условиям симметрии/антисимметрии, таким, как
tab == (  1 )llallbtba. (25.1.1 О)
Удобно также предположить, что преобразование Т(Р) коммyrирует с любым
значением аа любоro rpадуированноro п арам етра. В этом случае оператор..
ные коэффициенты в (25.1.9) удовлетворяют условиям
aa tb == (  1 )llallbtbaa, (25.1.11)
aa tbc == (1 )lla(llb+llc)tb c a a . (25.1.12)
Это означает, что tb и tbc коммутируют или антикоммyrируют с rpадуиро..
ванными параметрами, как если бы они сами бьши rpадуированными пара..
метрами с rpадуировкой 1lb и 1lb + l1с (mod 2) соответственно.
Дрyrие оrpаничения на эти операторы следуют из требования,
что Т(а) образуют полyrpуппу, т. е., что произведение операторов для раз..
личных значений а и р rpадуированных параметров само есть Т ..оператор,
Т(а)Т(р) == T(f(a,p)),
(25.1.13)
rде fC ( а, р) тоже является формальным степенным рядом по rpадуирован"
ным параметрам. Поскольку Т(О)Т(Р) == Т(Р) и Т(а)Т(О) == Т(а), должны
выполняться соотношения
fC(O, р) == рс, f C ( а, О) == аС, (25.1.14)
и поэтому разложение fC(a,p) в степенной ряд должно иметь вид
fC(a,p) ==аС+РС+ I,f:baapb+..., (25.1.15)
аЬ
rде f: b  набор обычных (т. е. бозонных) констант, а «. · .» обозначает члены
тpeтьero и более высоких порядков по rpадуированным параметрам. Чтобы
величина fC(a,p) была rpадуированным параметром, все члены в (25.1.15)
должны иметь одну и ту же rpадуировку, для чеro необходимо, чтобы
f:Ь == О, если не выполнено условие 1lc == 1la +1lb (mod 2). (25.1.16)
Подстановка степенных рядов (25.1.9) и (25.1.15) в правило умножения
(25.1.13) дает
[1 + I,ta + I,abtab +...] [1 + I,pa ta + I,papb taЬ +...]
а аЬ а аЬ
== 1 + I,( аС + рс + I,f:ЬаааЬ + ... )t c
С аЬ
+ I, ( аС + рс + · · · ) ( a d + pd + · · · ) tcd + · · · .
cd

30
rлава 25. Aлzебры суперсwиметрuu
Коэффициенты при 1, аа, ра, ааа Ь и рарЬ В обеих сторонах уравнения совпа..
дают, а условие, что должны совпадать также коэффициенты при аарЬ, дает
нетривиальное соотношение
(1 )llallbtatb == I,fabtc + tab + (1 ) llallb tba == I,fabtc + 2tab.
с с
(25.1.17)
(Знаковый множитель в левой стороне возникает из..за перестановки t a и рЬ.)
Вместе с аналоrичными соотношениями высших порядков это позволяет
вычислить всю функцию (25.1.9), если известны reнераторы t a И функция
rpупповой композиции fa(a, р). Но чтобы это бьшо возможно, t a должны
удовлетворять оrpаничению. Разность или сумма выражения (25.1.17) и та..
KOro же выражения с переставленными а и Ь дает, с учетом (25.1.10), соот..
ношения супералrебры Ли (25.1.1) со структурными константами
ib == (1 )llallb f:b  fba.
(25.1.18)
Из формул (25.1.16) и (25.1.18) непосредственно следует также соотношение
(25.1.3).
Комплексное сопряжение а* антикоммутирующеro с..числа а опреде..
лено так, что эрмитово сопряжение произведения а и произвольноro опера..
тора С есть
(аС)* == С *а*.
(25.1.19)
Отсюда следует, что произведение с..чисел ведет себя при комплексном со..
пряжении так же, как произведение операторов при эрмитовом сопряжении:
(аР)* == р*а*,
(25.1.20)
а а* имеет ту же rpадуировку, что и а.
Пространственно"временные симметрии cтporo оrpаничивают имею..
щие значение для физики rpадуированные aлreбры Ли. Обратимся к рас..
смотрению этих оrpаничений.
25.2. Алrебры суперсимметрии
Рассмотрим произвольную rpадуированную алreбру Ли reHepaTopoB
симметрии, коммутирующих с S"матрицей. Если Q  любой из фермион..
ных reHepaтopoB симметрии, то таким же будет reHepaтop ul(Л)QU(Л),
rде U(Л)  квантово"механический оператор, соответствующий произволь..
ному однородному преобразованию Лоренца ЛV. Поэтому ul(Л)QU(Л)
есть линейная комбинация полноro набора фермионных reHepaтopoB сим..
метрии, и, следовательно, этот набор reHepaTopoB должен реализовывать

25.2. Aлzебры cyпepcuммeтpuu
31
представление однородной rpуппы Лоренца. Тоrда отдельные rенераторы
можно классифицировать соrnасно неприводимому представлению однород..
ной rpуппы Лоренца, к которому они принадлежат.
Как описано в разделе 5.6, представление однородной rpуппы Лорен..
ца, реализованное посредством любоro набора операторов, можно опреде..
лить по их коммутационным соотношениям с reнераторами А и В, которые
определены следующим образом:
А =  (J + iK) ,
в = ! (J  iK) ,
2
(25.2.1 )
rде J и К  эрмитовые reHepaTopbl пространственных поворотов и лорен..
цевских бустов соответственно. Они удовлетворяют коммутационным соот"
ношениям
[Ai,Aj] == LEijkAk,
k
[Bi,Bj] == LEijkBk,
k
[Ai,Bj] == О,
(25.2.2)
rде i, j и k пробеrают значения 1,2,3, а Eijk  полностью антисимметричный
тензор, причем Е123 == + 1. Таким образом, представления однородной rpуппы
Лоренца, подобно состояниям с двумя независимыми спинами, индексиру..
ются парой целых или полуцелых чисел А и В, а элементы представления
различаются парой индексов а и Ь, которые пробеrают с единичным ша..
roM, значения от A дО +А и от B дО +В соответственно. Конкретнее,
набор (2А + 1)(2В+ 1) операторов QdC, образующий (А, В) представление
однородной rpуппы Лоренца, удовлетворяет коммутационным соотноmени"
ям
[A,!tf] ==  LJ!t,
d
[B,{tJ] ==  LJ{tJ,
а'
(25.2.3)
rде J(j)  матрица тpexMepHoro вектора спина для yrловоro момента j:
(Jj) :i: iJij) ) о' а == 00' ,аН V (j 1= й) (j :i: й + 1), (Jj) ) о' а == 00' ,аЙ. (25.2.4)
Из (25.2.4) следует, что*
 ( J(j» ) * == (1)0' a ( J(j» ) .
о' (J o' , o
(25.2.5)
* Напомним, что мы используем звездочку * для обозначения эрмитовоro сопри..
жения оператора или комплексноro сопряжения числа; крест t будет использоваться
для транспонирования матрицы, образованной из эрмитово..сопряженных операторов или
комплексно..сопряженных чисел.

32
rлава 25. Aлzебры cyпepcuммeтpuu
Таким образом, если Q  набор операторов, которые преобразуются по
представлению спина j rpуппы вращений, тorдa таким же образом пре..
образуются операторы (I)jOo. Формула (25.2.1) показывает также,
что А * == В. Выполнив эрмитовое сопряжение в формуле (25.2.3), можно ви"
деть, что эрмитово..сопряженные операторы Q:f*, которые преобразуются
по представлению (А,В) однородной rpуппы Лоренца, связаны преобразо..
ванием подобия с операторами Qg:, преобразующимися по (В,А) представ..
лению:
Q:f* == (l)Aa(l)Bb Q ,a' (25.2.6)
Теорема ХaaraЛопушанскоr<rCониуса 1 утверждает, в частности, что
reнераторы фермионной симметрии MOryт принадлежать лишь представ..
лениям (0,1/2) и (1/2,0). Как мы видели, эрмитово..сопряженные опера..
торов (0,1/2) или (1/2,0) есть линейные комбинации операторов (1/2,0)
или (0,1/2), соответственно, так что полный набор операторов фермион..
ной симметрии можно разделить на reнераторы Qar представления (0,1/2)
(с опущенным индексом (0,1/2) и им эрмитово..сопряженные reHepaтo..
ры r представления (1/2,0), rде а  спинорный индекс, пробеrающий
значения :f: 1/2, а r используется, чтобы отличать разные двухкомпонентные
reнераторы с одинаковыми свойствами по отношению к преобразованию
Лоренца *. Далее теорема утверждает, что фермионные reнераторы можно
определить так, чтобы они удовлетворяли антикоммутационным соотноше..
ниям
{ Qar, Qbs} == 20rs(fbP  '
{Qar,Qbs} == eabZrs,
(25.2.7)
(25.2.8)
rде p  оператор 4"импульса, Zrs == Zsr  reнераторы бозонной симмет..
рии, а a и е  матрицы 2 х 2 (со строками и столбцами, помеченными
индексами +1/2, 1/2):
(11==( ),
(10 == ( ),
(12 == ( o i),
e==(l ).
(13==( 1)'
(25.2.9)
* для двухкомпонентных вейлевских спиноров Qar мы используем прямые латинские бук..
вы вместо курсива, чтобы отличить их от 4компонентных спиноров Дирака, которые будyr
введены в этом разделе позже. Существуют также обозначения, введенные ван..дер..Варденом,
в которых (0,1/2) операторы типа Q записываются с точкой над индексом, Qa, а (1/2,0)
операторы записываются без точки над индексом. Мы не будем использовать здесь эти обо..
значения, но вместо этоro будем явно указывать, по какому из представлений однородной
rpуппы Лоренца, (0,1/2) или (1/2,0), преобразуются двухкомпонентныe спиноры.

25.2. Aлzебры cyпepcuммeтpuu
33
Наконец, фермионные reHepaтopbl коммутируют с энерrией и импульсом:
[p,Qar] == [p,r] ==0,
(25.2.1 О)
а Zrs И Z;s представляют набор центральных зарядов этой aлrебры, в том
смысле, что
о == [Zrs, Qat] == [Zrs, ] == [Zrs, z,и] == [Zrs, Z:и]
== [Z;s,Qat] == [Z;s'] == [Z;s,Z:и].
(25.2.11 )
Чтобы доказать эти утверждения, начнем с рассмотрения ненулевых re..
нераторов фермионной симметрии, которые принадлежат некоторому непри..
водимому представлению (А,В) однородной rpуппы Лоренца и поэтому мо"
ryт быть обозначены как QdC, rде а и Ь пробеrают с шaroм единица зна..
чения от A дО +А и от B дО +В соответственно. Как уже отмечалось,
эрмитово..сопряженные операторы связаны соrnасно соотношению (25.2.6)
с операторами, принадлежащими представлению (В,А), так что антикомму..
татор этих операторов должен иметь вид
А+В А+В С D
{,,} ==(I)Aa'(I)BЬ' r r r r
C==IABI D==IABI c==C d==D
Х САв(Сс;а, b')CAB(Dd; a'b)X;p, (25.2.12)
rде CAB(ja; аЬ)  обычный коэффициент Клебшаrордана для связи спинов А
и В в спин j, а xD  (с,d)"компонента оператора, который преобразует..
ся соrnасно (C,D) представлению однородной rpуппы Лоренца. Используя
хорошо известные свойства унитарности коэффициентов Клебшаrордана,
можно выразить оператор х;р через эти антикоммутаторы:
А В А В
х;р == r r r r (l )Aa' (  1 )Bb'
a==A b==B a'==A b'==B
Х САВ(Сс;а, b')CAB(Dd; a'b)X;p {,,}.
(25.2.13)
Не все из этих операторов обязательно отличны от нуля. Но коэффициенты
Клебшаrордана CAB(ja, аЬ) при j == а == А + В или j == a == А + в отличны
от нуля лишь при а == А, Ь == В и а == A, Ь == B, соответственно, причем оба
равны единице. Поэтому, подставляя в формулу (25.2.13) С == D == с == d
== А + В, находим
хА+В,А+В  ( 1 ) 2B {Q AB Q AВ* }
A+B,AB  A,B' A,B ·
(25.2.14)

34
rлава 25. Aлzебры суперсимметрuu
Это выражение не может обращаться в нуль, если только не вьmолнено усло..
вие QB == О, которое означало бы (что можно видеть, рассматривая ком..
,
мутаторы с «понижающими» операторами А 1  М2 И «повышющими» опе..
раторами Bl +iВ 2 ), что все Q:f равны нулю. Следовательно, если имеются
любые неисчезающие (А, В) фермионныIe операторы, то их антикоммутаторы
с им же сопряженными должны, по крайней мере, содержать ненулевые reHe..
раторы бозонной симметрии, принадлежащие представлению (А+В,А+В).
Далее, теорема КоулменаМандулы утверждает, что reнераторы бо..
зонной симметрии состоят из (1/2, 1/2) reHepaTopoB трансляций p,
(1,0) + (0,1) reHepaTopoB собственных преобразований Лоренца Jv и, воз..
можно, (0,0) reHepaTopoB различных внутренних симметрий ТА. (Напомним,
что симметричные тензоры paнra N с нулевым следом преобразуются по
представлению (N /2,N /2), антисимметричные тензоры paHra 2 преобразу..
ются по представлению (1,0) + (0,1), а дираковские поля преобразуются
по представлению (1/2,0) + (0,1/2).) Следовательно, rенераторы фермион..
ной симметрии MOryт принадлежать только пр едставлен ия м (А + В) толь..
ко с А + В  1/2. эти операторы переводят бозоны в фермионы и обрат..
но, так что они не MOryт быть скалярами, и остаются только представ..
ления (1/2,0) и (0,1/2), что и требовалось доказать. Если Qar  линейно
независимые (О, 1/2) фермионные rенераторы, то антикоммутатор {Qar, Qbs}
принадлежит представлению (0,1/2) х (1/2,0) == (1/2,1/2), поэтому он дол..
жен быть пропорционален единственному (1/2,1/2) reHepaTopy бозонной
симметрии, 4"вектору импульса P. Лоренц"инвариантность требует, чтобы
это соотношение имело вид
{Qar, Qbs} == 2Nrs(fbP'
(25.2.15)
rде N rs  числовая матрица.
Чтобы убедиться в этом, используем обсуждавшийся в разделе 2.7
изоморфизм rpуппы Лоренца (или, более cтporo, ее накрывающей rpуппы)
с rpуппой SL(2, С) двумерных унимодулярных комплексных матриц л. Дей..
ствие преобразования Лоренца Л v на (0,1/2) фермионные reнераторы есть
ul(Л)QаrU(Л) == I,лаьQЬr,
ь
(25.2.16)
rде Л  преобразование Лоренца, определенное соотношением
Л(fлt == л v (fv.
(25.2.17)
Можно проверить, что соотношение (25.2.16) применимо для (0,1/2) опера..
торов, если заметить, что при инфинитезимальном преобразовании Лорен..
ца Л v == O v +ro v, rде OOv == IOV, соотношение (25.2.17) удовлетворяется

25.2. Алzебры суперсwиметрuu
35
при
л. == 1 +  [  iЕjjkЮij + юю] (Jk,
в то время как *
и (А) == 1 +  iю!!vJ!!V == 1 +  iЕjjkЮjjJk  iЮiOКj.
(Подразумевается суммирование по повторяющимся латинским индек..
сам i, j, k от 1 до 3.) В этом случае, приравнивая коэффициенты при IOij
и IOiO В формуле (25.2.16), находим, что
1
[J,Q,] == 2 L(JabQь,
ь
[K,Q,] ==   iL(JabQb,
Ь
ИЛИ, эквивалентно,
1
[B,Qa] == 2 L(JabQь, [A,Qa] ==0,
ь
откуда видно, что операторы, удовлетворяющие соотношению (25.2.16),
принадлежат представлению (О, 1/2). Далее, a образуют полный на..
бор матриц 2 х 2, поэтому антикоммутатор {Qar,Qbs} можно предста..
вить как Nfs( a)ab, rде N  некоторая матрица операторов. Соотноше..
ния (25.2.16) и (25.2.17) показывают, что эти операторы есть 4"векторы,
в том смысле, что ul(Л)NU(Л) == ЛvNV, и тоrда, соrласно теореме
КоулменаМандулы, они должны быть пропорциональны p  единствен..
ному 4"вектору операторов бозонной симметрии P. Полarая Nfs == 2PNrs,
получим соотношение (25.2.15).
Применим теперь линейное преобразование к reHepaтopaM Qar, чтобы
представить их антикоммутаторы в виде (25.2.7). для этоro нужно устано..
вить, что матрица N rs эрмитова и положительно определена. То, что она
эрмитова, сразу следует из результата применения эрмитовоro сопряжения к
соотношению (25.2.15). Чтобы убедиться, что она положительно определена,
напомним прежде Bcero, что Qar выбраны линейно независимыми, так что
для любой ненулевой линейной комбинации Q = I,ardacrQar должно суще..
ствовать некоторое состояние 1'1'), при действии на которое оператором Q
не получится нуль. Вычисление среднеro значения соотношения (25.2.15)
в этом состоянии дает
2(Ч'ILаРdаdЫЧ') LCrc;N rs == (Ч'I{Q,Q*} 1'1') > о.
аЬ '!
*Здесь К; определено как JiO. В двух первых изданиях тома 1 была ошибка: К; было
определено как JiO в разделах 2.4, 3.3 и 3.5, но как JiO в разделах 5.6 и 5.9, тоrда как А и В
всюду определены соrласно (25.2.1).

36
rлава 25. Aлzебры суперсwиметрuu
Отсюда сразу следует, что LrsCrc;Nrs не может обращаться в нуль ДJIJI лю..
бых C r , которые не все одновременно равны нулю. Поэтому матрица N rs
является либо положительно определенной, либо отрицательно определен..
ной. Но оператор I,ab(a)abPdadb является положительным в пространтве
физических состояний с PP  о и РО > О, так что матрица N rs должна
бьпь положительно определенной*.
Теперь можно определить новые фермионные reнераторы
n'   N1/2 Q
'<ar ==  rs ш,
s
ДJIJI которых антикоммутаторы принимают вид
{ ' '* } 
r,Abs == 2orsaabP.
в дальнейшем мы будем предполarать, что фермионные reHepaтopbl опре..
делены именно таким образом, и опустим штрихи, так что соотношение
(25.2.7) выполняется.
Далее нужно показать, что Qar коммутируют с 4"вектором импуль..
caP. Коммутатор (1/2,1/2) оператора, подобноro P, с (0,1/2) оператором,
подобным Q, может быть только (1/2,0) или (1/2,1) оператором. Но мы
видели, что не существует (1/2,1) reHepaTopoB симметрии, поэтому комму..
татор P с Q может быть пропорционален только (1/2,0) reHepaтopy сим..
метрии Q*. Лоренц"инвариантность требует, чтобы это соотношение имело
вид
[Jtab,Qcr] == LeacKrsQbs,
s
(25.2.18)
rде К  числовая матрица, а Jt  матрица операторов
Jt = aP.
(25.2.19)
(Матрица е ас  коэффициент Клебшаrордана ДJIJI связи двух спинов 1/2
в суммарный спин о.) Тоrда прямые вычисления дают
[Jt!!, [Jt!!, {Q!r,Q!s}]] == 4(Jt)!!(KKt)rs'
(25.2.20)
с учетом формулы (25.2.7), левая часть этоro соотношения есть линейная
комбинация двойных коммутаторов [P, [Рv,Рл]], каждый из которых равен
*Этот apryмeнт можно обратить. Предполarая суперсимметрию с положительно опре..
деленной матрицей N rs , как в (25.2.7), можно показать, что рО > О для всех состояний 2.
Однако это заключение неверно при учете rpавитации. Но если не учитывать rpавитацию,
сдвиr энерrии всех состояний на одну и ту же величину не приведет к физическим эффектам.

25.2. Aлzебры cyпepcuммeтpuu
37
нулю, тоrда как (Jt )1/21/2 при произволъных импульсах не равняется
нулю, так что KKt == о, и поэтому К == о. с учетом коммутатора (25.2.18),
это показывает, что [P, Qar] == о. Комплексное сопряжение дает [P, r] == о.
Теперь можно рассмотреть антикоммутатор двух Q. Антиком..
мутатор двух (0,1/2) reHepaтopoB симметрии должен быть линейной
комбинацией (0,1) и (0,0) reHepaтopoB симметрии. Соrласно теореме
КоулменаМандулы, (0,1) reHepaтopbl симметрии MOryт быть только линей..
ными комбинациями reHepaтopoB J VЛ собственных однородных преобразо..
ваний Лоренца. Но, поскольку все Q коммутируют с P, антикоммутаторы
двух Q также должны коммутировать с P, а формула (2.4.13) показыва..
ет, что никакая линейная комбинация reHepaтopoB J VЛ не коммутирует с P.
Поэтому остаются только (о, о) операторы, которые коммутируют как с P,
так и с Jv. Тоrда лоренц"инвариантность требует, чтобы антикоммутаторы
всех Q дрyr с дpyroM имели вид (25.2.8). reHepaтopbl внутренней симмет..
рии Zrs антисимметричны по r и s, поскольку все выражение должно быть
симметричным относительно одновременной перестановки r и а с s и Ь, а
матрица еаь антисимметрична по а и Ь.
Теперь остается только показать, что величины Z  центральные за..
ряды. Из (25.2.8) и (25.2.10) непосредственно следует, что
[P,Zrs] == о.
(25.2.21)
Далее рассмотрим обобщенное тождество Якоби (25.1.5), включающее два
оператора Q и один Q*:
0== [{Qar,Qbs},Q;t] + [{Qbs,Q;t},Qar] + [{Q;t,Qar},Qbs].
в силу формул (25.2.7) и (25.2.10), второй и третий члены обращаются
в нуль, так что
[Zrs, Q;,] == о. (25.2.22)
Наконец, рассмотрим обобщенное тождество Якоби для Z, Q и Q*:
о ==  [Zrs, {Qat, Qbu}] + {Qbu' [Zrs, Qat]}  {Qat, [Qbu,Zrs]}.
Первый и третий члены здесь исчезают в силу формул (25.2.21) и (25.2.22),
соответственно, так что остается только второй член
{Qbи, [Zrs, Qat] } == о.
(25.2.23)
Далее, коммутатор [Zrs,Qat] есть (0,1/2) reHepaтop симметрии, так что он
должен бьпь линейной комбинацией Q:
[Zrs, Qat] == I',MrstuQau.
(25.2.24)
11

38
rлава 25. Aлzебры cyпepcuммeтpuu
Тоrда формула (25.2.23) дает
(fbPJlMrstu == О
для всех а, Ь, r, s, t и и. Поскольку оператор (fPJl не равен нулю, следует
заключить, что M rstu == о, поэтому
[ Zrs, Qat] == о.
(25.2.25)
Использование антикоммутационных соотношений (25.2.8) и им сопряжен..
ных вместе с коммутационными соотношениями (25.2.22), (25.2.25) и им
сопряженными дает
[Zrs,Ztu] == [Zrs,Z:u] == [Z;s,Z:u] == О,
(25.2.26)
что и завершает доказательство соотношений (25.2.11), а вместе с ними и
теоремы ХaarаЛопymанскоr<rCониуса.
Разумеется, тот фaкr, что Zrs  центральные заряды алreбры супер..
симметрии, не исключает возможности существования друzux абелевых или
неа6елевых внутренних симметрий. Пусть ТА натяrивает полную алreбру
Ли внутренних бозонных симметрий. Тоrда [TA,Qar] есть (0,1/2) reHepaтop
симметрии, так что он должен быть линейной комбинацией Q:
..
[TA,Qar] ==  I,(tA)rsQas.
s
(25.2.27)
Из тождества Якоби для двух Т и одноro Q получим, что матрицы tA обра..
зуют представление алrебры внутренней симметрии
[tA,tB] == iI,CXBtc,
с
(25.2.28)
rде коэффициенты cfв  структурные KOHcTaHThI алrебры внутренней сим..
метрии
[ТА, ТВ] == iI,CXB Те.
с
Тоrда Zrs будут центральными зарядами не только суперaлreбры, образован..
ной из всех Q, Q* , PJl' Z и Z* , но также более широкой супералreбры, которая
содержит дополнительно все ТА. Чтобы убедиться в этом, заметим, что из
соотношений (25.2.27) и (25.2.8) следует
(25.2.29)
[ТА ,Zrs] ==  I,(tA)r"'Z",s  I,(tA)Ss'Zrs',
,., s'

25.2. Ал2ебры cyпepcuм.мeтpuu
39
так что Zrs образуют инвариантную абелеву подалrебру всей алreб..
ры бозонной симметрии. Но вспомним, что при доказательстве теоремы
КоулменаМандулы мы нашли, что полная алrебра Ли внутренней бозон
ной симметрии, которая в нашем случае натянута на ТА, изоморфна пря
мой сумме компактной полупростой алrебры Ли и нескольких алrебр U ( 1 ).
Единственные инвариантные абелевы подалreбры такой алrебры Ли натя
нуты на rенераторы И(1), поэтому Zrs должны быть rенераторами И(1) и,
следовательно, должны коммутировать со всеми ТА.
Хотя Z коммутируют со всеми rенераторами симметрии, они являются
не просто числами, а квантовыми операторами, значения которых MOryт
меняться от состояния к состоянию. На самом деле величины Z должны,
очевидно, принимать нулевые значения для суперсимметричноro BaКYYМHoro
состояния, действие на которое любоro суперсимметричноro reHepaTopa дает
нуль, но они не обязательно обращаются в нуль в общем случае. В разделе
27.9 мы увидим, как можно вычислить значения Z в калибровочных теориях
u u
с расширеннои суперсимметриеи.
В отсутствие центральных зарядов алrебра суперсимметрии (25.2.7),
(25.2.8) инвариантна относительно rpуппы U(N) внутренних симметрий,
Qar  L VrsQas,
s
(25.2.30)
..
rде V ar  унитарная (но не обязательно унимодулярная) матрица N х N.
Эта симметрия известна как Rимметрия. Она может быть или не быть
u u u u
хорошеи симметриеи деиствия, но если она является таковои, то может
нарушаться аномалиями, или может быть спонтанно нарушенной, а может
быть и хорошей симметрией природы.
Алreбра суперсимметрии, в которой r, s и т. д. пробеrают N > 1 зна..
чений, называется N ..расширенной cyпepcu.м.мeтpиeй. Если имеется только
одно Q, то из условия Zrs == Zsr следует, что все Z исчезают, а антикомму..
тационные соотношения принимают более простой вид
{Qa, Qb} == 2oP,
{Qa,Qb} == о.
(25.2.31)
(25.2.32)
Этот случай известен как простая суперсu.м.метрuя или N == 1 суперсиммет
рия. В этом случае преобразования Rсимметрии есть просто И(1) фазовые
преобразования
Qa  ехр(iФ)Qа,
(25.2.33)
с действительной фазой ф.
для различных целей удобно объединить (0,1/2) операторы Qar
и (1/2,0) операторы, которые соrласно формуле (25.2.6) можно взять

40
rлава 25. Aлzебры суперсимметрuu
как eabQbr' в четырехкомпонентные майорановские спинорные reHepaтo
ры Qar, определенные как
( e Q * )
Qr = Q: '
(25.2.34)
или, более явно,
Qlr == Q:"!r' Q2r == Q:"!r' QЗr == Q!r' Q4r == Q!r.
эти величины есть М8Йорановские спиноры в том смысле, что
Qr == Pey5Q;,
rде Р, Е И У 5  матрицы 4 х 4, которые можно записать как блочные матри..
цы 2 х 2:
p==( ) e==( ) Y5==( 1).
(Обзор свойств майорановских спиноров дан в приложении к rлаве 26.) Вид
(25.2.34) выбран в соответствии с обычными обозначениями для четырех..
компонентноro дираковскоro представления однородной rpуппы Лоренца,
в котором соrласно формуле (5.4.4) reHepaтopbl пространственных поворотов
и лоренцевских бустов, в соответствии с (5.4.19) и (5.4.20) представляются
в виде
Ji ==  [6 J, J{ i ==   [6 J.
Вместе с (25.2.1) это показывает, что операторы А и В действуют, cooт
ветственно, только на две верхних и две нижних компоненты дираковскоro
спинора. Отсюда ясно, почему (0,1/2) операторы Qar используются в каче
стве нижних, а не верхних компонент в формуле (25.2.34).
В этих четырехкомпонентных обозначениях основные антикоммута
ционные соотношения (25.2.31) и (25.2.32) для простой суперсимметрии
имеют вид
(25.2.35)
{Q Q} 2 ( О e(op)Te )   2 . P 
,  == а ll рll О  1 Il У ·
(25.2.36)
Наши обозначения для матриц Дирака бьши приведены в предисловии к
этому тому; здесь нам нужно только напомнить, что
о .А · ( О (0 )
У == ll-' == l ,
00 О
. ( 0 О )
У == l o О '
(25.2.37)

25.2. Алzебры суперсимметрuu
41
причем ео Т е  о, еоое == Oo и, как обычно, Q = Qtp. В случае расmирен
ной суперсимметрии присутствие центральных зарядов будет изменять эту
формулу; вместо (25.2.36) имеем
{  }  · J! ( 1+15 ) ?* ( 115 )
Qr,Qs  2IPf!'Y urs+ 2 L. sr + 2 Zrs.
(25.2.38)
Представленный здесь анализ для случая четырех пространственно"
временных измерений будет повторен, в несколько менее явной форме, для
общеro случая произвольноro числа пространственно"временных измерений
в rлаве 32. Как будет показано, reHepaтopbl суперсимметрии всеrда принад..
лежат фундаментальному спинорному представлению rpуппы Лоренца co
ответствующей (более высокой) размерности даже в теориях с протяженны
ми объектами, допускающих конструкции reHepaTopoB бозонной симметрии,
которые отличаются от разрешенных теоремой КоулменаМандулы.
* * *
В теориях безмассовых частиц, которые инвариантны относительно
aлrебры конформной симметрии (24.В.34Н24.В.35), имеются два до)Jол
нительных reHepaтopa бозонной симметрии D и K, которые MOryт появ..
u u
ляться в правои части антикоммутационных соотношении суперсимметрии.
По отношению к преобразованиям Лоренца эти новые reHpaтopbl имеют
свойства, соответственно, скаляра и вектора, подобные Zrs и P. Таким об
разом, повторим еще раз, фермионные reнераторы должны принадлежать
фундаментальному спинорному представлению (1/2,0) алreбры Лоренца и
ему эрмитово..сопряженному представлению (0,1/2). Удобно также класси
фицировать все reнераторы по их коммутаторам с reHepaтopoM дилатации
(растяжения) D; roворят, что оператор Х имеет размерность а, если
[x,D] == iaX.
(25.2.39)
Внимательное рассмотрение соотношения (24.В.34) показывает, что индексы
дилатации reHepaтopoB бозонной симметрии JV, Р , K и D равны соответ..
ственно О, + 1,  1 и о. Кроме TOro, reнераторы любой rpуппы Ли внутрен"
ней симметрии имеют нулевую размерность. Антикоммутатор фермионноro
reHepaтopa, имеющеro размерность а, с ему сопряженным есть положитель..
но определенный бозонный оператор с индексом 2а. Но поскольку поло
жительно определенными reнераторами бозонной симметрии MOryт быть
только линейные комбинации компонент p и KJ!' размерности reHepaтopoB
фермионной симметрии MOryт принимать только значения + 1 /2 и  1/2.

42
rлава 25. Aлzебры cyпepcuм.мeтpuu
Как и выше, (0,1/2) reHepaтopbl фермионной симметрии размерностью 1/2
и им сопряженные можно объединить в майорановские спиноры Qra, причем
{Qra, Qs p} == 2iP(I')aPOrs,
[p, Qra] == О,
[D,Qra] ==   iQra.
(25.2.40)
(25.2.41 )
(25.2.42)
(Заметим, что центральные заряды здесь отсутствуют, поскольку их размер
ности бьши бы равны О, а не + 1.) Коммутаторы K с Qra есть линейные
комбинации майорановских reHepaTopoB фермионной симметрии Q, по
этому, с учетом лоренцинвариантности, можно записать
[KIL, Qnx] == i(YIL)aj}Q.
(25.2.43)
(Произвольный множитель в правой части равенства включен в нормиров
КУ Qa, а фаза в правой части выбрана так, чтобы Q удовлетворяли CTaн
дартным условиям действительности (26.А.2) для майорановских спиноров.)
Размерность reHepaTopoB Q равна + 1 /2  1 ==  1/2, так что
[D,Q] == +  iQ.
(25.2.44)
Вычисление коммутаторов обеих частей равенства (25.2.43) с pv с учетом
коммутатора KJl с pv (24.В.34) дает
[pV, Q] == i(I'V)apQrp.
(25.2.45)
Как видно, Q и Q образуют пары. Беря коммутатор антикоммутационноro
соотношения (25.2.40) с K, находим антикоммутаторы Q и Q:
  ] · V о'.
{Qra, Qsp == 2,Do rs o a p + 2JJlv O rs Jap + OrsOap + rs(Ys)ap,
(25.2.46)
rде Jv = i[YJl,I'V]/4, а Ors И Os  лоренцинвариантные операторы с ну..
левой размерностью, причем
Ors == Osr, Os == +Qr.
(25.2.47)
Вычисляя коммутаторы обеих частей (25.2.43) с Kv и учитывая, что
[Kv,K] == О, убеждаемся, что выражение (Y)aP[КV' Q,.p] симметрично по 
и v, откуда с помощью несложных выкладок можно получить
[КV, QrP] == о.
(25.2.48)

25.3. Свойства zeHepaтopoB cyпepcuмм.eтpии при пространственной инверсии 43
Кроме тoro, вычисление коммутатора обеих частей (25.2.46) с Kv дает
  .
{Qra, Qsp} == +2IK(Y)apOrs. (25.2.49)
Наконец, вычисление коммутаторов обеих частей равенства (25.2.46) с Qt'Y
показывает, что Ors И s действуют как reнераторы rpуппы Rсимметрии
U(N), причем левые и правые части Qra преобразуются соответственно по
представления м N и N, тоrда как p, K и D являются U(N)инвариантными.
Коммутационные U(N) соотношения этих reHepaтopoB дpyr с дрyroм И
С дрyrими reнераторами, вместе с соотношениями (24.В.34), (24.В.35),
(25.2.40Н25.2.49) и с коммутаторами Jv и D с различными reнераторами,
образуют суперконФормную алzебру. Одно из наиболее важных отличий этой
алreбры от aлreбры простой или Nрасширенной суперсимметрии состоит
в том, что симметрия U (N) есть не просто внешний автоморфизм aлreб..
ры, который может быть, а может и не быть симметрией действия, а есть
часть суперконформной алreбры, которая поэтому должна быть симметрией
любоro суперсимметричноro и конформноинвариантноro действия.
25.3. Свойства rеиераторов суперсимметрии при простраиствеииой
инверсии
В теориях с сохранением четности результат plQarP действия оп е..
ратора четности Р на reHepaтopbl фермионной симметрии Qar также должен
быть reHepaтopoM фермионной симметрии. Поскольку J; и К; ЯВЛЯЮТСЯ, co
'"
ответственно, четными и нечетными относительно пространственнои инвер..
сии, то, как видно из формулы (25.2.1), действие оператора четности на А;
дает
PlA;P ==В;. (25.3.1)
Соrласно формуле (25.2.3), определение Qar как (0,1/2) оператора означает,
что
1
[B;,Qar] ==  2 I,(<J;)ab Qbr , [A;,Qar] == о.
ь
Действие оператора четности дает
1
[А;, plQarP] ==  2 I,(<J;)abplQьrP, [В;, plQarP] == о,
ь
так что plQarP есть (1/2,0) reHepaтop симметрии, который должен быть
линейной комбинацией reHepaтopoB r' Соrласно выражению (25.2.6),
лоренц"инвариантность требует, чтобы это соотношение имело вид
plQarP == I,f/' rseabQbs, (25.3.4)
bs
(25.3.2)
(25.3.3)

44
rлава 25. Aлzебры cyпepcuмм.eтpuu
rде   числовая матрица, а матрица е определена соrласно (25.2.9).
Некоторые свойства матрицы  можно установить из требования,
чтобы (25.3.4) бьшо соrласовано с фундаментальным антикоммутационным
соотношением (25.2.7). Соотношение (25.3.4) и ему сопряженное дают
pl {Qar,Qbs}P == I,  rteacg> sebd{ Q;t,Qdи}.
cdtи
Подставляя сюда (25.2.7), получим
OrsOpl pp == I,  rteac sebdOtiOJ:.P.
cdtи
Однако еоТ el == Oi, а еоь el == +00, тоrда как pl P == P; И pl рор
== Ро, поэтому приведенное выше соотношение сводится к утверждению,
что матрица g> унитарна,
t==l.
(25.3.5)
Матрица  до некоторой степени произвольна, поскольку для любоro набо
ра фермионных reHepaTopoB Qar, удовлетворяющих (25.3.2) и (25.2.7), можно
с помощью унитарною преобразования
n'  fi11 Q fi11 t == fi11 1 ,
'<ar == .L", 'U rs as, 'U 'U
S
(25.3.6)
построить дрyroй набор r' также удовлетворяющий соотношениям (25.3.2)
и (25.2.7), так что правило преобразования четности (25.3.4) принимает вид
pl<trP == I,seabQ,
bs
(25.3.7)
rде
 ' == <fJ <fJ 1* == <fJ <fJ Т.
(25.3.8)
для простой суперсимметрии  есть матрица 1 х 1, т. е. просто фазовый
множитель, а соотношение (25.3.4) принимает вид
plQaP ==  I,eabQj,.
ь
(25.3.9)
Комбинируя ею с сопряженным, можно получить
p2Qap2 == Qa,
(25.3.10)
независимо от выбора величины фазовою множителя  . Из этою вытекает
поразительное следствие, что если бозон в супермультиплете частиц имеет

25.3. Свойства zeHepamopoB cyпepcuмм.eтpии при пространственной инверсии 45
действительную внутреннюю четность, то фермионы, получающиеся дей..
ствием Qa на это бозонное состояние, имеют мнимые внутренние четности.
Поскольку для простой суперсимметрии <fJ и  есть просто фазовые
множители, из (25.3.8) очевидно, что подходящим выбором <fJ можно сделать
фазовый множитель ' каким yroдно. Удобно выбрать ' == +i, так что
формула (25.3.7) принимает простой вид (штрихи далее опускаем):
plQaP == iI,eabQb.
ь
(25.3.11 )
Как и для операторов спинорноro поля, представление пространственной
инверсии упрощается, если скомбинировать (0,1/2) операторы Qa и (1/2,0)
операторы ь eabQb в четырехкомпонентные дираковские спинорные reHe
раторы Qa, определенные соrласно (25.2.34). В этих обозначениях COOTHO
шение (25.3.11) и ему сопряженное объединяются в одно соотношение
plQP == iPQ.
(25.3.12)
(Мы используем для матриц Дирака определения, приведенные в разделе 5.4
и в предисловии к этому тому, соrласно которым
.,
р== ( ),
rде под 1 и О понимаются субматрицы 2 х 2.)
для расширенной суперсимметрии не всеrда возможно выбрать <fJ так,
чтобы ' бьта диaroнальной. Однако, теорема матричной aлrебры (ДOKa
занная в приложении Б к rлаве 2) показывает, что можно выбрать <fJ так,
чтобы ' бьта блочно..диaroнальной. В общем случае диaroнальными бло
ками матрицы будут некоторые субматрицы 1 х 1, которые можно выбрать
равными i (или любому дpyroмy фазовому множителю), и дрyrие субматри
цы 2 х 2, которые можно выбрать в виде
( О еХР(i ф ) )
ехр( iф) О '
с различными фазами ф. Соответственно, при таком выборе <fJ двухкомпо
нентные Q (штрихи снова опущены) будут двух типов. Операторы Q первоro
типа попрежнему удовлетворяют соотношению (25.3.11):
plQarP  iI,eabQbr.
ь
(25.3.13)

46
rлава 25. Aлzебры суперсимметрии
Двухкомпонентные операторы Q втoporo типа образуют пары, которые будем
обозначать как Qasl и Qas2, причем s..ая пара преобразуется относительно
преобразования четности по правилу:
P I Q Р  iфs  Q *
шl  е .LJeab bs2,
Ь
P l Q Р iф  n!
ш2 == е s .LJeab'<.bs 1.
ь
(25.3.14)
в частности, имеем
P 2 Q Р 2   е 2iФs Q
шl  шl,
P 2 Q Р 2   е 2iФs Q
ш2  ш2.
(25.3.15)
Эти соотношения показывают, что reHepaтopbl суперсимметрии первоro типа
невозможно образовать из линейных комбинаций reHepaтopoB расширенной
суперсимметрии втoporo типа, если только не выполнено условие Фs == О
(mod п).
В терминах четырехкомпонентных спиноров (25.2.34) действие опе
"
ратора четности на reHepaтopbl расширеннои суперсимметрии первоro типа
есть
pIQrP == ipQr,
(25.3.16)
тоrда как ДJIJI reHepaтopoB втoporo типа
· pIQsIP == Руsехр(iуsФs)Qs2, pIQs2P == pysexp( iуsФs)Qsl. (25.3.17)
25.4. СупеРМУJlьтиплеты безмассовых частиц
Суперсимметрия требует, чтобы в неприводимых представлениях ал..
reбры суперсимметрии всем известным частицам сопутствовали «счасти..
цы»: бозонные «скварки» и «слептоны» сопутствуют кваркам или лептонам,
а фермионные «калибрино» сопровождают калибровочные бозоны. Ни одна
из этих частиц не наблюдалась, так что суперсимметрия определенно на..
рушена, причем массы счастиц почти наверняка мною больше, чем массы
кварков, лептонов и калибровочных 60ЗОНОВ, которые опредеЛJIЮТСЯ спон..
танным нарушением электрослабой калибровочной rpуппы SU(2) х И(1),
и, следовательно, тoro же порядка величины, что и расщепления внутри cy
пермультиплетов. Поэтому весьма вероятно, что при энерrиях достаточно
больших, чтобы можно бьто пренебречь нарушением симметрии и этим
расщеплением масс, известные кварки, лептоны, калибровочные бозоны и
их суперпартнеры можно рассматривать как беэмассовые. Поэтому мы будем
специально интересоваться супермультиплетами безмассовых частиц.

25.4. Супермультиплеты без.массовых частиц
47
Рассмотрим состояние, содержащее одну безмассовую частицу, при
надлежащую некоторому супермультиплету. Дрyrие состояния тою же cy
пермультиплета получим действием операторов Qar и(или) Q:r на это COCTO
яние. Так как Qar и Q:r коммутируют с P Il , все эти состояния имеют одно
и то же значение 4импульса. Мы будем работать в лоренцевой системе oт
счета, в которой 4"импульс этих состояний имеет компоненты pl  р2 == О
И рЗ  рО == Е. При таком выборе 4"импульса
Gflpll == Е( ао + GЗ) == 2Е ( ),
(25.4.1)
и если не учитывать множитель 2Е, это есть матрица проектирования на под..
пространство спиральности + 1/2. Тоrда антикоммутационное соотношение
(25.2.7) показывает, что действие оператора {Q(1/2)r,Q(1/2)r} на любое co
стояние с этим импульсом в супермультиплете дает нуль, а, следовательно,
так же действуют Q(1/2)r И Q(1/2)r. Поэтому мы должны конструировать
состояния супермультиплета, действуя только операторами Q(1/2)r И Q(1/2)r.
Кроме тою, мы нумеруем операторы Q по их значениям Jз, в том смыIле,,
что
[Jз,Qаr]  aQar, (2.4.2)
так что Q(1/2)r И Q(1/2)r соответственно понижают и повышают спиральность
на 1/2.
Сначала рассмотрим случай простой суперсимметрии. Будем рассмат..
риватъ супермультиплет с максимальной спиральностью Лтах, и пусть IЛтах)
есть одночастичное состояние с такой спиральностью и с 4импульсом p't!.
Тоrда
Q IЛтах) == О, (25.4.3)

в то время, как действие Ql/2 на это состояние дает состояние IЛтах  1/2) со
спиралъностью Лтах  1/2. Определим это состояние следующим образом:
IЛтах  1/2) = (4Е)1/2QIIЛтах).

(25.4.4)
Фундаментальное антикоммутационное соотношение (25.2.7), вместе с co
отношениями (25.4.1) и (25.4.3), показывает, что это состояние нормировано
так же, как IЛтах):
(Лтах  1/21Лтах  1/2) == (ЛтахIЛтах),
(25.4.5)
и, в частности, это состояние не может обратиться в нуль. Как следует из
(25.2.32), Qi/2  о, поэтому действие оператора Ql/2 на IЛтах  1/2) дает
нуль:
QIIAmax  1/2)  (4E)1/2Q1IAmax)  о.
 
(25.4.6)

48
rлава 2S. Aлzебры cyпepcuм.мeтpuu
С дрyroй стороны, действие Qi/2 на это состояние дает исходное состояние,
с KOTOpOro мы начали:
Q IЛтах  1/2) == (4Е)1/2QQ!IЛтах) == (4E)1/2{Q ,Ql }IЛтах),
  2  
так что из формулы (25.4.1) и антикоммутационноro соотношения (25.2.31)
следует
Q IЛтах  1/2) == (4Е)1/2IЛтах).
2
Таким образом, супермультиплет состоит Bcero из двух состояний спираль
ностями Лтах И Лтах  1/2. Операторы Ql/2 и Qi/2 В базисе этих состояний
представляются в виде матриц
(25.4.7)
q! == J4E ( ), q! == J4E ( ),
тоrда как операторы Q1/2 и Q:'1/2 равны нулю.
Следует особо подчеркнуть, что это единственный тип безмассово
ro супермультиплета в теориях с простой суперсимметрией. Не существу..
ет безмассовых частиц, которым бы не сопутствовали суперпартнеры, и
ни одна из таких частиц не имеет более одноro суперпартнера. Разуме..
ется, ерт инвариантность требует, чтобы для каждоro супермультиплета
безмассовых частиц спиральностями Лтах И Лтах  1/2 существовал анти..
мультиплет спиральностями Лтах + 1/2 и Лтах. В частности, 6езмассовые
частица и античастица спиральностями + 1 /2 и  1/2 должны сопровождать..
ся безмассовыми частицами, имеющими либо спиральности + 1 и  1, либо
с обеими спиральностями, равными нулю.
Каким образом известные кварки, лептоны и калибровочные бозо..
ны должны вписываться в эту картину? Будем предполаrать, что reHe
ратор суперсимметрии коммутирует с rенераторами калибровочной rpуп..
пы SU(3) х SU(2) х И(1)*. Кварки и лептоны принадлежат представлению
калибровочной rpуппы, отличному от представления калибровочных бозо
нов, поэтому они не MOryт находиться в одном супермультиплете. Тоrда мы
U U
должны приити К выводу, что в пределе высоких энерrии, коrда наруше..
нием SU(2) х И(1) симметрии можно пренебречь, безмассовые кварки и
лептоны каждоro «цвета» и «аромата» входят в супермультиплеты вместе с
парами безмассовых скварков и слептонов нулевой спиральности и TOro же
caMoro цвета и аромата, тоrда как безмассовые калибровочные БозоныI со..
провождаются безмассовыми калибрино спиральностью :i: 1 /2, входящими
в сопряженное представление SU(3) х SU(2) х И(1).
(25.4.8)
*в простой суперсимметрии reHepaтop Qa в любом случае должен коммутировать
с SU(З) х SU(2) reнераторами, поскольку полупростые алreбры, подобные SU(З) х SU(2),
не имеют нетривиальных одномерных представлений.

25.4. Супермультиплеты безм.ассовых частиц
49
Поскольку существует rpавитация, в дополнение к частицам стан..
дартной модели должна также существовать безмассовая частица спи..
ральностью :Ж:2, zравитон. Безмассовые частицы спиральностью Л, такой,
что Iлl > 1/2, должны при малых импульсах взаимодействовать с сохраня..
ющимися величинами*. Мяrкие безмассовые частицы спиральностъю :Ж:l
MOryт взаимодействовать с различными reнераторами внутренней симмет..
рии, мяrкие безмассовые частицы спиральностью :Ж:3/2 MOryт взаимодей..
ствовать с rенераторами суперсимметрии Qa, а мяrкие безмассовые частицы
спиральностью :Ж:2  с единственной сохраняющейся величиной, вектором
4"импульса PJl' но не существует сохраняющихся величин, с которыми Mor..
ли бы взаимодействовать мяrкие 6езмассовые частицы с Iлl > 2. Мы прихо..
дим к заключению, что rpавитон не может находиться в супермультиплете
с частицами спиральностъю :Ж:5/2, поэтому он должен входить в один су..
пермультиплет с безмассовой частицей спиральностью :Ж:3/2, известной как
zравuтuно, взаимодействующей с самими rенераторами суперсимметрии.
Теория поля этою супермульmплета, известная как суперzравuтацuя, будет
обсуждаться в rлаве 31.
Рассмотрим теперь случай расширенной суперсимметрии с N reHepa"
торами суперсимметрии. Прежде Bcero заметим, что поскольку все Q(1/2)r
дают нуль при действии на состояния супермультиплета (включая СQСТОЯ"
ния, полученные действием Q(1/2)S на любое дрyroе состояние мультипле..
та), центральные заряды Zrs также должны анниrилироватъ любое состо..
яние мультиплета. В картине без центральных зарядов reHepaTopbl супер..
симметрии Q(1/2)s, действующие на супермультиплет безмассовых частиц,
антикоммутируют, так что действие п таких reHepaTopoB на одночастич"
ное состояние максимальной спиральностью Атах и 4"импульсом pJl да..
ет N!/n!(N п)! одночастичных состояний с тем же 4"импульсом и спираль..
ностъю л  п/2, образующих антисимметричное тензорное представление
paHra п SU(N) R"симметрии** (25.2.30). Максимальное значение величи..
ны п, которое дает ненулевое состояние, есть п  N, так что минимальная
спиральность в супермультиплете есть
Amin  Атах  N /2.
(25.4.9)
Если МЫ хотим исключить безмассовые частицы с Iлl > 2, то должно выпол"
няться условие Атах  Amin  4, поэтому разрешены расширенные суперсим"
метрии только с N  8.
для N  8, с исключенными спиралъностями Iлl > 2, имеется толь..
ко один возможный супермультиплет, содержащий: 1 rpавитон I\аждой из
* для случая целой спиральности это обсуждалось в разделе 13.1. Доказательство для
полуцелой спиральности бьто дано rрисару и ПеНДJIТОНОМ 3.
**Часть и (1) в R-симметрии и (N) часто нарушается квантовомеханическими анОМалиями.

so
fлава 2S. Ал2ебры суперсим.метрuu
спиральностей :f:2; 8 rpавитино каждой из спиральностей :f:3/2; 28 калиб..
ровочных бозонов каждой из спиральностей :f: 1; 56 фермионов каждой из
спиральностей :f: 1 /2 и 70 бозонов нулевой спиральности.
Сравним это со случаем N  7, снова исключая спиралъности 1"'1> 2.
Здесь имеются два супермультиплета. ПервЫЙ содержит: 1 rpавитон спи..
ралъностью +2; 7 rpавитино спиральностью +3/2; 21 калибровочный бозон
спиральностъю +1; 35 фермионов спиралъностью +1/2; 35 бозонов нулевой
спиральности; 21 фермион спиральностью  1/2; 7 калибровочных бозонов
спиральностью  1 и 1 rpавитино спиральностью  3/2. Дрyroй супермуль..
типлет является ерт ..сопряженным по отношению к первому, со спирально..
стями противоположноro знака. Складывая числа частиц в этих двух муль..
типлетах, имеем 1 rpавитон каждой из спиральностей :f:2; 7 + 1  8 rpави..
тино каждой из спиральностей :f:3/2; 21 + 7  28 калибровочных бозонов
каждой из спиральностей :f:l; 35 + 21  56 фермионов каждой из спираль..
ностей :f: 1 /2 и 35 + 35  70 бозонов нулевой спиральности. Таким образом,
теории расширенной суперrpавитации с N  8 и N  7 содержат один и тот
же состав частиц и фактически идентичны.
С дрyroй стороны, теории расширенной суперrpавитации с N  6 со..
держат ровно N rpавитино каждой из спиральностей :f:3/2, поэтому они все
различны.
для N  4 возможны также теории ZJlоБШlЬНОй суперсимметрии с су"
пермулътиплетами, не включающими rpавитоны или rpавитино. для rло..
бальной N  4 суперсимметрии имеется только один супермультиплет, со..
держащий: 1 калибровочный бозон каждой из спиральностей нулевой спи..
ральности. Это эквивалентно теории rлобальной суперсимметрии с N  3,
в которой имеется два супермультиплета: один супермультиплет, в котором
1 калибровочнЫЙ бозон спиральности + 1, 3 фермиона спиральности + 1 /2,
3 бозона нулевой спиральности и 1 фермион спиральности 1/2; в дру"
roM, ерт ..сопряженном супермультиплете, спиральности противоположны.
Сложение числа частиц каждой спиралъности в этих двух N  3 супермуль..
типлетах дает такой же состав частиц, как и в N  4 rлобальной супер..
симметрии. Калибровочная теория поля с N  4 суперсимметрией обладает
замечательными свойствами, которые будут обсуждаться в разделе 27.9.
для N  2 расширенной rлобальной суперсимметрии имеются супер..
мультиплеты двух разных типов, помимо ерт ..сопряженных. Имеются ка..
лuбровочные супермультиплеты, каждый из которых содержит один калиб..
ровочный бозон спиральностъю + 1, два фермиона спиральностrю + 1 /2,
образующих дублет SU(2) R..симметрии (25.2.30), и один бозон нулевой
спиральности; их ерт ..сопряженные супермулътиплеты имеют противопо"
ложные спиральности. Вместе каждый калибровочный супермулътиплет и
ero антимультиплет содержат один калибровочный бозон каждой из спи..

25.4. Супермультиплеты безмассовых частиц
51
ральностей :f:l, SU(2) дублет фермионов каждой из спиральностей :f:l/2 и
два SU(2)"синrлетных бозона нулевой спиральности. Затем имеются zuпер..
.мультиплеты, содержащие один фермион каждой из спиральностей :f: 1 /2
и SU(2) дублет бозонов спиральностью нуль, а также им еРТ..сопряженные
rипермультиплеты. (В квантовой теории поля rипермулътиплет не может
совпадать со своим антимультиплетом, поскольку тоrда частицы нулевой
спиральности должны бьти бы описываться Bcero двумя действительными
скалярными полями, которые не MOryт образовать SU(2) дублет.) Разумеет..
ся, в реальном мире нужно бьто бы также иметь rpавитонный супермуль..
типлет, содержащий rpавитон спиральностъю +2, SU(2) дублет rpавитино
спиральностью +3/2 и ОДИН калибровочный бозон спиральностъю +1, а
также ерт ..сопряженный супермультиплет с противоположными спираль..
ностями. Калибровочные теории с N  2 суперсимметрией будут сконстру..
ированы в разделе 27.9 и непертурбативно исследованы в разделе 29.5.
Состав частиц в супермультиплетах выявляет трудность включения
расширенной суперсимметрии в реалистические теории частиц при дости"
жимых энерrияx. Во всех случаях, за исключением одноro, фермионы спи..
ральностью + 1 /2 входят в супермультиплеты вместе калибровочными бозо..
нами спиральностью + 1. Калибровочные бозоны принадлежат сопряженно..
му представлению калибровочной rpуппы, так что, если reHepaтopbl с}'пер..
симметрии ин вариантны относительно калибровочной rpуппы, то фермионы
спиральности + 1 /2 также должны принадлежать сопряженному представ..
лению, которое действительно. Это противоречит тому факту, что известные
кварки и лептоны принадлежат представлению SU(3) х SU(2) х U(l), ко..
торое является кирШlЬНы.м, т. е. в котором фермионы спиральностью + 1 /2
принадлежат комплексному представлению, которое поэтому обязательно
отличается от представления, в которое входят им еРТ..сопряженные фер..
мионы спиральностью  1/2. Единственное исключение, rде фермионы спи..
ральностью + 1 /2 не находятся в одном супермулътиплете с калибровочными
бозонами, это обсуждавшийся выше rипермультиплет N  2. Но в этом слу..
чае частицы обеих спиральностей + 1 /2 и  1/2 находятся в одном и том же
супермультиплете, поэтому они должны преобразовываться одинаково при
любых калибровочных преобразованиях, оставляющих reHepaTopbl супер..
симметрии инвариантными. Они MOryт принадлежать комплексному пред"
ставлению этой калибровочной rpуппы, но тоrда еРТ..сопряженный к этому
rипермультиплет принадлежит комплексно..сопряженному представлению, а
фермионы каждой спиральности тоrда принадлежат сумме двух представ..
лений, которая вещественна, снова в противоречии с киралъной природой
известных кварков и лептонов.
В противоположность этому в случае простой суперсимметрии им е..
ются супермультиплеты, содержащие только спиральности + 1 /2 и О, кото"

52
fлава 25. Ал2ебры cyпepcu.ммeтpuu
рые MOryт находиться в комплексном представлении калибровочной rpуппы,
отличном от представления, реализуемоro ерт ..сопряженным супермульти"
плетом. Здесь нет конфликта с киральностью. По этой причине основная
часть обсуждений суперсимметрии как симметрии, остающейся ненарушен"
ной при достижимых энерrиях, фокусируется на простой, а не на расширен..
ной суперсимметрии.
25.5. Супермультиплеты массивных частиц
Известные кварки, лептоны, калибровочные бозоны и их суперпарт..
неры можно, по"видимому, рассматривать как безмассовые при энерrиях,
rде нарушение суперсимметрии пренебрежимо мало. Но это не обязательно
справедливо для дрyrих частиц, в том числе для дополнительных калибро..
вочных бозонов большой массы, требуемых теориями, которые объединяют
сильные и электрослабые взаимодействия. Кроме TOro, начиная с модели
ВессаЗумино, теории с массивными частицами всеrда бьши полезны как те..
сты для изучения суперсимметричных теорий. Поэтому заслуживает внима..
ния краткое рассмотрение применения ненарушенной суперсимметрии для
массивных частиц.
Как и в предыдущем разделе, будем получать различные одночастич..
ные состояния в супермультиплете, действуя на одно из них операторами Qar
и r' так что все эти состояния имеют один и тот же 4"импульс. В отличие
от случае нулевой массы, для массы М > О этот 4"импульс можно считать
4"импульсом покоящейся частицы с р i == О для i == 1,2,3 и рО == М. В этой
системе отсчета имеем
allP 11 == Мао == М ( ).
(25.5.1 )
Тоrда действие антикоммутационноro соотношения (25.2.7) на любое состо..
яние 1) в супермультиплете с таким 4"импульсом дает
{Qar, Qbs} 1) == 2Mo a b o rsl).
(25.5.2)
в противоположность случаю нулевой массы, здесь ни одна из компо..
нент Qar или r не может обращаться в нуль на всем мультиплете, так
что имеются два набора повышающих и понижающих операторов: два опе..
ратора Q(1/2)r И Q(1/2)r понижают третью компоненту спина на 1/2, а два
дрyrих Q(1/2)r И Q(1/2)r повышают ее на 1/2. Однако, как будет видно, для
расширенной суперсимметрии MOryт обращаться в нуль определенные ли..
нейные комбинации Q и Q*.

25.5. Супермультиплеты массивных частиц
53
Рассмотрим сначала случай простой суперсимметрии. Покажем, ис..
пользуя алrебру суперсимметрии (25.2.31), (25.2.32), что произвольный мас..
сивный супермультиплет содержит частицу спина j + 1/2, пару частиц спина
j и частицу спина j  1/2. Коrда четность сохраняется, частицы спина j::1: 1/2
имеют одинаковую внутреннюю четность, задаваемую некоторой фазой 11,
тоrда как две частицы спина j имеют четности +il1 и il1. Здесь j  лю..
бое целое или полуцелое число, большее нуля. Имеется также усеченный
(при j == О) супермультиплет, состоящий из двух частиц спина О и одной
частицы спина 1/2. Коrда четность сохраняется, частицы нулевоro спина
имеют четности il1 и il1, rде 11  четность частицы спина 1/2.
для доказательства сначала покажем, что любой супермультиплет со..
держит, по крайней мере, один спиновый мультиплет состояний Ij,o), со
значениями третьей компоненты спина о от  j до + j (с шaroм 1), который
обладает следующим специальным свойством: для всех о и для а == ::1:1/2
Qalj, о) == о.
(25.5.3)
Начиная с любоro ненулевоro состояния 1'11) в супермультиплете, можно
определить ненулевые состояния
1'11') = { ( I \ ) )1/2Ql/21'11) Ql/21'11);/: О
т Ql/21'11) ==0 '
и
1'11") == { (2M)1/2Ql/21'11') Ql/21'11');/: О
 1'11') Ql/21'11') == О ·
Поскольку операторы Qa антикоммутируют, Ql/21'11') == О, и поэтому
Ql/21'11") == О для а == ::1:1/2. Если любое состояние 1'11") удовлетворяет усло..
вию Ql/21'11") == о, то такому же условию удовлетворяет состояние U(R)I'II"),
rде U (R)  унитарный оператор, представляющий произвольное простран..
ственное вращение. Следовательно, состояния, которые удовлетворяют это..
му условию, можно разложить на полные спиновые мультиплеты Ij,o), удо..
влетворяющие условию (25.5.3).
Теперь сконцентрируем внимание на каком..либо одном из спиновых
мультиплетов, удовлетворяющих условию (25.5.3), нормированному так, что
(j, d Ij, о) == a'O.
(25.5.4)
Для j > О, действуя операторами*  спина 1/2 на эти состояния, можно
*Так как Qa преобразуется при поворотах подобно полю, которое уничтожает частицу
спина 1/2 и третьей компонентой спина а, то  преобразуется подобно полю, рождающему
такую частицу, и, следовательно, преобразуется подобно самой частице. Формально это
можно выразить соотношениями [Ji,Qa] ==  Lb !(Oi)abQb, так что [J;,] == Lb !(O;)baQb'
что можно сравнить со свойством преобразования частицы спина 1/2, J;la) == Lb !(o;)balb).

S4
fлава 25. Ал2ебры суперсим.метрuu
сконструировать состояния спина j:f: 1/2:
1
и 1/2,а) == J2М C!j(j 1/2,a;a,aa)<2:и,aa),
(25.5.5)
rде Cjj' (j", а"; о, 0')  обычный коэффициент Клебшаrордана для сложения
спинов j и j', имеющих третьи компоненты О и 0', в спин j" с третьей компо..
нентой 0". Используя формулы (25.5.2}{25.5.5) и свойства ортоroнальности
коэффициентов Клебшаrордана, можно показать, что эm состояния долж..
ным образом нормированы:
(j:f: 1/2, olj :f: 1/2, <1) == ao', (j:f: 1/2, olj += 1/2, <1) == о,
(25.5.6)
так что ни одно из состояний Ij:f: 1/2, о) не обращается в нуль. Единствен..
ное исключение составляет случай j == о, коrда, естественно, не существу..
ет состояния Ij  1/2,0). Можно также сконструировать дрyrие состояния,
действуя дву-мя операторами Q* на Ij,o). Поскольку каждый оператор 
антикоммутирует с самим собой, ненулевые состояния получатся только
v Q * Q *  Q * Q * Е
при деиствии оператора 1/2 1/2   1/2 1/2. ro можно записать в ви"
де !eabQb' откуда видно, что он является инвариантным относительно
вращений, так что это дает второй спиновЪ1Й мультиплет со спином j:
Ij,G)P ==  Q/2QI/2Ij,G),
(25.5.7)
который отличается от Ij,o) тем, что вместо соотношения (25.5.3) имеем
<2:lj,O)b == о.
(25.5.8)
Используя снова соотношения (25.5.2}{25.5.4), находим, что эти состояния
также являются нормированными:
ь (j, <llj, О)Ь == Оо'а,
(j, <llj, О)Ь == о.
(25.5.9)
Тоrда леrко показать, что построенные до сих пор состояния образуют пол..
ное представление aлreбры суперсимметрии. Свойства ортоroнальности ко..
эффициентов Клебшаrордана позволяют переписать соотношение (25.5.5)
в виде
<2:lj, о) == v2M LC 1 / 2j (j:f: 1/2,0+ а;а, о) Ij:f: 1/2,0+ а).
:i:
Кроме TOro, соотношение (25.5.2) показывает, что для любоro состояния 1)
в супермультиплете
(25.5.1 О)
[Qa,Ql Q!] 1) == 2MLe a bQbI),
 2 1..
(25.5.11 )

25.5. Супермультиплеты массивных частиц
55
так что соотношения (25.5.7) и (25.5.3) дают
Qalj,O)b == eabQblj,o)
ь
== v'2M eab CI j и:!: 1/2,а+Ь;Ь,а) Ij:f: 1/2,а+Ь}.
ь :i: 
(25.5.12)
Из соотношений (25.5.2), (25.5.3) и (25.5.5) имеем
Qalj:f: 1/2,а} == v'2MC !j и:!: 1/2,а;а,а  а) и,а  а},
а соотношения (25.5.5), (25.2.31) и (25.5.7) дают
и:!: 1/2, а} == v'2M eabC, j и:!: 1/2, а;Ь, <J  Ь) Ij, <J  Ь}Р. (25.5.14)
Ь 
(25.5.13)
Соотношения (25.5.3), (25.5.8), (25.5.1 О) и (25.5.12Н25.5.14) описывают дей..
ствие операторов Q и Q* на все состояния супермультиплета.
для j == о имеем усеченный супермультиплет: соотношения (25.5.3),
(25.5.8), (25.5.10) и (25.5.12Н25.5.14) принимают вид:
Qa 10, О) == о,
IO,o) == v'2M ll/2,a),
QaI 1 / 2 ,b) == v' 2MO ab I 0 ,0),
IO,O)b == О,
QaIO,O)b == v'2M eabll/2,b),
ь
ll/2,b) == v' 2Me abI 0 ,0)b.
(25.5.15)
Теперь предположим, что четность сохраняется. Вспомним, что фазу
reHepaтopa суперсимметрии можно выбрать так, чтобы действие оператора
четности на эти reHepaтopbl выражалось соотношением (25.3.13). Тоrда дей..
ствие Q: на Plj,o) есть линейная комбинация состояний PQalj,o), которые
обращаются в нуль, а так как состояние Plj,o) имеет такие же свойства
относительно вращений, как состояние Ij,o)b, они должны быть просто про..
порциональны дpyr дрyry:
Plj, о) == lllj, О)Ь.
(25.5.16)
Поскольку Р  унитарный оператор, 11 есть просто фазовый множи"
тель, 1,,1 == 1. Аналоrичные соображения показывают, что Plj,o)b пропорцио..
нально Ij,o). Чтобы наЙТИ коэффициент пропорциональности, заметим, что
Plj,o)b == (2M)1 PQ Q* 1 Ij, о) == 11(2M)lQ 1 Q 1 Ij,o)b
   
== 11(2M)2Q 1 Q 1 Q Q* 1 Ij, о) == 11lj, о).
   

S6
fлава 2S. Алzебры cyпepcu.ммeтpuu
Тоrда можно ввести состояния со спином j
Ij, а}:I: =  (Ij, а) :!: ilj, a}) ,
(25.5.17)
имеющие определенную четность
Plj, а)::!: == :!:iТ'llj, a):J:.
(25.5.18)
Наконец, действуя оператором четности на соотношение (25.5.5) и используя
(25.3.13) и (25.5.16), получим
Ри:!: 1/2,а} ==   I,CI j и:!: 1/2, а;а,а  а) I,eabQblj,G  b}.
2М а  Ь
Тоrда (25.5.12) И свойство ортоroнальносm коэффициентов Клебшаrордана
дают
Plj:!: 1/2, а) == Т'llj:!: 1/2, а),
(25.5.19)
что и требовалось показать.
Теперь кратко рассмотрим случай расширенной суперсимметрии с
числом reHepaтopoB N. Как отмечалось в предыдущем разделе, не может
бьпь 6езмассовых частиц с ненулевым собственным значением любоro цен..
тральноro заряда. Можно пойти дальше и показать, что собственные зна..
чения операторов центральноro заряда определяют нижние rpаницы масс
любоro супермультиплета. Поскольку центральные заряды Zrs И Z;s комму..
тируют дрyr с дрyroм И С PJl' можно выбрать одночастичные состояния так,
чтобы они были собственными состояниями как всех центральных зарядов,
так и PJl' а поскольку центральные заряды коммутируют с Qar или T' все
состояния в супермультиплете имеют одну и ту же массу.
Чтобы получить неравенетво, связывающее массу М супермультипле..
та и собственные значения центральных зарядов для этоro мультиплета,
воспользуемся антикоммутационными соотношениями (25.2.7), (25.2.8) и за..
пишем
I,{ (Qar I,eabUrsQbs), (r I,eacUQct)}
ат Ь! ct
== 8NpO 2Tr (ZU t +UZ t ),
(25.5.20)
rде и т!  произвольная N х N унитарная матрица. Левая сторона равенства
есть положительно определенный оператор, поэтому, действуя им на состо..
яния супермультиплета в покое, найдем
1
M 4N Tr (zut +UZ t ),
(25.5.21 )

25.5. Супер.мультиплеты массивных частиц
57
rде под Zrs теперь нужно понимать значения центральных зарядов для супер..
мультиплета массой М. Соrласно теореме о полярном разложении, любую
квадратную матрицу Z можно представить как произведение Н V, rде Н 
положительная эрмитова матрица, а V  унитарная матрица. Полarая U == v,
можно из (25.2.21) получить полезное неравенство (которое фактически яв"
ляется оптимальным),
1 1.
M TrH== Tr vZtZ.
2N 2N
(25.5.22)
Состояния, для которых масса М равна минимальной величине, разрешен..
ной этим неравенством, принято называть БПС состояниями, по аналоrии
с такими же конфиrypациями маrнитноro монополя, предложенными Боro..
мольным, Прасадом, Соммерфелдом и обсуждавшимися в разделе 23.3, для
которых масса равна нижней rpанице допустимых масс монополя. Факти..
чески это больше чем аналоrия; в разделе 27.9 будет показано, что нижняя
rpаница масс монополя в калибровочных теориях с расширенной суперсим"
метрией есть частный случай нижней rpаницы (25.5.22).
Как можно видеть из приведенноro вывода соотношения (25.5.22), для
БПС супермультиплетов действие оператора Qar  Ь! eabUrsQbs на любое
состояние супермультиплета дает нуль, поэтому имеется только N !lеза..
висимых операторов Q(1/2)r' понижающих спиральность, в точности как
в случае безмассовых супермультиплетов. Это при водит к меньшим мульти"
плетам, чем можно было бы получить в общем случае.
Например, для N == 2 суперсимметрии центральный заряд определяет..
ся одним комплексным числом*
Z == ( О Z12 ) .
Z12 О
Неравенство (25.5.22) здесь принимает вид
М  IZ121/2.
(25.5.23)
(25.5.24)
При М == IZ121/2 состав супермультиплета массивных частиц по спирально..
стям такой, как для безмассовых частиц: имеются калибровочные мульти"
плеты, состоящие из одной частицы спина 1, дублета SU(2) R"симметрии
спина 1/2 и одной частицы спина О (дрyroе состояние с нулевой спираль..
ностью принадлежит частице спина 1), и rипермультиплеты, состоящие из
одной частицы спина 1/2 и дублета SU(2) R"симметрии спина о. В этом
случае иноrда roворят о «коротких» супермультиплетах, чтобы отличать их
от больших супермультиплетов, встречающихся при М > IZ121/2.
*в некоторых статьях по N == 2 суперсимметрии центральным зарядом Z называют вели..
чину, которая здесь была бы равна Z/2.../2.

S8
fлава 2S. Ал2ебры cyпepcu.ммeтpuu
Задачи
1. Найдите набор 2 х 2"матриц, которые образуют rpадуированную aлreб..
ру Ли, содержащую как фермионные, так ибозонные reнераторы.
2. Следуя подходу Хзarа, Лопушанскоro и Сониуса, выведите вид супер..
алreбры наиболее общей симметрии в 2 + 1 пространственно..времен"
ном измерении. (Указание: Если обозначить reнераторы rpуппы Ло..
ренца в 2 + 1 пространственно"временном измерении через Аl == iJI0,
А2 == и20, Аз == J12, то коммутационные соотношения алreбры Пуан..
каре есть [A;,Aj] == ike;jkAk, так что представления однородной rpуппы
Лоренца в 2 + 1 пространственно"временном измерении определяются
одним положительным целым или полуцелым числом А.) Предполarа..
ется, что здесь выполнены условия теоремы КоулменаМандулы.
3. Предположим, что не было бы безмассовых частиц со спиральностью
больше +3/2 или меньше  3/2. найдите наиболее общие мультиплеты
безмассовых частиц для N == 6 расширенной суперсимметрии и (исполь..
зуя ерт ..симметрию) N == 5 расширенной суперсимметрии. Что можно
предположить об этих двух расширенных суперсимметриях, сравнивая
найденные составы частиц?
4.9 Какие четности частиц возможны в коротких супермультиплетах рас..
ширенной N == 2 суперсимметрии?
Список литературы
1. R. Haag, J. Т. Lopuszanski, and М. Sonius, Nucl. Phys. В88, 257 (1975).
Эта статья бьша перепечатана в сб.: Supersyттetry, S. Fепara, ed. (North
HollandIWorld Scientific, Amsterdam/Singapore, 1987).
2. В. Zumino, Nucl. Phys. . В89, 535 (1975). Эта статья перепечатана в сб.:
Supersyттetry 1.
3. М. Т. Grisaru and Н. N. Pendleton, Phys. Lett. 67В, 323 (1977).

26
Суперсимметричные теории поля
Теперь нам известна структура наиболее общих алrебр суперсиммет..
рии и мы видели, как использовать следствия этой симметрии для анализа
спектра частиц. Чтобы понять, что может сказать суперсимметрия о взаи..
модействиях частиц, необходимо разобраться в том, как строятся суперсим"
метричные теории поля.
Первоначалъно супермультиплеты полей строились непосредственно с
помощью мноroкратноro использования тождеств Якоби, во MHOroM так же,
как строились супермультиплеты одночастичных состояний в разделах25.4
и 25.5. В разделе 26.1 представлен один пример применения этоro метода
для построения супермультиплетов, содержащих только скалярное и дира..
ковское поля. К счастью, существует разработанный Саламом и Стратди 1
более леrкий метод, в котором супермультиплеты полей собраны в «супер..
поля», зависящие как от фермионных координат, так и от обычных четырех
пространственновременных координат. Суперполя вводятся в разделе 26.2 и
используются в разделах 26.З26.8 для построения суперсимметричных тео..
рий поля и изучения некоторых их следствий. В этой rлаве рассматривается
только N == 1 суперсимметрия, для которой формализм суперполей особенно
полезен. В конце следующей rлавы мы построим теории с N..расширенной
суперсимметрей, наложив условие и (N) R симметрии на теории N == 1 су..
u
перполеи.
26.1. Прямое построение супермультиплетов полей
Чтобы проиллюстрировать прямое построение супермультиплета по..
лей, рассмотрим поля, которые MOryт уничтожать частицы, принадлежащие
обсуждавшемус в разделе 25.2 простейшему супермультиплету про изволь..
ной массы: две 6есспиновые частицы и одна частица спина 1/2. Из фор..
мулы (25.5.15) видно, что одночастичное состояние нулевоro спина 10,0)

60
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
уничтожается reHepaTopoM суперсимметрии Qa, но не reHepaтopoM Q:. По..
этому мы моrли бы ожидать, что скалярное поле <р(х), которое рождает эту
частицу из вакуума (подразумевается, что он анниrилируется всеми reHepa..
торами суперсимметрии), коммутирует с Qa, но не с Q:. Иными словами
[Qa,<P(X)] == о,
iLeab [Qb'<P(X)] = (x) * о.
ь
Антисимметричная 2 х 2"матрица еаь (в которой el/2,1/2 == + 1) введена здесь
потому, что именно Lb eabQ;' преобразуется при однородных преобразовани"
их Лоренца по представлению (1/2,0). Отсюда следует, что (x)  двухком..
понентное спинорное поле, также принадлежащее (1/2,0) представлению
однородной rpуппыI Лоренца * .
Из формул (26.1.1Н26.1.2) и антикоммутатора (25.2.31) находим:
(26.1.1 )
(26.1.2)
{Qb,} ==  Le ac [{Qb, Q;} , <р(х)] == 2i( ae)Ьa[P, <р],
с
и
{Qb, (x)} == 2(ae)baд<p(x). (26.1.3)
С дрyroй стороны формула (26.1.2) и соотношение антикоммутации (25.2.32)
даlQТ
iLeac {Qb, c} == {Qb, [, <р]} ==  {, [Qb,<P]} == iLebc {,},
с с
т. е. выражение Lceac{Q;',c} антисимметрично и поэтому пропорционально
антисимметричной 2 х 2 матрице еаЬ:
i {Qb, a(X)} == 2баЬ(Х).
(26.1.4)
Лоренц"инвариантностъ требует, чтобы коэффициент (x) бьш скалярным
полем.
Теперь мы должны сделать следующий шar и вычислить коммутато..
ры reHepaтopoB суперсимметрии с (x). Используя соотношения (26.1.4),
(26.1.2) и (25.2.32), имеем
Баь[Q;, ==  i[Q;,{Qb,}] ==  i[{Q;,},Qь] == Бас[Qь,.
*Здесь мы ничеro не предполarаем о массах или взаимодействиях частиц, описываемых
этими ПОШlми, но можно заметить что, как обьЯСНJIЛось в разделе 5.9, свободное поле (1/2,0)
может рождать безмассовые частицы только спиральности 1/2, в соrласии с результатом
(25.5.15), в силу кoтoporo безмассовые бесспиновые одночастичные состояния 10,0), анни..
rилируемые Qa, находятся в супермультиплете со значением спиральности + 1 /2.

26.1. Прямое построение супермультиплетов полей
61
Положив а == Ь * С, видим, что этот коммутатор обращается в нуль:
[Q;,(x)] == о.
(26.1.5)
Наконец, используя (26.1.4), (25.2.3 1) и (26.1.3), получим
баЬ [Qc,.t1] ==  i[Qc, {Qb,}] ==  i[{Qc,Q;} ,]  [Q;, {Qc,}]
== (J:ba+i(Je)ca [Qb,a<P]
== a:ьд + Lebd(J)caa.
d
в результате свертки с помощью баЬ это равенство принимает вид
[Qc,(x)] ==  L(Ja(x).
а
(26.1.6)
Из соотношений (26.1.1Н26.1.6) следует, что поля <p(x),(x) и (x) реали..
зуют полное представление aлrебры суперсимметрии. Эти поля неэрмитовы,
поэтому комплексно сопряженные им поля реализуют еще один супермуль..
типлет:
[, <р* (х)] == о,
 iLeab [Qb,<P*(X)] == :(x),
ь
{Qb, :(x)} == 2(ea )aьд<p* (х),
 i {Qb, С(х)} == 2баЬ(Х),
[Qc, (x)] == о,
[Q;,(x)] == L(Jfcac(x).
а
(26.1.7)
(26.1.8)
(26.1.9)
(26.1.1 О)
(26.1.11)
(26.1.12)
Мы можем представить эти соотношения коммутации и антикоммутации
как законы преобразования при таких преобразованиях суперсимметрии,
которые сдвиrают любой оператор 60ЗОННОro или фермионноro поля (J (х)
на бесконечно малую величину
бt) (х) = [(e:Qa+ea),(J (х)] ,
(26.1.13)
rде Еа  бесконечно малЫЙ фермионный с"числовой спинор. (Так как Еа
И E антикоммутируют с Qa и Q:, величина EQa + EaQ: антиэр.митова и из

62
rлава 26. Суперси.м.метричные теории поля
формулы (26.1.13) следует, что (БQ)* == БQ*.) Коммутационные и антиком..
мутационные соотношения (26.1.1 )26.1.6) эквивалентны законам преобра..
зования
&р(х) == iLEaeabb(X),
аЬ
ба(Х) == 2 LEb( ofJe)baafJ<P(X)  2iEafY(x),
Ь
бfY(х) ==  LEb(JtaafJ(X).
аЬ
(26.1.14)
(26.1.15)
(26.1.16)
их можно переписать в четырехкомпонентных дираковских обозначениях,
введя бесконечно малый майорановский* четырехкомпонентный спинорный
параметр преобразования
. ( Еа )
а. = , Lbeabeb '
(26.1.17)
так что формула (26.1.13) принимает вид
iБС (х) = [a Q, С (х)].
(26.1.18)
Правила преобразований (26.1.14Н26.1.16) и им комплексно сопряженные
можно представить в удобной ковариантой форме, если ввести набор дей..
ствительных бозонных полей, определяемых соотношениями
A+iB
..j2 = <р,
FiG
..j2 = [У,
(26.1.19)
и четырехкомпонентный майорановский спинор '1', определяемый как
 1 (  )
'1' == ..j2  Lbeabb ·
(26.1.20)
*С учетом ПРИНJIТоro соrлашения о фазах, четырехкомпонентный майорановский спинор,
образованный из (1/2,0) двухкомпонентноro спинора " а , имеет вид
( :и* ) ·
Выражение (26.1.17) соrласуется с этим определением при U == ie. Аналоrично, майоранов..
ский спинор можно образовать из двухкомпонентноro (0,1/2) спинора V a
e*) ·
Выражение (25.2.34) представляет собой пример Taкoro спинора. Свойства майорановсICИX
спиноров подробно рассмотрены в приложении к этой rлаве.

26.1. Прямое построение супермультиплетов полей
63
Напомним также соотношение между 4 х 4"матрицами Дирака и 2 х 2"мат"
рицами ofJ
== ( О ieoe )
YfJ · О ·
10fJ
Теперь законы преобразования принимают вид
БА == (a'l'), БВ == iays'l',
б'l' == afJ (А + iYsB)yfJa + (F  iYsG)a,
БF == (ау fJ afJ '11) , БG == i (aysyfJa fJ '1') ,
(26.1.21 )
Прямое, хотя и утомительное вычисление показывает, что это преобразова..
ние оставляет инвариантным действие
! 4 { 1 1 1
1  d х  2 aj!Aa j! А  2 aj!Ba j! в  2 'l'Yj!aj! '1'
+  (F2+G2)+т [FA+GB 'I"I']
+ g [F(A 2 + в2) + 2GAB  'I' (A + iYsB)'I'] }.
(26 t l.22)
Соотношения (26.1.21) и (26.1.22) соrласуются справилами преобразований
(24.2.8) и с плотностью лarpанжиана (24.2.9), найденными в ориrинальной
работе Весса и Зумино. В следующих трех разделах мы применим техни..
ку, удобную для проверки суперсимметричности выражения (26.1.22) и для
вывода более общих суперсимметричных действий.
В том случае, коrда фермионное поле 'I'(x) удовлетворяет свободному
уравнению Дирака (yfJ afJ + т )'1' == О, эти правила преобразований указывают,
что F + тА и G + тВ инвариантны и поэтому коммутируют с Qa и Q:, а следо..
вательно, и с PfJ. Это не доказывает, что F == тA и G == тB, однако, не из..
меняя ни одноro из правил коммутации или антикоммутации (26.1.1 Н26.1.6)
или правил преобразований (26.1.21), мы можем переопределить поля F
и G, вычтя, соответственно, постоянные F + тА и G + тВ так, что новы..
ми полями F и G будут F == тA и G == тB, и поэтому  == т<p*. это
несправедливо в присутствии взаимодействий, но даже в случае со взаи..
модействием (x), F(x) и G(x)  типично вспомоrательные поля, которые
можно выразить через дрyrие поля супермультиплета, как в случае дей..
ствия (26.1.22).

64
rлава 26. Суперсим.метричные теории поля
26.2. Произвольиые суперполя
Продемонстрированный в предыдущем разделе прямой способ позво-
ляет непосредственно строить мультиплеты суперполей, но чтобы построить
суперсимметричное действие, необходимо также знать, как перемножать су-
пермультиплеты полей, чтобы получать дрyrие супермультиплеты. Работу
можно заметно упростить, используя предложенный Саламом и Стратди 1
формализм, в котором поля в каждом супермультиплете собраны в единое
суперполе.
Так же как операторы компонент четырехмерноro импульса определе-
ны как reHepaTopbI трансляций обычных пространственно-временных ко-
ординат XfJ' четыре reHepaтopa суперсимметрии Qa и Q: можно считать
reнераторами трансляций четырех фермионных с-числовых координат су-
перпространства, которые антикоммутируют дрyr дрyroм и С фермионными
полями, но коммутируют с XfJ и со всеми бозонными полями. Наша цель со-
стоит в построении лоренц-инвариантной плотности лarpанжиана, поэтому
удобно избрать четырехкомпонентный дираковский формализм, описанный
в разделе 25.2. reHepaтopbI суперсимметрии объединяются в четырехкомпо-
нентный майорановский спинор Qa и, соответственно, координаты супер-
пространства объединяются в дрyroй четырехкомпонентный М8Йорановский
спинор в а . (Различные свойства майорановских спиноров приведены в при-
ложении к этой rлаве.) reHepaтopbl суперсиммметрии имеют неисчезающие
антикоммутаторы, так что мы не можем просто считать их пропорциональ-
ными операторам трансляции суперкоординат д/два. Взамен этоro Салам
и Стратди нашли, что aлreбра суперсимметрии удовлетворялась бы, если
бы мы предположили, что коммутатор или антикоммутатор reHepaTopa су-
персимметрии Q с любым бозонным или фермионным суперполем S(X,o)
имеет вид
[Q,S} == ш S,
(26.2.1 )
rде,9J  дифференциальный оператор в суперпространстве.
д д
,9J =  д +yfJO a ·
в x fJ
(26.2.2)
(Как обычно, ё = otp. Все производе по фермионным с-числовым пе-
ременным нужно понимать как левые производные, для вычисления кото-
рых перемеННaJI, по которой происходит дифференцирование, предваритель-
но перемещается к левому краю выражения.) для М8Йорановских спино-
ров ё == oTys€ с 4 х 4-матрицей €, определенной в (26.А.З), так что выражение

26.2. Произ80льные суперполя
6S
(26.2.2) можно представить в более явной форме
 д  fJ д
,9J а   (15e)ay дв +  1а.ув У а fJ .
у у у х
(26.2.3)
Аналоrично
  д  д
2J р == LJ 2J y(yse) == де  LJ(YSey!!)PA ax !! .
у р у
(26.2.4)
Прямым вычислением можно убедиться, что
{  }  д fJ д
2J a,2J р  (ysey!!yse)pa дх!! +Уар дх!! ·
(26.2.5)
Но из выражения (5.4.35) следует, что y == W1fJ wl, rде матрица W == 15e,
так что два слarаемых в правой части (26.2.5) одинаковы и поэтому
{  }  fJa
2J a,2J р  2УаР дх!! ·
Соотношения (26.2.6) и (26.2.1) вместе с обобщенными тождествами Якоби
(25.1.5) дают
(26.2.6)
[ {Qa, Q p} , s] == {,9J a, ,9J р} S == 21pafJS ==  2i1p [PfJ' s] ,
(26.2.7)
в соrnасии с антикоммутационными соотношениями (25.2.36).
Часто удобнее представлять коммутационные и антикоммутационные
соотношения (26.2.1) как законы преобразований относительно бесконеч..
но малых преобразований суперсимметрии. Совместно используя равенства
(26.1.18), (26.2.1) и (26.2.2), видим, что преобразование суперсимметрии с
бесконечно малым майорановским спинорным параметром а изменяет су..
перполе S(x,o) на величину
БS == ( Шl )5 ==  ( a ) + ( ау !! О) : .
(26.2.8)
Напомним, что д/дО действует на любое выражение слева. В частности, ес..
ли М  некоторая линейная комбинация матриц 1, 151fJ и 15, для которой омв
... , " ... " ,
не равно нулю, то в мв == в мв , поэтому
д 
дО (ОМО) == 2МО.
(26.2.9)

66
rлава 26. Суперсим.метричные теории поля
Компоненты 8 антикоммутируют, поэтому любое произведение ком..
понент обращается в нуль, если две из них одинаковы. Но 8 имеет только
четыIеe компоненты, значит степенное разложение любой ФУНКЦИИ от 8
заканчивается членом четвертой степени. Более TOro, как по казан о в прило..
жении к этой rлаве, произведение двух 8 пропорционально линейной комби..
нации (в8), (81fJ'Y58) и (8158); произведение трех 8 пропорционально (8158)8,
а произведение четырех 8 пропорционально (8158)2. Поэтому самая общая
Функция от x fJ и 8 может быть представлена в виде
S(x, е) == С(х)  i ( &ys ro(x))   ( &ys e) М(х)   ( ее ) N(x)
+  ( &ys y!!e ) V !!(х)  i ( &ys e) ( е [л(х) +  Jro(x)])
  ( &ys e)2 (D(x) +  DC(X)). (26.2.10)
(Для удобства члены ! Joo и !ос(х) отделены, соответственно, от л(х)
и D(x).) Если S(x,8)  скаляр, то С(х), М(х), N(x) и D(x)  скалярные (или
псевдоскалярные) поля, оо(х) и л(х)  четырехкомпонентные спинорные по..
ЛЯ, а VfJ(x)  векторное поле. Используя также приведенные в приложении
к этой rлаве свойства действительности билинейных произведений майора..
новских полей, мы замечаем, что если поле S(x,8) действительно, то каждое
из полей С(х), М(х), N(x), VfJ(x) и D(x) также действительно, а оо(х) и л(х) 
майорановские спиноры, удовлетворяющие фазовому условию s* == Pey5s.
Теперь необходимо выяснить поведение содержащихся в (26.2.1 О) ком..
понентных полей относительно преобразований суперсиммметрии. Приме..
нение выражений (26.2.8) и (26.2.9) к разложению (26.2.1 О) дает
БS == ( ау !!е) ; +i( ays ro)  i( ay !!e) ( &Ys :x )
+i( ays e)M   ( ау !!е) ) &ys e) ;
1 IJ (  ) aN
+ ( ae )N  2 ( ау ..-е) ее ах!!
v i (  ) дУ"
 i( ays yve)v + 2 ( ау !! е) &Ysyv e дх!!
+ 2i( ay s e) ( е [л+  Jro]) + i( &Ys e) ( а [л+  Jro])
 i( ay !!e)( &Ys e) ( ед !! [л+  Jro]) + ( &ys e) ( ays e) [D+  DC] .

26.2. Произвольные суперпоJlЯ
67
Каждое слarаемое необходимо привести к стандартной форме (26.2.1 О).
С этой целью заметим, что из формулы (26.А.9) следует
( )  1  . 1 y . 1  :t
а1 !!е (&ysa!!ro) ==  4 (ee)( a prsro)  4 (&Ys1 e)( a prv ro )  4 (&yse)( a pro);
из формулы (26.А.16) следует
( ay fJO) ( 00 ) ==  ( ay fJysO) ( &Ys O);
из формулы (26.2.17) следует
( ay fJO)( &ys Yv O ) == ( ay fJyvO)( &ys O);
из формулы (26.А.9) следует
( ars e ) (е [л +  Jro)) ==   ( ее ) (a 1S [л +  Jro)) +  ( &Ys 1!!e) ( а1!! [л +  Jro] )
  ( &ys e) ( а [л+  Jro)) ;
из формулы (26.А.19) следует
( ar !!e)( &ys e) ( ед !![л+  Jro)) ==   (а hs[л+  Jro)) ( &ys e)2. ·
Используя эти соотношения и переrpуппировав слаrаемые в порядке возрас..
тания числа множителей О, получим
БS == i( ays OO) + ( a [dC + iYsM +N  iys ;]0)
  i ( е е) ( ars [л+ Jro)) +  i ( &ys e) ( а [л+ Jro))
+  ; ( &Ys 1!!e) ( а1!! Л) +  i( &Ys re) ( iiдv ro)
+  ( &ys e) ( а [iJM 1sJN iJt +1s (D+  oc) ] е)
  i ( &ys e ) 2 (a 1S [Jл +  оro] ) ,
или, используя свойство симметрии (26.А.7),
BS == i( ays OO) + ( e [;Jc  iYsM +N  iys;])
  i( OO ) ( ars [л+ Jro)) +  i( &Ys e) ( а [л+ Jro))

68
rлава 26. Суперси.м.метричные теории поля
+  (&y 5 y /lO) ( ау!! Ч +  i ( &Y5 r O ) ( iiдv ю)
+  (&У5 0) (о [id M Y5dN  iд/lуу/l +У5 (D+  OC) ] а) ·
Если мы теперь сравним это выражение с членами до втoporo порядка по в
в разложении (26.2.10), то найдем законы преобразований
ос == i ( ays oo) ,
&о == ( iys dCM + iYsN + Р) а,
БМ ==  ( а [л+ Joo]),
БN == i( а'Уs [Л+ Joo]),
БV/l == ( ау/l Л) + ( aд /l(J)) ·
(26.2.11 )
(26.2.12)
(26.2.13)
(26.2.14)
(26.2.15)
Члены третьею и четвертоro порядка по в дают
Б [л+  d(J)] ==  [  [д!! У, y/l] + i Y 5 D] а,
Б [D +  ОС] == i ( ау5 [dЛ +  Ою ]) .
Комбинируя последние два закона преобразования с законами преобразова..
ния (26.2.11) и (26.2.12) для С и 00, приходи м К значительно более простым
законам преобразований для л и D:
Бл == (  [д!! У, y/l] + i Y 5 D) а,
БD == i ( ays Jл) ·
(26.2.16)
(26.2.17)
Именно чтобы достичь TaKoro упрощения, в разложении (26.2.1 О) л и D бьши
отделены от слarаемых ! Joo и ! оС .
Весь смысл формализма суперполей состоит в том, что он упрощает
построение супермультиплетов из дрyrих супермультиплетов. Пусть даны
два суперльтиплета, каждый из которых преобразуется соrласно (26.2.8),
тоrда их Qpоизведение S = S 1 S2 удовлетворяет соотношению
БS' = [( a Q),Sl.  (БS 1 )S2 + Sl (БS2)
. .-
== (( Шl )Sl) si'+ Sl (( Шl ))S2 == Cti!l )S,
(26.2.18)

26.2. Произ8ольные суперполя
69
и поэтому тоже является суп ер полем. Непосредственное вычисление с помо"
щью формул (26.А.7), (26.А.16), (26.А.18) и (26.А.19) дает ero компоненты:
С == CIC2,
о) == Cl I02 + C20)1,
М == С.М2 +С2 М . +  i( 0О .15Ю2),
1
N == C.N2 +C2N.  2 ( 00 .002),
VIl == С. vi +C2V.1l   i( 0О.15 1IlЮ2),
1 1 1 . 1 .
л == С.Л2 + С2Л.  2 11l00. d ll C2  2 11lЮ2д1lС. + 2 ';.15002 + 2 ';21500.
+  (N.  i'y5 М .)Ю2 +  (N2  i'y5 M 2)00., (26.2.24)
D == aClaC2 +CID2 +C2 D l +MIM2 + NIN2
 ( 00 . [1..2 +  ;УЮ2] )  ( 002 [л. +  ;УОО.])  V. 1l V.J".
(26.2.19)
(26.2.20)
(26.2.21 )
(26.2.22)
(26.2.23)
(26.2.25)
Тривиально, что линейные комбинации суперполей являются суперПОЛJIми,
а также то, что пространственно..временное дифференцирование и комплекс..
ное сопряжение суперполей порождает суперпоЛJI. Но умножение суперПОЛJI
на некоторую функцию от в или ero дифференцирование по в в общем слу..
чае не приводит к суперполю. (Например, очевидно, что сама переменная в
не является суперполем, потому что в  это фермионное с..число и поэтому
оно коммутирует с a.Q, в то время как gJ в * о.) Имеется, однако, способ
скомбинировать производную суперпоЛJI по в и ero умножение на в так,
чтобы получилось дpyroe суперполе.
Рассмотрим действующий в суперпространстве дифференциальнЫЙ
оператор a, определенный формулой
д д
 =  до  11l0 dxll '
(26.2.26)
или в более явной форме
 д   д
a == "",,(15 Е) ау до  """ 1&,8у дХ Il ·
у у у
(26.2.27)
ЕдинствеННQе различие в определениях  и gJ состоит в изменении знака
членов, содержащих пространственно"временную производную. Вследствие

70
rлава 26. Суперсим.метричные теории поля
этоro изменения знака при вычислении антикоммутатора  и fl а, вместо
TOro чтобы, как в (26.2.5), получить два равных члена с одинаковыми знака..
ми, мы получаем их с противоположными знаками, так что они сокращают..
ся:
{,Pa} == о.
(26.2.28)
Поскольку а  фермионный параметр, (ОШ) коммутирует с , и если S(x,8)
является суперполем, то
бS = i[( a Q),S] == i[( a Q),S] == ( OCl )S== ( OCl )S, (26.2.29)
то есть S  также суперполе. TaKUМ образD.М, пРОUЗ80ЛЬНая полuнD.МUШlЬ..
ная функция суперполeU S u их суперпРОUЗ80дных S, .YS u т. д. также
является суперполем.
Нет необходимости добавлять, что в построении суперполей из дру..
rих суперполей MOryт участвовать их пространственно"временные произ..
водные, поскольку они MOryт быть получены из вторых суперпроизводных.
Так как a И P отличаются только знаком члена, содержащеro д, то анти"
коммутаторы компонент  только знаком отличаются от антикоммутаторов
компонент Р
{  }   д
9J a , 9Jp  2'YaP дxll ·
(26.2.30)
Теперь рассмотрим, как из суперполей построить суперсимметричное
действие. Не существует TaKoro понятия, как суперсимметричный лarpан...
жиан, потому что из соотношений антикоммутации (26.2.6) следует, что
если fD! == О, то Р должен быть постоянным. Даже если лarpанжиан не су..
персимметричен, действие все равно бьто бы суперсимметричным, если
бы функция БШ(х) была производной, которая не дает вклада в бfРd 4 х.
В общем случае лаrpанжиан Р можно записать как сумму членов, каждЫЙ
из KOТOpLIX представляет собой некоторую компоненту суперпоЛJI, постро..
енную из элементарных суперполей и их суперпроизводных. Исследова..
ние правил преобразования отдельных компонент (26.2.11 Н26.2.17) пока..
зывает, что в отсутствие специальных условий на произвольное суперполе,
единственная компонента Taкoro суперпоЛJI, вариация которой представля..
ет собой производную, это D"компонента. Кроме тoro, чтобы D"компонента
суперпоЛJI бьша скаляром, само суперполе должно быть скаляром. Поэтому
если нет специальных условий на отдельные суперпоЛJI, из которых строит..
ся лarpанжиан, суперсимметричное действие может бьпь только интеrpалом
от D..члена скалярноro суперпоЛJI Л:
1 == .f at X[A]D.
(26.2.31 )

26.2. Произ80льные суперполя
71
Однако на самом деле никакое действие TaKoro рода не моrло бы быть фи..
зически удовлетворительным без специальных условий на суперполя, из
которых оно построено. для произвольноro суперполя S(x,8) единственная
форма суперсимметричноro кинематическоro действия [о, билинейноro по S
и S* и включающеro не более чем две производные от компонентных полей,
это
]0 ос ! tt4 х [5* S)D .
Из выражения (26.2.25) видно, что S* S имеет D"компоненту
1 1
[5* S)D ==  dllc*dllC  2 ( шу llдllю) + 2 (дll ю )уllю)
+C*D+D*C  ( ю л)  ( л ю)
+ м* м + N* N  VV . (26.2.33)
Члены четвертой степени по С или 00 выrлядят обнадеживающе как кинема..
тические лarpанжианы безмассовых полей спина нуль и 1/2; последние три
члена не вызывают беспокойства; однако слarаемые, содержащие D или л,
приводят В функциональном интеrpале к катастрофическому результату, до..
пускающему только нулевые значения С и 00. К счастью, как мы увидим
в следующем разделе, имеются суперполя со связями, из которых .можно
построить физически осмысленные действия. Введение этих суперполей со
связями открывает также пути построения суперсимметричных слarаемых
в действии, которые не являются D"компонентами функций от суперполей.
Если четность сохраняется, то суперсимметрия приводит к соотноше..
нию между свойствами входящих в суперполе компонентных полей отно"
сительно преобразования пространственной инверсии. Чтобы получить это
соотношение, подействуем оператором четности на коммутационные/анти"
коммутационные соотношения (26.2.1) и используем трансформационные
свойства (25.3.16) reHepaTopOB суперсимметрии. Это дает
ip [Q,plS(x,e)p} ==pplS(x,e)P. (26.2.34)
(26.2.32)
Решение уравнения (26.2.34) для скалярноro суперполя имеет вид
pl S(x, 8)Р == l1 S (Лрх, ipe), (26.2.35)
rде 11  некоторая фаза (внутренняя четность суперполя), а ЛрХ
= (x, +х О ). (Чтобы проверить, что выражение (26.2.35) удовлетворяет урав..
нению (26.2.34), заметим, что с помощью (26.2.35) левая часть уравнения
(26.2.34) представляется в виде
il1 (   +yll( i/3e) д(л д ) Il ) S(Лрх,8) == l1РS(Лрх, ipe),
д( IP8) рх

72
rлава 26. Суперсим.метричные теории поля
в соrnасии с тем, что следует из (26.2.35) для правой части (26.2.34).) Ис..
пользуя разложение (26.2.10) в (26.2.35) получаем свойтва компонентных
полей при пространственной инверсии:
plC(x)p == ll С (ЛрХ),
plO)(x)p == illРro(Лрх),
PlM(x)P == llМ(ЛрХ),
PlN(x)P == ll N (Лрх),
plV(x)p == ll(лр)tvv(лрх),
рlл(х)р == illРЛ(ЛРХ),
pl D(x)P == ll D (ЛрХ).
(26.2.36)
* * *
Произвольное действительное суперполе S включает четыре действи..
тельных бесспиновых поля C,M,N, D и одно действительное 4"векторное
поле V, т. е. Bcero восемь независимых бозонных компонент поля. для
сравнения, имеется два четырехкомпонентных майорановских спинорных
поЩI О) И Л, т. е. тоже Bcero восемь независимых компонент поля. Равенство
числа независимых бозонных и фермионных компонент поля справедливо
в общем случае не только для суперполей общеro вида без связей, но также
для всех суперполей, получающихся из произвольных суперполей в резу ль..
тате наложения суперсимметричных связей, таких как киральное и дрyrие
суперполя со связями, обсуждаемые в следующем разделе.
Чтобы увидеть это в общем случае, предположим, что имеется пред..
ставление алreбры суперсимметрии, образуемое NB линейно независимыми
действительными бозонными операторами поля Ьп(х) и NF линейно неза..
висимыми фермионными операторами поля /k(X). Мы будем предполаrатъ,
что эти поля удовлетворяют только нетривиальным уравнениям ПОтI, так
что никакая линейная комбинация Ь п или /k С ненулевыми коэффициента..
ми не удовлетворяет однородному линейному уравнению ПОтI. Рассмотрим
действительный reHepaтop суперсимметрии Q( и) , определяемый как
Q(и) = ( и Q) == ( Q и) ,
(26.2.37)
rде и  некоторый обычный числовой майорановский спинор (не антиком..
мутирующее с..число). (для расширенной суперсимметрии вместо Qa мы
моrли бы использовать любой из спиноров Qra, скажем, Qla.) Чтобы Ь п и /k
реализовывали представление алreбры суперсимметрии, необходимо, чтобы

26.3. КиРШlьные и линейные суперполя
73
для некоторых матричных дифференциальных операторов q(a) и р(д).
[Q(и),b n ] == iLqпk(a)fk,
k
{Q(и),fk} == LPkn(a)b n ,
п
(26.2.38)
(26.2.39)
Взяв антикоммутатор от выражения (26.2.38) и коммутатор от выражения
(26.2.39) с Q(и), получим
[(f(и),b n ]  iL(q(a)p(a))пт bт ,
т
{Q2(и),fk] == iLi(p(a)q(a))ktft.
(26.2.40)
(26.2.41 )
Из антикоммутационноro соотношения (25.2.36) или (25.2.38) следует, что
квадрат Q(и) равен (f-(и) == iP(uyи). Orсюда следует, что обе квадрат..
ные матрицы p(a)q(a) и q(a)p(a) должны быть несинryлярны, ПОТОМУ ЧТО,
если бы существовали неисчезающие коэффициенты сп(д) или dk(a), для
которых rnCn(a)(q(a)p(a))nт == о или rkdk(a)(p(a)q(a))kl == о, то Ь п или fk
должны были бы удовлетворять однородным линейным уравнениям поля
( иy и)aLCn(a)bn == О или
п
( uy и)aLdk(a)fk == о,
k
в противоречии с нашим предположением о том, что поля не удовлетворя..
ют таким полевым уравнениям. для тoro, чтобы матрица qp была несин..
ryлярна, должно быть NF  NB, а для тoro чтобы pq была несинryлярна,
должно быть выполнено неравенство N B  NF. Orсюда можно заключить,
что NB == NF. Кроме тoro, обе квадратные матрицы должны быть несинryляр..
ны, а из выражения, комплексно..сопряженноro уравнению (26.2.38), следует,
что f* == q*lqf, так что число независимых фермионных полей равно NF,
а не 2NF, и поэтому совпадает с числом NB независимых бозонных полей,
что и требовалось доказать.
26.3. Киральные и линейные суперполя
в предыдущем разделе мы обнаружили, что присутствие в произволь..
ном суперполе компонент D и л, препятствует использованию таких суперпо..
лей в физически удовлетворительной плотности лarpанжиана. Предположим
теперь, что мы рассматриваем суперполе с
л, == D == о.
(26.3.1)

74
rлава 26. Суперсим.метричные теории поля
Сохраняются ли эти условия при преобразованиях суперсимметрии? Соrлас..
но (26.2.17) и (26.216), условие D == О инвариантно, если л, == О, но условие
л, == о инвариантно, только если мы наложим также условие д V v  a v V == О,
которое требует, чтобы V бьшо чистой калибровкой:
V(x) == aZ(x).
(26.3.2)
Из (26.2.15) видно, что при л, == о это условие сохраняется преобразованиями
суперсимметрии. Таким образом мы приходим к приведенному суперполю,
на которое наложены связи (26.3.1) и (26.3.2). Входящие в Hero компонент..
ные поля имеют следующие трансформационные свойства:
ос' == i ( <xys oo),
&о == (iys CM + iYsN + Z) а,
БМ ==  ( a ro),
БN == i ( ays oo) ,
БZ == ( аro ) .
(26.3.3)
(26.3.4)
(26.3.5)
(26.3.6)
(26.3.7)
Сравнивая с (26.1.21), видим, что если отождествить
С == А, 00 == iY5"" М == G, N == F, Z == В.
(26.3.8)
то это совпадает с супермультиплетом, построенным прямым методом в раз
деле 26.1. Суперполе, удовлетворяющее условиям (26.3.1) и (26.3.2), назы..
вается к.uршzьны.м*.
Чтобы отличить киральное суперполе Х (х, е) от суперполя общеro ви
да S(x,8) из предыдущеro раздела, для обозначения ero компонент мы будем
использовать A,B,F, G и '1' вместо C,M,N,Z и 00. Подставив (26.3.1), (26.3.2)
и (26.3.8) в (26.2.10), найдем общий вид киральноro суперполя
Х(х,О) ==А(х)  ( O'l' (X») +  ( eв )F(x)   (вrs o) G(x)
*Некоторые авторы примеНJIЮТ термин «киралъный» для описания вводимых ниже част..
ных случаев таких суперполей, которые называются левокиральными или правокиралъными.
То значение, которое придается термину «киральный» здесь, может на первый взrляд пока..
заться странным, посколы<у оно не имеет аналоrа для дираковских спиноров. Любой дира..
ковский спинор является суммой левокиральноro и правокиралъноro дираковских спиноров
в том смысле, что они, соответственно, пропорциональны 1 + 15 и 1  15, и ДЛJI таких сумм
дираковских спиноров не требуется специальный термин. В противоположность этому, ТОЛЬ..
ко суперполя, удовлетВОРJlЮщие (26.3.1) и (26.3.2), MOryт бьпь представлены в виде суммы
левокиральноro и правокиральноro суперполей.

26.3. КиРШlьные и линейные суперполя
75
+  ( &Y5 1IlO) д ll В(х) +  ( &У5 0) ( &У5 J'I'(X))   ( &У5 0 ))2 DA(х).
(26.3.9)
(Точно так же мы моrли бы положить С == B, о) == '1', М == F, N == G
и Z == А. Мы выбрали отождествления (26.3.8) потому, что, как нетрудно
заметить, для скалярных полей они совместимы с обычным соrлашением о
том, что А и F  скаляры, а В и G  псевдоскаляры.)
Киральное суперполе (26.3.9) может быть затем представлено в виде
суммы
Х(х,о) ==  [Ф(х,о)+Ф(х,о)],
(26.3.1 О)
rде
Ф(х, О) == <р(х)  J2 ( O'IfL (X)) + (x) ( о ( 1  15 ) О ) +  ( &У5 1 1l О ) allq>(x)
  ( &У5 0) ( O JwL(X))   ( &Y5 0 )2 0 q>(x), (26.3.11)
Ф(Х,О) == ф(х)  J2 ( O'IfR (X)) +g.(x) ( о ( 1 15 ) о) +  ( &Y5 1 Il O ) дllфХ)
+  ( &У5 0) ( O JwR(X))   ( &У5 0 )2 0ф (х). (26.3.12)
а компонентные поля определяются равенствами
A+iB  (1 + 15 )  = FiG (26.3.13)
<р = V'i' 'l'L == 2 '1', V'i'
AiB  (1  15 ) ,..., F+iG
ф = V'i' 'l'R == 2 '1',  = V'i. (26.3.14)
,...,
Входящие как в Ф, так и в Ф компонентные поля образуют замкнутые пред..
ставлен ия aлreбры суперсимметрии:
б'l'L == J2a<p'yaR + J2aL,
б== J2 ( aL JwL),
&р == J2 ( aR'I'L )'
б'l'R == J2дфуаL + J2g.aR,
бg. == J2 ( aR d'l'R) ,
бф == J2 ( aL'I'R ),
(26.3.15)
(26.3.16)
(26.3.17)
(26.3.18)
(26.3.19)
(26.3.20)

76
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
rде, как обычно,
( 1 + 15 )
aL == 2 а,
( 1 15 )
aR == 2 а,
и аналоrично для о. Суперполе вида (26.3.11) или (26.3.12) называют, со..
ответственно, левок.uршzьны'м или правокиршzьны.м. В частном случае, коrда
суперполе Х(х,о) действительно, ero левокиральная часть Ф и правоки..
,..,.. ,..,..
ральная часть Ф комплексно сопряжены, так что Ф == <р*, fF == !F*, а поле '1'
майорановское. Однако если не требовать, Ч'Е,обы Х(х,о) бьшо действитель..
ным, то в общем случае между полями ФиФ нет никакой связи; возможно
даже, что одно из них исчезает.
Компонентные поля суперполя Ф включают две комплексные бозон"
ные компоненты <р и fF или четыре независимых действительных бозонных
компоненты и одно майорановское фермионное поле '1', имеющее четыре
независимых фермионных компоненты. это еще один пример выведенно..
ro в конце предыдущеro раздела общеro результата: любой набор полей,
образующих представление алreбры суперсимметрии, должен иметь равное
количество независимых бозонных и фермионных компонент.
Мы можем использовать (26.А.5), (26.А.17) и (26.А.18) чтобы пере..
пис.ть соотношения (26.3.11) и (26.3.12) в такой форме, которая проясняет
зависимость этих суперполей от OL и OR:
Ф(х,о) == <р(х+)  v'2 (oIE'I'L(X+)) + fF(x+) (oIEOL),
.....,  т ,..,.. Т )
Ф(х, О) == ф(х) + v 2 (ORE'I'R(X))  fF(x) (OREOL ,
(26.3.21 )
(26.3.22)
rде
x == хll :!:  (&ys ylle) == хll :!: (eIlQL) .
(26.3.23)
Разложения <р(х+) и ф(х) заканчиваются квадратичными членами, раз..
ложения 'l'LR(X) обрываются на линейных членах, в то время как раз..
,
ложения fF(x+) и (x) оrpаничиваются нулевым порядком, потому что
в (26.3.21) и (26.3.22) вклады всех высших членов содержат три или бо..
лее множителей OL или OR И поэтому исчезают. По той же причине леrко
заметить, что любое суперполе, которое зависит только от OL И x, но не
зависит от OR, должно представляться в виде (26.3.21), а любое суперполе,
которое зависит только от OR И x, но не зависит от OL, должно принимать
вид (26.3.22).
Видно, что ответ на вопрос, будет ли суперполе левокиральным или
правокиральным, полностью определяется тем, от чеro это суперполе может

26.3. КиРШlьные и линейные суперполя
77
зависеть. Orсюда сразу следует, что любая функция левокиральных cyпep
полеи (ши правокиральных суперполеи), не зависящая от им комплексно
сопряженных суперполeU ши пространственно..временных проuзводных, 
это лево.. (ши право..) киральное суперполе. Это может быть также пока..
зано более формальным способом. T как функция Ф(х,8)зависит от 8R
только через ее зависимость от Х+, а Ф(х,8) зависит от 8L только через ее
зависимость от X, то они удовлетворяют условиям
RаФ == La.ф == О,
(26.3.24)
rде R И L  правая и левая части суперпроизводной(26.2.26):
[ ( 1  15 ) ]  д д
9JRа Ф = 2 9J а ==  t EaJ3 dORP  (yIlOL)a дхll '
[ ( 1 + 15 ) ] д д
9J La Ф = 2 9J а == + t EaJ3 deцз  (yIlOR)a dxll '
(26.3.25)
(26.3.26)
для которой
RaX == La.X == о.
Справедливы и обратные утверждения: если суперполе Ф удовлетворяет
условию  RФ == О, то оно левокирально, а если оно удовлетворяет усло..
вию LФ == О, то оно правокиралъно. Любая функция J(Ф) от суперпо..
лей Фп, каждое из которых удовлетворяет условиям RФп == О ИЛИ LФп == о,
будет удовлетворять условиям RJ(Ф) == о или LJ(Ф) == о и будет, соответ..
ственно, левокиральной или правокиральной. Но функция левокиральных и
правокиральных суперполей в общем случае вообще не киральна.
Использование представления (26.3.21) для левокиральных суперпо..
лей облеrчает выявление их мультипликативных свойств. Например, если Фl
и Ф2  два левокиральных суперполя, их произведение Ф == Фl Ф2  лево..
киральное суперполе с компонентами
<1> == <1>1 <1>2,
'l'L == <l>1'1'2L + <l>2'1'IL,
 == <1>1 2 + fP21  ('I'TL E 'I'2L) ·
(26.3.27)
(26.3.28)
(26.3.29)
Присутствие в теории киральных суперполей открывает дополнитель..
ные возможности для построения суперсимметричных действий. Из закона
преобразования (26.3.16) следует, что преобразование суперсимметрии изме..
няет ..член левокиральноro суперполя Ф на производную, так что интеrpал

78
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
от ..члена любоro левокиральноro поля суперсимметричен. Следовательно,
можно образовать суперсимметричное действие:
1 == 1 aJ x[J] + 1 aJx[J];' +  1 aJ x[K]D'
(26.3.30)
rде f и к  соответственно любое левокиральное суперполе и произвольное
действительное суперполе, образованныIe из элементарных суперполей.
ос чеro MOryт зависеть f и К? Функция f будет левокиральной, если
она зависит от только от левокиральных элементарных суперполей Фп, но не
зависит от им комплексно сопряженных правокиральных суперполей. С дру"
roй стороны, суперпроизводная киральноro суперполя не киралъна, значит
мы не можем свободно включать суперпроизводные от Фп В f. Справед..
ливо утверждение, что, действуя на суперполе S, которое не левокирально,
(например, содержит суперполя, комплексно сопряженные левокиральным
суперполям), пара правых суперпроизводных дает левокиралъное суперполе,
потому что существуют только две независимые правые суперпроизводные
и они антикоммутируют:
Ra(RRyS) == о.
Однако построенный таким образом ..член любой функции f вносит в дей..
ствие такой же вклад, как D..член HeKOТOporo дрyroro cocTaвHoro суперполя.
Так как операторы  антикоммутируют, то наиболее общее киральное супер..
поле, образованное действием двух R на произвольное суперполе S, может
быть выражено через (kER)S. Если одно из левокиральных суперполей
в суперпотенциале имеет такую форму, ТО, поскольку каждый оператор  R
анниrилирует все остальные суперполя в суперпотенциале, мы можем на..
писать весь суперпотенциал в виде f == (kER)h, rде h  некоторое дрyroе
суперполе. Далее,
(ER) (eEeR) == 4,
следовательно, если не считать производных по пространственно..
временным координатам, которые не дают вклада в действие, (kER)h
представляет собой коэффициент при (eEeR)/4 в h. Однако, снова от..
влекаясь от пространственно"временных производных, [f]F  это коэф..
фициент при eIEeL в f, так что [(ER)h] равно коэффициенту при
(eIEeL)(eEeR)/4 == (&Y5e)2 /4 в h и поэтому
1 aJX[(9JE9JR)h] ==21 aJX[h]D.
(26.3.31 )
Таким образом, нет необходимости включать в f члены, которые зависят
от левокиральных суперполей вида RRyS,  любой такой член будет

26.3. КиРШlьные и линейные суперпоJlЯ
79
включен в список всех возможных D..членов. Коrда функция f выражается
только через элементарные левокиральные суперполя и не зависит от супер..
производных или пространственно..временных производных, ее называют
суnерnоmенцuшzOJU.
Напротив, функция К в общем случае представляет собой действи..
тельную скалярную функцию как левокиральных суперполей Фп И им ком..
плексно сопряженных Ф:, так и их суперпроизводных и пространствен..
но..временных производных, которая называется келеровьw nоmенцuшzом
Шlи поmенцuшzйМ Келера. (Любое правокиральное суперполе комплексно со..
пряжено левокиральному суперполю, поэтому предположение о том, что К
зависит только от левокиральных суперполей и им комплексно сопряжен..
ных не приводит к потере общности.) Однако не все полученные таким
образом функции К дают различающиеся действия. Заметим такую деталь:
киральные суперполя не содержат D..членов, поэтому две функции К, отли"
чающиеся на киральное суперполе, дают одинаковый вклад в действие.
Изменить форму К, не изменяя действие, можно также с помощью ин..
теrpирования по частям в суперпространстве. D..член суперпроизводной aS
от произвольноro суперполя не дает вклада в действие, потому что
! tf х [9J a S]o == о.
(26:3.32)
Чтобы увидеть это, напомним, что
aS aS
aS == L ('Y5e)a  д  ('Y8)a a  .
 8 х
Так как S  полином не выше четвертоro порядка по 8, первое слarаемое
в 9J a S  полином по 8 не выше третьеro порядка и поэтому не может со..
держать ненулевой D..член, не являющийся производной. При этом второе
слarаемое также представляет собой пространственно"временную производ..
ную, так что и ero D..член  пространственно"временная производная. По..
этому ни первое, ни второе слarаемые aS не MOryт давать вклад в интеrpал
(26.3.32). Кроме тoro, суперпроизводная действует дистрибутивно, поэто..
му из (26.3.32) следует, что в суперпространстве можно интеrpировать по
частям: для любых двух бозонных суперполей Sl и S2
! tf X[Sl9>aS2]O ==  ! tf X[S29>aSl]O.
(26.3.33)
в разделах 26.4 и 26.8 мы подробно рассмотрим случай, коrда f и к зависят
только от элементарных суперполей, но не зависят от их суперпроизводных
или обычных производных.

80
fлава 26. Суперсим.метричные теории поля
в предыдущем разделе мы видели, что в теориях, в которых сохраняет..
ся четность, действие оператора пространственной инверсии на произволь..
ное скалярное суперполе состоит в том, что ero apryмeнты подверrаются
преобразованиям x  (Ар )tx v и 8  ip8 и, возможно, само суперполе
умножается на фазовый множитель 11. При этих преобразованиях происхо..
дит замена apryмeНТOB x в формулах (26.3.21) и (26.3.22)
x ----+ (АрХ) Il ::1::  ( e p'Ys'Y ll ре) == (Apx'f') Il ,
(26.3.34)
причем 8L  ip8R И eR  ipeL. Таким образом, пространственная ин..
версия превращает левокиральные суперполя в правокиральные и наоборот.
Единственное правое скалярное суперполе, компонентные поля KOТOpOro со..
держат операторы рождения и уничтожения некоторых частиц, рождаемых и
уничтожаемых левым скалярным суперполем Ф, это Ф ос Ф*, поэтому рlфр
должно быть пропорционально Ф*. Подходящим выбором фазы Ф можно
привести этот закон преобразования к виду
рlФ(х,8)Р == Ф*(АрХ, ipe).
(26.3.35)
для компонентных полей отсюда следует
pl<p(X)p == <р*(АрХ),
pl'llL(X)P == iey5P'lli(ApX),
pl (x)P == fr(Apx).
(26.3.36)
Имеется еще один тип допустимой симметрии, известной
как R..сu.м.метрuя. Она важна в некоторых моделях спонтанноro наруше..
ния суперсимметрии, обсуждаемых в разделе 26.5, и будет использоваться
при доказательстве теорем об обсутствии перенормировки в разделе 27.6.
Как отмечено в разделе 25.2, в теориях простой N == 1 суперсимметрии
R"симметрия  это инвариантность относительно и(1) преобразований, при
которых левые компоненты reHepaтopa суперсимметрии (обозначенноro Qa
в разделе 25.2) несут не равное нулю квантовое число, скажем, равное  1.
В этом случае сопряженные им правые компоненты reHepaтopa суперсим"
метрии несут противоположное квантовое число + 1. Про верка соотноше..
ния (26.2.1) показывает, что е"координата суперпространства имеет отно"
сительно преобразований R"симметрии нетривиальные трансформационные
свойства: 8L несет квантовое число R == + 1, а 8R, пропорциональное 8i,
несет квантовое число R ==  1. Кроме TOro, всему суперполю можно при..
писать квантовое число R. Если мы припишем левокиральному суперпо..
лю Ф квантовое число Rф, то ero скалярная компонента <р будет иметь такое

26.3. КиРШlьные и линейные суперполя
81
же R"KBaHToBoe число, в то время как левая спинорная компонента 'lfL им е..
ет R'V == Rф  1, а внешнее поле  имеет RfY == Rф  2. В частности, чтобы
член с суперпотенциалом f d 4 x(j]11' сохранял R, сам суперпотенциал должен
иметь R f == +2, так что если j зависит от единственноro левокиральноro
суп ерп оля, то он должен быть пропорционален ф2/Rф. Дрyrими словами,
если j(Ф)  чисто массовый член, пропорциональный ф2, мы должны вы..
брать Rф == +1, а если j(Ф)  член взаимодействия, пропорциональный фЗ,
мы обязаны выбрать Rф == 2/3. С дрyroй стороны, проверка с помощью Bыpa
жения (26.2.1 О) показывает, что D..член суперполя обладает таким же значе..
нием R, как само суперполе, и для тoro, чтобы слаrаемое J d 4 x[g]D в действии
сохраняло R, необходимо только, чтобы келеров потенциал К имел R == о. это
будет так, если каждое слarаемое К содержит равное число множителей Ф
и Ф*, какое бы значение R мы ни приписали Ф. Разумеется, не существует
общей причины, по которой действие не должно быть R"симметричным или
по которой эта симметрия не должна быть спонтанно нарушенной.
* * *
Существуют дрyrие способы наложения связей на суперполя, при..
водящие к дрyrим типам супермультиплетов полей. К наиболее простым
относятся линейные суперполя. Чтобы сделать попятными условия, опреде..
ляющие суперполе Taкoro вида, заметим, что из суперполя S общеro вида
можно образовать киральное суперполе
s' =  ( 9J 9J)S.
(26.3.37)
Эrо действительно киральное суперполе, потому что оно может быть запи..
сано в виде суммы правокиральноro слarаемоro !(9JL)S и левокиралъноro
слarаемоro !(9JRR)S. Ero компоненты выражаются через компоненты s:
С' == N,
00' == Л, + ;Joo,
м' == aV,
N' == D+ оС,
V == дM,
Л,' == D' == о.
(26.3.38)
(26.3.39)
(26.3.40)
(26.3.41)
(26.3.42)
(26.3.43)
МУЛЬТИIШет S называется линейным, если определенное таким образом су..
перполе S' обращается в нуль:
(Ш) s == о,
(26.3.44)

82
fлава 26. Суперсим.метричные теории поля
или в записи через ero компоненты
N == м == д V == О, л, ==  ;Joo, D == DC.
(26.3.45)
В результате остаются четыре независимых бозонных поля С и три компо..
ненты поля V, подчиненноro условию д v  == О, а также четыре незави..
симых фермионых поля  компоненты майорановскоro четырехкомпонент..
HOro спинора 0). В разделе 26.6 мы увидим, что суперполя токов, V..члены
которых представляют собой сохраняющиеся токи, связанные с преобразо..
ваниями симметрии, являются линейными суперполями.
26.4. Переиормируемые теории киральиых суперполей
Рассмотрим теперь детали устройства произвольной перенормируе..
мой теории скалярных киральных суперполей. Эrо прольет некоторый свет
на применения суперсимметрии, а теория, которую мы получим, станет ча..
стью суперсимметричной стандартной модели, которая будет обсуждаться
в rлаве 28.
Как обсуждалось в разделе 12.2, лarpанжиан перенормируемой теории
может содержать только операторы размерности четыре или меньше (пола..
rая 1;, == с == 1 и подсчитывая степени энерrии и импульса). Из (26.2.6) следу"
ет; что.91 а и следовательно д/два имеют размерность 1/2, тоrда a имеет
размерность + 1/2, а в а  размерность  1/2. fF.. и D..члены суперполя S 
это коэффициенты, соответственно, при двух и четырех множителях 8, по..
этому, если суперполе имеет размерность d(S), то ero .. и D..члены имеют
размерности d() == d(S) + 1 и d(VS) == d(S) + 2. Таким образом, в пере..
нормируемой теории функции f и к в соотношении (26.3.30) состоят из
операторов размерности не больше чем три или два соответственно.
Размерность элементарноro скалярноro суперполя Фп совпадает с раз..
мерностью элементарноro скалярноro поля, т. е. равна + 1 и, для тoro что..
бы каждое слarаемое в функции f имело размерность три или меньше,
оно может содержать самое большее три множителя Фп и(или) производ..
ных д/дx и(или) пар спинорных суперпроизводных a. Как обсужда..
лось в предыдущем разделе, любое левокиральное слarаемое в f, содержа
щее суперпроизводные, может быть заменено на слarаемое в К, поэтому
суперпроизводные в f MOryт быть опущены. Из формулы (26.2.30) сле..
дует, что пространственно"временные производные MOryт быть выраже..
ны через суперпроизводные, так что и они тоже MOryт быть опущены.
(В любом случае, лоренц"инвариантность исключила бы члены с одной
пространственно"временной производной, а члены с двумя производными
В перенормируемой теории MOryт включать только один множитель Фп, на

26.4. Перенормируемые теории КUРШlЬНЫХ суперполeU
83
который эти производные должны бьши бы действовать, поэтому такие чле..
ны не давали бы вклада в действие.) Мы заключаем, что j ( ф)  не более, чем
кубический полином по фn, не содержащий пространственно"временных
производных или суперпроизводных.
Тот же размерный анализ показывает, что в перенормируемой тео..
рии К представляет собой самое большее квадратичную функцию фn И ф:
без производных. Но любой член в К(ф,ф*), включающий только фn или
только Ф:, был бы киральным суперполем, а киральные суперполя, по опре..
делению, не имеют D..членов, поэтому вклады в [К(Ф,Ф*)]D дают только
те слarаемые К(Ф,Ф*), которые включают одновременно фn и Ф:. Следова..
тельно Функция К(Ф,Ф*) должна иметь вид
К(Ф,Ф*) == LgnmФ:Фm, (26.4.1)
тn
с постоянными коэффициентами gnт, образующими эрмитову матрицу.
Теперь мы должны вычислить" и D"компоненты j(Ф) и К(Ф,Ф*) со..
ответственно. Чтобы вычислить D"компоненту К(Ф,Ф*), заметим, что член
четвертоro порядка по 8 в Ф:Фт равен
[Ф;Фm]е4 ==   (&(5 8)2 [q>;oq>m + (oq>:a)q>n]
+ ( &Ys 8) [( 'IIn 8 ) ( &y д '11т) + ((д 'IIn ) 18) ( 8'11т )]
+  tТ;,fF m (8 (1 'Y5)8) ( 8 (1 +'У5)8)
  д 1lq>;д V <Рт ( &(5 'У 1l 8) (&(5 'Yv 8 ) ·
С помощью формул (26.АI8) и (26.А.19) можно выделить зависимость от 8
этоro выражения в общий множитель (&Ys8)2:
[ * ]   ! (  ) 2 [ ! * ! ( * )  (   д )
ФnФ т в 4  4 &Ys8 2 <рnD<Рт+ 2 О<Рт <Рn 'IIn1 'IIт
+ ((д ll '11т ) 'Y1l'I1m) + 2tТ;,fF  дllq>;дllq>m] ·
D..член суперполя равен коэффициенту при !(&Ys8) минус оператор !о,
действующий на не зависящий от 8 член, который в случае Ф:Фт равен <P<Pт.
Поэтому
 [К(Ф'Ф*)]D == Lgnт [дllq>;дllq>m+tТ;,fFm
nт
  ( "'nL'Y llд ll "'mL) +  (д ll ( ",nL ) 'Y1l",nL)] ·
(26.4.2)

84
fлава 26. Суперси.мметричные теории поля
Если записать Фп В виде линейной комбинации I.m NптФ новых супер..
полей Ф, то К(Ф,Ф*) выражается через новые суперполя формулой,
которая совпадает с (26.4.1), за исключением тoro, что gnm заменяется
на g == (Nt gN)пт. Чтобы кинематические члены скалярных и спинор..
ных полей имели знаки, совместимые с квантовыми коммутационными и
антикоммутационными соотношениями, необходимо, чтобы эрмитова мат..
рица gnm была положительно определена. Как показано в разделе 12.5, это
означает, что мы можем выбрать N так, чтобы gт == Опт. Опустив штрихи,
получим член (26.4.2) в виде
 [К(Ф'Ф*)]D == L [д!!<p=д!!<pn +!Тn
т
1 1 ]
 2 ( 'I'nL у l! д!! 'l'nL) + 2 (д!! ( 'I'nL ) Y!!'I'nL) ·
(26.4.3)
Мы по..прежнему можем применять унитарное преобразование для пере
определения суперполей без изменения формы соотношения (26.4.3), и эту
свободу нам вскоре придется использовать.
Слаrаемые (26.4.3), содержащие <Рп И 'IInL  это правильные кинема..
тические лarpанжианы для обычным образом нормированных комплексноro
скалярноro и майорановскоro спинорноro полей. После TOro, как появится
возможность учесть массовые члены, мы перепишем фермионные слarае..
мые в более привычной форме .
Чтобы вычислить член суперпотенциала j(Ф), удобнее Bcero ис..
пользовать представление суперполей в форме (26.3.21) и выделить слaraе..
мое второro порядка по 8L:
 ( Т ) ( Т ) д2 j (<р(х))
[j (Ф(х, е) )]вr == "-' eLe'l'nL(x) eLe'l'тL(X) д ()д ()
пт <Рп х <Рт х
+ L!тn(х) д(<P?1) (eleeL) ·
п <Рп Х
(Мы заменили здесьх+ нах, потому что в выражении (26.3.21) член (8'kejl8L)
исчезает при умножении на выражение с двумя множителями 8L.) Зависи..
мость первоro члена в правой части от 8 можно привести к стандартной
форме, если с помощью формулы (26.А.ll) записать *
(ele'l'nL) (ele'l'тL) == ( 'I'e ( 1 Y5 ) е) (еТе ( 1 Y5 ) 'l'тL )
1 ( Т )
==  2 ('I'nL 'l'тL) eLeeL ·
*Заметим, что 'IIпL это левая компонента 'IIп ' а не 'IIпL .

26.4. Перенормируемые теории КUрШlЬНЫХ суперполей
85
..член любоro левокиралъноro суперполя  это коэффициент при (eIeeL),
а здесь
[J(Ф)]g- ==! L d 2 f(q>n) ( 'I'пL 'I'тL) + LfТ n df(q» .
2 пт д<Рпд<Рт п д<Рп
Полный лarpанжиан является суммой членов (26.4.3), (26.4.4) и члена, ком..
плексно сопряженноro (26.4.4):
(26.4.4)
!f ==  [d!!q>:d!!q>n + fТп
  ( 'I'пL У !! д!! 'l'пL) +  ((д!! 'l'пL ) Y!!'I'пL) ]
1 a 2 j(<p)  1 ( a 2j (<p) ) *  *
 2 L dq> дч> ('I'пL'I'тL) 2 L дч> дч> ('I'пL'I'тL)
пт п т пт п т
+ LfТ n df(q» + L ( aj(<p) ) *. (26.4.5)
п д<Рп п д<Рп
Вспомоrательные поля fF n входят в действие квадратично с посто..
янными коэффициентами при членах второro порядка, поэтому они MOryт
быть исключены, если приравнять п ero значению, при котором лarpанжи..
ан (26.4.5) стационарен относительно п И :
п ==  ( aj(<p) ) * .
д<Рп
Подставив это в формулу (26.4.5), получим
!f ==  [ д!! ,:д !!q>n   ( 'I'пL у !! д!! 'l'пL) +  ((д!! 'l'пL ) Y!!'I'пL) ]
1 a 2 j(<p)  1 ( a 2j (<p) ) *  *
 2 L дч> дq> ('I'пL'I'тL)  2 L дч> дч> ('I'пL'I'тL)
пт п т пт п т
 L ( aj(<p) ) * df(q» . (26.4.7)
п д<Рп д<Рп
(26.4.6)
Таким образом, потенциал скалярноro поля равен V(<p) == I.n laj(<p)/a<pnI 2 .
После исключения таким способом вспомоrательных полей, действие
больше не будет инвариантно относительно преобразований суперсиммет..
рии (26.3.15), (26.3.17), действующих на оставшиеся поля 'IInL и <Рп:
 .  ( aj(<p) ) * .  
5'1'пL == v2d!!q>ny!!aR  у2 dq>n aL, &i>n == v2(aR'I'пL).

86
fлава 26. Суперси.мметричные теории поля
это происходит потому, что выражение (26.4.6) не удовлетворяет закону
преобразования п, заданному соотношением (26.3.16): Oп == v'2(aLnL).
Вместо этоro
о (  af(q» ) * ==  L ( a2f(<P) ) * &p ==  v2L ( a2f(<p) ) * ( aL'I'тR ).
д т дд т дд
По той же причине после исключения вспомоrательных полей коммутаторы
преобразований суперсимметрии, которым подверrаются <Рп И 'IInL, больше
не будут определяться антикоммутационными соотношениями суперсиммет"
рии, и в действительности не образуют замкнутую суперaлreбру Ли. Однако
это не означает несовместимость с существованием квантово"механических
операторов Qa, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям су..
персимметрии. эти операторы reнерируют преобразования суперсимметрии
в том смысле, что коммутатор оператора i(aQ) с любым reйзенберroв"
ским квантовым полем <Рп или 'IInL равен изменению этоro поля при су..
персимметричном преобразовании с инфинитезимальным параметром а.
для п, определяемоro выражением (26.4.6), коммутатор i(aQ) с п pa
вен O == v'2(aLJ'IInL)' потому что в представлении rейзенберrа квантовое
поле 'IInL удовлетворяет полевому уравнению, полученному из лarpанжиана
(26.4.7):
J'IInL ==  L ( ;2f) ) * 'l'тR"
т <Рп <Рт
Аналоrично, при учете полевых уравнений преобразования суперсимметрии
квантовых полей <Рп И 'IInL действительно образуют замкнутую супералreб
ру Ли. Такие aлrебры часто называют Шlzебрами на .массовой поверхности.
Средние значения <РпО скалярных полей <Рп нулевоro порядка должны дости
rаться в максимуме последнеro члена в (26.4.7). Так как этот член всеrда
отрицателен или равен нулю, максимум достиrается при тех не зависящих
от пространственно"временной точки значениях поля <РпО, при которых этот
член исчезает
д'() == О, (26.4.8)
<Рп ср==<ро
разумеется при условии, что решение этоro уравнения существует. Урав..
нение (26.4.8) не только максимизирует последний член в (26.4.7), оно
служит также условием TOro, что суперсимметрия не нарушена. Инвари..
антность вакуума оmосительно преобразований суперсимметрии требует,
чтобы среднее по вакууму от изменения любоro поля при преобразовани"
ях суперсимметрии исчезало. Изменение бозонноro поля  это фермионное
поле, которое, конечно, имеет нулевое среднее значение во всех случаях, но

26.4. Перенорм,ируемые теории кирШlЬНЫХ суперполей
87
из (26.3.15) следует, что вакуумное среднее значение O'l'пL пропорционально
вакуумному среднему значению вспомоrателъноro поля п, которое поэто
му должно исчезать, если суперсимметрия не нарушена. Соrласно (26.4.6),
в нулевом порядке теории возмущений это условие требует, чтобы выполня..
лось соотношение (26.4.8). В разделе 27.6 мы увидим, что если это так, то
суперсимметрия не нарушена во всех порядках теории возмущений.
для одноro левокиральноro скалярноro суперполя Ф основная теорема
aлrебры утверждает, что полином aj(<p)/a<p всеrда имеет хотя бы один нуль
rденибудь на комплексной плоскости. В случае больше одноro суперполя
это не обязательно справедливо. Если предположить, что решение <РпО урав..
нения (26.4.8) существует, можно вычислить физические степени свободы
теории, положив
<Рп == <РпО + <Рп,
(26.4.9)
и разложив по степеням <Рп. Массы частиц в этой теории MOryт быть вычис"
лены из рассмотрения членов BТOpOro порядка по <р и '1':
!РО ==  [д!!<p:   ( 'I'nLY !!d!!'I'nL) +  (д!! ( 'I'nL )Y!!'I'nL)]
  L.Jtпт( 'I'nL 'I'mL)  L.Jt:т( 'I'nL 'I'mL)*
пт пт
 L (.Jt t .Jt ) <P:Z<Pп, (26.4.1 О)
пт
rде .Jt  симметричная комплексная матрица
.Jt == ( a2j(<p) )
пт  д<Ртд<Рт cp==q>o.
(26.4.11 )
Если теперь переопределить поля с помощью унитарноro преобразования
<Рп == L су пт<P,
п
'1' пL == L су пт 'l"mL,
т
(26.4.12)
то лarpанжиан свободноro поля (26.4.1 О) примет тот же вид, но с заменой .Jt
на .Jt', rде
.Jt' == суТ .Jt СУ.
(26.4.13)
Соrnасно теореме матричной aлreбры, для любой комплексной симметрич..
ной матрицы .Jt всеrда можно найти унитарную матрицу су такую, что
матрица .Jt', определенная формулой (26.4.13), диaroнальна, и на диaroнали
стоят действительные положительные элементы т п . (для дальнейшеro заме..
тим, что .Jt't.Jt' == cyt.Jt t.Jt су, поэтому 'величины т  просто собственные

88
fлава 26. Суперси.мметричные теории поля
значения положительной эрмитовой матрицы .Jt t .Jt). Переопределив поля
таким образом и опустив штрихи, получим квадратичную часть лarpанжиана
шо:=  [д!!<P:   ( 'I'пLY !!d!!'I'пL) +  (д!! ( 'I'пL )Y!!'I'пL)]
  Lm n ( 'I'n L'I'тL)   Lm: ( 'I'пL 'I'тL)*
п п
 2 *
 тп<Pп<Pп.
п
(26.4.14)
Чтобы привести фермионные массовые члены к более привычной форме,
введем поля 'IIn(X)' определяемые как .майорановские поля, левыми ком..
понентами которых являются 'IInL. Затем используем свойства симметрии
(26.А.7) майорановских билинейных комбинаций:
1 1
 2 ( 'I'пL У !! д!! 'l'пL) + 2 (д!! ( 'I'пL ) Y!!'I'пL)
 ! (   ( 1 + 15 ) ) ! ( д (  )  ( 1 + 15 ) )
 2 'l'n У 2 д!! 'l'n + 2 !! 'l'n У 2 'l'n
 ! (   ( 1 + 15 ) )  ! (   ( 1  15 ) )
 2 'l'n У 2 д!! 'l'n 2 'l'n У 2 д!! 'l'n
1
:=  2 ( 'I'n у !!д!! 'l'n) ·
Свойства действительности (26.А.21) дают
( 'I'пL 'l'пL) + ( 'I'пL 'l'тL)* := 2Re ( 'l'n ( 1  У5 ) 'l'n) == ( 'I'n 'l'n ) ·
Тоrда полный квадратичный лarpанжиан равен
rп   [  д * д    2 *
.;LO   <Pп <Рп тп<Pп<Pп
п п
  ( 'I'nY !!d!!'I'n)  n ( 'I'n'l'n )] .
(26.4.15)
Множитель 1/2 в фермионных слarаемых верен, потому что это майора..
новские фермионные поля, в то же время скалярные слarаемые не имеют
множителя 1/2, потому что это комплексные скаляры. Видно, что бесспино..
вые частицы и частицы спина 1/2 имеют равные массы т п , как тою требует
ненарушенная суперсимметрия теории.

26.4. Перенормируемые теории киральных суперполей
89
Часть р' лarpанжиана, отвечающая за взаимодействие, дается сла..
rаемыми в (26.4.7) степени выше второй относительно <Рn И 'IIn. Так как
предполarается, что суперпотенциал  кубический полином, стационар..
ный при <Рn  О, а <Рn определены так, что члены BТOpOro порядка имеют
вид ! I:nmn<p;, можно записать суперпотенциал (без учета несущественноro
постоянноro слaraемоro) в виде
1 2 1
Л<РО +<р) == 2 тп<Pп + 6 fптl<Pп<Pm<Pi.
n птl
Подстановка этоro выражения в формулу (26.4.7) дает лarpанжиан взаимо"
действия
(26.4.16)
, 1  (  ( 1 + 15 ) ) 1  * * (  ( 1  15 ) )
rR ==  2 f::t f птl<Pп 'l'm 2 '1' i  2 f::t f птl<Pп 'l'm 2 '1' i
1 * 1 * * *
 2 mпfптl<Pп<Pm<Pi  2 mпfптl<Pп<Pm<Pi
nтi птl
1  * * *
 4  fптlfпrrli'<Pm<Pi<Pm'<Pi'.
птlm'i'
Видно, что для определения всех кубичных и четвертичных членов. само..
действия бесспиновых полей достаточно знания масс т n и «юкавских» кон..
стант fптl скаляров и фермионов.
В качестве иллюстрации рассмотрим случай одноro левокиральноro
суперпоЛJI. для сравнения с предыдущими результатами запишем единствен..
ный коэффициент f в формуле (26.4.16) в виде
f = 2 V2е;а л ,
(26.4.17)
(26.4.18)
rде л действительна, а а  некоторая действительная фаза. Введем также
пару действительных полей А(х) и В(х), записав единственный комплексный
скаляр в виде
 ia ( A+iB )
<р == е v'2 . (26.4.19)
Тоrда полный лаrpанжиан, который дается суммой (26.4.15) и (26.4.17), будет
иметь вид
1 1 1 2 2 2
PдIlAдAд BдBт ( А +В )
2 r 2  2
1 1
 2 ( 'I"'f !!a!!'I')  2 т ( п )
 ЛА ( п )  iЛВ ( 'l"'f5 '11)
тЛА(А2 +в2)   л.2(А2 +в2)2.
(26.4.20)

90
fлава 26. Суперсuм.метрuчные теории поля
Это совпадает с лarpанжианом (24.2.9), впервые найденным Вессом и Зу..
мино 2. Заслуживает внимания то, что в этом простом случае лarpанжиан
оказывается инвариантным относительно преобразования пространственной
инверсии
А(х) ....-t А(Арх), B(x)....-t B(ApX), V(x)....-t iPV(Apx),
(26.4.21)
хотя при ero выводе мы не предполarали сохранения четности. Появление
сохранения четности как «случайной» симметрии  известное свойство раз..
личных перенормируемых калибровочных теорий (см. разделы 12.5 и 18.7),
но не теорий, содержащих бесспиновые поля, так что это особое следствие
суперсимметрии в перенормируемой теории одноro скалярноro суперполя.
26.5. Спонтанное нарушение суперсимметрии
в древесном приближении
В предыдущем разделе мы увидели, что (по крайней мере в древесном
приближении) в перенормируемых теориях киральных сynерполей супер..
симметрия не нарушена, если уравнение (26.4.8) имеет решение, т. е., если
имеется такое значение полей <Ро, при котором суперпотенциал стационарен:
дЛ<р) ==0.
д<Рп <Р==<Ро
(26.5.1 )
Количество независимых переменных равно здесь количеству уравнений,
которым необходимо удовлетворить, поэтому в общем случае можно ожи..
дать, что у уравнения (26.5.1) должны быть решения. Чтобы суперсимметрия
в этих теориях была спонтанно нарушена, необходимо наложить оrpаниче..
ния на форму суперпотенциала.
Чтобы увидеть, как выбор суп ер потенциала может позволить сп он..
танное нарушение суперсимметрии, рассмотрим обобщение класса моде..
лей, предложенных О'Райферти З. Предположим, что суперпотенциал  это
линейная комбинация набора li левокиральных суперполей, коэффициенты
которой представляют собой функции /;(х) дрyroro набора левокиральных
суперполей Х п :
j(X,Y) == I,li/;(X).
i
(26.5.2)
Чтобы суперсимметрия оставалась не нарушенной значениями х п И У; скаляр..
ных компонент этих суперполей, должны выполняться следующие условия:

26.5. Спонтанное нарушение cyпepcuм.мeтpии в древесном приближении 91
0== afX,Y) == j;(x), (26.5.3)
У;
О == af(x,y) ==  Yl ' д/;(х) .
д  д (26.5.4)
Х п i Х п
Уравнения (26.5.4) всеrда можно решить, положив Yi == О, причем это не
влияет на решение уравнения (26.5.3). С дрyroй стороны, если число супер..
полей Х п меньше числа суперполей li, то уравнение (26.5.3) накладывает
на х п больше условий, чем имеется переменных, поэтому решить это урав..
нение без тонкой настройки невозможно, и суперсимметрия нарушена.
Может показаться, что первоначальное предположение (26.5.2) са..
мо представляет собой радикальную форму тонкой настройки, но в дей..
ствительности это условие на суперпотенциал может быть наложено, если
предположить существование соответствующей R"симметрии. Как обсуж..
далось в разделе 26.3, в теориях с N == 1 суперсимметрией R..симмет..
рия  это и (1 )"симметрия, при которой координата 8 суперпространства
имеет нетривиальное трансформационное свойство. Если мы предположим
существование R"симметрии, при которой 8L обладает квантовым числом
+ 1, то ..член любоro суперпотенциала имеет квантовое число, равное кван..
товому числу caMoro сynерпотенциала минус 2, и тоrда R"инвариантность
требует, чтобы сам суперпотенциал имел R == 2. Поэтому мы можем, изложив
требования R"инвариантности, получить выражение вида (26.5.2), присвоив
суперполям li и Х п квантовые числа R, равные соответственно, +2 и о.
Потенциал скалярных полей в модели TaKoro рода равен
V(x,y) == 1j;(x)12+  Yi a(x)
i п i Х п
2
(26.5.5)
Потенциал всеrда минимизируется выбором таких х п , которые минимизиру"
ют первое слarаемое. Какие бы значения при этом ни получались для х п ,
второй член всеrда можно минимизировать, положив У; == о. Независимо от
TOro, можно или нельзя спонтанно нарушить суперсимметрию, эти модели
имеют необычное свойство: в пространстве полей всеrда есть направления,
в которых минимум потенциала является плоским. Какие бы значения ХпО ко..
ординат х п ни минимизировали первое слarаемое (26.5.5), второе слarаемое
исчезает не только при У; == О, но также для любоro вектора Yi в направлении,
ортоroнальном всем векторам ('lf)i == (д/;(х)/дхп)х хо . Если имеется Nx су..
перполей Х п И Ny суперполей li и Ny > Nx, то вектор v n не может пробеrать
все пространство значений У, и будет по крайней мере Ny  Nx этих плоских

92
fлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
направлений. для любых неисчезающих значений У; == Уо; вдоль любоro из
этих плоских направлений R"симметрия лаанжиана спонтанно нарушена и
поле <р roлдстоуновскоro бозона, связанное с этим rлобальным нарушением
симмметрии, соответствует члену <РУо; в Yi.
Простейший пример TaKoro класса моделей представляет случай, коrда
имеется только одно суперполе Х и два суперполя У. Перенормируемость
требует, чтобы коэффициентные функции /;(Х) были квадратичными функ..
циями Х. Выбрав подходящую линейную комбинацию }j, сдвинув и изменив
масштаб Х, можно выбрать эти функции так, чтобы
/1 (Х) == Х  а, f2(X) == х 2 ,
(26.5.6)
с произвольной постоянной а. Ясно, что не существует одновременноro ре..
шения двух уравнений (26.5.1), если только не проведена тонкая настройка
суперпотенциала, так что а == о. Потенциал (26.5.5) в данном случае равен
V(x,y) == Ixl 4 + Ix  al 2 + IYl + 2ху212.
(26.5.7)
Сумма первых двух членов имеет единственный rлобальный минимум хо.
ПЛоским направлением здесь служит то, для KOTOpOro Уl + 2хОУ2 == о.
При а == О имеем хо == о, и минимумы потенциала расположены вдоль ли
НИИ'Уl == о, а значения У2 произвольны.
Независимо от причины спонтанноro нарушения сynерсимметрии это
явление всеrда влечет за собой существование безмассовой частицы со спи..
ном 1/2, zолдстuно, аналоrичной roлдстоуновским бозонам, связанным со
спонтанным нарушением обычных rлобальных симметрий. (Одно исключе..
ние, обсуждаемое в разделе 31.3, имеется в теориях суперrpавитации, rде
суперсимметрия локальна, а roлдстино представляет собой состояния со
спиральностью :!:1/2 массивной частицы спина 3/2  rpавитино.) В пере..
нормируемых теориях киральных суперполей вакуумное среднее значение
скалярных полей <РпО в древесном приближении должно соответствовать ми
нимуму потенциала п la/(<p)/a<pnI 2 в (26.4.7), т. е.
.Alnm ( д/(<р) ) * ==0,
т д<Рт <Р==<Ро
(26.5.8)
rде
.At  a 2 j(q»
nм == aq>naq>m Ip==CIIo'
Если (26.5.1) не выполняется, то из уравнения (26.5.8) следует, что матри..
ца Jt пт имеет хотя бы один собственный вектор с нулевым собственным
(26.5.9)

26.6. Интеzралы в суперпространстве, полевые уравнения u суперполе тока 93
значением, поэтому соrласно (26.4.10) должна быть хотя бы одна линейная
комбинация частиц спина 1/2, описываемая волновой функцией 'Vn и обла..
дающая нулевой массой. Например для модели, определяемой условиями
(26.5.2) и (26.5.6), матрица.Al имеет следующие неисчезающие компоненты
.Al ХУI ==.Al YIX == 1, .Al ХУ2 == .Al У2 Х == 2хо,
(26.5.10)
поэтому эта матрица имеет собственные значения :i:2xo и О, причем послед..
нее из них соответствует моде roлдстино. В rлаве 29 мы, не обращаясь к
теории возмущений, покажем, что спонтанное нарушение суперсимметрии
требует существования roлдстино, и исследуем их общие свойства.
26.6. Интеrралы в суперпространстве, полевые уравнения
и суперполе тока
..члены и D..члены, из которых мы построили лarpанжиан, MOryт
быть представлены в виде интеrpалов по координатам 8а суперпростран
ства. Правила интеrpирования по фермионным переменным, впервые вве..
денные Березиным 4, установлены в разделе 9.5. Коротко roворя, поскольку
квадрат любоro фермионноro параметра равен нулю, любая функция 'От N
фермионных параметров п может быть представлена в виде
Л;) == ( Д ;n) с + слarаемые с меньшим количеством множителей ;,
(26.6.1 )
а интеrpал от нее по  определен просто как
I d N ;!(;) = с.
(26.6.2)
Коэффициент с может сам зависеть от дрyrих непроинтеrpированных
с"числовых переменных, антикоммутирующих с теми , по которым мы
интеrpируем. В этом случае важно стандартизировать определение C пе..
реместив все  налево от с перед интеrpированием по ним, как это сде..
лано в (26.6.1). При таком определении интеrpирование по фермионным
переменным представляет собой линейную операцию. Оно напоминает ин..
теrpирование по действительной переменной в том смысле, что, поскольку
сдвиr п -----t п + а п переменной п на постоянную йп добавляет к произве..
дению Пп п только слаrаемые, содержащие меньшее количество множите..
лей , он не влияет на значение интеrpала
I dN;!(;+a) == I dNCJ(;).
(26.6.3)

94
fлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
Кроме TOro, из выражения (26.6.2) в частном случае следует, что интеrpал
по N фермионным параметрам от полинома порядка< N исчезает. Мнте..
rpалы по бозонным и фермионным переменныM разительно отличаются по
тому, что происходит с ними при замене переменных: в случае бозонных
параметров х п имеем d N х == det(ax /ax)d N х, а для фермионныx параметров
d N ;' == [Det (д;' ja;)]  I d N ;.
(26.6.4)
в частности, размерность d обратна размерности .
Соrласно (26.2.10), D..член суперполя общеrо вида S(x, 8) (которое мо"
жет быть элементарным или составным) с точностью до слarаемоro в ви
де полной производной равен коэффициенту при (ёy58)2 /4 == (8Te8)2 /4).
Каждая из четырех переменных 8 может быть равной 81 и каждая такая
ВОЗМОЖНОСТЬ вносит одинаковый вклад, поэтому можно положить, что пе..
ременная 81  самая левая и учесть множитель 4. Тоrда следующей слева
должна быть переменная 82. Каждой из двух оставшихся 8 может быть 8з
и каждая из возможностей дает равный вклад, следовательно можно пред..
положить, что 8з  третья слева и добавить множитель 2, тоrда 84 должна
быть самой правой. Таким образом
1 (  ) 2 1
 4 &У5 8 ==  4 х 4 х 2 х 8182 8 з 8 4,
а коэффициент при этой функции от 8 равен (1/2), умноженной на инте
rpал по d 4 8. Так как с точностью до производной это И есть D..член, то
/ tfX[S]D ==   / d 4 x / tf es(x, е).
(26.6.5)
Тем же способом с помощью формулы (26.3.11) найдем, что пространствен..
новременной интеrpал от ЧJIена киральноro суперполя общеro вида Ф
( опять либо элементарноro, либо COCTaBHOro) может быть представлен в виде
/ 4 1 / 4 / 4
d х[Ф]g- == 2 d х d еLФ(х,е).
(26.6.6)
Так как теперь мы интеrpируем по 8, удобно ввести дельта..функцию, опре..
деленную, как обычно, условием, что для произвольной функции /(8)
/ d 4 е'б 4 (е'  e)f(e') == /(е).
(26.6.7)
в соответствии с формулой (9.5.40), это условие удовлетворяется функцией
0(8'  8) == (8  81 )(8  82)(8;  8з)(8  84)
==  [( eL  e) т е (eL  e)] [( eR  e) т е (eR  e) ] .
(26.6.8)

26.6. Интеzралы в суперпространстве, полевые уравнения u суперполе тока 95
Представление действия в виде интеrpала по суперпространству поз..
воляет леrко вывести полевые уравнения в суперполевой форме. Рассмот"
рим, например, действие для набора левокиральных скалярных суперпо..
лей Ф п (что включает как частный случай общую перенормируемую теорию
левокиральных суперполей Ф п ) :
1 ==  f d 4 Х[К(Ф'Ф*)]D+ 2Rе f d 4 х[f(Ф)]g-,
(26.6.9)
rде К  произвольная функция от Ф п И Ф: без производных, а f  произ..
вольная функция от Ф п , также без производных. (Обоснование этой формы
действия и представление действия в терминах компонентных полей опи..
саны в разделе 26.8.) Мы не можем вывести правильные уравнения поля,
потребовав просто, чтобы оно бьто стационарно относительно произволь..
ных вариаций Ф, потому что на Ф п наложена связь  RФ п == о, выделяющая
левокиральные суперполя. Чтобы убедиться в том, что это условие сохраня..
ется при любой вариации, используем прием, который будет полезен также
в rлаве 30 при выводе правил Фейнмана в суперпространстве. Запишем Ф п
В терминах потенциальных суперполей Sn(x,e) В виде
Ф п == iSn,
(26:6.1 о)
откуда следует (если учесть соотношения (26.А.21», что
Ф: == iS:,
(26.6.11 )
Здесь  и E  сокращенные обозначения, соответственно, для (eR)
== (9JRR) и (IeL) == (9JLL). Чтобы продемонстрировать, что все..
rда можно найти потенциальное суперполе Sn (не обязательно локальное),
которое удовлетворяет соотношению (26.6.10), заметим, что для любоro ле..
вокиральноro суперполя Ф п
iiФп ==  160Ф п ,
(26.6.12)
поэтому (26.6.10) удовлетворяется решением уравнения
 160S n == rФп.
(26.6.13)
Выражение S левокирально при любом S, поэтому действие долж..
но быть стационарно при произвольной вариации Sn. С помощью (26.6.5)
действие можно выразить через Sn И S::
1 ==   f d 4 x f d 4 0K( 'iS*, iS) + 2Re f d 4 х [f(iS)]g-'
(26.6.14)

96
fлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
Вариация первоro слarаемоro Функции Sn (но не S) беконечно малых изме..
нений oSn леrко вычисляется с помощью интеrpирования по частям в супер..
пространстве:
б  j afx j d4eK(is*,s)
==   af еБS 2 БК(  is*, jS) .
 п R oSn
Соотношения (26.3.31) и (26.6.5) позволяют представить вариацию интеrpа..
ла в слarаемом с суперпотенциалом при бесконечно малых изменениях SSn
Функции Sn в виде
б j afx[f(S)]g- == ! afx [ д<P) 2  БSn ]
п п Ф==RS g-
== j d4X [ 9Ji ( af(<p) 2 БSn )]
п дФп Ф==RS g-
== 2 j d4x [ дЛ<Р) 2 БS n ]
п дФп Ф==RS D
==   j d4 X j afe af(<p) БS n '
п дФп Ф==S
Тоrда условием стационарности (26.6.14) относительно произволъных вари..
аций Sn будет
2 БК( iS*, js)  4 дf(Ф)
R 2  дФ ,
ORSn п Ф==S
или, в терминах киральных сynерполей,
2 БК(Ф, ф*) == 4 дf(Ф)
L ОФп дФп '
(26.6.15)
Комплексное сопряжение дает
2 БК(Ф,Ф*) ==4 ( дj(ф) ) *
L оф* д ф.
п п
(26.6.16)
Можно леrко проверить, что компоненты этих уравнений порождают по..
левые уравнения для компонент ф и фп. Например, с учетом TOro,

26.6. Интеzралы в суперпространстве, полевые уравнения u суперполе тока 97
что (ekeeR) == 4, не зависящая от е часть Ф равна 4, а не за
висящая от е часть дJ(Ф)/дФп равна д/(<р)/д<Рп. в итоre не зависящая от е
часть (26.6.15) при К == п ФФп дает соотношение  == д f( <р) /д<Рп, соrла..
сующееся с (26.4.6).
Как пример использования этоro формализма, рассмотрим суперполя,
которым принадлежат сохраняющиеся токи. Предположим, что сynерпотен"
циал и келеров потенциал в действии (26.6.9) инвариантны относительно
бесконечно малоrо rлобальноro преобразования
ОФп == ie I,fY mпФm,
m
(5ф; == ie I,fY mпФ,
т
(26.6.17)
rде е  действительная бесконечно малая постоянная, а fY пт  эрмитова
матрица, возможно часть алrебры Ли аналоrичных матриц преобразования.
Так как суперпотенциал зависит только от Фп, он автоматически инвариантен
также относительно расширенных преобразований
ОФп == ieA I,fY тпФm,
m
ОФ; == ieA*I,fY тпФ,
m
(26.6.18)
rде А(х,е)  сynерполе, которое должно быть левокиральным, чтобы ОФ п
бьто левокиральным, а в остальном произвольно. В то же время, дрyrие
члены, такие как келеров потенциал, в общем случае не инвариантны отно"
сительно этих преобразований, потому что А *- А *. для полей общеro вида
изменение действия должно поэтому иметь вид:
БIiе f ttx f d4e[AA*]J,
(26.6.19)
rде /I(x,e)  некоторое действительное суперполе, известное под названием
суперполе тока. Однако, если удовлетворяются полевые уравнения, то дей..
ствие инвариантно относительно любой вариации суперполей, поэтому инте..
rpал (26.6.19) должен обращаться в нуль для любоro левокиральноro супер..
поля А(х,е). Любое такое сynерполе А можно представить в форме А == S,
а это означает, что суперполе тока должно удовлетворять условию
/I == 't/l == о.
(26.6.20)
Иначе roворя, /1 должно быть линейны-м суперполем. Как мы увидели в раз..
деле (26.3), это означает, что ero компоненты
 удовлетворяют уравнениям
NJ MJ  aflV!  о, л.J  ;J(J)J, DJ  DcJ.
(26.6.21 )
Эro позволяет отождествить V компоненту V! с сохраняющимся током,
связанным с этой симметрией.

98
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
в случае действия (26.6.9) суперполе тока принимает вид
q== дК(Ф,Ф*)  Ф == дК(Ф,Ф*)  ф*
CJ.  дФ nт т  дФ* nт т'
nт n nт 11
(26.6.22)
Равенство этих двух выражений  следствие симметрии относительно пре..
образований (26.6.17). Используя затем полевое уравнение (26.6.15), полу..
чаем
[ дК(Ф,ф*) ] дf{Ф)
J==  дФ g'пmФm==4 дФ* g'пmФm,
nт n nт n
(26.6.23)
Последнее выражение равно нулю в силу предположения об инвариантно..
сти суперпотенциала относительно преобразования (26.6.17). Тем же спо
со бом, с помощью BTOpOro из двух выражений для J и полевоro уравнения
(26.6.16) находим, что 't/J == О, подтвердив таким образом условие сохра..
нения (26.6.20).
26.7. Суперток
Подобно любой дрyroй непрерывной rлобальной симметрии, супер..
симметрия приводит к существованию сохраняющеroся тока 5. Свойство
..
сохранения и коммутационные свойства тока суперсимметрии выражаются
операторными уравнениями, которые останутся справедливыми, даже коrда
суперсимметрия спонтанно нарушена, и поэтому приroдятся нам в rnаве 29,
rде мы рассмотрим теории со спонтанным нарушением суперсимметрии
в непертурбативном контексте. Кроме TOro, ток суперсимметрии связан с
компонентами суперполя, называемоro супертоко'м' 6, которое будет иметь
фундаментальное значение при исследовании суперrpавитации в rлаве 31.
Как мы видели в разделе 7.3, существование обычной rлобальной
симметрии плотности лаrpанжиана относительно бесконечно малоro пре
образования Xl  Xl + efF (rде xl  обобщенное каноническое или внешнее
бозонное или фермионное поле, а fF  функция канонических или внешних
полей) приводит к существованию тока
11  д(x) fF
J (х) ос '7 д(дХ i (х)/дх 11) (х),
который сохраняется для полей, удовлетворяющих полевым уравнениям, и
rенерирует симметрию в том смысле, что канонические коммутационные
соотношения дают
[1 d 3 xf>(x),xi(y)] ос fF(Y).

26.7. Суперток
99
Ток суперсимметрии требует несколько более сложноro рассмотрения по
двум причинам. Одна из них состоит в том, что суперсимметрия  это лишь
симметрия действия, но не лаrpанжиан или функции Лаrpанжа *. Вариа
ция плотности лаrpанжиана при бесконечно малом преобразовании супер
симметрии представляет собой пространственновременную производную,
которую можно записать в виде
БР == L ( aд K) ,
i
(26.7.1)
rде К   4Beктop майорановских спиноров. Вследствие этоro ток супер
симметрии  это не обычный нетер08СКИЙ ток. Нетеровский ток  это
4Beктop N  майорановских спиноров, определяемый равенством
 aRP i  (   )
t a(aj!x t ) Бх ==  aN ,
(26.7.2)
диверreнцию KOТOpOro уравнения ЭйлераЛarpанжа позволяют представить
как
(  fl )    aRP i   aRP i
Mj!N  t ах ! Бх t a(aj!x t ) дj!бх
== БР.
(26.7.3)
(Здесь a R обозначает правую частную производную; по определению перед
ее применением необходимо переместить дифференцируемые фермионные
переменные направо.) Вместо этоro мы должны определить ток суперсим
метрии как
S = N+Kfl,
Из (26.7.1) и (26.7.3) следует, что он действительно сохраняется
(26.7.4)
aflSfl == о.
(26.7.5)
Второе усложнение состоит в том, что изменение Бх 1 каноническоro
поля xl при преобразовании суперсимметрии не сводится просто к функ..
ции канонических полей, но зависит также от канонически сопряженных
* Автор употребляет во всей книre термины «Lagrangian» и «Lagrangian density», иноrда
не различая их, а иноrда (как в примечании на сдедующей странице) понимая под первым
термином то, что в русскоязычной литературе принято называть функцией Лarpанжа, а под
вторым термином  просто лarpанжиан. При переводе мы иноrда сохраняем эквивалентный
по смыслу термин «плотность лarpанжиана» и везде, rде необходимо, заменяем «Lagrangian»
на «функцию Лarpанжа».  Прим. ред.

100
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
им переменных. Например, как видно из (26.3.15), изменение 'I'компоненты
зависит от временной производной <ркомпоненты. В результате коммутатор
HeтepoBcKoro заряда J d 3 хк.О С каноническим полем общеro вида не сводится
к действующему на это поле преобразованию суперсимметрии. К счастью,
второе усложнение компенсируется первым: коrда учитываются коммутато..
ры полей как с J d 3 xк.O, так и с J d 3 xNJ, то оператор J d 3 xsO действительно
rенерирует преобразования суперсимметрии* в том смысле, что
[1 d З х ( asO ) , x t ] == i&y..t,
(26.7.6)
в соrласии с (26.2.1) и (26.2.8).
*Это общий результат для построенных таlCИМ способом токов. Рассмотрим, например,
функцию Лarpанжа L (не лarpанжиан), которая зависит от набора каноничесlCИХ перемен
ных qz и их временных производных if и на который не наложены никаlCИе связи. В квaH
товой теории поля индекс n включает пространственные координаты, а также дискретные
переменные  спин и метку сорта частиц, а L == f d З x!l. Принятое здесь предположение
о том, что плотность лarpанжиана, с точностью до пространственновременной производ"
ной, инвариантна относительно HeKOТoporo бесконечномалоro преобразования б, означает,
что БL  временная производная HeKOТoporo функционала F. Иными словами,
 aL "JJ  aL ,,:JJ   F
tдqп UЧ +tдqп UЧ  dt .
С помощью канонических уравнений движения это можно записать как закон coxpaHe
ния Q == О, rде сохраняющийся заряд равен
aL
Q ==   дqn &f +F.
В данном случае Q == f d З x[ + КО]. МЫ предполаrаем обычные коммутационные соотно..
тения без связей [ aL ]  . т
aqn't{'  IБ п , [tf ,qn] == О,
и находим коммутатор
. aL дбql . aF .
[Q,qn] == lбqn   д1 дпп [qz ,qn] +  дпn [qz ,qn].
nl q  п 
Чтобы вычислить второй и третий члены, заметим, что вторые производные по времени if
входят в условие инвариантности линейно, поэтому коэффициенты при них должны совпа
дarь: даже не обращаясь к уравнениям движения, имеем
aL д&/ aF
:t aq/ дqn == aqn '
Второй и третий члены коммутатора поэтому сокращаются, и остается искомый результат
[Q, qn] == i&f'.
Кроме TOro, дифференцирование по времени дает
[Q, qn] == iOif' .
Этот результат был распространен на теории со связями 7.

26.7. Суперток
101
Например, мы можем вывести явную формулу для тока суперсим
метрии в общей перенормируемой теории левокиральных суперполей Фп И
она может быть использована для TOro, чтобы проверить, что этот ток дей
ствительно rенерирует преобразования суперсимметрии в смысле (26.7.6).
Лаrpанжиан (26.4.7) для этой теории можно представить в форме
fl ==  [al1q>:al1q>n   ( 'I'Lny l1 a l1 '1'Ln)   ( 'I'Rny l1al1'1'Rn)]
+ члены без производных.
(26.7.7)
С помощью правил преобразования (26.3.15), (26.3.17), (26.3.18) и (26.3.20)
(при Ф == <р*) определенный формулой (26.7.2) нетеровский ток при водится
к виду
1
N 11 == ..ti  [2(д 11 <Р:) 'l'nL + 2(д l1q>n)'I'nR + (Jq>n)yl1'1'nR + (Jq>:)y l1 '1'nL
 Эi"пУ'I'пR  Y'I'nL] · (26.7.8)
Мы можем вычислить изменение лarpанжиана либо непосредствен
но, либо проще, заметив, что изменение D..членов и Эi"членов' при
преобразованиях суперсимметрии дается, соответственно, соотношения
ми (26.2.17) и (26.2.16). В любом случае мы найдем, что ток K в (26.7.1)
равен
КI1 ==   уl1 [( Jq>n)'I'nR  (Jq>:)'I'nL + 'I'nL + Э1'n'l'nR
+ 2 ( a'(q» ) 'l' nL + 2 ( a'(q» ) * 'l' nR] . (26.7.9)
<Рп <Рп
Сложение выражений (26.7.8) и (26.7.9) дает ток суперсимметрии для этоro
класса теорий
s 11 == v'2  [( Jq>n)yl1'1'nR + ( Jq>: )yl1'1'nL + ( ; ) yl1'1'nL + ( ; ) * YI1'1'nR] .
(26.7.10)
Затем непосредственно с помощью канонических коммутационных и анти
коммутационных соотношений можно проверить, что f d 3 xSJ удовлетворяет
коммутационным соотношениям (26.7.6).
Имеется дрyroе определение токов симметрии в терминах отклика дей
ствия материи на локальное преобразование симметрии, которое особенно

102
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
полезно, коrда рассматриваемые симметрии являются калибровочными; Ta
кой будет суперсимметрия, коrда мы обратимся к теориям суперrpавитации
в rnаве 3 1. В отсутствие полей суперrpавитации, действие не инвариантно
относительно локальных преобразований суперсимметрии. Если совершить
такое преобразование с зависящим от пространственовременной точки па
раметром а(х), действие изменится на величину, которая, для тoro чтобы
обращаться в нуль при постоянном а(х), должна (даже коrда уравнения по..
ля не удовлетворяютя) иметь вид
БI ==  I d 4 X((d!! a (x))S!!(x)),
(26.7.11 )
rде S(x)  4Beктop майорановских спинорных операторных коэффициен
тов. Это не определяет S  (х) однозначно, потому что при обобщении, заме..
няющем rnобальные преобразования суперсимметрии локальными, можно
в общем случае придать изменению бх поля х при локальном преобра
зовании суперсимметрии произвольную зависимость от производных па
раметра а(х). Однако имеется один способ определения локальных пре..
образований суперсимметрии, который rарантирует, что коэффициент S 
в выражении (26.7.11) будет совпадать с током, определенным выражени
ем (26.7.4), который, как мы видели, rенерирует преобразования симмет
РИI:I в смысле (26.7.6). Необходимо уточнить, что проuзводные от а(х) не
участвуют в суперсuм.метрично'м преобразовании канонических ши вcпo
,Моzательных полей X 1 . Например, локальные версии правил преобразования
(26.3.15)---(26.3.17) для компонент левокиральноro суперполя имеют вид
б'l'L(Х) == J2a<p(x)yaR(X)<p(x) + J2Эi"(х)аL(Х),
БЭi"(х) == J2 ( aL (х) 'I' L (х) ) ,
б<р(х) == J2 ( aR (X)'I'L(X)) .
(26.7.12)
(26.7.13)
(26.7.14)
Из (26.3.21) видно, что суперполе может быть выражено через ero компо
нентные поля в точке xt без производных, а правило преобразования для
суперполя может быть представлено как
БФ(х,е) == ( a (x+) )Ф(х,е),
(26.7.15)
rде j}  оператор (26.2.2)
При таком определении преобразований суперсимметрии производи
мое ими изменение действия состоит из двух слаrаемых. Вопервых, хотя
вариация канонических полей при преобразовании суперсимметрии не co
держит производных функции а(х), вариация производных от канонических

26.7. Суперток
103
полей их содержит. Это порождает совпадающее с (26.7.2) изменение ла
rpанжиана, за исключением тoro, что а заменяется на дa:
бl/ ==  I tt х ([d a (x)]Nfl(x)) ·
Второй член в изменении действия возникает изза тoro, что лarpанжиан не
инвариантен даже относительно той части преобразований суперсимметрии,
которая не зависит от производных функции а(х). Соrnасно (26.7.1), это
порождает изменение действия
бz/ == I d 4 Х ( a (x)dflK  (х)) ==  I d 4 Х ((д a (x) )К!! (х)) ·
Сумма б}/ и б2/ дает полное изменение действия вида (26.7.11), rде S(x)
совпадает с (26.7.4), что и требовалось доказать.
Даже при такой детализации трансформационных свойств компонент
ных полей ток суперсимметрии Sfl(x) не фиксируется однозначно paBeH
ством (26.7.11), потому что всеrда можно ввести модифицированный ток
SOB == sfl + avAV,
(26.7.16)
rде Av == Avfl  произвольный антисимметричный тензор майорановких
спиноров. Слаrаемое avAV сохраняется независимо от TOro, удовлетворяют
ся ли полевые уравнения, а ero временная компонента представляет собой
пространственную производную, поэтому f d 3 XOB == f d 3 xsO, И выражение
(26.7.6) остается без изменений.
В действительности существует специальный выбор AV, удобство KO
TOpOro состоит в том, что 'YSOB оказывается мерой нарушения масштабной
инвариантности в теории. С помощью уравнений Дирака, следующих из
плотности лаrpанжиана (26.4.7):
( a 2f (<p) ) *
;J'I'тL ==   д<Ртд<рn 'l'nR,
( a 2f {<p) )
;J'I'mR ==   д<Ртд<рn 'l'nL,
(26.7.17)
непосредственно вычисляется
'YS ==  2 v'2 {;J (<Pn'l'nR + <P:'I'nL)
+ ( L<Pm д2Л<р) 2 дЛ<р) ) 'l'пL
т д<Рпд<Рт д<Рп
+ ( L<Pm (f2f(<p) 2 дЛ<р) ) * 'l' nR } .
т д<Рпд<Рт д<Рп

104
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
Первый член можно исключить, введя модифицированный ток суперсим
метрии общеro вида (26.7.16):
SOB == S 11 + v; [111 , 1 V ] L d v (<Рn 'l'nR + <P'I'nL) ,
п
(26.7.18)
для KOTOpOro
  м { ( a2f(<f') af(<P) )
1 11 S иов 2v2L L<Pm i) д 2 д 'l'nL
п т <рп <Рт <рп
+ ( L<Pm д2Л<р) 2 df(<P) ) * 'l' nR } .
т a<f'na<f'm a<f'n
(26.7.19)
Правая часть обращается в нуль для масштабноинвариантной плотности
лаrpанжиана, коrда f( Ф) представляет собой однородный полином тpeтbero
порядка относительно Ф п .
Обратимся теперь к трансформацинным свойствам тока суперсиммет
рии относительно преобразований суперсимметрии. Нетрудно проверить,
что ток, определяемый (26.7.18) и (26.7.10), связан с (О--компонентой ОО дей
ствительноro некиральноro поля e соотношением*
SOB ==  200 e + 2'Y'Yv of; ,
(26.7.20)
rде
Э I1 == 1 i 2 L [4Ф:д I1 Ф n 4ФnдI1Ф: + (( 9JФ )111(9JФn))] ·
п
(26.7.21)
Суп ер поле e называется супертоко.м.
Суперток удовлетворяет закону сохранения, который включает coxpa
нение тока суперсимметрии (26.7.20) и MHoro дрyrих следствий. Чтобы BЫ
вести ero, можно воспользоваться соотношением антикоммутации (26.2.30)
* Здесь мы вводим обозначения, которые будут широко использоваться в rnаве 31. Следуя
формуле (26.2.1 О), компоненты c S , «f, M S , N S , У; ,1 S И IY произвольноro суперполя S(x, в)
определяются разложением
S(x,8) ==d(x) i(&Ys(i)S(x))  4 (&ys8) MS(x)  4 (08) NS(x)
+ 4 (&Ysf8) v;(x)  i (&rs8) (8 [tS(X) + 4 dof(x)])
  (&ys8)2 [vs(X) + 4 Dd (X)] .

26.7. Суперток
105
и записать *
[R, ( L !lJL)] == 4;J!lJL.
Вместе с условиями киральности !lJ RФп == 9) L Ф: == о это дает
у!! 9JL L [Ф;д!!Фn  Фnд!!Ф;] ==   L Ф;9JR ( 9JL 9JL) Фn  L(Ф;)9JLФn
ппп
и
у!! 9JL L (( 9JФ ;)У!! ( 9JФ n)) == 4 L(;)9JФn ( 9JL 9JL) Фn, +2 L 9JФ;,
ппп
поэтому суперполе (26.7.21) удовлетворяет соотношению
y!!9JLE>!! ==  iL(9JRФ;) ( !j)L 9JL)Фn l iLФ;9JRL9JL)Фп. (26.7.22)
п п
В разделе 26.6 мы видели, что полевые уравнения, следующие из лarpанжи
ана (26.4.7), MOryт быть представлены в форме
( 9J L 9JL) Фn == 4 ( д:) ) * .
Подставив это в (26.7.22), получим в итоrе
(26.7.23)
 (:)   2 . ( * ) (  ) * !. * (  ) *
у 9JLO!!  ЗZ 9JRФn дФn + зZФn9JR дФ n
1 . [ дf(Ф) ] *
== з Z9JR Фn дФn Зf(Ф) ·
Эрмитово сопряженное к (26.7.24) выражение имеет вид
(26.7.24 )
у!!9JRЭ!! ==   i9JL [Фn дi:) Зf(ф)] ·
Сумма этоro выражения и выражения (26.7.24) дает закон сохранения
(26.7.25)
y9)e == X,
(26.7.26)
rде Х  действительное киральное суперполе, которое (с точностью до aд
дитивной постоянной) для теорий этоrо класса дается выражением
х ==  Im [Фn дi:) Зf(ф)] .
(26.7.27)
*Необходимо заметить, что  L И  R  это левая и правая компоненты ковариантно
сопряженноro оператора  , а не операторы L и R , ковариантно сопряженные L и R.

106
rлава 26. Суперсuм.метрuчные теории поля
Хотя закон сохранения (26.7.26) бьш получен здесь только для пере
нормируемых теорий киральных суперполей, можно ожидать, что он BЫ
полняется и в более общем случае, хотя, конечно, при этом суперполе Х
не обязательно дается формулой (26.7.27), потому что оно может включать
дрyrие законы сохранения. (Обобщенная формула для Х будет дана в раз
деле 31.4.) для вывода этих соотношений следует использовать (26.2.10),
чтобы выразить e через компоненты ,ro и т. д., И использовать (26.3.9),
чтобы выразить киральное суперполе Х через компоненты АХ ,  и т.д. С по
мощью формул (26.А.9), (26.А.16), (26.А.17) и тождеств для матриц Дирака
[ "Р "р ]  1 . paflv [ ]
' , f   2 'Е 15 1  ' 1v ,
1f1v == l1 flP 1 v  l1flVf + l1vP1 + i15Evpa1(J'
(26.7.28)
(26.7.29)
можно затем разложить обе части (26.7.26) по величинам
1, 8,158, 1 v8 , 151 v8 , 15[1,1v]8,
( 88 ), ( &(5 8), ( &( 5 1 v 8) ,
8 ( &(5 8), 158 ( &(5 8) , 1 v8 ( &(5 8),
"?'У5 Э ( &У5 Э )' [f,f1]Э ( &У5 Э)' ( &У5 Э ) 2 ·
Приравняв коэффициенты при 1,8,158, f8, 15f8, 15 (1, 1 V ]8 соответственно,
получим* .
...х ·  е
'1' ==  1151 rofl'
F X  д flC:>
 ,
аХ == (ve),
aflA X == ,
двX ==,
о == v  VV + Eflvpaaac8p.
(26.7.30)
(26.7.31 )
(26.7.32)
(26.7.33)
(26.7.34)
(26.7.35)
Приравнивание коэффициентов при (ё8) или при (ёу58) при водит к одному
И тому же результату
о == 1Л,
а приравнивание коэффициентов при (ёy51V8) дает
i15 [1 V , d)'" == 211VЛ + 1 [1 V , d)ro.
(26.7.36)
(26.7.37)
*Заметим, что y  это V v компонента e, а не y компонента 8v

26.7. Суперток
107
Из формул (26.7.30), (26.7.36) и (26.7.37) следует сохранение тока супер
симметрии (26.7.20):
О  д S fl  2д fl е 2 , е
  нов   ro + р r ro ll ,
(26.7.38)
и соотношение между л и ro:
 ==   + avyro.
(26.7.39)
Приравнивание коэффициентов при 8(&У58) и У58(&У58) дает соотношения,
которые MOryT быть получены, взятием диверrенции, соответственно, от BЫ
ражений (26.7.34) и (26.7.33). Приравнивание коэффициентов при уР8(&У58)
дает
драХ ==aflV+aVp дрvi>л,
что, в сочетании с (26.7.32), приводит к закону сохранения
(26.7.40)
aTV == О,
(26.7.41)
rде TV  симметричный тензор
 1 е 1 е ел
TflV ==  2 VV  2 VV +l1vVл ·
Приравнивание коэффициентов при УРУ58(&У58) дает
aFX == 2D + D +epv(JavVep(J,
(26.7.42)
(26.7.43)
Это, вместе с (26.7.31) и (26.7.35), приводит к соотношению между D и :
D == D +aflav.
(26.7.44)
Приравнивание коэффициентов при [yP,'f]8(&Y58) и (&У58)2 дает результаты,
которые следуют также из (26.7.34) и, соответственно, из (26.7.38) и
(26.7.39).
Сохраняющийся симметричный тензор Tfl V можно отождествить с TeH
зором энерrииимпульса системы. Чтобы убедиться в этом, используем BЫ
ражения (26.1.18) и (26.2.12) для записи изменения ro(х) под действием
преобразования суперсимметрии с бесконечно малым параметром а:
&O == ; [( Q a) ,ro] == +; [ro, ( Qa )]
== (iY5+iY5N:+YV)a.

108
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
Соотношения (26.7.33)---(26.7.35) позволяют представить это в форме
i {ro, Q } ==  у (vvv)  д (вХ +ysA X )  iY5 +  eV1C(JyVa1Cc&.
Выраженное через токи (26.7.20) и (26.7.42), это изменение принимает вид
i {SOB' Q } ==2'YvTV + 2(д  'Y;1) (вХ + 'У5АХ)  eV1C(J'YVa1C
+2iY5 ( Y{cf   y[,'fJ) · (26.7.45)
При  == о все члены справа, кроме первоrо, представляют собой простран
ственные производные и поэтому исчезают в результате интеrpирования по
пространству, так что остается
i {I d 3 XOB' Q } == 2yv I d 3 xT Ov ·
(26.7.46)
Мы определили ток суперсимметрии SOB так, чтобы f d 3 XOB == Q, а из
фундаментальноro соотношения антикоммутации следует, что
I d 3 xT Ov == pv ,
(26.7.47)
Это, вместе с условием сохранения (26.7.41), позволяет отождествить TV с
тензором энерrииимпульса.
Важно обратить внимание на то, какой тензор энерrииимпульса мы
таким образом построили. Либо непосредственно из выражения (26.7.21),
либо рассмотрев суперсимметричное преобразование тока (26.7.18), мож
но вычислить, что тензор энерrииимпульса для перенормируемых теорий
киральных суперполей равен
TV ==  [a<p:av <Рn]  l1v  [дЛ<р:д;.<Рn + д':) 2]
+  (l1VD  aaV) L l<Pnl 2 +...,
п
(26.7.48)
rде точки обозначают фермионные слаrаемые, которые мы здесь не pac
сматриваем. Видно, что последний член, который суперсимметрия свя
зывает с поправочным членом в выражении (26.7.18), обеспечивает бес
следовость тензора энерrииимпульса для безмассовой теории свободноro
поля без суперпотенциала. В этом случае D<Рп == о. Простое вычисление
показывает, что TV имеет нулевой след также в более общем случае

26.7. Суперток
109
масштабноинвариантных теорий, в которых f( <1»  однородный мноroчлен
третьей степени относительно <l>n.
Суперсимметрия устанавливает также интересное соотношение меж
ду нарушениями масштабной инвариантности и сохранением R. Из формул
(26.7.30Н26.7.32) следует, что 1!!StOB == 6у!!оо8!! ,д!! и т:: == 2V!! (представ
ляющее меру нарушения масштабной инвариантности) пропорциональны
компонентам киральноro суперполя Х, поэтому если одна их этих величин
равна нулю как операторное уравнение (т. е. не просто для некоторой KOH
кретной конфиrypации поля), то остальные тоже равны нулю в этом смысле.
В этом случае можно показать, что сер пропорционально току квантовоro
числа R. Чтобы увидеть это, заметим, что из (26.2.11) следует соотношение
ос: == i [С:, ( a Q)] == i ( аУ5 ro) ,
поэтому в общем случае
[С:, Q] == Y5ro.
(26.7.49)
Мы видели, что если  сохраняется, то yflS fl == О, поэтому (26.7.20) дает S(J
== 2ro. Положив о == О и проинтеrpировав по х в (26.7.49), получим
[1 d 3 хС>Е>, Q] ==   1sQ.
(26.7.50)
Поэтому можно ввести ток
f/l fl = 2C fl E>,
(26.7.51)
и, если он сохраняется, то является током KBaHToBoro числа f/l = J d 3 XfJl О,
для KOТOpOro QL и QR уничтожают, соответственно, значения + 1 и  1. KOM
мутатор QL со скалярным суперполем Ф содержит слarаемое дФ/д8L, и это
означает, что 8L несет значение f/l, равное +1, в соrласии с обычным опре
делением. Теория, в которой суперполе Х равно нулю, или, эквивалентно,
в которой равен нулю каждый из операторов Т:' Yfl S fl и aflf/l fl, инвари
антна относительно расширенноro набора преобразований суперсимметрии,
rенерируемых описанной в конце раздела 25.2 суперконформной алreброй.
В масштабноинвариантных теориях значение KBaHToBoro числа !1l,
переносимое различными суперполями, фиксируется структурой лarpанжи
ана. Например в маСIIIТабноинвариантной теории киральных скалярных cy
перполей суперпотенциал должен быть однородным мноroчленом третьеro
порядка от суперполей. !Учлен суперпотенциала пропорционален коэффи
циенту при 8't, обладающим значением maHToBoro числа !1l, равным +2,
поэтому квантовое число f/l у !Учлена суперпотенциала равно KBaHTOBO
му числу f/l caMoro суперпотенциала минус два. Тоrда f/l инвариантность

110
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
требует, чтобы мы присвоили скалярным суперполям квантовое число !1l,
равное +2/3, тоrда суперпотенциал будет иметь квантовое число!1l, равное
+2, а квантовое число!1l ero !Учлена будет равно нулю. При этом скалярные
компоненты <Рn имеют!1l == 2/3, а спинорные компоненты 'VnL (пропорцио
нальные коэффициенту при 8L в суперполе) имеют!1l == 1/3. Это можно
проверить, вычислив ток !1l Jl, исходя из Счлена супертока в этом классе
теорий:
2 · [ * д I"' * ] 1 . (  ) (26 7 52)
!1l Jl == з ' <Р Jl <Р  'fJVJl <р  6 ' 'I1'YJl 15 'v · · ·
(Второй член содержит дополнительный множитель 1/2, потому что 'v 
майорановский спинор.)
Квантовые поправки MOryт приводить К нарушению !1l инвариант
ности (вследствие аномалий АдлераБеллаДжэкива) и масштабной инва
риантности (вследствие ренормrpупповоro изменения констант связи), но,
несмотря на эти поправки, суперсимметрия попрежнему вводит соотноше
ние между этими нарушениями симметрии 7а. Пример TaKoro соотношения
мы увидим в разделе (29.3).
* * *
Условие сохранения (26.7.26) не определяет однозначно ни супер
ток 8 Jl, ни связанное с ним киральное суперполе х. в частности, можно
добавить к е Jl величину
eJl == дY,
(26.7.53)
rде У  произвольное киральное суперполе. Тоrда левая часть выражения
(26.7.26) изменяется на величину
1Jl!lJeJl == !lJY.
для левокиральноro суперполя YL условие киральности RYL == О И соотно"
шения антикоммутации (26.2.30) дают
;1aY ==   [{ L' R } R]aYL
==   [La ( R R) YL + L L RaLIYL]'

Матрицу е15, входящую в [j) Lp во втором слarаемом правой части этоro
соотношения, можно переместить к конечному оператору !lJ L, тоrда условие
киральности и соотношения антикоммутации дают
L L P!lJRa!lJLYL ==  L!lJL!lJRa L YL == 2(!lJ)aYL,
 

26.7. Суперток
111
и, следовательно,
d!lJYL ==   [!lJ ( !lJ !lJ) YL + 2d!lJYL] ==   !lJ ( !lJ !lJ) YL.
Такой же результат может быть выведен тем же способом для любоro ле..
вокиральноro суперполя, и поэтому он справедлив также для произвольной
суммы У левокиральных и правокиральных суперполей:
111 !lJA8 11 == d!lJY ==   !lJ ( !lJ !lJ) У.
(26.7.54)
Это соотношение имеет ту же форму, что и условие сохранения (26.7.26),
в котором ассоциированное киральное суперполе Х заменено киральным
суперполем
АХ ==   ( !lJ !lJ) У.
(26.7.55)
Леrко проверить, что добавление efl к efl изменяет Tfl O и OB только
на пространственные производные и поэтому не меняет 4"вектор энерrии..
импульса pfl или суперзаряд Q.
В разделе 26.6 мы видели, что любое киральное суперполе Х может
бьпь представлено в виде Х == (9J)S и поэтому может быть устранено до..
бавлением к efl слаrаемоro вида (26.7.55) с У == 4S. Но в общем случае S и
построенное таким способом новое суперполе е fl не будут локальными. Эта
ситуация уже знакома нам из опьпа работы с треyroльными аномалиями, об..
суждавшимися в rлаве 22. Там мы видели, что, хотя всеrда можно построить
слаrаемые, которые при добавлении к плотности лarpанжиана сократили бы
эти аномалии, в общем случае эти члены не были бы локальными, и поэтому
должны быть исключены из плотности лarpанжиана. Существуют кираль..
ные суперполя, которые MOryт бьпь представлены как (9J9'J)S с локальным S
и которые поэтому, если бы они присутствовали в ассоциированном кираль..
ном суперполе Х, моrли бы бьпь исключены добавлением к е fl локальных
членов вида (26.7.53). Они содержат, например, член вида Rе(kдj(Ф)jдФ) с
произвольной комплексной постоянной k, потому что из полевых уравнений
(26.6.15) и (26.6.16) следует, что (9J9'J)Rе(k*Ф) == 4Rе(kдj(Ф)/дФ). Однако
в общем случае возможности изменения Х таким способом довольно orpa..
ничены.

112
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
26.8. Келеровы потенциалы общеrо вида *
Имеется несколько обстоятельств, по которым необходимо paCCMOT
реть неперенормируемые лаrpанжианы общеro вида (26.3.30),
!l == 2Rе[J(Ф)] +  [К(Ф'Ф*)]D'
(26.8.1 )
rде суперпотенциал f  произвольная функция левокиральных скалярных
суперполей Фn, но не их производных, а келеров потенциал К  произволь
ная функция Фn И Ф, но не их производных.
Эта ситуация возникает в эффективных теориях поля, симметрии KO
торых исключают любые перенормируемые взаимодействия или в которых
все перенормируемые взаимодействия оказываются малыми. В таком слу
чае часто можно вычислить амплитуды рассеяния при низкой энерrии на
основе древесных диarpамм, используя лаrpанжиан с наименьшим значе
нием некоторой комбинации из набора производных, фермионных полей
и некоторых малых перенормируемых констант связи. В разделе 19.5 мы
исследовали такую эффективную теорию поля без перенормируемых взаи..
модействий, включающую нуклоны и мяrкие пионы. Обсуждавшиеся в раз
деле 21.4 динамически нарушенные калибровочные теории представляют
примеры эффективных теорий TaKoro рода с малыми перенормируемыми
взаимодействиями. Этот случай возникает также в суперсимметричных Teo
риях, симметрии которых не допускают существования суперпотенциала
или в которых суп ер потенциал по некоторым причинам мал. Мы столк..
немся с TaKoro рода примером, коrда в разделе 29.2 рассмотрим расширен
ную N == 2 суперсимметричную теорию абелевых калибровочных суперпо
лей и калибровочнонейтральных киральных скалярных суперполей. Там мы
покажем, что низкоэнерrетические амплитуды рассеяния в этой теории reHe
рируются древесными диarpаммами на основе лarpанжиана вида (26.8.1), в
котором f == О, а К  функция только от Фn Ф, не содержащая производных,
плюс !Учлены, квадратичные относительно калибровочных полей. Включе
ние келеровых потенциалов, имеющих произвольную зависимость от Фn
И Ф, но не зависящих от их производных, особенно важно в эффективных
теориях поля, в которых некоторые скалярные поля имеют тот же порядок
величины, что и фундаментальный масштаб энерrии исходной теории, хотя
все остальные значения поля и все остальные энерrии roраздо меньше. Это
представляет интерес, например, в связи с обсуждаемыми в разделе 31.6
теориями с вызываемым rpавитацией нарушением суперсимметрии.
*Эrот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть
опущен при первом чтении.

26.8. Келеровы потенцuШlЫ обще20 вида
113
Рассмотрим, как можно выразить лarpанжиан (26.8.1) через ком..
понентные поля. При выводе (26.4.4) мы не использовали предположе..
ние о том, что j(Ф)  кубический полином, поэтому это соотношение
по..прежнему будет давать ..члены лarpанжиана от вклада произвольно..
ro суперпотенциала. Чтобы получить D..члены, заметим, что в келеровом
потенциале член четвертоro порядка по 8 равен
К ( Ф ф* ) == ! ( tw 8 ) 2 [ aK(q>,q>*) Осп + aK(q>,q>*) от* ]
, в 4 8 Vl5  aln тn aln* тn
n тn тn
+ L дK(:,:*) ( 815 0) [( O'J1mR ) ( O пL)  ( O'l'n L) ( O mR)]
nт <Рn <Рт
 д З К ( <Р, <р*) ( Т ) ( Т ) ( Т ) *
+ 2Re  д д д * 0Le'l'пL 0Le'l'тL °LeOL !yj
nml <Рn <Рт <Pl
 дЗК(<р,<р*) (  ) (  ) (  ) a fl
+ 2Re  д д д * 0'l'тL 0'l'IR OL151 f1 0 <Рп
nml <Рn <Рт <Pl
 д4К(<р,<р*) (  ) (  ) (  ) (  )
+  aq> aq> aq>*aq>* O'J1nL °'l'тL 0'l'IR °'l'kR
nmlk n т k 1
1  д 2 К( <Р, <р*)  (  ( )) (  ( ))
 4  д д * !F n 3 m О 1 +150 О 1 150
nт <Рn <Рт
1 (  fl ) (  ,,)/ )  [ д2 К ( <Р, <р *) д д *
+ 4 еу5У 8 f)y5r 8   д д * fl<Pn v<Pm
mп <Рn <Рт
1 д 2 К( <Р, <р*) 1 д 2 К( <Р, <р*) * * ]
+ 2 д д af1q>n av q>m + 2 д *д * af1q>n av q>m ·
<Рn <Рт <Рn <Рт
(26.8.2)
Мы снова можем использовать формулы (26.А.18) и (26.А.19), а также
(26.А.9), чтобы выделить зависимость этоro выражения от в в виде общеro
множителя (8"(58) и получить
К ( Ф ф* ) ==! ( tw 8 ) 2 { ! aK(q>,q>*) Осп ! aK(q>,q>*) от*
, в 4 4 v 15 2 д<рn тn 2 aq>h тn
д 2 К(<р,<р*) [   ]
+ L д д * ('I'mnL) + ('I'nmR)  2!Fn
nт <Рn <Рт
д З К( <р <р*)
+ 2Re L д д ' д * ( 'I'n'l'тL ) 
nml <Рn <Рт <Pl

114
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
д 3 К(<р,<р*)  
 2Re L aq> aq> aq>* ('I'm У 'l'lL) a!!q>n
nml n m 1
1 д4К(<р,<р*)  
 2 L aq> aq> aq>*aq>* ('I'n'l'тL) ('I'k'l'IR)
nmlk n m 1 k
'" a 2 K(q>,q>*) д д!! * ! '" a 2 K(q>,q>*) д д!!
+  дln дln*  <Рn <Рт 2  дln дln f.L <Рn <Рт
nт 'Уn 'Ут nт 'Уn 'Ут
! '" a 2 K(q>,q>*) д m*a!!,n* } .
2  дln* дln*  'Уn 'Ут
nт 'Уn 'Ут
(26.8.3)
Чтобы сделать прозрачными свойства действительности фермионных кине
матических членов, можно воспользоваться формулой (26.А.21) и записать
( Vn VmR) == ( vn dvmL)*.
Dчлен в К(Ф,Ф*)  это коэффициент при (&Y5в)2 /4 за вычетом половины
даламбертиана не зависящеro от в члена в К(Ф,Ф*), который равен К(<р,<р*),
поэтому
 [К(Ф'Ф*)]D == Re Lпт [   ( 'I'm (1 +Ys)'I'n)
nт
+п д!!q>пд!!q>=Ж]
д 3 К( <р, <р*) 
 Re L aq> aq> aq>* ('I'n'l'тL) 
nml n т 1
д 3 К( <р <р*)
+ Re L д д ' aq>* ( 'I'm Y !!'I'lR) a!!q>n
nml <Рn <Рm 1
1 д4К(<р,<р*)  
+ 4 L aq> aq> aq>*aq>* ('I'n'l'тL) ('I'k'l'LR) ,
nmlk n m 1 k
(26.8.4)
rде  (<р, <р*)  келерова метрика
 (q>, <р*)  д 2 К( <р, <р*) .
дфnд<р:Z
(26.8.5)
Обращаем внимание на то, что вместо матрицы gnm В (26.4.2) здесь подстав
лена келерова метрика  nт ( <р, <р*). Поскольку келерова метрика зависит от
поля, в общем случае невозможно сделать ее равной единичной матрице с
помощью переопределения поля, так что полный лаrpанжиан должен быть

26.8. Келеровы потенцuШlЫ обще20 вида
115
оставлен в форме
Р == Re nm [  ( 'Vm (1 +Ys)'Vn) + п  д!!q>пд!!q>]
д 3 К( <р, <р*) 
 Re L дq> дq> дq>* ('Vn'VтL),tjf
nml n m 1
д 3 К( <р <р*)
+ Re L д дq>' дq>* ( '11т Y !!'VLR) д!!q>п
nml <Рn m 1
1 д 4 к(<р,<р*)  
+ 4 L дq> дq> дq>*дq>* ('Vn'VтL) ('Vk'V1R)
nmlk n m 1 k
д 2 К(<р,<р*)  д/(<р)
ReL д д ('Vn'VтL)+2ReLn д ·
nт <Рn <Рт n <Рn
(26.8.6)
Билинейное выражение ( '11т i'r5'Vn) представляет собой полную производную
и ero можно было бы отбросить, если бы метрика nт была постоянной, но
ero необходимо сохранить для келеровых потенциалов общеro вида. В конце
раздела 27.3 этот результат будет обобщен, чтобы включить калибровочные
поля.
* * *
Как обсуждалось в разделе 19.6, спонтанное нарушение rлобальной
rpуппы симметрии G до подrpуппы Н влечет за собой существование на..
бора действительных безмассовых roлдстоуновских бозонов со скалярными
полями 1tk, для которых слаrаемое лarpанжиана с минимальным числом про..
изводных принимает вид
ШО/Н ==  LGld(1t)д1tkд1tl,
kl
(26.8.7)
rде Gkl  метрика фактор..пространства G/H. (Теории с лаrpанжианами Ta
KOro общеro вида называются нелuнейны.мu о"моделямu.) Записав комплекс..
ные поля <Рn как суммы соответствующих действительных и мнимых частей,
можно привести слаrаемое  Lnmnm(<р,<р*)д<рnд<р лarpанжиана (26.8.6)
к виду (26.8.7), но обратное утверждение в общем случае несправедливо:
условие TOro, чтобы набор действительных координат, подобных roлдсто"
уновским бозонным полям 1tk, Mor интерпретироваться как действительная
и мнимая части набора комплексных координат, подобных полям <Рn' причем
метрика в этих координатах локально задана соотношением (26.8.5), опре..

116
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
деляет так называемое келерово мноroобразие*. Однако не нужно думать,
что в обычных случаях, коrда G / Н не является келеровым мноroобразием,
rpуппа G не может быть спонтанно нарушена до Н так, чтобы осталась
ненаруmенной суперсимметрия. То, что происходит в этих случаях, состоит
в появлении дополнительных безмассовых бозонов, которые вместе с roл
дстоуновскими бозонами образуют келерово мноroобразие.
Это происходит потому, что суперпотенциал f( <р) зависит от <р, но не
зависит от <р*, поэтому, если весь лаrpанжиан инвариантен относительно
rлобальной rpуппы симметрии G, то суперпотенциал автоматически инва
риантен относительно rpуппы Gc, то есть комплексификации G: если G
состоит из преобразований exp(iLA eAtA) с rенераторами tA и произволь
ными действительными параметрами еА, то Ge состоит из преобразова
ний exp(iLAZAtA) с теми же rенераторами и произвольными комплексными
параметрами ZA. (Например, если G это И(п), то Ge  это GL(n,C), rpуп..
па всех комплексных несинryлярных матриц, а если G  это SU(n), то Ge
это SL( п, С), rpуппа всех комплексных несинryлярных матриц с единичным
детерминантом.) Аналоrично, если некоторая стационарная точка <р(0) супер
потенциала f( <р) инвариантна относительно некоторой подrpуппы Н rpуп
пы G, то она будет инвариантна также относительно подrpуппы Не rpуп
пы Ge, т. е. комплексификации Н. Независимо от TOro, образует ли G/H Ke
леров мноroобразие, комплексифицированное фактор..пространство Ge/ Не
всеrда представляет собой келерово мноroобразие. Это есть следствие TOro,
что Ge/ Не образует комплексное подмноroобразие плоскоro комплексноro
пространства полей <Рn' которое представляет собой келерово мноroобразие,
и существует теорема о том, что любое комплексное подмноroобразие Ke
лерова мноroобразия  это келерово мноroобразие 9. При параметризации
значениями <Pn(Z) == [eXp(iLA ZAtA)<P(O)]n келерово мноroобразие Ge/He име
ет метрику, получаемую с помощью ero вложения в плоское комплексное
*Значение келеровых мноroобразий в этом контексте отмечалось в ранней работе Зуми
но 8. Заметим, что нет необходимости в том, чтобы метрика бьша представима в виде (26.8.5)
на всем мноroобразии с помощью едuнственноzо келеровоro потенциала К(<р,<р*); необхо
димо только, чтобы мноroобразие можно было покрыть конечными перекрывающимися об
ластями, в которых это выполняется, со своим келеровым потенциалом в каждой области.
Простейший пример келерова мноroобразия  это (плоская) комплексная плоскость с келеро
вым потенциалом Iz1 2 . В качестве примера факторпространства G/H, которое представляет
собой келерово мноroобразие, Зумино привел случай, коrда G == GL(p, С) х GL(p + q, С) и Н ==
GL(p,C), rде р и q  произволъные положительно определенные целые числа, а GL(N,C) 
rpуппа комплексных несинryляpных N х N матриц. При этом факторпространство имеет KOM
плексные координаты <Рп' их можно рассматривать как компоненты комплексной р х (р + q)
матрицы А, которая под действием G и Н подверrается соответственно преобразовани
ям А  ВАС и А  ВА, rде В и С  квадратные несинryлярные комплексные матрицы размер
ности, соответственно, р и р + q. в этом случае потенциал Келера просто равен К ос ln DetAA t .

Приложение А. Maйopa1loвcкue спи1l0РЫ
117
пространство полей <Рп, линейный элемент (квадрат интервала) в котором
обычно определяется выражением Lпd<Pпd<p.
Хотя Ge не является rpуппой симметрии Bcero лаrpанжиана, roлдсто
уновские бозоны, связанные с нарушением Ge до Не, cтporo безмассовы.
Это rарантируется теоремой об отсутствии перенормировки из раздела 27.6
или, проще rоворя, результатом из раздела 25.4: безмассовые частицы с нy
левым спином должны входить в пары, которые связаны преобразованиями
суперсимметрии и поэтому одинаково преобразуются под действием любой
rлобальной rpуппы симметрии G, коммутирующей с суперсимметрией.
Приложение А. Майорановские спиноры
Это приложение суммирует некоторые алreбраические свойства май
орановских спиноров, которые необходимы, коrда мы имеем дело ссупер..
полями.
Рассмотрим четырехкомпонентный фермионный майорановский спи
нор S, который подобно Q или в может быть представлен в форме
 ( e* )
s '
(26.А.l )
rде   некоторый двухкомпонентный спинор, а е  2х2"матрица
( о 1 ) .
е =  1 О == 102.
Такой спинор связан со своим комплексно сопряженным соотношением
s* == (e ) s == 1315f.Y,
(26.А.2)
rде е  4 х 4матрица
е  ( e)'
(26.А.3)
а 15 и Р  обычные 4х4матрицы
15 == ( 1)' 13 == ( ),
причем 1 и О здесь следует понимать как 2х2матрицы.

118
rлава 26. Суперсuм.метричные теории поля
Производя транспонирование уравнения (26.А.2) и умножая справа
на р, приходим к эквивалентной формуле
s = s+p == sT еУ5.
(26.А.4)
Антикоммутативность спинорных компонент оrpаничивает разнообразие би
линейных ковариантов, которые можно получить из майорановских спино
ров. Чтобы это увидеть, удобно сначала рассмотреть свойства симметрии
билинейных ковариантов, которые сами по себе представляют некоторый
интерес. для пары майорановских спиноров Sl и S2 И любой числовой MaT
рицы М уравнение (26.А.4) дает:
Sl MS 2 == LSlaS2 (eY5M)a ==  L S 2a S lp (еУ5 М )Ра
a a
== + LS2aSl (мТ e'Y5)a == S2 (e'Y5)1 м Т e'Y5 S I,
a
причем знак минус, следующий за вторым знаком равенства, обусловлен
фермионной природой этих спиноров. В разделе 5.4 мы установили, что 16
ковариантных матриц, образованных из дираковских матриц, удовлетворяют
условиям:
{ +CMcl
MT
 CMcl
м == 1, Y5Y' У5
My, [Y,Yv] ,
(26.А.5)
rде С  матрица
( e О )
С == У2Р == eY5 == О е .
(26.А.6)
Отсюда следует, что
 { +(s2MSl)
(Sl Ms 2) == (  М )
 S2 Sl
м == 1, Y5Y' У5
М == y, [y, Yv] ·
(26.А.7)
в частности, полаrая Sl == S2 == s, находим, что
Sys  S[Y,Yv]s == О,
(26.А.8)
так что единственными билинейными ковариантами, образованными одним
майорановским спинором s, являются ss, Sy5YS И Sy5s.
При рассмотрении суперполей наиболее общеro вида необходимы
выражения для произведений двух и большеro числа майорановских спи
норов. Напоминаем, что для двух спиноров любая 4х4матрица может
быть разложена на сумму 16 ковариантных матриц 1, y, [Y,Yv], Y5Y' У58

Приложение А. Майорановские спиноры
119
Лоренц"инвариантность позволяет утверждать, что для матрицы SaSp это
разложение должно иметь вид:
SS== ks(ss) +kV1'(&fs) +k T [1',1'v] (s['f,1'V]s) +kA1'51'(Sy5'fS) + kP1'5(Sy5 S )'
rде k n  подлежащие определению KOHcTaHThI. Уравнение (26.А.8) показыва..
ет, что можно положить kv == kT == о. Оставшиеся коэффициенты MOryт быть
вычислены умножением справа на 1, 1'5'f и 1'5 и дальнейшим вычислением
шпура, что дает ks ==  1/4, kA == + 1/4 и kp ==  1/4. Таким образом, находим:
111
ss  4 (ss) + 4 151f!(Sy5'fS)  4 15 (Sy5 s ),
(26.А.9)
Умножая справа на E1'5 и используя уравнение (26.А.4), можно записать
выражение (26.А.9) в виде:
111
sasp  4 (E'Y5)ap(sS) + 4 (1f!E) ар (Sy5'fs) + 4 EaP(Sy5 s ), (26.А.I0)
или эквивалентно
1 т 1 T 1 Т
SaSp  4 (E'Y5)ap(s E'Y5 s ) + 4 (1f!E)ap(S E'fs) + 4 Eap(s ES).
(26.А.ll )
Теперь рассмотрим произведение SaSpSy трех компонент майорановскоro спи..
нора s. Мы можем разделить S на левую и правую части:
S == SL +SR,
1
SL  2 (1 +15)s,
1
SR  2 (1 15)s,
(26.А.12)
Поскольку квадрат любоro фермионноro счисла равен нулю, каждое из SL
и SR имеет только две независимые компоненты. Соответственно, для
всех а, р и l' имеем SLa.SLpSLy == О И SRaSRpSRy == О и, следовательно,
SaSpSy == SLa.SLpSRy + SLa.SRpSLy + SRaSLpSLy + L +------t R,
rде «L +------t R» обозначает сумму предшествующих слarаемых со взаимно
переставленными индексами L и R.
для тоro, чтобы вычислить это выражение, умножаем выражение
(26.А.ll) на подходящий множитель (1 +1'5)/2 и находим:
1 т
SLa,SLp  4 [10(1 + 15)]ар (SLESL)'
Если теперь умножить это выражение на SRy, то, поскольку SESR)SRy == О,
можно опустить индекс L у спиноров В билинейной форме (S[ESL):
1 т
SLa,SLpSRy  4 [10(1 + 15)])aP(s ES)SRy.

120
rлава 26. Суперсимметричные теории поля
Те же apryмeHTЫ при ВОДЯТ к соотношению
1 т
SRаSЩJSLу == 4 [е(1 15)]ap (s es)SLy'
Добавляя сумму таких же двух выражений с переставленными индексами у
на а и Р, в конечном счете получим
SaSpSy==  (sTes) [EapSy(E'Y5)aP(15S)y€aySp
+ (E'Ys)ay(YsS)p + EpySa  (EYs)py(YsS)a] ·
(26.А.13)
для TOro, чтобы вычислять произведения четырех майорановских спиноров,
заметим, что (sT ES) содержит только слarаемые с двумя SLS И двумя SRS.
Поэтому
(ST ES)SуSб == (sT ES) [SRySRб +SLySLб].
Используя уравнение (26.А.ll), чтобы вычислить сумму в квадратных скоб..
ках, и замечая, что
(sT ES)(sT EYsS) == (SrESL)(SESR)  (SESR)(SrESL) == О,
находим, что
т 1 ( Т ) 2
(s es)SySб == 4 Еуо S es ·
(26.А.14)
Следовательно, умножение уравнения (26.А.13) на Sб при водит к результату
SаsрSySб == 116 (sT es) 2 [ЕарЕуо  (1015) ар ( Е'У5)уб  ЕауЕро
+ (ЕУs)ау(ЕУS)Рб + ЕrtfEаб  (Еуs)ру(ЕУs)аб] ·
(26.А.15)
Поскольку любое произведение пяти компонент S обращается в нуль, этим
завершается список формул произведений компонент майорановскоro спи..
нора.
Мы должны использовать эти формулы для TOro, чтобы вывести HeKO
торые дополнительные соотношения, которые будут полезны при работе с
суперполями. Сворачивая выражение (26.А.13) с (EYs)py и (EY)py , находим
Sa (Ss) == (YsS)a (iySs)
(26.А.16)
и
Sa(iysyS) == (YS)a(iysS).
(26.А.17)

Задачи
121
Из выражений (26.А.16) и (26.А.17) можно вывести тождества Фирца
(Ss)2 == (svss)2, (SVs1!!S) (SVs1v S ) == l1!!v (SVs s )2 .
(26.А.18)
Кроме TOro, формула (26.А.14) может быть представлена в ковариантной
форме
1
(SVss)ss ==  4 1s (svs s )2.
(26.A.19)
Будет также полезно записать свойства действительности билинейных про
изведений майорановских спиноров
(S} MS 2)* == (SiE'Y5M*S2) == (s}E'Y5M*E'Y5S2).
(Знак минус в среднем члене возникает изза взаимной перестановки S}
и S2, что происходит, коrда мы производим комплексное сопряжение.) Но из
формул (5.4.40) и (26.А.6) следует равенство EPE'Y5 == 'Y, так что
* { +М
р Е 'У5 М E'Y5 == M
м == 1, 'Y, ['Y, 'Y]
М == 'Y'Y5' 'У5
(26.А.20)
и, следовательно,
( ... М ) *  { + (S} MS 2)
S} S2  (  М )
 S} S2
м == 1, 'Y, ['Y, 'Y]
М == 'Y 'У5, 'У5
(26.А.21 )
в заключение напоминаем, что любой спинор и может быть записан через
пару майорановских спиноров Sf: в виде
и == S+ +S,
(26.А.22)
rде
s+ =  (и  /3E'Ysu*) , s = ;; (и + /3E'YsU*)'
(26.А.23)
Чтобы проверить, что S::I::  майорановские спиноры, удовлетворяющие ypaB
нению (26.А.2), необходимо только вспомнить, что матрица E'Y5 действи
тельна и что (E'Y5)2 == 1.
Задачи
1. Используя прямой метод из раздела 26.1, найдите в случае N == 2 супер
симметрии законы преобразования супермультиплета массивных полей

122
rлава 26. Суперcuм.метричные теории поля
с единственнным майорановским спинорным полем и двумя комплекс
ными скалярами относительно преобразований суперсимметрии.
2. Вычислите компонентные поля обращенноro по времени суперполя
TIS(x,e)T,
выразив их через компоненты суперполя S(x, е). KaKoro рода суперпо
ле получится при обращении по времени левокиральноro суперполя?
Линейноro суперполя?
3. Рассмотрим N == 1 суперсимметричную теорию одноro левокиральноro
суперполя Ф. В суперполевых обозначениях перечислите все члены раз
мерности 5, включающие Ф и(или) Ф*, которые MOryт быть добавлены
к лarpанжевой плотности.
4. Рассмотрим теорию трех левокиральных скалярных суперполей Фl, Ф2
И ФЗ С обычным кинематическим членом и суперпотенциалом
/(Фl,Ф2 Ф З) ==ФIФ+Ф2(Ф+а)
rде а  ненулевая действительная постоянная. Покажите, что это Teo
рия со спонтанно нарушенной суперсимметрией. Найдите минималь
ное значение потенциала. Выразите поле roлдстино через фермионные
компонентыI Фl, Ф2 И Фз.
5. Выразите все компоненты ТOKOBOro суперполя для действия (26.6.9)
через компоненты левокиральных суперполей Ф п И производные cy
перпотенциала / и потенциала Келера К.
6. Убедитесь в том, что ток суперсимметрии, определяемый (26.7.18) и
(26.7.10), связан с ro компонентой суперполя (26.7.21) соотношением
(26.7.20).
Список литературы
1. А. Salam and J. Strathdee, Nuc/. Phys. 876, 477 (1974). Эта статья пе..
репечатана в сб.: Supersyттetry, S. Fепarа, ed. (North Holland/World
Scientific, Amsterdam/Singapore, 1987).
2. J. Wess and В. Zumino, Nuc/. Phys. 870, 13 (1974). Эта статья перепеча
тана в сб.: Supersyттetry 1.
3. L. О , Raifeartaigh, Nuc/. Phys. 896, 331 (1975). Эта статья перепечатана
в сб.: Supersyттetry 1.

Список литературы
123
4. F. А. Berezin, Тhe Method о/ Secoпd Quaпtization (Academic Press, New
York, 1966) (на русском языке см. Ф. А. Березин, Метод вторичноro
квантования (М.: Наука, 1986).
5. J. Iliopoulos and В. Zumino, Nucl. Phys. 876, 310 (1974); s. Fепarа and
В. Zumino, Nucl. Phys. 887, 207 (1975). Эти статьи перепечатаны в сб.:
Supersyттetry 1.
6. Изложение в этом разделе следует подходу с. Феррара и Б. ЗУМИRО [5]
7. х. Gracia and J. Pons, J. Phys. А25, 6357 (1992). Я блaroдарен х. [омесу
(J. Gomis) за предложение использовать уравнение, приравнивающее
коэффициентыI при if.
7а. М. Т. Grisaru, в книre: Receпt Developтeпts in Gravitatioп  Cargese
1978, М. Levy and S. Deser, eds. (Plenum Press, New York, 1979), р. 577.
8. В. Zumino, Phys. Lett. 878, 203 (1979). Эта статья перепечатана в сб.:
Supersyттetry 1.
9. Р. Griffiths and J. Напis, Priпciples о/ Algebraic Geoтetry (Wiley, New
York, 1978), р. 109. Блаroдарю д. Фрида (о. Freed) за то, что он сообщил
мне об этом применении общей теоремы.

27
Суперсимметричные калибровочные теории
Все успешные теории сильных, слабых и электромarнитных взаимо
действий, описанные в первых двух томах, являются калибровочными. Что
бы увидеть, может ли простая суперсимметрия быть связана с реальным
миром, необходимо научиться строить действия, которые являются как су..
персимметричными, так и калибровочноинвариантными 1.
27.1. Калибровочио"иивариаитиые действия для киральиых
суперполей
Рассмотрим множество абелевых или неабелевых калибровочных пре
образований, оставляющих инвариантныIM reHepaTop суперсимметрии Q.
(для простой суперсимметрии существует лишь один reHepaтop суперсим
метрии, имеющий вид майорановскоro спинора, который может реализо
вать только тривиальное представление любой полупростой калибровочной
rpуппы.) При таких калибровочных преобразованиях все компоненты поля
в супермультиплете должны преобразовываться одинаково. В частности, для
левокиральноro суперполя имеем
<Рп(Х) ----t L [ ех р (iLtAA A (х) ) ] <Рт(Х)'
т А пт
'l'nL(X) ----t L [ ех р (iLtAA A (х) ) ] 'l'mL(X),
т А пт
п(X) ----t L [ ех р (iLtAA A (х) ) ] т(X),
т А пт
(27.1.1)
rде tA  эрмитовы матрицы, представляющие reнераторы калибровочной
алrебры; лА(х)  действительные функции X, параметризующие конечное

27.1. КШluбровочноuнварuантные действия для КUрШZЬНЫХ суперполей 125
калибровочное преобразование. (Мы используем те же обозначения для Ka
либровочных преобразований, что и в разделе 15.1, но, чтобы избежать пу
таницы с дираковскими индексами, калибровочные rенераторы и параметры
калибровочноro преобразования обозначаем буквами А, В и т. д. вместо а, 
и т. д.)
Левокиральное суперполе (26.3.11) содержит производные некоторых
компонент полей, так что ero преобразование более сложно, чем то, KOTO
рое задается формулой (27.1.1). Однако формула (26.3.21) показывает, что
суперполе не содержит производных, если ero выразить через eL и перемен
ную х+, определенную соотношением (26.3.23). Поэтому оно преобразуется
по правилу
Фп(х,е) ----t L [ exP(iLtAAA(x+)) ] Фт(х,е).
т А пт
(27.1.2)
Если член в действии зависит только от левокиральных суперполей и не
зависит от их производных или комплексно сопряженных полей, типа чле
на J d 4 Х(/(Ф)]fI" В (26.3.30), тоrда этот член (и ему комплексно сопряжен
ный) будет инвариантным относительно локальноro преобразования (27.1.2),
если при этом он инвариантен относительно rnобальных преобразований с
независящими от x функциями АА(х). Необходимость вводить калибро
вочные поля в перенормируемых теориях киральных суперполей возникает
только в Dчленах, содержащих как Ф п , так и Ф. Поскольку матрицы tA
эрмитовы, эрмитово сопряженное к выражению (27.1.2) имеет вид
Ф(х,е) ----t LФ(х,е) [ ех р ( iLtAAA(x+)* ) ] .
т А пт
(27.1.3)
Если бы не различие между АА(х+)* == AA(x) и лА(х+), то можно бьто
бы сказать, что Фt преобразуется по представлению калибровочной rpуп
пы, контрarpадиентному к представлению, реализованному суперполем Ф,
и любая функция от ФиФ t, инвариантная относительно rлобальных Ka
либровочных преобразований, инвариантна также относительно локальных
калибровочных преобразований. Поскольку х+ и x  разные, мы должны
ввести калибровочную матрицу связи rnm(x, е), закон преобразования KOТO
рой имеет вид
r(x, О) ----+ ехр( +iLtAAA(x+)* )r(x, О) ехр( iLtAAA(x+)).
А А
Затем, умножая Фt справа на r, получаем, что суперполе преобразуется как
(27.1.4)
[фt(х,о)r(х,о)]n ----+ [фt(х,о)r(х,О)]m[ехр( i>AAA(x+))]nт' (27.1.5)

126
rлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
так что любая rлобально калибровочноинвариантная функция, построенная
из Ф и фtr (и не содержащая их производных или комплексно сопряжен
HLIX), также будет локально калибровочноинвариантной. Очевидным приме
ром является калибровочноинвариантное выражение (фtrФ)D для Dчлена
в лаrpанжиане, построенном в разделе 26.4.
Любая матрица r(x,e), преобразующаяся так же, как в (27.1.4), поз
воляет построить калибровочноинвариантные лarpанжианы киральных cy
перполей. Сделанный выбор не единственный; если взять матрицу r, преоб
разующуюся как в (27.1.4), и умножить ее справа на любое левокиральное
суперполе 1 L, которое преобразуется по закону
TL(X,e)  ехр( +i>AAA(x+) )TL(X,e)exp( i>AAA(x+)),
А А
то получим новую калибровочную связь, также удовлетворяющую закону
преобразования (27.1.4). Возможное упрощение  выбрать r(x, е) эрмитовой
матрицей:
r t (х, е) == r(x, е)
(27.1.6)
Это всеrда возможно, если существует r(x,e), удовлетворяющая (27.1.4);
тоrда, взяв эрмитовое сопряжение от (27.1.4), леrко увидеть, что rt(x,e)
преобразуется также, как и r(x, е). Поэтому, если r(x, е) неэрмитова, ее
можно заменить эрмитовой частью (r + r t ) /2 (или, если это равно нулю,
то антиэрмитовой частью (r  r t ) /2i). Дpyroe упрощение, имеющее важ
ное физическое значение, состоит в том, чтобы выразить r(x, е) через поля,
для которых свойства калибровочных преобразований не зависят от KOH
кpeTHoro представления tA калибровочной алrебры, по которому преобразу
ется киральное суперполе Ф(х, е). Тоrда эти поля можно использовать для
построения подходящей матрицы r(x,e) для киральных суперполей, пре
образующихся по любому представлению калибровочной rpуппы. С этой
целью полезно вспомнить формулу БейкераХаусдорфа, соrласно которой
для произвольных матриц а и Ь вьmолняется равенство
аЬ ( 1 1 1 )
е е ==ехр а+Ь+ 2 [а,Ь] + 12 [а,[а,Ь]] + 12 [Ь,[а,Ь]]+... ,
(27.1.7)
rде «. . .» обозначает члены более высокоro порядка, являющиеся MHoroкpaT
ными коммутаторами матриц а и Ь, аналоmчно выписанным здесь явно
членам второro и тpeтLero порядка. Из этоro следует, что для любоro пред
ставления алreбры ли
exp(Ltlt A ) eXP(LьAt A ) == ехр (L fA (а, b)tA ),
А А А
(27.1.8)

27 .1. КШluбровочноuнварuантные действия для кuршzьных суперполей 127
rде
fA(a,b) ==tI +11 +  iLcJlbC  112 L cbEJlaDьE
вс BCDE
1 ,.,A,.,c BDE
 12 .LJ t-ВсЧ>Е Ь Ь а +...,
BCDE
(27.1.9)
зависит от aлrебры Ли через ее структурные константы CC, определенные,
как обычно, выражением
[tB,tc] == iLctA,
А
и не зависит от КOHкpeTHoro представления, реализуемоro операторами tA.
Поэтому возьмем r(x, е) в виде
r(x,e) ==ехр( 2LtAVA(x,e»),
А
(27.1.1 О)
rде v A (х, е)  множество действительных суперполей (так что r  эрмитова
матрица), не зависящих от представления калибровочной алreбры, реализу
eMoro операторами tA.
Можно сделать еще одно важное упрощение, обратив внимание на
дополнительную симметрию суперсимметричных калибровочных теорий.
Если некоторая функция полей ФиФ tr инвариантна относительно rло
бальных калибровочных преобразований, то она автоматически будет инва
риантной не только относительно локальных калибровочных преобразова
ний (27.1.2(27.1.4), но также относительно более широкой rpуппы расши
ренных калибровочных преобразований
ФпL(х,е) ----t L [ exP(iLtAaA(x,e) ) ] ФтL(х,е)
т А пт
(27.1.11 )
и
r(x,e) ----+ ехр( iLtAaA(X, е) )r(x, е) ехр( +iLtAaA(x,e)*),
А А
(27.1.12)
rде аА(х,е)  произвольное левокиралъное суперполе, т. е. произвольная
ФУНКЦИЯ как eL, так и х+. При таком преобразовании
VA(x, е) ----+ VA(x, е) +  [аА(х, е)  аА(х, е)*] +...,
(27.1.13)

128
rлава 27. Суперсим.метричные КШlибровочные теории
rде «...» обозначает члены, возникающие от коммутаторов в форму
ле (27.1.7), первоrо и более высокоro порядков по калибровочным КOHCTaH
там связи. Как и левокиральное суперполе общеro вида, а может быть за
писано в виде (26.3.11)
аА(х,о) ==WA(x)  -.fi ( о ( 1 "lS ) (x)) + <wA(x) ( о ( 1 "lS ) о)
+  ( &Ys "lf!0)af!WA(x)   ( &Ys O) ( о ;} ( 1 "lS )  )
1  2 А
 8 (&YsO) oW (х), (27.1.14)
rде WA(x) и CWA(x)  произвольные комплексные функции x. Здесь BBeдe
ны майорановские спиноры (x), определенные так, что левые спинорные
компоненты суперполей имеют вид !(1 +'Y5)(X). Используя свойства KOM
плексноro сопряжения (26.А.21) для майорановских билинейных комбина
ций, и выпоняя комплексное сопряжение (27.1.14), имеем:
аА(х,о) ==WA(x)  -.fi ( о ( 1 "lS ) (x)) + rиrМ(х) ( о ( 1 "lS ) о)
  ( &Ys "lf!0)af!WM(x)  ( &Ys O) ( о ;] ( 1  "ls )  )
+  ( &YS O)20W M (x). (27.1.15)
Действительные суперполя VA(x,e) записываются через компоненты полей
так же, как в (26.2.1 О):
VA(x,O) ==сА(х) i( &ys ol(x))   ( &ys O)MA(x)   ( OO )NA(x)
+  ( &Ys "lf!0)v(X)i( &Y5 0) ( О [лА(х)+  ;JoI(х)])
  ( &ys o)2 (vЛ(х) +  ocA(x)), (27.1.16)
rде сА (х), мА(х), NA(x) И V:(x) все действительны; roA(х) и лА(х)  майора
новские спиноры. Подставляя (27.1.14К27.1.16) в (27.1.13), получаем, что
компоненты полей калибровочноro суперполя подверrаются расширенному

27.1. КШluбровочноuнварuантные действия для КUрШlЬНЫХ суперполей 129
калибровочному преобразованию
сА(х)  сА(х)  1т WA(x) +...,
А А l А
ro (х) ---+ ro (х) + V2 w(x) +...,
V:(x)  V:(х)+дRеwА(х)+...,
мА(х)  мА(х)  ReA(x) +...,
NA(x)  NA(x) +lmA(x) +...,
лА(х)  лА(х) +...,
vA(x)  vA(x) +...,
(27.1.17)
rде опять «...» обозначает члены, возникающие из структурных констант
в формуле (27.1.9), и которые поэтому пропорциональны одной или более
степеням калибровочных констант связи. Такое расширенное калибровочное
преобразование можно использовать для записи калибровочных суперполей
в удобной форме, известной как калибровка ВессаЗумино 1, коrда
сА(х) == ro 4 (х) == мА(х) == NA(x) == О,
(27.1.18)
в этом случае
.
VA(x,O) == ; ( &( 5 y IlO) V:(x)  i ( &(5 0) ( олА (х))
  ( &(5 0)2 vA(x).
(27.1.19)
Чтобы это выражение было нулевоro порядка по константам связи, необ..
ходимо только положить ImWA(x) == сА(х), wA(x) ==  V2roA(x) и A(x)
== мА(х)  iNA(x). Тоrда для абелевых калибровочных теорий, не содер"
жащих структурных констант, задача решена. для неабелевых калибровоч"
ных теорий к ImWA(x), (x) И A(x) необходимо добавить члены перво..
ro порядка по калибровочным константам связи, чтобы сократить слаrае..
мые, возникающие от коммутаторов членов нулевоro порядка; после этоro
к ImWA(x), wA(x) и A(x) добавить члены второro порядка по калибровоч"
ным константам связи, чтобы сократить слаrаемые, возникающие из комму..
таторов членов первоro порядка с членами нулевоro порядка, и Т. д. Вычис..
пять ряд членов в ImWA(x), wA(x) и A(x), необходимых для удовлетворе..
ння калибровочных условий (27.1.18) во всех порядках по калибровочным
константам связи, совсем не просто, но в этом нет необходимости  важно
то, что это можно сделать.

130
fлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
Исследование законов преобразования (26.2.11)26.2.14) показывает,
что калибровочное условие ВессаЗумино (27.1.18) неинвариантно отно"
сительно суперсимметричных преобразований, если только не выполены
условия v: == л,А == О, а условие л,А == О не суперсимметрично, если также
не выполняется IJA == О, а в этом случае все суперполе обращается в нуль.
Как только выбирается калибровка ВессаЗумино, действие перестает быть
инвариантным как относительно произвольных расширенных калибровоч"
ных преобразований, так и относительно преобразований суперсимметрии,
но оно остается инвариантным относительно суперсимметричных преоб..
разований, нарушающих калибровку ВессаЗумино, за которыми следуют
подходящие расширенные калибровочные преобразования, возвращающие
назад к калибровке ВессаЗумино. (В явном виде это будет сделано вразде..
ле 27.8.) Как мы сейчас покажем, действие также инвариантно относительно
обычных калибровочных преобразований (27 .1.2}-{27 .1.4), сохраняющих ка..
либровку ВессаЗумино.
Взяв калибровочное суперполе, удовлетворяющее калибровочному
условию ВессаЗумино (27.1.18), сравнительно леrко вычислить ero по..
ведение при обычных бесконечно малых калибровочных преобразовани"
ях. В этом случае nA(х+) являются левокиральными суперполями ви"
да (26.3.11), без компонент 'l'L и !Т, а <ркомпоненты даются действительны
.ми бесконечно малыми функциями лА(х):
nA(х+) ==лА(х) +  ( erS 'УIlО)дllлА(х)  ( ers о)SолА(х).
(27.1.20)
для вычисления произведения экспонент в законе преобразования (27.1.4),
воспользуемся дрyrим выражением для формулы БейкераХаусдорфа:
ехр(а) ехр(Х) ехр(Ь) == ехр (Х +Lx. (Ь  а) + (LxcthLx) · (Ь +а) +...),
(27.1.21 )
rде а, Ь и Х  произвольные матрицы, Lx  оператор,
1
Lx. f == 2 [X,j],
(27.1.22)
и «...» обозначает члены BТOpOro и более высокоro порядков по а и (или) Ь.
В нашем случае имеем
Ь+а == 2>АImлА(х+) == ; ( ers 'YIlO) )АдllлА(х),
А А
ba == 2i)АRелА(х+) == 2i)A [ЛА(х)   ( ers о)20ЛА(х)],
А А

27.1. КШluбровочноuнварuантные действия для КUрШlЬНЫХ суперполей 131
х== 2>AVA(x,e) == 22,tA[  ( &Ys ylle)V:(x)
А А
i( &Ys e) ( е лА(х))   ( &Ys e)2d(x)].
Теперь каждый член в Х содержит, по крайней мере, один множитель 8L и
один множитель 8R; в силу TOro, что а + ь имеет только один множитель 8L
и один множитель 8R, можно опустить В Lx cthLx все члены BTOpOro и более
BblCOKOro порядков по Lx. Поскольку Lx cthLx является четной функцией Lx,
можно заменить ее членом нулевоro порядка по Lx, равным единице. Кроме
тoro, можно опустить член в Ь  а, пропорциональный ( &Ys 8)2, поскольку
в результате действия Lx получатся, по крайней мере, три множителя, вклю"
чающие либо 8L, либо 8R. Таким образом, apryмeHT экспоненты в правой
части формулы (27.1.21) можно заменить на
х +  [X,ba] +Ь+а ==  2 2,tA [vA(x,e) + 2,sВ(х,е)лС(х)
А ВС
+  ( &уs уllе)дllлА(х)].
Итак, для бесконечно малых калибровочных преобразований закон преобра..
зования (27.1.4) дает
VA(x, е) ---+ VA(x, е) + 2,cSB(x, е)л с (х) +  i ( &ys ylle) д ll лА(х). (27.1.23)
ВС
Важно заметить, что при обычных калибровочных преобразованиях калиб..
ровочное суперполе в калибровке ВессаЗумино остается в рамках этой ка..
либровки. Если записать формулы (27.1.23) через компонентные поля, вхо"
дящие в выражение (27.1.19), то
V:(x)  2,сV:(х)ЛС(х) +длА(х),
ВС
лА(х)  2,СслВ(х)ЛС(х),
ВС
d(x)  2,сvВ(х)ЛС(х),
ВС
(27.1.24)
(27.1.25)
(27.1.26)
Формула (27.1.24) оказывается обычным янrмиллсовским законом калиб..
ровочноro преобразования (15.1.9) для калибровочноro поля, а из фор..
мул (27.1.25) и (27.1.26) следует, что поля лА(х) И vЛ(х) преобразуются
как поля материи, принадлежащие присоединенному представлению калиб..
ровочной rpуппы. Майорановские спиноры л А известны как поля калuбрuно,

132
fлава 27. Суперcuм.метричные калибровочные теории
а действительные скаляры JYi оказываются дрyrим множеством вспомоrа..
тельных полей.
Теперь следует вычислить матрицу r, необходимую для построения
калибровочно"инвариантных функций киральных суперполей. Поскольку
все члены, содержащие более четырех множителей 8, обращаются в нуль,
то в калибровке ВессаЗумино разложение экспоненты очень простое:
r(x, е) == ехр( 2 >A VA(x, е))
А
== 1  i ( &Y5 18) I,tA V(x)
А
  ( ers ylle) ( ers ylle) I,tAtBV(X)V:(x)
АВ
+2i ( ers e) I,tA ( е л.А(х)) +  ( ers e )2I,t A d(x).
А А
Калибровочно"инвариантную плотность можно построить, умножив это вы..
ражение справа на вектор"столбец левокиральных суперполей вида (26.3.11):
Фn(х,е) == q>n(x)  v2 ( e'l'nL (x)) +эrn(Х) ( е ( 1 Ys ) е)
+  ( ers ylle) дllq>n(Х)   ( ers e ) ( e JvnL(x))
1 (  ) 2
 8 erse V<Pn(x),
а слева на столбец
Фn(х,е)* == q>;(x)  v2 ( O'IfnL (x)) +(x) ( е ( 1 Ys ) е)
  ( ers ylle) дllq>;(х)   (ers e ) д ll ('I'nL(x)ylle)
  ( ers e )2 J<P:(x).
Член четвертоro порядка по 8, в этом произведении имеет вид
[ф t rФ]е4 ==   ( ers e )2 {[q>toq>] + [(oq>t)]}
+ ( ers e ) {[( 'I'Le ) ( er llдll'l'L)] + [( (дll 'l'L ) ,.тие) ( O'IfL )]}

27.1. Калuбровочноuнварuантные действия для кuральных суперполей 133
+  ( 0 (1 Y5)0) ( 0 (1 +У5)0) [#э1
  ( &( 5 y IlO) ( &(5 У о) [д ll q> t дvq>]
  ( &( 5 y IlO) ( &(5 Y V O) 2, v: { [q>t tAдVq>]  [(avq>t) tAq>] }
А
  ( &( 5 y IlO) ( &(5 УО) 2, V:V! [q>ttAtBq>]
АВ
 2; ( &Ys 1e) 2, v: [( 'I'L e)tA ( e'l'L )]
А
 2; v'2 ( &ys e) 2, [( 'I'L e)tA ( елА ) <р]
А
 2; v'2 ( &ys e) 2, [<pt ( лА е )tA ( e'l'L )]
А
+  ( &(5 0 )22,D A [q>ttAq>] .
А
Здесь использованы квадратные скобки, чтобы показать скалярные
произведения по индексам аромата п и т, и попрежнему использова..
ны крyrлые скобки, чтобы показать скалярные произведения по дираков..
ским индексам. Как и в разделе 26.4, можно воспользоваться тождествами
(26.А.17Н26.А.19), чтобы собрать всю зависимость от е в общий множи"
тель ( &(5 0)2:
[ф t rФ]е4 == ( &(5 0)2 {   [q>toq>]   [(oq>t) q>] +  [( 'VLy llall'VL)]
111
 4 [( (д ll 'V [ ) yll'V [)]  2 [# э1 + 4 [д ll q> t д Il q> ]
. .
+ ; 2,V: [q>ttAallq>]  ; 2,V: [(allq>t)tAq>]
А А
+  2, V:V BIl [q>ttAtBq>]   2, V: [( 'VAy lltA'VA)]
АВ А
  2, [( 'VLtА л А ) q>] +  2, [q>t ( лАtА 'VL)]
у2 А у2 А
+  DA [q>+tAq>]}.

134
fлава 27. Суперсuм.метричные калибровочные теории
Dчлен является коэффициентом при ! ( &(5 0)2 за вычетом !о, дей
ствующеro на независящий от е член, который для [ Ф trФ ] равен [ <р t <р] .
Следовательно,
[фtrФ]D == 2 [д<рtд<р]
 [( 'l'L1 д 'l'L)] + [( (д 'l'L ) 1'I'L)] + 2 [!j't !j']
2iI,V: [<рttАд<р] +2iI,V: [(д<рt)tА<Р]
А А
 2 I, V:V Вv [<pt tAtB<P] + 2iI, V: [( 'I'A1 tA'I'A)]
АВ А
+ 2i V2I, [( 'I'LtА лА) q>]  2i V2I, [q>t ( лАtА 'I'L)]
А А
2I,DA [<pttA<P].
А
Чтобы увидеть, что это выражение действительно калибровочно"инвариан"
ТНО, заметим, что ero можно переписать в виде
 [фtrФ]D ==  [(DIlq» t DIlq>]
  [( '1' й ll DIl '1' L)] +  [( (DIl 'l'L)yll'l' L )] + [#,су]
+ i V2I, [( 'I'LtА л. А ) q>]  i V2I, [q>t ( д.АtА 'I'L) ]
А А
 I,DA [<pttA<P] , (27.1.27)
А
rде D  калибровочно"инвариантная производная (15.1.10):
D 'l'L = д 'l'L  iI,tA V:'I'L, D<p = д<p  i I,tA V:<p. (27.1.28)
А А
Таким образом, выражение (27.1.27) является калибровочно"инвариантным
кинематическим лаrpанжианом для скалярных и спинорных компонент ле..
вокиральноro суперполя, дополненным юкавскими связями полей калибри
но со скалярными и спинорными компонентами киральных суперполей, а
также членами, содержащими вспомоrательные поля fY n и DA.
27.2. Калибровочно"инвариантное действие для абелевых
калибровочных суперполей
Теперь необходимо понять, как построить калибровочно"инвариант"
ное суперсимметричное действие для калибровочных суперполей VA(x,e),

27.2. Калибровочноинвариантное действие для абелевых калибровочных... 135
содержащее калибровочные поля V:(x). с этой целью сначала рассмотрим
случай одноro абелева калибровочноro поля (опуская индекс А), а потом, в
следующем разделе, вернемся к общему случаю.
В абелевой калибровочной теории типа квантовой электродинамики,
построенное из Vfl(X) калибровочно"инвариантное поле является известным
тензором напряженности поля
/flV(X) == дfl Vv(X)  дVVfl(Х). (27.2.1)
Закон суперсимметричноrо преобразования для /flV(X) дается законом пре..
образования (26.2.15) для Vfl(X)' т.е. имеет вид
Бfllv == ( (1 (дllуv  дvY Il ) д. ) · (27.2.2)
Закон преобразования для л(х) получается из (26.2.16) в виде
Бд. == (   fllv [yll, {] + iYsD ) (1,
а закон преобразования для D(x) получаем из (26.2.17):
БD == i ( 0.15 л) .
(27.2.3)
(27.2.4)
Ни один из этих законов не зависит от TOro, берется суперполе S(x) в Ka
либровке ВессаЗумино или нет. Отсюда видно, что поля /flV(X)' л(х) и D(x)
образуют полный суперсимметричный мультиплет.
для полей этоro супермультиплета несложно построить соответству"
ющую кинематический лarpанжиан. Функции /flv/flV, л л и D 2 явля..
ются единственными лоренц..инвариантными, сохраняющими четность и
калибровочно"инвариантными функциями этих полей с размерностью че..
тыре. Векторное поле V fl можно стандартным образом отнормировать, взяв
коэффициент при /flV/flV равным !, и тоrда, в качестве пробы, можно на..
писать кинематический лarpанжиан в виде
калибр ==   fllvf llV  СА ( д. dд.)  CDIY,
с коэффициентами С л и CD, определяемыми из условия суперсимметрично"
сти f fl!калиб р d 4 Х. Используя законы преобразования (27.2.2Н27.2.4), полу..
чаем, что бесконечно малые изменения операторов в лаrpанжиане за счет
суперсимметричноro преобразования имеют вид
Б (Jllvf llV ) == 2fllv ( (1 (Уvдll  Yllдv) ) ,
Б ( д. dд.) == 2 ( (1 [+  [yll, yV] + iYsD] dд.) ,
БD 2 == 2iD ( ау5 dл) ,

136
fлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
rде мы опустили члены с производными, потому что они не дают вклад
в вариацию действия. Чтобы увидеть, как эти члены сокращаются, надо
воспользоваться тождеством для 1"матриц*
[1 fl , 1 V ] 1 Р ==  211 flP1v + 211 VP1fl  2ie flv p a 1a 15.
(27.2.5)
Член ie flvpa !flV ( а1а 15дрЛ) не дает вклада в J d 4 хБШ, потому что результат
интеrpирования по частям пропорционален е flvрадрfflV и обращается в нуль
для !flV вида (27.2.1). Это тождество позволяет переписать вариацию л..члена
в виде
Б ( 1.. d1..) ==  ff1V ( а (Уvдf1  'Уf1д v ) л. ) + 2iD ( a"fs d1..) ·
Члены, пропорциональные fflV л , сокращаются при условии С л == 1/2, а чле
ны, пропорциональные Dл,  при условии CD == Сл. Тоrда суперсимметрич..
ный лarpанжиан принимает вид
1 V 1 ( :1 ) 1 2
Шкалибр ==  4 ff1vff1  2 1..р1.. + 2 D ·
(27.2.6)
Отсюда видно, что при канонически нормированном поле У fl, поле л, свя
занное с yfl законами преобразования (27.2.2) и (27.2.3), тоже канонически
нормировано.
Кроме тoro, в а6елевых калибровочных теориях существует суперпе
ренормируемый член, известный как член ФайеИJUluопулоса 2:
ШФИ == ,
(27.2.7)
rде   произвольная константа. Закон преобразования (27.2.4) показыва..
ет, что вариация этоro члена при суперсимметричном преобразовании будет
полной производной, так что в действии появляется еще один суперсим
метричный член. Как мы увидим в разделе 27.5, присутствие TaKoro члена
может обеспечить механизм спонтанноro нарушения суперсимметрии.
Помимо нахождения инструмента для построения суперсимметрич..
ных взаимодействий, включающих поля !flV' л и D, отдельный интерес имеет
вопрос, компонентами суп ер поля KaKoro типа эти поля являются? Несколько
неожиданно оказывается, что это будет спинорное суперполе Wa(x), компо..
нентные поля КOTOpOro (в обозначениях (26.2.10)) даются выражениями
* для получении этоro тождества воспользуемся тем фактом, что любая матрица 4 х 4
может быть представлена как линейная комбинация 16 независимых ковариантных матриц,
описанных в разделе 5.4, выбор которых в нашем случае оrpаничен выписанными членами
в силу лоренц"инвариантности и инвариантности относительно пространственной инверсии.
Коэффициенты при этих членах можно вычислить, придавая vp значения 121 и 123.

27.2. Калибровочноинвариантное действие для абелевых калибровочных... 137
С(а) (х) == Лn(х),
ro(а)(Х) ==  (1IlYE)afllv(x) + (1SE)aD(x),
V(a) (х) == iд (15Л(Х))а'
М(а)(Х) == i(5Л(Х))а' N(a)(x) ==  (Л(Х))а'
Л(а)(Х) == D(a) (х) == о.
(Нижний индекс а у компонентных полей заключен в скобки, чтобы под..
черкнуть, что он относится ко всему суперполю.) Использование законов
преобразования (27.2.2)27.2.4) позволяет непосредственно проверить, что
компоненты суперполя, определенные в (27.2.8), действительно преобразу..
ются по законам (26.2.11 }-{26.2.17).
Подставив компоненты поля (27.2.8) в (26.2.10) и использовав форму..
лу (26.А.5), получаем суперполе W a В форме
W a == [л(х) +  1Ilyefllv(x)  i1seD(x)   (еТЕе) sл(х)
1 1
+ 2 (eTE'}'se) dл(х) + 2 (eTE'}'lle) 1s д Il Л (Х)
1
 4 (еТЕе)1s11l1V1аедаfIlV(Х)
+  i(еТЕе)1аедаD(Х)  (е Т Ее)2 0Л (Х)]а" (27.2.9)
(27.2.8)
Как было показано в разделе 26.3, аналоrичное этому суперполе с нуле..
выми л и D"компонентами, является кuральным, т. е. оно является суммой
лево.. и правокиральноro суперполей
W(X, е) == WL(X, е) + WR(X, е).
(27.2.1 О)
Здесь лево.. и правокиральные суперполя являются просто проекциями W на
подпространства с 15 == + 1 и 15 ==  1 соответственно:
1
WL(X,e) == 2 (1 +1s)W(x,e)
== ЛL(Х+) +  1 1l 1 Ve Lf ll v(x+) + (eIEeL) dЛR(Х+)  ieLD(x+), (27.2.11)
1
WR(X,e) == 2 (1 1s)W(x,e)
== ЛR(Х) +  1IlyeRfllv(x)  (eEeR) dЛL(Х)  ieRD(x), (27.2.12)
rде X дано формулой (26.3.23).

138
fлава 27. Суперсuм.метричные КШluбровочные теории
Как показано в разделе 26.3, можно построить соответствующий ла..
rpанжиан из !j'..члена любой скалярной функции левокиральноro суперполя
и ему эрмитово сопряженноro. Простейшая скалярная функция левокираль..
HOro суперполя (27.2.11) имеет вид La Ea WLa WL. Чтобы вычислить !j'..член,
заметим, что член BTOpOro порядка по 8L в La Еар WLa WLp, выраженный че..
рез 8L и х+, имеет вид
 [ LEaPWLaWL ] == (8IE8L) [2 (лI(Х)ЕЛR(Х)) +D2(x)J
a 81
+ 1 ( 8L [yll, yV][yP, уа] 8L) fllv (x)fpCJ(x).
(Здесь в качестве apryмeHToB поля вместо x можно брать xfl, потому что раз..
ность даст члены, содержащие, по крайней мере, три множителя 8L и поэто..
му обращающиеся в нуль.) Из лоренцинвариантности и тoro, что (S[Yfl'YV]S)
и (S[Yfl'YV]Y5S) равны нулю для любоro майорановскоro спинора S, следует,
что билинейная комбинация ( 8L [yfl, f] [у Р , уа] 8L) должна быть пропорцио..
нальна линейной комбинации ( 8L8 L) (11 flP11vo  11 flOllVP) и ( 8L8 L) ELVpO. Ко..
эффициенты в ней можно получить, придав индексам Vp(J значения 1212
и 1230. Таким образом, получаем
( 8L [yll, у"][уР, уа] 8L) == 4 ( 8L 8L) [11IlP11 VCJ + 11IlCJ11 vrho + iEIlVPCJ] .
!j'..член является коэффициентом при ( 8L 8L), тоrда
 [ LEaPWLaWLP ] == 2 ( ЛR iЛR)   fllvfllV +  EllvPCJ fllvfpCJ + d. (27.2.13)
аР fF
Формула (26.А.21) показывает, что множитель ( л л) действительный,
а (I5Л)  мнимый, так что действительная часть (27.2.13) дает лarpан"
жиан (27.2.6) для калибровочных полей и полей калибрино
1 [  ] 1 ( :1 ) 1 v 1 2
 2 Re .LiEaWLaWL ==  2 Л,/)...  4 fllvfll + 2 D ·
аР fF
(27.2.14)
Физическое значение мнимой части будет обсуждаться в более общем KOH
тексте в следующем разделе.
Существует дрyroй путь вывода формы спинорноro суперполя, ко..
торый окажется более удобным для получения компонент калибровочноro

27.2. КШlибровочноинвариантное действие для абелевых КШlибровочных ... 139
суперполя в неабелевых калибровочных теориях. rромоздкое, но несложное
вычисление показывает, что калибровочно"инвариантное суперполе (27.2.9)
можно выразить через калибровочное суперполе (27.1.16) в виде
.
Wa(x,e) ==  (9J T e9J) 9J a V(x,e),
(27.2.15)
rде a  суперпроизводн8Я, определенная в (26.2.26):
д д д д
a = L(15E)aP  (1e)  ==   (1e)a.
р дер дx деа дx
Этот результат Mor бы быть получен ( с точностью до нормировочноro
множителя), если заметить, что функция (27.2.15) является желаемым
калибровочно"инвариантным киральным спинорным суперполем. Прежде
Bcero заметим, что выражение (27.2.15) является суперполем, потому что
оно получено действием суперпроизводных на суперполе V. Кроме TOro, из
антикоммутации производных  следует, что произведение трех и более  L
или трех и более полей  R равно нулю, так что
(TE)  == (IEL) R+ (iER) L.
(27.2.16)
Поскольку  L (  I E L) ==  R (  iE R) == О, суперполе (27.2.15) киральное с
. .
WLa(x,e) ==  ( 9J k e9J R) 9JLaV(x,e), WRa(X,e) ==  (9Jle9JL) 9JRa V (X,e).
(27.2.17)
Наконец, можно показать, что суперполе (27.2.15) инвариантно относитель..
но 060бщенноro калибровочноro преобразования (27.1.1 З), которое для од..
HOro абелева калибровоченоro суперполя есть просто
.
l
V(x,e)  V(x,e) + 2 [О(х,е) a*(x,e)],
(27.2.18)
rде а(х,е)  произвольное левокиральное суперполе. Поскольку Ln* == О,
изменение в WLa пропорционально (iER) LaQ. Но RQ == О и
[( iER) , La] == 2 [(1 +15) R]a,
так что изменение в WLa равно нулю. Простые соображения показывают,
что WRa также калибровочно..инвариантно. (Проверка (27.2.15) значитель..
но упрощается, если использовать это калибровочно"инвариантное свойство
для V(x,e) в калибровке ВессаЗумино.)

140
rлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
Очевидно, что вид киралъных суперполей (27.2.11) и (27.2.12) не яв"
ляется самым общим для лево.. и правокиралъных полей. Чтобы записать
связи между этими суперполями в явно суперсимметричной форме, исполь..
зуем антикоммутатор (26.2.30) и получим
EaPLa (ER) LP == 2RaLp (Е(1 +Y5))Pa + (ER) (IEL)
== EapRa (IEL) Rp. (27.2.19)
Тоrда из выржения (27.2.17) следует, что WL и WR связаны условием
EapLaWLP == EapRaWR.
(27.2.20)
Несложно показать, что наиболее общий вид киральных спинорных
суперполей, удовлетворяющих условию (27.2.20), представлен формула..
ми (27.2.11) и (27.2.12) при условии, что fv удовлетворяют «тождествам
Бьянки» ЕVРОдрfv == о.
27.3. Калибровочно"инвариантное действие для произвольных
калибровочных суперполей
Из нашеro опыта работы с суперсимметричными абелевыми калиб
ровочными теориями в предыдущем разделе следует, что кинематический
лarpанжиан в произвольной неабелевой калибровочной теории для полей
V,1(x), лА(х) и vЛ(х) должен возникать как часть калибровочно"инвариант"
HOro обобщения лarpанжиана (27.2.6):
 1  v 1  (   ) 1 
!l'калибр   4 FAl1vfA  2  ЛА(II1 Л )А + 2 DADA'
А А А
(27.3.1)
Здесь использован базис для алrебры Ли с полностью антисимметричными
структурными константами, и, следовательно, нет смысла сохранять разли..
чие между верхними и нижними rpуппами индексов, так что все индек"
сы А, В и т. д. пишутся внизу. Кроме TOro, fAv является калибровочно"инва..
риантным тензором напряженности поля
FAv == д VAv  д v VA + LCABCVB VCv,
ВС
(27.3.2)
а Dл  калибровочно"ковариантная производная поля калибрино, которая
в присоединенном представлении имеет вид
(DЛ)А == дЛА + LСАВСVВЛс.
ВС
(27.3.3)

27.3. Калибровочноинвариантное действие для проuзвольных ...
141
Возникает вопрос: получится ли из лarpанжиана (27.3.1) суперсимметричное
действие?
Поскольку лarpанжиан (27.3.1) явно калибровочно"инвариантен, су..
персимметричность действия можно проверить в любой удобной калиб..
ровке. Чтобы выяснить, будет ли Ш калибр производной В некоторой точке
Х , удобно выбрать частный случай калибровки Весса3умино с условием
V 1 (Х)  о. Тоrда поправки к компонентам полей в точке Х даются форму..
лами (26.2.15)(26.2.17) при х  Х:
БVАI1 == ( о:у 11 АА ) ,
БАА == (  !AI1V [у, 111] + i15 D A ) а,
БDА == i( а15 ;1АА)'
(27.3.4)
(27.3.5)
(27.3.6)
(В этих выражениях x необходимо полarать равным X после вычисления
поправки при суперсимметричном преобразовании, а не до этоro.) Кроме
TOro, нелинейные члены в fl V квадратичны по V и поэтому их вариация
при х  Х равна нулю. Следовательно для х  Х мы имеем
б!АI1V == ( а ( 1v д l1  111 д v ) АА ) ·
(27.3.7)
Все члены в лarpанжиане (27.3.1), кроме одноro, и преобразования этих
членов относительно суперсимметричных преобразований являются просто
рядом копий (отмеченных индексом А) абелевой теории, обсуждавшейся
в предыдущем разделе, и поэтому они дают суперсимметричное действие.
Нарушение суперсимметричности действия может возникнуть только из вто"
poro члена в калибровочно"ковариантной производной (27.3.3) поля калиб..
рино:
fl1uv ==   L САВС ( АА УВАс),
АВС
(27.3.8)
вариация KOTOpOro при х  Х имеет вид
Шuv ==   L САВС ( АА (бf В) Ас) ==   L САВС ( АА1I1 Ас) ( а1 I1А В),
АВС АВС
(27.3.9)
Произведение билинейных комбинаций в правой части этой формулы можно

142
rлава 27. Суперсим.метричные КШlибровочные теории
представить в виде суммы двух членов
( АЛУ I1 Ас ) ( ау 11 Ав ) == ХАВС + УАВС,
ХЛВС =  L ( Ал (1 :f: У5 )Уl1 Ас ) ( ау l1 (1 :f: У5 )Ав) ,
:t:
УЛВС =  L ( Ал (1 :f: У5 )Уl1 Ас ) ( ау l1 (1 =f У5 )Ав) ·
:t:
Используя стандартные тождества Фирца и антикоммутативность спинор..
ных полей, имеем
( Ал (1 :f: У5 )у 11 АВ ) ( а ( 1 :f: У5 )уl1 Ас) == ( АЛ (1 :f: У5 )у 11 Ас ) ( а ( 1 :f: У5 )уl1 АВ) ,
( Ал (1 :f: У5 )у 11 Ав ) ( а ( 1 =f У5 )уl1 Ас) == ( АЛ (1 :f: У5 )у 11 Ас ) ( а ( 1 =f У5 )уl1 АВ) ·
(Чтобы получить первое из этих равенств, замeI'ИМ, что [(1:f: У5 )YI1] ау х
[ (1 :f: У5 )yl1] 013 можно рассматривать как матричный элемент ар матрицы,
зависящей от б и у, поэтому это выражение можно представить как ли..
нейную комбинацию lщз, yp, [уl1,f]щз' (Y5yl1)aP и (У5)Щ3' Изза наличия
множителей (1:1: 15) единственный член в этом разложении пропорциона..
лен [(1 15)1]ap. Из лоренц"инвариантности и наличия множителя 1 :1:15,
следует, что это разложение имеет вид
[ (1 :f: У5 )у 11 ] ау [ (1 :f: У5 )уl1 ] ор == k [ (1 :f: У5)У 11 ] ар [ (1 :f: У5 )уl1 ] &,.
Чтобы определить константу пропорциональности k, вычислим свертку это..
ro выражения с (1v)...,x и получим k ==  1. Знак минус сокращается со знаком
минус, возникающим из антикоммутации Ас с а . Дpyroe тождество Фир..
ца доказывается так же, но при этом нужно использовать свойство сим..
метрии (26.А.7) для майорановских билинейных комбинаций.) Следователь..
но, выражение для ХАВС симметрично относительно перестановки В и С, а
УАВС  относительно перестановки А и В. Поскольку САВС полностью анти..
симметрично, ХАВС и УАВС дают нулевой вклад в сумму (27.3.9). В результате
мы получаем БРuv == О, так что из лarpанжиана (27.3.1) получается супер..
симметричное действие, что и требовалось показать.
Можно понять, почему лarpанжиан (27.3.1) дает суперсимметричное
действие, если считать, что fAv, ЛА И DA являются компонентами суперполя.
Вспомним, что при обобщенном калибровочном преобразовании векторное

27.3. КШlибровочноинвариантное действие для проuзвольных ...
143
суперполе VA(X,e) подчиняется закону преобразования (27.1.12):
ехр( 2 >A VA(x,e))  ехр( iLtAQA(x,e))
А А
хехр( 2LtAVA(x,e))exp( +iLtAQ*(x,e)),
А А
rде nА(х,е)  произвольное левокиральное суперполе. Поскольку ПА * ПА,
это выржениеe не является калибровочно ковариантным законом преобра..
зования. Чтобы исключить множитель, содержащий ПА' заметим, что ПА
является правокиральным суперполем, так что  Lan A == о и поэтому
(27.3.10)
ехр( 2LtAVA(x,e))9)Laexp( +2Lt A V A (x,e))
А А
 ехр( iLtAQA(x,e)) ехр( 2 LtA VA(х, е) )
А А
Х 9)La [ех р ( +2tAVA(x,e))exp( +itAQ(x,e))].
(27.3.11)
Это выржениеe все еще не калибровочно"ковариантно, потому что ле..
вая суперпроизводная La действует как на exp(+iLAtAnA(X,e)), так и
на exp(+2LtAVA(X,e)). это можно исправить, следуя арryментации, при..
нятой при обсуждении абелевой теории в предыдущем разделе. Определим
спинорное суперполе
2 LtA WALa(X, е) = LEPYRPRy [ ех р ( 2 LtA VA(х, е) )
А РУ А
Х 9) La exp( +2tAVA(x,e))]. (27.3.12)
Поскольку произведение любых трех производных  R равно нулю, по..
ле WALa лево кир аль но:
RaWALa(X,e) == О, (27.3.13)
а поскольку Rpg)RyLanA ос R8QA == О, поле WALa калибровочно"ковари
антно в том смысле, что для обобщенноro калибровочноro преобразования
имеем
LtAWALa(X,e) exp( iLtAQA(x,e)) LtAWALa(X,e)
А А А
Х ехр( +iLtAQA(X, е)). (27.3.14)
А

144
rлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
Чтобы вычислить спинорное суперполе в точке x  Х , снова можно вы..
брать версию калибровки Весса3умино, в которой VA (Х)  о. Прямые вы..
числения в этой калибровке приводят к выражению
WAL(X, е) ==ЛАL(Х+) +  yl1y"eL (д l1 VAv(X+)  д v VАI1(Х+))
+ (eIEeL) ЛRA(Х+)  ieLDA(X+).
Поскольку WAL калибровочно"ковариантно, для произвольной калибровки
"
в произвольнои точке оно должно иметь значение
WAL(X,e) == ЛАL(Х+) +  yl1 y V eLfAl1v(X+) + (eIEeL) .(ЬЛRA(Х+)  ieLDA(X+),
(27.3.15)
Теперь можно построить билинейный по W лоренц.. и калибровочно"инва..
риантный [F..член
 [ I:EapWALaWALP ]  I: [  ( ЛА J(l УS)ЛА)   fAl1vflv
Аар !F А
. ]
l v ро 2
+ 4 EflVpoFA F A +DA ·
(27.3.16)
Так же, как и в предыдущем разделе, калибровочно"инвариантный лarpан..
жиан (27.3.1) получается из действительной части [F..члена:
  Re [ I: Ea PWALaWALP ]  ffкалибр.
Аар !F
(27.3.17)
Что можно сказать о мнимой части? Она дается выражением
Im [ I: E apWALaWALP ] == iI: ( ЛА.(ЬуS ЛА) +  El1vpa I:fl v hi. (27.3.18)
A !F А А
Из формулы (26.А.7) и антисимметрии структурных констант следует,
что (ЛАDy5ЛА)  !д( ЛАУ У5ЛА), поэтому первый член является полной про..
изводной, а из формулы (23.5.4) следует, что второй член также является
полной производной. для абелевых калибровочных теорий это означает,
что член вида (27.3.18) не дает никакоro эффекта. Однако, как обсужда..
лось в разделах 23.5 и 23.6, для неабелевых калибровочных теорий суще
ствование инстантонных решений позволяет иметь ненулевой интеrpал по

27.3. Калибровочно..инвариантное действие для проuзвольных ...
145
пространству"времени от плотности (23.3.18). Поэтому мы должны учесть
в лаrpанжиане новый член
g2e [ ]
!fe ==  16 2 1т L EaWALaWAL ,
П Аа(3 !т
rде е  новый действительный параметр, g  калибровочная константа свя"
зи, которую удобно определить для простой калибровочной rpуппы, так что,
если tA, tB и tC принадлежат стандартной SU(2) подaлrебре калибровочной
алreбры, используемой при вычислении инстантонных эффектов, то струк"
турные константы САВС == gEABC. С учетом этоro определения калибровочной
константы связи, для простых калибровочных rpупп формула (23.5.20) дает
(27.3.19)
I tfxE flvpa Lfl v t: == 64П2vj g 2,
А
(27.3.20)
rде v == О, :1:: 1, :1::2, . ..  целое число, называемое топОЛО2uческuм чuсло.м*,
характеризующее тополоrический класс конфиrypации калибровочноro по..
ля. Таким образом, для инстантонов с тополоrическим числом v вклад плот..
ности лarpанжиана Р в имеет вид фазы, дающей вклад в функциональный
интеrpалы:
[ех р (; I tf x!f e ) ] v == exp(ive),
так что обусловленные Р в эффекты периодичны по е с периодом 2п.
Часто бывает удобно включить множитель g в калибровочное поле,
чтобы структурные константы не зависели от g, при этом лarpанжиан ка..
либровочноro поля умножается на общий множитель 1/ g2. В этих обозна..
чениях полный лarpанжиан калибровочноro поля может быть записан через
калибровочные поля с измененным масштабом и структурные константы
в форме
(27.3.21)
Ркалибр+Рв == Re [ 8 t. LEaWALaWAL ] ,
Пl Аа (3 !т
rде t  комплексный параметр связи
4пi е
t = +.
g2 2п
(27.3.22)
(27.3.23)
* Автор употребляет принятый в анrлоязычной литературе термин (<winding numbeD>, KO
торый иноrда переводится как «число наматываний» или «число оборотов». Однако мы
предпочли использовать более широкий термин (см. моноrpафию А.С. Шварц. Квантовая
теория поля и тополо2UЯ. М.: Наука, 1989).  Прwи. пер.

146
rлава 27. Суперсuм.метричные КШlибровочные теории
Соrласно (23.5.19) вклад инстантонов с тополоrическим числом v в функ..
циональные интеrpалы подавляется множителем ехр( 8п2Ivl/g2), который
вместе с (27.3.21) дает общий множитель
ех [ ive 8п2IV] ]  { еХР(2ПiVt) VO
р g2 exp(27tivt*) v  О ·
(27.3.24)
27.4. Перенормируемые калибровочные теории с киральными
суперполями
Соберем вместе отдельные результаты первых трех разделов и по..
строим самый общий вид перенормируемоro действия для киральных су..
перполей, взаимодействующих с произвольными калибровочными полями.
Складывая выражения (27.1.27), (27.2.7) и (27.3.1) с суперпотенциальными
членами в (26.4.5), получаем лarpанжиан
Ш==  [фt ехр ( 2tАVА)Ф]D   Re(wILEWAL)g-
g28 т
 16п 2 Im (WALEWAL)g-
==  L(D I1 <p);(DI1<p)п   L ( 'I' пy l1(D I1 '1')п) + Lп
ппп
ReL (РЛ<Р) ('I'Е'I'тL)+2RеL дf(<Р) п
т д<Рпд<Рт п д<Рп
 2 v2Im L (tA)nm ( 'IIпLЛА ) <Рт + 2 v2Im L (tA)nm ( 'IIпR ЛА) <p
Апт Anт
 L <p;(tA)пт<PтDA  LADA +  LDADA
Апт А А
1  v 1  р1": J/J ) g28  V J:"PO
 4 LJfAvFA  2 .LJ \ЛА( Л)А + 64 2 E I1vpa .LJfA JA ·
А А П А
(27.4.1)
Здесь f( <р)  суперпотенциал, т. е. калибровочно"инвариантная комплексная
функция <Рп (но не <p), которая в силу условия перенормируемости долж..
на быть кубическим полиномом; l;A  константы связи, которые в силу
калибровочной инвариантности должны обращаться в нуль, кроме случая,
коrда tA  reHepaTop rpуппы И(1); калибровочно"ковариантные производные

27.4. Перенор.мируемые КШlибровочные теории с КUрШlьны.ми суперполями 147
имеют вид
D 'l'L = д 'l'L  i LtA VA 'l'L,
А
D<p = д<p  iLtA VA<P,
А
(DЛ)А == дЛА + LСАВСVВЛс,
ВС
(27.4.2)
(27.4.3)
(27.4.4 )
а fAv  калибровочно..ковариантный тензор напряженности поля
fAv == дVАv дvVА + LCABCVBVCv.
ВС
(27.4.5)
Вспомоrательные поля входят квадратично с независимыми от поля кон..
стантами в качестве коэффициентов при членах второro порядка. Поэтому
их можно исключить, положив равными тем значениям, при которых лarpан"
жиан стационарен:
fF n ==  (дf( <р) /д<Рп) * ,
DA ==;А + L<P(tA)nm<pm.
пт
(27.4.6)
(27.4.7)
Подставляя эти выржения в (27.4.1), получаем лаrpанжиан
р ==  L(D<p)(D<p)n
п
  L ( 'I1n y fl(Dfl 'I1L)n) +  L ((Dfl 'I1L) ny fl'l1nL)
п п
1 д 2 f ( <р ) т 1 ( д2 f ( <р) ) * т *
 2 L д<р д<р ('I1nL E 'I1mL)  2 L д<р д<р ('I1nL E 'I1mL)
пт п т п п т
 L дЛ<р) 2
п д<Рп
+ i  L ( 'I'пL (tА)птЛА) <Рт  i  L <p ( ЛА (tA)nm'l'mL)
Апт Amт
  L ( ;А + L<P(tA)пт<pm ) 2   LfAflvflV
А пт А
 2 1 L( л.А (.(Ьл.)А) + e2 EflvpaLflvt.a.
А П А
(27.4.8)
в силу лоренц"инвариантности усредненные по вакууму значения по..
лей 'l'nL, ЛА И fAv должны быть равными нулю, а для средних значений <Рп

148
rлава 27. Суперсим.метричные КШlибровочные теории
в древесном приближении потенциал достиrает минимума
д f( <Р) 2 1 ( * ) 2
V(<p) == L д + 2 A + L<pn(tA)nт<Pт ·
п <Рn пт
(27.4.9)
Это выражение положительно, поэтому, если существует множество значе..
ний поля, для которых V ( <Р) равно нулю, то это автоматически соответствует
также минимуму потенциала. Чтобы потенциал V ( <Р) обращался в нуль при
некотором значении поля <Рn == <РпО, необходимо и достаточно, чтобы
fFnO ==  [ дf(<Р) ] * == о
д<рn <Р==<РО
(27.4.1 О)
и
DAO ==;А + L<PO(tA)nm<pтO == о.
пт
(27.4.11)
Это, в свою очередь, есть необходимое и достаточное условие отсут..
ствия спонтанноro нарушения суперсимметрии, поскольку из (26.3.15) сле..
дует, что (б'llпL)VАС == V2(fF n )vAcaL, а из (26.2.16) следует, что (БЛА)VАС
== i(DA)VAC'Y5 a .
Здесь следует подчеркнуть, что спонтанное нарушение суперсиммет..
рии более затруднительно, чем в случае дрyrих симметрий. для большин..
ства симметрий действия существуют конфиrypации полей, для которых
симметрия не нарушена и потенциал стационарен, но, тем не менее, сим..
метрия будет спонтанно нарушена, если потенциал не достиrает минимума
ни при одной из этих конфиrypаций. В противоположность этому, для лю..
бой суперсимметричной конфиrypации поля потенциал обращается в нуль,
что безусловно меньше значения потенциала для любой несуперсиммет..
ричной конфиrypации; поэтому существование любой суперсимметричной
конфиrypации поля rарантирует сохранение суперсимметрии. Как мы уви..
дим в разделе 27.6, этот вывод выходит за рамки древесноro приближения,
использованноro в данном разделе, и не изменяется за счет поправок любоro
конечноro порядка теории возмущений.
Может показаться, что соотношения (27.4.1 О) и (27.4.11) накладывают
слишком MHOro условий на скалярные поля, чтобы ожидать существование
решения без тонкой настройки суперпотенциала. Однако для калибровочной
rpуппы размерности D суперпотенциал f( <Р) подчинен D оrpаничениям
L дЛ<р) (tA<P)т == О
т д<рn
(27.4.12)
для всех А и всех <р. Следовательно, если <р имеет N независимых компонент,
то число независuмых условий (27.4.10) равно N D, в то время как число

27.4. Перенормируе.мые калибровочные теории с кuральны.ми суперполя.ми 149
условий (27.4.11) равно D, т. е. суммарно существует Bcero N условий. Ec
ли число условий равно числу свободных переменных, то вполне вероятно
найти решения для произвольных суперпотенциалов. На самом деле найти
решения проще, чем не найти. Например, для киральных скалярных супер..
полей в нетривиальном представлении полупростой калибровочной rpуппы
имеем A == о, В то же время f( <р) может не иметь членов, линейных по <Рп,
так что оба условия (27.4.1 О) и (27.4.11) удовлетворяются для <РпО == о. Moryт
быть и дрyrие решения для (27.4.10) и (27.4.11), нарушающие калибровоч"
ные симметрии, но в такой теории суперсимметрия не может быть нарушена,
по крайней мере в древесном приближении, и, как будет показано в разделе
27.6, ни в каком порядке теории возмущений.
В общем случае нетрудно показать, что даже если в калибровоч"
ной rpуппе есть и (1 ) множители, или если суперпотенциал содержит
калибровочно..инвариантные суперполя и существует множество значений
скалярноro поля <РпО, удовлетворяющих (27.4.10), то существует дрyroе мно"
жество, удовлетворяющее как (27.4.10), так u (27.4.11) при единствен..
ном условии, что все константы ФайИллиопулоса A равны нулю. Что..
бы это показать, заметим, что поскольку суперпотенциал f( q> ) не coдep
жит <р*, он инвариантен не только относительно обычных калибровочных
преобразований <р  exp(iLA AAtA)q>, rде АА  произвольные действитель..
ные числа, но также относительно преобразований, rде АА  произволь
ные комплексные числа. Относительно всех этих преобразований ..члены
в (27.4.10) преобразуются линейно, так что если <Ро удовлетворяет (27.4.10),
то и <рЛ = exp(iLAAAtA)<po удовлетворяет тому же условию. С дрyroй cтopo
ны, скалярное произведение [q>t <р] не инвариантно относительно преобразо
ваний с комплексными АА; при этом [q>Л t q>Л] остается действительным и по..
ложительным для комплексных АА, т. е. это произведение оrpаничено снизу
и поэтому имеет минимум. для A == о, чтобы произведение [<рЛ t <рЛ] бьто ста..
ционарным в этом минимуме, <рЛ должны удовлетворять условию (27.4.11).
Тоrда видно, что в отсутствие D..членов ФайеИллиопулоса, вопрос о том,
сохраняется ли суперсимметрия в калибровочных теориях, сводится к во..
про су, допускает ли суперпотенциал решения (27.4.10). Этот же результат
относится к неперенормируемым теориям З.
Теперь допустим, что существует множество значений <РпО, для ко..
торых V (q>nO) == О, так что суперсимметрия сохраняется. Степени свободы
спина О описываются смещенным полем
Фп == <Р п  <РпО.
(27.4.13)
Тоrда существует перекрестное слarаемое между Ф и калибровочными поля

150
fлава 27. Суперсим.метричные калибровочные теории
ми, возникающее из первоro слаrаемоro в (27.4.1):
2 LIm (дФп(tАq>о)) v 1.
пА
Как показано в разделе 21.1, это слarаемое всеrда можно исключить, выбрав
«унитарную калибровку», в которой <Рп удовлетворяет условию, которое об
ращает ero в нуль:
LIm (q>n(tAq>O)) == о.
(27.4.14)
п
Это приведет к исключению roлдстоуновских бозонов, связанных с Hapy
шенными калибровочными симметриями.
Рассмотрим массы частиц спина О, 1/2 и 1, возникающие в теории,
если суперсимметрия сохраняется, но существует возможность спонтанноro
нарушения калибровочных симметрий.
Спин О
Поскольку д/( q»/дq>п и A + Lnm q>(tA)nmq>m должны обращаться в нуль
при <Рп == <РпО, члены BТOpOro порядка по Фп = <Рп  <РпО И (или) <p в V ( <р) имеют
вид
Vквaдp(q» == L(.Jt *.Jt )птФФт + L (tAq>O)n (tАq>о)ФФт
пт Апт
 L (tA<J)o): (tА<i>о)ФnФm +  L (tA<!>o)n (tА<i>О)mФ:Ф=Ж, (27.4.15)
Апт Апт
rде .Jt  комплексная симметричная матрица (26.4.11):
.Jt == ( д 2 /(q» )
пт  дq>пдq>т <р==<ро.
Тоrда (27.4.15) можно записать в форме
1 [ ф ] t 2 [ ф ]
Vквaдp  2 ф* МО ф* ,
(27.4.16)
rде Мб  матрица, состоящая из блоков,
[ .Jt *.Jt + L(tAq>O) (tAq>O)t L(tAq>O) (tAq>O)T ]
M2 А А
О  t(tA<i>O)(tA<i>o)t .Al.Al * + t(t A <РО) * (tA<i>O)T ·
(27.4.17)

27.4. Перенормируе.мые КШlибровочные теории с кuральны.ми суперполями 151
Теперь надо найти собственные значения этой квадратичной по массам MaT
рицы. Дифференцируя (27.4.12) по <l>п' получаем
I, д 2 f(ч» (tA Ч»т +I, дf(ч» (tA)тп==O'
т д<Рпд<l>т т д<l>т
Как бьто показано, д/(<I»/д<l>т обращается в нуль для <1> == <1>0, поэтому, по
ложив <1> в (27.4.18) равным этому значению, находим
(27.4.18)
I,.Atпт(tA<I>O)m == о.
т
(27.4.19)
Отсюда следует, что
2 [ tB<I>o ]  ( t [ ] ) [ tB<I>o ]
Мо :f:(tвч>о)* == f Ч>О tAtB:f: tBtA Ч>О :f:(tвч>о)*.
Из обращения D А в нуль при <1> == <1>0 и из rлобальной калибровочной инва
риантности A следует, что
( ч>МtА,tв]ч>о) == iI,CABC ( ч>ьtсч>о) == ; (ч>Ьч>о) I,CABC/;c == о. (27.4.20)
с с
Поэтому матрица (27.4.17) для каждой калибровочной симметрии имеет два
собственных вектора
и==
[ LCBtB<PO ]
В(tвч>о)* ,
[ LCBtB<I>o ]
v в
  СВ(tвч>о)* ,
(27.4.21)
для которых
М5и == fl 2 u, M5v == о, (27.4.22)
rде fl2 и СА  любые действительные решения задачи на собственные значе..
ния*
I, ( ч>Ь{tА,tв}ч>о) СВ == 2CA'
В
(27.4.23)
Однако если собственное значение fl2 равно нулю, то LBCBtB<I>o == о, и TO
rда нет собственных векторов u и v. Безмассовые частицы, связанные с
собственными векторами v, оказываются roлдстоуновскими бозонами, KO
торые исключаются из физическоro спектра условием унитарной калибров
кв (27.4.14). Кроме этих собственных состояний с ненулевыми массами,
*Наличие множителя 1/2 в (21.1.17), KOТOpOro нет в (27.4.23), связано с различными
способами нормировки скалярных полей.

152
fлава 27. Суперсuм.метричные калибровочные теории
существует еще одно решение, ортоroнальное всем векторам и и v, которое
поэтому имеет вид
W == [x*] ,
(27.4.24)
rде
I(tA<i>O):n == о.
(27.4.25)
п
Условие (27.4.19) показывает, что пространство состояний , удовлетворя
ющих (27.4.25), инвариантно относительно умножения на эрм ито ву матри
цу .At t .At; поэтому оно реализуется собственными векторами этой матрицы,
удовлетворяющими уравнению
.At t .At  == т2,
(27.4.26)
rде т 2  множество действительных положительных (или нулевых) соб
ственных значений. Уравнение (27.4.26), комплексно сопряженное ему ypaв
нение и условие (27.4.25) показывают, что W:i: являются собственными BeK
торами Мб с собственными значениями т 2 :
М 2 2
О W:i: == т W:i:.
(27.4.27)
Таким образом, имеются два зарядово само сопряженных бесспиновых бозо
на массой т, удовлетворяющей уравнению (27.4.27), и один зарядово caMO
сопряженный бесспиновый бозон, ненулевая масса KOТOpOro fl удовлетворяет
условию (27.4.23).
Спин 1/2
Массы фермионов возникают в лarpанжиане (27.4.8) из членов BTOpOro
порядка по фермионным полям 'l'n и л'А, не содержащих производных:
fl 1 / 2 ==   I.At nт ('I'e'l'mL)  i V2I(tA<!>o):a (Л-lAе'l'mL) + э.с. (27.4.28)
пт Ат
в разделе 26.4 мы видели, что если в лаrpанжиане член с фермионной массой
для столбца Х майорановских спинорных полей выбрать в виде
fl 1 / 2 ==   (xIEМ'X,L) +э.с.,
(27.4.29)
то квадраты фермионных масс будут собственными значениями эрмитовой
матрицы MtM. Лarpанжиан (27.4.28) дает элементы матрицы М:
М пт == .At nm , МпА == М Ап == i V2(tA<i>O):' МАВ == о, (27.4.30)

27.4. Перенормируемые калибровочные теории с КUрШlьны.ми суперполя.ми 153
для которых, используя (27.4.19) и (27.4.20), получаем
(Mt М)пт == (.At t.At )пт + 2 L(tA<PO)п(tA<PO)'
А
(Mt М)пА == (Mt М)Ап == О,
(MtM)AB == 2(<ptBtA<PO) == (<p{tB,tA}<PO).
(27.4.31 )
Матрица (27.4.30) имеет собственные векторы трех типов. Векторы первоro
типа имеют вид
z==[],
(27.4.32)
с собственными значениями т 2 , rде п И т 2  любые собственные вектора
и соответствующие собственные значения .At t .At. Следующий тип векторов
записывается в форме
g == [] ,
(27.4.33)
с собственными значениями fl2, rде СВ и fl2  любые собственные Beктo
ра и собственные значения матрицы (<p{tB,tA}<PO). И наконец, третий тип
векторов имеет вид
[ 1: CB t B <PO ]
h в
 О '
с собственными значениями fl2, rде СВ и fl2  любые собственные векторы и
собственные значения матрицы (<p{tB,tA}<PO). Единственное исключение 
собственные векторы С этой матрицы с нулевым собственным значением
удовлетворяют условию L CAtA<PO == О, что соответствует ненарушенным
симметриям, так что в этом случае вектор (27.4.34) равен нулю и OCTaeт
ся только собственный вектор (27.4.33). Итак, существует один майоранов
ский фермион массой т, удовлетворяющей уравнению (27.4.26), два майо
рановских фермиона ненулевыми массами , удовлетворяющие уравнению
(27.4.22), и один майорановский фермион нулевой массы для каждой HeHa
рушенной калибровочной симметрии.
(27.4.34)
Спин 1
Массовые члены в лarpанжиане калибровочных полей возникают ча
стично из первоro члена в формуле (27.4.1) BTOpOro порядка по калибровоч
ному полю V 1:
fRv ==  L(tA<PO)(tB<PO)пVAV:.
пАВ
(27.4.35)

154
fлава 27. Суперcuмметричные калибровочные теории
Поскольку поля VAfl действительны, их матрица квадратов масс есть матрица
в уравнении (27.4.23):
(2)AB == ( q>MtB,tA}q>o) ·
(27.4.36)
для каждоro собственноro значения fl2 матрицы (27.4.36) существует одна
частица массой fl и спина 1.
Итак мы видим, что для каждоro собственноro значения т 2 матри
цы .At *.At существуют две зарядово самосопряженные бесспиновые части
цы массой т и один майорановский фермион такой же массы; для каж
доro ненулевоro собственноro значения матрицы flB существуют четыре
частицы массой fl: один зарядово самосопряженный бесспиновый бозон,
два майорановских фермиона и один зарядово самосопряженный бозон спи
на 1; для каждоro нулевоro собственноro значения этой матрицы существуют
две частицы нулевой массы: один майорановский фермион и один зарядо
во самосопряженный бозон спина 1. Неудивительно, что частицы нулевой и
ненулевой массы, входящие в мультиплеты,  те же самые, что бьши найде
ны прямым применением супесимметричной алreбры в разделах 25.4 и 25.5.
Удивление вызывает то, что массы калибровочных и киральных частиц не
влияют дрyr на дрyrа. Массы т получаются из собственных значений MaT
рицы (.At *.At )пm, и частицы, обладающие этими массами, оказываются теми
же частицами, которые получаются в теории киральных суперполей без Ka
либровочных суперполей; массы fl получаются из собственных значений
матрицы flB' а частицы с этими массами оказываются частицами, возника..
ющими в теории калибровочных суперполей, но без киральных суперполей.
Воспользуемся теперь методом, описанным в разделе 26.7, и построим
суперсимметричный ток для суперсимметричноro калибровочноro лarpан
жиана (27.4.1). это понадобится нам в разделе 27.9. В калибровке, исполь..
зованной ранее, изменения VA, л'А и D A при бесконечно малых суперсим
метричных преобразованиях даются формулами (27.3.4Н27.3.6). Добавляя
нетеровский суперсимметричный ток (26.7.2) для этих полей к нетеровско"
му току для <Рп' 'l'n и п, полученному в (26.7.8), rде производные заме
нены калибровочноинвариантными производными, получаем полный Heтe
u u
ровскии суперсимметричныи ток:
Nfl == I,fl V УVЛА   I,fAPO[YP, уО]уfl ЛА   i I,DАуsуfl ЛА
А А А
1
+ 2 I, [2(Dflq> ):'I'nL + 2(Dflq> )п'l'nR + (.(ljq»пyfl'l'пR
п
+(.(ljq> ):yfl'l'пL  nyfl'l'nR  'Yfl'l'nL] · (27.4.37)

27.4. Перенормируемые калибровочные теории с кuральными суперполями 155
Это  не суперсимметричный ток, потому что плотность лаrpанжиана не
инвариантна относительно суперсимметрии. Вариация лarpанжиана равна
производной
оШ == д ( aк ),
(27.4.38)
rде*
KI1 ==  i>pol1v !ApoYv У5 Л А +  L[Y P , у О ]у I1 ЛА!Аро +  iLDАУ5у I1 ЛА
А А А
 i L (tА)nтУ5'УЛА<Р:<Рт
Аnт
+   yl1 [(W<P)n"'nR  (W<P):"'nL + "'nL + n"'nR
+2 ( д/(<р) ) 'I' +2 ( д/(<р) ) *", ] .
д<рn nL д<рn nR
(27.4.39)
Первые два члена выведены с помощью тождества (27.2.5). Применив это
тождество еще раз к (26.7.4), получаем полный суперсимметричный ток
S ==N + K
==   L!APO[Y P , у О ]у I1 ЛА  i L (tА)пmУ5у I1 ЛА<Р:<Рm
А Аnт
+   [(W<p)ny l1 "'nR + (W<p*)ny l1 "'nL
+2 ( д/(<р) ) Y'I' +2 ( д/(<р) ) * yl1", ] .
д<рn nL д<рn nR
(27.4.40)
* * *
в разделе 26.8 бьт рассмотрен класс суперсимметричных теорий
с суперпотенциалом /(ф), произвольно зависящим от множества лево
киральных суперполей фn, НО не от ИХ производных, И С келеровым
потенциалом К(ф,ф*), произвольно зависящим от фn И ф:, но не от
ИХ производных. Это рассмотрение можно расширить на калибровочные
теории, лаrpанжиан КОТОРЫХ зависит от киральных суперполей, оrpани
ченных только суперсимметрией, не ВВОДЯ новые суперпроизводные или
*Самый простой путь вычислить поправку к члену [фt ехр( 2LA tA VА)Ф]D  это вычис"
лить л"компоненту фtехр(2LAtАVА)Ф и воспользоваться формулой (26.2.17). В процессе
этоro вычисления из Л"компоненты ехр(  2 L 1.4 VA) возникает важный член во второй строке
правой части тока (27.4.39).

156
rлава 27. Суперсuмметричные калибровочные теории
пространственновременные производные. Тоrда перенормируемый лаrpан
жиан будет иметь вид
р ==  [к( Ф,фt ехр( 2 tA VA))]D + 2Re [f(Ф)]g
  Re [hАВ(Ф) (wILEWBL)]g'
(27.4.41 )
rде hАв(Ф)  новая функция, зависящая от Фn, НО не от Ф или производных.
Киральные калибровочные и скалярные суперполя даются разложени
ями (26.3.21) и (27.3.15):
WAL(X,e) == ЛАL(Х+) +  yllyVeLfAIlV(X+) + (eIEeL) 'фЛАR(Х+)  ieLDA(X+),
Фn(х,8) == <Рn (х+)  v'2 (8I E 'I'nL(X+)) + n(x+) (8IE8L) ,
rде x  смещенная координата (26.3.23). Члены BTOpOro порядка по 8L (и не
зависящие от 8R) в 1:АВ hАв(Ф) (wIBEWBL) имеют вид
 [ IhАВ(Ф) (W]LEWBL) ]
АВ 
L
( Т )  ( Т ) [ 1  ( т ) дhАВ(<i»  dhAB(<P) ]
== eLEeL  ЛАLЕЛВL 2  'l'nLE'I'mL д д  fТn д
АВ nт <рn <Рт n <Рn
+ (8IE8L) IhAB(<i» [  ( ЛА .Ф(l У5)ЛВ)   fAllvfJ'V
АВ
1 fl V .t"P0 ]
+ 4 EflvpoJ A JB +DADB
.   дh Ав ( <р) ( Т ) [ ( Т fl у ) . ( Т ) ]
+ v 2  д eLE'I'nL  ЛВLЕУ у eL fAIlV + 2, ЛВLЕеL ,
АВn <Рn
rде считается, что все поля вычисляются в точке xfl, а не в точке x. (Первые
и вторые члены в правой части берутся соответственно из формул (26.4.4) и
(27.3.16).) Кроме TOro, записав 8La8Lp как 1Eap(8IE8L), можно сделать третий
член пропорциональным (8IE8L):
(8I E 'IInL) [( 'I' By fl y V 8L) JAflV  2i ( 'I' B 8L)] ==
1
2 (еI EeL) [( 'I'By llyV'I'nL)  2i ( 'I'B'I'n L) DA] ·

27.4. Перенормируемые калибровочные теории с кuральными суперполями 157
член является коэффициентом при (8IE8L), т. е.
 [ LhАВ(Ф) (WILEWBL) ]
АВ 
 ( т ) [ 1  ( т ) д2hАВ(<Р)  дhАВ(<Р) ]
== LJ ЛАLЕЛВL 2  'l'nLE'I'mL д д  п д
АВ пт <Рп <Р т п <Рп
 [ (  J/J ) 1 flV i flV ро ]
+ iвhAB(q»)  ЛА (1 Уs)ЛВ  2 fAJLvfB + 4 EJLvpafA f B +DADB
VI2  дhАв( <р) [  :v .  ) ]
+2  д ('I'ByJLY'I'nL)fAJLv+21('I'B'I'nL DA ·
АВп <Рп
Остальные члены в (27.4.41) выводятся из калибровочно"инвариантноro BЫ
ражения для лarpанжиана (26.8.6). Собирая все вместе, получаем лаrpанжиан
 == Re  пт( ЧI, ЧI*) [  ( 'I' m J/J(1 + Ys)'I'п) + п  DJLq»пDJLq»=Ж]
дЗК(<р,<р*)  дЗК(<р,<р*)  fl
 Re L дЧ' дЧ' дЧI* ('I'п'l'mL)  + Re L дЧ' дЧ' дЧI* ('I'mY 'l'iR)DJLq»п
пт' п т 1 пт' п т 1
1 д 4 К(<р,<р*)  
+ 4 L дЧ' дЧ' дЧI*дЧI* ('I'п'l'mL) ('I'k'l'iR)
nmlk п т 1 k
ReL д 2 ЛЧI) ( 'I'п'l'm L)+2ReLп af(q»)
пт д<Рпд<Рт п д<Рп
1  (  д2hАВ(<Р) 1  (  ) дhАВ(<Р)
+ 4 Re  ЛАЛВL) ( 'I'п'l'mL ) д д  2 Re  ЛАЛВL п д
АВпт <Рп <Рт АВп <Рп
 [ (  J/J ) 1 flV 1 · flV.t"f)O 1 ]
+ ReiвhAB(q»)  ЛА ЛВR  4 fAJLvfB + 8 1EJLvpafA JB + 2 DADB
2  дhАв(<Р) [ (  У ) . (  ) ]
+ м Re  д  лв"fУ 'l'пL fAJLV + 21 ЛВ'I'пL DA. (27.4.42)
V 2 АВп <Р п
Интересной особенностью этоro выражения является возникновение массы
у калибрино в теориях с функциями hAB(<p), зависящими от <Р п , коrда супер
симметрия нарушается за счет ненулевоro значения п. Такой же механизм
используется для rенерации масс калибрино в некоторых теориях с вызван
ным rpавитацией нарушением суперсимметрии, которые будут обсуждаться
в разделе 31.7.

158
rлава 27. СуперсU/И.;wетричные калибровочные теории
27.5. Нарушение суперсимметрии в древесном приближении.
Продолжение.
в предыдущем разделе бьто показано, что если все константы
ФайеИллиопулоса A равны нулю и если существует решение ypaBHe
ний дj(q»/дq>п == о, то существует также решение этих уравнений, rде все
Dкомпоненты калибровочных суперполей равны нулю, так что суперсим
метрия не нарушается. Следовательно, в перенормируемых теориях калиб
ровочных и киральных суперполей в древесном приближении есть только
две (не исключающие дрyr друrа) возможности, приводящие к спонтанно
му нарушению суперсимметрии: суперпотенциал j( <р) можно сделать Ta
ким, что не все уравнения дj(q»/д<Рп == О будут иметь решения, или для
калибровочных rpупп с U ( 1) множителями возможно появление членов
ФайеИлиопулоса в действии.
В разделе 26.5 уже было показано, при каких условиях не будет ни
одноrо значения <р, для KOToporo дj(<р)/д<Рп == о. При рассмотрении взаи
модействия киральных суперполей с калибровочными полями справедливы
те же рассуждения. Поэтому рассмотрим дрyryю возможность: спонтанное
нарушение суперсимметрии за счет членов ФайеИллиопулоса. Поскольку
они MOryт появиться только для калибровочных rpупп, содержащих произ
ведение нескольких U(l), то в простейшей ситуации теория будет содержать
только один такой множитель. Как обсуждалось в разделе 22.4, чтобы из
бежать И(1)U(1)И(1) и U(l)rpавитонrpавитон аномалий, необходимо
чтобы сумма U (1) квантовых чисел всех левокиральных суперполей и cyм
ма их кубов равнялась нулю. Рассмотрим простейшую возможность: два
левокиральных суперполя Ф:i: с И(1) квантовыми числами :i:e. (Такая Teo
рия является суперсимметричным вариантом квантовой электродинамики со
спинорными компонентами 'I'L и 'I'+L двух суперполей, обеспечивающих
левые части электронноrо поля и ему комплексно сопряженноrо.) Наиболее
общий вид U (1 )инвариантноro суперпотенциала в перенормируемой теории
есть просто j(Ф) == тФ+Ф. Скалярный потенциал (27.4.9) для скалярных
компонент <Р:!: этих суперполей имеет тоrда вид
V(<p+,<P) == т21<p+12+т21<p12+ (i;+ e2 1<p+1 2 e21<P12)2.
(27.5.1)
Очевидно, что кроме случая, коrда все константы ФайеИлиопулоса 
равны нулю, невозможно найти суперсимметричный вакуум с V == о.
Для  > т 2 /2е 2 или  < т2 /2е 2 потенциал (27.5.1) имеет минимум
в двух случаях: либо <р+ == О и 1<p12 == (2e2  т 2 )/2е 4 , либо <p == О

27.5. Нарушение cyпepcuммeтpии в древесном приближении. Продолжение 159
и 1<p+1 2 == (2e2  т 2 )/2е 4 . Поэтому вместе ссуперсимметрией наруша..
ется калибровочная симметрия U(l). для II < т 2 /2е 2 минимум потенциала
достиrается при <Р+ == <P == О, и тоrда калибровочная симметрия сохраняет..
ся. В общем случае нет обязательной связи между возможным нарушением
суперсимметрии и калибровочных симметрий.
Независимо от Toro, происходит ли спонтанное нарушение суперсим
метрии за счет обсуждаемоro сейчас механизма ФайеИллиопулоса, или
механизма О'Райферти из раздела 26.5, или какойто их комбинации, cy
персимметрия оставляет память о себе в структуре масс в древесном при
ближении. Исследование лаrpанжиана (27.4.8) в случае произвольной пере
нормируемой суперсимметричной теории калибровочных и киральных cy
перполей показывает, что спонтанное нарушение суперсимметрии в такой
теории приводит к следующим поправкам к тем массам, которые вычислены
в разделе 27.4.
Массы частиц спина О
Если g'члены g'n == (af(<p)/a<pn)* не обращаются в нуль в точке ми
нимума потенциала <Ро, то к слаrаемым BToporo порядка по Фп = <Р п  <РпО
в потенциале добавляются, помимо перечисленных в формуле (27.4.15), дo
полнительные слаrаемые:
Уквадр == L(.At *.At )птФФт + L (tA<PO)n (tA<PO) ФФт
пт Апт
+  L (tA<PO): (tА<Ро)ФnФт +  L (tA<PO)n (tА<РО)тФФ
Апт Апт
1 1 * * *
+ 2 vf птФпФт + 2 vf птФпФт
пт пт
+ L DАо(tА)птФФт, (27.5.2)
Апт
rде опять .At  комплексная симметричная матрица (26.4.11):
.At == ( д2 f ( <Р) )
пт  д<Рпд<Рт <Р==<Ро'
vf пт  новый множитель, равный
,fr ==  :Z ( дЗ f( <р) )
./' пт   [О ,
[ д<Рll д <Рт д <Ре <Р==<Ро
(27.5.3)

160
rлава 27. Суперсuм.м.етричные КШlибровочные теории
а fFo и DAo  опять fF и Dчлены киральных скалярных и калибровочных
суперполей, вычисленные в минимуме потенциала:
r;r  [ af(<9) ] *
J'nO  ,
д<Рп <Р==<Ро
DAO == A + L<PO(tA)nт<9тO.
пт
Если мы запишем квадратичную часть потенциала (27.5.2) в форме (27.4.16):
Уквадр ==  [;] t Мб [:*] ,
то вместо (27.4.17), получим скалярную массовую матрицу
М 0 2 == [ VИ * V« +"" + tDAOtA [JJ +.А'" * ]
[JJ * +.А'" ...tlv« * +"" * + tDAotl '
(27.5.4)
rде
.J = L(tA<90) (tA<90) t,
А
3J = L (t А <90) (t А <90) т ·
А
Массы частиц спина 1/2
Массовая матрица фермионов М дается выражением (27.4.30):
М пт == .At пт, М пА == МАп == i J2(tA<PO), МАВ == о.
Однако условие калибровочной инвариантности (27.4.18) вместо выражения
(27.4.19) дает
L.At nт (tA<90)т == LfFтo(tA)тn.
т т
(27.5.5)
Отсюда эрмитова положительная матрица, собственные значения которой
квадратичны по массам фермионов, имеет вид
(M t М)пт == (.At t.At)пт + 2 L(tA<90)n(tA<90):Z,
А
(MtM)AB == 2(<P6tBtA<90)'
(27.5.6)
(MtM)An == (MtM) == iJ2 L fF т o(tA)тп.
т

27.5. Нарушение cyпepcuммeтpии в древесном приближении. Продолжение 161
Массы частиц спина 1
Квадраты масс векторных бозонов опять даются собственными значе
ниями матрицы (27.4.36):
{fl2)лв == ( <Р6, {tB,tA}<PO) ·
(27.5.7)
За исключением Dчленов в (27.5.4), все изменения в матрицах квaдpa
тов масс возникают в недиaroнальных элементах. Поэтому следы матриц
(27.5.4), (27.5.6) и (27.5.7) имеют чрезвычайно простой вид: для спина О
Tr Мб == 2Tr (.Al *..Jt) + Tr fl2 + 2 LDAoTr tA,
А
(27.5.8)
а для спина 1/2
Tr (M t ,М) == Tr (..Jt *.Al) == 2Tr fl2.
(27.5.9)
Поскольку след матрицы равен сумме ее собственных значений, то получа
ется правШlО су.м..м для .масс
L Macca2 L масса 2 +з L масса 2 == 2LDAoTrtA.
спин о спин 1/2 спин 1 А
(27.5.1 О)
След матрицы tA автоматически равен нулю, если только tA не является reHe
ратором rpуппы U (1). Как уже roворилось в разделе 22.4, для калибровочных
reHepaTopoB rpуппы и ( 1) след, взятый по левым фермионам, также должен
быть равен нулю, чтобы исключить rpавитационные вклады в аномалию,
нарушающую сохранение И(1) тока. Тоrда формула (27.5.10) упрощается 4:
L масса 2  L масса 2 + 3 L масса 2 == о.
спин О спин 1/2 спин 1
(27.5.11)
Конечно, ненарушенные законы сохранения заряда, цвета, барионноrо и леп
TOHHOro чисел приводят к тому, что массовые матрицы не имеют элементов,
связывающих частицы с разными значениями этих квантовых чисел. Поэто
му все эти результаты выполняются отдельно для каждоrо набора сохраня
ющихся квантовых чисел.
Во мноrих работах часто roворится, что правило сумм (27.5.11) свиде
тельствует против моделей, в которых имеется спонтанное нарушение супер
симметрии в древесном приближении минимальноro суперсимметричноrо
расширения стандартной модели. Этот и дрyrие apryмeHTbI будут обсуж
даться в разделе 28.3.

162
rлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории
Как уже rоворилось в разделе 26.5 (и еще будет обсуждаться в более
общем случае в разделах 29.1 и 29.2), спонтанное нарушение суперсиммет
рии обязательно приводит к существованию безмассовоrо фермиона roл
дстино. для перенормируемых калибровочных теорий в древесном прибли
жении поле roлдстино g появляется как член в спинорных компонентах 'IIn
и л'А киральных и калибровочных суперполей в виде
ФпL == i V2nogL + .. . , л'АL == DAOgL +. · · ,
(27.5.12)
rде точки обозначают члены, содержащие спинорные поля определенной
ненулевой массы. Чтобы это проверить, надо показать, что (i V2no,DAO)
является собственным вектором матрицы квадратов масс фермионов Mt М с
для собственным значением, равным нулю. С этой целью придется исполь
зовать условие, что потенциал (27.4.9) стационарен при <р == <Ро:
ау   t
О == д ==  .Jt nmfJ"mO + DAO( ФоtА)n.
<Р п <Р==<РО т А
(27.5.13)
Кроме Toro необходимо условие калибровочной инвариантности (27.4.12),
которое при <р == <1>0 имеет вид:
LnO(tA<PO)n == о.
п
(27.5.14)
Комбинируя (27.5.13) и (27.5.14) с (27.5.5) и (27.5.6), получаем
i V2 L (M t M)пттO == i V2 L D A (tAg-о)n ==  L(Mt M)пADAO
т А А
(27.5.15)
и
iV2L(MtM)AmmO == 2Lg-nо(tА)nттО ==  L(MtM)ABDBO, (27.5.16)
т nт В
т. е.
MtM C:O) ==0,
(27.5.17)
что и требовалось показать.

27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории возмущений 163
27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории
возмущений
с caMoro начала было обнаружено, что несколько ультрафиолетовых
расходимостей, характерных для обычных перенормируемых квантовых Teo
рий поля, отсутствуют в их суп ер симметричных версиях. С 1975 roда начала
развиваться техника супердиarpамм, в которой все частицы каждоro супер
мультиплета рассматриваются вместе. Тоrда стало возможным показать, что
некоторые радиационные поправки не только конечны, но и вообще OTCYТ
ствуют в теории возмущений 5. Супердиarpаммы будут детально описаны
в rлаве 30. Однако, для доказательства наиболее важных теорем они не по
требуются. В этом разделе излarается вариант метода, разработанноro Зай
берrом в 1993 roду 6, показывающий, что теоремы об отсутствии перенор
мировок MOryт быть леrко получены из простых соображений симметрии и
аналитичности.
Рассмотрим общую перенормируемую суперсимметричную калибро
вочную теорию, содержащую левокиральные поля Фп И (или) калибровочные
суперполя УА. Как упоминалось в разделе 27.3, если мы уберем множитель g
из tA И САНС И включим ero в калибровочные суперполя, то лаrpанжиан
примет вид
ff == [фt ev Ф]D +2Rе[f(Ф)] + 212 Re [L EaWAaLWAL] ,
g Aa 
(27.6.1)
rде суперпотенциал j(Ф) является калибровочноинвариантным полиномом
третьей степени по левокиральным суперполям. (Здесь пренебреrается воз
можным ечленом, не иrpающим роли в теории возмущений.)
Предположим, что введено ультрафиолетовое обрезание л по импуль
сам, циркулирующим в петлевых диаrpаммах. Тоrда, как уже обсуждалось в
разделе 12.4, можно найти локальный вильсоновский эффективный лarpан
жиан ША, который с учетом этоro обрезания дает точно такие же результаты
для элементов Sматрицы, относящихся к процессам с импульсами ниже Л,
что и исходный лаrpанжиан. Массы и параметры связи эффективной плотно
сти лаrpанжиана зависят теперь от л; как правило, в нем будет бесконечное
число членов с взаимодействием, т. е. все возможные члены, разрешенные
симметрией теории. Однако в суперсимметричных теориях все rораздо про
ще. Теоремы от отсутствии перенормировок утверждают, что пока обрезание
сохраняет суперсимметрию и калибровочную инвариантность, во всех по

164
rлава 27. Суперсuм.м.етричные КШlибровочные теории
рядках теории возмущений эффективный лаrpанжиан будет иметь структуру
Ш Л ==[А л (Ф,фt, V,,.. .)]D +2Rе[f(Ф)]
+  Re [ L Ea WAaL WAL ]
2g л Aa 
rде Ал  общая лоренц и калибровочно"инвариантная функция,
символ «, . . .» обозначает члены, содержащие суперпроизводные
или пространственновременные производные предшествующих apryмeH
тов, gл  однопетлевая эффективная калибровочная константа связи, опре
деленная той же формулой, что и однопетлевая перенормируемая калибро
вочная константа связи
(27.6.2)
g):2 == константа  2ыlл,,
(27.6.3)
rде Ь  коэффициент при gЗ в функции rеллМаннаЛоу (g), обсуждав
шейся в rлаве 18. Это справедливо для простой калибровочной rpуппы с
одной константой связи, но расширение до прямоrо произведения простой
rpуппы и rpуппы и (1) тривиально. В частности заметим, что эффективный
суперпотенциал не только конечен при л """'"""* 00, но, по крайней мере, в рамках
теории возмущений, не содержит членов, отсутствующих в исходном супер
потенциале. Поэтому коэффициенты при всех ero членах не изменяются.
Чтобы доказать эту теорему, будем интерпретировать теорию
как частный случай теории с двумя дополнительными внешними
калибровочноинвариантными левокиральными суперполями Х и У с ла
rpанжианом
 ==  [фtеV Ф]D + 2Re [У J(Ф)]g- +  Re [Х! Eat3wАaLwАL]g-. (27.6.4)
Этот лаrpанжиан становится равным исходному, коrда скалярные компонен
ты полей Х и У равны х == 1/ g2 И У == 1, а спинорные и вспомоrательные
компоненты Х и У выбраны равными нулю. Поскольку предполаrается, что
процедура обрезания сохраняет суперсимметрию и калибровочную инва
риантность, эффективный лаrpанжиан при наличии этих внешних супер
полей должен быть суммой Dчлена общеro суперполя и действительной
части члена левокиральноro суперполя
.Pt == [.J л (ф,фt,v,х,х t ,у,уt,9>'''.)]D +2Rе[aJ Л (Ф'W L 'Х'У)]g-' (27.6.5)
rде Ал и /iJ л  калибровочноинвариантные функции выписанных apry
ментов. В члены не включены суперпроизводные и пространственно
временные производные, потому что, как показано в разделе 26.3, члены,

27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории возмущений 165
содержащие производные любых левокиральных суперполей и им сопря
женных, можно переписать как вклады в [АлJD. (Действительно в фор
муле (27.3.12) WL выражено через два R, действующих на суперпо
ле ехр( 2V)Lexp(2V), но это суперполе не калибровочноинвариантно,
а мы требуем калибровочную инвариантность Ал.)
Зависимость fiJ л от Х и У сильно оrpаничена двумя дополнительными
симметриями действия, полученноrо из лаrpанжиана (27.6.4). (Обе симмет
рии нарушаются непертурбативными эффектами, которые будут обсуждены
в rлаве 29.) Первая симметрия  пертурбативная И(1) R"симметрия, aHa
лоrичная той, которая обсуждалась в разделе 26.3. Для нее eL и eR имеют
значения R, равные +1 и 1; суперполя Ф, V и Х нейтральны по R; У
имеет значение R, равное +2. (Вспомним, что f!F является коэффициентом
при eI в f. Поэтому, для Toro, чтобы значение R для f!Y равнялось HY
лю, f должна иметь R == 2.) Поскольку WL содержит два  R И один  L член,
действующие на Rнейтральные суперполя, он имеет значение R == 1. To
rда Rинвариантность требует, чтобы для функции fiJ л , подобно суперпо
тенциалу, значение R было равно +2. Эта функция аналuтuчна и поэтому
не может зависеть ни от KaKoro суперполя с отрицательными значениями R,
такими, как сопряженные левокиральным суперполям. Следовательно все
члены в fiJ л MOryт быть только первоro порядка по У и BTOpOro порядка
по WL с коэффициентами, зависящими только от R"нейтральных суперпо
лей Ф и (или) Х:
fiJл(Ф, WL,X, У) == У fл(Ф) + L ЕаWАaLWВLhмв(Ф,Х).
а(МВ
(27.6.6)
(В силу лоренцинвариантности спинорные индексы в WL должны быть CBep
нуты с Ea.)
Дрyroй симметрией является трансляция Х на мнимую числовую KOH
станту, т. е. Х -----+ Х + i, rде   действительное число. Это изменяет лarpан
жиан (27.6.4) на величину, пропорциональную ImLAa WAaWAL, что, как
было показано в разделе 27.3, является пространственновременной произ
водной, и поэтому не проявляется в теории возмущений. В силу этой TpaHC
ляционной симметрии поле Х не входит в эффективный лаrpанжиан (27.6.5),
кроме случая, коrда оно содержится в исходном лаrpанжиане (27.6.4). Из это
ro следует, что f"л. не зависит от Х, а hMB состоит из не зависящеro от Ф
члена, пропорциональноrо ХБАв, и члена, не зависящеro от Х, т. е.
fiJл(Ф, WL'X,Y) == У fл(Ф) + L EaWAaLWBL [слБАВХ +fмв(Ф)]. (27.6.7)
aAВ
rде с л  действительная зависящая от обрезания константа.

166
[лава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории
Смысл введения вспомоrательных внешних полей Х и У  в том, что,
придавая им соответствующие значения, можно использовать приближения
слабой связи и найти коэффициенты в (27.6.7). Если положить CIttHOp
ные и вспомоrательные компоненты Х и У равными нулю и устремить их
скалярные компоненты х и у к бесконечности и к нулю соответственно, то Ka
либровочная константа связи обращается в нуль как 1/ ух, а все скалярные
константы связи и юкавские константы, полученные из суперпотенциала,
обращаются в нуль как у. в этом пределе только одна диarpамма дает вклад
в пропорциональный У член в (27.6.7). Эта диarpамма имеет одну вершину,
возникающую от члена 2Re[Y f(Ф)] в (27.6.4), так что
fл(Ф) == f(Ф).
(27.6.8)
Кроме TOro, для У == О существует закон сохранения, требующий, чтобы
каждый член в pt имел одинаковое число Ф и Фt. Поэтому поскольку Фt
не может входить в f AAB , то там не должно быть и Ф. В силу калибровоч
ной инвариантности константа fAAB в случае простой rpуппы должна быть
пропорциональна БАВ:
f AAB == БАвL л .
(27.6.9)
Поскольку калибровочные пропаrаторы ведут себя как 1/ х, в то время как
чисто калибровочные взаимодействия  как х, а скалярные пропаrаторы
и взаимодействия не зависят от х, то при у == о число степеней х в диа
rpaMMe с Vw вершинами взаимодействия только калибровочных бозонов, Iw
внутренними бозонными линиями и любым числом вершин взаимодействия
скаляров с калибровочными бозонами и скалярных пропаrаторов равно
N x == Vw Iw.
(27.6.1 О)
Число петель определяется выражением
L == Iw + Iф  Vw  Vф + 1,
(27.6.11)
rде Iф  число внутренних Флиний; Vф  число вершин Ф V взаимодей
ствия. Ко всем Ф V вершинам прикреплены две Флинии, поэтому если нет
внешних Флиний, то Iф и Vф равны и поэтому сокращаются в (27.6.11), так
что (27.6.10) принимает вид
N x == 1  L.
(27.6.12)
Итак, коэффициент С л при поле Х в (27.6.7) в древесном приближении полу
чается прав ильным и поэтому он такой же, как и в исходном лаrpанжиане,

27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории возмущений 167
т. е. С л == 1; коэффициент L л в члене, не зависящем от Х, вычисляется только
из однопетлевых диаrpамм. Собираем все члены вместе и получаем
шt == [.J л (Ф, Ф t , V,X ,x t , У, yt,!lJ,.. .)] D + 2Re [У f(Ф)]
+  Re [ (Х +Lл) l: EaWAaLWAL ] , (27.6.13)
Aa 
rде L л  однопетлевой вклад. Положив У == 1 и Х == l/g2, получим (27.6.2),
rде g:;,2 == g2 + L л . Как показано в разделе 18.3, вклад старшеrо порядка
в Лdg л / dл  это та же функция gл, независимо от схемы перенормировки,
использованной для определения этой константы связи. Поэтому в однопет..
левом приближении мы должны иметь
Лdgл/dл == bgi,
(27.6.14)
rде Ь  тот же коэффициент при gЗ, как и в уравнении ренормrpуппы rелл
Манна и Лоу. Решением является (27.6.3), что и завершает доказательство.
В теориях с и ( 1) калибровочным полем У] лarpанжиан может coдep
жать член ФайеИллиопулоса (27.2.7):
РФИ ==  [V 1 ]D.
(27.6.15)
Леrко видеть, что коэффициент  в этом выражении не перенормируется 7.
Если бы соответствующий коэффициент л в вильсоновском лarpанжиане
зависел от калибровочных констант связи или от констант связи в суперпо
тенциале, тоrда после замены исходноro лаrpанжиана (27.6.1) лarpанжианом
(27.6.4), содержащим внешние суперполя Х и У, в силу суперсимметрии этот
член в вильсоновском лаrpанжиане имел бы вид
!lил == [л(Х, У,Х*, Y*)VIJD'
(27.6.16)
rде л  функция, нетривиально зависящая от Х и (или) У и им сопряженных
полей. Но такой член не был бы калибровочноинвариантным, потому что,
соrласно (27.2.18), калибровочное преобразование сдвиrает Vl на киральное
суперполе i(O  0*)/2, и хотя Dчлен киральноro суперполя равен нулю,
произведение i(O  0*)/2 и л не кирально по отношению к общим калиб
ровочным преобразованиям, если л KaKTO зависит от дрyrих суперполей.
В действительности есть диаrpаммы, дающие вклад в л и независящие от
всех констант связи.
для лarpанжиана (27.6.1) в вершины взаимодействия калибровочноro
суперполя с киральной материей не входят множители константы связи g.

168
rлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории
,,
/ ,
I \
------------I I
\ I
, /
''
Рис. 27.1. Однопетлевая диаrpамма, которая может расходиться квадратично
в теориях с суперсимметрией, нарушенной трилинейными связями между скаляр
ными полями и им сопряженными полями. Все линии представляют комплексные
скалярные поля.
Однако каждый калибровочный пропаrатор содержит множитель g2, так
что диаrpамма без внутренних линий калибровочных бозонов и без caMO
действия киральноro поля не зависит от констант связи. Вклад в л. дают
только те диarpаммы, в которых одна внешняя линия калибровочноro бо..
зона присоединяется к киральной петле (рис. 27.1.). Вклад таких диаrpамм
пропорционален сумме калибровочных констант связи всех киральных су..
перполей, т. е. следу reHepaTopa rpуппы и ( 1 ). Но, как обсуждалось в разделе
22.4, этот след должен быть равен нулю (если симметрия и (1) не наруше
на), чтобы избежать rpавитационных аномалий, которые нарушают coxpaHe
ние И(1) тока.
Наиболее важным применением этих теорем является вывод, что если
нет члена ФайИллиопулоса и если суперпотенциал f( Ф) допускает реше..
ния уравнения af(q»/aq>n == о, то суперсимметрия не нарушается в любом
конечном порядке теории возмущений.
Чтобы это проверить, необходимо исследовать лоренцинвариантные
конфиrypации полей, в которых Фп имеет только скалярные компоненты <Р п
и постоянные компоненты вспомоrательных полей fF n , а коэффициенты УА
(в калибровке ВессаЗумино) калибровочных reHepaTopoB tA в матричном Ka
либровочном суперполе V имеют только вспомоrательные компоненты D А.
Суперсимметрия не нарушается, если существуют такие значения <Рп, для
которых!Rл. не содержит членов первоro порядка по fF n и D A . В этом случае
наверняка должно существовать равновесное решение fF n == DA == о. (В раз
деле 29.2 будет показано, что это необходимое и достаточное условие co
хранения суперсимметрии.) Если нет членов ФайеИллиопулоса, то так и
произойдет, если для всех А
 дКл.(q>,q>*) ( t ) In* ==0
 д * А nт't'т
пт <Р п
(27.6.17)

27.6. Теоремы об отсутствии перенормировок в рамках теории возмущений 169
и для всех п
дf(Ч') == О,
д<Рп
rде эффективный келеров потенциал Кл ( <р, <р*) равен
(27.6.18)
К л ( <р, <р*) == d л ( <р, <1>*, О, О,...),
(27.6.19)
с d л ( <1>, <р*, О, О,.. .), полученным из .J л , если положить калибровочное супер
поле и все производные равными нулю. (В силу лоренцинвариантности все
суперпроизводные равны нулю, поэтому d л зависит от V только как ехр(  V)
при каждом множителе Ф t .) Используем прием, к которому уже прибеrа
ли в разделе 27.4. Если уравнение (27.6.18) имеет решение <р(0), то в силу
калибровочной симметрии существует множество таких решений, rде <l>п
заменяется на
<l>n(Z) == [ exP(iLtAZA ) ] <I>),
А пт
(27.6.20)
rде (поскольку f зависит от <р и не зависит от <р*) ZA  произвольное MHO
жество комплексных параметров. Если Кл ( <р, <р*) имеет стационарную точку
rде yrодно на поверхности <р == <p(z), то в этой точке
 дКл ( <р, <р*) ( )  дКл ( <р, <р*) ( ) * *
о ==  д tA птЧ'тЬZА   д * tA тпЧ'тЬZА'
птА <Рп птА <l>п
(27.6.21)
Поскольку это условие должно выполняться для всех бесконечно малых
комплексных OZA, коэффициенты при OZA и OZA должны быть равны нулю.
Поэтому в этой точке удовлетворяются как уравнение (27.6.17), так и ypaBHe
ние (27.6.18). Таким образом, существование стационарной точки КЛ (<1>, <р*)
на поверхности <р == <p(Z) означало бы, что суперсимметрия не нарушается
во всех порядках теории возмущений. Келеров потенциал нулевоrо поряд
ка (<р t <р) оrpаничен снизу и стремится к бесконечности при <р  00, поэтому
он безусловно имеет минимум на поверхности <р == <p(z), rде он, конечно,
стационарен. Если бы не бьто плоских направлений, вдоль которых КЛ по
стоянен в этом минимуме, то любое достаточно малое возмущение келерова
потенциала, сместило бы этот минимум, но не уничтожило бы ero. Однако
на поверхности <р == <p(Z) в точке, rде келеров потенциал имеет минимум,
есть два плоских направления: обычные rлобальные калибровочные преоб
разования о<р == iLA 0ZAtA<P С действительным ZA. НО, кроме TOro, существуют
плоские направления для возмущения Кл ( <р, <р*)  (<р t <р). Поэтому для любо
ro возмущения (по крайней мере в конечном интервале), а следовательно
во всех порядках по любым константам связи, которые MOryT появиться
в Кл(<Р,<Р*), сохраняется локальный минимум КЛ на поверхности <р == <p(z).

170
rлава 27. Суперсu.м.метричные КШlибровочные теории
Как уже было показано, это множество значений скалярноrо поля, дЛЯ KOTO
рых fТ п == О и D A == О для всех п и А, а это означает, что суперсимметрия не
нарушается.
* * *
Эти результаты MOryт быть распространены на неперенормируемые
теории 3. В таких теориях первый член [фtеVФ]D в (27.6.1) заменяет
ся на Dчлен произвольной действительной калибровочноинвариантной
скалярной функции от фt, Ф, V, их суперпроизводных и пространствен
HOBpeMeHHЫX производных; второй и третий члены в (27.6.1) заменяют
ся fТчленом произвольной rлобально калибровочноинвариантной скаляр
ной функции f(Ф, W) от Фп И W a . Было показано, что во всех порядках
теории возмущений функция fл(Ф, W), появляющаяся в fТчлене вильсонов
CKOro лаrpанжиана,  это та же функция f(Ф, W), за исключением однопет
левой переномировки квадратичноro по W слаrаемоro.
27.7. Мяrкое нарушение суперсимметрии *
в следующей rлаве будет показано, что даже если суперсиммет
рия является точной симметрией действия, то спонтанное нарушение cy
персимметрии при очень высоких энерrиях может привести к появлению
суперперенормируемых членов, нарушающих сохранение суперсимметрии
в эффективном действии, описывающем физику при низких энерrиях. Эти
суперперенормируемые члены MOryт объяснить отсутствие наблюдаемых
проявлений суперсимметрии при доступных энерrиях. В этом разделе pac
смотрим радиационные поправки, которые MOryT возникнуть от таких Ha
рушающих суперсимметрию суперперенормируемых членов, отчасти чтобы
увидеть, создает ли это критерий ДЛЯ включения или отбрасывания таких
членов в суперсимметричных вариантах стандартной модели.
Признаком нарушения суперсимметрии является появление средних
значений Dчленов произвольных суперполей или fТчленов киральных cy
перполей. Любой нарушающий суперсимметрию оператор е(} в плотности
лаrpанжиана можно записать в суперсимметричной форме в виде Dчлена
е(} == [ZS]D'
(27.7.1)
rде S  некиральное суп ер поле, в которое () входит как ero Счлен; Z 
некиральное внешнее суперполе, единственная ненулевая компонента KO
TOpOro равна [Z]D == Е. Некоторые, но не все операторы е(} , нарушающие
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть
опущен при первом чтении.

27.7. Мяzкое нарушение cyпepcuммeтpии
171
суперсимметрию, MOryт быть записаны как 3i"члены
ЕС == [OO] ,
(27.7.2)
или им сопряженные, rде О  левокиральное суперполе, 3i"членами KO
TOpOro являются fJ ; О  внешнее левокиральное суперполе, единственная
ненулевая компонента KOToporo [O] == Е. Можно выяснить порядок по Е, дЛЯ
KOTOpOro появится соответствующая поправка к эффективному лarpанжиа
ну, определив степени Z или О, необходимые для получения этой поправки
суперсимметричным способом. Мы получим интересные оrpаничения на
радиационные поправки, возникающие от взаимодействий, которые можно
записать в виде (27.7.2) и (27.7.1).
В соответствии с результатами предыдущеro раздела, радиационные
поправки к 3i"членам отсутствуют, поэтому все нарушающие суперсиммет
рию радиационные поправки к вильсоновскому лarpанжиану должны иметь
вид Dчленов. Эта теорема не запрещает любому данному оператору по
явиться в вильсоновском лarpанжиане, потому что, даже если оператор ЕШ
нельзя записать в форме [ZЛ]D, rде Л  общее суперполе, Счлен KOTOpOro
равен Ш, выражение Е 2 Ш .может быть записано как
Е 2 ш == 2 [Q*ОЛ]D.
(27.7.3)
Однако не все операторы MOryт возникнуть за счет радиационных попра
вок первоzо порядка по Q или 0*. в частности, функция, зависящая только
от <рчлена левокиральноro поля Ф, но не от <р*, не может быть записана
как Dчлен суперполя линейноro по а. (Заметим, что [Оh(Ф)]D является
производной, а [Q*h(Ф)]D == 2[Ф] ah(<p)/a<p зависит не только от <р.) Мож
но сделать вывод, что нарушающие суперсu.м.метрию и зависящие только
от <р члены в вuльсоновско.м лаzранжиане не Mozym появиться за счет pa
диационных поправок первоzо порядка по нарушающим суперсu.м.метрию
взаимодействиям вида (27.7.2).
Этот результат важен, потому что наиболее расходящиеся радиацион
ные поправки как раз те, которые имеют самый низкий порядок по супер
перенормируемым константам связи. Конкретнее, коэффициент при взаимо
действии размерности q; имеет размерность 4   (в степенях энерrии) ,
поэтому анализ размерностей показывает, что вклад множества взаимодей
ствий размерности d 1 , d 2 И т. д. В коэффициент при взаимодействии размер
ности d может содержать ультрафиолетовое обрезание в степени не выше
р == 4  d  (4  d 1)  (4  d2)  . . .
(27.7.4)
и поэтому он конечен, если р < о. (В этом рассуждении мы пренебреrли
воможными ультрафиолетовыми расходимостями во внутренних интеrpиро

172
rлава 27. Суперсuмметрuчные КШlибровочные теории
ваниях; этот вопрос подробно рассмотрен в работе 8.) Суперперенормируе
мые взаимодействия являются «мяrкими» в том смысле, что они уменьшают
степень расходимости диаrpамм, в которых они появляются. В частности,
в перенормируемой теории, rде все взаимодействия имеют d i  4, и cтporo
перенормируемые взаимодействия с d i == 4 суперсимметричны, вклад одноro
или более суперперенормируемых взаимодействий в коэффициент взаимо
действия с d == 4 всеrда имеет степень р < О, так что, даже если супер
перенормируемые взаимодействия не суперсимметричны, они не создадут
нарушающих суперсимметрию и имеющих ультрафиолетовые расходимости
поправок в коэффициентах при суперсимметричных d == 4 взаимодействиях.
С дрyroй стороны, в такой теории MOryт быть расходящиеся радиаци
онные поправки к самим суперперенормируемым взаимодействиям 9. Наи
более опасны в этом отношении квадратичные (или более высоких порядков)
расходимости, коrда после обрезания на некотором, отвечающим большим
энерrиям масштабе Мх может потребоваться тонкая настройка roлых KOH
стант связи для сохранения суперсимметрии в качестве хорошей прибли
женной симметрии при энерrиях ниже Мх. В силу условия (27.7.4) в пере
нормируемых теориях, rде все взаимодействия с d i == 4 суперсимметричны,
радиационные поправки MOryт привести к нарушающим суперсимметрию
операторам размерности d, расходящимся квадратично (или более высокой
степени р  2), только если они содержат вставку суперперенормируемоro,
нарушающеro суперсимметрию взаимодействия размерностью dl  2 + d.
Тоrда возможны либо d == О и d 1  2, что возникает только при вычисле
нии космолоrической постоянной, либо d == 1 и dl == 3, что возникает при
вычислении диаrpаммroловастиков, в которых линия скалярноro поля yxo
дит В вакуум. Учет космолоrической постоянной во всех известных теори
ях 10 связан с проблемами тонкой настройки, и здесь этот вопрос больше
не будет рассматриваться. Диаrpаммыroловастики представляют операто
ры, линейные по <р или <р*, и, как уже бьто показано, они не MOryт воз
никнуть В первом порядке по нарушающим симметрию взаимодействиям,
которые нельзя записать в форме (27.7.2). Поэтому такие суперперенорми
руемые взаимодействия называются «мяrкими» в том смысле, что они не
создают квадратичные или более высоких порядков расходимости. Вместе
с суперперенормируемыми взаимодействиями с d  2, содержащими про
извольные квадратичные полиномы по <р и <р*, нарушающие суперсиммет
рию мяrкие (в указанном смысле) взаимодействия содержат члены третьеrо
порядка по <р, которые можно записать в виде <рЗ == [QфЗ], аналоrичные
члены третьеrо порядка по <р* и члены с массой калибрино с d == 3, KO
торые можно записать как [QEaJiWaWJi], но не содержат членов типа <р2<р*
и <р<р2*, которые, вообще roворя, Mozym привести к квадратично расходящим
ся диаrpаммамroловастикам 9.

27.7. Друzой подход: КШluбровочноuнварuантные суперсuмметрuчные . . . 173
Тем не менее, rоловастики MOryт появиться только для скалярных по
лей, нейтральных по отношению ко всем точным симметриям. В теориях
без таких нейтральных скаляров, таких, например, как суперсимметричная
стандартная модель, обсуждаемая в следующей rлаве, все суперперенорми
руемые взаимодействия MOryт рассматриваться как мяrкие.
27.8. Друrой подход: калибровочио"иивариаитиые суперсимметричиые
преобразоваиия *
Некоторое беспокойство вызывает то обстоятельство, что обсуждав
шиеся до сих пор законы суперсимметричных преобразований содержат
обычные, а не калибровочноинвариантные пространственновременные
производные. Например в U ( 1 ) калибровочной теории преобразование
компонент поля киральноro скалярноro суперполя дается формулами
(26.3.15(26.3.17) в виде
O'l'L == V2aqyyaR<P+ V2fТaL,
О[Т == v2 ( aL 'I' L) ,
о<р == v2 ( aR'I'L ) .
(27.8.1 )
Можно подумать, что в преобразовании киральноrо суперполя, обладаю
щеrо И(1) зарядом q, обычные пространственновременные производные
в (27.8.1) следует заменить калибровочноковариантными производными,
определяемыми с помощью И(1) калибровочноro поля V выражением
D == д  iqV.
(27.8.2)
Имея такие калибровочноинвариантные суперсимметричные преобразова
ния киральных суперполей, можно попытаться сформулировать суперсим
метричные преобразования калибровочноrо супермультиплета, содержащеrо
только физические и вспомоrательные поля V, А и D:
БVf1 == ( а у f1 л) ,
,.., . 1 [д 1h  ]
ОА  IDy5 a + 2 и" , у а,
3D == i ( аУ5 A) .
(27.8.3)
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть
опущен при первом чтении.

174
rлава 27. Суперсим.метричные КШlибровочные теории
Здесь стоят обычные пространственновременные производные, потому что
калибровочные суперполя не обладают и ( 1) зарядом.
Но ничеro не получается. Алrебра этих преобразований не замкнута:
коммутатор двух модифицированных суперсимметричных преобразований
не является линейной комбинацией бозонных симметричных преобра
зований типа пространственновременных трансляций и калибровочных
преобразований. Следовательно, невозможно построить лarpанжиан для
киральных и калибровочных суперполей, инвариантный относительно MO
дифицированных суперсимметричных преобразований, потому что, если бы
такой лаrpанжиан существовал, он должен бьш бы быть также инвариант
ным относительно коммутаторов этих преобразований, так что эти KOMMY
та торы должны бьти бы быть бозонными симметриями лаrpанжиана.
В 1973 roду де Вит и Фридман 11 показали, что алrебра суперсим
метрии может быть сделана замкнутой, если модифицировать свойства cy
персимметричноro преобразования киральных суперполей не только за счет
замены обычных производных на калибровочноинвариантные, но и за счет
добавления еще одноrо члена в преобразовании 3i"компоненты, так, чтобы
для и ( 1) калибровочных теорий модифицированные законы суперсиммет
ричноrо преобразования имели вид
б'l'L == V2Dqyy<XR<P+ V2fТ<XL,
БfТ == v2 ( <XL lbv L)  2iq<p ( <XLAR ) ,
б<р == v2 ( <XR'I' L) .
(27.8.4)
Сделав это, они смоrли также построить лаrpанжиан, инвариантный относи
тельно преобразований (27.8.3)27.8.4). Оказалось, что он совпадает с тем
лаrpанжианом, который получен в разделах 27.1 и 27.2.
Нет ничеrо плохоrо в том, чтобы и дальше использовать CTaHдapT
ные законы преобразования (27.8.1), поэтому нам не обязательно применять
формализм де ВитаФридмана в суперсимметричных калибровочных Teo
риях. Тем не менее этот формализм интересен, потому что в теориях cy
перrpавитации аналоr стандартноro формализма очень rpомоздок. Как будет
показано в rлаве 31, формализм, используемый, в основном, в теориях cy
перrpавитации для получения интересных физических результатов, подобен
формализму де ВитаФридмана, коrда работают с законами суперсиммет
ричных преобразований, содержащими ковариантные производные вместо
обычных, а не следуют подходу, основанному на стандартных суперсиммет
ричных преобразованиях, подобных преобразованиям (27.8.1). Поэтому ин
теренсно понять связь между формализмом де Витаридмана и CTaHдapT
ным подходом в относительно простом случае и ( 1) калибровочной теории,

27.8. Дpyzou подход: КШluбровочноuнварuантные суперсuмметрuчные ... 175
и, в частности, объяснить происхождение дополнительноro члена в законе
преобразования для [Т.
Записав суперсимметричные преобразования (27.8.3), не coдep
жащие компоненты С, М, N и ro калибровочноro суперполя V,
де Вит и Фридман неявно использовали обсуждавшуюся в разде
ле 27.1 калибровку ВессаЗумино. Однако выбор этой калибровки не
инвариантен ни относительно стандартных суперсимметричных преобра
зований (26.2.11 )(26.2.17), ни относительно расширенных калибровочных
преобразований (27.1.17). Поэтому, как только выбирается такая калибровка,
сразу же обе симметрии теряются. Однако можно определить комбuнuро
ванное преобразование, действующее на поля в калибровке ВессаЗумино,
состоящее из стандартноro суперсимметричноrо преобразования с последу
ющим расширенным калибровочным преобразованием, который возвращает
нас обратно в калибровку ВессаЗумино. Это называется преобразованuе.м
де ВuтаФрuдм'ана Б*.
Чтобы таким образом построить преобразования де ВитаФридмана,
заметим, что для калибровочноro суперполя, удовлетворяющеro калибровоч
ным условиям ВессаЗумино, С == М == N == ro == О и законы преобразования
(26.2.11Н26.2.14) дают
ос==о, бro== 'I'а, БМ==( а л), БN==i( ауs л).
(27.8.5)
Соrласно (27.1.17), можно вернуться к калибровке ВессаЗумино, выполнив
бесконечно малое расширенное калибровочное преобразование (27.1.13):
.
1
V  V + 2 [aa*]т,
(27.8.6)
rде Q  левокиральное суперполе с компонентами
a o
<р  ,
 ==  V2'1'aR,
 ==  ( а (1 уs)л).
(27.8.7)
Соrласно (27.1.11), это расширенное калибровочное преобразование инду
цирует преобразование киральноrо суперполя зарядом q
б'ф == iqQф.
(27.8.8)
* Де Вит и Фридман не показали это явно. По существу, ключевым моментом статьи было
желание подчеркнуть, что детали преобразований (27.8.3) и (27.8.4) MOryт быть получены
из требования замкнутости алrебры суперсимметрии (в том числе и для неабелевых калиб
ровочных теорий). Тем не менее, они написали, что наIIIЛИ эти преобразования, установив
фермионные преобразования, выживающие в калибровке ВессаЗумино.

176
rлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории
в результате использования законов умножения (26.3.27Н26.3.29) получаем
преобразование компонент Ф
б/'I1L == ; v!2q<p'f fXR,
б/ fТ == 2iq<p ( fXL AR)  i v!2q ( fXL 'f'l1L) ,
б/ <р == о.
(27.8.9)
Добавляя это к формулам (27.8.1) и сравнивая с выражением (27.8.4), полу
чаем, что преобразование де ВитаФридмана действительно является KOM
бинацией стандартноro суперсимметричноrо преобразования и COOTBeтCTBY
ющеrо расширенноro калибровочноrо преобразования (27.8.8):
БФ == БФ + б/Ф.
(27.8.1 О)
27.9. Калибровочные теории с расширенной суперсимметрией *
Теории с ненарушенной расширенной суперсимметрией не считают
ся подходящими кандидатами для реалистических расширений стандартной
модели изза обсуждавшейся в разделе 25.4 некиральности мультиплетов
частиц. Тем не менее, рассмотрение калибровочных теорий с расширенной
суперсимметрией имеет смысл, потому что эти теории определили схему ис
пользования мощных математических методов при решении динамических
задач.
Разработано несколько конкретных формализмов для построения ла
rpанжиана с N == 2 расширенной суперсимметрией 12, но, К счастью, можно
обойтись уже имеющимися в нашем распоряжении инструментами. Любая
теория с N == 2 суперсимметрией обладает также и N == 1 суперсимметрией.
Поэтому соответствующий лаrpанжиан должен быть частным случаем ла
rранжианов, уже рассмотренных в этой rлаве. Чтобы построить лаrpанжиан
с N == 2 суперсимметрией для HeKoToporo множества N == 2 супермульти
плетов частиц, полученных в разделах 25.4 и 25.5, следует только записать
в самом общем виде лаrpанжиан с N == 1 суперсимметрией, N == 1 супер
мультиплеты KOTOpOro содержат физические поля для частиц в N == 2 супер
мультиплетах, и затем наложить на лаrpанжиан дискретную Rсимметрию,
действующую поразному на разные компоненты N == 2 супермультиплетов.
Тоrда лarpанжиан будет инвариантен относительно второй суперсимметрии,
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть
опущен при первом чтении.

27.9. КШlибровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй
177
супермультиплеты которой получаются в результате действия Rсимметрии
на супермультиплеты обычной N == 1 суперсимметрии.
Удобно выбрать дискретное Rпреобразование так, чтобы
Ql  Q2,
Q2  Ql.
(27.9.1)
Если бы центральный заряд был равен нулю, то aлrебра суперсимметрии
бьта бы инвариантной относительно rpуппы SU(2) Rсимметрии, имеющей
преобразование (27.9.1) в виде одноrо конечноro элемента exp(i1tt2/2). Oд
нако симметрия относительно дискретной симметрии достаточна для наших
целей, поэтому нет необходимости предполarать, что центральный заряд
равен нулю. На самом деле окажется, что лаrpанжианы, построенные Ta
ким способом, будут обладать SU(2) Rсимметрией, а не только симметрией
относительно дискретных преобразовааний (27.9.1).
Рассмотрим сначала перенормируемую теорию калибровочных бозо
нов произвольной калибровочной rpуппы вместе с суперпартнерами, требу
емыми расширенной N == 2 суперсимметрией. В разделе 25.4 было показано,
что в N == 2 rлобальных суперсимметричных теориях безмассовый калибро
вочный бозон может принадлежать только мультиплету, содержащему, кроме
этоro, два безмассовых фермиона каждой спиральности :f: 1 /2, преобразую
щихся как дублет относительно SU(2) Rсимметрии, и два SU(2)синrлетных
беспиновых бозона. Поскольку N == 2 суперсимметрия включает N == 1 cy
персимметрию, перенормируемый лаrpанжиан в этой теории должен быть
частным случаем произвольноro перенормируемоro л arp анжи ан а (27.4.1).
Особенность этоro частноro случая состоит в том, что, поскольку калибро
вочный бозон принадлежит присоединенному представлению калибровоч
ной rpуппы, то этому представлению должны также принадлежать скаляр
ное поле и фермионы. Чтобы реализовать N == 2 супермультиплеты полей с
правильным содержанием частиц, для каждоro N == 1 калибровочноrо муль
типлета V 1, АА И D А надо иметь одно N == 1 киральное суперполе ФАС
компонентами полей <РА, 'I1A, [ТА (с майорановским 'I1A и комплексными <РА
и [ТА). Налаrаем дискретную Rсимметрию относительно преобразования
'I1A  АА, АА  'I1A'
(27.9.2)
(все дрyrие поля должны быть инвариантны), потому что в этом и состоит
эффект преобразования (27.9.1). Поскольку нетривиальный суперпотенциал
приведет к взаимодействиям '11 А или К массовым членам, отсутствующим
для АА, суперпотенциал должен обращаться в нуль. Поэтому лаrpанжиан
(27.4.1) принимает специальный вид
!R == 2})Df1q»(Df1q»A   L( 'I1А (.Фv)А) + LA
А А А

178


rлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории



 2 v'2Re L САВС (лlL 'I1CL) <РВ
АВС
+ i L CAВC<PB<PeDA
 L
ADA +
 LDAD A
АВС А А
1
 IlV 1
 (
 т ) g28
 f.1V ра

 4
fAllvfA
 2
 ЛА(.(t'Л)А + 64 2 EfLVP(J
fA f A ,
А А П А


(27.9.3)


rде


(D Il '11) А == д ll 'I1A + L CAВC V Bf.1 'I1c,
ВС


(27.9.4)


(Df.1Л)А == дllЛА + LCABcVBIlAc,
ВС
(DIl<P)A == дll<РА + LCABCVBIl<PC'
ВС


(27.9.5)


(27.9.6)


и


fAllv == д ll VAv
 дvVАIl + LCABCVBIl Vcv.
ВС


(27.9.7)


(Напомним, что в присоединенном представлении (tA)BC ==
iCABC,
rде САВС
 действительная структурная константа, взятая в полностью aH

тисимметричном базисе, и в которую, как и везде в этой книrе, включе

ны множители калибровочных констант связи.) Лаrpанжиан (27.9.3) облада

ет N == 1 суперсимметрией с мультиплетами <РА' 'l'А' [ТА И Vl, ЛА, D A , пото

му что это частный случай лаrpанжиана (27.4.1), а также обладает SU(2)
симметрией, связывающей '11 А И ЛА И включающей инвариантность OT

носительно конечных SU(2) преобразований (27.9.2). Поэтому лаrpанжи

ан обладает второй независимой N == 1 суперсимметрией с мультиплета

ми <РА' 'I1A, [ТА И Vl,
'I1A' D A . Следовательно он удовлетворяет условиям,
налаrаемым N == 2 суперсимметрией.
Вспомоrательные поля можно исключить, положив их равными зна

чениям, при которых лаrpанжиан (27.9.3) стационарен:
[ТА == О, D A ==
iLCABC<PB<PC. (27.9.8)
ВС
(Здесь предполаrается, что все константы Файе
Иллиопулоса
A равны нy

лю.) Подставляя эти значения в лаrpанжиан (27.9.3), получаем эквивалент

ный лаrpанжиан


!R ==
 L(DfL<P)A (DfL<P)A

 L ( 'J1A (!/Jv)A)
А А
+ v'2 A
 САве ( 'J1B ( 1
 15 ) ЛА ) <Ре




27.9. Кшzибровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй


179



 v'2 л
 СЛВС ( АЛ ( 1
'Y5 ) <Рс ) <рв
 V(<p,<p*)
1
 f.1V 1
 (
 (J/J ) g2e
 f.1V ро

 4 ffлfJvfл
 2 f Ал А)Л + 64п2 EfJvpo ff л f Л ,


(27.9.9)


rде потенциал равен


V(<p,<p*) ==

 L [LСЛВС<РВ<РС] 2 == 2 L [LСлвсRе<РвIffi<РС] 2. (27.9.10)
А вс А ВС


Минимальное значение этоrо потенциала равно нулю и оно достиrается
не только при <РА == О, но также для любоro множества q>s, для KOTOpO

ro LBCCABCq>Bq>C == о при всех А, или дрyrими словами, для KOToporo


[t. Req>, t. Imq>] == О, rде t. V = LtBVB.
в


(27.9.11)


Таким образом, потенциал достиrает минимума для тех скалярных полей,
все rенераторы которых t . Req> и t . Imq> принадлежат подалrебре Картана пол

ной калибровочной алrебры, все rенераторы которой коммутируют между
собой. Несмотря на то, что все такие значения q> дают нулевой потенциал и,
следовательно, ненарушенную N == 2 суперсимметрию, они не эквивалентны
физически, как это видно, например, из Toro, что они придают разные Mac

сы калибровочным бозонам, связанным с нарушенными калибровочными
симметриями.
Примечательное свойство расширенной суперсимметрии состоит
в том, что центральные заряды суперсимметричной алrебры в любом co

стоянии MOryт быть вычислены через «заряды» TOro состояния, с которым
связаны бозонные поля 13. Проще Bcero проделать это вычисление, если
использовать свойства преобразований относительно обычной N == 1 супер

симметрии расширенных суперсимметричных токов sf(x) с r== 2,3,...,N
и вычислить антикоммутаторы {Qla,S
(X)}. Центральные заряды вычисля"
ются после этоrо из антикоммутаторов


{Qla, Qrf3} == / d 3 X{Qla,
(X)}.


(27.9.12)


Оказывается, что подынтеrpальное выражение справа является производ

ной по пространственным координатам. При этом интеrpал не обращает

ся в нуль, если состояния содержат поля, не стремящиеся быстро к нулю
при х -------t 00.




180


fлава 27. Суперсuмметричные калибровочные теории


Чтобы подробнее увидеть, как это все происходит, рассмотрим слу..
чай N == 2 суперсимметрии с SU(2) калибровочной симметрией и од..
ним N == 2 калибровочным супермультиплетом и без дополнительных суп ер..
мультиплетов полей материи. Тоrда лаrpанжиан дается формулой (27.9.2),
rде А, В и С принимают значения 1, 2, 3 и


САВС == еЕАВС,
A == о.


(27.9.13)


(Здесь константа связи обозначается е, потому что это заряд, с которым взаи

модействует безмассовое калибровочное поле ненарушенной и ( 1) калибро

вочной симметрии.) Обычный N == 1 суперсимметричный ток (отмеченный
индексом 1) получается из (27.4.40) в виде
si ==

 LfApa[YP, уа]уfJ ЛА
 е L ЕАВСУ5уfJЛАq>вq>с
А АВС
+

 [(.фq> )Af'u"'AR + (.(bq>*)AyfJ"'AL]'


(27.9.14)


Второй суперсимметричный ток можно вычислить, подчинив si конеч

ной SU(2) R
симметрии, использованной выше, что сводится просто к за

мене 'V А -------t л'А И л'А -------t
 'V А. В результате получаем
si ==
 L fApa [уР , ya]yfJ", А + е L EABCY5yfJ", А q>Bq>C
А АВС
+
 L [(.(bq> )АуfJЛАR + (.(Ьq>*)АуfJ лAL ] ·
у2 А


(27.9.15)


для наших целей будет достаточно (и HeMHoro проще) вычислить только из

менение правой части этоrо тока при N == 1 суперсимметричном преобразо

вании. Полаrая вспомоrательные поля равными их равновесным значениям


fFA == О, DA ==
ie LEABC<I'B<I'c,
ВС


находим


OSiR == V; LfApa[YP, ya]yfJ(.(bq»A<XR
А

 .,fie L ЕАВСУ!! (.(bq> ) А (lRq> Bq>C
 V; fApa (.(bq> )А у!! [уР , уа] (lR
АВС

 .,fie L EABC<I'B<I'c(.(b<l' )Ayfl aR + . . . ,
АВС




27.9. Кшzи6ровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй


181


rде точки обозначают члены, билинейные по фермионным полям, которые
здесь не интересны, потому что ищутся эффекты от дальнодействующих бо

зонных полей. Соберем члены, используя дираковские антикоммутационные
соотношения и тождество:


[уР, уО] [yfl , yV] + [yfl, yV] [уР, уО] ==
81l flPll vo + 81l0flllPV + 8ie flVPOy5.


в результате получим


бsiR ==
 2 J22,fl v (Dv<l')A(lR
 i J22, E fl VP O fApo(Dv<l')A(lR
А А

2J2e 2,EABC<I'B<i>C(D fl <l')A(lR+....
АВС


Чтобы записать это выражение в виде производной, воспользуемся ypaBHe

ниями для полей Янrа
Миллса (15.3.6), (15.3.7) и (15.3.9):
D v fl v == Jl == е 2,ЕАВС ((Dfl<l' )B<I'C
 <l'B(Dfl<l')C) ,
ВС
EflVpo(DvJfPO)A == о.


Это позволяет записать бsiR как полную производную


бsiR == DvX flV (1R,


(27.9.16)


rде


Xfl v ==
2 J22,fl v <l'А
 i J22,Е flvpo fApo<l'A +...,
А А
И точки опять обозначают несущественные члены, содержащие фермион

ные поля. Формула (26.1.18) позволяет записать выражение (27.9.16) в виде
антикоммутатора


(27.9.17)


{ QRo., S k(3 } == i [Е ( 1
 15 ) ] 0.(3 Dv X fJV .


(27.9.18)


Поскольку Х flV
 калибровочно
инвариантная величина, то ее калибровоч

но ковариантная производная совпадает с обычной производной. Кроме TO

ro, Х flV антисимметрична, поэтому Dv XOv == дiх Оi . Из соотношений (27.9.12)
и (27.9.18) получаем наконец


{ } . [ ( 1
 У5 ) ] ! О;
QRo., QR(3 == l Е 2 0.(3 d SjX ·


(27.9.19)




182


fлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории


rде интеrpал берется по большой замкнутой поверхности, содержащей внут"
ри себя рассматриваемую систему, причем элемент поверхности dS на..
правлен по нормали к этой поверхности. Сравнив этот антикоммутатор с
(25.2.38), получаем центральный заряд


Zl2 ==
i! dSi XOi .


(27.9.20)


Если выбрать калибровку, в которой <l'А (почти везде) имеет только одну
постоянную ненулевую компоненту <1'3 = v, тоrда



 Oi i
L.ifA <l'А ==
vE ,
А


1
 Oip(J

 B i
2 L.i E JAp(J<I'A
 V ,
А


(27.9.21)


rде Е и В
 электрическое и мarнитное поля, связанные сненарушен..
ной И(1) подrpуппой калибровочной rpуппы SU(2). Поэтому центральный
заряд (27.9.20) равен


Z12 == 2 V2v [iq
 .Jt] ,


(27.9.22)


rде q
 электрический заряд, а .Jt
 мarнитный заряд, определенные фор

мулами


q == ! dSi Ei ,


.At == / dSjB i .


(27.9.23)


Как уже обсуждалось в разделе 23.3, это теория с калибровочной SU(2) сим

метрией, спонтанно нарушенной средним значением SU(2)..триплета скаля

ров, одна из тех, в которых реально появляются маrнитные монополи.
Применение результатов раздела 27.4 к плотности лаrpанжиана
(27.9.3) показывает, что после спонтанноro нарушения SU(2) калибровочной
симметрии, эта теория будет содержать элементарные частицы заряда :f:e, с
нулевым маrнитным зарядом и полученной в древесном приближении Mac

сой М == v'2levl. Друrими словами, для каждоro знака заряда существует
одна такая частица спина 1, две частицы спина 1/2 и одна со спином о.
Поразительное следствие полученных здесь результатов состоит в том, что
значение массы v'2levl точное, не uзменяющееся за счет какux
либо pa

диационных поправок или непертурбатuвных эффектов, при условии, что
величина v определяется формулой (27.9.22) для централЬНО20 заряда 13.
Чтобы это увидеть, заметим, что массивные одночастичные состояния
для каждоrо знака заряда являются «короткими» N == 2 супермультиплетами,
которые, как показано в конце раздела 25.5, имеют массы, определяемые
нижней rpаницей (25.5.24):


м == IZI21/2.


(27.9.24)




27.9. Кшzибровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй


183


Даже если бы мы не верили, что древесное приближение дает точное значе

ние масс частиц, все равно мы бы не ожидали, что поправки к этому при

ближению превратят короткие мультиплеты в полные, содержащие roраздо
больше состояний с большими массами; поэтому можно с уверенностью CKa

зать, что равенство (27.9.24) действительно справедливо. Для частиц с элек..
трическим зарядом q ==:f:e и нулевым мarнитным зарядом формула (27.9.20)
дает Z12 == :f:2 V2ive, поэтому из (27.9.24) получаем их массы
М == J2levl. (27.9.25)


Этот результат получен в древесном приближении, но теперь видно, что он
является точным.
Описанные в разделе 23.3 полуклассические вычисления показывают,
что в этой теории электрически нейтральные маrнитные монополи имеют
маrнитный заряд*


4пv
.Jt ==
, (27.9.26)
е
rде v
 тополоrическое число, принимающее положительные и отрицатель..
ные целые значения. Формула (27.9.22) для центральноro заряда вместе с
неравенством (25.5.24) дают нижнюю rpаницу массы монополя
4п V2lvvl
M
 lel ·


(27.9.27)


Интересно, что это неравенство совпадает с полученной Боroмольным ниж

ней rpаницей 14 на энерrию монополя, полученной в разделе 23.3**. По
существу монопольное решение для v == 1, полученное в разделе 23.3, удо..
влетворяет этому оrpаничению. Вообще rоворя, «дионы» в этой теории 15,
обладающие зарядом и маrнитным зарядом, имеют массы, определенные
формулой 16
M==21vl Jq 2==.At 2 , (27.9.28)
Это опять минимальное значение, допустимое (25.5.24) и (27.9.20). На самом
деле, все известные частицы в этой теории имеют массы, которые даются
полуклассическим пределом (27.9.28) 17.
Возвращаясь к общим N == 2 калибровочным теориям, можно вклю

чить В лаrpанжиан дополнительные поля «материи». Для простоты оrpани

чимся «короткими» массивными rипермультиплетами (с центральным за

рядом Х, удовлетворяющим неравенству (25.5.24)), состоящими из одноro


*Заметим, что мarнитный заряд .Jt, определенный формулой (27.9.23), связан с маrнит"
ным зарядом g, определенным в разделе 23.3, соотношением.At == 41tg.
**Канонически нормированное поле с ненулевым средним значением по вакууму рав"
но J2Rе<рз (для действительных v), так что среднее (<р), стоящее внеравенстве Боroмоль"
HOro (23.3.19), равно V2v.




184


rлава 27. Суперсu.м.метричные КШlибровочные теории


фермиона спина 1/2 и SU(2)..дублета частиц спина О вместе с отличными
от них античастицами. В этом случае у нас будет точно такой же спиновый
набор, который в N == 1 суперсимметрии дается двумя левокиральными cy

перполями ф' п, ф" п вместе с их правокиральными сопряженными полями,
компонентами комплеКС1l0rо скалярноro поля <р' n' <р" п И им сопряженными,
образуя, таким образом, два SU(2)
дублета и спинорные поля, которые все
являются SU(2)
синrлетами. (Мы используем штрих или два штриха, чтобы
отличать эти суперполя и их компоненты от ФАИ их компонент.) Если HeKO

торые из этих rипермультиплетов Ф' п И Ф" п не нейтральны относительно
калибровочной rpуппы, тоrда допускается потенциал вида*:
f(Ф,Ф',Ф") ==
 L (SА)птФ
Ф
ФА +
 LllптФ
Ф
. (27.9.29)
Апт пт
Теперь к лаrpанжиану (27.9.3) надо добавить лаrpанжиан для этих rипер

мультиплетов, определяемый первыми восемью членами в правой части
(27.4.1). Тоrда полный лаrpанжиан имеет вид
Ш ==
 L(D
q>')
(D
q>')n
 L(D
q>I)
(D
q>")n
 L(D
q».4 (D
q»A
n п А




 L (
 (N)п)

 L ( ""
 (N')п)
п п


 L ( 'VA (-Ww)А)

 L ( А.А иЬЛ)А)
А А
+ L
*
+ L#;*#;+ L

A
n n А

 Re L (SA)птq>A ( ""'IE""
)
 2 V2Re L САВС (
LE'VCL) q>B
Апт АВС


*По тем же причинам, что и раньше, в суперпотенциале не может быть членов второro и
более высоких порядков по ФА
 ведь такие члены привели бы к скалярным константам или
массам для 'I1A без соответствующих констант или масс для их SU(2)"партнеров л'А. Кроме
Toro, не может быть ни одноro трилинейноrо по ф' n И (или) ф" n члена, потому что тоrда
в лarpанжиане (27.4.1), содержащем про изведение фермионных билинейных комбинаций и
вторых производных суперпотенциала, появилось бы взаимодействие SU(2)"синrлета ферми..
онов с SU(2)..дублетом полей <р' n или <р" n. Таким образом, появляющиеся в суперпотенциале
трилинейные члены должны содержать только один множитель ФАИ два множителя Ф' n И
(или) Ф" n. Не может быть трилинейных членов, содержащих один множитель ФА и два мно"
жителя Ф' n или два Ф" n, потому что тоrда появилось бы взаимодействие SU (2)"синrлетных
вспомоrательных полей
A с SU(2)..триплетными произведениями <р' n<Р' т И <р" n<Р" т ; не
может быть также билинейных членов, содержащих два ф' n или два Ф" n, потому что это
привело бы к SU(2)..триплетным массовым членам ('II'
 e'l" т) или ('I"'
 e'll" т). Единственные
остающиеся разрешенные билинейные или трилинейные члены имеют вид (27.9.29).




27.9. Кшzи6ровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй


185



 Re L (SA)пm<P
 ( ",,
rE'J1AL)
 Re L (SA)пm<p
 ( "",lЕЛАL )
Апт Апт
+ 2 v2Im L (t
)mп<P
 ( 'l'пIЕЛAL ) <P
* + 2 v2Im L (t
)тn<P
 ( ",,
rЕЛAL ) <P
 *
Апт Апт
+ Re L (SA)nm<i>A<i>
#
 + Re L (SA)nm<i>A<i>

 + Re L (SА)nm<i>
<i>
g-А
A
 A
 A

+ Re L
пт<P


 + Re L
пт<P


 Re L
пт ( "",lE""
L )
Апт Апт Апт

 ( , ) , * ,
 ( " ) "*,, ·
 С * D

 L.i t A nm<i>n <i>m DA
 L.i t A nm<i>n <i>mDA + 1 L.i ABC<i>B<i>C А
Апт Апт АВС

 1
 1
 f.1V g2e
 f.1V ро



ADA+ 2
DADA
 4
fAflVfA + 64 2 EflVpo
fA f A ,
А А А 1t А


(27.9.30)


rде (t
)nm и (t1)nm
 матрицы (включающие константы связи), представляю

щие калибровочную rpуппу для левокиральных скалярных суперполей ф' п
И ф" п соответственно. Юкавские взаимодействия между фермионами иска..
лярами имеют дискретную R
симметрию относительно преобразования


AAL

'VAL, 'VAL
 +л'АL,


(n"

(n'*
'Уп 'Уп ,


(n'
 (n"
'Уп 'Уп ,


(27.9.31)


при условии, что


SA ==
2 v2it
T == +2 v2it1.


(27.9.32)


(Заметим, в частности, что условие (27.9.32) требует, чтобы представления
калибровочной rpуппы, реализованные ф' п И ф" п были комплексно сопря

женными.) Остальные члены плотности лаrpанжиана (27.9.30), за исключе

нием членов, содержащих вспомоrательные поля, обладают той же симмет

рией.
Невозможно расширить симметрию относительно преобразования
(27.9.31) на вспомоrательные поля; однако симметрия появляется после
исключения вспомоrательных полей.* Положив DA, g'n и g"n равны..
ми тем значениям, при которых лаrpанжиан стационарен, и комбинируя


*После исключения вспомоrательных полей результирующее действие ин вариантно отно"
сительно исходноro N == 2 суперсимметричноro преобразования только на массовой поверх..
ности, т. е. с точностью до членов, которые обращаются в нуль, коrда поля удовлетворяют
уравнениям взаимодействующих полей. Это не должно нас беспокоить, потому что еще со..
храняются два суперсимметричных тока, у которых проинтеrpированные временные компо..
ненты удовлетворяют N == 2 суперсимметричным антикоммутационным соотношениям. При
этом требуется, чтобы поля, из которых они построены, удовлетворяли полевым уравнени..
ям в rейзенберroвском представлении. Формулировки N == 2 суперсимметрии вне массовой
поверхности существуют, но в них есть раз..'Iичные осложнения 18.




186


rлава 27. Суперсuмметричные КШlибровочные теории


D
 и

члены, получаем лаrpанжиан в виде (SA и t1 даются формулой
(27.9.32), а
A берем равными нулю):
Ш ==
 L(D
<I'/)
(D
<I")n
 L(D
<I'I)
(D
<I'")n
 L(D
<I')A(D
<I')A
п п А




 L(
 (N)n)

 L( ",,
 (N/)n)
п п


 L ( "'л (.Ф"')л)

 L ( лл иьл)л)
А А

 2 V2Im L (t
)mп<Рл ( 'll'пlE'II'
)
 2 V2Re L СЛВС (л1Е",CL) <рв
Апт АВС

 2 V2Im L (t
)mп<P
 ('II'
iЕ"'ЛL)
 2 V2Im L (t
)mп<P
 ('II',lЙAL)
Апт Апт
+ 2 V2Im L (t
)mn<P
 ('l'пIЕЛAL) <P
*
 2 V2Im L (t
)mп ('II',:iЕЛAL) <P
*
Апт Апт
1

V g2e

V ро

 4 ffлfJvf л + 64х 2 EfJvpo ffл f л

 { ' ' } * ( 1 1 * 11* 11 )

 L.i tA,t B mn<l'A<I'B <l'n<l'm + <l'п <l'т
АВпт


[ ] 2
1 1 1* 1 11 11*

 2 L L(tл)пт(<Рп <Pт
<Pп<Pт )
А пт
2
+
 L СЛВССЛDЕ<РВ<РС<РD<РЕ
 2 L L(t
)пт<P
<P

А BCDE А пт

4Re L(t
fl)пт<l'
*<I'

4Re L(flt
)nm<l'
<I'
*
пт пт


2
 ( t ) 1 * 1 2
 ( t ) 11 11*

 L.i fl fl nm<l'n <l'т
 L.i flfl nm<l'n<l'm.
пт пт


(27.9.33)


Последние пять строк справа получаются из членов в (27.9.30), содержащих
вспомоrательные поля; теперь они тоже ин вариантны относительно дискрет

Horo преобразования (27.9.31) при условии, что


[t
, fl] == [fl t, fl] == о.


(27.9.34)


Теперь можно сделать еще один шаr и рассмотреть случай N == 4 расши

ренной rлобальной суперсимметрии. (Как отмечалось в разделе 25.4, N == 3
суперсимметрия
 такая же, как и N == 4 суперсимметрия.) Единственны

ми безмассовыми супермультиплетами N == 4 суперсимметрии будут те, ко..
торые не содержат rpавитонов или rpавитино, состоят из одной частицы




27.9. Кшzи6ровочные теории с расширенной cyпepcuммeтpиeй


187


спиральности 1, SU(4)..квартета частиц спиральности 1/2 и SU(4)"ceKcTeтa
частиц спиральности О вместе с им еРТ..сопряженными частицами проти"
воположной спиральности. для каждоro reHepaTopa tA калибровочной rpуп..
пы существует только один такой супермультиплет. эти частицы можно
сrpуппировать в супермультиплеты N == 2 суперсимметрии: для каждоro tA
есть один калибровочный супермультиплет, состоящий из одной частицы
спиральности 1, двух частиц спиральности :f: 1 /2, одной частицыI спираль..
ности О вместе с их еРТ..сопряженными противоположной спиральности;
v u v
два rипермультиплета, состоящих каждыи из однои частицы каждои спи..
ральности :f:l/2 и двух частиц спиральности о. N == 2 калибровочное су..
перполе состоит из N == 1 калибровочноro суперполя VA, левокиральноro
СК8ЛЯрноro суперполя ФА и им комплексно сопряженныIM полям; в то время
как два N == 2 rипермультиплета состоят из двух дополнительных левоки..
ральных скалярных суперполей ф' А И Ф" А И им комплексно сопряженных
полей.
Поскольку N == 4 суперсимметрия включает в себя N == 2 суперсим"
метрию, лarpанжиан после исключения вспомоrательных полей N == 1 су..
персимметрии 18 должен быть частным случаем лarpанжиана (27.9.33), но
индексы n, т и т. д. про6еrают значения индексов А, В, С и т. д. присоеди..
HeHHoro представления. Кроме тoro, коэффициент flпт В суперпотенциале
(27.9.29) должен быть равен нулю, потому что иначе (27.9.33) будет содер..
жать квадратичные по фермионным полям '11' А И '11" А слаrаемые без аналоroв
для их N == 4 суперпартнеров АА и 'V А. Далее, положив в присоединенном
представлении (t
)Be ==
iCABe, находим, что лarpанжиан должен иметь вид


ш ==
 L(D
<p')A (DJ!<P')A
 L(DJ!<P")
 (DJ!<P")A
 L(DJ!<P)
 (DJ!<P)A
А А А




 L (
 ЦZ>Ч/)А)

 L ( w
 (lbw")A)
А А
1 1

 2 L( WA (lbw)A)
 2 L
OZ>A.)A)
А А

 2 V2Re L САВС<РА (w'lLew'
)
 2 V2Re L САВС (wlLeWcL) <РВ
АОС АОС

 2 V2Re L CAВC<P
 ( waeWAL)
 2 V2Re L CAВC<P
 ( w'IL e WAL)
АОС АОС
. t;;
 ( 'Т ) ' * . t;;
 ( "Т ) " *
+2 v2Re
 САВе 'l'BLEAAL <Ре +2 v2Re L.i САве 'l'BLEAAL <Ре
АОС АОС
1
 J!V g2e

V &f)CJ

 4
fAllvfA + 64 2 e ll V PO
fA JA
 V,
А Х А


(27.9.35)




188


fлава 27. Суперcuм.метричные КШlи6ровочные теории


rде потенциал



 ( * * ) ( , '* "*" )
v ==
 CADECBCE <l'А <l'в + <l'B<I'A <l'C<I'D + <l'с <l'D
ABCDE
2
1

 ( '*, ""* )
+ 2

 САВС <l'в <l'с
 <i>B<I'C
А вс


2
1
 * *

 ,"

 2
 CABCCADE<I'B<I'C<I'D<I'E + 2

 CABC<PB<I'C ·
А BCDE А ВС
Не требуется дальнейших оrpаничений, чтобы увидеть, что этот лarpанжи..
ан обладает SU(4) R"симметрией, т. е. он инвариантен относительно N == 4
суперсимметрии. Чтобы это показать, следует использовать тождество Яко..
би для записи перекрестноro члена во второй строке правой части (27.9.36)
в виде


(27.9.36)



 С С ,*, 11* 11
 С С ,*,,, 11

 АВС ADE<I'B <l'C<I'D <l'Е ==

 АВС ADE<I'B <l'D<I'E<I'C
ABCDE ABCDE

 L CABcCADE<I'
 * <I'
<I'
* <l'Ъ.
ABCDE
ЭТО тождество позволяет записать потенциал (27.9.36) в форме, симметрич..
ной по скалярам и их сопряженным


222
V == L LCABC<I'B<I'
 + L LCABC<I'B<I'
* + L LCABC<I'B<P

АВС АВС АВС
2 2


 ,,*

 , * "
+

 CAВC<I'B<I'C +

 CABC<I'B <l'е
АВС АВС
2 2


 ,,, 1

 ,,*
+

CAВC<I'B<I'C + 2

CABC<I'B<I'C
АВС АВС
2 2
1

 "11* 1

 *
+ 2

 CAВC<I'B<I'C + 2

 CABC<I'B<PC ·
АВС АВС


(27.9.37)


Затем, чтобы сделать SU ( 4) симметрию очевидной, введем SU ( 4) обозначе..
ния для полей. Соберем левые фермионные поля в SU(4) вектор:
'VIAL = 'VAL, "'2AL = л'АL, "'3М =
L' 'V4AL = 'V'
. (27.9.38)
Чтобы фермионные кинематические члены в плотности лarpанжиана бы..
ли SU(4)..инвариантными, следует собрать правые фермионные поля в
контраrpадиентный вектор:


'Vk = 'VAR,
AR = л'АR,



AR = 'V
R'


4
 "
'VAR == 'VAR.


(27.9.39)




27.9. Калибровочные теории с расширенной cyпepcuм.мeтpиeй


189


Тоrда условие Майораны на фермионные поля принимает SU(4)"инвариант"
ный вид


('IIiAL)* ==
PE
R'


(27.9.40)


с индексами i, j и т. Д., принимающими значения 1, 2, 3, 4. Чтобы связи Юка..
вы между фермионными и скалярными полями бьши SU(4)"инвариантными,
скаляры должны преобразовываться как антисимметричный SU (4) тензор
In 12
 In* In 13
 In" In 14
 In'
т'А == т'А, т'А == т'А, т'А ==
т'A'
In 23
 In' * In 24
 In" * In 34
 In
т'А ==
т'A' т'А ==
т'A' т'А == т'А,


(27.9.41)


который подчиняется также SU ( 4 )..инвариантному условию действительно..
сти


( ; j ) * 1 kl
<РА == 2 LEijkl<PA ·
kl
Тоrда лarpанжиан (27.9.35) может быть записан в явно SU(4)"инвариантной
форме


(27.9.42)


fl ==
! L(DI!<pij)A(DI!<Pij)A
2 А ..
'}


 11 (",kE(NR)A) +
 11 (VkE(
iL)A)

 v'2Re L CAВC<9
 ('II1L E 'IIjCL)
 v
AВCij
1

V g2e

V
O

 4 kfAI!vfA + 64 2 ЕI!Vrю k f А JA ,
А П А


(27.9.43)


rде потенциал имеет вид


2
1
 ij kl
V == 8
 LCABC<9B<9C ·
Aijkl ВС


(27.9.44)


Минимум потенциала равен нулю, так что в этой теории суперсимметрия
не нарушена. Потенциал достиrает минимума, коrда все rенераторы L tA <91
коммутируют дpyr с дрyroм.
В случае, коrда yroл в == О, калибровочные теории с простой калибро..
вочной rpуппой и либо N == 2, либо N == 4 суперсимметрией имеют только
одну калибровочную константу связи g. Поскольку эти теории обладают
также N == 1 суперсимметрией, то для них выполняется свойство, обсуж

давшееся в разделе 27.6: единственная бесконечность в высших порядках




190


rлава 27. Суперси.мметричные калибровочные теории


теории возмущений возникает только в однопетлевой поправке к этой кон..
станте*. Тоrда функция P(g) в уравнении ренормrpуппы
dg/d

 P(g) во
всех порядках теории возмущений дается однопетлевой формулой (18.7.2) с
соответствующей поправкой на присутствие скалярных полей



 g3 ( 11 1 f 1 )
P(g)

 41t2 12 Cl
 6 c2
 12 q ,


(27.9.45)


rде


I:CABCCABD == g 2С l Б СD,
АВ
[Tr (tctD) ]майорановские фермионы == g2C{ бсD,
[Tr (tсtD)]комплексные скаляры
 g2q Б СD.
В общих теориях с N == 2 суперсимметрией мы имеем два майорановских
фермиона АА и '11 А В присоединенном предстаWIении и Н пар майорановских
фермионов V п И "'" п' левые и правые части которых берутся в представле

ниях с reнераторами либо t
, либо
t'l, так что


(27.9.46)


с{
 2Сl +2HQ,


(27.9.47)


rде C
 определяется формулой
Тrt
tЬ
 g2С
бсD.


(27.9.48)


Кроме TOro, мы имеем один комплексный скаляр <РА в присоединенном пред..
стаWIении и Н пар комплексных скаляров <р' п И <р" п В представлениях с re..
нераторами t
 или
t'l, так что


q == Сl +2HC
.
Поэтому бета---функция (27.9.45) принимает вид
g2 ,
P(g) ==

 2 (Cl
HC2).
8п
N == 4 суперсимметрия является частным случаем Н == 1 пар N
 2 супер..
мулътиплетов в присоединенном представлении с C

 С 1, так что в этом


(27.9.49)


(27.9.50)


*Трилинейный член в суперпотенциале (27.9.29) пропорционален калибровочной КOH

станте, и поэтому перенормируем, несмотря на теорему об отсутствии перенормировок из
раздела 27.6. Эro JlВJJjJется следствием тoro, что мы перенормируем левокиральные скаляр-
ные суперпоЛJI ФА, Ф' n, Ф' n и калибровочное суперполе VA, чтобы CoXpaIOlТЬ их канонически
нормированными. По этой же причине перенормируется билинейный член в (27.9.29).




Задачи


191


случае P(g) == о. Следовательно, это конечная теория безо всяких перенор..
мировок 19.
Калибровочные теории с N == 4 суперсимметрией обладают еще oд

ним замечательным свойством, называемым дуШlьностью. Оно бьшо этом
впервые указано Монтоненом иОливом 17 В чисто бозонных теориях, в ко..
торых простая калибровочная rpуппа нарушена до и ( 1) электромarнитной
калибровочной rpуппы. Они заметили, что полуклассические расчеты (ти"
па тех, что описаны в разделе 23.3) дают массу частиц с зарядом q == пе и
мarнитным зарядом.At == 41tт/e (п и m
 целые числа любоro знака) в виде


.
 ( 4 Пim )
М == у2 v пе+ е '


(27.9.51)


это выражение инвариантно относительно преобразований


m
 п, п

т, е f-+ 4п/е.


(27.9.52)


Основываясь на этом, Монтонен и Олив предположили, что теория со слабой
калибровочной константой связи е полностью эквивалентна теории с силь

ной калибровочной константой связи 4п/ е. Ни чисто бозонная теория, ни
простейшие версии теорий с N == 1 и N == 2 расширенными суперсимметри..
ями не обладают таким свойством 20, прежде Bcero массивные заряженные
элементарные векторные бозоны нарушенных калибровочных симметрий
имеют спин 1, а все монополи и дионы имеют спины 1/2 или о. (В разделе
29.5 будет показано, что N == 2 теории обладают более тонкой разновидно

стью свойства дуальности.) Однако для N == 4 суперсимметрии монопольные
состояния, так же, как элементарные частицы, образуют мультиплеты, со..
стоящие из одной частицы спина 1, четырех частиц спина 1/2 и двух частиц
спина О 20. Уже накоплены доказательства 21 , что N == 4 суперсимметричные
калибровочные теории действительно инвариантны относительно переста..
новки электрических и маrнитных квантовых чисел и перестановки е с 4п/ е.
Эквивалентность теорий с большими и малыми константами связи стала вы..
зывающей растущий интерес в теории струн, но это уже выходит за рамки
данной книrи.


Задачи


1. Вычислите компоненты суперполей QA во втором порядке по калибро

вочным константам связи, необходимые для подстановки калибровоч"
HOro суперполя v A в калибровку Весса
Зумино с помощью преобразо

вания (27.1.12).




192 rлава 27. Суперcuм.метричные КШlибровочные теории


2. Покажите, что самый общий вид киральноro спинорноro суперполя W a ,
удовлетворяющеro условию (27.2.20), имеет компоненты f
v, удовле..
творяющие однородным уравнениям Максвелла E
vP(Japf
v == о. Какие
условия на дрyrие компоненты W a налarаются соотношением (27.2.20)?
3. Рассмотрите общую перенормируемую N == 1 суперсимметричную ка..
либровочную теорию с калибровочной rpуппой SU(2) и одним кираль..
ным суперполем, принадлежащим 3"векторному представлению SU(2).
Каков наиболее общий вид суперпотенциала в этой теории? Построй..
те плотность лarpанжиана для этой теории в явном виде. Исключите
вспомоrательные поля. По кажите, что в этой теории суперсимметрия
не нарушается. Каковы массы частиц в этой теории?
4. Выразите фермионные поля и поля калибрино в рамках суперсиммет..
ричной квантовой электродинамики, описанной в разделе 27.5, через
поле roЛДСТИНО и дрyrие спинорные поля определенной массы.
5. Рассмотрите перенормируемую N == 2 суперсимметричную теорию
с SU(3) калибровочной симметрией и без rипермультиплетов. Како..
вы значения скалярных полей, при которых потенциал равен нулю?
Каковы безмассовые калибровочные поля для ненулевых значений этих
скаляров? Вычислите центральный заряд через величины, с которыми
связаны эти безмассовые калибровочные поля.


Список литературы


1. Суперсимметрия была впервые использована в абелевых калибровоч"
HbIX теориях без применения формализма суперполей в работе: J. Wess
and В. Zumino, Nuc/. Phys. 878, 1 (1974). Затем она бъша распространена
на неабелевы калибровочные теории в работах: S. Fепarа and В. Zumino,
Nuc/. Phys. 879, 413 (1974); А. Salam and J. Strathdee, Phys. Lett. 518,
353 (1974). эти работы перепечатаны в сб.: Supersyтт etry, S. Fепarа,
ed. (North HollandIWorld Scientific, Amsterdam/Singapore, 1987).
2. Р. Fayet and J. Iliopoulos, Phys. Lett. 518,461 (1974). Перепечатано в сб.:
Supersyттetry 1 .
3. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 80, 3702 (1998).
4. S. Fепarа, L. Girardello, and F. Palumbo, Phys. Rev. D20, 403 (1979).
Перепечатано в сб.: Supersyттetry 1. Частные случаи этоro правила
сумм рассмотрены в работе: Р. Fayet, Phys. Lett. 848, 416 (1979).
5. М. Т. Grisaru, W. Siegel, and М. Rocek, Nuc/. Phys. 8159, 429 (1979).




Список литературы


193


6. N. Seiberg, Phys. Lett. В318, 469 (1993).
7. Это впервые бьшо доказано в формализме супердиаrpамм в рабо..
те: W. Fischler, Н. Р. Nilles, J. Polchinski, S. Raby, and L. Susskind,
Phys. Rev. Lett. 47, 757 (1981). Представленное.здесь доказательство да..
но в работах: М. Dine, in Fie/ds, Strings, and Dua/ity: TAS/96, с. Efthimiou
and В. Greene, eds. (World Scientific, Singapore, 1997); S. Weinberg 3.
8. Детальное доказательство утверждения, что суперперенормируемые
члены, нарушающие некоторую rлобальную симметрию, не приводят
к бесконечным, нарушающим симметрию радиационным поправкам
к коэффициентам перенормируемых взаимодействий дано в работе:
К. Symanzik, in Cargese Lectures in Physics, Vol. 5, D. Bessis, ed. (Gordon
and Breach, New York, 1972). Кратко об этом упоминается в т. 1 в под..
строчном примечании в разделе 12.2.
9. L. Girardello and М. Т. Grisaru, Nuc/. Phys. В194, 65 (1982), перепечатано
в сб.: Supersyттetry 1; К. Harada and N. Sakai, Prob. Тheor. Phys. 67,67
(1982).
10. Обзор см.: S. Weinberg, Rev. Mod. Phys. 61, 1..23 (1989).
11. В. de Wit and D. Z. Freedman, Phys. Rev. D12, 2286 (1975). Эта статья
перепечатана в сб.: Supersyттetry 1.
12. Первые примеры калибровочных теорий с N == 2 расширенной супер..
симметрией бьши приведены в работе: Р. Fayet, Nuc/. Phys. bf В113,
135 (1976); перепечатано в сб.: Supersyттetry 1. Представленный здесь
подход аналоrичен подходу Файе. Формализм суперполей был развит
зат
м в работе: R. Grimm, М. F. Sohnius, and J. Scherk, Nuc/. Phys.
В113, 77 (1977). Калибровочные теории с N == 2 и N == 4 суперсиммет..
рией в четырехмерном пространстве"времени были построены путем
размерной редукции мноroмерных теорий с простой суперсимметрией
в работах: L. Brink, J. Н. Schwarz, and J. Scherk, Nuc/. Phys. В113, 77
(1977); М. F. Sohnius, К. S. Stelle, and Р. С. West, Nuc/. Phys. В113, 127
(1980). Дрyrие подходы см. в работах: М. F. Sohnius, Nuc/. Phys. В138,
109 (1979); А. rальперин, Е. А. Иванов и В. и. Оrиевецкий, Пuсьма
в ЖЭТФ 33, 176 (1981); Р. Breitenlohner and М. F. Sohnius, Nuc/. Phys.
В178, 151 (1981); Р. S. Howe, К. S. Stelle, and Р. К. Townsend, Nuc/. Phys.
В214, 519 (1983).
13. Е. Witten and D. Olive, Phys. Lett. 78В, 97 (1978). см. также Н. Osbom,
Phys. Lett. 83В, 321 (1979).
14. Е. Б. Боroмольный, Sov. J. Nuc/. Phys. 24, 449 (1976).




194


rлава 27. Суперсu.м.метричные калибровочные теории


15. D. Zwanziger, Phys. Rev. 176, 1480, 1489 (1968); J. Schwinger, Phys. Rev.
144, 1087 (1966); 173, 1536 (1968); В. Julia and А. Zee, Phys. Rev. DU,
2227 (1974); F. А. Bais and J. R. Primack, Phys. Rev. D13, 819 (1975).
16. М. К. Prasad and С. М. Sommerfield, Phys. Rev. Lett. 35 760
(1975); Е. В. Bogomol'nyi 14; S. Coleman, S. Parke, А. Neveu, and
С. М. Sommerfield, Phys. Rev. D15, 544 (1977).
17. это бьшо замечено в работе: С. Montonen and D. Olive, Phys. Lett. 72В,
117 (1977). Отсутствие однопетлевых поправок к массам бьто показано
в работе: А. D' Adda, R. Horsley, and Р. Di Vecchia, Phys. Lett. 76В, 298
(1978).


18. Причины формулировки теорий со вспомоrательными полями для
N == 4 суперсимметрии были про анализированы в работе: W. Siegel
and М. Rocek, Phys. Lett. 105В, 275 (1981).
19. Конечность N == 4 теории бьша показана в работах: М. F. Sohnius and
Р. С. West, Nuc/. Phys. ВI00, 245 (1981); S. Mandelstam, Nuc/. Phys. В213,
149 (1983); L. Brink, о. Lindgren, and В. Е. W. Nilsson, Nuc/. Phys. В212,
401 (1983); Phys. Lett. 123В, 328 (1983). Доказательство конечности бы..
ло распространено не непертурбативные эффекты в работе: N. Seiberg,
Phys. Lett. В206 75 (1988). См. также: S. Kovacs, hep
th/9902047, будет
опубликовано.
20. Н. Osbom 13.
21. А. Sen, Phys. Lett. В329, 217 (1994); С. Vafa and Е. Witten, Nuc/. Phys.
В431, 3 (1994); L. Girardello, А. Giveon, М. Ропаti, and А. Zaffaroni,
Phys. Lett. В334, 331 (1994).




28


Суперсимметричные версии стандартной модели


Физические ЯWIения при энерrиях, достижимых на современных уско..
рителях, хорошо описываются стандартной моделью
 перенормируемой
теорией кварков, лептонов и калибровочных бозонов, и задаются калиб

ровочной rpуппой SU(3)xSU(2)xU(I), описанной в разделах 18.7 и 21.3.
В настоящее время стандартная модель обычно 1 понимается как низкоэнер

reтическое приближение некоторой, пока не известной, фундаментальной
теории, в которой rpавитация оказывается объединенной с сильныIии и элек

трослабыми силами при энерrияx приблизительно в интервале между 1016
и 1018 rэв. это поднимает пробле.му иерархии: что отвечает за оrpомную
разницу между этим фундаментальным масштабом энерrии и характерным
масштабом энерrии стандартной модели
 300 rэв?
Наиболее сильная теоретическая мотивация в пользу суперсиммет..
рии
 ТО, что она дает надежду на решение этой проблемы. Калибровочная
симметрия SU (3) х SU (2) х U ( 1) требует, чтобы кварки, лептоны икалиб..
ровочные бозоны входили в лаrpанжиан стандартной модели с нулевыми
массами, при этом физические массы этих частиц соизмеримы с энерrией,
при которой нарушается электрослабая симметрия, и эта энерrия, в свою
очередь, пропорциональна массе скалярных полей, отвечающих за наруше..
ние электрослабой симметрии. Сложность проблемы иерархии lа состоит В
том, что ни одна из симметрий стандартной модели не защищает скалярные
поля от приобретения больших «roлых» масс (в отличие от фермионных и
калибровочных полей), и поэтому трудно понять, почему массы скаляров,
следовательно, и все прочие массы, не имеют значений в области от 1016
ДО 1018 rэв.
Была надежда, что эта проблема может бьпь решена WIожением стан..
дартной модели в суперсимметричную теорию. Если скалярные поля возник..
нут в супермультиплетах наряду с фермионами в киральном представлении
не которой калибровочной rpуппы, то суперсимметрия может потребовать
исчезновения «roлых» масс как для скаляров, так и для фермионов. Тоrда




196


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


все массы в стандартной модели были бы при вязаны к масштабу энерrии,
при которой нарушается суперсимметрия. Надежда на решение проблемы
иерархии этим путем была единственной, но очень сильной причиной по

пьпок включить суперсимметрию в реалистическую теорию.
К сожалению, ни одна из новых частиц, необходимых для суперсим

метричных теорий, не обнаружена, и до сих пор не бьшо предложено ни од..
ной полностью УДОWIетворительной версии стандартной модели. В этой rла

ве будут описаны попытки, которые предпринимались в этом напраWIении.


28.1. Суперполя, аномалии и законы сохранения


в этом разделе мы попытаемся решить, по крайней мере ориентиро

вочно, какие инrpедиентыI должны входить в суперсимметричную версию
стандартной модели.
Ни одно из кварковых или лептонных полей стандартной Moдe

ли не принадлежит присоединенному представлению калибровочной rpуп

пы SU(3) х SU(2) х U(l), и потому они не MOryт бъпъ суперпартнерами
известных калибровочных бозонов, а значит, должны бъпъ включены в ки

ральные скалярные суперполя. Мы определим и;, D;, о;, Ь;, N;, Е; и Е; как
левокиральные суперполя, чьи компоненты 'IIL
 это, соответственно, ле

вые поля кварков зарядами 2е/3 и
e/3, поля антиквар ков зарядами
2e/3
и +е/3, поля лептонов зарядами О и
e и антилептонов зарядом +е. Индекс i
нумерует поколения и принимает значения 1,2 и 3. (Например, спинорные
компоненты иl,и2 и Uз являются, соответственно, левыми компонентами
кварков и, с и t.) Суперполя И; и D; образуют SU(2)..дублеты, N; и Е; также об

разуют SU(2)..дублеты, а остальные суперполя являются SU(2)"синrлетами.
Кварковые суперполя образуют SU (3 )..триплеты, а антикварковые суперполя
образуют SU(3)..антитриплеты (цветовые индексы при этом не рассматри..
ваются), лептонные и антилептонные поля являются SU(3)..синrлетами. Как
упоминалось ранее, частицыI, описываемые скалярными компонентами этих
суперполей, известны как скварки, антискварки, слептоны и антислептоны.
Существуют также калибрино, суперпартнеры спина 1/2 калибровочных бо..
зонов симметрий SU (3), SU (2) и U ( 1), называемые, соответственно, rлюино,
вино и бино*.


*Как будет показано в разделе 28.3, ожидается, что характерный масштаб эверrии, при
которой нарушается суперсимметрия, значительно больше, чем
 300 rэв, Т. е. энерrии, при
которой нарушается sи (2) х U (1) симметрия. Таким образом, имеется значительный диапа-
зон энерrий, в котором можно рассматривать нарушение суперсимметрии, но не SU (2) х U ( 1 )
симметрии. В этом диапазоне энерrий калибрино при обретают массы, которые задают

ся SU(2) xU(l) симметрией, и тоrда нейтральные электрослабые калибрино определенной
массы ЯВJ]JIются суперпартнерами SU(2)..триплета WO и SU(2)..синrnета В и называются ви





28.1. Суперполя, аномШlUU u законы сохранения


197


Мы также ДОЛЖНЫ добавить некоторый механизм, который бы привел
к спонтанному нарушению SU (2) х U ( 1) симметрии и приобретению масс
всеми кварками, лептонами , а также WЗ: и zo. Простейшая возможность

это предположить наличие еще двух SU(2)..дублетов левокиральных супер..
полей:
НI == (Z
), Н2 == (
), (28.1.1)
которые возникают в лаrpанжиане в линейных комбинациях SU (3) х SU (2) х
U (1 )"инвариантных
..слаrаемых:


[(D;H?
 U;H 1 )Dj]g-,


[(Ei H ?
 N;H 1 )Ej]g-


(28.1.2)


и


[ + о
 ]
(D;H2
 U;H 2 )Uj g-


(28.1.3)


с очевидной сверткой по цветовым индексам. В соответствии с формулой
(26.4.24) вакуумные средние скалярной компоненты н? придают массу заря..
женным лептонам и кваркам зарядом
e/3, а вакуумные средние скалярной
компоненты Hf придают массы кваркам зарядом
2e/3. Эти вакуумные
средние, разумеется, приводят также к появлению масс у векторных бозо

нов WЗ: и zo, и, так как Нl и Н2 являются SU(2)..дублетами, мы автоматиче

ски получаем те же хорошие результаты для этих масс, как и в разделе 21.3.
Заметим, что суперсимметрия не допускает ПОЯWIения комплексно сопря..
женных левокиральных суперполей Нl и Н2 В суперпотенциале, поэтому ва..
куумное среднее скалярной компоненты н? не может привести к появлению
масс у кварков зарядом +2е/3, а вакуумное среднее скалярной компонен"
ты Hf не может привести к ПОЯWIению масс у кварков зарядом
e/3 или у
заряженных лептонов, и именно в этом
 причина тoro, что для получения
масс всех лептонов и кварков необходимы и н., и Н2.
Конечно, можно бьшо бы ввести более чем один Нl" и(или) Н2"дублет.
Их число частично оrpаничено условием сокращения аномалий. Мы ви"
дели в разделе 22.4, что калибровочные симметрии несуперсимметрич..
ной стандартной модели свободны от аномалий, какими они и долж..
ны быть для квантово..механической непротиворечивости, однако теперь
в лarpанжиане имеются дополнительные спинорные поля. Поля калиб..
рино не создают проблем, так как их левые компоненты принадлежат
присоединенному предстаWIению калибровочной rpуппы, которое дей..
ствительно для всех калибровочных rpупп. Единственная проблема мо"
жет возникнуть из..за хиrrсин о"компонент спина 1/2 суперполей (нp,H 1 )
но и бино, В отличие от суперпартнеров zo и фотона. При учете нарушения SU(2)xU(1)
неЙТРальные вино и бино частично перемешиваются.




198


rлава 28. Суперси.мметричные версии стандартной модели


и (Hi,H
). Спинорные компоненты каждоro (нр,н 1 )..дублета суперпо..
лей приводят к SU(2)
SU(2)
U(I)..аномалии, пропорциональной I,t
y ==
(!g)2(!g') + (
!g)2(!g') == !(g)2g', а спинорные компоненты каждо..
ro (нi,Н
)
дублета суперполей приводят к SU(2)
SU(2)
U(I)..аномалии,
пропорциональной
t
y == (!g)2(
!g') + (
!g)2(
!g') ==
!(g)2g'. Следо..
вательно, сокращение аНОМШlиu требует paBHOZO числа дублетов (нр,н 1 )
и (Hi,H
). В этом случае все аномалии сокращаются, в том числе И(1)3
и и (1 )
rpавитон
rpавитонная аномалии. В следующем разделе будут при..
ведены apryмeHTЫ в пользу тoro, что на самом деле есть лишь один дублет
каждоro типа.
В построенной таким образом теории нам приходится отказаться
от одноro из привлекательных свойств несуперсимметричной стандарт..
ной модели, т. е. от тoro, что она автоматически исключает любые пе..
ренормируемые взаимодействия, нарушающие сохранение лептонноro или
барионноro числа. Существует несколько перенормируемых суперсиммет..
ричных SU(3)xSU(2)xU(1) инвариантных
..членов, которые MOryт быть
включены в лarpанжиан, и которые нарушают сохранение барионноro и(или)
лептонноro числа без нарушения SU (3) х SU (2) х U ( 1) калибровочной сим

метрии:


[(D;Nj
 U;Ej)Dk1
,


[(E;Nj
 NiEj)Ek1
,


(28.1.4)


а также


[D;DjOk]g-, (28.1.5)
с тремя опущенными цветовыми индексами в (28.1.5), которые подразумева..
ются свернутыIии с антисимметричным Е"СИМВОЛОМ для получения цветовоro
синrnета. При наличии всех этих взаимодействий не существует разумноro
способа определить барионные и лептонные числа для скварков и слепто..
нов таким образом, чтобы избежать неподавленноro нарушения сохранения
барионноro и лептонноro чисел. Например, обмен скалярным бозоном из
суперполя D между вершинами взаимодействий (28.1.4) и (28.1.5) привел
бы к катастрофической вероятности процесса uRdRU r
 eR , наблюдаемоro,
например, как р
 п,о + е+, и подавленноro лишь отношением констант вза..
имодействия. Чтобы избежать этоro, необходимо сделать независимое пред

положение, которое запретило бы некоторые или все из взаимодействий
(28.1.4}--(28.1.5).
Заметим, что нет необходимости запрещать все взаимодействия
(28.1.4) и (28.1.5). Например, предположим лишь сохранение барионно

ro числа, приписав полям стандартные значения: И; и D; левокираль

ные суперполя имеют барионное число + 1 /3; о; и Ь;
 барионное чис..
ло
1/3; L;,E;,Hl и Н2
 барионное число о. это допускало бы взаимодей

ствия (28.1.4) и запрещало бы взаимодействия (28.1.5). Несмотря на свой




28.1. Суперполя, аномалии и законы сохранения


199


вид, взаимодействия (28.1.4) в одиночку не нарушают сохранения лептон"
ноro числа, если считать что, скалярным компонентам суперполей приписа..
ны соответствующие значения лептонных чисел. Это можно сделать, если
приписать лептонное число О суперполям N; и Е;, лептонное число
l
 су..
перполям U;,D;, о; и Ь;, лептонное число
2
 суперполям Ё;, лептонное
число О
 суперполям Hl и Н2 И лептонные числа
 1 и + 1
 суперпо..
лям 8L и 8R соответственно. (Напомним, что такие симметрии, при ко..
торых 8 преобразуется нетривиально, называются R..сu.мметрuямu.) Тоrда
все кварки и лептоны имеют общепринятые лептонные числа: фермионные
компоненты V;L и eiL, являющиеся коэффициентами 8L в Ni И Е;, имеют
лептонные числа 0+1
 +1, фермионные компоненты e;R суперполей Ё;
имеют лептонные числа
 2 + 1 ==
 1, а кварки и антикварки имеют лептон..
ные числа
 1 + 1 == о. Хиrrсино (фермионные компонентыI Н] и Н2) имеют
лептонные числа О + 1 == + 1. С друroй стороны, скалярные компоненты су..
перполей имеют те же лептонные числа, что и сами суперполя, а эти лептон..
ные числа не являются общепринятыми. Далее,
..член левоro суперполя

это коэффициент при 8i, а потому взаимодействия (28.1.4) имеют лептон"
ные числа
 1 + о
 1 + 2 == О и О + о
 2 + 2 == о; взаимодействия с участи..
ем Нl в (28.1.2) имеют, соответственно, лептонное число
 1 + о
 1 + 2 == О
и О + о
 2 + 2 == о, а взаимодействие (28.1.3) с участием Н] имеет лептонное
число
 1 + о
 1 + 2 == о. Следовательно, ни одно из этих взаимодействий
не нарушает сохранение лептонноro числа. Скалярные компоненты Нl и Н2
имеют лептонное число о, поэтому их вакуумные средние также не нару..
тают сохранения лептонноro числа. С этими значениями лептонных чисел
сохранение лептонноro числа запрещает любые перенормируемые взаимо..
действия, которые бы нарушали сохранение барионноro числа: взаимодей..
ствие (28.1.5) имеет лептонное число
 1
 1
 1 + 2 ==
 1, и, следовательно,
запрещено.
Взаимодействия (28.1.4) моrли бы допускать альтернативный меха..
низм нарушения SU(2)xU(1) и придания масс заряженным лептонам и
кваркам зарядом
e/3: скалярные компоненты суперполей нейтрино Ni мо"
ryт иметь ненулевые вакуумные средние. (При значениях лептонных чисел,
введенных в предыдущем парarpафе, это вакуумное среднее не будет нару..
тать сохранение лептонноro числа, т. к. такие скалярные компоненты имеют
равное нулю лептонное число суперполей N;.) Но мы не можем полarаться
на этот механизм, позволяющий обходиться вовсе без суперполей Н],так как
нам все еще необходимо взаимодействие с Н2 (28.1.3) для придания массы
кваркам заряда +2е/3, а, как мы уже видели, сокращение аномалий требует
равноro числа суперполей Н] и Н2.
Вместо этоro обычно предполarается, что некоторые симметрии запре..
щают оба взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5). Очевидно, эти симметрии MOryт




200


rлава 28. Суперсим.метричные версии стандартной модели


сохранять лептонное и барионное число при общепринятых значениях этих
чисел: и;, D; имеют барионное число В == 1/3 и лептонное число L == о;
о; и Ь; имеют барионное число В ==
 1/3 и лептонное числа о, N; и Е;
имеют лептонное число L == + 1 и барионное число о; Ё; имеет лептонное
число
 1 и барионное число о, а нр, Н 1 и н{ , H
 и 8L и 8R все имеют бари..
онное и лептонное число о. Те же самые результаты относятся и к случаю,
если мы предположим лишь сохранение некоторых линейных комбинаций
лептонных и барионных чисел, таких как свободная от аномалий комбина..
ция В
 L, рассмотренная в разделе 22.4.
Имеются широко распространенные сомнения относительно тоro, воз..
можны ли точные непрерывные rлобальные симметрии, т. к. В теории струн
существование любой точной непрерывной симметрии означало бы наличие
безмассовых частиц спина 1, взаимодействующих с током симметрии, так
что эта симметрия должна бьша бы быть локальной, а не rлобальной 16.
Но взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5) MOryт также быть запрещены, если
допустить дискретную rлобальную симметрию, известную как сохранение
R..четности 2. Значение R..четности для кварков, лептонов, калибровочных
бозонов и хиrrсовских скалярных полей определено равным +1, а для их
суперпартнеров
 равным
 1. Эта R..четность равна


П R == (
 1 )F (
 1 )3(B
L) ,


(28.1.6)


rде (
 I)F
 фермионная четность, равная + 1 для всех бозонов и
 1 для всех
фермионов. Фермионная четность имеет тот же знак, какой приобретается
при повороте на 2п, и поэтому она всеrда сохраняется, а следовательно, ес..
ли В
 L сохраняется, то и R..четность также будет сохраняться*. Возможен
случай, коrда R..четность может сохраняться даже при несохранении В
 L,
но на самом деле взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5) запрещены условием
сохранения R..четности, а значит, до тех пор, пока рассматриваются пере..
нормируемые взаимодействия, сохранение R..четности влечет сохранение и
лептонноro, и барионноro числа. это неверно для неперенормируемых су..
персимметричных взаимодействий, которые, предположительно, происходят
в физических процессах при очень высоких энерrиях. Вызываемые такими
взаимодействиями процессы, не сохраняющие лептонное и барионное чис..
ла, рассмотрены в разделе 28.7.
Все новые «счастицы» (скварки, слептоны, калибрино и хиrrси..
но ), требуемые суперсимметр ичными теориями, имеют отрицательную
*Значение величины (
1 )З(В
L) равно
 1 для кварковых И пептонных попей, и + 1 для
всех прочих суперпопей, поэтому сохранение R..четности эквивалентно инвариантности от..
носитепьно преобразования, в котором все кварковые и пептонные суперпоJUI меняют знак, а
остальные суперпоJUI неизменны. Эroт принцип инвариантности был предложен в 3 для тoro,
чтобы запретить взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5).




28.1. Суперполя, аномалии и законы сохранения


201


R..четность, поэтому если R..четность не нарушена и является точной сим..
метрией, то леrчайшая из новых, необходимых для суперсимметрии частиц,
должна быть абсолютно стабильной. Все прочие новые частицы будут то..
rда претерпевать последовательность распадов, порождая, в конечном счете,
обычные частицы и леrчайшие новые частицы. Феноменолоrия различных
суперсимметричных моделей в значительной степени определяется выбором
самой леrкой из новых частиц.
При сохранении суперсимметрии и либо R..четности, либо В
 L, нан..
более общий перенормируемый лarpанжиан рассмотренных выше суперпо..
лей содержит обычную калибровочно"инвариантную кинетическую часть
киральных суперполей, задаваемую суммой членов вида (ф* ехр(
V)Ф)D
для каждоro KBapКOBoro, лептонноro и хиrrсовскоro киральноro суперполя
плюс обычное калибровочно"инвариантное кинетическое слarаемое для ка..
либровочных суперполей, задаваемое суммой слarаемых вида EaP(WaWp)fF
для напряженности поля каждоro из SU(З), SU(2) и и(1) суперполей плюс
суперсимметричное взаимодействие Юкавы, задаваемое линейной комбина..
цией взаимодействий (28.1.2), (28.1.3) и новым fF..членом взаимодействия Н 1
и Н2:



 D О

 Е [ О )
 ]
Ру ==
hij[(DiHl
 U;Hl)Dj]fF+
hij (Е;Нl
NiHl Ej fF
ij ij
+ Lh
[(DiHi
UiH
)Oj]fF+
[HiHl
Н
НР]fF+Э. с.
ij


(28.1.7)


Как мы увидим в разделе (28.3), для учета нарушения суперсимметрии в
лarpанжиан необходимо будет добавить дополнительные слarаемые.
Коэффициент
 в лarpанжиане (28.1.7) имеет размерность массы и
является единственным размерным параметром, входящим в лarpанжиан су..
персимметричной версии стандартной модели. Несколько разочаровывает
то, что это слarаемое все еще допустимо, т. к. это воскрешает проблему
иерархии: почему бы
 не быть равным по порядку величины 1016
1018 rэв?
Можно избежать появления этоro
..члена в (28.1.7), если предположить со..
хранение лептонноro числа при не стандартных значениях лептонных чисел,
рассмотренных выше, которые бы допускали взаимодействия (28.1.4) но не
взаимодействия (28.1.5). В таком случае
..член несет лептонное число +2
и, следовательно, также запрещен. Это слarаемое может быть также запре..
щено, если предположить наличие U ( 1) «симметрии Печчеи
Квинна» 4,
при которой суперполя Нl и Н2 несут равные квантовые числа, напри..
мер, +1, тоrда как 8L и 8R нейтральны. При этом взаимодействия (28.1.2) и
(28.1.3), задающие массу кваркам и лептонам, допустимы лишь, например,
если мы зададим квантовые числа Печчеи
Квинна
 1 для левых супер..
полей антискварков и антислептонов, тоrда как левые суперполя скварков




202


rлава 28. Суперсим.мemричные версии стандартной модели


. и слептонов взяты нейтральными. Такой выбор запрещает также опасные
взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5). К сожалению, как мы увидим в разделе
(28.4), fl..член в лarpанжиане (28.1.7), по"видимому, необходим по феномено..
лоrическим соображениям. Теории с вызываемым rpавитацией нарушением
суперсимметрии, обсуждаемые в разделе 31.7, предоставляют естественный
механизм получения fl..члена приемлемой величины.
Можно получить rpубую оценку сверху масс новых частиц, предпо..
лarая, что суперсимметрия решает обсуждавшуюся в начале rлавы пробле..
му иерархии. В соответствии с теоремой из раздела 27.6, если суперсим"
метрия не была нарушена, то вклад в массу скалярной компоненты Нl
или Н2 от однопетлевых диarpамм с промежуточной кварковой, лептон"
ной, W.. или Z..петлей сокращается соответствующей однопетлевой диarpа..
мой с промежуточными скварком, слептоном, вино или бино. Следовательно,
при нарушенной суперсимметрии вклад бтiI от таких диarpамм в квадраты
масс скаляров Н) или Н2 является суммой слarаемых порядка
 ;/8r)11т;,
rде
 s
 константа Юкавы или калибровочная константа взаимодействия
хиrrcовскоro скаляра с супермультиплетом s, а 11т;
 квадрат расщепления
массы внутри супермультиплета. Чтобы избежать необходимости тонкой на..
стройки этих поправок, необходимо, чтобы величина бтiI бьша не больше,
чем коэффициент порядка (300 rэв)2 при члене в лаrpанжиане стандартной
модели, который задает наблюдаемое нарушение SU (2) х U ( 1) симметрии
в древесном приближении, поэтому мы будем полarать, что бтiI < 1 (тэв)2.
Например, константа взаимодействия топ..кварка и скварка с Н2 по поряд..
ку величины равна единице, и потому мы ожидаем, что расщепление 11т 2
должно быть меньше величины порядка 8п 2 тэв 2 , и, следовательно, массы
топ..скварков должны быть меньше, чем 10ТэВ. В разделе 28.4 мы увидим,
что можно добиться тоro, чтобы вероятности процессов с изменением аро..
мата MOryт не превышали верхнеro экспериментальноro предела, если взять
массы скварков почти равными. В этом случае выбранное значение можно
рассматривать как rpубую верхнюю rpаницу значений масс всех скварков.
(Возможно, однако, что вероятности этих процессов MOryт быть подавлены
очень большими массами первых двух поколений скварков, тоrда как масса
топ..скварка ниже естественноro масштаба масс* 10 ТэВ 48. Оrpаничения на
массы остальных частиц с R ==
 1, устанавливаемые подобными рассужде..
ниями, несколько слабее, но, по крайней мере в известном классе моделей,
рассматриваемых в разделе 28.6, не ожидается, чтобы масса какой..либо из
этих частиц была значительно больше масс скварков, так что для всех этих
частиц значение 1 О ТэВ может быть принято за верхнюю rpаницу. С дрyroй
стороны, тот факт, что ни одна из этих частиц не наблюдалась, лишь пока..


* Автор употребляет термин «natшalnеss bound».
 Прuм,. пер.




28.1. Суперполя, аномалии и законы сохранения


203


зывает, что их массы, вероятно, больше 100 rэв, так что диапазон масс, rде
они еще MOryт быть обнаружены, достаточно велик.


* * *


Если сохранение R..четности или какой..либо дрyroй закон сохранения
делает леrчайmyю из новых предсказанных суперсимметрией частиц ста..
бильной, то некоторые из этих частиц MOryт остаться со времен ранней Все..
ленной. ПЛотность числа этих реликтов может быть оценена с использова..
нием методики, которая первочально бьша применена для оценки плотности
массивных нейтрино в космосе 46. Чтобы привести один пример вычисле..
ний Taкoro сорта, покажем, что в широком диапазоне возможных масс новая
стабильная частица суперсимметричных теорий не может быть заряженной
и бесцветной, подобно заряженным слептону, вино или хиrrсино 4с.
Как только температура Вселенной Т (в энерreтических единицах, ко..
rда постоянная Больцмана положена равной единице) падает ниже значения
массы т любой стабильной заряженной незапертой частицыI, их число nR 3
в расmиряющемся вместе со Вселенной объеме R 3 уменьшается за счет ан..
ниrиляции со скоростью (отнесенной к одной частице) von , rде vo
 среднее
значение про изведения относительной скорости и поперечноro сечения ан..
ниrиляции. Таким образом,


d(nR 3 )
 2 R 3
dt ==
von ,


так что



3 == (
3 )0 + 1:1 ; dt,
rде О обозначает момент времени, коrда T
т. Процесс анниrиляции экзо..
термичен, так что при v« 1 vo стремится к константе. В радиацион..
но"доминированной фазе расширения Вселенной R ос t 1 / 2 и, следовательно,
интеrpал сходится и дает


(28.1.8)


( п
з ) НОО == ( п
з ) О + 00 J: Rб(t
;0)3/2


== ( п
3 )0 + 2
0 .
ПЛотность барионоro числа пв (число барионов минус число антибарионов)
ведет себя как R
3, так что предыдущее выражение может быть переписано


(28.1.9)




204


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


в виде формулы для современноro отношения плотности числа новых частиц
к плотности барионноro числа


(п/пв)оо == [(пв/п)о + 2voп вoto]
1.


(28.1.10)


Мы ожидаем, что отношение (п/пв)о в момент времени, коrда Т упадет до
значения
 т, по порядку величины равно единице, и так как в любой реали..
стической теории значение отношения (п/пв)оо в настоящее время должно
быть мноro меньше единицы, мы можем пренебречь первым слаrаемым
в знаменателе в правой части (28.1.1 О) и записать вместо этоro


1
(п/пB)oo

 ·
voпвoto


(28.1.11)


Точное значение vO' зависит от спина частицы и ее взаимодействий; отсле..
живая лишь множители 2п, массу частицы т и электрический заряд, можно
оценить, что эта величина порядка



 е 4 ';у 10
З .;у
vo
 27tm 2
 т 2 '


(28.1.12)


rде .;у
 число спиновых состояний заряженных частиц массой меньше т,
в которые эта частица может анниrилировать. Возраст Вселенной при тем..
пера туре То
 т равен to
 т 4 /тПпанк, rде тПланк
 10 18 fэВ, а плотность
барионноro числа составляет примерно 1 0
9 от плотности числа фотонов,
которая имеет порядок тЗ, так что пво
 1 0
9тЗ. Собирая все это вместе, по..
лучаем современное отношение плотности числа новых заряженных частиц
к плотности числа барионов:


(n/nВ)ОО
 1012 т
 10
6 m( fэВ) .
тПпа
 .;у


(28.1.13)


Эти новые заряженные частицы должны бьши бы испытать бы те же cry..
щения в rалактики, звезды и планеты, что и обычные барионы, поэтому
такое же отношение должно бьшо бы наблюдаться в настоящее время. Но
масс..спектроскопические эксперименты 4r С образцами воды, сильно обо..
rащенной с помощью электролиза тяжелыми водоподобными молекулами,
установили предел приблизительно в 10
21пB на плотность числа новых
заряженных частиц массами 6 fэВ< т < 330 fэВ в земном веществе. Сле..
довательно, даже если.;У достиrает 1000, эти измерения решающим обра..
зом запрещают существование новых незапертых заряженных частиц в этом
диапазоне масс в количествах, которые моrли бы остаться со времен ранней
Вселенной.




28.1. Суперсuм.метрия и объединение CШlЬНЫХ и электрослабых . . .


205


с дрyroй стороныI, нейтральные незапертые частицы моrnи бы со..
храниться в межrалактическом пространстве. эти частицы MOryт с успехом
обеспечить «недостающую массу», которую, видимо, необходимо учитывать
при оценке rpавитационноro поля, отвечающеro за движение rалактик в ra..
лактических кластерах. Одной из возможных частиц является rpавитИно,
чья космолоrическая распространенность обсуждется в разделе 28.3. Эллис
и др. 48 расширили космолоrические рассмотрения на все новые требуемые
суперсимметрией частицы.


28.2. Суперсимметрия и объединение сильных и элекrрослабых
взаимодействий


Нам придется отложить детальную разработку суперсимметричных
моделей в физике частиц до тех пор, пока мы не сможем понять, как про..
исходит нарушение суперсимметрии. В этом разделе мы рассмотрим ко..
личественные результаты суперсимметрии в ситуации, коrда сам механизм
нарушения суперсимметрии сравнительно не важен, и коrда суперсимметрия
достиrла caMoro большоro до сих пор эмпирическоro успеха.
Если калибровочная rpуппа SU (З) х su (2) х U (1) сильноro и электро..
слабоro взаимодействий вложена в простую rpуппу G, в некотором пред..
ставлении которой содержатся известные кварки и лептоны (а также, воз..
можно, некоторые SU(З)хSU(2)хU(I) нейтральные фермионы), тоrда, как
обсуждалось в разделе 21.5, при энерrияx около или выше масштаба Мх, на
котором G спонтанно нарушается, константы SU(З)хSU(2)хU(I) взаимо..
действия будут связаны соотношением


5 ,2
i == i == ; при энерrияx
 Мх.


(28.2.1)


При энерrияx значительно ниже Мх эти константы взаимодействия су..
щественно меняются за счет перенормировочных поправок. При измере..
нии на масштабе
 < Мх константы взаимодействия будут иметь значе..
ния g; (fl ), g2 (fl ) , g,2 (fl ), подчиняющиеся однопетлевым уравнениям ре норм..
rpуппы


d
f.1 df.1 g' (f.1) == 131 (g' (f.1») ,


d
f.1 df.1 g(f.1) == 132 (g(f.1»,


d
f.1 df.1 gs(f.1) == 13з (gs(f.1»,
(28.2.2)


с начальными значениями в точке Мх, удовлетворяющими условию (28.2.1).
В разделе 21.5 обсуждались первые результатыI применения уравнений




206


rлава 28. Суперсим.метричные версии стандартной модели


ренормrpуппы для этоro случая. Вычисленные в однопетлевом порядке
бета..функции оказались равными


5п g'3
R
 g
1-'1
 З6п 2 '
g3 ( 11 n g )

2 == 4х 2
"6 +"3 '
g; ( 11 n g )

3 == 4х 2
"4 +"3 '


(28.2.3)


(28.2.4)


(28.2.5)


rде n g
 число поколений кварков и лептонов, и отброшены относитель..
но малые вклады скалярных полей. Так как величина Мх оказывается на
мноro порядков больше, чем доступные на нынешних ускорителях энерrии,
разумно считать, что суперсимметрия не нарушена почти во всем диапа..
зоне энерrий ниже Мх. В этом случае все новые поля, о бсуждавши е с я в
предыдущем разделе, ДОЛЖНЫ быть включены в вычисления бета"функций
в (28.2.1). Эти новые поля приводят к трем rлавным изменениям в вычисле..
ниях бета..функций.
1. для каждоro калибровочноro бозона существует майорановское
калибрино с теми же самыми SU(З)хSU(2)хU(I) квантовыми числами. Из
выражения (17.5.41) следует, что отношение вклада в бета..функцию для лю..
боro калибровочноro взаимодействия дираковскоro фермиона, которое вно"
сит вклад В калибровочную rpуппу с reнераторами tA, к вкладу соответству..
ющеro калибровочноro бозона равно
4C2/11Cl, rде, соrласно формулам
(17.5.33) и (17.5.34), отношение Сl и С2 определяется из соотношения


I,CCABCDBA ==
(Cl/C2)Tr (tCtD).
АВ


(28.2.6)


для присоединенноro представления (tc)AВ == iCAВC, так что Cl == С2, И ПО..
этому дираковский фермион в присоединенном представлении дает вклад,
составляющий
4 /11 от вклада калибровочных бозонов. Но калибрино яв..
ЛЯIOтся майорановскими фермионами, так что их вклад составляет
 2/11 от
вклада калибровочных бозонов. Следовательно, слarаемые 11/6 и 11/4 в вы..
ражениях (28.2.4) и (28.2.5) уменьшаются на множитель 9/11 ДО значений
9/6 и 9/4 соответственно.
2. для каждоro левоro кварковоro, лептонноro, антикварковоro или ан..
тилептонноro поля существует комплексное скалярное поле с теми же самы..
ми SU(З)хSU(2)хU(I) квантовыми числами. Используя тот же метод, что
и в разделе 17.5, несложно вычислить, что вклад комплексноro скалярноro




28.2. Суперсuм.метрия и объединение CШlЬНЫХ и электрослабых . . .


207


поля, принадлежащеro представлению калибровочной rpуппы с reHepaтopa..
ми tA, в бета..функцию калибровочной константы взаимодействия gi равен


g
C2i
[
i (g i ) ] скалllp == 48х 2 '
rде Tr (tAtB) == grС2iБАВ. Это составляет 1/4 от вклада дираковскоro спи..
норноro поля в том же представлении, задаваемоro формулой (18.7.2), и,
следовательно, 1/2 от вклада каждоro левоro спинорноro поля (включая
комплексно сопряженные правых компонент дираковских полей). Следова..
телъно, коэффициенты для п g в (28.2.ЗН28.2.5) должны быть увеличины
в 3/2 раза.


(28.2.7)


3. Уменьшение в 9/11 раз отвечающих калибровочным бозонам отри..
цательных слarаемых в бета"Функциях и увеличение в 3/2 раза отвечающих
скваркам и слептонам положительных слarаемых вместе ведут к общему
уменьшению скорости, с которой эти три калибровочные константы взаимо..
действия расходятся в области ниже Мх от отношений (28.2.1). это приводит
К увеличению ожидаемоro значения Мх, однако, как мы увидим, само по се..
бе не влияет на предсказание электрослабоro параметра смешивания sin 2 8.
Но эти изменения на самом деле увеличивают относительный вклад хиrr..
совских скаляров, которым мы пренебреrли в формулах (28.2.ЗН28.2.5) и
который теперь, кроме тоro, сопровождается большим вкладом сопутству"
ющих хиrrсино. Если п !
 число обсуждавшихся в предыдущем разделе
дублетов суперполей (H?,H 1 ) или (Ht,H
), то константа С2; в форму..
ле (28.2.7) равна [(1/2)2 + (1/2)2]п ! == п s /2 для SU(2) и 2п s (:l:l/2)2 == п s /2
для и(1). В соответствии с формулой (28.2.7), скалярные компоненты этих
суперполей дают в Pl вклад, равный п s g'3 /96х 2 , а в Р2
 вклад, рав"
ный п s g 3 /96r. Как мы видели, майорановские хиrrсино дают вдвое бо
"
ший вклад в бета"функции, чем комплексные скаляры с теми же кванто..
выми числами, так что все вместе суперполя (H?,H 1 ) или (Hi,H
) дают
в Pl и Р2 вклад, составляющий 3/2 от вклада хиrrсовских скаляров, т. е.
равный п s g'3/32r и п s g 3 /32r соответственно.
Совершая все эти изменения в бета"Функциях, получим


g'3 ( 5п g пs )
Pl == 4х 2 6 + 8 '
g3 ( 9 п g п ! )
/32 == 4х2
 6 + "2 + 8 '

 ( 9 п g )
/3з == 4х 2
 4 +"2 ·


(28.2.8)


(28.2.9)


(28.2.1 О)




208


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


Тоrда решения уравнений ренормrpуппы (28.2.2) имеют вид


1
 1 +
 ( 5пg + пS ) ln ( Mx )
g12(fl)
 gf2(Mx) 2п 2 6 8 fl'
1 1 1 ( 3 п g п s ) ( Мх )
g2(
) == g2(Mx) + 2п 2
 2 +"2 +"8 ln
 '
1 == 1 +
 (
 9 + пg ) ln ( M x )
g;(fl) g;(Mx) 2п 2 4 2 fl.
Удобно положить fl == mz, так что SU(2)xU(I) симметрия может рас..
сматриваться как ненарушенная почти во всем диапазоне энерrий, в котором
мы пользуемся формулами (28.2.11 Н28.2.1 3). С учетом (28.2.1) разность
выражений (28.2.13) и (28.2.12) дает
1
 1

 ( 3 + пS ) ln ( M x )
g2(тz) g;(тz)
 2п 2 4 8 mz'


(28.2.11 )


(28.2.12)


(28.2.13)


(28.2.14)


а разность между выражением (28.2.11) и умноженным на 3/5 выражением
(28.2.12) равна
1
 3

 (
 3 + п S ) ln ( Мх )
g2(mz) 5g'2(mz)
 2п 2 2 20 mz. (28.2.15)


Соотношения (21.3.19) позволяют выразить электрослабые константы через
yroл электрослабоro смешивания е и заряд позитрона е:


g(тz) ==
e(тz)/sine, g,(тz) ==
e(тz)/cose.


(28.2.16)


Теперь можно выразить неизвестные ln(Mx /mz) и sin 2 е через входные па..
раметры e(тz) и gs(тz):
. 2 18+зпs+(e2(mz)/g;(mz))(60
2пs)
SlD в == 108 + 6п s ' (28.2.17)
ln ( МХ ) == ( 8п2 ) ( 1
 (8е2(mz)/зg;(mz)) ) . (28.2.18)
mz e 2 (mz) 18 + п !
для п ! == О формула (28.2.17) дает тот же результат (21.5.15) для sin 2 e,
что и вычисленный первоначально (без учета малоro вклада хиrrсов..
ских скаляров) в несуперсимметричных теориях, однако значение (28.2.18)
для ln(Mx/тz) больше, чем первоначальный результат (21.5.16) на мно"
житель 11/9, который, как мы видели, возникает от вклада reЙДЖино в
бета"функции.




28.2. Суперcu.м.метрuя и объединение СШlЬНЫХ и электрослабых . . .


209


п s sin 2 е
о 0,203
2 0,231
4 0,253


мх(rэв)
8 7 х 1017
,
2 2 х 1016
,
1 1 х 1015
,


Таблица 1. Значения параметра sin 2 е электрослабоro смешивания и масса объеди..
нения Мх, определяемые соотношениями (28.2.17) и (28.2.18), как функция числа п s
дублетов левых суперполей (нр,н 1 ) или (Hi,H
).


Использование тех же входных параметров e 2 (mz)/4x == (128)
1,
g;(mz)/4x == 0,118, mz == 91,19rэв, что и в разделе 21.5, при водит теперь
к численным результатам, показанным в таблице 28.1. Как обсуждалось
в предыIущемM разделе, необходимость сокращения аномалий в электросла..
бых токах требует paBHoro числа дублетов (нр,н 1 ) и (Hi,H
), и потому
мы рассматриваем только четные значения числа п s этих суперполей.
Отметим, что значение п s == 2 для простейшей правдоподобной тео..
рии приводит 6 К значению sin 2 e == 0.231, которое великолепно соrласу..
ется с экспериментально наблюдаемым значением sin 2 е == 0.23. Величи..
на Мх в 20 раз 7 больше, чем при вычисленнии ее тем же способом в несу..
персимметричных теориях, что приводит к уменьшению в 20
4 вероятности
процессов распада протона, типа р -----t х о + е+, устраняя тем самым проти..
воречие с тем, что этот процесс экспериментально не наблюдается. (Распад
протона будет более детально рассмотрен в разделе 28.7.) это увеличение
значения Мх подводит ero ближе к масштабу энерrии
 1018 rэв, на кото..
ром rpавитация так же сильна, как и дрyrие взаимодействия: Возможно, что
остающийся промежуток может быть заполнен за счет изменения rpавита..
ционных взаимодействий при очень высоких энерrиях 7а.
Значение п s == 4 привело бы к значению sin 2 е, значительно расхо..
дящемуся с экспериментом, и к низкому значению Мх, достаточному для
возрождения противоречия с экспериментальными данными о распаде про..
тона. это является серьезным доводом в пользу тoro, чтобы иметь лишь по
одному суперполю (HP,H 1 ) и (Hi ,H
).
в отличие от вычисленных значений sin 2 е и Мх, вычисленная при
значении А/х величина общей калибровочной константы взаимодействия
(28.2.1) зависит от числа поколений, равно как и от числа скалярных дубле..
тов. При п g == 3 и п s == 2 и приведенных выше входных параметрах соотно"
шение (28.2.13) дает


g2(M x )
4х


g;(A/x) 1
4х
 17.5.


(28.2.19)




210


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной .модели


28.3. rде нарушается суперсимметрия?


Если даже считать, что суперсимметрия верна, она определенно не
проявляется в меню известных частиц, так что всякое рассмотрение приме..
нений суперсимметрии при обычных энерrияx заставляет сделать некоторое
предположение о механизме ее нарушения. Проще Bcero бьто бы считать,
что суперсимметрия нарушена так же, как и SU(2)xU(1), за счет эффектов,
возникающих в древесном приближении суперсимметричной стандартной
модели. Эта возможность определенно должна быть исключена.
Один довод против нарушения суперсимметрии в древесном прибли..
жении основан на правиле сумм для масс (27.5.11), которое выполняется
по"отделъности для каждоro значения ненарушенных сохраняющихся вели..
чин цвета и электрическоro заряда. В секторе цветовоro триплета с элек..
трическим зарядом
e/3 единственные известные фермионы
 это d.., s.. и
Ь..кварки, для которых


т
+т;+т

 (5 rэв)2.


(28.3.1 )


Соrnасно правилу сумм, если нет дрyrих фермионов с теми же зарядом и
цветом, то сумма квадратов всех масс для бозонов (учитывая по отдельности
каждое спиновое состояние) с теми же цветом и зарядом должна быть при..
мерно равна 2(5rэв)2. в частности, каждый из скварков с такими цветом
и зарядом должен иметь массу не более 7 rэв. Существование таких леr..
ких скварков исключено экспериментальными данными
 они проявились
бы, например, как вклад в вероятность электрон"позитронной анниrиляции
в адроны при энерrияx, rде этот процесс очень хорошо изучен.
Этот apryмeHT может стать неправомерным, если существует четвер..
тое поколение тяжелых кварков. Димопулосу и Джорджи 3 принадлежит
дрyroй apryмeHT, применимый независимо от числа тяжелых кварков и даю..
щий даже более сильное оrpаничение сверху на массу леrчайшеro скварка.
Из ненарушенноro сохранения заряда и цвета следует, что единственные
ненулевые D Ао..члены в суперсимметричной стандартной модели соответ..
ствуют reHepaтopaM у rpуппы U (1) и tЗ rpуппы SU (2), которые мы будем
называть, соответственно, Dl и D2. Собственные значения этих reHepaTopoB
равны у ==
g' /6 и tЗ == +g/2 для левых кварков зарядом 2е/3, у ==
g' /6
и tЗ ==
g/2 для левых кварков зарядом
e/3, у == 2g' /3 и tЗ == О для правых
кварков зарядом 2е /3 и у ==
 g' /3 и tЗ == О для правых кварков зарядом
e /3.
Поля скварков являются цветовыми триплетами и поэтому не MOryт обла..
дать вакуумными средними. В соответствии с уравнением (27.5.4) матрица
квадратов масс скварков зарядом 2е/3, образующих цветовой триплет (но




28.3. Тде нарушается суперсим.метрuя?


211


не антитриплет), есть


м2
 [ J(,иJ(,и
g'Dt/6+gD2/2 fFU ]
ои

и J(,иJ(,и +2g'Dt/3 '


(28.3.2)


тоrда как матрица квадратов масс образующих цветовой триплет скварков
зарядом
e/3 есть


МБD == [ J(, 'D.Al D
 g' Dt / 6
 gD2/2 fiЪ ]

D J(,DJ(,D
g'Dt/3 ·


(28.3.3)


Уравнение (27.5.6) также дает матрицы квадратов масс для кварков заря..
дом 2е/3 и
e/3 лишь в виде J(,иJ(,и и J(,DJ(,D соответственно, без сме..
шивания с калибрино.
Пусть теперь v и И Vd
 нормированные собственные векторы матриц
квадратов масс J(, и.Al и и .At D.Al D, отвечающие кв аркам U и d наименьшей
массы. Рассмотрим вакуумное среднее соответствующих матриц квадратов
масс


[ о ] t 2 [ О ] 2 2g' Dt
V: Мои V: == т и + 3 '
[ О ] t 2 [ О ] 2 g' Dl
V d M OD V d == md
 3 ·
Эти вакуумные средние
 средневзвешенные значения квадратов масс сквар..
ков зарядом 2е /3 и
e /3 соответственно, так что по крайней мере один
скварк зарядом 2е /3 должен обладать массой меньшей, чем т; + 2g' Dl /3, и
по крайней мере один скварк зарядом
e/3 должен обладать массой MeHЬ

шей, чем т

 g'Dl/3. Тоrда, в зависимости от знака Dt, должен существо..
вать более леzкий, чем и"кварк, скварк зарядом 2е/3, либо более леzкий,
чем d"кварк, скварк зарядом
e /3.
Излишне roворить, что существование заряженноro цветовоro трипле..
та скаляров такой малой массы радикально изменило бы феноменолоrию
сильноro взаимодействия. Подобно и" и d
uapKaM, этот обладающий цве..
том скаляр проявился бы как составляющая адронов с «конституентной»
массой в несколько сотен МэБ, что заведомо не наблюдается. Так как этот
скаляр электрически заряжен, то он может также образовываться парами
при анниrиляции е+
e
 при энерrиях выше нескольких сотен МэБ, давая
такой вклад в сечение анниrиляции, который бы разрушил превосходное со..
rласие между теорией и экспериментом для данноro сечения. Хуже тoro, так
как и" и d..кварки столь леrки, и ожидается, что Dl
 порядка масштаба нару"
шения суперсимметрии, то уравнения (28.3.4) и (28.2.5) указывают на то, что


(28.3.4)


(28.3.5)




212


rлава 28. Суперcu.м.метричные версии стандартной .модели


одно из скварковых полей должно иметь отрицательный квадрат массы, что
означало бы, что это поле ДОЛЖНО бьшо бы получить ненулевое вакуумное
среднее, нарушающее сохранение как цвета, так и заряда. Мы вынуждены
отверrнуть простую схему спонтанноro нарушения симметрии в древесном
приближении в суперсимметричной версии стандартной модели.
Одним из выходов из этой ситуации моrло бы быть добавление в Teo

рию еще одноro U ( 1) калибровочноro поля. Если все кварковые суперполя
обладают одним и тем же значением g HOBOro U(I)..reHepaтopa, то соответ..
ствующий D..член D дал бы дополнительное слarаемое gD в правые части
обоих выражений (28.3.4) и (28.3.5). Если это слarаемое достаточно вели..
ко, то оно может дать большой положительный вклад во все квадраты масс
скварков, что позволяет избежать всех указанных выше проблем. Но нет
никаких свидетельств наличия TaKoro HOBOro нейтралъноro калибровочноro
бозона при доступных энерrияx, и в любом случае мы бы все еще имели
верхнюю rpаницу в 7 rэв масс всех скварков зарядом
e/3.
Не обязательно так уж плохо то, что мы вынуждены искать причины
нарушения суперсимметрии rде"то за пределами древесноro приближения
суперсимметричной стандартной модели. Если бы суперсимметрия бъша на..
рушена в этом приближении, то характерная масса, которая устанавливает
масштаб нарушения, была бы некоторым массовым параметром в лarpанжи

ане, что, в свою очередь, установило бы масштаб всех прочих масс в CTaH

дартной модели. И тоrда мы снова столкнулись бы с проблемой иерархии:
почему масштаб этой массы настолько меньше 1016
lo18 rэв?
Известен только один способ объяснения столь больших отношений
масс. Если суперсимметрия спонтанно не нарушена в древесном прибли..
жении теории, объединяющей все взаимодействия при некотором большом
масштабе масс М х , тоrда, как бьто показано в разделе 27.6, она не будет
нарушена ни в каком порядке теории возмущений. Но суперсимметрия мо"
жет быть нарушена непертурбативными эффектами. В частности, если есть
некоторое калибровочное поле с асимптотически свободной константой свя

зи как обсуждалось в разделе 18.3, это калибровочное взаимодействие станет
сильным при энерrиях порядка Ms == Мхехр(
8тc2b/
 (Мх)), rде Ь
 число
порядка единицы. для тoro, чтобы величина Ms была на MHOro порядков
меньше, чем Мх, не обязательно, чтобы
 2(Мх)/8тс 2 бьто очень малым.
Мы увидим в разделе 29.4, что суперсимметрия и в самом деле может быть
нарушена таким образом за счет калибровочноro взаимодействия, становя..
щеroся сильным при некоторой энерrии Ms « Мх. Действительно, именно
это происходит с киральной симметрией в квантовой хромодинамике; нет
никакой заrадки в том, почему масса протона (или, по крайней мере, ее
значительная часть, обязанная динамическому нарушению киральной сим..
метрии, а не крошечным массам и.. и d..uapKoB) настолько меньше масштаба




28.3. rде нарушается суперсuм.метрuя?


213


объединения мх. И наоборот, силы, которые велики при энерrии Ms, MOryт
породить потенциал скалярных полей, и тоrда вакуумное среднее этих полей
нарушит супС?рсимметрию.
Нет никаких признаков какоro..либо HOBOro сильноro взаимодействия
известных кварков и лептонов, так что мы должны предположить, что на..
блюдаемые частицы стандартной модели нейтральны по отношению к на..
рушающему суперсимметрию сильному взаимодействию. Тем самым нару"
шение суперсимметрии происходит в «скрытом секторе» частиц, которые
чувствуют это новое сильное воздействие. Остается вопрос: каков механизм
связи между нарушением суперсимметрии в скрьпом секторе и частицами
из стандартной модели? Как мы увидим, большинство из ожидаемых нами
феноменолоrических приложений суперсимметрии зависит от ответа на этот
вопрос даже больше, чем от деталей нарушения самой суперсимметрии.
Конечно, механизм, связывающий нарушение суперсимметрии с Ha

блюдаемыми частицами, должен быть неким взаимодействием, которое чув"
ствуют эти частицы. Есть два rлавных кандидата на такой механизм. Один
механизм обеспечивается самими SU (3) х SU (2) х U ( 1) калибровочными вза..
имодействиями, и будет обсужден в разделе 28.6. Дрyroй
 rpавитация, или
даже скорее вспомоrательные поля, являющиеся суперпартнерами rpавита..
ционноro поля,
 будет рассмотрен в разделах 31.4 и 31.7.
Не вдаваясь сейчас в детали, можно сделать rpубую оценку масшта..
ба нарушения суперсимметрии Ms для этих двух возможностей. для вы..
званноro калибровочными полями нарушения суперсимметрии мы ожида..
ем, что расщепление масс между наблюдаемыми кварками, лептонами и ка..
либровочными бозонами и их суперпартнерами должно быть порядка либо
g; / 16тс 2 , либо g12 / 16тс 2 , либо g2 / 16тс 2 (rде gs, g и g'
 это SU (3), SU (2) и U (1)
калибровочные константы связи), в зависимости от тoro, какими квантовые
числами обладает рассматриваемый супермультиплет. (Это предположение
подтверждается в разделе 28.6.) Следовательно, если скварки, слептоны и
калибрино обладают массами в диапазоне от 100 rэв до 1 О ТэВ, в пользу
чеro были приведены доводы в конце раздела 28.1, тоrда масштаб наруше..
ния суперсимметрии Ms бьш бы на два или три порядка выше
 скажем,
порядка 100 ТэВ. С дрyroй стороны, если именно rpавитация является по..
средником при нарушении суперсимметрии, то по размерным соображениям
можно ожидать, что расщепление масс
 между наблюдаемыми частицами
и их суперпартнерами должно быть порядка VGM;, или, возможно, по..
рядка GM
. (Результаты обоих вариантов будут сопоставлены в моделях,
описанных в разделе 31.7.) Если скварки, слептоны и калибрино имеют Mac

сы в диапазоне от 100 rэв до 10 ТэВ, то Ms должно быть порядка 1011 rэв
для

 VGM; или 1013 rэв для

 GM
.
Эта большая разница в оценках масштаба нарушения суперсиммет..




214


rлава 28. Суперcu.м.метричные версии стандартной .модели


рии Ms для двух случаев нарушения, вызываемых калибровочными полями
или rpавитацией, приводит к важным отличиям в феноменолоrии частиц
и космолоrии. как уже неоднократно отмечалось, суперсимметрия требует,
чтобы rpавитон имел суперпартнера
 rpавитино. Коrда суперсимметрия
спонтанно нарушена на масштабе Ms, rpавитино при обретает массу т g по..
рядка VGM
. (Точная формула будет приведена в разделе 31.3.) для вызван..
HOro калибровочными полями нарушения суперсимметрии она очень мала;
если Ms
 100 ТэВ, то т g
 1 эВ, так что rpавитино бьто бы заведомо са..
мой леrкoй новой частицей, требуемой суперсимметрией, т. е. самой леrкoй
частицей с отрицательной R..четностью (28.1.6). С дрyroй стороны, для вы..
званноro rpавитацией нарушения суперсимметрии масса rpавитино
 тoro
же порядка, что и величина VGM
, являющаяся величиной расщепления
масс между известными частицами и их суперпартнерами, так что rpавити..
но будет обладать, rpубо, той же массой, что скварки, слептоны икалибрино.
Тоrда хотя rpавитино может быть, а может и не быть самой леrкой частицей
отрицательной R..четности, ero взаимодействия с известными частицами и
их суперпартнерами в данном случае происходят с той же интенсивностью,
что и rpавитационные взаимодействия, так что в экспериментах с элемен..
тарными частицами rpавитино не иrpают непосредственной роли.


* * *


Существуют пределы на число rpавитино, которые MOryт выжить с
момента Большоro взрыва, устанавливающие полезные оrpаничения на мас..
штаб нарушения суперсимметрии Ms. Считается, что в некоторый момент
в далеком прошлом температура Т бьша достаточно высока для тoro, чтобы
даже чисто rpавитационные взаимодействия поддерживали rpавитино в теп..
ловом равновесии с прочими частицами, и в этом случае плотность числа
rpавитино бьта бы порядка тЗ, т. е. примерно равна плотности числа фото..
нов. (МЫ используем единицы, в которых постоянная Больцмана kB, а также
1;, и с, равны единице.) Если rpавитино не анниrилируют и не распадаются,
то расширение Вселенной приведет к уменьшению плотности их числа ана..
лоrично плотности числа фотонов, так что даже после тoro, как rpавитино
выйдут из равновесия, они будут присутствовать в количествах, сравнимых
с числом фотонов. Более точно, так как не rpавитино, а фотоны нarpеваются
за счет анниrиляции дрyrих частиц, плотность числа rpавитино пgo в насто..
ящее время была бы на один или два порядка меньше, чем плотность числа
фотонов
 космическоro микроволновоro фона излучения. для тoro, чтобы
плотность массы тgпgO rpавитино не превышала верхней rpаницы космоло..
rической плотности массы, определяемой измерением значения постоянной
Хаббла, масса rpавитино т g должна быть меньше 8 примерно 1 кэВ. Как мы




28.3. rде нарушается суперсuм.метрuя?


215


видели, этому оrpаниченИIO хорошо удовлетворяют теории с вызванным Ka

либровочными полями нарушением суперсимметрии, в которых rpавитино
слишком леrкие для тoro, чтобы космические rpавитино давали заметный
вклад в массу Вселенной. Так как некоторые из полей, нарушающих супер..
симметрию в этих теориях, должны взаимодействовать, по крайний мере,
косвенно, с известными кварковыми, лептонными и калибровочными поля..
ми для тoro, чтобы для известных частиц проявились эффекты спонтанноro
нарушения суперсимметрии, взаимодействия rpавитино с известными ча..
стицами и их суперпартнерами подавлены только степенями калибровочных
и юкавских констант взаимодействия. Поэтому все суперпартнеры кварков,
лептонов и калибровочных бозонов быстро распадались бы на эти известные
частицы и rpавитино. Следовательно, такие частицы также не являются кан..
дидатами на «недостающую массу», которую ищут космолоrи. (Возможно,
что законы сохранения MOryт сохранить стабильными некоторые частицы из
нарушающеro суперсимметрию сектора, и в этом случае они MOryт, предпо..
ложительно, служить недостающей массой.)
С дрyroй стороны, для вызванноro rpавитацией нарушения суперсим"
метрии rpавитино достаточно тяжелы для тoro, чтобы быть не стабильными
(хотя анниrиляция rpавитино все еще пренебрежимо мала), так что ориве..
денное выше оrpаничение неприменимо 9. Мы увидим в разделе 31.3, что
взаимодействие rpавитино с дрyrими полями пропорционально V6, так что
по размерным соображениям вероятность распада rg покоящеroся rpавити..
но порядка Gт
. это следует сравнить со скоростью расшире ния Вселенной,
которая при температуре Т составляет величину порядка V GT4. (Здесь мы
пренебреrаем множителями порядка 1
 100, в том числе, включающими
u
неrpавитационные константы взаимодеиствия и учитывающие число типов
частиц.) Коrда космическая температура падает до значения Т
 т g , при ко..
тором rpавитино становятся нерелятивистскими, тоrда отношение скорости
их распада к скорости расширения Вселенной становится по порядку вели..
чины равным V6т g == т g / тПланк
 1, так что распад rpавитино становится
существенным только после этоro времени, коrда rpавитино уже полностью
нерелятивистские. Как мы видели, плотность. их числа будет порядка тЗ, а
следовательно плотность их энерrии
 порядка тgТ З , что больше, чем плот..
ность энерrии фотонов (порядка т4) и дрyrих частиц, находящихся в теп..
ловом равновесии при температуре Т. Поэтому rpавитино дают rлавный
вклад в космическое rpавитационное поле, которое обуславливает скорость
расш ирения Вселенной. Скорость расширения при этих условиях поряд"
ка V GтgТЗ , и распад rpавитино становится существенным, коrда эта вели..
чина равна скорости распада rpавитино порядка Gт g , т. е. при температуре


1:
 G 1 / З т 5 / З
g
 g.




216


rлава 28. Суперсимметричные версии стандартной .модели


Как мы видели, если эти rpавитино не распались до настоящеro време..
ни, то их масса не должна превышать 1 кэВ, но космолоrические трудности
возникают и в случае, коrда rpавитино к настоящему времени распались.
После распада их энерrия должна перейти в энерrию фотонов и дрyrих
релятивистских частиц, так что температура т; после распада связана с
температурой 1'g, вычисленной выше с помощью условия сохранения энер"
rии тgTi
 т';, откуда


Т ,
 G 1 / 4 3/2
g
 т g .
В частности, так как 1'g «т g , имеем т; » 1'g. Если бы Tg было меньше,
чем температура Т п
 0,1 МэВ, при которой может происходить космоло..
rический нуклеосинтез, то rpавитино бы еще существовали в изобилии до
нуклеосинтеза, давая более высокую плотность энерrии и, следовательно,
более быстрое расширение, так что у свободных нейтронов бьто бы мень..
ше времени для распада перед включением в сложные ядра, и тоrда при
нуклеосинтезе образовалось бы больше reлия. Следовательно, отношение
плотностей фотонов и барионов также возросло бы при распаде rpавитино,
так что это отношение в эпоху нуклеосинтеза было бы roраздо меньше, чем
обычно оцениваемое, исходя из температуры микроволновоro фона в на..
стоящее время. Следовательно, ядерные реакции объединяли бы большую
часть нейтронов в reлий, и сеroдня осталось бы меньше дейтерия. Отсюда
современное соrnасие между теорией и наблюдаемым изобилием космиче..
ских reлия и дейтерия бьто бы разрушено. Этой проблемы можно избежать,
если Tg > 0,1 МэВ, но ее можно избежать и при значительно более слабом
условии т; > 0,4 МэВ, так как в этом случае после распада rpавитино темпе..
ратура бьта бы достаточно высокой, чтобы разрушить избыточный reлий и
дать новый старт космическому нуклеосинтезу, коrда Вселенная вновь охла..
ждается. Это условие требует, чтобы т g > 10 ТэВ, что едва соrласуется с
выведенной в разделе 29.1 верхней rpаницей масс суперпартнеров известных
кварков, лептонов и калибровочных бозонов, которые в случае вызванноro
rpавитацией нарушения суперсимметрии имеют порядок т g . Этот предел
на т g соответствует масштабу нарушения суперсимметрии Ms > 1011 rэв
для т g
 VGM
 или Ms > 1013 rэв для т g
 GM
.


28.4. Минимальная суперсимметричная стандартная модель
В предыдущем разделе мы установили два различных способа, которыми
нарушение суперсимметрии на большом масштабе энерrий Ms может быть
связано с известными лептонами и кварками
 посредством калибровоч"
ных или rpавитационных суперполей. Члены, нарушающие суперсиммет..
рию в результирующем низкоэнерrетическом эффективном лаrpанжиане,




28.4. Минимальная суперcuмметричная стандартная .модель


217


будут тоrда подавлены степенями калибровочных констант связи или сте..
пенями rpавитационной постоянной. Большинство этих слarаемых будут,
следовательно, весьма малы, с тем исключением, что наряду с множителя..
ми в виде калибровочных констант связи либо rpавитационной постоянной,
по размерным соображениям массовые члены и прочие суперперенормиру"
емые слarаемые в эффективном лarpанжиане будут пропорциональны од..
ной или более степеням масштаба нарушения суперсимметрии Ms, который
значительно превышает массы известных частиц. Следовательно, можно за..
ключить, что в достаточно хорошем приближении в случае вызванноro ка..
либровочными полями нарушения суперсимметрии и в очень хорошем при..
ближении в случае вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии,
rлавный эффект нарушения суперсимметрии будет содержаться в суперпе..
ренормируемых слarаемых эффективноro лаrpанжиана суперсимметричной
стандартной модели. эту версию стандартной модели 10, которая суперсим

метрична за исключением суперперенормируемых членов, принято называть
.мuнuмШlЬНОЙ суперсuм.метрuчной стандартной .моделью.
Если R..четность или B
L сохраняются, наиболее общий суп ер пер е..
нормируемый лarpанжиан, допускаемый SU(з)хSU(2)хU(1) калибровоч"
ной симметрией, принимает вид


!lsR ==
 L M t Q (9;9 j)
 LM
O (iJ: ii1j)
 LM
Jj(
;
j)
ч ч ч
2L t 2Ё
t


 LM ij (ftiffj)
 LM ij (а' i W j)
ij ij

 (i'зтrnюинол'з)
 (i'2 т винол'2)
 (i'l т бинол'l)



 LA8hB(
 ;«1) 9J j
 L A t h 5(ft;«I)W j
ij ij

 LA3h3(9T«2)iJj
 LC8h8(9T.1t2)
j
ij ij
ЕЕ Т
 ии т


 LCijhij(fti.1t2)W j
 LCijh ij (
 i.1ti) CUj
ij ij

 Bfl (.1(1«1) +э. с.


(28.4.1)


прописныIe буквы здесь используются для обозначения скалярных компо..
нент левокиральных суперполей. Подразумеваются суммы по SU(2) и цве..
товым индексам, так как они необходимы для SU(З)хSU(2)хU(1) инвари..
антности, а е
 обычная антисимметричная 2 х 2 матрица i02. Все коэф"
фициенты MOryт быть комплексными, и массы калибрино MOryт включать
члены, пропорциональные как 15, так и единичной матрице.




218


rлава 28. Суперcu.м.метричные версии стандартной .модели


Здесь мы следуем обычаю и записываем коэффициенты при слarае..
мых, включающих скалярные поля, но не им сопряженные, равными коэффи"
циентам при соответствующих суперсимметричных
..слarаемых в лarpан..
жиане (28.1.7), умноженным наА8, А5, A
 и В. Это обусловлено тем сообра..
жением, что малость юкавских взаимодействий леrких кварков в выражении
(28.1.7) отражает число приближенных киральных симметрий, которые при
расширении на полный супермультиплет также сделали бы соответствую..
щие трилинейные члены в (28.4.1) малыми. В то же время появление
..члена
в (28.1.7) нарушает возможную симметрию Печчеи
Квинна 4, и если бы эта
симметрия приблизительно выполнялась, это сделало бы
 и B
 мaJIыIи..
Аналоrичные рассуждения позволяют определить форму записи коэффици"
ентов при слarаемых, включающих как скалярные поля, так и им комплексно
сопряженные. В разделе 31.4 мы опишем также вклады в Ah и B
, которые
на самом деле пропорциональны соответственно h и
. Здесь мы, однако,
оставим открытым вопрос о том, обязательно ли малы коэффициенты Ah, Ch
и B
 в выражении (28.4.1), если малы соответствующие коэффициенты h и

в выражении (28.1.7).
При обсуждении минимальной суперсимметричной стандартной мо"
дели Сh..члены в (28.4.1) обычно опускались. Это происходило отчасти из..за
TOro, что, как обсуждалось в разделе 27.7, слarаемые, подобные тем, кото"
рые включают <р"компоненты левокиральных скалярных суперполей, а также
им комплексно сопряженные, MOryт потенциально породить квадратичные
расходимости и, тем самым, создать проблему тонкой настройки. Но мы
видели в разделе 27.7, что квадратичные расходимости встречаются лишь
в диarpаммах
«roловастиках», в которых линия скалярноro поля перехо..
дит в вакуум, а в минимальной суперсимметричной стандартной модели
не существует скаляров, нейтральных по отношению ко всем калибровоч"
ным симметриям, и следовательно нет скалярных «roловастиков». В теори..
ях с вызванным rpавитацией нарушением суперсимметрии, рассмотренным
в разделе 31.6, Сh..члены отсутствуют. В теориях с рассмотренным вразде..
ле 28.6 нарушением суперсимметрии, вызванным калибровочными полями,
они малы. Однако нет оснований полarать, что так будет всеrда.
Несмотря на то, что суперперенормируемые взаимодействия, подоб..
ные приведенным в (28.4.1), не являются суперсимметричными, они не
создают, как это показано в разделе 27.7, нарушающих суперсимметрию
ультрафиолетово расходящихся поправок к коэффициентам суперсиммет..
ричных d == 4 взаимодействий. Следовательно, условие суперсимметрии, ко..
торое накладывается на безразмерные константы связи минимальной супер..
симметричной стандартной модели, не получается в результате сокращения
ультрафиолетовых расходимостей путем перенормировки констант связи.
это свойство стало в работе 10 основанием для введения минимальной су"




28.4. Мuнuмшzьная суперcuмметрuчная стандартная .модель


219


персимметричной стандартной модели, а не любой теории с нарушением
суперсимметрии при высокой энерrии в скрытом секторе.
Наилучшим apryмeHToM сеroдня в пользу изучения применений супер

симметричной стандартной модели является то, что, как уже упоминалось,
теории, в которых суперсимметрия спонтанно нарушена при высоких энер

rиях, естественным образом описываются при roраздо меньших энерrиях
минимальной суперсимметричной стандартной моделью. Мы можем иссле

довать феноменолоrические приложения суперсимметричной стандартной
модели, и быть достаточно уверенными в разумности результатов, какая бы
конкретная модель нарушения суперсимметрии и способ ее реализации не
оказалась верной.
Даже без Сh..членов, если все прочие коэффициенты в лarpанжиане
оrpаничены лишь сохранением калибровочных симметрий и R..четности,
минимальная суперсимметричная стандартная модель будет содержать бо

лее ста свободных параметров 11. В данном случае «минимальная» означает
только то, что теория содержит минимальный набор суперполей. Иноrда
термин «минимальная суперсимметричная стандартная модель» использу

ется для моделей, удовлетворяющих также оrpаничениям на коэффициенты
в суперперенормируемых членах, вызванными либо какой"нибудь лежащей
в основе теорией, либо эмпирическими оrpаниченями. Например, иноrда
оптимистично предполarается, что минимальная суперсимметричная CTaH

дартная модель удовлетворяет условиям универсальности


M
.Q == м?-.Ь == М?-.О == M?-.L == м?-.Ё == M20i J '
') '} '} 'J'J '
тrnюино == твино == тбино,
A
 ==A
. ==A
 ==А сР == C
 == C
 == о
'} '} '} ' '} '} '} ·


(28.4.2)


Часто эти условия накладываются на масштабе Мх
 1016 rэв, при котором
происходит объединение констант взаимодействия, с поправками, порожда..
емыми ренормrpупповым потоком к более низким энерrиям. Здесь мы не
будем делать таких допущений.
Анализируя феноменолоrические приложения минимальной супер

симметричной стандартной модели, мы должны иметь дело не только с
поиском новых частиц, но также и с двумя классами жестких эмпирических
оrpаничений на процессы с уже известными нам частицами: эксперимен

тальными верхними rpаницами на различные процессы снесохранением
аромата, и на различные моды еР
несохранения.




220
rлава 28. Суперcuмметричные версии стандартной .модели
d L
1 2 3
SL
--)1.--
SL
............
1 2 3
d L
Рис. 28.1. Однопетлевая диarpамма, которая может давать вклад в  == 2 эффектив
ное взаимодействие (SL'YfJdL)(dL'YfJSL) в суперсимметричной стандартной модели.
Злесь сплошные линии  кварки, пунктирные  скварки, объединенные волнистые
и сплошные линии  rлюино.
Процессы с изменением аромата
в разделе 21.3 мы видели, что в несуперсимметричной стандартной
модели существует автоматическое подавление процессов с изменением apo
мата, подобных осцилляциям ко  ко и распаду ко  fl + fl  . это происходит
из..за особенности данной теории, состоящей в том, что только расщепление
масс кварков позволяет определить их таким образом, чтобы каждый аромат
сохранялся поотдельности. Поэтому амплитуда таких процессов с изме
нением аромата должна быть пропорциональна произведению нескольких
малых масс кварков. Кроме TOro, в этой теории аромат лептона сохраня
ется автоматически, поэтому процессы типа fl  еу абсолютно запрещены.
Эти удовлетворительные результаты подверrаются риску из..за существова
ния скварков и слептонов в суперсимметричных расширениях стандартной
модели, потому что в общем случае нет оснований ожидать, что массовые
матрицы слептонов и скварков будут диaroнальными в том же базисе, что и
матрицы лептонов и кварков. Это не приводит к изменению аромата во вза
имодействии этих частиц с калибровочными бозонами, которое не зависит
от аромата, но может породить переходы с изменением аромата, при KoтO
рых скварки и слептоны превратятся в кварки и лептоны с испусканием или
поrnощением калибрино. Конечно, если скварки и слептоны вырождены,
проблем не возникает, т. к. В этом случае их массовые матрицы диaroнальны
в любом базисе.
Самые строrие оrpаничения на расщепления масс скварков и(или) yr
лы смешивания получаются из измерений ко  ко переходов 12. Эти пе
реходы порождаются операторами в эффективном низкоэнерreтическом ла
rpанжиане типа (iL'YdL)(JL'YSL), которые MOryт порождаться диarpаммами,
подобными изображенной на рис. 28.1. Суперпартнеры кварков dL и SL, BO
обще roворя, являются линейными комбинациями Li Vdii и Li Vsii CKBap

28.4. Мuнuмшzьная суперcuмметрuчная стандартная .модель
221
d L
UL CL tL
SL
W
SL .
UL CL tL
d L
Рис. 28.2. Однопетлевая диarpамма, которая может давать вклад в М=:2 эффектив
ное взаимодействие (sL'YfJdL)(dL'YfJSL) как в суперсимметричной, так и в несупер
симметричной стандартных моделях. Здесь сплошные линии  кварки, а волнистые
линии  ::rбозоны.
ков ; определенной массы, rде Vj;  3 х 3 унитарная матрица, так что два
пропarатора с кв ар ко в в данной диarpамме вносят множитель
 VdNsi х  VdjVsj
 k2+M i€  k2+M i€'
, , } }
rде k  4импульс В петле. Так как матрица j унитарна, этот вклад ис..
чезает, если массы всех трех скварков М; равны. Если же квадраты масс
скварков отличаются от HeKoero общеro значения MквaPK на относительно
малую величину T, то этот вклад становится равным
( k 2 +M/ . ) 4 ( IVdjVsj; ) 2.
скварк '€ ;
Амплитуда перехода dLSL  SLdL имеет размерность масса 2, так что после
умножения на пропarаторы rлюино, четырехкратноro умножения на KOHcтaH
ту сильноro взаимодействия gs И интеrpирования по k мы должны получить
амплитуду,пропорциональную
iб (  VdjVsjLWr ) 2 ,
(28.4.3)
rде М  наибольшая из масс М скварк и т rnюино . это следует сравнить с Bыpa
жением для данной амплитуды в несуперсимметричной стандартной модели,
которое получается в результате W обмена (рис. 28.2). Пренебреrая третьим
поколением кварков, амплитуды перехода которых в первые два поколения
малы, получим, что амплитуды переходов d  и, d  с, S  U и S  с с испус..
канием W равны соответственно, cos ее,  sin ее, sin ее и cos ее, rде ее  yroл

222
rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной .модели
Кабиббо, определенный в разделе 21.3. Следовательно, вместо пропаrаторов
скварков имеем кварковые пропаrаторы
. ( i+mи iK+m e )
sln8ecos8 e k2 2 ·  k2 2 · ,
+ т и  lE + те  lE
а вместо KOHcTaHThI сильноro взаимодействия gs  константу SU(2) взаи
модействия g. Следовательно, в несуперсимметричной стандартной модели
амплитуда переход а dLSL  sLdL пропорциональна
g4 sin 2 Ое cos 2 8е ( ) 2
4 те  т и ,
mW
(28.4.4)
с коэффициентом пропорциональности тoro же порядка, что и в выражении
(28.4.3). Хорошо известно, что при разумных предположениях о том, как
вычислять амплитуду ко  [(о перехода, исходя из амплитуды dLSL  SLdL,
амплитуда, отвечающая рис. 28.2, дает результат, находящийся в хорошем
соrласии с экспериментом. (На самом деле, еще до открытия CKBapKa rайар
и Ли 13 использовали этот расчет для предсказания TOro, что те  1,5 rэв.)
Следовательно, кажется разумным требование, чтобы результат обмена
скварком (28.4.3) бьт бы меньше, чем результат обмена кварком (28.4.4).
Это приводит к условию
 *шf g2sin8ecos8 e (тeти)M
 Vd;Vsi JCi2 < 2 2 '
, gs m W
(28.4.5)
Беря значения g2 /4х == 0,036, g; /4х == 0,118, sin Ое == 0,22, mw == 80,4 rэв,
те == 1,5 rэв и т и « те, получим
 Vd;Vsi д:! < 1,5 х 103 Х (М/I00 rэв).
1
(28.4.6)
Не похоже, чтобы массы скварков бьти MHOro меньше, чем тrnюино, так что
можно заключить, что либо массы скварков расщеплены не более чем в
отношении один к 103, либо недиаroнальные копоненты матрицы смешива
ния Vji меньше, чем 103, либо скварки тяжелее, чем 10 ТэВ, или мы имеем
некоторую комбинацию почти вырожденных скварков, почти нулевых yrлов
смешивания и тяжелых скварков. Сам по себе, этот результат лишь накла
дывает оrpаничения на суперпартнеров ; левых кварков зарядом e/3, но
аналоrичные оrpаничения на массы и yrлы смешивания 9);..скварков MOryт
быть получены при рассмотрении амплитуды перехода dRSR  sRd R . Мы мо"
жем также получить несколько более слабые оrpаничения на массы и yrлы

28.4. МUНUМШlЬНая суперсuм.метрuчная стандартная .модель
223
бино,вино О
:,
:>
J1.
; шi
:>
е
вино
J1.
............
Jti ш?
е
Рис. 28.3. Однопетлевые диаrpаммы распада  -----t е + 'У. Здесь сплошные линии
отвечают лептонам, пунктирные линии  слептонам, объединенные волнистые и
сплошные линии  калибрино, а волнистые линии  фотонам.
смешивания для скварков Cfli, рассматривая амплитуды, порожденные об..
меном вино, а не rлюино. Следует, однако, заметить, что эти apryмeHTЫ не
налаrают оrpаничений на разность масс скварков различных зарядов, или
на разность масс суперпартнеров .9l i И  i левых кварков и антикварков.
Ожидается, что так же, как и для скварков, слептоны определенной
массы будут недиаroнальными линейными комбинациями суперпартнеров
лептонов. Это приводит к распаду fl ------+ е + 'У за счет диаrpамм, подобных
изображенной на рис. 28.3. Экспериментальный верхний предел 4,9 х 1011
на относительную вероятность ЭТОro распада устанавливает предел поряд
ка 10З на частичное расщепление масс слептонов одинаковоro заряда, но
разных поколений, для общих yrлов смешивания, либо на yrлы смешивания
невырожденных слептонов 14.
Бьши предприняты попытки объяснить вырождение слептонов и
скварков с помощью калибровочной симметрии, связывающей различные
поколения 14а. В разделе 28.6 мы опишем подход к нарушению суперсим
метрии, в котором это вырождение появляется без необходимости налarать
такие симметрии.

224
rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной .модели
еР"варуmевие
Второй важный класс оrpаничений, накладываемых блaroдаря экс"
периментальной информации об известных частицах, связан с эффектами
еР"нарушения, такими, как электрические дипольные моменты неЙТРона и
электрона 15.
В разделе 21.3 мы видели, что в несуперсимметричноой стандартной
модели с одним скалярным дублетом эти эффекты довольно малы, если не
учитывать потенциально существующую проблему с параметром в в кван..
товой хромодинамике, рассмотренную в разделе 23.6. это происходит изза
тoro, что, если бы бьто лишь два поколения кварков и лептонов, то все
еРнарушающие фазы массовой матрицы кварков и лептонов и их взаимо
действие с калибровочными бозонами можно бьто бы включить в опреде
ление кварковых и лептонных полей, и хотя есть и третье поколение, ero
перемешивание с первыми двумя поколениями (по зarадочным причинам)
весьма мало. (Этот apryмeнт неприменим к процессам, непосредственно
включающим кварки тpeтьero поколения, таким, как во  во смешивание,
которые должны быть измерены на планируемых (<Вфабриках».) Следова
тельно, ожидается 16, что электрический дипольный момент нейтрона в этой
простой несуперсимметричной версии стандартной модели должен быть
меньше примерно 10ЗОе см, т. е. значительно меньше экспериментальноro
BepxHero оrpаничения 6.3 х 1026e 16а.
Напротив, в минимальной суперсимметричной стандартной модели
в ее наиболее общей форме более чем сотня ее свободных параметров
включает в том числе десятки нарушающих ерсимметрию относитель
ных фаз. После выполнения интеrpирования по тяжелым суп ер партнерам
известных частиц, эти относительные фазы порождают некоторое число
нарушающих еРинвариантность эффективных взаимодействий, которые
следует добавить к лarpанжиану стандартной модели. Те из них, которые
обладают минимальной размерностью, и которые по размерным сообра-
жениям должны быть, по"видимому, наиболее важными, включают элек..
трические дипольные моменты кварков и лептонов 17, аналоrичные на..
рушающие еРинвариантность «хромоэлектрические» дипольные MOMeH
ты, дающие вклад во взаимодействие rлюонов с кв арками 18, наруша..
ющие ер"симметрию чисто rлюонные взаимодействия 19 и нарушающее
ер"симметрию взаимодействие caмoro леrкоro xиrrсовскоro скаляра слеп..
тонами 20.
В качестве примера рассмотрим хромоэлектрические дипольные мо"
MeHThI кварка, которые в некоторых моделях дают наибольший вклад в элек..
трический дипольный момент неЙТРона. Нарушающий еР оператор хромо..

28.4. Мuнuмшzьная суперсuм.метрuчная стандартная .модель
225
......*
UL, d L ry,  ry,  UR, d R
Рис. 28.4. Однопетлевая диarpамма для хромоэлектрическоro дипольноro MOMeH
та и или dкварков. Здесь сплошные линии отвечают кваркам, пунктирные линии 
скваркам, объединенные волнистые и сплошные линии  rлюино, а волнистая ли
ния  rлюону. Косой крестик обозначает вставку билинейноro взаимодействия,
возникающеro из трилинейноro взаимодействия скалярноro поля в сочетании со
спонтанным нарушением SU(2) х и(1) симметрии. Существуют также диarpаммы,
в которых rлюонная линия прикреплена не к линии rлюона, а к одной из внутренних
скварковых линий.
электрическоro дипольноro момента равен (qy5['У,'Уv]Лаq)/fV (rде q  обра..
зующее цветовой триплет поле " или duapКOB, /f V  тензор напряженно
сти SU(З) поля, а Аа  з х 3 reHepaTopbl SU(З).) Так как 'Y5['YI''Yv] имеет MaT
ричные элементы только между ЧL и qR или между ЧR и qL, то для TOro, чтобы
однопетлевые диarpаммы давали вклад в хромоэлектрический дипольный
момент, необходимо, чтобы внешняя линия левоro " или d..uapKa испуска..
ла внутреннюю линию rлюино, и превращалась бы в линию, отвечающую ry 
.... ....
или cквapкy, которая затем превращалась бы в линию ry или  cквap
ка, и наконец  в линию правоro и.. или duapKa поrлощением внутренней
линии rлюино при внешней rлюонной линии, присоединенной либо к BНYТ
ренней rлюинной линии, либо к одной из внутренних скварковых линий
(рис. 28.4)
Чтобы вычислить это, нужно знать порожденное спонтанным Hapy
шением SU(2)xU(1) и представленное крестиком на рис. 28.4 смешивание
скалярных компонент ryi (или i) левокиральных кварковых суперполей Qi с
.... ....
комплексно сопряженными полями ry i (или i) скалярных компонент лево..
киральных антикварковых суперполей Uj (или Dj). Часть этоro смешивания
возникает из вклада суперсимметричноro ЭТ..члена взаимодействия (28.1.7)
в последнее слarаемое в выражении (26.4.7):
I  и'" 0 1 2 I  D'" 0 1 2
!:l1JX== hijryfYj+1  h;jij+2 ·
'} '}
(28.4.7)
Кроме TOro, дают вклад A и С..члены в выражении (28.4.1):

226
rлава 28. Суперсимметричные версии стандартной .модели
I  D  [ D О D 0 * ]
Ш.9l:К ==  hijiq; j A;J1fl +C;J1f2
'}
 и ... [ и О и 0 * ]
 hijry[IJj A/?f2 +CijJt'l  э. с.
'}
(28.4.8)
Замена нейтральных хиrrсовских скалярных полей их вакуумными сред..
ними дает квадратичные члены
p  ==  2Re 4тtylWjtfl*ctg+A +c ctg)
'}
 2Re 4 т В9>Д) j(fl*(tg)* +АВ cB(tg)*),
'}
(28.4.9)
rде т == (X)h и тВ == (X?)hB  массовые матрицы кварков заря
дом 2е/3 и e/3, а
tg Р = (:К) / (:К?) * .
(28.4.1 О)
Пренебреrая смешиванием Кабиббо, и полarая для определенности А
и С диаroнальными, получаем, что диаrpамма на рис. 28.4 дает вклады
в хромоэлектрические дипольные моменты и и duapKoB вида
з
de == lt2 Im[тиAI(nt<y,mtt ,тrnюино)],
(28.4.11 )
з
dC;/ == 12 Im[тdAI(Iп9J, ,тrnюино)],
(28.4.12)
rде
A = (fl* +Cи)ctgP+A и , A = (fl* Cd)(tgP)* +Ad,
(28.4.13)
а 1  сложная безразмерная функция своих apryмeHToB, возникающая из
интеrpирования по виртуальному 4импульсу. При т.9l N т  и при опре
делении поля rлюино так, чтобы сделать тrлюино и т  действительными,
Функция 1 принимает вид
( 2 )
 з тrnюино
l(т,т,тrnюино) == тrnюиноJ 2 2 '
т.21  тrnюино
(28.4.14)
rде 21
4 ( I+Z ) 11
J(z) ==2(i+ з +i)lп z +2z3зi.
(28.4.15)

28.4. Мuнuмшzьная суперсим.метрuчная стандартная .модель
227
Трудная часть вычислений TaKoro рода всеrда заключается в оценке вклада
от оператора, подобноro взаимодействию хромоэлектрическоro диполя с ад..
ронными матричными элементами, такими, как электрический дипольный
момент неЙТРона. Можно предвидеть, что потребуются ренормrpупповые
поправки, так как этот оператор должен использоваться при энерrиях по..
рядка массы неЙТРона, а не порядка масс скварков и rлюино. Более важно
просто правильно собрать размерные множители и множители 4х. для этой
цели обычно используют правило подсчета 22, известное как «наивный раз..
мерный анализ». Связная диаrpамма с числом вершин  типа i и числом
внутренних линий / будет иметь некоторое число петель L, задаваемое co
отношением L == /  L;  + 1. Если N; линий прикреплены к вершине типа i
и диarpамма в целом имеет N внешних линий, то 2/ + N == L; Ni, так что
N ( N; )
L==12+\-i 21 ·
Мы ожидаем возникновения множителя порядка 1/16х 2 для каждой петли,
так что коэффициент при операторе (J в низкоэнерrетическом эффективном
лarpанжиане с N множителями полей будет содержать общий множитель
(41t)N2 П (41t)(2N;)\I;.
i
Если оператор (J обладает размерностью d, а взаимодействия (J i ти"
па i имеют размерности d;, то коэффициент при (J будет иметь размер
ность 4  d  Li ( 4  d;), поэтому этот коэффициент будет также содержать
множитель M4d Пi Md;4, rде М  некоторый типичный для адронной фи
зики масштаб, например, масса нуклона или энерrия 21tF 1t  1200 МэБ, при
которой начинают нарушаться низкоэнерreтические разложения, обсуждав..
шиеся в разделе 19.5. Окончательно, вклад в коэффициент (J от некоторой
диarpаммы будет, конечно, пропорционален взаимодействиям всех операто
ров (J ;, ассоциированных с вершинами в rpафе. Удобно суммировать все
эти замечания, введя «приведенную константу взаимодействия». По опреде
лению, приведенная константа взаимодействия, связанная с любым опера
тором (J i, В который входят Ni полей, имеющим размерность d; и константу
взаимодействия gi, равна
приведенная == . (4 ) 2N; M q; ;4
gi  g, 1t ·
(28.4.16)
Сделанные выше оценки позволяют сформулировать правило наивноro раз
MepHoro анализа: приведенная константа взаимодействия любоro операто
ра (J в эффективном адронном лаrpанжиане rpубо равна произведению

228
rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной .модели
приведенных констант тех взаимодействий, которые дают вклад в эту эф
Фективную константу.
Электрический дипольный момент неЙТРона является коэффициен"
том оператора с одним фотонным и двумя нейтронными полями и имеет
размерность пять, так что ero приведенная константа взаимодействия рав"
на Md/41t. Подобно этому, хромоэлектрический маrнитный момент кварка
имеет приведенную константу взаимодействия Mde /4х. В дополнение к oд
ной степени этой приведенной константы взаимодействия, приведенная KOH
станта взаимодействия оператора электрическоro дипольноro момента ней..
трона должна также вносить одну степень приведенной константы взаимо"
действия е /4х электромarнитноro взаимодействия и неопределенное число
степеней приведенной константы взаимодействия gs/41t, которые при НUЗКО
энерzетическо.м масштабе М не слишком отличаются от единицы и, следо
вательно, MOryт не приниматься во внимание. Взяв вклад d..uapKa в качестве
образца для вкладов обоих u и d"KBapKoB, получим
е ed d e ( gs ) 3 [ 1 ] (
d n  4п  е 4п 1m тdAd 1 "'!lJ, ,т rлюино ).
(28.4.17)
Дальнейшее упрощение связано с наложением условия т rnюино  т  mg"
так что J == 7/18. Взяв величину gs/41t, при масштабе масс rлюино и скварков
тому же значению 0,12, что и при mz, а lmdl  7 МэВ, имеем тоrда
Id e l  О 5 10 23 IAII sin<p1 х (100 rэв)2
п  · х е см 3 '
тrnюино
(28.4.18)
rде <р  фаза A при условии, что массы rлюино, кварка и скварка взяты дей
ствительными. Вклад электрическоro дипольноro момента кварка несколько
больше, а вклад чисто rлюонноro еРнечетноro оператора значительно мень..
ше 23.
Чтобы избежать противоречия с экспериментальной верхней rpa
ницей 0,97 х 1025e см, следует считать, что либо часть, связанная с
еРнарушением в суперсимметричной стандартной модели, должна быть
меньше 102, либо некоторые из новых частиц модели должны быть тяжелее
примерно 1 ТэВ. Аналоrичные заключения бьши получены из вычислений
электрических дипольных моментов атомов и молекул 23. Еще более жесткие
оrpаничения на нарушающие еР фазы бьши получены 24 из рассмотрения
вклада диarpаммы, изображенной на рис. 28.1, в один точно измеренный
эффект нарушения еРинвариантности  мнимую часть амплитуды ко  ко
осцилляций.

28.5. Сектор с нулевыми барионныJИ и лептонныJи числами
229
28.5. Сектор с нулевыми барионным и лептонным числами
Несмотря на большое число параметров суперсимметричной стан..
дартной модели, в некоторых случаях она обладает удивительно боль..
шой предсказательной силой. это верно, в частности, коrда мы рассмат"
риваем скалярные поля, вакуумные средние которых спонтанно наруша..
ют SU(2)xU(1) калибровочную симметрию. В этом разделе мы рассмотрим
эти скаляры, наряду с дрyrими полями, имеющими нулевые лептонное и ба..
рионное числа: нечетные относительно зарядовоro сопряжения нейтральные
скаляры, заряженные скаляры, и фермионные суперпартнеры этих скаляров
и W:i: и z.
Критическим требованием для суперсимметричных версий стандарт..
ной модели является то, что они должны содержать скалярный дублет «хиrr..
совских» суперполей с правильными массой и параметрами взаимодействия,
учитывающими нарушение SU (2) х U ( 1) калибровочной rpуппы электромar..
нитных и слабых взаимодействий. Мы видели в разделе 28.1 что для прида..
ния масс кваркам зарядом 2е/3 и e/3 и заряженным лептонам необходимы
по крайней мере два левых скалярных дублета, тоrда как в разделе 28.2
мы обнаружили, что два дублета  именно то, что необходимо для слияния
констант SU(3), SU(2) и И(1) калибровочных взаимодействий при некото..
рой очень высокой энерrии. Следовательно, предположим, что имеются два
левых скалярных SU(2)..ду6лета
Нl == (z!), Н2 == (). (28.5.1)
Они имеют SU(2) и И(1) D..члены (27.4.7), задаваемые (если считать
константу Файе..Илиопулоса и(l) равной нулю) в виде
iJ ==  (.1t'i'f1t'l) +  (.1t'1'f1t'2)' (28.5.2)
g' g'
Dy == 1: (.1t'i.1t'l) + 1: (х1Х2), (28.5.3)
rдеК 1 ,2  скалярные компоненты дублетов суперполей Нl,2, а t r  матрицы
Паули, причем t == 1. Как видно из выражения (27.4.9), в перенормируемой
теории это дает вклад D..члена в потенциал скалярноro поля
1 2 1 2
VD == 2 D + 2 Dy
g2 [ t.... t ] 2 g,2 [ t t ] 2
== 8" (Х 1 ut' 1) + (Х 2 ut' 2) + 8"" (Х 1Х 1) + (Х 2Х 2) ·
(28.5.4)

230
rлава 28. Суперсим.метричные версии стандартной .модели
Можно выразить это в более удобной форме при помощи соотношения
(i);1! · (i)kj == 2б;j б /d  б;ебkj
(28.5.5)
(Для доказательства используем инвариантность относительно вращений,
чтобы показать, что б;jбkl! может быть выражена как линейная комбина..
ция (i);e. (i)kj и б;ебkj, и вычислим коэффициенты путем взятия следов по
индексам i,j и i,l.) Таким образом, можно переписать часть D..члена в по..
тенциале скалярноro поля как
g2 1 1 2 g2+g'2 [ ] 2
VD =="2 (.1t'i.1t'2) + 8 (.1t'i.1t'))  (хlХ2) ·
(28.5.6)
Как упоминалось в разделе 28.1, для этих двух дублетов существует только
один возможный перенормируемый член в суперпотенциале вида
f(HI, Н2) == (HC еН2),
(28.5.7)
rде   константа размерностью массы, а е  антисимметричная матрица it2.
Соrласно выражению (27.4.9), это дает дополнительный вклад в потенциал
скалярноro поля
V I1 == L д/(Х1,Х2) 2 + L дЛХl,Х2) 2
r дJt'lr r дJt'2r
== I 12 [(.1t'i.1t')) + (хlХ2)] .
(28.5.8)
При  * о потенциал VD + VJ.L' очевидно, имеет минимальное значение нуль,
достиrаемое в единственной точкеКI ==.1(2 == о. Только за счет этих членов
в потенциале SU(2)xU(I), а также суперсимметрия, спонтанно не наруша..
ются. (Случай  == О не HaMHoro лучше; существует бесконечное множество
вакуумных состояний сненарушенной суперсимметрией и с SU (2) х U (1 )
симметрией, нарушенной до электромarнитной калибровочной инвариант..
ности со всеми возможными константами, включая нуль.) Это еще один при..
мер общей трудности, с которой мы уже сталкивались в разделе 28.3,  фор
мулировки реалистических теорий, в которых суперсимметрия спонтанно
нарушается в рамках стандартной модели.
При сделанных в предыдущем разделе предположениях о том, что
суперсимметрия нарушается в эффективном лаrpанжиане только суперпере..
нормируемыми членами, наиболее общий из таких нарушающих суперсим"
метрию членов, включающих скалярные дублеты, имеет вид
V m == тт(К; ,KI) +т(KI,.1(2) +Re{B(.1(IМt'2)}.

28.5. Сектор с нулевы.ми барионны.м и лептонны.м числами
231
rде ту и т  действительные параметры (не обязательно положительные),
а Bfl  параметр произвольной фазы. Подберем общую фазу суперполей Нl
и Н2 так, чтобы Bfl бьто действительным и положительным, тоrда
V m == ту(кI ,Х1) +т(Kl ,К2) + BflRe(KI Мt(2).
(28.5.9)
Полный скалярный потенциал в древесном приближения тоrда равен
V == VD + V + V m
2 2 2+ 12 2
== ; 1(.1(:.1(2)1 + g 8 g [(.1(:.1())  (.1(1.1(2)]
+ (ту + IflI 2 )(KIKl) + (т + I fl12) (кlК2)
+ BflRe(JfI Мt(2).
(28.5.1 О)
Заметим, в частности, что fl2, ту, т входят только в комбинациях ту + 1 fll 2
ит+lflI2.
Существует одно условие на нарушающие суперсимметрию парамет
ры т;, вытекающие из требования, чтобы потенциал бьт оrpаничен снизу.
для скалярных полей бесконечно растущих в произвольных направлени..
ях, в потенциале доминируют положительные четвертичные члены VD. Есть
специальные направления, вдоль которых VD исчезают: такие, для которых
(с точностью дО SU(2) хИ(I) калибровочных преобразований)
Н) == (),
Н2 == (),
с произвольной комплексной величиной ..Для таких направлений V ==
(21 fll 2 + ту + т) 112  Bfl2, поэтому (так как Bfl бьто определено поло..
жительным) для TOro, чтобы это V не стремилось к oo при  -----t +00, необ
ходимо, чтобы
21fll 2 +ту +т  Bfl.
(28.5.11)
Мы хотим найти минимум потенциала, в котором электромarнитная
калибровочная инвариантность не нарушена, так что рассмотрим поведение
потенциала как функцию нейтральных скалярных полей, а заряженные CKa
лярные поля положим равными нулю. В таком случае выражение (28.5.10)
дает потенциал нейтральных скаляров в виде
2 12
v N == g g [/.1f?12/.1f12] +(тi+I12)/.1f?12
+ (т + IflI2)/.1f12  BflRe(Jf?Jf).
(28.5.12)

232
rлава 28. Суперсим.метричные версии стандартной .модели
Чтобы найти стационарную точку, разложим V N в окрестности постоянных
" 'УРО
значении J i == Vi, записав
кр == Vi + Ф;.
(28.5.13)
с точностью до второro порядка по ф;, формула (28.5.12) дает
2 12
V == g : g (Iщ 12  I V 21 2 ) [2 Rе(viФl  V2Ф2) + IФl1 2  1Ф21 2 ]
+ g2  gf2 [2Re( viФl  V2Ф2)] 2 +(mi + I 12) ( 2Rеv iФl + IФlI 2 )
+ (т + 112) ( 2RеV 2Ф2 + 1Ф21 2 )  BRe( ЩФ2 + V2Фl +ФIФ2)
+ константа. (28.5.14)
Чтобы Vi бьши точками равновесия полей, члены первоro порядка по Фi
должны обратиться в нуль
2 12 1
(mi + 112)vi + g : g (I V lI 2 + 1V212)vi  2 BV2 == о,
(28.5.15)
2 12 1
(т + 112)V2 + g : g (lvll2 + I V 21 2 )V2  2 BVl == о.
(28.5.16)
Не меняя общую фазу полей Фi, можно подобрать их относительные фазы
так, что Vl станет действительным. Тоrда соотношения (28.5.15) и (28.5.16)
показывают, что V2 также действительно, так что эти уравнения принимают
вид
( 2 1 1 2 g2 + g12 ( 2 2 ) 1
тl +  )Vl + 4 vl 'V2 Vl  2 BV2 == о,
( 2 1 1 2 g2 + g12 ( 2 2 ) 1
+  )V2+ 4 vl v2 V2 2 ВЩ ==0.
(28.5.17)
(28.5.18)
Эти условия MOryт бьпь использованы, чтобы выразить массовые параметры
в потенциале через удобные величины
tgP = V2/ V l,
(28.5.19)
2  1 ( 2 12 ) ( 2 2 )
mz  2 g + g vl + 'v2 ,
(28.5.20)
и
т = 21Jll 2 +тт +т.
(28.5.21)

28.5. Сектор с нулевыми барионны.м и лептонным числами
233
(Параметр mz  масса BeктopHoro бозона Z*. Мы скоро увидим, что тА 
масса одноro из физических скаляров.) Домножая формулы (28.5.17) и
(28.5.18), соответственно на V2 и Vt, и беря разность и сумму, получаем
BJ.L == т sin2p, (28.5.22)
и
mi т == (т +m)cos2P, (28.5.23)
что вместе с уравнением (28.5.21) дает
2 2 12 12 2 2 2 12 12 2
тl + Ifll == 2 тА  2 (тА +mz)cos2P, т2 + Ifll == 2 тА + 2 (тА +mz)cos2p.
(28.5.24)
После сокращения линейных членов, квадратичная часть (28.5.14) нейтраль..
HOro скалярноro потенциала может быть записана в виде
2+ 12 2+ 12 2
V == g 4 g (vi  v) [IФ112  1Ф21 2 ] + g 2 g [Rе(VIФI  V2Ф2)]
+ (mI + 1J.L1 2 )IФlI 2 + (т + 1J.L1 2 )IФ21 2  ВJ.LRе(ФtФ2) + константа
==  тСОS2Р[IФI12  1Ф212]+т[Rе(СОSРФI SiПРФ2)]2
1 2 ( 2 2 ) 1 2 2 [ 2 2 ]
+ 2 тА IФII +IФ21  2 (тA+тZ)cos2P IФII IФ21
 т siп2РRе(ФIФ2) + константа. (28.5.25)
Мы видим из формулы (28.5.25), что действительная и мнимая части Фi
расцеплены. (Это произошло из..за TOro, что потенциал (28.5.12) инвариан
тен относительно зарядовоro сопряжения или еР..преобразования Фi  Ф;.)
Матрица квадратов масс мнимых частей Фi есть
М 2 
Imф 
!т (1  cos2P)
!т sin2p
(28.5.26)
1 т 2 sin2A
2 А 1-'
!т(1 +cos2P)
Детерминант обращается в нуль, поэтому одно собственное значение равно
нулю, а остальные равны следу, который равен т. Скаляр нулевой Mac
сы  это, конечно, нейтральный roлдстоуновский бозон, связанный со спон..
танным нарушением SU(2) х И(1) дО электромarнитной калибровочной ин..
вариантности, и, как 06суждал ось в rлаве 21, он устраняется механизмом
*Поскольку скалярные поля нормированы здесь и в разделе 21.3 поразному, между фор
мулами для m, приведенными в выражениях (28.5.20) и (21.3.30) есть различие на множи
тель 2.

234
rлава 28. Суперсu.м.метричные версии стандартной .модели
Хиrrса. Как и бьто обещано, тА  масса одноro из физических скаляров,
неroлдстоуновскоro бозона с отрицательным е. это показывает, что для тою,
чтобы значения поля Фi == Vi 6ьто по крайней мере локальным минимумом
потенциала, определенный в (28.5.21) параметр т должен быть положи..
тельным. Условие хорошеro поведения при больших напряженностях поля
(28.5.11) демонстрирует, что уравнение (28.5.22) имеет решение при р в диа
пазоне О  Р  п/2.
В частности, если Bfl == О и О < р < тс/2, тоrда выражение (28.5.22)
показывает, что тА == о. в этом случае частица А  rолдстоуновский 60"
зон И(1) симметрии ПеччеиКвинна 4 потенциала (28.5.12) относительно
одинаковоrо изменения фазы к? и K, которая при Vl * О И V2 * Оспон..
танно нарушается, не сохраняя ненарушенной ни одной комбинации этой и
электрослабой и ( 1) симметрии. Это  первоначальная версия аксиона 25,
который, как мы видели в разделе 23.6, приобретает только малую массу
за счет юкавских взаимодействий скаляров с кварками, и эта версия экспе..
риментально исключена. Следовательно, мы заключаем, что величина Bfl
определенно не равна нулю.
Элементы матрицы квадратов масс для действительных скаляров да..
ются выражением (28.5.25) в виде
( 2 ) 12 12
М Rеф 11 == 2 mA(1cos2P)+ 2 mz(1+cos2P),
(мie ф ) 12 == (мiеФ)21 ==   (т +m)sin2p,
( 2 ) 12 12
М Reф 22 == 2 mA(1+cos2P)+ 2 mz(1 cos2P).
(28.5.27)
Решение секулярноro уравнения дает собственные значения
т 2  ! [ т 2 + т2 + v ( m2 + т2 ) 2  4т 2 т 2 cos 2 2 A ]
H2 А z А Z А Z 1-' ,
т 2  ! [ т 2 + т2  V ( m 2 + т2 ) 2  4т 2 т 2 cos22A ]
h2 А z А Z А Z 1-' ·
(28.5.28)
(28.5.29)
Чтобы вычислить массы заряженных скаляров, получим потенциал
Зf) == ( )
Зf2 == ().
(28.5.30)
Подставляя это в формулу (28.5.10), получаем квадратичную часть потен
циала заряженноro скаляра

28.5. Сектор с нулевы.ми барионны.м и лептонны.м числами
235
2 2 ,2
V== ; IV2(.1f1)*+vt.1t'i1 2 + g g (viv)(1212)
+ (тт+ IflI2)12 + (т + IflI2)12 +B.1t'i. (28.5.31)
Используя формулы (28.5.22) и (28.5.24), можно переписать это как
Vaдp ==  (т + т1) [12(1  cos2) + 12(1 + cos2) + 2sin21l1tl.1t'i] ,
(28.5.32)
rде mw  масса заряженноro калибровочноro бозона
т ==  g2 (lщ 12 + I V 21 2 ) .
(28.5.33)
Тоrда матрица квадратов масс заряженных скаляров равна:
м2 == !(т 2 +т 2 ) ( 1 .cos2p sin2p ) .
е 2 w А Slп2р 1 +cos2P
(28.5.34)
Она имеет нулевой детерминант, так что одно собственное значение равно
нулю, а дpyroe  следу
222
те == mw +тА.
(28.5.35)
Заряженный скаляр нулевой массы  это, конечно, еще один roлдстоунов"
ский бозон, связанный со спонтанным нарушением SU(2)xU(I), и, как и
нейтральный roлдстоуновский 60ЗОН, найденный раньше, он исключается
механизмом Хиrrса.
Даже при неизвестных параметрах тА и р, эти результаты мноroе
roворят об относительных величинах масс скалярных бозонов. Можно пе..
реписать (28.5.28) и (25.5.29) в форме
т ==  [т 1 +т+ V(m1 m)2+4m1mSin22 ] ,
т ==  [т 1 +т  V (m1 т)2 +4m1mSin22] , (28.5.37)
Мы видим, что более тяжелая .масса нейтрШlЬНОZО скаляра тн больше,
чем большая из .масс mz и тА, в то время как самая леzкая .масса Heй
трШlЬНОZО скаляра mh .меньше, чем .меньшая из .масс mz и тА. Если большое
отношение масс tKBapKa и bквapKa вызвано скорее большим отношени
ем V2/Vl == tgp вакуумных средних скалярных полей, а не 60ЛЬШИМ отноше..
ни ем юкавских констант взаимодействия, то можно ожидать, что р близко
(28.5.36)

236
rлава 28. Суперсимметричные версии стандартной .модели
к 1С/2, и в таком случае эти неравенства становятся приближенными paBeH
ствами. Далее, (28.5.35) показывает, что .масса заряженноzо скаляра больше,
чем .массы тА и mw.
Эти результаты количественно модифицируются различными радиа..
ционными поправками в ра.мках стандартной модели (в отличие от эффек"
тов радиационных поправок, которые порождают входные параметры т;
в теориях с вызванным калибровочными полями спонтанным нарушени..
ем суперсимметрии.) Наиболее важные поправки возникают изза наличия
в скалярном потенциале У слarаемых, определяемых диarpаммами, включа..
ющими одну петлю с t или Ькварками, взаимодействующими произволь..
ное число раз с линиями внешних скалярных полей. Это происходит потому,
что t.. и Ь..кварки roраздо сильнее взаимодействуют СК2 иК} соответствен..
но. (Здесь разумно включить кварковые петли с t.. и Ькварками потому, что,
как упоминалось выше, большая масса tKBapKa может скорее определяться
большим отношением V2/V}, чем большим отношением юкавских констант
взаимодействия, но даже в этом случае мы увидим, что доминирующие по
правки происходят от петель t..кварка.)
для начала рассмотрим нейтральные скаляры, по крайней мере, один
из которых в отсутствие радиационных поправок леrче, чем Z..бозон.
Эффект этих t.. и Ьпетель сводится к возникновению в уп вклада ви
да Ut(12) + Ub(?12). Мы включим все члены из U t И иь, линейные
по P12  VI или 12  , во входные параметры тт и т, так что
и( vi) == и: (v) == о.
(28.5.38)
Наши предыдущие результаты (28.5.24) и(28.5.22) для тт + 112, т + 112
и B останутся тоrда неизменными. Кроме TOro, массовая матрица для
енечетных нейтральных скаляров опять задается уравнением (28.5.26).
С дрyroй стороны, элементы матрицы квадратов масс для е..четных ней..
тральных скаляров теперь имеют вид
( 2 ) 12 12
М Reф II == 2 тА(1 cos2) + 2 тz (1 +cos2) +L1ь,
(мiеф)12 == (мie Ф )21 ==   (т +т)sin2,
( 2 ) 12 12
М Rеф 22 == 2 тА(1 +cos2) + 2 тz (1 cos2) +L1"
(28.5.39)
rде
db == 2viut(vi),
d t == 2vU:'(v).
(28.5.40)

28.5. Сектор с нулевыМ,и барионны.м и лептонны.м числами
237
Тоrда решения секулярноro уравнения имеют вид
2 1 [ 2 2
тн == 2 тА +тz+д+ь+
+ V ((т т)cos2+dt ь)2 + (т +т)2si022], (28.5.41)
2 1 [ 2 2
mh == 2 тА +тz+д+ь+
+ V ((т т)cos2+dt ь)2 + (т +т)2si022], (28.5.42)
Обсуждая вопрос о поиске этих частиц, важно заметить, что масса леrкоro
хиrrсовскоro бозона mh возрастает с ростом неизвестной массы тА, достиrая
конечноro Bepxнero предела при тА -----t 00:
mh  mh (тА -----t 00) == т COs 2 2р + t sin 2 р + b COs 2 р.
(28.5.43)
Чтобы вычислить b и t, напомним результат из раздела 16.2, что потенци"
алы U Ь и U t задаются как
о 2 3 о 4 [ I льк? 12 3 ] '"
Ub(/J't'11 ) ==  16п2 1л.ь1t'11 ln М;Ь  2 +линеиные члены, (28.5.44)
( 10 1 2 ) 3 1 0 1 4 [ 1A,Jt'12 3 ] v (28
U t 1""'2 ==  16п 2 A,Jt'2 10 м;,  2 +линеиные члены, .5.45)
rде Л, == mt/ V 2 и ЛЬ == mb/Vl  константы юкавскоro взаимодействия для t
и Ь..кварков; Mst и Msb  массы скалярных суперпартнеров t.. и Ь..кварков;
эти массы и слаrаемые (3/2) внутри квадратных скобок выбраны, что..
бы удовлетворить условию, что нарушающие суперсимметрию поправки,
соответствующие st.. и sЬпетлям, сокращали бы поправки, соответствую..
щие t и Ьпетлям, если бы массы бьти равны, «Линейные члены» линейны
по /J't'12 или /J't'?1 2 С коэффициентами, подобранными так, чтобы удовлетво..
рить соотношению (28.5.38). (Множитель 3 учитывает три цвета кварков.)
Тоrда соотношения (28.5.40) дают
/!ч, ==   l лы 
 v21пn ( льvi ) == 3 ..r2тGF 10 ( М;Ь ) ,
4п 2 1 м2 2п2 COs2 А т2
sb 1-' Ь
(28.5.46)
dt ==  3 2 1л,14vlп ( л,V 2  ) == 3 ..r1F 10 ( Мп 2 2 ) , (28.5.47)
4п Mst 2п 2 Sln р m t
rде GF == 1,17 х 105 rэв2  константа взаимодействия Ферми, опре..
деленная формулой (21.3.34) как GF == g2 /4 J2m. Взяв тЬ == 4,3 rэв,

238
rлава 28. Суперсимметричные версии стандартной .модели
mt == 180 rэв, Mst rv Msb rv 1 ТэВ и mz == 91,2 rэв, получаем db rv 1,1 х
106т/ cos 2 р и Д rv 1, lт/ sin 2 р. Мы ВИДИМ, что даже если tgp так же Be
лик, как mt/mb, поправка за счет t..кварка Д будет все равно MHOro больше,
чем db.
Эффект Д  увеличение и тн и mh. Принимая во внимание эту и дру"
rие радиационные поправки 26, для tgp > 10 верхняя rpаница (28.5.43) на
наименьшую массу нейтральноro скаляра повышается радиационными по
правками от значений, чуть меньше, чем mz, до значения между 100 rэв и
11 О rэв при массах st..кварка между 300 rэв и 1 ТэВ. для сравнения, экспе..
риментальная нижняя rpаница 27 mh, тн и тА, равная 6,25 rэв устанавли
вается, отсутствием hA.. или HA конечноro состояния в е+ e ..столкновениях
в диапазоне от 130 до 172 rэв. Вычисления радиационных поправок, вклю"
чающих xиrrсовские скаляры, соrласуются с точными измерениями элек
трослабых явлений для mh в промежутке 27а от 27 до 140 rэв.
для заряженных скаляров радиационные поправки менее важны. Так
как прикрепление линий заряженных скаляров разрешает переходы между
t.. и Ь"кварками, поправка к потенциалу скалярноro поля принимает здесь
более общую форму, которая при оrpаничении SU(2) х И(1) симметрией
должна иметь вид
dV == и(K1K2,K:Kl,KI,K:K2,KTМf2).
(28.5.48)
(Кварковые петли фактически не порождают какой..либо зависимости от
KTМf2.) Каждое появление Кl" или К2..дублета сопровождается множи"
телем ЛЬ или 'л, соответственно, так что слarаемые, ВЮIЮчающие К 1, будут
подавлены, как мы это уже видели при расчете масс нейтральных скаляров.
В хорошем приближении поправки к эффективному потенциалу будут иметь
вид
dV  и(кl К 2'0,0,0) == U(lv 2 +ф 2 1 + 12,0,0,0).
(28.5.49)
Возвращаясь к случаю, коrда заряженные поля равны нулю, видим, что
функция U должна быть точно такой же, как та, которую раньше назы..
вали U t . Любые слarаемые в U первоro порядка в разложении по степе..
иям IV2 + Ф21 2 +  12   будут просто служить для переопределения KOH
станты т и устраняются при применении соrлашения (28.5.38). Слarаемые
в U второro порядка по IV2+Ф212+12v  настоящие радиационные
поправки, но, хотя они содержат слarаемые втoporo порядка по IФ21 2 , ко..
торые оказывают влияние на массы нейтральных скаляров, они не содер..
жат членов втoporo порядка по .1t212, которые моrли бы сдвинуть массу
неroлдстоуновскоro заряженноro скаляра. К счастью, и не требуется, чтобы
радиационные поправки не вступали в противоречие с экспериментом, так
как при отсутствии BepxHero оrpаничения на тА нет теоретической верхней

28.5. Сектор с нулевыми барионным и лептонны.м числами
239
rpаницы на массу заряженноro скаляра. Экспериментальная нижняя rpани"
ца 28 те  59 fэВ возникает из фактао отсутствия процесса e+e rr
в диапазоне от 181 до 184 rэв. Существует значительно более точная ниж"
няя rpаница для те, задаваемая вероятностью процесса Ь  sy (измеряемая
в распадах типа В  К*у), который может происходить при переходе к про..
межуточному r и или r с состоянию с испусканием фотона виртуальным
кварком или r. в настоящее время соrласие между теорией и эксперимен
том для этоro процесса устанавливает нижнюю rpаницу на те примерно
в 150 fэВ (и выше при tgp < 1). С помощью соотношения (28.5.35) это
приводит к важной нижней rpанице тА > 125 rэв.
Есть два условия на массы mr, которые должны удовлетворяться в лю..
бой модели нарушения суперсимметрии для TOro, чтобы приводить к успеш
ному учету нарушения электрослабой симметрии. Одно из них задается
условием, чтобы потенциал бьт оrpаничен снизу, которое требует, как мы
видели, чтобы
21fll +тТ +т > Bfl.
Поскольку, по определению, Bfl положительно, это rарантирует, что квад..
рат массы е"нечетноro неЙТРальноro скаляра (28.5.21) положителен. Второе
условие задается выражениями (28.5.22) и (28.5.24), которые для произволь..
ных значений р требуют, чтобы
4(mT+lflI2)(m+ltlI2)  (Bfl)2.
(28.5.50)
Из выражения (28.5.10) леrко видеть, что это условие rарантирует, что матри..
ца вторых производных потенциала имеет отрицательное собственное значе..
ние при:К 1 ==:к 2 == О, так что эта SU (2) х U ( 1) инвариантная точка  одна из
точек неустойчивоro равновесия, и поэтому симметрия SU(2)xU(I) должна
быть спонтанно нарушена. Если р близко к 1tj2, то соотношение (28.5.24)
roворит нам, что это условие удовлетворяется при положительном значе..
нии тт + I fll 2 и отрицательном значении  + I fl1 2 . Как мы увидим в следую..
щем разделе, ренормrpупповой поток параметров в лarpанжиане скалярноro
поля обеспечивает механизм, делающий т + I fll 2 отрицательным.
Даже при минимальным наборе суперполей в суперсимметричных
теориях существуют несколько пар частиц с различными свойствами от..
носительно SU (2) х U (1) преобразований, но с одинаковым зарядом, цветом,
барионным и лептонным числами, которые смешиваются, коrда SU (2) х U (1 )
спонтанно нарушена. Мы уже видели пример этоro в предыдущем разделе,
коrда нам пришлось иметь дело со смешиванием скалярных суперпартнеров
левых кварков с комплексно сопряженными скалярными суперпартнерами
левых антикварков. Аналоrичное смешивание происходит между xиrrсино
и калибрино, как заряженными, так и нейтральными; частицы определенной

240
rлава 28. СупеРCUJUМетричные версии стандартной модели
массы являются не хиrrсино или калибрино, а смешанными состояниями,
известными как чарджино и нейтралино. Рассмотрим чарджино, которые
приводят к полезному оrpаничению на fl. Соrnасно формуле (27.4.8), в ла..
rpанжиане есть недиаroнальные суперсимметричные массовые слarаемые:
 Re [(hl[ eht,) + i V2 m w cos/3 (wZ T eht,) + i V2sin/3 (wt T eh 1L )] ·
К этому следует прибавить слarаемое для массы вино твиноRе (wt T eWL)'
которое порождается калибровочными взаимодействиями с сектором нару..
шения суперсимметрии. Квадраты масс чарджино, следовательно, являются
собственными значениями матрицы
м ( твино i V27 sin /3 ) .
с == i V2mwcosP r
(28.5.51 )
эти два собственных значения равны
арджино ==  [т;ино +2т + 112::1: ((тино  112)2 +4mcos22/3
2 2 2 . ) 1/2 ]
+4тw(твино+lfll 2твиноRеflSlп2Р) · (28.5.52)
Мы ожидаем, что масса вино твино MHOro больше, чем mw. Если она также
MHOro больше Ifll, тоrда более тяжелое чарджино  это в основном ви"
но С массой твино, а наиболее леrкое чарджино  в основном хиrrсино с
массой Ifll. в любом случае, Ifll больше, чем масса caMoro леrкоro чарджи
но, чья масса больше, чем "'-160 rэв и, возможно, больше, чем mw, о чем
roворит отсутствие рождения калибрино в е+ e анниrиляции. Поиск ней..
тралино в е+ e ..анниrиляции установил нижний предел 27 rэв на массу
леrчайшеro нейтралино 29а.
28.6. Нарушение суперсимметрии, вызванное калибровочными
полями
в этом разделе мы рассмотрим возможность TOro, что наруше..
ние суперсимметрии передается известным частицам через взаимодей..
ствия обычных SU(З) х SU(2) х и(1) калибровочных бозонов и их cy
перпартнеров 30. Здесь предполаrается, что суперсимметрия динамиче..
ски нарушается в секторе суперполей, не включающем суперполя на..
блюдаемых кварков и лептонов, и что некоторые из киральных суперпо
лей в секторе нарушения суперсимметрии, известные как суперполяпере

28.6. Нарушение суперси.мметрии, вызванное КШluбровочными полями 241
носчики*, имеют ненулевые SU(З) х SU(2) х U(l) квантовые числа. Что
бы частицы..переносчики моrли приобретать большую массу (порядка 1
ТэВ), необходимо, чтобы они реализовали действительное (или псевдо..
действительное) представление SU (З) х SU (2) х U (1 ), что автоматически
означает также, что они не вносят какихлибо новых аномалий. Хотя
в большинстве имеющихся в литературе исследований вызванных калиб
ровочными полями нарушений суперсимметрии делаются также предпо..
ложения об отвечающих за нарушение суперсимметрии взаимодействиях
суперполей..переносчиков с дрyrими суперполями, наиболее важные пред..
сказания в этом классе теорий в действительности не зависят от этих
предположений. Поэтому мы не будем делать никаких предположений о
взаимодействии суперполей..переносчиков с дрyrими суперполями из Ha
рушающеro суперсимметрию сектора. Мы сделаем, однако, дрyroе пред
положение о SU(З) х SU(2) х U(l) свойствах суперполейпереносчиков,
имеющее сильную феноменолоrическую мотивацию.
для тoro, чтобы частицы..переносчики не влияли на рассмотренное
в разделе 28.2 объединение констант связи, будем предполarать, что от..
ношения полных следов возведенных в квадрат SU(з)хSU(2)хU(1) ка..
либровочных reHepaTopoB для них такие же, как и для обычных квар"
ков и лептонов. Это условие будет автоматически удовлетворяться, ec
ли суперполя..переносчики (возможно, с некоторыми SU(з)хSU(2)хU(1)
нейтральными киральными суперполями) реализуют полное представ..
ление некоторой простой rpуппы G, содержащей SU(з)хSU(2)хU(1),
в которой кварки и лептоны ( опять же, возможно вместе с некоторы"
ми SU(з)хSU(2)хU(1) нейтральными киральными суперполями) также
образуют полное представление. (Например, эти левокиральные суперпо..
ля MOryт образовывать N SU(2)..синrлетов SU(З)триплетов с зарядом е/З
и N SU(2)..дублетов SU(З)"синrлетов с зарядами О и e, которые вме..
сте образуют N представлений 5 rpуппы SU(5), вместе с равным чис..
лом левокиральных суперполей в комплексно..сопряженных представлени
ях SU(з)хSU(2)хU(1), которые образуют N представлений 5 .) Сейчас, од..
нако, нет необходимости ни предполarать, что G  реальная rpуппа Ka
либровочной симметрии данной теории, ни принимать любой конкретный
выбор G или представление, реализуемое частицамипереносчиками.
Ожидается, что это взаимодействие суперполей..переносчиков с дрyrи..
ми киральными и(или) калибровочными суперполями из сектора нарушения
суперсимметрии и с SU(з)хSU(2)хU(1) калибровочными суперполями мо"
жет производить нарушение суперсимметрии в пропarаторах компонентных
полей SU(З) х SU(2) х U(l) калибровочных суперполей. С точностью до
* Автор использует термин «messenger superfields». Прuм. пер.

242
rлава 28. Суперcuм.метричные версии стандартной модели
п
Рис. 28.5. Диarpамма TOro типа, который вносит нарушение суперсимметрии в
пропаrатор калибровочных суперполей. Волнистые линии  произвольные КOM
понентные поля калибровочных суперполей, сплошные линии  компонентные по
ля суперполейпереносчиков, пунктирные линии  компонентные поля SU(З) х
SU(2) х и(1) нейтральных суперполей в секторе нарушения суперсимметрии.
низшеro порядка по константам SU(3) х SU(2) х И(1) взаимодействий, rлав
ный вклад в пропarаторы дают диarpаммы типа показанной на рис. 28.5,
на которой пара калибровочных линий, пара линий калибрино или пара ли
ний воспомоrательных Dполей прикреплена к петле полейпереносчиков,
которые, кроме TOro, также MOryт иметь любое количество взаимодействий
с SU(3) х SU(2) х И(1) нейтральными полями из сектора нарушения cy
персимметрии. Поэтому нарушающие суперсимметрию поправки ic про
паrаторов калибровочных суперполей (с i == 1,2,3 для SU(3), SU(2) и И(1)
и с == V, л, D, отмечающими различные компоненты каждоro калибровочноro
поля) имеют вид
зс(q) == (g;/161t 2 ) LТЗпПсп(q),
п
2c(q) == (g2 /16х 2 ) L Т 2п П сп(q),
п
1c(q) == (g,2 /lfutl) L T lпIIcп(q),
п
(28.6.1 )
rде п обозначает различные суперполяпереносчики, Псп(q)  более или Me
нее сложные функции 4импульса q, ТЗп и Т2п  следы квадратов любоro
reHepaTopa SU(3) и SU(2) соответственно в представлениях, реализуемых
пM суперполемпереносчиком (нормированным так, что в фундаменталъ
ных представлениях Тз == Т2 == 1/2), Tl п  сумма квадратов электрослабых
rиперзарядов пro суперполяпереносчика. Одним немедленным следствием
является то, что калибрино приобретают массы Toro же вида * :
*Вспомним, что бино  суперпартнер U(l)"калибровочноro поля BJ!' которое ПОЯВJIJIется
в лаrpанжиане стандартной модели. Мы еще не учитывали SU(2) х U(l) нарушение, так

28.6. Нарушение cyпepcuм.мeтpии, вызванное КШlибровочны.ми полями 243
 
Рис. 28.6. Диarpаммы, которые передают нарушение суперсимметрии скваркам и
слептонам. Пунктирные линии обозначают скварки или слептоны, волнистые ли
нии  SU(З) х SU(2) х и(1) калибровочные бозоны или воспомоrательные Dполя,
сплошные линии  кварки или лептоны, комбинированные сплошные и волнистые
линии  SU(З) х SU(2) х и(1) калибрино, квадраты показывают вставки нарушаю
щей суперсимметрию поправки к пропаrатору, изображенной на рис. 28.5.
тrлюино == (g; / 16) L ТЗп М gn,
п
твино == (g2/ 16x 2 ) L Т2п М gn,
п
(28.6.2)
mбиио == (g,2 /16п/2) LTlпM gп ,
п
rде M gn  массы, характеризующие различные суперполяпереносчики. Как
уже упоминалось, для TOro, чтобы сохранить объединение констант взаимо
действия при очень высокой энерrии, мы предполarаем, что суммы Т п имеют
те же отношения, что и для наблюдаемых кварков и лептонов:
LТзп == L Т 2п == L3Tlп/5 = Т.
п п
(28.6.3)
Нарушение суперсимметрии в этих пропarаторах, следовательно, пе..
редается скваркам и слептонам суперсимметричной стандартной модели
через диarpаммы, изображенные на рис. 28.6, rде SU(3) х SU(2) х U(l)
калибровочный бозон или калибрино, или вспомоrательное Dполе испуска
ется и снова поrлощается скварком или слептоном. Мы рассматриваем эф..
Фективную низкоэнерrетическую теорию, в которой SU(3) х SU(2) х U(l)
нарушение пока не учитывается, так что здесь нет перемешивания меж
ду SU(3), SU(2) и U(l) пропarаторами, и каждый пропarатор действует на
что массы калибрино, скварка и слептона, рассчитываемые здесь, должны пониматься как
параметры, появляющиеся в SU(З) х SU(2) х U(l) инвариантном эффективном лarpанжиане
стандартноro вида.

244
rлава 28. Суперcuмметричные версии стандартной модели
калибровочные индексы как единичная матрица. Таким образом, квадрат
массы, сообщаемой любому скварку или слептону, будет пропорционален
сумме квадратов всех SU(3) х SU(2) х U(I)reHepaTopoB (включая KOHCTaH
ты взаимодействий) в представлении, реализуемом этим скварком или слеп
тоном. Суммы квадратов SU(2).. и SU(3)..reHepaTopoB в фундаментальных
представлениях равны
332
L (g(10/2)2 == + · 1,
а==l
8 4 2
L (gsAa/2)2 == s . 1,
а==l
rде Оа  изоспиновые матрицы Паули (5.4.18), а Аа  матрицы rелл..Манна
(19.7.2). Для И(1) reHepaтopoM является просто слабый rиперзаряд (21.3.7),
включающий фактор g'. Квадраты масс скварков и слептонов имеют вид:
2 2 [ 4 ( g; ) 2 3 ( g2 ) 2 ( 1 ) 2 ( g,2 ) 2 ]
M Q == 2 Msn 3 1002 ТЗn + 4 16п2 Т2п + 6 1002 Tln,
МО == 2 Msn [ ; ( 12 ) 2 ТЗn + (  ) 2 ( 12 ) Tln] ,
МЬ == 2 Msn [ ; ( 12 ) 2 ТЗn + (   ) 2 ( 12 ) Tln] ,
МЕ == 2M;n [  ( 1:2 ) 2 Т2п+ (  ) 2 ( 1;2 ) 2 Tln] ,
( g,2 )
МЁ == 2 M;n 16п 2 Tln,
rде Q, О, D, L и Е  скалярные суперпартнеры левых кварковых дублетов,
левых антикварков зарядом 2e/3 и +2е/3, левых лептонных дублетов и
левых заряженных антилептонов; M sn  некоторые новые массы, которые
характеризуют пe суперполяпереносчики. (Множитель 2 извлечен из М;п
для дальнейшеro удобства.) Получающиеся этим путем скварковые и слеп..
тонные массы автоматически одинаковы во всех трех поколениях. Таким
образом, разрешается проблема с процессами с изменением аромата, обсуж
давmаяся в разделе 28.4.
Мы ожидаем, что все M gn и M sn  приблизительно одноro порядка,
так что rnюино и скварки имеют сравнимые массы, тоrда как вино, бино
(28.6.4 )

28.6. Нарушение cyпepcuм.мeтpии, вызванное КШlибровочны.ми полями 245
и слептоны MHOro леrче, их массы подавлены квадратами электрослабых
констант связи.
При некоторых разумных динамических предположениях можно про..
двинуться значительно дальше. Допустим, что эффекты нарушения супер
симетрии в суперполях..переносчиках MOryт быть смоделированы включе..
нием этих суперполей вместе с набором SU(З) х SU(2) х И(1) нейтральных
киральных суперполей Sn (которые необязательно все различны) в суперпо..
тенциал
j(Ф,Ф,s) == LтАпSпФпФп,
п
(28.6.5)
rде Фп И Фп  левые суперполя..переносчики в комплексно сопряженных
представлениях SU (З) х SU (2) х U ( 1 ), а Л п  набор коэффициентов констант
взаимодействий. (Здесь и ниже мы отбрасываем SU(З) х SU(2) индексы, по
которым выполняется суммирование при расчетах скалярных произведений,
типа ФпФп.) Предполarается, что суперполя Sn имеют неисчезающие ваку..
умные средние !Р п и п для их скалярных и вспомоrательных компонент
соответственно. Ненулевые значения п В этих моделях вносят нарушение
суперсимметрии в массы частиц Фп И Фп. В разделе 26.4 показано, что при
пренебрежении калибровочными константами, квадраты масс спинорных
компонент Фп (и Фп) являются собственными значениями матрицы .Al.Al п
с .Al п, определенной в формуле (26.4.11), что дает
.At == ( о А п!Р п )
п Ап!Р пО'
так что фермионыпереносчики имеют массы Iлп!Р nl. Чтобы найти массовые
члены для скалярных компонент <Рп И Фп суперполей Фп И Фп, заметим, что
интеrpирование по воспомоrательным полям Фп И Фп при водит К потенциалу
L дf(,ф,!Р) 2 + L дf(ф,!р) 2 == L Iлn!Р nl 2 [1<i>nI 2 + IФnI 2 ] ,
п <Рп п <Рп п
к которому мы должны теперь добавить вклад вспомоrательной компонен
ты Sn, определяемой вторым членом уравнения (26.4.4) как
 [ дj(<р,ф,!Р) ]  [  ]
2Re  Лn!Т n д!Р n == 2Re  !ТnЛn<i>n<i>n ·
Таким образом, комплексные скалярные поля определенной массы
есть (<Рп:f:еiCXnФп) / V2, rде а п  фаза Лпп, С квадратами масс Iл п !Р п l 2
:f: IлпfТпl. (Отметим, что такая картина пары комплексных скаляров с квад..
ратами масс, находящимися на равном удалении над и под возведенной

246
rлава 28. Суперсuмметрuчные версии стандартной модели
в квадрат майорановской массой фермиона  именно то, что мы ожидали из
правила сумм (27.5.11).) Так как квадраты масс положительны, то
Inl  Iл п llYJ п l 2 .
(28.6.6)
в моделях, основанных на (28.6.5), массы калибрино задаются диа..
rpаммой вида, показанноro на рис. 28.5, но теперь лишь с одной петлей,
не включая вставки, обозначенной пунктирными линиями на рис. 28.5. По
дробное вычисление дает коэффициенты M gn в (28.6.2) 31:
Inl ( Inl )
M gn := 191 nl g lл.nll91 nl 2 '
(28.6.7)
rде
1
g(x) := 2х 2 [(1 + х) ln(1 +х) + (1  х) ln(1  х)]
r х 4 х 6
== 1++++...
6 15 28 ·
(28.6.8)
Массы скварков и слептонов даются диаrpаммами рис. 28.6, которые те..
перь содержат две петли. Еще одно подробное вычисление дает массовые
параметры М;п в уравнении (28.6.4) в виде 31
2 lnl2 ( Inl )
M sn := 191nl 2 ! lл. n ll91nl 2 '
(28.6.9)
rде
лх) == I;Х [ln(I+X)2Li2 ( I:Х ) +  Li2 ( IX )] +x x
1.2 11 4 319 6
:= 1 + 36 'л  450 Х  11760 Х +..., (28.6.10)
rде Li2  дилоrарифм
L . ( )  l Xln(lt) d
12 х ==  t.
О t
(28.6.11 )
в частности, если (как это часто предполаrается) различные Sn все один а..
ковы, и если 13i1 « Iл n llYJI 2 для всех n, тоrда f и g в формулах (28.6.9) и
(28.6.7) MOryт быть приравнены к 1, так что
M gn == M sn == 13i1/IYJI = М.
(28.6.12)

28.6. Нарушение суперси.мметрии, вызванное КШlибровочны.ми полями 247
Используя соотношение (28.6.3), можно выразить массы калибрино (28.6.2)
в виде
твино == (g2 /16)TM,
тбино == (5/3)(g'2/ 16x 2 )TM,
т rnюино == (g; / 16х 2 ) Т М,
(28.6.13)
тоrда как скварковые и слептонные массы (28.6.4) становятся равными
[ 4 ( 2 ) 2 3 ( 2 ) 2 5 ( 1 ) 2 ( '2 ) 2 ]
M == 2тм 2 3 12 + 4 1п2 + 3 6 1п2 '
[ 4 ( 2 ) 2 5 ( 2 ) 2 ( '2 ) 2 ]
МЬ == 2тм 2 3 12 + 3 3 1п2 '
[ 4 ( g2 ) 2 5 ( 1 ) 2 ( g'2 ) 2 ]
МЬ == 2тм 2 3 162 + 3  3 16п 2 '
[ 3 ( g2 ) 2 5 ( 1 ) 2 ( g,2 ) 2 ]
МЕ == 2тм 2 4 16п 2 + 3 2 16п 2 '
( '2 ) 2
2 25 g
М Е == 2ТМ 3 16х 2 ·
(28.6.14)
Нет особых оснований полаrать, что 1311  Iл п !Р1 2 , но это предположение,
на самом деле, не очень оrpаничивающее, так как уравнение (28.6.6) уже
требует 1311  Iл п ll!Р1 2 и оказывается, что функции f(x) и g(x) не слишком
отличаются единицы при х < 1, если только х не очень близок к 1.
Предельная простота результатов (28.6.13) и (28.6.14) бьта объяснена
rвидиче и Ратацци 32 с помощью описанных в разделе 27.6 рассуждений
Зайберrа 33 об аналитичности. Предположим, мы вводим суперпотенциал
для суперполей..переносчиков так, как в (28.6.5), но с единственным внеш..
ним синrлетным суперполем S:
j(S,Ф) == SLлпФп<l>п.
п
(28.6.15)
Кроме прочих следствий, кинематический член для калибровочноro супер..
поля  (с i == 3,2,1 для SU(3), SU(2) и и(1)) в вильсоновском эффективном

248
rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели
лarpанжиане при перенормировочном масштабе  примет теперь вид
!tкалибр., == Re [ 4,N;(S,) L(П';LaЕаI3П';LI3) ] ,
1 ар fF
(28.6.16)
с некоторыми функциями Ni(S, ), заменяющими множители 1/2gr() в фор
муле (27.3.22). (е..член здесь опущен, потому что он не дает вклада в рамках
теории возмущений. Предполarается суммирование по индексам в "'iLa, ко..
торые нумеруют не выписанные явно различные члены присоединенных
представлений SU(3) и SU(2).) Калибровочная константа связи задается Te
перь приравниванием суперполя S вакуумному среднему !Р ero скалярной
компоненты:
1
2gH) == N;(fP, ). (28.6.17)
Кроме TOro, вспоминая, что "'iLa == AiLa + О( е) и используя формулу (27.2.11),
находим, что члены в лаrpанжиане (28.6.16) BToporo порядка по полям ка..
либрино равны, с точностью ДО полных производных,
2 LRe [Ni(!P,) (iR AiR) + [Ni(S, )](AeAiL)] ·
i
Это дает массы калибрино
( ) [Ni ( S,  ) ] fF 2 ( ) I [ ( )] I
mg;  == 2N:(fP ) == g;  N; S,  [Т'
1 , 
(28.6.18)
Теперь рассмотрим поведение Ni (!Р , ) как функции действительноro поло
жительноro !Р с так подобранными фазами суперполей..переносчиков, что
все An действительны и положительны. Предположим, что мы фиксируем
значения констант калибровочных взаимодействий g i () при некотором мас..
штабе  == К, большем масс всех частицпереносчиков. Учитывая изменения
в константах bi в ренормrpупповых уравнениях dgi() / d == big, коrда 
принимает значения масс различных частиц..переносчиков, получаем, что
решение этоro уравнения для fl ниже масс всех частиц..переносчиков при
нимает вид
1 == 1  2bO) 1 ( М} )  2ЬР) 1 ( М2 )  . . .  2bN) 1 (  )
gH) gHK) I n К I n Ml I n MN '
rде мы обозначаем частицы..переносчики так, чтобы их массы М п == Ап!Р
удовлетворяли неравенству
М} > М2 > ... > MN,

28.6. Нарушение суперсим.метрии, вызванное КШlибровочнымu полями 249


и Ь
п) вычисляется с учетом только частиц массами ниже М п . Так как все М п
пропорциональны !Р, видим, что N; (!Р ,
) зависит от !Р как


Ni(!P,
) ==
ь
ереНОСЧИКlп!Р +!Р
независимые слаrаемые,


(28.6.19)


Ь переносчик Ь (О) b (N) Ь u И
rде i == i
 i
 вклад В i от всех суперполеи
переносчиков. з
(27.9.45) (при Сп == О и ck == Cf2 == Ln 1in), получаем


ь
ереносчик == 1
 1';
1 16х 2
 ,п.


(28.6.20)


Поскольку суперсимметрия требует, чтобы N;(S,
) была аналитической
функцией от S, мы видим, что


1
Nj(S, fl) ==
 16х 2
Т;тlПS +s
независимыe слarаемые.


(28.6.21 )


Разлarая в окрестности S ==!Р, в первом порядке по fFимеем [ln!P]fF==
/!P,
и тоrда формула (28.6.18) дает массы калибрино


gr(fl)


mg;(fl) == 16х2
Т;n YJ ·


(28.6.22)


Используя (28.6.3), видим, что это совпадает с нашим прежним результатом
(28.6.13). Формула (28.6.14) для масс скварков и слептонов была получе

на rвидиче и Ратацци аналоrично, путем изучения вместо калибровочных
суперполей кинематических членов для кварковых и лептонных суперполей.
Кстати, выражения (28.6.13) и (28.6.14) MOryт быть получены (в общем
случае с различными значениями М в (28.6.13) и (28.6.14)) без специальноro
динамическоro предположения, подобноro (28.6.5), если мы предположим,
что сектор нарушения суперсимметрии сохраняет инвариантность относи

тельно некоторой rpуппы G великоro объединения, которая имеет извест

ные кварки, лептоны и суперполя
переносчики в качестве полных представ

лений. В этом случае коэффициенты M gn и M sп в уравнениях (28.6.2) и
(28.6.3) будут иметь значения Mg(d) и Ms(d) соответственно, которые зави

сят только от неприводимоro представления d rpуппы G, которому принад

лежат n
ыe поля
переносчики. Отношения сумм 1in по n, принадлежащих
любому неприводимому представлению d rpуппы G, совпадают с отноше

ниями сумм в (28.6.3), так что Lned1in == kiT(d), rде kз == k2 == 1, k l == 5/3, и
поэтому


I,1in M gn == I,Mg(d) I, 1in == kiMg,
п d ned




250


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


rде Mg ==
dMg(d)T(d). Аналоrично,
L 1in M ;n == LM;(d) L 1in == kiM;,
п d nEd


rде М; ==
dM;(d)T(d). Выражения (28.6.2) и (28.6.4) ДОЛЖНЫ перейти в BЫ

ражения (28.6.13) и (28.6.14), с заменой Mg на ТМ и М; на 2тм 2 . Но
предположение, что M gn и M sn сохраняют инвариантность относительно G,
неправдоподобно, если масштаб масс переносчиков MHoro меньше масштаба
великоro объединения, поэтому, что бы мы не предполаrали о калибровоч

ной rpуппе великоro объединения, SU(3) х SU(2) х И(1), калибровочные
взаимодействия будут заставлять константы взаимодействия, такие как л'п,
по
разному изменяться для Фп С различными SU (3) х SU (2) х U ( 1 ) квантовы"
ми числами в одном и том же представлении rpуппы великоro объединения.
Эти результаты подвержены различным радиационным поправкам,
rлавное в которых
 то, что мы должны использовать значения gs, g и g',
перенормированные при масштабе, сравнимом с вычисляемыми массами.
В самом деле, отношения масс калибрино, данные в (28.6.13), MOryт быть
также выведены при совершенно дрyrих предположениях, что все массы Ka

либрино равны на масштабе великоro объединения, rде константы взаимо

действия связаны соотношением g; == g2 == 5g,2/ з , и становятся различными
при низких энерrиях, как это описывается уравнениями ренормrpуппы.
для иллюстрации численных результатов, предположим, что
суперполя
переносчики образуют SU(2)
синrлет и SU(3)
триплет с заря

дом е/3 и SU(2)
ду6лет и SU(3)"синrлет с зарядами О и
e, вместе с левыми
суперполями в комплексно
сопряженных представлениях SU(3) х SU(2) х
И(1). Тоrда, как уже упоминалось, соотношение (28.6.3) удовлетворяется
при Т == 2 х 1/2 == 1, так что, используя правильные значения калибро..
вочных констант взаимодействия можно найти, что массы скварков, rлю

ино, L
слептонов, вино, Е
слептонов и бино относятся дрyr К дрyry как 34
11,6: 7,0: 2,0: 1,1 : 1,0. В больших представлениях G может быть Т» 1, и
в этом случае rлюино будет самой тяжелой частицей, а слептоны
 самыми
леrкими.
Помимо изменения калибровочных констант существуют дрyrие
радиационные поправки. Соrласно одному вычислению 34, В модели
с SU(2)
синmетом SU(3)
триплетом зарядом е/3 и SU(2)
дублетом
SU(3)
синrлетом зарядами О и
e, вместе с левокиральными суперполя

ми в комплексно
сопряженных представлениях SU(3) х SU(2) х И(1), pa

диационные поправки приводят к следующим отношениям масс скварков,
rлюино, L слептонов, вино, Е слептонов и бино: 9,3 : 6,4 : 2,6 : 1,9 : 1,35 : 1,0.
Как мы видели в предыдущем разделе, вино и бино MOryт смешивать

ся с заряженными и нейтральными хиrrсино, так что вычисленные массы




28.6. Нарушение суперсимметрии, вызванное КШlибровочными полями 251


вино и бино ДОЛЖНЫ использоваться не как их собственные физические мас..
сы, а как входные данные для вычисления физических масс, известных как
чарджuно и нейтралино.
Рассмотрим теперь массы хиrrсовских скаляров в этих моделях. Если
бы мы учли только двухпетлевые диarpаммы, блaroдаря которым эти скаля

ры при обретают массы за счет калибровочных взаимодействий с нарушаю

щим суперсимметрию сектором, тоrда с точностью до знаков, эти скаляры
имели бы те же SU(3) х SU(2) х U(l) квантовые числа, что и дублеты ле

вых лептонов, и их массы бьши бы заданы формулой, подобной четвертой
формуле в (28.6.4)


[тi]2петл == [т
]2петл
 МI

 2 [ 3 g2 2 1 2 g,2 2 ] 2


Msn 4 Сбn2 ) T2n + ( 2 ) С6п 2 ) Tl n ·


(28.6.23)


Если бы этим дело и оrpаничивалось, то было бы невозможно удовлетво

рить найденному в предыдущем разделе условию для SU(2)xU(1) наруше

ния, что (пока tgp не очень близок к единице) одна из величин mi + 1
12
и т
 + 1
12 должна быть отрицательной. К счастью, большие массы t
uapKa
и скварка порождают отрицательный вклад в т
, который естественным
образом ведет к спонтанному нарушению симметрии. Взаимодействия xиrr

совских дублетов с суперполями кварков тpeтLero поколения описываются
суперпотенциалом


т
 т

fЗ-е поколение == ЛЬ(Н 1 eQ)B + ""(Н 2 eQ)T,


(28.6.24)


rде Q
 кварковый SU(2)..дублет левых полей (Т, В), t и в
 левокиральные
суперполя левых t
 и Ь
антикварков, "" и ЛЬ
 константы юкавскоro взаи

модействия, связанные с массами t
 и b
квapKOB как тt == л,V2 и ть == ЛЬVl.
Тоrда последний член в (26.4.7) дает слarаемые в потенциал, включающие
взаимодействие между полями скварков и полями Хиrrса как


VsqH == 147t)9J +'41f
# 12 + I41fP9J +
# 12
+1 4 1 2 FP91
:Itl3' 12 + 1
12
91
x
3' 12,


(28.6.25)


rде прописные буквы обозначают скалярные компоненты суперполей. Тоrда
вклады скварковой петли в потенциал :к 1 и:К 2 равны


V;квap1l1JВ81I ПeтJIII == 3(УУ*} [2141 2 (.1fl.1fl) + 21
12(.1fI.1f2)] ,


(28.6.26)




252


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


rде (fPfP*)
 вакуумное среднее произведения любоro из скварковых по

лей и ему комплексно сопряженноro, RЗS!ТЫХ в одной И той же точке
пространства
времени. (Принимая, что эта величина одинакова для всех ти

пов скварков, мы здесь восполъзовались выражением (28.6.4), из KOTOpO

следует, что массы скварков MQ не очень отличаются для скварков fj , fiJ, fj
и Е.) Множитель 3 в (28.6.26) учитывает три цвета каждоro типа скварков.)
Вакуумное среднее (!fJfP*) в низшем порядке дается выражением


. d 4
(fJJfJJ*) = (fJJ(х)fJJ*(х»)ВАК. == (;;4 ! 2
 . .'
1t Р +MQ
le


(28.6.27)


Интеrpал, конечно, расходится, но если скварки имели бы равные нулю ro

лые массы кварков, то вклад в нарушающие суперсимметрию коэффициенты
сократился бы кварковыми петлями, так что результат учета скварковых пе

тель сводится к вычитанию из выражения (28.6.27) Taкoro же выражения с
заменой MQ на нуль, что после виковскоro поворота дает


м 2 . 4
(fJJfJJ*) "'"'""* Ql ! d р
(2п)4 (р2 +M

 ie)(p2
 ie)
МЪ i (М2 П:-d р 2 МЪ ( М2 )
==
(21t)4Jo р2+МЪ

161t21n мЪ ·


Мы вставили ультрафиолетовое обрезание при массе переносчика М, так как
при импульсах больше М масса скварка должна быть заменена на завися

щую от импульса массу, которая при очень больших импульсах стремится к
суперсимметричному значению нуль. Подставляя это в выражение (28.6.26),
находим чистый вклад в потенциал от скварковых и кварковых петель:


(V m )3 пe:rли ==
:
 ln ( :i ) [21412 (.1(i.1(l) + 21л.1 2 (.1(1.1(2) ] ·


(28.6.28)


(Это трехпетлевой вклад, так как квадраты масс скварков заданы двух..
петлевыми диаrpаммами. В потенциале также имеются слаrаемые, квaд

ратичные как по полям Хиrrса, так и по скварковым полям, возни

кающие из произведений хиrrсовских и скварковых членов в квaдpa

тах D
компонент SU (2) х U ( 1) калибровочноro поля. Они не дают трехпетле

BOro вклада в хиrrсовские массы, потому что сумма каждоro из SU (2) х U ( 1 )
квантовых чисел скварков обращается в нуль, и поэтому их вклады
в D
компоненты SU(2)xU(1) калибровочноro поля имеют нулевые вакуум..
ные средние.) Сравнивая (28.6.28) с (28.5.9) и добавляя двухпетлевой вклад




28.6. Нарушение cyпepcu.м.мeтpии, вызванное калибровОЧНЫм'и поля.ми 253


(28.6.23) к массам, видим, что


2 2 3мы
ьl22 ( М2 )
тl ':::!. M L
 8 2 ln 2 '
1t M Q


(28.6.29)


зм 2 1л, 12 ( м2 )
тi
 МЕ

2 ln МЬ · (28.6.30)
Используя выражение (28.6.14) и то, что 1",,1 == тt/V2 == тt(2 V2GF )1/2/ sinp,
можно записать (28.6.30) как


[3 ( 2 ) 2 5 ( 12 ) 2
2t"V 2
 g
 g
т2
2TM 4 16х 2 + 12 16х2

 V2GFт; ( g; ) \п ( 3 )]
1tsin 2
 16х 2 8T(g;/161t 2 )


(28.6.31)


При Т == 1, g;/41t == О, 118, g2/41t == 0,0340, gl2 /4х == 0,0101 и тt == 180 rэв,
это равно величине


2 t"V М 2 [ 1
 3, 06 ]
т2
 L .2'
Sln р


(28.6.32)


которая отрицательна для всех значений р, что обеспечивает eCTeCTBeH

ный механизм спонтанноro нарушения электрослабой калибровочной сим

метрии. К тому же МЕ == (0,91 х 10
4)M2/8x2. Пока tgp невелик, име

ем Iлы
 « 1",,1, поэтому соотношение (28.6.17) дает


т 2 t"V М 2
2
 L.


(28.6.33)


Те аспекты электрослабой феноменолоrии, для которых предсказания
моделей с вызванным калибровочными полями нарушением суперсиммет

рии наиболее неопределенны и неудовлетворительны, связаны с парамет

ром
 в сохраняющем суперсимметрию слarаемом
[(HreH2)]g- и связанном
с ним слarаемым B
 в лarpанжианне. Эти слаrаемые связаны из
за TOro, что
взаимодействия хиrrсовских суперполей с калибровочными, лептонными и
кварковыми суперполями инвариантны относительно преобразований сим

метрии


Нl -----+ е;Ф Нl ,
Q -----+ е
iФQ,
jj -----+ jj,


Н2 -----+ е iф Н2,

 -----+
,
о -----+ О,


(28.6.34)




254


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


что при отсутствии в суперпотенциале слarаемоro
(HteH2) запретило бы
возникновение за счет радиационных поправок слarаемоro B
Re(HteH2)
в потенциале скалярноro поля.
Слarаемое B
 не может исчезнуть, поскольку тоrда соотношение
(28.5.22) и тот факт, что (как мы видели) тА :/; о, означали бы, что sin2p == о,
или, дрyrими словами, либо Vl == о, либо V2 == о. Это означало бы, что либо
все кварки заряда
e/3 и заряженные лептоны, либо кварки заряда +2е/3
безмассовые. (Если B
 == О и
 == о, то эта проблема сохраняется во всех
порядках, так как появление ненулевоro BaкyyмHOro среднеro для обоих Vl
и V2 означало бы, что симметрия относительно любой комбинации преоб

разования (28.6.34) и электрослабых U(l) калибровочных преобразований
спонтанно нарушена, так что е
нечетный нейтральный скаляр при тА == О
бьш бы roлдстоуновским бозоном.) Естественно попытаться учесть ненуле

вое значение B
 как радиационную поправку в теории, в которой симмет

рия относительно преобразования (28.6.34) явно нарушена суперсимметрич

ным слarаемым
[(HteH2)]
B лarpанжиане. Это дает очень малое значение
для B
 на масштабе переносчика 34, хотя учет эффектов ренормrpуппы зна

чительно увеличивает значение B
 при более низких энерrиях. Сотасно
(28.5.22), сравнительно малое значение B
 хорошо соrласуется с той идеей,
что большая масса t
DapKa проистекает из большоro значения tg р. В любом
случае, как уже упоминалось, экспериментальная нижняя rpаница массы
чарджино позволяет делать вывод, что значение I
 I равно по крайней мере
60 rэв.
Трудность состоит в том, что появление ненулевоro значения
 воз..
рождает проблему иерархии, которую, как предполarалось, должна решить
суперсимметрия: вместо вопроса о том, почему хиrrсовские массовые чле

ны в лarpанжиане настолько меньше планковской массы или массы, при
которой объединяются калибровочные взаимодействия, мы должны теперь
спрашивать о том, почему столь мало
.
Можно было бы оставить проблему иерархии в покое, если бы хиrr

совские суперполя взаимодействовали с нарушающим суперсимметрию ceK

тором таким образом, чтобы член
[(HteH2)]
 был запрещен какой
либо
симметрией, но появлялся бы, коrда эта симметрия спонтанно нарушена.
Можно избежать появления 6езмассовоro roлдстоуновскоro бозона, если
симметрия не непрерывная, а дискретная. Простейшая возможность состоит
в том, чтобы просто расширить преобразования симметрии (28.6.34), ВКЛЮ

чив преобразования


s
 е
2iфs
,
что разрешило бы появление в суперпотенциале слarаемоro вида
л' S(.1t'I еХ2).




28.6. Нарушение суперсимметрии, вызванное КШlибровочными пOJlJLМи 255


Можно избежать непрерывной симметрии,. включив также в суперпотенциал
член s3, так что лarpанжиан становится инвариантным лишь относительно
преобразований с <р, кратными 2тс/3, чеro уже достаточно для запрещения
ненулевых roлых масс
. В этом случае появление ненулевых вакуумных
средних !Р и
 для скалярной и аксиальной компонент S приводит к


B
 == Iл'
,
 == Iл'!РI.
Отсюда следовало бы, что В имело бы очень большое не зависящее от Iл'l
значение М, определенное формулой (28.6.12), которое бы было примерно
в (g;/161t)
1 ;::; 100 раз больше, чем массы скварка или rлюино. Но тоrда,
поскольку из (28.6.32) и (28.6.33) следует, что тI + т
 < О, условие CTa

бильности (28.5.11) потребовало бы, что I
I
 М/2, и, следовательно, из
соотношения (28.5.22) следовало бы, что тА также MHOro больше, чем мас..
сы скварка и слептона. это запрещено соотношением (28.5.23) и оценками
(28.6.33) и (28.6.32) на тI и т
 до тех пор, пока tgp не очень близок к
единице.
Мы увидим в разделе 31.6, что теории с вызванным rpавитацией Hapy

шением суперсимметрии дают приемлемые значения B
 и
. Такие теории
характеризуются очень большим масштабом нарушения суперсимметрии,
от 1011 rэв до 1013 rэв в различных версиях. Было несколько предложе

ний 34 относительно способов получения приемлемых значений B
 и

в теориях, в которых суперсимметрия нарушена при относительно низких
энерrиях, таких, как теории вызванноro калибровочными полями нарушения
суперсимметрии, но ни одно из них не кажется особенно привлекательным.
Кроме тoro, так как мы не знаем, откуда взялось
, у нас нет никаких
оснований предполаrать, что оно действительно, поэтому теории вызванно

ro калибровочными полями нарушения суперсимметрии рискуют привести
к слишком большому нарушению ер, так же, как это произошло в более
широком контексте в разделе 28.4.
Подобно квадратам масс скаляров тI и т
, параметры Aij и Cij
В (28.4.1) даются двухпетлевыми диarpаммами. Однако они имеют размер

ности масс, а не квадратов масс, и MHOro меньше, чем массы скаляров и
калибрино, потому они вносят сравнительно несущественный вклад в Hapy

шение суперсимметрии.
Как в любой модели с суперсимметрией, нарушенной при энерrи

ях, MHOro меньших, чем 1010 rэв, во всех моделях, основанных на BЫ

званном калобровочными полями нарушением суперсимметрии самоц леr

кой R
нечетной частицей является rpавитино. Как мы увидим в разделе
31.3, масса rpавитино порядка V'G, умноженному на квадрат характерной
для нарушения суперсимметрии энерrии F, определенной так, что энер

rия вакуума есть F 2 /2. Там, rде суперсимметрия нарушена
..членами
пO




256


rлава 28. Суперсим.метричные версии стандартной модели


SU(з)хSU(2)хU(I) нейтральных суперполей sп, имеем F 2 ==
п l
noI2. Если
в лаrpанжиане для Sn нет больших безразмерных величин, то массы скварков
в этой модели порядка g; VF /16х 2
 10
2 Л, И для тoro, чтобы по порядку
величины это бьшо меньше, чем естественная rpаница 104 rэв, необходи

мо, чтобы VF < 106 fэВ, что дает массу rpавитино меньшую, чем 1 кэВ.
fравитационные взаимодействия при доступных энерrияx столь малы, что
реально MOryт рождаться только состояния rpавитино спиральностью :i: 1/2,
и их поведение такое же, как и состояний roлдстино. Как следует из формулы
(27.5.12), в обсуждаемых здесь моделях поле roлдстино появляется в фер

мионной компоненте 'l'n суперполей Sn с коэффициентом i V2
. fолдстино
испускается в распаде R
нечетных счастиц на соответствующие R
четные
частицы стандартной модели через радиационные поправки, с roлдстино,
исходящими из вершин, соединяющих внутренние линии 'l'n и !р п. В со..
ответствии с формулой (29.2.10), амплитуды испускания roлдстино обратно
пропорциональны F, что делает эти распады сравнительно маловероятными,
хотя, возможно, достаточно быстрыми для TOro, чтобы быть замеченными.
Так как распад R"нечетных частиц в roлдстино медленный, то
в этих моделях феноменолоrически важно установить следующую по
массе за самой леrкой R
нечетную частицу, в которую все более тяже

лые R"нечетные частицы будут распадаться до TOro, как она, в свою оче

редь, распадется в roлдстино. Как мы видели, следующей по массе за самой
леrкой R
нечетной частицей обычно является слептон, вино или бино. (в
моделях с суперполем
переносчиком с теми же SU(з)хSU(2)хU(I) KBaH

товыми числами, что и квантовое число хиrrсовских дублетов возможно,
что смешивание между этими суперполями понизит массу дублетов пере

носчиков столь значительно, что самой леrкой R
нечетной частицей CTa

нет rлюино 35а .) Детальные вычисления, включающие эффекты наруше

ния SU(2)xU(I), показывают, что в пространстве параметров имеется боль

шая область, в которой следующей по массе за самой леrкой R
нечетной
частицей является один из двух тау
слептонов 35б.


28.7. Несохранение барионов и лептонов


Дополнительные частицы в суперсимметричных моделях предостав

ляют несколько новых механизмов несохранения барионов и лептонов. Мы
видели в разделе 28.1, что существуют различные суперсимметричные опе

раторы (28.1.2), (28.1.3) размерности четыре, которые не сохраняют бари

онные и лептонные числа и которые MOryт быть включены в перенор

мируемую SU(з)хSU(2)хU(I) инвариантную теорию, что при водит к Ka

тастрофической вероятности процессов типа распада протона. эти члены




28.7. Несохранение барuонов u лептонов


257


MOryт быть исключены из лаrpанжиана наложением условия сохранения
R
четности (или, эквивалентно, инвариантности относительно смены знака
всех кварковых и лептонных киральных суперполей), но это не исключает
различные SU(З) xSU(2) хИ(I) инвариантные операторы размерности d > 4,
которые, однако, не сохраняют барионные и лептонные числа. Как обсуж

далось в разделе 21.3, если существует какой
то механизм несохранения ба

рионов и лептонов, характеризуемый некоторым большим масштабом масс
М, тоrда это операторы появятся в эффективном лarpанжиане стандартной
модели с коэффициентами, пропорциональными M4
d. Если оrpаничиться
полями несуперсимметричной стандартной модели, операторы, которые мо"
ryт нарушить сохранение барионов, имеют минимальную размерность 6 36
и, таким образом, приводят к несохраняющим барионное число амплиту

дам, пропорциональным M
2. Новые поля, требуемые суперсимметрией,
приводят к двум важным изменениям в оценках процессов снесохранени"
ем барионов, таким, как распады протона и связанноro нейтрона. Как мы
видели в разделе 28.2, изменения в уравнениях ренормrpуппы приводят к
большей оценке М, что уменьшает эффект операторов размерности 6. В то
же время, эти новые поля позволяют построить новые операторы размер..
ности 5, которые приводят к несохраняюшим барионное число амплитудам,
пропорциональным M
 1 , И поэтому вносят, возможно, доминирующий вклад
в распад протона и связанноro нейтрона 37.
Суперсимметричные операторы размерности 5, которые MOryт быть
образованы из киральных суперполей (обычно обозначаемых Ф), имеют
вид (Ф*ФФ)D и (ФФФФ)
 И им комплексно сопряженных. (Мы не pac

сматриваем операторы, которые включают производные или калибровочные
поля, потому что они не приводят к какой
либо дополнительной возмож

ности несохранения барионов и лептонов.) В обозначениях раздела 28.1
SU(З)хSU(2)хU(I)
инвариантные операторы размерности 5, которые TaK

же сохраняют R
четность, имеют вид


(LLH2H2)
 , (28.7.1 )
(LEHi)D, (QDHi)D, (QUHj)D, (QQUD)
, (QULE)
, (28.7.2)
и
(QQQL)
, (UUDE)
, (28.7.3)


с очевидной сверткой индексов, как это требуется SU(З) и SU(2) coxpa

нением. Взаимодействие (28.7.1)
 суперсимметричная версия оператора
размерности пять, который в некоторых теориях 38 может привести к по

явлению малых масс нейтрино. Взаимодействия (28.7.2) приводят лишь к
малым поправкам к процессам, которые уже появились в перенормируемых




258


rлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной модели


;'


;'


;'


;'


,
,
,
,


Рис. 28.7. Диаrpамма, порождающая четырехфермионное взаимодействие между
кварками и(или) лептонами, которое нарушает сохранение баронноro и лептонноro
чисел. Здесь сплошные линии
 кварки и(или) лептоны, пунктирные линии
 cквap

ки и(или) слептоны, комбинированная сплошная и волнистая линия
 калибри

но, точка
 вершина, появляющаяся непосредственно из взаимодействий
"члена
(28.7.3).


слarаемых суперсимметричной стандартной модели. И только взаимодей..
ствия (28.7.3) приводят к новым механизмам несохранения как барионов,
так и лептонов.
В соответствии с формулой (26.4.4), кварки и лептоны входят во взаи

модействия (28.7.3) в членах, включающих пары кварковых и(или) лептон

ных полей и пары скварковых и(или) слептонных полей. для TOro, чтобы
породить процессы лишь между кварками и лептонами, необходимо пары
скварков и(или) слептонов превратить в пары кварков и(или) лептонов пу..
тем обмена калибрино в однопетлевой диаrpамме, показанной на рис. 28.7.
Это породит эффективные четырехфермионные qqq.е
взаимодействия с d == 6
между тремя кварками и лептоном. Константа этих взаимодействий g6 бу

дет пропорциональна квадрату калибровочных констант g, g' или gs для
калибрино, пропорциональна нарушающей суперсимметрию массе reЙДЖИ

но, обратно пропорциональна квадрату наибольшей из масс калибрино и
скварка и(или) слептона (которая необходима для TOro, чтобы придать кон..
станте нужную размерность), и пропорциональна множителю порядка 1/8х 2
от интеrpирования по петле.
Можно думать, что большая сила взаимодействия rлюино делает об

мен rлюино доминирующим вкладом в g6. (В самом деле, в теориях с вызван

ным калибровочными полями нарушением суперсимметрии для умеренных
значений следа (28.6.3) и при g
 g' формулы (28.6.13
28.6.14) приводят к


2
т "'-J "'-J g S М
rnюино "'-J т скварк "'-J 16п 2 * ,


2
т "'-J т "'-J "'-J g М
ВИНО "'-J слептон
 тбино "'-J 16х 2 * ,




28.7. Несохранение барионов и лептонов


259


rде М*
 масса, характеризующая сектор переносчиков. Поэтому в та..
ких теориях диarpаммы с обменом отдельными rлюино дают вклады,
пропорционалъные g;/тrлюино, тоrда как взаимодействие вино или бино
(или, более точно, обмен чарджино или нейтралино) приводит к вкладам,
пропорциональным g2твино/т
кварк которые меньше на множитель, рав"
u 2 / 2 ,......, 4 / 4 ) О б
ныи g т вино gsтmюино ,......, g gs. днако, между диarpаммами с о меном
rлюино происходит сокращение, сильно подавляющее их вклад. Это бьто
первоначально показано с использованием тождества Фирца для четырех..
фермионных операторов 39, но такой же результат можно получить и во..
все без формул. для сохранения цвета коэффициенты операторов (QQQL)[#'
и (OOfJE)[#' должны быть полностью антисимметричны по цветам трех
кварковых и антикварковых суперполей, и так как эти суперполя являются
бозонами, они должны быть антисимметричными также и по их арома..
там. Взаимодействия rлюино не зависят от аромата, и поэтому, если мы
можем пренебречь зависимостью от аромата масс скварков, то коэффици"
енты четерехфермионных d == 6 операторов также будут антисимметричны
по ароматам и по цветам. Следовательно, статистика Ферми требует, чтобы
коэффициенты этих операторов также бьши антисимметричны по спиновым
индексам кварковых или антикварковых полей. Но все три кварковых или ан..
тикварковых поля в d == 6 операторах, полученных за счет обмена калибрино
из (QQQL)[#' или (OOfJE)[#', являются левыми и, следовательно, имеют лишь
два независимых спиновых индекса, поэтому не может быть коэффициента,
антисимметричноro по всем трем спинам. Вклад от обмена rлюино в d == 6
операторах будет, таким образом, равен нулю, если все массы скварков рав"
ны между собой. Поэтому такой вклад подавлен частичными разностями
между массами различных скварков. В соответствии с уравнением (28.6.4),
в теориях с вызванным калибровочными полями нарушением суперсиммет..
рии частичные разности между массами скварков О и fJ порядка к'4 / g: ,
так что обмен rлюино между антискварками в (OOfJE)[#' операторе порож..
дают четырехфермионный оператор размерности шесть с коэффициентом
Toro же порядка, что и порожденный обменом бино. Однако, так как rлюи..
но сохраняют аромат, этот оператор, подобно оператору (OOfJE)[#', должен
быть полностью антисимметричен по антикварковым ароматам, так как он
должен включать с.. и t..кварки, и потому не может непосредственно давать
вклад в распад протона или связанноro нейтрона. С дрyroй стороны, уравне..
ние (28.6.4) демонстрирует, что частичные разности масс между Q кварками
различных ароматов по порядку величины MHOro меньше g4 / g:, и потому
обмен rлюино между скварками в операторе (QQQL)[#' дает вклад в g5, кото"
рый MHOro меньше, чем при обмене вино или бино. Мы заключаем, что, по
крайней мере в теориях с вызванным калибровочными полями нарушением
суперсимметрии, обмен rnюино дает меньший вклад в распад протона или




260


rлава 28. Суперcuм.метричные версии стандартной модели


связанноro нейтрона, чем обмен вино или бино. В дрyrих моделях обмен
rлюино может дать вклад, сравнимый с вкладами от дрyrих процессов 40.
При g
 g' и т вино
 тбино вклады от обмена вино или бино В опера..
торы размерности шесть порядка


2
g g5 т вино
g6
 8 2 2
1t тскварк


(28.7.4)


rде g5
 типичная величина эффективных взаимодействий с d == 5 (28.7.3).
Если массы вино и скварка имеют то же отношение (g2 / g;), как в теориях
с вызванным калибровочными полями нарушением суперсимметрии, то это
приводит К


r-.J g4 g5
g6 '" 8 2 2 (28.7.5)
1t gsт cквapK
Четырехфермионные qqq.е
члены размерности шесть в эффективном лarpан"
жиане те же самые, что и те, которые, по предположению, rенерировали
процессы, подобные распаду протона, в несуперсимметричных теориях 36.
Они приводят К распаду протона и связанноro нейтрона с вероятностью,
которая по размерным соображениям должна иметь вид


r 5 2
N == CNтNg6,


(28.7.6)


rде CN
 обычное число, которое должно вычисляться непертурбативными
методами в рамках квантовой хромодинамики. На эти вычисления бьто
потрачено MHOro труда, и результаты 41 лежат в диапазоне CN
 3 х 10
з
о,7.
для оценки g5 заметим, что невозможно породить
..члены, подоб..
ные (28.7.3), которые бы включали лишь левокиральные суперполя за счет
обмена в древесном приближении калибовочными супермультиплетами, KO

торые всеrда взаимодействуют как с левокиральными суперполями, так и
с их правокиральными комплексно сопряженнными суперполями. Поэтому
взаимодействия (28.7.3) возникают в древесном приближении только от об

мена частицами киральных суперполей, и, следовательно, величина g5 имеет
порядок g}/Mf, rде gT
 типичная константа не сохраняющеro барионное
или лептонное число взаимодействия HeKoToporo сверхтяжелоrо левокираль..
HOro суперполя массой МТ с кварковым и лептонным суперполями. Чтобы
породить взаимодействия (28.7.3), эти сверхтяжелые частицы должны быть
цветовыми триплетами или антитриплетами, и триплетами или синrлетами
относительно SU(2). Какая бы калибровочная rpуппа не объединяла сильное
и электрослабое взаимодействия, по"видимому, она диктует некоторое COOT

ношение между взаимодействиями сверхтяжелоro триплета Т и знакомоro
цветовоro синrлета Нl и Н2. Тоrда gT будет TOro же порядка, что и кон..
станты юкавскоro взаимодействия во взаимодействиях (28.1.2) и (28.1.3),




28.7. Несохранение барионов и лептонов


261


которые дают массу известным лептонам и кваркам, и которые равны мас..
сам кварков или лептонов, деленным на вакуумные среднее х? или X

порядка G;I/2 N 300 rэв. Мы, следовательно, полarаем
GFm}
g5
 МТ '


(28.7.7)


rде т /
 некоторая типичная масса кварка или лептона. Мы видели, что
операторы размерности пять антисимметричны по кварковым ароматам,
так что в качестве компромисса между массой s..кварка и массами и" и
d"KBapKoB выберем т/ == 30 МэВ. Собирая формулы (28.7.5Н28.7.7) и
взяв Мт == 2 х 1016 rэв (как это следует из результатов раздела 28.2),
CN == 0,003, g; /4п == 0,118, g2 /4п == 1/ (0,23 х 137) и т скварк == 1 ТэВ, полу..
чим время жизни протона (или связанноro нейтрона) r N 1 примерно 2 х 1031
лет 42. Это не очень отличается от экспериментальных нижних rpаниц на
парциальные времена жизни тех мод распада протонов, которые считаются
основными, и по разным оценкам, составляют от 1031 ДО 5 х 1032 лет. В
момент написания этоro раздела наиболее жесткие оrpаничения были уста..
новлены ненаблюдением распада протона в большом детекторе нейтрино
«Супер Камиоканде» в Японии 42: парциальные времена жизни для рас..
падов р -----+ е+ по и р -----+ v к+ больше, чем 2, 1 х 1033 И 5, 5 х 1032 лет со..
ответственно. В приведенных выше оценках теоретическоro времени жизни
существует неопределенность по меньшей мере в 100 раз, связанная только с
неопределенностью массы скварка, так что еще слишком рано roворитъ, что
существует KaKoe
TO расхождение между экспериментом и теоретическими
ожиданиями. С дрyroй стороны, суперсимметрия указывает на возможность
CKOpOro открытия несохранения барионов.
Мы можем также кое"что сказать из общих соображений об ожидае

мых относительных вероятностях разных мод распада протона и связанноro
нейтрона. Как мы упоминали, операторы размерности пять (28.7.3) должны
быть полностью антисимметричными по ароматам кварковых суперполей,
так что единственные операторы, которые здесь следует рассмотреть, имеют
вид (U;D jDkNf)fF, (D;UjUkEf)fF и (D;(Jj(JkEf)fF, rде i, j, k, f
 индексы reHe..
раторов, и для каждоro случая j * k. Тоrда обмен нейтральными вино или
бино породит d == 6 четырехфермионные операторы вида UidjdkVf, d;Ujdkef
и d;UjUkёf с j * k и произвольными i и f, в то время как процесс обмена
заряженным вино породит те же четырехфермионные операторы с произ..
вольными i * j и k и f. Единственные кварки, достаточно леrкие для TOro,
чтобы участвовать в распаде протона,
 это и, s и d. Пренебреrая остальны

ми кварками и малыми yrлами смешивания для тpeтLero поколения, имеем


иl == и, d 1 == d cos ее + s sin ее, d2 ==
d sin ее + scos ее,




262


rлава 28. Суперсu.м.метричные версии стандартной модели


rде ее
 yroл Кабиббо, при этом и2, из и dз можно проиrнорировать. Четырех

фермионные операторы, которые MOryт быть порождены обменом вино или
бино И дают вклад в распад протона или связанноro нейтрона, следователь

но, имеют вид UdSViCOs(2ee), uddvisin(2e), UUSeiCOSee и UudeiSinee плюс
остальные операторы, которые получаются заменой кварков и лептонов на
антикварки и антилептоны. Поэтому при прочих равных условиях домини..
рующими модами распада будут р -----+ K+v, п -----+ к.Ov, р -----+ к.Ое+ ир -----+ к.O
+,
тоrда как моды р -----+ 1t+v, п -----+ 1t°V, р -----+ п О е+, р -----+ пО
+ и п -----+ п
 е+ подав..
лены факторами sin 2 ее == 0,05, хотя и несколько усилены за счет б6льшеro
доступноro фазовоro пространства.
Эти рассуждения не ведут к определенным предсказаниям для отно"
сительных вероятностей, так как в дополнение ко всем вышеупомянутым
факторам коэффициенты gs операторов (28.7.3) MOryт сильно зависеть от
ароматов появляющихся в этих операторах суперполей. для дальнейшеro
продвижения необходима конкретная теория rенерации операторов размер..
ности пять. Большинство авторов работ 42 на основе суперсимметричных
версий SU(5)"теорий делают заключение, что в распадах протона и свя"
занноro нейтрона будут доминировать моды р -----+ K+v и п -----+ к.Ov, но для
моделей, основанных на rpуппе SO(10), моды с заряженными лептонами
MOryт стать преобладающими 4З. Кроме TOro, в некоторых моделях обмен
хиrrсино может составить конкуренцию обмену вино и бино 44, увеличивая
вероятность распада р -----+ K+v. Представляется разумным при поиске несо..
хранения барионов относиться непредвзято к тому, на какие моды ожидается
распад протона и связанноro нейтрона.
Возможно, конечно, что все эти процессы снесохранением барио..
нов запрещены неким законом сохранения. Как упоминалось в разделе 28.1,
в теории струн имеются доводы против TOro, чтобы сохранение барионов
бьто фундаментальной rnобальной непрерывной симметрией, однако не со..
храняющие барионное число операторы (28.7.3) MOryт быть запрещены ZЗ
мультипликативной симметрией, известной как барионная четность 45, отно"
сительно которой суперполе Q нейтрально; суперполя Н2 и D домножаются
на фазовый множитель exp(i1tj3), а суп ер поля L, Нl, (j И D домножаются на
противоположный фазовый множитель ехр(
i1tj3). Эта симметрия разрабо..
тана для TOro, чтобы допустить фундаментальные юкавские взаимодействия
(28.1.2) и (28.1.3), равно как и
..член (28.5.7) и не сохраняюшие лептонное
число слаrаемые (28.1.4) и (28.7.1), и при этом запретить не сохраняющие
барионное число слаrаемые (28.1.5) размерности четыре и (28.7.3) размер..
ности пять. Эта симметрия спонтанно нарушается при наличии вакуумных
средних к? и K
 (и, возможно, полей снейтрино лr), и без закона сохра..
нения R..четности не было бы ничеro, что сохраняло бы стабильной самую
леrкую суперсимметричную частицу.




Задачи


263


Задачи


1. Предположим, что взаимодействия (28.1.4) и (28.1.5) на самом деле
присутствуют в лarpанжиане суперсимметричной версии стандартной
модели. Сделайте rpу6ую оценку, насколько тяжелыми должны бьти
бы быть скварки и слептоны, чтобы избежать противоречия с экспери..
ментальными оrpаничениями на время жизни протона.
2. Предположим, что типичная масса ткалибрино, хиrrсино, скварков
и слептонов значительно больше mz. Запишите уравнения ренорм"
rpуппы для беryщих калибровочных констант связи при энерrияx вы..
ше и ниже т. Используйте эти результаты, наряду с предположе..
нием об объединении, использованном в разделе 28.2, чтобы полу

читъ формулы для sine и масштаба объединения М, выраженные че

рез т, mz, e(mz), gs(mz) и п s . Насколько велика может быть масса т
без нарушения экспериментальных оrpаничений на sin е и М?
3. Получите формулы для взаимодействий кварков и лептонов с самой
леп<ой ер
четной скалярной частицей в минимальной суперсиммет..
ричной стандартной модели, записанные через параметры т, mz, Р, GF
и массы кварков и лептонов.
4. Воспользуйтесь рассуждениями об аналитичности для вывода одно..
петлевой формулы для массы rлюино в теории с вызванным ка..
либровочными полями нарушением суперсимметрии, при которой
суперполя..переносчики Фп И Фп приобретают массы за счет сла..
raeMoro LпЛпSп(ФпФп) в суперпотенциале через вакуумные средние
f/J п и
п <р" и

компонент синrлетноro суперполя Sn И В преде..
ле '
пl « l'Лnllf/J n1 2 .


5. Принимая в расчет возможность слабой зависимости масс скварков от
аромата, оцените вклад обмена rлюино внесохраняющие лептонное и
барионное числа четырехфермионные взаимодействия кварков и леп..
тонов. Установите верхнюю rpаницу на эти вклады, используя вытека..
ющие из вероятности ко
 ко перехода оrpаничения на расщепления
масс скварка.


Список литературы


1. Мы не будем здесь рассматривать возможность объединения при
roраздо меньших энерrиях, вопрос о которой бът поднят в ра..
ботах 1. Antoniadis, Phys. Lett. 8246, 377 (1990); J. Lykken,




264


rлава 28. Суперсu.м.метричные версии стандартной модели


Phys. Rev. О54, 3693 (1996), и бьт вновь рассмотрен в работе:
N. Arkani
Hamed, s. Dimopoulos, and а. Dvali, Phys. Rev. Lett. В429,
263 (1998); 1. Antoniadis, N. Arkani
Hamed, S. Dimopoulos, and а. Dvali,
Phys. Rev. Lett. В436, 257 (1998).
lа. S. Weinberg, in Proceediпgs ofthe XVIllпtematioпal Coпfereпce оп High
Eпergy Physics, London, 1974, J. R. Smith, ed. (Rutherford Laboratory,
Chilton, Didcot, England, 1974); S. Weinberg, Phys. Rev. О13, 974 (1976);
Е. Gildener and S. Weinberg, Phys. Rev. О13, 3333 (1976).
lб. Т. Banks and L. Dixon, Nucl. Phys. В307, 93 (1988). для детальноro pac

смотрения см.: J. Polchinski, Striпg Тheory (Cambridge University Press,
Cambridge, 1998): Chapter 18.
2. Дополнительные законы R..сохранения были введены в работе: А. Salam
and J. Strathdee, Nucl. Phys. В87, 85 (1975); Р. Fayet, Nucl. Phys. В90,
104 (1975), перепечатана в сб. Supersyттetry, S. Fепarа, ed., (North
HollandIWorld Scientific, Amsterdam/Singapore, 1987). R..четность MO

жет быть определена через квантовое число R как exp(i1tR), и мо"
жет сохраняться при умножении, даже если само R не сохраняет..
ся при сложении. См. а. Fапar and Р. Fayet, Phys. Lett. 76В, 575
(1978); Р. Fayet, in Uпificatioп о! the Fuпdaтeпtal Particle Iпteractioпs,
S. Fепarа, J. Ellis, and Р. van Nieuwenhuizen, eds. (Plenum, New York,
1980); S. Dimopoulos, S. Raby, and Р. Wilczek, Phys. Lett. 112В, 133
(1982); а. Fапаr and S. Weinberg, Phys. Rev. О27, 1731 (1983), перепе..
чатана в сб.: Supersyттetry.
3. S. Dimopoulos and Н. Georgi, Nucl. Phys. В193, 150 (1981), перепечатана
в сб.: Supersyттetry 2.
4. R. D. Peccei and Н. R. Quinn, Phys. Rev. Lett. 38, 1440 (1977); Phys. Rev.
О16, 1791 (1977).
4а. S. Dimopoulos and а. Р. Giudice, Phys. Lett. В357, 573 (1995);
А. Pomerol and D. Tommasini, Nucl. Phys. В466, 3 (1996); а. Dvali and
А. Pomerol, Phys. Rev. Lett. 77, 3728 (1996); Nucl. Phys. В522, 3 (1998);
А. а. Cohen, D. В. Kaplan, and А. Е. Nelson, Phys. Lett. В388, 588 (1996);
R. N. Mohapatra and А. Riotto, Phys. Rev. О55, 1 (1997); R...J. Zhang,
Phys. Lett. В402, 101 (1997); Н. Р. Nilles and N. Polonsky, Phys. Lett.
В412, 69 (1997); D. В. Kaplan, Р. Lepeintre, А. Masiero, А. Е. Nelson,
and А. Riotto, Ьер..рЫ9806430, Phys. Rev. О60 (1999) 055003; J. Hisano,
К. Kurosawa, and У. Nomura, Phys. Lett. В445, 316 (1999). Этот пример
масс может возникнуть естественным образом из радиационных попра..
вок; см. J. L. Feng, С. Kolda, and N. Polonsky, Nucl. Phys. В546, 3 (1999);




Список литературы


265


J. А. Bagger, J. L. Feng, and N. Polonsky, Ьер..рЫ9905292, Nucl. Phys.
8563 320 (1999).
4б. В. W. Lee and S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 39, 165 (1977); D. А. Dicus,
Е. W. КоlЬ, and У. L. Teplitz, Phys. Rev. Lett. 39, 168 (1977).
4в. S. Wolfram, Phys. Lett. 82В, 65 (1979); J. EHis, J. S. Hagelin,
D. У. Nanopoulos, D. 0live, and М. Srednicki, Nucl. Phys. 8238, 453
(1984).
4r. Р. Р. Smith and J. R. J. Bennett, Nucl. Phys. 8149, 525 (1979).
5. Н. Georgi, Н. R. Quinn, and S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 33, 451 (1974).
6. S. Dimopoulos and Н. Georgi з; J. Ellis, S. Kelley, and D. У. Nanopoulos,
Phys. Lett. 8260, 131 (1991); u. Amaldi, W. de Boer,and Н. Furstmann,
Phys. Lett. В260, 447 (1991); с. Giunti, с. W. Кiт and u. W. Lee,
Mod. Phys. Lett. 16,1745 (1991); Р. Langacker and M.
X. Luo, Phys. Rev.
044, 817 (1991). для остальных ссьток и более современных результа..
тов обработки данных, см. Р. Langacker and N. Polonsky, Phys. Rev. 047,
4028 (1993); D49, 1454 (1994); L. J. НаН and u. Sarid, Phys. Rev. Lett.
70, 2673 (1993).
7. S. Dimopoulos, S. Raby, and Р. Wilczek, Phys. Rev. 024, 1681 (1981),
перепечатано в сб.: Supersyттetry 2.
7а. Р. Horava and Е. Witten, Nucl. Phys. 8460, 506 (1996); ibid. 8475, 94
(1996); Е. Witten, Nucl. Phys. 8471, 135 (1996); Р. Horava, Phys. Rev.
054, 7561 (1996).
8. Н. Pagels and J. R. Primack, Phys. Rev. Lett. 48, 223 (1982).
9. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 48, 1303 (1983).
10. S. Dimopoulos and Н. Georgi з; N. Sakai, Z. Phys. С. 11, 153 (1981).
См. также обзоры Н. Е. Haber and а. L. Капе, Phys. Reports 117, 75
(1985); J. А. Bagger, in QCD and Beyond: Proceedings o/the Theoretical
Advanced Study Institute in Eleтentary Particle Physics, University of
Colorado, June 1995, D. Е. Soper, ed. (World Scientific, Singapore, 1996);
У. Barger, in Fundaтental Particles and Interactions: Proceedings о/ the
FCP Workshop оп Fundaтental Particles and Interactions, Vanderbilt
University, Мау 1997, R. S. Panvini, Т. J Weiler, eds. (American Institute
of Physics, Woodbury, NY, 1998); J. Р. Gunion, in Quaпtuт Effects in
the MSSM Proceedings of the Intemational Workshop оп Quantum Effects
in the MSSM. Barcelona. September 1997, J. Sola, ed. (World Scientific
Publishing, Singapore, 1998); S. Dawson, in Proceedings of the 1997




266


fлава 28. Суперсuм.метричные версии стандартной .модели


Тheoretical Advanced Study Institute оп Supersymmetry, Supergravity,
and Supercolliders, J. А. Bagger, ed. (World Scientific, Singapore, 1998);
S. Р. Martin, in Perspectives оп Super syттetry, G. L. Кanе, ed. (World
Scientific, Singapore, 1998); К. R. Dienes and С. Kolda, in Perspectives оп
Supersyтт etry , ibid.
11. S. Dimopoulos and D. Sutter, Nucl. Phys. 8194, 65 (1995); Н. Е. Haber,
Nucl. Phys. Proc. Suppl. 62, 469 (1998).
12. S. Dimopoulos and Н. Georgi 3; J. Ellis and D. У. Nanopoulos,
Phys. Lett. НОВ, 44 (1982); J. F. Donoghue, Н. Р. Nilles, and D. Wyler,
Phys. Lett. 1288, 55 (1983). для поправок силъноro взаимодействия к
этим вычислениям, см. J. А. Bagger, К. Т. Matchev, and R...J. Zhang,
Phys. Lett. 8412, 77 (1997). Условия, при которых оrpаничения на про..
цессы с измением аромата не налarают оrpаничений на массы кварков,
обсуждалосъ в работах: R. Barbieri and R. Gatto, Phys. Lett. НОВ, 211
(1981); У. Nir and N. Seiberg, Phys. Lett. 8309, 3З7 (1993). Деталь..
ный обзор см.: F. Gabbiani, Е. Gabrielli, А. Masiero, and L. Silvestrini,
Nucl. Phys. 8477, 321 (1996).
13. М. К. Gaillard and В. W. Lee, Phys. Rev. DI0, 897 (1974).
14. J. Ellis and D. У. Nanopoulos 12. Подробные результаты даны F. Gabbiani
and А. Masiero, Nucl. Phys. 8322, 235 (1989); J. S. Hagelin, S. Kelley, and
Т. Tanaka, Nucl. Phys. 8415, 293 (1994). Наиболее полное рассмотрение
см. в работе: D. Sutter, Stanford University РЬ. D. thesis (unpublished) and
S. Dimopoulos and D. Sutler 11.
14а. М. Dine, R. Leigh, and А. Kagan, Phys. Rev. D48, 4269 (1993).
15. Более современные обзоры см.: У. Grossman, У. Nir, and R. Rattazzi, in
Heavy Flavours 11, А. J. Вшаs and М. Lindner, eds. (World Scientific,
Singapore, 1998); А. Masiero and L. Silvestrini, in Perspectives оп
Supersyттetry 10.
16. J. Ellis and М. К. Gaillard, Nucl. Phys. 8150, 141 (1979); D. У. Nanopoulos,
А. Yildiz, and R. Н. Сох, Апп. Phys. (N.Y) 127, 126 (1980); М. В. Gavela,
А. Le Yaouanc, L. Oliver, о. Репе, J...C. Raynal, and Т. N. РЬат, Phys. Lett.
1098, 215 (1982); В. Н. J. McKellar, S. R. Choudhury, х..о. Не, and
S. Pakvasa, Phys. Lett. 8197, 556 (1987).
16а. Р. о. Нaпis et al., Phys. Rev. Lett. 82, 904 (1999).
17. J. Ellis, S. Fепarа, and D. V. Nanopoulos, Phys. Lett. 1148,231 (1982);
J. Polchinski and М. В. Wise, Phys. Lett. 1258, 393 (1983); М. Dugan,
В. Grinstein, and L. J. Hall, Nucl. Phys. 8255, 413 (1985).




Список литературы


267


18. R. Arnowitt, J. Lopez, and D. У. Nanopoulos, Phys. Rev. 042, 2423 (1990);
R. Arnowitt, М. J. Duff, and К. S. Stelle, Phys. Rev. 043, 3085 (1991);
У. Кizuri and N. Oshimo, Phys. Rev. 045, 1806 (1992).
19. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 63, 2333 (1989); D. А. Dicus, Phys. Rev.
041, 999 (1990); J. Dai, Н. Dykstra, R. а. Leigh, S. Paban, and D. А. Dicus,
Phys. Lett. 8237, 216 (1990); Е. Braaten, с. S. Li, and Т. С. Yuan,
Phys. Rev. Lett. 64, 1709 (1990); А. de Rujula, М. В. Gavela, о. Репе,
and F. J. Vegas, Phys. Lett. 8245, 640 (1990); R. Arnowitt, М. J. Duff, and
К. S. Stelle 18; Т. Ibrahim and Р. Nath, Phys. Lett. 1488, 98 (1998).
20. К. S. Babu, С. Kolda, J. March
Russell, and F. Wilczek, Phys. Rev. 059,
016004 (1999).
21. R. Arnowitt, М. J. Duff, and К. S. Stelle 18. С помощью Функций Jl И J2
В этой работе: ФУНКЦИЯ J выражена как 211 +
J2, в предположении, что
диarpаммы с rлюонами конструктивно присоеденены к линиям сквар..
ков или rлюино.


22. Н. Georgi and L. Randall, Nucl. Phys. 8276, 241 (1980); А. Manohar and
Н. Georgi, Nucl. Phys. 8238, 189 (1984); S. Weinberg 19.
23. W. Fischler, S. Paban, and S. Тhomas, Phys. Lett. 8289, 373 (1992).
24. J. Ellis and D. У. Nanopoulos 12; F. Gabbiani and А. Masiero 14; М. Dine,
А. Kagan, and S. Samuel, Phys. Lett. 8243 250 (1990); F. Gabbiani,
Е. Gabrielli, А. Masiero, and L. Silvestrini 12.
25. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 40, 223 (1978); F. Wilczek, Phys. Rev. Lett.
40, 279 (1978).
26. А. Brignole, J. Ellis, а. Ridolfi, and F. Zwimer, Phys. Lett. 8271, 123
(1991); М. Carena, М. Quiros, and С. Е. М. Wagner, Nucl. Phys. 8461,
407 (1996); S. Heinemayer, W. Hol1ik, and а. Weiglein, Ьер..р/9812472
Eur. Phys. J. С9 (1999) 343..366, bep
p/9903404 Phys. Lett. 8455
(1999) 179
191, Ьер..р/9903504 Acta Phys. Poloп. 830 (1999) 1985..1997.
Численные результатыI для тh, цитировавшиеся тут, взяты из раБотыI
S. Dawson 10.


27. R. Barate et аl. (ALEPH collaboration), Phys. Lett. 8412,173 (1997).
27а. М. Griinewald and D. Karlen, in Proceediпgs о/ the XXIX Iпter..пatioпal
Coп/ereпce оп High Eпergy Nuclear Physics, А. Astbury, D. Axen, and
J. Robinson, eds. (TRlUMF, Vancouver, 1999).
28. R. Barate et аl. (ALEPH col1aboration), 1999 CERN preprint EP
99..011, to
Ье published in Phys. Lett. Нижняя rpаница в 54.5 rэв бьто получена




268
rлава 28. Суперсu.м.метричные версии стандартной модели
ранее из экспериментов по е+ e анниrиляции в диапазоне от 130 до
172 rэв: Р. Abreu et al. (DELPHI collaboration), Phys. Lett. В420, 140
( 1998).
29. А. J. Buras, М. Misiak, М. Мiinz, and S. Pokorski, Nucl. Phys. В424, 374
(1994).
29а. R. Barate et al. (ALEPH collaboration), 1999 CERN preprint ЕР..99..014, to
Ье published in Eur. Phys. J.
30. М. Dine, W. Fischler, and М. Srednicki, Nucl. Phys. В189, 575 (1981);
S. Dimopoulos and S. Raby, Nucl. Phys. В192, 353 (1982); М. Dine
and W. Fischler, Phys. Lett. НОВ, 227 (1982); Nucl. Phys. В204,
346 (1982); С. Nappi and В. Ovrut, Phys. Lett. 113В, 175 (1982);
L. Alvarez..Gaume, М. Claudson, and М. В. Wise, Nucl. Phys. В207,
96 (1982); S. Dimopoulos and S. Raby, Nucl. Phys. В219, 479 (1983).
Этот класс моделей бьт возрожден в работе: М. Dine and А. Е. Nelson,
Phys. Rev. 048, 1277 (1993); 051, 1362 (1995); J. А. Bagger 10; М. Dine,
А. Е. Nelson, and У. Shirman, Phys. Rev. 051, 1362 (1995); М. Dine,
А. Е. Nelson, У. Nir, and У. Shirman, Phys. Rev. 053, 2658 (1996).
В качестве обзоров см. С. Kolda, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 62, 266
(1998); а. F. Giudice and R. Rattazzi, hep..phl9801271, Phys. Rept. 322
(1999) 419..499; S. L. Dubovsky, D. S. Gorbunov, and S. У. Troitsky,
Ьер..рЫ9905466, Phys. Usp. 42 (1999) 623..651, Usp. Fiz. Nauk 169 (1999)
705.. 736. Феноменолоrия этих моделей описана в работе: S. Dimopoulos,
S. Thomas, and J. D. Wells, Nucl. Phys. В488, 39 (1997).
31. S. Dimopoulos, а. F. Giudice, and А. Pomerol, Phys. Lett. 389В, 37 (1997);
S. Р. Martin, Phys. Rev. 055, 3177 (1997).
32. а. F. Giudice and R. Rattazzi, Nucl. Phys. В511, 25 (1998). Эта работа
бьта дополнена в статье N. Arkani..Hamed, а. F. Giudice, М. А. Luty,
and R. Rattazzi, Phys. Rev. D58, 115005 (1998).
33. N. Seiberg, Phys. Lett. В318, 469 (1993).
34. К. S. Babu, С. Kolda, and F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 77, 3070 (1996).
35. J. Е. кim and Н. Р. Nilles, Phys. Lett. 138В, 150 (1984); J. Ellis,
J. F. Gunion, Н. Е. Haber, L. Roszkowski, and F. Zwimer, Phys. Rev.
039, 844 (1989); Е. J. Chun, J. Е. Кim, and Н. Р. Nilles, Nucl. Phys. В370,
105 (1992); М. Dine and А. Е. Nelson зо; М. Dine, А. Е. Nelson, У. Nir,
and У. Shirman зо; а. Dvali, а. F. Giudice, and А. Pomerol, Nucl. Phys.
В478, 31 (1996); S. Dimopoulos, а. Dvali, and R. Rattazzi, Phys. Lett.
413В, 336 (1997); Н. Р. Nilles and N. Polonsky, Nucl. Phys. В484, 33

Список литературы
269
В484, 33 (1997); о. Cleaver, М. Cvetic, J. R. Espinosa, L. Everett, and
Р. Langacker, Phys. Rev. 057, 2701 (1998); Р. Langacker, N. Polonsky, and
J. Wang, Ьер..рЫ9905252, будет опубликовано; J. Е. Кiт, Ьер..рЫ9901204,
Phys. Lett. В452 (1999) 255..259.
35а. S. Raby, Phys. Lett. В422, 158 (1998).
35б. D. А. Dicus, В. Dutta, and S. Nandi, Phys. Rev. Lett. 78, 3055 (1997);
Phys. Rev. 056, 5748 (1997).
36. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 43, 1566 (1979); F. Wilczek and А. Zee,
Phys. Rev. Lett. 43, 1571 (1979).
37. S. Weinberg, Phys. Rev. 026, 287 (1982). N. Sakai and Т. Yanagida,
Nucl. Phys. В197, 533 (1982). Эти статьи перепечатаны в сб.: Supersyт..
тetry 2.
38. S. Weinberg 36.
39. J. Ellis, J. S. Hagelin, D. V. Nanopoulos, and К. Tamvakis, Phys. Lett.
124В, 484 (1983); V. М. Belyaev and М. 1. Vysotsky, Phys. Lett. 127В,
215 (1983).
40. V. Lucas and S. Raby, Phys. Rev. 055, 6986 (1997).
41. Эта оценка взята из компиляции несуперсимметричных вычисле..
ний полной вероятности двухчастичноro распада протона, выражен..
ной через массы сверхтяжелых калибровочных бозонов Мх в работе:
Р. Langacker, in Proceediпgs ofthe 1983 Aппual Meetiпg ofthe Divisioп о!
Particles aпd Fields ofthe Aтericaп Physical Society (American Institute of
Physics, New York, 1983): 251. Чтобы выразить этот результат через g6, я
предложил, что эффективно константа g6, использовавшаямя в вычисле..
ниях, задавалась бы как g6 == g2(Mx)/Mj, rде g(Mx) имеет значение, со..
ответствующее несуперсимметричным теориям, при g2(Mx)/47t;::: 1/41.
42. для более подробных (как правило, зависящих от модели) вычислений,
включая ренормrpупповые поправки к gs, см. S. Dimopoulos, S. Raby,
and F. Wilczek, Phys. Lett. 112В, 133 (1982); J. Ellis, D. У. Nanopoulos,
and S. Rudaz, Nucl. Phys. В202, 43 (1982); W. Lang, Nucl. Phys. В203,
277 (1982); J. Ellis, J. S. Hagelin, D. V. Nanopoulos, and К. Tamvakis 39;
У. М. Belyaev and М. 1. Vysotsky 39; L. Е.. Iban.ez and С. Muiioz,
Nucl. Phys. В245, 425 (1984); Р. Nath, А. Н. Chamseddine, and R. Arnowitt,
Phys. Rev. О32, 2385 (1985); J. Hisano, Н. Murayama, and Т. Yanagida,
Nucl. Phys. В402, 46 (1993); У. Lucas and S. Raby 40. Обзор см.: Р. Nath
and R. Arnowitt, Phys. Atoт. Nucl. 61, 975 (1997).

270
rлава 28. Суперсuмметричные версии стандартной модели
42а. М. Takita et al., in Proceediпgs о! the XXIX Iпterпatioпal Coпfereпce оп
High Eпergy Nuclear Physics 27а.
43. К. S. Babu, J. С. Pati, and F. Wilczek, Phys. Lett. 423В, 337 (1998).
44. V. Lucas and S. Raby 40; Т. Goto and Т. Nihei, Phys. Rev. О59, 115009
(1999).
45. L. Е. Iban.ez and о. Ross, Nucl. Phys. В368, 3 (1991).

29
За рамками теории возмущений
Большинство обсуждавшихся до сих пор применений суперсимметрии
бьшо связано с использованием теории возмущений. В этой rлаве будут
рассмотрены результаты, применимые даже при учете непертурбативных
эффектов.
29.1. Общие аспекты нарymения суперсимметрии
в спектрах известных частиц суперсимметрия не наблюдается, следо..
вательно, она должна нарушаться. В предыдущей rлаве было показано, что
нарушение суперсимметрии в древесном приближении стандартной модели
исключается экспериментальныIии данными, и что большое различие между
масштабом электрослабоro нарушения и масштабами llланка или великоro
объединения предполarает, что, по"видимому, суперсимметрия нарушается,
коrда какая..то беryщая калибровочная константа связи становится большой.
Поэтому очень важно исследовать спонтанное нарушение суперсиметрии
без использования теории возмущений.
В разделе 26.7 бьшо показано, что суперсимметрия действия влечет за
собой существование тока суперсимметрии Sfl(x). Этот ток является майо..
рановским спинором в смысле соотношения (26.А.l), т. е.
Sfl(x)* == P'Y5€SJl(X),
(29.1.1 )
он сохраняется,
a!lst (х) == О,
(29.1.2)
и интеrpал от еro временной компоненты является reHepaтopoM суперсим"
метрии,
.f dЗхsg(х) == Q,
(29.1.3)

272
rлава 29. За рамками теории возмущений
для котороro коммутатор i( a Q) с любым оператором дает изменение этоro
оператора относительно суперсимметричноrо преобразования с бесконечно
малым майорановским спинорным параметром а.
Соображения, которые привели к этим результатам, основывались на
суперсимметрии действия; при этом ничеro не зависело от тоro, бьша ли
суперсимметрия спонтанно нарушена или нет, если не считать, пожалуй,
предположения о существовании интеrpала (29.1.3). На самом деле, это
предположение может нарушаться в теориях с безмассовыми фермионами,
в которых MOryт проявляться дальнодействующие эффекты (или, эквива..
лентно  полюсы при нулевом 4"импульсе), что сделало бы этот интеrpал
расходящимся. Далее будет показано, что такие безмассовые фермионы явля..
ются необходимым следствием нарушения суперсимметрии. Чтобы избежать
проблемы сходимости этоro интеrpала даже в теориях с безмассовыми фер..
мионами, удобно работать в пространстве конечноro объема v. Это можно
сделать, сохраняя трансляционную инвариантность, если наложить перио..
дические rpаничные условия: предполarается, что все поля не изменяются
при сдвиrе любой пространственной координаты i- на величину V 1 /3 .
Существование оператора Qa, индуцирующеro суперсимметричные
преобразования квантовых полей, позволяет получить все следствия супер..
симметрии при условии, что есть суперсимметричное вакуумное состоя..
ние IVAC) с нулевым пространственным импульсом, из котороro можно
построить мноroчастичные состояния, действуя на неro полевыми опера..
торами. Однако, если состояние IVAC) суперсимметрично в том смысле,
что QaIVAC) == О, то из антикоммутационноro соотношения (25.2.36) следу..
ет, что это состояние имеет нулевую энерrию и нулевой импульс. Обратно,
вычислив среднее по вакууму от положительноro оператора {Qa,Q} (мы
на время вернулись к двухкомпонентным обозначениям), можно видеть, что
если вакуум имеет нулевую энерrию, то он должен анниrилироваться оп е..
раторами Qa и Q, т. е. должен бьпь суперсимметричен. Если же он не
суперсимметричен, то еro энерrия должна быть положительно определена.
Итак, вопрос о том, есть ли спонтанное нарушение cyпepcu.м.мeтpии Шlи
нет, сводится к вопросу, будет ли энерzuя вакуума положительно опреде..
лена, или она равна нулю.
Эти же соображения привели Витrена к выводу, что расширенная су..
персимметрия с N > 1 двухкомпонентными спинорными rенераторами Qar
и им сопряженными не может быть спонтанно нарушена до расширенной
суперсимметрии с меньшим числом reHepaTopoB или до простой суперсим"
метрии, потому что если любой из reHepaтopoB не анниrилирует вакуум,
то энерrия вакуума не обращается в нуль, но тоrда ни один из reHepaTopoB
не может анниrилировать вакуум 1. Обычно энерrия ваккума возникает как
плохо определенная аддитивная константа к энерrиям всех состояний, но

29.1. Общие аспекты нарушения cyпepcuм.мeтpии
273
здесь эта константа приобретает смысл в результате появления 4"вектора
энерrииимпульса в антикоммутационных соотношениях суперсимметрии.
Одно из преимуществ работы в конечном объеме состоит в том, что теперь
имеет смысл roворить о полной энерrии вакуума.
Хъюз, Лау и Польчинский отметили, что существуют теории, в ко..
торых происходит нечто вроде частичноro нарушения суперсимметрии la.
В этих теориях нет суперсимметричной алrебры типа той, что описана в rла..
ве 25. Вместо этоro, в них имеется алreбра токов, основанная на антиком..
мутационых соотношениях вида (26.7.45):
I d 3 Х { sOra(X), S (y) } == 2i5rsYve!!V (у) + 2iy!!C rs ,
rде 8fl v  тензор энерrии"импульса, удовлетворяющий закону сохранения
afl 8fl V == О, C,s  новая константа. При N == 1 эта константа может рас..
сматриваться как член l1flvc в 8fl V . Однако для расширенной суперсим"
метрии это невозможно, если только не выполнено необязательное усло..
вие C,s ос б,s. Такая алreбра не исключается доказанной в разделе 25.2 теоре..
мой ХaarаЛопушанскоСониуса, потому что она не может быть сим мет..
рией S"матрицы. Действительно, спонтанно нарушенные симметрии никоrда
не являются симметриями S"матрицы; но обычно предполarается, что они
основываются на алrебрах и супералrебрах, которые .мО2JlИ бы быть симмет..
риями S"матрицы на некоторых стадиях некоторых теорий. Если же констан..
та C,s не пропорциональна б,s, то супералrебра токов не может rенерировать
симметрию S"матрицы ни на одной стадии ни одной теории. Здесь будут
рассмотрены супералrебры типа тех, что описаны в rлаве 25, для которых
справедлива арryментация Витrена.
Дрyroе преимущество работы в конечном объеме состоит в том, что
все состояния становятся дискретными и нормируемыми. Из коммутации
оператора Qa с Pfl немедленно следует, что любое состояние сненулевой
энерrией спарено с дрyrим состоянием, имеющим ту же энерrию и им..
пульс, но подчиняющимся дрyroй статистике. Чтобы это увидеть, заметим,
что для любоro 3импульса р можно найти такой двухкомпонентный спи..
нор И а , что LаЬИ(JаЬ. Риь == О И La lи а l 2 == 1. (Если вектор р направлен по
третьей оси, возьмем и == (1, 1 ) / v'2. Если Р направлен в любую дрyryю сто..
рону, подействуем на спинор и представлением rpуппы вращений спина 1/2,
пере водящим третью ось в ось, по которой направлен р.) Тоrда в простран..
стве 4..импульсом pfl антикоммутационные соотношения (25.2.31) и (25.2.32)
дают
Q2(p) == рО,
(29.1.4)

274
rлава 29. За рамками теории возмущений
rде Q(p)  эрмитова линейная комбинация reHepaTopoB суперсимметрии:
Q(p) == LUaQa+ LU.
а а
(29.1.5)
Действуя reHepaTopoM Q(p) на любое нормированное состояние IX)
4"импульсом p И  > О, получаем дрyroе нормированное состоя..
иие IY) == Q(p)IX)/ урО с тем же 4"импульсом, но подчиняющимся дрyroй
статистике. Более тоro, IX) является единственным состоянием, связанным
с IY) таким образом, потому что, если IY) == Q(p)IX)/ Н, то соrласно
(29.1.4), IX) == Q(p)IY)/ Н. Кратность суперсимметричных reHepaTopoB и
спиновых состояний обычно приводит к тому, что эти пары фермионных и
бозонных состояний связаны с дрyrими парами с тем же 4"импульсом; но
пока достаточно знать, что все состояния ненулевой энерrии MOryт быть, по
крайней мере, сrpуппированы в такие пары.
Коrда суперсимметрия нарушается, не следует ожидать, что состояния
с определенным числом частиц образуют супермультиплеты с дрyrими со..
стояниями противоположной статистики и теми же 4"импульсом и числом
частиц. Спаривание состояний требует наличия безмассовоro фермиона, так,
чтобы п..частичное состояние моrло быть спарено с состоянием той же энер"
rии, тоro же импульса, но противоположной статистики, состоящим из тех
же п частиц, и безмассовоro фермиона нулевой энерrии и импульса. Этот
безмассовый фермион называется 20лдстuно. Точнее, любое п..частичное
состояние связано с двумя состояниями той же энерrии и импульса, но про..
тивоположной статистики, содержащими дополнительную частицу roлдсти..
но с нулевым импульсом и спином, направленным вверх или вниз, и еще с
одним состоянием той же энерrии, импульса и тои же статистики, содержа..
щим два дополнительных roлдстино противоположноro спина, обладающих
нулевым моментом. В частности, коrда суперсимметрия нарушается, энер"
rия вакуумноro состояния не равна нулю, поэтому оно должно бьпь спарено
с фермионным состоянием той же энерrии и нулевоro импульса; дрyrими
словами, ваккум и состояние, содержащее два roлдстино нулевоro импульса,
спариваются с двумя состояниями одноro roлдстино с нулевым импульсом.
Только, если суперсимметрия не нарушена, существует состояние с нулевой
энерrией  вакуум, которое может быть неспаренным.
Спаривание состояний сненулевой энерrией предоставляет ценный
диarностический инструмент, который в некоторых случаях может сказать,
что спонтанное нарушение суперсиметрии отсутствует, даже коrда теория
возмущений ие в состоянии ответить на этот вопрос. В случае, коrда все
взаимодействия слабы, можно надеяться, что теория возмущений дает Ka
чественную картину спектра. Если оказывается, что в древесном прибли..
жении есть п BHЫX состояний с нулевой энерrией и нет безмассо..

29.1. Общие аспекты нарушения cyпepcuм.мeтpии
275
вых фермионов, то можно быть уверенным, что в случае слабой связи нет
фермионных состояний с нулевой энерrией, с которыми можно спарить n
вакуумных состояний. Поэтому эти неспаренные состояния должны иметь
энерrию, строro равную нулю. При увеличении силы связей или изменении
параметров теории каким..либо дрyrим способом, энерrия состояний может
изменяться от положительных значений до нуля и обратно, но состояния
в общем случае не будут внезапно появляться или исчезать. (Существует
одно исключение из общеro правила  изменение параметров, влияющих на
асимптотическое поведение лarpанжиана больших полей. Как скоро будет
показано, в этом случае состояния Mozyт появляться и исчезать.) Поскольку
каждое состояние сненулевой энерrией всеrда спарено с дрyrим состояни..
ем противоположной статистики, в таких парах возможно только изменение
энерrии от какоro"то положительноro значения до нуля и обратно. Поэтому
пока поведение лаrpанжиана для больших значений полей не изменяется,
число бозонных состояний С нулевой энерrией минус число фермионных
состояний с нулевой энерrией сохраняется при вариациях параметров тео..
рии. Эта разность называется индексом' Виттена 2. Формально этот индекс
равен Tr (  1 )F, rде F  фермионное число. Спаривание состояний, обсуж..
давшееся ранее, rарантирует, что состояния сненулевой энерrией не вносят
вклад в шпур. Если индекс Витrена не равен нулю, то должны быть со..
стояния с нулевой энерrией, следовательно, суперсимметрия не может бьпь
нарушена. В частности, в теории, rде древесное приближение дает n ваку..
умных состояний нулевой энерrии и нет фермионов с нулевой энерrией,
индекс Витrена в случае слабой связи равен n, коrда древесное приближе..
ние дает надежную качественную картину спектра, и остается равным n
при увеличении силы связи. Поэтому можно быть уверенным, что эффекты
более высокоro порядка или даже непертурбативные эффекты не нарушают
суперсимметрию.
В качестве примера использования индекса Витrена, рассмотрим тео..
рию ВессаЗумино для одноro киральноro суперполя с суперпотенциалом
в виде полинома третьей степени (26.4.16):
1 1
f( «р) == 2 т2 «р2 + 6 g «p3,
rде <р  комплексная скалярная компонента суперполя. В разделе 26.4 бьшо
показано, что в этой модели в древесном приближении нарушение суперсим"
метрии отсутствует. А что будет, если учесть более высокие порядки теории
возмущений или рассмотреть непертурбативные эффекты? Теория возмуще..
ний дает хорошее приближение к энерreтическому спектру, коrда масса т
велика, а константа g мала. Это означает, что в этом случае в окресmости ну..
левой энерrии имеется два бозонных состояния, соответствующие решениям

276
rлава 29. За рамками теории возмущений
уравнения af(<p)/a<pO: <pO и <p 2m2/g. Кроме тоro, вблизи нулевой
энерrии нет фермионных состояний; самое нижнее по энерrии фермионное
состояние  это однофермионное состояние с энерrией вблизи lml и нуле..
вым импульсом. В типичных теориях скалярных полей не следует ожидать,
чтобы энерrия двух бозонных состояний строro равнялась нулю; хотя они
и MOryт иметь нулевые энерrии в древесном приближении, ожидается, что
эффекты высоких порядков (в том числе туннельный переход через барьер
между <р  О и <р   2т 2 / g) смешают эти состояния, и их энерrия станет
отличной от нуля. (Барьер становится непроницаемым только в пределе бес..
конечноro объема.) Однако в суперсимметричных теориях эти состояния
должны иметь энерrию, строro равную нулю, потому что нет низкоэнерre..
тическоro фермионноro состояния, с которым их можно было бы спарить.
Таким образом, для больших т и малых g индекс Витrена равен 2. По..
скольку индекс Витrена инвариантен относительно изменений параметров
теории, он сохраняет свое значение даже при больших g, коrда нарушается
теория возмущений, и даже для т, стремящемся к нулю, коrда две потенци..
альные ямы сливаются. (В этом случае непосредственно вычислить индекс
Витrена совсем не просто в силу присутствия в древесном приближении
как безмассовых бозонов, так и безмассовых фермионов.) Поскольку индекс
Витrена не равен нулю, то в модели ВессаЗумино суперсимметрия строro
сохраняется, независимо от значений параметров теории.
Аналоrичные apryмeHTЫ можно использовать в теориях с несколькими
киральными скалярными суперполями и показать, что индекс Витrена по..
ложителен, и поэтому спонтанное нарушение суперсимметрии отсутствует.
Модели О'Райферти, обсуждавшиеся в разделе 26.5, являются исключени..
ем, потому что существуют плоские направления, вдоль которых потенциал
остается постоянным, коrда поля не растут степенным образом, а стремятся
к бесконечности. Эти модели прекрасно иллюстрируют тот факт, что хотя
индекс Витrена и должен быть равен нулю, чтобы нарушалась суперсиммет..
рия, однако равенство индекса нулю не обязательно означает, что суперсим"
метрия действительно нарушена. Например, если записать суперпотенциал,
использованный в разделе 26.5, через канонически нормированные супер..
поля, то он принимает вид
f(X,Yl'Y2)  тУ} (Х  а) + gY2x2,
с произвольными параметрами т, g и а. Тоrда потенциал равен
и(Х,У},У2)  IgI2IxI4+lmI2IxaI2+lmYl +2gXY21 2 ,
rде маленькие буквы обозначают скалярные компоненты левокиральных су..
перполей. Если т и а не равны нулю, а параметр g мал, то теория возмуще..
ний дает хорошую оценку для спектра. В этом случае потенциал достиrает

29.1. Общие аспекты нарушения cyпepcuм.мeтpии
277
минимума вблизи х == а  21g121al 4 /lml 2 при условии ту} + 2ху2 == О, а энер"
rия вакуума приблизительно равна Iga 2 1 2 V. Поскольку эта энерrия возника..
ет как аддитивная постоянная во всех состояниях, то состояния с нулевой
энерrией отсутствуют, и индекс Витrена равен нулю. Матрица вторых про
изводных суперпотенциала .At (строки и столбцы расположены соrnасно
порядку Х, Yl, У2) имеет вид
( 2 gY2 т 2 g x )
.At== т О О .
2gx О О
Ее собственный вектор (О, 2gx,  т) отвечает собственному значению нуль,
поэтому в такой модели есть безмассовый фермион, т. е. roлдстино, свя"
занное с нарушением суперсимметрии. Фермионное состояние, вырожден..
ное с ваккумом, состоит из одноro roлдстино нулевой энерrии и нулевоro
импульса. (Опять имеются два вакуумных фермионных состояния с проти"
воположными ориентациями спина roлдстино и два бозонных состояния с
вакуумными энерrиями: сам вакуум и состояние, состоящее из двух roл..
дстино с противоположными спинами.) Теперь при а  Осуперсимметрия
может стать ненарушенной (позднее мы покажем, что так и будет), но индекс
Витrена должен быть по..прежнему равным нулю. В этом случае безмассо
вый фермион уже не будет roлдстино, и в силу непрерывности еro масса
должна оставаться нулевой, так что он остается спаренным с вакуумным co
стоянием. Конечно, это общее свойство теорий, в которых суперсимметрия
восстанавливается при отдельных значениях параметров: коrда нарушается
суперсимметрия, в силу непрерывности безмассовый фермион, иrpающий
роль roлдстино, остается безмассовым (хотя уже больше не является roл
дстино) при тех значениях параметров, коrда суперсимметрия восстанав..
ливается, так что вакуум остается спаренным с безмассовым фермионным
состоянием, и индекс Витrена остается равным нулю.
Эта модель прекрасно иллюстрирует, почему необходимо сопрово
ждать утверждение, что индекс Витrена сохраняется при изменении пара
метров суперсимметричной теории, оroворкой, что изменение параметров
не должно менять асимптотическое поведение плотности лarpанжиана для
больших полей. Предположим, что плоское направление в этой модели ста..
новится искривленным из..за добавления малоro слarаемоro к суперпотен
циалу, так что теперь он имеет вид
2 1 2 2
f(X,Yl,Y2)==тYl(Xa)+gY2X + 2 e (Yl +У 2 ),
rде е  малый массовый параметр. Теперь условия сохранения суперсим"

278
rлава 29. За рамками теории возмущений
метрии имеют два решения:
0== д! == д! == д!
дх дУ1 дУ2
для этих решений х является одним из корней квадратноro уравнения
2g2x2+т(xa) ==0, а Уl и У2  величины порядка l/е: У1 == т(xa)/e
и У2 == gx2 /е. Мы видим, что причиной изменения индекса Витrена от О
до 2 при включении малоro параметра е является то, что появляются два
новых минимума потенциала при бесконечно больших значениях полей.
для решения вопроса, нарушается суперсимметрия или нет в теориях с
нулевым индексом Витrена, часто полезно использовать законы сохранения,
чтобы оrpаничить возможные спаривания, и определить новый тип индекса.
Если К является квантовым оператором, коммутирующим с reнераторами
суперсимметрии Qa (и следовательно, с rамильтонианом), то все состояния
ненулевой энерrии, имеющие определенное значение К, спарены с состоя..
ниями, подчиняющимися противоположной статистике, и имеющими те же
значения энерrии, импульса и величины К. Кроме тоro, не только индекс
Витrена Tr (  I)F не зависит от параметров теории (до тех пор, пока они
не изменяют асимптотическое поведение лarpанжиана для больших полей),
но также и взвешенный индекс Виттена, равный Trg(K)(I)F, rде g(K) 
произвольная функция сохраняющейся величины. Чтобы таким образом ис..
пользовать закон сохранения, необязательно чтобы он не нарушался, коrда
объем V стремится к бесконечности. Необходимо лишь, чтобы оператор К
коммутировал с reнераторами суперсимметрии.
для выяснения возможностей нарушения суперсимметрии иноrда по
лезно работать с линейной комбинацией взвешенных индексов Витrена для
нескольких разных сохраняющихся величин. В частности, рассмотрим ве..
личину
WG == L Tr {h( l)F},
hEG
rде суммирование ведется по всем элементам некоторой rpуппы симмет..
рии G. (для компактных непрерывных rpупп эта сумма должна интерпрети..
роваться как интеrpал по объему rpуппы с соответствующей инвариантной
мерой.) Коrда суммирование ведется по конечной или компактной rpуппе,
в любом неприводимом представлении, отличном от единичноro, сумма «ха..
рактеров» Tr h оказывается равной нулю, так что
(29.1.6)
WG == LN(f) ( l)f,
f
(29.1.7)
rде N (f) показывает, сколько раз единичное представление rpуппы G по..
является среди состояний с фермионным числом f. Дрyrими словами,

29.1. Общие аспекты нарушения cyпepcu.м.мeтpии
279
WG есть просто индекс Витrена, но вычисленный только с использованием
G"инвариантных состояний. До тех пор, пока сохраняется G, индекс WG не
зависит от параметров теории и, если он не равен нулю, то суперсимметрия
сохраняется.
В разделе 29.4 законы сохранения будут использованы в этом же ду..
хе для изучения спонтанноro нарушения суперсимметрии в калибровочных
теориях. Однако более простой (хотя и академический) пример дается рас..
смотренной ранее моделью О'Райферти, только теперь параметр а взят рав"
ным нулю. Тоrда суперпотенциал имеет вид
f(X, У1, У2) == тУ1Х + gY2 x2 ,
(29.1.8)
откуда потенциал в древесном приближении равен
и(Х,У1,У2) == /m/ 2 /xI 2 + Ig/ 2 /x/ 4 + /тУ1 + 2gXY2/2.
(29.1.9)
Мы знаем, что в этом случае индекс Витrена равен нулю, т. к. это уже бьто
получено для а =/; о. Но нарушается ли при этом суперсимметрия? Если а == о,
то потенциал обращается в нуль в древесном приближении при значениях
поля с х == У1 == о. Возникает вопрос: добавляют ли эффекты более BЫCO
ких порядков по g или непертурбативные эффекты малую энерrию COOТBeт
ствующим состояниям? Чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что этот
суперпотенциал (и следовательно лаrpанжиан) инвариантен относительно
дискретной симметрии К, относительно которой суперполя преобразуются
по формулам
KXK1 == iX, KY1KI == iY1, KY2K1 == Y2.
(29.1.10)
(Заметим, что такая симметрия нарушается членом тaY1 в исходном потен
циале, поэтому ни один результат, полученный с использованием К, не бу..
дет применим к этому суперпотенциалу.) Поскольку потенциал обращается
в нуль при х == У1 == О И произвольных У2, для малых g можно воспользоваться
теорией возмущений, из которой следует, что для каждоro У2 существует бо..
зонное вакуумное состояние вблизи нулевой энерrии. для У2 == О этот вакуум
будет четным относительно К. Для любоro ненулевоro значения /У21 можно
взять линейные комбинации двух состояний с нулевой энерrией с У2 == :f:/Y2/,
одно из которых четно относительно К, а дрyroе  нечетно. Как уже бьто
показано, здесь имеется также безмассовый фермион, т. е. фермионное со..
стояние У2. Но этот фермион нечетен относительно К, поэтому он не может
быть спарен с четными вакуумными состояниями. Дрyrие фермионы теории
имеют в древесном приближении массы 'т/, поэтому для малых g они также
не MOryт быть спарены с четными вакуумными состояниями. Мы заКJIюча..
ем, что для малых g четные вакуумные состояния должны иметь энерrию,

280
rлава 29. За рамками теории 80з.мущений
cтporo равную нулю, и суперсимметрия сохраняется. В этой модели непро
сто вычислить взвешенный индекс Витrена, потому что имеется бесконечное
число бозонных состояний С нулевой энерrией, четных относительно К. Они
содержат нулевое число или два У2фермиона нулевоro импульса и любое
четное число У2..бозонов нулевоro импульса. Ясно, что Tr К(  l)F > О, И по..
скольку это не зависит от g (пока g =/; О), суперсимметрия не может быть
нарушена при любом конечном значении g.
29.2. Правила сумм для тока суперсимметрии
Обратимся к правилам сумм, дающим точные количественные cooт
ношения между энерrией вакуума и параметрами, описывающими степень
нарушения суперсимметрии.
Предположим сначала, что мир заключен в ящик размером V с пе
риодическими rpаничными условиями, чтобы сохранить трансляционную
инвариантность. Тоrда среднее по вакууму от антикоммутационных соот..
ношений (25.2.36) можно записать в виде суммы по дискретным состояни..
ям IX, ящик) :
L (УАС IQаIХ,ящик) (УАС IQрIХ,ящик)*
Х
+ L (УАС IQ;lх,ящик) (УАС IQIХ,ящик)*
== 2; (YI!) ар (УАС IPI!I УАС} ,
(29.2.1)
rде метка (<ящик» показывает, что для скалярных произведений нормиро
ванные состояния содержат символ Кронекера, а не дельтафунIЩИЮ. Пола
rая р == а и суммируя по а с использованием (25.2.37), получаем
L I (УАС IQаIХ,ящик) 12 == 4 (УАС IpOIVAC).
Х,а
(29.2.2)
Поскольку Qa коммутирует с 4"импульсом, вклад В эту сумму MOryт вно"
сить только состояния С нулевым 3импульсом и энерrией, равной энерrии
вакуума. Чтобы найти зависимость матричных элементов, вносящих вклад
в (29.2.2), от объема, заметим, что состояния Iх,ящик), нормированные
в ящике и содержащие NX частиц, связаны, соrласно (3.4.3), с соответству"
ЮЩИМИ состояниями 'Х), нормированными в континууме, условием
IХ,ЯЩИК} == ((21t)3jV)Nx/2IX).
(29.2.3)

29.2. ПравWlа cy.м;u для тока cyпepcuм.мeтpuu
281
для состояний с Рх == О, пространственный интеrpал временной компоненты
суперсимметричноro тока  дает еще один множитель v, следовательно, для
нормированных в ящике состояний с Рх == О имеем
(УАС IQаIХ,ящик) == (21t)3Nx/2VlNx/2 (УАС '(O) I х).
(29.2.4)
Поскольку инвариантность относительно поворотов на yroл 2п не позво..
ляет Х быть состоянием без частиц, доминирующими членами в (29.2.2)
при V  00 будут одночастичные состояния. Переходя к этому пределу в фор
муле (29.2.2), получаем
(О) 2
(2п)3 L I (УАС '(O) I х) I == 4PVAC'
Х,а
(29.2.5)
rде PVAC обозначает плотность энерrии вакуума
PVAC = (УАС IpOl УАС) jV,
(29.2.6)
rде верхний индекс (О) показывает, что суммирование в (29.2.5) ведется
только по одночастичным состояниям с нулевым 4"импульсом, являющими..
ся, конечно, двумя спиральными состояниями roлдстино.
Таким образом, из формулы (29.2.5) видно, что если плотность энер
rии вакуума не равна нулю, то вакуум не инвариантен относительно супер
симметричных преобразований, а преобразуется в одночастичные состояния
roлдстино. И обратно, соотношение (29.2.2) показывает, что если вакуум
не инвариантен относительно суперсимметричных преобразований, то ero
энерrия в конечном объеме не может быть равна нулю, хотя не исключе
но, что суперсимметричные преобразования MOryт перевести вакуум только
в мноroчастичные состояния, и в таком случае плотность энерrии вакуума
обратится в нуль в пределе большоro объема.
Чтобы вычислить вклад одноroЛДСТИННОro состояния в (29 .2.5), ис
пользуем лоренц"инвариантность и запишем матричный элемент суперсим"
метричноro тока между вакуумом и этим состоянием IР,л) с импульсом Р и
спиральностью л в форме *
{VАСISI1(О)lр,л} == (2п)3/2 [( 115 ) (1I1F+ipI1F')
+ ( 1  15 ) (111 F* + i p l1 F'*) ] и(р, л),
(29.2.7)
*Использование только лоренц"инвариантности позволяет получить эту формулу с
независимыми коэффициентами FL, F{ и FR, Fk для матриц, пропорциональных
(1 +15)/2 и (1  15)/2 соответственно. Соотношения FR == Fi и Fk == F'i наклады..
ваются СРТ ..инвариантностью. Чтобы это увидеть, необходимо использовать свойства

282
rлава 29. За рамками теории 803.JИущений
rде и(р, л)  коэффициентные функции для безмассовоro дираковскоro поля,
введенноro в разделе 5.5; F и F'  неизвестные константы. Матричный
элемент (29.2.7) удовлетворяет условию сохранения
PJ! (УАС ISJ!(О)lр,л) == о,
потому что u(р,л) удовлетворяет уравнению Дирака для нулевой массы
(5.5.42) в импульсном представлении, а Pf.1 лежит на световом конусе. Тоrда
сумма по спиральностям дает
LU(Р'Л) U (Р'Л) == ijJ/2pO.
л
(Дираковский спинор u(р,л) для безмассовой частицы импульсом р и спи
на л не очень хорошо определен при р ---4 о. Однако проблема снимается,
если рассматривать сумму по Х в (29.2.5) как сумму по спиральностям для
малых импульсов р с фиксированным направлением.) Прямые вычисления
приводят к выражению
4РУАС == Tr { (Р 1 Y5 +Р* 1 Y5 ) yO ;:: (yo)t (р* 1 Y5 +Р 1 Y5 ) },
откуда
PVAC == IFI 2 /2.
(29.2.8)
в конце этоro раздела будет дано дрyroе доказательство этой формулы.
С РТ -преобразования для суперсимметричноro тока
CPTS(x)(CPT)1 == 1sS( x)* == P€S( x),
(см. раздел 5.8) и для одночастичных состояний
СРТ 'р, л) == Х! 'р, л)
Здесь Х!  фазовый множитель, зависящий or TOro, как определены относительные фа-
зы спиральных состояний. Кроме TOro, требуется действительность коэффициентных функ-
ций и(р, \), связанных с коэффициентными функциями одночастичных состояний определе-
нием
(VЛС l'JIпереиорм(Х) I р, t) == (2Jt)З/2 exp(ip. х)и(р, t),
rде 'IIперенорм(х) обозначает перенормированное М8Йорановское поле, которое при
СРТ -пребразовании меняется следующим образом
СРТ'IIперенорм(х)(срт)1 == 1s'llперенорм( x)* == е'llперенорм( x).
Таким образом получаем и(р, \) == x:и*(p, \). это равенство вместе со свойствами супер-
симметричноro тока и одночастичных состояний orносительно СРТ -преобразования приво-
ДJIТ к соотношениям FR == Fi и F == F'i.

29.2. Правила сумм для тока cyпepcu.ммeтpuu
283
Параметр F иrpает ту же роль во взаимодействиях мяrких roлдсти
но, что и параметр F1C (введенный в разделе 19.4)  во взаимодействиях
мяrких пионов. Матричный элемент суперсимметричноro тока между двумя
состояниями Х и У можно представить в виде суммы слаrаемых, имеющих
одноroлдстинный полюс при р J.L == О по переданному импульсу р = рх  ру,
и тех, у которых такой полюс отсутствует
(Х ISI1(O) I У) == { ( 1  У5 ) [yl1 F + i p l1 F'] + ( 1  У5 ) [yl1 F* + i p l1 F'*] }
( iP )
х р2 М(Х  У + g) + (Х ISI1(O)I У)без полюса' (29.2.9)
rде иМ (Х -----+ У + g)  амплитуда испускания roлдстино 4"импульсом р и
дираковской волновой функцией и. Метка «без полюса» обозначает члены
матричноro элемента без одноroлдстинноro полюса по 4импульсу р. Coxpa
нение тока S J.L означает, что при свертке с p он обращается в нуль, так что
в пределе р J.L -----+ О амплитуда испускания roлдстино равна *
М(Х  У + g)  ; { ( 1 ;/5 ) + ( 12;5 ) } PI1 (Х ISI1(0)1 У)без полюса'
(29.2.1 О)
Существует дрyroе правило сумм, позволяющее дать альтернативное дo
казательство существования roлдстино, коrда суперсимметрия спонтанно
нарушена. Оно также связывает параметр f и плотность энерrии вакуума
с D и членами, характеризующими степень нарушения суперсимметрии.
(Такое использование правила сумм аналоrично второму доказательству cy
ществования roлдстоуновских бозонов при спонтанном нарушении обыч
ных симметрий, приведенному в разделе 19.2.) для вывода этоro правила
сумм, откажемся от введения конечноro объема, а чтобы избежать пробле
мы сходимости интеrpала (29.1.3), будем работать с локальным следствием
*Амплитуда (ХIS(О)IУ)беЗПОЛlOCа может иметь полюса, ведущие себя как l/p.k при
р   о. Они не возникают в пропarаторе roлдстино, который явно исключен из этоro мат..
ричноro элемента. Полюса появляются в пропarаторах дрyrих частиц, возникающих за счет
вставки суперсимметричноro тока во внешние линии импульса k в процессе Х  У. В пре..
деле pJ1  О вклад от ЭТИХ полюсов в (29.2.10) был бы больше амплитуды испускания
или поrлощения мяrких roлдстино. Но чтобы возникли такие полюса, roлдстино должен
испускаться в переходе между двумя вырожденны.мu частицами, подчиняющимися противо..
положным статистикам, что вряд ли может про изойти в теориях со спонтанно нарушенной
суперсимметрией. Взаимодействия мяrких roлдстино отличаются в этом отношении от вза..
имодействий мяrкиx пионов, фотонов или rpавитонов.

284
rлава 29. За рамками теории возмущений
суперсимметрии действия
[ (f (x,t)a) ,x{y,t)] == [а ( sO{x, t)), х{у, t)] == iБЗ{х  у) Бх{х,t) + ...,
(29.2.11)
rде х(х)  произвольное фермионное или бозонное поле, бх(х)  изме
нение х(х), вызванное суперсимметричным преобразованием с бесконечно
малым параметром а, оставляющим действие инвариантным, а точки обо
значают члены, содержащие производные б 3 (х  у). Рассмотрим среднее по
вакууму от антикоммутатора произвольноro левоro спинорноrо поля 'l'L(X) с
ковариантно сопряженным током S J.L (у) суперсимметричноro тока. Суммируя
по полному набору промежуточных состояний IX) (включая интеrpирование
по импульсам частиц), можно записать значение среднеrо по вакууму в виде
(vлсl{'IILа{х), s :{у)}lvлс) == / d4peip.(xy) [G:{p)+G:{p)],
(29.2.12)
rде
G:{p) = 2,Б 4 {р  рх){VЛС I'IILa{O)IX) (х I S :{O) 1 VЛС) ,
х
C:{p) == 2,Б 4 {р  Рх) (VЛС I s :{o)lx) (Х I'IILa{O) I VЛС).
х
(29.2.13)
(29.2.14)
.......
в силу лоренцинвариантности матрицы GJ.L(p) и GJ.L(p) должны иметь вид
GIl{p) == е{ро) ( 1 Y5 ) [yIlG(1){ p2) + ;pIlG(2) { p2)
+рIlG(З) { p2) + fYIlG(4) { p2)] (29.2.15)
и
GIl{p) == е{ро) ( 1 Y5 ) [yIlG(I){ p2) + ;pIlG(2) { p2)
+рIlG(З) { p2) + fYIlG(4) { p2)] . (29.2.16)
Правые стороны формул (29.2.15) и (29.2.16) не изменяются, если заме
нить p2 на т 2 , умножить на б(р2 +т 2 ) и проинтеrpировать по т 2 . После
этоrо формула (29.2.12) принимает вид
{21t)З (VЛС I { 'IIL{X), S ll (у) } 1 VЛС) == ( 1 Y5 ) j d т 2 [yIlG(I) (т 2 )
о

29.2. ПравWlа cy.м;u для тока cyпepcu.ммeтpuu
285
 ;Ja/lG(2) (т 2 )  iд/lG(З) (т 2 )  i;fy/lG(4) (т 2 )] Д+(Х  у, т)
00
+ ( 1 Y5 ) ! dm 2 [y/lo(1) (т 2 )  ;Ja/lO(2) (т 2 )  iд/lО(З) (т 2 )
о
i;fy/lO(4) (т 2 )] д+(у  Х, т), (29.2.17)
rде +(x,т)  стандартная функция
д+(х,т) = (21t)З ! tf pO(pO)f>(p2+ m 2)exp(ip.x).
(29.2.18)
в силу причинности антикоммутатор в левой стороне формулы (29.2.17)
должен обращаться в нуль для пространственноподобных интервалов х  у.
для таких интервалов + (х  у, т) является четной функцией х  у и поэтому
(29.2.17) равно нулю для всех пространственноподобных интервалов тоrда
и только тоrда, коrда
0(1) (т 2 ) == 0(1){т2),
G(3) (т 2 ) == +О(3){т 2 ),
G(2) (т 2 ) == o(2){т2),
G(4) (т 2 ) == +0(4) (т 2 ),
(29.2.19)
так что для произвольных х  У равенство (29.2.17) принимает вид
00
(21t)З (УАС I {'I'L(X), S /l(y) } I УАС) == ! dm 2 [G(1) (т 2 )у!!  G(2)(m 2 );Ja/l
о
Ю(3)(т2)д/l  ю(4)(т 2 );fy/l] д(xy,т) ( 1 Y5 ) , (29.2.20)
rде, как обычно,
(x  у,т) = +(x  у, т)  +(y x,т).
(29.2.21)
Затем наложим условие сохранения суперсимметричноro тока (29.1.2), KO
торое (с учетом D == т2) дает
G(I){m 2 ) == m 2 G(2) (т 2 ), т 2 0(3) (т 2 ) == m2G(4){m2).
(29.2.22)
Наконец, необходимо связать эти спектральные функции с нарушением cy
персимметрии. Вспомним, что для х О == уО
(xy,O,т) ==0, A{xy,o,т) == iб3{ху).

286
rлава 29. За рамками теории 803.JИущений
Полаrая х О == уО == t и f.l == О в равенстве (29.2.20), получаем
(УАС I {'I'L(x,t),f(y,t) } I УАС) == (21t)З О З(Х  у) ( 1 15 )
00
х ! dm 2 [G(З) (т 2 ) + G(4) (т 2 )] .
О
(29.2.23)
Сворачивая справа с параметром (х бесконечно малоro майорановскоro
фермионноro суперсимметричноrо преобразования и используя соотноше
ние (29.2.11), получим
00
i (O'l'L)VAC == (21t)З ( 1  15 ) а. ! d т 2 [G(З) (т 2 ) + G(4) (т 2 )] .
О
(29.2.24)
Но соотношения (29.2.22) показывают, что подынтеrpальное выраже
ние интеrpала по т 2 в (29.2.24) равно нулю везде, кроме т 2 == о, так что
можно сделать вывод, что
G(3) (т 2 ) + G(4) (т 2 ) == б(т2) ,
(29.2.25)
с постоянным коеффициентом  ' определяемым формулой
i (б'l'L)VАС == (2x) (XL.
(29.2.26)
Как было показано в разделах 26.4 и 27.4, о нарушении супер
симметрии сиrнализирует появление вакуумных средних от изменений б'l'
при суперсимметричных преобразованиях одноro или более спинорных по
лей '1'. Уравнения (29.2.25) и (29.2.26) показывают, что для любоro спи
HOpHOro поля TaKoro типа спектральная функция G(3) (т 2 ) + G(4) (т 2 ) Be
дет себя как дельтафункция при т 2 == о. Эта особенность может возник
путь только изза появления в суммах по состояниям (29.2.13) и (или)
(29.2.14) безмассовоro одночастичноro состояния Ig). Чтобы матричные эле
менты (VACI'I'lg) и (g 1'1'1 УАС) не равнялись нулю, безмассовая частица
должна иметь спин 1/2. Это и есть roлдстино.
Вычислим вклад одноrолдстинноrо состояния Ip, л) с импульсом р и
спиральностью л в спектральные функции G(i) (т 2 ). В силу лоренцинвари
антности матричный элемент произвольноro фермионноro поля (не только

29.2. ПравWlа суJИМ для тока cyпepcuм.мeтpuu
287
перенормированноro поля roлдстино) в формуле (29.2.13) принимает вид*
1 [ ( 1 + 15 ) * ( 1  15 ) ]
(VАСI'II(О)lр,л) == (2п)3/2 N 2 +N 2 u(р,л),
(29.2.27)
rде N  постоянная, характеризующая выбранное фермионное поле. Дельта
функция в (29.2.13) записывается как
б 4 (р  pg) == 2р О б(р2)е(рО)б З (р  pg).
Вместе с равенством (29.2.7) это дает
[G(p)] 1== (2)3 ( 1 Y5 ) e(pO)(p2)p [yflF + ipflF'] ,
rде индекс 1 обозначает вклад одноrолдстинноrо состояния. Сравнение этоrо
выражения с (29.2.15) показывает, что
[G(2) (т 2 )] 1 == i(2п)3NF'(т2),
[G(1)(т 2 )] 1 == [G(3)(т 2 )] 1 ==0.
[G(4) (т 2 )] 1 == (2п)3NF(т2),
(29.2.28)
Итак, из формул (29.2.25) и (29.2.26) получаем
i (б'l'L)VАС == NFaL.
(29.2.29)
Очевидно, что если изменение любоro фермионноrо поля при суперсим
метричном преобразовании имеет ненулевое значение среднеro по вакууму,
множитель N для TaKoro поля не может быть равен нулю. Поэтому должно
существовать одноrолдстинное состояние, дающее вклад в эти спектральные
функции.
Чтобы сделать изложение более конкретным, вспомним, что фермион
ные компоненты 'l'Ln левокиральноrо скалярноrо суперполя ФLп подчиняют
ся суперсимметричному закону преобразования (26.3.15)
б'l'Lп == J2a<Pn 1aR + J2!Y n aL,
(29.2.30)
*и в этом случае лоренц"инвариантностъ допускает независимые коэфициенты NL и NR
дЛЯ (1 +15) и (1 'Y5) соответственно. Используя СРТ..преобразование одночастичноro со..
стояния, вещественность коэффициентных функций, обсужденную в первой сноске этоrо
раздела, срТ..преобразование общеrо фермионноrо поля CPT'I'(x)(CPT)l == E'I'( x), по..
лучаем, что NL == NRo

288
rлава 29. За рамками теории вО3.JИущений
в то время, как формула (27.3.5) дает суперсимметричное преобразование
полей калибрино
A.A == (  fA!!v [у" , у!!] + iY5 D А ) а..
Следовательно множители N в матричных элементах 'l'п и л'А между Baкyyм
ом и одноroлдстинным состоянием определяются выражениями
(29.2.31)
N n == iFl vi (fYn)VAC' N A == Fl (DA)VAC.
(29.2.32)
Посмотрим, как результаты (29.2.32) возникают в древесном приближении.
Для перенормируемой теории калибровочных и киральных суперполей фор
мула (27.4.30) дает часть фермионной массовой матрицы, включающей ле
вые фермионы, в виде
М  ( a 2f (<p) )
пт  д<Рпд<Рт <Р==<Ро'
МnA == МАп == i Vi(tA<PO), МАВ == о.
(29.2.33)
Потенциал (27.4.9) имеет минимум при вакуумных полях <РпО, поэтому
( дV(Ф) )  ( t )
О == д ==  LMпттo +  <i>otA DAO,
<Рп О т А п
(29.2.34)
rде;Ти D определяются формулами (27.4.6) и (27.4.7):
[У п ==  (af(<p)ja<Pn)*' D A == A + L<P(tA)nm<pm'
пт
Индекс О показывает, что мы положили <Рп == <РпО. Более Toro, в силу калиб
ровочной инвариантности суперпотенциала необходимо, чтобы
LfY n (tB<P): == о,
п
(29.2.35)
для всех значений <р. Поэтому массовая матрица М левых кварков имеет
собственный вектор V с Mv == о, rде
V n == VifFno, VA == iDAO.
(29.2.36)
Итак, если в древесном приближении разложить левые фермионные поля по
перенормированным полям частиц определенной массы, то коэффициенты
при поле rpавитино в '1' Ln И л"АL будут пропорциональны V2fF n o и iD АО
соответственно, что соrласуется с (29.2.32).

29.2. Правила су.мм для тока cyпepCuм.A-feтpuu
289
Если отнормировать спинорные поля 'l'Ln И л'А так, чтобы матрица,
связывающая эти поля с перенормированными полями частиц определенной
массы, бьта унитарна, то
L IN n l 2 + L INAI 2 == 1.
п А
(29.2.37)
Поэтому соотношения (29.2.32) дают непертурбативный результат:
IFI2 == 2 L I (f1'n)vAcI 2 + L I (DA)VACI 2 ·
п А
(29.2.38)
Формула (29.2.38) дЛЯ IFI2 позволяет выразить среднее по вакууму от плот
ности (29.2.8) через средние по вакууму вспомоrательных полей:
 2 1 2
РУАС == 1(п)VACI + 2 I(DA)VACI .
п А
(29.2.39)
Это выражение является непертурбативным обобщением результата (27.4.9),
полученноro в нулевом порядке теории возмущений. Тем самым подтвер
ждается использованный в разделе 27.6 вывод: необходимыми и достаточ
ными условиями TOro, что суперсимметрия не нарушена, являются усло
вия (f1'n) == (DA) == о.
* * *
Полезно посмотреть, как можно получить формулу (29.2.8) без BBe
дения конечноro объема. С этой целью рассмотрим среднее по вакууму aH
тикоммутатора двух суперсимметричных токов. Так же, как в предыдущем
разделе, воспользуемся лоренцинвариантностью и обращением в нуль aH
тикоммутаторов для пространственноподобных интервалов; тоrда получим
(УАС I {SfL(x),f' (у) } I УАС) == i! dm 2 [Н(1) (т 2 )у fL д V + н(2) (т2)уд!!
+ н(3) ;1д fL д V + н(4) (т 2 ) J-r1fLV + н(5) (т2)ЕfLVЛролур] L1(x  у,т 2 ) +...,
(29.2.40)
rде
! dXo 4 (p  РХ) (УАС IS(O)IX) (х I S (O)I УАС) == H(I)( p2)yfLpV
+ н(2) (  p2)yv Р fl  н(3) (  р2) рр fl pV + н(4) (  р2) PllflV
+ н(5) (  р2)е flV л. р Рл. Ур + . . . , (29.2.41)

290
fлава 29. За рамками теории возмущений
Здесь точки в (29.2.40) и (29.2.41) обозначают линейную комбинацию дрyrих
независимых дираковских ковариантных матриц 1, 15, 1510 и [Yo,1't], которые
не представляют интереса. Из майорановской природы токов и формулы
(26.А.20) следует, что все спектральные функции ни) действительны, а закон
сохранения токов суперсимметрии требует, чтобы
H(1)(m 2 ) == н(2) (т 2 ) == т2Н(З)(т2)  н(4)(т 2 ),
(29.2.42)
и
т 2 н(1) (т 2 ) == о. (29.2.43)
Полarая 11 == v == О и х о == уО в (29.2.40), интеrpируя по х и используя (29.2.42),
получаем
(VЛС I {Q,S'(O) } I VЛС) == (2п)3Р ! dm 2 [Н(1) (т 2 ) +н(2) (т 2 )
+т 2 н(3) (т 2 ) + н(4) (т 2 )] +... == (2П)3Р! dm 2 H(1)(m 2 )+.... (29.2.44)
Чтобы вычислить этот антикоммутатор, сначала запишем ero в виде
{Q, SV (х)} == 2iy!!T!!V(x) +...,
(29.2.45)
rде T'tl v (х)  некий тензорный оператор, а точки опять обозначают линейную
комбинацию дрyrих независимых дираковских ковариантов. В силу майора
HOBCKoro характера Q и s'tl, оператор T'tl V (х) эрмитов, и он сохраняется в силу
сохранения тока суперсимметрии тока в том смысле, что
дvТ'tl V == О,
(29.2.46)
а из антикоммутационноro выражения (25.2.36) вытекает, что
! d 3 хТ!!О(х) == р!!,
(29.2.47)
Эти свойства позволяют отождествить T'tl V с тензором энерrииимпульса.
Вообще roворя, он не равен сwи.метрuчному тензору энерrииимпульса 8'tl V ,
обсуждавшемуся в разделе 7.4. Однако соотношение (29.2.47) показывает,
что плотность энерrии т ОО может отличаться от 800 только членами с про
странственными производными, которые не MOryт давать вклад в состояния
с 3импульсом, равным нулю. Поэтому плотность энерrии вакуума опреде
ляется выражением
РУАС == (УАС ITDOI УАС).
(29.2.48)

29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенциалу
291
Таким образом, из формул (29.2.44) и (29.2.45) следует
2PVAC == (2п)3 ! dт 2 H(1) (т 2 ).
(29.2.49)
Однако, из условия (29.2.43) вытекает, что н( 1) (т 2 ) равно нулю везде, кроме,
может быть, т 2 == О, поэтому
н(1)(т 2 ) == 2(21t)ЗБ(т2)РVАС.
(29.2.50)
Итак, еще раз показано, что наличие ненулевой плотности энерrии Baкy
ума влечет за собой существование безмассовоro фермиона  roлдстино.
Используя (29.2.7), вычисляем вклад одноroлдстинноro состояния в спек
тральные функции
н(l) (т 2 ) == (21t)ЗБ(т2) IFI2.
(29.2.51 )
Сравнение TOro выражения с (29.2.50) дает предыдущий результат (29.2.8)
для плотности энерrии вакуума.
29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенциалу
в разделе 27.6 было показано, что суперпотенциал в произвольных
суперсимметричных теориях калибровочных и киральных суперполей непе
ренормируем в любом конечном порядке теории возмущений, так что если
суперсимметрия сохраняется в древесном приближении, то она может быть
нарушена только непертурбативными поправками к эффективному вильсо
новскому лаrpанжиану. Проанализируем эти поправки в общем виде. Они
бьши тщательно исследованы в серии статей Аффлека, Дэвиса, Дайна и
Зайберrа в начале 80x roдов З. Особое внимание в них было уделено супер
симметричным версиям квантовой хромодинамики с произвольным числом
цветов и ароматов. Здесь будет представлен упрощенный анализ произволь
ных суперсимметричных калибровочных теорий, основанный на исполь
зованных Зайберroм 4 соображенях аналитичности, о чем уже rоворилось
в разделе 27.7.
для исследования непертурбативных эффектов рассмотрим произ
вольную перенормируемую суперсимметричную теорию, включив на этот
раз в лаrpанжиан возможный ечлен:
р == [ фt eV Ф ] + 2Re [ f(Ф) ] + Re [ 8 ! . 2, E aWAaLWAL ] ,
D fF Х, Aa !F
(29.3.1)

292
rлава 29. За рамками теории воз.мущений
rде суперпотенциал /(Ф) является калибровочно"инвариантным полиномом
третьей степени по левокиральным суперполям, а параметр t определен
в (27.3.23):
4п; 8
't == 82 + 2п · (29.3.2)
Как и в разделе 27.6, вводим два калибровочноинвариантных левокираль
ных внешних суперполя, обозначаемых здесь У и Т. Лаrpанжиан заменяем
выражением
,р» == [фtеVФ] +2Rе[Уf(Ф)] +Re [ 8 T . LEaI3WAa.LWAI3L ] . (29.3.3)
D !у Х, Aa !у
Если положить спинорные и вспомоrательные компоненты У и Т paBHЫ
ми нулю и взять их скалярные компоненты в виде у == 1 и t == t соответ..
ственно, то это выражение совпадает с (29.3.1). В общем случае непер
турбативные эффекты будут нарушать обе симметрии, на которых базиро..
вался анализ в разделе 27.6. Операция трансляции, которая в наших обо
значениях есть просто Т """""""* Т +  с действительным , не является сим
метрией, потому что LA EvPo/lv /1° может иметь ненулевой интеrpал по
пространству"времени. Исходная Rинвариантность (с Т и У, имеющи
ми значения R, равные О и +2) тоже не является симметрией, потому
что обсуждавшаяся в rлаве 22 аномалия приводит к ненулевой диверrен
ции RToKa. Пусть 8L и 8R имеют R == +1 и R == 1 соответственно, а VA
и Ф п Rнейтральны; тоrда фермионные поля л'АL и 'l'nL имеют COOTBeTCTBeH
но R == + 1 и R ==  1, так что выражение (22.2.26) дает
д   1 ( )  v .t"f)0
fLJ R   32п 2 С) C2 fEfL\,pafA JA ,
rде CI и С2  константы, определенные в (17.5.33) и (17.5.34):
LCACDCBCD == Сl Ь АВ, Tr {tAtB} == С2 Ь АВ.
CD
(29.3.4)
(29.3.5)
Здесь шпур вычисляется по всем типам левокиральноro суперполя*. Напри
мер, в обобщенной суперсимметричной версии квантовой хромодинамики,
*В знаменателе формулы (29.3.4) стоит множитель 32 вместо 16, потому что у калибрино
нет отличающихся от них самих античастиц, а при вычислении шпура в (29.3.5), античастицы
считаются отдельно от частиц. Кроме Toro, мы принимаем описанную в конце раздела 27.3
доroворенность и включаем множители, содержащие калибровочные константы связи, в сами
калибровочные поля, а не в структурные константы или матричные reHepaTopbI tл. Таким
образом. калибровочные rенераторы нормированы так, что для tл, tB и te в стандартной SU (2)
подалrебре калибровочной алrебры структурная константа равна слве == Елве.

29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенциалу
293
исследованной в работе 3, с калибровочной rpуппой SU(N c ) и Nf парами
левокиральных кварковых суперполей Qп и Qп в фундаментальном пред
ставлении и ему комплексно сопряженном, эти константы имеют значения,
получаемые из формул (17.5.35) (с п! == 2Nf):
Сl == N c ,
С2 == Nf.
Несмотря на то, что симметрия относительно трансляции Т и Rинва
риантность нарушаются непертурбативными эффектами, существует ДOCTa
точно мощная остаточная симметрия. Рассмотрим общее Rпреобразование
8 L -------t е iф 8 L , Ф -------t Ф,
v А -------t VA,
у -------t е 2iф у
,
(29.3.6)
с произвольным вещественным <р. При таком преобразовании Т незави
симые члены в лаrpанжиане (29.3.3) остаются неизменными. Однако co
rласно (29.3.4) квантовые эффекты нарушают эту симметрию так, как будто
в лаrpанжиане есть член f&!, преобразующийся как
1 ( )  V ро
/).f/! ----+ /).f/!  32п 2 Cl  С2 fE!!Vpof A f A ф.
Вспомним выражение (27.3.18). Тоrда эта добавка сокращается, если преоб
разование Т взять в виде
т -------t Т + (Сl  С2) ф/тс.
(29.3.7)
Поскольку WAaL имеет R == 2, вся теория, включающая непертурбативные эф
фекты, инвариантна относительно комбинированных преобразований (29.3.6)
и (29.3.7). В частности, суперполе exp(2iтcT), которое для Т == t периодично
по 8, имеет R == 2(Сl C2).
Введем ультрафиолетовое обрезание и рассмотрим эффективный виль
соновский лаrpанжиан
шt == [-"л (Ф, Фt, V, Т, Tt, У, yt,,. ..) ] D
+2Re [ s T. L LЕat3WАLaWАL+$л(Ф,WL,Т,У) ] ,
ТCIAaAa 
(29.3.8)
rде.А л и fiJ л  калибровочноинвариантные функции выписанных apryмeH
тов. Член, пропорциональный Т, выписан отдельно от функции fiJ л, чтобы
трансляция т (29.3.7) обязательно сокращала аномалию в Rпреобразовании
(29.3.6). В силу инвариантности относительно комбинированноrо преобразо
вания (29.3.6) и (29.3.7), члены в функции fiJ л должны быть пропорциональ
ны степеням экспоненты exp(2iтcT), имеющей определенное значение R.

294
rлава 29. За рамками теории воз.мущений
Более TOro, в функции fiJ л. MOryт быть только положительные CTe
пени exp(2i1tT). Соrласно (27.3.24), только инстантоны с положитель..
ным тополоrическим числом v  О MOryт давать вклады в эффективную
плотность лаrpанжиана, которые не по Т*, а по Т, и от них появляют..
ся множители exp(2i1tT). В более общем случае при Т == t любая CTe
пень exp(2ia1tT) будет зависеть от калибровочной константы связи черJз
множитель ехр( 8п2a! g2), так что величина а должна быть положительной,
чтобы непертурбативные эффекты бьти подавлены для малых g. Следова
тельно, непертурбативные эффекты входят в шt через операторы ехр(2i1ШТ),
имеющие положительно определенные, нулевые или отрицательно опреде
ленные значения R для Сl > С2, Сl == С2 и Сl < С2 соответственно. (В опи
санной ранее обобщенной суперсимметричной версии квантовой хромоди
намики это соответствует N c > Nf, N c == Nf и N c < Nf.) Рассмотрим каждый
случай в отдельности.
с. > С2
В этом случае степени exp(2ia1tT) с а > О имеют положительно опре
деленные значения R, которые, соrласно (29.3.7), равны R == 2(Сl  С2)а.
в силу лоренцинвариантности, если любой член в fiJ л. содержит WAaL, то
он должен содержать по крайней мере два таких множителя. Поэтому есть
только три способа построить члены в fiJл. с R == 2: иметь два множителя W
и никакой зависимости от У и Т; один множитель У и никакой зависимости
от W и Т; один множитель exp(2i1tT j(Cl C2)) и никакой зависимости от W
и У. Иными словами,
( 2i1tT )
$). == У Jл(ф) + L €aj3WАaL W Вj3 в iмв(Ф) +ехр С  С v).(ф).
aB 1 2
(29.3.9)
Поскольку fл. ( Ф) не зависит от У и Т, это может быть только суперпотенциал
в древесном приближении
fл.(Ф) == f(Ф),
(29.3.1 О)
совпадающий с полученным по теории возмущений. Аналоrично, посколь
ку fЛАв(Ф) не зависит от У или Т, он должен иметь равные числа Ф и Фt,
так что если этот множитель не зависит от Фt, то он не может зависеть от Ф.
Тоrда в силу лоренцинвариантности (для простой калибровочной rpуппы)
множитель fЛАв(Ф) должен быть пропорционален БАВ, а поскольку он не за
висит от Т и У, то использованные в разделе 27.6 соображения для подсчета

29.3. Непертурбатuвные поправки к суперпотенцuалу
295
степеней показывают, что коэффициент при ОАВ может быть только однопет
левым вкладом в обратный квадрат беryщей вильсоновской калибровочной
константы связи.
Напомним, что такое беryщая калибровочная константа связи. В Hecy
персимметричных калибровочных теориях с фермионами уравнение (18.7.2)
дает уравнение ренормrpуппы в однопетлевом приближении
dg'A 3
Л. dл. == Ьg-л.,
(29.3.11)
rде
1 ( 11 1 )
Ь==  4х 2 12 С1  6 С2 , (29.3.12)
и С2 ==  1/6, а не  1/3, потому что сейчас левокиральные состояния aH
тифермионов считаются отдельно от левокиральнь состояний фермио
нов. Как было показано в разделе 28.2, вклад калибрино состоит в том,
что Сlчлен умножается на 9/11, а эффект скалярных компонент левоки
ральных суперполей (таких как скварки и слептоны) сводится к умноже
нию С2члена на 3/2, так что в суперсимметричных теориях вместо (29.3.12)
имеем
1
Ь ==  16х 2 (3Сl  С2). (29.3.13)
Тоrда получаем решение уравнения (29.3.11) для беryщей калибровочной
константы связи:
2  2 3Сl  С2 1 ( !: ) (29 3 14)
g'A  g + 8х 2 n К ' . .
rде К  ультрафиолетовое обрезание, введенное для TOro, чтобы придать
смысл ультрафиолетово расходящейся roлой калибровочной константе g.
Итак, положив Т == t И У == 1, получаем эффективный вильсоновский
лаrpанжиан для Сl > С2 В виде
p == [d -л. (Ф, Ф t , V, '[, '[* , 9), .. .)] + 2 Re [ 8 't-л.. L Ea WAa.L WAL ]
D 1tIAa 
( 2i1tt'A )
+2Rе(J(Ф)]9"+ехр Сl C2 [v-л.(Ф)]9"' (29.3.15)
rде
4п; е
t'A == 2 +  2 · (29.3.16)
g'A 1t
В последнем члене лаrpанжиана (29.3.15) t в экспоненте удается заменить
на t'A, потому что отличие равно постоянной, умноженной на lпл., что дает
степенную зависимость от л., которую можно включить в определение V'A.

296
rлава 29. За рамками теории воз.мущений
Итак, теперь непертурбативные эффекты выделены в последнем члене
формулы (29.3.15). Этот член может появляться за счет инстантонов с TO
полоrическим числом v > О, если Сl  С2 == l/v. (В общем случае Сl  С2
является рациональным числом. для обобщенной суперсимметричной Bep
сии квантовой хромодинамики Сl  С2 == N c  Nf  целое число, поэтому
из условия Сl  С2 == l/v следует, что N c == Nf  1, и тоrда вклад в лarpан
жиан вносят только инстантоны с v == 1. Подробные вычисления 5 в этой
модели показывают, что инстантоны на самом деле дают такой вклад.) Oд
нако независимо от тoro, вносят ли именно инстантоны непертурбативный
вклад V').., ( Ф) в лаrpанжиан или нет, вид этоro вклада можно определить,
рассматривая неаномальные симметрии теории. Поскольку эта функция не
зависит от У, ее можно вычислить так, как будто У == О, так что в нее войдут
все неаномальные симметрии первоrо члена в лаrpанжиане (29.3.1). К ним
относятся сама калибровочная симметрия и rлобальная симметрия относи
тельно Пd SU (п (d) ), rде d отмечает различные неприводимые представления
калибровочной rpуппы, реализованной левокиральными суперполями, а чис
ло n(d) показывает, сколько раз входит представление d. (Например, в обоб
щенной суперсимметричной квантовой хромодинамике d принимает два зна
чения, отмечая N c и N c представления rpуппы SU(N c ), а n(N c ) == n( N c ) == Nf.)
Обозначим Ф как Ф), rде а  калибровочный индекс, i  индекс аромата,
нумерующий n(d) различных Ф, преобразующихся относительно калибро
вочной rpуппы по представлению d. Единственный способ построить функ
цию, зависящую от Ф и инвариантную относительно rлобальной rpуппы
симметрии fLLSU(n(d)),  это взять произведение различных Ф, rде n(d)
индексов аромата свернуты с антисимметричным SU(n(d)) тензором Ei)...iп(d)
для каждоro d, а калибровочные индексы свернуты с постоянными тензора
ми калибровочной rpуппы. (Например, для обобщенной суперсимметричной
квантовой хромодинамики V').., должна быть функцией единственноro инва
рианта
D = Detij LQai Qa j,
а
который не равен нулю только для N c  Nf.)
Помимо свободных от аномалий SU(n(d)) симметрий ароматов, суще
ствует также Ud(l) симметрия для каждоro из неприводимых представле..
ний d, реализуемых теми Ф, rде все Ф) для данноro d преобразуются по
правилу
Ф()  е;<РdФ()
а, а, ·
(29.3.17)
Эта симметрия аномальна, причем эффекты аномалии сводятся к тому, как

29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенциалу
297
если бы лаrpанжиан подверrся преобразованию
 n(d)C2d  v ро
!I! -------t Р  LJ 32 2 LJ EvpofA f A Фd,
d 1t А
(29.3.18)
rде C2d  вклад в С2 от любоro левокиральноrо скалярноrо суперполя,
принадлежащеrо неприводимому представлению d калибровочной rpуппы.
Симметрия восстанавливается, если Т обладает свойством преобразования
т -------t Т + n(d)C2d<9d/1t.
(29.3.19)
Поскольку в выражении (29.3.9) VЛ.(Ф) сопровождается
лем ехр (2; пТ / (С 1  С2) ), который преобразуется соrласно
множите
( 2i1tT ) П ( +2in(d)C2d<9d ) ( 2i1tT )
ехр С С -------t ехр С С ехр С С '
1 2 d 1 2 1 2
(29.3.20)
можно сделать вывод, что для каждО20 представления d калибровоч
ной 2руппы, реалuзоваННО20 левокиральны.ми СКШlЯра.ми, величина VЛ.(Ф)
должна быть однородной функцией Ф) отрицателЬНО20 порядка
2n(d)C2d/(Cl  С2). (Например, в обобщенной суперсиметричной KBaHTO
вой хромодинамике есть два неприводимых представления rpуппы SU(N c ):
фундаментальное и сопряженное представления, каждое с n(d) == Nf и
Си == 1/2, так что Vл. является однородной функцией порядка Nf / (N c  Nf)
по Q, при надлежащей фундаментальному представлению и однородной
функцией TOro же порядка по Q , принадлежащей представлению, сопря
женному фундаментальному. Следовательно, она должна быть пропорцио
нальна Dl/(NcNf), rде D  определитель, введенный раньше. В общем слу
чае С2 == Ldn(d)C2d, поэтому VЛ.(Ф) является однородной функцией всех Ф
порядка 2C2/(Cl  С2).
Этот результат выдерживает важную проверку на совместимость.
В разделе 27.4 было показано, что любой суперпотенциал имеет размерность
+3 (полаrая 1i == с == 1 и подсчитывая степени масс), а скалярные суперпо
ля Ф, подобно обычным скалярным полям, имеют размерность + 1, так что
зависящая от Ф часть Vл. должна возникать с коэффициентом размерности
3 + 2С2
Сl C2
3Сl  С2
Сl  С2 ·
Этот коэффициент не зависит от калибровочной константы связи, а также
от всех дрyrих констант или масс, входящих в суперпотенциал. Посколь
ку во втором члене выражения (29.3.11) rолая константа связи g заменена

298
rлава 29. За рамками теории 80з.мущений
на gл., он также не может зависеть от ультрафиолетовоro обрезания К, ис
пользованноrо для определения g. Поэтому он может зависеть только от л.
Следовательно,
vл.( Ф) == л( ЗС l C2)/(Cl C2) Н( Ф), (29.3.21)
rде Н(Ф)  однородная функция порядка 2п(d)C2d/(C1  С2) тех Ф, KO
торые принадлежат каждому представлению d калибровочной rpуппы, и не
зависящая от любоro параметра теории. Тоrда (29.3.14) можно переписать
в форме
.3С1  С2 ( л ) 8
t л == l 2п lп А + 2п ' (29.3.22)
rде А  энерrетический параметр, характеризующий беryщую калибровоч
ную константу связи, типа параметра А  200 МэВ в квантовой хромодина
мике. Тоrда последний член в (29.3.15) имеет вид
( 2i1ttл. ) (Ф) ( i8 ) А (ЗСlС2)/(СlС2) Н(ф)
ехр С С Vл. == ехр С С .
1 2 1 2
(29.3.23)
Поэтому полный эффективный суперпотенциал, включающий непертурба
тивный вклад (29.3.23), не зависит от плавающеzо обрезания л.
Функция Н(Ф) однородна и имеет отрицательный порядок по Ф, так
что в отсутствие roлоrо суперпотенциала потенциал положительно опреде
лен при конечных значениях скалярных полей и обращается в нуль только
при бесконечных значениях этих полей. В такой теории нет стабильноro
BaКYYМHoro состояния, и вопрос о нарушении суперсимметрии становит
ся спорным. Вакуум можно стабилизировать, если добавить подходящий
roлый суперпотенциал. Например, в обобщенной суперсимметричной KBaH
товой хромодинамике с Nf < N c единственным перенормируемым roлым
суперпотенциалом является сумма массовых членов
f(Q, Q ) == Lтij Q aiQaj.
ija
(29.3.24)
Занимаясь поисками суперсимметричноro BaКYYМHoro состояния, сначала
следует выяснить, какие скалярные компоненты qai И qa i удовлетворяют
условию (27.4.11), которое в этом случае для всех reHepaTopoB tA rpуп
пы SU(N c ) имеет вид
Lqi(tA)abqbi  L q i(tA) qb i == о.
аЬ; аЬ;
(29.3.25)
Калибровочные взаимодействия (но не суперпотенциал) инвариантны OTHO
сительно одновременных SU (N c ) преобразований индексов цвета а в обеих

29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенцишzу
299
компонентах qai И qa i' относительно SU(Nf) и SU(Nf) преобразований ин..
дексов аромата i компонент qai И qa i соответственно, и относительно И(1)
преобразования обеих qai И qai С противоположными фазами. Используя эти
симметрии, можно все условия записать в форме
.    { UiБаi а  Nf
qal  qai  О а > Nf '
(29.3.26)
rде и;  комплексные числа с одинаковой фазой. (Докажем это. rенераторы tA
rpуппы SU(N c ) образуют базис пространства всех бесследовых эрмитовых
матриц, так что условие (29.3.25) эквивалентно требованию, что
Lqiqbi  L q i qb i == kБаь,
i i
(29.3.27)
с некоторой постоянной k. С помощью комбинированноrо преобразования
цвета и аромата q  U qV, rде U и V унитарны и унимодулярны, матрицу q
можно привести к диаroнальному виду (29.3.26), а с помощью унимодуляр"
HOro изменения фазы диаroнальных элементов можно сделать так, чтобы все
они имели одинаковую фазу. Тоrда условие (29.3.27) принимает вид
 *   { (и  k) БаЬ а  Nf
fqaiqbj  Ыab а > Nf ·
Условие для а > Nf показывает, что k  о. Если бы k не равнялось нулю,
то qai реализовали бы N c ненулевых ортоroнальных векторов, имеющих Nf
компонент, что невозможно ДЛЯ Nf < N c и, следовательно, k == о. Тоrда ком..
поненты qa i можно привести к диаroнальной форме (29.3.26) с помощью се..
рии унитарных преобразований аромата: сначала развернем qli вдоль оси 1;
потом, зафиксировав первую ось, совершим поворот в пространстве, пер..
пендикулярном этой оси, так, чтобы q2i развернулись вдоль второй оси,
и так далее. Затем выполним унимодулярное фазовое преобразование, так
чтобы все диaroнальные элементы имели одинаковые фазы. Тоrда равенство
(29.3.27) показывает, что абсолютные значения всех диаroнальных элемен..
тов qai И qa i равны, и с помощью неаномальноro изменения фаз qai И qa i
В противоположном направлении можно сделать так, чтобы были одинако"
вы их общие фазы, что и требовалось доказать.)
Функция Н, входящая в (29.3.23), имеет вид
[ ] l/(NcNf) [ ] 2/(NcNf)
H(q, q ) == J Detij qai qa j == J Il uj ,
(29.3.28)

300
rлава 29. За рамками теории возмущений
rде i  числовая константа. (Подробные вычисления показывают, что i == 2
для N f == 2 и N c == 3.) Складывая члены (29.3.23) и (29.3.24), получаем полный
эффективный суперпотенциал
[ ] 2/ (NcNf)
/полн(q, q ) ==х 1] u; + :t: тiUr ,
(29.3.29)
rде
( i8 )
:J( = i ехр л(3NсNf)/(NсNf)
N c  Nf
и т;  диаroнальные элементы массовой матрицы, кото рые получ аются,
коrда исходная массовая матрица подверrается SU(Nf) х SU(Nf) преобра..
зованию, использованному для записи скаляров в форме (29.3.26). Условие
(27.4.10), при котором потенциал fполн(q, q ) должен быть стационарным,
имеет решение
(29.3.30)
2   ( :J( ) lNf/Nc ( . ) l/Nc
и;  П m J ·
т; NcNf j
(29.3.31)
Поскольку скалярные поля записаны в базисе, в котором и; имеют общую
фазу, все т; также должны иметь общую фазу в этом базисе. Однако общая
фаза и7 не единственная. Наличие I/N c степеней в (29.3.31) показывает,
что решение определено с точностью до множителя exp(2iтcп/N c ), rде п
принимает целые значения от О до N c  1. (Два знака и; для данноrо и7
физически эквивалентны, потому что вся теория инвариантна относительно
неаномальной симметрии с qai -------t e i1t qai и qa i -------t ei1t qa i.) Мы вернемся к
тому факту, что существует N c физически неэквивалентных решений при
обсуждении индекса Витrена в следующем разделе.
с. == С2
Этот случай интересен потому, что, как было показано в (27.9.3), про..
стейшая N == 2 суперсимметричная теория ЯнrаМиллса, записанная через
N == 1 суперполе, содержит единственное левокиральное суперполе в присо..
единенном представлении, для KOTOpOro, конечно, С2 == Сl *.
*Заметим, что здесь С2 относится к представлению калибровочной rpуппы, реализован..
НОМУ киральными суперполями, так что она совпадает с величиной c из раздела 27.9, от..
носящейся к представлению, реализованному комплексными скалярами, но равна половине
величины с{, относящейся к представлению, реализованному всеми спинорными полями,
включая поля калибрино.

29.3. Непертурбативные поправки к суперпотенцишzу
301
в случае С2 == Сl ФУНКЦИЯ exp(2i1tT) имеет R == о, так что ее появление
в p не оrpаничено R"инвариантностью. Общая форма F ..члена в p дается
выражением (29.3.9), но без последнеro члена:
fiJ л == у fл(Ф,ехр(2i1tТ)) + L ЕаWАaLWввfмв(Ф,ехр(2i1tТ)). (29.3.32)
afi4B
Поскольку потенциал fл может зависеть от Т, нельзя сделать вывод, что
он равен roлому суп ер потенциалу. Можно только сказать, что он зависит
линейно от любых констант связи и масс, появляющихся линейно в roлом
суперпотенциале. В частности, если с Са.МО20 наЧШlа нет суперпотенциШlа,
то е20 нельзя создать с помощью непертурбативных эффектов.
Чтобы двиrаться дальше, необходимо воспользоваться аномальной ки"
ральной симметрией относительно и ( 1) преобразования всех Ф п . Требова..
ние инвариантности теории относительно этой симметрии заставляет ввести
отдельное внешнее левокиральное суперполе Y r для всех слarаемых roлоro
суперпотенциала порядка r по Ф п . Тоrда теория инвариантна относительно
комбинированных преобразований
.ф
Ф п -------t е' Ф п ,
т -------t Т + С2Ф / Х, Y r -------t е irфУr.
(29.3.33)
в силу этой симетрии член в fiJ л, имеющий порядок VY r по коэффициентам
члена в суперпотенциале порядка r по Ф и пропорциональный exp(2i1tT),
должен иметь порядокvYф по Ф, равный
vYф == LrvY r  2С2а.
r
(29.3.34)
Из выражения (29.3.32) следует, что в случае Сl == С2 коэффициенты f ЛАВ
в членах fiJ л, квадратичных по W, не должны зависеть от параметров супер..
потенциала. Поэтому равенство (29.3.34) принимает в этом случае вид
vYф == 2C2a.
(29.3.35)
Итак, в fMB не может быть членов положительноro порядка по Ф r , И любой
член в fMB, независимый от Фr, не должен зависеть от Т. Поэтому эти неза..
висимые от Ф члены в fMB являются, как и раньше, просто однопетлевым
вкладом в беryщий параметр связи t л .
Как видно из формулы (29.3.32), эффективный суперпотенциал должен
быть линейным по параметрам суперпотенциала, так что только один член
имеет vY r == 1, а у всех дрyrих членов vY r == о. для TaKoro члена (29.3.34)
принимает вид
vYф == r  2С2а.
(29.3.36)

302
rлава 29. За рамками теории возмущений
Поэтому слаrаемое в эффективном сynерпотенциале, имеющее VY ф степе..
ней Ф, может появиться только из слarаемых в roлом сynерпотенциале, име..
ющих r vYф степеней Ф. Члены с r ==vYф имеют а == О, поэтому они, так
же как и rолый сynерпотенциал, определяются древесным приближением.
Члены с r >vYф являются непертурбативными поправками. Такое непертур..
бативное слarаемое заданноro порядка по Ф может появиться из слarаемых
roлоro сynерпотенциала более высокоzо порядка по Ф.
Cl < С2
В этом случае значение R == 2(С 1 C2) для exp(2i1tT) отрицательно,
поэтому для положительных R положительные степени exp(2i1tT) MOryт ком..
пенсировать значения У и W a . Следовательно, fiJ л может содержать члены
произвольноrо порядка по У и W a . Используя условие киральной симметрии
(29.3.34) и условие R"инвариантности
2 ==vYw + 2 I:vY r  2а(С2  Сl),
r
(29.3.37)
можно, однако, оrpаничить структуру членов данноro порядка vYф по Ф.
Уравнения (29.3.34) и (29.3.37) имеют тривиальное решение с vY r == 1
для r ==vYф, vY r == О для дрyrих значений r, а ==vYw == о. Это решение по..
казывает присутствие в fiJ л исходноro roлоro суперпотенциала без радиа..
ционных поправок. Если же нет исходноrо суперпотенциала, то VY r == О для
всех r и формула (29.3.35) не допускает наличия каких бы то ни было чле..
нов в вильсоновском лаrpанжиане cvYw == о. Следовательно, в этом случае
нельзя построить HUKaKOZO суперпотенциала. (В суперсимметричной версии
квантовой хромодинамики этот вывод обычно делается на основании TOro,
что из всех возможных членов в суперпотенциале не существует TaKoro, ко..
торый был бы совместим со всеми симметриями. Но, как уже roворилось,
приведенный нами вывод имеет значительно более общий характер.) Для
перенормируемых асимптотически свободных теорий существует полезное
оrpаничение на структуру независящих от Ф членов в fiJ л . Из условия пере..
нормируемости следует, что.А'"r == О для r> 3, так что, вычитая из (29.3.37)
выражение (29.3.34), умноженное на 2/3, получаем
2  .к Ф+.А'"W +2а (С 1   С 2 ) .
(29.3.38)
в силу асимптотической свободы 3Сl > С2, поэтому дляvYф == О (илиvYф > О)
каждый член справа положителен. Следовательно, не может быть независи"
мых от Ф членов более высокой степени по W, чем вторая, и эти члены,

29.4. Нарушение cyпepcuммeтpии в КШlибровочных теориях
303
кроме тоro, не зависят от Т. Следовательно, они опять представляют од..
нопетлевой вклад в беryщий параметр связи tл,. Однако, для Сl < С2 нет
общеro запрета на члены второro и более высокоro порядка по W и члены с
отрицательной степенью Ф.
29.4. Нарушение суперсимметрии в калибровочных теориях
Обратимся к вопросу, представляющему большой физический инте..
рес: в каких калибровочных теориях имеется спонтанное нарушение супер..
симметрии?
Начнем с абелевой калибровочной теории  суперсимметричной вер..
сии квантовой хромодинамики, описанной в разделе 27.5. Эта теории обла..
дает И(1) калибровочной симметрией и содержит два суперполя Ф, несу..
щие квантовые числа :f:e rpуппы и(1), и суперпотенциал J(Ф) == тФ+Ф.
В разделе 27.5 было показано, что суперсимметрия нарушается в древесном
приближени, если в лаrpанжиан включить член ФайеИллиопулоса [V]D,
так что индекс Витrена равен нулю при  =/; о и малых значениях е, откуда
следует, что он равен нулю для всех значений е и , в том числе и для  == о.
Сохраняется ли суперсимметрия при  == О? Она сохраняется в древесном
приближении, но можно ли сказать то же самое, если поправки более вы..
cOKoro порядка теории возмущений или непертурбативные эффекты в этом
случае дают конечное значение энерrии вакуума?
Чтобы ответить на эти вопросы, воспользуемся принципом симмет..
рии теории для  == о так, как это было описано в общем виде в разделе
29.1. Симметрией теории является в данном случае зарядовое сопряжение:
полная плотность лаrpанжиана инвариантна относительно преобразования
зарядовоro сопряжения киральноro и калибровочноro суперполей:
еФ:i:сl == Ф1=' CVcl == v.
(29.4.1 )
в древесном приближении имеется безмассовый фермион  фотино, но ес..
ли принять, что вакуум четен относительно С, то состояние одноrо фотино
будет нечетным относительно С, поэтому эти состояния не связаны между
собой умножением на reHepaTop суперсимметрии. В этой теории киральный
фермион в древесном приближении имеет массу т, так что при малых е он
также не спарен с вакуумом. Если нет фермионноro состояния для спари..
вания, вакуумное состояние должно иметь энерrию, cTporo равную нулю,
по крайней мере для достаточно малых е, так что теория возмущений да..
ет хорошую качественную картину спектра. Как было показано в разделе
29.1, нулевое значение энерrии вакуума означает, что суперсимметрия не
нарушена. Аналоrично, фотино должно иметь массу, cтporo равную нулю,

304
rлава 29. За рамками теории возмущений
поскольку для Hero нет бозонноro состояния, с которым можно образовать
пару.
Возникает вопрос: что делать с теми значениями е, при которых уже
нельзя доверять теории возмущений? Сам по себе индекс Витrена здесь не
может помочь, потому что он обращается в нуль. Вместо Hero рассмотрим
взвешенный индекс Витrена Tr С(  I)F. Как уже было показано, для малых
значений е и  == о вакуум имеет нулевую энерrию, и существуют, кроме то..
ro, два состояния нулевой энерrии, содержащие фотино нулевоro импульса
и противоположными спинами, и одно бозонное состояние нулевой энерrии,
содержащее два фотино с нулевыми импульсами и противоположными спи
нами. Вклад вакуума во взвешенный индекс Витrена равен + 1; вклад двух
состояний одноrо фотино равен +2 (поскольку и С, и (I)F равны 1), вклад
состояния двух фотино равен + 1. В результате получаем Tr С(  I)F == 4. Это
значение не зависит от е, поэтому даже для больших значений констант свя
зи взвешенный индекс Витrена равен 4 и, следовательно, суперсимметрия
не нарушена.
Здесь есть одна сложность 2. При перечислении состояний с нулевым
импульсом в древесном приближении мы не рассматривали компоненты Ka
либровочноrо поля Vfl(X) нулевоro импульса. Постоянный член в Vo(x) не
вызывает трудностей, потому что ero можно убрать калибровочным преоб
разованием
Vfl(X)  Vv(X) +дflЛ(х) (29.4.2)
с калибровочным параметром Л(х), пропорциональным х о . С дрyrой сторо"
ны, нельзя просто убрать постоянный член в \ti(X), потому что для этоrо
необходимо калибровочное преобразование с Л(х), пропорциональным xi,
что будет противоречить предполarаемой периодичности полей относитель..
но сдвиrов на размер ящика L = v 1 j3. В частном случае, рассматриваемом
сейчас, все поля имеют заряды ::i:e и О, поэтому периодичность сохраня..
ется, если оrpаничиться калибровочными преобразованиями на решетке с
параметром
2x .
Л(х) ==  L fiX',
е .
1
(29.4.3)
rде f;  три положительных или отрицательных целых числа. Поэтому,
хотя и нельзя убрать калибровочным преобразованием компоненты \ti(X),
соответствующие нулевому импульсу, их можно произвольно сдвиrать на
величины 2тc.e i /eL. Функция Лarpанжа (не лarpанжиан) в древесном при..
ближении для независящей от xi части Vfl в калибровке Vo == о равен про
сто !L3Li(до\ti)2. Поэтому rамильтониан равен +!L3Li(1t)2, rде Х; кано..
нически сопряжено к \.';: Х; == L 3 до\.';. Тоrда для этоrо поля волновая функ..
ция 'р (V) подобна волновой функции свободной частицы единичной Mac

29.4. Нарушение cyпepcuммeтpии в КШlибровочных теориях
305
сы, заключенной в трехмерный ящик с линейными размерами 2х/ eL с пе..
риодическим rpаничными условиями. Волновые функции с определенной
энерrией k 2 /2L3 и ki == еИ ; и целыми f,i, пропорциональны exp(ik. V). Это
поле имеет единственное состояние нулевой энерrии с k i == О, для KOТOpOro
нормированная волновая функция постоянна и равна (eL/21t)3/2. Поскольку
это состояние единственно, то калибровочная степень свободы не изменяет
подсчет состояний нулевой энерrии, и взвешенный индекс Витrена действи..
тельно равен 4.
Теперь рассмотрим теорию простоro неабелева калибровочноro супер..
поля без киральных суперполей. В работе Витrена 1982 roда 2, rде введен
индекс Витrена, показано, что для таких теорий он равен r+ 1 (или, возмож"
но,  r  1), rде r обозначает paHr калибровочной rpуппы, т. е. максимальное
число коммутирующих reHepaTopoB. В 1997 roдy Витrен нашел поправку
к этому результату 6, т. е. показал, что для классических унитарных, ор..
тоroнальных и симплектических rpупп этот индекс является инвариантом
Казимира Сl, который, действительно, равен r + 1 для унитарных и сим..
плектических rpупп, но для ортоrональных rpупп O(N) с N > 7 и исключи..
тельных rpупп имеет дрyroе значение. В общем случае инвариант Казимира
определяется формулой (17.5.33):
I:CACDCBCD == g 2С t Б АВ,
CD
(29.4.4)
rде g  постоянная связи, определение которой может быть сделано OДHO
значным, если оrpаничить rенераторы tA, tB и tc rенераторами «стандарт..
ной» SU(2) подалrебры, использованной для вычисления инстантонных эф..
фектов в разделе 23.5, а структурная константа есть просто gEABC. Тоrда для
классических rpупп имеем
CI  {
N SU(N)
N  2 SO(N) для N > 3 .
N + 1 USp(2N)
(29.4.5)
PaHr rpуппы SU(N) равен r == N  1, а paнr rpуппы USp(2N) равен r == N,
поэтому в обоих случаях r+ 1 == Сl. Однако, rpуппа SO(N) с N > 6 имеет
paHr r == (N  1)/2 == (Сl + 1)/2 для нечетных N и r == N /2 == (Сl +2)/2 для
четных N. Поэтому индекс равен Сl, а не r+ 1. Конечно, это не влияет на
rлавный вывод, что если индекс Витrена не равен нулю, то нет спонтанноrо
нарушения суперсимметрии. Кац и Смилrа показали в 1999 roду, что ин..
декс равен Сl и для исключительных rpупп 7. Мы вычислим здесь индекс
Витrена только для SU(N) и USp(2N) суперсимметричных калибровочных
теорий без киральных суперполей. Однако, в процессе этих вычислений

306
rлава 29. За рамками теории возмущений
станет ясно, почему в ортоroнальных и исключительных rpуппах возникают
дополнительные сложности.
Общая стратеrия вычислений такая же, как и для уже рассмотренных
абелевых теорий. Сначала исследуем состояния нулевой энерrии, чтобы уви
деть есть ли среди них такие, которые не MOryт быть спарены действием
reHepaTopa суперсимметрии. Если они есть, то пока связь достаточно слабая
и древесное приближение дает хорошую качественную картину спектра, эти
неспаренные состояния действительно имеют энерrию, cтporo равную нулю.
Тоrда можно найти ненулевой взвешенный индекс Витrена, который будет
постоянным даже для более сильных констант связи. Это позволит сделать
вывод, что суперсимметрия не нарушается для любых значений константы
связи.
Здесь возникает друrая сложность, которой не было при рассмотрении
абелевой теории с заряженными киральными суперполями. Обычно rOBo
рится, что произвольные перенормируемые теории калибровочных бозонов
и калибрино без киральных суперполей вообще не содержат безразмерных
параметров, поэтому не существует параметра связи, который Mor бы быть
подобран так, чтобы сделать связь слабой. Вместо этоrо имеется беryщая
константа связи, зависящая от отношения энерrии к характерному энерrе..
тическому масштабу Л, подобно обсуждавшемуся в разделе 18.7 масштабу
Л  200 МэВ в квантовой хромодинамике. для неабелевых теорий калиб..
ровочная константа связи становится сильной при энерrиях ниже Л, неза..
висимо от TOro, какой слабой она была при более высоких энерrиях. Но
здесь рассматривается ящик объемом L 3 , обеспечивающий инфракрасное
обрезание при энерrиях  1/ L, что обычно отсутствует в теориях сненару..
шенными калибровочными симметриями. Коrда речь идет о калибровочной
теории со слабой связью, следует понимать, что имеется в виду теория со
связью, малой вплоть до энерrий порядка 1/ L. В этом случае, чтобы сделать
какое либо заключение о реалистическом пределе бесконечноrо объема, cy
щественно уметь ответить на вопрос: нарушается ли суперсимметрия как
для слабой, так и для сильной связи?
Будем работать во временной калибровке VJ == о. Тоrда лаrpанжиан
(27.3.1) имеет вид
!I! ==  2Jlij   I, (дОV Аi )   I, ( ЛА (-WЛ)А) +  I,D,
4 Aij 2 А 2 А 2 А
(29.4.6)
rде во временной калибровке
fAij == дiVАj  дjVАi + I,CABCVBiVCj,
ВС
(29.4.7)

29.4. Нарушение cyпepcuммeтpии в КШlибровочных теориях
307
(DiЛ)А == дiЛА + LСАВСVВiЛс,
ВС
(29.4.8)
(DОЛ)А == дОЛА.
(29.4.9)
(Как обычно, калибровочная константа связи или дрyrие константы включе..
ны как множители в структурные константы САВС.) В отсутствие киральных
суперполей нет дрyrой зависимости от вспомоrательноrо поля D А. Посколь"
ку оно входит квадратично, ero можно положить равным значению D А == О,
при котором лаrpанжиан стационарен, и забыть о нем. Сохранив только мо"
ды, независящие от х, можно записать эффективную функцию Лаrpанжа
в виде
f d 3 хШ == L 3 [ ! L ( LCABCVBiVCj ) 2 ! L ( д о v Аi ) 2
4 Aij ВС 2 А;
  L САВС ( А.А УУВiЛс)   L А.А fдОА.А ] ·
АВС; А
(29.4.10)
Тоrдаrамильтониан
1 L 3 ( ) 2 L 3
Н== 2L з L1ti+ 4 L LCABCVBiVCj + 2 L САВС( ЛА 'УiVВiЛс),
А; Aij ВС АВС;
(29.4.11 )
rде ХА; == L 3 дОVАi канонически сопряжен с VA;.
Конфиrypациями калибровочных полей с нулевой энерrией в древес..
ном приближении будут те, для которых LBCCABCVBiVCj == О для всех А, i и j.
Это условие удовлетворяется всеrда, если VBi равно нулю для всех i, кро"
ме случая, коrда tB принадлежит подалrебре Картана калибровочной алrеб
ры Ли*. для унитарных и симплектических rpупп и их прямых произведе..
ний это единственная возможность удовлетворить такому условию. То же
самое верно для ортоrональных калибровочных алrебр O(N) с N  6, кото..
рые эквивалентны симплектическим и (или) унитарным алrебрам Ли (см.
Приложение к rлаве 15), но не выполняется для ортоrональных калибровоч
ных алrебр O(N) с N  7. Вот почему в этом случае первые вычисления
Виттена требовали коррекции.
* ПодШl2еброй Картана является любая подалrебра, реализованная r независимыми reHe
раторами !J, коммутирующими между собой, т. е. для которых С МЕА равняется нулю для
всех lА, коrда!J и trJJ принадлежат подалrебре Картана, rде r  paHr, т. е. максимальное число
таких rеиераторов. Например, для обсуждавшейся в разделе 19.7 SU(З) симметрии сильных
взаимодействий paHr r == 2, и подалrебру Картава можно выбрать состоящей из третьей KOM
поненты изоспина lз и rиперзаряда 18, которые действуют на леrкие кварки коммутирующими
матрицами, обозначенными в (19.7.2) ЛЗ и Л8.

308
rлава 29. За рамками теории возмущений
Далее будем рассмотривать только калибровочные aлrебры, подобные
симплектическим и унитарным, для которых условие нулевой энерrии в дре..
весном приближении требует обращения VBi в нуль для всех i, кроме случая,
коrда tB принадлежит подалrебре Картана калибровочной алrебры Ли. Если
все VAi == О, кроме тех  i' для которых t.J принадлежит подалrебре Картана,
то нулевыми модами фермионноro поля будут моды, для которых ЛА == О, за
исключением тех 'Л.J, для которых t.J принадлежит подaлrебре Картана.
Теперь следует подсчитать эти состояния. Собственные значения t.J
в любом представлении полупростой алrебры Ли квантованы. Поэтому с
помощью калибровочных преобразований все значения ненулевых калибро
вочных полей V.J i MOryт быть определены эквивалентными их значениям
в ящике конечноrо размера с периодическими rpаничными условиями. Эти
моды квантуются аналоrично тому, как это делалось для калибровочноro
поля в и ( 1) рассмотренной ранее модели. Поэтому состояние этих полей с
нулевой энерrией снова единственно и обладает постоянной волновой функ
цией в ящике.
Кратность состояний нулевой энерrии в древесном приближении воз..
никает только за счет фермионных степеней свободы. Удобно пользоваться
двухкомпонентными обозначениями, коrда, вместо четырехкомпонентноro
майорановскоro поля 'Л.J А для каждоro reHepaтopa подaлrебры Картава, бе
рутся два левых поля Л.JLa с а == :f:l/2 и правые эрмитово сопряженные им
*
поля Л.J La. Эти поля калибрино удовлетворяют каноническим антикоммута
ционным соотношениям
{Л.JLa'Lb} == Б.JalБаЬ
и
{Л.J La,ЛвJLЬ} == {Л La'Lb} == о.
Действуя на вектор произвольноrо состояния полем Л.J La столько раз, сколь
ко это необходимо, можно построить вектор состояния 10), который анни
rилируется всеми Л.J La. Тоrда произвольный вектор состояния, отвечающий
нулевой энерrии, является линейной комбинацией произведений л La' дей..
ствующих на 10).
Чтобы увидеть, как эти состояния MOryт быть спарены за счет дей
ствия reHepaTopa суперсимметрии, необходимо учесть симметрию теории.
Условие нулевой энерrии, т. е. условие, что калибровочные поля и поля
калибрино лежат только в направлениях, соответствующих подалrебре Kap
тана, инвариантно относительно подrpуппы исходной калибровочной rpуп
пы, состоящей из элементов h, сохраняющих инвариантность этой под
алrебры, т. е. для которой h  1 t.J h является линейной комбинацией tal.

29.4. Нарушение cyпepcuм.мeтpии в КШlибровочных теориях
309
Эти элементы образуют конечную rpуппу, называемую zруппой Вейля. Ha
пример, в фундаментальном представлении SU(N) rpуппа ВеЙЛЯ COCTO
ит из перестановок N координатных осей вместе с умножением на фазу,
необходимую, чтобы сделать преобразования унимодулярными. ОНИ MO
ryт быть представлены произведениями конечных калибровочных преоб
разований W(i,j) == exp(i1to(ij)/2) == io(ij) с ; =1: j, которые переставля
ют iю и jю координатные оси, rде o(;j)  U(N) reHepaTop, у KOTOpO
ro [O(;j)]i j == [o(;j)]j; == 1, а все остальные элементы равны нулю. Эти пре
образования порождают ортоroнальные преобразования в пространстве, Ha
тянутом на диаrональные бесследовые эрмитовые матрицы t.J, которые re
нерируют подалrебру Картана в присоединенном представлении. Например,
для rpуппы SU(2) можно взять подалrебру Картана, состоящую только из 1з.
Тоrда rpуппа ВеЙЛЯ состоит из единичноrо элемента и единственноrо нетри
виальноrо калибровочноrо преобразования W(I,2) == ;0(1,2) == ;01, для KO
Toporo w11зW == 1з. для rpуппы SU(З) подалrебра Картана имеет два
reHepaTopa Аз и А8, а rpуппа Вейля состоит из шести калибровочных пре
образований: 1, W(1,2), W(2,З), W(I,З), W(I,2)W(2,з) и W(2,З)W(I,2),
которые rенерируют повороты на yrлы, кратные 600, в пространстве, реали
зованном 1з и 18.
Предполаrая, что вакуум инвариантен относительно rpуппы Вейля,
ero можно спарить действием reHepaTopoB суперсимметрии только с дpy
rими состояниями, инвариантными относительно этой rpуппы*. Ранее по
строенное состояние нулевой энерrии 10) может быть среди них, но может
и не быть. Условие, что состояние 10) анниrилируется всеми A.J La, очевидно
инвариантно относительно rpуппы Вейля, поэтому если оно единственно,
то это состояние должно реализовать одномерное представление rpуппы
Вейля. rруппа ВеЙЛЯ всеrда действует на rенераторы подалrебры Картана
посредством ортоrональных преобразований, поэтому существуют два таких
представления: инвариантное представление, в котором каждое преобразо
вание Вейля представлено единицей, и псевдоинвариантное представление,
в котором каждое преобразование Вейля представлено детерминантом ero
действия на rенераторы подалrебры Картана.
Сначала рассмотрим случай, коrда состояние 10) инвариантно относи
тельно преобразований rpуппы Вейля. Очевидно, что ни одна линейная KOM
бинация однофермионных состояний А:' La 10) не может быть инвариантной
относительно rpуппы Вейля. Есть только одна инвариантная относительно
этой rpуппы линейная комбинация двухфермионных состояний; она имеет
*Витrен заметил, что физические состояния обязаны быть вейльинвариантными, но мы
здесь не станем в это вникать, потому что инвариантность вакуума относительно rpуппы
Вейля и reHepaTopoB суперсимметрии означает, что только вейльинвариантные состояния
имеют отношение к спонтанному нарушению суперсимметрии.

310
rлава 29. За рамками теории 803JИущений
вид UIO), rде
 * *
и   еаЬЛ.J LaЛ.J Lb.
ab.J
(Спиновые индексы а и Ь свернуты с антисимметричным тензором еаь, опре
деленным формулой (25.2.9), потому что в силу антикоммутационных COOT
ношений произведение Л':' LaЛ':' Lb антисимметрично по а и Ь.) Существуют
различные инвариантные относительно rpуппы ВеЙЛЯ линейные комбина..
ции произведений трех и более reHepaTopoB подалrебры Картана, но в силу
*
антикоммутации Л.J La' они все обращаются в нуль, кроме тех, куда BXO
дЯТ степени u*. Кроме TOro, в произведении более чем r множителей и
некоторые Л':' La должны входить дважды, поэтому u r +] == о. Из этоro следу
ет вывод, что число инвариантных относительно rpуппы ВеЙЛЯ состояний
оrpаничено числом r + 1:
(29.4.12)
10), UIO), и 2 10),..., urIO),
(29.4.13)
Все эти состояния  бозонные, а поскольку в древесном приближении нет
фермионных состояний нулевой энерrии, с которыми они моrли бы быть
*Чтобы это увидеть для rpуппы SU(N), заметим, что каждый reHepaTop !J подалrебры
Картана этой rpуппы может быть записан как линейная комбинация !J  LiC.Jir; reHepaTo
ров 1i подалrебры Картана rpуппы U(N). Каждый reHepaTop т; имеет единственный ненуле-
вой элемент (т;)ii  1 (по индексам нет суммирования). reHepaTophI !J имеют равный нулю
*
след при условии Li C.J i  о. Поскольку поля Л.J La при преобразованиях rpуппы Вейля пре
* *
образуются подобно reHepaтopaм !J, то для TOro, чтобы функция L.JfJJ... d.J.qJ...'Л.J La'Л9J1.Ь."
была инвариантной относительно rpynпы Вейля, коэффициенты d.JfJJ... должны иметь вид
d.J{/J... == L C.J iCfiJ j . .. Dij...,
ij...
rде Dij...  инвариантные тензоры, в том смысле, что для любоrо из векторов ui, Vi и Т. д. функ
ция D(u, v,...) = Lij... Dij...UiVj... инвариантна относительно перестановок осей координат.
В общем случае такая функция является линейной комбинацией произведений функции
S(x,y,z,...)  LXiYiZi..' ,
i
rде apryмeHTЫ Х, У, Z, ... рассматриваются как разные подмножества и, V и т. д. Oднa
ко поскольку Li С JI i == о, В нашем случае сумма компонент каждоro вектора равна нулю,
и поэтому: D(u) == S(u) == о; D(u, v) пропорциональна S(u, v); D(u, v, w) пропорциональна
S(u, v, w); D(u, v, w,x) является линейной комбинацией S(u, v, w,x), S(u, v)S(w,x), S(u, w)S( v,x)
и S(u,x)S( V, w); и т. д. Здесь важно то, что хотя функция D(u, v,...) может быть не симметрич
ной по своим apryмeHTaм (потому что различные произведения S MOryт входить С разными
коэффициентами), функции S(u, v,...) симметричны. В нашем случае векторы являются aH
*
тикоммутирующими величинами и(а); == Iut Л.JLaС.Ji' для которых единственная ненулевая
Sфункция равна S(u(l/2),u(  1/2)). При соответствующей нормировке reHepaTopoB это есть
оператор и.

29.4. Нарушение cyпepcuм.мeтpии в калибровочных теориях
311
спарены, то для достаточно слабой связи эти состояния должны иметь cтpo
ro равную нулю энерrию. Следовательно, суперсимметрия не нарушается.
В этом случае индекс Виттена равен r + 1, и он не зависит от величины
константы связи, поэтому каково бы ни бьUlО значение КШlибровочной KOH
станты связи, суперсuм.м,етрuя спонтанно не нарушается.
В случае, коrда состояние 10) псевдоинвариантно, инвариантные OT
носительно rpуппы Вейля состояния имеют вид
L ЕеА PJ ,... л La Л :' Lb · · .10),
.J  ,...
(29.4.14)
rде E.J!lJ ...  полностью антисимметричный тензор paHra Т. ЭТО выражение
полностью симметрично по а, Ь и т. д., поэтому каждое состояние характе..
ризуется некоторым числом тех индексов, которые равны + 1 /2, а не  1/2.
Это число может принимать любое значение от О до Т. Следовательно, число
независимых состояний равно r + 1. В зависимости от четности т, эти co
стояния либо все бозонные, либо все фермионные, так что индекс Витrена
равен :1:(r+ 1). Таким образом, и в этом случае нет спонтанноro нарушения
суперсимметрии.
Существует интересная связь между значением полученноro здесь ин
декса Витrена и соображениями о том, как нарушаются некоторые rлобаль
ные симметрии. Лаrpанжиан суперсимметричной калибровочной теории ин
вариантен относительно преобразований rлобальной И(1) Rсимметрии, KO
торые делают противоположными фазы левых и правых частей полей Ka
либрино:
ЛАL -------t еi<РЛАL, ЛАR -------t еi<РЛАR, (29.4.15)
rде <р  произвольная постоянная действительная фаза. Сохранение тока J t '
связанноro с этой симметрией, нарушается аномалией
д fl  1  flV ра
flJ 5   32 2  CACDCBCDf A f B Eflvpa,
1t ABCD
(29.4.16)
rде, как обычно, Eflvpa  полностью антисимметричная величина с E0 123 = 1.
(Это выражение получается из (22.2.24), если взять reнераторы калибровоч
ной rpуппы tA В виде (tA)BC == iCABC, потому что калибрино принадлежат
присоединенному представлению калибровочной rpуппы. Затем аномалия
умножается на 1/2, поскольку калибрино не отличаются от своих антича
стиц.) Определив калибровочную константу связи как выше, из выражения
(25.3.20) получаем интеrpал от произведения напряженностей полей в aHO
малии в виде
Ef!vp<J I tfx f:V fl<J == 64x 2 vjg2,
(29.4.17)

312
rлава 29. За рамками теории возмущений
rде тополоrическое число v  целое число, характеризующее тополоrиче
ский класс, к которому принадлежит калибровочное поле калибрино. Собрав
вместе формулы (29.4.4), (29.4.16) и (29.4.17), видим, что инстантон с топо
лоrическим числом v вызывает изменение в R = J d 3 , равное
ыl. == I d 4 xafl]: == 2vCI.
(29.4.18)
Из этоrо равенства следует, что эффективное действие содержит члены
(LAab л'.J Laл..J Lbeab )С) и ero целые степени, которые, вместо TOro, чтобы
быть инвариантными относительно Rпреобразований (29 .4.15), преоб
разуются, при обретая целые степени фазы exp(2i<pCl). Таким обра
зом, инстантоны нарушают инвариантность относительно произвольно
ro И(1) Rпреобразования (29.4.15), сводя ero к преобразованиям (29.4.15)
rpуппы Z2Ct, rде <р является целым кратным тe/Ct. Можно ожидать, что рост
калибровочной константы связи при низких энерrиях приведет (как в квaH
товой хромодинамике) к появлению средних по вакууму от билинейных
комбинаций калибрино, что означало бы, что дискретная rpуппа симмет
рии Z2Ct нарушается спонтанно до подrpуппы Z2, rенерированной простым
изменением знака мультиплета калибрино. Тоrда в результате действия на
любое одновакуумное состояние IX) элементами exp(inтeR/Cl) rpуппы Z2Ct
появилось бы Сl состояний ln) нулевой энерrии, rде п принимает только зна
чения О, 1,... ,Сl  1, потому что любая пара состояний, отличающаяся лишь
действием reHepaTopa exp(iтeR) rpуппы Z2, рассматривается как эквивалент
ная. Поскольку IX) MOryт быть только линейной комбинацией состояний
с четными значениями R, можно построить С] состояний со значениями
fIl == 0,2, . . . , 2Сl  2 оператора R, взяв линейные комбинации
exp сп: ) In).
В частности, дЛЯ SU(N) и USp(2N) эти состояния будут теми же инвариант
ными относительно rpуппы Вейля состояниями, которые возникли при вы..
числении индекса Витrена для случая, коrда состояние 10) Rинвариантно,
причем оно инвариантно, а не псевдоинвариантно, относительно rpуппы
Вейля. Оператор и, определенный формулой (29.4.12), имеет R == 2, поэто
му есть r+ 1 == Сl состояний UпIO) с R == 2п, пробеrающим значения от О
до 2т == 2Сl  2. Итак, присутствие Cl состояний нулевой энерrии, подчи
няющихся одной статистике, помоrает объяснить, почему индекс Витrена
равен ХСl как для исключительных и ортоrональных, так и для унитарных
и симплектических rpупп.
Тот факт, что индекс Витrена не равен нулю для всех чисто калиб
ровочных суперсимметричных теорий, означает, что для Toro, чтобы об

29.4. Нарушение cyпepcu.м.мeтpии в калибровочных теориях
313
наружить примеры спонтанноro нарушения суперсимметрии, необходимо
добавить киральные суперполя. Добавление в теорию массивных киральных
суперполей не помоrает, потому что для слабой связи введение таких по
лей не изменяет набора состояний нулевой энерrии. Такой пример нам уже
встречался  это рассмотренная в разделе 29.3 работа Аффлека, Дайна и
Зайберrа. Авторы показали, что SU(N c ) калибровочная теория с Nf < N c ле
вокиральными суперполями Qai в фундамент альн ом представлении SU(N c ) и
таким же числом левокиральных суперполей Qai в комплексно сопряженном
представлении и массовым членом Laij тij Qai Qai имеет N c бозонных COCTO
яния нулевой энерrии и ни одноro фермионноro состояния нулевой энерrии.
(Это при мер случая, коrда индекс Витrена не сохраняется при обращении
MaccoBoro члена в нуль, потому что этот массовый член  более высокоro
порядка по суперполям в суперпотенциале, так что обращение масс в нуль
изменяет поведение суперпотенциала для больших значений суперполей.
По существу, выражение (29.3.31) показывает, что, коrда массы стремятся к
нулю, значения скалярноro поля в состоянии нулевой энерrии стремятся к
бесконечности. )
С дрyroй стороны, несложно построить теорию с левокиральными
суперполями и симметрией, в которой массы остаются равными нулю, а cy
персимметрия динамически нарушается. Например, рассмотрим SU(N c ) Ka
либровочную теорию с Nf левокиральными суперполями Qai и Nf левоки
ральными суперполями Qai в представлениях N c и N c калибровочной rpуппы,
но добавим в теорию Nf левокиральных суперполей L i , нейтральных OTHO
сительно калибровочной rpуппы SU(N c ). Предположим наличие rлобальной
(или слабо связанной локальной) SU(Nf) симметр ии , действующей на ин
дексы аромата i полей Q и L, но не действующей на Q. Эта симметрия среди
прочеro запрещает существование MaccoBoro слаrаемоro, связывающеro по
ля Q и Q . Возьмем поля Qai и Li В представлениях Nf и Nf rpуппы SU(Nf)
соответственно, а все Q возьмем синrлетами rpуппы SU(Nf). Тоrда един
ственный перенормируемый суперпотенциал записывается в форме
f(Q, Q ,L) == L j Qa jQaiLi,
ija
(29.4.19)
rде  j  набор констант связи, которые с помощью SU (N f) поворота можно
выбрать так, чтобы в этом наборе оставался только один ненулевой элемент,
скажем, для j == Nf, который может быть сделан положительным. (Это яв
ляется обобщением модели, исследованной Аффлеком, Дайном и Зайбер
roM 8, В которой они выбрали N c == 3 и Nf == 2.) Калибровочно нейтральные
суперполя Li не влияют на непертурбативные члены в эффективном супер
потенциале, поэтому можно использовать результат раздела 29.3, соrnасно
которому для N c > Nf калибровочные взаимодействия дают полный эффек

314
rлава 29. За рамками теории 803JИущений
тивный суперпотенциал
    [  ] 1/(NcNf)
fполн(Q,Q,L) == ",,/9 j.L.iQajQaiLi+ X DetijQajQai ,
ija а
(29.4.20)
rдеХ  постоянная. для TOrO, чтобы суперсимметрия не нарушалась, необ
ходимо (хотя и не достаточно), чтобы скалярные компоненты qai, qa i И li
киральных суперполей удовлетворяли условию д fполн ( q, q , е) / af i == о, так что
для всех i
L j qa jqai == о.
ja
(29.4.21 )
Однако из этоro выражения следует, что матрица La qajq ai имеет собствен
ное значение, равное нулю, и поэтому ее детерминант равен нулю. Следо
вательно, это особая точка суперпотенциала (29.4.20), в которой дfполн/дqаi
или дfполн/д qа i не MOryт обратиться в нуль. Поэтому в этом классе моделей
суперсимметрия обязательно нарушается.
Например, Аффлек, Дайн и Зайберr обнаружили 8, что В их модели
ненулевые скалярные компоненты qai, qa i И f. i суперполей Фаi, Фа i И L i В ми
нимуме потенциала с N c  3 и N f  2 должны бьпь равны
ql1  q ll  1,286/2'9 )1/7,
q22  q 22 == 1 ,249  /2'9 ) 1/7,
f) == Jq ) q2'
(29.4.22)
rде плотность энерrии вакуума равна
РУАС == 3,593(1«9 10 /х 4 ) 1/7.
(29.4.23)
Кроме Toro, для е == ох == 2л 7 .
Спонтанное нарушение суперсимметрии в этом случае позволяет ду..
мать, что суперсимметрия будет нарушаться сильными калибровочными вза
имодействиями для широкоrо класса асимптотически свободных калибро
вочных теорий и, таким образом, придает некоторую законную силу pac
суждениям относительно нарушения суперсимметрии в разделе 28.3.

29.5. Решение ЗайберzаВиттена
315
29.5. Решение ЗайберrаВитrена *
Часто случается, что потенциал суперсимметричной теории в дpeBec
ном приближении равен нулю в непрерывной области значений скалярноro
поля. (Один из таких примеров см. (29.1.9).) В этом случае теория в дpeBec
ном приближении имеет скалярные возбуждения нулевой массы, которые
в силу сохранения суперсимметрии должны сопровождаться COOTBeTCTBY
ющими фермионными суперпартнерами. Тоrда при низких энерrиях теория
будет описываться семейством суперсимметричных эффективных лаrpанжи
анов, члены которых параметризуются одним или более модулями, т. е. cpeд
ними значениями скалярных величин лежащей в основе теории. Квантовые
эффекты в этой теории MOryт изменить зависимость эффективноrо лаrpан
жиана от модулей и даже изменить тополоrию пространства модулей 9.
Одним из самых поразительных достижений теории суперсимметрии
в 90x roдах бьта работа Зайберrа и Витrена 10, В которой авторы cMor
ли вычислить точную зависимость эффективноro лarpанжиана при низких
энерrиях от модулярноro параметра в калибровочных теориях с N == 2 супер..
симметрией. Чтобы идея, заложенная в этот расчет, стала понятной, ДOCTa
точно рассмотреть простейший случай SU(2) калибровочной теории с N == 2
суперсимметрией без дополнительных супермультиплетов материи.
В разделе 27.9 бьто показано, что лаrpанжиан в такой теории после
исключения вспомоrательных полей имеет вид
9! ==  [  L(D<p)A(D<p)A  2 1 L( 'IIA (lbw)A)
е А А
 2 V2Re L ЕАВС (Л,ILЕ'IICL) <Рв   LfAI1V!Xv
АВе А
  t: ( л'А (lbл')А)] + б:1t 2 E l1vpa t:fXV.tf  V( <Р, <р*),
(29.5.1 )
rде А, В и С принимают значения 1, 2 и 3. В этом выражении изменен
масштаб всех полей путем умножения каждоro из них на е, так что е не
появляется в ковариантных производных:
(D'I')A == a'I'A + LEABeVB'I'e,
ве
(29.5.2)
*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения и может быть
опущен при первом чтении.

316
rлава 29. За рамками теории 803JИущений
(DЛ)А == дAA + LEABeVBAc,
ве
(D<I»A == a<I>A + LEABeVB<I>e,
ве
fAv == д VAv  avVA + LEABeVB Vev,
ве
(29.5.3)
(29.5.4)
(29.5.5)
а потенциал равен
V (<1>, <1>*) == 2 L [ LEABe Re<l>B Im<l>e ] 2.
А ве
(29.5.6)
Этот потенциал равен нулю для семейства средних значений скалярноrо
поля, которое (с точностью до калибровочноro преобразования) может быть
параметризовано в виде
<1>1 == <1>2 == О,
<1>3 == а,
(29.5.7)
rде а  комплексный параметр, известный как модуль вакуума. Это среднее
значение вакуума придает массы 21аl векторным полям Vl и V2, калиб..
рино Аl и А2, киральным фермионам '1'1 и '1'2, скалярам <1>1 и <1>2, OCTaB
ляя VЗ, Аз, 'l'з и <l>з == а безмассовыми.
Если учесть только эти безмассовые моды (и опустить индекс 3), то
древесное приближение приводит к эффективной теории при низких энер
rиях, совпадающей с простой теорией свободных полей с лаrpанжианом
.Рэфф == :2 [(дl!а)* (дl!а)   ( 'II ( J'II))
  fl!vfl!v   ( л. (л.) ) ] + б:п 2 El!vpofl!V fpa,
(29.5.8)
rде fv == д V v avV. Действительно, любая перенормируемая теория одноro
калибровочноro бозона и ero калибровочно нейтральных N == 2 суперпартне..
ров должна быть теорией свободных полей, потому что в этом случае N == 2
суперсимметрия запрещает наличие суперпотенциала.
Однако это еще не конец истории. После интеrpирования по массив
ным степеням свободы в такой теории квантовые поправки при водят к появ
лению неперенормируемых членов взаимодействия в эффективной теории
при низких энерrиях. Взаимодействия и содержащие их диarpаммы Фейн..
мана, доминирующие при низких энерrиях, можно классифицировать с по
мощью TaKoro же подсчета степеней энерrии, который бьт использован для
теории взаимодействия пионов и нуклонов малых импульсов в разделе 19.5.

29.5. Решение ЗайберzаВиттена
317
Коrда эффективный лаrpанжиан используется для вычисления амплитуд pac
сеяния при низких энерrиях в рамках теории возмущений, то число степе
ней энерrии v, возникающее в связной диarpамме с L петлями, I! внешними
фермионными линиями, lь внутренними бозонными (й или Vfl) линиями, lа
внутренними линиями вспомоrательных полей и \"i вершинами каждоro ти
па i, равно
v == 4L+ L \"id i == 2lb  If,
i
(29.5.9)
rде d i  число производных во взаимодействии типа i. (Внутренние линии
вспомоrательных полей не дают вклад в (29.5.9), потому что их пропarа
торы не зависят от импульсов.) Эти величины связаны тополоrическими
соотношениями
L == lь + 1 f + lа  L \"i + 1,
i
(29.5.1 О)
и
2lb + Еь == L \"ib;,
i
2lf + Е f == L \"i.fi, 2la + Еа == L \"iai,
i ;
(29.5.11)
rде Еь, Е f  числа линий внешних бозонных и фермионных полей, Еа 
число линий вспомоrательных полей; b i , .fi и й;  числа бозонных, ферми
онных и вспомоraтельных полей во взаимодействии типа i. Поэтому число
степеней энерrии можно записать в виде
v ==  V; ( di +  .fi + а;  2 ) + 2L  Е f  2Еа + 2.
(29.5.12)
Соrласно выражениям (26.8.4) и (27.4.42), как Dчлен функции левокираль
ных скалярных N == 1 суперполей и им сопряженных, так и член пары
N == 1 калибровочных суперполей W a , умноженных на произвольную функ
цию N == 1 левокиральных скалярных суперполей, имеют d; + л/2 + й; == 2,
в то время как добавление любых дополнительных множителей W a или
суперпроизводных a дает d i + л/2 + й; > 2. Поэтому в нашем случае cy
персимметрия исключает любые взаимодействия с d i + л/2 + й; < 2. Таким
образом, основной вклад в амплитуды рассеяния при низких энерrиях дaeт
ся древесным приближением (L == О), вычисленным из содержащеro только
члены с d; + .fi/2+Йi == 2 эффективноrо лаrpанжиана, который записывается
в общем виде, обсуждавшимся в разделе 27.4:
!еэфф ==  [К(Ф'Ф*)]D   Rе[Т(Ф) (w[ EWL)] ·
(29.5.13)

318
rлава 29. За рамками теории 803JИущений
Формула (27.4.42) позволяет записать лаrpанжиан через компоненты полей
в виде
g:== д 2 К(а,а*) [ !( 'I' J'I')+12д ад/lа* ]
дада* 2 fl
R { дЗк(а,а*) (  ) rr }  R { д 3 к(а,а*) (  fl ) д }
е д 2 ада* ПL 2 е д 2 ада* \fI'Y У5'1' fla
1 д 4 К(а,а*)  
+ 4 д 2 ад 2 а* (ПL) (ПR)
! R { ( л л ) (  ) d2 Т (а) }   R { ( л л ) fFd Т (а) }
+ 4 е L П R d а2 2 е L d а
+ Re { Т (а) [   ( л J( 1  уs)л)   f/lvf/l V +  iE/lVp(Jf/l V jP(J +  D2] }
..j2 { dT(a) [ (  ) (  ) J}
+4 Re da  лу/lУV'I'L f/lv+2i Л'l'L D ·
(29.5.14)
Затем, чтобы ввести N == 2 суперсимметрию, потребуем инвариантность oт
носительно дискретноro преобразования R"симметрии (27.9.2)
'1' -------t л, л -------t  '1' ,
(29.5.15)
и неизменными а и Vfl. Условие равенства коэффициентов при ( 'I' dv) и ( л ifл)
имеет вид
д 2 К(а,а*) == R Т( )
дд е а.
а а*
Справа стоит сумма функции от а и функции от а*, так что д 4 К /д 2 ад 2 а* == о.
Поэтому член четвертоrо порядка по '1', для KOTOporo не нашлось бы
соответствующеrо партнера по л, отсутствует. С помощью интеrpиро
вания по частям слarаемое !Rе{Т(а)( л iJy5Л)} может быть заменено на
! Re{ ( лу flУ5л)дflТ(а)}. Тоrда условие равенства коэффициентов ( \fI'Y flY5'1')
и ( лу flУ5Л) удовлетворяется, если
(29.5.16)
1 1 д З к
4 д/lТ == 2 д 2 ада* д/lа.
Это равенство является автоматическим следствием условия (29.5.16).
Соrласно формуле (26.А.7), члены, пропорциональные fflv( л [уfl,уV]'I')
и fflv( л [у fl , У']У5'1'), автоматически инвариантны относительно преобра
зования (29.5.15), что также относится к членам, пропорциональ
ным ( л л'L)( ПL ) и ему сопряженному выражению. С дрyroй стороны, ин
вариантность членов, пропорциональных ( Л 'l')D и ( ЛУ5 '1')D, требует, чтобы

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
319
преобразование (29.5.15) бьто расширено, так что
D ----+ D
,
(29.5.17)
что также оставляет инвариантным член ! D 2 . Наконец, в силу условия
(29.5.16), коэффициенты ( 'I1'I'L ) и ( ЛЛL )равны, поэтому преобразование
(29.5.15) также должно быть расширено, так что
 ----+  ,
(29.5.18)
что оставляет инвариантным член 12. Теперь можно сделать вывод, что
условие (29.5.16) rарантирует, что полное действие, полученное из лarpан
жиана (29.5.14), инвариантно относительно комбинированноro прео6разо
вания (29.5.15), (29.5.17) и (29.5.18). Поскольку лarpанжиан инвариантен
относительно N == 1 суперсимметрии с левокиральным скалярным супер
мультиплетом (а,'I1,[Т) и калибровочным супермультиплетом (V,л,D), он
также инвариантен относительно второй суперсимметрии с левокиральным
скалярным супермультиплетом (а,л,) и калибровочным супермультипле
том (V, '11, D). Поэтому условие (29.5.16) достаточно, чтобы действие,
полученное из (29.5.13) или (29.5.14), было инвариантным (не требуя BЫ
полнения уравнений поля) относительно N == 2 суперсимметрии.
Общее решение (29.5.16) можно записать в форме*
Т ( ) ==  dh(a)
а 4 . d '
п, а
К( * )  I { a*h(a) }
а,а  m 4п '
(29.5.19)
rде h зависит только от а. Лаrpанжиан (29.5.14) можно переписать через h
в виде
1 { [ d h ] [ 1 1 
Ш == Im   ( 'I1 (1 Y5)'I1)   (л(l У5)Л)
4п d а 2 2
1 1 1 ] }
 д!!ад!!а* + 12 + 2 &  4 f!!vf!!V + 8 iE!!vpaf!!V fpa
1 { [ d2 h ] [ 1 1 (  ) v2 (  )
+Im  ( 'I1'I'L ) ЛЛL +; Л'l1L D
4п d а 2 2 2 2
*Множитель 1/41ti включен для TOro, чтобы упростить преобразование дуальности, вве..
денное ниже. Зайберr и ВИ1Тен ввели функцию !У(а) (не связанную с вспомоrательным
полемfF), называемую препотенцuШlОМ, для которой h(a) == dfF(a)/da.

320
rлава 29. За рам.кам.и теории возмущений
 v; ( лу f!у"U'VL) Jf!V] }
1 { dЗh(а)   }
+ 1611: 1т d аЗ (ЛЛL) ('J1'II L) ·
(29.5.20)
Это выражение инвариантно относительно SU(2) Rсимметрии, для KOTO
рой ('11, л) преобразуется как дублет, а (1m /Y,Re !F,D/ J2) как трИIШет. Дис
кретное преобразование (29.5.15), (29.5.17) и (29.5.18) является конечным
элементом этой SU(2) rpуппы  поворотом на yrол 7t BOкpyr оси 2.
Из сравнения (29.5.8) и (29.5.20) видно, что в древесном приближении
[ 4П; е ]
h(a)дpeB == е 2 + 211: а.
(29.5.21)
Достижение Зайберrа и Витrена состоит в том, что они вычислили Функ
цию h(a) точно.
Первым шаroм в этом расчете является наблюдение, что существуют
различные линейные преобразования величин а и dh(a)/da, дающие физи
чески эквивалентные теории. Это является следствием замечательноro свой
ства эффективной теории при низких энерrиях, связанноro с кратко обсуж
давшейся в разделе 27.9 дуальностью. Чтобы продемонстрировать это свой
ство, вернемся к IШотности лarpанжиана (29.5.13), выраженной через N  1
суперполя, используя теперь соотношения (29.5.19), требуемые N  2 супер
симметрией
Рэфф == 8 1т [Ф*h(Ф)]D  8 1т [h'(Ф) (W[ EWL)] ·
(29.5.22)
в функциональных интеrpалах спинорное суперполе напряженностью WL
оrpаничено суперсимметричным расширением (27.2.20) однородных ypaB
нений Максвелла
Re(!l)rEWL)O. (29.5.23)
Чтобы удовлетворить этому условию, обычно требуется, чтобы напряжен
ность WL имела вид (27.2.15)
.
WL ==  ( 9J k E9J R) 9JLV,
(29.5.24)
rде V  ничем не оrpаниченное действительное суперполе. Вместо этоrо
можно наложить условие (29.5.23), добавляя к действию слаrаемое с MHO
жителем Лarpанжа
1 J 4 [ ....... Т ]
Ыэфф == 811: Re d х V (9J L EWL) D'
(29.5.25)

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
321
.....,
rде V  ничем не оrpаниченное действительное суперполе. (Числовой MHO
житель 1/8х фиксирует такую нормировку У, которая позднее окажет
ся удоБН2Й.) Тоrда в функциональных интеrpалах можно проинтеrpиро
вать ...... по V и по WL без оrpаничений на любое из них, кроме требования,
что V  действительное суперполе, а WL  действительное левое спинорное
суперполе, удовлетворяющее условию левокиральности 9) Ra WLP == о. Инте
rpирование по частям в суперпространстве позволяет записать новый член
в действии в виде
Ыэфф ==  8 1 х Re ! tf х[ ((9JLV)T EWL)] D'
(29.5.26)
или, используя (26.3.31) и то, что поле WL левокирально, в виде,
Ыэфф == Re [ :х ! tf х [ ( пr[ EWL ) ] [F ] ,
(29.5.27)
rде WL определяется через V тем же соотношением, которое раньше Bыpa
жало WL через V:
....., l Т ) .....,
WL == 4х (9J R E9JR 9JLV. (29.5.28)
Но теперь интеrpирование по WL ведется без TaKoro оrpаничения с действи
ем, квадратичным по WL:
Iэфф +Ыэфф ==Im! tf х [ 81x h'(Ф) (W[ EWL)  4 (ПF[ EWL) ][F
+ 8 lm ! d 4 x [Ф*h(Ф)] D' (29.5.29)
Это интеrpирование выполняется, если положить WL равным тому значению,
при котором действие стационарно по WL:
WL
WL ==  h'(Ф) '
(29.5.30)
Тоrда полное эффективное действие принимает вид
,.. 1 ! 4 [ 1 ( """т""" )] 1 ! 4 [ * ]
Iэфф == + 8х 1т d х h'(Ф) W L EWL [F + 8х 1т d х Ф h(Ф) D'
(29.5.31 )
Если теперь определить новое левокиральное скалярное суперполе и
новую функцию h,
ф = h(Ф),
h(Ф) = Ф,
(29.5.32)

322
rлава 29. За рам.кам.и теории возмущений
то
dh dh  dФdФ  1
dФ dФ   dФ dФ   ,
так что действие (29.5.31) может быть записано в виде
(29.5.33)
lэфф ==  gl7t 1т !  х [h'(Ф) (Пт[ eWL)]fF + g 1m ! x [Ф*h(Ф)]D'
(29.5.34)
Из метода, позволившеro получить это выражение, следует, что теория, OCHO
ванная на таком эффективном действии, эквивалентна исходной эффектив
ной теории поля. Поэтому N == 2 эффективная теория поля со значением
СКШlЯрНО20 поля а и значением hфункции h(a) физически эквивШlентна тeo
рии со значением скалярНО20 поля. aD = h(a) и hфункцией h(aD) = a.
Это версия дуальности, применимая в данном контексте.
Существует дрyroе преобразование функции h(Ф), которое также при
водит к эквивалентному лаrpанжиану. Ero можно скомбинировать с пре
образованием (29.5.32) и получить более широкую rpуппу преобразований
дуальности. Предположим, что h( Ф) сдвиrается на линейное слаrаемое с
действительным коэффициентом:
h(Ф) ----+ h(Ф) +ЬФ,
(29.5.35)
rде Ь  действительная константа. Тоrда первый член в эффективном ла
rpанжиане (29.5.22) сдвиrается на Ыm{[Ф*Ф]D}/8тс, что равно нулю, потому
что Dчлен Ф*Ф действителен. Поэтому изменение эффективноro лarpанжи
ана (29.5.22) дается сдвиroм BTOpOro слаrаемоro
.9?эфф """"*.9?эфф  :х Im[ (w[ eWL) ]fF'
(29.5.36)
или, соrласно (27.2.13),
.9?эфф """"* .9?эфф  :х [i ( л dr5 Л ) +  e flvpa JflvJpa] ·
(29.5.37)
Первый член в скобках справа является пространственновременной про
изводной и поэтому не дает вклад в эффективное действие. Второй член
в скобках можно также записать как пространственновременную про
изводную (1/2)д(ЕvраАvfра), если fv может быть представлено в ви
де дАv  дvА. Однако, как уже обсуждалось в разделе 23.3, калибровочное
*Нижний индекс D обозначает дуалъность и не имеет ничеrо общеro с D..членом супер..
поля.

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
323
преобразование, использованное, чтобы направить q>A вдоль оси 3, должно
быть rдето синryлярно. Поэтому fv нельзя везде записать только через A.
Следовательно, член в действии вида
е Jd 4 vpa.f .f
 64х 2 хе JvJpa
(29.5.38)
может влиять на физические величины. В частности, Витrен 11 показал, что
в теории мarнитных монополей, описанной в разделе 23.3, электрический
заряд маrнитноro монополя с минимальным маrнитным зарядом в присут
ствии TaKoro члена равен ее j21t. Однако, как уже упоминалось в разделе
27.9, в этой теории существуют также дионы  частицы, обладающие как
маrнитными зарядами, так и зарядами, кратными любому целому числу е.
Поэтому полная система зарядов монополей и дионов периодична по е с
периодом 2п. На самом деле все физические величины имеют такую перио
дичность, потому что величина е в эффективной теории при низких энерrиях
унаследована от величины е, входящей в лаrpанжиан (29.5.1) исходной Teo
рии (см. (29.5.21)), а в разделе 23.5 показано, что все физические величины
периодичны по этому е. Из лarpанжиана (29.5.37) видно, что преобразование
(29.5.35) изменяет е на 2пЬ. Поэтому, взяв Ь произвольным положительным
или отрицательным целым числом, получаем эквивалентное эффективное
действие.
TaKoro типа преобразование тесно связано с точной инвариантностью
исходной теории. Лarpанжиан (29.5.1) инвариантен относительно непрерыв
ной Rсимметрии, под действием преобразований которой
eL ...-t exp(ia)eL, WAL  exp(ia)WAL, ФА  ехр(2iа)ФА.
(29.5.39)
Эта симметрия нарушается аномалией: и AAL, и '11 AL имеют квантовые чис
ла R == + 1, и, конечно, AAL и '11 AL имеют квантовые числа R ==  1. Поэтому,
соrласно (23.5.21) и (23.5.23), мера интеrpала по фермионным полям изменя
ется при преобразовании (29.5.39) на множитель exp(2iaNv), rде v  целое
число, тополоrическое число конфиryрации BeIcropHoro поля, а N определя
ется выражением
1
Tr (tAtB) == 2 NOAB.
(Множитель exp(2iaNv) совпадает с тем, что приведен в разделе 23.5,
несмотря на то, что здесь имеются два поля '11 А И АА В одном И том же
представлении калибровочной rpуппы, потому что это  майорановские по
ЛЯ, в отличие от дираковских полей, использованных в разделе 23.5.) В этом
случае reнераторы (tA)BC == iEABC, т. е. N == 4, и поэтому мера остается инва
риантной, коrда exp(8ia) == 1. Дрyrими словами, непрерывная Rсимметрия

324
rлава 29. За рамками теории возмущений
нарушается инстантонами до подrpуппы Zg, порождаемой преобразованием
'11 AL ------+ Ji'l1 AL , ЛАL ----t JiЛAL, q> А ----t iq> А .
(29.5.40)
Эта симметрия должна привести к эффективной теории при низких энерrи
ях. Однако, отсюда не следует, что эффективный лаrpанжиан (29.5.20) инва
риантен относительно дискретноro преобразования (29.5.40), требующеro,
чтобы ih(ia) == h(a) для всех а. Это условие удовлетворяется в древесном
приближении (29.5.21), но (как будет видно позже) оно нарушается даже
в однопетлевом порядке. В эффективной теории Zg Rсимметрия реализу
ется условием, что эта теория с hфункцией ih(ia) эквивалентна теории
с hфункцией h(a), т. е. ih(ia) должна быть связана с h(a) некоторой KOM
бинацией преобразований (29.5.32) и (29.5.35) с целым Ь.
Мы видели, что физическое содержание теории не изменяется в pe
зультате двух типов преобразований: преобразования Ф ----t Ф == h(Ф), h(Ф) ------+
h(Ф) == Ф, которое можно записать в виде
(h))  (1 ) (h)) ,
(29.5.41)
и преобразования h(Ф) ----t h(Ф) + ЬФ, Ф ------+ Ф, которое можно записать как
(h))  ( ) (h))'
(29.5.42)
rде Ь  произвольное целое число. Комбинируя эти преобразования, можно
построить обобщенные преобразования дуальности
(h))  ( 7) (h)) ,
(29.5.43)
rде n, т, k и l  любые целые числа, удовлетворяющие условию, что MaT
рица в (29.5.43) должна, подобно матрицам в (29.5.41) и (29.5.42), иметь
определитель, равный 1:
nlmk== 1.
(29.5.44)
Поэтому эти преобразования образуют rpуппу SL(2,Z).
Физический смысл преобразования дуальности может стать понят
ным, если рассмотреть центральный заряд алrебры N == 2 суперсимметрии.
Как показано в разделе 25.5, собственное значение Z12 этоrо центральноrо
заряда в любом одночастичном состоянии устанавливает нижнюю rpани
цу М  IZ121/2 на массу состояния. Равенство выполняется для частиц, при
надлежащих коротким мультиплетам. В разделе 27.9 бьто показано, что Z12

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
325
в исходной SU(2) калибровочной теории с N == 2 суперсимметрией дается
выражением (27.9.22):
Z12 == 2 J2v[iq  .il],
rде q и .il  заряд и маrнитный момент частицы, v  вакуумное среднее
от нормированноrо обычным образом нейтральноro скалярноro поля. В обо
значениях, принятых в этом разделе, множитель е включен в нормировку
поля а, поэтому здесь
Z12 == 2 J2a[iq .Jl]j е.
(29.5.45)
Эта теория содержит частицы, типа массивных элементарных скаляров, спи
норов и векторных бозонов, которые имеют заряд е и нулевой мarнитный
заряд. Поэтому такие частицы являются собственными состояниями Z12 с
собственным значением
Z элемент. заряд  2  2 ·
12  V L,la.
(29.5.46)
Как уже бьто показано, теория со скалярным полем а и hФункцией h(a) эк
вивалентна теории со скалярным полем пa+тh(a) и hФункцией ka+lh(a).
Поэтому для всех целых п и т теория со скалярным полем а и hФункцией
h( а) должна также содержать частицу, которая похожа на массивную части
цу зарядом е и нулевым мarнитным зарядом в варианте теории со скалярным
полем пa+тh(a) и hфункцией ka+lh(a), т. е. она имеет центральный заряд
Z12 == 2 J2i [па +тh(a)] .
(29.5.47)
Сравнение этоro выражение с (29.5.45) показывает, что в варианте теории
со скалярным полем а и hФункцией h(a) появляется частица, для которой
заряд q и маrнитный заряд.il имеют вид
qje  п+тRe[h(a)ja], .il je == тIm[h(a)ja].
(29.5.48)
Это  дион, обладающий как зарядом, так и маrнитным зарядом. Заметим,
что формула (29.5.48) для заряда этой частицы подтверждает ранее получен
ный Витrеном результат относительно заряда маrнитных монополей: при
бавление слаrаемоro Ьа к функции h(a) изменяет заряд монополя с т=:1 на
величину Ье == eL\8j27t.
Если использовать результат, полученный в древесном приближении
(29.5.21) для h(a) в (29.5.48), то можно видеть, что в этом приближении Mar
нитные заряды в такой теории оказываются кратными величине 47tje. Это
же значение величины маrнитноrо заряда получено в разделе 23.3 (вспом
ним, что маrнитный заряд g, использованный там, равен .il j47t), НО этот
результат полуклассический и изменяется за счет квантовых поправок. За
метим, что преобразование дуальности (29.5.41) с п  О и т  1 преобразует

326
rлава 29. За рамками теории возмущений
элементарную частицу с зарядом е и нулевым маrнитным зарядом MOHO
поля в неэлементарную частицу с мarнитным зарядом Im[h(a)ja], который
в древесном приближении равен 4п! е.
БетаФункция для электрическоro заряда в исходной N == 2 суперсим
метричной SU(2) калибровочной теории в рамках теории возмущений дa
ется однопетлевым результатом (27.9.50), rде первый инвариант Казимира
полаrается равным Cl == 2е, а число rипермультиплетов берется при Н == о:
е 3
пepтypбarивное(е) ==  4х2 ' (29.5.49)
Здесь а выбирается в качестве масштаба перенормировки, поэтому беryщий
заряд е(а) удовлетворяет уравнению
d
а da е(а) ==  (е(а)).
(29.5.50)
Используя формулу теории возмущений (29.5.49), получаем
2 1 ( а )
[е (а)]пepтypбarивное == 2x2 1n А '
(29.5.51)
rде А  постоянная интеrpирования. В принятом здесь формализме, коrда
множитель е входит в определение калибровочноro поля, величина e2(a)
возникает как коэффициент h'(a)j47ti перед членом !fvfV в низкоэнерre
тическом эффективном лarpанжиане (29.5.20), поэтому функция h(a) в Teo
рии возмущений имеет вид*
2; [ ( а ) ] . [ 2 1 ]
[h( а) ] пертурбативное == -; а ln А  а == 4xla [е ( а ) ] пертурбarивное  2х2 ·
(29.5.52)
Это хорошее приближение** для достаточно больших lal, коrда
(29.5.51) дает малое значение е(а). В этом случае (29.5.48) дает маrнитный
заряд монополей и дионов в виде
[ 2 1 ]
Jl пepтypбarивное/ е == 47tma [е ( а ) ] пертурбarивное  2х2 '
(29.5.53)
* Адцитивная константа, возникающая при интеrpировании h' (а), не оказывает влияния на
низкоэнерrетическое эффективное действие, выведенное из (29.5.22), потому что [Ф*]D про..
изводная. Эта константа может быть фиксирована из требования Zs"симметрии, обсужден..
ной ранее. Выражение (29.5.52) удовлетворяет условию ih(ia) == h(a)  1, которое является
частным случаем преобразования (29.5.35) с Ь ==  1, не изменяющим физическое содержание
теории. Однако этоro не было бы, если константа добавляется к (29.5.52).
** В этом случае есть непертурбативные поправки 12 к Р( е ), возникающие за счет инстан"
тонов, но при е ----+ О они быстро обращаются в ноль.

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
327
rде т  произвольное целое число. Заметим, что если в правой части no
луклассической формулыI .il /е == 4хт/е 2 заменить е на беryщий заряд е(а),
то получится друzое выражение.
для достаточно больших значений lal функция (29.5.52) также yдo
влетворяет необходимому условию совместимости: коэффициент Imh' (а) /4х
кинематических членов !( '11 '11), !( л. л.), дa*дa и !fvfV должен
быть положительным. Из TOro же условия следует, что выражение (29.5.52)
не может быть хорошим приближением для всех а, потому что при ДOCTa
точно малых lal значение Imh'(a) становится отрицательным.
Выражение (29.5.52) показывает, что если а сделает полный оборот
против часовой стрелки по окружности достаточно большоro радиуса lal,
rде справедлива теория возмущений, то h(a) сдвиrается на величину 4a.
Это означает, что функция h( а) должна иметь одну или более синryлярностей
при конечных значениях а.
Вероятность TOro, что функция h(a) имеет только одну особенность,
исключается леrко. В этом случае h'(a) не будет иметь положительную мни
мую часть для всех несинryлярных значений а, что, как уже было показано,
является необходимым условием положительности коэффициентов кинема
тических членов в эффективном лarpанжиане. Действительно, единствен
ная синryлярность должна бьта бы быть при а == о, потому что, в си
лу Z8СИММетрии, если h(a) синryлярна в точке а, то она синryлярна и
в точке ia. Но тоrда функция h(a)  hпертурбативное(а) бьта бы аналитич
ной везде, кроме бесконечности и, возможно, при а == о, но она обращается
в нуль при lal ....-t 00 и, в частности, не изменяется при движении по боль
шому кpyry а. Поэтому она может быть самое большее полиномом по 1/ а
без постоянноro члена. Если полином не равен нулю, то h' (а) ведет себя
как некоторая отрицательная степень а при а ------+ о; у нее не будет положи
тельной мнимой части. Если же полином обращается в нуль, то h' (а) будет
равна hертурбативное(а), У которой также нет положительной мнимой части
при а ------+ о.
При исследовании структуры синryлярностей функции h(a) полезно
следить за дуальностью, рассматривая а и aD == h(a) одинаковым образом и
выражая их как функции комплексной переменной и. Зайберr и Витrен no
ложили значение и равным среднему значению калибровочноинвариантной
величины! L q>Aq>A, меняющей знак при Z8преобразованиях <РА ------+ :f:iq>A и,
конечно, при преобразовании а = q>з ------+ :f:ia, т. е.
а( и) == :f:ia(u).
(29.5.54)
Здесь знак не имеет физическоrо смысла, потому что а и a связаны KO
нечным SU(2) калибровочным преобразованием. (Там, rде это необходимо,

328
rлава 29. За рам.кам.и теории возмущений
можно доrовориться, что верхний и нижний знаки берутся для Re u > О
и Reи < О соответственно.) для больших значений lal можно доверять Teo
рии возмущений, и поэтому для lul------+ 00
а  J2U, aD   [ J2U ln (  )  2 J2U] .
(29.5.55)
Заметим, что коrда u двиrается против часовой стрелки по кpyry большоro
фиксированноro радиуса lul, лоrарифм ln(2uj л 2 ) сдвиrается на 2i7t, а V2U
меняет знак, поэтому изменения а и aD даются матрицей монодромии
(а:)  (1 1) (а:)'
(29.5.56)
Следовательно, функции а(и) и aD(u) должны иметь две или более особых
точки при конечных значениях величин и п переменной и, так что комбини
рованный эффект от обхода каждой синryлярности против часовой стрелки
такой же, как в (29.5.56).
Рассмотрим ситуацию, коrда имеются две особых точки. (Это как раз
случай, рассмотренный Зайберroм и Витrеном во второй работе, упомя
нутой в 10.) При преобразовании Z8СИММетрии, коrда аА ------+ iaA, перемен
ная u ....-t и. Поэтому синryлярности должны возникать в паре значений пе
ременной и, скажем, при значениях ио и иo. В результате движения в KOM
плексной плоскости u от несинryлярной базовой точки Р против часовой
стрелки BOкpyr особых точек :l:uo и обратно к Р должна получиться эквива
лентная теория. Следовательно, такое движение должно иметь иметь форму
преобразования дуальности, которое в общем случае зависит от Р, а BeK
тор (a,aD) умножается на SL(2,Z) матрицу монодромии M-z, как в (29.5.43).
Контур с обходом против часовой стрелки по окружности большоro фикси
pOBaHHoro радиуса u может быть деформирован в контур, начинающийся в Р,
затем идущий против часовой стрелки BOкpyr +ио, назад к Р, потом против
часовой стрелки BOKpyr иo и опять назад к Р (рис. 29.1.). Поскольку при Ta
кой деформации интеrpал не изменяется, произведение матриц монодромии
в этом порядке (справа налево) должно быть равно матрице в (29.5.56):
( 1
M+M Moo = 2
1) ·
(29.5.57)
Синryлярности возникают, коrда а и aD принимают значения, при KOTO
рых какаято частица имеет нулевую массу. Например, в формуле (29.5.52)
для h( а) имеется особенность при а == О, потому что в теории возмущений
именно при этом значении а элементарные заряженные частицы становятся

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
329
Рис. 29.1. Деформация контура обхода синryлярностей в комплексной плоскости u
против часовой стрелки по большому кpyry с радиусом lul. Новый контур начинает
ся в базовой точке Р, обходит против часовой стрелки особенность в точке и == +ио,
возвращается к точке Р, затем против часовой стрелки обходит вторую особую
точку u ==  ио и возвращается назад к точке Р
безмассовыми. Возможность существования одной особой точки при а == О
уже нами исключена, поэтому должны возникать особенности при :f:uo из..за
обращения в нуль масс дрyrих частиц.
Самым поразительным в работе Зайберrа и Витrена является осо..
знание TOro факта, что эти частицы находятся среди неэлементарных Mar..
нитных монополей или дионов, обнаруженных в исходной SU(2) суп ер..
симметричной теории. Полуклассический расчет, сделанный в разделе 23.3,
показывает, что стабильные монополи и дионы имеют маrнитное квантовое
число т == :i:: 1 и произвольное целое электрическое число n. Они принад..
лежат rипермультиплетам, каждый из которых состоит из пары майоранов..
ских спиноров и пары комплексных скаляров. Это «короткие» мультиплеты
с массами, определяемыми значением БПС, которые, соrласно (27.9.24) и
(29.5.47), равны
м == IZ121/2 == J2INa+h(a)l,
(29.5.58)
rде N == :f:n. Самый простой путь вычислить, что происходит, коrда эта масса
стремится к нулю, состоит в том, чтобы рассмотреть более знакомую задачу:
что происходит, коrда масса rипермультиплета обычных заряженных частиц
стремится к нулю? Затем надо использовать дуальность, чтобы перейти к
случаю леrкоrо монополя. Бета"функция для и ( 1) калибровочной константы
связи дается формулой (27.9.45) с Сl == О, с{ == С!. == 2. т. е. равна
е 3
(3(е) == + 8п 2 '

330
rлава 29. За рамками теории возмущений
Тоrда решение уравнения ренормrpуппы имеет вид
e2(a)  ln ( а )
 4х 2 constant.
При выводе (29.5.52) было показано, что
h' (а) == 41tie2(a) == i ln ( а ) .
1t constant
Поскольку это выражение дает положительное значение е 2 (а), малое
при а  О, результат был бы приемлемым, если бы теория действительно
содержала rипермультиплет обычных заряженных частиц, массы которых
в этом пределе стремятся к нулю. Вместо этоro предполarается, что имеется
rипермультиплет монополей или дионов, массы которых стремятся к ну..
лю. В этом случае можно применить преобразование дуальности (29.5.43),
переводящее а в Na+h(a),
(h(a))  (ha)) == ( N 1 l) (h(a))'
(29.5.59)
Отсюда следует, что коrда u приближается к ио, rде а == N а + h( а)  О, то
dh(a) i 1 ( а )
 n
d а 1t constant'
(29.5.60)
или в дрyrой форме
da i 1 ( h(a) +Na )
+ n
d(h(a) +Na) 1t constant.
(29.5.61)
Решение этоro уравнения
i ( h(U) +Na(u) )
а(и) == ао + 1t (h(u) + Na(u)) ln 1ч> '
(29.5.62)
rде ао и Ао  постоянные интеrpирования. Предполаrается также,
что h + N а  О для u  ио. Поэтому rлавные члены можно записать в виде
h(u) +Na(u)  со(и  ио).
(29.5.63)
Таким образом, rлавный член решения (29.5.62) имеет вид
. ( ( ))
'Со СО u  ио
a(u)ao+(uuo)ln Ао ·
(29.5.64)

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
331
Коrда точка ио обходится все время по кpyry против часовой стрелки, ве..
личина h(a) +Na не изменяется, а а сдвиrается на 2(h(a) +Na). Поэтому
матрица монодромии для этой синryлярности имеет вид
( 12N 2 )
М+ == 2N 2 1+2N.
(29.5.65)
Аналоrично, если синryлярность в иo связана с обращением в нуль массы
монополя или диона с мarнитным квантовым числом ::i:::'1 (штрих отличает
этот знак от знака при ио) и электрическим квантовым числом п', тоrда в этой
точке h(u) +N'(u)a  О и
i ( h(U) +N'a(u) )
a----+a+ 1t (h(u)+N'а(u))lП  '
(29.5.66)
rде N' = :f:' п', а ао и   новые постоянные интеrpирования. rлавные члены
равны
h(u) +N'a(u)  c(и+иo),
ic' o ( d o (u + ио ) )
a----+a+(u+uo)ln  .
(29.5.67)
(29.5.68)
Матрица монодромии в этой особой точке имеет вид
( 1 2N' 2 )
M == 2N,2 1 +2N' ·
(29.5.69)
Тоrда нетрудно видеть, что условие (29.5.57) на эти матрицы удовлетворя..
ется тоrда и только тоrда, коrда
N'==NI.
(29.5.70)
Несущественно, какое значение N берется, потому что ero можно сдвинуть
на четное целое число 2М, обходя М раз по бесконечно удаленной окруж..
ности. Еro можно также сдвинуть на единицу, сделав отражение u f-+ и.
Зайберr и Витrен выбрали N == О, так что N' ==  1. Тоrда для u  ио получаем
h(u)  со(и  ио),
. ( )
'Со u  ио
а(и) ----+ ао + (и  ио) ln  '
(29.5.71)
(29.5.72)

332
rлава 29. За рамками теории возмущений
и для u -----t  ио
h ( и)  а ( и) -----t c ( U + ио) , (29.5.73)
, 'С о ( и+и о )
а(и)ао+ ': (и+ио)ln ло ' (29.5.74)
Теперь наложим условие сохранения Zs..симметрии (29.5.54). Можно вы..
числить поле а(и) для u -----t иo, записав ero в виде ia( и) и используя
(29.5.72). Тоrда для u -----t иo имеем
( ) . cO l ( co(и+иo) )
а u  lao+;- n Ао ' (29.5.75)
Сравнение этоro выражения с (29.5.74) показывает, что C == ico. Поэтому
формула (29.5.73) для u -----t иo принимает вид
h(u)  а(и) -----t ico(u + ио). (29.5.76)
По определению, поле а включает множитель калибровочной константы е,
которому можно придать любое значение с помощью соответствующеro вы..
бора точки перенормировки, в которой вычисляется е. Зайберr и Витrен
выбрали масштаб а и u (фиксируя u == а 2 /2 на бесконечности) таким обра..
зом, что ио == 1, т. е. особые точки находятся при u == :f: 1. При таком условии
они получили решения (определенные в комплексной плоскости с разрезом
от 1 до +1):
1
asw(u) == V; j dx J; ; ,
1
u
h ( )  iV2 j d ru=x
sw u  1t xy.
1
Математические методы, использованные для получения этих результатов,
выходят за рамки этой книrи, но, к счастью, несложно проверить, что они
правильные.
Сначала проверим, что asw ( и) и hsw ( и) имеют синryлярное поведение
в окрестности u == :1:1 TOro же типа (29.5.71), (29.5.72), (29.5.75) и (29.5.76),
что и правильно е решение. для u  1 из (29.5.77) получаем
(29.5.77)
(29.5.78)
1 1
() V2 j dx и1 ! dx
asw u -----t  +
1t ух + 1 2х V (1  х) (и  х)
1 1
4 и1 ( и1 )
==+ ln 
vx 2х 2 + u  2 v2 у l + u

29.5. Решение Зайбер2аВиттена
333
4 и1
 ln(4(uI)),
vx 2х
(29.5.79)
а из (29.5.78)
u
h ()  jd  X == i(UI)
swu х 1 2 .
1t x
1
Формулы (29.5.79) и (29.5.80) соrласуются с предыдущими результатами
(29.5.71) и (29.5.72), если взять со == i и ао == 4/ VП. Функция (29.5.77) удо..
влетворяет свойству Zs отражения (29.5.54), поэтому asw(u) автоматически
ведет себя как (29.5.75) при u  l. Из формул (29.5.77) и (29.5.78) сразу
же следует (с учетом правильных знаков перед квадратными корнями, опре..
деляемых разрезом от u ==  1 до u == + 1), что hsw (и)  asw (и) пропорцио..
нальна (и + 1) для u вблизи  1.
Затем, поскольку asw(u) и hsw(u) имеют такую же структуру синry..
лярностей при u  :f:l, как а(и) и h(u), они имеют такую же монодромию
(формулы (29.5.59) и (29.5.69) с N == О и N' == 1): при обходе точки +1
имеем
(29.5.80)
( a sw )  ( О +1 ) ( asw ) ,
hsw 1 О hsw
(29.5.81)
а при обходе точки  1
( a sw )  ( 3 2 ) ( asw ) .
hsw 2 1 hsw
(29.5.82)
Рассмотрим теперь величину
f(u) = a(u)hsw(u)  asw(u)h(u).
(29.5.83)
Она SL(2,Z)"инвариантна, поэтому имеет тривиальную монодромию: ко..
rда u обходит любую из точек + 1 или  1, она возвращается к тому же
значению. Функции а(и), h(u), asw(u) и hsw(u) имеют только лоrарифмиче..
ские особенности при :i::l, но поскольку f(u) имеет тривиальную монодро"
мию, она не имеет таких особых точек, и поэтому она аналитична во всех
конечных точках.
Для вычисления целой функции f(u) проверим сначала, что rлавные
члены в асимптотиках функций asw (и) и hsw (и) совпадают с rлавными чле..
нами асимптотик а(и) и h(u) соответственно. для u  00 из (29.5.77) полу..
чаем
1
V2U j dx .
asw(u) ----+ v' 2 == V 2и,
1t 1 x
1
(29.5.84 )

334
rлава 29. За рамками теории возмущений
а из (29.5.78)
и
h ( ) ivfiU j dx iV2 . {;; l
sw u    уи пи.
1t v' х 2  1 1t
1
(29.5.85)
Это совпадает с асимптотическим поведением (29.5.55) для функций а(и)
и h(u).
Из этоro, однако, следует только, что f(u)/ulnu  О для u  00. Заме..
тим, что симметрия относительно отражений (29.5.54) для а(и) и ее аналоr
для asw (и) означает, что следующие после rлавных члены в обеих функ..
циях имеют порядок yfИ/и 2 . Кроме TOro, следующие после rлавных члены
в h(u) и hsw(u) имеют порядок yfИ. Из этоro следует, что можно вычис"
лить rлавные члены в асимптотике f(u), положив а(и) == asw(u) == vfiИ, так
что f(u) == О(И) для u  00. Поскольку f(u)  целая функция, это означает,
что f(u) линейна по и. Но f(u) обращается в нуль при u == +1, rде h(u)
и hsw(u) порядка O(и 1). Функция f(u) обращается в нуль и при u == 1,
rде а(и) h(u) и asw(u) hsw(u)  порядка O(и 1). Поэтому она должна
бьпь равна нулю везде. Из этоro следует, что
asw(u)  hsw(u) == ( )
а(и)  h(u) g u .
(29.5.86)
Теперь надо рассмотреть свойства функции g(u). Поскольку hsw(u) и h(u)
аналитичны во всех конечных точках, кроме u ==  1, а asw ( и)  hsw (и )
и а(и)  h(u) аналитичны во всех конечных точках, кроме u == +1, то g(u)
(которую можно записать в форме [asw(u) hsw(u)]/[a(u) h(u)]) аналитич"
на везде. (Функции а(и) или h(u) не имеют нулей при u *- ::i:::l. Поскольку
нуль а(и) или h(u) бьт бы связан с точкой, rде масса заряженной частицы
или монополя обращается в нуль, а, соrласно предположению, этоro не мо"
жет быть для любоro u *- :f:l, то оставим в покое нули этих функций.) Тот
факт, что rлавные члены в асимптотиках функций asw (и) и hsw (и) при u  00
функций asw(u) и hsw(u) точно такие же, как rлавные члены в асимптоти..
ках а(и) и h(u) соответственно, означает, что g(u)  1 при u  00. Отсюда
следует, что целая функция g(u) должна быть равна единице для всех и, и
поэтому
а(и) == asw(u), h(u) == hsw(u),
(29.5.87)
что и требовалось показать.

Задачи
335
Задачи
1. Чему равен индекс Витrена для модели в задаче 4 из rлавы 26 при а *- О?
При а == О? Может ли суперсимметрия нарушаться в этой модели эф..
фектами высших порядков при а == О? Объясните.
2. Рассмотрите перенормируемую суперсимметричную теорию с SO(N c )
калибровочной симметрией, Nf левокиральными скалярными суперпо..
лями Фп В NBeIcropHoM представлении. Что можно сказать о структуре
непертурбативноro вильсоновскоro лarpанжиана, коrда roлый суперпо..
тенциал обращается в нуль? Что произойдет в случае, коrда roлый су..
перпотенциал равен Ln ФпФп?
3. Каково соотношение между компонентами напряженноС!.,и полей спи..
HOpHOro поля суп ер поля W a И дуальноro ему суперполя W a В теории с
лarpанжианом (29.5.22)?
Список литературы
1. Е. Witten, Nuc/. Phys. 8185, 513 (1981). Эта статья перепечатана
в сб.: Supersyттetry, S. Fепarа, ed. (North Holland/World Scientific,
Amsterdam/Singapore, 1987).
lа. J. Hughes and J. Polchinski, Nuc/. Phys. 8278, 147 (1986); J. Hughes,
J. Liu, and J. Polchinski, Phys. Lett. 8180, 370 (1986); J. А. Bagger
and А. Galperin, Phys. Lett. 8336, 25 (1994); Phys. Rev. D55, 1091
(1997); Phys. Lett. 8412, 296 (1997); 1. Antoniadis, Н. Partouche, and
Т. R. Taylor, Phys. Lett. 8372, 83 (1996); S. Fепarа, L. Girardello, and
М. Ропаti, Phys. Lett. 8376, 275 (1996).
2. Е. Witten, Nuc/. Phys. 8202, 253 (1982). Эта статья перепечатана в сб.:
Supersyттetry 1.
3. А. с. Davis, М. Dine, and N. Seiberg, Phys. Lett. 1258, 487 (1983);
1. AfIleck, М. Dine, and N. Seiberg, Phys. Rev. Lett. 51, 1026 (1983);
Phys. Lett. 1378, 187 (1984), перепечатано в сб.: Supersyттetry 1;
Nuc/. Phys. 8241, 493 (1984); Nuc/. Phys. 852, 1677 (1984); Phys. Lett.
1408, 59 (1984).
4. N. Seiberg, Phys. Lett. 8318, 469 (1993).
5. У. А. Novikov, М. А. Shifman, А. 1. Vainshtein, and У. 1. Zakharov,
Nuc/. Phys. 8229, 381 (1983); Nuc/. Phys. 8260, 157 (1985); о. С. Rossi

336
rлава 29. За рамками теории возмущений
and о. Veneziano, Phys. Lett. 1388, 195 (1984), перепечатано в сб.:
Supersyттetry 1; S. F. Cordes, Nucl. Phys. 8273, 629 (1986). Обзор СМ.:
М. А. Shifman and А. 1. Vainshtein, hep..thl9902018, будет опубликовано.
6. Е. Witten, J. High Energy Phys. 9802, 006 (1998).
7. У. о. Кас and А. У. Smilga, hep..thl9902029, будет опубликовано.
8. 1. AfIleck, М. Dine, and N. Seiberg, Nucl. Phys. 8256, 557 (1985).
9. N. Seiberg, Phys. Rev. D49, 6857 (1994).
10. N. Seiberg and Е. Witten, Nucl. Phys. 8426, 19 (1994); епаtum, Nucl. Phys.
8430, 485 (1994). Расширение на N == 2"теорию с rипермультиплетами
материи дано в работе N. Seiberg and Е. Witten, Nucl. Phys. 8431, 484
(1994). Обзор СМ.: К. Intrilligator and N. Seiberg, Nucl. Phys. Proc. Suppl.
458С, 1 (1996); напечатано также в сб.: Suттer School in High Energy
Physics aпd Cosтology, Trieste, 1995, Е. Gava, ed. (World Scientific,
Singapore, 1997), и в сб.: QCD and Beyond: Proceedings ofthe Theoretical
Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics, Boulder Colorado,
1995, D. Е. Soper, ed. (World Scientific, Singapore, 1996).
11. Е. Witten, Phys. Lett. 868, 283 (1979).
12. N. Seiberg, Phys. Lett. 8206, 75 (1988).

30
Супердиаrpаммы
Введение диаrpамм Фейнмана в конце 1940..х roдов дало оrpомные
преимущества при расчетах, блаroдаря явному сохранению лоренц"инвари..
антности на каждом этапе вычислений по теории возмущений. для Toro,
чтобы добиться этоro, было необходимо, чтобы обмен всеми спиновыми
состояниями любой виртуальной частицы описывался единственным про..
пarатором. К счастью, удалось сделать еще шar вперед и развить формализм
супердиarpамм, в котором суперсимметрия, как и лоренц"инвариантность,
явно сохраняются на каждом шarе 1. для этоro необходимо описывать еди..
ным суперпропarатором обмен всеми частицами, соответствующими данно..
му суперполю.
Проблема состоит в том, что левокиральные суперполя Ф, по кото..
рым мы интеrpируем, подчиняются дифференциальному уравнению свя"
зи RФ == о. Аналоrичная проблема существует в электродинамике, rде
тензор напряженности поля подчиняется дифференциальному уравнению
связи  однородному уравнению Максвелла. В электродинамике с этой про..
блемой справляются, выржая тензор напряженности поля через векторный
потенциал и совершая функциональное интеrpирование по векторному по..
тенциалу вместо интеrpирования по тензору напряженности поля. Действуя
во MHOroM аналоrично, мы наложим левокиральную связь, выразив левоки..
ральные суперполя через киральные потенциальные суперполя, по которым
производится интеrpирование в функциональных интеrpалах. В этом форма..
лизме мы сталкиваемся с проблемами, похожими на те, которые возникают
в связи с калибровочной инвариантностью в электродинамике, и обходимся
с ними тем же способом.
Наиболее важный результат, который бьт получен с помощью фор..
мализма супердиarpамм  это теорема об отсутствии перенормировки для
суперпотенциала 2. Мы уже доказали эту теорему в разделе 27.6, используя
roраздо более простую неявную технику, разработанную Зайберrом, которая
может быть расширена и для описания непертурбативных эффектов. Ин..
тересно, однако, посмотреть, как эти удивительные сокращения эффектов

338
rлава 30. Супердuаzрам.мы
перенормировки возникают в реальных вычислениях по теории возмуще..
ний.
30.1. Потенциальные суперполя
Рассмотрим теорию левокиральных суперполей Ф(х, е) и комплекс
но им сопряженных, но для простоты без калибровочных суперполей. Все
вакуумные средние хронолоrически упорядоченных произведений компо
нентных полей MOryт быть вычислены из вакуумных средних хронолоrиче
ски упорядоченных произведений этих суперполей. Мы можем попытаться
вычислить такие вакуумные средние, исходя из функциональноro интеrpала
(Т{Фn l (Х 1 ,Оl),Фn 2 (Х 2 ,fh),'''}) == I [,Ц dФn(Х,о)] ехр(iI[ФJ)
х Фп 1 (Хl , 81 ) Фп2 (Х2 , 82) · · . , (3 О .1.1 )
rде I[Ф]  действие
I[Ф] ==  I d4х[ф=(х,о)ф(х,О)]D +2Re I tfХ[f(Ф)]g-'
(30.1.2)
(Множитель 1/2 вводится в первом слаrаемом, как и в уравнении (26.4.3),
чтобы придать компонентным полям в Ф общепринятую нормировку.) Но мы
не .можем просто прочитать фейнмановские правила для супердиarpамм из
выражения (30.1.1), потому что функциональный интеrpал по суперполям Ф п
должен подчиняться левокиральному условию RФп == о.
Аналоrичная проблема возникает в электродинамике. Как обсужда
лось в разделе 12.3, при энерrиях, меньших массы электрона, взаимодей
ствия мяrких фотонов дрyr с дрyroм описываются эффективным действием
вида
IИ ==   I tfx[ff!vff!V + Cl (ff!Vff!V)2 + C2(Ef!Vp<1ff!V fP(1)2].
Но мы не можем прочитать фейнмановские правила из этой формулы, без
учета Toro, что на функциональный интеrpал наложена связь однородными
уравнениями Максвелла
afvp + avfp + apfv == о.
Как всем известно, вопрос с этой связью решается путем введения 4..по..
тенциала A с fv == aAv  avAfl' так что однородные уравнения Максвелла

30.1. ПотеНЦUШlьные суперполя
339
при этом удовлетворяются автоматически, и интеrpирования по A(x), а не
по fv(x).
Аналоrично можно применить трюк, уже использованный в разде
ле 26.6 для вывода полевых уравнений для суперполей, и ввести некираль
ное потенциальное суперполе Sn(x,8) с
Фп == Sn,
(30.1.3)
rде
 = LEaRaR, (30.1.4)
a
так что Фп автоматически удовлетворяет левокиральному условию RаФп ==
о. Вместо выражения (30.1.1) имеем теперь функциональный интеrpал
(т {фn\ (XI, (1), Фn2 (Х2, (2),'" } ) == I [11 dSn(x, 8)] ехр (П[ SJ)
х Snl (х}, 81) Sn2 (Х2, 82) · · . . (30.1.5)
Выражая действие (30.1.2) через Sn, можно вспомнить, что Dчлен супер
производной не дает вклад в действие, поэтому можно передвинуть опера
тор ()* == , действующий на S в первом слаrаемом (30.1.2), так, чтобы
он действовал вместо этоro на Sn, что приводит К
I[S] ==  I tfx[SSn]D +2Re I d4Х[f(S)]g-'
(30.1.6)
Оператор  в любом из множителей S в любом слarаемом в f(S) MO
жет рассматриваться как действующий на все слarаемое, ибо R дает нуль
при действии на любой дрyroй множитель S в этом слаrаемом. Следова
тельно, можно записать
1!2 2 ,..,
f(R S) == f(S), (30.1.7)
rде J(S) получается из f( S) отбрасыванием люБО20 одНО20 оператора 
в каждом слarаемом. Например, для суперполя одноro типа, если f( Ф) ==
LrСrфr, то
l(s) == LCrS(s)rl.
r
Используя уравнения (30.1.6), (30.1.7) и (26.3.31), можно записать все дей
ствие в виде Dчлена:
I[S] ==  I tfx[SSn]D +2Re I d 4 x [J(S)] D'
(30.1.8)

340
rлава 30. Супердuаzрам.мы
Формула (26.6.5) показывает, что это может быть также записано как инте
rpал по суперпространству:
I[S] ==   I tfx I d40LSSпRe I tfx I tfOJ(S):
п
(30.1.9)
Это то действие, которое мы будем использовать при выводе формализма
супердиarpамм с помощью Функциональноrо интеrpала.
30.2. Суперпропаrаторы
Обычно пропarатор может быть получен непосредственно из части
действия BTOpOro порядка по полям. Если мы запишем эту квадратичную
часть для комплексноro поля <Р; (rде i  составной индекс, включающий
пространственновременные координаты, а также индексы спина и copra
частиц) как
Iквадр[<Р] ==  LDij<p7<pj,
ij
rде «матрица» Dij эрмитова, то, как объяснено в разделе 9.4, пропarатор
равен просто  == Dl. С этим выражением возникает проблема, коrда KBaд
ратичная часть действия инвариантна относительно (линеаризованноro) Ka
либровочноro преобразования
(30.2.1 )
<Р;  <Р; + ;i,
(30.2.2)
для HeKoToporo класса «векторов» ;. В этом случае
LDij;j == О,
i
(30.2.3)
и, очевидно, мы не можем обратить «матрицу» Dij. В электродинамике про
блема возникает потому, что плотность лarpанжиана инвариантна относи
тельно калибровочноro преобразования A  A + дA. Мы имеем здесь
ту же проблему: так как действие на самом деле является ФУНIЩионалом
от Sn, а не от самих Sn, оно инвариантно относительно преобразования
Sn  Sn + RXn,
(30.2.4)
для любых суперполей Х п .
В электродинамике заряженных частиц проблемы, возникающие изза
калибровочной инвариантности, обычно решаются при помощи выбора Ka
либровки, используя, например, метод ФадцееваПоповаде Витта, описан
ный в разделе 15.5. Но проблемы, возникающие здесь изза инвариантности

30.2. Cyпepпpoпazaтopbl
341
относительно преобразования (30.2.2), более похожи на проблемы эффек
тивной полевой теории для фотонов при энерrиях ниже пороrа рождения
заряженных частиц, rде теория калибровочноинвариантна просто потому,
что действие содержит только калибровочноинвариантные поля. В таких
теориях можно действовать проще. В дополнение к собственному вектору ;
«матрицы» Dij с нулевым собственным значением (для простоты взятом
В единственном направлении) мы можем найти набор ортонормированных
собственных векторов Иv; с собственными значениями dv "* о:
LDijUv; == dvUvi,
j
LUiUv'i == Ovv',
i
Lii == о.
i
(30.2.5)
Мы можем ввести новый набор переменных интеrpирования <9' и <p:
<9; == <9'; + L <9Uvi.
v
(30.2.6)
Интеrpал TOro типа, который встречается при вычислении квантовых cpeд
них значений с помощью диаrpамм Фейнмана, может быть записан в виде
I [If d<pjd<p;] ехр(ilквадр[<Р])<Ра' · · <Рь == i I d<p' d<p'*
х I [ Пd<Рd<9* ] ехр( iLdvl12) [<p'+ LUva]'"
v v v
Х [<P'b + L <pи"b ] * .. · , (30.2.7)
v
rде j  якоби ан преобразования (30.2.6). Интеrpал по <р' и <р'*, конечно,
плохо определен, потому что эти поля не входят в apryмeHT показатель
ной функции. Но это не имеет значения, если действие включает только
калибровочноинвариантные поля, так как тоrда <9а' <рь И т. д. будут CBopa
чиваться с «токами» J a , Jb И т. д., для которых
LaJa == о.
а
(30.2.8)
Поэтому можно записать (30.2.7) как
I [If d<pjd<p;] ехр (i/ Daдp [<р]) <Ра .. · <Рь == W I [1) dd<p *]
х ехр ( ; dv l<p 12) [<pи"a] ... [<pи"b] *
+ члены,
(30.2.9)

342
rлава 30. Супердuazраммы
rде «члены» обозначает слarаемые, пропорциональные одному или
нескольким множителям a' b И т. д., которые исчезают, в соответствии
с (30.2.8), после свертки с «токами» J, а w бесконечная константа j J dq>'.
Интеrpал по <p тоrда дает
/ [ Ud<Pid<P; ] exp(ilквaдp[q>])q>a...<Pb... ос L [ib] ...
1 ПЫ
+ члены,
(30.2.1 О)
rде сумма по спариваниям является суммой по всем способам спаривания
индексов полей q> и q>*, а ab  пропarатор
*
А ==  UvaUvb
ЩJЬ  dv ·
(30.2.11 )
Вместо прямоrо вычисления суммы (30.2.11) можно использовать определя
ющее ее свойство
LDaccb == LUvaU;b = ПаЬ,
с v
(30.2.12)
rде П  проекционный оператор на пространство, ортоrональное :
п 2 == П,
П == о.
(30.2.13)
Решение (30.2.12) единственно только с точностью до членов, но они не
иrpают роли, если поля <Р; появляются В действии только в калибровочно
инвариантных комбинациях.
Например, в электродинамике можно записать кинематическую часть
действия как
lквадр[А] ==   / xfflvfflV == +  / d4xAfI(DO  aflaV)A v .
Дифференциальный оператор DO + дVд необратим потому, что он име
ет нулевое собственное значение с собственными векторами вида fl == дA.
Проекционная матрица на пространство, ортоroнальное этим векторам, име
етвид
ПV(х,у) == [OflV дflдVD1]о4(ху),
rде Dlo4(x  у)  любое решение уравнения D[D104(x  у)] == 04(х  у).
Определяющее уравнение для пропarатора есть
(DO +ддЛ')лV(х,у) == ПV(х,у)

30.2. Cyпepпpoпazamopbl
343
с решением
лV(Х,У) == SF(XY) +ддVчлены,
rде F (х  У)  оБычныIй фейнмановский пропarатор (6.2.16), удовлетворя
ющий соотношению OF(X  У) == б4(х  У). (Множитель 1/2 в действии
не появляется в определяющем уравнении для пропаrатора, так как A 
действительное поле. Происхождение iE в знаменателе интеrpала Фурье
в (6.2.16) объяснено в формализме функциональных интеrpалов в разде
ле 9.2.)
Рассмотрение первоro слаrаемоro в выражении (30.1.9) показывает,
что определяющее уравнение для суперпропаrатора потенциальных супер
полей имеет вид
 d(X,o;x',o') == [jJ б4(хх')б4(вв')бпт,
(30.2.14)
rде fJ>  суперпространственный дифференциальный оператор, удовлетво
ряющий условиям для проекционноro оператора
fJ> 2 == fJ> , fJ> R == о, (30.2.15)
а б4(в  в')  фермионная дельтафункция, введенная в формуле (26.6.8).
Решением является
1 2
[jJ == 160 . (30.2.16)
(Очевидно, что fJ> R == о. Чтобы проверить, что fJ> 2 == fJ>, мы должны ис
пользовать формулу (26.6.12), которая показывает, что  == 160.)
Решение уравнения (30.2.14) имеет вид
S ( Х в.х' о' ) ==  б4 ( хХ ) б4 ( вв' ) б ==
пт , , , 40 пт
==  dF(X  х')б 4 (в  в')б пm + 9JRчлены.
(30.2.17)
Это суперпропarатор, отвечающий линии, созданной потенциальным
суперполем S;'(x',e') и уничтоженной потенциальным суперполем Sn(x,e),
который мы должны использовать при вычислении супердиаrpамм для дей
ствия (30.1.9). Чтобы увидеть связь с обычными пропarаторами, представля
ет интерес рассмотреть суперпропаrатор линии, создаваемой левокиральным
суперполем Ф;'(х',в') и уничтожаемой левокиральным суперполем Фп(х,в).
Эти киральные суперполя получаются при действии  на Sn(x,e) И дей
2* 2
ствии 9f R == 9f L на S(x', в'), таким образом, пропаrатор для левокиральных
суперполей есть
d:п(х, в;х', в') ==  gfL 2 dF(X х')б 4 (в  в')б пm .
(30.2.18)

344
rлава 30. Супердuazраммы
Например, слarаемое в суперпропаrаторе нулевоro порядка по 8 и 8'
имеет вид
[д:'т(x,O;x',O')]вв'O ==  ( a;R ) 2 ( a;i. ) ДF(хх')s4(00')Sпт. (30.2.19)
Чтобы преобразовать это, вспомним уравнение (26.6.8) для фермионной
дельтаФункции:
Б4(о  о') ==  ((OL  oi.) т e(OL  O)) ((OR  O) т e(OR  O)) ,
из KOToporo мы находим (a/aOR)2(a/a8)2s4(8  8') == 4. Следовательно, BЫ
ражение (30.2.19) дает
[ т (х, 8;х', О') ] == F(X  х')бпт,
8==8' ==0
(30.2.20)
что совпадает с обычным пропаrатором для скалярных компонент .
30.3. Вычисления с супердиаrраммами
Рассмотрим теперь, как использовать результаты предыдущих разде
лов для вычисления KBaнToBoro эффективноro действия r[S,s*] для набора
классических потенциальных суперполей Sn(x,8) и им сопряженных. Сле
дуя предписанию, обсуждавшемуся в разделе 16.1, это действие может быть
определено как сумма по всем связным одночастично неприводимым супер
диarpаммам, состоящим из вершин, к которым прикреплены направленные
внутренние и внешние линии. Для каждой внешней линии типа n, начи
нающейся или заканчивающейся в вершине х,8, мы включаем счисловой
множитель Sn(x,O) или S(x,O) соответственно (но без пропаrатора). Верши
на, помеченная х,8 с N входящими или N выходящими линиями, помечен
ными nl,n2,... ,nN, дает множитель, равный i, умноженному на коэффици
ент при слarаемом SIS2.. .SN В суперпотенциале l(s) или, соответственно,
умноженному на комплексно сопряженный коэффициент. Внутренняя линия
любоro типа, выходящая из вершины х,8 и входящая в вершину х, 8', дает
множитель в виде пропаrатора, заданноro уравнениями (30.2.1 О) и (30.2.17)
как
.
  s4(0  О')ДF(Х  х'). (30.3.1)
Более TOro, как показано в (30.1.7), суперпроизводная 9fk действует на про
паrаторы или на Sмножители внешних линий всех внутренних или внешних

30.3. Вычисления с супердиazраммами
345
линий, кроме одной, входящих в любую вершину, а суперпроизводная 9fi
действует на пропarаторы или Sмножители внешних линий всех BнyтpeH
них или внешних линий кроме одной, исходящих из любой вершины. Про
изведение этих множителей должно быть проинтеrpировано по всем х и 8;
квантовое эффективное действие есть сумма этих интеrpалов для всех oд
ночастично неприводимых диаrpамм.
В результате интеrpирования по частям в суперпространстве опера
торы 9fi и(или) , сопутствующие каждому пропarатору (скажем, тому,
который соединяет вершины х, 8 их, о'), MOryт быть перенесены к дpy
rим пропаrаторам или множителям внешних линий. В результате остается
множитель, вносимый этой внутренней линией, пропорциональный множи
телю б4(8  8'). Интеrpирование по 8' уничтожает эту дельтафункцию и
позволяет всюду заменить 8' на 8. (В случаях, коrда несколько внутренних
линий соединяют одну и ту же пару вершин, нужно использовать свойство
фермионных дельтаФункций: [б4(8  8')]2 == о.) Продолжая тем же образом,
мы возвращаемся к единственному четырехмерному 8интеrpалу, со Bce
ми , действующими на множители внешних линий Sn И S;,. Это означает,
что хотя и не всеrда локальное по пространственным координатам квантовое
эффективное действие r[S, S*] ЛОКШlьно по Фермuон1/,Ы,М, координатам.
Структура этоro функционала определяется ero инвариантностью OT
носительно «калибровочных» преобразований (30.2.4). Из нее следует, что
на каждый из множителей внешних линий Sn или S должен действовать опе
ратор  или 9fi соответственно. Возможны два исключения. Они состоят
в том, что слarаемое, содержащее только входящие или только исходящие
внешние линии, в которых операторы  или 9fi действуют на все, кроме oд
HOro, множители, отвечающие внешним линиям Sn или S соответственно, и
не содержащее дрyrих суперпроизводных, все еще инвариантно относитель..
но преобразования (30.2.4), даже хотя это слarаемое не может быть записано
как 8интеrpал от ФУНIЩионала только одних Фп и(или) Ф. Это происходит
потому, что изменение подобной амплитуды под действием TaKoro преобра
зования может проистекать только за счет изменений в том множителе Sn
или S, отвечающем внешним линиям, на который не действует оператор 
или Z, и это изменение устраняется, если воспользоваться интеrpировани
ем по частям и передвинуть один из дрyrих операторов  или 9fi так, чтобы
они действовали на этот множитель. Как мы видели в разделе 30.1, такое
слаrаемое в r[S, S*]  это g-член функционала от Фп или Ф, и, следователь
но, он дает поправку к суперпотенциалу или ему комплексно сопряженному.
Не считая этих исключений, каждое слаrаемое в r[S,s*] может быть записа..
но в виде четырехмерноro Оинтеrpала от функционала только от Фп и(или)
Ф, И поэтому дает поправку к Dчлену эффективноro действия.

346
rлава 30. Супердuazрам.мы
Заметим также, что слаrаемое квантовоro эффективноro действия,
в котором на все, кроме одноro, множители внешней линии Sn или S, дей
ствуют 9fk или 9ft соответственно, а также дополнительные операторы
9fk или 9ft (как, например, в комбинациях 9fk9ft9fk s n или 9ft9fk9fts), TaK
же может быть записано путем интеrpирования по частям как слаrаемое,
в котором один из дополнительных операторов 9fk или 9ft действует на не
продифференцированный ранее множитель внешней линии Sn или S. Сле
довательно, такое слarаемое может быть выражено как четырехмерный еин
теrpал ФУНIЩионала только от Фп и(или) Ф, И поэтому оно создает еще одну
поправку к Dчлену действия. Единственные слаrаемые в r[S,S*], которые
не MOryт быть записаны таким образом, это те, которые имеют Е входящих
внешних линий и только Е  1 операторов 9fk, действующих на множители
внешних линий Sn, или Е* входящих внешних линий и только Е*  1 опе
раторов 9ft, действующих на множители внешних линий S. Поэтому мы
можем сказать, дает ли супердиarpамма вклад в суперпотенциал или ему co
пряженный, просто подсчитав количествооператоров  или 9ft, вносимых
супердиаrpаммами в соответствующее слаrаемое в r[S,s*].
Подсчитаем эти суперпроизводные. Рассмотрим связную диarpамму
с V n вершинами с п входящими линиями, V; вершинами с п исходящими
линиями, 1 внутренних линиями, Е внешними входящими линиями и Е*
внешними исходящими линиями. Эти числа связаны соотношениями:
1 +Е  LnV n ,
п
I+Е*  LnV n *.
п
(30.3.2)
Полное количество операторов 9fk и 9ft тоrда равно
NR  LVn(n 1)  I+Е  V  L+ V* +Е  1,
п
(30.3.3)
и
NL  L Vn*(n  1)  1 +Е*  V*  L+ V +Е*  1,
п
(30.3.4)
rде V  т V n  полное число вершин с входящими линиями, V*  т V; 
полное число вершин с исходящими линиями, L  1  V  V* + 1  число
петель. Мы видим, что у диаrpаммы с любыми петлями N R  Е и NL  Е*,
так что есть по крайней мере достаточное количество операторов 9fk для
Toro, чтобы преобразовать все Sn в Фп  9fksn И их производные, операто
ров 9ft для TOro, чтобы преобразовать все S в Ф  9fts и их производные.
Следовательно, любая диа2рам.ма с петлями вносит вклад только в че
тырехмерный еинте2РШl, дpY2uми словами, только в Dчлен ФункциОНШlа
левокирШlЬНЫХ суперполей Фп и uм сопряженных.
Единственный способ получить вклад в g-член или ему сопряжен
ный  иметь ровно NR  Е  1 операторов 9fk или ровно NL  Е*  1

Задачи
347
операторов 9ft соответственно. Таким образом, соrласно формулам (30.3.3)
и (30.3.4), такая диarpамма должна иметь L == О и V* == о или V == о COOT
ветственно. Дрyrими словами, пока мы рассматриваем одночастично непри
водимые диarpаммыI, мы можем получить g-член только из диarpаммы с
единственной вершиной с входящими линиями, и ему сопряженный член 
только из диarpаммы с единственной вершиной с исходящими линиями.
Следовательно, мы снова видим, что в любом порядке теории возмущенuй
нет ни конечной, ни бесконечной перенормировки !FЧJlенов.
Задачи
1. Используйте выражение (30.2.18) для вычисления пропаrаторов спи
норных и вспомоrательных компонент киральноro суперполя.
2. Рассмотрим суперсимметричнную теорию единственноro левокираль
Horo суперполя Ф с лarpанжианом
fP ==  [Ф*Ф]D +2Rе(g[ф3]g-),
rде g  произвольная комплексная константа. Используйте формализм
супердиarpамм для вычисления однопетлевоro вклада в квантовое эф
фективное действие. Выразите ответ в виде интеrpала по координатам
и одной rpассмановой координате 8.
3. Чему равен суперпропаrатор калибровочноro суперполя V (х, 8) в cy
персимметричной абелевой калибровочной теории с кинематическим
членом (27.3.17)?
Список литературы
1. А. Salam and J. Strathdeе, Phys. Rev. Dll, 1521 (1975); Nuc/. Phys.
В86, 142 (1975); D. М. Capper, Nuovo Cimeпto 25А, 259 (1975);
R. Delbourgo, Nuovo Cimeпto 25А, 646 (1975); D. М. Capper and
о. Leibrandt, Nuc/. Phys. В85, 492 (1975); F. Кrause, М. Scheunert,
J. Honerkamp, and М. Sch1indwein, Phys. Lett. 53В, 60 (1974); К. Fujikawa
and W. Lang, Nuc/. Phys. В88, 61 (1975); J. Honerkamp, М. Schlindwein,
F. Кrause, and М. Scheunert, Nuc/. Phys. В95, 397, (1975); S. Fепarа
and о. Piguet, Nuc/. Phys. В93, 261 (1975); R. Delbourgo, J. Phys. Gl,
800 (1975). Этот формализм был распространен на суперrpавитацию
в работе: W. Siegel, Phys. Lett. В84, 197 (1979).
2. М. Т. Grisaru, W. Siegel, and М. Rocek, Nuc/. Phys. В159, 429 (1979).

31
Суперrравитация
rравитация существует, поэтому, если в суперсимметрии заключена
какаялибо истина, любая реалистичная суперсимметричная теория должна
быть в конечном счете расширена до суперсимметричной теории материи
и rpавитации, известной как суnер2равuтацuя. Суперсимметрия без супер
rpавитации не может являться окончательным выбором, хотя и может быть
хорошим приближением при энерrиях MHOro меньше планковской.
Имеются два лидирующих подхода к построению теории суперrpа
витации. В первом подходе суперrpавитация может быть представлена как
теория искривленноrо суперпространства 1 . Этот подход аналоrичен постро
ению суперсимметричных калибровочных теорий в разделах 27.127.3; rpa
витационное поле возникает как компонента суперполя, обладающеro как
физическими, так и нефизическими компонентами, подобными нефизиче
ским С, М, N и ro компонентам калибровочноro суперполя v. Процесс BЫBO
да полной нелинейной теории суперrpавитации очень сложен и до сих пор
не избавлен от очевидно произвольных шаroв. В том или ином пункте BЫ
вода оказывается необходимым просто постулировать определенный набор
оrpаничений на суперполе rpавитона.
В этой rлаве мы будем следовать второму подходу, который менее эле
raHTeH, но более прозрачен 2. Сначала в разделах 31.1 31.5 мы рассматрива
ем случай слабоrо rpавитационноro поля 3, анализируя суперrpавитацию с
помощью тех же методов рассмотрения суперполя в плоском пространстве,
которые использованы в rл. 26 и 27 при изучении обычных суперсимметрич
ных теорий. Следуя по этому пути, можно определить физические компо
ненты rpавитационноro суп ер поля (включая вспомоrательные поля, анало
rичные Dкомпоненте калибровочноrо суперполя v). Приближение слабоrо
поля позволяет получить некоторые важнейшие следствия теории суперrpа
витации, включая общую формулу для массы rpавитино  в разделе 31.3,
результаты для масс калибрино и параметров А и В, получаемые при Hapy
шении суперсимметрии аномалиями,  в разделе 31.4.

31.1. Суперполе метрики
349
в разделе 31.6 мы добавляем члены высшеro порядка по G в пр е..
образования суперсимметрии для физических полей и в лarpанжиан, кото..
рый описывает их взаимодействия, так, чтобы преобразования суперсиммет..
рии и общекоординатные преобразования образовывали замкнутую алrебру,
а лarpанжиан был инвариантен относительно таких преобразований. Этот
подход в некоторых отношениях аналоrичен рассмотрению суперсиммет..
ричных калибровочных теорий в разделе 27.8; мы рассматриваем только
физические компоненты rpавитационноro суп ер поля и получаем правила
преобразования, включающие ковариантные производные вместо простых.
Данный подход бьт использован при выводе важнейшеro приложения тео..
рии суперrpавитации за пределами приближения слабоrо поля  эффектив..
HOro низкоэнерreтическоro лаrpанжиана в теориях вызванноro rpавитацией
нарушения суперсимметрии. Это приложение является темой раздела 31.7.
31.1. Суперполе метрики
Суперrpавитация с необходимостью включает как спинорные, так и
тензорные поля, так что нам придется использовать для описания rpави
тационноro поля тетраду е а (x), а не метрику, которая связана с тетрадой
уравнением
gv(X) == llab е а  (х)е Ь v(x).
(31.1.1 )
Индексы , v и т. д. нумеруют общие координаты, а индексы й, Ь и т. д.
нумеруют координаты в локально инерциальной системе, в которой llab 
обычная диаroнальная матрица с элементами + 1, + 1, + 1,  1. В тетрадном
формализме действие предполаrается инвариантным относительно преобра..
зований симметрии двух различных видов: общекоординатных преобразо..
ваний x x'(x), при которых тетрада ea(x) преобразуется в e'a(x') по
формуле
'а ( 1 ) дх v а ( )
е  х == дx' е v х ,
и локальных преобразований Лоренца, при которых
(31.1.2)
ea(x) лаь(х)еЬ(х),
(31.1.3)
rде лаь(х)  произвольная действительная матрица, удовлетворяющая усло..
виям
llаь ла с (х)л Ь d(X) == llcd.
(31.1.4)
Элементарный обзор этоro формализма дан в приложении к этой rлаве.

350
rлава 31. Суперzравuтацuя
для слабоro rpавитационноro поля тетрада близка к единичной мат..
рице. В таком поле ее удобно представить как
е а  (х) == O + 21С<ра  (х),
(31.1.5)
rде величины <ра (x) малы. Как будет видно в разделе 31.2, если мы хо..
тим, чтобы объект <ра  являлся стандартным образом нормированным по..
лем, то константа 1с должна выражаться через ньютоновскую константу G
как 1с == v'8пG . Близость тетрады к единичной матрице сохраняется при
малых координатных преобразованиях
x  x +;(x),
(31.1.6)
а также при малых локальных преобразованиях Лоренца
лаь(х) == ОЬ + roаь(х),
(31.1.7)
rде ;fl(x) и roаь(х)  величины TOro же порядка, что и <ра  (х), причём соrласно
уравнению (31.1.4) для roаь(х) = llacrocb(x), должны выполняться условия
roаь(х) == roЬа(Х).
(31.1.8)
Комбинация преобразований (31.1.2) и (31.1.3) теперь приобретает вид
1 [ д; (х) ]
<p!!v(x) ---+ <p!!v(x) + 2к:  ax v + ю!!v(х) ·
(31.1.9)
Мы перестали различать общекоординатные индексы , v и т. д. И локаль..
ные лоренцевские индексы й, Ь и т. Д., поднимая и опуская индексы обоих
сортов с помощью llv и llv. Используя метрику (31.1.1), можно переписать
предположение о слабости поля (31.1.5) как
gv(x) == l1v + 21С hv(x),
(31.1.1 О)
rде
hv(x) = <pv(x) + <Pv (х),
а закон преобразования (31.1.9) приобретает вид
(31.1.11 )
1 [ д;(X) д(X) ]
h!!v(x) ---+ h!!v(x)  2к: ax v + дх!! ·
(31.1.12)
Используя алrебру суперсимметрии, мы показали в разделе 25.4, что
у rpавитона имеется фермионный суперпартнер  rpавитино со спираль..
ностями :f:Зj2. Мы видели в разделе 5.9, что зарядово само сопряженная

31.1. Суперполе метрики
351
безмассовая частица со спиральностями :i: 1 может участвовать внизкоэнер"
reтических взаимодействиях, только если она описывается действительным
полем A(x), взаимодействия KOTOpOro инвариантны относительно калибро..
вочных преобразований A (х)  A (х) + дЛ(х). Аналоrично, зарядово само..
сопряженная безмассовая частица со спиральностями :f:З /2 может участво"
вать в низкоэнерreтических взаимодействиях, только если она описывается
майорановским полем 'I1(x) с дополнительным векторным индексом fl, ин..
вариантным относительно калибровочноro преобразования
'I'(x)  'I'(x) +a'I'(x),
(31.1.13)
rде 'I'(Х)  произвольное майорановское поле За. Теперь нужно выяснить,
как поля <pv(x) и 'I'(X) с такими трансформационными свойствами MOryт
быть объединены в суперполе.
Мы установили в разделе 27.1, что калибровочное поле Vv(x) мо"
жет рассматриваться как Vvкомпонента действительноro скалярноro cy
перполя V(x,e), определенная в уравнении (26.2.10) как коэффициент
при i(&Y5'Yve)/2. Аналоrично мыI хотели бы объединить поле тетрады <pv(x)
и поле rpавитино 'I'(X) в векторное суперполе H(x,e), известное как супер..
поле метрики. Возникает вопрос: как <pv(X) и '11 (х) связаны с компонентами
этоro суперполя?
Чтобы прояснить этот вопрос, отметим что суперсимметрия требует,
чтобы «калибровочные» преобразования (31.1.9) и (31.1.13) были частными
случаями преобразования Bcero суперполя метрики
H(x,e)  H(x,e) +(x,e).
(31.1.14 )
Более TOro, слабое rpавитационное поле hv взаимодействует с тензором
энерrииимпульса TV, который, как мы нашли в разделе 26.7, является ли..
нейной комбинацией компонент действительноro BeктopHoro суперполя e.
Таким образом, мы ожидаем, что взаимодействие полноro суп ер поля H с
материей имеет вид
/int == 2к: I d 4 X[H1l 81l ]D" (31.1.15)
(Далее в этом разделе мы проверим правильность коэффициента 21С, ес..
ли e нормирован как в разделе 26.7.) Как бьто показано в разделе 26.7,
суперток e должен удовлетворять условиям
'Y g;e == g;x,
(31.1.16)
rде Х  действительное киральное скалярное суперполе (сумма ле..
вокиральноro скалярноro суперполя и ему комплексно сопряженноro ),

352
rлава 31. Суперzравuтацuя
а !lJ  четырехкомпонентная суперпроизводная (26.2.26). Отсюда следует,
что это взаимодействие инвариантно относительно преобразования вида
(31.1.14), rде  имеет вид
!! == (9JY!!E),
(31.1.1 7)
а З(х, е)  суперполе, удовлетворяющее явно суперсимметричному условию
(9J9J) ( 9JE)== О.
(31.1.18)
Это можно увидеть, если вспомнить что, как бьто показано в разделе 26.7,
условие киральности для Х позволяет записать ero в виде
х == ( 9J9J )Q,
(31.1.19)
rде а, в общем случае, является нелокальным суперполем. Используя
(31.1.16), находим
I tfx[e!! (9JY!!E)]D ==  I d 4 x[ ((9Je!!)Y!!E)]D ==  I tfx[ ((9JX)E)]D
== + I d 4 x[Q( 9J9J) (9JE)]D == О,
так что взаимодействие (31.1.15) инвариантно относительно преобразова
ния H  H + (!j)'УЗ). (Мы также можем получить этот результат, не ис..
пользуя представление (31.1.19) для Х, заметив, что, как следует из уравне..
ния (26.2.25), D..член произведения киральноro суперполя, подобноro Х, удо..
влетворяющеrо уравнениям (26.3.1) и (26.3.2), и линейноrо суперполя, по
добноro (!j)З), удовлетворяющеro уравнению (26.3.45), является простран..
ственно"временной производной. )
В конце этоrо раздела мы покажем, что из уравнений (31.1.17)
и (31.1.18) вытекают следующие условия на компоненты суперполя :
vA ( ) \t:A ( ) == дv!!(х) дvv(х)  2 д1l'(х)
V х + V х ax v + дx llv дх А '
л.(х)   У!! уРл.(х)   у!!дРro(х) == д!!х(х),
  Е V !! 1СG д 1С vvt (х) == G(x) + дaдPC(x),
дM(x) == aN(x) == О,
(31.1.20)
(31.1.21 )
(31.1.22)
(31.1.23 )

31.1. Суперполе метрики
353
rде v(x)  вещественное векторное поле, а х(х)  майорановское спи
норное поле. (Мы ввели здесь обозначения, которые будут использо..
ваться на протяжении всей rлавы; следуя уравнению (26.3.9), компонен"
ты C S , ro S , M S , N S , У;, 'A s и vs произвольноro суперполя S(x, е) определяются
разложением
S(x, О) == С(х)  i( &Y5roS(x))   (&У5 0 )MS(x)   (ёо ) NS(x)
+  (&У5УО) V;(x)  i( &У5 0 ) (ё [лS(х) +  roS(x)])
  (&Y50)2(и(X)+  DC(x)). (31.1.24)
Кроме TOro, Y(x)  Vv"компонента суп ер поля .) Это приводит копреде..
лению полей
 н 1 НА
<P/lv(x) == V/lv(x)  3 "/lvV л.(Х) ,
 "'!! (х)  л (х)   У!! уРл: (х)   Y/lapro: (х),
1
ьа(х)  D"a(x) + 2 Ev/llCaaJl.Yv(x)+aaaPC:(x).
(31.1.25)
(31.1.26)
(31.1.27)
(Как будет показано в разделе 31.3, множитель 1/2 в левой части уравнения
(31.1.26) вводится для TOro, чтобы поле '1'  бьто нормировано CTaHдapT
ным образом.) Из уравнений (31.1.20) и (31.1.21) следует, что преобразова
ние (31.1.14) индуцирует на <pv(x) и 'I'(x) калибровочные преобразования
(31.1.9) и (31.1.13) с параметрами
[ av av v А А ]
!! ==  2к V/l' ro/l V == к  aX V + дх!! + V/lV  VV/l '
'1' == 2х,
(31.1.28)
а из уравнения (31.1.22) следует, что b(x) является инвариантным. Кроме
Toro, уравнение (31.1.23) показывает, что преобразование (31.1.14) индуци"
рует добавки к M (х) и N (х), которые оставляют инвариантными поля
s = aM(x),
р  aN (х).
(31.1.29)
Наконец, поскольку суперсимметрия не накладывает на c(x), Y(x)  vvt (х)
и ro(х) никаких условий, преобразование (31.1.14) позволяет придать компо
нентам c (х), Y(x)  Vv (х) == <Pv  <Pv и ro (х) любые удобные значения.
В частности, по аналоrии с калибровкой ВессаЗумино для калибровочных

354
rлава 31. Суперzравuтацuя
суперполей, рассмотренных в разделе 27.1, можно положить все компонен
ты C (х), V(x)  Vv(x) == <Pv  <Pv и ro (х) равными нулю. Поля hv(X)
и 'I' (х) идентифицируются по их трансформационным свойствам как поля
rpавитона и rpавитино соответственно, тоrда как b(x), s(x) и р(х) являют
ся вспомоrательными полями 4, что важно для понимания взаимодействия
суперполя rpавитона с материей.
Попутно заметим, что число независимых компонент симметрично
ro тензора hv по модулю калибровочных преобразований (31.1.12) paB
но 10  4 == 6, что вместе со вспомоrательными полями s, р и b дает Bce
ro 6 + 6 == 12 независимых физических бозонных полей, в то время как число
компонент майорановскоro спинорноro поля 'I' по модулю калибровочных
преобразований (31.1.13) равно 16  4 == 12. Это удовлетворяет введенному
в конце раздела 26.2 условию, что в любом супермультиплете полей, ре..
ализующем представление алrебры суперсимметрии, должно содержаться
равное число независимых бозонных и фермионных полевых компонент.
Вернемся к взаимодействию материи и rpавитации. В общем случае,
проинтеrpированный D..член произведения двух суперполей e и H дается
уравнением (26.2.25) в виде
I ttx[f}!!H!! JD == I ttx [д!!CHaд!! +CHaD +JYlaC:
 ( юНа [л +  ro])  ([л На +  юНа J] ro)
+ М Н а м<: + N H а zv<:  V H 1CaV ] . (31.1.30)
Используя уравнения (31.1.25Н31.1.27), можно выразить V, A и D че..
рез <Pv' 'I' и b соответственно, и найти
/int == 2к I ttx [е!! Н!! J D
== 2к I d 4 x [ С Н а [ оС:  дадРС: + D J +ьаС:
+ (юна [л:  ro +даrРroJ)  (ro)+( rarPQ:)
+MH°мf! + NH°N! + !Ev1CO(n д с!!(n').л [ vе" V 8p J]
о о 2 't'v 1с О 't' ло ',Ло Р ·
(31.1.31 )

31.1. Суперполе метрики
355
Мы видели в разделе 26.7, что закон сохранения (31.1.16) приводит к усло..
виям (26.7.44), (26.7.39) и (26.7.35):
D == D+aav,
 ==  J + avl'ro,
О  V 8 178 д a.rВp
 v  у v + Evpa L  ,
из которых соответственно следует, что все коэффициенты в уравнении
(31.1.31) при сНа, юНа И антисимметричной части <Pv равны нулю. Кроме
TOro, можно записать оставшиеся члены в (31.1.31) через ток суперсиммет
рии (26.7.20), тензор энерrии"импульса (26.7.42), "TOK (26.7.51):
S ., ==  2ro 8  + 2'V'Vv (,,,8
НОВЫИ , , ,
1 е 1 8 8л.
Tv ==  2 vv  2 vv +llvV л.,
 == 2ce,
и плотности ..Jt иvf', определённые уравнениями
 == a..Jt ,
tt: == д,
(31.1.32)
и задаваемые уравнениями (26.7.33) и (26.7.34) как
vf' == AX ,
.Al == вх .
(31.1.33)
Здесь Х  действительное киральное суперполе, появляющееся в правой
части закона сохранения (31.1.16). (Индекс «новый» у тока суперсимметрии
будет объяснен в этой rлаве.) Взаимодействие первоro порядка между мате..
рией и компонентами суперполя метрики теперь записывается в следующем
виде
2к: I tfx [eIlHIl]D == к: I d 4 x [IJbIJ +  scr"'IJ 2.JlsUp+ TKIJh IJK ]_
(31.1.34)
Мы замечаем, что поле rpавитино взаимодействует с током суперсиммет..
рии во MHoroM подобно тому, как rpавитационное поле взаимодействует с
тензором энерrии"импульса.
Теперь можно проверить правильность выбора постоянноro множите..
ЛЯ, появляющеroся в этом взаимодействии. При обычном определении TV
вариация действия материи при изменении метрики ogv имеет вид 5
'Ым ==  I d 4 x v DetgTIlV бg llv -

356
rлава 31. Суперzравuтацuя
Взаимодействие материи и слабоrо rpавитационноro поля, задаваемоro
(31.1.1 О), теперь записывается как
1с ! d 4 xTIlV (х) hllv(x),
что совпадает с зависящей от hv частью в уравнении (31.1.34) и подтвер
ждает правилъность нормировки взаимодействия (31.1.15).
* * *
Проверим теперь, что из уравнений (31.1.1 7) и (31.1.18) следуют усло
вия (30.1.20)30.1.23). Суперполе Т  (9JB) имеет компоненты
су == iTr (ЕюЕ),
ю У == iY5 ;Jc E + м Е  iY5 NE + рЕ,
м У == Tr (ЕУ5лЕ),
N Y == iTr (ЕлЕ),
У ":' 1 ":'
Vv ==  Tr (ЕУ5Avл.)  2 Tr (Е15 [1v, J]л.),
Л у ==  ME  iY5 ;JN E  iY5(D E + осЕ)  avv Ev ,
D Y == iTr (Е;Jл Е) + iTr (ЕОro:::),
а условие (31.1.18) дает
м У == N Y == D Y + осу == дл.v! == Л у + ;Jю У == о.
Из равенства нулю м У и N Y следует, что Л Е является линейной комбинацией
вида
лЕЕ == f Y + g  Y5Y + kv [y , y V ].
Равенство нулю дл.v! и D Y + осу тоrда дает
(31.1.35)
af == ag == о.
(31.1.36)
Кроме TOro, из равенства нулю Л у + ;Jю У вытекает, что
":' 1 y":'
D == 2 15[1 , PJVv'
Компоненты (x,e) имеют вид
C == iTr (ЕУ5уюЕ),
(31.1.37)
(31.1.38)

31.2. rpaBuтatIuoHHoe действие
357
ro == i C=' +151ME  iyNE +15yP1 V p E ,
А ':'
М  ==  Tr (E)' А....),
N == iTr (E)'51AE),
А ':' ' 1 ':'
V IlV == Tr (qVУIlл.)  2 Tr (€[yv, J]Yllro),
A == 15 ME + i N='  i1 (D E + осЕ) + 151avvvE,
 == iTr (Е 5A Е) + i OTr (E15yroE).
(31.1.39)
(31.1.40)
(31.1.41 )
(31.1.42)
(31.1.43)
(31.1.44)
Симметричная часть уравнения (31.1.42) дает условие (31.1.20) при
V ==  Tr (E1roS) + constant.
(31.1.45)
Линейная комбинация уравнений (31.1.39) и (31.1.43) дает условие (31.1.21)
при
х == 215М=' + 2iN s + constant ·
(31.1.46)
Затем мы используем антисимметричную часть уравнения (31.1.42) вместе
с уравнениями (31.1.37), (31.1.38) и тождествами
[1v, 1p]Y  [1, 1 p ]1v == 21lp 1v  21lvp 1 + 2iEvp", 151"',
Е Vfl1CO [1v, 1] == 2i15 [1 1С ,10],
и находим условие (31.1.22). Наконец, уравнения (31.1.40) и (31.1.41) вместе
с (31.1.35) и (31.1.36) приводят к условию (31.1.23).
31.2. lpавитационное действие
Чтобы найти подходящее rpавитационное действие, следует постро..
ить суп ер поле, инвариантное относительно обобщенноro калибровочноrо
преобразования H  H + . в качестве исходноro пункта вспомним,
что поле b, определенное уравнением (31.1.27), инвариантно относительно
этоro преобразования. Делая последовательные преобразования суперсим
метрии, видим, что b  Скомпонента «эйнштейновскоro» суперполя E,
с компонентами
C == b,
Е 3 1у
ro == 2 L  2 Y'Y 4,
(31.2.1 )
(31.2.2)

358
rлава 31. Суперzра8uтацuя
M == as, N == дp,
E 3 ! р ! д ор
v!!v  2 E!!v + 2"!!V E р + 2 Ev!!ap Ь,
А Е == д 'У 1' (I\Е   ro Е
  ""v р' ,
D == aavbv  Db,
(31.2.3)
(31.2.4)
(31.2.5)
(31.2.6)
rде Ev  линеаризованный тензор Эйнштейна
1 ( л. л.
E!!v == 2 a!!avh А. + Dh!!v  д!!д hA.v
 avaA.hA.!!  ,,!!v Dh\ + ,,!!vaA.ap hЛр ) ,
(31.2.7)
а
L V = iEvKP'Y5yaK 'l'р. (31.2.8)
Последнее выражение, как будет показано в разделе 31.3, является левой
частью волновоro уравнения для свободноro безмассовоro поля спина 3/2.
Например, применяя преобразования суперсимметрии (26.2.11), (26.2.15) и
(26.2.17) для компонент с Н , v: и vн к уравнениям (31.2.1) и (31.1.27),
находим
{,СЕ а == i ( аУ5 [dл. н а   iE V!!Ka y5y !! дк J..tI + да дК сок: н ] ) .
Сравнение этоrо преобразования с законом преобразования (26.2.11) для
компоненты сЕ показывает, что
1 .
ro Еа == dл. н а  2 'Ev!!KaY5y!!aK J..tI + да дК сок: н.
Мы можем использовать уравнение (31.1.26), чтобы выразить A через 'I'
и:
A == 'I'  'Y 'YP'l'p  'УдРro,
и выяснить, что ro может быть выражено только через '1'0:
Е  -:1 д Р 1 ·  д К :v
0)0  P'l'o  0'У 'I1 p  2 'EvKO'Y5'Y '11.
Применяя тождество
. р 1. о р
llv'Ул. llл.'Уv  IЕл.vр'У5'У  2 ''Y'Y Е о л.vр'У5'У ,

31.2. rравитационное действие
359
получаем уравнение (31.2.2) для . Продолжая выкладки аналоrичным об..
разом, можно найти остальные формулы (31.2.3)31.2.6) для компонент E
и убедиться, что эти компонентыI образуют вещественное суперполе.
Теперь мы можем построить квадратичное действие для суперполя
метрики, инвариантное как относительно суперсимметрии, так и относи..
тельно расширенных калибровочных преобразований H -------t H + , выбрав
следующую плотность лarpанжиана:
4 ( ) v 1 4 2 2
РЕ ==  EIJH == ElJvh  'I' L  (s + р  blJb)
3 r D r 2 3 r.
(31.2.9)
Множитель 4/3 выбран, чтобы придать кинематическому лаrpанжиану для
поля rpавитона стандартный знак и нормировку: помимо членов, включа..
ющих дhv или h Л л , это сумма лаrpанжианов Клейнаrордона для компо..
нент hv. Нормировка поля rpавитино обсуждается в следующем разделе.
Чтобы убедиться в инвариантности первых двух членов окончатель..
HOro выражения (31.2.9) при калибровочных преобразованиях (31.1.12) и
(31.1.13), заметим, что Ev и L явно инвариантны при этих преобразовани"
ях, а действие симметрично по отношению к возникающим в этих слаrае..
мых парам множителей hv и 'I'. Отсутствие в (31.2.9) производных от s, р
и b показывает, что эти поля являются вспомоrательными. Уравнения по..
ля требуют обращения их в нуль для чистой rpавитации, но не в случае
взаимодействия rpавитации с материей.
Перед переходом к взаимодействию материи и rpавитации, пре..
рвем изложение, чтобы определить, какое значение следует придать нор..
мировочной константе 1с в уравнениях (31.1.5) и (31.1.1 О). Действие
Эйнштейнаrильберта для чисто rpавитационноro поля имеет вид
1 J 4
lrpaв ==  161tG d х ..;gR,
(31.2.1 О)
rде G  ньютоновская rpавитационная постоянная, g(x)  определитель
метрическоro тензора gv(x), а R(x)  скалярная кривизна, вычисленная
по gv(X). Чтобы вычислить Irpaв для слабоro rpавитационноro поля gv ==
l1v +21Chv, вспомним, что при произволъной вариации бgv(х) rpавитаци..
OHHOro поля 6
Бlrpaв == 16G J tf х ..;g [R!1 V   g!1 V R] g!1V'
(31.2.11 )
rде RV(x)  тензор Риччи, вычисленный по gv(x). В случае слабоro по
ля gv == l1v + 21Chv тензор Риччи записывается как 7
R!1 V == 1с ( Oh!1v  д л д!1 h ЛV  длд V h Л !1 + a!1a v h\).
(31.2.12)

360
rлава 31. Суперzравuтацuя
Таким образом, для слабоrо поля
Rf.l v  ! gf.l V R == 2к:Ef.l V ,
2
поэтому из уравнения (31.2.1 О) следует
2
 К Jd 4 f.Lv  h
ulrpaв == 4ха х Е u f.!V ·
(31.2.13)
с дрyrой стороны, принимая во внимание симметричность квадратичноro
функционала f d 4 xEf.L v hf.!V относительно содержащихся в нем двух множите
лей h, получаем
ь J crx Е f.lV hf.lv == 2 J d 4 xEf.l V bhf.lV.
Поэтому, для TOro, чтобы член Ef.Lvhf.!V в уравнении (31.2.9) привел к обычной
rpавитационной плотности лarpанжиана, необходимо выбрать
к == у87tа .
(31.2.14)
Объединим теперь эйнmтейновскую плотность лаrpанжиана (31.2.9) с
взаимодействием (31.1.34) между rpавитацией и материей и лarpанжианом
материи Р м, чтобы образовать полный лаrpанжиан
!1! ==!1!м + Е vhf.l V  !\jf Lf.I  4 (? + р2  Ь bf.l)
f.! 2 f.! 3 f.!
[ 1 а 1 с;а 1 1(а ]
+2к 2 tll a b + 4 J 'l'a.AlsJtp+ 2 Т h тc .
(31.2.15)
Уравнения поля для вспомоrательных полей дают
s == 6K.Al /8,
р == 61GJY /8,
bf.L == 6Ktll f.! /16.
(31.2.16)
Воспользуемся этим, чтобы устранить вспомоrательные поля. Теперь плот
ность лаrpанжиана (31.2.15) принимает вид
f.!V 1 f.! 3 2 ( 2 2 1 f.! ) 1 с;о 1(а
р == р м + Ef.!vh  2 'i1L + 4 к .Al +Jt  4 tll f.!tll + 2 KJ 'l'a + кТ h тc .
(31.2.17)
Источники полей 'l'f.! и hf.!V имеют порядок К, поэтому мы можем при
писать этим полям тот же порядок, блarодаря чему все члены, за исключе
ни ем Р м, в (31.2.17) оказываются порядка к 2 .
Только скалярные поля s и р MOryт иметь ненулевые вакуумные cpeд
ние в древесном приближении, создавая плотность энерrии вакуума поряд
ка а:
3 2 2 2
PVAC == !1!VAC == !1!M VAC  4 к: (.Jt +.;t ).
(31.2.18)

31.2. Fравитационное действие
361
Orpицательный знак члена первоro порядка по G в вакуумной плотности
энерrии  характерное различие между суперrpавитацией и обычной супер
симметрией.
Например, в теории одноro левокиральноrо суперполя Ф с супер
потенциалом f( Ф) вакуумная энерrия нулевоro порядка определяется как
PM VAC == Idf(<p)/d<P12, при этом уравнения (31.1.33) и (26.7.27) дают
Jl +и==   [q> d) 3f(q»].
Таким образом, полная вакуумная энерrия до первоro порядка по G равна
 df(q» 2  81tG df(q»  3 f( ) 2
РУАС  d<p 3 <р d<p <р,
(31.2.19)
rде <р  скалярная компонента Ф. Это верно при определении метрики, KO
rда тензор энерrии"импульса задан уравнением (26.7.42), так что, в частно
сти, Т Л л обращается в нуль при f == о. Для дрyrих определений вакуумная
энерrия изменилась бы на величину порядка 81tGI<p12Idf(<p)/d<P12. Однако
эта неоднозначность не важна при вычислении минимальноro значения ва..
куумной энерrии. Рассмотрение уравнения (31.2.19) показывает, что если
функция f( <р) стационарна в некоторой точке <Ро, то PVAC имеет локальный
минимум для 1<p<Pol и Idf/d<P1 первоro порядка по а. В любой такой точке
вакуумная энерrия до первоrо порядка по G определяется выражением
PVAC == 247tGlf(<Po)12.
(31.2.20)
Существует алrебраическая причина, по которой вакуумные состоя
ния сненарушенной суперсимметрией в теориях суперrpавитации не мо"
ryт иметь положительную плотность энерrии. Решения полевых уравнений
Эйнштейна для однородной ненулевой вакуумной плотности энерrии Ру
принимают форму пространства де Ситrера для Ру > О и пространства
антидеСитrера для Ру < о. Эти пространства MOryт быть описаны как по
верхности
 :f: l1vX X V == R 2 ,
(31.2.21)
в псевдоевклидовом пятимерном пространстве с элементом длины
ds 2 == l1v dx dx v :f: d.
(31.2.22)
Верхний знак берется для пространства де Ситrера, а нижний  для
пространства антиде..Ситrера. Пространственновременная симметрия этих
пространств  уже не rpуппа Пуанкаре, состоящая из трансляций и

362
rлава 31. Суперzра8uтацuя
преобразований Лоренца, а rpуппа 0(4, 1) для пространства де Сит..
тера и 0(3,2) для пространства анти..де"СИ1Тера, rде О(п,т)  rpуп..
па линейных преобразований, оставляющих неизменной диаroнальную
метрику, содержащую п положительных и т отрицательных элемен..
тов на rлавной диarонали. Ненарушенная суперсимметрия в теориях с
де"СИ1Теровским или анти..деСИ1Теровским вакуумным состоянием име..
ет поэтому в качестве rpуппы пространственно"временных симметрий
простую rpуппу 0(4,1) или 0(з,2) соответственно в качестве rpуп..
пы пространственно"временных симметрий. Все суперсимметрии с про..
стыми пространственно"временными симметриями были классифицирова..
ны Намом 78. Существуют простые 0(3,2) суперсимметрии, также как
и N..расширенные 0(з,2) суперсимметрии, но для 0(4,1) существует толь
ко N == 2 суперсимметрия. Мы рассматриваем здесь N == 1 теории суперrpави"
тации. Таким образом, эти теории MOryт иметь вакуумные состояния с нена..
рушенной суперсимметрией и ру < О, что дает пространственно"временную
симметрию 0(3, 2), но не MOryт иметь вакуумные состояния сненарушенной
суперсимметрией и Ру > О, что приводило бы к пространственно"временной
симметрии 0(4,1).
На первый взrляд может показаться, что возможность вакуумных по..
левых конфиrypаций с отрицательной плотностью энерrии yrpожает CTa
бильности нашей Вселенной. В общем случае f( <р) имеет несколько ста..
ционарных точек, в которых эта функция принимает различные значения.
Даже если мы подберем параметры функции f( <р) так, что f( <р) равняется
нулю в одной из этих стационарных точек, ответственной за практически
плоское пространство нашей Вселенной, любая дрyrая стационарная точка
с ненулевым значением f( <р) даст .меньшую вакуумную энерrию, создавая
возможность коллапса в состояние с отрицательной плотностью энерrии и
метрикой, имеющей анти..деСИ1Теровскую форму вместо плоской.
К счастью, значение (31.2.20) недостаточно для TOro, чтобы компен"
сировать положительную энерrию, которая должна переходить в поверх..
ностное натяжение при образовании пузыря пространства антиде"СИ1Тера
в плоском пространстве, так что переход от обычноro плоскоrо пространства
к пространству анти..де"СИ1Тера является энерreтически невыroдным. Коул..
мен и де Луччиа 8 применили уравнения общей теории относительности
к пузырю с отрицательной внутренней плотностью энерrии E и положи..
тельным поверхностным натяжением S в плоском пространстве с нулевой
плотностью энерrии. Они показали, что любой такой пузырь, который не
связан с rpавитационными синryлярностями, будет иметь положительную
энерrию, если
Е  61tGs 2 .
(31.2.23)

31.2. Fравитационное действие
363
Поверхностное натяжение  это энерrия поверхности пузыря на единицу
площади, задаваемая в нулевом порядке по G интеrpалом плотности энерrии,
взятым поперек стенки пузыря:
 l r + [ d<p 2 df(<p) 2 ]
SI  dr d + d '
r r <р
(31.2.24)
rде r  и r + взяты на небольшом расстоянии от стенки пузыря внутри и
снаружи. Это выражение может быть переписано как
SI == (r+ dr [ d<p +; ( df(<P) ) * 2 2Re ( ;* d<Pdf(<P) ) ] ,
Jr dr d<p dr d<p
rде   произвольный фазовый множитель II == 1. Интеrpал от BTOpOro
члена очевиден: поскольку мы предполаrаем, что <р( r +) принимает значение,
для KOТOpOro f(<p) стационарно и равно нулю, а <p(r) принимает некоторое
значение <Ро, для KOTOpOro f( <р) стационарно, но не равно нулю, интеrpал
имеет вид
1+ dr d) == Л<Ро).
Чтобы максимизировать этот член, выбираем  == f(<Po)/lf(<Po) 1 и получаем
неравенство 9
SI  21f( <Ро) 1,
(31.2.25)
причем равенство достиrается, только если (как обычно бывает) су..
ществует решение дифференциальноro уравнения d<p/dr == (df /d<p) *
с соответствующими rpаничными условиями. Таким образом, неравен"
ство (31.2.23) выполняется, если плотность внутренней энерrии не меньше,
чем 241tGlf(<Po)12, что в точности соответствует значению (31.2.20). Эти
вычисления оставляют открытой возможность обусловленной радиацион--
ныIии поправками нестабильности плоскоro пространства, но читатель не
должен беспокоиться: доказано, что в теориях суперrpавитации, в которых
существует вакуумная полевая конфиrypация с нулевой вакуумной энерrи
ей, энерrия любоro возмущения полей, оrpаниченноro конечной областью,
положительна 10.
* * *
Уравнение (26.7.48) показывает, что тензор энерrииимпульса для на..
бора левокиральныx суперолей Фп содержит член
IlT!!V ==  (ll!!VO  a!!a v ) L l<PnI 2 .
..,
(31.2.26)

364
rлава 31. Суперzра8uтацuя
Интеrpирование по частям соответствующеro взаимодействия 1(hvTV да..
ет вклад в действие вида
'11 tfx L l<Pnl 2 ( 11 flVO  aflav)h flV ==  1 d 4 xR(I) L l<PnI 2 ,
п п
(31.2.27)
rде R(l)  скалярная кривизна в линейном приближении. Этот вклад добав..
ляется к обычному действию Эйнштейнаrильберта  f d 4 x vgR/21\.2 (KOTO
рое появляется в уравнении (31.2.17) как член EvhV) и приводит к замене
коэффициента в этом члене на
1 1  2 1 ( 1(2  2 )
 2к2 + 6 1<Pnl ==  2к2 1 "3 1<Pnl '
(31.2.28)
Чтобы восстановить обычную rpавитационную постоянную, мы можем под..
верrнуть метрику преобразованuю ВеЙЛЯ, заменяя тетраду ей  на
1(2
 fl == ей fl 1 "3 LI<PnI 2 ,
п
(31.2.29)
Иначе rоворя, мы заменяем метрику gv на
8flV== (1 2 I<PnI2)gflV'
(31.2.30)
или, для слабоro поля,
,., 1( 2
hflv == hflV  6 LJ I <Рn 1 11 flV ·
п
(31.2.31 )
Тензор Эйнштейна в приближении слабоro поля (31.2.7) для новой метрики
,...,  1 ( ,., л.'" л. ,., л. ,., ,., л. л. р'" )
EflV == 2 aflдVh л +OhflV afla h ЛV ava h Лfl l1flvOh л + 11flV a д h'Лр
== EflV  : ( afla V  11flV O ) L l<Pn 12. (31.2.32)
п
Сумма эйнштейновскоro члена в исходном действии и члена (31.2.27) имеет
поэтому вид
1 d 4 x [hflVEflV + ;  l<Pnl 2 ( 11 flVO  afla v )hflV ]
== 1 tfx [hflvЁflV +  (д !!  l<Pn 12 ) (д !!  l<Pn 12 ) ] ,
(31.2.33)

31.3. Fpa8umUHO
365
так что эффективная rpавитационная постоянная теперь действитель..
но является постоянной. Это переопределение метрики порождает TaK
же изменение потенциала. Исходная плотность лarpанжиана содержала
член eLn laj(<p)/a<pnI 2 , который с помощью новой тетрады переписыва..
ется в виде
21(2 ( )
e laf(<p)/a<PnI2 == elaf(<p)/a<PnI2  3 1<PnI2 laf(<p)/a<PnI2.
с учетом HOBOro определения метрики, потенциал (31.2.19) заменяется на
РУАС == L дЛ<р) 2  1(2 L<Pn дЛ<р) ЗЛ<р) 2 + 21(2 ( LI<pnI 2 ) 2 L дЛ<р) 2.
п д<Рп 3 п д<Рп 3 п п д<Рп
(31.2.34 )
Новый член не меняет значения PVAC в стационарной точке до порядка 1(2,
так что преДlUеСТВУ1Ощее обсение стабильности Baa остается без
изменений.
31.3. Ipавитино
в этом разделе мы будем использовать приближение слабоro поля, раз..
витое в разделах 31.1  3 1.2, чтобы вывести некоторые свойства rpавитино.
В частности, используя соображения непрерывности при G -------t О, мы получим
формулу для массы rpавитино при спонтанном нарушении суперсимметрии,
которая верна до первоro порядка по G и во всех порядках по всем осталь..
ным взаимодействиям. (Исторически первый вывод этой формулы будет дан
в разделе 31.6.)
Сначала нужно проверить, что член !'i1fJL в уравнении (31.2.9) 
правильный лаrpанжиан для свободноro поля безмассовой зарядово самосо..
пряженной частицы спина 3/2. Проверенный временем подход к построе..
нию подходящеro лаrpанжиана свободноro поля для частиц со спином  yra
дать лаrpанжиан и затем проверить, что он дает физически удовлетворитель
ные уравнения поля и пропаrатор. Этот подход ведет к некоторой неопреде..
ленности для частиц спина 3/2, например, то выражение, которое в статьях
по суперсимметрии обычно называют лаrpанжианом РаритыШвинrера, не
соответствует первоначально предложенному Раритой и Швинrером лаrpан"
жиану 11. Здесь мы будем следовать подходу в духе раздела 6.2: для мас..
сивной частицы спина 3/2 сначала выведем выражение пропarатора из тре..
бований лоренц"инвариантности, а затем обратим пропаrатор, чтобы найти
лаrpанжиан. Мы работаем здесь с массивными rpавитино ради простоты,

366
rлава 31. Суперzравuтацuя
а также потому, что в реальном мире следует принимать во внимание нару..
mение суперсимметрии. Однако полученные этим путем результаты можно
применить и к случаю 6езмассовых rpавитино, заметив, что сохранение тока
суперсимметрии делает синryлярности нулевой массы в пропarаторе несу..
щественными.
Спинорное поле 'l'fl с дополнительным векторным индексом принад"
лежит к представлению [(!,О) + (О, !)] х (!,!) однородной rpуппы Лорен..
ца. Чтобы выделить (1,!) + (1,1) часть свободноro поля, налarаем условие
неприводимости
у fl 'l'fl == о.
(31.3.1 )
Из инвариантности относительно вращений и из уравнения (31.3.1) следует,
что матричные элементы этоro поля между вакуумом и состоянием массив..
ной частицы спина 3/2, импульсом q == О и z..компонентой спина s будут
удовлетворять условиям
(01'1'°(0) Is) == О
(31.3.2)
и
3/2 1
L (OI(O)ls)(Olvj(O)ls)* ос {}ij  3 Y/Yj
s3/2
с коэффициентом, который может зависеть от инвариантной относитель..
но вращений матрицы Р = iyo. Используя обычное дираковское соrлаmе..
ние P(OI(O)ls) == (OI(O)ls) (которое выбирается, чтобы упростить пре..
образование поля при пространственной инверсии) и стандартный выбор
нормировки компоненты с Р == +1, аналоrичный (5.5.23), можно записать
уравнение (31.3.3) как
(31.3.3)
3/2.. ( 1 + Р ) 1
s  /2 (Olv' (О) Is)(Olv J (О) Is) * == (2п) 3 2 [ {}ij  3 YiYj] ·
(31.3.4)
Отсюда следует, что пропаrатор в пространстве импульсов для частицы спи..
на 3/2 и массы m g принимает вид
 I!v ( q) == Р I!v ( q) . ,
q2 + т  'Е
(31.3.5)
rде PV(q)  лоренц"ковариантный полином от четырехмерноro вектора q,
который при q == О и qO == m g удовлетворяет условию
i' ( 1 + Р ) [ 1 ]
Р J == 2 {}ij  3 YiYj ,
piO == рО; == рОО == о.
(31.3.6)

31.3. Fpa8umUHO
367
Если не принимать во внимание возможные члены, равные нулю на массовой
поверхности (эффект которых поэтому бьш бы тот же, что и для прямоro TOK
TOKOBOro взаимодействия), то единственная ковариантная функция с такими
предельными значениями имеет вид
PV(q) == (v + q:v ) (; .+тg)  (y  i  ) (; .+т g ) (yv  i : ).
(31.3.7)
(Разность между (31.3.7) и любой дрyroй ковариантной функцией с пределом
(31.3.6) является ковариантной функцией, все компоненты которой равны
нулю в точке q == О, qO == m g , а значит и всюду на массовой поверхности.)
Теперь можно записать лаrpанжиан свободноro поля в виде
РО ==   (\jfDv( ia)'I'V),
(31.3.8)
rде
J1.V (q)Dvл(q) == бt.
с помощью прямых, хотя и утомительных, выкладок находим
Dv'Л(q) == Evк'Л Y5yqK   тg[yv, у'Л]'
так что плотность лarpанжиана (31.3.8) записывается как
(31.3.9)
(31.3.1 О)
1 ( ) 1 ( )
 · V1Сл   11 Л
РО   2 'Е 'l'v Y5yдK 'I''Л + 4 т g 'l'v [у , У ]'I''Л ·
(31.3.11)
При m g == О этот результат подтверждает, что член !\i1L в ypaBHe
нии (31.2.9) является правильным стандартным образом нормированным
лarpанжианом свободноrо поля безмассовой зарядово самосопряженной ча
стицы спина 3/2. В пределе m g -------t О пропаrатор, заданный уравнениями
(31.3.5) и (31.3.7), синryлярен (что просто отражает показанную в разделе
5.9 невозможность построения поля, преобразующеroся по представлению
( 1 , !) + (!, 1), с помощью операторов рождения и уничтожения для безмас
совой частицы со спиральностью 3/2. Однако, все члены PV(q) в ypaBHe
нии (31.3.7), которые расходятся при m g -------t О, пропорциональны q и(или) qV,
а следовательно, не дают вклада, если ток, с которым взаимодействует 'I',
сохраняется.
В качестве дальнейшей проверки обоснованности вида лarpанжиана
(31.3.11), включающей массовый член специфическоrо вида, отметим, что с
ero помощью получается уравнение поля
· v  к л д 1 [ У Л ]  О
 1 Е 151  1с 'l'л + 2 m g 1 , 1 'l'л  ·
(31.3.12)

368
rлава 31. Суперzравuтацuя
Взяв диверrенцию этоro уравнения, получаем, что
[, ул]'I'л == о.
Кроме TOro, свертка (31.3.12) с Yv показывает, что
Yv'l'v ос ЕVf.l1СЛУ5Уv YfJ дк 'l'л ос [, УЛ]'I'л == О,
так что условие неприводимости (31.3.1) выполняется для свободноro поля
(но не обязательно при учете взаимодействий). Из этих двух результатов
следует дрyrое условие неприводимости
1 1
дл'll'- == 2 {d, У Л } '11'- == 2 [d, Ул]'II'- == о.
Использование этих условий позволяет записать уравнение поля (31.3.12)
в форме уравнения Дирака
(d+тg)'II'- == о,
(31.3.13)
что, помимо прочеro, показывает, что 'l'fJ  свободное поле частицы мас..
сой т g .
Рассмотрим теперь эффекты спонтанноro нарушения суперсимметрии
в теориях супрерrpавитации. Нарушенная rлобальная суперсимметрия вле
чет за собой существование безмассовой частицы спина 1 /2  rолдстино, но
в теориях суперrpавитации поле rолдстино Х может быть устранено калиб..
ровочным преобразованием 'l'fJ ----+ 'l'fJ  дfJХ. Поскольку калибровка зафик
сирована условием отсутствия rолдстино, калибровочная инвариантность
больше не обеспечивает безмассовости rpавитино, и оно при обретает массу
(которая с этоro момента обозначается m g ), аналоrично тому, как в разде
ле 21.3 векторные бозоны W::i: и zo приобретают массы при спонтанном
нарушении SU(2) х И(1) калибровочной симметрии электрослабоrо взаимо..
действия.
Как обсуждалось в начале rлавы 28, если суперсимметрия вообще
приложима к доступным наблюдению явлениям, то характерный масштаб
энерrий, на котором она нарушается, должен быть MHoro меньше планков
ской массы. В этом случае можно использовать соображения непрерывности,
чтобы получить универсальную формулу для массы rpавитино m g . Соrласно
(31.1.34), поле rpавитино '1' fJ взаимодействует с током суперсимметрии SfJ, с
константой взаимодействия !К == ! у87tО , так что обмен виртуальным rpa
витино с четырехмерным импульсом q в переходе А + в ----+ С + D добавляет
в инвариантную амплитуду член
1 ...
М(А+В  C+D) == 4 (87tG)(CIS!!IA)N!!V(q)(DISvIB)N,
(31.3.14)

31.3. Fpa8umUHO
369
rде индекс N означает, что соответствующий одному roлдстино полюс
при q2 == О должен бьш удален из матричноro элемента тока суперсиммет..
рии. для малоrо по сравнению с планковской массой масштаба нарушения
суперсимметрии имеется диапазон переданных импульсов, которые MHOro
больше массы rpавитино, но MHOro меньше массы ПЛанка. для таких им..
пульсов матричный элемент определяется пропорциональными 1 / т члена..
ми в числителе пропarатора (31.3.7)
1 ... ( 2; ,qqV )
M(A+B----+C+D) ----+ 4 (81tG)(CI S f!IA)N зтiq2 (DISvIB)N. (31.3.15)
Однако для достаточно больших импульсов порядка массы ПЛанка взаимо"
действие rpавитино становится пренебрежимо малым, и матричный элемент
должен быть таким же, как если бы он определился обменом roлдстино в тео..
рии без rpавитонов. Соrласно уравнению (29.2.10),
М(А+В ----+ C+D) ----+ (CISf!IA)N ( :/ ) ( q;;V ) (DISvIB)N,
(31.3.16)
rде F  выбранный действительным параметр, характеризующий величину
нарушения суперсимметрии и определенный так, что плотность энерrии
вакуума равна F2/2. Чтобы соrласовать уравнения (31.3.15) и (31.3.16), масса
rpавитино должна иметь значение
т g == J 41tF2 .
(31.3.17)
Эта формула справедлива только в низшем порядке по GF 2 , но во всех
порядках (и даже непертурбативно) по неrpавитационным взаимодействиям,
ответственным за спонтанное нарушение суперсимметрии.
Для некоторых целей удобно выразить т g через средние зна..
чения (s) и (р) бесспиновыx вспомоrательных rpавитационныx полей.
Отметим, что для Toro, чтобы вакуумное состояние имело нулевую
пространственновременную кривизну, плотность энерrии вакуума полей
материи F2/2 должна быть скомпенсирована отрицательной вакуумной
энерrией rpавитации и ее взаимодействием с полями из скрытоro секто..
ра, которая задается через (s) и (р) уравнениями (31.2.18) и (31.2.16) в ви"
де (4/3)( (s)2 + (р)2), так что
F2/2 == (4/3)( (s)2 + (р)2). (31.3.18)
Поэтому мы можем переписать уравн ение (31.3. 17) в виде
т g == 2; J (s)2+(p)2.
(31.3.19)

370
rлава 31. Суперzравuтацuя
Иноrда бывает полезно ввести комплексную массу rpавитино, определенную
как
in g = 2; ( (s) + i(p) ) ,
(31.3.20)
так что ее модуль совпадает с физической массой rpавитино (31.3.19).
31.4. Вызванное аномалиями нарушение суперсимметрии
в разделе 28.3 было сделано предположение, что суперсимметрия мо"
жет быть нарушена для некоторых суперполей cкpblToro сектора, которые не
несут квантовых чисел rpуппы SU(З) х SU(2) х И(1) стандартной модели и
взаимодействуют с наблюдаемыми частицами только rpавитационно. В этом
разделе мы рассмотрим один класс эффектов первоrо порядка по к: = v81tG ,
при водящих к нарушению суперсимметрии в минимальной суперсиммет..
ричной стандартной модели. Этот класс включает эффекты, создаваемые
массой калибрино и параметрами Aij и В В лаrpанжиане (28.4.1). Дрyrие эф
фекты нарушения суперсимметрии, такие как квадраты масс скварков и слеп
тонов,  BToporo порядка по к:, и они будут рассмотрены в разделе 31.7, в KO
тором мы исследуем вызванное rpавитацией нарушение суперсимметрии,
используя описанный в разделе 31.6 общий формализм суперrpавитации.
Результат вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии до пер
BOro порядка по к: можно получить простой заменой полевых компонент rpa
витационноro супермультиплета во взаимодействии (31.1.34) их средними
значениями. Единственные полевые компоненты, у которых может появить
ся ненулевое вакуумное среднее при спонтанном нарушении суперсиммет
рии в скрытом секторе суперполей материи  бесспиновые вспомоrательные
поля s и р. Поэтому, с учетом (31.1.33) находим нарушающее суперсиммет
рию взаимодействие первоrо порядка
ш(l) == 2к [AX (р) +ВХ и] == 3 Im [т; (АХ + iвX)],
(31.4.1)
rде т g  комплексная масса rpавитино (31.3.20), а АХ и В Х  A и BKOM
поненты характеризующеro масштабную инвариантность действительноro
киральноrо суперполя Х, 06суждавmеrося в разделе 26.7.
Мы показали в разделе 26.7, что для перенормируемой теории лево
киральных суперполей Фn С суперпотенциалом j(Ф), суперполе Х задается
выражением
х ==  Im[Фп д':)  3f(ф)].
(31.4.2)

31.4. Вызванное аноJWШlUЯМU нарушение cyпepcu.м.мeтpuu
371
Это может быть представлено в форме, которая допускает непосредствен
ное обобщение на более общие теории посредством записи параметров
взаимодействия в суперпотенциале через безразмерные параметры и пара..
метр v« размерностью массы. Поскольку суперпотенциал имеет размерность
(масса)3, имеем
Jt дf(Ф) + L Фn дf(Ф) == 3f{Ф).
av« п дФn
Поэтому уравнение (31.4.2) может быть записано как
(31.4.3)
х ==  1m [ Jt д::) ] .
(31.4.4)
Эту формулу можно обобщить, чтобы учесть вклад в Х масштабной зави..
симости ..члена любоro типа в лarpанжиане. Член 2 Rе[f(Ф, W)] в ла
rpанжиане дает вклад в х, задаваемый очевидным обобщением формулы
(31.4.4 ):
х== 2 Im [ Jt д f(ф,w) ] .
3 av«
(31.4.5)
(Свой вклад в Х дает также любая зависимость от масштаба массы в
D..членах в лarpанжиане.) Сравнивая (31.4.5) с (26.3.10) и (26.3.13), видим,
что
АХ +iвX == 2 д д [ f(Ф, W) ] == 2 дf<Р''ЛL) . (31.4.6)
3, v« 8==0 3, v«
Таким образом, член, нарушающий суперсимметрию в эффективном лarpан
жиане, в первом порядке по к: задается уравнениями (31.4.1) и (31.4.6) в виде
rn(l) ==  2 R [ ,.. * v«af( <р, л,L) ]
:L f е т g av« .
(31.4.7)
Уравнение (31.4.7) приложимо не только к членам в лarpанжиане с
явной масштабной зависимостью, но и к масштабной зависимости констант
взаимодействия, описываемой ренормrpуппой 11а. Эта зависимость от Mac
штаба возникает из квантово"механической аномалии, придающей ненуле
вое значение следу тензора энерrии"импульса, а также диверrенции RToKa,
поэтому возникающие таким образом наблюдаемые эффекты нарушения cy
персимметрии называют нарушениями, вызванными аномалиями.
Рассмотрим, в частности, кинематический член Р калибр для перенор
мируемых суперсимметричных калибровочных теорий, заданный уравнени..
ями (27.3.22), (27.3.23)
!l!калибр ==  212 Re L [EaPWAaWAP] ·
g АаР 
(31.4.8)

372
rлава 31. Суперzравuтацuя
Это выражение не зависит явно от какой..либо характерной массы, но для
константы взаимодействия g действует знакомая нам зависимость от мас..
штаба перенормировки .At, задаваемая уравнением ренормrpуппы
.Jt d) == р( g(.Jt) ).
(31.4.9)
Тоrда уравнение (31.4.7) показывает, что калибровочный лarpанжиан (31.4.8)
порождает нарушающий суперсимметрию член
rn(l)  (g) R [ ....*   ]
:L кали6р   ----т е т g  EaP/\,ALa/\,ALP ,
g АаР
(31.4.10)
rде л'АLa  левое поле калибрино, нормированное, подобно WAa, умножени
ем на калибровочную константу g, так что g не появляется в структурных
константах или во взаимодействии калибровочноro суперполя с кварковыми
суперполями. С учетом этоro нормировочноro соrлашения, масса калибрино
равна g2, умноженному на модуль коэффициента при! I,Aap Еарл'АLaл'АLР, или
(g)
т кали 6рино == т g  ·
g
(31.4.11 )
в этой формуле т кали 6рино и g  зависящие от обрезания roлые параметры
в лarpанжиане, подчиняющиеся вильсоновским уравнениям ренормrpуппы.
В разделе 27.6 мы видели, что (g) возникает исключительно из ОДНОllетле
вых диаrpамм, так что (g) == Ьg З , rде Ь  константа, поэтому
т кали 6рино == т g Ibl g2.
(31.4.12)
Физическая масса калибрино отличается от (31.4.12) поправками высших
порядков по g, но поскольку мы знаем, что калибрино должны быть MHoro
тяжелее, чем характерные массы в квантовой хромодинамике, эти поправки
малы как для rлюино, так для вино и бино.
Суперсимметрия не допускает наличия каких..либо явно зависящих от
масштаба слаrаемых в лarpанжиане кварковых и rлюонных суперполей, Ta
ким образом, без учета электрослабоrо взаимодействия выражение (31.4.12)
дает единственный вклад порядка к: в массу rлюино. Для трех поколений
кварков уравнение (28.2.10) дает  == Зg;/161t2. Выбирая g;/41t == 0,118,
получаем из (31.4.12) массу rлюино
3g;т g 2
тrnюино == 16п 2 == 2,8 х 10 т g .
(31.4.13)

31.4. Вызванное аНОJWШluями нарушение cyпepcu.м.мeтpии
373
С дрyrой стороны, в лаrpанжиане хиrrсовских суперполей есть масштабно..
зависимое взаимодействие, порождаемое flчленом fl(HieHl) в (28.1.7),
так что в л arp анжи ан е присутствует, член, задаваемый уравнением (31.4.7)
как 2 Re[т;fl(Jt'II)]. Сравнивая с Вflчленом в уравнении (28.4.1), видим,
что отсюда
В ....*
== mg.
(31.4.14)
С учетом трех поколений суперполей кварков и лептонов и одной
пары суперполей хиrrсовскоro дублета Нl и Н2 из выражений (28.2.8)
и (28.2.9) получаем Ь == 11/ 16п 2 для и (1) калибровочной константы g'
и Ь == 1/16х 2 для SU(2) калибровочной константы g. Взяв g,2/ 41t == 0,0102
и g2/41t == 0,0338, мы получили бы из уравнения (31.4.11) массы 8,9 х 10Зтg
и 2,7 х 10Зтg для бино и вино соответственно. Однако, массы бино и вино
получают также вклад порядка g'2тg/161t2 и g2 тg /161t 2 соответственно от
диаrpамм в которых бино или вино присоединены к петле хиrrсхиrrсино, с
нарушением суперсимметрии, порождаемым членом 2 Re[т;fl(Jt'II)] в ла
rpанжиане. Это дает следующие массы бино и вино 116:
g,2 m ( fl2 )
тбино == 16п; 11  f т '
g2 m ( fl2 )
т вино == 16п 1  f т '
(31.4.15)
(31.4.16)
rде тА  масса псевдоскалярной частицы, определяемая уравнением
(28.5.21), а
лх) = 2хlпх .
x1
Смысл этих результатов будет обсуждаться в разделе 31.7.
Наконец, существует масштабнозависимый множитель Zr перенор
мировки поля, на который умножается кинематическая плотность лаrpан"
жиана [Ф;еV Фr]D для любоro левокиральноro суперполя Фr. Этот множи"
тель может быть перемещен из кинематических Dчленов в суперпотен
циальные ..члены включением множителя z/2 в Фr. Константы взаимо
действия Юкавы h rst (такие как h5, h8 и h в (28.1.7)) в трилинейных
суперпотенциальных членах Lrst hrstФrФsФt умножаются тоrда на множи"
тель Z; 1/2 z; 1 /2 Zt 1/2, который зависит от обрезания .At. Соrласно ypaBHe
нию (31.4.7), взаимодействие !f!(l) дает вклад в плотность лаrpанжиана:
(31.4.1 7)
.Pкaвa == 2 L 1т Re [т;hrst<Pr<Ps<Pt] ,
rst
(31.4.18)

374
rлава 31. Суперzравuтацuя
rде
 Jt дlпhrst(Jt)
1,st == дvИ,
1 alnZ,(v«) 1 alnZs(V«) 1 alnz,(v«)
==  vИ,  vИ,  vИ, .
2 дvИ, 2 a.At 2 дvИ,
(31.4.19)
Мы видим, что коэффициенты А5, АВ и A в (28.1.7) равны 116
aln
A N .... *..N .... *  '} (31 4 20)
ij == тg"Yij == тgeЛL дvИ, ' · ·
rде N ==Е, D или и. Отсюда получаем, что АВ иА  порядка g;т g j8тc 2 , в то
время как А5  порядка g2 тg j8тc 2 или g'2 тg j8тc 2 .
31.5. Локальные преобразования суперсимметрии
в качестве последнеrо шarа перед рассмотрением влияния высших
порядков по G на преобразования суперсимметрии, завершим обсуждение
законов преобразования физических компонент суперполя rpавитона H и
дрyrих суперполей в низшем порядке по G.
Рассмотрим сперва форму, принимаемую этими преобразованиями
при записи через физические поля hJlV' "'Jl' b, S и р в калибровке
ВессаЗумино, в которой
C == ro == V  VV == о. (31.5.1)
Используя выражение (31.1.25Н31.1.27), (31.1.29) и (31.1.11) физических
полей через компоненты суперполя H, наряду с общими законами преобра
зования (26.2.11 Н26.2.17) и «калибровочными» условиями (31.5.1), находим
законы преобразования
Ohf1V ==  ( a[Yf1 'IIv + Yv 'IIf1]) ,
б'llf1 == [  [у, -1'] д').hf1V + дf1h\ + 2iy s b f1   iYf1 Ур ysb P
2 2 ]
+ 3 1Jls  3 iY Jl 15Р а,
1 ( ... Л. )
bS == 4 а1л. L ,
бр ==   i ( aysy').L ').) ,
БЬf1 ==  i ( aYsLf1 )   i ( aYsYf1 у 4 ) ,
(31.5.2)
(31.5.3)
(31.5.4)
(31.5.5)
(31.5.6)

31.5. ЛОКШlьные преобразованuя cyпepcuм.мeтpии
375
rде L задается формулой (31.2.8):
L = iEV1CPY5Yv дк 'l'р.
это преобразование сдвиrает также компоненты cff, roff и V  VV от нуле..
вых значений на величины
ocff == О, &O == V yV а,
б[Vv  V] == (a[1f1 1vЛ]).
(31.5.7)
(31.5.8)
Мы можем затем вернуться к калибровке (31.5.1), сделав подходящее калиб
ровочное преобразование Н   н  + , rде   суперполе вида (31.1.17),
(31.1.18) с компонентами
C L\ О L\ V H у
 ==, ro ==  flv У а,
vvt  v == (а[1vЛ 1f1])'
(31.5.9)
(31.5.10)
Пока что это бьто rлобальное преобразование суперсимметрии, при
этом параметр а бьт бесконечно малым постоянным майорановским спино
ром. По крайней мере в низшем порядке эта симметрия может бьпь леrко
расширена до локалЬНО20 преобразования суперсимметрии с приданием а(х)
произвольной зависимости от x. Соrласно уравнению (26.7.11), при таком
преобразовании действие для материи получает приращение
б I d 4 хШм ==  I d4х(.f1(х)дf1а(х)).
(31.5.11 )
Из выражения (31.2.17) следует, что это приращение действия компенсирует
ся, если добавить неоднородный член (2/к:)дa(x) к правой части выражения
(31.5.3), так что изменение поля rpавитино принимает вид
[ 1.
б"'f1(Х) == (2jк)д f1 а(х) + 2 [У,1 Л ]д л hf1V(Х) +дf1h\(х) +2l'Ys b f1(x)
  i1f1 1 р 1 s b P (х) +  1f1s(x)   i1f1 1sP(X)] а(х). (31.5.12)
Полезно переписать выражение (31.5.12) в виде, который делает более
ппрозрачным обобщение на произвольные координаты. Отметим сначала,
что член дhл.л.а в правой части (31.5.12) может быть устранен заменой
параметра а(х) на
а = (Detg)I/4aa+!Kh\a.
2
(31.5.13)

376
rлава 31. Суперzравuтацuя
Опуская тильду в нулевом порядке по к, запишем выражение (31.5.12) в
виде
б'l'f! (х) == (2/к )af!cx(x) + [  [у, уА] aAhf!V(X) + 2iY s bf! (х)
222 ]
 з iУf!УРУSЬР(Х) + з Yf!s(x)  з iУf!УSР(Х) сх(х).
(31.5.14)
Мы можем выразить это через ковариантную производную от а(х), которая
в общих координатах принимает вид
Df!cx(x) ==af!cx(x)+  iJbcrotC(x)cx(x),
(31.5.15)
rде J Ьс  матрица (5.4.6), представляющая reHepaTop преобразований Ло
ренца в представлении Дирака,
JbC =   [f,f],
(31.5.16)
а rotC(x)  спиновая связность
де С
ro ЬС  е Ь е с gAV  е Ь  gAV  rP е Ь еС gAV
  А v;  А дx V АР.
(31.5.17)
Используя приближения слабоro поля (31.1.5), (31.1.1 О) и (31.1.11) вместе с
калибровочными условиями <pv == <Pv И снова пренебреrая в этом прибли
жении различием между локальными лоренцевскими индексами а, Ь и т. д.
И пространственно"временными индексами , v и т. д., получаем
Df!cx(x)  af!cx(x) + : к[1', уА] aAhf!V(X).
(31.5.18)
Таким образом, закон локальноro преобразования суперсимметрии (31.5.12)
может быть записан как
б'l'f!(Х) == (2/K)Df!cx(x) + [2iY S bf!(x)   iYf!YpYsbP(x)
2 2 ]
+ з Yf!s(x)  / Yf!YsP(x) сх(х).
(31.5.19)
Мы видим, что в калибровке ВессаЗумино производные в преобразовании
суперсимметрии становятся ковариантными производными. В этом смысле,
очерченный здесь подход аналоrичен подходу де ВитаФридмана к супер
симметричным калибровочным теориям, описанном в разделе 27.8.

31.6. Суперzравuтацuя во всех порядках
377
Преобразование ",(x)  ",(x) + (2/K)дa(x)  калибровочное пре..
образование TOro же типа, как и (31.1.13), так что действие нулевоro порядка
для rpавитино ! J d4X(\ifL) остается инвариантным. Полное действие, по
лучаемое из лаrpанжиана (31.2.15), поэтому инвариантно в нулевом поряд..
ке по к относительно локальных преобразований суперсимметрии (31.5.2),
(31.5.4Н31.5.6), (31.5.12) (или (31.5.19», и суперполя материи преобразу
ются как (26.7.15). Мы заключаем, что комбинация zравитацuи и cyпepcu.м..
метрии автоматически приводит К ЛОКШlЬНОU cyпepcu.м.мeтpии.
31.6. Суперrpавитация во всех порядках
Хотя действие, получаемое из лаrpанжиана (31.2.15), инвариантно
в нулевом порядке по к = v'81tG относительно локальных преобразований
суперсимметрии, построенных в разделах 26.7 и 31.5, оно не инвариантно
в первом порядке по К, потому что взаимодействие материи с rpавитаци
онным супермультиплетом приводит к появлению членов порядка к в as.
Чтобы обеспечить инвариантность полноro действия, нужно добавить члены
высших порядков по к в лarpанжиан и законы суперсимметричных преобра..
зований для компонент супермультиплетов материи и rpавитации. Это может
быть сделано, если добавить в законы преобразования члены высшеro по..
рядка по к так, чтобы преобразования суперсимметрии вместе с локальными
лоренцевскими преобразованиями и общекоординатными преобразованиями
образовывали замкнутую алrебру, а затем добавить в действие такие члены,
чтобы оно стало инвариантным относительно всех этих преобразований.
Это долrий и утомительный процесс. Мы представим здесь только pe
зультаты 12, а затем, в следующем разделе, обратимся к наиболее важным
приложениям. Локальное преобразование суперсимметрии для тетрады, по..
ля rpавитино и вспомоrательных полей принимает вид:
&а !! == к ( af'll!! ) ,
O'll!! == (2/K)D!!a+2iys(b!!   y!!ypbP)a+  Y!!(SiYsp)a,
& == :е ( ay!!L!! ) +  ( a[iYsb V  V  iPYsY]'IIv) ,
; ( ...  ) к ( ... [ v . у У ] )
ор ==  4е aysy!!L + 2 а Ь + lsY  ру 'IIv ,
3; ( ... 1 ) к ( ... у )
оЬ!! == 4е a:'fs (L!!  3 У!! ypLP) + 2 b v a:'f 'II!! +
+ i  ( W!! Ys(s  iysp) а )   E!!V1Ca bv (aYs-t).
(31.6.1)
(31.6.2)
(31.6.3)
(31.6.4)
(31.6.5)

378
rлава 31. Суперzравuтацuя
Здесь опять D  ковариантная производная, определенная в (31.5.15) и
(31.5.16):
 1 аЬ
Dfl == д!! + 8 [Уа' УЬ]ОО!! '
(31.6.6)
но теперь спиновая связность включает члены, билинейные по полю rpави"
тино,
ooЬ == е\ е Ь v;flgЛV + :2 [е Ь V ( \j1 fl f'l'v ) +е а veb р ( \j1v У fl 'tf ) ea V ( \j1 f! f'l'v ) ] .
(31.6.7)
Кроме TOro, L  ковариантная версия оператора РаритыШвинrера (31.2.8)
L == i'Ys'YvDp 'JIaEvpa,
'Y определяется с помощью обычных матриц Дирака 'Уа как
(31.6.8)
 а
'Y  е  'Уа'
(31.6.9)
а е  определитель тетрады
е = y' Detg.
(31.6.1 О)
Леrко видеть, что в пределе слабоro поля эти правила преобразования CBO
дятся к выражениям (31.5.2), (31.5.19) и (31.5.4)31.5.6).
Действие для чистой суперrpавитации, инвариантное относительно
этих преобразований и дающее в пределе слабоro поля действие (31.2.9),
имеет вид
 / 4 [ е 1 ( ...  ) 4е ( 2 2  )]
Iсуперrp  d х  2K 2 R  2 'l'flL 3 s + р  bflb ,
(31.6.11 )
rде R  скалярная кривизна, вычисленная по спиновой связности (31.6.7).
В отсутствие материи действие бьто бы стационарным для s == р == b == О,
упрощаясь до вида
Iсуперrp == I d 4 x [  2:2 R   ( \j1flLfl ) ] ·
Преобразование полей материи теперь также более сложно. для ком..
понент произвольноro скалярноrо супермультиплета оно записывается как
 == i( аУ500),
ЬЮ == [i'Y5 tJC  м + i'YsN + Р]а,
(31.6.12)
(31.6.13)

31.6. Суперzравuтацuя во всех порядках
379
БМ ==  ( а[л + oo] ) + 2; ( a[s  i15P + i15 #1](0),
БN == i ( а15 [л + oo] ) + 21C ( a[s  fy5P + i15 #1]15(0),
БV а == ( а1а Л ) + ( a9J a oo ) +  ( a[s  i15P + i15 #1] 1а 00 ) ,
1 .
бл ==  4 [f , f]aFab + lDy5 a ,
БD == i( а15 л),
rде ковариантные производные определяются следующим образом
 f.1 [ iK ( ... ) ]
9J a C  е а df!C "2 "'f! 1500 ,
9J a oo == е/ [af!OO +  00Ь[1c, 1ь]0О  i1Cbf! 1500
  (У  i15   м + i15 N )"'f!]'
9J а л == е/ [дf!Л +  00[1c, 1ь]Л
. к [ ь С ] iK ]
+ '1С bf!15 Л + 8 1 ,1 "'f!FЬc  "215D'1ff! '
Fab == е/ eb v [af! V V +  df! ( 'Vf!oo )   ( 'Vf! 1v Л ) ] a Н Ь,
(31.6.14)
(31.6.15)
(31.6.16)
(31.6.17)
(31.6.18)
(31.6.19)
(31.6.20)
(31.6.21)
(31.6.22)
и Vf.1 = tfl f.1 Va. Правила умножения произвольных скалярных мультиплетов
остаются такими же, как (26.2.19Н26.2.25), за исключением TOro, что дf.1
заменяется всюду на a, так что компоненты супермультиплета 8 == 8182
теперь имеют вид
С == СIС2,
Ю == Сl I02 +С2 Ю l,
м == СIМ2 +С2Мl +  i( (0115 002),
N == CIN2 +C2Nl   ( 001 002)'
V a == Сl Щ' +C2 V f   i( 00115 fOO2),
1 1 1 .
л == СI Л 2 +С2 Л l  2 fOOI 9J a C 2  2 fOO29J a C l + 2 11115002
+  i1215001 +  (Nl  fy5 M l)002 +  (N2  fy5 M 2)001,
(31.6.23)
(31.6.24)
(31.6.25)
(31.6.26)
(31.6.27)
(31.6.28)

380
rлава 31. Суперzравuтацuя
D == aCl aC2 +CI D 2 +C2 D l +МIМ2 +NIN2
 ( 001 [Л2 +  !lJ0>2])  ( О>2 [Лl +  !lJOOl])  V 1a V:f.
(31.6.29)
Так же, как и в плоском пространстве, существуют суперсиммет..
ричные оrpаничения, которые MOryт быть наложены на эти произволь..
ные супермультиплеты. Одно из таких оrpаничений  действительность.
Изучение выражений (31.6.12)(31.6.22) наряду с (26.А.20Н26.А.21) по..
казывает, что если С, М, N, Va, D, Ю и А образуют супермультиплет S,
то С*, М*, N*, V;, D*, РеУ5Ю* и РеУ5А* также образуют суп ермультиплет,
называемый S* . в частности, действительный мультиплет,  это такой муль..
типлет, для КOTOpOro S == S*, при этом С, М, N, У а и D  действительны, а ю
и А  майорановские спиноры.
Мы можем также наложить суперсимметричные условия киральности.
Допустим, мы положили
V v +  к ( '1voo ) == avZ,
для HeKoToporo поля z. Тоrда выражение (31.6.22) дает Fab == О, так что
из выражения (31.6.17) следует, что БА == О, в то время как из выражения
(31.6.21) следует aA == О, и из выражения (31.6.18) получается, что БD == о.
Поэтому условия л == D == О сохраняются при локальных преобразованиях
суперсимметрии. Проделав еще некоторые выкладки, можно показатъ, что
л == О,
D == О,
(31.6.30)
Б [ V v +  к ( '1vOO ) ] == a v ( аоо ) ,
(31.6.31 )
так что оставшееся условие, что V v +!К ('1vOO) является пространственно
временным rpадиентом, также суперсимметрично. Супермультиплет поле..
вых компонент, удовлетворяющих условиям (31.6.30), называется киральным
супермультиплетом. Как и в случае rлобальной суперсимметрии, компонен"
ты киральноro суперполя принято обозначать А, В, 'V, F и О, rде
с == А,
ю == iY5 'V,
м == О,
N ==  F,
Z == В.
(31.6.32)
Киральный супермультиплет действителен, если А, В, F и G действительны,
а 'V  майорановский спинор. Такой действительный киральный супермуль..
типлет может быть записан как сумма левокиральноro супермультиплета Ф
с компонентами, которые принято обозначать
A+iB
q> = ...ti'
WL = ( 1r5 )w,
FiG
!т = ...ti '
(31.6.33)

31.6. Суперzравuтацuя во всех порядках
381
и комплексно сопряженноro ему правокиральноro супермультиплета. Из
этих обозначений и уравнений (31.6.12Н31.6.15) и (31.6.31) видно, что ком..
поненты левокиральноro супермультиплета имеют следующие трансформа..
ционные свойства
&р == v'2( a'l'L)' (31.6.34)
б'l'L== v'2()aRK1f!("'f!'I'L)aR+ v'2fFaL, (31.6.35)
бfF == v'2 (a'I'L)  2; (a[s  ip  i J'J'I'L)' (31.6.36)
rде a'V задается выражениями (31.6.20) и (31.6.32). Правила умножения
левокиральных супермультиплетов те же, что и соответствующие прави..
ла (26.3.27Н26.3.29) в случае rлобальной суперсимметрии: произведением
левокиральных супермультиплетов Ф1 и Ф2 является левокиральный супер..
мультиплет, обозначаемый Ф1 Ф2, с компонентами
<1> == <1>1 <1>2 ,
'v L == <1>1 'V2L + <1>2 'v 1L,
fF == <р] fF2 + <р2 fF]  ('I'IL e'l'2L ) ·
(31.6.37)
(31.6.38)
(31.6.39)
Теперь нужно показать, как можно строить действия, инвариант..
ные относительно локальных преобразований суперсимметрии, общекоор"
динатных преобразований и локальных преобразований Лоренца. Уравнения
(31.6.18) и (31.6.21) показывают, что изменение D"компоненты произволь..
HOro супермультиплета S при преобразовании суперсимметрии не является
обычной пространственно"временной производной. Таким образом, инте..
rpал от D"компоненты не может быть правильным слarаемым в действии.
Вместо этоro, на основе произвольноro суперполя S можно построить плот..
ность, интеrpал которой является суперсимметричным:
[S]D == е [и  i; (",f! 1 f!15л. S ) + K [sNS + pM S bf!V:]
· 2
 1; ( roS15 ")   ef!PCnV; ( '" Р 1t '1' f! )
 2 ef!PCn ( roS'I'a ) ( "'Р 1t'l'f!) ]  2;2 С!.I! суперrp, (31.6.40)
rде Ш суперrp  суперrpавитационный лarpанжиан в выражении (31.6.11):
!.I!суперrp ==  2:2 R  ("'f!Lf!)   (; + р2  bf!bf!). (31.6.41)

382
rлава 31. Суперzравuтацuя
Аналоrично, выражения (31.6.36) и (31.6.20) показывают, что прираще..
ние "компоненты левокиральноrо суперполя Х при преобразовании супер..
симметрии не является пространственно"временной производной, так что
к "компоненте должны быть прибавлены определенные члены, чтобы по..
лучить плотность, интеrpал от которой суперсимметричен:
[X] ==е [.r +  ( 'V fJRrf!'I'f ) + : ('V f!R [у!! , Y]'I'vR ) <f
+ 21C(S  ip)<f ] . (31.6.42)
Некоторые супермультиплеты представляют особый физический ин..
терес. Один из них  действительный некиральный супермультиплет 1 с
единственной ненулевой компонентой С == 1. Соrnасно выражению (31.6.40),
для этоro супермультиплета
2к 2
[I]D == зРсуперrp,
(31.6.43)
что не дает ничеro HOBOro.
Более интересный пример представляет собой левокuральныu супер..
мультиплет 1 с единственной ненулевой компонентой <р == 1. Соrласно выра..
жению (31.6.42), для этоro супермультиплета
Re[I] == е [ 2 ('Vf! [rf!, Y]'I'v ) +41CS] .
(31.6.44)
Если член с J d 4 x Re[I] появляется в действии с действительным коэффи"
циентом С, то сумма этоro члена и суперrpавитационноro действия (31.6.11)
стационарна по отношению к вариациям вспомоrательных полей при
s == 3ск/2,
р == b == О,
(31.6.45)
поэтому после устранения вспомоrательных полей действие будет содержать
постоянный космолоrический член
31С 2 с 2 ! tfxe,
(31.6.46)
соответствующий плотности энерrии вакуума 3K2c2. Такой член необхо..
дим, чтобы вакуумное состояние было лоренц"инвариантным при спонтан"
ном нарушении суперсимметрии. Чтобы компенсировать положительную

31.6. Суперzравuтацuя во всех порядках
383
плотность вакуумной энерrии F 2 /2, связанную с нарушением суперсим"
метрии, нам следует положить
зк 2 с 2 == F 2 /2.
(31.6.47)
Обращаясь снова к выражению (31.6.44) и сравнивая ero с (31.3.11), видим,
что отсюда масса rpавитино 13
 2  FK  J41tGF2
т g  СК    ,
v'6 3
в соответствии с предыдущим результатом (31.3.17).
В качестве иллюстрации использования этих формул и получая попут..
норезультаты, которые понадобятся в следующем разделе, вычислим бозон
ную часть лarpанжиана *
(31.6.48)
!f ==!fсуперrp+  [К(Ф'Ф*)]D +2Rе[J(Ф)];
(31.6.49)
здесь 9! суперrp  бозонная часть суперrpавитационноro лаrpанжиана
(31.6.41), К(ф,ф*)  действительная функция набора левокиральных cy
пермультиплетов фn И им комплексно сопряженных, а f( Ф)  функция
только от фn. Чисто бозонные члены в правилах умножения (31.6.23),
(31.6.25Н31.6.27) и (31.6.29) те же самые, что и для rлобальной супер..
симметрии, так что можно использовать либо эти правила, либо суперпро
странственный формализм rлавы 26, чтобы вычислить, что супермульти
плет К(Ф,Ф*) имеет следующие бозонные компоненты
С К == К( <1>, <1>*),
М К == 2ImL ( dK(tp,tp*) [Тп ) +...,
n дq>n
N K ==  2ReL ( dK(tp,tp*) [Тп ) +...,
n д<l>n
у К ==2Im ( dK(tp,tp*) i) m ) +...
f.1  де" f.1 "Уn ,
n тn
D K  2  д 2 К ( <1>, <1>*) (  f.1V д д * 6z' (j"2'IIC ) . . .
  д д * g р<1>n v<l>m+J n3 m + ,
nт <l>n <l>т
(31.6.50)
(31.6.51)
(31.6.52)
(31.6.53)
(31.6.54)
*Часто член Р суперrp опускают, вместо этоrо суперrpавитационный лаrpанжиан вводится
путем включения постоянноro члена з/к-2 в K(<p,q>*). мы не будем следовать этой прак
тике; здесь, при стандартной нормировке скалярных полей, членом rлавноrо порядка по к-
в K(q>,q>*) является п lq>nI 2 .

384
rлава 31. Суперzравитацuя
rде точки заменяют члены, включающие фермионные поля. Аналоrично,
правила умножения левокиральных суперполей (31.6.37Н31.6.39) те же са..
мые, что и для rлобальной суперсимметрии, так что можно использовать ли..
бо эти правила, либо суперполевой формализм rлавы 26, чтобы вычислить,
что левокиральный супермультиплет f(Ф) имеет бозонные компоненты
q/ ==f(q»,
[J'f == L дf(Ч') [J'n +... ,
п дq>п
(31.6.55)
(31.6.56)
rде точки снова заменяют члены, включающие фермионы. Подстановка этих
результатов в выражения (31.6.40) и (31.6.42) дает бозонные члены плотно..
сти лarpанжиана (31.6.49) в виде:
[ е 4е ( 2 2 ) ] [ 1(2 * ]
Шбозон==  21С2 Rз S +р b!!b!! lзК(Ч',Ч')
 д 2 К( q>, q>*) ( f.1v д д * 6z' fi24IC )
 е  д д * g f.1q>n vq>m + Jn3m
пт q>n q>m
+ 4;е ReL дКЧ',Ч'*) ([J'n(S+iР)+iЬ!!д!!Ч'n)
п q>n
+2eRe ( L д,(Ч') [J'n+21С(SiР)f(Ч'» ) . (31.6.57)
п q>n
Теперь следует устранить вспомоrательные поля, придав им значения,
при которых лarpанжиан стационарен*. Это дает вспомоrательные поля
[J'n ==  L( I ) дК (  L( I ) дК ( д! ) * +3/* )
3N т \ тп дq> kl \ kl дq>l дq>k
 L( I) (  ) *,
т \ тп дq>т
. 1( (  ( 1 ) дК ( д f ) * * )
Slp==     +3! ,
2N lk kl дq>l дq>k
(31.6.58)
(31.6.59)
*Хотя обычно принято следовать этой процедуре, cтporo roворя, она не вполне корректна,
т. к. даже коrда лarpанжиан квадратичен по вспомоrательным полям, коэффициенты при чле
нах второro порядка по вспомоrательным полям зависят от дрyrих полей. Вследствии этоro,
при взятии Функциональноro интеrpала по вспомоrательным полям появляются определи
тели коэффициентов при квадратичных членах, что эквивалентно добавлению в лarpанжиан
членов, пропорциональных Б4(о) == (2п)4 f d 4 k 1. Такие члены MOryт быть устранены с по
мощью размерной реryляризации, при которой f d 4 k 1 == о.

31.6. Суперzравитацuя во всех порядках
385
к ( дК )
Ь!! == 2(1 K2K/3) 1т  д<pn af!<Pn ,
(31.6.60)
rде
к 2 к 2 ( ) дк дк
N = IK+L l ,
3 3 kl kl дq>l дq>k
а  (q>, q>*)  келерова метрика
(fJ (<р, <р*) = <Р К( <р, <р*) .
пт дq>пдq>
Подставляя эти выражения в уравнение (31.6.57) получаем бозонный ла..
rpанжиан
(31.6.61 )
ш боЗОН ==  2:2 R [ 1  2 К] e  nmgf!V д!! <Рn av<P
+ ек 2 L( l ) д! д 3! 2
3N тп \ пт дq>т дq>п
ек 2 [  дк д ] [  дк д ] pv
 3(1  к2К/3) 1т  д<рn f!<Pn 1т  (Хрn v<Pn g
 ( (t:J 1 ) д! ( д j ) *
е   д д (31.6.62)
 тп пт q>m q>n
Как уже отмечалось в разделе 31.2 для случая сла60ro по..
ля лarpанжиан (31.6.62) имеет то неудобное свойство, что член
Эйнштейнаrиль6ерта eR/2K2 умножается на (1 K2K(q>,q>*)/3), из..за чеro
эффективная rpавитационная постоянная меняется от точки к точке. Чтобы
исправить это, произведем преобразование ВеЙЛЯ, определяя новую метрику
gf!V == (1  к 2 к/З )gf!v,
(31.6.63 )
Эйнштейновский лаrpанжиан записывается через новую метрику как
( к2 ) 1 ( ""' 3 ( к2 ) ( к2 ))
egf!VRf!v == 1  з- К egf!v Rf!v + 2 af!ln 1  з- К a v ln 1  з- К ,
""'
rде Rf.1v  тензор Рич чи, вычисленный с использованием метрики gpv вме..
сто gf.1v, а ё  y Detg. Прямое вычисление дает теперь следующую форму
бозонноro лarpанжиана (31.6.62)
ё ""'
Шбозон ==  2K 2 g f! V Rf!v

386
rлава 31. Суперzравuтацuя
 ёgVLдр<Рпдv<р:Ж [( 1  2 К ) l д (Р: *
пт <Рп <Рт
+ 1(2 ( 1  1(2 К ) 2 дК дК ]
3 3 д<Рп д<p
+ е1(2 ( 1  1(2 K ) 2 L( I ) д! дК 3! 2
3N 3 тп \ пт д<Рт д<p
ё ( 1  1(2 K ) 2 L( l)  ( д! ) *.
3 тп \ пт д<Рт д<Рп
Преобразование ВеЙЛЯ не только устраняет множитель (1  K 2 Kj3) из ла
rpанжиана Эйнштейнаrильберта; оно также устраняет члены пропорцио..
нальные д<Рпдv<Рт и д<рдv<р.
Полученная формула может быть упрощена еще больше введением
вместо К(<р,<р*) м'одифицированноzо потенциала Келера d(<p,<p*), который
мы определяем уравнением
(31.6.64)
к: 2 ( K 2d )
1  з-К = ех р 3 .
(31.6.65)
Мы также вводим новую метрику в пространстве скалярных полей
д 2 d
gnm = д д ·
<Рп <p
Обратные матрицы для новой и старой метрики связаны соотношением
(31.6.66)
 1 == ех (K2dj3) [ l + 1(2 Lтngt;/g"j(дd/дq>n)(дd/дq>::п) ] .
lk Р glk 3 1  (1(2/3)Lтng(ad/aq>n)(ad/aq>)
Бозонный лаrpанжиан (31.6.64) теперь принимает более простую форму
ё ""'
rn  .... v R .... ....pv  д д * :;:1}'
:LбоЗОН 2 2 g veg gnm <Pп v<pmey,
К пт
(31.6.67)
rде V ( <Р, <р*)  потенциал
V == exp(1( 2 d) [LgLmL:  31(21112],
пт
(31.6.68)
в котором
 д j 2 дd
4n == д+1( f д ,
<Рт <Рт
(31.6.69)

31.6. Суперzравuтацuя во всех порядках
387
Потенциал (31.6.68), очевидно, имеет стационарную точку при значе..
ниях напряженности поля, удовлетворяющих условию L m == о. Однако, как
мы установили в случае слабоro поля, в этой точке вакуумная энерrия при
нимает отрицательное значение 3K21/12. Чтобы стационарная точка Lm == о
соответствовала решению с плоским пространством, необходимо, чтобы ве..
личины f(<p) и д/(<р)/д<Рп одновременно обращались в нуль при этих значе..
НИЯХ полей. Рассмотрение выражений (31.6.58) и (31.6.59) показывает, что
при таких значениях полей скалярные вспомоrательные поля [Т п , s и р обра..
щаются в нуль, поэтому вакуумные средние приращений (31.6.2) и (31.6.35)
полей rpавитино и киральноro спинора при преобразовании суперсиммет..
рии с постоянным а обращаются в нуль. Таким образом, вакуумное значе..
ние полей, при котором /(<р) и д/(<р)/д<Рп обращаются в нуль, является как
раз таким значением, которое сохраняет ненарушенной rлобальную супер..
симметрию в классическом пределе. В следующем разделе мы рассмотрим
вакуумные конфиrypации, в которых суперсимметрия нарушена.
Мы не будем здесь показывать TOro, что дополнительные члены в бо..
зонном лаrpанжиане, необходимые для включения калибровочных суперпо..
лей, не модифицируются rpавитацией, за исключением общеro детерминант..
HOro множителя ё и метрических множителей, необходимых для поднимания
и опускания индексов. После устранения вспомоrательных полей ивыпол..
нения преобразования Вейля полный бозонный лаrpанжиан для теории с
калибровочными, киральными и rpавитационными суперполями имеет вид
/ --    bl1   р *  !  А В fJv
Шбо30Н е  2 2 R fJ gnтDfJfPпD fP m 4  RelABFfJv F
к пт АВ
1  1 .f F. A F B fJVPO V
 8  mJAB fJV рое .
АВ
(31.6.70)
Здесь, в соответствии с обозначениями раздела 15.1, DfJ' F: v и tA обо..
значают калибровочноковариантные производные, тензоры напряженно..
сти поля и представления калибровочных reHepaTopoB на киральных ска..
лярных суперполях, /АВ  независимая аналитическая ФУНКЦИЯ <Рп, все
пространственно"временные индексы поднимаются и опускаются с помо
щью метрики gpv, потенциал V имеет вид
V == ехр (1(2 d) [g;LmL;  31(21/12 ]
+ 2 1 Re IliJ ( I д дd (tA)nтfPm ) ( I д дd (tA)k/fPl ) *.
АВ пт <Рп kl <Pk
(31.6.71 )
Бозонный потенциал в форме (31.6.71) имеет достаточно простой вид,
чтобы стало очевидным, что члены в d, зависящие только от <Рп' или только

388
rлава 31. Суперzравuтацuя
от <p, MOryт быть заменены поправками к суперпотенциaJt'. А именно, если
мы запишем
d(<p,<p*) == J(<p,<p*) +а(<р) +а(<р)*,
Л«Р) ==!(<<р)ехр( K2a(<<p)), (31.6.72)
rде а( <р)  произвольная аналитическая функция, удовлетворяющая условию
кали6ровочнойинвариантности
 да(<р)
 д (tA)пт«Pm == О,
пт <Рп
то потенциал (31.6.71), выраженный через J и 1, принимает тот же вид, какой
он имел при записи через d и f. Переопределив суперпотенциал, можно за..
тем устранить все члены в степенном разложении d ( <р, <р*), которые зависят
только от <Рп, или только от <p. Теперь видно, что rлавный член в степенном
разложении d(<p,<p*) (тильду мы опускаем) имеет вид Lпmdпm<Pn<P;'. Подхо..
дящим линейным преобразованием суперполей матрицу d пm можно сделать
равной Б пт , при этом степенное разложение d( <р, <р*) начинается с члена
d ( <р, <р *) == L 1 <Рп 12 + · · · ,
п
(31.6.73)
а степенное разложение метрики (31.6.66) начинается как
gnт == Б пт + · · · .
(31.6.74)
Рассмотрев второй член в правой части выражения (31.6.67), видим, что
определенные таким образом скалярные поля канонически нормированы.
Фермионные члены HaMHoro сложнее. Здесь мы приведем только чле..
ны, квадратичные по полям калибрино,
(2) ,.., 1  ( ... )
Шкалибрино/е ==  2 Re fAB AA.lbAB
АВ
1 2  1 ( д fАВ ) * ( ... )
+ 2 ехр(к d/2) Re gLm д АААв ,
тп АВ <Рп
(31.6.75)
rде L т задается формулой (31.6.69). Мы видим, что если калибровочные поля
канонически нормированы, то постоянный член в разложении fAB по CTe
пеням скалярных полей равен БАБ, следовательно поля калибрино л'А также
канонически нормированы.
* * *

31.7. Вызванное zравитацией нарушение cyпepcu.м.мeтpии
389
Вместо TOro, чтобы перемещать все аналитические члены и им
комплексно сопряженные из d( <Р, <р*) в суперпотенциал, можно использо..
вать преобразование (31.6.72), чтобы сделать новый суперпотенциал !( <р)
равным константе, которая может быть выбрана равной единице, если
взять a(q» == 1C21nf(q». Тоrда потенциал зависит только от функции
(q>, <р*) = d( <Р, <р*) + 21C2Relnf( <Р),
(31.6.76)
и принимает вид
V==exp(1C2) [ K4Lg ( д ) ( д ) * 3к:2 ]
пт д<Рт дq>п
1 1 ( д ) ( д ) *
+ 2 Re Lf AB L а (tA)nm<Pm L а (tA)kl<Pt ·
АВ пт <Рт kl q>k
(31.6.77)
Метрика (31.6.66) для скалярных полей также может быть переписана в виде
д2
gnm == ·
дq>пдq>
(31.6.78)
Хотя мы и не показали этоro здесь, симметрия, которая позволяет заменить
келеров потенциал и суперпотенциал одной функцией (q>,q>*), позволяет
также сделать эту замену в полном лarpанжиане, включая все члены, содер..
жащие фермионы и калибровочные поля.
Существует интересный класс теорий, в которых нет масштабноro па..
раметра 13а, коrда потенциал V равен нулю для всех значений <Рт. Например,
так бывает в случае одноro калибровочно"нейтральноro киральноro скаляр..
HOro суперполя при
 == 3K2In(h(<p)+h(<p)*),
(31.6.79)
rде h( <р)  произвольная функция от <р. Однако, ни один известный нам
принцип не требует, чтобы функция  принимала этот вид.
31.7. Вызванное rравитацией нарушение суперсимметрии
Вернемся к проблеме нарушения суперсимметрии. Как было выяс..
нено в начале rлавы 28, если суперсимметрия используется для решения
проблемы иерархии взаимодействий, т. е. для объяснения большоrо отноше..
ння массы ПЛанка тПланк = 1/ V81tG к характерным массам наблюдаемых

390
rлава 31. Суперzравuтацuя
частиц, то суперсимметрия должна быть ненарушенной на планковских мас..
штабах и спонтанно нарушаться только на некотором MHOro меньшем Mac
штабе масс. Единственный известный приемлемый механизм, который Mor
бы естественным образом привести к очень большому отношению масшта
бов масс  непертурбативный эффект асимптотически свободных калибро
вочных взаимодействий. Если эти взаимодействия умеренно слабы на план
ковских масштабах, то их медленный рост по мере уменьшения энерrии
сделает их сильными при MHOro меньших масштабах Л « тРl. Известные
элементарные частицы не чувствуют таких сильных взаимодействий, так
что независимо от TOro, нарушается ли суперсимметрия прямо или KOCBeH
но этими сильными калибровочными взаимодействиями, нарушение супер
симметрии должно передаваться наблюдаемым частицам через какое..либо
взаимодействие, в котором они участвуют.
В разделе 28.3 мы отметили два возможных механизма передачи Hapy
шения суперсимметрии наблюдаемым частицам. Один механизм  вызван
ное калибровочным взаимодействием нарушение суперсимметрии  деталь
но обсуждался в разделе 28.6. Теперь мы roтовы рассмотреть дрyroй Mexa
низм  вызванное rpавитацией нарушение суперсимметрии.
В начале 1980..х roдов, коrда rpавитация бьта впервые рассмотрена
как посредник при нарушении суперсимметрии 14, обычно предполаrалось,
что суперпотенциал состоит из двух членов: функции f(Ф) различных ле
вокиральных суперполей Фr наблюдаемО20 сектора, включающих все cy
перполя наблюдаемых частиц, и функции l(z) различных левокиральных
суперполей Zk скрытО20 сектора 15, которые нейтральны относительно Ka
либровочной rpуппы SU(З) х SU(2) х И(1) стандартной модели. Далее, су..
перпотенциал скрытоro сектора брался в виде
l(z) == E 3 F(1(Z),
(31.7.1)
rде Е  некоторая масса MHOro меньше планковской, а F (1(Z)  степенной ряд
по 1(Z С коэффициентами порядка единицы. Предположение, что суперпо
тенциал должен быть суммой f(Ф) + l(z) является отчасти произвольным,
но, как мы увидим далее, несложно вообразить причины, по которым это
должно быть хотя бы приблизительно верно. Более серьезная критика Ta
KOro подхода состоит в том, что он не дает никакой надежды на решение
проблемы иерархии взаимодействий  энерrия Е просто полаrается MHOro
меньше планковской массы.
После развития этих первых моделей вызванноro rpавитацией Hapy
шения суперсимметрии, появились друrие модели, в которых иерархия мас..
штабов энерrии объясняется естественным образом с помощью медленно..
ro роста с уменьшением энерrии калибровочноro взаимодействия, которое

31.7. Вызванное zравuтацией нарушение cyпepcu.м.мeтpии
391
становится сильным на энерrиях Л  mpl. Существуют две версии этих мо"
делей, которые различаются предлarаемым источником нарушения супер
симметрии. Как мы увидим, в обеих версиях скварки и слептоны получают
обусловленные нарушением суперсимметрии массы, порядка массы rpави
тино m g , но формулы для m g различаются; в первой версии m g  кл 2 , тоrда
как во второй m g  к 2 л 3 , что дает Л  1011 [эВ И Л  1013 [эВ соответ..
ственно. Две версии различаются также в формулах для дрyrих параметров
мяrкоro нарушения суперсимметрии, включая B, А..параметры и массы ка..
либрино.
Первая версия 16
В этой версии вызванноrо rpавитацией нарушения суперсиммет..
рии предполаrается, что участвующие в теории суперполя делятся на два
сектора.
Наблюдаемый сектор составляют суперполя минимальной суперси
метричной стандартной модели: калибровочные суперполя SU(З) х SU(2) х
И(1), а также кварковые, антикварковые, лептонные, антилептонные и хиrr
совские левокиральные суперполя, которые мы будем обозначать Фr.
Скрытый сектор составляют калибровочные суперполя асимптоти..
чески свободноrо калибровочноro взаимодействия, которое становится силь
ным на промежуточном масштабе энерrий Л, mw «Л« mPl, а также лево
киральные суп ер поля Zk, которые участвуют в этом калибровочном взаимо
действии.
Поля Zk предполаrаются нейтральными относительно калибровочной
rpуппы SU(З) х SU(2) х И(1), поскольку в противном случае, мы вернулись
бы к модели нарушения суперсимметрии калибровочным взаимодействи
ем. Кроме TOro, мы знаем достаточно о наблюдаемом секторе, чтобы быть
уверенными, что ero киральные суперполя не участвуют в калибровочных
взаимодействиях CкpblTOro сектора.
Чтобы естественным образом получить перенормируемую часть обще..
ro суперпотенциала вида /(Ф) + l(z), можно предположить, что симметрия,
которая остается при энерrиях ниже планковской, включает rpуппу Gи (KO
торая может быть частью калибровочной rpуппы CкpblTOro сектора), относи
тельно которой инвариантны все поля наблюдаемоro сектора и ни одно поле
скрытоro сектора, и rpуппу ОО (которая может быть частью калибровочной
rpуппы SU(З) х SU(2) х И(1) наблюдаемоro сектора), относительно кото..
рой инвариантны все поля CкpblTOro сектора и ни одно поле наблюдаемоro
сектора. В этом случае, если какое..либо поле наблюдаемоro сектора появ
ляется в какомлибо члене суперпотенциала, то в этом члене наблюдаемые

392
rлава 31. Суперzравитация
поля ДОЛЖНЫ встречаться по крайней мере дважды, а также, если какое..либо
поле скрытоro сектора появляется в каком..либо члене суперпотенциала, то
в этом члене скрытые поля должны встречаться по крайней мере дважды.
Таким образом, ни один член в кубическом полиномиальном суперпотенциа..
ле не может включать поля обоих секторов одновременно. это соображение
оставляет открытой возможность неперенормируемых членов в суперпотен"
циале, которые включают не менее чем по два множителя из обоих секторов.
К рассмотрению такой возможности мы вернемся позже. Конечно, предпо..
лarается, что сильные взаимодействия CкpblTOro сектора порождают допол..
нительные непертурбативные члены в полном суперпотенциале CкpblTOro
сектора J(Z), но эти члены также зависят только от суперполей cкpытoro
сектора.
Предположив, что суперпотенциал принимает форму f(Ф) + J(z), по..
лучаем, что потенциал скалярных компонент этих суперполей задается ypaB
нением (31.6.71) как
x: 2 d [  l ( д! 2 <w ad ) ( д/ 2 <w ad ) *
V==e grs а+1С (f+Л а а+1С (f+Л а
rs <Pr <Pr <Ps <Ps
<w *
+2 ReLg;kl ( ;! +1С2(f+л ;d ) ( ;! +1С2(f+л ;d )
 <Pr <Pr  
 1 ( д! 2 <w ad ) ( д! 2 <w ad ) *
+ gki  д +к (f+ f) a  д +к (/+ f) a
kl Zk Zk ZI ZI
31C2If+ 112]
1 1 ( ad ) ( ad ) *
+ 2 Re L/iB L  д (IA)kIZI L  д (IA)mnZn
АВ kl Zk тп Zm
1  1 ( ad ) ( ad ) *
+ 2 Re Lf AB L а (tA)rs<!>s L а (tA)tи<!>и ·
АВ rs <Pr lи <Р1
(31.7.2)
Выписывая члены, обусловленные калибровочными взаимодействиями, мы
предполarали, что калибровочные бозоны cкpытoro и наблюдаемоro секто..
ров не смешиваются, т. е., что fii равно нулю для любой пары reHepaтopoB IА
и Iв, таких, что IА действует нетривиальным образом на <Pr, а Iв  на Zk, или
наоборот.
Нас интересует рассмотрение области в пространстве полей, в ко..
торой скалярные поля Zk CкpblTOro сектора имеют порядок Л, переменная
часть суперпотенциала скрытоro сектора J(z)  порядка л З , а д] /aZ k по со..
ображениям размерности имеет порядок Л 2. Вопрос О величине постоянной

31.7. Вызванное zравитацueU нарушение cyпepcuммeтpuu
393
части j оставляем пока открытым; как мы увидим далее, чтобы скомпенси
ровать космолоrическую постоянную, необходимо включить в j постоянный
член, MHOro больший чем Л 3 .
Определим теперь ту область в пространстве полей, которую будем
исследовать, требованием, чтобы поля <Pr наблюдаемоro сектора имели по..
рядок к:Л 2, потому что, как мы увидим далее, именно такой масштаб масс
возникает в наблюдаемом секторе в результате rpавитационных эффектов
нарушения суперсимметрии в скрытом секторе. Предполarается, что супер
потенциал наблюдаемоro сектора /(q» для полей порядка к:л 2 имеет поря..
док к: 3 Л 6, а ero производные д /( <р) /aq>r  порядок к: 2 Л 4.
Как следствие определений суперпотенциала и скалярных полей, рас..
смотренных в конце предыдущеro раздела, и предположения о симмет..
рии Gи х Go, модифицированный келеров потенциал принимает вид*
d(<p,q>*,z,z*) == I,1q>rI 2 + I,IZkI2+0(K2Z*2Z2)
r k
+ 0(K 2 z*z3) + 0(K 2 z*3 z ) + 0(K 2 q>*2i-) + 0(K 2 q>*2 Z *Z)
+ 0(K 2 Z*2q>2) + 0(K 2 Z*Zq>2) + 0(K 2 q>*q> Z 2)
+ 0(K 2 Z*2q>*q» + 0(K 2 q>*z*q>z) + 0(K 2 q>*2q>2)
+0(K 2 q>*q>3) +0(K 2 q>*3<p) +... , (31.7.3)
rде точки заменяют члены высших порядков. Метрика (31.6.66) теперь имеет
компоненты
grs == б rs + 0(K 2 Z 2 ) + О( K 2 Z*2) + О( K 2 Z*Z)
+ 0(K 2 q>2) + 0(K 2 q>*2) + 0(K 2 q>*q» +... ,
gkl == бkl + 0(K 2 Z 2 ) + 0(K 2 Z*2) + 0(K 2 Z*Z)
+ 0(K 2 q>2) + 0(K 2 q>*2) + 0(K 2 q>*q» +... ,
grk == gicr == 0(K 2 q>Z*) + 0(K 2 q>Z) + 0(K 2 q>*Z*) + 0(K 2 q>*Z) +... .
(31.7.4)
(31.7.5)
(31.7.6)
(Характерный масштаб энерrий для d предполarается порядка 1/к:, пото..
му, что d  модифицированный келеров потенциал, обусловленный неиз..
вестными динамическими эффектами на планковских масштабах, в отличие
от j, обусловленноro динамическими эффектами сильноro калибровочно..
ro взаимодействия на масштабах порядка л.) Величины grs И gkl обычно
*Выражение O(K 2 z*2 z 2) обозначает член вида K2I.klmnCklmnZZzizmZn, rде Cklmn  постоян
ные коэффициенты порядка единицы. Аналоrично следует пониматъ друrие подобные члены
в уравнениях (31.7.3Н31.7.6).

394
rлава 31. Суперzравuтация
порядка единицы, тоrда как смешанные компоненты grk И gkr  поряд
ка к 2 (кл 2 )л == К 3 л 3 « 1. Следовательно, то же самое верно и для ком..
понент gl: (gl)rs И (gl)kl обычно порядка единицы, а (gl)rk И (gl)kr 
порядка К 3 л З « 1.
Из этих оценок следует, что если не произойдет никаких сокраще..
ний, доминирующие члены в потенциале (31.7.2) имеют, по крайней мере,
порядок Л 4, И записываются в виде
..., 2
[V]Л 4 == I, д!  31C 2 11012 ,
k aZ k
(31. 7 . 7)
rде 1°  постоянный член в 1, который понадобится, чтобы скомпенсиро"
вать энерrию вакуума. Мы предполаrаем, что суперсимметрия спонтанно
нарушена в скрытом секторе, а это требует, чтобы существовала точка Z,
в которой k lal/az k l 2 имеет по меньшей мере локальный минимум, не рав"
ный, однако, нулю. Тоrда, чтобы скомпенсировать энерrию вакуума в рас..
сматриваемом порядке, следует положить
..., О 2
31C 2 11012 == I, ( a f ) ,
k aZ k
(31.7.8)
rде индекс О в правой части равенства указывает, что величина берется
в точке Z == zO. Следовательно, необходимо придать 1° аномально большое
значение порядка л 2 /к. Это roраздо более сильное условие тонкой настрой
ки, чем то, которое, как мы увидим, требуется во второй версии вызванноro
rpавитацией нарушения суперсимметрии. Однако в отсутствие реальноro
понимания смысла космолоrической постоянной, какая..то тонкая настройка
будет необходима в любой теории нарушения суперсимметрии.
Мы можем вычислить параметр нарушения суперсимметрии F в фор..
муле (31.3.17) для массы rpавитино, полаrая плотность энерrии Baкyy
ма F2/2 равной значению величины k I (al/az k )012 в плоском пространстве.
Масса rpавитино тоrда определяется из уравнений (31.3.17) и (31.7.8) как
т g == К
..., О 2
!I, ( af(Z) ) ==K211°1.
3 k aZ k
(31.7.9)
Эта величина TOro же порядка  кЛ 2, что И скалярные поля наблюдаемоro
сектора.
Перейдем к членам (31.7.2), которые зависят от скаляров наблюдае..
MOro сектора <l>r. Мы рассматриваем значения полей, для которых обычный

31.7. Вызванное zравитацией нарушение cyпepcu.м.мeтpии
395
суперсимметричный член r 'д/ /a<PrI 2  порядка т:  к 4 Л 8, так что нужно
собрать все зависящие от <р члены уравнения (31.7.2) этоro и более BЫCO
ких порядков. Рассмотрим каждую из шести строк правой части уравнения
(31.7.2).
rлавный член в к 2 (/ + j)ad/a<Pr  это к 2 j0<p;, который, подоб..
но a//afPr, имеет порядок к 2 (Л 2 /к)(кл 2 ) == к 2 л 4 , тоrда как остальные
члены к 2 (/ + j)ad/a<Pr MHOro меньше. В rлавном порядке можно заме..
нить exp(K 2 d) единицей, а gl  единичной матрицей б rs , так что в этом
порядке первая строка (31.7.2) дает
д/ 2
L  +K 2 j 0 <p; ·
r a<Pr
Это выражение имеет нужный порядок к 4 Л 8, поэтому нет необходимости
рассматривать поправки высших порядков.
rлавный член в g;l имеет порядок к 3 л 3 , rлавный член в д! /aZ k 
ПОРЯДОК л 2 , тorдa как .J(f + j)adjaZ k меньше, порядка кл 3 ; мы видели,
что rлавный член в д/ /a<Pr+K2(/ + j)ad/a<Pr порядка к 2 л 4 , так что член во
второй строке (31.7.2) имеет порядок (К 3 л 3 )(л 2 )(к 2 л 4 ) == к 5 л 9 , И им можно
пренебречь по сравнению с членами уравнения (31.7.2) порядка к 4 Л 8 .
rлавные члены в третьей и четвертой строках (31.7.2) порядка Л 4,
однако они не зависят от <Pr. от <р зависят члены третьей строки, содер..
жащие /; rлавные члены TaKoro типа 2к 2 Re[/kZk(aj/aZk)*] имеют поря..
док к 5 л 9 « к 4 л 8, поэтому ими можно пренебречь. Аналоrично, от q> зависят
члены четвертой строки (31.7.2), содержащие /. rлавные члены этоro типа
6K2 Re[/i o *]
имеют порядок к 2 (кЛ 2 )3л 2 /к == к 4 л 8 . Множитель exp(K 2 d) содержит за..
висящие от q> члены ПОРЯДI,а к 2 (кл 2 )2, но они умножаются на потенци
ал, rлавные члены KOТOpOro (31.7.7) бьти подобраны так, чтобы взаимно
компенсироваться до порядка Л 4, так что возникающие отсюда зависящие
от q> члены MHOro меньше чем к 4 Л 8. Существует еще один тип зависящих
от q> членов, возникающий из зависящих от q> компонент gki 1 . Соrласно
(31.7.4Н31.7.6), эти члены MOryт быть записаны как K2Ukl(q>,q>*), rде Ukl 
однородный квадратичный полином от q>r И <р; с коэффициентами порядка
единицы. Это порождает зависящий от q> член в третьей строке (31.7.2) вида
( д'" ) о ( д"' ) 0*
K2t:Uk1(<P,<P*) д д '
порядок кoтoporo к 2 (кЛ 2 )2Л 4 == к 4 л 8 .

396
rлава 31. Суперzравитацuя
rлавный зависящий от q> член в пятой строке (31.7.2) возникает ли..
бо из членов K 2 q>2 в fA/i и rлавных членов в обоих d порядка z* z, либо
из членов в одном из d с двумя множителями к, двумя q> и(или) <р* и дву"
мя z и(или) z*, при fiJ и дpyroM d заданных rлавными членами порядка 1
и z*z соответственно. Оба типа зависящих от q> членов дают вклад поряд
ка к 2 (кл 2 )2л 4 == к 4 л 8 , поэтому членами высших порядков можно пр ене..
бречь.
rлавный член в шестой строке (31.7.2) возникает из rлавноro члена f A //
порядка единицы и rлавных зависящих от q> членов в d порядка q>*q>. Это
дает вклад в потенциал порядка (кл 2 )4, так что и здесь членами высших
порядков можно пренебречь.
Потенциал (31.7.2) содержит также не зависящие от <р члены поряд..
ков к 2 Л 6, к 4 Л 8 И т. д. Члены порядка к 2 Л 6 MOryт быть взаимно скомпенси"
рованы, а членам порядка к 4 Л 8 можно придать произвольное значение rI ,
HeMHoro сдвинув постоянный член в f(z) от значения, задаваемоro уравне..
ни ем (31.7.8).
Собирая эти результаты вместе, находим, что до порядка к 4 Л 8  т:
потенциал наблюдаемоro сектора имеет вид
Vo(<p,<p*) == L д(<p) +K 2 j0<p; 2 6к.2 Re[f(q»jO*]
r q>r
2
+  L L<p;(tA)rs<Ps +Q(<p,<p*)+W,
А rs
(31.7.1 О)
rде Q( <р, <р*)  квадратичный полином по q> и(или) <р* с коэффициентами по
рядка к 2 Л 4  т;, который образуется из зависящих от q> членов gki 1 в третьей
строке и из зависящих от q> членов в fA/i и d в пятой строке формулы (31.7.2).
Мы нормировали калибровочные суп ер поля так, что fAB == БАВ, коrда все CKa
лирные поля обращаются в нуль. (Есть также зависимость от <р, возникающая
в результате зависящеro от q> сдвиrа равновесных значений скаляров cкpы
тoro сектора zk, но этот сдвиr по порядку величины не больше (кл 2 )4jЛ З ,
и, поскольку выражение (31.7.7) предполarается стационарным при z == zO,
этот сдвиr входит квадратично в эффективный потенциал полей наблюдае..
MOro сектора, вследствии чеro им можно пренебречь.) Постоянная rI может
быть выбрана так, чтобы значение этоro потенциала в точке минимума рав"
нялось нулю.
В заключение вернемся к неперенормируемым членам суперпотенци"
ала. Как уже упоминалось ранее, rлавные зависящие от Ф члены этоro типа
должны быть порядка кф 2 z2. Коrда суперполя скрытоro сектора Zk взя"
тыI равными равновесным значениям z2, эти члены становятся полиномами

31.7. Вызванное zравитацией нарушение cyпepcuм.мeтpии
397
второro порядка по Фr С коэффициентами порядка кЛ 2. Поэтому В rлав"
ном порядке можно учесть эти неперенормируемые члены, просто включая
в суперпотенциал квадратичную полиномиальную функцию от Фr С коэф"
фициентами порядка кЛ 2  т g .
Таким образом, теории вызванноro rpавитацией нарушения суперсим"
метрии избеrают проблемы "члена, обсуждавшейся в разделах 28.1 и 28.5.
Вспомним, что симметрия стандартной модели SU(З)хSU(2)хU(I) допус..
кает единственный суперперенормируемый член в суперпотенциале мини..
мальной суперсимметричной стандартной модели, имеющий вид (HTeH2).
Чтобы естественным образом объяснить, почему коэффициент  не равен по
порядку массе ПЛанка, необходимо потребовать выполнения какойто сим..
метрии, подобной симметрии ПеччеиКвинна, рассмотренной в связи силь..
ным нарушением еР"инвариантности в разделе 23.6, относительно которой
произведение (Н{еН2) не нейтрально. Однако, ..член с  тoro же порядка,
что т g , как и дрyrие связанные с нарушением суперсимметрии массы, бьт
признан феноменолоrически необходимым в разделе 28.5. Такой член может
естественно возникнуть при нарушении симметрии ПеччеиКвинна Baкyyм
ными средними полей скрытоro сектора* если суперпотенциал содержит
неперенормируемый член, в котором (Н{ еН2) умножается на две степени
полей скрытоro сектора Zk с коэффициентом порядка к.
Поэтому мы предполаrаем, что эффективный суперпотенциал /( <р)
состоит из однородноro полинома /(3)(q» третьей степени по полям q>r' С
коэффициентами, rpубо roворя, порядка единицы, плюс член, который
принимает вид однородноro полинома / (2) ( <р) второй степени по q>r С коэф"
фициентами порядка т g  кл 2 . Потенциал (31.7.10) принимает тоrда вид
( * )  af(q» 2 1   * ( ) 2
Vo q>,q> ==  д + 2  q>r tA rsq>s
r q>r А rs
 2к 2 Re [/(2)( <Р)1°*] +K 4 11°1 2 L lq>rl 2 + Q( <р, <р*) + w. (31.7.11)
r
Члены в первой строке в правой части уравнения дают суперсимметричный
потенциал, тоrда как члены во второй и третьей строках ПРИВОДЯТ к мяrкому
нарушению суперсимметрии. При 1°  Л 2 /к И (al/az)O  л 2 все размерные
постоянные в членах, ответственных за мяrкое нарушение суперсимметрии
* Это известно как механизм ДжудичМазиеро 17. Он часто описывается в терминах
неперенормируемых аналитических и антианалитических членов в модифицированном Ke
леровом потенциале d, но, как roворилось в конце предыдущеro раздела, любой такой член
может быть заменен аналитическим множителем в суперпотенциале. Здесь мы определшu d
так, что d не содержит аналитических и антианалитических членов. При этом определе
нии член может возникнуть только из неперенормируемых членов в суперпотенциале.

398
rлава 31. Суперzравuтацuя
в (31.7.10), являются степенями кл 2  mg, так что именно отсюда мы MO
жем рассчитывать извлечь средние значения скалярных полей наблюдаемоro
сектора, подтверждающие наш выбор области в пространстве полей.
Положив кЛ 2 равным типичной массе  1 ТэВ эффективноro лarpан..
жиана суперсимметричной стандартной модели, находим Л  1011 rэв. это
HeMHoro обнадеживает, поскольку, как бьто показано в разделе 23.6, спон"
танное нарушение симметрии ПеччеиКвинна на масштабе Л  1011 rэв как
раз подходит, чтобы решить проблему силъноro нарушения еР"инвариант..
ности при масштабе нарушения суперсимметрии в диапазоне от 1010 rэв
до 1012 rэв, допускаемом астрономическими наблюдениями.
Сравнивая потенциал с вкладом скалярных полей в плотность лаrpан
жиана (28.4.1) минимальной суперсимметричной стандартной модели, ви"
дим, что эта версия нарушения суперсимметрии rpавитацией предсказыва..
ет, что суперсимметрия нарушается только мяrкими скалярными массовыми
членами с коэффициентами (включая BIl) порядка mi. В rлавном порядке
по кЛ коэффициенты А и С трилинейноro нарушающеro суперсимметрию
члена обращаются в нуль.
Серьезная проблема при интерпретации этих результатов состоит
в том, что отсутствуют причины, по которым квадратичный полином Q( <р, <р*)
в уравнении (31.7.11) должен сохранять обсуждавшееся в разделе 28.4 BЫ
рождение масс скварков и слептонов, которое позволило бы избежать нена..
блюдаемых процессов с изменением аромата. Однако четвертый член в урав..
нении для потенциала (31.7.11) дает одинаковую для всех скаляров допол..
нительную добавку K 4 1101 2  к 2 л 4 К квадратам масс скаляров, так что orpa..
ничения сверху, налаrаемые экспериментальными данными на процессы с
изменением аромата, будут выполняться, если коэффициентыI в Q( <р, <р*) (KO
торые образуются из членов третьей и четвертой строк уравнения (31.7.2))
окажутся малыми по сравнению с к 2 Л 4.
Если бы действительно можно бьто прене6речь полиномом Q(q>,q>*),
то возникло бы интересное соотношение между параметрами минимальной
суперсимметричной стандартной модели. Если записать квадратичную часть
суперпотенциала 1(2) как 1l(q>Ieq>2), то коэффициент BIl в уравнении (28.4.1)
задавался бы вторым членом в выражении (31.7.11) как BIl  K21l10*,
так что
2 ""0
IBI  к 1I 1  m g ,
в соrласии с соотношением (31.4.13). Кроме тoro, все массы скварков и
слептонов Ms задавались бы третьим членом (31.7.11) как K 2 1101, а следова
тельно, мы имели бы новое соотношение
IBI  Ms.
(31.7.12)

31.7. Вызванное zравuтацией нарушение cyпepcu.ммeтpии
399
При равенстве масс всех скварков и слептонов выполнялись бы все оrpани
чения на процессы с изменением аромата. Более тoro, если пренебречь Q,
то в нарушающей суперсимметрию части потенциала (31.7.11) останется
только один комплексный параметр jO, который может быть сделан дей..
ствительным путем переопределения общей фазы суперпотенциала, так что
теперь нарушающая суперсимметрию часть потенциала не добавляла бы HO
BOro нарушения СР"инвариантности. Однако мы не знаем никаких причин,
по которым Q должно быть малым.
Дрyrая серьезная проблема этой версии вызванноro rpавитацией Hapy
шения суперсимметрии состоит в том, что такая теория не дает достаточно
больших масс калибрино 18. Соrласно (31.6.75), матрица масс калибрино
rpуппы SU(3) х SU(2) х И(1) в древесном приближении задается выраже
нием
тАВ == ехр (K 2 d/2) L[gI]NMLN ( AВ ) * ,
NM ФМ
(31.7.13)
rде ФN пробеrает при разных N все скалярные поля <Р, и Zk, от которых
может зависеть fAB, gNM И LM задаются формулами (31.6.66) и (31.6.69).
Соrласно сделанным здесь оценкам, K 2 d == о(к 2 л 2 ) « 1; Lk == о(л 2 ), В то
время как L, MHOro меньше, а gki 1  порядка единицы. Мы также предпола
raeM, что fAB  член порядка единицы плюс член порядка K2, умноженный
на билинейную комбинацию скалярных полей и им комплексно сопряжен
ных, так что дfАВ/дZ k  порядка к 2 л. Отсюда массы калибрино поряд
ка л 2 х к 2 л. Это MHOro меньше, чем масса rpавитино т g  кл 2 (которая
задает масштаб нарушающих суперсимметрию членов в потенциале скаляр
ных полей наблюдаемоro сектора (31.7.11)), отличаясь от нее на множитель
порядка кЛ  1 o 7, так что если порождаемые нарушением суп ер симметрии
массы скаляров имеют порядок 1 ТэВ, то массы калибрино должны быть по
рядка 100 кэВ, что HaMHoro меньше предела, вытекающеrо из тoro факта,
что калибрино до сих пор не наблюдались.
Есть несколько способов обойти эту трудность. Один из них состоит
в добавлении к полям Zk скрытоro сектора калибровочно синrnетных скаляр
ных полей, которые линейно входят в fAB 19. В этом случае afAВ/aZ k будет
порядка к, а не к 2 Л, массы калибрино  порядка кЛ 2, что сравнимо с Macca
ми скварков и слептонов. Одна из сложностей этоro подхода состоит в том,
что изза включения нейтральных по отношению ко всем калибровочным
rpуппам скаляров для перенормируемой части суперпотенциала больше не
является естественным иметь форму f(<p) + j(z).
Даже без калибровочных синrлетов имеется однопетлевой вклад в мас..
сы rлюино, вино и бино (а также в Апараметры), вычисленный в разделе
31.4. Например, если мы возьмем для т g максимальное значение  10 ТэВ,

400
[лава 31. Суперzравuтацuя
которое допускается обсуждавшимся в разделе 28.1 условием «eCTeCTBeH
ности», то при g;j4п == 0,118 соотношение (31.4.13) дало бы массу rлю
ино 3g;т g jl6п 2 == 280 rэв, что достаточно велико, чтобы позволить rтo
ино избежать обнаружения. Массы бино и вино зависят от неизвестно
ro отношения параметра II и массы псевдоскалярноro хиrrсовскоro бозо
на тА. Принимая это отношение равным единице при m g < 10 ТэВ, по
лучаем из соотношений (31.4.15) и (31.4.16) т6ино == 9g '2 т g jl6п 2 < 73 rэв
и твино == g2 тg j16п 2 < 27 rэв 19а. Это оrpаничение на массу вино проти
воречит тому факту, что пары вино до сих пор не бьши обнаружены на
ускорителе LEP в е+ e соударениях при энерrиях, достаточных для рож
дения пар W бозонов, откуда следует, что твино > mw. Чтобы избежать этоro
противоречия, необходимо 116 принять либо m g > 30 ТэВ, что неудобно с
точки зрения естественности, либо ll2 jm > 8. В любом случае, из этой
модели следует, что калибрино MHOro леrче, чем скварки и слептоны.
Если можно пренебречь полиномом Q(<p,<p*), то, как показано в раз
деле 31.4, Апараметры также определяются однопетлевыми поправками,
имеющими порядок g;т g jl6п 2 для скварков и g2 тg j16п 2 или g'2 тg jl6п 2
для слептонов.
Вторая версия 20
Эта версия вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии, точ
но так же, как и первая версия, содержит наблюдаемый сектор с кираль
ными суперполями Фr И скрытый сектор с киральными суперполями Zk.
Различие состоит в том, что суперсимметрия предполarается спонтанно не
нарушенной в скрытом секторе. Вместо этоro калибровочные взаимодей
ствия скрытоro сектора, становящиеся сильными при энерrиях Л « mpl,
порождают непертурбативный суперпотенциал для скалярных полей тpe
тьеro суперполевоro сектора  суперполей м'одулей*. В различных теориях,
таких как современные теории суперструн, вводятся дополнительные из
мерения, которые не наблюдаются потому, что они «свернуты» в крохотное
компактное мноroобразие размерами порядка 1С. Обычно некоторые парамет..
ры, необходимые для описания этоrо компактноro мноroобразия, не фикси
рованы в любом порядке теории возмущений. Значения этих параметров
MOryт меняться от точки к точке в четырехмерном пространствевремени
и проявляются при энерrиях, мноro меньших планковскоrо масштаба 1CI,
как калибровочноинвариантные скалярные поля Уа, известные как поля м'o
дулей. (Индексы а, Ь и т. д. здесь, конечно, не имеют ничеro общеrо с ис
пользовавшимися в разделе 36.1 локальными лоренцевскими индексами.)
* Автор использует термин «modular fields» и «modular superfields».  Прим. ред.

31.7. Вызванное zравuтацией нарушение cyпepcu.м.мeтpии
401
Если предположить, что суперсимметрия не нарушается при компактифи
кации ЛИШНИХ измерений, эти поля должны сопровождаться фермионными
суперпартнерами и вспомоrательными полями, которые вместе образуют
калибровочно инвариантные левокиральные суперполя модулей Уа и им co
пряженные * .
При энерrияx несколько ниже характерных энерrий компактификации,
имеем суперсимметричную теорию с суперпотенциалом, который может за
висеть от всех суперполей, но в котором к  единственный размерный пара..
метр. То обстоятельство, что поля Уа не фиксированы в теории возмущений,
обычно связано с тем, что компактификация не создает суперпотенциал для
полей модулей Уа в отдельности. Как мы видели в разделе 28.1, калибровоч
ная симметрия SU(З) х SU(2) х И(1) исключает из суперпотенциала любые
члены, содержащие только один или два множителя из числа суперполей
наблюдаемоro сектора, за исключением возможноro члена, билинейноro по
хиrrсовским суперполям Н. и Н2. Мы снова предположим, что этот билиней
ный член в roлом суперпотенциале либо отсутствует случайно (в этом случае
он не появляется во всех порядках теории возмущений), либо исключает
ся какойлибо симметрией типа симметрии ПеччеиКвинна, рассмотренной
в связи с сильным нарушением СРинвариантности в разделе 23.6. Калиб
ровочная симметрия в скрытом секторе исключает из суперпотенциала лю
бые члены содержащие только один множитель Zk, и мы предположим, что
либо случай, либо какаято симметрия (возможно, та же самая симметрия
ПеччеиКвинна) исключает также члены с двумя множителями Zk.
Поэтому roлый суперпотнциал принимает вид
froлый{Ф,У,Z) == Lfrst(КУ)ФrФsФt + Lfklm(KY)ZkZIZm +... , (31.7.14)
rл klm
rде frst и fklm  степенные ряды по своим apryмeHTaM с коэффициентами
порядка единицы, а точки заменяют члены, включающие п > 3 множите
лей Фи Z, а также любое число множителей кУ а , подавляемые множителем,
пропорциональным кпЗ.
Мы предполarаем, что непертурбативные эффекты в скрытом секторе
типа «конденсациим калибрино» (появление ненулевых средних значений
билинейных функций полей калибрино) не нарушают суперсимметрию ca
ми, но зато порождают суперпотенциал для суперполей модулей. Поскольку
Л  единственный масштаб в данной задаче (кроме rpавитационных эффек
тов, подавляемых множителем кл), этот суперпотенциал должен иметь вид
l(Y) == л З Р(кУ).
(31.7.15)
*Конечно, поля модулей MOryт существовать и в рамках первой версии вызванноrо rpa
витацией нарушения суперсимметрии, но, изза меньшей величины А в этом случае взаимо-
действия полей модулей слишком слабы, чтобы представлять интерес.

402
[лава 31. Суперzра8uтация
Такие члены MOryт также порождаться средними значениями скалярных KOM
понент суперполей Z в члене типа ZЗ в (31.7.14). В то же время, замена Zk
средними значениями их скалярных компонент в неперенормируемых чле
нах, изображенных точками в (31.7.14), породит дополнительные зависящие
от Ф члены в эффективном суперпотенциале, к которым мы вернемся позже.
Суперпотенциал (31.7.15) имеет вид (31.7.1), который исходно предполarа
ется в теориях с вызванным rpавитацией нарушением суперсимметрии, но
теперь € отождествляется с промежуточным масштабом Л, на котором Ka
либровочные взаимодействия CкpblTOro сектора становятся сильными.
Представляется правдоподобным, что суперпотенциал (31.7.15) может
привести к нарушению суперсимметрии за счет появления членов для ки
ральных суперполей модулей. Пренебрежем на время остальными суперпо
лями, оставляя обоснование этоro шarа на более поздний момент. Потенциал
скалярных модулей задается выражениями (31.56.68) и (31.6.69) как
У(у,у*) == exp(1C 2 J(y,y*)) [[gl (у, Y*)]abl.a (y)l.b (у) *  31С 3 11(у) 12], (31.7.16)
"
rде d(y,y*)  келерова функция d, в которой мы пренебреrли скалярными
компонентами Ф r И Zk, а
д 2 "
" d
gab == д ду *'
Уа ь
" д1 2"ad
La ==  д +к f a ·
Уа Уа
(31.7.1 7)
(31.7.18)
"
Здесь предполarается, что V имеет стационарную точку, помеченную Bepx
ним индексом О, в которой t :/:. О, так что суперсимметрия нарушается, но
при этом у О очень мало и может быть скомпенсировано членами из наблю
"
даемоro сектора, так что остается плоское пространствовремя. Поскольку f
имеет вид (31.7.15), а d равно K2, умноженному на степенной ряд по КУа
И KY С коэффициентами порядка единицы, полный потенциал равен к 2 Л 6,
умноженному на степенной ряд по КУа И KY снова с коэффициентами по
рядка единицы. Поэтому порядок величины различных составляющих по
тенциала таков:
y == О( Kl),
t == о(кл З ),
10 == о(л З ),
gb == О ( 1 ) ·
d1) == O(K2),
(31.7.19)
Если зафиксировать поля модулей и поля CкpblToro сектора равными
их средним значениям, то суперпотенциал наблюдаемоro сектора принимает
вид

31.7. Вызванное zравuтацией нарушение cyпepcu.ммeтpии
403
f( Ф) == L flrsФrФs + LgrstФrФsФt + · · · ,
rs rst
(31.7.20)
rде grst равняется frst(KYO), и предполarается, что эта величина порядка еди..
ницы плюс члены, подавляемые степенями к-Л. Точки здесь обозначают чле
ны, содержащие более трех множителей Ф, которые подавляются дополни
тельными множителями к-Ф. Коэффициент flrs происходит от неперенорми
руемых слarаемых, обозначаемых в уравнении (31.7.14) точками; если он
возник из слаrаемых, содержащих п > 1 множителей Z и два множителя Ф,
то ero порядок величины
flrs == o(к-nl Л n ).
(31.7.21 )
Мы увидим, что нужный порядок величины fl соответствует т g == o(k- 2 л З )
и порождается членом с числом множителей Z равным п == 3.
Нарушение суперсимметрии в секторе модулей будет передаваться
в наблюдаемый сектор эффектами, связанными с rpавитационным полем и
ero суперпартнерами. Выражение (31.6.68) задает потенциал наблюдаемоro
сектора в виде
Vo == e K2dO [ L[gO l]rs ( д! + к2(! + 10) ad O ) ( д! + к2(J + 10) atfJ ) *
rs a<Pr a<Pr a<ps a<ps
+ 2 Re L[gOl]ra ( д! + к2(J + 10) ad O ) [*
ra a<Pr a<Pr
+ L[gOl]abLLg* 3K21! + 1012 ]
аЬ
1 ( ado ) ( ado ) *
+ 2 Re L[jAli]O L а (tA)rs<Ps L а (tB)tи<P и ,
АВ rs <Pr tи <Pt
(31.7.22)
rде верхний индекс нуль снова указывает, что поля модулей и поля CкpЫTO
ro сектора взяты в равновесных точках. (Это условие будет пере смотрено
позже.) Отметим, что хотя уравнение (31.7.22) включает члены подобно [,
возникающие в секторе модулей, в нем отсутствуют члены, явным образом
связанные со скрытым сектором. Это происходит потому, что в данной вер..
сии вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии, она не нарушена
в скрытом секторе, так что для любоro калибровочноro поля, взаимодей
ствующеro с полями скрытоrо сектора, L2 == о, D == о.
для нас представляет интерес исследование области в пространстве
полей, в которой поля наблюдаемоro сектора имеют порядок к- 2 л З , потому
что, как мы увидим, это характерная масса, возникающая в наблюдаемом

404
[лава 31. Суперzравuтация
секторе в результате rpавитационных эффектов нарушения суп ер симметрии
в скрытом секторе. Соrласно (31.6.48) и нашей оценке 1°  АЗ, это также
порядок величины массы rpавитино:
т g  к 2 А З .
Чтобы вычислить потенциал для полей этоro порядка величины, oт
метим, что келерова функция d для наблюдаемых полей и скалярных полей
модулей принимает вид
d{ <1>, <1>* ,У,У*) ==K2J{ КУ, ку*) + L <l>r<l>;Ars{ ку, ку*)
rs
+ L<I>r<l>sBrs{KY, ку*) + L<I>;<I>;B;s{KY, ку*) +..., (31.7.23)
rs rs
,...
rде d, Ars и Brs  степенные ряды по своим apryмeHTaM с коэффициентами
порядка единицы, а точки заменяют члены сп> 2 множителями <1> и(или) <1>* ,
подавляемые фактором Kп2. Соrласно формулам (31.6.72), можно устранить
из d любой аналитический член вместе с ему комплексно сопряженным,
умножая полный суперпотенциал на подходящий аналитический множитель.
В частности, умножая полный суперпотенциал на exp[K2d\)+K2I,rss<l>r<l>s],
можно добиться TOro, что для преобразованной функции d
d"O == о,
Bs == о.
(31.7.24)
Будем предполarать, что это сделано. Отметим, что поскольку полный cy
перпотенциал содержит постоянный член 1° порядка АЗ, в то время как Bs
бьшо порядка единицы, это преобразование порождает в суперпотенциале
квадратичный по <l>r член, приводя к добавке к коэффициенту rs поряд..
ка к 2 А З , т. е. TOro же порядка, что <1> и т g .
Дрyroй вклад Toro же порядка величины в этот коэффициент может
возникнуть из членов в суперпотенциале, содержащих п > 1 множителей У
и два множителя Ф. Из выражения (31.7.21) следует, что для TOro, чтобы и
этот вклад в rs бьш порядка 1(2 АЗ, мы должны взять п == 3. Придавая Нl и Н2
квантовые числа ПеччеиКвинна +1, а полям У  квантовые числа 2/3,
можно сделать, чтобы это бьшо допустимо, при том, что члены с двумя
множителями Ф и п == 2 множителями У будут запрещены. Тоrда нарушение
симметрии ПеччеиКвинна вакуумными средними Yk порождает аксион.
При rs порядка 1(2 АЗ как билинейные, так и трилинейные члены в cy
перпотенциале наблюдаемоro сектора имеют порядок к 6 А 9 . Обычный супер
симметричный потенциальный член I,r 'д! /a<l>rl 2 имеет тоrда порядок к 8 А 12,
так что следует собрать все члены выражения (31.7.22) до этоrо порядка.

31.7. Вызванное zравuтацuей нарушение cyпepcu.ммeтpuu
405
для <Pr порядка к 2 АЗ и Уа, зафиксированных в точке равновесия
Y  Kl, получаем из выражения (31.7.23)
gs == As + О( кЗл,з), (31.7.25)
О ( a2J ) 0 * ( a2Ars ) 0 ( a2Brs ) 0
gab == дУадуь + <Pr<Ps дУадуь + <Pr<Ps дуадуь
( dlB* ) 0
+ L<P;<P; rs* +о(к 6 А 6 ),
rs дУа дуЬ
О  ( aA rs ) О 6 6 ) О *
gra == <Ps д-7 + О(к: А == gar ,
s Уа
(31.7.26)
(31.7.27)
rде, как и раньше, индекс нуль означает, что поля Уа фиксированы в равновес..
ной точке Y. Подверrнем суперполя наблюдаемоrо сектора Фr И (отдельно)
суперполя модулей Уа линейным преобразованиям, подобранным так, чтобы
( a2J ) 0
дУа дуь == ОаЬ.
для метрики (31.7.25(31.7.27), заданной как сумма единичной матрицы и
поправок, MHoro меньших единицы, леrко вычислить обратную матрицу:
As == ors,
(31.7.28)
gsl == ors + о(кЗл З ),
(д 2 ) 0 (д 2 ) 0
01 * Ars Brs
gab == ОаЬ  <Pr<Ps дУадуь  <Pr<Ps дУадуь
( д2в* ) 0
 L<P;<P; rs* +о(к 6 А 6 ),
rs дУа дуь
Ol  ( aArs ) O ( 66 ) 01*
gra ==  <Ps д-7 +0 к: А == gar ·
s 'Уа
(31.7.29)
(31.7.30)
(31.7.31)
в частности, наше предположение о виде функций Ars и Brs дает оценки по
порядку величины
( д2Аrs* ) О == 0(к: 2 ),
дУа дуь
поэтому для <Pr == О( к 2 АЗ),
( д2Вrs* ) О ==0(к:2),
дУадуь
( aArs ) O == О(к:),
дy
(31.7.32)
[gO 1 ]rs == О( 1),
[gO 1 ]аЬ == 0(1),
[gO l]ra == о(к З АЗ). (31.7.33)

406
fлава 31. Суперzравuтацuя
Далее,
/== О(q>З) == О(1( 6 л 9 ),
д! == O(q>2) == о(к:4л6),
aq>r
(31.7.34 )
и
adO
 д == O(q» == О(1( 2 л З ). (31.7.35)
q>r
При jO порядка л З , величины 1(2(/ + jo)atf1 /aq>r в уравнении (31.7.22) дают
в rлавном порядке 1(2j0q>;, то есть по порядку величины 1(2 х л З х 1( 2 л З ==
1(4 Л 6. Это тот же порядок, который имеет д j /aq>r, так что в rлавном порядке
следует сохранить оба члена:
д! +IC 2 (f+l o ) adO  д! +к: 2 1 0 q>;==о(к: 4 л 6 ).
д д д
(31.7.36)
в этом приближении, при замене gs1 rлавным членом б rs , первый член
в выражении (31.7.22) уже имеет нужный порядок 1( 8 л I2 , так что можно
использовать данное приближение, чтобы записать
I,[gO 1 ]rs ( д! + IC 2 (f + 10) atf1 ) ( д! + IC 2 (f + 10) atf1 ) *
п д д д д
д! 2
I, a+IC 2 10q>; · (31.7.37)
r q>r
Второй член в квадратных скобках в (31.7.22) порядка 1( З Л З х 1( 4 л 6 Х 1(Л З ==
1(8 Л 12, так что можно оценить ero, используя только rлавные члены:
2 Re I,[gO l]ra ( д! + к: 2 (! + 10) atf1 ) t*
m д д
2Req> ( aArs ) O [ a f +IC21°q>* ] to*.
 s д у * дт r а
ras а 't'r
(31.7.38)
Третий и четвертый члены в (31.7.22) имеют порядок 1(2 Л 6, но предполаrа
ется, что они почти полностью взаимно компенсируются, поэтому необходи
мо включить следующие по порядку величины члены при оценке их вклада
в выражение в квадратных скобках. Одна часть интересующеro нас выраже
ния происходит от членов gbl BTOpOro порядка по q> и(или) <р* в выражении
(31.7.30); это вклад порядка 1(2q>2 х (1(л З )2, что составляет величину поряд"
ка 1(8 Л 12. Дрyrая нескомпенсированная добавка к потенциалу, связанная с
последним членом в квадратных скобках в уравнении (31.7.22), появляется

31.7. Вызванное zравuтацией нарушение cyпepcuм.мeтpии
407
в результате интерференции между f и 1°, что дает вклад порядка к 2 <р3 л 3 ,
что также составляет порядка к 8 Л 12. В результате неполноro сокращения
при <Pr == О двух последних членов в квадратных скобках в (31.7.22) может
также остаться постоянный член W ; чтобы избежать большой космолоrиче
ской постоянной, мы должны предположить, что rI также порядка к 8 Л 12.
(Эта тонкая настройка неестественна, однако она пока что необходима в лю
бой теории, чтобы избежать появления оrpомной космолоrической постоян
ной.) Собирая вместе результаты оценок, видим, что в порядке к 8 л 12 два
последних члена в квадратных скобках в (31.7.22) дают
L[gOl]abLLg* зк:2If + JOl 2   L [ <Pr<P; ( a2Ars* ) 0
аЬ abrs дуй дуь
(д 2 ) 0 (д 2 * ) 0 ]
Brs * * Brs "'о "'0* 2 "'0*
+ <l>r<l>s дУадуь + <l>r<l>s дУадуь LaLb 6к: Re(ff )+W.
(31.7.39)
Все эти члены имеют нужный порядок к 8 л 12 , В то время, как из выраже
ния (31.7.24) K2tf1 == о(к 2 <р2) == о(к 6 л 6 ), так что можно пренебречь MHO
жителем exp(K 2 dO) в формуле (31.7.22). Наконец, калибровочные члены
в последней строке выражения (31.7.22) имеют порядок <р4 == о(к 8 л I2 ), что
позволяет оценить их, используя вместо выражения adO /a<Pr ero rлавный
*
член <Pr.
Собирая вместе оценки для всех членов, получаем полный скалярный
потенциал наблюдаемоro сектора в порядке к 8 Л 12:
Vo  L д! + к: 2 J0<l>; 2  2 Re L<I>s ( aA:s ) О [ д! + к: 2 /0<1>; ] t*
r a<Pr ras дуй a<Pr
 J<I>r<l>; ( д:b ) О + <l>r<l>s ( д:;b ) О +<1>;<1>; ( д:b ) O]LLg*
 6к 2 Re(fl°*)
+  Re L[JAl/Jo ( L<P;(tA)rs<Ps ) ( L<P;(tB)tи<Pи ) * +W. (31.7.40)
АВ rs tи
Потенциал (31.7.40) скалярных полей наблюдаемоro сектора прини
мает вид, предполаrаемый в минимальных суперсимметричных скалярных
моделях, обсуждавшихся в разделе 28.4: он является суммой суперсиммет
ричноro члена V супер И мяrко нарушающеro суперсимметрию V мяrк члена
Vo == V супер + V мяnc .
(31.7.41 )

408
[лава 31. Суперzравuтацuя
Суперсимметричный член, как обычно, имеет вид
Vсупер == L :! 2 +  Re L[JAB1]0 ( L<I>;(tA)rS<l>s ) ( \ I,<I>;(tB)tи<l>и ) * ,
r <l>r АВ rs tи
(31.7.42)
а мяrко нарушающий суперсимметрию член имеет вид
v мяrк  2к 2 Re I, ( <Pr : f 1°* ) +IC411°12I,I<PrI2
r <l>r r
 2 Re I, <l>s ( aA:s ) О [ д! + к: 21 О<р; ] t*
ras дУа a<l>r
[ ( д 2 ) 0 ( д 2 ) 0 ( д 2 * ) 0 ]
* Ars Brs * * Brs "О "0*
 l;s <Pr<Ps дУа дуь + <Pr<Ps дУа дуь + <Pr<Ps дУа дуь LaLb
 6к 2 Re(f 10*) + . (31.7.43)
для 1(<1», задаваемоro выражением (31.7.20), эта формула принимает вид
V МЯrК . == LM;s<l>r<l>; + 2 Re LN;s<l>r<l>s + 2 Re LArst<l>r<l>s<l>t + ,
rs rs rst
(31.7.44 )
rде
м2 == 4 1f "0 1 2б 2 2 R [/ "O ( aAsr ) O tO* ]   ( a2Ars ) 0 lOtO*
rs к rs К е  д * а  д д * а Ь ,
а Уа аЬ Уа УЬ
(31.7.45)
2 2 "0* 1  ( aA ts ) О ло. 1  ( aAtr ) O "0*
N rs ==2к rsf  2  fltr  д * La  2  ts  д * La
at У а at Уа
 L ( a2Brs ) O L "O L "O*
д д а Ь , (31.7.46)
аЬ Уа У;'
а
 [( aAиr ) O ( aAиs ) O ( дAиt ) O ] "0*
Arst ==  -;; дy gиst + дy gurt + дy gurs La ·
(31.7.47)
Наши предыдущие оценки по порядку величины дают
м 2 == 0 ( к 4 л 6 )
rs ,
N 2 == 0 ( к 4 Л 6 )
rs ,
A;st == О( к 2 лЗ).
(31.7.48)
Вместе с оценками grst == 0(1) и rs == 0(к 2 л З ) для констант в V супер , это пока
зывает, что если потенциал имеет стационарную точку при некотором <I> *" О,

31.7. Вызванное zравитацией нарушение cyпepcuм.мeтpuи
409
то <9 == о(к 2 л 3 ), что подтверждает наше решение исследовать поля этоro
порядка величины. для paBHoBecHoro значения <9r этоro порядка равновес..
ные значения различных членов в потенциале 0(<94) == 0(к 8 л I2 ), что дает
нужный для компенсации энерrии вакуума порядок величины константы W .
для Toro, чтобы характерная масса к 2 л 3 в минимальной суперсим"
метричной стандартной модели бьта порядка 1 ТэВ, нужно взять Л 
1013 rэв. Если член с двумя суперполевыми множителями из наблюдаемо..
ro или скрытоro сектора в roлом суперпотенциале запрещается симметрией
ПеччеиКвинна, как предлarалось выше, то вакуумные средние скаляров
скрытоro сектора будут нарушать эту симметрию на масштабе (обозначен..
ном М в разделе 23.6) порядка 1013 rэв, а масса аксиона, которая задается
формулой (23.6.26), должна быть порядка 106 эВ. Это значение для мас..
штаба нарушения суперсимметрии несколько превосходит верхнюю rpаниц
в 1012 rэв, приведенную в разделе 23.6, но, учитыIая неопределенность
космолоrических apryмeHТOB, это расхождение не может быть решающим.
Прежде чем переходить к дальнейшим физическим приложениям по..
лученных результатов, рассмотрим подробнее упрощение, сделанное при их
выводе. При вычислении потенциала для скаляров наблюдаемоro сектора <9r'
мы фиксировали поля модулей в равновесных значениях Y, которые имели
бы эти поля в отсутствии полей наблюдаемоro сектора <9r. Вместо этоro мы
должны были приравнять поля модулей их равновесным значениям Уа(<9)
для реальных значений <9r' наЙДЯ для этоrо стационарную точку потенциала
V поли (<9, <9* , У, у*) == V (У, у*) + V о( <р, <9* , У, у*),
(31.7.49)
и только потом искать равновесные значения для <9r. Поскольку для интере..
"-
сующих нас полей Vo MHOro меньше, чем V, равновесное значение Уа может
быть записано как
Уа( <р, <р*) == Y + ОУа( <9, <р*),
rде Y  точка минимума У(у,у*), а
(31.7.50)
2" 2"
 д V   д V  * aV о
 д uYb+ * uYb==.
ь Уадуь ь дУадуь дУа
(31.7.51)
Вторые производные от V имеют порядок к 2 Х (кл 3 )2 == к 4 л 6 , а первые про..
изводные V о  порядок к х к 8 Л 12 == к 9 Л 12, так что ОУа будут порядка к 5 Л 6.
Изменение потенциала, обусловленное зависящим от <9 сдвиroм равновес..
ных значений Уа, квадратично по ОУа И Oy С коэффициентами, задаваемыми
"
вторыми производными от V по Уа и(или) Y, поэтому оно имеет порядок
(к 5 л 6 )2 Х к 2 Х (кл 3 )2 == к 14 л 18 ,

410
rлава 31. Суперzравuтацuя
который меньше, чем порядок вычисленноro нами потенциала, на множи"
тель (кл)6« 1.
Не делая дополнительных предположений о виде функций Ars(Y,Y*)
и В rs (У, у*), мы не можем сделать на основании выражений (31.7 .45Н31. 7 .47)
никаких заключений о точных значениях коэффициентов M;s, N и Arst в мяr..
ко нарушающем суперсимметрию потенциале (31.7.44). Единственное опре..
деленное предсказание, которое следует из этих результатов, состоит в том,
что все коэффициенты Cij в мяrко нарушающем суперсимметрию лarpанжи..
ане (28.4.1) пренебрежимо малы, что так или иначе уже предполаrалось.
rлавная проблема, поставленная результатами (31.7.44 Н31. 7 .48), со..
стоит в том, что без дополнительных предположений они не дают вырож"
дений масс скварков и слептонов, которые обеспечили бы отсутствие рас..
смотренных в разделе 28.4 процессов с изменением ароматов кварков и
лептонов. rруппа SU(3) х SU(2) х И(1) не позволяет q>rq>s..членам В мяrко
нарушающем суперсимметрию потенциале (31.7.44) и в суперпотенциале
(31.7.20) зависеть от чеro либо, кроме хиrrсовских скаляров, так что они не
MOryт приводить к процессам изменения аромата. Поэтому проблема возни..
кает только из..за TOro, что коэффициенты M;s и Arst в уравнении (31.7.44)
MOryт не приводить к сохранению аромата в том же базисе, что и юкавские
константы grst. Один из способов обойти эту трудность состоит в том, что
бы предположить, что по какойто причине функции Ars(Y,Y*) слабо зависят
от Уа и Y так, чтобы из выражения (31.7.45) следовало бы, что M;s ос ors,
а из выражения (31.7.47) следовало бы, что Arst (а следовательно и коэффи"
циенты Aij в (28.4.1)) аномально малы. Дрyrая возможность  предполо..
жить, что хотя Ars(Y,Y*) и не меняется медленно, функция Ars(Y,Y*) (или, по
крайней мере, ее первая и вторая производные при Уа == Y) пропорциональ
на Ors. В этом случае (31.7.45) снова дает M;s ос Ors, а выражение (31.7.47)
дает трилинейные константы взаимодействия Arst ос grst, вследствие чеro все
коэффициенты Aij в (28.4.1) оказываются равными 21.
Мы должны также проверить массы калибрино, порождаемые этой
версией вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии. Соrласно
формуле (31.6.75), массовая матрица калибрино rpуппы SU(3) х SU(2) х
U ( 1) задается в общем случае как
тАВ == exp(K 2 d/2) L[gl]NMLN ( д;АВ ) * , (31.7.52)
NM ФМ
rде ФN пробеrает при разных N все поля, от которых может зависеть !АВ,
а gNM и LM задаются формулами (31.6.66) и (31.6.69). Соrласно проделан
ным оценкам, K 2 d« 1; La == о(кл З ) для полей модулей Уа и MHOro меньше
для дрyrих полей, а g;  000. Мы также предполarаем, что fAВ  степен..
ной ряд по ку С коэффициентами порядка единицы, так что afAВ/aYa имеет

Приложение А. Тетрадный формализм
411
порядок К. Поэтому массы калибрино (31.7.52) имеют порядок к 2 л 3 , ко..
торый совпадает с порядком величины масс и средних значений скаляров,
и поэтому должны быть достаточно большими, чтобы не противоречить
наблюдениям. Рассмотренные в разделе 31.4 одно петлевые поправки здесь
оказываются мноro меньше и MOryт не приниматься во внимание.
Резюмируем изложенное. Первая версия вызванноro rpавитацией на..
рушения суперсимметрии имеет то преимущество, что она приводит к зна..
чению массы аксиона в допускаемом космолоrией диапазоне, в то время как
вторая версия имеет то преимущество, что массы калибрино оказываются
сравнимыми с массами скварков и слептонов. Обе версии теории вызван..
HOro rpавитацией нарушения суперсимметрии имеют преимущество перед
теориями нарушения суперсимметрии, вызванноro калибровочным взаимо"
действием: они естественным образом дают порядок величины fl..члена,
соответствующий экспериментальным данным. С дрyroй стороны, теории
нарушения суперсимметрии калибровочным взаимодействием имеют то пре..
имущество, что они естественным образом предсказывают независимость
масс скварков и слептонов от поколения.
Все версии вызванноro rpавитацией нарушения суперсимметрии мо"
ryт естественным образом привести к существованию долroживущих сверх..
тяжелых частиц, что моrло бы иметь интересные астрофизические послед..
ствия 23. Вероятно, что калибровочные взаимодействия в скрытом секторе,
которые становятся сильными при энерrии л, MOryт связывать составные
частицы массами порядка Л. Эти сверхтяжелые частицы MOryт оказаться
долroживущими, если их распад запрещен какой..либо случайной симметри..
ей перенормируемой части лаrpанжиана скрытоro сектора, причем распад
будет про исходить только за счет неперенормируемых членов в лarpанжи..
ане, которые подавлены степенями кл.
Приложение А. Тетрадный формализм
Обычная формулировка rpавитации в терминах метрическоro тензо"
ра gv адекватна теориям с полями материи, оrpаниченными скалярами, век..
торами и тензорами, но не теории суперrpавитации, обязательной составной
частью которой являются спиноры. В отличии от векторов и тензоров преоб..
разование Лоренца спиноров не имеет естественноro обобщения на произ..
вольные координатные системы. Чтобы работать со спинорами, нужно BBe
сти системы координат x(x), а == О, 1,2,3, которые локально инерциальны в
любой точке Х произволъной системы координат. Принцип эквивалентности
утверждает, что в этих локально инерциальных системах координат rpави..
тация не сказывается, так что действие может быть выражено через поля

412
rлава 31. Суперzравитацuя
материи, спиноры, векторы и т. д., определенные в локально инерциаль..
ных системах, и тетраду, которая возникает из преобразования от локально
инерциальных систем координат к произвольным системам:
tfl (Х) = al;Hx)
 дx
(31.А.l )
xx
Действие будет инвариантно относительно произвольных преобразований
координат х  х и одновременно локальных преобразований Лоренца a 
'a == лаь(х)Ь, rде л а с (Х)Л Ь d (Х)llаЬ == llcd. Определение тетрады (31.А.l) по..
казывает, что при произвольных преобразованиях координат х  хона пре..
образуется как
а ( ) 'а ( ' ) aXv а ( ) (3 )
е !! х ----+ е !! х == дх!! е v х , 1.А.2
а при локальном преобразовании Лоренца a(x)  лаь(х)Ь(х)  как
ea(x) лаь(х)еЬ(х).
(31.А.3)
Например, теории чисто rpавитационноro поля MOryт быть записаны
через поле, которое инвариантно относительно локальных преобразований
Лоренца и преобразуется как тензор относительно произвольных преобра..
зований координат, т. е. через метрику
gv = е а ebvllab.
(31.А.4)
Векторы MOryт рассматриваться либо как величины v a , которые преобразу..
ются как векторы относительно локальных преобразований Лоренца
Va(x)  лаь(х)vЬ(х),
(31.А.5)
но ведут себя как скаляры относительно произвольных преобразований ко..
ординат, либо как величины V, которые преобразуются как скаляры отно"
сительно локальных преобразований Лоренца, но ведут себя как векторы
относительно произвольных преобразований координат. Одно представле..
ние связано с дрyrим соотношением
v a == ей  v .
Однако действие суперrpавитации включает также спинорные поля, которые
с необходимостью преобразуются как скаляры относительно произвольных
преобразований координат и как спиноры относительно локальных преоб..
разований Лоренца
'l'a(x) == Dар(Л(х) )'I'p(x),
(31.A.6)

Приложение А. Тетрадный формализм
413
rде Dар(Л)  спинорное представление однородной rpуппы Лоренца.
Поскольку преобразования Лоренца в (31.А.5) и (31.А.6) зависят от
координат X, пространственно"временная про из водная величины, подо б..
ной Va(x) или 'l'a(X)' не является просто еще одной величиной, преобразую..
щейся относительно локальных преобразований Лоренца по прежнему зако..
ну, а преобразуется относительно произвольных преобразований координат
как ковариантный вектор. Например, про из водная от (31.А.6) преобразуется
относительно преобразований Лоренца по правилу
д lL "'а ----+ Dap(A) { д lL "'13 + [Dl (А) дILD(А)] ру "'1 }.
Чтобы скомпенсировать второй член в скобках в правой части, мы вводим
матрицу связности a, преобразующуюся относительно локальных преоб..
разований Лоренца как
аlL ----+ D(A)QILDl(A)  (дILD(А) )Dl (А),
(31.А.7)
и определяем ковариантную производную
 '1' = д '1' +a '1',
(31.А.8)
которая при преобразованиях Лоренца ведет себя как '1':
'I'  D(л)'I'.
(31.А.9)
Кроме TOro, a должна преобразовываться как ковариантнЫЙ вектор отно"
сительно произвольных преобразований координат, так что  будет давать
ковариантный вектор при действии на координатный скаляр. Чтобы произ
водная  при действии на тензор давала тензор с дополнительным нижним
индексом, она должна быть дополнена обычными членами, обусловленны"
ми аффинной связностью. Например, при действии на поле rpавитино 'I'
ковариантная производная определяется как
 'l'v = 'l'v; +a 'l'v = д 'l'v  rv 'l'A +a 'l'v.
(31.А.I0)
Формулы (31.А.8Н31.А.l О) приложимы не только к спинорам, но и к
полям, преобразующимся относительно локальноro преобразования Лорен..
ца по любому представлению D(Л) rpуппы Лоренца. Матрица.Q зависит от
представления, но в любом представлении она может быть записана в виде
[QIL] ар(Х) ==  i [Jab] арroЬ(х),
(31.А.ll )

414
rлава 31. Суперzравитацuя
rде Jab  матрицы reHepaTopoB однородной rpуппы Лоренца в представле..
нии, реализуемом рассматриваемыми полями:
i[ Jab' Jcd] == llbcJad  llacJbd +llbd Jca  lladJcb'
(31.А.12)
а юЬ  независящее от представления поле, известное как спиновая связ
ность, которое преобразуется как ко вариантный вектор относительно про
извольных преобразований координат. Чтобы выполнялось правило преоб..
разования (31.А.7) для неоднородных локальных преобразований Лоренца
мы полarаем
ю аЬ == g vлеа еЬ
fl V л; fl '
rде точка с запятой снова обозначает обычную ковариантную производную,
построенную с использованием аффинной связности rv. (Полученное выра..
жение антисимметрично по а и Ь, поскольку (31.А.4) дает gvлеа veb л == ll ab 
величину с нулевой ковариантной производной. ) Это не единственная спи..
новая связность, для которой выполняется уравнение (31.А.7); мы можем
добавить к ней любое поле, являющееся ковариантным вектором относи..
тельно произвольных преобразований координат и тензором относительно
локальных преобразований Лоренца, что имеет некоторое значение в теори..
ях суперrpавитации.
При любом выборе спиновой связности существует соответствующий
тензор кривизны. Из уравнения (31.А.7) можно прямо показать, что величи
Haa v 11fl aflnV+ [nV,11fl] преобразуется однородно относительно локальных
преобразований Лоренца
(31.А.13)
av11  aflnV + [nv, 11]  D(Л) (д V 11fl  aflnV + [nv, 11])Dl (Л). (31.А.14)
Используя формулы (31.А.ll) и (31.А.12), можно записать эту матрицу
в виде
avQIL alLnV+ [nv,QIL] ==  iJabRILV аЬ,
(31.А.15)
rде
R аЬ == д ,.....аЬ  д (.\аЬ + (.\ас ,..... Ь  ,.....ас (.\ Ь (31 А 16)
flV  V\.Ufl fl   \.UC \.Ufl c · · ·
Из уравнения (31.А.14) следует, что Rflv ab преобразуется как тензор относи..
тельно локальных преобразований Лоренца:
R аЬ Л а Л Ь R cd
flv  с d flv ·
(31.А.17)
Также очевидно, что он преобразуется как тензор относительно произволь..
ных преобразований координат:
аЬ дх Р дх(} аЬ
R ILV "'"'""* дх lL дх'" RprJ ·
(31.А.18)

Задачи
415
Поэтому мы можем определить координатный тензор четвертоro paHra, за..
писав
R аЬ а Ь R кл
V == е к е л V ·
(31.А.19)
Построенный таким образом тензор Rv кл  это тензор кривизны Римана
Кристоффеля, соответствующий данной спиновой связности of;b.
Задачи
1. Выведите формулы (31.2.3К31.2.6) для компонент эйнштейновскоro
суперполя.
2. Предположим, что суперсимметрия не нарушена. Покажите, как мож"
но вычислить амплитуду излучения rpавитино очень низкой энерrии
в произвольном процессе рассеяния через ампли этоro процесса
без участия rpавитино.
3. Проверьте, что действие суперrpавитации (31.6.11) инвариантно отно"
сителъно локальных преобразований суперсимметрии (31.6.1 К31.6.6)
во всех порядках по а.
4. Вычислите изменение обобщенной Dкомпоненты (31.6.40) при про из..
вольном локальном преобразовании суперсимметрии.
5. Вычислите фермионную часть плотности лаrpанжиана (31.6.49).
6. Рассмотрите теорию одноro киральноro скалярноro суперполя Ф взаи..
модействующеro с суперrpавитацией с модифицированным кэлеровым
потенциалом d(Ф, ф*) == ф*ф и суперпотенциалом J(Ф) == м 2 (ф + р),
rде М и р  константы. Найдите значение Р, для KOTOpOro классические
уравнения поля имеют решение с плоским пространствомвременем.
Чему равно значение q> в этом решении?
Список литературы
1. Р. Nath and R. Amowitt, Phys. Lett. 56В, 177 (1975); В. Zumino, in
Proceediпgs о/ the Coпfereпce оп Gauge Theories aпd Moderп Field
Theories at Northeasterп Uпiversity, 1975, R. Amowitt and Р. Nath, eds.
(MIT Press, Cambridge, МА, 1976). Этот подход детально описан в кни
re: J. Wess and J. А. Bagger, Supersyттetry aпd Supergravity, 2nd edition
(Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992).

416
rлава 31. Суперzравuтацuя
2. о. Z. Freedman, Р. van Nieuwenhuizen, and S. Ferrara, Phys. Rev.
О13, 3214 (1976); S. Deser and В. Zumino, Phys. Lett. 62В,
335 (1976); S. Ferrara, J. Scherk, and Р. van Nieuwenhuizen,
Phys. Rev. Lett. 37, 1035 (1976); S. Ferrara, F. Gliozzi, J. Scherk, and
Р. van Nieuwenhuizen, Nuc/. Phys. В117, 333 (1976). Эти статьи пе
репечатаны в сб.: Supersyтт etry, S. Ferrara, ed. (North Holland/World
Scientific, Amsterdam/Singapore, 1987). Ясное изложение этоro подхода
см. в книrе: Р. с. West, Iпtroductioп to Supersyттetry aпd Supergravity,
2nd edition (World Scientific, Singapore, 1990).
3. S. Ferrara and В. Zumino, Nuc/. Phys. В134, 301 (1978).
3а. М. Т. Grisaru and Н. N. Pendleton, Phys. Lett. 67В, 323 (1977).
4. К. S. Stelle and Р. с. West, Phys. Lett. 74В, 330 (1978); S. Ferrara and
Р. van Nieuwenhuizen, Phys. Lett. 74В, 333 (1978). Эти статьи перепеча
таны в сб.: Supersyттetry 2.
5. Например, см.: S. Weinberg, Gravitatioп aпd Cosт%gy (Wiley, New York,
1972), Sec. 12.5. (Есть рус. пер.: с. Вейнберr. rравитация и космолоrия.
М.: Мир, 1972).
6. Например, см.: Gravitatioп aпd Cosт%gy 5: Eq. (12.4.3).
7. Например, см.: Gravitatioп aпd Cosт%gy 5: Section 10.1.
7а. W. Nahm, Nuc/. Phys. В135, 149 (1978).
8. S. Coleman and F. de Luccia, Phys. Rev. О21, 3305 (1980).
9. S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 48, 1776 (1982).
10. S. Deser and С. Teitelboim, Phys. Rev. Lett. 39, 249 (1977); М. Т. Grisaru,
Phys. Lett. 73В, 207 (1978); Е. Witten, Соттип. Math. Phys. 80, 381
(1981).
11. W. Rarita and J. Schwinger, Phys. Rev. 60,61 (1941).
llа. L. Randall and R. Sundrum, hep..th/9810155, to Ье published; G. F. Giudice,
М. А. Luty, R. Rattazzi, and Н. Murayama, JHEP 12, 027 (1998);
А. Pomerol and R. Rattazzi, hepph/9903448, будет опубликовано; Е. Kalz,
У. Shadmi, and У. Shirman, hep..ph/9906296, будет опубликовано.
l1б. G. F. Giudice, М. А. Luty, R. Rattazzi, and Н. Murayama 11a.
12. К. S. SteIle and Р. С. West 4; S. Ferrara and Р. van Nieuwenhuizen 4;
Е. Cremmer, В. Julia, J. Scherk, S. Ferrara, L. Girardello, and
Р. van Nieuwenhuizen, Phys. Lett. 79В, 231 (1978); Nuc/. Phys. В147, 105

Список литературы
417
(1979) (перепечатано в сб.: Supersymmetry 2); Е. Cremmer, S. Ferrara,
L. Girardello, and А. Van Proeyen, Phys. Lett. 116В, 231 (1982);
Nuc/. Phys. В212, 413 (1983) (перепечатано в сб.: Supersyimпetry 2).
13. S. Deser and В. Zumino, Phys. Rev. Lett. 38, 1433 (1977). Эта статья
перепечатана в сб.: Supersyimmetry 2. Also see о. Z. Freedman and А. Das,
Nuc/. Phys. В120, 221 (1977); Р. К. Townsend, Phys. Rev. 015, 2802
(1977).
13а. Е. Cremmer, S. Ferrara, С. Kounnas, and о. V. Nanopoulos, Phys. Lett.
133В, 61 (1983). Обзор моделей, основанных на этой идее см,:
А. В. Lahanas and о. V. Nanopoulos, Phys. Rept. 145, 1 (1987).
14. Н. Р. Niltes, Phys. Lett. 115В, 193 (1982); А. Н. Chamseddine, R. Arnowitt,
and Р. Nath, Phys. Rev. Lett. 49, 970 (1982); R. Barbieri, S. Ferrara, and
С. А. Savoy, Phys. Lett. 119В, 343 (1982); Е. Cremmer, Р. Fayet, and
L. Girardello, Phys. Lett. 122В, 41 (1983); L. Е.. Ibafiez, Phys. Lett. 118В,
73 (1982); Н. Р. Nilles, М. Srednicki, and D. Wyler, Phys. Lett. 120В,
346 (1983); L. J. Hall, J. Lykken, and S. Weinberg, Phys. Rev. 027, 2359
(1983); L. Alvarez..Gaume, J. Polchinski, and М. В. Wise, Nuc/. Phys.
В221, 495 (1983). Эти статьи перепечатаны в сб.: Supersymmetry 2. Also
see S. Ferrara, о. V. Nanopoulos, and С. А. Savoy, Phys. Lett. 12В, 214
(1983); J. М. Leon, М. Quiros, and М. Ramon Medrano, Phys. Lett. 127В,
85 (1983); Phys. Lett. 129В, 61 (1983); N. Ohta, Prog. Theor. Phys. 70, 542
(1983); Р. Nath, R. Amowitt, and А. Н. Chamseddine, Phys. Lett. 121В, 33
(1983); J. Ellis, о. V. Nanopoulos, and К. Tamvakis, Phys. Lett. 121В, 123
(1983). Обзор см.: Н. Р. Nilles, Phys. Rept. 110, 1 (1984).
15. Нарушение суперсимметрии в теории суперrpавитации с ненаблюда
емым сектором киральных скаляров было, повидимому, впервые pac
смотрено внеопубликованном препринте Дж. Полоньи В Будапештском
университете (1977).
16. 1. Affieck, М. Dine, and N. Seiberg, Nuc/. Phys. В256, 557 (1985).
17. G. F. Giudice and А. Masiero, Phys. Lett. В206, 480 (1988). См. TaK
же J. А. Casas and С. Mufioz, Phys. Lett. В306, 288 (1993);
J. Е. Kim, beppЫ9901204, будет опубликовано.
18. М. Dine and о. А. MacIntire, Phys. Rev. 046, 2594 (1992).
19. Т. Banks, о. В. Kaplan, and А. Е. Nelson, Phys. Rev. D49, 779
(1994); К. 1. Izawa and Т. Yanagida, Prog. Theor. Phys. 94, 1105 (1995);
А. Е. Nelson, Phys. Lett. В369, 277 (1996).

418
rлава 31. Суперzравuтацuя
19а. Космолоrические приложения ситуации, коrда вино леrче, чем бино,
обсуждается в работе: Т. Moroi and L. Randall, hep..ph/9906527, будет
опубликовано.
20. v. Kaplunovsky and J. Louis, Phys. Lett. В306, 269 (1993); Nuc/. Phys.
В422, 57 (1994). Конкретные модели этоro типа бьши предложены в ра..
ботах: Р. Binetruy, М. К. Gaillard, and У.-- У. Wu, Nuc/. Phys. В493, 27
(1997); Phys. Lett. В412, 288 (1997).
21. Теории с доплнительными измерениями, в которых эффекты с из..
менением аромата подавлены, бьши рассмотрены L. Randall and
R. Sundrum l1а. Трудности этих теорий отмечены в работе: z. Chacko,
М. А. Luty, 1. Maksymyk, and Е. Ponton, hep..ph/9905390, будет опубли..
ковано.
22. К. Hamaguchi, К. 1. Izawa, У. Nomura, and Т. Yanagida, hepph/9903207,
будет опубликовано.

32
Алrебры суперсимметрии в пространствах

высших размерностеи
Начиная с потрясших основы работ Калуцы 1 И Клейна 2, теоретики
время от времени пытались сформулировать фундаментальную физическую
теорию в пространстве"времени с числом измерений более четырех. Этот
подход бьш возрожден к жизни в теории суперструн, которая в простейшей
форме включает lO"MepHoe пространство"время З. Сравнительно недавно
бьшо выдвинуто предположение, что различные версии теории струн мо"
ryт бьпь объединены в так называемой М..теорuu, которая в одном пре..
дельном случае приближенно описывается суперrpавитацией в 11"MepHoM
пространстве"времени 4. В этой rлаве мы перечислим различные возмож"
ные типы алreбр суперсимметрии в пространствах высших размерностей и
используем их для классификации супермультиплетов частиц.
32.1. Общие алrебры суперсимметрии
В нашем анализе общеro вида aлrебр суперсимметрии в простран..
ствах высших размерностей мы будем следовать той же лоrической линии,
что и Xaar, Лопушанский и Сониус 5 В описанной в разделе 25.2 работе
по алrебрам суперсимметрии в четырехмерном пространствевремени. Дo
казательство теоремы КоулменаМандулы в приложении к rлаве 24 ясно
показывает, что список возможных reHepaTopoB бозонной симметрии для
пространствавремени с числом измерений d > 2 остается таким же, как
для четырехмерноro пространства"времени: в S"матричной теории частиц
имеются только dBeIcrop импульса pfl, лоренцевский reHepaTop JflV == rfl
(rде fl и v пробеrают значения 1,2,..., d  1, О) и различные лоренцевские
скалярные «заряды». (В некоторых теориях в дополнение к частицам име
ются тополоrически стабильные протяженные объекты, такие как струны,

420 rлава 32. Алzебры супеРСUJИМетрuu в пространствах высших размерностей
мембраны и т. П., которые делают возможным существование дрyrих сохра..
няющихся величин, к которым мы вернемся в разделе 32.3.) Антикоммута..
торы reHepaTopoB фермионной симметрии дрyr с дрyroм есть rенераторы
бозонной симметрии, поэтому они должны бьпь линейными комбинация..
ми p, Jv и различных сохраняющихся зарядов. Это накладывает жесткие
оrpаничения на свойства преобразований Лоренца фермионных reиераторов
и на супералreбру, к которой они принадлежат.
Прежде Bcero докажем, что общие rенераторы фермионной симметрии
должны прео6разовываться соrласно фундаментальным спинорныM пред
ставлениям rpуппы Лоренца, которые рассмотрены в приложении к этой
rлаве, а не соrласно более высоким спинорныM представлениям, получаю..
щимся добавлением к спинору векторных индексов. Как мы видели в разделе
25.2, в доказательстве Xaara, Лопушанскоro и Сониуса для d == 4 использует
ся изоморфизм SO(4) и SU(2) х SU(2), который не имеет аналоroв в высших
размерностях. Здесь мы воспользуемся рассуждением Нама 6, который фак
тически несколько проще и применим для любоro числа измерений.
Поскольку преобразование Лоренца любоro reHepaTopa фермионной
симметрии дает дрyroй reHepaтop фермионной симметрии, эти rенераторы
образуют представление однородной rpуппы Лоренца O(d 1,d) (или, точ"
нее roворя, ее накрывающей rpуппы Spiп(d  1,1)). Предположим, что име..
ется, самое большее, конечное число reHepaTopoB фермионной симметрии.
Тоrда они должны преобразовываться соrласно конечномерному представ..
лению однородной rpуппы Лоренца. Все такие представления можно полу
чить из конечномерных унитарных представлений соответствующей OpTOro
нальной rpуппы O(d) (фактически Spiп(d)) подстановкой  == ixO. Поэтому
рассмотрим сначала преобразование фермионных reHepaTopoB относитель
но O(d). для четных или нечетных d можно найти d/2 или (d  1)/2 комму..
тирующих дpyr С дрyroм лоренцевских reHepaTopoB Jdl, J23, J45,... и клас
сифицировать фермионные rенераторы Q соrласно значениям Odl, 023,...,
которые они уничтожают:
[Jdl, Q] == Odl Q, [J23, Q] == 02зQ, [J45, Q] == 045Q,. . .
(32.1.1)
Поскольку все конечномерные представления O(d) унитарны, то все значе
ния о действительны.
Сосредоточим внимание на одном из этих квантовых чисел, Odl = w.
Будем rоворить о любом фермионном или бозонном операторе О, что он
имеет вес w, если
[Jdl, О] == wO,
или, используя компоненту Минковскоrо JOl == iJdl,
(32.1.2)
[J01, О] == iwO.
(32.1.3)

32.1. Общие Шl2ебры cyпepcuм.мeтpии
421
Причина внимания к этому квантовому числу объясняется тем, что оно имеет
особое свойство: оно одинаково для оператора и ему эрмитово сопряжен..
HOro. Это свойство следует из TOro, что JOl должно представляться в rиль..
бертовом пространстве (однако не в полевых переменных или reHepaтopax
симметрии) эрмитовым оператором, так что (поскольку w действительно)
эрмитовое сопряжение соотношения (32.1.3) имеет вид
 [JOl , 0*] == +iwO* ,
(32.1.4)
и 0* имеет такой же вес, как о.
Рассмотрим теперь антикоммутатор {Q, Q*} любоro reHepaTopa фер..
мионной симметрии Q с ему эрмитово сопряженным. Соrласно теореме Ко..
улменаМандулы, этот антикоммутатор есть, самое большее, линейная ком..
бинация P, Jv и скаляров. для вычисления весов компонент P вспомним
коммутационное соотношение (2.4.13)
i[P,Jpa] == llpPa  llaPp,
которое показывает, что РО :i: Рl имеет вес w == :i: 1, тоrда как все дрyrие ком..
поненты Р2, Рз ... ,Pd1 имеют веса, равные нулю. Аналоrично из комму..
тационных соотношений (2.4.12) для компонент Jv дрyr с дрyroм следует,
что JOi :i:Jli для i == 2,3,...d  1 имеют вес w == :i:l, а JI0 и Jij с обоими
индексами i и j от 2 до d  1 имеют вес нуль. Все скаляры, разумеется,
также имеют вес нуль. Мы приходим К выводу, что все reнераторы бозонной
симметрии имеют вес :i:l или О, и антикоммутатор {Q,Q*} должен быть
линейной комбинацией операторов с такими весами. Если Q имеет вес w,
то {Q, Q*} имеет вес 2w, и это явно не нуль для любоro ненулевоro Q, так
что каждый фермионный reHepaTop может иметь вес только :i: 1 /2. (Вес нуль
исключен из..за связи спина и статистики  фермионные операторы MOryт
быть сконструированы только из нечетноrо числа операторов с полуцелыми
весами.) Вернемся к евклидову формализму. Поскольку коммутаторы KOH
кpeтHoro O(d) reHepaTopa JOl со всеми rенераторами Q в представлении
rpуппы O(d) дает соотношение (32.1.2) с w == :i:l/2, а плоскость 01 ничем
особо не выделена, то О( d) инвариантность требует, чтобы то же самое
было верно для всех O(d) reHepaTopoB Jij, так что все а в формуле (32.1.1)
равны :i: 1 /2. Единственными неприводимыми представлениями однородной
rpуппы Лоренца со всеми а, равными :l: 1/2, являются фундаментальные спи..
норные представления, так что Q должно принадлежать некоторой прямой
сумме этих представлений.
Этот подход можно использовать также для Toro, чтобы показать, что
все фермионные rенераторы Q коммутируют с d"импульсом P. ДЛЯ этоro
заметим, что двойной коммутатор оператора импульса РО:!: Рl, имеющеro

422 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuu в простран.ствах высших размерностей
вес :i: 1, с любым фермионным reHepaTopoM Q должен бьт бы иметь вес
либо :i:5/2, если Q имеет вес :i: 1/2, либо :i:3/2, если Q имеет вес т 1 /2,
а поскольку, как мы уже нашли, не существует reHepaTopoB фермионной
симметрии с весом :i:3/2 или :i:5/2, все такие двойные коммутаторы должны
обращаться в нуль:
[РО:!: Pl, [РО:!: Pl, Q]] == о.
Тоrда
[РО :i: Pl , [РО :i: Pl , {Q, Q* }]] ==  2 {Q:f: , Q } ,
rде
Q:f: = [РО :i: Pl , Q].
Далее, {Q, Q*} есть, самое большее, линейная комбинация Р, J и скалярных
reHepaTopoB симметрии. Коммутаторы РО :i: Pl С Р И со скалярными reHepa..
торами симметрии равны нулю, а коммутаторы РО:!: Pl С J есть линейные
комбинации Р, которые коммутируют со вторым РО :i:Pl, поэтому двойной
коммутатор [PO:i:Pl,[PO:i:Pl,{Q,Q*}]] должен обращаться в нуль, следова..
тельно, {Q:f:, Q} == о, откуда вытекает, что Q:f: == о. Таким образом, все чле..
ны представления rpуппы Лоренца, заданноro операторами Q, коммутируют
с РО и Pl. Тоrда из лоренц"инвариантности следует, что все Q коммутируют
со всеми Р, что и требовалось доказать.
Важным следствием является утверждение, что, поскольку лоренцев
ские reнераторы Jv не коммутируют с операторами импульса, они не MOryт
появляться в правой стороне антикоммутационных соотношений. Временно
обозначим Q как Qn, rде п пробеrает по всем значениям индекса, отличаю
щеro различные (не обязательно неэквивалентные) неприводимые спинор
ные представления среди Q, включая теперь сопряженные им Q*, а также
индекса, нумерующеro члены этих представлений. Тоrда общее антикомму
тационное соотношение имеет вид
{Qn, Qm} == rmp + Znm,
(32.1.5)
rде rm  с..числовые коэффициенты, а Znm  сохраняющиеся reHepaTOpbl
скалярной симметрии, коммутирующие с P и Jv. Далее мы хотим показать,
что Znm есть центральные заряды алreбры суперсимметрии, т. е., что они
коммутируют с Qe и дрyr с друrом, а также с Р , J v и всеми дрyrими
rенераторами симметрии.
Чтобы доказать это утверждение для d  4, заметим, что для тoro,
чтобы данная скалярная величина Zmn была отлична от нуля, все а в BЫ
ражении (32.1.1) для Qn и для Qm должны быть противоположными. Pac
смотрим друroй reHepaTop фермионной симметрии Qe, для KOTOpOro набор
величин а в (32.1.1) не совпадает с аналоrичным набором ни для Qn, ни

32.1. Общие Шlzебры cyпepcuм.мeтpии
423
для Qm. (Для d  4 такое Qi всеrда имеется в каждом наборе reHepaTopoB Q,
образующих неnpиводимое спинорное представление rpуппы O(d).) Приме..
ним тождество Якоби для супералrебры
[Qi, {Qm,Qn}] + [Qm, {Qn,Qi}] + [Qn,{Qi,Qm}] == о.
(32.1.6)
Антикоммутаторы {Qn, Qi} и {Qi, Qm}  операторы, для которых некото"
рые а отличны от нуля, поэтому они MOryт быть линейными комбинациями
лишь Р, но не Z, и поэтому должны коммутировать со всеми Q. Тоrда при..
ходим к равенству
0== [Qi, {Qm, Qn}] == [Qi,Zmn].
(32.1.7)
Таким образом, в каждом наборе операторов Q, образующих неприводимое
спинорное представление O(d), имеется, по крайней мере, один оператор
коммутирующий с данным Zmn. Но Zmn  лоренцевские скаляры, поэтому
они должны коммутировать со всеми Q. Тоrда из (32.1.5) сразу следует, что
они коммутируют также и дрyr с дрyroм.
Фермионные reнераторы должны образовывать представление (воз..
можно, тривиальное) алreбры -А, состоящей из всех скалярных reHepaTopoB
бозонной симметрии. Тоrда, точно по таким же соображениям, как в разделе
25.2, центральные заряды Zmп реализуют инвариантную абелеву подалreбру
aлreбры -А. Теорема КоулменаМандулы показывает, что aлreбра..J долж..
на быть прямой суммой компактной полупростой алreбры Ли, которая, по
определению, не содержит инвариантных абелевых подалrебр, и relIepaтo..
ров U(l). Поэтому Zmn должны быть U(l) reHepаторами, которые комму..
тируют со всеми дрyrими rенераторами бозонной симметрии, но не дрyr с
дрyroм.
Чтобы получить более детальную информацию о структуре анти"
коммутационных соотношений (32.1.5), требуется конкретное рассмотрение
свойств reHepaTopoB фермионной симметрии Qn относительно преобразова..
ний Лоренца и свойств, вытекающих из их действительности. Эти свойства
оказываются весьма различными для пространства"времени четной и нечет..
ной размерности.
Нечетнаи размерность
в приложении к этой rлаве показано, что для пространства"времени
нечетной размерности d существует только одно фундаментальное спинор..
ное представление алreбры Лоренца, причем матрицы J flV заданы через
матрицы Дирака соотношением (32.А.2), так что фермионные reHepaTopbl
следует снабдить индексами в виде Qar, rде (х  дираковский индекс, при..
нимающий 2(d1)/2 значений, а r == 1,2,..., N нумерует различные спиноры

424 rлава 32. Алzебры супеРСUJИМетрuu в простран.ствах высших размерностей
в случае N ..расширенной симметрии. В этих обозначениях из свойств reHe..
раторов Q относительно преобразований Лоренца вытекает, что
[J f1v ,Qar] ==  L(J f1 v)apQPr,
р
(32.1.8)
так что антикоммутаторы этих reHepaTopoB удовлетворяют закону преобра..
зования
[Jf1V' {Qar, Qjh}] ==  I,(J f1v)aa{Qar, Qjh}  I,(J f1 v)pp{Qar, }.
а р
Вспоминая закон лоренцевскоro преобразования (2.4.13) оператора импуль"
са Рл, видим, что матрица rs и операторы Zrs В (32.1.5) (с опущенными
индексами Дирака) должны удовлетворять условиям
J f1 v (rA.)rs + (rA.)rsJ == i(r f1)rsllvA. + i(r v )rsllf1A.'
J f1V Zrs + Zrs J  == О.
(32.1.9)
(32.1.1 О)
Но из формулы (32.А.38) следует, что J == cel Jf1Vce, так что cooтнo
шения (32.1.9) и (32.1.10) можно выразить как требование, что (rfl)rsl
удовлетворяет тем же коммутационным соотношениям (32.А.32) с J flV' как
и 1f1' тorдa как zrscel коммутирует с Jf1v' для нечетных d матрицы, yдo
влетворяющие этим условиям, определяются однозначно с точностью ДО
постоянных множителей, поэтому можно сделать вывод, что
rPs == igrs(yA.)aP (32.1.11)
и
Zarps ==  aPZrs, (32.1.12)
rде множитель i включен в выражение (32.1.11) для дальнейшеro удобства.
Теперь, опуская индексы Дирака, можно записать антикоммутационные со..
отношения (32.1.5) в виде
{Qr,Q;} == igrsуА.Рл+Zrs.
(32.1.13)
Величины rrPS и ZarPs симметричны относительно перестановки
(х и r с р и s, тоrда как соотношения (32.А.30) и (32.А.31) (при d ==
2п + 1) показывают, что: yA. и  симметричны для d == 1 (mod 8); yA.
симметрично, а  антисимметрично для d == 3 (mod 8); yA. И 

32.1. Общие Шl2ебры cyпepcuм.мeтpии
425
симметричны для d == 5 (mod 8); "{'ЛrI антисимметрично, а rI симмет
рично для d == 7 (mod 8). Отсюда следует, что: grs И Zrs симмет..
ричны для d == 1 (mod 8); grs симметрично, а Zrs антисимметрично
для d == 3 (mod 8); антисимметрично, а Zrs симметрично ДЛЯ d == 7 (mod 8).
Матрицы, комплексно сопряженные J flV' даны соотношением
(32.А.37). Взяв эрмитово сопряжение равенства (32.1.8), видим, что опера..
тор Lp(rlP)apQpr имеет те же самые свойства преобразования, что и любой
reHepaTop Qas, И поэтому должен бьпь их линейной комбинацией:
L(rlP)apQPr == L.P rsQas.
р s
(32.1.14)
Эрмитовое сопряжение этоro уравнения вместе с (32.А.28) и (32.А.29)
при d == 2п+ 1 дает
.Р*.Р == (I)a .1, а == (d  1)(d  3)/8.
(32.1.15)
Для d == 1 (mod 8) и d == 3 (mod 8) спинорное представление aлreбры Ло..
ренца действительно, и можно выбрать такой базис для фермионных reHe..
раторов, что.Р == 1. Напротив, для d == 5 (mod 8) и для d == 7 (mod 8) спи..
норные представления алrебры Лоренца псевдодействительны, и, очевидно,
невозможно выбрать базис с .р сх 1. Вычисляя определитель соотношения
(32.1.15), видим, что в этом случае Det(  1) > О, поэтому для d == 5 (mod 8)
и для d == 7 (mod 8) должно быть четное число N фермионных reHepaтopoB.
В этом случае можно выбрать базис, в котором .р == Q, rде Q  действитель..
ная антисимметричная блочно..диarональная матрица
о
о
о
е
О
О
е
О
е
e==(l ).
(32.1.16)
Q==
Чтобы вывести свойства действительности и положительности вели..
чин grs И Zrs, используем (32.1.14) для преобразования антикоммутационноro
соотношения (32.1.13) к виду
{Qr, Q!} == i(g'рТ)rs"{'Л.Р(rlР) Tl р'Л + (ZrlT)rs rI(rlр) Tl .
Соотношения (32.А.12), (32.А.16) и (32.А.30) с d == 2п + 1 показывают,
что рТ == P И rlrITl == (I)(d1)(d+l)/8 .1, так что
{Qr, Q!} == ( 1 )(d1)(d+l)/8 [i(g.<J'T)rs'YAPA + (zYlT)rs] . (32.1.17)

426 rлава 32. Алzебры супеРСUJИМетрuu в простран.ствах высших размерностей
Вспоминая, что 10 == ip, замечаем, что матрица операторов i1A.PPA. явля..
ется положительной, а также положителъно..определенной, за исключени..
ем BaКYYМHoro состояния. Рассматривая состояние с достаточно большим
импульсом, таким, что членом с центральным зарядом можно пренебречь,
приходим к выводу, что матрица (I)(d1)(d+l)/8g'pT положительна и эр..
митова. Рассматривая затем произвольные импульсы, находим также, что
массив операторов (z!fJT)rs эрмитов. (для ненулевых центральных зарядов
существует нижняя rpаница на массу, аналоrичная (25.5.22), которая здесь
не приводится. ) Из эрмитовости g.P Т имеем
gt =='pTtlg'pT == (I)a.pg'pT.
(32.1.18)
Теперь мы в состоянии с помощью подходящеro выбора базиса ввести ан..
тикоммутационные соотношения в удобной канонической форме.
для d == 1 (mod 8) g и z симметричны и (I)a == + 1, поэтому, если
выбрать такой базис, в котором .р == 1, то g будет действительным, а индиви"
дуальные операторы Zrs будут эрмитовыми. Не меняя выбора .Р == 1, можно
ввести новые Q, умножая старые Q на любую действительную матрицу..J.
При этом g меняется Ha..Jg.J T . Поскольку для d == 1 (mod 8) g есть положи..
тельная матрица, можно, соrласно хорошо известной теореме 6а, выбрать..J
так, чтобы сделать g == 1.
для d == 3 (mod 8) g симметрично, z антисимметрично, а (I)a ==
+ 1, так что при выборе TaKoro базиса, в котором .Р == 1, g действитель..
но, а индивидуальные операторы Zrs антиэрмитовы. Далее, как и в слу..
чае d == 1 (mod 8), можно подбором базиса добиться TOro, что g == 1.
для d == 5 (mod 8) g антисимметрично, так что, при выборе .Р == О,
соотношение (32.1.18) принимает вид g* == OgO, rде О  стандартная
антисимметричная матрица (32.1.16). В данном случае можно ввести но..
вые Q, не меняя выбора .Р == О, если умножить старые Q на любую матри..
цу fiJ, такую что fiJ * == OfiJ о. При этом g меняется на fiJ gfiJ Т. Посколь"
ку (  l)а ==  1, gO положительно, и, таким образом, можно выбрать g == o.
Кроме TOro, z антисимметрично, а zO эрмитово, поэтому z* == QzO.
для d == 7 (mod 8) g снова антисимметрично, но (I)a == + 1, поэтому
тем же способом, что и в случае d == 5 (mod 8), можно выбрать такой базис,
в котором g == +0. Кроме TOro, теперь z симметрично, а zO снова эрмитово,
поэтому теперь z* == +Qz о.
Четная размерность
Как показано в приложении к этой rлаве, для пространства"времени
четной размерности d имеются два неэквивалентных фундаментальных спи..

32.1. Общие Шl2ебры cyпepcuм.мeтpии
427
норных представления aлrебры Лоренца, определяемых матрицами J, ко..
торые выражаются через матрицы Дирака соотношениями (32.А.22), (32.А.2)
и (32.А.17). Поэтому здесь фермионные rенераторы следует обозначать
как Qr' rде (х  дираковский индекс, принимающий 2 d / 2 значений, а ин..
декс r различает различные Q, принадлежащие эквивалентным представле..
ниям алrебры Лоренца в случае расширенной суперсимметрии, причем
L(I'd+l)apQpr == :f:Qr,
р
(32.1.19)
rде 'Yd+l = id/211'1 ... 'Ydl1'O. В этих обозначениях из свойств лоренцевских
преобразований reHepaTopoB Q вытекает, что
[J!!v,Qr] ==  L(j)apQPr'
р
(32.1.20)
rде j   матрицы (32.А.22). Те же соображения, которые для нечетных d
привели к антикоммутационным соотношениям (32.1.13), теперь, с учетом
(32.1.19) и соотношения ll'd+l == (I)d/21'd+l' дают
{Q :I: Q =f( 1)d/2T } == . :I: ( 1 :f: 'Yd+l ) Л р
r' s 19rs 2 l' л,
{Q :I: Q :I:(  1 )d/2T } == :I: ( 1 :f: I'd+ 1 ) 
r' s Z rs 2 ·
(32.1.21 )
(32.1.22)
Соотношения (32.А.30) и (32.А.3 1) показывают, что I'л симметрично
для d == О (mod 8) и d == 2 (mod 8) и антисимметрично для d == 4 (mod 8)
и d == 6 (mod 8), а  симметрично для d == О (mod 8) и d == 6 (mod 8) и
антисимметрично для d == 2 (mod 8) и d == 4 (mod 8). Следовательно, COOT
ношение (32.1.21) требует выполнения свойств симметрии
{ =f(1)d/2
:I: gsr ,
grs == =F(  1 )d/2
gsr ,
d == 0,2 (mod 8),
d == 4,6 (mod 8),
(32.1.23)
а соотношение (32.1.22) требует, чтобы
{ :I:(  1 )d/2
:I: Zsr ,
Zrs == :I:(  1 )d/2
 Zsr ,
d == 0,6 (mod 8),
d == 2,4 (mod 8).
(32.1.24)
в частности, z:I: симметрично для d == О (mod 8), g:I: симметрично для d == 2
(mod 8), z:I: антисимметрично для d == 4 (mod 8), а g:I: антисимметрично для
d == 6 (mod 8).

428 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
Соотношения, эрмитово сопряженное (32.1.20), с учетом (32.А.25) по..
казывает, что се р Q;:* имеет такие же свойства преобразования Лоренца, как
Q =f( 1)d/2 v v б v
операторы s , и поэтому является их линеинои ком инациеи:
ceR Q *   fP Q =f(1)d/2
.., r  rs s ·
s
(32.1.25)
Взяв эрмитово сопряженное этому уравнению и используя соотношения
(32.А.28) и (32.А.29), находим при d  2п
fP*fP=f()d/2  (I)a.l, ad(d2)/8.
(32.1.26)
для d  О (mod 8) и d  4 (mod 8) соотношение (32.1.25) связывает
одно неприводимое представление с дрyrим, и можно выбрать базис,
в котором fP  1 для d  О (mod 8) и fP :l:l для d  4 (mod 8).
для d  2 (mod 8) соотношение (32.1.25) связывает действительные пред..
ставлен ия между собой, и можно выбрать базис с fP  1. для d  6 (mod 8)
соотношение (32.1.25) связывает псевдодействительные представления меж..
ду собой; определитель выражения (32.1.26) показывает, что должно суще..
ствовать четное число reHepaтopoB Q+ и четное (но не обязательно то же
самое) число reHepaTopoB Q, и можно выбрать базис с fP  a, rде a 
стандартная действительная матрица вида (32.1.16).
Свойства действительности и положительности g и свойства дей..
ствительности z можно вывести из антикоммутационных соотношений
(32.1.21) и (32.1.22), преобразовав их с помощью (32.1.25) к виду
{Q;, Q;=t} == ( 1::1:: d+l )-YAPAW(W) т l (g:i:,<p=FТ) rs'
{Q;, Q;'t} == ( 1 ::1:: d+1 ) W(W) Tl (z:i:,<p'f T ) rs'
(32.1.27)
(32.1.28)
Используя снова соотношения (J (J Tl  (I)d(d+2)/8, рТ  p И 10  ip,
приходим К выводу, что (I)d(d+2)/8gfPT эрмитово и положительно,
тоrда как (z+fPT)t == zfP+T. для d  О (mod 8) можно выбрать базис
с fP  1, g  1 и z+t  z; для d  2 (mod 8)  базис с fP  1, g  1
и z+t  z; для d  4 (mod 8)  базис с fP  :1:1, g == =fl и z+t  z;
для d  6 (mod 8)  базис с fP  a, g  a и (z+Q)t  zQ+.
Итак, в соответствующем базисе антикоммутационные соотношения
и свойства действительности и симметрии имеют следующий вид 66:

32.1. Общие aлzебры cyпepcuм.мeтpии
429
d == о (mod 8)
{Q;, Qi T } == iБ rs (1 :!:i d + 1 ) у"лwр"л,
{Q;,Q;=T} == z С :!:i d + 1 ) се,
 R Q 1:*  Q 1= 1:  1:  ( 1= ) *
1-' r  " Zrs  Zsr  zrs ·
(32.1.29)
(32.1.30)
(32.1.31 )
d == 1 (mod 8)
{Qr,Q;} == ibrs'YA1\ +Zrs,
PQ; == Qr, Zrs == Zsr == z;s.
(32.1.32)
(32.1.33)
d == 2 (mod 8)
{Q;, Q;=T} == iБrs (1 :!:i d +1 ) у"лwр"л,
f Q 1: Q 1=T } == z1: ( 1 :f: 'Yd+l ) 
... " s rs 2 '
СО r{ Q 1:*  Q 1: 1:  1:*  1=
J 1-' r  " zrs  Zrs  Zsr.
(32.1.34 )
(32.1.35)
(32.1.36)
d == 3 (mod 8)
{Qr,Q;} == ibrs'YAPA +Zrs,
PQ; == Qr, Zrs == Zsr == z;s.
(32.1.37)
(32.1.38)
d == 4 (mod 8)
{ Q 1: Q 1=T } == :r:ib ( 1 :f: 'Yd+ 1 ) 'Y A рА
'- " s -т- rs 2 '
{Q;, Q;=T} == z (1 :!:i d + 1 ) се,
 R Q 1:*  :f: Q 1= 1:  1=*  1:
1-' r  " zrs  zrs   Zsr.
(32.1.39)
(32.1.40)
(32.1.41 )
d == 5 (mod 8)
{Qr,Q;} == iQrs'УАРл+Zrsre,
PQ; == LQrsQs, Zrs == Zsr, z* == QzQ.
(32.1.42)
(32.1.43 )

430 rлава 32. Aлzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
d == 6 (mod 8)
{Q; , Q;=T} := Ю ( 1  ;d+l ) уЛW РА.,
{Q;, Qi T } := z ( 1 ;d+l ) W,
со R Q :f:*   n:f: Q :f: :f:*  n:f: :f:n1=  1=
UJ 1-' r   :.e,rs s' Zrs :.e, Zrs:'e,  Zsr.
s
(32.1.44)
(32.1.45)
(32.1.46)
d == 7 (mod 8)
{Qr, Q;} == iQrs'Ул.сеl\ + Zrs ce ,
rlPQ; == LQrsQs, Zrs ==Zsr, z* == +Qz.Q.
s
(32.1.47)
(32.1.48)
Рассмотрение этих антикоммутационных соотношений показывает,
что в отсутствие центральных зарядов они инвариантны относительно rpуп
пы линейных преобразований фермионных reHepaTopoB вида Qr ----t Ls YrsQs
для нечетных d и Q;' ......-t Ls Yr;Q; для четных d. Чтобы соотношения
(32.1.29Н32.1.48) оставались неизменными, оператор преобразования У
должен удовлетворять следующим условиям:
d == О и d == 4 (mod 8)
y:f:y1=T == 1, y:f:* == у1=.
(32.1.49)
d == 1 и d == 3 (mod 8)
ууТ == 1, У* == У.
(32.1.50)
d == 2 (mod 8)
y:f:y:f:T == 1, y:f: == y:f:* .
(32.1.51 )
d == 5 (mod 8)
YQyT == Q, У* == QYQ.
(32.1.52)
d == 6 (mod 8)
y:f:y:f:T == 1, y:f:* == Q:f:y:f:.Q:f:.
(32.1.53)
d == 7 (mod 8)
YQyT == Q, У* == QVQ.
Эти матрицы образуют следующие rpуппы:
(32.1.54)
d == о и d == 4 (mod 8)
d == 1 и d == 3 (mod 8)/
d == 2 (mod 8)
U(N).
O(N).
O(N+) х O(N).

32.2. Без.массовые мультuплеты
431
d == 5 и d == 7 (mod 8)
d == 6 (mod 8)
USp(N), N четно.
USp(N+) х USp(N),
NI. четно.
Здесь N  число фундаментальных спинорных представлений среди всех Q
для нечетных d или число фундаментальных спинорных представле
ний каждой спиральности среди Q для d == О (mod 8) и d == 4 (mod 8).
для d == 2 (mod 8) и d == 6 (mod 8) числа фундаментальных спинорных
представлений среди Q для каждой спиральности не обязательно одинаковы,
поэтому эти числа обозначены через N+ и N.
32.2. Безмассовые мультиплеты
Рассмотрим теперь, как построенные в предъщущем разделе ал
rебры суперсимметрии можно использовать для тoro, чтобы сконструи
ровать супермультиплеты состояний безмассовых частиц в пространстве
времени d  4 измерений. Оператор импульса Р  коммутирует со всеми
reнераторами фермионной симметрии, так что мы можем работать в OДHO
частичном подпространстве rильбертова пространства, rде Р  имеет опре
деленный светоподобный собственный вектор р , направление KOTOpOro
можно выбрать так, что рl == рО, а все остальные пространственные KOM
поненты p равны нулю. Как и в случае обсуждавшеroся в разделе 2.5
4MepHoro пространствавремени, эти одночастичные состояния классифи
цируются соrласно конечномерным представлениям малой rpуппы  под
rpуппы однородной rpуппы Лоренца, которая оставляет р  инвариантным.
Эта малая rpуппа содержит комбинированные БустыI в направлениях, пер
пендикулярных р, и вращения в плоскости, в которой лежит р, такие
как преобразования (2.5.6) для 4MepHoro пространствавремени, но они
образукл инвариантН)nO абелеву подrpуппу и поэтому в конечномерном
представлении должны быть представлены единичным оператором. Если
исключить эту подrpуппу, то приведенная малая rpуппа в d измерениях
есть O(d  2), состоящая из вращений в плоскостях, ортоroнальных р. По
этому мы классифицируем состояния безмассовых частиц соrласно пред
ставлениям, которые они образуют в O(d  2) и rpуппах автоморфизмов,
описанных в конце предыдущеro раздела.
Эти представления более сложны, чем те, с которыми мы имели дело
в 4MepHOM пространствевремени, rде приведенная малая rpуппа есть 0(2),
а представления являются одномерными и характеризуются одним числом,
спиральностью. Тем не менее, полезно обозначить представления приведен
ной малой rpуппы 0(2) значением «спина», определенноro как наибольшая

432 rлава 32. Алzебры cyпepcuммeтpuu в пространствах высших размерностей
абсолютная величина собственноro значения любоro reHepaTopa Jij пред
ставления.
Принято считать, что не существует непротиворечивых квантовых Teo
рий поля, включающих безмассовые частицы спина более 2. Известно 7, что
МЯ2кuе безмассовые частицы спина j > 1/2 MOryт взаимодействовать толь
ко с сохраняющимися токами, переносящими спин j. Для j == 1 это токи
обычных скалярных зарядов, подобные электрическому заряду; для j == 3/2
они представляют собой один или более супертоков, связанных с суперсим
метрией; для j == 2 существует только один ток, тензор энерrииимпульса;
но для j > 5/2 не существует сохраняющеroся тока, с которым моrли бы
взаимодействовать мяrкие безмассовые частицы. Можно вывести строrие
пределы на число измерений, при котором возможна суперсимметрия, если
принять, что не должно быть более одноro типа безмассовых частиц спина 2
или любых безмассовых частиц спина больше 2.
Вернемся временно к использованной в разделе 32.1 классификации
операторов соrласно весу, равному значению O(d) reHepaTopa Jdl, который
они уничтожают. (Напомним, что JOl == iJdl.) rенераторы фермионной супер
симметрии имеют веса + 1 /2 и  1/2, так что антикоммутатор любоro из этих
reHepaTopoB с ero эрмитово сопряженным может иметь вес, соответственно,
только + 1 или  1, и поэтому должен быть пропорционален, соответственно,
оператору рО + р 1 или рО  Р 1. Но мы работаем в подпространстве rиль
бертова пространства, в котором оператор рО  Р 1 обращается в нуль, так
что в этом подпространстве все rенераторы фермионной суперсимметрии с
весом  1/2 обращаются в нуль. Поэтому для классификации одночастич
ных состояний в нашем распоряжении имеется только половина reHepaTopoB
суперсимметрии, а именно, 2n 1 reHepaTopoB, имеющих веса Odl == + 1 /2.
Далее, остающиеся reHepaTopbl суперсимметрии можно разделить на
два класса, такие, что 023 == 1/2 или 023 ==  1/2 при Odl == + 1 /2. Поскольку
оператору рО + р 1 соответствует 023 == О, reHepaTopbl фермионной супер
симметрии внутри каждоrо класса антикоммутируют дрyr с дрyrом, но не
обязательно с им сопряженными или с rенераторами дрyroro класса.
Рассмотрим теперь представление малой rpуппы O(d  2) спина j, и
любое состояние Iл), являющееся собственным состоянием оператора J23
с собственным значением л > о и уничтожаемое любым из reHepaTopoB cy
персимметрии с 023 ==  1/2. (Любое состояние, которое имеет максимальное
значение j для J23, принадлежит к этому типу состояний, но в общем слу
чае MOryт быть и дрyrие такие состояния.) Действуя на Iл) k фермионными
rенераторами, имеющими 023 == +1/2 и Odl == +1/2, можно образовать co
стояния с J23 == лk/2. (Можно показать, что ни одно из таких состояний не
обращается в нуль, поскольку действие на них сопряженными k этих фер

32.2. Безмассовые мультuплеты
433
мионных reHepaTopoB переводит их обратно в состояние Iл).) Если полное
число reHepaTopoB фермионной симметрии всех типов paBHO.Jf, то среди них
имеется .Jf / 4 reHepaTopoB с 023 == + 1 /2 и Odl == + 1/2, а поскольку все эти
операторы антикоммутируют, число состояний с J23  лk/2, образованных
указанным способом, будет равно биномиальному коэффициенту
rt 4 ) ,
(32.2.1 )
причем сумма таких коэффициентов от k  О до максимальноro значе
ния k ==.Jf/4 дает полное число компонент /4. Наименьшее собственное
значение оператора J23, полученное таким путем и равное л.Jf /8, дости
rается действием k ==.Jf /4 reHepaTopoB суперсимметрии на состояние Iл).
Полarая л  j, видим, что для TOro, чтобы устранить собственные значе
ния J23 больше +2 или меньше 2, необходимо иметь j  2 и j.Jf /8  2,
для чеro полное число reHepaTopOB.Jf должно быть не больше 32.
Далее, для .Jf  32 reHepaTopoB суперсимметрии может существо
вать, самое большее, один супермультиплет безмассовых частиц, образо
ванный действием произведения reHepaTopoB суперсимметрии с 023 == + 1 /2
и Odl == +1/2 на состояние 12). для любоro reHepaTopa малой rpуппы эти co
стояния имеют собственные значения, пробеrающие значения от  2 до +2
с шaroм 1/2. Только для.Jf < 32 MOryт существовать супермультиплеты «Ma
терии», т. е. супермультиплетыI, не содержащие rpавитона.
Единственное фундаментальное спинорное представление как в 2п,
так и в 2п + 1 измерениях имеет 2 п компонент, поэтому, для TOro чтобы число
фермионных reHepaTopoB было не более 32, нужно иметь п  5. Тоrда раз
мерность пространствавремени может быть не больше, чем d == 11, причем
в этом случае должно быть N == 1. Суперrpавитация в 11 измерениях пред
ставляет особый интерес, поскольку она может быть «низкоэнерrетическим»
пределом фундаментальной теории, известной как Мтеорuя 4, которая, как
полаrают, в дрyrих пределах дает различные теории струн. Рассмотрим бо
лее детально спиновый состав N == 1 суперсимметрии в d == 11 измерениях,
как пример TOro, как это можно сделать с помощью разработанноro метода
подсчета.
Все состояния безмассовоro мультиплета для d == 11 можно CKOHCтpy
ировать действием произведений k == О, 1,..., 8 reHepaTopoB суперсиммет
рии, имеющих 023 == +1/2 и 02п12п == +1/2, на собственное состояние 12)
оператора J23 с собственным значением 2. Соrласно (32.2.1), мы получим
одно состояние с J23  :f:2, восемь состояний каждое с J23 == :f:3/2, двадцать
восемь состояний каждое с J23 == :f: 1, пятьдесят шесть состояний каждое
с J23 == :f:l/2, и семьдесят состояний с J23 == о.

434 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpии в пространствах высших размерностей
для d == 11 rpавитонное представление спина 2 малой rpуппы 0(9)
есть симметричный тензор с нулевым следом, имеющий 9 х 1 О /2  1 == 44
независимых компонент: одна компонента 2:f: i3, 2:f: i3 с J23 == :f:2; семь
компонент 2:f: i3, k с J23 == :f:l; двадцать восемь компонент k,l с J23 == о.
(Здесь k, 1 пробеrают семь значений 4, 5, . . . , 10. Компонента 2 + i 3, 2  i 3 не
учитывается, поскольку в этом представлении она связана с k, 1 компонен
тами условием, что след тензора равен нулю.)
Имеется также одно представление rpавитино со спином 3/2. Оно co
стоит из спинора 'l'i с дополнительным девятивекторным индексом i, yдo
влетворяющеrо условию неприводимости Li'Yi'l'i == о. Это условие исключает
компоненты спина 1/2, так что спинор имеет 9 х 16  16 == 128 независимых
компонент.
Вычитая из числа компонент с каждым значением J23, полученных
действием reHepaTopoB суперсимметрии на состояние 12), число COOTBeт
ствующих компонент, содержащихся в состояниях rpавитона и rpавитино,
видим, что должно существовать одно или более дополнительных COCTO
яний, имеющих Bcero 28  7 == 21 компоненту с J23 == :f: 1 и 70  28 == 42
компоненты с J23 == о.
Единственными представлениями ортоroнальных rpупп, которые не
имеют собственных значений Jij, отличных от :f: 1 и о, являются антисим
метричные тензоры. Антисимметричный тензор 7i 1 ...i P paHra р в девяти из
мерениях имеет
(р 7 )
компонент Tk1...k p с J23 == о,
( ) компонент T2-I. i3k 2... k p с J23 == :f: 1,
р 7 1
( ) компонент Т2+i32i3kз...kр с J23 == о,
р 7 2
rде kl,..., kp принимают семь значений 4, 5,. . .10. Для 0(9) независимые
антисимметричные тензоры MOryT иметь paHr р == 0,1,2,3 и 4. Антисим
метричный тензор paHra 4 имеет 35 компонент с J23 == :f:l, что больше, чем
нужно, поэтому ero следует исключить. Любая комбинация тензоров paH
ra р == о, р == 1 и р == 2 с необходимым числом компонент с J23 == :f: 1, равным
21, должна бьта бы иметь слишком MHoro компонент с J23 == О (147 для
21 lформы и О 2форм; 120 для 14 lформ и одной 2формы; 53 для 7
lформ И двух 2форм; 66 для О lформ И трех 2форм), поэтому нужно
включить, по крайней мере, одну 3форму. Антисимметричный тензор paH
ra р == 3 имеет точно 21 компоненту с J23 == :f: 1 и 42 компоненты с J23 == о,

32.2. Безмассовые мультuплеты
435
то есть как раз столько, сколько нужно. Поэтому мы приходим К выводу, что
единственный .мультиплет без.массовых частиц для N == 1 суперси.м.метрии
в d == 11 uз.меренuяx содержит zравитон, zравитино и частицу, состояния
которой преобразуются относительно преобразований .малой zpynnbl как
один антиси.м.метричный тензор paHza 3.
для d == 10 имеется больше разных возможностей. Здесь.Jf == 32 re
нераторов можно получить двумя путями: фермионные rенераторы MOryт
включать два 16компонентных вейлевских спинора одинаковой спираль
ности с rpуппой автоморфизмов 0(2) или два спинора противоположной
спиральности без rpуппы автоморфизмов. Для d == 1 О можно также иметь
один вейлевский фермионный reHepaTop c.JY == 16 независимыми компонен
тами. Эти три возможности иrpают важную роль в современных теориях
суп ер струн  они представляют спектр безмассовых частиц для суперструн
трех видов: типа IIA дЛЯ 16 reHepaTopoB каждой спиральности; типа IIB для
32 reHepaTopoB одной и той же спиральности; rетеротическая суперструна
для 16 reHepaTopoB одной спиральности.
Тип IIA с противоположными спиральностями для d == 10 подобен слу
чаю d == 11, за исключением TOro, что неприводимые представления малой
rpуппы 0(9) для d == 11 расщепляются на отдельные неприводимые пред
ставления малой rpуппы 0(8) для d == 10. Так, rpавитонный мультиплет 0(9)
разлarается на rpавитон 0(8) с 8 х 9 /2  1 == 35 компонентами, вектор 0(8)
с 8 компонентами и скаляр с 1 компонентой; мультиплет 0(9) rpавитино
разлаrается на 0(8) rpавитино каждой спиральности, с (16 х 8  16)/2 == 56
компонентами каждое, и 0(8) спиноры каждой спиральности, с 8 компонен
тами каждый; 3форма 0(9) разлаrается на 0(8) 3форму с 56 компонентами
и 0(8) 2форму с 28 компонентами.
В случае типа IIB дЛЯ d == 10 с N+ == 2 и N == О состояния следует клас
сифицировать соrласно представлению малой rpуппы 0(8) и квантовому
числу q, которое нумерует представления rpуппы автоморфизмов 0(2), в KO
торой reHepaTopbl суперсимметрии преобразуются как 2Beктop. Поскольку
имеется только один rpавитон, он должен иметь q == о. Действие reHepaTopa
суперсимметрии на эти состояния дает два rpавитино с q == ::l: 1 и 56 KOM
понентами каждое; действие дрyroro reHepaTopa суперсимметрии дает два
тензора, образующих 2форму, с q == х2 и с 28 компонентами каждый; дей
ствие еще одноro reHepaTopa суперсимметрии дает два вейлевских спинора
с q == х3 и 8 компонентами каждый; наконец, действие еще одноro reHepa
тора суперсимметрии дает два скаляра с q == х4 и самодуальную 4форму
с q == хО и 35 компонентами.
В случае rетеротической струны для d == 10 с одним вейлевским
фермионным reHepaTopoM имеется pOBHO.JY == 16 независимых компонент.

436 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpиu в пространствах высших размерностей
В этом случае имеется rpавитонный супермультиплет, состоящий из rpa
витона, преобразующеroся при 0(8) как симметричный бесследовый TeH
зор с 35 независимыми компонентами; rpавитино с 56 независимыми KOM
понентами; 0(8) 2формы с 28 независимыми компонентами; вейлевско
ro спинора с 8 компонентами; скаляра. (Этот rpавитонный супермульти
плет конструируется действием reHepaTopoB суперсимметрии на одно co
стояние 12), шесть состояний 11) и одно состояние 10), что все вместе дa
ет 8 х 24 == 128 == 35 + 56 + 28 + 8 + 1 компонент.) Здесь также возможны
калибровочные супермультиплеты, которые не содержат частиц, имеющих
собственные значения больше 1 или меньше  1 для любоro Jij. Эти калиб
ровочные супермультиплеты получаются действием reHepaTopoB суперсим
метрии на состояние 11) и содержат одну калибровочную частицу, принадле
жащую векторному представлению 0(8) с 8 компонентами, и одну частицу,
преобразующуюся как фундаментальный вейлевский спинор 0(8), также с
8 компонентами.
32.3. р..Браны
в некоторых теориях в дополнение к частицам имеются стабильные
протяженные объекты, либо бесконечной протяженности, либо стабилизи
рованные посредством «обвивания» BOкpyr тополоrически нетривиальноro
пространствавремени. Изучение суперсимметрии и суперrpавитации в Ta
KOro типа теориях высших размерностей обнаружило замечательные воз
можности для конструирования теорий струн и суперсимметричных теорий
поля в пространствевремени меныпей размерности и для доказательства
эквивалентности одних таких теорий дрyrим 4,8, которые, однако, выходят
за рамки этой книrи. Здесь нас интересует лишь такая особенность этих
протяженных объектов, что они MOryт обладать сохраняющимися бозон
ными величинами, отличающимися от тех, которые разрешены теоремой
КоулменаМандулы. Эти новые сохраняющиеся величины MOryт появляться
в правой части антикоммутационных соотношений суперсимметрии вместе
с оператором импульса и обычными сохраняющимися величинами 9.
Во всех исследованных до сих пор случаях новые сохраняющи
еся бозонные величины являются формами антисимметричных тензо
ров. Например, объект пространственной размерностью р (известный как
«рбрана») в пространствевремени размерностью d описывается заданием d
пространственновременных координат x(o,t) (в общем случае, покрываю
щих объект перекрывающимися картами) как функций времени и набора р
координат or, параметризующих положения на этом объекте. Если мноroоб
разие x == x(o,t) при фиксированном времени тополоrически нетривиаль
но, в том смысле, что ero нельзя непрерывно деформировать в точку, тоrда

32.3. рБраны
437
оно может иметь неисчезающее значение тополоrически инвариантноro ин
теrpала*
J р р р
1 fll fl2...flp == d 01 d с? . . . d оР L L ... L Erlr2...rp
rl == I r2==1 r p == 1
Х дх 1.11 ( а, t) дх 1.12 ( а, t) ... дх I.IP ( а, t)
доrl до r2 до r р ·
(32.3.1 )
Инвариантность таких интеrpалов при малых изменениях функций xfl(o,t)
показывает, в частности, что они инвариантны относительно трансля
ций в пространствевремени и, следовательно, MOryT появляться вместе
с Р fl и центральными зарядами в правых частях антикоммутационных co
отношений reHepaTopoB суперсимметрии 10. Вычисление коэффициентов
при таких тензорах в правых частях антикоммутационных соотношений
аналоrично обсуждавшемуся в разделе 27.2 вычислению ОливаВитrена
для скалярных центральных зарядов Zrs В теориях N == 2 суперсиммет
рии для 4MepHoro пространствавремени. В этом разделе мы не бу
дем пытаться вычислять эти коэффициенты или рассматривать друrие
нетополоrические рформы, которые MOryт возникать в антикоммутаци
онных соотношениях 11, но просто рассмотрим, как влияет на алreбру
суперсимметрии включение сохраняющихся антисимметричных тензоров,
коммутирующих с оператором импульса.
Важно, что эта возможность не изменяет ключевой результат, что reHe
раторы суперсимметрии всеrда принадлежат фундаментальным спинорным
представлениям rpуппы Лоренца. Это объясняется тем, что полностью aH
тисимметричный тензор в евклидовых координатах может иметь не более
одноrо пространственновременноrо индекса, paBHoro 1, и не более одноro
пространственновременноro индекса, paBHoro d, поэтому ero «вес», опре
деленный соrласно (32.1.2), может быть только ::l: 1 или о. Как и раньше,
это означает, что вес reHepaTopa суперсимметрии может быть только ::l: 1 /2;
*Чтобы убедиться, что этот интеrpал тополоrически инвариантен, заметим, что при беско..
нечно малом изменении Ox(a,t) функциих(а,t) интеrpал/lll2"'Р изменяется на величину
РРР Р ! д [
Ь/ 11l2."p == L L L'" L d а 1 d а 2 . . . d аР да r " f,rl r2...rp Х
п1 r) ==1 r21 rp 1
дxl дx2 дxпl дxп+l дхf.!Р ]
Х да r ) да r2 ... доrп 1 бхf.L п даrп+1 ... даrр ,
которая обращается в нуль, если интеrpал берется по компактному мноroобразию. Он так..
же обращается в нуль при интеrpировании по всем О, при условии, что бх(а,t) быстро
стремится к нулю при a r  00.

438 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuи в пространствах высших размерностей
тоrда лоренцинвариантность требует, чтобы все о, определенные соrлас
но (32.1.1), бьши равны :f: 1 /2, что возможно только в том случае, коrда
reнераторы суперсимметрии принадлежат фундаментальному спинорному
представлению О( d  1, 1 ). Кроме TOro, поскольку новые члены в антиком
мутаторах reHepaTopoB суперсимметрии коммутируют с импульсом, те же
apryмeHTЫ, что и в разделе 32.1, снова показывают, что rенераторы супер
симметрии также коммутируют с импульсом.
Из лоренцинвариантности следует, что для ненулевых значений
«зарядов» вида рформ антикоммутационные соотношения (32.1.13) и
(32.1.21}--(32.1.22) MOryт иметь только следующий вид (в тех же обозна..
чениях, как в разделе 32.1).
Нечетное d:
{Q Q T } л' CLJ р  fll fl2...flp CLJ
r, s == g rs 'У (!) л, +  Zrs 'У fll 'У fl2 · · · 'У Il р (!) ·
р
(32.3.2)
Четное d:
{ :f: 1=(  1 )d/2T } == ( 1:f: 'Yd+ 1 )
Qr,Qs 2
[ :f: л' CLJ р  fll fl2 ...flp:f: CLJ ]
Х grs'Y (!) л, +  Zrs 'Yfll 'Yfl2 · · · 'Yflp (!) ,
нечетные р
{Q;, Q;=(I)d/2T} == ( 1:!: ;d+1 )
 fll fl2...flp:f: CLJ
Х  Zrs 'Ylll 'Yfl2 · · · 'Yflp (!) ·
четныер
(32.3.3)
(32.3.4)
(Напомним, что rI появляется в антикоммутационных соотношениях изза
тoro. что /J'Jv == WI /Jf1VW; Q; есть reиераторы суперсимметрии в случае
четных d, причем 'Yd+l Q == :f:Q; кроме TOro, cel'Yd+l се == (1 )d/2Yd+l.) для
четных d имеем
fll fl2."fl p :f:", 'У 'У ос '" 'У '" 'У
с. , fll fl2... fl р ,d + 1 fl р+ 1 'fl р+ 1 · .. fld '
тоrда как для нечетных d
lllfl2".flp:f:", '" '" ос 'У 'У 'У
с. 'fll 'fl2... 'flp flp+l flp+l ... fld.
Таким образом, рбраны и (d  р)..браны дают одинаковые вклады в (32.3.1)--
(32.3.3) для любых d, поэтому можно оrpаничить р значениями от О до d/2
для четных d и от О до (d  1)/2 для нечетных d.

32.3. рБраны
439
Симметрия антикоммутаторов отражается в условиях симметрии на
центральные заряды zfs р..брана, входящие в (32.3.2Н32.3.4). Соотношения
(32.А.15) и (32.А.30) при водят к выражениям
'Y =: (1 )nWl'Yfl W, W T == (1 )n(n+l)/2 w ,
(32.3.5)
как для d == 2п, так и для d == 2п + 1. для антисимметризованных произведе..
ний 'Y[l 'Y2 ... 'Yp] из этоro следует свойство симметрии
сп  (  1) Pn (  1) n(n+l)/2 [ Сп ] Т
'Y[l 'Y2 · · · 'Yp] @  'Y[p 'Ypl · · · 'Yl] @
=: (1 )рn(  1 )n(n+l)/2(  1 )p(p1)/2 ['Y[fl l 'Yfl2 ... 'YflP]W] Т. (32.3.6)
Тоrда для нечетных d
zt 1 2...p == (  1 )рn (  1 )n(n+ 1 )/2 (  1 )p(p 1) /2 z t 1 2...p ,
(32.3.7)
а для четных d
zt 1 2...p:f: == (1 )рn(  1 )n(n+l)/2(  1 )P(P1)/2ztl 2...p( l)п( l)PT.
(32.3.8)
Рассмотрим, например, важный случай N == 1 суперсимметрии в
пространстве"времени d == 11 измерений, который представляет собой одну
из версий популярноro обобщения теории струн с помощью М ..теории. Со..
отношение (32.3.8) показывает, что единственный центральный заряд ви"
да р"формы Zl 2...p обращается в нуль, если не выполнено условие
( 1 )Р(  1 )p(p1)/2 == + 1,
(32.3.9)
которое удовлетворяется только для р, равных 1, 2, и 5. Значение р == 1 ре..
ализуется самим оператором импульса, который появляется как от частиц,
так и от протяженных объектов. Дрyrие возможности, р == 2 ир == 5, появля..
ются в теориях с 2..бранами и 5..бранами, соответственно. Отметим, что не
может быть дрyrих независимых тензорных центральных зарядов, таких как
l"форма, возникающая из l..браны, поскольку число независимых компонент
в Р , а также в 2"форме и 5"форме есть
11 + С2 1 ) + С5 1 ) == 528,
в то время, как число независимых компонент в антикоммутаторе двух
32..компонентных фундаментальных спиноров тоже есть 32 х 33/2 == 528.

440 rлава 32. Алzебры cyпepcu.м.мeтpuu в пространствах высших размерностей
Подобно тому, как о"форма электрическоro заряда является источни..
ком l"формы калибровочноro поля A(x), так и р"форма сохраняющейся
величины Z12".p может служить источником (р+ 1)"формы калибровоч"
HOro поля A12".p+1 типа обсуждавшихся в разделе 8.8. Действительно,
такие калибровочные поля появляются в теориях суперrpавитации. Напри..
мер, как отмечалось в предыдущем разделе, теория N == 1 суперrpавитации
в пространстве"времени d == 11 измерений включает безмассовые частицы,
состояния которых принадлежат представлению малой rpуппы 0(9) в ви"
де з"формы, и поэтому должны описываться З"формой калибровочноro по..
ля А vp (х). Изучение решений этой теории суперrpавитации показывает, что
здесь имеются 2..браны 12, которые и обеспечивают источники для Avp(x).
Кроме Toro, как отмечалось в разделе 8.8, эта калибровочная теория эквива..
лентна теории с калибровочным полем, имеющим вид (d  р  2 == 6)"формы,
которая может иметь в качестве источника 5..форму zI."5, и, действr'J.тель..
но, существуют 5..брановые решения, которые служат источниками для этой
6"формы калибровочноro поля 13. Фактически, эти 2..браны и 5..браны 11
вносят вклады В N == 1 одиннадцатимерную алreбру супеРСJIММетрии.
Приложение А. Спиноры В высших размерностях
В этом приложении описываются фундаментальные спинорные пред..
ставления алrебры Ли rpуппы Лоренца O(d  1,1) в пространстве"времени с
произвольным числом измерений d. Они полученыI из соответствующей ал..
rебры Клиффорда, состоящей из неприводимоro набора конечных матриц 1',
удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
{1', I'v} == 211v, (З2.А.l)
rде l1v диаroнально, с элементами + 1 на диаroнали, за исключением
1100 ==  1, причем х О есть временная компонента. Исходя из этоro, можно
построить матрицы
1
J flV = 4; [Yfl! Yv] ==  JVfl! (32.А.2)
которые удовлетворяют коммутационным соотношениям (2.4.12) reHepaTo"
ров rpуппы Лоренца
i[J v' ipa] == l1v p J a  llpJva  l1aipv + l1ovJp. (З2.А.З)
Как будет видно, хотя выражение (З2.А.2) всеrда дает представление алrебры
Лоренца, оно не всеrда неприводимо.
Далее следует различать случаи четной и нечетной размерности.

Приложение А. Спиноры в высших размерностях
441
Четные размерности: d == 2п
Чтобы построить удобное конкретное представление ""матриц в d == 2п
измерениях, введем п матриц
1 .
а и = 2 ('Y2и1 + l'Y2u) и == 1,2,... ,n,
и выберем "1 , . · . '''2п эрмитовыми, причем, как обычно, подразумевается, что
(З2.А.4)
"2п =  i"o.
(З2.А.5)
Матрицы а u удовлетворяют антикоммутационным соотношениям
{а u , a} == Ouv, {а u , a v } == {aZ, a} == о.
(З2.А.6)
Введем вектор 10) в пространстве представления ""матриц, определенный
условием
aZIO) == О,
(З2.А.7)
и определим базисные векторы
1 ) Sl S2 Sn 1 0)
S} S2 · · · Sn == а} а 2 ... а п ·
(З2.А.8)
Поскольку а; == О, действие оператора а u повышает значение SU дО +1, ес..
ли SU == О, И обращает вектор в нуль, если Su == + 1 (а также дает знак (I)S,
rде S = Lv<usv), так что все Su принимают значения О или +1, и поэтому
векторы образуют пространство размерности 2 п . Матрицы а u в этом базисе
имеют вид
( 1 О ) ( 1 О ) ( О 1 )
а и == О 1 Q9 . . · Q9 О 1 Q9 О О х 1 Q9 · · · Q9 1,
(З2.А.9)
rде последняя матрица 2 х 2 находится на и..м месте. Вьщеление эрмитовой
и антиэрмитовой частей дает ""матрицы
( 1 О ) ( 1 О ) ( О 1 )
"2и 1 == О 1 Q9 · · · Q9 О 1 Q9 1 О Q9 1 Q9 · · · Q9 1,
( 1 О ) ( 1 О ) ( О i )
"2и == О 1 Q9 · · · 0 О 1 Q9 i О Q9 1 Q9 · · · Q9 1.
(З2.А.l О)
(З2.А.ll )
(Отметим, что это не совпадает с представлением ,,матриц для 4"MepHoro
пространства"времени, введенном в разделе 5.4 и используемом всюду в этой
книre. )

442 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
Представление (З2.А.l О(З2.А.ll) дает простые свойства веществен..
ности и симметрии евКJIИДОВЫХ 'У"матриц
 == т == { 'У; для i нечетных,
'У, 'У, 'Y; для i четных,
(З2.А.12)
rде i == 1, 2, . . . , 2п. То же самое можно представить как соотношение подобия
W 1 'Yi W == (  1 )n'УТ == (  1 )n'Yi* ,
(З2.А.IЗ)
rде W  матрица
W = 'У2'У4... 'У2n. (З2.А.14)
Учитывая множитель i в (З2.А.5), можно записать для компонент в про..
странстве Минковскоro
'Y == P'YP == ( l)n(Wp)l'Y(Wp),
(З2.А.15)
rде
р = 'У2n == i'YO.
(З2.А.16)
для любоro четноro числа измерений можно определить матри..
цу 'У2n+ 1, которая иrpает ту же роль, что 'У5 В четырех измерениях. Примем
 .n
'У2n+ 1 == 1 'Уl 'У2 · . · 'У2n.
(З2.А.17)
Фаза здесь выбрана так, что
'Yin+ 1 == 1. (32.А.18)
Из антикоммутационных соотношений (З2.А.l) следует, что 'У2n+l антиком
мутирует со всеми дрyrими rамма"матрицами,
{ 'У2п+ 1 , 'Y} == о для  == 1,2,..., 2п  1, о.
Можно убедиться, что 'У2n+ 1 действительна и симметрична,
",t  'V.*  'V. T  'v.
'2n+l  '2n+l  '2n+l  ,2n+l.
(З2.А.19)
(32.А.20)
Из (З2.А.19) видно, что 'У2n+ 1 коммутирует с rенераторами (З2.А.2)
алrебры O(2п 1,1):
['У2n+ 1, J V] == о, (32.А.21)
так что J V не может реализовать пeпpивoдuмoe представление алrеб
ры О( 2п  1, 1 ). Вместо этоro можно определить пару «вейлевских» непри
водимых представлений с помощью проектирования на подпространства
с 'У2n+ 1 == :f: 1 :
q:!:. == q ( 1 :f: 'У2n+l )
 V   V 2 ·
(З2.А.22)

Приложение А. Спиноры в высших размерностях
443
Из формулы (З2.А.15) и соотношения (wр)11'2п+lР == (1)пI'2п+l нахо..
дим, что комплексное сопряжение и транспонирование вейлевских лоренце..
вых reHepaTopoB есть
(J)* == (wp)l J(l)n(Wp),
( {/% ) Т == Wl {/:r(l)пW
 f.1v  V ·
(З2.А.2З)
(З2.А.24)
Следовательно, для четных п каждое из пары вейлевских неприводимых
представлений эквивалентно комплексно..сопряженному дpyroro, тоrда как
для нечетных п каждое представление эквивалентно ero собственному ком..
плексно сопряженному*. Для нечетных п нужно еще решить, будут ли вей..
левские представления действительными, что означало бы существование
матрицы [р такой, что
 ( [p (/%[p1 ) * == [р (/%[p1
v v'
(З2.А.25)
или псевдодействительны.ми, и тоrда такой матрицы не существует. Ис..
пользуя (З2.А.2З), можно переписать условие (З2.А.2З) как требование,
что 9'l9'*(wp)l коммутирует со всеми J. Поскольку матрицы J 06
разуют неприводимый набор, это означает, что [pl[p*(Wp)l должно бьпь
пропорционально единичной матрице,
wp == affJl [р*,
(З2.А.26)
с некоторой константой а. Чтобы это бьшо возможно, должно выполняться
условие
WP(WP)* == lal 2 . 1.
(З2.А.27)
Но Wp == 1'21'4. . .1'2п2' а так как все 1'; с четными i являются мнимыми, имеем
WP(WP)* == (1)п1(1'21'4.. .1'2п2)2 == (l)a .1,
(З2.А.28)
rде
а == (п 1) + (п 2) +...+ 1 == п(п 1)/2.
(З2.А.29)
Следовательно, вейлевские представления MOryт бьпь действительными
только для п == 1 (mod 4) и должны быть псевдодействительными для п == 3
(mod 4).
*Мы roворим, что одно представление aлreбры Лоренца матрицами ft J1v (такими, как J J1v
или J:V, или J;V> есть комплеКСНОСОПРJlЖенное дрyroму представлению матрицами ftv'
еслиftv == ftv. Знак минус здесь включен из..за тою, что матрицы, которые предст8ВJIJIЮТ
элементы rpуппы Лоренца вблизи тождественною преобразоВ8НИЯ, имеют вид 1 + !iю J1v ft J1V
с бесконечно малыми действительными юJ1 v .

444 fлава 32. Aлzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
Для использования в разделе 32.1 отметим также, что
се* == (l)nW, W T == (I)n(n+l)/2W, Wl == (I)n(n1)/2W,
(32.А.30)
и поэтому соотношение (32.А.13) дает
('Yfl) Т == (1 )п(п 1 )/2'Yfl'
(32.А.31)
Матрицы 1' образуют вектор, в том смысле, что
[$ V' I'р] == il' llvp + il'v llp'
(32.А.32)
и они имеют нормальную четность, т. е.
Рl'оР == +1'0, Pl'iP == 1'; для i == 1,2,..., 2п  1.
(32.А.33)
Антикоммутационное соотношение (32.А.l) не позволяет сконструировать
новые тензоры с использованием симметричных произведений матриц 1', но
оно позволяет построить антисимметричные тензоры paнra вплоть до 2п,
1'[ 11'2 · · .1'p] ,
(32.А.34)
rде р  2п, а квадратные скобки означают антисимметризацию. Число неза..
висимых пространственно"временных компонент каждоro тензора равно би..
номиальному коэффициенту (), так что полное число матриц этоro типа
есть
I ( 2п ) == 2 2п .
р==о р
Ни один из этих тензоров не обращается в нуль (в чем можно убедиться,
вычисляя их квадраты), и все они имеют разные законы преобразова..
ния относительно преобразований Лоренца и(или) четности. Поэтому они
линейно"независимы, так что любую матрицу 2 п х 2 п можно записать как
линейную комбинацию 2 2п антисимметричных тензоров (32.А.34).
(32.А.35)
Нечетные размерности: d == 2п+ 1
Рассмотрим теперь пространство"время нечетной размерности d ==
2п + 1. Мы можем леrко найти набор 2п + 1 дираковских матриц п х п,
удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям (32.А.l): мы про
сто используем те же самые 1' с f.l == 1, 2, . . . 2п  1, О, как и для d == 2п,
и добавим матрицу 1'2п+ 1, определенную выражением (32.А.17). Соrласно

Приложение А. Спиноры в высших размерностях
445
(З2.А.18) и (З2.А.19), эти rамма"матрицы удовлетворяют антикоммутаци..
онным соотношениям (З2.А.l) с индексами  и v, пробеrающими значе..
ния 1,2,..., 2п  1, о, 2п+ 1, причем снова 1'0 == il'2n.
В отличие от случая четной размерности, здесь нельзя найти какую..
либо нетривиальную матрицу, коммутирующую со всеми лоренцевскими
rенераторами, поскольку, как показывают соотношения (З2.А.17) и (З2.А.18),
произведение 2п + 1 rаммаматриц тривиально:
1'11'2 · · .1'2n 1'2n+ 1 == in · 1.
(З2.А.З6)
Поэтому лоренцевские rенераторы (З2.А.2) с индексами  и v, пробеrаю..
щими значения 1, 2, . . . , 2п  1, о, 2п + 1, сами образуют неприводимое пред
ставление rpуппы Лоренца. Чтобы установить их свойства действительно..
сти, заметим, что 1'2n+ 1 действительна, симметрична и удовлетворяет соот..
ношению (Wp)11'2n+lWP == (1)n1'2n+l' так что (З2.А.15) применимо как
для  == 2п + 1, так и для  == 1, 2, . . . , 2п  1, о. Поэтому rенераторы Лоренца
удовлетворяют соотношениям
J;v == (p)l JflVP,
J;fv == l JflV'
(З2.А.З7)
(З2.А.З8)
так что для любой нечетной размерности фундаментальное спинорное пред..
ставление является либо действительным, либо псевдодействительным. Те
же apryмeHTЫ, как в случае d == 2п, показывают, что спинорные представ..
ления для d == 2п + 1 снова действительны или псевдодействительны в за..
висимости от знака (I)a в (З2.А.28), и поэтому, соrласно (З2.А.29), они
действительны для п == О (mod 4) и п == 1 (mod 4), но псевдодействительны
для п == 2 (mod 4) и п == 3 (mod 4).
Снова можно построить антисимметричные тензоры (З2.А.З4), теперь
paнra до 2п + 1, но только половина из них будут линейно"независимыми,
поскольку они удовлетворяют соотношениям
12."2п+1'V [ 'v "' ] ос 'V[p+I'V2 'V2п+1]
со ,  1 ' 2 · · · , f.1p , ,. · · , ,
(З2.А.З9)
rде, как обычно, El 2...2п+l полностью антисимметрично. (Для d == 2п такие
соотношения невозможны, поскольку левая и правая стороны (З2.А.З9) име..
ют противоположные четности; однако этот apryмeHT неприменим для d ==
2п + 1, rде EI 2...2п+l имеет положительную пространственную четность.)
Полное число независимых матриц типа (З2.А.З4) теперь равно
t ( 2п+ 1 ) == 2 2n ,
р==о р
(З2.А.40)

446 fлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
так что любую матрицу 2п х 2п можно записать как линейную комбина..
цию п+ 1 независимых антисимметричных тензоров (32.А.34) с О  р  п+ 1.
Наконец, отметим, что как для d == 2п, так и для d == 2п + 1 О( d  1, 1)
aлreбры Дирака и Лоренца связаны с соответствующими O(d) алreбрами
посредствомподстановок
'У2п = i'Yo, J'"2n = iJiO'
(32.А.41)
так что
{'Yi, 'Yj} == 20ij,
(32.А.42)
и
1
Jij == 4i ['Yi, 'Yj] ==  Jii' (32.А.43)
с индексами i и j, пробеrающими от 1 до d. Из (32.А.42) следует, что J?j ==
1/4 для i "* j, так что собственные значения каждоro Jij оrpаничены значе..
ниями :f:l/2. Более детально, reHepaTopbl картановой подaлreбры в фунда..
ментальном спинорном представлении имеют вид
1 [ * ] * 1
J 2u12u == 2 аи,а и == аиа и  2 '
(32.А.44)
причем базисные векторы (32.А.8) есть собственные векторы этих reHepaтo..
ров
J 2u12и I S lS2.. .sп} == (sи   ) I S lS2.. .sп} · (32.А.45)
Различие между размерностями d == 2п и d == 2п + 1 состоит в том, что
для d == 2п имеется два фундаментальных спинорных представления, в ко..
торых собственные значения (2<Jl)( 2(2)... (2Йп) матрицы 12п+l оrpани"
чены значениями + 1 и  1, тоrда как для d == 2п + 1 существует только одно
фундаментальное спинорное представление, в котором нет T8КOro оrpаниче..
ния на О и .
Оrpаничение на собственные значения :f: 1/2 для каждою Jij было ис..
пользовано в разделе 32.1 для идентификации фундаментальных спинорных
представлений как единственно возможных представлений алreбры Лорен..
ца, которые можно представить reнераторами фермионной симметрии. Ра..
зумеется, исходя из этоro условия, можно было бы сделать вывод, что О( d)
reHepaтopbl можно задать в базисе вида (32.А.8), с sи == О и + 1/2, и провести
все ВЫЮI8ДКИ этоro приложения в обратном порядке, используя формулы
(32.А.4Н32.А.7) (вместе с (32.А.17) для нечетных d), чтобы выразить re..
нераторы Лоренца через набор 'Y, удовлетворяющих антиком мутационным
соотношениям (32.А.l).

Задачи
447
Задачи
1. Проведите классификацию мультиплетов 6езмассовых частиц для каж..
доro разрешенноro вида суперсимметрии в 6"мерном пространстве"вре..
мени, если все центральные заряды обращаются в нуль.
2. Предположим, что было бы возможно иметь безмассовые частицы
любоro спина вплоть до j == 3, но не выше. Учитывая тот факт,
что 6езмассовые частицы со спином 2 существуют, найдите, какова
v
максимальная размерность пространства"времени, при которои воз..
можна суперсимметрия. Чему равно максимальное число reHepaTo"
ров суперсимметрии для каждоro разрешенноro значенWI размерности
пространства"времени?
3. Рассмотрим суперсимметрии типов IIA и IIB в 10"мерном пространс..
тве"времени. Предположим, что вантикоммутационных соотношени..
их суперсимметрии возникают только скалярные центральные заряды.
Выразите нижнюю rpаницу на массы частиц через эти центральные за..
ряды. Опишите БСП мультиплеты массивных частиц, разрешенные для
v v
частиц, массы которых находятся на этои нижнеи rpанице.
4. Перечислите возможные независимые скалярные и(или) тензорные цен..
тральные заряды для N == 1 суперсимметрии в 9"мерном про стран..
стве"времени.
Список литературы
1. Т. Kaluza, Sitz. Preиss. Akad. Wiss. КI, 966 (1921).
2. о. Кlein, z. Phys. 37, 895 (1926); Natиre 118, 516 (1926).
3. J. Н. Schwarz, Nucl. Phys. В46, 61 (1972); R. С. Brower and
К. А. Friedman, Phys. Rev. D7, 535 (1972).
4. Теория суперrpавитации в 11 пространственно"временных измерени..
их была сформулирована в работе: Е. Cremmer, В. Julia, and J. Scherk,
Phys. LeU. 76В, 409 (1978). Идея о том, что теории струн типа IIA
со слабой связью в 1 О пространствнно"временных измерениях имеют
11"мерное происхождение, высказана в работе: М. J. Duff, Р. S. Howe,
Т. Inami, and К. S. Stelle, Phys. Lett. В191, 70 (1987). это было показано
для теорий струн типа IIA с сильной связью в 1 О измерениях в работе:

448 rлава 32. Алzебры cyпepcuм.мeтpuu в пространствах высших размерностей
Р. К. Townsend, Phys. Lett. В350, 184 (1995). Связи между этими тео..
риями и всеми дрyrими 10"мерными теориями струн были отмечены
в работе: Е. Witten, Nucl. Phys. В445, 85 (1995).
5. R. Haag, J. Т.. Lopuszanski, and М. Р. Sohnius, Nucl. Phys. В88, 257
(1975).
6. w. Nahm, Nucl. Phys. 8135, 149 (1978).
6а. См., например, Н. W. Turnbull and А. С. Aitkens, Ап Introductioп to the
Theory ofCaпonical Matrices (Dover Publications, New York, 1961).
6б. Полезный обзор см.: J. Strathdee, Iпt. J. Mod. Phys. А2, 273 (1987).
7. Подобные рассуждения в 4"мерном пространстве"времени см. в работах
S. Weinberg, Phys. Rev. 135, ВI049 (1964); Phys. Rev. 138, В988 (1965);
R. Р. Feynman, unpublished; М. Т. Grisaru and Н. N. Pendleton, Phys. Lett.
67В, 323 (1977). Рассуждения в пространстве"времени ббльших размер..
ностей аналоrичны.
8. См., например,: J. Hughes, J. Liu, and J. Polchinski, Phys. Lett. В180, 370
(1986); Е. Bergshoeff, Е. Sezgin, and Р. К. Townsend, Phys. Lett. В189,
75 (1987); А. Асhuсапо, J. М. Evans, Р. К. Townsend, and о. L. Wiltshire,
Phys. Lett. 8198, 441 (1987); Р. К. Townsend, Phys. Lett. 8202, 53
(1988); Р. К. Townsend, in Particles, Strings, and Cosтology: Proceedings
о! Workshop оп Curreпt Probleтs in Particle Theory 19 at Johпs Hopkins
University, March 1995 (World Scientific, Singapore, 1996); J. Maldacena,
Adv. Тheor. Math. Phys. 2, 231 (1998). Обзор см.: М. J. Duff, R. R. Кhuri,
and J...X. Lu, Phys. Rep. 259, 213 (1995); А. Giveon and о. Kutasov, 1998
 preprint hep..th/9802067.
9. J. W. Van Holten and А. Van Proeyen, J. Phys. А.: Math. Gen. 15, 3763
(1982).
10. J. А. de Аzсшаgа, J. Р. Gauntlett, J. М. Izquierdo, and Р. К. Townsend
Phys. Rev. Lett. 63, 2443 (1989).
11. D. Sorokin and Р. К. Townsend, Phys. Lett. В412, 265 (1997); J. Р. Gauntlett,
J. Gomis, and Р. К. Townsend, J. High Energy Phys. 9801, 003 (1998).
12. Ковариантные полевые уравнения для этих 2..бран получены в работе:
Е. Bergshoeff, Е. Sezgin, Р. К. Townsend 8, and Апп. Phys. (NY) 185,
330 (1988). Демонстрация TOI'O, что эти 2..браны являются решениями
полевых уравнений суперrpавитации, обеспечивающими источники Ka
либровочных полей вида з"форм, приведена в работе: М. J. Duff and
К. S. Stelle, Phys. Lett. В253, 113 (1991).

Список литературы
449
13. Демонстрация TOro, что эти 2..браны являются решениями полевых
уравнений суперrpавитации, обеспечивающими источники калибровоч"
ных полей вида 6"форм, приведена в работе: R. Gueven, Phys. Lett.
8276, 49 (1992). Ковариантные уравнения для этих 5..бран даны в рабо..
тах: М. Aganagic, J. Park, С. Popescu, and J. Н. Schwarz, Nuc/. Phys.
8496, 191 (1997); Р. S. Howe and Е. Sezgin, Phys. Lett. 8394, 62
(1997); Р. Pasti, D. Sorokin, and М. Tonin, Phys. Lett. 8398, 41 (1997);
Р. S. Howe, Е. Sezgin, and Р. С. West, Phys. Lett. 8399, 49 (1997);
1. Bandos, К. Lechner, А. Nurmagambetov, Р. Pasti, D. Sorokin, and
М. Tonin, Phys. Rev. Lett. 78, 4332 (1997).

Указатель авторов
Babu К. S., 267, 268, 270
Bagger J. А., 265, 266, 268, 335, 415
Bais F. А., 194
Bandos 1., 449
Вanks Т., 264, 417
Barate R., 267, 268
Barbieri R., 266, 417
Barger v., 265
Beg М. А. В., 24, 25
Belyaev V. М., 269
Bennett J. R. J., 265
Berezin F. А., 123
Bergshoeff Е., 448
Binetruy Р., 418
Bogomol'nyi Е. В., 193, 194
Braaten Е., 267
Breitenlohner Р., 193
Brignole А., 267
Brink L., 193, 194
Buras А. J., 268
Capper о. М., 347
Carena М., 267
Casas J. А., 417
Casher А., 25
Chacko Z., 418
Chamseddine А. Н., 270, 417
Choudhury S. R., 266
Chun Е. J., 269
Claudson М., 268
Cleaver G., 269
СоЬеп А. G., 264
Coleman S., 25, 194, 416
Cordes S. F., 336
Сох R. Н., 266
Cremmer Е., 416, 417, 447
Cvetic М., 269
Abreu Р., 268
Асhuсапо А., 448
Affieck 1., 335, 336, 417
Aganagic М., 449
Aharonov У., 25
Aitkens А. С., 448
Akulov V. Р., 25
Alvarez..Gaume L., 268, 417
Aтaldi U., 265
Antoniadis 1., 264, 335
Arkani..Hamed N., 264, 268
Amowitt R., 267, 270, 415,417
Astbury А., 268
D'Adda А., 194
Dai J., 267
Das А., 417
Davis А. С., 335
Dawson S., 266, 267
Delbourgo R., 24, 347
Deser S., 416, 417
de Azсапаgа J. А., 448
de Boer W., 265
de Luccia F., 416
de Rujula А., 267
de Wit В., 193
Dicus D. А., 265, 267, 269

Указатель авторов
451
Fапar G., 264
Fayet Р., 192, 193,264,417
Feng J. L., 265
Fепarа S., 123, 192, 267, 335, 347,
416, 417
Feynman R. Р., 448
Fischler W., 193, 267, 268
Freedman D. Z., 193,416,417
Friedman К. А., 447
Fujikawa К., 347
Furstmann Н., 265
Gliozzi F., 25, 416
Gol'fand Yu. А., 25
Gomis J., 448
Gorbunov D. S., 268
Goto Т., 270
Griinewald М., 268
Gnicia Х., 123
Green М. В., 25
Greenberg о. W., 24
Griffiths Р., 123
Grimm R., 193
Grinstein В., 267
Grisaru М. Т., 58, 123, 193, 347, 416,
448
Grisaru М. Т., 192
Grossman У., 266
Gueven R., 449
Gunion J. F., 266, 268
Gшsеу F., 24
Dienes К. R., 266
Dimopoulos S., 2266, 268, 269
Dine М., 193, 26269, 335, 336,417
Dixon L., 264
Di Vecchia Р., 194
Donoghue J. F., 266
Dubovsky S. L., 268
DuffM. J., 267, 447, 448
Dugan М., 267
Dutta В., 269
Dvali G., 264, 269
Dykstra Н., 267
Ellis J., 265269, 417
Espinosa J. R., 269
Evans J. М., 448
Everett L., 269
Gabbiani F., 266, 267
GabrieHi Е., 266, 267
Gaillard М. К., 266, 418
Galperin А., 193, 335
Gatto R., 266
Gauntlett J. Р., 448
Gavela М. В., 266, 267
GellMann М., 25
Georgi Н., 26267
Gervais J.L., 25
Gildener Е., 264
GirardeHo L., 192194, 335, 416, 417
Giudice а. F., 264, 268, 269, 416, 417
Giunti С., 265
Giveon А., 194, 448
Haag R., 25, 58, 448
Haber Н. Е., 265, 266, 268
Hagelin J. S., 265, 266, 269
НаН L. J., 265, 267, 417
Hamaguchi К., 418
Нaпis J., 123
Нaпis Р. G., 267
Не XG., 266
Heinemayer S., 267
High J., 336
Hisano J., 265, 270
Horava Р., 265
Hollik W., 267
Honerkamp J., 347
Horsley R., 194
Howe Р. S., 193, 447, 449
Hughes J., 335, 448
Ibanez L. Е., 269, 270, 417
Ibrahim Т., 267
Iliopoulos J., 123, 192
Inami Т., 447
Intrilligator К., 336
Ivanov Е. А., 193

452
Указатель авторов
Izawa К. 1., 417, 418
Izquierdo J. М., 448
Lucas v., 269, 270
Luo M.X., 265
Luty М. А., 268, 416, 418
Lykken J., 264, 417
Julia В., 194, 416, 447
Кас v. G., 336
Kagan А., 266, 267
Kalz Е., 416
Kane G. L., 265
Kaplan D. В., 264, 265, 417
Kaplunovsky v., 418
Karlen D., 268
Кеllеу S., 265, 266
Кhшi R. R., 448
Kim с. W., 265
Кiт J. Е., 268, 269, 417
Кizuri У., 267
Klein О., 447
Kolb Е. W., 265
Kolda с., 265268
Kounnas с., 417
Kovacs S., 194
Кrause F., 347
Kurosawa К., 265
Kutasov D., 448
Monz М., 268
MacIntire D. А., 417
Maksymyk 1., 418
Maldacena J., 448
Mandelstam S., 194
Mandula J., 25
Manohar А., 267
March..Russell J., 267
Martin S. Р., 266, 268
Masiero А., 265267, 417
Matchev К. Т., 266
McGlinn W. D., 24
McKellar В. Н. J., 266
Michel L., 24, 25
Misiak М., 268
Mohapatra R. N., 264
Montonen с., 194
Moroi Т., 418
Muiioz с., 269, 417
Murayama Н., 270, 416
Lahanas А. В., 417
Lang W., 269, 347
Langacker Р., 265, 269
Le Yaouanc А., 266
Lechner К., 449
Lee В. W., 265, 266
Lee u. W., 265
Leibrandt G., 347
Leigh R., 266
Leigh R. G., 267
Leon J. М., 417
Lepeintre F., 265
Li с. S., 267
Likhtman Е. Р., 25
Liu J., 335, 448
Lopez J., 267
Lopuszanski J. Т., 25, 58, 448
Louis J., 418
Lu J.X., 448
Nahm W., 416, 448
Nandi S., 269
Nanopoulos D. v., 265267, 269, 417
Nappi С., 268
Nath,267,270,415,417
Neeman У., 25
Nelson А. Е., 264, 265, 268, 269, 417
Neveu А., 25, 194
Nihei Т., 270
Nilles Н. Р., 193, 264, 266, 268, 269,
417
Nilsson В. Е. W., 194
Niltes Н. Р., 417
Nir У., 266, 268, 269
Nomura У., 265, 418
Novikov V. А., 335
Nunnagambetov А., 449

Указатель авторов
453
O'Raifeartaigh L., 25, 122
Ogievetsky V. 1., 193
Ohta N., 417
Olive D., 25, 193, 194, 265
Oliver L., 266
Osbom Н., 193, 194
Oshimo N., 267
Ovrut В., 268
РаЬan S., 267
Pagels Н., 265
Pais А., 24, 25
Pakvasa S., 266
Palumbo F., 192
Park J., 449
Parke S., 194
Partouche Н., 335
Pasti Р., 449
Pati J. С., 270
Peccei R. D., 264
Pendleton Н. N., 58, 416, 448
Репе О., 266, 267
РЬаm Т. N., 266
Piguet О., 347
Pokorski S., 268
Polchinski J., 25, 193, 264, 267, 335,
417,448
Polonsky N., 264, 265, 269
Pomerol А., 264, 268, 269, 416
Pons J., 123
Ponton Е., 418
Popescu С., 449
Porrati М., 194, 335
Prasad М. К., 194
Primack J. R., 194, 265
Quinn Н. R., 264, 265
Quiros М., 267, 417
Raby S., 193, 264, 265, 268270
Radicati L. А., 24
Ramon М., 417
Ramond Р., 25
Randall L., 267, 416, 418
Rarita W., 416
Rattazzi R., 266, 268, 269, 416
Raynal J.C., 266
Ridolfi G., 267
ottoA.,264,265
Rocek М., 192, 194, 347
Ross G., 270
Rossi G. С., 335
Roszkowski L., 268
Rudaz S., 269
Sakai N., 193, 265, 269
Sakita В., 24, 25
Salam А., 24, 122, 192, 264, 347
Samuel S., 267
Sarid U., 265
Savoy с. А., 417
Scherk J., 25, 193, 416, 447
Scheunert М., 347
Schlindwein М., 347
Schwarz J. Н., 25, 193, 447, 449
Schwinger J., 194, 416
Seiberg N., 193, 194, 266, 268, 335,
336,417
Sen А., 194
Sezgin Е., 448, 449
Shadmi У., 416
Shifman М. А., 335, 336
Shiпnan У., 268, 269, 416
Siegel W., 192, 194, 347
Silvestrini L., 266, 267
Smilga А. v., 336
Smith Р. F., 265
Sohnius М. F., 25, 193, 194, 448
Sommerfield с. М., 194
Sonius М., 58
Sorokin D., 448, 449
Srednicki М., 265, 268, 417
Stelle К. S., 193, 267, 416, 447, 448
Strathdee J., 24, 122, 192, 264, 347,
448
Sundrum R., 416, 418
Susskind L., 25, 193
Sutler D., 266
Sutter D., 266
Symanzik К., 193

454
Указатель авторов
Takita М., 270
Tamvakis К., 269,417
Tanaka Т., 266
Taylor Т. R., 335
Teitelboim С., 416
Teplitz V. L., 265
Тhomas S., 267, 268
Tommasini D., 264
Tonin М., 449
Townsend Р. К., 193,417,448
Troitsky S. v., 268
Tumbu11 Н. W., 448
Wells J. D., 268
Wess J., 25, 122, 192, 415
West Р. С., 193, 194, 416, 449
Wigner Е. Р., 24
Wilczek F., 264, 265, 267270
Wiltshire D. L., 448
Wise М. В., 267, 268, 417
Witten Е., 25, 193, 194, 265, 335, 336,
416,448
Wolfram S., 265
Wu Y.Y., 418
Wyler D., 266, 417
Yanagida Т., 269, 270, 417, 418
Yildiz А., 266
Уuan Т. С., 267
Vainshtein А. 1., 335, 336
Van Holten J. W., 448
van Nieuwenhuizen Р., 416
Van Proeyen А., 417, 448
Vegas F. J., 267
Veneziano G., 336
Volkov D. v., 25
Vysotsky М. 1., 269
Wagner с. Е. М., 267
Wali К. С., 24
Wang J., 269
Weiglein G., 267
Weinberg S., 25, 192, 193, 264, 265,
267,269,416,417,448
Zaffaroni А., 194
Zakharov V. 1., 335
Zee А., 194, 269
Zhang R...J., 264, 266
Zumino В., 25, 58, 122, 123, 192,
415417
Zwanziger D., 194
Zwimer F., 267, 268

Предметный указатель
Ah члены, 217219, 255, 374, 398
Вчлен,217219,229,253255,398
Сhчлены,217219,255,398,410
еР"нечетный скаляр, 233
Dчлены в действии, 70, 79, 8384,
94, 113 115
члены в действии, 79, 8384, 94,
138139, 144, 15157, 198, 199,
201,382
член, 201, 229, 239, 252253, 396,
404
рбраны, 436440
Rсимметрия, 39, 40, 43, 49, 882,
91, 109, 17177, 199, 292293,
311312,318319,430
RТOK R, 109
Rчетность,200,257
SL(2,Z) симметрия, 321
SU (4) симметрия, 1, 1 О
SU(6) симметрия, 1,812
Аксион, см.: симметрия ПеччеиКвин"
на
аномалии, 49, 110, 162, 197,292293,
322323,370
антидеситтеровское пространство,
361
аналитичность, 165,247248,291303
Барионная четность, 261
бино, 196,243,250,258259,373,400
Вес, определение, 421
вильсоновский лarpанжиан, 163 169
вино, 196,243,250,258259,373,400
вспомоrательные поля, 62, 84, 132,
147, 159,354,359360,384
вызванное аномалиями нарушение
суперсимметрии,37374
 rpавитацией нарушение суперсим"
метрии, 389411
 калибровочными полями наруше
ние суперсимметрии, 24256
rетеротическая суперrpавитация, 435
rипермультиплеты,4950, 183,329
rлюино, 196, 243247, 250, 258, 372,
399
roлдстИно, 92, 162, 256, 280, 283,
28289
rpавитИно,49, 205, 214, 255, 350, 365,
383, 391, 404
rpадуированные aлreбры Ли, 230
rpаницы естественности, 202
rpуппа Вейля, 309
Действие Эйнштейнаrильберта, 359
дионы, 183,325,329331
дуальность, 190,32331
Зино, 196,243,250,258259,373,400
Индекс Виттена, 276, 303314
инстантоны, 145 146, 293, 295, 311,
324
Калибрино, 131, 158, 196, 242, 249,
308,372,400,410

456
Предметный указатель
калибровка ВессаЗумино, 129131,
175176
длясуперrpавитации,353,374
калибровочное суперполе a,
137139, 143144
квантовая хромодинамика, см.:
обобщенная суперсимметрич..
ная квантовая хромодинамика,
rлюино, скварки
келеров потенциал, 79, 112, 384
келерова метрика, 114, 385
модифицированная,386
келеровы мноroобразия, 116
киральныесуперполя, 7381,38382
ковариантная производная DfJ' 376
комплексификация симметрий,
11  117, 149
компонентные поля
  киральных суперполей, 7381
  произвольных суперполей,
670
суперполяметрики,352357
конденсация калибрино, 312313, 401
конечность N =: 4 теорий, 190
конформная симметрия,
  в двух измерениях, 6
   четырех измерениях, 2223
короткие супермультиплеты, см.:
состояния БПС
космические распространенности
элементов,203205
космолоrическая постоянная, 172,
382,394,407
кривизна RfJv ab В тетрадном форма
лизме, 415
майорановские спиноры, 62, 64, 88,
117
майорановский потенциал, 1 О
малая rpуппа, 429
массы для нарушенной суперсиммет
рии, 159162,21211
  для ненарушенной суперсим
метрии, 15155
, правило сумм, 161, 210
см. также: чарджино, калибрино,
хиrrсовские поля, нейтралино,
слеПТОНЫ,скварки
масштабно неинвариантное суперпо
ле Х, 355, 370
матрица С, 118
 связи G, 125
матрицыДирака,442
минимальная суперсимметричная
стандартнаямодель,21261
моделиО'Райферти,90,27277
модель ВессаЗумино, 7, 623,
8990,276
МОНОДРОМИЯ,328338
Мтеория, 417
Наивный размерный анализ, 227
нарушение суперсимметрии частич
ное, 272
мяrкое, 17172,217218
спонтанное, 7,86, 148, 168170,
211212,271280, 303314
см. также: вызванное калиб
ровочными полями нарушение
суперсимметрии, вызванное
аномалиями нарушение суперсим
метрии, вызванное rpавитацией
нарушение суперсимметрии
 электрослабой симметрии, 196,
238
нейтралино,239256
нелинейные (Jмодели, 115
несохранение ер, 223, 255
 барионноro и лептонноro чисел,
198203,255261
нетрадиционные симметрии, 13
Левокиральные суперполя, СМ.:
киральные суперполя
лептонные суперполя, 196
линейные суперполя, 781
локальная суперсимметрия, 1 02 1 03,
374
Маrнитные монополи, 56, 182183,
323,329331

Предметный указатель
457
Обобщенная суперсимметричная
квантовая хромодинамика, 292,
296
объединение сильных и электросла
бых взаимодействий, 205209,
241
Симметрии на массовой поверхно
сти, 87, 185
симметрия Zs, 325, 327
 относительно трансляции внешне
ro поля, 165, 293
 ПеччеиКвинна, 201, 234, 397,
401,404,409
скварки,46,196,206,243,250,410
скрытый сектор, 212, 39392, 400
следующие за леrчайшей суперсим
метричные частицы, 254
слептоны,47,196,206,243,250,398,
410
состояния БПС (Боroмольноro,
Прасцда и Соммерфилда), 58,
183,330
спин в высших измерениях, 429
спиновая связность ЮfJ аЬ, 377, 414
струны, 5, 191,200,260,400,435
суперrpавитация,49,348349
 ДЛЯ слабых полей, 349377
 во всех порядках, 377389
см. также: rpаВИТИНО,вызванное
аномалиями нарушение суперсим
метрии, вызванное rpавитацией
нарушение суперсимметрии,
суперrpавитация типов IIA и IIB
,
reтеротическаясуперrpавитация
 типов IIA и IIB, 435
супердиаrpаммы, 337347
суперконформная симметрия
  в двух измерениях, 6
   четырех измерениях, 423
супермультиплеты
 массивных частиц в четырех
измерениях, 5257
 безмассовых частиц в четырех
измерениях,48
    высших измерениях, 4951
суперполе Х, СМ.: масштабно неинва
риантное суперполе
 метрики HfJ' 349361
Эйнштейна,355356
суперполя,59,6473
Параметр F нарушенной суперсим
метрии,279,369
плоские направления, 91, 169, 181
плотность энерrии вакуума, 36,
272273, 281282, 289291,
360362,365
поверхностное натяжение, 361
подалrебра Картана, 179, 304
поля модулей, 315317,400
постоянные Казимира С] и С2, 288,
302303
потенциал скалярных полей, 86,
9193, 148, 158, 179,386,396,397
потенциальныесуперполя,95,338
правила сумм для тока суперсиммет
рии,277287
умножения,68, 7879,377378
правокиральные суперполя, см.:
киральные суперполя
преобразование Вейля, 364, 386
 де ВитаФридмана, 17175
препотенциал,316
приведенные константы связи, 227
проблема иерархии, 195, 201, 212,
389
пространственная инверсия, см.:
четность
пространство де Ситrера, 361
процессы с изменением аромата, 219
пунктирные индексы, 33
Распад протона, СМ.: несохранение
барионноro и лептонноro чисел
расширенная суперсимметрия, 39,
4951, 17191
расширенныIe калибровочные преоб
разования, 128
решение ЗайберrаВитrена, 31 336

458
Предметный указатель
 кварков, 195
, полевые уравнения, 105
см. также: киральные супер
поля, суперполя тока, линейные
суперполя, потенциальные супер
поля, калибровочные суперпоШl,
хиrrсовские суперполя, кварковые
суперполя, лептонные супер
поля, суперполяпереносчики,
суперполе метрики, суперток,
суперполе Эйнштейна, масштабно
неинвариантноесуперполе
 тока, 97
суперполяпереносчики,240,244
суперпотенциал, 79,89, 163,291303
суперпроизводные a, определение,
69
суперпропarаторы, см.: супердиа
rpaMMbl
суперпространство, 64
, полевые уравнения, 996
, интеrpалы, 93
суперсимметрия
, aлreбры, 3336, 419431
, ток S(x), 97, 154, 272, 355
, калибровочные теории, 12194,
303314,387
, reHepaтopbl, см.: , алreбры
, история, 4
см. также: расширенная cy
персимметрия, суперrpавитация,
минимальная суперсимметричная
стандартная модель
суперструны, см.: струны
суперток e, 98, 104, 351357
счастицы, 46
теоремы об отсутствии перенорми..
ровки, 163170,294
теории без масштабноro параметра,
387
Teтpцдa,348,41112
тождества Якоби, 27
тополоrическое число v, 145, 293,
295, 311, 324
Уroл р, определение, 231
унитарная калибровка, 150
уравнение РаритыШвинrepа,
365367,378
уравнения rеллМаннаЛоу, см.:
уравнения ренормrpуппы
 ренормrpуппы, 189, 205, 295, 306,
372
усеченный супермультиплет, 52, 55
условия перенормируемости, 82
Формула БейкераХаусдорфа, 126
фотИно, 303 см. также: вино, БИно,
чаРДЖИНО,нейтралино
J(иrrсино, 197, 199,207239
хиrrсовские поля и суперполя,
201202,228239,247250
Центральные заряды, 33, 3840,
179 182, 324, 422, 42729,
43739
Чарджино, 239
четность
 в модели ВессаЗумино, 90
 компонентных полей, 72, 80
 суперполей, 72, 80
 reHepaтopoB суперсимметрии, 43
члены ФайИллиопулоса, 136, 158,
167
Тензор Эйнштейна, 357
 энерrии..импульса TV, 1 o 107,
355
теорема КоулменаМандулы, 2,
1324,419,436
 ХaarаЛопушанскоnrCониуса,
3238
Электрические дипольные моменты,
см.: СРнесохранение

Книrа американскоrо физика"теоретика, лауреата Нобелевской премии
Стивена Вайнберrа "Квантовая теория полей" .......... это фундаментальный
труд выдающеrося ученоrо, принимавшеrо активное участие в создании
современной теории. Изложение отличается ориrинальным подходом и
полнотой. Как отмечает автор, ero целью было не только отразить исто..
рический путь развития, но и показать неизбежность квантовой теории
поля как единственной последовательной схемы, объединяющей прин..
ципы квантовой механики и теории относительности.
В настоящее время внимание мноrих специалистов обращено к
более амбициозным моделям релятивистских струн и поверхностей, пре..
тендующим на роль "теории Bcero". Несмотря на несомненную привле..
кательность этих идей, нужно сказать, что сеrодня их последовательная
формулировка является делом будущеrо. Но независимо от Toro,
насколько оправдаются эти надежды, квантовая теория поля останется
рабочей моделью описания физики частиц при умеренных энерrиях.
На заре квантовой теории поля мноrие ученые таюке полаraли, что она
является "теорией Bcero", в связи с чем большое внимание уделялось
обсуждению непротиворечивости и внутренней замкнутости квантовой
электродинамики и некоторых друrих моделей. В результате этих дискус..
сий стало ясно, что как квантовая электродинамика, так и Стандартная
модель имеют оrраниченную область применимости, что нисколько не
мешает им прекрасно описывать взаимодействия элементарных частиц
в этой области. Нельзя не соrласиться с автором, что все существующие
модели теории поля являются по сути дела "эффективными теориями",
которые MOryт быть получены как определенный предел более фунда..
ментальной теории. По моему мнению, такая же судьба ждет и совре..
менные модели струн и поверхностей.
Важно отметить, что хотя в этих моделях основными являются не
точечные частицы и соответствующие им квантовые поля, а протяжен..
ные объекты, для их исследования используются rлавным образом
методы квантовой теории поля или их прямые обобщения. Поэтому rлу..
бокое знание квантовой теории поля необходимо любому специалисту
в области физики элементарных частиц. Более Toro, методы квантовой
теории поля успешно применяются и в различных областях физики мно"
rих тел. Без этих методов невозможно представить себе современное
развитие физики твердоrо тела и конденсированных сред.
Полаrаю, что книrа С. Вайнберrа найдет широкий Kpyr читателей
.......... как студентов, впервые изучающих квантовую теорию поля, так и
специалистов, которым будет полезно взrлянуть на уже известные им
проблемы с новой точки зрения и получить "из первых рук" информацию
о современном состоянии теории.
Академик РАН А. А. Славнов