Ю. П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
ГЕОМЕТРИЯ
Часть 3. Комбинации тел
КЛАСС
Уважаемые
коллеги!
Вас заинтересовало новое пособие, и Вы
решили приобрести его. Искренне благо-
дарим Вас за проявленные уважение и
доверие к нашей работе.
Созданием комплекта карточек авторы
пытаются оказать помощь учителю матема-
тики в обеспечении благоприятных условий
для:
1)	достижения всеми одиннадцатиклас-
сниками базового уровня подготовки по
геометрии, соответствующего государствен-
ному стандарту математического образова-
ния;
2)	усвоения курса стереометрии на более
высоком уровне учащимися, проявляющими
интерес и способности к предмету;
3)	реализации уровневой дифференциации
обучения на уроке.
Содержание заданий на карточках соот-
ветствует программе и учебникам по гео-
метрии для 11 класса полной средней
общеобразовательной школы. Поэтому но-
вое пособие можно использовать в школах
различного типа: гимназиях, лицеях, коллед-
жах, обычных школах, школах физико-мате-
матических и гуманитарного профиля.
Для удобства работы с раздаточными
материалами, быстрой подготовки их к
использованию все карточки комплекта
упорядочены в определенной системе. Они
расположены по темам и в каждой теме
сгруппированы в соответствии с уровнем
трудности заданий.
В каждой группе карточек по определен-
ной теме предлагаются задания трех различ-
ных уровней сложности. К первому отнесе-
ны задания, соответствующие государствен-
ному стандарту (обязательным результатам
обучения). Выполнение их обеспечивает
успешное продвижение одиннадцатиклас-
сников в изучении курса стереометрии. Ко
второму — задания, решение которых пред-
полагает умение применять знания в ситуа-
циях, сходных с теми, что были разобраны в
учебнике или вместе с учителем на уроках. К
третьему — задания, предназначенные
школьникам, проявляющим интерес к заня-
тиям математикой, умеющим творчески
применять знания.
Большую пользу принесет использование
карточек для организации индивидуальной,
групповой или фронтальной самостоятель-
ной деятельности школьников на уроке.
Систематическое применение карточек дает
возможность реального осуществления диф-
ференцированного подхода к учащимся на
различных этапах изучения конкретной те-
мы: при первичном изучении материала, его
закреплении, проведении тематического
или итогового повторения, подготовке
школьников к тематическим зачетам или
выпускным экзаменам, осуществлении кон-
троля за уровнем знаний одиннадцатиклас-
сников, а также для подготовки их к
вступительным экзаменам в вузы.
Опыт показывает, что родители учеников
успешно используют карточки с заданиями
для организации обучения в домашних
условиях по индивидуальным планам, для
определения степени подготовленности уче-
ников к экзамену по геометрии.
Новое пособие составляет единое целое с
аналогичными комплектами для 10 класса,
11 класса (части I и II). При составлении
карточек данного комплекта авторы исходи-
ли из того, что большинство одиннадцати-
классников овладели умением изображать
основные тела и их отдельные элементы.
Поэтому на карточках не воспроизведены
чертежи. Выполняя задание, одиннадцати-
классники самостоятельно строят соответст-
вующие чертежи в рабочих тетрадях. При
возникновении каких-либо затруднений
учитель сам или с помощью более подгото-
вленных школьников оказывает необходи-
мую помощь.
Комплект содержит 276 карточек с задани-
ями по 10 темам. Общий список тем, рас-
пределение карточек по темам и уровням сло-
жности приведены в общей таблице (см. с. 3
обложки) и на разделительных карточках.
Каждая карточка представлена в комплек-
те в единственном числе. Если возникает
необходимость продублировать некоторые
задания, рекомендуем приобрести несколь-
ко комплектов пособия.
При подготовке комплекта к использова-
нию следует сгруппировать карточки по
темам, затем упорядочить их в каждой
группе. Для этого используйте шифр, поме-
щенный в правом верхнем углу карточки.
Первое число указывает номер темы, вто-
рое—порядковый номер карточки в группе
по данной теме, третье — уровень слож-
ности задания, помещенного на карточке.
Например: шифр
25.18.2
обозначает, что дано задание по 25-й теме —
"Шар и конус". Порядковый номер карточки
в этой группе — 18. Задание имеет 2-й
уровень сложности. Карточки удобно хра-
нить в каталожном ящике.
Ю. П. Дудницын, В. Л. Кронгауз
Список
основных тем курса
№ п/п	Название темы	Число карточек по уровням сложности			ВСЕГО карточек по теме
		1	2	3	
19	Площадь сферы и ее частей	6	12	7	25
20	Объем шара и его частей	9	11	7	27
21	Тела вращения	9	11	10	30
22	Цилиндр и призма	10	15	7	32
23	Конус и пирамида	9	11	9	29
24	Шар и цилиндр	7	10	7	24
25	Шар и конус	9	15	9	33
26	Шар и призма	6	12	10	28
27	Шар и пирамида	8	10	10	28
28	Цилиндр и конус	6	7	7	20
ВСЕГО 10 ТЕМ		79	114	83	276
© Дудницын Ю.П., Кронгауз ВЛ., 1996
© Оформление НПО «Образование», 1996
Лицензия №063331 от 05.03.94
НПО «Образование»,
107078, г.Москва,
Малый Козловский пер., 3
Заказ №5359
Молодечненская
типография ’’Победа'’,
222310, г.Молодечно,
ул.Тавлая, 11
1
£ чнаяосК g
ц чнаяосК i
9 чнаяойХ х
g Ч nahOidrM олаэд
О; чнаяойХ £
XX чнаяоёХ ч
6 чнэяосК х
0£ MOhOid^H олээд
ГЕОМЕТРИЯ 11
уэшэпь ээ п । объем шара и егд
Ыэфэ QQDtnOirn I частей

xnHdinvdd vudj^
Ю,П.Дудницын, В.Л.Кронгауз
Всего карточек 27
1 уровень 9
2 уровень 11
3 уровень 7
КАРТОЧКИ
по геометрии для
11 класса
Часть 3. «КОМБИНАЦИИ ТЕЛ»
Москва
НПО^ЯОБРАЗОВАНИЕ
1996
I
4 чнэяосК £
01 чнэяоЛС i
4 чнэяойХ i
4 ЧНЭЯО(1Х £
SI чнэяойХ i
01 чнэяойХ J
Шар и конус ' ' Цнтт* п а°Ш I Конус и пирамида mEndu п ирнпипЦ
1 уровень 9
2 уровень 15
3 уровень 9
1 уровень 9
2 уровень И
3 уровень 9
3
I
I
I -
I	01 ЧНЭЯОЙХ £
ОУ чнаяойС £
г
Площадь сферы и ее
частей
19.1.1
Сторона квадрата, вписанного в окружность боль-
шого круга шара, равна 6VT дм. Вычислите площадь
поверхности шара.
Площадь сферы и ее
частей
19.3.1
Плоскость сечения шара удалена от его центра на
6 см. Радиус сечения 8 см. Вычислите площадь поверх-
ности шара.
Площадь сферы и ее
частей
19.2.1
Катет и прилежащий к нему угол прямоугольного
треугольника, вписанного в окружность большого круга
шара, равны 18л/Т см и 60°. Вычислите площадь поверх-
ности шара.
Площадь сферы и ее
частей
Через точку К сферы проведена плоскость. Длина
окружности полученного сечения 16л см. Угол между
радиусом сферы, проведенным в точку К, и плоскос-
тью сечения 60°. Вычислите площадь сферы.
19.5.1
Точка А лежит в плоскости, касающейся шара. Рас-
стояние от точки А до центра шара равно 26 см, а до
точки касания — 10 см. Вычислите площадь поверхно-
сти шара.
Площадь сферы и ее
частей
19.7.2
Радиус шара 25 см. Площадь его сечения плоскос-
тью 49л см2. Вычислите площади поверхностей тел, на
которые делится шар плоскостью сечения.
Площадь сферы и ее
частей
19.6.1
Точка Р плоскости, касающейся шара, удалена от его
центра на 15 дм и от точки касания на 5 дм. Вычислите:
1) площадь поверхности шара;
2) расстояние от точки Р до поверхности шара.
&ф.-?	Площадь сферы и ее 19 8 2 частей
Шар радиуса 20 см пересечен плоскостью. Площадь
сечения 144л см2. Вычислите площадь сферической
поверхности меньшей части шара.
Площадь сферы и ее
частей
Точка М плоскости, касающейся шара, удалена от
точки касания на 16 см и от поверхности шара на 8 см.
Вычислите площадь поверхности шара.
Площадь сферы и ее
частей
Радиус шара 13 дм. Площадь его сечения плоскос-
тью 25л дм2. Вычислите площадь полной поверхности
меньшего из полученных шаровых сегментов.
Площадь сферы и ее
частей
19.10.2
Шар, радиус которого 34 см, пересечен плоскостью.
Длина окружности сечения 32л см. Вычислите пло-
щадь поверхности большего из образовавшихся шаро-
вых сегментов.
Площадь сферы и ее
частей
19.12.2
Шар радиуса 17 см пересечен двумя параллельными
плоскостями. Расстояние от центра шара до каждой из
плоскостей 8 см. Вычислите площадь полной поверх-
ности части шара, заключенной между этими плоско-
стями.
Г'
Площадь сферы и ее
частей
19.13.2
Шар пересечен двумя параллельными плоскостями,
расположенными по разные стороны от его центра.
Расстояние между этими плоскостями 8 см. Площади
сечений равны 36л см2 и 64л см2. Вычислите площадь
поверхности шара.
5сф.-?
Площадь сферы и ее
частей
19.15.2
Диаметр сечения сферы плоскостью 60 см. Эта пло-
скость делит перпендикулярный ей диаметр сферы на
части, пропорциональные числам 4 и 9. Вычислите
площадь сферы.
Площадь сферы и ее
частей
Сфера, диаметр которой 50 см, пересечена двумя па-
раллельными плоскостями, расположенными по разные
стороны от центра. Радиусы сечений 20 см и 24 см.
Вычислите площадь части сферы, заключенной между
данными плоскостями.
Площадь сферы и ее
частей
Плоскость сечения сферы делит перпендикулярный
ей диаметр на отрезки 3 см и 5 см. Вычислите площадь
частей сферы, на которые делит ее данная плоскость.
о у	Площадь сферы и ее
Осф.“ •	частей
Угол между плоскостью сечения шара и его ра-
диусом, проведенным в точку окружности сечения,
равен <р. Найдите отношение площадей поверхности
шара и сечения.
		
Площадь сферы и ее
частей
Радиусы сечений сферы параллельными плоскостя-
ми равны 5 см и 12 см. Плоскости расположены по
разные стороны от центра сферы, расстояние между
ними 7 см. Вычислите площадь части сферы, заклю-
ченной между плоскостями.
t"
Площадь сферы и ее
частей
19.18.2
Круговой сегмент, дуга которого 120°, вращается
вокруг прямой, содержащей его высоту. Основание
сегмента равно 10 см. Вычислите площадь сферичес-
кой поверхности полученного тела.
Площадь сферы и ее
частей
19.20.3
Радиусы сечений сферы параллельными плоскостя-
ми равны 3 см и 4 см. Плоскости расположены по одну
сторону от центра шара, расстояние между ними 1 см.
Вычислите площадь части сферы, заключенной между
плоскостями сечений.
Площадь сферы и ее 2J 3
частей
Сфера разделена плоскостью на две части, площади
которых 1 дм2 и 3 дм2. Вычислите площадь круга, огра-
ниченного линией пересечения сферы и плоскости.
Площадь сферы и ее 23 3
частей
Радиус сферы равен 8 см. В точке М, удаленной от
центра сферы на 17 см, находится источник света.
Вычислите отношение площадей освещенной и не-
освещенной частей сферы.
Площадь сферы и ее
Площадь части поверхности шара, заключенной меж-
ду двумя параллельными плоскостями, равна 240л см2.
Плоскости одинаково удалены от центра шара. Его
радиус равен 10 см. Вычислите площади сечений шара.
Площадь сферы и ее
частей
На каком расстоянии от центра шара радиуса R
должна находиться светящаяся точка, чтобы освещать
у его поверхности?
Площадь сферы и ее
частей
Через точку М высоты шарового сегмента проведена
перпендикулярная ей плоскость. Площадь сфериче-
ской части сегмента делится этой плоскостью пополам.
Высота шарового сегмента равна 12 см, радиус его
основания — 24 см. Вычислите площадь сечения сег-
мента данной плоскостью.
Объем шара и его
частей
20.2.1
Диаметр шара делится перпендикулярной ему плос-
костью на отрезки длиной 8 см и 18 см. Вычислите
объемы полученных шаровых сегментов.
Г

10
Объем шара и его
частей
20.1.1
Вычислите объем шара, площадь поверхности кото-
рого 225л см2.
Объем шара и его
частей
20.3.1
Металлический шар, радиус которого 12 см, распла-
вили. Из полученного металла отливают шарики с
радиусом 1,5 см. Сколько получится таких шариков?
Объем шара и его
частей
20.4.1
Найдите отношение объемов шара и его сегмента,
высота которого равна | радиуса шара.
К.-?
Объем шара и его
частей
20.6.1
Сторона равностороннего треугольника, вписанного
в окружность большого круга шара, равна 12>/Т см.
Вычислите объем шара.
11
Объем шара и его
частей
20.5.1
Площадь сечения шара плоскостью равна я дм2. Ко-
синус угла между плоскостью сечения и радиусом шара,
проведенным в точку окружности сечения, равен |.
Вычислите объем шара.
Объем шара и его
частей
20.7.1
Основание равнобедренного треугольника с углом
при вершине 150°, вписанного в окружность большого
круга шара, равно 12 см. Вычислите объем шара.
>
Объем шара и его
частей
20.8.1
Радиус шара 65 см. Радиус его сечения плоскостью
56 см. Вычислите объем меньшего из полученных ша-
ровых сегментов.
Объем шара и его
частей
20.10.2
Радиусы трех шаров 3 см, 4 см и 5 см. Вычислите
радиус шара, объем которого равен сумме объемов этих
шаров.
12
К.-?
Объем шара и его
частей
20.9.1
Радиусы сферических поверхностей выпуклого стек-
ла равны 10 см. Его толщина 4 см. Вычислите объем
стекла.
К.-?
Объем шара и его
частей
20.11.2
Объем стенок полого металлического шара 876л см3.
Толщина стенок 3 см. Вычислите радиусы наружной и
внутренней поверхностей полого шара.
20.12.2
К-?
Объем шара и его
частей
Шар пересечен плоскостью, которая удалена от его
центра на 45 см. Отношение длин окружностей сече-
О
ния и большого круга шара равно уу. Вычислите:
1) площадь поверхности шара;
2) объем шара.
Объем шара и его
частей
20.14.2
Площадь сечения шара плоскостью равна 36л дм2.
Плоскость сечения делит шар на два шаровых сегмен-
та, высоты которых пропорциональны числам 2 и 3.
Вычислите объем шара.
13
к.-?
Объем шара и его
частей
20.13.2
Радиусы сечений шара параллельными плоскостями
равны 9 см и 12 см. Плоскости расположены по одну
сторону от центра шара, расстояние между ними 3 см.
Вычислите объем шара.
Объем шара и его
частей
20.15.2
Радиус основания шарового сегмента 8 см, дуга его
осевого сечения 60°. Вычислите объем сегмента.

.9
20.16.2
Объем шара и его
частей
Радиус шара 25 см. Радиусы его сечений параллель-
ными плоскостями, расположенными по разные сто-
роны от центра шара, 20 см и 24 см. Вычислите объем
части шара, заключенной между плоскостями.
Объем шара и его
частей
ЖАК.!
Два равных шара расположены так, что центр одного
лежит на поверхности другого. Найдите отношение
объемов одного шара и их общей части.
14
К.-?
Объем шара и его
частей
20.17.2
Плоскость делит шар на два шаровых сегмента,
отношение высот которых равно 1:5. Объем шара ра-
вен 36л дм3. Вычислите объемы шаровых сегментов.
Объем шара и его
частей
20.19.2
Радиус шара 75 см. Радиус окружности основания
его шарового сектора 60 см. Вычислите объем этого
сектора.
20.20.2
К.-?
Объем шара и его
частей
Вычислите объем шарового сектора, если централь-
ный угол его осевого сечения равен 120°, а площадь
поверхности соответствующего шара — 144я см2.
К.-?
Объем шара и его
частей
20.22.3
Шар пересечен плоскостью, которая делит площадь
его поверхности в отношении 1:3. В каком отношении
делится объем шара?
15
К.-?
Объем шара и его
частей
20.21.3
Радиусы сферических поверхностей выпуклой лин-
зы 10 см и 17 см. Расстояние между их центрами 21 см.
Вычислите объем линзы.
Объем шара и его
частей
20.23.3
Расстояния между центрами трех попарно касаю-
щихся шаров равны 12 см, 16 см, 20 см. Вычислите
объемы шаров.
20.24.3
Объем шара и его
частей
Объем шара равен V. Найдите объем его сектора,
центральный угол осевого сечения которого равен а.
Объем шара и его
частей
20.26.3
Какую часть объема шара составляет объем его сек-
тора, сферическая и коническая поверхности которого
равновелики?
16
20.25.3
К.-?
Объем шара и его
частей
Найдите отношение объема шара и объема его секто-
ра, если площадь осевого сечения сектора равна j пло-
щади большого круга шара.
Объем шара и его
частей
20.27.3
Из точки А проведена к шару с центром О касатель-
ная AM (М— точка касания). Угол МАО равен <р. Рас-
стояние от точки А до поверхности шара равно а.
Найдите объем шара.
Тела вращения
Прямоугольник, стороны которого 8 см и 12 см, вра-
щается вокруг прямой, параллельной меньшей стороне.
Эта прямая удалена от точки пересечения диагоналей
прямоугольника на 9 см. Вычислите объем полученного
тела.
Тела вращения 21.3.1
Прямоугольный треугольник с катетами 8 см и 15 см
вращается вокруг большего катета. Вычислите:
1) площадь полной поверхности полученного тела;
2) объем полученного тела.
17
Тела вращения
21.2.1
Катеты прямоугольного треугольника 5 см и 12 см.
Этот треугольник вращается вокруг прямой, которая
проходит через вершину меньшего угла и параллельна
катету. Вычислите объем полученного тела.

Тела вращения
21.4.1
Прямоугольный треугольник с катетами 10 см и 24 см
вращается вокруг гипотенузы. Вычислите площадь по-
верхности полученного тела.
Тела вращения
21.5.1
Равносторонний треугольник, сторона которого рав-
на а, вращается вокруг одной из сторон. Найдите объем
полученного тела.
Тела вращения
21.7.1
Основания прямоугольной трапеции равны 4 дм и
8 дм. Боковая сторона ее наклонена к основанию под
углом 60°. Вычислите площадь полной поверхности
тела, полученного при вращении этой трапеции вокруг
меньшей боковой стороны.
Г
1
18
Тела вращения
21.6.1
Ромб, диагонали которого 30 см и 16 см, вращается
вокруг большей из них. Вычислите площадь поверх-
ности полученного тела.
Тела вращения
21.8.1
Дуга А В окружности равна 120°. Ее радиус АО —
10 см. Вычислите площадь поверхности, образованной
этой дугой при вращении ее вокруг прямой АО.
Тела вращения
21.9.1
Центральный угол кругового сектора АО В равен 90°,
радиус АО — 12 см. Вычислите объем тела, полученно-
го при вращении сектора АОВ вокруг прямой, содер-
жащей биссектрису центрального угла АОВ.
Тела вращения
21.11.2
Правильный треугольник АВС со стороной, равной
а, вращается вокруг прямой, проходящей через верши-
ну В и перпендикулярной стороне ВС. Найдите объем
полученного тела.


19
Тела вращения
21.10.2
Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с,
острый угол — а. Треугольник вращается вокруг пря-
мой, проходящей через вершину прямого угла и парал-
лельной гипотенузе. Найдите объем полученного тела.
Тела вращения
21.12.2
Равнобедренный треугольник, угол при вершине ко-
торого 120°, вращается вокруг боковой стороны, рав-
ной а. Найдите объем полученного тела вращения.
Тела вращения
21.13.2
Треугольник АВС, у которого АВ=15 см, АС—14 см,
ВС=\3 см, вращается вокруг прямой, проходящей че-
рез вершину С, параллельной стороне АВ. Вычислите
объем полученного тела.
Тела вращения
21.15.2
Ромб, сторона которого равна т, а острый угол — а,
вращается вокруг стороны. Найдите площадь поверх-
ности полученного тела.
Г
р
20
Тела вращения
21.14.2
Квадрат, сторона которого равна а, вращается вокруг
прямой, проходящей через его вершину и параллельной
диагонали. Найдите площадь поверхности полученного
тела.

Тела вращения
21.16.2
Основания равнобокой трапеции 8 см и 2 см. Ост-
рый угол ее 45°. Трапеция вращается вокруг большего
основания. Вычислите объем полученного тела враще-
ния.
"I
I
Тела вращения
21.17.2
Тела вращения
21
21.18.2
Основания равнобокой трапеции 15 см и 9 см, боко-
вая сторона ее 5 см. Трапеция вращается вокруг пря-
мой, проходящей через конец большего основания и
перпендикулярной ему. Вычислите площадь полной
поверхности полученного тела.
Боковая сторона и меньшее основание равнобокой
трапеции равны а. Два угла трапеции пропорциональ-
ны числам 1 и 2. Трапеция вращается вокруг меньшего
основания. Найдите площадь поверхности полученно-
го тела.
Тела вращения
21.19.2
Тела вращения
21.20.2
Правильный шестиугольник, сторона которого рав-
на а, вращается вокруг прямой, содержащей одну из
его сторон. Найдите объем полученного тела.
Круговой сегмент, дуга АВ которого равна 120°, вра-
щается вокруг диаметра круга, параллельного хорде АВ.
Вычислите объем полученного тела, если АВ=12VT см.
Тела вращения
21.21.3
.л
Ромб со стороной а и острым углом 60° вращается
вокруг прямой, проходящей через вершину этого угла и
перпендикулярной стороне. Вычислите площадь пол-
ной поверхности полученного тела.
Тела вращения
21.23.3
Фигура, ограниченная линиями у = 0, х = 2, у = х3,
вращается вокруг оси абсцисс. Вычислите объем полу-
ченного тела.

22
Тела вращения
21.22.3
Фигура, ограниченная линиями у = 0, у = х2, х = 2,
вращается вокруг оси абсцисс. Вычислите объем полу-
ченного тела.

Тела вращения
21.24.3
Фигура, ограниченная прямыми у = 0, х = 9 и гра-
фиком функции у = Vx, вращается вокруг оси абсцисс.
Вычислите объем полученного тела.
Тела вращения
21.25.3
Фигура, ограниченная прямыми у = 0, х = 2 и гра-
фиком функции у = х2, вращается вокруг оси ординат.
Вычислите объем полученного тела.
Тела вращения
21.27.3
Фигура, ограниченная прямой у = 0 и графиком
функции у = cos х при - < х < , вращается вокруг оси
абсцисс. Вычислите объем полученного тела.
23
^4
Тела вращения
21.26.3
Фигура, ограниченная прямой у = 0 и графиком
функции у = sin х при 0 < х < л, вращается вокруг оси
абсцисс. Вычислите объем полученного тела.
Тела вращения
21.28.3
Фигура, ограниченная прямыми х = 0, у = 8, у = х3,
вращается вокруг оси ординат. Вычислите объем полу-
ченного тела.
Тела вращения
21.29.3
Треугольник, стороны которого равны 5 см, 6 см и
7 см, вращается вокруг средней стороны. Вычислите
площадь поверхности шара, вписанного в полученное
тело.
Цилиндр и призма 22.1.1
Правильная четырехугольная призма описана около
цилиндра. Высота призмы 20 см, сторона ее основания
16 см. Вычислите объем цилиндра.
24
Тела вращения
21.30.3
Круговой сектор АО В, центральный угол которого
равен 60°, вращается вокруг диаметра, перпендикуляр-
ного радиусу ОВ. Вычислите площадь полной поверх-
ности полученного тела, если 04=18 дм.
Цилиндр и призма 22.2.1
Около цилиндра описан куб, ребро которого равно
2а. Найдите объем цилиндра.
X
Цилиндр и призма 22.3.1
Около цилиндра, высота которого 15 см, а радиус
основания 4 см, описана правильная четырехугольная
призма. Вычислите площадь полной поверхности приз-
мы.
Цилиндр и призма 22.5.1
В цилиндр, осевое сечение которого — квадрат со
стороной 12 см, вписана правильная четырехугольная
призма. Вычислите:
1) объем призмы;
2) длину диагонали призмы.
25
Цилиндр и призма 22.4.1
В цилиндр, высота которого 12 см, вписана правиль-
ная четырехугольная призма. Площадь ее диагонального
сечения равна 120 см2. Вычислите объем цилиндра.
Цилиндр и призма 22.6.1
В цилиндр вписан куб, ребро которого равно 2а.
Найдите объем цилиндра.
X

Цилиндр и призма ИЛЛ
Правильная треугольная призма вписана в цилиндр.
Высота цилиндра 10 см, радиус его основания 4V3" см.
Вычислите площадь боковой поверхности призмы.
Цилиндр и призма 22.9.1
В цилиндр вписана правильная шестиугольная
призма. Высота цилиндра 15 см, диаметр его основа-
ния 48 см. Вычислите площадь боковой поверхности
призмы.
"t
26
Цилиндр и призма
22.8.1
В цилиндр, осевое сечение которого — квадрат со
стороной 18 см, вписана правильная треугольная при-
зма. Вычислите объем призмы.
Цилиндр и призма 22.10.1
В цилиндр вписана правильная шестиугольная при-
зма. Высота призмы равна 14 см, наибольшая диагональ
ее основания — 20 см. Вычислите площадь боковой
поверхности цилиндра.
X
Цилиндр и призма 22.11.2

Около цилиндра описана правильная четырехуголь-
ная призма. Ее диагональ равна 17 см, а диагональ
боковой грани — 15 см. Вычислите объем цилиндра.
Цилиндр и призма 22.13.2
Правильная треугольная призма, сторона основания
которой равна а, описана около цилиндра. Диагональ
боковой грани призмы наклонена к плоскости основа-
ния под углом <р. Найдите объем цилиндра.
-г
27
Цилиндр и призма 22.12.2
Около цилиндра описана правильная треугольная
призма, каждое ребро которой равно 36 см. Вычислите
объем цилиндра.
Цилиндр и призма 22.14.2
Призма, основание которой — прямоугольный тре-
угольник с катетами 8 м и 6 м, описана около цилиндра.
Диагональ большей боковой грани призмы наклонена к
основанию под углом 45°. Вычислите:
1) диаметр основания цилиндра;
2) площадь боковой поверхности цилиндра.
Цилиндр и призма 22.15.2
Призма, основанием которой является ромб с острым
углом 30°, описана около цилиндра. Площадь основания
цилиндра равна 100л см2. Расстояние между ближайши-
ми точками окружностей верхнего и нижнего оснований
цилиндра равно 15 см. Вычислите объем призмы.
Цилиндр и призма 22.17.2
Правильная пятиугольная призма, сторона основа-
ния которой равна 2а, описана около цилиндра. Высо-
та призмы в два раза больше диагонали ее основания.
Найдите объем цилиндра.
28
Цилиндр и призма 22.16.2
Около цилиндра описана призма, основанием кото-
рой является равнобокая трапеция. Площадь трапеции
равна 192 см2. Объем цилиндра равен 540л см3, радиус
его основания — 6 см. Вычислите площадь боковой по-
верхности призмы.
Цилиндр и призма 22.18.2
Правильная шестиугольная призма, каждое ребро
которой равно 24 см, описана около цилиндра. Вычис-
лите:
1) объем цилиндра;
2) наибольшее расстояние между точками верхнего
и нижнего оснований цилиндра.

Цилиндр и призма 22.19.2
1
।
В цилиндр, осевое сечение которого — квадрат со *
стороной а, вписана правильная четырехугольная при- ।
зма. Найдите отношение площадей полных поверхно- I
стей цилиндра и призмы.	|
I
I
I
Цилиндр и призма 22.21.2
В цилиндр вписан параллелепипед, диагональ кото-
рого равна т. Углы между этой диагональю и плоско-
стями боковых граней равны а и /3. Найдите объем
цилиндра.
29
Цилиндр и призма 22.20.2
Параллелепипед вписан в цилиндр. Вычислите от-
ношение площадей боковой поверхности цилиндра и
диагонального сечения параллелепипеда.
Цилиндр и призма 22.22.2
В цилиндр вписана правильная призма АВСА\В\С\.
Расстояние между осью цилиндра и стороной основа-
ния призмы 6 см. Угол между плоскостью основания
цилиндра и плоскостью, содержащей вершины С\, А,
В призмы, равен 60°. Вычислите объем цилиндра.
Цилиндр и призма 22.23.2
X	30
Цилиндр и призма 22.24.2
В цилиндр вписана призма, основанием которой
является равнобедренный треугольник. Его основание
6 см, а боковая сторона 9 см. Площадь боковой поверх-
ности призмы 240 см2. Вычислите:
1) объем цилиндра;
2) расстояние между образующими цилиндра, лежа-
щими в равных боковых гранях призмы.
В цилиндр вписана призма, основанием которой яв-
ляется равнобедренный прямоугольный треугольник.
Диагональ большей ее боковой грани равна 20 см и
наклонена к основанию под углом 60°. Вычислите:
1) объем цилиндра;
2) расстояние между осью цилиндра и катетом осно-
вания призмы.
Цилиндр и призма 22.25.2
В цилиндр вписана правильная шестиугольная при-
зма. Диагональ ее боковой грани равна а и наклонена
к плоскости основания под углом <р. Найдите:
1) площадь полной поверхности цилиндра;
2) наибольшее расстояние между точками окруж-
ности верхнего и нижнего оснований цилиндра.
Цилиндр и призма 22.26.3
Около цилиндра описана призма, основание кото-
рой—равнобедренный треугольник с основанием, рав-
ным 2т, и углом при основании а. Площадь боковой
поверхности призмы равна сумме площадей ее основа-
ний. Найдите объем цилиндра.
Цилиндр и призма 22.27.3
В цилиндр вписан параллелепипед. Бдльшая сторо-
на его основания равна а. Диагональ параллелепипеда
составляет с плоскостью основания угол а, а с большей
боковой гранью угол Р- Найдите объем цилиндра.
—————
।	Цилиндр и призма 22.29.3
Вычислите отношение объемов двух цилиндров: опи-
санного около правильной четырехугольной призмы и
вписанного в нее.
31
Цилиндр и призма 22.28.3
В цилиндр вписана треугольная призма. Площади ее
боковых граней равны 54 дм2, 56 дм2 и 72 дм2. Ось
цилиндра расположена в плоскости одной из боковых
граней. Вычислите площадь полной поверхности ци-
линдра.
Цилиндр и призма
22.30.3
Призма, основанием которой является ромб с мень-
шей диагональю т и большим углом 2а, вписана в
цилиндр. Через меньшую диагональ нижнего основания
и конец большей диагонали верхнего основания прове-
дено сечение призмы. Угол между плоскостями сечения
и основания равен <р. Найдите объем цилиндра.
32
Цилиндр и призма
22.31.3
Цилиндр и призма 22.32.3
Около цилиндра, осевое сечение которого — квадрат
со стороной 8 см, описана призма. Ее основанием
является прямоугольная трапеция. Площадь боковой
поверхности призмы 288 см2. Вычислите:
1) длину большей стороны основания призмы;
2) объем призмы.
В цилиндр, высота которого 12 см, радиус основания
9 см, вписан параллелепипед. Чему равен наибольший
объем такого параллелепипеда?
Конус и пирамида 23.1.1
Конус и пирамида 23.2.1
Около конуса, высота которого равна 15 см, а радиус
основания — 5 см, описана правильная четырехуголь-
ная пирамида. Вычислите объем пирамиды.
Правильная четырехугольная пирамида, сторона осно-
вания которой равна 8 см, а высота — 15 см, описана
около конуса. Вычислите:
1) объем конуса;
2) длину образующей конуса.