Физические вопросы теории звездной эволюции - Бисноватый-Коган Г.С.

Автор: Бисноватый-Коган Г.С.
Теги: физика термодинамика астрофизика ядерная физика строение материи
Год: 1989
Похожие
Звёзды
Эрнст Юлиус Эпик (1893-1985 гг.)
Модель космоса. Том 1. Физические условия в космическом пространстве
Осесимметричные стационарные течения в астрофизике
Текст
                    Г.С. БИСНОВАТЫЙ-КОГАН
ФИЗИЧЕСКИЕ
ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ЗВЕЗДНОЙ
ЭВОЛЮЦИИ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1989

либо связанной со звездами проблемы, либо рассматривались интересные
физические вопросы, возможно, не очень важные или с не вполне осознан-
осознанной ролью для развития теории звездной эволюции. Критерий отбора был
значительно мягче при изложении собственных результатов автора. Неко-
Некоторые вопросы остаются в книге без ответа и включение их связано с на-
надеждой на то, что у какого-нибудь читателя возникнет желание найти реше-
решение.
В книге рассмотрены пути эволюции только одиночных звезд. Теория
эволюции звезд в тесных двойных системах, в которой разнообразие эволю-
эволюционных путей неизмеримо возрастает, изложена в недавно вышедшей кни-
книге А.Г. Масевич и А.В. Тутукова "Эволюция звезд: теория и наблюдения"
[156]. Там же рассматривается и связь теории с астрономическими наблкь
дениями.
Автор искренне благодарен СИ. Блинникову, С.А. Ламзину, А.Ф. Илла-
Илларионову за полезные обсуждения и помощь, и, в особенности Э.В. Бугаеву
и Д.Г. Яковлеву, которые прочитали отдельные главы и сделали много
ценных замечаний.

ЧАСТЬ I
ФИЗИКА ЗВЕЗДНОЙ МАТЕРИИ
ГЛАВА 1
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА
§ 1. Идеальный газ с излучением
Вешество большинства звезд имеет высокую температуру и сравнитель-
сравнительно умеренную плотность. В этих условиях кинетическая энергия частиц
много больше энергии взаимодействия между ними и модель нерелятивист-
нерелятивистского, невырожденного идеального газа оказывается хорошим приближе-
приближением к реальности. Термодинамические свойства вещества планет, напри-
например, Земли, изучены гораздо хуже. Температура их при той же плотности
значительно ниже и вещество находится в жидкой и твердой фазах, ис-
исследование которых сопряжено с существенными трудностями.
В недрах звезд вещество и излучение находятся в термодинамическом
равновесии, которое устанавливается быстрыми процессами столкнове-
столкновений частиц, поглощением и испусканием фотонов. Излучение, наряду с га-
газом, создает давление, противодействующее силе тяжести.
Вещество звезд состоит из различных химических элементов, основ-
основными из которых являются водород и гелий. На Солнце, например, они
составляют в сумме более 98,5% плотности вещества. Остальная часть
массы Солнца состоит из смеси практически всех стабильных изотопов
таблицы Менделеева. В табл. 1 указано содержание наиболее обильных
элементов, наблюдаемых на Солнце [5]. При изменении от центра до по-
поверхности звезды температуры на три-четыре порядка и плотности на
~ 10 порядков изменяется состояние ионизации вещества.
В центральных областях звезд с М > М© все атомы практически пол-
полностью ионизованы.
Пусть / — номер химического элемента, который может находиться
в различных состояниях ионизации от нейтрального (/ = 0) до полностью
ионизованного (/ = /). Обозначим через е# энергию связи /-кратно иони-
ионизованного иона элемента /, определяемую так, что для полностью иони-
ионизованного иона е,-,- = 0. Удельная энергия Е (эрг-г), давление Р
(дин-см) и удельная энтропия S (эрг • г -К) данной смеси ато-
атомов, ионов и электронов с излучением имеют вид [145]
,, 3 кТ аТ4 i jc,
*"т;= + ?& A1)

к
Р
/=
* E
+ — по{ —
ъ'2
+
4 аТ3
A.3)
Здесь использованы обозначения:
р — плотность,
Т — температура,
к = 1,38067 ■ 10~16 эрг ■ К - постоянная Больцмана,
h = 1,0546 ■ 10~27 эрг ■ с - постоянная Планка,
эрг ■ см
излучения,"
с = 2,9979
xt - массовая доля элемента с атомным номером /,
а = -п2к*1\5Ь3с3 = 7,565 ■ 1O~1S эрг ■ см - К~4 - постоянная плотности
1010 см ■ с - скорость света в вакууме,
Таблица 1
Распространенность нанболее обнльных хнмическнх элементов (Солнце, [5])
Элемент
Символ
Атомный
номер
Атомная масса
Десятичный логарифм
распространенности
по числу
Водород
Гелий
Углерод
Азот
Кислород
Неон
Натрий
Магний
Алюминий
Кремний
Фосфор
Сера
Хлор
Аргон
Кальций
Хром
Марганец
Железо
Никель
Н
Не
С
N
О
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
Ca
Cr
Mn
Fe
Ni
Относительное содержание по
Водород Х^ = 0,73
Гелий Хце = 0,25
Прочие элементы £ х,-
= 0,017
1
2
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
24
25
26
28
массе:
1,0080
4,0026
12,0111
14,0067
15,9994
20,179
22,9898
24,305
26,9815
28,086
30,9738
32,06
35,453
39,948
40,08
51,996
54,9380
55,847
58,71
12,00
10,93
8,52
7,96
8,82
7,92
6,25
7,42
6,39
7,52
5,52
7,20
5,6
6,8
6,30
5,85
5,40
7,60
6,30
Число нуклонов на ядро,
ixn= 1,26
Средняя атомная масса прн
ионизации
ц = 0,60
12,00
11,53
9,60
9,11
10,02
9,22
7,61
8,81
7,78
8,97
7,01
8,71
7,2
8,4
7,90
7,57
7,14
9,35
8,07
полной

v, — степень /-кратной ионизации /-го элемента, так что £ у и = 1,
Л/; /= о
щ «s А{ ти — масса ядра атома с номером / и атомной массой Af > 4,
ща = 1,66057 • 10~24 г - атомная единица массы, равная 1/12 массы
изотопа 12С,
те =9,10953 • 10~28 г-масса электрона*),
n.=XiPyij/mi см -концентрация ионов элемента / в /-м состоянии
ионизации, A-4)
£.- — статистический вес иона /-го элемента в /-м состоянии ионизации,
ne = Ti £ ]пц см — концентрация электронов в условиях электроней-
электронейтральности, A.5)
[та ' I
£ — Xj 2 A +j)y« — количество нуклонов на одну части-
/ mi / = о J
цугаза (средняя атомная масса). A.6)
В полностью ионизованном газе, состоящем из водорода, гелия и других
элементов с А{ « 21 > 1, имеем
Г'
A.7)
3 ! Г'
-хНе + -хА\ ,хА=2, xt,
4 2 J />б
Энергия в A.1) отсчитывается от энергии покоя полностью ионизованных
ионов и электронов. Степени ионизации элементов в термодинамическом
равновесии определяются формулой Саха [145]
V - Р / ?7Ttl2 \3/2
ие 1 — I e v -пеКA). A-°)
У ij 2gjj \тпекТ/
Здесь Iff = €/j _ ] — е,-7- — энергия (потенциал) ионизации /-го электрона,
//о = 0. Энергии ионизации наиболее обильных элементов приведены в
табл. 2. Для нахождения степени ионизации элементов в смеси необходимо
решить систему уравнений A.8) с учетом A.4), A.5). Аналитическое ре-
решение получается в случае однократной ионизации одного (/-го) сорта
атомов
п
= 1 -Уп,
'4'kT = FnT.
1/2
A.9)
1 \"z 1
, т/ 2FpT
m ? WP = 1.67265 ■ Ю-24 - масса протона, тп = 1,67495 ■ 10"" г - масса нейтрона,
I>mu - 2,01410, /пзн/ти = 3,01605, "»зНе/ти = 3,01603, - относительные массы
аТОМов Дейтерия, трития и гелия-3. Константы взяты нз [5, 180].

Таблица 2
Потенциалы ноннзацин н полные моменты внешних электронных оболочек наи-
наиболее обильных элементов [180].
Атомный
номер
Элемент
Потенциалы ионизации, зВ
ПоДные моменты
1
2
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
24
25
26
28
н-,н
Не
С
N
О
Ne
Na
Mg
Al
Si
P
S
Cl
Ar
Ca
Cr
Mn
Fe
Ni
0,747; 13,5985
24,5876; 54,418
11,260; 24,284; 47,89; 64,49
14,534; 29,602; 47,45; 77,47
13,618;35,118;54,94;77,41
21,565; 40,964; 63,46; 97,12
5,1391;47,287;71,64; 98,92
7,646; 15,035; 80,15; 109,2
5,9858; 18,828; 28,448; 120
8,152; 16,346; 33,493; 45,14
10,49;19,73;30,18;51,47
10,36;23,33; 34,83;47,31
12,968; 23,81; 39,61; 53,47
15,760; 27,63; 40,74; 59,81
6,113; 11,872; 50,91;67,10
6,766; 16,50; 30,96; 49
7,4368; 15,640; 33,67; 51,2
7,87; 16,18; 30,65; 54,8
7,63; 18,17; 35,2; 54,9
0;l/2
0;1/2;0
0; 1/2; 0;1/2
3/2; 0; 1/2; 0
2; 3/2; 0; 1/2
0,3/2; 2; 3/2
1/2;0; 3/2;2
0, 1/2;0; 3/2
1/2; 0; 1/2;0
0; 1/2; 0; 1/2
3/2; 0; 1/2; 0
2; 3/2; 0; 1/2
3/2; 2; 3/2; 0
0; 3/2; 2; 3/2
0; 1/2; 0; 3/2
3; 5/2; 0; 3/2
5/2; 2; 5/2; 0
4; 9/2;4; 5/2
4; 5/2; 4; 9/2
1 эв= 11,604 К
При исследовании звездной эволюции часто необходимо знать значения
адиабатических показателей
J^\ «.J™H.\ ,.У£*ИЛ
7з
\dlnP/s \31np/s
и тегшоемкостей
В условиях неполной ионизации все величины рассчитываются численно,
для чего их удобно выразить через производные
/Э1пР\ /Э1пР\ / bS \ (
\д\пр)т' \Э1п77р ' \Э1пр/г'
A.10)
...
Воспользуемся известными свойствами якобианов
Э(и. и) Э(и, и) Э(t, s) Э(м, и) /Ъи\
Ъ (х, у) ~ Э (Г, s) Э (х, >-)' Э (х, v) ~ \дх /„"

Получаем
/dlnP\ /Ъ\г\Р
7i
y2J/^-\ -(^-) (^) l(j^-p) J , A-12)
а.<г \ // a.s1 \
A.13)
д\пр/т
A.14)
<>1пР\
l A15)
Производные от энтропии выражаются через производные от энергии и
давления из первого закона термодинамики и условия полноты диффе-
дифференциала свободной энергии F = Е — TS:
(JL) ._±
(Щ, () (
Э1пГ/р Т\д]пТ/р \Э1пр/г РТ\д1пТ/р
Если степени ионизации у у постоянны, то из A.3) - A.6) следует
к ,., 4 аТ3
S= 1п(Г3/2/р)+ +const A.18)
цти 3 р
и все производные вычисляются аналитически:
Э5\ Р / 35 \ 3
; ) = - — D -
/ 35 \ 3 Р
D - 3/L), ( > = (8 - 70Л
рТУ е''\Ъ\Пт)р 2 рТК *'
Здесь pg = Pg/P — отношение газового давления к полному. Выражения для
адиабатических показателей и теплоемкостей одноатомного газа с ц =
= const и излучения принимают вид [218]
2 D - 3/LJ Г 3 8 - 7/L
g 3 8-7ре I g 244-3^
2 4-3/L
с„л±(8,7Ц|Срл^(8_7л,,к4-^»'
2 рГ 2 рГ L 3
= 7,/^.

Соотношения A.18)-A.20) широко применяются при описании звезд-
звездной материи, так как основная часть массы звезд находится в состоянии
полной ионизации с р. = const. В оболочках звезд, где температура мень-
меньше, вещество ионизовано не полностью кц=ц(р,Т).
Задача. Вывести уравнения для концентраций электронов в плазме,
состоящей из Н°, Н+, Н~, Не0, Не+, Не++, а также атомов и однократно
ионизованных ионов к других элементов.
Решение. Используя формулу Саха A.8) и табл. 2, получаем для во.
дорода
| е гз yH_ = yJ*LQ g 4, A)
1 /r,iekT\3'2 -^ уно Ун-
Используя условие ун - +Уно +УН* = 1, имеем
Ун-= ("I + "е Сн» + бн° Qn*Tl ■ B)
Аналогично для гелия получаем
.Уне» = п\ {п\ + пе QHe+ + бнв^бнв-),
УНе° _ J^He" ...
J^He* = ^Не*. J^He" = -"Г" ^Не" бнв*. C>
где
,i^ 24,6 ,,, 54,4
312 -— /mekT\3f2 - —
и для тяжелых элементов
JJL
Здесь Гэ - температура в электронвольтах. Используя соотношение A.4)
для каждого элемента и условие электронейтральности A.5)
пН* + ПНе* + 2пНе++
к
I- 2 п* = пе +ин-,
/=1
получаем уравнение для приведенной электронной концентрации
Р
QH0 Чн* — хе хНе
*н—? +
4 х\
k т..
+ 2 х: ' =дге. F)
/=о rrij xe+qf*
10

рис 1- Зависимости у3 (Г) при р -
X const, указанных на кривых, для
Хяэмального состава (табл. 1) в об-
обдели, да происходит ионизация во-
водорода и гелия
0,6
0,4
0,2
Здесь <?, = ти QJp. Все величи-
величины в F) безразмерны и близки
к единице, что удобно для чис-
численного решения.
После нахождения степеней
ионизации в зависимости от р и
Т, можно вычислить термодина-
термодинамические функции и их произ-
производные. На рис. 1 в качестве
примера такого расчета приведе-
приведена зависимость 7з(Р. Т) для сме-
смеси с составом хн = 0,75, *Не =
= 0,22 и солнечным соотноше-
соотношением между другими элементами 2-№s 5-Ю3 W* Ю5 " Г
(табл. 1). Два минимума на кри-
кривых 7з \Р(Т) соответствуют областям ионизации водорода и первой иони-
ионизации гелия. При малой плотности р = 10~12 г ■ см второй минимум
попадает в область преобладания давления излучения и потому не заметен.
§ 2. Релятивистский газ с учетом вырождения
В центральных областях звезд, находящихся на поздних стадиях эво-
эволюции, а также при взрывах сверхновых кинетическая энергия электро-
электронов может стать порядка их энергии покоя, т.е. скорости их приближают-
приближаются к скорости света:
кТ~щес2, <ие>~с. B.1)
При вычислении термодинамических функций необходимо тогда исполь-
использовать полные релятивистские выражения для энергии и импульса эле-
электронов. С другой стороны, плотности могут вырасти настолько, что сред-
среднее число частиц в ячейке фазового пространства приближается к едини-
единице. При этом необходимо учитывать принцип Паули для электронов
(спин = 1/2), число которых в ячейке фазового пространства равно либо
нулю, либо единице. Среднее число электронов с энергией е в ячейке зада-
задается функцией Ферми [145]
где цТе _ химический потенциал электронов.
р =
= — импульс электрона.
B.2)
B.3)
11

Термодинамические функции находятся с помощью интегралов по им-
импульсному пространству (с учетом статистического веса ge = 2) [145J:
пе = 2 —~ ffeP2dp, B.4)
Bnt\K о
пе = 2 f
Bnt\K о
2
-ffeep2dP, B.5)
K о
1 " ре
/'/ d B6)
BяЬK 3 о VP
2 4эт
ТГТ^ +A -/еIпA -/е)]Р^Р-. B-7)
р BяЛK о
После преобразования интегралов и введения безразмерных величин
рс тес2 5,93013 ■ 109 К ц,е
х= —,а=—— = - , 0=-^_ B.8)
кТ кТ Т кТ V
получим
кТ\3
1 /кТ\3
кТ1Е-,
где
x2dx °° x4dx
j Г j Г
п'~о 1 + ехр (у/х2 + а2 - Р) ' Р'~о у/х2 + а2 [1 + ехр (V*2 + а2 - Р)]'
B.10)
_ " у/х2 +a2x2dx
о 1 + ехр (у/х2 + а2 - Р)
Когда кТ > 0,1 гпес2, в термодинамическом равновесии необходимо учи-
учитывать позитроны. Аннигиляция пары е~е+ приводит к рождению фото-
фотонов, химический потенциал которых в равновесии равен нулю, /иф = 0.
Из условия равновесия аннигиляции цте + цТе+ = Цф =0 следует равен-
равенство
Vte+ = -U,e. BЛ1)
Термодинамические функции для позитронов получаются из B.9), где
следует заменить /3 на —/3 и использовать интегралы /j+, i = п, Е, Р, полу-
получаемые из /,_ в B.10) заменой 0 на —/3. Нуклоны и ядра часто можно счи-
считать невырожденными и нерелятивистскими, поэтому для них, вместе
12

I излучением, имеем
кТ аТ4
+ , B.12)
Р
B.14)
Здесь рассмотрено полностью ионизованное вещество. Если ядерные реак-
реакции не идут и весовые доли элементов неизменны (xt = const), то аналогич-
аналогично A.18) имеем
к /Т312\
SN= 1п( 1 +const. B.15)
Им mu \ Р /
В B.12)-B.15) использована величина
B.16)
равная среднему числу нуклонов в ядре. Для получения полных выраже-
выражений термодинамических функция Р, Е и S необходимо просуммировать
соответствующие выражения для электронов, позитронов, ядер и излуче-
излучения. Заряд ядер связан с избытком электронов над позитронами. Имеем
-Ш'-
-. =пе--пе+, iiz=lz,——1 - число нуклонов на один B.17)
femu \' -^i / электрон.
Выражение B.17) с учетом B.9), B.10) служит для нахождения зави-
зависимости ute(P> Т). Для случая полной ионизации при уи = 1, i = Z имеем
из A.6), B.16) и B.17)
1 1 1
- = — + — B.18)
В данном параграфе отсчет энергии ведется от энергии покоя ядер, кото-
которая в отсутствии ядерных превращений остается неизменной.
Рассмотрим предельные случаи формул B.9).
а) Сильное вырождение. При нулевой температуре электроны заполня-
заполняют фазовое пространство вплоть до граничного импульса Ферми pFe. Плот-
Плотность электронов равна удвоенному (за счет статистического веса) числу
ячеек в сферической области фазового пространства радиусом pFe:
VrifTPFe=3^tf' BЛ9)
Учетом B.17) получаем в отсутствие позитронов
.1/3
VioVW meC- B-20)
13

Кинетическая энергия электрона на границе фазовой области называется
энергией Ферми:
PFe
eFe = (ml с4 + p2Fec2I'2 - mec2 =mec2(s/\+y2 - 1), у = —- ,
.3/2 meC B'2»)
P =
Учтя, что /е = 1 при р < pFe и /e = 0 при р >pVe, получаем из B.5), B.6)
2 47Г pFe ^ . ......
p B7rhK о
247:2h3p
2
6,002 ■ 1(Г
B.22)
e 3 BтгЬK о
24тг2Ь3
где
/(У) = УBу2 - 3)у/у2 + 1 + 3 Arshj,
= 3j Bj2 + l)Vj2 + 1 - 3 Arshу,
B.23)
Температурные поправки при сильном вырождении находятся из раз-
разложения общих формул с помощью соотношения [145]
ip(u)du
B.24)
которое справедливо при е "° < 1. Обозначая и = \Лг2 + а2 — а, «о = Р - а
и пренебрегая вкладом позитронов ~ е~"°, получаем [166] из B.9) - B.10)
24тг2Ь3р
7тг4
4тг2
2 '
7тг4
B.25)
5 a4
m
%cs
4т:2
--Ыу? + 1+-.-. -
B.26)
B.27)
B.28)
14

ЗДесь У\ = \[ft - a2 la, параметр разложения ау1 >1,а функции <р(и) пос-
лХведения интегралов B.10) к виду B.24) равны <р„ = (и + а)\/и' + 2иа,
\_ (ц + аJу/и1 + 2иа, уР = (ы2 + 2маK/2. Найдем явную зависимость
Е fe и 5е от р и Г, оставляя только члены ~ а. Используя определение
у*и| 6B 20), B.21) и соотношение B.25), получаем связь между y,yt и а:
\Hzmu
учтя малость (у3 - у\ ), получим
I
После подстановки j, (у) в B.23), B.25)-B.28) имеем
8т:2/, 1
[2
к явные выражения термодинамических функций
m%cs Г 4я2 .- 1
2h3p La2 J
4тг2 /+2 1
"e 3hV
В предельных случаях фуикщш / и g равны
5 \ 3 12 J 5
~ \АУ )'g 5У\ 28
B.31)
Г(У)>
Учтя B.31), в нерелятивистском пределе у < 1 получаем из B.30)
<с* / _5_ 2 5т:2 \
1?Ъ3рУ \ 28 У + 3aV/
B.32)
14 ^ 3aV/
15

В ультрарелятивистском пределе у > 1 соответственно имеем /
2тг2
Л тг~ п *^ Г\ \ -и\&
р~ =
m%cs
1 2тг2
B.33)
б) Очень малая плотность вещества. Плотность вещества может быть
настолько малой, что концентрация пар превысит концентрацию исходных
электронов. В этом случае малым параметром является величина Р<\-
при 0 = 0 имеет место пе = пе+. Разлагая B.10) в ряд по /3, получим, ис-
используя интегрирование по частям,
Ip-+ =/з 30/ 2
где
dx
о 1 +ехрч/*2 +а2 '
Bх2 +a2)dx
2
B.34)
о 1 + ехр \Л* + or
* +а О+ехрлл* +« )
о A + ехр\^2 +огJ
B.35)
/s (а) =
При а = 0 интегралы B.35) выражаются [145] через Г-функцию и f -функ-
-функцию Римана с помощью соотношения
°°xv-ldx
Fv(O) = f =A — 2 )F(f)f (v), v>Q B.36)
о 1 +ех
16

Ik
формулы
- dx .о
/ x =1-
учитывая для целых v = п значения f (п) из [145] и Г (и) = (и - 1)!, полу-
получаем 2
/0 @) = In 2; /, @) = ^-; /2 @) = - f C) = 1,80308;
/3 @) = U @) = ^ ; /s @) = 3/, @) = т:2/2.
С учетом B.34)-B.37) и определения у в B.29), термодинамические
функции с учетом B.9), B.17) примут вид
у3а3 15 аГ3 / 1
В=- , Пе*= -7/2@) ЛД1 ±
Р t:2^2 я4 Л \ 6/2@)
7 аГ4 „ / 30 В2 Л
7 . / 30 j6a6\
Ре_ +^6+ = — аТ*АЛ\ + —- -— ),
е 12 V 7т:6>1о^2/
I.
/
7 аТ3
с* | С —
3 р
где введены функции
ЗД,
4
15
6В2
ъв
-2А2
у6а6
■ Al
120 6
Ло (а) = —- /3 (а), Л 2 (а) = — /, (а),
120 2
Во (а) = ■—- /4 (а), В2 (а) = — /s (а), B.39)
/2@)
В случае ультрарелятивистских пар а < 1 для B.39) имеют место асимп-
асимптотические представления [166]
Во = 1 _ 2} Д2 = 1 _ _L а2 B 40)
/7Г 27Г
А -1 1п2 2
2/а @)
2. Г. С. Бисноватый-Коган 17

Из B.38) — B.40) получаем термодинамические функции вблизи ульт-
ультрарелятивистских пар в газе малой плотности
15 аТ3 / 1п2 , 1 \
и* = — /2 @) ( 1 - а2 ± Уа3 ),
я4 к \ 2/2@) 612@У )
5 30 й
15 30 \
-у + —У^у B.41,
15 , 15 л
В не релятивистском пределе а > 1, оставляя два члена при разложении
знаменателя в B.35), имеем [93]
360
360 „Г 1 1
—а2[к2(а)--*2Bа)|,
120 Г а -3 1
Во = —~ а2\аК1{а) + ЗК2(а)--К1Bа)- - К2Bа)\,
lir L 2 4 J
а2 Г 1 I 6а2
i4l = T~^rj(a>-^*J<2a) ' ^2 = —[^2(а)-^2Bа)], B.42)
^2 (О) L -^ J т
2а2
Д2 = — \аКх (а) + ЗК2 (а) - 2а/Г, Bа) - ЗК2 Bа)],
где К„ (а) — функции Бесселя мнимого агрумента (Ганкеля), имеющие
разложения при а> \ [93]:
( Ц
2а V 8а 128а2/ B 43)
/1Г / 15 105 \
К2(а)~ V— е~а( 1 + — + ).
2а V 8а 128а2/
В табл. 3 приведены значения функций /4,(a), fi,(a) для 0 < а < 10, полу-
полученные численным интегрированием в [167].
в) Слабое вырождение. Слабое вырождение соответствует fe •< 1 в B.2) •
Тогда в интегралах B.10) можно провести разложение в ряд, воспользо-
воспользовавшись большим значением экспоненты в знаменателе. Оставляя два пер-
первых члена разложения, получаем [218,166,363,93]
е±'3 - ^ *2Bа)е±2'31,
j
1Р» = За2^2 (а)е±C - - К2Bа) е±2Л, B.44)
а)е±'3+ — ^(^е*"- - АГ1Bа)е±2'3 - — ЛГ±2"|
а 2 4а
18

Таблица 3
Значение функций Aj(a), B,ia) для 0 < а < 10
а
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
7,00
8,00
9,00
10,0
В данной
1,0000
9,4989 (-1)
8,2749 (-1)
б,7622(-1)
5,2709(-1)
3,9653 (-1)
2,9030 (-1)
2,0806 (-1)
1,4661 (-1)
1,0189(-1)
7,0003 (-2)
4,7634 (-2)
3,2147 (-2)
1,4345 (-2)
6,2613 (-3)
2,6856 (-3)
1,1356 (-3)
и последующих таблицах в
л,
1,0000
9,5476 (-1)
8,4020 (-1)
6,9345 (-1)
5.4480 (-1)
4,1217(-1)
3,0290 (-1)
2,1764 (-1)
1,536О(-1)
1,0685 (-1)
7,3461 (-2)
5,0006 (-2)
3,3756 (-2)
1,5066 (-2)
6,5769(-3)
2,8211 (-3)
1,1929 (-3)
скобках указан
■
1,0000
9,6299 (-1.)
8,6278 (-1)
7,2532(-1) 0
5,7846 (-1)
4,4246 (-1)
3,2762 (-1)
2,3656 (-1)
1,6748 (-1)
1,1675 (-1)
8,0361 (-2)
5,4746 (-2)
3,6973 (-2)
1,6510(-2)
7,2085 (-3)
3,0922 (-3)
1,3076 (-3)
порядок величины
Вв
1,0000
9,8119(-1)
9,2303 (-1)
8,3028 (-1)
7,1580(-1)
5,9438(-1)
4,7800 (-1)
3,7418(-1)
2,8635 (-1)
2,1497 (-1)
1,5877 (-1)
1,1563(-1)
8,3190 (-2)
4,1752(-2)
2,0259 (-2)
9,5667 (-3)
4,4175 (-3)
в.
1,0000
9,8342 (-1)
9,3130(-1)
8,4519(-1)
7,3497 (-1)
6,1464 (-1)
4,9689 (-1)
3,9040 (-1)
2,9949 (-1)
2,2520 (-1)
1,6650 (-1)
1,2133(-1)
8,7329 (-2)
4,3848 (-2)
2,1280 (-2)
1,0049(-2)
4,6404 (-3)
Вг
1,0000
9,8702 (-1)
9,45 29 (-1)
8,7168(-1)
7,7039 (-1)
6,5311 (-1)
5,3345 (-1)
4,2216 (-1)
3,2544 (-1)
2,4549(-1)
• 1,8188(-1)
1,3271 (-1)
9,5597 (-2)
4,8039 (-2)
2,3321 (-2)
1,1014 (-2)
5,0864 (-3)

Из B.17) имеем с нужной точностью, учтя B.44) и величину у из B.29),
ау3 Г А^Bа) / а2у6 ]
shf}= 1+ V1+ — I
6К2(а) I K2(a) 36К2(а) \
ch0 = VI + ;— +
36АГ| (а) *() 36
2 6 3 / 2 6 С2'45)
а2у6 . ау3 / а2ув '
/ *
V1 + —7
36*1 (а) ' " ' ЗА:2(а) ' " 36А:1(а)
Кг (а) 6*2(а)
При вьшоде B.45) использовалась малость членов, содержащих Кг Bа), ко-
которые учитывают слабое вырождение. С помощью B.44), B.45) получаем
из B.9)
6р
Г К2(а) /
У а
36Ai(a) 2a J
aV
+
т +Е+ = -^L-\\K (a)+lK (a)]Jl
6 e+ HZ™uy3\y a 2WJV 36Ai(a)
Г J_ ^!(a)/:2Ba)l a2^6 J_
I- 2a ! A:2(a) J 36Ai(a) ~ 2
3 1
- — K2Ba) , B.46)
4a I
aV . 1 «V
a 36A:l(a) 2a 36*1 (a)
~ 4 a J'
6A;
5e_+5e+ =
(a) 36/:i(a)J la
К2(а) \ 36Kl(a) 2 а
Формулы B.46) справедливы для слабо вырожденного газа произвольной
плотности, в том числе очень малой, когда число рождающихся пар много
больше исходного числа электронов и X = с?у613ЬК\{а) < 1. Необходимо
*'Напомним, что arshx = ln(x + \/х* + 1)
20

также, чтобы газ не был релятивистским, так как при а < 1 рождающиеся
пары заполняют фазовое пространство даже при очень малой плотности.
Таким образом, для применимости B.46) требуется выполнение условия
ар- 1, когда справедливо разложение B.43)*).
При X > 1 из B.46) и B-43), оставляя два члена разложения по 1/Х, по-
получаем термодинамические функции идеального газа с поправками на
вырождение, релятивизм и рождение пар (см. также [166])
р \ 9п г 15 а312 у3/ 15 \Ц
„ +пе+ 1+-Т-Те~2а 1+— - —^A* ) ,
е~ (iZmu \ о?У6 [ 4а 6л/¥ \ 16а/J/
тес2 3 кТ ( 5 а3!2 у3/ 15
£р +Ее++1++( 1
;( 1
2 ц2ши I 4а 12\Лг \ 16а
B 47)
Г
ркТ [ а3!2 у3 / 45 \ 9т: 2а
1 + Ь ( 1 ) +е~2а
[ а3!2 у3 / 45
1 + -Ь- ( 1
\ 12VF V 16а
J5 а3'2у3 / _15_
+ 4а ~ 12\Лг V 16а
E / /Т а3'2у3\ 15 а3>2у3 / 45 \
- -1п(\/ )+ — + ^( 1+ )
\2 \ п 3 / 4а 24Vw \ 16а/
Величина Ее+ + Ее_ в B.47) включает энергию покоя рождающихся
пар и их кинетическую энергию без релятивистских поправок, авРе+ + Ре_
учтены релятивистские поправки к давлению пар. В пределе очень малой
плотности X < 1, оставляя два члена разложения по Л, из B.46) получаются
формулы, совпадающие с нерелятивистским пределом формул B-38)
при учете B-42).
г) Нерелятивистский газ. В этом случае a ~ 0 > 1 и вкладом позитро-
позитронов можно пренебречь. Формулы B.9) и B-10) при этом сводятся к виду
B.48)
Если в B.46) пренебречь слабым вырождением, то />е_ + />е+ = кТ(пе_ + ие+).
21

2^2 /mekT\3'2 2 ркТ F3/2ff-q)
"е ^— I ;— J кТгг>ц(В — а) = —■
Зя2 V * / ' 3
Зя2 V * / ' 3№ Fl/2(fl-a)'
ч/Г Л /теЛГ\3/2 Г 5
1
ГЗ
L 3
FU2(P-a)
где ^(f) — интегралы Ферми ц
°° v"dv х2 р2
Fvm= f л ( .. ^=— = ^7^- НР-о. B-49)
о 1 + ехр(у - f) 2a 2теЛГ
В нерелятивистском пределе кинетическая энергия электронов отделяется
от энергии покоя. Если е~е+а > 1, то /в < 1 и вырождение несущественно.
В этом пределе получаем
Первые члены в интегралах B.50) приводят к термодинамическим функ-
функциям обычного газа (см. § 1). С учетом поправок из первого соотношения
B.48) и B.49) имеем
.-.
(izmu
/2 а3'2 у3 ( а3'2 у3 \
что приводит к термодинамическим функциям, следующим из B.47),
если в них пренебречь поправками на релятивизм (~ 1/а) и рождение пар
(~е~2а). В пределе сильно вырожденного газа /3 - а > 1 для вычисления
интегралов Ферми B.49) воспользуемся формулой B.24). Оставляя два
первых члена разложения, получаем
F3/2W -а)=-ф-аM'2+ —(р- аI'2.
5 4
Определяя из первого соотношения B.48)
шект ч2
/шект ч21
\ Ь2 ) \
2
22
тпекТ \ )
B.52)

получаем термодинамические функции, следующие из B.32), если пре-
пренебречь в них релятивистскими поправками (~1/а2). Из B.48) следует,
что адиабата нерелятивистского электронного газа имеет вид Тр 13 = const.
Рр-5/з = const вне зависимости от степени вырождения. При этом Еекин =
3 гпес2
Р где Ее кин = Ее - . Та же связь р, Т и Р вдоль адиабаты
2 ' temu
имеет место для любого одноатомного идеального нерелятивистского газа
С ПОСТОЯННЫМИ (lli(lZ.
д) Ультрарелятивистский газ. Когда кинетическая энергия электронов
много больше их энергии покоя, величиной а в интегралах B.10) можно
пренебречь, что, с учетом определения B.49) позволит записать их в виде
1„± = Рг (±Д- h± = 1е± = Ръ(Щ- B-53)
В ультрарелятивистском равновесном газе всегда имеет место C>0и вы-
вырождение не может быть малым ввиду интенсивного рождения пар.
Интегралы Ферми целого индекса обладают свойствами, позволяющими
выразить термодинамические функции ультрарелятивистского газа в виде
полиномов по Т и Р [166]. Из B.49) легко показать, что
^-,*(*) FW- j"-*^ =In(l+eV>
dx
F0(x)-F0(-x) = x.
Интегрируя последовательно первое соотношение B.54), получаем
х2 х3
F, (х) + F, (-х) = — + 2F, @), F2 (х) - F2 ( -x) + 4F, @)х,
Х4 B.55)
F3(x) + F3(-x) = — +6F,@)jc2 +2F3@).
4
Интегралы Fv @) приведены в B.36), откуда имеем
Л@) = тг2/12; F2@)= -fC)= 1.803; F3@)= 7тг4/120.
2
В итоге получаем значения термодинамических функций для е~е+-пар в
виде
Р 1 / кТ^3
he / \ 15
1 B.56)
(££)
(— ) (я2/?2 + — ).
\Ьс ) \ 15/
Зтг2р
Интеграл берется с помощью замены z = ехр ( ) .
х -у
2
23

В пределе сильного вырождения 0 > A, а) вклад позитронов пренебрежимо
мал, и из первого соотношения B.56) и B.29) имеем
Это приводит к термодинамическим функциям B.33) без членов ~_у 2,
задающих отклонения от ультрарелятивизма. В ультрарелятивистском
газе малой плотности при 0 -> 0 имеем
Зр / fir \3 Г 1 / Зэт2р \ 2 / he \б I
t (т-..) [■--( )(-) ]-
У1**3
что приводит к термодинамическим функциям, следующим из B.41)
без учета отклонений от ультрарелятивизма ~ а~2. Из B.56) следует,
что вдоль адиабаты ультрарелятивистского газа выполняются соотношения
Гр~1/3 = const, />р~4/3 = const. Из полученных выше явных выражений тер-
термодинамических функций в зависимости от р и Т легко, с помощью
A.11)—A.17), найти явные выражения для адиабатических показателей
и теплоемкостей во всех предельных случаях. Области применимости
асимптотических формул с точностью ~ 1 % изображены на рис. 2. Неко-
Некоторые асимптотические формулы с большим числом членов разложения
.4
Рис. 2. Области применимости приб-
приближенных асимптотических формул
на плоскости \%у = — (lg (fling) -
- 6,0116), Iga = 9,7731 - igT:
A) левее линии ayb применимо
приближение вырожденного газа с
поправками B.30),
B) правее линии czd - прибли-
приближение малой плотности B.38),
C) внутри области oefg - приб-
приближение почти невырожденного поч-
почти нерепятивистского газа B.46),
D) ohlm - область применимос-
применимости приближения нерелятивистского
газа B.48),
E) правее и выше ломаной прг
применимо приближение ультрареля-
тнвнстского газа B.56).
В следующих областях примени-
применимы различные приближения:
1) nqby - приближения А и Е,
2) правее ломаной rzd — приб-
приближения В и Е,
3) cxg — приближения В и С,
4) oetlm — приближения С и D.
5) ahs — приближения А и D.
Заштрихована область, где необхо-
необходим численный расчет интегралов,
входящих в термодинамические фУн'
кции, например, методом Гаусса
24

• Таблица 4
Корни и коэффициенты для вычисления интегралов B,57) методом Гаусса при
„ = 5, при р = 0, 1, 2, 3,4 (см., например [29])
Корни
ж/и
коэффи-
коэффициенты
At
X,
х2
х3
*4
At
А,
А*
А*
Аь
р = 0
0,26356
1,4134
3,5964
7,0858
12,641
0,52176
0,39867
0,075942
3,6118(-3)
2,3370 (-5)
р=\
0,61703
2,1130
4,6108
8,3991
14,260
0,34801
0,50228
0,14092
8,7199 (-3)
6,8973 (-5)
р=2
1,0311
2,8372
5,6203
9,6829
15,828
0,52092
1,0667
0,38355
0,028564
2,6271 (-4)
Р = 3
1,4906
3.5813
6,6270
10,944
17,357
1,2510
3,2386
1,3902
0,11904
1,2328 (-3)
р = 4
1,9859
4,3417
7,6320
12,188
18,852
4,1856
12,877
6,3260
0,60475
6,8976 (-3)
даны в работе [166], рассчитанные по ним таблицы и интерполяционные
коэффициенты приведены в [167], см. также [67а].
е) Анализ общего случая. При отсутствии малых параметров для расче-
расчета термодинамических функций нужно вычислять интегралы B.10) числен-
численно. Весьма эффективным является метод, аналогичный методу Гаусса
[137], и использованный для этих целей в работе [46]. Подынтегральные
выражения в B.10) представляются в виде f(x)xpe~x, где функция /(х)
ограничена на любом конечном интервале и хорошо аппроксимируется ка-
каким-нибудь полиномом степени < 2и — 1 на интервале @, N) при доста-
достаточно большом N. Вычисления проводятся по следующей квадратурной
формуле:
ff(x)xpe-xdx= 2
0 i=l
B.57)
где X; - корни полинома Лагерра £*р\ а коэффициенты At определяются
системой линейных уравнений
Формула B.57) является точной, если /(х) - полином степени <2и — 1.
Это следует из условия ортогональности полиномов Лагерра L^ на проме-
*Утке @, «») с весом хре~х. Значение р = 2 можно использовать при вы-
вычислении 1п ир = 3 для 1Е и/Риз B.10). Значениях,-и/1,-дляпятиточеч-
ной схемы (и = 5) приведены в таблице 4 [29] для р = 0, 1,2, 3,4.
25

Выражения для адиабатического показателя у\ и теплоемкостей в об-
общем случае при постоянном ядерном составе-получены в [46]
_/
71
45(/„_-/„+) 3 (/„_-/„+) ]
B.58)
С- lit /-1 -
где
3 VnIvz [ 4эт4
2 7„_-/„+\15 +.-
1п- ~ 'п +
[3(/„_
(/5±+/6±)
I 4я4
—
\ 5
1 2
3(/„_-/„+)\ 15 +,
3(/„- -
2(/5±+/6±)
к=1+—"
^^}, B.59)
2 (/5±+/6±)
dx
/,. = Г =====—
о l+exp(Vx2+a2±/
x2dx
h±= S
о у/х2 + a2 [1 + exp(v/3cr+a2 ± |3)] '
Безразмерный химический потенциал |3 вдоль изэнтропы удовлетворяет
уравнению
T
dT N Ъ G5±+/6±) 2 G5±+/6±)
+.- +.-
Зависимости Ji(T), CV(T), CP/CV(T) для чистого железа (А = 56, л/Дг
= Z = 26), построенные по формулам B.58)-B.60) в [46], приведены
на рис. 3—5.
26

У,
5/3
1,6
US
ь/д
1,3
2i
- \\
•ZTX
-1,1 -1,0 -0,8 -0,6 -0,<
m^i
/0
Рис 3. Зависимость показателя адиабаты
за вдоль изэнтроп, построенных на рис. 6
3,0
2.0
1,0
-1,0
15
14
13-
от температуры Г для чистого желе-
Ш
3,0
2J0
1.0
-1,4 ~1,0 -0,6 -0,2 О 0,2
-1,4 -1,0 -Ofi -0,2 О 0,2
Рис. 4. Зависимость теплоемкости при постоянном объеме cv от температуры Т для
чистого железа вдоль изэнтроп, построенных на рис. 6
Рис. 5. Зависимость отношения теплоемкостей cp/cv от температуры Г для чистого
Железа вдоль изэнтроп, построенных на рис. 6
27

Задача. Найти релятивистские поправки к адиабатическому показателю
7i в идеальном газе.
5 / ц кТ \
Ответ, ji = — [ 1 — — I. При этом использованы формулы
3 \ VZ mec '
A.11), B.13), B.15), B.18) и B.47), где опущены поправки на вырожде-
вырождение и рождение пар ~а3'2.у3 и е~2а.
§ 3. Уравнение состояния при наличии ядерного равновесия
и процессов слабого взаимодействия
Когда температура вещества достигает нескольких миллиардов кельви-
нов, характерные времена ядерных реакций tn становятся меньше всех
макроскопических времен и устанавливается равновесие относительно
ядерного состава. В условиях ядерного равновесия концентрации ядер
находятся из соотношения между химическими потенциалами ядер цА z,
нейтронов цп и протонов цр, аналогично условию химического равнове-
равновесия
C.1)
Для нерелятивистских и невырожденных ядер имеем [145]
KmA zkT\3'2 gA 7 1
-^-) *±*-UmAtXC2. C.2)
2?* / nA,Z J
Равновесная концентрация ядер из C.1), C.2) имеет вид
/2rti2\{<A-» / mAZ ч3/2
nAZ=[ Г ( 7 I у \ X
1 \кТ I \mlmA-z )
' V р " / C3)
&a,z \[Zmv+{A-Z)mn~mA z] с2 \
UF* ехр1 Т Г и
* ехр
1
В предэкспоненте достаточно положить mn = mp = mu, mA z = Ати, а
числитель в экспоненте есть энергия связи ядраВА z. Учтя такжеgp=gn = 2.
получим 3 baz '
/27rh2 \^A~V A3'2 ~
В табл. 5 приведены спины /, энергии связи В наиболее устойчивых ядер,
gAtZ = 2/^2 + 1- Благодаря экспоненциально быстрой зависимости ско-
скорости ядерных реакций от температуры (см. гл. 4), переход от застывшего
ядерного состава к ядерному равновесию занимает узкую зону температур,
где характерные времена ядерных реакций сравнимы с макроскопическими
(тепловым или гидродинамическим) и где необходимо рассмотрение ки-
кинетики ядерных реакций. При данной температуре Г и плотности
Р= '^nAlZtmAlZl + nV)mv+nnmn^(LAinAtZ. + nv+nn)mu C.4)
для нахождения ядерного состава необходимо знать связь между концен-
концентрациями пп и ир.
28

• Таблица 5
Энергии связи и спины ядер стабильных изотопов наиболее обильных элементов
[135, 180]
Атомный
номер
Элемент (изотоп)
Энергия связи £{,, кэВ
Спин ядра /
1
2
6
7
8
10
11
12
13
14
15
16
17
18
20
24
25
26
28
BA,Z
mn =
H,JH
»He,4He
tJC,lsC
14 N,'5 N
6O,17Q,"O
10Ne, J'Ne, JJNe
"Na
14Mg, J5Mg,"Mg
17A1
'•Si,J9Si,30Si
"P
"S,SSS,S4S
"Cl, S7C1
S6Ar, stAr,40Ar
l0Ca,4JCa,4SCa,
>4Ca,46Ca,4'Ca
scCr,5JG,53Cr,54Cr
S5Mn
S4Fe,56Fe,57Fe,5'Fe
s*Ni,6ONi,61Ni,
6JNi,64Ni
= (Zmp+(A-Z)mn-
mp + me + 782,5 кэВ
0,2225
7718, 28297
92165,97112
104663,115496
127624,131766,139813
160651,167412,177778
186570
198262,205594,216688
224959
236544,245018, 255627
262925
271789,280432,291847
298220,317112
306727,327354,343822
342063, 361900, 369832,
380969,398787,416014
435061,456364,464304,474024
482091
471779,492280,499926, 509969
506484,526871,534691,
545288,561788
mA,Z)c\
1/2,1
1/2,0
0,1/2
1,1/2
0,5/2,0
0, 3/2,0
3/2
0, 5/2,0
5/2
0,1/2,0
1/2
0, 3/2,0
3/2,3/2 .
0,0,0
0,0,7/2
0,0,0
0, 0, 3/2, 0
5/2
0,0,1/2,0
0, 0, 3/2
0,0,
Взаимопревращения протонов и нейтронов, как свободных, так и связан-
связанных в ядрах, происходят в реакциях слабого взаимодействия (см. гл.5).
Характерное время слабых процессов tp при высокой температуре значи-
значительно больше ядерного tn и может быть порядка микроскопического,
гидродинамического или теплового. Нейтрино, возникающие при слабых
взаимодействиях, свободно улетают из звезд. В этих условиях термодина-
термодинамическое равновесие относительно реакций слабого взаимодействия
отсутствует. Исключение составляют горячие нейтронные звезды, которые
непрозначны для нейтрино с энергией Е„е > 1 МэВ. Термодинамические
функции равновесного нейтринного ve, ре-газа с кТ > mv ос2 *) анало-
*) Эксперимент ИТЭФ дает m ~ 0 = 30 ± 16 эВ [ 1271, из оценок по теории велико-
великого объединения т„о » 10 -г 10~6 эВ, однако возможность mv0 = 0 полностью не от-
отвергнута [1721; эксперимент в Цюрихе дает т„о < 18 эВ [544а1.
29

гичны электронным B.56), где 0 = nvJkT, а величины £"^ ~ , ^^ ~ ,
Sv ~ в два раза меньше, чем Ее ±, Ре± и Se ± за счет статистического веса.
В левой части первого соотношения B.56), служащего для нахождения ц„е,
вместо pi Цгти должна стоять величина, связанная с концентрацией леп-
тонного заряда QVe: 2(Се - ие_ + ие+) = 2(и„е-и~). После таких
замен все формулы п.д § 2 применимы для равновесного нейтринного
газа, а связь между и р и ип определяется соотношениями между химиче-
химическими потенциалами
Ип ~ Цр + Vte + V? , Ц~ - —Цр ■ » C.5)
v Ре ^е е
Второе соотношение C.5) следует из равновесия реакции ve + ve -*■ е * + е
и условия B.11). Равновесие других типов нейтрино v^ и vT описывается
аналогично ve, хотя оно вряд ли достижимо даже в горячих нейтронных
звездах из-за большой массы их лептонов.
В условиях свободного улета нейтрино строгое нахождение связи ир и
пп состоит в решении уравнений кинетики бета-процессов
dNB
dt
Nn = 2 {A, - Z,)nAiZi + nn,
Np =
C.6)
при известном начальном соотношении между 7Vn и 7Vp. В работе [328] па-
параметр Nn/Np считался независимым при расчетах ядерного равновесия
элементов группы железа. В первом соотношении C.6) при суммировании
2,0
О
-2ft
-4,0
11
-t,< -
-lie -0,2 о o,2
Рис. 6. Изэнтропы вещества на плос-
плоскости Г, р. Для 10* < Т < 2 • Ю10 К,
105 < р < Ю1С г/см3 нзэнтропы пост-
построены для равновесного химического
состава по данным работы [114]. Штри-
Штриховая линия разделяет области у, >
> 4/3 н ?1 < 4/3 и построена по данным
расчетов [46]. Штрихпунктнрные линии
разделяют области -у, > 4/3 в >, <
< 4/3 и построены по данным работы
[114] с учетом распада железа. Цифры
на рисунке соответствуют следующим
нзэнтропам: 1 - 5,„ = 0,003981, 2 -
S10 = 0,01, 3 - Slo = 0,01585, 4 - S10 =
= 0,02512, 5 - Slo = 0,03981, 6 - Slo =
= 0,0631, 7 - S10 = 0,1, 8 - S10 = 0,1585,
9 - S10 = 0,2512, 10 - Slo = 0,3981,
11 - Slo = 0,631, 12 - S10 = 1,0, 13 -
Slo = 2,512, 14 - SlB = 10, 15 - SI0 =
= 15,85, Slo = S/1O10 эрг-г'-К
30

нужно учитывать свободные нейтроны и протоны. Скорости бета-реакций
(с"') Wl,z. = Wa, z.(е*-рювдд) + И^ г (е~ -захват) и W~z =
~Wa z (е""РаспаД) + WA z (е*"захват) рассмотрены в § 19.
Если в течение времени t > t$ величины Т и р в звезде меняются слабо,
то достигается кинетическое равновесие по бета-процессам с dNn /dt = 0
в C.6). В этом случае соотношения C.6) однозначно определяют состав ве-
вещества [117—119, 224]. Для приближенного определения состава в усло-
условиях свободного улета нейтрино иногда используется соотношение C.5)
с ц v =0. Расчеты в этом приближении сделаны в [114]. В ядерном равно-
равновесии учитывались ядра железа s6Fe, включая семь первых возбужденных
уровней, 4Не, пир. Рост температуры ведет сначала к расщеплению ядер
железа на 4Не и нуклоны, а затем к чисто нуклонному составу. При боль-
большой плотности основную часть свободных нуклонов составляют нейтроны.
На рис. 6 из [46] приведены иззнтропы вещества на плоскости р, Ги ука-
указаны области с Ух < 4/3, необходимые для анализа устойчивости (см.гл. 12).
В области ядерного равновесия использовались результаты [114].
§ 4. Вещество при очень больших плотностях,
нейтронизация, взаимодействие частиц
При очень больших плотностях в условиях сильно1 о вырождения элек-
электронов и нуклонов приближенно вещество можно считать холодным
cT=S=0 [ПО].
а) Холодная нейтронизация вдоль состояний минимума энергии (СМЭ).
При плотностях р < 8,1 106 г см вещество в СМЭ состоит из s6Fe, ядра
которого максимально стабильны*). Когда eFe из B.21) достигает зна-
значения ер при
e0{A,Z) = (mAZ_i - mA>z)c2 - mec2 =
= BAtZ - BAiZ-i + (wn - mp)c2 -mec2, D.1)
захват электрона стабильным ядром (A, Z) становится энергетически вы-
выгодным. Ядро {A, Z. — 1), которое в обычных условиях является /3~ ра-
радиоактивным, при большой энергии Ферми электронов оказывается устой-
устойчивым. Процесс захвата электрона ядром, называемый нейтронизацией,
рассчитан впервые в [216].
При нулевой температуре состояние термодинамического равновесия
соответствует минимуму полной энергии Etot как функции А и Z при дан-
Ном числе нуклонов в единице объема. С ростом плотности равновесие
смещается в сторону все более переобогащенных нейтронами ядер.
При р > pn d энергия связи последнего нейтрона в ядре ft, близка к нулю
*) Энергия связи на нуклон Вп = ВА %1Л> определяемая в соответствии с C.3),
D.3), максимальна для * 2 Ni (см. табл. 5). Однако при сравнении стабильности ядер
нужно отсчитывать их энергию от какого-то фиксированного состояния, например,
протонно-электрониого. При этом оказывается, что образование ядер железа 56 Fe со-
сопровождается максимальным выделением энергии.
31

и в равновесии появляются свободные нейтроны. В равновесии плот-
плотность, при которой начинают отщепляться нейтроны, равна pnd =
= 4,3-1011 г см [267].
В отсутствие свободных нейтронов при Р < Pnd Для энергии единицы
объема с учетом энергии покоя имеем [267]
Etot{A, Z, пъ) =
= "a.z^a.zc2 +WL) + Ee(ne), ne=ZnAZ, nb=AnAZ. D.2)
Массы стабильных ядер определяются с учетом энергии связи из табл. 4.
Для ядер, далеких от области стабильности, экспериментальные измерения
массы тА z отсутствуют. В этом случае используются полузмпирические
(теоретические, подправленные имеющимися экспериментальными данны-
данными) формулы. Наиболее простая, отражающая все качественные законо-
закономерности формула для энергии связи, полученная Вейцзеккером, имеет
вид [23]
Z2 (A — 2ZJ 34
BA,z = 15,568 - 17,226 А2'3- 0,698— - 23,279 +— б МэВ.
А А А
D.3)
Здесь б = 1 для четных А и Z, Ь = 0 для нечетных А и любых Z, б = — 1
для четных А и нечетных Z. В D.3) учтены статистические и капельные
свойства ядер, энергия ядерного взаимодействия с учетом эффектов несим-
несимметрии (А Ф 2Z) и спаривания нуклонов, кулоновская и поверхностная
энергии ядер. Расчет равновесного состава при холодной нейтронизации
с использованием формулы Вейцзеккера сделан в [77]. В работе [267]
для аналогичных расчетов использована более точная, но гораздо более
сложная формула Майерса и Святецкого [486]. Энергия холодных элек-
электронов дана в B.22) —B.23), а величина V/L есть энергия электростати-
электростатического взаимодействия, возникающая из-за наличия точечных положитель-
положительных зарядов в однородном фоне отрицательных. Минимум WL достигается
для объемно-центрированной кубической решетки и определяется фор-
формулой [267]
WL = -1,819620 Z2e2/b, пА>гЪъ = 2. D.4)
Электростатическое взаимодействие уменьшает знергию и давление вещест-
вещества, так как расстояние между отталкивающимися ядрами в среднем боль-
больше, чем между притягивающимися зарядами разного знака [110].
Равновесный состав, соответствующий минимуму Etot из D.2) при задан-
заданной плотности барионов пь приведен в табл. 6 из работы [267]. Отметим,
что между плотностями Ртах и pmaxll + 1 давление почти постоянно
(слабо растет за счет давления ядер). Величина р =Etot/c2 учитывает кине-
кинетическую энергию и энергию взаимодействия. Давление Р и реляти-
32

Таблица 6
Равновесный ядерный состав при плотностях, меньших плотности испарения ней-
нейтронов (нз B67J)
Ядро
—
"Fe
«JNi
«4Ni
"Se
•JGe
*°Zn
7"Ni
76 Fe
1J4Mo
1JJZr
1J0Sr
"'Kr
В„,МэВ
8,7905
8,7947
8,7777
8,6797
8,5964
8,4675
8,2873
7,9967
7,8577
7,6705
7,4522
7,2002
ZIA
0,4643
0,4516
0,4375
0,4048
0,3902
0,3750
0,3590
0,3421
0,3387
0,3279
0,3166
0,3051
Ртах. Г-СМ
8,1F)
2,7(8)
1,2(9)
8,2(9)
2,2A0)
4,8A0)
1,6A1)
1,8A1)
1,9A1)
2,7A1)
3,7A1)
D,3A1))
jure, МэВ
0,95
2,6
4,2
7,7
10,6
13,6
20,0
20,2
20,5
22,9
25,2
B6,2)
Др/р,%
2,9
3,1
7,9
3,5
3,8
4,1
4,6
2,2
3,1
3,3
3,5
Здесь Вп = В a Z/A ~~ энергия связи на нуклон, Ртах — максимальная плотность,
прн которой существует данный нуклид, Ute — химический потенциал электронов при
этой плотности, Др/р — относительное увеличение плотности при переходе к следую-
следующему нуклиду. При Ртах = 4-3'10'' г-см~э начинается испарение нейтронов
вистский показатель адиабаты Г определяются формулами [267]
пь ЪР р+Р/с2/дР\
S
Р=п\
3/1»
Р дпь
D.5)
В таблице 7 даны результаты расчета термодинамических функций при рав-
равновесной нейтронизации. При р< 10* г см, когда энергиявзаимодейст-
ция Wl становится порядка кинетической энергии электронов, значения
в табл. 7 взяты из работы [201].
б) Появление свободных нуклонов. СМЭ при субъядерных плотностях с
учетом взаимодействия нуклонов. При р >pnd все связанные состояния
Таблица 7
Уравнение состоянии вещества в равновесии, соответствующем минимуму полной
энергии, нз [267]
Р. г-см
Р, ДИН'СМ"
ь, см"
7,86
7,90
8,15
11,6
16,4
< 1,01 (9)
1,01A0)
1,01A1)
1,21A2)
1,40A3)
4,73 B4)
4,76 B4)
4,91 B4)
6,99B4)
9,90B4)
26
26
26
26
26
56
56
56
56
56
3- Т.е. Бисноватый-Коган
33

Таблица 7 (окончание)
р, г • см 
45,1
212
1150
1,044D)
2,622D)
6,587 D)
1,654E)
4,156E)
1,044F)
2,622F)
6,588 F)
8,293 F)
1,655 G)
3,302G)
6,589G)
1,315(8)
2,624(8)
3,304(8)
5,237(8)
8,301(8)
1,045 (9)
1,316(9)
1,657(9)
2,626 (9)
4,164(9)
6,601 (9)
8,312(9)
1,046A0)
1,318A0)
1,659A0)
2,090A0)
2,631 A0)
3,313A0)
4,172A0)
5,254A0)
6,617A0)
8,332A0)
1,049A1)
1,322A1)
1,664A1)
1,844A1)
2,096A1)
2,640A1)
3,325A1)
4.188A1)
4,299A1)
Р, дин • см ~г
1,70A4)
5,82A5)
1,90A7)
9,744A8)
4,968A9)
2,431B0)
1,151B1)
5,266B1)
2,318B2)
9,755B2)
3,911B3)
5,259B3)
1,435B4)
3,833 B4)
1,006B5)
2,604B5)
6,676 B5)
8,738B5)
1,629B6)
3,029B6)
4,129B6)
5,036 B6)
6,860B6)
1,272B7)
2,356 B7)
4,362 B7)
5,662 B7)
7,702B7)
1,048B8)
1,425 B8)
1,938 B8)
2,503 B8)
3,404 B8)
4,628 B8)
5,949B8)
8,089B8)
1,100B9)
1,495B9)
2,033 B9)
2,597 B9)
2,892B9)
3,290B9)
4,473B9)
5,816B9)
7,538B9)
7,805 B9)
«Ь, см
2,72B5)
1,27B6)
6,93B6)
6,295 B7)
1,581B8)
3,972B8)
9,976B8)
2,506 B9)
6,294B9)
1,581C0)
3,972C0)
5,000C0)
9,976C0)
1,990C1)
3,972C1)
7,924C1)
1,581C2)
1,990C2)
3,155C2)
5,000C2)
6,294C2)
7,924C2)
9,976C2)
1,581C3)
2,506C3)
3,972C3)
5,000C3)
6,294C3)
7,924C3)
9,976C3)
1,256 C4)
1,581C4)
1,990C4)
2,506C4)
3,155 C4)
3,972C4)
5,000C4)
6,294C4)
7,924C4)
9,976C4)
1,105C5)
1,256C5)
1,581C5)
1,990C5)
2,506C5)
2,572C5)
Z
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
28
28
28
28
28
28
28
28
28
28
34
34
34
34
34
32
32
32
32
32
30
30
30
28
28
28
28
28
26
42
40
40
38
36
36
А
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
62
62
62
62
62
62
64
64
64
64
84
84
84
84
84
82
82
82
82
82
80
80
80
78
78
78
78
78
76
124
122
122
120
118
118
Г
1,796
1,744
1,706
1,670
1,631
1,586
1,534
1,482
1,471
1,437
1,408
1,386
1,369
1,357
1,355
' 1,350
1,346
1,344
1,343
1,342
1,340
1,338
1,337
1,336
1,336
1,336
1,335
1,335
1,335
1,335
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
1,334
34

нейтронов в ядрах оказываются заполненными и дальнейший рост плотно-
плотности приводит к появлению свободных нейтронов. После различных попыток
расчета уравнения состояния в этой области (см. обзор [266]), коррект-
корректный подход к решению проблемы был развит в работе [265]. Этот подход
основан на следующих принципах.
1. Единое описание энергии взаимодействия нуклонов как внутри, так и
вне ядер.
2. Использование выражения для поверхностной энергии ядер, которое
учитывает наличие окружающих нейтронов и обращается в нуль при иден-
идентичности вещества внутри и снаружи.
3. Учет энергии кулоновского взаимодействия электронов и ядер решет-
решетки, а также протонов внутри ядра.
Если пА г %. и "п — концентрации ядер и свободных нейтронов в прост-
пространстве вне ядер, VAfZ — объем ядра, а то выражение-для полной энергии
единицы объема Etot запишется в виде
£itot(-^. Z, пп, пл, z. va,z) ~
ne). D.6)
Для нахождения равновесного состава и уравнения состояния необходимо
минимизировать Etot относительно аргументов при постоянной концентра-
концентрации нуклонов пь:
пь = AnA>z + A - VAiznA,z)nn. D.7)
Входящие в D.6) кулоновская энергия решетки WL и энергия холодных
электронов определены в D.4) и B.22)- B23) соответственно. Энергия
ядра, представляемого в виде жидкой капли, записывается в виде
WA<Z(A,Z, VA>z,nn) = [A ~х)тпс2 +хтрс2 + W(k.x)]A +
Z
+ Кои\(А, Z, VAt z, пп) + Wsurf {A, Z, VA> z, пп), х = - , D.8)
А
где W(k, x) — энергия на один барион в однородной ядерной материи
с концентрацией и = к3/1,5я2 ~A/VAt z, Wcou\ — кулоновская энергия
взаимодействия протонов в ядре, Wsurf — поверхностная энергия ядра.
Формула для энергии нейтронного газа Еп получается аналогично D.8)
при х = 0 .
D.9)
Функция W{k, *),входящая в D.8), D.9),атакже WcouX и Wsurf,входя-
Wsurf,входящие в D.8), вычислены в [266]. Поверхностная энергия в [265] оценива-
оценивалась довольно грубо из соображений размерности. Более точные выражения
для ^surf были найдены в работах [313] методом Томаса—Ферми, [256]
вариационным методом и [504, 548] методом Хартри—Фока. Величи-
Величина - [W(k,x)A + Wcoai + Wsurf] по физическому смыслу есть энергия
связи ядра {A, Z) с учетом окружающей плотности нейтронов, которая
Для нормальных ядер в вакууме аппроксимируется формулой Вейцзекке-
3* 35

pa D.3). Минимизация величины Etot относительно своих аргументов при
постоянстве пъ из D.7) сводится к четырем уравнениям, определяющим
равновесие по следующим процессам: 1) сжатие и расширение ядра давле-
давлением внешних нейтронов, 2) обмен нейтронами между ядром и нейтрон-
нейтронным газом, .3) превращение нейтронов и протонов друг в друга внутри ядра,
4) выделение ядра, минимизирующего полную энергию. Решение этих четы-
четырех уравнений определяет свойства равновесного вещества, состоящего из
ядер и свободных нейтронов. В табл.8 из [265] приведены результаты
Таблица 8
Характеристики вещества в минимуме полной энергии при наличии свободных ней-
нейтронов (из B65] )
р, г-см"э
4,460A1)
5,228A1)
6,610A1)
7,964A1)
9,728A1)
1,196A2)
1,471A2)
1,805A2)
2,202A2)
2,930A2)
3,833A2)
4,933A2)
6,248 A2)
7,801A2)
9,611A2)
1,246A3)
1,496A3)
1,778A3)
2,210A3)
2,988A3)
3,767A3)
5,081A3)
6,193A3)
7,732A3)
9,826A3)
1,262A4)
1,586A4)
2,004A4)
2,520A4)
2,761A4)
3,085A4)
3,433A4)
3,885A4)
4,636 A4)
5,094A4)
Р, днн-см"а
7,890B9)
8,352B9)
9,098 B9)
9,831B9)
1,083C0)
1,218C0)
1,399C0)
1,638 C0)
1,950C0)
2,592C0)
3,506C0)
4,771C0)
6,481C0)
8,748C0)
1.170C1)
1,695C1)
2,209C1)
2,848C1)
3,931C1)
6,178C1)
8,774C1)
1,386 C2)
1,882C2)
2,662C2)
3,897 C2)
5,861C2)
8,595 C2)
1,286C3)
1,900C3)
2,242C3)
2,751C3)
3,369C3)
4,286C3)
6,103C3)
7,391C3)
пъ, см"э
2,670C5)
3,126C5)
3,951C5)
4,759C5)
5,812C5)
7,143C5)
8,786C5)
1,077C6)
1,314C6)
1,748C6)
2,287 C6)
2,942 C6)
3,726 C6)
4,650C6)
5,728C6)
7,424C6)
8,907 C6)
1,059C7)
1,315C7)
1,777 C7)
2,239C7)
3,017C7)
3,675C7)
4,585C7)
5,821C7)
7,468 C7)
9,371C7)
1,182C8)
1,484C8)
1,625 C8)
1,814C8)
2,017C8)
2,280C8)
2,715C8)
2,979C8)
Z
40
40
40
41
41
42
42
43
43
44
45
46
48
49
50
52
54
56
58
63
67
74
79
88
100
117
143
201
» • •
...
, . .
. . •
...
...
А
Г
126 0,40
128 0,36
130 0,40
132 0,46
135 0,54
137 0,63
140 0,73
142 0,83
146 0,93
151
156
163 1
170
178
186
200
211
223
1,06
1,17
1,25
1,31
1,36
1,39
1,43
1,44
1,46
241 1,47
275 1,49
311 1,51
375 1,53
435 1,54
529 1,56
683 1,60
947 1,65
1390 1,70
2500 1,74
1,81
1,82
1,87
1,92
1,97
2,03
2,05
36

Рис. 7. Зависимость заряда Z в коре нейт-
нейтронной звезды от плотности, построенная
по расчетам различных авторов: ВВР - [265],
NV - [504], RBP - [548], ВВ - [313]
расчетов. С увеличением плотности про-
происходит рост массы и объема ядер,
пока они не касаются друг друга при
рпп = 2,4 -1014 г ■ см'3. В [265] предпо-
предполагается, что при плотности р„„ проис-
происходит фазовый переход первого рода
к однородной ядерной материи.
Уточнение формулы для поверхност-
поверхностной энергии сказалось только на изме-
изменении заряда ядра Z(p), рост которо-
которого замедлился по сравнению с [265].
На рис. 7 из [266] приведены результа-
Zf
80-
60 -
40-
ZO
-
Испарение
'нейтронов
-*г+ + + +
i
1

1
1
1 , ,
/ t
BBPJ
* У* \£0ерная
Is плотность
to'-
to
is
/О, Г/СМ3
ты расчета Z(p) различными авторами. Уменьшение величины Z при боль-
больших плотностях приводит к более плавному изменению Z в процессе
фазового перехода к однородной ядерной материи. Несовпадение зависи-
зависимостей Z(p) у авторов [256, 313, 504, 548] отражает как недостаток физи-
физических знаний о законах взаимодействий между нуклонами, так и несовер-
несовершенство существующих математических методов расчета.
в) Плотность, больше ядерной. Однородная ядерная материя (ЯМ),
появляющаяся в результате фазового перехода, состоит из нейтронов
с небольшой примесью протонов и электронов. Пока плотность ЯМ не пре-
превышает 2 Ро (Ро = 2,8 1014 г см~3 - плотность свободной ЯМ), для расче-
расчета уравнения состояния применим метод Бракнера—Бете—Голдстоуна,
основанный на теории возмущений [22]. При р > 2 р0 расчеты ведутся
с помощью вариационного принципа, разработанного Пандарипанде [537].
При больших плотностях учитывается рождение тяжелых гиперонов [9] и
возможное рождение тг~-мезонов (пионная конденсация [158]).
Расчеты уравнения состояния ядерной материи при р ^ р0 выполнены при
различных допущениях в [275, 479]. В табл. 9 из [479] приводится урав-
уравнение состояния для наиболее реалистического варианта с параметрами по-
потенциала взаимодействия, учитывающими экспериментальные данные из
ядерной физики высоких энергий, а также рождение гиперонов. Возможное
появление тонной конденсации слабо влияет на уравнение состояния
[275]. Следует иметь в виду, что с ростом плотности все более возрастает
неопределенность наших знаний о физике сильных взаимодействий и
менее точными становятся методы расчета. В связи с этим даже в реалисти-
реалистическом варианте из табл. 9 погрешности могут достигать ~ 50%.
Как отмечалось впервые Я.Б. Зельдовичем [103, ПО], требование прин-
принципа причинности о том, что скорость звука vs не должна превышать ско-
скорость света с, накладывает ограничение на уравнение состояния Р < е = рс2.
Важность этого ограничения связана с тем, что оно действует при сколь
угодно больших плотностях, где о свойствах ядерных взаимодействий
известно очень мало.
37

Таблица 9
Реалистические параметры вещества при большой плотности из D79]
П£, СМ
Е
пЬ
1,0C8)
1,5C8)
2,0C8)
2,5C8)
3,0C8)
4,0C8)
5,0C8)
6,0C8)
7,0C8)
8,0C8)
9,0C8)
1,0C9)
1,1C9)
1,25C9)
1,4C9)
1,5C9)
1,7C9)
2,0C9)
2,5C9)
3.0C9)
-тс1
12,6
16,6
21,2
26,0
32,2
46,9
64,4
83,7
109
134
160
189
215
254
295
324
383
475
639
814
, МэВ
р, г-см
1,70A4)
2,55A4)
3,42A4)
4,31A4)
5,21A4)
7,04A4)
8,95A4)
1,09A5)
1,31A5)
1,54A5)
1,76A5)
2,01A5)
2,26A5)
2,66A5)
3,08A5)
3,37A5)
4,00A5)
5,04A5)
7,02A5)
9,36A5)
Прн иJ, > 1,0 C9) имеют место асимптотические формулы
Е = ni,(l5,O5
+ 3,03 (
,33ч
1-10-
эрг -см,
Р, дин-см~а
1,19C3)
2,93 C3)
6,00C3)
* 1,09C4)
1,83 C4)
4,09C4)
7,61C4)
1,26 C5)
1,99C5)
2,85 C5)
3,71C5)
4,02 C5)
5,02C5)
6,76C5)
8,81C5)
1,03 C6)
1,38C6)
2,02 C6)
3,40C6)
5,20C6)
Р = 403 («ь/Ю»9J'33 ■ 10эз дин ■ см,
(Р =
г) Учет конечной температуры. Учет температурных эффектов при плот-
плотностях, когда существенно ядерное взаимодействие, сделан для р < Ро
с помощью обобщения методов, применявшихся при исследовании холод-
холодного вещества [465] (см. также [314]). В равновесии рассматривались
протоны, нейтроны, ядра гелия, один тип тяжелых ядер, для которых
находился минимум полной энергии. Ввиду свободного улета нейтрино
и отсутствия равновесия по бета-процессам, задавалось отношение
Npl (Nn + Wp) = Ye. Выражения всех видов энергии, входящих в Etot из
D.6) и из D.8), записывались с учетом температурных поправок и к Etot
добавлялась энергия движения ядер, связанная с конечной температурой,
а также энергии ядер гелия. К независимым величинам, которые являются
аргументами функции Etot в D.6), при конечной температуре добавляются
38

Рис. 8. Химические свойства вещества при высоких температурах и плотностях для
Ке = 0,25 из [456]. Сплошная линия ограничивает область, где весовая доля ядер
Хц > 0,1, а в области внутри штриховой линии Хн > 0,5. В области внутри штрих-
пунктирной линии весовая доля гелия Ха > 0,15. Тонкие сплошные линии задают мас-
массы ядер. Заштрихована область существования пузырей. Пунктирная линия опреде-
определяет границу устойчивости однородной материи относительно разбиения на две фазы
Ир - концентрация свободных протонов и па - концентрация ядер гелия,
которая определяется из условия равновесия относительно разбиения на
протоны и нейтроны типа C.3), но с учетом конечного объема (задаваемо-
(задаваемого) ядер гелия. Для определения ир добавлялось условие равновесия по
обмену протонами между ядрами и протонами в газе. На рис.8 из [456]
представлены химические свойства при больших температурах и плотно-
плотностях для Ye =0,25. Интересно, что при больших плотностях р> 1014 г-см,
когда ядра начинают занимать больше половины объема, вместо ядер,
погруженных в менее плотный нуклонный газ, возникают шарики менее
плотного вещества (пузыри), погруженные в более плотную ядерную ма-
материю. Важный вывод, следующий из данных расчетов, состоит в сохране-
сохранении ядер до очень высоких температур -20 МэВ «2-10пК, что является
следствием учета ядерных взаимодействий и влияния окружающего газа
на свойства ядер. В [456] отмечалось, что диаграмма на рис. 8 мало чув-
чувствительна к изменению Уе в пределах 0,2 < Ye < 0,5. Учет различных ти-
типов тяжелых ядер, одновременно присутствующих в равновесии [346],
1лыл СЛа6° влияет на полученные результаты [456]. На рис. 9 и 10 из
I b6J приведены иззнтропы вещества и зависимость показателя адиабаты
vi (P) для этих иззнтроп. Видно, что существование ядер заметно умень-
^т 7i по сравнению с нуклонным газом при ненулевой энтропии,
одн ВИДН0 из Рис-8, при плотности, больше ядерной, вещество всегда
39

10
Рис. 9. Адиабаты с указанными значениями безразмерной энтропии s (в единицах
к/ти) для У/ = 0,25 (сплошные линии) и Y/ = 0,35 (пунктирные линни), из [456].
Линии Хц = ОД и Ху{ = 0,5 имеют тот же смысл, что и на рис. 8. Прн р > 10" г/см3
вещество непрозрачно для нейтрино и сохраняется величина У/ — лептонный заряд
на один барион. Указана также траектория центра звезды при коллапсе, полученная
Арнеттом [255а]
/
1,50
1,45
1,<0
1,35
1,50
1.25
~ Yt=0,25
&*•*
, , i
^*~^\
s=/ ^~
, у .... |
1
1
1
1
1
J -
J -
1 -
-
, . 1 ... ,1 1
/О
11
112
10
13
10й /э,г/см3
Рис. 10. Зависимость показателя адиабаты Г = yt = (dlnP/dlt\p)g от плотности р
для указанных значений безразмерной энтропии s (см. рис. 9) при Y/ = 0,25 из [456]-
В области штриховых линий кривые Г(р) приведены сглаженными без некоторых
несущественных деталей
40

Энергия Ферми идеального нейтронного газа, определяемая аналогично
B.21), есть
Рп \1/3
mnc
D.10)
1/3
При Р да Рп > Ро имеем .уп > 0,36 и eFn > 61 МзВ. Максимальные темпе-
температуры, достигаемые при гравитационном коллапсе, обычно не превышают
~20 МэВ, поэтому при р > р0 температурные поправки к уравнению со-
состояния несущественны.
д) Неравновесная нейтронизация при увеличении плотности в холодном
веществе. Равновесие по ядерному составу достигается в веществе при вы-
высоких температурах, когда открыты все каналы реакций. По мере остыва-
остывания, большинство каналов реакций закрывается и в холодном веществе
достижение СМЭ, строго говоря, невозможно. Вещество при малых темпе-
температурах всегда находится в неравновесном состоянии, однако степень
неравновесности и характер ее зависят от пути, которым вещество пришло
к состоянию с данными р и Т. В [60,61, 287] рассмотрены два возможных
пути: сжатие холодного вещества и остывание вещества при данной плот-
плотности с неравновесными составами, возникающими при этом.
Рассмотрим сжатие холодного вещества. Пусть при малых р вещество
состоит из самого стабильного элемента s 6 Fe и медленно сжимается при
температуре, близкой к нулю. Когда плотность достигает величины
1,24-Ю9 г-см, eFe = 3.81 МзВ, становится энергетически выгодным
захват электрона ядром s 6Fe*). Ввиду меньшей устойчивости нечетно-нечет-
нечетно-нечетных ядер, за первым захватом сразу следует второй и идет цепочка реакций
s6Fe + e" -»■ s6Mn + ve
D.11)
S6Mn + е" -»■ S6Cr + ve.
Для второй реакции из D.11) величина е@ = 1,6 МзВ [99]. При eFe =
= 3,81 МзВ она проходит неравновесно и сопровождается нагревом
( [56], см. гл. 5), которым пренебрегаем ввиду того, что он не влияет на
формирование химического состава. После образования 56Сг в ходе даль-
дальнейшего сжатия становятся энергетически выгодными превращения
Сг -»■ 56к -»■ 56Аг и т.д., пока не образуется ядро с энергией отрыва по-
последнего нейтрона, близкой к нулю Qn « 0. После этого повышение плот-
плотности и захват электронов сопровождаются холодным испарением нейтро-
нейтронов из ядер и уменьшением А наряду с Z. Ввиду различия в свойствах
четных и нечетных ядер, часть испаряющихся нейтронов уносит энергию
~ 1 МзВ/нейтрон, идущую на нагрев вещества [78].
) При этом происходит захват на возбужденное состояние ядра 5' Мп с энергией
возбуждения 109 кэВ. Захват на основное состояние "Мп начинается при р =
,15.10 г-см~3, eFe =3,7 МэВ, но протекает очень медленно, ввиду наличия силь-
сильного запрета (см. § 18 и B0.14)).
41

В процессе неравновесной нейтронизации число ядер, приходящихся на
один барион, не меняется. Если Ао — атомная масса начального ядра,
то при данной плотности концентрации ядер и электронов (с учетом
злектронейтральности) запишутся в виде
Р Zp
nA,z=- . "е = ■ D.12)
Аоти Ат
Здесь масса ядра приближенно принята равной Ати, а плотность р =JVmUt
N = Nn + Np — полная концентрация барионов. До начала испарения нейтро-
нейтронов при А =А0 заряд ядра Z остается постоянным в интервале плотностей,
где выполняется неравенство >
ее(А0, Z + 2) < eFe("e) < е<?(Л<ь Z). D.13)
Когда первое соотношение в D.13) обращается в равенство, начинаете^ оче-
очередной захват электрона при постоянных ере и -^е в интервале плотностей
CFe(«e) = ер(А0, Z + 2) = const,
Pz = Z±2_ ^
PZ + 2 Z
Свойства вещества при холодной нейтронизации до начала испарения ней-
нейтронов приведены в табл. 10, где использовались ядерные данные из [379].
После начала испарения нейтронов концентрация их определяется со-
соотношением
пп = — A ), тп « тр « ти. D.15)
Испарение нейтрона из ядра при наличии свободных нейтронов допустимо,
если энергия вылетающих нейтронов превышает их энергию Ферми D.10).
Условие испарения после очередного захвата электрона в условиях D.14)
запишется в виде
Qn(A,Z) = BAZ - BA_UZ<- е¥п(пп). D.16)
Ввиду колебания функции Qn(A,Z) в зависимости от четности А и Z,
протекает сразу цепочка реакций
(A,Z) + e'^(A,Z -l)+ve^(A- kj,Z -l)+ktn+ve, D.17)
(A-kuZ- 1) + е"->-(/1- kt,Z- 2)+ve^{A- kt- k2,Z- 2) + k2n+ve,
где к у **&2 =3-5-4 для различных ядер [560]. Расчет неравновесной нейтро-
нейтронизации с испарением нейтронов по системе уравнений D.12)—D.16) про-
проводился в [78] с энергией связи по формуле Вейцзеккера, а в [560] с учетом
ядерного взаимодействия нуклонов и вычислении энергии связи по мето-
методике работы [265] при дополнительном учете влияния ядерных оболочек.
Результаты этих расчетов приведены в табл. 10.
В [560] отмечена важность пикноядерных реакций в ходе холодной не-
неравновесной нейтронизации ввиду того, что скорость этих реакций быстро
42

Свойства вещества при холодной иеравновесной нейтроннэацнн ядер железа
р, 10' 'г ■ см
0,012
0,14
0,57
1,6
3,098
3,9
5,01
6,17
6,233
7,24
7,664
9,689
■ 10,1
10,23
12,1
12,88
14,13
14,88
15,0
16,8
17,43
19,2
22,2
25,65
26,3
44,12
A; Z
56; 24
56; 22
56; 20
56; 18
54; 18
56; 16
56; 16
54; 16
48;16
46; 14
42; 14
36; 12
56; 14
40; 12
48; 12
35; 10
32;9
30; 10
40; 10
36;9
24; 8
32;8
28,7
18;6
24,6
12:4
ере> МзВ
.—~
3,81
8,83
14,0
19,3
23,84
25,2
26,98
28,85
29,52
29,19
29,66
30,47
31,78
31,00
32,06
31,60
31,47
31,36
32,35
32,50
32,47
32,64
32,78
33,47
32,92
35,38
<?Fn> МзВ
0
0
0
0
■ 0,069
0
0
0,09
0,232
0,26
0,468
0,693
0
0,44
0,43
0,58
0,65
0,987
0,79
0,99
1,41 •
1,22
1,49
2,04
1,82
2,52
Р, 1030дин-см'2
5,5 (-4)
0,014
0,080
0,28
0,569
0,73
0,933
1,20
1,25
1.29
1,41
1,75
1,97
1,66
2,07
1,86
1,86
2,12
2,25
2,38
2,48
2,59
2,88
3,57
3,35
6,06
Таблица 10
Рп, Ю30 дин-см
0
0
0
0
3(-4) F,5)
0
0,0059 E,7)
0,0344 C,6)
0,0921 D,1)
0
0,029
0,422 D,5)
0,13
0,23
0,537 E,2)
0,39
0,65
1,36 F,0)
1,07
3,31 G,8)
Р - полное давление, Рп- давление нейтронов; слева в столбцах даны результаты из [78], справа - из [ 560], где Рпне приводится В сере-
середине даны результаты расчета с использованием таблиц [ 379, 135] до начала испарения нейтронов и формулы D.20). В последнем столбце
в скобках даиа температура Т A0* К) при образовании данного состава за счет неравновесных 0-захватов из [ 78].

35
30
25
20
Ru1
У-г
224
10
30
50
70
Рис. 11. Энергия отрыва протона Qp в зависимости от Z для ядер, лежащих на грани-
границе существования с Qn = 0. Зависимость построена согласно количественным оцен-
оценкам П.Э. Немировского
растет с ростом плотности (см. гл. 4). При р = 1,4 - 1012 г - см 3 ядра с
(A,Z) = C2,9), образующиеся из ядер S6Fe, сливаются и после захвата двух
электронов и испарения восьми нейтронов, образуются ядра с (A,Z) =
= E6,16). В [560] не рассматривался тепловой эффект этой и последую-
последующих реакций слияния. Холодная неравновесная нейтронизация доведена
до р = 5,13 - 1013 г-см с образованием ядра (99,19) (ср. с ядром
C75,74) из табл. 8 или Z =30^-40 из рис. 7 для равновесного состава
при той же плотности). Не исключено, что выделение тепла при пикноядер-
ных реакциях с последующим быстрым неравновесным захватом электронов
и испарением нейтронов может достаточно повысить температуру для уста-
установления ядерного состава, близкого к равновесному.
Энергия отрыва последнего протона
= ee(A,Z)+Qn(A,Z- \)-(mn-mv)c2 +mec2
D.18)
на границе Qn = 0 исследовалась П.Э. Немировским, оценки которого при-
приведены на рис. 11. Грубо эта зависимость аппроксимируется формулой
[61]
Gp =C3 - — J МзВ, А = 4Z при Qn = О, Z > 6. D.19)
Пренебрегая энергией Ферми свободных нейтронов и считая, что нейтрони-
зация с испарением нейтронов идет вдоль линии Qn = 0, получим из D.14)
с учетом B.21), D.12) и D.19) соотношение для определенияZ(p), А(р):
ZP ' ' * -''" ' " " ■ " D.20)
Здесь учтено, что тес2 =0,511 МэВ, (wn — тр) с2 = 1,293 МэВ. Расчеты с
использованием D.20) также приведены в табл. 10, откуда видно, что
различие в давлении Р(р) для всех трех способов не превышает 20%. В то
44

же время это давление более чем в полтора раза превышает равновесное
давление при той же плотности (табл. 7).
е) Неравновесный состав при остывании горячего плотного вещества.
Когда температура в остывающем веществе станет меньше D—5) • 109 К,
реакции между заряженными частицами резко замедляются и концентра-
концентрация ядер замораживается. В этих условиях возможно протекание реакций
с нейтронами, фотоотщепление и захват нейтронов, е " распады при ее >
> 6Fe и е~-захваты при ер < eFe- В условиях кинетического равновесия по
бета-процессам C.6) с dNn/dt = 0, в вешестве имеется большой избыток
свободных нейтронов [224]. При конечной температуре ядра могут присое-
присоединять нейтроны и отщеплять их, если
-eFn «2п«2пь*> 20 кТ-е¥п. D.21)
В условиях избытка нейтронов д:п > 0,5 процесс формирования неравновес-
неравновесного химического состава при быстром остывании вещества представлен
на рис. 12из [61, 287]. Плоскость (A,Z) для ядер разбита на три области:
I область с <2п>бпь.
II область с -eFn< Qn < Qnb, е<? > ^Fe •
III область с -eFn <Qn< Qnb, e0 < eFe .
При высокой концентрации нейтронов существующие ядра быстро Ъерей-
дут из области I в области II и III из-за нейтронного захвата. В областях II и
III имеется равновесие по отношению к захвату и отщеплению нейтронов.
В области II бета-распады приводят к росту Z и ядра переходят в область
Область деления
а-распада
pft
ft—в
Fn
Рис. 12. Образование химического состава при ос-
остывании на стадии ограниченного равновесия.
Линия Qn - — ерп отделяет область существова-
существования ядер. Линия Qnb разделяет область I, где не-
невозможно фотоотщепление нейтронов, и области
Н и III. Штриховые линии — уровни постоянного
е0' еC1 < е(?2 < • • • < еC,тах- в области I Qn >
> Qnb> B области II Qn < Qnb, eFe < ер, в облас-
области III Qn < QniK eFe > е„. Линия со штриховкой
справа отделяет область деления и альфа-распа-
Да. Заштрихованная область abed определяет гра-
границы значений {A, Z) при ограниченном равнове-
равновесии с данными Qnb (T) и eFe (p)
13. Зависимость Z(p) из D.22) для нерав-
неравновесного состава, образующегося при остыва-
остывании плотного вещества, для хп = 1/2. Крестика-
Крестиками указаны примерные границы неравновесности
150
W0
50
ГО
11
12 Цр
45

выше линии cd. В области III бета-захваты уменьшают Z и переводят ядра
в область ниже линии ab. Таким образом, в условиях ограниченного равно-
равновесия при 6Fe >Qnb >kT, когда температурные эффекты не влияют на
бета-процессы, ядерный состав определяется узкой областью aecd на плос-
плоскости (A,Z) (рис. 12). Выход за пределы этой области не происходит из-за
отсутствия допустимых бета-процессов и фотоотщеплений нейтронов.
При Г<5 • 108 К остается только одно ядро на границе D.16).
Если пренебречь eFn и учесть D.18) и D.19), то ядерный состав можно
приближенно найти из соотношений, аналогичных D.20),
Л +1 +1,293 J. D.22)
Зависимость Z (р)прид:п = 1/2 приведена на рис 13. При р=р?. = 2,24- Ю12 г-см
образуется ядро с Z - 6, обладающее ер.тах»апРиР = Р\ = 1.2 • 101' г-см
образуется ядро с Z = 150, для которого Z2/A =Z/4 = 37,5 и [164] время
деления, зависящее от Z2/A, есть Tf = 3- 107 лет. При р<Р\ величина
Z2 /А растет, а время деления уменьшается. Ядерное деление, а также альфа-
распад приводят к росту числа зародьпиевых ядер. Таким образом, при
р> Рг или р<р\ химический состав может приблизиться к равновесному
в состоянии СМЭ. Существенная неравновесность при остывании возможна
только при Pi < р< Рг.
Отличие неравновесности, образующейся при остывании, от той, кото-
которая образуется при холодной нейтронизации, имеется, в основном, при
меньших плотностях, где для горячего случая получаются очень большие Z,
см. табл. 10 и рис. 13. В то же время в обоих вариантах имеются принци-
принципиальные отличия от СМЭ, где Z(p) увеличивается с ростом плотности,
в то время как в обоих неравновесных составах Z (р) быстро падает с рос-
ростом плотности.
ж) Термодинамические свойства вещества при учете кулоновского взаи-
взаимодействия. Кулоновские взаимодействия в обычном веществе являются
основными, определяющими агрегатное состояние, степени ионизации и
поправки к термодинамическим функциям. В разреженных газах взаимо-
взаимодействия в основном локализованы внутри атомов и неполностью ободран-
ободранных ионов. При нахождении степени ионизации по формуле Саха A.8)
происходит приближенный учет этого взаимодействия.
Основным параметром, характеризующим степень ионизации в разре-
разреженных газах, является величина Х/у =lij\kT (см. § 1). При уменьшении
температуры и росте Х,у газ становится нейтральным, а затем, когда тепло-
тепловая энергия станет меньше энергии взаимодействия между атомами, превра-
превратится сначала в жидкое, а затем в твердое кристаллическое тело с упорядо-
упорядоченной структурой, обладающей минимумом энергии*). При сжатии ве-
вещества среднее расстояние между атомами/ =n~I'3=Zl'3n~1'3 умень-
уменьшается**) и при р = Рц становится порядка размера атома а^ = Z ~' '3 а0 в
*) Исключение составляет гелий-3 и -4, которые при нормальном давлении остаются
жидкими при абсолютном нуле из-за квантовых эффектов [145].
**) Здесь в ие включены и связанные электроны.
46

модели Томаса-Ферми (ТФ) [555], а0 = h2/me е2 - Боровский радиус.
При Р= Рп начинается ионизация давлением. Вещество становится пол-
полностью ионизованным при р = й2< когда межзлектронные расстояния ста-
становятся порядка радиуса ближайшей к ядру электронной орбиты az 0 =
[71]. Плотность ptl находится с учетом B.21) из соотношения
az nj "о У Зт *г
D.23)
Тп С
Рп = »z™u -^— ZV = 3я2 ■ l06nzZ2a3 =U,4nzZ2,
a = e2/hc= 1/137 — постоянная тонкой структуры. Аналогично для плот-
плотности ft 2 имеем
— =0|2, вп>1
D.24)
С3 _ _ Зя2 , _ _ 11,4
Й2 ^Г Ъ~ Z3°3 = ^з- • 106 te 23°3 = ~±- К Z3.
е,2
Отметим, что при Z< , «*440/2 полная ионизация давлением
аCя ) '
происходит при нерелятивистских электронах. Для железа S6Fe имеем
рп = 1,7 ■ 104 г ■ см, рп = 4,4 ■ 10s B~l г • см.
Рассмотрим фазовые превращения и кулоновские поправки к термо-
термодинамическим функциям в плотном, полностью ионизованном веществе.
Z2'3 / Ес \
В виду малости параметра Pz = —775— 1 ** — ) поправки при Т= 0
"в «0 V ZCFe/
можно находить методом последовательных приближений [3,555]. Основ-
Основную поправку к кинетической энергии электронов дает электростатичес-
электростатическое взаимодействие ионов в решетке и свободных электронов между
собой, а также обменное взаимодействие электронов. В первом приближе-
приближении электроны можно считать расположенными однородно. Энергия
электростатического взаимодействия Ес наиболее просто рассчитывается
в приближении Вигнера—Зейца (WS), где учитывается только взаимодейст-
взаимодействие ионов и электронов внутри сферической ячейки радиуса lwS
4ir / 3 \1/3
Энергия на одно ядро Ес в данном приближении есть [3,555]
. Ze 'ws q dq 9
: = - / — dqe - r = _
or 0 r 10 Iws
9/4 \»/3

4я
где qe = — еиег — суммарный электрический заряд электронов внутри
3 /9я\>/3 h Z»/3 „
радиуса г, учтено также соотношение Iws ~ ( I " ''
\ч / тес у
В [555] учитывается поправка следующего порядка за счет неоднородности
электронной плотности внутри ячейки в ТФ приближении. Эта поправка
состоит из поправки к энергии Ферми £Yf и корреляционной поправки
к электростатической энергии ЕСОТ:
162 / 4 \2/3
= 0,031 In
Ecot = 10,031 ln( e-^- lWs\-0,048\ Za2mec2.
D.27)
Последний член становится существенным при уменьшении плотности.
Энергия обменного взаимодействия вобщем случае есть [555]
3Z
£ех = - —
4я
D28)
-1/2 при у >1.
В нерелятивистском пределе £"ех приведена в [3]. Таким образом, ос-
основные поправки к кинетической энергии холодного газа B.22) за счет
кулоновского взаимодействия для единицы массы равны с учетом B.19)
1
Eq = (Ес + £>F + ЕСО1 +Еех) =
Ащ,
3 /4 V'3 54 /4 \2'3
Ч() «Z^!
Юя2 \9я / 175тг2 \9я
0,031а2 Г/97Г\1/3 "zI/3 1 0,016 ,
1л [ —) - —;— а2 -
L\4 / у \ я2
Зя2 L\ / у \
1 те! cs у3
\к—■ D-29>
*) Точное значение электростатической энергии на ядро W^ из D.4)
в 1,00454 раза меньше, чем £с из D.26).
48

, dE dy \ у
1 ^ Л*
Из термодинамического соотношения P=p ,— = находим
dp dp 3 p
поправку к давлению
с
J5
4 \|/3 18 /4 \2/3
) 2'3 ^()
---,3 -^ —- «Z2'3^-~I —) a2Z4'3X
h3 L Юя2 \9тг / 175я2
у2 0,031 , а
где
У d
32\ Р4/ 4\ jJ2/ 16
3 / 1 \ 3
у" 13 при >-^ 1
_/»/6 при >>>1.
Отсюда в предельных случаях имеем с учетом B.32) и B.33)
/3
aZ \2 +
5 \9я / 175 \9я / 3 у
= -4,56- 10Z2/3 - 1,78 • 10"s Z4/3 -
2,2- 10 ~6
+1.16-10-3 D.31)
Для у>\ [555].
P 3/4 V'3 Z2'3 54/4 \2'3 , ... 0,155a2
=— — I — I a — 1 J aZ ' — — —
2\9n / у 35 \9я / З.у2
5a Z2 ... 2,75-10"* 2,9 • 1СГ3
=-5,7- 10 _2,23 10-sZ4/3-
4яу ^ У У
D.32)
.У < 1. Формулы D.30), D.32) применимы только для значений у,
при которых Рд/Ре < 1. С уменьшением плотности кулоновское взаимо-
взаимодействие качественно меняет вид уравнения состояния. В [647] приведено
приближенное аналитическое соотношение для уравнения состояния:
Р = Ро(Г + ^K, Г5 = Р/Ро, D.33)
4- Г.С. Бисноватый-Коган 49

где
32
32
Ро = —— я AZmu сё3 = 3,88 ZA г ■ см, D.34)
1/3
1/3
при р > ро, f > if уравнение состояния D.33) сводится к C9.3).
В силу квантовых свойств вещества ионы в решетке при абсолютном
нуле совершают колебания с частотой, определяемой взаимодействием с
электронами. В WS приближении возвращающая сила, действующая на ион
со стороны электронов в ячейке при отклонении от равновесия, есть
D.35)
что приводит к частоте гармонических колебаний [125, 555]
, F(f) 4я Ze2ne 4 Zy3 те3, с4
со: = = — = — а — .
Атиг 3 Ати 9эт Ати h
Нулевую энергию трехмерного осиилятора Егр = — hcjt следует сравни-
сравнивать с Ес из D.26). Имеем
Ес зЧ91гУ \mj \aAZ-
D.36)
При f> 1 кулоновский кристалл разрушается уже при нулевой темпера-
температуре за счет квантовых колебаний. При этом необходимы слишком боль-
большие плотности р> 7,5 ■ 108 nzA3Z1,так что в холодных звездах нулевые
колебания не разрушают кристаллической структуры.
Более реальным является разрушение кристалла тепловыми движения-
движениями ионов [485, 620]. Плавление кристалла происходит при Т- Тт, когда
кинетическая энергия колебаний кТ составляет ~ 1/150 от кулоновской
энергии WS ячейки [544, 245, 578]*). Имеем с учетом D.26)
кТт = 0,003 a mec2Zsl3y, ?)
К.
*) В работе [578] с помощью расчетов по методу Монте-Карло получено Г;
= Z1e1HkTlws)= 178 = Гт в точке плавления кристалла, 1щ$ данов D.25).
50

Термодинамические свойства кристаллических тел хорошо известны
[145]. При малых температурах возбуждаются только степени свободы,
соответствующие длинным волнам (малым частотам). Эти моды колеба-
колебаний (фононы) обладают свойствами, аналогичными фотонному газу.
Напротив, при больших температурах возбуждаются все возможные моды
колебаний. При этом энергия колебанийкристалла в два раза больше кине-
кинетической энергии вещества в газовом состоянии при той же температуре.
В обшем случае для тепловой энергии ионной решетки на единицу массы
справедлива интерполяционная формула Дебая [ 145]
ЪкТ
Amu
3
X
О
z3dz
ez~\
— функция Дебая,
D.38)
в = 0,775
3,5 ■ 103
К,
в — дебаевская температура кулоновской решетки [145, 620]. Здесь со,- —
частота ионных колебаний в кристалле D.35). В предельных случаях функ-
функция D(x) равна [ 145] *)
5х3
— Зе
при
3 х2
1 х +— при х<1.
8 20
D.39)
Энтропия единицы массы и давление, связанные с ионным кристаллом,
равны [145]
S,t =
3 pkT
2 Amu ' \T
В предельных случаях
3*
Am_
4 я4
/ в 4\
(in — +-)
u \ Т 3/
кТъ
D.40)
5 Am,,
при Т>в,
при Т<в.
D.41)
(л 1^27] впределе в > Т энергия принималась в 4/3 раза большей, чем в D,38),
51

В зависимости от соотношения между температурами Т, Тт и в имеем сле-
следующие состояния ионизованного вещества:
т < в < т„
в<т<тте<тт<т тт<в<т т<тт<в тт<т<в
Квантовый Классический Классическая жидкость
(вырожденный) ионный (неидеальная плазма)
кристалл кристалл
Квантовая
жидкость
Плавление ионного кристалла при Т > Тт > в сопровождается выделе-
выделением тепла, а при дальнейшем росте температуры происходит переход к
3
идеальному газу с Е^ = —kT/Amu. Согласно [544, 245,578] приближение
идеального газа становится применимым при
150 Тт
D.42)
В промежутке Тт < Т < 150 Тт можно использовать интерполяцию. Во-
Вопрос о теплоте плавления не вполне ясен. В [485] приводятся аргументы в
пользу очень малой теплоты плавления при постоянных Г и р. В [620]
из других соображений предполагается, что фазовый переход относится
к первому роду и теплота плавления решетки при постоянных Тк р есть
Sf/Coui~ kTm. D.43)
4
Строгого решения этой проблемы не сделано.
Наиболее сложен для количественного описания промежуточный интер-
интервал плотностей Pji < р < /э/2, где степень ионизации определяется как теп-
тепловой энергией, так и давлением. В ТФ приближении процесс ионизации
холодного вещества давлением исследован в [126]. Оболочечные поправ-
поправки приводят к скачкам давления при каждой последующей ионизации,
при плотности
с3
Z4a3, и = 1,2,..., D.44)
(к \
)
:пп /
/ 3 \
= 3( )
\4я/
1л
u
h3
1+V37
«1,56.
Зависимость немонотонной поправки к давлению от плотности задается
формулой [126]
[■Sol-^r— «S- D-45)
где
D.46)
[/(So)] =/(^о) при - я/2 < So < — с периодическим продолжением вне
52

этой области. Скачки давления D.45), возникающие при р = д, и и = vn =
_. (— ) соответствуют фазовым переходам первого рода. В окрест-
Z" з V и /
\ Л /
ности р = Рп давление электронов постоянно, причем величина Рп находит-
находится по правилу Максвелла (равенство площадей, рис. 14). Оболочечные эф-
эффекты исчезают, согласно D.44), при
p>Pi =0,015цгти^~-а3г4, D.47)
когда все уровни энергии уходят в непрерывный спектр. По физическому
Рис. 14. Схематическая зависимость давления
от удельного объема при учете оболочечных
эффектов. Постоянные уровни давления Рп
находятся
щадей
из равенства заштрихованных пло-
р
п+1
\
V
"n*t
смыслу Pi < Pi2 из D.24). Если принять, что при р\ = Р/2 электроны ста-
становятся релятивистскими с у = 1, то получаем 0,2 = 1,11 и условие Z <
< 49 для применимости нерелятивистского ТФ-рассмотрения процесса
ионизации [126].
Термодинамические свойства смеси водорода и гелия при конечной
температуре с учетом взаимодействия и ионизации давлением изучались
в [403]. Учитывались соединения Н2, Н, Н+, Н~, Не, Не+, Не++. Для дан-
данной температуры Т и полного числа ионов jVj в объеме V вычисляется
свободная энергия F в виде
F = FO+FC, D.48)
где Fo соответствует идеальному газу, a Fc отражает кулоновское взаимо-
взаимодействие. Давление Р, энтропия S и энергия системы Е находятся из соот-
соотношений
s=-
D.49)
Кулоновское взаимодействие учитьшается здесь также в виде поправок
к идеальному газу
Р = Ро+Рс, S = SO+SC, E = EO+EC. D.50)
53

На основе ТФ теории с дебай-хьюккелевским потенциалом вокруг ядра
(ТФДХ) имеем [403]
kTV
F =
1
4яе2 Ni Ne
D.51)
Ne
где Fa(r)) — функции Ферми из B.49), г)кТ — химический потенциал
свободных электронов, к& - дебаевский радиус (см. также (8.47)), и
предполагается, что все ионы имеют одинаковый средний заряд Z = 1.
Для рассмотренной смеси с Хц = 0,739, хНе = 0,261 величина Z меняется от
единицы до 1,0811 при изменении состава от полностью нейтрального до
полностью ионизованного, пе — концентрация свободных электронов. С
учетом D.51), поправки к термодинамическим функциям равны
/1 3
A~ +
bV
/1 3 Ъкз, \
Sc=-Fc(- + —А, D.52)
\Т ка ЪТ /
Б
с
VK
4я V * ЪТ
Результаты ТФДХ рассмотрения верны при
е! /4» У'3
В [403] ТФДХ теория применяется при Ге < 0,1. при Ге > 1 исполь-
используются результаты расчетов Монте-Карло, а при 0,1 < Ц. < 1 результаты
обоих методов интерполируются.
Для определения степени ионизации используется уравнение Саха, в ко-
котором учитывается, в дополнение к A.8), конечная степень вырождения
свободных электронов, влияющая на их химический потенциал. Сдвиг
уровней ионов и молекул при учете экранирующего ДХ потенциала приво-
приводит к уменьшению числа связанных состояний и уменьшении их глубины-
Их учет в формуле Саха отражает ионизацию давлением. В целом, учет
ионизации давлением сводится к сложной самосогласованной проблеме,
в которой концентрация свободных электронов пе и ионов и< определяет
ДХ радиус и потенциал, а те, в свою очередь, определяют концентрацию
посредством сдвига уровней, входящих в уравнение Саха. Задача ослож-
осложняется отсутствием аналитических решений для уравнения Шредингера с
ДХ потенциалом [240], поэтому необходимы численные расчеты. Резуль-
Результаты таких расчетов, выполненных в [403], представлены на рис. 15 и 16.
Таблицы уравнения состояния с учетом кулоновского взаимодействия,
рассчитанные аналогичным способом, даны в [358].
54

„т
9'
7,0
6,0
5,0
4.0
n—i—г-
Г,
1—г"
J
J
/1
1 •/
!/
Г2
—\ т
^ F-
)
/
/
/>
//'
l/i
1/1
fit
/А
А\
ifi
%\
'0.710
ш>
!п!
nv i
11 i
it i
' 1 i /
I 1/
А
1 7
I
/
Г
\
1 1 1
ююб
; ij
i 'У"
' /1
г1
'/ -
'/
-
1 1 1
-Bft -4fl -2.fi О 2ft lg/>
Рис. 15. Область на плоскости (lgp, lgT), где рассчитывались термодинамические
функции [403]. Слева от линии Ге= Г, = ОД расчеты велись по ТФДХ теории, справа
от линии Ге= Г2 = 1,0 по методу Монте-Карло (см. D.53)). Слева от линии /, водо-
водород и гелий частично ионизованы, между линиями /, и /2 водород ионизован пол-
полностью, а гелий частично, а справа от линии 1г оба ионизованы полностью, штриха-
штрихами указаны линии постоянного значения F = 4F|^2Gj)/N/r7T, характеризующие вырож-
вырождение, в невырожденной плазме F < 1.
Рис. 16. Отношение кулоновской поправки к давлению к полному давлению при
Г= const. На каждой кривой указана величина lgT, для которой lg/>0 = 2,741181gr-
-4,58825
Задача. Сделать гладкую интерполяцию уравнения состояния холод-
холодного вещества нейтронных звезд.
Решение [14]. Гладкая с первой производной интерполяция уравнения
состояния Р(р) из табл. 9 [479] определяется следующими формулами
(р — полная плотность массы-энергии с учетом взаимодействия):
...6.
а=
Ьг = 2,5032,
*>4 =0,70401515,
bs =0,16445926,
Ь6= 0,86746415,
О)
рк_1
Cl = ю-2-257,
с2 = 1,1598,
с3 - 0,356293,
с4 = 1,2972138,
с5 =2,117802,
с6 = 1,237985,
p2=10ii.55i9
р! = ю14-302,
55

Непрерывность производных dP/dp в точках р = рк из A) достигается с
помощью сглаживания в виде
ft-bPt-y, *=1,2;...6,
Pe[pk-Sk,pk + h], B)
где
1 1
= ~ -- sin
Z 2
= 0,01 pfc.
/ я
f —
ГЛАВА 2
ЛУЧИСТЫЙ ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Звезда излучает с поверхности энергию, производимую в ее цент-
центральных частях за счет ядерных реакций или гравитационного сжатия.
Свободный пробег фотонов обычно гораздо больше, чем у частиц. Фото-
Фотоны определяют лучистую теплопроводность, которая является основным
механизмом передачи энергии в звезде в отсутствие конвекции. В очень
плотных звездах (белых карликах, нейтронных звездах), где вещество
является вырожденным, плотность лучистой энергии относительно мала,
а свободный пробег частиц вырожденного газа велик. Поэтому в белых
карликах наиболее важна теплопроводность электронов, а в нейтронных
звездах важна и теплопроводность нейтронов. *)
Потери энергии звездой происходят за счет выхода фотонов в проз-
прозрачные слои и свободного их улета на бесконечность. В переходной облас-
области с оптической толщей т = / andr < 1 (о— сечение взаимодействия фото-
Ч
на с частицей вещества, п — концентрация частиц, /у — радиус фотосферы)
формируется спектр излучения звезды. Наиболее общее описание излу-
излучения в звездах, как в прозрачных, так и в непрозрачных областях, дает
уравнение переноса, которое является кинетическим уравнением для фо-
фотонов.
§ 5. Уравнение переноса энергии
Все фотоны движутся со скоростью света с и не подвержены действию
внешних сил. Мы не рассматриваем здесь сильных гравитационных полей,
приводящих, согласно общей теории относительности (ОТО) к красному
смещению и к искривлению траекторий фотонов. Функция распределения
фотонов /„ (см~3 Гц • ср) зависит от времени Г, координат xt> энер-
энергии фотона hv и направления его движения, определяемого единичным
*) Нейтринные потери энергии, доминирующие при очень высоких температурах,
рассмотрены в § 19.
56

вектором /,- [159, 215]. Число фотонов dnv в элементе объема dV в интер-
интервале частот dv, двигающихся внутри телесного угла dSl равно
dnv =Mt. xh v, I,) dVdv da. E.1)
Так как свободные фотоны движутся прямолинейно с одинаковой ско-
скоростью с, количество энергии dEv, проходящее за время dt внутри интер-
интервала dvdSl через площадку da, равно энергии фотонов внутри объема
dV={lidat)cdt, E.2)
dot - вектор нормали к площадке длиной da (рис. 17). Имеем
dEv = hvdnv = /„ А*Ш hvdV=fvchvdvd£ldt(!id0i). E.3)
В теории переноса излучения вместо функции /„, характеризующей кон-
концентрацию квантов E.1), используют спектральную интенсивность излу-
излучения/,, (зргсм с ср^Гц),
Iv=chvfv, E.4)
связанную с потоком энергии E.3). Интенсивность излучения является
более естественным способом описания постоянно движущихся фотонов,
чем их концентрация. *
Проходя слой вещества толщиной ds, интенсивность /„ уменьшается за
счет поглощения:
dlv\a=~avplvds E.5)
и возрастает за счет собственного излучения среды:
dlv\e=jvpds. E.6)
Здесь а„ (см2 ■ г) — спектральный коэффициент поглощения, а /„
(эрг г с • ср • Гц) - коэффициент излучения, отнесенный к еди-
единице массы вещества. Часть излучения, потерянная падающим пучком,
cdt
Рис. 17. К выводу уравнения переноса
перераспределится по другим направлениям. Если при этом частота сох-
сохраняется, то такой процесс называется когерентным рассеянием. Измене-
Изменение интенсивности за счет рассеяния есть
— а„/„ + / а„/ (l'i ■ lt) /„(//) pds. E.7)
n' 4я J
Здесь первый член означает уменьшение интенсивности за счет рассеяния
иэ Данного направления /,-, а второй — увеличение интенсивности в направ-
направлении If за счет прибавки фотонов, рассеянных из направлений If. Сечение
зависит от угла между /,- и /,, т.е. от cos в = /,- ■ /J. Усредненный по направле-
57

нию коэффициент рассеяния а„ (см2 /г) есть
* ~ sin 0 dB / du' du \
a, = /aw(cos0)— ( = /ow—-=/op,—-), E.8)
о 2 \ 47Г 4я /
а нормировка avl выбрана так, что для изотропного рассеяния avl = а„.
Приравнивая конвективную часть изменения интенсивности
+—I,
ds
с Эг Эх /
к сумме E.5) —E.7), получаем уравнение переноса [219]
JvP - о„р!„ + р f aw(cos в) Iv(Ji)
Т otvplv jvP ovplv р f ow(cos0)/„(/!)
с or os n' 4я
E.9)
Здесь dlv/ds — производная по направлению распространения луча. В де-
декартовой системе
Э/„
bljbs-l,—-. E.10)
Эх,-
Э/„ Э/„
В случае плоской симметрии /„ (z, в, v, t), = = 0, lz - cos в, в —
Эх Ъу
угол между осью z и направлением луча, левая часть E.9) есть
1 Э/„ Э/
+cos0 . E.11)
с Эг Эг
В сферически-симметричном случае /„ (г, в , v, t), в -меняющийся вдоль
пути угол между радиусом-вектором точки и направлением луча Эг/Эу =
= cos0, Э0/Эх = — sind/r (рис. 18). При этом левая часть E.9) принимает
вид
1 Э/„ Э/„ sin в Э/„
+ cos0 . E.12)
с Эг Эг г Э0
В локальном термодинамическом равновесии (ЛТР) величины /„ и а„
связаны законом Кирхгофа *)
где
2hv3 1 ,
Bv(T) = —7 (зрг • см 2 • с • ср ■ Гц) E.14)
— интенсивность равновесного планковского излучения [ 145].
*) Для учета вынужденного излучения av в E.9) нужно заменить (см. § 21) на
а;«а„<1-*-*"/"> E.13а).
58

Угловая зависимость сечения рассеяния задается углом в, ///| = cos0,
который выражается через углы исходного {в, у) и рассеянного (в', <р')
луча с помощью соотношения [219]
cos2 в = cos2 в cos2 в' + sin2 в sin2 в 'cos2 (<p-<p') +
+ 2 cos в cos в 'sin в sin в 'cos(tp -<p). E.15)
Когда частота при рассеянии меняется, то оно называется некогерентным.
dr
Рис. 18. Перенос излучения
в сферической геометрии
В этом случае два последних члена в E.9) следует заменить на
) х
E16)
4я
где учтены вынужденные процессы рассеяния (см. § 21). Часто вместо
реальных угловых зависимостей при рассеянии (см. § 7) используют при-
приближение изотропного рассеяния, для которого последний член в E.9)
после интегрирования по d>p' имеет вид
1 v
~ ро„ J Iv{6')sin 6'de'.
I о
E.17)
§ 6. Эдцингтоновское приближение.
Лучистая теплопроводность
Свободный пробег фотона внутри звезды обычно много меньше ее раз-
размера, поэтому перенос излучения там достаточно рассмотреть в приближе-
приближении лучистой теплопроводности. Параметры фотосферы, где т^ 1, входят
как граничные условия для уравнений, описывающих строение звезды
(см. гл. 6). При этом используются только усредненные свойства поля
излучения. Для получения граничных условий часто пользуются прибли-
59

жением Эддингтона [197], которое позволяет единым способом описать
как прозрачные, так и непрозрачные области. Точные решения уравнения
переноса изучаются в теории звездных атмосфер, где получают теоретичес-
теоретические спектры для сопоставления с наблюдаемыми [159, 197, 219].
а) Моменты уравнения переноса. Приближенное описание поля излуче-
излучения основано на рассмотрении усредненных по углу и частоте характерис-
характеристик. Для этого рассмотрим моменты уравнения переноса E.9). Интегри-
Интегрируя E.9) по dSldv с учетом E.10) в декартовой системе координат и при
наличии ЛТЕ E.13), E.14), получаем
Э5 9F,-
+ =-рс[/ OivSvdv-OLPB(T)\. F.1)
dt Эх,- о *
Аналогичное интегрирование с весом /,- дает
-—*-+€-*-= -KPFt. F.2)
с dt Ъхк
Здесь Sv (зрг • см ■ Гц) и S (эрг • см) — спектральная и полная
плотность лучистой энергии:
1
Sv = - / Ivdn, S = f Svdv; F.3)
СП О
Fj — плотность потока лучистой энергии (зрг • см" • с"):
F,-= / IJtdOdv, F.4)
n, v
В{Т) — плотность энергии равновесного излучения (зрг ■ см):
Т\
1 8я(ЛГ) xdx
В{Т) = - / Bv(T)dndv= \J f —
с n,v сэИл о ех -1
я4
8я*
[145], а= з (см. §1).
153А3
/ [145], а з
о ех-1 15 15с3А3
Члены с рассеянием в правой части E.9) выпадают после интегрирования
из F.1) в силу E.8), из которого следует равенство
dn'
av f /„(/,) dn = fdtlf a(cos в) /„(ij). F.6)
n n n' 4я
Величина Р^ — тензор давлений поля излучения (зрг ■ см) есть
/
i F.7)
С П, v
Член с излучением выпал из F.2) в силу равенства / cos в dQ. = 0, а послед-
п
ний член в E.9) обращается в нуль только для четных функций а(х), для
которых f avl(cos в) cos в dn = 0. В случае релятивистских электронов
п
[21] этот член остается после интегрирования и его следует добавить к
F.2).
60

Ввиду того что поток излучения определяется частотами, на которых
поглощение и рассеяние минимально, в F.2) используется Росселандово
усреднение а„ и а„ по частоте [229]:
- 1 dBv(T) ш
- dBv(T)
f dv
о dT
F.s)
где Bv (T) дано в E.14), а к„ = av + а„. В F.1) более правильно исполь-
использовать значение < а„> = аР, усредненное по Планку [197],
4я/° uvBv(T)dv
б) Плоская атмосфера. В зтом случае в силу плоской симметрии в
F.1), F.2) остаются следующие компонентыFt и Pik:
F = FZ= f Iv cos BdCldv, *FЛ0)
P=PZZ = ~ f Ivcos26dndv. F.11)
С n,v
Имеем тогда вместо F.1) и F.2) в стационарном случае
dF
— =-pc[f avSvdv-aPB{T)], F.12)
dz о
dP
c—-=-KpF. F.13)
dz
В атмосфере звезды принимается условие лучистого равновесия, эквива-
эквивалентное условию постоянства потока F в F.12) :
F = const = L/4nR2, L — светимость,
F.14)
/ а„ Svdv = ар В(Т), R — радиус звезды,
о
В зддингтоновском приближении принимается
^=35' F15)
как в случае равновесного излучения. Это условие получается, если
из F.11) вынести за знак интеграла среднее значение (cos20) =
~ ~7~ /cos2fl d£l = 1/3. Для серой атмосферы а„ = аР - к = const имеем
$ F.16)
61

Вводя оптическую толщу
оо
т = / Kpdz, F.17)
находим решение F.13) в виде
dS F F
= 3-, 5=3- т + const. F.18)
dr с с
Для нахождения постоянной в F.18) следует учесть, что при т -»-0 остают-
остаются только кванты, летящие в направлении углов 0 < в < я/2. В этом
интервале < cos в > = 1/2, и Эддингтоном принято
оо Я/2 | «о 7Г/2 CS(O) *
F= f dv f /„ cos в du » — / dv f Ivdu = . F.19)
оо 2о о 2
F
Тогда в F.18) имеем const = 2 — и
с
F / 3 \
»-*r(«V/ F20>
Если учесть F.16) и ввести — = F, то решение F.20) примет вид
F.21)
Фотосфера определяется условием Т = Tef и расположена при т = 2/3 =
= 0,667, ДО) = -^ Tef - 0,841 Tef. Чандрасекхар [219] показал, что
вместо F.19) точнее использовать граничное условие
cS@)
F= ' ■ F.22)
у/Т
Тогда
, - (-—+ г), У4 = -Г^(-!- + тУ F.23)
1
Фотосфера расположена здесь при т = 4/3 = 0,756,
в) Сферическич;имметричный случай. В этом случае для ненулевых
компонент имеем
F=Fr= f Iv cos 6d£l dv, F.24)
П, v
Р = Р„ = - f Iv cos2 в dudv, F.25)
С n,v
a

в отличие от F.10) —F.11) угол в здесь отсчитывается от направления
адиуса-вектора в данной точке и меняется при нерадиальном движении.
Используя левую часть уравнения переноса в виде E.12), в стационарном
случае получаем следующие уравнения моментов:
-^-+2- = -рс[/ avSvdv- OipB(T)}, F.26)
dr r о
dP S-ЪР F
- = -кр-. F.27)
dr r с
В сферически-симметричном случае F ~ 1/r2, S ~ 1/г2 при т ->-0, поэтому
вместо F.15) используется переменный фактор Эддингтона [159]
{1/3 при т-*-°°,
F.28)
1 при т -*■ 0.
В случае лучистого равновесия
f—^". F-29)
4
При т->0и больших радиусах излучение сильно дилютировано, cos0
и вместо F.19) имеем
F.30)
С учетом F.28) —F.30) решение F.27) при т->-0 имеет вид
*-—1-0- + 1). F.31)
При больших т внутри звезд излучение всегда близко к рановесному и
выполняются соотношения F.15) и F.16). Тогда из F.27) имеем в приб-
приближении лучистой теплопроводности
4асТ3 dT
L (г) = 4яг 2. F.32)
Зкр dr
Подставив F.16) в F.31) и дифференцируя, имеем при т -»-0
^., „._£_. F.33)
Интерполируя F.32) и F.33), получаем приближенное уравнение, опреде-
определяющее зависимость Т(г) при любых т [520]:
F.34)
3
1 —-т при т<2/3
О при т > 2/3
63

Расчеты показывают [520], что распределение температуры в атмосфере
звезды слабо чувствительно к выбору Ro и То, соответствующих т = 0.
Вместо переменного эддингтоновского фактора F.28) три момента
S, F и Р в сферическом случае можно связать между собой, используя два
свободных параметра [18]:
F
3P-S=2-(A-p0). F.35)
с
Тогда вместо F.27) получаем уравнение
, dS F F
Но + 2(Л-д0)— + кр- =0. » F.36)
dr cr с
В [18] принималось, как и в эддингтоновском приближении до = ——, а
V3
для Л рассматривалось два варианта:
Л = 2д0 и A = no+l4- F.37)
Оба варианта F.37) при малых т дают более точное рещение, чем эддинг-
тоновское приближение Л = ц0. При больших т условие F.37) дает су-
существенно большую погрешность, чем Л = ц0, поэтому можно рассматри-
рассматривать интерполяционную зависимость вида
Л = до +
1
Еще один вариант приближения Эддингтона для сферически-симметрично-
сферически-симметричного случая приведен в [614, 615].
§ 7. Непрозрачность: поглощение, рассеяние
и электронная теплопроводность.
Россе ланд ов о среднее
При движении сквозь вещество фотон с энергией hv ■< mec2 может
либо рассеяться, либо поглотиться и передать энергию электрону тремя
следующими способами:
1) увеличить скорость свободного электрона,
2) перевести электрон из связанного состояния в свободное,
3) перевести электрон из одного связанного состояния в другое с боль-
щей энергией возбуждения.
Для переноса тепла может оказаться важным рассеяние и электронная
теплопроводность. Приближенное исследование процессов поглощения,
выявляющее их качественные особенности, провести сравнительно про-
просто, однако количественные результаты получаются при этом слишком
грубыми. Исследование этих процессов, в особенности связанно-связанных
переходов, с достаточной точностью, когда учитываются необходимые
состояния ионизации и возбуждения различных элементов и переходы меж-
между ними в рамках квантовой механики, требуют весьма трудоемких рас-
расчетов на вычислительной машине. Рассмотрим приближенную теорию этих
процессов.
64

а) Свободно-свободные переходы. Расчет коэффициента поглощения
проще сделать, воспользовавшись принципом детального равновесия,
связывающего сечения прямых ц обратных процессов. При единичной кон-
концентрации электронов и водородоподобных ионов с зарядом Z, связь се-
сечения тормозного излучения aeff и свободно-свободного поглощения aaff
фотона с энергией hv задается формулой [215]
aefflaaff=8nv2/hc2v, G.1)
где v — скорость электрона до поглощения фотона или после его испуска-
испускания. В классическом приближении сечение тормозного излучения фотона
с частотой v > mv3/2nZe2 для нерелятивистских электронов есть [215,
143]
_32я2 Z2e6
°eff= V5 mlcWvv2 ■ G'2)
Вводя близкий к единице фактор Гаунта для свободно-свободных перехо-
переходов gff, учитывающий квантовые поправки к классической формуле,
получаем для aaff
4я Z2e6
*"■ G3)
Помимо спонтанного излучения, определяемого E.13), имеет место вынуж-
вынужденное излучение, которое в силу своей когерентности в условиях ЛТЕ
эквивалентно уменьшению сечения поглощения G.3) на множитель
A -e-"i;/fc7'), так что [229]
С7-4)
Интегрируя по скоростям электронов с помощью функции Ферми B.2)
и B.8) и суммируя по различным ионам, получаем коэффициент поглоще-
поглощения щ/ для свободно-свободных переходов
«•
xa,z I 8я/и| ~ o*ffv2dv
Amu I A3 0 /mv2
1 + expl + a
I V\2kT
A.Z Am- . „ . ,
{ + a - p
\2kT
G.5)
<*[* имеет тот же смысл, что и а„* в E.13а). Здесь XA>Z — концентрация
ионов с числом барионов в ядре А и зарядом Ze. Для невырожденных
электронов с концентрацией пе имеем, используя B.48) —B.50),
^ri ,7.6,
Тогда усреднение в квадратных скобках G.5) сведется к умножению
* на _
Г
)e, G.7)
\v/ nkT
а фактор Гаунта нужно взять усредненным по Максвеллу [128]. В общем
случае связь Р с пе дана в B.48), а интеграл G.5) сводится к B.49), если
gff заменить средним значением.
5 Г.С. Бисноватый-Коган 65

б) Связанно-свободные переходы. Несмотря на существенно квантовый
характер этих переходов, Краммерсу A923) удалось получить квазиклас-
квазиклассическую формулу, используя принцип соответствия, согласно которому
при возрастании квантового числа п должен происходить непрерывный
переход от дискретного спектра к непрерывному. Разность энергий между
двумя соседними уровнями дискретного спектра в водородоподобном
ионе есть [215,144]
4*2weZ2e4
Учитывая, что состояние с главным квантовым числом л и определенной
ориентацией спина имеет статистический вес п2, можно записать принцип
соответствия для сечений излучения фотона с энергией /if в свободно-
связанном и свободно-свободном переходах aefb и aeff в виде [215]
п2
— oefb=oeff. G.9)
С учетом G.2) получаем сечение рекомбинации на уровень, соответствую-
соответствующий п, в виде
128 я4 ZV°
Oefb = , pr — 5Т4—2 ■ С7'Ю)
Из принципа детального равновесия для сечений рекомбинации aefb и фото-
фотоэффекта при заданной поляризации aabf, получаем [215]
oefb 2fcV
2 2 2' К'-11)
Oabf mltfC*
Окончательно имеем сечение на один электрон для связанно-свободного
поглощения с данного уровня п в виде
64я4 ZVV
G.12)
hv>Eb= ^if^ ■
h n
Здесь gbf — фактор Гаунта для связанно-свободных переходов, Еь — энер-
энергия ионизации, а в a£bf учтено влияние вынужденного излучения. Для
учета вырождения электронов сечение в G.12) нужно умножить на [128]
qbf= 1 -/е(£»= [1 +ехр(р-а-Ег/кТ)]-\ G.13)
где Ef = hv — Eb - энергия вылетевшего электрона,/еопределена в B.2).
Множитель qbf определяет долю незаполненных состояний континуума
для вылетающих электронов.
66

Коэффициент поглощения а^ получается после суммирования G.12)
по электронам на разных уровнях энергии и различным ионам:
«£*= £ oUfQbf^^^A.z.n. G.14)
Здесь Na z п~ число электронов на уровне п у иона с массовым числом А
и зарядом Ze.
в) Формулы Краммерса. Рассмотрим отдельно росселандовы средние
F.8) для свободно-свободных и связанно-свободных переходов. Вкладом
тяжелых элементов в свободно-свободные переходы пренебрежем, так
как он мал по сравнению с их вкладом в связанно-свободные переходы,
а водород и гелий считаем полностью ионизованными. Подставляя в F.8)
alf из G.5) вместо к „, получаем для невырожденных электронов
4 £п е6й2(хн+хНе) _ "е
Kff~ 3 V 3 т^ст
3,68 • 1022^7Г(хн +хНеH +*нI//. G.15)
р
Здесь учтено, что Z£,/dH = Z2iJAHe = 1, пе * A + хн), а из F.8)
2ти
и
3
получено v3 = 196,5 (kT/h ) 3.
Если степень ионизации высока, то, применяя формулу Саха A.8)
к каждому уровню, получим для у, >;- ^l.gij-i/gi,,- =n2, [229]
G16)
Подставляя G.12), G.16) в G.14), приближенно получим
bf_ 4 fhi е6й2 Z2
а" = з" VT ^p
z- G.17)
Здесь вклад дают только тяжелые элементы, Еь определено в G.12),
а xz — весовая концентрация тяжелых элементов, для которых Z2/A
принято одинаковым. Полагая Z2/A = 6, пе = ^— A + хн) и подставляя
G.17) в F.8) вместо к„, получаем после усреднения
102S^T*z0+*h)— ■ G-18)
десь - - среднее значение сомножителей в квадратных скобках G.17).
5* 67

Величина t/g ^ меняется примерно от единицы до десяти. При низких
температурах и уменьшении степени ионизации формула G.16) становится
неверной и G.18) дает завышенный результат. Этот факт можно учесть
за счет увеличения /. Формулы G.15) и G.18) называются формулами
Краммерса.
г) Связанно-связанные переходы. Поглощение в линиях может быть
существенным, если в нем участвует достаточно широкая область спектра.
Поэтому помимо количества линий важно знать их ширины.
Естественная ширина линии у„ с частотой v0 определяется взаимодей-
взаимодействием с нулевыми колебаниями вакуума, а сечение поглощения опреде-
определяется формулой классического осциллятора вблизи vo^ini резонансного
поглощения [128], следующей из G.23) при v&Vjj =v0: '
' GЛ9)
Здесь fij— сила осциллятора, дающая поправку на квантово-механические
эффекты. Доплеровское уширение связано с движением атомов и сечение
поглощения имеет вид [128]
2\'2 1
)
Ударная ширина линии связана с конечным временем жизни возбужденного
атома, определяемым столкновением с окружающими частицами. Сечение
описывается формулой G.19), где вместо у„ следует использовать ус [128] :
ру п*+п'А
5310 G21)
Здесь nun начальное и конечное главные квантовые числа, Z * — эффек-
эффективный заряд ядра, у - среднее число свободных электронов на атом.д,- -
молекулярные массы компонент, х/ — молярные доли их в смеси, а Т измеря-
измеряется в кельвинах.
Штарковское, или статическое уширение связано со сдвигом уровней
переменным в пространстве электрическим полем и движением атома в
этом переменном поле. Учет вынужденного излучения в линиях производит-
производится аналогично G.4). Подробный учет поглощения в линиях сделан при
численном расчете таблиц непрозрачности в работах [128, 129,334].
д) Рассеяние на электронах. Томсоновский коэффициент рассеяния на
нерелятивистских свободных электронах не зависит от частоты и имеет
вид [219, 143]
2я / е2 \2
ат1= ! _j (i+COs20),
rffi 8я/е2 V ' ■>- d&
aT=f аТ1 = ( ) (см2 т),/ A +cos20)— =4/3,
~ 4я 3 \тес / Miwu о 4я
68

гпе 0 - угол рассеяния, Д;(=д2из B.17) для полностью ионизованной
плазмы) — количество нуклонов на один свободный электрон. Релеевский
коэффициент рассеяния на связанных электронах дает то же угловое
паспределение G.22). Для произвольного колеблющегося электрона
коэффициент рассеяния есть*)'
2 е2
oSev —
3
■V-*'♦(£)'•' '
u тес
КГ -Щ1Г + 1~ J v-
G.23)
= — osev(l+cos26),
4
где „ . — частота перехода между уровнями (для связанного электрона)
с силой осциллятора //,- и временем жизни 1/7, мв — количество нуклонов
на одну рассеивающую частицу. При V, у^ vtjимеемрелеевское рассеяние
с or ~ i'4- Для свободного электрона, колеблющегося с частотой v0, затуха-
затухание определяется реакцией излучения [143] и7= 8я2е2»'о/3/иес2.Коэффи-
8я2е2»'о/3/иес2.Коэффициент рассеяния фотона с частотой v таким осциллятором получается из
G.23) при»'/,- =i>o,ftj = 1,мв = ц,- Приу^^о этот коэффициент становит-
становится томсоновским. Величина
ае ( =- ) = 6,65 • 10 s см2, G.24)
3 \тес2/
входящая в G.22), G.23), называется томсоновским сечением рассеяния.
Полное сечение релятивистского рассеяния фотона на электроне есть
[21]
/е2 \2 1 г/ 4 8 \ 18 1 ]
аег=2п( -) - A dW1 +х)+ - + 5~ =
\гпес2 / х[\ XX2/ 2 х 2(l+x2)J
4
2 — A — х) при х< 1,
х| f G-25)
- [ln(x + 1) + 1/2] прих>1.
X
В произвольной системе отсчета
(р+ЛJ _ _
Р и *-4-импульсы электрона G.26)
и фотона перед столкновением.
В системе центра масс имеем
hv
G.27)
*) Коэффициент рассеяния равен сечению, умноженному на (/ивти)~'.
69

Угол рассеяния однозначно связан с энергией рассеянного фотона, так что
рЛ-рЛ'-ЛЛ' = О, G.28)
где. к' — 4-импульс рассеянного фотона. В лабораторной системе
m(y-v')-vv\\ -cos0)=O,
а в системе центра инерции рассеяние является когерентным с v = v,
Другие угловые характеристики рассеяния на релятивистских электронах
приведены в [21]. Коэффициенты q, и <Wf, входящие в E.9) и E.16),
зависят от электронных импульсов и должны браться усредненными по
электронному распределению.
При слабом вырождении непрозрачность, связанную с релятивистским
кТ
рассеянием, приближенно можно получить, приняв tv = t0 = |30 в
m ec2
G.25) и G.27), как при выводе G.18). Получаем
, л 8я / е2 \2 Дх0) 0,40
3 \mecV muiii (it
ЗГ/ 4 8\ 18 1 I 1
f(xo)= - A ? )ln(l +хо)+ - + И — =
4[\ х0 xl) У 2 х0 2(l+xoJJxo
1 — х0 при х0 "^ 1
1пA +х0) + - I при х0 > 1, G.29)
4х L 2 J
кТ / кТ // кТ
/ кТ //
АРо j+Vf^o
\ тес2 \
тес 2\ тес2 \ тес2
При отсутствии позитронов и полной ионизации имеем Mi = Mz =
1 +хн
Когда рождаются пары, то позитроны рассеивают фотоны так же, как
электроны, поэтому
G.30)
1+хн +
Р
где л+ определяется с учетом B.9), B.17). Поправка на вынужденное
рассеяние типа G.4) в нерелятивистском случае когерентного рассеяния
отсутствует (см. E.16)) [215, 129]. Отметим, что слабое вырождение
возможно лишь при кТ< шес2 (см. § 2, п. в).
Расчеты непрозрачности, связанной с электронным рассеянием, при
m ec2
учете вырождения и вынужденных процессов для кТ < сделаны
70

Г315]. Они аппроксимируются формулой [532] с точностью лучше 10%
V ' G.31)
kT<-mec2, - 10</3 -a<4,
2
где от дано в G.22), а 0 - а в B.8), B.17). При ft, = 4 формула G.29)
дает точность не менее 20% по сравнению с точными расчетами [559],
сделанными для кТ< 0,24 тес .
е) Электронная теплопроводность. Перенос тепла электронами становит-
становится важным при достаточно низких температурах, когда наступает вырожде-
вырождение электронов и их свободный пробег быстро растет. Расчет коэффициен-
коэффициента теплопроводности Хе вырожденных электронов сделан в § 8, п. в и г на
основе решения уравнения Больцмана. Непрозрачность, связанная с Хе, есть
G.32)
Общая непрозрачность кт есть
1 = - + — (см. G.36)). G.33)
"tot
Вклад Хс в непрозрачность учитывался в [128, 129] при расчете таблиц
непрозрачности.
ж) Другие источники непрозрачности. При низких температурах во
внешних слоях холодных звезд может быть существенным поглощение
отрицательными ионами и молекулами. Из ионов основным является
ион водорода Н~ с энергией связи 0,75 эВ, что соответствует длине волны
16500 А. Большинство отрицательных ионов имеют потенциалы иониза-
ионизации ~ 1 эВ. Из молекул при расчетах таблиц непрозрачности [250] учиты-
учитывались молекулы, включающие Н, С, N, О и другие обильные элементы.
Важную роль в непрозрачности при низких температурах может играть
образование пыли, подробнее см. § 26.
При очень высоких температурах, возникающих при коллапсе при
Т >, 109 К, происходит образование электронно-позитронных пар, а также
фотовозбуждение и фоторасщепление ядер. Сечение рождения пары при
столкновении фотона с энергией hv с покоящимся ионом по порядку
величины есть [21]
4
/ е2 \2 Z2 / hv \ hv
°yz± ~ ( г-) (in г-) . G.34)
\WeC2 / 137 \ 2тесV
Jto сечение мало по сравнению с сечением рассеяния G.25) вплоть до
больших энергий ~ 10 тес2. Сечение двухквантового рождения пар для
летящих навстречу фотонов
V (mec2J
г)
2j
hVlhv2
In——^- G.35)
(mc2J K '
г) In
mec2j hVlhv2 (mec2J
71

Таблица 11
Непрозрачность к (см2 • г"') для химического состава хц = 0,70, хНе = 0,28, xz = 0,02
т, к
Плотность, г • см"
1,00 (+05)
1,00 (+06)
1,00 (+07)
1,00 (+08)
1,00 (+09)
1,00 (+10)
1,00 (+9)
5,00 (+8)
2,00 (+8)
1,00 (+8)
5,00 (+7)
1,08 (-1)
1,48 (-1)
1,67 (-1)
1,23 (-1)
5,31 (-2)
5,55 (-2)
3,12 (-2)
1,35 (-1)
3,63 (-3)
4,80 (-4)
8,86 (-3)
2,45 (-3)
7,68 (-5)
1,92 (-5)
1,92 (-5)
4,81 (-6)
7,70 (-7)
1,92 (-7)
4,81 (-8)
1,92 (-9)

Таблица 11 (продолжение)
Т, К
1,00 (-2)
1,00 (-1)
Плотность
1,00
, г • см"'
1,00 (+1)
1,00 (+2)
1.00 (+3)
1.00 (+4)
1,0
5,0
2,0
1,0
6,0
5,0
2,0
1,0
5,0
2,0
1,0
5,0
3,0
2,0
1,6
1,3
1,0
7,0
5,0
3,0
2,0
1,5
(+9)
(+8)
(+8)
(+8)
(+7)
(+7)
(+7)
(+7)
(+6)
(+6)
(+6)
(+5)
(+5)
(+5)
(+5)
(+5)
(+5)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
1 1,13
2,98
3,25
3,40
4,03
2,54
1,85
1,38
6,43
3,02
7,86
1,75
3,27
5,24
6,29
5,13
7,53
2,80
(-1)
(-D
(-D
(-1)
(-D
(+1)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+3)
(+4)
.1,13
2,98
3,04
3,28
3,70
8,40
1,94
8,26
2,61
8,50
2,51
4,93
8,09
9,61
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(+1)
(+1)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
1,13
2,76
2,99
3,05
3,57
5,41
2,54
5,37
1,92
6,34
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(+1)
(+2)
(+2)
1,13
2,34
2,76
3,01
3,09
4,81
1,08
5,55
7,88
2,67
2,36
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(+1)
(+2)
(+2)
1,13
1,65
2,34
2,79
3,18
3,33
7,83
2,54
1,39
3,71
(-D
(-D
(-1)
(-D
(-D
(-1)
(-D
(+D
(+D
1,13
1,64
2,34
2,96
3,87
4,31
1,48
4,82
3,52
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
1,13
1,64
2,35
3,50
6,27
5,68
1,90
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)

Таблица 11 (продолжение)
т, к
5,00 (+6)
2,00 (+6)
1,00 (+6)
5,00 (+5)
3,00 (+5)
2,00 (+5)
1,60 (+5)
1,30 (+5)
1,00 (+5)
9,00 (+4)
8,00 (+4)
7,00 (+4)
6,00 (+4)
5,60 (+4)
5,20 (+4)
4,95 (+4)
4,70 (+4)
4,45 (+4)
4,20 (+4)
3,95 (+4)
3,70 (+4)
3,45 (+4)
3,20 (+4)
2,80 (+4)
2,50 (+4)
2.25 (+4)
2,00 (+4)
\,80 t+<V>
3,00
4,36
8,69
1,54
2,93
5,96
9,20
' 1,38
2,56
5,28
7,04
9,46
1,09
1,24
1,31
1,51
1,71
1,84
2,22
2,68
3,55
4,32
5.69
7,57
1,01
(-7)
(-1)
(-1)
(+1)
(+1)
(+D
(+1)
(+D
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
С+3-)
1,00
3,78
6,24
2,07
4,35
9,10
2,14
3,21
4,82
9,33
1,84
2,46
3,22
3,61
4,24
4,99
5,56
6,22
7,06
8,14
9,70
1,26
133
1,84
2,36
2,61
(-6)
(-1)
(-D
(+1)
(+1)
(+1)
(+D
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
С+3-)
3,00
4,48
1,12
5,46
1,43
2,93
6,65
1,02
1,73
3,23
5,91
7,51
9,89
1,13
1,31
1,54
1,75
2,04
2,40
2,78
3,02
3,78
4,31
4,95
5,49
5,07
Плотность, г ■
(-6)
(-1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
1,00
3,74
6,39
2,82
2,04
5,40
1,09
2,62
4,12
6,63
1,15
2,01
2,56
3,26
3,82
4,47
5,24
6,14
7,09
8,05
9,03
1,00
1,12
1.20
1,21
1,11
8,60
(-S)
(-D
(-1)
(+D
(+D
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+3)
см
5,00
4,78
1,73
1,63
1,10
2,92
5,88
1,51
2,27
3,41
5,42
8,93
1,13
1,45
1,72
2,01
2,35
2,74
3,29
3,65
3,90
4,05
3,97
3,57
2,97
2.14
1.45
(-S)
(-D
(+D
(+2)
(+2)
(+2)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
1,00 (-4)
3,83 (-1)
5,50 (-1)
3,17
3,20 (+1)
2,29 (+2)
5,68 (+2)
1,19 (+3)
3,02 (+3)
4,33 (+3)
6,47 (+3)
9,54 (+3)
1,60 (+4)
2,03 (+4)
2,60 (+4)
3,05 (+4)
3,61 (+4)
5,24 (+4)
5,91 (+4)
6,44 (+4)
6,75 (+4)
6,78 (+4)
6,17 (+4)
5,14 (+4)
3,97 (+4)
2,68 (+4)
1,75 (+4)
5,00 (-4)
4,92 (-1)
1,34
1,90 (+1)
1,47 (+2)
8,65 (+2)
2,07 (+3)
4,97 (+3)
1,29 (+4)
1,72 (+4)
2,37 (+4)
3,10 (+4)
4,93 (+4)
6,39 (+4)
8,44 (+4)
1,01 (+5)
1,20 (+5)
1,42 (+5)
1,65 (+5)
1,84 (+5) *
1,96 (+5)
1,98 (+5)
1,86 (+5)
1,35 (+5)
9,92 (+4)
6,90 (+4)
4,32 (+4)
2,78 (+4)
1,00 (-3)
3,43 (-1)
6,21 (-1)
2,39
3,46 (+1)
2,41 (+2)
1,25 (+3)
3,19 (+3)
8,47 (+3)
1,94 (+4)
2,51 (+4)
3,32 (+4)
4,40 (+4)
7,13 (+4)
9,08 (+4)
1,17 (+5)
1,40 (+5)
1,67 (+5)
1,98 (+5)
2,33 (+5)
2,65 (+5)
2,89 (+5)
2,95 (+5)
2,76 (+5)
2,00 (+5)
1.33 (+5)
8,53 (+4)
5,32 (+4)
3,44 (+4)

Таблица 11 (продолжение)
Г, К
Плотность, г ■ см"'
3,00 (-7)
1,00 (-6)
3.00 (-6) 1,00 (-S)
S,00 (-S) 1,00 (-4)
5,00 (-4) 1.00 (-3)
1,60
1,45
1,30
1,20
1,10
1,00
9,30
8,70
8,00
7,50
7,00
6,50
6,00
5,50
5,00
4,00
3,00
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
(+4)
Г+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
1,18 (+3)
1,07 (+3)
6,85 (+2)
4,09 (+2)
2,02 (+2)
8,22 (+1)
3,95 (+1)
1,98 (+1)
8,22
4,14
2,03
9,30 (-1)
4,21 (-1)
2,29 (-1)
1,69 (-1)
4,01 (-2)
3,33 (-3)
2,34
1,71
9,81
5,59
2,76
1,15
5,79
3,00
1,33
7,07
3,59
1,77
8,90
5,58
3,92
7,59
6,16
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-3)
3,84
2,44
1,31
7,52
3,77
1,67
8,59
4,58
2,15
1,16
6,31
3,25
1,81
1,20
7,62
1,30
9,81
(+3)
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-1)
(-3)
5,53
3,38
1,76
1,04
5,55
2,58
1,42
7,82
3,73
2,15
1,16
6,63
4,02
2,61
1,46
2,20
1,50
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-2)
8,55
5,17
2,77
1.69
9,52
4,91
2,84
1,67
8,40
4,86
2,78
1,64
1,02
5,85
2,91
4,20
2,39
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-2)
1,03
6,21
3,42
2,15
1,24
6,53
3.90
2,34
1,19
(+4)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
1,65
1,03
5,85
3,73
2,21
1,19
7,08
4,30
2,17
(+4)
(+4)
(+3)
(+3)
(+3)
(+3)
(+2)
(+2)
(+2)
2,08 (+4)
1,31 (+4)
7,56 (+3)

Таблица 11 (продолжение)
7, К
Плотность, г ■ см
1,0 (-12)
1,0 (-11)
1.0 (-10)
3,0 (-10)
1,0 (-9) 3,0 (-9)
1,0 (-8)
3.0 (-8)
1.0 (-7)
1,00 (+6)
5,00 (+5)
3,00 (+5)
2,00 (+5)
1,60 (+5)
1,30 (+5)
1,00 (+5)
9,00 Г+4)
8,00 (+4)
7,00 (+4)
6,00 (+4)
5,60 (+4)
5,20 (+4)
4,95 (+4)
4,70 (+4)
4,45 (+4)
4,20 (+4)
3,95 (+4)
3,70 (+4)
3,45 (+4)
3,20 (+4)
2,80 (+4)
2,50 (+4)
2,25 (+4)
2,00 (+4)
3,44
3,50
3,57
3,63
3,70
3,74
3,81
3,95
3,99
4,17
4,36
4,65
4,98
5,25
5,38
5,16
3,71 (-1) 5,23
3,73 (-1) 5,49
3,74 (-1) 6,20
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
3,42
3,45
3,55
3,65
3,81
3,89
4,07
4,30
4,52
4,71
4,99
5,34
5,79
6,33
6,97
7,39
6,98
6,90
7,50
8,55
1,06
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-D
(-1)
3,43
3,50
3,55
3,86
4,10
4,26
4,51
5,24
5,85
6,57
7,25
7,87
8,90
1,01
1,14
1,17
1,14
1,13
1,23
1,55
1,94
2,57
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
3,40
3,51
3,64
3,89
4,57
4,90
5,44
6,19
8,11
9,61
1,16
1,30
1,52
1,76
1,98
2,13
2,18
2,16
2,22
2,79
3,57
.4,70
7,17
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
3,40(-1)
3,43 (-1)
3,63 (-1) i
4,02 (-1)
4,67 (-1) (
6,16 (-1) (
6,88 (-1)
7,98 (-1)
1,06
1,69 <■
2,17 (
2,84 !
3,44
4,03
4,64
5,07
5.43
5,61
5,90 „
6,50
8,64
1,21 (+1)
1,57 (+1) " .
2,32 (+1) (
3,43
3,53
1,05
5,01
5,55
),75
,18
1,54
2,35
1,49
5,08
?,43
1,02
,15
,31
,44
,58
,54
1,74
,96
2,96
3,86
5,23
5,89
(-1)
(-D
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
(+D
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
3,41
3,45
3,77
5,26
7,75
1,23
2,26
2,91
4,27
7,47
1,54
2,26
2,96
3,52
4,14
4,79
4,56
5,11
5,88
7,08
8,03
1,02
1,28
1,79
2,49
(-1)
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+D
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)

г, к
1,0 (-12)
1,0 (-11)
1,0 (-10)
Плотность, г
3,0 (-10)
1,
• см-»
0(-9)
3,0 (-9)
1,0 (-8)
Таблица 11
-
3,0 (-8)
(окончание)
1,0 (-7)
1,80 (+4)
1,60 (+4)
1,45 (+4)
1,30 (+4)
1,20 (+4)
1,1 (+4)
1,00 (+4)
9,30 (+3)
8,70 (+3)
8,00 (+3)
7,50 (+3)
7,00 (+3)
6,5 (+3)
6,00 (+3)
5,50 (+3)
5,00 (+3)
4,00 (+3)
3,00 (+3)
3,51
3,74
3,96
3,99
3,41
2,19
9,86
3,34
9,22
2,25
1,10
4,02
(-1)
(-1)
(-D
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-4)
(-5)
3,83
4,08
4,41
4,84
5,29
6,29
7,69
8,83
■ 8,85
6,51
3,53
1,52
5,22
1,53
3,99
1,08
9,68
4,06
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-D
<-П
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-5)
(-5)
7,22
9,38
1,16
1,59
2,22
3,13
3,95
3,62
2,30
9,67
3,87
1,37
4,44
1,33
3,74
1,15
2,18
5,59
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-4)
(-5)
1,34
1,93
2,60
4,06
5,86
8,08
8,44
6,04
3,14
1,16
4,42
1,59
5,37
1,71
5,13
1,65
4,53
7,34
(-1)
(-D
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-4)
(-5)
3,52
5,23
7,55
1,26
1,79
2,11
1,63
9,14
4,25
1,48
' 5,63
2,12
7,67
2,65
8,48
2,83
1,10
1,12
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-3)
(-4)
9,93
1,53
2,27
3,65
4,55
4,43
2,60
1,24
5,41
1,77
7,56
2,99
1,15
4,23
1,42
5,18
2,43
1,92
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(+1)
(-D
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-3)
(-3)
(-4)
3,19
5,15
7,66
1,08
1,06
7,71
3,62
1,64
7,37
2,57
1,09
4,68
1,90
7,29
2,67
1,16
5,51
4,02
(+1)
(+1)
(+1)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(-D
(-1)
(-2)
(-2)
(-2)
(-3)
(-4)
9,77
1,55
2,14
2,36
1,91
1,12
4,73
2,13
9,69
3,55
1,66
7,46
3,12
1,24
4,97
2,71
1,08
8,14
(+1)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+D
(+1)
(-D
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-2)
(-4)
3,62
4,96
5,57
4,39
2,96
1,56
6,22
2,93
1,37
5,36
2,64
1,25
5,43
2,29
1,07
7,26
2,17
1,74
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+2)
(+1)
(+1)
(+1)
(-1)
(-1)
(-1)
(-2)
(-2)
(-3)

Непрозрачность к (см2
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
8,50
9,00
9,50
0,30
0,80
1,30
1,80
2,30
2,80
3,30
lgp
lgT=4,00
-9,81
-9,31
-8,81
-8,31
-7,81
-7,31
-6,81
-6,31
-5,81
-5,31
-4,81
-4,31
-3,81
-3,30
-2,79
-2,25
lgr=3,80
-11,31
-10,81
-10,31
-9,81
-9,31
-8,81
-8,31
•г) при
lg к
0,80
1,02
1,22
1,36
1,46
1,55
1,64
1,74
1,86
1,99
2,15
2,33
2,52
2,72
2,89
2,99
-1,35
-1,48
-1,54
-1,51
-1,40
-1.24
-1,05
низких температурах для
0,90
1,40
1,90
2,40
2,90
3,40
3,90
4,40
4,90
5,40
5,90
6,40
6,90
7,40
7,90
8,40
0,10
0,60
1,10
1,60
2,10
2,60
3,10
lgp
lgr=3,95
-10,86
-10,36
-9,86
-9,36
-8,86
-8,36
-7,86
-7,36
-6,86
-6,36
-5,86
-5,36
-4,86
-4,36
-3,86
-3,35
lgr=3,75
-11,46
-10,96
-10,46
-9,96
-9,46
-8,96
8,46
химического состава
igK
0,39
0,41
0,52
0,64
0,74
0,83
0,92
1,02
1,13
1,26
1,41
1,58
1,77
1,97
2,19
2,39
-2,06
-2,20
-2,27
-2,23
-2,10
-1,92
1,70
igP
0,70
1,20
1,70
2,20
2,70
3,20
3,70
4,20
4,70
5,20
5,70
6,20
6,70
7,20
7,70
8,20
-0,10
0,40
0,90
1,40
1.90
2,40
2.90
jch = 0,700,
lgp
lgT=3,90
-11,01
-10,51
-10,01
-9,51
-9,01
-8,51
-8,01
-7,51
-7,01
-6,51
-6,01
-5,51
-5,01
-4,51
-4,01
-3,49
lgT=3,7O
-11.61
-11,11
-10,61
-10,11
-9,61
9,11
8,61
*He = 0,28
lg"
-0,04
-0,07
-0,05
-0,00
0.07
0,16
0,27
0,41
0,56
0,73
0,91
1,11
1,32
1,55
1,78
2,00
-2,73
-2,87
-2,93
-2,90
-2,76
2,55
-2,29
xz = 0,020
lgP
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
5,00
5,50
6,00
6,50
7,00
7,50
8,00
-0,30
0,20
0,70
1,20
1,70
2,20
2,70
Таб л
lgp
lgT=3,85
-11,16
-10,66
-10,16
-9,66
-9,16
-8,66
-8,16
-7,66
-7,16
-6,66
-6,16
-5,66
-5,16
-4,66
-4,15
-3,64
lgr=3,65
-11,76
-11,26
-10,76
-10,26
-9,76
-9,26
-8,76
ица 12
IgK
-0,65
-0,74
-0,78
-0,75
-0,67
-0,55
-0,39
-0,22
-0,03
0,17
0,38
0,61
0,86
1,12
1,38
1,63
-3,38
-3,50
-3,54
-3,48
-3,29
-2.99
-2.60

t -Z _Г — О О О
7 , i i i i i
OOOOOOOOO
° ° N Г; M I-_ (N I-_ rj
' t" m m" » >o t~
5; ю « » f 9 M, » *
„" и - о d do'do
l l l I I I
00 Г1* Г"* ^ ^ *^ *Л Tf Tf
I I I I I I I I I
ooooooooo
^ CT* Tf CT* ^" CT* Tf CT* Tf
^ CN CT* V} СЧ ^^ Tf Г1* ^Э
7 T i i i ""
i i i i 7 7 T T 7
ooooooooo
*О ^ VO -и \О -и \o ^H vo
OOOOOOO--
OVOOcncocoOtJ-TrOOioOr-OvorN
(N<NC«1cnCOC^^c«"ir- •-ir-'»OCOCOrNrN
^j^ ^>r ^>r ^>« ^>r ^>« c^i c^^ с^ч с^ч ^^^ ^^^ ^^^ ^^^ ^^^ ^"^
i i i i i i i i i i i i i i i i
^ VO VC VO VC VC VO
и ^ r^- „- - d d >-. «1 ^ «4 «> -.  о ■". °
t^^ ^•^ ^"^ ^™^ ^™^ ^^^ ^^^ ^^^ ^^^ 00 00 Г^*1 Г^*1 ^^^ ^^5 ^^^ ^^i
" . I I I I I I I I I I I I I I I
ooo oooooooooooo
-и ^ d о о -■ ^" rJ ri m pi ^' ^' ч ч щ
I I I
77? i i iT77i7T7i i i
^~ ri - - d d 'г ". ^ N. ч -. * °. "i». ».
^■^ ^^ ^^ ^^ ^^ ^?\ ^?\ 00 00 Г*** Г*** ^D ^O v*} ч^ ч|^
11 i i i i i i i i i i i i i i i j
oooooooooooooooo
t^i t^i t^i t^i ^H ^^ C4^ ^J ffj ffj 4j* 4|^ l^J l^J ^Q ^Q
I I
TC?C?C?C?C77777777 i oo
» 77777i i iT ?? i77TT
oooooooooooooooo
r^fNcnoor^oocnoomoomoomoomoo
iiiiiiiii777iiii
n i 7 7 i iT iTTTtTTTTT
tp
о ooooooooooooo
I
79

g
Таблица 12 (окончание)
ISP
-2,10
-1,60
-uo
-0,60
-0,10
0,40
0,90
1,40
1,90
2,40
2,90
3,40
3,90
4,40
4,90
5,40
-4,50
-4,00
-3,50
-3,00
-2,50
-2,00
-1,50
-1,00
lgT=3,40
-13,31
-12,81
-12,31
-11,81
-11,31
-10,81
-10,31
-9,80
-9,28
-8,74
-8,19
-7,64
-7,10
-6,58
-6,06
-5,56
lgT=3,20
-15,51
-15,00
-14,47
-13,93
-13,37
-12,83
-12,29
-11,77
igK
-4,53
-4,58
-4,61
-4,60
-4,50
-4,16
-3,57
-2,97
-2,43
-
-
-
-
_
-
—
,99
1,74
,63
1,58
,55
,54
1,52
-3,85
-3,14
-2,46
-2,11
-2,01
-1,98
-1,64
-
,27
igP
-2,70
-2,20
-1,70
-1,20
-0,70
-0,20
0,30
0,80
1,30
1,80
2,30
2,80
3,30
3,80
4,30
4,80
-5,10
-4,60
-4,10
-3,60
-3,10
-2,60
-2,10
-1,60
lgp
lgT =3,35
-13,86
-13,36
-12,86
-12,36
-11,86
-11,36
-10,85
-10,33
-9,78
-9,23
-8,68
-8,15
-7,63
-7,11
-6,61
-6,10
lgr=3,15
-16,01
-15,45
-14,90
-14,36
-13,83
-13,32
-12,81
-12,30
IgK
-4,77
-4,75
-4,69
-4,52
-4,14
-3,55
-2,98
-2,44
-2,03
-1,83
-1,75
-1,73
-1,71
-1,70
-1,70
-1,69
-2,89
-1,90
-1,40
-1,05
-0,72
-0,37
0,01
0,03
-3,30
-2,80
-2,30
-1,80
-1,30
-0,80
-0,30
0,20
0,70
1,20
1,70
2,20
2,70
3,20
3,70
4,20
-5,70
-5,20
-4,70
-4,20
-3,70
-3,20
-2,70
-2,20
lgp
lgT-3,30
-14,41
-13,91
-13,41
-12,91
-12,40
-11,89
-11,36
-10,81
-10,26
-9,72
-9,19
-8,67
-8,16
-7,65
-7,15
-6,65
lgT=3,10
-16,47
-15,89
-15,37
-14,86
-14,35
-13,85
-13,35
-12,85
IgK
-4,80
-4,69
-4,46
-3,99
-3,37
-2,79
-2,29
-1,98
-1,86
-1,83
-1,81
-1,81
-1,80
-1,80
-1,39
-1,06
-0,22
0
0
0
0
0
0
0
-3,90
-3,40
-2,90
-2,40
-1,90
-1,40
-0,90
^0,40
0,10
0,60
1,10
1,60
2,10
2,60
3,10
3,60
-6,30
-5,80
-5,30
-4,80
-4,30
-3,80
-3,30
-2,80
lgp
lgr=3,25
-14,96
-14,46
-13,96
-13,45
-12,92
-12,38
-11,82
-11,28
-10,74
-10,22
-9,71
-9,21
-8,70
-8,20
-7,70
-7,20
lgr=3,O5
-16,91
-16,40
-15,90
-15,40
-14,90
-14,40
-13,90
-13,40
IgK
-4,64
-4,27
-3,63
-2,99
-2,43
-2,07
-1,94
-1,90
-1,89
-1,89
-1,64
-1,26
-0,93
-0,60
-0,24
0,12
-0,03
-0,03
-0,03
-0,03
-0.03
-0,03
-0,03
-0,03

S о о 8 | о I I
siiillss
7 i i i i i ! '
oooooooo
»*С 55 **"* 00 c* **^ f"** •"*
1" I I I I
oooooooo
ff\ 00 C"i 00 C*"l *O V} »O
«"* -""" °* °* S 5 S
77777TTT
oooooooo
Г~ €N Г~ €N d 00 d 00
^T rf О О О Ом —
I I I I
oooooooo
oooooooo
о о о о
osnoonoooo
I I I I I I I I
oooooooo
70000-l-KN
ТГ О
OS \o
г г г г г
о О О О О
000000 "о о
т т т f
°f «f
оооооооооооооооо
6 о 6 6 о" 6 6 о" о 6 о о" о" о* о" о"
I I I I I I I I I I I I I I I I
°°- оооооооооооооооо
^ 7777777777777777
оооооооооооооооо
оо оо г4 r-\o\omvi^^pi <^- (S м ^н ^
I I I I I I I I I I I I I I I I
оооооооооооооооо
оооооооооооооо"оо
I I I I I I I I I I I I I I I I
о
II ododr^r^vovoiouT'Ti^Ti^r^'r^r^fN'M^
^ 7777777777777777
оооооооооооооооо
iTTiTTTTTTTi 1 Т 7 1
оооооооооооооооо
оооооооооооооооо
I I I I I I I I I I I I I I I I
«о
°^ оооооооооооооооо
^i 7777777777777777
ооооооооооооооо
in О *п О in О in О юОюО<0О»0О
77v?vf>?7TT7T7777°o
ООООООООООС2ООООО
оооо*ооо"о"о"о"о"ооооо"
I I I I I I I I I I" I I I I I I
о
^ 777777777777777 i
оооооооооооооооо
vo vo >о ютг'тг'г^'сСе^сТ-н'мОООО
I I I I I I I I I I I I I I
б- Г.С. Бисноватый-Ког
81

может быть больше Oyz±, однако, как показано в [559], благодаря рожде-
рождению пар рассеяние на них всегда преобладает над G.35), а также над фотон-
фотонным рассеянием. Сечение взаимодействия с ядрами всегда меньще
чем оеТ, поэтому все эти процессы при высоких температурах не дают
заметного вклада в непрозрачность в астрофизических условиях.
з) Таблицы непрозрачности. Формулы Краммерса G.15), G.18) явля-
являются слишком грубыми, поэтому в последние годы в расчетах эволюции
используются таблицы непрозрачности, в которых вычисление к по форму-
формуле F.8) проводится численно. При этом для различных смесей элементов
учитываются [128, 129,334]:
свободно-свободные переходы G.5),
связанно-свободные переходы G.14),
связанно-связанные переходы (п. г.),
рассеяние на электронах (п. д) с учетом релятивистских поправок
[559], а также релеевское рассеяние на молекулах водорода Н2, учет
отрицательных ионов Н ~ и Не ~, а также молекул Нг, Н^ .
Для численного расчета электронной концентрации и концентраций
ионов с учетом вырождения и ионизации давлением использовались ме-
методы, изложенные в § 1 и § 4 с дополнительными уточнениями [128].
Полная непрозрачность к есть сумма непрозрачностей по различным ме-
механизмам взаимодействия с излучением, включая рассеяние:
к = 2 к,. G.36)
I
Вклад электронной теплопроводности учитывался по формуле G.33).
В табл. 11 приведены значения непрозрачности из [334] для состава,
близкого к солнечному Хц = 0,7, Хце = 0,28. В этих последних расчетах
не учтена электронная теплопроводность. При тех параметрах р и Т, где
Хе существенна, приведены величины полной непрозрачности из более
ранних расчетов [129]. Отметим, что существовавшее долгое время рас-
расхождение между таблицами Кокса и расчетами Карсона устранено [319]
после обнаружения ошибки в расчетах Карсона. В табл. 12 для того же
состава даны таблицы непрозрачности при низких температурах [250],
в которых дополнительно учитывается большое число молекул и поглоще-
поглощение на кремниевой пыли. Основной вклад в непрозрачность при низких
температурах дают водяной пар, окись титана и пыль.
§ 8. Теплопроводность вещества
при больших плотностях и температурах
В белых карликах и оболочках нейтронных звезд перенос тепла опре-
определяется вырожденными электронами, которые могут быть релятивист-
релятивистскими, а внутри нейтронных звезд важен тепловой поток, обусловленный
вырожденными нейтронами. Расчет коэффициента теплопроводности в
газе проводится в кинетической теории на основе решения уравнения
Больцмана [222].
а) Решение уравнения Больцмана для нерелятивистского газа. Для вы-
вырожденного газа впервые такое решение получено в работе [611]. Пусть
в веществе присутствует смесь легких ферми-частиц и тяжелого невырож-
82

пенного газа. Уравнение Больцмана для легкого газа в сопутствующей
системе коорданат имеет вид
Э/ 3/ / ' clcol\df Э/ дс01
_-— + vi + ( Ft I vk = J,
Э/ Ъг, \ dt / dv, dv, Ъгк
/i)-//id -/')(
-л-/mi -nix
(8.1)
J = Jm + JnN = Bflf'fid -Л0 -/i)-//id -/')A -Л') X
X gnN WnN(P■
d Ъ Ъ
Чпесь — = — + Co — > f. /n — функции распределения легких и тяже-
dt bt brt
лых частиц, штрихами обозначены функции распределения частиц после
столкновений, vt = ct - coi, viN = cjv,- - c0,- — хаотические скорости легких
и тяжелых частиц, с,-, сдг/ — скорости легких и тяжелых частиц в непод-
неподвижной системе, в - угол между направлениями относительных скоростей
до (д) и после (#/) столкновения, имеющих один и тот же модуль gnn
или gnN, d£l = sinOdOdip, WF, g) — дифференциальное сечение столкнове-
столкновений частиц с относительной скоростью g, отклоняющейся на угол в и лежа-
1
щей после столкновения в телесном угле dSl, с0,- = — (pn <Q> + Pn ^nO) —
Р
среднемассовая скорость, .р- рп + Рдг — плотность вещества, Ft — ускоре-
ускорение, создаваемое внешними силами. Средние значения величин <<£,->, <^>jv,->
определяются как
В 2w3 1
<Л>=— SffidCf, В= — . <^дг,> = — / fN<fiNidcNi. (8.2)
п„ Л3 nN
Функции / и fN нормированы так, что
nn=Bffdch nN = jfNdcNI, р = п„т„, pN = nNmN, (8.3)
т и mN — массы легких и тяжелых частиц.
При малых отклонениях от равновесного распределения Ферми решение
уравнения Больцмана ищется в виде
/о = {1 + exp[(mv2 - 2цI2кТ]}'1.
Здесь /i — химический потенциал ферми-газа. Наличие анизотропии, связан-
связанной с градиентами температуры и давлений компонент, приводит к по-
поправке к равновесной функции распределения, которая ищется в виде
dr' n ' ' сз/2> ««
Р 'дг, Рп р Ъг,
83

Здесь
Рп = — nnm{v2) — давление ферми-газа,
PN — давление остальных компонентов смеси, (8.6)
1 " х"-Чх Fn
Г (и) о 1+ехр(х-х0) Г(и)
mv2 ju
х = ГТХГ. *о =
2кТ кТ ш
где Fj(x0) определены ранее в B.49). Будем считать, что функция распре-
распределения тяжелых невырожденных частиц обладает следующими свойства-
свойствами:
Xn= -Am -Т— ~ "n %>Nidi ——, (8.7)
ОГ, Cr3/2
кТ
ffNodvNi-nN, fvNiVNkfNodvNi-nN8ik .
mN
При этом изотропная функция распределения /)v0 может отличаться от
максвелловской. Подставляя (8.4) —(8.6) в уравнение Больцмана (8.1)
и используя уравнения переноса для исключения временных производных,
получаем уравнения .[53] для Aj и SD,-
/ mv2 5 Gsn \
/оA —/о)( )Щ =
J0\l —JO) vi ~ 'i
гДе /Пп(^) и ^njv(^) — линеаризованные интегралы столкновений (8.1)-
Отметим, что при классическом рассмотрении столкновения в (8.1) сле-
следует произвести замену
gWF, g)dQ. =» gbdbdy. (8.9)
б) Теплопроводность нейтронного газа. Пусть легкие частицы являются
нейтронами, а тяжелые — ядрами. Так как нейтроны могут составлять
существенную долю массы, нужно учитывать их вклад в плотность. Ней-
Нейтронный газ, близкий к идеальному, погруженный в кристаллическую
решетку ядер, может существовать в неравновесном слое в оболочках
нейтронных звезд (см. § 4, пп.д, е). Если ядра много тяжелее нейтронов,
то детали функции fN несущественны. Теплопроводность нейтронного
газа рассчитывалась в [607], а в смеси с ядрами [53].
Следуя [53], решение уравнений (8.8) ищем в виде разложения в ряд
по системе ортогональных свесом /оA —/о)*3'2 полиномов Q(pc), анало-
84

гичных полиномам Сонина [222] в невырожденном случае,
А, = [*оQ0(x) + alQl(*)] vt, 3)f = [d0Q0(x) + dlQl(x)] vt,
mn xV2
И|Ч
В Ллг/> ®Afi из (8-7) учтем только первые члены разложения, определяе-
определяемые из условия, что поправки к равновесным функциям не дают вклада
в среднемассовую скорость
= aON Go vNi. пп аО +nNN = 0,
2V,- = doNQovNi, nn d0 + njv^ojv = 0, (8.11)
илг|в(»Ялг/2*ГI'2им.
Используя определение теплового потока, связанного с нейтронами, а
также диффузионной скорости <и,->, с учетом (8.4), (8.7), (8.10) получаем
[53]
4t
1 /2Ч 5 /кТУ С5/2 /Г
= т nnmn(v2vt)= - - mnnn [ ) —^— д0 -
2 2 \ mn/ и3/2 \ L
\1 Э1пГ t
/J аг,
5/2 2 c3/2
2 G5/2
Э1пГ
( 0 on 7Г i)' <м>= - — <"!>■ (8-13)
Если положить (vt) = 0 в (8.13), то из (8.12) получается тепловой поток,
обусловленный теплопроводностью в виде
ЭГ 5 /*7V <75/2 /7
3/2 V 2 С5/2 2 С3/2
(8.14)
Умножая (8.8) mBQ0(x) и BGi(x) и интегрируя по dv,-, получаем систему
Уравнений для коэффициентов а^, dk:
(815)
\
i )= feioflo + (fln +b,,)fl,,
3/2 /
^o + (fln +b,,)d,, (8.16)
85
15 /7 С7/2 5 С|/2 \
~ТМ Г7Г- - - 7i~ )=
4 \^ ^з/2 2 G3/2 /

где
• «м =fi2//o/oi(i -/o)d -/J
ft/i =
С учетом (8.11) имеем
(8.17)
/ = 0,1. (8.18)
()
/o = Я J/o/wo О - /i) G/(*)JЩ - щ - — (— ) X
[ идг \mN/
X («м - u'Ni)\gnN WnNF, gnf/)dadv,dvNl. (8.19)
Сохранение импульса при столкновении дает соотношение
«,-«;=-( ) (иот - идг,). (8.20)
\ mn/
Считая Шдг ^" гпп > получаем
|И|| = \и\ |, «,-(«,- - «I) = «2A -cosfl),
(821)
С учетом (8.10), (8.21) коэффициенты Ь/к из (8.18), (8.19) вычисляются
в явном виде [53]. Коэффициенты Дц из (8.17) в явном виде удается
получить только для предельных случаев слабого и сильного вырождения.
Можно также предложить простую интерполяционную формулу между
этими случаями. Подставляя в (8.14) решения (8.15) и (8.16), получаем
коэффициент теплопроводности нейтронного газа в виде' [53]
75 к I K1 \ ' пп i ZTT II Л"' ^5/2 / ' ^7/2
" ~ 64я2 у/2 \
ЬТ \ 1/2 „2 / гу 21.2 \3/2 f2 /7
kl_\ "n / 2я п у Ь5П / 7
mn/ идг \ кТтп / С%/2 \ 2
5 С5/2 у Г 25 С\,г h C5/2
— I —-— "nAf A) —5 S2njvB) +
2 Сз/2 / L 4 СЗ/2 Сз/2
32 л ип е Г1
+ finjvC)+ — я4 — / , (8.22)
21 Идг 1 + с J
где
■*> п
Ппдг(г)= / dx f ddfo(l -fo)xr+l A — cosd)WnN@,x)sine,
о о
g 1 / m^ \»/2
о u-Л- J ■ BJC0)f/2> - x... , з)
*~ J ~. ?. vi/7 » -^ ~ ^1 ГГ7Т» ^- ? \ A-T / ^nn'
:os0), WnnOr)= 2
7=0 7=0
86

21\/2 /2я2п2\3/2 у/^
8я13/2 V kTmn ) ""
8/
1 при
1 при
«£ м-
В случае сильного вырождения нейтронов получаем
Ср
--Ч-У
12 4 3/
2/3
64
nN WnN(x0)
(kTJ I
(8.24)
где
8я
""" 3
Для чисто нейтронного газа имеем .
75 /кТ У12 1
I - О
(8.25)
\in ~
75 /кТ \1
— к[— )
64 \тп /
7т*? ип
без вырождения [222],
(8.26)
при сильном вырождении [607].
256 Tmll
Сечение рассеяния можно оценить из экспериментальных данных по рп- и
рр-рассеянию. Формула для сечения упругого изотропного рассеяния при
энергиях нейтронов <С 10 МэВ имеет вид [23]
h2 1
H'nn = — ——-,- (8.27)
tnn E + Епп
где Е — энергия нейтрона в системе центра инерции. Величина £"пп очень
мала: £"пп < 60 кэВ (энергия синглетного состояния нейтронов). Учтем так-
также, что при больших энергиях 150 <£" <400 МэВ сечение Wnn постоянно
и составляет =*=3,4 • Ю7 см2 [23]. Аппроксимируем Wnn формулой
,15-10-"'
4
4 -10
'27
Ь + Ьп
)см2,
/
(8.28)
где Е и £"hn взяты в МэВ
2кТхоу2
«г
Для сильного вырождения, подставляя (8.28) в (8.23) и (8.26), получаем
87

приближенно после интегрирования
15.in-2s
/=B,3 107+ „„— ) см2,
(8.30)
_ 9,2-10" Pl2 _ nnmn m T
Лпп - — ~~ZT > Р\г~
бб г,1 Pl2 ю'2' Г9 ю
Примем, что
WnN~A2'3Wnn с Wnn из (8.27) при ,
m (831)
(МэВ).
2 • 1,602 10"* 1,602 Ю
Тогда из (8.24) получаем коэффициент нейтронной теплопроводности
в смеси с ядрами
9^10"р,г/Г,
х -
66 p}43Piajy /3
рН3 ' л1(,3оГ92 V2
-- №
AmnnN/l012, AlOo= А/100.
Формула (8.32) справедлива при сильном вырождении:
р2Л3
хо>1, 5,8 —- > 1.
Т9
Экстраполяция формулы (8.30) в область нейтронной жидкости р >
> 1,5 • 1014 г • см~3 количественно согласуется с [357], где рассмотрена
теплопроводность на основе теории ядерной математики.
в) Теплопроводность нерелятивистских электронов. Рассмотрим кине-
кинетику электронного газа, учитывая электрон-ионные столкновения в прибли-
приближении Лоренца [222], и пренебрегая межэлектронными соударениями.
Правые части (8.8) с учетом (8.9), (8.20), (8.21) примут вид* )
О = В ffofNo A - /о') № - R[) vb db dy dvNi. (8.33)
Принимая Л; =R (v) ц и умножая (8.8) на vt, получаем для А (у) и 3D (v) с
учетом (8.3) и (8.6)
X_L
А(и) - 1^ . (8-34)
*) Для кулоновских столкновений классическое сечение совпадает с квантовым
[ 144]; вместо нейтронов в этих формулах нужно рассматривать электроны: Ре вместо
Рп и т.д.
88

2> (у) • (8.35)
2imetiN f A — cos6)vb db
о
В [222] для кулоновского взаимодействия электронов с ионами, имеющи-
имеющими заряд Z, получено
rg-1 _ bv2me
2£2е4 /bmaxv2me \
A -cosO)vbdb= Av, Л„ = 1п( I.
mW V Ze2 /
С учетом (8.2), (8.4), (8.12), (8.34)-(8.36) получаем
640* me(kTf / 1 GSI2 ,
J3/2
/ 1
IZO гПе\К1) /2
—л 7ГТП ТГ— G*di> (8-37)
Л nf/ic, е л /2
128Л г.
*
Л
32 me
Л net1pjZ с гг «J3/2
Полагая <ц> = 0 и выражая dt через —, получаем из (8.37) и (8.38)
128* me(kT? / Gl\ ЪТ ЪТ
'"Ъ-4-f ) г К — ■ (8.39)
Коэффициент теплопроводности \ с учетом G.6), (8.25) и разложения
С„ по B.24)
(840)
записывается в виде
2/кТ\Ч2
(8.41)
32Л т|Идгг2е4 (В)
89

(пометы НВ и В относятся к невырожденным и вырожденным электро-
электронам соответственно). Выпишем используемую в дальнейшем эффективную
частоту столкновений электронов с ионами се£ [90]
fdPlv{v)pv(- -~
V Эе
_
4 /2я Z2e*nNA
3 we (kTK'2G3/2
3 '"т. —V (HB)>
e ()
32 я2 Z2eAnNAme pv (842)
(в)
где импульс электронов р = mev; С3/2, ^о определены в (8.6); функция
распределения /0 дана в B.2);
частота столкновений электронов, имеющих скорость v; Уц дано в (8.36).
Усредненный по скоростям кулоновскии логарифм есть
(8.43)
С учетом (8.2), (8.4), (8.6), (8.25) имеем
ЪкТ
—=ЪкТ_
We
(НВ)
Параметр bmax является радиусом экранирования заряда, который в обыч
ной плазме называется дебаевским. Радиус экранирования невырожден-
невырожденными ионами rg,i есть [176]*)
*) Строго говоря, экранирование ионами носит здесь динамический характер н ра-
радиус экранирования несколько отличается от г&1 в (8.45) (см. [461]).
90

Расчет электронного экранирования сводится к уравнению Томаса—Фер-
и [144] с конечной,температурой. Приближенно примем [4,90]
-2 =
4яиее2
-■(?)■
кТ G3,2 I
Обший радиус экранирования есть
(НВ),
1е/3е2ше/Л2 (В).
3/2
(8.47)
Для сильного вырождения х0 > 1 имеем г^е > /> j и важно только ионное
экранирование bmali ^r&i. При высоких температурах и плотностях
учет квантовых эффектов меняет значение Л Если обозначить
то (8.43) можно переписать в виде
bmin=rm. (8.49)
Из квантовой механики следует, что минимальный прицельный параметр
не может быть меньше длины волны де-Бройля, точнее [246]
ftv/3/5 = И /С312\1'2
4nmey/v*
И
(НВ),
„-1/3
(8.50)
4ярРе 2C яI/3
Поэтому в общем случае bmin определяется условием
"eh 2\/5 e2 Z
„ при < —Z= —
с 3 he 92
■'mm
= max {rm, rF} =
(8.51)
при
>
гпе
с 91,93
= (кТ/теI12 (С5/2/Сз/2I/2 • Таким образом, в достаточно
широкой области существования нерелятивистских электронов необходи-
необходимо брать bmin=rF. Отметим, что для смеси ядер в формулах (8.37)-
F.43) следует сделать замену
nNZ2A
(8.52)
91

где Л,-дается формулой (8.43) с Z = Zt. Учет межэлектронных соударений
можно сделать, либо отказавшись от приближения Лоренца, вычисляя
Хе аналогично Хп из п.б), либо феноменологически заменив ve', Ha
("ei + ^ee) B формуле (8.41). Последний способ представляется более пред-
предпочтительным, так как при этом не теряется точность учета (ei) столкнове-
столкновений, которые практически всегда преобладают для вырожденных электро-
электронов. Исследование вклада (ее)-столкновений в этом случае показало,
что [202, 461] при Z > 1 он пренебрежимо мал, а при Z ~ 1 он не превы-
превышает 50 %.
При высоких значениях плотности и сильном вырождении электронов
становится существенным кулоновское взаимодействие между ионами,
влияющее на (ei)-столкновения. Электронная теплопроводность для это-
этого случая рассмотрена в следующем разделе.
г) Теплопроводность вырожденных электронов с учетом релятивизма
и эффектов иеидеальности иоиов. Релятивистские электроны в звездах,
как правило, сильно вырождены. Теплопроводность для этого случая
рассчитана в работах [246, 245]. Записывая Хе в виде, аналогичном (8.41),
где вместо те берется полная масса электрона на границе Ферми (см. § 2)
т.:
w. =(w|+pFe/c2I/2 с pFe из B.20), (8.53)
получаем
> я*7>ге 4,ll-1015(p6/juz)r6 /10" с ^ , _,
Хе = = -,, ,,, ( ) (эрг см -с -К '),
3mi> [I + (PlHJ1*]1/2 \ *. /
р6 = р/106 г - см, Т6 = Г/106 К. (8.54)
Величина ve является полной частотой столкновений электронов в среде.
В [246] вычисление ve проводится для вырожденного газа электронов с
20Z2 <р<4- 10м г-см.
Ограничение снизу на р в (8.55) есть условие идеальности электронного
газа ([145], см. также D.23)). При Тт < Т< 7>, где
Tm = Z2 е2/кГт 1ц/s ~ температура кристаллизации,
Г = Z2e2/kTlws - газовый параметр, Гт * 150*) (8.56)
Iws ~ C/47ШдгI/3- радиус ячейки Вигнера-Зейца (см. D.25)),
наиболее важно рассеяние электронов на ионах. Вычисление pei, проводи-
проводимое так же, как в п. в, дает, аналогично (8.42)
nNZ2
(8.57)
*)См. сноску к с. 50-
92

При вычислении кулоновского логарифма следует учесть, что за счет реля-
релятивистских поправок становятся существенными члены ~ Vfjc2, а с учетом
ионных корреляций максимальный прицельный параметр интерполирует-
интерполируется выражением b2naJi=r%i + /jvs/6, где Iws Дано в (8.56), а /^ в (8.45) *).
Значение Ьтт=гг=И/4ггрре аналогично (8.50). В [246] получена интер-
интерполяционная формула для Aei, справедливая при всех температурах
!/3/3 3\1/2
=1п (
г/ J 2с2
( Pie V
vrjc = (PFe/mec)[ 1 + -гг ) (см. B.3). (8.53) ).
\ I7te С /
При температурах ниже температуры кристаллизации Т < Тт вместо
(ei) -рассеяния происходит рассеяние электронов на тепловых колебаниях
кристаллической решетки — фононах. Частота столкновений электро-
электронов с фононами^ерь классического (Т>в = 0,45ncjpi/A:)**) и кванто-
квантового (Т< в) кристаллов с 10 % аппроксимируется формулой [245, 246]
(8-59)
где справедливы интерполяционные формулы
xV°>(x)= 13 [1 +@/3,46 ГJ]'2,
(x/rtf v<2\x) = 13@/5,1 Tf [1 + @/4.17ГJ ]-3'2,
при этом
v<2\x) = 13@/51 Tf [1 + @/417ГJ ]-3'2 (8'
_
pi~ — — плазменная частота ионов,
mN
в
(8.61)
рь = Ле; из (8-58), если принять там Г > 1.
Уточнение формулы (8.59) на основе расчетов методом Монте-Карло сде-
сделано в работе [546] - Если в кристалле имеются примеси, ионы другого
сорта, вкрапленные в узлы решетки, то при низких температурах рассея-
рассеяние на них может оказаться существенным. Частота столкновений электро-
*) При низких плотностях р -20Z2 важен учет электронного экранирования,
умеюушающего fcmax и приводящего к уменьшению vei на ~ 40 % [432 ].
) Величина в определена в D-38), где она выражена через ui = cjpi/>/3 ■
93

нов с примесями pe,imp задается формулой [245]
"e.imp ~~
где
(AZJ — среднее отклонение заряда-в примесях,
*imp — весовая концентрация примесей,
\ 1 vle
"ре
(8.62)
(8.63)
AimP = 4h,TF/-2 ~2с2 •
.2 _
Здесь рре определено в B.20), 9т F =
vVe ' т.
данов (8,58)*).
Расчеты показали, что для релятивистских электронов (ее)-столкно-
(ее)-столкновения могут быть более существенны, чем в нерелятивистском газе. Часто-
Частота (ее)-столкновений дается формулой [245]
3 / р2 \2 (ь-т\2
f У (ИГ /2*r.
пс / hw.c2 \<7TF /
(ИГ /2*r.yy(v>B
= 5,08 -10" Ti(vFe/cfl2 [I + (p6/juzJ'31
где
PFe
У =
т = ——
Т ' Р к
995 1,51 • 10"
(с'1),
(8.64)
1/2
(8.65)
у3 2
) * — Лее, Лее = In - -
з у
Для промежуточных значений имеем таблицу
У
Of
0,056
1,5
0,53
3
2,6
7
8,8
10
13,5
Таким образом, теплопроводность вырожденных электронов определяется
формулой (8.54), где
f vei + vee при Т>Тт,
"е =
I ^e.ph + ^e.imp+l
При
Тm .
(8-66)
Соответствующие формулы для смеси ионов можно получить с помощью
замен (8.52).
*) Величина flTf- имеет смысл обратного радиуса экранирования q-\v~r's,a
(8-46) для нерелятивистского случая).
94

п) Поглощение при больших температурах и сильных магнитных полях,
д и аккреции на нейтронные звезды и черные дыры возможно существова-
существование областей с большими магнитными полями, где важна непрозрачность,
связанная с синхротронным или циклотронным самопоглощением. Оцен-
Оценки непрозрачности для этого случая сделаны в [294]. Из закона Кирхго-
Аа E.13) следует, что между полной излучательной способностью вещества
* (эрг • г'1 -с) и средней по Росселанду непрозрачностью к существует
(
линейная связь
Для тормозного излучения нерелятивистских электронов, согласно [89]
и G.15), соответствующие etot и к равны
е//-=6-102ОрГ1/2,
Отсюда
А = -170. (8.68)
6,4- 102о
т
Для максвелловского распределения*) излучательная способность элек-
электронов в магнитном поле с компонентой В±, перпендикулярной направле-
направлению движения электрона, вычислена в [59]:
B,3 ТВ? при кТ<тес2,
ев=\ 1О . , , (8.69)
I 3,2 ■ 10~10Т2В1 при кТ>пгес2.
Соответствующие непрозрачности с использованием (8.68), (8.69) равны
[294]
\2 102В2/Т* при кТ<шес2,
К*= L ,Л-8П2№2 ,„*. а (87°)
I 3 • 10 ЬВ /Т при кТ>пгес .
В [294] для релятивистских максвелловских электронов аналогично вы-
вычислено Kff, используя €ff (см., например, [59]):
кТ
"Я=2-1018(/э/713Iп
тес2
(8.71)
шес2
Ь оценках этого раздела рассматривалась чисто водородная невырожденная
плазма. Учет рождения пар сводится к умножению е и к в (8.70), (8.71)
на величину f 1 + 1 . Для равновесных пар и+ определяется из
B.9), B.17). Сравнение (8.71) с G.29), G.31) показывает, что для невы-
невырожденных электронов всегда Kff<Kes.
i Здесь распределение Максвелла для релятивистских электронов используется
есто ферми-дираковской функции, так как концентрация пар не предполагается
равновесной.
95

§ 9. Перенос излучения в движущихся средах
Если в среде имеют место крупномасштабные движения с полем ско-
скоростей vh то уравнение переноса E.9) формально не изменится. Однако
взаимодействие квантов с веществом зависит от скорости движения
меняющей частоту квантов из-за эффекта Доплера. При этом возникают
существенные усложнения в правой части уравнения E.9). В связи с этим
удобнее записать уравнение переноса в сопутствующей системе координат
покоящейся относительно вещества. В этой системе правая часть E.9)
не меняется, но необходимо учесть изменения в конвективных членах
левой части.
а) Уравнение переноса в сопутствующей системе. В первых работах
[113, 162, 320] уравнение переноса в сопутствующей системе было выве-
выведено сложным "геометрическим" методом. В [36, 159] был сделан более
простой вывод этого уравнения с помощью инвариантов рассеяния (см.
ниже). Обозначим индексом " величины, относящиеся к сопутствующей
системе. Считая v< с, оставим везде только первые поправки ~~v/c [320
36,159]:
V . V
juo=ju-(l-ju2) - , ju = juo + A -jug)-,
с с
jUo=COS0o. JU = COS0.
Из условия инвариантности функции распределения фотонов в фазовом
пространстве nv относительно преобразований Лоренца (импульс фото-
фотона р„= Иф),
получаем инвариант
Т =4" ■ (93)
Здесь dnv = nvpldpvdVdu, fv и /„ определены в E.1) и E.4). Из ин-
инвариантной записи левой части E.9) с помощью (9.3) следуют, например,
dt0 dt \
(9.4)
соотношения (используя
(ск„ + av)pv = (ск„о + оо
Для плоской атмосферы, делая замену переменных в уравнениях E.9).
E.11)
(t. Г, JU, V, /„) => (Го, Г0, JU0, V0, 1„в),
96

• помощью (9.1), (9.3), (9.4) получаем с точностью до членов ~и/с
1 Э/„ Э/„о 3jug bv jug Ъи Ъ1„о
— — + JUo + ^р0 — ''о —
с t0 г0 с r0 v0 ^
~ J"o) Эи Э/
Здесь опущено рассеяние, которое можно добавить к правой части анало-
аналогично (S .9), и использованы лагранжевы координаты
r° dm
to = t, m= fpo(x)dx, — =р0, (9.6)
dr0
где ''о —Л'аДиУС данной лагранжевой точки. При переходе к эйлеровой
системе (Г, Го)в (9-5) нужно сделать замену
а а а а а
го = ?о. — = , — = — + и — • (9-7)
0 Эг0 Эг0 ЭГ Ы Эг0
Уравнение переноса в эйлеровой форме записано в [159]. Для сферически
симметричного случая, используя E.12) вместо E.11) в лагранжевых
координатах
r» dm
to = t, т = 4тг / po(x)x2dx, — = 4rrporl. (9.8)
г, dr0
аналогично (9.5) получаем [320]
)
0/ J
1 Э/„ Ыив Зи Г , / Э1пи
| 1 — м5 Г | Ноу
— м5 Г | Ноу / d\nv\ 1
f0 [ с V Э1пг0 / J
9ju0
Используя (9.7), можно получить из (9.9) уравнение переноса для сфери-
сферически-симметричного случая в эйлеровой системе координат. Более под-
подробный вывод уравнения переноса для движущихся сред дан в книге
[159].
б) Уравнения моментов в эддингтоновском приближении. Вывод мо-
ментных уравнений сделаем так же, как в § 6. Для плоской атмосферы,
Умножая (9.5) на ju и д2 и интегрируя, получаем, опуская далее индекс
95 3F 1 Ър
ЭГ+ ~Э7 ~~Р Tt (P + S)= ~9° [ ; ""Svdv-arBiTA, (9.10)
1 9F ЪР 2 Ър «1П
- —- + с— - — — F= -KpF. (9-П)
с Эг Ъг ср Ы
7- Г.С. Бисноватый-Коган 97

Здесь использованы обозначения § 6 и уравнения неразрывности вещества
в лагранжевых координатах
Ър Ъи
— + р-=0. (9.12)
/ 1 др\
С помощью (9.12) Ъи/Ъг заменяется на 1 - — — ) ■ ПриР = 5/3 из (9.11)
и (9.12) получается замкнутая система моментных уравнений в эддингто-
новском приближении [36, 37].
Аналогичная процедура для случая сферической симметрии с использо-
использованием уравнения (9.9) дает »
Э5 1 Э , 1 Эр v
— + — — (г2П-~ —(P + S)+—(S
Ы г1 Ъг р Ы г
оо
= ~рс[ f avSvdv - арВСТ)], (9.13)
о
1 3F ЪР S-3P 2 Ър 2 v
+с— -с F- F=-KpF. (9.14)
с Ы Ъг г ср Ы гс
Здесь также использовалось уравнение неразрывности в лагранжевой
системе для исключения Ъи/Ъг:
Ър р Ъ Ъи 1 Ър v
Ji+ (wa) = 0 —=-— —-2—. (9.15)
ЪГ г2 Ъг Ъг р ЪГ г
Для замыкания системы (9.13), (9.14) можно воспользоваться связью
P = fS с переменным фактором Эддингтона / из F.28). При решении
задач о стационарном истечении из звезд удобно воспользоваться записью
уравнений моментов в эйлеровой системе. Для этого в (9.10), (9.11) и
(9.13), (9.14) нужно сделать замену
Э Э
— => v — . (9.16)
Ы Ъг
Отметим, что в условиях лучистого равновесия правые части в (9.10),
(9.13) обращаются в нуль. В истекающих оболочках с градиентом ско-
скорости величина F Ф const*) ввиду возможной трансформации потока
лучистой энергии в кинетическую. Если поле излучения не влияет на свой-
свойства потока, то уравнения (9.10) —(9.14) могут быть решены при заданных
p(r, r), v(r, t). Для решения самосогласованной задачи систему следует
дополнить уравнениями неразрывности, движения и энергии для вещества,
рассмотренными ниже.
•) В сферически-симметричном случае Fr* Ф const.
98

ГЛАВА 3
КОНВЕКЦИЯ
Распределения температуры и плотности в звездах, которые удовлетво-
ют уравнениям равновесия и теплопроводности, могут оказаться неустой-
неустойчивыми относительно развития несимметричных возмущений различного
масштаба, приводящих к движению вещества, которое называется конвек-
конвекцией. Рассмотрим конвекцию в оптически толстых средах. Проблема атмос-
атмосферной конвекции, где оптическая толща может быть малой, имеет свою
специфику и должна рассматриваться отдельно.
§ 10. Условия возникновения конвекции; путь перемешивания
а) Условие конвективной неустойчивости. Рассмотрим область звезды,
где тепловой поток переносится теплопроводностью. Выделим малый эле-
элемент объема внутри этой области и сместим его наружу или внутрь на рас-
расстояние dr. При медленных перемещениях давление внутри элемента равно
давлению внешней среды. После освобождения данный элемент либо стре-
стремится возвратиться в исходное положение, либо продолжает удаляться от
него. В последнем случае среда называется конвективно неустойчивой.
Предположим сначала, что обмен энергией между элементом и средой
отсутствует. В этом случае плотность внутри элемента при его смещениях
следует адиабатическому закону. Пусть первоначально элемент находился в
точке с параметрами То, Ро,Ро- При смещении на dr его параметры (с ин-
индексом е) и параметры среды (с индексом т) изменяются на величины
/ ЪТ\ dP /ЪТ \ dP / дТ\ dS
АТе=[ ) dr, ATm = ( ) dr+l —- ) dr,
\ЪР Js dr \ЪР /s dr \ dS /P dr
/ ър\ dp / dp \ dP ( dp \ dsA01)
Дре = (— ) dr, Др =( — ) — dr + l—— ) dr.
\ ЪР /s dr m \ ЪР /s dr \ dS /P dr
Среда конвективно неустойчива, если при смещении наружу и расширении
элемента его плотность падает быстрее, чем плотность среды, а при смеще-
смещении внутрь и сжатии — быстрее растет. В этих условиях архимедова сила
стремится удалить элемент от исходного равновесного положения. Таким
образом, среда конвективно неустойчива, если
. ~. / Ър \ dS
аРе > &Рт или! I dr<0 при сжатии,
\ dS /p dr
A0.2)
д. ,. / Ър \ dS
"Ре ^ &Рт или I 1 — dr > 0 при расширении.
\ dS /p dr
Учитывая, что (dp/dS)p = - у^Т/Р, где у2 =(—) дано в A.12), а
dr<0n \Э1пР/я
и при сжатии и dr > 0 при расширении, получаем из обоих случаев
7'

A0.2), что в конвективно неустойчивой звезде
dS/dr<0, A0.3)
т.е. удельная энтропия падает от центра наружу.
Условие A0.3) необходимо для развития конвективной неустойчивости,
но не достаточно из-за неизбежного нарушения адиабатичности при движе-
движении элемента в среде. При адиабатическом расширении элемента в среде с
dS/dr < 0 его температура становится больше температуры среды и про-
процессы теплопроводности стремятся ее выровнять, что стабилизирует кон-
конвективную неустойчивость. С другой стороны, вязкость замедляет движе-
движение элемента, что также дает стабилизацию. Общий критерий конвективной
неустойчивости с учетом явлений переноса был получен Релеем A916) и
имеет вид [312]
R=gaI^jh_ >л^ж10з_ A04)
kTv
Здесь g — ускорение силы тяжести, h —толщина рассматриваемого слоя,
1 / Ър \
Cbj- = — — ( ) — коэффициент теплового расширения, 0Т = (dT/dr)s -
р \ ЪТ /р
— dT/dr = AVT1 — превышение градиента над адиабатическим, кт и v —
коэффициенты температуропроводности и кинематической вязкости,
которые выражаются через коэффициенты теплопроводности Ли вязкости
П в виде
Х = рсркт, n = pv. A0.5)
Величина Rcr зависит от геометрии системы, граничных условий. Для слоя
со свободными границами Rcr = 27я"/4 = 657,5; с одной свободной грани-
границей и одной жесткой неподвижной Rcr =1101; с двумя жесткими непод-
неподвижными границами Rcr = 1708 [312]. Величину QT = ДОГможно выразить
через dS/dr, используя термодинамические сотношения [145]
/ дТ\ dT T dS //Ш\ / ЪТ\ dP\
AVT= ( )- =- , (( — )=( ) ). A0.6)
\ Ъг Js dr ср dr \\ Ъг )s \ЪР /sdr /
Условие Релея A0.4) означает, что для развития конвекции необходимо
конечное значение отрицательного градиента энтропии. Для реальных
условий в звездах, где характерные масштабы h очень велики, коэффи-
коэффициент при dS/dr в A0.4), A0.6) столь велик, что условие A0.3) можно
использовать и в качестве достаточного условия возникновения конвек-
конвекции. Этот критерий известен, как критерий Шварцшильда A906).
б) Учет неоднородности химического состава. В химически неоднород-
неоднородной среде критерий A0.3) был дополнен в [147, 554] учетом изменения
молекулярного веса ju (см. A-6), A.7)). Дополнение связано с поправкой
к подъемной силе, вызванной переменностью ju . В этом случае
Ър\ dP ( Ър\ dS / Ър\ ф
d
ЪР /Sfl dr \ dS /Pfl dr \ 3ju /Sp dr
too

Условия A0.2) с использованием A0.1), (Ю.7) сведутся к соотношению
rt -( ) <0. A0.8)
dr \ 3ju /pp dr
Учтя, что C5/3ju)ftp > 0 [145], получим, что уменьшение молекулярного
веса наружу стабилизирует конвективную неустойчивость, так что она
наступает при конечном отрицательном значении dS/dr. Подобная стабили-
стабилизация наступает при горении водорода в ядрах массивных звезд [165].
Перепишем критерий A0.8) в более удобном виде через градиенты
VT и VF, непосредственно определяемые из уравнений звездной структу-
структуры (см. гл. 6), Учтя, что вдоль звезды
dT
ЪТ /p.tli dr \ Ър /Тм dr
получаем
dT / ЪР \ ф
dr \ ЪР )тл I dr \ЪТ )ям dr ~\ъц 1,т dr <
Условие конвективной неустойчивости A0.2) с учетом выражения Аре из
A0.1) запишется в виде *)
)
.м dP dP_ /_№_\ dT
tfl dr dr \ ЪТ /Pifl dr
dix A0.10)
3ju /PfT dr
Используя преобразования якобианов A.10) и следующее из них равенство
(ът \ / ър \
\ 9F /ди V ЪТ
Ър
имеем из A0.10)
d\r\P
Условие конвективной неустойчивости в виде A0.11) получено в работах
[147,554]. Для смеси идеального газа с излучением
в) Перенос тепла конвекцией в приближении пути перемешивания. У са-
самой границы устойчивости конвективные движения являются топологичес-
топологически сложными, но вполне регулярными. При удалении от границы в область
конвективной неустойчивости скорости конвективных движений воз-
_ этом параграфе величина д считается не зависящей от Т и р. В равновесии, когда
m -т. 'pi *J• например при ионизации, переменность ц учитывается в производных
01 Г и А а член с du/dr выпадает.
101

растают (см. A0.14)). Характер движений в жидкости или газе опреде-
определяется безразмерным числом Рейнольдса
Re = -^, A0.12)
v
где La — характерный масштаб порядка шкалы высот по давлению Нр =
Р
= (см.A0.22)). При малых значениях Re движение является регу-
\VP\
лярным, ламинарным, а при больших — хаотическим, запутанным, турбу-
турбулентным. Критическое число Рейнольдса Recr меняется в зависимости
от геометрии и граничных условий и лежит в пределах [235] Recr =
= 400 т104. В звездах характерные масштабы столь велики, что конвекция
уже вблизи границы становится турбулентной. Например, в атмосфере
Солнца в области оптической толщи т * 1 имеем [312] Ld <*5 • 107 см,
v * 2 • 103 см2 ■ с, v * 2 ■ 10* см • с, Re = 5 ■ 108 > Recr. Рост параметра
Re сопровождается усложнением регулярной картины конвективных дви-
движений, которые становятся хаотическими при Re > Recr.
Количественное описание турбулентной конвекции, как и обычной
гидродинамической турбулентности, сталкивается с принципиальными
трудностями, связанными с недостаточностью наших знаний о природе
хаотических или стохастических явлений. Прогресс в этой области свя-
связан с исследованием природы стохастичности в динамических системах
с конечным небольшим числом степеней свободы. Это привело к качест-
качественному пересмотру картины развития турбулентности [198], открытию
замечательных количественных закономерностей, описывающих разви-
развитие стохастических движений [211]. Однако до применения этих достиже-
достижений к описанию турбулентной конвекции в звездах еще далеко.
До сих пор наиболее распространенным при изучении внутреннего строе-
строения звезд является простое количественное описание конвекции, основан-
основанное на модели пути перемешивания [306]. Предполагается, что конвектив-
конвективные элементы двигаются вверх и вниз, поднимаясь и опускаясь на длину/,
которая называется средним путем перемешивания. Пройдя длину /, кон-
конвективный элемент полностью сольется с окружающей средой. Поднявшись
на расстояние dr, конвективный элемент обладает избытком температуры
AVTdr, который соответствует избытку энергии на единицу объема,
pcpAVTdr так как обмен энергией происходит при постоянном давлении.
Умножая на скорость конвективного элемента v, получаем поток конвек-
конвективной энергии в виде
^conv = AVTdrcppv (зрг ■ см • с). A0.13)
Величина v определяется из условия, что работа подъемной силы на расстоя-
расстоянии dr переходит в кинетическую энергию элемента. Средняя подъемная
1
сила на единицу объема есть — AVpdr ■ g и на расстоянии dr имеем
— р\? = AVpdr2g. A0.14)
102

чина AVp находится с помощью выкладок, аналогичных выводу
Jl0.6), (Ю-10-Получаем
.(Z.) *-■!*. оси)
ГЬэиняв, что среднее значение теплового потока соответствует сдвигу эле-
элемента на расстояние, равное половине длины перемешивания
dr — '»
получаем
11/2
I / "И \ 6 Г
F,
-(-) -Г
Э7Л Ф 11/2
A0.18)
Обычно принимается, что конвекция выравнивает химический состав,
поэтому в A0.18) можно принять dn/dr = 0. Для смеси полностью иони-
ионизованного газа с излучением ср дано в A-20), а
(•£) ._£A+«A).-t(.L_,\ 00..9)
\bT/Pitl т\ pg/ T\Qg ;
В сферически симметричной звезде g = Gm/r2, m — масса внутри ра-
радиуса г. Подставляя это в A0.18), получаем
Gm / 4 М1'2 I2
— (j- - 3jJ -
A0.20)
Соотношение, аналогичное A0.20), использовалось в [277, 295]. Для
идеального газа получаем выражение (fig= I)
/Gm \1/2 /2 ,„
= СРР[—Г) — (AV7-K'2, A0.21)
приведенное в книге [229].
В теорию пути перемешивания входит свободный параметр /, который
обычно принимается порядка шкалы высот по давлению
A0.22)
ГДС /v 1
р 1 — численный коэффициент, выбираемый из условия наилучше-
наилучшего согласия с наблюдениями. Обычно ар = 0,5 -=- 2.
103

В конвективных ядрах звезд, где большая плотность и эффективность
переноса тепла конвекцией очень велика, величина AVT становится столь
малой, что распределение температуры можно считать адиабатическим и
вместо уравнения теплопроводности использовать соотношение [229]
§11. Нелокальное и нестационарное описание конвекции
Конвективные элементы рождаются в неустойчивой области, разго-
разгоняются под действием подъемной силы и проникают в область конвектив-
конвективной устойчивости (overshooting). В данной точке тепловой поток зависит
не только от локального значения AVT и других параметров, но по мень-
меньшей мере от параметров в области./- ± /, т.е. даже в приближении пути
перемешивания естественно возникают эффекты нелокальности и проник-
проникновения конвекции. Эти эффекты могут быть важными при наличии не-
нескольких конвективных зон, разделенных лучистыми слоями. Проникно-
Проникновение конвекции в эти слои с AVT < 0 может существенно повлиять на
эволюцию, приводя к перемешиванию и выравниванию химического со-
состава. При изучении нестационарных процессов в звездах (колебания,
тепловые вспышки, коллапс) необходимо нестационарное описание кон-
конвекции, т.е. учет временной нелокальности наряду с пространственной.
а) Обобщение модели пути перемешивания. Естественное обобщение
модели пути перемешивания для учета эффектов проникновения и нело-
нелокальности сделано в работах [475, 513, 576]. В [475] рассмотрена итера-
итерационная процедура, позволяющая включить эти эффекты в расчеты эво-
эволюции.
В условиях конвекции полный тепловой поток F состоит из суммы
j , A1.1)
причем из F.32) имеем
4асТ3 dT
^rad =-- — . (П-2)
Зкр dr
a FNL — нелокальный конвективный поток. Вводим отношение
с помощью которого можно записать
L(r) ЛтгасТ3 1 dT
-LLr = F= . A14)
Лиг2 Зкр f dr
Используя A1.4) в системе уравнений B2.1)-B2.7) при заданной функ-
функции /o(f) можно однозначно построить модель звезды. Имея модель,
найдем конвективный поток с помощью нелокального подхода [475, 576]-
104

Для конвективного элемента, начинающего свое движение с радиуса rt,
избыток температуры внутри элемента АТ(г) записывается в виде
ДГ(г) = fAVTdr. A1.5)
п
Аналогично избыток плотности среды есть
др(г) = / AVpdr. A1.6)
п
Вместо A0.14) имеем тогда уравнение для определения скорости конвек-
конвективного элемента
v2 T АР
— = A-it) h dr. A1.7)
2 П р
где vt ~ доля работы выталкивающей силы, превращающейся в тепло
из-за трения. Величины AVT и AVp определены в A0.15), A0.16). Сле-
Следуя гипотезе перемешивания, примем, что конвективный элемент полно-
полностью сливается со средой, проходя длину пробега /. Тогда в среднем для
поднимающихся элементов интегрирование в A1.5), A1.7) нужно вести
при
0 < г - г, < 1/2, A1.8)
а для опускающихся - при
-1/2 </•-/-,< 0 при г > 0. A1.9)
В последнем случае AT < 0, Ар < 0, но в A1.7) всегда v2 > 0. Обозна-
Обозначая индексами " + " и " — " величины, относящиеся к поднимающимся
и опускающимся элементам, получим нелокальный конвективный тепло-
тепловой поток в виде
1
fnl = - cpp(AT+v+ + | AT_v_ |). A1.10)
Здесь предположено, что поднимающиеся и опускающиеся элементы имеют
одинаковую площадь. В [475] принято vT = 0,5.
По заданной модели, используя A1.2) и A1.10), находим новое зна-
значение /:
L гн<1
Итерации производятся, пока |/„ - /„_i I не станет меньше заданной
точности е. Величина / находится из A0.22) в точке г.
Если в A1.7) подставить среднее значение Др.= — AVpAr, vrp - 0, то
оно совпадает с A0.14). Учтя в A1.5) ДГ+ = | ДГ_ I = AVT■ Аг, получаем,
410 A1.10) при Аг = | г — Г) | = 1/2 совпадает с локальным значением по-
ТОКа ^conv ИЗ A0.13).
В данной картине поднимающиеся элементы пересекают границу
* - 0 при г = /■{ с конечной скоростью и проникают на расстояние
rv <■ rs + — > где скорость их зануляется. При движении в области гь <r <rv
105

они постепенно теряют избыток температуры и при г = ге таком, что
г в < re < rv, температуры и плотности элемента и среды сравниваются.
В области ге < г < rv архимедова сила замедляет элемент и конвектив-
конвективный поток является отрицательным. Расчеты в [475, 576] показывают,
что конвекция проникает до расстояний 10 -ь 15% от /, причем глубина
проникновения стремится к конечной величине /"„ — rg «« 0,06 / при ис-
исчезновении конвективной зоны. Построение звездных моделей с помощью
изложенной итерационной процедуры сделано в [475].
Другой вариант учета нелокальных эффектов конвекции, рассмотрен-
рассмотренный Ульрихом в 1969 г., изложен в работе [612]. В этом варианте исполь-
зуется усреднение по конвективным элементам, приходящим в данную
точку со всех возможных уровней. Если известны лЪкальные значения
конвективного потока из A0.18), то истинное нелокальное значение
FN l* получается в виде
v(z)ty0(z0,z)dz,
A1.12)
dr
dr
f ipo(zo,z)dz =1, dz = —-.
—- Hp
В [612] предлагается весовая функция ipo(zo, z) в виде
= A -flkN(z0 - z), z0 = z,
z-zo\ A1.13)
~^~ Zo<z'
o'=l,2op; a" = 0,6ap, ak < 0,9.
Здесь Нр и ap определены в A0.22). Функция A1.13) учитывает асим-
асимметрию вклада в /^nl* от поднимающихся (Zo > z) и опускающихся
элементов, а также возможный конечный вес A — ак) локального потока
в данной точке. Рассмотренная выше итерационная процедура может быть
использована и при расчете нелокального потока с помощью A1.12).
Расчеты моделей оболочек звезд с М - 1,25 М® и ЗМ® с помощью F^\*
из A1.12) проводилось в [242], а для вычисления солнечного конвектив-
конвективного потока в [513] использовалось как FNh из A1.10), так и FNL* из
A1.12), причем различие результатов оказалось существенным.
б) Нестационарная конвекция. В [364] были получены уравнения,
описывающие конвективный перенос энергии и импульса в нестационар-
нестационарных условиях. Для вывода проводилось усреднение гидродинамических
уравнений по флуктуирующим переменным и использовалось условие
пути перемешивания. В сферически-симметричном случае вводятся вели-
величины, характеризующие конвекцию:
= pEwr (эрг см -с) - конвективный поток энергии,
A1.14)
= 3pw^/2p (зрг-г) — средняя удельная конвективная
энергия.
106

г епний модуль радиальной конвективной скорости выражается в
ввде [364]
Введем также обычный путь перемешивания / из A0.22). Если расстояние
о центра г или толщина конвективной зоны Л меньше пути перемеши-
перемешивания из A0.22), то / выбирается минимальной из этих трех величин.
Уравнения для Fconv и £"conv для изотропной конвекции имеют
вид [364]
1 D , 2 (ЪЕ
(^) - ^ (
Здесь D/Dt = Э/Эг + игЭ/Эг; р, Г, £", Р, иг - средние значения величин,
входящие в уравнения гидродинамики C5.1) —C5.3), где черта сверху
обычно опускается, е„ (эрг ■ г с) - объемная скорость выделения
или потерь энергии (ядерные реакции, нейтринное излучение) ~к — не-
непрозрачность. Поправки к гидродинамическим уравнениям C5.1)-C5.3)
за счет конвекции состоят в заменах
Р~Р+ - pEconv,
A1.18)
Уравнения A1.. 16), A1.17) содержат в себе условие конвективной не-
неустойчивости в виде dS/dr < 0, т.е. изменение химического состава не
учитывается. При dS/dr > 0 возмущения не растут, а колебательно затуха-
затухают. Очевидно, .что конвективный поток здесь описывается нелокально,
так как определяется решением дифференциального уравнения. В [364]
Уравнения A1.16), A1.17) использовались для расчетов коллапса и взрыва
массивных звезд после потери устойчивости.
Еще один вариант описания нестационарной и нелокальной конвек-
и пУтем добавления дифференциальных уравнений для Fconv и £"conv
рассматривался в [345], однако полученные там уравнения не применя-
Im<j* W»1 расчета звездных моделей.
Менее универсальные, но более детальные модели описания конвек-
с учетом нестационарности, анизотропии, малой оптической толщи
107

часто используются в связи с построением моделей атмосфер у пуль-
пульсирующих звезд (см., например, [261, 378]). Теории нелокальной кон-
конвекции почти не применяются при проведении эволюционных расчетов,
так как существенные математические усложнения не сопровождаются
заметным увеличением точности результатов по сравнению с локальной
теорией [306]. Во всех случаях остается произвол, связанный с выбором
параметров теории типа /в A1.8) или функций типа ф0 в A1.12).
§ 12. Численное моделирование конвекции
При изучении таких астрофизических проблем, как аномалии химиче-
химического состава, определяемые по спектрам звезд, солнечная грануляция,
генерация нетеплового потока конвекцией приближение пути, перемеши-
перемешивания в различных его модификациях оказывается недостаточным и ис-
используется численное моделирование конвекции. Решаемые при этом за-
задачи очень сложны и требуют трудоемких двух-и трехмерных нестационар-
нестационарных расчетов [207]. Задачи подобного типа рассматриваются в гидроди-
гидродинамике для моделирования движения газов и жидкостей с потоками тепла,
важной областью применения которых является моделирование движений
в атмосфере Земли и планет.
Теория внутреннего строения звезд имеет лишь некоторые точки со-
соприкосновения с такими расчетами: с их помощью объясняются отдель-
отдельные наблюдательные особенности звезд на разных эволюционных стадиях.
Как правило, каждая задача по численному моделированию предполага-
предполагается для применения к какой-либо конкретной астрофизической задаче.
Отсутствие универсальности, а также большие вычислительные сложности
объясняют то, что численные модели конвекции не применяются и вряд
ли будут в ближайшее время использоваться при расчетах звездной эво-
эволюции. Приведем качественное описание различных приближений при
численном моделирования конвекции.
Основой для такого моделирования является система гидродинами-
гидродинамических уравнений Навье-Стокса [150], в которой содержатся эффекты
вязкости и теплопроводности. При исследовании ламинарной кон-
конвекции свойства переноса определяются излучением или газом. Числен-
Численное исследование ламинарной конвекции на двумерных моделях гори-
горизонтального слоя с твердыми границами ("валиковая конвекция") об-
обнаружило ячеистую структуру [83]. Отметим, что картина трехмерной
конвекции является более сложной [312], топологически эквивалентной
наматыванию линий тока на тор — "торовая конвекция" (рис. 19).
Как отмечалось в § 10, п. в, конвекция в звездах, как правило, яв-
является турбулентной. Численное моделирование турбулентной кон-
конвекции проводится в приближении, когда мелкомасштабные конвектив-
конвективные движения рассматриваются усредненно в виде турбулентных коэф-
коэффициентов вязкости и теплопроводности. Движения максимального масш-
масштаба ~#р и больше, даже в условиях турбулентной конвекции образуют
регулярные структуры, проявляющиеся в наблюдениях солнечной грану-
грануляции [312]. Исследование турбулентной конвекции в постановке, ана-
аналогичной [83], но с турбулентными коэффициентами переноса проводи-
проводилось в работах [324, 581].
108

Рис. 19. Конвективные ячейки:
а) двумерная "валиковая" конвекция,
б) трехмерная ячеистая "горовая" конвекция
Важное упрощение, значительно облегчившее численное моделирование
турбулентной конвекции, сделано Огурой и Чарнеем A960) и названо
неупругим приближением [613]. Оно заключается в том, что Р, р, Т и
другие термодинамические величины предполагаются мало отличающими-
отличающимися от равновесных значений и рассматриваются в линейном приближении,
в то время как скорость v и динамические характеристики рассматривают-
рассматриваются точно. Это приближение позволило отфильтровать генерируемые кон-
конвекцией звуковые волны, которые не влияют на ее основные характеристи-
характеристики, но затрудняют вычисления. Трехмерные расчеты солнечной грануля-
грануляции в рамках неупругого приближения проводились в [338], двумерные
расчеты,аналогичные [324],в [405].
Более простое, но все еще требующее больших численных расчетов
приближение основано на разложении всех искомых переменных по за-
заданной системе функций в горизонтальном направлении (локальное при-
приближение) . В этом приближении получается система обыкновенных урав-
уравнений для стационарной конвекции. Расчеты в неупругом модельном при-
приближении в стационарном случае с оставлением одной и двух профилирую-
профилирующих функций проводились в [480].
Упрощения неупругого модельного приближения позволили исследо-
исследовать различные области параметров, так как требуют существенно мень-
меньших затрат машинного времени, чем прямые двух- и трехмерные расчеты
183, 324,581, 338,405]. К настоящему времени в области численного моде-
моделирования конвекции сделано не так много. Можно надеяться, что даль-
дальнейшее развитие теории позволит более тесно связать ее с конвективными
Движениями в звездах.
109

Г Л А В Л 4
ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ
Большая часть энергии, излучаемой звездами, образуется в результате
превращения водорода в гелий и дальнейшего превращения гелия в более
тяжелые элементы. С точки зрения энергетика, звезда представляет собой
гигантский котел, в котором протекает управляемая термоядерная реак-
реакция. "Управляемость" реакции эквивалентна тепловой устойчивости звезды
(см. гл. 13). Пионерские работы по теории ядерных реакций в звездах
связаны с именами Г. Бете, К. Вейцзекера, Э. Солпитера. Современная
ядерная астрофизика в значительной степени основывается на работах
У. Фаулера и его соавторов.
§ 13. Скорости ядерных реакций
Рассмотрим реакцию, в которую вступают ядра 1 и 0, превращаясь в
ядра 2 и 3
0+1 -+ 2 + 3 + G, A3.1)
где
931,478
Q = (Л/о +Af, -М2 -М3)с2 = (Мо +М, - М2 -М3)(МэВ) =
ти
1 49232 - 10~3
= — (Мо +М1-М2- М3) (эрг) - A3.2)
т
тепловая энергия, выделяющаяся на одну реакцию. Тепловой эффект Q
из A3.2) увеличивается на 2тес2 = 1,0220 МэВ = 1,6374 10~6 эрг, если
в реакции образуется позитрон е"*, аннигилирующий с электроном среды.
Это учтено в реакции A4.1) в выражении для Q.
Основной микроскопической характеристикой реакции A3.1) являет-
является ее сечение а@1). Введем следующие обозначения:*)
<0l> = <uu>oi (см3 с), v - относительная скорость, A3.3)
Лм = <01 > (реакций см с) - скорость реакции, A3.4)
1 +6oi
xi
Щ ~ Р^л — (см ) 0 = 0. 1, 2, 3); xt - относительные весовые кон-
центрации ядер, NA = 6,02252 • 1023 г — число Авогадро, ти - N^1 ~
= 1,66043 ■ 10~24 г - атомная единица массы, равная 1/12 массы атома12С
*' Содержание и ^обозначения (общепринятые в литературе) данного параграфа
следуют, в основном, работе [360].
110

ff - атомные массы в реакции A3.1), At =
[01] = PNA <01> (с), A3.5)
1 / dn0 \ 1 / dx0
1И1У п0 \dt /, х0 \ dt /,
= (x,A*i)[01] (с), ( ' >
где т 1 @) — среднее время жизни ядра 0 до взаимодействия с ядром 1,
^ (О) _ вероятность вступления в реакцию ядра 0 с ядром 1. Аналогично
определяются величины т0 A) и Хо A) • Из A3.4) —A3.5) имеем
xoXl [01]
-r-Г 7T^- A37)
AA 1 + 6
Символ Кронекера 6Oi = 1 для одинаковых частиц и 6Oi =0 для разных,
а) Сечения и скорости прямых и обратных реакций. По теореме
взаимности (принцип детального равновесия) сечения прямой и обратной
реакций в A3.1) связаны соотношением
аB,3) _ 1+бгз
—
,п,л . к „ „ г ■ A3"8)
а@,1) l+ooi g2g3 A2A3 t23
где g/ - статистический вес ядра, (см. § 3), Е0\ и £3 - энергии ядер в
системе центра масс до (£"Oi) и после (£3) реакции A3.1). После
усреднения по скоростям с максвелловским распределением, имеем
[23] <23> 1+623 gogi
= =
[01] <01> l+6oi g2g3
(уТ") exp(-Q/kT). A3.9)
\ л2у43 /
Если частица 3 является фотоном А3 = 0, то время т7B) фоторасщепле-
фоторасщепления ядра 2 выражается через величину <01> для радиационного захвата
т7B) у{) (l+80,)fo\ A2 ) \2тгЬ2/
X<0l>exp(-G/A;71) =
= 0,98677 ■ 10- g°g> (^Л3'2 ЛИ [01] X
A+80,)й V А2 ) р
X e*V(-П,605 Q6/T9) (с), A3.10)
гДе Q6 — энергия реакции в МэВ, Т9 = Г/109 К. При высоких температу-
температурах и плотностях, когда могут идти обратные реакции, полная скорость
реакции есть
р г> ио и2и3
poi-P23= ^<01> =-<23>. A3.11)
1+Soi l+623
в равновесии Ро, =р2 3, с учетом A3.9) имеем
TV" = ~(^ГгТ2 ^{QlkT). A3.12)
^2^3 gogi \A0Ai /
111

Аналогично для реакции радиационного захвата полная скорость реакции
равна
п
(
а в равновесии Ро1 =Р2у с учетом A3.10) получаем
п2 x2A0Al g2 / а2 \з/2 / 2nh2 V/2
= = ( 1 I ) ,
pNAxoxtA2 gogiXAoA^ \тикТ/
A3-14)
или
Х2
- 1,0134
\gogJ\AoAi/ \ Т9
A3.15)
(см. также C.3)). В атомных единицах Ап = 1,008665, Ан = 1,007825
Аъ = 2,014103, Ат = 3,016050, ЛзНе = 3,016030, А*Не = 4,002603, а осталь-
остальные Af равны атомным весам с ошибкой не более 3 • 10~3.
Скорость выделения энергии е (эрг -с • г) используемая в теории
внутреннего строения звезд, есть
Р Р
е01 = — Q = 1,6021 • 10 — Q6 =
Р
X0Xt [01]
= 9,6487 1017 l—l— Q6 (эрг-г -с). A3.16)
A0Ai 1 + 6Oi
Для реакции фотоотщепления е2 у < 0 есть
е2у = -9,6487 -1017— X7B)G6 (эрг г -с). A3.17)
А2
При учете обратной реакции полное энерговыделение есть
eoi+егз или eoi +е2у, A3.18)
где е23 < 0 определяется аналогично A3.16). Учет вылетающих нейтрино
эквивалентен уменьшению теплового эффекта реакции Q. Для нереляти-
нерелятивистских невырожденных ядер усредненная по максвелловскому распре-
распределению величина <аи> имеет вид
(8Л01'2
= 6,1968- \Q-x*A-ll2T9*l2fobEttsxp{-UJBQSE6/T9)dE (см3 -с),
A3.19)
где Еь дано в МэВ, а оь в барнах A барн = Ю4 см2),
** М°М*
М = приведенная масса,
А - — приведенная атомная масса, A3-20)
Ао +At
Е = Mv2/2 - энергия в системе центра инерции.
112

реакции A3.1) записывается с помощью теории возмущений в
]
Е2 з = Л/'ui з/2. A3.21)
Чпесь Н — матричный элемент перехода, fi — объем, к которому норми-
нормированы волновые функции, так что Ш/ не зависит orfi,v01 = и и и23 -
относительные скорости частиц до и после реакции, М' = М2М31(М2 + М3)-
гоиведенная масса частиц после реакции. Вычисление матричного эле-
элемента, одинакового для прямой и обратной реакции, встречается с прин-
принципиальными трудностями, ввиду отсутствия строгой теории сильного
взаимодействия. Приближенно имеем [212]
l\ ф01ф23 I (зрг-см3), A3.22)
где U (эрг) — энергия, a U — средняя энергия взаимодействия, примерно
равная глубине потенциальной ямы, Vn — эффективный объем ядра (об-
(области сильного взаимодействия), ^/Oi и \1»2з (см'2) - начальная и конеч-
конечная волновые функции относительных движений, | tyt tyf \ означает усред-
усреднение произведения волновых функций по объему ядра. Теоретическая
оценка значения | fi# | обычно корректируется экспериментальными
данными.
б) Нерезонансные реакции с заряженными частицами. Особенность
реакций с заряженными частицами состоит в необходимости туннельного
(квантового) преодоления кулоновского барьера, так как кинетические
энергии реагирующих частиц как правило много меньше энергии электро-
электростатического отталкивания при соприкосновении ядер ZoZie2/rOi, r0,
Г\ — радиусы ядер, г0, = r0 + r i. После выделения медленно меняющейся
с энергией функции 5 (£"), сечение а(Е) записывается в виде
-V-M. A3.23)
Здесь экспоненциальный множитель, возникающий от произведения вол-
волновых функций в A3.22), определяет вероятность прохождения через
кулоновский барьер [212]. Функцию 5(£") удобно представить в виде
разложения в ряд Маклорена:
^+Л A3.24)
5@) 2 5@) J V '
Подставляя A3.23) и A3.24) в A3.19), получаем, используя для интег-
интегрирования метод перевала [139],
J2_\l* AEo
\) ~&S*be ■ 03.25)
113
Г-С. Бисноватый-Коган

Из A3.3) и A3.5) имеем
[/77 V3 1
1,3006 • Ю-'Д-^У 5эф]г9-2/3е-т (см3 с), A3.26)
[/Z Z \'/3 1
7,8327 ■^9[~1) 5эф|рГ9-2/3е-т(с-1), A3.27)
где
5 5'@)/ 35
[
1 +9,807- 10 ^W-1'3^'3 +0,1220
5@)
+ 8,378 • Ю-2 — Г9 + 7,447 ■ КГ3 -^- Ц/2/3Г94'3 +
5@) 5@)
1,300 • Ю-2 —^- Й/1/зг|/з1> A3.28)
W = Z^Zf/1, A3.29)
!£ ,/f
= 0Л2204^1/3719г/3 (МзВ), A3.30)
С1
т = 3 —^- = 4.2487 Й/1'3^-'/3, A3.31)
кТ = 0.08617 Т9= 79/11,605 (МэВ) A3.32)
= 0,23682 W1'6^'6 (МэВ). A3.33)
Интеграл в A3.25) берется методом перевала, причем Е = Ео соответству-
соответствует минимуму модуля показателя экспоненты, а Д£"о — эффективная шири-
ширина энергетического интервала, дающего вклад в этот интеграл. Произ-
Производные 5' и 5" по Е в A3.28) имеют размерность МзВ и МэВ ■ барн .
соответственно.
в) Резонансные реакции. Сечение реакции вблизи резонанса определя-
определяется формулой Брейта — Вигнера
frh2 fayl^iy 0,6566 ьуГ.Гг
ШЕ (Е-Е#+Г*14 АЕ(иэВ) (£ - £гJ + Г2/4 ^
A3.34)
114

/г - резонансная энергия в системе центра инерции для частиц 0 + 1,
г - парциальная ширина распада резонансного состояния с образованием
' тиц ^ 1,аГ2 -с образованием частиц 2 + 3,Г=Г,+Г2 + ... - сумма
'о всем возможным парциальным ширинам, сог = A + 6Oi)gr/go£i> gr =
_ 2/ +1, Л- ~ спкн резонансного состояния. Если полная ширина резо-
"анса Г — много меньше эффективного разброса энергии взаимодействую-
взаимодействующих частиц -
f <g АЕо из A3.33) для заряженных частиц,
р <£ кТ для реакций с нейтронами —
то подставляя A3.34) в A3.19), получаем после интегрирования
Из A3.3) и A3.5) имеем
@1 > = [2,557 ■ 10-13Л-3/2(с7)г] 773/2ехр (-11,605 Ег/Т9) (см3 с),
A3.37)
[01] = [1.540-101М-3/2(с;7)г]р719-3/2ехр(-11,605£'г/719) (с).
Здесь
A3.38)
С учетом A3.34) и A3.10) получаем сечение резонансного фоторасщеп-
фоторасщепления ядра
где
^^ . A3.40)
Отметим, что формулы для резонансных реакций имеют одинаковый
вид для заряженных частиц и нейтронов. Величина (cjy)r. входящая в
выражения для резонансных реакций, находится из эксперимента. Если
известно полное сечение резонансной реакции fradE, то из A3.34) и
A3.38) имеем
-MEг
если же экспериментально хорошо определяется величина аг = о(Ег)
и полная ширина резонанса Гг, то (ьуу)г находится из соотношения
1 A3-32)
TTT ()
метим, что для реакций, обратных A3.1), энергия резонанса Е'г есть
K = Er + Q. A3.43)
величина входит в A3.39).
115

г) Реакции при высоких температурах. При Т9 > 1 взаимодействие
легких частиц (протонов, альфа-частиц, и фотонов) с тяжелыми ядрами
происходит через большое число перекрывающихся резонансов. В этом
случае полное значение < аи > для этих реакций определяется суммиро-
суммированием большого числа формул типа A3.36). Расчеты, выполненные в
[360, 361] для определения скоростей реакций р, а, у с ядрами 19 <А <40
в области 1 <Т9 < 5, аппроксимировались приближенными формулами.
Сопоставление с экспериментом показало, что наилучшую аппроксима-
аппроксимацию дает формула вида
[01] = pNA <01> = CTmpexp(-Eth/kT), A3.44)
где С, m, £"th - эмпирические параметры.
д) Нерезонансные реакции с нейтронами. Сечение неупругого рассея-
рассеяния нейтронов при малых энергиях является изотропным E — волна)
и а ~ 1/и, так что аи = const при и ->0 [360]. Величину аи удобно предста-
представить в виде ряда по v ~ \f~E~:
f^ ^f^J (см3 с). A3.45)
После усреднения имеем
©@) V ' 4 6@)
= 5@)[ 1 + 0,3312 ®^- П'2 + 0,06463^- Т9 1, A3.46)
L ®(о) 6@) J
где Е выражено в МзВ, в@)/©@) в МэВ/2, 6@)/©@) в МзВ~\ а про-
производные берутся по Е112. Величина 5 @) находится по измерениям сече-
сечения захвата тепловых нейтронов ath при utj, = 2,2 ■ 10s см ■ с, Е^ь =
= 2,53 • 10"8 МэВ, так что
5@) = (ai»)th = 2.2- 10~19ath (см3 с), где ath выражено в барнах.
A3.47)
Коэффициенты 5@), 5'@)/6@), 5"@)/6@) из A3.24), A3.28), Ег,
(со7)г из A3.36)-A3.39), параметры С, Eth с m = 0 из A3.44), 5@),
6@)/6@),6@)/6@) из A3.45)-A3.46), а также значения Q и статисти-
статистические веса различных реакций даны в [360]. В работах [361, 389, 399,
638, 321] приведены формулы для тех же реакций после уточнений и
для многих других реакций. Выбор параметров в формулах основан на
использовании экспериментальных данных, многие из которых были
получены специально для астрофизических целей. В [650, 639] содержат-
содержатся таблицы сечений этих реакций.
116

§ 14. Горение водорода, дейтерия и гелия
Стадия горения водорода является самой длительной в жизни звезды.
Это се* ано с большим начальным обилием водорода в звездах (~ 70 %
по маД.) и большой калорийностью водорода при превращении его в
гелий (~0,7% тс2), когда выделяется ~70% энергии, получаемой при
превращении водорода в самый стабильный элемент s 6 Fe. Фотонная свети-
светимость звезд на главной последовательности, где горит водород, как пра-
правило, меньше, чем на последующих стадиях эволюции, а их нейтринная
светимость значительно меньше, ввиду того, что центральные температуры
не превышают ~ 4 • 107 К. Поэтому звезды главной последовательности
являются самыми распространенными звездами в Галактике и во всей
вселенной (см. гл. 9).
Выделение энергии на грамм при горении гелия примерно на порядок
меньше, чем при горении водорода, а светимость таких звезд значительно
выше. Вследствие этого время жизни и число их в Галактике значительно
меньше, чем звезд главной последовательности. Тем не менее благодаря боль-
большой светимости таких звезд, которые являются гигантами и сверхгиганта-
сверхгигантами, свойства их хорошо изучены. Помимо медленного горения, в звездах
возможно развитие тепловых вспышек, когда происходит быстрое, так
называемое взрывное горение при больших температурах Т9 ~ 1. Это
может происходить на поздних стадиях эволюции, а также в веществе,
аккрецирующем на белые карлики и нейтронные звезды.
а) Протон-протонная реакция и горение дейтерия. Горение водорода
с образованием гелия требует превращения двух протонов в два нейтрона
путем захвата электронов или испускания позитронов, с одновременным
излучением нейтрино. Такие превращения происходят по реакциям слабого
взаимодействия, которые (см. гл. 5) идут значительно медленнее ядерных
реакций, связанных с сильным взаимодействием. Слияние двух протонов
с образованием дейтерия является первой реакцией протон-протонного
цикла, действующего в звездах с массой М <Af®, где центральные темпе-
температуры не превышают ~ 1,5 • 107 К. Рассмотрим цепочки рр-цикла. Сна-
Сначала идут реакции [361, 359, 134]
1) 1И+1И -+ 2D + e+ + »>. Ctot = 1,442, Q6= 1,192 A4.1)
или
la) JH + e- +»H -+ 2D + v, Qtot = L442, Q6= 0,001. A4.1a)
™ Солнце и в более массивных зведах реакция 1) гораздо вероятнее,
чем 1а). Дейтерий горит в реакции
2) 2D+ »н -► 3Не + 7. Qb = 5,494. A4.2)
Не вступает в две реакции:
3) 3Не + 3Не -+ 4Не + 1Н+1Н. Q6= 12,860, A4.3)
или
За) 3Не + «Не -> 7Ве +7, Qe = 1,586. A4.3а)
117

Превращение 7Ве в 4Не происходит двумя способами:
За,) 7Ве + е- -> 7Ii + »>, Qtot = 0,862, Q6= 0,049,
7U+1H^4He + 4He, Q6= 17,348, A43aiJ
или
3a2) 7Be+'H -> 8B + 7, Qb = 0,137,
8B -»■ 8Be*+e* + »') A4.3a,)
8D . . 4u Ctot = 18.07, Q6 = 10,69. ^
8Be*^- 4He + 4He J
Здесь Qtot — полная энергия на реакцию (в МзВ), Q6 — то же за вычетом
энергии улетающего нейтрино. Полное энерговыделение в МэВ при обра-
образовании одного ядра гелия для различных цепочек составляет
26,23 A + 2 + 3),
23,85 (la+ 2 + 3)
25,67 A + 2 + За + За!),
Qvv =
24,48 (la+2 + За + За,)
A4.4)
19,1 A + 2 + За + За2),
17,91 Aа + 2 + За + За2).
Соотношения между различными каналами зависят от физических усло-
условий в звездах. На Солнце основной является реакция A +2 + 3) и Qpp =
= 26,2 МзВ. Скорость рр-реакции определяется самым медленным звеном
A4.1) и пропорциональна (см. A3.4)) величине [389]
NA<4ip> = 3,82 • 10-157Т2/3 ехр (-3,380/Г^3) X
X A+0,123 73/3 + 1,09Г|/3+0,938Г9) (см3 -с г). A4.5)
Скорость знерговыделения для A + 2 + 3), согласно A3.16) равна
1 х2 О
ерр = 9,6487 • Ю17 -Н- pNA < >Н р > =ЕЕ
pNA < Н р >
В молодых звездах, не достигших главной последовательности, где тем-
температура недостаточна для горения водорода, может идти реакция горения
дейтерия или 3Не. Скорость и энерговыделение реакции A4.2) равны [389]
NA <2Dp> = 2,24 • 1O37V2/3 ехр(-3,72/73/3 > X
X A +0,112Tl'3+ 3,38Ti'3+ 2,65Т9) (см3 • с г'1),
е-Dp = 9,6487 -1017 pNABDp)Q6 =
= 2,65-l0iBx,DxHpNABDp> (зргт -с'1). (J4-8)
118

диалогично для реакции A4.3) имеем [361]
Na <3Не3Не> = 5,96 • 101О7Т2/3ехр(-12,276/Г9/3) X
X A + 0,034 ТУ3 -0,199 T$'3 -0,047 Т9 +0,032 Г?'3 +
+ 0,019Tl>3) (см3 -с т-1), A4.9)
V2
ХзНе
*Не'Не = 9'6487 " ЮПГ
= 6,893 -Ю17х2НеР^ <3Не3Не> (эрг-г'1 -с). A4.10)
Пдя учета горения 2D и 3Не при расчете эволюции звезд, идущих к главной
последовательности, нужно рассматривать все три реакции A4.5)-A4.10),
причем в A4.6) положить Qb = 1,192 вместо Qpp/2. Когда вблизи глав-
главной последовательности концентрации 2D и 3Не достигнут малых стацио-
стационарных значений, скорость энерговыделения будет определяться формула-
формулами A4.5), A4.6).
б) Углеродный и другие циклы горения водорода. При наличии 12С
и более тяжелых элементов и при достаточно высокой температуре водо-
водород превращается в гелий по различным цепочкам реакций, в которых
тяжелые элементы играют роль катализаторов. Самый низкотемператур-
низкотемпературный CN цикл имеет вид [229, 361, 389, 259, 182]:
1) 12С+'Н -+ 13N + 7, Qe = 1,944 (~106лет),
2) 13N -+ 13С + е* + »>, Qtot = 2,22, Q6 = 1,51 (т,/2 =10мин),
3) 13C+»H^ 14N + 7, e6 =7,551 (~3-106лет),
4) 14N + 'H -► lsO + 7, Се = 7,298 (~3-108 лет),
5) 1SO ■* lsN+e+ + ^, Qtot = 2,76, Q6 = 1,76 (т1/2 = 12,4 с),
6) 1SN + 'H -»■ 12C + 4He, Qb = 4,966 (~10s лет).
В скобках приведены периоды полураспада тгв и характерные времена
реакций для Солнца [229]. По подсчетам [361] энерговыделение в угле-
углеродном цикле за вычетом энергии нейтрино при образовании одного ядра
гелия равно
Ccn = 24,97 МзВ. A4.12)
Скорость реакции на Солнце определяется самой медленной реакцией це-
цепочки 4) из A4.11); она равна [361]
NA <14Np> = 15.08 • 107772/3ехр [- -^- - f—Y 1 X
I [Til3 \ 3,090/ J
X A + 0,027 T\>3 - 0,778 TV3 - 0,149 T9 + 0,261 T§l3 +
+ 0,127 Tl'3) + 2,28 • 103773/2 ехр (-3,011/Г9) +
+ 1,65- 104Г91/зехр(-12,007/Г9I см3 -с'1 т. A4.13)
Скорость знерговыделения есть
eCN = 4302-1017x14NxHpA^ < 14Np > эрг-г'1-с. A4.14)
119

Здесь использовано Q6 из A4.12). Реакции CN-цикла преобладают над
рр-циклом примерно для звезд, массивнее Солнца. С ростом температуры
преодолевается более высокий кулоновский барьер и реализуется преиму.
щество этой реакции, связанное с тем, что реакции бета-распада 2) и 5)
в A4.11) идут здесь гораздо быстрее, чем рр-реакция A4.1). По мере про-
протекания реакций CN-цикла происходит превращение почти всего углерода
в азот, ввиду медленности реакции 4) из A4.11).
При температуре Т > 2 • 108 К реакция 4), а также 1), 3), 6) из A4.1 п
становятся быстрее реакции бета-распада 2), которая начинает лимитиро-
лимитировать скорость цикла. В этом случае захват протона ядром 13N приводит к
другому циклу, называемому горячим CNO-циклом *
12С(р, 7I3N(p, 7I40(e^I4N(p, 7)lsO(e+»>)lsN(p, aI2C. A4.15)
Здесь использована более компактная запись реакций, принятая в ядерной
физике. Время полураспада 14О в этом цикле равно 72 с [232] и медлен-
медленная реакция 2) из A4.11) перестает лимитировать весь цикл. Скорость
реакции 13N(p, 7) 140 рассчитана в [481]:
NA < 13Np > = j 3,35 - 107 Т;213 ехр [-15,202/7У3 -
- (T9 /1,072J] X A + 0,027 Г91/3 + 0,90 Г2/3 +
+ 0,173 Т9 + 4,61 Г4'3 + 2,26 2Г*/3) +
+ C,0? .05/г!/3)ехр(--^-^)}см3.с-1.г-1. A4.16)
В этой реакции выделяется энергия Q6 = 4,626 МэВ и энерговыделение
на грамм есть
e.3Np = 3,433 •l017x13NxHpJV1< 13Np > (эрг • г • с1). A4.17)
Наряду с реакцией 6) из A4.11) ядро 1SN может вступить в реакцию
lsN(p, 7IбО. Воспроизводство 16О приводит к появлению новой цепоч-
цепочки. Наряду с 6) идет звено реакций
6а) lsN(p, 7I6O(p, 7I7F(e%I7O(p, aI4N, A4.18)
после которого следует реакция 4) из A4.11), а также новый цикл
lsN(p, 7I6O(p, 7I7F(e%I7O(p, 7I8F(e4I8O(p, a)lsN.
A4.19)
ю реак-
lsO(a, 7I9Ne(p, 7J0Na(e%J0Ne. A4.20)
При высоких температурах, наряду с 5) в A4.11) проходит звено реак-
реакций [462]
120

Таблица 13
Значения NA < аи >,см3-с ■ г н выделение тепла на реакцию Qt, МэВ для двух
реакций захвата
Г(Ю9к)
0,1
0,16
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
NA< "OaO
5,02 (-25)
-
8,81 (-13)
7,42 (-7)
1,80 (-4)
1,01 (-2)
0,129
3,53
JV,4("Nep>7
1,01 (-11)
3,47 (-9)
3,40 (-8)
1,64 (-4)
4,82 (-2)
0,814
4,16
2,19
Г(Ю» К)
1,5
2,0
3,0
4,0
5,0
10.0
С
ЛГ4<15Оа>7
3,57
17,6
99,2
267
573
2.36 (+3)
3,53
Wj4<1'Nep>7
31.82
78.7
167,0
-
-
-
2,19
Благодаря производству 20Ne появляется катализатор для протекания
NeNa-цикла [608]
20Ne(p, 7J1Na(e%J1Ne(p, 7J2Na(e%J2Ne(p, 7J3Na(p, aJ0Ne.
A4.21)
Протекание реакции производства 24Mg (наряду с последней реак-
реакцией A4.21))
23Na(p, 7J4Mg A4.22)
приводит к появлению еще более высокотемпературного MgAl-цикла горе-
горения водорода [361,389]:
24Mg(P, 7JSAl(e%JSMg(p, 7J6Al(p, 7J7Si(e%J7Al(p, aJ4Mg.
A4.23)
При Т > 2 ■ 108 К, когда время реакции 4) перестает лимитировать горение,
требуется учет каждой реакции в отдельности из A4.11), а также из
A4.15) —A4.23) для определения концентраций элементов и скорости вы-
выделения энергии. Для реакций аир захвата из A4.20) скорости рассчита-
рассчитаны в [462]. Так как формулы типа A3.27) и A3.37) здесь весьма гро-
громоздки из-эа наличия большого числа резонансов, приведем табл. 13 из
[462], где приведены значения NA < аи > как функции температуры.
Выделение тепла в этих реакциях пол учено по данным [135]. Для реакций
(Р. 7) из A4.11) имеем [361]
12С(р, 7I3N,
Qe = 1,944,
121

X A + 0,03 T\13 + 1,19 2Г2/3 + 0,254 Т9 + 2,06 Т\'ъ +
D 925\
-— ) +
Г9 /
A8 179 \ 1
-^-JJcm'.c-'t-1, ^ A4.24)
е,3ср = 1,563 • 1017 ху ,cxHpNA < 12Ср > (эрг г • с'1);
l3C(p, 7I4N, Q6 = 7,551,
NA < »Ср > = (8,01 • ,0' I-« exP[- ^ _@J] X
X A + 0,03 rj/3 + 0,958 Г,'3 + 0,204 Г9 + 1,39 7^/3 +
+ 0,753 Г*/3)+ 1,35 • 106 Г;3/2 ехр(-5,978/Т9) +
+ 2,66.10s Т;3'2 ехр(-11,987/Г9) +
+ 2,26 -106 Т;3/2 ехр(-13,463/Т9)\ см3- г'1 -с'1, A4.25)
е,,Ср = 5,604-1017х,,схнр^< 13Ср> (эрг ■ с-г'1).
Значение NA <01 > для реакции 14N(p, 7) 1SO данов A4.13),a e,«N по-
получается из eCN в A4.14) с коэффициентом 5,030-Ю17 вместо
4,302 -1017. Имеем также
1SN(P, aI2C, С6 = 4,966
X A + 0,027 T\13 + 6,74 Т29'3 + 1,29 Т9) +
G 974\
: J^.c-'-r'1), A4.26)
SNp = 3,194-1017х1анхнр^< 1SNP >а (эрг • г'1 -с).
122

для реакций из A4.18), A4.19) имеем [361]
»SN(P, TI60, Се = 12,128,
X A + 0,027 T\'3 +0,219 Г2/3 + 0,042 Т9 + 6,83 Г4/3 +
л ,#, / 3,328 \
+ 3,32 Г*'3) + 1,11 ■ 104Г9-3/2ехР(- —— ) +
3,80-Ю
6 Г;3
16О(р, 7I7F, Q6 = 0,601,
NA < l6Op > = 1,5 -108 Г;2/3 {1 + 2,13 [ 1
9
16
°Р>
17
0(р, aI4N,
= 1,193,
X A + 0,025 Ц'3 + 5,39 Т\<3 + 0,940 Г9 + 13,5 Г4/3 +
+ 5,98 Г*'») + 2,92-106 Т9 ехр(- ^^) } см3 -
с'1 т
A4.27)
1 -г'1), A4.28)
A4.29)
7Ор>а (эрг-г-с'1);
17
0(р,
*•• < "OP >, - I 7,97 .10- Г," Г,- ехр (- ^
V Ч Л9А
* 1,51 -10° r-«» exp (- i
X A + 0,025 T\<3 -
123

-0,051 T%13 -8,82 • lO'3 Г9) + 1,56- 10s T;1 X
X expf — jj (см3-^1 -г), 04.30)
\ T9 / )
TgA = T9{\ + 2,69Г9)-\
б,,Ор = 3,184 -1017х17охнр^< 17Ор>7 (эрг-г-с'1);

\15
О(р, a)I5N, Qb = 3,980,
NA < 18ОР >а = j 2,13 • 10" Т;2>* expf- i^ -
(T \ "I
— J X A + 0,025 T9/3 + 1,68 r^/3 + 0,292 T9 +
1,318/ J
+ 0,824 Ts913) + 9,64 • 108 T;1 expf : ) +
X A+0,025 Г9/3 + 5,98^/3 + 1,04Г9 +30,7 7^/3 + 13,61 Ts9'3) +
+ 1,4 -106 T;3'2 expf- -j^ V 2,34 - 106 T?'2 exp (- ^-\ } X
X [1 + 5 exp (-23,002/Г,)]'1 (см3 -с г'1), A4.31)
e,.o = 2,133- 1017х1<охнр^< 18Ор >а (эрг-г-с).
Приведенные выше формулы для (р, 7) и (р, а) реакций справедли-
справедливы при 10~3 < Т9 < 10 и при плотностях, при которых пренебрежимо
мало электронное экранирование (см. § 17). Неопределенные члены в реак-
реакциях A4.29)—14.31), которые в [361] даны с сомножителем (от 0 до 1),
везде опущены. Величины NA < 01 > для реакций (р, 7) и (р, а) из A4.21) -
A4.23), а также (а, 7) запишем в виде
X A + ВТ9 + СТ% + DTl)\ (см3-с-г). A4.32)
124

Таблица 14
Параметры (р, у), (р, а) реакций для формулы A4.32), Qt - энергия на реакцию в МэВ, Гобл - пределы применимости
Реакция
J0Ne(p,7)J1Na
"Ne(p, 7)"Na
"Ne(p,7)"Na
J3Na(p,a)J0Ne
"Na(p,r)J4Mg
J4Mg(p,r)"Al
J5Mg(p,7)J6Al
J6Al(p, 7)J7Si
J7Al(p, a)J4Mg
TAU
19,45
18,57
19,46
19,48
20,77
20,77
22,02
22,02
21,93
22,04
23,28
23,26
24,17
23,27
25,02
A
30,94
28,01
31,61
31,41
30,63
29,97
34,04
31,54
32,58
31,32
35,59
31,81
35,29
28,41
34,08
В
8,097 (-2)
2,428 (-1)
2,391(-1)
l,802(-l)
l,585(-2)
-6,586(-2)
2,417(-1)
-3,333 (-2)
3,017(-l)
-8,358(-2)
2,598(-l)
-7,207(-2)
2,528(-l)
-2,716(-1)
1,158(-1)
С
6,555 (-1)
-2,336 (-2)
-l,850(-2)
-l,303(-2)
l,235(-3)
2,804(-l)
-2,162(-2)
6,356(-l)
-3,410(-2)
3,614(-1)
-2,450(-2)
4,040(-l)
-2,510(-2)
3,533(-l)
-l,657(-2)
D
- 4,272(-1)
1,026 (-3)
6,622(-4)
4,839(-4)
-l,294(-4)
-1ДЗК-1)
9,298(-4)
-3,758(-l)
l,671(-3)
-l,620(-l)
l,097(-3)
-l,990(-l)
l,161(-3)
' -l,410(-l)
8^37(-4)
2,431
2,431
6,740
8,793
2,376
11,692
11,692
2,270
2,270
6,307
6,307
7,465
7,465
1,600
1,600
''обл
0 < Го < 1
1 < Г, < 10
0 < Г, < 10
0 < Г, < 10
0 < Г, < 10
0 < T, < 1
1 < Г, < 10
0 < Г, < 1
1 < Г, < 10
0 < Г, < 1
1 < Г, < 10
0 < T, < 1
1 < Г, < 10
0 < T, < 1
1 < Г, < 10

Численные коэффициенты из [638] приведены в табл. 14. Параметры (e*v )
распадов: времена полураспадов из [232], полные энергии распадов Qt
и средние энерговыделения на реакцию за вычетом энергии нейтрино в МэВ
[135,182] - даны в табл. 15.
Ввиду большого времени бета-распада 22 Na из A4.21), при высокой тем-
пературе быстрее может идти другое звено NeNa-цикла [215]
20Ne(p, 7J1Na(e*vJ1Ne(p,7J2Na(p,7J3Mg(e*j.J3Na(p, aJ0Ne.
A4.33)
Скорость реакции 22Na(p, ?J3Mg рассчитана в [624]. Имеем
B 437\
) (см3 с г),
B6 = 7,579, 0 < Т9 < 1, A4.34)
e"NaP= 3^24-1017 *llNa*HpAU<22Nap> (эрг-г с)-
Изменение концентрации при наличии бета-распада равно
1 dx _ In 2
х dt т,„
A4.35)
Это уравнение,наряду с A3.6), нужно использовать для нахождения кон-
концентраций при протекании реакций. Если данный элемент появляется или
исчезает в нескольких реакциях, то в правых частях A3.6) или A4.35) стоят
Таблица 15
Характеристики бета-распадных реакций в циклах горения водорода
Реакция
Gtot( МэВ)
С.(МэВ)
10 мин
72 с
124 с
70 с
ПО мин
0,38 с
23 с
2,6 года
73 с
4,1с
12 с
2,22
5,145
2,76
2,76
1,655
13,89
3,55
2,84
4,28
4,81
4,06
1,51
1,76
1,82
126

суммы по соответствующим реакциям. Скорость выделения тепла, при C*
паспаде ядер с атомным весом Ао и весовой концентрацией х0 равна
e^ = NA^Q^ = 6,6880- Ю17^-^- (эрг-г-с). A4.36)
0 -40 1/2 -40 Т1/2
и бета-распадах величина 1п2/т1/2 является аналогом (Xi/Ai)pNA{ 01 >
в ядерной реакции ( 01 >,см. A3.6) и A3.16).
Отметим, что наличие изотопов 13С, 17О, 21Ne, 25Mg в рассмотренных
выше цепочках реакций, приводит к рождению нейтронов в (а, п) реак-
реакциях [361 ], что существенно для производства тяжелых элементов в
s-процессах (см. § 16). При рассмотрении взрывного горения водорода
необходимо учитывать много других (р, ?) и обратных к ним реакций,
помимо рассмотренных выше, которые исследовались в работах [361,
389,399,638,624].
в) Горение гелия. Наиболее важной для физики звезд реакцией горения
гелия является 3 а реакция образования *2 С. Она протекает благодаря
тому, что при соединении двух альфа-частиц образуются неустойчивые ядра
8Ве. В равновесии концентрация ядер 8Ве определяется формулой, анало-
аналогичной C.3):
Q = 92 кэВ.
Реакция образования 8Ве является резонансной с Er =Q. Соединение ядер
8 Be с альфа-частицами происходит также в виде резонансной реакции со
скоростью, определяемой A3.4), A3.36). Для величины NA( 012 >, харак-
характеризующей реакцию слияния трех частиц 0,1, 2, получаем [389]
N2A
{aaa) = { 2,79 • 10"8 Т? ехр(- ±
Се = 7,275.
A4.38)
Количество реакций, протекающих в 1 с в 1 см3, Ро j 2, среднее время жиз-
101 ядер гелия т3аDНе) и энерговьщеление е„„„ в За-реакции рав-
равны [360]
1+Aoi2
> (реакций с'1-см), A4.39)
б12 + «02 + 2бО12;
127

1 1 аИ«Не _ ЗР3а = I 2
тзаDНе) и«Не dr n«He 2
, - ХпХ\Хп А
еааа = 9,6487-Ю17 Q6 < 012 > =
A0AiA2 I + А012
9,6487-Ю17 з22
= 1,828 1016 xlHep2NA(aaa> (эрг ■ г с).
При Г<2,8-107 К нерезонансный канал реакции 8Ве(а,7I2С становится
важнее резонансного. Учет нерезонансной реакции сделан в [510]. Прибли-
Приближенно, с точностью ~20% ее учет сводится к умножению A4.38) и
A4.39) на функцию
1 + 4 ехр [-@,025/Г9K-263]
Скорость реакции 12С (а, 7I6О сравнима со скоростью 3 а-реакции так,
что при горении гелия образуется *2 С и *6 О. Их относительное производ-
производство зависит от условий, при которых идет реакция, и меняется с массой
звезды. При увеличении массы производство 16О растет и может стать
больше 12С (см. гл.9). Имеем для реакции 12С (а, 7) 16О [361]
A +0,621 Т9 У
NAA2Ca>={ 9,03 - 107Г —-
I ' A+ 0,047 Г2/3J
32,120
32,120
X exp^- -^I73-
1,25 103Г;3/2ехр(' ^ ) +
+ 1,43 ■ Ю-2 Т% ехр( ^ ) ] (см3 с . г), A4.41)
Bб = 7,162,
б11Са = 1,44-1017 x**cx*HepNA < 12Са> (эрг г'1 с).
Формулы A4.38)-A4.41) справедливы при 10~3 < Т9 < 10 в отсутствие
электронного экранирования. На стадиях эволюции, предшествующих
128

V6
Параметры (а, у) реакций для формулы A4.32); Qt - энергия на реакцию в МэВ, Г05л - пределы применимости
P
и
Щ
I
Реакция
16O(a,7I0Ne
30Ne(e,7K4Mg
»Wg(«,7)"Si
"Si(a,yK*S
»S(«,7)»Ar
36Ar(a, уУ'Са
*"Са(а,уУ*Тг
44Ti(a,7)«»a
4'Сг(аO)"Ре
"Fe(a,7M6Ni
56Ni(a, 7N0Zn
TAU
39,76
42,63
46,77
48,75
53,32
54,77
59,49
61,02
65,37
66,69
71,01
78,27
76,44
81,66
81,23
86,74
81,42
91,67
96,48
104,92
A
41,17
.49,51
44,38
49,62
47,06
50,89
49,60
53,60
52,09
55,41
54,48
70,11
56,80
56,98
60,18
62,93
53,00
62,22
64,42
79,65
В
-8,856 (-3)
2,217 (-1)
2,482 (-2)
1,087 (-1)
1,344 (-2)
6,885 (-2)
l,27O(-2)
6,340 (-2)
1,821 (-2)
4,913 (-2)
2,676 (-2)
1,458 (-1)
1,650 (-2)
-8,364 (-2)
1,066 (-1)
1,212(-1)
6,325 (-2)
7,846(-2)
1,549 (-2)
8,188(-2)
С
7,048 (-2)
-l,750(-2)
-2,855 (-2)
-2,975 (-3)
l,954(-3)
3,133 (-3)
4,133(-3)
2,541 (-3)
-5,033 (-3)
4,637 (-3)
-3,3O0(-2)
-1,069 (-2)
5,973 (-3)
2,085 (-1)
-l,102(-2)
-l,340(-2)
-5,671 (-3)
-7,430(-3)
-4,664 (-3)
-2,885 (-3)
D
2,521 (-2)
6,622 (-4)
3,987 (-2)
-2,077 (-5)
7,228 (-3)
-3,459 (-4)
2,791 (-3)
-2,900 (-4)
5,584 (-3)
-4,067 (-4)
3,361 (-2)
3,790 (-4)
-3,889 (-4)
-7,477 (-2)
5,324 (-4)
-5,335 (-4)
2,848 (-4)
3,723 (-4)
4,888 (-3)
5,206 (-5)
4,731
4,731
9,315
9,315
9,986
9,986
6,949
6,969
6,642
6,642
7,041
7,041
5,128
7,694
7,694
7,943
7,943
8,001
2,704
2,704
^обл
0 < Г, < 1
КГ, <10
0 < Г, < 1
1<Г,<10
1 < Г, < 1
К Г, < 10
0 < Г, < 1
КГ, <10
0 < Г, < 1
К Г, < 10
0 < Г, < 1
1 < Г, < 10
0<Г, <10
0 < Г, < 1
К Г, < 10
0 < Г, < 1
1 < Г, < 10
0 < Г, < 10
0<Г,<1
1 < Г, < 10

взрыву сверхновой [363], а также при взрывном горении гелия важны дру.
гие реакции (а, 7) захвата. Если величины NA{ 01 > записать в виде A4.32),
то коэффициенты для некоторых реакций из [638] приведены в табл.16.
В [399, 638] приведены параметры различных (а, у), (а, п)и (а, р), a
также обратных к ним реакций, участвующих во взрывном горении гелия.
§ 15. Реакции с тяжелыми ядрами при высоких температурах
На поздних стадиях эволюции массивных звезд, а также при взрывах ве-
ведущих к вспышке сверхновой, в центральных областях звезды происходят
реакции непосредственного слияния тяжелых ядер. Энерговыделение
в реакциях горения 12С, 16О, 20Ne, 24Mgn 28SicpaBHHMoc энерговыделе-
энерговыделением в За реакции, однако мощное нейтринное излучение из-за высокой
температуры делает время жизни эвеэды на стадии горения 12С или 16О
много меньшим, чем на стадии горения 4Не. В связи с малым временем
жизни вероятность обнаружения таких звезд также мала. В настоящее вре-
время нельзя с уверенностью указать на звезду в спокойном состоянии, излу-
излучающую энергию за счет горения * 2С или других тяжелых элементов.
В тех случаях, когда пренебрежимо экранирование кулоновского поля
ядер, скорости реакций рассчитываются на основе учета резонансных и
нерезонансных вкладов, согласно изложению § 13. В [361] приведены со-
соотношения для следующих реакций:
12CA2C,7J4Mg, Q6 = 13,931,
NA< 12С12С> = { 1,26-10
ЧА
Х[ехр(-0,010Г4^)+5,56-10-3ехрA,685Г92^3)] J (см3 • с • Г1).
A5.1)
Т9А=Т9A + 0,067 ТдУ1.
Скорость энерговыделения есть
е, ,с,,с = 4,67 • 1016*2,срЛ^ < 12С12С> (эрг - г • с'1). A5.2)
Реакция
12CA6O,7J8Si, Q6= 16,754,
NA <12C16O>= 1,72 - 1031r|/fr-3/2exp (~^^) X
^ Т9А '
X [ехр(-0,180Г2^) + 1,06-10-3ехрB,562Г^3)]-1 (см3 с'1 г),
Т9А =Т9A+ 0,055 Тд)'1 A5.3)
дает знерговыделение
Jc"o
130
е,,г,.о =8,42 • Ю6л:13гл:16ор^<12С160> (эрг • г • с). A5.4)

Реакция
16OA6O,7K2S, Q6 =16,541,
X
X [ехр(-0,032Г^) + 3,89-10-4ехрB,659Г^3)]-1 (см3 т -с),
ТдА=Т9A+ 0,0677V,)-1 A5.5)
имеет скорость знерговыделения
В реакциях непосредственного слияния ядер 24Mg и более тяжелых для
преодоления кулоновского барьера требуется столь большая температура
7*9 > 3 • 109 К, что прежде этого начинается фотоотщепление легких час-
частиц р, п и а от l2C, 16O, 20Ne и захват их другими ядрами. Таким обра-
образом, производство элементов тяжелее 32S происходит путем (р,7). (п> 7)>
(а, 7) захватов. Эта быстрая (~3000 с) стадия эволюции называется ста-
стадией альфа-процессов или кремниевого горения [363, 302], так как 28Si
наиболее обильно образуется при горении 12С и 16О в ядрах звезд.
Скорости некоторых (р, 7) и (а, 7) реакций приведены в § 14 и
табл. 14,16.
Скорости фотоотщепления, обратные к реакциям слияния, находятся
по формуле A3.10), соответствующее знергопоглощение дано в A3.17).
Характеристики обратных реакций с участием четырех ядер даны в A3.9).
Скорость реакции фоторасщепления 12С с учетом [389] и A4.38) есть
= Х7A2С) = 2,00.102о7'|ехр(-84,424/7'9)^2<ааа>. A5.7)
ту ( С)
Если результатом взаимодействия двух частиц 0 и 1 являются три части-
частицы 2, 3 и 4 с выделением тепла Q, то соотношения между прямыми и обрат-
обратными реакциями имеют вид
1234) gogl ( AoAl y/2*h у/1А234Ч
А2А3А4 хохх gQgi )
kT\ 3/2
3А<\
г )
A5.8)
3/2
X
I A A A \ S'2
= 0,98677 • 101 °^— Г*°3°" \( 2 3 *\ X
0X1 P \goEi /\AoAi /
X exp (\}>6050Л A5.10)
V т. Г
'9
9»
131

При рассмотрении свойств прямых и обратных реакций следует иметь
в виду, что как результирующее, так и начальное ядро могут быть воз-
возбужденными и зто увеличивает число его возможных состояний. При тем-
температуре Г населенность j-го возбужденного состояния есть
G A5.11)
G= Zgiexp(-Et/kT)
i
и gt = 2Jt + 1 - статистический вес возбужденного состояния со спином Jit
Et — энергия возбуждения относительно основного состояния. G(T) есть
эффективный статистический вес ядра с учетом возбужденных состояний
или сумма по состояниям. Роль возбужденных состояний определяется
нормализованной суммой по состояниям
= llPo, A5.12)
являющейся величиной, обратной к относительной концентрации ядер
в основном состоянии Ро. Учет возбужденных состояний сводится к за-
замене статистических весов gt на соответствующие суммы по состояни-
состояниям Gj. Отличия Gt от gt или © от единицы появляются при высокой
температуре (Т9 >2 для S6Fe [362]).
С ростом температуры значение G из A5.11) формально расходится,
однако корректный учет состояний непрерывного спектра, дающих отри-
отрицательный вклад, и ограничения, связанные с развалом ядер, приводит
к тому, что G проходит через максимум и стремится к нулю при Т -*■ °°.
Для S6Fe максимальное значение Gmax « 33340 и достигается при Т9 «*
«* 700 [362]. Таблица сумм по состояниям для ядер c8<Z<86hO<
< Т9 < 10 имеется в [638].
§ 16. Процессы образования тяжелых элементов
К моменту начала образования звезд вещество расширяющейся вселен-
вселенной состояло из водорода и гелия с небольшими примесями дейтерия
Xjd < 10, гелия-3 ХзНе < 3 • 10~s, лития x,L. « 10~9 и ничтожными
примесями более тяжелых элементов [567]. Элементы, начиная с лития,
практически не образуются из-за того, что отсутствуют стабильные элемен-
элементы с А = 5 и 8. Образование элементов с А >5иЛ>8 возможно только
в реакциях с заряженными частицами с Z > 2, которые не успевают пройти
из-за кулоновского барьера.
Элементы, начиная с углерода и тяжелее, образуются в термоядерных
реакциях в недрах звезд, при взрывах сверхновых и реакциях (р, 7) и>
главным образом, (п, 7) захвата [215]. Возможно также образование
очень тяжелых элементов при выбросах из нейтронных звезд [6i]. Элемен-
Элементы 61л, 9Ве, 10В и МВ не образуются при термоядерном горении в звез-
звездах. Их наблюдаемые весовые концентрации в атмосферах звезд < 10
объясняются реакциями откола при взаимодействии быстрых частиц кос-
космических лучей с тяжелыми элементами на поверхности звезд и в оболоч-
оболочках сверхновых [170].
132

При высоких температурах, достигающихся при взрывах сверхновых,
веществе устанавливается равновесие по ядерным реакциям с кинети-
кинетикой по бета-процессам (см. § 3) и происходит образование элементов
железного пика [363, 509]. Основным механизмом образования элементов,
тяжелее железа являются захваты нейтронов [317].
а) Медленные захваты (s-процессы). При захвате нейтронов образуются
ядра, неустойчивые относительно е "-распада. Если концентрация нейтронов
столь мала, что время между последовательными (п, 7) захватами больше,
чем время бета-распада, то такие захваты называются s-процессами (slow).
Рост ядер при s -процессе происходит вдоль долины стабильности (рис. 20)
и продолжается вплоть до образования 209Bi — последнего стабильного
элемента в цепочке s-процесса. Захват нейтрона ядром 209Bi приводит
к образованию неустойчивого ядра 2' ° Bi, которое превращается в 2 ° 6 РЬ
вреакциях 2IOBiG, aJ06Te(e>J06Pb или 2 IOBi(e>JIOPo(aJ06Pb.
Получение в s-процессах количества тяжелых элементов, близкого
к наблюдаемому, требует потока нейтронов 10IS-1016 см~2 • с, что
соответствует их концентрации «п ^ 5 • 106 - 5 • 107 см~3 при vn ^
« 2 • Ю8 см • с, и длительности облучения > 103 лет [223]. Для про-
производства нейтронов в звездах важными являются реакции (а, п) захва-
захвата на ядрах с массовым числом А = 4/ + 1 и зарядом Z = 2/ [215]. Эти
ядра содержат один слабо связанный нейтрон сверх группы сильно свя-
связанных / альфа-частиц. При взаимодействии с другой альфа-частицей ней-
нейтрон легко отрывается и образуется ядро из сильно связанных (/ + 1)
альфа-частиц. Как отмечалось в § 14, п. б, мишенями для этих реакций
-1—1 1 I -г*! . I . I I I I L_i I I I I I—I—I—I—I—I—L.
60 80 ПО 12.0 140 fffO
/80 N
гис 20. Пути образования элементов на TV — Z-диаграмме. Верхняя линия показы-
показывает путь s-npouecca вдоль долины бета-стабильности элементов. Ниже расположена
заштрихованная полоса, соответствующая r-процессу. Указанные времена определя-
Длительность достижения соответствующих пнков концентраций. Цифры для
^процесса при параметрах Т9 = 1,0, lgnn = 24 и начальных ядрах железа Z= 26 взяты
г-1го>аСЧеТ°В Ра^оты [574]. Точками обозначены стабильные ядра, образующиеся при
процессе. Нижняя ступенчатая линия определяет и-процесс. Она соответствует пре-
Щ(ЛЬНомУ ''-процессу при большой концентрации нейтронов lgnn > 30, и ее расположе-
^ ростом пп не меняется. Ядра, образующиеся в и-процессе, попадают в долину
ильности в результате бета-распада и деления с испусканием нейтронов
133

Таблица 17
Параметры (а, п) реакций для формулы A6.2), Qt — выделение энергии на реак-
реакцию в МэВ, 7"обл ~ пределы применимости
Реакция
17O(a,nJ0Ne
21Ne(ct,nJ*Mg
23Mg(ct, nJ"Si
Реакция
I7O(ct,nJ0Ne
21Ne(ct, nJ4Mg
"Mg(Q,nJ8Si
TAU
39,92
46,90
53,42
С
2,304 (-3)
l,189(-3)
1,302 (-3)
1 A
41,42
44,50
47,24
D
-1,584 (-4)
-7,05 3(-5)
-7,781 (-5)
В
1,673 (-2)
1,750 (-2)
1,667 (-2)
Qb j To6n
0,588 0 < T9 < 10
2,554 0 < T9 < 10
2,654 0 < T9 < 10
служат ядра I3C, I70, 2INe, 2sMg, которые образуются в процессе высо-
высокотемпературного горения водорода, дополненного реакцией A4.20).
Скорость реакции ' 3С (a, nI6О вычислена в [623]:
NA <' 3Са> = 6,77 • 101 s A + 2,04Г|/3 + 0,184Г9) Т9~2'3 X
32,33_ / Т9 у
X ехр -
+r9/2[2,12
40,987 /
X ехр(-9,43/Г9) + 1,92 • 107ехр(-11,54/Г9)],
Q6 =2,215.
A6.1)
Скорости других реакций производства нейтронов представимы в виде
А jyyO +ВТ9 + CTl +DTi)\ A6.2)
с параметрами А, В, С, D и TAU в табл. 17 из [638]. Приведем также ско-
скорость эндотермической реакции 22Ne(a, nJsMg, Q6 = -0,480 из [332],
рассмотренной в [333] для производства нейтронов
NA <22Nea>n = {7,417 • 102°7V2/Зехр (~^~-- 1,352Т
+ 1,580- 107ехр(-—-—)|
см3 г с.
A6.3)
Более детальное выражение для скорости этой реакции дано в [361J -
Реакции A6.1)-A6.3) протекают при температурах Т > 3 • 108 К, кото-
которые достигаются при горении гелия в ядрах массивных звезд (см. гл. 9) •
Время бета-полураспада ядер, образующихся из стабильных после захвата
нейтрона меняется от J 4 с до 7 • 106 лет для 1'6 In и ' ° 7 Pd соответственно.
Сечение захвата тепловых нейтронов, участвующих в s-процессах.
ап ~ 1/у [212]. В табл. 18 дано о30 = оп C0 кзВ) для ядер, участвующих
134

Таблица 18
Сечения захвата нейтронов с энергией £=30 кэВ, а30 (в мбарн = 10'27 см2) ста-
ьными ядрами вдоль основного пути j-процесса и времеиа бета-полураспада т\\г
бразуюшихся там иестабильиых ядер; К = А - 55
к
1
2
Э
J
4
5
5
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
40
41
42
A t
43
Z
26
26
26
27
28
28
28
29
28
30
29
30
30
30
31
32
31
32
32
32
33
34
34
34
35
34
36
35
36
36
36
37
38
38
38
39
40
40
40
40
40
41
42
42
42
42
Стабильный
изотоп
56 Fe
57Fe
58Fe
59Со
60Ni
61 №
62Ni
"Си
64Ni
64Zn
65Cu
"Zn
67Zn
68Zn
69Ga
70Ge
71 Ga
72Ge
73Ge
74 Ge
75As
76 Se
77Se
78 Se
79Br
80Se
80Kr
81 Br
82Kr
83Kr
84 Kr
85Rb .
86Sr
87Sr
88Sr
"Y
90Zr
91Zr
92Zr
93Zr
94 Zr
9!Mo
"Mo
97Mo
98Mo
3 0
13,5 ±2
30 ±5
15,9 ± U
72 ± 14
31 ±6
135 ± 27
26 ±5
49 ± 14
23
51,1
42 ±7
40
160
23 ±3
130 ± 30
84
120 ± 30
53,2
330
17 ±5
490 ±100
101
424
98 ±14
600 ±150
20 ±12
163
460 ± 80
127
601
25
215 ± 20
74 ±7
109 ±9
6,9 ± 2,5
21 ±4
12 ±2
68 ±8
34 ±6
81,3
20 ±2
430 ± 50
90 ± 10
350 ± 50
150 ± 40
Нестабильный
изотоп
59 Fe
6 "Co
63Ni
64Cu
65Ni
65Zn
"Cu
69Zn
70Ga
71 Ge
72Ga
75Ge
76 As
79Se
8»Br
81 Se
81Ki
82Br
85Kr
86 Rb
89Sr
»Oy
93Zr
95Zr
95Nb
99Mo
±
e
-
7 -
-
-,+, к
-
+
-
-
-
к
-
-
-
7 -
+,-,K
-
к
_
-
—
—
_
—
_
TI/2
45 сут
90 сут
92 г
13ч
2,6 ч
243 г
5,1 мин
*
57 мин
21 мин
215 сут
14 ч
82 мин
26 ч
35 г
18 мин
19 мин
2 10s г
35 ч
Иг
19 сут
52 сут
64 ч
1,5 • 106 г
65 сут
32 сут
67 ч
135

Таблица 18 (продолжение)
К
44
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
Z
43
44
44
44
44
45
46
46
46
46
46
47
48
48
48
48
48
49
50
50
50
50
50
51
52
52
52
52
52
53
54
54
54
54
54
55
56
56
56
56
56
57
58
59
60
60
60
60
60
Стабильный
ИЗОТОП
"Ru
100 Ru
101 Ru
102Ru
103 Rh
104pd
105pd
106pd
107Pd
A0"Pd)
109Ag
nocd
•"Cd
112Cd
113Cd
114Cd
"Mn
116Sn
117Sn
118Sn
119Sn
120 Sn
121 Sb
122Te
123Te
I24Te
125Te
•"Те
12"Xe
12»Xe
130Xe
131Xe
132Xe
133Cs
134 Ba
135Ba
136 Ba
137Ba
138Ba
13»La
140Ce
141pr
142Nd
143Nd
1 :4Nd
145Nd
146 Nd
°3 0
640
209 ±6
1011 ±30
189 ±6
1072 ± 30
447 ± 22
1189 t 60
382 t 19
950
345 ± 17
620*50 ■
250 ± 30
624
233 ± 30
569
158 ± 25
700 ± 45
100 ± 15
420 ± 30
63 ±5
348 ± 54
50 ±15
740 ± 100
270 ± 30
820 ± 30
150 t 20
430 ± 20
82 ±8
710 ±35
232
665
143
587
90,9
700 ± 40
225 t 35
472
90 ±20
72,6
4,22 ± 0,25
44 ±4
11,5 ±0,6
111 ± 15
67,7
333
67,4
485
105 ± 16
Нестабильный
ИЗОТОП
"Тс
103 Ru
104 Rh
107Pd
ю»и
110Ag
ll5Cd
116In
121 Sn
122Sb
u7Te
128J
133Xe
134Cs
13»Ba
140La
141 Ce
14JPr
I47Nd
e1
TI/2
7- 7r; 2,12-105r
40 сут
43 c
»
7 • 106 г
13ч
25 c
54 ч
14 c
27 ч
2,8 сут
9,4 ч
— 25 мин
- 5,3 сут
■у - 24 сут
- 82 мин
40 ч
33 сут
19 ч
_
11 сут
136

Таблица 18 (продолжение)
К
Стабильный
изотоп
Нестабильный
изотоп
TI/2
92
92
93
94
95
96
97
98
99
61
62
62
62
62
63
64
63
64
100 64
101 64
102 64
103 64
104 65
105 66
106 66
107 66
108 66
109 66
ПО 67
111 68
112 68
113 68
114 69
115 70
116 70
117 70
118 70
119 70
120 71
121 72
122 72
123 72
124 72
125 72
126 73
127 74
128 74
129 74
130 75
131 76
132 76
133 76
134 76
135 76
136 77
137 78
138 78
139 78
147Sm
•48Sm
•49Sm
150Sm
1!1Eu
•S2Gd
•!3Eu
154 Gd
1S!Gd
156Gd
1S7Gd
•s»Gd
159Tb
ieoDy
i«iDy
•"Dy
»63Dy
164Dy
165Ho
i66Er
167Er
'"Er
169Tm
170Yb
171Yb
172Yb
174Yb
175 Lu
176 Hf
"'Hf
"'Hf
"9Hf
ieoHf
'"Та
W
•»!Re
•"Os
•"Os
le"Os
"9Os
190Os
•91b
192Pt
193Pt
7Рт
1150 ±90
260 ± 50
1620 ± 280
370 ± 70
3600 + 500
982
2700 ± 300
1164 ±350
2711 ±813
557 ± 166
1464 t440
540 ± 70
2949 ± 340
1010
2520 ± 270
470 ± 50
1600 ± 300
180 ± 40
1170 ±55
519± 156
1439 ± 432
243 ± 73
2085 ± 290
790 ± 60
1413 + 424
414 ± 124
869 ± 261
175 ±52
1460± 110
640 ±160
1950
217 + 27
215 ± 25
290 ± 80
865 ± 86
260 ± 30
550 ± 50
180 ± 20
1530 ± 200
467 ± 12
927 ± 19
413 ±15
858
418 ±63
1900 ± 300
352
1320
386
151Sm
l52Eu
153Gd
154Eu
159Gd
"cTb
Ho
169Er
170Tm
175Yb
176 Lu
181 Hf
182Ta
iesW
••«Re
191 Os
I92b
193Pt
7 -
К
7 -
7 -
2,6 г
87 г
9,3 ч
242 сут
100 сут
18ч
72 сут
140 мин
27 ч
9,4 сут
130 сут
101ч
7г
43 сут
115 сут
75 сут
90 ч
15 сут
74 сут
105г
137

Таблица 18 (окончание)
Стабильный
изотоп
Нестабильный
изотоп
TI/2
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
78
78
79
80
80
80
80
80
81
82
82
82
82
82
83
19»Pt
•»6Pt
197Au
•"Hg
"'Hg
200Hg
201Hg
202Hg
2O3J,
204Pb
205Pb
2O6pb
u'Pb
2O8pb
20CBJ
1040
160 ± 40
610 ± 15
411
362
69,5
130
50 ± 15
150 ± 30
60 ± 16
57,7
14 * 1
11,3 ±0,7
0,75 ± 0,09
12,1 ± 4
197Pt
"eAu
203Hg
204Tl
205Pb
20»Pb
2ioBi
18 ч
2,7 сут
47 сут
3,8 г
3 107г
3,3 ч
-,а 5 сут
"-", "+" - е*-распады, К - К-захват, у указывает на распады из возбужденных со-
состояний ядра;» — альфа-распад-Скобками в 3-м столбце отмечены ядра с большим т, и
в s-процессах, из [506, 201а]. Сечения выбирались на основе наилучшего
согласия точного решения системы уравнений для s -процесса с наблюдае-
наблюдаемым обилием элементов в солнечной системе. Аргументом в теории s-
процессов является нейтронная экспозиция
т= fnnvdt (см), A6.4)
а искомыми функциями - значения
Фл(т) = оАпА{т)/П1{0), A6.5)
где пА(т) — концентрация ядер, образующихся в s-процессе при наличии
одного типа ядер с концентрацией «i @) в начальный момент. Для произ-
произвольных, но малых энергий нейтронов
a(E)=o30
30
A6.6)
Qn, кэВ
гДе Gn, кэв энергия нейтронов в кзВ. В [399, 638] приводятся более слож-
сложные формулы типа A3.46) для сечений (п, 7) реакций, учитывающие
отклонения от асимптотического закона A6.6). В табл. 18 даны также
времена полураспада т1/2 радиоактивных ядер из [232], образующихся
после захвата одного нейтрона стабильным ядром. При длительной экспо-
экспозиции для промежуточных ядер, образующихся в s-процессе устанавли-
устанавливается состояние, близкое к стационарному, когда число образующихся
ядер с атомным весом А равно числу ядер, превращающихся в элемент
с атомным весом А + 1 :
A6.7)
"А = < О А - I V > пА - I - < ОА V > ПА .
138

I—i—i—I—I—i—i—i—r
-i—i—i—i—i—i—i—i—r
,Я?П
to'
1
/ff'
/0
,-z
wo
200
О 40 80 tZO
Массовое число А
Рис. 21. Обобщенная кривая распространенности элементов в Солнечной системе
При пА = О, < аи > ** oTvT получаем
пА _ °т, а -1
ПА - I 0гг> ^
A6.8)
т.е. должно происходить накопление ядер, которые плохо поглощают
нейтроны. Как видно из табл. 18, малым сечением захвата обладают ядра
S6Fe, s8Fe, 88Sr, 90Zr, 138Ва„ 140Се, 206Pb, 207Pb, которым соответст-
соответствуют максимумы на наблюдательной кривой распространенности элемен-
элементов (рис. 21). Выполнение условия A6.8) видно из близости к единице
отношений (по) для стабильных изотопов олова и самария I48Sm, IS0Sm,
Il6Sn/18Sn,l20Sn[223]:
48^148
= 0,98 ± 0,06,
18
= 0,8 ± 0,2,
= 0,9 ± 0,3.
A6.9)
139

Важным доказательством участия s-процессов в нуклеосинтезе -является
обнаружение в спектрах звезд линии технеция, элемента, не имеющего
стабильных изотопов. Самый большой период полураспада имеет 99Тс
(т1/2 = 2,12 • 10s лет). Это меньше времени существования звезды и в то же
время достаточно, чтобы сохраниться в цепочке s-процесса. Технеций обра-
образуется в реакции 98Мо(и, у)99Ыо(е' Р)"Тс. Нестабильное, но достаточно
долго живущее ядро в цепочке s-процесса может захватить нейтрон до своего
бета-распада, давая разветвления s-процесса. Захват нейтрона ядром 99Тс
дает начало одной из побочных цепочек.
б) Быстрые процессы захвата (г-процессы); гЪс- и n-процессы. Эле-
Элементы с А > 209, а также устойчивые ядра, отдаленные т долины бета-
стабильности неустойчивыми изотопами не могут образоваться в s-про-
s-процессе (см, рис. 20). Их образование происходит в быстрых г-процессах,
когда плотность нейтронов столь велика (ип > 1020 см~3), что между
бета-распадами происходит много нейтронных захватов [317]. Помимо
этого, требуется большая температура (Т> 109 К), так что наряду с п-
захватами происходят фотоотщепления нейтронов.
Путь образования элементов в r-процессе проходят в области пере-
переобогащенных нейтронами, бета-неустойчивых ядер, свойства большинства
из которых экспериментально не исследовались. При расчетах г-процессов
используются теоретические оценки сечений п-захватов опу и обратных
к ним сечений фотоотщепления оуп. Скорость захвата Хпу связана со ско-
скоростью фотоотщепления Хуп соотношением A3.10). Также теоретически
рассчитываются скорости бета-распадов \р (см. гл. 5), границы деления
и альфа-распада, существенные для установления максимально достижи-
достижимых атомных весов в г-процессах; энергии связи и суммы по состояниям
у переобогащенных нейтронами ядер (см. § 4, пп. д, е). Длительность
г-процесса, протекающего на быстрых динамических стадиях взрыва сверх-
сверхновых, не превышает нескольких секунд или нескольких десятков се-
секунд. После окончания стадии нейтронного захвата переоботащенные
нейтронами ядра возвращаются в долину стабильности по бета распадам.
При этом в процессе бета распадов образуются возбужденные ядра. За-
Запаздывающее деление, альфа распад и испарение нейтронов из возбужден-
возбужденных ядер может существенно повлиять на окончательный состав вещест-
вещества, прошедшего стадию г-процесса. Учет запаздывающего испарения нейтро-
нейтронов сглаживает сильные колебания в концентрации четных и нечетных
ядер, которые возникали в расчетах r-процессов и не соответствовали
наблюдательным отношениям концентраций. Кинетическое уравнение для
изменения со временем концентрации нуклида пА j z имеет вид
K7(A,Z)nAtZ+\ (A +
+ Xn7(A-l,Z)nA_lyZ-X7n(A,Z)nAtZ +
+ Xp(A,Z-l)nAtZ_1-Xp(A,Z)nAtZ. A6.Ю)
Эти уравнения следует дополнить заданием начальных концентраций заро-
зародышевых ядер и условиями деления и альфа-распада при больших А, до-
добавляющего продукты деления к некоторым нуклидам. Систему A6.10)
часто упрощают, рассматривая равновесия по (и, 7)» G. и) реакциям.
140

r этом случае изотопы одного и того же элемента связаны равновесными
соотношениями A3.14),а каждое уравнение типа A6.10) пишется для сум-
суммы всех изотопов данного элемента с оставлением в правой части только
бета-процессов. Исследование r-процессов в условиях частичного равновесия
проведено в работе [574]. Расчеты с учетом кинетики (п, 7), G. п) реак-
реакций, временных зависимостей ип@ и T{i), а также запаздывающих про-
процессов выполнены в [151]. Обзоры более ранних работ даны в [609, 396].
Основной целью расчетов г-процессов является объяснение наблюдатель-
наблюдательной распространенности г-элементов, имеющей три пика при А = 80, 130,
195. В проведенных к настоящему времени расчетах не удалось получить
все три пика необходимой высоты в одном физическом явлении. Это мо-
может быть связано с плохим выбором задаваемых функций nn(t), T(t),
большими ошибками в теоретически определяемых ядерных характеристи-
характеристиках, но это может быть следствием того, что в реальности разные наблю-
наблюдаемые пики образуются в разных физических условиях.
Большие трудности возникают, если пытаться объяснять образование
очень тяжелых элементов вблизи урана за счет г-процессов. Для этого тре-
требуются большие концентрации нейтронов, ип *» 1024 см, которые вряд ли
достижимы при взрывах сверхновых. Для преодоления этих трудностей
предлагалось дополнить r-процесс учетом фотоотщеплений протонов G, р)
при наличии равновесия по (и, 7) и G,") реакциям {гЪс-процесс [179]).
Это сильно понижает требования к нейтронной плотности, так как она
предполагается поддерживающейся равновесными процессами.
В работах [60, 61, 287] производство сверхтяжелых элементов рас-
рассматривалось при большой плотности нейтронов ип *» 1030 см и умерен-
умеренной температуре !Г< 108 К, так что все ядра оказываются вблизи гра-
границы испарения нейтронов при Qn *» 0 (п-процесс), см. рис. 20. Такая
ситуация может реализоваться в неравновесных оболочках нейтронных
звезд (см. § 4), выбросы из которых приведут к появлению сверхтяже-
сверхтяжелых элементов в межзвездной среде, звездах и планетах [287, 61, 326],
см. § 46. *) В рассмотрении п- и rbc-процессов получены только первые
результаты и для установления важности этих процессов для нуклеосинте-
нуклеосинтеза требуются дальнейшие исследования.
§ 17. Ядерные реакции в плотном веществе
В предыдущем рассмотрении предполагалось, что в ядерной реакции
участвуют только две заряженных частицы (или три в За реакции) и пре-
небрегалось взаимодействием с другими ядрами и электронами. Кулонов-
ские взаимодействия в плазме уменьшают величину потенциального барь-
барьера и увеличивают вероятность его прохождения, по сравнению с A3.23).
Ускорение реакции за счет экранирования существенно зависит от пара-
параметров плазмы. При низких плотностях и высоких температурах, в об-
*)В работах [298, 299] то же название n-процесс применялось для другого явле-
явления: нейтронного захвата, промежуточного по скорости между s- и г-процессами,
когда tp - tny. Для производства тяжелых элементов этот процесс работает хуже,
Чем г-процесс. Здесь название n-процесс применяется только в смысле [60, 61, 287].
141

ласти почти идеального газа ионов при Г = Z2e2/akT<l (см. (8.56))(
средняя энергия кулоновского взаимодействия ионов Екул ^кТ-Г мно-
много меньше кинетической и имеет место слабое экранирование (СЛЭ).
С ростом плотности и уменьшением температуры средняя кулоновская
энергия становится больше кинетической Г > 1, но энергия частиц, всту-
вступающих в реакцию, еще превышает среднюю кулоновскую энергию и они
могут рассматриваться, как свободные. В этих условиях происходит так
называемое сильное экранирование (СИЭ). Оба вида экранирования рас-
рассматривались в работах [557, 488], а также в серии работ японских ав-
авторов (см. обзоры [431, 427]). При дальнейшем падении температуры и
росте плотности средняя кулоновская энергия начинает превышать энер-
энергию частиц, вступающих в реакцию, и роль кулоновских взаимодействий
становится определяющей. При этом зависимость скорости реакции от Т
пропадает, а режим экранирования называется пикноядерным (П) и рас-
рассмотрен в работах [102, 557]. Будем характеризовать плазму, где идет
реакция A3.1) cZ0>Zi безразмерными параметрами
Z2e2 ... е2 /4п \1/3
rz = — =zs'3—(— пе) =
акТ кТ\3 /
5,7562 10е К/ р \1/3 / 3Z \1/3
( 7^1 , а = ( ) A7.1)
Т \jiz- 1,6203- 1010/ \4imJ
(в формуле (8.56) а = lws),
. 27тг2 AmuZ2Z2e4 AuA^ZlZ\ 1,вв9в • 1010 К
г3 = = , A7.2)
2 кТЬ2 Ao+At T
А=А0А1/(А0+А1),
1
д _
2AZ0Zt \l{Z)J
1/3
/1 Р \1/3
Х( — -) . A7.3)
\{Z)nz 1,3574- 1011/
Величина ^z определена формулой B.17). С учетом fiN из B.16) сред-
средний заряд ядер плазмы равен
<Z>=—. A7.4)
Параметр X3'2 пропорционален отношению энергии собственных колеба-
колебаний решетки к кулоновской энергии взаимодействия ядер на ядерных рас-
fi2
стояниях ( ),аг есть отношение той же кулоновской энергии к теп-
тепловой. В отсутствие экранирования величина т (совпадает с A3.31)) распо-
расположена в экспоненте формулы для скорости реакции A3.26) после ус-
усреднения < аи) по распределению Максвелла. При 1 < Г < Гт вещество
находится в жидком состоянии, а при Г > Гш «=150 (см. D.37), (8.56)
и сноску к с. 50 § 4) ионы образуют кристаллическую решетку, в кото-
142

рой они могут колебаться с частотой, по порядку величины равной
из (8.61) с учетом (8.52). Величина
% = -^ (= 0,075254 Л3/2 т3 при Zo = Z, = Z) A7.5)
к л
характеризует степень возбуждения колебаний ионной решетки. При % > 1
решетка находится в практически основном состоянии, а при % < 1 воз-
возбуждено много степеней свободы. Характерная кинетическая энергия реа-
реагирующих ядер Ео из A3.30) по порядку величины есть
^. A7.6)
Из A7.1) —A7.5) следует Г~ т|2/3, поэтому из A7.6) имеем
£"о/£кул~Г2/3. A7.7)
Таким образом, СИЭ происходит при $ < 1 из A7.5) и Г > 1. При этом
условие £о >Екуп выполняется за счет большого т.
П-режим экранирования реализуется при Г > 1 и % > 1, когда проник-
проникновение через кулоновский барьер происходит благодаря нулевым коле-
колебаниям ионной решетки. Как отмечалось в § 4, п. ж, в астрофизических
условиях нулевые колебания не разрушают кристаллической структуры,
что соответствует £/Г < 1, поэтому условие | > 1 наступает только при
выполнении неравенства Г > Гт. В [557J различаются два П-режима:
пикноядерный - Г>0(Пг>0)при 1 «£2/3 <1пA/Х) A7.8)
и
пикноядерный при нулевой температуре (П^о) при £2'3 > 1пA/Х) > 1.
A7.9)
В режиме Wf> о в реакцию вступают ядра, находящиеся на высоковозбуж-
высоковозбужденных колебательных уровнях, а в режиме Пг=0 даже реагирующие ядра
находятся в основном колебательном состоянии.
Во всех реакциях, протекающих в звездах на спокойных стадиях эволю-
эволюции, кулоновская энергия на ядерных расстояниях значительно превыша-
превышает как среднюю кинетическую, так и энергию нулевых колебаний.
Поэтому при всех режимах экранирования обычно выполняются нера-
неравенства
т>1, Х<] A7.10)
и время ядерного горения в звездах очень велико по сравнению с харак-
характерными ядерными временами. Области различных режимов экраниро-
экранирования на диаграмме (lg p.lgT) приведены на рис. 22 для однородного ве-
вещества с Zo = Zx = Z. Горизонтальная линия ab на рис. 22 соответствует
границе полной ионизации давлением и следует из D.24) при 0i2 =
~~ (Зтг) I2 = 3,09367. Вертикальная линия be соответствует полной темпе-
температурной ионизации и определяется условие при всех плотностях
е /aZo ~ 2kT, где uzq есть радиус ближайшей к ядру электронной ор-
орбиты, определенный в § 4. Если энергия электростатического взаи-
143

Рис. 22. Области различных режимов экрани-
экранирования (из [557]); при Т < Те электронное
экранирование является сильным (для ' 2q
из [248]). 1 -Пу-о; 2 - Пт>0; 3 -сильное"
экранирование, 4 — слабое экранирование
Заштрихована область неполной ионизации
в
модействия реагирующих частиц W(r) отлична от кулоновской энергии
парного взаимодействия (г — расстояние между частицами), то вместо
A3.23) для вероятности подбарьерного перехода следует использовать
более общую формулу [144]
S(E) „
о= ехр -2
Е \
dr
A7.11)
Здесь М — приведенная масса, дана в A3.20), rtp классическая точка по-
поворота, где зануляется подынтегральное выражение,
H(r)=W(r)-
— часть потенциальной энергии,
связанной с экранированием*).
A7.12)
ПриЯ(г) =0из A7.11) следует формула A3.23).
а) Слабое экранирование. При Г < 1 экранирующий потенциал в плазме
вычисляется по теории Дебая—Хьюккеля [176]. В электростатическом поле
с потенциалом Ф(г) распределения ядер и электронов описываются фор-
формулами [145]
A7.13)
. где щ, пе — концентрация ионов и электронов, причем при Ф (г)= 0 пе (г) =
= пе = const. Считая возмущения, вносимые потенциалом еФ(г)/кТ<1 ма-
1 + ехр [л/а" +*' - (еФ(г)/ЛГ) -
*) По замечанию Д.Г. Яковлева, подход, основанный на использовании среднего
потенциала при расчете вероятности туннельного эффекта, непоследователен. Более
правильно было бы рассчитывать вероятность туннелирования в поле случайного по-
потенциала, а потом проводить усреднение по ансамблю окружающих частиц. Однако
этот более последовательный подход является значительно более трудоемким и Д°
сих пор не реализован.
144

лыми, и используя B.10), B.59), после разложения получаем
)=*mtt -^еФ(г)/ЛГ],
A7.14)
Уравнение Пуассона для Ф (г) с учетом квазинейтральности имеет вид вок-
вокруг ядра с зарядом Zo
^^( 5~+ 6~ г\ф A7.15)
^p^
тикТ i At
и допускает решение
Ф= — exp(-kor)~ — -eZ0Jfc0, A7.16)
г г
Р , [кТпги
1 I1'2
Г' f^*4
,8,8924. ,0-fSryV" Z ¥^ + ^-) 07.17)
Величина ко1 имеет смысл дебаевского радиуса экранирования и совпа-
совпадает с величинами, введенными в (8.47) и (8.63) в соответствующих пре-
предельных случаях. Добавка к потенциальной энергии при слабом экрани-
экранировании есть
H(r)=-e2Z0Zlk0 = const. A7.18)
Подставляя A7.18) в A7.11) и интегрируя, получаем
о=—- ехр
2Z0Z,e
A7.19)
Mv2
Учитывая A7.19) в A3.19), используя малость ЩМи2 < 1 и проводя ин-
интегрирование с помощью метода перевала,- получаем, что слабое экрани-
экранирование (СЛЭ) сводится к умножению < аи > на множитель
е w = e кт =е кт A7.20)
С учетом A7.1) получаем [557]
A7.21)
0 (В)
пРи этом учтено разложение B.24).
10- Г.С. Бисноватый-Коган 145

б) Сильное экранирование. В режиме СИЭ при Г > 1 и £ < 1 из A7.7)
классической радиус поворота rtp ^a. Поэтому при расчете экранирования
приближенно принимается #(/•) * #@) [557]. В приближении Вигнера-
Зейца величина Н@) по физическому смыслу есть разность электростати-
электростатических энергий двух ячеек после и до слияния. С учетом D.26), A7.1)
имеем
Я@) = 0,9kT(rZi + rZj - rZ] +z2)- A7.22)
По аналогии с A7.20) получаем, что учет СИЭ сводится к умножению (ov)
на множитель
)
Величина т определена в A3.31) и A7.2), а для /3 из A7.23) с учетом
A7.1) имеем [557]
3Cя) {AZIZD1* \uz
(Zo +Z,M/3 -Zos/3 -Z?'3 /4,2579 • 107 K\2/3/ p/Aiz \1/3
p/a^z \1/3
V,6203-101.0/
' A7.24)
По порядку величины /3 ~ £ 2'3 < 1. Во всей области СЛЭ и СИЭ можно вос-
воспользоваться с точностью <30% интерполяционной формулой
Л A7.25)
Поправки к A7.23) в области /3 < 1 рассчитаны в [557] на основе исполь-
использования выражения для потенциальной энергии Н(г) при произвольном
расстоянии между ионами в приближении кристаллической решетки для
движения ядер по направлению к ближайшему соседу
Н{г)= —— [-1,1547- 1,1602A -??)+1,0394A - т?J -
Ъ
- 2,5690A - т?K + 1,6971 A - т?L]. A7.26)
Здесь Ъ = ( — ) а = 2,03 Юя = (Лу2)~1/3 — постоянная объемно центри-
V3
рованной решетки (см. D.4), A7.1)), v - r/d, d = b = 0,866fc - расстоя-
расстояние между ближайшими соседями в той же решетке. Численное интегриро-
интегрирование в A7.11) и A3.19) с учетом A7.26) приводит [557] к фактору
СИЭ euSp с
Usp=T^_ ^'7; )!;Т4^?32 58Г;Л с?-27*
Z,
146

Приведем также выражение для потенциальной энергии из [431, 427]
с учетом членов до тM:
zV
Я(г) = - [1,1547 +1,1547A-т?)-0,9935A -т))г +
+ 4,3385A -т?K -5,3868A -т?L + 1,8728A -т?M]. A7.28)
При определении #(/•) в A7.26) и A7.28) предполагалось, что распре-
распределение окружающих зарядов успевает подстроиться под мгновенное рас-
расположение реагирующих ядер. В действительности иэ-за наличия инерции
всегда имеется запаздывание и фактор СИЭ будет несколько ниже. Как
показано в [557] статическое приближение дает #@) в 1,337 раз меньше,
чем A7.22) (см. A7.36)).
в) Расчет СИЭ на основе моделей конденсированных тел. В работах
[433, 434] был сделан более точный по сравнению с [557] расчет фактора
СИЭ. Была учтена зависимость экранирующего потенциала от г в A7.11), а
также учтено, что туннельный переход между г = rtp и г = 0 происходит столь
быстро, что в его процессе сохраняется распределение зарядов, соответ-
соответствующее г = rtp*). Анализ расчетов кулоновских жидкостей методом
Монте-Карло привел [434] к следующему выражению для добавки к по-
потенциальной энергии #(/•) за счет взаимодействия
\
Я(г) = *П 1,25 Г„, -0,39
0,5 <2r/(fl0 +fl,)< 1,6, A7.29)
где
2ZoZ,e2
Г01
(ao+ai)kT
Г
A7.30)
Г 3Z0 I1'3 /3Z0V/3
= ~ =( -■) , A7.31)
[4тт(г0п0 +Z,n,)J \4irne/
a, =CZ1/47rneI/3.
При Zo = Z, =Z соотношение A7.30) сводится к A7.1). Как отмечалось
в [433, 434], при учете зависимости экранирующего потенциала от г в
A7.11) нужно вместо #(/•) использовать величину ф(г, (rtp +r)/2), кото-
которая для г < rtp равна СИЭ поправке к энергии взаимодействия, соответ-
соответствующей расположению экранирующих зарядов при г = rtp. Функция
Ф(г, г') приближенно выражается через #(/•) с использованием методов
статистической физики [433]
^(^ A7.32)
После подстановки в A7.11) вместо Н(г) выражения ф(г, г')
*) См. сноску на с. 90.
10* 147

из A7.32) и взятия интеграла A3.19) получается аппроксимационная
формула для Us в виде
Us = 1,25 Го, - 0,095 т(^Щ A7.33)
В формулах A7.22) и A7.33) используются различные определения пара-
параметра Г (см. A7.1) и A7.31)), которые сводятся к одному при Z, =
= Z2=Z: Го, = TZ] = Tz2 = Г, TZ] +Zj = 2s'3 Г. Тогда из A7.23) следует
Uso~ 0,9 Bs'3 - 2)Г = 1,0573Г, A7.34)
что на ~ 18% меньше первого линейного члена в A7.33). Формула A7.33)
применима, пока межядерные расстояния больше радиуса поворота rtp
для ядер, соответствующих минимуму показателя экспоненты в A3.25)
Z2e2 3ZV
и имеющих энергию Е = Ео ^ткТ/3. Принимая rtp = = , по-
Л Q I К Ж
лучим rtp\a = ЗГ/т, что дает условие применимости A7.33)
ЗГ0,/т<1. A7.35)
Яковлев и Шалыбков [248] приводят формулу, справедливую для слу-
случаев сильного и умеренного экранирования, полученную с использованием
монтекарловских расчетов [578] и справедливую для Г > 1,
A7.35а)
= 0,897744Г-3,80172Г1/4 + 0,75824Г/4 +
+ 0,81487 In Г+ 2,5820.
Дня умеренного экранирования Г<1 функция ДГ) дана в A7.47).
г) Пикноядерное экранирование. При /3> 1 (ЗГ/т > 1) энергия Ео
ядер, вступающих, в реакцию, много меньше, чем средняя кулоновская
oul
Тогда ядра не могут считаться свободными, как в случаях СЛЭ и СИЭ.
Вместо Mv2/2 в формулу для подбарьерного перехода A7.11) нужно под-
подставлять энергию колебаний в решетке. П-экранирование неудобно опи-
описывать сомножителем, учитывающим увеличение скорости реакции, так
как получающиеся выражения для скоростей реакций существенно отли-
отличаются от стандартного вида формул § 13. При исследовании экранирова-
экранирования в П-режиме, наряду с потенциалом A7.26) в [557] использовался
потенциал
Z2e2
HS(r)= [-1,1547-1,1602A -т?)+1,0394A -т?J -
Ъ
-0,4001A -7?K +0,0692A -I?L], О7-36)
соответствующий статическому приближению, при котором окружающие
ядра и центр масс реагирующих ядер считаются фиксированными в про-
процессе реакции.
В режиме Пг = 0 ионы находятся на нижних колебательных уровнях
с энергией Ео ~ hwpi "^сош. поэтому отклонения положения ядер от
148

равновесия малы. Скорость Пг=0 реакции в ВКБ приближении есть [557]
Ро = Hf£fL_ io*6X7/4 A {2AJZ$ZlS(E)X
l+6oi UN
хC>9(f)exp\- _LB'638 )\ (реакций • см'3 -с). A7.37)
44,76/ Ч VX 42,516/J ^
Здесь S имеет размерность МэВбарн (см. A3.23), A3.24)). Величины
A, un, ^ даются формулами A3.20), B.16), A7.3) соответственно, верх-
верхние числа относятся к статическому приближению с потенциалом A7.36),
а нижние — к приближению полной релаксации с потенциалом A7.26).
При Т Ф 0 следует учесть, что ядра в решетке могут находиться на воз-
возбужденных уровнях, соответствующих энергии возбуждения (Е — £о),
с вероятностью ехр[— (Е — Е0)/кТ]. После суммирования по возбужден-
возбужденным состояниям для величины Р — скорости Пг> 0-реакции, в [557] полу-
получено выражение
' L _, -С0'0430)*-■"[■ *(h262iX-w3»} ""• х
Л 40,0485/ [ 42,9314/ J
X ехр(-7,272/33/2 +Х/2('1'2231
I 41,4331
где снова верхние значения относятся к статическому приближению, а ниж-
нижние — к приближению полной релаксации.
д) Учет электронов в СЮ. Электронное экранирование связано с влия-
влиянием неоднородности распределения плотности электронов на энергию
взаимодействия между реагирующими ядрами. Для случая СЛЭ такой
учет содержится в формуле A7.21), в пп. б, в, г рассматривалось только
экранирование ионами. Для СИЭ учет электронного экранирования сделан
в работах [177, 181, 428, 247]. Расчеты электронного экранирования,
проведенные в [247, 248] для случая, когда движение ионов в плазме
можно считать классическим, привели к следующему фактору экраниро-
экранирования:
)]. A7.39)
Здесь
e2 0,03422
,.*,-,£)■
hup
У =
A7.40)
,- PFe
/ 3 \1/3 /4ттее2у/2
„ B-21), /е = ( ) , к = 1 ) - дебаевский радиус
тес \4ттпе/ \ кТ /
классических электронов из (8.46) ,Zl2=Zl + Z2. Функции A(Z, P), B(Z, /3),
149

A7.41)
QZ, j3) аппроксимируются выражениями
A(Z,P)=A0(Z)+A1(Z)ln[l +A -02)A2(Z)\,
B(Z,p)=B0(Z)+Bl(Z)]n[l+(l -02)B2(Z)],
C(Z, 0) = Co (Z) + C, (Z) In [1 + A - 02)C2 (Z)].
Коэффициенты At(Z), Bt{Z), Ct(Z) даны в табл. 19 из [248]. Фактор
электронного экранирования складывается с фактором ионного экрани-
экранирования Us в показателе экспоненты экранирующего множителя
exp(t/s + USc). На рис. 22 приведена линия Те, на которой exp(£/Se) = 2
для горения углерода 'С, так что электронное экранирование становит-
становится сильным при Т < Те. Слева от линии Г, нарушается уеловие примени-
применимости расчетов [247,248].
е) Экранирование резонансных реакций. Для резонансных реакций наи-
наибольший вклад в среднее значение (av) дает область энергии вблизи резо-
резонанса Е = Ег, вместо энергий в области Е = Ео- С учетом сдвига уровней
в поле экранирующего потенциала, в A7.11) вместо Mv2/2 следует под-
подставить величину Ег + #@). Интегрирование в A7.11) с учетом #(/•) и
затем в A3.19) приводит к соотношению для экранирующего фактора в
СИЭ режиме в виде [557]
тг n,30Z0+ 1.14Z, 28.2Zo-34.4Z, 150Z, 1
Usr~T®~ ~fif[ (Z0+Z,)e? + (Zo+Z.Je? + (Z0+Z,)^J'
A7.42)
где
'Eri
1 /Zouz- 1,3574
\ _L
J zoz
Er
49,600 кэб '
A7.43)
Величины X, т,/3, fc определены в A7.2), A7.3), A7.24), D.4). Если пар-
парциальная ширина данной реакции много меньше полной ширины резонанса,
то фактор СИЭ сводится к виду
USr=Tp=US0.
Приведем также фактор СИЭ для реакции За ■
2С, который должен учи-
Таблица 19
Значения параметров, входящих в формулу A7.41), для электронного экрани-
экранирования ядерных реакций из [248]
Z
1
2
6
8
12
18
Аа
7,924-3
1,518-2
3,105-2
3,528-2
4,115-2
4,683-2
А,
2,613-2
4,045-2
2,810-2
2,563-2
2,270-2
1,994-2
А2
0,5280
0,6262
1,179
1,330
1,536
1,753
Во
0,2020
0,2356
0,2602
0,2654
0,2715
0,2761
в,
0,1069
2,122-2
1,160-2
9,349-3
6,283-3
4,662-3
в,
1,616
7,022
10,96
13,20
19,22
24,45
Со
-2,935-2
-5,274-2
-6,682-.2
-7,014-2
-7.388-2
-7,668-2
с,
-8,771-2
-1,206-2
-7,733-3
-6,200-3
-3.926-3
-2,894-3
С,
1,343
7.006
9,321
11.27
17,65
22,92
ISO

тыватьсяв A4.38),
2,916r2 -31n(l +О,ЗГ2 +0,266Г|/2) +
1,87Г2 +4,15Г|/2), A7.44)
где Г2 (Z = 2) определено в A7.1). Выражения A7.42), A7.44) справед-
справедливы при
3,O4Zo + 1^6Z,
*г> —~—~ . A7-45)
что для A7.44) на стадии образования 8Ве сводится к неравенству р <
< 5,5 • Ю* г -см для Е, = 92 кэВ из A4.37). В работе [248] для US3a
приведено выражение, полученное с учетом монтекарловских расчетов
[578] и применимое при Г > 1,
^за=ЯГ12з)-3/(Г2)= 2,90892 Г2 +
+ 5,3965Г|/4 - 1.7950IY 1/4 - 1,629741пГ2 - 3,67196, A7.46)
где Fi23 = 3S/3F2, а /(Г) определено в A7.35а). В случае умеренного
экранирования Г < 1 в A7.46) используется [248] функция
гз/2
/(Г)= ~т=^ -0,14554 Г2'016, A7.47)
V3
приводящая к интерполяционной формуле
t^S3a=2,lir!/2 - 1.35Г2-016. A7.47а)
Функция A7.47) плавно сшивается с /(Г) из A7.35а) при Г = 1 и может
быть использована в Us иэ A7.35а) для определения Uws умеренного
экранирования двухчастичной реакции.
Задача. Найти скорость Пг = о реакции, если пространственный потен-
потенциал аппроксимировать выражением
e2 e2 2S\
r 2r0 - r r0/
A)
Решение. [102, 227]. Классическое равновесное состояние в потенциа-
потенциале A) соответствует г = г0. Для малых колебаний (| г — г0 | < г0)
частота со = 2\JZUZ^ \\]Мг%,
hco ^iZ2e
энергия нулевых колебаний Ео = — = hv т~ , B)
2 Ml
( 2r03 \|/4
классический радиус поворота rtp =г0 — Г — 1
\4Z0Zie М/
г, Mv2
экспонента подбарьерного перехода из A7.11) с учетом = Ео для
малых е равна
^ У^ ^^y2 C)
1S1

Величина D определяет отношение потока после барьера к потоку до барье.
'д-^;^. D)
Будем рассматривать усредненные по угловым переменным значения
| ф2\. Вероятность реакции между двумя данными ядрами есть [227]
Р =(«1 Ф2 1)после • R2nPn=(p I Ф2 |)До • DRlPn{c~l) E)
Р„ — вероятность ядерной реакции для частиц, сблизившихся на расстояние
радиуса ядра Rn. Величина S(E) = ER \Р„, имеющая тот же смысл, что и в
A3.23), зависит только от свойств конкретных ядер. С использованием
S (£") вероятность реакции р примет вид
Р ДО Е
Волновая функция ф в пространственной потенциальной яме A) в квази-
квазиклассическом приближении есть [ 144].
1 /пп /1 го , 7г\
W)dx+-j, G)
где i>o ~ \j2Eo\М — относительная скорость ядер в точке равновесия г =
- Го. Плотность потока сталкивающихся ядер в точке поворота г = rtp
при замене sin 2F из G) его средним значением 1/2 есть
(Р\Ф |)до= 3~- (8)
Учитывая, что в объемноцентрированной решетке число реакций в секунду
в см3 есть [360, 557]
-р(см-3с-!) (9)
1 +6oi А*лг
и используя C), F), (8) при Е = Е0, получаем
хохг Л\/Т
( 4y/Mr0Z0Zle2\
( V )
4 h J
X exp ( V )S(E0). A0)
4 h J
Вводя параметр X из A7.3) и учитывая г0 = 2(я> = ( ) , <д> -
средний радиус W — S ячейки, получаем
,85 N
Р =
A+6с
4,8 • 1044B^JZgZ2Xs'4S exp (-
)ДЛГ V
Здесь, как и в A7.37), S имеет размерность МэВ • барн. Приближенная
формула A2) дает меньшее значение Р, чем более точная формула A7.37)-
152

ГЛАВА 5
БЕТА-ПРОЦЕССЫ В ЗВЕЗДАХ
§ 18. Основы теории слабого взаимодействия
Реакции, в которых принимает участие нейтрино, называются реак-
реакциями слабого взаимодействия (см. A4.1), A4.11), A4.15), A4.18) —
A4.21), A4.23)). Название связано с малостью сечения взаимодействия
этих реакций, которое значительно меньше сечений электромагнитного и
ядерного (сильного) взаимодействий. С малостью сечения связана высо-
высокая проникающая способность нейтрино. Они почти без поглощения выхо-
выходят из центра Солнца и подобных звезд и так же свободно проходят по диа-
диаметру сквозь Землю. Наблюдения нейтрино от Солнца дали бы уникаль-
уникальную возможность наблюдательного определения условий в его централь-
центральных областях. Ведущиеся более 15 лет эксперименты с использованием
реакции
Ve-^'Ar+e- A8.1)
дают результат несколько меньше теоретического [260]:
Evobs = 2,1 ±0,9 SNU, A82)
r = 5,8 ± 2,2 SNU.
Здесь ошибка дана в пределах За, 1 (SNU) = 1 (solar neutrino unit) = 1
(солнечная нейтринная единица) = 10~36 событий в секунду на атом 37С1.
Разница между теорией и экспериментом статистически недостаточно дос-
достоверна для каких-либо радикальных выводов, поэтому сохраняется сос-
состояние неопределенности. Возможным объяснением этого различия явля-
является наличие резонансных нейтринных осцилляции в веществе, рассмот-
рассмотренных в [160, 274].
Частицы, которые участвуют в слабых взаимодействиях и не участвуют
в сильных называются пептонами. Нейтральным лептонам (нейтрино)
соответствуют заряженные лептоны, которые участвуют и в электромаг-
электромагнитных взаимодействиях. Все лептоны имеют спин 1/2, подчиняются ста-
статистике Ферми с функцией распределения в ячейках фазового простран-
пространства типа B.2). В настоящее время известно три сорта нейтрино и три
заряженных лептона [172, 544а]:
электронное ve,e(me =0,5110 МэВ = 9,11 • 10~28 г, ю„е<35эВ)*)
мюонное v^.nim^ = 105,7 МэВ = 1,88 • 10~25 г, mVft <0,25 МэВ)**)
тау-нейтрино vT, т-лептон {тт = 1784 МэВ, /я„т < 70 МэВ). A8.3)
Здесь приведены экспериментальные ограничения на массы. Каждому
лептону из A8.3) соответствует античастица. Электронные нейтрино излу-
излучаются звездами на стадии водородного горения, на поздних стадиях эволю-
ВД нейтринные ve потери энергии могут превышать фотонные [363]
*) См. сноску на с. 29.
**> Масса mVfi < 40 эВ из космологии [88,100].
153

(см. гл.9). Излучение всех типов нейтрино очень важно при взрывах сверх
новых (см. гл. 10).
Теория слабых взаимодействий (бета-процессов) развита весьма деталь-
детально, почти как теория электромагнитного поля, но в отличие от последней
она является чисто квантовой, не имеющей классического предела. Рас-
Рассмотрим основные положения теории бета-вэаимодействий, необходимые
для расчета нейтринных процессов в звездах.
а) Бета-распады ядер. Основы теории слабых взаимодействий были
заложены Э.Ферми [213] в 1933 г. для объяснения бета-распадов ядер в
реакции
(A,Z) + (A,Z+l) + e- +v A8.4а)
или
(A,Z)-+(A,Z-l) + e++v. A8.46)
Реакции A8.4) идут, если масса исходного ядра превышает массу конеч-
конечного на величину, большую, чем масса электрона:
Azz-=(mA,z~mAtZ-)c2>mcc2, Z'=Z±l. A8.5)
Знаки "+" и "—" относятся к реакциям а) и б) соответственно.
-Вероятность реакции бета-распада, согласно теории возмущений [144],
равна *)
Щ = — /IИ]}6( Zе„ )dNedN~dNAiZ'. A8.6)
п \
Здесь состояние исходного ядра (A, Z) считается заданным, 6-функция
отражает закон сохранения энергии е^ при бета-распаде.
Суммирование ведется по четырем частицам, участвующим в реакции
(X = 1, 2, 3, 4). В теории Ферми предполагается, что бета-взаимодействие
происходит, когда все четыре частицы (лептоны и нуклоны внутри ядра)
находятся в одной точке пространства. Это учтено при написании A8.6),
где интегрирование по области возможных взаимодействий (объем ядра)
содержится в матричном элементе от Гамильтониана//^.Дифференциалы
в A8.6) указывают на интегрирование только по импульсному прост-
пространству. Если бета-распад происходит в среде, где имеются электроны
е~ (или е+) и антинейтрино ?е (или i>e) с функциями распределения в фа-
фазовом пространстве/е и/„ (см. B.2)), то с учетом принципа Паули
££'*. «ь-£*-.»^ A87)
При бета-распадах Д < тА iZe2, так что можно пренебречь отдачей ядра
и исключить интегрирование по dNAtz', так как в силу нормировки
fdNAtz' ** !• Для нахождения полной вероятности бета-распада нужно
учесть все возможные конечные (возбужденные) состояния ядра (A, Z )
и взять по ним сумму ~LWp f. С ростом Д число возможных конечных воз-
i
бужденных состояний быстро растет.
*) Стрелка обозначает трехмерный вектор, латинский индекс - четырехмерный.
1S4

б) Вид матричных элементов при бета-распаде. Для вычисления мат
ричного элемента Щ для неполяризованных ядер в A8.6) сначала состав
ляется специальным образом выбранная линейная комбинация произведе
ния компонентов волновых функций, определенная ниже. От этой линей-
линейной комбинации берется интеграл по объему ядра У„, а затем производится
суммирование по всем возможным спиновым состояниям конечных час-
частиц и усреднение по спиновым состояниям исходного ядра (A, Z). Если в
бета-реакции участвуют только элементарные свободные частицы, лептоны
или адроны, то интегрирование ведется по всему пространству. В данном
случае, когда суммирование по спиновым состояниям осуществляется в
матричном элементе, статистический вес не входит в определение фазово-
фазового объема в A8.7).
В релятивистской теории поля свободный электрон и другие свободные
фермионы характеризуются четырехкомпонентной волновой функцией
(биспинором) ^е, удовлетворяющей уравнению Дирака
(' Э тес \
Матрицы Дирака yt определяются с точностью до произвольного унитар-
унитарного *) преобразования. В стандартном представлении, в котором две
компоненты спинора ^е зануляются в нерелятивистском пределе, матри-
матрицы ft имеют вид [69, 171]
7i= „. „ • h 72 =
0
0
0
-1
0
0
-1
. о
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
г
0.
0
о.
0'
0
0
-ь
\
\
}
0
-1
0
0
\
1
/
0
0
I
0
0
i
0
0
-I
0
0
0
7з= U U u -1 • A8.9)
*' Преобразование в линейном пространстве называется унитарным, если матри-
матрица преобразования U такова, что обратная к ней U равна эрмитово сопряженной
V » причем U+ = (U *)т, где "•" означает комплексное сопряжение, а "т" - транспо-
транспонирование. При унитарном преобразовании ф с матрицей U, изменяющим представ-
представление в фиксированной пространственно-временной системе координчт по формуле
* = U\ji, представление матриц у{ изменяется по соотношению у/ = UyjU'1, остав-
оставляющему инвариантным уравнение Дирака A8.8).
155

В A8.8) использовано скалярное произведение векторов в виде
uv = ци, = u4u4 - «l^i -u2v2 -и3ьг; х4 =ct. A8.10J
Матрица S, задающая преобразование Лоренца для биспинора
<p' = S$ A8.Ц)
при неизменном представлении матриц 7i» связана с матрицей преобразова-
преобразования Лоренца Lik для вектора
x'=Lx, x'i = Likxk A8.12)
соотношением, определяемым из условия инвариантности уравнения Ди-
Дирака [230]
S-lytS = Likyk, SyAS+=byA. A8.13)
Знак перед ул совпадает со знаком матричного элемента Ь44, Ъ = ± 1.
Первое соотношение A8.13) эквивалентно условию
SytS-1 = Lkiyk, A8.14)
что связано с ортогональностью преобразования Лоренца
Lfkl=Lki. A8.15)
Матрица S, удовлетворяющая условиям A8.13), вообще говоря, не унитар-
унитарна и имеет структуру [214]
0 0 \
° ° I, «6-07=1. A8.16)
0 0 а* C* I
0 7* 6V
Матрицы 7i удовлетворяют условиям
7i7k +7k7i = 26,*/; /, к = 1,2, 3,4, 5;
/— единичная матрица, A8.17)
II при /' = к = 4,5
- 1 при i = k = 1,2,3
0 при i Ф к.
Отметим, что в A8.9) матрицы у4 и 7s являются эрмитовыми, a 7i. 72. 7з ~~
антиэрмитовыми *).
Из четырехкомпонентных биспиноров \ре и ^„ могут быть составлены
16 билинейных членов, которые разбиваются на пять ковариантных ком-
комбинаций. Для получения билинейных членов используется дираковски
сопряженный спинор
$=*+ул, A8.18)
•) Матрица А эрмитова, если А+ = А и антиэрмитова, если А+ = - А, унитарное
преобразование сохраняет свойство эрмитовости и антиэрмитовости.
156

с помощью которого строятся комбинации [171]*)
ф ф — скаляр (S),
— полярный вектор ( V),
— аксиальный вектор D), A8.19)
фу$ф —псевдоскаляр (Р),
ф Ojk ф — антисимметричный тензор G1),
О{к=-Г7
Из условия инвариантности матричного элемента Н произведения волновых
функций входят в него в виде попарных произведений членов типа A8.19).
В первом варианте теории бета-распада [213] Ферми рассматривал только
V взаимодействие по аналогии с электродинамикой. Анализ опытных дан-
данных показал, что реализуется вариант V — А взаимодействия, рассмотрен-
рассмотренный Фейнманом и Гелл-Маном, в котором лептонные (/) волновые функ-
функции входят в виде комбинаций типа /и в матричный элемент Нр. Для
реакции A8.4а) эта комбинация имеет вид [171] .
Л*-*еТг*A+Тв)*„. A8.20)
Величина //^ называется лептонным током**). Такой выбор тока /;?1-
благодаря свойствам матрицы 7s из A8.9) приводит_к тому, что только
две (левые) комбинации компонентов биспиноров фе и ф„ задают ско-
скорость реакции слабого взаимодействия [ 171]. Это отражает свойство двух-
компонентности нейтрино, обладающего левой спиральностью, т.е. спин
его направлен против импульса. Антинейтрино имеет обратную (правую)
спиральность. Данное свойство приводит к несохранению пространствен-
пространственной (Р) четности при сохранении комбинированной (СР) четности. Зарядо-
Зарядовое сопряжение (С) означает замену частицы на античастицу. Ток, образо-
образованный с помощью оператора О/' = У{ A + 7s) называется левым то-
током.
Адронный ток iaj имеет вид, аналогичный A8.20), однако ввиду сос-
составной природы адронов и рождению виртуальных частиц в сильных вза-
взаимодействиях появляется зависимость матричного элемента от переданно-
переданного импульса q{ = — (р'{ - р{), q2 ~ \qtqt\ и вид тока оказывается более
с
сложным,чемлептонного A8.20). Имеем [72,469,86]
ki= ^p[/i(<?2O,-'72(<?2)o^fc+^(<?2Oi7s+^3(<?2)«?.7s] фя. A8.21)
Слабые форм-факторы нуклона fa nga для квазиупругих реакций***) опре-
определяются из экспериментальных данных, а также гипотез сохранения век-
'При унитарном преобразовании ф' = ф{/~1, при преобразовании Лоренца
A8.11) £' = йф5-'.
**) Сопряженные биспиноры указывают на рождение частицы, обычные — на ее
Уничтожение. В A8.20) использовано ф„, так как рождение антинейтрино в A8.4а)
эквивалентно уничтожению ее античастицы — нейтрино.
**) Квазиупругими считаются все реакции с образованием нуклонов без появления
более тяжелых адронов, т.е. все реакции се„>е< 300 МэВ.
157

торного тока [87] и частичного сохранения аксиального тока [86] СВТ и
ЧСАТ:
<1822)
, A8.24)
2mv , 2,5mv ( q2 \'2 *
ml+Я ml+q2 \ m\ J
Гипотеза СВТ предполагает неизменность "слабого заряда" нуклона при
рождении виртуальных частиц из-за сильных взаимодействий. Она основа-
основана на аналогии с электродинамикой, где в аналогичных условиях не меняет-
меняется электрический заряд протона. Поэтому принимается /i @) = 1, что сог-
согласуется с опытом. В то же время различие магнитных моментов протона
lip» нейтрона /un приводит к появлению формфактора /2 (д2). В предпо-
предположении СВТ слабые формфакторы считаются равными электромагнит-
электромагнитным. Гипотеза ЧСАТ позволяет связать^ (q2) и^3(?2) в A8.25), но ве-
величина gy @) = 1,25 (аксиальный ток не сохраняется) определяется из
экспериментов. В A8.22) —A8.25) входят следующие константы:
mv = 273 те = 139,5 МэВ,
те2 =0,71 ГэВ2, A8.26)
1,34 ±0,05 ГэВ [469],
171А \ 0,95 ±0,12 ГэВ [86].
Очевидно, что точность измерений тА не лучше ~ 30%, в то время как для
mv точность составляет несколько процентов [86].
С учетом A8.20), A8.21) матричный элемент Яр запишется в виде
Щ = Ъ^- S ia.tktd3x, A8.27)
о у/2 уп
где £ означает суммирование и усреднение по спиновым состояниям,
о
а интегрирование ведется по объему ядра, где локализованы волновые
функции нуклонов. Из экспериментальных данных по бета-распаду нейт-
нейтрона и распаду мюона константа слабой связи равна [86] (см.пп.в, г)
! 1,4358эрг- см3 (/^-распад) [172]
1,4335 эрг- см3 (д-распад) [86] A8.28)
1,4132эрг- см3 (/3-распад) [86].
Нормировка волновых функций различна для свободных частиц и нукло-
нуклонов, локализованных в ядрах. Для последних используется обычная единич-
1S8

ная нормировка по объему ядра У„:
f ty¥$)n,pd3x = 1- A8.29)
Для лептонов и других свободных частиц нормировка волновых функций
выбирается так, чтобы одна частица находилась в единице объема (см.
пл. в, г).
Небольшое различие константу и j3 распадов в A8.28) связано с тем, что
бета-распад нейтрона определяется только той частью слабого адронного
тока, которая сохраняет странность. Отметим, что при рассмотрении слабых
взаимодействий с участием ядер гораздо большая неопределенность ре-
результатов возникает из-эа того, что волновые функции нуклонов в ядрах
известны плохо ввиду отсутствия точной теории сильных взаимодействий.
в) Вычисление квадрата матричного элемента и вероятность распада
мюона. Близость констант в A8.28) свидетельствует в пользу теории
универсального слабого взаимодействия, согласно ко-
которой константа связи Gw и {V - А) тип взаимодействия одинаковы для
всех элементарных частиц, лептонов и кварков *) [ 172]. Некоторая моди-
модификация типа взаимодействия имеется в нейтральных токах, рассмотрен-
рассмотренных в п. ж). Наиболее просто рассчитываются матричные элементы с двумя
лептонными токами, где формфакторы отсутствуют. К таким процессам
относится распад мюона
ц--*е~ +иц + ие. A8.30)
Вероятность распада мюона определяется выражением
Я \l 8(XeK)dNedN~_ dNPu A8.31)
h \ e
с матричным элементом
о у/2 " '
^ Gw - , г- ч , 3 , „ ч
~ / [^е7<0 +7s) tyv IWv 7t\\ +7s) Фц] " •* A8.32)
° у/Т е "
и фазовыми объемами, аналогичными A8.7). Волновые функции свобод-
свободных лептонов с данным импульсом ~р в соответствии с уравнением Дирака
A8.8) выбираются в виде
\ A8.33)
гДе pi — 4-импульс лептона, р = pt = (— ?, ~)>ы (р) ~ биспинор, не зави-
сящий от координат. Подставляя A8.33) в A8.8), получаем уравнение
^ ,Пп чет кваРковой структуры нуклонов необходим при высоких энергиях Е>
1000 МэВ, которые здесь не рассматриваются.
159

дляы(р)
(РгЪ~тс)и{р) = О, A8.34)
где с учетом нормировки для свободных частиц биспинор м(р) удовлетво.
ряет соотношениям
пи - 2тс,
В результате для электрона получаем решение A8.34) в виде
/ё
V- +тес W
и=и.-
Л
V
08.35)
- Р
где и = единичный вектор вдоль направления импульса,
нс ж .D'C -i
—вектор, составленный из матриц Паули ok,We— произвольный двухком-
понентный спинор, удовлетворяющий условию
We+We = l A8.37)
и характеризующий поляризацию*).
Неполяризованный электрон описывается матрицей плотности Ag, полу-
получаемой в результате суммирования по спиновым состояниям и являющейся
квадратной 4-матрицей вида [17,21]
Z ип = Ае = ( рм + тес1). A8.38)
При усреднении по спиновым состояниям неполяризованного мюона воз-
1
никает матрица — Л,,, где Л,, аналогична Ле из A8.38). При вычислении
\Н\21Х используется соотношение Фирца [171], отражающее симметрию
матричного элемента Н иэ A8.32) относительно перестановок волновых
функций
+ 7s) Ф„] =
+7s) *„.]• A8-39)
*) Наряду с биспинором из A8.33), A8.35), соответствующим свободному элек-
электрону имеется еще одно решение уравнения A8.8), соответствующее свободному
позитрону: ф +=—^Г"ие + ехР V 1, причем ие + и t = —2тес, ие+у/и +
е /2 V л / е е
Биспинор ие+ = и{~р) получается из A8.35) после перемены знака те и замены
We->{rt'a)We* с учетом (rfaK = 1.
160

расчет \Н\% требует выражения для комплексно сопряженного тока
[171], имеющего вид для A8.20)
Hi = [*.Т#0 + 7s) *„в] ' = £„е7,0 + 7s)^e- A8-40)
Введем матрицы
+ 7s) «el,
A8 41)
Bik = [%7< A + 7s ) uVe ] [ы„е7* A + 7s ) uVfi ],
где биспиноры их и ф^ связаны между собой по аналогии с A8.33). Ис-
Используя A8.38)—A8.41), суммирование по спинам одного из нейтрино и
усреднение по спинам мюона в A8.32), получаем для неполяризованного
мкюна*)
\H\l= ?»*А*** B*hK6 ( Z A ). A8.42)
С учетом A8.38) вычисление |//|jS сводится к вычислению следов (сумме
диагональных элементов) матриц, составленных из произведений 7-матриц
Дирака. Подробности расчета приведены в [171]. В результате имеем
\Н\1 = 4С» g* (PeP,,)(P^e) BffhK6( z?^ }) A8 43)
где скалярное произведение определено в A8.10). Подставив A8.43)
в A8.31), проведем интегрирование по импульсам для распада мюона в
вакууме при /е = /„е =/„ = 0 в A8.7). Следуя [171], проинтегрируем
сначала'по импульсам нейтрино v^ и ve, вычисляя интеграл
- Я
Для частиц нулевой массы cpf=O имеет место равенство [171]
d3p,d3p2 2n
f L~— 6(?, +Й -?N(et +e2 -cqo) = — . A8.45)
ete2 с3
Представив Iik в виде
Iik=Aq28ik+Bq,qk A8.46)
и учтя равенства
, ,*7,7*
A8.47)
•^ После интегрирования nod'jc с учетом A8.33) в A8.32) появляется сомно-
сомножитель B7rfi)s6 B р1^), отражающий сохранение импульса. Вторая 6-функция, воз-
никающая при возведении в квадрат, дает нормировочный объем, который сокращает-
оо
ся в выражении для вероятности распада [ 172 ]. Здесь учтено, что / е dx - 2-пЬ (Л).
—оо
И.Г.С. Бисноватый-Коган \6\

получим*^
lik = ~^ tfbik + 2qtqk). A8.48)
Используя A8.48), A8.43), A8.44) , получим из A8.31)
2я AG\jC* Я PeiPuk
W»=~T ,o Гчб TT"/ (<?«'* + 2qiqk)d3pe. A8.49)
h Bwh) 6c бее,,
Пренебрегая электронной массой по сравнению с мюонной р\ ~ 0 и рас-
рассматривая мюон в состоянии покоя (рц = @, т„с)), получим с учетом
A8Л0) и «л
8Л0) и «л
Qi=Pni-Pei=\Pe,'nftC Ч,
- 2/п„ее, A8.50)
Учтя A8.50) в A8.49), получим
1
Используя экспериментальное время жизни мюона — = тц «* 2,1971 • 10 с,
получаем из A8.51) с учетом A8.3) значение слабой константы
Г 192я3Ь7 11/2
Gw = \ —: Г = 1,4357-10 9 эрг-см3, A8.52)
приведенное в A8.28).
г) Вычисление | Н \ ^ и вероятности распада нейтрона и ядер. При бета-
распадах q <^mv, поэтому в A8.21) можно пренебречь формфакторами
/2 и #з иэ A8.23), A8.25) и использовать значения А и ^, из A8.22),
A8.24) при q = 0: /i @) = 1, gl @) = gA = 1,25. Рассмотрим сначала рас-
распад нейтрона. В этом случае нейтрон и протон являются свободными
частицами, их волновые функции аналогичны лептонным A8.33), A8.35).
Матричный элемент распада нейтрона запишется в виде **)
d3x. A8.53)
*)Вычисления A8.45), A8.47) ведутся в системе координат, где pt = ~Р"е
с учетом р„ + pv = q, pf, = pf, = 0.
**) Константы fl и ц распадов обозначаются одной и той же буквой Gyj.
162

Г большой точностью нуклоны можно считать нерелятивистскими, тогда
соответствующих биспинорах типа A8.35), отличающихся на \рТ, оста-
останутся по два ненулевых компонента
/ \Jmnc Wn\
п. = (yHwWi.O), ы„ = л , A8,54)
где W к Wn — спиноры, аналогичные We из A8.37) *). Нерелятивнстские
пределы элементов адронного тока }аЛ с учетом A8.9), A8.36), A8.54)
имеют вид
A8.56)
;(^,o)^ 0д_7 одо) =
Для квадрата матричного элемента A8.53) получаем [171]
G2wc2
\Н\\ = Z ^^2
A8.57)
Матрица плотности неполяризованного протона есть сумма по спиновым
состояниям
2 Мрйр = 2 mcWpWp = Лр = тис74 +тс/ = 2/ис( ), A8.58)
о о \0 О/
а для нейтрона после усреднения по спинам имеем
2 и„«п = 2'/псИ/п< = -Лп = тс ( л л ), A8.59)
Здесь 2' означает усреднение по спиновым состояниям. Подставляя
A8.38), A8.58), A8.59) в A8.57) и вычисляя следы произведений у
и а матриц, получаем [171]**)
. D.D.. 1
A8.60)
Отметим, что после замены рм=> рп, р„ =>рр в нерелятивистском пределе
Для п и р A8.43) соответствует с A8.60) при gA = 1, когда |М |2 = 4G2W.
Подставляя A8.60), A8.57) в A8.6), пренебрегая отдачей ядра и интегри-
*) С нор
ормировкой WgWp = 2, ^^„ = 2.
IM |а отличается от | Я13 отсутствием сомножителя Bjrti) 3 6 B р\),
см. A8.57). *■
163

руя по углам, получим
Wn = ^ /1М11 -^-6 6 (ее + е„ - Anp)pldPepldpv. A8.61)
n Bяп)
Второй член из A8.60) не входит в A8.61), так как зануляется после
интегрирования по углам в импульсном пространстве*). Учтя pv = ev/c,
ре - - vef - гп\сл , имеем из A8.61)
N С
"JА /
м = ее//пес2, 6 = Д//пес2 = 2,531.
A8.62)
Подынтегральная функция в A8.62) определяет спектр электронов при
бета-распаде нейтрона. Интеграл в A8.62) берется аналитически и называ-
называется функцией Ферми без учета кулоновского взаимодействия Fo
F0(u) = "f Jx2 - 1 F -xfdx = —у/и1 - 1 [12м4 -30м36 +
i 60
+ 4E62-1)м2 + 15м6-4E62+2)] + -1п(м + у/и2 - 1 ), A8.63)
4
Период полураспада нейтрона f 1/2 есть
In 2
'1/2 = — • A8.64)
Величина
2я3п71п2
w/" 1083Ф<) A8-65)
*) Если при бета-взаимодействии барионы или массивные лептоны являются
нерелятивистскими, то
^ & 1+8тт-K A8.60а)
при
(-1
Я = -^ Л
где m — барионы, массивные лептоны, н.ч. — члены, обращающиеся в нуль после
усреднения для неполяризованных частиц. Запись Н в виде A8.60а) всегда возмож-
возможна с учетом A8.39).
••Kдесь использовано бета-распадное Gfyrn A8.28) и значение gA = 1,25. полу-
полученное усреднением результатов различных опытов. Экспериментальное значение
(Ft 1/2I1 для распада нейтрона, равное 1187, требует несколько меньшей постоян-
постоянной gA= 1,18 [232].
164

ависит только от физических констант и постоянной части матричного
емента взаимодействия, не зависит от фазовых соотношений и нахо-
находится экспериментально измерением периода полураспада fi/2 и вычис-
вычислением функции Ферми F.
При бета-распаде нейтрона нейтрон и протон расположены в одной
точке, так что происходит полное перекрытие волновых функций и до-
достигается максимум | Я |2. Это соответствует равенству / фп + \jjpd3x = \
в A8.27). Если происходит бета-распад ядер, где нуклоны нельзя счи-
считать свободными, то волновые функции нейтрона и протона перекрыва-
перекрываются не полностью и (Ft1/2)A,Z обычно больше (Ft1/2)n. Иногда
(frt1i2)A z оказывается меньше (Ft1/2)n (табл. 20). Это объясняется
тем, что в бета-распаде ядра может принимать участие несколько нейтро-
нейтронов, поэтому, например, (^1/гNне < (^1/2I1 несмотря на неполное
перекрытие пир волновых функций; здесь участие в бета-распаде прини-
принимают два нейтрона ядра бНе, расположенных на второй нейтронной обо-
оболочке. Измерения (Ft1/2)A,z служат источником информации о волно-
волновых функциях нуклонов внутри ядер.
д) Классификация бета-распадов, правила отбора. Степень перекры-
перекрытия волновых функций ядра до и после бета-распада определяется в ос-
основном соотношением между спинами и четностями этих ядер. Подроб-
Подробное объяснение причин такой зависимости можно найти в специальной
литературе [213, 171, 69, 230, 86, 84], мы ограничимся здесь изложением
результатов и их качественной интерпретацией.
Если экспоненциальные множители в волновых функциях лептонов
заменяются единицей, то это означает, что лептонная пара не уносит ор-
орбитальный угловой момент. При этом унесенный ею суммарный спин
Данные о некоторых сверхразрешенных переходах
Таблица 20
Переход
in-jH
?Н-*|Не
'«С-*1 JB
* *N "*■* 1С
1O-*'*N
eF-*'JO
ijMg-*? jNa
iiA1-»j jMg
i^i-^jAl
JlAr-*f»a
aiSc-*JJCa
I0C-**°r»
?°Mn-»S0Cr
Спин
1/2
1/2
3/2
1/2
1/2
5/2
3/2
5/2-
5/2
3/2
7/2
0-1
0-M
0-»l
)-*0
v)-0
'1/2.c
11,7 мин
3,87 ■ 10"
1224
603
124
66
12
7.23
4,19
1,804
0,87
0,813
19.1
1,6
0,2857
0,1937
^max = Д - mec2
^max> K3B
782
18,65
968
1202
1739
1748
3056
3239
3793
4448
4940
3500
2100
3200
6609
7229
P'l/2.c
1187
1132
4030
4700
4475
2380
4480
4280
4500
5680
2560
808
1700
794,4
3082
2966
165

равен либо нулю, либо единице со знаком "+" или "—"*). Векторный
член {V) в токе//,, из A8.20) не равен нулю, если входящие в него пеп-
пептоны имеют одинаковые спины, для бета распада это соответствует сум-
суммарному нулевом спину электрона и антинейтрино. Таким образом V-
взаимодействие, введенное Ферми, требует неизменности ядерного спи-
спина /, а также четности ядра. Таким образом, правило отбора Ферми име-
имеет вид
Д| / I = 0, | Д/1 = 0, четность сохраняется. A8.66)
Псевдовекторное Л-взаимодействие в A8.20), введенное Гамовым
и Теллером A936 г.), меняет спины ядер, т.е. сумма спинов пептонов
при бета-распаде равна единице. При этом величина спина ядра может
измениться на единицу, но может остаться постоянной по модулю, из-
изменив лишь направление, с тем чтобы единице равнялась их векторная
разность. Последнее возможно только в случае ненулевого спина исход-
исходного ядра. Таким образом, правила отбора Гамова—Теллера имеют вид
Д|/| =±1, |Д/|=1, 1
> четность сохраняется. A8.67)
Д|/| = 0,если / Ф 0 j ;
При выполнении правил отбора A8.66), A8.67) величина Fty^ опре-
определяется степенью перекрытия волновых функций. Если перекрытие ве-
велико, как при распаде нейтрона, то такой переход называется сверхраз-
решенным. Ему соответствуют значения Ig (Ftxp) = 3,5 + 0,7 [84],
см. табл. 19. Эти переходы встречаются только в сравнительно легких
ядрах. К ним относятся зеркальные переходы в нечетно-четных ядрах,
где число нейтронов-протонов исходного ядра равно числу протонов-
нейтронов ядра конечного, например, позитронный распад '^Fg -»• ll09.
Другой тип сверхразрешенных переходов встречается в четных ядрах
с А = 4и + 2, где в распадах участвуют два нейтрона на внешней оболоч-
оболочке. К ним относится рассмотренный выше переход fH4 -»• зЬ13- Позитрон-
ные распады в зеркальных ядрах связаны с энергией кулоновского от-
отталкивания протонов в ядре.
Переходы с существенно большими Ig (/^1/2) = 5,7 ± 2, для которых
выполняются указанные выше правила отбора, называются разрешен-
разрешенными. Разрешенные и сверхразрешенные переходы характеризуются
формой спектра электронов, определяемой подынтегральным выраже-
выражением в A8.62) (о влиянии кулоновских поправок см. ниже).
Если правила отбора A8.66), A8.67) не выполняются, то бета-рас-
бета-распады ядер происходят только за счет отклонения внутри ядра экспонен-
экспоненты волновых функций пептонов от единицы, что эквивалентно уносу
орбитального момента лептонной парой. Прн этом в выражении для ве-
вероятности перехода возникает малый множитель
(RJX,J ~ НГ'МО-4, A8.68)
h
где Rn — размер ядра, Х/=— — характерный размер периода лептоннои
Pi
•) В единицах ft.
166

вой функции. Переходы, связанные с первым членом разложения
депоненты, называются однократно запрещенными с
? (Ft ) = 7,5 ± 2. Лептонная пара здесь уносит помимо спинов, единич-
1Й орбитальный угловой момент. Правила отбора для этих переходов
таковы:
д| Л = 0, ±1, четность меняется, ^ (jg ^
| Д/1 = J. переходы 0 -*0 запрещены.
л I т I = 0 ±1 ±2, четность меняется,
Д|/ I и, i, *, (ГТ) A8 ?0)
I Д/ I = 0,2, переходы с | /, | + | /2 I < 2 запрещены для | Д/1 = 2.
Если изменение спина превышает на единицу степень запрещения, то та-
такой переход называется уникальным. Для перехода с Д/ = ±2 в A8.70)
имеет место Ig (^1/2) = 8,5 ± 1. Спектры электронов в однократно за-
запрещенных переходах определяются произведением подынтегрального
выражения в A8.62) на сомножитель [23]
(ре +Р,J ~Pl +Pl ~ ( - 1) +(« - «J- A8-71)
Релятивистские эффекты и кулоновское поле приводят к смешению сос-
состояний pi/2 и Si/2 с / = 1/2 на величину ~aZ. Это приводит к тому, что
наряду со втором членом разложения экспоненты Р<Дп вклад в мат-
h
ричный элемент дает постоянное значение лептонной волновой функции
с малостью ~ aZ. Прн этом вероятность распада приобретает малость
~a2Z2, а спектр электронов прн Д|/| =0, ± 1 остается близким к раз-
разрешенному.
Матричные элементы л-кратно запрещенных переходов определяют-
определяются л-м членом разложения лептонной экспоненты со следующими пра-
правилами отбора:
Д1Л = 0,±1,... +л (Ф);
I Д/ | = л, переходы с | /, | + | /2 | < л запрещены;
Д1Л = 0, ±1,... ±л, ±(л+1) (Г-Т);
I Д/ | = л ± 1, где переходы с | /, | + | /2 I < л ± 1 запрещены,
четность тт2 = (-1)"я,.
Здесь при -л2 = я1 четность сохраняется, я2 = — wt — изменяется. Каждая
степень запрещения увеличивает Ft1/2 на 3-4 порядка. Данные об из-
известных бета-переходах ядер приведены в [99].
е) Кулоновские поправки. Кулоновское взаимодействие между ядра-
ядрами и заряженными пептонами приводит к отклонениям волновой функ-
функции распределения от свободной, что увеличивает вероятность электрон-
го распада ядер за счет увеличения волновой функции электрона в яд-
Рв и, соответственно, уменьшает вероятность позитронного распада. По-
ртвочный множитель кулоновского взаимодействия <J>(Z, e) находится
огично кулоновскому подбарьерному множителю в ядерных реакци-
167

ях (см. гл. 4). Для нерелятивистских электронов н позитронов ет имеем
I фе@) I2 2ттт]
ФТB> б) ~ 1^е@Iс2воб ~ |ехр(?2я17)-1| '
V=Z^= aZ-. A8.73)
hv v
v
Здесь Z заряд конечного ядра, для релятивистских е функций — Ф_ =
с +
рс
=— Фр = 2waZ (Ф?/2я7?) затабулированы (см. [363]). Учет кулоновского
взаимодействия в бета-распаде ядра сводится к умножению подынтеграль-
подынтегрального выражения на <&^(Z, e) при вычислении функции Ферми F, что дает
для разрешенных переходов
/Ф*\/55 б2 8 1\
Fr = 2-naZ ( )(— - — +—■-—). A8.74)
\2wi/\30 3 2 5/ '
Интегрирование с учетом таблиц для Z = 26 дает < Ф_/2ят^> = 1,6, < Ф+/2щ) =
= 0,5, причем в таблицах электронный сомножитель меняется на ~10%, а
позитронный — на ~50% в интервале энергий е+, дающих основной вклад
в скорость бета-распада [93]. Отметим, что кулоновск ие поправки сущест-
существенно меняют спектр бета-электронов при малых энергиях, но их влияние
на скорость бета-распада не столь велико, поэтому в астрофизических
расчетах этой поправкой часто пренебрегают и используют функцию Фер-
Ферми Fo.
ж) Нейтральные токи. В лептонных токах типа A8.20), описывающих
распады пептонов н ядер, а также в адронном токе A8.21), входящем в
вероятность бета-распада, заряды начальной и конечной частицы различны,
поэтому такие токи называются заряженными. Возможность существова-
существования нейтральных токов с одинаковыми зарядами начальной и конечной
частиц была высказана Бладманом в 1958 г., однако лишь после создания
теории Вайнберга—Салама в 1967 г., объединяющей слабые и электромаг-
электромагнитные взаимодействия, и экспериментального открытия рассеяния мюон-
ного нейтрино на электроне в 1973 г. существование нейтральных токов
стало общепризнанным [231]. Ввиду того что электрон, мюон и тау-лептон
с соответствующими нейтрино обладают различными сохраняющимися
лептонными зарядами, нейтральные токн могут лишь переводить частицы
самих в себя. Например, сечение реакции рассеяния
!»„+!»„-•■!;,+ Vy A8.75)
определяется только произведением токов (tyv Of ^е) ( ф„ О,- \pv,J'
а токи вида (ф „ О,- ф„ ) отсутствуют. В некоторые процессы, например
рассеяние
!»е + е -* »ь + е, A8-76)
дают вклад как заряженные токи ( ф„е О{ фе.) ( ^е О{ Фре)> так и нейтраль-
нейтральные (фv Oj ф„ )(фе О{ фе). В то же время сечение рассеяния
„^ + е -!»„"+ е О*-77)
168

определяется только нейтральными токами_D>Vfl Ot tyVl)D>eOt ^е),так
как заряженные токи (Ф^О{ фе) или (фе 0г &,д) отсутствуют ввиду
азличных лептонных зарядов мюонного нейтрино и электрона.
Из теории Вайнберга—Салама, подтвержденной экспериментами, сле-
следует что нейтральные токи создаются не только левым оператором
qL= ~ A + 7s)> соответствующим (V — /1)-взаимодействию, но и пра-
правым оператором Of= т,- A - Ts). отражающим вклад (V +Л)-взаимо-
пействия. Другой особенностью нейтральных токов является их зависи-
зависимость от зарядов элементарных частиц, поэтому универсальность слабого
взаимодействия следует понимать здесь в обобщенном смысле. Нейтраль-
Нейтральные токи для пептонов и кварков имеют вид [ 172]
7s) & +gkR Фк 7,A - 7$)Фк],
1
= ~ V + Sin2*»-».
л ! 2 , 2 A8.78)
= suT0b/
R = ° ДЛЯ Х = "е' ""•"': gL =
-л "ь 2 з "'
. 2 . 1 1 .
g^ = sin 0jy для X = м, с, г (кварки); ^ = +—sin 6Wl
g^ = — sin20jy для X =d,s,b (кварки).
3
Здесь 6W — угол Вайнберга, отражающий перемешивание слабых и элект-
электромагнитных взаимодействий. Член с sin20jy в / \"' является чисто век-
векторным, как jfm в электродинамике. Из экспериментов следует [120]
sin2e^ = 0,224 ± 0,020. A8.79)
Нейтральные токи нуклонов*) получаются суммированием кварковых
токов и учетом формфакторов типа A8.22) —A8.25). Для малых передан-
переданных импульсов имеем (см., например [73])
+ Sa Ts) - 2 sinaewTlk, A8-80)
При написании матричного элемента.следует учесть, что прямой и обрат-
обратный переходы реакций, описываемых нейтральными токами A8.75) —
A8.77) тождественны. Вследствие этого произведения неодинаковых
токов входят в матричный элемент с коэффициентом 2 [172, 231]. Произ-
Произведение одинаковых токов входит единожды, так как тождественность
) Кварковая структура нуклонов имеет вид
P=uud. n=udd> е„ = е<; = е, = 2/3,
<2d = Gs = Сь = -1/3 в единицах е.
169

прямой и обратной реакции компенсируется коэффициентом 1/2 из-за
тождественности вступающих в реакцию частиц, например, при рассеянии
ve + ve -» ve + ve. Отметим, что произведение заряженных токов реакции
A8.76) входит в матричный элемент также единожды, так как снова
возникает коэффициент 1/2 из-за тождественности токов в этом произве-
произведении [ 172]. В итоге, матричный элемент, соответствующий бета-реакции,
связанной с нейтральными токами, зависывается в виде
+Ькв
Если в реакцию с нейтральными токами вступают ядра, то необходимо
интегрирование по объему ядра, аналогично A8.27).
В реакциях рассеяния вместо вероятности W удобнее использовать сече-
сечение а. Дифференциальные величины связаны соотношением d W = jda, где
/ — плотность потока частиц. В лабораторной системе, где частица 0 покоит-
покоится, а частица 1 налетает со скоростью ut, имеет место, в силу выбранной
нормировки волновых функций, / = ut. Если выразить величины в лабо-
лабораторной системе через инвариантные
/п0с2е,и, =/яос4 \Р\ I =c3\/(PoPiJ ~PoP2i =
то с учетом выражения для W типа A8.6), A8.31) или A8.61) получим
[172] сечение рассеяния частиц 0 и 1 B и 3 — частицы после рассеяния)
°0 = —S
h c3v/(PoPiJ -mimic4 (lg82)
d3p,d3 рз
Здесь d0 — элемент фазового объема рассеянных частиц с включением
5-функций от энергии. Сечение поглощения записывается аналогично
A8.82) при соответствующем выборе с?0. Отметим, что статистические
веса здесь, так же как в A8.7), не входят в определение с?0 ввиду сумми-
суммирования по спинам в матричном элементе.
Рассмотрим сечения некоторых процессов. Для рассеяния нейтрино
на пептонах квадрат матричного элемента заряженного тока получается
из A8.43) простой заменой переменных. Интегрирование в A8.82) при
/2 = /з = 0 приводит к следующим выражениям для инвариантных сече-
сечений, связанных с заряженными токами [172]:
B [ sO при sv > 1
=as0 — = A8.83)
S° 4И/2 12» при* <1
'e --r--- -ve
2osos2~ при s~ < 1.
170

Здесь использованы обозначения
- = 0,876 • 104 см2
0X0
ue=ejmec2, uVe=evJmec2, и„=е~/тес2,
7e =pe/«ec, ^ve =PuJmec, я~ = P~/mec.
В системе покоя электрона (ме = 1, яе = 0) имеем
Отметим, что при малых энергиях о-„ ; = оl J а при больших а(- } =
Вычисления, аналогичные тем, что проведены в п. в, с использованием
A8.78) —A8.81) дают значение матричного элемента, соответствующего
нейтральным токам. Полное сечение рассеяния согласно [172,86] равно
> +Я(П)|2, A8.87)
а
а*?* = dv o^\ oto.L =
е ve "е е "е е
\2 1
+ sin2e^/J +—sin40,y « 0,541
A
—
A \
— + 5т2б»^) + 3sin40,v ^0,675 J " A8.88)
• 2 /
^ = d~e = — — + \T + 2 sin2ew\ ~ °'412 ПРИ Ч
Ч' s~
Здесь учтено A8.79), учет нейтральных токов уменьшает сечение рассея-
рассеяния, ввиду их отрицательного вклада в матричный элемент. Рассеяние
(е i>M) в реакции A8.77) связано только с нейтральными токами и имеет
сечение [172,86]
_/ 1 е.2 V i'"
v ~ I + sin вы J н si
м V 2 V 3
= /l_L + s 2 V
^м V 2 Sm е7 + 35Ш
= d =—\— (-—
" ^м 4L4+\2 +
' 0,093
при sPu,s~ > 1,A8.89)
d^ =
-ь 1 " ч-r ** * v Wl - «нГ Jill V ^y ' ^ \Jy££ f
B A8.89) а<сь> зависит от м„ вместо uv (см. A8.85)). Как видно из
v _ ovj, сечение (е vM) -рассеяния примерно в пять раз меньше, чем
Iе "е)-рассеяния.
171

Интересным эффектом, связанным с нейтральными токами, является
когерентное упругое рассеяние нейтрино на ядрах, амплитуда которого растет
линейно, а сечение квадратично с массой ядра. Проведенный в [73] растет
дает для полного сечения рассеяния (с учетом аксиального тока
см. A8.60а) и A8.80))*)
= yoso^{Lsin20,y +уA-251п20„)(ЛГ-г)] +
+ - g2A(N-ZJ £,)* osoul\0,025 [А +—— Y + £/-0,586 (N~Zf\.
4 ) L \ 0,8 1у4/ J
* A8.90)
Здесь учтено A8.79),^ = 1.25, %j «0,1 при/ = 1/2, £/ < 1 при/ Ф 1/2,
%j = 1 для нуклонов. Для нерелятивистских ядер aNv = о ~, как для
электронов в A8.83), A8.84). Отметим, что для векторного тока рассея-
рассеяние определяется s-волной, поэтому интеграл в A8.27) имеет максималь-
максимальное значение, как при распаде нейтрона. При/ Ф 1/2 в аксиальном переходе
вклад в упругое рассеяние начинается с р-волны и всегда £о ^ 1- При
J = 1/2 и наличии одиночного (без пары) нуклона на внешней ядерной
оболочке возможно рассеяние s-волной с поворотом спина нуклона, когда
3) О теории Вайнберга—Салама. Теория универсального слабого взаимо-
взаимодействия (УСВ), несмотря на хорошее согласие с экспериментами по бета-
распаду ядер и распадам многих элементарных частиц, встречается с прин-
принципиальными трудностями при переходе к высоким энергиям. Все расчеты
в этой теории делаются в первом порядке по теории возмущений. При вы-
высоких энергиях сечение слабого взаимодействия растет (см. A8.83)) и
при £">;100ГзВ в системе центра масс становится необходимым учет
более высоких порядков. При этом появляются расходимости, которые
не удается обойти, как в квантовой электродинамике, с помощью пере-
перенормировок. Преодоление данной трудности и построение перенормируе-
перенормируемой теории слабых взаимодействий было сделано С. Вайнбергом и А. Сала-
мом в 1967 г. Их теория объединила электромагнитные и слабые взаимо-
взаимодействия и потому называется электрослабой.
В теории УСВ рассматривается четырехфермионное точечное взаимо-
взаимодействие, для которого перенормируемость отсутствует. По аналогии с
электродинамикой было предположено, что носителем слабого взаимо-
взаимодействия является векторный бозон W, который в силу малого радиуса
слабого взаимодействия должен быть массивным с Мц>>10 ГзВ [172] -
Однако теории взаимодействия с массивными бозонами также являются
неперенормируемыми.
Для преодоления этой трудности было предположено, что векторное
бозоны — носители взаимодействия, изначально являются безмассовыми.
Та видимая масса, которой они должны сейчас обладать, приобретена ими в
результате спонтанного нарушения симметрии при взаимодействии поля
векторных бозонов с существующим независимо скалярным полем Ф-
Потенциал скалярного поля симметричен, но имеет минимумы при ненуле-
♦) Используется A8.60а) для суммы вкладов от Z протонов и N = A — Z нейтронов.
172

их значениях *р =±<р0. Симметрия спонтанно нарушается, когда поле пе-
пеходит в один из минимумов с ненулевым вакуумным средним <р = <р0.
Член взаимодействия бозонного векторного поля /?,- с полем у, имеющий
вид <*£ АА (d - константа взаимодействия), вблизи кр = <£0 ведет себя так,
как будто бозоны обладают массой mD, т.е. m2D = — dtp0. Эта масса интер-
интерпретируется, как масса покоя бозонов Dt. Такой механизм спонтанного
нарушения симметрии и приобретения массы был предложен П. Хиггсом
в 1964 г. Если масса приобретается механизмом Хиггса, то становится
возможным построение перенормируемой теории с тяжелыми бозонами на
основе взаимодействий, обладающих локальной калибровочной инвариант-
инвариантностью и рассмотренных Ц. Янгом и Р. Миллсом в 1954 г. Данный тип взаи-
взаимодействия и рассматривается в теории Вайнберга—Салама. Теми же свойст-
свойствами обладает квантовая хромодинамика — создаваемая сейчас теория
сильных взаимодействий, а также различные варианты единых теорий, объе-
объединяющих три или четыре (включая гравитацию) взаимодействия. Помимо
векторных бозонов, массу при спонтанном нарушении симметрии приобре-
приобретают также скалярные бозоны хиггсовского поля. я
Условие калибровочной инвариантности, связанное с необходимостью
перенормируемости теории,, требует наличия четырех промежуточных бозо-
бозонов, т.е. помимо фотона, W -бозонов необходимо предположить существо-
существование нейтрального бозона Z, который будет ответственен за слабые нейт-
нейтральные токи.
Рассмотрим, как строится лагранжиан электрослабой теории [86].
Помимо обычного пространства, вводится слабое изоспиновое пространст-
пространство, в котором матрицы Т, тождественно равные матрицам Паули "а из
A8.36), являются матрицами вращений в изоспиновом пространстве.
Вместо спиноров ve и е рассматривается изотопический дублет
и изотопический синглет *)
Д=—j1 е, A8.92)
изотопические компоненты которых взаимодействуют с матрицами Г как
обычные спиноры и скаляры с матрицами Паули "а. Слабый ток// и чисто
векторный электромагнитный ток /ет выражаются через L,R,7 в виде
h = « 7,A + 7s) Ve = 1L -и 7_ L,
'! = »еЪ A + 7s) е = 2171 т+ L, -A8.93)
1 ~
Jem -е у{е = - (L 7.L - L yt t3L) +R ytR.
Здесь
1 j
L= J 0^H _7s), Л = -ёA+75) A8.94)
или и ,. ЭТом Разделе е uve означают соответствующие биспинорные волновые функ-
и используется система единиц с h = с = 1.
173

означают величины, дираковски сопряженные относительно обычных спи.
норов аналогично A8.18), матрицы г + равны
О 0\ /0 2\
Q), 2r+ = r1+lra=^o Q). A8.95)
компоненты токов в A8.93) объединяются в
изовектор L yirL
и 1 _ _ A8.96)
изоскаляр - (L ytL)+R y,R.
Четыре векторных бозона также образуют в изоспиновом пространстве
изовектор С; и изоскаляр Bt, где / — векторный индекс. Лагранжиан
взаимодействия лептонов с векторными бозонами, инвариантный относи-
относительно вращений в изоспиновом пространстве, имеет вид (калибровочно
инвариантный) *)
Si = -у L Ъг7L С, +g'(*-L7iL+R ytя\в„ A8.97)
где g и g' — независимые константы связи. В обычной записи (без изопрост-
ранства) fii должен содержать члены типа /* . W*,j" .Zt и jemt Л{,
где At — вектор электромагнитного поля (фотон). Из сопоставления
A8.93) и A8.97) видно, что W±,Z и Л,- представляют собой следующие
линейные комбинации С,- и Bt:
w; -
у/2 A8.98)
С*3* = cos 6w %i - sin 6w A/, Bj = sin 6w Zj + cos 6 w
Учтя A8.93) и A8.98) в A8.97),получимfi, в виде
+ cos»^ L yiT3L+sa\ewg'(- L 7tL +R y,Rj\z,+
+ \cosewg'( - I yjL+R y,R}~sin6w - It,t3iU,. A8.99)
Дня того чтобы коэффициент при Ai был электромагнитным током/ет из
A8.93) и входил в лагранжиан с константой связи е (заряд электрона),
нужно, чтобы
^ sin 6w=g'cos6w=ey/4^. A8.100)
*) В теории возмущений вероятности слабых распадов и сечення слабых пронес~
сов определяются матрнчным элементом перехода от одного из слагаемых лаграюки*
на [144].
174

учетом A8.100) коэффициент перед Zt, пропорциональный слабым
нейтральным токам, примет вид
[Ti( A8.101)
4COS0W
Очевидно, что из A8.101) следует структура лептонных нейтральных то-
токов, приведенная в A8.78).
Для построения калибровочно инвариантного лагранжиана хиггсовского
поля его волновая функция <р должна представлять собой скалярный
изодублет, одна компонента которого может быть взята нулем:
Простейший потенциал V (<^), приводящий к спонтанному нарушению сим-
симметрии, и соответствующий вклад в лагранжиан имеют вид
й2 =~ Р(<0) = ^2 I '$ I2 - Л I Ф I4» \<Р I2 = I V* I2 +! <£° I2- A8.103)
Минимум потенциала находится в точке ,
\*\min=~KI\f2=>Jn2l2h. A8.104)
Представив
£°=Х + Х, A8.105)
получаем £2»опуская постоянные члены, в виде
£2=-ЛХ2х2 -АХх3- - X4- A8.106)
Для массивных скаляров вклад массового члена в лагранжиан равен
-т2\2/2. Сопоставляя зто с A8.106), получаем, что в результате спонтан-
спонтанного нарушения симметрии частицы хиггсовского поля приобретают массу
mx=\y/2h . A8.107)
Взаимодействию хиггсовского поля с векторными бозонами отвечает
лагранжиан £3> который в калибровочно инвариантной форме имеет вид
-rCt+i- вА<р A8.108)
2 2/
Учтя здесь A8.98), A8.102)-A8.105), получаем, что в £3 отсутствует
фотон At:
g2
A8.109)
векторных массивных изосинглета Z,- и изодублета W* вклад мас-
массовых членов в лагранжиан равен — /n| ZtZt +m2w WtWf. Сопоставляя
( о. 109), получаем, что эффективные массы бозонов равны
A8.110)
2 cos в w cos в w
175

Для того чтобы масса электрона также приобреталась из-за спонтанного
нарушения симметрии, в лагранжиан вводится инвариантный член*)
& (
который, с учетом A8.91) —A8.94), A8.102), принимает вид
e. A8.112)
Массовый член электрона, как компонента спинорного изодублета в лагран-
лагранжиане равен те cfe, что из сопоставления с A8.112) дает
А
те = — • A8.113)
При малых энергиях е <€ т^, лагранжиан взаимодействия A8.99) может
привести к виду теории УСВ [86]. При этом константа слабого взаимо-
взаимодействия выражается через константы, лагражиана A8.99) в виде
с учетом A8.100) и A8.110) имеем
Gw 1 4яе2
—
v/2 2X2 S/n^sin^w
Из A8.115) и A8.110) с учетом A8.79) следуют оценки массы
4яе2 \1'2
) 7
08.114)
гл о 1
4яе2
«z = . пг„ . ,: тг- ~89'5ГэВ
Фотоны Л,- в силу A8.109) и нейтрино в силу A8.102) в данном варианте
теории оказываются безмассовыми, но масса нейтрино может быть приоб-
приобретена, если в теорию добавить правый нейтринный синглет Rv = v
аналогично A8.92), и лагранжиан его взаимодействия с хиггсовским полем
A8.102) аналогично A8.111) (см, [172]). Полный лагранжиан электро-
электрослабых взаимодействий пептонов с учетом A8.97), A8.103), A8.108),
A8.111) или в другой записи A8.99), A8.106), A8.109), A8.112) имеет
вид
*) Здесь + означает эрмитовски сопряженный дублет в пространстве слабого изо-
спина.
176

де-иб ' соответствует свободным векторным бозонам [86]
= - cik cik + - Bik Bik,
ik = -^- - -£- +g [ Ci X Ck ], A8.118)
bBt ЪВк
Ъхк Ъх{
- свободным пептонам [86]
ал _ ы
R Ъ dxt +' Ъ dxt
Суммирование в A8.117) осуществляется по трем сортам пептонов.
Слабое взаимодействие с адронами включается в теорию Вайнберга—
Салама через кварки. Шесть кварков разделяются на три левых дублета,
1Ts /\
например ( ), типа A8.91) и каждому кварку соответствует
2 ^d' 1-Ts 1-Ts
правый синглет типа A8.92), например и и d, так как все
кварки являются заряженными и массивными. Лагранжиан^взаимодействия
£в слабого кваркового тока с векторными бозонами С,- и Bt строится
аналогично Si из A8.99) инвариантным в изотопическом пространстве и
также разделяется на заряженный и нейтральный слабые токи и электромаг-
электромагнитный ток. Усложнение по сравнению с лептонными токами состоит в том,
что нужно учесть возможность слабых переходов между кварками не только
внутри каждого дублета, но и между дублетами. Это достигается введением
двух углов смешивания, первый из которых, определяющий переходы с
изменением странности, называется углом Кабибо (см. конец п. б). Введе-
Введение смешивания не нарушает перенормируемости теории и не вносит прин-
принципиальных трудностей. Смешивание, приводящее к превращению различ-
различных типов нейтрино друг в друга, также может быть введено в теорию
[544а]. Структура кварков ых и адронных слабых нейтральных токов
A8.78) и A8.80) определяется структурой лагранжиана £6, аналогично
лагранжиану £1 для пептонов.
Требования калибровочной инвариантности, накладываемые на лагран-
лагранжиан, в сочетании с экспериментальными ограничениями привели к пред-
предсказанию в 1970 г. существования четвертого кварка, который был открыт
в 1974 г., и шестого кварка, который не наблюдался до сих пор.
Отметим, что для условий, реализующихся в звездах се< 100 МэВ
Дополнительный вклад теории Вайнберга—Салама, по сравнению с теорией
УСВ состоит в установлении существования и вида нейтральных токов,
играющих существенную роль на поздних стадиях эволюции и, особенно,
при взрывах сверхновых.
Задача 1. Доказать, что Vt из A8.19) является вектором.
Решение. Согласно [17, 230], преобразование Лоренца для дираковски
сопряженного спинора ф из A8.18) есть
12- Г.С. Бисноватый-Коган 177

Тогда преобразование F,- с учетом ( 18.11), A8.14) имеет вид
Таким образом матрица преобразований Vt совпадает с лоренцевской ддя
вектора A8.12), что доказывает его векторную природу.
Задача 2. Найти сечение захвата стабильным ядром (A,Z) электрона
с энергией ее, считая (Ftl/2)Z-i известным, а переход разрешенным.
Решение. Вероятность распада ядра (A,Z - 1), согласно A8.61) равна
= 1L- 2 DffJ
h z~l BяпN ве+е"- z~
где I M |J_, = const, Fo определено в A8.63). Вероятность захвата яд-
ядром (A,Z) электрона Ц^ахв с энергией ее при концентрации пе по анало-
аналогии с A) равна
\М\\
B)
Здесь \ M\z = -~ | М\ z _1g z _ j /gz ввиду усреднения по спинам электро-
электронов в B) вместо суммирования в A) и возможной разницы статистиче-
статистических весов начального и конечного ядра. Находя (Ftl/2)z _j из A) с уче-
учетом A8.64) и подставляя в B), получаем
захв _ gZ-\ 2/ h Y яе1л2 (ee-Az_i,zJ „,
z gz \mec/ (FtU2)z_1 (mec2J
Сечение захвата электрона ядром, согласно A8.82) с учетом A8.62) равно
ЗЯХ11
- — ( ) Г £е- Z-1.Z ___ s
(см2), D)
захв
"e^e ^Z
^z_, 1,313-Ю-41 (ме-6J
iFti,2 )z- i УГ^"
v e
Me > 5
178

Пои 0 < ^ < 1 ядро (A, Z. — 1) стабильно относительно излучения е" , но
ядро D 2) может Захватить покоящийся электрон (К-захват) [212].
для этого случая C), D) неприменимы, так как бета-распад ядра
(A, Z. - 1) отсутствует.
Задача 3. Найти вероятность захвата электрона ядром с атомной
К-орбиты. ао ^
Решение. Размер К-оболочки атома равен — = — (см. § 4, п. ж),
Z me e Z
а средняя плотность электронов внутри заполненной К-оболочки с двумя
3 Z3
2-п а%
электронами есть nt = — . При расчете вероятности К-захвата нужно
4 _ 2 Z3
учесть пе @) = — ие = — [84]. Используя это в B) задачи 2 получим
3 я а0
(«е -
= 2 Г (aZL-f4 ^(«е-5J (с"),
б < ие ^ 1 для связанного электрона.
Задача 4. Найти вероятность захвата электрона ядром (A, Z) в вы-
вырожденном веществе с плотностью р.
Решение (Франк-Каменецкий, 1962 [216]). В вырожденном веществе
при /е = 1 при ее < ере + wec2 (см. B.2)) вероятность захвата электрона
определяется аналогично B) задачи 2 формулой
в Sz—i 2 я
Z~~gz~V ■
/72^4[^o("Fe)-^oE)] =
(eFe//72eC2)+l. A)
•здесь F0(u) определено в A8.68). При uFe >д приближенно получаем
,., Sz-л In 2
12' 179

Задача 5. Найти полную вероятность захвата вырожденных электродов
ядром в газовой модели с учетом возбувденных уровней конечного ядра.
Решение [54]. Ядро представляется в виде однородной сферы радиуса
е2
R= -А1'3 = 1АА1'3 • КГ13 см. A)
2тес2 '
Граничные значения импульса Ферми протонов р0 и нейтронов q0 в ядре
равны
1/3hc /2Z\1/3 /2Z\1/3
/2N\1/3 B)
q0 ~ 417 ( ) тес, N = А - Z.
\А /
Вероятность захвата электрона в вырожденной плазме, после интегрирова-
интегрирования по объему ядра Vn и фазовому объему dNn равна
We=~\M\2Vn f dNvdNpdNeS (Ее + Ер-Е„~Еп),
h
, pev = I pe - Pv I, C)
m
3
ZP
= *p
= COS
+
2
Pev
2m
* ->
>e~i, P
P
+ —
P).
3Z/2wh\3 4
Здесь m ** /ир/2 — эффективная масса нуклона, в ядре, Fn — объем ядра,
| М |2 = const < | Л/1 ^ из A8.60) - средний квадрат матричного элемента
(рп) — перехода, просуммированный по спинам е, v и п и усредненный
по спинам р. Учитывая
d3pe 2r:pldpedze d3pv 2tip\,dpvdzv
liy = =dM =
Br:hK Br:hK '
d3pp 4 7TP2pdppdzp
p BwhJ BwhK
н интегрируя по азимутальным углам, получаем
2w , BяK
^e=— \MV2 Vn f pedpedzepidpvdzvpP X
X dppdzpS[Ee - Ev e" P). E)
\ 2m m /
Найдем пределы интегрирования в E). Очевидно, что
Ре < Р?е, Рр < Ро, Рп > Яо- ^
Приближенно примем нуклоны нерелятивистскими, а электроны — ультра-
ультрарелятивистскими. Для нахождения нижнего предела интегрирования
180

no dpv запишем закон сохранения энергаи в четырехфермионном процессе
в виде
п2 = Р — 2тс(р - р ). п)
Рр n e v >
В силу условия рп >^0 получаем
р2 > q% - 2тс(ре - р„) = р\. (8)
С друг°й стороны, из б-функции в E), связанной с законом сохранения
энергии,следует
тс(ре - Pv) I Pev
Очевидно, что минимум рр достигается при zp = 1,
Рр > — - P* ■ 00)
Per ^
При интегрировании по dpp выбирается тах(р,, р2). Интегрируя в E)
по dzpdPp с учетом полученных пределов, имеем •
4я , B яK , , т
We= \М\2- —Vn f pldpedzep2vdpvdzv X
h Brrh)9 2Pev
(Ро - Pi) при p, > p2
A1)
(Po - Pi) при р, < p2
Найдем теперь пределы интегрирования по dzvd.pvdpe. Из (8), A0) сле-
следуют условия
Pi < Ро при р„ < р„2, A2)
Рг < Ро при zv < zv0, A3)
где
г„ - COS ( ре Pi;),
Pi;2 = Ре - (ql ~ Pl)l2mc,
Z = (Pi + pi - X20)l2pepv,
Vpo + 2тс(ре - pv) - р0.
Найдем условия использования верхнего выражения в A1):
Pi > P2 при zv < zvl, A5)
где
= (Р
(Ро
- 2тс(ре - р„).
181

Из A3), A5) следует неравенство
zvX < г„о при pv <pv2, A7)
выполняющееся при том же условии, что и A2). Очевидное условие
г„, >-1 дает
г,,, > -1 при pv > pvi, A8)
где
Pv\ = Qo - Ре + тс - \/(q0 +mcJ — Лтсре. A9)
Сопоставление A2), A7), A8) дает
Pv\ < Pv2 При ре < pei, B0)
где
Чо + Ро Яо- р\
p +
pei .
2 4тс
Условие г„0 >-1 дает
zv0>-\ при Р»>Р„о, B2)
где
Pvo = [(тс + р0J + 4тсреI'2 - ре - р0 - тс. B3)
Из A7), A8), B2) следует
Pv\ > PvO При ре > РеО, B4)
где
Чо - Ро Ф>- Ро
РеО = ; г + — B5)
2 4тс
Верхнее соотношение A1) дает вклад в We при следующих пределах ин-
интегрирования:
РеО < Ре < Pel , P"l < Р" < Р, -\ < Zv < ZvX B6)
Использование нижнего соотношения A1) требует
Р\ < Рг при г„ > zvl B7)
наряду с неравенствами A2) и A3). Следует различать два случая:
г„| > — 1 при р„ > р„1, тогда zv > zvl B8)
zvX <—1 при pv < Pvi, тогда zv >—1. B9)
Из B8) и A3) следуют условия A7) и B0), остается справедливым также
условие B4). Тогда при выполнении B8) используются следующие преде-
пределы интегрирования:
РеО < Ре < Pel, Pv\<Pv<Pv1, zv\< Zv<Zv0. C0)
Условие B9) при выполнении A2) приводит к двум вариантам:
Pvl<Pv2 ПРИ Pe<Pel, ТОГДЭ Pv < Pv\\
Pv\>Pv2 При Ре > Pel, ТОГДЭ Pv<Pv2-
182

При условии C1) справедливы неравенства A37), B2), B4), B9), из ко-
которых следуют пределы интегрирования
п л ^ Da ^ Pelt PvO ^ Pv Pi* 1 * — ^" ^vO• v^^J
Из условия C2) совместно с B2) следует неравенство
pv2>Pv0 ПРИ Ре > Pel, C4)
совпадающее с условием pv2 < Рм- Условия B9), C2), A3), B2), C4),
F) приводят к следующим пределам интегрирования:
Pel < Ре < PFe. PvO<Pv<Pv2- -\<Zv<ZvQ. C5)
Очевидно, что -1 < ze < 1. При pFe >pe\ вероятность захвата A1) со-
состоит из четырех интегралов: одного с верхним членом в A1) и пределами
интегрирования B6) и трех с нижним членом в A1) и пределами интегри-
интегрирования C0), C3), C5). При pFe < Pel интеграл с C5) выпадает, а
в B6), C0), C3) нужно взять ре < pFe вместо ре < pei- В общем виде
We приведено в [54]. Для практически интересного случая
p2ve < тс(ре - Pv) < Ро, ql C6)
получаем
4я BяK 8mcql
WP = г, I M\ Vnm С— — pK,eVei Рк,е~РКе ~РеО>
h BяЬ)9 3(mc + q0K
C7)
I 2 1 / qo\ 1 , / qo\
^e = - Рк,е + T РеОРк.е I2 ) + T PeOl 1 ),
6 5 \ me/ 4 \ me/
2
PeO= "
4
Выражая |М|2 через вероятность захвата мюона из ^-оболочки, вычислен
ную в той же газовой модели ядра, получаем
„ ^ А- ^ , C8)
2п \гетцс/ Ze 3(mc + q0K рк,ц <РЦ
где
Ze=Z[l+(Z/42I-47]-'/1-47,
1 1 2 2
2
3 3 4 4
и1ц — РиОц Pvlfi — PvOfi
Рк,ц 3Рк,ц
In ^^ , C9)
PvOfi
- (q20 - pl)/2mc - pvltl,
+ q0 - [(mc+qof -2ттцс2] 1/2,
2 +2ттцс2] 1/2.
183

Из C7) следует, что учет возбужденных состояний повышает степень зави-
зависимости We oTpFe : ~ рре в C7) вместо ~PFe B задаче 4, при рре >
^ (Ьтес, Рео)- Экспериментальные величины W^ для различных ядер даны
в [74]. Сравнение с расчетами по более сложной оболочечной модели ядра
[73] показывает удовлетворительную точность формулы C8).
§ 19. Нейтринное охлаждение звезд
На всех стадиях эволюции вплоть до образования плотного ядра при
коллапсе, нейтрино свободно уходят из звезды и являются источником
охлаждения. Рассмотрим наиболее важные процессы образования нейтрино
в звездах.
а) Аннигиляция пар е+ е-. При высоких температурах и небольших
плотностях идет процесс рождения нейтрино при аннигиляции пар
е* + e~^-v+v. A9.1)
Сечение реакции A9.1) определяется произведением заряженных токов
(v~c£ e") (v + Of e+ ) и нейтральных (^"Оре") (vO^v). Здесь Of - ле-
левый оператор из A8.20), а Оп'е и On'v приведены в A8.78). Последнее произ-
произведение дает вклад в сечение реакции A9.1) ввиду того, что рождение ет
эквивалентно уничтожению е+, а уничтожение v — рождению v. Сечение
A9.1) за счет заряженных токов расчитано в [268]. В [336] были учтены
нейтральные токи типа VeOive, а в [496] сделан учет нейтральных токов,
связанных со всеми типами нейтрино. Выражение для сечения, полученное
в [496], с учетом A8.82) имеет вид
(р,р,J 1 .
+
A9.2)
2 V т\сг)\
Здесь pi, Pi, e, е' - 4-импульсы и энергия электронов и позитронов,
соответственно, и — относительная скорость е+, е".
2 2
cv= - + 2sin26w, сА = Щ, A9.3)
1
cv= +2sin20n,, сД = — 1/2.
Величины Су нсА соответствуют сумме заряженного и нейтрального токов,
связанных с ve, a cv и Сд, отражают вклады нейтральных токов других
сортов нейтрино, п — число сортов нейтрино, отличных от ve, сейчас извест-
известно п- 2 (см. A8.3)). Для заряженного тока [268] сечение получается из
A9.2) при г+ = 1, г _ = 0 и /? = 0. Скорость потери энергии за счет реакции
A9.1) есть
dne+. A9.4)
184

p2dpd cosddip
A9.5)
+ exp,
1 kT
с учетом B.2), B.4), B.11), но в отличие от B.4) сохраня-
сохраняется угловые дифференциалы в импульсном пространстве. В A9.2) по
сИинам е+, е" проведено усреднение, поэтому в A9.5) учтена двойка за счет
статистического веса. Интегрируя в A9.4) с учетом A9.5), имеем [496]
1/2 1/2 i/2 (эрг-см-с). A9.6)
Функции G^(a, 0) аналогичны интегралам B.10) и имеют вид
" <197)
Здесь а = mec2/kT и /3 = /и,е-ДГ определены в B.8), jc = е/кТ =
= у/р2с2 + тес /кТ. Асимптотические значения Gpair даны в [268] для
заряженных токов и в [336] с учетом нейтральных токов при п = О.В слу-
случае пФ 0 в различных пределах имеем для бра;г
ю 1
— е~2а, а>1, Р<а, (НРНВ)
1Гтес \ h / ос
G-ш /т^с \ 1 р _./..вч
тес \ h / a-'- utzmu
(НРВ)
а3'2 \а/
A9.8)
127,8 G\, /mec\10 1
— , а<1, Р<1, (РНВ)
а9
>, а<1ш
Отличие первых сомножителей от единицы в A9.8) происходит за счет
нейтральных токов. При выводе A9.8) разложения в A9 7) проводились
с помощью формул, аналогичных B.50), B.51), B.24) , B.40), B.43), nz -
число нуклонов на один электрон из B.17), (Н)Р- (не) релятивистский,
(Н)В- (не) вырожденный случаи.
185

б) Фоторожденне нейтрино. При низкой плотности и не очень высокой
температуре Т < 4 • 108 К важным источником нейтрино является реакция
7 + е~-> е~+ v+ v, A9.9)
называемая фотонейтринной. Сечение этой реакции вычисляется значитель-
значительно сложнее предыдущего и сводится к пятимерному интегралу, который
вычисляется методом Монте-Карло [336, 496, 543, 562]. Интерполяцион-
Интерполяционные формулы, составленные на основе этих расчетов в [268, 562] даны
ниже. В предельных случаях фотонейтринные потери с учетом только
заряженных токов определяются формулами [543, 185]
0,976 -1081% pIhz , а > 1, 0 < а (НРНВ)
4,851 •1011r|Oo/juzI/3, а>1, 1+а«0«2а (НРВ)
1,477 • 1013 r|(lgr9 - 0,536), а< 1, 0< 1 (РНВ)
1,514- 1013Г<?, 0>1, р/а> 1. (РВ)
A9.10)
Нейтральные токи в предельных формулах можно учесть с помощью
A9.28), A9.29).
в) Плазменные нейтрино. В плазме электромагнитные волны испытыва-
испытывают дисперсию и поглощение и называются плазмонами Г. Дисперсионное
уравнение для плазмонов содержит член ~ hcjp,. эквивалентный энергии
покоя, что допускает рождение нейтрино при распаде плазмона -[185]
Г-^v + v. A9.11)
В случае нерелятивистских невырожденных электронов электронная плаз-
плазменная частота и?р = 4ттее2/те (см. (8.60)). В общем случае для попереч-
поперечных (/) и продольных (/) плазмонов имеют место дисперсионные урав-
уравнения [268]
2_ 2+ 2 2 * 2 2 2
3 5 ' A912)
5
Здесь к — волновой вектор. Соотношения A9.12) записаны без учета
теплового движения электронов, члены с cji определяют релятивистские
поправки к плазменной частоте. Величины а^ hcji равны
4е2
'-3/2 " "-3/2J
f
A9.13)
/hw, V 4ez
где функции С* определены в A9.7). Потери энергии из-за реакции
A9.11) для заряженных токов имеют вид [268]
оо V./-J.2 _-,2ч1/2
* / *—: *.
у е - 1 A9 14)
186

где
A9.15)
kT
В предельных случаях имеем [268]
4
(РВ>
при Р/а> 1, а<1 A9.16)
/г.о;Л2 8ч/2 е2 /eFe\3/2 р е2 / h V 2 ,нрт
7 =( ) = Val } = 4я — ( а' (НРВ)
\кТ/ Зтт he \кТ/ HZ™U Ъс \тес/
при а-^/3-^20, а> 1,
при у«1*),
Г A9-18)
- у3'2 при 7^1,
4
. f /1078аЧ) при
^|h=\ 105 • /f
I ,4079a-9E/3K/W3/2 V- при 7> 1.
8
С учетом нейтральных токов A9.3) потери энергии за счет плазменных
нейтрино равны [496]
Gplasm = (С 2V + nc'v2){Qfh + gfh) A9.20)
г) Интфполяцисжные формулы. Интерполяционные формулы для трех
рассмотренных выше процессов потери энергии за счет рождения нейтрино
получены для заряженных токов в [268] и с учетом нейтральных токов
в [496]. Более детальные расчеты в [562] аппроксимируются интерполя-
интерполяционными формулами, причем
Gtot = Gpair + Gphoto+ Gplasm- A9.21)
Для всех видов потерь эти формулы записываются в виде
При этом
K(p,a)=g(a)e-2a для d=pair, A9.23)
*) Здесь использовано равенство [ 145] / — = Г OOfOO, см. также B.37).
о ех-\
187

где
13,04 133,5 1534 918,6
*(а)=1 V-+-T-+—Т + —б~; A9-24)
а2 а4 а6 а8
K{p,a)=(plnz)oi* для d= photo; A9.25)
К(р, а) = (p//uzK для d= plasm; A9.26)
J«.
Коэффициенты с, а{, Ь{ для различных d даны в табл. 21 из [562]. Форму-
Формулы A9.22)-A9.27) аналогичны формулам работы [268] для заряженных
токов. В предельных случаях учет нейтральных токов сводится к умноже-
умножению результатов [268] на постоянный коэффициент. В нерелятивистском
случае этот коэффициент D^p есть
D Photo = 1 (fv + »<2 ) + 7 & + «а2) = 0.7791, A9.28)
о 6
^ =0,925.
В улырарелятивистском случае коэффициенты £)£ равны
^pair = \ <Pv + "C^ + с\ + л^ ) = 0,8375,
2 ncv + ^ + *<#)= 0,8375, A9.29)
При этом для коэффициентов из A9.3) положено sir?6w = 0,23, /7 = 2.
Коэффициенты A9.28), A9.29) можно использовать для учета нейтраль-
нейтральных токов в A9.8), A9.10). Формулы A9.21) —A9.27) определяют нейт-
нейтринные потери за счет указанных процессов в области 10 <р < 1014 г • см~3,
108'2 < Г < 101 * К с точностью < 20% для всех видов потерь [562]. Ин-
Интерполяционные формулы для Gpaif дающие высокую точность в области
больших температур, получены в [67].
д) Потери энергии за счет урка-процессов. При температуре Т~> 109 К
важную роль в охлаждении начинают играть захваты е * ядрами и следую-
следующие за ними е±-распады и е+-захваты:
(A,Z) + e±^(A,Z±l) + v± (a) (v* = ve\
(A,Z±l)^(A,Z) + e±+v+ (в) A9.30)
(A,Z±l) + e*^(A,Z)+v:f (с).
Реакции A9.30) с участием электронов впервые рассмотрены Г. Гамовым
188

Таблица 21
Коэффициенты в формуле A9.22) из [562]
Процесс
10*К<Т< 1010К
пары
(pair)
фото
(photo)
плазма
(plasm)
5,026A9)
3,897A0)
2,146 (-7)
1,745 B0)
5,906A0)
7,814 (-8)
1,568B1)
4,693 A0)
1,653 (-8)
9,383 (-1)
6,290 (-3)
2,581 (-2)
-4,141 (-1)
7,483 (-3)
1,734 (-2)
5,829 (-2)
3,061 (-4)
6,990 (-4)
5,5924
1,5654
0,56457
пары
(paii)
фото
плазма
(plasm)
5,026A9)
3,897A0)
2,146 (-7)
1,745B0)
5,906A0)
7,814 (-8)
1010К
1,568B1)
4,693A0)
1,653 (-8)
<Т <10"
1,2383
6,290 (-3)
2,581 (-2)
К
-8,1141(-1)
7,483 (-3)
1,734 (-2)
0,0
3,061 (-4)
6,990 (-4)
4,9924
1,5654
0,56457
и М. Шенбергом A941) в качестве механизма охлаждения звезд. Идея
пришла к ним в казино Де Урка в Рио-де-Жанейро, давшем название этому
процессу. Реакции с участием позитронов в A9.30) были учтены позднее
B.C. Пинаевым A963). Скорости е*-захватов определяются интегралом
A) задачи 4 § 18, в котором нужно учесть дополнительный множитель/е
из B.2). Аналогично скорости е*-распадов в веществе определяются
интегралом A8.61) с дополнительным множителем A — /е).
Потери энергии за счет урка-процессов существенно зависят от ядерного
состава вещества, который в свою очередь зависит от реакций A9.30).
В общей самосогласованной постановке задачи в условиях ядерного равно-
равновесия состав определяется решением уравнений C.3), C.6). Выражения
для скоростей потери энергии нейтрино отличаются от соответствующих
скоростей реакций наличием в подынтегральных выражениях дополнитель-
дополнительных сомножителей (см. A8.52)) (ее — Az'z) Для реакции (а),
(Az'z — ее) Для реакции (в) и {J^z'z + ео) Для реакции (с) из
A9.30)*). Если считать известными значения (Ftl/2)z> (см. A8.62) —
A8.65) и задачи 2—4 к § 18) то вероятности реакций и скорости по-
потери энергии на одно ядро можно представить в виде [85]
g7. In 2 / kT V
gz (Ft1/2)z- WV
gz
A9.31)
*) Ядро (A,Z) считается стабильным, так что
189

In 2 /kT \5 ,
(Ftll2)z\mec2J 2'
In 2 / kT
(
. , In 2
(/>r
При интегрировании по спектру е* значения энергии ее лежат в пределах
Az-Z<ee<°° (a),
mec2<ee<Az-z (в), A9.32)
тес2 <ее<» (с).
С учетом A9.32) интегралы в A9.31) имеют вид*)
!x(x+xo)v/(*+*o)adK , ^,
= J , к = 2,3
о l+exp(jc +jc0 -/3±)
- (х +х0 + а)к(х + а)у/х2 +2axdx
Jk=f ; г , А:=2,3 A9.33)
о l+exp(jc+a-0±) v
., X«-Q (Jc0 - а - jc)*(jc + a)y/x2 + 2ax dx
0 l+exp(/3± -jc-a)
Здесь
jc0 = Az-z/kT, /3_ = /3, 0+ = - /3, см. B.11) A9.34)
В [85] выписаны аналитические выражения для Ik и Jk, полученные раз-
разложением в ряд подынтегральных выражений при a < x. В общем случае
4. -Ль а также l'k могут вычисляться численно с помощью B.57).
В [111] сделан приближенный расчет нейтринных урка-потерь, где
вещество предполагалось состоящим из смеси нуклонов и железа, кон-
концентрация которых определяется уравнениями C.3) и C.5) с ц„ = 0.
Результирующая интерполяционная формула имеет вид [111]
Gurca = 1.3 • Ю9рс*(Г)Ф(*) Т% зрг • см-3 • с, A9.35)
*) Без учета кулоновских поправок.
190

где
1 при Тд < 7
664,31 + 51,024(Г9 - 20) при 7 < Т9 < 20
1664,31 при Т9> 20,
1 при lgx<-0,2
-O,128334(lgjcJ - 0,036 lgx + 0,997933 при - 0,2 < lgx < 0,8
-0,348 lgjc + 1,1654 при 0,8 ^ lgx < 2,3
0,0601682 (lgxJ - 0,543177 lgjc + 1,29602 при 2,3 <lgjc < 4,2,
A9.36)
/ h U/--!
x =-
m.
\mee
=7-0859510
I 9
В [168] аналогичные расчеты были проделаны с учетом большего" числа
сортов ядер в соответствии с [224]. Отличие от A9.36) имеет место при
р ~ 109 г/см3 и Т9 <5, где расчет [168] дает некоторое увеличение Gurca.
связанное с бета-распадом ядер ssCr и S3V, у которых ер = 2,6 МэВ и
3,4 МзВ соответственно (см. D.1)). Подробные таблицы скоростей реак-
реакций A9.30) и нейтринных потерь отдельных ядер с учетом возбужденных
состояний начального и конечного ядра приведены в работе [367] для пере-
переходов 26А1 *-*- 26Mg, 30Р ♦+ 30Si, 31 S ♦+ 31Р, 32S\** 32Р, 33S «-»• 33Р,
3SC1 ■*-*■ 3SS. При этом учтены как е+-распады, так и е*-захваты. Расчет про-
проводился с помощью значений Fr i/2 между различными ядерными уровня-
уровнями при учете кулоновских поправок. В работах [368—370] аналогичные
расчеты были проделаны для 226 ядер с А - 21 -i- 60. Урка-процессы для
наиболее распространенных в природе ядер 12С, 160,2oNen др. исследова-
исследованы в [269].
Интересная особенность урка-процессов и их роль в охлаждении очень
плотного вещества с ере ^ ЬТ рассмотрена в [217], При низкой темпера-
температуре концентрация позитронов мала (см. § 2, п. а), а фазовое простран-
пространство электронов почти заполнено, так что электронный захват в реакции
A9.30а) при той же плотности не сопровождается реакциями (в) и (с).
Ситуация меняется, если в звезде имеется конвекция и вещество совершает
колебательное движение. Вокруг границы ере = A^'z ~ meC2 ПРИ боль-
больших плотностях происходит е~-захват, а при меньших — е~-распад. Таким
образом, нейтринные потери происходят в результате реакций с е~ из
A9.30), проходящих по разные стороны от границы eFe = Azlz - тес2.
В [217] оболочка звезды вблизи eFe = Az'z ~ mec2 была названа урка-
оболочкой. Учет нейтринных потерь из урка-оболочек может быть сущест-
существенным на стадии вырожденных предсверхновых звезд перед термоядер-
термоядерным взрывом [526, 349]. В [217] рассматривались урка-оболочки элемен-
элементов с нечетными А, обладающие невысоким порогом захвата электрона:
35
С1
.3S(
+0,168 МзВ,
1,48МзВидр.
191

е) Другие механизмы охлаждения за счет излучения нейтрино. В работе
[363] указаны другие механизмы нейтринного охлаждения звезд:
тормозное излучение
е*+(А, Z)->e±+(A,Z) + v + V, A9.37)
фотон-фотонное взаимодействие
у + y->v + v и
7+7-*7 + »'+U A9.38)
фоторождение нейтрино в поле ядра
y+(A,Z)-(A,Z) + v + v. » A9.39)
Расчеты показали [363, 268], что охлаждение за счет реакций A9.37)-
A9.39) всегда мало по сравнению с реакциями, рассмотренными выше.
§ 20. Нагрев вещества при неравновесных бета-процессах
Когда реакции слабых взаимодействий протекают в условиях, далеких
от термодинамического равновесия, их результатом может явиться наг-
нагрев вещества, несмотря на нейтринные потери энергии. Наиболее простым
является пример распада бета-радиоактивных ядер при малых температу-
температурах вещества кТ < ер (см. D.1)). Рост температуры происходит за счет
термализации быстрых электронов, возникающих при бета-распадах. В
астрофизических условиях неравновесными процессами часто являются
бета-захваты при высоких плотностях, когда ере > ер.
Рассмотрим вещество, состоящее из ядер (A, Z), при нулевой температу-
температуре с электронной функцией распределения /е из B.2) в виде ступеньки
(рис. 23, а). Пусть в результате сжатия eFe превысила величину е^. Если
сжатие происходит медленно (адиабатически), то электроны с края сту-
ступеньки успевают захватываться ядрами. При этом энергия вылетающих
1
1
в
Рис. 23. Нагрев холодного вещества при неравновесном бета-захвате
нейтрино е„ *» 0, ступенька сохраняет свою форму, энтропия и температу
ра остаются нулевыми. При быстром сжатии возникает конечная разность
eFe ~ ер и все электроны cep<ee<eFe могут быть захвачены ядром
(A, Z). В результате захватов возникают дырки в функции распределе-
распределения /е (рис. 23, б). Тепловая релаксация приводит к -сглаживанию функции
/е, которая примет форму, отличную от первоначальной ступеньки, с нену-
ненулевой температурой и энтропией [282] (рис 23, в). Таким образом, быст-
быстрое сжатие является неравновесным и сопровождается необратимым рос-
ростом энтропии.
192

а) Скорость неравновесного нагрева. Для вывода скорости нагрева при
неравновесном бета-захвате электронов в реакции A9.30а) воспользуемся
вторым законом термодинамики для системы частиц переменного состава
[145, 56, 503], записанным для единицы массы:
Р Qv
dE — dp = TdS + Xntidnj=dQ= dt. B0.1)
pi P
Пренебрегая влиянием температуры на скорость реакции и скорость нейт-
нейтринных потерь, получаем из A9.31), A) задачи 4 § 18
gz (Fh/2)z' 6
gz /
(a)EH I" 2
[Fo (MFe) - Fo E )] (реакций в 1 с на 1 ядро), B0.2)
gz (Ft1/2)z'
gz' 1" 2
[Fe(uFe) -Fe(8)] (зрг с на 1 ядро), B0.3)
gz У
о (и) определено в A8.63), а
Fe(u)= [40м5 - 1445м4 + 10и3(Ш2 - 1) +
2
+ 165м2C-552)-15мA +652)+165F+ 552)] -
1+652 п
In (>/м2 - 1 + и). B0.4)
С учетом B0.2), B0.3) имеем
G,=^,zG@)- B0-5)
Химические потенциалы нерелятивистских ядер и холодных электронов
равны
2 -iC2, Hte *»eFe + mec2. B0.6)
С учетом B0.2)-B0.6) получаем из B0.1)
рТ- [(eFe +mec2 - Az-Z) W™ - Q™] nA-Z =
dt
= —- r-nA.zmec2i(uFe -5)[F0(MFe)-F0E)]-Fe(MFe)+FeE)>.
gZ (Ftl!2)z' B0.7)
При MFe > 5 > 1 имеем
MFe «s "Fe «6
5 5 6 ппял
dS gz- In 2 , uU - 6* B08)
pT ^ nA z mec .
dt gz (Ftl/2)Z' A'Z 30
13. Г.С. Бисноватый-Коган 193

Таким образом, при uFe > 5 > 1 на нагрев вещества идет в 5 раз меньше
энергии, чем на нейтринное излучение. В [108] отмечалось, что прииГе >8
нейтрино уносит 5/6 eFe энергии на каждый акт захвата электрона. При
мГе *«5 имеем
B0.9)
12
т.е. на нагрев идет в три раза меньше энергии, чем на нейтринное излучение.
В общем случае при учете температурных поправок вместо B0.7) имеем
рТ = [(л,е - ut.z-г +nt,z) И*"> - б(в)] nA,z B0.7а)
с общими формулами B.9) и C.2) для ц{. В [186] исследовалась зависи-
зависимость неравновесного нагрева от температуры и показано, что при кТ >
> 0,24 пгес2 для реакции B0.14d) нагрев сменяется нейтринным охлаж-
охлаждением.
б) Учет захвата на возбужденные уровни конечного ядра. При захвате
на возбужденные уровни энергия возбуждения переходит в тепло и эф-
эффективность неравновесного нагрева увеличивается. Эта роль возбужден-
возбужденных уровней отмечалась в работах [56, 187]. В [54] неравновесный нагрев
с учетом возбужденных уровней рассчитан в газовой модели ядра (см. за-
задачу 5, § 18). Для вычисления мощности нейтринного излучения следует
вычислить интеграл, получающийся из E) данной задачи умножением под-
подынтегральной функции на cpv. Выполняя расчет в приближении C6) задачи
5 § 18, получаем [54J
"Ve_ *L_ B0.10)
е (у 4
2я \гетцС / Ze 3(mc+qoy pKtfl ^
rfleZe, ^.Рк.е.Рк, и определены в C7), C9) задачи 5 § 18, а
1
C2
*+—)ploPtc,e + -(l-xJplo; Х=—. B0.11)
5 5 5 / 4 тс
При рке > ре о средняя энергия испускаемого нейтрино с учетом C8)
задачи 5, § 18 и B0.10) есть
_ G(o) 6w2c2+0,2^
е„ = — = -— -—— eFe * 0,6 eFe B0.12)
We 7mc(mc+q0)
_ 5
вместо е„ eFe в аналогичном случае без учета возбужденных уровней.
6
Уравнение для изменения энтропии с учетом возбужденных уровней опре-
194

деляется первым равенством в B0.7) или B0.7а) при lV(o) = We из C8)
задачи 5 § 18 и Q<°) из B0.10). Величина Az-Z по-прежнему определяет-
определяется разностью энергий основных состояний ядер A8.5).
в) Двуступенчатый неравновесный захват электронов в белых карли-
карликах вблизи чандрасекаровского предела. В центральных областях массив-
массивных белых карликов с массой, близкой к предельной MCh, происходит ре-
реакция нейтронизации, причем при малом, но'конечном ядре новой фазы
белый карлик остается устойчивым ([191], см. § 45). Ввиду большей
устойчивости четно-четных ядер по сравнению с нечетно-нечетными, поро-
пороговая энергия электрона, необходимая для его захвата четно-четным ядром
(A, Z), больше соответствующей энергии для нечетно-нечетного ядра
(A.Z-1)*):
bz-i.z>*z-2.z-i- B0.13)
Тогда при eFe = ер (A, Z) > ер(А, Z — 1) (см. D.1)) захват электрона яд-
ядром (A, Z — 1) происходит неравновесно и сопровождается нагревом. В
[56] рассмотрен тепловой эффект данной реакции для некоторых цепочек:
(a)?^S(O+)-!lP(l+)-^Si(O+), A708; 213)
(b)?lArB-)-?!ClB-)-?lS@+), D810;3000)
0+), C524; 583) B0.14)
3+)^^Cr@+), C809; 109; 1610)
(e) !£Ni@+) ^f ?Co*B+)-> 26°CoE+)^ f°Fe(O+), B890; 60;260)
(i)i8Zn(O+)-25§Cu(l+)-25gNi(O+), B630, 200).
Здесь справа в скобках указаны ер (в кзВ) для двух последовательных
переходов. При образовании возбужденных ядер 56Мп* и s6Co* вторая
цифра в скобках определяет энергию возбуждения промежуточного ядра.
Рядом с названием элемента указаны спин и четность ядра в основном сос-
состоянии или в соответствующем возбужденном. Принимая приближенно
1
B0.8), что на нагрев идет ~ - eFe на один захват электрона, получим, что
6
в реакциях B0.14) выделяется 249; 302; 490; 476; 498; 405 кзВ соответст-
соответственно. При этом в реакциях (d) и (е) учтен нагрев за счет возбужденного
уровня промежуточного ядра, энергия возбуждения которого переходит
в тепло. О влиянии этого эффекта на остывание белых карликов см. § 39.
г) Неравновесный нагрев при коллапсе вещества. Рост плотности, проис-
происходящий в коллапсирующем ядре звезды после потери гидродинамической
устойчивости (см. гл. 10), приводит к сильной неравновесности ceFe> ер
и быстрому нагреву. Решение уравнения B0.7) совместно с уравнениями
химической кинетики типа A3.6) при свободном коллапсе сделано в
[187, 501]. Самосогласованная звезда с уравнениями движения для усред-
усредненных по звезде параметров по методу [26] решалась в [19, 20]. Решение
задачи в точной постановке сделано в [66]. Как следует из этих работ,
первоначально холодное железное ядро звезды, начиная коллапсировать
ПРИ р= 1,3- 109 г- см3,нагревается до Т= 4- 109 Кприр=2- 1010 г см,
когда устанавливается ядерное равновесие.
*' Имеются в виду ядра с нечетными Z kN = A - Z.
13*
195

§ 21. Нейтринный перенос и нейтринная теплопроводность
В центральных областях горячей нейтронной звезды, образующейся
в результате коллапса, температура и плотность столь велики, что нейтри-
нейтрино не вылетают свободно, а находятся в состоянии, близком к термодина-
термодинамическому равновесию [28, 111]. Если принять нейтрино безмассовыми,
то для них в условиях ЛТР справедливо уравнение переноса, аналогичное
E.9) и имеющее вид [115,430,301]
1 Э/„€ Э/„€
+(! 7> +
-~Г*,(//• & e'v->е„)Г„
/ c2h3 \ 1
-*,(//• l'hev->e'P)Ive П - -ITГ* ) Ideldn'/to. B1.1)
Здесь индекс v означает нейтрино, а не частоту, как в E.9). Интенсивность
нейтринного излучения Iev — /»(//, е„) зрг • см~2 • с -стер • эрг нормиро-
нормирована к единице интервала энергии, а не частоты, как в E.4). Уравнение
B1.1) справедливо и при mv0 Ф 0, если е„ > т„ос2. Левая часть B1.1)
равна E.11) и E.12) для плоского и сферического случаев, соответст-
соответственно. Равновесная интенсивность нейтрино 1*е аналогично E.14) равна
1 +ехр
кТ
Величины /,-, l\, ц„ имеют тот же смысл, что и в § 5. Коэффициент ней-
нейтринного поглощения с учетом индуцированных процессов есть [430]
oavNa Г tuv - ev M oavNa
где а% — сечение поглощения, Л^, — концентрация поглощающих частиц.
Таким образом, для фермионов "индуцированные процессы усиливают
поглощение, в отличие от фотонов (бозонов) в E.13а).
Выведем формулы E.13а) и B1.3) для коэффициентов поглощения
с учетом вынужденных процессов. Члены, учитывающие излучение и погло-
поглощение в правых частях E.9) и B1.1), соответственно равны
BЫ)
Г / c2h3 \ 1
he И ^ ^е )- "velve ■
В условиях ЛТР /„ и jve совпадают с равновесными, тогда величины в
квадратных скобках равны нулю при Д, =Bv,lve =/£e из E.14) и B1.2).
196

Для равновесных /„ и /„е имеем
(hv \
1 _ ~ ~*¥) в„, jve = ave (l + r^r)lle. B1.5)
Учет B1.5) позволяет представить B1.4) в искомом виде:
( \
раД1 -е кТ ){BV-IV) = раЦВ„ - /„) ,
B1.6)
Последний член с рассеянием в B1.1) вьшисан с учетом вынужденных
процессов для фермионов, аналогично E.16) для бозонов, при этом
, , da' asvNs
fKv(/, • /;, е„ - e'v) del -~ = ove = , B1.7)
47Г p
где at — сечение рассеяния, Ns — число рассеивающих частиц, ave — усред-
усредненный по углам коэффициент рассеяния нейтрино, аналогично E.8).
Из принцила детального равновесия следует соотношение [430, 301]
ЛГ„(/,-/;,е„-?-е:)е»е кТ =Kv{lr l'he'v^ev)e'v2 е-е'-1кТ. B1.8)
Равновесная интенсивность B1.2) обращает в нуль последний член в
B1.1) с учетом B1.8). Отметим, что соотношение, аналогичное B1.8)
с заменой е ->• v справедливо и для рассеяния фотонов, что приводит к за-
нулению E,16) планковской интенсивностью E.14).
В отличие от фотонов нейтрино имеет античастицу v. Для антинейтрино
можно также написать кинетическое уравнение, аналогичное B1.1). При
большой нейтринной толще, когда функция распределения близка к равно-
равновесной, B1.2), справедливо равенство ц~ = — ц„ (см. C.5)), а для нахож-
нахождения ц„ нужно использовать первое соотношение B.56), где в левой час-
части стоит 2(/7„ — п~). Диффузия нейтрино сопровождается переносом не
только энергии, как в случае переноса фотонов, но и лептонного заряда
Qve> что является аналогом обычной диффузии (см, (8.13)). Систему
уравнений переноса энергии и лептонного заряда, полученную в [115] для
сферической звезды удобно записать в виде [498]
Р Р
<Ш дA/р) д , B1.9)
dt bt dm K
8Л д
ot
-Здесь Е, Р —удельная энергия и давление с учетом вклада нейтрино (см.
гл. 1). Величины теплового Н и диффузионного F нейтринного потоков
197

записываются в виде [ 115]
7 ЛасТ3 ( ЪТ dpv\
8 3 \ dm Ът /
7 4асТ3 / Хт ЪТ ,3ft,
F =42 [+ \
8 Зк \ Т Ът * Ът
Усреднение по Росселанду аналогично F.8) дает для средних пробегов
нейтрино „
h = lTv+lT~ , l^=l^v- 1ф~,
XT = XTv-XT~, X^ =Ьф1/+Ъ-ф~, B1.12)
где
15
lTv ~ 7~ J
74
о [1 + exp(jc - 0„)]3
15 - j
7тг4 о
Величины 1Т~ , / ~, Хт~, X ~ для антинейтрино получаются из B1.13)
заменой /3„ =*■ (— /Зг), /^о ^^о' Пробег нейтрино до взаимодействия с яд-
ядром (A.Z- 1) есть
AZllA.Z f21 14"»
l»o ~ пл.г-1„ ' lVo п„
av nA,Z-l °~ "A,Z
Сечение захвата нейтрино, аналогичное захвату электрона D) задачи 2
§ 18 есть
WA,Z-l
oA.z-i=_j> t B1.15)
nvc
a WA'z~l получается из вероятности электронного захвата JVjaXB в B)
задачи 2 § 18, если заменить
, 5(ее- е„ - Az_iiZ) =>5(е„ + Д2- i,z ~ ee).
A -Д) pi фе = -V A - Л) л/е» - ml с* eedee , B1.16)
*) W~' получается из WA'Z l заменой v=*i>, e~=»e+ и переменной знака у
члена с bZ-l,zUA, Z) + 7> — (A, Z - 1) + е4).
198

Тогда получим с учетом/е из B.2)
In 2 " -1 "™2 
ee y/ej-mj с* ^ /ее
_! (mec2J *** \
тес ) (F/1/2)z_! (mec2J * \ кТ
1+expf — ~) I ПРИ ее = ef + Az-i,z- B1.17)
Учитывая B1.17) в B1.14), имеем
(тс2J 1 1+еХР(г^г)
, z -1
exp
1 / h \3 1п2 „л ,
ао= ( ) («2 10 44 см2 wihF/1/2 из распада
4-пс \шес / (Ftl/2)z-i
3
(Ftl/2)z
нейтрона).
При наличии нескольких сортов ядер имеем
)
Если в веществе присутствуют одни нуклоны, то введем, с учетом C.2),
C.5),
Для улырарелятивистских электронов и нейтрино, когда тес2 и Дп пре-
пренебрежимо малы по сравнению с ее>„ и nt ev, интегралы в B1.13) выража-
выражаются аналитически [ 115,498] :
15 /тес2 \2 1
' X
X
7тг4 \ кТ
Jc2{exp [2(jc — /3^)] + ехр(/3 — /3„) ехр(х — /3^)}
о [1+ехр(х-0„)]3
22 I
. B1.21)
Аналогично
15 *™ ~2>. 2
/ _
кТ ) а0
B1.22)
199

Отсюда с учетом B1.12), B.55) получаем
1+0/, тг2\ 0-1
B1.23)
L Zf \ J / 0 J
15
7тг"
Остальные коэффициенты из B1.12), B1.13) вычисляются аналогично
[115]:
_ 1 A+0J / 0-1\
Ф Т 2 0 \У0 + 1/ *
Учет рассеяния нейтрино на электронах производится добавлением к
B1.19) члена A//^0) под знак суммы, где
,, L_
а сечения рассеяния с учетом A8.82) берутся усредненными по распреде-
распределению рассеивающих электронов. Здесь необходимо, согласно A8.82)
учесть заполненность фазового пространства рассеянных нейтрино сомно-
/ cV \
жителем II — /^е),наряду с A -/е) в B1.16). Интегрирование по
фазовому пространству усложняется по сравнению с W$ 'z ' из-за необ-
необходимости учета релятивизма в величинах, характеризующих е и v. Анали-
Аналитических выражений типа B1.23) здесь получить не удается. Ввиду того,
что сечение рассеяния с учетом нейтральных токов в несколько раз меньше
сечения поглощения на нуклонах, учет рассеяния важен для электронных
нейтрино только при столь высоких температурах,когда количество е+е~~
пар значительно превосходит число нуклонов. Для других типов нейтрино,
не испытывающих поглощения на нуклонах, учет рассеяния за счет нейт-
нейтральных токов необходим всегда. При т„ > 1 учет w-рассеяния столь же
важен, как и ре-рассеяния. Приближенный метод учета рассеяния нейтрино
при т„ < 1 развит в [430].

ЧАСТЬ II
ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД
ГЛАВА 6
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ЗВЕЗДНОЙ ЭВОЛЮЦИИ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
§ 22. Сферически-симметричные звезды
В подавляющем большинстве существующих эволюционных расчетов
рассматриваются невращающиеся, сферически-симметричные звезды. В
рамках этой модели были получены эволюционные треки на диаграмме
Герцшпрунга—Рессела lgL — \gTef (см. § 6, п. б), которые хорошо объяс-
объяснили наблюдательные особенности звезд: главную последовательность,
как самую продолжительную стадию жизни звезды, на которой горит
водород, превращаяь в гелий; ветвь гигантов и сверхгигантов, как звезд
с плотными горячими ядрами из гелия или углерода и протяженными обо-
оболочками, богатыми водородом; белые карлики, как звезды закончившие
ядерную эволюцию и излучающие за счет остывания; звезды типа Т Тель-
Тельца, как молодые сжимающиеся звезды, светящиеся за счет гравитационной
энергии при сжатии, и др.
Уравнения звездной зволюции в сферически-симметричном приближении
имеют вид [229, 165]
dP Gm
= — р— уравнение равновесия; B2.1)
dr г2
dm
= 4тгрг2 — уравнение неразрывности; B2.2)
dLr _ ( ЪЕ Р Ьр\
~ -4irprlen — ev +— 1— уравнение энергии; B2.3)
dr \ dt p dt /
I -/rad 4асТЗ , 2dT
^r~ Lr 4я/^ уравнение лучистого равновесия,
Зкр dr
Vrad<Va+V(i (см. A0.11)) B2.4a)
Lr = 4w2Frnnv+L,T*d =
11/2 j2
+ Lr — уравнение конвекг
ции по теории пути
перемешивания;
B2.46)
201

dT /dT\ dP
= I I уравнение адиабатической конвекции; B2.4в)
dr \дР/s.n dr
d^L = _4mJj£^ + JnL
• pi i - -J —уравнение горения водорода; B2.5)
\Gcno Gpp /
bt \Gcno
3mae3a
- уравнения горения гелия и
углерода;
Зт«е^_т-се-са B2б)
бза
е" = еРР + eCNO + еЗа + d *Са-
Аналогичные уравнения можно записать для других ядерных реакций.
Здесь m - масса внутри данного радиуса г, Lr = L (г), е„ и ev — скорости
ядерного выделения энергии и нейтринных потерь. Два последних члена
в B2.3) представляют собой выделение или поглощение тепла при сжатии
или расширении звезды (гравитационный источник энергии). Конвектив-
Конвективный поток из B2.46) для смеси идеального полностью ионизованного
газа с излучением приведем в A0.20). Выражения для ср, (ЪТ/дР)$ =
Т
= —72 Для ju=const даны в A.12), A.15), A.20); Д V Т определено в A0j6).
Уравнения B2.1) — B2.4) служат для расчета структуры каждой эволю-
эволюционной модели. Уравнения B2.5)—B2.6) нужны для нахождения хими-
химического состава при переходе к последующей по времени эволюционной
модели. В конвективных областях, где химический состав постоянен из-
за перемешивания, вместо B2.6), B2.5) следует использовать уравнения,
усредненные по конвективной области с добавлением членов, учитывающих
поступление нового вещества при расширении конвективной зоны по
массе.
Для смеси идеального газа с излучением при полной ионизации A.1) —
A.3), A.7) логарифмические градиенты в B2.4) имеют вид
/д\пТ \ 2D -3Pg)
Vad=72=(——) = (см. A.20)), B2.7)
\dh\P/s 32-24/3^-3/3^
/ Э1п Т \ d\nu /3„ d In /x
V.=l ) ^- = ~± (см. A0.11)), B2.8)
/PS d\nP 4-3/3* dlnP
d In T kL.
Vrad = = (см. B2.1), B2.4a)). B2.9)
d\r\P l6G(lP)
Скорости энерговыделения epp, 6cno> еза. е»2са и ВЬ1ХОДЫ энергии
Gpp. Gcno. Сза> Q>*Ca Ha °ДНУ реакцию приведены в A4.4)-A4.6),
202

A4.12) — A4.14), 'A4.38) —A4.41). Термодинамические функции веще-
вещества Р(р, Т, х{), Е(р, Т, jc,) даны в гл. 1, вычисление непрозрачности к при-
приведено в § 7, скорости нейтринных потерь даны в § 19.
Эволюционный расчет начинается обычно с однородной модели постоян-
постоянного химического состава. Если рассматривается стадия эволюции до
главной последовательности, то начальное распределение массы берется
из расчетов коллапса газовых облаков. Если расчет начинается с главной
последовательности, то в качестве начальной рассматривается химически
однородная модель, находящаяся в тепловом равновесии без источников
гравитационного сжатия. При расчете модели требуется задание граничных
условий. В центре, очевидно, имеем
Z,r = 0, m = 0, при г=0. B2.10)
Внешнее граничное условие задается на радиусе фотосферы, который
отождествляется с радиусом звезды R
L = ■nacR2 Tif, T= Tef при m = M. B2.11)
Второе условие на внешней границе следует из приближенного решения
уравнения равновесия в области, почти прозрачной для излучения. Для
смеси идеального газа с излучением при Lr = L = const и m = М из B2.1),
B2.4а), F.17) получаем уравнение равновесия в виде
dPg GM / L \ 4ncGM
-Г- =-^A—г)> ^сг = , r = f крйг. B2.12)
dr kR \ LCI/ к г
Здесь LCT — критическая эддингтоновская светимость. Из B2.12) видно,
что при L > LCT отсутствует статическое равновесие *). Подставляя приб-
приближенное
B2.13)
получаем решение B2.12) в виде
p = то L | LCT к^
к LCT I L к — к!
B2.14)
= GM/R2, To = 2/3F.21) или To = 0,756 F.23). При/, <LCI выраже-
к + *! /,
ние в скобках B2.14) равно , что приводит к граничному ус-
2к LCT
ловию
Р = ° Р— Р IR О? I Чя
полученному в [165]. При (к — к2)/к < 1 —/,//,„• выражение в скобках
*) При к = const.
203

/ к + к1 \ L/LCI
B2.14) равно I L/Lcr\ — , что дает граничное условие
\ 2к / A L/L)
т0 (l-L/LCTf Р
L/LC
L/LCT)
К K+Ki
B2.156)
1к
При к = Кх = const; j3 = 1 и L/LCI < 1 из B2.15а, 6) следует граничное ус-
условие P-gToln .приведенноев [229]-
На стадии красных гигантов звезды имеют протяженные оболочки,
где нужно учитывать эффекты сферичности. В этом случае граничное ус-
условие задается *
Т=Т0, р = ро(~0) при т = 0, B2.16)
а при т > 0 решается уравнение F.34). При т > 2/3 уравнение F.34) плав-
плавно переходит в уравнение лучистой теплопроводности B2.4а). В [520]
вместо F.33) на внешней границе принималось
То=(- -5-) , B2.17)
\2nacR2 /
аналогично в плоской атмосфере F.16)—F.21). Граничное условие для Pg
также задается при т = 0, а при т > 0 интегрируется уравнение
dP Gm
" ■ " " B2.18)
dT кг2
р(т = 0) задается.
Это уравнение применимо в прозрачных областях т < 2/3 при выполне-
выполнении B2.12), F.34) и учитывает изменение массы пг{т) при т > 0. Урав-
Уравнения F.34), B2.18) решаются совместно с B2.2) и соотношением для
т из B2.12) при т < 2/3. При т > 2/3 они совпадают с равновесными урав-
уравнениями B2.1)-B2.4). Плотность на внешней границе задается отлич-
отличной от нуля для удобства расчетов. В [520] принималось р(у = 0) =
= 10~12 г • см'3. Радиус звезды R и светимость L являются собствен-
собственными числами задачи и определяются в результате построения мо-
модели. Учет конвекции по теории пути перемешивания B2.46) требует ре-
решения кубического уравнения для явной записи дифференциального урав-
уравнения относительно dT/dr. Это приближение применяется в конвективных
оболочках. В конвективных ядрах обычно используется приближение
адиабатической конвекции B2.46). При проведении эволюционных вычис-
вычислений методом Хеньи (см. ниже) модели оболочек часто рассчитываются
заранее для широкого набора L и R вплоть до заданных значений m или т
(см. напр. [241]), что сдвигает внешнюю границу рассчитываемой модели
ядра в область более высоких температур и плотностей.
Для решения сферически-симметричных уравнений звездной эволюции
используются методы Шварцшильда [229] и Хеньи [ 194]. В методе Шварц-
шильда дифференциальные уравнения B2.1) —B2.4) интегрируются из
центра и с поверхности навстречу друг другу и из условия сшивки функций
находятся параметры моделиR и L,a также центральные значения Тс иРс.
204

Метод Хеньи основан на замене дифференциальных уравнений разностны-
разностными и решением полученной алгебраической системы методом итераций.
Последний метод легче позволяет автоматизировать эволюционные расче-
расчеты на ЭВМ и используется чаще. На критических стадиях эволюции (форми-
(формирование плотных ядер, горение нескольких слоевых источников) использо-
использование метода Хеньи иногда затрудняется из-за малого радиуса сходимости
итераций и метод Шварцшильда может стать более эффективным.
а) Метод Шварцшильда. Этот метод основан на решении системы диф-
дифференциальных уравнений B2.1) —B2.4) стандартными методами при
построении каждой эволюционной модели. Интегрирование из центра тре-
требует задания, помимо B0.10), центральных значений Рс и Тс. Интегриро-
Интегрирование от поверхности внутрь с использованием граничных условий B2.11),
B2.15) (или B2.16)), B2.17) для уравнений F.34), B2.18)) требует
задания радиуса R и светимости L. В качестве независимой переменной
вместо радиуса г обычно выбирается внутренняя масса тп.
Наиболее простая процедура построения модели состояла бы в задании
Рс, Тс, проведении пробных интегрирований от центра и нахождения един-
единственных Рс и Тс, которые позволили бы удовлетворить граничным усло-
условиям на поверхности. Аналогичное интегрирование от поверхности к центру
позволило бы найти RviL при удовлетворении граничных условий в центре.
К сожалению, эти простые процедуры неприемлемы вследствие расходи-
расходимости в центре в уравнении B2.1) и на поверхности в уравнении B2.4)
из-за нулевого г и малого Т, соответственно. Шварцшильдом была исполь-
использована процедура нахождения решений после задания пробных значений
Р„ Тс, L, R B2.19)
с помощью встречных интегрирований до некоторой промежуточной массы
rrif. В этой точке требуется непрерывность функцийР, Т, L иг
Pif = Pef, Tlf = Тф Ltf = Lef, rif = ref. B2.20)
где индексы i и е относятся к внутренним и внешним величинам соот-
соответственно. После шести пробных интегрирований, трех из центра и трех
от поверхности до точки сшивки, находятся частные производные от невя-
невязок по параметрам
, q=P.T,L,r,
ЭГс bR Ы B2.21)
Д/> ~ Pif — Pef, Дг = Ту - Тф AL = Lif - Lef, Ar = rtf- ref.
Поправки к параметрам B2.19)
APC, ATC, AL, AR B2.22)
находятся методом Ньютона из условия равенства нулю невязок
дД„ ЭД„ ЭДО ЭДО
До + АРГ + АТГ + AR + AL = 0 B2.23)
* ЪРС ЪТС dR U
Я =Р.Т. L, г.
Решение линейной неоднородной системы B2.23) позволяет найти поправ-
205

ки к предыдущим значениям B2.19) и приступить к следующей итерации.
Итерации прекращаются после достижения заданной точности е, когда
5 = \Д(-=Ч <е, q =P,T,L,r, q = - (<jr, + qe). B2.24)
Данная процедура изложена в работе [154] и приспособлена для счета
на ЭВМ, введением безразмерных переменных.
Шварцшильдом [229] первоначально рассматривались степенные функ-
функции е„, к, Р(р, Т) и ev = 0. Это позволяло с помощью преобразования
подобия уменьшить число искомых параметров от четырех в B2.19)
до двух*', что давало большие преимущества при интегрировании урав-
уравнений вручную. Однако при этом в оболочке и ядре используются раз-
различные переменные и процедура сшивки усложняется. Как отмечалось
в [229], усложнение сшивки сводит на нет преимущества данной схемы
при расчетах на ЭВМ. Для реальных функций е„, к, Р(р, Т), ev, кото-
которые не являются степенными, преобразование подобия отсутствует и
уменьшить число искомых функций не удается.
Важным средством улучшения сходимости итераций является исполь-
использование логарифмических переменных вместо обычных, которые изме-
изменяются в звезде на много порядков. Шварцшильдом [229] рассматри-
рассматривались переменные
/Р = ]gP. lT = ]gT. lL = lgl, lr = Igr. lm = ]gm. B2.25)
В работе [80] использовались четыре логарифмических переменных из
B2.25) (кроме /т) в описанном выше методе [154]. Это позволило
продвинуть расчеты вплоть до начала горения гелия, что существенно
дальше, чем удавалось сделать в простых переменных. Отметим, что при
интегрировании из центра первый шаг делается по разложению [229]
4 з
m = — прсг ,
B226)
2 Тср2с
Т = Тс lic^G г (адиабатическая конвекция),
3 "с
ксесРс
Т = Тс — г (лучистый перенос),
с 8асТ*
Т
£с = епс - е„с - bEJbt + PJpl ■ bpjbt.
*' Сшивка проводится по безразмерным величинам [2291
г dm 4npr3 г dP p Cm T dP
U= = V= + 1
m dr m ' Р dr P r P dT
206

Значение производных ЪЕ/dt, dp/dt, а также химический состав дан-
данной эволюционной модели находятся с помощью предыдущей модели
после временного шага At. В B2.3) используется
ЪЕ Ejm,t)-E{m, t- At) Ър_ = р(т, t) - р(т, t - At)
—— = " . , B2.27)
jr At bt At
i
а мический состав в момент времени t в каждой точке звезды есть
Эх,-
Xi(m, t) = х,(и, / - ДО + — At, i = Н, а, '2 С. B2.28)
Здесь функции f(m, t — At) считаются известными, a f(m, t) искомы-
искомыми. Производные Эх,- /bt находятся из B2.5), B2.6). В явной схеме
счета эти производные берутся в момент времени / — At и считаются
известными. В неявной схеме их значения берутся в момент времени
t или в промежуточный момент (см. B2.41), B2.42)). Это делает чис-
численную схему более устойчивой, но несколько усложняет решение. Зна-
Значения Е{т), Р(т), хи(т), ха(т), х1зс(т), г (т) с предыдущего вре-
временного шага t — At должны запоминаться в таком наборе точек
т,-, чтобы можно было провести достаточно точную интерполяцию меж-
между ними. Отметим, что необходимость запоминания значений с преды-
предыдущего эволюционного шага является общим для всех методов. В ме-
методе" Хеньи точки, где необходимы значения с предыдущего шага оп-
определяются самой структурой метода.
Метод Шварцшильда применим для эволюционных расчетов, если
детерминант системы B2.23) отличен от нуля. Обращение его в нуль
указывает на неустойчивость модели и требует специального исследо-
исследования [527].
б) Метод Хеньи. Предложенный Хеньи [393] метод решения урав-
уравнений звездной эволюции основан на разбиении звезды на J счетных
интервалов и замене дифференциальных уравнений B2.1)-B2.4) раз-
разностными. Для решения системы линеаризованных разностных уравне-
уравнений используется разработанный советскими математиками метод
прогонки (см., например, [92]), который позволяет экономичным
образом найти решение. Варианты данного метода, используемые раз-
различными авторами [112,406, 522], близки друг другу.
Масса выбирается в качестве независимой переменной и интервал
масс от 0 до М (масса звезды) разбивается на J, вообще говоря не рав-
равных интервалов. Масса задается в целых точках М/, причем М = Mj. Раз-
Разности масс определяются как в целых, так и полуцелых точках:
- Mh / = 0, 1...У- 1,
1
2- V-./2+ Щ-1/2> =~
=-{АМ1 + т+ ДАГ,.,/2) =\iMi+ i - Щ- .). /= 1,2 ... У- 1,
j B2.29)
207

Уравнения B2.1) —B2.4) в разностном представлении записываются
в виде [112]
B2.30)
Н-Р,~к + \ ' =0, /=1,2.../;
+г/J
= 0, /=0, 1.../-1; B2.31)
/,, + , - Lf - LMj + й ■ ef + й = 0, / = 0, 1... / - 1;
T,
B2.32)
B2.33а)
/ = 1, 2 .. . / (адиабатическая конвекция);
3
/ = 1, 2,... / (лучистое равновесие).
Здесь
ЬЕ Р Ьр
е = еп - ^ --— + — —.
bt р2 6г
B2.336)
B2.34)
Уравнение состояния, непрозрачность и скорость энерговыделения за-
записываются в виде
B2.35)
/=0,1... /-1; *=Н,а,С12;
К), Pt = к, P(Tf, pf, xkJ), /=1,2.../,
причем
1
_ 2
/= 1,2.../;
(Vad)/ =
Г 1
I —
(^fc,
B2.36)
B2.37)
Центральные граничные условия в точке / = 0: г о = 0, Lo = 0 — следует
учесть в B2.31) и B2.32). Внешние граничные условия в точке / + 1/2
записываются в виде
(из B2.11)),
2/3 GMj
/3
B2.38)
B2.39)
rJ ~ ~2~rj-
208

ч сь принято к + kt = 2k, т0 - 2/3 в B2.15а), внешний радиус находится
"*Д 3 1
линейной экстраполяцией r/ + i/2 - — rj — — rj_x и Lj = LJ+l/2.
Соотношение B2.38) служит для определения 7>+1/2 = Tef,& B2.39) -
пля Pj+in> PJ+1/2 определяется как неявная функция из уравнения
состояния; Значения TJ+1/2 и PJ+1/2 используются в B2.30), B2.33).
После учета граничных условий B2.38), B2.39) и задания таблиц М/,
аа{. и Д-Л// + 1/2 система B2.30) - B2.33) из 4/ уравнений содержит
4/неизвестных р/ + 1/2, 7> +1/2 (/ = 0, 1 . ../- 1) иг/,1/ (/ = 1,2...У).
Пдя решения этой системы проводится ее линеаризация и используется
итеративный процесс по методу Ньютона, аналогично B2.23). Для ре-
решения системы 4/ линейных уравнений на каждом шаге итерации исполь-
используется метод прогонки [92]. Эволюционные изменения химического
состава и выделение гравитационной энергии рассчитываются в каждой
полуцелой точке, параметры в которой запоминаются после каждого
эволюционного шага. Для хорошей точности расчетов и сходимости ите-
итераций изменение функций от точки к точке не должно быть большим,
предельное относительное изменение определяется числом счетных интер-
интервалов. В [112] при/ = 150 налагалось требование
0>2. B2.40)
Условия B2.40) проверялись после каждого эволюционного шага и при
их нарушении производилась перестановка точек, чтобы они снова выпол-
выполнялись. С ростом J условия B2.40) могут быть выбраны более жестки-
жесткими. Так же как в методе Шварцшильда, эволюционное изменение хими-
химического состава может быть вычислено явным или неявным способом.
В [522, 112] использовалась явная по времени схема счета. В [406] хими-
химический состав в момент времени tn+1 в каждой точке лучистой зоны
вычислялся по формуле
*/и + 1>(/ + 1/2) = «<">(/+ 1/2)+*/"* 1/2)(/+ 1/2) ДГ, B2.41)
где
*(« + i/2)(/+ 1/2) = I [x<"\j+l/2) +*<n + I>(/+ 1/2)]. B2.42)
Точка означает производную по времени B2.5), B2.6). При счете кон-
конвективной зоны ее граница считается фиксированной и уточняется после
окончания итераций.
в) Метод Хенш с пришивкой оболочки. Опыт расчетов показал, что
ходимость и точность метода улучшаются, если внешнюю оболочку
везды, содержащую C -5- 10)% массы с постоянной светимостью L рас-
?ЫВ отдельно путем решения дифференциальных уравнений [446,
Рассмотрим модификацию метода Хеньи с учетом пришивки
гаэ^ ^^Ь Интегрирование уравнений равновесия оболочки
fTo'iir "^ с Z, = const, e = 0 и с граничными условиями B2.11),
V^-15) на т = т0 или B2.17), B2.18) на т = 0 для уравнений B2.18),
• Г-С. Бисноватый-Коган 209

F.34) позволяет найти зависимости (R — внешний радиус)
T = f,(m,L.R), B2.43)
P=f2{m,L,R), B2.44)
r = f3(m,L,R). B2.45)
В точке т - Mi < М, Мх = Mj+ i /2, выбранной в качестве границы между
ядром и оболочкой, должны выполняться три условия:
Si= 7> + 1/2-/1(М„1/+1/2,Л) = О,
•*2 = Pj+ I /2 - /2(М! , LJ + ! 12. R) = 0, B246)
Л) = 0. *
Здесь индексом / + 1/2 обозначена точка сшивки, в которой нужно вы-
выразить светимость LJ+1/2 и радиус i?/+i/2 через их значения в целой
точке /. В силу постоянства L имеем
= Lj = L. B2.47)
Запишем закон сохранения массы в виде
• B2-48)
где ДМ/+1/2 — масса в полуинтервале [/,/ + 1/2]. Для малых#•/+ ^ - rj
можно записать
r = г* + 3rj(rJ+1/2 - rj). B2.49)
Определяя Р/+1/4 линейной интерполяцией по массе, получим оконча-
окончательно для радиуса сшивки
O+I/2 =
B2.50)
После подстановки B2.47), B2.50) в B2.46) получаем три соотноше-
соотношения, содержащих шесть неизвестных
Все зти неизвестные, кроме R, входят также в 4/ разностных уравнения
для внутренней части звезды B2.30)-B2.33), содержащие 4/ + 2 неиз-
неизвестных (см. п. б). Вместе с уравнениями B2.46) получается 4У + 3 ура»'
нения с тем же числом неизвестных, т.е. замкнутая система. Решение этой
системы проводится итеративным методом Ньютона с решением линеари-
линеаризованных уравнений [52] методом прогонки. Большая часть машинного
времени тратится при этом на решение уравнений в оболочке. Для эконо-
экономии машинного времени модели оболочек могут быть расчитаны заранее
и соотношения B2.46) заданы в виде таблиц.
210

ч особенности пришивки атмосферы при построении самосогласован-
„х моделей с потерей массы [52]. Описанный выше метод точной при-
и может быть применен для стационарно истекающей оболочки
( мосферы). Истекающую атмосферу удобно характеризовать значе-
значением плотности в критической точке рсг вместо радиуса фотосферы R.
RroDbiM параметром служит полный (с учетом кинетической) поток энер-
энергии от звезды Lt. Переход к истекающей атмосфере в формулах B2.43) —
B2.50) осуществляется заменой R и L на рсг и Lt. После завершения
итераций и нахождения точных значений Lt и рсг уравнения истекающей
атмосферы могут быть проинтегрированы от критической точки с г = гст
наружу до радиуса фотосферы для определения положения звезды на
диаграмме Герцшпрунга—Рессела. Данная схема расчетов применима,
для оптически толстой истекающей атмосферы с R > гсг и использовалась
в [290]. Система уравнений для истекающей атмосферы и алгоритм ее
решения даны в [52] и изложены в § 32.
Методика самосогласованного расчета эволюции звезды с оптически
гонкой истекающей атмосферой при R < гсг не разработана.
д) Метод счета эволюции, устойчивый при наличии различных харак-
характерных времен. На некоторых стадиях эволюции (красные гиганты с плот-
плотным ядром и протяженной оболочкой, фазы неустойчивого ядерного
горения в вырожденных ядрах и слоевых источниках (см. гл. 9), пред-
сверхновые с переходом от статической к динамической эволюции (см.
гл. 10), звезды, аккрецирующие или теряющие массу, и т.д.) изложенные
выше методы оказываются неустойчивыми и счет эволюции становится
невозможным. Неустойчивость связана с большим различием характерных
времен, связанных с переносом тепла,
3cpKP2Z2
Tf,(Z) - — (Z — характерный размер) B2.51)
в различных частях звезды (ядре и оболочке). Для устойчивости неяв-
неявной по времени разностной схемы в методе Шварцшильда и Хеньи необ-
необходим достаточно большой шаг по времени
Д*>гй(г). B2.52)
При быстрой эволюции с характерным временем т„ в ядре, определяемым
ядерным горением или быстрым сжатием, неравенство B2.52) может
нарушиться из-за т„ < тА(г) в оболочке и расчет эволюции данными ме-
методами оказывается невозможным. В [592] предложен метод, который
остается устойчивым при временном шаге Д t < Th и позволяет проводить
расчет при большой разнице характерных времен ти{г) по звезде. Запишем
Уравнения равновесия B2.1)-B2.4) в виде
dlnP Cm2
!?-. <22-53)
B2.54)
95 5@ - S(t - ДО
B2'55)
211

dlnT 3KLrm
l^T = " 64яWV (лУ™стоеРавновесие). B2.56a)
d]nT dlnP
— = 72 — (конвективное ядро). B2.566)
d In m a In m J
Если ввести четырехкомпонентный вектору = AпР, lnr,Z,r,ln7*), незави-
независимую переменную х = In m и соответствующий вектор правых частей
Ф/(х, у{), то система B2.53)— B2.56) запишется в виде
dyt
— = ФД*.Л). _ B2.57)
Сделаем разбиение звезды на / счетных интервалов и будем рассматри-
рассматривать значения всех функций только в целых счетных точках. Рассмотрим
следующее [592] разностное представление системы B2.57) :
B2.58)
Здесь pt — четыре произвольных числа 0 </3,- < 1. Отметим, что разност-
разностное представление B2.30)-B2.33) эквивалентно выбору всех f}t - 1/2.
В данном методе в разностных аналогах уравнений гидростатического
равновесия B2.53) и B2.54) полагается /Зж = р2 = 1/2. В [592] показано, что
разностная схема решения системы B2.58) с помощью линеаризации и
метода итераций Ньютона, аналогичная методу Хеньи, оказывается устой-
устойчивой при двух выборах /33 и 04:
AHз=1, Ь=0;
BHз= 0, 04= 1.
В этом случае одна из функций j>3 = Lr либо j>4 = In T вычисляется явно,
а другая неявно по пространству:
A) y{3'+l)-yin = Ф3(*(/).
B)
Шаг по времени можно проводить с помошью соотношений B2.27).
B2.41), B2.42). В [592] рассматривались упрощенные граничные
условия:
r = Lr = 0 при m = 0, B261)
P=T=z0 при те=М.
В [594] устойчивый метод распространен на динамические стадии эволю-
эволюции. На этих стадиях в правую часть уравнения B2.53) добавляется
212

динамический
т
~~ 4^Р~
член
Ъ2г
dt2
т
In r(t) - 2 In rit - ДО + In г (А -
4яг@Р(г) '
система разностных уравнений сохраняет функциональный вид B2.58).
При коэффициентах B2.59) решение системы методом Хеньи оказывает-
оказывается устойчивым и при нарушении условия B2.52), что позволяет, напри-
например, осуществить плавный переход от статической к динамической эво-
эволюции при исследовании взрывов сверхновых (см. гл. 10).
§ 23. Равновесие вращающихся замагкиченных звезд
Вращение наблюдается во многих звездах и является их неотъемлемым
свойством [199]. В теории равновесия роль вращения сводится к
нарушению сферической симметрии и связанному с этим принципиаль-
принципиальному усложнению методов построения равновесных решений. В до-
достаточно широкой области угловых моментов вращающиеся звезды
обладают аксиальной симметрией. При слабой сжимаемости и больших
вращательных моментах устойчивыми оказываются только трехосные
фигуры, аналогичные эллипсоидам Якоби несжимаемой жидкости [220].
Напротив, при большой сжимаемости истечение вещества с экватора на-
начинается раньше, чем станет энергетически выгодным образование трех-
трехосных фигур. Для политропных звезд*) с уравнением состояния Р =
= Кр + /" при и < 0,808 раньше образуется трехосная конфигурация, а
при и > 0,808 раньше наступает истечение с экватора [437]. Теория эво-
эволюции быстровращающихся звезд далека от своего завершения. Факти-
Фактически имеется лишь теория равновесных конфигураций баротропных
звезд с уравнением состояния Р(р). Расчеты эволюции в большинстве
своем ведутся при упрощающих предположениях, не всегда оправданных
в случае быстрого вращения.
Звезды обладают, как правило, магнитным полем. Динамическое влия-
влияние поля относительно невелико, но оно может быть важным для уста-
установления закона вращения, меридиональной циркуляции, химического
перемешивания, что сильно влияет на эволюцию. Еще более важна роль
магнитного поля в различных проявлениях звездной активности: вспышек,
нетеплового нагрева, образования хромосферы, корены и звездного ветра,
явления мощных ультрафиолетовых избытков в спектрах звезд. Маг-
тное поле тесно связано с вращением, так как для его усиления динамо-
ханизмами роль вращения является определяющей.
еО''ИЯ Равновесия невращающихся политропных звезд построена Эмденом
и подробно изложена в книге [218] (см. § 34).
213

С математической точки зрения построение моделей в случае аксиаль-
аксиальной симметрии для вращающихся баротропных звезд и замагниченных
звезд с бесконечной проводимостью имеет много общего.
а) Уравнения равновесия вращающихся замагниченных звезд. Стацио-
Стационарное состояние звезды с магнитным полем в условиях бесконечной
проводимости определяется системой уравнений [96, 124, 6, 75]
1 - -
VP+PVФ + ВХ (VXfi)+p(u • V)u = 0, B3.1)
4эт
V(p'v) = 0, B3.2)
p(r')dV
У2Ф = 4nGp, Ф = -GJ—- ц— (dV- элемент объема), B3.3)
\г-г'\
VX (vXB) = 0 B3.4а)
или
/В\ /В \_
(и -V)f —) - I— Vjv = 0, B3.46)
V- В = 0. B3.5)
/ Э Э Э \
Здесь В - напряженность магнитного поля, V = ( , , ) - век-
\дх ду Ъг /
торный оператор Гамильтона. Из векторной алгебры следуют равенства
- - 1 - ->
BX(VXB) = - V(B2)-(BV)B,
2 B3.6)
VX (vXB) = 'v(VB) + (B- V)v - fi(Viu)-(u- V)B.
Для аксиально симметричной (Э/Э^? = 0) звезды с баротропным уравне-
уравнением состояния и чисто вращательным движением (vr = vz ^ 0, v^ = Пг)
в цилиндрических координатах (г, <p,z) система B3.1)— B3.5) примет вид
ЭР /ЭФ \ 1 /ЪВ% ЪВ\
Ъг \ Ъг / 8я V Эг
+ B2
Ъг bz
Ъг
= 0,
ЭР ЭФ 1 / ЪВ% ЪВ2Г ЪВ2
+ р + ( ^ + 1ВГ
Ъг Ъг 8эт \ Ъг Ъг Ъг
1 Э / ЭФ
2В2
= о,
ъвг +
Ъг
2В2Л
2 г D.7°;
B3.8)
B3.9)
B3.10)
1 Э ЪВг
(гВг) + = 0. B3.12)
г Ъг Ъг
214

Уравнение неразрывности B3.2) тождественно зануляется, оставляя неко-
некоторую свободу выбора угловой скорости 12(г, z). Уравнение движения
по углу сводится к соотношению B3.8), которое выражает условие от-
отсутствия азимутальной магнитной силы. Из уравнения B3.12) следует, что
1 д\р I д\р
Яг = - — , Bz = -- —. B3.13)
г oz г or
Учтя B3.13) в B3.8) и B3.11), получаем решение
В* = —^ , П = FnW). B3.13а)
Кроме того, уравнения B3.8), B3.11), B3.2) имеют частное решение
Вг = Bz = 0, В,,, П ф 0, B3.14а)
Вг = 0, Bz = Bz{r), П = Щг), By = £„(#•). B3.146)
Решение B3.13) с fi = const рассматривалось в [492]. Для случая B3.14а)
уравнения движения B3.7), B3.9) сводятся к виду
\ { В%\ ( В% \ Vr2
- V (Р+ -*■) + УФ + ( —^ - П2 ) = 0. B3.15)
р \ 8я/ \4npr2 /2
В случае B3.146) из тех же уравнений имеем
t / В% \ Vr2 1
VP 1* 2)
/ В% \
1 *-г - П2)
\4npr /
VP V! + 1г П)
Р \4npr / 2 ьттр
B2=B%+B2Z.
{VB2 • Vr)Vr=0,
%+BZ.
При этом силовые линии магнитного поля накручиваются на круговые
цилиндры, оси которых совпадают с осью вращения. Аналогично можно
получить уравнение равновесия, когда поле определяется соотношением
B3.13). Выпишем уравнение равновесия B3.1) в сферических коорди-
координатах (R,6,ip) в аксиально-симметричном случае в отсутствие поля:
1 П2
-VP + V<i> V(R2sin2e) = 0, B3.17)
Р 2
которое решается совместно с уравнением Пуассона
1 Э / , ЭФ\ 1 Э / ЭФ\
У2Ф = -; [R2 )+—; — (sin0—) = 4nGp. B3.18)
R2 bR\ oR/ R2 sin в Ъв \ Ъв/
б) Условия существования стационарных решений. Для баротропной
среды можно ввести энтальпию
dP(p)
Р
Тогда B3.17) запишется в виде
п2
У(Я+Ф) -— V(«2sin20) = 0. B3.19)
215

Решение уравнения B3.19) существует не при любых £l(R, в). Для вы-
вывода ограничений на функцию £l(R, 0), возьмем ротор от уравнения
B3.19). Ввиду того что V X (VS) = 0 E - скаляр), получаем
V(i?2sin20)X Vfi2 =0. B3.20)
Условие B3.20) сводится к тому, что £1 = £7(/? sin 0). Таким образом,
угловая скорость постоянна на цилиндрах, оси которых совпадают с осью
вращения (теорема Пуанкаре) [199]. В цилиндрических координатах
П = Щг).
При наличии тороидального поля B3.14а) условие совместности на-
находится аналогично из B3.15) [284] у
1 / В2 \
V - X VBl -vUnCl2 fj X Vr2 = 0. B3.21)
Условие B3.21) дает ограничение на совместное задание функций
П(г, z) и Ву{г, z). Аналогично выводятся ограничения на функции
By (r), Bz (r) П(г), из уравнения B3.16), а также на функции \р, Рв(ф)
и Fn(v!O Для B3.13).
Решение уравнений равновесия B3.17), B3.15) или B3.16) при задан-
заданном Р(р) и допустимых функциях fi(r, z), B(r, z) ищется для звезды
данной массы с нулевой плотностью на границе. Граничные значения полей
могут быть различными в зависимости от задания поверхностных токов is.
Вне звезды В^ = 0. При i"s = 0 тороидальная компонента В^, = 0 у поверх-
поверхности внутри звезды, а граничные значения полоидальных компонент
полей Вг и Bz должны удовлетворять условиям совместности. Решение
уравнений равновесия звезд с магнитным полем довольно сложно. Оно
может быть получено путем разложения в ряд по полиномам и присоеди-
присоединенным функциям Лежандра. Например, для нечетных мультиполей ве-
величину \р из B3.13) представляют в виде [493] (/— нечетные)
ф = 2 b,(R) sin 6Pj(cos в) Br = 2i(i+1)—j- /V(cos0).
При этом оставляется небольшое число членов разложения. Конфигура-
Конфигурации магнитного поля могут быть достаточно сложными, но получаемые
формы звезд обычно мало отличаются от сферически-симметричных.
в) Метод самосогласованного ноля. В отсутствие магнитного поля
уменьшается произвол в равновесных решениях, который сводится к
одной функции Г2(г). Для построения моделей вращающихся звезд с
баротропным уравнением состояния предложено много методов примени-
применимых вплоть до предельного вращения [199]. Одним из лучших является
метод самосогласованного поля, предложенный Острайкером и Марком
[519]. Рассмотрим усовершенствованную версию этого метода, разрабо-
разработанную СИ. Блинниковым [64].
Исходным для решения является баротропное уравнение состояния
Р(р), уравнение равновесия в виде B3.19) и интегральное представле-
представление для гравитационного потенциала B3.3). Равновесное состояние на-
находится для звезды данной массы М с заданным распределением £1(П
216

или удельного вращательного момента
М
B3.22)
Из условия B3.20) следует существование центробежного потенциала
mr
i = п2г = /( p), P = , mr - масса внутри цилиндра радиуса г.
х(г) = fa2r'dr', Vx=n2r. B3.23)
Построение модели ведется методом последовательных приближений.
Вначале выбирается некоторое начальное распределение плотности р =
= РоО") и находится гравитационный потенциал Ф(г) из интегрального
представления B3.3). Зная ро(г) можно найти функцию тг(г) и из
B3.22) определить fi(r) по заданному Др). После этого находится
центробежный потенциал х(г) из B3.23). При наличии центробежного по-
потенциала можно записать интеграл уравнения равновесия
Н+Ф-Х = В8, B3.24)
где Bs = Фх — Xs — полный потенциал на поверхности (Hs = 0). Определяя
из B3.24) распределение //(г), находим новое распределение плотно-
плотности Pi(r), обращая энтальпию Н(р). Если Р\(г) отличается от Ро(г)
больше, чем на заданную величину, то Pi(r) принимается за начальное
приближение и итерации проводятся до получения самосогласованности
в пределах заданной точности.
Для реализации данной схемы на практике необходимо вычислить
потенциал Ф(г) и массу тг по известному распределению плотности
р( г ). Расчеты проводятся в безразмерных переменных
Р = Р/Рс, х = R/Ro, s = r/R0,
V = 4>/4irGpcRl, x' = xl4nGpRlB' = B/4nGpR2
Здесь Ro — максимальный радиус звезды, заранее не известный, рс -
центральная плотность. Для вычисления <р используется разложение по
полиномам Лежандра Рп(ц), ц = cos в. Введем величину Pi(x)*), которую
можно вычислить по формуле Гаусса [1, 137]
fp(,»Jl(n)(-L p{x,Ui)WjP2l{vj), B3.26)
здесь Uj - абсциссы, ну - веса гауссовой квадратуры на отрезке [0, 1 ].
»ри таком определении pt{x) имеем
Pi?. M) = 2 D/ + 1)Р1(х)Р21(ц). B3.27)
Штрихи у безразмерных функций р, \' и B's в дальнейшем опускаем.
217

Если использовать Pi(x) в виде B3.26), B3.27), то выражение для по-
потенциала <р(х, ц) с помощью интегрального представления B3.3) полу-
получается в виде
B3.28)
х . B3.29)
Выражения B3.26) —B3.28) содержат только четные полиномы Лежандра
ввиду симметрии относительно плоскости экватора. Значения функций
</>;(*) необходимо знать в тех же точках, в которых задано Pj(x). Задав
функцию Pi(x) на отрезке 0 <х < 1 с шагом h = \)Nx, интегралы в B3.29)
можно вычислить по формуле Симпсона [1]. После вычисления </>/(*)
находим ip(x, ц) с помощью B3.28). Функции p(s) по заданному распре-
распределению плотности р{х, ц) имеют вид (см. B3.22))
l-p(s) = fx2dx f * p{x,n)dn/M\ B3.30)
s 0
где
i i
M' = M/4ttpcRI = fx2dxfp(x,v)dn. B3.31)
о о
Внутренний интеграл в B3.30) вычисляется с помощью разложения
3.27) в виде (к
I P(x,n)d
0
= 'Lpl(x){P2l.
i
i
♦ i IKs,
D/+1
-s2fx2)
)Pi(x) I P21
P2i-A4s,x)]}.
B3.32)
Если функция p(s) вычисляется в точках s = S/ (i = 1,. . . , Nx), а значе-
значения Pi(x) задаются в точках х = x^ (к = 1, . . . , Лу, то удобно завести
1
массив из — NX(NX - 1) величин h(st, xk), xk > S/, чтобы не вычислять
на каждом шагу одни и те же величины v 1 — S/Afc- Вычисление внешне-
внешнего интеграла в B3.30) производится с помощью формулы Симпсона,
аналогично B3.29).
После вычисления p(s) находится fi(s) по формуле B3.22) с помощью
заданного /(р) и центробежный потенциал x(s) = х(ху1 ~ ^2) по фор-
формуле B3.23). Если задано твердотельное вращение, то имеем
X = Qx\\ -и2), р = П2/8т:Срс. B3.33)
Если вращение задается в виде закона П = fi(s), то х вычисляется сразу
по формуле B3.23) без нахождения p(s).
Следующим шагом является вычисление энтальпии Н (в тех же едини-
единицах, что и потенциалы ^и^в B3.25)). Константа/^ в B3.24) определя-
определяется как максимум величины | х — V I ПРИ х = 1. При этом обеспечивает-
218

ся то, что новая конфигурация всегда будет заключена внутри сферы
радиуса х = 1. В расчетах [65, 284] бралось Bs = у - х\х= i,M =o> т-е- на
экваторе. Знание распределения размерной энтальпии Н = 4vGpcRf,H'{x, ц)
позволяет с помощью B3.18) найти новое приближение к распределению
плотности Pi(x, ju). Если при построении модели фиксируется рс, то из-
известно Нс(Рс) и значение максимального радиуса Ro находится по формуле
Rl = Hel4vGpeH'e. B334)
Если же фиксирована масса звезды М, то значение Ro, а также рс после
каждой итерации находится из совместного решения уравнений
B331), B334). Поверхность звезды определяется из условия Н' = 0.
Вообще говоря, поверхность не проходит через узлы сетки (х^гЦ/), поэто-
поэтому для ее нахождения необходимо применять интерполяцию. Вне поверх-
поверхности имеет место Ж 0, в этих точках полагается Pi(x, ц) =0. Итерации
заканчиваются, когда
|po-Pil/Pi < e B3.35)
во всех точках, кроме тех, где р\ < 10~6. Для не очень сжатых фигур
Re/Rp < 3 (Re = Ro — экваториальный, Rp — полярный радиусы) в [64]
полагалось е = 10~5. Для быстрого вращения и сильного сжатия требова-
требования к точности снижались до е = 10~3. Интегральная относительная ошиб-
ошибка в решении Д оценивается с помошью теоремы вириала [145,437]
Д = (Ц/+27 + 3 JPdV)l\W\, B3.36)
где W — гравитационная, Т — кинетическая энергии.
При малой сжимаемости вещества возможно существование равно-
равновесных конфигураций большой сплюснутости. В этом случае разложение
плотности по полиномам Лежандра в сферических координатах B3.27)
не дает достаточной точности. Для построения равновесных моделей ме-
методом самосогласованного поля можно воспользоваться сфероидальны-
сфероидальными координатами (f, rj), связь которых с цилиндрическими (г, z) опре-
определяется формулами [163]
z = Rk$V, r = Rk[(S2 + l)(l-v2)]112. B3.37)
Параметр сфероидальных координат R^ в расчетах полагается равным Ro.
В этих координатах плотность представляется в виде (вместо B3.27),
B3.26)) [163]
(?2 + V2)P(Lv) = 2 d2nQ)P2n{v), B3.28)
и
^2„(Г) = Dл + 1) /V2 + т?2)р(?, пУРгЛпУп. B3-39)
о
а потенциал (вместо B3.28), B3.29))
ф(?.тг)= ^2„(№„(г1), B3.40)
п
S
[q2n($) Jp2n(X)d2n(x)dx + p2n^) f q2n(x)d2n(x)dx ].
о ?
B3.41)
219

Таблица 22
Отношение полярного Rp к экваториальному Re радиусу для полнтропных моде-
моделей с предельным вращением (а (г) = const)
и
3
1.5
1
0,808
0,6
0,5
7
1,333
1,6667
2
2,238
2,6667
3
Rp/Re
0,6516
0,6149
0,5580
0,5215
0,465
0,4378
Лиге ратурный источник
[64]
[437,64]
[437]
[437]
[64]
* [38]
Здесь р„(х), qn(x) - функции Лежандра от мнимого аргумента первого
и второго рода [140]. Однородно вращающиеся модели в сфероидаль-
сфероидальных координатах изучались в работе [38].
Расчеты, проведенные в [38, 64], позволили получить отношение Rp/Re
для предельно вращающихся моделей, приведенное в табл. 22 из [38].
Результаты в последней строке табл. 22 получены с помощью сфероидаль-
сфероидальных координат. Вариант метода самосогласованного поля, предложенный
в [383а], оказался устойчивым для произвольно сплюснутых и даже для
неодносвязных фигур. Этот метод, аналогично [641. использует разложе-
разложение по номиналам Лежандра в сферической системе координат B3.28),
но вместо задания полной массы М и распределения, углового момента / в
B3.22) в [64], в методе [383а] при построении модели фиксируются
центральная плотность и либо отношение полуосей диска, либо положе-
положение внешней и внутренней границ в случае торообразной фигуры. Этот
метод обобщен для получения равновесной трехосной фигуры в [3836].
г) Общий интегральный метод. Применение метода самосогласованно-
самосогласованного поля становится затруднительным или невозможным для сильно неод-
неоднородных тел (типа гало-ядро) из-за отсутствия сходимости итераций;
для неосесимметричных и неодносвязных конфигураций этот метод вооб-
вообще не применялся. Метод, позволяющий строить равновесные конфигу-
конфигурации для тел любой формы с любым распределением плотности рас-
рассмотрен в работе [351]. Он является обобщением предложенного в [352]
метода построения равновесных фигур любой формы из несжимаемой
жидкости.
Рассмотрим формулировку данного метода для тел с аксиальной и эк-
экваториальной симметрией [351] в сферических координатах (R, в, </>)■
По углу в проводится разбиение на NT эквидистантных точек
<23-42>
Радиус вдоль каждого угла 0, разбивается на NR точек
Ri, = Rf{6,) = RsuitFt) -L-, (/ = 1,... ,NR). B3.43)
Mr
220

Используя соотношения B3.25)-B3.29), можно найти значения гра-
гравитационного потенциала Фу через значения плотности
в,). B3.44)
Получаем
Фоо = jrG 2 sin 6iMi 2 Rim &Rim Pim (в центре), B3.45)
I
i
I m
' т " B3.46)
A= 1,...,Nt, /= l,-..,NR),
где
R'2"/R2n+l при Л > Л'.
при Л < Л',
На поверхности, при / = Л^, 1 < i < Nf имеет место
PtNR=>P(K<.NR,Ot) = 0. B3.48)
Значения Д0, и &Rlm — угловые и радиальные интервалы, умноженные
на соответствующие веса, зависящие от применяемого метода численно-
численного интегрирования (см. например, B3.26)). В [351] использовался метод
Симпсона при интегрировании по радиусу и трапеции по углу. Подставляя
B3.45)-B3.47) в интеграл уравнения равновесия B3.24), записанный
в каждой точке @/, Rtj) и в центре, получаем, совместно с B3.48), нели-
нелинейную систему, состоящую из (Л//? + l)Nj- + 1 уравнений, в которых
неизвестными являются константа BS,NT ■ NR + 1 значений плотности pt/-,
включая рс, Nf значений поверхностного радиуса Я/,лгд и один параметр,
характеризующий угловую скорость £1С. Общее число неизвестных на два
больше, чем число уравнений, поэтому два параметра рс или М, а также
£1С iVm-Rsutf(.'nl^)lRsutt @) можно задавать произвольно, замыкая систе-
систему. При этом предполагается, что в B3.24) подставлено значение энталь-
энтальпии #(р) и однопараметрический закон П = fi(fic, r).
В [351] приведен явный вид уравнения B3.24) для политропы
Р = Kpt, H -——Кру-1 B3.49)
7-1
и угловой скорости в виде
Х = I 2 ■ B3.50)
этом случае получается следующая система нелинейных разностных
Уравнений:
_Л_ v у , А2П2С
7П *РУС- +Фоо + —f- = Bs, B3.51)
, : В.. B3.52)
sin2e,/A2)
221

Решение нелинейной системы B3.51), B3.52), B3.48) проводилось в
[351 ] итеративным методом Ньютона.
Использование общего интегрального метода требует больших затрат
машинного времени. Для Ns = 15, NR = 40 при задании рс и Пс получа-
получается 616 нелинейных уравнений, для которых нужно ~ 2,5 с времени цент-
центрального процессора на одну итерацию при среднем числе операций в се-
секунду, превышающем 50 миллионов (компьютер типа Крей-1). Для дости-
достижения относительной точности 10~4 требуется около десяти итераций.
§ 24. Эволюция вращающихся звезд
В реальных звездах баротропность отсутствует, Р = Р(р, T) и уравнение
равновесия нужно дополнить уравнениями энергии и теплопереноса. Вы-
Выпишем уравнения гидродинамики, аналогичные B3.1)-B3.2), в эйлеро-
эйлеровых сферических координатах (г, 0, <р) в отсутствие магнитного поля с
оставлением членов, линейных по скоростям vr, v$, которые считаются
малыми. Так же как в § 23, звезда принимается аксиально симметричной,
Ъ/Ъ<р=О. Имеем
Эг
Ъьв
г
<то
Эг
Ър
1
Р
1
РГ
1
ЪР
Ъг
ЪР
Ъв
Ъг
Ъ
Ъг
ЭФ
гЭ0
г Ъв
r2pvr) +
!2г sin3
i
1
rsin0
!0 =
sin0
■а*. =
г
Э
Э0
0, utf = firsin0,
cos0 = 0,
; 0 (лучистая зона),
(pve sin 0) = 0.
B4.1)
B4.2)
B4.3)
B4.4)
Уравнение для Ф дано в B3.18). В конвективной зоне в правой части
B4.3) нужно добавить конвективную вязкость, выравнивающую угловую
скорость (см. § 29). В конвективном ядре можно приближенно считать,
ввиду большой конвективной (турбулентной) вязкости,
П = const (зона с адиабатической конвекцией). B4.3а)
Уравнение с вязкостью B9.1) нужно использовать во внешних слоях
конвективных оболочек, при малой плотности, где циркуляционные ско-
скорости могут быть большими и в B9.4) параметр а ~ 1. В обсуждаемой
схеме расчета эволюции v^ находится из B4.3) или B4.3а).
Уравнения энергии и переноса тепла для вращающейся звезды имеют вид
1 Э 1 Э
V • / = — — (г2/,)
2 Ъ
(г/,) + Г Т7
г2 Ъг rsin0 Ъв
ЪБ ЪБ ve ЪБ
1Г эТ7э7/ <24-5)
-» 4 асТ3
I = V7 (лучистое равновесие),
3 кр
Т
VT = — 7г^ (адиабатическая конвекция). B4.7)
Р
222

Запишем также уравнение для эволюционного изменения химического
состава
Эх, Эх, ив Эх, _
Эг Эг г Э0
. ' - 'не,
B4.8)
и аналогично для других реакций. Здесь / = (/г, /в, 0) эрг • см -с - век-
вектор потока тепла, е„ определено в B2.7), а физические свойства вещест-
вещества те же, что и для невращающейся звезды в § 22.
Существенное отличие эволюционных уравнений B4.1) —B4.8) от
уравнений § 23 для баротропной среды состоит в необходимости учета
скоростей vr и v$, которые неизбежно появляются при наличии тепловых
потоков.
а) Меридиональная циркуляция. Предположение о существовании ста-
стационарного состояния вращающейся звезды с нулевыми скоростями vr =
= vg = 0 в ряде случаев приводит к противоречию, известному, как пара-
парадокс фон Цейпеля [199]. Рассмотрим его вывод для твердотельно вращаю-
вращающейся звезды. При vr = v$ ~ 0 уравнение равновесия сводится к B3.17).
Согласно теореме Пуанкаре, для баротропных сред в равновесии должен
существовать центробежный потенциал B3.23). С другой стороны, при
существовании центробежного потенциала в B3.17) величина dH -
- dP/p должна быть полным дифференциалом. Из B3.17) при учете
B3.23) следует, что V/> всюду параллелен V(x - Ф). что возможно лишь
в случае, когда поверхности постоянного давления совпадают с эквипотен-
циалями W = х - Ф ив звезде Р = P(W)- Из полноты дифференциала
dP/p следует условие р = p(W), а уравнение состояния приводит к тому,
что Т = Г(И'). Итак, при твердотельном вращении, а также при наличии
Другого центробежного потенциала в B3.23) равновесие с vr = ve = 0
возможно лишь при
Р = P(W), p = p(W), T = T(W). B4.9)
Учтя B4.9) в B4.6), B4.7), получаем
4асТ3 dT
Зкр dW
Из B4.10) находим
\
)VW. B4.10)
)
, / 4асТ3 dT \ ,
\\VW\2 + [ )V2W. B4.11)
dW/ \ Зкр dW /
Для твердотельного вращения с учетом B3.18), B3.23) имеем
у2* .B4.12)
223

Коэффициент перед | V W\2 есть функция W, однако, V вменяется вдОл
эквипотенциален, так как расстояние между ними вдоль полюса меньщЬ
чем вдоль экватора в силу сплюснутости вращающейся звезды. Тогда и'
B4.11) следует, что V ■ / также меняется на эквипотенциалях W. С дру
гой стороны, в тепловом равновесии при Э/Эг = vr = ve - 0 из B4.5) едГ
дует постоянство V • / на эквипотенциалях, что и составляет парад0Кс
фон Цейпеля. Таким образом, предположение о тепловом равновесии
при vr = ve = 0 не выполняется. Нарушение теплового равновесия во вра-
щающеися звезде приводит к тому, что охлаждающиеся области начинают
погружаться, а нагревающиеся всплывать и возникает vr,ve Ф 0. Эти мед.
ленные движения называются меридиональной циркуляцией. Для общего
случая вращения с центробежным потенциалом доказательство отсутствия
теплового равновесия и возникновения циркуляции Приведено в [1991
Меридиональной циркуляции посвящено много работ (см. обзоры
в [157, 75]), где используются различные приближения. В приближении
стационарной циркуляции в лучистой области при твердотельном враще-
вращении в глубоких слоях звезды происходит всплывание вещества на полю-
полюсе и погружение на экваторе, а во внешних слоях, где плотность мала
(р< Г22/27гС)- наоборот; при некоторых законах вращения направление
циркуляции по всей звезде сохраняется [75, 199]. В отсутствие вязкости
и магнитного поля решение для стационарной циркуляции имеет расходи-
расходимость у поверхности. Например, для медленно и твердотельно вращающей-
вращающейся звезды с точечным источником энергии (модель Каулинга) радиальная
скорость циркуляции в лучистой зоне есть [199]
LR2
Vr = ~GMrY(r'eX B4ЛЗ)
где
+ <*2(р1р0IШР2(е) + 04(/-)/>4@)]} /(и - 3/2), B4.14)
ft2/?3 dlnpo
а = , и = .
GM d In Го
Здесь Ро, То — распределения плотности и температуры в сферической
звезде, р- средняя плотность звезды, 0f (г) - гладкие функции радиуса ~1-
Отметим, что помимо поверхности при р0 ~* 0 расходимость vr имеет
место у границы конвективного ядра, где п -* 3/2. В дифференциально
вращающихся звездах расходимость vr у поверхности возникает в первом
члене разложения по параметру а. В [75, 199] отмечается, что при учете
вязкости, магнитного поля или при отказе от условия стационарности
особенность может быть устранена. Подробное изучение стационарной
циркуляции с учетом вязкости было сделано Тассулем и Тассуль (см-
работу [604] и ссылки в ней) .
Влияние меридиональной циркуляции на эволюцию звезд проявляет-
проявляется в возможности перемешивания и выравнивания химического состава-
Оценки, проведенные в [229] с учетом химических неоднородностей,
привели к выводу о несущественности перемешивания за счет циркуля*
224

Ш1Й даже у быстровращающихся звезд верхней части главной последова-
сти. Эти оценки нуждаются в количественном подтверждении.
дь
б) Метод счета эволюции с учетом циркуляции. При расчете эволюции
вращающейся звезды должны, вообще говоря, учитываться следующие
дизические процессы: 1) эволюция химического состава, 2) тепловая
нест&ционарность, 3) нестационарная циркуляция, 4) обмен вращатель-
ЛЫМ моментом за счет циркуляции, вязкости, магнитного поля, 5) хими-
химическое перемешивание, 6) потеря массы. Учет первых двух факторов не
связан с принципиальными трудностями и проводится так же, как для
„еврашающейся звезды, см. § 23. Вопрос о циркуляции в существующих
9волюционных расчетах обычно обходится (см. обзор [199]) заданием
ограничений на распределение угловой скорости, например, постоянст-
Ю П на поверхностях обобщенного потенциала W [436]. Как показано
в [445] это предположение не является оправданным и выравнивания
д на зквипотенциалях при эволюции не происходит. Предположение о
стационарной циркуляции приводит к появлению нефизических расходи-
мостей у поверхности B4.13), B4.14), поэтому корректный расчет эво-
эволюции вращающихся звезд требует рассмотрения нестационарной цирку-
циркуляции. Обмен вращательным моментом и химическое перемешивание по
звезде, помимо циркуляционных движений, связан с различными свойст-
свойствами переноса. Действие микроскопических механизмов переноса: вяз-
вязкости, диффузии и термодиффузии, обычно пренебрежимо мало за время
эволюции звезды. Весьма эффективными могут быть турбулентные про-
процессы переноса в областях развитой конвекции. Химический состав этих
областей считается однородным из-за быстрого перемешивания, а ввиду
большой турбулентной вязкости (см. § 29) угловая скорость в этих об-
областях также можно считать постоянной. В [445] анализируется вопрос о
влиянии неустойчив остей, связанных с вращением, на передачу момента
и перемешивание. Если рассмотреть эту проблему с эволюционной точки
зрения, то, очевидно, механические и тепловые процесссы не могут при-
привести звезду в неустойчивое состояние. Приход в такое состояние может
быть связан с изменением условий устойчивости в результате химиче-
химической эволюции. В [445] показано, что время развития подобных не-
устойчивостей сравнимо с характерным циркуляционным временем, поэ-
поэтому рассмотренный ниже метод расчета с оставлением линейных по ско-
скорости членов автоматически учтет осесимметричные неустойчивые моды.
Магнитное поле участвует в передаче момента как непосредственно, так
и через влияние на меридиональную циркуляцию [199, 492, 493, 157].
В рассматриваемом методе магнитное поле не учитывается.
Самосогласованные методы расчета эволюции с потерей массы не
вполне разработаны даже для невращающихся звезд (см. § 22 пд). Во
вращающихся звездах вопрос еще более усложняется из-за влияния
Центробежных и магнитных сил на истечение [471]. Будем считать массу
звезды постоянной.
Исходными для расчета эволюции являются уравнения B4.1)-B4.8),
1/J.18) или B3.3). Предлагаемый метод содержит черты самосогласо-
самосогласованного метода (см. § 23, п. в) и метода Хеньи (§ 22, п. б) и обобщает
°Д работы [436] на наличие циркуляции. Требуется найти решение
'. Уравнений, i - число рассматриваемых в расчетах элементов, от-
5- Г-С. Бнсноватый - Коган 225

носительно того же числа неизвестных
р, Г, iv, ve, Vy, lr, le, &,xt. B4.15)
Для построения начальной модели можно задаться распределением энтро-
пии по звезде, например, из невращающейся химически однородной моде-
ли той же массы, и найти механически равновесную модель, например,
одним из методов § 23. Все временные производные величины £>^') в
уравнениях B4.1)-B4.5), B4.8) заменяются конечными разностями
Э£)(') £>('>(,) _ £)('■)(, _ Д,)
-а —jt—-■ , <241«
Звезда разбивается на N^ точек по углу в/, 0 < 6f < 7г/2, / = 1, . . . ,NT,
и NR точек по радиусу r(l; i = 1, ... , NR. Дифференциальные уравнения
заменяются на конечно-разностные. Помимо неизвестных в точках разбие-
разбиения, исключая центр, дополнительными неизвестными являются централь-
центральные значения рс и Тс , а также NT значений внешнего радиуса. Для опреде-
определения этих неизвестных используется условие постоянства массы, напри-
например, в виде B3.31) для определения рс и условие B2.15), определяющее
давление в NT граничных точках для определения внешнего радиуса
rNR, /, / = 1, ... ,NT. Во вращающейся звезде вместо g в B2.15) нужно
использовать эффективное значение
ge{= \V&-x)\NR,r B4.17)
В силу существования оси и плоскости симметрии в = 0 и в = -nil нужно
учесть равенство там нулю производных Э/Э0 от всех величин B4.15),
кроме того, при в = 0 и в = п/2 обращаются в нуль сами величины 1д =
= v$ = 0, а при в = 0 на оси симметрии имеет место v^ = 0. На внешней по-
поверхности rNRj следует также учесть условие
ас 2 4
/„ = —— — нормальная к поверхности составляющая
теплового потока, B4.18)
= rNR,f,
аналогичное B2.11). В итоге, число неизвестных должно совпадать с чис-
числом разностных уравнений. Блок-схема описанного метода расчета эволю-
эволюции приведена на рис. 24. В схеме на рис. 24, а все величины определяют-
определяются по схеме, неявной относительно времени (см. B2.41), B2.42)). На ста-
стадии горения водорода новое распределение химического состава, возмож-
возможно, достаточно определять явным образом, как на рис. 24, б. Здесь указано
также возможное разделение итерационного процесса на части, что потребует
226

После
тага
времени
Пробное
р(г,в)
Цикл повторяется,
до сходимости р
Находим
Ф(г-,В)
из B3.28)
При данном Ф
находим p,T,lr,le,vr,vt,
V X; U3 B4./Н24.&
Новое р
После сходимости,
шаг по времени
После
шага
по
времени
Пробное
р(г,в)
Находим
Ф(г,В)
из (ZS.Z8)
1кл 2 повторяется
- сходимости р
После сходимости,
а/аз по времени,
нахождение новых
xt(t) no явной схеме из B4.8)
Пробное
T(r,B)
1в(г\в)
Находим
P4e9
U3 B4.ГН24.4)
Цикл 1 повторяется
до сходимости
при данном Ф
Новые
Находим
T,lf.,le из
B4.5Н24.7)
После
сходимости
цикла t
Новоер
Рис. 24. Возможные блок-схемы для расчетов эволюции вращающейся звезды с учетом
циркуляции. Везде имеются в виду разностные аналоги соответствующих уравнений
меньшего объема памяти, но может увеличить время счета. Примерная раз-
размерность разностной системы уравнений составляет G + i) X N^ X NR для
схемы на рис. 24,с, для схемы на рис. 24, б размерности равны ~4 X NT X NR
и ~3 X NT X Nr для внутреннего и внешнего итерационных блоков, соот-
соответственно. Получение- достаточной точности расчетов в данном методе
возможно только при использовании суперкомпьютеров. Каждый из бло-
блоков нахождения величин р, Т, /г, 1в, vr, ve, v^, xt на рис 23 состоит в
решении нелинейной системы разностных уравнений итеративным ме-
методом типа Хеньи. В самой общей постановке можно вообще отказаться
от итеративных циклов и, используя разностную запись уравнения Пуас-
Пуассона B3.46)., находить все величины B4.15), включая Ф в едином итера-
итерационном процессе, аналогично общему интегральному методу из § 23, п. г.
При этом получается система из ~(8 + i) X NT X NR нелинейных разност-
разностных уравнений.
15»
227

ГЛАВА 7
ОБРАЗОВАНИЕ ЗВЕЗД
§ 25. Наблюдения областей звездообразования
Исследования областей звездообразования стали возможными благо-
даря успехам наблюдений в инфракрасной (X = 1-100 мкм) и субмилли-
субмиллиметровой (X = 0,1-1 мм) областях спектра. Согласно теоретическим пред,
ставлениям [637], образование звезды является результатом развития
неустойчивости (тепловой или гравитационной) в плотном межзвездном
облаке, ведущей к гидродинамическому сжатию облака или его части и об-
образованию сравнительно плотного, оптически непрозрачного ядра. Ядро, ок-
окруженное плотной газопылевой оболочкой, аккрецирующей или (и) истекаю-
истекающей наружу, должно иметь большой размер R > 103/?©, низкую темпера-
туру фотосферы Т < 500 К и доступно наблюдениям только в длинновол-
длинноволновой области спектра (X > 2 мкм).
Наземные наблюдения в диапазоне 2,2—20 мкм областей ожидаемого
звездообразования в созвездиях Ориона, Единорога и др. дали важные ре-
результаты. В этих областях расположены молодые звездные скопления
(ассоциации), области НИ, темные облака*), центральные конденсации
молекулярных облаков, мазерные и инфракрасные источники. Наблюде-
Наблюдения позволили получить данные о 30 объектах, свойства которых близки
к свойствам протозвезд на стадии после образования непрозрачного ядра
[641]. Светимость этих протозвезд в среднем равна ~ 103/,©, но в отдель-
отдельных случаях достигает 2 • 10sLe или 25/-<=,. Основной поток излучения
идет в области длин волн X > 2 мкм, а найденный от некоторых источни-
источников оптический поток много меньше инфракрасного. Спектр одного из ис-
источников (NGC2264) проведен на рис. 25 из [641]. Все источники связа-
связаны с молекулярными облаками и в большинстве из них наблюдаются
Н2О-мазеры. Некоторые источники находятся внутри компактных НИ-
зон, также расположенных в молекулярных облаках. Размеры источников
лежат в пределах от 103 до 10s Re. В наблюдаемое от них излучение сущест-
существенный вклад вносит пыль и различные молекулы (СО и др.).
Имеющиеся наблюдательные данные позволяют считать, что эти 30
объектов обладают характеристиками, являющимися следствием проя-
проявления текущей или недавней аккреции. В то же время имеющиеся данные
не позволяют однозначно сделать вывод о том, что эти объекты находятся
на стадии аккреции (см. § 26), а внутри их имеется гравитационный, а не
термоядерный источник энергии.
Важным и до конца не объяснимым свойством этих объектов являет-
является наличие наблюдаемых скоростей истечения, достигающих 10 -
100 км-с. Эти скорости много больше характерных скоростей сво-
свободного падения в облаках, составляющих ~ 1 км-с, но много мень-
меньше скоростей истечения, 100 км • с наблюдаемых у горячих звезд [489] ■
Поток массы при этом значительно больше наблюдаемого потока из го-
горячих звезд. Возможно, что данный тип истечения характерен для мае-
*) В темных газопылевых облаках поглощение в оптическом диапазоне сое
л
228

Я8СТИ
< Распределение энергии в инфра-
источнике NCC 2264 в об-
^ ^ 1000 мкм Непрерывная
L данные спектрофотометрии,
отрезки - области интерпо-
Тонкие штриховые линии -
«еретические планковские спектры
Гоуглого источника с указанной темпе-
температурой и угловым диаметром
1000
А, мкм
300 №0 30
10
24-
Т.
У-
-25-
-28-
—1
-еок
- У /
/
/
/
_
-
-
1 1
1
470 К,'
0,5"/
\
\
<
\
\
i
1 1 г
v\
\ \
* 1
\
\
\
\
\
\
\
1
1
12
14
сивных звезд на стадий перехода от протозвезды к главной последователь-
последовательности. Он может быть объяснен истечением в условиях большой оптичес-
оптической толщи, когда на уровне критической точки имеет место тк > 1. При
этом радиус фотосферы превышает критический (Гф > гк), в отличие от
горячих звезд [98], где ускорение вещества связывается с лучистым дав-
давлением в линиях, а средняя оптическая толща потока мала (тК< 1). Отсут-
Отсутствие удовлетворительной теории этого явления привело к появлению ги-
гипотезы о существенной роли каких-то неучтенных или неизвестных до сих
пор процессов внутри звезд для истечения вещества и образования прото-
звезд [337], созвучной с идеями, высказанными В.А. Амбарцумяном [7].
Одной из вероятных причин отсутствия наблюдаемой аккреции в упомя-
упомянутых 30-и источниках является то, что масса их может быть довольно боль-
большой > 3— 5 М@, так что стадия аккреции с преобладанием гравитационно-
гравитационного источника энергии является слишком кратковременной, чтобы быть
наблюдаемой. В то же врямя звезды меньшей массы ~ \М®, у которых
эта стадия достаточно продолжительная, могут быть более холодными и
светить, в основном, в диапазоне X > 20 мкм. Наблюдательные результа-
результаты, свидетельствующие в пользу этого предположения, получены при на-
наземных и самолетных наблюдениях в дальней инфракрасной (X > 60 мкм)
и субмиллиметровой областях [440] и на инфракрасном спутнике ИРАС
1505], позволяющем проводить наблюдения в области от 10 до 100 мкм.
Наблюдения глобулы Бока В335 в диапазоне 0,06-1 мм привели к об-
РУжению в центре ее очень холодного компактного источника с полной
И > 5'3 L° (£>/400 пк^' что пРевышает 70% полной светимости
!^- Плотность молекул Н2 в центральной конденсации
°М~ ^400 пкJ' масса Центрального ядра ~ 6,5MG (£>/400 пкJ, а
энергии может бьиь звезда с массой < 2 Me, на стадии грави-
Сжатия- Интересно, что центральный источник не обнаружен
точник В ближнеи инФракрасной области X < 10 мкм. Спектр этого ис-
зонах а Приведен на Рис- 26 из [440]. Отсутствие излучения в этих диапа-
идетельствует о существовании очень мощной пылевой оболочки.
229

1000
Рис. 26. Спектр источника в В 335. На экспериментальные точки наложены линии
v2Bll(l5K) - сплошная линия, vBvA8 К) - штриховая линия, и-« для К >
> ПО мкм - пунктирная линия, 1 Ян = 10~" Вт • м ~2 ■ Гц, BV(T) - планковское
распределение E.14)
Рис. 27. Распределение энергии для двух инфракрасных источников в темном облаке
В 5, данные с ИРАС относятся к области частот v < 3 • 101 э Гц, • - источник IRS 1,
© - источник IRS 2
Данный источник является первым примером из возможно обширного
класса протозвезд низкой светимости, видимых только в дальнем инфра-
инфракрасном и субмиллиметровом диапазонах.
Формирующиеся звезды с массой порядка солнечной были найдены в
темном облаке Барнард 5 (В5) [272], темном облаке Хамельон 1 [264],а
также в пылевом облаке L 1551 [347] при наблюдениях со спутника ИРАС
Всего в этих работах сообщается об обнаружении более десяти источников
данного типа. Светимости источников, в основном, не превышают 10£®.
а у некоторых составляют ~ 1/,о. Температура наблюдаемой пыли в не-
некоторых источниках мала Тп = 20-60 К, а размер излучаемой области
достигает 1017 см. Наблюдаемые источники находятся, вероятно, на раз-
разных этапах стадии звездообразования, в том числе в самом начале грави-
гравитационного коллапса (IRS2 из [272]). Спектры этих источников IRS1
и IRS 2 из [272] приведены на рис. 27, см. также [273].
§ 26. Сферически-симметричный коллапс межзвездных облаков
Рассмотрим физические процессы, происходящие в облаке, которое
сжимается и превращается в протозвезду. На начальной стадии облако
является прозрачным для излучения.
а) Тепловой баланс оптически прозрачного облака. Основными меха-
механизмами охлаждения газа в облаке молекулярного водорода являются
столкновительные возбуждения тонкой структуры иона СП и атома t»>
передача энергии пыли при столкновении с ней атомов и молекул. Ион
230

g„азуются в молекулярном облаке, благодаря действию космичес-
лучей и фонового ультрафиолетового излучения. Если rCR - толща
КИХ проникновения космических лучей и жесткого излучения внутрь об-
^ я то скорости охлаждения молекулярного облака различными меха-
низмами равны [463J
ргт-1 -с, B6.1)
гт-1 -с, B6.2)
Ad = 1,1 • Ю^рГ1'2 (Г-Td) эрг-г -с. B6.3)
Здесь Т берется в К, 1/10 часть углерода предполагается находящейся в
газовой фазе, непрозрачность, соответствующая поглощению космических
лучей и входящая в определение tqr, принята равной kCr = 300 см2 • г,
Td — температура пыли, определяемая балансом нагрева пыли газом со
скоростью Л^ из B6.3) и тепловым охлаждением пылинок при излучении
с их поверхности с потоком
/ = 2,3 • 10 кР Td эрг • м~2 • с. B6.4)
Радиус пылинки принят равным rd = 2 ■ 10~5 см, а число пылинок на один
грамм газа Nd = 2 • 1011. Средняя планковская непрозрачность вещества
пылинки есть (см. F.9))
*Р = 3-10-57^см2 г. B6.5)
Нагрев облака осуществляется космическими лучами со скоростью
rCR=2,5-10-3e"TCR эргт -с B6.6)
и адиабатическим сжатием при свободном падении
Г/=3,8-104р1/2Зг эрг-г -с. B6.7)
Решение уравнений баланса
Ad=/ B6.8)
определяет температуру газа и пыли в облаке. Рассматривая облако одно-
однородной плотности и относя rCR к центру облака, получаем равновесные
значения температуры газа в облаках разной массы и разной плотности,
приведенные в табл. 23. Из табл. 23 видно, что в широком диапазоне плот-
плотностей температура облака меняется слабо, оставаясь между 5 и 11 К при
Р = 10~19-Ю3 г-см. Более подробный анализ механизмов охлажде-
охлаждения плотных межзвездных облаков сделан в [131 ].
б) Уравнения для коллапса облака. В сферически-симметричном приб-
приближении при учете процессов излучения и переноса тепла движение газа
в лагранжевой системе описывается следующими уравнениями (ср. B2.1)-
B24)):
Ъ2
г g Qm
+ 47ГГ2 — (р + п) + = 0 - уравнение движения, B6.9)
v, B6.9а)
231

Таблица
Значения равновесной температуры плотных газовых облаков
igp (г- см э)
г, к
TCR
Г, К
-22
-21
-20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
-12
4,2 (-2)
2,0 (-1)
9,1.(-1)
4,2@)
2.0 (+1)
9.1 (+1)
4.2 (+2)
2.0 (+3)
9.1 (+3)
4.2 (+4)
2,0 (+5)
50,6
25,4
15,6
8,4
5,1
5,4
6,3
7,5
9,1
11,0
13,3
4,2 (-1)
2,0@)
9.1 @)
4.2 (+1)
2.0 (+2)
9.1 (+2)
4.2 (+3)
2.0 (+4)
9.1 (+4)
4.2 (+5)
2,0 (+6)
48.1
24,6
16,3
6,6
5,1
5,4
6,3
7,5
9,1
11,0
13,3
Ъг
1
Ът Airpr
уравнение неразрывности,
ЪЕ Р + П Ър ЪЬГ
— — — + = — Л — уравнение энергии,
Ъг р2 ъг Ът yv v
г rad _
ЪТ
Зк
Ът
1/2
/ 4 1 Э7Л
\ + 3 ТрТ Ъг ) '
Л = ЛСп
- T
CR.
B6.10)
B6.11)
B6.11a)
B6.116)
B6.12)
Здесь Р есть давление газа в оптически тонкой области и сумма давлений га-
газа и излучения в оптически толстой (см. § 1). При больших тепловых по-
потоках динамическое действие излучения на вещество может быть сущест-
существенным и в оптически тонких областях. Для его учета последний член в
левой части уравнения B6.9) записывается в виде
Gm
AncGM
B6.13)
где LCT — критическая эдцингтоновская светимость. Учет B6.13) сделан в
работах [237-239]. В работах [463, 253. 630, 131-133] динамическим
влиянием теплового потока в прозрачных областях пренебрегалось^
вид B6.9) сохранялся. Выражение для радиативного потока энергии Lr
232

О*. Па) написано в таком виде, что при крг > 1 оно переходило в из-
В ное выражение F.32) или B2.4а) лучистой теплопроводности, а в слу-
В6 малой оптической толщи крг < 1 - стремилось бы к потоку свободно-
чаеизлучения F.33) при г = 0.Выражение B6.11а) использовалось в [463],
10 акзке в [630] для описания процесса теплопередачи при любых оптичес-
а толщах и при этом полагалось Л = 0. В [253] также полагалось Л = 0,
К для Ц-^ использовалось приближение лучистой теплопроводности
Г22 4а). В [132, 133] в оптически толстых слоях использовалось B2.4а)
д = 0, а в оптически тонких полагалось Л Ф 0 и отбрасывался член
ЪЬ /Э«. ^чет конвекции был сделан в [630, 253]. Коэффициент / выби-
выбирался в виде
Ч
/= 1 +
103
B6.14)
для того, чтобы не завысить значение Lcronv при не очень малых I
Непрозрачность за счет рассеяния на пыли ка при Т < 2000 К рассматри-
рассматривалась в [374,441]
Kd=Q
md
=б
7Гrdad
B6.15)
где xd — весовая доля пыли, ad — относительное число пылинок, jujy — сред-
средний молекулярный вес газа в B.16). Размеры пылинок составляют [132]
rd = 2 ■ 10~s
B6.16)
см для льда,
rd = 6 10 смдля8Ю2,
га = 6 • 10~6 см для графита.
График для росселандова среднего Q - QR{T) из [441] приведен на рис. 28.
В [132, 133] эти значения использовались в расчетах при аа = 10~12, хи =
= 0,7, хНе = 0,28 для Т < 1500 К. Для Т > 1700 К использовались данные
[129] (см. табл. 11), а при 1500 < Т< 1700 К проводилась интерполяция.
Предполагается, что ледяная составляющая сублимирует при Т > 200 К,
а минеральная (С, SiO2) - при Т > 1500 К. В [630] принималось ка =
~0,01 см • г при низких значениях
температуры, использовались таблицы
ю [129] при Т > 4000 К и таблицы 7Л,
из 1257] при 2000 < Т < 4000, меж- ^ Г
ДУ к B000 К) и к при низкой темпе-
Ратуре проводилась плавная интерпо-
интерполяция. В [253] при Т > 5000 К ис-
1зоо3°<агись таблицы из 1129Ь при
"«чные [257]
-<0
- таблицы, анало-
а при Т < 1300 К
111 nor РосСеланД°во среднее коэффициен-
НИЯ П
nor е
Н
_ ПЫПИ *"* Различных ве-
лед, 2 - графит, 3 - SiO2
-6,0
1,0
3,0 1дГ
233

использовались данные из [373]. При расчетах в [463] полагалось к
= Kd=0,15cM2 г.
Член с искусственной вязкостью П использовался в [630, 253, 1331
для возможности сквозного численного счета ударных волн в стандарт
ном виде (см., например, [189])
/Э(г21;)\2
П = цр ( I , у. — коэффициент квадратичной искусственной
\дт / вязкости. B6.17)
Обсуждение начальных и граничных условий, необходимых для рас.
четов, дано в [463]. В качестве начального условия м жно взять либо рав.
новесную изотермическую сферу, радиус которой
GM
ЛСф = 0,41 , 8J - газовая постоянная, B6.18)
•Л I
либо однородное облако, масса которого не меньше джинсовскои мас-
массы, неустойчивой относительно коллапса. Как отмечено в [4631. началь-
начальное распределение плотности почти не влияет на ход коллапса.
Граничные условия оказываются более существенными. Обособивше-
Обособившееся облако окружено газом. Если считать давление окружающего газа
Ps постоянным, то радиус облака будет уменьшаться, если же положить
Ps = 0, то внешняя граница расширяется, несмотря на быстрое сжатие в
центре. В [463, 253] внешняя граница закреплялась и температура ее по-
полагалась постоянной, а в [630, 132] постоянными считались внешнее дав-
давление и температура. Метод счета был лагранжев в [290, 132] и эйлеров в
[463, 253, 642-646, 237, 584-586, 238, 239]. В работах [642-645, 237-
239] рассматривалась постановка задачи, несколько отличная от изложен-
изложенной выше. Газ и пыль рассматривались отдельно. Каждая компонента ха-
характеризовалась скоростью ug и иа, плотностью pg и Ра, для которых за-
записывались уравнения типа B6.9),B6.10) [645, 237]. Давление пыли счи-
считалось нулевым. Взаимодействие между газом и пылью учитывалось добав-
добавлением членаP(ug~ Ud) в уравнение движения газа (типа B6.9)) и члена
[-(S(Ug - Ud)PglPd] B уравнение движения пыли. Величина /3 оценена в
[645]. Учитывалось также динамическое влияние излучения на пыль в ви-
виде B6.13) с к = Kd изB6.15). Вместо уравнений энергии для газа и пыли
для определения температур на стадии непрозрачного ядра и падаюшей
запыленной оболочки (кокона) применялась следующая процедура. Све-
Светимость на данном радиусе г > rs принималась в виде
. /GMS GMS u\ \ лсЛ
L=LS+M[ + — - е) . B6.19)
где Ls, Ms, rs - светимость, масса и радиус центрального ядра, гх, их - Ра'
диус и скорость на ударной волне, е - энергия диссоциации Н2,М - п°'
ток массы на центральное ядро. При рассмотрении массивных объектов
центральное ядро большую часть времени является звездой главной пос-
последовательности. После нахождения L, из уравнения лучистой теплопр0'
водности F.32) находится температура излучения Тг. Температура ыл
Та полагается равной газовой Tg. В оптически толстой области Tr ~
234

- B6.20)
Л-пасг
Панный подход использовался только для исследования коллапса мас-
массивных облаков с М > ЗМе при использовании эйлеровых координат.
Качественное согласие результатов имеется между всеми авторами,
пнако количественные различия между ними довольно велики.
в) результаты расчетов. В бесконечной однородной среде при сжатии
ее однородность сохраняется. Граничные условия во всех рассмотрен-
ны выше вариантах приводят к возникновению волны разгрузки, рас-
распространяющейся к центру со скоростью звука. Так как скорость не пре-
превышает скорости свободного падения, волна разгрузки успевает дойти до
центра, при этом плотность падает наружу. В ходе дальнейшего кол-
коллапса контраст плотности нарастает, внешние слои сжимаются медлен-
медленно, а внутри формируется плотное ядро. Наиболее хорошо изучен изотер-
изотермический коллапс облака, для которого существует автомодельное ре-
решение [463]
СО >Г
р= 0,705 г, и = 3,28у/т\ B6.21)
G
Численный расчет данной задачи [463] показал выход основной массы
облака на автомодельный режим даже при закрепленной внешней гра-
границе. Расчет проводился для М - 1Ме, Г,- = 10 K,Rt = 1,63 • 1017 см,pt-
= 1,1 • 10~1в г -см~3. При этом для развития коллапса начальный радиус
не должен превышать
GM
Ът'ОМ — ■ B6.22)
Во всех численных расчетах [463, 131-133, 630, 253, 644, 645, 642] на-
начальная стадия коллапса является изотермической, стремящейся к авто-
моцельному режиму. Из-за сильной негомологичности при увеличении
плотности на шесть порядков в центре образуется статическое оптически
толстое ядро, в котором водород находится в молекулярной фазе. На-
Начальная масса ядра составляет 10-10 от массы облака. Остальное
вещество облака продолжает гидродинамическое сжатие и, проходя че-
через фронт ударной волны, присоединяется к статическому ядру. Через
короткое время от нескольких лет до нескольких сот лет, когда температу-
ра в ядре достигнет ~ 1900 К, начинается диссоциация молекулярного
водорода. Центральная часть ядра вторично проходит стадию гидродина-
гидродинамического коллапса, при котором его плотность в центре возрастает еще
на четыре-пять порядков. Еще через несколько лет плотное вторичное яд-
Р° возрастает настолько, что все следы первичного ядра исчезают, при
этом его центральная температура составляет A -^2) ■ 104 К. Это ядро
^яется истинным зародышем звезды и после исчезновения окружаю-
еи обол°чки, аккрецирующей на ядро или улетающей наружу, превраща-
превращается в звезду.
Ны УДь6а окРУжающей оболочки зависит от соотношения двух характер-
времен: 7ас — времени аккреции и ткн — времени Кельвина—Гельм-
235

Таблица 24
Начальные состояния облаков и свойства образующихся гидростатически равновесных маломасснвных протозвезд
м
0,1
0,2
0,5
1.0
0,25
1,0
1,5
2.0
1,0
1,0
1,0
/?„, см
1,71
(+16)
3,42
(+16) .
8,56
(+16)
1,71
(+17)
4,1
(+16)
1,63
(+17)
2.0
(+17)
3,26
(+17)
1,63
(+16)
1,46
(+17)
р„,г•см
1,0
(-17)
2,5
(-18)
4,0
(-19)
1,0
(-19)
1,8
(-18)
1,1
(-19)
4,9
(-19)
2,53
(-20)
1,1
(-16)
1,5
(-19)
1,1
(-19)
то,к
3
3
3
3
10
10
10
10
10
10
10
t, годы
2,94
(+4)
5,56
(+4)
1,34
(+5)
2.67
(+5)
1,2
(+6)
1.4
(+6)
3,5
(+4)
2,46
(+5)
R*
Л®
10,2
19,0
43,7
90,0
1,6
'2
2.5
3,7
6
139
4,69
рс> г • см
5,0
(-2)
7,0
(-3)
3,4
(-3)
3,0
(-4)
0,3
тс,к
1,5
(+5)
2,0
(+5)
2,5
(+5)
3,5
(+5)
1
(+5)
Tef,K
1,6
(+3)
1,7
(+3)
2,1
(+3)
2,2
(+3)
3,7
(+3)
4,4
(+3)
4,7
(+3)
6,8
(+3)
4,0
(+3)
560
L
0,6
2,6
32
165
0,5
1,5
3,0
30
9
2,4
6,2
Ссьшка на
лит. источ-
источник
[630]
[630]
[6301
[6301
[4631
[463]
[463]
[463]
[4631
[132]
[584
5861

определяющего сжатие ядра за счет потерь энергии. Для маломас-
гоЛЬ х звезд с М < ЗМе, имеет место тас < ткн,так что протозвезда ак-
сиВН1^ у всю окружающую оболочку и появляется в оптическом диапа-
когда в центре еще не горят ядерные реакции. Квазистатическое сжа-
протозвезды (стадия Т Тельца, см. гл. 8) приводит ее на главную после-
последовательность, где загорается водород.
Для протозвезд с массой М > ЪМт имеет место тас > ткнядро превра-
тСя в звезду главной последовательности еще на стадии аккреции обо-
01 чки. Часть своей жизни на главной последовательности звезда полностью
акоыта оболочкой и видна только как инфракрасный объект. При М <
<, 9М© светимость центральной звезды недостаточна для выброса окружа-
окружающей оболочки и масса звезды Мл, появившейся в оптическом диапазо-
диапазоне на главной последовательности, примерно равна массе облака М. При
9М@ часть оболочки выметается излучением звезды, так что
М, <*ЗМ112 при М> 9Ме. B6.23)
Эта зависимость М, (М), построенная на основе расчетов различных авто-
авторов, приведена на рис. 29 из [644]. Звезды с М > ЗМ0 появляются в опти-
оптике сразу на главной последовательности. Параметры протозвезд с М <
< ЗМе,, появляющиеся в оптике, количественно различаются довольно
сильно в расчетах разных авторов (см. табл. 24). В настоящее время не
вполне ясно, является ли это следствием различных начальных условий
или сказывается различие используемых численных методов.
В процессе аккреции оболочка состоит из нескольких слоев с различ-
различными физическими свойствами, связанными с пылью [644]. Вокруг цент-
центрального статического оптически непрозрачного ядра радиусом ~ 1012 см
расположен аккреционный ударный фронт, а над ним до rR « 1014 см —
оптически прозрачная зона падения вещества, где пыль совсем отсутству-
отсутствует. Сублимация силикатной пыли за счет взаимодействия с излучением яд-
ядра происходит вблизи Гц, так что при г >rR падающее вещество сильно не-
непрозрачно в оптическом и ультрафиолетовом диапазоне. В этой области
происходит переработка излучения ядра в инфракрасный диапазон. На
радиусе rp «s 10ls см оптическая толща для выходящего инфракрасного
излучения порядка единицы, поэтому гр назван в [644] радиусом искус-
искусственной фотосферы. Вплоть до rv «** 1016 см инфракрасное поле излу-
излучения достаточно интенсивно, чтобы сублимировать ледяную пыль, ко-
которая может существовать на поверхности холодных минеральных пылинок
с * < 150 К. При /■>/■„ падающее вещество имеет невозмущенный исходный
состав, где присутствует ледяная пыль, которая более эффективно взаимодей-
взаимодействует с излучением, чем силикатная (см. B6.11), B6.12)), и влияет на
пектР излучения инфракрасной звезды (см. рис. 25-27). Структура ак-
рецирующих газопылевых оболочек (коконов) изучалась также в рабо-
работах [237-239, 643, 646].
Не„ ак ^ДУет из табл. 24, свойства рождающейся оптической звезды
^^льшой массы не вполне ясны. Согласно [630, 132] они имеют боль-
путь *>адИУСь| и Развитые конвективные зоны, так что продолжают свой
Гл о\ ^|ЛаВнои п°следовательности по конвективному треку Хаяши (см.
ро"е '>м°Дель в Ше из [132] в табл. 24 является лучистой, однако, быст-
Р витие в ней конвекции приведет к увеличению светимости L и
237

100
10
л
/
to
too
(
2
f
~-ч
в
ii 0
-/
-2
2,2^
_
-
-
\
1,25'
Ч
\
»\
0,8*-
. /V
Ж :
\ т
Oft :
v\ /Ji
4 ч 4J
Л -
^ ч
ч
0,35%
4
л ■
V
N
4ft 3,8
Рис. 29. Зависимость массы оптической звезды М» от массы начального облака М
после сферического коллапса, • - расчеты [463], ♦ - [630], □ - [253], + - [6451
о-[642]
Рис. 30. Теоретическая линия рождения звезд (жирная) с массами 0.2 - 1 Ме на
диаграмме Герцшпрунга-Рессела (lg£ - lg^ef)- Указаны также линии равного време-
времени квазистатического сжатия к данному состоянию (возраст Кельвина—Гельмголь-
ца) — штриховые линии, эволюционные треки движения к главной последовательнос-
последовательности для звезд различных масс из работ [583, 406) — сплошные линии. Заштрихована
линия главной последовательности. Изохроны: А - 3 ■ 1Q4 лет, В - 3 • 105 лет. С -
10' лет, D - 3 • 10' лет, Е - 107 лет, F - 2 107 лет.
Химический состав: хн = 0,708,хзНе = 0,0,х«Не = 0,272,xl%Q = 0,00361,*i.>N =
= 0,00120, *i«o= 0.00108. Длина перемешивания берется по шкале высот плотности:
/ = р/2 | V р I (ср. A0.22))
Tef, приблизив их к модели работы [630]. Напротив, модели из [463]
появляются с малыми радиусами и светимостями, где конвекция слабее.
У модели с 1 М@ из [463] имеется лучистое ядро, а половина массы лежит
в конвективной зоне. У модели с 1,5Мв конвекция гораздо слабее и звез-
звезда возникает в самом конце трека Хаяши, а для М > 2М& стадия Хаяши
отсутствует, так как звезда сразу появляется в радиативном состоянии.
Подробные расчеты образования протозвезды с М = 1 Мв были также
проведены в работах [584-586]. Метод был аналогичен [463], но учиты-
учитывался перенос излучения в движущемся веществе в Эддингтоновском при-
приближении (см. § 9), а также горение дейтерия. Для непрозрачности ис-
использовались таблицы из работ [129, 250, 374] (см. табл. 11, 12). Началь-
Начальные и граничные условия были аналогичны [463]. Оптическая звезда воз-
возникла с параметрами R = 4,69Яе, L = 6,20/-е. На основе этих расчетов
в [583] была построена линия рождения звезд малой массы 0,2 Мэ -
<М < Ше, где они появляются в оптическом диапазоне и продолжают эв°'
люцию к главной последовательности вдоль трека Хаяши (рис. 30)- ^Р
238

.« пля всех протозвезд на стадии аккреции использовалось значение
этом ^
mi = \0~5 М® ' ГОД ' полученное в расчетах [584-586] для 1М®. Как
казано в [583], полученная таким образом линия рождения звезд на-
пятся в хорошем согласии с наблюдениями.
§ 27- Коллапс вращающихся облаков
Вращение коллапсирующих межзвездных облаков делает необходи-
необходимым проведение двух и трехмерных расчетов. При исследовании осесим-
т_иЧного гидродинамического сжатия используются как эйлеровы
[296, 297, 502, 307-311, 610, 305, 606] так и лагранжевы [439, 514, 13]
разностные схемы. Несмотря на сходство в физической постановке и
в начальных условиях результаты различных авторов не совпадают не
только количественно, но и качественно. Особенно велики различия для
быстрого вращения. В эйлеровых схемах коллапс быстровращающихся
облаков приводит к образованию тороидальной фигуры с дефици-
дефицитом плотности в центре. Расчеты по лагранжевым схемам всегда при-
приводят к образованию дискообразных тел, где центральная плотность
максимальна. Как отмечалось в [439, 514], в эйлеровых схемах действу-
действует большая схемная сдвиговая вязкость, ведуюшая к нефизическому при-
притоку вращательного момента к центру, что приводит к образованию тора.
Результаты расчетов по лагранжевой схеме представляются более надеж-
надежными. Изложим результаты, полученные в [13].
а) Система уравнений и свойства разностной схемы. Система уравнений,
используемая для исследования двумерного коллапса, имеет вид
d? _
—-и, B7.1)
at
dp
— +pV-H=0, B7.2)
dt
du
p — + У/ЧрУФ = 0, B7.3)
dE
P~ +PVu=0. B7.4)
3 d
•здесь —— — субстанционная (лагранжева) производная по времени, кото-
которая связана с эйлеровыми производными соотношением
* ~ ST +и ' « B7)
равнение для Ф дано в B3.18). Во всех упомянутых двумерных расчетах,
исключением [296 297]ие сос-
сосB7.6)
д Ф дано в B3.18). Во всех упомянутых двумерных расчетах,
исключением [296, 297], рассматривалось политропное уравнение сос-
состояния
7- 1 Р
239

причем К связано с энтропией и меняется в соответствии с B7.4) тольКо
при наличии ударных волн*).В[296,297] учитывалась лучистая теплопро
водность аналогично работе [463]. В [13] решение B7.1)-B7.6) иска,
лось в цилиндрических координатах (г, у, z) с нулевой плотностью и дав.
лением на внешней границе облака для идеального газа с
7 = 5/3, P=ptRT. B7.7)
Решение проводилось в безразмерных переменных с масштабными мно
жителями
ро = 1,492 • 1(Г17 г-см, ro=zo = 3,81 • 1016 см,
ro = 5-10uc, Ро = PodltL *
"о*> = Ы0г = "oz = "о = Го/to, <-->0 ="о1Го = l/'o> B7.8)
Здесь 8J— газовая постоянная. Угловая скорость вращения есть
со = V- B7-9)
Система B7.1)-B7.6) с учетом B7.8) после замены
F^FFo B7.10)
записывается в безразмерных переменных. При этом меняются только
уравнения движения B7.3), Пуассона B3.18) и термодинамические со-
соотношения, которые примут вид
du
р— +У/» + GрУФ = 0, B7.11)
dt
Р=рТ, Е= , B7.12)
7- 1
У2Ф = р. B7.13)
Безразмерный параметр q есть
q = AnGpotl=3,m. B7.14)
В качестве начальных условий в [13] рассматривался однородный шар
радиусаR со следующими безразмерными характеристиками:
1)р@)=1; /»@>=1/14; Я<°>=1; со<°> = 0,502;
и<°>=гео<°>, и<°>=и<°>=0; ^
if ' Г Z '
= 1; р<0)= 1/560; Л(о> = 1; со(о> = 1,004; B? 15б)
„ rtof
Подобные начальные условия принимались в расчетах [310]. В [13] ис
пользовалась разностная схема на нерегулярной треугольной сетке произ-
произвольной структуры в лагранжевой системе координат (рис. 31). МеЮ
•) Для политропы с у = 1 Р = Кр имеем Е = К\п— при р > рв, рв -» 0.
Ро
240

рис.31- Расчетная область, раз-
разбитая на треугольные ячейки
начальный момент времени,
узлов равно 227, число
396 1
Рис. 32. Изменение формы
облака в процессе коллапса
в варианте B7.15а); a) t -
= 1,0, б) t = 1,2, в) t = 1,3.
г) t = 6,6. Цифры задают
линии равной плотности с
рк = 3ft, стрелки задают
поле скоростей и длины их
пропорциональны скоростям
10
0.9
0,8
0,7
o,<
0,3
0,2
0,1
n
Ilillil
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
——
i
—
Ж
mm
<> i.111 у 11V i У,, V, V, V. 1/ 1/.1/,1/,I/.I/.I/.I/I/I/I/N
Полюс
ьисноватый-Коган

расчета основан на полностью консервативной разностной схеме дву
мерной гидродинамики [15]. Из-за учета гравитации в целом система
перестает быть полностью косервативной, но условие сохранения углово-
углового момента локально и глобально остается справедливым. Теоретическое
исследование неявных разностных схем на треугольных сетках выполне-
выполнено в [10, 11]. Устойчивость используемой в [13] разностной схемы в ли-
линейном приближении доказана в [16] на примере модельной задачи.
б) Результаты расчетов. Представим результаты расчетов в безразмер-
безразмерном виде. В начальный момент граничное давление принималось равным
Р (°-*, а далее линейно по t уменьшалось до нуля и с момента t = 1 и до кон-
конца расчета Ps = 0. Плавное снижение давления сделан» для устранения
в начальный момент волны разрежения, искажающей граничные ячейки
и ухудшающей точность счета. Вначале облако сжимается сильнее по оси г,
чем в плоскости экватора. В варианте 1 из B7.15а) максимальное сжатие
достигается при t = 1,3, когда центральная плотность рс =45. В этот мо-
момент зарождается ударная волна, прохождение которой затем приводит
к расширению внешних областей. В этот момент соотношение осей сферо-
сфероида находится в хорошем согласии с расчетами [310]. При t = 3 облако
занимает шар радиуса R = 1,5 и расширение переходит в новое сжатие.
Второе сжатие происходит более плавно, чем первое, ввиду увеличиваю-
увеличивающейся внутренней энергии облака.
К моменту t = 6,6 облако почти приходит в равновесное состояние,
слабо колеблясь вокруг него. В последней временной точке счета кинети-
кинетическая энергия вращения составляет ~ 1% от полной, центральная плот-
плотность рс = 10, а внешний размер R =* 1,3. Изменение формы облака и поля
скоростей в процессе сжатия представлено на рис. 32а—г, а изменение со
времени параметров а = Евнутр1\ Егряв I и K = £"вращ/| £"грав I - на рис. 33.
В равновесии величина а + /3 стремится к 1/2 в соответствии с теоремой
вириала [145].
0J5
Рис. 33. Изменение параметров а, р и а + 0 со
временем в варианте B7.15а). В последней
точке при t = 6,6 имеет место а = 0,4048,
/3=0,09451
Во втором варианте из B7.156) начальное давление было в 40 раз умень-
уменьшено, а вращение в два раза увеличено по сравнению с первым. Началь-
Начальные значения а и K здесь составляли
а0 = 0,00425, K0 = 0,324. B7.16)
Здесь также наблюдалось более сильное сжатие по оси z и монотонный
рост плотности в центре. Однако в соседних с центром точках по оси z
образовались уплотнения, в которых плотность превышала центральную-
В плоскости экватора плотность плавно спадала от центра. Максималь-
Максимальное сжатие здесь достигалось при t = 1,27 с ртах «300. Расчет был прек-
242

0,2 0,4 0,6 0,B f,0
DcbZ
0,02 0,04 0,06 0,0% 0,1
Полюс
Ц05
Полюс
Рис. 34. Изменение формы облака в процессе коллапса в варианте B7.156) : а) сетка
на момент t = 1,27, б) '"растянутая" сетка на тот же момент, в) линии уровня при
t ~ 1,27. Цифры задают линии равной плотности р^ = ЮЛ2
500
ZOO
№0
Р
zoo
200
WO
Полюс ' Экватор
- 35. Распределение плотности по полюсу p(z) и экватору р(г) в варианте B7.156)
16*
243

ращен после начала расширения облака. Изменение формы облака со вре.
менем представлено на рис. 34. Сложное распределение плотности и появ-
появление вокруг центра уплотнения типа гантели могут быть связаны с по-
•явлением зависимости w(z) при коллапсе и формированием поля скорое-
тей циркуляционного типа. Очевидно, что и в этом расчете формируется
диск, а не тор, в то время как в [310] образование тора получено и при
больших начальных давлениях с а0 = 0,0085 и тем же вращением K0 =
= 0,324. Распределение плотности вдоль полюса и на экваторе на послед-
ний счетный момент t = 1,27 представлены на рис. 35. Гантельная структу.
ра (рис. 35, а) содержит ~ 10 ячеек при общем их числе 396. Размер ее
очень мал ~ 0,01. Она не была замечена в расчетах [296, 297, 502, 307—
311, .610, 606, 305], возможно, из-за грубости счетной сетки вблизи цент-
центра. Раннее образование гантельной структуры в расчетах указывает на то,
что она физически реальна и не является следствием численных ошибок.
Образование протозвезд при коллапсе вращающихся облаков сильно обус-
обусловлено тепловыми процессами, рассмотренными в § 26. Однако их уче!
при наличии вращения по-настоящему не проводился.
ГЛАВА 8
ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД ДО ГЛАВНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Как следует из расчетов коллапса облаков, изложенных в § 26, звезды с
массами М > 3Mq появляются в оптике сразу вблизи главной последова-
последовательности. Объекты меньшей массы часть времени существуют как оптичес-
оптические звезды, излучающие за счет энергии гравитационного сжатия. Рассмот-
Рассмотрим эволюцию звезды от начала ее появления в оптике до прихода на глав-
главную последовательность, когда температура в центре становится достаточ-
достаточной для протекания ядерной реакции превращения водорода в гелий (см.
обзор [281]).
§ 28. Стадия Хаяши
Эволюция звезд до главной последовательности происходит в усло-
условиях не очень высоких температур, когда неполная ионизация вещества
и большая непрозрачность приводит к почти полной конвективности таких
звезд. Впервые это было установлено в работах Хаяши [390, 391 ], который
учел конвекцию при построении эволюционных треков сжимающихся
звезд на ГР диаграмме (см. рис. 30, взятый из [583], построенный с учетом
расчетов [406]) . Эволюционные расчеты в рассмотренных ниже работах
проводились методом Хеньи, решая уравнения B2.1)-B2.4).
а) Ядерные реакции. Хотя на стадии сжатия к главной последователь-
последовательности скорости реакций недостаточны для установления теплового равнове-
равновесия, реакции с легкими элементами могут давать определенный вклад в
тепловой баланс звезды. В [391] учитывались реакции горения 2D, Li>
9 Be, малые количества которых образовались в начале расширения вселен-
вселенной. Скорость энерговыделения в реакции 2D(p, у) Не дана в A4.7).
244

П4 8)- Д™ ДВУХ ДРУГИХ реакций имеем из [361] с учетом A3.3), A3.4),
A3-16)
'Li (P.«LHe, Qe = 17,348
X ( 1 + 0,0497//3 + 0,23792/3 + 0,079Г9 - 0,02779 4/3 - B8.1)
_ - 0,023795/3) + 1,54 ■ Ю6 793/2 ехр (- -id
30,4434
1,07 ■ 1079ехР(-\
= 2,391 IO1SxluxHpNA <7Lip>a;
9Ве(р,аNП, Сб = 2,125
10,359 / Г9\21
^ ^j J x B8.2)
X ( 1 +0,040791/3 + 1,0979/3 + 0,307Г9 + 3,21794/3 + 2,30795/3)
4,51-108 / 3,046 \ 6,70 ■ 108 / 5,160\.
+ exDi- 1+ ггг.— exDl— I.
'9
= 2, 278 • 1017 х9 BexHpNA <9 Be p )а.
В [406] проведены детальные расчеты эволюции к главной последователь-
последовательности звезд с массами 0,5; 1,0; 1,25; 1,5; 2,25; 3,0 М®. Здесь учитывались
реакции р-р цикла A4.2)-A4.3а) и горение 12С, 14N и "Ов CNO-цикле
A4.11). Соответствующие скорости реакций и энерговыделения определе-
определены формулами
p(p,e+i>JD в A4.5) и A4.6) с Q6 = 1,192;
3Не(Не3,2рLНе в A4.9), A4.10); 12C(p,7I3N в A4.24);
14N(p,7)ls0 в A4.13) h16O(P,7I7Fb A4.28).
Приведем также скорость реакции [389]
4НеCНе,7OВе, Q6 = 1,586
NA <4Не3Не>7 = 5,79 • 106 ( 1 +4,95 ■ 1079)~5/6 X B8-3)
-"а/Э—[--^П+4.95-1(Г»Г9I/3].
101^«Не^Не^<4НеЗНе>7-
я остальных реакций рр- и CNO-циклов в [406] учитывалось тепловыде-
Ие> но они предполагались протекающими мгновенно. Например, про-
ом реакции р(р, е+ vJD.предполагается не 2 D, а 3Не, которыйпоявля-
ся в быстропротекающей реакции A4.2) 2D(p, 7KHe, а в результате
245

реакции 12С(р, 7I3Nb итоге появляется '4N за счет быстрого протекани
реакции 2иЗизA4.11).В [38 ^рассматривались также реакции6 Li (р,аKнЯ
10В(р, aOBe, 11B(p, а)8Ве, роль которых в энерговыделении невелика'
Использованные в расчетах скорости всех реакций умножались на фак
тор экранирования (см. A7.20), A7.33) и A7.25)). Времена достиже.
ния главной последовательности tms звездами различной массы соста
вили [406]
> годы
2,514F) 5,855F) 1,821G) 2,954G) 5,016G) 1,550.(8)
3,0 2,25 1,5 1,25 1,0 0,5
Поясним причины появления экстремумов на эволюционных треках
[406] (рис. 30) - Первый минимум справа связан с ростом лучистого ядра.
По мере дальнейшего сжатия у звезд с М > 0,8 Me быстрое накопление
3Не в реакциях горения Н и 2D A4.5)-A4.8) и уменьшение |2С в реак-
реакции A4.24) приводит к избытку градиента давления, замедляющего сжатие
звезды, и к развитию конвекции в центре. В результате светимость звезды
проходит через максимум; звезда с М < Me достигает главной последова-
последовательности после исчезновения конвективного ядра.
Для М = 1,5 Л/© уменьшение концентрации 12С сопровождается умень-
уменьшением относительного вклада ядерной энергии в светимость. Роль гравита-
гравитационной энергии начинает возрастать, когда звезда еще не достигла главной
последовательности, что приводит к прохождению светимости через вторич-
вторичный минимум и ее дальнейшему росту. После того, как концентрация '2 С
достигнет равновесного значения, роль ядерной энергии вторично увеличи-
увеличивается, сжатие замедляется, светимость снова проходит через максимум
и звезда достигает главной последовательности при ненулевой массе кон-
конвективного ядра. Появление новых экстремумов вблизи главной после-
последовательности для М > 1,25МО связано с увеличением роли CNO-
цикла горения водорода в звездах большой массы, по сравнению с
рр-циклом.
б) Неидеальность вещества. При рассмотрении эволюции звезд малых
масс М < 0,2 Л/© учитывались кулоновские поправки к уравнению состоя-
состояния и ионизация давлением ([403], см. § 4, п.ж). В работах [380-383,
210] учет ионизации давлением проводился более упрощенно. Сдвиг уров-
уровней учитывался путем умножения правой части в уравнении Саха A.8) на
множитель
ф(го~) = е(гр1г<>' , B8.4)
где
/ 3 \1/з
/"о = ( J ~ среднее расстояние между ионами,
\ 4тш,- /
1т2
/■р = у — величина, близкая к боровскому радиусу,- приведенная в
тее табл. 25 из [380].
В К(Т) в правой части A.8), как и в [403], учитывалось вырождение пу-
246

Таблица 25
Значения радиусов гр
Элемент
н
Н"
н2
Не
Не*
Ne
fp.A
0,795
2,12
1,18
1,30
0,475
0,400
0,32
Элемент
N
О
С
S
Si
Fe
Mg
'р,А
0,53
0,45
0,66
0,82
1,06
1,22
1,32
Элемент
Ni
Са
Al
Na
К
'р. А
1,07
2,03
1,21
1,55
2,06
тем использования соответствующих выражений для химического потен-
потенциала, см. § 2.
в) Эволюция звезд малых масс, минимальная масса звезды на главной
последовательности, роль различных факторов. Эволюционные расчеты
звезд малой массы, идущих к главной последовательности, проводились
методом Хеньи (см. § 22). Помимо различия в способе учета неидеаль-
неидеальности, рассматривались различные химические составы и коэффициенты а
при выборе пути перемешивания в A0.22). Зависимость эволюционных
треков от а исследовалась в [381]. В [382, 383] исследовалась роль спо-
способа учета неидеальности, выбора граничных условий и горения дейтерия
на эволюционный трек звезды, сжимающейся к главной последователь-
последовательности.
Эволюционные треки звезд с М = 0,07 — 0,11 Me, рассчитанные в [210],
начиная от границы Хаяши, приведены на рис. 36. Химический состав
соответствовал Хн = 0,7, Хце = 0,27, xz = 0,03. Атмосфера и оболочка
on 9>09
6,5
6,3
6,1
'///У
f
^0,11
/,-0,10
^~^\о,О8
V
х0,07
1,0
2ft
<5fl
Пме
ГР
сферически симметричных звезд с массами 0,07, 0,09, 0,11 М® на диа-
Увелич Зависимость 'ё тс Сё Рс) Для звезды с начальной массой 0,07 М@ и темпом
пИЯ массы ^ 12 Л/е/год вблизи главной последовательности. Пунктирными
пиниямц е/д едо
Marco» показаны кривые для сферически симметричных
Сами °'°7, 0,08, 0,09, 0,10, 0,11 М@
звезд с постоянными
247

Таблица 26*)
Параметры звезд при максимальной центральиой температуре Г
м
Me
0,07
0,08
t, годы
2,2(8)
3,3(8)
igrc
.6,448
6,524
Ig Pc
2,5
2,62
A3 - <*)c
4,2
4,2
igrav
L
0,96
0,78
Ig^ef
3,41
3,42
Le
-3,21
-3,28
lgj^-
Rq
-0.94
-0,96
рассчитывались аналогично [520] путем решения уравнений F.34), B2.17),
B2.18); масса оболочки равнялась 3% от массы звезды. Конвекция в ней
учитывалась по теории пути перемешивания с' / = Р/ VP (а = I), учет
неидеальности проводился, аналогично [380), см, B8,4), рассматрива-
рассматривались реакции горения водорода в протон-протонном цикле с учетом экра-
экранирования.
Расчеты показали, что звезды с массами 0,09 Me, 0,1 Me и 0,11 Me
достигают главной последовательности, а звезды с массами 0,08 Me и
меньше в ходе сжатия достигают состояния максимальной температуры
в центре Тс и далее остывают, превращаясь в вырожденные водородные
карлики.
В табл. 26 из [210] приведены параметры звезд в максимуме Тс,
а в табл. 27 — параметры звезд на главной последовательности, когда
^grav/^ = 0,01. Минимальная масса звезды на главной последовательности
лежит в интервале 0,08 Л/© <М < 0,09 Me- Для звезд малой массы, дости-
достигающих главной последовательности (табл. 26), сохраняется состояние
полной конвективности. Линия на диаграмме ГР, вдоль которой эволюцио-
эволюционирует полностью конвективная звезда данной массы в отсутствие вырож-
вырождения получена в [390, 391] и называется границей или треком Хаяши.
В [390, 391] показано, что наличие радиативного ядра смещает звезду
влево от этой границы (см. рис. 30). При наличии аккреции звезда малой
массы с М < Mm in может повернуть к главной последовательности после
прохождения минимума Тс. Характерный эволюционный трек представ-
представлен на рис. 37 для начальной массы 0,07 Me и скорости аккреции
102 Л/о/год.
Параметры звезд на главной последовательности
М
Me
0,09
0,10
0,11
t, годы
1,6(9)
8,9 (8)
5,7(8)
IgTc
6,596
6,645
6,684
Ig Pc
2,74
2,67
2,59
A3 - <*)c
4,41
3,35
2,57
Ig^ef
3,42
3,46
3,49
Таблица lr
L
Ig—
Le
-3,30
-3,07
-2,88
R
Ig —
Re
-0,27
-0,93
-0,89
*) Здесь /3 и or определены в § 2. С ростом радиуса и светимости начальной
ционной модели время эволюции t практически не меняется.
248

Таблица 28
„актеристики звезды в момент максимума Тс (первые две строки) или по до-
нии главной последовательности (последние две строки) ; /3 - а определено в § 2,
cTtl* p /(/» + Pm), P и Рт — давление вещества и излучения соответственно
о,п
0.12
0,12
0.13
f t ГОПЫ
2.9(8)
3,8(8)
7.6(9)
2.9(9)
ЕМ
0.28
0.27
0.27
0,25
(,„,,
0,22
0.20
0,20
0,19
-г.
3,41
3,42
3,30
3,40
-t
-3,00
-3,01
-3,72
-3,20
-0.80
-0,82
-0,94
-0,88
.Г.
6,454
6,520
6,457
6,575
2,52
2.60
2,94
2,81
@-п)с
4,2
4.2
8,43
5,13
Tlrav
L
0,96
0,85
0,01
0,01
' Модели звезд малой массы с мелкомасштабным магнитным "полем,
учет которого сводился к добавлению магнитного давления
Рт=Ср*/3 B8.5)
к уравнению состояния, рассчитывались в [209]. Магнитное давление умень-
уменьшает значение температуры, необходимое для равновесия звезды той же
массы, и ее плотности и увеличивает значение минимальной массы звезды
на главной последовательности Мт[п > Afmin. Расчеты для С = 2,4 ■ 1013
в B8.5) привели к значению Л/тШ = 0,12 Me (см. табл. 28). Отметим,
что звезда с М = 0,12 Me достигает главной последовательности после про-
прохождения максимума центральной температуры. Влияние вращения на ве-
величину Мт-1п рассмотрено в § 29.
г) Эволюционная роль потери массы. Наблюдательные свидетельства
потери массы звездами типа Т Тельца, которые отождествляются с мо-
молодыми сжимающими звездами, были получены Кухи [449], см. также
[330]. Имеются наблюдательные данные (см., например, [318]), свиде-
свидетельствующие о том, что истечение вещества из некоторых молодых звезд
происходит в виде двух струй. Возможно, что зто связано с наличием
протопланетных дисков.
Эмпирический учет потери массы в расчетах эволюции звезд, сжимаю-
сжимающихся к главной последовательности, был сделан в работе [353]. Поток
массы задавался в виде
dM R3
B8.6)
dt
М
Ьудем массу М и радиус R звезды выражать в солнечных единицах, вре-
время t в годах, а в Л/©/год. Для солнечного ветра а = 3 ■ 10 "'4 Mel tor. Для
звезд типа Т Тельца поток массы может быть на несколько порядков
'Ше. На рис. 38 из [353] приведены эволюционные треки звезд с началь-
|ми массами 2,93 и 2,31 Me и различными значениями а с химическим
If ставом *н = 0,739, хНе = 0,24, xz = 0,021. В отличие от [406], где / =
л Р I» B теории пути перемешивания средний пробег конвективного
^Мента равнялся удвоенной шкале высот по давлению: / = 2P/|VP|
A0.22)). Рассматривалось также горение дейтерия, концентрация
249

L/lr
Ю'
10' -
'10
—to
, g
Рис. 38. Эволюционный трек на диаграмме ГР сжимающихся звезд с потерей массы и
учетом горения дейтерия. Начальные массы звезд равны 2,93 М& и 2,31 Л/о- Вертикаль-
Вертикальная штриховая линия указывает точку, где исчезает внешняя конвективная зона и
дальнейшая эволюция идет с постоянной массой. Массы и возрасты моделей, указан-
указанных стрелками, даны на рисунке. Стрелки в левой часги рисунка (без указания мас-
массы) указывают на главную последовательность нулевого возраста.
которого в начальный момент принималась равной земной: х2 в/хн ~
= 1,4 ■ 1(Г4 [97]. Как показано в [353], линии равного возраста (см.
рис. 30) на диаграмме ГР слабо зависят от задаваемой величиной а ско-
скорости потери массы.
§ 29. Эволюция быстроврашающихся звезд
на стадии гравитационного сжатия
Скорости вращения звезд типа Т Тельца трудно определимы из-за при-
присутствия широких линий излучения. Оценка скорости вращения таких
звезд проводилась по узким линиям поглощения [394], при интерпрета-
интерпретации наблюдений флюоресцентной линии железа Fel XX 4063,4132 [63~J
и составила<vsini> = 20—65 км • с.
При теоретическом исследовании эволюции быстровращающихся звезд
на стадии гравитационного сжатия использовалось политропное уравнение
состояния Р = Кру с 7 = 4/3 для звезд с массами 3-12 Me в [303] и 7
= 5/3 для М < 1 Ме в [491]. В'[303] рассматривалось фиксированное
250

аспределение момента вращения, а в [491] вращение считалось твердо-
ельным и предельно быстрым *) на протяжении всей эволюции. Изложе-
Изложение данного параграфа следует работам [40,41 ], где использовалось точное
уравнение состояния с нормальным химическим составом (см. § 1). Полу-
Получено распределение эффективной температуры по поверхности звезды пу-
путем сшивки лучистой оболочки с конвективным ядром отдельно на полю-
полюсе и экваторе. Рассматривались стадии полностью конвективных звезд,
в которых энтропия и угловая скорость постоянны по веществу. Полный
угловой момент в процессе эволюции считался постоянным. Условие посто-
постоянства энтропии в условиях развитой конвекции не вызывает сомнений
(см. § 10)> но условие постоянства угловой скорости требует обосно-
обоснования.
а) О распределении угловой скорости вращения. В процессе эволюции
звезда испытывает сжатие и расширение, перемешивание за счет меридио-
меридиональной циркуляции и конвекции. При наличии дифференциального враще-
вращения может развиться гидродинамическая турбулентность. Все зто ведет
к перераспределению вращательного момента в звезде. Вязкость, связан-
связанная с микроскопическими явлениями, стремится выровнять угловую
скорость, но обычно она очень мала.
В осесимметричном случае уравнения, описывающие изменение ско-
скорости вращения v^ при наличии изотропной вязкости имеют вид [136]
Эй. Ъу ve Ъу у (vr+ctgeve)
—£- +у—^ +— — +—Е =
Ъ1 Ъг г- Ъв г
П Г 1 Э / Ъу.. \ 1 Ъ / Ъу.
= - — ( г2 —— + — [ sine-
р [г2 Ъг\ Ъг / r2sin6 Ъв\
B9.1)
р[ Ъг\Ъг г / гЪв\г Ъв г
Здесь 7j(p, Т) — коэффициент вязкости. Для дальнейшего удобно запи-
записать B9.1) через удельный момент вращения / и угловую скорость J2
B9.2)
/■sinO
С учетом B9.2) запишем B9.1) в виде
Ъг г Ъв
sine a / an \ i а / , ъо.
_ аде э / ъп\ 1 э / , ъп\
ГТ~[Г ^sine ) + ( sin3e?3 ). B9.3)
or ъг\ ъг / psine эе\ ъв /
язкость вещества обычно пренебрежимо мала и при п - 0 из B9.3) сле-
ДУет сохранение момента вращения каждого жидкого кольца.
Нов предельно быстром вращении звезды центробежная сила на экваторе урав-
вешивает гравитацию.
251

Значительно сложнее физическая картина в конвективно неустойчивой
области. Ламинарная конвекция во вращающейся жидкости исследовалась
теоретически и экспериментально во многих работах (см. [94, 628])
Стационарное состояние, к которому стремится конвективно неустойчи]
вая вращающаяся среда, не характеризуется однозначным распределением
угловой скорости. Как видно из B9.3) , условие / = const обращает в нуЛь
левую часть, а Г2 = const - правую часть этого уравнения. Условия эти
не совместимы при vr,ve Ф О, поэтому стационарный закон вращения за-
заключен между условиями / = const и П = const. Чем больше коэффициент
вязкости, тем ближе вращение к твердотельному. Безразмерный параметр
характеризующий закон вращения, «
B9.4)
представляет собой обратное число Рейнольдса ([136], см A0.13)), соот-
соответствующее циркуляционной скорости iy ~ ve. При а > 1 имеем £2 =
= const, а при а < 1 имеем / = const в стационарном состоянии. По данным
численных расчетов [628] в случае а = 5 вращение почти однородно, а при
а = 0,04 момент вращения единицы массы постоянен почти по всему
объему, кроме области вблизи центра, где г -*■ 0, а -* °°, Г2 = const.
В звездах конвекция всегда является турбулентной (см. § 10, п.в)
и характерный масштаб ее обычно много меньше размеров конвективно-
конвективного ядра. Численное моделирование при этом практически невозможно,
так как даже в ламинарном случае расчеты охватывают небольшое число
конвективных ячеек. Микроскопическая вязкость в звездах столь мала,
что в пределах одной конвективной ячейки должно установиться состоя-
состояние / = const. Однако при турбулентной мелкомасштабной конвекции
имеет значение усредненное распределение J2 по конвективному ядру,
а не мгновенное распределение параметров внутри ячейки. Крупно-
Крупномасштабное распределение, устанавливается в результате взаимодействия
конвективных ячеек, проявляющееся в виде конвективной или турбулент-
турбулентной вязкости.
Если учесть коэффициент турбулентной вязкости
С29-5)
где vT - средняя турбулентная скорость, / - характерный масштаб турбу-
турбулентности, то для а из B9.4) имеем
B9.6)
Отношение г/1 примерно равно числу конвективных ячеек на длине конвек-
конвективной зоны в звезде. В конвективном ядре звезды в 30 Me на главной
последовательности имеет место 1/г ~ 0,1, Щ «* 2 • 10s см • с [165,295] •
Скорость циркуляции по оценкам на основе соотношений подобия и теории
вращения Солнца [340] есть vr < Ю3 см • с для скорости вращения,
меньше предельной. Следовательно, а > 1 и в расчетах считается
П = const в конвективном ядре. Отметим, что критерий твердотельности
а > 1 справедлив только при / < г. В противном случае теряет смысл поня-
понятие турбулентной вязкости, возникает несколько конвективных ячеек,
в каждой из которых стационарный закон вращения близок к / = conS '
252

0 как и в конвективно устойчивой зоне, стационарное состояние
сь может не достигаться и необходимо эволюционное определение
Определения вращательной скорости (§ 24, п.б).
Приведенные выше соображения справедливы только в рамках прос-
ix предположений об осевой симметрии, изотропии турбулентной вяз-
ости отсутствия магнитного поля. Все эти предположения могут нару-
нарушаться: неустойчивости разрушают осевую симметрию [339], наличие
магнитного поля приводит к возникновению дополнительных сил, дейст-
действующих в ^-направлении, и усложняет уравнения B9.1), B9.3). В неко-
некоторых моделях конвекции получается анизотропный тензор вязких напря-
напряжений, принципиально отличающийся от обычного вязкого тензора и не
обращающийся в нуль при твердотельном вращении [442]. Все зти слож-
сложные эффекты изучались только на упрощенных моделях [340, 75]. Для
эволюционных расчетов принятие U = const при а > 1 представляется
наиболее разумным.
б) Метод расчета эволюции. Звезда делится на иззнтропическое твердо-
тельно вращающееся ядро и тонкую оболочку, внешняя часть которой
лучистая, а глубже существует зона неадиабатической конвекции. Уравне-
Уравнение состояния Р(р, Т) и иззнтропы Т = Ts(p) рассчитывались для состава
xH = 0,7, *не = 0,28, xz = 0,02 с использованием аппроксимационных
формул для термодинамических функций из [520]. В этих формулах,
аппроксимирующих таблицы [621], исправлена ошибка в соответствии
с уточнениями [622] (о точных формулах см. § 1, задача 1).
При заданной энтропии 5 в ядре, определяющей связь Р = Ps(p), задан-
заданном полном моменте вращения J и массе звезды М (масса и угловой мо-
момент оболочки считаются пренебрежимо малыми) решались уравнения
B3.19), B3.3) при О. = const методом самосогласованного поля в вари-
варианте [64] (см. § 23, п.в) для построения модели ядра. Чтобы найти свети-
светимость звезды и ее положение на ГР диаграмме, к ядру пришивалась оболоч-
оболочка, которая рассматривалась в плоском приближении с толщиной И, много
меньшей радиуса ядра R. Оболочка считалась находящейся в механическом
и тепловом равновесии в эффективном поле тяжести
£ef = | V(х - ф) I, X - центробежный потенциал из B3.23), B9.7)
и описывается уравнениями
& 4асТ3 dT
ТГ PSef. F = Frad+Fconv> ^rad = —~ • B9.8)
ил Зкр dx
Десь Fconv flaHo в A0.18),^ =м(Р. Т) считается равновесным (см. приме-
примечание к A0.11), см. также B2.1), B2.4)), х - координата в оболочке
=Ар?Ь напРавления V (х - Ф)- Расчеты в оболочке велись при / =
' ' "P/dx | = Яр. Модель ядра строилась при внешнем граничном усло-
н ~ Р ~ 0- Вносимая при этом ошибка ~Л/Я мала для тонкой оболочки,
пепрозрачность к в B9.8) бралась из таблиц [129], а при 10 < г < 2/3
f010 ВТОР°ГО и третьего соотношений в B9.8) использовалось урав-
^' попУченное с помощью зддингтоновского приближения,
оболочки определяется однозначно при известных Те{ и £ef. Все
и являются лучистыми при г = 2/3, Т = Те{, но с ростом г лучистый
253

Z,60 -
3.55
-iT°y
1
s
-10,8°
<yy
У -10,5
s
I
r-10,7
4q -'0.3
Рис. 39. Зависимость эффек.
тивной температуры ref OT"
ускорения силы тяжести #ef
вдоль поверхности звезды
для моделей с 0,5 Ме, J =
= 4- Ю^г-см-'-с-1 и с
1Л/в, У=14,2-105Сгсм1с-1.
Штриховые линии указыва-
указывают наклон зависимости, най-
найденной в [473]. Цифры у
каждой кривой указывают
значения параметра Ig p0 (CNl
табл. 28, 29)
3,0
градиент вскоре становится больше адиабатического и наступает конвек-
конвекция. В верхних слоях конвективной оболочки плотность мала и перенос
тепла конвекцией малоэффективен, поэтому имеет место сильная неадиа-
батичность и энтропия растет внутрь. По мере продвижения вглубь оболоч-
оболочки конвективный перенос энергии становится все более эффективным
и градиент температуры приближается к адиабатическому. Решение счи-
считалось вышедшим на адиабатический режим, когда выполнялось условие
I V - 72 К Ю
-з
B9.9)
(см. A.12) для 7г)■ Величина Tef подбиралась так, чтобы в точке V =*
** 7г = C1n7y31nP)j энтропия оболочки So равнялась энтропии ядра S.
Практически сначала была затабулирована зависимость S0(#ef, Tef), а за-
затем с помощью интерполяции таблиц находились значения Tef(gef, So)- От-
Отметим, что аналогичный метод пришивки оболочек использовался при по-
построении моделей невращающихся конвективных звезд малой массы [403].
Результаты расчетов показали слабую зависимость 7^0^) (Рис- ^9)
и неплохую точность соотношения Tef ~ gef' , полученного в [473].
По распределению TefF) по поверхности звезды R = RF) ищется пол-
полная светимость
2l1/2
\
B9.10)
Зная светимость и энергию модели E , можно определить разность воз-
возрастов между двумя конвективными моделями
B9.11)
Z,t +L2
которая определяется по средней светимости между моментами "Г'и
Полная энергия E отрицательна, она включает в себя тепловую, вращатель
ную и гравитационную энергии и вычисляется в программе расчета рав
254

сия ядра (энергией оболочки пренебрегалось)
^ __I fodm + -Г22 fr2sin26dm + fE(p,S)dm B9.12)
dm = 2npr2 sind drcW.
Соотношения для удельной внутренней энергии E(p,S) см. в гл. 1.
в) Результаты расчетов. Расчет моделей невращающихся звезд, сравне-
сравнение с результатами работ [391, 406, 353], а также контрольный расчет
по методу Хеньи (§ 22, п. б)) при тех же физических предположениях
показал, что точность рассмотренного здесь метода не хуже 5%, если толщи-
толщина оболочки не превышает 0,3 R, а масса лучистого ядра не превышает
25% от массы звезды. Для звезд с массами 10, 2, 1, 0,5 М© оболочка явля-
является тонкой, если L < 4 • 104, 2000, 100, 50 LQ соответственно. Основные
результаты расчетов приведены на рис. 40,41 и табл. 29-31 из [40]. Ука-
Укажем для сравнения, что угловой момент Солнца при твердотельном вра-
вращении 1,6 ■ Ю48 г ■ см2 ■ с [5]. Энтропия характеризовалась плотностью
вещества р0 (lgPo) "Ри т - то. 'g То = 3,3.
В табл. 29—31 приведены результаты расчетов эволюции звезд с М =
= 0,5, 1, 2 Мо соответственно. Указана зависимость полярного Rp и эк-
2/7"
f,0
en
-v
3 -
%2
J=0
_V-- -.-10,2
3.7
2/У„
-«,3
3,6
Ws
'-10,9
К»Г 2ff>5
>-W,6
ef
3,8
5.7
5ff
Рис- 40. Эволюционные треки моделей сжимающихся звезд с М = 0,5 Л/е и 1 Л/в при
Р*зных значениях момента импульса _f50 (в единицах 1О50 г- см1 ■ с), построенные
Для средних эффективных температур звезд. Жирная линия - результаты расчета
тодом Хеньи для иевращающихся звезд, крестики - модели, рассчитанные изло-
еииым методом. Цифры указывают значения lgp0, параметризующие энтропию
*ДР*- Штриховые горизонтальные лииии показывают разброс эффективной темпера-
уры по поверхности вращающейся звезды. Линия НГП - начальная главная последо-
тельность невращающихся звезд с хн = 0,70, xz = 0,02
чист ТРеки моделей с 1Ма. Обозначения те же, что и на рис. 40. Образование лу-
луге ядра приводит к переходу на горизонтальный участок трека
255

Таблица 29
Результаты расчета эволюции звезды 0,5 Ме
igPo
Re
-11,3 20,4
-11,0 9,03
-10,7 4,44
-10,4 2,36
-10,2 1,62
-11,3 21,8
-11,0 9,86
-10,7 5,09
-10,4 2,97
-10,2 2,47
*) h велико только
Rp
7?s
20,3
8,94
4,35
2,28
1,54
тс,к
2,47E)
4.87E)
9,35E)
1,72F)
2,50F)
2,4E)
4,66E)
8,57E)
1,49F)
2,08F)
вблизи экватора из-за
рс, г ■ см 
1,16(-3)
8,6 (-3)
5,96 (-2)
0,36
1,07
1,12(-3)
8,05 (-3)
0,0523
0,292
0.832
уменьшения gef.
L
т
53,8
14,4
4,14
1,28
0,609
55,5
14,9
4,39
1,45
0,773
Те, К
3475
3750
3920
4020
4020
3400
3640
3740
3720
3365
тр,к
3470
3750
3930
4010
4040
t, годы
0
8,06C)
6,0D)
3,70E)
1,10F)
0
7,50C)
5,48D)
3,04E)
8,13E)
"экв.
км ■ с'1
0
0
0
0
0
24,5
41,6
72,9
127
193
We
J
0,35
0,12
0,045 J=0
0,020
0,012
0.39
0,16
0,068 У = 4,10 E0)
0,045 Г'см'-с
0,25*)

о
ЕЯ
0
£ Эволюция звезды
к
5
| Igp.
-11,5
-11,2
-10,9
-10,6
-10,3
-11,5
-11,2
-10,9
-10,6
-10,3
-11,5
-11,2
-10,9
-10,7
-10,6
Re
Re
21,7
10,5
5,23
2,73
1,51
22,0
10,75
5,44
2,92
1,70
23,05
11,5
6,12
4,25
3,66
[ УН©
Rp
Re
21,7
10,5
5,20
2,69
1,48
21,6
10,4
5,12
3,26
2,62
TC,K
4,15E)
7,88E)
1,54F)
2,91 F)
5,24 F)
4,12E)
7,80E)
1,50 F)
2,76F)
4,81F)
4,03E)
7,46E)
1,39F)
2,04 F)
2,44F)
рс,г -см
1,34 (-3)
9,23 (-3)
0,0669
0,444
2,52
1,33 (-3)
9,03(-3)
0,0642
0,412
2,22
l,29(-3)
8,50 (-3)
0,0575
0,192
0,341
L
83.6
26,2
8,02
2,52
0,80
84,3
26,4
8,13
2,55
0,83
85,7
27,1
8,57
4,04
2,79
те, к
3760
4040
4270
4420
4450'
3740
4010
4180
4285
4260
3680
3920
4040
3990
3860
TP,K
3760
4040
4270
4410
4440
3760
4040
4260
4365
4395
t, годы
0
1,5D)
1,1E)
6,5E)
3,6F)
0
1,5D)
1,1E)
6,4E)
3,3F)
0
1,4D)
9,7D)
3,1E)
5,4 E)
«экв,
км ■ c
0
0
0
0
0
15.8
27,8
51,3
93,4
162
31,7
55,1
100
150
184
h
Te
0,21
0,10
0,034
0,015
0,30
0,12
0,054
0,044
0,044
Таблица 30
J
У = 0
У = 7,1E0)
г • см5 -с
/=14,2E0)
г- см5 ■ с

258
2
о
II
ft
» ^ \C On (Л О CO ^V го го © *-ч © t—
00 »t ^ О О 00 ^П
t— ^ fi ~и © ^ •-? t— ^
О —< t- NO m —i On О О NO T On —i <N
OOOTj-mOOT 00 О Т m On On m
<-l NO —i Tf t- ON ON CS \o —< * NO 00 ON
О
О
О О
\О О On М ^ rf h- О h- « П ^ М
t^ On f) г( t^ ^t \О чо t-^ •—i t-* t-* го ■
M >O ^ Tf \O OO Oo П Wl »-( П 1Л NO
00 ^ ON fl WIT 00 « ^ 1Л Г^ 00 CO OO
4 £ w oC 4 4. °i ^ 2 я- „с no. o. on Nq
м 1Л 0O r) ON П С м >Л O6(N ON W О и
O
on
D
n «n o.
I I I I
W W ^^ ^
M м П N О «
I I I
I I I
\fi ^ On О t^ h- \O
И ^ WJ ^ м н 00
OOO
h. С м
O
O0 м м N О ЛС1 CO On On h- >Л »Л О
O~4 « m On « m \O -^ м n CO t-i n »D On
О
^ ^ о, сit- -i ^ t- 4 °* '
Tf О M ON m
£ -Г oo" «4 ^ "■-
—i NO —' On T rN
од NO «N <N 00 »4
S -Г oo П. *~. "I
-1 *C ^ On ^t N
CS <N -^ — « О* О CS rT « -^ —Г о" О* »Ч* <N -ч* —Г —* О О
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

иального Re радиуса, центральных значений температуры Тс и плот-
""* . ^ светимости L, эффективной температуры на полюсе Тр и эква-
я0СТ f Cqt времени г. Приведены также значения экваториальной скорос-
оашения кЭкв и относительной толщины оболочки h/Re. Оказывает-
111 что вращающаяся звезда с той же энтропией имеет меньшую темпера-
^nv но большую светимость, чем иевращающаяся. Для последней модели
fj's 0,5 Me в табл. 28, имеющей максимальную сплюснутость Re/Rp =
- 1 j6 (рис. 42) увеличение светимости составляет ~25%. Для этой модели
зААективиое ускорение на экваторе в ~24 раза меньше, чем на полюсе.
Рис. 42- Форма поверхности сжимаю-
сжимающейся звезды с lM®MJi(,=\4,2 в
разные моменты времени эволюции.
Показаны значения параметра lg p>,
(см. табл. 30)
Отклонение влево эволюционных треков (рис. 40, 41, см. также рис. 30,
38) связано с ростом лучистого ядра (см. § 28) и не описывается данным
методом. В лучистом ядре необходимо учитывать неадиабатичность, неста-
нестационарную циркуляцию, перераспределение углового момента й исполь-
использовать в полном виде уравнения эволюции § 24.
Время сжатия вращающейся звезды до состояния с данной энтропией
несколько уменьшается за счет увеличения светимости моделей с тем же S.
Однако центральные значения температуры и плотности вращающейся
звезды меньше, чем у невращающейся при том же S, поэтому она приходит
на главную последовательность с меньшими значениями энтропии и свети-
светимости, чем невращающаяся. Приближенные расчеты однородно вращающих-
вращающихся звезд на главной последовательности показывают, что с уменьшением
массы различие в светимости растет [541, 354]. Для М = 0,5 М® свети-
светимость предельно быстро вращающейся звезды на главной последователь-
последовательности получается в 1^6 раз меньше, чем у неврашающейся, если экстрапо-
экстраполировать результаты работы [541]. Кроме того, по пути на главную
последовательность вращающаяся звезда излучает больше тепла, поэтому
предельное вращение увеличивает время прихода на главную последо-
последовательность примерно в два раза.
8 30. Модели истечения вещества из молодых звезд
Механизмы квазистационарного истечения вещества, наблюдаемого
У различных звезд [449,327]. можно разделить на четыре типа:
) истечение под действием светового давления при малой и большой
прической толще истекающей области оболочки,
*) нетепловой нагрев и расширение короны,
) вращательный механизм истечения,
„_. К ИСтечение из оболочек звезд за счет энергии, выделяемой при ре-
рекомбинации атомов и молекул.
17*
259

Роль вращательного механизма не вполне ясна, так как наблюдаемые
скорости вращения меньше предельных. По-видимому, этот механизм
наиболее важен на нестационарных стадиях (см. гл. 10). Первый из пере,
численных механизмов связан с большой светимостью звезды и важен ддя
очень ярких голубых звезд большой массы или гигантов и сверхгигантов
на продвинутых стадиях эволюции (см. гл. 9). У звезд небольшой массы
и светимости, к которым относятся и молодые сжимающиеся звезды
имеются конвективные оболочки, приводящие к нетепловому нагреву
короны и ее истечению по типу солнечного ветра. На самых ранних ста-
днях образования звезд важным для потери массы могут оказаться эф.
фекты рекомбинации, приводящие к малости адиабатического показа-
показателя 7i < 4/3 (см. A.11)). Отметим, что механизм потери массы под
действием светового давления очень важен при формировании звезд боль-
большой массы М > 9 М® и приводит к зависимости B6.19). Рассмотрим моде-
модели истекающих звезд, теряющих массу за счет второго и четвертого меха-
механизмов, рассмотренных выше.
а) Истекающие биполитропные модели [43]. Рассмотрим звезду, урав-
уравнение состояния которой имеет вид
Р = К2р1 + 1'"' при р<ра, п2>1; C0.1)
P = K1pl + 1{п^ при р>ра, C0.2)
причем
Такое уравнение состояния отражает свойства газа с учетом рекомбина-
рекомбинации. Удельная тепловая энергия такого газа есть
Е = К2п2р1{п* при р<ра, C0.3)
Е = К1(п2 -и,)рв1/и' +К1П1р11"> при р>ра. C0.4)
Рассмотрим звезду со средней плотностью р, такой, что ра<р~. Для чисто
политропной звезды массы М и радиуса R с уравнением состояния C0.2)
при всех плотностях полная энергия е определяется выражением [145],
см. § 34,
e
5-и, R
Здесь за нуль принята энергия вещества звезды при нулевой плотности
без гравитационного взаимодействия. Если масса и толщина оболочки,
где р < ра, пренебрежимо малы, то полная энергия звезды с биполитроп-
ным уравнением состояния C0.1), C0.2) запишется в виде
. C0.6)
Из C0.6) следует, что при достаточно большом п2 полная энергия стано-
становится положительной и энергетически выгодным будет разлет звезды
на бесконечность. Если П\ < 3, то и при положительной полной энергии
основная масса находится в устойчивом равновесии (см. гл. 12), но в оо-
260

г, <? п возможно истечение вещества. При достаточно малом отноше-
ласти р "■> на D
о /jo темп потери массы М столь мал, что основная масса звезды
И^ дится в статическом равновесии, а истечение происходит в квазиста-
^нарном режиме с распределением скорости
М=--^Ц-. C0-7)
Лпрг
В стационарно и радиально истекающей звездной оболочке при р < ра
имеет место интеграл Бернулли [136]
„г р GM и2 ,. GM
ы =— + Е + — - = +(п2+1)К2р '"' . C0.8)
2 Р г 2 г
Для удовлетворения условия р -»• 0 при г~* °° решение C0.7), C0.8) долж-
должно пройти через критическую звуковую точку, где выполняются соот-
соотношения
2 = 2 = +1 к 1/п*
Пг C0.9)
2 = .
Здесь скорость звука us = (ЭР/ЭрI/2. Для построения модели статической
звезды с истекающей оболочкой нужно сшить решение для ядра с реше-
решением C0.7),' C0.8) для оболочки так, чтобы в месте сшивки были непре-
непрерывными плотность р и давление Р, и скорость и была бы очень малой.
В статическом ядре уравнение равновесия B2.1) при баротропном
уравнении состояния Р(р) имеет интеграл, который следует из интеграла
Бернулли C0.8) при и -»• 0. Значение интеграла Я берется на границе стати-
статического ядра /■=/?, где приближенно полагается р = ра, и < щ и
Н=(п2+ \)К2pflv"» - . C0.10)
/v
Используя C0.9) в C0.8), выразим значение Я через радиус критической
точки гсг:
„ 2п2 -3 GM
Н Т Т~- C0П)
^ 'сг
Из сравнения C0.10) и C0.11) находится радиус rk (M, R), зная который
можно с помощью C0.9) и C0.7) найти поток массы
2A +п2)
4п 1 s n/GM\+os
Ч2л2 /
| /, - -^] '. (зо.13)
261

Из теорииполитропных звезд имеем [218],см. § 34,
п. 1 -п.
(и, +1Ж, 1з-п./ М \з-п,
W ] () *- C014>
где %„,М„ — безразмерные величины,зависящие только от п. С учетом
C0.13), C0.14) функция M(M.R) примет вид
3'2
14nG 1з-п, ~
(«1 + О*! J
п , - 1,5
C0.15)
Для истечения из оболочки звезды необходимо выполнение условия Н > О,
которое при п2 > 1 и при учете C0.14) в C0.6) эквивалентно условию
Эе/ЭМ> 0. При Н = 0 энергия е положительна и Ъе/ЪМ = 0:
2GM2
е = ео = при # = 0; М = М2. C016)
E — nt)R
При фиксированных П\ < 3 и «г ^ 1 в зависимости от массы звезды М
можно выделить три типа биполитропных моделей:
1)М>М,, е<0, Эе/ЭМ<0, ЖО - C0.17)
устойчивые статические модели с отрицательной полной энергией;
Эе
2)М2<М<М1, 0<е<е0, < 0, Ж0 - C0.18)
ъм
статические модели с положительной полной энергией (разлет вещества
на бесконечность здесь энергетически выгоден, но модели устойчивы от-
относительно малых возмущений (в целом метастабильны), а разлет на
бесконечность отделен потенциальным барьером);
Ъ)М<М2, 0<е<е0, Эе/ЭМ>0, Я>0- C0.19)
квазистационарно истекающие модели (статические модели в строгом
смысле здесь отсутствуют, но ввиду малости М при малых ра основная
масса находится почти в статическом равновесии).
Значение Мх находится из условия е = 0 в C0.6), а М2 из условия Н -
= 0 в C0.10) с учетом C0.14). Необходимым для применимости прибли-
приближенного подсчета М в C0.15) является условие того, что критический
радиус Гк лежит вне звезды:
rct/R>l. C0.20)
262

„ 13л C0.14) следует, что C0.20) выполняется при
/ М\" GM/R 2 2
_Г-—1 » " П— > • к= ■ C0.21)
У~\М2/ (п2+1)К2рЧ"* „2+0,5 3-й,
Используя у из C0.21), C0.10) можно записать C0.15) в виде
C0.22)
Очевидно что М в C0.22) проходит через максимум, лежащий при
^( } C0.23)
* и,-1,5 + 21 к
При к > 1 ("i > 1) условие C0.21) нарушится прежде, чем М достигнет
максимума. На границе условия применимости C0.21) средняя плотность
звезды порядка ра и она оказывается глобально неустойчивой ввиду
близости к единице показателя адиабаты 7i из C0.1), A.11), и разлета-
разлетается в динамической шкале времени. Начинается такой разлет несколько
раньше, чем достигается условие C0.21). Для истекающей звезды у са-
самой границы Эе/ЭЛ/ = 0, у = 1 и величина М будет малой, но растущей по
мере истечения и уменьшения М. Когда масса звезды уменьшится в
(и2/2) 11К раз истечение превратится в разлет всей звезды. Отметим, что в
процессе потери массы скорость истечения и разлета всегда остается поряд-
порядка скорости звука us из C0.9), соответствующей плотности ра, за исклю-
исключением звезд с массами М ^Mj, для которых скорость истечения мала из-за
большого критического радиуса в C0.13).
Время диссипации звезды с массой М < М2 составляет по C0.22)
М р / 4 \
М ~ А2 Ра \Ъ(?12п\12у Ч" A - у)"* ~ l'sJ
Р (
^пп1пуг'г{\-у)п*-1'
где тА2 = R2lyfGM^]R~2 — время гидродинамического разлета ядра,~р =
= 3M/4nR3 — средняя плотность ядра массы М2 и радиуса R2,Th и р" —
те же для М < М2. Безразмерная величина во вторых скобках C0.24)
3 8 /9
Достигает минимума при j» = , который равен — V— «= 0,73 для
и, ь 1 т 2и2 9 3
2 1. 1аким^ образом, время диссипации биполитропной звезды с п2 >
и Ра < р всегда много больше гидродинамического времени ядра
используемое приближение является корректным.
Щ Истекающие модели изэнтропических водородных звезд [48]. Урав-
ение состояния Р(р) при постоянной энтропии в области ионизации и дис-
ци чин имеет 7, < 4/3 и даже, при учете излучения, 7i < 1- Это приводит
«Ьи Змо"^ности существования стационарно истекающих устойчивых кон-
C0 кп*™1* аналогичных рассмотренным выше биполитропным моделям из
■■ )■ Постоянство энтропии характеризует полностью конвективные
^мающиеся звезды на стадии Хаяши (§ 28).
263

-14 -10 -ff -2 Рис. 43. Зависимость Р(р) вдоль
lgP( ' ' ' ' ' ' ' 1~~U7 5 = 20,30,36
Рис. 44. Зависимость Г(р) вдоль изэнтроп
-15 ~11 -7 -3 lg/3 5 = 20,30,36
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2
-17 -/5 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 lg/P
Термодинамические функции водорода вдоль иззнтроп приведены на
рис. 43—46 по расчетам [48]. Значения энтропии принимались равными S =
= 20, 24, 30, 36 в единицах
91 = к/тр = 8,317 • 107 зрг ■ г ■ КГ1. C0.25)
Рассматривался газ в термодинамическом равновесии с излучением
(см. § 1) с учетом ионизованного, атомарного и молекулярного водорода
в основном состоянии, а также вращательные и колебательные возбужде-
возбуждения основного терма молекулы. Учитывалась поправка на ангармоничность
и взаимодействие вращательных степеней свободы с колебательными по
методике, изложенной в [145, 91]. Содержание орто и параводорода*)
предполагалось равновесным. Результаты [48] по расчету уравнения сос-
состояния находятся в хорошем численном согласии с результатами работ
[621,622,617].
При учете равновесного излучения показатель уу < 1 в области диссо-
диссоциации (рис. 46). Для идеального газа без излучения всегда имеет место
•уу > 1, так как вдоль изэнтроп температура растет с ростом плотности-
•) В ортоводороде спины ядра и электрона параллельны, в параводороде - аНТЙ"
параллельны. Энергетическое состояние у ортоводороди чуть выше, чем у параводор0
да, переходы между ними приводят к излучению линии 21 см в радиодиапазоне-
264

1 1 1
1 1 1
-/8 -
-17
-T3
-9
-5
Рис. 45- Зависимость pg (p) вдоль изэнтроп 5 = 20, 30, 36
Рис. 46. Зависимость у, (р) вдоль изэнтроп 5 = 20, 30,36
JSP
-2
-10 -6 -2
'со
Рис. 47. Зависимость М(рс0) для статических моделей при 5 = 20,24,30,36. 1 -
устойчивые ветви, 2 - участки с одной неустойчивой модой, 3-е двумя, 4-е тремя
неустойчивыми модами
Рис.48. Зависимость Л/(рсо) Для истекающих моделей. Штрихами обведена область
стационарного истечения, изэнтропы 5 = 14, 50 взяты из рис. 1 работы [617]
Статические модели водородных звезд при S = const и их устойчивость
изучались в работе [617] на основе численного решения уравнений равно-
равновесия B2.1) —B2.2). Эти расчеты повторены в [48], откуда взят рис. 47,
задающий зависимость массы от центральной плотности Л/(рс0). Помимо
областей устойчивости и неустойчивости, полученных в [617],в [48] было
найдено число неустойчивых мод, используя условие пересечения экстре-
экстремалей [105], см. также гл. 12. Характерной особенностью зависимости
МуРсо) является наличие крутого спада (скачка), появляющегося при
14 в области, где значительная часть звезды находится в состоянии
частичной ионизации. На спаде в [48, 617] не было построено ни одной
тической модели. После спада число неустойчивых мод либо умень-
рис Т47*На еДИНИцу> и м°Дель становится устойчивой (для S = 20, 30, 36 на
• '). либо не изменяется и неустойчивость сохраняется (для S = 24).
Роен наРяДУ со статическими моделями, слева от скачка были пост-
Af(o \ стационаРно истекающие модели типа C0.19), причем кривая
криво Af™ ИСтекаК)Щих моделей непрерывно сшивается со статической
и М\Рсо) в нижней точке скачка (рис. 48). Метод построения исте-
265

кающих моделей был тем же, что и при построении аналогичных биполщ.
ропных моделей и требует положительного интеграла Бернулли Н д3
C0.8) при отсчете энергии от состояния молекулярного водорода. При
известном Н, записывая C0.8) в критической точке C0.9), где
Ргт GM
' сг
м2сг = {ЪР/ЪрM = ?„ — = — - C0.26)
Per 2rcr '
численно находятся параметры критической точки и скорость потери
массы М из C0.7).
Для нахождения интеграла Н в [48] использовалась следующая процеду.
ра. При данной энтропии рассчитывалась структура статических ядер ин-
интегрированием уравнений равновесия B2.1), B2.2) от центра при заданной
центральной плотности рс0. На каждом шаге вычислялась величина Н из
C0.8). Для возможности построения модели со статическим ядром и ста-
стационарно истекающей оболочкой типа C0.19) должны выполняться сле-
следующие требования.
1. Необходимо существование протяженного по радиусу слоя с Н %
« const > 0 и массой малой, по сравнению с массой статического ядра.
Это требование вытекает из условия того, что в истекающей модели имеет-
имеется промежуточная область с и <€ и8, где с достаточной точностью справед-
справедливы уравнения гидростатики. Структура истекающей звезды не должна
зависеть от места сшивки двух решений. Постоянство Н и малость массы
этого слоя 'Обеспечат однозначность построения истекающей модели при
данных S ирс0.
2. Критический радиус гсг из C0.26) должен быть больше радиуса
сшивки гь (см. C0.20)).
3. Масса /П/ слоя г^ < г < гсг много меньше массы ядраМ. Это позво-
позволяет использовать интеграл Бернулли C0.8) без самогравитации. Это же
условие определяет квазистационарность истечения с временем диссипа-
диссипации звезды т > Tj, (см. C0.24) ).
4. Скорость в месте сшивки должна быть мала, и^/Н < 1, что аналогично
условию 1.
5. Наряду с условием 3 для пренебрежения самогравитацией вещества в
потоке необходимо выполнение неравенства
AH=g7—<H. C0.27)
'b г
Представленные на рис. 48 истекающие модели удовлетворяют всем сфор-
сформулированным выше требованиям. Зависимость Н(г) для статических
моделей с различными центральными плотностями рс0 при S = 30, приве-
приведенная на рис. 49, иллюстрирует появление истекающей модели. Плато
на кривой //(г) имеется для моделей с
Рс, min = 8,0 • Ю-1 ° < рс0 < 3,4 • 10 г - см = pCi max, C0.28)
причем значение рс0 = рСутах соответствует скачку на кривой статически
решений М(рс0). Справа от скачка итекающих моделей нет, а слева от него
истекающее решение существует наряду с неустойчивым статическим
гораздо большей массой.
266

ZfO
-2
н
H
0
-11
0
p =ff-TO
-fS
Рис. 49- Последовательное изменение вида зависимости Н = Е + G — от теку-
текущего радиуса статической модели вдоль изэнтропы S = 30 при разных рСо (качествен-
(качественная картина). Изображены только те участки Я(г), на которых Н > 0
В табл. 32 приведены параметры некоторых истекающих моделей,
для которых видно выполнение требований 1)—5). Конкретное место
сшивки для моделей из табл. 32 и рис. 48 выбиралось из условия миниму-
минимума величины
АН
V =
м
Нь
C0.29)
хотя сдвиг места сшивки вдоль плато Н(г) практически не менял ре-
результатов. Энергия , диссоциации водорода на один грамм равна
2,15 • 1012 зрг ■ г, а ионизация — 13 • 1012 зрг • г", все модели, кроме
первой в табл. 32 имеют отрицательную энергию относительно атомарного
водорода. Сравнение показывает, что область истечения по оси рс$ на
рис. 48 пропорциональна величине скачка на кривой М (рс0) по оси М
(рис. 47). Скачок максимален для S - 30, для которого максимальной
оказалась область истекающих моделей. Исчезновение скачка на кривых
™(Рсо) из [617] определяет верхнюю и нижнюю границу истекающих
моделей на рис. 48.
Ядра стационарно истекающих звезд динамически, по-видимому, устой-
устойчивы, хотя строгие методы исследования устойчивости здесь не разрабо-
разработаны. Истекающая звезда может превратиться у статическую меньшей
ссы и большей плотности, в отличие от биполитропных моделей, где
стационарно истекающей звезде р всегда уменьшается со временем (р ~
"" Дл^3 ~ Л/2"'/C~"'), пх < 3, см. C0.14), а звезда в итоге диссипирует.
HeoR Я ВОЗможности реализации подобных истекающих моделей в природе
ходим дополнительный нагрев вещества протозвезды на достаточно
гоп стаДиях ее формирования космическими лучами, или излучением
чих звезд, образующихся по соседству.
267

М
"У*
Таблица 32
30
30
30
24
24
24
8,7 (-6)
2,7 (-9)
8,05 (-10)
1,8 (-6)
1,0 (-6)
5,1 (-7)
0,358
1,594
1,460
0,103
0,107
0,094
629
3178
4227
218
274
365
1,2D)
9300
1,3D)
2503
4000
8800
7,8(-12)
7,2 (-13)
1,0(-12)
9,5 (-12)
6,6 (-12)
2,6 (-11)
2100
1820
1840
1897
1860
1990
1.13
1,27
1.74
1,47
,49
1,42
Индекс "Ь" использован для величины в точке сшивки, ц — молекулярный вес
из A.7),0£ = Pg/P (см.A.19)), Е/М —полная удельная энергия относительно моле-
молекулярного водорода.
в) Модели истекающих корон молодых звезд. Наблюдаемые профили
эмиссионных линий ионизованного кальция Н и К и бальмеровских линий
водорода у звезд типа Т Тельца соответствуют скоростям истечения, превы-
превышающим 100 км • с. Это значительно больше, чем значения тепловых
скоростей при температурах возможного образования этих линий [448]
Для объяснения этого факта, а также других наблюдательных особен-
особенностей молодых звезд в [50] была рассмотрена модель истекающей коро-
короны, в которой формируются плотные и холодные сгустки в результате раз-
развития тепловой неустойчивости. После своего образования сгустки дви-
движутся с замедлением в гравитационном поле звезды и обеспечивают наблю-
наблюдаемую эмиссию в линиях.
Предполагается, что корона образуется за счет трансформации в тепло
потока механической энергии, идущей из конвективной оболочки. Важную
роль в такой трансформации играет магнитное поле. Аналогично наиболее
простым моделям солнечной короны [ 174] предположим корону молодой
,dP
звезды изотермической внутри и адиабатической снаружи. Величина /—,
Р
входящая в интеграл Бернулли C0.8), имеет вид [145, 50]
dP IE + P/p-TS при T =T0 = const
/*/р при S = Si = const
C0.30)
Соответственно,
Я
m2 P
Я, = + £■+ - -Г05 -
2 P
GM
GM
при Т=Т0,
2
P
+ £■ + -
при S -St.
C0.31)
Из условия непрерывности и,риТв точке г = гу, где происходит переход
от изотермического течения к адиабатическому, имеет место связь
Яа=Я,- + Го5,. C0-32)
268

0,963
0.759
0.770
0,969
0,958
0,987
1400
4720
6700
420
571
882
M
Afe/год
4,5 (-5)
3,8 (-4)
1,1 (-3)
7,5 (-6)
9,3 (-6)
2,5 (-4)
M
з
6
30
0,4
0,8
20
Ю'ДЙ
H
0,8
1
4
0,2
0,4
4
H
0,3
5
7
0,8
1
8
E/M,
I0lJ эрг-г
4,16
1,50
1,61
1,50
1,18
1,39
Критическая точка предполагается лежащей в изотермической области,
где вместо C0.26) справедливы соотношения
Ър
GM
2гс,
C0.33)
Если известны температура изотермической короны То и интеграл //,-
из C0.31)» то, используя соотношения C0.33), можно найти параметры
критической точкимсг,рсг,гсг и поток массы Миз C0.7). Для определе-
определения скорости вещества на бесконечности требуется задание энтропии Si
в точке сшивки r-rl
ul=2(Hi + TQS1). C0.34)
Интеграл //,- выбирается из условия заданной светимости короны. Для вы-
вычисления светимости при известном //,- требуется конкретизировать меха-
механизм ускорения короны и найти распределение в ней температуры, плот-
плотности и скорости.
Предполагается, что на радиусе гь, примерно совпадающем с радиусом
звездной фотосферы Г{, происходит быстрое превращение потока механи-
механической энергии Q (эрг ■ с) в тепло. При этом параметры плазмы меня-
меняются почти скачкообразно и предполагается, что температура от фото-
сферной 7f вырастает до корональной То. На тепловом скачке справед-
справедливы законы сохранения [27]
Pb_ub_=pb+Mb+> C0.35)
C0.36)
= -^- +£"ь++ ——. C0.37)
"ь- 2 Рь+
Десь величины слева от скачка (ближе к звезде) имеют индекс (ь_),
269

Модельные параметры истекающих звезд типа Т Тельца
Таблица 33
R<$
3,5
2,0
2,4
2,4
2,4
rf,
10s К
4,9
4,9
4,43
4,43
4,43
10* К
1,0
1,6
2
2,4
2,4
Pb+.
10 'IS
г-см
7
6
1
1,2
1,7
светимость фотосферы, Afcor
"b+.
'км- с
67
72
гсг
Rq
5,7
3,6
"сг.
км-с
Per-
ю-14
г ■ см "s
129 10
163 8
*
- масса короны при rj, < г < rc.
М 10 "а
Л/д/год
6
2
0,9
2
3
а справа - (ь+). Из C0.31) и C0.7) следуют еще два уравнения:
ЩН„Т0)
Рь+"ь+ -
GM
C0.38)
C0.39)
2 Рь+
При учете термодинамических функций Р(р, Т), £"(р, Т), S(p, T) (см. § 1)
и задании величин
Тъ- = 7f, Гь+ = То, гъ =rf. Hi C0.40)
соотношения C0.35)-C0.39) представляют собой пять уравнений отно-
относительно пяти неизвестных
Рь-, Рь+. "ь+. "b-. Q-
C0.41)
Решения этой системы для водородной плазмы, прозрачной для излуче-
излучения, с рассмотренными выше термодинамическими функциями (см. [48])
получены в [50,51] для некоторых наборов параметров C0.40) и приве-
приведены в табл. 33.
Часть (половина или меньше) коронального рентгеновского излучения
LCOT падает на поверхность звезды и нагревает ее, образуя горячий хро^ю-
сферный слой с Тж = E -г- 10) ■ 104 К в дополнение к "холодному" хромо-
сферному слою с Тхо = 104 К, который образуется за счет действия тепло-
теплопроводности. Параметры горячей хромосферы: температура Гх, плот-
плотность рх, светимость £,„ и толщина йх рассчитаны из баланса энергии одно-
однородного по плотности хромосферного слоя в предположении минимума до-
допустимой плотности хромосферы, обеспечивающей заданную скорость ох-
охлаждения ([50], первые две строки табл. 33), либо из условия равенства
давлений хромосферы и короны ([51], три последние строки в табл. 33)-
Рассмотренная в [50] горячая хромосфера у звезд типа Т Тельца была
открыта наблюдениями в ультрафиолетовой области на спутнике ШЬ
и светимость ее составила ~ 03 £s в области 115O-310Q А [372] для звез-
звезды RULupi. В [51] рассчитаны параметры хромосферы и короны, а так-
также ожидаемое рентгеновское излучение от этой звезды (три последни
270

if
Ls
6,36
2,06
2
2
2
Lcot
Ls
108
14,6
0,6
2
4
AfCor
Me
3(-H)
5 (-12)
Tx,
10* К
8,9
4,6
6,0
5,8
6,0
РХ.Ю-"
-з
Г-CM
2
2
0,33
0,5
0,67
Lx
L&
54
7,3
0,3
0,7
1,0
hx, км
1,6
1,85
10
10
6
«1 , С
41
108
• a»c
9D)
4D)
строки табл. 32). Наблюдения в мягкой рентгеновской области на спут-
спутнике Эйнштейн [371,355] обнаружили небольшую светимость звезд ти-
типа Т Тельца Lx < 1031 эрг ■ с, что существенно меньше значений LCOT,
приведенных в табл. 33. Из наблюдений на спутнике Астрон получены
указания на сильную переменность звезды RU Lupi в рентгеновской об-
области 2-7 кэВ [375]. Не исключено, что слабая наблюдаемая светимость
молодых звезд в рентгене связана с сильным его поглощением в оболоч-
оболочке вокруг этих звезд, а их истинная рентгеновская светимость LCOT зна-
значительно больше и, возможно, LCOT > Lx в соответствии с [51 ].
Тепловой скачок C0.35)-C0.37) для моделей из табл. 33 проходит
при плотности много меньшей фотосферной pb_ <pf и оптической толще
т = 10~2 - 10~3 [50]. В области температур Т = A + 3) ■ 106 К функция ох
лаждения прозрачной плазмы с нормальным составом А(Т) зрг ■ см3 -с"
убывает с температурой [335], что приводит к неустойчивости относи-
относительно образования сгустков с меньшей температурой и большей плот-
плотностью *). Время конденсации сгустка
Минимальный размер сгустка определяется теплопроводностью и состав-
составляет
'min^ -\Л,8 ■10-6Т1'2/А(Т) *4 -107 см
и C0.43)
Для n = io!1 см'3, Г=106 К.
На Солице тепловая неустойчивость в короне не развивается из-за малой
плотности и большого значения /mjn- Время развития тепловой неустой-
неустойчивости г, приведено в табл. 33 наряду с временем пролета t2 истекаю-
истекающим газом характерного размера короны [50]. Условие t2 > f i озна-
'"вт, что тепловая неустойчивость успевает развиться и происходит об-
образование холодных плотных сгустков.
'^Величина ЛG')пе(пе + пн) эрг • см
MS плазмы эа 1 с, Л(Г) рассчитана в [335].
с"' дает количество энергии, излучаемое
271

Существование плотных хромосфер и корон у звезд типа Т Тельца
ставит вопрос о теоретическом объяснении формирования большого по-
потока механической энергии, сравнимого с фотосферным, в звездах с мощ-
мощными конвективными оболочками. С термодинамической точки зрения
этот факт может быть объяснен при большой температуре Тт в месте
формирования механического потока энергии. Эффективность преобра-
преобразования потока тепла в поток механической энергии в звезде, рассмат-
рассматриваемой как тепловая машина, не превышает
V< -Jn^-L C0.44)
и при Tm > 7f может приближаться к единице.
г) О явлении фуора. В настоящее время известно несколько звезд,
быстро увеличивающих свою светимость в ~100 раз и сохранивших этот
высокий уровень на долгие годы. Первой из таких звезд была FUOri,
по имени которой зто явление получило название фуоров [8]. Это явле-
явление можно связать с рождением молодой звезды достаточно большой
массы М>ЗМа, которая заканчивает стадию аккреции, испаряет свою
пылевую оболочку после загорания водорода и сразу появляется вблизи
главной последовательности ([463,644], см. § 26). Это простое объясне-
объяснение встречается с трудностью при попытке применения его к фуору
V 1057 Cyg, на месте которого до вспышки наблюдалась звезда типа Т Тель-
Тельца [395]. Массы звезд типа Т Тельца существенно меньше, чем оценивают-
оцениваются после вспышки массы звезд FU Ori и V 1075 Cyg [175].
Этих трудностей можно избежать, если предположить, что звезда
V 1057 Cyg является двойной, содержащей звезду типа Т Тельца и дру-
другую молодую звезду с существенно большей массой, которая и создает
явление фуора [49, 281]. На стадии существования пылевой оболочки
массивная звезда светила, в основном, в инфракрасной области и в опти-
оптике была слабее соседней звезды типа Т Тельца. В настоящее время звезда
типа Т Тельца значительно, в ~100 раз, слабее своего компаньона, но ее
обнаружение благодаря сильным эмиссионным линиям, ультрафиолето-
ультрафиолетовым избыткам и другим характерным особенностям звезд типа Т Тель-
Тельца [175] представляется делом не безнадежным.
На основе наблюдений с помощью спекл-интерферометрии была откры-
открыта двойственность самой звезды Т Тельца, причем компаньоном ее явля-
является инфракрасная звезда, свойства которой изучены плохо [341, 385].

ГЛАВА 9
ЯДЕРНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД
После первых работ [229] расчеты эволюции звезд в широком интер-
интервале масс проводились различными группами исследователей с использо-
использованием все более мощных компьютеров. К настоящему времени A987)
общих чертах ясна картина ядерной эволюции звезды, начиная с глав-
главной последовательности и кончая образованием белого карлика, нейтрон-
нейтронной звезды или черной дыры. В то же время, несмотря на большие затра-
затраченные усилия, имеется лишь довольно грубая схема эволюции, а досто-
достоверность многих деталей невелика. При качественном сходстве детали
расчетов, выполненных различными авторами, не совпадают. В значитель-
значительной мере это связано с неопределенностью многих физических основ тео-
теории эволюции, таких, как конвекция, перемешивание, скорости ядерных
реакций при низких энергиях и др. Возможно, здесь играют роль и вы-
вычислительные трудности, связанные с накоплением численных ошибок,
из-за чего различные методы решения уравнений (см. гл. 6) дают иногда
разные результаты. В последнем пункте ситуация здесь менее драматична,
чем в теории двумерного коллапса (см. § 27), где изменение только чис-
численного метода приводит к качественному изменению результатов.
Подробные расчеты эволюции были проведены японскими учеными
[391],ШварцшильдомиХэрмом [386-388,569-573], Ибеном [406-426],
и Пачиньским [520—531]. Важные результаты получены также в работах
Стотерса [587—589] с соавторами, Киппенхана с соавторами, см. обзор
[394], советских авторов [165, 290,155,82,81, 204-206] и др.
§ 31. Источники неопределенности в эволюционных расчетах
а) Конвекция. Ввиду отсутствия строгой количественной теории кон-
конвекции (см. гл. 3) в эволюционных расчетах обычно пользуются фено-
феноменологическим описанием по теории пути перемешивания *). Неопре-
Неопределенный параметр этой теории — путь перемешивания / — по-разному
выбирался различными авторами. В работах Ибена [406, 413, 590, 425]
Длина пути перемешивания определялась масштабом неоднородности
в распределении плотности
/ = a|p/VP1 = a#p, a = l/2. C1.1)
В более поздних его работах [414, 416, 417, 271, 459] использовалась
шкала высот по давлению
l = a\P/VP\ = aHP, 0,4<а<1,2. C1.2)
pa оте [587] формула C1.1) использовалась с различными значения-
"" некоторых случаях (малые плотности, большая светимость и боль-
непрозрачность) C1.1) завышает эффективность конвективного
Рабоге [391 ] описание конвекции проводилось еще более упрощенно.
8- Г-С. Бисноватый-Коган 273

переноса. В работах [521, 524, 528] использовалась формула C1.2) с
а = 1. Тот же способ описания конвекции рассматривался в [290]. В слу-
случае C1.2) во внешних оболочках звезд с Tef < 6000 К может возник-
возникнуть инверсный градиент плотности, связанный с ограниченными возмож-
возможностями переноса тепла конвекцией. Указанные выше способы описания
конвекции использовались только в конвективных оболочках звезд.
В конвективных ядрах, где плотности достаточно велики, использовалось
приближение адиабатической конвекции. Как отмечалось в [290], это
приближение может нарушиться, например, вблизи конца горения водо-
водорода и образования лучистого гелиевого ядра. Приближение адиабатичес-
адиабатической конвекции используется обычно и в слоевых источнжах (см. ниже),
где оно является слишком грубым, так как в пределах шкалы высот
по давлению поток энергии может меняться на несколько поряд-
порядков [423]. Влияние неадиабатичности в этой области на эволюционные
треки до сих пор не исследовано.
б) Полуконвекция. В массивных звездах с М> 10Л/е уход звезды
с главной последовательности, где она химически однородна, приводит
к появлению над конвективным ядром зоны с очень малым превышением
dlnT /Э1пГ\
градиента температуры 7rad = наД адиабатическим у2 ~ 1 J
d\nP \д\пР/s
(см. § 10 и 22). Эта зона называется промежуточной конвективной или
полуконвективной. Причиной появления этой зоны с ростом массы звез-
звезды является увеличение роли лучистого давления, которое уменьшает
Vo по сравнению с чисто газовым случаем. Примерное равенство у г и
Vrad) а также близость этой зоны к конвективному ядру приводят к боль-
большим неопределенностям в счете. До сих пор нет единого мнения о крите-
критерии конвективной устойчивости в химически неоднородной среде. На наш
взгляд необходим учет градиента химического состава (см. A0.11)),
однако во многих работах используется критерий A0.3). Выбор между
этими критериями решающим образом влияет на перемешивание между
ядром и полуконвективной зоной. В случае критерия Леду A0.11) между
конвективным ядром и зоной полуконвекции возникает лучистый слой,
препятствующий поступлению дополнительного вещества в конвективное
ядро [165]. В случае критерия Шварцшильда A0.3) зона полуконвекции
соприкасается с ядром, однако предполагается не полное перемешивание,
а установление такого градиента концентрации, при котором 72 =Trad-
Расчеты по разным критериям приводят к неопределенностям в пределах
~10% на стадии горения водорода и к существенно большим различиям
на поздних стадиях. Это касается, в частности, положения массивных
звезд с 10 < М < 40 Л/о на стадии горения гелия в ядре: в случае крите-
критерия A0.11) гелий в основном сгорает, когда звезда является красным
сверхгигантом с 7"ef <5000 К, а в случае критерия A0.3) основное время
горения гелия массивная звезда проводит в области голубых сверхгиган-
сверхгигантов с Г>104 К. В звездах с М> 40Л/а гелий всегда сгорает в области
красных сверхгигантов и выбор критерия оказывается несущественным
[155] *). Дальнейшая эволюция массивных звезд, начиная с горения углер°-
*)См.. однако, [588], рис. 67 и табл. 41.
274

па происходит в области красных сверхгигантов и не зависит от выбора
критерия конвекции [155].
в) Нелокальиость и проникновение конвекции. Как отмечалось в § 11,
конвективные элементы проникают в область устойчивости, увеличивая
зону перемешивания.
Однако глубина проникновения сильно зависит от способа ее опреде-
определения. В [576, 475] получено d < 0,15 Нр (см. § 11), в то же время в
[329], где использовалась статистическая модель турбулентной диффузии,
величина d/Hp достигала 0,7. В эволюционных расчетах [589] рассматри-
рассматривались различные варианты 0 < d\Hp < 0,7 при исследовании эволюции
массивных звезд с 15 <М/М® < 120 до выгорания водорода в центре. На-
Наибольшие эффекты от учета проникновения конвекции и дополнитель-
дополнительного перемешивания следует ожидать на стадии горения тонких слоевых
источников, однако такое исследование, насколько нам известно, пока не
проводилось.
г) Непрозрачность и ядерные реакции. Развитие атомной и ядерной
физики позволило теоретически и экспериментально определить непроз-
непрозрачность вещества (гл. 2) и скорости ядерных реакций (гл. 4, 5). В от-
отличие от конвекции, при определении непрозрачности имеют дело с доста-
достаточно строгими теориями. Однако объем вычислительных работ, связан-
связанный с учетом большого числа линий, оказывается столь большим, что табли-
таблицы непрозрачности постоянно уточняются (см. [128, 129, 334, 250, 319]).
При определении скоростей ядерных реакций теоретические исследо-
исследования не дают точного ответа, ввиду отсутствия теории сильных взаимо-
взаимодействий необходимо использовать экспериментальные данные. Получе-
Получение их в области низких энергий, интересных для астрофизики, часто
весьма затруднительно. По мере накопления данных скорости многих
реакций меняются (см. обзоры [360, 361, 389]). Учет экранирования
ядерных реакций при большой плотности сталкивается также с больши-
большими неопределенностями ввиду необходимости решения задачи многих
тел, для которой имеются только приближенные и не очень строгие под-
подходы (см. § 17).
В существующей ситуации выбор формул и таблиц для непрозрачности,
а также для скоростей ядерных реакций часто связан с субъективным
подходом астрофизика, проводящего расчеты эволюции.
д) Способы расчета оболочки. Оболочки, в которых предполагается
тепловое равновесие, рассчитываются обычно отдельно от ядра (см. § 22).
Масса оболочки и способ сшивки при этом выбираются по-разному. В [446,
290] статическая оболочка занимала 3% массы звезды, но в [446] модели
оболочек рассчитывались заранее и параметры их находились с помощью
интерполяции, а в [290] модели оболочек рассчитывались для каждой
модели звезды. В [81, 82] масса оболочки составляла 5%, в [522, 521,
524, 528] она составляла 10% от массы звезды и даже больше. Различа-
Различались также детали расчета ионизационного равновесия, что приводило к раз-
различиям в уравнении состояния даже при одинаковых химических соста-
составу. Все эти детали отражаются на эволюционных треках.
е) Другие факторы. Существенным препятствием, затрудняющим срав-
сравнение результатов различных авторов, является различие в начальных хи-
химических составах и в рассматриваемых массах звезд. В разных работах
"' 275

массы принимались равными
М/М@ = 0,8,1,5,3,7,10,15 в [521],
1,25,1,5,2,25,3,5,9,15 в [413],
16,32,64 в [82],
30 в [165], f
9,30 в [290], К i3>
15,30 в [587],
3,5,7 в [271],
15,25 в [459],
а начальные химические составы таковы:
(xH,xHe,xz)= @,708,0,272,0,02) в [407-4131 »
@,602,0,354,0,044) в [446]
@,7,0,27,0,03) в [521]
@,75,0,22.0,03) в [165,290] C14)
@,7,0,28,0,02) в [459]
0,62 <хн< 0,739, 0,021 <xz< 0,044 в [587]
0,71 <хн <0,78, 0,001 <jcz<0,02 в [271].
Вращение и магнитное поле звезд может оказывать существенное влияние
на ядерную эволюцию, вызывая меридиональную циркуляцию и связанное
с ней перемешивание. Учет этих факторов в расчетах, охватывающих фазы
от главной последовательности до поздних стадий, практически не про-
проводился .
Использование различных методов расчета (см. гл. 6) и различных
версий одного и того же метода может дать незначительные различия для
химически однородных моделей на главной последовательности. При дости-
достижении поздних стадий, требующих ^ 1000 эволюционных шагов, накоп-
накопление численных ошибок и, соответственно, чувствительность результатов
к выбору численной схемы могут оказаться существенными. К настояще-
настоящему времени этот вопрос не исследован.
Важным фактором, влияющим на эволюцию звезд, является потеря
массы. Учет влияния этой потери при рассмотрении эволюции массив-
массивных звезд (см., например, [588, 618, 476, 477]) и звезд средней массы
[387,420,563,565] в отсутствие разработанной теории истечения из звезд
проводился феноменологически (за исключением попытки самосогласован-
самосогласованного решения в [290]) и оставляет много неопределенностей.
§ 32. Эволюция звезд на спокойных стадиях горения
Результаты эволюционных расчетов представляются обычно в виде тре-
треков на диаграмме Герцшпрунга—Рассела (ГР), где по горизонтали откла-
откладывается логарифм эффективной температуры lgТе{ (см. F.21), B2.П))>
а по вертикали — логарифм светимости lgL.
Звезды с Л/>0,8Ма, для которых длительность ядерной эволюции
не превышает космологическое время ~2 • 101и лет, не вырождены на
главной последовательности (ГП) химически однородных звезд с соста-
составом нормальным (табл. 1) или обедненным тяжелыми элементами. Эво-
Эволюция звезды сопровождается ростом ее центральной плотности и прибли-
276

еНИем к состоянию вырождения. Для маломассивных звезд с М < 2,25 Ме
„урожденным оказывается уже гелиевое ядро, образующееся после выго-
выгорания водорода в центре и ухода звезды с ГП. Для звезд промежуточной
массы с 2,25 <М/Ме < 8 гелиевое ядро не вырождено, но вырожденным
является образующееся после выгорания гелия углеродное ядро, а при
и = (8 ■?■ 10) Л/о вырождение наступает на стадии кислородно-неоно-маг-
ниевого ядра. В массивных звездах с М > 13 Ms вырождение наступает
только на последних стадиях эволюции с большой нейтринной светимостью
lv>Lopt(=L) [415,626,625].
После формирования вырожденного ядра в звездах развиваются теп-
тепловые неустойчивости, приводящие к быстрым и сильным изменениям
в скорости знерговыделения и к существенным, хотя и не столь заметным
изменениям Tef и L. К ним относятся гелиевые вспышки в вырожденном
ядре маломассивной звезды [573,569,388], вспышки в невырожденном
гелиевом слоевом источнике при наличии вырожденного углеродного ядра
в звездах малой и средней массы [570, 386,571,627]. Особо нужно выде-
выделить вспышки в углеродных вырожденных ядрах, могущих привести
к взрывам сверхновых [524, 526]. Расчеты на этих стадиях часто прово-
проводятся с привлечением различных упрощающих условий [552, 523, 204,
597], так как обычные методы (см. § 22) оказываются неэффектив-
неэффективными.
В невырожденных звездах также может иметь место тепловая неустой-
неустойчивость, проявляющаяся в нерегулярном характере петель на ГР диаграм-
диаграмме ([651, 522, 271], см. ниже). Ввиду существенно больших времен раз-
развития и меньших перепадов в энерговыделении эта неустойчивость не соз-
создает столь существенных трудностей при расчетах.
а) Расчеты Ибена. Первая большая серия расчетов эволюции звезд раз-
различной массы опубликована Ибеном в 1964—67 гг. [407—413]. Рас-
Расчеты проводились методом Хеньи с пришивкой оболочки (§ 22) для
начального химического составахн = 0,708,хНе = 0,272,xz =0,02. Конвек-
Конвекция в оболочке рассчитывалась с длиной пути перемешивания, равной
половине шкалы высот по плотности / = — Нр. В качестве критерия кон-
конвекции принималось условие Шварцшильда A0.3), не учитывающее гра-
градиент химического состава. Основные результаты этих расчетов представ-
представлены на рис. 50-54 и в табл. 34, 35. Модели звезд с М>ЗМа строились
до исчерпания гелия в центре, а для М < 3 Мо — до загорания гелия в ядре.
Расчет эволюции звезды с 5 Мо протянут несколько дальше вдоль стадии
горения гелиевого слоевого источника. Для звезд с М < 9 Мо отрезки
между точками на рис 50—53 соответствуют следующим стадиям
эволюции:
1-3 горение водорода в ядре (ГП);
3—4 гравитационное сжатие всей звезды; эта фаза отсутствует для
звезды с М=1МО;
4—5 загорание водородного слоевого источника;
5—6 горение водорода в толстом слое;
уменьшение толщины слоя водородного горения;
быстрое распространение конвекции от поверхностных слоев
внутрь звезды;
277

Таблица 34
Времена эволюции звезд
Точка
1,25 Me
l,5Afo
в ю* лет
2,25 Ив
ЗЛ*0
в 10* лет
5 Afo
9 Me
15 Мв
в 107 лет
1
2
3
4
S
6
7
8
9
10
11
12
13
14
IS
16
17
18
19
20
21
0.0S06
3,8209
6,7100
8,1719
9.2012
9,9030
10,195
10,352
10,565
10,750
10,875
0,02954
1,4220
2,8320
3,1044
3,5524
3,9213
4,0597
4,1204
4,1593
4,2060
4,3437
4,4505
4,5349
• • • •
0,01821
1,0277
1,5710
1,652
1,8261
1,9666
2,0010
2,0397
2,0676
2,1059
2,1991
2,2628
0,058550
2,7988965
4,8502987
5,0150323
5,2017959
5,3846801
5,4459513
5,4736797
5,4947244
5,5157054
5,6167250
5,7773918
5.8986139
0,024586
1,38921
2,23669
2,34089
2,40119
2,44420
2,47004
2,47865
2,48429
2,48925
2,50728
2,53163
2,55850
2,78295
2,94233
3,06968
3,19043
3,23566
3,26323
0,15800
4,01899
6,60443
6,82168
6,83608
6,95886
7,00750
7,02016
7,02709
7,03418
7,08275
7,57595
7,77057
8,68987
8,78291
8,79060
0,0232171 (
1,435125 (
2,129274
2,189700
2,193710
2,198813
2,206125
2,209479
2,212819 1
2,213585
2,215236
2,220137 1
2,243431
2,267412
2,273715
2,277173
2,314993
* 2,567444
2,623007
2,625870
),0138224
),663253
1,024045
,046745
,048983
,050644
,054302
,113604
.154207
,192760
,208043
,210199
,211368
....
....
....
....
Литература 1411]
[4111
[4111
[412|
[407]
[408]
[409]
[410]

Таблица 35
Основные параметры звезд на эволюционных треках рис. 50—54 и в табл. 34
м
м0
1
1,25
1,5
2,25
3
5
9
15
Pc,
г-см 3
Тс,
ю* к
L
Re
главная последовательность
90,0
93,5
87,7
58,8
40,4
17,5
10,5
6,17
13,9
16,6
18,8
22,2
24,1
27.3
31,0
34,4
0,73
2.3
5,4
30
95
620
4,5C)
2D)
0.87
1.08
1,18
1,45
1.75
2,40
3,40
4,40
РС,
г -см 3
9,12D)
1,3E)
1,14E)
3,2E)
4,14D)
2,16D)
1,33D)
35C)
Тс,
10' К
L
Le
Re
последняя модель в табл
27,4
31,0
29,9
92,5
158
184
262
300
11,4
29,0
19.6
590
210
1,94C)
1,6D)
7,8D)
6,18
10,3
7,72
59,2
26,4
44
37
530
W,
Mo
. 34
0,2
0,23
0,22
0,38
0,59
1,08
1.9
4,7
M2
Me
. ш ш
• . •
0,14
0,3
0,74
2,7
Mc, ms
Me
0,012
0.056
0.26
0,46
1,0
2,4
5,9
Mc, max
Me
0,058
0,12
0,33
0,53
1,1
2,7
5,9
'ms>
годы
1,02A0)
4,03(9)
1.98(9)
5.32(8)
2,21 (8)
6.44G)
2,11G)
1,01G)
Литера-
Литература
[411]
[411]
[411]
[412]
[407]
[408]
[409]
[410]
рс и Тс — центральные плотность н температура, L и Rs — светимость и радиус звезды, М, — масса ядра, где выгорел водород, Мг — масса
СО ядра, Afr< ms - масса конвективного ядра на главной последовательности, Мс, max - максимальная масса конвективного ядра, fms - вре-
время жизни звезды на главной последовательности.

0,00 -
Рис. 50. Эволюционные треки звезд с мас-
массами 1, 1,25, 1,5 Ме с химическим составом
из C1.4).Светимость! данав£о, эффек-
эффективная температура Tef в К. Каждой цифре
соответствует время эволюции из табл. 34
Время /, соответствует стадии гравитацион-
гравитационного сжатия звезды к главной последо-
последовательности. Прямая линия соответствует
постоянному радиусу, из D11]
3,90
3,80
Wef
Рис. 51. То же, что на рис. 50 для М = 2,25
ЗМе,из [412,407]
3,6 lgref
10-13 стадия красного гиганта;
13 включение реакции З4 Не -»■ 1;гСвядре;
13—15 первая стадия горения гелия в ядре;
15-16 исчезновение глубокой конвективной оболочки, быстрое сжа-
сжатие;
16—18 основная стадия горения гелия в ядре;
20-21 общее сжатие с истощением гелия в центре;
21—22 горение гелия в толстом слоевом источнике;
23 излучение нейтрино из ядра, горение гелия в тонком слоевом ис-
источнике.
Треки между точками 21-23 на рис. 52 топологически эквивалентны тре-
трекам, полученным в аналогичных расчетах [443,444].
280

4,2 4,0 3,8 lg7"ef
Рис. 52. To же, что на рис. 50 для М = 5 М©, из [408]
9
4,15
4,05
3,95
3,85
3,75
3,65
■
-
5 jS"*—
jz
- ■/
\
«<^ 16
\ 1
1 1 1 1 1 1 1
4,4 4,2 4,0 3fi 3,6 lgref
Рис. 53. То же, что на рис. 50 для М = 9 Мв, из [409]
281

5,0
4,8
4,6
4,4
-
_jg
A
*f
i i i i i i
-
Ц. 'i-^__ IS-
-
-
*
-
i i i i
4,4 4,2 4,0 3,8
Рис. 54. To же, что на рис. 50 для М = 15 Л/®, из [410]
x^=0,28
xz-O,Of
14
Ig7-ef <,« 4,2 4,0 3,8 Ig 7"ef
Рис. 55. Эволюционные треки звезд с массами 5Л/е и различными химическими соста
вами, из [271] (см. табл. 36)
282

Участки 1-4 на рис. 54 для Л/= 15Л/Ф соответствуют тем же стадиям
эволюции, что и выше для меньших масс, остальные стадии таковы:
4—7 горение водородного слоевого источника;
7-10 горение гелия в ядре и водорода в слоевом источнике;
Ц-13 быстрое расширение оболочки.
Соответствующие времена эволюции указаны в табл. 34. Время в точке 1
определяет длительность гравитационного сжатия звезды к главной по-
последовательности.
С ростом массы от 1 до 1,25 Л/ф лучистое ядро, в котором горит водо-
водород, сменяется конвективным. Это связано с переходом от протон-про-
протон-протонного цикла горения A4.1) —A4.3) к углеродному A4.11), имеющему
более резкую зависимость от температуры. При наличии лучистого ядра
для Л/ = 1 М<а фаза общего сжатия отсутствует и происходит плавный пере-
переход от горения Н в ядре к Н-слоевому источнику.
Как видно из табл. 35, масса конвективного ядра монотонно растет
со временем для М = 15 Л/ф и проходит через максимум для мень-
меньших масс. В результате горения "Не в ядре образуется 13С и 16О, причем
для М> 5 Л/© почти весь 4Не превращается в 16О. Этот результат, однако,
ненадежен из-за неопределенности в скорости реакции 13С(а, 7I6О, ис-
используемой в [407—412].
Для звезд с М< 2,25 Л/© гелиевое ядро оказывается вырожденным,
и в ходе дальнейшей эволюции происходит гелиевая вспышка в ядре.
В звездах больших масс горение гелия начинается плавно, без вспышки.
Как отмечено в [413], вблизи'точки 11 существенный вклад в светимость
дает реакция горения азота 14N(a,7)l8F(/3+»>)ieO.
Расчеты проводились с использованием 320 массовых слоев, на каждый
трек приходилось 500-660 моделей.
Петли на эволюционных треках с массами звезд М = 3 * 9 Л/о обуслов-
обусловлены упомянутой выше тепловой неустойчивостью. С ней связана и неод-
неоднозначность построения звездных моделей с данной массой и данным
распределением химического состава, обнаруженная в [522, 553, 527].
Неоднозначность появляется после точки, где обращаются в нуль детерми-
детерминанты, возникающие при решении уравнений эволюции методом Шварц-
шильда B2.23) или методом Хеньи после линеаризации системы B2.30)-
B2.33). В условиях неустойчивости малые изменения в начальных дан-
данных приводят к сильному искажению эволюционных треков в области
петель. Резкая зависимость формы петель от химического состава видна
ш рис. 55 из [271]. Из табл. 36 видны также существенные различия во
временах эволюции. Как показано в [522], форма петель зависит не толь-
только от физических предположений, но и от того, на каком компьютере
проводился расчет одной и той же программы, т.е. от таких различий,
как число значащих цифр, методы округления и других мелких дета-
деталей. Все это явно указывает на стохастическую природу формы петель.
1651] для массивных звезд с М> 15МФ факт появления петель связы-
связывается с выходом водородного слоевого источника за границу скачка
химического состава, вызванного предыдущим распространением внутрь
нешней конвективной зоны на стадии до выгорания гелия в центре. В от-
сУгствие такого выхода петель на треках звезд с М = 15 и ЗОЛ/Ф не воз-
283

Таблица 36
Времена эволюции звезд с М = 5 MQ на треках рис. 55 для различных химических
составов (в 10' лет)
*Не
XZ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
0,719
0,28
0,001
0,02174
6.26784
....
6,44162
7,59015
7,60638
7,65546
7,65730
0,71
0,28
0,01
0,06008
6,44761
6,63593
6,64071
7,14636
7,35031
7,99281
8,19118
8,20386
8,21476
8,24283
8,27180
8,27629
8,31318
0,62
0,36
0,02
0,07035
4,55190
4,72257
4,72685
5,28979
5,82833
5,98230
6,09349
6,20085
0,78
0,20
0,02
0,21501
9,83129
# 10,22774
10,24-225
11,48509
11,88947
12,06863
13,27731
13,45606
....
....
13,69765
б) Расчеты Пачиньского. В опубликованных в 1970-71 гг. работах
Пачиньского эволюция звезд в интервале масс от 0,8 до 15 Л/@ рассчитана
вплоть до образования вырожденного углеродного ядра. После этого
предполагается, что звезды с М < ~ 8 Л/0 теряют значительную часть своей
массы, образуя планетарную туманность (ПТ). Рассчитана эволюция яд-
ядра ПТ, которое превращается в белый карлик. В более массивных звездах
ядро достигает ~ 1,4 Л/©, после
чего начинается развитие тепло-
тепловой неустойчивости, ведущей к
взрывному горению углерода.
Результаты опубликованы в ра-
работах [521-525]. Рассчеты прово-
проводились методом Хеньи, статичес-
статическая оболочка содержала 10% и
более массы, начальный химичес-
химический состав JcH = 0,7, хНе = 0,27,
Рис. 56. Эволюционные треки звезд
с начальным составом *н = 0,7>
хНе = 0,27, xz = 0,03 от главной по-
последовательности до гелиевой вспыш-
вспышки для М = 0,8Л/в и 1,5Ме или до за-
загорания углерода в центре для М '
= 3-г 15Л/е. Цифры определяют мас-
массу звезды в солнечных единицах,
точки соответствуют главной по-
последовательности и моделям в мо-
менты загорания гелня и углерода
в ядре, из [521]
-/V
<5"
284

Таблица 37
Массы ядер звезд в зависимости от их масс на разных стадиях эволюции [521]
м
0,8
1,5
3,0
5,0
7,0
10,0
15,0
МСОте1м®
Загорание гелия
0,39
0,40
0,35
0,56
0,83
1,35
2,54
(внутри водородного слоевого источника)
Исчерпание гелня в
ядре
....
0,51
0,95
1,45A,02)
2,32
3,89
Загорание углерода
....
1,39
1,39
1,39
2,32
3,91
xz = 0,03. Конвекция в оболочке рассчитывалась с длиной пути перемеши-
перемешивания, равной шкале высот по давлению / = Нр, использовался критерий
конвективной неустойчивости Шварцшильда, но в отсутствие пере-
перемешивания в зоне полуконвекции. Результаты представлены на рис. 56
из [521] и табл.37. Очевидно, что треки в области петель, а также
характер массы ядер существенно отличаются от результатов Ибена. Поми-
Помимо роли тепловой неустойчивости, различие связано с разницей в химичес-
химических составах и в выборе длины перемешивания.
Треки на рис. 56 для звезд с массами М > 3 Мв протянуты до загорания
углерода в центре, через стадию гелиевого и водородного слоевых источни-
источников, на которой происходят вспышки. В [521, 523] использовался метод
расчета, позволивший подавить вспышки и приближенно рассчитать усред-
усредненную эволюцию*). Гелиевые вспышки имеют место при наличии
вырожденного углеродного ядра и подробно обсуждаются в следующем
параграфе. Как видно из табл. 36, в звезде с М = 7 Мв конвективная обо-
оболочка проникает в область ядра после выгорания гелия, что уменьшает
массу углеродного ядра от 1,45 до 1,02 Ms.
в) Эволюция массивных звезд. Ядра массивных звезд с М>\0Мв ос-
остаются невырожденными вплоть до последних стадий эволюции, когда
в результате сильных нейтринных потерь центральная часть звезды быстро
сжимается.
В [587] рассчитаны треки до исчерпания гелия в центре у звезд
с М = 15 и ЗОЛ/® с различными химическими составами (см. C1.3)), кри-
критерием конвекции Леду A0.11) и различными длинами перемешивания
I = ctHp, 0,4 < а < 10. Варьировались также непрозрачность и скорости
ядерных реакций. Многие треки имеют одинаковую топологию для звезд
т°й же массы. Звезда в 15 Мэ для большинства вариантов от 17 до 62%
) Модернизированная версия программы Пачиньского, позволяющая вести устой-
устойчивый счет на быстрых стадиях эволюции (см. § 22, п. д), использовалась в [529],
лад в светимость за счет пересечения конвективной зоной границы скачка химиче-
химического состава корректно учтен в [531].
285

стадии горения гелия проводит в области голубых сверхгигантов за счет
образования петель. В звезде в 30 Л/а в отсутствие петель весь гелий выго-
выгорает на стадии красных сверхгигантов. Это свойство характерно для тре-
треков, рассчитанных по критерию Леду. Некоторые треки из работы [587]
представлены на рис. 57. При некоторых параметрах петли отсутствовали
для 15 Л/а и почти весь гелий сгорал на стадии красных сверхгигантов.
4,2
4,6
4,4
Рис. 57. Эволюционные треки звезд с массами 15 и 30А/о от главной последователь-
последовательности до исчерпания *Не в ядре для начального состава хн = 0,739, хНе = 0,24, xz =
= 0,021, критерия конвекции Леду, путем перемешивания / = 0,4Яр, из [587]
6,4
6.0
5,6
-т 1 1 г
1 1 1 г
f5M&
4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,6 lg7V
Рис. 58. Эволюционные треки звезд с массами 15, 30, бОМ© от главной последователь
ности до загорания углерода в центре для начального состава хн = 0,7,
хг = 0,03, критерия Леду и / = Яр, из [651]
286

зможно, это связано с отсутствием проникновения внешней конвектив-
й зоны внутрь и формирования скачка химического состава [651 ].
для треков на рис.57 времена горения водорода тн = 1,2-107 и
6 1.10е л«, гелия - тНе/тн = 0,10 и 0,08, время горения 4Не в области
голубых сверхгигантов с lg Tt > 4,1 есть тЬ11тНе = 0,37 и 0,03 для
и s 15 и ЗОЛ/е соответственно.
Расчеты эволюции звезд с М = 15, 30 и 60Л/о проводились в [651] для
начального состава хн = 0,7, хНе = 0,27, xz = 0,03, длины перемешивания
I s Нр и массы статической оболочки от 5 до 15 % массы звезды. Критерий
конвекции выбирался в форме Шварцшильда A0.3) .однако в полуконвек-
полуконвективной зоне перемешивание не допускалось. Утверждается [651], что такое
рассмотрение эквивалентно критерию Леду A0.11). Результаты расчетов
приведены на рис. 58 и в табл. 38. Из-за наличия петель на диаграмме ГР
звезды с М = 15 и 30Л/о большую часть времени горения гелия в ядре
проводят в области голубых сверхгигантов. Расчет проводился до исчерпа-
исчерпания гелия в ядре. С ростом массы звезды в результате горения гелия растет
доля кислорода по сравнению с углеродом. Для М = 15, 30, 60 Л/® после
выгорания гелия в ядре весовая доля углерода равна х,,с = 0,4, 0,3, 0,2
соответственно. Здесь используется более точное по сравнению с [407-
411], где Хис было много меньше, значение для скорости реакции
12С (а, 7I6О (последние данные см. § 15).
В процессе расширения оболочки и движения внутрь по ее массе конвек-
конвективной зоны последняя пересекает скачок химического состава, связанный
с предыдущим горением водорода в конвективном ядре. Такое
проникновение сопровождается скачком светимости за счет выделения
на скачке гравитационной энергии [651, 531]
dMCE/ Р \ dMCE кТ /4 \ /1\
AL = —[АЕ- — Др )= ——(- - 1,5JA(-V C2.1)
dt \ р2 / dt тЛр / \»J V '
где МСЕ - масса ядра внутри скачка, ц и 0 даны в A.6) и A.19). Вопрос о
проникновении конвекции из оболочки в зону горения исследован в [206].
Расчеты эволюции массивных звезд с использованием критерия конвек-
конвекции Шварцшильда с полным перемешиванием удалось довести до стадии
потери звездой гидродинамической устойчивости, т.е. до модели предсверх-
новой. Первые такие расчеты выполнены в работе [626] (см. также [625] ).
Авторы использовали методику счета эволюции, основанную на неявной
схеме решения гидродинамических уравнений эволюции. Статические реше-
решения получаются методом установления при наличии вязкости. Рассматрива-
Рассматривались звезды с Л/ = 15 и 25 Л/о с начальным химическим составом хн = 0,7,
*Не = 0,28, xz = 0,02, / =Нр. Исходные данные совпадали *) сданными
работы [459], где эволюционные расчеты доведены до стадии выгорания
) В [626] утверждается, что в расчетах использовался критерий конвекции
ду Совпадение с треком из [4591. гЯе использовался критерий Шварцшильда, а
горение гелия в области голубых сверхгигантов заставляет сомневаться в спра-
справедливости этого утверждения.
287

Эволюционные параметры звезд на рис. 58, взятом из [651 ]
Таблица 38
Точка
ТС,К
рс, г-см"
Z#©
Z#©
Tef, К
Re
■^c
xH.c
'"'Се'
t3B, годы
10
14
17
19
3,2G)
3,6G)
3,9G)
4,1G)
4,6G)
4,9G)
5,4G)
6,7 G)
7,9G)
1,6(8)
1,8(8)
2,0(8)
1,8(8)
1,9(8)
2,0(8)
2,2(8)
2,0(8)
2,1(8)
6,4(8)
3,6(8)
3,0(8)
8,4(8)
4,2(8)
5,3@)
3,0@)
2,0@)
9,3 @)
5,1@)
3,3@)
2,5A)
1,9A)
1,6A)
2,2C)
7,0B)
4,0B)
1,5C)
6,2B)
3,7B)
2,3C)
6,8B)
3,5B)
5,0E)
4,0C)
9,1 B)
1,2E)
2,8C)
1,8D)
1,1E)
4,7E)
3,4D)
2,0E)
7,7E)
3,8D)
2,2E)
8,3E)
1,5D)
1,9E)
8,1 E)
2.5D)
1,9E)
7,0E)
4,7D)
2,6E)
9,9E)
5,3D)
2,3E)
8,6E)
1,8D)
1,1E)
4,7E)
3,1D)
1,8E)
6,7E)
3,5 D)
1,7E)
6,2E)
3,1D)
1,6E)
4,2E)
1,1D)
8,2D)
9,5D)
2,7D)
4,6D)
2,6E)
7,2D) 0
3,5C) 8,6D)
2,1C) 3,4D)
0
0
О
О
О
О
О
О
О
7,5C)
9,2D)
4,0E)
1,4D)
1,1E)
6,6E)
2,0D)
1,4E)
7,2E)
5,5D)
2,4C)
8,0E)
2,6E) 5,9F) 0 7,5E)
1,0F) 2,5D) 1,6E) 1,1D)
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
О
9,0C)
О
О
О
О
О
3,8C)
2,4D)
1,0E)
3,5C)
4,3D)
2,2E)
-2,4D)
-5,9D)
-1,4D)
1,0B)
1,5B)
-5,1D)
5.5B)
7,0D)
4,9C)
6,1D)
1,5E)
3.0D)
2,99 D)
3,92D)
4,71D)
2,46 D)
3,06D)
3,43D)
2,70 D)
3,43 D)
3,88D)
3,73C)
1,01D)
1,58D)
3,52C) '
3,24C)
3,30C)
1,59D)
1,10D)
3,19C)
3,22C)
1,62D)
3.21C)
5,1
7,2
10,3
10,2
15,9
25,0
8,9
13,3
20,3
296
145
120
428
1404
2579
28,7
140
3267
742
61,7
3004
4,5F) 8,8E) 3,14C) 1742
О 8,7E) 3,18C) 3324
5,8
15,8
40,1
2,5
8,2
21,8
1,1
4,3
15,2
0,7
3,7
9,4
1,7
5,6
14,0
1,8
6,5
16,2
3,0 (-4)
2,7
20,6
0,41
16,8
0,7
0,7
0,7
0,034
0,030
0,024
1,2(-5)
4(-6)
[4(-3)]
[0.011]
[0,005]
[0,37]
[0,13]
[0.021]
[0,56]
[0,41]
[0,033]
[0,41]
[0.30]
[0,247]
[ 0,30]
[0,194]
О
О
О
9,6F)
4,8F)
3,2F)
2,8E)
1,4E)
7,8D)
6,6D)
2,2D)
1,2D)
5,8E)
6.6D)
4,5C)
5,5E)
1,8E)
2,3C)
1,2E)
2,2E)
3,2E)
1,3D)
Гэв - время эволюции между данной и предыдущей точками на рис. 58, в верхних строчках даны значения для 15 Л/©, в средних - 30 Л/®,
нижних — 60 М®, прочерк — отсутствие данных в [651].

Полоса
неустойчи
вости
цефеид
4,6
3,6 lg ref
Рис. 59. Эволюционные треки звезд с массами 15 и 25Мв из [459], 55'для 15Л/е и
ВС для 25Л/е - области горения гелия в ядре, CD - область горения двойного Н-Не
слоевого источника, DE — область горения углерода в ядре. Эволюционные треки из
[626] в основном совпадают с [459]. Треугольниками указаны результаты эволю-
эволюционных расчетов [626], где заметно отличие от расчетов [459]. Расчеты [626] дове-
доведены до точки потери устойчивости - модели предсверхновой (указана крестом в
кружке)
Не
■ N
О 0,5 f,0 f,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4j5 5
внутренняя масса (Мв)
10 15
c. 60. Весовые концентрации различных элементов в звезде с М = 15Л/е перед кол-
ядра. Внутри М = 1.56Л/© использовалось ядерное квазиравновесие (ЯКР).
Чри этом реакции слабого взаимодействия рассматривались кинетически при усло-
условии полного улета нейтрино (см. § 3). Кривая S6Ni в этой области представляет
*се элементы железного пика с A =2Z, s4Fe — все элементы с А = 2 (Z + 1), a "Fe" —
^е остальные элементы ЯКР с Z > 22, из [626]
19.Г.С. Бисноватый-Коган
289

0 0,5
10 15
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5
Внутреняя масса (Мв)
Рис. 61. Распределение параметров звезды с М - 15М© перед коллапсом ядра. Масшта-
Масштабы плотности р и температуры Т выбраны таким образом, чтобы расстояние между
кривыми сохранялось при р ~ Т3. Величина -Sy задает суммарную скорость потери
энергии за счет нейтрино и фоторазрушения тяжелых элементов, Sv — полная скорость
нейтринных потерь, Svp - скорость нейтринных потерь за счет излучения плазменных
нейтрино из [268] (см. § 19). Скорости выделения энергии при ядерном горении
обозначены через 5дг с указанием основного ядерного горючего. Все величины 5; име-
имеют общий масштаб 5. Зоны сильной конвекции даны заштрихованной полосой, а по-
полуконвекции - полосой без штриховки. Величины R, Tef, L определяют радиус
фотосферы, эффективную температуру и оптическую светимость соответственно, из
[626]
углерода в центре и образования углеродного слоевого источника наряду
с гелиевым и водородным. На рис. 59 приведены треки из [459], треуголь-
треугольниками даны те модели из [626], у которых заметны отличия от [459].
В остальных частях эти треки неразличимы. При условии возникновения
конвекции по критерию Шварцшильда горение гелия происходит в области
голубых сверхгигантов, а петли отсутствуют. После стадии горения углеро-
углерода эволюция ядра столь убыстряется из-за нейтринных потерь, что внешний
радиус и оптическая светимость звезды практически не меняются вплоть до
наступления коллапса (см. табл. 39). На рис. 60.61 приведены распределе-
распределения концентраций элементов и параметров звезды перед коллапсом для
15 М®, а на рис. 62,63 даны те же величины для М = 25 М*,. В центре видно
действие эндотермической реакции отщепления от элементов железного пи-
пика нейтронов и альфа-частиц. В более поздних расчетах [633, 640] треки
на поздних стадиях слегка изменились, см. сноску к с. 338. В расчетах учи-
учитывалось более сотни изотопов различных элементов.
Исследование эволюции звезд с массами 9, 15, 30, 60,120 Л/е вплоть до
конца стадии горения углерода в ядре проводилось в работах [476, 477]
290

Таблица 39
> фазы ядерного горения при эволюции звезд с М- 15 и 25 М© с началь-
„ым"со£ав~ом хн = 0,7, *не = 0,28, хг = 0,02 (из [626] )
Стадия
горения
тс,к
с, Г'СМ"
is
ref,K
Rf
гэв, годы
Водород
Гелий
3,4G) 5,9@)
3,7 G) 3,8 @)
1,6(8)
1,8(8)
1,3C)
6,2 B)
Углерод
Неон
6,2(8) 1,7E)
7,2(8) 6,4E)
1,3(9) 1,6F)
1,4(9) 3,7F)
Кислород 1,9(9) 9,7F)
1,8(9) 1,3G)
Кремний 3,1 (9) 2.3 (8)
3,4(9) 1,1(8)
2,1 D)
8,1 D)
6,0D)
2.5E)
8,6D)
3,1 E)
9,7D)
3,1E)
9,7D)
3,1E)
9,7D)
3,1E)
1,0@)
1,9A)
8,9D)
2,6F)
1,8(8)
2,0(9)
2,1 (9)
6,0(9)
8,9A0)
9,9A1)
3,26D)
3,98 D)
1,59D)
1,58D)
4,26C)
4,36C)
4.28 C)
4,36C)
4,28C)
4,36C)
4,28C)
4,36C)
4,6
6,0
31,6
67,5
532
963
560
963
560
963
560
963
1,2G)
7,3F)
1.3F)
6,7E)
6,3C)
165
7,0
1,2
1,7
0,51
1,6 (-2)
3,8(-3)
Коллалс 8,3(9) 6,0(9) 9,7D) 1,8A5) 4,28C) 560. 9,5 (-9)
8,3(9) 3,5(9) 3,1E) 2,1A5) 4,36C) 963 1,1 (-8)
Все параметры, кроме гзв. определяют условия сразу после загорания каждого го-
горючего, ?Эв есть время до загорания следующего горючего. В верхних строках даны
значения для 15 Ме, нижних — 25 Л/©, нейтринная светимость при водородном горении
не вычислялась.
ili| i и Ц ц I I |i Mill и
0 0,5 1,0 1,5 1.0 2,5 345678310 131517 в 212325
Внутренняя масса (WQ)
Состав предсверхновой с М = 25Л/©. Внутри М = 1,61М© принималось ЯКР,
остап Состав предсверхновой с М = 25Ме. Внутри М
ЬНЫе обозначения соответствуют рис. 60 (из [626])
19*
291

11 11 11111 » 11 I 111 111 111.1 I» . I. I
'■■■■■■■■■' I I I I III I I ][ I I I
О ОД Ifi 1J5 2,0 2,5 5 4 5 6 7 8 3 1011 15151719212325
Внутренняя масса (М<ц)
Рис. 63. Параметры предсверхновой с М = 25Л/©. Все обозначения соответствуют
рис. 61, из [626]
Спектральный класс звезд
04 07 ВО В1 B3B5B8A5F5G0KOH0M4
-И—i ' i ' i 'i—i ' [' I 'i 'i
4,8 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,6
Рис. 64. Эволюционные треки звезд постоянной массы с начальным составом х^ -
= 0,7, xz = 0,03, критерием конвекции Шварцшильда на ГР диаграмме. Заштрихова-
Заштрихованы основные области медленного горения Н и 4Не. Звездочка указывает модель
предсверхновой. Начало горения 12С указано горизонтальной черточкой на треке
(вариант А из [477], см. табл. 43)
292

пя различных режимов потери массы. Эволюционные треки звезд с по-
оянной массой даны на рис. 64, результаты расчетов приведены в табл.42.
Поинимапся начальный состав *н = 0,7, хНе = 0,27, Xz = 0,03 и критерий
конвекции Шварцшильда. В отличие от [459, 636] трек звезды с 15МФ
показывает наличие петель. Положения предсверхновых на треках указаны
звездочками (рис. 64) и хорошо согласуются с расчетами работы [626]
(рис.59).
г) Эволюция массивных звезд с потерей массы. На истечение вещества
в процессе эволюции указывают как прямые наблюдения [489], так и
существование одиночных гелиевых звезд типа Вольфа—Райе, потерявших
водородную оболочку [184]. Теория в общем случае не позволяет найти
зависимость потока массы М от параметров звезды L, R, xf, поэтому
в расчетах эволюции в основном используются эмпирические зависимости,
получаемые из наблюдений [460]. На стадиях, ведущих к образованию
звезд Вольфа—Райе, М столь велико, что ускорение потока может происхо-
происходить в оптически толстых областях. В работах [52, 290] развит метод,
позволяющий в этих условиях проводить самосогласованный счет эволю-
эволюции с определяемой теоретически величиной M(L, R, х,-). •
Для описания стационарно истекающей оптически толстой атмосферы
используются гидродинамические уравнения сферически-симметричного те-
течения идеального газа в равновесии с излучением [52]
./ Р GM u2\ dT
М(Е + + ) + 4тгХг2 = -L, C2.2)
\ р г 2 / dr
C2.3)
C2.4)
du 1 dP
dr p dr
4irpur2 = —M,
P- SR + пГ
3
_ 4ссГ3
3 кр
к = к (Р, Г),
СМ
г2 '
3 д У
2 р
к
е,- = е,(р. Г).
C2.5)
•здесь X — коэффициент лучистой теплопроводности (см. G.32)), к — не-
непрозрачность (см! § 7), /i - молекулярный вес (см. A.6)), et -удельная
внутренняя энергия, состоящая из энергии возбуждения, ионизации и
Диссоциации атомов и молекул (см. § 1). Первый член слева в C2.2) опре-
определяет поток кинетической энергии Lk, а в торой — поток лучистой энергии
г ■ При радиальном истечении вещество проходит изотермическую крити-
скую точку, в которой выполняются соотношения, получаемые после
293

подстановки C2.2), C2.4) в C2.3) и записи явного выражения для произ-
производной,
GM 1 /ЪР\ Г . / Р GM и2
= 2 и2 +
г 4тгрг2Х\Э
В [52] развита теория истекающей атмосферы с произвольным соотноше-
соотношением между Lr и Ly_. В эволюционных расчетах [290] использовалось
приближение Lr > Lk, когда пренебрегалось первьии членом в C2.2).
Перейдем к безразмерным переменным, выбрав в качестве масштаба значе-
значения параметров в критической точке C2.6) рсг, ТС1, гсг . Из C2.2)-
C2.5) получаем два уравнения относительно безразмерных переменных Т
и р при Lr >Lk:
dT p к
dp
/Т
( -
х3 / Тъ /icr\ к р 1
-27p,cr—-Mi— + 7r-fL) -=АА X
р2 \ р ц / кС1 Т3 ]
Т /icr 7p x*\* 1
^^ ) C2.8)
)
Р М 7р,сг Р / 7р,сг
Здесь
р (),
г \dlnp /т
Введены также безразмерные параметры
4 аТ^ GM
A Аз ~
C2-9)
3 3 Pci(k/nCImu) ' rCITCI(k/nCImu)
L 3 кс,рсг L A, AncGM
A*= Epi_= Lf L = . C2.10)
4tt 4ас1Гстгст Lcct Аг к
Индексом "сг " обозначены параметры в критической точке, условие про-
прохождения через которую C2.6) приводит к соотношению между парамет-
параметрами C2.10)
L А3 Аз - 2?р,сг
- = . C2.П)
Lc сг Л, Ах + 7г,ст
Из C2.11) следует, что в критической точке £/Z,c>cr < 1.При заданной
массе звезды М стационарно истекающая атмосфера, как и статическая,
определяется двумя параметрами, в качестве которых удобно принять L
294

Из выражения для Ал в C2.10) и C2.11) получаем
C2 12)
т Зксгрсг
г" 4тг 4асТ4с1 А3 - 27р,сг'
Используя C2.12) и выражения для А, и А3 из C2.10), имеем
1-(^с,)^-—^j =/(РсГГсг). C2.13)
Задавая Гсг при данных р и L, получаем все параметры C2.10). Интегри-
Интегрируя систему C2.7) - C2.8) наружу при х < 1, подбираем Тсг, удовлетво-
удовлетворяющее условиям вдали от звезды. После этого из итерационной схемы
счета эволюции (§ 22) находим однозначно все параметры стационарно
истекающей модели, в том числе М.
Для выхода из критической точки при интегрировании уравнений C2.2),
C2.3) необходимо использовать асимптотические формулы [52, 290]
=]-аA-х),
7г,
а =
Э1л7г\ 1
|J+ C2.14)
Э1л7р\ 1 /Э1л
Наиболее сложным является вопрос о внешних граничных условиях,
определяющих TCI (pcr, L). Во внешних слоях при малой оптической тол-
толщине вместо уравнений радиационной гидродинамики C2.2) —C2.5) нуж-
о использовать гидродинамику для описания газовой составляющей
вместно с уравнением переноса излучения. В такой постановке получение
решения сталкивается с большими трудностями, поэтому для описания про-
рачных слоев в [652,653] используется приближение, аналогичное исполь-
используемому в статической атмосфере F.34) из [520].
295

Если оптическая толща в области критической точки достаточно велика
то прозрачные слои мало влияют на определение TCI(pCI,L). В этих об!
стоятельствах в [52, 290] использовались условия Т = р = 0 при г = <» и
уравнения C2.2) - C2.5) во всей области. В работе [356] интегрирование
в истекающей оболочке обрывалось на оптической толще т » 1, где пред.
полагалось условие L = яг2саТ4, аналогичное статической атмосфере
В области течения следует учитывать непрозрачность всех видов
При низких значениях температуры самым важным является вклад моле-
молекул и пыли, не учтенный в [652, 653]. К настоящему времени удовлетво-
удовлетворительного решения для истекающей атмосферы вне критической точки
не получено. В [52] для нахождения зависимости TCI( C~>L) использовано
приближенное решение, полученное в [45] для к = const, /i = const в
сверхзвуковой области, где L > Lc (см. C2.10)). При Lr>LCCI и
и > ит уравнения C2.2) —C2.5), записанные через переменные и и Т
имеют решение [45], удовлетворяющее условиям Т-р=0 при г = оо;
GM
и2 / L \GM-( L \GM
2 + \ Lc ) г \ Lc / rcr
r^7^/7^<^-'>c*<--->l • C215>
M= ~4TipCIr2CIuCI, u2CI = TCI = u2
Исключая М из трех последних соотношений C2.15), получаем искомую
связь Гсг(рсг, rCI,L). Эту связь удобно записать в виде соотношения между
безразмерными величинами C2.10):
64 , L / L У1'2
/4,= V77 ( l) . C2.16)
15VT L" \L" '
При малых Ах и к = const для выполнения условия Т = р =х = 0 требуется
А3 = 3 [25]. Связь rcr(pcr,rcr,Z,) эквивалентна связи между безразмерны-
безразмерными параметрами C210) типа C2.16). Для переменного к и ц вместо C216)
в [290] использовались следующие соотношения:
А3=(А+3)-
max к
Мсг ~-ь Рсг
max к{Т)
при А > 1 или А > А1г
C2.17а)
при А < 7 и A<At. C2.176)
296

Здесь
450
4096
= A3 из C2.16) при Lm=LCI),
= min
4ncGM max к (Г)
Per
]■
C2.17в)
4-ncGM A-ncGM
j = при max к(Г)\р < 3
Lm тахкG)|Рсг F Pcr L
Lm = - ПРИ
AncGM
и = max (//) соответствует нейтральному газу.
Процедура нахождения критической точки такова. При данных L и
рсг находим Ко = ЛпсСМ/L. После этого из таблиц к(р, Т) находим Тст0,
а из C2.10), C2.17) получаем At и А3. Из термодинамических соотно-
соотношений определяются ц, ур и ут. Затем из C2.11) находится в следующем
приближении Ki и итерации ведутся до определения параметров крити-
критической точки с заданной точностью. После этого находится гсг из C2.12)
или из соотношения для Аъ в C2.10), величины ис1 = V7p,crW//icr™u и М=
- —47грсгыСг''сг- После выхода из критической точки по разложению
C2.14) интегрирование C2.7) и C2.8) внутрь звезды в [290] охватывает 3%
массы звезды. На границе с ядром, которое рассчитывается методом Хеньи,
скорость столь мала (и <ит), что сшивка параметров ведется так же,
как и в статическом случае (см. § 22).
Таблица 40
Эволюционные параметры звезд, представленных на рис. 65
Точка
А
В
С
D
Е
Модель
N'
0
0
20
133
28
244
64
342
132
452
Тс,К
3,1 G)
3,8G)
4.0G)
5,1 G)
4,5G)
8,2G)
7,8G)
1,8(8)
1,4(8)
1,8(8)
рс, г-см
1,1A)
3,7@)
2,0A)
7,5@)
5,3A)
3,6A)
1,9C)
5,9B)
5,1C)
5,8B)
L/Le
3,5C)
1,1 E)
6,6C)
2,2E)
-7,5C)
2,5E)
8,1 C)
2,4E)
5,0C)
2,3E)
3,5C)
1,1E)
6,6C)
2,2E)
6,7C)
1,9E)
8,5C)
1,6E)
6,7C)
1,6E)
£Не/£е
0
0
0
0
0
0
0
1,3E)
1,1C)
1,3E)
Рис 65 Ь *ЭВ ~~ вРемя эволюции между данной и предыдущей ■ точками на треках
Цифра ' В верхних строчках даны значения для М= 9 Мв, в нижних - для М = ЗОЛ/©,
дещ в ск°бках в столбце Rf/R& есть критическуий радиус первой истекающей мо-
297

Таблица 40 (окончание)
Точка
А
В
С
D
Е
Lg/Le
0
0
2,3
4.5 B)
7,5B)
5,8D)
-3,8B)
-5,1 D)
-2,8C)
-5,5 D)
Tef,K
2,43 D)
4,07 D)
2,08 D)
3,10D)
2,24D)
3,44D)
1,57D)
1,54D)
5,16C)
5,16C)
Rf/R&
3,4
6,7
6,3
16,4
5,7
14,0
12,2
68,1
89,0
607
F11)
^conv
M
0,29
0.54
0,11
0,28
0,037
0,12
0
0,15
0,035
0,18
0,75
0,75
0,036
0,02
1,8 (-4)
0
0
l6,8(-3)]
И,4(-3)]
[1,3 B)]
'эв- годы
0
0
2.6G)
5,9F)
5,6E)
8,0D)
9,3D)
1,5D)
8,5D)
3,0C)
В [290J рассчитывается статическая эволюция звезд с М - 9 и 30 М@
до начала проникновения конвекции внутрь ядра (9 М©) или до точки,
где построение статических моделей принятым методом оказывается
невозможным C0 Me). Для 30 М© здесь предполагается начало истече-
истечения, эволюция на стадии которого рассчитывается по изложенному вы-
выше методу. Начальный состав выбирался в виде хн = 0,75, хНе = 0,22,
Xz = 0,03. Конвекция рассчитывалась с длиной перемешивания / - Нр,
использовался критерий конвекции Леду, что дало отсутствие перемеши-
перемешивания между конвективным ядром и зоной полуконвекции благодаря
лучистому слою между ними.
Результаты расчетов приведены в табл. 40 и на рис. 65, 66. После точ-
точки Е трека для 30 М© в выбранных физических условиях не удалось по-
построить статической модели, поэтому здесь предполагалось начало истече-
истечения. Штриховой линией указан примерный трек на стадии истечения. Все-
Всего было построено 23 истекающих модели за 15 лет эволюции звезды.
За это время масса звезды уменьшилась до 23 М©, так что получился ги-
гигантский поток массы М * 0,5 М©/год. Несомненно, что такой поток М
явился следствием не совсем удачного выбора связи C2.17). Реальное
М может быть на 2—4 порядка меньше. Интервалы изменения парамет-
параметров в критической точке за время эволюции таковы:
М = @,5 - 0,4)М©/год, мсг = 18 км • с,
Тс1 = B,5-2,4) -104К,рсг = 8-КГ10 г-см,
Rcr = F10-550)^©.
C2.18)
Малое изменение критических параметров в ходе истечения указывает
на то, что оно должно продолжаться, пока звезда не потеряет почти вс^
свою водородную оболочку, а оставшееся гелиевое ядро станет звезд0
298

-«па Вольфа-Райе. Такой механизм образования звезд типа Вольфа—
Райе предложен в [290J. Там же предложен проверочный тест: поиск
тяженной газовой оболочки с массой, сравнимой с массой гелиевой
везды. Подобные оболочки найдены вокруг многих звезд этого типа,
которые не показывают явных признаков двойственности [149]. В [290]
отмечалось также, что на начальных стадиях истечения непрозрачность
Рис. 65. Эволюционные треки звезд с массами 9 и Ъ0М& от главной последователь-
последовательности до начальных стадий горения 'Не в ядре с начальным составом хн = 0,75,
*Не = 0>22' XZ = °'03' критерия Леду и / = Нр из [290]. На треке сМ = Ъ0Мв в точ-
точке Е предполагается начало сильного истечения, стадия с истечением указана штрихо-
штрихованной линией
l9Pfc
-7 -
^ с- 66. Структура статической (сплошные линии) и истекающей (штриховые) обо-
к в точке Е для 30Мо. Истекающая оболочка построена с помощью соотноше-
но 2-16) • вместо внешнего граничного условия. Приведены распределения плот-
ка Р> темпеРатУРЫ Т; отношение светимости к критической к = L /L сг, доля пото-
^ еРен°симого конвекцией FK/L, Re - радиус статической звезды. Звездочками
аны точк к 1 Д
У^ K/, e ру д д
•д^аны точки с к = 1. Даны только части истекающих моделей, примыкающих к ста-
Kavv, КомУ ядру. Видно близкое совпадение кривых р(г) и Т(г) у статической и исте-
ка»Шей моделей вблизи ядра
299

Таблица 41
Эволюционные параметры звезд на рис. 67
Начальная
масса,
Мв
Вариант
lg Tef, К
тНе
ПIЛ"Не
Конечная
масса,
15
15
30
30
30
60
А
С
А
С
D
A, C,D
4,56
...
4,67
4,81
4,22
1,2G)
1,2G)
5,8 F)
5,8 F)
5,8 F)
3,7 F)
0,092
0,092
0,082
0,083
0,082
0,086
0,040
0,760
0,034
0,831
1,000
1,000
0,002
0,009
0,005
0,015
.*.
15
4,4
30
11,3
11,6
60
7"ef — максимальная эффективная температура при горении А Не в ядре, тн — время
рения Н в щше. тно — впемя гопения "Не в ядре, ты — время горения
горения Н в ядре, тне ~ время горения "Не в ядре, . ц1
4 Не в голубой стадии, Ту — время горения 4Не в желтой стадии.
оболочки может быть очень большой и все излучение звезды переизлу-
переизлучится в инфракрасном диапазоне, давая яркий инфракрасный объект.
Возможно, такого типа объекты уже наблюдались на инфракрасном спут-
спутнике 1RAS [402]. На рис. 66 приведено распределение параметров в обо-
оболочке последней статической модели и первой истекаюшей той же массы.
В истекающей оболочке отсутствует инверсия плотности, р падает быстрее,
а Т медленнее, чем в статической. Вблизи ядра имеется хорошее совпаде-
совпадение решений для статической и истекающей оболочки. Это свидетельствует
о том, что процессы в атмосфере слабо влияют на структуру статиче-
статического ядра.
Исследование эволюции массивных звезд с истечением при заданном
эмпирически потоке M(L, R) проводилось многими авторами. В [588]
рассчитывалась эволюция звезд с начальными массами 15, 30, 60 М@ до
исчерпания гелия в центре звезды. Результаты представлены на рис. 67
и в табл. 41. Треки с постоянной массой существенно отличаются от дру-
других треков звезды той же массы с тем же критерием конвекции Леду
(см. рис. 57 [587] и рис. 58 [651]) полным отсутствием петель. Почти весь
гелий дляМ= 15 и 30Mg сгорает в области красных гигантов (см. табл.41).
Отличие от [587] состоит только в длине перемешивания I = НР вместо / =
= 0,4 Яр в [587]. Отличие от [651] состоите химическом составе и в некото-
некоторых деталях критерия конвекции. В целом, сравнение этих результатов сви-
свидетельствует в пользу наличия элемента случайности в механизме образо-
образования петель. При учете потери массы (в тех же физических предполо-
предположениях) трек еще на стадии горения гелия в ядре уходит обратно в об-
область голубых гигантов, где звезда и проводит большую часть этой ста-
стадии (см. табл. 4). Оба варианта потери массы по закону
М = -
М год
при lg Tef < 3,85 (варианте),
C2.19)
300

6,0
5,6
4,4
<,0
-8>0\
- 4А
—11 \i
—1 1 —1 1 i 1
/
60,0
30,0
4,4 *■■/'
/5,0
1 J L .J 1 1
1 1 1-
1 1
—\ 1
11,6
4-
п—i—
25,£-
14,7-
5,0 4,8 4,6 4,4 4,2 4-fi 3,8 3,6 Ig7"ef
Рис. 67. Эволюционные треки звезд с начальными массами 15, 30 и 60Afe от главной
последовательности до исчерпания 4Не в центре для начального состава хи = 0,739,
Хце = 0,24, xz = 0,021, критерия конвекции Леду и / = Нр. А эволюция
с постоянной массой; С lit = -10' (LR)M) в Ме/год при ]gTef < 3,85;
D Af = -10 Afe/год при Ig7"ef < 3,7, L, R, M даны в солнечных едини-
единицах, точки определяют начало и конец Медленного горения 'Не в голубой области
для 60Afe и случаев с М Ф 0. Слева указано местоположение однородных гелиевых
звезд, из [588]
и быстрой потери массы с М = -10 2 М©/год при lgref < 3,7 (вариант D),
аналогично [290], дают качественно похожие треки (/,,/?,М— в солнечных
единицах).
Различные варианты потери массы рассматривались в работах [476,477].
Физические условия в этих работах обсуждались выше. Результаты рас-
расчетов приведены на рис. 68, 69 и в табл. 42. Здесь использована зависи-
зависимость для М, отличная от [588]: М = NL/c2 Мо/гоц, N = 65-150. Для ва-
варианта С с наибольшим М качественно треки совпадают с [588], т.е. в
обоих случаях они поворачивают влево к области голубых гигантов. Де-
Детали расчетов сравнивать трудно, так как использовались разные крите-
критерии конвекции, то топологическое сходство очевидно.
Вопрос о потере массы при эволюции массивных звезд является весь-
весьма важным, так как при разных М треки эволюции и наблюдательные
проявления этих звезд качественно различаются. Для теоретического ре-
решения этой проблемы требуется самосогласованный расчет эволюции с ис-
истечением при более точной по сравнению с [290] методикой определе-
определения &1, где внешние граничные условия были бы строго удовлетворены
как с физической, так и с математической точек зрения.
Задача 1. Для непрозрачности в виде
к = к0 при Т > Тс,
— ) , п > О,
О)
при Т < Тс,
301

s
Основные фазы ядерного горения при эволюции знезд на рнс. 64,68,69
Таблица 42
Стадия
горения
Вариант
М
М, М®/гоя
Тс, К
Рс,т- см"
Tef.K
гэв, годы
Водород
Гелий
13С и'6О
Водород
Гелий
.2Си1бО
А
В
А
В
А
В
А
В
С
А
В
С
А
В
С
9
9
9
8,55
9
6,2
15
15
15
15
13,7
12,2
15
11,1
3,5
0
1.3 (-8)
0
6,8 (-7)
0
1,9(-6)
0
7,1 (-8)
1,3 (-7)
0
2,2(-7)
1,0(-5)
0
8,5 (-6)
4,2 (-7)
2,9G1
2,9G)
1,4(8)
1,4(8)
6,3(8)
6,1 (8)
3,2G)
3,2G)
3,2G)
1,6(8)
1,5(8)
1,6(8)
7,3(8)
7,2(8)
7,1(8)
8,9@)
8,9@)
4,3C)
4,6C)
3,5 E)
3,2E)
5,2@)
5,2@)
5,2@)
1,5C)
1,9C)
1,8C)
2,1 E)
2,2E)
1,6E)
3,9C)
3,9C)
8,8C)
8,3C)
2,1 D)
1,8D)
1,9D)
1,9D)
1,9D)
4,3 D)
2,8D)
4,1D)
6,1 D)
5,5 D)
5,2D)
2,32 D)
2,32D)
4,04C)
3,97C)
3,77C)
3,65C)
3,00D)
3,00D)
3,00D)
*3,82C)
7,66C)
3,76C)
3,78C)
3,72C)
5,30D)
2.3G)
2,4G)
3,7F)
3,8F)
3,6 E)
6,4E)
1,1G)
1,2G)
1,2G)
1,2F)
1,2F)
1,3F)
7,6 D)
3,8D)
9,6 D)

Водород
Гелий
"Си 16О
Водород
Гелий
13Си160
А
В
С
А
В
С
А
В
С
А
В
С
А
В
С
А
В
С
30
30
30
30
24,8
21,25
30
12,5
10,15
60
60
60
60
45,2
34,8
60
24,8
14,6
0
5.1 (-7)
2,9 (-6)
0
3,1 (-6)
6,6 (-5)
0
7,2 (-5)
2,9(-6)
0
2,7 (-6)
5,4 (-6)
0
2,6 (-4)
4,6 (-4)
0
4,0(-5)
1-0 (-4)
3,6 G)
3,6G)
3,6G)
1,9(8)
1,8(8)
1,8(8)
9,1(8)
9,3 (8)
9,7(8)
3,9G)
3,9G)
3,9G)
2,0(8)
1,9(8)
1,9(8)
9,4 (8)
9,5 (8)
2,1(8)
2,9 (О)
2,9@)
2,9@)
5,6 B)
6,1 B)
6,7 B)
8,2D)
1,2E)
2,3E)
1,9@)
1,9@)
1,9@)
3,2B)
2,7B)
3,4 B)
6,9D)
6,8D)
5,6B)
1.2 (S)
1,2E)
1,2E)
3,0E)
2,5E)
1,8E)
3,5 E)
3,2E)
3,0E)
5,3E)
5,3E)
5,3E)
1,1F)
8,8E)
8.1 E)
1,1 F)
1,1 F)
3,4E)
3,93 D)
3,93 D)
3,94D)
1,76D)
9,55 C)
3,94 C)
3,83C)
4,06C)
5,98 D)
4,72D)
4,72D)
4.72 D)
1,02D)
4,23C)
4,43C)
3,95 C)
2,16E)
1,24E)
5,7 ГО
6,8F)
6,8F)
4,6 E)
5,0E)
5,1E)
7,9C)
4,6C)
8,3C)
3,7F)
4,2 F)
4,2F)
2,8E)
3,1E)
3,2E)
1,3B)
1,2B)
Параметры определяют условия вблизи начала горения водорода и гелия и в конце горения углерода, Год есть время до загорания сле-
следующего элемента. В последней строке таблицы приведена последняя модель данного варианта, где углерод еще не загорался.

Спектральный класс звезд
О4 О7 ВО 81 B3B5B8A5FSGOKOM0M4
главная последова-
\,тельность
рис. 68. То же, что на рис 64
При учете потери массы М =
-N =65-80 (вариант
В из [477], см. табл. 42).
Для М = 9 Мв для сравнения
-// приведен трек без потери мас-
массы (А).
Спектральный класс звезд
О4 G7 ВО В1 B3B5B8A5F5G0KOM0M4
6,5
<JS
Рис. 69. То же, что на рис. 68
при Л' = 135-150 (вариант
С из [4771, см. табл. 42).
дариант С
Горение
6 ядре
Не
Щ$$лавная последова-
последова-и
ю
9
8
7
6
ть 4,6 4,4 4,2 4,0 3,8 3,ff
304

найти границу статических и истекающих моделей в отсутствие кон-
KUJin.
Решение [277]. Считая т - М = const в уравнении B2.1) и L = const
в B2.4а), поделим B2.1) на B2.4а) и, используя Р(р, Т) из C2.5) и гра-
яичное условие Р = 0,р = 0 при Г = 0, получим решение в виде
Lc0 a(TA-T?) aT* Lcl 4
Р* -f" , + ^ "Г I приГ>Гс> B)
L 3 3 L 4 — л
L 3 4-и V Г/ ^
T' C)
D)
co
к0 к,
Для одновременного обращения в нуль. У и Риз B) требуется
и<4. E)
Для одновременного обращения в нуль Т, р и Р из C) требуется
Lcl 4
и<3, -f1 >1- F)
L А — п
После подстановки B), C) в B2.4а), решение с граничными условиями
р(/?) = T(R) =P(R) = 0 записывается в виде
ij\ (y(
R 4R J I Lc0 \ Т/ \4-п к,
4 /Г VI
Постоянные С, и С2 находятся из условия Т=ТС при R=RC. Для и = 1 полу-
получаем
4 /4
" " " ~ - - (8)
Для обращения в нуль Г при конечном радиусе R требуется выполнение
Условия
GM Т / За\
-± hl_ *). (9)
a V 4/
4JR/?
овия F) при п = 1 и (9) требуются для существования статической
олочки звезды. При нарушении условий (9) лучистая оболочка может
°ь1ть только истекающей.
0 Г.С. Бисноватый-Коган 305

Задача 2. Показать, что при нарушении условий F), (9) существует
область, где имеется статическое решение с конвекцией и истекающее
лучистое.
Решение. Так как конвекция (например, по теории пути перемешива-
перемешивания B2.46) ) эффективно уменьшает а, то статическое решение имеет место
и при формальном нарушении условия (9) или аналогичного ему при пФ i
Одновременно при нарушении этих условий существует истекающее на
бесконечность решение для лучистого случая, полученное численно в [2771
из уравнений C2.2) - C2.5) с учетом A) для случаев п = 1,а = 5, L/C
l/2l 2LILll2
§ 33. Эволюция при наличии вырождения, тепловые вспышки
В звездах малой массы М < 2,25 М© образуется вырожденное гелиевое
ядро, в котором начало горения гелия происходит в виде тепловой вспыш-
вспышки. Вспышка является следствием тепловой неустойчивости, связанной с
тем, что в вырожденном веществе рост температуры почти не сопровож-
сопровождается ростом давления. Теплоемкость звезды при этом положительна и
отсутствует стабилизирующая обратная связь, имеющаяся у нормальных
звезд с отрицательной теплоемкостью.
В результате тепловой вспышки гелиевое ядро становится невырожден-
невырожденным и снова наступает спокойная фаза эволюции с дальнейшим горением
гелия в ядре. Эта стадия протекает качественно также, как и у звезд проме-
промежуточной массы 2,25 <М/М© < ~ 8, у которых вырождение в центральных
областях впервые наступает только после образования углеродного ядра
и двух слоевых источников: гелиевого и водородного.
Эволюция звезд на стадии горения слоевых источников как малой, так
и промежуточной массы (МП-звезды) оказывается удивительно похожей.
На этой стадии наблюдаемые свойства звезды — ее положение на ГР диаг-
диаграмме — слабо зависят от полной массы звезды и определяются, в основ-
основном, массой углеродного ядра. Все звезды движутся в среднем по одному и
тому же треку, называемому конвергентным. Звезды, попадающие на этот
трек, называют также принадлежащими асимптотической ветви гигантов
(АВГ). Движение по конвергентному треку сопровождается тепловыми
вспышками в гелиевых слоевых источниках, количество вспышек растет
с ростом массы звезды. Природа этих вспышек отличается от природы ге-
гелиевой вспышки в ядре, так как вещество в гелиевом слоевом источнике
невырождено. Общим свойством является положительная теплоемкость,
которая в данном случае связана с формой источника энергии в виде тон-
тонкого слоя. Эволюция вдоль конвергентного трека сопровождается потерей
массы, что в итоге ведет к образованию белого карлика из вырожденного угле-
углеродного ядра. Непосредственно перед образованием белого карлика происхо-
происходит быстрый сброс оставшейся части оболочки, которая затем наблюдается в
виде туманности, освещаемой излучением горячей центральной звезды (пла-
(планетарная туманность). В наиболее массивных звездах углеродное ядро дос*
тигает массы М = 1,39Ме, когда в нем развивается тепловая неустойчивость,
результатом которой обычно считается наблюдаемый взрыв сверхновой
типа. Рассмотрим подробнее упомянутые выше стадии эволюции МП-звезд-
306

а) Гелиевая вспышка в ядре (ГВЯ). Развитие тепловой неустойчивости
вырожденном ядре звезды было предсказано Местелом [484] и впервые
ассчитано в работах Шварцшильда с соавторами [573, 569, 388, 386]. В
Г386] рассматривалась звезда второго населения (обедненная металлами)
СМ =1Mq, начальным химическим составом.хн = 0,9, хНе = 0,099, xz =
= 0001 и критерием конвекции Шварцшильда. Конвекция в ядре.всегда
принималась адиабатической, включая момент максимума вспышки. Мак-
Максимальная центральная температура при вспышке составила 2 • 108К, а
максимальная скорость энерговыделения из-за горения гелия ~ 1011/,©.
Светимость звезды за время вспышки мало меняется от 2720/,©до2740/,©
в максимуме, а затем через 3,5 ■ 105 лет уменьшается до 170L©. За зто
время эффективная температура проходит значения 4500, 4060 и 4610 К,
а радиус - 105, 106 и 20 Rq. Последние цифры соответствуют модели, в
которой гелий горит уже в невырожденном ядре. В максимуме вспышки
Xz в центре достигает значения 0,0077, что соответствует выгоранию 0,7%
гелия в центре ядра. Скорость выделения энергии такова, что ядро продол-
продолжает оставаться в состоянии, близком к статическому равновесию.
Конвекция, развивающаяся в ядре во время вспышки, не достигает водо-
водородного слоевого источника, остановившись от него в двух шкалах высот
по плотности.
В дальнейшем расчеты гелиевой вспышки проводились неоднократно
(см. обзор [561] ) и всегда конвекция из ядра не достигала водородного
слоя. Важным неучтенным фактором является нестационарность конвек-
конвекции во время вспышки. Неясной в этих условиях остается и стабилизирую-
стабилизирующая роль градиента химического состава Vju. Второй тип перемешивания,
который может произойти при вспышке, связан с проникновением внеш-
внешней конвективной оболочки вглубь ядра. Результаты разных авторов
здесь противоречивы, причем они сильно зависят от принятой формы
нейтринных потерь из-за плазменных нейтрино, для которых имеются рас-
расхождения (см. [268]) [561]. Основной общий результат всех расчетов
состоит в том, что после вспышки возникает звезда с невырожденным
ядром, где горит гелий, а количество гелия, сгоревшего во время вспышки,
не превышает 1%. Длительность вспышки 5 ■ 104 лет, в процессе ее положе-
положение звезды на ГР-диаграмме меняется слабо. В [415] на основе численных
расчетов получены интерполяционные формулы для массы гелиевого
ядра МСНе перед вспышкой (в М®):
Мене = 0,475 + 0,23 @,3 -хИе) - 0,01 (lgxz + 3) + 0,035@,8 -М),
C3.1)
и времени эволюции звезды tRG на стадии красных гигантов от свети-
светимости LRG до ГВЯ:
^('дс/Ю7 лет) = 2,351 -0,84lg(Z,KG/Z,©)- C3.2)
- 0,04 (lgxz + 3) + 1,36 lg ( 1 - хие) - 0,27 lgM,
Де М - масса звезды в Ме,хНе и хг — начальные концентрации. Приведем
же формулу, определяющую время жизни звезды tt до точки поворота
главной последовательности (см. рис. 56), как функцию светимости в
20* 307

точке поворотаLt и начальных концентраций хИеих2:
/ h \
lg( — 1=0,42- 1,llgZ,, + 0,59 @,3 -хИе)- 0,14(lg*z + 3),
\ 101илет /
-4<lgxz<-3. C3.3)
Эта формула полезна для оценки возраста скоплений по их ГР диаграмме.
б) Горизонтальная ветвь (ГВ). Звезды небольшой массы с невырожден-
невырожденным гелиевым ядром и водородной оболочкой, образующиеся в результате
гелиевой вспышки, располагаются на ГР диаграмме вблизи линии, которая
называется горизонтальной ветвью гигантов (ГВ). Ввиду слабой зависи-
зависимости массы гелиевого ядра во время вспышки Л/сне ° массы звезды,
модели звезд на горизонтальной ветви представляют собой гелиевые ядра
почти одной и той же массы, окруженные водородными оболочками раз-
разной массы. В [590] рассчитана эволюция моделей с Мсне = 0,475М©и
различными водородными оболочками. Результаты представлены на рис. 70.
Начальные модели лежат на горизонтальной ветви нулевого возраста (ГВНВ).
В них горит гелий в ядре и водород в слоевом источнике. По мере выгора-
выгорания гелия модели отходят от ГВНВ и располагаются на ГВ. После выгора-
выгорания в ядре гелия начинается стадия быстрого сжатия ядра (штриховая ли-
линия на рис. 70) до загорания гелиевого слоевого источника. После этого
звезды занимают на ГР диаграмме место, которое называется верхней гори-
горизонтальной ветвью (ВГВ). Движение вдоль ВГВ сопровождается ростом
роли водородного слоевого источника, сближением обоих слоевых источни-
источников, увеличением светимости звезды, и приводит к выходу на асимптоти-
2,1
1,7
■4,5-10 7лет ,-
\ /'
С***"
Рис. 70. Эволюционные треки звезд на стадии горения гелия в ядре и стадии двойно-
двойного слоевого источника для двух химических составов в оболочке. ГВНВ - горизон-
горизонтальная ветвь нулевого возраста, цифры на ней дают полные массы звезд, масса гелие-
гелиевого ядра равна везде 0,475 Ms. Сплошными линиями обозначены ГВ — горизонталь-
горизонтальная ветвь, отходящая от ГВНВ, и ВГВ — верхняя горизонтальная ветвь. Штриховые
линии — стадии быстрой эволюции. Между поперечными штрихами время эволюции
равно 5 • 106 лет. После ВГВ звезды идут в АГВ — асимптотическую ветвь гигантов,
из [590]
308

Рис. 71. Схематическая диаграмма цвет
(В — V) — светимость (тру) для ша-
шарового скопления М 13. Выделены сле-
следующие группы звезд:
ВКГ - ветвь красных гигантов,
ГВ — горизонтальная ветвь,
ВГВ—верхняя горизонтальная ветвь,
АВГ — асимптотическая ветвь гиган-
гигантов (из [590])
-0,4 0,0 0,4 0,8 f,2 1,6 B-V
ческую ветвь гигантов АВГ. На АВГ приходят почти все звезды с ГВ, кроме
звезд левого конца, упирающегося в гелиевую главную последователь-
последовательность, с малой водородной оболочкой. Эти звезды превращаются в белые
карлики, не заходя на АВГ. Звезды сМ> М© после гелиевой вспышки не
покидают ветви красных гигантов ВКГ с которой они, как и звезды проме-
промежуточной массы, почти непрерывно переходят на АВГ.
На рис. 71 из [415] на диаграмме для шарового скоплениям 13 цвет
(В — V) — светимость (wph)*), которая подобна ГР диаграмме, указано рас-
расположение звезд на различных эволюционных стадиях, отмеченных выше.
Время эволюции звезды на ГВ аппроксимируется формулой [415]
lg ( ?ГВ/Ю7 лет) = 0,74 - 2,2 ( МСИе - 0,5), C3.4)
причем зависимость Мен е (М, *не» xz) Дана в C3.1).
в) Асимптотическая ветвь гигантов (АВГ) . Для звезд с вырожденным
углеродным ядром и двумя очень близко расположенными гелиевым
и водородным слоевыми источниками положение на ГР диаграмме почти
не зависит- от полной массы звезды и определяется, в основном массой
углеродного ядра. АВГ представляет собой конвергентный трек, на ко-
который выходят все звезды МП. Существование конвергентного трека было
установлено в работах Пачиньского [521, 523] и Ууса [204, 205]. Сходи-
Сходимость всех звезд к этому треку видна, например, на рис. 56 из [521].
Наличие двух тонких, близко расположенных слоевых источников создает
большие вычислительные трудности при расчете эволюции на АВГ обыч-
обычными методами (§ 22). Ситуация осложняется еще и тем, что на большей
части АВГ гелиевый слоевой источник является неустойчивым и в нем
происходят тепловые вспышки (ТП). Так же как и при ГВЯ, звезда при
ТП остается в статическом равновесии. Для расчета одной вспышки тре-
'Звездная величина М определяется логарифмом светимости звезды. Болометри-
Болометрическая (полная) абсолютная величина Л/ьО1 = 4,74 — 2,5 lg (Z./Z.©). Видимая величина
(без учета межзвездного поглощения) т = М — 5 + 51g dnK, dnK расстояние до звезды
в парсеках. Для грубой оценки спектра используют звездные величины в отдельных
спектральных диапазонах, задаваемых фильтрами:тцвокруг \ = 3650 А, тв вокруг
^ = 4400А, ту вокруг К = 55ООА с Д\ « 800 А. Фотовизуальная величина трj, «= my.
Показатель цвета В — V ( = тд — ту) не зависит от расстояния до звезды и отражает
ее температуру, В — V •» G300 К/Те) — 0,60. Более точные определения звездных
величин с учетом кривых прозрачности фильтров, распределения энергии в спектре
звезды и межзвездного поглощения даны в [5] .
309

буется несколько тысяч моделей, а количество вспышек для звезд проме-
промежуточной массы составляет порядка тысячи, так что прямой счет эволюции
становится невозможным из-за больших затрат времени.
Было предложено несколько приближенных методов расчета эволюции
на АВГ, позволяющих подавить ТП и получить усредненный эволюционный
трек. Метод, используемый Пачиньским и Уусом при открытии конвергент-
конвергентного трека, состоит в принятии приближения квазистационарности при про-
протекании вещества через два тонких слоевых источника. Впервые такое
приближение было применено в работе [344] для расчета тонкого водород-
водородного слоевого источника. Приближение основано на малости эйлеровых
временных производных (d/dt)r по сравнению с лагранжевыми (d/dt)m.
Это связано с тем, что все параметры сильно меняются при переходе через
слой горения, но параметры до и после слоевого источника со временем
меняются слабо. Имеем [523]
V Ы )т \ Ы I + \ Ы )т\ Ъг /, \dt Л \ Ы )г\Ът)г.
C3.5)
и *\ ( Ът \ dMc Л
На границе ядра ) I I яв = Мс, поэтому учитывая малость
\ bt / r dt
(Э/ЭОг, имеем из C3.5)
\ bt )т М\ Ът Л'
C3.6)
При выводе C3.5) учитывались соотношения
Ъг Л V дт Л V Ъг Jt dt \Ъ1 Л V Ъг Л т
C3.7)
Соотношение C3.6) позволяет свести уравнения звездной эволюции, в
которых имеются частные производные в уравнениях для изменения хими-
химического состава и в выражении для гравитационной энергии ( § 22), к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Уравнения химической
эволюции B2.5)-B2.7) заменяются уравнениями [204]
o (зз.8)
дт Ccno M dm dm dm
в зоне горения водорода и уравнениями
d
dm
dxHe / Зтае3а т13 е12 mai
dm \ Q3a
3"9
' Масса ядра Мс определяется, как массы на середине водородного слоевого ис
точника [521].
310

/ ЪтаеЪа т12С е,2Са \ 1
V Qia + G-Ca /Me '
по /mi6OEi6Ott ^ (ma + wi zc) ei2C
\т \ C'«Oq С12Са
в зоне горения гелия. В C3.8) опущена реакция рр-цикла, а в C3.9) до-
добавлена, по сравнению с B2.6), реакция 160(а, 7J0Ne (см. A4.32)
и табл. 16). Члене гравитационной энергией из B2.3) примет вид
ЪЕ Р Ър (/ЪЕ P\dp ЪЕ dT Л .
егп = + -={ г) + \МС. C3.10)
р Ъ1 р2 Ъ1 [\Ър p2/dm ЪТ dm]
В [205] модели с двойными слоевыми источниками строились без учета
гравитационной энергии при егр = 0. Запишем первое уравнение C3.8)
и третье C3.9) в виде
dxH eH 1
—- =— -^, C3.11а)
dm Ен Мс
dxHe eHe 1
C3.116)
dm ЕИе Мс
Здесь ен = eCNO, Ен = Ccno/4wp, еНе = £за, ^не = О.ъа№та опреде-
определяет энергию, выделяющуюся при превращении одного грамма гелия
в углерод. Из B2.3) при ev = егр = 0 и C3.11), интегрируя, имеем
L (т) - L
ХН -:)|:Н0+ ~ 7^ • -^Не ~ L — x\\qL\\M c,
н с C3.12)
L(m)-LHe
хНе ~ ■
ЬНеМс
L; =LHe -(*H0 +Хнео)ЕНеМс
Здесь Z,He - светимость на границе между слоевыми источниками, L —
внешняя светимость, L, — светимость углеродного ядра. Из C3.12) по-
получается связь между L, Lj, Мс ;
Мс = ^—^ . C3.13)
^ + (*Н0 + ^) Е
С учетом C3.13) из C3.12) получается распределение хн идгНе в слое-
слоевых источниках, как функция светимости L (m) с полной светимостью
L в виде параметра. Процедура построения равновесной модели с дву-
двумя квазистационарными источниками с егр = 0 сводится к следующему
[205]. Внутри углеродного ядра выбирается место сшивки при т= mf.
Для данного L и эффективной температуры Tef уравнения B2.1) —B2.4)
с учетом C3.12) и C3.13) интегрируются внутрь до т = mj, где р = р/,
Т = Tf, г = гf. Считая углеродное ядро изотермическим с нулевой свети-
светимостью Lj = 0, выполняем интегрирование из центра с данными рс и
Тс = Tf. В точке сшивки nif получаем рассогласование пориг. Построе-
Построение модели с данными L и М сводится к поиску Tef и рс, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям сшивки по р и Т. Метод нахождения Tef и рс аналогичен
методу Шварцшильда из § 22, но вместо четырех параметров в § 22 здесь
ищется только два.
311

Рис. 72. Треки звезд промежуточной мас-
массы на АВГ из [205 ]. Для сравнения штри-
штриховыми линиями приведены треки из
[521]
В [205] начальный состав выби-
выбирался в виде хн = 0,7, хНе = 0,26,
xz = 0,04, а путь перемешивания
/ = Нр. Эволюционные треки приве-
приведены на рис. 72. Полученные модели
имеют очень разреженную, почти пол-
полностью конвективную оболочку с
большой областью инверсного гради-
Q ента плотности. Все эволюционные
' 340 \аТ треки при большой светимости по-
' ворачивают налево, причем refmin =
= 2300-2400 К. Замечательной осо-
особенностью моделей является однозначная линейная зависимость светимос-
светимости звезды от массы углеродно-кислородного ядраЛ/со, полученная в [205]
в виде
L/L& = 59100 (МСО1М& - 0,51) . C3.14)
Подставляя в C3.13) численные значения констант и учитывая C3.14),
имеем
Мс = 0,47 ■ 1020 (Мсо/М@ - 0,51) г ■ с =
= 0,71 - 10~6 (Мс О/Ме - 0,51) Ме/год. C3''5)
Масса ядра и светимость звезды экспоненциально растут со временем,
причем длительность стадии роста ядра до загорания углерода 12С со-
составляет несколько миллионов лет. Масса вещества между слоевыми
источниками на АВГ уменьшается со временем от 0,015 Me при Мсо -
= 0,6Ме до 5 ■ \0~* Me при Мсо = 1,39Л/©. Метод счета эволюции на стадии
АВГ с подавлением тепловых вспышек, основанный на пренебрежении
гравитационной энергией, рассматривался в [597].
Эволюция звезд на АВГ с использованием метода Хеньи рассчитыва-
рассчитывалась в [521, 523]. В оболочке с Тт < 106-107 К система B2.1)-B2.4)
интегрировалась снаружи до Т = Т„г при L = const и егр = 0 так же, как
в [205]. При Т = Тт к этой системе добавлялись уравнения C3.8), C3.9).
При этом егр Ф 0 бралось из C3.10), в отличие от [205]. В этом, более
полном виде система интегрировалась дальше до точки сшивки в ядре
при т = irif. Величина Мс здесь не является однозначной функцией L,
как в C3.13), а находится в результате сшивки с ядром, которое не
считается изотермичным. Температура ядра в точке сшивки также на-
находится при этой процедуре. Результаты интегрирования оболочек счи-
считались граничными условиями при определении структуры ядра мето-
методом Хеньи (§ 22). В связи с большой светимостью звезд на АВГ, в [523]
вводилось еще одно упрощение, связанное со слабой зависимостью па-
параметров в области Т> Тт от эффективной температуры. Результаты расче-
расчетов треков для начального состава хн =0,7, хНе = 0,27 nxz = 0,03 при / = Др
312

паны на рис 56 [521], сравни с рис. 72 [205]. Различие треков связано,
видимо, с различием в начальных составах, так как вычислительная точ-
точность в этих работах примерно одинакова. Зависимость светимости от
массы ядра определяется соотношением [521]
L/Le « 59250 (Мс /Me - 0,52). C3.16)
Она также не зависит от полной массы М и очень близка к C3.14) из
[205] - Для звезд промежуточной массы М > 2,25 Л/© выделение гра-
гравитационной энергии становится существенным и светимость между
вспышками определяется соотношением [423] (МвМ0)
lg) = 6,34 ■ 104 (Мс - 0,44) (Л//7H-19, C3.17)
где учитывается слабая зависимость от полной массы М. Усредненное
изменение радиуса звезды на АВГ определяется аппроксимационной
формулой [420]
175\°'3IlS
)
Г ОприЛ/< 1,175 C3.18)
где S ={
I 1приЛ/> 1,175
г) Тепловые вспышки в гелиевом слоевом источнике (ТВ). Последо-
Последовательный расчет эволюции звезды с М - 1 Л/© без упрощающих усло-
условий предыдущего раздела привел [570] к открытию тепловой неустой-
неустойчивости гелиевого слоевого источника при отсутствии в нем вырожде-
вырождения. Наличие этой неустойчивости является общим свойством звезд на
большей части АВГ. В [570] дано подробное теоретическое объяснение
этого явления (см. также § 47). Возможность развития тепловой неустой-
неустойчивости в тонких невырожденных слоях горения была предсказана Гу-
ревичем и Либединским еще в 1947 г. ((см. [95]).
Подробное исследование 13 ТВ при расчете эволюции звезды в 1 Me
на АВГ с начальным составом хи = 0,9, хНе = 0,099, xz - 0,001, крите-
критерием конвекции Леду, / = НР в оболочке и приближением адиабатиче-
адиабатической конвекции в области ядерного горения сделано в [571]. Было
последовательно построено более 25000 равновесных моделей на про-
протяжении 4 - Ю6 лет эволюции звезды. Первая вспышка произошла,
когда середина гелиевого слоевого источника находилась при тНе =
= 0,465 Me, а последняя из рассчитанных, тринадцатая— при тНе= 0,539 Me-
Соответствующие массы для середины водородного слоевого источ-
источника Мс составляли 0,55 и 0,60 Me соответственно. Число вспышек в
ходе дальнейшей эволюции может быть значительно больше.
На спокойной стадии эволюции основную роль в светимости играет
горение водорода в силу его большей калорийности. Во время вспышек
выделение энергии за счет горения гелия может превысить водородное
более чем на пять порядков. Основные характеристики тепловых вспы-
вспышек из [571] таковы. Центральные температуры на спокойных стадиях
Равнялись A^2 ^ 2,14) ■ 108 К, а в максимумах вспышек A,84 +
' 2,04) - Ю8 К; соответственно, центральные плотности равнялись
D,35 -г 7,08) - Ю5 г - см и D,11 -г 6,64) ■ 10s г ■ см, т.е. в процес-
313

6-
e
51 56 60 64 68 72 t,1Ot2C
1
L 1
»
1 —
1
2
73,1 73,2 73,3 73,< t,tO12c
Рис. 73. Скорость горения гелия Лце в зависимости от времени для первых девяти
релаксационных циклов, вызванных тепловой неустойчивостью в гелиевом слоевом
источнике звезды с М = 1Мв населения II (л:ц = 0,9, лгце = 0,099, х% = 0,001). Масса
ядра, где выгорел водород, меняется от 0,554 до 0,6 Мв при переходе от первой до
тринадцатой вспышки, из [571]
Рис. 74. Скорость горения гелия Лце- водорода Лц и поверхностная светимость звез-
звезды в процессе девятого цикла, см. рис. 73. Значком и указаны области неустойчиво-
неустойчивости из [571]
се ТП ядро немного расширяется и охлаждается. В середине гелиевого
слоевого источника температуры на спокойных стадиях равны A.26-
1,29) ■ 108 К, при вспышках A,69-2,54) ■ 108 К; соответствующие
плотности равны A.38-3,46) ■ 104 г ■ см3 и D,06-4,88) ■ 103 г ■ см.
Изменение скорости выделения энергии за счет горения гелия Z,He для
первых девяти вспышек представлено на рис. 73, а Ьце, Ьц и свети-
светимость звезды L в процессе девятой вспышки даны на рис. 74 из [571].
Каждая вспышка состоит из двух—трех пиков, время между кото-
которыми меняется от 30000 лет для первой вспышки до 1000 лет для три-
тринадцатой. Длительность главного пика уменьшается пои этом от 300 лет
до одного года, ЬИе в максимуме меняется от ~ 105 до ~ 107 L& Время
между вспышками примерно равно 300000 годам. Отметим, что со време-
временем интенсивность вспышек растет, увеличивается конвекция в зоне горения
и, начиная с девятой вспышки, конвекция проникает в области, бога-
богатые водородом, приводя к существенным изменениям химического
состава в результате появления свободных нейтронов в реакции
12С(р, 7) ' 3N@+ v) ' 3С(и, п) ' 6О.
Эволюция звезд с массами М = 0,6 и 0,8 Me населения II с хн = 0,732,
лсНе = 0,266, xz= 0,001 рассчитывалась в [598] вплоть до АВГ, где под-
подробно изучено несколько ТВ. Результаты изменения L, LH и LHe каче-
качественно совпали с [571 ]. Впервые показано, что при изменении L во
время вспышки эффективная температура почти не меняется: Alg^e ~~
< 10~2, так что на ГР диаграмме звезда ходит почти вертикально (см
314

j gc 1 1 1 1 1 ' 1 1 1 ' 1—
' [. t,34-/0^ ^2J9-f0^2,79tOS\ 3J2-/06
~o3,2
2,8
1,52-10
-4,0
-2,0
0 2 4
8 10
58
3,0
&6-f0f | J,3240s^ , lZ.11-
12 Г4 16 18 20 22 t,1Osлет
Рис. 75. Светимость и болометрическая звездная величина во время тепловых вспы-
вспышек у звезды с М = 0,6.Л/е и начальным составом х\\ = 0,749, хце = 0,25, х% - 0,001.
Цифры у горизонтальных стрелок показывают время между вспышками в годах,
путь перемешивания принимался равным I = 1,5 Нр, M(,oi = —2,5 lg(L/L@) + 4,77,
из [419]
рис. 75 из [419]). ТВ возможны лишь у звезд с М > 0,52-0,53 М®, при-
причем общее число. вспышек растет с массой звезды. Эволюция звезды с
М - 0,6 М® рассчитывалась в [419]. На АВГ стадии эта звезда претерпела
всего десять вспышек, представленных на рис. 75, прежде чем сойти с
АВГ и направиться в область белых карликов (см. подробнее п. е). В
максимумах вспышек при переходе от первой к десятой масса ядра
меняется от 0,5272 до 0,5901 Me, скорость выделения энергии за счет
горения гелия LHe - от 3,3 ■ 104 до 2,9 - 107 Z,©. Светимость звезды из-
изменяется при этом гораздо слабее (см. рис 75). Временная структура
вспышек на звезде с М = 0,6 Me качественно такая же, как для 1 Me (ср.
рис. 74 и 75), однако, начиная с шестой вспышки последующие стано-
становятся однопиковыми, что, возможно, связано с малостью массы оболоч-
оболочки над Мс.
Зависимость временного интервала между вспышками Д/ тв от массы
"Ара Мс исследовалась в [529, 530]. В [530] получена следующая при-
°лиженная зависимость (для хн = 0,7, хНе = 0,27, xz = 0,03 ) :
1ВДГТВ* 3.06-4,5^- Л.
C3.19)
Жс
?Тв измеряется в годах.
315

Зависимость светимости звезды в максимуме вспышки Lm От массы
Мс ядра, полученная на основе численных расчетов, приведена в [636]
Lm /Mc \
-f- = 97000( —- - 0,52 ). C3.20)
д) Потеря массы на АВГ. Убедительным свидетельством потери веще-
вещества звездами малой и промежуточной массы МП в процессе эволюции
являются наблюдения скоплений, состоящих из звезд примерно равного
возраста. Точка поворота с главной последовательности для скопления
Плеяды соответствует М = Mt > 6М®. В то же время в этом скоплении
найдены одиночные белые карлики, которые заведомо образовались из
звезд с начальной массой М > Mt и, следовательно, потеряли в ходе эво-
эволюции большую часть своей массы [631]. Таким образом, все одиноч-
одиночные МП звезды сМ< 8Л/® превращаются в белые карлики, теряя в ходе
эволюции до 7Me- Основная потеря массы происходит на стадии, ког-
когда звезда находится на АВГ. После сброса оболочки остается ядро в
виде горячей звезды, которая нагревает улетающее вещество и делает
его наблюдаемым в виде планетарной туманности. После остывания
ядро превращается в белый карлик. Эволюционная схема красный
гигант — планетарная туманность — белый карлик была предложена
И.С. Шкловским в 1956 г. [233] на основе анализа наблюдательных данных.
Предложено несколько механизмов потери массы МП звездами, но
окончательно этот вопрос еще не решен. В [472, 536] рассматривалась
возможность сброса протяженной оболочки красного гиганта за счет
энергии ионизации водорода, выделение которой делает энергетически
выгодным улет оболочки на бесконечность. В' отсутствие динамических
расчетов подобного сброса нет возможности судить о том, насколько
важен этот механизм.
Другим механизмом может быть истечение вещества под действием
светового давления при большой непрозрачности в оболочке [356, 452,
453]. Этот механизм аналогичен рассмотренному в [45] для гигантов
(см. § 32, п. г, а также [44]). Отметим, что уравнения в [452] остаются
справедливыми, если критическая точка расположена при оптической
толще т < 1.
Наиболее вероятным в последнее время считается механизм потери
массы, связанный с колебательной неустойчивостью звезд и генерацией
ударных волн, ведущих к порционному сбросу вещества. Численные
расчеты подобного сброса проводились в [634, 200, 208, 635] на основе
уравнений одномерной нестационарной гидродинамики. Расчеты, про-
проведенные для вполне реалистических условий, показали достаточную
эффективность данного механизма. В работах [200, 208] учитывалась
дополнительная потеря, массы за счет давления на пылинки. Наблюда-
Наблюдательные аргументы в пользу эволюционной схемы Шкловского [233]
приведены в [4541.
Рассмотренные выше механизмы потери массы не включены пока, как
составная часть, в эволюционную схему расчета. Если для первых квазиста-
квазистационарных механизмов можно использовать схему, аналогичную § 32 п.г,
то для третьего механизма неясны даже принципы его самосогласованного
учета.
316

-Р-АВГ
5,0
4,0
3,5 lg7"ef.
Рис. 76. Эволюционный трек звезды, превращающейся в белый карлик, с М = 0,6 Л/0,
начиная от Р—АВГ; начальный состав - *н = 0,749, хце = 0,25, xz = 0,001. Точками
обозначены положения звезды перед очередной тепловой вспышкой, номер которой
указан. -Штриховая линия ОМ — огибающая продолжительных минимумов светимости
(dip's) при вспышках (см. рис. 75), указаны треки звезды в области минимумов
вспышек № 7, 9 и 10. Времена эволюции t,• на штриховых отметках и соответствующие
массы оболочек, богатых водородом, равны
1 123456789
Г/A0* лег) -3,0 -2,0 -1.0 -0,5 0 0,5
Мв) 3,15 2,53 1,84 1,47 1,13 0,80
1,0
0,49
1,5
0,27
1,86
0,27
Р-АВГ — ранняя асимптотическая ветвь гигантов (без вспышек), куда звезда при-
приходит после исчезновения гелия в ядре. Заштрихованы области ГП — главная после-
последовательность и ГГЯ — область горения гелия в ядре, где даны приближенные эволю-
эволюционные треки звезд с М = 3, 5, 7 М@ кхн = 0,719, лгНе = 0,28, xz = 0,001. ГВНВ - го-
горизонтальная ветвь нулевого возраста, Где начинается горение гелия в статическом яд-
Ре. Штриховая линия слева соответствует звезде постоянного радиуса R = 0,0285 Л©
(горячий белый карлик), из [419,421]
Эмпирическая зависимость М от параметров звезды получена Ла-
мерсом [460]:
= -5,23 (± 0,06) +4,60(±0,45) lg(ref /3 ■ 104К) -
-0,48(±0,ll)lg(^ef/l03)rcM-2 с,
igAT = -4,83(±0,28) + 1,42(±0,40) lg(£/(lO6£e)) -
-0,99(±0,47) lg(M/30Me) +
+ 0,61 (± 0,13) lg (Я/ЗОЯ®) Л/е/год.
•*ФУгое
C3.21)
C3.22)
соотношение проиводит Реймерс (см. [423], наблюдательные
317

данные см. в [549] ) :
. ge R®\M@
-) C3.23)
/.® g R / год ;
e) Эволюция с потерей массы: от АВГ к белому карлику. Эволю-
Эволюционный трек звезды с М = 0,6 М@ от АВГ к белому карлику представ-
представлен на рис. 76 из [419, 421]. Ввиду малой массы эволюцию удалось
просчитать точно, пройдя десять вспышек в галиевом слоевом источ-
источнике. Последняя, одиннадцатая вспышка происходит уже при движе-
движении звезды в область белого карлика при М = 0,5997 Л/©. Так как по-
положение звезды на АВГ определяется в основном мессой Мс, данный
трек, за исключением количества и некоторых особенностей вспышек,
пригоден и для описания эволюции звезды начально большей массы.
Анализ наблюдений звезд на АВГ, планетарных туманностей и их
ядер привел к представлению о двух типах потери массы на АВГ: спо-
спокойный звездный ветер, мощность которого выражается эмпириче-
эмпирическими формулами C3.22) или C3.23) и стадия быстрого сброса (сверх-
(сверхветер), которая имеет место непосредственно перед уходом звезды с
АВГ [423]. Из наблюдений получена формула (см. [423]) связываю-
связывающая массу планетарной туманности MpN с массой ее ядра (ЯПТ) MPN N:
MPN ** b A,69 - 8,09 MPNN + 11,69 MJ,NN - 4,34 M],NN) . C3.24)
Здесь b = 0,5 + 1 — эмпирический коэффициент. В процессе эволюции
звезды на АВГ со спокойной потерей массы Мс растет, а масса водо-
водородной оболочки Ме падает. Когда достигается равенство Ме = Мрц,
предполагается быстрый сброс оболочки, которая позже, после осве-
освещения ее горячей центральной звездой с массой Л/рлглг. превратится в
планетарную туманность. Если для М использовать C3.23), то с учетом
C3.24) можно найти максимальное значение М в ходе эволюции для
спокойного истечения в зависимости от начальной массы звезды М\.
Эта зависимость приведена на рис. 77 из [423]. Для масс Mt перед пи-
пиком на рис. 77 при Mt < Mw спокойное истечение кончается сверхвет-
сверхветром, который начинается при Ме = MPN из C3.24). В пике Л/,- = My/ ядро
успевает в точке быстрого сброса достичь массы Мс/, = 1,39 Л/©, при
которой начинается взрывное горение углерода. Для больших масс
Л/,- > My/ равенство Мс = M^h достигается раньше, чем равенство Ме -
= Mpff. В этом случае стадия спокойного истечения заканчивается за-
загоранием углерода, максимальная М спокойного истечения падает с
ростом М( из-за роста gR в C3.23) при том же L .
С учетом потери вещества трек на рис. 76 описывает эволюцию звез-
звезды с массой ~2 М®. При этом ~1,2 Л/© звезда теряет спокойно, а затем
по достижении Ме = MPN быстро сбрасывается ~0,2 Л/©. С учетом бы-
быстрого сброса время эволюции от его начала до появления звезды на
горизонтальной части трека может быть существенно меньше времени,
указанного на рис. 76, которое определяется скоростью выгорания во-
водорода.
Звезда с Л/,- > My/ должна заканчивать эволюцию развитием тепло-
тепловой неустойчивости и взрывным процессом (возможно сверхновой),
белые карлики получаются, в основном, при Mt < My/- В [423] приве
318

Рис. 77. Максимальная скорость "спокойной" потери массы М звездой с начальным
составом х\\ - 0,7, *не = 0,28, xz ~ 0,02 на АВГ, достигаемая перед загоранием углеро-
углерода и взрывом при Мс- Мсь Для Mf > My/ {My/ - масса, соответствующая пику) или
перед быстрым сбросом оболочки и образованием белого карлика для Л/,- < My/; M
вычислялась по формуле C3.23), а быстрый сброс оболочки происходит, когда се
масса падает до Ме = Мр^ из C3.24). Величина My/ зависит от начального состава,
неопределенностей в формулах C3.23) и C3.24) для М и МР1у, а также других факто-
факторов, указанных в § 31, из [423]
Рис. 78. Эволюционные треки моделей звезд с массами 0,6, 0,8 и 1,2 Л/@, проходящих
стадию планетарных туманностей, из [525 ]
дена зависимость массы белого карлика М* от начальной массы звезды
Mt и параметра т? из C3.23) длял:Не= 0,28, xz = 0,02
Mf** 0,53тГ0'082 + 0,15t?-°'35 (Л/у— 1). C3.25)
Значение Mw есть М{ из C3.25) при Mf = Mch = 1,39 Me и определя-
определяется, (с учетом зависимости от Ъ), формулой [423]
My/ = 1,0 + 9,33т?0'35 - 3,53т?0'27 + 0,8(Ь - 1,0).
Отсюда имеемЛ/^/Л/© = 4,7, 4,3, 8 для (т?, Ь) = A/3,1); A/3, 1/2); B,1).
Наблюдениям лучше соответствует значение Mw = 8 Me (см. п. д ), од-
однако занчение т? = 2 приводит к отсутствию гигантов при М{ < 1,15 Me,
что противоречит их наблюдениям. Подобное противоречие свидетель-
свидетельствует, видимо, о грубости формулы C3.23) с т? = const при эволюции.
Учет переменности т? или использование других, более точных и слож-
сложных формул для М должны привести к непротиворечивому значению
М„ = 8 Me.
Один из первых эволюционных расчетов от АВГ к белому карлику был
Делан в работе [552], где рассматривалась эволюция звезды постоянной
массы M^Mt =0,85Мв; хи = 0,7,хНе = 0,29, xz =0,01, / =0,7НР. Подав-
Лени р Тю ^'Н »»пе , , £, , , , г
"ие in достигалось за счет пренебрежения горением гелия в слоевом
источнике.
Ьолее реалистическое рассмотрение, в котором учитывалась предшест-
потеря массы, было сделано Пачиньским в [521, 525]. В этих рабо-
проводился расчет эволюции звезд с Мс = 0,6,0,8 и 1,2 Ме, окруженных
319

водородными оболочками с Ме = 1,2-10 3, 1,4 • 10~* и 4 ■ 10 6 Л/е q
ветственно, т.е. практически голых ядер. Расчет проводился обычным м
годом Хеньи (§ 22) без требования стационарности (п.в.) для начальног
состава хн =0,7,JcHe =0,27, xz =0,03 при / =НР. Логарифмы эффектив
ных температур начальных моделей произвольно выбирались равными
4,191,4,202 и 4,728 соответственно. На основе [536], где рассматривалась
роль энергии ионизации в сбросе оболочки, предполагалось, что начальные
массы звезд равнялись, соответственно, 0,8,1,5 и 3,0 Мв, однако зта послед-
последняя связь весьма неопределенна. Полученные в результате расчетов эволю-
эволюционные треки представлены на рис. 78 из [525]. Выбранные массы оболо-
оболочек были столь малыми, что модели сразу отправились в область белых
карликов, но по пути испытали по одной вспышке в гелиевом слоевом
источнике. Эта последняя вспышка, открытая в [521, 525], сопровождается
быстрым петлеобразным движением звезды на ГР диаграмме, особенно
заметным на треке звезды с М = 0,6Мв. Стадия расширения от левого
конца петли к правому длится несколько сот лет, а возвращение на старое
место ~ 103 лет. Наблюдаемые быстрые изменения (уменьшение Те) у
звезды FG Стрелы (Sagittae) связывались в [521,525] с проявлением этой
вспышки.
После расчетов Пачиньского, последняя вспышка на пути движения
звезды от АВГ к белым карликам исследовалась многими авторами [599,
563, 422, 565]. Пример трека приведен на рис. 79 из [422] с указанием
временного хода. Детальное изучение формы последней вспышки в зави-
зависимости от точки на эволюционном треке (фаза выброса), где начинается
быстрый сброс оболочки (сверхветер), формирующий планетарную туман-
туманность, а также от массы водородной оболочки, оставшейся после окончания
сверхветра, проведено в работах [420, 636]. Треки эти весьма разнообраз-
разнообразны, что отмечалось также в [563]. Ожидаемая случайность в распределении
по фазам выброса и оставшимся массам оболочек делает допустимыми
любые из эволюционных треков звезд во время последней вспышки,
полученных в [420,636].
Эволюционный расчет с учетом эмпирической зависимости для М, анало-
аналогичный расчетам для звезд большой массы (§ 32, п.г), впервые выполнен
в работе [387]. Было исследовано влияние на эволюцию быстрой потери
массы ~ 10 ~3 Л/о/год, начинающейся в максимуме одной из ТП. За корот-
короткое время от звезды в 1 Л/е остается ядро с массой 0,65 Мв. Это ядро в
процессе дальнейшей эволюции оставалось очень ярким (> 103 I©) в те-
течение времени, существенно превышающего времена жизни известных
планетарных туманностей. Эволюционные расчеты для более реалистичес-
реалистических законов потери массы при переходе от АВГ к белым карликам прово-
проводились в [563, 565]. Сравнение расчетов с наблюдениями ядер планетарных
туманностей проведено в [564, 566]. В работе [565] рассчитывалась эволю-
эволюция звезд с М = 0,8 и 1 Мв с начальным составом хн = 0,739, хНе = 0,240,
Xz = 0,021 от АВГ к белым карликам с учетом спокойной и быстрой ста-
стадий потери массы. Для получения остатков с массой М < 0,6 Мв начало
быстрой потери массы задавалось достаточно рано, при L = 14001® Д71"
М = 0,8 Me до наступления ТВ и при L = 4500 L о для М = 1 Мв после пятой
ТВ. На рис. 80 приведена зависимость M{Tef), принятая в расчетах, вместе
320

40-
3.0
-3
en
2,0-
1,0
1
5000^
- I'/iooool
Нгоооо t
-f\ 30000 \
\ \
\soooo
■ \
WOO ^~.
-600
<*~
-500
\
\
\
80000^e37
\
\
-620
—*^=
*s
1
1
U \
ТВ-АБГ^?
Р-АБгЛ
/ -
= Горение Не
Горение Н
Горение Н и Не
i
5,0
4,5
-n
6,0
Рис. 79. Последняя гелиевая вспышка в
звезде сЛ/= 0,6 Л/о, представленная пет-
петлей не ГР диаграмме, началу вспышки
соответствует момент времени г = -637лет.
Приведен также трек, предшествующий
вспышке, начиная с Р-АВГ (см. рис. 76).
Времена г/ на этом треке те же, что и в
подписи к рис. 76, из [422]
Рис. 80. Принимаемая в расчетах [565 ]
скорость потери массы \М\ в зависимости
от 7"ef (сплошные линии). Для сравнения
дана скорость роста ядра Мс из-за горе-
э,!> Ifl'gf ния водорода (штриховые линии)
со скоростью роста ядра Мс. При Tet < 103'7 К принималось М =
- B-^4) ■ 10~* Л/е/год, а при большей Tet использовался закон Реймерса
C3.23) с п = 1.
Результаты расчетов представлены на рис. 81. Из-за быстрой потери мас-
массы модели движутся влево на ГР диаграмме. Слабые отклонения от тепло-
теплового равновесия вызывают небольшой спад светимости (~ 20% для 0,8Л/е).
Ьыстрая потеря массы длится ~ 103 лет, после чего остаются звезды с мас-
массами 0,546 и 0,565 Мт от 0,8 и 1 Мв соответственно, т.е. практически голые
яДра, эволюционирующие в белые карлики. Из сравнения времен остыва-
остывания для двух моделей иа рис. 81 следует очень сильная зависимость от ко-
конечной массы. Увеличение массы на 0,019 М® ведет к уменьшению времени
остывания в ~ 20 раз (см. также [563, 525], рис 76,79).
Линейная связь C3.14) или C3.16) и между L и Мс непригодна для
с< 0,6 Мв, так как горение гелия здесь дает существенный вклад
в светимость: ~30% для 0,546 Л/©. Для малых ядер не выполняется
21-Г.С. Бисноватый-Коган 321

Рис. 81. Эволюционные треки звезд при движении от АВГ к белому карлику из [565]
Числа указывают возраст модели в 103 лет, начало отсчета соответствует 7" = 5000 К.
Жирные части кривых соответствуют стадиям быстрой потери массы. Указаны началь-
начальные (справа) и конечные массы звезд
5-
2 -
1 1
sot 40
■ юо\
no\
tso\
. зоо\
soo\
1
1 ■ 1 1
■ ■ill
' ' ' '
-
, , . i . . , , i i i ■
5,0
4,5
4,0
ZJ5 Ig
Рис. 82. To же, что на рис. 81 при конечной массе 0,553 Afe, где последняя гелиевая
вспышка происходит вдали от АВГ (см. рис. 79). Точке • соответствует максималь-
максимальная скорость горения гелия с £це = 6,3-10* Le. Видна также маленькая петля, соот-
соответствующая при 7ef = 5-10* К малой дополнительной гелиевой вспышке с^не *
< 1,8-103 £е,из [565]
322

также соотношение .C3.19) для AtTB. Для Мс = 0,56 Мо время между
вспышками составляет ~7 • 104 лет и увеличивается до ~105 лет при
д/ = 0,57 т 0,58 М<э. Только для больших Мс время Дгтв уменьшается
с ростом Мс по закону C3.19).
Помимо треков иа рис. 80в [565] получен также трек с последней ТВ,
паюшей петлю на ГР диаграмме, путем небольшого изменения начальных
условий. Этот трек, приведенный на рис. 82, возникает, когда результатом
действия сверхветра при эволюции звезды с М = 1 Мв является остаток
массы 0,553 Л/®.
факт появления петли на ГР диаграмме зависит от фазы между двумя
последовательными ТВ, на которой звезда начинает отходить от АВГ.
Если эта фаза соответствует моменту вскоре после очередной ТВ, то звезда
имеет запас времени до следующей ТВ, в течение которого водородная
оболочка через слоевой источник перейдет в ядро и ТВ не возникает. Если
же отход от АВГ совершается недалеко от очередной ТВ, то водородная
оболочка не успевает спокойно перейти в ядро и возникает явление послед-
последней вспышки. Вероятность появления последней вспышки для звезд,
ушедших с АВГ, оценивается в 20% в [565]. Помимо возможности интер-
интерпретации явлений, наблюдаемых в звезде FG Sge, последняя вспышка мо-
может вызвать дополнительное перемешивание из-за развития конвекции
и обогащение поверхностных слоев гелием, что наблюдается в ядрах пла-
иетарных туманностей А 30 и А 78 [422, 565,420], а также может увести
звезду в область малых Tef и вызвать сброс второй оболочки меньшей
массы в режиме сверхветра [420].
ж) О перемешивании иа АВГ и вблизи иее. В теории звездной эволюции
проблемы конвекции и вызванного ею перемешивания относятся к числу
самых трудных и неопределенных. Это связано с отсутствием надежной
теории конвекции и далеко идущими упрощениями при ее описании в эво-
эволюционных задачах. Обычно в центральных областях звезды, включая слое-
слоевые источники, используется приближение адиабатической конвекции и не
рассматриваются эффекты не только нестационарности и проникновения,
но и неадиабатичности. Обычно выводы, связанные с развитием конвек-
конвекции и перемешиванием, проверяются наблюдательно и считаются удов-
удовлетворительными при подтверждении какого-либо наблюдательного факта,
связанного в основном с химическим составом звездных атмосфер.
Излагаемые ниже результаты являются в этом смысле удовлетворитель-
удовлетворительными, однако следует иметь в виду, что теория, из которой эти результаты
получены, весьма ненадежна, а возможность объяснения тех же наблюда-
наблюдательных данных другой теоретической моделью встречается довольно часто.
Основным механизмом перемешивания, приводящим к обогащению
внешних слоев звезды тяжелыми элементами, является проникновение
конвекции из оболочки вглубь звезды. Первое перемешивание имеет место
после исчерпания водорода в центральном ядре и перехода звезды в область
красных гигантов для звезд с начальными массами Mt, равными [423]
М,<М™** = 8,95 + 69,4(*z - 0,02) - 31,3(хНе - 0,28)(Мв). C3.26)
торое перемешивание наступает после исчерпания гелия в центре при вы-
Де на АВГ для звезд с начальными масса ми Mt, равными [423]
М, >M™in = 4,59 + 82,5(xz - 0,02) - 6,88(хНе - 0,28)(Л/в). C3.27)
323

C3.28)
C3.29)
C3.30)
C3.31)
Для звезд с Mt <M.min при выходе на АВГ второе перемешивание не
происходит. Масса ядра Мс, согласно расчетам [270], до второго переме-
перемешивания равнялась (длял:Не =0,2S,xz =0,02)
МсA)= 0,2954 Mf - 0,5 ( Мс ),
а после него
МсB) = 0,0526 Mi +0,59(Л/©).
Для Mf = 5 Л/© и других химических составов
(*He;*z) = @,2;0,02);@,36;0,02);@,2; 0,001);
@,28; 0,01); @,28; 0,001); @,28; 0,02)
соответствующие массы равны (в Л/©) •
(М]1);М<2)) = @,86; 0,855); A,176; 0,900);
A,129; 0,906); A,18; 0,967); A,283; 0,930); @,977; 0,853).
Последние значения C3.30) и C3.31) получены из формул C3.28) и
C3.29). Тепловые вспышки на АВГ начинаются вскоре после второго
перемешивания. Они, в свою очередь, приводят к третьему перемешиванию.
Во время ТП в гелиевом слоевом источнике образуется конвективный
слой с массой AMCSfr и максимальной температурой Т т^х [423]:
lg AMcsh = -1,835 + 1,73 Мс - 2,67Мгс " C3.32)
rTshX = t3'1 +2,85(Л/С -0,96)] • 108 К для Мс >0,9, все Л/даны в М».
Перемешивание во время ТВ может быть связано как с проникновением
конвекции из гелиевого слоевого источника в водородную оболочку,
как после девятой вспышки в расчетах [571], так и с проникновением
вглубь конвекции из оболочки. Своеобразие данного типа перемешивания
состоит в том, что конвективная оболочка и конвективный слой горения
гелия, согласно расчетам, никогда на соприкасаются. В процессе эволюции
они попеременно заходят в один и тот же слой вещества, приводя к сущест-
существенным изменениям состава. Это видно из рис. 83 для 7Л/в из работы
Рис. 83. Конвективные области (заштрихо-
(заштрихованы) во время 15-й и 16-й вспышек на ста-
стадии АВГ в модели с М = 7 Af© и начальным
химическим составом *ц = 0,7i*He = 0,28,
xz = 0,02. Конвективный слой в области ге-
гелиевого слоевого источника имеет макси-
максимальную массу AA/csh = 1,98 • 10~3 М©,
его внешняя граница не достигает внутрен-
внутренней границы конвективной оболочки, но
конвективная обололочка проникает в об-
область, занимаемую ранее конвективным
слоем на глубину ad = 3,9-10 М@, вызы-
вызывая обогащение поверхности тяжелыми
элементами (dredge-up), AMce
= 1,13- КГ3 Мв - массовый слой, пройден-
пройденный водородным слоевым источником меж-
между вспышками, штриховая линия указывает
границу ядра, в котором отсутствует водо-
водород перед началом "dredge-up" из [418, 423]
0,9580 - ^ gSOj\
0,9571 -
57/ 57$ 575 660 662
t,109z
324

600
550^
500 х*
450
3,525 x
3,520^
3,5/5 S>
3,5/0
/960 1980 2000 2020 2040 2060 t,/Os с
Рис. 84. Временные изменения параметров звезды с М = 7 Л/® и начальным составом
Ху1 = 0,7, хне = 0,28, xz - 0,02 при эволюции на стадии АВГ между седьмой
и восьмой тепловыми вспышками (ТП-АВГ), £ц, Дце - скорости выделения энер-
энергии при горении водорода и гелия, Lst Rs - светимость и радиус звезды, 7ef - эф-
эффективная темпетура, Mxy - масса ядра, где отсутствует водород, Л/Се - масса
внутри конвективной оболочки, С-разрыв определяет массу ядра, где отсутствует
гелий, из [416, 423]
1 ~ Эволюция углродно-кислородного ядра звезды с М= ЗМв на плоскости
вы ~" ^ Р" ^аждая моДель представлена линией с номером, кружки разделяют массо-
KQe слои с 0,1 М@. Положение гелиевого слоевого источника отмечено жирным отрез-
м- Указаны также линии с постоянным отношением е„/есс> ev ~ скорость ней-
«ных потерь, tQQ — скорость выделения энергии при горении 13С для х„с= 0,5.
Перод загорается, когда линия модели пересечет линию е„ = есс. из I524]
325

НеВырож- 1 Вырожденный
денный i ваз
8 9 lg/э
Рис. 86. То же, что на рис. 85 для М = 5 Л/а , из [524]
'Недыражден-,'Вырожденный
ный газ i еаз
i
964
I I
3<56 7 8 3 Щр
Рис. 87. То же, что на рис. 85 для М = 5 Мв, из [524]
ь/рожден-,'вырожденный
й saa i еаз
5 6 7 8 9 lg/o
Рис. 88. То же, что на рис. 85 для М = 7 Л/в, из [524]
326

Г4181 гДе конвективная оболочка проникает в область, занимаемую
янее ' конвективным слоем, на глубину Ad = 3,9 • 10 "" Мв. Изменение
Р ряметров во время ТВ с перемешиванием данного типа на звезде с М =
"а7 д/в приведено на рис. 84 из [416].
Следует отметить, что количественные характеристики перемешивания
сам факт его в различные фазы эволюции сильно зависят от принитых
параметров, например пути перемешивания /, непрозрачности, скоростей
пеакций. Сильное влияние могут оказать учет неадиабатичности конвекции
в слое, нелокальность и проникновение конвекции в устойчивую область.
Имеются также расхождения при описании пересечения конвективной зо-
зоной границы с разрывом химического состава [561]. Приведенный здесь
вариант перемешивания считается удовлетворительным, так как дает
наблюдательные следствия, близкие к реальности [423].
5 -
*■""©
со
He — С+о Коллапс ядра, СН п
С+с
Начало ТВ
>t -?Aef£M&' *Ш'^*У^-0А3-М®>
АБГ
ГВ
Звезды Не — С + 0 /
с малым Xz
н—Не
,АВГ
ПТ
выброс
'Начало
ТВ
ГВЯ
-ЩО
-7,5
-5,0
ВКГ
2,5
5,0
7,5
4,6 4,4 4.Z 4,0 3,8 3,6 3,4 lg Tef
"•с. 89. Огрубленные эволюционные треки звезд с Л/,- = 1, 5. 25 Л/©. Жирные отрезки
соответствуют основным стадиям горения в ядре. Для Л/,- < 2,3 Л/е происходит ГВЯ
(гелиевая вспышка в ядре), после чего начинается спокойное горение * Не. После
выгорания * Не в ядре звезды переходит на Р-АВГ (ранняя асимптотическая ветвь ги-
гигантов). Когда ядро, свободное от 4Не достигает массы ~ 0,53 Л/© начинаются ТВ
( епловые вспышки в слоевом источнике * Не). На стадии АВГ происходит потеря
ссы, которая заканчивается быстрым сбросом остатка водородной оболочки в ви-
вида НТ (планетарной туманности). СО ядро с Mf «= 0,6 М& превращается в белый кар-
•<• Эволюция более массивных звезд с М\ < 9 Af© на стадии АВГ и дальше происхо-
ниг аналогично, Mf растет с ростом Mt и равно -1.08 Л/© при Mt = 8.8 Ме- Зна-
га м JW отмечено начало свечения планетарной туманности, когда Tef звезды дости-
СТ 3-104 к и начинается ионизация газа в ПТ, из [421]
327

з) Тепловая неустойчивость в вырожденном углеродном ядре. Если
углеродное ядро звезды на АВГ достигает массы чандрасекаровского пре.
дела ~ 1,39 М@ (см. § 40), то давление вырожденных электронов уже не в
силах поддерживать равновесие. Ядро начинает сжиматься, температура в
нем вырастает до температуры загорания углерода и ввиду вырождения
происходит тепловая вспышка, которая при определенных условиях может
выделить энергию порядка энергетики сверхновой. Момент загорания угле-
углерода определяется конкуренцией между выделением тепла в реакции
12С A2С, у) 24Mg и потерями энергии за счет изучения нейтрино, в основ-
основном, плазменных. Эволюционные изменения моделей без потери массы да
загорания 12С для масс М= 3,5, 7Л/© приведены на рис. 85—88 из [524].
Во всех моделях линия ev -€qq (cm- O^.l) и § 19 пп. в, г), которую
естественно считать начало м тепловой неустойчивости, пересекается сначала
в центре звезды, хотя для 7 Л/© периферийные области были близки от нее
(рис. 88). Структура ядер на момент начала неустойчивости у всех звезд
примерно одинакова и дана в табл. 43 из [524}.
Таблица 43
Модели углеродио-кислородньнх ядер с массой 1,4 Л/© для моделей звезд в 3,
5,7 Л7© в момент загорания углерода, из [524]
Номер зоны
мг/м&
Центр 0,0
2 0,0017
11 0,0065
18 0,0181
25 0,0489
31 0,110
36 0,208
39 0.295
42 0,408
44 0,498
46 0,598
48 0,706
50 0,818
52 0,923
54 1,014
56 1,089
57
60
63
66
72
76
81
86
94
106
1,123
L205
1,265
U3 07
1,3513
1,3620
,3705
1,3793
1,3849
1,3872
1,3903
1,3904
г/0,001 Re
0
0,097
0,152
0,216
0,306
0,414
0,531
0,617
0,717
0,792
0,876
0,968
1,070
1,175
1,277
1.376
1,424
1,566
1,702
1,831
2.032
2,105
2,179
2,285
2,393
2,460
3,4
0
1,05
1,86
0,23
0,26
0,47
0,80
1,13
1.49
1,72
2,04
2,20
2,51
2,51
2,55
2,47
2,29
1,67
0.32
-2,26
-13,72
-21,97
-32,40
-42,16
-29,35
-6,80
200
8,443
8,438
8,431
8,418
8,405
8,390
8.372
8,357
8,338
8,323
8,306
8,287
8,265
8,243
8,222
8,204
8.195
8,175
8,165
8,172
8,240
8,288
8,348
8,436
8,496
8,511
8,40
Н и Не слоевые источники
8,4
5,21D)
7,0
lgp
9,428
9,420
9,408
9,388
9.348
9,285
9,199
9,125
9,031
■ 8,953
8,863
8,759
8,638
8,507
8,377
8,247
8,182
7,987
7,792
7,597
7,269
7,140
6,999
6,777
6,517
6,327
4,95
-3,5
328

Увеличение нейтринной светимости за счет урка-оболочек (см. § 19)
жет существенно изменить характер развития неустойчивости. Согласно
^ шенной модели [349] урка-оболочки могут привести к истощению
У jUpofla в центре вырожденного ядра звезды спокойным образом.
уГв заключение главы приведем рис. 89, взятый из [421], где дана полу-
ематическая обшая картина эволюции звезд различной массы от главной
Соследовательности до образования белого карлика, или взрыва сверх-
сверхновой.
ГЛАВА 10
КОЛЛАПС И СВЕРХНОВЫЕ
Взрывы сверхновых являются самыми грандиозными событиями в
мире звезд. Время выделения основной доли энергии (< 1 с) очень мало
ие только по меркам звездной, но и человеческой жизни, а количество
ее на порядок и более превышает энергию, излученную звездой за все время
ее существования, достигающего ~1010 лет для звезд типа Солнца. При
образовании нейтронной звезды основная доля (> 99 %) энергии вылетает
в виде труднонаблюдаемых нейтрино.
Вспышкой сверхновой заканчивают существование большинство мас-
массивных звезд с М > 8 М®. Сама вспышка является результатом либо раз-
развития тепловой неустойчивости в вырожденном ядре, либо результатом
выделения гравитационной и части ядерной энергий при коллапсе с образо-
образованием нейтронной звезды. Существенную роль в преобразовании грави-
гравитационной энергии в энергию наблюдаемой вспышки может играть враще-
вращение и магнитное поле. Небольшая часть звезд (наиболее массивные) види-
видимо заканчивает свое существование коллапсом с образованием черной
дыры. В этом случае коллапс может быть "беззвучным" и не сопровождать-
сопровождаться вспышкой сверхновой.
Исследованию сверхновых, как наблюдательному, так и теоретическо-
теоретическому, посвящена огромная литература, охватить которую здесь не пред-
представляется возможным. Наблюдения различают сверхновые I типа (CHI),
в спектре которых не видно водорода, а имеются многочисленные линии
поглощения различных тяжелых элементов, и сверхновые II типа (СНН),
в которых много водорода и химический состав близок к нормальному.
Установлено также, что СНН являются результатом эволюции массивных
звезд, а прародителями CHI были звезды менее массивные, многие вспыш-
л *-ш, возможно, происходят в двойных системах. Считается, хотя и не
р "олной достоверностью, что пульсары рождаются в результате вспышек
"> a CHI сопровождается полным разлетом звезды. Такое положение
гн°ЛЯеТ ДОПУСТИТЬ> чт0 CHI являются продуктом ядерного взрыва,
пц _ результатом гидродинамического коллапса.
аличие водорода в спектрах СНН свидетельствует о том, что взрыв
Р°изощел до потери звездой водородной оболочки. Форма кривой блеска
т ЗЬ1Вает на то, что перед взрывом эта оболочка была чрезвычайно Про-
Прониной, Ю3- Ю4/ге [116]. Наблюдения СН1987А в Большом Магелла-
329

новом Облаке, первой за более чем 300 лет видимой простым глазом
показывают возможность взрыва СНН в достаточно компактной звезде'
являюшейся голубым сверхгигантом. Кривая блеска CHI987A требует про.'
должительного выделения энергии после основного взрыва. Разнообра-
Разнообразие кривых блеска СНН существенно больше, чем у CHI [596].
Отсутствие водорода в спектрах CHI указывает на потерю звездой
водородной оболочки в процессе эволюции до взрыва и на компакт-
компактность предсверхновой звезды. Форма кривой блеска у CHI объясняется
если излучаемая энергия обеспечивается радиоактивным распадом'
liNi -* I?Со -* |бFe, причем для обеспечения энергетики свечения требует-
требуется MSiNi = 0,3 - 1,1 М з [640]. Медленное выделение энергии в течение
двух — двадцати дней обеспечивает длительную фазу максимума блеска
A0-20 дней) в компактной звездной модели [116].
Точная связь CHI и СНН с массами исходных звезд, с механизмами
взрыва и с результирующими остатками надежно не установлена. Новые
наблюдательные данные могут заставить нас изменить сложившиеся на
сегодня модельные представления. Различные аспекты проблемы сверх-
сверхновых, связанные с наблюдениями и их интерпретацией изложены в
книге [234].
Изложенный в данной главе материал в какой-то мере субъективен
и связанс научными интересами автора.
Рассмотренные в 1-й части настоящей книги физические процессы -
ядерные реакции, нейтринные процессы и т.д. — протекают при взрыве
сверхновой и при коллапсе, как и на спокойных эволюционных фазах.
Отличие теории сверхновых от теории эволюции состоит в использовании
нестационарных гидродинамических уравнений вместо уравнений гидро-
гидростатики, в продвижении в область более высоких значений температуры
и плотности, решающей роли нейтринных процессов. Несмотря на большие
усилия, теория сверхновых даже в сферически-симметричном приближе-
приближении еще далека от завершения, ввиду больших численных трудностей
и трудностей принципиального характера, связанных с нестационарной кон-
конвекцией и уравнением состояния вещества при плотностях, больше ядерной.
§ 34. Модели предсверхновых
Как уже отмечалось выше, сверхновая есть результат развития гидро-
гидродинамической или тепловой неустойчивости.
а) Звездные ядра на пороге гидродинамической устойчивости. Энерге-
Энергетический метод. Рассмотрим политропные звезды с Р = Кру. Из уравне-
уравнений равновесия B2.1) и неразрывности B2.2) получаем уравнение для
функции р (г):
[*V~2
C4.1)
dr [ ' - dr ■
Вводя безразмерные переменные в и I
Г(и +
Р = Рсе , г = а%, а = ——
7=1 + -, ^342)
и
330

пучим уравнение равновесия Лэна-Эмдена (см. [218])
Л*Л ^ C4.3)
с граничными условиями
d6
в = 1, = 0 при % = 0. C4.4)
Граница звезды соответствует % ~ %\, так что 0(£i) = 0. Масса звезды
М выражается через переменные C4.2) в виде
R £.
м = 4тг / pr2dr = 4ярса3 / 6n%2d\ =
о о
[Ги + \Ж 13/2 *•
(-^-~ РГ 2/е«^- C4-5)
4С J
Из C4.3) следует соотношение
i п d6 п d6
о а% di,
= М„. C4.6)
E =
Очевидно, что при п = 3,у = 4/3 масса звезды не зависит от рс й однознач-
однозначно определяется константой К в уравнении состояния. При 7 > 4/3 масса
звезды растет с ростом рс, а при 7 < 4/3 — падает. Если показатель политро-
политропы совпадает с показателем адиабаты у = Tad >т0 ПРИ У ^ ^/3 звезда устой-
устойчива, при 7 < 4/3 неустойчива, а случай 7 = 4/3 является граничным и соот-
соответствует безразличному равновесию.
Реальная звезда не является политропной, но на границе устойчивости
Приближенно сохраняется условие у = 4/3, если под у понимать соответ-
соответствующим образом усредненную по звезде величину показателя адиабаты.
Строгий вывод условий устойчивости проводится с помощью вариацион-
вариационного метода в гл. 13. Равенство нулю первой вариации приводит к уравне-
уравнению равновесия, а для устойчивости необходима положительность второй
вариации. В политропной изэнтропической звезде с 7 = 4/3 рс произвольно,
а распределение плотности 0(£) инвариантно относительно гомологического
сжатия или расширения. Будем считать эти свойства приближенно спра-
справедливыми и в том случае, когда 7 = 4/3 лишь в среднем. Выведем тогда
Условия равновесия и устойчивости с помощью упрощенного вариацион-
вариационного метода в предположении гомологичности и сохранении структуры
звезды при вариациях плотности [109], который обычно называется энер-
етнческим. Запишем полную энергию мгновенно статической звезды,
являющейся аналогом потенциальной энергии консервативной механи-
механической системы:
М С.тНт С2М3
C4.7)
331
е =
dm
л
0
=
г
Е(р, T)dm -
4npr2dr.
м
0
Gmdm
г
- 5
,06
G2
R2
М3
с2

Здесь первый член есть внутренняя энергия евн, второй — ньютоновская
/г„ 2Gm
гравитационная ес, а третий еОто — малая ( = —;—< 1 — папа-
\ \ г c2r yd~
метр малости/ поправка за счет общей теории относительности (ОТО)
вычисленная для распределения вещества по политропе п = 3 в [109]
(см. § 42).
Член с ньютоновской гравитационной энергией равновесной звезды
вычисляется явно для произвольного уравнения состояния [145]. Из
уравнения равновесия B2.1) следует
т mdm о R м р
eG = -Gf = 4тг / r3dP = -12тг/ Pr2dr = -3 / - dm.
О Г Рг О О р
Формальное интегрирование уравнения равновесия
1 dP dipr
- — + —Г = 0 C4.9)
р dr dr '
приводит к интегральному соотношению
ч Р GM
(и+1) - + ^с = . C4.10)
р /г
Константа справа следует из условия Р/р = 0 на границе звезды и норми-
нормировки ifiG = 0 при г = °°. Вычислим ее из другой формы записи, учтя
C4.8)-C4.10):
1 м GM2 п +1 м Р
ее ~ — Г ifi^dm = [ — dm =
2 о G 2R 2 о р
GM2 п + 1
C411)
Из C4.11) следует
5 -и R
Р
Для адиабаты с у = 7ad имеем Е = п — и из C4.8) —C4.12) для звезды
Р
в равновесии следуют равенства
_ п п GM2
евн = ~ ~ eG ~ ~ Г~ >
3 5 -п R , ,х
C4.13)
и-3
^н = ^вн + eG = ——
5 -и R
332

. _ полная энергия ньютоновской звезды. Полная энергия устойчи-
ой звезды отрицательна, поэтому для устойчивости необходимо п < 3,
у 4/3. Радиус политропной звезды с учетом C4.2), C4.5), C4.6) равен
R = aii =
/ t3 \113
-(-A-) M'/3p-i/3= '" "с ■ C4.14)
\ 4пМ„/ с 0,426
Здесь использованы значения для политропы п = 3(см. [218] и задачу к дан-
данному §)•" £i = 6,89685, Мъ = 2,01824. При этом отношение рс к средней
_/ 4я _ \
плотности р[М -■-— pR )
есть
= 54,18.
р 3 @.426K
Из C4.14) и C4.12) следует [109]
ес =- 0,639 GMsl3plJ3, C4.15)
а из C4.7) получаем
«юто =-0,918 — р2/з. C4.16)
с с
При гомологических вариациях меняется только один параметр, р1/3 или/?:
/ т\ /т\
р - рс<р ( — I, if ( — ) — неизменная функция, C4.17)
\М/ \М/
поэтому вариации энергии сводятся к обыкновенным производным.
С учетом C4.15) -C4.17) имеем из C4.7) условие равновесия, считая
энтропию при вариациях постоянной
Эе Л/,м dm
ipWT = 3Р;4/3/ Р —Г^ ~ 0,639
-1,84— р'/з = о. C4.18)
границе устойчивости обращается в нуль вторая производная от энергии
333

при 5= const:
«„ м/ 4\ dm G2M7'3
= 9p~s/3 fly )P 1 84 = 0
C4.19)
Здесь использованы термодинамические соотношения (см. § 1)
ЪЕ /ЪЕ\ Ьр .., Р
\Эр/„ Эрс
с
= 3
C4.20)
Уравнения C4.18), C4.19) получены в работе [24] и использова-
использовались для определения границы устойчивости различных звездных
моделей.
Для холодных звезд критическая масса минимальна. При малой темпе-
температуре электроны вблизи критической точки близки. к вырождению и
ультрарелятивизму. Ядра при этом можно считать невырожденными.
Температура по звезде близка к постоянной, ввиду большой теплопро-
теплопроводности вырожденных электронов (см. § 8). Такие звезды называют-
называются белыми карликами (см. § 40). Используя B.33), запишем уравнение
состояния в виде (без учета кулоновских поправок)
2тг2
л
За2 у2 Zay/'
C4.21)
тес2
а =
тес кТ
Здесь учтено давление невырожденных ядер. Для звезды, состояшей из
железа 56Fe при рс = 1,15 • 109 A,24 • 109) г • см начинается нейтрони-
зация (см. § 4, пп. а и д), ведущая к увеличению цг при А = const
(см. B.17)). С учетом последовательных электронных захватов при равно-
равновесной нейтронизации железа 56Fe приближенно получаем [79, 55]
56
Hz =—О+КУ)> у=6-10~3. C4.22)
26
Вычисляя у (= ух из A.11),получаем [24,79,55]
2 3 Za 2a2 V 2 ay
C4.23)
334

При этом изменение Hz учтенс только в первом, основном члене давления
в C4.21). Ввиду того что основной член в давлении соответствует у - 4/3,
нахождение критических параметров из уравнений C4.18), C4.19) являет-
является в данном случае асимптогически точной процедурой. Эволюционная
последовательность Т(рс) при данной массе М для излучающих сжимаю-
сжимающихся изотермических звезд находится из C4.18) с учетом C4.21), а
для нахождения критических параметров рс,Сг и Тст дополнительно ис-
используется C4.19) и C4.23). Без учета нейтронизации (v - 0) решение
этих уравнений получено в |24]. Эволюционные кривые и критическая
кривая для этого случая приведены на рис. 90. Учет нейтронизации сделан
в [79, 55]. Равновесная нейтронизация приводит к потере устойчивости
при плотности, примерно на порядок меньшей, чем ОТО, т.е. является
основной причиной потери устойчивости. В реальности скорость электрон-
электронных захватов достаточно мала, а нейтронизация протекает неравновесно
(см. § 20), с характерным временем, которое вблизи границы устойчи-
устойчивости много больше гидродинамического и которое определяет скорость
сжатия [56], (см. подробнее § 36). Неустойчивость за счет эффектов
ОТО сразу ведет к гидродинаиическому коллапсу. Для достаточно холод-
холодных звезд я2 Z/биу < 1 уравтения C4.18), C4.19) при v = 0 решаются
приближенно аналитически с точностью ~1 % [24,56]
см,
/ //3 \
Peer = 6,7-10V|fl +17~~7 )
2/3
/ 0,046 0,53 uz' \
2/3 C4.24)
5,83 / 0,046 0,53 uz' \
Критическая масса железных звезд при Т = 0 из-за ОТО A,222 Че) не-
несколько больше, чем при учеге нейтронизации A,16 Мъ) )• Из сравнения
плотности начала нейтронизащи различных ядер с C4.24) видно (табл. 44),
что углеродные и гелиевые белые карлики теряют устойчивость за счет
эффектов ОТО. Влияние ОТО на устойчивость белых карликов впервые
исследовано С.А. Капланом [121].
С ростом температуры, ввиду стабилизирующего действия нереляти-
нерелятивистских ядер, растут Мст и рс.сг- При Т - 1,4 • 1010 К имеем Мсх =
= 1,4 Ve для 56Fe в ОТО. величина рсс1 достигает максимума
~ 5,2 • 1010 г • см и уменьшается с дальнейшим ростом критической
массы (рис.90) [24].
Когда звезда становится невырожденной, будем рассматривать вместо
изотермической звезды адиабатическую, возможно из-за действия кон-
конвекции. С ростом массы критическая энтропия звезды 5СГ растет,
*^Это значение получается из C6.1) энергетическим методом при Т = 0, рс =
= 1,24 • 10* г ■ см"э. Точный расчет без кулоновских поправок в [56] приводит к
критической массе холодного белого карлика из 56Fe, равной 1,181 Мо для начала
нейтронизации при рс = 1,15 • 10' г см. При этом ядро Новой фазы имеет конеч-
конечную массу тя = 1,4 • 10  М. Увеличение массы ядра новой фазы от нуля до тя со-
сопровождается увеличением массы звезды AM = 0,15 тя (см. C9.11)).
335

V
Рис. 90. Эволюционные кривые и критические состояния на плоскости (рё,3, lg 71,,)
с эффектами ОТО без нейтронизации, из [24]; 1, 2, 3 - эволюционные кривые для
М = 1,19, 1,20 и 1,36 Мв соответственно. Штриховыми линиями 1', 2' и 3' даны
неустойчивые равновесные состояния этих звезд, 4 - кривая критических состоя-
состояний, последняя точка на ней соответствует М = 1,1 Л/®
Рис. 91. Зависимость центральной плотности в критическом состоянии от массы
звезды по [46] для М > 5 Me, и с учетом нейтронизации для малых масс
но центральная температура ГС;СГ падает. Численные расчеты критических
параметров изэнтропических звезд проведены в [46] на основе решения
уравнений C4.18), C4.19). В квадрате 105 <р < 1010 г • см, 109 <
< Т < 2 • 1010 К термодинамические функции брались из [114], где рас-
рассматривалось ядерное равновесие с учетом 56Fe, a, n, p и приближение
Цц =0 для нейтрино (см. § 3). Слева и снизу от этого квадрата термоди-
термодинамические функции рассчитывались в [46] по формулам B.9) —B.14),
B.58)-B.60), см. рис. 3-6. Приближенные параметры иззнтропических
звезд различной массы в критических состояниях приведены в табл. 45
и на рис. 91 из [46]. Полная энергия равновесной звезды, согласно C4.7),
C4.15)-C4.18) равна
м/ Р\
= f(E-3~)
о \ Р /
dm + 0,918
„2/3
C4.25)
и рассчитана в [46]. Удельные энергии связи звезд из табл. 45 в критиче-
критическом состоянии существенно меньше, чем выделение энергии при сгорании
грамма водорода (~ 6 • 1018 эрг • г), гелия (~5,8 • 1017 эрг • г^ и
углерода (~5,6 • 1017 зрг т"'),см. § 14, 15.
Критические параметры для М = 1,5 М.э по расчетам C4.18)-C4.23) не-
неплохо согласуются с соответствующими параметрами в точке начала кол-
коллапса для звезд сЛ/= 15 и 25Л/О из табл. 39. Массы железных ядер звезд
336

Таблица 44
Плотности начала иейтронизации рп различных ядер и критические плотности хо-
холодных звезд РС,ОТО за счет эффектов ОТО [ПО]
Элемент
= 6Fe > МэВ
рп, 109 г -см'
'6 Fe -»5 6 Мп
2 4 Mg -* 2 4 Na
* ° Ne -»2 ° F
i«O-ieN
«Не-'Н + п
В скобках для
3,7 C,81)
1,7
4,64
5,5
7,03
10,4
13,4
20.6
16 Fe даны значе!
1,15 A,24)
0,15
1,97
3,2
6,2
19
39
137
31
27
27
27
27
27
27
27
Fe даны значения ер и р„ при захвате на первый возбужденный
уровень конечного ядра 109 кэВ, так как захват на основной уровень сильно запре-
запрещен правилами отбора.
для этих масс в критическом состоянии равны 1,56 Мв для 15.Ч@ и 1,61 Мв
для 25Мв, (см. рис. 60, 62).
Причины потери устойчивости для железных ядер различных масс раз-
различны. При М > 1,2 Mq, нейтронизация, как причина неустойчивости, посте-
постепенно уступает место диссоциации железа, которая остается основной
причиной неустойчивости вплоть до ~500 Мв. При М = 500 -ь Ю4Л/е не-
неустойчивость вызвана рождением пар, а при М > 104 Мв главную роль
играют эффекты ОТО. Для таких сверхмассивных звезд энтропии в кри-
критическом состоянии столь велика, что основную роль в давлении играет
излучение с небольшой примесью плазмы, важной для устойчивости. Со-
Согласно [109] зависимость РсмОЮ определяется формулой
рссг = 2,4-1017— (—) г -см, ц дано в A.6). C4.26)
В имеющихся расчетах эволюции одиночных звезд с постоянной массой
[626, 633, 640] массы железных ядер на пороге устойчивости Л/Гесг не
Параметры ядер звезд в критическом состоянии
Таблица 45
м/мв
5
Ю
50
100
500
1000
рс,т -см
1,0(8)
4,2 G)
1,0G)
9,4F)
3,1 F)
6,3C)
———^—^^—
тс,к
6,7 (9)
6,4 (9)
6,0(9)
6,4 (9)
6,0(9)
1,1 (9)
■S, эрг -г -К
2,1 (8)
3,2(8)
6,8 (8)
9,9 (8)
2,1(9)
2,8(9)
6, зрг
-1,3E1)
-1,9E1)
-
-
-
-3,7E1)
е/М, эрг -с
-1,3A7)
-9,4A6)
-
-
-
-1,8A5)
2- Г.С. Бисноватый-Коган
337

превышают 2,45Ме. Ввиду имеющихся неопределенностей*), а также
необходимости учета потери массы и различных видов перемешивания
(перехлест конвекции, меридиональная циркуляция) результаты этих
расчетов не вполне надежны и не исключено, что значенияЛ/р^ сг у звезд
могут быть значительно больше.
б) Звездные ядра на пороге тепловой неустойчивости. В работе Арнетта
[255] было впервые предположено, что тепловая неустойчивость, развиваю-
развивающаяся в вырожденном углеродном ядре с массой 1,4Л/©, приведет к
взрыву сверхновой и сделан модельный расчет взрыва. Модель предсверх-
новой была получена из грубого эволюционного расчета, давшего на грани-
границе устойчивости параметры С-О ядра: Мсоте = 1,37 Л/в> рс - 1,7 • 109г -см.
Начальная температура для гидродинамических расчетов Тс - 3,5 • Ю8 К не-
ненамного превышала граничную температуру начала развития тепловой не-
неустойчивости, когда е„ = есс (см. § 33, п. з), но ввиду очень резкой за-
зависимости скорости ядерной реакции A5.1) от Г возмущение оказалось
большим, приведшим сразу к детонации и полному разлету. О дальнейших
расчетах моделей сверхновых на основе данного механизма см. § 35. Более
точный расчет эволюции в [524] привел к критическим параметрам С-О
ядра: Мшю = 1,39М&, рс = 2,68 • 109 г • см, Тс = 2,77 • 108 К (табл.43).
Особенность предсверхновых данного типа состоит в универсальности кри-
критической модели для широкого интервала масс C - 8Л/в в [524]). Толь-
Только наиболее массивные звезды из этого интервала могут взорваться как
сверхновые, так как из-за потери вещества масса С-О ядра не вырастает до
граничного значения и оно остается в виде белого карлика.
Модели на границе тепловой устойчивости, отличные от модели в табл. 43,
могут появиться при эволюции в парах. Упрощенные эволюционные
расчеты при росте С-О ядра за счет аккреции в двойных системах сделаны в
[350]. Помимо величины Мс, критическая модель существенно зависит от
формы кривой е„ = бес. которая в области больших плотностей опреде-
определяется эффектами экранирования и функцией нейтринных потерь (см.
§ 17, 19). В [593] отмечалось, что учет нейтральных токов в функции
охлаждения ([336, 496], см. § 19) мало меняет ее по сравнению с [268]
для заряженных токов. Изменение за счет различных вариантов экрани-
экранирования существенно сильнее. На рис. 92 из [593] приведены треки эво-
эволюции С-О ядер на АВГ и при аккреции в паре, согласно [350]. Приведены
критические кривые е„ - есс для экранирования по [557] и [433,434].
Как видно из рис. 92, критическая плотность растет с уменьшением Мс и
максимальна в пикноядерном пределе с pCimax = @.7 "=" 1) • 1010 г ■ см'
для Чс ^ 10~9 Л/в/год. Таким образом, для малых Мс при аккреции в
двойной системе критическая плотность может увеличиться в 3—4 раза по
* Ср. рис. 60-63, взятые из [626], н результаты последующих расчетов [633, 640]-
Более точный учет нейтринных процессов на ядрах [367-370], пересмотр скорости
реакции 12С (а, уI6О, приведший к ее увеличению в ~ 3 раза для условий в массив-
массивных звездах по сравнению с A4.41) нз [361], другие поправки изменили массы же-
железных ядер перед потерей устойчивости от 1,56 до 1,33 Л/® для 15 ЛГо и от 1,61 Д°
2,22 М@ для 25 Ме. При этом центральная энтропия уменьшилась для 15 М<$ и увеличи-
увеличилась для 25 Мо.
338

_„. 92 Эволюция вырожденных С-О ядер на
Носкости lg Гс - Ig Рс. &G ~ эволюция яд-
^ гиганта на АВГ стадии сМс = 6-10" ' Л/е/год,
ЛрЫ на эволюционных треках задают Мс
yjfo/rofl, 1 - кривые е„ = «ccs 1а - Д™
экранирования по работе [433, 434], 16 -
по работе [557], 2 - кривые ev = «сс для
пякноядерного режима, 2а - по статнческо-
26 - по приближению полной релаксации
«щетки из [557], см. A7.37), A7.38), 3 -
критические состояния для потери динами-
динамической устойчивости из-за нейтронизации
кислорода, 4 - то же из-за эффектов ОТО,
из [593]
сравнению с одиночной звездой. В [507] показано, что для малых Мс при
аккреции равенство ev = еСс может быть достигнуто впервые вне центра,
приводя к нецентральному взрыву.
В звездах с М > 8 М% загорание углерода происходит в отсутствие вы-
вырождения, но образующееся ядро из I6O, 20Ne и 24Mg оказывается полно-
полностью или частично вырожденным при М < \ЪМт [506]. Для звезд с М =
7,6 -
[
= 8 т 10Л/в образуется вырожденное I6O + 20Ne + 24Mg ядро, температура
которого недостаточна для загорания 20Ne. Когда масса ядра достигнет
1,37 Л/о, начинается нейтронизация (см. табл. 44), которая определяет
начальную скорость сжатия [56, 398]. Кислородная О + О вспышка про-
происходит на стадии сжатия, когда рс достигнет ~2 • 101 ° г • см [593, 398].
Звезды с массами 10 — 13.1/© в результате горения 12С образуют 16О +
+ 20Ne ядро с массой 1,37 - 1,5 Ма. Ввиду роста скорости плазменных
нейтринных потерь с плотностью (см. § 19), центральные области охлаж-
охлаждаются сильнее и максимум температуры достигается вне центра при мас-
массовой координате т < 0,8 Мв, уменьшающейся с ростом массы. При М -
- 13М© инверсия температуры исчезает. Инверсия приводит к нецентраль-
нецентральной неонно-кислородной вспышке*). Зона горения распространяется внутрь и
наружу и достигает центра. В результате вспышки образуется невырожден-
невырожденное ядро, эволюционирующее спокойным образом до образования в нем
элементов железного пика. Динамическое влияние вспышки существен-
существенно только для М = Ю- 11 Me, когда возможен сброс гелиевой оболоч-
оболочки. Для М = 1Шв, Мне = 2,8Ме, WONe = 1Л2Мв, МНе -массаядра,
окруженного гелиевым слоем.
Расчеты эволюции гелиевых звезд с массами Л/Не = 8,3,3,3,0,2,8,2,2 М©
приведены на рис. 93 из [508]. Исходные массы звезд составляли при
этом 25, 13, 12, 11, 9Me соответственно. Из рис. 93 видно, что звезда
с ^Не = 2,2Мв пересекает плотность нейтронизации 24Mg и 20Ne до неон-
н°й и кислородной вспышки, у звезд с МНе = ЗМв загорание 16О и 20Ne
происходит на границе сильного вырождения, что приводит к слабой
вспышке, снимающей вырождение, а при МНе - 3,3 и 8М& загорание неона
и Кислорода происходит, когда вырождение слабо.
Горение неона начинается с фотоотщепления а-частицы, которая затем захваты-
Мется. В результате неонного горения увеличивается концентрация 16 О и образуют-
образуются »«MgH 3«Si
22*
339

Рис. 93. Эволюционные кривые гелиевых звезд с Ма =8; 3.3; 3,0, 2,8 и 2,2 Ме на диа-
диаграмме (lg Tc, lgpc). Соответствующие массы указаны цифрами у треков. Массы
исходных звезд равны 25, 13, 12, 11 и 9М©, соответственно. Даны примерные линии
загорания "С, 30Ые,"Ои " Si, где скорости горения равны скорости нейтринных по-
потерь. Справа внизу отмечены плотности начала нейтронизации 34Mg и 3°Ne, а в левом
верхнем углу выделена область с 7! < 4/3 G, из A.11)) за счет рождения пар
(е+е~ ) и фотодиссоциации элементов железного пика (Fe — ph). Штрих-пунктирная
линия ф = net/kT =10 (см. B.2)) указывает область сильного вырождения (справа)
(из [5081)
Отметим, что на рис. 93 область су< 4/3 немного отличается от рис. 6 из
[46, 114]. Это связано, видимо, с различиями в выборе продуктов фото-
фотодиссоциации железа при термодинамических расчетах. •
Задача. Вычислить интегралы типа
1 м
lk M о
для политропы и = 3, получающиеся после подстановки C4.21)-C4.23)
в C4.18), C4.19).
Решение. С учетом C4.6), имеем
dm/M = 63izdyM3. B)
Подставляя B) в A) и учитывая по C4.17), C4.2), что <р( — ) = в (£)>
\М /
получим
1 t, 3/+3 k+2 _ Jpr _ Jpr
М3 о М3 Ji з
Ilk =
р = 3/ + 3, г = к + 2,
Интегралы
= 6,897
C)
D)
340

Таблица 46
Интегралы Jpr
.
г
1
2
3
4
1
4,848
14,19
52,47
222,8
2
2,132
4,327
11,67
37,94
3
1,293
2,018
4,224
10,85
4
0,9144
1,181
2,037
4,318
Р
5
0,7043
0,7881
1,170
2,127
6
0,5718
0,5709
0,7517
1,207
7
0,4809
0,4372
0,5216
0,7559
8
0,4148
0,3482
0,3823
0,5080
вычисляются после численного интегрирования уравнения C4.3)
для нахождения в(%). Результаты численного расчета интегралов даны в
таблице 46.
Дополнение. В энергетическом методе исследования устойчивости вра-
вращающихся звезд в ОТО встречаются двойные интегралы [292] типа
1 itf
т.ря ш(рч) i
0 0 0
которые для встречающихся в [292] значений равны
'з-1,12= 0,4745 731,74 = 0,4117
^3i,34 = 2,096 /4-4A2)'= 0,08089
hi, 42 = 0,6609 /5-1,12 = 0,2139
'3i,s2 = 0,5161 /71,52 = 0,09474.
§ 35. Взрывы при развитии тепловой неустойчивости
вырожденных углеродных ядер
а) Основные уравнения. В сферически-симметричном случае уравнения
динамики звезд с учетом тепловых процессов имеют вид (см. § 26, п. б)
Эг Эи . ЪР Gm дг3 3
Эг '
ЪЕ
~ + Р-
dt
= -Aw1
dm
toe.
= -2
A/р) = en-ev+evd -
e"f г _ Qi
dm
"^conv
dm
C5.1)
C5.2)
C5.3)
Здесь в уравнении энергии C5.2) е„ - скорость знерговыделения, ev -
скорость нейтринных потерь, evd — скорость нагрева из-за взаимодействия
с нейтрино, идущими из внутренних областей звезды. Последний процесс
оыл назван депозицией в первых расчетах гидродинамического коллапса
Железного ядра [331]. При учете этого нагрева, способствующего поджига-
нию ядерного топлива в расчетах теплового взрыва [325] он был назван
игнитацией. В C5.2) оставлен только конвективный тепловой поток
341

(ЭРГ ' с), так как на динамических стадиях переносом тепла
теплопроводностью обычно можно пренебречь. В уравнениях C5.3) i —
элементы, участвующие в горении; суммирование проводится по / реак-
реакциям, в которых участвуют элементы i; Q/ - выделение энергии на одну
/-ю реакцию (см. § 22, 23), at]- - число ядер /-го элемента, участвующих в
/-и реакции, atj < 0 для образующихся ядер.
Решение уравнений C5.1)-C5.3) проводилось во всех работах по
изучению тепловой вспышки, начиная с [255]. Помимо отличий в чис-
численных схемах счета, в разных работах выбирались различные начальные
центральные плотности, профили температуры, способы учета конвек-
конвективного переноса. Рассмотрим кратко результаты, классифицируя их но
режимам горения.
б) Детонация. В работе [255] предполагалось, что горение, начавшись
в центре, будет распространяться по звезде в виде детонационной волны,
удовлетворяющей условию Чепмена — Жуге, т.е. движущейся относитель-
относительно горячего газа со скоростью звука в этом газе. Последующие расчеты
(см. обзор в [593]) показали, что режим детонации является самопод-
самоподдерживающимся. Результатом взрыва звезды на границе тепловой устой-
устойчивости (ри.\ 93, 94) с детонацией является ее полный разлет. Такой ре-
результат ясен из простых энергетических оценок. Так как распределение
плотности в звезде перед взрывом близко к политропе и = 3, ввиду ос-
основного вклада давления вырожденных электронов, энергия связи 7/, ~
= 5 • 10s ° зрг много меньше гравитационной энергии звезды Jg -
= 3,1 • 10s' эрг. Энергия, выделяющаяся в результате полного выгорания
углерода до элементов железного пика с Q = 7,7 • 1017 эрг • г, есть
1„ = 2,2 • 10s' эрг для М = 1,4Ме, что много больше еь и величины ней-
нейтринных потерь 1~„ = 6 • 1049 эрг.
в) Дефлаграция. В работе [435] был исследован численно процесс раз-
развития тепловой неустойчивости в вырожденном углеродном ядре. Получе-
Получено, что детонация не устанавливается, а фронт горения распространяется с
дозвуковой скоростью в режиме дефлаграции. По мере движения наружу
фронта горения развиваются колебания, приводящие в итоге к разлету
всей звезды. В последующих расчетах той же группы [325] была учтена
нейтринная игнитация, связанная с нагревом при нейтрино-электронном
рассеянии. Расчеты были проведены для нескольких начальных цент-
центральных плотностей. Обзор этих расчетов дан в [116]. При рсо = 5,03 X
Рис. 94. Распределение плотности р, темпера-
температуры Г и энтропии S в начальной гидростати-
гидростатической модели, (Г, = Г/109К), из [66]
342

X Ю9 г • см за мелкими пульсациями следуют сильное расширение и
сильное сжатие, заканчивающееся образованием мощной ударной волны и
полным разлетом звезды. Горение углерода в самом конце происходит в
режиме детонации. Кинетическая энергия разлета Jkin = 1,8 • 10s' зрг
достаточна для объяснения энергетики сверхновых. В варианте с pcq -
= 9,22-109 г -см волна горения при выходе в оболочку также становится
детонационной, но она приводит лишь к слабому выбросу ~ 10~2 Мв с
^kin = 1>4 ' Ю49 эрг. Основная часть ~ 1,4М@ коллапсирует с образованием
нейтронной звезды. Для объяснения наблюдаемой энергетики взрывов
сверхновых с остатком в виде нейтронной звезды здесь предполагается
последующее действие магниторотационного механизма [31, 291,280, 12],
см. § 38. Центральная плотность рс0 = р£ - 9 ■ 109 г -см считается в
[325] граничной, отделяющей модели с полным разлетом и мощным
выходом энергии (рсо ^ Рс) от коллапсирующих моделей со слабым
выбросом и малым энерговыходом. Как видно из рис. 92, вариант с
Рсо > Р* может реализоваться только при малой скорости аккреции в
двойной системе, если для никноядерной реакции горения применимо
приближение полной релаксации (см. § 17).
В изложенных выше расчетах нренебрегалось конвекцией, а все дисси-
пативные процессы были связаны со схемой вязкостью из-за достаточно
грубой расчетной сетки. Расчеты с различными параметрами конвекции в
теории пути перемешивания показали большую чувствительность результа-
результатов к этому параметру (см. обзоры [593, 65]). Грубость расчетных сеток,
связанная с ограниченными возможностями даже самых мощных компью-
компьютеров, а также отсутствие строгой теории конвекции не позволяют считать
завершенной теорию термоядерных взрывов. Различные ограничения на
модели термоядерных взрывов можно получить из сравнения с наблю-
наблюдениями сверхновых I типа (CHI), с которыми связываются эти взрывы, и
на основе расчетов нуклеосинтеза в вырожденном веществе [65] ;
— "Радиоактивная" модель кривой блеска из-за распада S6Ni ->■ S6Co -*■
-*■ s6Fe требует производства большого количества S6Ni в выброшенном
веществе. Такое производство имеет место как в дефлаграционной, так
и в детонационной модели, хотя последние описывают кривую блеска не-
несколько хуже.
-Вмоделидефлаграциивнешние области звезды успевают сильно рас-
расшириться до приближения к ним фронта горения. Это приводит к тому, что
ядерное статистическое равновесие не успевает установиться и в выброшен-
выброшенном веществе оказывается много, ~ 0,3 Ме, промежуточных элементов
28Si, 32S, 36Ar, 40Са. наблюдаемых в CHI вблизи максимума блеска. Мо-
Модель детонации дала бы промежуточные элементы только в условиях пони-
пониженной плотности, например, при быстром вращении.
— Существенное расхождение с наблюдениями дает дефлаграционная
модель для изотопного состава элементов железного пика. Медленное
горение при дефлаграции приводит к тому, что с повышением температуры
успевает пройти много электронных захватов и увеличивается степень
нейтронизации - отношение Nn/Np. В выброшенном веществе отношение
S4Fe/s6Fe оказывается в 3 — 5 раз выше наблюдаемого, равного 0,061 для
Солнечной системы, отношение Ni/Fe по всем стабильным изотопам за-
завышено также в ~5 раз, а отношение s8Fe/S6Fe в варианте с рсо =
343

= 2,5 • 109 г • см получается выше солнечного в ~ 40 раз.*) Столь сильное
расхождение подвергает сомнению модель дефлаграции, которая возникает
в большинстве расчетов углеродного взрыва. Новый подход к проблеме и
возможный путь разрешения этой трудности предложен в работе [68].
г) Спонтанное горение и детонация. В отсутствие сколько-нибудь убеди-
убедительных расчетов, естественным начальным профилем температуры являет-
является адиабатический, который возможен из-за действия конвекции в начале
горения углерода при Т > 3 • 108 К. Тогда распределение температуры
вблизи центра имеет вид
Т = Тс Г 1 -V j nGp2cp-c172c\2 ]. C5.4)
Здесь V2 = (Э In Т/д In/Os (см. A.12)). Разложение C5.4) следует из
уравнений B2.1), B2.2), которые дают вблизи центра
« = — Per3, Р = Рс — pi г2, C5.5)
и разложения для Т при адиабате
1 Тс
d2T , 1 Тс d2P
it.
C56)
В случае плавного изменения Т скорость горения слабо меняется с ра-
радиусом и фронт горения перемещается со скоростью, определяемой на-
начальным профилем температуры, причем, возможно, 1>ф > vs. В пределе
Т -* const скорость 1>ф -*• °f, т.е. выгорание может произойти одновремен-
одновременно во всей области. При 1>ф > vs режим распространения фронта горения
называется спонтанным [106]. Возможность реализации этого режима
при углеродных вспышках отмечена в работе [68], где рассмотрена
модель с рс0 - 3 • 109 г -см, состоящая из равного количества 12С и 16О.
Время тв (см. A3.6)) выгорания 12С при 0,6 < Т9 < 0,9 определяется
формулой (см. A5.1))
тв = 10-37^2Ос. C5.7)
Вычисляя коэффициент в C5.4), имеем
Т = 7^A - 2,0 • 10~16г2). C5.8)
Скорость фронта спонтанного горения определяется формулой
) = 1,2-Ю17О'-1A-2,0-10-1вг2J1см-с-1. C5.9)
При
10s
г > rs = — см, C5.10)
Тв
где тв = 10, 1, 0,1 с для Тс9 = 0,63,0,71 и 0,80 соответственно, скорость Dsp
становится меньше скорости звука vs и режим спонтанного горения прекра-
прекращается. Все оценки выше сделаны при постоянной плотности. Как показали
численные расчеты распространения волны горения, проведенные в [68]
) Заметим, что 56Ге, в основном образуется при распаде s'Ni ->s'Co ->S6Fe, так
что GV/2)s6Ni = 1 < (./V/ZM4Fe = 14/13; стабильные изотопы Ni имеют А = 58, 60,
61, 62 и 64.
344

Методом характеристик, после режима спонтанного горения происходит
формирование ударной волны и выход на режим детонации. При выходе
детонационного фронта в области с достаточно низкой плотностью проис-
происходит уширеиие фронта горения, возможен срыв детонации и переход к
Дефлаграционному режиму. В [68] отмечено, что многочисленные расчеты
теплового взрыва, связанные с методом искусственной вязкости являются
слишком грубыми и не способны разрешить картину гидродинамического
течения при углеродном взрыве. Появление детонации или дефпаграции в
подобных расчетахотражает свойства численной схемы и может не совпадать
с реальностью. Дальнейший прогресс в этой области возможен, по-видимому,
после перехода к другим численным схемам типа метода характеристик,
где не производится искусственная размазка ударного фронта.
§ 36. Коллапс звездных ядер малой массы
В звездах с начальной массой 8^- 10 М@ после спокойного горения 12С
образуется вырожденное О + Ne + Mg ядро, которое теряет устойчивость
из-за нейтронизации 2 4 Mg и 2 ° Ne. Расчеты показали, что роль ядерного
горючего состоит в некотором замедлении сжатия, по сравнению с коллап-
коллапсом железного ядра, но какого-либо выброса не происходит [508].
Нейтронизация может стать причиной начала коллапса аккрецирующего
железного белого карлика в двойной системе, когда масса его превысит
Мсп= 1,18Л/е (см. § 34).
Если одиночная звезда с начальной массой М > 10 М@ быстро потеряет
оболочку после образования железного ядра и масса остатка немного пре-
превысит Мсп, то после остывания, когда плотность рс достигнет 1,15 • 109
A,24 • 10у) г • см, начнется потеря устойчивости за счет нейтронизации
s 6 Fe. При М - Мсп < Мс„ время остывания может быть достаточно боль-
большим, что соответствует наблюдаемым взрывам сверхновых I типа в эллип-
эллиптических галактиках, где мало или совсем отсутствуют массивные звезды
[55]. Медленная аккреция в двойной системе может дать аналогичную за-
задержку момента потери устойчивости. Отметим, что тот же качественный
.вывод останется справедливым для остывающего или аккрецирующего
белого карлика, состоящего из24Mg, 40Ca или какого-либо другого доста-
достаточно тяжелого элемента. Выделение энергии при образовании S6Fe после
начала коллапса будет здесь еще менее существенным, чем при коллапсе
О + Ne + Mg ядра.
Если пренебречь членами ~ Т2 и эффектами ОТО, то зависимость
М(рс, Т) после подстановки C4.21) без третьего члена в скобках в C4.18)
без последнего члена имеет вид [56]
М =
р; л р
При температуре Т и той же центральной плотности масса звезды больше
массы холодной звезды на величину AM:
09 = р/109 г-см'3.
345

Потеря устойчивости произойдет при конечном ядре новой фазы, когда
рс на малую, но конечную величину превысит плотность нейтронизации
рп [56], см. § 39, 45. Для оценки AMдостаточно подставить в C6.2) плот-
плотность начала нейтронизации из табл. 44. В сочетании с кривой остывания
белых карликов (§ 39), формула C6.2) дает зависимость т(АМ), т.е.
время задержки коллапса в зависимости от избытка массы AM*)
о (Pz/2) (М/103АМ)
т = 2,18- 108 Ш±!-1 У-~гг—^—- лет C6.3)
(ц/2) (А/12)" 12р%6
для xz=l; nz =A/Z, ц =A/(Z + 1).
Качественная картина развития неустойчивости вследствие нейтронизации
дана в [56]. 'Когда центральная плотность превысит плотность начала
нейтронизации рп, звезда оказывается неустойчивой для равновесного
состава, т.е. при условии очень большой скорости нейтронизации. В то же
время она устойчива относительно замороженного состава, т.е. в отсут-
отсутствие нейтронизации при постоянном ц2. При малом рс — рп скорость
нейтронизации (бета-процесса) мала и именно она определяет начальный
темп сжатия звезды. С ростом плотности
— растет скорость бета-процессов,
— увеличивается роль эффектов ОТО,
— происходит нагрев звезды из-за адиабатического сжатия и из-за нерав-
неравновесности бета-реакций (см. § 20), что в итоге ведет к диссоциации
железа и уменьшению у < 4/3 при замороженных бета-процессах.
Все зто приводит к гидродинамическому коллапсу со скоростью, близ-
близкой к скорости свободного падения. Расчет сжатия, обусловленного нейтро-
низацией, требует совместно с гидродинамическими уравнениями C5.1) —
C5.3) решения уравнений кинетики нейтронизации типа C.6) со скоростя-
скоростями реакций из A9.31), которые определяют скорость сжатия на этой ста-
стадии. Неравновесный нагрев приводит к существенному росту температуры
и делает невозможным "холодный" коллапс.
Расчеты коллапса маломассивных звездных ядер в приближении гомоло-
гомологического сжатия при заданном профиле плотности [26] проводились в
[19, 20]. Решение уравнений газодинамики C5.1) —C5.3) совместно с
уравнениями кинетики типа C.6) для проблемы коллапса маломассивного
железного ядра получено в [66]. В качестве начальной модели рассматри-
рассматривалась гидростатически равновесная звезда из S6 Fe с М = 1,2 М®, рс =
= 1,78 ■ 109 г ■ см~3, Тс = 108 К и распределением температуры Т =
= Тс(р/рсH'1. В уравнении состояния учитывались вырождение и реляти-
релятивизм электронов и идеальный ядерный гаэ (§ 2). Масса звезды превышает
предельную (§ 34), соответственно, начальная плотность в центре на ко-
конечную величину превышает плотность нейтронизации рп = 1,15 • 10 9 г • см ~3.
Разность рс — рп определяет начальные скорости нейтронизации и сжатия
звезды. Для сквозного счета медленных начальных и быстрых гидродина-
•) Формула C6.3) справедлива при > 6 ■ 10 , когда температура
М А
в точке потери устойчивости Тст выше 0,1 в < Тст, где 0 из D.38) - дебаевская темпе-
температура вырождения кристалла (см § 39)-
346

мических стадий в [66] был разработан подход, основанный на решении
неявным методом обыкновенных дифференциальных временных уравне-
уравнений, получающихся после разбиения звезды на лагранжевы зоны. Исполь-
Использовалась искусственная вязкость и учитывалось в полном объеме нейтрин-
нейтринное охлаждение (см. § 19), конвекцией и теплопроводностью пренебре-
галось. В качестве граничных условий принималось, что скорость и = 0 в
центре и давление Р = 0 на внешней границе. При Т< 3 ■ 109 К решались
уравнения кинетики нейтронизации для каждой из реакций цепочки
S6Fe-*S6Mn -*S6Cr-*S6V-*S6Ti. ПриГ>3 109К включался переход к
ядерному статистическому равновесию. Для плавного описания такого пе-
перехода вводилось кинетическое уравнение для величины / — весовой доли
вещества, перешедшего в статистическое равновесие. Скорость измене-
изменения / выбиралась в соответствии с реакцией (у, р) на железе, экспонен-
экспоненциально зависящей от Т. Доля A-/) по-прежнему описывалась системой
уравнений кинетики нейтронизации. При / > 0,99 осуществлялся переход
к равновесной концентрации ядер с одним кинетическим уравнением C.6).
Распределение параметров в начальной модели дано на рис. 94. На рис. 95
представлены значения температуры Т, энтропии S иц% в центре звезды
в зависимости от центральной плотности рс. Пунктиром приведены ре-
результаты расчетов с более точным учетом нейтринного излучения, вклю-
включающим захваты электронов через гигантский гамов-теллеровский резо-
резонанс по работам [367-370]. При этом возрастает эффективность неравно-
неравновесного нагрева, которая частично связана с высокой энергией возбуж-
возбуждения ядра при гамов-теллеровских переходах (см. § 18, п. д). Зависи-
Зависимость от времени рс и нейтринной светимости Jv даны на рис. 96. От начала
сжатия до рс = 10' ° г • см~3, Т - 3 ■ 109 К температура росла главным обра-
образом за счет неравновесного нагрева бета процессами (см. § 20). Как видно
из рис. 95 переход к статистическому равновесию при Т9 >3,pc«sl010 г-см~3
сопровождается сильным разогревом — тепловой вспышкой. Энергия для
pzS
I 11 I I I I I I I i I I I I
0,6
0,4
0,2
о.
m
:
с
° л
-iii
1
i
i i i _
ж
(Л>пис
1
i 1 t i
12
11
10
9
1
<:
-г
Рис. 95. Зависимости Т,, S (в единицах ), и juz из B,17) от центральной плотности
рс Сплошные пинии — без учета, пунктирные — с учетом гамов—теллеровского резо-
резонанса. В области 10 < lg pc < 10,3 приведены кривые, сглаженные по пульсациям
(из [66])
Рис. 96. Полная нейтринная светимость Л,, tot- светимость за счет бета-процессов на
нуклонах Ур>пис и рс в зависимости от времени Л Момент t = Г, = 5098 с соответствует
lgpc= 11,96'(из [66|) 347

этой вспышки накопилась во время предшествующей неитронизации, когда
ядерный состав все больше отклонялся от равновесного, аналогично холод-
холодной неитронизации, рассмотренной в § 4, п. д для образования неравно-
неравновесного слоя в оболочке нейтронной звезды.
Удельная энергия связи в результате неитронизации стала равной
8,72 МзВ • нуклон (для S6 Сг), а в статистически равновесном состоянии
при той же плотности рс = 1010 г • см имеет место £"ь =
= 8,74 МэВ • нуклон. Избыток энергии связи 0,02 МзВ • нуклон прев-
превращается в тепло при переходе к равновесию и увеличивает температуру
to
Рис. 97. Профили скорости и в зависимости
от радиуса R при lg pc = 9,96 (в), 10,00 (б).
10,07 (в), 10,18 (г), 10,52 (д), 11,96 (е),
из [66]. Реальные значения скорости умно-
умножены на величины, указанные около
кривых
-s
№
в центре Тс с 3 • 109 до 4,7 • 109 К. Распределение скорости по радиусу
для различных значений центральной плотности приведено на рис. 97. Теп-
Тепловая вспышка порождает звуковую волну (кривая (б) на рис. 97), кото-
которая переходит в почти гомологическое колебание звезды в целом. После
нескольких десятков колебаний они прекращаются при рс «2 • 10' ° г • см
из-за демпфирования потоком нейтринного излучения. При рс >
'2 3
10
'2
коллапс становится негомологическим, а центральная часть
звезды непрозрачной относительно излучения нейтрино. Дальнейшие рас-
расчеты в [66] велись в адиабатическом приближении и привели к формиро-
формированию гомологического ядра с массой 1,1 Ms, от которого происходит
отражение ударной волны — отскок (bounce). Корректный учет нейтрин-
нейтринных процессов может существенно уменьшить мощность отраженной удар-
ударной волны, как в случае коллапса более массивных звезд, рассмотрен-
рассмотренного ниже в § 37. Взрыв с энергией е = 2 • 10s' эрг в результате отскока,
получившийся в расчетах неитронизации и коллапса О + Ne + Mg ядра,
оставшегося после эволюции звезды с начальной массой 8—10 Мт [398],
требует дополнительной проверки из-за отсутствия ясности в способе учета
в этой работе нейтринного переноса.
§ 37. Гидродинамический коллапс ядер звезд
Железные ядра с массой Мре > 1,4 Ме теряют устойчивость за счет
диссоциации железа, которая сразу приводит к быстрому коллапсу. С
уменьшением массы возрастает роль неитронизации и временной интервал,
на котором сжатие идет со скоростью бета-процессов. Как отмечалось
в § 34, п. б, железное ядро образуется у звезд с начальной массой
Mj > 10 Мв, причем при Mt > 13 Ме все стадии ядерного горения проходят
спокойно. Так как эволюционные расчеты дают заметную неопределенность
348

в связи MFe(M{), можно лишь утверждать, что неустойчивость за счет
диссоциации железа теряют одиночные звезды с Mf > 13 ± 3 Ms.
Гидродинамические расчеты коллапса железных ядер впервые были сде-
сделаны в [331] и вскоре затем в [111, 254]. Решались гидродинамические
уравненияC5.1)—C5.3), в качестве начальныхусловий рассматривались мас-
массивные звездные ядра {М > 2 Л/©) на границе гидродинамической устой-
устойчивости (см. § 34, п. а). В этих работах было исследовано влияние элек-
электронных и мюонных нейтрино на коллапс, роль депозиции нейтрино, приво-
приводящей к нагреву оболочки и возможному ее выбросу, а также влияние го-
горения термоядерного' топлива 12С, 16О, сохранившегося вокруг железно-
железного ядра. В [291]- было отмечено, что отражение падающего вещества от по-
поверхности устойчивой нейтронной звезды и образование ударной волны
(bounce) также может быть важным для появления взрыва сверхновой.
Многочисленные расчеты коллапса, проведенные к настоящему време-
времени, см. обзоры [116, 633, 640, 65, 397], выявили чувствительность резуль-
результатов к уравнению состояния ядерной материи, количеству оставшегося
термоядерного горючего, возможной конвекции. Наиболее сильное и,
возможно, решающее влияние на результаты оказывают способы учета ней-
нейтрино на прозрачных и непрозрачных стадиях. Во многих работах получал-
получался сильный взрыв в двух противоположных физических предположениях:
при адиабатическом коллапсе с зависящим от плотности р показателе
адиабаты у и в приближении полностью прозрачных нейтрино. В первом
случае взрыв получался в результате отскока падающего вещества от по-
поверхности образующейся нейтронной звезды и формирования мощной
ударной волны, распространяющейся наружу. В приближении прозрачных
нейтрино их средняя энергия 30—50 МзВ оказывается достаточной для
сильной депозиции, приводящей к взрыву.
Первые расчеты, в которых нейтринные процессы были учтены само-
самосогласованно по всей звезде, сделаны Д.К. Надежиным [498, 499]. В этих
работах получено образование ядра, непрозрачного для нейтрино. В этом
ядре вместо уравнения энергии C5.2) используются уравнения B1.9) —
B1.11), в которых учитьшается энергия и давление равновесных нейтрино
и перенос лептонного заряда. Над поверхностью непрозрачного для нейтри-
нейтрино ядра (нейтриносферы) учитывалось как собственное излучение, так и
поглощение нейтрино, идущих из ядра и нагрев ими вещества (депозиция).
При этом поглощение принималось из дилютированного фермиевского
спектра нейтрино, идущих от нейтриносферы [498, 116]. В расчетах [499]
выяснилось, что основная роль нейтрино состоит в способствовании превра-
превращения кинетической энергии падения в тепло вблизи нейтриносферы и
практическим отсутствием в связи с этим отскока. Максимальная скорость
падения, полученная в [499] для коллапса ядра в 2М®, составила 37 000
км • с через 0,12 с после начала коллапса. В этот момент скорость была
в 1,5 раза меньше скорости свободного падения. Температура за фронтом
ударной волны поднималась до D-J-5) 1010 К и вещество там становилось
непрозрачным для нейтрино. Граница фронта практически совпадала с гра-
границей нейтриносферы и нейтринного ядра. Рост нейтринного ядра связан с
превращением кинетической энергии вещества в тепловую при переходе
через ■ фронт ударной волны. Масса горячего нейтринного ядра быстро
(за ~ 0,04 с) вырастает до ~ 0,8 М = 1,6 М®, а радиус до ~ 80 км. После
349

этого наступает длительная стадия аккреции оставшейся оболочки на
нейтринное ядро, которое теряет энергию и постепенно сжимается. Через
четыре секунды нейтринная звезда превращается в гидростатически равно-
равновесную горячую нейтронную звезду с R ** 12,5 км, которая продолжает
остывать. Большая часть излученной в виде нейтрино энергии ~ 5 • 10s3
эрг «0,15 Мс2 « 0,3 Л/©с2 теряется при охлаждении горячей нейтронной
звезды за время f * 20 с. Средние энергии нейтрино, возникающих при
коллапсе, составляют ~ 10 МзВ*) и их депозиция недостаточна для обра-
обращения коллапса оболочки и получения мощного взрыва. Учет термоядер-
термоядерного горения кислорода в оболочке, мюонных и тау-нейтрино, учет переда-
передачи импульса от нейтрино ядрам за счет когерентного рассеяния на нейт-
нейтральных токах (см. § 18) практически не изменили результатов. Во многих
работах, появившихся после [498, 499], механизм отскока продолжал
использоваться для получения мощного взрыва при грубом описании ней-
нейтринных процессов. В последних работах нейтрино учитываются точнее
и получение взрыва стало затруднительным.
В работах, изложенных в [633,640, 65, 397], было уточнено описание ки-
кинетики нейтронизации, нейтрино описывались с помощью уравнения перено-
переноса, учитывались эффекты неидеальности в уравнении состояния при около -
ядерных плотностях. В условиях большой концентрации нейтрино существо-
существование тяжелых ядер сохраняет вплоть до почти ядерных плотностей из-за
подавления электронных захватов. Это ведет к преобладающей роли лепто-
нов в давлении, имеющих у = 4/3, на стадии непрозрачного нейтринного
ядра. При 7 = 4/3 гомологическое сжатие, вещества с ту > 1 объясняет
то, что центральные области с tv > 1 называются гомологическим ядром.
После достижения плотности р = 2,5 • 1014 г • см ядра диссоциируют и
вклад нерелятивистских нуклонов в давление резко возрастает, приво-
приводя к 7 -*■ 4/3 и негомологичности коллапса. На внутренней границе гомо-
гомологического ядра, но глубоко под нейтриносферой возникает сильная
ударная волна, в которой удельная энтропия возрастает в 6-7 раз.
Значительная часть энергии этой волны тратится на диссоциацию тяжелых
ядер, а при выходе на границу нейтриносферы оставшаяся часть энергии
излучается в виде нейтринного импульса с Lv «* 10s4 зрг- с. В результате
при коллапсе ядра звезды сЛ/соге 5= 1,5 Мо ударная волна затухает и выб-
выброса не происходит.
Еще одна попытка получить мощный выброс при коллапсе железных
ядер была сделана в [276]. Рассматривалась стадия остывания нейтринной
звезды, светимость которой LVe= L~ «4 • 10s2 эрг -с, средняя энергия
излучаемых нейтрино ~ 5 МзВ, радиус нейтриносферы Rv ** 30 км. Масса
коллапсирующего ядра составляла 1,64 — 1,69 Мо. Малая (~0,1%) часть
нейтринного потока поглощается во внешних слоях, приводя к их сильно-
сильному разогреву. Расчеты проведенные в [276] для t = 0,1 — 0,8 с показали,
что нейтринный нагрей приводит к росту давления, образованию ударной
волны, распространение которой наружу дает выброс с энергией
~ 4 • 10s0 эрг, что не достаточно для объяснения энергетики наиболее
мощных сверхновых. Скорость падения вещества перед фронтом состав-
*) В [481а] средние энергии электронных нейтрино равнялись 14 МэВ, электронных
антинейтрино — 15 МэВ, остальных типов нейтрино (v^, Л^, vT, Ит) - 32 МэВ.
350

ляла B т 3) 109 см • с, а движения фронта наружу ~ 5 • 108 см • с
для времени t ^ 0,5 с после начала коллапса. В работе [497] сделаны рас-
расчеты при уточненном по сравнению с [276] описании нейтринного перено-
переноса и получено полное отсутствие взрыва и выброса. В этой же работе под-
подвергаются сомнению с точки зрения описания нейтринных процессов все
работы, в которых получен взрыв после коллапса. Рассмотрим некоторые
интересные физические эффекты, возникающие при гидродинамическом
коллапсе.
а) Низкоэнергичное окно для нейтрино. Ввиду того что сечение взаимо-
взаимодействия нейтрино с веществом растет с энергией (см. § 18), толща по
взаимодействию падает с уменьшением энергии нейтрино и их улет возмо-
возможен более свободно. Улет таких нейтрино облегчается и тем, что в условиях
вырождения электронов и нейтрино свободный пробег нейтрино еще более
увеличивается (§ 8). В [482] предполагалось, что открытие низкознергич-
иого окна приведет к увеличению потока энергии нейтрино из ядра и облег-
облегчению взрыва сверхновой при коллапсе.
Расчеты [455] показали, что вырождение нейтрино ослабляет только
(i>e) -рассеяние, но почти не влияет на рассеяние на нуклонах или когерент-
когерентное рассеяние на ядрах. Причина этого состоит в том, что при столкновении
нейтрино с тяжелыми ядрами и нуклонами передача энергии очень мала,
меняется лишь импульс: при столкновении с электронами передача энергии
и импульса сравнимы между собой. Как следует из интеграла столкновений
для фермионов B1.1), в случае когда обмен энергией пренебрежимо мал и
е = е , члены, характеризующие вырождение, выпадают. Отсутствие вклада
вынужденных процессов свойственно и томсоновскому рассеянию без пере-
передачи энергии фотонов (бозонов) в E.16). Рассеяние на нуклонах и ядрах
является главным источником нейтринной непрозрачности. Расчет процес-
процессов рассеяния нейтрино за счет нейтральных токов [336,455]. привел к
значению свободного пробега \ei относительно рассеяния на нуклонах и
когерентного рассеяния на ядрах
xZt xn весовые концентрации тяжелых ядер и свободных нейтронов (см.
также A8.90)). Аналогичный расчет длины пробега Хе относительно рассе-
рассеяния нейтрино на электронах привел к соотношению [455]
V2
( — )(-^— +хп)( ^—) ( ) , C7.2)
\ 2 А 12 /ЧЗОМэВ/ \ЗМэВ/
где ере — энергия Ферми электронов B.21), Т — температура в области
рассеяния, ц2 — число нуклонов на один электрон из B.17). Из C7.2)
видно, что для характерных значений \х^ = 2, х%А ^ 12, ере > 30 МзВ и
кТ < 3 МзВ соотношение Хе > \е1 справедливо при любой степени вырож-
вырождения нейтрино, а из C7.1) видно, что пробег Xei меньше радиуса
нейтриносферы Rv. Таким образом, вырождение нейтрино не влияет на
низкознергичное окно, оно открыто слабо, не ведет к заметному росту
плотности потока нейтрино и не устраняет трудностей с получением взры-
взрыва сверхновой при коллапсе.
351

б) Конвективная неустойчивость в коллапсирующих ядрах звезд. В об-
области нейтриносферы поток энергии нейтрино из ядра приводит к то-
тому, что концентрация пептонов быстро падает наружу в соответствии с
падением давления. В этих условиях развивается конвективная неустойчи-
неустойчивость [348], так как при движении элемента вещества внутрь его плот-
плотность должна быть выше плотности окружающей среды для компенсации
давления, а при движении наружу — меньше (см. § 10). Крупномасштаб-
Крупномасштабные конвективные движения в области нейтриносферы могли бы привес-
привести к выносу наружу очень горячего вещества, увеличению средней энергии
и потока улетающих нейтрино, депозиция которых привела бы к взрыву.
Анализ возможности развития такой неустойчивости был проведен в
работе [464]. Использовалось уравнение состояния для равновесного
горячего вещества большой плотности [456] с термодинамически равно-
равновесными нейтрино. Исследование конвективной неустойчивости в [464]
(см. аналогичное в § 10) позволило сделать вывод о том, что в области
нейтриносферы при dxt fdr < 0 (х, - относительная концентрация лепто-
— ) < 0, если
dx/ p
G\ С \
— )
отсутствует дестабилизирующее влияние энтропии, т.е. если энтропия не
падает с радиусом. Вычисление у/ по уравнению состояния [456] пока-
показало, что при больших Тир, где состав является чисто нуклонным, вели-
величина ji > 0 и развитие конвекции при р> 10м г • см~3 вряд ли возможно.
Рассмотрение движения ударной волны в области под нейтриносферой по-
показало, что энтропия за фронтом растет с уменьшением плотности, поэтому
конфигурация остается устойчивой относительно конвекции. В ходе даль-
дальнейшей эволюции вид профиля энтропии может измениться. Для более оп-
определенных утверждений нужны дополнительные расчеты. Лептонный гра-
градиент, устанавливающийся после прохождения ударной волны при р <
< 1012 г • см оказывает стабилизирующее влияние на конвекцию. Анализ
нейтринной конвекции при 1012 < р < 1014 г- см на основе гидродинами-
гидродинамических расчетов показал, что даже в случае ее развития степень усиления
нейтринного потока и возможности получения взрьша остаются сомнитель-
сомнительными [466].
в) Несимметричное излучение нейтрино при коллапсе звезды с сильным
магнитным полем. В сильном магнитном поле энергия электрона зависит
от ориентации его спина [ 144]:
le|h р\
В+ C7.3)
е).
2 / тес 2
Здесь п = 0,1 ... — номер уровня Ландау, сге = ± 1/2 — проекция спина
-»•
электрона на направление В. Состояние с сге = — 1/2, п = 0 имеет минималь-
минимальную энергию, поэтому электроны в сильном магнитном поле поляризова-
поляризованы. Для позитронов из-за перемены знака заряда энергетически выгоднее
состояние с сге = 1/2, п = 0. Степень поляризации электронов зависит от
параметра р, определяемого соотношениями [225, 101]:
(а) р = для невырожденного нерелятивистского газа,
(б) р = для вырожденного нерелятивистского газа, C7-т/
352

(в) р = для вырожденного релятивистского газа
b/Be
(г) р для невырожденного релятивистского
электронного газа.
ЗдесьeFe данов B.21),
еВ
сод = частота Лармора. C7.5)
тес
Степень поляризации близка к единице при р > 1. Существование сильных
магнитных полей на поверхности нейтронных звезд В = 1012 — 1013 Гс
следует из наблюдений пульсаров [153]. Во внутренних областях поля мо-
могут быть еще больше. Ввиду того, что нейтрино обладают левой спираль-
ностью (антинейтрино — правой, см. § 18) они имеют преимущественное
направление вылета, когда рождаются в реакциях с поляризованными
е*. Угловая зависимость интенсивности нейтринного излучения за счет
магнитной анизотропии определяется функцией .
1
gF) = A +acos0), C7.6)
где 6 — угол между направлением вылета нейтрино и направлением магнит-
магнитного поля. Вычисляя плотность энергии Ev и плотность потока энергии
нейтрино Fv, аналогично фотонам по формулам F.3), F.4), получим для
распределения C7.6)
FVB= эрг • см'2 -с ). C7.7)
Если суммарный направленный импульс нейтринного излучения нейтрон-
нейтронной звезды есть
Рр =/—, C7.8)
с
Qv = 0,1Мс2 — полная излученная энергия, примерно равная энергии
связи нейтронной звезды,
то нейтронная звезда приобретает скорость
ип=0,1с/. . C7.9)
Фактор асимметрии / находится путем усреднения C7.7) по поверхности
нейтриносферы. Если полоидальная часть поля нейтринной звезды имеет
форму диполя (Д):
Bz =dCcos26 - 1), B = dy/3co?6 + 1 C7.10)
и а = аВ C7.4а, б), то при Ev = const после интегрирования по нейтрино-
сфере получаем Pv = 0. Для а = ау/В из C7.4в, г) получаем
4а0 1 Зх2 - 1
/=—р-/ —у—-гц-dx *s-0fl776a0, C7.11)
3V2 о (Зх2+1I/4
FvB ~ часть нейтронного потока связанная с магнитной анизотропией.
23. Г.С. Бисноватый-Коган 353

= <*\/2d — значение а при в = О на полюсе,
« Зхг - 1
В этом случае средний нейтринный импульс направлен обратно его на-
направлению на полюсах.
Если поле внутри звезды однородно и направлено вдоль оси z (П), то
а = const и
Pv-~-Qv,T.e. f=^-}. C7.12)
Ъс 3
Основным источником непрозрачности для нейтрино rf нейтронных звез-
звездах на стадии излучения главного нейтринного импульса является урка-
процесс на нуклонах A9.30):
? Г: C7.13)
(о) п + е -»■ р + v.
Ввиду большой массы нуклоны обычно находятся в неполяризованном
состоянии. Расчет вероятности реакции C7.13) в сильном магнитном поле
с неполяризованными нуклонами сделан в [101]. Асиммметрия вылета
нейтрино возникает при захвате электронов только с нижнего уровня
Ландау (сге = — 1/2, л = 0), причем ее максимальное значение есть
1-а2
<* = GA/GV*1,25. C7.14)
, , , . GA/V,5.
1 +3а
Асимметрия имеется только за счет разных констант векторного и акси-
аксиального взаимопействия. Для малых значений В приближенно имеем
2\ р<1. C7.15)
Подставляя в C7.9) значение/ из C7.11), C7.12) и учитывая C7.15),
C7.4в, г), получим
eFe>kT C7.16)
4с В
А й~ /m»c2\2 mlc3
с ' Х eFe<kT, Вс 4,414-1013Гс,
eh
А=ЗОЗ (П); А = -5,21- 103 (Д).
Отрицательное vn соответствует скорости нейтронной звезды с направле-
направлением, противоположным магнитному полю на полюсах. Для сильно вы-
вырожденных электронов с eFe = 60тес2 (см. D.19)) имеем скорость
нейтронной звезды за счет нейтринного излучения в реакции C7- 13а)
C7.17)
-0,064(£/£с)км-с-1(Д)-
В условиях сильного вырождения электронов плотность позитронов мала
и они слабо вырождены со средней энергией ~ кТ. В этих условиях пара-
■ _Е,
*) Основной поток на нейтринноефере Fv = -
4
3S4

метр р определяется из C7.4г), а степень асимметрии антинейтрино, об-
образующихся в реакции C7-136) в (ере/кТ) 2 раз больше, чем у нейтрино
в реакции C7ЛЗа). При стационарном составе количество вылетающих
нейтрино и антинейтрино одинаково, <Г„ «* eFe, ?~ ** АгГ. Как отметил
М Б. Волошин, импульс, передаваемый нейтронной звезде от антиней-
антинейтринного импульса в ~ eFe/kT раз больше, чем от нейтринного в этих ус-
условиях и направлен в ту же сторону. При eFe = ЮкТ получаем, что ско-
скорость приобретаемая нейтронной звездой равна
М-С(П) C7.18)
km-c^VQ.
Эти скорости слишком малы для разрыва тесной пары при взрыве или для
объяснения происхождения больших скоростей радиопульсаров.
г) Нейтринные осцилляции в веществе. Неодинаковость взаимодей-
взаимодействия различных типов нейтрино с веществом приводит к изменению
возможных нейтринных осцилляции в веществе по сравнению с вакуумом
[160]. Различия связаны с тем, что электронные нейтрино взаимодейству-
взаимодействуют с веществом за счет заряженных и нейтральных токов, а ц- и т-нейтрино
практически только за счет нейтральных токов из-за больших масс мюона
и тау-лептона. Влияние среды сводится к изменению глубины колебаний
(угла перемешивания вт) и осцилляционной длины /т, причем взаимо-
взаимодействия могут привести как к подавлению (бт < в), так и к усилению
(вт > в) осцилляции, (в, I - значения для вакуума). Усиление осцилля-
осцилляции в среде может быть либо для нейтрино (тогда для антинейтрино осцил-
осцилляции ослабляются), либо для антинейтрино. В среде с переменной плот-
плотностью возможно резонансное усиление осцилляции, когда нейтрино данной
Д(/я2)
энергии перемешиваются в тонком слое при [544а]: р = ро = X
?—у-cos20 (г/см3), sin20m = sin20/^, lm = I/A, A = [cos220X
x0. - p/PoJ + sin220]1/2> / = 2,5е„/Д(/я2)(м); ширина резонанса
Др/Ро = tg20; е„ _ энергия нейтрино (МзВ), Д(ю2) - разность квадра-
квадратов нейтринных масс (ец) или (ет) (зВ2); для взаимодействий с электро-
электронами. Расчеты показали, что (уе v^ и (^"т) ~ резонансные осцилляции
на Солнце под влиянием вещества—могут существенно ослабить поток
нейтрино от него [160, 274]. Это может быть объяснением очень малых из-
измеренных потоков нейтринного ve излучения от Солнца (см. § 18).
Применение того же механизма для изучения нейтрино, излучаемых при
коллапсе, сделано в [161]. Ввиду того что знак эффекта различен при
взаимодействии с электронами и нейтронами, осцилляции в ядре и оболоч-
оболочке могут частично компенсироваться. В отсутствие осцилляции средние
энергии излучаемых ve и ve ниже, чем у v^, v^, vT, vT нейтрино, а нейтри-
Носфера их больше, так что имеет место почти равнораспределение между
всеми шестью типами нейтрино, излучаемых при коллапсе [481а]. Действие
осцилляции вне нейтриносфер может привести к существенным отклоне-
Ииям от этого равнораспределения. Осцилляциям подвержены либо нейтри-
нейтрино, либо антинейтрино, поэтому за счет механизма усиления осцилляции
Примерно половина нейтринного потока выходит наружу почти без ис-
23* 355

кажения. Так как методы регистрации i>e и ve сильно отличны, для наблю-
наблюдательных предсказаний очень важно установить, для каких частиц ve или
ve происходит усиление осцилляции в веществе. Несмотря на большую сте-
степень правдоподобия, существование вакуумных нейтринных осцилляции
окончательно не доказано, а без них отсутствуют и осцилляции в веществе.
§ 38. Магниторогациоиная модель взрыва сверхновой
Энергия вращения нейтронной звезды, образующейся в результате
коллапса, с помощью магнитного поля может быть преобразована в кине-
кинетическую энергию оболочки и привести к вспышке сверхновой и в том
случае, когда рассмотренные выше механизмы взрывов оказываются
неэффективными. Магниторотационная модель взрыва предложена в ра-
работе [31] *). Численные расчеты данной модели в цилиндрическом прибли-
приближении сделаны в [291, 12], в сферически-симметричном приближении
в [490] и в упрощенном варианте двумерной постановки в [516]. Ре-
Результаты всех расчетов качественно согласуются и приводят к превращению
~ 3% энергии вращения в кинетическую энергию выброса. При ETOt =
= 10s3 эрг имеем £"kin = 3 • 10s' зрг, что достаточно для объяснения взры-
взрыва сверхновой.
а) Механизм магниторопционного взрыва. При быстром вращении
предсверхновой в результате коллапса образуется быстрое ращающаяся
нейтронная звезда, окруженная дифференциально вращающейся оболоч-
оболочкой, в которой центробежные силы сравнимы с гравитационными. Диф-
Дифференциальное вращение в результате закручивания силовых линий приво-
приводит к линейному росту со временем магнитного поля, начальная энергия ко-
которого ем <eG. Когда поле в оболочке в ырастает до величины ем ~ес, маг-
магнитное давление выталкивает вещество наружу. Образующаяся волна сжатия
распространяется по среде со спадающей плотностью, усиливается, прев-
превращается в ударную и приводит к мощному взрыву. В процессе движения
волны сжатия и ударной волны наружу энергия ее продолжает возрастать
за счет энергии вращения, извлекаемой посредством магнитного поля.
С помощью магнитного поля внешним слоям передается также существен-
существенная часть вращательного момента системы. Качественная картина взрыва
изложена в [31, 291,280, 451]. Ранее [123] закручивание магнитных сило-
силовых линий применялось для объяснения передачи энергии от нейтронной
звезды в Крабовидную туманность и поддержки ее свечения. Отметим
работу [467], в которой сделан численный расчет коллапса вращающейся
звезды с очень сильным начальным магнитным полем ем ~ ес. Полу-
Полученная там картина взрыва в виде направленных выбросов вдоль оси
диполя отличается от магниторотационного взрыва, в котором выброс
происходит, в основном, в экваториальной плоскости. Начальные магнит-
магнитные поля в [467] значительно превышают реально наблюдаемые.
б) Основные уравнения. Уравнения магнитной гидродинамики (МГД)
с гравитацией в цилиндрических эйлеровых координатах (г, <р, z) при бес-
*) Косвенным свидетельством существенной роли магнитного поля при взрыве
сверхновой являются наблюдения радиоизлучения на сравнительно ранних стадиях
вспышки, начинающегося по прошествии примерно года после максимума блеска
[619]. Радиоизлучение наблюдалось у CHI, где предполагается рождение пульсара и
в небольшойдолеСНЦ1в которых также возможно рождение нейтронной звезды [582].
356

конечной проводимости, наличии плоскости симметрии г = 0 и аксиальной
симметрии (Э/Э<^ = 0) имеют вид [146]
ЭиГ Эиг dvr vl 1 ЪР
rr~ + vr-r~ + vz -f^ + — (izBr - irBz), C8.2)
Ы Ъг bz г с '
dvz bvz bvz 1 ЪР
+v+v=
P
dp Эр Эр Г 1 Э(гиг) Эиг 1
— +vr—- + vz — +p +—- =о, C8.4)
dt Ъг bz ir Ъг bz i
ЪВГ Ъ
= - —" {vzBr - vrBz), C8.5)
ot oz
ЪВ^ Э Э
—— = — ^Вг - vzBv) - — №,, - v^Br), C8.6)
— = - — [r(vzBr - vrBz)\, C8.7)
Э/ г Ъг
l^(rBr)+^^ = 0> C8.8)
г Ъг Ъг
;,-fi, C8.9)
4 Ъ
C8.10)
z Ъг
с Ъ
47ГГ Эг V
1 Э / Ъч>с \ ЭУ
fr )+
г Ъг\ Ъг J ,Ъг
ЪЕ
C8.12)
ЪЕ ЪЕ Р Г 1 Э(гиг) Эиг 1
>г + иг +- "-^— +—- =-Л, C8.13)
Эг Эг р I r Ъг Ъг I
, Т), Е = Е(р, Т), fv =/„(р, Г), см. гл. 1 и § 19. C8.14)
Здесь уравнения C8.1)—C8.3) — уравнения движения с магнитными
полями, C8.4) - уравнение неразрывности, C8.5)-C8.7) - уравнения
вмороженности поля (ЭЯ/Эг = rot(u"X /?)), C8.8)- уравнение бездивер-
гентности поля (divi? = 0), C8.9)-C8.11) - уравнения генерации поля
электрическими токами (без токов смещения, rot/? = —У ), C8.12) -
с
Уравнение Пуассона, C8.13) - уравнение энергии, v.{yr, vv, vz) - ско-
скорость, B{Br, Bv, Bz) — магнитная индукция,/(/г,/^,/г) — плотность тока,
с — скорость света, ipG — гравитационный потенциал.
357

Решение системы C8.1)-C8.14) ищется для звезды массы М при сле-
следующих граничных условиях
а)Р = р = Т = Вч, = О на внешней границе,
б) vr=fr=Br = O при г = О,
n)vv=jv=Bv = O при г = 0, C8.15)
Э/г dBz
г) uz = 0, или 1г = О, или Bz = О при z = О.
9z Ъг
При расчетах пренебрегается диссипативными процессами, учитывается
нейтринное излучение в /„, для расчета ударных волн используется ис-
искусственная вязкость. В [13], где использовались лаграижевы координа-
координаты, ведение искусственной вязкости состояло в замене Р в уравнениях
движения C8.1) —C8.3) и энергии C8.13) на величину
Г 1 d(rvr) dvz I
P + wl=P-vdivv=P-v\ +—- , C8.16)
l r дг bz J
v — коэффициент вязкости.
В начальный момент задаются распределения р(У),Т(?),Ъ(?), причем
последнее распределение должно удовлетворять условию отсутствия маг-
магнитных зарядов C8.8), а также приводить к конечным значениям / (/?)
по всей звезде, согласно C8.9) —C8.11). Поверхностные и линейные токи,
связанные с сингулярностями /("г), в расчетах обычно не рассматривают.
Если равенство C8.8)справедливо в начале,то оно сохранится со временем,
если для определения поля использовать только уравнения C8.5) - C8.7).
в) Цилиндрическое приближение. В одномерной постановке рассматри-
рассматривается однородный по оси z цилиндр с vz = Bz = jr = /v = 0. Это соответ-
соответствует пренебрежению движением вдоль оси z в реальной звезде. Основные
уравнения с лагранжевой независимой переменной
s = fP'r'dr C8.17)
о
запишутся в виде [291, 12]
дг дц>
Эх ч ' Ы Ы г v
Эиг v2 дР 1 Э
*- = -г (гЯ_J +g. (-38.19)
Эг г Эх 8этг Эх
Э г£г Э
— (™,р) = (»*v). C8.20)
Э
arV^r' ■'-• " - ' C821)
ЪЕ Э
P—(rvr)-fv, C8.22)
Эг Эх
2тг(М0+х) о.
g = -2G—— -. C8.23)
г
358

Здесь Мо — масса единицы длины однородно твердотельно вращающегося
ядра, приходящаяся на один радиан, g — гравитационное ускорение. В
[291. 12] использовалось приближенное уравнение состояния в виде
... 1 +1,59-1(Г3р1/3 л ,
+ аТ*/3+р61Т при р<3- 109 г-см
2,04- 10 27 +6,5.104р2 +аТ4/3+р6{Т при р>3 ■ 109 г • см3,
C8.24)
£■=
4,635-1012р2/3 . яГ4 3
+65104 ++
. 3
jR +6,5-104р + + - пТ C8.25)
1+3,18-10-3р1/3 р 2
при р< 3 • 109 г • см
1027 аТ4 3
5,19- + 2,41- 1018(р-3- 109)/р+6,5-104р + + - &Т
Р Р 2
ш
при р> 3 • 109 г • см.
Здесь приближенно учтен переход от нерелятивистских к релятивистским
электронам при сильном вырождении. После начала нейтронизации давле-
давление электронов принималось постоянным. Функция нейтринных потерь
за счет урка-процессов принималась в виде A9.35) —A9.36) с функцией
ф(р1П) = [1 +G,1 • 10p/7iJ/s] "'. C8.26)
Помимо искусственной вязкости C8.16),в [291, 12] для описания враща-
вращательных разрывов рассматривался еще один ее вид:
Э
— (v^r), C8.27)
OS
так что член 9w2/ds добавлялся к правой части уравнения C8.20), а член
Э
w2 -— Цр/r) ~ к правой части уравнения энергии C8.22).
О S
В начальный момент t = 0 принималось Т =0, а распределение плотности
задавалось в виде [12]
p(s,0)=flexp[-fc(r-^oJ]; a, fc = const. C8.28)
Здесь Ro =R@, t) — радиус ядра; М— масса оболочки на единицу длины
и один радиан. Принималось ur (s, 0) =0,Bv (s,0) =0 и использовались
граничные условия C8.15а). Задавались также константа А из C8.21)
и начальное распределение vv (s, 0) из радиального уравнения равнове-
равновесия C8.19) при dvr/dt =0:
^ГоТ э7 C8-29)
процессе счета предполагалось сохранение вращательного момента сис-
системы ядро + оболочка, которое благодаря непрерывности vv на границе
359

-40
1,0
0,6
0,2
О
-0,2-
-0,6-
-iff
-
0,1
-
T
0,4
_ -
а-Ю~г
- A
\ 1,
*л '\
<r
Рис. 98. a - распределение no безразмерному параметру s функций p, T, г, П , vra. ha
для случаев а = 0,01 (сплошная линия), функций р, vra, ha, П для a = 10 (штри-
(штриховая линия), функций p. vra, ha для а = 10~* (штрих-пунктир) на момент времени
ta = 2. Все величины нормированы к максимальным значениям, которые в безразмер-
безразмерных неременных равны р* = 1.2; Т* = 60; г* - 11.6: П* = 0,772; u*Q=6.04; \ha I* =
= 0,513. б - то же, что на а для а = Ю~* на момент времени ta = 10(р* = 2,11;
7" = 42,1; г* = 114; П* = 0,332; v*a = 15,6; |AQ|* = 0,42) (из [12]).
360

ядра записывалось в виде граничного условия
^2. — -й=0 при s=0 C8.30)
2 9s
A = rJV
г) Результаты расчетов. Решение задачи проводилось численно в области
Г>0, 0<s<M (Ro<r<R(t)). C8.31)
Ввиду отсутствия вращательных разрывов в [12] оказалось возможным
ограничиться искусственной вязкостью со, из C8.16), а коэффициент v
подбирался так, чтобы эффективная ширина размазывания ударной волны
составляла несколько интервалов массовой сетки. Основными безразмер-
безразмерными параметрами задачи являются
а ^-Y- (Vo =V2^GMo), 0 = ~ - C8.32)
4MV M
4-nMV0 M
Решение в [12] было получено для /3= 1,а= 10~2, 10, 10~8. При пере-
переходе к безразмерным величинам все переменные представлялись в^виде
F = F0F со следующими масштабными переменными Fo:
vo = Vo, ro=Ro, to=Ro/Vo, ho=A, po=M/Rl,
P0=MV20/R20, E0 = Vl, no = Vo/Ro (П = ц,1г), C8.33)
so=M, T0 = Vlll036{, fv0=V%IR0
при Ro = 106 см, 2irM0 =0,5 • 10  Ma.
С уменьшением параметра а характерные времена процессов растут
~ а -1/2 г[рИ а ->о удобно ввести безразмерные функции
ta = tct1'2, vra = vra-1l2, ha=ha1'2, fva=fv«-112, C8.34)
связи между которыми оказываются одинаковыми при всех малых а. Для
остальных функций Fa =F. Результаты численных расчетов представлены
на рис. 98-102 из [12]. На рис. 98 и 99 видно распространение медленной
(v <vA = В/у/4тт~р) ударной МГД волны по оболочке. Область резкого
пика температуры за фронтом разрыва является главным источником
нейтринного излучения (рис. 101). Из рис. 98, 101, 102 видно, что зависи-
зависимости между переменными C8.34) слабо меняются при уменьшении а.
Увеличение характерного времени ~а~1!2 сзязано с ростом числа обо-
оборотов ~ а/2 магнитных силовых линий для достижения условия ем~
~ £g» при котором начинается разлет. Из рис. 100 видно увеличение числа
оборотов с уменьшением а для того же момента ta. Рис. 102 иллюстрирует
переход энергии вращения в другие виды энергии.
Оценки, основанные на учете сферического гравитационного потенциала
реальной звезды и проведенных численных расчетов, дают для массы и энер-
энергии улетевшего вещества
М ев~ 0,035 erot, C8.35)
361

0,2 0,4 0,6 0,8/ I /.OS
9
-0,2-
г
V
v
0,2
п
ш/0
л
61
J
Г
г
у 9
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 s
Рис. 99. Распределение по безразмерному параметру s температуры 7* и угловой ско-
скорости П, нормированных к максимальным безразмерным значениям Т*~ 64.6 и О* =
= 1 на разные моменты времени для а = 0,01. Возле каждой кривой указан момент
времени ta, которому она соответствует (из [12])
Рис. 100. Форма силовых линий магнитного поля в области в вблизи ядра на момент
времени ta= 7 для а = 0,01 (штриховая линия) ии= 10~4 (сплошная линия) (из [12])
1
Рис. 101. Нейтринная светимость<7а = //тЛ как функция времени fQ, нормированная
0
к максимальному безразмерному значению q^ = 1,4 для случаев а = 0,01 (штриховая
линия) иа= 10~* (сплошная линия) (из [12] )
362

to
0,6
0,1
о
-0,2
Рис. 102. Изменение со временем ta вращательной Е^ радиальной кинетической Еу,
внутренней тепловой Ее и магнитной Ем энергий, полных потерь энергии за счет излу-
излучения нейтрино Evnjvi a = 0,01 (сплошная линия) и а= 10~4 (штриховая линия).
Все величины нормированны к максимальному значению вращательной энергии
Е * = Ю4 7 эрг/см на единицу длины цилиндра (из [12])
причем эти цифры справедливы для малых а; , для а = 10 ~2 получается
ев «*0,08 erot. Основная часть оболочки присоединяется к ядру и вращает-
вращается вместе с ним твердотельно. Угловая скорость результирующей модели
составляет ~ 0,1 VojRo, т.е. уменьшается в ~ 10 раз по сравнению с началь-
начальной. Основная доля начальной энергии вращения уносится в виде нейтрин-
нейтринного излучения, а большая часть вращательного момента уносится выбро-
t м
шенной оболочкой. Интегральный нейтринный поток Qv = fffvdsdt =
'СМ 00
= / / fvu ds dta слабо зависит от а.
о о
Интересным результатом расчетов является возможная стадия магнито-
ротационных колебаний системы ядро-оболочка, в процессе которых
угловая скорость меняет знак. В результирующем ядре угловая скорость
может иметь направление, противоположное начальному. В результате маг-
ниторотационного взрыва возможно образование молодых пульсаров,
угловая скорость которых в примерно десять раз меньше скорости предель-
предельного вращения.
После сброса оболочки остается молодой пульсар, продолжающий под-
поддерживать ускорение оболочки давлением своего излучения в виде частиц
высоких энергий или дипольного электромагнитного излучения [518,
304]. Действие магнитогидродинамического ротационного механизма сбро-
сброса оболочки и следующая за ним активность молодого пульсара, видимо,
проявлялись при взрыве и формировании кривой блеска сверхновой
СН 1987А [596]
363

ГЛАВА 11
ПОСЛЕДНИЕ СТАДИИ ЗВЕЗДНОЙ ЭВОЛЮЦИИ
На последних стадиях эволюции ядерные источники энергии исчерпаны и
звезда светит за счет остывания. При этом она сравнительно холодная
с очень большой плотностью, когда давление связано в основном с вырож-
вырождением вещества. В 1931 г. С.Чандрасекхар [322] получил фундаменталь-
фундаментальный результат о существовании предельной массы звезды, давление кото-
которой определяется вырожденными электронами (белый карлик).
При рс > 1,15-Ю9 г-см (для S6Fe, см. табл. 44 для других ядер) начи-
начинается нейтронизация и звезды становятся неустойчивыми. Только при
рс «* 1,5 -1014 г-см снова появляются устойчивые звезды (нейтронные),
которые существуют до рс ** 6-10ls г-см, когда наступает неустойчи-
неустойчивость за счет эффектов общей теории относительности (ОТО). Существова-
Существование предела массы нейтронных звезд установлено Оппенгеимероми Волко-
Волковым в 1939 г. [517], но численное значение этого предела многократно
пересчитывалось для различных уравнений состояния. Решение уравнений
равновесия для холодных звезд B2.1)-B2.2) в ньютоновской теории и
D0.3) — D0.4) в ОТО при известном уравнении состояния Р(р) позволило
получить кривую М(рс), наглядно отражающую существование двух пре-
предельных масс и области неустойчивости (падающие М(рс)). На рис. 103
дана кривая М(рс) из [267] для приведенного там уравнения состояния,
соответствующего минимуму энергии вещества (см. табл. 8).
о Рис. 103. Зависимость массы от цент-
центральной плотности для невращаюшихся
звезд нулевой температуры в состоянии
полного ядерного равновесия. Звезды
слева от максимума (Чандрасекхаров-
ского предела) при рс = 1,4-10'г/см3
есть устойчивые белые карлики, а справа
от минимума при р£ = 1,55 ■ 10'4г/см3 -
нейтронные звезды. При построении
штриховых линий используются уравне-
уравнения состояния, полученные Пандарипан-
де с учетом гиперонов (нижняя кривая)
и для чистых нейтронов (верхняя).
Нейтронные звезды за вторым макси-
максимумом неустойчивы
*,:
1 I 1 Г 1 I 1 1
1 1 -
г
/в" го
в
-,*<>
10'" 101/: 10
12
Белые карлики (до первого максимума М(рс)) образовались из звезд
с начальными массами М( < 8 М&, нейтронные звезды (между минимумом
и вторым максимумом) — из звезд с начальными массами Mt =8^ Af|jm .
где Afijm = 20— 50 М®. Если М\ >Мцт , то в результате коллапса возмож-
возможно образование черной дыры.
Эволюционные пути определяют реальные массы белых карликов и нейт-
нейтронных звезд. Из наблюдений массы одиночных белых карликов ^ 0,6 М©
[566, 148], а в двойных системах могут быть гораздо меньше (см., напри-
например, [34а]). Наблюдательные оценки массы нейтронных звезд ~ 1,4 Af.
[605].
364

§ 39. Белые карлики
а) Случай Т = 0. Когда давление обусловлено вырожденными электрона-
электронами B.22) с постоянным цг , уравнения равновесия B2.1)-B2.2) приво-
приводятся к одному уравнению [218]
1 d / , dy/y2+l \ у3
г* dr\ dr J ,, C9i)
1 /ЗтгГ13ч\1/2 7,77 ■ 108
: см,
/Зтгп3\1
( —~ )
\ cG /
2,
где .у определено в B.21), a iiz в B.17). Имеем из B.19)
m\ciizmv
р = By3. В = = 9,74 - 10s nz. C9.2)
3 7Г П
Решение уравнения C9.1) позволяет получить зависимости М(рс), R(pc)
для холодных белых карликов [218]. Для больших (у > 1) и малых
(у < 1) плотностей уравнение состояния B.22), B.23) сводится к поли-
тропным. С учетом B.31) имеем
5/3 _
15тг2п3' 5
1,0036- Ш13
,5/3
при >< < 1, C9.3)
^_4 _C 7Г2)'^3 he
12 7r2h3 4 '"—» у1/3
1,2435 1O1S
р4/л при >< > 1. C9.4)
Из C9.3), C4.2) и C4.6) получаем зависимости для нерелятивистских бе-
белых карликов
3/2 2 У'2 1/2 2,81 Мв /Рсь\п
"■••'! -^rtr) ■ C95)
где [218] М„ =2,71406 для и = 1,5 (см. C4.7)), рс6 =рс10-6 гем <
< 0,3 nz
^116 '/6 _ 2,00 ■ 10' /pzx1"
/ \ см, C9.6)
365

Таблица 47
Массы Л/ и радиусы R белых карликов, состоящих из * Не, 12С,24 Mg и " Fe. Приве-
Приведены также значения без учета кулоиовских взаимодействий и неитроинзацнн Afch и
/?Ch Для/uz = 2,56/26. Значения ШсЫ*2?), (Rch^z) одинаковы для всех nz при тех
же (pc/mz) (нз [384])
рс/смэ
3,16C)
7,08 C)
8,71C)
56 f
MZ=l6-l
RHe, см
Л/не, Л/®
/?C, см
flMg, см
/?Ch. см
1,23D)
f
MZ = 2 |
_56 (
Z 26 I
M7 = 2 <
1
= _56_ f
26 |
/?Fe> см
Л/ре, Л/©
PC/CM3
/?Ch, см
Л/ch- Л/о
ЛНе, см
Л/це, Л/©
/?С см
/?Mg, см
A/Mg, Л/©
/?ch, см
Л/ch. Л/©
/?ре, см
Л/ре, Л/©
рс/см'
/?Ch. см
Л/сь.Л/в
ЛНе, см
Л/не. Л/©
/?(;, см
ил ил
***Qt JW©
/?Mg, CM
AfMg- Л/о
/?ch, см
Л/ch- Л/о
/?Fe, см
Л/ре, Л/©
1,402(9)
7,О(-3)
1,95F)
9,702 (8)
0,512
9,521 (8)
0,499
9,382(8)
0,488
9,222(8)
0,476
9,138(8)
0,430
8,394(8)
0,380
1,95(9)
1.99(8)
1,093
1,463(9)
1,5 (-2)
3,58 F)
8,658(8)
0.622
8,519(8)
0,609
8,408(8)
0,597
8,289(8)
0,584
8,150(8)
0,525
7,579(8)
0,471
3,16(9)
1,82(8)
1,411
1,80(8)
1,381
1,79(8)
1,363
1,465(9)
1,8 (-2)
6,95 F)
7,614(8)
0,748
7,510(8)
0,734
7,426 (8)
0,722
7,336(8)
0,708
7,176(8)
0,633
6,74(8)
0,576
6,00(9)
1,52(8)
1,426
1,50(8)
1,396
1,69(8)
1,282
1,459(9)
2,4 (-2)
1,56G)
6,47(8)
0,899
6.40(8)
0,885
6,33(8)
0,872
6,26(8)-
0,857
6,10(8)
0,765
5.78(8)
0,703
7,67 (9)
1,37(8)
1,028
366

3,16D)
1,395(9)
4.6 (-2)
5,26G)
5,00(8)
1,097
4,91 (8)
1,070
4,86(8)
1,053
4,51 (8)
0,872
1,00A0)
1,32(8)
1,434
1,45(8)
1,349
1,50(8)
1,205
9,60G)
1,014
1,22E)
1,582(9)
0,164
1,518(9)
0,154
1,469(9)
0,147
1,414(9)
0,139
1,488(9)
0,136
1,233(9)
0,103
1,61(8)
3,87 (8)
1,235
3,81 (8)
1,206
3,79(8)
1,190
3,52(8)
0,991
2,45 A0)
2,44E)
1,405 (9)
0,204
1,359(9)
0,213
1,283(9)
0,196
1,322(9)
0,187
1,136(9)
0,149
6,68 (8)
2,74(8)
1,347
2,70(8)
1,318
2,69(8)
1,300
2,50(8)
1,088
2,51A0)
1,01(8)
1,444
1,18(8)
1,174
8,84G)
0,990
5,47E)
1,220(9)
0,316
1,189(9)
0,305
1,136(9)
0,286
1,148(9)
0,265
1,019(9)
0,222
1,15(9)
2,19(8)
1,112
3,61 A0)
1,06 F)
1,084 (9)
0,411
1,061 (9)
0,399
1,022 (9)
0,378
1,020(9)
0,345
9,243 (8)
0,298
1,92(9)
2,08(8)
1,396
2.06 (8)
1,366
2,05 (8)
1,348
367

где [218] £ =3,65375 для и = 1,5 (см. C4.2)). Из C9.5), C9.6) получаем
зависимость R (Af) в виде
2,82-109 /М<Д
R—^-\-m) см' C9-7)
Для ультрарелятивистских электронов с у = 4/3, и = 3 имеется только одно
значение равновесной массы из C9.4), C4.6)
ч/Ттг/псЧ3'2 1 5,83
Mch —(— ) —М3 = —Л/о, C9.8)
2 \ GI (nz™u) Hz
(М3 см. в C4.14))
которое называется Чандрасекаровским пределом и получено в [322].
Простой вьюод формулы C9.8) был сделан позже независимо Л.Д. Ландау
[141]. Радиус политропной звезды с и = 3 может быть произвольным, так
как она равновесна при любой центральной плотности (см. C4.6)).
При приближении М к Мсь и и -*3 радиус белого карлика быстро убывает
и зависит только от рс. В этом пределе
R = 5,31 - 10" P^'V'2'3 см длярс9= ■ Рс _3 > 0,3 nz. C9.9)
10 г■см
Учет кулоновского взаимодействия (см. § 4, п. ж) уменьшает давление
при той же плотности и, соответственно, уменьшит М по сравнению с [218].
В ультрарелятивистском пределе D.32) поправка .связана с поправкой к
давлению. Чандрасекаровская масса с учетом кулоновского взаимодейст-
взаимодействия A/Ch>q, согласно D.32), C4.6), C9.8) равна
Mch о = -^A - 4,56 • Ю-3 Z2'3 - 1,78 ■ 10"s Z4'3 + 1,16 ■ ШK'2 Ms.
C9.10)
При
Z = 2, 6,12, 26 имеем
Mchiq/MCh = 0,991, 0,979, 0,965, 0,940,
^Ch.q = 1.44, 1,43, 1,41, 1,18,
для "Не, I2C, 24Mg и S6Fe соответственно.
С уменьшением плотности кулоновская поправка становится более сущест-
существенной. Нейтронизация замедляет рост давления и приводит к неустойчи-
неустойчивости белого карлика, наступающей в максимуме кривой М(рс) при плот-
плотности, немного превышающей плотность нейтронизации из табл. 44
{см. рис. 103 и гл.12). Модели белых карликов с учетом кулоновских
поправок и нейтронизации рассчитаны в работе [384] с использованием
уравнения состояния D.30) - D.32) и приведены в табл. 47. Анализ устой-
устойчивости звезды с фазовым переходом (см. § 45) показывает, что потеря
устойчивости для равновесной нейтронизации происходит при конечном
368

яДре новой фазы*). Для цепочки S6Fe -»■ s6Mn -»■ S6Cr в точке потери
устойчивости имеем [56]
iZ" = 1,4 ■ lO'3, —' = 2,1 ■ lO, —— = 0,022, C9.11)
M M Pel
где Мя ~ масса ядра новой фазы, AM - увеличение массы звезды от начала
нейтронизации до потери устойчивости, Арс — соответствующее увеличение
центральной плотности. В расчетах [56] начало нейтронизации предполага-
предполагалось при Рсо = 1.15 -10* г-см (захват на основной уровень, см. § 4, пп. а
и д), а кулоновскими поправками пренебрегалось. На границе ядра новой
фазы плотность скачком возрастает в 26/24 раза и достигает рс j =
= 1,25-Ю9 г-см. Относительные величины C9.11) мало изменятся при
небольших изменениях р и М. Структура и устойчивость вращающихся бе-
белых карликов будут рассмотрены в § 44. С уменьшением массы умень-
уменьшается плотность звезды и увеличивается роль кулоновских поправок,
которые делают уравнение состояния более жестким (уменьшение и,
рост >)• Это приводит к отклонению от закона C9.7) настолько, что ра-
радиус достигает максимального значения и уменьшается при дальнейшем
уменьшении М (табл.47). В [647] равновесные состояния холодных звезд
малой массы построены с использованием более точного уравнения состоя-
состояния, допускающего большие отклонения от идеальности типа D.33).
Результаты расчетов аппроксимируются зависимостью
/ М\1/3 R / R3 Мо \5
°'424(^Г) 7~ = V ~ W 77" ф)' C912)
Wo/ Ro \ Ro М /
где
*"Ы "--С;;)'-3-»-10"'-
1/2 g
Ро1 = ~ Z-1'3 ■ 9,73 ■ Ю9 см.
А
Постоянные Ро, р0 и Ф определены в D.34). При R3M^/R%M < 1 соот-
соотношение C9.12) сводится к C9.7). Из C9.12) следует существование
максимума на кривой R(M). Значения максимальных радиусов RCT и
соответствующие им Мсг, полученные из численных расчетов, приведены
в табл. 48 из [647] для различных химических составов. Величины RCI и
Мсг, следующие из C9.12), дают погрешности ~1% для Rcr и ~25%
Для мсг. Погрешности формулы C9.12) растут с уменьшением М-
о звездах с М < Мсг вещество находится в жидком состоянии и они пред-
представляют собой настоящие планеты типа Юпитера. Соотношение R (м)
) В работе [384] устойчивые модели белых карликов с конечным ядром новой
фазы Пропущены, поэтому кривая М(рс) ошибочно имеет максимум при рс, совпа-
совпадающим с началом нейтронизации.
24- Г.С. Бисноватый-Коган 369

Таблица 48
Максимальные значения Rcr и соответствующие массы Ма для различных составов
(из [647])
Элемент
/?сг,см
Элемент
Лсг,см
н
*н
*Не
«Не
= 0,75
= 0,25
3,16(-3)
2,63(-3)
1,12(-3)
8,15(9)
6,99(9)
3,57(9)
"С
24Mg
16Fe
2,24(-3)
3,89(-3)
5,89(-3)
»
2,74(9)
2.28(9)
1,70(9)
из табл. 47 находится в хорошем согласии с наблюдаемыми значениями для
трех белых карликов в двойных системах [148].
6) Учет конечного значения Т и остывание. Приближенная теория осты-
остывания белых карликов разработана независимо С.А.Капланом [122] и
Л. Местелом [483] и изложена в [229]. Белый карлик разделяется на лу-
лучистую невырожденную оболочку и вырожденное изотермическое ядро.
Иа границе между этими областями предполагается равенство давлений
вырожденных Ра и невырожденных Р„а = крТ/nzmu электронов, что
в нерелятивистском случае с Ра из C9.3) сводится к соотношению между
Таблица 49
Параметры углеродного белого карлика с М - \Мт в процессе остывания
№
Т, ГОДЫ
LIU
Tef, К
R, см
Тс К
рс, г ■ см -3
*с
гс
вс1Тс
R i/2. см
*1/2
г1/2
в 1/2/^1 /2
Те, К
ре, г/см3
/?е,см
*е
Ге
Igd -<7)conv
q - m/M -
"e " — точка q
1
3,02F)
6,81 (-1)
5,81 D)
5,71 (8)
6.98G)
3.15G)
146,0
16,2
0,140
2,50(8)
81,31
10,9
0,0759
1.23 G)
350
5,64 (8)
-0,504
2,05
-10,7
2
9,46 F)
3,13 (-1)
4,82D)
5,65 (8)
5,31G)
3,21 G)
193,5
21,4
0,185
2,49 (8)
106,6
14,2
0,0995
1.11G)
402
5,58(8)
-0.161
2,37
-10,5
3
8,97G)
4,29 (-2)
2,96D)
5.52(8)
2,48G)
3,30G)
419,3
46,2
0,402
2,46 (8)
229,0
30,4
0,214
8,45 F)
546
5,48 (8)
0,804
3.46
-8,98
4
S
3,13(8) 8,18(8)
7,96 (-3) 1,92 (-3)
1.95D) 1,37D)
5,47 (8) 5,46 (8)
1,32G) 7,64F)
3,34G) 3,36G)
795,3 1374
87,6 151
0,764 1,32
2,45 (8) 2,45 (8)
433,6 748,7
57,3 98,9
0,404 0,698
6.24 F) 4,55 F)
689 807
5,43(8) 5.42(8)
1,95 3,354
5,04 7,32
-8,81 -8,85
доля внутренней массы, индексы "с" - центр; /2" - точка q - °-5;
= 1-10"', "conv" - внутренняя граница конвективной зоны (из [457]).
370

грани1
чными значениями р, и Т,
= 2'38
C9.13)
Решая в лучистой оболочке уравнение теплопроводности B2.4а) при
I = const
dT _ _2 "Р L
~d7 4ас Т3 Лиг2
и равновесия B2.1) при m= M - const
dP GMp
C9.14)
C9.15)
для краммерсовского закона непрозрачности из-за свободно-связанных
переходов G.18) при t/gbf = 10
к = корТ~3-5, к0 = 4,34-1024xz(] +хн)> C9.16)
получаем уравнение
dP _ 4ас 4-nGM T6-s
dT 3 K0L p
P =
kT
C9.17)
10
11
12
9,16(8)
1,63 (-3)
1,32D)
5.45 (8)
7,11F)
3,37 G)
1474
162
1,42
2,45 (8)
803,5
106
0,750
4.38F)
820
5,41 (8)
3,556
7,65
-8,86
1,29(9)
1.12 (—3)
1,20D)
5.43(8)
6,05 F)
3,37G)
1737
191
1,67
2,45 (8)
946,6
125
0,884
3,96 F)
847
5.41 (8)
4,074
8,54
8,50
2,09 (9)
6,19(-4)
1,04D)
5,42(8)
4,49F)
3,37G)
2346
257
2,25
2,44 (8)
1278
169
1,19
3,12F)
906
5,41 (8)
5,528
11,1
-7,58
3.69(9)
2.36 (-4)
8.15C)
5,41 (8)
2,59F)
3,38G)
4059
446
3,42
2,44(8)
2211
292
2,06
1.92F)
971
5,40(8)
9,557
18,4
-7,53
5.52(9)
7,53 (-5)
6,12C)
5,41(8)
1,42F)
3.38G)
7428.
815
7,13
2,44 (8)
4047
534
3,78
1,15F)
1000
5,40(8)
16,46
31,1
-8,22
8,09(9)
1,29 (-5)
3,94 C)
5,41 (8)
4,81 E)
3,38G)
21880
2400
21,0
2,44 (8)
11920
1570
10,9
4,22E)
1030
5,40 (8)
45.87
85,7
-9,11
9,10(9)
3,04 (-6)
2,75 C)
5,41 (8)
1,67E)
3,38G)
63130
6940
60,7
2,44 (8)
34390
4540
32,1
1,51E)
1040
5,40(8)
129,3
240
-9,24
24*
371

решение которого имеет вид
/8дс 4nGM цти\1/2
О = I 1 Г3'25 HQ 1R\
Р V3-8.5 K0L к ) ■ {39Л&)
Считая C9.18) справедливым на границе между ядром и оболочкой'и учи-
учитывая C9.13), получим окончательно
8тг6 Л-ncGM h3 1$
8,5-625 к0 т\тис
з„, „з ,л
= 5,75 ■ 10s !—Z эрг-с. C9.19)
В вырожденном ядре температура почти постоянна благодаря высокой теп-
теплопроводности вырожденных электронов (см. G.32), (8.41)) и равна Tt,
поэтому формула C8.19) определяет светимость белого карлика в зависи-
зависимости от температуры ядра.
Запас тепловой энергии изотермического белого карлика Qf с темпера-
температурой Т определяют в основном невырожденные ядра
3 кТ
Qr = -j ~— М. C9.20)
Решая уравнение энергии
Q = -L C9.21)
при Q = Qf, получаем для времени остывания т от температуры ядра То до Т
3-8,5.625 к к0 /тес\34 , _
х A +х ) ц1
= 1,72-1035— — — {T-2's-T-2's)c= C9.22)
A
х7{\ +х„) lit
= 1,72 - 1010 (Т -Tlo ) лет,
А ц
Тп = Т- 1(Г7 К.
Зависимость L(t) с учетом C9.19), C9.22) определяется формулой
, Y2/S .2/s 4/S
ri7'os Л/0 Л7'5 n2/s
tl0 = t- lO0 лет.
372

В оболочках белых карликов обычно принимается [229, 227] Xz = 0,1,
Хн = 0, что дает [iz = 2, ц = 1,38, ii / [ц* xz A + хн) ] = 3,45. Когда по мере
остывания температура белого карлика станет меньше Tg из D.42)
приближение идеального газа нарушается и C9.16) становится непримени-
неприменимым. При дальнейшем остывании вещество становится кристаллическим
при Т = Тт из D.37), а при Т< в из D.38) кристалл становится кванто-
квантовым. Фазовый переход в кристаллическое состояние, возможно, сопровож-
сопровождается выделением тепла 6f/Coui из D.43). Тепловая энергия кристалла
задается формулой Дебая D.38), а при Тт < Т < Tg = 150 Tm можно ис-
использовать интерполяцию между идеальным газом C9.16) и классическим
кристаллом D.38), D.39). Учет эффектов неидеальности сначала замед-
замедляет остывание за счет роста теплоемкости классического кристалла и
возможного выделения тепла при фазовом переходе, а после образования
квантового кристалла остывание ускоряется за счет уменьшения тепло-
теплоемкости ~ (Т/6K (см. D.38), D.39)). Эти факторы, а также кулонов-
ские поправки к уравнению состояния, нейтринное охлаждение, неполная
ионизация, электронная теплопроводность в неизотермическом ядре,
конвекция, учтены в работе [457], где численно исследовалось остывание
углеродного белого карлика с массой 1 Мв на основе уравнений звездной
эволюции (см. § 22). Результаты расчетов [457] представлены на рис. 104,
105 и в табл. 49. Из рис. 104 видно, небольшое замедление остывания
9,2. 9,6
7,0 7,5 8,08,5 £$$,4 %8 Igr
CJ-2
-6
7 8 S 10
1дг(говы;
Рис. 104. Кривая охлаждения белого карлика: светимость L в зависимости от возрас-
возраста т. Номера соответствуют моделям из табл. 49: 2 - модель с Lv = L, 3 - модель, где
электронная теплоемкость cue>i/2 равна ионной cv-xX^ 6 - начало кристаллизации,
7 - модель, где 6]i2 = Т\п* 8 - конвекция достигает вырожденного ядра, 10 - крис-
кристаллическое ядро достигает q = 0,99. Штриховой линией указана кривая остывания по
степенному закону (из [457])
"•с. 105. Рост кристаллического ядра (мелкая штриховка) и поведение внешней кон-
конвективной зоны (крупная штриховка) При охлаждении белого карлика, указана так-
также кривая вырождения ф = 0. Моменты 2-10 соответствуют моделям из табл. 49
кем. подпись к рис. 104) ; q = - доля внутренней массы (из [457 ])
М
373

между моделями 6 и 10 из табл.49 за счет роста теплоемкости классиче-
классического кристалла и теплоты кристаллизации и дальнейшее быстрое остыва-
остывание вырожденного кристаллического ядра. В расчетах предполагалось, что
кристаллизация наступает при Г = Гт = 160 (см. (8.56)). Дебаевская тем-
температура в в [457] принималась, аналогично D.38), (8.61), равной
в = 0,444 hcjpj/k, а термодинамические функции брались из численных рас-
расчетов. Как видно из рис. 105 и табл. 49.-кристаллическое ядро впервые воз-
возникает при светимости L = l,6-10~3Z,® и возрасте т = 9,2 108 лет.
Граница вырождения кристалла в = Т достигает середины звезды
q = m/M = 1/2 при L = 1,1 -10~3 Z© и т = 1,3-109 лет. На рис. 105 показан
рост кристаллического ядра, развитие конвекции во внешней оболочке
звезды и перемещение границы вырожденного ядра ф = 0, где ip =
= 0й е г — тес2)/кТ = Р — а из B.8). Учет возможного ядерного горения
водорода или гелия в оболочке при остывании углеродно-кислородного бе-
белого карлика с массой 0,6 М® сделан в [426]. Вклад горения водорода
важен до т = 2-Ю9 лет, а в дальнейшем остывание проходит аналогично
расчетам [457] для 1 Ма (см. табл. 49)).
в) Остывание белых карликов вблизи предела устойчивости с учетом
нагрева неравновесными бета процессами [34]. Остывание звезды с мас-
массой, близкой к Мсь, приводит к образованию ядра новой фазы и сопро-
сопровождается нагревом за счет неравновесной двуступенчатой реакции бета-
захвата (см. [56], § 20, п.в). При этом в тепло превращается q = 200-
500 кзВ на одно ядро. Рассмотрим остывание железного белого карлика
с q = 476 кэВ/ядро*). Если Tf — температура звезды к моменту начала
фазового перехода при рс = рс0, то ее масса в равновесии превышает
массу холодной звезды Мо при этой плотности на величину ЬМ, связан-
связанную с Tf соотношением C6.1)
А Ро ЬМ ЬМ ЬМ
Tf = = 1,24 -10" = 0 C9.24)
1 ц4/з 1,7 • 10 Мо Мо Мо
Вблизи максимума массы на кривой Мт(рс) или минимума температу-
температуры Тм (рс) имеют место квадратичные зависимости:
М = Мт(рс) = Mmax - а(рс - pcmf,
Т = Тм(рс) = Tmin + y(pc-pcmJ.
Приближенно примем параметры а, у и рст = рс1 + Арс постоянными,
Дрс дано в C9.11). В точке фазового перехода с Т = Tf, pc = рс1 имеем
из C9.25)**)
Tf= Tmin +y(pcl-pcmJ. C9.26)
*)Сучтом энергии возбуждения конечного ядра 109 кэВ, см. B0.14).
**) Для звезде массой меньше предельной формально в C9.25)-, C9.26) TYnin <
< 0. Естественно, физический смысл имеют лишь те рс, для которых Т > 0 в C9-27)
и ниже.
374

Из C9.24), C9.25), C9.26) получаем для звезды массы М
ЬМ
7> + У[(Р Pf (P Pf] = 0
ЬМ
Т = 7> + У[(Рс - Pcmf - (Pel - Pcmf] = 0 —
+ [(Дрс-6рсJ - Др*] -у, C9.27)
бРс = Рс~Рс\-
Постоянную у найдем из условия, что при ЬМ = AM и Т = О имеет мес-
место б рс = Арс из C9.11). Имеем тогда
АМ\ ЬМ / брс \2 I
Т = р— — +( 1 - —-) -1. C9.28)
РМ0[АМ \ ApJ \
Центральная плотность рс1 + Ьрс на растущей устойчивой ветви белых
карликов слева от максимума (см. рис. 103) определяется соотношением
ЬМ \1'2]
Плотность вблизи центра квадратично зависит от радиуса. Для политро-
политропы это легко видеть из разложения C4.3) вблизи центра
6 , , - , C9-30)
При этом масса хромового ядра тя связана срс =рс1 +Ьрс соотношением
1,Ы014(брсK/2. C9.31)
Мо М0\Ар
При росте массы хромового ядра скорость уменьшения внутренней энер-
энергии звезды равна
пг„
Qv = -D76 кэВ) . C9.32)
Апги
Суммарные потери из C9.20), C9.32) с учетом C9.29), C9.31) равны
3 кМ
Q = Qt + Qv = х
2 лп\и
\ Р AM AM )
C9.33)
Уравнение C9.20) с учетом C9.19) и C9.33) для 56Fe примет вид (для
375

н) 1=3,45)
г,
i
0,7 • 1016{ 1 + 0,15 - — ^tLL 1 X^Il =B _ _r3,s
1 A +T1I2,6-6M/AMI12 I dt
C9.34)
Здесь учтено 0ДЛ//Мо = 2,6 • 107 К, согласно C9.24), C9.11). J,. Для кри-
критической массы М = М0 + ДМ имеем из C9.34) уравнение
,,Г 0,24 , i/2ldTn ,. _
0,7- 1016|l + ~-2A - у/Ту 12,6) \— = -^73'5. • C9.35)
Решая C9.35) для Тп < 2,6, получаем время остывания в виде*)
т =2,8* 1015 [Ti2-5- 77,o>S +0,2G-73 - Т^30)] с. C9.36)
При Т<:0,1вс из D.38), (8.61) вместо C9.20) следует использоватльатьтепло-
использоватльатьтеплоемкость вырожденного кристалла
4тг4кМТ / Т \3
Qd = Ta^-u{tj- C937)
Коэффициент в C9.37) взят из [227] и в 4/3 раза больше значе^чения, ко-
которое следует из разложения дебаевской функции при х > 1 в » в D.38),
D.39). С заменой C9.37) вместо C9.20) получаем вместо C9.36) S)
т = 2,8- 1015|
C9.38)
Из C9.36) следует, что время остывания до Т = О,10С = 5,5 • Ю'3106 К для
S6Fe увеличивается на ~27% с учетом неравновесного нагрева. а. Соглас-
Согласно C9.38), при Т < 0,16с неравновесный нагрев становится очекзчень важ-
важным. В его отсутствие практически полное остывание белого к» карлика
произойдет за 8 • 108 лет D • 108 лет от То = 5,5 • 106 лет), а ска с учетом
неравновесного нагрева за космологическое время 2 • 1010 лет-ает белый
карлик критической массы остынет до температуры ~106 К. Точкзрчный рас-
расчет остывания углеродного белого карлика в 1 Me, где нет я)ц ядра но-
новой фазы, приводит к температуре ядра 1,7 • 105 К через 9 • ] • Ю9 лет
(см. табл. 49). Отметим, что ввиду грубости закона Краммерса са C9.16)
значения полученных возрастов и светимостей в зависимости от-jot темпе-
температуры ядра могут быть не совсем точными, но относительные i je вклады
теплоемкости и неравновесного нагрева в C9.36) и C9.38) осте останутся
неизменными и при Т < 3,6 • 106 К неравновесный нагрев преоб^обладает.
г) Об эволюции магнитных полей белых карликов. Более 10(Ц0% изве-
известных белых карликов обладают сильными магнитыми нолями^ми, 10 —
•) Аналогичные оценки остывания сделаны в [191а].
376

Ю8 Гс, которые определены по поляризации оптического излучения в
16 одиночных и 10 двойных звездах. Последние находятся в паре с крас-
красными карликами и относятся к катаклизмическим переменным, на ко-
которых несколько раз в год наблюдаются вспышки с Am v = 4н-5т. Они
являются также рентгеновскими источниками, а степень поляризации
оптического излучения составляет несколько десятков процентов, за
что эти звезды называют полярами. Пока неясно, являются ли магнит-
магнитные поля остаточными от ранних стадий эволюции или генерированы ди-
динамо механизмом на поздних стадиях эволюции, сопровождающихся
сильной конвекцией (см. § 33, п.ж).
Проблема затухания магнитных полей белых карликов может быть
решена более надежно. Наблюдения сильных магнитных полей у срав-
сравнительно холодных белых карликов с Tef ~ 6000 К указывает на то,
что характерное время затухания сравнимо или превышает космологи-
космологическое (см. C9.22) и табл. 49). В работе [629] проведены расчеты за-
затухания полоидальных магнитных полей различной формы с учетом дви-
движения вещества. Решается уравнение эволюции магнитного поля, кото-
которое в векторной записи имеет вид
й/f /с2 -> ->\ *
— = -VX j vXB-'vXBj. C9.39)
Из C9.39) при проводимости а -*■ °° и аксиальной симметрии Ъ1Ъ*р = 0
следуют уравнения C8.5)-C8.7). Для полоидальных полей векторное
уравнение C9.39) сводится к скалярному, если ввести вектор-потен-
вектор-потенциал .4
А = @,0,Av(r, в, 0), В = V X A, S = -y
C9.40)
dS .. с2 \ d2S sinfl Э / 1 3S\i
bt 4-па Vbi2 г2 Эб \ sin0 Эб / J
Решение ищется для сферически-симметричного распределения плотности
и радиальной скорости v = (vr(r), 0, 0), когда допустимо разложение
S(r, 0,0= 2 Ri(r, t) sinOP](cos в), C9.41)
где /^'(cos в) — присоединенные функции Лежандра первого порядка
[93], а для Ri получается уравнение
^Я/ /(/ + 1) l
R
* = rlR*, ■/?,(?) — радиус звезды. Для разложения C9.41) магнитное по-
поле В, согласно C9.40), имеет вид
И" 1 f /(/ + 1)
B(x,6,t)= — - 2 -!—->/(cos 6)Rt(x, t),
R\ L i> l x2
2 P)(cos6) '-, o], C9.43)
i> i ' x dx J
377

где Pi (cos в) — полиномы Лежандра индекса /, / = 1 соответствует дипо-
диполю, 1=2 — квадруполю и т.д. В |629] искались решения уравнения C9.42),
ограниченные в центре и непрерывные на границе с вакуумом. Электрон-
Электронный ток/,- определялся в виде
/,- = -ene<Vi> C9.44)
где е > 0, а ( vt > для нерелятивистских электронов определено в (8.48).
При наличии электромагнитных полей к силе F в уравнении Больцмана
е /-*■ 1 ->■ -»\
(8.1) добавляется величина —[Е + — v X В) и дает соответствующий
т \ с /
вклад в dj из (8.5). Проводимость с определяется как коэффициент свя-
связи между/,- и Е/ при В = 0:
П = oEi- C9.45)
Вычисления с для электронов проводятся аналогично теплопроводности
\е в § 8. В [629] для широкой области параметров с приведено в виде
HE'
при
~
2BkTK'2
n3l2mll2Ze
Igp < 41g
КО2
2д
T-
при
~ 3,31 • 10
29,825,
больших p
с
Л
С Хе ИЗ (
(ДДЯ12С)
с = при Igp < 41g T- 29,825, C9.46)
из (8.41), (8.54),
где Л для нерелятивистских электронов определено в (8.43), коэффи-
коэффициент уЕ = 0,582, 0,683, 0, 838 для Н, 4Не и 12С соответственно. Второе
равенство в C9.46) определяется из соотношения Видсмана-Франца.
Формулы C9.46) сшивались между собой с помощью гладкой интерпо-
интерполяции. Характерное время затухания поля для с = const, vr = 0, / = 1 из
C9.42) получается в виде
4irR2mo
тщ *> , , , , Целое п > 1; В1п ~ехр(-г/т,„). C9.47)
с п п
Численное решение краевой задачи для уравнения C9.42) с а из C9.46)
получено в [629] для углеродного белого карлика с массой 0,6 Me вдоль
его эволюционного трека. Результаты расчетов для поля максимального
масштаба (/ = 1, п = 1) представлены на рис. 106, откуда видно, что вре-
время затухания Тц всегда больше времени остывания т, поэтому крупно-
крупномасштабное поле белого карлика практически не затухает со временем,
д) Вспышки новых звезд. Одиночные белые карлики относятся к чис-
числу спокойных объектов, но в тесных двойных системах они проявляют
большую активность. Эти бурные проявления обусловлены аккрецией
вещества от соседней звезды — маломассивного водородного карлика,
ведущей к развитию неустойчивостей. При аккреции богатое водородом
вещество накапливается в оболочке белого карлика. После того как мас-
масса оболочки достигнет значения 10~6-10~4 Mq и электроны в водороде
станут вырожденными, развивается тепловая неустойчивость и термоядер-
378

ная вспышка. Мошность вспышки зависит от массы взрывающейся обо-
оболочки, а та в свою очередь зависит от темпа аккреции М и массы бело-
белого карлика Mwu. Имеет место обратная зависимость: чем больше ско-
скорость аккреции, тем выше температура вешества в оболочке, легче усло-
условия загорания, меньше масса оболочки в момент вспышки и меньше мош-
мошность самой вспышки. При дальнейшем увеличении М вырождение в
оболочке становится недостаточным и вспышка вообше не развивается.
Рис. 106. Кривая зависимости времени
затухания крупномасшатбного магнит-
магнитного поля т,, Ь'т возраста белого карли-
карлика t, очевидно, т,, ■> t. Штриховой ли-
линией дана проводимость ос в центре звез-
звезды (из [629])
17 lgf(c)
Критические значения Ма и соответствующие значения светимости Lct
найдены теоретически в зависимости от массы MWD и химического сос-
состава белых карликов в работе [474]:
lgMct = -8,775 - 15,088(MWD/Ms - 1.459J, 1 при
lg(Lcr/Le) = -0,629-5,923(MWDMfo-l,766Jixz = 0,G2,
lgMct = -8,632 - 4,596(MWD/Mo - 1.334J, 1 при
lg(Z,cr/Z,o) = -1,375-7,027(MWD/Mo-l,308Jfxz = 0,51.
C9.48)
Здесь М дано в Л/о/год. При М > Mct выбросы оболочки отсутствуют и
горение водорода становится стационарным. Наблюдения новых звезд
дают существенно большие значения М, до 10~8-10 Л/е/год после вспыш-
вспышки. Возможно, что зто связано с релаксационными процессами и со вре-
временем темп аккреции станет меньше Mct из C9.48), но возможно, что
теоретические оценки недостаточно точны. Рост светимости в процессе
вспышки новой достигает Ату = 10-15 и даже 19"" у новой Лебедя
1975 г. [178]. Чем больше М и слабее вспышка, тем чаше она происхо-
происходит. Фактически все новые звезды являются повторными, но для самых
ярких время между вспышками AtB слишком велико для возможности
астрономических наблюдений. Зависимость амплитуды вспышки Ат от
Дгв приведена на рис. 107 из [178]. Расчеты вспышек новых проводятся
на основе гидродинамических уравнений C5.1)-C5.3), аналогично сверх-
сверхновым, но пространственная лагранжевая область расчетов ограничивает-
ограничивается оболочкой. Обзор таких работ дан в [244].
Новые звезды вспыхивают в тесных двойных системах, где компань-
компаньон — водородная звезда — заполняет полость Роша, поэтому вещество,
аккрецирующее на белый карлик имеет форму диска (см. § 41). Ста-
379

ционарная дисковая аккреция в маломассивных тесных двойных возмож-
возможна только в случае турбулентного аккреционного диска. В ламинарном
случае вещество из-за малой вязкости остается в диске и не падает на
белый карлик. Когда скорость аккреции мала (М < 10 ~9 Мэ/год), тур-
булизация диска, видимо, затрудняется и появляются дополнительные
виды активности из-за неустойчивости дисковой аккреции, связанной со
спорадической турбулизацисй диска. Именно такими проявлениями объяс-
объясняются вспышки в карликовых новых звездах, которые называют так-
15'
Персея
|«?m
5т
Орла
ЕЭинорога v^ ^>ИС- *^7. Амплитуда вспышки
Скорпионач | уг л ^ Am в зависимости от времени
между вспышками Afg для
повторных новых, из [178]
10 100 1000
же новоподобными или катаклизмическими переменными. Наблюдатель-
Наблюдательные особенности кривой блеска карликовых новых для своей итерпре-
тации требуют предположения о горячем пятне, которое образуется при
ударе аккреционной струи о диск. Итак, из-за малого темпа аккреции
диск часть времени остается ламинарным, вязкость в нем мала и веще-
вещество накапливается во внешних частях диска. Когда масса диска превы-
превысит некоторое критическое значение в нем развивается неустойчивость,
приводящая к турбулизации, росту вязкости и резкому увеличению по-
потока массы на белый карлик. Происходит вспышка. После уменьшения
массы диска он снова становится ламинарным до следующей вспышки.
Такая модель развивалась в работах [579, 580, 534]. Время между после-
последовательными вспышками для разных звезд меняется от нескольких су-
суток до нескольких сот суток, которым соответствуют амплитуды вспы-
вспышек от 1т до 5—б [178]. Для некоторых звезд интервалы между вспыш-
вспышками и формы вспышек сильно изменяются, а для других звезд вспыш-
вспышки происходят более или менее регулярно. В работе [580J более регу-
регулярные вспышки относят к типу А, связанному с началом развития не-
неустойчивости во внешних частях диска, а иррегулярные — к типу В, где
неустойчивость начинает развиваться во внутренних областях диска. От-
Отмечается, что типу Апри тех же массах звезд М\ иЛ/2 соответствуют более
высокие значения М. Вспышки типа А происходят на звездах U Gem,
SSAur, а на звездах SSCyg, АН Her наблюдаются вспышки типа В. Об-
Обзор наблюдений и теоретических моделей катаклизмических переменных
сделан в работе [542].
Ввиду малой скорости аккреции в катаклизмических переменных
темп накопления водорода в оболочке белого карлика очень мал, но
за время 104—10s лет его должно накопиться достаточно для развития
380

неустойчивости термоядерного горения и вспышки новой. Из эмпириче-
эмпирической зависимости на рис. 106 на этих звездах должны происходить на-
наиболее мощные и наиболее редкие вспышки новых звезд. Возможно,
имеет смысл сделать поиск катаклизмических явлений в остатках вспы-
вспышек наиболее ярких новых Лебедя 1975, Кормы 1942, Лебедя 1920.
§ 40. Нейтронные звезды
Предположение о возможности существования нейтронных звезд бы-
было высказано Л.Д. Ландау в 1932 г., вскоре после открытия нейтрона
(см. воспоминания [551]). Современное представление о нейтронной
звезде, как об объекте, образование которого сопровождается взрывом
сверхновой при гравитационном коллапсе с выделением гигантской энер-
энергии, основано на идее В. Бааде и Ф. Цвикки, опубликованной в 1934 г.
[258]. Открытие пульсаров, рентгеновских источников, их связь с ос-
остатками сверхновых убедительно подтвердили справедливость этого
предсказания.
Первая модель нейтронной звезды была построена Оппенгеймером
и Волковым [517]. Ими использовалось' уравнение состояния идеаль-
идеального вырожденного нейтронного газа, которое следует из B.22), B.23),
если заменить те на тп и вместо у использовать уп из D.10) :
6,860- 103s
Еп = g(yn), Pn = 6,860 -103sf(yn). D0.1)
Ро
Изучение столь компактных объектов, как нейтронные звезды, необхо-
необходимо проводить в рамках ОТО. Параметром релятивизма в теории тяго-
тяготения является отношение гравитационного радиуса Rg к радиусу звез-
звезды [143]:
2GM , М
Rg = —г- ~ 2,95 • 10s — см. D0.2)
с Me
Для белого карлика из S6Fe в точке потери устойчивости из-за нейтрони-
зации, согласно C9.9), C9.11), D0.2), отношение Rg/R « 1,00 • 10~3.
Для нейтронных звезд Rg/R > 0,1 (см. [267] и рис. 103) и ОТО обычно
учитывается точно. В целом ОТО значительно сложнее ньютоновской тео-
теории тяготения, но для сферически-симметричных звезд полученные в
[517] уравнения равновесия немногим сложнее ньютоновских B2.1),
B2.2) :
dP =
dr ~
dm
—~ = 4ПРГ2. D0.4)
В отличие от B2.1), B2.2), где д, ввиду того что Е<р0с2, принималось
равным плотности массы покоя Ро, в D0.3), D0.4) стоит
П +;т)-
D0-5)
381

Наряду с полной массой звезды М = т (R) в D0.3), D0.4), определяю-
определяющей гравитационное поле, в ОТО отдельно рассматривают массу покоя
Мо, которая для сферически-симметричной нейтронной звезды запишет-
запишется в виде
Por'2dr' _ _ .Мо
о A — Ют'/г'с2'I!2 ' ' тп
где Nt, — полное число барионов в нейтронной звезде. В М учтены поло-
положительный вклад веса энергии и отрицательная гравитационная энергия.
Для устойчивых звезд обычно М < Мо, но у нейтронных звезд с массой
вблизи минимальной (рис. 103) имеет место обратное неравенство [110, 9].
а) Холодные нейтронные звезды. Идеальный газ является плохим при-
приближением для уравнения состояния нейтронного газа, где при плотностях
выше ядерной определяющую роль играют взаимодействия и правильнее
говорить о нейтронной жидкости, а не о газе (см. § 4, п. в). Модели холод-
холодных нейтронных звезд получают, как правило, из решения уравнений
D0.3) — D0.4) для равновесного вещества. Зависимость М(рс) для урав-
уравнения состояния из табл. 7—9 и других моделей ядерного взаимодействия
даны на рис. 108 [479]. Свойства различных моделей в максимумах мас-
массы даны в табл. 50 [479]. Вещество нейтронной звезды имеет большое
разнообразие свойств, связанное с переменным химическим составом,
изменяющимся агрегатным состоянием, возможной сверхтекучестью
нуклонов и сверхпроводимостью протонов. В оболочке возможны откло-
отклонения от равновесного состава (§ 4, пп. д, е).
Нейтронная звезда с равновесным составом состоит из следующих
слоев [227, т. 2], (см. также § 4, пп. а-в) :
1. Поверхность (р < 106 г • см). В этой области температура и магнит-
магнитное поле могут влиять на уравнение состояния и структуру оболочки, рав-
равновесный состав есть железо S6Fe.
Рис. 108. Зависимость полной массы
Mq нейтронной звезды от централь-
центральной плотности массы покоя рс
для различных моделей ядерного
взаимодействия [275]; штрих с дву-
двумя точками A) — предельно жест-
жесткое уравнение состояния Р = Р* +
+ (е - с*), которое сшивается при
р0 = 5,02 • 1014г/см'с совпадающи-
совпадающими при этой плотности моделями
(i), E) (из [479]); штрих с точ-
точкой B) - модель, основанная на
потенциале Рейда, одинаковом для
всех барионов; длинные штрихи
(Т) - модель взаимодействия нук-
нуклонов с учетом экспериментальных
данных по образованию w-мезона
при высоких энергиях; короткие
штрихи D) - то же, что B), но с
более реалистическим потенциалом
для (пр)-взаимодействия; сплош-
сплошная E) - то же, что (i), но с уче-
учетом рождения гиперонов (табл. 9)
Г4,в 15,1 15,6
16.0
382

Таблица 50
Свойства нейтронных звезд в максимуме массы для различных ядерных моделей
№по
рнс. 108
2
4
3
5
1
м
Me,
1,85
1,73
1,76
1,65
3,02
мв
2,15
2,02
2,06
1,91
3,92
рсо, г -см"'
2,28A5)
2,69A5)
2,49A5)
2,47 A5)
1,13A5)
Рс, дин • см"'
1,26 C6)
1,58C6)
1,33 C6)
1,00C6)
1,00C6)
R, км
9,73
8,88
9,18
9,38
12,9
ме -м
Ма
0,294
0,292
0,301
0,256
0,901
2. Внешняя кора A06 <р<4,3 • 101! г • см) - область существования
кулоновского кристалла из ядер, где отношение AIZ увеличивается с
ростом р (табл. 7).
3. Внутренняя кора D,3 • 101' <р < B-2,4) • 1014 г • см) - область
существования кристаллической решетки ядер вблизи границы испарения
нейтронов совместно со свободными нейтронами, которые могут быть
сверхтекучими.
4. Нейтронная жидкость i(B —2,4)-10|4<р <рсоге). Здесь существуют
сверхтекучие нейтроны и протоны и нормальные электроны.
5. Область ядра (р>РСоге) ~~ гипотетическая область, где возможна
пионная конденсация, твердое нейтронное вещество, рождение кварков
или какая-либо другая экзотическая фаза, отличающаяся от нейтронной
жидкости. Значение рсоге > 6 • 1014 г • см.
Масса нейтронной звезды с наилучшей точностью измерена в двойном
пульсаре PSR 1913 + 16, имеющем орбитальный периодР= 7,75 часа и экс-
эксцентриситет орбиты е = 0,617 [153]. Релятивистские эффекты для эллипти-
эллиптической орбиты приводят к движению линии апсид, или большой оси орби-
орбиты, так что со = 4,2 град/год, и уменьшению орбитального периода за
счет излучения гравитационных воли, так что Р= —2.3 • 10~12, согласно
наблюдениям. По доплеровским смещениям периода пульсара Рр = 0.059 с
определяется амплитуда скорости движения нейтронной звезды по орбите
vp и функция масс /
f{Mp,
Р
2,
Ppvp
= =
2nG
D0.7)
Известные значения Д со и /позволяют однозначно определить Мр *
"^ Щ **> 1,41 ± 0,06 Мо и угол между нормалью к плоскости орбиты и
направлением на наблюдателя /»46° [605]. Величина Мр меньше пре-
предельной массы нейтронной звезды для любого уравнения состояния из
табл. 50. Определение масс нейтронных звезд в двойных рентгеновских
источниках и в рентгеновских барстерах сделано с ошибкой более чем в
шесть раз большей, чем у PSR Г913 + 16 (см. [227, т. 2]).
Вращение увеличивает максимальную массу нейтронной звезды, а для
той же массы уменьшает центральную плотность и увеличивает радиус.
Для нейтронных звезд с уравнением состояния B) из рис. 108, вращающих-
383

ся однородно с предельной скоростью, при которой начинается истечение с
экватора, максимум массы соответствует следующим параметрам [366] •
П = 1,11 • 104 с'1, Л/ = 2,16 Л/о, Л/о = 2,47Мв, Re = 13,0 км (экватор)^
T/\W\ =0,11, Т — вращательная, W — гравитационная энергия. Для боль-
большинства рассмотренных в [366] уравнений состояния при однородном вра-
вращении величина Т/\ W\ не превышает 0,12, что указывает на устойчивость
относительно превращения в трехосную фигуру. Построение точных моде-
моделей вращающихся звезд в ОТО, Проведенное в [366], является задачей су-
существенно более сложной, чем в ньютоновской теории (см. § 23). Макси-
Максимальная масса нейтронной звезды при однородном вращении для всех урав-
уравнений состояния в [366] не превышает соответствующее значение для не-
вращающейся звезды более чем на 20 %. »
б) Горячие нейтронные звезды. При образовании нейтронной звез-
звезды в результате коллапса в ней достигаются гигантские температуры
1011—1012 К. Предельная масса горячей звезды выше, чем у холодной,
и растет с ростом температуры. Модели горячих нейтронных звезд и иссле-
исследование их устойчивости проведено в [28] с помощью решения уравнений
D0.3), D0.4) и критерия устойчивости
, г2 /L 2 / R. Еп+Р 4vGr \-|
1 = 6 ell4тга ехр[ — Г dr 1 =
Ц V о l-2Gm/c2r с4 /J
* /■' Еп+Р 4тгСг \ [ г
= / ехр( / — dr 1 уРг2] 3 -
о \Jol-2Gm/c2r с4 /II
Gm 1 + 4nr3P/mc2 1 2 (Р + Еп)A + 4пг3 Р/пгс2J
c2r l-2Gm/c2r \ ~ l-2Gm/c2r
/Gm\2 , Еп+Р /1 4nr3P \Gm 1
X ( ) г2 -4 ( 1 +- г- )-:— г2 \ dr> 0.
\c2rj l-2Gm/c2r\ 2 me2 /c2r J £)
Здесь в En включена плотность знергии покоя рос2 *). Критерий D0.8) сле-
следует из D3.10) и общего выражения для б2е сферически-симметричных
звезд в ОТО D3.11) при подстановке в него линейной пробной функции
6г = аг. В ньютоновском пределе Еп=р0с2, Р<Ёп, с-*°°из D0.8) сле-
следует условие устойчивости_'у>4/3. В постньютоновском приближении с
учетом членов ~Р/р0с2, (Еп/р0с2 — 1) и членов ~ G2 при распределении
плотности по политропе п = 3 из D0.8) следует условие устойчивости
C4.19). Для кривой Оппенгеймера-Волкова [517] критерий D0.8) дает
потерю устойчивости при плотности, отличие которой от плотности макси-
максимума массы Др -^ 10~sp, что указывает на его хорошую точность.
В уравнении состояния при расчетах учитывались невырожденные прото-
протоны р, нейтроны п и ядра железа s 6 Fe. находящиеся в ядерном равновесии
друг относительно друга по C.3), A.2). Нейтрино предполагалось сво-
свободно улетающим с //„ = 0 в C.5). Учитывалось излучение A.2) и е*-па-
ры в ультрарелятивистском приближении B.56). Энтропия предполагалась
*) Е - энергия на барион, и - концентрация барионов.
384

постоянной по звезде. Ядерное взаимодействие учитывалось в модели
предельно жесткого уравнения состояния [103] с коэффициентом из ра-
работы [438]
3
= бтг—— pi
D0.9)
Интегрирование системы D0.3), D0.4) проводилось методом Рунге—Кут-
та. Для сохранения энтропии вдоль звезды температура на последующем
шагу Т„ выражалась через Tn_i и плотности р„ и pn_j.'
/ Рп \
D0.10)
с 7з из A.13). Это обеспечило постоянство 5 с погрешностью в преде-
пределах 2 %. Вычислялась также масса покоя звезды Л/о =то(Ю по формуле
Рис. 109. Равновесные устойчивые конфи-
конфигурации на плоскости масса М центральная
плотность массы покоя рс сверхплотных
изэнтропнческих звезд (заштриховано). Кри-
Кривая вторых максимумов cd н часть кривой
максимумов df построена по данным табли-
таблицы 51, fb - приближенная интерполяция.
Кривая для холодных нейтронных звезд взя-
взята из [438] (из [28])
10
D0.6). Результаты расчетов представлены на рис. 109 и табл. 51 из [28].
Модели холодных нейтронных звезд с уравнением состояния D0.9) рассчи-
рассчитывались в [438], где получено Мтах = 1.60Мв, MOi max = 1.71 Me,.
С ростом энтропии звезды кривые М$(рс) располагаются одна над дру-
другой, причем минимум сближается со вторым максимумом, пока не про-
произойдет их слияние в точке (рсс, Мсс) при S = Scc. Эта точка соответствует
предельной массе "нейтронной звезды"*), так как при S >SCC минимум и
второй максимум отсутствуют, после первого максимума кривая М(рс)
монотонно падает и устойчивые состояния не возникают. Максимум массы
горячей "нейтронной" звезды ближе всего к модели 17 из табл. 51 с пара-
параметрами
рсс = 1,5-101Огсм-3, 7-сс=7,2-101ОК, Mcc = 68JMa,
МОуСС=68,9Ме>. D0.11)
В центре всех моделей из табл. 51 железо отсутствует, а хпс меняется от
0,794 у модели № 1 до 0,553 у модели № 21, соответственно'хр с меняется
от 0,206 до 0,467.
*) Звезды вблизи точки слияния состоят из примерно равного числа нейтронов и
Протонов и нейтронными называются условно ввиду их топологической связи с хо-
холодными нейтронными звездами на рнс. 109.
25. Г.С. Бисноватый-Коган 385

Параметры равновесных горячих нейтронных звезд [28]
Таблица 51
Параметр
Модели
рс, г ■ см'*
тс,к
Tic
М/Ма
Л/0/Л/о
R, км
//е0
»е,с
2,93A4)
9.31A1)
4,82
1,60
2,91
2,97
38.6
7,7 (-5)
0,226
2.93A4)
9,65A1)
4,99
1,59
3,03
3,09
40,2
-5,2 (-6)
0,239
4,40A3)
6,23A1)
7,12
1,49
5,68
5.75
120,7
4,6 (-5)
0,331
4,40A3)
6.52A1)
7,47
1.48
6.18
6,24
103
-9,0 (-5)
0,358
1.47A3)
4,80A1)
8.54
1.46
8,49
8,57
215
2,0 (-5)
0,399
Параметр
Модели
8
10
рс, г • см"'
т,,к
s/s0
T,f "
М/Ма
Л/о/Л/ф
R, км
//е.
"е.г
1,47A3)
4,86A1)
8,66
1,45
8,72
8.80
193
-2.1 (-5)
0,407
2.93A2)
3.20A1)
10,8
1,43
15,0
15,1
408
1.3 (-5)
0.508
2,93A2)
3,26A1)
11.0
1,43
15.8
15,9
364
-4,1 (-5)
0,525
2,93A1)
7.89A0)
7,62
1.52
4.76
4,78
1070
1,0 (-6)
0.184
2.93A1)
1.48A1)
11,9
1,43
19,5
19,6
1090
3,1 (-4)
0,512
Параметр
Модели
И
12
13
14
IS
16
рс, г ■ см '
тс. к
5/50
У ic
М/Ма
Mt/Ma
R, км
//е0
"е.с
2,93A1)
1,75A1)
14,5
1,40
33,2
33,4
1250
1.4 (-5)
0,705
2,93 A0)
6,61A0)
12,6
1,43
22,2
22,3
3070
6,0 (-6)
0,491
2,93 A0)
8,60 A0)
16,9
1,39
51,6
51,7
4820
2,0 (-4)
0,807
2,93A0)
9,13A0)
18,4
1,39
64,8
65,0
3550
1.4 (-5)
0,918
1,47A0)
6,02A0)
14,8
1,41
35,7
35,8
3910
1,5 (-5)
0,636
1,47A0)
6,82A0)
17.3
1,39
54,8
55.0
4190
1,1 (-4)
0,812
386

Таблнца51 (окончание)
Параметр
рс,гсм"'
Тс К
s/s.
М/Ме,
М /Me,
R, км
//е.
ие,с
Здесь So -
~SS6AfecJ. /
17
1.47 A0)
7,23A0)
18,7
1,39
68,7
68,9
4610
4,3 (-5)
0,920
к/тр = 0,831 •
нэ D0.8); Ле
18
8,8(9)
5,93A0)
18,3
1,39
64,5
64,7
5090
1,1 (-5)
0,871
Ю'эргт -К
Модели
19
8,8(9)
5,98A0)
18,5
1,39
66,7
66,9
5100
2,3 (-5)
0,887
, е„ = \/тг
20
5,9(9)
4,74A0)
16,5
1,40
48,6
48,7
4860
-1,0 (-4)
0,735
R(f.'C'/Gs(l<
21
5,9(9)
5-.17 A0)
18,4
1,39
66,7
66,9
5690
-7,2 (-5)
0,873
D0meL)I/J «
Максимум массы холодной нейтронной звезды связан с эффектами
ОТО. При движении к точке d все большую роль в потере устойчивости
начинает играть диссоциация железа и у < 4/3 во внешних слоях звезды.
На линии минимумов bfd восстановление устойчивости связано с образова-
образованием плотного нейтронного ядра с у > 4/3. Эффекты ОТО неважны для
холодной нейтронной звезды малой массы, но роль их растет при движении
к точке d (см. рис. 109).
Сравнение энергий связи (Мо —М)с2 из табл. 51 с энергией связи в
критических состояниях из C4.25), табл. 45 показывает, что энергия свя-
связи в сверхплотном состоянии больше чем в критическом (кривая первых
максимумов) при М0^.15Мо. Это означает, что остановка звезды при
коллапсе на кривой вторых максимумов возможна (но не обязательна)
только при Мо ^ 15Ма.
в) Остывание нейтронных звезд. Нейтринные потери являются основным
механизмом охлаждения нейтронных звезд при Тс ^ 4 • 108 К. Ввиду роста
с энергией сечения взаимодействия нейтрино с веществом (см. § 18,п\ж,
задача 2*)) горячие нейтронные звезды непрозрачны относительно выхода
нейтрино. Оценки в [28] показывают, что таковыми являются все модели
из табл. 51. Если использовать нейтринные потери за счет урка-процессов
A9.36) с 0=1 и а = 664.31 и запас энергии невырожденных нуклонов,
то время остывания tv* при свободном улете нейтрино есть
3 • 10s 7Vsc.
D0.12)
не захвата нейтрино аЦх в два раза больше о|ах из D) задачи 2, § 18 при
. "а ере для ме. uve = eve/mec3 >6 (см. также B1.16)). Коэффициент 2
возникает из-за суммирования по электронным спинам при ^-захвате, вместо усред-
усреднения прн е-захвате. Давление равновесных нейтрино Pvt, согласно § 3, C.5), не пре-
превышает 7/26 * 27 % от суммарного давления пар и излучения. Учет Pvt в моделях
табл. 51 изменит их не более чем на 27 %. Влияние »д и vr на эти модели существен-
существенно меньше ввиду малого сечения их взаимодействия.
25* 387

0,25 0,50 0.75 1,00 1,25 М0/Ме>
Рис. ПО. Эволюция распределения температуры нейтронной звезды по массе покоя
барионов. Распределення даны через каждые 0,5 с для t < 5 с н через каждые 5 с
для? >5 с (нз [263])
Ю
-в
OfiO 0,25 0,50 OJS 1,00 1,25
Рис. 111. Эволюция распределення плотности массы покоя нейтронной звезды со вре-
временем. Распределення даиы через каждые 250 мс для Г < 1 с (нз [263])
Для оценки нейтринной толщи т„е используем усредненное по энергии
сечение взаимодействия
а„е = 2 • КГ"(^ V * 2 • 10* (^Х см2, D0.13)
(
тогда
2
/ kT \
ef \100wec2/
D0.14)
Для всех моделей в табл. 51 время остывания в условиях непрозрачности
388

0,25
0,75 1,00 1,25 M0/Mo
Рис. 112. Эволюция распределения радиуса нейтронной звезды по массе покоя барио-
нов, распределения даны через каждые 250 мсек для t < 1 с (из [263])
(для не очень больших г„)
превышает несколько секунд для Ref=l/l0R, a rve меняется от т„е =
= 106 для модели № 1 до rve = 7 для модели 21 из табл. 51. Численные
расчеты начальных стадий остьшания нейтронной звезды проводились при
расчетах коллапса в рамках ньютоновской теории в [500] и при эволю-
эволюционных расчетах в ОТО в [263], с уравнением состояния, аналогичном
[28], с учетом давления нейтрино. В обоих случаях время остывания до
образования нейтринной звезды с Тс < 101 ° К составило ~ 20 с. На
рис. 110—112 из [263] приведена эволюция температуры, плотности и ра-
радиуса в первые 20 с остьшания нейтронной звезды с массой покоя барио-
нов 1,4 Л/о. Максимум температуры начальной модели лежит далеко от
Центра при М0^1,15Ма и связан с нагревом и ростом энтропии при оста-
остановке сжатия. Адиабатическое сжатие приводит к росту температуры
нейтронной звезды на ранних стадиях ее эволюции (рис. 110). Централь-
Рис 113. Уменьшение со временем t
центральной температуры нейтронной
звезды с массой покоя Л/о= 1,Ше Тс -
сплошная кривая, и нейтринной све-
светимости Lv - штриховая кривая, при
учете сверхтекучести E) и отсутствии
магнитного поля (из E12])
18
-2-10 1 2 3 * 5 1д*(гоЭы)
389

ные области нагреваются сильнее из-за действия теплопроводности и нерав-
неравновесности бета-процессов (см. §20). Как видно из рис. 110—112, через
20 с радиус и распределение плотности нейтронной звезды достигают ста-
стационарного состояния ввиду уменьшения температуры и сильного вы-
вырождения вещества, а распределение температуры приобретает монотон-
монотонный характер.
С уменьшением температуры нейтронная звезда становится прозрачной
по поглощению и рассеянию нейтрино г„е < 1. Эволюционные расчеты в
этих условиях в рамках ОТО проведены в [512]. Учитывались механизмы
нейтринного охлаждения, приведенные в § 19. Как и в [263], масса покоя
нейтронной звезды принималась равной 1,4 М@, но брались другие уравне-
уравнения состояния. Рассматривался перенос тепла в нейтронной звезде с учетом
лучистой и электронной теплопроводности. Учитывалось влияние сверхте-
сверхтекучести на теплоемкость вещества. Результаты расчетов для уравнения
состояния из [365] приведены на рис. 113, 114. Влияние магнитного поля
на остывание нейтронной звезды той же массы исследовалось в [511].
Использовалось уравнение состояния с тензорными силами взаимодей-
взаимодействия между нуклонами из [538], которое считается наиболее жестким
из всех реалистических моделей с предельной массой нейтронной звезды
2,28Мо. Как видим из рис. 115, магнитное поле В в итоге ускоряет остыва-
остывание нейтронной звезды. Это связано с уменьшением средней по Краммер-
су непрозрачности вещества в магнитном поле ввиду падения ~ 1/В2 се-
сечения рассеяния квантов с со < сов = еВ/тес и круговой поляризацией,
соответствующей вращению вектора поля фотона в сторону, противопо-
противоположную скорости вращения электрона в магнитном поле.
7,0
■2:4
-10 2 < 6 1дГ(ТоЭьО
Рис. 114. Уменьшение со временем t поверхностной температуры нейтронной звезды
с массой покоя Мо =1,4Л/е для бесконечно удаленного наблюдателя г/°°) и фотонной
светимости Lj' в отсутствие сверхтекучести (N) и двух вариантах учета сверхтску-
чески E) и (SX). Штриховой линией дана кривая охлаждения в отсутствие сверхте-
сверхтекучести в приближении изотермического ядра (NF). Магнитное поле предполагалось
отсутствующим (из [512])
390

s,e\-
~^ ' ff ' 2 ' 4 \qt(rodb\)
Рис. 115. Поверхностная температура нейтронной звезды с массой покоя Л/о :
1.4М®
для бесконечно удаленного наблюдателя 7}°°' и светимость L^°' в зависимости от вре-
времени Л Буквенные обозначения соответствуют следующим вариантам {N) - отсутст-
отсутствие сверхтекучести и магнитного поля, E) учет сверхтекучести без магнитного поля
(Л/ЛО и (MS) соответствуют тем же случаям (/V) и E), но в присутствии однород-
однородного магнитного поля с индукцией В = 4,4 ■ 101 2 Гс (из [511 ])
г) Затухание магнитных полей нейтронных звезд. Исследование затуха-
затухания магнитного поля нейтронных звезд теоретическими методами затрудне-
затруднено неопределенностями наших знаний о происхождении этих полей, меха-
механизмах генерации, физических свойствах вещества. Обычно поля генери-
генерируются омическими токами, которые затухают из-за конечной проводи-
проводимости, но в условиях сверхпроводимости не затухают вовсе. В [190] пока-
показано, что ориентация магнитных моментов нейтронов может привести к
магнитному моменту звезды 1027 —1030 Гс-см3, причем поле в этом слу-
случае не должно затухать.
Статистический анализ наблюдательных данных по пульсарам приводит
к выводу о среднем времени затухания поля тт ^ 2 • 10 лет [545]. Опти-
Оптические наблюдения пульсаров в двойных системах PSR 0655 + 64 (Р =
= 0,196 с) и PSR 0820 + 02 (Р = 0.865 с) привели к открытию оптических
партнеров этих пульсаров, которые оказались белыми карликами с нижней
оценкой возврата по кривой охлаждения § 33: ге = 2 • 109 и 107 лет соот-
соответственно. Естественно, что эти же оценки возраста применимы и для са-
самих пульсаров. Магнитные поля данных пульсаров, оцениваемые из наблю-
наблюдений времени замедления Р/Р и формулы дипольного излучения [143]
составляют В = 101 ° Гс для PSR 0655 + 64 и В = 3 • 101' Гс для PSR
0820 + 02. Таким образом, наблюдения показывают, что даже через 2 ■ 109
лет магнитное поле совсем затухло. В [450], где изложены результаты
оптических наблюдений, предполагается существование двух компонент
магнитного поля нейтронной звезды с большой величиной и малым време-
временем жизни ~тт и малого поля, которое практически не затухает. Возмож-
Возможно, что вторая составляющая связана с токами в сверхпроводящей компо-
компоненте вещества и (или) с выстраиванием магнитных моментов барионов.
391

§ 41. Черные дыры и аккреция
Если масса коллапсирующего ядра превышает предельную массу ней-
нейтронной звезды, то в результате образуется черная дыра — объект с очень
сильным гравитационным полем </>с ~с2, существование которого связано
с ОТО. Свойства черных дыр описаны в ряде монографий (см., например,
[110, 221, 169]). Самым важным для наблюдений свойством черной дыры
является невыпускание ею света, так что в вакууме она может быть заме-
замечена только по загораживанию какого-нибудь известного источника света.
Однако пространство между звездами и галактиками заполнено газом,
который падает на черную дыру, нагревается и излучает, делая ее в принци-
принципе доступной для наблюдений. Наиболее мощная аккреция и лучшие наблю-
наблюдательные возможности имеют место, когда черная дыра входит в состав
двойной системы и вещество с соседней нормальной звезды перетекает на
черную дыру. Именно к таким системам относятся кандидаты в черные
дыры из числа рентгеновских источников в двойных системах: CygA'—1,
Cirf-l, LMCA'-l, 1МСХ-3, А0620-00, 4U1658-48@X339-4) и SS433
[478,222а].
Ниже рассмотрены различные модели аккреции на черные дыры. Все
модели являются гидродинамическими, т.е. длина свободного пробега
частиц предполагается меньше размеров системы. В межзвездной среде при
сильной ионизации зто связано с магнитным полем, запутывающим траек-
траектории электронов и ионов, а в двойных системах, где плотность ве-
велика, пробеги, определяемые кулоновскими столкновениями, также
малы.
а) Сферически-симметричная аккреция. При сферически-симметричной
аккреции происходит переход течения через скорость звука в особой
точке типа седла системы гидродинамических уравнений. Условие перехода
через скорость звука однозначно определяет поток массы М и все свойства
течения при заданных Т„> и Р». В адиабатическом течении переход через
скорость звука в гравитационном поле точечной массы возможен лишь при
показателе адиабаты 7 < 5/3. Теория адиабатической аккреции изложена
в [110, 227]. Ниже рассматриваются течения с переходом через скорость
звука и сверхзвуковым потоком вблизи гравитирующего центра.
Исследование сферически-симметричной аккреции межзвездного газа
на черные дыры показало, что при наличии магнитного поля, вмороженно-
вмороженного в плазму, эффективность превращения в тепло кинетической энергии
падения достигает т? «** 10 % [228], в то время как в отсутствие поля тор-
тормозное излучение приводит к г) «= 10~8. При радиальном падении газа маг-
магнитные силовые линии вытягиваются по радиусу Вг ~г~2 и энергия маг-
магнитного поля в единице объема Ем ~ В2 ~г~4 растет быстрее кинетичес-
кинетической Ekin~pv2 ~Mv/r2 ~r~5/2 (М = 4irpvr2 — стационарный поток
массы, v ~ г ~ 112 при свободном падении). Так как энергия Ем не может
превысить /Tkin по физическому смыслу, в [228] предполагается, что в
аккреционном потоке устанавливается равнораспределение энергии
EM^Ekin. В [228] рассматривался только адиабатический нагрев падаю-
падающего вещества. Поддержка равнораспределения Ем^Ек\п происходит за
счет диссипации энергии магнитного поля, избыток которой идет на нагрев
плазмы. Данный нагрев учтен в [293] и привел к увеличению эффектив-
392

ности V Д° ~ 30 %, что может считаться реалистической оценкой в этих
предположениях.
Если Ем ~г~4 — изменение энергии магнитного поля без диссипации,
а Ем =Ек1П ~ г ~sl2 - энергия магнитного поля в потоке, то рост энтропии
единицы объема вдоль радиуса за счет аннигиляции поля при стационарном
течении определяется соотношением
Ем 5 Ем 3 В2
= -4— + — =- . D1.1)
г 2 г 2г 8тг
Рассмотрим отдельно области с нерелятивистскими
кТ<тес2. 7i = 5/3
и релятивистскими электронами*):
кТ> шес2,
1 / 3 \ 9
рЕ = —{ ЗР +—р) = -р = "Р. D1-2)
7. = 1 + — = 13/9.
п
Здесь Ре = Рр = 1/2Р, у, дано в A.11), п - индекс адиабаты, для простоты
рассмотрена водородная плазма. Из уравнения баланса энергии
dr p* dr p vr
где ев (эрг -с г) — скорость магнито тормозных потерь максвеллов-
ской плазмы, при учете
*2 ■ .,
— =JPVr, vr=avff=a^—-, BL=-B\ D1.4)
2 у 2
7^)i~2'37^ эргт-.c-' D1.5)
\mec ) mec
при кТ < mec2 (ЯР),
mpc\mec/ \mec•
при кТ> mec2 (P),
. .
*) Протоны всегда остаются нерелятивистскими.
эрг-г- с"' D1.6)
393

получаем уравнения для Т (г) в виде
3 dT 3 Т 3 a22GM TM
+ + _1>5 =0 (HP),
2 dr
9 d
2 г 4 «Kg/-'
D1.7)
?Г 3 Т 3 а22СЛ/ .„ Т2М
- + + - 2,2 • 100 — = 0 (Р). D1.8)
4 dr 2 г 4 SXg/-2 SKg/-2
Здесь JHg = 2k/mp — газовая постоянная ионизованного водорода. При за-
заданных значениях р„ , Г„, М поток массы определяется соотношением
1032 / М\2
М = 4irpvrr = —-—I Г
Ю
-24
г-см-3ДЮ4К/
D1.9)
Пренебрегая излучением в D1.7) и адиабатическим нагревом в D1.8),
получаем решение в виде
A08х \
Г" НИР), D1.10)
Г„/104К/
тс2
(Р)-
D1.11)
Здесь
2СЛ/
х =
гс
Г, =2,8-1012а( —-
'Л/\1/2/ Г„ \-3/4
i/2
= 11 (м\
D1.12)
Величина х0 слабо зависит от Г„, р„ и для различных значений а равна
2- 1(Г4
1/3
5 • Ю-4
1/10
1,2- 10
При х = х0 имеет место Г = mec2/k и происходит сшивка решений D1.10)
и D1.11). Светимость и спектр в данной модели вычислены в [293]. Све-
Светимость за счет магнитотормозного излучения определяется главным обра-
образом релятивистскими электронами из DГ.11) и равна
LR =
3
< 1
D1.13)
Ю
Г
г - см
К
394

Сравнивая с D1.9) получаем, что при реалистическом значении а2 = 1/3
величина V ='LB/Mc2 ^ 30%. Примерный спектр излучения L^{LB =
оо
__ гL^dto) черной дыры с массой М = 10 Л/е приведен на рис. 116 из [32]
о
Область ~ со3/5 связана с излучением нерелятивистских электронов; при
кТ> mec2, hw < кТ, L^ ~со1/3, а при hw * Ъыв.тъАЬТг/т*'1?-
-0,01 кэВ для р„ = 10~24 г ■ см, Г„ = 104 К, Ятах ~ 105 Гс наступает
Рис 116. Спектр магнитотормозиого из-
излучения черной дыры с М = ЮМ в при
сферически симметричной аккреции с
хаотическим магнитным полем при р„-
= 10-24г/см», Г„ = 104К, с2 = 1/3.
Сплошные линии — асимптотические за-
зависимости, штриховые - экстраполяция
to
// /5 15 17 1ды
экспоненциальный завал *) .Видимая величина mv такой черной дыры в
предположении плоского спектра равна [293]
ту = 4,8- 2,5 lgL/Le + 5 In (R/10 пк) «
з/2
-9/4
D1.14)
При большой плотности и большой светимости возрастает роль тормоз-
тормозного излучения, становится существенным взаимодействие аккреционного
потока с потоком выходящего излучения, что меняет соотношения D1.7) —
D1.14). Расчеты аккреции на черную дыру с учетом обратного влияния
излучения отсутствуют. Учет этого влияния при аккреции на нейтронную
звезду сделан в [286].
Спектр синхротронного излучения единицы объема релятивистской максвеллов-
ской плазмы есть C2J
- ГD/3)ГE/3) —
z > 1
z < 1
395

В предыдущем рассмотрении равнораспределение предполагалось
в каждой точке потока. В действительности аннигиляция ноля может
происходить дискретно и сопровождаться образованием ударных волн
[58]. Спектр излучения даже при низких светимостях может из-за этого
отличаться от рис. 116, который следует рассматривать лишь как ориентиро-
ориентировочную оценку.
б) Аккреция при упорядоченном магнитном поле. Если характерный
масштаб неоднородности магнитного поля намного превышает радиус
аккреции
GM С41 15)
га = —г- (vs - скорость звука в газе),
v£ »
то течение перестает быть сферически симметричным. В случае однородно-
однородного магнитного поля аккреция имеет цилиндрическую симметрию. Для по-
покоящейся черной дыры устанавливается стационарная картина силовых
Рис. 117. Схематическая картина сило-
силовых линий магнитного поля в вешестве
вокруг черной дыры, однородного на
бесконечности с учетом искажений, вы-
вызываемых токами диска. Стрелками ука-
указано направление скорости потока газа,
заштрихована область, занимаемая плот-
плотным диском (из [293,294])
линий магнитного поля, вдоль которых вещество течет и формирует диск
в плоскости симметрии. Качественная картина течения приведена на
рис. 117. При наличии большой, но конечной проводимости вещество диска
медленно просачивается сквозь силовые линии магнитного поля по направ-
направлению к черной дыре. Исследование процесса формирования, расчет струк-
структуры диска, поддерживаемого магнитным полем и его излучение сделаны
в [294, 279].
Рассмотрим приближенно структуру стационарного диска. Равновесие
диска без вращения определяется балансом магнитных и гравитационных
сил
GME
1
2эт
—
D1.16)
Здесь X = 2hp — поверхностная плотность, р — средняя плотность вещества,
/^ — круговой ток, протекающий через элемент площади диска единичной
длины по г и высоты 2h. Приближенно примем [283]
Ве
* —
V
D1.17)
396

равновесие по вертикали поддерживается градиентом давления
HP pGM z /г3 P\i/2
<tL-.=.-^—~ , h ~( ) . D1.18)
dz r2 r \GM pj
С учетом превращения в тепло энергии вещества, натекающего на диск
со скоростью, близкой к скорости свободного падения, получаем для
потока энергии от единицы поверхности диска
GMM r 1 /г\з/21
f = 1Tt\1 +тЫ ■ D119)
4ттгэ I 2 \R/ J
Для радиальной скорости из закона сохранения массы имеем
М Г
D1.20)
Здесь М определяется параметрами на бесконечности в D1.9), R ^га из
D1.15). В диске происходит омическая' диссипация, за счет которой ве-
вещество просачивается сквозь магнитное поле и которая определяет основ-
основное выделение энергии
GMM- - D1.21)
,RJ J Aha У }
о — проводимость.
Если диск непрозрачен для излучения, то энергия переносится к его поверх-
поверхности лучистой теплопроводностью, так что приближенно имеем
асТ4 = «ZF, D1.22а)
Т (г) — средняя температура диска.
Для прозрачного диска
2F = Z(C// + св). D1.226)
Здесь учтено тормозное е^у-и магнитотормозное ев излучение плазмы.
Для известных функций Р, к, a, e/fiieB уравнения D1.16)-D1.22) опре-
определяют структуру невращающегося диска с магнитным полем вокруг чер-
черной дыры.
В ламинарном приближении диск всегда является оптически толстым,
электроны — невырожденными и нерелятивистскими, давление опреде-
определяется, в основном, ионизованным газом A.2). Проводимость за счет
кулоновских столкновений приведена в C9.47). В таком диске выделя-
выделяются две области: внешняя, где в непрозрачности преобладают тормоз-
тормозные процессы с к^из G.15), (8.67), и внутренняя, где преобладает не-
непрозрачность, связанная с магнитотормозным поглощением нереляти-
нерелятивистских электронов с кв из (8.70). Ввиду малости кулоновской прово-
проводимости, вещество медленно просачивается сквозь магнитные силовые
линии, и масса диска оказывается в стационарном случае большой: для
черной дыры с массой М = 100 М0 масса стационарного диска Md ^0,2 Мв.
397

Основная масса диска накапливается в его внешних слоях. Внутренние
области диска являются основным источником излучения, температура
там достигает 10е—109 К, а магнитное поле 1010—1012 Гс. Толшина диска
нигде не превышает 0,01 доли радиуса.
В приближении турбулентного диска диссипация происходит гораздо
быстрее за счет запутывания силовых' линий магнитного поля, при этом
[294]
с2
о~от*>— ?=, а=0,1-^0,01. D1.23)
а 4ттИ V Р/р
Внешние области такого диска прозрачны относительно излучения, элект-
электроны там нерелятивистские, преобладает газовое давление, а вклад тормоз-
тормозных с С//из (8.67) и магнитотормозных с ев из D1-5) потерь сравнимы
М г„
между собой. При = mx ~ 100 а. электроны становятся реляти-
М© г
вистскими и ев > е^ из (8.69) и (8.71). Зона релятивистских элект-
электронов является узкой по радиусу ввиду быстрого роста оптической толщи
и превращения диска в непрозрачный по мере уменьшения радиуса. Во
внутренних частях диска при 10 < тх < 1000 преобладает газовое давление
и электронное рассеяние в непрозрачности Kes из G.29), а при тх > 1000
в давлении преобладает излучение. Масса турбулентного диска всегда оста-
остается малой из-за большой диссипации и быстрого просачивания вещества
сквозь магнитное поле. Отметим еще раз немонотонную зависимость
Т{г) из-за перехода от прозрачного к непрозрачному диску при умень-
уменьшении г. В [294] приведены формулы для распределения параметров
диска в различных его областях.
Так как при стационарной дисковой аккреции гравитационная энергия
всегда успевает перейти в тепло, светимость черной дыры при минимальном
радиусе 1,5 rg составляет
L = — Мс2 с Миз D1.9). D1.24)
Спектр излучения непрозрачного диска связан с его эффективной темпера-
температурой, определяемой соотношением
— T*=F D1-25>
4 ef
локально в каждой точке поверхности диска при полной термализации
энергии в ударной волне. Отсюда с учетом D1.19) во внутренних облас-
областях диска cr<R, где происходит основное энерговыделение, имеем
т ~ к-3/4 D1 пЬ)
Распределение D1.26) после интегрирования по поверхности диска при-
приводит к спектру
с экспоненциальным завалом при hco ~ kTmali, Tmax ^7-10 К для М ~
= 10М@. Таким образом, несмотря на существенные различия в картинах
течения для хаотического и упорядоченного магнитного поля, в случае
398

ламинарного диска спектры их излучения близки и формула D1.14)
для ту здесь также применима. В турбулентном диске имеется большая
прозрачная область, магнитотормозное излучение которой приходится
на инфракрасный диапазон и может быть сравнимо по мощности с ультра-
ультрафиолетовым и мягким рентгеновским излучением внутренних непроз-
непрозрачных областей диска.
Если аккрецирующее вещество обладает моментом вращения, то в за-
магниченном диске генерируются электрические поля, приводящие к об-
образованию релятивистских частиц [35]. Такой механизм, возможно, дей-
действует в источнике Cyg-X" — 1. ядрах галактик [300] и аналогичен униполяр-
униполярной машине, предлагаемой для объяснения излучения пульсаров [376].
в) Коническая аккреция на быстро движущуюся черную дыру. Быстрое
движение черной дыры приводит к обтеканию ее газом и формированию
конической ударной волны сзади. Проходя через ударную волну, вещество
теряет скорость и падает на черную дыру внутри конуса. Качественная кар-
картина конической аккреции дана Солпитером [556]. Дня первоначально хо-
холодного газа, падающего на гравитирующий центр по параболическим орби-
орбитам, в [47] получено автомодельное решение, свойства которого сущест-
существенно зависят от показателя адиабаты 7 и от распределения плотности в
падающем газе.Система стационарных гидродинамических уравнений для
движения газа в поле центральной массы М записывается в сферической
Э
системе координат cvlfl= — = 0:
dip
bvr ve bvr vl 1 bP GM
vr + — + + — =0
br г Ьв г p br r2
bVg Vg bVg VrVg 1 bP
Vr + + + =0
br г Ьв r pr Ьв
19, 13
— —{pr2vr)+— — (pvg sin в) = 0 D1.28)
r br rsind Ьв
bS ve bS
vr — + =0,5— функция энтропии S,
br г ьв
Автомодельное решение системы D1.28) ищется в виде
IGM
vg =■ '
D1.29)
Ь области перед ударной волной имеет место решение
в ^~2а
<•
cos - \ ctg - \J2GM, Р = О,
GM в /2GM в D1.30)
SHI — , Vg = — V COS — .
г 2 " * г 2
399

Однородная плотность на бесконечности соответствует а = 1/2. Ударная вол-
волна расположена на прямом конусе с углом раствора в = 6S причем 6S яв-
является собственным числом данной задачи. Решение системы обыкновен-
обыкновенных уравнений для UF), VF), RF), $F) получено численно в [47]
и обладает следующими свойствами.
Решение, в котором конус за черной дырой заполняется веществом
полностью имеет место для а = 1/2 только при 1,31 < 7 s* 5/3, причем угол
раствора ударной волны растет с ростом 7 (рис. 118 и табл. 52 [47]). Для
а > 1/2 заполненный конус существует только при одном 7 для каждо-
каждого а (табл. 53 [47]). При тех же а и 7. Для которых существует решение
с заполненным конусом, а также для всех других а и 7 существуют реше-
решения, у которых плотность обращается в бесконечность, а скорость ие
в нуль при конечном угле раствора конуса в = вк причем область с в <
< вк остается пустой (рис. 119 [47]). Для данного а и 7 каждому вк соот-
соответствует 6S, так что 6i G, <*) < fis < б2 G. °0- При а = 1/2 имеет место
6х(у, 1/2) = 6S из табл. 52, т.е. при существовании решения с заполненным
конусом, ему соответствует минимальный угол наклона ударной волны.
Сложные свойства автомодельных решений связаны с наличием особой
линии у автомодельной системы обыкновенных уравнений и различного
числа пересечений интегральной кривой с этой особой линией.
Если условия течения таковы, что в ударной волне существенны потери
на излучение, то раствор конуса за черной дырой может быть значительно
меньше, чем в табл. 52 при данном 7- Эффективно это соответствует приб-
приближению 7 к 1.
Численное решение задачи об аккреции на движущийся гравитирующий
центр требует знания граничных условий при конечном радиусе г, которые
влияют на решение. В [404, 577] для моделирования черной дыры исполь-
использовалось условие полного поглощения вещества при конечном малом ра-
радиусе г0. Расчеты проводились для чисел Маха набегающего потока на бес-
бесконечности М = 0,6, 1,4, 2,4, 5,0 и для показателей адиабаты у = 1,1, 4/3,
5/3. В [577] получено, что при 7 = 5/3 и 4/3 перед центром встает отошед-
0 В~0 О 6=0
Рис. 118. Картина течения газа, занимающего все пространство, 0S - угол наклона
ударной волны, из [47]
Рис. 119. Картина течения при наличии полого конуса с углом наклона в = ву_ сзади
движущегося центра, 0S — угол наклона ударной волны, из [47]
400

Таблица 52
Зависимость угла наклона ударной волны 0S от показателя адиабаты у для те-
течений, занимающих все пространство при а = 1/2
7
1,31
1,34
0s
1,298
1,426
7
1,4
1,45
0s
1,679
1,905
7
1,5
1,55
0s
2,131
2,375
7
1,6
0s
2,651
Таблица 53
Зависимость показателя адиабаты у, соответствующего течению с заполненным
конусом, и соответствующего угла наклона ударной волны 0S от показателя а
а
0,6
0,8
1
1,2
7
1,008
1,02
1,08
1,18
es
0,04
0,09
0,22
0,51
1 *
1
1,3
1,34
1,4
1,45
7
1,26
1,24
1,15
1,05
0s
' 0,7
0,61
0,33
0,11
шая ударная волна, причем плотность за ударной волной много больше,
чем на оси конуса за черной дырой. При "у = 1,1 ударная волна примы-
примыкает к поверхности поглощающей сферы и контраст плотности в кону-
конусе за ударной волной невелик. Численное решение данной проблемы дале-
далеко от завершения. Светимость здесь зависит от магнитного поля и оцени-
оценивается аналогично случаю сферической аккреции в п.а.
г) Дисковая аккреция в двойных системах. В тесных двойных системах
из-за большого вращательного момента аккрецирующее вещество имеет
форму диска, хотя и здесь при большой скорости звездного ветра от нор-
нормальной звезды возможны ситуации, когда диск не образуется и проис-
происходит изложена аккреция [429]. В предположении стационарного тон-
тонкого диска при наличии турбулентной вязкости теория дисковой аккре-
аккреции предложена в [226] и разрабатывалась в [575, 515]. В [515] рассмат-
рассматривались уравнения ОТО, в остальных работах использовалась ньютонов-
ньютоновская теория. Полуколичественно ОТО можно учесть, если принять [535]
GM 2GM
4>g= , г„= . D1.31)
r-rg с2
Для моделирования граничных условий на внутренней границе диска
нужно учесть производные от давления и энтропии вдоль радиуса диска.
"ри малой радиальной скорости иг уравнения стационарной дисковой
аккреции запишутся в виде ([533], см. также [33])
~BS 2nrEvr = M — сохранение массы, D1.32)
*™ С ~ An) = 4тгг2аРИ — сохранение вращательного момента, D1.33)
dr
26. Г.С. Бисноватый-Коган
dS 1 асТл
' = В3 4ят — сохранение энергии,
dr 1 ЗкрЛ
D1.34)
401

— равновесие по толщине диска,
D1.35)
1 dP
= r(fi — fit-) — равновесие по радиусу.
р dr
D1.36)
Здесь р, Т, Р, И, Ъ, М определены выше, fi, / = fir2 — текущие угловая
скорость и вращательный момент, а < 1 - параметр турбулентной вяз-
вязкости.
dtfcV/2 JGM■'"
/1
fijr =(
\r
1
«in
3
dr
J
кеплеровская угловая скорость,
D1.37)
/2 V/y rin ^
\3 / \rin-rg/
вращательный момент
D138)
rin-rg
на последней устойчивой орбите в потенциале D1.31).
Дня полностью ионизованного газа Р, S, ц даны в A.2), A.18), A.7),
непрозрачность определяется свободно-свободными, G.15), свободно-
связанными G.18) переходами и электронным рассеянием G.29). Без-
Безразмерные постоянные В{ определяются распределением плотности по
толщине диска. Согласно [533,495] имеем
=0,67, Я3=Я4 =6, Я5=0,5.
D1.39)
Вдали от внутренней границы тонкого диска члены с dS/dr и dP/dr в
D1.34), D1.36) малы и из D1.32)-D1.39) следует стандартная теория
Рис. 120. Дисковая аккреция на черную дыру. 1 - радиативная зона с Р = Рг, к - t$.
2 — газовая зона с рассеянием Р = Pg, к = k^s, 3 - газовая зона с тормозными процес-
процессами P=Pg, K = Kff+Kjj,,4 - корона с Т= 10е - 10'К (из [33])
дисковой аккреции [226, 575, 515] с потенциалом, отражающим свой-
свойства ОТО, причем из D1.36)-D1.38) следует rin = 3rg, как в метрике
Шварцшильда [ПО]. При учете dP/dr граница диска сдвигается к центру
'"in
GM \p dr )in
D1.40)
Выбор давления на внутренней границе диска в данной постановке задачи
содержит элемент произвола, так как при уменьшении радиуса скорость
иг стремится к скорости звука us и система уравнений усложняется [495,
402

400 401, 494]. В [533] на внутренней границе г = rin принято условие
v = us, тогда rin находится, как собственное число системы дифферен-
дифференциальных уравнений относительно S, Р и П. Дня параметров М = ЮМв
(A-nGM
М =Ма = . *н = 0,7, а = 0,001 в. [533] получено rin/rg = 2,885.
CKes
Как показано в [226, 575], в тонком аккреционном диске имеются
три характерных области (рис. 120). При М> A/20^-1/50) Ма A/20 при
конвективном, 1/50 — при лучистом переносе энергии по z [285]) во внут-
внутренней части диска имеется радиативная зона № 1 с Р = Pr > Pg и к = Kes.
При больших радиусах расположены, соответственно, зоны 2 с Р = Pg >
Р Рг и к = Kes и далее 3 с Р = Pg i> Pr и к = к^ + к^-j,. С уменьшением М
радиативная зона пропадает, а граница между зонами 2 и 3 сдвигается к
центру. Если пренебречь членом с dS/dr, то вся гравитационная энергия,
выделяемая в диске, излучается с поверхности. Принимая спектр локаль-
локально планковским с эффективной температурой Те{, получим
■nracT\t = — M(l — /jn)—. D1.41)
dr
m
С учетом D1.37)-D1.38) получаем [33]
а~ 7Г) (~) № • D1-42>
WCT М / \ г / ' in
где
1 — V— Для ньютоновского потенциала,
г
'1П £ [i „ v 2 £ — . t Л „ Ч У » 
D1.43)
— -^ 1 для потенциа-
ла D1.31).
Суммарный спектр диска имеет степенной вид Fw ~ со1/3, аналогично
D1.27) с экспоненциальным завалом при
а М
Здесь г = |3rin соответствует максимуму Те{, Р = 49/36, VCrin,rin = 1/7,
Р ' у I =0,49 для ньютоновского потенциала; |3 = 1,59, ippr. )Г. =0,113,
р"-з/'»(р1/4 =о,41 для потенциала D1.31). '"' '"
Как показано в [35,285], внутренняя область диска (зона 1 на рис. 120)
неустойчива относительно конвекции. Механический перенос энергии, по-
порождаемой конвекцией, приводит к образованию горячей (Т= 10е—109 К)
короны с п ~ 10ls см~3 над радиативной зоной. Обратное комптоновское
взаимодействие теплового излучения диска с горячими электронами коро-
короны приводит к появлению степенной зависимости в жесткой области спект-
спектра [343, 600], что может объяснить наблюдаемую жесткую (до ~ 150 кэВ)
часть спектра источника Cyg X-\.
26*
403

Вдали от поверхности звезды или альфвеновской поверхности радиу-
радиуса гл, где В2/8тт = — pv2, аккреция на нейтронную звезду или белый кар-
карлик не отличается от аккреции на черную дыру. Начиная с радиуса магни-
магнитосферы гА или у поверхности звезды при малом поле, картина аккреции
резко усложняется из-за взаимодействия аккреционного потока с маг-
магнитосферой и (или) поверхностью. Обзоры работ по аккреции на нейтрон-
нейтронные звезды даны в [227, 33], а на белые карлики - в [249].
При сильном магнитном поле нейтронной звезды, когда rA > Rns,
вещество останавливается у альфвеновской поверхности" и течет вдоль
силовых линий на магнитные полюса. Такая звезда излучает анизотропно и
при вращении дает наблюдаемую картину рентгеновского пульсара. При
слабом поле rA < Rns горячих пятен на полюсах не образуется и рентге-
рентгеновский пульсар не возникает. Аккреционный диск подходит к поверх-
поверхности нейтронной звезды и сильно ее раскручивает, приводя к появле-
появлению миллисекундного радиопульсара после прекращения аккреции.

ЧАСТЬ III
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД \
ГЛАВА 12
ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 42. Иерархия характерных времен
Процессы, определяющие эволюцию звезд, характеризуются большим
разнообразием характерных времен, из которых можно выделить гид-
гидродинамическое (гл), тепловое (тгЛ), ядерное (т„) и время, характери-
характеризующее скорость слабых взаимодействий (т^). На протяжении почти всей
эволюции, начиная от стадии молодой сжимающейся звезды до поздних
стадий эволюции, т/, остается минимальным из всех характерных времен.
В моделях массивных предсверхновых имеет место ядерное равновесие,
где время т^ является наименьшим (см. § 34). В обычной звезде имеет
место примерное равновесие относительно быстрых процессов (например,
статическое равновесие), а время эволюции определяется одним из мед-
медленных.
1. На стадии гравитационного сжатия
Th<Tth<Tp,Tn- D2.1)
Эволюция определяется здесть тепловым временем rth, звезда находится
в почти статическом равновесии, а времена т@ и т„ столь велики, что ядер-
ядерный состав остается замороженным (кроме самых легких ядер).
2. На главной последовательности условия D2.1) сохраняются, но эво-
эволюция определяется ядерным и слабым временами т„, те и звезда нахо-
находится в состоянии, близком к статическому и тепловому равновесию.
3. После образования гелиевого ядра наступает период гравитацион-
гравитационного сжатия центральных областей и расширения оболочки, аналогич-
аналогичный периоду 1. От загорания гелия в ядре и вплоть до последних стадий
характерные ядерные времена остаются сравнимыми с тепловыми
Th<Tth~Tn<£Te D2.2)
и определяют темп эволюции звезды.
Тепловое время в ядре существенно меньше, чем в оболочке t^v, как
и ядерное время, которое в центральных областях т£оге минимально, так
как в оболочке ядерные реакции не идут вообще. На спокойных стадиях
эволюции массивных звезд за главной последовательностью имеет место
renv ~ „.core
гл тп , т.е. минимальное ядерное время звезды сравнимо с тепловым
максимальным. Во время бурных событий типа гелиевой вспышки в вы-
рожденном ядре или вспышек в гелиевом слоевом источнике (см. § 33)
ядерное время в центральных областях или в гелиевом слое уменьшается
Д° величины, сравнимой к локальным тепловым временем. Гидродина-
405

мическое время при этом остается минимальным и статическое равно-
равновесие звезды не нарушается.
4. В звездах малой и средней массы cW< F ■=■8)М©, ядра которых прев-
превращаются в белые карлики, условие минимальности Т/, никогда не нару.
шается. Слабые взаимодействия приводят к нейтринному охлаждению
звезд, которое на стадии образования белого карлика преобладает над
фотонным и определяет тепловое время т/, -^ тг/, ~ т@ **т„. В конце образо-
образования белого карлика после сброса оболочки ядерные реакции в карлике
в центральных областях прекращаются и возможно лишь остаточное горе-
горение водорода и гелия в оболочке.
5. В более массивных звездах, у которых ядро после сброса оболочки
превышает чандрасекаровский предел, развивается неустойчивость слож-
сложного типа, включающая в себя тепловые, ядерные и слабые процессы. У
наименее массивных звезд этого интервала происходит быстрое паде-
падение т„ из-за роста температуры в вырожденном С—О ядре, так что дости-
достигается условие
Tn~Tth<rh,Tp, D2.3)
означающее начало теплового взрыва (см. § 35).
6. Дня больших масс наступление условия D2.3) не происходит, но
захват электронов при их большой ферми-энергии ускоряется до тех пор,
пока не наступает условие
Tp~Th<Tth,Tn, D2-4)
означающее наступление коллапса, вызываемого нейтронизацией (см. § 36).
7. В самых массивных звездах, где вырождение не наступает, проис-
происходит уменьшение т„ из-за роста температуры, оно становится меньше
Т/,, что означает установление ядерного равновесия. В процессе дальней-
дальнейшего излучения энергии звезда попадает в область динамической неустой-
неустойчивости, принципиально отличной от всех, рассмотренных выше.
При неустойчивостях, связанных с тепловыми, ядерными и слабыми про-
процессами их развитие связано с быстрым уменьшением данных характер-
характерных времен. Если они становятся порядка или меньше гидродинамичес-
гидродинамического, то эта неустойчивость заканчивается тепловым взрывом или коллап-
коллапсом. Динамическая неустойчивость связана не с изменением характерного
динамического времени т/,, которое меняется слабо, а с изменением струк-
структуры равновесного состояния. В отличие от остальных типов, динамиче-
динамическая неустойчивость может быть исследована на основе теории консерва-
консервативных механических систем. Основными здесь являются два эквивалент-
эквивалентных метода: вариационный и малых возмущений.
§ 43. Вариационный принцип и малые возмущения
а) Вариационный принцип в ОТО. Рассмотрим равновесие сферически-
симметричных звезд и их устойчивость на основе вариационного принци-
принципа. Рассмотрение проведем в рамках ОТО для возможности применения
результатов к нейтронным и сверхмассивным звездам. В метрике шварц-
шильдовского типа [1431
ds2=-goodt2 +gndr2 + r2{d62 +sin2e<V) D3.1)
для произвольного сферически-симметричного распределения вещества
406

можно записать полную энергию звезды е в виде [143]
e==e(r)=4irfEnr2dr, e = e(R), D3.2)
где r _ шварцшильдовский радиус звезды, Е — внутренняя энергия на
~ Ро
один барион Е = — (Е + с ). Элемент физического объема сферического
слоя dv равен
= 4nr2ll - —— I dr. D3.3)
\ cV /
Введем также TV — полное число барионов в звезде и v — число барионов
внутри данного радиуса г
г / 2Ge\l>2
v(r) = 4Trfnr4l- —— ) dr, N=v (R). D3.4)
о \ c4r /
Согласно вариационному принципу [201, 105], полная энергия звезды е
имеет экстремум в точке равновесия при заданном полном числе барио-
барионов N и фиксированном распределении энтропии по барионам. Полная
энергия е является в данном случае аналогом потенциальной энергии кон-
консервативной системы, причем консервативность обеспечивается неизмен-
неизменностью распределения энтропии. Введем лагранжеву координату v из
D3.4),так что
de ~/ 2Ge\42
— =£■A-—) , D3.5)
dv \ c*r /
1'2/ ,dr\l
*) D36)
Найдем вариацию полной энергии е как функционала от вариации радиу-
радиуса 6 г (у). Варьируя D3.6), получим
_ Gen_ Ьф - Ье/е br 4Trr2n2dFr)/dv
с*г 1 - 2Ge/c4r ~ 2П г ~ A - 2Ge/c4rI'2 '
Варьируя D3.5) с учетом D3.7) и используя термодинамическое соот-
соотношение [145] дЁ/дп=Р/п2, получим
d{be) Р/п+Ё Ge/Ье Ьг
(l-2Ge/c
Ge/Ье Ьг\
r)li2 c*r\e r )
nr \ c*r
\ d(dr)
) Ьг -4ттг2Р-^—. D3.8)
/ dv
гещая D3.8) как линейное неоднородное уравнение относительно де
407

(см. [195]),получим
~V 2Ge\-42 Gdv ]
r/P ~V 2Ge\-42 Gdv ]
о\и А с4г/ слг \
( г Г г/Р ~V 2Ge\-1'2 G
X /ехр /(-+£■ 1A _—-) —
[о 1о\п /\ сАг / c4r
К/> ~V 2G
п /\ c*r
J с г
1 dP / 2Ge\i/2l
+ ( 1 - ) \
1 dP / 2Ge\i/2l j , »
( 1 - —7— ) \drdv\-4irr2Pdr. D3.9)
n dr \ c*r ) J J }
Приравнивая к нулю вариацию полной энергии бе = de(N) = 0 с учетом
P(N) = 0, получаем из D3.9) уравнение равновесия Оппенгеймера—Волко-
Оппенгеймера—Волкова D0.3), где рс2 = Еп, тс1 = е. Поиск экстремума е из D3.2) при фик-
фиксированном ТУиз D3.4) представляет собой изопериметрическую задачу
вариационного исчисления [196]. Дня этой задачи справедлив принцип
взаимности, который в применении к данному случаю гласит, что функция
r(v), задающая экстремум е при фиксированном TV одновременно задает
экстремум 7V при фиксированном е.
Устойчивость звезды определяется положительностью второй вариации
энергии
б2е>0, D3.10)
что соответствует минимуму энергии звезды в устойчивом равновесии.
Если в процессе эволюции б2е обращается в нуль, меняя знак с плюса на
минус, то это состояние является критическим и в нем происходит потеря
устойчивости. При выводе условия устойчивости находится Ъ2п из D3.7)
и d(b2e)ldv из D3.8). Последнее сводится к дифференциальному уравне-
уравнению относительно д2е, решая которое аналогично D3.8), получаем следую-
следующее выражение для второй вариации энергии:
( R En+P 4rrGr \
= ехр|-/ — —— dr \ X
I о 1 - 2Ge/c4r с* I
Я f r En+P 4nGr )
Х4тг/ехр / —dr X
о I o l—2Ge/c*r c* >
f Г d(br) Ge 1+4тгг3Р/е ]2
X\yP\2dr + r -^—' — — br\ -
I L dr c*r 1 - 2Ge/c4r J
1 (/' + £>2)A+4я/-3/'/£02 /2G£A2^_,
4 A - 2Ge/c4rJ
P+En / 1 4тга-3/'\ 2Ge ,.
1 - 2Ge/c4r \ 2 e ) cAr
408

У = yl = (d\nP/d]np)s из A-11). Если tn$ > th, то показатель адиабаты
вычисляется при замороженном химическом составе, а если tn <th, то при
павновесном ядерном. Наиболее сложен случай tn ~ t/t или f^ ~ f/i- Если
соотношение Ги ~ f/j может быть справедливо только в узком интервале
параметров из-за экспоненциальной зависимости скоростей реакций
("см. гл. 3), то соотеношение t@ ~ t/, может сохраняться достаточно долго в
начале коллапса малой массы (см. § 36). В этих случаях необходимо
кинематическое описание ядерных или слабых реакций, появляется дисси-
диссипация типа второй вязкости, рост энтропии и нарушаются условия примени-
применимости вариационного принципа. Феноменологический вывод уравнения
движения имеет более широкую область применимости, чем вариационный.
Например, уравнения Эйлера в гидродинамике можно вывести обоими
способами, а уравнения Навье—Стокса с вязкостью — только феноменоло-
феноменологически в гидродинамике или из более общей кинетической теории [222].
В статике при и = О уравнения Эйлера и Навье—Стокса совпадают. Это свя-
связано с тем, что при v - 0 вязкая диссипация отсутствует. При использовании
вариационного принципа требуется отсутствие диссипации не только при
и = 0, но и при малых и Ф 0, поэтому при t@ ~ th, когда действует вторая
вязкость (~ div u), вариационный принцип неприменим для вывода усло-
условия устойчивости. Здесь нужно пользоваться методом возмущений, кото-
который позволяет учесть влияние кинетики процессов на устойчивость. Дня
консервативных систем оба метода дают одинаковый результат. В част-
частности, условие D3.11) было выведено как методом малых возмущений
в [323], так и вариационным методом в [201 ].
б)Ньютоновский и постньютоновский пределы. Перепишем вариацию
энергии бе в виде, не содержащем производных от термодинамических
функций. Имеем с учетом D3.9)
i n/ p J\/ 2Ge\-i/2 Gdv\
= ехр -;( -+ ЕЪ- —) — X
* \V(P
/«р A—+
о Lo \ п
2Ge\-i/2 G
—) —
с*г / с*г
-i/2 Ge 2P
b
c4r J dv
ньютоновском пределе, учтя
Ро = пти, mo = vmu, M0=Nmu,
,43.12)
D3.13)
409

из D3.2), D3.5), D3.12), D3.11) имеем
e = Moc2+f (Е- Wo, D3.14)
мв/ Gm0 Р br Р dbr \
/(б-2 — )dm0, D3.15)
р г р dr /
D3.16)
/()
о \ г р г р dr /
, м0( р г Ьг dFr) |2 Gm/ br\2)
б2е=/ \у — 2 — + -^Ч -4 — ( ) \dm0.
о [ р [ г dr ] г \ г / I
При этом было положено е = гщсг, а шварцщильдовский радиус г отождест-
отождествлен с ньютоновским гн. Ньютоновское уравнение равновесия B2.1) сле-
следует из условия бе = 0 в D3.Д5) после интегрирования по частям в послед-
последнем члене. Постньютоновское приближение получается аналогично, если
2
/Gw\2
оставить члены ~(—— 1 ,Р/рс2. Имеем из D3.2),D3.5)с учетом D3.13)
\гс2 /
2Ge\i/2 dv
)
e=f po(E + c(^)
Г Ge 1 / Ge \2i dm0
() = D3.17)
о
Г Ge 1 / Ge \2i
1- — -—(-J-)
t cV 2 \ c*r / J
Mo/ Ge \ Ma GEm0 1 M0/Gm0\2
= Moc2 +f (E- —-\dmo-f —— dm0-- f ( ) dm0.
о \ c*r / о c2r 2 о \ re /
В двух последних членах положено е = /HqC2. Во втором члене следует
учесть релятивистские поправки к е и г. При переходе к ньютоновскому
описанию не меняется физический объем и, определенный в D3.3), и нью-
/ 3v \i/3
i радиус rH = I I . Из D3.5)
\ 4ет /
тоновскии радиус гы = ( 1 . Из D3.5) имеем
e= f ( £" + c2)( 1 — —■?— )dmo = moc2 + f Edm0
о \ err / о
, Gmodmo
о r
то Gmodmo D3.I8)
Из D3.3) следует
-^-r3=v- T-p^dv, r = rH(\-^- f -^- rdr\. D3.19)
3 о err \ roc /
В последних малых членах D3.17) можно отождествить г и гн. Подставляя
410

D3.18), D3.19) в D3.17), имеем [109]
1 ?W Gmo\ . G MB Em0
e = Moc1 + f [Е- )dm0 - — f dm0 -
о \ r / с2 о r
- ^T f'-T dm° ~ ~T f° ~? С f°Edmo)+ D3.20)
2c or cor о
С? Ц, /mo modmo\ dm0 G2 Mo m0 r
+ —г- f [ I ) - -r / —т-( / mordr)dm0.
с о \o r / г с о го
Рассмотрим постньютоновское приближение для случая распределения
массы по адиабате п = 3, которое остается равновесным при однородном
расширении или сжатии. В вариациях бе и б2е это соответствует линейной
собственной функции dr = or. При вычислении последних пяти интегралов
в D3.20) — малых поправок на ОТО, учтем равенство Еро = ЗР и ньюто-
ньютоновское уравнение равновесия B2.1)*). Интегрируя по частям, имеем
м„Ет0 мо Р R / m0 modmo\ dP
Г dm0 = 3 / modmo = - 3 f [ / ) dr = •
or о por о \ о por / dr
0 modmo
= 3C / ~-° ( fmordr),
or о
ma mB P m0 dp m0 mQdm0
f Edmo = 3f dmo=4TrPr3-4Trf r3—dr=4nPr3 + G f
Po dr о r
о Po о dr
dm0 мв m0 м0
f ( f
Г о 0 0 >" 0
pGm0 , r
( -2fm0 rdr)dr =
r2dm0)dr =
о r 0
L r2
G \ MB m\ MB modmo r
--2' -s~!
0 r" 0
Подставляя D3.21) в D3.20),получаем
e=M0c2+f [E- -)dm0- —2/ -^{f mordr) +
о \ г / c2 l о r4 0
+ Г-/ -fdm0. D3 22)
2 о r2 J
В B2.1) обозначено т = m0, так как в ньютоновской теории рассматривается
«Оычно только масса покоя.
411

Ниже будем опускать индекс "О" у т0 и Мо- Последний член в D3.22)
есть еото из C4.7), C4.16). Используя C4.2), C4.8), получим для ц=3
G2
еото — /i
3 *• \l G2
+ - I е7?4^) =-0,9183 -г- М7'3рс213. D3.23)
8 о /J с
Здесь использованы значения интегралов J52 и /74 из таблицы к задаче
§ 34. Использование D3.23) в энергетическом методе для исследования
устойчивости относительно коллапса сделано в § 34. Следующая постнью-
постньютоновская поправка к е найдена в [76] для невращающихся звезд и в
[292] для звезд с вращением.
в) Метод малых возмущений в ньютоновской теории. Покажем экви-
эквивалентность вариационного и пертурбативного подходов на примере нью-
ньютоновской теории. Используем уравнения гидродинамики C5.1) —C5.2)
для адиабатического случая при малых отклонениях от статического рав-
равновесного состояния
р
r = ro+r, р = ро+Р, vr мало, Р = Р0 +Р' = Р0 +7i — Р • D3.24)
Ро
Из уравнений C5.1), C5.2) с учетом D3.24) имеем
2Gm ,
br'
bt
P ~
-4яро
bvr
bt
rl
br1
bm
4 r2
bm
/Ро
r
- 8nror'
Э/'о
bm
D3.25)
Приводя систему D3.25) к уравнению относительно г', получаем
Ti [4*РоП ~ +2ро I -
L Ро \ от г0 / J
D3.26)
Решение линейных уравнений ищется в виде
(г1, р',Р') = (Т, р,Р)е~'"< D3.27)
ввиду того, что коэффициенты их не зависят от времени. Подставляя
D2.27) в D2.26) и учитывая уравнение равновесия B2.1), получаем
d г Ро / dr J \ I 4Gm
— 7i— (- +2—)Ро\-—Г-г=&(г).
dm [ ро \dr0 r0/ J rl
D3.28)
412

Из условия регулярности функции г /г0 при г0 = 0 следует граничное усло-
условие [130]
\г0 /
jL(!\*Q при г0 =0, D3.29)
dr0 \
а из регулярности функции Р /Ро на границе г = R для уравнений состоя-
состояния с Ро/Ро -*0 при А) -* 0 следует условие [130]
1 )=0 ПРИ ro=R, D3.30)
dr0 \Po /
которое при учете D3.24), D3.25) примет вид
/ co2rn \ 7 dY
D-271 + ^Г— ) -Ti "Г~ =0 ПРИ Го=/?- С43'31)
\ GM / r0 dr0
Краевая задача Штурма—Лиу вил л я [196] для уравнения D3.28) при гра-
граничных условиях D3.29), D3.31) имеет конечное, физически допустимое
решение с точностью до произвольного множителя в виде собственных
функций r~i (rо) только для собственных частот со = со^. Действительные
собственные частоты при со2 > 0 соответствуют устойчивости. Все собствен-
собственные числа уравнения D3.28) действительны ввиду самосопряженности
оператора £(г~) [130]. Рассмотрим нормированные действительные собст-
собственные функции
м
fr2dm = l. D3.32)
о
Умножая D3.28) на г" и интегрируя по звезде, получим после интегрирова-
интегрирования по частям
м
мт р / у dl V Gm /7 \2i
= f 7 B + ) -4 ( ) \dm.
о L po \ r0 dr0 / r0 \r0 / J
D3.33)
Очевидно, что условия устойчивости cj2 >0 в D3.33) и б2е >0в D3.16)
эквивалентны, если считать, что У может быть не только собственной,
но и произвольной пробной функцией Ьг.
Из самосопряженности оператора £(г") следует [196, 130], что мини-
минимальное значение величины со2 из D3.33) F2е из D3.16)) достигается
Для собственной функции Ьг =У. Это означает, что если какая-либо проб-
пробная функция 8г(г0) приводит к отрицательному 62е из D3.16), то соот-
соответствующее равновесное состояние заведомо неустойчиво. Напротив,
положительность 62ене дает гарантию устойчивости состояния. Сравнение
с точным статическим критерием в § 44 показывает, что линейная пробная
функция дг =аг в D3.11) практически точно определяет точку потери
устойчивости холодной нейтронной звезды в ОТО (см. § 40).
413

§ 44. Статические критерии устойчивости
а) Невращающиеся звезды. В случае неврашающихся холодных (г =
= О, S = 0) звезд критерий устойчивости может быть сформулирован сле-
следующим образом [105]. При исследовании колебаний стационарной звезды
можно принять, что зависимость от времени t смещения £ точки с лагран-
жевым радиусом^о
*п(?о, *)=?(?о,О-?о D4.1)
гил. нормальной моды радиальных колебаний имеет вид
1n~e-ian\ D4.2)
2
причем при отсутствии диссипативных процессов все о„ — действительные
числа, так что устойчивости и-й моды соответствует а„>0, а неустойчи-
неустойчивости — о% < 0. Построим серию моделей с данным уравнением состояния
Р = Р(р) D4.3)
с различными значениями центральной плотности рс, получив зависимость
М(рс). Допустим, что при рс=рс>Сг = Рсс эта зависимость имеет экстре-
экстремум M(ficc) =М0. В этом случае для массы М, мало отличающейся от Мо,
существуют два решения. Одно из этих решений получается из другого ма-
малым смещением, которое не зависит от времени. Это значит, что квадрат
собственной частоты aj, некоторой моды при рс = рсс переходит через нуль:
о2„(Рсс) = 0. D4.4)
Таким образом, экстремум кривой М(рс) всегда соответствует критичес-
критической точке, где изменяется устойчивость некоторой моды звезды, причем
основная мода теряет устойчивость всегда в максимуме кривой М(рс)
[105]. Устойчивым звездам соответствуют только растущие участки кри-
кривых М(рс). Изложенный критерий остается справедливым для иззнтроии-
ческих звезд с одинаковой удельной энтропией 5. В этом случае точка поте-
потери устойчивости на основной моде лежит в максимуме кривой Ms (pc)
[110]. Более подробную информацию об устойчивости и числе неустойчи-
неустойчивых мод можно извлечь, рассматривая зависимость М (/?), где R — радиус
звезды [201].
Аналогичными рассуждениями можно показать справедливость другого
статического критерия для горячих изэнтропических звезд. Зафиксируем
массу звезды и будем строить модели с различными значениями удельной
энтропии. Тогда получим зависимость 5"д/(рс). Очевидно, что экстремум
этой зависимости тоже отвечает критической точке, так как существование
экстремума доказывает существование двух близких моделей с одинако-
одинаковой энтропией S, т.е. о2 (рсс) = 0 в экстремуме. Потеря устойчивости на
основной моде происходит здесь в минимуме кривой SM(pc).
Заметим, что при построении серии моделей с переменным рс может
случиться так, что энтропия упадет до нуля и в определенном диапазоне
значений рс нет статических решений для данной массы. Это значит, что
на графиках 5(рс) будут провалы (рис. 121). Тем не менее этот случай
не вносит трудностей, так как устойчивость при 5 = 0 известна из другого
статического критерия. Наличие "провала", так же как и экстремума, оз-
означает смену знака квадрата собственной частоты одной из мод колебаний.
414

Рис 121. в - Схематическая зависимость массы М
центральной плотности рс при нулевой энтро-
энтропия S = 0. б - Зависимость S(pc) для массы Л/о,
меньше экстремальных Л/, иЛ/,, из [284]
Таким образом, можно отметить некоторую дополнительность в крите-
критериях. С одной стороны, точке изменения устойчивости соответствует экст-
экстремум кривой Ms (Рс). а с другой - экстремум SM(рс). Это соответствует
тому, что при адиабатических пульсациях сохраняются М и 5. Данное об-
обстоятельство представляется тривиальным для сферически-симметричных
звезд, но ситуация меняется, если перейти к более интересному случаю
вращающихся звезд.
Очевидно, что все величины, сохраняющиеся при адиабатических пуль-
пульсациях, должны быть постоянны вблизи критической модели. То есть если
некоторая величина А, сохраняющаяся при пульсациях, изменяется вдоль
серии моделей, то зависимость А (рс) имеет экстремум в критической
точке. Полная энергия равновесной звезды е всегда возрастает при уве-
увеличении ее массы или энтропии [104]. Вследствие этого экстремумы кри-
кривых es (pc) и ед/(рс) совпадают с эктремумами кривых Ms (pc) и
$м(Рс) и могут использоваться в применении к статическому критерию
устойчивости, а зависимости е$ (М) и eM(S) неаналитичны и имеют точки
возврата.
Отметим, что статический критерий применим не только для иээнтропи-
ческих звезд [262]. Например, построим серию моделей переменной массы
с распределением удельной энтропии S (д), фиксированным по безразмер-
безразмерной лагранжевой координате q =Mr/M, где Мг масса внутри г. Нетрудно
убедиться, что и в этом случае экстремум Ms (Ч) (Рс) соответствует крити-
критической точке.
б) Критерии для вращающихся звезд. Из рассмотрения п.а ясно, что для
формулировки статических критериев устойчивости необходимо выделить
величины А,В,С..., сохраняющиеся при пульсациях, выбрать одну из
этих величин (например, А) в качестве изменяющегося параметра и, за-
зафиксировав интегральные или удельные значения остальных параметров,
независимых от А, строить серию моделей. Тогда критической точке будет
соответствовать экстремум кривой Ав с (р). В случае вращения при
адиабатических пульсациях и нулевой вязкости сохраняется удельная
энтропия S, удельный момент / каждой частицы вещества и масса звез-
ДыМ. Проще всего статический критерий можно было бы вывести для слу-
случая изэнтропической изомоментной звезды, однако условие / = const в
Реальной звезде вряд ли осуществимо. Критерий можно вывести для реаль-
415

ных звезд с вращением, если строить серию неизомоментных моделей
аналогичных неизэнтропическим моделям, как описано выше.
Рассмотрим изэнтропические модели. Поскольку имеется три сохраняю-
сохраняющихся величины, возможны три статических критерия. Критическими точ-
точками будут экстремумы кривых
l°SM,i(py, 2°JMiS(p); 3°MSJ(p). D4.5)
Согласно теореме Пуанкаре (см. § 23, п.б), удельный момент / и угло-
угловая скорость £2 в равновесии постоянны на цилиндрах, поэтому фикси-
фиксированы
Мь »
/ = Дт), т = — (Мь — масса внутри цилиндра радиуса Ь) D4.6)
М
для критериев 1° и 3° и
, м
/' = — /(«) D4.7)
J
для критерия 2°.
Легко видеть, что во всех трех случаях экстремум кривой совпадает с
критической точкой и имеется полная аналогия с построением серии не-
изэнтропических моделей.
Часто необходимо исследовать устойчивость твердотельно-врашающих-
ся звезд. Вдоль серии моделей таких звезд удельный момент каждой лаг-
ранжевой массы изменяется, поэтому статический критерий надо приме-
применять следующим образом. Пусть имеется серия моделей твердотельно
вращающихся звезд. Каждая модель имеет свое распределение момен-
момента /' (т). Фиксировав / (т), от любой модели можно построить новую
"присоединенную" серию моделей в соответствии с D4.5). Критической
будет та твердотельно-вращающаяся модель, которая имеет экстремаль-
экстремальные параметры в присоединенной серии.
Изэнтропическими можно считать полностью конвективные звезды,
например сверхмассивные [109], или холодные с 5 = 0. Вырожденные кон-
конфигурации, белые карлики и нейтронные звезды, можно рассматривать как
изотермические из-за большой теплопроводности. О распределении угловой
скорости вращения звезды при эволюции см. § 29. При dj/db > 0 звезда
устойчива относительно развития турбулентности, но только в линейном
приближении. Например, при вращении коаксиальных цилиндров для
больших чисел Рейнольдса Re = pvR/ц > 105 турбулентность может развить
ся при более быстром вращении внешнего цилиндра, когда dj/db > 0
[142]. В звездах числа Рейнольдса всегда очень велики, поэтому возмож-
возможность существования дифференциально вращающихся с большой скоро-
скоростью звезд остается проблематичной. При малой вязкости, необходимой
для нарушения теоремы Томсона о сохранении циркуляции, всегда имеются
возмущения достаточно большие, чтобы вызвать турбулентность.
в) Снятие вырождения нейтральных мод колебаний во вращающейся
изэнтропической звезде. Детальный анализ статических критериев устойчи-
устойчивости для вращающихся звезд выявляет глубокую связь между собствен-
собственными функциями, соответствующими нейтральным конвективным движе-
416

ниям невращающейся звезды и нейтральной собственной функцией при на-
наличии вращения, а также позволяет установить простую связь между кон-
конвективной устойчивостью звезды и теоремой Пуанкаре.
В невращающейся звезде собственная функция нейтральной моды возму-
возмущений в критическом состоянии зависит от сферического радиуса £ =
= t (r). Она представляет собой разность радиусов двух близких равновес-
равновесных состояний той же массы по обе стороны максимума
Мг
% = %{Я) = ГЛЯ)-ГЛО), r = r(q), q= — D4.8)
М
согласно статическому критерию п.а. С другой стороны, в случае иззнтро-
пических звезд для любого, даже самого слабого вращения
| = |F), b = b(m). D4.9)
Действительно, ввиду сохранения удельного момента j (b) =£lb2, имеем
^--2^-. D4.10)
П Ь
Так как fi, А^ и b есть функции Ь, то и АЬ = %ь = %ь Ф). Скачок в функ-
функциональной зависимости собственной функции критического состояния при
наложении слабого вращения станет понятным, если вспомнить, что в нев-
невращающейся изэнтропической звезде собственному значению со =0 соот-
соответствует не только радиальная нейтральная мода, но и бесконечный набор
собственных функций, связанных с конвективными движениями (см. § 10).
Если состоянию с данными собственным числом со соответствует несколь-
несколько собственных функций, то такое состояние называется вырожденным.
В изэнтропической звезде без вращения таковой является мода колебаний
с со = 0. Вращение приводит к тому, что все нейтральные конвективные мо-
моды становятся либо устойчивыми, либо неустойчивыми (при dj/db < 0),
поэтому вырождение нейтральной моды снимается.
Если возмущение (малое вращение) приводит к снятию вырождения,
то невырожденная собственная функция возмущенного состояния с той же
собственной частотой будет близка к одной "правильной" суперпозиции вы-
вырожденных невозмущенных собственных функций. Собственная функция
нейтральной моды слабо вращающейся звезды представляет собой такую
суперпозицию радиальной и конвективных мод, которая приводит к ее
зависимости только от цилиндрического радиуса Ь. Угловые части собст-
собственных функций конвективных мод представляют собой полиномы Ле-
жандра /'/(cosfl) для %г и производные от них dP,/de = P1l(cos6) для
%в с четными / [130]. Если для невращающейся звезды с помощью стати-
статического критерия удается определить собственную функцию нейтральной
радиальной моды, то, применяя его к слабовращающейся звезде, можно
восстановить радиальные части всех конвективных мод [284]. Для этого
находим собственную функцию
£<(М))> b=r ьтв D4.11)
в виде разности двух близких равновесных моделей той же массы. Вычис-
Г.С. Б исноватый-Коган 417

ляем смещения в сферической системе координат:
?eF,z)=arctg -^ , D4.12)
Kb
и делаем соответствующие разложения:
/=о
1/2) /
W^Kcosfl), D4.13)
/=o '
Функции £г/ и |ej являются радиальными частями конвективных. мод
колебаний в нейтральном случае. Данный метод расчета собственных функ-
функций гораздо менее трудоемок, чем обычный метод малых возмущений
[130], хотя применим только для нейтральной вырожденной моды.
В звезде, устойчивой относительно конвекции, нейтральная мода невы-
невырождена и в медленно вращающейся звезде ее радиальная зависимость
сохраняется. Это связано с нарушением теоремы Пуанкаре и условий
D4.6), D4.9) для небароподобных звезд с переменной по массе энтро-
энтропией. Для изэнтропы с 7i - 4/3 нейтральная мода гомологична и макси-
максимум кривой Mgj{pc) твердотельно-вращающихся звезд при медленном
вращении совпадает с точкой потери устойчивости.
г) Численные примеры [284]. Рассмотрим твердотельно-вращающиеся
холодные белые карлики, определяемые уравнением состояния, которое
задается с учетом нейтронизации в виде [188]
р = Ах3B+ахх+а2х2 +а3х3)
Р = В[хBх2 -3)(х2 +l)I'2+31n(jc + y/l+x2)] D4.14)
А = 9,82 • 10s г • см3, В = 6,01 • 1022 эрг • см3,
fli = 1,255 -КГ2, д2 = 1,755-КГ5, д3 = 1,376 • 10.
Устойчивость определяется по критерию Mjt$ (pc). Для построения равно-
равновесных вращающихся моделей используется метод самосогласованного
поля (см. § 23, пз). Сначала строится серия твердотельно-вращающихся
моделей с фиксированным моментом вращения Jo и выбирается модель
вблизи экстремума данной зависимости Afi(pc). Эта модель задает неко-
некоторое распределение момента ]'(т), для которого строится присоединен-
присоединенная серия моделей Мг(рс) с тем же полным моментом Jo. Результаты рас-
расчетов даны в табл. 54 [284], из которой видно, что с точностью расчета
критическая модель (экстремум кривой Mi(f>c) совпадает с экстрему-
экстремумом Mi(pc) для твердотельно-вращающихся моделей. Это объясняется
418

Таблица 54
Зависимости от центральной плотности рс массы Л/, твердотельно-вращающихся
белых карликов при J = 1,88 • 10*' г • см2 ■ с"' и массы М2, полярного Rp и эквато-
экваториального Re радиусов дифференциально-вращающихся белых карликов с распределе-
распределением момента, соответствующим твердотельной модели прн хс = 10,5. Уравнение
состояния определено в D4.14) (из [284])
1
10,0
10,5
10,6
10,7
10,8
10,9
11.0
рс, г • см
2,090 (9)
2,427 (9)
2,499(9)
2,572 (9)
2,646 (9)
2,722 (9)
2,800(9)
М,
Ме
1,28621
1,28654
1,28654
1,28653
1,28650
1,28644
1,28637
Мг
мо
1,28618
1,28654
1,28655
1,28654
1,28651
1,28646
1,28640
Яр, см
2,0126(8)
1,9339(8)
1,9189(8)
1,9042 (8)
1,8896(8)
1,8753(8)
1,8613(8)
Re, см
2,1622(8)
2,0864(8)
2,0720(8)
2,0578(8)
2,0439(8)
2,0302 (8)
2,0034 (8)
тем, что уравнение состояния белого карлика в критическом состоянии
имеет 7i = 4/3 и нейтральная мода колебаний почти гомологична. Кроме
того, при твердотельном вращении политропы п = 3 отношение энергии
вращения Т к гравитационной W не может быть большим, так как быстро
достигается равенство центробежной и гравитационной сил на экваторе.
В рассматриваемом случае для критической модели параметр вращения
/3 = П2/2ггСрс = 6,82 • 1(Г4 (см. B3.33) ), что составляет *70% от предель-
предельного значения 0цт = 9,83 • КГ4 для политропы п - 3 из [437]. При этом
Т/\ W\ = 5,78- 10~3, а (Г/| W\)lim = 9,00- 10~3. Столь малое значение
кинетической энергии вращения говорит о том, что гомологическая мода
возмущена мало, что и обеспечивает совпадение максимумов у серии твер-
дотельно и дифференциально вращающихся моделей. Максимальная масса
в критическом состоянии для предельного вращения на 3,5% больше, чем
для невращающегося случая. Для моделей из табл. -54 рост предельной
массы составил ^1,5%.
Если в политропном уравнении состояния 7i сильно отличается от 4/3,
то различие между критическим состоянием и максимумом массы твердо-
122. Зависимость массы М от центральной плот-
иости рс твердотельно (кривая А) и дифференциаль-
Но (кривые В, С и D) вращающихся моделей с урав-
нением состояния D4.15). Распределение вращатель-
нЫх моментов на кривых В, С и D соответствует
твердотеЛЬно вращающимся моделям на кривой А
h точках пересечения ее с кривыми В, Сий. Кривая
выходит из максимума кривой А, максимум кри-
°и D совпадает с точкой пересечения, которая и
ияется критической точкой для твердогельно
Решающихся моделей. Масса М дается в единицах
D""i)~1/2(^/O3/2, pc - в единицах р,
27*
М
е,785
6J80
1,0
V
Рс
419

тельной кривой может быть существенным. В [284] рассматривалось урав-
уравнение состояния в параметрическом виде:
,°>з / н V°"
D4.15)
2 " Ч 1,3 11
При р = Pi величина 7i = 4 */з и резко падает при р> pv. Результаты расчета
твердотельно-вращающейся и трех присоединенных серий моделей дано на
рис. 122. Потеря устойчивости происходит в точке пересечения присоеди-
присоединенной кривой D с твердотельной, совпадающей с максимумом кривой D.
Из рис. 122 видно, что точка потери устойчивости почти на 5% по рс отсто-
отстоит от максимума твердотельной кривой. В [284] сделано обобщение стати-
статических критериев на случай ОТО и наличие тороидального магнитного поля.
§ 45. Устойчивость звезды при наличии фазового перехода
В веществе звезд при сильном вырождении могут происходить фазовые
переходы первого рода, т.е. в определенном интервале плотностей р1 <
< р < рг давление остается постоянным Р =Рт, рис. 123. Поскольку в рав-
равновесии давление монотонно убывает с радиусом при /■„, так что Р (г.) = Pt,
происходит скачок плотности от р2 до pj. Впервые с такой ситуацией
столкнулись при исследовании планет гигантов [2, 547]. Фазовые перехо-
переходы из-за нейтронизации могут происходить в центре белых карликов с мас-
массой, близкой к чандрасекаровскому пределу (см. § 39) и в оболочках
нейтронных звезд [30]. Возможны также фазовые переходы в белых кар-
карликах небольшой массы [126], связанные с ионизацией давлением.
Фазовый переход уменьшает запас устойчивости звезды. При Рг/Pi > 3/2
звезда теряет устойчивость сразу после достижения в центре давления
Р = Рт для любого уравнения состояния [191, 470] .В [192, 64] на основе
Рис. 123- Зависимость давления от плотности
при наличии фазового перехода первого рода
статического критерия изучалась устойчивость изэнтропических политроп
при наличии фазовых переходов на периферии *) .
В [42] для исследования устойчивости развит вариационный метод,
излагаемый ниже. Обоснование справедливости статического критерия из
§ 44 для звезд с фазовым переходом дано в [236].
*) При S Ф 0 фазовые переходы считаются проходящими при S = const. Справед-
Справедливость этого допущения неочевидна, и оно является лишь приближенным способом
описания фазового перехода.
420

а) Вычисление вариаций бе и 62е. Будем исходить из ньютоновской
энергии звезды (C4.8) без последнего члена). Пусть в невозмущенном
оавновесном состоянии плотность р(т) терпит скачок от р2 до рх при
т = т,- Предположим, что при возмущении скачок сохраняет свою вели-
величину и сдигается в точку т, > т, (рис. 124). Случай т, < т, рассмат-
рассматривается аналогично. Для вычисления приращения е разобьем интеграл в
C4.8) на три части: е2 @ < т < т,), ег (т, < т < М) и е, (т,< т<
Рис. 124. Профиль плотности: сплошная кри- р
вая - в равновесной звезде, штриховая - в воз- 2
мушениой (из [42]) Р,
i i
М т
< т.). Вариации дех и 6е2 рассчитываются аналогично § 44. Переходя к
переменной объема и вместо радиуса г, имеем •
mdm
Т/ G'
D5.1)
= fEdm-Pf
О 0 и1/3
v=—-r3, dv/dm=\/p;
"•• dFu)
о dm
1 m* mdv
-Pf dm
3 о у4/з
= ~P6v\m + / ( — + - \6vdm.
' о \dm 3 „4/3/
Здесь учтено
), 6(\/p)=dFv)/dm.
D5.2)
D5.3)
Скобка в интеграле D5.2) равна нулю в силу уравнения равновесия, по-
поэтому
D5.4)
D5.5)
D5.6)
D5.7)
Аналогично
Вычисляя вторые вариации энергии, получаем (ср. D3.16))
д2 __ 4 "•• mFvJdm m>
9 о „7/3 о
у
dm 1
dm,
4 м mFvJdm
>ei=~9PJ 7/3 *
у m. v '3
Г = У1 ИЗ A.11).
/ 7Рр\—
m. L dm
dm,
421

Вычислим изменение е. с точностью (Дт.J, Am, = т. —т.:
Де. = f (E-E)dm-p f (и'3-iT1/3)mdm. D5.8)
т.
В невозмущенном состоянии плотность в интервале т, < т < in, близка
к pt, а в возмущенном — к р2, причем р(т, + 0) = р\, р(т, — 0) = р2.
Поэтому имеем
Р
—■ + 0[(АтJ],
«Я. + 0[(АтJ].
Р
/ 1 \ Р, / 1 \ Р.
Здесь энтальпия Н, = Е[ — ) + — = Е [ — ) + постоянна в интер-
\Pi/ Pi \Р2/ Pi
вале Pi < p < Рг. Отсюда первое слагаемое в правой части D5.8) равно
/1 1 \
P, f ( — )dm + ... «s p,[v
m. \p p/
Итак,
m.
(/й.)-и
/ (E-E)dm*>P,[6v(m.)-6v(m,)].
Во втором члене в D5.8) учтем, что
' ~ ч 1
и(то)«аи(те.)+ (Ш-ТО.),
Pi
Отсюда
~-1/3 -1/3_ 1 -4/3 ~
1 -4/3 ^
з и
v(m.)-v(m.
Тогда получим
т.
PS (и'3 — v~ll3)mdm ^fim.
и(т)«и(
U-U) «»
т*
/ (S
Г1
{m,)-v(m,) + v(mm)
1
т.) + — (т - т.).
Р2
~ A !М
\Р2 Pl/J
1* -v-ll3)dm**
1 .
D5.9)
D5.10)
Г45.121
422

Предположим, что приращение 6v (m) на участках 1 и 2 имеет тот же поря-
порядок малости, что и величина сдвига скачка Дто. = m. — т.. Учтем также в
{45.4), D5.5) соотношение, следующее из уравнения равновесия:
P(m.)*>P(m.) 77Г Am- D5ЛЗ)
Зи4/3(то.)
Для полного возмущения Де = бе + 62е с учетом D5.4)-D5.7), D5.9)-
D5.13) получим
1 т< * Л /dbv'
2 о ,й.
D5.14)
D5.15)
6u4/3(m.)
Выразим теперь (т, -т,) через 6v. В силу D5.10) имеем
/1 1 \
6и(т.) -6и(то.) « (т. -т.)( ),
\ Рг Рг /
поэтому неинтегральный член в D5.14) равен
-B[6v(m.)-6v(m.)]2,
D5.16)
рт. / 1 1 \-
^ = { I • и. = и(то.).
3U?/3\P1 Р2 /
Возьмем пробную функцию 6v в виде
^@)=0) D5.17)
m. < то < М.
Тогда требование положительности Де при малых г] запишется в виде
м I 4
/ lX2
Дс = / yPpfoXm)J---—
о I 9 и7/3
D5.18)
0< m< то.
{V>2, 0<
<Pi, то.
< т < Л/.
Пробная функция <р(то) может быть разрьшной при то = то., что и приво-
приводит к дополнительному неинтегральному слагаемому в условии устойчи-
устойчивости. При нескольких фазовых переходах в одной звезде каждому из
Ийх соответствует неинтегральное слагаемое типа D5.16).
В) Другие формы записи критерия устойчивости. В D5.18) пробная
функция <р(то) произвольна, имеет произвольный скачок при то = то. и
Должна лишь равняться нулю при то = 0. Зафиксируем значения на скачке
^2(то.) = ф(т, - 0), Vi(m) = >р(т, + 0) и подберем ф(т) так, чтобы
') Означает производную по т.
423

минимизировать интегральный член в D5.18). Уравнение Эйлера для
такой вариационной задачи при квадратичном функционале линейно и
совпадает с линеаризованным уравнением равновесия
d 4 т
—— [уРр*(т)] +-Р —- ,р = 0. D5.19)
am у v '
Интеграл в D5.18) с помощью D5.19) можно выразить через значения
на скачке^! и <р2 • Тогда вместо D5.18) получаем условие
у2=у(т.-0), y^yfm.+O).
Так как условие <р@) = <Рг(О) = 0 определяет решение уравнения D5.19)
с точностью до множителя, отношения ф2(т,)/ф2(т,) и ^p\(m,)hi{m^)
не зависят от <Pi ("*.), *р2(т,) и определяются только невозмущенными
функциями. Обозначим
Аг = -Р.72Р2 !f2~^~ • A, =P.ylPl ^-=f • D5.21)
Тогда условие D5.20) примет вид
> 0 D5.22)
для любых <Pi. = ip\(m,) и <р2« = Фг(т»)- Для выполнения D5.22) требу-
требуется
Ах+В>0, А2+В>0, АхАг +В(Ах +А2)>0. D5.23)
Иногда полезна форма записи необходимого условия устойчивости, в
которой минимизирован лищь один интеграл. Исключая интеграл от 0
до т, и минимизируя по <Р2.. получаем
D[Mm.)]2+ f \уРрУ\(т)J ~-Р ,., dm > 0,
тЛ 9 v'3 } D5.24)
D = A2Bl(A2+B), A2+B>0.
Условие D5.23) на вид локально, но для вычисления Ах и А2 нужно ре-
решить две задачи Коши для уравнения D5.19): на участке 0 < т < w»
из точки т = 0 и на участке т, < т < М из точки т = М. После получе-
получения этих решений и нахождения.^ и А2 из D5.21) проверяется устойчи-
устойчивость по D5.23).
Если в условиях D5.18) и D5.22) рассматривать только непрерывные
функции у(т) т.е. <Pi(™,) = 4>г(т*) . то из D5.22) получаем требование
At + А2 > 0. Непрерывность *р(т) соответствует возмущениям, не сдви-
сдвигающим скачок плотности по массе. Это же условие устойчивости имеет
место и при отсутствии фазового перехода и следует из D5.23) при р2 -*Р\<
В -*-°°. В D5.24) при отсутствии фазового перехода можно прямо поло-
положить р, = р2, что приводит к D = A2.
в) Приближенная проверка устойчивости. Вариационный принцип
D5.18) позволяет провести приближенную проверку устойчивости, выбрав
подходящий класс пробных функций <р (т). Это существенно проше ре"
424

тения задачи Коши для уравнения D5.19), имеющего особенности при
т = 0 и т = М. При отсутствии фазового перехода хороший результаг по-
получается при линейной пробной функции у (т) = v (т) (см. § 40 и D0.8)
для случая ОТО). При наличии фазового перехода удовлетворительная точ-
точность получается при использовании двухпараметрического семейства
пробных функций. Введем вместо <р(т) пробную функцию ф(г), сводя-
сводящуюся к (б/-//-) в гладком случае (см. § 43)
Тогда условие D5.18) примет вид
(/ + / )Рг2\у(зф+г — ) -\2ф2-Лг-— \dr
о г» L \ dr/ dr \
Р\ Pi
Условие D525) сводится к D3.16) при ф1л = ф2* и интегрировании по
частям с учетом уравнения равновесия B1.1). Обобщение линейной проб-
пробной функции ф =1, if ~ v на случай фазового перехода есть функция
а2, г<гл,
которая, однако, не дает достаточной точности для границы устойчивости.
Точность вариационного критерия контролировалась с помощью статичес-
статического критерия. Удачным оказался выбор двухпараметрического семейства
|1» Г< Гт
«з D5.26)
<* + -у /■>/-
г
Подставив D5.26) в D5 25), получим квадратичную форму F(al,a2,a3),
положительная определенность которой необходима для устойчивости
з
F(ai,a2,a3)= 2 А^ща,,,
i,k=l
A11=K1+K2+3I1, Al2=A21=-Klt A13=A3l=-Kx/rl,
Агг^К^-Кг+ЪЬ, А23 =А32 = (tf, - K)/i* +I
Здесь К1 и Кг даны в D5.25), а интегралы /; равны
Л = /07 - 4)/V* dr, h = / C7 - 4)А/г,
0 r- D5.28)
72 = / C7 - 4)Pr2dr, U = / G + 4) — dr.
г» г» Г
Результаты применения критерия D5.18) в виде D5.25)-D5.28) для
с фазовым скачком плотности q = Р2/Р1 и политропой с одинаковым
425

Таблица 55
Приближенные значения критических параметров политроп с фазовыми перехо-
переходами по критерию D5.25) -D5.28) в сравнении с точными значениями по стати-
статическому критерию § 44. ра - центральная плотность в точке потери устойчивости,
Рь - то же в точке возврата устойчивости (из [42])
q
1,32
1,33
1,34
1,38
1,60
2,00
1,08
1,09
1,10
•)При
Точное
значение
1,15
,10
,03
,00
,00
1,42
,19
pa= Рг имеем
Pa/Pi
Прибли-
Приближенное зна-
значение
—
1,28
1,14
*
*
—
1,20
Pb
Точное
значение
устойчиво
1,25
1,35
1,60
2,63
4,3
устойчиво
1,51
2,19
г» = 0 и возникает расходимость
1Рг
Прибли-
Приближенное зна-
значение
-
1,35
1,6
2,6
4,2
-
2,18
в интеграле /4 иЗ
У
5/3
7/5
DS.28).
у при р < pi и р > рг Даны в табл. 55 из [42]. Для сравнения приведены
точные значения критических плотностей, полученные из статического
критерия в [64].
Качественные зависимости М(РС) в окрестности точки фазового пере-
перехода в центре звезды приведены на рис. 125 для различных у и q (см.
[191, 64]). При q > 3/2 потеря устойчивости происходит при Рс -Р», но
по мере дальнейшего роста Рс и рс для у > 4/3 устойчивость восстанавли-
восстанавливается при Рс = Рь (рс = рь), рис. 125, а. При q < 3/2 также возможна
потеря устойчивости при конечном ядре новой фазы с Рс = Ра, рс = ра ■
Для каждого у > 4/3 существует qK, такое, что при q < qK звезда всегда
устойчива. Для у = 2, 5/3, 3/2, 7/5, 4/3 приближенные значения qK = 1,46,
1,33, 1,20, 1,09, 1,00. Очевидно, что случай у = 4/3 вырожден (безразличное
равновесие) в ньютоновской теории (см. D5.24)), поэтому сколь угодно
слабый фазовый переход приводит к неустойчивости.
М
М
М
Р* РЬ Рс %Ра Pi Рс Р, Рс
Рис. 125. Качественные зависимости М(РС) политроп с фазовыми переходами при у >
> 4/3 и для различных q: q > 3/2 (о), qk<q < 3/2 (б), q < qk < 3/2 (в)
426

г) Вывод условия устойчивости при фазовом переходе в центре звезды.
Используя эйлерову координату v в качестве независимой переменной,
запишем энергию е из D5.1) в виде
В - m2dv
-б/*г- D529)
Пусть в невозмущеЪшой звезде Рс =Р„ав точке фазового перехода в воз-
возмущенной звезде v = и.. Для подсчета вариации энергии разобьем интегра-
интегралы в D5.29) на интервалы 0 < v < и., и.< v < °°. Имеем
- ddm °° - dH
'v = J H dv = НЬт — J — bmdv,
v» dv „ v» dv
"• D5.30)
- mbmdv
\6 v. „4/3 / з „J. v
n2dv\ P - (&?riJdv P [S'w(i'.)]2
77Г/ = 6 ^ ^3— = 2 i/3~ + °^'^ =
U U< D5.31)
Вторая вариация первого интеграла в D5.29) есть величина ~v\ и нам
не понадобится. На внутреннем участке имеем
Ev= fH.(p-p)dv+O(vl)=H.6m(v.)+ O(v\),
D5.32)
С учетом уравнения равновесия в точке и» невозмущенной звезды имеем
D5.33)
Суммируя изменения энергии D5.30) —D5.32) с учетом уравнения равно-
равновесия D5.33) в первом члене первого соотношения D5.30), получим
Bvs'3
Де=- -^— [5(p2-PlJ-pl+p2] +[Hlf-H(
[-5(р2 - PiJ + р\ ~ р\ + 5Pl(p2 -
зри;/* /3 \
~^ (P2 ~Pi)( - Pi -P2 )• D5.34)
как p2 > pj условие устойчивости Де > 0 сводится к рх < — pj.
2
вывод получен в [470, 191] более сложным способом. Отметим,
° вывод условия D5.34) прямым подсчетом энергии в лагранжевых
ооРДинатах сделать не удалось, так как неинтегральные члены в D5.18)
ановятся более низкого порядка малости и определяют результат.
427

ГЛАВА 13
ТЕПЛОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 46. Эволюционные стадии
проявления тепловых неустойчивостеи
Развитие динамической неустойчивости в звезде ведет к переходу ее в
компактное состояние (нейтронную звезду или черную дыру) с возмож-
возможным наблюдаемым взрывом сверхновой, и означает конец ядерной эволю-
эволюции. Результаты развития тепловой неустойчивости не всегда столь ката-
катастрофичны. В гл. 9, § 35 некоторые проявления тепловой неустойчивости
уже рассматривались.
а) Неустойчивость в вырожденных областях. Развитие неустойчивости в
условиях вырождения вещества, предсказанное в [484], объясняется очень
просто. Рост температуры в этом случае почти не влияет на давление. Гидро-
Гидродинамический механизм стабилизации не срабатывает, экспоненциально
подающее с температурой время ядерного горения быстро уменьшается
и происходит термоядерный взрыв. Проявления подобных взрывов до-
довольно разнообразны.
1. Гелиевая вспышка. Имеет место в вырожденных гелиевых ядрах
образующихся у звезд с начальной массой Л/,- < 2,25Ме (см. § 33) после
выгорания водорода в центре. Результатом гелиевой вспышки является
снятие вырождения в ядре и переход в состояние спокойного горения ге-
гелия (см. рис. 89) • Во время гелиевой вспышки всегда т„ > т/, и статическое
равновесие почти не нарушается.
2. Углеродная вспышка. В звездах с массой вначале Mt = 2,25 -=• &Мв
вырожденное ядро образуется после выгорания в нем гелия и образования
смеси 12С + 16О (§ 33,35). Судьба такой звезды зависит от конкуренции
между процессами роста вырожденного С—О ядра при горении гелиевого
слоевого источника и истечения вещества. Как показано в § 33, согласно
наблюдательным свидетельствам лишь наиболее массивным звездам из это-
этого интервала удается увеличить массу ядра до 1,39Afe, когда в нем разви-
развивается тепловая неустойчивость, ведущая к взрыву с т„ < тл (§ 33, п.з).
В результате такого взрыва происходит либо полный разлет звезды, либо
переход к коллапсу с образованием нейтронной звезды (§ 35).
3. Неон-кислородные вспышки. У звезд с М = 8 -=- l3Afe углерод в ядре
горит в невырожденном состоянии, но образующееся при этом О + Ne +
+ Mg — ядро оказывается вырожденным (§ 34, п. б). Для звезд с М -
= 8 -г 10Ме развитие динамической неустойчивости является следствием
нейтронизации 24Mg, ведущей к коллапсу, и начинается прежде, чем в вы-
вырожденном ядре разовьется тепловая неустойчивость. Кислородная тепло-
тепловая вспышка на стадии сжатия почти не влияет на коллапс. Для звезд с
М = 10 -г- l3AfG тепловая вспышка развивается на периферии вырожденного
ядра, приводит к снятию в нем вырождения и дальнейшей спокойной эво-
эволюции. Здесь, как и в гелиевой вспышке, всегда т„ > т/,.
4. Оболочки белых карликов. Вырожденные водородно-гелиевые слои
формируются в оболочках белых карликов в результате аккреции в двой-
двойных системах. Предполагается, что развитие в них тепловой неустойчивости
428

моядерного горения водорода является причиной вспышек новых звезд
^6 39, п.д) ) • При этом т„ становится меньше тЛ .
5 Оболочки нейтронных звезд. Образование вырожденных слоев из во-
осюда и гелия с последующей термоядерной вспышкой здесь также проис-
одит в результате аккреции. Расчеты показывают [243], что после загора-
ия водорода в оболочках нейтронных звезд развиваются столь высокие
температуры, что происходит взрывное горение гелия. Тепловые взрывы
возможны также в чисто гелиевой вырожденной оболочке. В процессе
взрыва условие статичности т„ > т/, не нарушается. Подобные взрывы
связываются с рентгеновскими барстерами — вспыхивающими рентгенов-
рентгеновскими источниками, наблюдаемыми в сферической составляющей Галак-
Галактики и в шаровых скоплениях в диапазоне энергий от десятых долей кэВ
по нескольких десятков кэВ. Анализ наблюдательных данных свидетель-
свидетельствует в пользу того, что барстерами являются очень старые нейтронные
звезды с малыми магнитными полями, входящие в состав тесных двойных
систем в паре с маломассивным красным или белым карликом. Из-за ма-
малого магнитного поля возможно раскручивание нейтронной звезды до боль-
больших угловых скоростей в результате аккреции и превращения ее в быстрый
миллисекундный пульсар*). .
В расчетах с регулярной аккрецией [458], рис. 126, тепловые вспышки
происходят также регулярно с интервалом между вспышками, зависящим
от скорости аккреции М. Наблюдения показывают сильную нерегулярность
появления и свойств вспышек [601], рис. 127, что указывает на возмож-
возможность хаотических проявлений. Возникновение стохастичности в некоторых
моделях рентгеновских барстеров исследовано в работе [550].
6. Взрыв в оболочке нейтронной звезды из-за реакции деления сверхтя-
сверхтяжелых ядер. В более жестком диапазоне энергий от 20 кэВ до 20 МэВ
наблюдаются гамма всплески. По длительности: от десятых долей до де-
десятков секунд, они близки к рентгеновским, но показывают большее раз-
разнообразие типов всплесков (рис. 128 [377]). В отличие от рентгеновских
барстеров, которые видны на одних и тех же нерегулярно вспыхивающих
источниках, гамма всплески за малым исключением не являются рекур-
рекуррентными. О природе гамма всплесков нельзя говорить столь определенно,
как о природе рентгеновских барстеров, но их происхождение на нейтрон-
нейтронных звездах сомнения не вызывает. Эта уверенность основана на наблюде-
наблюдении жесткого пульсара в течение более ста секунд после гамма вспышки
на месте одного из самых мощных из наблюдемых всплесков, происшедше-
происшедшего пятого марта 1979 г. [152].
Скорее всего, гамма-всплески происходят на старых остывших одиноч-
одиночных нейтронных звездах, так как они не связаны ни с одним стационарным
оптическим объектом (или радио), которыми могли бы быть нормальный
компаньон нейтронной звезды или сама молодая нейтронная звезда —
радиопульсар.
Модель гамма всплеска, предложенная в [278, 289] и развитая в [62,
I, основана на неустойчивости, ведущей к ядерному взрыву при ре-
' Открытие миллисекундного пульсара в шаровом скоплении М 28 [473а] под-
*еРДИли эту эволюционную схему, рассмотренную в [250а]. К 1989 г. открыто 5 ра-
опУльсаров в шаровых скоплениях с быстрым вращением (см., например, [34а]).
429

Рис. 126. Зависимость светимости от
времени при вспышке, связанной с во-
дородно-гелиевым горением в оболоч-
оболочке нейтронной звезды. Указаны эффеК.
тивные температуры в максимуме све-
светимости и на спаде вспышки
(лз [458])
-2 0 2
1200
BOO
500
WOO
Время,с
1500
Рис. 127. Профили двух всплесков, наблюдавшихся от источника GX 17 + 2 на спутни-
спутнике EXOSAT 6 сентября 1984 г. (вверху) и 20 августа 1085 г. (внизу). Временное
разрешение равно 0,63 с для верхнего и нижнего рис. соответственно (из [601])
430

■^800
Г"
I'
4.11.78
О Ю 20 SO
«5
§2*
wo
!
16. 01. 79
s
1250
о
G 10 20 SO t-to>c
О 10 ZO SO t-t0, С
Рис. 128. Временные профили нескольких гамма-всплесков, наблюдаемых в экспери-
эксперименте "Конус". Даты всплесков указаны на рисунках (из [377])
акции деления сверхтяжелых ядер во внешней оболочке нейтронной звез-
звезды при р < 109 г-см~3. Сверхтяжелые ядра образуются при формиро-
формировании нейтронной звезды и запасаются в неравновесном слое (см. § 4,
пп. д и е) [60, 61, 287]. Будучи устойчивыми в неравновесном слое при р =
= 1010—1012 г-см~3, сверхтяжелые ядра становятся неустойчивыми
относительно бета-распада после перехода в менее плотные слои с р^
^ 10 г-см~3. Такой переход может быть вызван звездотрясением на
нейтронной звезде аналогичным тому, которое вызьшает, возможно, наблю-
наблюдаемые скачки периода в радиопульсарах [153]. Увеличение числа прото-
протонов в ядре делает его неустойчивым относительно деления после бета рас-
распадов. Появление быстрых нейтронов при спонтанном делении инициирует
вынужденное деление, которое в итоге приводит к цепной реакции [288]
и взрывному выделению энергии за время г„ ~ 10~8 с, много меньшее
"адродинамического времени оболочки ти,епч =Л/и * 104/1010 » 10 с.
Выделение энергии Q ~ 1040 эрг в оболочке нейтронной звезды приводит
к Формированию ударной волны, выход которой на поверхность связыва-
связывайся с наблюдаемым гамма всплеском [39].
431

Неустойчивость, ведущая к цепной реакции деления, по своей д
отличается от рассмотренных выше проявлений тепловой неустойчивости
обусловленных уменьшением времени горения г„ из-за роста температуру'
Ядерное время деления зависит не от температуры, а от концентраций
быстрых нейтронов при сверхкритической массе делящихся ядер. Тепло-
Тепловой характер этой неустойчивости проявляется в том, что в вырожденном
веществе на начальных этапах развития цепной реакции относительный
рост давления незначителен и гидродинамические движения и образование
ударной волны происходит только после высвобождении всей энергии
деления сверхтяжелых ядер. Такую неустойчивость можно назвать ядерно-
тепловой.
б) Неустойчивости в отсутствие вырождения. 7. Петли на эволюционных
треках массивных звезд на ГР диаграмме. Эволюционные треки звезд с
массами М >, ЪМ® на ГР диаграмме оказываются очень чувствительными
к исходным параметрам и даже к методу численного счета ( § 32, пп. б и в).
Столь нерегулярное поведение указывает на наличие тепловой неустойчи-
неустойчивости, природа которой отличается от рассмотренных выше. Здесь имеют
дело не с уменьшением г„ из-за изменения температуры, более того,
темп ядерного горения здесь меняется слабо. Проявление данной тепловой
неустойчивости состоит в неустойчивости эволюции звезды на стадии го-
горения гелия в ядре и водорода в слоевом источнике. Математически это сво-
сводится к тому, что зависящие от времени решения уравнений эволюции
оказываются неустойчивыми, т.е. сколь угодно малые различия в началь-
начальных условиях ведут со временем к большим различиям в решениях. В про-
процессе развития данной неустойчивости соотношения между характерными
временами г/,, rr/,, г„ по порядку величины не меняются. Неустойчивость
является необходимым условием развития стохастичности [138], прояв-
проявляющейся в численных расчетах.
Несмотря на существование многочисленных эволюционных расчетов
с образованием петель, физическая природа данной неустойчивости и
ее движущие силы остаются неясными. В [651] эта неустойчивость у мас-
массивных звезд с М > 15Af@ связывается с выходом водородного слоевого
источника за скачок химического состава на границе максимального про-
проникновения вглубь внешней конвективной зоны на предыдущих стадиях
эволюции. Однако не исключено, что само это проникновение является
следствием данной неустойчивости. Для менее массивных звезд предполо-
предположения о физической природе петель отсутствуют.
8. Вспышки в невырожденных гелиевых слоях. Данный тип неустойчи-
неустойчивости имеет место в звездах с массами 2,25 +8М® на стадии роста вырож-
вырожденного С-0 ядра из-за горения гелия в слоевом источнике (§ 33, п.г).
По своим проявлениям эта неустойчивость полностью аналогична неустой-
неустойчивости ядерного горения в условиях вырождения. Так же как и там. с
ростом температуры характерное время горения гелия гНе сильно умень-
уменьшается, хотя никогда не достигает г/,, поэтому статическое равновесие
сохраняется, как в случаях 1, 3, 5. Слой горения гелия оказывается дина-
динамически слабо реагирующим на рост температуры внутри него, однако
причина этого не в слабой зависимости давления от температуры, как в
вырожденном веществе, а связана с откликом всей звезды на повышение
температуры в тонком слое.
432

к 47. Развитие тепловой неустойчивости
в невырожденных слоевых источниках
Предсказание о возможности развития тепловой неустойчивости в не-
гюжденных тонких слоях горения в результате особенностей отклика
Ввезды на возмущения скорости горения сделано в [95]. В [570] дано ма-
математическое описание неустойчив остей подобного типа. Рассмотрим дина-
динамически устойчивые звезды.
а) Устойчивость слоя горения постоянной толщины. Приближенно рас-
рассмотрим тепловое возмущение без учета его влияния на равновесие слоя.
Перепишем уравнения теплового равновесия для радиативного случая
B2.3), B2.4) с уравнением состояния идеального газа из A.2) в виде
, , 4ас Т3 dT
Lr-^f— 7-ST1 D7Л)
dm 2 р dt
где S — энтропия A.3) идеального полностью ионизованного газа с \х из
A.7). Предположим, что все источники энергии расположены в слое массы
Am, а вне этого слоя выделение энергии пренебрежимо мало. Идеализиро-
Идеализированное распределение температуры в слое Am показано на рис. 129 из
[570]. Тогда из уравнения D7.1) следует
Lr = 0 при m-m0, D7.4)
, , 4асТ3 AT Am
Lr-L = ^r>? — lj^- nP«m>m0 + — . D7.5)
Пренебрегая изменением энтропии со временем, получаем для средней
скорости выделения энергии в слое
Наложим возмущение температуры слоя в виде [570], указанном на
рис. 130. Пренебрегая возмущениями плотности и температуры и оставляя
только возмущения градиента температуры, имеем из D7.1)
&Ьг = Ц4тгг2J——— , D7.7)
3 к 1/4Дт
где "-" относится к внутренней, а "+" к внешней поверхности слоя Тогда
в°змущение дивиргенции потока равно
L T ST
= 4 D7.8)
Am AT T
и скорость выделения энергии записать в виде
^~Т\ D7.9)
• Г-С. Бисноватый- Коган 433

пренебрегая ее зависимостью от плотности, и учесть только временные
производные энтропии (d/dt - d/dt), то из D7.2) с учетом D7.6), D7.8)
D7.9) получим
Т \ЪТ 3 / р Am\ d(Ss)
-4 I— = - [ )
AT / Т 2\р L / dt
D7.10)
Первый член в левой части D7.10) связан с ростом тепловыделения, а вто-
второй — с увеличением теплоотвода из слоя. Положительность левой части
Г
1
1
А/7? ]\
m
m
Рис. 129. Упрощенный профиль температуры в слое горения (из [570])
Рис. 130. Упрощенный профиль возмущения температуры в слое горения (из [570])
означает, что небольшое увеличение температуры слоя приводит к дальней-
дальнейшему росту его энтропии и температуры, т.е. к неустойчивости. Таким об-
образом, тепловыделение преобладает над теплоотводом при
AT 4
— >-■ («■")
т.е. при достаточно большом перепаде температуры AT в слое. В [570]
отмечается, что для протон-протонного цикла горения водорода из A4.6)
с v * 4 [229] условие D7.11) не выполняется, но при с>4в случае го-
горения гелия A4.39), см. [229], сравнительно небольшие перепады темпе-
температуры могут привести к неустойчивости. Для окончательного ответа на
вопрос о тепловой неустойчивости слоевого источника необходимо учесть
совместно возмущения температуры и плотности, связанные с гидростати-
гидростатической подстройкой всей звезды к возмущению температуры в слое.
б) Учет возмущений плотности [ 570]. Линеаризованные уравнения рав-
равновесия B2.1), B2.2) запишем в виде
d(Sr/r) _ 1 / Ъг 3 ЪР 3
4irr3p \ г 5 Р 5
dm
d(SP/P)
Gm
dm 4тгг*Р
При этом учтено
Ър 3 3
— = bs +
/ Ъг ЪР\
D7.12)
D7.13)
ЪР
Р
D7.14)
р 5 5 "
Решение неоднородной системы линейных уравнений D7.12), D7.13)
конечное по всей звезде, ищем методом вариации постоянных. Соответ-
Соответствующая однородная система (при 5s = 0) имеет два линейно независи-
434

решения. Одно из. этих решений с индексом *\" конечно в центре,
МЬ имеют место разложения (с нормировкой (БР/Р)^ = 1 прит=0, г = 0)
1 3 pGm
= ~ 7 " 250 ~гР " "
5 D7.15)
1 pGm
1+
а ДРУгое> с инДекс0М "> конечно на краю звезды, где имеется разложение
(с нормировкой (ЪР/РJ = 1 при т = М, r = R)
8#
4 2° R 35 W ' D7.16)
R
Решение неоднородной системы, конечное по звезде, ищем в виде
= Ci (m) (SP/P) C () (SP/^b
Решения " расходятся натранице, а решения " — в центре звезды, так
как отсутствуют везде конечные ненулевые решения однородной системы.
Это соответствует равновесному динамически устойчивому состоянию
звезды в отсутствие возмущений (см. § 44). Тогда функции Cj(m) и
Сг(гн) должны удовлетворять условиям
С,(М)=0, С2@)=0. D7.18)
Подставляя D7.17) в D7.12), D7.13) и решая полученную относительно
C\(pi) и С2(/я) систему с учетом D7.18), получаем решение неоднород-
неоднородной системы в виде
/Л ( \ '\ 3 dr
/2 6 \ P /, 5 Д /■
D7.19)
где
D7.20)
Решение D7.19) записывается аналогично решению неоднородного урав-
уравнения второго порядка [р(х)у'] - q(x)v + f(x) = 0 на проме-
dx
*Утке [а, Ь] с однородными краевыми условиями ауу(а) + а2у\а) = 0,
28* 435

+ /32 У (*) = 0 с помощью функции Грина [196]
С(х, £) = | 2 ~"
I J2 (*)>1 (?) (X > ?),
где Ji удовлетворяет первому, а у2 - второму из краевых условий.
Функция G(x, |) является решением уравнения второго порядка при
f(x) = Ъ (х — ?), а решение при произвольном /(х) имеет вид
ь
»
Для локализованного в тонком слое возмущения 5 s из D7.19) по-
получаем возмущение давления в слое в виде
ЪР 3 Д/- {&PIP)i ФР/РJ
— ~-Q—t*.Q= д И. D7.21)
Величина Q слабо меняется от —4 до —8 по звезде для модели красного
гиганта с вырожденным углеродным ядром и гелиевым слоевым ис-
источником из [570]. Отрицательность Q приводит к тому, что рост энтро-
энтропии в слое уменьшает давление в нем. При этом возмущение давления
падает с уменьшением толщины слоя. Из уравнения состояния идеаль-
идеального газа, D7.14) и D7.21) получаем возмущение температуры в слое
в виде
ЪТ ЪР Ър 2 ЪР
Р 5
3 3/ 2 ДА
-Ss =-A+-<2 — }«s. D7.22)
5 5 \ 5 г /
Отсюда для широких областей горения Д/-//- ~ 1 ибй —6 следует от-
отрицательная теплоемкость звезды EГ/Г < 0 при 5s > 0), означающая
ее тепловую устойчивость. Для достаточно тонких слоев горения возмо-
возможен рост температуры при увеличении энтропии, если
Д/- 5 1
< . D7.23)
г 2 1B1
Совместное выполнение условий D7.11) и D7.23) необходимо для
развития неустойчивости в слоевом источнике. В реальных слоях го-
Д7 Д/-
рения * , поэтому
Г г
- < — < , v > - I Q I * 10. D7.24)
v r 2 1B1 5
Таким образом, гелиевые слоевые источники, а также водородные, где
горение идет по углеродному циклу (§ 14) могут быть термически не-
неустойчивыми. Возможно, что этот фактор влияет на образование петель
на треках массивных звезд.
в) Строгий критерий тепловой устойчивости. Для строгого исследо-
исследования тепловой устойчивости звезды следует одновременно решить
436

линеаризованную систему уравнений эволюции звезды с зависимостью
от времени
SL. Ьг, ЪР, ЪТ ~е*'т. D7.25)
Эта система состоит из уравнения D7.12), D7.13), линеаризованного
уравнения D7.1)
, , Лас Т3 \ dST dT/ЛЬг ЗЪТ Ък\\
Ыг = -(*™г)г — —- + —( +— ) D7.26)
3 к { dm dm\r Т к / J
и линеаризованного уравнения D7.2), которое является единственным
содержащим временную производную
3 Р 8s
Линейная однородная система дифференциальных уравнений D7.12),
D7.13), D7.26), D7.27) решается с помощью перехода к конечно-раз-
конечно-разностным уравнениям, как в методе Хеньи (§ 22). В силу однородности
у этой системы при выполнении линеаризованных граничных условий
B2.10), B2.11) решение существует только при нулевом определите-
определителе, что выделяет единственное значение собственное значение г. Про-
Проведенный в [570] анализ тепловой устойчивости эволюционных моде-
моделей звезды в 1 М© с малым содержанием металлов (население II) пока-
показал наличие положительных собственных значений: 1) на стадии начала
гелиевой вспышки в ядре с LH ^2600Le,LHe «* 1 Le, где г *300000 лет,
и 2) на стадии двух невырожденных слоевых источников (водородного
и гелиевого) с вырожденным углеродным ядром при LH « 122 L@, Ine5*
*= 118 £,©,где г « 106 лет. В последнем случае возмущения температуры
и энтропии имеют один и тот же знак внутри гелиевого и противополож-
противоположные знаки внутри водородного слоевого источника, что указывает на
неустойчивость именно гелиевого горения. Как следует из эволюцион-
эволюционных расчетов (§ 33), в процессе развития гелиевой вспышки в слоевом
источнике в нелинейном режиме г быстро падает. На границе тепловой
устойчивости г = °°, а определитель рассмотренной линеаризованной
системы совпадает с определителем Хеньи (§ 22), поэтому обращение
его в нуль в процессе эволюции означает наступление, тепловой не-
неустойчивости.
Обращение в нуль детерминантов в методе Хеньи или Шварцшильда
происходит и при появлении тепловой неустойчивости, ведущей к об-
образованию петель на эволюционных треках (см. [522, 553, 527], § 32,
п- а)- С этим связана также неоднозначность при построении равновес-
равновесных звездных моделей с заданным распределением химического соста-
ва по веществу.
437

ГЛАВА 14
КОЛЕБАНИЯ ЗВЕЗД И УСТОЙЧИВОСТЬ
Звезда, как динамическая система, имеет различные собственные
моды колебаний. При учете тепловых процессов некоторые из этих мод
оказываются неустойчивыми. Инкремент такой неустойчивости у рад.
ный обратному характерному времени роста амплитуды в е раз, обыч-
обычно много меньше частоты колебаний w. Другие моды могут быть не-
неустойчивыми и в адиабатическом приближении, например, конвектив-
конвективная неустойчивость при dS/dr < 0 (см. гл. 3). »
Звездным пульсациям и анализу их устойчивости посвящены книги
и обзоры [183, 130, 616, 468]. В этой главе рассмотрены радиальные
колебания звезд с фазовыми переходами и важная проблема колеба-
колебательной устойчивости массивных звезд, что не вошло в указанные мо-
монографии. Рассмотрим сначала кратко основы теории звездных пульса-
пульсаций, следуя [130,468].
§ 48. Собственные моды
а) Уравнения малых колебаний. Выведем линеаризованную систему
уравнений гидродинамики, описывающих малые колебания звезды.
Звезда предполагается невращающейся с и = 0. Лагранжевы возмуще-
возмущения данного элемента вещества для смещения, скорости, плотности,
давления и потенциала обозначаются в виде
57, 5"ы, Ьр, ЬР, 5Ф, D8.1)
а эйлеровы в данной точке пространства в виде
и',р',Р',Ф'. D8.2)
Связь между ними имеет вид
5/=/'+ 5>(V/). D8.3)
Задаваясь зависимостью от времени ~e~icJt, получим из B7.1)
Ц' = 6и =-ictft D8.4)
Из уравнения неразрывности B7.2) получаем
Ьр = р + Vp ■ b7 = -р (V • 57). D8.5)
Уравнение движения B7.3), деленное на р, после линеаризации примет вид
-> VP' VP р'
ш2Ьг + + УФ' = 0. D8.6)
Р Р Р
Лагранжевы возмущения энтропии 55, а также ЪР и Ьр связаны со-
соотношением
/Ъ\пР\ Р /ЪР\ Р _.
ЬР 4 —— ) - Ьр + ( — ) 55 = 7i - Ьр + pTy3bS, D8.7)
\ Э1пр /s р \ Э5 /р р
438

пе из термодинамических соотношений имеем
— ) =рПтг-) =РТ1з, D8.8)
Э5 /р \dlnp /
dlnp /s
7l и 7з да™ в A.11), A.13).
Запишем D8.6) в виде
_> /Р' \ Р' VP р
_co25/- + V[ — + Ф' )+ — Vp = 0. D8.9)
\Р I Р2 Р Р
Выразив Р' через ЬР в третьем члене D8.9) с помощью D8.3), получим
_,. /Р' \ ЬР Vp (S7-VP) Vp
\Р / Р Р Р Р
VP р
= 0. D8.10)
Р Р
Так как в сферической звезде Vp || Vp, два последних члена с помощью
D8.5) объединяются в один: *
(br*VP) Vp VP р' bt-Vp VP
P P P P P P
p VP Ьр VP
+ =— • . D8.11)
P P P P
Учитывая D8.7) в третьем члене D8.10) и условие D8.11), получим
/Р' Д Р Vp Ьр VP Ьр
< Р ) ' Р Р Р Р Р
Vp
+ ^7з 65 = 0. D8.12)
Р
Введем величину
1 dp \ dP
А =- D8.13)
Р dr ytP dr
и выразим Ьр через Ь~г из D8.5). Тогда из D8.12) получаем
р'\ р _ 7 Vp
>' +— )+ 7i— A(V ■ Ь?)— = Гуз 55. D8.14)
р / р г р
" термически неравновесной звезде может быть важен учет изменения
°S за период колебаний. Из уравнения энергии B2.3) имеем
1 dL
-ivTbS = e —. D8.15)
4npr dr
Чак величины А из D8.13) связан с конвективной устойчивостью в
Устойчивом случае А < 0, в неустойчивом А > 0. В иззнтропической
439

звезде, нейтральной относительно конвекции, имеет место А = О (с^
A0.3)). Возмущение потенциала удовлетворяет уравнению Пуассона
D8.7)
У2Ф' = 4nGp'. D8.16)
Рассмотрим адиабатические колебания с 5S = 0. В сферических коордц.
натах {г,у,6) имеем
Ъ? = (Ьг, гйпвЬу, гЬв),
г2 дг
1
sinfl
/■2sin0 дв
_ 1 Э
2
дг
ЭФ
дв
Э2Ф'
г2 sin2 в
1
Г
1.
1Г
D8.17)
D8.18)
D8.19)
Запишем уравнение D8.14) в компонентах сферической системы:
Д / Р'\ Р
OJ28r -'—( Ф' + — )+ 7i - А (V • 5Г) = 0, D8.20)
дг\ р / р
1 ,
ш2гЪв ( Ф' + — )= 0, D8.21)
w
1 Э/ , Р'\
гЪв ( Ф' + — )= 0,
г дв\ р /
1 Э / Р'\
/-sin05^ ( Ф' + — )= 0.
rsinO Э^\ р/
D8.22)
Подставляя D8.21), D8.22) в D8.19), получаем
1
VSr=T— (г2Ы).
Г дг г2 со
sin2fl
sinfl—[Ф +— )
sin в дв [ дв\ р / ]
D8.23)
Собственные функции возмущений ищем в виде разложения по сфери-
сферическим функциям:
/=//mW Y,m =flmP?^cos0)eim*, / = 0,1 ;
- / < m < A f=6r,p. P', Ф'- D8-24)
Здесь /'{"(cosfl) — присоединенные функции Лежандра, а сферические
гармоники Ylm удовлетворяют уравнению [93]
1 Э / bYlm \ I b2Ylm e.
( sin0 — 1+— P-+/(/+l)K/m=0. D8.25)
sin в дв \ дв / sin20 Э/
Подставляя D8.24) в D8.5), D8.16), D8.20), а также D8.18) и D8.23)
с учетом D8.25), получим для адиабатических колебаний систему урав-
440

кий для радиальных зависимостей собственных функций
п 1 dP l d 9 1(! + 1) / , P'lm\
" ' >Пт)- - - (Ф|т +——1=0 D8.
rzwz \ р /
r2 dr
P'im
D827)
При этом из D8.3), D8.7) для 8S = 0 имеем
"' "О"
— = -( ' +8r ~
dr P\m m dr /
откуда с учетом D8.13) получаем
р'.... о I™
D8.29)
7l
Р Р
Компоненты смещений 50 /т и 5^/т получаются подстановкой D8.24) в
D8.21) и D8.22). Имеем
В безразмерных переменных [342]
) D8.30)
р / do
J i?1 im^ D8.31)
Ьг \ / , Р'\ 1 1 cf^
r 8Г\Р/ gr g dr
D8.32)
где g = Gm/r2 — локальное ускорение силы тяжести, уравнения D8.26) —
D8.29) примут вид (опуская индексы 1т)
I gpr
t*- D8-33>
gpr I
-yyP J
JiP
dy2 /rw2 \ / r dm \
-r- = ( +Mb1+fl — -гА)у2+гАу3, D8.34)
w V ^ / \ m dr /
/ r
H l
\ m
r dm \
Ьэ +^4, D8.35)
m dr /
r cfm ^pr
7yi Z
m dr m dr j
m dr
441

В безразмерном виде уравнения D8.33) —D8.36) удобны для численного
интегрирования.
б) Граничные условия. Граничные условия для уравнений малых нера-
диальных колебаний следуют из условий ограниченности собственных
функций в центре и на поверхности звезды. Условие конечности решений
в центре приводит к следующим разложениям:
1 V 7Г >"
2 Uvr\ D8.37)
JoV", D8.38)
Ф' = г' 2 yvrv, D8.39)
v = o '
при этом
w2 Uo = l(Y0 + v?o) D8.40)
и два нулевых коэффициента разложения остаются свободными. Рекур-
Рекуррентные соотношения для остальных коэффициентов получаются после
подстановки разложений в уравнения и приравнивания коэффициентов
при одинаковых степенях г [616]. При этом ненулевыми оказываются
только коэффициенты при четных степенях г. Адиабатические радиальные
колебания рассмотрены в § 43, п. в. Если в равновесном решении Р/р ->0
на поверхности, то внешние граничные условия имеют вид [130]
6Р [ Gm
w2r3 Gm
D8.41)
Ф'
1) = - 4ттСр8г. D8.42)
dr r
Из двух свободных коэффициентов D8.40) один произволен в силу произ-
произвольности нормировки, поэтому для выполнения граничных условий
D8.41), D842) значение w2 должно равняться собственному значению.
В случае изотермической атмосферы короткие волны распространяются
до больших радиусов и внешнее граничное условие следует из условия
конечности потока акустической энергии при г -*■ °° [342]. Собственные
значения системы D8.26) — D8.29) с граничными условиями D8.41).
D8.42) действительны в силу самосопряженности соответствующего опе-
оператора [616].
в) P~i S- н /-моды. Решение уравнений для возмущений и нахождение
собственных значений и собственных функций в простых моделях позво-
позволило изучить основные свойства звездных колебаний аналитически и сде-
сделать их классификацию. В однородной модели из сжимаемого газа при
п > 1, п — число радиальных узлов собственной функции, две совокупности
442

обственных частот записываются в виде [ 130]
GM 1A + 1)
и-моды)-
Здесь R — радиус однородной звезды*), связанный с центральным давле-
давлением Рс
Pc p, с(Щ). D8.44)
Колебательные р-моды связаны с конкуренцией сил давления против сил
инерции и гравитации. В пределе большого п они сводятся к стоячим акус-
акустическим волнам, а при малых п, I = 0 представляют собой радиальные
крупномасштабные колебания звезды. Их частота
при и-*°°, D8.45)
/ 2яс8
как и в акустических модах I w = -*■ °° при X -*■ О, cs — скорость зву-
ка). Собственные функции смещений Ъг у р-моц медленно растут от нуле-
нулевых значений в центре, осциллируя при п > 1, и резко возрастают у поверх-
поверхности звезды, достигая там максимума.
Квадраты собственных значений #-мод отрицательны в однородной
модели, что говорит об их неустойчивости. Эта неустойчивость связана
с конвективной неустойчивостью однородной звезды, а сами g-моды отра-
отражают конвективные движения в звезде. Их существование связано с кон-
конкуренцией сил гравитации против выталкивающих архимедовых сил в
веществе при наличии неоднородностей плотности. Частоты #-мод стре-
стремятся к нулю при п -*■ °°, а собственные функции смещений Ъг быстро
нарастают от нулевого значения в центре, а затем медленно спадают (ос-
(осциллируя при п > 1) до малого, но конечного значения на поверхности
[468]. С ростом / и п максимум амплитуды £ -моды становится все ближе
к центру, а у р-моды — ближе к поверхности. В адиабатической звезде,
нейтральной относительно конвекции, все собственные частоты g мод об-
обращаются в нуль (см. также § 44).
Особый класс колебаний представляют собой/-мода. Это единственный
тип колебаний, сохраняющийся в однородной фигуре из несжимаемой
жидкости. / — мода связана со стремлением сил гравитации в отсутствие
вращения при всех возмущениях вернуть телу сферическую форму. Эта
Мода отсутствует при / = 0 и начинается только с / =2 для несжимаемого
тела и с / =■ 1 для сжимаемого. Собственная функция/-моды плавно нарас-
нарастает от центра до поверхности, не имея нигде резких максимумов.
Радиальные g-моды также отсутствуют ввиду невозможности чисто
радиальных конвективных движений. Все радиальные колебания звезды
связаны с р-модами. Значение и для /-моды в однородной модели равно
Равновесное значение VP достигается за счет быстрого падения температуры.
443

Рис. 131. Собственные значения
а% = Bя/период) 2 линейных адиа-
адиабатических нерадиальных колеба-
колебаний для различных п — число уз-
узлов по радиусу, в зависимости от
/ — номер сферической гармони-
гармоники (схематично). Показаны четы-
четыре типа сфероидальных мод нера-
диальных колебаний (р, /, g*
#-) по классификации Т. Каулин-
га. Точками на оси абсцисс обозна-
обозначены радиальные колебания, номе-
номера р„ мод равйы и - 1. В конвек-
конвективно устойчивой звезде с А < о
существуют только £+-моды, а у
конвективно неустойчивых -
только #~-моды (см. D8.13)),
одно временное су ще ство вание g* -
и £~-мод в звезде возможно толь-
только, когда в одних частях звезды
А < 0, а в других А > 0 (из [130Ц
нулю, а в моделях общего вида — единице. Собственные значения /-моды
являются промежуточными между g- и рмодами. Схематически зависимости
собственных значений различных мод колебаний от и и / представлены
на рис. 131 из [130].
г) Колебательная неустойчивость. Наличие выделения и отвода тепла
приводит к тому, что амплитуда колебаний, постоянная в адиабатическом
случае, может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от суммар-
суммарного действия тепловых процессов. Рассмотрим условия затухания или
возбуждения колебаний в общем виде, не делая предположения о линей-
линейности [215]. Разделим полную энергию звезды S на энергию колебаний W
и статическую энергию звезды U. Для каждого элемента массы dm коле-
колебательная энергия определяется, как значение кинетической энергии в мо-
момент прохождения состояния колебательного равновесия, а статическая
энергия U есть сумма тепловой и гравитационной энергий звезды в этом
состоянии. Изменение AW величины И^за цикл определяет затухание колеба-
колебаний при Д W < 0 или их возбуждение при Д W > 0. По определению имеем
D8.46)
Изменение полной энергии звезды есть разность между выделением и отво-
отводом тепла за цикл, т.е.
A(S=fdmHe--
D8.47)
Здесь внутренний интеграл берется за один колебательный цикл, а внеш-
внешний — по всей звезде, F —вектор потока тепла (эрг • см~2с~'). В сфери-
сферически-симметричной звезде
1 d
\4пг
1
-V-
р
1 d
f=— -
pr dr
1 dL
4ттрг dr
D8-48)
444

За цикл колебаний происходит изменение полной энергии S по D8.47) и
мешение состояния колебательного равновесия, изменяющего U. Пусть
состояние колебательного равновесия достигается одновременно по всей
звезде, так что нет сдвига фаз. Тогда переход от колебательного состояния
I в то же состояние II через один период колебаний можно сделать двумя
путями: через цикл колебания и квазистатически через последовательные
состояния колебательного равновесия.
При квазистатическом процессе система обладает только статической
энергией U, изменение которой равно (при нулевой внешней работе)
dS
bU =fdmfdtT . D8.49)
dt
Так как за один цикл изменение положения равновесия считается малым
G <^ w). соотношение D8.49) запишем в виде
AU = fdm Te AS, D8.50)
где Те — равновесная температура статической звезды, изменением кото-
которой пренебрегаем. При колебательном цикле между теми же состояниями
D8.51)
D8-52)
D8.53)
определяющее поведение колебаний в звезде. Условие D8.53) получено
впервые Эддингтономв 1926 г. [130].
Регулярные колебания блеска наблюдались у многих звезд. Наиболее
известны из них классические цефеиды с периодами 1—50 суток и звезды
типа РРЛиры с периодами 1,5-24 часа. Цефеиды имеют массы 4-14 Мт,
светимости 300-26000 L® и радиусы 14-200 Де. Звезды типа РР Лиры
Имеют меньшие значения массы, радиуса и светимости. Оба этих типа пе-
переменных звезд находятся на стадиях эволюции после главной последо-
последовательности и выгорания водорода в ядре звезды. Механизм возбуждения
радиальных колебаний у этих звезд связан с зонами неполной ионизации
гелия и в меньшей степени водорода, в которых непрозрачность увеличива-
увеличивайся с ростом температуры [648]. Нерадиальные р-моды колебаний с пери-
°Чом, близким к пяти минутам, наблюдались на Солнце [321а].
445
e
AS-$
поэтому из
Л/Г- С Иъ
1л U — J Ш
Подставляя
1
у
р
Т
D8.50)
е
D8.47)
F
at,
получаем
I ->
VF
Р
Т
и D8.52)
Те\(
Т/\
dt.
в D8.46), получаем
1 -А
V- F)dt
Р /

§ 49. Колебания звезд с фазовым переходом
Вещество нейтронных звезд при плотностях, близких к ядерным, может
быть неустойчивым относительно рождения я-мезонов [158]. Это явление
называемое я — конденсацией, приводит к зависимости Р(р) ван-дер-вааль-'
совского типа, что соответствует фазовому переходу. Другим примером
фазового перехода является нейтронизация-. Рассмотрим колебания звезд
при наличии фазового перехода в приближении несжимаемой жидкости
[57]. Будем рассматривать устойчивые звезды на растущем участке кри-
кривой М(РС) (см. § 40). Здесь Рс удобно использовать в качестве переменной
вместо рс ввиду его непрерьшности при скачкообразном изменении рс.
а) Уравнения движения при наличии фазового перехода. Пусть веще-
вещество является несжимаемым везде, за исключением фазового перехода,
т.е.
р = ру при Р<Р0, Р = Р2 при Р>Р0. D9.1)
Из уравнения неразрывности B7.2) имеем
u=Ui(f)(— ) приг>г2, м=0 при г < г2. D9.2)
Здесь г2 @ — радиус ядра новой фазы, более плотной, вещество которой
покоится. Подставляя D9.2) в уравнение движения B7.3) и интегрируя
по радиусу г отг2 до/? (радиус звезды), получаем [158,57]
R
2
P\ Rr2 AtTtG \ P\ I
— + I I.P2 P\)r2 + t\r2 [K + l2) I — U. \4rf. Л)
Pi R-r2 3 [ 2 J
Для сведения уравнения D9.3) к одной функции, подлежащей нахожде-
нахождению, рассмотрим условия на границе разрыва при г = г2. Из непрерыв-
непрерывности потоков массы, импульса, энергии на скачке, аналогичных услови-
условиям на фронте ударной волны [142], получаем
Ui = — (X — 1) r2, K-pilpi, Pi — Р\ =Рг(Л — О Г2
1 Р <49-4>
E2-E1=-(X-iyH+-L-(X-l).
2 р2
Здесь Pi, Ei — давление и удельная энергия на внутренней границе старой
фазы, а Р2, Е2 — на границе ядра новой фазы. При адиабатическом сжатии
Ро .
Р2
Очевидно, что Л <Ль а Р2 > ^о- Если ввести параметр Ь так, что
1 +5
Г(
2 . D9.6)
1-5
)L
446

то выделение тепла на фазовом скачке при сжатии равно
q=E2-Ex -(£'2-£'i)ad=-(X-lJ'-!, 0<5<l, D9.7)
а при расширении
<]=E1-E2-(E1-E2)ad=--(\-lJH, -1<5<0. D9.7а)
Ограничения на величину 5 в D9.7) следуют из условия неубывания энт-
энтропии на фазовом скачке. Учитывая D9.4)-D9.7) в D9.5), получим урав-
уравнение для изменения радиуса ядра
Н | г2 Г Ь-rl/R3 г2
+ -^—\ 3+5Х+— X 1
2г2 [ R [ \-r2IR R
-— Л2 + BХ-3)г| _2(Х-1) —
Л2 J J Зг2A-г2/Д)(Х-1) L л
/•о
-Ч-т)
= 0.
Если вместо Ро использовать равновесные значения радиуса Ro и радиуса
ядра г2,о звезды с массой Мо
Mo=Y[pi/?S+(P2-Pi)'io] =-~[PtR3+{p2-Pi)^], D9.9)
/?g+BX-3)/iiO-2(X-l)-i^ ,
/»о 2яСр! Г , , ]0 I
/?g+BX3)i2(Xl)i^ D9.10)
Pi 3
то уравнение D9.8) удобно переписать в виде
У ■ Н 1з.гх.Га [хд"г|/д' 1 Гг А 11
Г2 2г2 Г+5Х+* [Х 1_г2/Л J Л Л2 J)
г2
2яСР1
+RR0
^M- |=0.
Ro* '
X 3R2 +3RR0+2Rl +2(X-1)^M- |=0. D9.11)
I R
Уравнение D9.11) справедливо для колебаний произвольной амплитуды.
Для колебаний звезды с малой амплитудой | г2 - г2 0 | -4 r2, \ R - Ro \ -4
** пренебрегая квадратичными по амплитуде членами в D9.11), имеем
2Х - 3 г, п А п Л
= 0, D9.12)
447

что при w2 > 0 соответствует гармоническим колебаниям с частотой
D9.12а)
г о Г2 о 2Х - 3
sfi-Щ L R
\ Ro/
Очевидно, что при X > 3/2 колебания возможны только у звезды с конеч-
конечным ядром [193]. Для звезды с малым ядром r2)o ^ Ro частота малых
колебаний есть
3-2Х I1/2
\ ■ » D9ЛЗ)
Если фазовый переход происходит в оболочке r2>0 ^^o. т°
, 4яСр! X2 1
w2 = . D9.14)
3 Х-1 1-г2>0/Л0 '
Нелинейные колебания звезды с малым ядром (| г2 - r2j0 I ~ ''г.о. 'г,
r2,o ^ ^о) описываются уравнением
h + —- C + 5Х) + — (г22 - г? ,0) = 0. D9.15)
2г2 2г2
При 5 = 1 и ^20 = 0 получается уравнение, рассмотренное в [158].
б) Физические процессы иа фазовом скачке. В [487] рассматривались
нелинейные затухающие колебания и предполагалось, что на стадии сжатия
Ь- 1, а на стадии расширения также имеет место диссипация и 5 = — 1. Что-
Чтобы обосновать выбор величины 5, рассмотрим фазовый переход, как пре-
предельный случай уравнения состояния, в котором давление меняется от Ра
до Рь при изменении рот pi до р2- ЩнРь -*-Р0 <-Ра и неизменных р, ир2
получаем фазовый переход.
В веществе промежуточного слоя скорость звука есть as «* [{Рь — РаI
(Рг — Pi)] '^2- Если амплитуды колебаний столь малы, что скорость движе-
движения v < as, то колебания будут адиабатическими с условием на скачке
5 = 0. В пределе Рь -*Р0 ■*- Ра имеем as -* 0, т.е. всегда наступит v > as и дви-
движение в переходном слое станет сверхзвуковым. Столкновение потока
сверхзвуковой скорости со стенкой в виде ядра новой фазы приведет к
формированию ударной волны, в которой кинетическая энергия переходит
в тепло. Очевидно, что "фазовая диссипация" кинетической энергии в про-
процессе сжатия звезды и росте ядра новой фазы имеет ту же природу, что и в
ударной волне. В пределе при Рь -+Р0 <- Ра величина 5 в условии на скач-
скачке D9.6) может приближаться к единице, но пока и < as имеет место 5 =
= 0.
Иным образом происходит стадия расширения звезды, сопровождающая-
сопровождающаяся уменьшением ядра новой фазы. В этом случае даже в идеально тонком
фазовом скачке при сверхзвуковой скорости движения ударный фронт
может не возникнуть ввиду отсутствия препятствия для движущейся нару-
наружу оболочки. Давление на границе ядра становится больше Ро ввиду силы
реакции при расширении оболочки. Таким образом, фаза расширения мо-
448

всегда остаться адиабатической с 5 = 0. Затухание колебаний звезды с
фазовым переходом в этом случае происходит только на стадии сжатия
звезды, а в случае неидеального, слегка размазанного скачка возможны
строго адиабатические колебания малой, но конечной амплитуды.
в) Адиабатические колебания конечной амплитуды. В отсутствие зату-
затухания при 5 = 0 сохраняется полная энергия колеблющейся звезды, соот-
соответствующая первому интегралу уравнения D9.8)
E=2ttpi(K- \J'i\rl(\- — \+ — rlP0(k-\)-
\ R / 3
\6n2Gp\Rs Г 5 л г| л
15 L 2 R3
Из D9.16), используя D9.9), получим решение и формулу для периода
колебаний в нелинейном случае. Во избежание излишне громоздких выра-
выражений рассмотрим нелинейные колебания звезды с малым ядром r2jR<
■4 1, для которого уравнение D9.16) с учетом D9.10), D9.13) примет
вид
,2 21 2_ _ 1
х =wol *о )■
\ 5 3 /
D9.17)
Здесь х - r2lrimin, х0 = г2г0/г2, ты и учтено начальное условие^ =/,min
при г2 = 0; /,111111 — минимальный радиус ядра. Период нелинейных адиаба-
адиабатических колебаний в случае малого ядра равен
2 ■x«rJC-3_JC2 х~3-1 I/2
/ xl dx. D9.18)
о [ 5 3 J
о
Здесь jk« > x0 > 1 соответствует максимальному радиусу ядра х« =
Аг.ш!!! и является корнем знаменателя в D9.18). Зависимость
Рнс. 132. Зависимость периода нелинейных
адиабатических колебаний звезды с фазо-
вым переходом Та^ от амплитуды в случае -j /Т =Т -ы/Zrt
малого ядра. По оси абсцисс отложены 1,02 - * ° ° °
значения xQ = ^o/^.min отношение ^"
равновесного радиуса ядра r2>o K мини-
минимальному г2,т5п, по оси ординат TadlTQ =
= Ta(icjQl27T, где То и cj0 - период и часто-
частота малых гармонических колебаний
2ff от х0 приведена на рис. 132. Колебания малой амплитуды х =
= 1 + а, х0 = 1 + Д, а, Д ^1 являются гармоническими и из D9.18) следует
2 °тах=2Л
То = -— / BДа -a2)'1 >2da = 2tt/w0
w0 о
в соответствии с D9.13).
Оценим величину максимальной амплитуды адиабатических колебаний
пРи пионизации, связанную с конечным давлением электронов. Для двух
Г.С. Бисноватый-Коган 449

случаев, рассмотренных в [487], получаем из D9.12а):
1) Л = 5, г2/Л =0,518, gj = 0,648gj00;
2) Л = 1,2, r2/R =0,295, gj=1,4gjOo, Woo = \/4етСр,.
D9.19,
Максимальная скорость движения вещества оболочки относительно скач-
ка v = ~к'г2 ~ \сог2г], где т? - относительная амплитуда колебаний радиуса
ядра. Скорость звука в области фазового перехода as ~~ (Ре/рI^2 лцср
давление электронов. При р = 2 ■ 1014 г ■ см, Ре - 1030 дин, R = Ю км
условие v < as дает rj <0,003 и т? <0.01 соответственно.
г) Затухающие колебания конечной амплитуды. При достаточно боль-
большой амплитуде колебаний или в случае идеального фазового перехода при
Р = Ль т.е. as = 0, стадия сжатия сопровождается затуханием колебаний и
5 > 0. На стадии расширения звезды (уменьшение ядра) затухание oicyi-
ствует, поэтому примем там 5 = 0, в отличие от [487]. Интеграл уравнения
D9.15), аналогичный D9.17) при 5 = const Ф 0 примет вид
--з—6 л. 2 —з — 6 л.
5+5Л
3 +5Л
Если в начальном состоянии минимальный радиус ядра равен
= 0, то через время Т, равное
D9.20)
\\гг -
1
,-3-бА.
1
5 +5Л
V2
Хо
х-3 - 1
3 +5Л
-1/2
-1/2
dx
5 xl 3
минимальный радиус ядра станет равным
dx
>
D9.21)
!,(„. Здесь первый
1
1
У
2,0 2,mai
Z.min
Рис. 133. Качественный пид изменения
параметра Б (см. формулы D9.6).
D9.7)) во время пульсаций: 1 для
идеального фазового перехода, 2 для
размазанного
интеграл соответствует сжатию звезды (увеличению ядра), а второй -
расширению звезды. Величина х* > 1 является корнем знаменателя в пер-
первом, а х*, < 1 — во втором интеграле соотношения D9.21). Здесь
V =г Л-(°) v =г Д°) v -Д1) /►
ло r2,0/'2>min' л* '2.max,'2,min' л* * ~ r2, m in'r2 ,тзх-
Отсюда
=r2?i
r2?i. in
X*X**
в силу затухания колебаний. Сделаем в D9.21) разложение, считая в пер-
первом интеграле х = 1 + а, х0 = 1 + А, а втором .v = 1 — ft a, ft А -^ 1,
450

ляя члены ~ о3, /З3, Д3 для учета затухания в первом неисчезающем
члене. В результате элементарных выкладок получаем
v =1 +2Д-- Д2 ~-5Д2Х.
3 3
17 4
*,, = 1-2Д + —Д2+-5Д2Х, .D9.22)
''г, min
С учетом того, что Д = : 1, и третьего соотношения D9.22), полу-
r2, min
чимуравнение дляизменения r2, min. приняв периодравным 2я/со0:
dA бсопА
= — А2 D9.23)
dt Зэт
В случае начального условия Д = До при t = 0 имеем
Ао — А 5со0Х
D9.24)
ДД0 Зет
В идеальном фазовом переходе на всей фазе сжатия естественно принять
5 = const > 0 (возможно, 5 = 1, как принято в [158, 487] ). В случае раз-
размазанного перехода 5 переменно, ввиду изменения отношения v/as в про-
процессе движения, и плавно обращается в нуль вблизи начала и конца фазы
сжатия. Качественная зависимость 5{t) вдоль периода колебаний показана
на рис. 133. В реальных объектах скорости фазовых превращений конечны
и всегда действует механизм второй вязкости, количественные оценки для
которого нужно делать отдельно для каждого типа фазового перехода.
§ 50. Колебательная устойчивость массивных звезд
В настоящее время точно не известна верхняя граница массы звезд в Га-
Галактике. Начиная с работы Леду 1941 г. было сделано несколько исследова-
исследований устойчивости массивных звезд относительно раскачки колебаний на ос-
основной радиальной моде [568, 602, 603, 649, 251, 252, 539, 540] в связи
с попыткой теоретического определения максимально возможной массы
звезды. С ростом массы увеличивается роль лучистого давления и средний
Показатель адиабаты 7i приближается к 4/3. Ввиду того что адиабатиче-
адиабатическая звезда с 7i = 4/3 нейтральна относительно расширения или сжатия
(см. § 34), влияние дестабилизирующих факторов возрастает с ростом
Массы из-за уменьшения запаса колебательной устойчивости.
Исследование данной проблемы в линейном приближении [568] показа-
показало, что в звездах с М > 65 М. неустойчивость относительно раскачки
Колебаний быстро развиваается и звезда может разрушиться. Последующие
расчеты обнаружили сильную стабилизацию этих колебаний в нелинейном
Режиме.
И 29* 451

Таблица 56
Равновесные модели и их пульсациониые свойства (из [568])
218,3
121,1
62,7
28,2
121,1
62,7
62,7
L/Le
4,36F)
1,80F)
5,77E)
1,08E)
2,21 F)
7,93 E)
1,09F)
R/Re
20,5
14,3
9,71
6,00
18,75
13,3
27,6
Tef,K
5,82D)
5,58D)
5,09D)
4,27 D)
5,13D)
4,72D)
3,55D)
т, I О6 лет
0
0
0
0
1,39
2,08
3,68
Р, сут
0,546
0,383
0,260
0,157
0,502
0,356
0833
1/К, годы
930
1800
44000
1400
-2200
-94
-3
а) Линейный анализ. В работе [568] рассматривались звезды с массами
28,2, 62,7, 121,1 и 218,3М® с начальным химическим составом хн = 0,75,
-*не = 0,22. Равновесные модели строились методом Шварцшильда
(§22, п.а)). Вычисление периода радиальных пульсаций проводилось
с помощью решения уравнения D3.26) с граничным условием D3.29),
D3.31). Непрозрачность определялась электронным рассеянием (см. §7),
уравнение состояния — суммой давления полностью ионизованного газа и
излучения A.2), для которого уг дано в A.20). Характеристики равновес-
равновесных моделей: массы М, светимости L, эффективные температуры 7'ef,
возрасты т, периоды радиальных пульсаций Р в линейном приближении
на основной моде даны в табл. 56 из [568].
Так как характерные времена жизни конвективных элементов на грани-
границе конвективного ядра много больше периода колебаний Р, влиянием кон-
конвекции на устойчивость пренебрегалось. Длина перемешивания предполага-
предполагалась равной двум характерным шкалам высот по давлению, а = 2 в A0.22).
Пульсационная устойчивость при учете изменения светимости, тепловы-
тепловыделения в ядре, генерации акустических волн проверялась методом, анало-
аналогичным § 48, п. г. Вычислялась величина
1
К = ir
LpH - Lp
E0.1)
где
£p= — SiSrfdm -
E0.2)
кинетическая энергия пульсации,
_ м ЪТ
о Т
E0.3)
скорость роста энергии пульсаций за счет ядерных реакций со скоростью
452

выделения энергии е,
м dEL) ЬТ
dm E04)
скорость потери энергии пульсаций за счет излучения с поверхности,
= 4nR2\±pR{ — )( —
V
TTr~
E0.5)
скорость потери энергии пульсаций за счет генерации акустических волн.
Здесь индекс "R" относится к поверхности звезды. Член в квадратных
скобках есть плотность энергии звуковых колебаний у фотосферы. Пара-
Параметры фотосферы приближенно определялись из соотношений (см. точ-
точнее B2.11)-B2.18))
Pr
Tr = Tef, kR— = 2/3, kR = 0,19A + xH),
gR
GM aTR kT{
ef
Л2 3 \хти
При положительном /Г звезда пульсационно неустойчива, при этом К равно
обратному времени увеличения энергии пульсаций в е раз. Отрицатель-
Отрицательные К означают пульсационную устойчивость и I К \ есть тогда обратное
время затухания колебаний. Условие устойчивости E0.1) при отсутствии
последнего члена Lps из E0.5) следует из D8.53), если задаться там малы-
малыми синусоидальными колебаниями всех величин и проинтегрировать
по периоду пульсаций. Значения 5г, ЬТ, ЬЬ в E0.2) — E0.5) имеют
смысл амплитуд пульсаций.
Результаты исследования устойчивости представлены в последнем столбце
табл. 56, откуда видно, что в процессе эволюции звезда может восстановить
свою устойчивость. На главной последовательности устойчивыми оказы-
оказываются звезды с массами М < 60Afe = Mcq . Согласно [568] эта величина
зависит от химического состава, так что
Mcq
ц = const « 20, ц определяется из A.7). E0.7)
В [649] проведено специальное исследование зависимости Мс0 от химиче-
химического состава. Описание конвекции и, что важнее, непрозрачности отлича-
отличалось от [568] и значения Мс0 оказались выше при тех же составах.
Для построения равновесных моделей в [649] использовался метод Хеньи
(см. § 22, п. б). Значения ц2Мс0/Мв сохранялись примерно постоянными
( = 34) при изменении хн е от 0,28 до 0,4 при том же содержании тяжелых
элементов xz = 0,02. Изменение xz и входящего в него *cno приводит
к тому, что ц2Мс0/М@ = 58 для хНе = 0,384, xz = 0,1, *CNO = 0,06.
Значение Мс0 = 127 М@ получается для хНе = 0,184, xz = 0,0201,
*cno =0,012.
453

6r
Ьсли нормировать амплитуду пульсации, приняв —
= 1, то резуль-
резульг
таты расчетов [568] можно представить в виде интерполяционных формул
Т = °'10(^Г / 27от"' E08)
Ер Г /М \ т 1
— = 3750 лет ■ ехр -0,007[ 60} - 1,2—- ,
^ L \Мв / 10е J
где т — время эволюции в годах. Величина К, определяемая из E0.8),
не зависит от нормировки. Из E0.8) следует, что через время тсг, при ко-
котором К обращается в нуль —
/ М \
= 0,051 601 • 106 лет -
E0.9)
звезда станет пульсационно устойчивой. Величину тсг следует сравнить
с 1/А^ из табл.56. Устойчивость успевает восстановиться, если за время тсг
энергия колебаний вырастет не очень значительно. Величина
т
N(t) = / KdT E0.10)
о
имеет смысл числа, стоящего в экспоненте, которая задает рост энергии
пульсаций. Если принять, что устойчивость восстановится при N(tct ) < 9,
то массу устойчивых звезд можно оценить в Мст = 65 Мв. Из расчетов
[568] получено, что N = 5,7 дляМ=64Л/в к N = 13,7 для Л/ = 66Ме.
В [568] отмечено, что полученная таким образом величина Мст оказы-
оказывается существенно меньше наблюдаемой массы некоторых звезд, дости-
достигающей ~95Л/в (например, звезда f1 Scorpi). Для устранения этого про-
противоречия в [568] предполагается, что в звездах с массами 65-95Л/Ф
развитие пупьсационной неустойчивости приведет не к полному развалу
звезды, а к интенсивному истечению вещества с поверхности, приводя
к появлению звезд со спектрами типа Р Cyg, наблюдаемых у очень массив-
массивных звезд*). В [568] сделано также предположение, что с ростом ампли-
амплитуды пульсаций появляется нелинейная стабилизация колебаний, ведущая
к ограничению их амплитуды конечной величиной задолго до разрушения
звезды. Потеря массы звездой может осуществляться в состоянии квазиста-
квазистационарных колебаний с конечной амплитудой.
б) Нелинейные колебания. Для исследования нелинейных колебаний
массивных звезд в [649] использовались уравнения гидродинамики C51)
*) Спектр звезды относят к типу PCyg, если она имеет линии с поглощением
у фиолетового конца и эмиссией, приблизительно симметричных относительно централь-
центральных частот. Они характерны для звезд с мощным истечением, характерным представ и
телем является звезда Р Cyg [197].
454

с уравнением энергии в виде
if ,«
Ввиду того что период пульсаций (/>) много меньше времени роста в е раз
их амплитуды (~1/Л"), необходимо искусственно сблизить зти времена
пдя возможности численного исследования роста амплитуды в нелинейном
режиме. Эту роль выполняет множитель F в E0.11). Он выбирается при-
примерно равным отношению (РК)~*. Введение его эффективно уменьшает
теплоемкость вещества звезды и, соответственно, увеличивает инкремент
тепловой неустойчивости. Расчеты нелинейных пульсаций звезды с мас-
массой 100М@, хНе = 0,384, xz = 0,20, неустойчивой в линейном приближе-
приближении, проводились для F = 4,133 105. Получено, что за примерно десять пе-
периодов поверхностная амплитуда пульсаций 8г/г выросла от 0,1 до 4.
При этой амплитуде колебания застабилизировались. В процессе роста
амплитуды и на стадии нелинейных колебаний с постоянной амплитудой
потери массы получено не было. Относительная амплитуда колебаний
в нелинейном режиме быстро падает вглубь звезды. В [649] отмечено, что
при учете уноса энергии за счет образования ударных волн в атмосфере
звезды амплитуда нелинейных колебаний может быть существенно меньше.
Вычисления с большим F сильно занижают диссипацию энергии колебаний
ударными волнами.
В работах [602, 603] для исследования нелинейных пульсаций также ис-
использовалось уравнение энергии в виде E0.11) с большим F', но в дополне-
дополнение к этому исследовалась зависимость стационарной амплитуды от F при
более реалистическом учете диссипации энергии колебаний ударными вол-
волнами. Расчеты были проделаны для звезд с массами 100, 1000, 1000_0Л/в.
Получено, что во всех случаях устанавливается стационарное колебательное
состояние конечной амплитуды типа предельного цикла, причем амплитуда
падает с уменьшением F. Это связано с увеличением роли диссипации удар-
ударными волнами. Для реального случая F = \ оценка амплитуды пульсаций
была сделана в [603] по критерию D8.53), в котором изменение парамет-
параметров по нелинейному циклу приближенно задавалось на основе численных
расчетов. Учитывалась также диссипация за счет образования ударных волн
в атмосфере. Стационарная амплитуда пульсаций при F = 1 на поверхности
составила br/r \ R = 0,085, 0,102, 0,09 для М = 100,1000,10000Мв соот-
соответственно. Результаты численных расчетов, сделанных в [603] указывают
на то, что радикальные моды более высокого порядка всегда затухают.
Методика счета, примененная в [602, 603, 649] не позволила определить
темп потери массы на стадии нелинейных пульсаций, а получить лишь верх-
верхний предел М < 0,03 Мв /год. Исследование нелинейных колебаний другим
Методом, позволяющим учитывать слабую потерю массы, сделано
в [251, 252]. Вместо использования коэффициента F в E.11), для ускоре-
ускорения счета применялось искусственное увеличение энергии колебаний на
Каждом шагу по времени путем умножения скорости v (m, t) на множи-
множитель немного больше единицы. Для контроля проводился подсчет измене-
изменения истинной энергии колебаний за каждый период по формуле, аналогич-
455

ной D8.53). Физические свойства вещества в этих работах брались, как
в [568] и значения Мс0 в этих работах почти совпадают. Исследование
колебаний звезд с массами от 60 до 600 М© показало, что при М < 100Л/в
колебания звезд практически не приводят к потере массы. Звезды с мас-
массами М = 100 — 200 Мв теряют массу в процессе колебаний, но за время
жизни на главной последовательности зта потеря не очень существенна
(< 3-10 Мв1гоц). Если же масса звезды превышает 300 Afe, то сущест-
существенная часть массы звезды теряется на стадии водородного горения.
В последующих работах [539, 540] как в аналитических, так и в числен-
численных расчетах была получена генерация из-за неустойчивости нескольких
радиальных мод колебаний, что приводит к изрезанное™ кривой предель-
предельного цикла м(г). В то же время у звезд с массами от 70 до 210Мв на ста-
стадии нелинейных пульсаций не было получено истечения вещества с поверх-
поверхности. В [540] отмечается, что отсутствие возбуждения гармоник в рабо-
работах [568, 603], возможно, связано с выбором слишком большого значе-
значения F при численных расчетах. Истечения вещества в [540] получено
не было. Возможно, что, как и в [603], отсутствие истечения связано
с грубостью пространственной сетки у поверхности звезды.
§ 51. О переменных звездах
Наблюдения показывают, что все звезды в большей или меньшей степени
меняют свой блеск, т. е. являются переменными. Открытие солнечных пуль-
пульсаций в области периодов ~5 мин привели к рождению новой области
астрофизики — гелиосейсмологии. К настоящему времени наблюдалось
более тысячи частот собственных колебаний Солнца, измеренных с точ-
точностью до четвертого-пятого знака [83а]. Этим колебаниям соответствуют
небольшие амплитуды переменности блеска Am = 10~5 -НО и они отно-
относятся к высоким акустическим Р -модам си = 11-=-ЗЗи различными значе-
значениями /, меняющимися от нуля до нескольких сотен. По т наиболее бла-
благоприятны для наблюдений значения т = 0,±1.
Экспериментальные значения собственных частот сопоставляются с тео-
теоретическими, которые в области больших и, / представимы в виде [83а]
ApAv, E0.12)
2 я \ 2 7 /
2
где
Д" = B / —) . ер, 5р, Ар - E0.13)
\ о с*'
константы, чувствительные к строению Солнца.
В первом приближении частоты колебаний с одинаковыми п + II-
совпадают. При фиксированном / частоты эквидистантны по и с интерв3"
лом Аи. Отклонение от такого вырождения описывается вторым членом
456

в E0.12)
2B/ + 3)
bvnl = vnl - ^„-1,7+2 * ApAv. E0.14)
n + -+ep
Определение из наблюдений "большого" Av и "малого" bvnl расшепле-
ний дает уникальную информацию о внутреннем строении Солнца, которое
в принципе восстанавливается с помощью решения обратной задачи.
Расщепление частот по т связано с вращением Солнца и его магнитным
полем. К настоящему времени сделаны лишь первые шаги в решении такой
обратной задачи [83а].
Помимо Солнца, звезд-цефеид и звезд типа RR Лиры, пульсации наблю-
наблюдаются у белых карликов (типа ZZ Кита) с периодами Р = 200^1000 с,
переменных типа 5 Щита (Р = 1 -^3 ч), ярких голубых звезд типа /3 Цефея
(Р = 4^6 ч), звезд типа W Девы (Р = 2-^45 сут), примыкающих к це-
цефеидам, и RV Тельца (Р = 20-Н50 сут) [130]. Звезды типа 5 Щита, или
карликовые цефеиды, относятся примерно к тому же спектральному клас-
классу, что и звезды типа RR Лиры (А2 - F 3), но слабее последних на 2 ±Ът
(Mv 6 щита * 2 -Ь3т). Амплитуды их колебаний 0,01 ^0,lm, а механизм
возбуждения связан с зонами неполной ионизации, как у цефеид или звезд
типа RR Лиры. Механизмы возбуждения колебаний голубых гигантов
спектрального класса В1 -^В2 вблизи главной последовательности ти-
типа /3 Цефея, имеющих массы 10^20Мв и светимости —103 Z,©, остаются
неясными [155].
Наряду с регулярно пульсирующими звездами имеются различные типы
звезд, показывающие нерегулярную переменность. Наиболее многочислен-
многочисленными являются красные вспыхивающие звезды малой массы типа
UV Кита [197]. Источником переменности у них, а также у более массив-
массивных молодых звезд типа Т Тельца (см. гл. 8) является мощная конвекция
в оболочке. Нерегулярные переменности с характерными временами
100 -=-700 суток наблюдаются у красных гигантов, называемых ми-
ридами (по звезде Мира Кита). Мириды теряют массу со скоростью
10~б -НО Л/о/год; истечение связывается с прохождением ударных волн
в оболочках этих звезд [200, 208]. Явления нерегулярности, связанные
с непостоянством кривых блеска, наблюдаются и у звезд типа RV Тельца,
являющихся гигантами, несколько менее красными, чем мириды, в кото-
которых начинают проявляться эффекты ударных волн. Нерегулярные перемен-
переменности, наблюдаемые у некоторых типов звезд, видимо, являются проявле-
проявлениями таких неустойчивостей, которые способны привести к частичной
хаотизации поведения звезды как динамической системы.
3°- Г.СБисноватый-Когаи 457

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Принятые сокращения
АЖ - Астрономический журнал
ПАЖ - Письма в астрономический журнал
АФ - Астрофизика
НИ - Научные информации Астрономического Совета АН СССР
УФН - Успехи физических наук
ЖЭТФ - Журнал экспериментальной и теоретической физики
ПМТФ — Журнал прикладной механики и технической физики
ЖВМиМФ - Журнал вычислительной математики и математической физики
ApJ - Astrophysical Journal
АА - Astronomy and Astrophysics
ApSS - Astrophysics and Space Science
MN - Monthly Notices Royal Astron. Society
PR - Physical Review
NP - Nuclear Physics
PTP - Progres of Theoretical Physics
AJ - Astronomical Journal
1.Абрамович М., Стиган И. (ред.). Справочник по специальным функциям. — М.:
Наука, 1979.
2. Абрикосов А.А. О внутреннем строении водородных планет // Вопр. космого-
космогонии. - 1954. - Т. 3, С. 12-19.
З.Абрикосов АЛ. Некоторые свойства сильно сжатого вещества //ЖЭТФ. - 1960. -
Т. 39.-С. 1797-1805.
4. Александров А.Ф., Богданкевич Л.С., Рухадзе АЛ. Основы электродинамики
плазмы. - М.: Высшая школа, 1978.
5.Аллен К.У. Астрофизические величины. - М.: Мир, 1977.
в.Альфвен Г., Фельтхаммер К.Г. Космическая электродинамика. - М.: Мир, 1967.
1. Амбарцумян В.А. Проблемы эволюции вселенной. - Ереван: АН АрмССР, 1968.
&. Амбарцумян В.А. Фуоры // АФ. - 1971. - Т. 7. - С. 557-572.
9. Амбарцумян В.А., Саакян Г.С. О вырожденном сверхплотном газе элементарных
частиц // АЖ. - 1960. - Т. 37. - С 193-209.
10. Арделян Н.В. Сходимость разностных схем для двумерных уравнений акустики
и Максвелла // ЖВМиМФ. - 1983. - Т. 23. - С. 1168-1176.
11. Арделян Н.В. Об использовании итерационных методов при реализации неявных
разностных схем двумерной магнитной гидродинамики // ЖВМиМФ. - 1983. -
Т. 23. - С. 1417-1426.
12. Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С, Попов Ю.П. Исследование магниторота-
ционного взрыва сверхновой в цилиндрической модели // АЖ. - 1979. - Т. 56. -
С. 1244-1255.
4S8

ХЪ.АрОелян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С., Попов Ю.П., Черниговский СВ. Расчет
коллапса вращающегося газового облака на лагранжевой сетке // АЖ. — 1987. —
Т. 64. - С 495-508.
\А.Арделян Н.В., Бисноватый-Коган Г.С, Попов Ю.П., Черниговский СВ. Коллапс
ядра и образование быстровращающейся нейтронной звезды // АЖ. - 1987. —
Т. 64. -С. 761-772.
15. Арделян Н.В., Гущин И.С Об одном подходе к построению консервативных
разностных схем // Вест. МГУ, вычисл. мат. и кибернет. - 1982. - № 3. -
С 3-Ю.
16. Арделян Н.В., Черниговский СВ. О сходимости разностных схем для двумерных
уравнений газовой динамики с учетом гравитации в акустическом приближе-
приближении // Дифференц. ур-ния. - 1984. - Т. 20. - С. 1119-1127.
П.Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика. - М.: Наука, 1969.
18. Баско ММ. Двухгрупповое приближение в сферически-симметричных задачах
теории переноса // Препринт ИТЭФ. - 1982. - № 7.
19-Баско ММ., Имшенник B.C. Потеря устойчивости звезд малой массы в условиях
нейтронизации // АЖ. - 1975. - Т. 52. - С. 469-480.
20 Баско ММ., Рудзский МЛ., Сеидов З.Ф. Коллапс маломассивных звезд // АФ. -
1980.-Т. 16. -С. 321-335.
21. Берестецкий В.Б., Лифшиц ЕМ., Питаевский А.П. Релятивистская квантовая
теория, ч. I. - М.: Наука, 1968.
22. Бете Г. Теория ядерной материи. - М.: Мир, 1974.
23. Бете Г., Моррисон Ф. Элементарная теория ядра. - М.: ИЛ, 1958. .
24. Бисноватый-Коган Г.С Критическая масса горячего изотермического белого
карлика с учетом эффектов общей теории относительности // АЖ. — 1966. —
Т. 43. - С. 89-95.
25. Бисноватый-Коган Г.С. Течение идеального газа в сферически-симметричном
поле тяжести с учетом лучистой теплопроводности и лучистого давления // Прикл.
мат. мех. - 1967. - Т. 31. - С. 762-769.
26. Бисноватый-Коган Г.С. Взрывы больших звезд // АЖ. - 1968. - Т. 45. - С. 74-80.
27. Бисноватый-Коган Г.С. О роли излучения в образовании солнечного ветра // Мех.
жидк. газа. - 1968. - № 4. - С. 182-183.
28. Бисноватый-Коган Г.С Предел массы горячих сверхплотных устойчивых кон-
конфигураций // АФ. - 1968. - Т. 4. - С. 221-238.
29. Бисноватый-Коган Г.С. Поздние стадии эволюции звезд: канд. дисс. - М.: Инст.
прикл. мат., 1968.
30. Бисноватый-Коган Г.С Пульсар, как нейтронная звезда и слабые взаимодейст-
взаимодействия // Радиофиз. - 1970. - Т. 13. - С. 1868-1872.
31. Бисноватый-Коган Г.С. О механизме взрыва вращающейся звезды, как сверхно-
сверхновой // АЖ. - 1970. - Т. 47. - С. 813-816.
32.Бисноватый-Коган Г.С. Равновесие и устойчивость звезд и звездных систем:
докт. дисс. - М.: Инсг. космич. исслед., 1977.
33. Бисноватый-Коган Г.С Рентгеновские источники в тесных двойных системах:
теоретические аспекты // Бюлл. Абастуман. обе. - 1985. - № 58. - С. 175-
210.
34. Бисноватый-Коган Г.С. Остывание белых карликов с учетом неравновесных
бета-процессов // ПАЖ. - 1987. - Т. 13. - С. 1014-1018.
34а. Бисноватый-Коган Г.С. Два поколения маломассивных рентгеновских двойных и
подкрученные радиопульсары // Препринт ИКИ. - 1989. - Пр 1511.
35. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ. Горячая корона вокруг диска, аккре-
аккрецирующего на черную дыру, и модель источника Лебедь Х-1 // ПАЖ. - 1976. -
Т. 2.-С. 489-493.
36. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ. Распространение волн в среде с высо-
высоким лучистым давлением // Препринт ИКИ. - 1978. - Пр_421.
37. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ. Распространение волн в среде с высо-
высоким лучистым давлением. I. Основные уравнения и случай однородной среды //
АФ. - 1978. - Т. 14. - С. 563-577.
-*о. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ. Равновесие вращающихся газовых
Дисков конечной толщины // АЖ. - 1981. - Т. 58. - С. 312-323.
30' 459

39. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ, Захаров А.Ф. Численная модель взрыва
вблизи поверхности нейтронной звезды и гамма всплески // АЖ. — 1984. —
Т. 61. -С. 104-111.
40. Бисноватый-Коган Г.С., Блинников СИ, Костюк Н.Д., Федорова А.В. Эволюция
быстро вращающихся звезд на стадии гравитационного сжатия // АЖ. - 1979. -
Т. 56. - С. 770-780.
41. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ, Федорове А.В. Роль вращения в эволю-
эволюции молодых звезд // Ранние стадии эволюции звезд. - Киев: Наукова думка,
1977. - С. 40-46.
42. Бисноватый-Коган Г.С, Блинников СИ, Шноль Э.Э. Устойчивость звезд при
наличии фазового перехода // АЖ. - 1975. - Т. 52. - С. 920-929.
43. Бисноватый-Коган Г.С, Зельдович Я.Б. Адиабатическое истечение и равновесные
состояния с избытком энергии // АЖ. - 1966. - Т. 43. - С. 1200-1206.
44. Бисноватый-Коган Г.С, Зельдович Я.Б. Истечение вещества из звезд под дейст-
действием большой непрозрачности в оболочке: докл. на 35 комм. XIII ген. асе. MAC //
Препринт ИПМ. - 1967.
45. Бисноватый-Коган Г.С, Зельдович Я.Б. Истечение вещества из звезд под дейст-
действием большой непрозрачности в атмосфере // АЖ. - 1968. - Т. 45. - С. 241-250.
46. Бисноватый-Коган Г.С, Каждая Я.М. Критические параметры звезд // АЖ. -
1966.-Т. 43.-С. 761-771.
47. Бисноватый-Коган Г.С, Каждая Я.М., Клыпин А.А., Луцкий А.Е., Шакура Н.И.
Аккреция на быстро движущийся гравитирующий центр // АЖ. - 1979. — Т. 56. -
С. 359-367.
48. Бисноватый-Коган Г.С, Ламзин СА. Истечение из звезд на стадии гравитацион-
гравитационного сжатия // АЖ. - 1976. - Т. 53. - С. 742-749.
49. Бисноватый-Коган Г.С, Ламзин СА. Истечение вещества из звезд на ранней
стадии эволюции // Ранние стадии эволюции звезд. - Киев: Наукова думка,
1977.-С. 107-118.
50. Бисноватый-Коган Г.С, Ламзин СЛ. Модели истекающих оболочек звезд типа
Т Тельца // АЖ. - 1977. - Т. 54. - С. 1268-1280.
51. Бисноватый-Коган Г.С, Ламзин СА. Хромосфера, корона и рентгеновское из-
излучение RU Волка - звезды типа Т Тельца // ПАЖ. - 1980. - Т. 6. - С. 34-38.
52. Бисноватый-Коган Г.С, Надежин Д.К. Метод счета эволюции звезд с потерей
массы // НИ. - 1969. - вып. 11. - С. 27-39.
53. Бисноватый-Коган Г.С, Романова ММ. Диффузия и теплопроводность нейтро-
нейтронов в коре нейтронных звезд // ЖЭТФ. - 1982. - Т. 83. - С. 449-459.
54. Бисноватый-Коган Г.С, Рудзский М.А., Сеидов З.Ф. Неравновесные бета-процес-
бета-процессы и роль возбужденных состояний ядер//ЖЭТФ. - 1974. - Т. 67. - С. 1621-1630.
55. Бисноватый-Коган Г.С, Сеидов З.Ф. О связи белых карликов со вспышками
сверхновых 1 типа // АФ. - 1969. - Т. 5. - С. 243-247.
56. Бисноватый-Коган Г.С, Сеидов З.Ф. Неравновесные бета процессы, как источ-
источник тепловой энергии белых карликов // АЖ. - 1970. - Т. 47. - С. 139-144.
57. Бисноватый-Коган Г.С, Сеидов З.Ф. О колебаниях звезды с фазовым перехо-
переходом // АФ. - 1984. - Т. 21. - С. 563-571.
58. Бисноватый-Коган Г.С, Сюняев Р.А. Ядра галактик и квазары, как источники
инфракрасного излучения // АЖ. - 1971. - Т. 48. - С. 881-893.
59. Бисноватый-Коган Г.С, Фридман AM. О механизме рентгеновского излучения
нейтронной звезды // АЖ. - 1969. - Т. 46. - С. 721-724.
60. Бисноватый-Коган Г.С, Чечеткин ВМ. Неравновесный состав оболочек нейтрон-
нейтронных звезд и ядерные источники энергии // Письма в ЖЭТФ. - 1973. - Т. 17. -
С. 622-626.
61. Бисноватый-Коган Г.С, Чечеткин ВМ. Неравновесные оболочки нейтронных
звезд, их роль в поддержании рентгеновского излучения и нуклеосинтеза //
УФН. - 1979. - Т. 127. - С. 263-296.
62. Бисноватый-Коган Г.С, Чечеткин ВМ. Гамма вспышки, как проявление собствен-
собственной активности нейтронных звезд // АЖ. - 1981. - Т. 58. - С. 561-568.
63. БлаттДж., Вайскопф В. Теоретическая ядерная физика. - М.: ИЛ, 1954.
64. Блинников СИ. Метод самосогласованного поля в теории вращающихся звезд //
АЖ. - 1975. - Т. 52. - С. 243-254.
460

65. Блинников СИ, Лозинская ТЛ., Чугай ИМ. Сверхновые звезды и остатки вспы-
вспышек сверхновых // Итоги науки и тех. сер. Астрономия. - 1987. - Т. 32.-
С. 142-200.
66 Блинников СМ., Рудзский МЛ. Коллапс маломассивного железного ядра звез-
' ды // ПАЖ. - 1984. - Т. 10. - С. 363-369.
67 Блинников СИ, Рудзский МЛ. Аппроксимация для мощности излучения анни-
гиляционных нейтрино // Препринт ИТЭФ. - 1986. - № 157.
67а Блинников СМ., Рудзский МЛ. Новые представления термодинамических функ-
ций ферми-газа // Препринт ИТЭФ. - 1987. - № 119.
68. Блинников СИ, Хохлов AM. Формирование детонации в вырожденных яд-
ядрах // ПАЖ. - 1986. - Т. 12. - С. 318-324.
69. Боголюбов Н.Н., Ширков Д.В. Квантовые поля. - М.: Наука, 1980.
70. Бронштейн ИМ., Семендяев К.А. Справочник по математике. - М.: Гостехтеор-
изд., 1953.
71. де Бройли Л. Магнитный электрон. Теория Дирака. - Харьков: Гос. науч.-тех.
изд. Украины, 1936.
72. Бугаев Э.В., Котов Ю.Д., Розенталь ИЛ. Космические мюоны и нейтрино. -
М.: Атомиздат, 1970.
73. Бугаев Э.В., Рудзский М.А., Бисноватый-Коган Г.С., Сеидов З.Ф. Взаимодейст-
Взаимодействие нейтрино средних энергий с ядрами // Препринт ИКИ АН СССР. - 1978. -
Пр-403.
74. Вайсенберг А.О. Мю-мезон. - М.: Наука, 1964.
75. Вандакуров Ю.В. Конвекция на Солнце и 11-летний цикл. - Л.: Наука, 1976.
76. Вартанян Ю.Л., Овсепян А.В., Аджян Г.С. Об устойчивости и радиальных пуль-
пульсациях вращающихся нейтронных звезд // АЖ. — 1973. - Т. 50. — С. 48-59.
77. Вартанян ЮМ., Овакимова Н.К. Нейтроннобогатые ядра в Ферми-газе // АЖ. -
1972. - Т. 49. - С. 306-315.
78. Вартанян Ю.Л., Овакимова Н.К. Холодное испарение нейтронов из ядер в сверх-
сверхплотном веществе // Сообщ. Бюракан. обе. - 1976. - №49. - С. 87-95.
79. Вартанян Ю.Л., Овсепян А.В. Эволюция и радиальные пульсации изотермичес-
изотермических белых карликов с учетом вращения, эффектов нейтронизации и ОТО //
АФ. - 1971.-Т. 7.-С. 107-119.
80. Варшавский В.И. Метод Шварцшильда с логарифмическими переменными //
НИ. - 1970. - вып. 16. - С. 77-82.
81. Варшавский ВМ. Эволюция звезд большой массы с учетом полуконвекции //
НИ. - 1972. - вып. 21. - С. 25-45.
82. Варшавский В.И, Тутуков А.В. Эволюция массивных звезд // АЖ. - 1975. -
Т.52. -С. 227-233.
83. Власюк МЛ.,. Полежаев ВМ. Численное исследование конвективных движений
в горизонтальном слое газа, подогреваемого снизу // Препринт ИПМ АН СССР. -
1970. - С. 1-74.
83а. Воронцов СВ., Жарков ВМ. Гелиосейсмология // Итоги науки и тех. сер. Астро-
Астрономия. - 1988. - Т. 38. - С. 253-338.
84. By Ц.С., Мошковскип СА. Бета-распад. - М.: Атомиздат, 1970.
85. Гавриченко К.В., Надежин Д.К. Простые формулы для скоростей захвата электро-
электронов и позитронов ядрами. // Препринт ИТЭФ. - 1980. - № 123.
86. ГайарMJC., НиколичМ. (ред.). Слабые взаимодействия. - М.: Энергоатомиздат,
1984.
87. Герштейн СС, Зельдович Я.Б. О мезонных поправках к теории бета распада //
ЖЭТФ. - 1955. - Т. 29. - С. 698-699.
88. Герштейн СС, Зельдович ЯМ- Масса покоя мюонного нейтрино и космоло-
космология // Письма ЖЭТФ. - 1966. - Т. 4. - С. 174-177.
89. Гинзбург В.Л. Теоретическая физика и астрофизика. - М.: Наука, 1975.
90. Гинзбург ВМ., Рухадзе АЛ. Волны в магнитоактивной "плазме. - М.: Наука,
1970.
91. Годнее ИМ. Вычисление термодинамических функций по молекулярным дан-
данным. - М.: Гостехиздат, 1956.
. Годунов С.К., Рябенький B.C. Введение в теорию разностных схем. - М.: Физмат-
гиз, 1962.
461

93. Градштейн И.С., Рыжик ИМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений -
М.: Наука, 1971.
ЭА.Гринспен X. Теория вращающихся жидкостей. - Л.: Гидрометеоиздат, 1975.
95. Гуревич Л.Э., Либединский А.И. О причинах звездных вспышек // Труды 4-го
совещания по вопр. космогонии. - М.: АН СССР, 1955. - С. 143-171.
96. Данжи Дж. Космическая электродинамика: Пер. с англ. под ред. Д.А. Франк-
Каменецкого. - М.: Госатомиздат, 1961.
97. Дейтерий. Хим. экциклопед. словарь. - М.: СЭ, 1983. - С. 149.
98.ДеЯгерК. Звезды наибольшей светимости. - М.: Мир. 1984.
99. Джелепов Б.С., Пекер Л.К. Схемы распада радиоактивных ядер. - М.: Наука
1966.
100.Долгов А.Д., Зельдович Я.Б. Космология и элементарные частицы // УФН. -
1980.-Т. 130.-С. 559-614. э
101.Дорофеев О.Ф., Родионов В.Н., Тернов ИМ. Анизотропное излучение нейтри-
нейтрино, возникающих в бета-процессах при действии интенсивного магнитного по-
поля // ПАЖ. - 1985. - Т. П. - С. 302-309.
102. Зельдович Я.Б. О ядерных реакциях в сверхплотном холодном газе // ЖЭТФ. -
1957.-Т. 33.-С. 991-993.
103. Зельдович Я.Б. Уравнение состояния при сверхвысокой плотности и реляти-
релятивистские ограничения // ЖЭТФ. - 1961. - Т. 41. - С. 1609-1615.
104. Зельдович Я.Б. Статические решения с избытком энергии в общей теории относи-
относительности // ЖЭТФ. - 1962. - Т. 42. - С. 1667-1671.
105. Зельдович Я.Б. Гидродинамическая устойчивость звезды // Вопр. космогонии. -
1963.-Т. 9.-С. 157-170.
106. Зельдович Я£. Химическая физика и гидродинамика. Избранные труды. -
М.: Наука, 1984. - С. 279-280.
107. Зельдович Я.Б., Блинников СИ, Шакура Н.И. Физические основы строения
и эволюции звезд. - М.: МГУ, 1981.
108. Зельдович Я.Б., Гуссейнов О.Х. Нейтронизация вещества при коллапсе и спектр
нейтрино // ДАН СССР. - 1965. - Т. 162. - С. 791-793.
109. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Релятивистская астрофизика. II // УФН. - 1965. -
Т. 86.-С. 447-536.
ПО. Зельдович Я.Б., Новиков ИМ. Теория тяготения и эволюция звезд. - М.: Наука,
1971.
Ш.Иванова Л.Н., Имшенник B.C., Надежин ДЛС. Исследование динамики взрыва
сверхновой // НИ. - 1969. - вып. 13. - С. 3-78.
112. Имшенник B.C., Коток Э.В., Надежин Д.К. Расчет однородных моделей методом
прогонки // НИ. - 1965. - вып. 1. - С. 48-54.
113. Имшенник B.C., Морозов Ю.И. Релятивистски ковариантные уравнения взаимо-
взаимодействия излучения с веществом // АЖ. - 1969. - Т. 46. - С. 800-809.
ИЛ. Имшенник B.C., Надежин Д.К. Термодинамические свойства вещества при боль-
больших температурах и высоких плотностях // АЖ. - 1965. - Т. 42. - С. 1154-1167.
115. Имшенник B.C., Надежин Д.К. Нейтринная теплопроводность в коллапсируюших
звездах // ЖЭТФ. - 1972. - Т. 63. - С. 1548-1561.
116. Имшенник B.C., Надежин Д.К. Конечные стадии эволюции звезд и вспышки
сверхновых // Итоги науки и тех. сер. Астрономия. - 1982. - Т. 21. - С. 63-129.
117. Имшенник B.C., Надежин Д.К., Пинаев B.C. Кинетическое равновесие C -процес-
-процессов внутри звезд // АЖ. - 1966. - Т. 43. - С. 1215-1225.
118. Имшенник B.C.. Надежин Д.К., Пинаев B.C. Нейтринное излучение энергии при
C-взаимодействии электронов и позитронов с ядрами // АЖ. - 1967. - Т. 44. -
С. 768-777.
119. Имшенник B.C., Чечеткин В.М. Термодинамика в условиях горячей нейтрониза-
ции вещества и гидродинамическая устойчивость звезд на поздних стадиях эво-
эволюции // АЖ. - 1970. - Т. 47. - С. 929-941.
120. Иоффе Б.Л.. Липатов Л.Н., Хозе ВЛ. Глубоко-неупругие процессы. Феноменоло-
Феноменология. Кварк-партонная модель. - М.: Энергоатомизцат, 1983.
121. Каппан С.А. "Сверхплотные" звезды // Уч. зап. Львовского гос. ун-та, серия
физмат. - 1949. - Т. 15. - С. 109-116.
462

122 Каплан С.А. Охлаждение белых карликов // АЖ. - 1950. - Т. 27. - С. 31-33.
12з" Кардашев Н.С. Магнитный коллапс и природа мощных источников космического
' радиоизлучения // АЖ. - 1964. - Т. 41. - С. 807-813.
124 Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. - М.: ИЛ, 1959.
125* Киржниц Д-А- О внутреннем строении сверхплотных звезд // ЖЭТФ. - 1960. -
Т. 38.-С. 503-508.
126 Киржниц Д.А., Лозовик Ю.Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель ве-
' щества // УФН. - 1975. - Т. 117. - С. 3-47.
J27.Козик B.C., Любимов В.А., Новиков Е.Г., Нозик В.З.. Третьяков Е.Ф. Об оценке
массы "ve по спектру C - распада трития в валине // Ядерн. физ. - 1980. -
Т. 32.-С 301-303.
128. Кокс А.Н. Коэффициенты поглощения и непрозрачность звездного вещества //
Внутреннее строение звезд / Под ред. Л. Аллера и Д.Б. Мак-Лафлина. - М.: Мир,
1970.-С. 101-186.
129. Кокс А.. Стюарт Дж. Лучистое поглощение и теплопроводность: непрозрачности
для 25 звездных смесей // НИ. - 1969. - Вып. 15. - С. 3-103.
130. Кокс Дж.П. Теория звездных пульсаций. - М.: Мир, 1983.
131. Колесник И.Г. Гравитационное сжатие протозвезд. 1. Объемные потери энер-
энергии // Астрометрия и астрофизика. - 1973. - № 18. - С. 45-58.
132. Колесник И.Г. Гидродинамика коллапса протозвезд // Препринт ИТФ. - 1979. -
№79-44Р, Киев.
133. Колесник И.Г. Численное моделирование коллапса протозвезд. Физическая
и математическая постановка задачи I. Основные уравнения // Астрометрия
и астрофизика. - 1980. - № 40. - С. 3-18; II. Вычислительные алгоритмы //
Там же. - 1980.-№41.-С. 40-58.
134. Копысов Ю.С. Нейтрино и внутреннее строение Солнца // Препринт ИЯИ. —
1975. - № П-0019.
135. Кравцов В.А. Массы атомов и энергии связи ядер. - М.: Атомиздат, 1974.
136. Краснов Н.Ф. Аэродинамика. - М.: Высшая школа, 1971.
137. Крылов В.И. Приближенные вычисления интегралов. - М.: Наука, 1967.
138. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. - М. - Л.: АН
СССР. 1950.
139. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного перемен-
переменного. - М.: Наука, 1958.
140.ЛамбГ. Гидродинамика. - М.; Л.: Гостехтеориздат, 1947.
141.Ландау Л.Д. К теории звезд // Сб. трудов, т.1. - М.: Наука, 1969. - С. 86-89.
142. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Механика сплошных сред. - М.: Гостехтеориздат,
1953.
143.Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Теория поля. - М.: Наука, 1962.
144. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Квантовая механика. - М.: Наука, 1963.
145. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Статистическая физика: ч. I. - М.: Наука, 1976.
146. Ландау Л.Д., Лифшиц ЕМ. Электродинамика сплошных сред. - М.: Наука, 1982.
147. Леду П. К условиям равновесия в центре звезд и их эволюции // Ядерные про-
процессы в звездах труды Льежского коля.- М.: ИЛ, 1957. - С. 152-162.
148. Лейтон УДж. Белые карлики: обнаружение и наблюдения // Белые карлики /
Под ред. В.С. Имшенника. - М.: Мнр, 1975. - С. 13-22.
149. Лозинская Т.А. Сверхновые звезды и звездный ветер. Взаимодействие с газом
Галактики. - М.: Наука, 1986.
150. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1959.
151. Лютостанский Ю.С. и др. Кинетическая модель р-процесса // Препринт ИПМ. —
1984. - № 95.
152.Мазец £jj_ и Др_ Вспыхивающий рентгеновский пульсар в Золотой Рыбе // ПАЖ. -
1979. -Т. 5.-С. 307-312.
153. Манчестер Р., Тейлор Дж. Пульсары. - М.: Мир, 1980.
15А-Масевич А.Г.. Рубен. Г.В., Ломнев СП., Попова Е.И. Расчет однородных моделей
звезд с массами 4 Йв, 8 Мв, 16 Мв для различного химического состава и различ-
различных законов поглощения // НИ. - 1965. - вып. 1. - С. 2-47.
iSS.Maceeuv А .Г., Тутуков А.В. Эволюция массивных звезд и проблема полуконвек-
ч™ // НИ. - 1974. - Вып. 29. - С. 3-26.
463

156. Масевич А.Г., Тутуков А.В. Эволюция звезд: теория и наблюдения. - М.: Hav
ка, 1988.
157. Местел Л. Меридиональная циркуляция в звездах // Внутреннее строение звезд //
Под ред. Л. Аллера, Д.Б. Мак-Лафлина. - М.: Мир, 1970. - С. 249-289.
15В.Мигдал AM. Фермионы и бозоны в сильных полях. - М.: Наука, 1978.
159.МихаласД. Звездные атмосферы: Ч. I и II. - М.: Мир, 1982.
160. Михеев СП., Смирнов А.Ю. Резонансное усиление осцилляции в веществе н спек-
спектроскопия солнечных нейтрино // Ядерная физ. - 1985. - Т. 42. - С. 1441-1448.
Ybl. Михеев СП, Смирнов А.Ю. Осцилляции нейтрино в среде с переменной плот-
плотностью и вспышки от гравитационных коллапсов звезд // ЖЭТФ. - 1986. -
Т. 91.-С. 7-13.
162. Морозов Ю.И. Уравнения радиационного переноса в неинерциальных системах
координат // ПМТФ. - 1970. - № 1. - С. 3-11.
163. Морс Ф., Фешбах Г. Методы теоретической физики. - М.: ИЛ, 1958.
164. Мухин К.Н. Экспериментальная ядерная физика: Т. 1. Физика атомного ядра. -
М.: Энсргоатомиздат, 1983.
165. Надежин Д.К. Эволюция звезды М= 30Мвв стадии горения водорода // НИ. -
1966.-вып. 4.-С. 37-64.
166. Надежин Д.К1 Асимптотические формулы для уравнения состояния электронно-
позитронного газа // НИ. - 1974. - Вып. 32. - с. 3-72.
167.Надежин Д.К. Таблицы к уравнению состояния электронно-позитронного газа//
НИ. - 1974. - Вып. 33. - С. 117-142.
168. Надежин Д.К., Чечеткин ВМ. Нейтринное излучение УРКА-процессом при высо-
высоких температурах // АЖ. - 1969. - Т. 46. - С. 270-279.
169. Новиков ИЛ., Фролов В.П. Физика черных дыр. - М.: Наука, 1986.
170. Одуз Ж., Ривс X. Происхождение легких элементов // Ядерная астрофизи-
астрофизика //. - М.: Мир, 1986. - С. 340-358.
171. Окунь Л.Б. Слабое взаимодействие элементарных частиц. - М.: Наука, 1963.
172. ОкуньЛ.Б. Лептоны и кварки. — М.: Наука, 1981.
173. ОкунъЛЛ. Физика элементарных частиц. - М.: Наука, 1984.
ПА. Паркер Е.Н. Динамические процессы в межпланетной среде. - М.: Мир, 1965.
175. Петров П.П. Звезды типа Т Тельца: Современные наблюдательные данные //
Ранние стадии эволюции звезд //. — Киев: Наукова Думка, 1977. - С. 66-100.
Пб.Пикелънер С£. Основы космической электродинамики. - М.: Наука, 1961.
Ш.Порфиръев В.В., Редкобородый Ю.Н. Эффект электронного экранирования в
ядерных реакциях при высоких плотностях // АФ. - 1969. - Т. 5. - С. 393-
413.
178. Псковский Ю.П. Новые и верхновые звезды. - М.: Наука, 1985.
179. Птицын ДА., Чечеткин ВМ. К вопросу об образовании элементов за железным
пиком в сверхновых // ПАЖ. - 1982. - Т. 8. - С. 600-606.
180. Радциг А.А., Смирнов Б.М. Справочник по атомной и молекулярной физике. -
М.: Атомиздат, 1980.
181. Редкобородый Ю.Н. Квантовая теория эффектов экранирования при термоядер-
термоядерных реакциях. I. Релятивистская электронная плазма // АФ. - 1976. - Т. 12. -
С. 495-510.
182. Ривс X. Источники звездной энергии // Внутренее строение звезд //Под ред. Л.Ал-
лера, Д.Б. Мак-Лафлина. - М.: Мир, 1970. - С. 13-100.
183. Росселанд С. Теория пульсаций переменных звезд. - М.: ИЛ, 1952.
184. Рублев СВ., Черепащук AM. Звезды Вольфа-Райе // Явления нестационарности
и звездная эволюция. - М.: Наука, 1974. - С. 47-124.
185. Рудерман М. Нейтрино и астрофизика // Нейтрино //. — М.: Наука, 1970.
186. Рудзский М.А., Сеидов З.Ф. Тепловые эффекты в бета-процессах // Изв. АН
Азерб. ССР, сер. физ. тех. и мат. наук. - 1974. - Т. 4. - С. 98-106.
187. Рудзский МЛ., Сеидов З.Ф. Коллапс звезды малой массы и нагрев бета про-
процессами // АЖ. - 1974. - Т. 51. - С. 936-939.
188. Саакян Г.С Равновесные конфигурации вырожденных газовых масс. - М.: Нау-
Наука, 1972.
189. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные схемы газовой динамики. - М.: Наука,
1975.
464

190 Седракян Д.Н., Шахбазян КМ., Мовсисян А.Г. Магнитные моменты нейтронных
звезд из реального газа барионов // АФ. - 1984. - Т. 21. - С. 547-561.
191 Сеидов З.Ф. Равновесие звезды с фазовым переходом // АФ. - 1967. - Т. 3. -
'С. 189-201.
191а. Сеидов З.Ф. Звезды с фазовым переходом // канд. дисс. - 1970. - Ереван.
192 Сеидов З.Ф. Политропы с фазовым переходом. II. Политропа и = 1 // Сообщ.
' Шемах. обе. - 1971. - вып. 5. - С. 58-69.
193 Сеидов З.Ф. Равновесие, устойчивость и пульсации звезд с фазовым переходом //
' Препринт ИКИ. - 1984. - № Пр-889.
194. Сире Р.Л., Браунли Р.Р. Эволюция звезд и определение их возраста // Внутрен-
Внутреннее строение звезд// Под ред. Л. Аллера.Д.Б. Маклафлина.- М.: Мир. -С. 290-364.
195. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Т. 2. - М.: Наука, 1962.
196. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Т. 4. - М.: Гостехиздат, 1958.
197. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. - М.: Наука, 1967.
198. Суинни X., Голлаб Дж. (ред.) Гидродинамические неустойчивости и переход
к турбулентности. — М.: Мир, 1984.
199. Тассулъ Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. - М.: Мир, 1982.
200. Тутуков А.В., Фадеев Ю.А. Образование протяженной оболочки вокруг пуль-
пульсирующей звезды // НИ. - 1981. - Вып. 49. - С. 48-63.
201. Уиллер Дж., Гаррисон Б., Вакано М., Торн К. Теория гравитации и гравитацион-
гравитационный коллапс. - М.: Мир, 1967.
201а. Улърих РЖ. 5-процесс // Ядерная астрофизика. - М.: Мир, 1986. - С. 290-312.
202. Урпин ВЛ., Яковлев Д.Г. Теплопроводность, обусловленная межэлектронными
столкновениями в вырожденном релятивистском эллектронном газе // АЖ. -
1980. - Т. 57. - С. 213-215.
203. Урпин ВЛ., Яковлев Д.Т. Термогальваномагнитные явления в белых карликах
и нейтронных звездах // АЖ. - 1980. - Т. 57. - С. 738-748.
204. Уус У.Х. Расчеты структуры тонких слоев ядерного горения в звездных моде-
■ лях // НИ. - 1969. - Вып. 13. - С. 126-144.
205. Уус У.Х. Эволюция звезд М= 1,5, 2,3 и 5 Ма на стадии роста углеродного ядра //
НИ. - 1970. - Вып. 17. - С. 3-24.
206. Уус У.Х. Проникновение конвективной оболочки звезды в зону ядерного горе-
горения // НИ. - 1971. - Вып. 20. - С. 60-63.
207. Уус У.Х. О возможности последовательной трактовки звездной турбулентной
конвекции // Публ. Тартус. Астрофиз. Обе. им. В.Я. Струве. - 1979. - Т. 47. -
С. 103-119.
208. Фадеев Ю.А. О возможности образования пылевых частиц в атмосфере FG Стре-
Стрелы // НИ. - 1981. - Вып. 50. - С. 3-9.
209. Федорова А.В. Влияние магнитного поля на минимальную массу звезды главной
последовательности // НИ. - 1978. - Вып. 42. - С. 95-109.
210. Федорова А.В., Блинников С.И. Влияние аккреции и вращения на минимальную
массу звезды главной последовательности // НИ. - 1978. - Вып. 42. -
С. 75-94.
211. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. -
1983. - Т. 141. - С. 343-374.
212. Ферми Э. Ядерная физика. - М.: ИЛ, 1951.
213. Ферми Э. К теории 0-лучей// Научные труды: Т. l.-М.: Наука, 1971. -С. 525-541.
214. Фок ВЛ. Начала квантовой механики. - М.: Наука, 1976.
Л5. Франк-Каменецкий Д.А. Физические процессы внутри звезд. - М.: Физматгиз, 1959.
216. Франк-Каменецкий Д.А. Кинетика нейтронизации при сверхвысоких плотнос-
плотностях // ЖЭТФ. - 1962. - Т. 42. - С. 875-879.
t-ii-Цурута С., Камерон А. Урка-оболочки в плотных звездных недрах // Белые
карлики / Под ред. B.C. Имшенника. - М.: Мнр, 1975. - С. 149-173.
^18. Чандрасекхар С. Введение в учение о строении звезд. - М.: ИЛ, 1950.
22^- Чандрасекхар С. Перенос лучистой энергии. - М.: ИЛ, 1953.
Ш. Чандрасекхар С. Эллипсоидальные фигуры равновесия. - М.: Мир, 1973.
222 ffHdpaceKxap С. Математическая теория черных дыр. - М.: Мир, 1986.
УпЛА<ен *'•• КаУлинг Т. Математическая теория неоднородных газов. - М.: ИЛ,
1960.
465

222а. Черепащук AM. (ред.) Каталог тесных двойных систем на поздних стадиях
эволюции. - М.: Изд-во МГУ, 1988.
223. Чечев В.П., Крамаровский ЯМ. Теория ядерного синтеза в звездах: процесс
медленного нейтронного захвата // УФН. - 1981. - Т. 134. - С. 431-467.
224. Чечеткин В.М. Равновесное состояние вещества при высоких температурах и
плотностях // АЖ. - 1969. - Т. 46. - С. 202-206.
225. Чугай Н.Н. Спиральность нейтрино и пространственные скорости пульсаров //
ПАЖ. - 1984. - Т. 10. - С. 210-213.
226. Шакура Н.И. Дисковая модель аккреции газа релятивистской звездой в тесной
двойной системе // АЖ. - 1972. - Т. 49. - С. 921-929.
227. Шапиро С, Тъюколъский С. Черные дыры, белые карлики и нейтронные звезды-
Т. 1,2.-М.: Мир, 1985.
228. Шварцман В.Ф. Ореолы вокруг черных дыр // АЖ. - 1971. - Т. 48. - С. 479 488.
229. Шварцшилъд М. Строение и эволюция звезд. - М.: ИЛ, 1961.
230. Швебер С. Введение в релятивистскую квантовую теорию поля. - М.: ИЛ, 1963.
231. Шехтер В.М. Слабое взаимодействие с нейтральными токами // УФН. - 1976. -
Т. 119. -С. 593-632.
232. Широков Ю.М., Юдин Н.П. Ядерная физика. - М.: Наука, 1980.
233„ Шкловский И.С. О природе планетарных туманностей и их ядер // АЖ. - 1956. -
Т. 33. -С. 315-329.
234. Шкловский И.С. Сверхновые звезды. - М.: Наука, 1976.
235. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. - М.: ИЛ, 1962.
236. Шноль Э.Э. Об устойчивости звезды со скачком плотности, вызванной фазовым
переходом // Препринт ИПМ. - 1974. - № 93.
237. Шустов БМ. Алгоритм расчета газодинамической эволюции оболочки массивной
протозвезды // НИ. - 1978. - Вып. 42. - С. 60-74.
238. Шустов БМ. Эволюция протозвездных оболочек I. Стадия коконов // НИ.
1979. - Вып. 46. - С. 63-92.
239. Шустов БМ. Эволюция протозвездных оболочек II. Спектры выходящего излу-
излучения протозвезд и компактных зон Н II // НИ. - 1979. - Вып. 46. - С. 93-110.
240. Эбелинг В., Крефт В., Кремп Д. Теория связанных состояний и ионизационного
равновесия в плазме и твердом теле. - М.: Мир, 1979.
241. Эргма Э.В. Модели оболочек 4 Мв и 20 Мв // НИ. - 1969. - Вып. 12.
242. Эргма Э.В. Нелокальная модель конвекции для звездных оболочек // НИ. -
1972. - Вып. 23. - С. 33-46.
243. Эргма Э.В. Термоядерные вспышки в оболочках нейтронных звезд // Итоги
науки и тех., астрономия. - 1982. - Т. 21. - С. 130-150.
244. Эргма Э.В. Термоядерные процессы в аккерцирующих белых карликах (новые,
симбиотические новые и сверхновые I типа) // Итоги науки и тех., астроно-
астрономия. - 1986. - Т. 31. - С. 228-257.
245. Яковлев Д.Г. Явления переноса тепла и заряда в нейтронных звездах н белых
карликах // Канд. дисс. - 1980. - Л.: ЛФТИ.
246. Яковлев Д.Г., Урпин В.А. О теплопроводности и проводимости в нейтронных
звездах и белых карликах // АЖ. - 1980. - Т. 57. - С. 526-536.
247. Яковлев Д.Г., Шалыбков Д.А. Влияние электронного экранирования на ско-
скорость термоядерных реакций // ПАЖ. - 1987. - Т. 13. - С. 730-736.
248. Яковлев Д.Г., Шалыбков ДЛ. Вырожденные ядра белых карликов и оболочки
нейтронных звезд: термодинамика и плазменное экранирование в термоядерных
реакциях // Итоги науки и тех. сер. Астрономия. - 1988. - Т. 38. -С. 191-252.
249. Alcock СИ., Illarionov A.F. The surface chemistry of stars. II. Fractionated accretion of
interstellar matter // ApJ. - 1980. - V. 235. - P. 541-553.
250. Alexander D. Low temperature Rosselandopacity tables// ApJ Suppl. - 1975. — V. 29.-
P. 363-374.
250a. Alpar M.A., Cheng A.F., Ruderman M.A., Shaham J. A new class of radio pulsars//
Nature.-1982.-V. 300. - P. 728-730.
251. Appenzeller I. The evolution of a vibrationally unstable mainsequense star of 130-Mto //
AA. - 1970. - V. 5. - P. 355-371.
252. Appenzeller I. Mass loss rates for vibrationally unstable very massive main-sequence
stars// AA. - 1970. - V. 9. - P. 216-220.
466

253 Appenzeller I., Tscharnuter W. The evolution of a massive protostar // AA. - 1974. -
" V. 30. - P. 423-430.
254 Arnett D. Mass dependence in gravitational collapse of stellar cores// Canad. J. Phys. -
' l967. _ v. 45. - P. 1621-1641.
255 Arnett D. A possible 'model of supernovae: detonation of С'' // ApSS. - 1969. -
V.5.-P. 180-212.
255a Arnett D. Neutrino trapping during gravitational collapse of stars // ApJ. - 1977. -
V. 218. -P. 815-833.
256. Arponen J. Internal structure of neutron stars // NP. - 1972. - V. A191. - P. 257-
284.
257. Auman J., Bodenheimer P. The influence of water-vapor opacity and the efficiency
of convection on models of late-tape stars // ApJ. - 1967. -V. 149. - P. 641-
648.
258. Baade W.,ZwickyF. Supernovae and cosmic rays// PR. - 1934. - V. 45. - P. 138-134.
259. Bahcall J. Solar neutrino experiment // Rev. Mod. Phys. - 1978. - V. 50. - P. 881-
903.
260. Bahcall J., Cleveland B.T., Davis R.Jr., Rowley J.fC. Chlorine and gallium solar neutrino
experiment // ApJ. Lett. - 1985. - V. 292. v- P. L79-L82.
261. Baker N.. Gough D. Pulsations of model RR Lyrae stars // ApJ. - 1979. - V. 234. -
P. 232-244.
262. BardeenJ. Binding energy and stability of spherically symmetric masses in general
relativity // Preprint OAP. - 1965. - № 36.
263. Burrows A., Lattimer J. The birth of neutron stars // ApJ. - 1986. - V. 307. - P. 178-
196.
264. Baud B. et. al. High-sensitivity IRAS observations of the Chamaeleon I dark cloud // ApJ.
Lett. - 1984. - V. 278. - P. L53-L55.
265. Baym G., Bethe H., Pethick Ch. Neutron star matter // NP. - 1971. - V. A175. -
P. 255-271.
266. Baym G., Pethick Ch. Neutron stars // Ann. Rev. Nucl. Sci. - 1975. - V. 25. - P. 27-
77.
267. Baym G.. Petliick Ch., Sutherland P. The ground state of matter at high densities:
equation of state and stellar models//ApJ. - 1971.- V. 170. - P. 306-315.
268. Beaudet G., Petrosian V., Salpeter E.E. Energy losses due to neutrino processes //
ApJ. - 1967. - V. 150. - P. 979-999.
269.Beaudet G., Salpeter E.E., Silvestro M.L. Rates for URCA neutrino processes// ApJ. -
1972.-V. 174.-P. 79-90.
270. Becker S., Iben I. The asymptotic giant branch evolution of intermediate-mass stars
as a function of mass and composition. I. Through the second dredge-up phase //
ApJ. - 1979. - V. 232. - P. 831-853.
271. Becker S., Iben I., Tuggle R. On the frequecy-period distribution of Cefeid variables
in galaxies in the localgroup // ApJ. - 1977. - V. 218. - P. 633-653.
272. Beichman C.A. et. al. The formation of Solar-type stars: IRAS observations of the
dark cloud Barnard 5 // ApJ. Lett. - 1984. - V. 278. - P. L45-L48.
273. Beichman C. et al. Candidate Solar-type protostars in nearby molecular cloud cores //
ApJ. - 1986. - V. 307. - P. 337-349.
274. Bethe H. Possible explanation of the Solar neutrino puzzle // PR. Lett. - 1986. -
V.56. -P. 1305-1308.
275. Bethe H., Johnson M. Dense barion matter calculations with realistic potentials// NP. -
1974.-V. A2 30.-P. 1-58.
276. Bethe H., Wilson J. Revival of a stalled supernova shock by neutrino heating // ApJ. -
1985. - V. 295. -P. 14-23.
in.Bisnovatyi-Kogatr G.S. Stellar envelopes with supercritical luminosity // ApSS. -
1973.-V. 22.-P. 307-320.
278. Bknovatyi-Kogan G.S. Gamma-ray bursts from neutron stars // Report on COSPAR,
Varna, 1975, preprint 1KI. - 1975. - D - 203.
П9. Bisnovatyi-Kogan G.S. Magnetohydrodynamical processes near compact objects // Ri-
vista Nuovo Cimento. - 1979. - V. 2, № 1.
280. Bisnovatyi -Kogan G.S. Magnetorotational model of supernovae explosion // Ann.
New-York Acad. Sci. - 1980. - V. 336. - P. 389-394.
467

281. Bknovatyi-Kogan G.S. Pre-main - sequence stellar evolution // Proc. Symp. IAU
№ 93: Fundamental problems of stellar evolution / Ed. D. Sugimoto, D. Lamb
D. Schramm, D. Reidel, 1981. - P. 87-97.
282. Bisnovatyi-Kogan G.S. Physical processes in stars on late stages of stellar evolution //
Astron. Nachiichten. - 1982. - V. 203. - P. 131-137.
283. Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. The equilibrium, stability and evolution of a ro-
rotating magnetized gaseous disk//ApSS. - 1972.-V. 19. - P. 119-144.
284. Bknovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. Static criteria for stability of arbitrarily rotating
stars // AA. - 1974. - V. 31. - P. 391-404.
285. Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov SI. Disk accretion onto a black hole at subcritical
luminosity//AA. - 1977.-V. 59. -P. 111-125.
286. Bisnovatyi-Kogan G.S., Blinnikov S.I. Spherical accretion ontu compact X-ray
source with preheating: no thermal limit for the luminosity // MN. - 1980. - V. 191. —
P. 711-719. »
287. Bisnovatyi-Kogan G.S., Chechetkin V.M. Nucleosynthesis in supernova outbursts and
the chemical composition of the envelopes of neutron stars // ApSS. — 1974. — V. 26.
P. 25-46.
288. Bisnovatyi-Kogan G.S., Chechetkin V.M. Nuclear fission in the neutron stars and gamma
ray bursts// ApSS. - 1983. - V. 89. - P. 447-451.
289. Bknovatyi-Kogan G.S., Imshennik V.S., Nadyozhin D.K., Chechetkin V.M. Pulsed
gamma ray emission from neutron and collapsing stars and supernovae // ApSS. -
1975.-V. 35.-P. 23-41.
290. Bknovatyi-Kogan G.S., Nadyozhin D.K. The evolution of massive stars with mass loss//
ApSS. - 1972. - V. 15. - P. 353-374.
291. Bisnovatyi-Kogan G.S., Popov Yu.P., Samochin A.A. The magnetohydrodinaniical
rotational model of supernovae explosion // ApSS. - 1976. - V. 41. - P. 321-356.
292. Bisnovatyi-Kogan G.S. Ruzmaikin A.A. The stability of rotating supermassivs stars//
AA. - 1973. - V. 27. - P. 209-221.
293. Bisnovatyi-Kogan G.S., Ruzmaikin A.A. The accretion of matter by a collapsing star
in the presence of a magnetic field // ApSS. - 1974. - .V. 28. - P. 45-59.
294. Bknovatyi-Kogan G.S., Ruzmaikin A.A. The accretion of matter by a collapsing star
in the presence of magnetic field. II. Selfconsistent stationary picture // ApSS. -
1976.-V. 42. -P. 401-424.
295. Bknovatyi-Kogan G.S.. Vainshtein S.I. Generation of magnetic fields in rotating stars
and quasars // Astrophys. Lett. - 1971. - V. 8. - P. 151-152.
296. Black D.C., Bodenheimer P. Evolution of rotating interstellar clouds. I. Numerical
techniques// ApJ. - 1975. - V. 199.- P. 619-632.
297. Black D.C, Bodenheimer P. Evolution of rotating interstellar clouds. II. The collapse
of protostars of 1,2 andSM , //ApJ. - 1976. - V. 206. - P. 138-149.
298. Blake J., Schramm D. A possible alternative to the r-process // ApJ. - 1976. - V. 209. -
P. 846-849.
299. Blake J., Woosley S., Weaver Т., Shramm D. Nucleosinthesis of neutron-rich heave nuc-
nuclei during explosive helium burning in massive stars // ApJ. -1981. - V. 248. - P. 315—
320.
300.Blandford R.D., Znaeck R.L. Electromagnetic extraction of energy from Kerr black
holes // MN. - 1977. - V. 179. - P. 433-456.
301. Bludman S., Van Riper K. Diffusion approximation to neutrino transport in dense
matter// ApJ. - 1978. - V. 224. - P. 631-642.
302. Bodansky D., Clayton £>., Fowler W. Nuclear quasi-equilibrium during silicon bur-
burning // ApJ. Suppl. - 1968. - V. 16. - P. 299-371.
303. Bodenheimer P., Ostriker J. Rapidly rotating stars. IV. Pre-main sequence evolution
of massive stars // ApJ. - 1970. -V. 161. - P. 1101-1115.
304. Bodenheimer P., Ostriker J. Do pulsars make supernovae? II. Calculations of tight
curves for type II events// ApJ. - 1974. - V. 191. - P. 465-471.
305. Bodenheimer P., Tschamuter W. A comparison of two independent calculations of
the axysimmetric collapse of a rotating protostar // AA. - 1979. - V. 74. - P. 288-
293.
306. Bohm-Vitenze E. Uber die Wasserstoffkonvektionzone in Sternen verschiedener Ef-
fectivtemperaturen und Leuchtkrafte // Z. Astrophys. - 1958. - V. 46. - P. 108-143.
468

307 Boss A. P. Protostellar formation in rotating interstellar clouds. I. Numerical methods
" and tests // ApJ. - 1980. - V. 236. - P. 619-627.
308 Boss A.P. Protostellar formation in rotating interstellar clouds. II. Axially symmetric
' collapse // ApJ. - 1980. - V. 237. - P. 563-573.
309 Boss A.P. Protostellar formation in rotating interstellar clouds. III. Nonaxysimmetric
' collapse // ApJ. - 1980. - V. 237. - P. 866-876.
310 Boss A.P. Collapse and equilibrium of rotating adiabatic clouds // ApJ. - 1980. -
*V. 242. -P. 699-709.
311. Boss A.P., Habet J.G. Axisimmetric collapse of rotating isothermal clouds // ApJ. -
1982. - V. 255. - P. 240-244.
312. Bray R.J., Loughhead R.E. The solar granulation. - London.: Chapman and Hall Ltd.,
1967.
313. Buchler J-R., Barkat Z. Properties of low density neutron star matter // PR Lett. -
1971. -V. 27.-P. 48-51.
314 Buchler J-R., Datta B. Neutron gas: temperature dependence of the effective interac-
' tion // PR. - 1979. - V. С19. - P. 494-497.
US. Buchler J-R., Yuen W.R. Compton scattering opacities in a partially degenerate elect-
electron plasma at high temperatures // ApJ. - 1976. - V. 210. - P. 440-446.
316.Bugaev E.V., Bisnovatyi-Kogan G.S., Rudzskyi M.A., Seidov Z.F. The interaction of
intermediate energy neutrinos with nuclei // NP. - 1979. - V. A324. - P. 350-364.
317. Burbidge EM., Burbidge G.R., Fowler W., Hoyle F. Synthesis of the elements in stars//
Rev. Mod. Phys. - 1957. - V. 29. - P. 547-650.
318. Cabrit S., Bertout С CO lines formation in bipolar flows. I. Accelerated outflows //
Preprint Inst.d Astrophys. de Paris. - 1985. - № 119.
319. Carson T.R., Huebner W.F., Magee N. H., Merts A.L. Discrepancy in the CNO opacity
bump resolved // ApJ. - 1984. - V. 283. - P. 466-468.
320. Castor J.L. Radiative transfer inspherically symmetric flows// ApJ. - 1972. — V. 178. -
P. 779-792.
321. CaughIan G., Fowler W., Harris M., Zimmerman В Tables of thermonuclear reaction
rates for low-mass nuclei A < Z < 14) // At. data and nucl. data tabl. - 1985. - V. 32 -
P. 197-234.
321a. Cavalerie A., Isaak G, et.al. Structure of the 5-minute solar oscillations 1976-1980 //
Solar Phys. - 1981. - V. 74. - P. 51-57.
322. Chandrasekhar S. The highly collapsed configurations of a stellar mass // MN. - 1931. -
V. 91.-P. 456-466.
323. Chandrasekhar S. The dynamical Instability of gaseous masses approaching the Schwar-
zschild limit in general relativity // ApJ. - 1964. - V. 140. - P. 417-433.
324. Chan K., Sofia S., Wolff L. Turbulent compressible convection in a deep atmosphere.
I.Preliminary two-dimensional results // ApJ. - 1982. - V. 263. - P. 935-943.
325. Chechetkin V.M., Gershtein S.S., Imshennik V.S., Ivanovo L.N., Khlopov M. Yu. Su-
pernovae of types I and II and the neutrino mechanism of thermonuclear explosion
of degenerated carbon-oxigen stellar cores // ApSS. - 1980. - V. 67.- P. 61-98.
326. Chechetkin V.M., Kowalski M. Production of heavy elements in nature // Nature. -
1976. - V. 259. - P. 643-644.
327. Chiosi C, Stalio R. (ей). Effects of mass loss on stellar evolution. Proceed. IAU Coll.
N59.- D. Reidel, 1981.
328. Clifford F.E., Tayler R.J. The equilibrium distribution of nuclides in matter at higt
temperatures // Mem. Roy. Astron. Soc. London. - 1965. - V. 69. - P. 21-81.
329. Cloutman L., Whitaker R. On convective and semiconvective mixing in massive stars //
ApJ. - 1980. - V. 237. - P. 900-902.
330. Cohen M., Kuhi L. V. Observational studies of pre-main-sequence evolution // ApJ.
Suppl. - 1979. - V. 41. - P. 743-843.
331. Colgate S., White R. The hydrodynamic behavior of supernovae explosions // ApJ. -
1966. - V. 143. - P. 626-681.
332. Couch R., Arnett D. Advanced evolution of massive stars. I Secondary nucleosynt-
nucleosynthesis doring helium burning//ApJ. - 1972.-V. 178, p. 771-777.
333. Couch R., Schmiedenkamp A., Arnett D. S-process nucleosynthesis in massive stars:
core helium burning // ApJ. - 1974. - V. 190. - P. 95-100.
334. Cox A., Tabor J. Radiative opacity tables for 40 stellar mixtures // ApJ. Suppl. -
1976. - V. 31. -P. 271-312.
469

335. Cox D.P., Tucker W.H. Ionization equilibrium and radiative cooling in a low-density
plasma// ApJ. - 1969. - V. 157,P. 1157-1167. /
336. Dicus D. Stellar energy-loss rates in a convergent theory of a weak and electromag-
electromagnetic interactions // PR. - 1972. - V. D6. - P. 941-949.
337. Dowries D. et. al. Outflow of matter in the KL nebula: the role of IRc2 // ApJ. _
1981. - V. 244. - P. 869-883.
338. Dravins D., Lindegren L., Nordlund A. Solar granulation: Influence of convection
on spectral line asymmetqes and wavelength shifts // AA. - 1981. — V. 96. - P. 345
364.
339.Dumey B.R. The interaction of rotation with convection// Stellar rotation//
Ed. A. Slettebak. - D. Reidel, 1970. - P. 30-36.
340. Durney B.R. On theories of Solar rotation // Basic mechanisms of Solar activity //
Ed. Bumba, Kleczek. - D. Reidel, 1976. - P. 243-295.
341. DyckH.H.,Simon Th., Zuckerman B. Discovery of an infrared companion to TTauri//
ApJ. Lett. - 1982. - V. 255. - P. L 103-L106.
342. Dzembowski W. Nonradial oscillations of evolved stars. I. Quasiadiabatic approxi-
approximation// Acta Astron.- 1971.-V. 21. - P. 289-306.
Wi.Eardley DM., Lightman A.P. Inverse Compton spectra and the spectrum of Cyg X-l //
Nature. - 1976. - V. 262. - P. 196-197.
344.Eggleton P. The structure of narrow shells in red giants // MN. - 1967. - V. 135. -
P. 243-250.
345. Eggleton P. Towards consistency in simple prescriptions for stellar convection // MN. -
1983. - V. 204. - P. 449-461.
346. El Eid M.F., Hillebrandt W. A new equation of state of supernova matter // AA. -
1980. - V. 42. - P. 215-226.
347. Emerson J.P. et. al. IRAS observations near young objects with bipolar outflows: L1551
and HH 46-47 // ApJ. Lett. - 1984. - V. 278. - P. L49-L52.
348. Epstein R.I. Lepton-driven convection in supernovae // MN. 1979. - V. 188. - P. 305-
325.
349. Ergma E., Paczynski B. Carbon burning with convectiYe URCA neutrinos //ActaAst-
ron. - 1974. - V. 24. - P. 1-16.
350. Ergma E. V., Tutukov A. V. Evolution of carbon-oxigen dwarfs in binary systems // Acta
Astron. - 1976. - V. 26. - P. 69-76.
351. Eriguchi Y., Miiller E. A general method for obtaining equilibria of self-gravitating and
rotating gases// AA. - 1985. - V. 146. - P. 260-268.
352. Eriguchi Y., Sugimoto D. Another equilibrium sequence of self-gravitating and rota-
rotating incompressible fluid // PTP. - 1981. - V. 65. - P. 1870-1875.
353. Ezer D., Cameron A.G. W. Pre-main-sequence stellar evolution with mass loss // ApSS. -
1971. -V. 10. -P. 52-70.
354. Faulkner J., Roxburgh I.W., Strittmatter P.A. Uniformly rotating main-sequence stars//
ApJ. - 1968. - V. 151. - P. 203-216.
355. Feigetson E.D., DeCampli W.M. Observations of X-ray emission from TTauri stars//
ApJ Lett. - 1981. - V. 243. - P. L89-L94.
356. Finzi A., Wolf R. Ejection of mass by radiation pressure in planetary nebulae // AA. —
1971.- V. 11.-P. 418-430.
357. Mowers E., Itoh N. Transport properties of dense matter II // ApJ. - 1979. - V. 230. -
P. 847-858.
358. Fontaine G., Graboske H.C.Jr.. van Horn H.M. Equation of state for stellar partial
ionization zones // ApJ. Suppl. - 1977. - V. 35. - P. 293-358.
359. Fowler W. The solar neutrino problem // Preprint OAP. - 1977. - №507.
360. Fowler W., Caughlan G, Zimmerman B. Thermonuclear reaction rates // Ann. Rev.
Astron. Ap. - 1967. - V. 5. - P. 525-570.
361. Fowler W., Caughlan C, Zimmerman B. Thermonuclear reaction rates II // Ann. Rev-
Astron. Ap. - 1975.-V. 13. - P. 69-112.
362. Fowler •№., Engebrecht C, Woosley S. Nuclear partition functions // ApJ. - 1978. -
V. 226.-P. 984-995.
363. Fowler W., Hoyle- F. Neutrino processes and pair formation in massive stars and su-
supernovae // ApJ. Suppl. - 1964. - V. 9. - P. 201-319.
364. Fraley G. Supernovae explosions induced by pair-production instability // ApSS. —
1968.- V. 2. - P. 96-114.
470

365 Friedmatf В., Pandariphande V.R. Hot and cold nuclear and neutron matter // NP. —
' 1981- - V. A361. - P. 502-520.
366 Friedman J, Ipser J., Parker L. Rapidly rotating neutron star models // ApJ. - 1986. -
V. 304.-P. 115-139.
367 Fuller G., Fowler W., Newman M. SetUar weak-interaction rates for sd-shell nuclei I.
' Nuclear matrix element systematics with application to Al" and selected nuclei of
importance to the supernova problem// ApJ. Suppl. — 1980. —V. 42. — P. 447 —
473.
368 Fuller G., Fowler W., Newman M. Stellar weak interaction rates for intermediate mass
' nuclei II: A = 21 to A = 60// ApJ. - 1982. - V. 252. - P. 715-740.
369. Fuller C, Fowler W.. Newman M. Stellar weak interaction rates for intermediate mass
nuclei III: rates tables for the free nucleons and A = 21 to A = 60 // ApJ. Suppl. —
1982. - V. 48. - P. 279-295.
370. Fuller G., Fowler W., Newman M. Stellar weak interaction rates for intermediate mass
nuclei IV. Interpolation prosedures for rapidly varying lepton capture rates using ef-
effective lg(ft) values// ApJ. - 1985. - V. 293. - P. 1-16.
371. Gahm G.F. X-ray observations of T Tauri stars // ApJ. Lett. - 1980. - V. 242. -
P. L163-L166.
372. Gahm G.F, Fredga K., Liseau R., Drarins D. The far UV spectrum of T Tauri star RU
Lupi// AA. - 1979. - V. 73, - P. L4-L6.
373. Gaustad J. The opasity of diffuse cosmic matter and the early of star formation //
ApJ. - 1963. - V. 138. - P. 1050-1073.
374. Gillman R. Plank mean cross-sections for four grain materia'ls // ApJ. Suppl. - 1974. -
V. 28,-P. 397-403.
375. Giovannelli F.. Bisnovatyi-Kogan G.S., Golynskaya I.M. et. al. Coordinated X-ray,
ultraviolet and optical observations of T Tauri stars // Proc. symp. int. "X-ray astro-
astronomy'84" // Ed. M. Oda, R. Giacconi. - Bologna, 1984. - P. 77-80.
376. Goldreich P., Julian W. Pulsar electrodinamics// ApJ. - 1969. - V. 157. - P. 869-880.
377. Golenetskii S. V., Mazets E.P. et. al. Annihilation radiation in cosmic gamma-ray bursts//
Preprint LFTI im. Ioffe. - 1985. - No. 959.
378. Gonczi G., Osaki Y. On local theories of time-dependent convection in the stellar pul-
pulsation problem // AA. - 1980. - V. 84. - P. 304-310.
379. v. Groote Я, HilfE.R., Takahashi K. A new semiempirical shell correction to the droplet
model. Gross theory of nuclear magics // At. data nucl. data tables. - 1976- - V. 17. -
P. 418-427, 476-608.
380. Grossman A. The surface boundary condition and approximate equation of state for
low-mass stars // Proc. symp. "Low-luminosity stars" // Ed. Sh. Kumar. — Gordon
and Breach, 1969. - P. 247-254.
381. Grossmann A. Evolution of low-mass stars 1. Contraction to the main seqence// ApJ. —
1970.-V. 161.-P. 619-632.
382. Grossmann A., MutschlecnerJ., Pauls T. Evolution of low-mass stars II. Effects of pri-
modial deuterium burning and nongray surface condition during pre-main-sequence
contraction//ApJ. - 1970.- V. 162. - P. 613-619.
383. Grossmann A., Graboske H.Jr. Evolution of low-mass stars III. Effects of nonideal ther-
modynamic properties during the pre-main-sequence contraction// ApJ. - 1971. -
V. 164.-P. 475-490.
383a. Hachisu I. A versatile method for obtaining structures of rapidly rotating stars //
Ap. J.Suppl. - 1986. - V. 61. - P. 479-508.
383 6. Hachisu I. A versatile method for obtaining structures of rapidly rotating stars II
Three dimensional self-consistent field method // ApJ. Suppl. - 1986. - V. 62. -
P. 461-500.
384. Hamada Т., Salpeter E. Models for zero-temperature stars // ApJ. - 1961. - V. 134. -
P. 683-698.
385. Hanson R., Jones B.F., Lin D.N.C. The astrometric position of T Tauri and the nature
of its companion // ApJ. Lett. - 1983. - V. 270. - P. L27-L30.
386. Harm R., Schwarzschild M. Red giants of population II. IV // ApJ. - 1966. - V. 145. -
P. 496-504.
387. Harm R., Schwarzschild M. Transport from a red giant to a blue nucleus after ejection
of a planetary nebula// ApJ. - 1975. - V. 200. - P. 324-329.
471

388. Harm R., Schwarzschild M. Red giants of population II. Ill // ApJ. - 1964.- V. 139 _
P. 594-601. '
389- Harris M., Fowler W., Caughlan G., Zimmerman B. Thermonuclear reaction rates HI //
Ann.Rev. Astron. Ap. - 1983. - V. 21. - P. 165-176.
390. Hayashi Ch. Evolution of protostars // Ann. Rev. Astron. Ap. - 1966. - V. 4. - P. 171-
192.
391. Hayashi Ch., Hoshi R., SugimotoD. Evolution of stars// Suppl. PTP. - 1962. - No. 22.-
P. 1- 183.
392. Hayashi Ch., Hoshi R., Sugimoto D. Advanced phases of evolution of population II
stars. Growth of the carbon core and shell helium flashes // PTP. - 1965. - V. 34 _
P. 885-911.
393. Henyey L.G. et.al. A method for automatic computation of stellar evolution // ApJ. —
1959. - V. 129. - P. 628-636.
394. Herbig G. The widths of absorption lines in T Tauri-hTce stars // ApJ. - 1957. - V. 125. -
P. 612-613.
395. Herbig G.H. Eruptive phenomena in early stellar evolution // ApJ. - 1977. - V. 217. -
P. 693-715.
396. Hillebrandt W. The rapid neutron capture process and the synthesis of heavy and neut-
neutron-rich elements// Space.Sci.Rev. - 1978. - V. 21. - P. 639-702.
397. Hillebrandt W. Stellar collapse and superriovae explosions // Proc. NATO-ASI "High
energy phenomena around collapsed stars" // Cargese, 1985.
398. Hillebrandt W., Nomoto K_, Wolff R. Supernovae explosions of massive stars. The mass
range 8 to 10ЛГ© // AA. - 1984. - V. 133. - P. 175-184.
399. Holmes J., Woosley S.. Fowler E., Zimmerman B. Tables of thermonuclear — reaction -
rate date for neutron — induced reactions on heavy nuclei // At. data nucl. data tables. -
1976. - V. 18. - P. 305-412.
400. Hoshi R. Basis properties of a stationary accretion disk surrounding a black hole //
PTP. - 1977.-V. 58. -P. 1191-1204.
401. Hoshi R., Shibazaki N. The effect of pressure gradient forse on an accretion disk sur-
surrounding a black hole// PTP. - 1977. - V. 58. - P. 1759-1765.
402. Houck J.R. et.al. Unidettified point sourses in the IRAS minisurvey // ApJ. Lett. -
1984. - V. 278. - P. L63-L66.
403. Hoxie D. The structure and evolution of stars of very low mass // ApJ. - 1970. -
V. 161.-P. 1083-1099.
404. Hunt R. A fluid dynamical study of the accretion process // MN. - 1971. - V. 154. -
P. 141-165.
405. Hurlburt N.. Toomre J., Massaguer J. Two-dimensional compressible convection ex-
extending over multiple scale heights// ApJ. - 1984. - V. 282. - P. 557-573.
406. Iben I.Jr. Stellar evolution. I. The approach to the main sequence // ApJ. — 1965. -
V. 141.-P. 993-1018.
407. Iben I. Stellar evolution II. The evolution of a 3Af© star from main sequence through
core helium burning // ApJ. - 1965. - V. 142. - P. 1447-1467.
408. Iben I. Stellar evolution. III. The evolution of a 5 MG star from the main sequence
through core helium burning// ApJ. - 1966. - V. 143. - P. 483-504.
409. Iben I. Stellar evolution IV. The evolution of a 9M@ star from the main sequence
through core helium burning // ApJ. - 1966. - V. 143. - P. 505-515.
410. Iben I. Stellar evolution V. The evolution of a 15 M© star through core helium bur-
burning from the main sequence// ApJ. - 1966. - V. 143. - P. 516-526.
ЛИ. Iben I. Stellar evolution VI. Evolution from the main sequence to the red—giant branch
for stars of mass 1M©, 1,25 M© and 1,5 M© // ApJ. - 1967. - V. 147. - P. 624-649.
412. Iben I. Stellar evolution VII. The evolution of 2,25 Af© star from the main sequence
to the helium burning phase // ApJ. - 1967. - V. 147. - P. 650-663.
413. Iben I. Stellar evolution within and off the main sequence // Ann. Rev. Astron. Ap. -
1967.-V. 5.-P. 571-626.
414. Iben I. On the specification of the blue edge of the RR Lyrae instability trip // ApJ. -
1971.-V. 166.-P. 131-151.
415. Iben I Post main sequence evolution of single stars // Ann. Rev. Aston. Ap. - 1974. -
V. 12.-P. 215-256.
416. Iben I. Thermal pulses; p-capture, a-capture, s-process nucleosynthesis; and convec-
tiv mixing in a star of intermediate mass // ApJ. - 1975. - V. 196. - P. 525-547.
472

417 Iben I. Solar oscillations as a guide to solar structure// ApJ. Lett. - 1976- - V. 204. -
'p L147-L150.
418 Iben I. Futher adventures of a thermally pulsing star // ApJ. - 1976. - V. 208. -
' p. 165-176.
419 Iben I. Low-mass asymptotic giant branch evolution I// ApJ. - 1982. - V. 260. -
P. 821-837. \
420 Iben I. On the frequency of a planetary nebula nuclei powered by helium burning
and on the frequency of white dwarfs with hydrogen-deficient atmospheres // ApJ. -
1984.-V. 277.-P. 333-354.
421 Iben I. The life and times of an intermediate mass star - in isolation / in a close bi-
nary // Quart. J. Roy. Astron. Soc. - 1985. - V. 26. - P. 1-39.
422. Iben I., Kaler J., Trwan J., Renzini A. On the evolution of those nuclei of planetary
nebulae, that experience a final helium shell flash // ApJ. - 1983. - V. 264. - P. 605-
612.
423. Iben I., Renzini A. Asymptotic giant branch evolution and beyond // Ann. Rev. Astron.
Ap. - 1983. - V. 21. - P. 271-342.
424. Iben I., Renzini A. Single star evolution I. Massive stars and early evolution of low and
intermediate mass stars// Phys. Rep. - 1984. - V. 105. - P. 329-406.
425 Iben I., Rood R. Metal-poor stars. I. Evolution from the main sequence to the giant
branch // ApJ. - 1970. - V. 159. - P. 605-617.
426. Iben I., Tutukov A. V. Cooling of low-mass carbon—oxigen dwarfs from the planetary
nucleus stage through the cristallization stage // ApJ. - 1984. - V. 282. - P. 615-630.
427. Ichimaru S. Strongly coupled plasma: High density classical plasmas and degenerate
electron liquids// Rev. Mod. Phys. - 1982. - V. 54. - P. 1017-1059.
428. Ichimaru S., Utsumi K. Enhancement of thermonuclear reaction rate due to screening
by relativistic degenerate electrons long range correlation effect // ApJ. — 1984. -
V. 286. - P. 363-365.
429. IUarionov A.F., Sunyaev R.A. Why the number of galactic X-ray stars is so small? //
AA. - 1975. - V. 39. - P. 185-195.
430. Imshennik V.S., Nadyozhm D.K. Neutrino chemical potential and neutrino heat con-
conductivity with allowance for neutrino scattering // ApSS. - 1979. - V. 62. - P. 309-
333.
431. Itoh N. Physics of dence plasmas and the enhancement of thermonuclear reaction
ratesdue to strong screening // Supl. PTP. - 1981. - No. 70. - P. 132-141.
432. Itoh N, Mitaku S., Iyetomi H., Ichimaru S. Electrical and thermal conductivities
of dense matter in the liquid metal plase 1. High-temperature results // ApJ. — 1983. -
V. 273.-P. 774-782. ,
433. Itoh N.. Totsuji H., Ichimaru S. Enhancement of thermonuclear reaction rates due to
strong screening // ApJ. - 1977. - V. 218. - P. 477-483; 1978. - V. 220. - P. 742.
434. Itoh N, Totsuji #., Ichimaru S., De Witt H. Enhancement of thermonuclear reaction
rates due to strong screening II. Ionic mixtures // ApJ. - 1979. - V. 234. - P. 1079-
1084: 1980. - V. 239. - P. 415.
435_/i>uhow2 L.N., Imshennik V.S., Chechetkin V.M. Pulsation regime of the thermonuclear
explosion of a star's dense carbon core // ApSS. - 1974. - V. 31. - P. 497-514.
436. Jackson S. Rapidly rotating stars. The coupling of the Henyey and the selfconsistent-
fluld methods// ApJ. - 1970. - V. 161. - P. 579-585.
437.James R.A. The structure and stability of rotating gas masses// ApJ. - 1964. -V. 140.
P. 552-582.
WB.Juman С Barion star models// ApJ. - 1965. - V. 141. P. 187-194.
439. Kamija Y. The collapse of rotating gas clouds// PTP. - 1977. - V. 58. ^ P. 802-815.
440. Keene J. et. al. Far-infrared detection of low—luminosity star formation in the Bok
globule B335// ApJ. Lett. - 1983. - V. 274. - P. L43-L47.
441-Kellman S., Gaustad J. Rosseland and Planck mean absorption coefficients for parti-
particles of ice, graphite and silicon dioxide // ApJ. - 1963. - V. 138. - P. 1050-1073.
442. Kippenhahn R. Differential rotation in stars with convective envelopes // ApJ. —1963. -
V. 137.-P. 664-678.
443. Kippenhahn R., Thomas H.C., Weigert A. Sternentwicklung IV.Zentrales Wasserstoff und
Heliumbrenner bei einen Stern von 5 Sonnenmassen // Zeit. Astrophys. — 1965. -
V. 61.-P. 241-267.
3l- Г.С. Бисноватый-Коган 473

444. Kippenliahn R_, Thomas КС, Weigert A. Sternentwicklung V. Der Kohlenstoff-Flash bei
einem Stern von 5 Sonnenmassen // Zeit- Astrophys. — 1966- - Bd. 64. - S. 373-394
445. Kippenhahn R, Thomas H.C. Rotation and stellar evolution // Proc. 1AU Symp. No. 93
"Fundamental problems of the theory of stellar evolution" // Ed.D.Sugimoto, D.Lamb
D. Shramm. - 1981. - D. Reidel. - P. 237-256.
446.Kippenhahn R., Weigert A., Hofmeister E. Methods for calculating stellar evolution //
Meth. Comput. Phys. - 1967. - V. 7. - P. 129-190.
447. Kohijama Y., Itoh N.,Munakata H. Neutrino energy losses in stellar interiors II. Axial-
vector contribution to the plasma neutrino energy loss rate // ApJ. - 1986- — V. 310. -
P. 815-819-
448. Kuan P. Emission envelopes of T Tauri stars // Ap J. - 1975. - V. 202. - P. 425-432
449. KuhiL.V. Masslossfrom T Tauri stars//ApJ. - 1964. - V. 140-- P. 1409-1433.
450. Kulkarni S.R. Optical identification of binary pulsars implications for magnetic field
decay in neutron stars // ApJ. Lett. - 1986. - V. 306. - P. L8 L90.
451.Kundt W. Are supernova explosions driven by magnetic strings? // Nature. — 1976 -
V. 261.-P. 673-674.
452. Kutter G.S., Savedoff M.P., Schuerman D. W. A mechanism for the production of plane-
planetary nebulae // ApSS. - 1969. - V. 3. - P. 182-197.
453. Kutter G.S., Sparks W. Studies of hydrodynamic events in stellar evolution III. Ejection
of planetary nebulae // ApJ. - 1974. - V. 192. - P. 447-455.
454. Kwok S. From red giants to planetary nebulae // ApJ. - 1982. - V. 258. - P. 280-288.
Л55. Lamb D.Q., Pethick С J. Effects of neutrino degeneracy in supernova models // ApJ.
Lett. - 1976. - V. 209. - P. L77-L82.
456. Lamb D.Q., Lattimer J.M., Pethick С J., Ravenhall D.G. Hot dense matter and stellar
collapse//PR. Lett. - 1978. -V. 41. - P. 1623-1626.
457. Lamb D.Q., Van Horn НЖ Evolution of cristallizing pure С'a white dwarfs//ApJ. -
1975. - V. 200. - P. 306-323.
Л58. Lamb F.K. Neutron star binaries, pulsars and burst sources // Preprint Urbana Univ. —
1981.
459. Lamb S., Iben I., Howard M. On the evolution of massive stars through the core carbon-
burning phase // ApJ. - 1976. - V. 207. - P. 209-232.
460. Lamers H. The dependence of mass loss on the basic stellar parameters // Effects of mass
loss on stellar evolution // Ed. C. Chiosi, R. Stalio. - D. Reidel, 1981. - P. 19-23.
461. Lampe M. Transport coeddicients of degenerate plasma // PR. - 1968. - V. 170. -
P. 306-319.
462. Langake K., Wiescher M., Fowler W., Gorres J. A new estimate of the Ne1 * (p, 7) Na2 °
and O15fo, 7) Ne" reaction rates at stellar energies // Preprint OAP. - 1985. -
No.659.-P. 1-17,
463. Larson R. The evolution of protostars - theory // Found. Cosm. Phys. - 1973. -
V. 1.- P. 1-70.
464. Lattimer J_, Mazurek T. Leptonic overturn and shocks in collapsing stellar cores //
ApJ. - 1981. - V. 246. - P. 955-965.
465. Lattimer J. The equation of state of hot dense matter and supernovae // Ann. Rev.
Nucl. Part. Sci. - 1981. - V. 31. - P. 337-374.
466.Lattimer J., Mazurek T. Stellar implosion shocks and convective overturn // Pioc.
DUMAND-1980.
467. Le Blank L.M., Wilson J.R. A numerical example of the collapse of a rotating magneti-
magnetized star. // ApJ. - 1970. - V. 161. - P. 541-551.
468. Ledoux P. Non-radial oscillations // Proc. IAU Symp. No. 59 // ed. P. Ledoux, A- Noels,
A.W. Rodgers. - D. Reidel, 1974. - P. 135-173.
469. Lewellyn-Smith C.H. Neutrino reactions at accelerator energies // Phys. Rep. - 1972. -
V. 3C. - P. 261-379.
470. Lighthill H.J. On the stability of small planetary cores (II) // MN. - 1950. - V. 1Ю. -
P. 339-342.
471. de Loore С The influence of mass loss on the evolution of binaries // Effects of mass
loss on stellar evolution // ed. С Chiosi, R. Stalio. - D. Reidel, 1981. - P. 405-427.
472. Lucy L. Formation of planetary nebulae // AJ. - 1967. - V. 72. - P. 813-
473- Lucy L.B. Gravity-darkening for stars with convective envelopes // Zeit. Astrophys- -
1967.- V. 65.-P. 89-92.
474

473a Lyne A.G. et. al. The discovery of a millisecond pulsar in the globular cluster M28 //
Nature. - 1987. - V. 328. - P. 399-401.
л74 Mac Donald J. The effect of a binary companion on a nova outburst // MN. - 1980 —
'v. I91.-P.933r949.
475 Maeder A. Stellar evolution III: the overshooting from convective cores // AA. —
'1975.-V. 40.-P. 303-310.
476. Maeder A. The most massive stars evolving to red supergiants: evolution with mass loss,
WR stars, as post-red supergiants and pre-supernovae // AA. - 1981. - V. 99. - P. 97-
107.
477. Maeder A. Grid of evolutionary models for upper part of the HR diagram, mass loss and
the turning of some red supergiants into WR stars // AA. - 1981. - V. 102. - P. 401-
410.
478. Makashirna K. et. al. Simultaneous X-ray and optical observations of GX 339-4 in an
X-ray high state // ApJ. - 1986. - V. 308. - P. 635-643.
479. Afo/one R., Johnson M, Bethe H. Neutron star models with realistic high-density equa-
equations of state // ApJ. - 1975. - V. 199. - P. 741-748.
480.Massaguer J.M.,Latour J., Tbomre J.,Zahn J.-P. Penetrative cellular convection in a
stratified atmosphere // AA. - 1984. - V. 140. - P. 1-16.
481. Mathews G., Dietrich F. The N13(p, 7H" thermonuclear reaction rate and the hot
CNO cycle // ApJ. - 1984. - V. 287. - P. 969-976.
481a. Mayle R., Wilson J.R., Schramm D.N. Neutrinos from gravitational collapse // ApJ. -
1987. - V. 318. - P. 288-306.
4B2.Mazurek Т. Degeneracy effects on neutrino mass ejection in supernovae // Nature. -
1974. - V. 252. - P. 287-289.
483. Mestel L. On the theory of white dwarf stars. I. The energy sources of white dwarfs //
MN. - 1952. - V. 112. - P. 583-594.
484. Mestel L. On the theory of white dwarf stars II. The accretion Of interstellear matter
by white dwarfs // MN. - 1952. - V. 112. - P. 598-605.
485. Mestel L., Ruderman M.A. The energy content of a white dwarf and its rate of cooling //
MN. - 1967. - V. 136. - P. 27-38.
486.Meyers W., Swiatecki-W. Nuclear masses and deformations// NP. - 1966. - V. 81. -
P. 1-60.
481.Migdal A.B., Chernoutsan A.I., Mishustin I.N. Pion condensation and dynamics of
neutron stars // Phys. Lett. - 1979. - V. 83B. - P. 158-160.
488.Mitter H. Thermonuclear ion-electron screening at all densities. I. Static solution //
ApJ. - 1977. - V. 212. - P. 513-532.
489. Morton D. Mass loss from three OB supergiants in Orion // ApJ. - 1967. - V. 150. -
P. 535-542.
490. Miller E., Hillebrandt W. A magnetohydrodynamical supernova model // AA. - 1979. -
V. 80.-P. 147-154.
491. Moss D. Models for rapidly rotating pre-main-sequence stars // MN. — 1973. — V. 161.—
P. 225-237.
492. Moss D. Magnetic star models: toroidal fields and circulation // MN. — 1977.-
V. 178.-P. 51-59.
493. Moss D. Time dependent models of rotating magnetic stars // MN. - 1984. - V. 209.-
P. 607-639.
494. Muchotrzeb B. Transonic accretion flow in a thin disk around a black hole II // Acta
Astron. - 1983. - V. 33. - P. 79-87.
495.Muchotrzeb В., Paczinski B. Transonic accretion flow in a thin disk around a black
hole //Acta. Astron. - 1982. - V. 32. - P. 1-11.
496.Munakata #., Kohyama Y., Itoh N. Neutrino energy loss in stellar interiors // ApJ. -
1985. - V. 296. - P. 197-203.
497. Myra E. et. al. The effect of neutrino transport on the collapse of iron stellar cores //
Preprint UPR. - 1986. - No. 030 T.
498. Nadyozhin D.K. The collapse of iron-oxigen stars: physical and mathematical formula-
formulation of the problem and computational method // ApSS. - 1977. - V. 49. - P. 399-
425.
499. Nadyozhin D.K. Gravitational collaspe of iron cores with masses 2 and 10 Mo II ApSS.-
1977.-V. 51.-P. 283-302.
31* 475

500. Nadyozhin D.K. The neutrino radiation for a hot neutron star formation and the enve
lope outburst problem // ApSS. - 1978. - V. 53. - P. 131-153.
501. Nakazawa K. Effect of electron capture on temperature and chemical composition in
collapsing dense stars // PTP. - 1973. - V.49. - P. 1932-1946.
502. Nakazawa K., Hayashi С, Takahara M. Isothermal collapse of rotating gas clouds //
PTP. - 1976. - V. 56. - P. 515-530.
503. Nakazawa K., Murai T., Hoshi R., Hayashi C. Effect of electron capture on the tempera-
temperature in dense stars // PTP. - 1970. - V. 44. - P. 829-830.
504. Negele J., Vautherin D. Neutron star matter at sub-nuclear densities // NP. - 1973 _
V. A207. - P. 298-320.
505. Neugebauer G. et. al. The infrared astronomical satellite (IRAS) mission // ApJ. Lett -
1984. - V. 278. - P. L1-L6.
506.Newman M. S-process studies: the exact solution // ApJ. - 1978. - V. 219. - P. 676-
689. 91
501. Nomoto K. Accreting white dwarf models for type I supernovae II. Off-center detona-
detonation supernovae // ApJ. - 1982. - V. 257. - P. 780-792.
508. Nomoto K. Neutron star formation in theoretical supernovae — low mass stars and white
dwarfs // Pioc. Symp. IAU No. 125 "The origin and evolution of neutron stars" // Ed.
D. Helfand. J. Huang. - D. Reidel, 1986.
509. Nomoto K., Thielemann F.-K., Wheeler J.C. Explosive nucleosynthesis and type I super-
supernovae // ApJ. Lett. - 1980. - V. 279. - P. L23-L26.
510.Nomoto K., Thielemann F.-K.,Miyafi S. The triple alpha reaction at low temperatures
in accreting white dwarfs and neutron stars // AA. - 1985. - V. 149. - P. 238-245.
511. Nomoto K., Tsuruta S. Cooling of young neutron stars and the Einstein X-ray observa-
observations// ApJ. Lett. - 1981. - V. 250. - P. L19-L.23.
512. Nomoto K., Tsuruta S. Cooling of neutron stars: effects of finite scale of thermal con-
conduction// ApJ. - 1987. - V. 312. - P. 711-726.
513. Nordlung A. On convection in stellar atmospheres // AA. - 1974. - V. 32. - P. 407-
422.
514. Norman M.L., Wilson J.R., Barton R. T. A new calculation on rotating protostellar col-
collapse// ApJ. - 1980. - V, 239. - P. 968-981.
515. Novikov I.D., Thome K.S. Astrophysics of black holes // Black Holes // Ed. B. and С
De Witt. - Gordon and Breach, 1973. - P. 343-561. •
516. Ohnishi T. Gravitational collapse of rotating magnetized star // Tech. Rep. Inst. At.
En. Kyoto Univ. - 1983. - No. 198.
Sn.Oppenheimer J., Volkoff G. On massive neutron cores // PR. - 1939. - V. 55. -
P. 374-381,
5\&.Ostriker J., Gunn J. Do pulsars make supernovae? ApJ Lett. - 1971. - V. 164. -
P. L95-L104.
519. Ostriker J., Mark J. Rapidly rotating stars I. The self-consistent-fluid method // ApJ. -
1968. - V. 151. - P. 1075-1088.
520. Paczynski B. Envelopes of red supergiants // Acta Astron. - 1969. - V. 19. -
P. 1-22.
521. Paczynski B. Evolution of single stars I. Stellar evolution from main sequence to white
dwarf or carbon ignition // Acta Astron. - 1970. - V. 20. - P. 47-58.
522. Paczynski B. Evolution of single stars II. Core helium burning in population I stars //
Acta Astron. - 1970. - V. 20. - P. 195-212.
523. Paczynski B. Evolution of single stars. III. Stationary shell source // Acta Astron. -
1970. - V. 20. - P. 287-309.
524. Paczynski B. Evolution of single stars V. Carbon ignition in population I stars // Acta
Astion. - 1971. - V. 21. - P. 271-288.
525. Paczynski B. Evolution of single stars VI. Model nuclei of planetary nebulae // Acta
Astron.- 1971.- V. 21.-P. 471-435.
526. Paczynski B. Carbon ignition in degenerate stellar cores // Ap. Lett. - 1972. - V. 11- -
P. 53-55. •
527. Paczynski B. Linear series of stellar models I. Thermal stability of stars // Acta Astron. -
1972. - V. 22. - P. 163-174.
528. Paczynski B. Evolution of stars with M < 8 Moll Proc. Symp. IAU No. 66 "Late stages
of stellar evolution" // Ed. R. Taylor. - D. Reidel, 1974. - P. 62-69.
476

529 Paczynski В. Helium flash in population I stars // ApJ. - 1974. - V. 192. - P. 483-
85.
,,q Paczynski B. Core mass-interflash period relation for double-shell source stars // ApJ. —
' 1975. - V. 202. - P. 558-560.
531.PaczynskiB. Helium shell flashes // ApJ. - 1977. - V. 214. - P. 812-818.
532 Paczynski B. Models of X-ray bursters with radius expansion // ApJ. -1983.- V. 267. -
'p. 315-321.
«33 Paczynski В., Bisnovatyi-Kogan G.S. A model of a thin accretion disk around a black
"hole // Acta Astron. - 1981. - V. 31. - P. 283-291.
534 Paczynski В., Schvarzenberg-Czerny A. Disk accretion in U Gemihorum // Acta
Astron. - 1980. - V. 30. - P. 127-141.
535 Paczynski В., Wiita P. Thick accretion disks and supercritical luminosities // AA. -
1980.-V. 88. - P. 23-31.
536 Paczynski B., Ziolkovski J. On the origin of planetary nebulae and Miia variables // Acta
' Astron. - 1968. - V. 18. - P. 255-266.
537 Pandharipande V. Dense neutron matter with realistic interaction // NP. - 1971. -
V. A174.-P.641-656.
538 Pandharipande V., Pines D., Smith R. Neutron star structure: theory, observation and
speculation // ApJ. - 1976. - V. 208. - P. 550-566.
539 Papaloizou J.C.B. Nonlinear pulsations of upper main sequence stars I. A perturbation
approach // MN. - 1973. - V. 162. - P. 143-168.
540.Papaloizou J.C.B. Nonlinear pulsations of upper main sequence stars II. Direct numeri-
numerical investigations // MN. - 1973. - V. 162, - P. 169-187. .
541.Papaloizou J.C.B., Whelan J.A.J. The structure of rotating stars: the J2 method and
results for uniform rotation // MN. - 1973. - V. 164. - P. 1-10.
542.Patterson J. The evolution of cataclysmic and low-mass X-ray binaries // ApJ, Suppl. -
1984. - V. 54. - P. 443-493,
SAi.Petrosian V.,Beaudet G.,Salpeter E.E. Photo neutrino energy loss rates//PR. - 1967. -
V. 154. - P. 1445-1454.
544. Pollock EX., Hansen J.P. Statistical mechanics of dense ionized matter II. Equilibrium
properties and melting transition of the crystallized one-component plasma // PR. —
1973. - V. 8A. - P. 3110-3122.
544a. Pontecorvo В., Bilenky S. Neutrino today // Preprint JINR. - 1987. - El,2-87-567,
Dubna.
545.Radhakrishnan V. On the nature of pulsars // Contemp. Phys. - 1982. - V. 23. -
P. 207-231.
546.Raikh M.E., Yakovlev D.G. Thermal and electrical conductivities of cristals in neutron
stars and.degenerate dwarfs // ApSS. - 1982. - V. 87. - P. 193-203.
547.Ramsey W.H. On the stability of small planetary cores (I) // MN. - 1950. - V. 110. -
P. 325-338.
MN. - 1950.-V. 110.-P. 325-
548- Ravenhall D., Bennett C, Pechick С Nuclear surface energy and neutron-star matter //
PR. Lett. - 1972. - V. 28. - P. 978-981.
549. Reimers D. Winds in red giants // Physical processes in red giants // Ed. I. Iben, A. Ren-
zini. - D. Reidel, 1981. - P. 269-284.
SSO-Regev O., Ltvio M. X-ray bursters - hot way to chaos // Chaos in astrophysics // Ed.
Perdang J.M., J.R.Buchler, E.A.Spiegel! - D. Reidel, 1985.
55l-Rosenfeld L. // "Astrophys. and Gravitation", Proc. 16 Solvay conf. on Phys. - Univ.
deBruxells, 1974,174 p.
552.Лохе W., Smith R. Final evolution of a low-mass star I // ApJ. 1970 - V 159 -
P. 903-912.
SSl.Roth M., Weigert A. Example of multiple solutions for equilibrium stars with helium
cores // AA. - 1972. - V. 20. - P. 13-18.
554. Sakashita S., Hayashi С Internal structure and evolution of very massive stars // PTP. -
1959.-V. 22.-P. 830-834.
SSS.SalpeterE.E. Zero temperature plasma// ApJ. - 1961. - V. 134. - P.669-682.
556.Salpeter E.E. Accretion of interstellar matter by massive objects // ApJ. - 1964. -
V. HO. - P. 796-799.
557. Salpeter E.E., Van Horn H.M. Nuclear reaction rates at high densities // ApJ. - 1965. -
V. 155.-P. 183-202.
477

558. Salpeter E.E., Zapolsky H.S. Theoretical high-pressure equations of state including cor
relation energy // PR. - 1967. - V. 158. - P. 876-886.
559. Sampson DM. The opacity at high temperatures due to Compton scaterring // ApJ _
1959. - V. 129. - P-734-751.
560. Sato K. Nuclear composition in the inner crust of neutron stars // PTP. - 1979 _
V. 62. - P. 957-968.
561. Scalo J. Observations and theories of mixing in red giants // Physical processes in red
giants // Ed. I. Iben, A. Renzini. - D. ReideL'1981. - P. 77-114.
562. Schinder P. et. al. Neutrino emission by the pair, plasma and photoprocesses in the
Weinberg-Salam model // ApJ. - 1987. - V. 313. - P. 531-542,
563. Schonbemer D. Asymptotic giant branch evolution with steady mass loss // AA -
1979. - V. 79-- P. 108-114.
564. Schonbemer D. Late stages of stellar evolution: central stars of planetary nebulae //
AA.-1981.-V. 103.-P. 119-130. *
565. Schonbemer D. Late stages of stellar evolution II. Mass loss and the transition of
asymptotic giant branch into hot remnant // ApJ. - 1983. - V. 272. - P. 708-714.
566- Schonbemer D. Late stages of stellar evolution III. The observed evolution of central
stars of planetary nebulae // AA. - 1986. - V. 169. - P. 189-193.
567.Schramm D., Wagoner R. Element production in the early universe // Ann. Rev. Nucl
Sci. - 1977. - V. 27. - P. 37-74.
568. Schwarzschikl M., Harm R. On the maximum mass of stable stars // ApJ. - 1959 -
V. 129.-P-637-646-
569. Schwarzschild M., Harm R. Red giants of population II. II // ApJ. - 1962. - V. 136. -
P. 158-165.
570. Schwarzschild M.,Harm R. Thermal instability in non-degenerate stars//ApJ. - 1965.-
V. 142. - P. 855-867.
571. Schwarzschild M., Harm R. Hydrogen mixing by helium-shell flashes // ApJ. - 1967.—
V. 150.-P. 961-970.
572. Schwarzschild M.,Harm R. Stability of the Sun against spherical thermal perturbations//
ApJ. - 1973. - V. 184. - P. 5-8.
573. Schwarzschild M., Sebberg H. Red giants of population II. I//ApJ. - 1962.- V. 136.-
P. 150-157.
574. Seeger P., Fowler W., Clayton D. Nucleosynthesis of heavy elements by neutron captu-
capture // ApJ. Suppl. - 1965. - V. 11. - P. 121-166.
575. Shakura N.I., Sunyaev R.A. Black holes in binary systems. Observational appearance //
AA. - 1973. - V. 24. - P. 337-355.
S16.Shaviv G., Salpeter E.E. Convective overshooting in stellar interior models // ApJ. -
1973.-V. 184.-P. 191-200.
577. Shima E., Matsuda Т., Takeda H., Sawada K.- Hydzodynamic calculations on axisym-
metric accretion flow // MN. - 1985. - V. 217. - P. 367-386.
STS.Slattery W;L.,Doolen G.D.,De Witt H.E. N dependence on the classical one-component
plasma Monte-Carlo calculations // PR. A. - 1982. - V. A26. - P. 2255-2258.
579. Smak J. Eruptive binaries VI. Rediscussion of V Geininorum // Acta Astron. - 1976. -
V. 26. - P. 277-300.
580. Smak J. Accretion in cataclysmic binaries IV. Accretion discs in dwarf novae // Acta
Astron. - 1984. - V. 34. - P. 161-189.
581. Sofia S., Chan K. Turbulent compressible convection in a deep atmosphere II. Two
dimensional results for main-sequence A5 and FO type envelopes // ApJ. - 1984. -
V. 282. - P. 550-556.
582. Sramek R.. Pariagia N., Wetter K. Radio emission from type I supernova SN 1983.51 in
NGC 5236 // ApJ. Lett. - 1984. - V. 285. - P. L59-L62.
583.Stabler S. The birthline for low-mass stars// ApJ. - 1983. - V. 274. - P. 822-829.
584. Stabler S., Shu F., Taam R. The evolution of protostars I. Global formulation and
results// ApJ. - 1980. - V. 241. - P. 637-654.
585. Stabler S., Shu F., Taam R. The evolution of protostars II. The hydrostatic core //
ApJ. - 1980. - V. 242. - P. 226.-241.
586. Stahler S., Shu F, Taam R. The evolution of protostais III. The accretion envelope //
ApJ. - 1981. - V. 248. - P. 727-737.
587. Stothers R., 'Chin С Stellar evolution at high mass based on the Ledoux criterion for
convection // ApJ. - 1973. - V. 179. - P. 555-568.
478

588 Stothers R., Chin С Stellar evolution at high masses including the effects of a stellar
' wind // ApJ. - 1979. - V. 233. - P. 267-279.
589 Stothers R., Chin С Stellar evolution at high mass with convective core overshooting//
' ApJ. - 1985. - V. 292. - P. 222-227.
590.Strom S.E., Strom K., Rood R.T., Iben I. On the evolutionary status of stars above
the horizontal branch in globular clusters // AA. - 1970. - V. 8. - P. 243-250.
591 Sugimoto D. Helium flash in less massive stars // PTP. - 1964. - V. 32. - P. 703-
'725.
592. Sugimoto D. On the numerical stabillity of computations of stellar evolution // ApJ. —
1970. - V. 159. - P. 619-628.
593 Sugimoto D., Nomoto K. Presupernova models and supernovae // Space Sci. Rev. -
1980.-V. 25.-P. 155-227.
594. Sugimoto D.. Nomoto K., Eriguchi Y. Stable numerical method in computations of
stellar evolution // Suppl. PTP. - 1981. - №70. - P. 115-131.
595. Sugimoto £>.. Yamamoto Y. Second helium flash and an origin of carbon stars // PTP. -
1966.-V. 36.-P. 17-36.
596. Supernova 1987A,Proc. Workshop ESO, July 1987.
597. Sweigart A. A method for suppression of the thermal instability in helium-shell bur-
burning stars// ApJ. - 1971. - V. 168. - P. 79-97.
598. Sweigart A. Initial asymptotic branch evolution of population II stars // AA. — 1973. -
V. 24. - P. 459-464.
599. Sweigart A., Mengel J., Demarque P. On the origin of the blue halo stars // AA. -
1974.-V. 30.-P. 13-19. •
600.Sunyaev R.A.. Titarchuk L.G. Comptonization of X-rays in plasma clouds. Typical
radiation spectra // AA. - 1980. - V. 86. - P. 121-138.
601. Sztajno M. et al. X-ray bursts from GX 17+2, a new approach // Preprint MPE. -
1986. - No. 48.
602. Talbot R.J. Nonlinear pulsations of unstable massive main-sequence stars I. Small-
amplitude tests of an approximation technique // ApJ. - 1971. - V. 163. - P. 17-
27.
603. Talbot R.J. Nonlinear pulsations of unstable massive main-sequence stars II. Finite-
amplitude stability // ApJ. - 1971. - V. 165. - P. 121-138.
604. Tassoul J.-L., Tassoul M. Meridional circulation in rotating stars VIII. The solar spin-
down problem // ApJ. - 1984. - V. 286. - P. 350-358.
605. Taylor J.H., Weisberg J.M. A new test of general relativity: gravitational radiation and
the binary pulsar PSR 1913+16//ApJ. - 1982. - V. 253. - P. 908-920.
606. Tohlins J.E. Ring formation in rotating protostellar clouds// ApJ. - 1980. - V. 236. -
P. 160-171.
607. Tomonaga S. Innere Reibung und Warmeleitfahigkeit der Kernmaterie // Zeit. Phys. —
1938. -V. 110. -P. 573-604.
608. Trautvetter H. et. al. The Ne-Na cycle and the C1 2 + a reaction // Proc. Second Work-
Workshop on "Nuclear Astrophysics" // Preprint MPA. - 1983. - No. 90. - P. 24-33.
609. Trimble V. The origin and abundances of chemical elements // Rev. Mod. Phys. —
1975. - V. 47. - P. 877-976.
610. Tscharnuter W. On the collapse of rotating protostars // AA. - 1975- - V. 39. - P. 207-
212.
611. Uehling E.A., Uhlenbeck G.E. Transport phenomena in Einstein-Bose and Fermi-Dirac
gases I. // PR. - 1933. - V. 43. - P. 552-561; II- // PR- - 1934. - V. 46. - P. 917-
929.
612. Ulrich R. A nonlocal mixing-length theory of convection for use in numerical calcu-
calculations// ApJ. - 1976. - V. 207. - P. 564-573.
613. Unno W. Development of the stellar convection theory // Suppl- PTP. — 1981. —
No. 70.-P. 101-114.
614. Unno W., Kondo M. The Eddington approximation generalized for radiative transfer
in spherically symmetric systems I. Basic method // Publ. Astron. Soc. Japan. — 1976. —
V. 28.-P. 347-354.
615. Unno W., Kondo M. The Eddington approximation generalized for radiative transfer in
spherically symmetric systems II. Non-gray extended dust-shell models // Publ. Astron.
Soc. Japan. - 1977. - V. 29. - P- 693-710.
479

616. Unno W., Osaki Y., Ando H, Shibahashi H. Nonradlal oscillations of stars. - Tokyo.;
Tokyo Univ. Press, 197 9.
617. Upton E.K.L., Little S.J., Dworetsky MM. Dynamical stability In pre—main-sequence
stars// ApJ- - 1%8. - V. 154. - P. 597-611.
618. Vanbeveren D. Evolution with mass loss: massive stars, massive binaries// Ph. D. Thesis
Brussel Univ., 1980.
619. Van den Hulst J. et. al. Radio discovery of a young supernova // Nature. - 1983 _
V. 306. - P. 566-568.
620. VanHornH.M. Crystallization of white dwarfs// ApJ. - 1968. - V. 151. - P. 227-238.
621. Vardya M.S. Hydrogen-Helium adiabats for late type stars // ApJ. Suppl. - I960 -
V. 4.-P. 281-336.
622. Vardya M.S. Thermodynamics of a solar composition gaseous mixture // MN. — 1965. -
V. 129.-P. 205-213.
623. Wagoner R. Synthesis of the elements within objects exploding from very high tempe-
temperatures// ApJ. Suppl. - 1969. - V. 18. - P. 247-296.
624. Wallace R.K., Woosley S.E. Explosive hydrogen burning // ApJ. Suppl. - 1981. -
V. 45. - P. 389-420.
625. Weaver Т., Woosley S. Evolution and explosion of massive stars // Ann. New-Yurd
Acad. Sci. - 1980. - V. 336. - P. 335-357.
626. Weaver Т., Zimmerman G., Woosley S. Presupernova evolution of massive stars // ApJ. -
1978. - V. 225. - P. 1021-1029.
627. Weigert A. Sternentwicklung VI. Entwicklung mit Neutrinoverlusten und thermische
Pulse der Helium—Schalenquelle bei einem Stern von 5 Sonnenmassen // Zeit. Astro-
phys. - 1966. - V. 64. - P. 395-425.
628. Weir A.D. Axisymmetric convection in rotating sphere. Part I. Stress—free surface //
J. Fluid. Mech. - 1976. - V. 75. - P. 49-79.
629. Wendell C.E., Van Horn H.M., Sargent D. Magnetic field evolution in white dwarfs//
ApJ. - 1987. - V. 313. - P. 284-297.
630. Westbrook Ch., Tarter B. On protostellar evolution // ApJ. - 1975.- V. 200. - P. 48-60.
631. Wiedemann V. The initial/final mass relation for stellar evolution with mass loss //
Effects of mass loss on stellar evolution // ed. C. Chiosi, R. Stalio. - D. Reidel, 1981. -
P. 339-349.
632. Wilson L.A. Fel fluorescence in T Tauri stars II. Clues to the velocity field in the cir-
cumstellar envelopes// ApJ. - 1975. - V. 197. - P. 365-370.
633. Wilson J.R., Mayle R., Woosley S., Weaver T. Stellar core collapse and supernova //
Ann. New-York Acad. Sci. - 1986. - V. 470. - P. 267-293.
634. Wood P.R. Dynamical models of asymptotic-giant-branch stars // Proc. IAU Symp.
№ 59 "Stellar instability and evolution" // Ed. P. Ledoux et. al. - D. Reidel, 1974. -
P. 101-102.
635. Wood P.R. Pulsation and mass loss in Mira variables // ApJ. - 1979. - V. 227. -
P. 220-231.
636. Wood P.R., Faulkner D.J. Hydrostatic evolutionary sequences for the nuclei of pla-
planetary nebula // Apl. - 1986. - V. 307. - P. 659-674.
637. Woodward P. Theoretical models of star formation // Ann. Rev. Astron. Ap. - 1978. —
V. 16.-P. 555-584.
638. Woosley S., Fowler W., Holmes J., Zimmerman B. Semiempirical thermonuclear reac-
reaction-rate data for intermediate mass nuclei // At. Data Nucl. Data Tables. — 1978. -
V. 22. -P. 371-441.
639. Woosley S., Fowler W., Holmes J., Zimmerman B. Tables of thermonuclear reaction
rate data for intermediate mass nuclei // Preprint OAP. - 1975. -No.422.-P. 1-15,
A1-A179.
640. Woosley S., Weaver T. Theoretical models for type I and type II supernovae // Nucleo-
Nucleosynthesis and its implications on nuclear and particle physics// ed. J. Audouze, N. Mat-
hieu. - D. Reidel, 1986. - P. 145-166.
641. Wynn-Williams С The search for infrared protostar // Ann. Rev. Astron. Ap. - 1982. -
V. 20.-P. 587-618.
642. Yorke H. The evolution of protostellar envelopes of masses 3 MG and 10 M*> I. Structure
and hydrodynamic evolution // AA. - 1979. - V. 80. - P. 308-316.
643. Yorke H. The evolution of protostcllar envelopes of masses 3 Л/о and 10 A/Q H. Radiation
transfer and spectral appearance // AA. - 1979. - V. 85. - P. 215-220.
480

644. Yorke И. Protostars adn their evolution // Proc. ESO Conf. "Scientific importance
of high angular resolution of infrared and optical wavelength". - Garching, 1981. -
P. 319-340.
645. Yorke H., Krugel H. The dynamical evolution of massive protostellar clouds // AA. -
1977. - V. 54. - P. 183-194.
646. Yorke H., Shustov BM. The spectral appearance of dusty protostellar envelopes //
AA. - 1981.-V. 98. -P. 125-132.
647. Zapolsky H.S., Salpeter E.E. The mass-radius relations for codl spheres of low mass //
ApJ. - 1969. - V. 158.-P. 809-813.
648. Zhevakin S.A. Physical basis of the pulsation theory of variable stars // Ann. Rev.
Astron. Ap. - 1963. - V. 1. - P. 367-400.
649. Ziebarth K. On the upper mass limit for main sequence stars//ApJ. - 1970. -
V. 162.-P. 947-962.
650. Zimmerman В., Fowler W.. Caughlan G. Tables of thermonuclear reaction rates //
Preprint OAP. - 1975. - No. 399. - P. 1-35.
651. Ziolkowski J. Evolution of massive stars // Acta Astron. - 1972. - V. 22. - P. 327-
374.
652. Zytkow A. On the stationary mass outflow from stars I. The computational method
arid results for 1 Mm star // Acta Astron. - 1972. - V. 22. - P. 103-139.
653. Zytkow A. On the stationary mass outflow from stars II. The results for 30 Л/в star //
Acta Astron. - 1973. - V. 23. - P. 121-134.

НЕКОТОРЫЕ КОНСТАНТЫ
*
тг = 3.1415926536; е = 2,7182818285; lge = 0,4342944819;
1 радиан = 57,2957795131°.
Физические постоянные
Скорость света с = 2,997925 • 101 ° см ■ с
Постоянная тяготения С = 6,67 • 10~*дин • см2 - г
Постоянная Планка h = 1,05459 • 10~27эрг • с = А/2тг
Заряд электрона е = 4,80325 - 10"' °ед. СГСЕ
Масса электрона те = 9,10956- 10-28г, тес2 =0,511004 МэВ = & - 5,93013 - 10' К
Физическая единица массы wu = (l/12)»i1,c= 1,660531 - 104г, тис7 =931,481 МэВ
Масса протона wp = 1,672661 • 104г = 1,00727ти
Массанейтрона тп = 1,674911 - 104г
Постоянная Больцмана к = 1,38062 • 10"' 'эрг - К
Постоянная тонкой структуры а = е2 /fie = A37,036)"'
Классический радиус электрона /е = е2/тес2 =2.81794- 10"'3см
Комптоновская длина волны электрона Ле = h/mec = 3,861592 - 10"'' см
Длина волны фотона с энергией 1 эВ Л A эВ) = 12398,54 - 10""см
Частота фотона с энергией 1 эВ v A эВ) =2,417965 • 10'*с"'
Энергия, соответствующая 1 эВ Ео A эВ) = 1,602192 • 10"' 2эрг
Температура, соответствующая 1 эВ ГA эВ) = 11604,8 К = Е0/к, (Е0/к) )ge=5039,9К
Постоянная плотности излучения а = г~5~= 7,56464 - 10"' 5эрг • см • град
Постоянная Стефана-Больцмана а = ас/4 = 5.66956 - 10эрг- см • град - с"'
Астрономические постоянные
1 астрономическая единица (а.е.) = 1,495979 • 10'3см
1 парсек (пк) = 3,085678 - 10" см
1 световой год = 9,460530 • 10' 7см
Масса Солнца Ме = 1,989 • 103 3 г
Радиус Солнца Rs = 6,9599 • 10'° см
Светимость Солнца Le = 3,826 • 1033эрг - с"'
Масса ЗемлиЛ/ф = 5,976 • 1027 г
Радиус Земли, экв. R&3 = 6378,164 км
Масса ЮпитераМ^ =317,83Л/Ф
Радиус Юпитера, экв Л,, =71300 км
Тропический год (от равноденствия до равноденствия) 1 год = 3,1556926 - 107 с
Связь абсолютной болометрической звездной величины с полной светимостью:
МЪо\ = 4,74- 2,5 ]ga/Le)
Связь абсолютной (М) и видимой (т) звездных величин: М=т + 5 -
"•^поглощения (<W - расстояние до звезды в парсеках)
482

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
/
ЧАСТЬ I
ФИЗИКА ЗВЕЗДНОЙ МАТЕРИИ 5
Глава 1. Термодинамические свойства вещества 5
§ 1. Идеальный газ с излучением 5
§ 2. Релятивистский газ с учетом вырождения 11
§ 3. Уравнение состояния при наличии ядерного равновесия и процес-
процессов слабого взаимодействия 28
§ 4. Вещество при очень больших плотностях, нейтронизация, взаимо-
взаимодействие частил 31
Глава 2. Лучистый перенос энергии. Теплопроводность 56
§ 5. Уравнение переноса энергии 56
§ 6. Эддингтоновское приближение. Лучистая теплопроводность 59
§ 7. Непрозрачность: поглощение, рассеяние и электронная теплопро-
теплопроводность. Росселандово среднее 64
§ 8. Теплопроводность вещества при больших плотностях и темпера-
температурах 82
§ 9. Перенос излучения в движущихся средах 96
Глава 3. Конвекция 99
§ 10. Условия возникновения конвекции; путь перемешивания 99
§ 11. Нелокальное и нестационарное описание конвекции 104
§ 12. Численное моделирование конвекции 108
Глава 4. Ядерные реакции 110
§ 13. Скорости ядерных реакций ПО
§ 14. Горение водорода, дейтерия и гелия 117
§ 15. Реакции с тяжелыми ядрами при высоких температурах '30
§ 16. Процессы образования тяжелых элементов '32
§ 17. Ядерные реакции в плотном веществе '41
483

Глава 5. Бета-процессы в звездах 153
§ 18. Основы теории слабого взаимодействия 153
§ 19. Нейтринное охлаждение звезд 184
§ 20. Нагрев вещества при неравновесных бета-процессах 192
§ 21. Нейтринный перенос и нейтринная теплопроводность 196
ЧАСТЬ II
ЭВОЛЮЦИЯ ЗВЕЗД 201
Глава 6. Уравнения равновесия и звездной эволюции и методы их ре-
решения 201
§ 22. Сферически-симметричные звезды 201
§ 23. Равновесие вращающихся замагниченных звезд 213
§ 24. Эволюция вращающихся звезд 222
Глава 7. Образование звезд 228
§ 25. Наблюдения областей звездообразования 228
§ 26. Сферически-симметричный коллапс межзвездных облаков 230
§ 27. Коллапс вращающихся облаков 239
Глава 8. Эволюция звезд до главной последовательности 244
§ 28. Стадия Хаяши 244
§ 29. Эволюция быстровращающихся звезд на стадии гравитационного
сжатия 250
§ 30. Модели истечения вещества из молодых звезд 259
Глава 9. Ядерная эволюция звезд 273
§ 31. Источники неопределенности в эволюционных расчетах 273
§ 32. Эволюция звезд на спокойных стадиях горения 276
§ 33. Эволюция при наличии вырождения, тепловые вспышки 306
Глава 10- Коллапс и сверхновые 329
§ 34. Модели предсверхновых 330
§ 35. Взрывы при развитии тепловой неустойчивости вырожденных
углеродных ядер 341
§ 36. Коллапс звездных ядер малой массы 345
§ 37. Гидродинамический коллапс ядер звезд 348
§ 38. Магниторотаиионная модель взрыва сверхновой 356
Глава 11. Последние стадии звездной эволюции 364
§ 39. Белые карлики , 365
§ 40. Нейтронные звезды 381
§ 41. Черные дыры и аккреция 392
ЧАСТЬ III
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗВЕЗД 405
Глава 12. Динамическая устойчивость 405
§ 42. Иерархия характерных времен 405
§ 43. Вариационный принцип и малые возмущения 406
§ 44. Статические критерии устойчивости 414
§45. Устойчивость звезды при наличии фазового перехода 420
484

Глава 13. Тепловая устойчивость 428
§46. Эволюционные стадии проявления тепловых неустойчивостей .... 428
§ 47. Развитие тепловой неустойчивости в невырожденных слоевых
источниках 433
Глава 14. Колебания звезд и устойчивость 438
§ 48. Собственные моды 438
§ 49. Колебания звезд с фазовым переходом 446
§ 50. Колебательная устойчивость массивных звезд 451
§ 51. О переменных звездах 456
Список литературы 458
Некоторые коистанты 482