МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ федерации
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.К. Михайлов,
Н.А. Парфентьева, Н.И. Прокофьева
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
Ча ст ь 1
МЕХАНИКА
Учебное пособие
Москва 2001
mgsu 3dn ru
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
В.К. Михайлов,
Н.А. Парфентьева, Н.И. Прокофьева
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
Часть!. МЕХАНИКА
Учебное пособие
МОСКВА 2001
mgsu 3dn ru
УДК 530.1
Михайлов В.К., Парфентьева Н.А., Прокофьева Н.И. Основы
физики. Часть I. Механика. Учебное пособие / Моск. гос. строит,
ун-т. - М: МГСУ, 2001. -103 с.
ISBN 5-7264-0207-3
Пособие является частью курса физики, компактно и доступно
излагающего с единых позиций законы классической, квантовой и
статистической физики. Написано в соответствии с действующей
примерной программой дисциплины «Физика».
Изложение следует логике современной физики. Последователь-
но решается задача формирования физического мышления на основе
изучения фундаментальных законов и моделей. Дано изложение ос-
нов классической механики. Составлено на основе популярных учеб-
ных пособий.
Предназначено для студентов вузов и преподавателей физики.
Ил. 40 табл. 8, библ, список 12.
Рецензе н т
чл -корр. РАН д-р физ-мат. наук Л.А. Грибов
ISBN 5-7264-0207-3
© В.К. Михайлов,
Н.А. Парфентьева,
Н.И. Прокофьева, 2001
© МГСУ, 2001
ВВЕДЕНИЕ
Механика - это раздел физики, в котором изучается механическое
движение. Механическим движением называется изменение положения
тел или их частей друг относительно друга. Движение тел с малыми ско-
ростями изучает классическая механика; движение тел с большими скоро-
стями - релятивистская; движение микрочастиц в микромире - квантовая
(габл. 11
Таблица 1
Механика	Размеры	Скорости движения	Размеры обла- сти движения	Примеры
Классическая не- релятивистская	Любые	Малые v<<c (слЗ* 10® м/с)	Большие (г„ »10’" м)	Движение планет Движение электрона в эл -луч. трубке
Классическая ре- лятивистская	Любые (малые)	Большие	Большие	Движение электро- на в'ускорителе
Квантовая нере- лятивистская	Малые	Малые	Малые	Движение электро- на в атоме
В зависимости от характера изучаемых объектов механика подразде-
ляется на механику материальной точки (точечного тела), механику абсо-
лютно твердого тела и механику сплошной среды. Материальной точкой
(частицей) называется тело, размеры которого можно не учитывать в ус-
ловиях данной задачи, абсолютно твердым - тело, деформациями которого
можно пренебречь. Сплошные среды - это газы, жидкости и деформи-
рующиеся тела, у которых можно не учитывать их прерывистое молеку-
лярное строение и их можно рассматривать как непрерывные среды. Сис-
темы, состоящие из большого числа частиц, например, тела с учетом их
молекулярного строения, совокупность электронов в твердых телах, элек-
тромагнитное излучение (совокупность фотонов), тепловые колебания
кристаллической решетки (совокупность фононов), изучаются в статисти-
ческой физике (механике).
В классической механике состояния тел в выбранный момент времени
определяются взаимным расположением тел и быстротой их движения
(габл. 2). В выбранной системе отсчета положение тела задается или ра-
диусом-вектором, или координатами; быстрота движения тела характери-
lycrcs скоростью его движения.
mgsu 3dn ru
Взаимным расположением тел, т. е координатами тел, определяются
сила консервативного взаимодействия и энергия взаимодействия тел - по-
тенциальная энергия тел, а скоростью движения - импульс тел и энергия
движения тел - кинетическая энергия. Поэтому состояние тел в механике
будут определены и в том случае, если будут заданы потенциальные и ки-
нетические, т_е. механические, энергии тел.
Таблица 2
Что опреде- ляет состоя- ние тела в механике	Величины, которыми задается состоя ние тела	1 в классической механике в выбранной декартовой системе координат в данный момент времени t	|			
1 Положение (мсЛо нахо- ждения) тела	Кинематика	Динамика	Энергия	
			а	6
	Или коорд и- наты х, у, z, или радиус- вектор г._ r=Ix+jy+kz	Сила консер- вативного взаимодей- ствия тел F = F(x,y,z)	Потенциальная энергия Wn= Wd(x,y,z). F=-grad Wn F-	Механическая энергия W„ wM=w„+we
2 Быстрота движения тела	Скорость движения v V dt	Импульс тела р. p=inv F.® dt	Кинетическая энергия Wk. w 2 2m Ж P=^7	
Релятивистская механика основана на принципе относительности, у;-
верждающсм, что физические явления во всех инерциальных системах от-
счета при одинаковых условиях происходят одинаково. Это требование
приводит к необходимости уточнения понятий и соотношений классиче-
ской механики. Поэтому релятивистскую механику можно рассматривать
как классическую релятивистскую, а классическую механику - как класси-
ческую нерелятивистскую.
В квантовой механике учитывается корпускулярно-волновая природа
частиц. Это приводит к тому, что координаты и импульс (а следовательно,
и скорость) частицы одновременно строго определенными быть не могут
(интервалы их возможных значений устанавливаются соотношениями не-
определенностей). Поэтому для описания состояний частиц координаты и
скорости становятся непригодными. В квантовой механике состояние час-
тиц задается волновой функцией (у (х, у, z, t)), являющейся уравнением
соответствующей волны и позволяющей определить вероятность нахож-
дения частицы в данном месте. Вероятностный характер места нахожде-
ния частицы и прерывность (дискретность, квантование) значений харак-
теристик частиц в принципе отличают квантовую механику от классиче-
ской
В статистической физике из-за большого числа частиц и частых изме-
нений их состояний рассмотрение состояний отдельных частиц невоз-
можно и бессмысленно. Имеет смысл и возможно рассмотрение только
вероятности определенных состояний (характеристик) частиц или их рас-
пределение по состояниям. Функции распредежния частиц по состояниям
позволяют вычислить средние значения их характеристик, которые явля-
ются одинаковыми для всех частиц.
Задача механики заключается в определении состояния тел в любой
момент времени, если заданы их состояния в некоторый момент времени и
известен характер их взаимодействия. В классической механике задача
механики решается или на основе законов Ньютона, или на основе зако-
нов сохранения(табл. 3).
Механика подразделяется на кинематику, динамику и статику. Кине-
матика изучает математическое описание движения тел; динамика изучает
движение тел в связи с причинами (взаимодействиями между телами),
| обусловливающими движение; статика изучает равновесие тел
Таблица 3
Задача механики	Способы решения задачи механики	
Определение состояния тела в любой момент вре- мени t, если заданы. 1) состояние тела в не- который момент времени, т.е. Гц иус в момент вре- мени to; 2) взаимодейстаия тела с другими телами, т.е. или силы взаимодействия тел РрНяи потенциальные эне- ргии взаимодействия тел wri	1	2
	На основе законов Ньютона = dp	_ dv	d2r F = — = ma = m— = m—t dt	dt	dt2 г=1Я a = — m v = v0+ Jadt *0 r = T0+ Jvdt «0	На основе законов сохранения. а)	импульса, б)	момента импульса, в)мсханпческой энер- гии
mgsu 3dn ru
1.	КИНЕМАТИКА
1.1.	Система отсчета
Из определения механического движения следует, что нужно указать,
по отношению к какому телу мы рассматриваем движение данного тела.
Тело, относительно которого рассматривается положение или движение
другого тела, называется телом отсчета. Для того, чтобы указать положе-
ние движущегося тела, с телом отсчета связывают какую-либо систему
координат (сферическую, цилиндрическую, полярную, косоугольную и
другие), которая выбирается с учетом удобства и простота описания дви-
жения тел. Наиболее часто используется декартова система координат.
Вне зависимее™ от того, какая система координат выбрана, число ко-
ординат, определяющих положение тела пли системы тел, является одина-
ковым. Наименьшее число координат, с помощью которых полностью за-
дается положение тела или системы, называется числом степеней свобо-
ды. В частности, точка в пространстве имеет 3 степени свободы,точка на
плоскости 2 степени свободы, точка на линии - 1 степень свободы.
В декартовой системе координат положение частицы задаемся или ко-
ординатами х. у, z, или радиусом-вектором г (рис. Ы).
Радиусом-вектором г точки В называется векторная величина, на-
правленная от начала координат к рассматриваемой точке В, и модуль г
которой равен расстоянию от точки В до начала координат.
Радиус-вектор г и координаты точки х, у, z - это два способа задания
положения точки в выбранной системе координат, поэтому они связаны
между собой соотношениями:
r = fx + Гу Л = V + ry J + rzk = x' + yj + zk
x = r cosa; у = r cos₽; z=г cosy; -\/cos2a+cos2 p+cos2 у = 1,
где гх гУ1?г - составляющие г вдоль осей Координат; гх, гу, Ггг проекции г
на осн координат, совпадающие с координатами х, у, z; i, j, k - единичные
вектора вдоль осей координат (орты); а, Р, у, - углы между г и единичны-
ми векторами (осями координат), задающие направление г .
Эти соотношения позволяют перейти от одного способа задания по-
ложения точки к другому: если заданы х, у, z, то можно найти г и углы а,
Р, у, т.е. направление f, а если задан г, т.е. г и два угла из а, р, у, то можно
найти х, у, z.
Кроме положения частицы надо указать момент времени, когда час-
тица находится в данном месте. Для этого необходимо иметь прибор для
измерения времени - часы. Совокупность системы координат, связанной с
телом отсчета, и неподаижных в этой системе координат часов, называет-
ся системой отсчета.
1.2.	Способы описания движения
Описать движение, т.е. задать положение частицы в любой момент
времени, можно в координатной и в векторной формах. В векторной фор-
ме движение описывается зависимостью
r = f(t),	(1.1)
в координатной форме - зависимостями
*=^(0, У=У(О. «©	(1.2)
Зависимости (1.1), (1.2) называются кинематическими уравнениями
движения. Прн этом способе описания движения основная задача механи-
ки - определение положения частицы в любой момент времени - сводится
к нахождению кинематического уравнения движения.
Движение частицы можно описать другим, естественным способом:
указать траекторию движения и пройденный путь. Траекторией называют
линию, по которой движется частица. Пройденным путем £ - длину уча-
стка траектории, пройденного частицей к данному моменту времени. В
этом случае при заданной траектории движение частицы описывается за-
висимостью пройденного пути £ от времени:
€=£(t).
7
mgsu 3dn ru
1.3.	Основные кинематические величины
Величинами, характеризующими механическое даижение,' являются
перемещение, пройденный путь, скорость, ускорение, нормальное ускоре-
ние, тангенциальное ускорение.
Перемещение. Движение частицы характеризуется перемещением Аг.
Перемещение - это вектор, соединяющий одно из положений частицы
с последующим ее положением (рис. 1.2). Перемещение равно изменению
(приращению) радиуса-вектора за время движения At
Заметим^ что при криволинейном движении пройденный путь и мо-
I дуль перемещения не совпадают:
|Дг|*А#.
Для детальной характеристики движение нужно рассматривать за
бесконечно малые промежутки времени dt. Перемещение и пройденный
| путь за время dt обозначим через df и d£. В этом случае
|dr|=d£.
Заметим, что модуль приращения радиуса-вектора (перемещения) |dr[
не является приращением d]r| модуля г = |г| радиуса-вектора г, т.е.
I Введя единичный вектор т в направлении движения вдоль касатель-
ной, получим связь элементарного перемещения dr с элементарным прой-
денным путем &£-.
dr=d^r.	(1.3)
I	С изменениями координат перемещение связано соотношением
dr=dxi+dyj+dzk.	(1.4)
8
I Ipn прямолинейном движении вдоль оси х изменение координаты х,
прийдснный путь и модуль перемещения совпадают:
х-хо = Д£=|Дг|.
Скорость движения. Одно и то же перемещение (движение) может
ими. совершено за разное время. Для характеристики быстроты движения
штдится скорость движения v. В общем случае различаются средняя и
мгновенная скорости движения.
Средней скоростью движения за промежуток времени At называется
пеличина, равная отношению перемещения тела Дг к промежутку времени
за который совершено это перемещение:
(1-6)
vc=—.	(1.5)
с At
Мгновенной скоростью движения называется предел, к которому
сгремится отношение перемещения (изменения радиуса-вектора точки), к
промежутку времени, за которое совершено это перемещение, когда про-
межуток времени стремится к нулю:
v- I ДГ
V— Inn —•
at-»O At
Предел отношения приращения функции к соответствующему при-
ращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, пред-
ггавляет собой производную этой функции по данному аргументу. Поэто-
му определение мгновенной скорости запишем в виде
dr
V~dt
। де символы -7- или штрих справа вверху у функции f = r(t) обозначают
dt
производную этой функции.
Определение скорости можно сформулировать так: 1) мгновенная
скорость движения - это первая производная радиуса-вектора движущейся
ючки по времени; 2) мгновенная скорость движения - это скорость изме-
нения радиуса-вектора движущейся точки со временем; 3) скорость дви-
жения показывает, чему равнялось бы перемещение движущейся точки за
единицу времени, если бы скорость движения была постоянной.
Мгновенную скорость движения можно представить как скорость
Л1шжеиия, которую имеет движущаяся точка в данный момент времени (и,
следовательно, в данной точке траектории).
При равномерном прямолинейном движении средняя и мгновенная
« корости совпадают и постоянны:
vc --- v = const.
Кроме средней и мгновенной скоростей, определяемых по пере-
мещению, вводятся средняя и мгновенная скорости, определяемые по
пройденному пути:
mgsu 3dn ru
Эти выражения можно сформулировать аналогично определениям
скоростей (1.5) и (1.6).
Прн учете (1.3) определение скорости движения (1.6) примет вид
_ df_
v = —т.
dt
Отсюда видно: I) скорость движения направлена вдоль касательной к
траектории в сторону движения; 2) модуль мгновенной скорости, опреде-
ляемой по перемещению, совпадает с мгновенной скоростью прохождения
пути
Через составляющие вдоль осей координат и проекции на оси коор-
динат cKopoc'ib выражается так:
v = vx+vy + v2=vxi + vyj + vzk;	(1.9)
v=1/''x+v;+v»
С другой стороны, из (1.4), учитывая, что орты i,j»k выбранной сис-
темы координат постоянны, получаем
_ dr dxr dy- dz;-
v =— -—1+—j+—k.
dt dt dt dt
(1.Ю)
Тогда из (1.9) и (1.10) следует
_ dx dy _ dz
x dt * y dt ’ z di ’
т.е. проекция скорости на ту или иную ось равна первой производной по
времени от соответствующей координаты.
Заметим, что если известна зависимость скорости от времени v = v(t),
то кинематическое уравнение движения находится из определения скоро-
сти (1.6) путем интегрирования
dr = vdt, Jdr = Jvdt, f = Iq + Jvdt.	(1.11)
’0	0	0
В частности, при равномерном прямолинейном движении скорость
постоянна, поэтому
г = ty+vt;
при равноускоренном движении ускорение постоянно, v = vp + at, поэто-
г = «о + J(V0+at)dt, г=г0 + vGt + -at2.
0	2
\н 1Л1>гн«»1ые соотношения имеют место и для проекций на осн коор-
' < i«ipeime движения. В общем случае скорость движения изменяет-
• ....ремсием.т.е.
v = v(t).
Для характеристики быстроты изменения скорости движения со
1>1><М1-ием вводится ускорение движения а. За а принимается предел от-
пои н-ния изменения скорости к промежутку времени, за которое это изме-
...иг скорости произошло, когда промежуток времени стремится к нулю:
а = 1™ —;а—— = vj.	(1.12)
At-И) Де dt
< >иределение ускорения (1.12) можно сформулировать и следующим
>|>1>.п«1м: I) ускорение движения - это первая производная скорости дви-
•....  по	времени; 2) ускорение движения - это скорость изменения ско-
1><» hi движения со временем; 3) ускорение движения показывает, чему
!• niiiiiiiocb бы изменение скорости за единицу времени, если бы ускорение
...... было постоянным.
Кроме того, учитывая определение скорости (1-6), получаем, что ус-
। <>|>1-пнс движения - это вторая производная по времени от радиуса - век-
а =
Выразив ускорение через составляющие вдоль осей и проекции на оси
ми>||дииат и учитывая (1.9) и (1.10), получаем
_dvb d2x _dvy d2y dvz d2z
л p-’*’- л 'S'-"'-
 < проекция ускорения на ту или иную ось равна первой производной по
н|« мепи от проекции скорости на эту ось и второй производной по време-
ни < и соответствующей координаты.
Ускорение движения направлено в сторону изменения скорости дви-
>|.< пня dv (рис. 1.3), а модуль ускорения |а|=а равен отношению модуля
и 1М1-1К.-ЦИЯ скорости |dv| к промежутку времени dt, за которое это измене-
...скорости произошло
а=й
dt
Обратим внимание, что |dv|^d]v|=dv и модуль ускорения |а|=а не pa-
in и первой производной по времени от модуля скорости |v| = v;
mgsu 3dn ru

Нормальное и тангенциальное ускорении. Ускорение движение
принято раскладывать на две составляющие (рис. 13, а): нормальную
направленную перпендикулярно скорости и касательной к траекторий
(вдоль нормали й), и тангенциальную а,, направленную вдоль скорости i
касательной (вдоль т). Ускорение связано с составляющими соотношени-
ями
а = а„+ат, а^а„ + ат.
Для установления смысла ап и ат разложим изменение скорости ‘•у
на составляющие Av, и Avn (см. рис. 1.3) так, чтобы |Av,|=A]vj. FIpi
At—>0 изменение скорости Av переходит - в dv, Avn - в dvn, Av, в dv,.
При этом dv, будет изменением скорости в направлении скорости, dvn 
изменением скорости в направлении, перпендикулярном скорости. Тогда
„ dv dvn dv,
dv = dv„ +dvT, a = — = ——+—r4-;
" x ’ dt dt dt
- dv.,
a" dt :
Таким образом, нормальное ускорение а„ харакгеризует быстроту
изменения направления скорости со временем; тангенциальное ускорен»
а, характеризует быстроту изменения модуля скорости со временем.
Модуль составляющей dv, равен изменению модуля скорости
|dv,| = d|v|.dv,
поэтому тангенциальное ускорение
_	dv_	dv
а. =—т, а,=—.
1 dt	dt
< nt юда видно, что по величине тангенциальное ускорение at равно
1>мп11 производной по времени от модуля скорости v=|v|.
Рис. 1.4
Получим формул}' нормального ускорения. Для любого элементарно-
in л\-1и eV можно подобрать такую окружность, что dt совпадет с эле-
।» и < ,||1пой дугой этой окружности. Пусть это будет окружность радиуса R
......ром в точке С (рис. 1.4). Дуге dt соответствует центральный угол
, d-f vdt
“’’К'ТГ-
111 равнобедренного треугольника с основанием dvn следует
.	_ . dtp _ dm , v2 .
dv„ = 2vsin « 2v — = vdro = —dt
"	2	2 R
I hi да
(1.13)
Заметим, что если известна зависимость ускорения движения от вре-
>< ни. то на основе определения ускорения (1.12) путем интегрирования
- ► ‘ж.олучить зависимость скорости движения от времени
dv = adt, (dv = Jadt, v = v0 + Jadt
v0 0	0
В частности, при равномерном прямолинейном движении а=0, по-
пишу V- -vc - постоянна; прн равноускоренном движении ускорение по-
I IOHHIIO, поэтому
v = v0+at.
13
mgsu 3dn ru
1.4. Кинематика движения точки по окружности
Приведенное выше описание справедливо для любого движения. Од-
нако в некоторых конкретных случаях, например, при движении точки нс
окружности, при механических колебаниях, движение удобно характери-
зовать наряду с рассмотренными другими величинами.
Описание движения точки по окружности. При даижении точки по
окружности за начало координат обычно принимают центр окружности С;
радиус-вектор точки относительно С обозначают через R; модулем R яв-
ляется радиус окружности R; положение точки вместо трех координат х
у, z задается плоскостью, в которой лежит траектория (плоскостью враще-
ния), радиусом окружности и углом <р между радиусом-вектором точки к
выбранной осью в плоскости вращения (рис. 1.5, а). Вместо шюскостт
вращения часто указывают ось вращения - прямую, перпендикулярнук
плоскости врашения и проходящую через ценгр окружности.
Прн движении точки по окружности плоскость вращения и радяус
окружности со временем не изменяются, поэтому движение описываете!
зависимостью (кинематическим уравнением)
Ф ==<₽(*)
вместо (1.1) или (1.2).
Угловые кинематические величины. Движение точки по окружно
стн и вращательное движение твердых тел характеризуются наряду с при-
веденными выше угловыми кинематическими величинами. К ним отно-
сятся уюл поворота, угловая скорость, вектор угловой скорости, угловое
ускорение.
Движение точки по окружности характеризуется углом поворота dtp-
углом, на который поворачивается радиус-вектор точки R.
14
Лиш характеристики быстроты движения точки по окружности EBO-
мн ч ишшая скорость а. За угловую скорость принимается предел от-
.......tun угла поворота к промежутку времени, за который этот поворот
11 и   -. । VU11, когда промежуток времени с  ремится к нулю
Дер	dep	.
<о= 1нп —<о=-!-=ф,.
лс->о At	dt
(1.14)
охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и
и,* luniniic вращения, вводят вектор угловой скорости со, модулем кото-
.!« чииястся угловая скорость (1.14). Направлен со вдоль оси вращения,
....-м гак. что направление вращения и направление со образуют право-
 IIтую систему (рис. 1.5, б).
11 пи известна зависимость co=co(t), то кинематическое уравнение
in пня точки по окружности получаем из (1.14):
<₽ t	г
<1ф= codt, J dtp = Jcodt, ф =ф0 + Jcodt
ФО о	с
и ч.и-> пости, при равномерном движении точки по окружности угпо-
 ’  »• •jii>ri ь постоянна, поэтому
ф=<Po+<nt;
н, । чннлении р постоянным угловым ускорением ос (см. нижс)со = соо + ей,
In чому
t	।
«Р = <P0 + Jfao + «‘Ж <P = <P0 + “O’ +“«t2-
n	2
И нищем случае века op угловой скорости изменяется со временем, т.е.
<о = w(t).
ч.пя характеристики быстроты изменения вектора угловой скорости
Ч« Mt-псм вводится угловое ускорение а. За угловое ускорение прини-
- и ч предел отношения изменения вектора угловой скорости к проме-
. । , прсмспи, за который это изменение происходит, когда промежуток
- «и пи стремится к нулю
— Дсо _ dco
«- lim —; «=—=г<х>(_
at-Mjы dt
Цпи случая неподвижной оси вращения по модулю угловое ускорение
in 111-|нюй производной по времени от угловой скорости:
dco
(1.15)
mgsu 3dn ru
Угловое ускорение направлено вдоль оси вращения в сторону о, если
увеличивается; противоположно <в, если о уменьшается.
Учитывая определение угловой скорости (1-14), получаем.
d2<P ,
Если известна зависимость a=a(t), то из (1-15) можно найти зависи-
ость модуля угловой скорости от времени
<о	t	t
dco = adt, f d© - Jadt, <o = ©0 + Jadt.
<00	о	o
В частности, при равномерном движении точки по окружности а = 0
©=©0 - постоянна; при движении с постоянным угловым ускорением
<i)= (Вф+ой.
Связь угловых кинематических величин с линейными. Величины
(р, <о, ©, а называются угловыми кинематическими. Величины
f, dR, v,a,a„an при движении точки по окружности называются линей-
ыми кинематическими. Установим связь линейных величин с угловыми.
Дуга окружности и центральный угол (см. рис.1,5,а) связаны соотно-
ением
d£ = Rdtp,
v = ^ = ^R = ©R; v = wxR;	(1-16) dt dt _ dv d© =- _ dR _	_ a = — =—xR+ex — = axR+raxv; dt dt	dt dv d©„	-	-	>.	— r. a. = — -—R = oR: ат = а,т =<zRt = axR; ' dt dt	x T an =	= ©2R; an = ann = co2Rn - ~©2R. В табл. 1.1 сопоставлены пинейные и угловые кинематические ве		
чины и приведены связи мевду ними.		Таблица I.]
Линейная величина	Соответствующая угловая величина	Связь между пинеиными И угловыми величинами
d€	dtp	dt? = Rd<p
Ы	dtp	
dt	Ы dt	v = coR
1	©	v-oxR
_ dv	_ d©	a=axR+oxv
dt	dt	
ах		at = axR
«п		an=-®2R = ©xv
16
1.5. Кинематика твердого тела
Движение твердого тела, при котором все точки тела движу гея в па-
.....ii.iii.ix плоскостях, называется плоским. Произвольнее плоское дви-
.1. нт можно рассматривать как совокупность поступательного движения
> |1||.||Ц<'11ИЯ
Поступательным называется такое движение, при котором льюдя
)|»1м.»|, жестко связанная с телом, остается при его движении параллель
»,< 1мой себе (рис. 1.6, а).
Рис. 1.6
’>|»<» тачим цифрами 1 и 2 две произвольные точки тела (рис 1.6, б).
При । ни-«у нательном движении вектор rl2, проведенный из точки 1 в юч-
। штлется постоянным. Он связан с радиусом-вектором точек соотпо-
ньншм ь=Г[+г|2. Продифференцировав это соотношение по времени.
.....чнм, чги v2 = v, (производная от постоянного вектора г,2 равна пу-
iipi) I ще одпо дифференцирование дает, что а2 =ё|. Таким образом, ско-
l«> di и ускорения точек 1 и 2 одинаковы. Такое же равенство скоростей и
П ыцн-ппн получается для каждой пары произвольно взятых точек. Огсю-
11п inhiinmcM, что при поступательном движении все точки твердого тела
и ...« любой момент времени одинаковые скорости и ускорения. Из
mt...юности скоростей точек твердого тела следует, что при поступа-
1>чн ним движении траектории всех точек идентичны и могут быть совме-
Н11Ч1 и параллельным переносом. Сказанное означает, что для описания
in» |уи.печьного движения твердого тела достаточно знать, как движется
онш и i почек. Все остальные точки движутся таким же образом.
IJi и ту нательное движение твердого тела описывается так же, как
чпилх-пие точки в общем случае (см. пп. 1.1... 1.3).
17
mgsu 3dn ru
Вращательным называется движение твердого тела, при котором все
его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной
прямо й, называемой осью вращения. Мы будем рассматривать вращение
твердых тел только вокруг неподвижных осей. При вращении все точки
твердого тела движутся по окружностям, поэтому вращение твердого тела
описы вается так же, как и движение точки по окружности (см. и. 1.4). Но в
отличие от поступательного движения при вращательном движении раз-
ные точки твердого тела будут двигаться по разному: они будут двигаться
по окружностям разных радиусов с разными линейными скоростями и ус-
корениями. А угловые скорости и ускорения всех точек твердого тела бу-
дут одинаковыми. В этом и заключается удобство описания и характери-
стики вращательного движения тел угловыми кинематическими величи-
нами, кряду с линейными.
Произвольное плоское движение твердых тел можно раскладывать на
поступательное и вращательное множеством способов, но удобнее рас-
кладывать на поступательное движение со скоростью центра масс и вра-
щение вокруг оси, проходящей через этот центр Это обусловлено тем, что
центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная
точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных к те-
лу сил (см. ниже).
Вопросы и задания
I.	В каких случаях футбольный мяч удобно рассматривать как точку,
а в каких нет?
2.	Может ли вектор перемещения частицы быть длиннее, чем путь,
пройденный частицей за тот же промежуток времени? Может ли он быть
короче? Объясните.
3.	На тренировке игрок в бейсбол бросает мяч очень высоко, а затем
бежит по прямой и ловит его. Какое перемещение больше, игрока или мяча?
4.	Чему равны средняя скорость перемещения и средняя скорость
прохождения пути за время полного оборота Т при вращении камня по
окружности радиуса R.
5.	Какую скорость измеряет спидометр автомобиля - путевую или оп-
ределяемую по перемещению, или и ту и другую?
6.	Может ли средняя скорость перемещения частицы на каком-то ин-
тервале времени быть не равной нулю, если в течение более длительного
времени она равна нулю. Объясните.
(Ь
<•=* следу-
/ 11ри каком движении и как из определения скорости
•их» v = -?
I
8.	При каком движении и как из определения ускорения
9.	Что можно сказать о скорости и ускорении (полном, тангенциаль-
ном, нормальном) точки, если ее движение: прямолинейное, криволиней-
ное, равномерное прямолинейное, равнопеременное, равнопеременное
прямолинейное, равнопеременное криволинейное, по окружности, равно-
мерное по окружности, неравномерное по окружности?
10	Может ли криволинейное движение быть равномерным?
11	Может ли тело в один и тот лее момент времени иметь равную ну-
<> скорость и не равное нулю ускорение?
12.	Если тело имеет большую скорость, то значит ли это, что у него и
ьольшое ускорение? Объясните на примерах.
(3.	Может ли скорость тела быть отрицательной, если его ускорение
положительно? Может ли быть наоборот?
14.	Человек, стоящий на краю утеса, бросает вверх камень со скоро-
ст ч>ю V. Второй камень он бросает вертиквльно вниз с той же скоростью
Какой камень достигнет подножья утеса с большей скоростью? Дайте от-
веты для случаев: а) отсутствия и б) наличия сопротивления воздуха.
15.	В какую сторону вдоль оси вращения направлен вектор угловой
скорости Земли при ее суточном вращении?
16.	Что можно сказать об угловой скорости и угловом ускорении точ-
ки, если она движется по окружности: равномерно, с постоянным угловым
ускорением, неравномерно.
17.	Можно ли сделать вывод о том, что автомобиль не ускоряется, ее-
ни его спидометр постоянно показывает 60 км/ч9
18.	Автомобиль выполняет поворот с постоянной скоростью 50 км/ч
1-удет ли отличаться его ускорение, если тот же поворот будет выполнять-
ся с постоянной скоростью 70 км/ч?
19.	Чему равно отношение линейных угловых скоростей и угловых,
тангенциальных и нормальных ускорений точек на ободе н середине ра-
диуса катящегося колеса?
20.	Является ли вращательным движение кабины колеса обозрения’’
1К»ьясните.
mgsu 3dn ru
2.	ДИНАМИКА ЧАСТИЦ
Динамика - это раздел механики, в котором изучается движение тел в
связи с причинами, обусловливающими это движение. Динамика отвечает
на вопрос о том, почему тела движутся именно таким образом
В основе динамики лежат три закона Ньютона
2.1.	Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета
Первый закон Ньютона устанавливает, когда движение тела нс изме-
няется. Пол изменением движения подразумевается изменение скорости
движения, т.е. движение с ускорением, не равным нулю.
Одно и то же движение и изменение движения могут быть разными в
разных системах отсчета
Первый закон Ньютона утверждает, что есть такие системы отсчета, в
которых тело или покоится, или движется прямолинейно и равномерно,
если на него не действуют другие тела или их действие компенсирустея.
Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, на-
зываются инерциальными.
Строго инерцивльных систем отсчета нет. Во многих случаях за
инерциальные можно принять системы о-счсга, связанные с неподвиж-
ными относительно Земли телами.
Например, для груза, подвешенного к крыше автобуса, когда автобус
находится в покое, системы отсчета, связанные с пассажирами и с Землей,
будут инерциальными, так как действующие на него сила тяжести и сила
натяжения компенсируются, и он покоится. Но, когда автобус трогается,
груз отклоняется назад по отношению к автобусу, хотя действие гел не
изменяется. Следовательно, система отсчета, связанная с пассажиром, уже
не является инерциальной. Относительно Земли груз остается в покое, а
автобус уходит из-под груза. Таким образом. Земля остается инерцивль-
ной системой отсчета.
В неинерцивльных системах отсчета для описания движения тел при-
ходится принимать, что на них действуют силы, называемые силами
инерции. В приведенном выше примере пассажир должен предположить,
что на груз действует сила инерции, направленная назад.
Укажем, что есяи есть одна инерциальная система отсчета, то соглас-
но принципу относительности будет инерциальной любая система отече-
ia, движущаяся равномерно прямолинейно относительно инерциальной.
20
2.2.	Основные чинямнческие характеристики
Второй закон Ньютона формулируется через динамические величи-
«и । силу взаимодействия, массу тела, импульс тела.
Сила взаимодействия. Гела могут воздействовать друг на друга. В
1«-«ультате этого тела изменяют или свое движение, или свою форму. Для
|рактеристики действия одних тел на другие вводятся сила взаимодейст-
вия Г и потенцивльная энергия (энергия взаимодействия) Wn. Заметим,
чкг силой, наряду с энергией, взаимодействие характеризуется только в
I- ыссической физике, где они могут использоваться на равных нравах.
Количественная мера силы выбирается на основе формулы второго
икона Ньютона в виде F=ma: за силу принимается величина, равная
произведению массы тела на ускорение, с которым движется тело под
чгйствием этой силы.
Механика построена так, что надо знать только величину сил взаимо-
ицствня, а природа сил несущественна. Иерархия сил в природе, меха-
низм фундаментальных взаимодействий и причина возникновения раз-
ц| иных сил будут рассмотрены в следующей части курса физики.
Силы, с которыми приходится иметь дело в классической физике, пе-
pi-чнслены в табл.2.1 Встречаются силы, зависящие от координат (от рас-
< юяния), от скорости, от времени. Силы, не зависящие от времени, назы-
ыются стационарными. Поле сил, в любой точке которого направление
< илы проходит через неподвижный центр, а модуль силы зависит от рас-
< юяния до этого центра, называется центральным. Поле сил, в любой точ-
ке которого сила одинакова по величине и направлению, называется од-
нородным. Примерами центрального поля сил являются гравитационное
ноле точечного тела и электрическое поле точечного заряда. Примерами
однородного поля сил - электрическое поле между обкладками заряжен-
ного плоского конденсатора и магнитное поле внутри длинного соленоида
 гоком.
По анвлогии с тем, что в случае электростатического взаимодействия
разноименные заряды притягиваются и F < 0, а одноименные отталкива-
ются и F > 0, силы притяжения считаются отрицательными, силы отталки-
вания - положительными. Но часто направление сил оговаривается специ-
|.1|ьно, и рассматриваются только модули сил.
Результат действия силы кроме величины и направления зависит от
положения точки приложения силы, времени действия силы, от величины
перемещения, на котором дейсгвует сила, от площади, по которой распре-
делена сила. Для учета зависимости от места приложения силы вводится
момент силы М; от времени действия силы - импульс силы FAt; от пере-
мещения, на котором действует сила, - работа силы dA; от площади, на
которую приходится сила - механическое напряжение о.
21
mgsu 3dn in
Таблица ?	
Название сил	Формула
Сила всемирного тяготения (сила гравитационного взаимодействия части)	F = G^c 	г!	
Сила тяжести	F = trig
Вес тела	P = m(g-a)
Гидростатическое давление	 Сила Архимеда (выталкивающая сила)	P-Pgh	 F = pVg
Сила Кулона (сила электростатического взаимодей- ствия частиц)	f =	k = _L. еГ	4ле0
Сила. магнитного взаимодействия движущихся час- тиц	х(Ч2^2 x5) 4n r2
Сила магнитного взаимодействия элементов тока	= pop.lldf|x(l2de2xe) 4л	r2
Сила, с которой электрическое ноле действует на покоящийся точечный заряд	F = qE
Магнитная составляющая силы Лоренца (сила, с ко- торой магнитное поле действует на движущийся то- чечный заряд)	F « qv x В
Сила Лоренца	F = q(E+vxB)
Сила Ампера (сила, с которой магнитное поле дейст- вует на элемент тока)	 Сила Ампера в случае однородного магнитного поля и прямого проводника с постоянным током	dF = ld£xB F = I£B sina
Сила Гука (сила упругости)	F=-k4J
Сила трения скольжения	F-p-N
Силатрения качения	F=Xn=jiN
Сила внутреннего трения (сила вязкости)	f-4s
Уравнение Бернулли (давление в движущейся жид- кости)	Po=P+^-+Pgh
Сила сопротивления- црн малых v (сила Стокса) При больших V	F = av; F=6nt]n.' F=8v2
Сила поверхностного натяжения	F = c?
Лапласовское давление (добавочное давление изогну- того поверхностного слоя жидкости)	, 2a 2ccos6 a’“=r——
Добавочное давление: в круглом капилляре в капилляре в форме узкой щели	f £ 5я!- Its* ю 1	Q —'ng
Масса тела. Опыты показывают, что при действии даже с одинаковой
it ч< р.| шые тела по-разному изменяют свое движение. Это означает, что
....i*- гела по-разному сопротивляются изменению движения. Свойство
• II । опрогивляться изменению движения, т.е. сохранять либо покой, либо
•и..мерное прямолинейное движение, называется инертностью. Для ха-
< н ристики инертности тела вводится величина - инертная масса тела ш.
< >к.валось, что масса тела является также характеристикой способно-
 II к-ла к гравитационному взаимодействию. В этом случае массу тела
и IMH.UOT гравитационной или тяжелой. Инертная масса тела удивитель-
I.IM образом очень строго совпадает с гравитационной.
Импульс тела. Для характеристики движущегося тела удобно ввести
1-м ирную величину - импульс тела р и скалярную величину -
пп<-ц|<гескую энергию W&. За импульс тела при малых скоростях движе-
II > принимается произведение массы тела на скорость его движения
p = mv.
V/юбство введения импульса в том, что импульс изолированной сис-
। мы ivji сохраняется (см. ниже).
2.3.	Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона является основным законом динамики и днна-
и’и 1-кнм уравнением движения. На его основе можно определить меха-
ii'K «-кое состояние тела в любой момент времени и решить задачу меха-
IIMI
Второй закон Ньютона утверждает, что в инерциальных системах от-
* 11 скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе
F-f.	(2.1)
В классической механике
dp d _ dv
-f- - — (mv)=m — -ma,
dt dt	dt
ii пому формула второго закона Ньютона принимает вид
F = ma.	(22)
( чедовательно, второй закон Ньютона можно сформулировать так: в
in-pi шальных системах отсчета произведение массы тела на ускорение
 I дипжения равно действующей на тело силе.’
• огласно второму закону Ньютона:
I)	ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально дей-
iiivionieft на тело силе и обратно пропорционально массе тела
23
mgsu 3dn ru
_ F
a = -;	(2.3)
m
2)	чтобы телос массой m двигалось с ускорением а, на него должна
действовать сила F, равная произведению m на а;
3)	импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса
тела
Fdt = dp.
Из второго закона Ньютона следует также, что работа силы, дейст-
вующей на тело, равна изменению кинетической энергии тела (теорема о
кинетической энергии; см. ниже).
Покажем, как с помощью второго закона динамик.! решается задача
механики - определение механического состояния тела в любой момент
времени, если известны действующие силы и начвльное состояние
(Го и ^о) в момент времени t0 = 0: из (2.3) находим а; из (1-12) находим v ;
из (1.6) находим г.	.
Примеры
1. Если F=0, то а = 0; v = v0; г=+ voi, т.е. тело движется равно-
мерно прямолинейно;
2. Если F - постоянна, то а - постоянно, v = v0+я, г « г0 + vot + at2 /2,
т.е. тело движется равноускоренно;
2	2
З.Если F±v и F=-^-, то а=—, т.е. тело движется равномерно
по окружности;
4. Если F=-kx, то а=--х = -о2х. Xj=-<i>2x, х = А яш(«)С+ф0), т.е.
m
тело совершает гармоническое колебание.
Для этих же примеров покажем, как решается обратная задача:
-	чтобы тело двигалось равномерно и прямолинейно, т.е. с постоян-
ной скоростью v и ускорением а = 0, на него должна действовать сила
F=m-0=0;
-	чтобы тело двигалось равнопеременно, т.е. с постоянным ускорени-
ем а, на него должна действовать постоянная сила F=та;
-	чтобы тело двигалось по окружности, т.е. с нормальным ускорением
_ V2 _
ап =—п, на него должна действовать сила, имеющая нормальную состав-
ляющую к п;
-	чтобы тело совершало гармонические колебания, т.е. двигалось с
ускорением а =-ш2х, на него должна действовать квазиупругая (похожая
на упругую) сила F = -пт <о2х=-кх
24
2.4.	Третий закон Ньютона
< > ил ы показывают, что действие одного тела на другое-является вза-
....... г с. если первое тело действует на второе, то и второе тело деЙст-
. • । на первое.
1р>шй закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия тел
....... ио модулю, противоположны по направлению, приложены к раз-
имы п-лам, одинаковы по природе (рис7.1).
4	2
m4	тЕ
Рис. 2.1
I ретьему закону Ньютона соответствует равенство
^12=-р21	(2.4)
I’.усмотрим силы взаимодействия в случае груза, лежащего на столе
। рн. ’ 2). Тело действует на стол весом Р, на тело со стороны стола дей-
• nivei реакция опоры N (линии действия Р и N совпадают; на рисунке
Рис. 2.2
нш1 смещены, чтобы показать, что Р приложен к столу, a N - к телу). По
цкчъему закону Ньютона Р = - N. На тело действует также сила притя-
 иия к Земле Fr. Силой противодействия для Fr будет силаР^. с которой
к ло действует на Землю (С - центр Земли).
25
mgsu 3dn ru
2.5.	Сила тяжести
Согласно закону всемирного тяготения точечное или шарообразн
зело массой m и Земля притягиваются с силой тяготения (гравитационна
силой)
F,=O——-у,
(R,+h>2
где G - гравитационная постоянная, G “ 6,672 Iff11 Н м2/кГ\ М - маис
Земли, М = 6 10м кг; R<, - радиус Земли, К = 6,35 106 м; h - высота центр
шарообразного гела над поверхностью Земли.
При малых высотах h (h « R3)
к?
В инерциальной системе отсчета, например, связанной с центро
Земли, на тело, покоящееся относительно поверхности Земли, действуй
F,. и сила реакции опоры N. Под их действием тело вращается равноме]
. но вокруг оси Земли по окружности радиусом R (рис.2.3). Поэтому, а
таено 2-му закону Ньютона результирующая сил Fr и N должна обесм
чивазь центростремительное (нормальное) ускорение ап.
При этом относительно поверхности Земли тело покоится. Следова
тслыю, в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, законы Ныо
юна не выполняются, эта система отсчета является неииерциальной, t
приходится допускать, что в ней есть сила - центробежная сила инерци»
26
i„. . компенсирующая результирующую силу. F1(6 направлена от uciitpa
« и юль радиуса и по модулю равна
Fll6 = man = meTR = m<>2R, sin a.
Центробежная сила инерции F^ зависит от широты a , она равна пу-
ши на полюсах и максимальна на экваторе, где составляет приблизительно
I' ИЮ часть от силы тяготения.
Таким образом, в системе отсчета, связанной с поверхност ыо Земли,
и । тело действуют Fr, N и Гцб, сумма этих сил равна нулю и тело покоит
»и
Результирующая силы тяготения F, и центробежной силы инерции
1 называется силой тяжести:
Wr + F*
Заметим, что при покое тела относительно Земли М= - Ц .
Ускорение, которое сообщает телу сила FT, является ускорением сво-
। 'иного падения g. Поэтому
FT = mg
Из рассмотренного видно, что, строго юворя, направления Е, и g не
....гадают с направлением к центру Земли
Если пренебречь го
g =	9,К м/с2
Rj
Из выражений gh и g видно, что в данном месте ускорение свободной)
чдленйя одинаково для всех тел, независимо от их массы. Это обусловле-
но тем, что по Закону всемирного тяготения FT = Fr~ hi, а по 2-му закону
[11ыотона с одной стороны ускорение g ~ FT ~ т, а с другой стороны, уско-
I
Ьч-пие g"-
| При пренебрежении центробежной силой инерции Риб.сила тяжесга
I-, Fr и ускорение свободного падения gj, или g направлены к центру
(емли.
Заметим, что тело действует на Землю с силой, в соответствии е 3-м
t.i«OHOM Ньютона равной по величине Fr. Эта сила сообщает Земле уско-
рение свободного падения Земли на тело
Fr	щ in
& = w=G^2 = П8«8-
M	Ri M
mgsu 3dn гц
Вопросы и задания
I.	Камень подвешен к потолку на тонкой нити так, что конец се ct
ишиас гея ниже камня Если человек дернет за свешлвающуюся нить, тс
каком место она порвется - ниже камня или выше него? Что произон^с
если человек приложит к нити медленно нарастающее усилие? Поясни
ваши ответы.
2.	Почему ребенок в коляске откидывается назад, когда вы резко ]
касте ее9
3,	Почему нельзя рассматривать первый закон Ньютона как слсдсты
второго?
4.	В чем заключается задача механики и как она решается на осин
законов Ньютона?
5.	От чего и как зависит ускорение движения?
6.	Сила тяжест, действующая на камень массой 2 кг, в два рп
больше, чем сила тяжести, действующая на камень массой J кг. Почег,
же более т яжелый камень не падает быстрее?
7.	Почему в начале движения вы сильнее нажимаете на педаль вел
синела, чем при движении с постоянной скоростью?
8.	При действии какой силы тело движется: равномерно нрямочннс
но, равномерно, прямолинейно, равноускоренно, равноускоренно прям
нинсйно, равноускоренно криволинейно, неравномерно, криволинейно,
окружности, равномерно по окружности, неравномерно по окружное! и,
постоянным угловым ускорением?
9.	Покажите силы взаимодействия для груза, подвешенного на нпги,
точки зрения третьего закона Ньютона.
10.	В одной притче лошадь сказала себе: "Бесполезно тащить т<
С каким бы усилием я ее ни тянула, она все равно будет тянуть меня
с точно такой же силой. Поэтому я никогда не смогу сдвинуть ес". О
ните, где ошибка в рассуждениях лошади.
11.	Почему, когда вы идете по плывущему в воде бревну, оно дв1
ся в противоположном направлении?
28
3.	ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО
И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
3.1.	Уравнение движения центра масс
(основной закон динамики поступательного движения тверд»’: тел)
Мысленно разбив твердое тело на множество очень малых частей с
>п>1.имами AVj, его можно представить как систему материвльных точек с
массами ш, = Am; = pjAV, и с неизменными расстояниями между ними.
« нстемой материальных точек (системой тел) называется выбранная для
р н-смотрения совокупность материальных точек (тел). Силы взаимодей-
< тиа между телами выбранной системы называются внутренними. Силы,
к-йетвуюшие на тела системы со стороны тел, не принадлежащих систе-
r.ic. называются внешними.
Внутреннюю силу, с которой k-я частица тела действует на i-ю части-
цу. обозначим через БА, а результирующую внешних сйл, действующих
u.i i-io частицу тела, - через Fj. Напишем основной закон динамики для
мо-х частиц тела в виде
-®=2Л + Г,
dt k
И СЛОЖИМ их
=	(з.|)
i dt । k i
(i*4
Сумма внутренних сил будет равна нулю, т. е.
XEFik=o,
I к
(МО
। к. для каждой силы F.k согласно третьему закону Ньютона будет равная
сн по модулю и противоположная .по направлению сила Fk; и
• hi. + Fk'i)=°-
Сумму всех внешних сил, действующих на все частицы системы
(сумму всех сил, действующих на твердое тело) обозначим через FB:
ЕЯ -F..
Учитывая, что сумма производных равна производной от суммы, в
левой части подучим
29
Сумма импульсов всех частиц тела (тел системы) называется импуль-
сом тела (системы)
Рс - ЕЙ-
Поэтому
i dt dt '
Тогда вместо (3.1) получим основной закон динамики поступательно-
го движения твердого тела или системы тел (уравнение движения центра
масс)
Таким образом, производная по времени от импульса тела (системы) I
равна сумме сил, действующих на тело (на систему)
Для описания даижения твердых тел и систем тел удобно ввести
центр масс С. Для системы материальных точек центром масс является
точка, радиус зектор которой
j
Zinj m j
Радиус-вектор центра масс твердого тела
Е. = lint (—У Ат:?: I - — ffdm = — JpfdV,
Ami-HiVni	> ГПу ГПу
где р - плотность вещества, р=
dm
dV
Если тело однородно, плотность р во всех точках одинакова и ее
можно вынести за знак интеграла. В результате придем к формуле
%=£ IHV.J-JHV.
m v * v
Таким образом, в случае однородного тела радиус-вектор центра масс
представляет собой значение радиуса-вектора г, усредненное по всем
точкам тела.
Продифференцировав fc по времени, найдем скорость центра масс:
V,- 'Ь - ЕЛтд ^-£Лт|Й1--ЕЛт|»|.~ЕР.
dt т dt । т । dt m i tn i m
Отсюда
Pc-mvc,
30
। . импульс твердого тела (системы тел) можно представить в виде про-
и ни чепня массы тела (системы) на скорость центра масс.
1<пда
dp. d , _ . dvr _
-	• (mvc) - m—-ь = ma.,
dt dt* c/ dt '
n i-mccto (3.2) получим уравнение движения центра масс
ma£ = FB.
Таким образом, нентр масс движется гак, как двигалась бы матери-
1чышя точка с массой, равной массе твердого тела (системы тел) под дей-
• । пнем результирующей всех приложенных к телу (к телам системы) сил.
1,сли внешних сил нет (система замкнута), то ас = 0 и центр масс
|||||>кется прямолинейно и равномерно. либо покои гея. Это означает, что
. и* гема отсчета, которая покоится относительно центра мвее (система
и' п । ра масс), является инерциальной.
В заключение еще раз обратим внимание, что приведенные выше вы-
» 11 <ки и полученные результаты справедливы как для тсгрдых тел, так и
.....емы материальных точек с заменой Ат, на т, и фразы "твердое тело"
и.|' < истому материальных точек". Ьолес того, они справедливы и для сис-
••mm твердых тел, если т* - мвсса i-ro твердого тела,
i '«• 7t = vci»Pi = Pcl=niiVci-
3.2.	Условие движения точки по окружности
При движении по окружности радиусом R нормальное ускорение oi
нпмно от нуля п равно (1.13). Тогда согласно второму закону Ньютона,
Читы точка двигалась по окружности, на нее должна действовать сила,
н»|>мальная coci двляющая которой
F"=SFB*a
i ина Fj, нужна для удержания частицы на окружности, чтобы частица не
i чггела по касательной.
Приведем некоторые примеры сил, под действием которых происхо-
ди! движение по окружности. При движении спутников и Луны вокруг
(«•или и плвиет вокруг Солнца действует сила твготения; при движении
'ппегронов вокруг ядер в атомах - сила электрического притяжения, при
i'l мщении груза, привязанного к нити, - результирующая сил натяжения
пи । и и тяжести; при движении груза, лежащего на вращающемся диске,
при поворотах машин на горизонтальном участке трасс, при поворотах с
наклоном велосипедов и мотоциклов - сила трения покоя, действующая
•июль радиуса; при движении машины по выпуклому и вогнутому мосту,
31
mgsu 3dn iy
при движении вагонов на поворотах, когда, наружный рельс приподнят,
при поворотах машин, когда дорога наклонена вовнутрь, - результирую-
щая сил тяжести и реакции опоры; при движении вагонов на поворотах по
горизонтальному участку - сила, с которой наружный рельс действует на
реборду колеса.
При вращательном движении твердых тел для отдельных частиц
твердого тела Fn возникает в результате неоднородной деформации Чем
дальше частицы (молекулы) от оси вращения, тем меньше они удалены
друг от друга, и сила притяжения к молекулам со стороны оси вращения
преобладает (рис. 3.1; точки соответствуют молекулам, растянутые пру-
жины - силам притяжения между молекулами).
Рис. 3.1
Если точка движется по окружности неравномерно, т.е. изменяются v
и ®, at*0, а*0, то сила, действующая на тело, имеет касательную со-
ставляющую
FT = mat = m(<x*R); F±smP = F, =moR.	(3.4)
Составляющая FT обусловливает ускорение вращения.
3.3.	Момент силы
Из (3.4) видно, что для ускорения вращательного движения сущест-
венны не только величина силы, но и ее направление и точка ее приложе-
ния (расстояние от оси вращения до точки приложения силы). Так, чем
дальше от о_п вращения приложена сила, тем быстрее открывается дверь
или раскручивается детская карусель (рис. 3.2).
Рис. 3.2
32
Для характеристики действия силы, ускоряющего вращение тел, вво-
111 н я векторная величина - момент силы М. За момент силы относитель-
1 • |очки 0 принимается векторное произведение радиуса-вектора, соеди-
итпщего 0 с точкой приложения силы, на силу (рис. 3.3).
M = fxF.
I ]роекция момента силы относительно точки 0 на произвольную ось,
I плодящую через О, называется моментом силы относительно этой оси
Положение точки 0 на оси влияет на М, ио не влияет на Мг.
Силу F, действующую на тело, удобно разложить на две состав-
или >щие (см. рис.3.3): FH, параллельную оси вращения, и Fx, перпевдику-
иирнуго оси вращения и лежащую в плоскости вращения:
F = Fn + Fi.
В случае неподвижной оси вращения F(, компенсируется действием
ipyiHX тел и у результирующей силы этой составляющей не будет. На-
пример, при вращении привязанного к нити груза в горизонтальной плос-
1 <и гм такая составляющая силы натяжения компенсируется силой тяже-
। < и, при открывании двери - реакцией опоры вдоль оси врашен ия.
В свою очередь, Fj_ разложим на две составляющие (см. рис.3.3):
Fe, перпендикулярную к направлению движения, и F, вдоль нап-
раиления движения:
f± = fr+ft.
Составляющая компенсируется реакцией опоры, перпендикуляр-
но» оси вращения. Fx вызывает вращение. Причем, при вращательном
I
mgsu 3dn hi
33
| движении твердых тел FT благодаря тому, что оттягивает частицы тверд,
го тела по касательной, обусловливает не только ускорение вращения, н
| и возникновение Fn.
Пользуясь рис.3.3 и 3.4, можно показать
м2 - (гX Г), = <r хД, + rL|), -(г х F, 1)z +(Fx F, )z ~ (Fx FjJx =
= ((ffl + R)xF±)z ”(Ч)xF±)z +(Rx F±)z = (RxFx)2 = F±R sin£ = FtR.
Таким образом, если за ось принять ось вращения и за точку на оси
। центр окружности, то момент силы относительно оси будет равен
Mz = FtR sinj3 = FTR.
Рис.3.4
Расстояние от оси вращения до направления силы называется плечоц
| силы I. Из рис. 3.4 видно, что £ = R sin0. Поэтому модуль момента сил
через плечо силы выражается как
Mz = Fj£.
3,4.	Момент инерции тела относительно оси
По второму закону Ньютона Ft =maT = maR. Отсюда видно, что угло
। вое ускорение, с которым вращается тело, зависит не только от массы, н<
I и от величины расстояния до оси вращения. Это означает, что способное^
। тела сохранять вращательное движение зависит не только от массы тела
I но и от расстояния до оси вращения. Так, при одной и той же силе, чек
। дальше от оси вращения евдит ребенок, тем медленнее раскручиваете)
I детская карусель (рис. 3.5).
Для характеристики распределения массы относительно оси и спо-
I собности тел сопротивляться изменению вращательного движение
I (инертности тел при вращательном движении) вводится скалярная вели-
' чина - момент инерции тела относительно оси I.
34
Рис. 35
fci момент инерции материальной точки относительно оси при-
in тыстся произведение массы тела на квадрат расстояния его до оси вра-
1111 ПНЯ
I = mR2.	(3.5)
Момент инерции обладает свойством аддитивности, т.е. момент
11<1>1жи системы материальных точек равен сумме моментов инерции ка-
ф inn! материальной точки в отдельности;
i-Els i=&n(Rf.	(3-6)
Исли мы имеем не систему материальных точек, а непрерывное твер-
Н.Ю 1сло, то момент инерции элементарной массы dm=pdv равен
dl = R2dm = pR2dV,
с момент инерции твердого тела определится как интеграл по объему тела
I-	fdtl= JpR’dv.	07)
35
mgsu 3dn ru
В качестве примера рассмотрим, как вычисляется момент инерци прямого полого однородного цилиндра с внутренним радиусом R> внешним радиусом Кг относительно оси цилиндра Oz (рис. 3.6). Полы цилиндр разобьем на элементарные соосные цилиндрические слои толки |юй dR Объем произвольно выбранного цилиндрического слоя на р<я стоянии R| < R < R2 от оси d V = HdS; dS = 2rRdR; dV = 2jtHRdR;	। а момент инерции этого слоя	j dl = dmR2 = pR2dV = 2npHR3dR. Момент инерции всего полого цилиндра (Р = const) R?	it	ИИ l=jdl= J 2npHR3dR = — itpH(R2-R;). v	R,	2 Учитывая, что (k^-rJ)=(r^+rJxr1-R|): *h(r?-rJ)=v; pv = ™. для момента инерции полого цилиндра относигельно оси цилиндра тип чим формулу l = jm(R? + Ri). Для сплошного цилиндра и диска R| - 0, Ri = R и момент инерции о носительно оси цилиндра l»-mR2 2 Формулы для моментов инерции различных тел правильной форь»' приведены в табл. 3.1.	1 Габлима 3.		
Тело	Положение оси вращения	Момент инерции '
Гонкое кольцо радиусом R Тонкое кольцо радиусом R и шириной b	Через центр перпендцку- ляпио плоскости кольца По диаметру	niRJ l«R2*>b2
1 вердый цилиндр радиусом R	Через центр вдоль оси цилиндра	I"*1
[ 1олый цилиндр с внутрен- ним радиусом к, и внешним радиусом Rj	Тоже	l-mtRf+R5)
Твердая ci|k[xi радиусом R Гонкий стержень длиной /	Через центр Через центр иерпещшку- лярно стержню	2mR2 — ПК
Тонкая прямоугольная ллас- гипка длиной < и шириной b 36	Через центр перпендику- лярно пластине	
11 ин известен момент инерции относительно оси, проходящей через
к nip масс, то момент инерции относительно любой параллельной ей оси
rnnMio вычислить, пользуясь теоремой о параллельных осях (теоремой
hi...ера): момент инерции относительно произвольной оси равен сумме
ьн*« 1п«1 инерции относительно оси, параллельной данной и прс-лодящей
Bi |» । центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния
м< « ну осями d:
I»lc+md2.
3.5.	Момент импульса
Для характеристики вращающегося тела удобно ввести векторную ве-
1111*1111^ - момент импульса тела ь. Моментом импульса точечного тела
.•иих-ительно точки называется векторное произведение радиуса-вектора
!• ил относительно данной точки на его импульс
L = rxp-irxinv.
Заметим, что тело обладает моментом импульса независимо от формы
|)>.к'ктории, по которой она движется, в частости и при прямолинейном
11111ЖС11ИИ.
Рис. 3.7
Проекция момента импульса движущейся точки относительно точки
’ на ось, проходящую через эту точку, называется моментом импульса
и иоентельно оси (рис. 3.7, а)
mgsu 3dn
Lz=(rxp)z.
Из рис. 3.7,6 видно, что
Lz =Lcosq> = rpsin^cosq> = rpcosv = Rp.
Учитывая (1.16) и (3.5), получим выражение момента импульса отно-
сительно оси через угловую скорость и момент инерции относительно оси
Lz = Rmv = RmwR = mR%> = I©.	(3.8)
Моментом импульса твердого тела (системы материальных точек) от-
носительно точки называется
Cc=X4=XiixPi=XAmi(Q’<''i).	(3.9)
Из соображений симметрии следует, что для однородного тела, сим-
метричного относительно оси вращения (для тела вращения), момент им-
пульса относительно лежащей на этой оси точки 0 направлен вдоль оси
вращения и сов1.адает по направлению с вектором угловой скорости (рис.
3.8, а). В случае несимметричного относительно оси вращения тела векто-
ры ® и Е неколлинеарны и при равномерном вращении тела вектор Г,
описывает конус вокруг оси вращения (рис.3.8, б).
Рис.3.8
Проекция момента импульса твердого тела относительно точки О на
произвольную ось, проходящую через точку 0, называется моментом им-
пульса твердого тела относительно этой оси. Учитывая (3.8), (3.9), (3.6),
(3.7), для момента импульса системы материальных точек и твердого тела
относительно оси вращения получаем
Lcz =SLzi	=1ад
Lz = JdLz = Jodi - <o Jdl — I®.
(3.10)
I.ikhm образом, момент импульса относительно оси вращения выра-
* н к н через момент инерции и угловую скорость одинаково как для ма-
< • |>11.111ыюй точки, так и для системы материальных точек и твердого тела.
3.6. Уравнение динамики вращательного движения те.*
Рассмотрим, как изменяется движение частицы при наличии момента ;
. >«иы. Для этого выражение второго закона Ньютона слева векторно ум-
ножим на радиус-вектор движущейся точки, совпадающий в этом случае с
1> i'iiiycoM-вектрром точки приложения силы
rxF = rx^.
dt	।
Учитывая определения м и L и то, что
-dp d _ _ dr _ d _ _ dL
r л = л(гхй“Т>'р=^(гхй=7Г’
dt dt di dt	dt
омиучаем уравнение моментов
м=—
dt'
Согласно этому уравнению, скорость изменения момента импульса со
;и мснем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу.
Уравнение моментов аналогично формуле второго закона Ньютона
t’l). Роль силы играет момент силы, роль импульса - момент импульса.
Для проекций на ось z имеем
О")
Учитывая (3.3), получим уравнение динамики вращательного движе-
ния гел относительно неподвижной оси
Mz = ^O<o) = l^ = Ia; Мг = 1л	(3.12)
Оно аналогично уравнению второго закона Ньютона в виде (2.2). Роль
массы играет момент инерции, роль линейного ускорения - угловое уско-
||<-|цгс, роль силы - момент силы.
Уравнение (3.12) позволяет найти кинематическое уравнение
р u>(t), если известно начальное состояние (<Ро и~®о ) и моменты дейст-
МО1ЦИХ сил.
Покажем, что уравнения (3.11) и (3.12) справедливы и для вращатель-
ш>н» движения твердых тел и системы материальных точек, на которые
•ч-Цггвуюткак внутренние, так и внешние силы.
Момент внутренней силы, с которой k-я частица тела действует на i-ю
.к чту, обозначим через Ми<, а момент результирующей внешних сил,
39
mgsu 3dn ru
действующих на i-ю частицу, - через М,. Напишем уравнение моментов
для всех частиц тела в виде
^•=ХМ1к + м.
dt к
и сложим их:
(3.13)
<i*k)
Учитывая, что сумма производных равна производном от суммы, в
левой части получим
vdL. <1 - dL.
, dt “dt ; * dt ’
где Lc - момент импульса твердого тела (системы материальных точек).
Для нахождения суммы моментов внутренних сил установим свял
с ми (рйс.3.9):
Mjk = Ч * Як = («к - Чк ) х Як = Чс * Як ~ Чк х Як ° «к х Як = Чс * (_Яй ) - “Mki,
Mik=-Mk;,
т.е. моменты сил взаимодействия тел друг с другом равны по величине »
противоположны по знаку.
О
Рис. 3.9
Поэтому для каждого момента силы М;к будет равный ему по моду-
лю и противоположный по направлению момент силы Мк1, и сумма мо-
ментов внутренних сил будет равна нулю, т.е.
XX Mik=°-
1 к
(i*k)
Сумму моментов всех внешних сил, действующих на все частицы
системы (сумму моментов всех сил, действующих на твердое тело) обо-
значим через мв:
ХЧ=мв.
40
iiuivi имеете (3.13) получим основное уравнение динамики враша-
....  и»	движения (уравнение моментов)
(3.14)
। . < корпеть изменения момента импульса твердого тела (системы, мате-
...tn.tii.ix точек) относительно точки О равна сумме моментов сил, дейст-
||,||<щих на тело (внешних сил, действующих на систему), относительно
•п>»1 |<»1КИ.
< и|>оектировав векторы, фигурирующие в (3.14) па ось Z, прохо-
(ыщун* через точку 0, получим уравнение
Учитывая (3.10), получим основное уравнение динамики вращатель-
чин  движения твердого тела относительно неподвижной оси в виде
^jfM’l^-la.	р15)
В габл. 3.2 сопоставлены динамические величины и соотношения в
 >|>|1К*м случае и при вращении (выражения, отмеченные звездочкой, спра-
н л нивы только для материальных точек).
mgsu 3dn ru
Вопросы и задания
4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
< 'уществует много случаев, когда решить ту или иную задачу, осно-
KI пыж 1. на законах Ньютона, трудно или невозможно (силы могут быть
н- и ик сгнымп или недоступными для измерений). Тогда мы можем ис-
>1.1111. ктать законы сохранения (другой способ решения задачи механики).
In.... сохранения особенно полезны, когда мы имеем дело с системами
.....к тел, в которых детальное рассмотрение действующих сил пред-
> in пяло бы трудную задачу. Кроме того, законы сохранения справедливы
» и релятивистской и в квантовой физике, где законы Ньютона не приме-
нимы. Однако законы сохранения рассматривают только результат взаи-
ччкпетвия, а не процесс взаимодействия и изменения движения, что в
* 1«пх>рых случаях необходимо.
1,	Чему равно ускорение центра масс тела, имеющего массу ш и нахе
дяшегося под действием сил Finfi?
2.	На твердое тело действуют две силы Ч и , приложенные в раз
них_точках тела. Покажите на рисунке, где нужно приложить с»г«
F = Fj + f;2, чтобы она была эквивалентна по своему действию на тело си
лам F; и Fy?	
3.	Зависит ли закон движения центра масс тела от того, твердое эт
тело или деформируемое? В каких случавх скорость центра масс остаетч
постоянной?
В механике рассматриваются три закона сохранения: импульса, мо-
.к и га импульса, механической энергии. Как и все фундаментальные зако-
ны природы, они установлены на основе опытов и не являются следствня-
>н< других законов. Однако в классической физике законы сохранения и
>:>|чп|Ы динамики полностью соответствуют друг другу и их можно рас-
 »| привать как следствия друг друга.
Законы сохранения выполняются в изолированных системах тел. Ha-
in «мним, что изолированной называется система таких тел, которые взаи-
модействуют только с входящими в эту систему телами. Силы взаимодей-
 |Ш|Я между телами выбранной системы тел нвзываются внутренними.
1 илы, действующие на тела системы со стороны не входящих в систему
к*п. называются внешними.
4.1, Закон сохранения импульса
Сумма импульсов всех тел системы называется импульсом системы
ил рс:
Pc=LPi = Z>iV;.
Закон сохранения импульса утверждает, что при взаимодействиях тел
и цитированной системы импульс системы тел сохраняется;
рс = const.
Действительно, из уравнения движения центра масс (3.2)
4.	Приведите примеры движения тела по окружности и укажите, кака
сила является нормальной (центростремительной) в каждом случае. >
5.	Почему Луна не падает на Землю, а электрон на ядро атома, х<г
они притягиваются?
6.	Зависит ли направление момента силы от направления вращения
7.	Может ли меньшая сила создать больший момент силы?
8.	Колесо катится по Земле. Какие силы вызывают вращательное дв
жение?	।
9.	Как будет двигаться колесо по идеально гладкой поверхности?
10.	Как автомобиль совершает поворот вправо? Что создает моме'
силы, необходимый для поворота?
11.	Почему движение катящегося шара замедляется?	, И
12.	Частица движется с постоянной скоростью вдоль прямой лин>*а
Как изменяв гея с течением времени момент импульса частицы, вычислеЖ
ный относительно любой точки, не лежащей на этой прямой?	,
13.	Посмотрите на циферблат часов с секундной стрелкой. Как ц!
правлен момент импульса секундной стрелки?	!
14.	От каких величин и как зависит угловое ускорение гела? '
15.	При каком моменте действующих сил тело вращается: равномё'й
но, неравномерно, с постоянным угловым ускорением?
16.	Может ли врашаться тело, если момент действующих сил раня
нулю?	'I
42	fl
сиедует, что импульс системы тел может изменяться только под действи-
। м внешних сил.
Если система изолирована, то
mgsu:
«Фе Л -
~= 0; Pc = const,
dt
т.е. импульс системы сохраняется.
Импульс системы сохраняется и в случае, если система не изолиров
на, но сумма внешних сил равна нулю.
Кроме того, если проекция внешних сил на ту или иную ось, наг «г
мер ось х, равна нулю, то закон сохранения выполняется для проект
импульсов тел на эту ось, т.е.
Рсх - EPix = const.
Сохранение импульса системы не означает, что сохраняется имнущ
каждого тела. Так, при взаимодействии двух тел
dp, = Fndt == -F2,dt = -dp2,
т.е прибыль импульса второго тела вследствие взаимодействия с нервы
телом равняется убыли импульса первого тела при этом взаимодействии.
Подтверждением закона сохранения импульса является широко pt
простраиенное и применяемое реактивное движение.
4.2.	Закон сохранения момента импульса
Этот закон, как и все законы сохранения, справедлив для нзолирова
ной системы тел. Сумма’моментов импульсов тел системы называется и
ментом импульса системы Ес;
Ес=£Ь(-£1(<5(.
Закон сохранения момента импульса утверждает, что при взаимод i
о виях тел изолированной системы момент импульса системы сохраняй
ся.
Lt = const.
Как и закон сохранения импульса, закон сохранения момента им иуц
са соответствует законам динамики.
Действительно, из уравнения динамики вращательного движения (3.) -
dt
следует, что момент импульса системы может изменяться только тогд
когда момент внешних сил не равен нулю
' Если система изолирована, то
dLc z. г
---=0: L = const.
dt
т.е. момент импульса системы тел сохраняется.
Момент импульса системы сохраняется и в случае, если система
изолирована, но сумма моментов внешних сил равна нулю.
44
Кроме того, если проекция моментов внешних сил на ту или иную
<> I., например ось х, равна нулю, то закон сохранения выполняется для
проекций моментов импульсов тел иа эту ось, т.е.
Lcx = ELix= const.
Сохранение момента импульса системы не означает, что сохраняется
момент импульса каждого тела. Так, при взаимодействии двух тел при-
ьыиь момента импульса первого тела вследствие взаимодействия со' вто-
рим телом равняется убыли момента импульса второго тела при этом
м 1,|пмодействии’
dL, = Ml2dt = -M2ldt = -dL2.
Закон сохранения момента импульса проявляется везде, где есть вра-
щение. Напрймер, скорость вращения фигуриста изменяется, когда он
«пускает, отводит в сторону или поднимает руки, тем самым изменяя свой
момент инерции относительно оси вращения. Если у вертолета один винт,
«ич’орый начинает вращаться, то в силу закона сохранения момента им-
нуцьса фюзеляж вертолета должен начать вращаться в противоположную
• «•ролу. Для торможения вращения фюзеляжа устанавливают дополни-
ельный винт, ось которого перпендикулярна оси вращения главного вин-
i.i IJ результате вращения этого дополнительного винта возникает сила,
। чмпенсирующая вращение фюзеляжа. Существуют конструкции вертоле-
i«ui, в которых размещаются на одной оси два винта, вращающихся в про-
ццюположных направлениях. Тогда сумма моментов импульса остается
|ыкпой нулю. Кошки при падении, крутя хвостом, принимают такое по-
« чтение, что всегда падают (встают) на ноги.
4.3.	Работа силы
Для характеристики результата действия силы на тело при перемеще-
нии тела при действии этой силы вводится скалярная величина - работа
силы А. Элементарной работой силы
j? называется скалярное произведение
силы на перемещение dr, которое со-
|	вершает тело при действии этой силы
л	|	(рис.4.1):
f?—лг |т	dA = Fdf. _	(4.1)
I ---------*-------е	Учитывая, что Fdr = Fdrcosa,
dr=d£, получим другое выражение
Рис. 4.1	элементарной работы силы
dA = Fd£coset.	(4.2)
Отметим, что работа одной и той же силы F будет разной при одпна-
1ЧПИ1М по величине перемещении тела в различных направлениях.
45
mgsu 3dn ru
Элементарную работу силы можно выразить через тангенциальнук
составляющую силы, т. е. проекцию силы на направление движенш
Ft=F cosa;
dA = F(df.
При изменении положения тела (от первого до второго) будет совер
шена работа	i
Al2 = fdA, A = jFdfcosa = jFfd£.	(4.3
। о	о
В случае постоянной силы и прямолниейного движения формулой ра
боты будет выражение
А= Ffcosa.
Выразив векторы силы и перемещения через их проекции на оси ко
ординат, определение работы (4.2) можно представить в виде
d А = FKdx + Fydy+Fzdz.	(4.4
Таблица 4.
Наименование	Формула силы	Формула работы	Формула |; потенциальной, энергии
Сила всемир- ного тяготения	=	„ ГП.Ш, _ F=G— R2	A = -Gm.m,[ —	— | Ir, r2J	W R
двух точечных тел или шарооб-			
разных тел при R>(R,+R2)			
Сила тяжести	F = mg	A = mg(hl-h2)	Wr = mgli
Сила упругости	F=-xy	A";k(V?-¥j)	
Сила трения	F = pN	2	
Сила Кулона Сила, с которой электрическое	F = K^-e cR2 F = qE	A e lR, R2J A=qE(x,-x2)	w И eR fl W„ = qEx |
поле действует на заряд Сила Ампера	F = IlB since	(Однородное электриче- ское поле) А = 1(Ф|-ФД)	
Магнитнав со-			
ставляющая си- лы Лоренца	FM = qvBsina	А = 0	
46
I la графике зависимости проекции силы на направление перемещения
I, <*1 пройденного пути работа силы на пути Л(=(£2-£1) соответствует
ititouvub криволинейной фигуры (трапеции), ограниченной кривой
I I г (/), осью £ и прямыми £ = £। и £ = £2.
I 1ри вращении тел ch = Rd<p. Поэтому
dA = Ffd£ — F,Rd<p =	,
<  работа силы при вращении равна произведению момента силы отно-
• и 1<-|ц,но оси на угол поворота
Используя выражение (4,3), можно получить формулу работы любой
> и цы, если закон этой силы известен. Формулы работы некоторых сил
|||>||псдены в табл.4.1.
4.4.	Работа центральных стационарных сил взаимодействия тел
Рассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц
iii.’ (рис.4.2). Силы F12 и F2i, с которыми частицы действуют друг на
ipvid, будем предполагать направленными вдоль проходящей через обе
|.к 1ИЦЫ прямой и зависящими только от расстояния между частицами.
”« । чшными свойствами обладают гравитационные и электрические куло-
№ ин кие силы.
Найдем сумму работ сил взаимодействия Fl2 и ₽2|, совершаемых при
ис|х:мещениц первой частицы на dr,, а второй частицы на dr2:
dA = dA12 + dA21 = FJ2df, + F2ldr2.
Радиус-вектор частицы 2 относительно частицы 1 до перемещения
•шпиц обозначим через г2(, после перемещения - г21, а изменение относи-
1Щ1ЫЮГО положения частиц (изменение f^) через df2l:
*®21 = *2Г *21 •
Перемещения dr, и dr2 связаны с dr2l выражениями (см. рис.4.2)
mgsu 3dn ru
dr2|=d^-df|; df2 = dr, + dr2|.
Силы взаимодействия по третьему закону Ньютона
Fj2= — ^21-
Тогда _	|
dA—FJ2dq + F2|dq +F2ldr2< = F12dq -Fjjd^+F2,dr2| = Fadf2i-
Если бы эту работу выразили через силу F12 и изменение радиуса*
вектора fl2 частицы 1 относительно частицы 2, равного	.
dfl2 = ?|2 -|Ъ
то аналогично получили бы выражение
dA±=F22dft2.
Отсюда следует, что работу, совершаемую силами взаимодействия те;
(внутренними силами) при движении обеих частиц, можно вычислят»
считая одну из частиц неподвижной, а другую, движущейся под действи-
ем первой частицы (движущейся в центральном поле сил, создаваемо*
первой частицей),
В частости, кохдв неподвижна и находится в начале координат час
тнца 1 (рис. 4.2,6) имеем:	1
г, = 0; г2 = г2| = г; dr( =0; dr2 = dE2l = dr, f2l = r =r + dr; F2I = F, dA = Fdr,
Здесь F- центральная сила, действующая на вторую частицу, г- ради
ус-вектор этой частицы.
Выведем формулу работы, совершаемой над частицей центральный
стационарным полем сил, В таком поле модуль силы определяется функ-
цией F(R). Траекторию-движения разделим на элементарные перемещения
dr (рис.4.3),	1
Рис. 4.3
Pa6v .у при произвольно выбранном перемещении представим в виде
d А — Fdr-F(R)drr,
где drF - проекция перемещения на направление силы; drF = drcosa.
11 пн F(R)- модуль силы и dR - приращение расстояния R от центра
........... поля до частицы, то независимо от того, увеличивается или
........ расстояние R, в случае силы отталкивания drr=dR,
 I * । (R)dR, а в случве силы притяжения drF = -dR, dA = F(R)dR.
Г.|(йпу на всем пути при перемещении частицы из точки I в точку 2
<1 di'ii м, интегрируя dA, В результате получим выражения:
*шя случая отталкивания
А„ = /Р(К)Ж,	(4.5)
К,
чля случая притяжения
AB = -K/F(R)dR.	(4.6)
я,
Сметам, что если F(R) рассматривать не как модуль сипы, а как ве-
...у, положительную в случае отталкивания и отрицательную в случае
>1|>1<|>1жения, то знак в выражении (4.6) можно отнести к силе, и выра-
.....я (4,5) и (4,6) будут иметь одинаковый вид.
Подставив вместо F(R) силу гравитационного взаимодействия двух
••••и >шых тел и силу Кулона, получим формулы работ этих сил:
А12 = - J G m|>PzdR = -GmIm2f—-—) = Gm,itn2[—-—1 ,
2 к, R2 ' \R, Rj iRi Rj
An-'fk^R.kq.q^J-J-y
R, К	\K.,	K2/
Чтобы учесть взаимное отталкивание или притяжение частиц в го-
• >!• днем выражении, надо учитывать знаки электрических зарядов q( и q2.
Работа сил прнтяженйя тела и Земли (работа силы тяжести) при паде-
нии тела с высоты h( до высоты h2 будет равна
--------------------------------
12 (Rj+hj Rj+hJ (R3+h,VRj + h,)
Ьсли h|«Rj, h2«Rs, to (Rj+h()(Rj+h2) « R|, (GM/R3) = g и формула
I moo гы силы тяжести принимает вид'
Au = «ng (h, - ha).
4.5.	Консервативные (потенциальные) и неконсервативные
(диссипативные) силы
Из приведенных в табл.4.1 формул работ различных сил видно, что
 кия можно разделить на два класса:
консервативные (потенциальные) силы, работа которых зависит
<>111.1(0 от начального и конечного взаимного расположения взаимодсйст-
49
mgsu 3dn ru
вующих тел и, следовательно, не зависит от траектории между этими по-
ложениями;
- неконсерватнвиые (диссипативные) силы, работа которых зависит
не только от начального и конечного расположений взаимодействующих
тел, но и от пути (траектории) между этими положениями
Из приведенных формул работ видно, что к консервативным силам
относятся, например, силы тяготения, силы упругости, силы электриче-
ского взаимодействия
Примером диссипативной силы является сила трения.
Имеется еще одно эквивалентное определение консервативной силы:
это такая сила, работа которой над телом при его перемещении по любой
замкнутой траектории, когда тело возвращается в исходное положение,
равна нулю. Чтобы доказать, что это определение соответствует данному
ранее, рассмотрим частицу, перемещающуюся из точки I в точку 2 по
двум путям, обозначенным В и С на рис. 4.4, а. Если мы предположим, что
на частицу действует консервативная сила, то, согласно первому опреде-
лению. работа, совершаемая ею при перемещении частицы по пути В, та-
кая же, как и но пути С- Обозначим эту работу по перемещению частицы
из точки 1 в точку 2 через Ап- Пусть теперь частица движемся но замкну-
тому пути (рис.4.4,6). Из точки 1 в точку 2 частица движется по пути В,
причем сила совершает работу А|2. Далее частица возвращается из точки 2
в точку ] по пута С. При перемещении частицы из т очки 1 в точку 2 по
пути В производится работа, которая по определению равна jFdf. При об-
ратном движении частицы из точки 2 в точку I сила F в каждой точке та
же самая, что и при перемещении из точки ) в точку 2, ио при этом на-
правление df меняется на обратное. Следовательно, в каяадой точке про-
изведение Fdr имеет противоположный знак, т.е. работа на обратном пути
из точки 2 в точку 1 равна — Ад. Например, в поле тяготения Земли, на
одних участках траектории, когда тело падает, работа силы тяготения по- .
ложительна, на других, когда тело поднимается, отрицательна.
Таким образом, полная работа, совершаемая при перемещении части-
цы из точки 1 в точку 2 и обратно, равна
Au + (~AU) = O.
Это следует и из формул работ консервативных сил, приведенных в
габл. 4.1, ибо для замкнутых траекторий R,= R2, h| = h2, Х| = x2.
Второе определение консервативной силы можно выразить формула-
ми;
AJ = 0;4<1A = 0; {tylf-O.
Эти вьцхокения являются условием консервативности сил и потенци-
альности поля сил.
Математическое выражение вида
$Fdf = $Ffd£,
|де F - векторная характеристика векторного поля; df - элемент замкну-
того контура f. (рис.4.5), которому приписывается выбранное направление
обхода контура (в частности, At совпадает с перемещением dr); Ff- про-
екция F в данной точке контура на направление df в данном месте, назы-
вается циркуляцией вектора F. Поэтому можно утверждать, что условием
потенциальности поля сил является равенство нулю циркуляции силы.
Потенциальными являются все однородные и центральные стацио-
нарные поля сил (силы, не зависящие от скорости и времени).
Рис. 4.5
mgsu 3dn ru
В случае электростатического поля Ff = qE{. Поэтому, учитывая, чт,
электрический заряду произволен, постоянен и отличен от нуля, получили
4F£d£=q4Efd/ = O; <Е^=0,
t	I	t
г.е. условием потенциальности электрического поля покоящихся зарядо^
является равенство нулю циркуляции напряженности электростатического
поля.	.
Второе определение консервативной силы выявляет важное се свой-
ство: работа консервативной силы является обратимой в том смысле, что
если на каком-либо участке пути частицей совершается работа над други-
ми телами, то на обратном пути на этом участке будет совершена точно
такая же работа над частицей.
Работа неконссрвативлой силы трения равна произведению силы тре-
ния на полный путь, пройденный телом, поскольку сила трения в каждой
точке траектории направлена точно против движения. Следовательно, ра-
бота силы трения при перемещении тела из одной точки в другую вдоль
прямой, соединяющей эти точки, меньше, чем работа, совершаемая при
перемещении тела по искривленной траектории, например, по полуок-
ружности.
Заметим также, что в случае, когда мы имеем дело с трением сколь-
жения, сила трения всегда направлена в сторону, противоположную пере-
мещению, и работа, совершаемая над телом при его перемещении, отрица-
тельна. Поэтому, когда тело перемещается по замкнутому пути,’ например,
из точки ] в точку 2 и обратно из точки 2 в точку 1, полная работа, совер-
шаемая силой трения, никогда не будет равна нулю - она всегда отрица-
тельна и f 0	 ’
Таким образом, работа, совершаемая неконсервативной силой, не яв-
ляется обратимой, как в случае консервативной силы. При действии сил и
трения уменьшается (рассеивается) механическая энергия тела, она необ-
ратимо переходит во внутреннюю энергию трущихслтел.
То, что мы делаем различие между консервативными и неконсерва-1
тивными силами, весьма важно и объясняется главным образом тем, что
потенциальная энергия может быть определена только для консерватив-
ной силы и закон сохранения механической энергии выполняется только,
при консервативных взаимодействиях тел (см. ниже).
52
4.6.	Энергия
Поц энергией тела подразумевается способность тела, действуя на
другие тела, вызывать их перемещение, т.е. способность тела совершать
1>.|(5оту. Энергия тела задается величиной, также называемой энергией,
•нергию будем обозначать буквой W.
Энергия тела может быть обусловлена только двумя причинами: или
движением тела, или взаимодействием тел. Энергия тела, обусловленная
движением тела, называется кинетической энергией тела WK. Энергия те-
па, обусловленная взаимодействием тел и зависящая от взаимного распо-
иожения тел, называется потенцнвльной энергией Wn.
Можно утверждать, что любому движению соответствует кинетиче-
ская энергия и любому взаимодействию соответствует потенциальная
шергия. Поэтому энергия является универсальной характеристикой всех
ферм движения и всех видов взаимодействия. Это означает, что к кинети-
ческой и потенциальной энергиям сводятся все виды энергии: механиче-
ская энергия тела - это сумма кинетической и потенциальной энергий тела
как целого; внутренняя энергия - это сумма кинетических и потенциаль-
ных энергий молекул и внутренних энергий молекул; тепловая энергия -
кинетическая энергия теплового движения молекул; энергия электриче-
ского взаимодействия частиц - потендивльная энергия; электрическая
>иергия (энергия электрического тока) - кинетическая энергия упорядо-
ченного движения заряженных частиц; химическая энергия, запасенная,
например, в пище и топливе, - потенциальная энергия взаимодействия
атомов и молекул; адериая энергия - или потенциальная энергия электри-
ческого отталкивания протонов в ядрах (при делении тяжелых ядер), или
потенциальная энергия сильного взаимодействия нуклонов ядер (при
синтезе ядер), которые переходят в энергию возникающих частиц и ядер.
Количественная мера энергии выбирается так, что изменение энергии
гела равно совершенной над телом работе, причем
в случае кинетической энергии
dWr«dA,Wk2-Ww,=Al2,
в случае потенциальной энергии
-dWr =dA. W11I-WI,2=Ак.
Отсюда следует более общее определение работы силы:-сшк> - это ме-
ра изменения энергии, т.е. мера перехода энергии из одного вида в другой
вид энергии или мера передачи энергии от одного тела другому. Так, при
падении тела, поднятого над Землей, работа силы тяжести показывает, ка-
кая потенциальная энергия тела преобразуется в его кинетическую энер-
гию. Потенциальная энергия, запасенная в натянутой тетиве лука, может
быть преобразована в кинетическую энергию стрелы. При этом тетива лу-
ка совершает работу над стрелой. Человек бросает мяч или толкает про-
53
mgsu 3dn nj
дуктовую тележку. Совершенная при этом работа указывает на передачу
энергии от человека (которую он в конечном счете получил из химиче-
ской потенциальной энергии, запасенной в пище) к мячу шш тележке.
Важность понятия энергии состоит в том, что энергия - сохраняющая-
ся величина. Иными словами, в любом процессе энергия может преобра-
зовываться из одного вида в другой, но полная энергия не возрастает и не
убывает. В этом состоит закон сохраненил энергии - один из самых важ-
ных в физике.
4.7.	Кинетическая энергия тела,
ее связь с работой силы и импульсом тела
Как уже было указано, кинетической энергией тела называется энер-
гия, обусловленная движением тела. Формулу кинетической энергии тела
выведем, используя определение работы силы
dA=Fdr.
Согласно основному закону динамики
F = ma.
По определению
Поэтому
dA= Fdr - madr= tn — df = mdv-v = -md(v-v) = — mdv2 - df—mv2
dt	2	1	' 2 V2 >
(4.7)
Для увеличения скорости от 0 до v надо совершить работу
Эта работа идет на сообщение движения тепу и на возникновение
энергии тела, обусловленной движением. Поэтому формулой кинетиче-
ском энергии тела будет выражение
W.-imv1.	(4.8)
Согласно (4.7) кинетическая энергия тела связала с работой дейст-
вующих на тело сил выражениями
dA = dWK; А|2 = W* - W.,,	(4.9)
те. работа сил, действующих на тело, равна прирш цепки > кинетической
энергии тела (теорема о кинетической энергии). Эго обусиоинспо тем, что
для увеличения скорости движения и кинетической ’Hiepuiii тела, сила,
действующая на тело, должна быть направлена н сторону движения и
должна совершать положительную работу.
Работа самого тела, т.е. работа силы F'= (»уде1 пырилопься фор-
мулами
dA’ = -dA = -dW,; A;2 = WK1 - W,2 .
Учитывая, что p = mv, получим связь кинетической энергии тела с его
импульсом:
W.-^: p-VTrnW-
Выразив квадрат скорости через проекции скорости, получим
Взяв производные от кинетической энергии тела по проекциям скоро-
гги на оси координат, получим*
?WK	cWK
—»- = mvx=Ps, —•*
aw,	aw
“Г7 = Ру’ "Z7
су	cz
(410)
5W	dW
Мы написали —вместо —®- , чтобы отметить то обстоятельство,
ov,	dvx
что производная по vx вычисляется при условии, что vy и vz остаются по-
стоянными Производная, вычисленная при этом условии, называется ча-
стной.
Таким образом, проекции импульса тела на оси координат равны ча-
стым производным от кинетической энергии по проекциям скорости на
соответствующие осп.
Формула кинетической энергии (4.8) справедлива для любого движе-
ния. Но при вращательном движения ее принято выражать через характе-
ристики вращательного движения.
Для точки, движущейся по окружности, v = coR. Поэтому
W. = -mv2 = -m<o2R2 = -ко2,
*2	2	2
г.е. кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности
W, =—I©2.
2
Эта же формула справедлива для твердого тела
X = JdWK = J^dmv2 = JpdVw2R2 = |®>2 JpR2dV = |ko2.
Одно из преимуществ разбиения любого плоского движения твердого
гела на поступательное со скоростью центра масс vc и вращение вокруг
оси, проходящей через центр масс, в том, что кинетическая энергия распа-
дается на два независимых слагаемых, одно из которых - кинетическая
энергия поступательного движения центра масс, а другое - кинетическая
энергия вращения относительно оси, проходящей через центр масс:
...	1	2 1 , 2
Wr=jmv* + -Ic© .
mgsu 3dn ni
4.8. Потенциальная энергия тела, ее связь с работой силы
Потенциальная энергия - это энергия, обусловленная консервативным
| взаимодействием тел и определяющаяся взаимным расположением взаи-
модействующих тел.
Из формул работ консервативных сил (см.табл.4.1) видно, что работу
консервативных сил можно представить как разность некоторых матема-
тических выражений, определяющихся начальным и конечным взаимным
расположением взаимодействующих тел (R, h, х), т.е. интеграл fFdf, рав-
ный выполненной работе, имеет единственное значение, если он зависит
лишь от положения начальной и конечной точек 1 и 2 и не зависит от пути
интегрирования. С другой стороны, по определению работа является ме-
рой изменения энергии. В частности, для потенциальной энергии
AI2=WOI-W„2.
Отсюда следует:
1) понятие потенциальной энергии, как энергии, определяющейся
взаимным расположением взаимодействующих тел, может быть введено
только для консервативных сил;
2) за формулу потенциальной энергии данного вида взаимодействия
тел надо принять выражения, разность которых для начального и конечно-
го взаимного расположения тел равна работе силы этого взаимодействия.
Поэтом}' формула потенциальной энергии различна для разных сило-
вых полей (см.табл.4.1), в отличие от формулы кинетической энергии те-
ла.
Работа силы равна разности потенциальных энергий, поэтому потен-
циальную энергию можно определить с точностью до произвольной по-
стоянной величины (надо указывать уровень отсчета потенциальной энер-
гии). В случае центрального поля сил обычно эту постоянную принимают
равной нулю, тем самым полагая, что при бесконечно большом расстоя-
нии между частицами, когда сила их взаимодействия равна нулю, потен-
циальная энергия также равна нушо. При таком выборе постоянной по-
тенциальная энергия притяжения частиц оказывается отрицательной, а по-
тенциальная энергия отталкивания частиц - положительной. Это согласу-
ется с ^м, что при притяжении частиц при их сближении сила притяже-
ния между ними совершает положительную работу, и эта работа равна
убыли потенциальной энергии.
Для увеличения потенциальной энергии тела его надо перемещать
против направления силы, действующей на тело. Эта сила совершает от-
56
рицательную работу. Поэтому работа силы, действующей на тело, равна
убыли потенциальной энергии, а не приращению, как в случае кинетиче-
ской энергии, и потенциальная энергия взаимодействия тел связана с ра-
ботой силы этого взаимодействи и соотношениями:
А,2 = wnl - Wrt-, <JА = -dWn.	(4.11)
Отметим еще одну особенность потенциальной энергии. Потенциаль-
ная энергия - это энергия, обусловленная консервативным взаимодействи-
ем тел. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия является общей
для взаимодействующих тел. Ее можно представить как потенциальную
энергию первого тела в поле второго, как потенциальную энергию второго
гела в поле первого, как полусумму потенциальных энергий взаимодейст-
вия первого тела со вторым и атэрого с первым:
Для системы, состоящей из N тел, потенциальная энергия взаимодей-
ствия тел слагается из энергий взаимодействия частиц, взятых попарно
2i-ij=i	i ,
<i*i)	(i<i)
В случае неконсервативных сил интеграл будет зависеть не
только от пространственного положения точек 1 и 2, но и от контура ин-
тегрирования, соединяющего точки 1 и 2. Величина AWn при этом зависе-
ла бы от пути, и нельзя было бы утверждать, что Wn имеет определенное
значение в каждой точке пространства. Отсюда следует, что для неконсер-
ватнвной силы понятие потенциальной энергии не имело бы смысла.
Правда, такое утверждение верно, если мы ограничиваемся рассмотрени-
ем только механической энергии. На самом деле надо иметь в виду, что
для каждого класса сил - консервативных или неконсервативных - можно
определить вцд энергии, соответствующий работе этих сия. Например,
работа неконсерватнвной силы трения связана с изменением внутренней
энергии трущмхсл тел. Но внутренняя энергия состоит из кинетических и
потенциальных энергий молекул и ей соответствуют, главным образом,
консервативные силы.
57 .
mgsu 3dn
4.9. Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли
Формула потенциальной энергии взаимодействия точечных и
образных тел 1 и 2 с радиусами Ri и R2 при расстоянии между цен
тел R > (Rj+ R2) имеет вид (см.табл.4.1)
_ rJ*.r
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной ве-
личины С, зависящей от выбора нулевого уровня отсчета энергии.
Если принять, что потенциальная энергия Wn = 0 при R = то С = 0.
В этом случае потенциальная энергия притяжения тел отрицательна и уве-
личивается с увеличением расстояния R.
При рассмотрении тел, поднятых над Землей, высота h отсчитывается
от произвольного уровня 0, неподвижного относительно Земли (рис.4.6).
Обозначим высоту этого уровня от поверхности Земли через be, а расстоя-
ние от этого уровня до центра Земли через Ro. Тогда
Ro = R3 + ho; R = Ro+h.
Для тела, поднятого над Землей на высоту h от начального уровня ho,
принято, что потенциальная энергия W„=0 при h = 0, т.е. при R=Ro-
В этом случае
C=G^-
Ro
и потенциальная энергия тела, равная
„ шМ . „ тМ „ mMh
w„ - -G——— + G-----------------------= G—-------,
(Ro + h)	Ro Ro(Ro +11)
положительна и увеличивается с увеличением высоты h.
58
Если ho « R3, h « R3, то Ro = Rj + ho « R3, Ro (Ra + h) » R3 (R3 + h) w R3.
Поэтому формула потенциальной энергии тела, поднятого над Землей
п;| высоту (ho + h)«R3, принимает вид
W„.O^; Wn=meh.
Эту потенциальную энергию взаимодействия тела с Землей всю мож-
но приписать как телу, так и Земле, т.е.
W." Ч» = w„, -	+ w..,,) - .11,
4.10. Связь силы взаимодействия т ел
с потенциальной энергией этою взаимодействия
В классической физике взаимодействие тел характеризуется как си-
лой взаимодействия, так и потенциальной энергией взаимодействия. Ус-
тановим, как связаны между собой эти две характеристики взаимодейст-
вия тел.
По определению работы силы
dA = Fdf = Ffd£,
а по условию выбора количественной меры энергии
dA = -dW„.
Поэтому
т.е. проекция силы на направление £ равна убыли гэтенциальной энергии
на едирйце длины в этом направлении (производной потенциальной энер-
гии в этом направлении с обратным знаком).
Если направление перемещения df = d£r совпадает с направлением
силы, то проекция силы па направление перемещения (на направление са-
мой силы) совпадает с модулем силы:
F,= Ff=F.
Поэтому
.. 5W..
F И?
т.е. модуль силы равен убыли потенциальной энергии на единице длины в
направлении самой силы (производной потенциальной энергии по направ-
лению силы с обратным знаком).
Как и для любого вектора, проекция силы F ни на какое направление
не может быть больше модуля самой силы. Поэтому напрааление силы яв-
mgsu 3dn ru
ляется направлением наибыстрейшего убывания потенциальной энергии.
Если представить поверхность одинакового значения (уровня) потенци-
альной энергии (эквипотенциальную поверхность), то сила F будет пер-
пендикулярна этой поверхности.
Область пространства, каждой точке которой соответствует то или
иное значение какой-то скалярной величины, называется скалярным по-
лем (поле температуры, поле плотности вещества, поле модуля скорости,
поле потенциальной энергии и т.п.). Для описания скалярных полей вво-
дится вектор, называемый градиентом скалярной величины. В случае по-
тенциальной энергии - градиент потенциальной энергии
grad W„.
Градиент скалярной величины - это вектор, направление которого
совпадает с направлением наибыстрейшего возрастания угон скалярной
величины, а модуль которого равен приращению скалярной величины на
единице длины в этом направлении.
Согласно этому определению и сказанному выше о связи силы взаи- 
модействия с потенциальной энергией этого взаимодействия сила F и gradW
равны по величине и противоположны по направлению:
F = -gradW„.
Тогда
F, = -grad,Wn, F = -gradFW„.
Связь силы взаимодействия с потенциальной энергией этого взаимо- !
действия можно установить и исходя из положения, что потенциальная
энергия, как и сила, зависит от взаимного расположения тел и. является .
функцией координат;
W„-W.(x,y.z).
Изменение потенциальной энергии (дифференциал потенциальной ,
энергии) можно выразить через частные производные по координатам от
потенциальной энергии
Сопоставив это выражение с формулами работ
dA = - d Wn, d А = Fxdx + F»dy + F*dz,
получаем
(4.12)
Таким образом, проекция силы на ось равна взятой с обратным зна-
ком частной производной потенциальной энергии по координате вдоль
этой оси.
Подставив полученные выражения проекции силы на оси координат в
выражение силы через проекции силы на оси координат
60
F=lFx+jFy + kFz,
получим связь силы взаимодействия с потенциальной энергией этого
взаимодействия:
«в,
v Эх Эу fe )
Выражение в скобках представляет собой вектор с проектами на оси
координат, равными
z)W	Л W	я\у
—-°- = -FK - gradKW„, —- - -F = grad Wn> —7- = -F, = gradzW(l, (4.14)
dx	oy	dz
т.е. градиент потенциальной энергии, выраженный через производные по-
тенциальной энергии по координатам.
Поэтому, как и следует ожидать.
F = -gradW,,
(4.15)
Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной
энергии тела, взятому с обратным знаком.
Знак ‘в выражении (4.15) означает, что сила направлена в сторону
уменьшения потенциальной энергии, т.е. сила всегда действует в таком
направлении, чтобы понизить потенциальную энергию.
Используя связь силы с потенциальной энергией, можно найти силу,
действующую на тело, если известно выражение потенциальной энергии
Wn (х, у, z), и наоборот.
Если ввести понятия потенциала и напряженности поля сил, как на-
пример, в случае электростатического поля
то из (4.15) следует связь напряженности с потенциалом
=	- ар
E = -grad<p, Е =	,
где	- изменение потенциала на единице длины в направлении Е.
Для однородного электростатического поля
где И - расстояние между точками 1 и 2 вдоль линии Е, а <р, и <р2 - потен-
циалы этих точек.
Связь ф с Ё используется для нахождения Е или ф, если известна
формула одной из указанных величин
mgsu 3dn ru
4.11.	Уравнение Лагранжа
Введение понятий кинетической энергии и потенциальной энергии и
их связь с импульсом тела и силой позволяют уравнение движения напи-
сать в форме, очень удобной для обобщений. С этой целью напишем
уравнение движения в проекциях на оси координат
F _d₽K f _dpy F _dP*
х dt ' у dt ’ 1 dt
При учете (4.] 0) и (4.] 2) они принимают вид:
=	=	= a (4.16)
dtldx’/ дк dtldy'J Эу ’dtkSzJ dz	’
Введем функцию L, в простейшем случае соответствующую функции
Лагранжа
L = W«-Wn,
где WK зависит от х’, у', z' и не зависит от х, у, z, a Wn зависит от х, у, z
и не зависит ог х', у', Z'. Поэтому
аь _ aww эь____
дх' дх’ ’ дх дх
Тогда вместо (4.16) получаем выражения вида
df^_^=0.
dtkSx'J дх
Аналогичные выражения получаются и для координат у и z.
Можно показать, что такое соотношение справедливо для любых ве-
личин (обобщенных координат), которые определяют положение механи-
ческой системы. Эти уравнения, называемые уравнениями Лагранжа, за-
меняют уравнения Ньютона.
Функция Лагранжа может быть использована для характеристики не
только систем с конечным числом степеней свободы, но и систем с беско-
нечным числом степеней свободы - сплошных сред, электромагнитных и
других физических полей. Таким образом, значение функции Лагранжа
выходит за рамки классической мехвники. Использование уравнений Ла-
гранжа вместо уравнений Ньютона обладает тем преимуществом, что ко-
личество уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы системы, ко-
торое при наличии связей, ограничивающих движение системы, будет
меньше, чем утроенное число частиц, входящих в систему. Количество же
уравнений Ньютона, необходимых для описания системы из N частиц,
равно 3N. Кроме того, в уравнения Лагранжа не входят реакции связей,
которы заранее не известны. Это существенно упрощает решение соот-
ветствующей задачи. Правда, решение дает в этом случае сведения лишь о
движении системы, значения реакций остаются неустановленными. Но в
62
«юлывнистве физических задач значения реакций не представляют инте-
реса, так что данных, получаемых методом уравнений Лагранжа, оказыва-
ется вполне достаточно.
4.12.	Закон сохранения энергии
Закон сохранения энергии имеет всеобщий характер. Он применим ко
всем без исключения процессам, происходящим в природе, и заключается
в том, что полная энергия в изолированной системе тел и полей остается
постоянной; энергия лишь может переходить из одной формы в другую
или передаваться от одного тела другому.
В релятивистской механике показывается, что полная энергия гела,
включающая все виды энергий всех частиц тела, равна
Эта формула показывает, какая энергия W соответствует массе m и
какая масса m соответствует энергии W. Эта связь энергии с массой непо-
средственно подтверждается при делении тяжелых вдер и синтезе легких
ядер, когда суммы масс исходных и получающихся частиц отличаются на
Ат и выделяется энергия
AW = Ат • с2
Полная энергия тела складывается из механической энергии тела WM
и внутренней энергии тела U:
W = WM + U.
Механической энергией тела называется сумма кинетической и по-
тенциальной энергий тела как ценого:
WM=Wb+Wn.
Потенциальная энергия определяется взаимным расположением тел,
т.е. координатами или радиусами-векторами тел, кинетическая энергия -
скоростью движения. Поэтому механическое состояние тела будет опре-
дененным не только при указании координат и скорости, но и при указа-
нии W„ и W, или W„.
Внутренняя энергия тела представляется как сумма кинетических
энергий теплового движения молекул, потенциальных энергий взаимодей-
ствия молекул и внутренних энергий молекул:
63
mgsu 3dn ru
Внутренняя энергия молекул включает в себя все виды энергий всех
частиц, входящих в состав молекул. Ее можно представить как сумму ки- ;
нетических энергий атомов и потенциальных энергий взаимодействий
атомов и внутренних энергий атомов, из которых состоит молекула, т.е. I
Частными случаями закона сохранения энергии являются закон со- '
хранения механической энергии и первый закон термодинамики.
4.13.	Закон сохранения механической энергии изолированной
консервативной системы тел
Механической энергией системы тел WM называется сумма механиче-
ских энергий всех тел системы:
Сумма кинетических энергий всех тел системы называется кинетиче-
ской энергией системы тел WK:
W„-EW«.
Сумма потенцивльных энергий взаимодействия тел системы называ-
ется взаимной потенциальной энергией системы тел Wnc:
WBC=EIWO^.
(»>j)
Сумма кинетической энергии системы и потенциальной энергии
взаимодействия тел системы называется механической энергией изолиро-
ванной системы тел WMHC:
WMlK = W„ + W„ = ЕW«	Wn|).
(i>j)
Закон сохранения механической энергии утверждает, что при консер-
вативных взаимодействиях тел изолированной системы механическая
энергия системы тел сохраняется:
Wm„ck=const.
Как и законы сохранения импульса и момента импульса, закон сохра-
нения механической энергии установлен на основе опытов и не является
следствием других законов. Однако в классической физике закон сохране-
ния механической энергии полностью соответствует законам динамики.
64
Рассмотрим систему N точечных тел, обладающих массами ль I 1э ic-
ла системы могут действовать внутренние консервативные силы, внутрен-
ние неконсервативные силы и внешние как консервативные, так и некоп-
сервативиые силы.
Внутреннюю консервативную силу, с котором j-e тело действует па
i-e, обозначим через ₽„, сумму внутренних неконсервативных сил, дейст-
вующих на i-e тело - через Ф„ сумму всех внешних сия, действующих на
i-e тело - через F,.
Напишем основной закон динамики для всех тел системы в виде
dp n _ ___________________________ _
^=2^ + ®; + ^.
(»*Л
Пусть тела за время dt совершают перемещения йг(. Умножим каждое
из уравнений скалярно на соответствующее перемещение:
dp, “L-C£F||)<Jri + Ф.ЙГ; +F|dr,.
Выражение в левой части равенства представляй собой изменение
кинетической энергии i-готела за время dt:
dPi ~= Wi/dv, =~d(V| -	=	= dW«,.
dt	2	k 2 )
Слагаемое
(iF^df.-dA,
<i*t>
есть работа всех внутренних консервативных сил нвд i-м телом пр.1 его
перемещении на dfj, которая равна убыли потенциальной энергии i-ro те-
ла, обусловленной его консервативными взаимодействиями с другими те-
лами системы:
<1А( = -dWni.
Слагаемое
Ojdf, =dAH„.
есть работа внутренних неконсервативных сил, действующих на i-e зело.
Слагаемое
Fjdr; = dAni
есть работа внешних как консервативных, так и неконсерватпвных сил,
действующих на i-e тело.
Тогда
6S
mgsu 3dn ru
dWFi = - dWni+dA™ + йАы, dWM + dWni=dA,lri + dAFl.
Сложив такие уравнения для всех тел системы, получим
N	N	N	N
£dw,,+ZdWni = IdA,,,,+1dA,.
Сумма в левой части
ldwkl»xdw„.d(£w,)+<^5:w.,) = dw1,,+ dW„I = d(W„. w„.)-dw>11,
есть изменение механической энергии изолированной консервативной
системы тел.
Слагаемое
SdA^^dA.,
есть работа всех неконсервативных внутренних сил.
Слагаемое
I<JAol=dA„
есть работа всех внешних сил, действующих на все гола системы.
11оэтому
dW^dA^ + dA"
т.& изменение механической энергии изолированной системы тел равно
сумме работ внутренних неконсервативных сия и внешних сия, дейст-
вующих на тела сист емы.
Если система тел консервативна и изолирована,™
dA„K- О, dA„ = 0, dWjjiwK = О, WMIWK = const.
Таким образом, для изолированных систем тел. в которых все внут-
ренние силы консервативны, закон сохранения механической энергии
действительно выполняется.
4,14.	Закон сохранения механической энергии неизолированной
консервативной системы тел во внешнем консервативном поле сил
Закон сохранения механической энергии выполняется и для неизоли-
рованных консервативных систем тел вс внешнем консерваз явном ста-
ционарном поле сил, если потенциальную энергию взаимодействия тел
системы с внешними телами приписать телам системы,-т.е. если действие
внешнего консервативного стационарного поля сил учесть через нотенци-
вльную энергию тел системы, обусловленную этим воздействием. Напри-
мер, при свободном падении тела на Землю обычно принимается, что ме-
ханическая энергия тела сохраняется, хотя тело не составляет изолиро-
ванную систему. На самом деле, в этом случае сохраняется .механическая
энергия I зонированной системы, состоящей из падающего тела и Земли, а
кажущееся противоречие обусловлено тем, что потенциальная энергия
66
взаимодействия тела и Земли является взаимной, она принадлежит и телу,
и Земле, но всю ее можно приписать как телу, так и Земле, а мы обычно
приписываем ее телу, и Земля как будто бы не причем.
Сумма потенциальных энергий тел системы Wnei, обусловленных кон
серватнвным взаимодействием тел системы с телами, не входящими в сис-
тему, называется потенциальной энергией системы тел во внешнем кон-
сервативном поле сил:
В этом случае механическая энергия системы W„c равна сумме кине-
тической энергии системы, потенциальном энергии взаимодействия тел
системы между собой и потенциальной энергии тел системы во внешнем
консервативном поле сил:
wMC=WMHC+WnK=WK++ w„,(,
а закон сохранения мехвиической энергии утверждает, что при консерва-
тивных взаимодействиях тел системы, находящейся во внешнем консерва-
тивном стационарном поле сил, механическая энергия системы сохраняет-
ся:
Wm«= const.
В этом случае работу dAE всех внешних сил, действующих на все чела
системы, можно представить как сумму работы dAeK внешних консерва-
тивных сил и работы dАвнк внешних неконсервативных сил:
dAo = dA„K + d Аанк.
Работа внешних консервативных сил равна убыли шленцмалъной
энергии системы во внешнем консервативном поле сил:
dA„=-dWmc.
Тогда из выражения для изменения механической энергии изолиро-
ванном системы тел получим:
dWMIK=dAJlk + dAE,
d(WKC + Wnc) - d А„ - dWnK + dA„„
d (W.c+ WK + WnK) = dAKl + dA.,».
dW« = dA„,
т.е. изменение механической энергии системы тел равна сумме работ
внутренних и внешних неконсерватнвиых сид
В случае отсутствия неконсервативных взаимодействий тел системы и
внешних неконсервативных сил
dAH = dA„, г dА.„ - 0,	dWH«“ 0, WMCfc= W« + Wnc + Wn.c = const.
Таким образом, закон сохранения механической энергии выполняется
и для неизолированных консервативных систем тел, находящихся во
внешнем консервативном стационарном поле сил.
67
mgsu 3dn ru
4.15.	Первый закон термодинамики
При наличии неконсервативных сил, например, силы трения и силы
сопротивления среды, полная механическая энергия не сохраняется. Но это
не означает, что энергия не сохраняется вообще В ном случае просто
энергия из одного вида (механической) переходит в другой вид (внутрен-
нюю) н для того, чтобы сформулировать более общий закон сохранения
шергии помимо механической, надо учесть внутреннюю энергию системы
Внутренняя энергия может изменяться и за счет внутренней энергии
других геи Такой процесс называется теплообменом, а отдвиная внутрен-
няя мюршя называется количеством теплоты Q.
Закон сохранения энергии с учетом внутренней энергии называется
первым законом термодинамики. Он утверждает, что количество теплоты,
сообщенное системе, идет на изменение внутренней энергии системы и на
совершение работы системой, т.е.
Q-AU4 А.
Например, при сжигании топлива в тепловом двигателе внутренняя
энер1 ня топлива в количестве Q переходит во внутреннюю энергию рабо-
чего тела - газа и идет на работу, которую совершает газ, расширяясь.
В общем случае закон сохранения энергии утверждает, что полная
энергия в изолированной системе тел и полей всегда остается постоянной.
Поле, например электромагнитное, является носителем энергии. С точки
зрения обменного механизма взаимодействий поле - это совокупность
квантов, переносчиков взаимодействий (например, электромагнитное
но те - это совокупность фотонов). Поэтому энергия поля - это знергия
квантов - переносчиков взаимодействия.
4.16.	Закон сохранения механической энергии
при свободном падении тел па Землю
Будем считать, что Земля и точечное тело с массой in, намного мень-
шей массы Земли М (пК<М, — « 1), составляют изолированную систе-
М
му Пусть тело начинает пвдать свободно с высоты h, (h|«R3) от выбран-
ного уровня отсчета О (рис. 4.7, а), неподвижного относительно Земли. В
этом состоянии механическая энергия системы
W..I - w,,,. + W. , - W„, - W., - С —- mgh„
Ro(Ro + *1i)
68
>л
При свободном падении тела на Землю и Земли на тело они начнут
двигаться, и в момент времени t, когда тело будет находиться на высоте 112
(рис.4.7, б), скорость падения тела будет
v = gt,
приобретенная скорость Земли -
v3”fet“ —gt =
in
М ’
потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли -
W^-Wrt’G
mMh, ,
—1----—= теть,
MRe+h,)
кинетическая энергия тела -
кинетическая энергия Земли -
к3 2 М2 М к2 к2’
механическая энергия системы -
- W„+W„+W,; - mghi +y(lf
Do закону сохранения механической энергии
W«i = W^; mgh, = mgb2	•
69
mgsu 3dn ru
Поэтому
По условию —« 1.
м
mgh, - mgh,+ Ei; W„ - W„ + W^; W„ - W.,.
т.е. механическая энергия тела, свободно падающего на Землю, сохраня-
ется.
Однако тело взаимодействует с Землей, не составляет изолированную
систему, и закон сохранения механической энергии для одного тела не
должен выполняться. Это несоответствие (противоречие) кажущееся, ибо,
во-первых, взаимодействие тела с Землей мы учли, приписав всю потен-
циальную энергию этого взаимодействия телу, во-вторых, из-за большой
разницы масс тела и Земли доля набираемой кинетической энергии Земли
очень мала;
w.2"m
и мы пренебрегли ею. Последнее означает, что Землю мы принимаем не-
подвижной и консервативное поле тяготения Земли - стационарным
4,17.	Абсолютно неупругий удар
Движение сталкивающихся тел (как и всякая другая задача о движе-
нии тел) может быть исследовано с помощью законов Ньютона. Однако
для этого нужно было бы знать, какие силы возникают при соприкоснове-
нии тел и как они изменяются в процессе соударения. Но если нас интере-
суют не детали процесса соударения, а лишь конечный результат его, то
такое полное исследование с помощью законов Ньюгона в ряде случаев
становится ненужным. Так как два сталкивающихся тела, на которые не
действуют силы со стороны каких-либо других тел, представляют собой
замкнутую систему, то к ним применим закон сохранение импульса, а во
многих случаях и закон сохранения энергии. Зная движение тел до столк-
новения и применяя законы сохранения, можно определить движение тел
после столкновения, хотя мы при этом не узнаем ничего о том, как проис-
ходит само столкновение.
Моделью для всех задач подобного рода может служить задача о со-
ударении шаров. Если шары катятся по гладкой горизонтальной плоско-
сти, то сила тяжести уравновешена упругой силой давления плоскости, и
если к тому же силой трения качения можно пренебречь, го систему из
двух шаров можно считать замкнутой. Однако чтобы определить скорости
двух ш.|,юв после соударения, зная их скорости до соударения, одного за-
кона сохранения импульса недостаточно, так как нужно определить не
сумму импульсов двух шаров, а каждый из импульсов в отдельности. В
качестве второго уравнения для этой цели используется уравнение, выра-
70
жающее закон сохранения энергии. Однако закон сохранения энергии в
его механическом, а не общефизическом смысле, как было указано, со-
блюдается не всегда, и в таких случаях задача об ударе шаров, вообще го-
воря, не может быть решена. Но в одном частном случае решение этой за-
дачи становится возможным. Это - случай абсолютно неулругого удара.
Абсолютно неупругим называют такой удар, после которого скорости
обоих соударяющихся тел оказываются одинаковыми. Для этого, очевид-
но, соударяющиеся тела должны обладать определенными свойствами.
Это возможно, если при деформации тел возникают силы, зависящие не от
величины деформаций, а от скорости изменения деформаций. В природе
часто встречаются такие тела, в которых значительные силы возникают
только при быстрых изменениях деформаций, медленные же деформации
не связаны с возникновением заметных сил. Такими свойствами обладает,
например, мягкая глина и другие пластичные тела. Поэтому медленно их
можно деформировать, прикладывая очень малые силы: удар молотка
очень мало расплющивает глиняный шар, в то время как рукой его легко
можно расплющить, если это делать медленно. Если тело обладает такими
свойствами, то после того, как прекратится изменение деформации, исче-
зают и силы. Поэтому тела, обладающие такими свойствами, не восста-
навливают своей формы.
При соударении таких тел происходит следующее. В момент столк-
новения возникают быстрые деформации - шары будут быстро сжимать-
ся; поэтому возникают значительные силы, которые будут сообщать обо-
им шарам ускорения,, направленные в противоположные стороны. Так бу-
дет продолжаться до тех пор, пока скорости шаров не окажутся равными.
-В этот момент деформации шаров перестанут изменяться, а значит, исчез-
ну! в силы (так как они существуют только до тех пор, пока деформации
изменяются). Поэтому перестанут изменяться и скорости шаров и оба ша-
ра будут продолжать двигаться с одинаковой скоростью. Это п есть слу-
чай абсолютно неупрупого удара.
Реальные пластические тела не обладают твкими идеально неупруги-
ми свойствами. Однако если скорости соударяющихся пластических тел
пс очень велики, го удар практически оказывает ся абсолютно неупругим.
Если удар оказывается абсолютно неупругим, то определить требует-
ся только одну общую скорость обоих тел после удара.
Рис. 4.8
mgsu 3dn ru
Удар будем считать центральным, т, е. считать, что скорости шаров,
лежат на линии, соединяющей их центры (рис.4.8). Если массы тел пц и
пт2, их скорости до удара 9ц и v2l, а их общая скорость после удара v0, то1
по закону сохранения импульса
(П1| +jn2) vo — 1Т1| V| I -hm2v2i;
mivn+m2v2l.
ni| +m2‘
В случае нецентрального удара (рис. 4.9, а) можно разложить обе ско-
рости на составляющие vnl, vn2 в направлении линии, соединяющей цен-
тры шаров в момент удвра, и составляющие V,i, vt2 в перпендикулярном
направлении (рис. 4.9, б). Для составляющих vni и vn2 все будет обстоять
Рис. 4.9
так же, как и при центральном ударе. Они в конце концов окажутся рав-
ными, и для них мы можем написать то же соотношение, что и при цен-
тральном ударе. Для составляющих же vti и vrt дело будет обстоять иначе.
Их могут изменять только тангенциальные силы, т. е. силы трения. Но си-
лы трения вызовут вращение шаров, т. е. движение, которое нельзя рас-
сматривать в рамках механики точки. Во всяком случае нельзя утвер-
ждать, что составляющие скоростей в направлении, перпендикулярном к
линии центров, после удара окажутся равными. Поэтому закон сохранения
импульса позволит нам определить только составляющую результирую-
щей скорости в направлении линии центров. Для составляющих скоростей
после удара в направлении, перпендикулярном к линии центров, закон со-
72
хранения импульса, конечно, тоже справедлив, но эти составляющие по-
сле удара могут быть различными. Двух же скоростей на основвиии одно-
го закона сохранения импульса определить нельзя. Таким образом, пока
мы рассматриваем шары как материальные точки, до конца может быть
решена только задача о центральном абсолютно неулругом ударе.
При центральном абсолютно неупругом соударении шаров между
ними действуют силы, зависящие не от величин самих деформаций, а от
скоростей деформаций, т. е. силы, подобные силам трения, поэтому закон
сохранения энергии в его механическом смысле не соблюдается. Действи-
тельно, кинетическая энергия двух щаров до удара будет больше кинети-
ческой энергии шаров после удара.
Хотя при ударе возникла деформация шаров, которая не исчезла по-
сле удара, но эта деформация не связана с энергией, поскольку шары не
обладают упругостью. Уменьшение кинетической энергии при ударе оз-
начает поэтому, что механическая энергия системы при ударе частично
или полностью превратилась в тепло.
4.18.	Абсолютно упругий удар
Рассмотрим теперь задачу об ударе шаров для случая, когда, помимо
закона сохранения импульса, может быть применен закон сохранения
энергии в его механическом смысле. Это — задача о так называемом абсо-
лютно упругом ударе.
Абсолютно упругим ударом называют такое кратковременное взви-
модействие тел, после которого в обоих взаимодействующих телах не ос-
тается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали
тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.
Для того чтобы удар был абсолютно упругим, тела должны обладать
вполне определенными свойствами. Прежде всего все силы, возникающие
в телах, должны-зависеть только от деформаций. Если бы в телах возника-
ли силы, зависящие от скоростей деформаций, т. е. подобные садам i ре-
ния, и деформации не исчезали бы полностью после прекращения взаимо-
действия тел, то часть работы сия, действующих между телами, превра-
щалась бы в тепло и кинетическая энергия после удара была бы меньше,
чем до удара. Таким образом, для того, чтобы удар был абсолютно упру-
гим, должны отсутствовать силы, подобные силам трения. Реальные тела
не обладают такими идеально упругими свойствами, но все же в некото-
рых реальных телах силы, зависящие от скоростей, могут быть очень ма-
лы. Таковы, например, хорошие сорта стали, слоновая кость и т.д.
Соударение таких тел происходит следующим образом. Как и при аб-
солютно неупругом ударе, будут возникать деформации соударяющихся
тел и в результате этого силы, изменяющие скорости тел. Так будет про-
73
mgsu 3dn ru
должаться до тех пор, пока скорости обоих тел не окажутся равными. Но с
этого момента все будет происходить иначе. При абсолютно неупругом
ударе в момент, когда скорости станут равны, силы, зависящие от скоро-
стей изменения деформаций, исчезают, так как скорости изменения де-
формаций обратились в нуль, и скорости тел в дальнейшем остаются рав-
ными. В случае же упругого удара в этот момент силы не исчезнут, так
как они зависят от деформаций, которые не исчезли, и скорости будут !
продолжать изменяться в том же направлении, что и раньше. Поэтому ша-:
ры будут «отодвигаться» друг от друга и деформации будут уменьшаться j
пока вовсе не исчезнут. К этому моменту упругие силы, возникающие в-!
шарах, совершат такую же положительную работу, какая была затрачена}
на деформацию. Вся кинетическая энергия, которой обладали тела до уда-’
ра, снова превратится в кинетическую. Правда, при этом часть кинетиче-J
скои энергии может быть связана с движением деформированных частей 
обоих тел, т. е. с упругими колебаниями самих тел, а не с движением тела,
как Целого. Но если соударяющиеся тела достаточно упруги и скорости до =
удара невелики, то эта энергия бывает очень незначительна и кннетиче-''
ская энергия движения тел как целого после удара практически оказыва-
ется равной кинетической энергии до уд ара.
Если удар можно считать абсолютно упругим, то для скорэстей до
удара и после удара должны быть справедливы уравнения, выражающие
закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.
mlvll+m2v2l = mjV|2+ m2v22,	(4.17)
mlvH + m2v2l _ *”]VL2 m2v22.
2	2	2	2 ’
где v, f и v2( - скорости шаров до удара, a v12 и v22 - скорости их после
удара.
Рассмотрим сначала случай центрального удара. Уравнение (4.17) в
этом случае можно рассматривать как скалярное (все скорости до удара и
после удара направлены по линии центров и их разные направления раз-
личаются только знаком) и переписать уравнения в таком виде:
та, (V|2-vll)=m2(v2|-v22),	(4.18)
ml	=
Разделив второе уравнение на первое, получим:
vl2 + vII =V2I +v22-
Умножая это уравнение один раз на т2, а другой раз на иц и вычитая его
из уравнения (4.18), получим выражения для обеих скоростей после удара:
mi+m2	гп|+т2	' ’ '
Рассмотрим два частных случая, охватываемых этими соотношения-
ми.
1.	Сумма импульсов обоих шаров до удара равна нулю. т. е.
iTi|V| I = -m2v2|.	(4.20)
Тогда уравнения (4.19) принимают ввд
_ m2<v2l ~vi О.	_ _ ml(v21~vll) _
V|2~ m|+m2 ’ V22	т,+т2
откуда, применяя (4.20), находим:
vI2=~Vll> V22=-V2I»
т. e. импульсы обоих шаров при ударе только изменяют свой знак. Резуль-
тат этот почти очевиден. Так как по закону сохранения импульса оба им-
пульса после удара должны быть также равны по величине и противопо-
ложны по знаку, а по закону сохранения энергии они при этом не должны
изменять своей абсолютной величины, то они могут только изменить зна-
ки на обратные.
2.	Один шар до удара покоится: v2| = 0. Тогда
пт,+m2	т2+т2
После удара второй шар движется в ту же сторону, куда двигался первый
до удара. Скорость v22 и поведение первого шара зависят от соотношения
масс.
а)	Если т| > та- то первый шар продолжает двигаться в том же на-
правлении, как и до удара, но с меньшей скоростью. Скорость второго
шара после удара больше, чем скорость первого до удара.
б)	Если т, < т2. то направление движения первого шара при ударе
изменяется — шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту сторо-
ну, в которую двигался первый до удара, но с меньшей скоростью.
в)	Массы шаров одинаковы: ml = т2. Тогда
vi2=v2i; v22=vu,
т. е. шары равной массы при ударе обмениваются скоростями
В случае нецентрального удара можно разложить скорости шаров на
составляющие (рис. 4.9, б): vnll и vn2| в направлении линии центров в мо-
мент времени удара и vtll и	в перпендикулярном направлении, а затем
написать два уравнения, выражающих закон сохранения импульса
miVnii + nWai” niiVnii+ m2vn22,
mi voi + mjVoi = m, v„2 + mwt22.	(4.21)
Так как v2 = v2 +v2, то закон сохранения энергии можно написать в
виде
«”|(Ут11 +vnli) . mz(vt21 vn2|) _m|(vT12v^Jll I m2<vT2? + vm) (4.22)
2	2	2	2
75
mgsu 3dn ru
Для четырех неизвестных компонент скорости vTl2, vnl2, v-аг, vn22 мы по-
лучили только три уравнения. Однако, поскольку мы сделали предполо-
жение, что энергия при ударе сохраняется, мы должны считать, что силы
трения отсутствуют (шары абсолютно гладкие). Но тогда шары при ударе
не могут изменить тангенциальных составляющих своих скоростей (так
как для этого нужны тангенциальные силы, которые между абсолютно
гладкими шарами возникнуть не могут). Поэтому вместо уравнения (4.21)
мы можем прямо написать;
Соответствующие члены в уравнении (4.22) уничтожаются, и для
нормальных составляющих мы получим два уравнения:
Эти уравнения совершенно аналогичны тем, которые мы получили
для полных скоростей в случае центрального удара. Таким образом, при
нецентральном абсолютно упругом ударе гладких шаров нормальные
составляющие скоростей ведут себя твк же, как при центральном ударе;
тангенциальные же составляющие не изменяются
Гак как при абсолютно упругом ударе мы должны считать, что
тангенциальные силы отсутствуют, то, значит, в резульлтате удара (пусть
даже нецентрального) не может возникнуть вращение шаров.
Остановимся еще на одном случае нецентрального удара. Положим,
что масса одного из шаров гораздо больше массы другого шара
(m2 » nil). До удара этот шар покоится (V21 = 0). Из соотношений (4.19),
пренебрегая Ш] по сравнению с mj, мы получим для нормальной
составляющей первого шара:
Рис. 4.10
76
Тангенциальная составляющая скорости после удара не изменится.
Полная скорость шара после удара изменит лишь свое направление. Это
справедливо и для случая абсолютно упругого удара о гладкую стенку.
При этом “угол падения” а будет равен “углу отражения” р (рис. 4.,Л).
4.19.	Движение частицы в поле консервативных сил.
Потенциальные кривые. Устойчивое и неустойчивое равновесие
Потенциальная энергия обусловлена взаимодействием тел. Поэтому
она зависит от взаимного расположения тел и является функцией коорди-
нат: Wn = W„ (х, у, z). Предположим, что эта функция задана, и нужно вы-
яснить, как движется частица в этом поле консервативных сил.
Рассмотрим одномерное движение частицы вдоль оси х, т. е. когда за-
дана функция Wn - Wn (х), а нужно найти х=x(t).
По закону сохранения механической энергии
W„ + W„ = |mv2 + Wn = WM = const.	(4.21)
Отсюда находим
(4~>
at im	x0V-'wm "nJ 0
Вычислив интеграл, получим искомую зависимость х = x(t). Именно
таким образом с помощью закона сохранения энергии находятся скорость
движения и координаты движущейся точки, т. е, решается задача механики.
Потенциальные кривые. В некоторых случаях интеграл (4.22) вы-
числить трудно или невозможно. Значительную информацию о движении
частицы можно получить, есяи построить график зависимости потенци-
альной энерпш от координаты Wn = Wn(x) - потенциальную кривую. Та-
кой график во многих случаях полезен даже тогда, когда интегрирование
может быть выполнено аналитически.
На рис. 4.11 - 4.16 приведены примеры потенциальной кривой:
-	для санок, скатывающихся с горки, или шара, скользящего по Жело-
бу соответствующей формы (рис. 4.11);
-	для гармонического осциллятора - пружинного маятника (рис. 4.12);
-	для взаимодействия атомов и молекул (рис. 4.13);
-	для электрона в атоме (рис. 4.14);
-	для обобществленных валентных электронов в металле (рис. 4.15);
-	для a-частицы в ядре атома (рис. 4.16).
77
mgsu 3dn ru
Рис. 4.13
78
Рис. 4.14
Надо иметь в виду, что потенциальная кривая не является траектори-
ей движения частицы. В случае скатывающихся с горки санок соответст-
вие между потенциальной кривой и траекторией имеет место только из-за
того, что Wn = tngh измеяяется так же, как координата у = h. В случае же,
например, пружинного маятника - потенциальная кривая - парабола, в
Траектория - отрезок прямой (рис. 4.12).
Движение частицы в поле консервативных сил. Пусть потенци-
альная кривая имеет вид, показанный на рис. 4.11. Полная механическая
энергия WM постоянна, поэтому на графике ее можно представить гори-
зонтальной прямой. На рисунке явно отмечены четыре различных значе-
ния WM. Каким будет значение WN для данной системы, зависит от на-
79
mgsu 3dn ru
чальных условий. Например, для скатывающихся с горки санок - от на-
чальной высоты, с которой они скатываются; для пружинного маятника -
от величины начальной деформации пружины.
Так как WH > 0, из закона сохранения энергии (4.21) следует, что
Wn < W„. Поэтому минимальное значение, которое может принимать пол-
ная энергия при заданной потенциальной кривой, равно WM0. При этом
значении WM частица может находиться только в покое в точке х = х0, в
которой Ww = Wn, WK = 0.
Если полная энергия W„ превышает WM0, скажем равна WMl, то у час-
тицы может быть как потенциальная, так и кинетическая энергия. Потеи-
цивльнал кривая дает значение W„ = W„(x) в каждой точке х, кинетическая
энергия при любом х представляется расстоянием между горизонтальной
прямой, соответствующей WMl, и кривой W„(x). Частица с энергией WM,
может двигаться (колебаться) только между точками х2 и хь так как при
значениях х > х2 и х < х3 потенциальная энергия превысила бы полную
энергию, что означало бы отрицательную кинетическую энергию и, как
следствие, мнимое значение v, что невозможно. В точках х2 и х3 W,d == WB,
W« = 0 и скорость частицы v = 0-
Пусть частица находится в точке х0 и движется, например, вправо.
I огда Wn возрастает, WK убывает, v уменьшается. Это означает, что при
Хо < х < х2 на частицу действует сила, направленная влево. Это видно так-
же из формулы (4. ]2), выражающей силу через потенциальную энергию-
г .
я дх '
При х0 < X < Хл W„ возрастает с ростом х и, следовательно, —^>0,
г _	<Эх
а т» V, т. е. сила действует влево - в направлении отрицательных значе-
ний х (протавоположном направлению движения частицы).
Частица будет двигаться вправо до тех пор, пока ее скорость не
уменьшится до нуля, т.е. пока полная ее энергия не превратится в потен-
циальную. Это произойдет в точке х2. Однако в этой точке частица не
сможет остаться в покое, потому что на нее продолжает действовать сила,
направленная влево. Под действием этой силы частица начнет двигаться в
обратном направлении, влево, теперь уже с возрастающей скоростью, ко-
торая достигнет максимального значения в точке х£„ когда потенциальная
энергия частицы будет минимальной. При х3 < х < х0 на частицу будет
действовать сила, направленная вправо, которая вызовет уменьшение ее
скорости до нуля в точке х3. Затем частица начнет двигаться вправо и т. д.,
т. е. частица вблизи положения равновесия в потенциальной яме соверша-
ет колебательное движение.
При этом, если бы не было диссипативных сил, движение повторя-
лось бы от х2 до xj. В действительности, например, в случае санок будут
сила трения и сила сопротивления воздуха, WM, будет уменьшаться, х2 и
Х-. приближаются к х0, движение (колебание) будет затухать.
Таким образом, если полная механическая энергия частицы равна
WMf, то частица оказывается запертой в области координат от х2 до х По-
этому область координат, при которых Wn(x) < WM, называется потенци-
альной ямой, а область координат, когда Wn(x) > WM и через которую час-
тица не может пройти, называется потенциальным барьером. При энергии
частицы WMt потенциальными барьерами будут области координат х < х3
и х > х->. Точки х2 и х3 называют точками поворота (в них частица останав-
ливается и начинает двигаться в обратном направлении).
В классической механике потенциальный барьер яаляется абсолют-
ным препятствием для движения частицы. В квантовой механике при оп-
ределенных условиях частица может пройти через потенциальный барьер.
Это явление называется туннельным эффектом и играет важную роль в
микромире.,
Если полная энергия равна Wm2, то частица может двигаться (коле-
баться) лишь в одной из двух потенциальных ям в зависимости от того, в
какой из них она находилась первоначально. Перейти из одной ямы в дру-
гую частица не может: этому препятствует существующий между ними
потенциальный барьер. В случае, когда полная энергия равна Wm3, имеет-
ся лишь одна точка поворота х3; при этом скорость частицы, если она
движется влево от х6, изменяется в соответствии с (4.22); затем часгина
останавливается в точке х = х5 и поворачивает в другую сторону, начиная
движение слева направо, которое продолжается неограниченно долго-
частица никогда не возвращается назад.
Устойчивое и неустойчивое равновесие. Пр»- х = Хо и х - Хд про-
вводная функции « ,,<>:) равна нулю, так что результирующая сила, лей-
ствующая на частицу, тоже равна нулю. Говорят, что в таких точках час-
тица находится в равновесии. Ускорение движения частицы при этом
также равно нулю, и если частица первоначально находилась в покое, то
она сохранит свое состояние покоя.
Если бы частица, находившаяся в покое в точке х = Хо переместилась
немного влево или вправо, то на нее подействовала бы сила, направленная
таким образом, чтобы аернуть частицу обратно в точку Х„. В таком случае,
когда при небольшом смещении из положения равноаесия частица вновь
возвращается к нему, говорят, что частица находится в устойчивом равно-
весии. Любой минимум потенциальной кривой представляет собой точку
устойчивого равновесия, т. е. состоянию устойчивого равновесия сиетемы
соответствует минимум энергии системы.
В точке х = хд частица также будет находиться в равновесии, но если
она хотя бы немного сместится из этого положения влево или вправо, то
81
mgsu 3dn ru
на нее подействует сила, еще более удаляющая частицу от точки равнове-
сия. Точки, подобные Xi, в которых потенциальная кривая имеет макси-
мум, являются точками неустойчивого равновесия. Частица, находящаяся
в одной из этих точек, не возвращается в нее при небольших смещениях, а
еще дальше уходит от нее.
В случае, когда частица находится в области, где потенциальная энер-
гия W„ постоянна (например, х = хД то действующая на нее сила равна
нулю во всей такой области. Частица в любой точке этой области нахо-
дится в равновесии, и если сместить ее немного в любую сторону, то дей-
ствующая сила по-прежнему будет равна нулю. В этом случае говорят,
что частица находится в безразличном равновесии.
Характер движения частиц вблизи положения устойчивого рав-
новесия в поле консервативных сил. Во многих случаях зависимость
силы Г и потенциальной энергии W(1 от координат довольно сложная Од-
нако в большинстве практически важных случаев нас интересует поведе-
ние системы не при всевозможных отклонениях от положения равновесия,
а лишь при малых отклонениях. При этом условии вопрос о характере
движения значительно упрощается. Оказывается, что законы действия
сил, встречающиеся в физике, обычно удовлетворяют условиям, при кото-
рых функции F(x) и WiXx) можно разложить в ряды:
F(x)=r(0)+xF(0)+^r'(0)+^F"'(0)+„
4,(X)-w„(4+xw;(<i)+^w;(0)+^w;kc)+...
Заметим, что величиной х, определяющей положение системы, может
быть угол, отсчитываемый от некоторой плоскости, или расстояние, от-
считываемое вдоль заданной кривой, в частности прямой линии.
Удобно положение устойчивого равновесия принять за начало отсче-
та (х = 0). Тогда сила F(0) = 0, a Wn(0) минимальна. Условимся отсчиты-
вать W„(x) от этого уровня, тогда W„(0) = 0. Поскольку Wn(x) при х — 0
имеет минимум W'1((0) “ 0, F'(0) < 0, a W"’(1(0) > 0. Введя обозначение
W",((0) = к, ограничиваясь соответствующими друг другу членами рядов
xF'(0) и x2W"n(0)/2 и учитывая, что F'(0) = -W"n(0) - -к, получим
W.W-jxx2.
F(x)=-kx,
Эти выражения потенциальной энергии и силы соответствуют выра-
жениям потенциальной энергии и силы при гармонических колебаниях.
Таким образом, мвлые’колебания системы вблизи положения устойчивого
равновесия, независимо от конкретного вида силы и потенциальной энер-
гии, являются гармоническими.
82
Заметим, что может быть F'(0) = 0. Тогда надо обратиться к третьему
члену ряда x2F"(0)/2. Но он должен быть равным нулю, если точка х = 0
является равновесной точкой. Таким образом, следующим не равным ну-
лю членом может быть xJF"'(0)/3!, и в качестве выражения для силы при
малых отклонениях необходимо использовать этот член. В этом случве
колебания значительно усложняются, они становятся нелинейными.
Вопросы и задания
1.	В чем преимущества и недостатки решения задачи механики на ос-
ноае законов Ньютона и законов сохранения?
2.	Может ли тело иметь импульс и не иметь при этом энергии и на-
оборот? Объясните.
3.	Мы утверждаем, что импульс сохраняется. Однако большинство
движущихся тел в конце концов останавливается. Объясните.
4.	Что происходит с импульсом человека в момент, когда он спрыги-
вает с дерева на землю?
5.	С помощью закона сохранения импульса объясните, каким образом
передвигается в воде рыба, совершал маховые движения хвостом?
6.	По одной из легенд богач, имевший при себе мешок с золотыми
монетами, однажды замерз и умер, оказавшись на поверхности заледе-
невшего озера. Он не смог достичь берега, поскольку лед был очень глад-
кий и трение отсутствовало. Что следовало бы сделать богачу, чтобы спа-
сти свою жизнь, если бы он не был столь жадным?
7.	Какой вариант столкновения автомобилей вы считаете более опас-
ным (в смысле возможных повреждений) для находящихся в них пасса-
жиров - когда автомобили после столкновения разлетаются в стороны или
когда они продолжают движение как единое целое? Объясните.
8.	Поток воды на ГЭС направляется так, чтобы с высокой скоростью
попасть на лопатки турбин, которые связаны с валом, вращающим элек-
трический генератор. Как, по вашему мнению, следует конструировать
лопатки - чтобы вода полностью останавливалась при соприкосновении с
ними или чтобы она отражалась при этом назад?
9.	Как изменится вращение платформы, если человек, стоявший на
краю, перейдет в центр?
83
mgsu 3dn ru
10.	Мы утверждаем, что момент импульса сохраняется. Однако боль-
I шинство вращающихся тел в конце концов замедляется и останавливается.
Объясните.
II.	Почему канатоходцы держат в руках длинный тонкий шест?
12.	Почему передняя часть мотоцикла поднимается вверх, когда мо-
I тйциклист в прыжке отрывается от поверхности земли (перед этим водн-
| тень даст полный газ, и заднее колесо мотоцикла продолжает врашаи>ся в
полете)?
13.	Если бы вдруг произошла значительная миграция населения в
| ст орону экватора, то как это сказалось бы на продолжитс.1ьности суток?
I 14 Женщина, плывущая против течения в реке с сильным течением,
не перемешается относительно берега. Совершает ли она какую-либо ра-
I боту? Если она перестанет плыть и, удерживаясь на поверхности воды бу-
I дет перемещаться только из-за течения реки, будет ли над ней совершать-
ся работа?
15.	Совершает ли центростремительная сила какую-либо работу?
| Объясните.
16	Зависит- ли работа, совершаемая над телом от выбора системы от-
. счета? Влияет ли это па теорему о связи работы и энергии?
17.	Перечислите некоторые неконсервативные силы, встречающиеся в
1 повседневной жизни, и объясните, почему они являются таковыми.
18.	Чем обусловлено равенство нулю работы консервативных сил по
| замкнутому контуру?
I 19. Почему состояние тела в механике определяется его механической
I энергией?
20.	Можно ли кинетической энергией тела назвать энергию двпжуще-
I госятела?
21.	Какие немеханические формы энергии Вы знаете?
|	22. Какие превращения энергии имеют место при падении мяча на
| Землю и подскоке?
23.	Сохраняется ли механическая энергия при прохождении воды че-
рез турбину ГЭС?
24.	Опишите, как преобразуется энергия ныжника, когда он начинает
I скатываться с горы и через какое-то время останавливается, заехав в суг-
роб.
25.	Почему так утомительно с большой силой давить на твердую
стенку, хотя при этом никакой работы не производится?
84
26.	Правильно ли утверждение, что камень, брошенный с некоторой
начальной скоростью с вершины скалы в море, войдет в воду со скоро-
стью, которая будет одна и та же как в случае, когда его бросают горизон-
тально, так и при броске под углом к горизонту? Объясните.
27.	Спиральная пружина массой ш покоится в вертикальном “сложе-
нии на столе. Сможет ли пружина, подпрыгнув, оторваться от стола после
того, как вы сожмете ее, надавив сверху, а затем отпустите? Объясните
свой ответ, используя закон сохранения энергии.
28.	Опытные туристы предпочитают перешагивать через упавшее
бревно, а не, наступив на него, спрыгивать с противоположной стороны.
Объясните, почему.
29.	Откуда берется кинетическая энергия автомобиля при равномер-
ном его ускорении из состояния покоя? Как связать возрастание кинети-
ческой энергии и наличие силы трения, с которой дорога действует на
шины автомобиля?
30.	Может ли полная механическая энергия когда-либо быть отрица-
тельной? Объясните.
31.	Почему перегруженный автомобиль с трудом поднимается на кру-
той холм?
32.	Предположим, что вы поднимаете чемодан с пола на стол. Зависит
ли работа, совершаемая вами над чемоданом: а) от того, поднимаете ли вы
его вертикально вверх, или по более сложному пути; б) от времени, кото-
рое вы на это затрачиваете; в) от высоты стола; г) от массы чемодвиа? От-
ветьте на вопросы, заменив "работу" на "мощность".
33.	Почему легче подниматься в гору по зигзагообразному пути, а не
прямо к вершине?
34.	По наклонной плоскости скатываются шар, цилиндр и обруч,
имеющие одинаковые диаметры. Какое тело прибудет к основанию на-
клонной плоскости первым? А какое последним?
35.	Шар и цилиндр одинакового радиуса и массы, находящиеся в со-
стоянии покоя, начинают скатываться с вершины наклонной плоскости.
Какое тело достигнет основания наклонной плоскости первым? Какое из
них будет иметь наибольшую скорость у основания плоскости? А наи-
большую кинетическую энергию у основания?
36.	Приведите примеры устойчивого, неустойчивого и безразличного
равновесий.
37.	В каком состоянии равновесия находится куб, когда он:а) покоит-
ся на одной из граней, 6) покоится на ребре?
85
mgsu 3dn ru
5.	КОЛЕБАНИЯ
Повторяющиеся со временем процессы называются колебаниями. Ес-
ли повторяется механическое движение, то колебания называются меха-
ническими. При колебаниях повторяются (колеблются) значения величин,
которыми описывается состоящее системы.
Колебаться способны многие тела: груз на конце пружины; камертон;
колесико балансира в часах; маятник; пластмассовая линейка, крепко
прижатая одним концом к краю стола; струны гитары или фортепиано.
Пауки обнаруживают попавшую в их сети добычу по дрожанию паутины;
корпус автомобиля колеблется вверх-вииз на рессорах, когда автомобиль
проезжает неровности; дома и мосты дрожат при проезде тяжелых грузо-
виков и даже при сильном ветре. Вообще, поскольку твердые тела в боль-
шинстве своем упруги, почти все материальные предметы колеблются (хо-
тя бы недолго), после того как на них подействует импульс силы. Электри-
ческие колебания происходят в радиоприемниках н телевизорах. На атом-
ном уровне атомы колеблются в молекулах, а в твердом теле атомы совер-
шают колебания относительно своих фиксированных положений в решет-
ке. Колебательное движение имеет огромное значение, поскольку оно ши-
роко распространено и встречается во многих разделах физики. Его не сле-
дует рассматривать как какой-то "новый'' раздел физики, поскольку ньюто-
нова механика дает полное описание колебаний механических систем.
5.1.	Кинематика механических колебании
Механические колебания совершаются вблизи положения равновесия.
Поэтому положение колеблющегося тела задается расстоянием до поло-
жения равновесия, называемым смещением хр. Наибольшее смещение на-
зывается амплитудой смещения А.
Бь!строта колебаний характеризуется или временем одного колебания
- периодом Т:
или числом колебаний за единицу времени - частотой v:
_AN
V“ At ’
В этих выражениях AN - число колебвиий за время At.
И". z5.1) и (5.2) следует связь частоты с периодом колебаний
Т=- v=-
v’ V Т'
(5Л)
(5-2)
Если Т и v не изменяются со временем, колебания называются перио-
дическими.
При колебаниях вдоль прямой механические колебания описываются
зависимостью смещения от времени (уравнением колебаний)
v=v(t).
Для периодических колебаний
cp(t) = ср (t + NT),
raeN = 0,1,2,....
Самая простая периодическая функция - функция синуса или косину-
са. Но аргумент этих функций - угол, а колебания повторяются со време-
нем. Поэтому вместо йремени t вводится угловая величинафаза.колеба-
ний^. Таким образом, фаза колебаний - это угловая величина, которая
вводится вместо времени и позволяет определить значение колеблющейся
величины в любой момент времени.
Колебания в природе и технике часто имеют характер, очень близкий
к гармоническим колебаниям. Кроме того, любые периодические колеба-
ния могут быть представлены как результат сложения соответствующих
гармонических колебаний.
Гармоническими называются колебвиия, при которых колеблющаяся
величина изменяется со временем прямо пропорционально синусу или ко-
синусу фазы
V ~ cosip,	(5.3)
а изменение фазы прямо пропорционально промежутку времени
Аф-At,	(5.4)
Наибольшее значение coscp равно 1, поэтому коэффициент пропор-
циональности в завпсимостя (5.3) - это амплитуда А. Тогда
_tp = A coscp.	(5.5)
В зависимости (5.4) коэффициент пропорциональности обозначается
со и называется циклической частотой:
Дер = со At, <p-<pc,=co(t-tfl).	(5.6)
Если tn=0, то фаза колебания
<p = <ot + <p0	(5.7)
Учитывая (5.5) и (5.7), получим уравнение гармонических колебаний
= Aco$(cot+<p0)	(5.8)
Гармонические колебания можно определять и как колебания, при
которых смещение изменяется со временем по закону (5.8).
Из (5.6) следует
Аср
CD = —
At
86
87
mgsu 3dn ru
т. е. циклическая частота - это величина, показывающая, какому измене-
нию фазы соответствует промежуток времени, равный единице, и позво-
ляющая перейти от времени к фазе.
В частности, промежутку времени At = Т соответствует изменение
фазы Дф = 2л. Поэтому циклическая частота связана с периодом и часто-
той соотношениями
2я о
£0 = — = 2ЯУ-
Отсюда видно, что циклическая частота равна числу колебаний за 2я
секунд.
Согласно (1.8) модуль скорости движения при гармонических коле-
баниях
v=~£; v = -oiAsin(«>t+ip0); v=-vAsin(rot+cp0). (5.9)
dt
r ..Здесь vA = co A - амплитуда скорости.
При колебаниях вдоль прямой модуль ускорения
' а=ат=^-; a = -o2^cos(cot+cp0); a = aAcos(<Bt+<p0). (5.10)
Здесь аА = <в2А = covA - амплитуда ускорения.
Из (5.9) и (5.10) следует, что при гармонических колебаниях скорость
и ускорение движения как и смещение изменяются со временем по гармо-
ническому закону.
Учитывая уравнение колебания (5.8), получаем связь ускорения со
смещением при гармонических колебаниях
При учете, чтб v -—,
dt
d2^
dt2 '
(5-И)
ыражение (5.11) примет вид
(5-12)
Это соотношение представляет собой дифференциальное уравнение-
гармонических колебвний.. Очевидно, решением этого уравнения является
уравнение гармонических колебаний (5.8). Во всех случаях, когда выясня-
ется, что некоторая величина ф удовлетворяет уравнению (5.12), можно
утверждать, что эта величина изменяется со временем по гармоническому
закону
Гармонические колебания можно представить и другими способами.
На рис. 5.1 показаны график гармонического колебания - график зависи-
мости смещения от времени (фазы) и графики скорости и ускорения.
88
Рис. 5.1
Преобразуя выражение (5.8) по формуле для косинуса суммы
х = A (coscpo coscot - sin«po sinwt)
и введя обозначения
Ci = Acoscpo, C2 = Asin<po>	(5.13)
получим уравнение колебаний в виде
ф = Ci coscot + Сг sinter,
где С| и С2 - постоянные, связанные с А и фо соотношениями (5.13) или
выражениями
А = у/с?+С%, <p0=arctg^-.
Ч
89
mgsu 3dn ru
Во многих случаях колеблющуюся величину удобно представлять в
комплексной форме. В декартовой системе координат действительная (ре-
альная) часть Re (z) = х комплексного числа
z=x + iy
откладывается по оси абсцисс, а мнимая часть у - по оси ординат.
Формула Эйлера
e,(l’ = cos<p + i sirup
позволяет выразить комплексное число в экспоненциальной форме
(рис.5.2)
x=pcos<p, y = psin<p, z = р (cos<p + i smq>)=p e1’’,
где p - модуль комплексного числа; p= Jx2 4-y2 ; <p - фаза; <p=arctg—.
4
Рис. 5.2
Вместо действительной формы записи гармонических колебаний (5.8)
можно воспользоваться комплексной формой
xp = Aei<“tt«,o> = Aei|P.
Величина ф является комплексной и не может давать реального фи-
зического отклонения, которое характеризуется вещественной величиной
цг. Однако мнимая часть величины ф может рассматриваться как действи-
тельное гармоническое колебание, выражаемое синусом. С другой сторо-
ны, действительная часть ф представляет собой вещественное гармониче-
ское колебание, выражаемое косинусом
х = ф = A cos (со t+<р0) = Re (Ae****^).
Поэтому гармоническое колебание можно записать в комплексной форме
и производить все необход имые расчеты и рассуждения. В окончательном
результате для перехода к физическим величинам необходимо взять дей-
ствительную или мнимую часть полученного выражения.
90
Комплексное число, а следовательно, и колеблющаяся величина, мо-
жет быть представлено на комплексной плоскости в виде вращающегося
вектора амплитуды А (см. рис. 5.2), проведенного из начала координат в
точку с координатами (х, у). Вектор А вращается вокруг начала коорди-
нат против часовой стрелки с угловой скоростью, равной циклической
частоте со. Проекции вращающегося вектора А на оси хну являются дей-
ствительными физическими колебаниями, которые нас интересуют.
При таком подходе для сложения колебания одинаковой частоты
удобно представлять в виде векторов, а для умножения - в виде комплекс-
ных чисел в.экспоненциальной форме.
5.2.	Динамика гармонических колебаний
При гармонических колебаниях ускорение а = -<о2«р. По второму зако-
ну Ньютона, чтобы тело с массой m двигалось с ускорением а, на него
должна действовать сила F = та. Поэтому, чтобы тело совершало гармо-
нические колебания, на него должна действовать сила
F = -го
Введя обозначение ,
•те>2,)=к,	(5.14)
получим условие гармонических колебаний в виде
F = -к v = -Fa cos (®t + <ро).	(5.15)
Следовательно, чтобы тело совершало гармонические колебания:
1)	результирующая сила, действующая на тело, должна быть прямо
пропорциональна смещению у/, т.е. должна изменяться со временем по
гармоническому закону;
2)	проекция силы на ось смещения и смещение должны иметь противо-
положные знаки (сила должна быть направлена к положению равновесия).
Этим требованиям удовлетворяет упругая сила. Поэтому силы вида
(5.15) независимо от их природы называются квазнупругими, а коэффици-
ент к - коэффициентом квазиупругой силы.
Роль .квазиупругой силы обычно играет результирующая сила (на-
пример, в пружинном, математическом, физическом маятниках).
Из (5.14) следует формула циклической частоты
Рассмотрим обратную задачу: найдем, как будет двигаться тело, если
сила, действующая~на тело, известна и является квазиупругой, т.е.
Р = -юр.
По второму закону Ньютона
91
mgsu 3dn ru
I=ina = m—
dt2	„
Поэтому p	£
/	- d'w d*u/ к _ d2w , 2!
-K4»^m~; —v+--tp=O;	—34coto = O-
J dr dr m dt*
Последнее уравнение является дифференциальным уравнением гар-
моннческих колебаний. Следовательно, под действием квазиупругой'ейлы
тело совершает гармоническое колебание.
Решением этого дифференциального уравнения является уравнение
гармонических колебаний (5.8).
5.3.	Механическая энергия гармонического осциллятора
Квазиупругая сила обусловливает наличие у колеблющегося тела по-
тенциальной энергии
W„ - ^«V2 =^KA2cos2(cot+<po).	(5.16)
Кинетическая энергия колеблющегося тела
WK =—mv2 =~inA2crsin2(cot+<p0)	(5.17)
Квазиупругая сила является консервативной. Поэтому полная энергия
гармонического колебания должна оставаться постоянной Действитель-
но, сложив выражения (5.16) и (5.17) и приняв во внимание равенство
(5.14), получим, что
W, = WK + W„ = imA2<o2 = — кА2 = const.
" к " 2	2
Для данной колебательной системы гл, к, to постоянны, поэтому пол-
ная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна
квадрату амплитуды:
WM~A2.
В процессе колебаний происходит превращение кинетической энер-
гии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего откло-
нения от положения равновесия полнал энергия WM состоит только из по-
тенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения
Ча = /А2-
При прохождении же системы через положение равновесия полнал
энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты
достигает своего наибольшего значения
Ч = WM sin2 (cot + <Po)=ч(|“ ^cos 2(cot + 9o)^ = 1WM (1 - cos2(cot+<p0 )),
4 = 4 cos2 (cot +<₽o)= WM(|+|cos2(cot+<p0^ = | WM(l + cos2(«t+ф0)),
где WM - полная энергия осциллятора. Из этих формул видно,'"что WK и Wn
изменяются с частотой 2<о, т.е. с частотой, в два раза превышающей час-
тоту гармонического колебания. На рис. 5.3 сопоставлены графики для ф,
W,nWn.
Среднее значение квадрата синуса и квадрата косинуса равно, как из-
вестно, t/2. Следовательно, среднее значение WKC совпадает со средним
значением Wnc и равно W„/2.
93
mgsu 3dn ru
На рассматриваемом примере тела, на которое действует квазиупру-
гая сила, покажем, как определяется характер движения тела (решается
задача механики) на основе закона сохранения механической энергии.
Потенцианьная энергия квазиупругого взаимодействия равна
механическая энергия системы равна максимальной потенциальной энер-
гии
W„-W„« = j«A2,
кинетическая энергия тела равна
Тогда по закону сохранения энергии
w„-w. + w„;
-±®i/a2 Ч'2; J	- Jcodt; ±arcsin^ = cot+arcsin^fi.
dt	v0±VA2-y2 0	A	A
Если взять выражения арксинуса со знаком «+», получим:
у = A sin^tot+arcsin^ J; у = A sin (tot +фо).
Если взять выражения арксинуса со знаком «-», то, учитывая связь
. V	ул
arcsin -7-+arccos— =—,
А	А 2
получим
—^+arccos^-=<ot -—+arccos^ ;у=Acos4-arccos^); 4/ = A cos (art+<p0 ).
Таким образом, на основе закона сохранения механической энергии,
как и на основе второго закона Ньютона, приходим к выводу, что при дей-
ствии квазиупругоЙ силы тело совершает гармонические колебания.
94
5.4. Маятники
Пружинный маятник представляет собой материальную точку (ша-
рик) массой ш, подвешенную на пружине, массой которой можно пре-
небречь по сравнению с m (рис. 5.4). В положении равновесия сила тяже-
сти mg уравновешивается упругой силой куо:
mg-кч'о,	(5.8)
где у0 - удлинение пружины.
Будем характеризовать смещение шарика из положения равновесия
координатой у, причем ось Оу направим по вертикали вниз, а нуль оси
совместим с положением равновесия. Если сместить шарик в положение,
характеризуемое координатой ч;> то полное удлинение пружины станет
равным (уо + у) и проекция на ось Оу результирующей силы, действую-
щей на шарик, примет значение
F = mg-K(y0+y).
Рис. 5.4
Учтя условие (5.18), получим
F = - к у.
Следовательно, результирующая силы тяжести и упругой силы имеет
характер квазиупругоЙ силы, и шарик будет совершать гармонические ко-
лебания.
Сообщим шарику смещение у = А, после чего предоставим систему
самой себе. Под действием квазиупругоЙ силы шарик начнет двигаться к
положению равновесия со все возрастающей скоростью V. Пройдя через
mgsu 3dn ru
положение равновесия, шарик будет двигаться по инерции. Это движение
прекратится тогда, когда смещение шарика станет равным -А. Затем такое
же движение шарика будет в обратном направлении. Если трение в систе-
ме отсутствует, шарик будет двигаться в пределах от у = А до ц/ = -А не-
ограниченно долго.
Уравнение второго закона Ньютона для шарика имеет вид
d2u> к .
та = -ку/, —~- + -~ф=0.
dt2 т
Мы пришли к дифференциальному уравнению вида (5.12). Решением
этого уравнения является функция
ip = A cos(cot -I- <р0),
Таким образом, выведенный из положения равновесия шарик будет
совершать гармонические колебания около этою положения.
Частота колебаний будет тем больше, чем больше жесткость пружи-
ны к и чем меньше масса шарика т.
/7?ff scnfi
Математическим маятником называют подвешанную на невесомой
и нерастяжпмой нити материальную точку. Достаточно хорошим прибли-
жением I- математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик,
подвешенный на длинной тонкой нити.
Если математический маятник вывести из положения равновесия и
отпустить, он будет качаться по л уге окружности около положения равно-
весия.
Смещение маятника вдоль дуги равно (рис. 5.5)
4» = ip,
где t - расстояние от точки подвеса до центра масс груза, р - угол откло-
нения нити от вертикали.
Вдоль касательной действует составляющая силы тяжести
F=-mgsinP.
Поскольку' сила пропорциональна sinP, а не Р = 4/# — у, колебания не яв-
ляются гармоническими. Однако, если угол р мал, то значение синуса
почти не отличается от величины угла в радианах (для углов меньше 15°
значения р и sinP различаются меньше чем на 1 %). Следовательно, для
малых углов отклонения
F=-mg3 = -^“W-
Таким образом, при малых отклонениях от вертикали движение ма-
тематического маятника представляет собой гармоническое колебание.
Причем
-7;	<ч»)
Период колебаний математического маятника не зависит от массы
маятника. Это можно заметить, наблюдая, как на одних и тех же качелях
раскачиваются взрослые и дети.
Период гармонических колебаний (лю-
бых) не зависит от амплитуды. Говорят, что
первым обратил на это внимание Галилей,
наблюдая за качающейся люстрой в соборе в
Пизе. Это открытие привело к созданию
маятниковых часов. Поскольку колебания
маятника не являются строго гармониче-
скими, их период все-таки зависит от
амплитуды. Уменьшение амплитуды колеба-
ний маятника в часах из-за трения
компенсируется энергией пружины или гири.
Физический маятник представляет со-
бой твердое тело, подвешенное на оси,, не
проходящей через центр масс С, вокруг ко-
торой оно может свободно качаться (рис. 5.6).
Отсюда следует, что математичесюш маятник
Рис. 5.6
можно рессматрнвать как идеализированный физический маятник, вся
масса которого сосредоточена в материальной точке на конце нити.
Отклонение маятнике от положения равновесия естественно характе-
ризовать углом р между вертикалью и отрезком £, соединяющим центр
mgsu 3dn
масс с точкой подвеса О. На тело действуют сила тяжести mg и реакция
опоры Nr Физический маятник удобнее изучать с помощью уравнения
динамики1 вращательного движения.
Момент реакции опоры N относительно оси вращения равен нулю,
модуль момента силы тяжести
'я	м2 = -m gf sinp.
Он стремится вернуть маятник в положение равновесия и в этом отноше-
нии аналогичен квазиупругой силе. Поэтому так же, как смещению и ква-
зиупру гой силе, моменту Мг и углу отклонения р приписываются проти-
воположные знаки. (Если маятник отклоняется против хода часовой
стрелки, то Mz стремится повернуть его по ходу часовой стрелки, и на-
оборот.)
Уравнение динамики вращательного движения (3.15) для маятника
принимает вид
-m gf sinp = 1 а.
Здесь I - момент инерции тела относительно оси вращения.
Учитывая, что угловое ускорение а = d2p/dt2, получим
l^+ingfsmp=O; ^+^sinp = 0.
dt2	dt2 I
При малых отклонениях sin0 « 0, поэтому
dr I
Это уравнение напоминает дифференциальное уравнение гармониче-
ских колебаний (5.12) с той разницей, что здесь имеем 0 вместо у и
вместо <о2. Следовательно, при малых отклонениях физический маятник
совершает гармонические колебания по закону
Р = Ра cos (cot + фо),
где рА - амплитуда угла отклонения от вертикали.
Циклическая частота и период колебаний физического маятника
T’2”iPr-	,5Я»
V 1	V mg£
Для математического маятника I = тс, поэтому формулы (5.18) пере-
ходят в формулы циклической частоты и периода колебаний математиче-
ского маятника (5.19).
Из сопоставления формул (5.19) и (5.20) получается, что математиче-
ский маятник с длиной

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маят-
ник. Величину £лр называют приведенной длиной физического маятника.
Следовательно, приведенная длина физического маятника - это длина
такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с
периодом данного физического маятника.
Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежа-
щая на расстоянии приведенной длины от оси подвеса, называется цен-
тром качания физического маятника (см. рис. 5.6). Центр качания имеет
еще два интересных свойства: 1) если О' является центром качания отно-
сительно оси, проходящей через О, то О’ является центром качания отно-
сительно оси, проходящей через О, причем период колебаний в обоих
случаях одинаков; 2) если по подвешенному на оси телу нанести в плос-
кости колебаний в горизонтальном направлении удар в центр качаний, то
в точке подвеса не ощущается никакой силы реакции. Интересный пример
этого второго свойства можно позаимствовать из бейсбола. Ударяя битой
по мячу, игрок чувствует в пальцах ’’ожог”, если удар не приходится по
ценгру качаний. Центр качаний называют также центром удара.
Заметим, что положение центра качаний зависит от того, где находит-
ся точка подвеса.
Интересно, что при ходьбе нога тоже движется как физический маят-
ник. При каждом шаге нога, рассматриваемая как маятник, совершает по-
лупериод колебаний. При ходьбе мы передвигаем ноги в соответствии с
их собственной частотой колебаний. Чтобы убыстрить или замедлить
свою ходьбу или же перейти в бег, нам нужно приложить дополнитель-
ную силу со стороны мышц. Однако за то же время можно пройти боль-
шее расстояние (и меньше устать), если передвигаться большими шагами,
придерживаясь собственной частоты колебаний (поскольку период коле-
баний почти не зависит от амплитуды).
Вопросы и задания
1.	Как изменяются со временем смещение, амплитуда, период, часто-
та, фаза, скорость, ускорение при гармонических колебаниях?
2.	Если частица совершает гармонические колебания с амплитудой А,
то какое расстояние она проходит за один период?
3.	Как изменяется со временем сила, под действием которой тело со-
вершает гармонические колебания? Как связана эта сила со смещением?
4.	Если маятниковые часы идут точно на уровне моря, то будут ли
они спешить или отставать, если их поднять на гору?
5.	если формула F = - ку применима к силам упругости в твердом те-
ле, то что можно сказать о силах, действующих между молекулами твер-
дого тела?
98
mgsu 3dn ru
6.	Тено массой m подвешено на конце пружины, имеющей жесткость
к. Пружину разрезали пополам и подвесили к ней то же тело. Во сколько
раз изменилась частота колебаний?
7.	Два тела с одинаковыми массами подвешены к двум одинаковым
пружинам. Тела оттягивают вниз: одно на 5 см, другое на 10 см и затем
одновременно отпускают. Какое из них первым пройдет положение рав-
новесия?
8.	Чем определяются частота, амплитуда и фаза колебаний?
9.	Зависит ли механическая энергия пружинного маятника от массы
колеблющегося тела, жесткости пружины, частоты и амплитуды колеба-
ний, амплитуды скорости?
10.	Если удвоить амплитуду колебаний гармонического осциллятора,
то как изменяются его частота, максимальная скорость, максимальное ус-
корение, полная механическая энергия?
11.	Является ли движение поршня в автомобильном двигателе гармо-
ническим колебанием? Объясните.
12.	Можно ли с помощью векторной дваграммы найти результат сло-
жения трех одинаково направленных гармонических колебаний одной
частоты?
13.	Почему в теории вынужденных колебаний уделяют такое большое
внимание случаю, когда внешнее воздействие на колебательную систему
изменяется по гармоническому закону?
14.	При наличии ветра вершины деревьев колеблются. Являются ли
эти колебания вынужденными или автоколебаниями?
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
Александров Н.В., Яшкин А.Я. Курс общей физики. - М.: Просвещение,
1977.
Астахов А.В., Широков Ю.М. Курс физики. - М.: Наука, 1980.
Грибов Л. А., Прокофьева Н.И. Основы физики. - М.: Наука, 1995.
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш, шк., 1989.
Джанколи Д. Физика. - М.: Мир, 1989
Иванов Б.Н. Законы физики. - М.: Высш, шк., 1986.
Иродов И.Е. Основные законы механики. -М.: Высш, шк., 1985.
Матвеев А.И. Механика и теория относительности. - М.: Высш, шк., 1986.
Савельев И.В. Курс физики. - М.: Наука, 1998.
Спвухин Д В. Общий курс физики. - М.: Наука, 1987.
Суханов А.Д. Фундаментальный курс физики. - М: Агар, 1996.
Ханкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1971
100
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.....— <— -..................—...............—........ '3
I.	Кинематика.—..— — ......................................... 6
1.1.	Система отсчета---------------—6
1.2.	Способы описания движения.....................— .-.... 7
1.3.	Основные кинематические величины —__—................. 8
1.4.	Кинематика движения точки по окружности  ............ 14
1.5.	Кинематика твердого тела —...._____________.——17
Вопросы и задания —............................................   —	18
2.	Динамика--------...—---------------.—-----------.--—...... 20
2.1.	11ервый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета —.. 20
2.2.	Основные динамические характеристики................. 21
23.	Второй закон Ньютона-----—------------------—.......... —	23
2.4.	Третий закон Ньютона..................................
2.5.	Сила тяжести.........................................
Вопросы и задания.........—...........................—........
3.	Динамика поступательного и вращательного движения твердых тел.... -29
3.1.	Уравнение движения центра масс (основной закон динамики
поступате.'н.ного движения твердых тел) .................-29
33.	Условие движения точки по окружности  .——— 31
3.3	Момент силы————. ——— --------------------------------- 32
3.4.	Момеит ниерини тела относительно оси---------....———-34
3.5.	Момент импульса —37
3.6.	Уравнение динамики вращательного движения тел........ 39
Вопросы и задания.......................——...........—......... 42
4.	Законы сохранения ...—...........................—........ 43
4.1.	Закон сохранения импульса .....................— --—.- 43
4.2.	Закон сохранения момента импульса...........—...........—	44
4.3.	Работа силы.........................................  45
4.4.	Работа центральных стационарных сил взаимодействия тел. 47
4.5.	Консервативные (потенциальные) и неконсерватнвные
(диссипативные) силы................................... 49
4.6.	Энергия.............................................  53
4.7.	Кинетическая энергия тела, ее связь с работой силы и импульсом
тела.................................................   54
4.8.	Потенциальная энергия тела, ее связь с работой силы.. 56
4.9.	Потенциальная энергия тела в поле тяготения Земли.... 58

mgsu 3dnK)l
4.10.	Связь силы взаимодействия тел с потенциальной энергией
этого взаимодействия......................—.......—........»	59
4.11.	Уравнение Лагранжа.................................. 62
4.12.	Закон сохранения энергии............................  63
4.13.	Закон сохранения механической энергии изолированной
консервативной системы тел................................. 64
4.14.	Закон сохранения механической энергии неизолированной
консервативной системы тел во внешнем консервативном
полесия.................................................«...	66
4.15.	Первый закон термодинамики.........................  68
4.16.	Закон сохранения механической энергии при свободном
падении тел на Землю....................................... 68
4.17.	Абсолютно неупругий удар........................      70
4.18.	Абсолютно упругий удар...........................     73
4.19.	Движение частицы в поле консервативных сил. Потенциальные
кривые. Устойчивое и неустойчивое равновесие------------......... 77
Вопросы и задания....................................   ........ 83
5.	Колебания__________________________________________________
5.1.	Кинематика механических колебаний .................._
5.2.	Динамика аармоноческик колебаний.....................
5.3.	Механическая энергия гармонического осциллятора....... 92
5.4.	Маятники..........................................     95
Вопросы и задания	________________________________ 99
Библиографический список________________________________________...._100
2
102
Василий Кузьмич Михайлов,
Наталья Андреевна Парфентьева,
Нина Ивановна Прокофьева
ОСНОВЫ ФИЗИКИ
Часть 1
МЕХАНИКА
Учебное пособие
Лицензия ЛР № 020675 от 09.12.1997 г
Подписано в печать 14.05.2001 г	Формат 60x84 1/16	Печать офсетная
И-48 Объем 6,5 п. л.Т. 2000 Заказ 4#
Московский государственный строительный университет.
Типография МГСУ. 129337, Москва, Ярославское ш, д,26
mgsu 3dn ru
103