Самарский А. А.
ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Книга написана на основе курса лекций, читавшихся автором па факультете вычислительной
математики и кибернетики МГУ, и предназначается для ознакомления с началами численных методов.
Теория численных методов излагается с использованием элементарных математических средств, а для
иллюстрации качества методов используются простейшие математические модели.
В книге рассматриваются разностные уравнения, численные методы решения обыкновенных
дифференциальных уравнений, линейных и нелинейных алгебраических уравнений, разностные методы
для уравнений в частных производных.
Для студентов факультетов и отделений прикладной математики вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение	7
Глава Т. Разностные уравнения	23
§ 1.	Сеточные функции	23
§ 2.	Разностные уравнения	26
§ 3.	Решение разностных краевых задач	34
для уравнений второго порядка
§ 4.	Разностные уравнения как	38
операторные уравнения
§ 5.	Принцип максимума для	55
разностных уравнений
Глава П. Интерполяция и численное	61
интегрирование
§ 1.	Интерполяция и приближение	61
функций
§ 2.	Численное интегрирование	70
Глава Ш. Численное решение систем	85
линейных алгебраических уравнений
§ 1.	Системы линейных алгебраических	85
уравнений
§ 2.	Прямые методы	91
§ 3.	Итерационные методы	96
§ 4.	Двухслойная итерационная схема с	110
чебышевскими параметрами
§ 5.	Попеременно-треугольный метод	120
§ 6.	Вариационно-итерационные методы	126
§ 7.	Решение нелинейных уравнений	130
Глава TV. Разностные методы решения	137
краевых задач для обыкновенных
дифференциальных уравнений
§ 1.	Основные понятия теории	137
разностных схем
§ 2.	Однородные трехточечные	149
разностные схемы
§ 3.	Консервативные разностные схемы 152
§ 4.	Однородные схемы на	159
неравномерных сетках
§ 5.	Методы построения разностных	167
схем
Глава V. Задача Коши для	174
обыкновенных дифференциальных
уравнений
§ 1.	Методы Рунге — Кутта	174
§ 2.	Многошаговые схемы. Методы 184
Адамса
§ 3.	Аппроксимация задачи Коши для 195
системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнении первого
порядка
§ 4.	Устойчивость двухслойной схемы 200
Глава VI. Разностные методы для	211
эллиптических уравнений
§ 1.	Разностные схемы для уравнения 211
Пуассона § 2. Решение разностных 221
уравнений
Глава VII. Разностные методы решения 232
уравнения теплопроводности
§ 1.	Уравнение теплопроводности с 232
постоянными коэффициентами
§ 2.	Многомерные задачи	243
теплопроводности
§ 3.	Экономичные схемы	250
Дополнение	260
Литература	266
Предметный указатель	267
Список обозначений	270

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга представляет собой введение в теорию численных методов, использующее минимум
сведений из анализа, линейной алгебры и теории дифференциальных уравнений. Книга возникла в
результате обработки лекций, которые автор читал в течение нескольких лет для студентов второго
курса факультета вычислительной математики ц кибернетики Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова.
Содержание книги традиционное — интерполяция и аппроксимация, численное интегрирование,
решение нелинейных уравнении, прямые и итерационные методы решения систем линейных
алгебраических уравнений, разностные методы решения задачи Коши и краевых задач для
обыкновенных дифференциальных уравнений.
Автор стремился сделать изложение доступным для первого чтения, обращая внимание на основные
понятия теории численных методов и иллюстрируя их простейшими примерами.
В настоящее время при численном решении многих задач физики и техники, описываемых
уравнениями математической физики, используется метод конечных разностей. Основные понятия
теории разностных методов (аппроксимация, устойчивость, сходимость) мы иллюстрируем на примерах
разностных схем для обыкновенных дифференциальных уравнений. При аппроксимации
дифференциальных уравнений получаются разностные уравнения, представляющие собой системы
линейных уравнений высокого порядка с матрицами специального типа (имеющими много нулевых
элементов), напоимсо. тосхлиагональпыми. Важную соль игоаст выбос э<Ь(Ьсктивных методов (прямых
и итерационных) решения таких систем. В связи с этим в книге излагаются основы общей теории
итерационных методов. Большое внимание уделено вопросу устойчивости вычислений на электронных
вычислительных машинах. В главе V дано простое изложение теории устойчивости задачи Коши для
системы разиост-ных уравнений первого порядка. Здесь получены совпадающие необходимые и
достаточные условия устойчивости разностных схем, а также исследована асимптотическая
устойчивость разностных схем.
В последних двух главах книги (главы VI и VII) рассматриваются разностные методы решения
эллиптических уравнений и уравнения теплопроводности. Эти главы являются дополнительными и
позволяют осуществить переход к теории разностных схем для уравнений с частными производными.
Колее полное изложение отдельных разделов численных методов можно найти в книгах: Самарский
А. А. Теория разностных схем.— М.: Паука, 1977; Самарский Л. А., Николаев Е. С. Методы решения
сеточных уравнений.— М.: Наука, 1978, а также в пособиях, список которых приведен в конце книги.
Книга рассчитана па студентов младших курсов, специализирующихся по прикладной математике и
математической физике; она может оказаться полезной также для аспирантов и научных сотрудников,
изучающих численные методы.
Автор пользуется возможностью выразить глубокую благодарность Л. В. Гулипу, прочитавшему
рукопись и сделавшему ряд ценных замечаний, Е. С. Николаеву, оказавшему помощь при написании
дополнения, а также М. И. Бакировой и Н. П. Савенковой за помощь в процессе работы над книгой и
при подготовке ее к печати.
А. Л. Самарский
ВВЕДЕНИЕ
Появление п непрерывное совершенствование быстро-
действующих электронных вычислительных машин (ЭВМ)
привело к подлипло революционному преобразованию
науки вообще и математики в особенности. Изменилась
технология научных исследований, колоссально увеличи-
лись возможности теоретического изучения, прогноза
сложных процессов, проектирования инженерных конст-
рукций. Решение крупных научно-технических проблем,
примерами которых могут служить проблемы овладения
ядерной энергией и освоения космоса, стало возможным
лишь благодаря применению математического моделиро-
вания и новых численных методов, предназначенных для
ЭВМ.
Первая крупная проблема — овладение ядерпой энер-
гией — требует решения комплекса сложных задач физи-
ки и механики (управление работой реактора, исполь-
зование энергии деления ядер урана, защита от про-
никающего излучения, охлаждение стенок реактора,
изучение тепловых полей и упругих напряжений в стен-
ках, решение многих других задач). Все эти задачи
необходимо решать до начала работы реактора, используя
для них математическое описание (модель) и проводя
численные расчеты па ЭВМ. Вторая крупная проб-
лема-освоение космоса — связана с созданием летатель-
ных аппаратов и решением для них многих задач аэроди-
намики и баллистики (например, расчет движения ракеты
и управление ее полетом). Здесь также имеется комплекс
сложных задач механики, физики и техники, которые мо-
гут быть решены только с использованием численных
методов.
Укажем еще одну проблему, стоящую перед челове-
чеством,— поиск новых источников энергии. Один из ос-
новных проектов получения энергии — использование ре-
акции управляемого термоядерного синтеза ядер дейте-
рия и трития. Запасы термоядерного горючего на Земле
8
ВВЕДЕНИЕ
практически неисчерпаемы, а продукты реакции не за-
грязняют среду. Однако термоядерная реакция начина-
ется только при экстремальных условиях — при высокой
температуре (порядка десятка и сотни миллионов граду-
сов) и огромном сжатии (в тысячи раз) дейтерия и три-
тия; кроме того, требуется удержать горючее вещество в
этом состоянии в течение времени, достаточного для раз-
вития реакции горения (синтеза). Создание таких усло-
вий — пока еще нерешенная научно-техническая про-
блема. Существует несколько проектов нагрева, сжатия
и удержания термоядерного горючего (плазмы). При их
реализации возникает много вопросов, которые надо ре-
шать до начала проектирования даже экспериментальных
установок. Необходимо прежде всего изучить поведение
плазмы при высоких температурах и плотностях, в маг-
нитных полях и выяснить условия, при которых возможна
сама реакция термоядерного синтеза.
Такие исследования проводятся па основе математи-
ческого описания (математической модели) физических
процессов и последующего решения соответствующих ма-
тематических задач на ЭВМ при помощи вычислительных
алгоритмов.
В настоящее время можно говорить, что появился но-
вый способ теоретического исследования сложных про-
цессов, допускающих математическое описание,— вычис-
лительный эксперимент, т. е. исследование естественно-
научных проблем средствами вычислительной математики.
Поясним существо этого способа исследования па при-
мере решения какой-либо физической проблемы. Пусть
требуется изучить некоторый физический процесс. Мате-
матическому исследованию предшествует выбор физиче-
ского приближения, т. е. решение вопроса о том, какие
факторы надо учесть, а какими можно пренебречь. После
этого проводится исследование проблемы методом вычис-
лительного эксперимента, в котором можно выделить не-
сколько основных этапов.
На первом этапе проводится выбор математической мо-
дели, т. е. приближенное описание процесса в форме ал-
гебраических, дифференциальных пли интегральных урав-
нений. Эти уравнения обычно выражают законы сохра-
нения основных физических величин (энергии, количест-
ва движения, массы и др.). Полученную математическую
модель необходимо исследовать методами теории диффе-
ренциальных уравнений. Надо установить, правильно ли
ВВЕДЕНИЕ
9
поставлена задача, хватает ли исходных данных, пе про-
тиворечат ли они друг другу, существует ли решение по-
ставленной задачи и единственно ли оно. На этом этапе
используются методы классической математики. Следует
отметить, что многие физические задачи приводят к таким
математическим моделям, разработка теории которых на-
ходится в начальной стадии. На практике приходится ре-
шать задачи математической физики, для которых не
имеется теорем существования и единственности.
Второй этап вычислительного эксперимента состоит
в построении приближенного численного метода решения
задачи, т. е. в выборе вычислительного алгоритма. Под
вычислительным алгоритмом понимают последователь-
ность арифметических и логических операций, при по-
мощи которых находится решение математической задачи,
сформулированной па первом этапе. Ниже мы подробнее
обсудим требования, предъявляемые к вычислительному
алгоритму, предназначенному для использования па сов-
ременных ЭВМ. По существу вся данная книга посвя-
щена рассмотрению элементарных вычислительных алго-
ритмов.
Па третьем этапе осуществляется программирование
вычислительного алгоритма для ЭВМ и на четвертом эта-
пе — проведение расчетов па ЭВМ. Мы не будем останав-
ливаться па вопросах, связанных с программированием,
организацией и проведением вычислений на ЭВМ, так
как это выходит за рамки данной книги. Отметим лишь,
что деятельность по программированию должна быть тес-
но связана с разработкой конкретных численных алго-
ритмов.
Наконец, в качестве пятого этапа вычислительного
эксперимента можно выделить анализ полученных чис-
ленных результатов п последующее уточнение математи-
ческой модели. Может оказаться, что модель слишком
груба — результат вычислений не согласуется с физиче-
ским экспериментом, или что модель слишком сложна,
и решение с достаточной точностью можно получить при
более простых моделях. Тогда следует начинать работу
с первого этапа, т. е. уточнить математическую модель,
и снова пройти все этапы.
Следует отметить, что вычислительный эксперимент —
это, как правило, пе разовый счет по стандартным фор-
мулам, а прежде всего расчет серии вариантов для раз-
личных математических моделей.
10
ВВЕДЕНИЕ
Остановимся теперь подробнее на некоторых общих
характеристиках и требованиях, относящихся к вычисли-
тельным алгоритмам. Разработка и исследование вычис-
лительных алгоритмов и их применение к решению кон-
кретных задач составляет содержание огромного раздела
современной математики — вычислительной математики.
Вычислительную математику определяют в широком
смысле этого термина как раздел математики, включаю-
щий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ,
и в узком смысле — как теорию численных методов и ал-
горитмов решения поставленных математических задач.
В дальнейшем мы будем иметь в виду вычислительную
математику лишь в узком смысле слова.
Общим для всех численных методов является сведение
математическом задачи к конечномерной. Это чаще всего
достигается дискретизацией исходной задачи, т. е. пере-
ходом от функций непрерывного аргумента к функциям
дискретного аргумента. После дискретизации исходной
задачи надо построить вычислительный алгоритм, т. е.
указать последовательность арифметических и логических
действий, выполняемых на ЭВМ и дающих за конечное
число действий решение дискретной задачи. Полученное
решение дискретной задачи принимается за приближен-
ное решение исходной математической задачи.
При решении задачи па ЭВМ мы всегда получаем не
точное решение исходной задачи, а некоторое приближен-
ное решение. Чем же обусловлена возникающая погреш-
ность? Можно выделить три основные причины возникно-
вения погрешности при численном решении исходной
математической задачи. Прежде всего, входные данные
исходной задачи (начальные и граничные условия, коэф-
фициенты и правые части уравнений) всегда задаются с
некоторой погрешностью. Погрешность численного метода,
обусловленную неточным заданием входных данных,
принято называть неустранимой погрешностью. Далее,
при замене исходной задачи дискретной задачей возникает
погрешность, называемая погрешностью дискретизации
или, иначе, погрешностью метода. Например, заменяя про-
изводную и'{х) разностным отношением (гДя+ДзЭ —
— и(я))/Дл:, мы допускаем погрешность дискретизации,
имеющую при Дя0 порядок Д.г. Наконец, конечная
разрядность чисел, представляемых в ЭВМ, приводит к
ошибкам округления, которые могут нарастать в процес-
се вычислений, Естественно требовать, чтобы погрешности
ВВЕДЕНИЕ
И
в задании начальной информации и погрешность, возни-
кающая в результате дискретизации, были согласованы
с погрешностью решения па ЭВМ дискретной задачи.
Из сказанного видно, что основное требование, предъ-
являемое к вычислительному алгоритму,— это требование
точности. Оно означает, что вычислительный алгоритм
должен давать решение исходной задачи с заданной точ-
ностью е > 0 за конечное число Q(e) действий. Алгоритм
должен быть реализуемым, т. е. давать решение задачи
за допустимое машинное время. Для большинства алго-
ритмов время решения задачи (объем вычислений) (Хе)
возрастает при повышении точности, т. е. прп уменьше-
нии е. Конечно, можно задать е настолько малым, что
время счета задачи станет недопустимо большим. Важно
знать, что алгоритм дает принципиальную возможность
получить решение задачи с любой точностью. Однако на
практике величину е выбирают, учитывая возможность
реализуемости алгоритма на данной ЭВМ. Для каждой за-
дачи, алгоритма и машины есть свое характерное значе-
ние 8.
Естественно добиваться, чтобы число действий (и тем
самым машинное время решения задачи) Q(&) было ми-
нимальным для данной задачи. Для любой задачи можно
предложить много алгоритмов, дающих одинаковую по
порядку (прп е -> 0) точность 8 > 0, по за разное число
действий (?(е). Среди этих, как говорят, эквивалентных
по порядку точности алгоритмов надо выбрать тот, кото-
рый дает решение с затратой наименьшего машинного
времени (числа действий (Хе)). Такие алгоритмы будем
называть экономичными.
Остановимся еще па одном требовании, предъявляе-
мом к вычислительному алгоритму, а именно — требова-
нии отсутствия аварийного останова (авоста) ЭВМ в про-
цессе вычислений.
Следует иметь в виду, что ЭВМ оперирует с числами,
имеющими конечное число значащих цифр и принадле-
жащих (по модулю) не всей числовой осп, а некоторому
интервалу М„),	> 0-,	где Мо — машин-
ный нуль, — машинная бесконечность. Если условие
\М\<МЖ в процессе вычислений нарушается, то про-
исходит аварийный останов ЭВМ вследствие переполне-
ния разрядной сетки, и вычисления прекращаются.
Возможность авоста зависит как от алгоритма, так и от
исходной задачи.
12
ВВЕДЕНИЕ
Если решение исходной задачи выражается через
очень большие (очень малые) числа \М\ > Мх (|ЛП <М0),
то, как правило, путем изменения масштабов можно при-
вести задачу к виду, содержащему только величины, при-
надлежащие (по модулю) заданному интервалу (Мо, М«).
Часто возможность авоста может быть устранена путем
изменения порядка действий. Поясним это на простом
примере.
Пример. Пусть — 10р, Мо = 10~р, р = 2П, п —
целое число. Требуется вычислить произведение чисел
10р/2, 10р/4, 10~р/2, 103р/4, 10~3р/4.
1-й способ. Перенумеруем числа в порядке убыва-
ния: = 103₽/4, q2 = 10р/2, q3 = 10p/i, 74 = 10_p/2, 7s = ~3p/4
и образуем произведения Sk+l — Shqhi.i, Si = qi. Тогда уже
на первом шаге мы получим авост, так как S2 = q^q2 —
= 105р/4>Моо.
2-й способ. Перенумеруем числа в порядке возра-
стания: qY = 10-3р/4, q3 = 10~р/г, q3 ~ 10р/4, д4 == 10р/2,	=
= 10зр/4. В этом случае мы получим на первом шаге
^2==91?2 = 1O-w4<Mo,
т. е. S2 — машинный пуль; нулю равны и все последую-
щие произведения 53, 54, 83, таким образом, здесь проис-
ходит полная потеря точности.
3-й способ. Перемешаем эти числа, полагая qx —
= 10-3р/4, g2 = 10p/2, q3 = 103р/4, g4 = l(W2, q5 = Юр/4. Тог-
да последовательно найдем:
5г =	= Ю-р/4, S3 = S2q3 = 10р/2,
s, = S3q, = 10°,	= 10<
т. е. в процессе вычислений не появляются числа, боль-
шие 10р/2, и мейьшие 10_р/4. Такой алгоритм является
безавостным. В гл. III мы встретимся с итерационным ме-
тодом решения системы линейных алгебраических урав-
нений, который может быть авостным или безавостным
в зависимости от способа нумерации итерационных пара-
метров, определяющего последовательность вычислений.
При каждом акте вычислений появляются ошибки ок-
ругления. В зависимости от алгоритма эти ошибки округ-
ления могут либо нарастать, либо затухать.
Если в процессе вычислений ошибки округления не-
ограниченно нарастают, то такой алгоритм называют не-
ВВЕДЕНИЕ
13
устойчивым (вычислительно неустойчивым). Если же
ошибки округления не накапливаются, то алгоритм явля-
ется устойчивым.
Примеры. 1. Пусть требуется найти (0 < i С г0)
по формуле yi+i = yt + d (г>0) при заданных у0, d.
Предположим, что при вычислении yt внесена ошибка
(например, ошибка округления), имеющая величину б,-,
т. е. вместо точного значения г/i получено приближен-
ное значение ^t=z/i + 6f. Тогда вместо точного значения
yi+i получим приближенное значение yi+l = (у{ +	+ d =
= ?/i+i + 6i. Таким образом, ошибка., допущенная на лю-
бом промежуточном шаге, не увеличивается в процессе
вычислений. Алгоритм устойчив.
2. Рассмотрим уравнение у<+1 — цУ1 (i О, у0 и q за-
даны). Пусть, как и в примере 1, вместо у{ получено
значение гц — yt + 6{. Тогда вместо yi+1 получим прибли-
женное значение
Уш =	+ Si) = yi+i + ?бг-.
Отсюда видно, что погрешность 6i+i = yi+i — yi+^ возни-
кающая при вычислении связана с погрешностью
уравнением
б<+1 = i = 0, 1, 2, ...
Следовательно, если \q\ > 1, то в процессе вычислений
абсолютное значение погрешности будет возрастать (ал-
горитм неустойчив). Если же 1^1	1, то погрешность не
возрастает, т. е. алгоритм устойчив. Неустойчивость обыч-
но связывают со свойством экспоненциального нарастания
ошибки округления. Если же ошибка округления нараста-
ет по степенному закону при переходе от одной операции
к другой («от шага к шагу»), то алгоритм считают услов-
но устойчивым (устойчивым при некоторых ограничениях
на объем вычислений и требуемую точность). Процесс вы-
числений можно трактовать так: при переходе от шага
к шагу происходит искажение (за счет ошибок округле-
ния) последних значащих цифр (от последних значащих
цифр справа налево движется «волна ошибки округле-
ния»). Нам нужно обычно сохранить верными несколько
первых значащих цифр (4—5 знаков), и поэтому вычис-
ления должны быть закончены до того, как до них дой-
дет «волна ошибки округления». Если ошибка округле-
ния е0 нарастает от шага к шагу по экспоненциальному
закону, то это приводит, как правило, к авосту на про-
li
ВВЕДЕНИЕ
межуточном этапе вычислений, если (как в примере 2)
IqI ’80 > Мж.
Если — ICE, е0 = Ю \ то авост наступает при i0 >
> (р + к0)/lg |д|. Иначе обстоит дело при степенном росте
ошибки округления. Пусть |6yJ ~ ine0 (п>1); тогда
авост наступит при ioeo^ М^,, т. е. npni0^—Moo] —
\ 6 о /
= ю(р+й°)/п.
Отсюда видно, что прп и = 1 авоста не будет в си-
лу очевидного ограничения i < М„ — 10р. Нера-
венство I6t/J Се, где 8 = 1СН — заданная точность, спра-
. I Е \1/«	лп(А0-О/"	• тн
ведливо при i —	=10	= г0. Если заданы 8
\ 8о/
и е0, то это неравенство означает ограничение на число
уравнений I г0. Так, прп ка = 12, к = 6 имеем 106/il,
так что i С 103 прп п = 2. Ясно, что можно указать такое
большое п, что допустимое число уравнений i0 очень ма-
ло. Однако, на практике обычно встречаются случаи не-
большого п (например, для метода прогонки (§ 3 гл. 1)
п == 2, т. е. погрешность накапливается по квадратичному
закону с ростом числа уравнений).
При решении любой задачи необходимо знать ка-
кие-то входные (исходные) данные — начальные, гранич-
ные значения искомой функции, коэффициенты и правую
часть уравнения и др.
Для каждой задачи ставятся одни и те же вопросы:
существует ли решение задачи, является ли оно единст-
венным и как зависит решение от входных данных? Воз-
можны два случая:
Задача поставлена корректно (задача корректна); это
значит, что 1) задача разрешима при любых допустимых
входных данных; 2) имеется единственное решение;
3) решение задачи непрерывно зависит от входных дан-
ных (малому изменению входных данных соответствует
малое изменение решения) — иными словами, задача
устойчива.
Задача поставлена некорректно (задача некорректна),
если ее решение неустойчиво относительно входных дан-
ных (малому изменению входных данных может соответ-
ствовать большое изменение решения).
Примером корректной задачи может служить задача
интегрирования, а примером некорректной задачи — за-
дача дифференцирования.
ВВЕДЕНИЕ
15
Примеры. 1. Задача интегрирования. Да-
па функция /(ж); найти интеграл
1
J — J / (х) dx.
о
1
Заменим f на f и рассмотрим J = ( / (х) dx и разность
о
1
6J = J _ J — J 6fdx (б/ = / (.г) — / (х)). Отсюда видно,
о
что | 6J | max | 6/ (х) ], 167 [ е, если 16/1 г, т. е. ./
О
непрерывно зависит от /. Для вычисления интеграла J
воспользуемся квадратурной формулой:
X	N
dy = 2 сА/(Xh)t cb>0, eh -= 1.
Повторяя рассуждения, приведенные выше, получим
~ Л' ~ v
— Jn --- i Ch (и — д) = ckdfhi
A l	h~\
N
167.x К s Ср. max ! 6Д | = max 16Д
A~-H l^Ac.X	l<k<X
Таким образом, задача вычисления интеграла по квадра-
турной формуле корректна.
2. Задача д и ф ф е р е н ц и р о в а и и я. Задача диф-
ференцирования функции nix'), заданной приближен-
но, является некорректной. В самом деле, пусть
и (х) = и (х)	— sin N’“x, где N достаточно велико. Тогда
в метрике С (па некотором отрезке О^х^б (б>л/№))
имеем Ибш!1с = Ни — z/llc = 1/N С е при	Для пог-
решности производных би' = й' — и = N cos N2x имеем
!1бп'11с == Л’ > 1/е. Таким образом, малому изменению 0(e)
в С функции idx) соответствует большое изменение
0( 1/е) в С ее производной.
Поэтому численное дифференцирование также некор-
ректно. Чтобы найти приближенное значение производ-
ной по формуле разностной производной с некоторой
точностью е > 0 при условии, что фупкппя задана с пог-
решностью б,- (1б,| ^б0), необходимо выполнение условии
согласования 8, и шага h сетки, например, вида 8
16
ВВЕДЕНИЕ
(к = const > 0 не зависит от h, 60), причем шаг
сетки ограничен как снизу, так и сверху. Таким образом,
достижимая точность численного дифференцирования ли-
митируется точностью задания самой функции.
В данной книге мы рассматриваем только корректные
задачи и корректные численные методы, ориентированные
на использование ЭВМ.
Численные методы дают приближенное решение
задачи. Это значит, что вместо точного решения и (функ-
ции или функционала) некоторой задачи мы находим ре-
шение у другой задачи, близкое в некотором смысле (на-
пример, по норме) к искомому. Как уже указывалось,
основная идея всех методов — дискретизация или аппрок-
симация (замена, приближение) исходной задачи другой
задачей, более удобной для решения на ЭВМ, причем
решение аппроксимирующей задачи зависит от некото-
рых параметров, управляя которыми, можно определить
решение с требуемой точностью. Например, в задаче чис-
ленного интегрирования такими параметрами являются
узлы и веса квадратурной формулы. Далее, решение дис-
кретной задачи является элементом конечномерного про-
странства. Остановимся на этом подробнее.
Рассмотрим, например, дискретизацию пространства
Н = {/(ж)} функций /(ж) непрерывного аргумента х е
[я, &]. На отрезке а х b введем конечное множество
точек со = {хь i = 0, 1, ..N, х0 = а, хК == b, Хс< xi+l}, ко-
торое назовем сеткой. Точки Xt будем называть узлами
сетки (о. Если расстояние hi = xt — Xi-t между соседними
узлами постоянно (не зависит от г), hi = h для всех i =
= 1, 2 , ..N, то сетку о называют равномерной (с ша-
гом h\ в противном случае — неравномерной. Вместо
функции Дх), определенной для всех х^(а, Ь], будем
рассматривать сеточную функцию у,- = /(xj целочислен-
ного аргумента i (г = 0, 4, ..., N) или узла х< сетки о,
a H =	х^[а, заменим конечномерным (размер-
ности 2V+1) пространством HN+l = {у;, 0 i =5 Л7} сеточ-
ных функций. Очевидно, что сеточную функцию у, = /(х,)
можно рассматривать как вектор у = (у0, уь ..., y.v).
Можно провести также дискретизацию и пространства
функций /(х) многих переменных, когда х = (х1? х2, ...
..., хр) — точка д-мерного евклидова пространства (д > 1).
Так, на плоскости (х1? х2) можно ввести сетку со = {х; =
= (/1^1, йкф, it, i2 = 0, ±1, ±2, ...} как множество точек
ВВЕДЕНИЕ
17
(узлов) пересечения перпендикулярных прямых х^ —
х2^ — i2h2,	0, h2 Z> 0,	= 0, ± 1, + 2,.. ., где th
и h2 — шаги сетки по направлениям xt и х2 соответствен-
но. Сетка со, очевидно, равномерна по каждому из пере-
менных в отдельности. Вместо функции f(x)=f(x1, х2)
будем рассматривать сеточную функцию
Если сетка са содержит только те узлы, которые принад-
лежат прямоугольнику (0 Xi Ц, 0 С х2 С Z2), так что
h2 = l2/N2, то сетка имеет конечное число N =
= (Л\ + 1)(ЛГ2 + 1) узлов, а пространство HN сеточных
функций У1~Уг1у12 является конечномерным.
Мы всюду рассматриваем только конечномерное про-
странство сеточных функций. Заменяя пространство Н =
= {/(я)} функций непрерывного аргумента и исходную
задачу пространством HN сеточных функций и дискрет-
ной аппроксимацией исходной задачи, мы должны быть
уверены, что будем лучше приближаться к решению ис-
ходной задачи при увеличении числа узлов. Оценка ка-
чества приближения и выбор способа аппроксимации —
главная задача теории численных методов.
Основное содержание книги в той или иной сте-
пени связано с применением разностных методов для ре-
шения дифференциальных уравнений. Выделим два глав-
ных вопроса:
—	получение дискретной (разностной) аппроксимации
дифференциальных уравнений и исследование получаю-
щихся при этом разностных уравнений;
—	решение разностных уравнений.
При получении дискретной аппроксимации (разност-
ной схемы) важную роль играет общее требование, чтобы
разностная схема как можно лучше приближала (модели-
ровала) основные свойства исходного дифференциального
уравнения. Такие разностные схемы можно получать,
например, при помощи вариационных принципов и интег-
ральных соотношений (см. гл. IV). Оценка точности разност-
ной схемы сводится к изучению погрешности аппрокси-
мации п устойчивости схемы. Изучение устойчивости —
центральный вопрос теории численных методов и ему
уделяется большое внимание в данной книге. Алгоритмы
для сложных задач можно представить как последовав
ВВЕДЕНИЕ
18
тельность (цепочку) простых алгоритмов (модулей). По-
этому многие принципиальные вопросы теории численных
методов можно выяснить на простых алгоритмах.
В главе I рассматриваются одномерные (зависящие
от одного целочисленного аргумента) разностные уравне-
ния. Мы ограничиваемся изучением разностных уравне-
ний первого и второго порядков. Разностные уравнения
второго порядка представляют собой систему линейных
алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей.
Для решения краевых задач для этих уравнений приме-
няется так называемый метод прогонки. В I главе даны,
в виде справочного материала, сведения о линейных
операторах в конечномерном пространстве. В дальней-
шем исследуются свойства разностных операторов как
линейных операторов в конечномерном пространстве со
скалярным произведением. При этом используется про-
стейший математический аппарат — формулы разностно-
го дифференцирования произведения и суммирования по
частям.
Во второй главе излагается традиционный материал
численного анализа: интерполяция, среднеквадратичная
аппроксимация и численное интегрирование.
При аппроксимации дифференциальных, уравнений
на сетке получаются разностные уравнения, представля-
ющие собой систему линейных алгебраических уравнений
высокого порядка (равного числу узлов сетки) со спе-
циальной (разреженной, т. е. имеющей много нулевых
элементов) матрицей. Простейший пример такой матри-
цы — трехдиагональная матрица — был указан выше.
В главе Ш излагаются численные методы решения
систем линейных алгебраических уравнений
N
= i1, 2, •  .V,	(1)
J=1
которые можно записать в матричной форме
Лн = /,	(2)
где Л = (аД — квадратная матрица размера N X N, и =
= (и1, и2, ..., uN)— искомый вектор, /=(Д	..., Д) —
заданный вектор (правая часть).
Для решения систем уравнений применяются прямые
и итерационные методы.
ВВЕДЕНИЕ
19
В § 2 гл. Ш рассматриваются метод исключения Га-
усса и метод квадратного корня — прямые методы, тре-
бующие для решения системы OGV3) арифметических
действий.
При изучении итерационных методов систему линей-
ных алгебраических уравнений (2) удобно трактовать как
операторное уравнение первого рода с оператором, дей-
ствующим в /V-мерпом пространстве HN (А :	-> Ял),
и, / е HN. Чтобы подчеркнуть эквивалентность матричной
и операторной форм записи, будем матрицу и соответ-
ствующий оператор обозначать одной и той же буквой А.
При изложении теории итерационных методов (одно-
шаговых или двухслойных) важную роль играет кано-
ническая форма итерационной схемы
В	—— 4- Ayh = /, к ~ 0,1,. . . для всех у0 е HNf
Ч+i
(3)
где А, В: IIN HN, {тД — итерационные параметры.
Всюду предполагается, что оператор А самосопряжен
и положительно определен (4 =Л*>0). Доказана общая
теорема о сходимости стационарного метода с xh = т =
= const. Достаточным условием сходимости является не-
равенство
(By, у)>^ (Ау, у) для всех у е= Н,	(4)
где В ¥= В* — вообще говоря, несамосонряжепный опера-
тор. Отсюда следует сходимость метода простой итера-
ции, метода Зейделя, метода верхней релаксации.
Если известны такие постоянные 71 >0, ж > 71 что
*fi(5z, х) =5 (Ах, х) у2(Вх, х) для всех х& HN, (5)
где В = В* > Q, то можно найти оптимальный чебышев-
ский набор параметров [та}, при которых вычислитель-
ный процесс устойчив и безавостен.
Рассматривается универсальный попеременно-тре-
угольный метод с набором п оператором
В = (D + aAJD-AD + (оЛ),	(6)
где D = D* > 0, А* — А2,	4- А2 = А, матрицы и
20
ВВЕДЕНИЕ
А2 — треугольные. Получена формула для параметра о.
Алгоритм для этого метода очень простой. Всюду приво-
дятся формулы для числа итераций, при которых дости-
гается требуемая точность. Сравнение различных методов
проведено на модельной задаче для разностного уравне-
ния второго порядка у{-± — 2у< + yiJri = — й2/., i = 1, 2, ...
..N — 1, уй = yN = 0, h — 1/N, соответствующего крае-
вой задаче и" (ж) = — /(ж)(0 < х < 1), и(0)=п(1)=0. Это
уравнение есть одномерный аналог уравнения Лапласа.
Так как число итераций практически не зависит от числа
измерений, то при сравнении можно ограничиться этой
одномерной задачей. Попеременно треугольный метод
/1 1 \
требует О	итераций, где е > 0 — заданная
точность.
Заметим, что в главе III с помощью простейших ма-
тематических средств фактически изложена достаточно
полная общая теория итерационных методов решения
уравнения Au = f (Л = А* > 0).
Основные понятия теории разностных схем: погреш-
ность аппроксимации, устойчивость, сходимость и
точность излагаются на примерах краевых задач и зада-
чи Коши для обыкновенных дифференциальных уравне-
ний (гл. IV и гл. V). В главе IV изучаются трехточечные
разностные схемы для обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка
и== *“/<*),	0<ж<1,
ИЛ- \	ltd/ I
и (0) — w1? и (1) = и2, к (ж) >> 0, q (ж)	0.	(7)
Исследованы вопросы о скорости сходимости (о порядке
точности) однородных разностных схем на неравномер-
ных сетках и для случая разрывных коэффициентов. Это
потребовало получения весьма тонких априорных оценок,
выражающих устойчивость разностной схемы по правой
части.
Для получения разностных схем могут быть исполь-
зованы различные методы — интегроинтерполяционный
метод, метод аппроксимации квадратичного функционала,
методы Ритца и Галеркина (§ 5, гл. IV).
Для решения задачи Коши для уравнения первого
порядка
t>0, «(0) = ив	(8)
ВВЕДЕНИЕ
21
применяются методы Рунге — Кутта и Адамса, изложен-
ные в главе V. Эти методы применимы и для системы
уравнений, когда /, и — векторы.
Особое место в главе V занимает задача Коши для
системы линейных уравнений
-^-4-	/(t), t > 0, и (0) = и0,	(9)
где А = (а..)—квадратная матрица NXN, u(.t) = (и1,
и2 * * * * * В *, ..иу), fit) = (/*, /2, ../*) — вектор-функции раз-
мерности N.
Такая задача, в частности, возникает, если в уравне-
нии теплопроводности
= ки + / (х, t), &и = -|4 + 44’ х = (*ь жг) (10)
заменить оператор Лапласа Агг соответствующим разност-
ным оператором. Тогда (9) можно трактовать как метод
прямых для уравнения теплопроводности (10). Используя
для решения этой задачи какую-либо одпошаговую схе-
му, мы приходим к двухслойной операторно-разностной
схеме общего вида, которая записывается в канонической
форме
—Уъ	== срл, к = 0,1,. .для всех у0<=НК,
(И)
где А, В: //v -> HN — линейные операторы, т — шаг сет-
ки по t.
Доказано, что необходимое и достаточное условие ус-
тойчивости схемы имеет вид
В ~А или (Вх, х) -j-(Ax, х)для любых х е Н^. (12)
Это — основная теорема общей теории устойчивости опе-
раторно-разностных схем (ср. А. А. Самарский «Теория
разностных схем»), пригодная для исследования устойчи-
вости разностных схем для уравнений с частными про-
изводными математической физики (см. гл. VII). Факти-
чески, в § 4 изложены основы общей теории устойчивости
разностных схем, включая и асимптотическую устойчи-
вость.
22
ВВЕДЕНИЕ
Сведения, полученные в главах III—V, позволяют
без труда перейти к изучению теории разностных мето-
дов решения уравнений в частных производных. В главе
VI такое изучение проведено для разностных схем, ап-
проксимирующих уравнение Пуассона и эллиптические
уравнения в прямоугольнике с краевыми условиями пер-
вого рода. Здесь рассмотрены как вопросы сходимости,
так и методы решения разностных уравнений.
Наличие общей теории устойчивости двухслойных раз-
ностных схем (гл. V) упрощает изложение разностных
методов для уравнения теплопроводности с постоянными
и переменными коэффициентами, проведенное в главе VII.
Здесь рассматриваются также экономичные схемы (пере-
менных направлений, расщепления и т. д.) для много-
мерных задач, а также общий принцип суммарной ап-
проксимации, который позволяет проводить расщепление
сложных задач на последовательность более простых и
существенно упрощать решение многомерных задач мате-
матической физики.
Следует отметить, что основное содержание кпиги из-
лагается с единой точки зрения. Единство достигается
за счет трактовки разностных схем как операторных или
операторно-разностных уравнений с операторами, действу-
ющими в конечномерном пространстве со скалярным про-
изведением. При построении теории итерационных мето-
дов и теории устойчивости разностных схем используются
простейшие свойства операторов (матриц): знакоопреде-
ленность, самосопряженность, некоторые свойства собст-
венных значений и собственных векторов; никаких пред-
положений о структуре операторов при этом не делается.
Все условия теории оказались очень удобными для про-
верки в случае конкретных разностных схем. Материал
глав VI и VII может служить основой для изучения более
полной теории по книгам (6, 9].
Глава I
РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе изучаются сеточные функции целочислен-
ного аргумента и разностные уравнения второго порядка.
Излагается простейший математический аппарат для изу-
чения сеточных функций и разностных операторов. Для
решения разностных уравнении второго порядка приме-
няется метод исключения, называемый методом прогонки.
§ 1. Сеточные функции
1. Сеточные функции и действия над ними. Как уже
упоминалось, в приближенных методах обычно функции
непрерывного аргумента заменяются функциями дискрет-
ного аргумента — сеточными функциями. Сеточную функ-
цию можно рассматривать как функцию целочисленного
аргумента:
y(i) = Уй i = 0, ±1, ±2, ...
Для y(i) можно ввести операции, являющиеся дискретным
(разностным) аналогом операций дифференцирования и
интегрирования.
Аналогом первой производной являются разности пер.
вого порядка:
КУ'1 = Уг+i ~~ Уг — правая разность;
\/У1-'- Уг — Уi-i — левая разность;
ду: = у (Ayi + W) = |Ш1 — У1 - 1) —
центральная разность;
прп этом легко заметить, что Ay,=Vyi+l.
Далее можно написать разности второго порядка:
tfyi = А(Ау,) = A(yi+1 - уд = у>+2 - 2yi+1 + у.,
Ауу,-= А(у; — уг-1) = (yt+J ~уд - (yi-yi-i) =
= yi+1 - 2у;4- у,--),
так что
А2у, = Ay yi+1.
24
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Аналогично определяется разность т-го порядка:
содержащая значения yi+l, ..., yi+m. Очевидно, что
S &Уз = г/i+i — Уь, 2 ^Уз = У1 — Уь-1'
j=k
2. Разностные аналоги формул дифференцирования
произведения и интегрирования по частям. Пусть yif vt —
произвольные функции целочисленного аргумента. Тогда
справедливы формулы
MyiVi) = ijiNVi + vi+1t\yi =	+ ViNiji,	(1)
V^hVi) = yi-^Vi^ ViVyt = y^Vi+Vi-^yi,	(2)
которые проверяются непосредственно. Например,
MyiVi) = yi+ivi+i - yiVi]
yiKVi + v/+1Ai/{«	- vd -I- p.+i(z/i+1 - yd =
= I/i+i^+i - yiVi = dAyivd.
При выводе формулы для достаточно учесть, что
V(i/a) = Ati/i-iP.-i).
Формулы (1), (2) представляют собой аналоги форму-
лы дифференцирования произведения (y(z)v(x))' = yv' +
Аналогом формулы интегрирования по частям явля-
ется формула суммирования по частям:
Лт-1	N
2 y^Vi = — 2 Уг + W.v — (y»)v	(3)
i=0	i=l
которую записывают также в виде
А-1	N-1
2 Уг&»1 = — 2 ViVyi + Ук-iVn — yovv (4)
i=l	i=l
Для вывода формулы (3) воспользуемся формулой (1);
имеем
y^Vi =	~ Pi+iAi/i =	- v(+iVi/i+i,
g 1, СЕТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ
25
поскольку Дг/, = V/Л+о отсюда получаем
Л-1	Л
2 Vi&Vi + 2 Vi^yi =
1=0	1=1
Л-1	Л-1	Л
= 2 a — 2 ^+iv//i+i + 2 v^yi =
1=0	i—о	i=l
Л	Л
= УМ — y0V0 — 2 »^Уг + 2 ^iVyt = (#р)у — (уи)п.
1=1	1=1
л-1	л
Если уо-О, Ух = о, то 2 yi^Vi = — 2 ^iVZ/i-
1=0	i—1
Формулу суммирования по частям можно использо-
вать для вычисления сумм.
Л
Примеры. 1. Вычислить сумму Sy — 2 ^2г. Поло-
i=i
жим Vi *= i, у yi ~ 2г, так что
yi — У г-i + 2г ~ у0 + 2 2J' = Уо 4- 2г+1 — 2.
Г=1
Выберем у0 = 2 —2Л’+1; тогда yN = 0. Так как va = О,
Avf= 1, то из (3) следует
Л	Л—1	Л—1
5л = 2	— 2 y^i = — 2 yi =
1=1	i=o	1=0
= _ дг (yQ _ 2) - *2 2i+1 = 7V2n+1 - (2n+1 - 2),
1=0
так что §№ (N — 1)2N+1 + 2.
Л	Л-1
2. Вычислить Sy — 2	~ 1) = 2 * G + !)• Положим
i=i	i=i
yL = i, V Vi = i + 1. Тогда za+i = v^ + (i + 1) = Vi + (2 + 3 + ...
... + (i + 1)) = (pi — 1) + (i + l)(i + 2)/2,	1^ = 1?! — 1 + iX
Х(г+1)/2. Выберем vt из условия vN = 0, т. е. Vi = 1 —
~N(N+i)/2. Применяя формулу (3) и учитывая, что
I/о == О, 0, уг/i = 1, находим
У-1	Л-1	л	Л-1
5у = 2 i(i + 1) = 2	= — 2 ^Уг = — 2 ^1 =
1=1	1=0	1=1	1=1
Л-1
= _(ЛГ_1)(г,1_1)_’ 2 !(< + !) =
1 .с”1 , (jV - 1) JV (JV + 1)
»=	2 "к 2 л
2G
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
так что — -у- C'V — 1) У (N 4- 1), Отсюда следует, что
.V	N
j;i^P + 2^+...+A'^SJv + g^iV(‘Y-i-1»2-V-'1).
§ 2.	Разностные уравнения
1.	Разностные уравнения. Линейное уравнение отно-
сительно сеточной функции ул==уШ (i = 0, ±1, ±2, ...)
ou(i)y(i) + Ci(f)y(i + 1) + ... + aMy(l + in) = /О'), (1)
где ak(i) (k = Q, 1, ..m), /(i) — заданные сеточные функ-
ции, ав(лУ=£0, ^(В^О, называется линейным разностным
уравнением m-го порядка. Оно содержит тп+1 значений
функции y(i).
Пользуясь формулами для разностей Ayf, А2у,-, ...
..А"1"1?/;, можно выразить значения yi+l, yi+2, .>., у^м
через уг и указанные разности: у1+1 = у, + Ayr, У1+г==
= А2у, + 2у,+1 — Уг~ &2Уг + 2Ау< + у, и т. д. В результате
из (1) получим новую запись разностного уравнения пг-то
порядка:
aQ(.i')yl + аДОАу, + ... + атО)Ату, — /0),
i — 0, =Ь 1, +2, ... (2)
(чем и объясняется термин «разностное уравнение»). Ес-
ли коэффициенты ав, at, ..., am не зависят от i, а0¥=О п
am #= 0, то (1) называется линейным разностным уравне-
нием w-ro порядка с постоянными коэффициентами.
При m = 1 из (1) получаем разностное уравнение пер-
вого порядка
а0(г)у( + аДг)у{+1 = /(j),	яДО^О, (3)
при m = 2 — разностное уравнение второго порядка
ac(i)yi +aStiyi+i +a2tt)yi+2==	^o(i)y=O, а2(В=^0.
Мы ограничимся изучением разностных уравнений
первого и второго порядков.
2.	Уравнения первого порядка. Рассмотрим разностное
уравнение первого порядка (3). Подставляя у,+1 = у. + Ау<,
получим
«о(г)у< + «i(i)Ayi =/(г), я0 = а0 + «1.
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
27
Простейшими примерами разностных уравнений пер-
вого порядка могут служить уравнения для членов ариф-
метической прогрессии yi+l = yt + d и геометрической прог-
рессии z/i+I = qyb
Запишем уравнение (3) в впде
Уг+i = qdJi + Фй	(4)
где qx = — a0(i)/n,(i), ф, =/(i)/aj(Z). Отсюда видно, что
решение у(0 определено однозначно при i > /0, если зада-
но значение y(j0). Пусть при i = 0 задано уо = уОУ). Тогда
можно определить у,, у2, ..у,, ... Последовательно ис-
ключая Z/i, Z/i-1, . . У! по формуле (4), получим
yi+1 = qtqi-t . • .	+ ф» + g.Ti-l + 717г-1ф£-2 + ...
пли '
Уг+1 = I П Qh j У<\ + 2 П Qs Фа + Фг* (5)
\Л=0	/ /г=о \6=А-И	/
Для уравнения с постоянным коэффициентом qt — q от-
сюда получаем
У1+1 = Уг+1 Уо -г 2 ?1-Дфй, z = О, 1, 2, > • • > (6)
fi=0
т. е. решение разностного уравнения (4) с постоянными
коэффициентами.
3.	Неравенства первого порядка. Если в выражениях
типа (1) или (2) знак равенства заменить знаками нера-
венства <, >, то получим разностные неравенства
m-то порядка, Пусть дано разностное неравенство первого
порядка
yi+l qyi + fi, i = 0, 1, 2,	f?^0;	(7)
не ограничивая общности, далее всегда считаем q > 0
(у0, q, ft известны). Найдем его решение. Пусть щ —ре-
шение разностного уравнения
н1+1 = qvt + A, i = 0, 1, ..., v0 = ya. (8)
Тогда справедлива оценка
Уг	(9)
В самом деле, вычитая (8) из (7), находим
рИ1 -	< q (гц —	< q2 (у^ —	.
• • • С /+1 (i/o - Vo} = 0.
28
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Подставив в (9) явное выражение для vit получим
Л<?*у,+/ = 0,1,2,...,	(10)
й=о
— решение неравенства (7).
4.	Уравнение второго порядка с постоянными коэффи-
циентами. Рассмотрим разностное уравнение второго по-
рядка .
Ъуг+1 — су, + aiji-i = ft, i = 0, 1, ..., а =т^= 0, b^Q, (И)
коэффициенты которого не зависят от I. Если = 0, то
уравнение
byt+i - су, + ayi-i = 0, г = 0, 1, ..(12)
называется однородным. Его решение может быть най-
дено в явном виде.
Пусть — решение однородного уравнения (12),
Уг —какое-либо решение неоднородного уравнения (11).
Тогда их сумма У\ — yi + yi также является решением
неоднородного уравнения:
Ь (l/i+l 4" Ут. ) — £ (yi + Уг ) + а (i/i-l + Уг-1) =
= [^i+1 — сУг 4- api-x] + [byi+1 — су* + ayZi] = fh
Это свойство — следствие линейности уравнения (11); оно
сохраняет силу для разностного уравнения (1) любого по-
рядка. Очевидно, что если р4 является решением однород-
ного уравнения (12), то и ср{, где с — произвольная посто-
янная, также удовлетворяет этому уравнению.
Пусть у\1} и р(|2) — два решения уравнения (12). Они
называются линейно независимыми, если равенство
+ СчУ{1} = 0, i = 0,1, 2, ...,
возможно только при Ci = с, = 0. Это эквивалентно требо-
ванию, что определитель системы
+ с2у?} = о,.
С1Уг+т + С2у$т = 0, т = +1, ± 2, . . .,
отличен от нуля для всех i, т. В частности,
г 1 ф 0.
..(1) ..(2)
»i+l “i+1

§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
29
Так же, как и в теории дифференциальных уравнений,
можно ввести понятие общего решения разностного урав-
нения (12) и показать, что если решения Vi2) линей-
но независимы, то общее решение уравнения (12) имеет
вид
у. - ft 7/(1) J_ ft 7/(2)
Уг — t'lyi Щ ''ъУг ч
где Ci и с2 —- произвольные постоянные. Общее решение
неоднородного уравнения (И) можно представить в виде
Уг =	+ С2у^ + y*f	(13)
где уi —какое-либо (частное) решение уравнения (11).
Для определения Ci и с2, как и в случае дифференциаль-
ных уравнений, надо задать дополнительные условия —
начальные или краевые.
Частное решение уравнения (12) можно найти в яв-
ном виде. Будем искать его в виде yt — q*, где q #= 0 — не-
известное пока число. После подстановки yk — qk в (12)
получим квадратное уравнение bq2 — cq + а = 0, имеющее
корни
с Щ с2 — inb
с — с2 —
26
(14)
91 =
<h =
В зависимости от значений дискриминанта D =
= с2 — 4аЬ возможны три случая:
1) D = c2 — 4ab>0. Корни qt и q2 действительны и
различны. Им соответствуют частные решения
= & ^’ = й;
эти решения линейно независимы, так как отличен от
нуля определитель:
Дм+1
lit =^(92-9i)¥=0.
Заметим, что </i	0 и q2 ¥= 0, иначе а = 0 и уравнение
(12) не является разностным уравнением второго порядка.
Общее решение уравнения (12) имеет вид
Уп = С191 + с2<А’	(15)
2) D = с2 — 4а& < 0. Квадратное уравнение имеет ком-
плексно-сопряженные корни
„ _ с-НУПЧ . „ c-iV\D\
2b '42— 2b
30
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
где i — мнимая единица. Эти корни удобно представить в
виде	___ ____________________
71 =	72 = Р = У р <Р = arctg 1 .
Частными решениями являются не только функции
q[ — pkejk® ~ .pk (cos Лер + i sin Ахр),
qh2 = p^-Уцр = ph (cos kq> — i sin Arq>)x
по и функции
i/ll) = pft cos А’ф, y{f = p?' sin А-ф,
которые линейно независимы в силу линейной независи-
мости функций sin /сф и cos Ахр. Общее решение имеет
вид
yh = pfe(ci cos Ахр + с2 sin Ахр).	(16)
3) D — cz — 4а6 = 0. Корни действительны и равны:
</t = = с/(2&) = г/о. Линейно независимыми являются
решения
№ = gl, «Г* = М-	(17)
Покажем, что уь есть решение уравнения (12):
by(k+i— cy(h}+ ayh-i= ь (к + 1) qi+1" ckq^ + а(к — 1)	=
= к (bqkQ+1~ cqk0 aqkQ ') + М — a) qo 1 = 0,
так
^k,k+i
как
^2	jy
bql — а — Ь — а ~	= 0. Поскольку
А т Ь
Q0 bqQ
gk0+1 (* + DtJ+1
= 7oh+1 ¥= 0) то решения (17)
линейно независимы, и общее решение имеет вид
Ук — <Ч7о 4”
5. Примеры. Рассмотрим примеры решения разност-
ных уравнений второго порядка (11).
1.	Найти общее решение уравнения
Уа	+i ” 2руй + yh-x = 0, « = & = !, с = 2р > 0.
Возможны три случая. 1) р < 1. Положим p = cosa;
тогда D = 4(cos2 сс — 1) — — 4 sin2 а < 0. Частные решения
имеют вид
у£} = cos кат y{k} — sin ка.
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	31
2)	р>1. Полагая p = cha, получим для q квадрат-
ное уравнение q2 — 2 ch aq + 1 = 0; его дискриминант ра-
вен Г) = 4(cli2 а — 1) = 4 sh2 а, а корни имеют вид q^ 2 =
== ch а ± sh а = е±а. Частными решениями являются функ-
ции
Ук’ = cli ка, гД2) = sh ка.
3)	р — 1. В этом случае q2 -- 2q + 1 = 0, q^ 2=1, част-
ные решения имеют вид у^ — 1, Уь^ = /с, а общее реше-
ние имеет вид
Уь = Ci + с2к.
2.	Найти решение уравнения
?Л+2 ~ Уй+1 — 2ук = 0.
Дискриминант равен D = 1 + 8 = 9, корнями будут qii2 =
= (1±3)/2, qi = 2, q2 = —1. Общее решение имеет вид
i/h = ct2ft Ч- с2(- 1)\
3.	Найти общее решение уравнения
yh+l - ук- 6yk-i = 2"+1.	(18)
Общее решение неоднородного уравнения есть сумма уь =
= ук + Ук общего решения ук однородного уравнения и
частного решения уь неоднородного уравнения. Найдем
сначала общее решение однородного уравнения. Дискрими-
нант равен D = 1 + 24 = 25 > 0, и корни квадратного
уравнения q2 — q — 6 = 0 равны t?i = 3, q2 = — 2, так что
Ук} = 3\ yl2) = (— 2)ft. Частное решение у* будем искать
в виде уь = c2k, где с = const. Подставляя уь — c2h в (18),
получим с(2й+1 — 2к — 6 • 2й-1) = с • 2Й_1(— 4) — 2h+i, с = — 1.
Общее решение уравнения (18) имеет вид
yk = Ci-3k + c2{~2)k~2\
6. Разностное уравнение второго порядка с перемен-
ными коэффициентами. Задача Коши и краевая задача.
Рассмотрим теперь разностное уравнение с переменными
коэффициентами
biyi+l- с.у< + (hyt-i. = fh щ¥=0, bi Ф 0, i = 0,1,2,...
(19)
32	ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Так как =/= О, то из (19) получаем следующее рекуррент-
ное соотношение:
Выразим yl+i и yi-i через ip и разности первого и второго
порядков. Тогда уравнение (19) перепишется в виде
Дугц-Ь (bi — aj&yi — (ci — cii — bi)yt = fi,	bi =5^0.
Решение разностного уравнения первого порядка за-
висит от одной произвольной постоянной и определяется
однозначно, если задано одно дополнительное условие,
например, у0 = с0. Решение уравнения второго порядка
определяется двумя произвольными постоянными п может
быть найдено, если заданы два дополнительных условия.
Если оба условия заданы в двух соседних точках, то это
задача Коши. Если же два условия заданы в двух разных
(но не соседних) точках, то получаем краевую задачу. Для
нас основной интерес будут представлять краевые задачи.
Введем обозначение
Lyt = b.iji+i - Ciyi + a^i-i
и сформулируем эти задачи более подробно.
Задача Коши: найти решение уравнения
Lyi=4i, 1, 2, ...,	(21)
при дополнительных условиях
1/о = Ц1, У1 = ц2.	(22)
Второе условие_(22) можно записать иначе: \уп — у{ —
— Уо =	— Hi = Мь и говорить, что в случае задачи Коши
заданы в одной точке i = 0 величины
= Д?/о = Нь	(22')
Краевая задача: найти решение уравнения
= i — 1, 2, ..., N~ 1,
при дополнительных условиях
Уо = Н1, Ух = Ha, N > 2.	(23)
В граничных узлах i = 0 п i = N можно задать не
только значения функций, по и их разности и комбина-
§ 2. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ	33
ции, т. е. выражения а^уа + ^ft/u при i = 0 и а2У!/л- +
+ при i — N. Такие условия можно записать в виде
+	У№= ХгУл--! + р2.	(24)
Если Xi = х2 = 0, то отсюда получаем условия первого ро-
да; при Xi = 1, х2 = 1 имеем условия второго рода
At/o = -pi, \/уЛ = р2.	(25)
Если х112=/=0; 1, то (24) называют условиями третьего
рода:
— к^у» + (1 - xjy,) = Pi,
(26)
Х2ууЛ-+ (1 — Х2)уЛ- = р2.
Кроме того, возможны краевые задачи с комбинацией
этих краевых условий: при i = 0 — условия одного типа,
при i = N — условия другого типа.
Решение задачи Коши находится непосредственно из
уравнения (21) по рекуррентной формуле (20) с учетом
начальных данных = р,,	= р2. Решение краевых за-
дач находится более сложным методом — методом исклю-
чения — и будет изложено ниже.
Для уравнения с постоянными коэффициентами реше-
ние краевой задачи может быть найдено в явном виде.
П р и м е р. Найти решение краевой задачи
A2yi_i = l, z = l, 2,	2V-1,	= y,v = 0. (27)
Однородное уравнение A21/,-1 = *Л+{ — 2//, + y;-i = 0 имеет
общее решение уг — + сл. Частное решение yi неод-
нородного уравнения А2у,_1 = yi+i — 2у>+ у^ = 1 ищем в
виде yi = ci2. Подставляя это выражение в уравнение (27),
находим А2у*„х — с ((£+ I)2 — 2t2 (i —- I)2) ~ 1, т. е. с =
~ 1/2, так что yi pi + pi = сх + c2i + i2.'2. Для опреде-
ления ct и с2 служат краевые условия прп i = 0, i = N:
Уо — Ct = 0, yN = c2N + №/2 = 0. с2 = —Л/2. Таким образом,
У1 =----iN + -у- i2 =-------i (N — i}
есть решение задачи (27).
34
ГЛ. Т. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 3. Решение разностных краевых задач
для уравнений второго порядка
1.	Решение разностных краевых задач методом про-
гонки. Краевая задаче!
GiVi-i ~~ Cilji -Г Ь{у>+1 = - /г, di^O, bi=^0,
i = 1, 2, TV — 1, (1)
I/O = Xti/t + Pt, lAv = хгг/у_, + p2
представляет собой систему линейных алгебраических
уравнений с трехдпагопальпой матрицей размера
(7V+ 1) X (7V+ 1):
	Г	- z, 0	... 0	0	0 ..	0	0	0	
	г'\	- С1 Ь1	... 0	0	0 ..	. 0	0	0	
4-	0	0 0	... о  —	bi 	.. о	0	0	
	0	0 0	... 0	0	0 .	• «А	-1	~ 6‘xV-	1 bN-l	
	0	0 0	... 0	0	0 ..	. 0	—	1	
						—	—	
Вместо (1)		можно	написать					
	/	= (//о, г/!		/ =	(gt,	-А, -.	-Д-1,	Из
(2)
В случае первой краевой задачи соответствующая матри-
ца имеет размерность (TV — 1) X Ш — 1).
Для решения краевой задачи (1) можно использовать
следующий метод исключения, называемый методом
прогонки. Предположим, что имеет место соотношение
yt = а1+,#,+,+ рм ।	(3)
с неопределенными коэффициентами а,+1 и рг+1, п под-
ставим Уг~! = а,у, + в (1):
(diat — еду, + biyi+x — — С/, + а,ф),
сравнивая это тождество с (3), находим
а.В- -т- /•
, г = 1, 2, ... ,АТ — 1.	(5)
Используем краевое условие при i = 0 для определения
§ 3, РАЗНОСТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ	35
at, Pi. Из формул (3) и (1) для i — О находим
a^Xj, pi = Д:.	(6)
Зная «1 и Pj и переходя от I к i 4-1 в формулах (4) и (5),
определим а; и р,- для всех i = 2, 3, . . N. Вычисления
по формуле (3) ведутся путем перехода от i + 1 к i (т. е.
зная yi+t, находим р£), и для начала этих вычислений
надо задать ук. Определим pN из краевого условия у^ =
= х2уЛ-_1 + р2 п условия (3) при i = TV —-1:	—
= a.vi/л’ + Рл-. Отсюда находим
Соберем все формулы прогонки и запишем их в по-
рядке применения:
ai+1 =------!---, i = 1, 2. ..., N — 1, a, — х,;	(8)
l-ГЛ	f —aa^	>	.	1	1	J’ ' /
(-*) fl-B- 4- Д
^1.2, ...Л-1,	(9)
pi — ai+1pi+1 + Ри-i! i — TV — 1, TV — 2, ..., 2, 1, 0,
H-2 “ XsPa'
i/.v — 1 —аЛ.х,2 	(10)
Стрелки показывают направление счета: (-*) от i к i + 1,
(-<-) — от i + 1 к ?.
Таким образом, краевая задача для уравнения второго
порядка сведена к трем задачам Коши для уравнений
первого порядка.
2.	Устойчивость метода прогонки. Формулы прогонки
можно применять, если знаменатели дробей (8) и (10) пе
обращаются в нуль. Достаточными условиями этого явля-
ются неравенства
Id > kl + Ш,	1 = 1, 2, ..., ZV- 1,
IxJ^l, 1х21	1, IX] । + I х21 < 2.,
Покажем, что при условиях (И) знаменатели cf — а^а( п
1 — аЛ-ха не обращаются в нуль и
laj^l, г = 1, 2, ..., N.	(12)
Предположим, что lad 1, и покажем, что la;+1l С 1;
36
ГЛ. Т. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
тогда отсюда и из условия laj IzJ 1 будет следо-
вать (12). Рассмотрим разность к. —ща.1 — \bt\ > kJ —
— kjlaj — Л'> kJ(l — laj) >0, так что к, — a<aj >
> IЬ,I > 0, п !a1+i I = I6j/k, — щ-aj 1.
Заметим, что если | Ci01 > 1 r/|o 1 4~ Р'о I хотя бы в одной
точке i = 1п, то laf I < 1 для всех t > Е, и в том числе для
i = N: 1а/, <1. Тогда 11 — ад-х2| > 1 — la.vl I х21 >
>1—ia.J>0, и условие IxJ + 1х21 <2 является лиш-
ним. Если IxJ < 1, то la.vl < 1. Если же I kJ = 1, то
|х2! < 1 п la.vl 1, и мы имеем 11 — a,vxj 1 — la.vl X
X lx2l > 1 — 1х21 > 0. Таким образом, при выполнении ус-
ловии (11) задача (1) имеет единственное решение, ко-
торое мы находим по формулам прогонки (8) — (10).
Вычисления по формулам (8) - (10) ведутся на ЭВМ
приближенно, с конечным числом значащих цифр. В ре-
зультате ошибок округления фактически находится не
функция yi — решение задачи (1),—а у,— решение той
же задачи с возмущенными коэффициентами щ, с,,
ин х2 и правыми частями Д щ, ц2. Возникает естествен-
ный вопрос: не происходит ли в ходе вычислений воз-
растание ошибки округления, что может привести как к
потере точности, так и к невозможности продолжать вы-
числения из-за роста определяемых величин. Примером
может служить нахождение т/( по формуле yi+i — qyi прп
д>1. Поскольку у,г = д"у(>, для любого у0 можно указать
такое п0, при котором y)t() будет машинной бесконечно-
стью. Фактически в силу ошибок округления определя-
ется не точное значение г/;, а значение щ из уравнения
у)+1=уу,+ р., где р — ошибка округления. Для погреш-
ности 6i/i = у, — получим уравнение бу,+ 1 = qby{ + р
(/ = 0, 1, . . ., бу0 = р). Из формулы бу, = q‘v\ + р(</' — 1)/
/(у — 1) видно, что ошибка бу,- при q > 1 экспоненциаль-
но растет с ростом i.
Вернемся к методу прогонки и покажем, что при
laj <1 ошибка 6z/t не нарастает. В самом деле, из у,=
« ai+iyi+i + jii+1, j/i^ai+jt/i+tk р(+| следует буг “ a4 (дуг+t,
I6yj Iai+ f 116y,+11 I6yi+J, так как |ai+J 1.
Если учесть, что в ходе вычислений возмущаются и
коэффициенты a,+l, /+1, то можно показать, что ошибка
6г/г пропорциональна квадрату числа узлов N:
max I 6yJ
KiC.V
где еа — ошибка округления. Отсюда видна связь между
§ 3. РАЗНОСТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
37
требуемой точностью е решения задачи, числом IV урав-
нений и числом значащих цифр ЭВМ, поскольку е0№ « е.
3.	Другие варианты метода прогонки. Рассмотренный
выше метод прогонки (8) —(10), при котором определение
у, производится последовательно справа налево, называ-
ют правой прогонкой. Аналогично выписываются форму-
лы левой прогонки-.
'lU—ут---------• i = Л'— 1,2V — 2, ..2,1, Ь = Х„
(13)
Ш = -еЛЛ\+/|  f = ЛГ- 1, ЛГ - 2......2,1, лл- = Ии
(14)
(y-+i = li+iVi + тй+п 1 = °, 1, ..., N - 1, у0 = 7-Т^1 '•
(15)
В самом деле, предполагая, что i/i+i =	+ тр+1,
исключим из (1) yi+l- получим
-/> =	+ (6&+1 - С»)г/,- + bi,
или
У'~	vMi+1 
Сравнивая с формулой у. =	+ ^, получим (13) и
(14). Значение уй находим из условия yn = XiPi + gi и
формулы уй =	+ тр. Из неравенства 1е; — &,|г+11 >
> Ic.l - lOUil > Ы + Ш(1-	H-txJ >1-
— I^il Ixil видно, что условия (И) гарантируют примени-
мость формул левой прогонки и их вычислительную ус-
тойчивость, так как 11,-1 1 (I = 1, 2, ..., N).
Комбинация левой и правой прогонок дает метод
встречных прогонок. В этом методе в области 0 С i
< i0 + 1 по формулам (8), (9) вычисляются прогоночные
коэффициенты а„ а в области i0 С i < N по формулам
(13), (14) находятся и гр. При i = i0 производится со-
пряжение решений в форме (10) и (15).
Из формул yio= aio+iZ/io+i + 0io+i, У^+i = ^0+iI/i0+%+i
находим
Pj0+l + aiQ+l^i0
i-a s 
‘o ' 1 l0 1
38
ГЛ. I. Р ШТЮСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Эта формула имеет смысл, так как хотя бы одна из ве-
личин |£i0+i| пли }a'G+'l в СШ!У меньше единицы,
и, следовательно, 1 — сс,- н^0+1 > Зная у;0, можно по
формуле (10) найти все у, при i < /(), а по формуле (15)—
значения у; при i > iu. Вычисления при i > i0 и i < z0 про-
водятся автономно (имеет место распараллеливание вы-
числении). Метод встречных прогонок особенно удобен,
если, например, требуется найти у, лишь в одном узле
i — /0.
§ 4. Разностные уравнения как операторные
уравнения
1.	Линейное пространство.*) Рассмотрим множество Н
элементов ж, у, z, . . относительно которых известно,
что: каждой паре элементов х и у из 77 каким-то образом
сопоставляется третий элемент z е 77, называемый их
суммой и обозначаемый г = ж + у; каждому элементу
х II и каждому числу X сопоставляется элемент и 7/,
называемый произведением х на число X и обозначаемый
через и = кх.
Множество Л называется линейным пространством,
если операции сложения и умножения па число, опре-
деленные для его элементов х, у, z, . .удовлетворяют
следующим аксиомам:
1)	х + у = у + х для любых х, у&Н (коммутатив-
ность сложения);
2)	{х + у) + Z ~ X + (у + z) для любых X, у, Z^H
(ассоциативность сложения);
3)	существует элемент «пуль», обозначаемый 0, та-
кой, что х + 0 = х при любом х
4)	для любого элемента х е 7/ существует противопо-
ложный элемент (— х), такой, что х + (—ж) =0;
5)	1 • х = х;
(}) (.кц)х = ktyix) (ассоциативность умножения);
7) к(х + у) = кх 4- Ху; (X 4- р,)ж = кх + цх (дистрибу-
тивность умножения относительно сложения), где X и р —
любые числа.
Линейное пространство называют комплексным, если
для его элементов определено умножение на комплексные
числа, и действительным, если определено умножение
только па действительные чпсла.
*) См., например, Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная ал-
гебра.— М.: Наука, 1974,
§ 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАН ОПЕРАТОРНЫЕ
39
Элементы х, у, z, ... линейного пространства И на-
зывают векторами.
Векторы ад, л2, .. хх называют линейно независи-
мыми, если равенство
CiXk + с2хг + ... + cNxx -0	(1)
возможно только при щ = с2 = ... = сЛ = 0. Если же най-
дутся Ci, с2, . . ., ск, не все равные нулю, такие, что имеет
место равенство (1), то векторы . ., xN называют ли-
нейно зависимыми. Максимальное число (если оно су-
ществует) линейно независимых векторов линейного
пространства Н называется размерностью пространства
Н. Пространство, обладающее бесконечным множеством
линейно независимых векторов, называется бесконечно-
мерным.
Пространство II называется нормированным, если для
каждого х s Н определено вещественное число Нл:11, на-
зываемое нормой, которое удовлетворяет условиям:
1)	1Ы1 > 0 при х 0; IWI = 0, если х = 0;
2)	Нл? + yll IWI + llyll (неравенство треугольника);
3)	llcdl — Id • Hdl, где с — число.
Евклидовым (соответственно унитарным} пространст-
вом называется конечномерное действительное линейное
пространство Н (соответственно конечномерное комплекс-
ное линейное пространство //), в котором каждой паре
векторов х, у поставлено в соответствие вещественное
(комплексное) число (z, у), называемое скалярным про-
изведением этих векторов, причем выполнены условия:
В случае евклидова пространства:
1)	(х, у) = (у, х) (симметричность);
2)	(х{ + х->, у) = (zi, у) + (х2, у) (дистрибутивность);
3)	(Кх, у) = К(.х, у) (однородность), где X —любое
действительное число;
4)	если х ¥= 0, то (а?, х} > 0.
В случае унитарного пространства:
1)	(х, у) = (у, z);
2)	(xi + х2, у} = (xt, у} + (х2, у);
3)	(Хт, у) == )Лх, у) для любого комплексного числа X;
4) если х #= 0, то (х, х) > 0.
Заметим, что введенное скалярное произведение (х, у)
порождает в Н норму
Ы = YGr, х).
(2)
40
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Справедливо неравенство Коши — Буняковского
I(х, у)\~	(х, х) •(у, у),	(3)
которое с учетом (2) можно записать в виде
1(х, у)| ^IWi -llyll.
2. Линейные операторы в конечномерном пространст-
ве. Пусть Н — конечномерное линейное пространство со
скалярным произведением (х, у). Обозначим через D не-
которое подпространство //. Если каждому вектору х е D
поставлен в соответствие по определенному правилу век-
тор у = Ах из //, то говорят, что в II задан оператор А.
Множество D — H называется областью определения опе-
ратора А и обозначается 0(4). Множество всех векторов
вида у = Ах, x<x:D(A) называется областью значений опе-
ратора А и обозначается Ж4). Если D(A) — H, то гово-
рят, что оператор А задал на /I.
Оператор А называют линейным, если он а) аддити-
вен, т. е. 4(х( + х2) = Ах{ 4- Ахг для любых хь х2е 1Г,
б) однороден, т, е. А(сх) = сАх для любых те// и лю-
бых чисел с. Требования а) и б) эквивалентны условию
AkjXj + си2) = c,4xi + с2Ла2 для любых хь х2 <= II и лю-
бых чисел Ci и с2.
Линейный оператор называется ограниченным, если
существует такая постоянная М > 0, что
114x11 с; Л/llxli для любых х е //.	(4)
Точная нижняя грань множества чисел М, удовлетворяю-
щих условию (4), называется нормой оператора 4 и обоз-
начается IL4IL Ясно, что
114x11	11411 • Hxll.	(5)
Мы будем всегда рассматривать ограниченные линейные
операторы 4, заданные на II с областью значений Z?(4)s
s= II. Такой оператор 4 отображает II в Н, что записы-
вается в виде А: II II.
В конечномерном пространстве любой линейный опе-
ратор ограничен.
Если каждому уЕ II соответствует только один вектор
х s Ц, для которого Ах ~ у, то этим соответствием опре-
деляется оператор А~\ называемый обратным: 4~‘: Н
-*• II. Из определения обратного оператора 4-1 следует,
что
4-1(4х)=х, 4(4_1у)==у для любых х, у ® II,
§ 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПАК ОПЕРАТОРНЫЕ	41
Оператор D, действующий по правилу Dx = А(Вх),
называется произведением операторов А и В и обозна-
чается D = АВ. Оператор Е называется единичным
(тождественным), если Ех = х для всех х е В. Если су-
ществует А~\ то А~1А = АА~1 — Е. Операторы А и В на-
зываются перестановочными, если АВ = ВА.
Очевидно, что Л-1—линейный оператор, если линеен
оператор А. Имеет место следующее утверждение:
Для того чтобы линейный оператор А: НН имел
обратный, необходимо и достаточно, чтобы уравнение
Ах = 0 имело единственное решение х = 0.
Оператор Л*: II -* Н называется сопряженным опе-
ратору А: //->//, если
(Л.г, у) = (х, А*у) для любых х, у <=11.
Оператор А самосопряжен (симметричен), если А = А*
(или (Ах, у) = (х, Ау) для любых х, у <^Н). Будем на-
зывать линейный оператор Л: положительным, если
(Ах, х) > 0 (х е II; х =#=0); положительно определенным,
если (Ах, х) > 61Ы12 (х^П), где 6>0— число; неотри-
цательным, если (Лзг, х) > 0 (х^Н). Любой оператор Л
можно представить в виде суммы:
А = А„ + Л„ 4„ =, А (4 + 4*),	- Л*>’
где Ло — Л* — самосопряженный оператор, Лг — — Л* —
кососимметричный оператор, для которого в действитель-
ном пространстве (Atx, х) = — (х, Л^) = — (Л,#, х) и, сле-
довательно, (Л(Т, .т)=0. Поэтому для любого оператора
Л в действительном пространстве П выполняется ра-
венство
(Ах, x) — (A,tx, х) для любых х <= II. (6)
Мы будем пользоваться операторными неравенствами:
Л > 0, если (Ах, х) 0,	для всех х^Н;
А > 0, если (Ах, х) > 0,	для всех х^ II, х 0; (7)
Л > 6Е, если (Ах, .г) > 61Ы12, для всех х Н,
где Е — единичный оператор.
Неравенство
В > аЛ
означает, что выполнено условие В — аА > 0, т. е.
((В — аА)х, х) > 0 (для всех х Н).
42
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если А #=/!* в действительном пространстве, то нера-
венство A 3s О (Л > 0) эквивалентно неравенству Лр 0
(Ло > 0), что следует из (6).
Пусть А — положительный оператор. Тогда сущест-
вует обратный оператор Л-1: 7/	//, причем А~1 > 0 при
Л > 0, (Л“1)* = Л~1 при Л*=Л. В самом деле, оператор
Л"’ существует, если уравнение Ах = 0 имеет только
тривиальное решение. Допустим, что Ах = 0 при x=AQ;
тогда 0=(Ля:, х) при х ¥= 0, что противоречит условию
Л > 0 пли (Ах, х) > 0 при х 0. Таким образом, если
Л > 0, то уравнение Ах = ?/ имеет единственное решение.
3. Собственные значения линейного оператора. Пусть
Л — самосопряженный оператор в TV-мерном пространст-
ве Н со скалярным произведением (,). Рассмотрим зада-
чу о собственных значениях оператора А: требуется най-
ти такие значения параметра Л (собственные значения),
при которых однородное уравнение
Л|-/Д
(8)
имеет нетривиальные решения (собственные векторы).
Приведем основные факты из линейной алгебры о задаче
на собственные значения.
1) Самосопряженный оператор Л имеет /V ортонормн-
рованных собственных векторов
р , X = HI,
(Ь,|т) = бт, 8sm = s._^nK
(9)
2) Соответствующие собственные значения действи-
тельны и могут быть расположены в порядке возрастания
их абсолютных величин:
0^ lAj |Х21 *£...< 'ХЛ.
(10)
3) Если Л — положительный оператор, то все собст-
венные числа {/Д положительны:
0<А1^Х2С-.,.^Хх.	(11)
В самом деле, Х3 = (Лt,., c,J/!lgJI2 3 4 = (Л|в, |>) > 0, так как
0.
4) Произвольный вектор х^ Н можно разложить по
собственным векторам оператора А = А*:
N
Z = 2 Ck = (х, Ik),
(12)
g 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ
43
причем справедливо равенство
А
И2 -= сл-	(13)
А—1
13 самом деле, в силу условия (9) ортонормнрованности
системы {t,J имеем
/А	Лт	\
Н!2 - (ж, л?) = 2 CaU, S •-
\А=1	Л'—1	I
NN	NN	N
~ м ^k^k'	^A')	CkCk'^kk' — ch‘
k~~l fc'=i	A=1 k'=i	A=i
5) Если A = A* > 0, то решение уравнения Ax = f
можно представить в виде
я = x- Ihi	(14)
a“i
где Д = (/, ^ — коэффициент Фурье функции /. Восполь-
зуемся представлениями
А	А
X = ij С)^,	hh
k=L	k---l
и напишем
А
0 Ах — / = 2 (к^с!{> — fh,)%hr.
A'—I
Умножая это равенство скалярпо на и учитывая, что
найдем 0 = Xhch - Д, т. е. ch = IJK-
6) Норма самосопряженного оператора А равна моду-
лю его наибольшего собственного значения:
||Л)|- шах |М-ИМ-	(15)
1	<_А
13 самом деле, пользуясь (12), получим
.V	А
Ах —
и в силу (10) и (13) имеем
А	А
jj Ах ]|2 ~ Х/Ул Ха cf, ~ Х.у j| х ]|2.
/--1
т. е. H4li С |Хх1. Эта оценка достигается. Действи-
44
ГЛ. г РАЗНОСТНЫЕ УР ХВПЕНИЯ
тельпо, при х = |л- имеем НЛ#Нг == НЛ|л-Нг = 11АЛДЛ12 «» 1Хл-1\
так как 1Дл-112 = 1. Отсюда и следует, что МН = IMI.
7)	Если А = А*, то
|| Л || - sup ] (Л .г, л?) |.	(16)
8)	Если Л = Л* > О, то ?ц/? А ЛС ХЛЕ, или
XjLril2 < (Ах, х) UWP, Xt>0, хе II. (17)
9)	Если оператор А положителен, то он и положитель-
но определен, т. е. существует такая постоянная 6 > О,
что из условия Л > 0 следует неравенство А А 6Е. Для
самосопряженного оператора это свойство следует из
свойства 8). В общем случае представим А в виде сум-
мы А ™ Л о 4- Л,, где Ло = Ло > 0, Аг — — А1 — кососим-
метрический оператор. Так как (Л^, х) = 0, то (Ах, х) =
= (Л0;г, х) > 0. Для Ло верно свойство 8). Полагая Xt =
= Х1(Л0) == 6 > 0, получаем (Ло#, #) = (Л#, #) А бКг-112 для
всех х е II.
10)	Если существует то операторные неравенства
С АО,
Q*CQ > 0
(18)
эквивалентны. Это следует из тождества
(Q*CQx, #) = (CQx, Qx) = (Су, у),
где у = Qx, х = Q~ly.
11)	Пусть А1 и Л, — самосопряженные, положитель-
ные и перестановочные операторы в II:
Лх = Л* > 0, Л2 = Л.*>0, ЛХЛ,-Л,ЛГ (19)
Тогда операторы At и Л2, их сумма Л(+Л2 и произведе-
ние AlA2 имеют общую систему собственных функ-
ций {^}:
Л Да = Ха1 Да, Л Да = А/ГЧл»
МЛ, 4- Л2) = X (Лх) + Х(Л2),
(Л,Л2) = к (Лх) X (Л2).
12)	Если А = Л* > 0, то оператор Л_1 = (Л~‘)*>0
также самосопряжен, имеет те же собственные векторы,
что и оператор А, и собственные значения Х(Л-1) —
=» 1/Л(Л).
В самом деле, из Л^д = ХДк следует ^“7.АЛ-1£м
т. е. (Л-1)^*—(lAfc)Sn. Отсюда заключаем, что неравен-
§ 5. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ	45
ства	и (1/Лл-)Л’/Г1	(1/Л()Л) эквива-
лентны.
4.	Обобщенная задача на собственные значения. Пусть
задан самосопряженный положительный оператор В. Вве-
дем повое скалярное произведение (х, уК = (Вх. у) и
норму Н//Нн = У(Ву, у). Пространство // со скалярным
произведением (х, у)и называется энергетическим прост-
ранством п обозначается В в.
Рассмотрим обобщенную задачу на собственные зна-
чения, состоящую в отыскании нетривиальных решений
v уравнения
Av = \cBv, v 0,	(20)
где А — самосопряженный положительный оператор.
Пусть операторы А и В представлены соответственно
матрицами А = (ai3), В = (йщ) (?, / = 1, 2, .. N). Опера-
торное уравнение (20) можно записать в виде системы
линейных алгебраических уравнений
Л'	Л’
V „ .,,0)_,, V	i _ 1 9 V
a ip' — р	, i — 1, —, .. a ,
j-i	r=i
где i>(<), . . п(Л) — компоненты вектора и. Для определе-
ния собственных значений получаем алгебраическое урав-
нение AMi степени
(Шщ;-цМ = 0.	(21)
Для задачи (20) справедливы свойства, аналогичные
свойствам обычной задачи на собственные значения,
а именно: существуют N ортонормированных в смысле
скалярного произведения (.х, у)в собственных векторов
(кд, vm)B = (V, к, т = 1, 2, ..., N, (22)
которым соответствуют собственные значения
О <	. С цу.	(23)
По аналогии с и. 3 имеем
л	лт
х = V ОЗД, ск = (х, vit)B, ||х’|в = S с%-	(24)
/<~1
Справедливы операторные неравенства
А *£ р.х#,	(25)
46
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
причем p.v — норма оператора А в Нв. Это значит, что
11Лж!1в < !1ЛНВ1Ы1Д.
Замечай е. Неравенства
у^Л^в, 7i>0,	(26)
k = i, 2, ..., N, (27)
эквивалентны. В самом деле, разложим произвольный
w	N
вектор х —	c/i0{, найдем (Л — уВ) х~ (p/t— у) Bv^
k~l	>1=1
и скалярное произведение
N	N
((Л — уВ) х, х) =- 2 (Рй — Y) (Bvk, b'k) — (pft — у) с®,
А--1	h—1
где у— одно из чисел у, или у2. Полагая х = vh, найдем
((Л — yB)vh, vj =	— у. Пусть у — у2 и выполнено ус-
ловие Л у,В, тогда	Верно и обратное утверж-
дение. Аналогично .проводятся рассуждения при у = у(.
5.	Линейные пространства сеточных функций. Раз-
ностные операторы. В дальнейшем мы будем рассматри-
вать функции, заданные на сетке с целочисленными
узлами:
сол == {г: z = 0, 1, ..А).
Если на отрезке OC^Cl ввести узлы xt — ih, h = 1/N
(i = 0, 1, . .А), то получим равномерную сетку с шагом
h как совокупность узлов xi = ih с целочисленными ин-
дексами:
= Ц, = ih-. i = 0, 1, .. N; h = l/A'}.
Переход от одной сетки к другой очевиден и мы часто
не будем делать различия между ними.
Обозначим через Q.v+i = {у,-, i = 0, 1, ..А) прост-
ранство сеточных функций, заданных на сетке сол-, через
Q.v+1 = {y{, i = 0, 1, ..., N-, у» = 0, ух = 0) — подпрост-
ранство сеточных функций, заданных па co.v и обращаю-
щихся в нуль в граничных узлах сетки -: у0 = уу = 0.
Функции из Ол’+1 будем обозначать у(л) = yh
Рассмотрим примеры простейших разностных операто-
ров. Для оператора правой разности Д имеем
Ayi = y,+i - yi, i = 0, 1, ..., А-1;
g 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРА ГОРНЫЕ 47
областью определения является £2Л + 1, областью значе-
ний — пространство Qx = {?/;, i = 0, 1, .. N — 1} раз-
мерности N.
Для оператора левой разности у? имеем
ХМ, 2, . . /V;
область определения есть Qx+,, область значений — прост-
ранство = {Уь i ~ 1,2, • • •, ЛД.
Из формулы
А уi-1 = Д (А?/)—1) = Л(у7у у  у 111	2/у। 4" i/i—1
видно, что оператор второй разности определен для се-
точных функций yt при / = !, 2, ..N — 1, т. е. отобра-
жает 1 в пространстве 9v~. = {у^ i=l, 2, ..N— 11.
Этим же свойством обладает разностный оператор Л:
Aiji = biyi+i - Ctiji + ayj.-x =
= b;A(yyt) — (Ь; — щ)(у7;/,) — (c, — Ui — bi)y„
i = 1, 2, . . N~ 1,
t.	e.	если p(^Qv+i, пли, в сокращенной запи-
си,
Рассмотрим разностную краевую задачу
Ау, = -Д, t = 1, 2...  А	- 1, уй = щ, ?/v == щ (28)
и запишем ее в матричном виде:
АУ-Ф,	(29)
где Ф = (Д + щщ,	/х-2, /л--{ + bx-ig2) — известный,
Y =	у2, . .	1/л-_2, г/х-Э — неизвестные векторы раз-
мерности N — 1, А — квадратная трехдпагональная матри-
ца размера GV — 1) X (Д’ — 1):
Г~Т '’1	...От
- О ... О ОХ_, -
Сравнивая (28) и (29), видим, что можно написать
Ауг = -q)b i = 1, 2, ..., N - 1,
Ai/i = —Cij/i + bty2, epi = Л Н- ПЩ1,
Ayi^Ayt, cpi = /i} i = 2, 3,	Д-2,	(28')
Ay^^i =	фх-1 == /х-i 4~ Ьх-1Ца«
48
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Разностный оператор Л отображает в Qx-i. Нетруд-
но заметить, что Ayi^Ai/i. Вместо (28') получим
i = 1, 2, ..,, N — 1,
Введем теперь оператор А, соответствующий матрице
(29), полагая
Ау> = -А/л = —Ау„	i = 1, 2, .. N— 1.
Тогда вместо разностной краевой задачи (28) получим
операторное уравнение
Ау = Ф,
где А: ОЛ-_,Q.v-j,	т. е. оператор А действует
из Q.v-i в Q.v-j. Очевидно, что А—линейный оператор.
Заметим, что можно также считать (имея в виду, что
Ау = —Ау), что А отображает Q.v+1 в Qx-i.
В пространстве Я==ОЛ-1 можно ввести скалярное
произведение
(УА) = -у- 2
А-1
и норму	____
М = У (у, у).
Если рассматриваются вторая (х, = х2*= 1) или третья
(xt^O, х2¥=0) краевые задачи (см. (1) § 3), то матрица
А есть квадратная матрица размера (Л7 + 1) X (7V + 1) и
оператор А определяется следующим образом:
Луг = -Ау4 = -(&#,+,-с^ + щу.-Д г=1, 2, ..А-1,
Ауй =» — (xij/i - у.), Аух = -(ул- - х2ух-1).
В этом случае оператор А отображает пространство се-
точных функций Н — Qx+i в себя: А: Н Н.
В дальнейшем мы будем рассматривать первую крае-
вую задачу для разностного уравнения второго порядка;
в этом случае, как было показано выше, Н — Q.v-p
6. Разностные формулы Грина. Рассмотрим разност-
ный оператор L:
Ъу< «• btyi+t - Cii/t + fitji/i-j, t-1, ..7V-1. (30)
Если bi^a.+t, то соответствующая матрица не является
§ 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ
49
симметричной. Она симметрична только в случае
b^ai+l, i==1, 2,	У-1.	(31)
Учитывая это условие, перепишем Lyt в следующем
виде:
Lyt = ai+iyi+1 - Cij/i + и;!/;-! ~
= aj+i(yf+i - уд - а<(у{ - yi-t) - (c( — a, - ai+l)yi =
= ai+iVZ/i+i - aiVyt ~ (fi - at - di+Jyi «=
= Ma^yt) — (e, — at — ai+i)yi. (32)
Разобьем отрезок [0, 1] точками xL на N равных частей,
положим у(х,) = у{ = y(i) и введем обозначения, которыми
будем в дальнейшем всюду пользоваться:
1
Л = —, xL = th, i = 0, 1, .. ., Ar, z0 0, 2,v=l(
„ _	„ У1+1-У1	„ _	_ У г - Vi-I
h	h ' Vx,i h	h
и- - и - yi~l ~ 2yi ~ У;+* -
Uxx,l xx ' '	,2	,t
(33)
Разделим выражение (32) на h2 и получим разностный
оператор
Ля = (ву-х)Л,
di = -4- (Cl — at — я1+1), Z = 1, ..., JV — 1.
п
В § 1 была получена формула суммирования по частям
У-1	А
2 J/iArj = — 2 HVi/i + (г/1’)у — (pi%.	(35)
^0	i=l
Пользуясь обозначениями (33), перепишем ее в виде
А-1	А
2 Уш,!h = ™ 2 viV-x ih + №)х — (.yv)oi (36)
i=0	i==l	’
A-l	A-l / Др \	Л~1
так как	e	~h]^1 д y^x.^h.
i«O	i=0	i~0
Для дальнейшего изложения нам удобнее в левой
части (36) вести суммирование от г = 1 до i — N— 1; это
50
ГЛ, I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
приводит к формуле
Л-1	N
2 ^х,г/г = — 2	+ (yv)N — yQvv (37)
i=l
Подставим сюда i'i = a-Lz- .; получим
A-l	A
2 (alpx,th = - 2	2 * * *;,Л + (<4'20.v - у<> (“;)r
(38)
Это — первая разностная формула Грина. Поменяем в ней
местами yt и zt:
Л —1	Л7
2 (аУ'х)х/ = ~ 2 a + (ay-z) Y - z0 (аг/-)г
(38z)
Вычитая (38z) из (38), получаем вторую разностную
формулу Грина
А-1	N-1
2 У, (“zpx/ = 2 г.’ (‘WpJ* + «.v № - ‘Урх -
- (Уо (“0i - 2« (“ЩД <39>
Если выполнены условия
Уи = z« = 0, ух = z.v = 0,	(40)
О оо
т. е. у = г/, z = zeQiV+)f то в правой части равенства (39)
два последних слагаемых обращаются в нуль и
о / О )	Л’~ 1 о / о ч
2 yAazx}Xih=	Л- Ы)
1®=1	7 ’ i~i	'
Л’-1
КД ° °
Вычитая из обеих частей тождества (41) сумму 2j сГу^гф^
"4=1
получаем вторую формулу Грина для у, z^£}1Y+1:
2 yiAzi/z= У 2гЛу1/г	(42)
i—l
для разностного оператора
A^i — x.i ~ Для всех у s= QjV+i •	(43)
§ 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ 51
Пусть Н =	— пространство сеточных функций г/£,
заданных при i=l, 2, ..., N— ], со скалярным произве-
дением
Л’ -I
i—l
п нормой
М = 7 (1/, у).
Введем оператор А:
Ау =—Ау, у ^11.	(44)
Тогда вторую формулу Грина можно записать в виде
(р, Az) = (Ay, z).	(45)
Эта формула выражает свойство самосопряженности опе-
ратора Л: А* = А и, следовательно, А* = А. При z = y^
первая формула Грина (38) дает:
~ 2 (а°Ух\х/ 2(ЛлГ h > 0
При ?/; ==£ О, Я; > 0	(46)
О с
(так как уй = г/х = 0, то равенство пулю возможно только
О
при Уг 35 0 (i = 1, ..N — 1)). Учитывая определение опе-
ратора А, найдем
N	Л’—1
(Ау, у) = 2 ai + 2<W^>0, «i > 0, ^>0.
i--l '	’ '	i=1
(47)
Таким образом, разностный оператор А, определенный
формулами (43), (44), является самосопряженным и поло-
жительным: А = Л* > 0, есл и
я, > 0, di > 0, i=l, 2, ..А’—1, ах > 0. (48)
7. Условие самосопряженности разностного оператора
второго порядка. Мы убедились в том, что условие (31)
достаточно для самосопряженности разностного оператора
(30) в пространстве Н — QjV+1. Покажем, что условие (31)
необходимо для самосопряженности L. Представим L
52
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ М’ХВНЕЛИЯ
в виде суммы:
Lyi =* L^i + L2yh
Ltft =	- у>) - щ(?Л “	“ (c - «. ~ bf)y„
Ltyi = (bi-ai+l)yi+St
Оператор = №Xyi, Xy; — (ay-)xi — dtyi, как было
показано в предыдущем пункте, является самосопряжен-
ным в пространстве // = Q.v+i или // = 0^-) со скалярным
Л'-1
произведением (у, г) ~ 2 У-11\Ь. Поэтому можно написать:
Отсюда видно, что (/<у, г) = (у, £н), т. е. L = L* только
при условии
Л-1
3 (bl — ЯИ1) (у;+1Г; — Уk 0.	(49)
i=l
В силу произвольности l/i И Vi МОЖНО ВЗЯТЬ yi-r6ijou,
г£ ~ 6(-,i0. где /(| — любой фиксированный узел (/в ~ 1,2,...
../V—1),бщ0 — символ Кронекера. Тогда получим
1/i+ii'i — ya'i-i-i = 6щ0, и условие (49) дает Ь;9 -= що + 1.Тем
самым необходимость условия (31) доказана.
Следует отметить, что уравнение
“ -/<	(30)
можно привести к виду
Гу,-=== .А(Л,у’?/,) -ТЛу, =-Г,,	(51)
где Г — самосопряженный оператор. В самом деле, ум-
ножим обе части уравнения (50) па щ ^О:
Гу,- *» p^.yf-t - у(с(у1 + Ь,ц,у1+1= -рг/г-
и потребуем, чтобы для полученного уравнения выпол-
§ 4. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ КАК ОПЕРАТОРНЫЕ
53
пя л ось условие (31), т. е.
Ь>р. i = (ц«) f и = а, н щ+ i = А;+!.
( bi \	ГТ
Отсюда получаем щ. t - I —----- р( — щ Ц /Va*+i и урав-
\ г+1 /	k=l
нение (.51), где Л4 = а;ц;, Di = р((с< — at — 6,), Z4 = ytifi.
8. Собственные значения разностного оператора вто-
рого порядка. Рассмотрим разностную задачу па собст-
венные значения:
(а^)л-д-dWi 4 hyi 0, i - 1,2,	1, yo-==yA--Ot
(52)
или Ау = Ку, y^Q,N-h где А определяется равенством
(44). Оператор А самосопряжен и положителен, поэтому
к нему относится все сказанное в п. 4.
Для простейшего случая щ = 1, d, = 0 собственные
значения и собственные векторы можно найти в явном
виде. Итак, требуется найти нетривиальные решения од-
нородного уравнения с однородными краевыми условиями
Ухх.г +	~	~ 1, 2, ..., .V — 1, h Л‘ — 1,
I/O = о, у 5 = 0, у,^ 0. (53)
Перепишем уравнение (53) в виде
yt-i — 2cos а?/,- + yf_t = 0, 2cos a == 2 — X/P. (54)
Общее решение этого уравнения имеет вид
у, = Ci cos fa 4- с2 sin ia.	(55)
Требуем выполнения краевых условий: уи = с, = 0,
У\- =•= с2 sin Na — 0. Так как ищется нетривиальное реше-
ние, то с2 ¥= 0 и sin Na = 0, т. е. Na = тл {т = 0,1,2,...),
a “ aw = тл/N == mnh. Из соотношения 2cos а = 2 — Х/Р
находим
XX2 == 2 (1 — cos a) — 4 sin2
,	,	4	. лшЛ.
X “ X»t —-	5- sin~ = .
/А 2
(56)
Этому значению Хт соответствует собственная функция.
i/m(f) = с sin лтхг, с 0, Xi = ih, i = 0, 1, 2, ..N, (57)
определенная с точностью до произвольного постоянного
54
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
множителя. Нетрудно заметить, что
ул,(i) — с sin riNxi = с sin лл = 0, i — 0, 1, 2, ..
yx+1(Z) = c sin л(2У + Day = c sin [лЛЭу + л.г';] =
= c sin nr, cos Л1 = (—l)’yi(i),
y.v+m+i(i) = (-D’y.Ji), m = 1, 2, ..., N - 1.
Следовательно, линейно независимы лишь функции yw(i)
при m<N. Таким образом, пайдепо нетривиальное ре-
шение (собственные функции ym(z), соответствующие соб-
ственным значениям Хт).
Выберем множитель с так, чтобы норма функций
y„,(i) была равна единице: Нута(г)И = dsin nnurjl = 1, с > 0.
Для этого надо вычислить
N-1	N-1
1] sin лтхк )j2 = 2 sin2 ятх1< = 4“ S (1 — cos 2nmxk).
fe=l	n=l
Обозначая a = 2nmh и заменяя cos 2nmxh = cos ak =
= Re e’a'i, найдем
N-l	A-l	.	.
2X1 .	„га_ ja.v
h cos 2nmxk = Re У heia!l — h Re---------— = — h,
A=1	A=1	1 -
K-l
Ij sin nmxk li2 = —1J h------- 2 h cos 2лт-/; =
Nh __ J_
" 2	2 ’
|j sin nmx || = 1 / У 2;
следовательно, с = }'2. Таким образом, функция
y„2d) = V2 sin птхг	(58)
нормирована к единице.
Собственные функции у,(Д и ym(f), соответствующие
разным собственным значениям Xs и АП), ортогональны в
смысле скалярного произведения
Лт-1
(У,;?) = 2 УИ\к.
г=1
Задача (53) является частным случаем задачи (8) с
оператором Ay (i) = — у-х (i). Этот оператор, очевидно,
§ 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
55
самосопряжен и положителен, так как
А-1
(Ay,v) = 2
Поэтому все сказанное в п. 3 остается в силе п в данном
случае.
Собственные значения возрастают с ростом s, так
как sin s <Z sin (s + 1) < 1 при s^.N. Папмень-
Л	4	•	<>	ту
шее сооственпое значение равно Лх =—— sin--п—. Наи-
h~ *
большее собственное значение равно Хх_] — —— cos2-^-,
л1г ; v ..	. ( л л/i }	лк
так как sin (Л — 1) = sin -----------— I — cos ——.
/	. g \2
Переписав X, в виде --л2^—।—j , £ = л/С2 л/4
и учитывая, что sin с/с, убывает и имеет минимум при
£ = л/4. получаем / ^8 прп h 1/2.
Для Ху-! имеем оценку Xy-i < 4/h2 и, следовательно,
8<2.A<4/7r, к = 1, 2, .... 7V-1.
§ 5. Принцип максимума для разностных уравнений
1. Принцип максимума и его следствия. Для разност-
ных уравнений второго порядка с положительными коэф-
фициентами
= alyl-l - c,i/, + Ь,у!+1 = -ср,-.
i = 1, 2, ..., Ат- 1, у{, = щ, г/.у = ц2,	(1)
щ > О, Ь: > 0, cf > at + bi. i = l, 2, .. ., N — 1, (2)
имеет место следующий принцип максимума.
Теорема 1 (принцип максимума'). Пусть разност-
ный оператор L определен формулами (1), (2). Если для
функции yh заданной на сетке о и отличной от постоян-
ной при 1 < i Лг — 1, выполнено условие Ly^O
при всех i — 1, 2, ..., N - 1, то эта функция не
может принимать наибольшего положительного (наимень-
шего отрицательного) значения во внутренних узлах
сетки.
Доказательство. Пусть Lyi > 0 (i = 1, 2, ...
,. ., N — 1). Предположим, что теорема неверна и i/i в не-
56
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
котором внутреннем -узле i—i*, 1 =С А' — 1, достигает
наибольшего положительного значения у; ~ шах yt
*	0<K..V
= Мо > 0. Так как у, const, то найдется внутренний
узел io (ifl может совпадать с i*), в котором у,п = yi* —
= A/t, > О, а в одном из соседних узлов, например, в узле
г = ifl — 1, выполняется строгое неравенство У;о-1 < У:о- За-
пишем выражение для Lyt в виде Lyt — bt(yi+i — yt) —
— «Ху,- — yi-i) — Ui — сц — bi)yi. В узле i = i0 имеем
- 4 >„+i - yi„) - % (»i0 - y«o-0 -
-(4~ %-4)y'»<0’
что противоречит предположению Lyt > 0 для всех i —
“1, 2, ..., N — 1, в том числе для i — 10. Первое утверж-
дение теоремы доказано. Второе утверждение доказыва-
ется аналогично (достаточно заменить у, па — yi и вос-
пользоваться только что доказанным утверждением).
Следствие 1. Если выполнены условия (2), Lyt 0
(i = 1, 2..N — 1), уи > 0, у* > О, то yi > 0 (i =
= 0, 1, .... N).
Если Liji О, у0 0, ух 0, то у,- О (i = 0f 1, .,N).
Доказательство. Пусть Lyt 0 и yt < 0 хотя бы
в одном внутреннем узле i = i*', тогда yt достигает наи-
меньшего отрицательного значения во внутреннем узле,
что невозможно в силу принципа максимума.
Следствие 2. Если гр,-> О, 5s 0, р2 > 0. то реше-
ние задачи (1) —(2) неотрицательно: у, > 0 (i = 0,1,..., АО.
Следствие 3. Если выполнены условия (2), то за-
дача
Lyt^O, i~l, 2, ..., N -- 1, i/n = 0, ух = 0 (3)
имеет только тривиальное решение и задача (1), (2) одно-
значно разрешима при любых ср,-, рц, pt2.
Доказательство. Предполагая, что решение yt
задачи (3) отлично от нуля хотя бы в одной точке i*,
мы приходим к противоречию с принципом максимума:
если yi 0 (у;* <Z 0), то yt достигает положительного наи-
большего (отрицательного наименьшего) значения в не-
которой внутренней точке i = что невозможно. Следо-
вательно, у, s 0.
Теорема 2 (теорема сравнения). Пусть yt-—реше-
ние задачи (1), (2), у,- —- решение задачи
Ly{ « — i = 1, 2, .. ., А — 1, у0 == pip y.v = pi2
§ 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА
57
и выполнены условия
IpJ Ц1, |р2|	р2.
Тогда справедлива оценка
I уд < у<. для всех i = О, 1, .. N.
Доказательство. В силу следствия 2 имеем у, >
53 0. Для разности у, — yt и суммы yt + у> получаем урав-
нение вида (1) с правыми частями ц, — ср, > 0, ц, — рц > 0,
р2 — ц> > 0 и ср, + ср, > 0, щ + pt 5* 0, щ + р> > 0 соответ-
ственно. Так как ср, ± (pf > 0 и ца ±	> О (а = 1, 2), то
в силу следствия 2	— г/, > 0, у, + у, >0, откуда следует
—yi =С г/; уц । Ун чт» и требовалось доказать.
Функцию yi называют мажорантой для решения за-
дачи (1), (2).
2. Оценка решения краевой задачи. Решение краевой
задачи (1), (2) представим в виде суммы yi = уд' + у¥\
где у? — решение неоднородного уравнения с однород-
ными краевыми условиями:
Й« = “ф|> г = 1, 2, ..., N— 1, г/о = уЛ=О, (4)
a y(i^ — решение однородного уравнения с неоднородны-
ми краевыми условиями:
Lyt = 0, с = 1, 2, ..., N— 1, г/„ = ц15 ,уЛ = ц2. (5)
Докажем, что для у?’ справедлива оценка
max | ур} [ < тах (| р-А |, | pi21).	(В)
о < i < А
Пусть yi — решение задачи
Lyi = 0, i = l, 2,
у0~ух = р, р = тах(|ц1|, lpi2l).
Тогда по теореме сравнения |_у<2) |	| yi |, а в силу прин-
ципа максимума шах 1у,1 ц, так как у,Х) может до-
Д'
стигать наибольшего положительного значения только на
границе, т. е. при i — 0 пли ie N.
Нетрудно доказать, что величина max [ уг | является
О < i Л’
нормой. Норму принято обозначать символом Ну11с. Та-
ким образом, мы получили оценку Иу(2>Нс «S max (I pj, IpJ).
58'
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Теорема 3. Пусть выполнены условия
kJ > О, \bt\ > 0, di = IcJ — kJ — kJ > О,
i = 1, 2, ..., 2V-1.	(7)
Тогда для решения задачи (4) справедлива оценка
\\у Ис < II <р4_	(8)
Доказательство. Для доказательства перепишем
(4) в виде
= «i/Zt-i + М*+1 + Ф-	(4')
Пусть \уг\ достигает наибольшего значения
при I — ц (0 < i0 < TV), так что |	| I/i01 при любом i =
— О, 1, .. N. Тогда из (4') при i ~ i0 следует
1% I I I "= I “Л’1 + 44 11 + I < I а‘« I I 4“> I +
+141 л, > I +1 +»I < (I Л 1 + 141)141 + 1 П 1>
(IЛ Н 4 М 41) I 4 I < I +»I’ 141 < у2-1 < | Д 
% II а 4
Тем самым оценка (8) доказала.
3 а м е ч а п и е. Если условие di = ct — щ — Ь{ > 0 пли
сЛ — kJ — kJ — kJ > 0 не выполнено, например,
di — Ci — щ — bi > 0, at > 0, bi > 0, г = 1, 2, ..N— 1, (9)
т. е. dt может в некоторых узлах обращаться в нуль, то
теоремой 3 пользоваться нельзя. В этом случае для оцен-
ки решения гц задачи (4) можно поступать так. Пред-
ставим у; в виде суммы у, = vt + иц, где ш,- — решение за-
дачи
О
Livt = b^w^i — wd - a^Wi — Шг-i) — —ср,,
i = 1, 2, ..., N — 1, гщ = щу = 0.	(10)
Тогда v£ определяется из условий
LVi = &,(p,+ 1 - vd — a,(Vi — Vf-i) - dtVi = — diW„
i = l, 2, ..., 7V-1, vo = v„ = O. (11)
В этом можно убедиться, складывая почленно уравнения
(10) и (11). Функцию ivt можно оценить непосредствен-
§ 5. ПРИНЦИП МАКСИМУМА	59
но (см. гл. IV, § 3), написав ее в явном виде, а для
оценки Vi нам понадобится
Теорема 4. Для решения задачи (11) при условиях
(9) справедлива оценка
11н11с	(12)
Доказательство. Если d, s О. то в силу следст-
вия 3 l’i = 0 и оценка (12) выполнена. Пусть di =/= 0 хотя
бы в одной точке. Построим мажоранту Vt как решение
задачи
Lvi = — dt\иц[, i = 1, 2, ..., TV — 1, г?у = vx = 0.
Пусть Vi > 0 достигает наибольшего значения при
i = z0; тогда rf|) м 0, pi()— щ0_г>0 и пз (4) следует
< - ь>, (4+1 - %) + а'!> (% - 4-0 +	=
= Д,14|-
Если cZio>O, то п1о < | ?Pi01, и мы сразу получаем оценку
(12), так как | щ | Щ- Если dlQ ~ 0, то уравнение (И)
принимает вид — Ь-,о (с’;о+1 — що) Д- aio (к,0 —	0, и
из него следует, что що+1 = щ _х— г, . Так как vt ^const, то
существует такая точка i = Ц, в которой щ , а в со-
седней точке, например i = Д 4- 1, щ1+1 < щ ; тогда здесь
и мы получим рассмотренный выше случай:
4 И	Me-
3. Оценка решения разностного уравнения при по-
мощи формул прогонки. Для случая, когда b<^ai+i, т. е.
когда оператор Ly, является самосопряженным, можно
оценить решение задачи (4) при помощи формул пра-
вой прогонки. Уравнение (4) нам удобно записать в
форме
Лг/t = (ay-x)Xii — diyi -= - <рь
i 1, ..., N — 1, у0 - 0, уN = 0, (13)
<2i > 0, di 0.
Перепишем его в обычном виде:
ВД-i - Ciyi + ai+iyi+l = -h2{pi, уа = yN = о,
ct = a.i + а>+1 + hzdh щ>0, i = 1, 2, ..., N — 1.
60
ГЛ. I. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим формулы прогонки
iji	+ Pi+ir Уд-'-О, i - 1, 2, ..N — 1,
04 = 0, z = 1,2, iV-1
«Д4- фЛ"
^ = 0,	1,2,
При условиях (7) имеем |af+1l =C 1 и
Д’	Д’
I У1 I | УН1 1+ I Phi 1 ’C I У.Х I + 2 IM = 2 I pa I-
s=i + l	s=Hl
Вводя функцию пф(- = тр. получаем
ПН1 = ('Ф + Л2<рОань
I Hi+i КI »ъ I + № | фП < । П11 + 2 й21 срА J,
&=1
так что
|PhiJ<~~^2 h | Фа |.
4+1 h=l
В результате получаем для решения задачи априорную
оценку
Ис < 2	аы<г2 h ifp*iпри
s=l 4A~-i
А ^==1	А=1
Этой оценкой мы воспользуемся при изучении сходимо-
сти разностных схем.
Глава П
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ
ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 1. Интерполяция и приближение функций
1. Постановка задачи. Одной из основных задач чис-
ленного анализа является задача об интерполяции функ-
ций. Часто требуется восстановить функцию fix) для
всех значений х на отрезке а х Ь, если известны ее
значения в некотором конечном числе точек этого
отрезка. Эти значения могут быть найдены в результате
наблюдений (измерений) в каком-то натурном экспери-
менте, либо в результате вычислений. Кроме того, может
оказаться, что функция fix) задается формулой и вычис-
ления ее значений по этой формуле очень трудоемки,
поэтому желательно иметь для функции более простую
(менее трудоемкую для вычислений) формулу, которая
позволяла бы находить приближенное значение рассмат-
риваемой функции с требуемой точностью в любой точке
отрезка. В результате возникает следующая математиче-
ская задача.
Пусть на отрезке а «£ х b задана сетка w = {хм =
= а < х{ < ... < хп = Ь} и в ее узлах заданы значения
функции р(х), равные yixj = у(!, ..., у(х() = у,...., yixn) =
— ytt. Требуется построить интерполянту — функцию
/(х), совпадающую с функцией yix) в узлах сетки:
fixt) yh i = 0, 1, ..., и.	(1)
Основная цель интерполяции — получить быстрый
(экономичный) алгоритм вычисления значений /(х) для
значений х, не содержащихся в таблице данных.
Основной вопрос: как выбрать интернолянту fix) и
как оценить погрешность yix) ~ /(х)? Интерполирующие
функции fix), как правило, строятся в виде линейных
комбинаций некоторых элементарных функций:
/ U') щ 2 Сдф/i (х),
А=~0
где {Ф*(х)1 — фиксированные линейно независимые функ-
ции, с0, с4, ..., сп — не определенные пока коэффициенты.
62 ГЛ. IT. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Из условии (1) получим систему 1 уравнений отно-
сительно коэффициентов {сь1:
2 саФа (ж,) = щ, z = 0, 1, . . /?.
А--0
Предположим, что система функций ФДж) такова, что
при любом выборе узлов а = л’о < хл < ... < хп = b отли-
чен от нуля определитель системы:
Фо (Хо) ф1 (*о) • • • Фп (Хо)
Д(Ф) фоОд) Ф1(Н) ФДЖ1)
фо Ы Ф1 (М • •  ф« (ж«)
Тогда по заданным у, (i = 0, 1, ..п) однозначно оп-
ределяются коэффициенты ck {к = 0, 1, .... п).
В качестве системы линейно независимых функций
{Фй(д7)} чаще всего выбирают: степенные функции
Фй(ж) = xh (в этом случае / = РДх} — полином степени и);
тригонометрические функции {Фл(.г) = cos кх, sin кх}
(/ — тригонометрический полипом). Используются также
рациональные функции
% су + ... + ут
[30 -г
и другие виды интерполирующих функций. Мы рассмот-
рим интерполяционные полиномы и сплайн-интерполя-
цию — случай кусочно-полиномиальной интерполяции.
2. Полиномиальная интерполяция. Известно, что лю-
бая непрерывная па отрезке [щ Ъ] функция /(ж) может
быть хорошо приближена некоторым полиномом /’„(ж)*):
Теорема В е й е р ш т р а с с а. Для любого 8>0 су-
ществует полином Рп{х) степени ?г = п(е), такой, что
шах | f (,г) — Рп (х) | < е.
Х = [<1,М
Однако эта теорема пе дает ответа на вопрос о суще-
ствовании хорошего интерполяционного полинома для
заданного множества точек {(ж;, у()}.
Итак, будем искать интерполяционный полином в
виде
Рп = 2 CkXh,
7i-0
(2)
*) См. например, Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы матема-
тического анализа, ч. II.—М.: Наука, 1980, с. 50.
g 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 63
где ch — неопределенные коэффициенты. Полагая /(^) =
— yi, получаем систему линейных уравнений
Со + С А + • . • +	= ^о>
с() 4- с1х1 + .. . Ч- СпХД
С() Ч" Ч~ • • • + CnX,t = у}1.
Определителем этой системы является отличный от нуля
определитель Вандермонда:
А =
1	•%	4	<
л	°	п
1 Х^ ... х^
f	X	х'	х^
1	.с?г	X п ...
Ц	*^m) =?^: О*
п -1{>т': О
Отсюда следует, что интерполяционный полином (2) су-
ществует и единствен (форм записи его существует
много).
В качестве базиса {Ф*(лс)} мы взяли базис из одночле-
нов 1, х, х2, ..., хп. Для вычислений более удобным яв-
ляется базис полиномов Лагранжа {Zft(z)) степени п пли
коэффициентов Лагранжа'.
II, если i ~ к,
(л 01) если i =£ к, i, к 0,1, . . ., п.
Нетрудно видеть, что полином степени п
h О) = 1/<1} (х) —
= (х ~	~ Н) • • • 0 - 34-1) О ~ *м-1) • •  о - *0
(xk ~ хф !xk - Л) • • • 0/г ~ xk-i) Iх i< - Xkxi) •••(**“ ХЛ
удовлетворяет этим условиям. Полипом Zft(x), очевидно,
определяется единственным образом. В самом деле, пусть
существует еще один полипом lklx)', тогда их разность
lhl.x) — 1к(х) = qn(x) есть полином степени п, обращаю-
щийся в нуль вп+1 точках х, (г — 0, 1, ..., и). Это воз-
можно только при thix) — l^x) s= 0.
Полином Zft(^)yft принимает значение yh в точке xfi и
равен нулю во всех остальных узлах х3 при / к. Отсюда
следует, что интерполяционный полипом
п	п
Рп (я) = Ik (х) yk yh JJ ~	(3)
/г-о h ;i i
64 ГЛ. II. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
имеет степень не выше п и Рп(х,) = у{. Формулу (3) на-
зывают формулой Лагранжа. Число арифметических дей-
ствий для вычисления по (3) пропорционально п2. Для
оценки близости полинома Р^х) к функции /(ж) предпо-
лагают, что существует и + 1-я непрерывная производная
y(n+D(z)_ Торда имеет место формула для погрешности
/ (х) — Рп (х) = — П (х ~	£ е= [а, Ь].
3. Интерполяционная формула Ньютона. При вычис-
лениях на ЭВМ удобна интерполяционная формула Нью-
тона. Для ее записи надо ввести так называемые разде-
ленные разности:
разделенная разность первого порядка’, yix,, Xj) =
= ty(x() — y(Xj)]/(Xi — Xj);
разделенная разность второго порядка: у(х,, xh xk) =
= [t/(xf, Xj) — y^Xj, Xfc)]/(xf — Xk) II T. д. Если y(x) =
= Pn(x) — полином степени n, то для него первая разде-
ленная разность Р(х, х0) == [Р(х) — Р(х0)1/(х — х0) есть по-
лином степени п— 1, вторая разность Р(х. х0, хг)— поли-
ном степени п — 2 и т. д., так что (п + 1)-я разделенная
разность равна нулю.
Из определения разделенных разностей следует:
Р(х) = jP(x0) + (х — х0)Р(х, х„),
Р(х, х0) === Р(х», xj + (х — xt)P(x, Хо, X,),
Р(х, Х0} Х1)=Р(х0, Х1} Х2) + (х — Х2)Р(х, Хо, Xi, х2)
и т. д. Отсюда получим для Р(х) формулу
Р(х) = Р(х„) +
+ (х Xu)P(x0, Xt) + (х — хо)(х — хДИхо, Xi, х2) + . . .
... + (х — х0)(х — xt)... (х — хп)Р(х9, Xi, . .., xn). (4)
Если P(x) — интерполяционный полином для функ-
ции р(х), то его значения в узлах сеток совпадают со
значениями функции t/(x), а значит, совпадают и разде-
ленные разности. Поэтому вместо (4) можно написать
п
f(z) = Уо+ 2 (х — *о) (я — xj ...
Л-1
... (X — xh~}) у (х0, х1г . ХА)
(полином Ньютона), После того как вычислены разделен-
§ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 65
ные разности, вычислять полином Ньютона удобно но
схеме Горнера:
/U) = у(х0) + U — хй)ly(x0, .rj + (х — Х1)1у(хй, х^ xt) + .. .И.
Вычисление fix) для каждого х требует п умножений и
2п сложений или вычитаний.
Существуют и другие формулы интерполяции. Среди
них наиболее употребительна эрмитова интерполяция.
Здесь задача ставится так. Заданы п узлов {я\}, п значе-
ний функции {yj и п значений производной {i/iJ; тре-
буется найти полином максимальной степени 2п — 1, та-
кой, что
Р (Xi) = у» Р'(х-) = уi, 1 = 1,2, .. п.
Если все хг различны, то существует единственное реше-
ние, которое находится способом, аналогичным методу
Лагранжа.
Следует иметь в виду, что применение полинома вы-
сокой степени может приводить к трудным проблемам,
связанным с ошибками округления.
4. Сплайн-интерполяция. Рассмотрим специальный
случай кусочно-полиномиальной интерполяции, когда
между любыми соседними узлами сетки функция интер-
полируется кубическим полиномом {кубическая сплайн-
интерполяция). Его коэффициенты на каждом интервале
определяются из условий сопряжения в узлах:
А = у<,
f'(.Xi — 0) = f{xt + 0),
+	i-1, 2, ..., п-1.
Кроме того, на границе при х = х0 и х — хп ставятся ус-
ловия
ГШ = О, f'UJ-O.	(5)
Будем искать кубический полином в виде
Кх) — Hi + bKx —	+ сКх — Xi-iY + dKx — Xi-iY,
Xi-i X C Xi. (6)
Из условия fi = yt имеем
/ (Si-i) = Hi = l/i-i,
/ fai) = a-i + bihi + Cj/ii + dihi = yif	(7)
hi = Xi — i = 1, 2, ..., n — 1.
G6 гл. II. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Вычислим производные:
f(x) —	+ 2с,(х — Xj-J + ЗсЦх —• .Zi-i)2,
/" (a?) = 2c{ + Gd,(x — xt-i У x C z,-,
и потребуем пх непрерывности при х *= х,:
bUl — bi 2cji[ -j- 3dd>i,	(g)
с-, H ~ a + 3dthi, i ~ 1, 2, ..., n — 1.
Общее число неизвестных коэффициентов, очевидно, рав-
но 4п, число уравнений (7) и (8) равно 4тг —2. Недоста-
ющие два уравнения получаем из условий (5) при х xv
И X = Хп'.
Cj == 0, сп + 3dnhn = 0.
Выражая из (8) <?,=	— с,)/ЗЛ„ подставляя это выра-
жение в (7) п исключая «,==?/;-!, получим
Ю/i — .Vi-i)	—т hi (с; -i-j -p 2c3, i— 1, 2, . . .л n 1,
2
bn ~	h-ц] hncn.
Подставив теперь выражения для &i+1 и dt в первую
формулу (8), после несложных преобразований получаем
для определения Ci разностное уравнение второго по-
рядка
2 (/?ч4~/цн) С;.1 гф ^i + lcH-2 --3^------:---—----
/-1,2, ...,п-1., (9)
с краевыми условиями
щ = 0, с,1+1 = 0.	(10)
Условие сп 11 = 0 эквивалентно условию сп + 3dnhn 0 и
уравнению ci+i = с, + dtht. Разностное уравнение (9) с ус-
ловиями (10) решается методом прогонки.
Можно ввести понятие сплайна порядка т как функ-
ции, которая является полиномом степени т на каждом
пз отрезков сетки и во всех внутренних узлах сетки
удовлетворяет условиям непрерывности функции и про-
изводных до порядка т — 1 включительно. Обычно для
интерполяции используются случаи т == 3 (рассмотрен-
ный выше кубический сплайн) п in ~ 1 (.линейный сплайн,
соответствующий аппроксимации графика функций у(х)
ломаной, проходящей через точки (^,, уд).
§ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 67
5, Применение интерполяции. Интерполяция приме-
няется во многих задачах, связанных с вычислениями.
Укажем некоторые из этих задач.
Обработка физического эксперимента •— построение
приближенных формул для характерных величии по таб-
личным данным, полученным экспериментально.
Построение приближенных формул по данным вычис-
лительного эксперимента. Здесь возникают нестандарт-
ные задачи интерполяции, так как обычно пишутся фор-
мулы возможно более простой структуры.
Субтабулирование, т. е. сгущение таблиц; применя-
ется в тех случаях, когда непосредственное вычисление
функции трудно или когда имеется мало эксперимен-
тальных данных. В машину вводится небольшая табли-
ца, а нужные при расчетах значения функции находятся
по мере необходимости по интерполяционной формуле.
Интерполяция применяется также в задаче обратного
интерполирования: задана таблица	найти Xi
как функцию от р(. Примером обратного интерполирова-
ния может служить задача о нахождении корней урав-
нения.
Интерполяционные формулы используются также прп
вычислении интегралов, при написании разностных ап-
проксимаций для дифференциальных уравнений на осно-
ве интегральных тождеств.
Математическое обеспечение любой ЭВМ содержит
стандартные программы интерполирования.
6. Среднеквадратичная аппроксимация. До сих пор
мы рассматривали построение интерполяционных поли-
номов y(z), совпадающих со значениями исходной функ-
ции jix} на некотором множестве узлов па сетке со:
у(^) =	х^(£).
Функция y(z) приближает (аппроксимирует) функцию
f(.x) на интервале сетки.
Пусть Lz[a, b] — пространство вещественных функций
со скалярным произведением
ь
(f, ф) ~ j f И ф И dx
а
и нормой
ll/k,'’ /(АЛ-
68 ГЛ. II. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Рассмотрим общую задачу об аппроксимации функ-
ции fix) функциями L2, заменяя требование у. «= /, усло-
вием минимума нормы: \\f— у\\ь.., пли малости нормы:
|| / — у Цц < е, где g > 0 — заданная точность.
Отыскание inf || / — у Цц есть задача о нахождении
наилучшего среднеквадратичного приближения. В каче-
стве yix) возьмем обобщенный полином
п
у А') -= 2 Wt (•*),
/г-0
где {<рл(д?)} — семейство ортонормированных на [п, &]
функций
(1, к = т,
(фА, фт) Sfrm, блт = k^i=Hl,
ch — произвольные коэффициенты. Тогда задача нахож-
дения наилучшего среднеквадратичного приближения
сводится к отысканию минимума функции п + 1 перемен-
ных Со, с(, ..сп:
II	п
min /(я) — 2	<»
{<*/(} II	А=0
F (f0’ ^Т’   • ’ Гп)‘
Вычислим среднеквадратичное уклонение
\\f — у\1г = \\/\\г— 2if, у) + llyll2.
Подставляя сюда выражения
(Л У) = 2 ?k (f, Фа) = 2 Га/а, А = (Л Фа),
А=0	А=0
kll! =
получим
/г-0	О
Отсюда видно, что минимум погрешности достигается при
сЛ = А, т- е. на функции
У &) = Уп (л) — 2 Афй (^)-
А-=о
g 1, ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ 69
В этом случае
= S/t (II)
/t-О
Таким образом, наилучшее среднеквадратичное прибли-
жение существует и единственно. Оно приводит к задаче
о вычислении интегралов для определения ск = fh = (/, фй).
Если функции {<рА} образуют полную ортонормирован-
ную систему, то выполняется равенство Нарсеваля —
Стеклова
ОО	Ь
S 7* =	<&=!/?•
Ь -0 а
(12)
Сравнивая (И) с (12), находим
Г/-у»Г= S /?.
h=n И
т. е. И/ —уп11-*0 при и-*оо; наилучшее среднеквадратич-
ное приближение сходится к fix) и возможна аппрокси-
мация с .любой точностью: II/ — i/JI < 8, если n>N(z)
(п достаточно велико).
Замечание. Все рассуждения сохраняют силу, ес-
ли скалярное произведение берется с весом р(х) > 0;
ь
(/, ф) = f / (#) Ф И Р (*) dx.
а
Возможны и другие критерии аппроксимации, когда ук-
лонение / — у минимизируется в другой норме, например,
в норме пространства С (равномерное приближение). При
наилучшем равномерном приближении мы отыскиваем
функцию у (ж), на которой достигается
min max \f(x)~y (;r)|.
Однако пока не найдено метода нахождения за конечное
число действий коэффициентов наилучшего равномерно-
го приближения для функции, заданной на отрезке
[а, Ъ]. Возможны и другие постановки задач аппрокси-
мации — на дискретном множестве, на совокупности от-
резков и др. Изучаются также методы нелинейной ап-
проксимации, например, при помощи рациональных
функций. Это оказывается эффективным при обработке
экспериментов.
70 ГЛ. TI. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЯПСЛЕПНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§ 2. Численное интегрирование
1. Постановка задачи. Простейшие квадратурные фор-
мулы. Задача численного интегрирования состоит в на-
хождении приближенного значения интеграла
ь
J \/\	^ i	(1)
с
где fix) — заданная функция. На отрезке [к, Ь] вводится
сетка со — {х,: хи = а < xt < ... < х, < z<+1 < ... < хк = 6}
и в качестве приближенного значения интеграла рассмат-
ривается число
А- [/] = 2 <Л Pl), '	(2)
где /(ад) — значения функции fix) в узлах х = xt, — ве~
еовые множители (веса), зависящие только от узлов, по
не зависящие от выбора /(х). Формула (2) называется
квадратурной формулой.
Задача численного интегрирования при помощи квад-
ратур состоит в отыскании таких узлов {ад} и таких ве-
сов {rj, чтобы погрешность квадратурной формулы
X	Ь
D ГЛ = 2 Cd (xd - J f P) d.t = JN l/I - J |/|
i-0	a
была минимальной для функций из заданного класса
(величина Z>[/] зависит от гладкости fix)). При постро-
ении квадратурной формулы обычно представляют ин-
теграл (1) в виде суммы интегралов вида
Р
f / (я) dx,
а
каждый из которых сводится к стандартному интегралу
по отрезку единичной длины:
1
/.[/] = j/(s)ds	(3)
О
с помощью замены
х ~ а +	— a)s,	(4)
fix) = /(а + (0 — a)s) = fis),	(5)
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
71
так что
3	1
j / (х) dx — и J / (s) ds — xL I/], к p-а
а	О
(черту сверху над /($) будем опускать). Будем считать,
что (о — равномерная сетка. Тогда можно написать
/[/] = 2 Ji,
i«--l
xi	1
Jt — J / (ж) dx — h § f 4- hs) ds.
xi—l	о
Если N = 2i0 — четное число, то
;o
/1/1-2 Лг-Ь
x2i	1
J2i~i — j* / (л1) dx = 2h J / (z2i„2 4- 2As) ds,
Xoj 2	0
II T. Д.
Таким образом, задача сводится к построению квадра-
турной формулы для интеграла (3) по единичному отрез-
ку. Выберем ла отрезке 0 $ -< 1 узлы О s0 <	.
.,. < sn, < 1 {шаблон квадратурной формулы) и поставим
интегралу (3) в соответствие формулу
т
А (/) = 2 Pk! (sh).	(6)
k=0
Рассмотрим простейшие квадратурные формулы:
формула, прямоугольника (шаблон содержит один
узел):
т. о, ?0 1, б-0 = 1, д (/; = / (4*);
формула трапеции (два узла):
т — lj	, Pi == —,	= 0, Sj = 1,
Л(й = 4(/(0)+ /(!));
72 ГЛ. II. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
формула Симпсона (три узла):
т ~ Ри — Р‘2 ~ "(р Pi ~ 7Г’ s° ~	~ 2"’ 5'2 ~~ -
А (/) = Ц/ (0) +4/(|) + /(!))
и другие. Па практике, как правило, применяются фор-
мулы с небольшим числом узлов шаблона.
Напишем теперь соответствующие формулы для ин-
теграла (1) на равномерной сетке {Xi = ih} с шагом h.
Учитывая замену (4) и (5), получим:
формулу прямоугольника:
W-1
Js [/] = 2 hf to+1/2), ^+1/2 = Xi 4- -2 h; (7)
i=0
формулу трапеций:
J.\ [/] = 2 co~ Cx = 4’ ci=1’	. .,AT—1;
1—0
(8)
формулу Симпсона:
N
(/1 = 2^/ w * = 4 (/о+4л+2/, + 4/3 +...
i—0
... + 2Av_.> + 4/х_г + f.v) при N = 2г0. (9)
2.	Построение квадратурных формул. В силу сказан-
ного выше изложение достаточно вести для стандартного
интеграла (3), которому ставится в соответствие квадра-
турная формула
1	т
| f (s) ds 2 Phf (sh).	(10)
О
В общем случае узлы и веса неизвестны и подлежат оп-
ределению.
Рассмотрим сначала случай, когда узлы заданы и
требуется найти веса квадратурной формулы {ph}. Мы
будем пользоваться требованием: формула (10) должна
быть точной для любого полинома Pr(s) степени г^т:
МРГ1=1АРГ), г^т.	(И)
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
73
Для того чтобы полином степени г удовлетворял (11),
достаточно потребовать, чтобы квадратурная формула бы-
ла точной для любого одночлена s° степени о (о = О, 1, ...
г). Учитывая, что £[$°] ==1/(о + 1), получаем из (11)
т +1 уравнений
Ро + Pi 4- • • • + Рт ~ 1,
Pos(, + -г • • • 4 P>»s,n 1 2,
PosU Н P1S1 У • • • 4 Рт$т — 1 (о 1),
pos™ + P1S1 + • • • + РА = 1/(т 4-1).
Эта система имеет единственное решение, так как ее оп-
ределителем является определитель Вандермонда, отлич-
ный от нуля, если нет совпадающих узлов, s0 < «i < ...
•.. sm.
Так, полагая т = 2, $о = О, *=® 1/2, $2 = 1, имеем си-
стему р0 4-/ц 4-р2 1, pt/2 + р2 = 1/2, р/4 4-р2 = 1/3, ре-
шением которой являются веса формулы Симпсона: р0 =
— р2 = 1/6, pt ~ 4/6. Таким образом, формула Симпсона
является точной для полинома второй степени. Однако,
в силу симметрии, она является точной и для всех поли-
номов третьей степени:
P3(s) = 1 + ajs - 1/2) + a2(s - 1/2)2 + a3(s - 1/2)3,
так как она точна для /(s) = (s —1/2)3. В самом деле,
Л[(’~т),]=Я(_т) +4-О+(4)) = Ог
4(s-t)3 = f (s - т)* = °-
о
Формулы прямоугольника и трапеции точны для ли-
нейной функции, т. е. для полинома первой степени,
в чем легко убедиться непосредственно.
В общем случае в качестве Р -,/*) можно выбрать ин-
терполяционный полином Лагранжа
т
РтМ= 2 f” W Ш),
fe-0
где ($) — интерполяционный коэффициент Лагранжа.
ГЛ. И. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Из равенства
L [Лп] = f Рт (s) ds = 2 / («*) f (*)	= 2j Pkf (Sh)
Q	fe=o 0
видно, что формула (10) точна для полинома степени т,
если весовые множители ph определяются по формуле
1
Pk = J lhn) (s) ds.	(12)
о
Формулы такого типа называют квадратурными форму-
лами Котеса.
Приведем в качестве примеров подобных формул еще
две квадратурные формулы:
па четырехточечном шаблоне, —= А/З (& = (), 1, 2, 3),
тп = 3:
А (/) - |(/(0) +	+ 3/(|) + /W)-
1	3
РО Рз = J, Pl = Р-2 =
па пятиточечном шаблоне, sh = k/^ (Р = 0, 1, 2, 3, 4),
m — 4:
A W = -55 ( л (0) + 32/ (4) + 12/ (1) + 32/ (4) + 7/ (1)),
7	32	12
Ро Р1 00 ’ Р1 Рз g() J Р-2 ~~ 90 •
У всех приведенных выше пяти квадратурных фор-
мул шаблоны состоят из узлов, симметричных относи-
тельно середины s ™ 1/2 отрезка 0 С .> С 1.
3.	Формула Тейлора с остаточным членом в инте-
гральной форме. При исследовании погрешности квадра-
турной формулы нам понадобится формула Тейлора с
остаточным членом в интегральной форме:
/ (») ” / (0) + »/' (0) + 4 г (°) + • • • +	/”’(0)+tf„+1(s),
(13)
о
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
75
Эта формула может быть
Для п — 0 она верна:
доказана индукцией но п.
/(*)-/(0)4-Я, (6),
«1 (S) = J7 (t'jdt.
о
Допустим, что она верпа для
стям получаем соотношение
п. Интегрированием по ча-
(s - t)n
н!
dl -
(*- о'г+
(п + 1)’
S '
~ (» Г 1)!
/<п И) (0) + f /"+2’ «оdt’ («)
j (м ~г 1) '
о
которое и доказывает формулу (13) для
функцию
Кп (£)
Ц’7«!
” Ю
при £ О,
при £ < 0,
Вводя
(15)
о о
п + 1.
запишем формулу для остаточного члена /?,Н1 в виде:
1
(s) - j A'„ (s - о /" н’ (I) dl.	(16)
о
4.	Формула для погрешности квадратурной формулы.
Перейдем к выводу формулы для погрешности квадра-
турной формулы
Д(/)=Д[/]-£[/]	(17)
в классе 6,fn+1) функций, имеющих (н4~1)-ю непрерыв-
ную производную на отрезке O^sCl: /(х)еС",,+1) [0,1].
Тогда верна формула (13), или
п
/(S) = P„(s) + fl,+i(s), r,.(s)==2-^/o)|0). (18)
о-о
Из предыдущего (см. п. 2) ясно, что для полинома
Pn(s) степени п формула (10) является точной в двух
случаях: при п < т 4-1 == п0, если т четно и формула
76 ГЛ. И. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
симметрична; при п т = п0 во всех других случаях. Мы
будем пока предполагать, что
A(PJ = £[Pj, т. е. п С п0.	(19)
Обратимся теперь к разности Д(/) и подставим / —
= Рп + Rn+l в (17). Учитывая (16) и (19), получим
А (/) = Л [/] ~~ L[f] —
(Л [Рп| - L (PJ) 4- (Л [Яа-н! - L (/Ux I) -
— Л + — L I R-n hJ “ S Ph f Kn ($h — 0 f (0 dt —
- J J Ktl (s - t) f{n rl) (i) dt ds -
о 0
Пользуясь выражением (15.) для Ku(s — t), находим
f JZ / П Л f О - 0П J (1 - f)nM
J Kn l)ds — n[ ds —	+	.
0	t
В результате формула для погрешности принимает вид
А(/) = p„+1(Z)/'“+l>(f)rf<,	(20)
о
где
^п+1 (0 — PhKn (Sfi — t) (п .	(21)
Отсюда следует оценка для погрешности
|Д(/)| ^Л/п+1сн+1	(22)
при l/tn+i)(0 [	Ж,1+1, где Мп+1 > 0 — постоянная, и при
Спи — J I f'n+i (О I dt.
о
Если Fn+^t) не меняет знака на отрезке 0	1, то в
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
77
силу теоремы о среднем имеем
1
О
5.	Оценка погрешности конкретных формул. Мы по-
лучим оценку погрешности Д(/) = AIJ] — Л[/] квадра-
турной формулы для стандартного интеграла (3). При
переходе к формулам для интегралов (1) и (3) надо
учесть, что
(*) __ хо dgf (х)
dsn	dxq '
7 (0 — / 00, х ~ а 4- Ф — <х) s, dx = х ds, х = р — ос.
Поэтому для погрешности
m	Р
d I/] = 3 *Phf Ы — | / (x) dx = хД (?)
в силу (22) верна формула
I d [/] | < ец+1хп+2 max |	(x) |,
x^tcc.p]
C/i-H = J | F7i+i (0 | dt.
о
Для вычисления погрешности Л/], очевидно, надо
просуммировать на сетке погрешности |£>[/11.
Рассмотрим простейшие квадратурные формулы.
1) Формула прямоугольника: т — 0,	= 1,
s0= 1/2, Д(/) =/(1/2). В силу формулы (20) имеем
А, [Л = jX(07"(0<«. ^(0
О
т. е. Л2 (0 = - (1 - /)2 2 < 0 при / > 1 2, F., (0 = (1/2 -
-0-(1-02/2=-^/2<0 при t<0, т. ё. FUX0-
знакопостоянная функция и
1
Д1 (7) = 1" (ч) J	(0 dt --= -	’1е (°'
78 ГЛ. П. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Отсюда следует, что
di [/] =	- J /(Л * = - 4 Л5А
xi-i
St s ,г(].	(23)
Суммируя по г=1, 2, ..., N и учитывая, что среднее
арифметическое равно
А’	А’
2 hr (50 =	2 Г (50 ” Г (5*) (6-«) Л* е 1«, Ы,
i==l	i
получаем для погрешности формулу прямоугольника:
PvW = -4j/’(5*)(b-«).
Если fix') имеет непрерывные производные ио крайней
мере четвертого порядка, /д)еС1п) (п>4), то можно
написать асимптотическое разложение для погрешности:
Dy (/) = а2/г + а4/С,	(24)
где
ь
- 4 J	/' («)!
(1
В самом деле, подставив в (20) выражение
г (о=1" (4)+(«- 4) г (4)+4 (' - 4-)2С (-о,
П (0, 1),
после несложных вычислений найдем
А1 (7) = - 4 Г 4) + W /IV <Т. 11 е (О, 1).
Отсюда следует, что
Дх (/) “ —	/z/n (U
i=*l	i==l
Учитывая, что в силу (23)
N	b
2 ^-1/г J Г Сг) dx — А_ /Iv (S*) • (b — a), S* [а,
<“1	а
получаем разложение (24),
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ	79
Ий (24) видно, что формула прямоугольника имеет
четвертый порядок точности: £>х(/) = О(/&4), если функ-
ция /(ж) удовлетворяет условию /'(а) =/'(&). Если из-
вестны f(a) и fib), то можно положить /(ж) = ср(ж) +
-btzz + pr1, где ф(л:) удовлетворяет условию q/(a) = срЧб),
-	bf' (о) — af' (М	о	Г (6) — f (a) m
если выбрать а = -Е-Е/---L2_'	R	тогда
Ь — а 1	2 (b — a)
ь	ь
J / (х) dx = J ф (х) dx -4- с,
а	а
с=^(Ь*-аг) + 1р(Ь-1-аз).
Интеграл от ф(я) вычисляется по формуле прямоуголь-
ника с точностью O(hi),
2) Формула трапеции; т = 1,	==	= 1/2,
So = 0, Sj = 1,
A(^ == J-(AO) ч- 7(1))-
Функция F2 (0 = ~ t (1 — 0 > 0 знакопостоянна, поэто-
му верна оценка
£>.v(/) =	/"й*)-(Ь - О,	И.
т. е. коэффициент при h~ в выражении для погрешности
формулы трапеции в 2 раза больше, чем для формулы
прямоугольника. Повторяя рассуждения, аналогичные
проведенным выше, убеждаемся в том, что верна фор-
мула
Рх(/) = -2а2Л2 + а4/? при	п > 4,
где определяется согласно (24), а4==О(1).
3) Формула Симпсона: т = 2, зй — 0; st == 1/2,
s2 = 1, Ро = lh = 1/2, Pi = 4/6,
A (?) = 4(7(0) ++ /(!)).
Так как формула Симпсона точна для полинома третьей
степени, то п ~ 3. и мы вычисляем:
1
д3(7) = С; w 7,v(0rf0
о
f\(') = |(А’з (0 - /) А’3 (1 - 0) А, (4- / | - Ugli.
80 ГЛ. П. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Отсюда находим
F4(/) = -E(2f>-3(’),	*<±;
Ft (!) = ^(2(1 -t)3 -3(1 -/)*),	f>|,
(f) > 0 для всех t е (0, 1),
и значит,
1
J ^4 (0 dt — 2380 ’
о
так что верна формула
М7) =	'I s (0J).
Переходя к интегралам по х и учитывая, что и = 2/т1
7TV (т|) - (2^)4/IV (£i), получим
Вх (/) = 2 2/.	f f (I) * =
i=0
xi-l
= *Vlv (I*), B* e [a, 6|,
где N = 2i0, h = i/N.
Если /(x) e C(n} (n > 6), то можно получить разложе-
ние вида
Dy (/) = a4h4 4- ae/?e, ae = 0 (1),
“‘ = W f /,V (x) dx = ЖW -f'"(0»-
0
6. Повышение порядка точности. Метод Рунге. Для
квадратурных формул (по аналогии с предыдущим) мож-
но получить асимптотическое разложение вида
D^f) *= ^(/) - /(/) ~ a2h2 + а4Л4 + a6hs + ...,
если /(х) — достаточно гладкая функция. При этом
laA+2l значительно меньше laj (/с = 2, 4), поэтому повы-
шение порядка точности квадратурной формулы весьма
важно.
§ 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
81
Проведем расчеты на двух равномерных сетках с ша-
гами ht и h2 соответственно и найдем выражения J 1(Я =
= (Я и J 2 [Я = Jлт2 [Я» 1 = г — Ь — а. Потре-
буем, чтобы погрешность для их линейной комбинации:
7>/л (/) — сгЛ/1 (/) + (1 _ ст) (/)
была величиной более высокого порядка по сравнению с
D 1 и D 2. Если для Dh = DN имеет место формула вида
£)л = J4/] — /[/] = aphp + aqhq + ..., q > p,
то для ==	+ (1 — <Я*^21Я) — J Ifl получим
Dh (f) = ap (oAf 4- (1 — a) A?) + aq (ahq 4- (1 — a) M) + • • 
Выберем параметр о из условия nAf :  (1 — ст) А2 = 0:
ст = h2/(ji2 — h{).
Тогда имеем
Рл(/) = а9(стА?4-(1-а)^)4- ... = O(hq),
h = max (hv h2),
причем стА? 4- (1 — °) hq < 0. Так, если р — 2, q = 4, то
Dh (/)	— a4Ai/?2 + .. . — О (А4). Таким образом, прове-
дя вычисления на двух сетках с шагами А, и А2=# А,, мы
повысили порядок точности на 2 (на q — р) для J ~ oJ 1 4-
4-(1_ст)Л
Заметим, что комбинируя формулу трапеции -Лраи [Я
и прямоугольника /прям!Я с шагом 2А, мы получим фор-
мулу Симпсона /сими с шагом А:
JСимп fЯ — *3* «^трап I/] + -^прям [Я ~
~ (fo “Ь "Ь 2/2 4- ... 4" 2/2.у_2 4- 4/2at-i 4- Я.х),
где А = (А — н)/(2Лг),
Метод расчета на нескольких сетках применяется для
повышения порядка точности даже в том случае, когда
неизвестен порядок главного члена погрешности (процесс
Эйткена). Предположим, что для погрешности имеет
82 ГЛ. И. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
место представление
I)4f) «= ctPhp A aQ/i9 А ..q> p,
так что
Ул[/] — J[/] A <zphp A aghq A...
Проведем вычисления па трех сетках: ht—h, hz — ph,
h3 = p'h (0<р<1). Определим сначала р. При этом пре-
небрегаем членом О(№). Образуем отношение
_	[/1-ЛЧ/1 ~	= l-p? = /Д’
~/Чл~ л?₽р(1-Рр) Ь/
п найдем
р In Ain —.
р
Зная приближенное значение р, можно методом Рупге,
изложенным выше, повысить порядок точности. Для это-
го образуем комбинацию J — стУ А (1 — ст) J п выбе-
рем о так, чтобы ст/?^ А (1 — ст) h? = (ст А (1 — и) рР) hP ~ Of
т. е. о = рр/(рр — 1) = 1/(1 —/4). Тогда для погрешности
Dh =Jh _ / получаем
Конечно, все эти рассуждения имеют смысл при соответ-
ствующей гладкости функции /6г).
7. Другие квадратурные формулы. Без нарушения
общности можно считать
г
J (/] — \ j (x)dx.
о
(25)
Мы рассматривали до снх пор квадратурные формулы с
заданными узлами {аД:
А’
Л-1/1 = 2-М(аА
А=0
(26)
Эти формулы точны для всех полиномов степени Ач Если
считать неизвестными не только сА, по и узлы хк, то мож-
но требовать, чтобы квадратурная формула (26) была
точной для всех полиномов степени 2/V — 1. Такая фор-
мула называется формулой Гаусса. Требуя, чтобы для
одночленов J, .г, А, ..хт, ..х* формула была точной.
i 2. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
83
т. е.
т Г4Ч _ V z. f	х™+1
Jh ] - 2л ChXh - J 2 dx m ± 1 =*= ~_j_ 1 f
о	о
ш ~= 0, 1, . . .,2N - 1,
получим для узлов и весов 2N + 2 уравнений
4 ~г ci ~Н • • • “c.v = t
44 и 44 + • - • 4- 4а4у 1/2,
44 4 срд 4 ... 4 Сд-З'.у	1. (т 4 1),-
VoX+1 4 44х+1 4 га4х+1	1 '(;V + 1).
Общее число неизвестных равно 2N + 2, т. е. N 4 1 неиз-
вестных узлов и Л'4 1 весовых множителей. Число урав-
нений также равно 2/V4 2. Можно доказать, что напи-
санная система уравнений имеет решение.
Приведем простейшую формулу Гаусса при W-2:
Л4/Г 77/(4) 47/(4) 4 ^-/(з4>>
где	_ ______________
1 - Уощ 1 - з/(ы>	1
4 - ----3---, .Г2 -----f, хг - у.
Формулы Гаусса дают хорошую точность при небольшом
числе узлов.
Еще одним примером является квадратурная форму-
ла Чебышева, в которой выбираются наплучшие узлы в
предположении, что все веса равны. В этом случае
.V
Л-[/1-42 / (•''А
k-* I
Требуя, чтобы формула была точной для /(.с) = х, х2...,
..а?’, получим N уравнений для определения эд, xz, ...
..., xN:
хТ 4 41 + ... 4 /v = — m = 1, 2, ..., Лг.
Эти уравнения имеют решения при	2, ..7, 9,
а При т в 8 и лг > 10 не имеют вещественных корней.
84 ГЛ. II. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
При т = 3 формула Чебышева имеет вид
1
J/ dxx J31/1 = 1[/ (1-1 /2) + / (1) / (4+4 /2)].
о
Для нее коэффициент при П/1Х!1С в оценке для погрешно-
сти в два раза меньше, чем для формулы Симпсона.
Замечания. В ряде случаев вычислению интегра-
лов должно предшествовать их преобразование, учитыва-
ющее специфику подынтегральной функции. Примеры:
1)	f(х) — —-т= f^ix), /0(0) =И= 0, т. е. fix) имеет осо-
2 у х
бенность при х = 0. Эта особенность устраняется заменой
переменной:
ill	г
j / (х) dx	f -^-1- dx — f /(|	(x) dYх ~ f / (i2) dl,	t ]/ x.
J	J 21/# J	J
I»	0	0	0
2)	Подынтегральная функция имеет экспоненциаль-
ный характер: fix) » се®*, т. е. функция In fix) линейна.
Представим fix) в виде fix) = exp {In fix)}, проинтерпо-
лируем In fix) линейно па отрезке [х,-,, xj:
Ь / (.г) = х In А-1 + х -J-1 In А,
ч Z-1	‘Ч *1-1
и затем проинтегрируем по х от Xi-i до х^ Эта формула
оказывается полезной на практике.
3)	Если fix) является быстро осциллирующей функ-
цией, так что ее можно записать в виде fix)= yix) cos (ox,
где частота (о > 1 велика, то при вычислении интеграла
можно воспользоваться следующим приемом. Сначала
проинтегрируем по частям:
у ix) cos сох dx
1
= — У Sin (OX
ft) V
2
ю
sin (ox dx.
Если yix) — линейная на [x*—!, х,1 функция, то интеграл
справа берется в явном виде. Если yix) — полином сте-
пени п, то интегрирование по частям производим п раз,
Глава ПТ
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе изучаются методы численного решения
систем линейных алгебраических уравнений, т. е. числен-
ные методы линейной алгебры. Существуют два типа ме-
тодов — прямые и итерационные. Мы рассматриваем
прежде всего метод исключения Гаусса для систем об-
щего вида и варианты — метод прогонки и методы мат-
ричной прогонки для систем специального вида (с трех-
диагональной пли блочно-трехдиагональной матрицами).
Это — прямые методы. Их эффективность зависит от по-
рядка системы п структуры матрицы.
При изучении итерационных методов мы трактуем си-
стему уравнений как операторное уравнение первого ро-
да Au = f и излагаем общую теорию итерационных ме-
тодов для операторных уравнений при минимальных
предположениях относительно оператора А. Общая тео-
рия позволяет доказать сходимость итераций для метода
Зейделя и метода верхней релаксации при минимальных
ограничениях на оператор А. Рассмотрены два класса
методов: 1) для случая, когда известны границы 71 > О
и 725s Yi спектра оператора А в некотором энергетиче-
ском пространстве HD\ 2) для случая, когда границы 71
и неизвестны. Весьма эффективным является попере-
менно-треугольный метод, который изучается в § 5.
§ 1.	Системы линейных алгебраических уравнений
1.	Системы уравнений. Основная задача линейной ал-
гебры — решение системы уравнений
Ан = /,	(1)
где и = (tzU), ..., н(Л)) — искомый вектор, / =	/(2>,...
..., /<л)) — известный вектор размерности N, А = (оц)
(I, / = 1, 2, ..N) — квадратная матрица размера N X N
с элементами ау.
Будем предполагать, что матрица А невырождена;
det А 0, так что уравнение 4и = 0 имеет только триви-
альное решение, и система (1) имеет единственное
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
решение
и = A~'f.
В курсе линейной алгебры решение системы (1) обыч-
но выражают по формулам Крамера в виде отношений
определителей. Для численного решения системы (1) эти
формулы непригодны, так как они требуют вычисления
N +1 определителей, что требует большого числа дей-
ствий (порядка 7V! арифметических операций). Даже прп
выборе наилучшего метода вычисление одного определи-
теля требует примерно такого же времени, что и реше-
ние системы линейных уравнений современными числен-
ными методами. Кроме того, следует иметь в виду, что
вычисления по формулам Крамера часто ведут к боль-
шим ошибкам округлений.
Особенность большинства численных методов для (1)
состоит в отказе от нахождения обратной матрицы. Ос-
новное требование к методу решения — минимум числа
арифметических действий, достаточных для отыскания
приближенного решения с заданной точностью е > О
(экономичность численного метода).
2.	Частные случаи систем. Несложно решить систему
(1) в перечисленных ниже частных случаях. Пусть мат-
рица А—диагональная, т. е. ао=0, j Ф I, (I, ]~
=^1, 2, ..., Лг). Тогда система имеет вид

откуда находим
u{i) =	j = l, 2, ..., N.
Если А — нижняя треугольная матрица, т. е. а^ = О
прп /' > i (г, у = J, 2, ..;V), afi Ф О,
А =
о	... о
»г,	... О
_ЙХ1 я№ •  • rt.YA
то система уравнений имеет вид
a2i^(1) 4- а,2и(г)

' л	1_	±. Л
. -г а^и ~ /
§ i. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ	87
Компоненты вектора и находятся последовательно нрп
переходе от п к п + 1, начиная с п =*= 1:
Йл+1Л‘ I 1
П22
п
1(п 1 П V л
А=1
п = 2, 3,. . ,,N- 1.
Чтобы найти вектор u = (u(1), ..н(Л)), требуется 1 + 3 +
+ 5 + .., + 2N — 1 = № арифметических действий.
Если А — верхняя треугольная матрица, т. е. — ®
при / < г, ai; =+ 0 (г, j = 1, 2, ..N)
то система (1) имеет вид
„	1 Л 7/(S) j	j л ,+’) —
а^и й12н т • • • ~т ^i.x™	/ 1
Л j/2)	1	L Л 7J(N) —
аП1,и -j— . . . -j- а.2уи — I ,
aN-i,x-i^ + fl.v-i.xu =/ ,t
„	..(.V) _ /X)
«.VA’U — J
Компоненты вектора и = A lf определяются последова-
тельно при переходе от п + 1 к п по формулам
(X) Г *
и	= ~—
а XX
П = N - 1, Лг - 2, ...,2,1, (2)
что требует также № действий.
Выбор метода и его экономичность зависят от вида
матрицы А, а также от типа компьютера.
Для многих задач А является разреженной матрицей,
большинство элементов которой — нули. Такие матрицы
часто появляются при разностной аппроксимации диф-
ференциальных уравнений. Элементы этой матрицы обыч-
88 ГЛ. Ш. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
по вычисляются по заданным формулам, и их можно не
хранить в оперативной памяти машины. Это очень важ-
но, так как порядок таких матриц может достигать не
скольких десятков и даже сотен тысяч.
Частным случаем разреженной матрицы является
ленточная матрица; все ее ненулевые элементы находят-
ся вблизи главной диагонали, т. е. а^ = 0, если |г—/I >1
где I < N. Отличные от нуля элементы расположены па
214-1 диагоналях, включая главную диагональ. Приме-
ром является трехдиагональная матрица
— Cj bj 0 ... О
— С2 • 0
О	0 <7ду Сдт
Соответствующая система (1) имеет вид
—	4- &1п(2)	= /(1),

ayii?' г) —	= /дг,
i = 2, 3, ...,АГ—1.
Это разностное уравнение второго порядка, которое мы
рассматривали в гл. I, где для его решения применялся
метод прогонки.
3.	Операторное уравнение первого рода. Известно,
что всякая матрица А = (ау) (i, / = 1, 2, ..N) опреде-
ляет линейный оператор А, отображающий пространство
Ня в себя:
Au<=HN для любого	или A:
Обратно, каждому оператору А (в некотором базисе
£i, ..., £д) соответствует матрица 4 = (ау) размера NXN,
где Ду — компонента вектора 4^-. Поэтому мы можем
рассматривать (1) как операторное уравнение первого
рода
Au = f, и,	(3)
с оператором A: HN HN.
Чтобы подчеркнуть эквивалентность задач (1) и (3),
мы сохраним одно п то же обозначение 4 как для мат-
§ i. СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
89
ряды, так и для оператора. Индекс N у HN будем опу-
скать и писать просто И. Переход от (1) к операторному
уравнению удобен для изложения теории итерационных
методов. При этом какая-либо конкретная информация
о структуре матрицы А не используется.
В пространстве Н введем скалярное произведение (,)
и норму Hull = V(w, и). Будем предполагать, что опера-
тор А является самосопряженным и положительным:
А = 4* > 0. Будем рассматривать также энергетические
пространства HD со скалярным произведением (п, v)D в
= (Du, v) и нормой HiJID = У (Du, и), где D — линейный
самосопряженный положительный оператор: D: Н -> Н,
р = D* > 0.
Обозначим через (£„ XJ (s = 1, 2, ..., ЛЭ собствен-
ные векторы и собственные значения оператора А:
4|3 = ХД.„ (£„ £,„) = 6sm, s, т = 1, 2, ..., N.
Так как А > 0, то Xs > 0, п можно считать, что 0 < Х4
«С Х2 < ... X.v, а значит, справедливо неравенство
/.tE A ).\Е,
Xt — min X,,
s
Хд = max X».
s
Отношение Xx/Xi называют числом обусловленности.
На практике удобнее пользоваться обратным отноше-
нием, т. е. параметром £ = Х1/Хл-, который мы будем на-
зывать мерой обусловленности. От него, как это будет
показано ниже, зависит скорость сходимости итераций.
Параметр £ для разностных уравнений, аппроксимирую-
щих уравнения математической физики (например, урав-
нения Лапласа), мал: £ » 10-2 — 10-4 (число обусловлен-
ности велико).
Из формулы п = 4~7 видно, что
ИЛ-1!! = 1/х,.
Это неравенство выражает устойчивость решения задачи
(1) по правой части. Если Н4_1Н = 1/Xi очень велико, то
задача (3) может оказаться некорректной, т. е. неустой-
чивой по отношению к ошибкам в задании правой части,
в том числе к ошибкам округления.
4.	Прямые и итерационные методы. Численные мето-
ды решения системы (1) условно разбивают на две груп-
пы, выделяя прямые и итерационные методы (имеются,
конечно, и гибридные методы). Прямые методы позволя-
ют за конечное число действий получить точное решение
90
ГЛ. ТП. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
системы уравнений, если входная информация (правая
часть уравнения / п элементы ai} матрицы Л) заданы
точно и вычисления ведутся без округления. Простейший
пример прямого метода — метод прогонки. Конечно, пря-
мые методы также дают решение с определенной точ-
ностью, которая зависит от ошибок округления, т. е. от
машины, и от характера вычислительной устойчивости,
что зависит от самого метода.
Итерационный метод позволяет найти приближенное
решение системы путем построения последовательности
приближений (итераций), начиная с некоторого началь-
ного приближения. Само приближенное решение явля-
ется результатом вычислений, полученным после конеч-
ного числа итераций.
Выбор того или иного численного метода зависит от
многих обстоятельств — от имеющихся программ, от вида
матрицы А, от типа расчета и др. Поясним слова «тип
расчета». Возможны разные постановки задачи:
1) найти решение одной конкретной задачи (1);
2) папти решение нескольких вариантов задачи (I)
с одной и той же матрицей А и разными правыми ча-
стями /. Может оказаться, что неоптпмальпый для одной
задачи (1) метод является весьма эффективным для мно-
говарпантного расчета.
При многовариантном расчете можно уменьшить сред-
нее число операций для одного варианта, если хранить
некоторые величины, а пе вычислять их заново для каж-
дого варианта. Это, конечно, зависит от машины, от объ-
ема ее оперативной памяти.
Из сказанного ясно, что выбор алгоритма должен за-
висеть от типа расчета, от объема оперативной памяти
машины и, конечно, от порядка системы. Качество алго-
ритма определяется тем машинным временем, которое
требуется для нахождения решения системы (1). Есте-
ственно выбирать тот метод, для которого время решения
минимально по сравнению с другими методами. Однако
время расчета зависит от многих факторов: от числа
арифметических и логических действий, которые нужно
затратить для получения решения с заданной точностью,
от быстродействия и оперативной памяти машины, от
качества программы. При теоретических оценках каче-
ства алгоритмов их сравнение проводится по числу (2(g)
арифметических действий, достаточных для нахождения
решения задачи с заданной точностью в > 0.
§ 2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
91
§ 2. Прямые методы
1. Метод Гаусса. Имеется несколько вы числительных
вариантов метода Гаусса, основанного па идее последо-
вательного исключения. Процесс решения системы ли-
нейных алгебраических уравнении Ах = f, или
х
v aijXj ?---1,2,.... л;	(1)
но методу Гаусса состоит из двух этапов.
Первый этап {прямой ход). Система (1) приво-
дится к треугольному виду
х + В+х = ср,	(2)
где x = {xt, ..., .гЛ) — неизвестный, ср = (<р,. (рЛ) —
известный векторы, Вг — верхняя треугольная матрица.
Второй этап {обратный ход). Неизвестные Хь-,
xN^i, ..., xt определяются по формулам (2) из § 1.
Перейдем к подробному изложению метода. Первый
ш а г метода Гаусса состоит в исключении из всех урав-
нений, кроме первого, неизвестного .rt. Предположим,
что НцТ^О, разделим первое уравнение (1) (г = 1) на
и запишем систему (1) в виде
xt + b12x2 + ... + Ь1Л-хх = ср1г bi} = ai}/au,
2^j^N, ср, = /,/«,„ (3)
«и.?! + а12х2 + ... + а,ххх =* г = 2. 3, ..., Д7.	(4)
Умножим уравнение (3) па где i — любое из чисел
i — 2, 3, ..., N, п вычтем полученное уравнение из г-го
уравнения (4):
(а;2 — ацЬ12)х2 + ... + (cifx — atlbiN)xx — ft — а,,ср,,
i = 2. 3, ..У.
Вводя обозначения
0<У = Лц —	/5° -- Л — л,।срj, у ~ 2, 3, .. ., Дт,
0)
перепишем полученную систему уравнений (эквивалент-
ную системе (1)) в виде
~Ь 12*^2 "1“ • * • bi\X\ ~ срр
+ • • • +	= ЛП, i = 2, 3, ..., У.
92	ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Первый столбец матрицы этой системы состоит из нулей,
кроме первого элемента при i — 1, j = 1, равного единице.
Второй шаг состоит в исключении х2 из системы
«22 ^2 + • • • 4"	— fV’i
	 (6)
«Л'2-^2 -Н • • • +	ЛР-
тт	(О.
Для этого разделим первое уравнение на а22:
#2 4" ^23^3 4“ • • ’ 4"	~ ф2,
Фа = /V74V, b2j = ($/а$,	/ = 3, . . ., Nf
умножим его затем на (— а$) и сложим с уравнением
«12^2	4- ... 4- oS&n = fi\ i = 3, 4, .. .,N.
В результате получим систему
Ч + ^23^3 + •  • 4- biXXN = ф2,
z/-br I I	_ /2) У ___ Ч Z ДГ
u-jg Х$ ~р . . • -j-	—- Ji i “ — О, Я, . . .,
«i? = «if — «iftaj, /i2) = /il) ~ а$Рф2,
i = 3,4, ...Л. (8)
Для £s, x^ ..., xN имеем систему (N — 2)-го порядка, ана-
логичную системе (6) (2V—l)-ro порядка для х2, х3,...,Хх-
Продолжая рассуждения, после (/V —1)-го шага
(т. е. после исключения xt, х2, ..., :гл-1) получим
«N-У 2)хх = /у-1), или xN = фх, фх = /хТ~])/«хх п- (9)
В итоге приходим к системе (2) с верхней треугольной
матрицей:
Xl 4- bl2x2 + bisxs + ... + blKxx = Фи
x. 4- b2sxs 4-... 4- blsxN == ф2,
....................................... (10)
Xx-t + Ьк-i, xXN = фу_ъ
Xx = фх.
Обратный ход метода Гаусса состоит в определении всех
х^ из системы (10) с верхней треугольной матрицей. Не-
трудно показать, что изложенный выше метод Гаусса
можно применять в том случае, когда все главные мино-
ры отличны от нуля.
§ 2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
93
Подсчитаем число умножений и делений в методе Га
усса. Рассмотрим сначала прямой ход. На первом шаге
требуется Qi = N2 делений и умножений, второй шаг тре-
бует Q2 = (N — 1)г действий и т. д. Всего надо сделать
N шагов прямого хода, затратив на это
2 (N - к+1 >«=2 - *<*+2И2*±1).
к=1	а==1
умножений и делений. Для обратного хода, очевидно,
нужно сделать N(N—1)/2 умножений. Таким образом,
для решения системы уравнений (1) требуется Q =
= У(У2 + ЗУ — 1)/3 умножений и делений. Примерно
столько же потребуется сложений.
Приведем пример применения метода Гаусса. Рассмот-
рим систему трех уравнений (У — 3)
2лд +	+ Злг3 = 4,	(11)
3xt + аг2 — 2а:я = — 2,	(12)
4^! + 11^2 + 7гг3 = 7.	(13)
Прямой ход. Первый шаг. Разделим первое
уравнение на (7Н = 2:
+ 2х2 + 4,5л?3 = 2.	(14)
Умножим (14) на —3 и сложим с (12), затем умножим
(14) на —4 и сложим с (13):
—5:r2 — 6,5^з = — 8,	(15)
3^ + ^=1.	(16)
Мы получили систему второго порядка.
Второй шаг. Разделим (15) на —5:
х2 + 1,3#з = 1,6.	(17)
Умножим (17) на —3 и сложим с (16):
-2,9^ =-5,8.	(18)
Третий шаг. Делим (18) на —2,9:
х2 =* 2.
В результате получили систему
Xi + 2х2 + 1,5;г3 = 2,
х2 + 1,Зх3 = 1,6,
xs = 2
94 гл. ТГТ. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ
с верхней треугольной матрицей
*1 2 1,5'
О 1 1,3 .
.0 0 1
Обратный ход. Из системы последовательно на-
ходим:	=-2, тс == 1,6 — 1,3 • Хь = 1,0 — 1,3  2 = — 1, Xi—
= 2 — 2х2 — 1,5 • Xz = 1. Таким образом, решение системы
(И) —(13) найдено:
2'1 = 1, х2 = — 1, х3 = 2.
2.	Метод квадратного корня. Этот метод пригоден для
систем
Лп = /	(19)
с эрмитовой (в действительном случае — симметричной)
матрицей А. Матрица А разлагается в произведение
А - S*DS,	(20)
где S — верхняя треугольная, D — диагональная матри-
ца. Решение уравнения А и =» f сводится к последователь-
ному решению двух систем
S*Dy~ft Sn — y.	(21)
Чтобы получить разложение (20), обозначаем S = (stJ),
D = п находим
А	А
(DS)ij = 2 d;flshj = daSi-, (S*DS)ij = 2 SkidkhSkj,
A=1	A=1
так как 5* = (?я), где черта — комплексное сопряжение.
В результате получаем уравнение
N
2^] Skidkk^kj =	(22)
Систему уравнений (22) можно решать рекуррентно. Так
как 5 — верхняя треугольная матрица, то ski = 0 при
к > I, sij£ = 0 при к < i и, следовательно,
А
2 ^hi^kjdklt —
А=1
г-1	А
~ ’^kl^kjdhh 4“ $ii$ijdii “Г 2	~
А-1	A-i[l
f-1 _
^ki^kjd^k SiiSijd-ii *= (2;j.
A-l
§ 2. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
95
При i — j имеем
г—1
I $ii j^ii = &Н 2 | Ski |“^ЛЛ-
й=1
Выбирая
найдем
(5-1
а а — 2 |.*/о l2^Afe
Й=1
(23)
(24)
(25)
При i < j получаем
г-1 _
eii~ 2 Shiskj(1hk
-----------------------------------------•	(26)
Полагая i=l, 2, ..., находим последовательно
1^1 ан 1>	= sign «ц, s22 = У\а22 — dn| s12|2|, . . •
Определитель матрицы, очевидно, равен
N
det Э Ц
Метод квадратного корня требует порядка №/3 ариф-
метических действий, т. е. при больших N он вдвое
быстрее метода Гаусса п занимает вдвое меньше ячеек
памяти. Это обстоятельство объясняется тем, что метод
использует информацию о симметрии матрицы.
3.	Связь метода Гаусса с разложением матрицы на
множители. Пусть дана невырожденная матрица А раз-
мера N X N. Представим ее в виде произведения
А^ВС, A = (а^, B = (b„), С = (см), (27)
где В и С — треугольные матрицы вида
		0		. 0 “		—*			
	и	Ь22	0	.. 0		1 0	С12 1	С13 • % •	’ C1N 
	Й31		Ь33 •	. . и	, С-	0	0	1 .	• СЗЛ
	_Avi		•			0	0	0 .	.. 1
О при к > i,
т. е. Ь1к
О при к < ь, Сц=1. Из (27)
96
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
следует, что
У
^ij ~ bfaCki'
к=1
Преобразуем эту сумму двумя способами:
N	г—1	У	г-1
bih^kj ” b\]iCkj ЬцСу -j" 51 bikCkj — bjkCkj ~t~ ЬцС-ij,
h=l	A=1	+1	fc=l
У	j-l	У	j-1
bikCkj ~ 2 ЬIkCkj	Л- bjjCjj 4-	2	biliCkj —	2 bikCkj	+bijCjj,
k-=i	h=i	k=j+l	fe=i
при i>/, bn = flu, Cn = 1,
Отсюда находим
j-i
bjj = djj~— 2 bi^c/fj
A-1
при i<B
Матрицы В и С найдены.
Решение уравнения Аи — ВСи ~ / сводится к последо-
вательному решению уравнений
/йр = /, Си — ср.
Построение матриц В и С и нахождение ц> = В~'[ соот-
ветствуют прямому ходу, а решение уравнения
Си = ср
соответствует обратному ходу метода Гаусса.
§ 3.	Итерационные методы
1.	Метод итераций для решения системы линейных
алгебраических уравнений. Особое внимание в этой главе
мы уделим итерационным методам, так как они широко
применяются для решения разностных уравнений мате-
матической физики, операторам которых соответствуют
ленточные матрицы А высокого порядка.
Перейдем к общему описанию метода итераций для
системы линейных алгебраических уравнений
= (1)
Для ее решения выбирается некоторое начальное прпбли-
§ 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
97
жение г/0 <= Н п последовательно находятся приближенные
решения (итерации) уравнения (1). Значение итерации
//Л+1 выражается через известные предыдущие итерации
... Если при вычислении yh+l используется толь-
ко одна предыдущая итерация то итерационный метод
называют одношаговым (или двухслойным) методом; если
же yk+i выражается через две итерации yh и yk-i, то метод
называется двухшаговым (или трехслойным). Мы будем
рассматривать в основном одношаговые методы. Будем
считать, что А: II-+ II — линейный оператор в конеч-
номерном пространстве II со скалярным произведе-
нием (•, ).
Важную роль играет запись итерационных методов в
единой (канонической) форме. Любой двухслойный ите-
рационный метод можно записать в следующей канони-
ческой форме:
В у±+1—yjL -J- Ayh = /,	к = 0,1, ..для всех у0 е= Я,
(2)
где А: Н -> Н — оператор исходного уравнения (1),
В-. Н -> Н — линейный оператор, имеющий обратный В-1,
/с — номер итерации, т2, ..., тд+1, ...— итерационные
параметры, тл+1 > 0. Оператор В может, вообще говоря,
зависеть от номера к-, для простоты изложения мы пред-
полагаем всюду, что В не зависит от к.
Если В — Е — единичный оператор, то метод
^22---= Д А: = 0, 1, .для всех г/0 <= Я,
называют явным-. yk+i находится по явной формуле
Ук+l — Уь~	— /).
В общем случае, прп В Е, метод (2) называют не-
явным итерационным методом: для онределения надо
решить уравнение
Byh+l = Вук — T^SAyk~f) = Fh, А: = 0, 1, ... (4)
Естественно требовать, чтобы объем вычислений для ре-
шения системы Byhvl = Fk был меньше, чем объем вы-
числений для прямого решения системы =
98
ГЛ. ITI. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Точность итерационного метода (2) характеризуется
величиной погрешности zh = yk — и, т. е. разностью между
решением yh уравнения (2) и точным решением и исход-
ной системы линейных алгебраических уравнений. Под-
становка yk = zk-+u в (2) приводит к однородному урав-
нению для погрешности:
+ Az„=0, А' = о,1, .... го = Уо —и. (5)
Говорят, что итерационный метод сходится в HD, если
lim |) Zk |[d — 0, где hilD = У (£>z, z), D = D* > О, D: Н -> Н.
fe-»oo
Обычно задают некоторую погрешность (относитель-
ную) е > 0, с которой надо найти приближенное решение
ук, и прекращают вычисления, как только выполняется
условие
ullD uIId.	(6)
Если п = п(е) — наименьшее из чисел, для которых (6) вы-
полняется, то общее число арифметических действий, кото-
рые затрачиваются для нахождения приближенного ре-
шения уравнения (1), равно <?п(е) = п(е)д0, где qQ — число
действий, затрачиваемых для нахождения одной итера-
ции, т. е. для решения уравнения (4). Задача состоит в
минимизации <?п(е) путем выбора В и параметров {тД.
Начнем с простейших итерационных методов.
2.	Метод простой итерации. Для решения системы
уравнений (1) может быть использован метод простой
итерации
Щ1 = г/4’-т(Е arf’-i = l,2,	(7)
\ 7=1	/
где т > 0 — итерационный параметр. Запишем (7) в опе-
раторной форме:
—— + Ayk = f, & = 0, 1, ..., для всех у0 <= Н. (8)
Сравнивая с (3), видим, что метод простой итерации
задается явной двухслойной схемой с постоянным пара-
метром = т.
§ 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
99
Существуют и другие варианты метода простои ите-
рации, например такой:
/1Ч-Х
„(О __ 1 V „ .Аз) /О')
Ук+1 — I	J
il \
Подставляя сюда
2 «irf = 2	— aity^ = (ЛуА)(1) — (Dyh){l\
j¥=i	J--1
где D ~ (анЬц) — диагональная матрица, получаем
X
2/7
^11Ук J
j=l
пли, в каноническом виде,
д-+-!т Ук + Ауь~1, l =	=
Хотя формально эта схема является неявной (B = D^E\
однако D = (а«6у) — диагональная матрица и потому yh+l
определяется по явным формулам.
3.	Метод Зейделя. Весьма широко на практике (осо-
бенно в тех случаях, когда информации о матрице А не-
достаточно) применяется итерационный метод Зейделя
в одной из двух форм:
2едИ-1 + 2 ^цУк} = f(l\ «п¥=0, i = 1, 2, . .., Лг,
/—I	J=i+1
(9)
-l	N
2 «rf + 2 «А = А I =1,2. ...,М	(10)
j=l	j=i+l
Из обеих формул компоненты вектора yh+l находятся по-
следовательно. Так, из (9) последовательно определяем
Ji) „(2)	(X) .
Ук+ii Ук+ъ.  • ч У/i+i-
2, . . ,,N.
100
ГЛ. Ш. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Пользуясь (10), находим последовательно для i = N,
N- 1, ..., 1
А-1
/(А7) V „ ,/Д
/	— Zj а^Ук.
i = N _ 1, ...,1.
Запишем этот метод в матричной (операторной) форме.
Для этого представим матрицу А в виде суммы
А = А~ + D +Л+,
где D = (анбу) — диагональная матрица размера N X IV,
А~ =	— нижняя треугольная (поддпагопальная) мат-
рица с нулями на главной диагонали, a-j = 0 при j^ i,
Оц = aij при j<_i, A b — (atj) — верхняя треугольная
(наддиагональная) матрица с пулями на главной диаго-
нали, afj = 0 при / <1 i, а]] = atj прп j > i. Из определе-
ния Л“, D, Л+ следует, что
Dy(V> = анУ{1\ Л~у(,) = 2
N	У
2 ««Л 0Г + о) Л’ = Л
j—i 4-1	j— i
Поэтому уравнение (10) можно записать в виде
(U+ + Z»)yA+1)(i> + U^)(^ = n z = l, 2, ...,2V,
или, в векторной форме,
(A+ + D)yb+l + A~yk = f,
После очевидных преобразований
(Л+ + D)yk+l + A~yh = (Л + + D)(yh+l - ук) +
+ (Л- + (Л + + D»yh = (Л+ + DAyk+i - ук) + Ayh
запишем метод Зейделя (10) в каноническом виде:
^ + А+Аук+1~ук)+Аук = /, к = 0, 1, 2, ... (11)
Сравнивая с (2), видим, что метод Зейделя (10) соответ-
§ 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
101
ствует
2? = Л + Л+, тМ,
т. ё. схема (11) является неявной. Однако, так как В =
== D + Л+ — треугольная матрица, то итерация yh+i нахо-
дится по явным формулам. Аналогично записывается п
другой вариант метода Зейделя:
(79 +Л~)(гд+1 - yh) + Ayh — f, k = Q, 1, ..., (12)
когда В = D + A~ — нижняя треугольная матрица. Далее,
в п. 5 будет показано, что метод Зейделя сходится, если
А — симметричная положительно определенная матрица.
4. Метод верхней релаксации. Чтобы ускорить итера-
ционный процесс, можно привести метод Зейделя к ме-
тоду верхней релаксации, вводя итерационный параметр
со, так что
(О + ®л-) """'У 4- Аук = /,
к — 0, 1, ..., для всех у0 <= Н. (13)
Сравнивая с (2), видим, что
В~В-\-{$А~, т = со.
Преобразуем уравнение (13) к расчетному виду. Учиты-
вая, что
(D -j- соЛ ) /?1.0	+ Ayk - f Л 4-	1 ~'г
+ (л — Л~-------—^у^ ~ ("4”	ь
имеем
~ У'1+1	+	—«"j	Ук ~ f’
Отсюда находим
УЙ! =

N
j—i	J
i=l,2,...,A.
При (0 = 1 получаем формулу метода Зейделя.
Скорость сходимости метода верхней релаксации за-
висит от параметра со. В п. 5 покажем, что для сходи-
мости метода надо потребовать, чтобы 0 < со < 2.
102
ГЛ. Ш. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
5. Сходимость стационарных итерационных методов.
Метод Зейделя и метод верхней релаксации являются
примерами неявных схем вида
В У*. + Ayh = /, к = 0,1, ..., для всех у0 е Н,
(14)
с несамосопряженным оператором В, имеющим обратный
оператор В~\ Метод (14) называется стационарным ите-
рационным методом, так как В и т не зависят от номера
итерации. Для существования обратного оператора В~1
достаточно потребовать положительности оператора В.
Пусть B = D + u)A~, Так как Л=Л*>0, то у) =
= (Л+у, у), (Л+)* = Л~, и значит, (Лу, у) = (Dy, у) +
+ 2(А~у, у), т. е.
(Л~у, у) =-^-((Л —D)y,y).
Подставляя это выражение в формулу (By, у) = (Dy, у) +
+ со (Л "у, у), находим
(By, У) = (1-(Dy, у) + с» (Лу, у) > 0л
если 0 < со < 2.
Для погрешности zh = yk — и мы получаем однородное
уравнение
й Л+1А25-+	= О, А-= 0,1, 2, ...,za=-y<1-u.
(15)
Теорема 1. Пусть А — самосопряженный положи-
тельный оператор и выполнено условие
В>~А.	(16)
£
Тогда метод итераций (14) сходится в НА, т. е.
llzJL = llyfe — ?Л1Д -> 0 при к -> оо.
Доказательство. Нам понадобится энергетическое
тождество
От К Р "* д') S^ + l	Zk + 1 zh ) । г, i|2 и |i2
\\-----Г j ----т---’ ---T---) + I’ Zh+11'л = И Z/t l’A’
(17)
где Ыд=(Лз, z). Сначала преобразуем уравнение (15)
§ 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
103
к виду
(й - -Г. л) Zt+‘T~ + J_ fa Zw) = о, (18)
подставив для этого zs = Д-(z4+1 + zk)--------J- 1**+1
Z	T
f I 1 " ^/1 \
Умножая (18) скалярно на 2т I---------------j — 2 (zfe+1— z^)
и учитывая, что (Azh+1, zj = (zh+l, Azk), так как A = А* и
U(zft + zft+l), zA+1 - zj = (Azk+1, zh+l) - (Azh, zk) +
+ (Azh, zk+1) - (Azk+i, zk) = (Azh+i, zk+1) - (Azk, zh\
получаем (17).
Пусть выполнено условие В > тЛ/2. Тогда первое сла-
гаемое в левой части тождества (17) неотрицательно и
II z*+i l& II На- Отсюда следует, что 0 M+JL ML
ML, т. е. последовательность {llzJLJ невозраста-
ющая и ограниченная снизу нулем. Поэтому в силу теоре-
мы Вейерштрасса {MD сходится при к -> оо. Докажем, что
lim ML = 0.
Й->со
Оператор Р ~ В--------L А положителен, а Ро —
т 1
— В о---А = — [Р ^*) положительно определен, т. е.
существует такое число 6>0 (см. гл. I § 4), что
(Ру, у) = (Роу, у) бНу112 для всех у = Н.
Поэтому из тождества (17) получаем неравенство
~ II zk+i zk || ~г II zk+i IL II zk IL-	(*)
В силу сходимости {MLJ отсюда следует, что существует
lim||zft+1 — zfe|| = 0.	(19)
fe-*cx>
Далее, из уравнения (15) находим
1 1
zlzk =;	— В (z£-|-i	Z/(), Zfi —	~ А ^В (zfc-i-i — Zft),
%k) ~ у (-4 В (zfcfai	Zj>), В (z^-i-i	zk)}>
т
Отсюда и из (19) заключаем, что lim ML = 0.
Ц-» ос
104 ГЛ. Ш. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Замечание. Из неравенств (*), (**) следует, что
метод итераций (14) сходится при условии (16) со ско-
ростью геометрической прогрессии, ]]	1!^ pH гДе
Применим теорему 1 для доказательства сходимости
рассмотренных в пн. 2—4 итерационных методов.
Метод простой итерации, В = Е. Учитывая,
j
что Е	и а II'	имсем
1 т
при -jj-jji-> 0- Метод простой итерации сходится
при всех значениях т, удовлетворяющих неравенству
т < 2/WAII.
Метод Зейделя, 5 = D + 4”, т = 1. В этом случае
В - Л- А = D + А- - А- (Л- + А+ + О) =.
= 4+4-<л’-л+)«
((в---Y л) у, у} = 4 (Dy, у) + А- (И+ — л“) -I- V) “
-= 4- (Dy, у) > о,
если D > 0.
Замечание. Неравенство D > 0 следует из усло-
вия А > 0. В самом деле, пусть А > 0 и £ = (|\ 0,..., 0);
тогда (4g, £) = (££, g) = tfI1(g1)2 > 0, т. е. аа > 0. Анало-
гично убеждаемся, что ан > 0, и, следовательно, D > 0.
Таким образом, метод Зейделя всегда сходится, если А —
самосопряженный положительный оператор.
Чтобы получить оценку скорости сходимости, надо
сделать более сильные предположения. Приведем одну
из теорем.
Теорема 2. Метод Зейделя сходится со скоростью
геометрической прогрессии со знаменателем q < 1, если
А == (а^) = 4*>0, и
14-У
|	I ш 1 г 2,, . . • j N,	Ц < 1.
№
(20)
§ Й. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
105
В самом деле, для погрешности zh = t/k—и имеем
«ii^+i = — 2 «;//+! — S
j>i
Пусть max [ 4+i | достигается при некотором i = i0, так что
|	||c ~ | 4+1!’ | О]010 | ‘ I! Z/i + 1 b	2 | aiQj | • )| 2^+1 ||c +
3<j0
4- 2 I %j|IIMo
j>i0
В силу условия (20) имеем
и, следовательно,
что и требовалось доказать.
Условие (20) означает, что А = (ац)~ матрица с диаго-
нальным преобладанием.
Метод верхней релаксации, B^D + aA",
т = а. Найдем разность
В - -Ь А = D + <оЛ- -	(Л- + Л+ 4- £>) =
= (l_-”-)z>4- “-(Л--Л+)
и вычислим
[(в---~л\у,у\ = [1 — ~}(Dy,y)->0 при 0 < со < 2-
\\ / / \ “/
Таким образом, метод верхней релаксации сходится при
любых значениях со е (0, 2), если А = Л* > 0.
6. Скорость сходимости неявного метода простой ите-
рации. Самого факта сходимости итераций недостаточно,
чтобы судить о пригодности для практики итерационного
метода. Нужна информация о скорости сходимости мето-
да, т. е. фактически о числе итераций п = п0(е), доста-
106 гл. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
точных для решения задачи с требуемой точностью е > 0.
Число итераций п0(е) зависит от параметра т, который и
следует выбирать из условия минимума числа итераций
п = п(&), при котором выполняется условие Нуп —ullD<
ellf/o — ullD, где D — некоторый оператор, £) = D*>0.
Мы будем рассматривать неявную стационарную схему
(неявную схему простой итерации)
# _^±2—2^.	Дук = д /с = 0,1, ..., для всех г/0 s Я,
(21)
где А и В — положительные самосопряженные операторы.
Методы Зейделя и верхней релаксации не принадле-
жат этому семейству схем, так как для них оператор В
не является самосопряженным. Для поправки
ггй=Я“Ч, rk = Ayh-f
выполняется (так же, как и для погрешности zh — yh—u)
однородное уравнение
Д—+1г~“’-+Л^ = 0, к = 0,1,..., и^В-ЦАу,-!),
(22)
где rh = Аук — f~ невязка, wh = B~lrk — поправка. В самом
деле, из (21) находим
Ук+i = Ук - тЯ-‘(Лук - /) = yk - xwh,
Ayk+i —f — Ayh —f — xAwk1 гк+1 = гк- xAwh.
Так как гк = j?(5-1rh) = Bwk, то отсюда следует (22).
Будем предполагать, что выполнены операторные не-
равенства
ъ>0, 72>Yi>0,	(23)
или
*(i(Bx, х) (Ах, х)^у2(Вх, х) для всех х = Н, (24)
где постоянные у1} у2 известны.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (23), (24).
Тогда минимальное число итераций по методу (21) до-
стигается при
2
(25)
§ 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ	107
При этом выполняется неравенство
п = 1,2,	(26)
p0 = (l-g)/(l + |), ^ = -(,/1,.	(27)
Доказательство. Для решения задачи (22) вос-
пользуемся следующей оценкой (доказательство оценки
приводится в гл. V)
HwJb < р"нп011в при т < т0,	(28)
где р = 1 — т^!. Минимум р (при котором, число ите-
раций, минимально) достигается при т = т0: р р0 =
= 1 — То^! = (1 — £)/(! +£). Остается учесть, что 1!н\Нв =
=4 В Jrn — || ||в-1. Теорема доказана.
Требуя, чтобы рГо^Е, или (1/р0)’! > 1/е, получим
оценку для числа итераций:
п In (1/е)/1п (1/Ро).	(29)
Замечание. Функция q>(£) = In (1+ £)/(! — £) —2£
положительна для всех 0<£<1, так как ср'(£) =»
= 2£7(1 - £2) > 0, <р(0) = 0; поэтому 1/1п (1/р0) < 1/(2^)
п условие (29) выполнено, если
п > н0(е) = (1/(2£)) In 1/е, ^ = 71/^2	(30)
(щ(е) — вообще говоря, нецелое). Условие (30) более
удобно для оценок. Оценка р«^е, очевидно, выполнена,
если тг0(е) < п < n0(e) + 1. Поэтому в качестве п доста-
точно брать целую часть числа тг0(е) + 1.
7. Модельная задача. Сравнение различных итераци-
онных методов будем проводить на следующей эталонной,
или модельной задаче
1
Ми h (31)
которая является разностной схемой для краевой задачи
7(я), 0О<1, и (0) —	н(1) = ра.
Запишем систему уравнений сначала в матричной форме:
=	(32)
108
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
где v = (у(1), v(2\ ..v<N 1}) — вектор размерности N — 1 и
А — трехдиагональная матрица размера (2V — 1) X (2V 1):
“—2	10
О
О
Л = -Л
h~
1-2 1
1—2	1
О 1-2,
0
0
Правая часть уравнения (32) имеет компоненты ft = fi
при i = 2, 3, ..N — 2, fi = f i + цi/h2, fK~i = f x-i + щ/^2.
Матрице А соответствует оператор А, действующий в
пространстве Н = Q сеточных функций, заданных во
внутренних узлах сетки (щ = {.г, = ih, §<i<N}. Пусть
Др = и~х, и — сеточная функция, заданная па сетке оц =
«= {ri — ih, 0 С i N} и обращающаяся в нуль на границе
при i = О, N. Тогда можно написать
Av = — Av, v<^Q~H,
Введем в Н = Q,
как обычно, скалярное произведение
N-1
(у, р) — 2 yiVjl
и воспользуемся формулами (17), (56) из § 4 гл. I,
в силу которых
(Av, w) — (р, Aw), т. е. А ~ А*,
(Av, v) б|jv[|2, 6 = -^-sin2—, А^ЬЕ.
Далее, имеем
||Л|| = Д = ±cos2^-.
/г-
Оценим число итераций для явной схемы простой
итерации в случае модельной задачи. Имеем В = Е,
ЬЕ А АЕ, т. е.
с	a f"	. о лД л h
Т1 = 6, Тг--=Д,
12	*
Для числа итераций имеем
/г (е) > п0 (е) =
]п 1А 2 , i
—тут:— « —- In —
10/Г е
§ 3, ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
109
Зададим & — -4--10 4 & е 10; тогда п0 (е) Д- = 2№.
z	/г'
В частности, число итераций:
/г0(е) ~ 200 при N = 10,
Z2o(e) ~ 20 000 при N — 100.
Метод простой итерации сильно зависит от числа
уравнений N (тг0(е) « №). Ниже приводятся методы (см.
§§ 4, 5), для которых эта зависимость п от N будет более
слабой (п0(е) ~ N и Ло(е) ~ W).
Задача (31) является типичной, так как аналогичное
разностное уравнение моделирует разностное уравнение
Лапласа в двумерном и трехмерном случаях, а число ите-
раций практически не зависит от числа измерений (зави-
сит только от Л).
8. Трехслойная схема. Если yk+i вычисляется по двум
предыдущим итерациям ук и yh-h то итерационный метод
называют двухшаговым (пли трехслойным}. Приведем
пример трехслойной итерационной схемы. Явная . трех-
слойная схема с постоянными параметрами обычно за-
писывается в виде
Ш+i = (1 + а)(Е - т0Л)гц — а/Д-i + (1 + а)т(1/,
/1=1,2,... (33)
Первая итерация вычисляется по явному методу простой
итерации:
у1 = (£ — т0Л )р0 + г,,/ для всех уи «= Н, (34)
где
2	2	1 — д/ т	t "Л /QT\
о тг-;-т,	14-EI V
71, 7г > 0 — границы спектра оператора Л=Л*:
к Л < у2£.
Можно показать, что для метода (33), (34) число ите-
раций находится из условия
Отсюда видно, что
Лк ,пт- 1<с»<2-	<36)
110
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для модельной задачи Vg ~ лА/2 и
п0(е)«-^Ип — » Cq—j—-In—— «е0-3,2Лг при е & е~10.
и h е и
Число итераций:
п0(е) ~ 32 4- 60 при N =* 10,
и0(е) « 320 -г 620 при N = 100,
т. е. значительно меньше, чем для простой итерации.
Неявная трехслойная схема имеет вид
Byk+1 = (1 + а)(В — T0A)yft - аВу^ + (1 + сс)т0/,
Л = 1, 2, ...,
Byi = Вуа — To^i/o + То/ для всех р0 е Н.
Если В = В* > 0, выполнены неравенства (23), (24) и а,
т0 вычисляются по формулам (35), то для числа итераций
оценка (36) верна и в этом случае.
§ 4. Двухслойная итерационная схема
с чебышевскими параметрами
1. Постановка задачи. Пусть дано уравнение
Ли = /, Л; Я->Я.	(1)
Рассмотрим итерационную схему с переменными парамет-
рами {тД:
В	—— + Ayh = /, к = 0,1, 2, ..., для всех у» е Н.
Чг+1
(2)
Однородному уравнению
в	+ Аг, = 0, * = 0,1,2,..., z0 = J0-u, (3)
Мг+1
удовлетворяет не только погрешность zh = yh — и, но и
поправка шк = B~4Ayk — /) (Zc = 0, 1, ...) с начальным
условием w0 =5-1(Лу0 — /). Условие окончания итераций
имеет вид
или с	(4)
Из (3) видно, что
=	— Е Xk+tB iAt	(о)
§ 4. ДВУХСЛОЙНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА	Ш
где Sft+i — оператор перехода со слоя к да слой &+1.
Исключая zh-i, ..zlt найдем при к = п — 1:
zn = Z„z0, Тп — SnSn-i ... S2S11
где Тп — разрешающий оператор схемы (3). Отсюда сле-
дует, что
МрМЛА,	(6)
Условие окончания итерации (4) выполнено, если
Чп =	< е.	(7)
Для оценки числа итераций п = /г(е) надо получить
неравенство (7).
Рассмотрим явную схему (2)
''м-Ик + AVh=>f, J = 0,l,2,...,	(8)
Т/г+1
причем задано любое у0 = Н, и выберем параметры
ти т2, тп из условия rninra(e). При этом предпола-
гается, что
И=И*>0, ^Е С А С у2Е, > 0.
Для невязки rk = Ayk — f выполняется однородное
уравнение
rt+T;~ - +	= 0,	* = 011.21...1r1> = ^()-/1
ТА+1
ИЛИ
rk+i ~ ^k+irk4 Sh+l = Е — тА+1Л.
Отсюда найдем
гп = 7’пГо, Tn = S\S2 ... Sn.
Разрешающий оператор Тп есть полином степени п отно-
сительно А:
7,„ = Рп(Л) = (£-Т1Л)(Е-т24) ... (Е-тпА)
с коэффициентами, зависящими только от Ti, т2, ..т„.
Для нахождения т15 т2, ..., т„ получаем оценку
llrjl С ОШ)1111гД
Надо найти такие ть т2, ..тп, при которых НРП(Л)И
минимальна, и оценить эту норму через постоянные 7,
и 72. Приведем без доказательства решение этой задачи.
112 ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
г 21 — 1	'I
Обозначим через S)?/t — —cos——я, i с= 1, 2, .. .,
множество нулей полинома Чебышева Тп(х} =
= cos (.п arccos х) па отрезке — IC.rCl, а через {рД —
любую последовательность этих нулей, ,щ s ЯЯП. Мини-
мальное число итераций п(е) достигается прп значениях
параметров
— /с = 1, 2, ... п,
l + p0Pftl	J
2	4 __t	Т,
= р« = лФ -V (9)
Прп этом выполняется оценка
(Ю)
Схема (8) с итерационными параметрами (9) называется
чебышевской итерационной схемой.
Требование qn С е пли 2р“ е (1 + Pi”) выполнено,
если Qi е;21 пли
л(е) >1пт/1п77	(П)
Замечая (ср. § 3, п. 6), что 1п-^- = ]д——-Т.;? >. 2 ]/д,
1-Vs
заменим (11) более сильным требованием:
п(в)>и0(е)= ^7? 1“4.	(12)
удобным для проверки. Из (12), очевидно, следует (10),
и qn е.
Сравним по числу итераций схему (8) с указанным
набором параметров и метод простой итерации на приме-
ре модельной задачи из § 3. В этом случае £«л2Д2/4,
л/г/2.
Для метода простой итерации
(е) ж 27г при е = 10 '4.
Для чебышевской схемы
п^2) (е) «= З^/Л при е = 10~4.
§ 4. ДВУХСЛОЙНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА	ПЗ
Отсюда видно, что
77q2) « 34,	« 200	при	N = 10 (Л = 1/10).
42) « 340, 4° «20000 при N -100 (h = 1/100).
2. Обоснование оптимального выбора параметров. Пе-
рейдем к доказательству оценки (10) в случае итерацион-
ных параметров (9). Пам необходимо найти min || Рп (А) ||.
Полином
п
Рп И) = п (£ - т*/1) =
= fo “Ь ci^ ~Ь • • • 4~ снАк 4* • • • + cnAnf с0 = 1, Рп (0) = 1
является самосопряженным оператором. Пусть X, ($ ="
= 1, 2, ..., N) — собственные функции и собственные зна-
чения оператора А:
=	(^3,	s, т = 1, 2, ..., N.
Оператор Ah имеет те же собственные функции н соб-
ственные значения
(13)
Умножая (13) на ск и суммируя по к = 0, 1, ..., п (с0 = 1),
получим
Рп (Л) в. = 2	= S «АЙ. = Рп
k=o	k—o
Сравнивая это с РП(А)£, = кАРп(А))%3, видим, что
ЦРп(А))=РваЫ)).
Собственные значения операторного полинома РЛА)
определяются как полиномы Р„(Х) от соответствующих
собственных значений оператора А, а собственные функ-
ции— те же, что и у оператора А. В силу самосопряжен-
ности оператора РП(А) его норма равна наибольшему по
модулю собственному значению
|| Рп (А) Ц = шах \Рп (Х4)|.
1<з<Л'
114 ГЛ. HI. РЕШЕНИЕ АЛГЕГРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Собственные значения оператора А лежат на отрез-
ке [yi, у2]: Yi < С у2. Очевидно, что
шах | Рп (А,8) | шах | Рп (х) |,
где непрерывный аргумент х принимает все значения на
отрезке [71, у2], и, следовательно, задача о минимуме
HP„C4)il сводится к задаче о минимаксе полинома Рп(х),
т. е. о нахождении min max ( Рп (х) |.
Отобразим отрезок tyi, у2] на отрезок [ — 1, 1], полагая
—Т1Н + Т2 +
при	(14)
Тогда P„(f) = Pn(t). Условие нормировки Pn(0) = 1
принимает вид
рп(^ = 1, f0 = -l/p0.	(15)
Итак, требуется найти полином, наименее уклоняю-
щийся от нуля на отрезке — 1 С £ < 1, так чтобы
max |Р„(01 был минимален при дополнительном условии
нормировки (15). Таким полиномом является полином
=	(16)
1 п Vo)
где Tn(Z) — полином Чебышева,
Тп (i) = cos (п arccos f) при 111 1Л (17)
к (о=4 [о +	+ («- yp^i)n]
при 11 ] > 1. (18)
Полином Чебышева имеет нули
ti = cos-У--л, 1 = 1,2,	(19)
Полином РМ = (1 — Ti#)(l — т2ж).. .(1 — тпя) имеет
нули х{ = 1/т{.
Требуя, чтобы корни этих полиномов совпадали, и учи-
тывая связь (14) между х и Z, получаем 2 = [(у1 + у2) +
+ (уз — откуда следует
т; = 2/[у2 + у1 +(у2 —Yi)£J, i = l, 2, ..., п. (20)
Эта формула сохраняет силу при любом способе упоря-
§ 4. ДВУХСЛОЙНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА
115
дочения нулей полинома Чебышева; например, вместо
2 j —
(19) можно положить ti= — cos——л. Имея это в
виду, приходим к формуле (9). Заметим, что если п = 1,
то получаем = т0 — оптимальный параметр метода про-
стой итерации.
Итак, параметры т2, ..т» определены согласно
(9). Найдем теперь
qn = max | Рп (х) | = max | Рп (t) | =
= max
Тп(^
1
1ММГ
так как max | Tn (Z) | =-- 1. Имеем li0[ > 1; поэтому для
-l^i^i
|Tn(i0)l воспользуемся формулой (18) при t = t0. Преоб-
разуем входящие в нее выражения:
= (i ± /i)7(i -1) = (i ± Vp/(i =f VI),
так что | („ | + ]Ttl — 1 = -A 1101 — У — 1 = p„ и
IT P II 4 1 I nA 1 + P*" 1
lr»W|- 2 (pn +P1J-	~ g*
Оценка (10) доказана.
3. Вычислительная устойчивость и упорядочение пара-
метров. Итерационный метод (8) с чебышевским набором
параметров {tJ иногда называют методом Ричардсона.
Известен он давно, однако до недавнего времени почти
не использовался на практике из-за вычислительной не-
устойчивости. Поясним это понятие на примере. Возьмем
систему уравнений
w(j-l)-2u(O + w(j+l) = 0, i = 1, 2, ..., N- 1,
(21)
u(0) = l, u(N) = 0.
Ее решением является u(i) = 1 — х{, xt = ih, h = 1/N.
Будем искать решение этой задачи чебышевским итера-
116
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
цпонным методом для N =* 20. Значение п0(е) мы можем
вычислить. Оно может быть нецелым. Выбираем бли-
жайшее целое п > п0. Для данных N и е имеем п(е) = 64.
Зная
4  9
-=Sln'
л/г
~2
у2 =
4	2
-oCOS^
zih
2 **
л = 1, S = t.g2^® ^«0,006.
можно вычислить тй по формуле (20). В качестве началь-
ного приближения берется функция
„ I1’ 1 0’
У" (0, i>0.
Оказывается, что для метода (8), (9) небезразлично,
в каком порядке берутся нули щ полинома Чебышева.
Рассмотрим два способа нумерации нулей:
а1) И* = cos ~2ii~ л’ А: = 1, 2, . . ., Н,
.	л	,	л
г, —	COS ц- ,	/п	— COS ц-,
1	2п	2п
.	2к - 1
а2) (1/г = — cos —л.
Результаты расчетов приводятся в табл. 1.
Таблица 1
	Набор а,		Набор а,
k		k	
	г		
53	0,12	1	39,6
55	27	9	2,6-103
57	1,9-10*	4	8,2-108
59	3,7-107	7	3,3-1011
60	2,6-10»	9	1,2-1014
61	2,5-1011	11	1,9- 10г«
62	3,3-1013	12	Авост
63	5-Ю15		
64	Авост		
При меньших значениях N и п может оказаться, что
рост промежуточных значений yk не приводит к авосту,
однако происходит накопление ошибок округления, п пос-
ле п итераций условие окончания итераций М yk — /II <
eMj/o — /II не выполняется.
§ 4. ДВУХСЛОЙНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА
117
Эти две особенности вычислительного процесса — рост
промежуточных значений, приводящих к авосту, и накоп-
ление ошибок округления — мы характеризуем одним тер-
мином — вычислительная неустойчивость. Причина вы-
числительной неустойчивости чебышевского метода в том,
что нормы 115^+111 оператора перехода = Е — тд+1Л
для некоторых итераций больше единицы, а вычис-
лительный процесс является реальным, т. е. имеются
ограничения снизу п сверху па допустимые числа (есть
машинный нуль и машинная бесконечность) и в каждом
акте вычислений появляются ошибки округлений.
Вычислим норму для Sk = Е — xhA. Так как Sk = Sk,
то fl S\+11) = sup I (Sk+iX, х) |. Из условий ^Е А С-
< следует (тд+4! — 1)/? С тА+(Л — Е < (тй+1у2 — 1)^.
Подставляя сюда выражение для Tft+i и учитывая, что
1 — ToYt = т0у2 — 1 = р0, получаем
Ро С1 ~ Ий)
1 + Р0Рй
Рр (1+Нй)£,
1 + РрНй
— Е
Отсюда находим
li ^л+1|| = || Тй+г^ — Е || =
'р0(1 + щ)
Ро (! - Ы
I 1 + Р01Ч
при щ>0,
при щ < О,
так что < 1 для всех щ>0 и
щ < — (1 — р0)/(2р0). Так как
л	(2га — 1)	л
— COS Ц/i	— cos -—=--------- Л = COS П-,
2га ‘	2га	2га
H5ft+iH > 1 при
7v = 1, 2, ..., п,
то для большего числа номеров к имеем IISJ > 1, и если
подряд используется много параметров тй, для которых
II5JI > 1, то происходит накопление погрешности округ-
лений и рост итерационных приближений, что и приводит
к вычислительной неустойчивости.
Чтобы ослабить этот эффект, естественно попытаться
чередовать параметры тА. для которых > 1, с пара-
метрами, для которых HiSJ < 1. На этом пути и прово-
дится построение такой последовательности параметров
{тй1, для которой сходимость итераций носит монотон-
ный характер п вычислительная неустойчивость отсут-
ствует. Имеется правило такого упорядочения нулей
118
ГЛ. HI. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2t — 1
t;=—cos—л—л полинома Чебышева, а тем самым и
параметров {tJ, для любого п, при котором имеет место
вычислительная устойчивость.
Мы приведем это правило для случая, когда п есть
степень числа 2, п = 2Р, р>0 — целое число*). Обозна-
чим упорядоченное по этому правилу множество пулей Л
через
^* = pcospit Pi = ~ i- 1, 2, .. ., п], и - 2Р,
где 0in>— одно из нечетных чисел 1, 3, 5, ..2п — 1. За-
дача сводится к упорядочению множества п нечетных
чисел: 0П = {0(Г\	   , Исходя пз множе-
ства 0j = {1), построим множество 0П = 02р по формулам
0<2Д = 0(т\
0(22m) = 4т-0Й'-1, i = 1, 2, . . т- т= 1,2, 2РЛ
если 0|т) известны. Соответствующую последователь-
ность параметров [тИ будем называть устойчивым на-
бором. Пусть, например, п = 16 = 24. Последовательно на-
ходим 0, = {!), 02 = {1, 3), 64 = {1, 7, 3, 5), 08 = {1, 15,
7, 9, 3, 13, 5, И), 01в = О, 31, 15, 17, 7, 25, 9, 23, 3, 29,
13, 19, 5, 27, И, 21). Прп переходе от 0т к 62т достаточно
после каждого 02?-i поставить число, равное 4w — О2Т-1
(нумерация соответствует 0т). «Устойчивая» последова-
тельность 0н не зависит от задачи. Сходимость итераций
для этого набора параметров ItJ носит немонотонный
характер, но колебания здесь невелики и в конечном
счете затухают.
Приведем результаты расчетов для задачи (21) по
схеме (8), (9) с устойчивым набором параметров {t^J:
к 1	4	8	16	24	32	48______50________62
39,6 4,7 1,1 0,2 0,1 0,04 1,5-10~3 6,7-Ю-3	8,7-10~5
4. Неявные схемы. Метод Зейделя и метод верхней
релаксации сходятся быстрее явного метода простой ите-
рации. Поэтому переход к неявным схемам оправдывает
*) Правило упорядочения для любого п можно найти в
[6, 91.
§ 4. ДВУХСЛОЙНАЯ ИТЕРАЦИОННАЯ СХЕМА	Ц0
себя. Как нужно выбирать оператор 5? Основным явля-
ется общее требование минимума действий (Хе) для на-
хождения решения с точностью е > 0, которое сводится
к двум требованиям: 1) о минимуме числа итераций,
которое зависит как от В, так и от выбора {т\}; 2) о ми-
нимуме числа действий для решения уравнения
Byk+i = Fk-
(экономичность оператора В). Примером может быть тре-
угольный оператор, соответствующий треугольной мат-
рице.
Покажем теперь, что результаты,. полученные выше
для явной схемы, можно перенести на неявную схему.
Рассмотрим неявную схему
В V-F±l—4- Ayh /, k = 0,1, ..., для всех у0 е Я,
4+х
(22)
где Л = А* > О, В = В* > 0 и
^В^А^^В,	7>0.	(23)
Выбирая итерационные параметры |т*} по формулам
(9) и упорядочивая их в соответствии с предыдущим
пунктом, получим для решения задачи (22) оценку
2рп
Муп - Лв-1 < чп Му о - /II в-и Чп = ——тр
1 4- Pi
где у, и — числа, входящие в (23). Для числа итераций
и = п(е) верны оценки (И) и (12). Чтобы убедиться в
этом, достаточно свести задачу (22) к эквивалентной за-
даче для явной схемы
^Ц1^ + С^ = о, * = 0, 1,	(25)
4+1
где хк = Bl/2wh, С = B~i/2AB~l/2 — самосопряженный поло-
жительный оператор с границами спектра и
< С	(26)
В самом деле, так как В = В* > 0, то существует
Bi/Z = (Я/2)* > 0. Действуя оператором В-1/2 на уравне-
120
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
нис (22), получаем (25) для хй = В1/2и\. Обратный ход
рассуждений очевиден. Остается доказать эквивалентность
неравенств (23) и (26). Рассмотрим функционал
J = ((Л — уВ)у, у) ~ (Ау, у) — у(Ву, у) =
= (AB~i/2(B'/2y\ 5-1/2(В,/2у)) -ч(Я,/2у, В1/2у) =
— (Сх, х) — ^(х, х) = ((С — уЕ)х, х),
где х=-=В1/2у. Так как у (а. значит, и х) — произвольный
вектор из Н, то из равенства
J == ((Л — уВЬу, у) = ((С — уЕ)х, х) (27)
следует, что операторы Л — уВ и С — чЕ имеют одинако-
вые знаки. Если, например, Л — ^В > 0, то при 7 = 71
равенство (27) дает С — ^tE > 0 и т. д.
Для явной схемы имеем оценку HxJI С (?п11х011. Подстав-
ляя сюда xh = Bi/2wh = В~1/2гк, rh = Ayh~ /, получаем оцен-
ку (24).
Для методов Зейделя и верхней релаксации В =/= В*,
и потому нельзя воспользоваться чебышевским набором
параметров.
§ 5. Попеременно-треугольный метод
1. Попеременно-треугольный метод. Будем рассматри-
вать неявную итерационную схему
+	=	4 = 0,1,...	(1)
Tfe+1
Если оператор В представляет собой произведение конеч-
ного числа экономичных операторов, то он также эконо-
мичен. Так, экономичным является оператор В = В^Вг,
равный произведению треугольных операторов В{ и В2.
Рассмотрим так называемый попеременно-треугольный
метод — метод (1), для которого оператор В имеет вид
В = (D + toRAD-'tD + юЛД	(2)
где D = D* 2> 0, Rx — R2i Rx + В2 ~ R} R = R* 0,
to > 0 — параметр.
Покажем, что оператор В является самосопряженным
и положительным, т. е. схема (1) с оператором (2) при-
надлежит исходному семейству схем (2) из § 3 и можно
пользоваться всеми полученными ранее результатами об-
§ 5. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД
121
щей теории. В самом деле,
(£у, у) ==((£> + uRJD-'UJ + ыТ?2)у, у) =
= ((D 4- aRJy, D~l(D + coZ?2)i>) =
My, (D + aRJD-^D + aRjv),
а значит, {By, v) = (y, Ви), т. e. B = B*. Далее, находим
(By, y)^((D+<i>R^ y, LT1 (D + ий2) »Н1(О+МЯ2)!/||!о-1>0л
t. e. В = В* > 0.
Оператору R соответствует матрица 7?==(гу). В каче-
стве матриц R{ и R2 можно взять нижнюю и верхнюю
треугольные матрицы, т. е.
	Г г{/2,	J =	i
7?! —	Oj —		7<	1
	[0,.	7>	i
	ог/2,	7 =	i
= (гЭ, rtj =		/>	i
	[о,.	7<	i
Если R — симметричная матрица, rj; = rtJ, то Rt и R2
взаимно сопряжены, Т?2 = Ri>
В качестве D = {da) возьмем диагональную матрицу.
Тогда D + со/?1 — нижняя треугольная, a D 4- <d2?2 — верх-
няя треугольная матрица. Таким образом, процесс итера-
ций сводится к попеременному обращению нижней и верх-
ней треугольных матриц (отсюда и название метода).
В самом деле, для каждой итерации надо решать урав-
нение
Вук±1 = (D + (nRJD-'tD 4- (tiR2)yk+i = Fh. (3)
Обозначая D~l(D 4- coT?2)yfe+1 = yk+i, получаем
(D 4- (nRJyb+i = Fh, (D 4- coT?2)yft+1 = Dyk+l,
7v = 0, 1, ... (4)
Замечая, что (Rty, у) = (T?2y, у) = (Ry, у)/2, находим
((D 4- соЯД у, у) = (Dy, у) 4- « (R±y, у) =
=	~ 7?) у, у) = ((D + соR2) у, у) > 0,
тэк как D> 0, со > 0 и 7? > 0.
122
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Отсюда следует существование обратных операторов
(D +	(/> + (о/?2)-1, т. е. разрешимость задач (4).
2. Выбор параметра <о. Чтобы пользоваться общей
теорией, надо сначала найти параметры и ^2, входящие
в неравенства
+ А ^ч2В,	(5)
которые в силу ограниченности и положительности опе-
раторов А и В всегда выполнены. Начнем с определения
параметра со > 0.
Лемма. Пусть оператор В определяется по формуле
(2), где
R* = Rv +	R = R* > 0
и R удовлетворяет условиям
R^bD, 6 > 0, R1D~1R2 <^R, A > 0.	(6)
Тогда справедлива оценка
О	О	О	£	О	Л
ухВ R у2В, ------------------------—, у = —. (7)
1 4-соб 4- О,25со2бД г 2ы '
О о
Отношение = у1(ы)/у2(сй) имеет наибольшее значение
при
й) = ы = 2/УбД;	(8)
при этом
£	2 У д' _ б ° __	6	° б /п.
£ 1 + У?Л А’ 71	2(1 +Уд)’ 72	4 Уд’
Доказательство. Неравенства (6) означают, что
№> у) > 6 (Dy, у), (D^R^y, R2y) С £ (Ry, у)
для всех у Н.
После преобразований
B = (Z> + w7?1)£>-s(£> + o)/?2) =
= D — cot/?! + /?2) + (t)zRiD~lR2 + 2co(7?i + Z?2) ==
= (D - uRJD-^D - (hR2) + 2co7?
получаем
(By, y) = (D~r (D — co/?2) y, (D — co/?2) y) + 2co (Ry, y) =
= II (D - w/?2) у + 2co (Ry, y) > 2co (Ry, y),
§ 5. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД
123
так что
5^2со/?, или R ~ В, у2—
’	2со ’ '“ 2со
Получим теперь оценку для В сверху. Учитывая (6),
найдем
В - D + со/? + tfRJT'R^-R + со/? +	7? <
< 1 (1 + об + ^) R,
у1 = б(1 + 0)6 + ^)“‘.
Число итераций, необходимое для решения уравнения
Ry = Л зависит от отношения
£(со) ~ Yi/"(2 = 2соб(1 + соб + со2бД/4)-1.
О
Выберем со из условия максимума В (со). Приравнивая ну-
лю производную £'(<»>) = 26(1 — со26Л/4)(1 + соб + со2бД/4)’2,
находим со = со = 2/V6Д; при этом £"(со)<0. Подставляя
это значение со в формулы для у2, £(со), получаем фор-
мулу (9). Лемма доказана.
3. Скорость сходимости.
Теорема, Пусть оператор А = Л*>0 представлен в
виде суммы А = Аг + Л2, А2 = А*, и выполнены условия
A^SD, AJT'A^^A, 6>0, Д>0.	(10)
Тогда для попеременно-треугольного метода (1) с
В = (Л + соАШ-ЧЯ + соЛ2), D = И* > 0,	(И)
с параметром со = 2/ТбД и чебышевским набором пара-
метров
то	2	„ 1 - £
1 + рХ’ То“т1 + т!’ Ро 1 + Г
где
~ 6
71 ~ 2(1 + Уч)’
T2=1W’ Т| =^’ и’езк*’
(13)
124 ГЛ. Ш, РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
достаточно п(е) итераций:
па (е) < п (е) < и0 (е) + 1г па (в) < In -j- /(2 /2 У r|);
(14)
при этом выполнена оценка
Иг/п~/(в'1<еИг/о-/1!в-1-	<15)
Доказательство. Воспользуемся предыдущей
леммой, полагая R — A, Ri = А1} Н2 = А >, а также оценкой
(24) из § 4:
\\АУп — /1|в-1 < Qn || АУо - / Нв-1
Для числа итераций /г = и(е) в § 3 была получена оценка
п0(е) п(е) < пДе) + 1, где (г) С In — / (2 У t).
8 /
Подставляя сюда £ = 2Уг|/С1 + Уц), получим (15).
4. Пример применения попеременно-треугольного ме-
тода. Рассмотрим модельную задачу
Мо " = W у — 0.	(161
Пусть // = Q — пространство сеточных функций, задан-
ных во внутренних узлах i — 1,. 2, ..N — 1 сетки сол; вве-
дем скалярное произведение
Л'-1
(1Лг;) = Zj УУ'Л
О
Оператор Ау= — у%х является самосопряженным и поло-
жительно определенным:
б = -£-sin2^-.
h,-
§ 5. ПОПЕРЕМЕННО-ТРЕУГОЛЬНЫЙ МЕТОД	125
Введем операторы Dy = у (D — Е) и
л r> 'Jx,i Уг-У;^
А1У = Riy=—= -------2---,
^ = ^ = --^=-^±1^, Al + A.^A.
Итерации (убк — у^О находятся по формулам
(Е + ®JL) (jfXi-i = (у, + и Я‘~Р~' ) = F„ (/),
У^10) ---------1-------,
/6 (О
(Е 4- соЛ2) yk+1 (i) -
== J/н 1 (0-Jr- (№+i (i -h О ~ №+i (0)	№ + i (0э
окончательно имеем
адА+1 (i + 1) + h~yk+x (i)
Z/fe + l v)	I 7 2
co h
i = N-l, N — 2,	2, 1.
«Значения yh+i(i) находятся последовательно при движении
слева направо (от 1 — 1 к г), a yA+1(i) — справа палево (от
i+ 1 к г); при этом учитываются краевые условия
yft+l(0) = 0, yh+l(N) =0.
Формулы подобного типа называют формулами бегущего
счета.
Из равенства У^^+i ~ У^л следует, что = А2. В са-
мом деле, так как — г0 +	— hv-±, то
N-l	N-1
(л2Уг *7) = — 2 y^vi = — уа\—— 2 унлд -=
i=l	i—1
N	N-l	N-1	Г
У1ь'-Х>1 + 2 viVx,i 2 y^,i ~^г (у>
г=2	г—1	г=1
т. е. Лх — А*.
126
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Вычислим постоянную А:
У) = (А2У, А*У) =
А-1
<-V2Zifci)2^ 2	(ау,у1
4=1	П 1=1	11
откуда следует А = 4/Д2. Таким образом,
1 = 2 /п/(1+ /'|)~2 /ч«лА, VlxVnh,
так что
тг0 (е)
0	2 У Л/1 е
Если е = 10~4, то это дает Но(е) « З/УД.
Результат таков:
п0(е) ~ 10 при h = 1/10 (TV = 10),
Me) ~ 30 при h = 1/100 (N = 100).
Напомним, что при N = 100 надо сделать 20 000 итераций
по методу простой итерации и 340 итераций по явной че-
бышевской схеме. Таким образом, попеременно-треуголь-
ный метод оказался лучшим среди тех методов, которые
мы изучали.
§ 6. Вариационно-итерационные методы
1. Метод минимальных невязок. До сих пор при изу-
чении итерационных методов мы всюду предполагали, что
постоянные 71 и — границы спектра оператора А в Н
или в На — известны. Что делать, если такой информации
нет? В этом случае можно применять методы, не исполь-
зующие в явном виде параметры "fi и у2. Это методы
вариационного типа. Здесь мы рассмотрим методы мини-
мальных невязок, скорейшего спуска и сопряженных
градиентов.
§ 6. ВАРИАЦИОННО-ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
127
Начнем с метода минимальных невязок для явной
схемы
-^7—~ + Ayk = f, к = 0,1, • • •, для всех у0 е Н.
ТА+1
(1)
Для невязки r!t~ Ayh — _l имеем однородное уравнение
ГМ1~Г,‘ +Лг„ = 0, Л = 0,1, ra = Ay<l-f. (2)
ТЛ+1
Параметр тй+1 будем выбирать из условия минимума не-
вязки rft+i по норме:
11 rk+1 II2 = \\rh — Tk+iArk ||2 =
= II rk II2 — 2та+х (rft, Arh) + т£+1 II Arh |р = ф (Tft+i).
Продифференцируем это выражение по тй+1, приравняем
производную <p'(rfc+1) нулю:
q/(Tft+1) = - 2(гъ Агк) + 2та+,ПАrjl2 = О
и найдем
=  ^2’р к =1,2,...	(3)
II Arh I] ,
При этом значении тй+, вторая производная ф"(тй+1) по-
ложительна и, следовательно, достигается min Цг^-н ||2-
Tk+i
До сих пор мы не предполагали, что А — самосопря-
женный оператор. Если же А = А* > 0, то верны оценки
К+1||<Ро1Ы1, ЦАг/п—/||<р”||Ау0 —/||,
Ро = 1+| ’	= 17’	(4)
где + и уа—точные границы спектра оператора А. В са-
мом деле, так как при значении тй+1 согласно (3) норма
llrfe+JI минимальна, то при любом т¥=тй+1 она должна
возрастать, поэтому
Пгй+1П2 = (Irfc - тй+1Аrjl2 + llrft - ToArJI2 + 111? - T0AII2llrJP.
С другой стороны, известно, что
1)2? — т0АП = р0 при т0 = 2/(у1 + Y2^«
Отсюда и следует, что Hrfe+1H ^р01'гД
128
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Таким образом, метод минимальных невязок сходится
с той же скоростью, что и метод простой итерации (если в
методе простой итерации используются точные значения
Ъ и 7а).
В случае неявного метода невязок, или метода попра-
вок , вместо (1) получаем уравнение для поправки;
В Wh+A ~ Wh- 4. Awh = 0, k = 0,1, ..
TA+i
wk = B~1rh, w0 = B~l (Ay0 — /),	(5)
где тл+1 определяется по формуле
Вместо (4) получаем оценку
II АУп /|1в-1 Ро II АУо
2. Метод скорейшего спуска. Явный метод скорейшего
спуска отличается от метода минимальных невязок толь-
ко формулой для тл+1:
* = 0,1,...	(7)
k' rh)
Эта формула получается либо из условия минимума нор-
мы 1ЬА+111А погрешности = yh+i~ и, либо из условия
ортогональности невязок rh и rh+i. Умножая скалярно
уравнение rA+1 = rh — xk+iArh на rh, получаем 0 = (rft, rft) —
— тА+1(Ягл, rft), откуда следует формула (7). Поскольку
Azk = Ayh — Au = rft, то
(Azk-j-i, Zk+i) ~ (Azk Т&+1Я zfe, Zk — T/j-j-i/tzfe) =
= (rk — Xk+iArk, zk — тА+1гй) — (rk, zk) —
— (rft, rft) + T/t+1 (Лгй, rk).
Дифференцируя H^-hIIa ho Tft+i и приравнивая производ-
ную нулю, получим (7).
Далее, имеем
II г*-| ! |Ц = 1 (£ - Т„+1А) 2„ Щ < I (Е - ?</) г„ 111 <
<|E-r0XHMl<p02||z4,,,
§ 6. ВАРИАЦИОННО^ИТЕРАЦИОННЬГЕ МЕТОДЫ
129
т. е.
Il S&+1 — Ч Уь+i и^А	Р(Г I! У о — и V'
Метод скорейшего спуска сходится в НА с той же
скоростью, что и метод простой итерации.
3. Метод сопряженных градиентов. Более быстро схо-
дящиеся методы вариационного типа можно найти в клас-
се неявных трехслойных итерационных схем:
«= ак+1(В ~ х^АУуь + (1 - аА+1)В^! 4-
4" otfc+i'Eft+i/? к ~ 1, 2, ..(8)
Вук = (В - Tf/Dy,-, + tJ.
Мы рассмотрим метод сопряженных градиентов, широ-
ко используемый на практике. Для него итерационные па-
раметры оц+1 и Тй+1 определяются по формулам
М	Л T/<+i (rk*Wk) 1 V1
TA+1	ah+1 V тй ('rA_1)IpM)dJ ’
(9)
где к —О, 1, 2, ..., в предположении, что Л=Л*>0,
В = В* > 0, "(iB Л у2В, > 0. Формулы для rft+I, ccft+1
получаются из требования минимума нормы разрешающе-
го оператора. При этих оптимальных значениях итераци-
онных параметров верна оценка
2рп
(Уп — wU<3nUo — wfU,
1 T Pi
т. e. скорость сходимости метода сопряженных градиен-
тов — такая же, как и скорость сходимости двухслойного
итерационного метода с чебышевскими параметрами (ко-
торый использует ух и у2 при вычислении параметров
тА+х). Поэтому для числа итераций имеем оценки
7г0(е)<и (е)<п0(е) 4-1, nQ (е) = —~=- In
2 |/ё ь
В качестве оператора В можно взять факторизованный
оператор попеременно-треугольного метода
В — (D соЛ^ В 1 (В 4- 7оЛ2),
Аг 4- Л = А > О, Л*-!, D = В* > 0.
130
ГЛ. Ш. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Расчеты показывают, что число итераций по попере-
менно-треугольному методу в сочетании с методом сопря-
женных градиентов меньше, чем в случае использования
чебышевской схемы.
§ 7. Решение нелинейных уравнений
1. Итерационные методы. Рассмотрим нелинейное урав-
нение
j(x) = 0, х е [й, &],	(1)
где /(ж) — непрерывная функция. Уравнение может иметь
один или несколько корней. Требуется: 1) установить
существование корней, уравнения; 2) найти приближен-
ные значения корней. Часто обе задачи решаются одно-
временно. Для нахождения корней применяются итера-
ционные методы.
Простейшим является метод дихотомии (деления ио-
нолам). Пусть /(х0)/(т:1) < 0; тогда на отрезке яЛ ле-
жит не менее одного корня. Найдем /(я3), где хг —
= (а70 + п:1)/2, и возьмем х3 — то из значений xQ или xh
для которого выполняется условие /(^2)/(^з)	0. Отрезок
[^2, ^з] снова делим пополам, и т. д. Деление продолжим
до тех пор, пока длина отрезка станет меньше 2s, где
е — точность, с которой надо определить корень. Тогда
середина этого отрезка и дает значение корня с требуемой
точностью е. Процесс, очевидно, сходится со скоростью
геометрической прогрессии со знаменателем 1/2. Недостат-
ки метода: выбор начального отрезка	— заранее
неясно, к какому корню сойдется процесс (если их не-
сколько па [лт0, дд]).
Второй метод — метод простой итерации. Перепишем
уравнение (1) в виде
xr =	(2)
где <р(х) можно определить одним пз способов:
ср(х) = х — а./(ж), а, = const,
tpU) = х +	р(я) — произвольная функция, не
имеющая корней на отрезке [а, Ы.
Метод простой итерации определяется формулой
яп+1 — Ц)(хп), п = 0, 1, 2, ...,	(3)
где п — номер итерации, — заданное произвольно
начальное приближение. Требуется найти приближенно
$ 7. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ	131
решение (корень) х = х* уравнения х = <р(;г) с относитель-
ной погрешностью е > О, так, чтобы при всех п > п0 вы-
полнялось неравенство
kn — #*1 еко — X*', п^п0(&).	(4)
Это условие может быть выполнено, если последователь-
ность итераций кп} сходится при п -> <» к пределу
ж*: lim хп х*. Если (4) имеет место, то вычисления
можно прекратить при п — п0. Отсюда видно, что основ-
ным является вопрос о сходимости итераций, а также
о скорости их сходимости, т. е. о минимальном числе ите-
раций п0(е), при котором выполнено (4). Предположим,
что в некоторой 6-окрестности
Д = (#0 — б, Яо + 6), 6 > 0,	(5)
точки ха функция фк) удовлетворяет условию Липшица:
|фк") — фк') I q\x" — х'[ для любых х', х" еД- (6)
с коэффициентом q < 1:
0<д<1	(7)
и пусть начальная невязка х0 — фк0) мала, так что
ко ~ фк0)1	(1 - q)&.	(8)
Тогда справедливы следующие утверждения:
—	все итерации хп (п = 1, 2, ...) принадлежат интер-
валу Д: хп е Д;
—	последовательность UJ при п -> сходится к пре-
делу являющемуся корнем уравнения (8);
— уравнение (2) имеет только один корень в Д.
Условие xk е А означает, что
kft —^о1<6.	(9)
В силу (8) имеем ki — #ol = 1фк0) — ^,1 С (1 — с/)6 < 6,
т. е. (9) выполнено при к ~ 1. Докажем методом индук-
ции, что (9) справедливо для всех k=i, 2, .... Предпо-
ложим, что (9) выполнено при к = 1, 2, ..., п, тогда можно
вычислить cpkj и жп+1 = фк„). Из (6) следует, что
kft+i — л?А1 = IфкД — фкл-i)I С q\xh — OTfc-il, т. е.
'kft+i-zj С #кА-ггь-il.	(10)
Последовательно применяя это неравенство, находим
kft+i-Zftl gftki-£ol, к = 1, 2, ..., щ (И)
132
ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЁНИй
Учитывая, что хп+1 — х0 = (яп+1 — хп) + (хп — £n-i)
. . . + (х2 — Xi) + (.Xi — я0), получим
! ^n+i ~ *o|< tf1 + 5n-1 + • *. + q + 1) [ Xt — t0 [ =
T. e. rra+i А. Так как неравенство (9) в силу (8) верно
для к — 1, то оно выполняется и для к == 2, 3, ...
Рассмотрим теперь разность хп.-+,г< — хп — (хп+т —
Xn-i-wi— t) "Р (.Л’ге'+т—t	4 • • •	‘^'П+1) "Р («Tn-t-l ‘
— хп) и оценим ее:
I Хп+т — Хп | (tf1 1_bS'm 24’*<«*Р^_РО1 ^«+1 — К
1т
— ? П f	f - По
“ПГ—? I *1 —	< 9 6,
т. е. 1хп+т — хп| -> О при п -> 00 и любом т = 1, 2, ...
Отсюда, в силу критерия Коши, следует сходи-
мость UnK Игл хп = х* еА. Переходя затем в (3) к преде-
П-гОО
лу при п -> о©, убеждаемся, что х* есть корень уравнения
(2): т* = ф(т*). Этот корень единственный, В самом деле,
пусть существует два разных корня х' их" Ф х , так что
х =ф(^'), х" ~^,(.х"). Тогда !#" — 2'1 == 1<р(ж/?) —
— <рСя/)| q\x" — х\ < \х" — я'|, т. е. [х" -‘-х'1 <
< 1х" — #'|, что невозможно.
Для погрешности zn+i = хп+1~ х* имеем
Un+1l = lq?Un) — <pU*)J С gk„ — я*| =
= glsn! £п+1Ы, (12)
izn+J gn+1lz0|,
t. e. метод простой итерации сходится со скоростью гео-
метрической прогрессии. Число итераций, при котором
выполнено неравенство (4), определяется из условия
п
q Ej т. е.
п	1л — /1п—.
е 1 q
Минимальное число щ(е) итераций, при которых (4) вы-
полнено, очевидно, равно
и0(е) =рп~-^п А],	(13)
где tai — целая часть числа а > 0.
§ 7, РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
133
Замечание, Если ф(я) имеет производную на А, то
(6) выполнено в случае, когда
1ф'(я)|	£ для всех х&&.	(14)
2. Метод Ньютона. Метод определяется формулой
яп+1 = хп — -тй-р ?(Хп)^0,: п = 0,1, 2, ... (15)
Эта формула получается, если в разложении
О = / («*)	/ Ы 4- (я* — Хп) f (ха) + ~ (z* — Хп)* Г (В),
I — хп + о (z* — хп), о е < I, (16)
где х* — точное решение уравнения /(х) = 0, отбросить
последний член, заменив х* на хп+г.
О = f(xn) 4- }'(хп)(хп+1 - хп).
Метод Ньютона называют также методом касательных
пли методом линеаризации. Его геометрическая интерпре-
тация-участок кривой у = /(я) при х^[хп, xn+J, если
хп<хЛ+1 (или при х е [a’n+t, хп1, если хп>хп+1), заменя-
ется отрезком касательной, проведенной из точки х = хп.
Записывая /(я) =0 в виде д; = ф(ж), видим, что метод
Ньютона можно трактовать как метод простой итераций
(3) с правой частью
ф(х) = х — f(x)/f'(x).	(17)
Проиллюстрируем метод Ньютона на примере извле-
чения квадратного корня из числа а > 0, т. е. решения
уравнения хг — а или f[x) = хг — а — 0. Применяя форму-
лу (15), получим
1 /	, а X	п ,
ЯГл+1 = у- \Хп + — , Н = О, 1, ...
\ J
Пусть а —2. Выбирая хй — 1, найдем Xi = 1,5, х2 — 1,417,
;г3 = 1,414, ..., т. е. итерации сходятся очень быстро.
Оценим скорость сходимости итераций. Предположим,
что существует вещественный корень х* уравнения (1).
Рассмотрим некоторую окрестность корня:
Ао = (я* — 60, х* -4- б0),	60 > 0.
Будем считать, что функция (17) дважды дифференцируе-
134
ГЛ. HI. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ма в До п ее вторая производная ограничена:
|ф"(ж)| ^2q,	(18)
где q > 0 — постоянная. Разложим ф(ж) в строку Тейлора
в окрестности х — х*',
Ф (ж) = ср (ж*) + ф' (ж*) (ж — ж*) -J- (л _ 2*)2,
£ = ж* + е (ж - ж*), 0 < 0 < 1. (19)
Вычисляя затем
<р'О) = //"/(/' )2 = - /(!//')', ф" О) = - (/(уУУ
и замечая, что ф/(ж*) = 0 прп /'(ж*) Ф 0, получим
ф (ж„) = ф (ж*) +	—— ф" (£).	(20)
Для погрешности zn+i = жп+1 — ж* получим формулу:
z,l+1 = жи+1 — ж* = ф (ж„) — ф (ж*) = ~ (жп — Ж*)2ф" ($),
zn+1 =-1ф"(|) zl.
Отсюда и из (20) следует
J zn+11 < qz\.	(21)
Обозначая vn = g',zn\, получаем гп+1 гД l‘n-i
2?1	о«т-1
1-1 С- z-о , и, следовательно,
« yOl М)="+1-	(22)
Отсюда видно, что итерации (15) сходятся к корню ж* прп
п -* ©о, если
q!з01 < 1 или ио1 = !ж0 — ж*| < 1/q,	(23)
т. е. начальное приближение находится в окрестности
До = (ж* — 1/q, ж* + 1/д) с 60 = 1/д корня ж = ж* уравне-
ния (1). В этом случае метод Ньютона, как принято гово-
рить, сходится с квадратичной скоростью (метод простой
итерации сходится со скоростью геометрической прог-
рессии).
Условие окончания итераций lzn| ^e|z0], как следует
из (22), или lz„l ^({/Izol )2П-1 Izol, выполнено, если тг^?г0(е)}
§ 7. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
135
где
(24)
Очевидно, что если начальное приближение находится
в малой окрестности х*, то и все последующие итерации
останутся в этой окрестности До. В самом деле, пусть
Uo —я*|«?6о, причем д60 < 1. Тогда будем иметь
< gk0 - £*|г -Д g^J< бР, к2 — я*| < gki — ;г*Р
< дб0 < 60 и т. д., так что 1хп — я*1 < 60 для любого
п = 1, 2, ...
Замечания. 1. Мы не останавливаемся на дока-
зательстве существования корня х = х*.
2.	Квадратичную сходимость метода Ньютона можно
установить п при более слабых ограничениях на f\x):
l/'k) I Mi > О, I/" (д) I М2 для всех х е До. (25)
Используя (15) и (16), получим для погрешности zn+i ==
== £п+1 — я* выражение
_ f" U) 2
2" + 1 - 2/' (г„) г»’'
из которого в силу условий (25) следует неравенство
|z„+il С glzj2, q = MJi2Mi\
которое совпадает с (21) (различие только в д). Дальней-
шие рассуждения приводят к (22), (23) и (24).
3.	Непрерывный метод Ньютона. Решение уравнения
/(я) = 0 можно рассматривать как предел при t -* °° ре-
шения задачи Коши:
+ / (я) - 0, х > 0, х (0) = и0,-	(26)
если этот предел существует. Обозначил! через х = х(/)
решение задачи Коши, через х* — решение уравнения
Цх) = 0. Для их разности z (i) — х (i) — rr* имеем
~ + (/к) - /к*)) = + Г ©-г, I = + 02,
0<0< 1,
~ 4- a (t) г = 0, t > 0, Z (0) = а (0 = f (^).
Отсюда видно, что lz(i)| -> 0 при iесли Д(д:)>0.
136 ГЛ. III. РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Для решения уравнения (26) надо воспользоваться ка-
ким-либо явным методом. Быстрота сходимости x{t) к ха
зависит только от величины производной fix).
4.	Метод секущих. Вычисление производной f'ixn) в
методе Ньютона может оказаться трудоемким. Если за-
менить /п разностным отношением (/„ —/п-1)/(^п —
то мы получим итерационный метод секущих
(ХП	Хп~ 1) f (жп)
(27)
Метод секущих сходится медленнее метода Ньютона,
однако в (27) вычисляется только функция, а в (15) надо
находить и функцию и ее производную. Поэтому объем
вычислений на каждой итерации в методе секущих, вооб-
ще говоря, меньше.
Глава IV
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Основные понятия теории разностных схем
Универсальным численным методом решения диф-
ференциальных уравнений является метод конечных раз-
ностей. Прежде чем переходить к его изложению, необ-
ходимо ввести основные понятия теории разностных
схем — аппроксимацию, устойчивость и сходимость.
1. Простейшие разностные операторы. Для получения
вместо дифференциального уравнения разностного урав-
нения необходимо:
— заменить область непрерывного изменения аргу-
ментов дискретным множеством точек (сеткой);
— заменить (аппроксимировать на сетке) дифферен-
циальное уравнение разностным уравнением.
Вопрос о численном решении дифференциального
уравнения сводится к вопросу о решении разностных
уравнений. В предыдущих главах мы уже рассматривали
примеры сеток:
1) равномерная сетка на отрезке 0 х 1 с шагом h\
множество узлов = {х, = z'A, I = 0, 1, 2, .,., N, h = 1/V);
= 0, Ху = 1 — граничные узлы; ш = {х, — ih, i = 1, 2,.. ,
..., N — 1) — множество внутренних узлов;
2) неравномерная сетка: отрезок 0 < х разбива-
ется на N частей произвольными точками х-. < х2 < ...
... < Xx-f, hi — Xt — x^i — шаг сетки;
i = 0,1, .. V, = 0, ху = 1}, 2 h = П
1
<j)h — {Xi, 0<
3) сетка на отрезке 0 t 71: сщ = {/п = пт, п — 0,1,...
..., ??й;-кот*= Z).
Вместо функции непрерывного аргумента (например,
на отрезке 0 < х < 1) рассматривается функция у(х<) = у,
дискретного аргумента х,, где xt — узел сетки сщ, или ар-
гумента i — номера узла. Эта функция называется се-
138 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
точной. Любую сеточную функцию y(z<) = у,- можно пред-
ставить в виде вектора
(у0, У1,	y.v-1, Ул).
Поэтому множество сеточных функций образует конеч-
номерное пространство И, в данном случае размерности
(2V+1). Обычно рассматривается семейство сеток {сц},
зависящих от шага как от параметра. Поэтому и сеточ-
ные функции у = уДж) зависят от шага как от параметра
(или от N), если сетка равномерна. Если сетка нерав-
номерна, то под h понимается вектор h == (hh h2, ..., hx).
Естественно поэтому снабдить пространство сеточных
функций индексом h и писать Нк. В пространстве Hh
можно ввести норму (М1Й. Укажем простейшие вйды норм:
||у[|с= шах {у (х) | или \\у\\с = max | уД;
/N~l X 1/2
Иу11= 2^4 •
\ i=l /
Дифференциальный оператор заменяется разност-
ным оператором, действующим в пространстве сеточных
функций.
Пусть G — область евклидова пространства Rp 1,
2, 3) с границей Г. Например, G — интервал 0<х< 1,
Г — точки х — 0, х=1; G — прямоугольник 0<х1<71,
О < х2 < Z2, х — (ащ i2)gG (р = 2), Г состоит из отрезков
прямых х2 = 0, х2 = Z2, Xi = 0, х{ = Ц и т. д. Пусть задан
линейный дифференциальный оператор L, действующий
на функцию v{x), x^G. Введем на G =» G I) Г сетку оц
и будем рассматривать сеточную функцию щЫ, х е оц.
Заменим Lv в точке <= coft линейной комбинацией зна-
чений vh(x) сеточной функции на некотором множестве
узлов сетки, которое назовем шаблоном
(Lhv)i = 2 (Wk Xi g= <ол (G),~	(1)
xjeoi
где ящ — коэффициенты, щ — шаблон, щ е шл.
Такая замена Lv на Lhv называется аппроксимацией
на сетке дифференциального оператора L разностным
оператором Lft, или разностной аппроксимацией операто-
ра L. Изучение разностных аппроксимаций Lh оператора
L обычно проводится сначала локально, т. е. в любой
фиксированной точке сетки. Построение Lh надо начи-
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 139
нать с выбора шаблона а(лг), т. е. множества узлов, сосед-
них с узлом х е (оЛ, в которых значения сеточной функ-
ции vh(x) могут быть использованы при написании вы-
ражения для Lh.
Рассмотрим несколько примеров построения Lh.
Пример 1. Первая производная: Lv =	 — v' (х).
Возьмем три узла (х — h, х, x + h). Можно воспользовать-
ся любым из выражений
г + и (х -г ll) — г (.г)	.	„	.	, ,..
Lh v —---------------— vx (шаолон (т, х 4- Л));
LhV — L-^LL-~—= г- (шаблон (х — h, х));
/Ъ	Аг	' f
, 0 v (х + 7г) — V (х — /г)	.	,	,	7	, ,..
---------- — к0 (шаблон (х — Л, х + А))<
Часто применяются названия: LhV ~ vx— правая, LhV=
== vx~ левая, Lohv = 4	~	+ LLv) — центральная
разностные производные. На трехточечном шаблоне
(x — h, х, x + h) можно определить разностный оператор
Lha)v = ovx + (1 — a) v~,
где о — действительный параметр. Таким образом, суще-
ствует бесконечное множество разностных аппроксима-
ций первой производной на трехточечном шаблоне.
Погрешностью аппроксимации оператора L операто-
ром Lh называют разность
ip = Lhv — Lv.
Говорят, что Lh имеет m-й порядок аппроксимации в точ-
ке х, если
4'Ы = Lhv(x) — Lvkx} = OUim) пли |ф(д:)) Mh™,
где М — const > 0 не зависит от h, m > 0.
Используя формулу Тейлора
V (х ± h) — v (z) ± hv (1:) -г
+ 4 с (х) ±^v" {X) + 4 W + о (k°),
140 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
нетрудно получить оценки
vx — vf = О (h), к- — v' = О (k), v0 — v' = О (h?)f
X
я|/т. * 0) L^v - Lv = О - 4) h + h2^.
Пример 2. Вторая производная: Lv —	~ v” (xp
dx
Возьмем тот же трехточечный шаблон, что и в примере 1,
и напишем разностный оператор
lhV = г (ж 4-Л) — 2р(х) + v(z—h)
Замечая, что v(x + h) ~ v (х) -f- Lvx, v(x— h) =? v(x) ~ hv^
преобразуем Lhv(x):
v (x) — г- (г) v- (x H- h) — v- (x\

h
Пользуясь формулой Тейлора для v(x ± h), находим
, 2
«ф = Lhv — Lv = yIV (я) + О (/г4) = О (/?),-
т. е. Lh имеет второй порядок аппроксимации.
Обычно требуется оценка погрешности аппроксима-
ции на сетке, т. е. в некоторой сеточной норме П-ПЛ. Гово-
рят, что Lh имеет ти-й порядок аппроксимации на сетке,
если
WLhvh - (Lv\Wh = O(hm).
2. Разностная схема. Обычно дифференциальное урав-
нение Lu ~ /(ж) решается с некоторыми дополнительны-
ми условиями — начальными (задачи Коши), краевыми
(краевая задача), либо и с начальными, и с краевыми
условиями. Эти дополнительные условия при переходе
к разностным уравнениям надо также аппроксимировать.
Пусть задана некоторая область G с границей Г и
пусть ищется решение и = и(х), x^G, линейного диф-
ференциального уравнения
Lu = /(x), x^G,	(3)
с дополнительным условием на границе:
нЬ) = ц(;г), х Г.	(4)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 141
Введем в области G — G + Г сетку он, = сщ 4~ % s G,
у^Г, и поставим в соответствие задаче (3), (4) разност-
ную задачу с линейным оператором Lh вида (1):
Lhyh — <₽h(x),	уЛСг) = мДж), x^vh. (5)
Функции yh{x\ ср^(х), vt(<r) зависят от шага h сетки.
Меняя h, получаем последовательности {yj, {cpj, {vj.
Таким образом., мы рассматриваем не одну разностную
задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h.
Это семейство задач называется разностной схемой.
Пример 1. Задача Коши:
Lu == 4г + Ьи = j (£), t > 0, и (0) *= и*.
Civ	V
Разностная схема Эйлера имеет вид
г	^71	। я ___ г
Р?У “-----------k луп ~ fn,
Уп«У(4п), tn — nr^G)x, /г = 0,1, . ..,у0 = н0.
Пример 2. Первая краевая задача:
Lu = и" ~ — /(ж), 0 < х < 1, п(0) = Ц1, и(1) = цг. (6)
Воспользуемся трехточечным разностным операто-
ром (2): Lbyi = У-Хл — (yi+1 — 2уг 4- Уг-J/A3 и получим
разностную краевую задачу на сетке сой = {яд — ih, 0
I =? N, xN = 1):
Phyi	У^х,г ~ ~~ ft' 1=1,2,	—
Уо = Hr УГ? = pa- (6')
3.	Устойчивость, Пам удобно перейти к записи раз-
ностной схемы (5) в операторной форме. Для этого сна-
чала запишем уравнения (5) в матричной форме
ЛУЬ-ФЛ,	(7)
где 5Д — искомый конечномерный вектор размерности N,
равной числу узлов сетки, в которых неизвестны значения
сеточной функции уЛ (для первой краевой задачи (6')
размерность Yh равна N — 1 — числу внутренних узлов
сетки). Значения уА(л0 в узлах Xiе сщ являются компо-
нентами вектора Yh, фДяЭ — компоненты вектора Фл,
А — квадратная матрица размера ,N X N.
Введем /У-мерное пространство Нц сеточных функ-
ций, и пусть Ал — линейный оператор, соответствующий
142 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
матрице A: A/,:	Hh. Вместо (7) можно написать
Ahyh = <рл, фл е Hh.	(8)
Пусть Н(1л) и 1Ы1(2л) ~ некоторые нормы в простран-
стве Hh.
Будем говорить, что разностная схема (8) устойчива,
если существует такая постоянная М > 0, не зависящая
от Л и от выбора срл, что для решения у*. уравнения (8)
имеет место оценка
(9)
при всех достаточно малых h: \h\	h?.
Разностная схема (8) называется корректной {кор-
ректно поставленной), если решение уравнения (8) суще-
ствует и единственно при любых входных данных cph е= Hh
и если разностная схема устойчива, т. е. выполнено не-
равенство (9).
Устойчивость схемы означает непрерывную зависи-
мость решения от входных данных, причем эта непре-
рывная зависимость равномерна по h. Если yh — решение
уравнения Ahyh = <рЛ, то ААу*. — у А = фь — ерь в силу линей-
ности Ah; тогда из (9) следует
II ““ |1(м) < Л/1| фй - фЛ ||(2ft).	(10)
Малому изменению входных данных соответствует малое
изменение решения.
Если схема (8) разрешима, то существует обратный
оператор и
yh ~ Ah фл, j| Уь || Ah 11||j фл	(11)
где ЦА^Ц = || АГ1||(гЛ-*1Л) ~~ норма оператора Ah1.
Устойчивость означает равномерную по h ограничен-
ность обратного оператора
Ит'КМ.	(12)
Схема неустойчива, если не существует такой постоян-
ной М, не зависящей от h, которая превосходила бы
ЦАя1!!, т. е. неограниченно возрастает при Ш0.
Может оказаться, что вместо краевого условия перво-
го рода и ~ ц при г е Г задано условие
Ьи = уХх), ^еГ,	(13)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 143
где I — некоторый линейный дифференциальный опера-
тор, например, 1и = и' — он, о > 0 или 1и = и' при х ~ О
пли ж=»1). Тогда вместо задачи (3), (4) имеем задачу
Lu — f(.x), x<=G\ lu = р(гс), ж^Г. (14)
Соответствующая разностная схема будет иметь вид
Lhyh~ при x&($h,	= Щ при	(15)
где 1н — линейный разностный оператор, аппроксимиру-
ющий оператор I. Может оказаться, кроме того, что ф^
и щ надо оценивать в разных нормах Иф^^^
Схема (15) устойчива, если для’ ее решения yh спра-
ведлива оценка
II Vh 11(1/0	II ФЬ ll(2ft) + М2 || Рл ||(3/,р	(16)
где Mi > 0, М2 > 0 — постоянные, не зависящие от h и от
выбора входных данных ф>( и цЛ.
Следует отметить, что разностная схема (15) также
может быть записана в операторном виде Акуь == фл, од-
нако при этом |Н1(2/г) в (9) и (16) могут не совпадать, так
же как и сами правые части (это ясно уже для первой
краевой задачи).
4.	Пример устойчивой схемы. В качестве примера
устойчивой схемы рассмотрим разностную краевую за-
дачу
y„ = 0, JM=O, hN = l. (17)
Следуя § 4 гл. I, определим оператор Ah. Пусть Нк — про-
странство сеточных функций, заданных во внутренних
узлах (i = 1, 2, ..N — 1) сетки. Возьмем у е Hh (ин-
декс h у yh(.x) пока опускаем) и функцию у, совпадаю-
щую с у во внутренних узлах и равную нулю на гра-
нице: yo = yN = O. Тогда оператор Ah определим при по-
мощи тождества
(Ay)i = — y-xi, i = 1, 2, ..У—1,;
и получим вместо (17) операторное уравнение
Ahyh*=qh.	(18)
144 гл. TV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
В пространстве Hh вводим скалярное произведение
Л-1
(I/, и) — 2 УгЫЛ-
Оператор АЛ в Hh самосопряжен и положительно опре-
делен и
§Е Ah ЛЕ, или 6^112 < (А„у, у)	ДIIг/П2
для всех y^Hh, (19)
где 6 и Д — наименьшее и наибольшее собственные зна-
чения оператора А, равные
6 = ASh^, д = м„| =	(20)
п	fl
Обратный оператор Ай1 самосопряжен, если A?t = А*.
В § 4 гл. 1 показано, что неравенства (19) эквивалентны
операторным неравенствам
[-Vi = ±.	(21)
Отсюда следуют равномерная ограниченность нормы об-
ратного оператора А^1: |Ай11|< 1/6 < 1/8 и априорная
оценка
Wl^k'^rlbll-	(22)
выражающая устойчивость схемы (18). Эту оценку мож-
но получить методом энергетических неравенств, не при-
бегая к оценке собственных значений (Ай1). В самом
деле, умножим уравнение Ahyh = фЛ скалярно па ук:
(Ahyh, = (<Р?н уА и воспользуемся неравенствами
((ph, У/гХ 11 <рл |1||УлЦ, \]yh |{2<-^-(4л yh, yh); тогда полу-
чим неравенство 611 z/JI2 11<рлН1! г/JIг откуда и следует оцен-
ка (22).
Схема (17) устойчива также в норме llz/llc:
h!!c = hllcA = max |р4.	(23)
п 0<i<N
Это следует из оценки решения трехточечной разностной
краевой задачи, полученной в п. 3 § 5 гл. I. В данном
случае оценка имеет вид
л-т	8	л
h* Ис < 2 h 3 h [ cpfe К j ф |J с 2 xah < — jj <рл Jlc,
s=i k~i	S=1
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 145
так как
3=1	3—1
5.	Пример некорректной схемы. Пусть дана схема
АьУъ. — ф/i
и о° при |Л| -* 0. Рассмотрим обратную задачу —
определить правую часть <рЛ по известному решению yh:
Bh<Ph = yh, Bh лг1.
Она является некорректной, так как
прп |й|-*0.
-Это значит, что для любой постоянной М, пе зависящей
от h, можно указать такое А*, что ||/?Г1|[>> М при
| h {h*. Пусть (ph — решение уравнения Bh^h = у к, а фд —'
решение уравнения B^h = yh, тогда
Исрл - фЭ!	- pjl.
Если же
|| В^11| < М || при J h\ > Ло,
так что справедливо неравенство
Пфл - ф71 с M\\yh — рЛ
то будем говорить, что схема квазыустойчива. Можно ли
пользоваться этой схемой для определения фЛ с требу-
емой точностью е, если уЛ задано с некоторой точ-
ностью в0:
Пул - г/J1 < е?
Из неравенства 1| фл — фл||^ [Bh 11||| yh — yh || следует, что
решении задачи Bhq>h = yh определяется с точностью
|| В^1| е0. Пусть требуется найти фЛ с точностью е > О,
так что Нфд — фл11 е; это возможно при условии
Отсюда определяем допустимый шаг Л 5s Ло, т. е. Ло»
Поясним это на конкретной задаче (17). Для нее
имеем
||в;>| = ||Л| = д = 4;COs2Jr
146
ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
п условие
е или
Ил1!1ео = Де0<Е выполнено, если 4е0/й2
h^hQ~ 2Уе0/е.
Отсюда видно, что точность задания входных данных е0
должна быть более высокой, чем точность е определения
решения.
Пусть, например, заданы погрешность правой части
е0 = Ю-8 и требуемая точность е — 10“4. Тогда hQ —
*= 2 • 10-2 = 1/50, т. е. точность е = 10-4 можно получить
только па сетке с шагом h > 1/50. Если же, например,
ео = -“-1О~4, 8 = 10"4, то й0—1 и точность е = 10“4
нельзя достичь ни на какой сетке при такой точности
задания входных данных.
6, Аппроксимация и сходимость. При решении зада-
чи (14) разностным методом надо знать, с какой точ-
ностью решение разностной задачи приближает решение
исходном задачи. Для оценки погрешности, допускаемой
при замене (14) разностной схемой (15), надо сравнить
решения этих задач. Это сравнение будем проводить в
пространстве /Л, сеточных функций. Обозначим через
iih(x) значения функций и(х) — точного решения задачи
(14) —па сетке <ол:	Hh. Рассмотрим погрешность
%>h	У h	й,
где yh — решение задачи
в (15) и считая и — и(х)
для zh разностную задачу
(15). Подставляя yh = zh 4- uh
заданной функцией, получим
Lhzh = $h,	hzh = vft, x^^ht (24)
где — фл — Lhuh называют погрешностью аппроксима-
ции для уравнения Lhyh — на решении и = к(д?) урав-
нения Lu = /(я) (невязка длЛ разностной схемы на реше-
нии), vh — Цл — lh.Uh — погрешность аппроксимации для
разностного краевого условия Uajh — Цл на решении зада-
чи (14).
Будем говорить, что:
разностная схема (15) сходится, если
II2JI(U) -> 0 при | h | -> 0;
разностная схема (15) имеет точность m-то порядка
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 147
или сходится со скоростью	если
ЙZ/i ~ I! Ук Uh	м! I
ИЛИ
= ° PI ), ™>о,
где М > 0 — постоянная, не зависящая от ht
Разностная схема (15) имеет m-й порядок аппрокси-
мации на решении, если
1Ы(2„) = °(1 АГ)- 1М(8Л) =О(Ш”), те>0. (25)
Оценка невязок 1|ф и vft проводится в предположении,
что решение исходной задачи существует п имеет столь-
ко производных, сколько требуется при получении ?и-го
порядка аппроксимации.
Приведем два примера оценки т|чл.
Примеры. 1. Имеется задача
Lhy = ~ Ухх — <р (*), х — ih, 1 < i < У — 1, у0 = yN = 0,
(26)
Lu = — и" — j (x), 0 < x < 1, и (0) — и (1) — 0.
В этом случае краевые условия удовлетворяются точно,
vh = 0 (индекс h у ф(х), и(х) пока опускаем) п
фл — (р Lhu = 4~ ихх — ф 4"	Н—~ h?u 4- О (Д4)^ =-=
=<<р+«">+4 “Iv+° о4»=<t-f+o (h-),
так как и" = — fix). Отсюда видно, что — 0{h2),
если положить <р = / или ср = / 4- O(h2L
В п. 1 мы оценивали погрешность 4 = Lhvh — (Лг)л
для произвольной функции. При оценке погрешности
zh = Ун — щ используется невязка характеризующая
погрешность аппроксимации оператора Lu — f оператором
LhUh — срл на решении н = н(.т) исходной задачи. Учиты-
вая, что / — Lu = 0, представим	— £лил в виде
= (фл — LkUh) — (f Lu)it =
= (срл — A) — (Lhuh — (Lu)h) = фл1’ 4-
где 4a0 = — (LhUh — (Lu)h),	= фЛ —- Д, фд1) — по-
грешность аппроксимации L оператором Lh па решении
и = и(х) задачи (6),	— погрешность аппроксимации
правой части уравнения. Требование l.p’/j = 6) (| ^ jm)>
148 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
очевидно, выполнено, если ||(2л) “ О (| h ||
= 6?(|Ajm). Однако эти условия н,е являются необходи-
мыми для оценки	~ (I ^1™)’ 0 чем свидетель-
ствует следующий п-ример.
2. Первая краевая задача (6). Вычислим
- tlA” = и-х - и" = ^и"1 + О (М) = О (h*}.
Пусть ср —- / +	й2/-х, Т. е. ср — / = О (Л2). Отсюда вид-
но, чт-о ~ О (h2) и — О (№), однако схема имеет
четвертый порядок аппроксимации, так как
,2
фл = ф1° + ф!а = Ф - / +	+ О (А4) =
14
,2	т 2
= 72	+ ° №’) = А- (/" + » ) + О
L4 л,л	14
х|)л = 0(Л4), так как urv + /"(я) — 0 в силу уравнения
и" + /(ж) = 0.
7. Связь устойчивости и аппроксимации со сходи-
мостью. Рассмотрим линейную разностную схему (15).
Если схема устойчива и аппроксимирует исходную зада-
чу, то она сходится (обычно говорят: «по устойчивости
и аппроксимации следует сходимость схемы»). В самом
деле, для погрешности zh = yh — uh мы получаем, в силу
линейности Lh и /Л, задачу (24), аналогичную задаче (15)
для у*. Поэтому, если схема (15) устойчива, т. е. верна
оценка (16), то и для zh верна оценка
1г» 11(1») < Ml II Ф'« !(=/) + М2 ] V;, ||(Sft).	(27)
Отсюда видно, что
если
!фД(!4) = о(^1’л).	= о(|А|т).
Таким образом, изучение сходимости и порядка точ-
ности разностных схем сводится к изучению погрешности
аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению апри-
орных оценок (16).
Пример. Для разностной схемы (17) {y~xx<i = — (pi,
i ==	, TV — 1, y0 — 0,	= 0) рапсе получена
§ 2. ОДНОРОДНЫЕ ТРЕХТОЧЕЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 149
оценка (23). Погрешность аппроксимации, очевидно, есть
If фл ||сл = О (Л2) при фг == Л, [] ||Сл = О (Д4) при epi = fi 4-
+	Так как z-xi = -фл>{ при i = l, 2, ...
..N — 1, Zo = 0, Z№=0, то и для z верна оценка ||z||c^
1М|с» откуда следует Пг/Л — нЛПс = 0{hm), где т = 2
при (р = /, т == 4 при <р = f 4- f-x-
Тем самым изучение схемы (26) завершено (изучение
схемы (26) фактически продемонстрировано на послед-
них трех примерах). Это — типичный пример того, как
проводится изучение разностных схем.
§ 2.	Однородные трехточечные разностные схемы
1.	Исходная задача. Рассмотрим первую краевую за-
дачу для обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка:
Lll:=	~ и	0<я<1,
(1)
к (х) q > 0, q (х) О, и (0) = р15 и (1) = ц2.
Такое уравнение описывает стационарное, т. е. не меня-
ющееся во времени распределение температуры (стацио-
нарное уравнение теплопроводности) пли концентрации
(уравнение диффузии). Если и = и(х) — температура, то
W (х)=—к(х)	---тепловой поток (&(#) — коэффициент
теплопроводности).
Задача (1) имеет единственное решение, если к{х),
q(.x), /(#)—-кусочно-непрерывные функции. Если к{х)
имеет разрыв первого рода в точке х = так что [&] =
Л’(д + 0) —/4^ — 0) =# 0, то в этой точке должны быть
непрерывны температура и и тепловой поток — {ки'):
[ н] = 0, !й']=0 при х — £.
Возможны п другие краевые условия при х — 0. х = 1:
ки = щи — р! при х = 0, — ки' = о2и — щ при г = 1, Если
б! > 0, то это условие третьего рода, при щ = 0 имеем ус-
ловие второго рода {ки = —щ при х — 0). Возможны
комбинации различных условий при х = 0 и х — 1.
2.	Трехточечные разностные схемы. На отрезке
0 х 1 введем равномерную сетку	оц —	= ih.
150 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
I = 0, 1, ..N} с шагом h= 1/N и выберем трехточечный
шаблон (aJi-i, xt, xi+i), на котором и будем писать разност-
ную схему, аппроксимирующую задачу (1). Любое раз-
ностное уравнение на этом шаблоне будет иметь впд
biyi+l - сру,+ ауу^, = -h2^,	(2)
где a,, bi, Ci — коэффициенты, зависящие от к(х), q(x) и
h. Они пока не определены. Перепишем (2) иначе:
1 /	Z/i+1 ~У1	Уг~ \
h	h ~ai h J —	(°)
di ~ (.ci — di — bi) Jr.
Будем говорить, что разностная схема однородна, если
ее коэффициенты во всех узлах сетки для любых коэф-
фициентов дифференциального уравнения вычисляются
по одним и тем же формулам. Так, если ввести функ-
ционалы Л[&:($)], 2?[fc(s)], ZO(s)],	определенные
для любых кусочно-непрерывных функций на отрезке
—	и вычислять коэффициенты схемы (3) по
формулам
ai — А [к(х, + 5Й)], bi = BUt(.Xi +sh)],
d, = D[k(xt-F sJi)l, cf\ = F[/(xi + s/z)], k(s) ~ k(x, + sJi),
то такая схема будет однородной. Приведем простейшие
функционалы
A [k(s)l = к(~ 0,5),	= kt-i/z = k(xi — 0,5/z),
F(f(s)) =/(0), ср; = ft = f(xt) и т. д.
Если схема однородна, то удобно пользоваться безын-
дексной системой обозначений:
1
Av = __ (Ьух _ ay-} — dy^—q, же
У (0) = Мп У (1) = Р-2, (4)
где
а = а(х), Ь~Ъ(х), у — у(х), x = ihea)h,
Ух = (у U + h) — у (ж))//?, у- = (у (х) — у (х — 7г))/7г.
Для разрешимости задачи (4) достаточно, чтобы
а > 0, b > 0, d > 0, при этом решение можно найти мето-
дом прогонки (см. гл. I, § 3).
§ 2, ОДНОРОДНЫЕ ТРЕХТОЧЕЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 151
3.	Условия аппроксимации. Вычислим погрешность
аппроксимации схемы 04):
ф = (Др + ф) — (Lv + /) = (Ап — Lv) + (ф — /) =
= 4 (bvx — аи~) ~ (ки'У j — (d — q) v ф- (ф — /),.
где г(л’) — произвольная достаточно гладкая функция,
A, q, / также имеют нужное по ходу изложения число
производных. Воспользуемся формулой Тейлора:
г (я ± h) = : Qr) ± hv' (т) + ~ v" (1) ± 4" v'"	+ 0
и найдем
h	Л2
vx = v’ + -^-v'' + -^-v"' +O(h^t
-г1'"4-4-г'"
Подставим эти выражения для и г- в формулу для ф:
1	/ 1 / к	\ j /\ / i t b ф*	у rr I h (5 Д) /и
ф =	— о) — к j v -------------Н"----------§ Ь
— (d — q) v ф- (ф — f) Д О (7г2).
Отсюда видно, что схема имеет второй порядок аппрок-
симации, если выполнены условия
фф- = к' (I) + о (i-.-j,	= k(x) + O(h2),
d^ q(x') + О (к-)г ф = / (х) + О (Л2).	(5)
В этом случае ф = О(Л2).
Схема (4) с коэффициентами
bi ~ ki-\-\bz i (it ~ kj—1/2» di = q^ (pj = fi,
, кг + 2к1+1^^~ ki+l	,	d _	„ f
bi —  ------— Аг—1/2»	— qi, ф] — Ju
удовлетворяет условиям (5) второго порядка аппроксима-
ции, а схема с коэффициентами
b — к а — ki + ki+1
152
ГЛ. IV.. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
не удовлетворяет даже условию первого порядка аппрок-
симации, так как
§ 3. Консервативные разностные схемы
1. Однородные консервативные схемы. В § 4 гл. I мы
установили, что необходимым и достаточным условием
самосопряженности разностного оператора Лу (симмет-
ричности матрицы) является условие bi — а{.+ 1, В этом
случае задача (2) из § £ принимает вид
д 1	^г+1 Уг	Уг Уг~~1 j
Л.у	ь д	" J “гУ1 —	ф1,
i — 1, 2, • • N 1, Уд = у.х =	(1)
Уравнение
«i+i
~~ /?<Pi	(2)
является сеточным аналогом уравнения баланса тепла на
интервале (^i-i/2! ^н-х/г):
•тг+1,'2	*1+1/2
1Р-4-1/2 — 1Г;-1/2 — J qu dx = — J j (х} dx, w — kid,
xi—1/2
(которое получается при интегрировании уравнения (1)
из § 2 по отрезку г^-,/2 х < xi+i/d), и называется кон-
сервативной схемой, т. е. схемой, для которой выпол-
няются разностные аналоги физических законов сохра-
нения.
Требование Ь, = а{+1 для однородной схемы означает,
что _В1к(х 4- $Л)] == А (Л:(л7 + (s + 1)/Л)], пли Z?Ug(s)] =
= ЖШ+1)] для любых кусочно-непрерывных функций
k(s) на отрезке [—1, 1]. Это возможно только в том слу-
чае, когда функционал ^IJf($)] не зависит от значений
fids) при 0<з<1, а В[&($)] — от значений S(s) при
— l<s^0, так что adx) — А[к(х + зА)] при — 1 s < 0.
Коэффициент а(х) консервативной схемы зависит только
от значений к(т) на отрезке [x — h, rd, Условия второго
порядка аппроксимации (5) из § 2 для консервативной
§ 3. КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
153
схемы (2) принимают вид
- к' (я) + о
(3)
а (а; + /0 + g(£l _ к _J_ 0
d(я) = q (х) + О (&2), ф (х) = / (х) + О 42).	(4)
Отсюда, в частности, следует, что
а(х) = к(х) — i/1hk!(x') 4 O(h2) — к(х — !/2Ю + O(h2\
Запишем консервативную схему (2) в безындексных
обозначениях:
(ay-) x — d(x)y^—q (ж),
X = ih е= оЛ, у (0) = у (1) = р2.	(5)
Будем требовать, чтобы выполнялись также условия
я^С1>0, d>0.	(6)
На практике следует пользоваться простыми форму-
лами для a, d и ф, например, а, = di = qh cp{ =
Если разрыв функции к(х) находится в узле х = xt
сетки, то вычислим коэффициенты однородной схемы:
a.i^kt-i/2 или at = i/2(k(xi_i 4 0) 4 k(xt — 0)),
di = V2(gU» — 0) 4 q(Xi 4 0)), ф< = '/zt^Xi - 0) 4	4 0)).
В этом случае условия (3) выполнены всюду, а условия
(4) заменяются условиями
di - *Ш-о + ^+0) = Okh2\ ф, -	+ /i+0) « OW).
Приведем пример схемы, коэффициенты которой вы-
числяются путем интегрирования по интервалам сетки:
жг + 1/2	1/2
if	С
фг = —	| / (х) dx -- I / (хг 4 sh) ds,
~X'2
ЛЧ+1/2	1/2
di —	j* q (x) dx — У q (xt 4 sh) ds.
.v4i/2	—'1/2
Очевидно, что условия (3), (4) выполнены.
154 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
2. Погрешность аппроксимации. Рассмотрим консер-
вативную схему второго порядка аппроксимации. Пусть
и — uix) — точное решение задачи
Lu — iku'Y — qix)u — — fix), 0<а:<1,
u(0) = pi, и (1) = ц2, (6)
a yt = yixi) — решение разностной краевой задачи (5).
Рассмотрим погрешность схемы, т. е. сеточную функцию
zix) *= yix) — uix), х <= (oft.
Подставляя yix) = zix) + uix) в уравнение (5) и предпо-
лагая, что .uix) — заданная функция, получим для по-
грешности zix) задачу
Аз = (az-)x — dz = — гр (я), х е оц,
z (0) = 0, z (1) =0, а q Д> 0, d 0,	(6Л)
где гр (я) = Ан -ф ср ix) — (аи-^х ~ du 4- Ф — невязка схе-
мы (5) на решении и —uix) исходной дифференциальной
задачи.
Учитывая, что Lu + / = 0, напишем
гр — (Au + <р) — iLu + f) ~ (Au — Lu) + (<p — /) =
= [(°')x “ iku'Y] — id — q) и + (ф — f).
По предположению, схема (5) удовлетворяет условиям
второго порядка аппроксимации. Это значит, что гр =
~Oih2), если к е С(3), q, f<=C(2', и^Са}, и, следователь-
но,
Игр1!с == Qihz).
Прп этих предположениях схема имеет второй поря-
док точности.
Однако этот же порядок точности сохраняется и при
более слабых требованиях гладкости:
kix), qix), fix)^Cm, и^С{3}.	(7)
Лемма. Если выполнены условия (7), то справедли-
ва формула
= <W>'. + °	(8>
где и = uix) — решение уравнения (б),
S 3 КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ <55
Доказательство. Воспользуемся формулой Тей-
лора:
= 1'1 ± hl'\ -ф £’/'+ — V- (ж; ± 07г),
О О ~ (Pi ы/з — vi- 1/2) ~ k’i (h“).
Подставляя сюда v = ки п учитывая, что (ки/')"—
— Um'Y" — (qu —f)", получаем формулу (8).
В силу леммы погрешность аппроксимации ф можно
представить в виде
ф; = П-r.i + Фы. Л* =	~	Ф* = О (Л2)
при условиях (7),
Учитывая далее, что
c?i = /ci-i/2 + О (А2) при к (ж)	С(2),
11 х I = и--~— = (u')i-l/2 4- О (№) при и ее с'3),
А> Ь	/I
получаем гр = O(hz). В самом деле, Ui = Ui-1/2 ~
-г	4-	4- О (7г2),
щ_г = щ_1/2 — j hu'i-i 2 -1-	4- О (Л3).
ux,i =	4- О (h-Y
aYLx,i (^-1'2 4- О (Л2)) (wj-j/2 4” О (А2)) — (ки'){-1/2^Г О (/г),
= о (h*Y
Ниже будет получена априорная оценка Hzl!c непосред-
ственно через ц и ф*.
3. Априорные оценки. Перейдем к оценке погрешно-
сти z через ф. Прежде всего напомним оценку, получен-
ную в § 5 гл. I с помощью метода прогонки:
2V-1	1
1 i=i /г=1
откуда следует
РКаУН'Ь
156
ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Покажем, что для решения задачи
(az-)x — dz = — цх, яесод, z (0) = z (1) = 0л
а ^5 сг > О, d О
справедлива оценка
№<-(!. |(*п.	(9)
С1
N
где обозначено (у, г] — 2
i=l
Представим z в виде суммы z = w + v, где w и v —>
решения задач
= — нх, сод, w (0) = w (1) — 0;
Др —	" — dWi ZG(|)/H V (0) = V (1) =i 0.
Функцию w мы найдем в явном виде, а для оценки р
воспользуемся принципом максимума. Из уравнения
(а№; + Ц), = 0, (ai»j)i+1 + Hi+i = (аи-Ъ + щ
следует, что aw- + р — const =± с0. Проведем очевидные
преобразования:
. (CQ — Pi) h V h V ,
tvt — ivi-i 4-	~ a. c0 — — £ 7 h + tro,
1	feel k hs) *
Вводя обозначение
t I к
«... 2Ж, »<*<.
k=*i a|a»i
§ 3. КОНСЕРВАТИВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ
157
Отсюда следует
Л=Н1
ан
ЛI м
ak
Далее остается учесть, что ak > ск > 0, и mbi получаем
N
1Ис<7 2 Л1Ы = (IJnfl- (1°)
1 /£=Ц	1
Для оценки v воспользуемся те'оремой 4 из § 5 гл. I;
Ыс с 1Ы1С.	(11)
Объединяя неравенства (10) и (11), имеем
2
1И|с = ||+ Н1с< 21И1с < г (1, I4 |Ь-
ci
т. е. доказана оценка (9).
Обратимся теперь к задаче (69, где ф — т]х + Ф** ИреД_
ставим ф в Ниде
г-1
4? = Цх, где Щ = T|i + 2 hty*t	(12)
k—1
и воспользуемся оценкой (9). Тогда для решения задачи
(69 получим следующие априорные оценкй:
(	лг г-1 г
(1, hl) + 2 h 2 Н* р
1 (	J (13)
Ис<|{(1,Ы1 + (1,1Ф* |1Ь
ci
Остается показать, что имеет место формула (12). В са-
г-i
мом деле, обозначая рг — 2 видим, что pi-ы — рч—
k=4
~h^i, т. е. -фг* = px,i и ф — цх + рх рх, где щ щ 4- рь
4. Сходимость и точность разностной схемы. Ппрей-
дем к оценке точности разностной схемы. Предполагая,
что
к(х), дЫ,	и(х)^С{3\
п'олучаем ц(х)=(?(А2), ф* = O(h2). Теперь остается вое-
15Й ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАН
пользоваться априорной оценкой (13), которую можно
заменить и более грубой оценкой
II2 Нс < — (I) П ||с + II Ис)-
Отсюда следует, что схема (5) равномерно сходится со
вторым порядком, т. е. 1Ы1С = !li/ — ullc Mh2, если вы-
полнены условия (7).
Более трудным является доказательство сходимости
схемы в классе разрывных коэффициентов к{х), q(x),
f(x). Для простоты будем рассматривать случай, когда
к(х) имеет разрыв первого рода в одной точке, a q(x)
и f(.x) непрерывны и принадлежат классу С(2),
Обозначим через	множество кусочно-непре-
рывных функций, заданных на отрезке [а, Ь] и имеющих
на Ест, £>] к кусочно-непрерывных производных.
Итак, пусть к{х) е q(x), f(x) е С(2) и к(х) имеет
разрыв первого рода в точке | на отрезке [яп, #n+J, так
что | = хп 4- Ght 0	0	1. При х = | выполнены условия
сопряжения
и_ = н+,	(ки')- = (ки')+ — н’о,
где
v+ = p(g + 0), v_ = p(| —0).
Тогда Yji —O(/t2) при i Ф n + 1, \|д = О (h~) при всех i —
= 1, 2, ..N — 1, цй+1 = an+iux п - (h')„+1/2. Подставляя
сюда
un+1 = u (^) + (1 — 0) hu+ + О (/i2),
ип = w (g) — Bhu'- + О (h2),
iix,n = (un+i — un)/h = 0u_ + (1 — 0) U-I- 4“ О (h) =
=	+ (i - e) + о (h) =
[ 0 I 1 ~	1 /П /7 \
(kur)n+i/2 =	4- О (h) = w0 4- О (h) при 0 > Vai
(A:u')n+1/2 = (kur)+ + О (7z) =	4- О (h) при 0 < V2,
получаем
Tpi-н = w0 [ян i-j | j; j 11 4~ О (h)t
L \ —	+ / J
§ 4, ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 159
т. е. т|п+1“О(1) для любой схемы, и только для схемы
с коэффициентом
имеем i]n+i = 0(h). В самом деле,
т. е. ап+1	~—j — 1 + О (Д) и, следовательно, r)n+i =
= O(h). В правую часть неравенства (13) входит ве-
личина
N
(1,1пИ= S h IM + h I Wil-
г=1,г#:п+1
Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема. В классе разрывных коэффициентов
k(x) «= С<2) 1 <?(#), f(x)^Cm любая однородная разностная
схема (5) второго порядка аппроксимации имеет первый
О
порядок точности, а схема с коэффициентом 0, = а, имеет
второй порядок точности.
§ 4. Однородные схемы на неравномерных сетках
1.	Консервативная схема на неравномерной сетке.
Выберем на отрезке 0 < х 1 произвольную неравномер-
ную сетку
о)Л — k£, I = 0, 1, .,N, z0 = O, xN = 1).
Для получения трехточечпой консервативной схемы на
неравномерной сетке напишем уравнение баланса на от-
резке lxi-t/2, xi+l/2l:
xi+l/2	1/2
и\+1/2 — Wi-1/2 ~ J qudx — — j / (xj dx, u‘ — kur.
xi-1/2	xl~ 1/2
Оно пишется одинаково как для равномерной, так и для
160 ГЛ. IV. РАЗНО&ТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
неравномерной сетки. Остается аппроксимировать входя-
щие в уравнение баланса интегралы и производные:
у,. — у
^•{—1/2	)г—1/2 Qi	j hi ~
к’ + 1/2	кг+1.'2
j / (z)	dx ~	J	qudx^dyifiu.
1/2	xi-l/2
1
h-i — (fyi ~b
где di и — некоторые сеточные функции. В результате
получаем разностную схему
ai	Ч-Ц	"i
г= 1, 2, .. УУ— 1, Уо-Уп	(!)
Для di и ipi воспользуемся простейшими формулами ср4 =*
= A, di •= q{, i = 1, 2, ..N — 1. Коэффициент а{ опреде-
ляется значениями к(х) на интервале #,•), поэтому
его можно взять таким же, как и на равномерной сетке;
так что «г ~ ^г—1/2 + О (hl) при к(.х) s С(2).
2.	Погрешность аппроксимации. Введем обозначения
т, _ yJ ~у^ . _ Ei±i2Z2i „
’ ^Х)1 /гН1 ’	i.i
и запишем разностную схему в виде
<А/= —	у0 =	^=^г. (1)
Полагая z = у — и, получим для z уравнение
(az;)x “	— ф, х е г0 = zN 0,	(2)
где
ф = Ли + ср	du + <р	(3)
есть невязка для схемы (1) на решении и = и{х).
Лемма 1. Если qu С{2\ / е £(2), го для погрешно-
сти аппроксимации ф справедлива формула
ф = 11^4-	(4)
где	(W)i-Pa ~	— /А/8, фГ — <9 (й|) при
<Pi =» A, di = qt.
§ 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 161
'Ф —	—(A’u')i-i/2] (du)i 4- ф; + jr j
Воспользуемся тождеством из п. 1, записав его в виде
х1+1/2
J (qu — f) dx, itj = (W)i_1/2.
x i-1/2
Вычтем это тождество из равенства (3):
(qu — /) dx.
(5)
Интеграл, стоящий справа, представим в виде суммы
двух интегралов: от Xi-i/2 до х{ и от xt до я<+1/2; разлагая
затем подынтегральную функцию f = qu — f в окрест-
ности узла х = xh найдем
£ J Т(х) dx =	< J [Л + (х — xff •] dx + О (hl) +
xi—1/2	(xi—1/2
xi+l/2
4“ У [/i + (# — Xi) fi] dx О
= Л +A-W+1-^)7;+O(a?),
так как hf Ц- hf-i-i <Z (2hi)3. Замена hi±if-t —	-|-
-\-0{h3l+i) дает
A J 7(ж)* = л +(л2/')- + о(й?)-
xi~1/2
Подставляя это выражение с f = qu—[ в (5), приходим
к формуле (4).
Для оценки r]i по порядку рассмотрим разность
(аи~).— (^и/)г-1/2ПРи Условии к*=С{2), us(7(3). Пользуясь
предположением аг — A’i-i/2 + О (hf) и формулами ui —
= iZi-i/2 4~ ^i^i-i/s/^ ~F AiUj-i/s/S 4" О (/ij), Ui—i =Ui-i/2
— ZZjUi-l/o/S 4- hiUi-1/2/8 4~ О (M)> и"х,г = (Mi	—
162
гл. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
= ui-t/Q + О (k]), получаем
(aUx)i	=
- (^i-1/2 + О (/4)) (^-V2 + О (/4)) - (^9-1/2 = О (hi).
Таким образом, справедлива оценка
ц; ~ <9 (7г0 при к(х), q (х), f (х)	С('\ и(х)<=С(3\
Замела и и е. Мы предполагали, что d, и ср, опреде-
ляются по простейшим формулам: di = q,, ср, = Д. Если
же используются более сложные формулы, например
4-1/2
Cpi	2^.	» фг  J f (x)dx,
xi—l/2
то сеточную функцию ф* ~ О (?4) — (d, — щ + (дц — A)
можно представить в виде ф* = p-i + фг**, где =
=--О(фц), Pi = #(74), и заменить в формуле (4) тц на
сумму гр + рд
ф =-(Р; ~г тр)~+Ф**,	(4')
Pi = O(hq), щ = О (h;), фГ=О(74) при к, q, f GE С{~\
и С{3).
3.	Оценка скорости сходимости. Для задачи (2) — (4)
справедлива априорная оценка
Ис<4 {(1. bill + (МГ11),	(6)
W
где (р, г’1 = HiViVihi. Если выполнены условия (7) из § 3,
i=-l
то r]i=o(h'l), ^>* = O(hl).
Подставляя гр и ф[ в (6), убеждаемся в том, что спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема. В классе гладких коэффициентов k, q, /е
ер12' любая схема вида (1) сохраняет второй порядок
точности на произвольной последовательности неравно-
мерных сеток.
Учитывая замечание п. 2, фд можно представить в
виде фГ = p-t + ф**, где pi = О (h’i), ф** = О (/4). Тогда
§ 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 163
вместо (6) верна оценка
1Ис<г «1, h + р|] + (1,
С1
теорема о втором порядке точности на неравномерной
сетке сохраняет силу.
Если коэффициент к (ж) имеет разрывы первого рода
в конечном числе точек, то всегда можно выбрать такую
неравномерную сетку онШ, что точки разрыва будут уз-
лами этой сетки. Тогда любая схема будет иметь второй
порядок точности.
Итак, любая однородная схема второго порядка ап-
проксимации (ip = СК/i2)) на равномерной сетке и в классе
гладких коэффициентов имеет второй порядок точности
при специальном выборе неравномерных сеток саДЛ) в
классе разрывных коэффициентов.
4.	Точная схема. Для задачи (1) из § 2 можно по-
строить точную трехточечную схему, решение которой в
узлах произвольной сетки совпадает с точным решением
и = и{х) краевой задачи для дифференциального уравне-
ния. Проиллюстрируем возможность построения точной
схемы на частном случае задачи при q(x) 0:
{ки'У — — /(ж), 0 < х < 1, и(0)=0, н(1)=0. (7)
Проинтегрировав уравнение от Xi х, получим уравне-
ние
(киг) — (ки'У + J / (1)	= 0.
Разделим его на к(х) и проинтегрируем по х сначала от
xt до ж4+1:
Л'
Ui+1 — щ — (ки'У J + J j / (Ю d% = 0, (8)
затем от х^ до х^
xi	хг	xf
J + J У (I) di =0. (9)
1G4
ГЛ IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Введем обозначение
4
Умножим (8) на	(9) — на a® /hi и вычтем из
первого результата второй. Получим уравнение
1
„о
«г+1
или
где
= о,	(Ю)
Если положить х' = Xi 4- shi при Xi-i С х Xi и х' — Xi 4-
4- shi+i при Xi -5 х' < ад+1, то эту формулу можно перепи-
сать так:
h-a^. (’	f]s	С
' -1 v 1	s
+^^1-чтеур(а:,+и‘+1)л-
Таким образом, схема (10) является точной на произ-
вольной неравномерной сетке и для любых кусочно-непре-
рывных функций к(х) п /(л?). Конечно, практическое ис-
пользование этой схемы затруднено тем, что коэффици-
енты выражаются через интегралы от к(х) п /(т) и по-
этому для их вычисления надо пользоваться квадратур-
ными формулами.
5.	Повышение порядка точности. Из предыдущего яс-
но, что для повышения точности приближенного решения
падо либо уменьшать шаг сетки h, либо повышать поря-
док точности схемы. Однако схемы повышенного порядка
точности целесообразно строить лишь для уравнений с
постоянными коэффициентами, так как написание таких
схем для уравнений с переменными коэффициентами
§ 4. ОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ НА НЕРАВНОМЕРНЫХ СЕТКАХ 165
сопряжено с большими техническими трудностями и часто
приводит к трудоемким алгоритмам, Мы уже приводили
пример схемы О (/4) для уравнения и" «= —/(«).
Рассмотрим теперь уравнение
и" — qu = — /(я), q = const > 0.
Напишем разностную схему на равномерной сетке:
= У хх — dy = - <Р (*)
и выберем d и ср так, чтобы она имела аппроксимацию
O(fe‘). Погрешность аппроксимации равна
= Ан + ф = (Ан — и") — (d — q)u 4- ф — / —
12
= р uIV - (d - j) и + ф - / + о (h‘).
Подставив сюда uxv — qu,f-~f"==q(qii — f)~f'=q2u-~
— qf — f", получим
\	/	12	j 2	\
d “ q ~ И и + ф “ V + 12 + w'} + °
Л2
следовательно, == O(fe4), если положить d — q 4-
Л2
Ф = / + j:) (qf + /")• Порядок точности сохранится, если
заменить в формуле для ф производную /" ее разностной
аппроксимацией /-х, так как h2f = h2f~x 4- О (fe4).
Повышение точности схемы путем уменьшения h ог-
раничивается также требованием экономичности, т. е.
экономии времени получения решения с заданной точ-
ностью. Поэтому на практике часто применяется расчет
по одной и той же схеме на последовательности сеток,
позволяющий повысить точность без существенного уве-
личения времени счета (метод Рунге), в предположении
достаточной гладкости решения.
Предположим, что для решения разностной задачи на
любой равномерной сетке справедливо асимптотическое
разложение
4-офО Л*1 4-С>(/Л),	(11)
где а(я{) не зависит от h. Требуется найти сеточную функ-
цию у,-, для которой
й = щ + О (h 2)	(12)
на некотором множестве узлов «л.
166 ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Рассмотрим две сетки <0^ и юЛз с шагами hL п h2,
имеющие общие узлы; множество общих узлов обозначим
ей. Пусть г/i и yi — решения разностной задачи па сет-
ках и сщ2 соответственно. Образуем их линейную
комбинацию yi — oyi + (1 — сг)г/1	и подставим сюда
разложение (И):
щ = щ + а (хО (а/41 + (1 — о) h^1) 4- O(hki).
Приравнивая пулю коэффициент при а(ж<), найдем
о = ^7(/Д‘ - 41);	(13)
при этом в узлах x-t е выполняется требование (12).
Таким образом, для повышения точности сеточного ре-
шения на некотором множестве узлов оц надо решить
задачу дважды на сетках <од и сщ2, пересекающихся по
этому множеству, и составить их линейную комбинацию
с коэффициентами о и (1 —о), где о определяется соглас-
но (13).
В частности, можно взять h2 = hl/2,	= h; тогда сол =
=<0/1. Для схемы второго порядка точности имеем ki = 2,
п а = — 1/3, 1 — и == 4/3.
Возможность получения разложения
2; = у, — и, = a(xi)h2 + О(/Р)
следует из разложения невязки = $(x/)h2 + О(№), кото-
рая является правой частью задачи
Az = - z0 = Zjv = 0.
Использование неравномерных сеток открывает боль-
шие возможности эмпирического повышения точности
без увеличения числа узлов, если имеется предваритель-
ная информация о поведении решения исходной задачи.
Так, в области сильного изменения коэффициентов и пра-
вой части уравнения естественно сгустить сетку. Вблизи
границы разрыва коэффициентов обычно сетку сгущают
по закону геометрической прогрессии. Чтобы получить
предварительную информацию, можно провести сначала
расчет па грубой сетке и после этого окончательный рас-
чет — на специальной сетке.
§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 167
§ 5. Методы построения разностных схем
Из предыдущего ясно, что разностные схемы для кон-
кретного дифференциального уравнения должны правиль-
но отражать в пространстве сеточных функций основные
свойства исходной задачи (такие как самосопряженность,
знакоопределенность и т. д.). Для рассмотренной нами
выше краевой задачи важным требованием оказалось
свойство консервативности, эквивалентное свойству само-
сопряженности разностного оператора. Важной задачей
является получение разностных схем с заданным качест-
вом. Для построения таких схем в настоящее время ис-
пользуется ряд методов, о которых рассказывается в
этом параграфе.
1. Интегро-интерполяционный метод. Обычно диффе-
ренциальное уравнение выражает некоторый физический
закон сохранения. Этот закон можно написать в интег-
ральной форме для интервала (ячейки) сетки (уравнение
баланса). Дифференциальное уравнение получается из
уравнения баланса при стремлении шага сетки к пулю в
предположении существования непрерывных производ-
ных, входящих в уравнение. Входящие в уравнение
баланса па сетке производные и интегралы следует заме-
нить приближенными выражениями па сетке. В резуль-
тате получим однородную схему. Такой метод и называ-
ется интегро-интерполяционным методом или методом ба-
ланса. Проиллюстрируем его на примере задачи
(ки')' — qu = — /Ст), 0 < лг < 1, (Аж') — щн = — Ц1
при х = 0, п(1) = ц2. (1)
Напишем уравнение баланса тепла па отрезке 0 х -С 1:
xi+l/2	хЖ/2
^i+i/2 — ^i-1/2 4- J / (%) dx = J q (x) и (x) dx,
xi—1/2	xi—1/2
w = ku', (2)
где (—w(x)) — поток тепла, q(x)u(x) — мощность стоков
(при q < 0 — источников) тепла, пропорциональная тем-
пературе, /(аг) — плотность распределения внешних ис-
точников (стоков) тепла. В левой части этого уравнения
записано количество тепла, остающегося за счет тепловых
потоков па отрезке )/2, ж{+1/2] и за счет внешних ис-
точников, в правой части — количество тепла, отдаваемое
168
ГЛ. TV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
внешней среде за счет теплообмена на боковой поверх-
ности.
Чтобы получить из (2) трехточечное разностное урав-
нение, заменим ш{+1/2 и интегралы в уравнении (2)
линейной комбинацией значений подынтегральных функ-
ций в узлах сетки	например,
xi+l/2	хг+1/2
1 (*	1 С
— I q (х) и (х) dx « diUi, dt — — j q (x) dx.
xi—1/2	xi-1/2
Проинтегрируем равенство и' = w/k по x от Xt-i до х(:
Ui — Hi-! = J	dx « hlVi^i/2 -~-i


XI
Щ =
1	( dx
h J к (х)
В результате получаем из (2) схему
1 [	^г+1 Ui	Vi—1
пг [6i+1 h ai h
xi+l/2
fi = 4" J /<*)•
— diyi = — фг,
л’;-1/2
При выводе мы фактически предполагали лишь, что и =
= Const При Х{_1/2 X < Х<+1/2, IP = COnSt При Xf-i х Xi.
Вместо написанных здесь выражений для a,-, dh
естественно взять более простые формулы, как это и де-
лалось в предыдущих параграфах. Напишем разностную
аппроксимацию для краевого условия третьего рода при
х«0. Для этого воспользуемся уравнением баланса при
0 С х х)/2 = Л/2
х1/2	х1/2
^1/2 — wo — J qudx~ — J j(x)dx.
о	о
Подставляя сюда
щ1/3 = axu-XtXi wQ = (ки\ = сг^о —
«1/2	х]/2
J qu dx~ qQuQ J / (x) dx /0 ~ h
о	0
§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
169
и заменяя всюду и на у, получим разностное краевое ус-
ловие
+ Hi -	0/2 = -hfY2,
которое можно записать в виде
= <М0 — Pi, где щ = стх 4- hqJ2,	+ Л/о/2.
(3)
Оценим на решении и —uix) уравнения (1) величину не-
вязки
v = aiux,i ~ °ио + Hi-
Подставив сюда аг = к1/2 + О (к2) — к0 4- 1/27гАг0 4- О (ha)t
их = w0 4~ hu0 4- №ив/2 4- О (A3),	— uQ)/h
4-/ш0/24~ О (Л2), получим
v = (ки')0 4- x/2A (A-u')o — OiUf, 4-	4- О (&2) =[(Аи')0 —
— Gvu0 4- nJ 4- l/2h [(ки'У — qu 4- /]0 4- О ih2) = О (й2),
т. е. разностное краевое условие третьего рода (3) ап-
проксимирует условие ки' = GtU — gj при х = 0 с погреш-
ностью второго порядка v — Oih2).
Для практического использования краевое условие (3)
надо записать в виде
a ~ Лр
Уо = И1У1 - Нр xi = —Hi =	,	•
ах 4- Лах ах 4- Лах
Для повышения точности схемы следует использовать
при вычислении интегралов интерполяцию более высоко-
го порядка.
2. Метод аппроксимации квадратичного функционала.
Краевая задача
Lu — iku'Y— qu = —fix), 0<х<1, u(0)=0, м(1) = 0
эквивалентна задаче об отыскании минимизирующего эле-
мента квадратичного функционала
1	1
J [u] = j (A iu')2 4- qu2) dx — 2 [ fu dx.
о	0
Введем на отрезке О С х 1 сетку юл ==	= ih, i == О,
1, ..N) и аппроксимируем функционал. Для этого сна-
170
ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
чала представим его в виде суммы интегралов но интер-
валам сетки:
J[u] = 2 Ji [u|, Ji [w] — f (к (и')2 + qu2 ~ 2fu) dx,
ч_х
после чего аппроксимируем Ji, например, так:
xi
j к (u')2dx ж ai
xi~i
j" (qu2 — 2fu) dx& ~ \(qu2 — 2Ju)i 4~ (qu2 — 2/и)1-1],
xi—i
где th — некоторый коэффициент, например
X.
I
at =	(ж) dx.
В результате получим функционал
N	N-l
Jh [у] = 2 hah (у- )2 + 2 (q/d/k — 2/ki/k) h,
к=1	’	A=1
где yi = y(i) — произвольная сеточная функция, обраща-
ющаяся в нуль прп i = О, N.
Уравнение
л
Ау = <р или 2 аиУ} = фо Л = А* >> О,
имеет решение, минимизирующее функционал
N	N
1А М = (Л/, У) ~ 2 (<Р, IZ) = 3 a^ifi — 2 2 Ф;.У1‘
?,j~l	Ь=1
В этом можно убедиться, приравняв нулю производную
д1А [У]
dlJn
N	д21
= 2 2 ai^j ~ 2cpio = °’ “Г“>
7=1	' ’О
так как ац>- 0 для всех 1 = 1, 2, ..N в силу положи-
тельности А > 0.
§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
171
Вычисляя производные
djh
~ду~ = ^агУх,1 ~ 2аН1^
д2Jh	2а-	2а.,
^r = -v + H±1 + 2S‘>0'
+ (2?ДЛ — 2/i) hx
убеждаемся, что элемент у — у(х) <= Th, минимизирующий
квадратичный функционал, является решением задачи
W-)x,s ” Qiyi = — fi, i= 1,2, ...,N — 1, yo = yN^O.
3. Метод аппроксимации интегрального тождества
(метод сумматорных тождеств). Пусть
(ки')' — qu + /(я) = 0, 0 < х < 1, и(0) = и(1) = 0. (4)
Умножая уравнение (4) па произвольную дифференци-
руемую функцию р(.г), обращающуюся в пуль при ж = 0,
х ~ 1 и интегрируя по х от 0 до 1, получаем тождество
I {и, и) = ] (ки'o’ + quv — /о) dx — 0.
о
Заменяя по аналогии с п. 2 интеграл и производные и ,
и', напишем сумматорное тождество
N	N-1
h [у, d == S ъу- т- fi + 2 (qiyi — /г) Vih ~= 0.
i=l	’ ’ i=l
Полагая затем, например, V{ =	0 < /0 < JV, и учиты-
вая, что при i<i0 и i>z0 4- 1,	{о+1== — Ж
= i/h, получим
h ^г+1Ух,г	fi) Tl ~ 0 При Z —~ ?'ft,
т. е. (аух)х — qy=—t-
4. Методы Ритца и Бубнова — Галеркина (вариацион-
но-разностные методы). Задача о минимуме функционала
Т[п] = (Аи, п) — 2(п, /),
где А — самосопряженный и положительно определен-
ный линейный оператор в гильбертовом пространстве Н
со скалярным произведением (х, у), эквивалентна задаче
о решении уравнения
Аи = /.
172
ГЛ. IV. РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Вводится последовательность конечномерных пространств
Vn с базисом	i = 1, 2, ..п.
Метод Ритца заключается в том, что ищется элемент
ип е И„, минимизирующий функционал Ли] в Vn. При-
ближенное решение ип ищется в виде суммы
п
Un = 2 yffijt
(5)
где i/i, ..уп — неизвестные коэффициенты. Вычисления
дают
п	п
/ [Нп] = 2 ацУМз — 2 2 tot
?,j=l	2=1
аи = «д = (лфь Фз)» & = (А чн);
/[«„]= Ф(г/Ъ уг, уп) есть функция п коэффициентов
yi. Приравнивая нулю производные дИтцУ/ду^ получим
систему п уравнений
п
2 ^цУ} 0i= i — 1, 2j, ...,
для определения у1} у2, ..уп.
Проиллюстрируем метод Ритца на примере задачи
(4). В качестве функции фХ#) возьмем функцию:
I X— XI \
<Pi (*) = П —й—/ = 'И =
О, 8< — 1, 8 > 1,
1 + 8,	1 < 8 < О,
Д — 8, 0 < S < 1.
Подставляя в формулу для ос^- Лф{ — — (kq>i) Н-^фц имеем
1
а<1 = (^Фй Ф;) = J	+ ?w) dxi
о
1
pi = j /(^) nt (я) dx,	(6)
о
Вычисления дают
dlli л
0 при х < ^_1} х > si+u
{\!h при Х{^ <x<Xi,
«ta I— t!h при Xi •< x <
§ 5. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 173
Отсюда и из (6) видно, что матрица [otj трехдиагональ-
на, так как от нуля отличны лишь те а(7, для которых
j = i — 1, i, i + 1. Поэтому для получаем систему
ait i-iyt-t + а,, {г/,- + a(i	~ 0.
Вводя обозначения
а,- = — ha,,, i-i. + h2di = hait i 4-	,-_i + сц <+l),
P,- =» - A2cp,
и замечая, что а,+),, = air i+;, получаем схему
— (d, + ai+1 4- W;) yi + ai+1yi+1 4- A2ipi =0,
или
(аух}х ~~ dy	Ф — 0,	(7)
где
о	0
di = J к (ж; 4- sh) ds 4- h2 J q (xi ~r sh) s (1 4- s)
-i	-i
о	i
di ~ j* q (x, 4- sh) (1 4- s) ds 4- J q 4- sh) (1 — s) ds,
-1	0
0	1
<Pi = J / (Xi 4- sh) (1 4- s) ds 4- J f 4- sh) (1 — s) ds.
-1	0
Это — схема второго порядка аппроксимации.
В методе Бубнова — Галеркина решение ип также
ищется в виде (6), однако коэффициенты у,- находятся из
условия ортогональности невязки Аап — / к базисным
функциям ф<(х):
{Аип — /, ф,) = 0, I — 1, 2, ..«;	(8)
при этом самосопряженность оператора А не требуется.
Для задачи (4) снова выбираем те же базисные функции.
Подставляя (6) в (8), получим систему уравнений для у,.
Вычисляя <хц и приходим к той же самой схеме (7),
которую мы получили методом Ритца.
При указанном выборе координатных функций фг(аг) =
/ х~ х{ \
— гц——J методы Ритца и Бубнова — Галеркина сов-
падают с методом конечных элементов.
Глава V
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы рассмотрим разностные схемы для ре-
шения обыкновенных дифференциальных уравнений (во-
обще говоря, нелинейных) первого порядка с начальными
данными (задачи Коши). Это — классическая область при-
менения численных методов. Имеется много разностных
методов, часть из которых возникла в домашинную эпоху
и оказалась пригодной и для современых ЭВМ. Мы огра-
ничимся кратким изложением основных разностных схем,
которые широко используются на практике и для которых
имеются соответствующие стандартные программы.
§ 1. Методы Рунге — Кутта
1. Задача Коши для уравнения первого порядка. Пусть
требуется найти непрерывную при 0 t С Т функцию
u = u(t), удовлетворяющую дифференциальному уравне-
нию при t > 0 и начальному условию при t = 0:
o<t<r, u(0) = wo, (1)
где fit, u) — заданная непрерывная функция двух аргу-
ментов.
Если функция fit, и) определена в прямоугольнике
D *=> {O^tcT1, |ц — nJ Z7} и удовлетворяет в области
D по переменной и условию Липшица:
\fit, щ) — fit, wa)| < K\ut — ual
для всех it, nJ, it, u2)^D, (2)
где К = const > 0, то задача (1) имеет единственное ре-
шение.
Для доказательства этого утверждения уравнение (1)
интегрируется от 0 до t:
t
и (i) = u0 4- f f (s, и (s)) ds,	(3)
о
§ 1. МЕТОДЫ РУНГЕ — КУТТА
175
а полученное интегральное уравнение решается методом
последовательных приближений (методом Пикара):
t
ип+1 (7) = и0 + J / (s, un(s))ds,	(4)
о
где п — номер приближения (итерации). Метод Пнкара
сходится и определяет единственное решение уравнения
(3) или задачи Коши (1).
Этот метод позволяет найти приближенное решение
задачи (1), если в (4) заменить интеграл какой-либо квад-
ратурной формулой. Однако объем вычислений для полу-
ченного алгоритма велик, так как для каждой итерации
(при фиксированном 0 необходимо вычислять интеграл.
Иногда для приближенного решения задачи (1) ис-
пользуется аналитический метод, основанный па идее
разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши (1).
Приближенное решение и,ДО ищем в виде
11 k
г,“ w “24 <°) т “» ° <1 <т- (5)
А-~=1
где и(1) (0) —	(0) = / (0. п0), а значения производных
и""(0) (7г	2) находятся последовательным дифференци-
рованием уравнения (1)
„<!> (0) = и" =	(I, и) = /,(0, ,<„)	/(0, н0) /„ (0, щ),
и'31(0) = и" (0) = ~f(f. «)|<-=о •-=
dt
= (0. nJ -J- 2/at (0, nJ/(0, nJ 4	(0, nJ и” (0), . ..,
/' = — •	/=—	/“' =~l11 т-д-
Для малых t метод рядов (5) может давать хорошее
приближение к точному решению w(f) прп не очень боль-
ших п. Здесь объем вычислений зависит не только от
точности е>0 (in(7) — nJ/)I < е) и от п = п(е), по и от
вида"функции /(/, и), так как нахождение производных
uw(t') может оказаться очень трудоемким.
В дальнейшем мы будем предполагать всюду, что
функция fit, и) является достаточно гладкой, т. е. имеет
столько производных (по t и по я), сколько требуется
по ходу изложения.
176
гл. V, ЗАДАЧА КОШИ
Прежде чем переходить к изложению разностных схем
для задачи (1), остановимся на вопросе об устойчивости
решения задачи (1). Как изменится решение задачи (1)
при изменении начального условия? Пусть йkt) — реше-
ние уравнения (1) с начальным условием й(О) = йо. Для
погрешности z(t) ~ wU) — u(t) получаем уравнение
« (t)z, 0 < t < Т, z (0) = z0 — и0 —	(6)
где а(£) = u) — /(£, u)l/z = /u(i, и + Qz), 0 C 0	1.
Решением (6) является функция
(t	)
J а (s) (M*
о	J
Если Л 0 для всех t, и, то
|z(i)l |z(0)l пли \u(t) — u(t)I Ih0 — w0|
для всех t <= [0, T],
т. e. решение задачи (1) устойчиво по начальным дан-
ным (погрешность в начальных данных не нарастает).
Задача (1) устойчива также и по правой части:
|н(£) — и(Л) [	|н0 — Но! + ъТ при 0 С t Т, если /щС0,
где w(t) — решение задачи (1) с правой частью
f — /U, и) + 6/, 16/1 е, е = const. > 0.
Решение задачи (6) при t -> °° ведет себя аналогично
решению линейного уравнения
A + Xz = 0, 0<£<Г, z(O) = zo,
которое можно рассматривать как модельное уравнение
при изучении устойчивости.
2.	Разностная схема Эйлера. Введем на отрезке ин-
тегрирования 0	2^ Т сетку сот =	= пт, п = 0, 1, ...}.
Будем обозначать через уп ~ y(tn) сеточную функцию.
Простейшим численным методом решения уравнения (1)
является разностная схема Эйлера:
=t(tn, у«\ п = 0,1......Уо = и0.	(7)
Значения Уп~У^Э находятся последовательно, начиная
§ 1. МЕТОДЫ РУНГЕ - КУТТА	177
С Уо = Ио, по явной формуле
J/n+1 = Уп + т/Пп, £/„), п = 0, 1, . . Уо = Ио.
Вместо и = w(i) мы находим сеточную функцию уп =
= y(tn) — приближенное решение задачи (1),
Сеточная функция
ип уп и. (.tn)
является погрешностью разностной схемы. Напишем
уравнение для zn. Для этого подставим уп = zn 4* ип в (7)
и учтем, что
Уп + i Уп ~ (^n+i	2П) 4“ (£ Ип),
/(^, !/«) == /(^, ип) 4- [/(/„, ип 4- z„) — /П„, uj] =
=Z Wn) 4- ССд^П,
где
= /«(fn, un 4- 0zn), О С 0 -C 1.
В результате получаем для zn задачу
-n-.h = anZn 4- n = 0,1, ..z0 = 0,	(8)
где Apn — невязка или погрешность аппроксимации схемы
(7) на решении u = u{t) задачи (1), равная
(9)
Оценим Арп при т -* 0. Для этого подставим
г ’ . т2 *' ,	(’ du
Ип+1 — Ип 4“ ТНп Н Нп 4~ • • • I и —	1
в (9) и, учитывая, что согласно (1) ня = /П„, пД полу-
чим: аЬ„ = О(т) или ||4 L = шах I Арп |=б?(т). Это означает,
()<tn<T
что схема Эйлера имеет первый порядок аппроксимации.
Покажем, что схема Эйлера сходится, т. е. Hz„llc =
= ^уп — ип11с -* 0 при т -> 0, и имеет первый порядок
точности, т. е.
|zL=max |гп|=О(т).
Доказательство проведем в предположении, что
-КСД(#,и)С0, т^2/Я.	(10)
178	ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Из (8) определим
Zn + 1 = (1 + TCC„)zn + Tl|)n,
Izn+i 1 C 11 + тап| IznI + ilipj < \zn\ + t|i|)J,
так как |1 + тап1 согласно (10). Отсюда следует, что
Hn+i |< | z0| -F S = 3 т|^[,	(11)
s=Q	S=0
т. e. Hzllc = O(t).
Если условие (10) не выполнено, по l/J К, то вместо
(И) получим |zn+1| reKTlliJlc, и утверждение |zIc = O(t)
остается в силе,
3.	Повышение порядка точности. Метод Эйлера весо-
ма прост, однако дает низкую точность. Порядок точ-
ности численного решения по т можно повысить, не
усложняя алгоритма. Идея метода Рунге повышения точ-
ности состоит в следующем. Предположим, что решение
и = u(Z) является достаточно гладким и имеет место сле-
дующее разложение погрешности zn = уи - ult по степе-
ням т:
уп ~ Щ 4- а(/)т + [Ш)т2 + ...,	(12)
где a(i) и fi(£) — функции, не зависящие от т.
Выберем две сетки с шагами т( и т2, имеющие общие
узлы (например, Ti = т, т3 = т/2), решим па каждой сет-
ке задачу (7) и найдем yw и (42) соответствен-
но. Возьмем общий для двух сеток узел tn* -- 4и = 4г
и напишем (12) прп п = п*:
(/„*) — и (In*) + a (6i*) Ti + О (т?),
P(2)(in*) = и (tn*) + a (fn*) т2 4- О (J,).
Образуем линейную комбинацию с параметром а;
У (tn*) = ау(1) (tn*) + (1 — о) y(‘2) (tn*) =
= и (tn*) -h lOTi + (1 — о) T.J a (tn*) + О (т! J- т2).
Выбирая о из условия oti + (1 — а)т2 = 0, т. е. полагая
о = т2/(т2 — Ti), получаем
у (tn*) = и (tn*) + О (т2), т = та х (тг, т2).
Сеточная функция у приближает решение u — u(t) со
вторым порядком точности по т. Таким образом, мы по-
§ 1. МЕТОДЫ РУНГЕ — КУТТА	179
высили точность метода Эйлера, проведя два расчета на
сетках с шагами xt и т2. Эту процедуру можно продол-
жить, имея в виду (12). Проводя расчеты по схеме (7)
на трех сетках с шагами Tt, т2, т3, мы определим решение
задачи (1) с третьим порядком точности в узлах, являю-
щихся общими для этих трех сеток.
4.	Схемы Рунге — Кутта. Порядок точности можно
повысить путем усложнения разностной схемы. Весьма
распространены на практике схемы Рунге — Кутта второ-
го и четвертого порядков точности.
Вычисления по схеме Рунге — Кутта второго порядка
точности проводятся в два этапа. На первом этапе на-
ходится промежуточное значение уп по схеме Эйлера с
шагом ат:
уп = Уп + ат/(«п, уп);
на втором этапе находится значение yn+i по формуле
Уп+1 = Уп + т(1 - o)/(in, уп) + от/(1п 4- ат, уя),
где а > 0, о > 0 — параметры. Исключая уп, получим
для Уп+1 схему
4-	о/ (tn + ат, уп ат/ (tn, уп)), (13)
Порядок точности схемы зависит от параметров а, т.
Найдем выражение для невязки, или погрешности ап-
проксимации схемы (13). Для этого, по аналогии с п. 2,
перенесем (уя+1 — уп)/х в правую часть и подставим ип,
un^i вместо уп, Уп+1. В результате получим для невязки
выражение
= (1 — o)/Un, un) 4“ o/(^n + ест, ип 4- axf(tn, uj) —
— (un+i — uj/x. (13')
Воспользовавшись разложениями по формуле Тейлора,
получим
= т (ста — 1/2) и'п + О (т2).
Отсюда видно, что схема (13) имеет второй порядок ап-
проксимации -фп = <?(т2) при выполнении условия
аа = 1/2.
(14)
180
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Таким образом, существует однопараметрическое семей-
ство схем (13), (14) второго порядка аппроксимации.
Рассмотрим частные случаи.
1)	о = 1, а = 1/2:
= /(tn,у„),	= /(tn + f, уЛ (15)
Это известная схема предиктор — корректор, или счет —
пересчет. Ее можно переписать иначе:
Уп — Уп 4" f (in, Уп), Уп+i = Уп 4~ ^/ {^п 4" у, Уп),
или, после исключения уп, в виде
(У»+1 — УпУх = / ри + у, Уп 4* у / (in, Уп)} (15')
2)	а = 1/2, а = 1:
—---------— у [/ (in, Уп) + / (in+i, Уп+т/ (in, Уп))]- (16)
Эту схему также можно трактовать как схему предик-
тор — корректор: сначала — схема Эйлера с шагом с
{предиктор);
Уп = Уп + x/(i„, уп);
затем — схема с полусуммой {корректор):
(Уп+l УпУЪ	/2^-f{tn, Уп) 4"	Уп)].
Идея метода предиктор — корректор часто использу-
ется при написании разностных схем для уравнений ма-
тематической физики с частными производными.
Приведем формулы для схемы Рунге — Кутта 4-го по-
рядка точности:
т ~	^3 (Уп) 4-	(Уп)],
п = 0,1, ..., у0 = н0, (17)
где kit k2, k3, Zc4 — поправки, вычисляемые по формулам
ki =» f(tn, уп), k2 == f{tn + т/2, уп + т/с/2),
(18)
ks — /(in 4- т/2, уп 4 т/с2/2), к± = /(in + т, уп 4- т&3).
При определении уп+1 по заданному уп надо четыре раза
вычислять правую часть.
§ I. МЕТОДЫ РУНГЕ —КУТТА
181
Поясним, как вести счет по этой схеме. При п = О
известно i/o == Можно вычислить последовательно кь
к2, к$, ki и найти
У1 = Уо + 4 т (Уо) + 2/с2 ^о) + 2Л;з (Уо) + К (i/0)),
после чего вычисления повторяются при п = 1, 2, ... Для
невязки получаем выражение
фп = -Q- [А?! (ип) 4- 2/с3 (ип) 4* 2&3 (un) + к± (uft)] —
где ki(un) (i = l, 2, 3, 4) определяются по формулам (18),
в которых вместо уп подставлено ип.
Проводя разложение wn+1, к2(ип), к3(ип), /с4(мп) в ок-
рестности t = tn, убеждаемся в том, что 4* = ^(т4), т. е.
схема (7), (18) имеет четвертый порядок аппроксимации,
если и = u(t) имеет четыре непрерывных производных.
Все методы Рунге — Кутта являются явными (для
определения уп+1 надо провести вычисления по явным
формулам) и одношаговыми (для определения yn+i надо
сделать один шаг на сетке от tn к tn+l).
5. Устойчивость разностных схем. В п. 1 мы рассмот-
рели важное свойство дифференциального уравнения (О —
устойчивость (по начальным данным и по правой части).
Для изучения устойчивости по начальным данным не-
линейного уравнения (1) будем рассматривать модельное
уравнение
~ 4- \и == О, X — const >0, t > 0, и (0) = uQ. (20)
ctt
Его решение u(t) = ийе~и убывает при X > 0 и
|u(/)| С [и01 при	для всех i > 0,	(21)
т. е. уравнение (20) устойчиво при X 0, что соответст-
вует условию fu < 0.
Вводится естественное требование: для разностных
схем, аппроксимирующих модельные уравнения, должен
выполняться аналог неравенства (21):
Ш 1г/о1 для всех п==1, 2, ...	(22)
Мы увидим ниже, что это не всегда выполняется.
Рассмотрим ряд примеров.
182
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
1)	Явная схема Эйлера:
= 0, уп+1 = (1 - тХ) уп. (23)
Отсюда видно, что условие
1г/и+1|	1^1	(24)
выполнено при И — тХ1 1 пли — 1 < 1 — тХ < 1, т. е. при
тХ 2.	(25)
Если, например, тХ 5* 3, то
1уп+1| = IтХ - 1Нг/„1 > 2\уп\> 2"+11у0I,
(l/nl Х~г 2H.I/J -> 00 при Поо.
Схема неустойчива, условие (24) пе выполнено. Таким
образом, схема Эйлера (23) условно устойчива прп т <
< 2/X, X > 0.
2)	Неявная схема Эйлера:
"П~" ~ + tyn + i = 0, У п+1 = 1~Т1 < Уп' (26)
Т	1 -у- ТЛ
Так как 1/(1 + тХ) < 1 при любых тХ 0, то схема без-
условно устойчива'.
I уп I < 1 у о I при любых т и X > 0, п = 0, 1, 2, ... (27)
3)	Схема с весами:
Уп+1 Уп
т
+ X (аг/п+1 + (1 — о) Уп} = о,
Уп+1 = qyn- (28)
Схема устойчива при

1 — (1 — ст) тХ
1 + атХ
Видим, что |?l C l, если —1 — отХ 1 —(1 — о)тХ 1 + отХ
пли 1 + т(сг—1/2)Х > 0, так что 1 +отХ > тХ/2 > 0. Та-
ким образом, схема с весами безусловно (при
любых т) устойчива при о > 1/2 и условно
устойчива при о < 1/2, если т < 1/((1/2 — о)Х).
4)	Схема Рунге — Кутта второго поряд-
ка. Подставляя в формулу (13) f = —ky, получаем
j/n+i — ууп) у = 1 тХ -р -у т“Х2.
(29)
§ 1". МЕТОДЫ РУНГЕ — КУТТА
183
j
Схема устойчива, ly„| lyj, если | <? | = 1 — тХ + у т2АЛ^
1, что имеет место при
т/.	2.	(25)
Схема Рупге — Кутта второго порядка устойчива при том
же условии, что и явная схема Эйлера.
5)	Схема Ру иге — Кутта четвертого по-
рядка. Подставляя / = —Ху в (17), (18), получаем
Уп + 1 = qyn,
q = 1 — та + 4- t2V —г	К -кг т4Х4.	(30)
Неравенство |c/l 1 выполнено при тХ:С2,78, т. е. усло-
вие устойчивости схемы четвертого порядка немного сла-
бее условия (25) для схемы второго порядка.
Эти примеры* показывают, что явные одпошаговые
схемы условно устойчивы, а среди неявных схем имеются
безусловно (абсолютно) устойчивые (например (28) при
о^1/2). Если л>0 велико, то шаг т, в силу (25), для
явных схем надо выбирать достаточно малым.
6.	О сходимости и точности. Схема Рупге — Кутта для
неоднородного уравнения
+Хи = /((), t>o, u(0) = uo (31)
имеет вид
Уп+1 = qy„ + Тфл, q = #(тА),	(32)
где выражения для q и фп зависят от порядка схемы.
Так, для схемы второго порядка имеем
q = 1 — тА. -у
-I
фи = (1 — су) / (tn) Т су/ (tn + ат), асг = у.
Для погрешности zn = уп — ип получаем
2п	_L К __	2 ф
т ' \ v 2 1 Zn ~ т’г
НЛП
гп+1 = qzn + Т1|?п, п ~ 0,1, 2, . . ., гб = О,
где — невязка, равная
тЬ = Фп — («п+1 — ип)/х = О(.т2).
184
ГЛ, V. ЗАДАЧА КОШИ
В силу условия устойчивости (25) 1^1	1 и
I Zn + 1 I j %П I + т I >|?77 ( S Т | 4^ I’	(33)
откуда п следует, что схема (32) сходится и имеет второй
порядок точности (сходится со скоростью О(т2), или схо-
дится со вторым порядком):
llzllc = О(т2).
Таким образом, если схема устойчива и аппроксимирует
уравнение (1), то она сходится. Это утверждение, дока-
занное для модельной задачи, имеет общее значение и
справедливо для любой из схем второго порядка.
Аналогично доказывается сходимость со скоростью
б>(т2) схемы Рунге — Кутта (13) при условии fu 0.
В этом случае для zn~yn — ип при оа==‘/2 получаем
задачу
~ рп ^1 4“ ~2 T-Vn j 2П 4- TljJn, (34)
где рп = /Ж, Wn + 0i2n), Yn = fu(tn + т/2, ua + 02zn) (0
0j < 1, i ~ 1, 2), a определяется по формуле (13').
Перепишем (34) в виде
==>	4-тфп, qn = 1 4- т^п(1 + Пп/2).
Условие устойчивости IgJ 1, или — 1 gn < 1, будет
выполнено, если 2 - т|рп1 4- ‘/гт2!рп| |^„| > 0, V2tIfkl Iчп|
С |рп|, или т|у„|с2. Первое неравенство выполнено
также при т1£я| ^2, и, следовательно, достаточно,
чтобы
хК 2,	(35)
если fu С 0, I/J К, (£, u)^D, Условие (35) аналогично
(25) и обеспечивает выполнение оценки (33), пз которой
и следует сходимость схемы (13) со вторым порядком,
1!Л = 0(т2).
§ 2.	Многошаговые схемы. Методы Адамса
1.	Многошаговые схемы. В § 1 мы рассматривали ме-
тоды Рунге — Кутта для численного решейия задачи
Коши
4f = /(f,u), 0<t<T, u(O) = Ho, (1)
§ 2. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА 185
Эти методы являются одношаговыми методами: при опре-
делении нового значения yn+i используется лишь значе-
ние уп. В общем случае для определения приближенного
решения уп можно рассмотреть m-шаговые разностные
схемы (т 1), т. е. уравнения вида
m л	т
2 yn~h bhfn-k, П = т, т + 1, ...,	(2)
Л=0	Л=о
где щ, bk — числовые коэффициенты,
/n-ь =/(in-ь, уп~ъ), «0=^0, Ьт^0.
В частности, при т = 1, Ьо — 0, bL = — а0, а{ = —а0 полу-
чаем схему Эйлера.
Схема (2) называется явной (экстраполяционной), ес-
ли б0 == 0 и значения уп определяются через предыдущие
значения уп-г, ..уп-т по явной формуле
, т
_ 1	1
Уп a (bkXfn-k акУп-к) — ~~~ Р (.Уп-^ч Уп—^ч • • . чУп—ш)>
0 k^i	о
Вычисления начинаются с п — т. Чтобы найти ут, надо
задать т начальных значений г/0, гц, ..их можно
найти, например, методом Рунге — Кутта, который ис-
пользует лишь одно начальное значение уй = щ.
Если &о 0, то схема (2) называется неявной (интер-
поляционной): для нахождения уп при каждом п надо
решать нелинейное уравнение
О0У п &о/(^, У п) Р^Уп — 1, Уп^-2ч • • ч Уп-пд> (3)
Это нелинейное уравнение можно решать, например, ме-
тодом Ньютона.
Погрешность аппроксимации схемы (2) на решении
и — и<Л) уравнения (1), или невязка, определяется по
формуле
тп-	тп
= bkf (tn—кч u-n—k) —~	a^Un—a< (4)
A=0	Л=0
Говорят, что схема (2) имеет 5-й порядок аппроксимации
(или просто, что схема (2) имеет s-й порядок), если
Italic = О(т9) или Н1|з11е Мт9, $ > 0,	(5)
где М => const > 0 не зависит от т.
Коэффициенты ah, bk подбирают, исходя из требований
аппроксимации и устойчивости. Без нарушения общности
186
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
можно считать, что
т
2 ь» = 1,	(6)
так как коэффициенты уравнения (2) определены с точ-
ностью до множителя. Разлагая фп по степеням т и тре-
буя, чтобы невязка имела заданный порядок, получаем
условия для определения ah, &h. Поскольку и~ 1 есть ре-
шение уравнения ut = f(t, и) при / — 0, из (2) следует, что
т
2 «с “0.	(7)
>1=0
Обычно для построения схем (2) применяют другие
приемы, использующие интерполяционные и квадратур-
ные формулы. Так, интегрируя дифференциальное урав-
нение (1) по t в пределах от in-n0 До £п, получаем
ип — ип_п0 = J / (t, и (t)) dt.	(8)
^п~по
Чтобы получить отсюда разностную схему, можно ис-
пользовать для интеграла какую-либо квадратурную
формулу.
2.	Метод Адамса. Каждая квадратурная формула по-
рождает соответствующий метод численного решения
обыкновенного дифференциального уравнения (1). Заме-
ним в тождестве
М
ип — ип-1 = f / (t, и (£)) clt,	(9)
tn — l
которое соответствует тождеству (8) при па — 1, интеграл
квадратурной формулой:
*п	т
( / (г, н(0) dt « т 2 bkf (tn-k, un~k)- (10)
. J	A=o
1
Учитывая (9) и (10), можно написать разностную схему
Адамса:
ТП
di)
Т
6=0
§ 2. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА
187
Опа может быть получена пз (2), если положить ak = Q
при к = 2, 3, ..т и а0 = 1,	== —1.
Квадратурная формула (10), на основе которой пост-
роена схема Адамса, содержит узлы сеток, пе принадле-
жащие интервалу интегрирования /„-t	1	7„. Обычно
используется требование, чтобы квадратурная формула
была точной для многочлена степени т. При этом вы-
бирается интерполяционный многочлен с узлами
При таком построении схемы ее погрешность ап-
проксимации совпадает с погрешностью квадратурной
формулы. В самом деле, невязка для схемы (11) равна
т
4'„ = 2	«»-») -
k=o
Подставляя сюда из (9) выражение
4 J /Г, «(О*.
Ъг—1
получаем формулу для невязки:
(12)
3.	Явные и неявные схемы. Если Ьа *= 0, то схема (11)
является явной и
771
Уп ~ Уп-1 Т 2 bkfn-h’	(13)
Простейшим примером явной схемы Адамса является
схема Эйлера
Уп -yn-i = т/п-! при т = 1, 6о = О, = 1.	(14)
Если положить в (11) т = 1, fr0=l, &i = 0, то получим
неявную схему Адамса
Гп Уп— 1	г	ч	/ЛГ'
---~----= ]п, пли г/n — x/(tn, yj^yn-i. (1э
Неявная симметричная оапошаговая (ж = 1) схема
= у I/ Уп) + / (^»-1? Уп-х)] (16;
188
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
соответствует значениям т — 1, Ъй — bi = 1/2 и имеет вто-
рой порядок аппроксимации: = СКта). Для определения
уп надо решать (при каждом п) нелинейное уравнение
Р«“72т/(^,	где Fn-X === yn-t + 72т/(£я-1, yn~i).
Рассмотрим теперь двухшаговые схемы Адамса, соот-
ветствующие т = 2. Явная цвухшаговая (т = 2) схема
имеет вид
Уп Уп—1 _____ 3 г 1 г
т ~ 2" /n'1 “ 1 'п~2’
— 2,	= О, = j
(17)
Она имеет второй порядок аппроксимации:
4'п = у / (£»—1» ип~1) — ~2 f (£»-2i un-s) ---1 = О (т2).
Исследуем устойчивость соответствующей модельной
схемы
УП У71—1 I л { 3	1	I А	/Л Ох
-- т------\Т Уп~* — ~2	j — О'	(18)
Подставляя сюда уп = qn, получим
д2 — (1 —	q — р = 0, р, = Хт. (19)
Так как Z) — 1 — р -|- ;г >> 0 при любых р., то корни
д2 действительны и различны. Устойчивость означает, что
1 и |g2|	1. Воспользуемся следующим свойством,
которое проверяется непосредственно: корни квадратного
уравнения q2 + bq + с — 0 не превосходят по модулю еди-
ницу:
lgt,2! С 1, если |Ы<1 + с, с^1.	(20)
Для уравнения (19) имеем b = Зр/2 — 1, с — — ц/2, и усло-
вие I Зр/2 — 11 «S 1 — р/2 выполнено при р. 1, или
тХ < 1,
т. е. схема (18) условно устойчива (шаг т должен быть
в 2 раза меньше допустимого шага в схеме Эйлера).
Напишем двухшаговую (лг = 2) неявную схему Адам-
са. Требуя, чтобы квадратурная формула (10) была точной
для полиномов степени 0} 1, 2, т. е. Fit) = f(t, uit)) =
§ 2. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА 189
= {1, tf ia), находим коэффициенты &0=5/12, &i = 8/12,
&2 = —1/12. Схема имеет вид
“— п 1 = То ^fn + 8/n-i — /«)	(21)
1	Ла
Исследуем устойчивость модельной задачи
----------1 4" ?2 &Уп “Ь Уп-%) = 0»	(22)
I-----------------------------------------1а
Полагая уп == q:‘, получим характеристическое уравнение
ад2 4- bq + с = 0й а = 1 + А Ь = Д тХ — 1.,
1а	1а
С “ — 12 Т^'
Условия (20), при которых |д1>г! С1, принимают вид
1Ы ^а + с, с =< а. Отсюда следует, что схема (22) устой-
чива при тХ 6.
4,	Задача Коши для уравнения второго порядка. Рас-
смотрим задачу Коши:
,2
^ = /(^(0), i>0; u(O) = wo,
dt	(23)
dit /А\
Л<0’ = "*'
Наиболее распространенными являются методы Штёрмера\
У п+1 ~ ^Уп + У п-1 _ V? 7 fl.	V
2"	— од/ \*п—Уп-k),
г	л=-1
тп>0, п — 1,2,	(24)
—	У1 У q	~
= Но, уг = Щ или -1—2 = ur
Значение Щ (или 84) выбирается так, чтобы погрешность
аппроксимации v — — [к (т) — и (0)] — и (0) — иуимела оп-
ределенный порядок, например, v = О(тр), где р — порядок
аппроксимации схемы (24). Например, при р = 2 находим
и (т) — и (0) + тк (О' + т2н (0) + О (т3),
v = их + у и (0) —	+ О (т2) = у / (0, и (0)) 4-
4- О (т2) — ^4-^ = 0 (т2),
190	ГЛ- v- ЗАДАЧА КОШИ
если положить
Mi = wt + 72т/(0, u0), Mi = и0 + т«1.
Если б-i => 0, то схема (24) — явная, так как в пра-
вую часть входят только известные значения уп, yn-t, ...
..Уп-т. Если b-i ¥= 0, то схема (24) — неявная и для
определения yn+i надо решать уравнение
Уп+l &-1/(7 + 1> Уп+t) F(yn, yn_i, , .,, yn_m, tn).
Для получения разностной схемы (24) вычислим интеграл
7+1	7	7+1
J u”vdt~ j u"vdt-\- J и'ь-dt —
in—i	7—1	7
7
— (u'v — uvf) |^_1 + (u'v — uv') + J uv"dt, (25)
7—i
где v(t) — кусочно-линейная функция
__ f(i — 7-i)/t при tn-i < t < tn,
~ l(7+i — i)/T при tn < t < 7+1-
Подставим (26) в (25) и учтем, что и" (f) = 0:
7+i
С	i
j U V dt =	(l7—1	2Un "I-
7—1
Умножая затем уравнение (23) на i>(2) и учитывая (27),
получим тождество
7+1
-------2-Т-.2-7 = 1 f(t,u(t))v(f)dt. (28)
т------1 а
7—1
Погрешность аппроксимации схемы (24) на решении
u = u(t), или невязка зля схемы (24), определяется фор-
мулой
т	Ч !
г /	\ J7+i ^ип । 7—1
Ч5’1 —	^п~^' un—k) ‘	2	’
й=-1	г
которая в силу тождества (28) может быть записана в
§ 2. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА
191
виде
т	*п+1
2 bhf(tn_k, un-k}	“	)	f(t,	u(t)) u(i) dt. (29)
ft=-1	/n-i
Вводя новую переменную $=(/ —£п)/т, запишем интег-
рал в более удобном виде:
Wi	1
~ J F (t) v (t) dt = J F (tn + st) v (s) ds,
tn-l	—1
(1 4 s, 5< 0,
F = f(t, u(t)), v(s) =|1_Si s>Oi
Из (29) видно, что первое слагаемое есть квадратур-
ная формула для.интеграла от функции F(t) = /(£, u(i)) с
весом v(t) 0. Погрешность аппроксимации схемы пол-
ностью определяется погрешностью квадратурной форму-
лы. Построенные на основе этого методы называют также
методами Адамса — Штёрмера.
Самая простая формула прямоугольника дает схему
т
*п4-1
1 с
так как у j v(t)dt = l.
tn—1
Для модельной задачи
^ + Xu = 0, t>0, м(0) = 0,
dt	at
имеем
Уп+i 2j/n4 yn 1
4 Ъуп — 0.
Подставляя сюда yn — qn, находил! qz — 2(1 — t2V2)q 41 =
— 0; D < 0 при %т2 4, t<2/VX; при этом IgJ = |g2| и
схема устойчива при условии т 2/YA, или tVZ, 2.
5. Системы уравнений. Многие методы переносятся
без изменения на задачу Коши для системы уравнений
^ = /((,«), <>о, и(О) = «0,	(30)
192
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
где	u2(t), ..., zzN(f)) — искомый, /=(/*, /г, ...
..., /N) — заданный векторы. Запишем (30) покомпо-
нентно:
=	t>0, u'(O) = uJ, i = 1, 2, ..TV. (31)
Пусть и, v — два решения задачи (30) с начальными дан-
ными н(0) = н0, v(0) = н0. Для их разности z = и — v по-
лучим систему линейных уравнений
dt	zJ*
где а„ — значение производной df/du? в некоторой сред-
ней точке U, i/p, Hj=(p\ v\ ..., v’-1, г? 4-0, zj, u’+1, ...
...,	(0 0j 1, / = 1, 2, ../V). Поэтому линейной
моделью системы нелинейных уравнений (30 является
линейная система
(32)

или, в векторной форме,
12+ Л« = /(«), Л = (««)•
(33)
Для устойчивости этого уравнения по начальным данным
достаточно, чтобы матрица А была неотрицательной.
В следующем параграфе будут найдены необходимые и
достаточные условия устойчивости схем для систем ли-
нейных уравнений (33).
На практике часто встречаются системы уравнений,
которые называются жесткими и решение которых обыч-
ными методами представляет большие трудности. Пусть
{АД — собственные числа матрицы А (если А ~ несим-
метричная, то Ай могут быть комплексными). Систему
уравнений (33) называют жесткой, если ReAft>0 (& = !,
2, .... /V) и если отношение max Re Ал/min Re Ал велико.
Л	А
Если матрица А симметрична, то все собственные чис-
ла вещественны и жесткость системы (33) означает, что
матрица А положительна и что система (33) плохо обус-
ловлена, т. е.
max Aft
§ 2. МНОГОШАГОВЫЕ СХЕМЫ. МЕТОДЫ АДАМСА 193
Жесткими, в частности, являются уравнения, полу-
чающиеся при сведении уравнений с частными производ-
ными к системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений путем разностной аппроксимации оператора, содер-
жащего производные по пространственным переменным
(например, оператора Лапласа в случае уравнения тепло-
проводности).
Явные методы оказались непригодными для числен-
ного решения жестких систем, так как они приводят к
большим ограничениям на шаг из-за требований устойчи-
вости в ущерб требованиям точности. Поясним это на при-
мере системы двух уравнений
dw	du	0 \
-^ + «Л=0, -^+аЛ = 0, 4=10	1, t>0,
2	(34)
/72>-0, (^>0, av
Решение этой системы есть вектор
u (f) = (ur (t), и2 (£)),
щ (t) = иг (0) е а1', и2 (£) = и., (0) е °2*;
его компоненты убывают с ростом t, причем lu2(£) I
< |щ(£)| при достаточно большом t.
Возьмем явную схему
-----F ахУ1 — 0, ---------Ь а2у2 — 0,
п = 0, 1, .. ., у? = yi (tn), i = 1, 2. (35)
Система распадается на два уравнения, каждое из кото-
рых можно решать отдельно, опнако они связаны выбором
общего шага т. Схема устойчива, если одновременно вы-
полняются два условия щт С 2 и а2т 2. Так как а2 «1,
то оба условия выполнены, если т С 2/az. Допустимый шаг
т определяется фактически той компонентой u2(t) реше-
ния, которая быстрее убывает.
Для решения системы (34) пригодна неявная схема
un+l — ип	ип+У — цп
+ ед™ = о,	= о,
которая устойчива при любых т и a i > 0, а2 0.
В последнее время появился ряд новых неявных схем,
алгоритмов для пих и программ, пригодных для решения
194	ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
жестких систем линейных и нелинейных дифференциаль-
ных уравнений.
6. Общие замечания. 1. При выборе того или иного
численною метода учитывается много обстоятельств, та-
ких, как объем вычислений, требуемый объем оператив-
ной памяти ЭВМ, порядок точности, устойчивость по от-
ношению к ошибкам округления и пр. Мы рассматривали
всюду методы с постояным шагом т = in+1 — tn. Переход к
переменному шагу тп+1 = tn+i — tn носит формальный ха-
рактер и для опношаювых схем не приводит к каким-ли-
бо новым принципиальным вопросам. Для многошаговых
(т > 2) схем формулы меняются.
В общем случае решение может быть сильно меняю-
щейся немонотонной функцией. Естественно пользовать-
ся неравномерной сеткой и уменьшать шаг (сгущать сет-
ку) в области быстрого изменения функции u(i), чтобы
обеспечить более точное приближение u(t) сеточным ре-
шением. Однако заранее нам неизвестно поведение реше-
ния и = и(£). Поэтому на практике поступают так: прово-
дят сначала расчет на равномерной сетке; если видно,
что решение и = u(i) сильно меняется на некотором ин-
тервале t* < t < t*, то сетка сгущается на <*] и
проводится решение задачи на такой неравномерной сет-
ке. Вообще рекомендуется проводить расчеты на несколь-
ких сгущающихся сетках. Если при сгущении сетки ре-
шение мало меняется, то нужная точность достигнута.
Для повышения порядка точности применим метод Рун-
ге, использующий расчеты на разных сетках (если реше-
ние u = u(i) обладает достаточной гладкостью). В ходе
расчета может оказаться необходимым использовать схе-
мы разного порядка точности в разных областях измене-
ния аргумента.
2. Часто приходится решать уравнения с сильно ме-
няющимися коэффициентами, например,
~ = a (i) и, t > 0, и (0) = ц0.	(36)
Такое уравнение встречается при описании задач хими-
ческой кинетики. Его решением является функция
( t
и(£) — exp [a(s)ds
lo
Если cc(i) > 0, то можно пользоваться схемой Эйлера при
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
195
любом т:
уп+1 = Уп + тапуп = (1 + иап)уп.	(37)
Если же <xU) < О, то может оказаться, что 1Н-тоСп1<О
при некотором п = и уП1+1 < 0, т. е. решение теряет
смысл. В этом случае можно пользоваться неявной схемой
Уп + 1 Уп ~Р Т«„1/n4-lj
yn+i = уп/(1 — тап), 1 — та» > 1,	(38)
которая устойчива при любых т. Если aU) меняет знак
при некоторых значениях t, то в тех узлах, где а(0 > О,
надо использовать явную схему (37), а в узлах, где a(i)<
< 0, — неявную схему (38).
Методы Адамса являются менее трудоемкими по срав-
нению с методами Рунге — Кутта. Недостатком методов
Адамса является нестандартное начало вычислений; для
определения yt, у2. ..ym-t обычно используется метод
Рупге — Кутта. Для двухшаговых (и тем более многоша-
говых) схем Адамса изменение шага т требует усложне-
ния формул, в отличие от метода Рунге — Кутта. На прак-
тике используется комбинация методов Рунге — Кутта и
Адамса с программой автоматического выбора шага для
получения заданной точности.
§ 3. Аппроксимация задачи Коши
для системы линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка
1. Задача Коши. В этом параграфе мы будем изучать
линейные разностные схемы (одношаговые или двухслой-
ные), которые появляются при аппроксимации задачи Ко-
ши для системы линейных обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений первого порядка, а также при аппрокси-
мации дифференциальных уравнений с частными произ-
водными (метод прямых).
Рассмотрим задачу Коши
JV
+	= /W. *>«, «*(0) = 4 > = 1,2,...Л-
(1)
Обозначая через А = («>Д квадратную матрицу размера
NXN с элементами aih не зависящими от t, через н(0 ==
= (нЧО, н1 2(0, ..uN(0) — искомый, а через /(0 = (/‘(О,
196
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
f(t\ ..— заданный векторы размерности N, за-
пишем систему в виде
+Ли = /(«), t>0, и (0) = и0.	(2)
Сохраним то же обозначение А и для соответствующего
оператора, действующего в пространстве HN размерности
2VG4: HN -> HN). В пространстве //л’ введем скалярное
произведение (а, н) и норму Hull = V(u, .и). Будем предпо-
лагать, что оператор А положителен:
А > 0, или (Ах, х) > 0 для всех х е HN, х =/= 0.
Задача Коши (1) при условии (2) имеет единственное
решение^. В самом деле, пусть существуют два решения
u(t) и u(t) задачи (2). Тогда их разность удовлетворяет
однородным условиям
+	=	i>0, 2(0) = 0, z(0 = u(0-w(0-	(3)
Умножая (3) скалярно на z и учитывая, что
1 d ,	.
= 2“ л \zi z)> получаем
|1|ар+(Л2, z) = 0,
h (012 + J (Аг ({')> г<1"» dl' = IIz W-
0
Так как A > 0, z(0) = 0, то отсюда следует, что
llz(i)ll2 = 0, z(t) = 0, u(t) = u(t).
Отметим одно важное свойство решения задачи (2)
при f(t) = 0:
|| и (i) || е Х1< || и (0)||, если А — А* > 0,	(4)
где М — наименьшее собственное значение оператора А:
А^ = к = 1, 2, ..., N, 0 < М Х2 С ... <
Для доказательства (4) будем искать решение u(i) задачи
(2) в виде
u(t)= 2 ak (t) lh, || и (f) II2 = S «I (0-
А=1	Л-1
8 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
197
После подстановки этого выражения в уравнение (2) с
/(О	0 найдем
XI /doo, \
— О,
й==1
и, следовательно, ~t +	= 0, ah (/) = ак (0) е ,
так что
» W I2 = f al (0) Л2Ч! < Л211' 3 al (0) = е^1‘ | и (0)f.
fe=l	/l=l
2. Разностные схемы. Введем сетку с шагом т по пе-
ременному t: сох = {in = пх, и = О, 1, 2,...} и обозначим
через уп = y(tn) сеточную функцию аргумента tn = пх
(или п) со значениями в HN. Напишем явную схему
~^ + ЛУп = 1„,	„ = 0,1,2..... у„ = и„ (5)
так что уп+1 находится по явной формуле
yn+i = уп — х(Ауп —fj, п = 0, 1, 2, уо = ио. (5')
Решение уп задачи (5) зависит не только от т, но и от N
или от параметра h = 1/N: уп = Уп,х,к. Фактически мы
рассматриваем не одну задачу (5), а совокупность задач
{5Т, J для всевозможных х и h. Это и есть разностная схе-
ма. Ее решением является семейство функций
Чтобы не усложнять запись, мы будем в тех случаях, ког-
да это не вызывает недоразумений, индексы т и h опус-
кать. Схема (5) является одношаговой (или двухслойной)
разностной схемой.
Вообще под двухслойной схемой понимают уравнение,
связывающее значения вектора t/(i) для двух значений
аргумента t = tn и t = tn+i (для двух слоев):
Byn+i = Суп + Fn, п = 0, 1,...,
где В, С — квадратные матрицы NX N (линейные опера-
торы В, С: HN HN), уп, Fn — векторы размерности N.
Это уравнение можно всегда переписать в следующем
каноническом виде:
в"п+\	„ = 0,1,2,..., (/0 = и0. (6)
198	ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Для определения уп+1 надо решить уравнение
Byn+i в Фп, Фп = Вуп - х(Ауп — <рп).
Будем всюду предполагать существование обратного опе-
ратора В~1.
Если В = Е — единичный оператор, то мы получаем
явную схему (5). В случае В^Е схему (6) называют не-
явной. Часто встречаются схемы
• ——— + Ауп+i — фп (чисто неявная схема), (7)
-~п^~—У~^-~ + -j- А(Уп + Уп+1) =Фп (симметричная схема).
(8)
Они являются частными случаями (при а = 1 и а = 1/2)
схемы с весами
—----------1~ (сп/п+1 + (1 — °) Уп) = Фп, н ~ 0,1, . . .,
(9)
которую можно записать в каноническом виде (6) с
В=Е + <зхА,	(10)
если учесть, что ауп+1 + (1 ~ о)уп = уп + от(уп+1 - уп)/х.
3, Погрешность аппроксимации. Пусть и = u(t) — реше-
ние задачи (2), уп — у(tn) — решение задачи (6); подстав-
ляя в (6) уп = ип + zn, для погрешности z„ = уп — ип,
ип = u(tn), получаем
2	—-г 2
в п += 4-п, п = 0,1,2,..., г„ = 0, (11)
где
ф„ = <р„-Ли„-Д в+1- п-	(12)
V
есть невязка, или погрешность аппроксимации для схемы
(6) на решении и = u(t) исходной задачи (2).
Пусть М(г) — некоторые нормы в HN=Hh. Схема
(6) сходится, если Hznll(1) -> 0 при т -*• 0 для всех п =* 1,2,...
Схема (6) имеет m-й порядок точности, или сходится со
скоростью О(тт), если
= O(xm), т. е. Ilznlltij Мхт, (13)
где М = const не зависит от т.
§ 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ КОШИ	199
Напомним, что схема (6) имеет т-й порядок аппро-
ксимации на решении уравнения (1), если для невязки
выполняется оценка
Нп'1(2) = О(-Г).	(14)
Выясним условия аппроксимации схемы (6) с т = 1, 2.
Предполагая, что и = tt(i) имеет нужное по ходу изложе-
ния число производных, находим
Mn+i = Iй 4—у и Н—+ О (т3)^
\ Z	on kl/2
/	\	/2
’ __( du ]	" __ (du
И" = П77„’
-----s- U + -5-	+ О (т?),
\	4	О n+1/2
1
(un+l Un) — Unj-i/% 4- О (T2),
фп = фп — (4« + #UV+l/2	~ 4^71-1-1/2 + О (t2) ===
= Фп — /n+1/2 + (/ - Au - M)n+l/2 +
4~	— В 4—2" 4^ Mn+i/2 + О (т2) =
= фп — /п+1/2 H-	— & H—2~ 4^ Mn+i/2 + O(T2).
Отсюда видно, что условие (14) будет выполнено, если
Ц фп — /п + 1/2 11(2) == О (тт),
Е — В + -^-А} и|(2) = О (тт), т = 1, 2.
В частности, для явной схемы (в случае В — Е) имеем
НН>=0(т)'
и II 4'п 11(2) = о (т) при || фп — /п+1/2 II = о (т), например, при
фп == /п*
Для симметричной схемы (о = 1/2) В = Е 4- тЛ/2, ес-
ли Нфп -/n+)/2lh2) =О(т2), то Пф„П(2> = <9(т2), поскольку
Н(Е — В + тЛ/2Ы(2) =0; при этом можно взять, например,
фп 3=8 /п+1/2*
200
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Схема с опережением (о==1) имеет 1-й порядок ап-
проксимации, так как 11(2? — В + тА/2)й11(2) = т114й11(2)/2 =а
= О(т).
4. Устойчивость и сходимость. Как отмечалось выше,
схема (6) устойчива (по начальным данным и по правой
части), если ее решение непрерывно зависит от входных
данных (от у0 и от фп), причем эта зависимость непрерыв-
на по т и N, или по h. Для оценки решения задачи
пользуемся нормой а для оценки правой части —
нормой М(2). Воспользуемся более строгим определением
устойчивости.
Схема (6) будет устойчивой, если для любых у0,
срп существуют такие постояннные Мt > 0 и М2 > 0, не за-
висящие ни от т, ни от N, у0, фп, что для решения зада-
чи (6) выполняется неравенство
\\уп |](1) < МЛуо ||(1) + М2 шах 1Ы|(2).
0<k<n
(16)
Если схема (6) устойчива и обладает аппроксимацией
И^п11(2)	0 при т 0, то она сходится:
— нп11О) -> 0 при т -> 0, п = 1, 2, ...	(17)
(из аппроксимации и устойчивости следует сходимость
схемы). В самом деле, если схема (6) устойчива, то для
решения zn = yn — un задачи (И), согласно (16), выпол-
няется оценка
11М(1)^ЛЛ тах Пй11(2)-	(18)
0^k<n
Отсюда и следует, что П2ПП(1) -* 0, если ЦПН(2> -* 0 при
т -* 0.
Изучение сходимости и порядка точности сводится к
изучению погрешности аппроксимации и устойчивости
разностной схемы (6).
§ 4. Устойчивость двухслойной схемы
1.	Устойчивость по начальным данным. Будем рас-
сматривать двухслойную схему в канонической форме
В <Jn+l~Vn	« = 0,1,...,
задано начальное значение у0 е Н, (1)
где 4, В\ Н -* Н {Н = И2^). Решение задачи (1) мож-
но представить в виде суммы у = у{1) + у(2) решений двух
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ
201
задач
д—!^-"-+Лу„=0,	п = 0,1, .... У(1 = В<>, (2)
g	+Луя==ф„, п = 0,1........ у„ = 0, (3)
(у(1) — решение задачи (2), yw — решение задачи (3)).
Схема (1) устойчива по начальным данным, если для
решения задачи (2) верна оценка
Схема (1) устойчива по правой части, если для решения
задачи (3) верна оценка
\\уп h) < мг тах !ф* (кг)-	(5)
0<fc<n
Здесь М2 не зависят от N, т, п.
Мы будем пользоваться более простым условием устой-
чивости по начальным данным:
Ww < IIMin, ..1!уЛ1) W(1)	=	(6)
а также условием р-устойчивости:
Р>О. (7)
Очевидно, что схема устойчива в смысле определения (4),
если р — ес°\ где с0 = const не зависит от п, т, N. В этом
случае рп = <?с°<п < ес°т = при 0 С tn Т, cQ > 0 или
рп 1 при с0 0.
В пространстве Н введем скалярное произведение (,)
и норму 1М1 = У(я, х). Пусть D = D* > 0 — самосопря-
женный положительный оператор. В качестве нормы
jlyll(1) выберем энергетическую норму
llyll(1) = llyllD = V(Z>y, у).	(8)
В частности, D = A, D = Е или D — В (при В = В* > 0).
Из (2) следует, что
уп+1 = 5у„, 8 = Е—хВ~1А,	(9)
где S — оператор перехода со слоя на слой.
Схема (2) устойчива в HD, если справедлива оценка
W’d < Wd-	(10)
Из оценки HynfJ^ = ИуХ < ilSilJIyA следует, что
202
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
неравенство (10) эквивалентно условию
II5IL 1.	(И)
Это условие, в свою очередь, эквивалентно условию
Jd = IIУ ||Ь - || Sy lib = {Dy, у) - (DSy, Sy) > О
для всех	(12)
Таким образом, (10), (11) и (12) эквивалентны, т. е. вы-
полнение любого из них влечет за собой выполнение двух
других.
2.	Необходимое и достаточное условие устойчивости.
Основная теорема.
Теорема 1. Если А — А* — самосопряженный поло-
жительный оператор и существует оператор В~', то для
устойчивости схемы (2) в НА:
Hf/n+JL	(13)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство
(By, у)---(Ау, у) 0 для всех у е Н, или
Ci	Ci
(14)
Доказательство. Достаточно убедиться в экви-
валентности (14) и неравенства JA >0, где
Л = (Ау, у) - (ASy, Sy) =
= (Ау, у) - (Ay — хАВ-'Ау, у - тВ~1Ау) =
= 2т(4В-*4у, у) - тг(АВ~1Ау, В~1Ау).
Обозначив В~'Ау = х, Ау = Вх, получим
Jа = 2т I (Вх, х)-(Ах, х) I 0 для всех х<= Н,
(15)
т. е. неравенства (14), (15) и, следовательно, (13), (14)
эквивалентны. Это значит, что пз (14) следует (11), (12)
при D = A и (13) (условие (14) достаточно для устойчи-
вости). Если же схема устойчива, т. е. выполнено (13) или
II5IL 1, то JA > 0 и, следовательно, Z?>t4/2 (необходи-
мость условия (14)).
Замечание. Условие (14) можно пояснить на при-
мере разностной схемы
i)J6!«p?n+ayji = 0i п = 012 a>Oj b>0
V
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ	203
с числовыми коэффициентами а, Ъ. Эта схема соответст-
вует задаче Коши
bu'(t) + au(t) = 0, t > 0, u(0) — и0.
Из формулы yn+i = (1 — ча/Ъ)уп видно, что схема устойчи-
ва, т. е. li/n+J It/nl IZ/ol, если И —та/&1^1,
— 1 С 1 — т«/Ь С 1, т. е. Ь > ча/2. Аналогия с операторным
неравенством В > тА/2 очевидна.
3.	Примеры применения основной теоремы. При-
мер!. Явная схема: В — Е, А=А*>0. Из неравенства
Коши — Буняковского (Ах, х) «С llAdl 1Ы1 ПАП IWI2 следу-
ет А ПАНЕ, или
(16>
1 1
Рассмотрим теперь разность В-^-чА = Е-— чА^
>т4уЛ“4'т/1'4тПТ “ Так как Л > 0, то
1	1 т
условие В-— чА 0 будет выполнено при ----
0, т. е. при
т С 2/ИЛП.
(17)
Это необходимое и достаточное условие устойчивости яв-
ной схемы в НА(\\уп^А 1ф0Нд).
Пример 2. Схема (9) из § 3 с весами, А=А*>0,
Для нее В = Е + отА и В------чА = Е (°----------тА
/1	f	1 \ \
>	+ а--о- Т А > О, если
|| А||	\.	2 } }
1 +(о-
(18)
Отсюда видно, что схема с весами устойчива в IIА при
любых т>0 (безусловно устойчива), если о > 1/2, и ус-
ловно устойчива при т С 1/[(1/2 — а)ПАН], если о < 1/2.
Пример 3. Устойчивость в Н (при D = Е) схемы с
весами (9) из § 3:
Е + <пЛ 22±а—^+АУп = 0,	^ = 0,1,2,....,
(19)
В = Е + птА.
Применяя оператор А-1 к обеим частям уравнения (19),
204
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
получаем
s ±!±1_^2. + Лу,,= О, п=0,1,2,....
.	„	(20)
В = Л-1 + охЕ, А = Е.
Эта схема устойчива в силу теоремы 1 в Н~ = Н (4* =
— 4 = Е > О) при В — тЛ — Л-1 -]- [ст------тЕ
(1 ( 1 \ \
--{-О'-----Е^О, т. е. при выполнении (18)
j
(при этом мы учли оценку 4~1^'^ Е, которая сле-
дует из (16)). Таким образом, из (18) следует, что для
(19) верна оценка (10) при D = 4, т. е.
1!уп11 W-	(21)
Схему (19) можно записать в виде
у„+1 = Syn, S^(E + ot4)"W - (1 - о)т4),
4=Л*>0. (22)
Поэтому для нее при условии (18) верна оценка (21), что
означает
[| (Е сттЛ)-1 (Е - (1 - о) тЛ) ||< 1,
если 1 + (ст---т || Л у > 0. (23)
Эта оценка понадобится в дальнейшем.
4.	Устойчивость вНв.
Теорема 2. Если 4 = 4* > 0, В = В* > 0, то для
устойчивости схемы (2) в Нв:
Иуп+Л 11уЛ	(24)
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (14).
Доказательство. Схему (2) запишем в виде (9) и
покажем, что условие
IISUb < 1	(25)
эквивалентно неравенству (14), т. е. из (14) следует (25)
и, обратно, из (25) следует (14).
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ	205
Пусть у — произвольный вектор из /7; представим его
в виде
У = 2 схйВй,
где {^} — собственные векторы задачи:
~	> 0,
[1, к — т, к, т — 1, 2, . .., N. (26)
№,b)=6ftm = |Oi
Учитывая, что	- тВ"‘4^ = (1 - тХА)^, BS& =
= (1 — тАй)7?£ь, найдем
у) = 2 ал, Gfy, у) = 2 ^1,
Л=1	Л=1
(27)
(BSy, Sy) = 2 а? (1 - ТМ2 < I $ & 2 al = Ц S ||’в (By, у),
k-1	k=i
где
|| S ||в = max (1 — тХй)2.	(28)
AC N
Неравенство (25) эквивалентно условию
ткк ^2, к = 1, 2, ..N,	(29)
которое, в свою очередь, эквивалентно неравенству (14),
так как
N ,	- х
(By, У) — ^ (АУ, */) = 2 ац1 ~ 4/
k=l
Тем самым эквивалентность (24) и (14) доказана.
5.	р-устойчивость.
Теорема 3. Если Л=Л*>0, 2? = 2?*>0, то необ-
ходимым и достаточным условием ^-устойчивости схемы
(2) с любым р > 0:
Wl^pllyA, D = A, В,	(30)
являются операторные неравенства
(31)
1	т
206
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Доказательство. Неравенства (31) эквивалентны
условиям (см. гл. I, § 4, п. 4):
* = 1,2,	(32)
где Aft— собственные числа задачи (26).
Допустим, что D = B и верны (31) или
(32). Из (32) следует — р тАй — 1 р, И — тАйI р, и в
силу (27) 1!5Пвг^р (так как || S ||в — наименьшая посто-
янная, для которой верно неравенство (.BSy, Sy)
^М(Ву, у)), т. е справедлива оценка (30) (достаточ-
ность). Если верна оценка (30), то И — тАД р и, следо-
вательно, выполнены (32) и (31) (необходимость).
Аналогично доказывается теорема и при 1) = А, если
учесть, что
N
(ASy, Sy) = S аХ (1 — тАД2 < max (1 — тА/Д3 (Ау, у).
fe=l
Из (30) следует
II?/ JId рп11у011о.
Возникает вопрос, при каких условиях имеет место
априорная оценка (30) с р < 1? Ответ на него дает сле-
дующая теорема.
Теорема 4. Пусть выполнены условия
А = А* > 0, В = В* > 0, Ч1В Д А С у2В, 71 > 0. (33)
Тогда для решения задачи (2) верна оценка
Нг/п+А < р11?/п11д, р = 1 — туь D = A, В, (34)
если
т 41 4 — —т----------•	(35)
Для доказательства надо вычислить норму ||$||в =
= ||5 ||А = max 11 — тХд | при условии, что 71 Д ХА Д 72,
0 < 7t = Xj Д Х2 Д ... XN = 72. Рассмотрим разность
% = (1 - тХ,)’ - (1 - тХ*)2 = 2т (Х4- X,) (1 - -b(X„ + Xx)j.
Отсюда видно, что <pft 0 при 1 — — (Ад + Xj) 1------X
X (Ъ + Ti) > 1 - -тг (Yi + 7г) = 0» т- е* 1 ~ тХа I
= 1 — T7i, если т т0. Теорема доказана.
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ
20?
6.	Устойчивость по правой части. Метод энергетиче-
ских неравенств. Рассмотрим задачу (3) и перепишем ее
в виде
yn+i = Syn + т£М(р„, п = 0, 1, ...,
$=Е~тВ-1А, уй = 0.	(36)
Воспользуемся неравенством треугольника
IIpn+JID С 115рп11д + т1Ш-1срп11 D 11511^11 упIID + т115_1срп11 р. (37)
Если выполнены условия теоремы 2, то В = В* > 0, D =
= В и II5IId = II5IIB С 1 при В^~А, ЦВ"1^ ||2В =
= (В (j9-1cpn), Б-1(рп) = (£-1срп, (рп)= || qpnj|B-i, и из (37)
следует
II Уп+1|| в || Уп ||в + II фп ||в-1.
Суммируя по п = 0, 1, 2... и учитывая, что у0 = 0, полу-
чим
п—1
\Шв < 2
А—О
(38)
Эта априорная оценка выражает устойчивость схемы (1)
по правой части при том же условии (14).
Можно получить и другие оценки. Для этого восполь-
зуемся весьма общим методом энергетических неравенств.
ТТ	1 (	1	\ Т ^n+1 Уп
Подставим Уп	{Уп + Уп+1)—2------г---- в (*)•
(в - 2. л) ,Jn + 4 л (У»+1 + »-) = <Р-
Умножим это уравнение скалярно на 2(у„+1 — уп) и уч-
тем, что (A(yn+l + уп), yn+i —уп) = (Ауп+1,	у«+1)+
4~ (Ауп, уп+1) + (Иуп+1, уп)	(Ауп, уп)	(Иуп+i, уп+1)
— (Луп, уп), так как (Луп, уп+1) — (Луп+1, уп) в силу само-
сопряженности А. В результате получим «энергетическое
тождество»
2т ((fl - -X 4)	) + (Л?п+1, у„+1) =
~ (^Уп, Уп) -р 2 ((рп, Уп+1 — Уп)- (39)
Отсюда видно, что при <рп ~ 0 и В А верна оценка
(13).
208
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
Преобразуем 2 (фП1 Уп+i — Уп) = 2т (фп, Уп+1^ y-j. ДЛя
этого воспользуемся неравенством:
| ab | = (/2?а) (< га? + А Ъ\
где а, Ъ, е > 0 — любые числа. В нашем случае
2 (фп^ Уп+1 Уп) ^=5 2т |] фп || J	~ |
Подставляя эту оценку в тождество (39), получим
2т ((в - гЕ - 1а)	+1 Уп+1 £ С
<кя& + £|Ы1г- (40)
Если выполнено неравенство
В>еЕ + -^-Д е > 0,	(41)
то из (40) следует (с заменой п на к)
kft+i ||а <Ц г/л |& + -^-Цфл II2-
Суммируя по к = 0, 1, 2, ..п — 1, получаем оценку
1Ы’л <11.7» 11 + 4- Ш (42)
'	/i=0
которая выражает устойчивость схемы (1) по правой ча-
сти и по начальным данным в НА.
Пример. Схема с весами (1): В — Е + очА. Для нее
условие (41) означает, что
(1 — с) Е (и —Fj-'j тЛ^О.
В частности, оценка (42) верна при е = 1 и о 1/2.
7.	Асимптотическая устойчивость. Для задачи Коши
+ Аи = 0, t > 0, и (0) = uQ
§ 4. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУХСЛОЙНОЙ СХЕМЫ
209
в § 3, п. 1 была получена оценка
IM*)ll<e vh(O)j|,
где X1 = minXfe(^).
h
Найдем условия, при которых аналогичная оценка име-
ет место для схемы (2). Воспользуемся теоремой 4. Пусть
выполнены условия (33). Тогда в силу (34), (35)
1Ы|А<р"Ьок Р = 1-ТЪ, т < т0 =—4—. (43)
?! + ?2
Отсюда следует оценка, выражающая свойство асимпто-
тической устойчивости
lly..U<^V1'"h«U	(44)
(при этом учтено, что р — 1 — xyj < e-XVl).
Рассмотрим схему с весами и предположим, что
дЕСЛ^АУ, б = М>0, Д = Хл>0.	(45)
Вычислим Yi и Учитывая (45), имеем
В =*= Е 4- от Л	+ йт^ А ~ — А;
/ V3
(4 4-otU- — А,	(46)
\ б }	?! 	7
-	6	= А
1 отд’	1 -г от А’
Для явной схемы Yi = б, Ys = А условие асимптотиче-
ской устойчивости
т 2/(6 + А)	(47)
близко к условию обычной устойчивости с р = 1. При
о=?^0 условие т 2/(у1 + Уз) приводит к неравенству
2 + 2(о - 1/2)т(б + А) — 2а(1 - о)т26А > 0.
При о = 1 оно выполнено для любого т, т. с. чисто не-
явная схема с а = 1 безусловно асимптотически устойчи-
ва. Симметричная схема
Уп+1Т~- +4-/1 (!/,.« + У») =0, а = -Ц (48)
асимптотически устойчива при условии
т -С т*, т* = 2/УёА	(49)
210
ГЛ. V. ЗАДАЧА КОШИ
и безусловно устойчива в обычном смысле. В этом случае
-X(T+g(t3)	-/1х
р = е	< е ’
п верпа оценка
ПРП	а — 1/2.	(50)
Что произойдет, если условие т< та не выполнено, т. е.
т > т0? Тогда шах|1 —тХ/J достигается не при к ~ 1,
k
а при k = N п р = 1^2—1. Асимптотика (при больших 1п)
решения разностной задачи не имеет ничего общего с
асимптотическим решением исходной задачи. Таким об-
разом, нарушение асимптотической устойчивости приво-
дит к потере точности схемы при больших t.
Г л а в а VI
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе мы рассмотрим разностные схемы и ме-
тоды решения разностных уравнений для уравнения
Пуассона и эллиптических уравнений с переменными
коэффициентами.
§ 1. Разностные схемы для уравнения Пуассона
1. Исходная задача. Рассмотрим уравнение Пуассона
,,2	л2
=	« + £_ = _ f х>).	(!)
Будем искать его решение, непрерывное в прямоуголь-
нике
G = G U Г = {.г = (a:i, х2): О С ха С Za, а = 1, 2}
и принимающее на границе Г заданные значения:
ы!г = ц(я).	(2)
Задача, определяемая уравнением (1) и условием (2), на-
зывается задачей Дирихле (.первой краевой задачей).
2. Разностная схема «крест». Для _численного реше-
ния задачи (1), (2) введем в G сетку = сол U = {х{ =
= (.iiht, i2h2), ia = 0, 1, .... Аа, = Za/ZVa, а = 1, 2) и
обозначим через yi = У^г2 = У (ч, г2) = У(хд сеточную
функцию, заданную на сол; hL и h2 — шаги сетки по коор-
динатам хх и х2.
Чтобы написать разностную схему для (1), (2), ап-
проксимируем каждую из производных d^uldx^, на трех-
точечном шаблоне, полагая
02u U ~	х2)~2и (ХУ жг) + и (Ti + hV жг) _
_ ~ _ и-^
д2и и (^r	-- fc2) — 2» (жр л?2) + и (агр + /г2) _
~
212
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
знак ~ означает аппроксимацию. Пользуясь этими выра-
жениями, заменим (1) разностным уравнением
+	М + УН) z у< (3)
^2
или, в сокращенной записи,
У~ х ^й,	4’ У~х х (й;	~ J (й, й)*
Х1Х1	Л2Л2
В безындексных обозначениях имеем
У^ + Ух2х2 (ж) = — / <*)’ Х = Й^Ч) °>л (^)- (4)
К этому уравнению надо присоединить краевые условия
у , х	Уь-	(5)
Граница 7л сетки состоит из всех узлов (0, й), (Лй, й),
(it, 0), (it, NJ, кроме вершин прямоугольника (0, 0),
(0, NJ, (Nt, 0), (NtNJ, которые не используются. Раз-
ностное уравнение (3) записано па пятпточечпомшаблоне
(Й~ й й), (й + й iJ, (й, iJ, (й, й—D, (it, f2 + l).
Схему (4) часто называют схемой крест. Если hi = h1 =
= h, т. е. сетки по и х2 совпадают, то сетку сщ назы-
вают квадратной. На такой сетке разностную схему (4)
можно записать в виде
У (Й> Й) =
__ г/(/х—1, iJNyJtNl,	i2—ly~y(iv	(i{. Q
_ 4 “
Для однородного уравнения (/ = 0) получаем
У (й» й) ~ у (й й й) + У (й + й й) “Ь
+ г/(Й, Й —1) + ^/(Й, Й+ 1)]’
т. е. значение в центре шаблона определяется как сред-
нее арифметическое значений в остальных узлах шаблона.
3.	Погрешность аппроксимации. Пусть и = и(х) — ре-
шение задачи Дирихле (1), (2), а у = y(ii, ij — решение
разностной задачи (4), (5). Рассмотрим погрешность
z(x) — у(х) — и(х), х = (itht, i2hj е
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 213
Подставляя у = 2 + н в (4), (5), получаем для погреш-
ности z — z{x) неоднородное уравнение
Az = 2х1х1 + Zx2x2	Х S W/i (G)>	(6)
с однородным краевым условием
2 = 0 при Х^^ь.	(7)
Здесь
1|ф) = Ап + / (л?) =	+ f (х)	(8)
есть невязка или погрешность аппроксимации для схемы
(4) на решении и = и(х) уравнения (1).
Покажем, что
Ц
24 '

(9)
где
шах
x£G
д*и
д.т*
,,4
о и
дх2
Л/4 =
В самом деле, учитывая формулы
и ± Л1} х2) — и (хг, х2) ± hr (хх, х2) +
/Л -2	1,3	3
. /гт д U .	\ , П1 д U .	\ I
+	я-г) ± IT —Т х2> +
4	° dx*
4-	=	о < ех < 1,
, ч ,	.	, ди ,	, , h-> д~ и ,	. ,
и(х{, х. ± /z2)	= и (л?г,	х,)	± к2—(хг,	х2) + — —7(х^	х2)±
г/х2
± ДГ —(^1, ^‘>) 4- 97-—Т tei, ^2), Х2 = х2 4- е2/7г,
и th;;	ох^
О с 02 С1,
находим
. д
дх\
)Ъ>г‘	7?3 л*
, Zij ди,— , . д и ,	— .
+ 2Г Txf Z1’	”2414 Ж1’ ’
Отсюда и мз (1) следует (9).
214
ГЛ, VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Таким образом, схема (4) имеет второй порядок ап-
проксимации.
4.	Схема повышенного порядка точности. Используя
девятиточечный шаблон (xb х2), {xx±h^ х2\ (^t, x2±h2),
x2±h2), можно построить схему, имеющую чет-
вертый порядок аппроксимации (и точности), если пред-
положить, что решение задачи (1) —(2) и = и(я:)<=
еС!В|'^). Эта схема имеет вид
А'У =	+ Л2 + ЛХЛ2^ у = — ф(я), хе (ол,
У (х) = ц (х), х е yh,
Л1^ = ^х’ АгУ = Угхъ	(10)
А11	л2л2
h2	h?
Ф = f -A- Aj/ + A^f.
Непосредственная проверка показывает, что невязка
равна
ф = А'и + ф = О(| Л|4).	(11)
Для погрешности z = у — и, где у — решение задачи (10),
получаем
A'z=^~ф(х), х е coh; z = 0, x^*<h.	(12)
5.	Свойства разностного оператора. Пусть у(х) — се-
точная функция, заданная на сетке (о^ = &ц((7) и равная
нулю на границе сетки, и пусть Q — множество сеточ-
ных функций у.
Определим оператор А следующим образом:
Ау = — Ау = — у- — у- для всех у е Q, (13)
Х1Х1 л2х2
где Q — пространство сеточных функций, заданных во
внутренних узлах сетки (оЛ. и совпадающих там с у,
О
у{х) == у{х) при х е сол. Обозначая
ф’/Н------^-52 при хА = Zi — Z^, 0 < х2 < Z2,
ф =- f + И	= hn 0 < х2 < Z2,
hi
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 215
и. (X? L)
Ф = f Ч-----0 < Zj < Zn х2 = Ц — h2l
h2
Ц (X , 0)
Ф = / H-----, о <	< Zi, ^2 = h-if.
k2
ф(х) = fix) в остальных точках x <= (пл, запишем разност-
ную схему (4), (5) в операторном виде:
Аф = ф, у, (реЯ,	(14)
где Н == Q.
Введем в Н скалярное произведение
Л\-1 Аг?—1
„	„ с	о
(у, 0 = . 2j 2j У (Ч, Ч) V (Ч, Ч) hji.,
Д—1 i2—1
и покажем, что оператор А самосопряжен. Представим А
О
в виде суммы A =At 4- А2, где Aty = — у-^ А.2у = —
— у~ f и покажем, что каждый из «одномерных» опера-
зс2Ж2
торов Ai и А2 является самосопряженным. Достаточно
показать это для оператора Alt Рассмотрим скалярное
произведение
*2-1	0	\
(Л1У, р) = - 2 h2\ 2 У~ХлХ, (Ч, Ч) ”(Ч, Ч) К .	(15)
—1	J
Воспользуемся одномерной формулой Грина (гл. I, § 4):
N±-l	о	Ni-l
2 у-х Х1 (ч, ч)v (ч, ч) Zii = 2 у (ч, ч) ^1Х1 (ч, ч) /ч-
1^=1 1" 1 г1=1 1 1
Подставляя это выражение в (15), получаем
л'2-1	/л'х-1 о	\
(Axy, v) = — 2 М 2 У (Ч, Ч) (Ч> Ч) hi = (У, А^)-
г2=1	\г1=1	1 I	J
Аналогично убеждаемся в том, что А* = А2, и, следова-
тельно,
(Ay, v) = ((Aj + А2)у, v) = (А^, v) + (А2р, у) =
= (у, Atv) + (у, А2р) = (у, Ар),
т, е, А* = А,
216
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Если воспользоваться первой разностной формулой
Грина
то получим
v2-l
(лiz/» у) = .2 К 3^	(ё15 ?2)р 1Ъ1 > о,
и, аналогично, (Л2у, у) > 0, так что А > 0, т. е. А —
самосопряженный и положительно определенный опе-
ратор.
Нетрудно найти границы 6 и А оператора И, т. е.
числа, для которых выполнены неравенства 6Е С А ДЕ,
где Е — единичный оператор. В самом деле, в § 4 гл. I
показано, что
Vi-l	Vj	vx-i
2 (У	2 (У~ (гп	2 Q/Gi>
Й=1	ii=d xi )	ii=i
где	4 . п		
6i =	7Tsin hi	V Д‘ = 7Г° «Г	
Суммируя эти	неравенства по г2 = 1, 2, ..., N2 —		1, по-
лучим 64( Е/, у) *£	= (Aty, у) ДДу, у).		
Аналогично	находим д2(у, у) =С (А2у, у) < Д2(г/,		у),где
62 =	•Д- sin2	л/г	4	9 л/г Д., = — COS" ~=-.	
	h2	2Z2	- hl	2Z2	
Отсюда следует	SHyll2:	S (Ay, у) ДIIyll2,	(16)
где	+ 62 = '	4 . л/г.	4	, л/гл	
6 = 6Х		?-Sln -2T+VS 2?fs	
	Д2 =	1	1	2	z 4	^h.	4	л/гп	(17)
Д = Дг		т:	л	j	i	rfc	0	2 — cos- — + — cos2-^-.	
В квадрате	(11 = k	= 1) па квадратной сетке	(hi =
= «2 = п) имеем			
„	8 . 0 = — 8Ш h1	2 ПЛ 2 ’ '	*	8	.) л/г £ । а	6 Д = —cos*-^-, о 4- Д	—. /г“	2	1Г	(18)
g I. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 217
6. Разностная задача на собственные значения. Рас-
смотрим задачу: найти такие значения параметра X (соб-
ственные значения), при которых однородная задача
У~х х +Ух х + КУ ^°’	у^=®, яеул (19)
имеет нетривиальные решения (собственные функции).
Воспользуемся методом разделения переменных и будем
искать решение задачи (19) в виде произведения
у(хъ Х2) = v(x1)w(x2)	0	(20)
функции p(^J, зависящей только от xt, и функции ш(^2),
зависящей только от х2. Подставив (20) в (19) и разделив
на у = viv, получим
V-	W'
-2121	----__ X, (z1} х2) е= оц. (21)
Левая часть зависит только от xt, а правая — только от
х2; равенство (21) возможно только при условии
V~	W-
vlxl 1(1)	Х2Ж2 1 _1(1)
	 — л ,-------л — л ,
v----------------------J w-’
где Х(1)= const. Отсюда получаем две одномерные зада-
чи на собственные значения для отрезков 0 ith± Ц и
0 i2h2 12 соответственно:
v- -РХ(1)р = 0,	0 < х, = iji-i < Z1? v — 0,	— 0, Nj,
V, Y. 1	'	1 1 А 1 '	’ А 71.'
ЛТ'1
(22)
W. + Х(2)к? -- 0,	0 < д-2 ~ i2h2
w — 0, z2=0, Лг2,
(23)
где Х(2) = X — Х(1>, пли X = Х(1) + Х(2).
Обращаясь к п. 8 § 4 гл. I, выпишем решение задач
(22), (23) в виде
xiv = 7sin
'^2	1
mi	Г 2 лА.‘ г,
(^i) = Л/ — sin—к\ - 1Д 2, .. А\— 1,
.(2) _ 4 - 2 ЯМ2
Ц - sm 2(j
218
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
= j/x sin~Х’ fe2= !» 2> • • -;^2 —
Где Xa, == la^a, la 0, 1, . > Na, Ct 1, 2.
Отсюда следует, что задача (19) имеет собственные
значения
.	4 . , h 4 . лк h
Ч*2 = 7Т sin ~2р + 77 sln“ “ТА’
k^i, 2, ..., Na - 1, сс= 1, 2,	(24)
и соответствующие собственные функции у^~
Vr 4	. лк . лк^хЛ
j sin j	sin j s
ict^ai i« ~ 0» lj •  ’i N ai	A’a ~ 1, 2, , . ., N a 1,
a — lj 2.	(25)
Эти собственные функции ортонормированы:
Ут1т2) ~
Из (17) и (25) видно, что
б — min Xfe2 = Д ~ шах ~ 4l-1<
где 6 и Д определяются по формулам (17).
верны оценки
Для 6 и А
(26)
д < А А
h‘[
7. Оценка скорости сходимости схемы «крест». Прин-
цип максимума. Для погрешности z = у — и схемы в п. 3
получена задача (6), (7), где
Ш=0(1М2).	= M + M (27)
в предположении достаточной гладкости решения и ~
= и(х) <tsCw(G) исходной задачи (1), (2). Докажем, что
схема (4) сходится со скоростью О(|Л|2) (имеет второй
порядок точности) в сеточной норме С, т. е. Hzllc = О(|7г|а),
где |) z|J(? == max | z (х) |. Для этого нам понадобится оценка
решения задачи (6),. (7) через правую часть гр. Разност-
§ 1. РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА 219
ная задача Дирихле (4) является частным случаем задачи
^1*2*^1*2	—IJ2	i2J/ix+1, i2
~~ ^T’i2~1^l’*2~1	фгр'2’
x =	i2h2) e <од; у = p, x e yh, (28)
где a = a, i , b = b\ 1д2 — коэффициенты. В случае (4) имеем
\±l.i2	^ЦП'2±1 hz ’	(29)
\да = 0.
Оператор S^y] можно записать иначе:
3? [у] =	(Уц,г2	УЦ“1,г2) 'R
H~	(УЦ>!2	УЦ+1 Л2)	^ЦЛ2—1	1)
+	г2+1 (Уцг2 — yixi2+l)i (30)
Где ^гхг2 ~ ^цг.2	^Ц—l,i2	^ix+l,i2 ^ЦЛг"-1
Будем предполагать, что выполнены условия
d=dM2>0, Ьг1±1.г2>0, \,i2±i>0.	(31)
Для задачи (4) имеем d 0.
Теорема 1. Пусть выполнены условия (31) и у(.х) >
> 0, у|х>0. Тогда решение уравнения (28) неотрица-
тельно, т. е, у(х) 0 во всех узлах сетки оц = <щ((7).
Доказательство. Предположим, что утвержде-
ние теоремы неверно и существует по крайней мере один
узел — (iih1,iQ2h2),B котором у (xiQ) < 0. Тогда функция
у(х) в некотором внутреннем узле сетки должна прини-
мать наименьшее отрицательное значение min у (х) =
— у{х*). В этом узле выполняется уравнение (28). Если
d (х*) — 0 и ф (ягф) = 0, то уравнение (28) выполнено толь-
ко при условии у (х) == у (#*) во всех узлах шаблона. Од-
нако, так как ф(ж) ^0, то существует узел ^г*#,в котором
У (^г**) =“ У (^г*) — min у (х) = с0 <. 0 и по крайней мере в
одном узле, например при х =х-11+г, имеем yi1+i>ce, и, еле-
220
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
дователыго, Ly ] |x=xi * < 0, что противоречит условию
21у1 = ф(лг) > 0. Полученное противоречие и доказывает
теорему.
Теорема 2 {теорема сравнения). Пусть у(х) — реше-
ние задачи
2’[у]=ф, хе(1)Л) у = ц, х е -yh (32)
и выполнены условия (31). Если
(<р(х) I "С ср(х), хеоц, I ц(х) I + ц(х), х^ь, (33)
то для решения задачи (28) верна оценка
?у(х)1 ^у(х) для всех х е (ол.
Достаточно убедиться, что для функций u — ykx)^
+ у(х), v = у(х) — у{х) выполнены условия теоремы 1, и,
следовательно, и(х) > 0, v{x) > 0, или у{х) > — у(х), у(х)^
у(х), т. е. lyl <у.
Итак, функция у(х) является мажорантой. Если мажо-
ранта у{х) найдена, то решение задачи (28) оценивается
согласно теореме 2. Для задачи (4) в качестве мажоранты
выберем функцию
у (х) = О[£2 — (x‘i -J- х2)], L’ =^- 11 + 4	(34)
Вычислим сначала <р = 2? [у] = — Ay = С А (х2 4-	=
= С (Аг4 + А24) = 40, так как (х2)^ = -у(Сн + ^i)2—
— 2.4+ Си — &i)2) = 2- Из формулы (34) видно, что ц =
= у(х)>0 па границе Обратимся теперь к задаче (6),
(7) для погрешности z = у — и схемы (4). Выбирая 4С =
= 11|?1с и учитывая, что z(Y/i = 0, получаем [z(x)l <
< у (х) < OZ7, так что
Отсюда и из (9) следует равномерная сходимость схемы
(4) со вторым порядком точности.
Замечание. Уравнение (28) можно заменить урав-
нением более общего вида
2 [у] = а (х) у (х) — 2 Ь (х, |) у (£) = ср (х),
Jr
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИИ	221
где а(х) > 0, Ъ(.х, |)>0, о (я) — множество узлов % х
шаблона с центром в узле х, причем
d (х) *= а (х) — 2 Ь (х, £) > 0.
Для уравнения (36) верны теоремы 1 и 2. В случае схемы
повышенного порядка точности шаблон состоит из девя-
ти узлов, множество о(л?) — из восьми узлов, причем
«=4(йГа+ЛГ),а в правой части имеются коэффициенты
О
у (5&73 — й-?2),	(б/г?2 — /i?2), которые положительно
только при условии
1/У5 hjh,. У5,
и, следовательно, оценка вида (35) будет получаться прп
этом условии.
§ 2.	Решение разностных уравнений
1.	Прямые методы. Метод разделения переменных. Си-
стема разностных уравнений для задачи Дирихле из § 1;
АУ = Ух1Х1 + Ух2х2 = ~f(xl х е У =	(1)
имеет матрицу высокого порядка (Л\ ~ 1)(Л\ — 1). Обыч-
но берут /Vi, N2 ~ 50—100, так что число уравнений в
системе (1) равно 103—104. Решение систем столь высо-
кого порядка методом Гаусса потребовало бы числа дей-
ствий порядка (ZVi — 1)3(TV2 ~ 1 )3, т. е. 10® — 1012 дейст-
вий, если бы у системы (1) не было одного хорошего ка-
чества: матрица системы является слабо заполненной
и имеет лишь ~ 5NiN2 отличных от пуля элементов. По-
этому для решения системы разностных уравнений уда-
ется построить методы, требующие O(N In N) и даже
OOV) действий, где N = (Nl — 1)UV2 — D. Опишем один
из прямых методов решения разностной задачи Дирихле
уравнения Пуассона в прямоугольнике.
Перепишем задачу (1) в виде
АУ =	= ~ (Р('7')’	=	(2)
где у(х) = у(ж) прп х е соЛ, а ф(я) определяется по фор-
мулам (14) из § 1.
222
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Ее решение можно найти методом разделения пере-
менных. Пусть (х2), Х122} (к = 1, 2, ..7Va — 1) —соб-
ственные функции и собственные значения задачи
Ар; + kv = 0, х е <ол; р(0) =» i?(Z2) ™ 0.	(3)
Выражения для и v*2) (х2) даны в п. 6, § 1.
О
Разложим решение х2) и правую часть <р(яТ1, х2)
по собственным функциям b42)J :
Л’2-1
У (#1, .т2) = 2	(^1) »к.-> &*),.	(4)
N2-l
<р (яи х>) = 2	^1) М^)’	(5)
А2=1
где Ха = iaha, ia == J, 2, ..Na — 1, a = 1, 2, CkJxeJ n
<Pft3 — коэффициенты Фурье, например,
Л’2-1
Фл., (^i) == 3 сп, ^2) pfe.> (г'^м*
г.>=1
Применим оператор Л == Ai + Аа к произведению
^2^2*
Acft2 fo) vk2 (т2) =
«== рЙ2 (x2) fo) + Ck2 (x^ Л2^2(Ж2) =
=	(^2) AiCfea (%) — Xft2 Cfe2 (&i)	(it2) ™
~	(#i) Хд2	(x^).
Подставляя затем это выражение в (2) и учитывая
(5), получим
2 {Л^з (^1) — k{k^Ck2 (^i) + фй2 Ра2 ^2) = °- (6)
йа=1
В силу ортогональности (тл2 (а?2)} это тождество возможно
только при равенстве нулю выражения в фигурных
скобках:
А1Сда (#1) Хд2 (^й) — (рд2 (#1), к2 ~ 1, 2, >»•, Л^2
•^1 = Q Ч ii	ii = 0, Nр (7)
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
223
В самом деле, умножая (6) скалярно на ?.’л2 (^2)» имеем
A^-l	N2 -1
Zj {• h (уь, rfc2) = 2 {• }k^kk2 = {’ }fe2 = 0x
A—1	A=1
где {. }ft2 — содержимое фигурной скобки (6).
Задачи (7) решаются методом прогонки; всего требу-
ется N2 — 1 раз использовать алгоритм прогонки для к2~
= 1, 2, ..N2 — 1. Зная с*2(ггх), найдем по формуле (4)
решение задачи (2). Для этого надо сначала вычислить
коэффициенты Фурье <p*2 (xj (к2 = 1,2, .. .,	— 1). Из
формул (4) и (5) видно, что y(xi3 х2) и <рл2 вычисля-
ются по формулам одного и того же вида:
N-1
= 2 “a sin~-\ i = 13 2Л ..N — 1.	(8)
Л=1
Разработан специальный алгоритм быстрого преобра-
зования Фурье для вычисления сумм, который позволяет
вычислить сумму (8) за 57Vlog22V арифметических дей-
ствий (при N = 2П, п — целое число) вместо O(N2) при
обычном способе суммирования. Этот алгоритм позволя-
ет найти решение исходной задачи (2) за O(NiN2 log2 N2)
действий. Метод разделения переменных можно комби-
нировать с методом редукции или декомпозиции, являю-
щимся модификацией метода Гаусса. В результате полу-
чим алгоритм с числом действий Q & бММ log2 N2, что
в два раза меньше, чем для алгоритма разделения, при-
веденного выше.
2.	Итерационные методы. Для решения разностной
задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоуголь-
нике наиболее экономичными являются прямые методы.
В настоящее время имеются стандартные программы
на алгоритмических языках фортран и алгол для реше-
ния уравнений Пуассона в прямоугольнике с краевыми
условиями трех типов, а также со смешанными краевыми
условиями. Однако в случае, когда область не является
прямоугольником или рассматриваются уравнения с пе-
ременными коэффициентами, применяются итераци-
онные методы. Фактически прямые методы экономич-
ны лишь в случае, когда переменные разделяются.
В гл. III рассмарпвалась теория итерационных мето-
дов для уравнения
Ау = Ф,
224
ГЛ, VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
где А=А*>0. Сравнение различных методов проводи-
лось для модельной одномерной задачи на отрезке
О С х -С 1:
Ухх = ~}(хЪ x^ih, 0<i<N, yQ=yN^Q.
Для нее оператор А имеет вид Ау = — у-х. Границы
оператора А определяются постоянными
с 4.о т(.]ъ	.	4	g л/t
О ~ —Г sm“ -Г-, А —cos--—-
h2	2	h2 2
Число итераций для рассмотренных в гл. III методов за-
висит от отношения
11 = — = ‘8! —	•	(»)
Рассмотрим теперь в качестве модельной двумерную
задачу Дирихле в единичном квадрате (Ц = k = 1) на
квадратной сетке с шагом h ~ hi = he.
АУ = ~~У-ХхХ~У^х^	(Ю)
Число интервалов по каждому из направлений равно N,
так что h = 1/N.
Границы б и А оператора А найдены в § 1 (см. (18)
из § 1), отношение ц = б/А совпадает с (9). Отсюда
следует, что число итераций не зависит от числа измере-
ний (если hi=£hz, It =£11, то слабо зависит). Поэтому те
оценки числа итераций различных итерационных мето-
дов, которые мы получили для одномерной моделыюй за-
дачи, справедливы и для двумерного случая.
В случае неквадратной сетки число итераций для
двумерной задачи может несколько отличаться от числа
итераций для одномерной задачи.
Мы рассмотрим здесь лишь попеременно-треугольный
итерационный метод для решения разностной задачи Ди-
рихле (10).
3.	Попеременно-треугольный метод. Для решения опе-
раторного уравнения
= Л=Л*>0, А: //->/7,	(11)
в гл. III рассматривались двуслойные одношаговые ите-
рационые методы, которые записывались в следующей
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ	225
канонической форме:
В --------	= ft к ~ 0,1, ..., п,-
тА+1
для всех у0 е Я, (12)
где В: II -> Я, В = В* > 0. Для А н В выполнены усло-
вия
^В^А^В,	> О,	(13)
где 7i, 72 — постоянные.
Минимальное число итераций min п (е) при заданных
7н 7а достигается при выборе чебышевских параметров
то	2	1 _ g	т
1-~Р0^’	0 VV 1 + 1' Т2
/v-1,2,	(14)
где ик принадлежит некоторому специально упорядочен-
ному множеству пулей полинома Чебышева; при таком
упорядочении метод (12) является вычислительно устой-
чивым.
Для определения (& + 1)-й итерации имеем уравнение
Byh+l = Fh, Fk = Byh~ Tft+1Uz/k-/).
Число действий при вычислении yk+1 зависит от В. Вы-
бирая
В = (Я + ыЛДЯ-ДЛ+ <оЛ2),	(15)
где At и А> — операторы с треугольными матрицами
Л* = А2, Аг + А2 = A, a D — D* > 0 — произвольный
оператор, получаем попеременно-треугольный метод.
Обычно D={d^^ — диагональная матрица. В гл. III да-
на теория этого метода и найдены постоянные 71, 72 п со
при заданных условиях
Л>бЯ, ЛЯ“М3<~Л, б>0, Д>6>0, (16)
которые можно записать в эквивалентном виде:
(Д/, У) > 6 (Dy, у), (D~lA2y, А2у) < -|- (Ау, у).
В этом случае имеем
226
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
(18)
Л2
а для числа итераций верна оценка
п (в) « п0 (е) =-- In ~’
21/2^ц d
4.	Попеременно-треугольный метод для разностной за-
дачи Дирихле. Обратимся к задаче (10). Оператор А пред-
ставим в виде суммы А ®Л1 + Лг, где
у- У—	У . У
А1У = ^- + -^, Аа~--£	“
и положим D — E. Сопряженность At и Л2: 42=^1 Ус'
танавливается сравнением их матриц или с помощью
первой разностной формулы Грина: (Агу, и) = (у1 А*к) =
= (г/, А2у).
Для определения yk+i получаем уравнение
Byk+i =* (Е А~ й>4.1) (Е -f- <оА2) уь+1 = Fk,
Fk = Byk Я- тА+1 (ЛуА + ср) (уА=р, yk = 0 при х е ул).
Значения ук+i находятся последовательно из уравнения
(Е + соА^ уР = Fk, (Е + <оА2) yk+1 =
Отсюда получаем формулы
У^ (Ч, Ц) =
ХЛ(1) (Ч ~ С *?) + УЙО* i2~i)+Fk Op 4)
(1 А Н- х2)
Уь+Ан, in) ~
—	(Ч 1’ *г)	Х2^+1 Or 1)	(*р ^2) цд\
(^“i + xj	J
0(1)
Чтобы определить yk (Ч? Ч), выбираем узел 4 = 1, 4 =
= 1 в левом углу прямоугольника; тогда остальные два
узла (4 — 1, 4) и (4, 4 — 1) шаблона {(4, 4), (4—1, 4),
О
(4, 4 — 1)1 лежат на границе и, следовательно, y(t>(4 —
— 1, 4) = У(1)(4, 4 — 1) = 0 известны. Зная у^при 4 = 1,
о (1)
4	1, последовательно находим yk при 4 = 2, 3, ...
...,	— 1 и 4=1 (на первой строке). Далее, полагаем
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
227
° (1)
?г = 2 и находим последовательно уь па второй строке при
it = 1, 2, ..., N— 1. Для определения yh+l проводим вы-
числения на шаблоне {(ib i2), (Л + 1, i2), (ii, i2+l)} по
столбцам сверху вниз: фиксируем Л =	— 1, Л\ — 2, ...
..., 2, 1, и при каждом ц меняем i2 = JV2—1, N2 — 2, ...
О
..., 2, 1. Начинаем счет ук+1 с узла (^“М —1, ц ~
= N2 — 1) в верхнем правом углу. Следует отметить, что
О
счет yh+i можно также вести по строкам справа палево:
фиксируем N2— 1, N2 — 2, ..2, 1 и при каждом 1г
меняем ц=Лг1 — 1,	— 2, ..2, 1. Впрочем, вычисление
°(i)	.
ун можно вести не по строкам, а по столбцам снизу
вверх. Это видно из самих формул.
Вычисления ведутся по рекуррентным формулам (19);
счет, очевидно, устойчив. Алгоритм подобного типа, как
уже отмечалось, называют алгоритмом бегущего счета.
Подсчитаем число арифметических действий на один
узел сетки: вычисление Fh требует 10 операций сложе-
ния и 10 операций умножения; вычисление yh+i при за-
данном Fh требует 4 операции сложения и 6 операций
умножения.
Итого требуется для определения yh+l в одном узле
провести 14 операций сложения и 16 операций умноже-
ния. Число действий можно уменьшить, если хранить
в оперативной памяти не одну, а две последовательности
{yh} и {нц+1} и для определения yh+l пользоваться алго-
ритмом
(Е + соЛ i)tpA+1/2 = Ayk + /, (Е + wA2) wh+l = wk+i/2,
Уь + i — Ук^~ Tk+ilOk + i.
В этом случае для перехода от yk к yk+l достаточно 10
операций сложений и 10 операций умножения на один узел.
5.	Выбор параметров попеременно-треугольного мето-
да для разностной задачи Дирихле. Чтобы воспользо-
ваться общей теорией гл. III (см. § 5 гл. III), надо найти
постоянные б и А, входящие в условие (16). В нашем
случае А = At + А2 > 6Е, где 6 — наименьшее собствен-
ное значение оператора А, равное
6 = 4(-Lsin2^!. + -Lsin82221	(20)
V '‘i	hl
228	ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим оператор AJ) 1Л2 = Л1Л2. Учитывая, что
Л1 = Л2,	«2^2)2	(Qi +	(^1 + bl),
находим
(АгА2у, у) = (А2у, А2у) =
,	х *1-1 *2-1
= W 2 2 [М2Я^)!ЬМ<
' 1	2 > ц=1 i2=l
< (-А- + тЙ
\	'12 /
так как (см. § 1 гл. V)
А’,-1	А'л-1	А’,-1 Лт2—1
(АУ,У)- 2 h2 2 (МмА+ 2	2 (МЬЛ-
i2=l ix=o 12 й-l i2=0	1 2 "
Сравнивая неравенства
(АА?Л (т? + уй (Лу, у) и ЛйЛ2 < А Л,
\ hi hi 1
заключаем, что
Д = 4(А + тЛ <21>
\ hl h2 /
Зная 6 и А, находим ц = б/А и по формулам § 5 гл. V на-
ходим параметры ylf после чего оцениваем число
итераций по формуле
, . _ , 2l. 1	1 - VI
п (е) In —/1п—, о, — ---------—.
е/ Pl R 1-t-Vfe
Пользуясь лг(е), выбираем устойчивый набор чебышев-
ских параметров аА, Th+t и ш = 2/УбА.
Приведем результат сравнения методов решения по
числу итераций тг0(е): метода простой итерации
явной схемы с чебышевским набором (hq2) (е)) и попе-
ременно-треугольного метода («о3)(е)) Для двумерной мо-
дельной задачи (10), пользуясь приближенными форму-
лами (е)	2/Л2, ??q2) (е)^3,2. Л,7го3)(е)^ 2,9/ ]ЛЛпри е =
= 10“4 (табл. 2).
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
229
Таблица 2
h		^>(е)	
1/10	200	32	9
1/50	5 000	160	21
1/100	20 000	320	29
6.	Разностные уравнения с переменными ^коэффициен-
тами. Пусть требуется в прямоугольнике G = {(^, х2):
О ха < la, а = 1, 2} решить задачу Дирихле для эллип-
тического уравнения с переменными коэффициентами:
Lu — Lxu + L2u = — / (х),
х = (^j, х^ е <7, и = р,(ж), же Г, (22)
rr) -г“)’	0 < f j	ка (х)	с2, а= 1, 2,
где ct и с2 — постоянные. При к, к2 1 получаем урав-
нение Пуассона Дп = —/.
Разностная схема строится па сетке = {хг —
= (.iihi, i2^2)l ia = 0, 1, ..Na, ha = lJNa, а=1, 2). Каж-
дый оператор La заменяем па трехточечном шаблоне
(ха — ha, xtt, Xa + ha) разностным оператором:
Лаи
аа (и —	1а0
и
где — и ((z\ ± 1) hlt i2h2),	= и (1-^, (i2 ± 1) h2).
Для «1 и а2 можно выбрать простейшие выражения
«1 CH- ^2) = ki (xi ~* 1/27^1, х2) = к^1^,
а2 (х17 х2) — к2 (а?!, х2 — l/2/z2) = к2 ' 2\
обеспечивающие второй порядок аппроксимации:
— Lr/U = О (jla)•
В результате оператору Lu ставится в соответствие раз-
ностный оператор па пятиточечном шаблоне:
Ли - Л.и + Л2и =	+ («2?/х2)х3-
230
ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Напишем разностную схему
Ау = —/U), х е Юл, у = ц(х), rcs^t (23)
0 < Ci < ал < с2, а = 1, 2,
соответствующую задаче (22).
Введем в пространстве сеточных функций Н = Q.v опе-
ратор
Ау = — Лу, A=AL + A2,
Aty = -Ajy, А2у = —Л2у
и запишем (23) в операторной форме:
Ау = (р, у, феЯ,
где <р отличается от / только в 4 приграничных узлах
(ц = 1, Л1 — 1, 0<i2<N2) и (0 < ii < TVi, /г=1, N2 — 1).
Оператор А, очевидно, является самосопряженным:
(Ау, и) — (у, Av).
Из формулы
^-1 о	ЛТ1
- Д	= 2 («1
и неравенства 0 < Cj < а < с2 следует, что
ct(Ry, у)^(Ау, y)^c2(Ry, у) или CiR < А < c2R, (24)
где R есть изученный выше оператор Лапласа
<25)
Отсюда заключаем, что
с^Е А с2\Е,
о о
где би Д определяются формулами (20), (21).
Для решения задачи (23) можно воспользоваться по-
переменно-треугольным методом с оператором
В = (Е + vRJ (Е +	2?! + R2 = R, R* = R2
при D — Е.
о
В этом случае имеем < А < у2В, где = е^, у2 =
= сгу2, а постоянные Yt и у3 найдены для оператора
§ 2. РЕШЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
231
(25). Для числа итераций имеем оценку
«о
»о (е) =
~ «о 00 1
1
—Ц—ь-
21/24^ е
Для уравнения с переменными коэффициентами тре-
буется в Vca/cj раз больше итераций, чем для уравнения
Пуассона.
Таблица 3
С2 С1	h - 1/32		/г= 1/128	
	О = Е	D = d(x)E	D = е|	D = d(x)E
2	23	20	45	39
8	46	23	90	47
32	92	25	180	53
128	184	26	360	57
512	367	26	720	59
Однако можно не вводить оператор Я, соответствую-
щий оператору Лапласа, а сразу представить оператор с
переменными коэффициентами в виде
X = А± Л2,
+4 ^1)+х fa,+4
Л	1 / (+11)	, 1	\	1 / (+12)	, 1	\
А^У = “ 77 И Ух1 ^~~2~уах1]	Ух* ^~уахчГ
Оператор В выбирается в форме
В = (D + uAJD-'U) + wX2)f	(26)
где D = d(x)E — диагональная матрица. Для применения
общей теории надо найти постоянные 6 и Д, входящие в
условия А bD, А^-УА^ А. Коэффициент d(x) вы-
бирается из условия максимума отношения г| = б/Д, и,
следовательно, максимума £ == В результате полу-
чается алгоритм, у которого число итераций п0(е) слабо
зависит от отношения с2/с^ Об этом свидетельствует
табл. 3,
Глава VII
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этой главе рассмотрены разностные схемы для ре-
шения уравнения теплопроводности. Детально исследова-
но одномерное уравнение с постоянными коэффициента-
ми. Приведены разностные схемы для многомерного урав-
нения теплопроводности с переменными коэффициентами.
§ 1.	Уравнение теплопроводности с постоянными
коэффициентами
1.	Исходная задача. Процесс распространения тепла
в одномерном стержне 0 < х < I описывается уравнением
теплопроводности
Ой	( 7 011 \	...
СР дх j “Ь /о (^’	(1)
где и = и(х, t) — температура в точке х стержня в мо-
мент t, с — теплоемкость единицы массы, р — плотность,
ср — теплоемкость единицы длины, к — коэффициент теп-
лопроводности, /о — плотность тепловых источников. В об-
щем случае к, с, р, /0 могут зависеть не только от х и I,
но и от температуры и = и(х, t) (квазилинейное уравне-
ние теплопроводности) и даже от ди/дх (нелинейное урав-
нение). Если к, с, р постоянны, то (1) можно записать
в виде
= (2)
jjx	Гр
где а2 = к/ (ср) — коэффициент температуропроводности.
Без ограничения общности можно считать а = 1, 2=1.
2.
т,	х . a t .
В самом деле, вводя переменные хх —	tx = ——, =
4	I'
z2
~	—r /1 получим
a
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
233
Мы будем рассматривать первую краевую задачу (иногда
говорят: начально-краевую задачу) в области D = {0
Требуется найти непрерывное в D
решение и ~ и(х, t) задачи
2
= 44 + Л*.0. 0<ж<1, 0<г<Г,
01 дх
и (ж, 0) — и0 (х), 0	и (0, i) =	(i),;	(3)
и (1, t) — и2 (£),
2.	Некоторые свойства решений уравнения теплопро-
водности, В силу принципа максимума для решения за-
дачи (3) имеет место оценка
max | и (£, t) ] max ( max | uQ (х) |, max | иг (i) |,
0-Й/<Т	\0«х41	о<л«т
г
max | и2 (£) ]\ + J max | f (х, i) | dt. (4)
o«f«T / о 0«х<1
Рассмотрим однородное уравнение с однородными краевы-
ми условиями:
и (О, i) = u(l,t) = O,	(5)
и (х, 0) = uQ (ж),
Решение этой задачи находится методом разделения пере-
менных в виде
u(M)=	(6)
k=l
где и — собственные значения и ортонормирован-
ные собственные функции задачи
Х"+ХХ = 0, 0 < ж < 1, Х(0)=Х(1) = 0,
равные	_
= ЛЛп2, Хк(х) = V2 sin кях,	(7)
причем
1
— J* A/j (х^ А1П (х) dx — 6km,
о
И, А-	т,
6 k 1)1	1 /Ч Т /
(0, к	т.
234	ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В самом деле, все частные решения (гармоники) нa (ar,
= с^е Ah (х) удовлетворяют уравнению и краевым ус-
ловиям (5). Из начального условия
и (х, 0) = н0 (х) = 2 ckXk (я)	(8)
k=i
находятся коэффициенты ch = (w0, Xk).
Из (6) и (8) следует
| и (i) [|2 = (и (х, /), и (х, /)) =
= 2	Is < е~Л1‘	= е’*1' |«, Р,;
k—1	k—L
так как
II и0 II2 = 2 4, Ха > Xa-i > ... > Хх = л2.
a=i
Таким образом, для решения задачи (5) верна оценка
|| и (t) || < е~^ И и01|, Xi = л3,	(9)
выраяхающая свойство асимптотической (при £-><») ус-
тойчивости задачи (5) по начальным данным (§ 4 и. 7
гл. V). В силу возрастания Хь = к2 л2 с ростом к, начиная
с некоторого момента t, в сумме (6) будет преобладать
первое слагаемое (первая гармоника), т. е. будет иметь
место приближенное равенство
и (х, t) ж c1e~^ltX1 (х).
Эта стадия процесса называется регулярным режимом.
3.	Разностные схемы. В области D введем сетку
w/iT — {{x{tj)\ Xi — ih, tj = ут, i — 0,1, ..., N, h — 1/7V,
7 = 0,1,	= TIL}
с шагами: h по x и т no t. Заменяя производную по х
разностным выражением
( дги	ui+l %ui + ui-i	л
\ sx2 )i~	h2	Ли:-
вместо (3) получим систему дифференциально-разност-
ных уравнений {метод прямых)
~~р — Xvi 4" fix i ~ 1) 2, .. ,x
V. 4
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 235
с краевыми и начальными условиями
п0(£) = щ(£), vM = u2(t), 1?/0) = п0(^г)-
Для численного решения этой задачи, по аналогии с
гл. V, заменим производную по t разностным отношением
_±L Vi	, j
dt ~	т	т	( "°
правую часть возьмем в виде линейной комбинации зна-
чений при t = tj (на j-m слое) и t = ij+i (па (j 4- 1)-м слое):
-'—г А_ = аЛу-+1 + (1 _ а) Лу? +	(Ю)
где о — параметр, а ср* — некоторая правая часть, напри-
мер, cpi = Д, (р? = Д+1'2 и т. д. Сюда надо присоединить
дополнительные условия
,Уо = U1 y3N = u2 (tj), yi = u0 (jfi), (11)
7 = 0,1,2, .
Схема (10) определена па 6-точечном шаблоне
(#i—It ^j)
h + l)
(j?f, ij+i)
X
(Xi, C)
^’+1)
X
(яз+i, tj)
Рассмотрим явную схему (a = 0) на 4-точечном шаб-
лоне:
И+1-у? И-i - 2гЛ + ^+1 , rj
Значения на (/ + 1)-м слое находятся по явной формуле
yj;+i = [i — у/ + -ь (y?_i + у?+1) + Тф^.
\ h / П
В случае оe 1 получаем полностью неявную схему —
схему с опережением на шаблоне х :
,,j+l _	,J+1____4- rP+1
!/i Уг	У{— i	У г	' JO+l j j	/д
---------------------------------н фп (lo)
236
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Для определения у<+1 из (13) получаем краевую задачу
т 7?+1 (1 1 2т '|	। т	— Л’-?	о <г / <г /V
75^1-1—1-1 "3 -Г ~2Уг~1 — — 1 17	U<7l<^7¥,
h~	\ h / h
— у г A ТЦЩ Уо = и1 (4+1)’ Ум — и2 (4+1)’
которая решается методом прогонки.
Часто используется симметричная неявная схема
(иногда ее называют схемой Кранка — Николсона) с о —
= 1/2 и шаблоном * *
,Д+1___ ,3	. / ,,j+l____o.J+l i ..j+1	,3 ‘У.З । ,3	\
Уг Уг 1 Уг-1 гУг ^Уг+1 . Vi-1 ~	+ ^i+1 1 ,	1
----- --- = I ------------------------------ --------- j А ф..
T " \	h	h	/
(14)
Значения y2+1 на новом слое и в этом случае находятся
методом прогонки для краевой задачи:
4 </Й - (1 + 4')	= - Л, 0 < i <
2/г2У 1	[ hr)	Vi
Уо+ = Щ. (^’+1), Ум -- ^2 (tj+l),	(15)
f 1 — -4 yl + —2 (уг-1 + i/Ul) А ТФ+
\ h } Zh
В общем случае (при любом о) схема (10) называется
схемой с весами. При о =£ 0 она неявная и t/i+1 опреде-
ляется методом прогонки как решение задачи
отА^+1 -	- - F|, 0 < i < N,
Уо+ ~ Щ (tj+l),	= u2 (^j+x),	7 = 0, 1, ...	(16)
Перейдем к изучению свойств схемы (10) с любым о.
4. Оценка погрешности аппроксимации. Чтобы оце-
нить порядок точности схемы с весами (10), падо снача-
ла оценить погрешность аппроксимации (невязку) и най-
ти априорные оценки, выражающие устойчивость схемы
по правой части. Разностная схема (10), (11) учитывает
начальные и граничные данные точно. Перепишем схему
(10) в безындексной форме. Вводя обозначения
j	5+1	\	У i +1 ^У i /” У i—i
У = yl У yi , Ау = у- - —12-------- ‘
J+i _ J
У1	—l, y<a) vyi" + (1 - a) y>,
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 237
получаем
Уг = Лг/(0) + ф, <= й)Лт, у(л\ O)=wo(^)t
(17)
Уо=щ(<), yN = W2U) </=^=/т, / = 0, 1, ...).
Пусть и = н(л?£, tj) — точное решение исходной задачи (3),
у — решение разностной задачи (17). Подставляя в (17)
у = z 4- а, получим для погрешности z = у — и следующие
условия:
zt = Az(0) 4- гр, (х, t) е (Oht,
z(x, 0) = О, z(0, t) = z(l, t) — 0, (18)
где
гр = Ли(а) 4* qp — ut	(19)
есть погрешность аппроксимации схемы (17) на решении
н = н(т, f) задачи (3) (невязка схемы).
Найдем разложение гр по степени h и т в окрестности
/ 1 \
точки I х-^ t —	Учитывая, что
Н<о) = (Ш + (1 — о) и ~	-
д^а ,
. 1 да , т2
' = " + —Т^г+т
1 да . т2
V V Г Т ~	~8~ "^2
+	----IjriZ/,
3	3"
— - У ^4- + °
dt	48 дГ
^4 2"
д* а	т3
’48"
44-+°^
at
v ~ v I х,
Аи = и- =Lua4t wrv + О {№), Lu =
хх	12	'
получаем
/ т~ . 7 ди\. 7:1	1 1 г ди .
ф= + f- — j -ь ф- / +	- -y^L— -г
4- ~j2~	+ О (т- + ^4)>
Так как в силу уравнения (3) имеем

238
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ТО
L-^=№+£/
И
Ф (ф — 7 + (п —£-) т£?) + (4г + (а —г)т) L"u +
+ о (т2 + /г4).
Отсюда видно, что
j
гр = О (т + &2) при ср = / и а у= —,
гр = О (т2 + к2) при ф / и п =
Если выбрать о так, чтобы коэффициент при L2u был
равен нулю:
° = а* ~ ~2	12т~’	(20)
а ф положить равным
ф7 + 4г£7 нлп фЬг4тА-( <21)
(оба выражения отличаются па величину О (Л4), так как
А/ — £/ == O(.h2)), то мы получим схему повышенного (по
х) порядка аппроксимации: гр = О(/4 + тг) при о = а*.
Эта схема также неявная, и поэтому у{+1 находится из
уравнения а^тАг/ — у — — F методом прогонки.
5. Устойчивость схемы. Обратимся к изучению устой-
чивости и сходимости схемы (17). Рассмотрим сначала
явную схему (о==0) и чисто неявную схему (а=1).
Уравнение (17) для явной схемы запишем в виде
^i+1 *= fl--yl Н -у (t/i-i + yi+i) +	0 < г < N,
(22)
г/о+1 == 0, у^1 = 0, у • = и0 (xi), 0 < i < А.
Если коэффициент при yl неотрицателен, т. е.
т Л72,	(23)
то из (22) следует, что
Ну+1НС < Нг/4С 4- т11ф3’14,	(24)
где [у||с = пхах |г/{]. Суммирование по к от 0 до / —1
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 239
дает
I у1 I с < I У" к + 2т II '₽' Ь
к=0
(25)
Это неравенство и выражает устойчивость в сеточной нор-
ме С явной схемы по начальным данным и по правой
части при условии (23) (явная схема условно устойчива).
Неявную схему (17) при cr = 1 перепишем в виде
xAi/i+1 — pf1 = — Fi, Fi — y3i-\- T(pi
или
T ,J+1	/ f f “T \ . J+l f T	1-1   pi f) j AT
—Г yi-1 ~~ 1 T ]yi ” f/i+1 — ” L i!
n	\ h /	h
T,j+i 7,.i+i _____ П
Уп = I/N — v.
Воспользуемся теперь теоремой 3 из § 5 гл. I: для реше-
ния задачи
Л(t/i-i - С,р( + Af+1pi+1 = -Fh
Ci = Af + Ai+1 + Q<i<N, р0 = рЛ, = 0
верна оценка
В нашем случае Л = Л1+1 = т//г2, Д= 1,
llp^llc < lirifc < ИЛ + тПср*Нс.	(26)
Отсюда суммируем по к = 0, 1, ./ — 1, получаем оцен-
ку (25). Таким образом, чисто неявная схема безусловно
устойчива, т. е. устойчива при любых т и h. В случае
произвольного о разностное уравнение имеет вид
ат ,.Н1	\ j+i । от j+i  pj
-~Г Уг-1 — 1 Н 1 yi Н 7a“i/i+l — “ т г,
п	\ п /	п
0<i<N, yj+1 = jA+1 = O,
Fi = (1 - 2(1~аИУ! + (yLt +
\	h j	h
Отсюда видно, что коэффициент при у\ неотрицателен,
если
пли о>1-4-	(27>
условие
(28)
при о <
(29)
240	гл. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При этом условии 1!ЛС llyllc + т11фНс; пользуясь затем
теоремой 3 из § 5 гл. I, получим оценку (25) при усло-
вии (27). В частности, для симметричной схемы устойчи-
вость в С имеет место при т < h2. Фактически же схема
(17) с о > 1/2 безусловно устойчива в С по начальным
данным, так что
11Л^М011у11с,
где Мо = const > 1. Однако это неравенство доказывается
довольно сложным способом.
Ниже будет показано, что в другой норме
устойчивости схемы с весами имеет вид
. 1
G ~ 2 4т
так что схема с о > 1/2 безусловно устойчива, а
< 1/2 вместо (27) ставится условие устойчивости
4 (1/2-о) ’
Указанный результат (29) получается на основе общей
теории устойчивости.
По аналогии с § 4 гл. I введем оператор А:
Ау~—Ау, i/eQ,
О	о	—
где Q — множество функций у, заданных па сетке =
= {щ: Xi~ ih, i = Q, 1, ..., N, h = i/N} и равных нулю на
границе при i = О, N, а у — множество функций, задан-
ных во внутренних узлах сетки х оц = {дщ Xi = ih, i =
= 1, 2, ..., N — 1, h = l/N}.
Запишем схему с весами в канонической форме:
Bzt + Az = xp(f), teoir, Z(0) = 0, В = Е + от:А. (30)
Для этого достаточно подставить z(<J) = oz + (1 — o)z = z +
+ o(z — z) = z + otz; в (18).
Оператор А, как показано в гл. I, самосопряжен и по-
ложителен: Л=Л*>0, если скалярное произведение в
Н определить по формуле
Л-1
(у, 0 = 2 yiVih.
i=l
§ 1. УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 241
Устойчивость схемы (30) исследована в гл. V, где по-
казано, что схема (30) устойчива в IIА при
В данном случае |] А ||	-Л- cos2 -^-.Отсюда следует, что
/г”	“
схема (17) устойчива прп любых т и Д, если о > 1/2.
Если о < 1/2, то схема устойчива прп
< 1
(1/2 — ст) || Л [| '
Подставляя сюда 1Ш ~ 4/Д2, получаем
т	н 4 (1/2 — о) т Д2.
4 (1/2 — а) ’ v '
В частности, прп о — а* имеем 4 (1/2 — о*) т = Д2/3 < Д2,
т. о. схема повышенного порядка аппроксимации без-
условно, устойчива.
6. Сходимость схемы. Для доказательства сходимо-
сти схемы (17) надо получить априорную оценку для за-
дачи (30). Воспользуемся неравенством для z, получен-
ным прп исследовании сходимости схем в гл. V, в силу
которого для (30) и (18) верна оценка погрешности
II z-Цл. < У т ||^|| при о^О,	(32)
ft—о
Подставив сюда Az ~ z-x» найдем.
1Ы& = (Лз, z) = - (z- x, °z) = (zx, У =2 h ^-Х,У
п воспользуемся оценкой
(У	\1/2
2/4(zai)2 ^-ймл-
;=1	1 у
В результате получаем
j-i
т. е. схема (17) сходится в сеточной норме С со скоростью
\\у> — из || с = || z3 ||с = О (Д2 + т) при о 1/2, о>о0,
||гД|с == О (h2 + т2), о = 1/2. Если 0*^0, т. е. т^Д2/а,
16 А. А. Самарский
242	ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
то и для схемы о — о* верпа оценка (33) и
IIZJ |!с — О (h4 + т2) при а = о*.
7. Асимптотическая устойчивость. Свойство асимпто-
тической (при i -> оо) устойчивости задачи (5) по на-
чальным данным выражает оценка (9). При больших t
решение задачи (5) определяется первой гармоникой
и (j. t) ж	(х)
(регулярный режим). Естественно требовать, чтобы ре-
шение разностной задачи
yt = аЛу + (1 - о)Ау; х = ih, t = jx,
(34)
i = l, 2, /V — 1, 7 = 0, 1, ..,
i/(0, t) = 0, t/(l, t) = 0, y(x, 0) = u/z),
обладало аналитическими свойствами.
В гл. V для операторно-разностной схемы с весами
Ву, + Лу = 0, i (От, у(0) = Уо, В = 2? + отЛ,
6 > 0, 4=4*>0
установлена асимптотическая устойчивость схемы с ве-
сами
при дополнительном условии
Т < Т0(о),
где т0 = 2/(6 4- А) для явной схемы (6 = 0), т0 = °° (т--
любое) для неявной схемы (о = 1) и т0 = 2/У6Д для сим-
метричной схемы (о = 1/2). Для схемы (34) имеем
с *4	> .> л/4	.	4 л/z £ 1 а 4
о ——T-siir-^—, Д =—r-cos —х—,	о 4- Д = —
/А 2	/?	2	/г
Для явной схемы (о = 0) т0 = /г2/2 и условие асимпто-
тической устойчивости совпадает с условием обычной ус-
тойчивости; неявная схема о = 1 по-прежнему безуслов-
но устойчива. Однако симметричная схема (о = 1/2), бу-
дучи безусловно устойчивой в обычцом смысле, асимц-
§ 2. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 243
готически устойчива прп условии
h
Т^Т0’	tg л/г ~ л '
В этом случае решение разностной задачи (34) с
о — 1/2 при больших i определяется первой гармоникой:
у\ ~ e1pJ’ sin & сге~К1^ sin ля.
Здесь р - (1- 1/2тб)/(1 + 1/2т6) -	(1+0 (т2)).
Если условие тС т0 нарушено, т. е. т > т0, то при
больших t преобладает не первая, а последняя гармоника:
у\ « Cjp^ sin л (А’ — 1) ад qp' (— 1)’ sin лад,
1/2тД —1 -xlT
где p =	. <2 e 1 , что, конечно, пе имеет ничего
г ‘	1/2тД + 1	’	’	’
общего с решением дифференциального уравнения.
Требование асимптотической устойчивости тесно свя-
зано с точностью схемы и фактически означает и требо-
вание асимптотической точности. Особенно четко это
проявляется при расчетах па реальных сетках для боль-
ших t. Отметим, что условие т ~ Л/л для симметричной
схемы не является обременительным. Доказывается, что
чисто неявная схема (о = 1) может обеспечить приемле-
мую точность в случае больших значений t только прп
шаге т, сравнимом с шагом явной схемы, что лишает
чисто неявную схему при проведении расчетов для боль-
ших t ее основного преимущества — устойчивости прп
любых т и h.
§ 2. Многомерные задачи теплопроводности
1. Разностные схемы с весами. На плоскости х —
=(xt, х,) рассмотрим область G с границей Г. Будемjic-
кать решение задачи теплопроводности в области G —
= G + Г для всех 0 t Т. Требуется_ найти функцию
и{х, £), определенную в цилиндре QT = G X ГО, 71] =
= {(я, f): xf=-G. 0 С t Г), удовлетворяющую в QT =
= G X (0, П = {(я:, i): x^G,	уравнению теп-
лопроводности
2	2
+ = ^ +ж f), £« = -+ + +-,	(1)
01	дх:	сх:,
244
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
краевым условиям первого рода па границе Г области G
и = р,Сг, t), х g= Г, О С t "' Т,	(2)
и начальному условию при t = 0:
и(х, 0) = и0(х), x^G.	(3)
Предположим, что G — прямоугольник:
G = {х = (.Xi, х2): 0	л’1 Ц, 0 С х2 С LJ.
Введем в G прямоугольную сетку
сц =	= (4Ч), Ха^ = iaha, ia = 0,1, . .., Na,
ha — loJNa, a = 1, 2}
с границей
7^ = U; = (hhi, iM: h = 0, 2VX, 0 < i2 < V2;
i2 = 0, N2, 0 < h < AJ.
Аппроксимируем оператор Лапласа Lu — \u разностным
оператором на пятиточечном шаблоне (см. гл. VI, § 1)
Lu ~ Ли — и- 4- и-
Задачу (1) —(3) заменим дифференциально-разностной
задачей (методом прямых):
(Л)	п
—— = Лиг (i) + fi (0, i (h, i2)i l'i (°) = llo
xt^toh, vi(t) |V/l — ц, (0,	(4)
Введем на отрезке 0 С I Т сетку оц = {lj = /т: 0 ij
s? Т} с шагом т. Напишем схему с весами
„Ж _ пз
~= А (о.ул1 + (1 — о) у?) + q4, j = 0,1, ...,
(5)
где yj = y(xh tj) = ydjii, i2h2; tj), x = Gdii, i2h2) e оц.
Присоединим к уравнениям (5)
у(х, 0) = п0(ж), х = (iihi, i2hz)
(5')
y(xit i) = pXi),	х s t = /т e о/,.
Отсюда видно, что для определения у = y}+t па новом слое
§ 2. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
245
t=tj+l надо решить разностное уравнение
у - стАу — F, F = у + (1 — о)тАу + тф, х <= «п,
г/= р, х е ул.	(6)
Разрешимость этой задачи следует из того, что опе-
ратор (Е — отЛ) является положительно определенным
при о > — 1/(тЫИ), в силу того, что (Е — атЛ)у =
= (Е + ачА)у в пространстве сеточных функций у, за-
данных па сетке и обращающихся в пуль па границе
(ср. гл. VI). Покажем это.
Вводя скалярное произведение
(у, г)- 2 У (и) » (т;) /4Л0
A’iGW/i
JV1-1	ЛГ2“1
—-	h-^ h2y i^hA) z? z^/z^)	(7)
*1=1	*2=1
и учитывая, что (Ay, у) HAyllllyll < HAh'liyH2, находим
((£ - от А) у, у) = ((# + отА) у, у) =
= \\у ft3 4- от (Ау, у) > L- + ат) (Ау, у) > О,
так как (Ау, у) > fillyll2 > 0 (см. гл. VI, § 1, и. 5).
Занишем подробно в индексной форме разностное
уравнение
a?i (yii-i.Ej + Уц+1Д J — (1 -г 2и (Yi + у2)) у11Ч +
+ оу3 (yi1i2^i + Уцг2+1) = — Е(8)
где
Угр2 У W, Y1 = т/Л1, у3 - Т/'М,
Лр2 = (1 - 2 (1 - т) (Yi + YJ) yip3 + (1 ~ a) Yi (У4-1Д2 +
+ Уц+Мг) + U — а) Y-2 (Уг1,г2-1 + Угъг2 1) +
Угр-? ~ ^4’2’ i ~	^'2^2) ТЛ-
Это разностная краевая задача решается относительно у
теми же методами, что и разностная задача Дирихле для
уравнения Пуассона (см. гл. VI, § 2). Здесь коэффициеп-
246
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ты уравнения постоянны, область G — прямоугольник,
поэтому наиболее экономичными являются прямые ме-
тоды решения разностных уравнений (8). Итерационные
методы менее экономичны.
2. Устойчивость и сходимость. Пользуясь определен-
ным выше в гл. VI оператором А:
Ау = -Ау=—у-	-у-	!/£« y^Q = II,
А1Л1 а‘2а2
запишем схему (5) в канонической форме:
В-—-Z-L 4. Ау1 = ср\ / = 0,1,..., у9 = п0, уеЯ,
(9)
В = Е 4- от/!.
Оператор А изучен в гл. VI. Он является самосопряжен-
ным и положительно определенным в пространстве
И — Q размерности
(Л\-1)(V2-1), А = А*, б0Е<Л<Д0£,
4	л/г,	4	л/г,
До = — cos^ -J-— cos-Д0 = ||Л||.	(Ю)
'4	1	«j	г
В силу общей теории (см. гл. V) схема (9) устойчива
в IIа прн
сто=4~ттппг (11>
В частности, для явной схемы имеем условие
9	/О	9 \ — 1
ПЛЛ т<1~+~7	*	(12)
V	U	/с
На квадратной сетке {hi = lu = hA условие устойчивости
явной схемы имеет вид
т < Л74
(ср. с условиями т < /г/2 для одномерной задачи). Из
(11) видно, что схемы с
о > 1/2,
в том числе чисто неявная (о = 1) и симметричная
(о = 1/2), безусловно устойчивы. Явную схему (о = 0)
§ 2. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
247
можно записать в виде
2 (Yi 4“ Т2)) S'Vi + Vi i,i2 +	4-
+ Ь [ylL ,i2-i + yli,i2+1) +	(13)
Сумма коэффициентов прп у в правой части (12) рав-
на единице. Если все коэффициенты неотрицательны,
т. е. выполнено условие ух4- 1/2,	= т/к*, у2— т/hl,
эквивалентное условию устойчивости (12), то из (13) сле-
дует неравенство
Пг/;+1Пс < П^!1с 4- т!1ф}Нс.
Суммируя по к = 0, 1, . .j— 1, получаем оценку
(ср. § 1)
Ис<1Лс+ 2 41Л,	(14)
которая сохраняет силу при любых шагах сетки для чис-
то неявной схемы (о = 1). Во всех других случаях оцен-
ка (14) имеет место при о^1 — 1/тД0. Для доказатель-
ства сходимости надо, как обычно, исследовать невязку
= Л(он + (1 — о)н) + ср — lit.
Учитывая, что Ли = Lu + О (\h |2), |Л 4- Л2> но
аналогии с одномерным случаем находим
ф = О (| h I'2 + т2) 4~	— у) О (т).
Для погрешности z ~ у — и имеем задачу
<4+1 7з 	
В -—4- Л? = i|?, /-=-0,1,..., z° =- z (0) = 0.
Отсюда и из априорных оценок следует сходимость в С
схемы (5) со скоростью СКт+Ш2) при о Ф 1/2 и О(т2 +
4~|/г|2) при о = 1/2 (полная аналогия с одномерным слу-
.	л 1
чаем), если о 1 — -т->
г^о
Для решения задачи, в силу оценки, полученной в
гл. V, выполняется неравенство
Ьж|1а<2ТМ11 п₽и =	а^0’
248
ГЛ. VII УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
где
Ц 2 [|л = || 2 111, + || а ||к, &1У	= - У'^
N, A’2~l	A’j-l Л'2
||zl|i = 2 IZj ^-2 (z* (ij, г2Й + li 2 ^2 (Zv ’
i1=l j2=l \ 1	J ц=1 i2=l \ -	J
Отсюда следует безусловная устойчивость сходимости
схемы (5) в ИА со скоростью О(т + |/i|2) при о 1/2,
о > 1/2 и О(т2 + 1й|2) при о = 1/2.
Проведенное выше исследование надо дополнить усло-
виями асимптотической устойчивости. Поскольку эти ус-
ловия т С т0 были получены для операторно-разностной
схемы с весами с произвольным оператором
А = .4*>0,
60Е е/ Л С Д0Е,
то ими можно воспользоваться п для нашей схемы (л).
Пользуясь выражениями (10) для б0 и До, получаем ус-
ловия асимптотической устойчивостит ТрTgl) — 2|-7 -|-
V4
2) ___	2
д0, До из (10), для симметричной схемы (о = 1/2).
В частности, при hi =	= /г, L = lz = I имеем
для явной схемы (о = 0), т Тд , Тд

я 8 • •>
72 sm"
h
л/i
2?’
8	2
~5-COSz
h*
л/г
2Г
та)
г0
L2
4’
До
(2)
0
hl
2л’
т
Предельное значение Тд2) в два раза меньше, чем для
одномерной схемы (5) из § 1.
Чисто неявная схема о — 1 безусловно асимптотически
устойчива.
3. Переменные коэффициенты. Рассмотрим задачу (1),
предполагая, что L есть эллиптический оператор второго
порядка с переменными коэффициентами и без смешан-
ных производных:
Lu L1U + Lm, L1U ~	(х, t)
Cj < ка (х, ?)< е3, (.Tjе QT = Gx (0, Т}.
§ 2. МНОГОМЕРНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
249
Каждый из операторов Li и L2 аппроксимируем разност-
ным трехточечным оператором:
~ лп
. 1
л1р = л-
'2 ~ А-2>
, A?v — (a.,v- 'j f
;1’	2	\ 2 x2/x2
где at = ai(i1hl, i2h.2, i), a2 = л2(гЛ1, г2Л2, t)— некоторые
функционалы от значений к, и к2 соответственно; в про-
стейшем случае = /^((ц — 1/2)^, i2h2, i), а2 = kAiJii;
(i2 — 1/2)Л2, i), что обеспечивает второй порядок аппрок-
симации: Ааи ~~ Lau = О (ha), а = 1, 2. Оператору L ста-
вится в соответствие разностный оператор Л:
Av = A±v + Л2р =	<15)
Запишем Aji> и Л2у в индексной форме
— vi i
2 Чг2
h,
у,-
((^ + 1) Л1; i2h2; i)
4^2’ О
Vj , — lb
ЧЧ 1
h
J
~ а2 (г3 + 1) Л2; t)
2 .

— ai Lh^, t)

fl2
Разностная схема с весами имеет тот же вид (5), что
и в п. 1. Берется то же сеточное пространство Н = Q со
скалярным произведением (7) и вводится оператор А:
= - Лу =	- (aiX-
Учитывая, что для одномерного случая оператора
А- Лу = - (4;)х
<\(АУ, У)<(АУ. УХс.2{Ау,у), Ау^—у-х,
О < q а с2,
нетрудно убедиться, что такие же неравенства выполня-
ются и для двумерного оператора (15):
О	о о	о	о
= — у-	— и-
250	гл. vTi. Уравнение теплопроводности
Отсюда видно, что 6Е А ЛЕ, б = сА, А = c2Afl, где
60 и До определяются по формулам (10). Для определе-
ния у = y}+i на новом слое получаем задачу (6), где А
определяется из (15). В случае явной схемы у определя-
ется в каждом узле х е сол по формуле
у = у + (1 — о)тАу + Тф.
Для неявных схем (а 0) надо решать пятиточечпое раз-
ностное уравнение с переменными коэффициентами. Здесь
используются итерационные методы, наиболее экономич-
ным из них является поперемеппо-треугольпый метод
(см. гл. V, § 5), число итераций для которого есть вели-
/1 1 \
чипа О —^Jn — , если т ~ ОШ. Описание попеременпо-
\ р h 8 /
треугольного метода для разностных уравнений с пере-
менными коэффициентами дапо в гл. VI; применительно
к уравнению (6) с оператором А вида (15) его следует
несколько видоизменить.
§ 3.	Экономичные схемы
1.	Метод переменных направлений. Сравним явные и
неявные схемы (5) по двум характеристикам: объем вы-
числений для определения и ограничение па шаг т.
Явная схема: для определения па сетке оц
надо затратить число действий, пропорциональное числу
узлов, т. е. число действий, приходящихся на один узел,
не зависит от сетки (ол. Однако шаг т жестко ограничен
сверху условием
т^т0(/г): т fe2/4 при = Л2 = h для схемы (13).
Неявная_схема (о 5^ 1/2): для определения t/j+1
надо решить систему (А\ — 1)(A2— 1) пятиточечных раз-
ностных уравнений; для этого, по крайней мере в случае
переменных коэффициентов, требуется число действий на
один узел сетки возрастающее при \h\	0.
Возникает задача — построить схемы, сочетающие луч-
шие качества явных и неявных схем: безусловно устой-
чивые, с числом действий па каждом слое, пропорцио-
нальным числу узлов сетки вц. Такие схемы принято на-
зывать экономичными. Конечно, мы должны сделать ого-
ворку: безусловно устойчивые в обычном смысле схемы
должны быть асимптотически устойчивы, что приводит
§ 3. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ
251
к ограничению на шаг, значительно более слабому (на-
пример, т /Л/(2л) при о 1/2, hY ~ h2 = h, Ц = l2 = Z),
чем условие устойчивости (т h2/4) для явной схемы.
Кстати, условие т = 0(h) естественно для схемы О(т2 +
+1 h 12).
Первые экономичные схемы появились в 1955—
1956 гг. и были названы методами переменных направ-
лений. Основная алгоритмическая идея их экономично-
сти состоит в том, что для перехода со слоя на слой
tj+i надо решать методом прогонки трехточечпые разност-
ные уравнения сначала вдоль строк, а затем — вдоль
столбцов сетки оц.
Приведем формулы метода переменных направлений
(продольно-поперечной схемы Писмена — Рекфорда) для
задачи (1) с оператором L-. Lu = Ьрх + L2u, где La —
один из операторов:
LaU = ~ или LaU = (ка (z, О Т" \ а = 1, 2.
Пусть Л2, Л2 — соответствующие трехточечные операторы
и Л = At + Л2. Вводя промежуточное значение у = yj+1/2,
формулируем разностную схему переменных направ-
лений:
у] _	jei/2 , \ j , J	.J + 1/2 _ -
---^2--- ~	~г Ф » х е У — Р
при = О, Nv (1)
=Л1?ъ1,г + Л^41+Ф;'.	?+W+l
при L = О, А2, у'1 = и0(х), х е о/,,	(2)
где ц — промежуточное значение функции ц(х, t), равное
— II? -г ,uj+1 Т к { j + 1	ц
Ц -	-	4'^2 \Р Р /•
Для определения ip+1/2 и yj+i имеем разностные краевые
задачи
Р = yj + 1/2т(А2гр + q/), х е соА,
^+1/2 = ~ i1==0,	(3)
72tA2^+1 - yi+1 =
252
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Р+1/2 = ^+1/2 + 1/2Т(Л1^+1/2 + X S (оЛ,
у*' = нж, i2 = о, N2.
Первая задача решается прогонкой по строкам (z2 = 1,
2, .. ., N2 — 1), вторая — прогонкой по столбцам (Л = 1,
2, .... Nt — 1). Число действий па один узел конечно и
пе зависит от сетки.
Схема (3) устойчива как по начальным данным, так
и по правой части при любых т п |/z| и имеет точность
О(т2 + |/г+). В этом можно убедиться путем исключения
z/j+1/2 и сведения схемы (1), (2), к эквивалентной двух-
слойной схеме с факторизованным оператором Вр
5+1 з
ву~ х у-+Аф^Ф\ 7 = 0,1,..., у° — и0^Н, (4)
В =	4- у + у Аау = — Nay = — У~аХаь
а = 1,2,
где Н = Q — пространство сеточных функций, заданных
во внутренних узлах сетки он.
Очевидно, что Аа ~ Аа >> 0, а = 1, 2, А А = A2At.
Поэтому В = Е + хА/2 + т2Л1А2/2 > Е + тЛ/2 > тЛ/2, и
схема устойчива.
2.	Факторизованные схемы. Оператор В, представлен-
ный в виде произведения нескольких операторов В =
~BtB2...Bp, будем называть факторизованным, а соот-
ветствующую схему
+	/ = 0,1,...,у” = у(0),	(5)
— факторизованной схемой.
Если для решения задачи.
Bav = Fa, а= 1,2,
с заданной правой частью Fa требуется O(NtN2) число
действий, то и для определения yj+1 по известному yj на-
до O(NiNz) действий (оператор В «экономичен»). Так
как
ByHi = BJB2yi+l = Fs,
то алгоритм сводится к последовательному решению урав-
нений
Вгф+1=уш/\
§ 3. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ
253
Опираясь на теорию устойчивости двухслойных схем, не-
трудно, отправляясь от схемы с весами, построить эконо-
мичную факторизованную схему (методом регуляризации).
Итак, пусть
А ~ Л^ -j- /Ig, В ~~ Е отЛ — Е -f- от -j-
al = a*, а2 — а2.
[ 1
Тогда схема (9) из § 2 устойчива при о сг0 —
Заменим в (9) оператор В факторизованным оператором
В = (Е 4; отЛ А(Е + отЛ3),
отличающимся от В членом (Гт2/!,/!,,
Л —E + o2tM^2.
В результате получим факторизованную схему
St,+'-s’ + Ау1 = Ф\ j „ 0,1,../ = м„ е Н, (6)
того же порядка аппроксимации О((о — 1/2)т + т2), что и
исходная схема с весами. Так как исходная схема с ве-
сами устойчива (о > о0), то и факторизованная схема (6)
устойчива в силу условия
В>В> тЛ/2,
которое выполнено, если At и Л2 перестановочны и Аа -_=
--- Ла> О, сс 1, 2.
Для определения у,+1 мы получаем уравнение Ёуш =
= F}, или
(Е + ыАМЕ + отЛД^1 = Fj,
F- = Bif + т(Ф‘? — Л у1),
которое решается последовательно:
(Е + отЛ Jy = F1, (Е + отЛ3)уг+! = у
(с соответствующими краевыми условиями). Более эко-
номичным (экономия па вычислении правой части Е9 яв-
ляется следующий алгоритм:
(Е + отЛ J wi+i/i = Fj = Ой - Л^,
(7)
(Е + отЛ2)и?;+1 = wi+1/2, y}+l = у3 + wi+1.
Однако при этом надо хранить не один, а два вектора
254	ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(уу+пг или {р1+1 и yi}. ДрП 0 — j из (7) следует вторая схе-
ма переменных направлений {схема Дугласа — Рекфорда)
(Е + тЛ2) уН1 ~/+1'2 = у3+1/^~у\
3.	Метод суммарной аппроксимации. Чтобы получить
экономичные схемы для широкого класса задач (уравне-
ния с переменными коэффициентами, области сложной
формы и т. д.), необходимо изменить понятие разностной
схемы.
Мы отказываемся от обычного понятия аппроксима-
ции, которое мы рассматривали выше, и заменяем его
более слабым понятием суммарной аппроксимации. По-
ясним его. Пусть переход от слоя j к слою / + 1 осущест-
вляется в несколько этапов, на каждом из которых ис-
пользуется обычная двухслойная схема, пе аппроксимиру-
ющая исходное уравнение, однако сумма невязок для
каждой промежуточной схемы
i|' --	и*®	(8)
стремится к нулю при стремлении к нулю шага т по пе-
ременному t.
Идею метода суммарной аппроксимации можно изло-
жить на примере задачи Коши для обыкновенного диффе-
ренциального уравнения
+ аи = / (£), f>0, u(O)^zzo, (9)
где а > 0 — число. Предположим, что
a = at + az, щ > 0, а2 > 0, /(£) = f^t) + /2(i). (10)
Очевидно, что такое представление возможно всегда.
Введем сетку о)т — {tj = jx, / = 0, 1, ...} и па каждом
шаге (i3, t]+l) будем решать вместо (9) последовательно
два уравнения
~2 ~~аГ Ч~ = А 0	-1/2 ~ tj Ч 2~?
(И)
1 ^V(2)
~2 Щ Ь	(0s 4+1/2	^'Т1
§ 3. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ
с начальными данными
=== v(ij), i^(i}(^+1 /'i) ~	1/2),
j = 0, 1, ..., vfi)(0) = u0. (12)
Гашением задачи (И) —(12) является функция
p(f) ==	(13)
Каждое из уравнений (11) аппроксимируем двухслой-
ной разностной схемой с шагом т/2. Например, возьмем
неявную схему
_ уз
т
4- а1У]¥1/- = Л,
уЖ  уЖ/2
Т
+ «У" = А-
(14)
Вычислим невязки и ip2 для схем (11). Подставим в
(11)
yj = zj 4- u}, yj+1!~ = 2H1/2 4- нН1/2,	= Zj+1 4- i?+1,
гЖ/2 „ 2J	j + 1/2	. j
+ 642	= - Ф1,
X
J И „ -Ж/2
-—-------ь
2° = 0, (pi —
a2zj+1 ~ —
tP+n?  u<	^+1/2
T	1
/ = 0,1, .
j ЦЖ  „Ж/3
—
+ «ги,+1 — /’2.
Подставляя сюда
w.'+* = (u 4- tu/2)J+1/2 + O(t2), uj = (n - tu/2);+!/2 + OM,
получаем
41! ~ (^/2 4~	О
(15)
ig = (u/2 4- аги — /2)J+1/3 4- О (t).
Отсюда видно, что ipl = О (1),	— О (1), однако
4- 1)4 = О (т) О при т 0.	(16)
256
ГЛ. VII. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Все проведенные выше рассуждения, начиная с (10),
(11), (14), сохраняют силу, если aL и — матрицы или
операторы, а и, f, у —- векторы.
Таким образом, схема (11), (12) аппроксимирует зада-
чу (9) в суммарном смысле (16) (такие схемы мы назы-
ваем аддитивными).
Для доказательства сходимости схемы (И), (12) надо
получить оценку для погрешности zj+1 = yi+i — ui+i, учи-
тывающую свойство (16) суммарной аппроксимации.
Положим
о *
фа = фа + фа,
& = (и/2 4- ааи - /„)i+I/2, ipX = О (т), а = 1, 2,
J + 1/2 _	4-?.	J+’1 _	, t .
Z ~ Щ+1/2 "Т Sj+I/2,	"	— Щ-Н *Г Sj+l,
где тр+1, £j+1 — решения задач
nj+1/2 = Ц, + тфъ ц,+1 = Г|н t/2 + Тф2,
7 = 0, 1, цо = О,. (17)
(1 + Й1т)^+1/2 = + ТФ1, (1 + Я2т)^-+1 = ^j+1/2 + Тф2,
7 = 0,1,..., (18)
Во = О,
7J ,*5	7i i*5	(19)
Ф1 = Ф1 — ajTTljM/2, ф2 = W —
Отсюда находим тЦм = T]j + т (ф/ + фЙ = r]j = .  . —
— 4о 0» т. е. ц, = 0 для всех / = 0, 1, ..и ? =
n.i+1/2 = тф! = О (т), фа = О (т).	(20)
Из (16) получаем
I ^+1/2 К I Bj | + т I фх |,
I lj+i (< I Bm/21 + т | ф£ | < | | + т (| ф( | 4-1 ф-' |),
так что справедлива оценка
т(|ф?| + |й|),	(21)
л=о
из которой в силу (17), и следует сходимость со скоростью
О(т) аддитивной схемы (14).
§ 3. ЭКОНОМИЧНЫЕ СХЕМЫ
257
Вместо (11) можно взять другую систему уравнений:
+ «1^(1) = А (1), Ь < t < tН1, P(1) (ij) - V (I-},
dv<2>	,	(22)
+ <W) = /2 (0,	= W^i),
7 = 0,1,..., n(1){0) = wo.
Решением этой задачи является функция
n(i) = i?(2)(0.	(23)
В отличие от (11) здесь оба уравнения интерпретиру-
ются на всем отрезке L t С tJ+l, и поэтому аппроксима-
ция этих уравнений проводится с шагом т (а не т/2, как
в случае (И)) и дает те же схемы (14). Оба способа све-
дения задачи (9) к системе задач (И) или (22) исполь-
зуют одно и то 'же свойство
п = п1 + п2	(24)
и условие / = /i+/2, которому всегда можно удовлетво-
рить.
Рассмотрим в качестве примера уравнение теплопро-
водности
Lil f (А О, X ---= (т1? я:2),	(25)
Lt и L2 — «одномерные» операторы. Решение уравнения
(26>
очевидно, является более простой задачей, чем решение
уравнения (25). Условия L = Li + L2, j = /t + /2 гаранти-
руют суммарную аппроксимацию для схемы, получаю-
щейся при обычной аппроксимации, папример, с помощью
двухслойной схемы с весами каждого из уравнений си-
стемы
~ ^iv(D + /п	^i) ~
"dr"’ =	Г(2)	^3’	р(2) ~ РД)\
7J+i __ 7J+i
Р — 1/(3) .
258
ГЛ. VIT. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В результате мы получим аддитивную схему, локаль-
но-одномерную
yJ'+1/2-yJ
схему или схему расщепления
Л1 fa1 /2 + (1 — <71) У1) + Ф1,
(/1 + 1 —
т
= А2 (o.,yni + (1 — a2)yj+J/2) +
те to/,, / — 0,1, ..., (27)
y° = H0U),	X(=(!)h,
J+1/-2 I __ J+l/2 J+l I _ Hl
У ил H ’ У Iv/i r
Здесь Л^= у- , Л2у = у- . Параметры о, п щ опре-
деляются из условий устойчивости и аппроксимация.
Например, прп щ = о2 = 1 получаем схему с опереже-
нием
т
= А1у?+1/2 +
д' — //	j+i
Т	‘ -У
Подставляя сюда ys = z} + и}, y'+lii = z’"l''~ 
yj+i _ sj+i _p uj+i, ПОЛуЧИМ дЛЯ погрешности
4 7 = 0,1,...
+ (UJ+U'+1 ;/2,
[ z уравнения
2 j — 3 д ?+1/2 ,
-----------= лгг Д- ipH
?7Ы___J+1/2	,
-—— = л2?+1 + ipL
где и — решение исходной задачи (25), 1|д и i|\ — невязки,
равные
. ? _ . и + и 1 и — Il	i . ~	1 и — и ,
-- Лх—2------~2—7-----Ь г₽1>	~	—2"“—4- (р2,
и = ui+1, и — и}\
Отсюда видно, что \|д = (9(1), х|?2 = 0(1), т. е. каждое из
уравнений (27) в отдельности не аппроксимирует урав-
нение (25). Возьмем сумму невязок
(р - (1'1 + 4'2 -	+ л.2и-	+ ф2 =
“ (^i + £г) и — “ -р (pj ср2 -}- О (г 1 h |2)f
§ 3. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ СХЕМЫ	259
где й = и}+1/2. Учитывая уравнение (25) при t = по-
лучим
ip = <Pt + (р2 — /;+1/2 + (?(т + I h Iг) = О (т + |Л|2),
HI3 = hl + hi
если
ср. + <Рг = Г,/2 + <9(т2).
Этого можно достигнуть, полагая, например,
<Р1 = 0, <р2 = /j+1/2 или <pi — ф2 = /72.
Можно показать, что схема (27) сходится равномерно
со скоростью
<9(т+Ш2), г. е. II/h~uj'+HI.c = (Xt+S/il2).
Из приведенных примеров видно, что метод суммарной
аппроксимации позволяет проводить расщепление слож-
ных задач на последовательность более простых и суще-
ственно упрощать решение многомерных задач математи-
ческой физики.
ДОПОЛНЕНИЕ
Марш-алгоритм и метод редукции для решения систе-
мы линейных уравнений с трехдиагональной матрицей
Во многих приложениях встречаются задачи, приводящие к
решению систем .линейных алгебраических уравнений специаль-
ного вида (с разреженной матрицей, имеющей много пулевых
элементов) высокого порядка. Такие системы возникают при раз-
ностной. аппроксимации эллиптических уравнений пли при ис-
пользовании неявных схем для уравнения теплопроводности и др.
После аппроксимации обыкновенного дифференциального
уравнения второго порядка па трехточечном шаблоне в гл. IV
было получено разностное уравнение второго порядка, которое
представляет собой систему линейных алгебраических уравнений
порядка N—1 (А'—1 — число внутренних узлов) с трехдпаго-
нальиой матрицей. В § 3 гл. I для решения такой системы был
построен метод, для реализации которого требуется O(N) арифме-
тических операций.
Прп аппроксимации двумерного уравнения Пуассона на пятп-
точечпом шаблоне в гл. VI была получена разностная схема, ко-
торой соответствует система линейных алгебраических уравнений
с пятидиагоиальиой матрицей порядка N — (A'i — 1) (Л2 — 1), где
А'1 — 1, Л’з — 1 — число внутренних узлов по каждому направ-
лению. При разбиении вектора неизвестных на блоки, содержащие
по Ад — 1 элементов, мы получим запись системы с б.точио-трех-
дпагопальной матрицей, число блоков которой равно А'2—I. Для
такой системы в §2 гл. VI был рассмотрен метод разделения пе-
ременных с оценкой О (A' log Л') для числа операций. При много-
кратном решении систем подобного типа важное значение приоб-
ретает экономичность вычислительных алгоритмов.
Ниже будет построен прямой метод решения специальных си-
стем с трехдиагональной матрицей, для которого требуется всего
О (.V) операций как в случае, когда элементы матрицы суть ска-
ляры, так и в случае блочной матрицы,
1. Марш-алгоритм. Сначала рассмотрим случай, когда элемен-
ты матрицы — скаляры. Запишем систему с трехдпагональноп
матрицей в виде трехточечной разностной задачи:
—yi-i +	—	= Fh	1, y0 = о, уЛ- = 0,	(1)
где С — число, и предположим, что Л’ = 2k Д- 1. Если разностное
уравнение второго порядка (1) записать в виде рекуррентных со-
отношений
Уг + 1 = Cjji — yt-i— Fi,	у0 = 0,	(2)
то нетрудно заметить, что все неизвестные у, можно найти после-
довательно по формуле (2). если каким-либо способом вычислить
значение у\. При этом любое уг будет линейно выражаться че-
рез уо и Vi- Сказанное дает нам основание записать для любого
ДОПОЛНЕНИЕ
2G1
i 1 соотношение
y^i = atyi — ₽i-iy0 — Pi	(3)
с неопределенными пока коэффициентами а;, pi, Pi. Если по-
ложить
а0 = I, р-i = 0, р0 = 0,	(4)
то (3) будет справедливо и при I = 0. Итак, решение задачи (1)
будем искать в виде (3) для любого i 0.
Записывая (1) в виде рекуррентных соотношений
Уг-1 = Ciji ——Fi, i<^N — 1, yN = o	(5)
й проводя аналогичные рассуждения, получим, что решение за-
дачи (1) для любого i N можно искать в виде.
Vi-i = Lv-iJOv-t — tljv-i-ijEv — ?лг-1,	(6)
если положить
Ь = 1, ц_1 = 0, q0 = 0.	(7)
Заметим, что если .y.v-i будет найдено, то все у, можно вычис-
лить последовательно по формуле (5).
Найдем yi и ijn-i- Для этого определим коэффициенты а,-.
|i, гр, pi, qi. Сравнивая (2) и (3) при i = 1, а (5) и (6) при
i — N — 1, получим
0С| =	= С, р0 = Цо — 1, pi = F i, ?i — F n-ь (8)
Найдем теперь рекуррентные формулы для определения ис-
комых коэффициентов. Подставим (3), а также вытекающие из
него выражения для yi и у<_г.
У1 =	— pi-г!/0	Pi~\i J/i-l “ и,-2У|	pi-зУо — Pi-2
в уравнения (1). Получим
— (ест—а — Ссьj—j + af) уi + (Pi-з — Cpt-2 4 Pi-i) Уо +
+ Pl-2 " Cpi-1 4- pi = Fi, i 2.
Для того чтобы эти равенства были тождественными для всех г,
достаточно положить для г 2
Pi = fyi-l — Pi-2 4" Fi,	(9)
— Cai-i — аг_2, Pi-i	CPi-г — Pi-з-	(10)
Аналогично, используя (6) и (1), получим для г А — 2 ре-
куррентные соотношения
g.v-i = Cq^-i-i — q n-i-2 + F i,
%,N-i — CfiA-i-l—	Цл'-i-l =Cp,v-i-2 — Tj.v-i-j.
Заменяя здесь N — i на i, получим для i 2 формулы
qi = Cqt-i — Qi-2 4~ Ejv-i,	(11)
£i = C|i-i — £i-2, T|i-1 = Ct|i_2 — Tjf—3-	(12)
Итак, формулы (4), (7) —(12) полностью определяют искомые
Коэффициенты. Сравнивая (10) и (12) при условиях (4), (7), (8),
262
ДОПОЛНЕНИЕ
получим, что JJ,- = т), —	= ссг для I 0. Таким образом, фор-
мулы (3), (6) принимают вид
Ух + 1	= сого — Qi-iPo	— Pi, i > о,	(13)
yi-i	— а Л'-,у N — 1 — CCN — i—ll/N — ? Jf-i, I	Л\	(14)
где
Pi —	Cpi-}	— pt-2 + Fif i	2, p0 — 0, pt =	(15)
9i —	C<li-i	— <Ji~2 + Fx — i,	i 2, go = 0, qi =	F^-i,	(16)
а,- =	Cctf-i	— co-2, i 2,	a0 = 1, ai = C.	(17)
Найдем теперь y\ n ?/n-|. Для этого положим в (13) i = к,
а в (14) i — к + 2. Учитывая, что N = 2к ф- 1, получим
Ук+i ~ cis Pi — ak~iya — Ph, Ук+i = oift_|i/,v_) — ah-zy.v — яь-\-
Вычитая из второго равенства первое, получим уравнение отно-
сительно IJi И PN-i-
CLk-iPN-i — ctkyi + a/t-iJ/o — ttfe-aPN = gfe-i — pA. (18)
Подучим еще одно уравнение для yt и y^-t, полагая i = к —1 в
(13) и i = к + 1 в (14) и вычитая из первого равенства второе,
— алух-i + «fe-iZ/i — ал-1Уо + aA-ipw = рк—х ~	(19)
Учитывая, что уо — yN ~ 0, сложим и вычтем (18) и (19). Полу-
чим эквивалентную систему
(ал-i — aA) (Ух-l + У\) ~ ?A-i — Ph + Pa-1 — Ян,
(20)
(aA_i + aA) (уЛ--| — yi) = gA-i — Ph— рн-\ + Ян,
решая которую, найдем искомые значения ух и ух-К
Pj = («Li ~ «а)”1 Га (^-i “ Pk) + a/;-i (P/t-i ~ «л)Ь
Удт-i =	Pk) + aa (Pk-i ~ ?a)]-
Таким образом, алгоритм решения задачи (1) состоит в вы-
числении по формулам (15) —(17) коэффициентов рн-i. Pk, gA-i,
qh, aA-i, ось, по формулам (21) — значений уь уЛ-_( и неизвестных
у^ i = 2. 3.... к, по формуле (2), а для г = Л’— 2, Л7 —3, ...
..., к + 1 по формуле (5) при заданных у0, y.v и вычисленных у\,
y.v-i. Описанный алгоритм получил название марш-аагоритма.
Легко подсчитать, что для его реализации требуется примерно 8У
операций. Можно показать, что если С 2 cos тл/У, m — целое
число, то задача (1) разрешима прп любой правой части и ay-i#s
^E=a|. Следовательйо, в этом случае формулы (21) не содержат
деления на пуль.
Описанный выше марш-алгоритм можно использовать и в
случае, когда С — квадратная матрица, Fi — заданные, а у г — ис-
комые векторы. Заметим, что рассмотренная нами в гл. VI раз-
ностная задача Дирихле для уравнения Пуассона на прямоуголь-
ной равномерной по каждому направлению сетке, введенной в
прямоугольник, может быть записана в виде (1). В этом случае
компонентами вектора являются значения искомой сеточной функ-
ции, соответствующие i-й строке сетки, а матрица С — трехдиа-
гональная и ее порядок равен числу внутренних строк сетки.
ДОПОЛНЕНИЕ
263
Пусть М— порядок матрицы С. Тогда векторы pf, q; имеют
размер М и для вычисления рл-ь (h-i, Ph, Qk по формулам (15),
(16) потребуется О (Л/TV) операций. Очевидно, что такое же коли-
чество операций потребуется и для нахождения векторов уг-, 2
iV — 2, по формулам (2), (5). Рассмотрим теперь вопрос
о вычислении уг и y.v-i-
Из формулы (17) следует, что ал есть полипом степени к от
С, причем, если С — число, то ал — алгебраический полином, а ес-
ли С — матрица, то а* — матричный полином. Для полинома, удов-
летворяющего рекуррентному соотношению (17), есть явное пред-
ставление: ctft — Uh (С 12), где Uh{sc) —полином Чебышева второго
рода степени к:
Используя явное выражение для к 'л? 0, и учитывая, что аА —
полином с единичным коэффициентом при старшей степени, мож-
но получить следующие разложения:
а/< “ Vi = П ~ 2 cos । ’ j ” Е\
\	1	(22;
-’' П -2 cos -o/rn- 4
1^1 \	1	/
Используя (22) и (20), построим следующий алгоритм для нахож-
дения yi и y.v-i:
% Pk “	- Pfe-i +	"7о =~ ^-1 ~	~ ^-1 + qk>

С — 2 cos
2V.tt
2k -j- 1
= 0,5	- Wk),	= 0,5 (yh 4- i^).
Так как каждая из систем (23) имеет трехдиагональную матрицу
(число таких систем 2к) и может быть решена методом прогонки
с затратой О(М) операций, то для нахождения у1 п w.y_| потре-
буется O(NM) арифметических операций.
Итак, для решения системы (1) с трехдиагональной матрицей
построен метод с числом арифметических операций, пропорцио-
нальным числу неизвестных.
Обратим внимание на то, что построенный марш-алгоритм мо-
жет быть численно неустойчивым. Действительно, если число С
удовлетворяет условию |С| >2, то для алгоритма характерен экс--
попенциалъный по N рост погрешности, поскольку среди корней
характеристического уравнения q2 — Cq 4- 1 = 0 имеется один,
по модулю больше единицы. Такого же типа неустойчивость
264
ДОПОЛНЕНИЕ
имеет место и в том случае, когда матрица С имеет собственные
значения, превосходящие по модулю 2. Для таких задач в настоя-
щее время построен вариант марш-алгорптма, устойчивый в том
смысле, что погрешность растет по степенному закону при
росте N.
2. Метод редукции. В ряде случаев при решении систем ли-
нейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей
большое значение имеет точность полученного решения. Анализ
формул метода прогонки, который применяется для решения та-
ких систем, показывает, что источником погрешности могут слу-
жить формулы для вычисления прогоночных коэффициентов. Эти
формулы содержат операцию деления на разность близких по зна-
чению величин. Ниже будет рассмотрен метод редукции решения
указанных систем, свободный от этого недостатка.
Итак, пусть требуется найти решение трехточечной разност-
ной задачи
~ «il/i-l 4“ Cil/i ~ Уi +1 = fi, 1 < i N — I,
(24)
Уо ~ 0, t/д- = О,
где Ci = cti + bt + di, at >0, bi > 0, di 0, N = 2n. Идея мето-
да редукции состоит в последовательном исключении из системы
(24) неизвестных сначала с нечетными номерами, затем с номера-
ми, кратными 2, и т. д.
Выпишем три идущие подряд уравнения системы (24) с но-
мерами i — 1, i, i + 1, где i — четное число:
-	Ч («i-i + ftj-i + 4/i-i	~ bi-iVi = fi-г	(25>
~ а\У j,! + («i + bi + d.) y.	- Ь[У i+1 = /;,	(26)
~ a+ (й1+1 + &i+l + 4+1) i/i+1 —	^i+l^i+2 ~ h+1'	(2^
Умножая уравнение (25) на ар-1 — ai (ai_1 4-	-J-	урав-
нение (27) па = bi («j+1 + 4>i+1 +	и складывая по-
лученные уравнения с (26), найдем
-
i—2,4,6, ..., А — 2, уо = О, =	(28)
где «Ч = «(4^,	^1) = а?Ч-1 + ^ +
/Ч = а(О 4- /.4- p(x)/i+1. Если неизвестные с четными но-
мерами будут найдены (они удовлетворяют системе (28)), то ос-
тальные неизвестные определятся по формуле
Zi 4"	4-b^i+1
yi~~ a^b.^di
1 = 1,3, 5, ..., A-l.
Описанный процесс исключения неизвестных может быть, оче-
видно, применен к системе (28), из которой на втором шаге бу-
дут исключены неизвестные с номерами, кратными 2, но не крат-
ными 4. В результате Его шага процесса исключения получим
ДОПОЛНЕНИЕ
265
систему
-	+^") ь -
i = 2', 2>2',3*2', ..N — 21, у = 0, ул- = О,
где
=	,, iP=pW|'i>„
г	i j 2t--L t r i	— 1 ’
dU) = a(Orf(/-i) rfU-i) 4- p(/)du-i)
‘	1 i --21"1 1	1 i+2i—
y(D = a(0/z-1)
‘	'	?+2г-1’
...........)
'i+2Z-1’
1	\ г+2‘-1	i+2‘-1	i+2/-1
1 = 2',2-2', 3-2',	— 2', />1.
(29)
(30)
Здесь использованы обозначения a(°> = at, &(°> =	— d:,
Процесс исключения закончится па (п — 1)-м шаге, когда
система (29) будет состоять из одного уравнения относительно не-
известного У^/2= У.,П] • Иа этого уравнения найдем
,/п 1),. J. /.(в-1)
•'оИ ! I "27»-l-VQ 1 \п-1^
V-i’“	„О'—и __	-I- J*”"1)	’ Уо~Ух — ®’
2«1	' %н-1 1 2n-l
Остальные неизвестные определяются ио формулам
К0 + й(0	,
11	1 г—2-	1	Л-*'	1,7	1
=---------77j-Ат------?п , i = 2 , 3-2г, 5-2г, ,.., jV — 2 ,
(32)
где I = п — 2, п — 3, .,О, уи = y.v =0. Заметим, что формула
(32) включает в себя формулу (31) прп I = п — 1.
Итак, в методе редукции на прямом ходе по формулам (30)
для I — 1. 2, ..п — 1 вычисляются а\1\ ъ\1\ d^l\	а на
обратном ходе по формуле (32) для I = п — 1, п — 2, ..О на-
ходится искомое решение. Отметим, что метод не требует допол-
нительной памяти, так как величины a\l\ dil\ могут
быть размещены соответственно на месте
/(г-1\ Для реализации метода требуется 12jV сложений,
8Л' умножений и 3N делений.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Бахвалов Н. С. Численные методы,—М.: Наука, 1975.
2.	Б е р е з п н И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений.— М.:
Наука, 1966, ч. 1; Фпзматгиз, 1962, ч. 2.
3.	Воеводин В. В. Численные методы алгебры; теория и алго-
рифмы,— М.: Наука, 1966.
4.	Годунов С. К.. Рябенький В. С. Разностные схемы,—М.:
Наука, 1977.
5.	Кал итк ин И. Н. Численные методы.— М.: Наука. 1978.
6.	Ляшко И. 1!.. Макаров В. Л., Скоробогатько А. А.
Методы вычислений.— Киев: Высшая школа. 1977.
7.	М арчу к Г. 11. Методы вычислительной математики,— М.: Нау-
ка. 1980.
8.	Н и к о л ь с к п и С. М. Квадратурные формулы,— М.: Паука,
1979.
9.	Самарский А. А. Теория разностных схем,—М.: Наука, 1977.
10.	Самарский А. А.. Андреев В. Б. Разностные методы для
пллиитическпх уравнений,— М.: Наука. 1976.
И. Самарский А. А.. Г у л и и А. В. Устойчивость разностных
схем.— М.: Наука, 1973.
12.	Самарский А. А.. Николаев Е. С. Методы решения се-
точных уравнений,— М.: Наука, 1978.
13.	Самаре к и й А. А.. Ионов Ю. II. Разностные методы газовой
динамики,— М.: Паука. 1980.
14.	Тихонов А. Н., С а м а р с к и й А. А. Уравнения математиче-
ской физики,— М.: Наука, 1972.
15.	Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы
линейной алгебры,—М.: Физматгиз, 1963.
16.	Япен ко И. Н. Метод дробных шагов решения многомерных
задач математической физики,— Новосибирск: Паука, 1967.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгоритм неустойчивый 13
—	условно устойчивый 13
—	экономичный И
Аппроксимация разностная (на
сетке) 138
—	суммарная 254
Весовые множители 70
Вычислительная неустойчи-
вость 115
Жесткие системы уравнений
192
Задача Дирихле 211
—	корректная 14
-	- Коши 32
—	краевая 32
—	некорректная 15
— о собственных значениях
42
Интерполянта 61
1 [нтерполяционный полином 62
—	Лагранжа 64
—	— Ньютона 64
Интерполяция эрмитова 65
Итерационные методы 90
Итерационный метод двухша-
говый (трехслойный) 97
—	— неявный 97
—	— одношаговый (двухслой-
ный) 97
-	- — явный 97
Квадратурная формула 70
—	— Гаусса 82
—	— Котеса 74
—	— прямоугольника 71
—	— Симпсона 72
—	— трапеции 71
— — Чебышева 83
Коэффициенты Лагранжа 62
Краевые условия 33
— — 1-го рода 33
-----2-го рода 33
Краевые условия 3-го рода 33
Кубическая сплайн-интерполя-
ция 65
Линейно независимые векторы
39
-	- — решения 27
Линейное пространство 38
—	— действительное 38
—	— комплексное 38
Мажорантная функция (мажо-
ранта) 55
Матрица верхняя треугольная
87
—	диагональная 86
—	ленточная 88
—	нижняя треугольная 86
—	разреженная 87
Мера обусловленности 89
Метод Адамса — Штёрмера 191
—	баланса (интегро-интерпо-
ляциоппый) 167
—	Бубнова — Галеркина 173
— вариационно-разностный 171
—	вариационного типа 126
—	верхней релаксации 101
—	дихотомии 130
—	Зейделя 99
—	касательных 133
—	конечных элементов 173
—	линеаризации 133
—	минимальных невязок 127
-	- Ньютона 133
—	переменных направлений
251
—	- Пикара (последовательных
приближений) 175
—	попеременно-треугольный
120
—	поправок 128
	- прогонки 34
-	- встречной 37
—	— левой 37
	-правой 37
268
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Метод простой итерации 98
—	прямой 89
—	прямых 234
—	разделения переменных 222
—	Рптца 172
—	Ричардсона 115
— Рунге 82, 165, 178
—	Рунге — Кутта 174
*	- секущих 136
—	скорейшего спуска 128
—	сопряженных градиентов 129
—	стационарный итерацион-
ный 102
—	сумматорпых тождеств 171
—	- Штёрмера 189
— энергетических неравенств
144, 207
Минимизирующий квадратич-
ный функционал 171
Наилучшее среднеквадратич-
ное приближение 68
Невязка для разностной схемы
на решении 146
Норма оператора 40
Обратное интерполирование 67
Однородная разностная схема
150
Оператор единичный 41
—	линейный 40
—	неотрицательный 41
—	обратный 40
—	ограниченный 40
—	положительный 41
—	разрешающий 111
—	самосопряженный 41
— сопряженный 41
— факторизованный 129, 252
— экономичный (экономич-
ность оператора) 119
Операторное уравнение первого
рода 88
Операторы перестановочные 41
Ошибка округления 10
Погрешность аппроксимации
для краевого условия 146
— — в точке, m-й порядок 139
---для уравнения 146
— — па решении 147
— — па сетке 140, 185
—	— оператора 139
—	квадратурной формулы 70
—	метода 10
Погрешность неустранимая 10
Полином обобщенный 68
— Чебышева 112, 114
Принцип максимума 55
Пространство евклидово (уни-
тарное) 39
—	нормированное 39
—	сеточных функций 46
—	энергетическое 45
Процесс Эйткепа 81
Равенство Парсеваля — Стек-
лова 69
Равномерное приближение 69
Разделенные разности 1-го по-
рядка 64
—	— 2-го порядка 64
Размерность линейного прост-
ранства 39
Разностная производная 139
—	— левая 139
---правая 139
—	— центральная 139
—	схема 141
—	— Адамса 186
—	— аддитивная 256
— — безусловно устойчивая
(пример) 182
---двухслойная 181, 197
---Дугласа — Рекфорда 254
—	— квазиустойчивая 145
—	— консервативная 152
—	— корректная 142
---Кранка — Николсона 236
—	— крест 212
—	— локально-одномерная 258
—	— многошаговая 184
--- m-го порядка точности
146
—	— m-шаговая (т 1) 185
--- неустойчивая 142
—	— неявная 198
— — одношаговая 181
---Писмена — Рекфорда 251
— — предиктор — корректор
(счет — пересчет) 180
---расщепления 258
---р-устойчивая 201
---Рунге — Кутта 179
— — с весами 198
— — с опережением 198
---симметричная 198
---условно устойчивая схема
(пример) 182
— — устойчивая 142, 143
Предметный Указатель
Разностная схема чебышев-
ская итерационная 112
— — чисто неявная 198
---Эйлера 141, 176
---экономичная 250
— — явная 198Р
Разностное уравнение линей-
ное с постоянными коэффи-
циентами 26
—	— m-го порядка (т 1) 26
—	— однородное 28
Разностные неравенства 27
—	формулы Грина 50
Сетка квадратная 212
—	неравномерная 16
—	равномерная 16
Сеточная функция 16, 138
Сплайн порядка т 66
260
Среднеквадратичное уклонение
68
Сходимость разностной схемы
(со скоростью O|fe|w) 146
— с квадратичной скоростью
134
Уравнение теплопроводности
232	":
Устойчивость разностной схб-
мы с весами 182
Формула Тейлора 74
Формулы бегущего счета 125
Численное интегрирование 70
Число обусловленности 89
Шаблон 139
— квадратурной формулы 71
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
юл- = {г; i = 0, 1, ..JV} — сетка с целочисленными узлами
о)Л =	— ih, h = i/N, 0 i N} — равномерная сетка с
шагом h па отрезке [0, 1]
h — шаг сетки ан
!h = у (ад) = y(i) — значение сеточной функции в i-м уз-
ле сетки
(O/i — неравномерная сетка
hi = г; — а-/-! — шаг неравномерной сетки он:
»1 = -‘-(ь1 + »1+1)
v- . = v I д4 , т? j — значение сеточной двумерной функции в
12	\ '1	2/
узле (г, /)
V- .
'1'2
*7 ,	—значение сеточной функции в узле
/)
на n-м временном слое
= v — значение сеточной двумерной функции в узле
(г, /) на (п -J- 1 )-м временном слое
Д г/г == yi+t — yi — правая разность в i-м узле
V//j = yi — у i—t — левая разность в г-м узле
1
6?/^ =	+ Лу{) — центральная разность в i-м узле
Д2уг+1 = Д(?1/1+1) = Д(Дуг) — разность второго порядка
ух, i = (y«+i— Уг)/Л — правая разностная производная в
узле ЛД
у- . = (у। — Уг~ i)/^ “ левая разностная производная в узле т,
У о = (yi+1— Уг-х)/(2/г) —центральная разностная производ-
X ,1	''
ная в узле ад
^хх i = (^i+1~|L	~~ ВТ0Рая разностная производная
И — гильбертово пространство
(у, г) — скалярное произведение элементов у, v^II, ||у|| =
= У(У, У)
Е — единичный оператор
А* — оператор, сопряженный оператору А
А"1 — оператор, обратный оператору А
А > 0 — положительный оператор
А 0 — неотрицательный оператор
А 6Е, 6 > 0,— положительно определенный оператор
Иу11д= }'(^У> У)> У s энергетическая норма
СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ
211
Пространство сеточных функций:
&2V+1 = i = 0, ...»TV}
Йл-i =={^, i = о, ..TV; yfJ =0, yN = 0}
о	о
у j — функция ИЗ
й£ = {Уг, * = 0,1, . •TV - 1}
Йл = {.Vi, i = l,2, ...,7V}
Скалярные произведения и нормы на сотке:
Лг-1	____
(V, V) = 2 Vivih' II у II = у)
г=1
W	_____
(у, у] = 2 ^гуА 11 У1 I = 1/А У1
г=1
[| у Ilc = max | У (£{) [ = max ] у (т;) |
ацеюд	o^i^N