КОНТРОЛЬ солитонов
в периодичвсхик
СРШХ
SOLITON MANAGEMENT IN
PERIODIC SYSTEMS
Boris A. Malomed
Tel Aviv University
Israel
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ и ПРИКЛАДНАЯ ФИЗИКА
Б. А. Маломед
КОНТРОЛЬ солитонов
В ПЕРИОДИЧЕСКИХ СРЕДАХ
Предисловие
В этой книге предпринята попытка дать систематизированное опи-
сание новых результатов, освещающих хорошо известное понятие —
солитоны или, другими словами, устойчивые уединенные волны в нели-
нейной среде. Обычно солитоны изучались теоретически (с помощью
аналитических или численных методов) как одно-, двух- или трех-
мерные решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных
производных, а экспериментально — как импульсы или пучки в одно-
родных средах. Также главным образом теоретически рассматривалось
распространение солитонов в неоднородных средах и ожидалось, что
в случае малой неоднородности солитон будет испытывать постепенное
затухание и быстрый распад в сильно неоднородных системах.
Однако недавно в различных физических и математических работах
было обнаружено, что возможен другой, совершенно отличный и гораз-
до менее очевидный сценарий эволюции — солитон может оставаться
вполне устойчивым когерентным объектом, проходящим значительные
расстояния в периодически неоднородных средах, состоящих из слоев с
совершенно разными свойствами. Хорошо известным примером может
служить контроль дисперсии (dispersion management) (КД) солитонов
в волоконно-оптических линиях связи. В этом случае линия составлена
из периодически чередующихся отрезков волокна, имеющих проти-
воположные знаки дисперсии групповых скоростей. Такая структура
необходима, чтобы обеспечить компенсацию дисперсии (в среднем по
линии) за счет чередования положительной и отрицательной дисперсии
ее сегментов. В этом случае самым простым следствием является внут-
ренняя периодическая пульсация локализованного светового импульса,
который, однако, в среднем будет устойчивым (т. е. не будет испы-
тывать систематического уширения и искажения) в отсутствии нели-
нейности. Действительно нетривиальным является то, что оптические
солитоны, т. е. нелинейные световые импульсы, также могут оставаться
крайне устойчивыми, распространяясь в периодической неоднородной
среде. Более того, при определенных условиях, (квази-) солитоны мо-
гут быть устойчивыми даже в неупорядоченной системе с контролем
дисперсии, построенной из ячеек с произвольно меняющимися длинами
(каждая компенсирующая дисперсию ячейка представляет собой пару
отрезков волокна с противоположными знаками дисперсии).
Наряду с тем, что контролируемая дисперсия обеспечивает наибо-
лее известный пример стабилизации солитонов «периодическим кон-
тролем», в ряде других физических периодических неоднородных си-
стем также найдены и детально исследованы вполне устойчивые ос-
циллирующие солитоны. В сущности, эти системы принадлежат двум
областям физики — нелинейной оптике и конденсации Бозе-Эйнштейна
(БЭК). Будучи физически различными, эти области имеют много об-
щего с точки зрения их теоретического описания. Влияние периоди-
ческой неоднородности на солитон может быть осуществлено двумя
различными способами: как движение солитона через неоднородную
среду или как сильное периодическое изменение параметров системы
со временем, в то время как сам солитон неподвижен. Очень инте-
ресным примером последней ситуации является контроль посредством
резонанса Фешбаха (Feshbach-resonance management), при котором
знак коэффициента эффективной нелинейности в бозе-эйнштейновском
конденсате периодически меняется, приводя к притяжению или оттал-
киванию между атомами. В этой ситуации были предсказаны устойчи-
вые солитоны.
Целью настоящей книги является обобщение результатов, полу-
ченных в данной области. Большая часть результатов все еще имеет
вид теоретических предсказаний, поскольку систематическое экспе-
риментальное исследование устойчивости солитонов в периодических
неоднородных системах проводилось только в контексте контроля дис-
персии солитонов в волоконной оптике. По этой причине материал,
собранный в книге, имеет в основном теоретическую направленность.
Можно надеяться, что анализ теоретических предпосылок подскажет
новые направления в экспериментальном исследовании солитонов с
помощью «периодического контроля». В частности, формирование со-
литонов в БЭК, параметры которого модулируются с помощью ре-
зонанса Фешбаха, в сочетании с пространственно периодическими
потенциалами, созданными с помощью так называемых оптических
решеток, кажется вполне достижимым в реальном эксперименте, что
было бы особенно интересно в двумерной или трехмерной реализации.
О создании трехмерного солитона в реальном эксперименте ни в одной
области физики еще ни разу не сообщалось, несмотря на различные
теоретические предсказания такой возможности.
Что касается теоретических результатов, фактически все они не
являются достаточно строгими по простой причине — очень сложно
строго доказать существование устойчивых осциллирующих локали-
зованных решений в моделях, базирующихся на нелинейных диф-
ференциальных уравнениях в частных производных с периодически
меняющимися коэффициентами, что необходимо для теоретического
описания систем с периодическим контролем. Поэтому теоретические
результаты являются обычно чисто численными или (иногда) полуа-
налитическими, базирующимися чаще всего на вариационном прибли-
жении. Тем не менее, несмотря на отсутствие строгой теории, эти
результаты могут быть представлены в систематическом и согласован-
ном виде. Такая попытка предпринята в данной книге. Надо сказать,
что подбор материала в этой книге имеет достаточно субъективный
характер (чего практически невозможно избежать в книге на подоб-
ную тему), поскольку акцент сделан на результатах и перспективах,
которые кажутся особенно интересными или важными с точки зрения
автора.
Изучение периодического контроля солитонов далеко от своего
завершения. Не только экспериментальные результаты очень скудны,
как было сказано ранее, но также и теоретический анализ (даже
в не строгой форме) многих важных проблем требует дальнейшего
исследования. Однако, хотя эта область еще находится в стадии раз-
вития, последовательное описание ее теперешнего состояния вполне
возможно.
В книге можно выделить три отдельные части. В первой главе
(Введение), которая, собственно говоря, является сама по себе отдель-
ной частью, дается, насколько это возможно, общее представление о
солитонах с целью сжато обрисовать наиболее важные теоретические
модели и результаты, которые с их помощью могут быть получены,
так же, как и наиболее значительные достижения в экспериментальной
области. Поскольку объем введения ограничен, основная идея была
сфокусирована на моделях и реализациях, связанных с нелинейной
оптикой и БЭК, так как идеи и методики периодического контроля
солитонов были развиты именно в этих областях. Введение также
включает краткое описание предмета и отдельных вопросов, затро-
нутых в книге. Далее, в двух частях (одна из них содержит главы
2-6, другая — главы 7-10) представлены результаты, соответственно
относящиеся к одномерным и многомерным солитонам. Такое разде-
ление естественно, поскольку методы, использованные для изучения
одномерных задач и соответствующие результаты совершенно отличны
от тех, которые соответствуют многомерным задачам (тем не менее,
глава 10 содержит некоторые результаты, касающиеся и одномерного
случая, тесно связанные с основной двумерной задачей, рассмотренной
в той же главе.)
Написание этой книги было бы невозможно без ценного сотруд-
ничества и дискуссий с большим числом моих коллег. Мне достав-
ляет огромное удовольствие выразить благодарность Фатхулле Аб-
дуллаеву (F. Kh. Abdullaev), Садану Адикари (S. Adhikari), Джавиду
Атаи (J. Atai), Бахтиеру Байзакову (В. В. Baizakov), Йехуде Бан-
ду (Y. В. Band), Андерсу Бернтсону (A. Berntson), Жан-Ги Капу-
то (J.G. Caputo), Алану Чемпнису (A.R. Champneys), Питеру Че-
ну (Р. Y. Р. Chen), Паку Чу (Р. L. Chu), Димитрису Франтзескаки-
су (D.J. Frantzeskakis), Борису Гисину (B.V. Gisin), Девиду Каупу
(D.J. Каир), Панайотису Кеврекидису (Р. G. Kevrekidis), Юрию Кивша-
рю (Y. S. Kivshar), Роберто Кренкелю (R. A. Kraenkel), Тарасу Лакобе
(Т. Lakoba), Ури Махлабу (U. Mahlab), Думитру Михалаке (D. Mi-
halache), Виктору Пересу-Гарсии (V. М. Perez-Garci'a), Марио Салерно
(М. Salerno), Мордехаю Сегеву (М. Segev), Ноэлу Смиту (N. Smyth),
Юису Торнеру (L1. Тогпег), Мареку Триппенбаху (М. Trippenbach),
Франку Вайзу (F. Wise), и Джанки Янгу (J. Yang). Я особенно при-
знателен молодым коллегам (некоторые из которых были моими аспи-
рантами или стажерами) Родиславу Дрибену (R. Driben), Артуру Гу-
бескису (A. Gubeskys), Михаилу Гутину (М. Gutin), Аркадию Каплану
(A. Kaplan), Михалу Матушевскому (М. Matuszewski), Таватчаю Май-
тиваруньо (Т. Mayteevarunyoom), Илье Мерхасину (I.M. Merhasin),
Георгису Теохарису (G. Theocharis) и Айзеку Тауэрсу (I. Towers).
Я также выражаю глубокую признательность коллегам, взявшим на
себя нелегкий труд по переводу этой книги на русский язык: Андрею
Маймистову, Елене Казанцевой и Сергею Елютину.
Работа над отдельными задачами, которая привела к существенным
результатам, включенным в эту книгу, была поддержана, в различ-
ной степени, грантами, предоставленными Binational (US-Israel) Sci-
ence Foundation (No. 1999459) и Israel Science Foundation (Center-of-
Excellence grant No. 8006/03). Дополнительная поддержка также была
получена от European Office of Research and Development of the US Air
Force, и Research Authority of the Tel Aviv University.
Список используемых в тексте сокращений
АВВ	— антиволновод
БЭК	— конденсация (конденсат) Бозе-Эйнштейна
ВВ	— волновод (упоминается в связи с моделью с чередованием волновод-антиволновод)
вг	— вторая гармоника
вп	— вариационное приближение
гвг	— генерация второй гармоники
гп	— уравнение Гросса-Питаевского
ГТ	— горячая точка (локальное возмущение, пере- ключающее пространственный солитон меж- ду двумя каналами)
ДГС	— дисперсия групповых скоростей
кд	— контроль дисперсии
КД-солитон	— солитон с контролируемой дисперсией
КдФ	— уравнение Кортевега-де Фриза
КНЛ	— контроль нелинейности
КРФ	— контроль с помощью резонанса Фешбаха
мси	— межсимвольная интерференция (ISI)
нт	— неподвижная точка (отображения)
НУШ	— нелинейное уравнение Шредингера
ОДУ	— обыкновенное дифференциальное уравнение
ОЗР	— метод обратной задачи рассеяния
ОР	— оптическая решетка
04	— основная частота, частота волны накачки
ПВО	— пространственно-временной солитон
пп	— показатель преломления
ПР	— параметрический резонанс
РБ	— решетка Брэгга
РГС	— различие групповых скоростей
РДН	— разделение дисперсии и нелинейности, мо- дель с разделенными дисперсией и нелиней- ностью
РДН-кд	— модель, объединяющая разделение диспер- сии и нелинейности с контролем дисперсии
РФ	— резонанс Фешбаха
ст	— солитон Таунса
тс	— темный солитон
ТФ	— приближение Томаса-Ферми
УМ	— уравнение Матье
УПД	— усредненная вдоль пути дисперсия
УЧП	— уравнение в частных производных
Список используемых в тексте сокращений
ФАМ - ФКВ - ФКМ - ФМ - чвс - щс - 1D - 2D - 3D - FWHM -	фазовая авто-модуляция фотонно-кристаллическое волокно фазовая кросс-модуляция фазовая модуляция, в частности чирп четырехволновое смешение щелевой солитон одномерная двумерная трехмерная полная длительность (оптического импульса)
QPM - RZ - RZ-формат	на его полувысоте квазисинхронизм RZ-(return-to-zero) сигнал поток двоичных сигналов, импульсно-кодо-
WDM -	вая модуляция схема передачи информации с разделением каналов по длинам волн
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Общее представление о солитонах
Концепция солитона (уединенной волны) повсеместно встречается
в современной физике и прикладной математике, проникая далеко за
пределы этих дисциплин. Это понятие было введено в 1965 году Забус-
ки и Крускалом, которые численно моделировали столкновение между
уединенными волнами (импульсами), являющимися решениями урав-
нения Кортевега-де Фриза (КдФ), и обнаружили, что эти импульсы
не только устойчивы в отдельности, но и полностью восстанавливают
свою форму после столкновений [178]. Это наблюдение послужило
толчком, приведшим к созданию метода обратной задачи рассея-
ния (ОЗР) и близкого к нему понятия интегрируемых нелинейных
уравнений в частных производных (УЧП) [73]. Следующий важный
шаг в этом направлении сделали Захаров и Шабат, показавшие, что
интегрируемость не является частной особенностью одного только
уравнения КдФ, но также присуща ряду других уравнений, находя-
щих важные применения в физике, например, нелинейному уравнению
Шредингера (НУШ) [180]. Интегрируемость синус-уравнения Гордона,
которая в действительности была известна в форме преобразований
Бэклунда уже с 19-го века, естественным образом включается в метод
ОЗР. Уравнение синус-Гордона (sine-Gordon equation) находит важ-
ную физическую реализацию в теории сверхпроводимости в качестве
фундаментальной модели длинного контакта Джозефсона, то есть
тонкого изолирующего слоя между двумя сверхпроводниками [173].
Дальнейшие исследования в этой области позволили получить большое
число результатов, которые стали классическим вкладом в различные
фундаментальные разделы физики и математики. Метод ОЗР и полу-
ченные на его основе результаты отражены в ряде хорошо известных
книг, авторы которых получили многие из этих результатов впервые
[11, 136, 179].
Параллельно с развитием теории был достигнут значительный про-
гресс в экспериментальном исследовании солитонов. Первое сообщение
о наблюдении солитона было опубликовано Скоттом Расселом, который
следовал верхом на лошади за уединенной волной, бегущей по поверх-
ности воды в канале в Эдинбурге. Сейчас кажется удивительным, что,
наблюдая это явление в 1844 году, Скотт Рассел сразу сумел оценить
его важность [152].
1.1.1. Оптические солитоны. Хотя далее речь пойдет об оптиче-
ских солитонах, многие результаты имеют общий характер.
Качественный взгляд на причины существования солитонов.
В современных экспериментальных и теоретических исследованиях
солитонов наиболее значительный прогресс был достигнут в оптике
и, совсем недавно, при изучении бозе-эйнштейновского конденсата
(БЭК). Ключевым достижением здесь было создание в 1980 году яр-
кого (иногда говорят, светлого) временного солитона в нелинейном
оптическом волокне [130], возможность существования которого была
предсказана семью годами раньше [80]. Затем в нелинейной оптике
была осуществлена генерация темных солитонов в оптических волок-
нах [61, 100, 175], ярких пространственных солитонов в планарных
нелинейных волноводах [18, 120] и щелевых солитонов (gap soliton)
(ЩС) в брэгговских решетках, созданных в поверхностном слое (в
оболочке) оптического волокна [58]. Во всех этих случаях солитоны
поддерживаются за счет баланса между хроматической дисперсией
(для временных солитонов) или дифракцией (для пространственных
солитонов) электромагнитных волн и самофокусирующей кубической
нелинейностью, индуцированной эффектом Керра. Эта нелинейность
может быть описана путем введения положительной поправки Дп(7) к
локальному показателю преломления (ПП) среды, которая пропорцио-
нальна локальной интенсивности I электромагнитной волны в данной
среде, то есть Дп(7) = TI2I с положительным коэффициентом П2. По-
мимо положительного знака эффекта Керра, что приводит к самофо-
кусировке (Дп(Г) > 0), характерным свойством обычных оптических
сред, таких, как стекло, является мгновенный отклик — отсутствие
задержки во времени между Дп(/) и I. Поскольку временные и
пространственные солитоны существуют благодаря этому механизму,
уместно представить здесь его краткое объяснение
В процессе распространения в нелинейной среде световой импульс
накапливает фазовый сдвиг, обусловленный поправкой TI2I к ПП, ими-
тирующий временную форму импульса I = I(t). Математическое опи-
сание начинается с рассмотрения нормированного волнового уравнения
для электрического поля Е
Ezz + Ехх + Еуу — (n2E)tt — 0,	(1.1)
где нижними индексами указаны частные производные, z — направле-
ние распространения, х и у — поперечные координаты, t — время и п —
выше упомянутый ПП (подробный вывод волнового уравнения можно
найти, например, в книге [15]). Решение уравнения (1.1) для одно-
мерной волны, которое должно быть вещественной функцией, ищется
в форме
E(z,t) = u(z)eifcoz-^ot + u*(z)e-ifcoz+i“ot,
(1.2)
где exp (ikoz — iwoty представляет быстро осциллирующую несущую
волну, звездочкой обозначается комплексное сопряжение, и u(z,i) яв-
ляется медленно меняющейся комплексной огибающей. Подставляя это
выражение в уравнение (1.1), в первом приближении можно получить
дисперсионное соотношение, связывающее постоянную распростране-
ния (волновое число) к и частоту ш: к2 = (тгошо)2. где по есть ПП
в линейном приближении. Следующий порядок приближения, учиты-
вающий нелинейную поправку к ПП, п = по + П2Е дает эволюционное
уравнение для огибающей (иногда также называемой «амплитудой»)
г— + ——Wq/u = 0.	(1.3)
az kq
В действительности это уравнение является нелинейным, посколь-
ку интенсивность пропорциональна квадрату огибающей: I = |ц|2.
Решение уравнения (1.3) дает Ду? = (попг) (ш^/ко) Iz, где Ду? яв-
ляется нелинейным вкладом в фазу волны. Накопление нелинейной
фазы обычно называется фазовой автомодуляцией (ФАМ). Соответ-
ствующий индуцированный ФАМ сдвиг частоты, определяемый как
Aw = —d£up/dt, выражается формулой
Дш = -поП2^^-г.	(1.4)
Kq ш
Из уравнения (1.4) следует, что низкочастотные компоненты им-
пульса с Дш < 0 нарастают на переднем фронте импульса, где
dl/dt > 0 (интенсивность увеличивается со временем), тогда как вы-
сокочастотные компоненты импульса с Дш > 0 нарастают на заднем
фронте, где dl/dt < 0.
С другой стороны, диэлектрический отклик среды не является
строго мгновенным, обнаруживая некоторую задержку во времени.
Это означает, что линейная часть е = п2 множителя п2 в волновом
уравнении (1.1) (динамическая диэлектрическая проницаемость) явля-
ется, на самом деле, линейным оператором, а не просто множителем.
Соответствующим образом модифицированная форма слагаемого (eE~)tt
в уравнении (1.1) принимает вид
(оо	\
| e(r)E(t — r)dr j ,	(1.5)
о	/ tt
где т есть время задержки. Окончательно, замена нелокального во
времени выражения квазилокальным разложением еоЕц + ЕъЕцц + •••>
которое справедливо, когда задержка диэлектрического отклика очень
мала, дает в волновом уравнении слагаемые, учитывающие дисперсию
групповых скоростей (ДГС) второго и более высокого порядков, иначе
называемую хроматической дисперсией. Эти слагаемые могут быть
перенесены в соответствующее линейное дисперсионное соотношение
к — к(ы) [15].
В частности, нормальная или положительная ДГС (когда волны с
более высокими частотами имеют меньшие групповые скорости, так
что коэффициент дисперсии групповых скоростей второго порядка
положителен, /З2 = d?k/du2 > 0) усиливает вызванную нелинейностью
тенденцию к разделению во времени низко- и высокочастотных ком-
понент импульса. И это приводит к быстрому уширению импульса.
Напротив, аномальная (отрицательная) ДГС (/% < 0), которая также
имеет место в реальных материалах, может компенсировать вызванное
нелинейностью уширение импульса. В зависимости от величин дис-
персии и надлежащим образом подобранной интенсивности, уширение
может быть полностью подавлено, что приведет к образованию чрез-
вычайно устойчивых импульсов, то есть солитонов.
Нелинейное уравнение Шредингера и солитоны. Суммируя все
выше сказанное и предполагая, что огибающая и в уравнении (1.2) есть
медленно меняющаяся функция z и «локального времени» т = t — к'шг
(здесь и далее значения производной к’ш вычислены на частоте несущей
волны w = шо), можно вывести нелинейное уравнение Шредингера
(НУШ), которое определяет эволюцию u(z,r):
iuz — ±0итт + 7|u|2u = 0,	(1.6)
где /Зг заменена на /3 (эта замена не приведет к недоразумениям, по-
скольку коэффициенты дисперсии групповых скоростей высших поряд-
ков, отличающиеся от /З2, далее не обсуждаются) и 7 тгг^/ёо Wp/fco-
Введение т вместо t необходимо сделать, чтобы исключить слагаемое
с первой производной по времени (это слагаемое учитывает движение
импульса с групповой скоростью). Таким образом НУШ принимает
наиболее простую форму, а именно, такую, как дает уравнение (1.6).
Ниже будет рассмотрен ряд моделей, которые можно считать раз-
личными обобщениями НУШ (1.6) — двухкомпонентные системы,
уравнения с различными нелинейностями, многомерные системы и так
далее. Совсем недавний краткий обзор уравнений типа НУШ можно
найти в [107].
Элементарным свойством НУШ является его галилеева инвари-
антность'. любое заданное решение u(z, г) автоматически порождает
семейство движущихся решений с помощью преобразования Галилея
(«буста»), зависящего от произвольного вещественного параметра с
(это сдвиг обратной скорости по отношению к обратной групповой
скорости к'ш несущей волны):
(•2	• \
_	) •	(1.7)
zp	р /
Другим простым свойством уравнения (1.6) является модуляци-
онная неустойчивость решения в виде непрерывной волны (НВ)
new = До ехр (й-^о2) с произвольной амплитудой До: хотя НВ не
содержит коэффициента ДГС /3, оно устойчиво в случае /З7 < 0 и
неустойчиво (по отношению к зависящим от т возмущениям) в про-
тивном случае.
НУШ имеет естественные лагранжево и гамильтоново представле-
ния. Первое будет рассмотрено далее (см. уравнение (2.7)), тогда как
второе можно обсудить сейчас, используя выражение
5Н
— X * ’
OU
(1-8)
где 6/5и* есть функциональная производная, звездочка обозначает
комплексное сопряжение, и гамильтониан
+оо
Н = -\	(/ЗЫ2 + 7|w|4) dr
—оо
(1-9)
рассматривается как функционал двух формально независимых аргу-
ментов ц(т) и (и(т))*. Гамильтониан является динамическим инвариан-
том уравнения (1.6), то есть dH/dz = 0. Два других простых динамиче-
ских инварианта НУШ — это энергия Е, иначе говоря, норма решения
(в контексте волоконной оптики энергия отличается от гамильтониана),
и импульс Р:
+оо
|и(т)|2Л-,
—оо
+ОО
Р = i uu*dr.
— оо
(1.10)
(1.11)
Благодаря тому, что НУШ точно интегрируется методом ОЗР, оно
имеет бесконечное множество динамических инвариантов высшего по-
рядка, дополнительно к Е, Р и Н [179]. В частности, первые два
инварианта высшего порядка имеют следующий вид:
Ц = \ .
— оо
+оо
I 
4
—оо
(—/Зии*тт + З71и|2ии*) dr.
(1.12)
k =
рЗ2 |uTT|2 + 272|u|6 +7/3 ((lu|2)r)2 +	IUt|21/2] dT< (1-13)
где нижние индексы 4 и 5 указывают, что эти инварианты явля-
ются следующими после элементарных динамических инвариантов Е,
Р и Н. Инварианты высшего порядка не имеют прямой физической
интерпретации и редко используются. Тем не менее, инварианты (1.12)
и (1.13) будут использованы при анализе распада солитонов высшего
порядка в модели, основанной на уравнении (5.5) в разделе 5.2.3
настоящей книги.
В случае аномальной ДГС, /3 < 0 (предполагается, что 7 поло-
жительное), когда решения в виде волн с постоянной амплитудой
неустойчивы, хорошо известное семейство солитонных решений урав-
нения (1.6) имеет вид
Uso1(z,t) =
= -y^sech ( 7 ( —^=
V\V\P\
exp I г
7=+^2-с2Н\ (1Л4)
'|р| z J/
где г; и с являются произвольными вещественными параметрами, опре-
деляющими амплитуду солитона и ранее упоминаемый сдвиг обратной
скорости. Функция sech (гиперболический секанс) в этом решении
отражает локализацию солитона. В эксперименте временные солито-
ны наблюдаются как локализованные оптические импульсы, бегущие
вдоль волокна со скоростью V = 1/	+ с-уфЗ]). Все солитоны из
семейства (1.14) устойчивы относительно малых возмущений. Исполь-
зование метода ОЗР позволяет найти точные решения НУШ, более
сложные, нежели фундаментальный солитон (1.14). В частности, на-
чальное условие (в случае /3 < 0)
uq(t) — n-7=-sech ( 2_ т |	(1-15)
V7 КУЙ )
с целыми п и произвольным г/ развивается в фундаментальный солитон
при п = 1 и превращается в n-солитоны высших порядков при п 2
[157]. В общем случае аналитические выражения для этих солитонов
очень громоздкие. Относительно простое аналитическое решение опи-
сывает 2-солитон:
^2sol ~
_ 4т] сЬ(377'г/\Ж|) + 3ехр (4i7?2z) ch	Л 2 \
Vi ch	+ 4ch	+ 3cos (irfzj	'
(1.16)
Как видно из этого выражения, форма 2-солитона, то есть распреде-
ление мощности в солитоне |u(z, т) |2, осциллирует с расстоянием z с
периодом
2sol = -^,	(1-17)
2т?
который называется периодом солитона. Можно показать, что все
точные n-солитонные решения, образовавшиеся из начального условия
(1.15) с 2V > 2, осциллируют с тем же самым периодом (1.17), неза-
висимо от значения числа п. Фактически, zsoi служит также оценкой
расстояния, которое необходимо для образования фундаментального
солитона из начального импульса определенной формы. Так же как и
фундаментальный солитон, 2-солитон (1.16) остается одногорбым при
любом z (то есть, |n(z,r)|2 всегда имеет единственный максимум как
функция т). Однако, 3-солитонное решение периодически расщепляет-
ся в двугорбую структуру и вновь собирается в импульс с одним узким
пиком, см. рис.5.4 в книге [15].
На языке метода ОЗР 2-солитон (1.16) можно рассматривать как
нелинейное связанное состояние двух фундаментальных солитонов с
амплитудами
?71	= Зт?, ’ = т].
(1.18)
Аналогично, 3-солитон есть связанное состояние трех фундаменталь-
ных солитонов с
q(n 31 = 5??,	3^ = Зт/, 3) —т].	(1-19)
Заметим, что энергия (1.10) п-солитона (1.15) выражается как
Еп = ^Лп2т1.	(1.20)
7
Как следует из ранее указанных результатов и уравнения (1.20) для
п = 2 и п = 3 (в действительности, для любого п), энергия п-солитона
в точности равна сумме энергий составляющих его фундаментальных
солитонов, как если бы они были бы пространственно разделены. Что-
бы понять, является ли связанное состояние устойчивым по отношению
к распаду на отдельные фундаментальные солитоны, можно определить
их потенциальную энергию связи как разность между значением
гамильтониана (1.9) для п-солитона
Ип -	(2п2 - 1)	(1.21)
и суммой значений гамильтонианов для отдельных солитонов, состав-
ляющих п-солитон. В результате окажется, что энергия связи точно
равна нулю для всех п-солитонов. По этой причине они рассматри-
ваются как нестабильные состояния. Действительно, начальное воз-
мущение, которое придает бесконечно малую скорость составляющим
п-солитона, приводит к его распаду. Однако это медленно нарастающая
неустойчивость, а не экспоненциально растущие возмущения, которые
означали бы обычную динамическую неустойчивость. По этой причине
п-солитон может быть реально наблюдаемым объектом.
В случае нормальной ДГС, /3 > 0, локализованных (светлых) соли-
тонов не существует, но в этом случае можно найти темные солитоны
(ТС), имеющие вид темного провала («дыры») на фоне однородной
непрерывной волны. Этот солитон описывается следующим точным
решением НУШ (1.6):
uds(z. т) = -Ц=- th | —у=-г | exp (iri2z) ,	(1.22)
v7 \ V/3 /
где т] — произвольная амплитуда фона, который поддерживает темный
солитон. Они устойчивы, поскольку поддерживающая их непрерывная
волна фона модуляционно устойчива при /3 > 0. Темные солитоны
были созданы экспериментально в нелинейных оптических волокнах
[61, 100, 175] спустя десятилетие после первого наблюдения яркого со-
литона. В этой книге не будет уделяться внимания ТС, за исключением
краткого рассмотрения их в связи с резонансом Фешбаха в одномерном
БЭК, см. рис. 5.3 и связанный с ним текст. Обзор, посвященный
изучению ТС, можно найти в статье [92].
Важным обобщением нелинейного уравнения Шредингера является
система из двух уравнений, которая описывает распространение в од-
ном и том же направлении двух волн в оптическом волокне. Эти волны
различаются либо ортогональными поляризациями, либо частотами
несущей волны. В общем случае соответствующая система уравнений
имеет следующий вид
iuz + гсит — ^6иитт + 7 (|ц|2 + <т|ц|2) и = 0,	(1-23)
ivz - icvT - ^/3vvTT + 7 (|ц|2 + <т|ц|2) v = 0,	(1-24)
где а — отношение коэффициентов, учитывающих ФАМ (фазовую
автомодуляцию) и ФКМ (фазовую кросс-модуляцию), /Зи и /3V
— коэффициенты ДГС (они могут различаться для разных длин
волн несущей волны), и вещественный параметр 2с служит ме-
рой различия групповых скоростей (РГС) двух волн (в случае, ко-
гда волны различаются ортогональными поляризациями параметр с
учитывает различие групповых скоростей из-за двулучепреломле-
ния (group-velocity-birefringence)). Случаи различных длин волн или
взаимно ортогональных поляризаций соответствуют а — 2. Ситуа-
ция с двумя различными ортогональными линейными поляризаци-
ями описывается уравнениями (1.23) и (1.24) с а = 2/3. Строго
говоря, в этом случае уравнения также содержат нелинейные чле-
ны, отвечающие за четырехволновое смешение (ЧВС), (1/3)г>2и* и
(1/3)ц2ц*соответственно, но ими обычно пренебрегают из-за эффекта
двулучепреломления [15]. Однако, только при а — 1 система связанных
НУШ интегрируема (система Манакова [119]).
Система уравнений (1.23) и (1.24) допускает сохранение суммы
моментов импульса (1.11) каждой из компонент
+оо	-}-оо
Ftot = г uu*dr + i vv*dr.	(1.25)
—оо	—оо
Энергия (1.10) сохраняется для каждой из компонент по отдельно-
сти, если не учитываются слагаемые, описывающие ЧВС. Но если этот
эффект учитывается, то
сохраняется только полная энергия
+оо	+оо
Etot = ±	|u(r) I2 dr 4- |	|v(r) I2 dr.
— oo	—oo
(1.26)
В случае, когда с — 0, уравнения (1.23) и (1.24) имеют очевид-
ное двухкомпонентное (векторное) солитонное решение, в котором
v(z, т) = exp (ipo) u(z, т) с произвольным фазовым сдвигом ро, ко-
торое тривиально сводится к обыкновенному однокомпонентному со-
литону (1.14). Можно сказать, что такой солитон отвечает 0 = 45°,
если использовать понятие угла эффективной поляризации 0. Систе-
ма (1.23), (1.24) с с — 0 также имеет нетривиальное (и устойчи-
вое) солитонное решение с произвольной поляризацией (0 < 0 < 90°),
которое может быть найдено в численной форме или приближенно
аналитически с использованием вариационного метода [88]. Только
в случае Манакова, когда а — 1, решение - векторный солитон с
9	45° - может быть найдено в точном аналитическом виде, при этом
v(z, т) = ехр (грй) (tg 0) u(z, т).
Анализ пространственно локализованных солитонов оказывается
более простым. Соответствующие решения уравнения (1.1) имеют вид
(1.2), где амплитуда u(z,x) может быть медленно меняющейся функ-
цией z и поперечной координаты х, тогда как временная задержка
диэлектрического отклика е несущественна, то есть можно считать,
что е = ео- Это допускает подстановку шо — ко/у/ёо в выражении для
несущей волны в (1.2). В этом случае первое нетривиальное приближе-
ние дает следующее нелинейное уравнение для медленно меняющейся
огибающей импульса:
iuz + ^гихх + 7 |u|2u = 0,
2fco
(1-27)
где вновь учитывалось соотношение I = |ц|2, и на этот раз характе-
ризующий нелинейность коэффициент определен как 7 = п^ко/у/ёо-
Уравнение (1.27), описывающее пространственную эволюцию огибаю-
щей, совпадает по форме с НУШ, описывающим временную эволюцию
импульса при аномальной ДГС с теми же относительными знаками
перед второй производной и нелинейным слагаемым. Иными словами,
поперечная дифракция в пространстве является аналогом отрицатель-
ной (аномальной) временной ДГС. В соответствии с этим, семейство
решений (1.14), в котором т заменено на х, описывает пространствен-
ные солитоны как локализованные плоские пучки света в двумерной
плоскости (z,x). Решения сс/0 отвечают пучкам, наклоненным
относительно оси z.
Брэгговские (щелевые) солитоны. Упомянутые выше щелевые со-
литоны экспериментально наблюдались в нелинейном оптическом во-
локне, в котором была создана решетка Брэгга (РБ) [58], то есть
слабое периодическое изменение показателя преломления покровного
слоя (оболочки) волокна, с периодом А/2, которое приводит к резонанс-
ному отражению Брэгга электромагнитных волн с длиной волны А,
бегущих в прямом и обратном направлениях и имеющих локальные
амплитуды и(х, t) и v(x, i). Заметим, что здесь t обозначает обычное
время, а не введенное ранее локальное время т. Стандартная модель
нелинейного оптического волокна с РБ основана на системе уравнений
связанных мод для этих двух волн:
iut 4- iux + 7 (|lu|2 + |v|2) и + жи — 0,	(1.28)
ivt - ivx + 7	+ №) v + яи = О,	(1.29)
где 7 — (как и выше) коэффициент нелинейной связи, х — коэффици-
ент брэгговского отражения, и групповая скорость волн нормирована
на единицу. Относительный коэффициент ФКМ в уравнениях (1.28)
и (1.29) равен 2 (сравните с уравнениями (1.23) и (1.24) для случая
пары различных длин волн).
Похожая модель известна в случае пространственных волн, где
время t заменено координатой z, ориентированной вдоль направления
распространения. В этом случае РБ может быть создана в форме си-
стемы параллельных канавок (или гребней) на поверхности планарного
волновода, расстояние между которыми равно h. Здесь и(х, z) и v(x, z)
являются локальными амплитудами двух волн, чьи векторы Пойнтинга
образуют угол х с направлением канавок. Волны резонансно преобра-
зуются одна в другую при выполнении условия
А = 2/isinx,	(1.30)
где А — длина волны. Это соотношение называют условием резонанса
Брэгга.
Прежде чем рассматривать решения полной системы нелинейных
уравнений (1.28) и (1.29), стоит рассмотреть их линеаризованную
версию, полученную при отбрасывании кубически нелинейных сла-
гаемых. Полагая, что решения, отвечающие линейным волнам, име-
ют форму {и(з:, t), v(x, t) ~ exp (ipx — zwt)}, можно немедленно найти
соответствующее им дисперсионное соотношение: ш2 = р2 4- х2. Из
этого выражения видно, что не существует линейных волн, частоты
которых лежат внутри щели в спектре, которая часто также называется
запрещенной зоной,
—и < ш < 4-х.	(1-31)
В отличие от НУШ, система уравнений (1.28) и (1.29) не является
точно интегрируемой. Она эквивалентна точно интегрируемой массив-
ной модели Тирринга, которая давно известна в теории поля, если
коэффициент - перед слагаемым, отвечающим за ФАМ, формально
заменить нулем. Тем не менее, семейство точных солитонных решений
этих уравнений для произвольного амплитудного параметра в, прини-
мающего значения 0 < 0 < тг (смотрите ниже), и произвольной скоро-
сти с, лежащей в интервале -1 < с < +1, было найдено в работах [13]
и [42], следуя аналогии с ранее известными точными решениями для
массивной модели Тирринга. Хотя решения выглядят относительно
сложно, они вполне доступны для теоретического анализа и использо-
вания в разнообразных задачах:
ugs(M) =	/2x(L+cj. (1 -c2)1/4W(X)e^W-iTcose,
у7!3-^)
vgsM = -	(1 -с2)1/41Г*(Х)е^(х)^Тсо5е.
V 7(3-с2)
Здесь звездочкой обозначается комплексное сопряжение и
X — Ct гр _ t — сх
J. — УС'
= г^-2 arcts h
о — С	L
ИГ(Х) = (sin 0) sech
(1.33)
Солитонные решения (1.32), (1.33) с нулевой скоростью (с — 0),
т. е. импульсы остановленного света, удерживаемого БР, имеют су-
щественно более простую форму:
Ugs0^-*) =
г4Т0)(М =
е 2^cos6l^sech (xzsin
e-i(^cos0)tsech sin 0 +
(1-34)
Заметим, что частоты семейства солитонов (1.34), wsoi = xcos0,
точно заполняют запрещенную зону (1.31), по этой причине эти ре-
шения называются щелевыми солитонами (gap solitons) (ЩС). Это
проявление общего принципа, согласно которому линейные волны и
солитоны должны заполнять различные области в спектре (т. е. в про-
странстве частот). Известно также исключение из этого правила. Речь
идет о вложенных солитонах (embedded solitons), которые распола-
гаются в области спектра, занимаемой линейными волнами. Обзор
солитонов этого типа представлен в статье [39]. Однако вложенные
солитоны, будучи нехарактерными для подобного рода волн, обычно
существуют не в виде непрерывных семейств, а как изолированные
решения. Они также проявляют весьма специфические свойства устой-
чивости, будучи полуустойчивыми, то есть они устойчивы только
в линейном приближении, но, вообще говоря, неустойчивы при учете
нелинейности.
Существенное отличие ЩС от их аналогов, солитонов НУШ (1.14),
заключено в нетривиальном распределении фазы в солитоне. Даже
в случае с = 0 решение (1.34) существенно комплексное с внутренни-
ми фазами ±arctg(tg(0/2)th(xsin#)) его и- и ^-компонент. Другое
заметное отличие от солитонов НУШ заключается в том, что дви-
жущийся ЩС не может быть автоматически получен из солитона с
с = 0, поскольку уравнения (1.28) и (1.29) не обладают галилеевой
или лоренцевой инвариантностью. Щелевые солитоны асимптотически
эквивалентны солитонам НУШ только в пределе 9 —> 0, который соот-
ветствует очень широкому солитону с очень малой амплитудой.
Помимо гамильтониана уравнения (1.28) и (1.29) допускают со-
хранение полного импульса и энергии, которые даются выражения-
ми (1.25) и (1.26), справедливыми для системы НУШ. Для точных
решений уравнений (1.32), (1.33) в виде GS эти величины даются
выражениями
Egs =
Pgs = -eV 1 - с2
7
f • л л л\ । 0 cos 0
(sin 0 — 0 cos 0) Ч--------g-
(1.35)
(1.36)
Устойчивость ЩС — довольно нетривиальная задача. Впервые она
была рассмотрена с помощью вариационного приближения (ВП) в ра-
боте [115], а затем численно был получен точный результат в ра-
ботах [28] и [48] на основе численного вычисления собственных
значений линейного оператора, полученного линеаризацией уравнений
(1.28) и (1.29) относительно малых возмущений. Примечательно, что
на основе ВП действительно был предсказан тот же самый результат,
что позднее был найден при численном анализе щелевых солитонов:
неподвижные солитоны (с = 0) являются устойчивыми в интервале
0 < 0 < 0cr ~ 1,01(тг/2), чуть большем половины области их существо-
вания, будучи неустойчивыми по отношению к осциллирующим во вре-
мени возмущениям на остальной части интервала 1,01(тг/2) < 9 < тг.
Граница области устойчивости 9СТ крайне слабо зависит от скорости
солитона с, оставаясь близкой к тг/2 вплоть до предельных значений
скорости с = ±1.
Сообщение об экспериментальной генерации временного ЩС было
опубликовано в 1996 году [58]. Для этого использовалась короткая
(6 см) волоконная брэгговская решетка. Такого отрезка волокна бы-
ло достаточно для формирования и наблюдения солитона, поскольку
решетка обеспечивает очень сильную искусственную дисперсию (на
шесть порядков большую, чем естественная ДГС волокна). Чтобы
скомпенсировать сильную дисперсию в волокно вводился лазерный им-
пульс очень большой мощности. Наблюдалось образование солитона,
движущегося со скоростью с « 0, 75 в принятых здесь обозначениях.
В последующих экспериментах скорость была снижена до » 0,5, од-
нако неподвижный солитон с с = 0 до сих пор экспериментально не
получен ').
Солитоны, поддерживаемые генерацией второй гармоники.
Помимо керровской (иначе говоря, кубической или х^) нелинейности,
оптические солитоны также могут поддерживаться квадратичной (или
Х^) нелинейностью, отвечающей за генерацию второй гармоники,
и способной скомпенсировать дифракцию или дисперсию. В отличие
от универсального эффекта Керра, x®’HejlHHe®H0CTb возникает
только при специальных условиях в анизотропной среде, такой как
некоторые оптические кристаллы или в волноводах со структурой,
обеспечивающей квазисинхронное (QPM) взаимодействие. Существо-
вание х^-солитонов было предсказано Карамзиным и Сухоруковым
в 1974 г. [87], но экспериментально солитоны этого типа были
получены 20 лет спустя, впервые как (2+1)-мерные пространственные
солитоны (самоподдерживающиеся локализованные цилиндрические
пучки в объемном кристаллическом образце) [167]. Позже они были
получены как пространственные (1 + 1)-мерные солитоны, то есть как
локализованные пучки в планарных волноводах [158]. Последние по
существу являются пространственными солитонами того же типа, что
были описаны для случая керровской нелинейности.
Стандартная модель пространственных х^-солитонов в планар-
ном волноводе опирается на систему нормализованных уравнений для
локальных амплитуд волны основной частоты (04) и(х, z) и волны
второй гармоники (ВГ) v(x, z):
iuz + ^ихх + u*v = О,
1	1 , (L37)
2wz +	+ 2U + 9^ = °-
где x и z имеют тот же смысл, что и в случае модели пространственных
солитонов (1.27), то есть это поперечная координата и пройденное
расстояние соответственно. Коэффициент х^-нелинейности положен
равным единице, и вещественный параметр q обозначает фазовую рас-
стройку между волнами 04 и ВГ. С помощью очевидного изменения
масштаба можно всегда сделать q = ±1 для положительной или отри-
цательной величины q соответственно (или положить q = 0, в случае
точного фазового синхронизма).
Единственное частное решение для солитона при ГВГ в аналитиче-
ском виде получается при q = +1, как показано в пионерской работе
’) Примечание, добавленное при переводе. В работе [129] сообщалось о
значительном прогрессе в замедлении брэгговских солитонов до скорости с =
= 0,16, используя неоднородную вдоль волокна РБ, и, должно быть, возможно
создание еще более медленных солитонов.
Карамзина и Сухорукова [87]:
и(х, z) = ±-^el2/3sech2 (,
УЦ	(1.38)
u(x, z) = ^e2tz/3sech2 ( -7= j .
2	К'/б /
Обобщенное семейство решений можно отыскать в форме и(х, z) =
= elkzU (ж), v(x, z) = e2lkzV (ж), при к > 0 в случае q = — 1 или
q = 0 и при к > 1/4 в случае q = 4-1. За исключением единственного
точного решения (1.38), соответствующего к = 1/3, локализованные
функции и(х) и У(а?) могут быть найдены численно или прибли-
женно в аналитической форме с помощью вариационного метода, что
подробно представлено в обзорах [63] и [35]. Точное решение (1.38)
устойчиво, так же как и большая часть семейства обобщенных соли-
тонов. Неустойчивыми являются только солитоны при q = 4-1 в очень
узком интервале 0,25 < к < 0,264 области их существования, которая
определяется неравенством к > 0,25.
Малая длина распространения и слабая ДГС в имеющихся образ-
цах нелинейного материала затрудняют экспериментальное наблюде-
ние временных -солитонов. Цель, тем не менее, была достигнута
в эксперименте, в котором был использован так называемый метод
наклонных волновых фронтов (tilted wave fronts), обеспечивающих
сильную дисперсию искусственного происхождения. Этот метод может
быть использован в планарных волноводах, в которых существенную
роль играет дополнительная пространственная размерность [50].
Очень важным свойством квадратичной нелинейности является то,
что в отличие от нелинейности, характеризуемой она может
поддерживать устойчивые многомерные солитоны (как упоминалось
ранее, первые экспериментально реализованные х^-солитоны были
эффективно двумерными (2D) солитонами [167]). Проблема для ку-
бически нелинейных сред заключается в том, что в таких средах
возникает коллапс, то есть образование истинной сингулярности за
конечное время как в 2D, так и в 3D (трехмерной) версиях НУШ.
Подробное описание теории коллапса на основе НУШ можно найти
в статье [29] и в книге [162]. Из-за коллапса формально существующие
солитонные решения НУШ в 2D и 3D случаях неустойчивы. Напро-
тив, -нелинейность не приводит к коллапсу для всех физически
разумных размерностей, что делает возможным существование устой-
чивых многомерных солитонов. Особенно привлекательным является
экспериментальное создание и возможность применений в будущем
пространственно-временных солитонов (ПВС), иначе называемых
«световыми пулями». Этот термин был введен Сильбербергом [159]
для импульсов электромагнитного излучения, локализованных во всех
(поперечном и продольном) направлениях. Самолокализация в продоль-
ном направлении фактически приводит к тому, что солитон (который
(1.39)
одновременно с этим является пространственным солитоном в попереч-
ных направлениях) является временным, как ранее было выяснено для
солитонов в оптических волокнах, отсюда термин ПВС.
Математическая модель, которая может описывать трехмерные
ПВС в квадратично нелинейной среде, основывается на непосредствен-
ном обобщении уравнений (1.37):
iuz - ^/3]UTT +	+ u*v — О
2ivz - ^02VTT +	+ ^u2 + qv = 0
где /3\ и fa являются коэффициентами ДГС для волн 04 и ВГ, соответ-
ственно (сравните с (1.6)). Оператор дифракции = д2/Эх2 + д2/ду2
действует на поперечные координаты. Существование при q = 0 устой-
чивых решений уравнений (1.39), отвечающих ПВС, было впервые
предсказано в строгой, но абстрактной форме (на основе вариационных
оценок, без построения каких бы то ни было приближений относитель-
но формы солитона) еще в 1981 году Канашовым и Рубенчиком [84].
Точно так же, полностью локализованный 2D ПВС может существо-
вать в планарном волноводе, где он описывается уравнениям (1.39) с
заменой Vj_ на д2/дх2.
Впервые реальное приближение для 3D и 2D пространственно-
временных солитонов в базовой модели ГВГ, как в аналитической так
и численной форме (первая основана на методе ВП), было построено
в 1997 году [109]. В более ранней статье [99] было предложено другое
приближение, основанное на предположении о факторизации следу-
ющего типа: u(z, т, х) = etkzF(r')G(x'). Вслед за этой теоретической
работой последовала попытка создать ПВС в квадратично нелинейных
кристаллах. Наилучший результат был достигнут при генерации 2D
«световых пуль» этого типа в объемных (3D) кристаллах [103, 105],
где световые импульсы локализовались в одном поперечном направ-
лении и в продольном направлении, тогда как в другом поперечном
направлении они простирались на весь образец. Полностью трехмерная
«пуля» не могла быть создана в этих экспериментах, т. к. использовался
упомянутый выше метод наклонных волновых фронтов (поскольку для
автолокализации импульса во времени требуется достаточно сильная
дисперсия, которую можно создать только искусственным образом),
который исключает одно из поперечных направлений. Создание пол-
ностью локализованного во всех трех направлениях ПВС остается
весьма привлекательной задачей для эксперимента и стимулом для
напряженных поисков новых путей решения этой задачи. При этом
теоретические исследования должны предварять экспериментальные.
Обзор текущего положения дел в области исследований оптических
ПВС, включающий как экспериментальные, так и теоретические ас-
пекты проблемы, можно найти в статье [111].
1.1.2. Солитоны в бозе-эйнштейновских конденсатах и их ана-
логи в оптике. Как упоминалось выше, другой (неоптической) обла-
стью физики, где были недавно получены солитоны, является конден-
сация Бозе-Эйнштейна. БЭК представляет собой пар низкой плотности
бозонных атомов щелочных металлов (87Rb, 23Na, 7Li и других),
которые с помощью специальных методов охлаждены до температуры
порядка долей нанокельвина. В таком ультра-охлажденном состоянии
все атомы занимают единственное (одно для всех) основное состояние,
в чем и заключается суть конденсации (подробное описание этого
явления можно найти в книге Петика и Смита [144]). Существование
солитонов в БЭК в сильной мере подсказывается тем обстоятельством,
что фундаментальное уравнение, которое описывает эволюцию мак-
роскопической волновой функции u(x,y,z,t) конденсата, а именно,
уравнение Гросса-Питаевского (ГП), похоже на его аналог в оптике —
НУШ:
fr2 , тт/ \ . 4тгЙ2а । ,9
2 + ^(w) + — И
.. ди
't‘s =
и,
(1.40)
где т — масса атома, V2 = д2/дх2 + д2/ду2 + d2/dz2 — обычный ла-
пласиан (в данном случае оператор кинетической энергии), U(x,y, z) —
внешний потенциал, который дополнительно можно считать зависящим
от времени, и а — длина рассеяния s-волны, которая характеризует
столкновения между атомами. Положительное или отрицательное зна-
чение длины рассеяния отвечает, соответственно, отталкиванию (как
в случае 87Rb) или притяжению (что возможно для 7Li, а также для
85Rb) между атомами.
В частности, целесообразно рассмотреть БЭК в сильно вытянутой,
то есть почти одномерной, так называемой сигарообразной магнитной
или оптической ловушке, которая удерживает конденсат. Почти 1D
ловушка описывается потенциалом U = (1/2)тП2 (у2 + z2) и соответ-
ствующей поперечной длиной Zho = у/h/ (шП), которая много меньше
продольного размера конденсата в направлении х. В этом случае полно-
стью 3D уравнение ГП (1.40) может быть редуцировано к одномерному
уравнению, которое равносильно 1D НУШ с кубической нелинейно-
стью. Это уравнение выглядит как (1.6) при (3 < 0, в то же время знак
параметра нелинейности 7 противоположен знаку длины рассеяния
а. Таким образом, существование квазиодномерных волн вещества в
форме ярких солитонов, подобных временным солитонам в нелинейных
оптических волокнах, естественно ожидать в протяженном конденсате,
если взаимодействие атомов притягивающее, а < 0. Действительно, яр-
кие солитоны в конденсате атомов 7Ы, где взаимодействие атомов име-
ет характер притяжения (но достаточно слабое, чтобы предотвратить
коллапс конденсата, который мог бы иметь место в 2D и 3D случаях),
были независимо обнаружены в двух экспериментах [93, 161]. Однако
перед этим в конденсатах с отталкивающим взаимодействием (рубидий
и натрий) были созданы темные солитоны [34] *).
Одно из современных достижений в этом направлении состоит
в экспериментальном создании слабо локализованных 1D светлых со-
литонов в квазиодномерном конденсате с отталкиванием атомов
87Rb, помещенном в периодический потенциал в форме оптической
решетки (ОР). Такая решетка возникает как интерференционная кар-
тина, созданная двумя когерентными лазерными пучками, которыми
конденсат облучается с противоположных направлений [59]. ОР со-
ответствует потенциалу U(x) = ecos(kx) в продольном направлении
в уравнении ГП (1.40), а также в редуцированном одномерном его
варианте. Несмотря на то, что отталкивающая кубическая нелиней-
ность не может привести к образованию яркого солитона в свободном
пространстве, совместно с периодическим потенциалом ОР она может
способствовать формированию светлого солитона щелевого типа, как
впервые было предсказано Байзаковым, Конотопом и Салерно [23] (см.
также статьи [138] и [57]). Чтобы понять это, следует заметить, что
1D линейное уравнение Шредингера с периодическим потенциалом
ecos(fcx) дает спектр с чередующимися разрешенными и запрещенны-
ми зонами. Разрешенные зоны (зоны Блоха) соответствуют линейным
волнам, отвечающим пространственно квазипериодическим решениям
уравнения Шредингера. Кубическая нелинейность, отвечающая оттал-
кивающему взаимодействию, может поддерживать щелевые солитоны
с частотами, лежащими в запрещенных зонах. Чтобы было проще
это понять, надо заметить, что модель волоконной РБ (1.28), (1.29)
содержит семейство решений в виде щелевых солитонов (1.32)—(1.34),
безотносительно к знаку перед кубическими слагаемыми, поскольку
обращение знака может быть скомпенсировано комплексным сопряже-
нием этих уравнений. Такие щелевые солитоны простираются на много
элементарных ячеек потенциала ОР (в этом смысле они слабо лока-
лизованные), и соответствующая волновая функция и(х), осциллируя,
стремится к нулю при |х| —> оо.
В многомерном случае кубическая нелинейность притягивающего
типа в уравнении ГП (с а < 0), точно так же как и для его оптического
аналога НУШ, приводит к коллапсу. Тем не менее, в 2D или 3D
случаях периодический потенциал ОР в уравнении (1.40), т. е.,
U{x, y,z) = е [cos (fcr) + cos (ky) + cos(fcz)] (1-41)
') Примечание, добавленное при переводе. В недавней работе [441 со-
общалось о наблюдении набора светлых солитонов в конденсате атомов 85Rb,
после того как исходный конденсат испытывал коллапс из-за относительно
сильного притяжения между атомами. В этом эксперименте ловушка была
почти одномерной, тогда как форма солитонов близка к трехмерной.
поскольку внутренние полости не содержат нелинейного материала.
Аналогично для 2D уравнения ГП с потенциалом ОР, НУШ для ФКВ
допускает устойчивые пространственные солитоны (локализованные
вдоль а; и у, и однородные вдоль z) [65, 176] и вихревые солитоны [66],
которые были найдены при прямом численном моделировании.
Другой аналог двумерного уравнения ГП с периодическим потенци-
алом ОР описывает пространственные солитоны в фоторефрактивных
оптических материалах. В этих средах эффективная фотонная решетка
вдоль осей хну индуцируется интерференционной картиной, создан-
ной когерентными лазерными пучками обычной поляризации с высокой
интенсивностью Iq, для которых среда является практически линейной.
Сигнальный пучок создается с необыкновенной поляризацией, на ко-
торую действует комбинация сильной насыщающейся нелинейности и
виртуальной фотонной решетки, индуцированной облучением в по-
перечных направлениях. Соответствующая динамическая модель ос-
нована на следующих уравнениях для локальной амплитуды и(х, у, z)
сигнального пучка, удерживаемого в плоскости (х, у) и эволюциониру-
ющего вдоль z:
iuz + ^V2u —----------------------=-----~ ,	(1-45)
2	1 + 70[cos(fcr) + cos(A:y)]2 + |u|2
сравните с уравнениями (1.40) и (1.41).
Так же как и ранее упомянутая модель ФКВ, модель, описыва-
емая уравнением (1.45), допускает, как впервые было предсказано
в работе [56], устойчивые 2D солитоны. Эти объекты были созданы
экспериментально — сперва фундаментальные солитоны [67], а затем
и вихревые солитоны [68, 135].
Одномерная версия уравнения (1.45), в которой выражение
[cos(fcr) + cos(fcy)]2 в знаменателе заменено на cos2(fca?), является
также физически значимой моделью, применяемой для описания
распространения сигнальной волны через 1D фотонную решетку.
В этом случае, предполагая, что решетка сильная, т. е., Jq » 1,
исходное полное уравнение с зависящими от х коэффициентами
может быть аппроксимировано системой двух связанных уравнений с
постоянными коэффициентами. При этом используется приближение
связанных мод — подобное тому, которое приводит к уравнениям
стандартной модели щелевого солитона (1.28), (1.29). В данном случае
поле записывается как сумма связанных мод,
u(x,z) = U+(x,z)eikx + U-(x, z)e~ikx,	(1.46)
где U+ и U- являются медленно меняющимися амплитудами волн, бе-
гущих направо и налево соответственно. Подставляя это представление
в одномерный вариант уравнения (1.45), разлагая в ряд Фурье по мно-
жеству гармоник exp (inkx) с целыми п и удерживая только основные
гармоники (п = ±1), приходим к системе уравнений связанных мод
с нелинейным, учитывающим насыщение, коэффициентом связи [НО]
(сравните с уравнениями (1.28) и (1.29)):
,dU+	.,ди+	U+-U-
г-~ + гк~^~ =	/	—
dZ	дх	V/o(l +l^+-^-l2) + l+2(|t/+|2 + |t/-|2)	„
.dU-	.,dU-	U--U+	( 47)
г-д----гк-^—=	т
dz	dx	У7о(1 + |1/+-{/_П + 1+2(|{/+|2 + |{;_|2)
Комбинируя эти уравнения, можно найти простое линейное соотноше-
ние	а	а
°(U+ + U_) + к£- (U+ - U_) - 0.	(1.48)
(J Z	(J<л/
Уравнения (1.47) являются значительно более удобными для анали-
за солитонных решений, нежели исходное уравнение (1.45) [ПО].
1.2.	Предмет книги: солитоны в периодических
неоднородных средах (контроль солитонов)
1.2.1.	Общее описание. Несмотря на чрезвычайную важность основ-
ных точно интегрируемых систем, таких, как КдФ, модифицированное
КдФ, НУШ, НУШ с производной, уравнение синус-Гордона и другие,
все они являются исключительными моделями в том смысле, что любое
дополнительное слагаемое, учитывающее диктуемые физикой эффек-
ты, которые не учитывались в базовой модели, разрушает точную инте-
грируемость. Это обстоятельство делает необходимым исследовать со-
литоны в неинтегрируемых моделях (в строго математическом смысле
эти решения не являются солитонами, а только уединенными волнами,
однако, следуя общепринятой практике, они будут называться солито-
нами). Во многих физически разумных случаях дополнительные слага-
емые, которые нарушают интегрируемость моделей, являются малыми,
что делает естественным применить теорию возмущений, полагаясь
на асимптотическое разложение около точного решения, найденного
методом ОЗР в отсутствие возмущений. Многочисленные результаты,
полученные таким методом, собраны в обзоре [95].
Возможен другой подход, основанный на вариационном приближе-
нии (ВП). Он менее точен, нежели метод ОЗР, но применим к более
широкому классу моделей, поскольку единственным требованием явля-
ется возможность вывести соответствующее уравнение из лагранжиана
(то есть уравнение должно допускать вариационное представление), и
нет надобности полагаться на его близость к какому бы то ни было
интегрируемому предельному случаю. Например в случае уравнения
ГП в методе ВП волновая функция среднего поля, как функция коор-
динат, аппроксимируется некоторым аналитическим выражением (на-
зываемым анзатцем (ansatz)), которое содержит несколько свободных
параметров, могущих быть функциями времени. Ряд примеров таких
анзатцев (множественное число — ansatze) рассмотрен ниже, см. урав-
нения (2.6), (1.52), (2.31), (5.15), (7.5), (8.5), (9.6), (9.15), (9.18), (10.3).
Используя лагранжево представление рассматриваемого уравнения, вы-
водятся эффективные эволюционные уравнения для этих свободных
параметров. Впервые этот подход был предложен Андерсоном [19] для
одномерного НУШ, и для исследования БЭК он был применен в первый
раз в работах [145, 146]. Многие результаты, полученные методом ВП,
представлены в обзорной статье [106].
Другой приближенный подход, который также применяется для
широкого класса моделей, основан на методе моментов. В общем слу-
чае этот подход тоже опирается на аппроксимацию волновой функции
(в случае БЭК) анзатцем с фиксированной функциональной зависи-
мостью от пространственных координат и несколькими свободными
параметрами, которые могут меняться со временем. (См., например,
статьи [72] и [6], в которых метод применялся для уравнения ГП, и
статью [147], где рассмотрено применение в нелинейной волоконной
оптике.) Система эволюционных уравнений для свободных параметров
выводится путем умножения соответствующего уравнения в частных
производных на несколько подходящим образом выбранных функций
пространственных координат (число функций должно быть равно чис-
лу свободных параметров). Каждый раз результат умножения должен
точно (аналитически) интегрироваться по пространственным коорди-
натам, что превращает уравнения в частных производных в обыкно-
венные дифференциальные уравнения. Так, например, в случае двух-
мерного уравнения ГП с изотропным параболическим потенциалом
была выведена [72] полностью замкнутая система эволюционных
уравнений для моментов.
Обширный класс неинтегрируемых, но с точки зрения физики важ-
ных моделей включает периодическую модуляцию некоторых парамет-
ров системы в пространстве и/или во времени. Ранние результаты,
полученные с помощью теории возмущений для солитонов в слабо
неоднородных средах, освещены в статье [95]; еще более ранние ре-
зультаты собраны в книге [8]. В частности, выше было показано,
что пространственно периодический потенциал, такой, как потенциал,
создающий ОР в БЭК, см. уравнения (1.40) и (1.41), или формиру-
ющий фотонную решетку в фоторефрактивном кристалле, см. урав-
нение (1.45), может легко стабилизировать многомерные солитоны.
Это пример принципиально важного эффекта, вызванного поперечной
модуляцией, в котором не затрагивается эволюционная переменная.
Другая возможность — это продольная модуляция, которая делает
коэффициенты уравнения периодическими функциями самой эволю-
ционной переменной, то есть пройденного расстояния z в оптических
моделях типа НУШ (смотрите уравнения (1.6), (1.27), (1.45)) или t
в уравнении ГП (1.40). Коренное отличие продольной модуляции от
поперечной состоит в том, что соответствующая математическая задача
не является автономной. Что касается солитонов, их существование
в моделях с поперечной модуляцией довольно очевидно, поскольку
подстановка, разделяющая эволюционные и поперечные переменные,
такая, как в (1.42), приводит к уравнению такого же типа, что и
(1.43), которое в общем случае должно иметь солитонные решения.
Наоборот, в моделях, соответствующих продольной модуляции, само
существование таких устойчивых решений является нетривиальным
фактом, как поясняется ниже и в остальной части книги.
1.2.2.	Одномерные оптические солитоны. Типичным приме-
ром системы, демонстрирующей продольную модуляцию, является
волоконно-оптическая линия связи (ВОЛС) большой протяженности,
в которой осуществляется контроль дисперсии (dispersion manage-
ment) (КД) солитонов, т. е. периодическое чередование положительного
и отрицательного знаков ДГС вдоль линии связи. Это означает, что
ВОЛС построена в виде периодического соединения двух различных
отрезков оптического волокна с противоположными значениями па-
раметра ДГС (как это описано в обзоре [171]). По этой причине
соответствующее НУШ отличается от своей стандартной формы (1.6)
тем, что параметр ДГС является периодической функцией z\
iuz — ±/3(z)uTT + 7|u|2u = 0.	(1.49)
В практически важном случае этот коэффициент является кусочно-
непрерывной функцией,
X? = /	°	г _Т	(1.50)
( Р2 < 0, Li < z < L\ +	= L,
которая повторяется с периодом L. Эта форма периодической модуля-
ции параметра ДГС обычно называется КД-отображением (dispersion-
management map). Заметим, что в более реалистической модели коэф-
фициент 7 в уравнении (1.49) также совершает периодические скач-
ки между двумя различными значениями, соответствующими двум
чередующимся отрезкам волокна, но эта характеристика менее су-
щественна, поскольку параметр нелинейности не меняет свой знак.
Передача солитонов, или, в более общем случае, импульсов, лока-
лизованных на временной оси т (в литературе на английском язы-
ке по волоконно-оптическим линиям связи они обычно называются
return-to-zero RZ-сигналами, подразумевая, что поле сигнала u(z, т)
становится очень близко к нулевому значению между импульсами)
через протяженную систему связи с КД является вопросом фунда-
ментальной важности для прикладных целей. Причина в том, что все
существующие коммерческие ВОЛС построены на принципе компенса-
ции дисперсии, которая соответствует уравнению (1.50) с усредненной
вдоль пути дисперсией (УПД)
^о = (151)
Li + Li
равной нулю или очень малой. Сделать так необходимо, поскольку
в обычном линейном режиме, в котором работают реальные ком-
муникационные сети (за исключением использующей солитоны ком-
мерческой волоконно-оптической линии связи протяженностью около
3000 км, которая была построена в Австралии в 2002 году [128]),
RZ-сигналы не подвержены систематической деградации, если До = 0.
Действительно, линеаризованная версия уравнения (1.49) (где 7 = 0)
дает точное решение для RZ-сигнала в форме гауссова импульса
,/linear)(z т\ =	/	р°	eXD (-	7-2	_	2*в(г)	(1 59)
RZ ' V 1 - 2iB(z)/Wg Р \ W2(z)	W02IV2(z) J ’
где параметр накопленной дисперсии определен как
B(z) = B0+ (3(z')dz'
о
(1.53)
(Во является произвольной постоянной, определяемой из начальных
условий), длительность RZ-сигнала есть
=	+	(1.54)
у Wo
тогда как Wq и Pq являются произвольными параметрами, определяю-
щими длительность и пиковую мощность импульса (эта длительность
измерена в точках, где B(z) — 0, в которых этот импульс наибо-
лее узкий). Как видно из уравнения (1.54), длительность импульса
меняется по мере его распространения, и импульс не претерпевает
систематической деградации, т. е. в среднем его длительность не рас-
тет только в случае, когда среднее значение Д(г), т. е. УПД (1.51)
исчезает, До = 0- Таким образом, если режим работы линии передачи
должен быть переведен на новый уровень, использующий RZ-формат
нелинейных сигналов вместо линейных, то становится очень важно
рассмотреть передачу нелинейных импульсов в линии связи с компен-
сацией дисперсии.
Возвращаясь к полному НУШ (1.49) с переменным коэффициентом
ДГС, уместно заметить, что оно допускает то же самое гамильтоново
представление (1.8) и (1.9), но гамильтониан содержит зависящий от
z коэффициент Д(г) и более не является динамическим инвариантом.
Тем не менее, энергия (1.10) и импульс (1.11) остаются динамическими
инвариантами и в этом случае.
Оптическое волокно с КД есть только первый пример нелиней-
ной периодической неоднородной системы, которая характеризуется
продольной модуляцией. Вообще говоря, можно ожидать, что солитон,
проходя периодически из одного сегмента волокна в другой, с сильно
отличными параметрами, будет быстро разрушаться. В наиболее об-
щем случае это действительно так. Тем не менее, нетривиально то,
что существует класс систем, где можно найти чрезвычайно долго
живущие солитоны, вопреки тому, что они распространяются сквозь
сильно неоднородную структуру. В соответствии со сложившейся к
настоящему времени терминологией, будем такие импульсы называть
КД-солитонами. В явной форме понятие такого класса солитонов,
поддерживаемых периодической средой, впервые было сформулировано
в статье [86], где была рассмотрена другая реализация этого класса.
Там рассматривалась модель системы, способствующей существованию
долгоживущих солитонов в канале, который неоднороден в продольном
направлении. Он построен как периодическое чередование волновод-
ных и антиволноводных сегментов в среде с самофокусирующей кер-
ровской (у(3)) нелинейностью.
Более того, КД может быть осуществлен в форме контроля нели-
нейности (КНЛ), то есть периодической вставки внутрь длинной
волоконно-оптической линии связи специальных нелинейных элемен-
тов, которые могут скомпенсировать накопленный нелинейный фазо-
вый сдвиг, вызванный эффектом Керра в волокне. В довольно аб-
страктной форме эта схема впервые была предложена в работе [142].
В последующем она была развита в статьях [55, 79], где было показано,
что ГВГ-модули (фрагменты квадратично нелинейной среды) можно
использовать для создания отрицательного эффекта Керра, который
может играть компенсирующую роль. Здесь эффективная кубическая
нелинейность возникает благодаря так называемому механизму кас-
кадирования, то есть повторного действия соответствующей квадра-
тичной нелинейности. Модель КНЛ описывается уравнением (1.49),
в котором как /3(z), так и 7(z) периодически совершают скачки межу
положительными и отрицательными значениями.
Еще один пример периодической неоднородной системы дается мо-
делью с разделением дисперсии и нелинейности (split step model,
РДН), которая была введена в работе [51] для описания периоди-
ческого чередования нелинейных сегментов, не имеющих внутренней
дисперсии, и линейных дисперсионных сегментов. Термин РДН проис-
ходит от названия хорошо известного численного метода, используе-
мого для решения НУШ и других уравнений, в котором каждый шаг
разностной сетки расщепляется на два подшага, на одном из которых
уравнение интегрируется как чисто нелинейное, а на другом - как
чисто дисперсионное. В отличии от численной схемы, в системе с
РДН это разделение не является искусственным трюком, а отража-
ет реальную физическую ситуацию, поскольку длины сегментов не
малы, но сравнимы с характерными длиной дисперсии и периодом
солитона zsoi (1.17). Довольно неожиданно, что импульсы в формате
RZ, которые в этом случае тоже могут быть названы солитонами,
оказались в РДН чрезвычайно стойкими в весьма широкой области
соответствующего пространства параметров. Они остаются устойчи-
выми при включении слабых нелинейностей, которые могут возник-
нуть в дисперсионном сегменте, и слабой дисперсии в нелинейном
сегменте (фактически, такая система является гибридом систем с
РДН и КД [54]), а также устойчивы и в многоканальном обобщении
РДН [52]. В последнем случае реализуется схема с разделением по
длинам волн каналов передачи информации (обычно используется аб-
бревиатура WDM — wavelength-division-multiplexed), которая лежит
в основе работы волоконно-оптических телекоммуникационных сетей.
Более того, было найдено, что КД-солитоны и солитоны в модели РДН
остаются устойчивыми в присутствии потерь (поглощение в оптическом
волокне) и компенсирующего их усиления.
Другая модель, в которой периодический КНЛ объединяется с эф-
фективной дисперсией (в действительности, с дифракцией, поскольку
модель была реализована для пространственных солитонов) порож-
денной решеткой Брэгга, была исследована в [21]. В этой модели
соответствующая среда составлена из слоев материала с чередующи-
мися знаками нелинейности Керра, что также приводит к семейству
долгоживущих солитонов.
Периодическая неоднородная система с -нелинейностью была
предложена в форме так называемой тандемной модели [165], которая
объединяет линейные сегменты и сегменты, имеющие квадратичную
нелинейность [165]. При численном исследовании этой модели были
обнаружены весьма специфические солитоны.
Во всех этих системах устойчивые солитоны существуют в ви-
де периодически осциллирующих импульсов — бризеров (breathers)
(очевидно, в неоднородной среде солитоны не могут удерживать свою
форму постоянной). Внешне бризеры похожи на точное решение (1.52)
в линейной модели с КД, найденное при выше упомянутом условии
/Зо = 0. Периодические осцилляции делают теоретический анализ соли-
тонов и их устойчивости более сложным, чем в случае обыкновенных
стационарных солитонов.
Чтобы завершить общее обсуждение периодически модулированных
одномерных оптических солитонов, имеет смысл упомянуть, что до-
статочно стойкие солитоны могут также быть найдены в случайно,
а не периодически модулированных системах. Практически важный
пример, демонстрирующий устойчивые солитоны, найден в модели слу-
чайного КД, которая описывается ранее обсуждаемыми уравнениями
(1.49) и (1.50), с тем отличием, что ячейки L меняются случайным
образом [108]. Эта ситуация соответствует реальным существующим
наземным телекоммуникационным сетям. Другим примером служит
неупорядоченная модель с РДН, в которой длина системной ячейки
меняется вдоль пройденного расстояния случайно [53].
1.2.3.	Многомерные оптические солитоны. Все упомянутые вы-
ше примеры нелинейных периодических неоднородных систем, допус-
кающие устойчивые солитоны, были одномерны. Существуют много-
мерные системы, которые могут быть включены в тот же обширный
класс. Важным примером является модель объемного материала, со-
ставленного из чередующихся слоев с самофокусирующей и самодефо-
кусирующей нелинейностью Керра [168], который можно рассматри-
вать как многомерный вариант системы с КНЛ. В этой модели были
найдены, как численно, так и с помощью метода ВП, устойчивые
2D цилиндрические солитоны. Это означает, что периодическое чере-
дование самофокусировки и самодефокусировки подавляет неустойчи-
вость, ведущую к коллапсу. Однако, 3D «световые пули» или ПВС
неустойчивы в такой постановке задачи, так же как и 2D вихревые
солитоны [168].
Модель КД также имеет свой 2D аналог, построенный с помощью
добавления поперечной координаты в уравнение (1.49). В этой двумер-
ной модели были найдены устойчивые солитоны, как одногорбые, так и
двугорбые, но опять же, стабилизировать 3D солитоны («пули») только
за счет КД невозможно [124].
Упомянутая одномерная модель тандемного типа с чередующимися
линейными и /(^-нелинейными сегментами может быть сделана дву-
мерной, и в ней существуют решения в виде устойчивых световых
пуль [166]. В этом случае стабилизация 2D солитонов вполне ожидае-
ма, поскольку /(^-нелинейность не приводит к коллапсу.
1.2.4.	Солитоны в бозе-эйнштейновских конденсатах. Для
БЭК также были развиты механизмы, обеспечивающие «контроль»
свойств солитонов. В частности, величина и знак, длины рассеяния а
в уравнении ГП (1.40) могут в некоторых случаях легко изменяться
внешним магнитным полем благодаря эффекту резонанса Фешбаха
(РФ), как это было предсказано теоретически [83], а затем продемон-
стрировано непосредственно экспериментально в БЭК [82, 151, 160].
Резонанс Фешбаха может также осуществляться и контролироваться с
помощью внешнего оптического поля [62].
Внешнее магнитное поле, которое приводит к РФ, можно сделать
периодическим во времени с нулевым средним значением, так, что-
бы индуцировать гармоническую модуляцию параметра нелинейности
в уравнении ГП. В одномерной ситуации это открывает дорогу к
разработке метода контроля с помощью резонанса Фешбаха (КРФ),
что было предложено в работе [91]. Далее этот способ влияния на кон-
денсат иногда будет называться «гармоническим КРФ», чтобы подчерк-
нуть, что параметр нелинейности в соответствующем уравнении ГП
периодически меняет свой знак за счет гармонического изменения маг-
нитного поля. На самом деле, в теории БЭК КРФ является аналогом
ранее обсуждаемого контроля нелинейности в волоконно-оптической
линии связи, где пройденное расстояние z заменено (в качестве эво-
люционной переменной) временем t. Более интересным является то
обстоятельство, что КРФ стабилизирует солитоны по отношению к
коллапсу в двумерном уравнении ГП [5, 153]. Таким образом, КРФ
является прямым аналогом вышеупомянутого механизма стабилизации
2D пространственных оптических солитонов в слоистом материале
с периодическим чередованием знака коэффициента Керра. Уместно
заметить также, что, как и в оптической модели, 3D солитоны не
могут быть сделаны устойчивыми с помощью исключительно только
техники КРФ. Недавний результат работы [169] состоит в том, что
стабилизация солитонов в трехмерном пространстве возможна, если
метод КРФ комбинируется с формирование одномерной ОР. Вновь
повторим, что 1D решетка сама по себе не может стабилизировать 3D
солитоны.
1.2.5.	Цель книги. Как уже упоминалось, в результате изучения
одно- и многомерных солитонов, которые оказываются устойчивыми,
когда распространяются в нелинейной среде, периодически промоду-
лированной в пространстве вдоль направления распространения или
эволюционируют под действием периодического во времени поля, бы-
ло достигнуто определенное понимание этих процессов. Более того,
устойчивые солитоны приблизительно того же типа иногда можно
обнаружить даже в случае, когда пространственный или временной
контроль системы является стохастическим, а не периодическим.
В отличие от интегрируемых моделей, никаких строгих или об-
щих методов (таких как метод ОЗР или билинейное представление
Хироты) анализа динамики солитонов в этом классе модулированных
в продольном направлении систем не известно. Тем не менее, для
частных моделей этого класса периодически неоднородных нелинейных
систем (включая случайные системы) возможно собрать существенные
результаты, полученные численными и, в некоторых случаях, (полу-)
аналитическими методами, и прийти к достаточно общим выводам
относительно фундаментальных свойств солитонов в таких системах.
Это и есть цель настоящей книги.
Глава 2
ПЕРИОДИЧЕСКИ МЕНЯЮЩАЯСЯ ДИСПЕРСИЯ
И КОНТРОЛЬ ДИСПЕРСИИ: ОСНОВНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СОЛИТОНОВ
2.1.	Введение в предмет
Контроль дисперсии солитонов или просто контроль дисперсии (КД) —
термин, широко используемый в литературе для модели, основанной
на НУШ (1.49) с постоянным коэффициентом нелинейности 7 и зна-
копеременным коэффициентом ДГС /3, модулированным вдоль направ-
ления распространения z согласно уравнению (1.50). Как было сказано
во введении, передача квазисолитонных сигналов, возвращающихся к
нулю (RZ-импульсов), в модели с КД является задачей принципи-
альной важности для скоростных волоконно-оптических телекомму-
никаций, которые в литературе на русском языке часто называются
волоконно-оптическими линиями связи (ВОЛС). Следует подчеркнуть,
что в отличие от многих других нелинейных систем с периодическим
КД, где до сих пор результаты в основном были теоретическими,
КД-солитоны в ВОЛС были подробно изучены экспериментально, см.,
например, статью [38].
Большинство теоретических работ, посвященных передаче солито-
нов в системах с КД, основываются на прямом численном моделиро-
вании. Что касается аналитических подходов, два наиболее важных из
них основываются на вариационном приближении (ВП) и на интеграль-
ных уравнениях. Оба метода предполагают, что нелинейность в модели
достаточно слаба, так что в нулевом приближении RZ-импульс может
быть приближенно представлен выражением (1.52), которое является
точным решением линейной версии уравнения (1.49).
Интегральный формализм для КД-солитонов был разработан Га-
битовым и Турицыным [70] и Абловицем и Биондини [9] (см. также
статью [141]). Он основывается на идее о том, что в линейном пределе
общее решение уравнения (1.49) можно искать с помощью преобразо-
вания Фурье как
+оо
u(z,t) — е~гшти(г, w)dw.	(2.1)
2тт
—оо
Подстановка этого представления в линейную версию уравнения (1.49)
сразу же приводит к эволюционному уравнению для фурье-компонент:
= ^2/3(и)щ	(2.2)
решение которого очевидно,
u(z, ш) — u(0, w) exp	,	(2.3)
где B(z) — это накопленная дисперсия, определенная выражением
(1.53). Если теперь учесть нелинейность, то волновое поле все еще
может быть представлено в форме (2.1), но тогда нелинейное слагаемое
в уравнении (1.49) после подстановки в преобразование Фурье добавит
кубическое интегральное слагаемое в эволюционное уравнение (2.2).
Из анализа полученного нелинейного интегрального уравнения могут
быть получены многочисленные результаты.
Подобно интегральному формализму, ВП также использует линей-
ный предел (1.49), однако исходной точкой является не общая линей-
ная суперпозиция (1.52), а фундаментальное решение (1.14). Основная
идея ВП в том, что после введения слабой нелинейности гауссова
форма импульса (1.52) остается адекватным анзатцем при условии,
что входящие в (1.52) параметры становятся медленно меняющимися
функциями от z. Основная цель вариационного метода состоит в том,
чтобы получить уравнения, определяющие медленную эволюцию этих
параметров. В этой главе вариационный метод будет изложен, следуя
работе [102].
Кроме случая модуляции в форме КД-отображения (1.50) интересно
также рассмотреть систему с гармонической модуляцией коэффициента
дгс
/?(д) = - (1 + esinz),	(2.4)
где УПД нормирована на -1 и период модуляции нормирован так,
чтобы быть равным 2тг. Хотя синусоидальная модуляция не является
реалистичным предположением для ВОЛС, модель интересна сама по
себе, поскольку она может предсказать существенные результаты даже
для относительно малых значений амплитуды модуляции е, когда коэф-
фициент локальной ДГС (2.4) не меняет знак, оставаясь всегда отрица-
тельным, т. е. соответствующим аномальной ДГС. В последнем случае
нетривиальные результаты (такие как расщепление солитона на два)
могут быть порождены резонансами между внутренними колебаниями
возмущенного солитона и периодической модуляцией, определяемой
уравнением (2.4).
В настоящей главе будет проведен анализ сначала для случая мо-
дуляции (2.4), затем для (1.50). Однако результаты для обоих случаев
будут сильно различаться из-за принципиальной разницы двух типов
периодической модуляции. В сочетании с прямым моделированием
в обоих случаях будет использован ВП. Результаты оказываются не
одинаковыми из-за принципиального различия между двумя типами
периодической модуляции.
2.2.	Модель с гармонической модуляцией локальной
дисперсии
В случае гармонической модуляции (2.4) НУШ (1.6) принимает вид
iuz + ~ (1 + е sin z) итт + |u|2u = О,	(2.5)
где использована нормировка 7=1. Эта модель была предложена в
1993 году в статье [112] с намерением изучить возможные в ней ре-
зонансы. В этой первой работе использовалось только ВП без прямого
численного моделирования. Важный вклад в развитие данной модели
позднее был сделан Абдуллаевым и Капуто [3]. В работе [77] было
проведено непосредственное сравнение результатов ВП с результатами
прямого численного моделирования, что позволило выявить эффекты,
которые не могли быть предсказаны на основе только ВП.
2.2.1.	Вариационные уравнения. Поскольку применение ВП к
изучению солитонов в модели (2.5) многократно обсуждалось, и ре-
зультаты можно найти в обзоре [106], здесь ВП будет рассмотрено
коротко. Метод ВП опирается на использование пробной функции
(анзатца), напоминающей точное солитонное решение НУШ, (1.14),
однако содержащей произвольные амплитуду А, длительность а, и
фазу <р. К тому же предполагается, что нестационарный солитон может
иметь чирп, т. е., параболическую зависимость от времени профиля
фазы импульса с вещественным коэффициентом t>(z) перед ним:
Uansatz(z, т) = A(z) sech ( -Ц- I exp [?<^(z) + zb(z)r2] .	(2.6)
Все свободные параметры в анзатце могут быть функциями эво-
люционной переменной z. Первая цель анализа — вывести систему
эволюционных уравнений для этих параметров. Это сделано с уче-
том того, что НУШ может быть получено в форме 8S/8u* =0 из
функционала действия S{u, и*}, где 8/8и* — символ, обозначающий
вариационную производную. Действие представлено в виде S = f Ldz,
где L — лагранжиан, имеющий собственную интегральную форму,
L = £dr, с лагранжевой плотностью £, которая должна быть
вещественной. Для НУШ (1.6) это
£ = | (u*uz - ии*") + Ад(г)|цт|2 + 17|ц|4.	(2.7)
Подстановка пробной функции (2.6) в лагранжиан и интегрирование
по т приводит к эффективному лагранжиану как функции от вариаци-
онных параметров и их производных по z (обозначенных штрихом)
l(nls) = _2A2aip> _ Лгазу +	_ ^.DA2a3b2 + |7А4а.
а	(2.8)
Из эффективного лагранжиана следует стандартный набор вариацион-
ных уравнений Эйлера-Лагранжа
d dL^ dL^ , Qi
dz dip' ’ dz do	db	(9 Q}
d L^=dJ^
da	dA
В результате простых преобразований эти уравнения могут быть выра-
жены в следующей форме:
^(А2а)=0,
b=-(2/3(z)ay'^,
4- R-жг1 = -ди^а\
dz L	dzl да
Ueff(a) =	(/За~2 + 27-Еа-1), Е = А2а,
7Т
(2.Ю)
(2.П)
(2.12)
(2.13)
с дополнительным уравнением для фазы
dip _ тг2 2
dz 12

(2.14)
Уравнение (2.10) подразумевает существование динамического ин-
варианта (интеграла движения) Е = А2а. Сохранение этой величины
является прямым следствием сохранения энергии (1.10) в исходном
НУШ. Действительно, подстановка анзатца (2.6) в (1.10) дает Е — А2а.
Уравнение (2.11) показывает, что внутренний чирп солитона возникает
вследствие его деформации (т. е., изменения длительности солитона).
Уравнения (2.12) и (2.13) показывают, что эволюция длительности
солитона может быть представлена как движение ньютоновской части-
цы с переменной массой -l//3(z) и координатой a(z) в потенциальной
яме Uefi(a), тогда как длина распространения z играет роль време-
ни. Соответствующий потенциал изображен на рис. 2.1 для заданной
отрицательной константы /3. В этом случае дно потенциальной ямы
соответствует равновесному положению при
a = aeq = -4-	(2-15)
'уЕ
Сравнение с выражением (1.14) показывает, что анзатц (2.6) с а = aeq
точно совпадает с солитонным решением невозмущенного НУШ.
При постоянной /3 уравнение (2.12) с потенциалом (2.13) равносиль-
но уравнению движения материальной точки с радиальной координатой
г в классической задаче Кеплера (движение частицы в гравитационном
Рис. 2.1. Эффективный потенциал (2.13) для /3 = — 1, -уЕ — 4тг2
поле с потенциалом — 1/г) [3]. Таким образом, точные решения
быть найдены в параметрической форме
могут
(2.16)
дина-
где предполагается, что — 3 = 7 = 1, £ — вспомогательная
мическая переменная, и Н — величина гамильтониана в эквива-
лентной кеплеровской задаче, принимающая значения в интервале
- (2/тг2) Е2 < Н < 0. Минимальное значение Н соответствует рав-
новесному положению (2.15) на дне ямы. Частота осциллирующего
решения a(z), заданного параметрически (2.16), есть
2| гг|3/2
К =”-	.	(2.17)
У2Е
Она принимает минимальное значение
А'0 = 2Е2/тг	(2.18)
при Н = — (2/тг2) Е2, которое соответствует малым колебаниям около
дна потенциальной ямы.
2.2.2.	Динамика солитонов в модели с гармонической моду-
ляцией. Предсказания, основанные на вариационном приближе-
нии. Как было упомянуто ранее, в случае гармонической модуля-
ции коэффициента локальной ДГС, как в уравнении (2.5), можно
ожидать возникновения резонансов между внутренними колебаниями
свободного солитона, описанными в рамках ВП решением (2.16), и
внешней модуляцией коэффициента ДГС. Возможные резонансы мо-
гут быть изучены аналитически в случае малой глубины модуляции,
е 1, путем разложения выражения (2.12) вблизи положения рав-
новесия (2.15), и сохранения квадратичных и кубичных нелинейных
слагаемых в этом разложении. Фундаментальный резонанс соответ-
ствует случаю, когда заданная выражением (2.18) (пространственная)
частота Kq малых свободных колебаний около равновесного положе-
ния близка к частоте пространственной модуляции, равной 1 в (2.5).
Другими словами, варьируя энергию начального солитона Е, можно
ожидать, что фундаментальный резонанс возникает в окрестности
значения Efun(jam = \Лг/2 » 1,25. Затем первый резонанс на суб-
гармонике, соответствующий 2/<0 около 1, и резонанс на второй
гармонике, который имеет место при К$ вблизи 2, ожидаются около
Esubharm = гД/2 ~	87 И ^second =	« 1,77, СООТВеТСТВеННО.
Полные предсказания ВП могут быть получены из численного ре-
шения уравнения (2.12) с /3(г) = — (1 fesinz). В частности решение
с a(z) оо при z оо интерпретируется как разрушение солитона,
поскольку он становится бесконечно протяженным. По сути, это под-
разумевает распад солитона с излучением квазигармонических волн.
Численное моделирование, проведенное в работе [112], показало,
что в интервале энергий солитона Е, покрывающем оба вышеупомя-
нутых резонанса на субгармонике и на второй гармонике, колебания
a(z), происходящие под воздействием синусоидальной модуляции Д(г)
ангармоничны, но все еще периодичны при очень малых значениях
е, порядка е ~ 0,01. С увеличением глубины модуляции е колебания
становятся непериодичными при е ~ 0,05, и, по-видимому, хаотичными
при е ближе к 0,20. Наконец, существует критическое значение есг,
такое, что при е, немногим больше чем есг> a(z) совершает большое
число нерегулярных колебаний внутри потенциальной ямы и затем
внезапно покидает яму, уходя на бесконечность. Типичный пример
показан на рис. 2.2. Уход «частицы» с координатой a(z) на бесконеч-
ность на самом деле означает бесконечное уширение импульса, т. е.,
его полный распад в излучение. Во всех рассмотренных случаях (с
разными величинами энергии Е) критическая амплитуда модуляции
принимает значения в интервале
0, 20 < еСТ < 0,25 .	(2.19)
В случае малой амплитуды модуляции е интенсивность излучения,
испускаемого солитоном (очевидно, что этот эффект лежит за рамками
применимости ВП) может быть определена с помощью теории возму-
щений [4]. Однако этот процесс не играет решающей роли в разруше-
нии солитона.
Численные результаты. В работе [77] предсказания ВП для со-
литона НУШ (2.5) с синусоидально модулированной локальной ДГС
сравнивались с результатами прямого численного решения уравнения.
Полученные результаты собраны на рис. 2.3. Два очевидных свой-
ства этой диаграммы приблизительно соответствуют прогнозам ВП.
Во-первых, разрушение солитона может иметь место, если амплитуда
Важные дополнительные результаты, касающиеся сравнения ре-
зультатов, полученных на основе ВП и в численном моделировании
этой модели, были получены Абдуллаевым и Капуто [3]. Они также
обнаружили, что разрушение солитона происходит путем его расщеп-
ления на два вторичных солитона, и показали, что результаты ВП
и прямого численного моделирования малых внутренних колебаний
солитона находятся в хорошем согласии до тех пор, пока частота ко-
лебаний (Kq, см. уравнение (2.18)) остается меньше частоты внешней
модуляции (напомним, что она была положена равной 1 в (2.5)). При
Kq >1 происходит интенсивное излучение квазигармонических волн
(даже без полного разрушения солитона), что, естественно, сильно
влияет на согласие численно полученных результатов с результатами
ВП, поскольку это приближение полностью пренебрегает радиаци-
онной компонентой поля. Другой важный численный результат [3]
заключается в том, что в случаях, когда результаты вариационного
подхода и непосредственного численного моделирования в целом близ-
ки, более тонкий эффект состоит в том, что радиационные потери
сильно подавляют высокие гармоники внутренних колебаний солитона
по сравнению с предсказаниями ВП.
2.3.	Солитоны в модели с контролем дисперсии
Этот раздел посвящен солитонам в важной для практической реали-
зации модели длинной нелинейной ВОЛС с компенсацией дисперсии,
основанной на уравнениях (1.49) и (1.50). Для удобства снова приведем
эти уравнения здесь:
iuz - ±0(z)urr + 7 u|2u = 0,	(2.20)
II 'Сй'Сй ьо — A V о р Ь А N О А А £4 N III р	(2.21)
Понятие контроля дисперсии солитонов в системах с компенсаци-
ей дисперсии в наиболее простом случае, соответствующем данной
модели, практически одновременно было введено в работах Нокса,
Форисяка и Дорана [97], Сузуки, Мориты, Эдагавы, Ямамото, Та-
га и Акибы [163], Наказавы и Куботы [134], Габитова и Турицы-
на [70]. Как было предсказано и подтверждено экспериментально,
солитоны в ВОЛС должны иметь большую энергию, чтобы обеспечить
нужное отношение сигнал/шум. Для компенсации потерь в ВОЛС
периодически вставляются легированные ионами эрбия отрезки во-
локна, выполняющие функцию оптических усилителей. Для создания
инверсии населенности, необходимой для усиления входящих сигна-
лов, используется внешняя накачка. Первоначальным мотивом для
развития метода КД солитонов явилась необходимость подавления
эффекта Гордона-Хауса, т. е. случайного блуждания центра солито-
на из-за его взаимодействия с оптическим шумом, накапливающим-
ся в волоконно-оптической линии вследствие спонтанного излучения
в оптических усилителях. И действительно, было показано, что метод
КД очень эффективен для противодействия эффекту случайного блуж-
дания и стабилизации солитонов. Но, с другой стороны, существует
иная проблема при использовании КД-солитонов, связанная с взаимо-
действием их между собой. Этот нежелательный эффект возрастает,
поскольку КД-солитоны периодически расширяются и сжимаются, и
при уширении они могут заметно перекрываться своими«хвостами».
Помимо значительной важности для приложений, КД-солитоны и мо-
дели с КД в более общем смысле также привлекают большое внимание
как объект фундаментального исследования. Дальнейшее изложение
большей частью посвящено последнему аспекту, хотя прикладные во-
просы тоже вкратце рассмотрены.
Как будет дальше показано, ВП является удобным инструментом
для исследования динамики солитонов в моделях с КД. Изложение ма-
териала в этом разделе большей частью будет сделано в соответствии
с подходом, разработанным в работах [102] и [108] (последняя работа
использует ВП в сочетании с прямым моделированием солитонов в мо-
дели случайного КД). В частности, здесь принята такая же нормировка
параметров КД-отображения (2.21), как в статье [102]:
(А - A) + (А - А) ^2 =о,
|А -А|А = |А-А1А=1,
L LI + Ь2 — 1,
что всегда можно устроить путем изменения масштаба (напомним, А
это УПД, определенная выражением (1.51)).
В случае сильного КД, когда нелинейное слагаемое в уравне-
нии (2.20) может рассматриваться как малое возмущение, гауссов
RZ-импульс (1.52), являющийся точным решением в линейном пределе,
может послужить в качестве подходящего вариационного анзатца для
учета эффектов слабой нелинейности. Для удобства приведем его здесь
снова:
/ (linear)
URZ
(2.22)
odd
Ро
.2
exD I ____________2гВ(г) \ «л n™
1 - 2iB(z)/W02 W\z) P \ W2(z)	W2W2(z) J ’ V ’
B(z) = Bo + (3(z')dz'.	(2.24)
о
УПД также будет рассматриваться как малое возмущение, по-
скольку интуитивно можно предположить, что слабая нелинейность
и малая УПД скомпенсируют друг друга, обеспечив существование
устойчивого RZ-импульса (другими словами, КД-солитона). Важной
безразмерной характеристикой импульса (2.23) является его степень
КД, определяемая как
S = 1,4431/31 |L1 +	.	(2.25)
IVO2
Множитель 1,443 возникает здесь благодаря определению дли-
тельности импульса в виде так называемого FWHM, — аббревиатура
термина full-width-at-half-maximum — означающего буквально «полная
ширина импульса на его полувысоте». Определенная таким образом
длительность отличается от Wq. Соответственно величине S схемы
КД обычно подразделяются на категории слабого, промежуточного и
сильного режима КД, приблизительно при S < 3,	3-4 и S > 4,
соответственно.
ВП основывается на предположении о том, что при учете слабой
нелинейности константы Wq и Bq в уравнениях (2.23) и (2.24) стано-
вятся медленно меняющимися функциями переменной z. Кроме того,
накопленная дисперсия B(z) определяется из выражения (2.21), из
которой вычтено значение УПД (3q. Подробно представленная в ста-
тье [102] теория дает следующие эволюционные уравнения для мед-
ленно меняющихся параметров:
= -V2
dz	IV3 (г)
dBo =	*[4B3(Z)-^]
dz у 2у/2 IV3 (г)
где функция W(z) определена в (1.54). При выводе этих уравнений
использовалась нормировка параметров модели КД (2.22), и энергия
импульса определена как Е = PqTq (напомним, что Pq — пиковая
мощность, т. е., максимальное значение квадрата амплитуды в (2.23)).
На самом деле Е играет роль малого параметра, измеряющего относи-
тельную малость нелинейности по сравнению с локальной дисперсией.
Основной задачей является поиск условий устойчивой передачи
по волокну импульса, т. е., динамического режима, в котором пара-
метры Wo и Во возвращаются к своим начальным значениям после
прохождения расстояния в один период модуляции ДГС (КД-периода).
Поскольку, как видно из (2.26) и (2.27), изменения Wq и Bq внутри
одного периода малы, ~ (/?о,Д), в первом приближении можно под-
ставить невозмущенные значения Wq и Bq в правые части уравнений
(2.26) и (2.27) и наложить следующие условия:
1 1
dz = dz = 0	(2.28)
az	az
о	о
(напомним, что здесь КД-период положен равным 1). После некоторых
аналитических преобразований уравнение (2.28) приводит к следу-
ющим условиям стационарного распространения гауссова импульса,
записанным в явной форме:
Смысл условия Во = 1/2 достаточно прост: оно требует, чтобы им-
пульс имел нулевой чирп в середине каждого сегмента волокна. Второе
условие (2.29) предполагает устойчивое распространение КД-солитона
при аномальной УПД, /30 < 0, при условии, что Wq > (W02)cr ~ 30,
при 0о = 0, если Wo2 = (Wq) , и при нормальной УПД, когда 0о > 0,
если (Wzo2)min ~ 0’ 148 < Wq < (Wq2) Последний случай очень ин-
тересен, поскольку классические солитоны НУШ не существуют при
нормальной дисперсии. Дальнейший анализ уравнения (2.29) показы-
вает, что в этом случае солитон существует в ограниченном интервале
значений нормальной УПД
0 0о/Е (fo/E)max « 0,0127.	(2.30)
Внутри этого интервала уравнение (2.29) приводит к двум различным
значениям минимальной длительности Wq для заданного значения
0о/Е, тогда как в области аномальной УПД Wq — однозначно опре-
деленная функция 0о/Е. В случае нормальной УПД, /30 > 0, можно
сделать вывод о том, что КД-солитон, соответствующий большему зна-
чению Wq, устойчив, тогда как КД-солитон, соответствующий меньше-
му значению Wq, неустойчив. Границе между устойчивыми и неустой-
чивыми солитонами соответствует 0о/Е = 10о/Е)тах (см. уравнение
(2.30)), и она расположена при Wo2 = (Wq) . ~ 0, 148 (т. е. все устой-
чивые и неустойчивые солитоны имеют соответственно Wo2 > (Wq) .
и Wq2 < (Wo2)min). Результаты, касающиеся устойчивости этих двух
солитонов, были математически строго доказаны в работе [143].
Переходя от Wq к стандартному параметру степени КД S в соот-
ветствии с (2.25), можно заключить, что ВП предсказывает:
•	устойчивые КД-солитоны при аномальной УПД, если S < Scr «
S3 4,79;
•	устойчивые КД-солитоны при нулевой УПД, если S — SCT « 4, 79;
•	устойчивые КД-солитоны при нормальной УПД, если 4, 79 < S <
< $>тах ~ 9, 75;
•	отсутствие устойчивых КД-солитонов для S > Smax « 9,75.
На рис. 2.5 показана нормированная мощность КД-солитона Р =
= 1, 12 • Ро как функция степени КД. Кривые на рисунке отвечают
различным значениям УПД 0о и получены на основе ВП. Множитель
1,12 — это отношение полных ширин на полувысоте (FWHM) для
импульсов sech-ной и гауссовой форм. Та же зависимость, полученная
в работе [31] в результате прямого численного решения исходного
уравнения (2.20), показана на рис. 2.6. Типичный пример найденного
в численном моделировании профиля КД-солитона показан на рис.
2.10. Кривые на рис. 2.5 нарисованы только в области S < 9,75, где
солитоны предполагаются устойчивыми. Отвечающие нормальной УПД
(/Зо > 0) кривые на рис. 2.6 заканчиваются в точках, где соответству-
ющий КД-солитон становится неустойчивым.
Рис. 2.5. Полученная на основе вариационного приближения пиковая мощность
устойчивого КД-солитона как функция степени КД S при различных значе-
ниях усредненной вдоль пути дисперсии /Зо- Здесь и на следующей картинке
звездочки обозначают случаи, для которых соответствующая модель со слу-
чайной КД подробно рассмотрена в разделе 2.4
Рис. 2.6. Полученный в результате прямого численного решения уравнения
(2.20) аналог рис. 2.5
Рисунок 2.6 представляет наиболее существенную и полную ха-
рактеристику семейства КД-солитонов. Сравнение рис. 2.5 и 2.6 по-
казывает, что ВП приводит к приемлемым результатам для относи-
тельно малых значений мощности солитона, когда предположение о
том, что нелинейность может рассматриваться как малое возмуще-
ние, остается уместным. В частности, найденное из ВП критическое
значение SCI ~ 4,79 отличается от критического значения степени
КД Scr « 4, полученного из прямого моделирования распространения
КД-солитонов в режиме малой мощности, но, тем не менее, оно до-
статочно близко к ней. С увеличением мощности численные расчеты
показывают рост Scr. Примечательно, что значение S^ax ~ 9,75, пред-
сказанное ВП как порог устойчивости для КД-солитонов, действитель-
но близко к тому, что было получено прямым моделированием для
малых мощностей. Это видно на рис. 2.6.
Рассмотренный выше КД-солитон является фундаментальным (т. е.,
он всегда сохраняет одногорбый профиль амплитуды). Так же могут
быть построены КД-солитоны более высоких порядков. Действительно,
в соответствии с выражением (2.23) его производные по т всех по-
рядков также являются точными решениями линеаризованной версии
уравнения (2.20). Поэтому в слабо нелинейном случае они могут быть
использованы как анзатцы для получения приближенных солитонных
решений более высоких порядков. В частности, анзатц, пропорциональ-
ный первой производной гауссиана (2.23)
(linear)
'RZ
odd
.2
-------------о —5— ехр z—
1 - 2iB(z)/W02 W2(z)	\ w (z)
2tB(z) \ q п 1 х
W02W2(z)J’
нечетного (т. е. анти-
Однако этот солитон
использовался в работе [140] для построения
симметричного как функция г) КД-солитона.
неустойчив относительно четных возмущений. С обобщением на мно-
госолитонный случай связан другой подход к описанию фундаменталь-
ных КД-солитонов и их возмущений. Можно искать более общее ре-
шение, включая возмущенное из-за нелинейности, начиная с линейной
комбинации функций Эрмита-Гаусса (от т) [101, 170]. В частности,
этот подход правильно воспроизводит результаты, полученные на ос-
нове ВП.
2.4.	Случайно контролируемая дисперсия
Существующие наземные ВОЛС являются неоднородными, мозаичны-
ми системами, содержащими отрезки волоконных световодов сильно
различающихся длин [16]. Это практически важное обстоятельство
наводит на мысль рассмотреть передачу RZ-импульсов (квазисолито-
нов) в случайных системах с КД. Было показано, что ВП также
применимо и в этом случае [108]. Случайные модели с КД различных
типов были рассмотрены в работах [1] и [74]. Предполагалось, что
случайным образом распределены локальные значения коэффициентов
ДГС, а не длины волоконных сегментов. Отметим, что поиск устой-
чивых RZ-импульсов в случайных нелинейных волоконно-оптических
системах — задача не только важная для приложений, но имеет фун-
даментальное значение для общей теории нелинейных волн в неупоря-
доченных средах [98].
Основное уравнение и выбор нормировки для системы с КД и
со случайным распределением длин ячеек могут быть взяты в том
же виде, что и в предыдущем разделе, т. е., как в (2.20), (2.21) и
(2.22), с той только разницей, что в случайной системе нормироваться
должны средние значения случайно меняющихся длин. Ограничимся
здесь наиболее важным случаем, когда длины сегментов с аномальной
и нормальной ДГС равны в каждой ячейке КД: L\ = L^ = L/2. Тогда
уравнение (2.22) дает средние значения Д1т2 = 1/2, и |/3i,2 - /?о| = 2.
Для того чтобы выполнялось первое условие, можно предположить,
что случайные величины длин распределены однородно в интервале
0, 1<Д/2<0,9.	(2.32)
Минимальная длина 0, 1 введена потому, что в действительности длина
не может быть ни очень большой (скажем, больше 200 км), ни очень
малой (меньше 20 км).
Тот же анзатц (2.23) и вариационные уравнения (2.26) и (2.27),
применявшиеся выше для регулярной (периодической) системы с КД,
могут быть использованы в анализе ее случайного аналога. Как было
объяснено выше, изменение параметров солитона Wq —> ITq + MVq,
Bq —> Bq + 6 Bq внутри одной КД-ячейки мало. Следовательно, эво-
люция импульса, проходящего через множество ячеек, может быть
приближенно описана сглаженными дифференциальными уравнениями
dWo _ <5Wo dBo _ 6В0
~dT ~ ~dT	{	’
(n — номер ячейки). Окончательно уравнения ВП приобретают следу-
ющий вид:
dW0
dz
dB0
dz
V2EWp 1_____________________1_______
4L^	[уЧ4+4^	7И/о+4(Во-Т(г))2
(3Q + ^Ewo 4B0_________4 (Bo - L)
8L{Z} [vk4 + 4-Bo УгИо4+4(Во-В«
^+4Bg — 2B0
+ 4 (Bo - L(z))2 - 2 (Bo - L(z))
+
(2.35)
где L(z) является непрерывной случайной функцией, принимающей
равномерно распределенные в интервале (2.32) значения.
Наиболее существенной характеристикой распространения импуль-
са при заданных значениях Д и Е является его усредненная по ячейке
длительность
W = L~l W(z)dz.	(2.36)
cell
Анализ численных решений уравнений (2.34) и (2.35) обнаружил
наличие двух совершенно различных динамических режимов. Если
энергия солитона достаточно мала (следовательно, применимо описан-
ное в предыдущем разделе приближение) и УПД равна нулю или
аномальна, т. е., /Зо О, особенно если /30 = О, импульс совершает
случайные колебания, но остается в целом устойчивым на больших
длинах распространения. В случае большей энергии, а также при
нормальной УПД, /Зо > 0, импульс быстро разрушается. Типичные
примеры распространения, заимствованные из работы [108], показаны
на рис. 2.7. Они отвечают наиболее благоприятному с точки зрения
устойчивости солитонов случаю нулевой УПД. Решение уравнений
(2.34) и (2.35) было получено численно для двухсот различных реали-
заций случайной функции Д(г). Рис 2.7 отображает эволюцию (W(z)),
т. е., среднего значения длительности (2.36), усредненного по двумстам
случайным реализациям. Там же показаны соответствующие нормаль-
ные отклонения от среднего значения. Рисунок показывает, что на
фоне случайных колебаний, которые исключаются после усреднения по
двумстам реализациям, имеет место некоторое постоянное, медленное
изменение длительности импульса. Также имеет место постепенная
деградация (уширение) солитона, хотя она происходит очень медленно
при малой энергии. В нижней части рис. 2.7 показан случай, когда
импульс выживает, испытывая очень малое уширение пройдя через
более чем 1000 средних длин ячейки (по сути это расстояние настолько
большое, насколько могло быть проведено численное моделирование).
Это несложно понять — в пределе очень малой мощности, т. е. в слу-
чайной линейной модели КД, можно получить точное решение в форме
импульса, который имеет фактически тот же вид, что представлен
выше для периодического КД, см. уравнение (2.23). При строго равной
нулю УПД это точное решение предсказывает отсутствие постоянного
уширения импульса.
При больших значениях энергии солитонов дальнейшее численное
моделирование на основе уравнений (2.34) и (2.35) показывает, что
после прохождения очень большого расстояния медленное расплывание
солитона внезапно заканчивается его взрывом (полным распадом в ли-
нейные волны). По-видимому, это качественно похоже на то, что было
предсказано ВП для случая синусоидальной модуляции дисперсии, как
показано на рис. 2.2: длинная последовательность хаотических, но,
тем не менее, квазиустойчивых колебаний внезапно сменилась резким
необратимым распадом.
По сути, случай /Зо = 0 является оптимальным для системы со слу-
чайным КД. При любой конечной аномальной УПД, (3q < 0, деградация
импульсов происходит значительно быстрее, особенно для импульсов
Длина распространения (количество ячеек)
Рис. 2.7. Эволюция усредненной по ячейке длительности импульса, соответ-
ствующая предсказаниям вариационного приближения для системы со случай-
ным КД и нулевой УПД. Длина распространения превышает 1000 ячеек КД.
Верхний и нижний рисунки отвечают высокой и низкой энергии, Р = 0,47
и Р = 0, 1 соответственно. Средние значения (сплошная линия) и стандарти-
зованные нормальные отклонения от них (штриховые линии) получены при
численном интегрировании уравнений (2.34) и (2.35) с последующим усредне-
нием по двумстам различным реализациям выборки случайных длин
с большей энергией. При любом малом значении нормальной УПД,
/?о > 0, очень быстрый распад происходит всегда, практически при всех
значениях энергии.
Сравнение результатов, предсказанных ВП, с результатами прямо-
го численного решения исходного уравнения для модели случайного
КД было проведено в работе [108]. Результаты численных расчетов,
усредненные по одному и тому же числу (200) реализаций выборки
случайных длин L^n\ оказались достаточно близки к тому, что было
предсказано ВП. В частности, наиболее устойчивое распространение
снова наблюдалось при нулевой УПД, уширение солитона происходит
быстрее при ненулевой аномальной УПД, и все солитоны быстро рас-
падаются при ненулевой нормальной УПД. Численное моделирование
показало, что устойчивость солитона резко ухудшается с увеличением
его энергии, что также было предсказано на основе ВП.
Тщательное сравнение результатов моделирования показывает, что,
к удивлению, прямое моделирование приводит к отчасти лучшим ре-
зультатам, касающимся устойчивости солитонов, по сравнению с ВП:
реальная скорость уширения солитона может быть на ~ 20% меньше,
чем та, что предсказана ВП. Медленные крупномасштабные колебания,
явно видные на рис. 2.7, выражены слабее в результатах прямого
моделирования. Внезапный распад солитона в линейные волны после
прохождения очень больших расстояний, предсказанный ВП, не наблю-
дался в прямом моделировании; вместо этого солитон в конечном итоге
расщеплялся на два меньших солитона довольно похожим образом на
тот, что наблюдался в численном исследовании модели с периодически
изменяющейся дисперсией, см. рис. 2.4.
Завершая этот раздел, уместно упомянуть, что исследовались неко-
торые другие версии систем с КД, также отличные от чисто периодиче-
ских. В частности, привлекательна так называемая «гиперболическая»
модель, в которой размер ячейки КД фиксирован, тогда как УПД мед-
ленно уменьшается с длиной распространения как 1/г. Такую систему
можно реализовать путем постепенного изменения соотношения между
длинами сегментов с аномальной и нормальной дисперсией групповых
скоростей в (2.21). Было показано, что система такого типа особенно
эффективна для подавления блуждания центра солитона [181].
2.5.	КД-солитоны с потерями, усилением
и фильтрацией
Как было отмечено выше, сильным стимулом для введения схем КД
для солитонов была потенциальная возможность того, что они способ-
ствуют подавлению случайного блуждания центра солитона, вызванно-
го оптическим шумом в волокне вследствие эффекта Гордона-Хауса.
Однако один лишь КД не может обеспечить полного подавления та-
кого блуждания, вот почему длинные линии с контролем дисперсии
для передачи солитонов должны включать в себя оптические поло-
совые фильтры [122]. Хорошо известно, что фильтры являются мно-
гоцелевым инструментом контроля блуждания центра солитона [16].
Следовательно, необходимо модифицировать изложенную выше тео-
рию, с тем чтобы учесть фильтрацию. Одновременно модель реальной
волоконно-оптической линии связи должна учитывать волоконные по-
тери и компенсирующее их усиление, обеспеченное линейными усили-
телями, периодически расположенными на линии (эти самые усилители
также являются главным источником оптического шума, приводящего
к эффекту блуждания центра солитона). В этом разделе основные
результаты, касающиеся солитонов в модели КД с фильтрацией, будут
представлены в соответствии с подходом, развитым в работах [32]
и [40]. Качественное отличие от результатов, изложенных выше для
модели без потерь, заключается в том, что появляется минимальное
значение пиковой мощности импульса, необходимой для существова-
ния устойчивых солитонов.
2.5.1.	Приближение распределенного фильтра. В наиболее ти-
пичном случае характерный солитонный период zso| в длинных ВОЛС
(zsoi определен выражением (1.17)) достаточно велик, ~ 200 - 300
км, тогда как расстояние между усилителями существенно меньше,
~ 50 - 80 км. Обычно полосовые фильтры интегрированы с усилите-
лями, следовательно, расстояния между фильтрами тоже относительно
невелики. Это наводит на мысль пренебречь дискретным характером
распределения усилителей и фильтров и использовать приближение
однородного их распределения вдоль линии связи. Соответствующим
образом модифицированное НУШ принимает вид
1	2
iuz —итт +-у \и\ u — igou + ig\uTT,	(2.37)
где gi > 0 — эффективный коэффициент фильтрации и до > 0 — уси-
ление, необходимое для компенсации потерь при фильтрации. Модель
подразумевает, что собственно волоконные потери должным образом
полностью скомпенсированы усилением, потому в приближении рас-
пределенного усиления они отсутствуют в (2.37). Необходимо подчерк-
нуть, что, несмотря на использование предположения об однородности
распределения фильтрации и усиления, модель, основанная на уравне-
нии (2.37), из-за наличия КД в левой части уравнения принадлежит
общему классу периодических сильно неоднородных нелинейных си-
стем.
Следуя линии анализа, развитого для модели без потерь, можно
рассматривать слагаемые в уравнении (2.37), отвечающие за фильтра-
цию и усиление, как дополнительные малые возмущения, что полно-
стью соответствует реальным условиям в ВОЛС. Теория возмущений
может снова опираться на анзатц (2.23), который сам по себе являет-
ся точным решением уравнения (2.20) при отсутствии нелинейности,
фильтрации и шума. Действительно, можно легко проверить, что гаус-
сов анзатц является точным решением уравнения (2.37), если нели-
нейностью можно пренебречь, тогда как линейные слагаемые в правой
части этого уравнения учитываются. Соответствующее точное решение
может быть получено из (2.23) с помощью подстановки
Z
B(z) B(z) = /3(z')dz' + B0-igiz, P0^P0e2s°z (2.38)
о
(заметим, что накопленная дисперсия В, модифицированная с учетом
фильтрации, является комплексной величиной).
Затем можно проанализировать условия, при которых образуется
КД-солитон, потребовав, чтобы после прохождения одного шага КД-
отображения параметры Wq и Bq не изменялись бы. Вспомним, что
в модели без потерь эти условия приводят к формулам (2.29). Как
следует из (2.38) и из того, каким образом накопленная дисперсия
входит в гауссов анзатц (2.23), фильтрация и усиление не влияют на
эволюцию Bq и приводят к дополнительному небольшому изменению
AWq = 25i L/Wq
(2.39)
длительности импульса, проходящего расстояние L, равное шагу (пе-
риоду) КД-отображения. Смысл полученного результата достаточно
прост: фильтрация приводит к уширению импульса с постоянной
скоростью. Новое условие, обязанное слагаемым, ответственным за
фильтрацию и усиление, это то, что энергия импульса должна оста-
ваться равной начальному значению после прохождения одного шага
КД-отображения. В консервативной модели это условие выполняется
автоматически, если эмиссией линейного «излучения» из солитона
можно пренебречь. Чтобы найти формальное выражение для этого
дополнительного условия, следует заметить, что слагаемые в правой
части уравнения (2.37) приводят к следующему точному эволюцион-
ному уравнению для энергии солитона Е, которая определена так же,
как и в (1.10):
dE _ d I 1
dz dz I 2
l^(-r) I2 dr - gi
= 9o
\uT\2 dr. (2.40)
Подстановка анзатца (2.23) в это уравнение и вычисление интегралов
дают явное выражение для dE/dz, которое может быть затем проинте-
грировано по интервалу Az = L, равному длине КД-ячейки. Наконец,
приравнивая изменение энергии нулю, приходим к очень простому
соотношению, которое показывает, что баланс между фильтрацион-
ными потерями и компенсирующим усилением однозначно определяет
значение параметра Wq — длительность стационарного импульса:
<=51/50-	(2.41)
В отсутствие фильтров его величина остается произвольной [102].
Фактически, выражение (2.41) может быть интерпретировано другим
образом: для заданного значения Wq оно определяет необходимую
величину коэффициента усиления до.
Исправляя второе соотношение в (2.29) с учетом изменения дли-
тельности вследствие действия фильтрации (2.39) и определяя для
удобства х = \/2/Wq и = -2Во/<, можно найти условия, при
выполнении которых импульс будет стационарным (здесь использованы
те же условия нормировки (2.22), что и для модели без потерь):
1
-yPo
Si
^x4 = 0,
(2.42)
J
-I- f/?2
2
In
Si I
>2
2х2

X4 = 0. (2.43)
45
Степень КД, S
Рис. 2.8. Диаграмма режимов стационарной передачи для солитона в модели с
КД и фильтрацией, полученная из аналитически выведенных уравнений (2.42)
и (2.43). Тонкие жирные, толстая жирная и пунктирные кривые — контрольные
линии, относящиеся соответственно к значениям /Зо/<?1 = —5 и — 1 (аномальная
дисперсия), Ро/д\ = 0, и /Зо/з, = 1 и 5 (нормальная дисперсия)
Рис. 2.9. Диаграмма устойчивых солитонных состояний, аналогичная показа-
ной на рис. (2.8). Получена непосредственно численным решением уравнения
(2.37) для /Зо/ffi = -5 (*+’), -1 (•), 0 (‘о’), 1 (**’) и 5 (‘х’)
(напомним, что 7 — постоянный коэффициент нелинейности в уравне-
нии (2.37)).
Решая уравнения (2.42) и (2.43), можно найти зависимость пиковой
мощности импульса Pq от длительности импульса и нормированной
УПД, До/51> в присутствии фильтров. Для того чтобы облегчить срав-
нение с моделью без потерь (см. рис. 2.5, 2.6)), результаты на рис. 2.8
представлены в терминах степени КД (2.25) и нормированной пиковой
мощности. Как и в работе [32], последняя взята равной 0, 22^'P^Wq /д\.
Результаты, предсказанные на основе аналитических уравнений
(2.42) и (2.43), сравнивались с результатами прямого численного ре-
шения уравнения (2.37), рис. 2.9. Строго говоря, решения уравнения
(2.37) в виде локализованных импульсов неустойчивы, поскольку сла-
гаемое, отвечающее усилению, делает тривиальное решение и = О,
т. е. постоянный фон, на котором находится солитон, неустойчивым.
Действительно, для больших значений усиления численно не было
найдено устойчивых решений. Тем не менее, легко найти импульсы,
остающиеся полностью устойчивыми при значениях параметров, ис-
пользованных на рис. 2.9, после прохождения по крайней мере 100
шагов КД-отображения, чего более чем достаточно для приложений.
Из сравнения рис. 2.8 и 2.9 видно, что аналитические и числен-
ные данные качественно совпадают. Далее, сравнивая эти рисунки
с рис. 2.5 и 2.6, которые отображают аналогичные результаты для
модели без потерь, можно заметить принципиально новое свойство:
критическая величина степени КД 5СГ » 4, разделяющая устойчи-
вую передачу КД-солитонов при аномальной и нормальной дисперсии,
сдвигается так, что устойчивая передача при нулевой и нормальной
УПД становится возможной при любой степени КД S. Напротив, при
фиксированной силе фильтрации д\ появляется минимальная (критиче-
ская) мощность, необходимая для устойчивой передачи RZ импульсов
(солитонов) в системе с КД и фильтрацией. В частности, в работе [32]
было показано, что абсолютный минимум нормированной мощности,
~ 3,3, реализуется при S = 0 и слабо аномальной УПД, (Зо/д\ -0,7.
Общее заключение (подтвержденное более детальными численными
результатами [32]) состоит в том, что фильтрация делает КД-солитоны
существенно менее чувствительными к точному значению УПД. Это
свойство может быть достаточно благоприятным для приложений.
В частности, в многоканальной (WDM) системе УПД может меняться
от канала к каналу из-за наличия дисперсии третьего порядка в во-
локне. Фильтрация делает систему более устойчивой не только относи-
тельно блуждания центра солитона из-за эффекта Гордона-Хауса, но
также относительно разброса значений УПД.
2.5.2.	Система с локальной фильтрацией. Результаты, получен-
ные в приближении однородно распределенных фильтров и усилителей,
в общем случае корректно описывают качественные свойства реальных
систем с локализованными или сосредоточенными (дискретно распо-
ложенными) фильтрами и усилителями. Тем не менее, важные свойства
упущены в приближении распределенной фильтрации — в частности,
возникает специфическая неустойчивость, если фильтры располагают-
ся в «ошибочных» точках относительно КД-отображения, а именно,
в средних точках сегментов с нормальной ДГС, в то время как пе-
редача солитонов полностью устойчива, если фильтры установлены в
середине сегментов с аномальной ДГС [123].
Полная диаграмма устойчивости КД-солитонов в модели с локаль-
ными усилителями была получена в работе [40]. Модель основывалась
на уравнении (2.37) с заменой правой части на следующее выражение,
описывающее локализованные фильтры:
ig$u + ig\uTT —> i	5 (z — zq — Ln) (gnu + Guj ,	(2.44)
n
1
0,9
S 0,8
о
X
g 0,7
s
g 0,6
S
x 0,5
5
x 0,4
a
о
g- 0,3
s
i 0,2
0,1
Область неустойчивости,
аномальная ДГС
Область неустойчивости,
нормальная ДГС
10
15
Значения УПД
-0,02
-0,01
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
0,8
Степень КД
Рис. 2.11. Диаграмма стабильности для КД-солитонов в реалистичной модели
с локальными фильтрами и усилителями, основанной на уравнениях (2.37),
(2.44), и (2.45). Цепочки символов показывают устойчивые солитоны с раз-
личными фиксированными значениями усредненной вдоль пути дисперсией
(средней ДГС). Полная область стабильности очерчена жирными кривыми
некоторой степени плохо определенными, поскольку вблизи границ
RZ импульсы, наблюдаемые при численном моделировании, являются
все еще устойчивыми — в том смысле, что они не затухают, но
демонстрируют нерегулярные осцилляции и меняют форму, приобретая
относительно большие боковые лепестки у основной части солитона).
Сравнение рисунков 2.11 и 2.9 показывает, что модель распределенной
фильтрации действительно дает в целом разумное приближение систе-
мы с локальной фильтрацией.
2.6.	Столкновения солитонов и связанные состояния
солитонов в двухканальной системе с контролем
дисперсии
2.6.1.	Эффекты столкновений солитонов, принадлежащих раз-
личным каналам. Передача информации с разделением каналов по
длинам волн (WDM), то есть схема, в которой используется большое
число переносящих информацию каналов в одном волокне, различа-
ющихся длиной несущей волны, является наиболее важным направ-
лением в развитии оптической телекоммуникации. В системах связи,
использующих солитоны, серьезной проблемой, присущей WDM, яв-
ляется перекрестное влияние друг на друга импульсов, принадлежа-
щих различным каналам, вызванное их столкновениями. Столкновения
неизбежны, поскольку ДГС в волокне ведет к различию групповых
скоростей сигналов из разных каналов.
Дополнительно к упомянутому выше достоинству систем с КД,
состоящему в подавлении случайного блуждания центра солитона,
другой причиной для изучения динамики солитонов в системах с КД
является то, что КД обеспечивает сильное подавление перекрестного
влияния между каналами, что впервые было показано при прямом чис-
ленном моделировании двухканальной модели КД [137]. Кроме того,
столкновение солитонов в связанных каналах представляет значитель-
ный интерес с точки зрения общей теории солитонов в периодических
сильно неоднородных системах. В этом разделе, следуя работе [89],
будет дан анализ столкновений солитонов в двухканальной системе
с КД.
Простейшая двухканальная система описывается двумя НУШ, свя-
занными через слагаемые, учитывающие фазовую кросс-модуляцию
(сравните с уравнениями (1.23) и (1.24)):
i (uz + сиТ) - 7j0(z)urT + [-^/Зо^т-г + 7 (|v|2 + 2 |n|2) n| = 0, (2.46)
i (vz - cvT) - ^0(z)vTT +	+ 7 (|u|2 + 2 |u|2)	= 0, (2.47)
где 2c — разность обратных групповых скоростей волн в разных
каналах (то есть РГС), Д(г) — основная часть дисперсии с нулевым
средним значением, которая может быть положена одинаковой для
обоих каналов, являются величинами УПД в каналах, которые,
в общем случае, могут различаться. Нелинейные слагаемые в уравне-
ниях (2.46) и (2.47) представляют эффекты ФАМ и ФКМ.
Аналитический подход к проблеме может быть основан на подста-
новке (анзатце) типа (2.23) для солитона в каждом канале, модифици-
рованной относительно сдвига обратной групповой скорости ±с в урав-
нениях (2.46) и (2.47). Чтобы описать динамику взаимодействующих
импульсов, анзатц надо дополнительно подправить путем применения
галилеевского буста (перехода к другому значению скорости) к и и v
(сравните с формулами буста (1.7), /3 = const):
u(z, т;ш) = u£‘znear) (z, т - cz - Tu(z)) exp [-шит + ДМ2)] -
v(z, t; w) = MRzear) (z> r + cz — Tv(z)) exp [—iuvr + itpv(z)].
Здесь и wv являются частотными сдвигами двух солитонов, и со-
ответствующие сдвиги положения (центров) солитонов удовлетворяют
уравнениям
^=ши[д(г) + Д<и)](	[д(г) +	.	(2.49)
(2.48)
В отсутствие взаимодействия параметры КД-солитонов в обоих ка-
налах выбраны согласно условиям (2.29). Поскольку эти условия были
получены в предположении о малости ФАМ, рассматриваемой как
возмущение, индуцированное эффектом ФКМ взаимодействие между
солитонами также может естественно рассматриваться как другое воз-
мущение. Этот подход позволяет вывести (с помощью лагранжевого
формализма, как подробно показано в работе [89]) следующие уравне-
ния, описывающие эволюцию под действием ФКМ частотных сдвигов
солитонов в каналах и и v :
И )	25/2Pv,uW04cz	( +PV 1 ex Г Wq2(AT(z))2
MM [< + 4B2(z)]3/2 I ~Pu J t ^+4B2(z)
где Pu и Pv являются пиковыми мощностями импульса в и- и
и-каналах, и AT(z) есть временной интервал между солитонами. Со-
гласно анзатцам (2.48) и уравнениям (2.49), ДТ(г) удовлетворяет
следующему уравнению:
^ДТ = 2с + wu [д(г) +	[Д(2) +	.	(2.51)
Динамические уравнения (2.50) не только важны для применения
в ВОЛС, но они также помогают понять природу динамики солитонов
в этой системе: в данном приближении солитоны могут трактоваться
как квазичастицы с координатами Ти и Tv, а эволюционная переменная
z формально играет роль времени, при этом ши + с н wv — с являют-
ся импульсами частиц. Исходя из этой механической интерпретации,
Д(г) + $и) и (3(z) + пропорциональны обратным массам. Заметим,
что КД-солитоны характеризуются зависящими от времени эффек-
тивными массами, которые периодически меняют свой знак. Уравнение
(2.50) определяет силу взаимодействия между частицами, расстояние
между которыми равно ДТ. В этой связи уместно заметить, что дина-
мическое уравнение, подобное (2.50), было выведено в работе [10] для
двухканальной модели с постоянной ДГС. Однако существует принци-
пиальное различие между процессами столкновения солитонов в этой
модели и в двухканальной модели с КД. Из-за того что коэффициент
/3(z) в уравнениях (2.49) периодически меняет свой знак (то есть,
как уже говорилось, периодически меняется знак эффективной массы),
в режиме сильного КД сталкивающиеся импульсы многократно про-
ходят друг сквозь друга до своего полного разделения.
В важном для применения случае в WDM-системах оптической те-
лекоммуникации член 2с в (2.51) значительно больше, чем два других
члена [89], по этой причине уравнение (2.50) можно заменить более
простым, что приводит к формуле
ДТ(г) = 2cz.
(2.52)
Однако, также возможен случай, когда это предположение несправед-
ливо, тогда два солитона могут образовать связанное состояние [64],
описанное ниже.
Необходимо различать полные и неполные столкновения. В первом
случае солитоны значительно разделены перед столкновением, тогда
как во втором случае солитоны начинают взаимодействовать из-за
сильного перекрытия, что отвечает ситуации, когда столкновение про-
исходит вблизи точки входа (z = 0). В обоих случаях наиболее важным
результатом столкновения являются сдвиги частот солитонов и
6iav, которые можно вычислить как
+оо
(2.53)
Z0
8ljuv =	^^dz.
’	dz
Здесь dwU'V/dz взяты из уравнения (2.50) с заменой №(z) на 2cz
в соответствии с (2.52). Нижний предел интегрирования в выражении
(2.53) конечен для неполного столкновения, тогда как полному столк-
новению отвечает zq — — оо. Частотный сдвиг очень вреден для ВОЛС,
поскольку из-за ДГС это приводит к изменению скорости солитона.
Если солитон приобретет «неверную» скорость, информация, перено-
симая потоком солитонов по волоконно-оптической линии связи, может
полностью потеряться.
Оценка физических параметров для плотных WDM систем с раз-
делением между каналами по длине волны 5Х < 1 нм (это случай
первостепенного практического интереса) показывает, что, хотя слага-
емое 2с доминирует в уравнении (2.51), с может рассматриваться как
малый параметр в интегральном выражении (2.53) в том смысле, что
функция cz меняется медленно по сравнению с быстро осциллирую-
щей накопленной дисперсией B(z). В этом случае интеграл (2.53) и
подобные ему интегралы могут быть вычислены полностью аналити-
чески, как показано в работе [89]. В частности, формула (2.53) дает
нулевой, суммарный частотный сдвиг для полного столкновения, что
позволяет при помощи КД подавить эффекты, индуцированные столк-
новениями солитонов. Фактически нулевой суммарный сдвиг является
результатом многократных столкновений (см. выше). То есть, каждое
элементарное столкновение приводит к конечному частотному сдвигу,
но их сумма оказывается нулевой.
Даже если частотный сдвиг нулевой, для столкновения характерен
сдвиг положения центра солитона, что является вредным эффектом для
оптических телекоммуникаций, но менее опасным, чем сдвиг частоты.
Этот сдвиг положения можно найти из уравнений (2.49):
6TUiV =
^dz = -e^u'v)
cfajJtiv j
Z—Y^—dZ —
dz
B^^Ldz, (2.54)
— co
—oo
— co
Рис. 2.12. Аналитически и численно найденные сдвиги положения солито-
на, индуцированные полным столкновением, в двухканальной модели с КД,
описываемой уравнениями (2.46) и (2.47) с Li = 0,4,	= 0,6, fli = —5/2,
/?2 = 5/3, 2с = 0,3; при этом пиковые мощности сталкивающихся импульсов
равны Ри = Pv = 0,1
где было проведено интегрирование по частям. Затем, подставляя вы-
ражение (2.50) для dwu/dz, можно вычислить интеграл аналитически,
получив очень простой конечный результат:
Г _ х/2тгИ70 Г №PV 1	ггх
W I r’Pu J 	( }
Эта формула содержит произведение двух малых параметров, а именно
УПД /3qU,v^ и мощность Рии (последняя мала, поскольку является ме-
рой нелинейности в системе, которая с самого начала предполагалась
малым возмущением).
Аналогичным образом можно найти частотный сдвиг, вызванный
неполными столкновениями. В этом случае наихудший результат (т. е.
наибольший сдвиг частоты) получается для конфигурации, в которой
центры двух солитонов совпадают в начальной точке z = 0:
(<^Umax = Ь (S +	,	(2.56)
где S есть определенная выражением (2.25) степень КД. Эти ана-
литические результаты сравнивались с результатами численного мо-
делирования. Прежде всего, численные расчеты показали, что сдвиг
частоты, порождаемый полными столкновениями, действительно очень
мал, много меньше, чем в случае неполных столкновений при тех
же значениях параметров. Что касается сдвига положения солито-
на в случае полного столкновения, то сравнение его аналитического
предсказания (2.55) с численными результатами, показанными на рис.
2.12, демонстрирует достаточно хорошее согласие. В случае неполного
столкновения численные расчеты дают ненулевой сдвиг частоты, кото-
рый сравнивался с предсказанным на основе аналитической формулы
Рис. 2.13. Минимальная энергия солитона, необходимая для образования свя-
занных солитонов в двухканальной системе с КД, показанная как функция
разности обратных групповых скоростей 2с для нулевой (J3qU^ =	= 0), ано-
мальной (/3qU’ = /3^ = —0, 1) и нормальной (/Зд“ = /З^ = 0,01) усредненной
вдоль пути дисперсией (УПД). Минимум энергии, предсказанный с помощью
вариационного приближения для этих трех случаев, показан, соответственно,
сплошной, точечно-пунктирной и пунктирной линиями. Дискретные симво-
лы — кружочки, ромбики и крестики — представляют величины, полученные
в прямых численных расчетах для нулевой, аномальной и нормальной УПД со-
ответственно. Графики обрываются вблизи точек, где они резко возрастают (по-
чти вертикально). Никакое связанное состояние не существует для 2с > 0,40
в случаях нулевой и нормальной УПД и для 2с > 0,45 в случае аномальной
УПД. В асимметричной модели с /3^ / /3^ зависимости Етах (2с) похожие
(2.56)	сдвигом в работе [89]. Здесь также было получено разумное
согласие.
2.6.2.	Межканальные связанные состояния. Случай, когда два
последних члена в уравнении (2.51) сравнимы с 2с, относительно
экзотичен, но физически также возможен. В этом случае в работе
[64] было предсказано образование стабильных связанных состояний
двух солитонов, принадлежащих различным каналам. В физических
единицах «экзотические» условия означают, что расстояние между ка-
налами, выраженное в длинах волн, ~ 0, 1 нм, и необходимая пиковая
мощность солитона составляет ~ 1 Вт. Хотя этот эффект не важен для
практического применения в оптических телекоммуникациях, он инте-
ресен с точки зрения изучения динамики солитонов. С помощью ВП
и прямых численных расчетов связанные состояния исследованы в ра-
боте [64]. Вариационное приближение было основано на уравнениях
(2.50) и (2.51) без упрощающего предположения (2.52). Было найдено,
что предсказания ВП достаточно хорошо согласуются с численными
результатами. Изучены были как симметричная система с равными
УПД в обоих каналах (нулевыми, аномальными или нормальными), так
и асимметричная система с нулевой УПД в одном канале и либо нор-
мальной, либо аномальной УПД в другом канале, либо с усредненными
дисперсиями противоположных знаков в двух каналах. Во всех случа-
ях найдено, что устойчивые связанные состояния, в которых солитоны
осциллируют относительно друг друга, действительно существуют, при
условии, что энергия солитонов превышает определенное минимальное
значение -E?min, которое зависит от УПД и разности обратных группо-
вых скоростей 2с между каналами. Существует, однако, максимальная
величина 2с, за пределами которой нет никаких связанных состояний.
Типичные примеры зависимостей Етах (2с) приведены на рис. 2.13.
Дополнительно к сказанному в работе [64] было показано, что
в случае, когда усредненная вдоль пути дисперсия (УПД) в одном
канале нормальная и она настолько велика, что КД-солитон в нем
неустойчив, взаимодействие с солитоном в сопряженном (соседнем)
канале с аномальной УПД может привести к образованию вполне
стабильного связанного состояния.
2.6.3.	Сопутствующие проблемы. Следует обратить внимание на
другую двухканальную модель, которая в общем также принадлежит
к классу периодических неоднородных нелинейных систем, хотя она
не содержит КД. Вместо этого разность групповых скоростей между
двумя нелинейно связанными из-за фазовой кросс-модуляции модами
сделана периодической функцией z, то есть это модель, основанная
на системе уравнений НУШ (1.23), (1.24) с — /3V = const < О,
7 = const > 0, a — 2, и c(z) = co sin (kz). Естественным объектом этой
модели, рассмотренным в работе [114], является двухкомпонентный
симметричный солитон с равными энергиями в обеих компонентах.
Без модуляции величины c(z) этот составной солитон характеризуется
собственными модами внутреннего возбуждения в форме взаимных ко-
лебаний центров этих двух компонент, которые были подробно изучены
в [88, 116, 172]. Включение периодической модуляции РГС между
компонентами может привести к резонансным эффектам, если частота
(пространственной) модуляции 2тг/к будет соизмерима с собственной
частотой упомянутых выше внутренних мод. Эта ситуация была ис-
следована в работе [114], но только в рамках ВП (без непосред-
ственного численного решения системы НУШ). Было показано, что
периодическая модуляция c(z) может расщепить составной солитон на
два независимых однокомпонентных солитона, при этом минимальная
амплитуда модуляции РГС (co)min, необходимая для расщепления, как
функция к имеет глубокие минимумы при к, соответствующих основ-
ному и дополнительному резонансам внутренней моды.
Взаимодействие между КД-солитонами одного и того же канала
также представляет чрезвычайно интересную задачу (это именно взаи-
модействие а не столкновение, поскольку солитоны находятся на доста-
точно большом расстоянии друг от друга, взаимодействие происходит
из-за перекрывающихся «хвостов» соседних солитонов). Фактически
было найдено, что этот тип взаимодействия приводит к наиболее се-
рьезной причине, ограничивающей использование КД, поскольку при
относительно высокой степени КД (S > 2,5) эффекты взаимодействия
влияют на максимальное расстояние устойчивой (свободной от оши-
бок) передачи данных с помощью потоков солитонов (см. [149, 174] и
приведенные там ссылки). Проблема заключается в том, что в режиме
сильного КД солитоны периодически расширяются, что приводит, из-за
их перекрытия и образования по этой причине «призрачных» импуль-
сов, к накоплению взаимных искажений, индуцированных эффектом
четырехволнового смешения [118]. На основе специально разрабо-
танной версии ВП было выполнено полуаналитическое рассмотрение
внутриканального взаимодействия между КД-солитонами, и оно дало
достаточно точные результаты (в сравнении с численным моделирова-
нием), однако анализ оказался весьма громоздкий. Подробности можно
найти в работе [174].
Глава 3
МОДЕЛЬ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ДИСПЕРСИИ
И НЕЛИНЕЙНОСТИ
3.1.	Описание систем с разделением дисперсии
и нелинейности
Наиболее общий численный алгоритм, используемый для решения
уравнений (или систем уравнений) типа НУШ, принадлежит классу
«разделения дисперсии и нелинейности» (или «split-step» ). Метод
основан на искусственном растеплении каждого шага Az численно-
го интегрирования на два шага, Az = Azyv + Azp, таким образом,
чтобы нелинейные слагаемые в уравнениях учитывались только на
первой части шага, а ДГС и другие, если они есть, линейные члены
учитывались только на второй части шага интегрирования. На этом
втором этапе соответствующие линейные уравнения решаются методом
преобразования Фурье.
Модель с разделением дисперсии и нелинейности (РДН), которая
была введена в работе [51] и в дальнейшем развита в статье [53],
формально подобна описанному выше алгоритму численного интегри-
рования, но принципиально отличается тем, что в ней расстояния
Az/v и Azo не малы. Напротив, оба расстояния сравнимы с со-
литонным периодом (1.17). По этой причине они далее обозначены
соответственно как Ln и Ld вместо Azjv.d- Модель РДН опреде-
ляется как система периодически чередующихся длинных сегментов
двух различных волокон, которые приближенно считаются либо только
нелинейными, либо строго линейными и обладающими дисперсией.
Более того, нелинейные и дисперсионные линейные компоненты этой
модели необязательно являются волокнами: первая может быть средой,
где имеет место ГВГ (у^-модулями) [55], вторая — коротким отрезком
волоконной брэгговской решетки. Ясно, что модель РДН также входит
в широкий класс периодических неоднородных нелинейных систем, и
интересно понять, могут ли в этой модели существовать устойчивые
солитоны.
Модель РДН имеет нечто общее с ранее исследованными
волоконно-оптическими системами, использующими так называемый
гребешковый (comb-like) профиль дисперсии, в котором короткие
сегменты из волокна с высокой дисперсией вставлены между длинными
отрезками волокнами со слабой дисперсией [164]. Однако имеется
сильное отличие модели РДН от этих комбинированных волоконных
систем, в которых на длине дисперсии неравномерно вставлено
большое число 8) сегментов с сильной дисперсией с целью
смоделировать экспоненциально убывающий профиль дисперсии,
который был бы подстроен к экспоненциально убывающей из-за потерь
в волокне энергии солитона. В результате солитон в «гребешковой
системе» не чувствует неоднородность, и его длительность остается
приблизительно постоянной. В отличие от этого, в модели РДН обычно
на длине дисперсии предполагается один линейный и один нелинейный
сегмент, и режим распространения полностью отличается от такового
в случае «гребешков».
Модель РДН представляет интерес для применения в оптической
телекоммуникации. С одной стороны, периодически вставляя короткие
сильно нелинейные элементы, можно способствовать передаче солито-
нов по линейным ВОЛС. С другой стороны, периодически расположен-
ные сильно дисперсионные элементы могут быть полезными для пере-
дачи оптических импульсов в линиях связи, где используются волокна
со смещенной дисперсией (то есть волокна с малым значением ДГС)
и где нелинейность может оказаться слишком сильной по сравнению с
дисперсией.
3.2.	Солитоны в системе с разделением дисперсии
и нелинейности
3.2.1.	Формулировка модели. Дисперсионные сегменты модели
РДН описываются линейной версией НУШ (1.6) iuz + (l/2)uTT =
= —iaDU, где коэффициент ДГС нормирован так, чтобы Д = -1 (в мо-
дели РДН с нормальной дисперсией в линейном сегменте, Д > О,
солитонов нет) и ар — константа, учитывающая потери (в физиче-
ских единицах типичные значения Д и ар для стандартных волокон
телекоммуникационных линий составляют —20 пс2/км и 0,2 дБ/км
соответственно). Подстановка u(z, т) = v(z, т) exp (—apz) приводит к
уравнению для линейного сегмента без потерь
ivz + ^vTT = 0,	(3.1)
которое может быть решено с помощью преобразования Фурье относи-
тельно переменной т. В случае нелинейного сегмента мы имеем дело с
версией уравнения (1.6), где не учитывается дисперсия:
iuz + |и|2ц = — га^и,	(3.2)
причем параметр нелинейности нормирован таким образом, чтобы 7 =
= 1 (его типичное значение в физических единицах для оптических
волокон равно 2 (Вт-км)_|), и — параметр, отвечающий потерям
в нелинейном отрезке волокна. Явное решение уравнения (3.2) имеет
вид
u(z, т) = и(0, т) ехр
—aw z + i
l<o,Q|2
2aw
[1 — exp (—2адгг)]
(3.3)
В пределе aw —► 0 это решение принимает следующую форму:
u(z, т) = и(0, т) ехр (г|и(0, r)|2z) .	(3.4)
Как обычно, предполагается, что потери компенсируются линейным
усилением, действие которого на амплитуду волны выражается форму-
лой
(3.5)
где G — коэффициент усиления. (На практике этот коэффициент
обычно измеряется в дБ (децибелл), тогда в (3.5) вместо G надо вста-
вить 8,69G). Величина этого коэффициента выбирается такой, чтобы
скомпенсировать полные потери, то есть
G = Ln&n + LdOid,	(3.6)
где Ld и Ln — длины периодически чередующихся линейных диспер-
сионных и свободных от дисперсии нелинейных сегментов. Фактически
модель эквивалентна ее недиссипативной версии (ap = а^ = G = 0) с
перенормированной величиной Ln- Действительно, сравнивая уравне-
ния (3.3) и (3.4) и учитывая (3.5) и (3.6), легко показать, что модель,
включающая потери и усиление, равносильна модели без потерь, в ко-
торой Ln заменяется на
L^ff)= (2aw)-1 [(1 - е-2“№о) +e2G-2aJV20 (j _ e-2aN(£N-z0))J , (3 7)
где zq — расстояние от начала нелинейного сегмента до точки, в
которой установлен усилитель. По этой причине далее рассматривается
только модель без учета потерь, не делая никакого различия ни между
L^R'1 и Ln, ни между и и v, см. уравнение (3.1). Динамическими инва-
риантами недиссипативной модели РДН являются все те же энергия и
импульс, определенные ранее формулами (1.10) и (1.11). В отсутствие
потерь уравнения (3.1) и (3.2) инвариантны по отношению преобразо-
ваний, соответственно
т/лв.г^г/ль,	(38)
и —>	Лдги, z —> z/Ajy
с произвольными масштабными множителями Ад и Aw. Это пре-
образование можно использовать чтобы положить, например, Ln =
= Ld = 1/2, так что полная эффективная длина элементарной ячейки
системы сводится к L = 1.
Интервал между серединами двух соседних нелинейных сегментов,
между которыми вставлен дисперсионный сегмент, берется в качестве
точного определения элементарной ячейки (или просто ячейки). Пол-
ное преобразование (или отображение) импульса, проходящего ячей-
ку, может быть представлено как суперпозиция двух преобразований
(3.4), соответствующих нелинейным полусегментам на концах ячей-
ки, и линейного преобразования между ними, соответствующего дис-
персионному сегменту в середине ячейки. Численное моделирование
эволюции импульса в РДН производится многократными итерациями
отображения с фиксированным размером ячейки в случае регулярной
системы (или с размерами ячейки, выбираемыми случайным образом
из конечного интервала для неупорядоченной модели РДН, см. ниже).
Заметим, что усредненная (по z) версия как регулярной, так и
неупорядоченной модели РДН сводится к модели, описываемой обыч-
ным НУШ	।
2ш2 +	+ |и|2Ц — 0.	(3.9)
По этой причине естественно начинать численное моделирование с
исходного импульса, который являлся бы фундаментальным солитоном
усредненного уравнения (3.9):
ио(т) — Л sech (ут)	(3.10)
с произвольной амплитудой у. Кроме того, чтобы понять, как функцио-
нирует система в общем случае, следует также рассмотреть начальные
импульсы с произвольным соотношением между амплитудой и дли-
тельностью	, ч
ц0(т) = у sech	) ,	(3.11)
где W — параметр относительной длительности. Заметим, что в случае
обыкновенного НУШ асимптотическая (для z —> сю) форма решения
для произвольного начального импульса (3.11) может быть найдена
в точной форме для любого значения W [157]. Для коэффициентов
нелинейности и ДГС, фиксированных согласно уравнениям (3.2) и
(3.1), и для выбранной выше нормировки Ln = Ld — У? свободными
параметрами модели являются амплитуда у и относительная длитель-
ность W исходного импульса (3.11).
Надо также заметить, что хотя уравнение (3.1) инвариантно от-
носительно преобразований Галилея (1.7), нелинейное уравнение (3.2)
не является формально галилеево инвариантным. Однако ясно, что
система в целом инвариантна относительно модифицированного преоб-
разования буста
u(z, т) н-» u(z, т — cz) exp (—c2z/2 + гст) ,	(3.12)
где z — расстояние, пройденное только в дисперсионном сегменте. Как
и в случае обычного НУШ, эффективная галилеева инвариантность
модели РДН связана с законом сохранения импульса (1.11).
3.2.2.	Вариационное приближение. Чтобы использовать вариа-
ционное приближение (ВП) для описания солитонов в модели РДН,
можно использовать обычную подстановку, базирующуюся на анзатце
(2.6). Тогда в нелинейном сегменте уравнения (2.10) - (2.13) сводятся
к следующим эволюционным уравненим для длительности солитона и
его чирпа:
db _	2 Е	da _ n dE _ n
“Г” —	9 7 ’	—(0.1о)
dz	ft d	dz	dz
где, как и ранее, энергия определена формулой Е = А2а. В дисперси-
онном сегменте вариационные уравнения сводятся к следующим:
da 4 1,	1 da	*п , ..
---9 —	(3.14)
dz2 № а3 2а dz
Поскольку Е постоянно, решение уравнения (3.13) тривиально:
а — const: amax, i>(z) =—(z - zN),	(3.15)
7Г “max
где zjy — произвольная константа. Общее решение уравнения (3.14)
находится столь же просто:
! \	^in)2 + 4 (Z - ZD)2
a\z) = --------------------,	(3.1b)
TTO-min
&(*) =------2(z-zo)------>	(3.17)
^7raminJ 4- 4 (z zp)
где zq и amin — произвольные константы.
На языке ВП стационарное распространение солитона означает, что
его амплитуда, длительность и чирп возвращаются к исходным значе-
ниям после прохождения солитоном элементарной ячейки системы. Из
уравнений (3.15) и (3.16) немедленно следует, что если zp выбрано
как средняя точка дисперсионного сегмента, длительность солитона
a(z), которая в этой точке принимает значение am;n, автоматически
возвращается к тому же самому значению в средней точке следующего
дисперсионного сегмента, причем amjn является наименьшим значе-
нием, которого ширина импульса достигает при своих периодических
колебаниях.
Согласно (3.17) чирп солитона обращается в нуль в средней точке
дисперсионного сегмента. Можно легко получить условие, которое
гарантирует обращение в нуль чирпа в средней точке следующего сег-
мента: общее изменение b(z) на нелинейном сегменте, которое следует
из (3.15), равно
(Ab-)N = —^-LN	(3.18)
Я ^тах
должно точно компенсировать разницу значений чирпа на концах дис-
персионного сегмента, которое согласно (3.17) равно
(ДЬ)С =
2Ld
(3.19)
Чтобы сделать это выражение более понятным, здесь не предполага-
лось, что Ld = Ln. Заметим, что из-за непрерывности я(г) величина
Отах, которая появилась в (3.18), достигается на конце дисперсионного
сегмента, то есть она дается формулой (3.16), в которой z — zd = Ld/'Z-
(^min)2 + LP
Яшах = —-----—-------— •	(3.20)
TT^min
Фактически ятах является действительным максимумом, которого дли-
тельность солитона достигает в процессе его стационарного распро-
странения в системе с РДН.
Окончательно подстановка уравнений (3.18), (3.20) и (3.19) в усло-
вие баланса для b(z), (ДЬ)дг + (ДЬ)О — 0 дает основной результат:
2 / Ln сД2 6	2 4	, г 2
®min ®min 4*	•
(3.21)
Это определяющее уравнение для солитонов модели РДН, которое
(как предсказывает ВП) дает минимальную длительность amjn в за-
висимости от энергии Е. Это уравнение можно переписать, используя
максимальную длительность:
7г (±”е) я3тах = тга^х + (LNE)2 .	(3.22)
Используя Е как функцию ат;п или атах, легко увидеть, что урав-
нения (3.21) и (3.22) дают одну физически значимую (вещественную)
величину amin и одну величину атах для любого значения Е > 0.
В пределе Ld,Ln —> 0 уравнение, описывающее модель РДН, сво-
дится к усредненному НУШ (3.9) с дополнительным множителем
Ld/Ln перед слагаемым (1/2) итт. В этом пределе длительность a(z)
становится постоянной: а = amjn = amax. С другой стороны, точное
решение таким образом определенного НУШ, отвечающее фундамен-
тальному солитону (1.14), имеет вид
|ц(т)| = а/~ sech (~(3.23)
у Ln oq \ a-о /
с произвольной длительностью oq, причем энергия солитона равна
Е = (Ld/Ln) Яд * • Подставляя это выражение в предельную форму
уравнений (3.21) и (3.22), получающихся при Ld,Ln —> 0, можно
найти, что они удовлетворяются автоматически. То есть, ВП коррект-
но воспроизводит точный результат для фундаментального солитона
НУШ. Тот же предел получается, если Е —> 0 при конечных Ld и Тдг:
поскольку в этом случае солитон становится очень широким, с диспер-
сионной длиной Zd ~ я2 Ld,Ln, он должен быть асимптотически
эквивалентен обычному солитону НУШ.
Необходимо заметить, что как следует из (3.21), минимальная ши-
рина ят;п может принимать любые значения от 0 до оо, когда Е меняет-
ся от оо до 0. Однако, выражение (3.22) показывает, что максимальная
длительность amax расходится в обоих пределах, Е —► 0 и Е —> оо,
что наводит на мысль, что существует конечная наименьшая величина,
которую может достигать атах. Действительно, анализ выражения
(3.22) показывает, что эта величина равна (amax)min = т/(2/тг) Ld
и она достигается при Е = л/27г£д> L^1. В этом случае минимальная
длительность равна (1/л/2) (amaX)min-
3.2.3.	Сравнения с численными результатами. Прямое чис-
ленное моделирование распространения солитонов модели РДН было
выполнено в работах [51, 53]. В качестве начального условия исполь-
зовалось выражение (3.10), которое соответствует фундаментальному
солитону усредненного НУШ, отвечающего модели РДН. В случае,
когда солитонный период усредненного уравнения (определенный по
формуле (1.17)) сравним с размером ячейки L, солитон быстро форми-
руется, испуская чрезвычайно слабое излучение, и очень мало меняет
свою форму по сравнению с начальным профилем. Пример показан на
рис. 3.1.
В противоположном случае, когда L много больше солитонного
периода (который определяется исходя из усредненного НУШ, см
(1.17)), трансформация солитона к конечной форме и сопровождающие
этот процесс потери на излучение являются весьма заметными, что
показано на рис. 3.2. В этом случае образовавшийся солитон харак-
теризуется внутренним чирпом (то есть волновое поле оказывается
комплексным), как показано на рис. 3.2(a). Тем не менее, зависимость
от т амплитуды солитона |и(т)| все еще соответствует обычному sech
анзатцу, см. рис. 3.2(e). Фактически близость импульса к классической
форме солитона НУШ может быть охарактеризована его площадью
+оо
А= |и(т)|^т	(3.24)
— ОО
(в отличие от энергии (1.10), площадь не является динамическим
инвариантом НУШ). Для любого солитона усредненного НУШ (3.9)
А = 7г (заметьте, что площадь не зависит от амплитуды солитона).
Для образовавшегося солитона, показанного на рис. 3.2, эта площадь
равна 3,25, то есть достаточно близка к тг. Если L очень велика по
сравнению с солитонным периодом, отвечающим усредненному НУШ,
исходный импульс полностью распадается, превращаясь в излучение,
что будет подробно объяснено ниже.
Чтобы провести сравнение найденных выше аналитических резуль-
татов с результатами, полученными при численном решении, удобно
представить определяющее уравнение (3.21) в другой форме, которая
определяет максимум амплитуды солитона РДН Лтах = \/Е/атт (на-
помним, что Е = А2а; очевидно, что наибольшее значение амплитуда
1,4
012345678
Первоначальная амплитуда солитона, q
Рис. 3.3. Сплошная кривая показывает наибольшую амплитуду Атах солитона
в модели с разделением дисперсии и нелинейности, как предсказывается вари-
ационным приближением, см (3.25), в зависимости от амплитуды q исходного
импульса (3.10) в случае Ld = Ln = 1/2. Пунктирная кривая показывает
долю первоначальной энергии, остающейся в установившемся солитоне по
окончании его трансформации, которая была найдена из данных численного
моделирования (эта остаточная энергия была использована для получения
сплошной кривой). Точками показаны значения амплитуды установившегося
солитона в средней точке дисперсионного сегмента, также найденные в прямом
численном моделировании
сопровождается излучением, если только W не равно целому числу.
Солитоны высокого порядка в отличие от фундаментального выглядят
как бризеры, демонстрируя незатухающие внутренние колебания (см.
выражение для 2-солитона (1.16)).
Результаты систематического численного моделирования для систе-
мы с РДН с начальным условием (3.11) суммированы в виде диаграммы
на рис. 3.4, на которой ясно показаны подобия и различия между НУШ
и моделью РДН. На диаграмме показаны области, где формируются
различные состояния, а именно, фундаментальный солитон, бризер и
разделяющиеся импульсы. В неокрашенной области диаграммы исход-
ный импульс полностью распадается на диспергирующие квазилиней-
ные волны без образования каких бы то ни было локализованных
состояний. Очень аккуратное очерчивание всех границ на диаграмме
потребовало бы чрезвычайно большого числа очень длительных вы-
числений, по этой причине некоторые границы являются в известной
степени приближенными.
Нижняя горизонтальная граница, которая отмечает порог образо-
вания фундаментальных солитонов, фактически такая же, как ука-
занная выше линия W = 1/2 для НУШ. Однако модель РДН сильно
отличается от НУШ тем, что в ней при больших у солитоны не
образуются. В частности график, показанный на рис. 3.3, обрывается
в точке, которая соответствует пересечению правой границы области
существования солитонов на рис. 3.4 и линии W = 1 (рис. 3.3 был
получен для W = 1).
воположными скоростями ±с в (3.27) обнаружило, что если с очень
мало, столкновение приводит к аннигиляции кинков с превращением
их в бризер, который в последующем испытывает медленный радиаци-
онный распад. С другой стороны, если с достаточно близко к 1, столк-
новение квазиупругое, то есть кинки проходят друг сквозь друга почти
без потерь. Между этими двумя случаями была обнаружена система
чередующихся окон аннигиляции и квазиупругих столкновений [36].
Приближенное объяснение этих результатов основано на вызванном
столкновениями обмене между первоначальной кинетической энер-
гией кинков и энергией, поглощенной внутренними колебательными
степенями свободы каждого кинка, возбуждаемыми в обоих кинках
в результате столкновения. Как известно, кинки в модели Голдстоуна
имеют в точности одну такую колебательную моду, в отличие от соли-
тонов в интегрируемых уравнениях, которые не порождают подобных
мод. Подобная тонкая система чередующихся окон была найдена при
рассмотрении столкновений кинков с антикинками, так называемого
уравнения двойного синус-Гордона [37], и для нее было предложено
аналогичное объяснение. Может оказаться, что солитон РДН также
имеет внутренние степени свободы (надо иметь в виду, что солитон
обыкновенного НУШ не имеет никаких внутренних мод). Однако по-
следняя возможность пока не изучалось.
3.3.	Неупорядоченная система
Как ранее упоминалось в связи со случайной моделью КД, изучение
неоднородных нелинейных моделей, в которых элементарные ячейки
чередуются не периодически, а произвольным образом (то есть дли-
ны ячеек выбираются случайно из некоторого интервала, такого как
(2.32)), представляет значительный интерес как для приложений, так и
само по себе. Неупорядоченная версия модели РДН была рассмотрена
в работе [53]. Формулировка такой модели предполагает, что длины
нелинейного (L^) и дисперсионного (Др) сегментов не фиксировались
как раньше (например, = Ld = 1/2), а выбирались случайным
образом из интервала Lmin <	= Ld = L/Ч < Lmax (заметьте, что
длины L/у и Ld должны оставаться взаимосвязанными в каждой эле-
ментарной ячейке, иначе, если их выбирать произвольным образом, ни-
какие устойчивые солитоны не могут быть получены в такой системе).
Многочисленные опыты численных расчетов, выполненных для
случайной модели с различными значениями параметров, позволя-
ют сделать простой вывод: если отношение Lmax/Lmin не очень ве-
лико (например, если Lmax/bmin = 5), устойчивые солитоны РДН
продолжают существовать в неупорядоченной среде, и, в среднем,
они выглядят почти идентичными солитонам в регулярной (т. е.
в строго периодической) модели РДН с L равным средней величине
L = (1/2) (Lmax + Lmin) случайного распределения длин сегментов.
В качестве типичного примера на рис. 3.7 показаны эволюция исходно-
сегменте. Ответ следующий: переход к такой «смешанной системе» не
приводит к драматическим изменениям солитонной динамики [54]. На
самом деле более интересно рассмотреть смешанную систему, которая
построена как модель КД, в которую включен дополнительный сегмент
с сильной нелинейностью и пренебрежимо малой ДГС. Как показано
в работе [54], такая трехшаговая система, которую можно трактовать
как комбинацию моделей РДН и КД, обладает довольно интересными
и полезными для приложений свойствами, хотя найденные в ней мало
чувствительные к возмущениям (иногда в журнальных публикациях
встречается слово «робастные» ) RZ-импульсы не являются истинными
солитонами. В частности, как будет показано ниже, существенное
преимущество комбинированной системы (РДН-КД) состоит в предот-
вращении появления перекрытия между смежными импульсами. Эта
проблема известна в оптической телекоммуникации как межсимволь-
ная интерференция или МСИ. Уместно заметить, что трехшаговая
версия КД обладает другим полезным качеством, а именно, в ней
достигается лучшее подавление эффектов межканальных столкновений
RZ импульсов (не обязательно солитонов) в WDM-системах (то есть
в системах передачи данных с разделением по длинам волн) [17].
3.4.1.	Описание модели. Описание комбинированной модели
РДН-КД основано на уравнении (1.49) с отображением, которое пред-
полагает кусочно-постоянную модуляцию как /3, так и 7 :
( {/31 =0.71}	0 < z < Li,
{/3,7} = {	{/32,7о}	L1<z<L1+L2,	(3.29)
[ {/З3 = — /32,70} Li + L2 < z < Li + L2 + L3.
Трехшаговая ячейка (3.29) повторяется с периодом L = L\ + Д2 + Дз-
Здесь 7о и 7i являются, соответственно, нелинейностью волоконной
системы и сильной нелинейностью дополнительного сегмента.
Дополнительный нелинейный элемент в данной системе может быть
реализован несколькими различными способами. Одна из возможно-
стей — это использовать длинный сегмент волокна со смещенной
дисперсией с обычной величиной коэффициента нелинейности и слабой
дисперсией. Другая реализация может быть основана на использова-
нии короткого (меньше метра) отрезка легированного эрбием волокна,
который при надлежащем приготовлении и накачке может характеризо-
ваться коэффициентом нелинейности раз в ~ 5 - 105 раз большим, чем
в обычном волокне. Также достаточно коротким может быть отрезок
фотонно-кристаллического волокна (ФКВ), который может обеспечить
очень сильную нелинейность (см. статью [126] и приведенные там
ссылки). Кроме того, нелинейный элемент не обязательно должен быть
куском волокна. Это может быть компактный модуль, основанный на
кристалле, в котором наблюдается ГВГ и сильная эффективная ку-
бичная (у(3Ь нелинейность, индуцированая квадратично нелинейным
взаимодействием посредством механизма каскадирования, а малый раз-
мер модуля позволяет полностью пренебречь ДГС в нем. Подробное
описание такого модуля будет дано в следующей главе, посвященной
контролю нелинейности. В уравнении (3.9) не учитываются потери и
усиление, исходя из обычного предположения, что обеспечена локаль-
ная компенсация потерь в волокне за счет усилителей.
Численные расчеты начинаются с гауссового импульса, взятого при
z = 0 без начального чирпа:
г— ( 1?\
uoW = у/Рб ехР ( -^2 J ,	(3.30)
с пиковой мощностью Ро и длительностью Т. Следуя аналогии с опре-
делением степени КД (2.25), удобно определить безразмерную степень
нелинейности дополнительного сегмента
NS = ^P0Li	(3.31)
(фактически это нелинейный фазовый сдвиг в центре импульса, про-
ходящего нелинейный сегмент).
3.4.2.	Передача отдельного импульса. Построение истинных
солитонных решений не является целью изучения комбинированной
модели РДН-КД. Это скорее поиск режимов распространения малочув-
ствительных к возмущениям RZ-импульсов, в которых эти импульсы
могут быть предпочтительнее обычных КД-солитонов. Подробные рас-
четы для этой модели с начальными условиями (3.30) показывают, что
для широкой области параметров распространение приводит к авто-
компрессии импульса с одновременной генерацией боковых лепестков,
примыкающих к импульсу на временной оси. Типичный пример этого
показан на рис. 3.8 (поскольку импульс периодически меняет свою
форму, рисунок соответствует положению, в котором импульс наиболее
узок). Автокомпрессия импульса является следствием дополнительной
нелинейности добавленного в систему сегмента. Можно проверить, что
пиковая мощность импульса в этом случае, показанная на рис. 3.8,
является слишком малой, чтобы сформировался солитон, но достаточ-
но большой, чтобы нелинейные эффекты оказались значительными.
Подчеркнем, что никакого сокращения длительности импульса при его
распространении не наблюдается, если в КД-отображении нет допол-
нительного нелинейного элемента.
Пример, показанный на рис. 3.8, как и многие другие примеры
наводит на мысль, что вплоть до некоторой величины длинны рас-
пространения качество формы импульса в целом улучшается, так как
его длительность сокращается, грубо говоря, в два раза. Далее, хотя
автокомпрессия центральной части импульса продолжается, его форма
начинает ухудшаться из-за роста амплитуды боковых лепестков. Ба-
ланс этих двух тенденций определяет максимально приемлемую (опти-
мальную) длину передачи сигналов zopt- Анализ численно полученных
Рис. 3.8. Типичный пример сравнения входного гауссового импульса и выход-
ного импульса (в данном случае расстояние распространения соответствовало
30 отображениям в комбинированной модели РДН-КД). Здесь боковые лепест-
ки выходного импульса содержат только 1,6% полной энергии
результатов показывает, что zopt фактически не зависит от степени КД
(2.25), когда она меняется в очень широком интервале
1,5 <5 <11.	(3.32)
Вне этого интервала результаты много хуже [54]. Однако оптимальная
длина распространения весьма чувствительна к степени нелинейности
(3.31) добавочного сегмента. Наилучший результат наблюдается при
NS « 0,05, однако при NS > 0, 10 система становится хуже своего
обычного аналога (системы со стандартным КД). Для лучшего пони-
мания динамики импульсов в модели РДН-КД необходимо знать, как
сильно они уширяются в процессе распространения. С этой целью на
рис. 3.9 изображены графики, показывающие эволюцию длительности
импульса внутри одной ячейки модели РДН-КД и в аналогичной ячей-
ке модели КД без дополнительного нелинейного сегмента. Здесь ис-
пользуется следующее определение квадрата длительности импульса:
4-оо
| t2 |u(t)\2 dt
Tint =	---------•	(3.33)
J |u(t)|2dt
— OO
Как видно из рис. 3.9, одна и та же исходная конфигурация приводит
к импульсу, который в среднем определенно короче в представленной
системе, чем в обыкновенной модели КД.
В работе [54] было также показано, что комбинированная система
обещает получить более эффективное нежели в обычной модели КД
подавление случайного временного блуждания центра RZ-импульса
(т. е. фактически флуктуаций времени его регистрации в конечной
точке линии передачи), индуцированного оптическими шумами. Это
Рис. 3.9. Сравнение эволюции квадрата длительности импульса, сформировав-
шегося из одного и того же исходного импульса внутри одного отображения
(элементарной ячейки системы), в комбинированной модели РДН-КД и в ана-
логичной ей системе с КД, которая не включает нелинейного сегмента. Здесь
принято интегральное определение квадрата длительности импульса (3.33).
Два графика расположены таким образом, чтобы совпали границы между
сегментами с аномальной и нормальной ДГС, т. е. точки, где длительность
импульса достигает своего максимального значения в обычной системе с КД.
Для графика, отвечающего модели РДН-КД, длительность сохраняет малое по-
стоянное значение внутри дополнительного нелинейного сегмента (0 < z < 20)
полезное свойство можно объяснить тем, что внутри дополнительного
нелинейного сегмента приобретенный импульсом фазовый сдвиг значи-
тельно превышает вклад в фазу от шума малой амплитуды, что делает
взаимодействие между импульсом и шумом эффективно некогерент-
ным, то есть слабым.
3.4.3.	Передача спаренного импульса. Как хорошо известно
(см. статью [174] и упоминаемые там ссылки), ключевой проблемой,
мешающей использованию систем с сильным КД в солитонном ре-
жиме, является внутриканальное взаимодействие между солитонами.
Чтобы понять, может ли комбинированная модель РДН-КД облегчить
эту трудность, необходимо смоделировать совместное распростране-
ние в одном направлении двух солитонов, первоначально разделенных
интервалом времени At. Целью этого моделирования является поиск
минимальной величины At, которая допускает устойчивое сосущество-
вание этих импульсов (в частности, без заметных сдвигов их центров
из-за взаимодействия). В [54] было найдено, что в случае, когда
степень КД принимает значения в интервале (3.32), система РДН-КД
приводит к необходимому минимальному временному интервалу между
импульсами
(AOmin =1.57 Tfwhm.	(3.34)
где Tfwhm — 1, 18 Т есть стандартная длительность гауссова импульса
(3.30). Этот результат получен для максимальной величины расстоя-
ния, в пределах которого сохраняется приемлемое качество передачи
10 3
2г
10 3
0Q
о
X
во,8-
О
2 0,4 -
а
Выходной
А А р; N\
//	\7 \\ИМПУЛЬС 0,2- /ИМПУЛЬСВходнойД
// V \\	/	импульс \
1>-И__I__I__I________I 0 I I I_________I_J___I_^4=._I
0
-20 -10
10
20
Время
0—---—
-20 -10
10	20
Время
б
о
1
о
Рис. 3.10. Сравнение входного и выходного двухимпульсных сигналов в ком-
бинированной системе РДН-КД (а) и в обычной системе с КД, которая не
включает дополнительного нелинейного сегмента (б). Выходной сигнал полу-
чен после прохождения пары импульсов через 30 элементарных ячеек системы
отдельного импульса (см. выше). Если At превышает (At)min, совмест-
ное распространение импульсов характеризуется фактическим отсут-
ствием взаимодействия между ними, в противоположном же случае
At < (At)min импульсы сливаются.
Малое значение (At)min весьма перспективно для применений,
поскольку позволяет реализовать высокоскоростные (в пересчете на
один канал) ВОЛС. Например, для длительности импульса Tfwhm =
= 7,08 пс, фактически используемой в приведенных выше примерах,
уравнение (3.34) дает (At)min = 1,57 Tfwhm = И, 12 пс, что означает
скорость передачи информации более чем 89 Гбит/с на один канал.
Фактически, рассмотренная система не только предотвращает сли-
яние импульсов при At > (At)min, но также улучшает качество фор-
мы двухимпульсной конфигурации, приводя к очищению простран-
ства между импульсами, что означает подавление выше упомянутого
эффекта МСИ. Последнее свойство иллюстрируется на рис. 3.10 с
помощью сравнения входного и выходного сигналов в форме двухим-
пульсной конфигурации с временным расстоянием между импульсами
At = 1,69 Tfwhm. близким к минимально необходимому интервалу
между импульсами (3.34). Для сравнения на этом же рисунке па-
раллельно представлены результаты, полученные для модели с КД,
которая не содержит дополнительного нелинейного сегмента. Эффект
подавления МСИ очевиден.
Глава 4
КОНТРОЛЬ НЕЛИНЕЙНОСТИ ДЛЯ
КВАДРАТИЧНЫХ, КУБИЧНЫХ И БРЭГГОВСКИХ
СОЛИТОНОВ
4.1.	Тандемная модель и фазовый квазисинхронизм
(QPM)
Модели, рассмотренные в предыдущих главах, использовали только
кубическую (отвечающую восприимчивости х^3^), иначе говоря, кер-
ровскую нелинейность. В оптике важную роль может также играть
квадратичная (х^2)) нелинейность, отвечающая в частности за ге-
нерацию второй гармоники (ГВГ). Квадратичные нелинейности мо-
гут быть другим естественным ингредиентом периодических неод-
нородных нелинейных систем. Частным случаем является тандем-
ная система, которая представляет собой периодическое чередование
Х^-нелинейного и линейного элементов. Она была предложена Тор-
нером [165] в качестве среды, способствующей генерации временных
X®-солитонов. Соответствующая модель основана на уравнениях ГВГ
iuz + ic(z)uT — ^(3(z)uTT + -y(z}u*v = О,
1 1 (4Л)
2wz - ic(z)uT + -,3(гУиТТ + -7(z)u2 + q(z)v = 0,
в которых коэффициент с учитывает эффект разбегания между волна-
ми на основной частоте (ОЧ) и на второй гармонике (ВГ) (сравните
с уравнением (1.37) для пространственных солитонов в квадратично
нелинейной среде). Иначе говоря, параметр с пропорционален разно-
сти групповых скоростей (РГС) этих волн. Коэффициенты с, Д и 7
в уравнениях (4.1) принимают различные значения в периодически
чередующихся сегментах. В частности, линейный сегмент 7 = 0 харак-
теризуется более высокими значениями коэффициентов ДГС и РГС,
чем в нелинейный. В общем случае линейные сегменты с сильной
дисперсией (эффективно) значительно короче нелинейных сегментов с
низкой дисперсией.
Подробное численное моделирование, проведенное в работе [165],
показало, что в этой модели могут легко возникать долгоживущие
осциллирующие солитоны. Фактически чередование параметров в ли-
нейном и нелинейном сегментах может облегчить появление временных
X*-2-1-солитонов по сравнению с однородным волноводом. В частности,
использование тандемной схемы может способствовать разрешению се-
рьезной проблемы компенсации обычно большого РГС между волнами
на основной частоте и на частоте второй гармоники.
Хорошо известным примером применения периодически неоднород-
ной структуры в квадратично нелинейной среде является увеличение
эффективности ГВГ в условиях фазового квазисинхронизма (QPM).
Реализация этого механизма основана на периодическом обращении
ориентации доменов электрической поляризации в сегнетоэлектриче-
ских кристаллах, к числу которых обычно принадлежат материалы с
нелинейностью, характеризуемой у®, или периодическим обращени-
ем направления поляризации создающих эту нелинейность молекул
(этот способ известен как «poling»). Такое обращение осуществляется
периодически вдоль направления распространения с периодом 2tt/Q.
В результате коэффициент, отвечающий за ГВГ в уравнениях (1.37)
или (4.1), становится периодической функцией z. Его можно разло-
жить в ряд Фурье, начиная с пространственной гармоники exp(zQz).
Введенный таким путем добавочный волновой вектор Q может быть
использован для компенсации различия фазовых скоростей, если оно
слишком велико, как часто случается. Например, период QPM может
быть порядка 10 мкм для света с длиной волны ~ 1 мкм, следовательно
Q может компенсировать расстройку волновых векторов вплоть до
~ 10% от волнового вектора несущей волны.
Распространение солитонов в средах с QPM теоретически было
исследовано в [43], где был сделан вывод, что солитон может испыты-
вать воздействие эффективной нелинейности, которая включает в себя
не только квадратичную нелинейность но также и кубическую
нелинейность, характеризуемую восприимчивостью которая инду-
цируется за счет механизма каскадирования. Фактически метод QPM
может быть использован для искусственного создания желаемой эф-
фективной нелинейности, которая при этом может включать довольно
экзотические эффекты (например, противоположные знаки у коэффи-
циентов эффективных ФАМ и ФКМ). Известным примером [27] такой
теоретически рассчитанной искусственной среды является система,
описываемая уравнениями
iuz + ^ихх + T]iu*v + (72 Ы2 - 71М2) и — 0-
ivz + ^vxx + т]2и2 - 272|u|277 + qv = 0,	(4.2)
где 7i,7i and 772 являются вещественными коэффициентами, значения
которых определялись технологией изготовления данной среды. Эти
уравнения были выведены путем усреднения по пространственным
мелкомасштабным модуляциям параметров среды, которые определяют
QPM.
Более экзотические среды могут быт созданы на основе новых
теоретически и экспериментально разработанных систем квазиперио-
дических (а не периодических) QPM, см. статью [69] и приведенные
так ссылки. Эти методы делают возможным обеспечить одновремен-
ный фазовый синхронизм для многих квадратично взаимодействующих
волн, а не только для волн основной частоты и второй гармоники.
Однако модель с QPM и ее обобщения в действительности не при-
надлежат классу периодически неоднородных нелинейных систем, по-
скольку усредненные уравнения, которые описывают распространение
света в квадратично нелинейной среде, модифицированной с помощью
метода QPM, подобные (4.2), имеют постоянные коэффициенты.
4.2.	Контроль нелинейности. Объединение кубической
и квадратичной нелинейностей с контролем дисперсии
Практически интересным применением ^^-нелинейности, которое
приводит к другому примеру нелинейной периодически неоднородной
системы, является использование ГВГ модулей для получения эффек-
тивно кубической (каскадной) нелинейности с отрицательным керров-
ским коэффициентом. Будучи периодически вставленными в длинную
ВОЛС и надлежащим образом отрегулированные, такие модули могут
обеспечить компенсацию нелинейного фазового сдвига, накопленно-
го RZ-импульсами, распространяющимися в ВОЛС между модулями,
подобно тому, как контроль дисперсии обеспечивает периодическую
компенсацию накапливавшегося уширения импульсов. Это метод изве-
стен как контроль нелинейности (КНЛ). Помимо применения в про-
тяженных ВОЛС, полезность этого метода была продемонстрирована
в волоконно-кольцевых лазерах, генерирующих импульсы в форме со-
литонов [104], и для обработки оптических сигналов [33].
Для целей оптической телекоммуникации метод КНЛ был предло-
жен (в абстрактном виде, без указания на то, что компенсирующие
элементы могли бы быть основаны на каскадной квадратичной нели-
нейности) в работе [142]. Полная модель, которая включает в себя учет
керровской нелинейности и КД в волоконных отрезках линии и урав-
нения ГВГ для компенсирующих модулей, была развита в статье [55].
Показано, что модули ГВГ обеспечивают не только компенсацию нели-
нейности, но, что также достаточно важно, приводят к периодическому
восстановлению формы импульсов и одновременно помогают подавить
ранее упомянутый вредный эффект МСИ (межсимвольная интерферен-
ция) у совместно распространяющихся импульсов. Следуя работе [55],
ниже будут представлены основные результаты, показывающие малую
чувствительность к возмущениям передачи RZ-импульсов в этой си-
стеме.
4.2.1.	Описание модели. Система устроена таким образом, что
несущая частота оптического сигнала, распространяющегося в во-
локонной линии, является одновременно и основной частотой (ОЧ)
в параметрическом каскаде, реализующемся в у^-модуле. Параметры
модуля выбраны такими, чтобы пиковая мощность заданного входно-
го сигнала соответствовала полному каскаду преобразования 04 —>
ВГ —> 04 (здесь ВГ обозначает частоту второй гармоники), поэтому
центральная часть импульса проходит модуль, теряя пренебрежимо
малую часть энергии на генерацию остаточной компоненты ВГ, кото-
рая не может проникнуть в волокно и потому теряется. Однако для
части импульса, где энергия меньше порогового значения, та же длина
распространения в ГВГ модуле существенно отличается от длины,
соответствующей полному каскаду, поэтому потери энергии заметно
больше, чем в центре импульса. Этот механизм восстанавливает
форму импульса, отсекая его крылья. Дополнительные потери энер-
гии, связанные с деформацией импульса, компенсируются оптическими
усилителями, которые должны в любом случае включаться в полную
систему. Оптимальное устройство имеет ГВГ модуль, расположенный
непосредственно после усилителя, который делает влияние квадратич-
ной (х®) нелинейности максимальным.
4тобы разработать описанный выше подход, следует рассмотреть
уравнения, описывающие эволюцию амплитуд и и v полей 04 и ВГ
в среде, где происходит ГВГ, которые сводятся к общим уравнениям
(1.37) без слагаемых, описывающих не существенную в данном контек-
сте дифракцию. В обозначениях, несколько отличающихся от принятых
в (1.37), уравнения ГВГ имеют вид
du
dC
dv
i • *
—-гяи V,
1 .	2
—-iM — iqv,
(4.3)
(4.4)
где £ есть расстояние, пройденное в среде пучком, звездочкой обо-
значено комплексное сопряжение, х и q являются коэффициентами
квадратично нелинейного (х^) взаимодействия и фазовой расстройкой
соответственно. Ослабление за счет потерь в нелинейном кристалле
и различие групповых скоростей сигналов 04 и ВГ не учитываются,
поскольку на рассматриваемых длинах распространения оба эффекта
не играют роли. Тем не менее, модель подразумевает, что РГС должно
быть нулевым (или очень малым). Это условие оказывается необходи-
мым по различным причинам. В частности, как показано в работе [79],
условие, равносильное нулевому РГС, предусматривает уравнивание
фазовых расстроек по всем каналам в WDM системе.
Распространение сигнала в волоконных отрезках с чередующимися
знаками коэффициента ДГС, что обеспечивает компенсацию диспер-
сионного уширения импульса, описывается обычным НУШ (1.49) для
поля u(z, т), как в системе с КД. Это уравнение учитывает линейные
потери в волокне, так же как в (3.2), а также линейные усилители,
как в (3.5). Особенность модели в том, что коэффициент усиления G
различных усилителей не идентичен, поскольку усилители настроены
в каждом узле линии так, чтобы поддерживать фиксированную пико-
вую мощность сигнала, входящего в х^-модуль после усилителя, для
которого сигнал сформирован оптимальным образом, как было описано
выше. Как правило, выбранные таким образом значения коэффициента
усиления для модели с реальными параметрами лежат в в интервале
от 10 до 13 дБ.
Изменение формы импульса в х(2)-модуле описывается численным
решением уравнений (4.3) и (4.4) (сами по себе эти уравнения инте-
грируемы, но решения не выражаются явно в аналитической форме).
Беря входной импульс в форме
Uin(r) = л/Pin (т) exp [z<pin (т)], Vin(r) = 0,	(4.5)
можно получить импульс, образующийся под воздействием ГВГ:
•Uout(-r) = х/Pout (Pin (т)) exp [z {<pin (г) + A<p (pin (r))}] ,	(4.6)
где функция преобразования мощности pOut(Pin) и х1-2-1-фазовый сдвиг
A<p(pin) могут быть получены численно [55].
4.2.2.	Результаты: передача одиночного импульса. Начальный
импульс был запущен в точке z — 0, имея форму свободного от чирпа
гауссового импульса (сравните с выражением (3.30), используемого
в комбинированной модели РДН-КД)
/ т2\
«о (г) = л/ро ехр •	(4.7)
\ то J
Численное моделирование распространения импульса проводится сле-
дующим образом. Исходный импульс (4.7) проходит расстояние, соот-
ветствующее отрезку волокна между узлами, содержащими усилитель
и у(2)-модуль. Затем следует его линейное усиление согласно урав-
нению (3.5) и деформация согласно уравнениям (4.5) и (4.6). Далее
импульс попадает в следующий отрезок волокна с противоположным
знаком ДГС, и так далее. Как ранее упоминалось, коэффициент уси-
ления каждого усилителя настроен так, чтобы обеспечить постоянное
значение пиковой мощности импульса, входящего в (х(2)-модуль, в ко-
тором корректируется форма импульса.
Без КД форма импульса не может поддерживаться постоянной
на расстоянии, превышающем 10 отрезков (шагов в рассматриваемой
системе), и в большинстве случаев после прохождения восьми та-
ких периодов начинаются необратимые искажения импульса. Введение
КД, как описано выше (противоположные знаки коэффициентов ДГС
между соседними отрезками волокна), решительным образом меняет
ситуацию: при фиксированном значении коэффициента ДГС в отрезке
с аномальной дисперсией /?1 изменение коэффициента ДГС /?2 в отрезке
с нормальной дисперсией приводит к резкому увеличению расстоя-
ния устойчивого распространения импульса, причем почти мгновенным
скачком от восьми шагов до бесконечно большого их числа, когда /?2
превышает относительно малое критическое значение. Типичные ми-
нимальные величины степени КД (определенные выражением (2.25)),
рованные шумом флуктуации первоначальной пиковой мощности ро
(см (4.7) будут нарушать это условие и потому могут представлять
потенциально вредный эффект. Исследование нечувствительности си-
стемы по отношению к искажениям этого сорта показало, что режим
работы уязвим по отношению к возмущениям, которые уменьшают
первоначальную пиковую мощность ро (понижение ро на 1% может
существенно дестабилизировать передачу импульса). Однако режим
передачи довольно устойчив по отношению к возмущениям, которые
увеличивают пиковую мощность. Так в случае, показанном на рис.
4.1, импульс дестабилизируется только если его начальная пиковая
мощность увеличивается более, чем на 8%. Если начальные возмуще-
ния превышают этот критический уровень, импульс, пройдя расстояние
~ 10 периодов, расщепляется на два импульса.
Уместно заметить, что устойчивость импульса по отношению к
увеличению исходной мощности и потеря устойчивости при уменьше-
нии мощности являются приемлемой ситуацией, поскольку в случае
случайных возмущений мощности невозмущенного импульса и шума
складываются, делая тем самым полную мощность только большей,
чем в отсутствие возмущений.
4.2.3.	Совместная передача пары импульсов. В предыдущей
главе было показано, что межсимвольная интерференция, то есть по-
степенное заполнение промежутка между соседними импульсами в по-
токе несущих информацию сигналов, имеет большую практическую
важность. В представленной модели характерный для нее результат,
обнаруженный при систематическом численном моделировании, состо-
ит в том, что устойчивое распространение пары импульсов возможно
на расстояние, превышающее 16 пространственных периодов системы,
но не много больше. Отличие от случая изолированного импульса, где
устойчивая передача возможна для бесконечного числа отрезков, мож-
но объяснить следующим образом: во время распространения каждый
импульс испускает малую порцию излучения, которая воздействует
на другой импульс. Накопление этого возмущения в конечном счете
приводит к сильному искажению импульсов. Ситуацию можно было бы
исправить, если в систему добавить оптические фильтры (сравните с
ситуацией, рассмотренной в предыдущей главе для передачи солитонов
в системе с КД), поскольку фильтры поглощают излучение.
Устойчивое распространение пары импульсов возможно при усло-
вии, что временной интервал между ними превышает некоторое ми-
нимальное значение Tmin. Эта характеристика важна, поскольку она
устанавливает предел скорости передачи информации в ВОЛС. При
изменении степень КД в достаточно широком интервале 0,5 < S < 5,
было найдено, что Тт\п достигает слабо выраженного минимума на от-
резке 2,5 < S < 3,5 как показано на рис 4.2. Следовательно, когда речь
идет о подавлении взаимодействия между импульсами, оптимальным
является случай умеренного КД. Напомним, что подобное заключение
250
Степень КД
Рис. 4.2. Минимальный промежуток между распространяющимися в одном
направлении импульсами, необходимый для устойчивого прохождения (по
меньшей мере ) 16 шагов в системе, объединяющей контроль нелинейности и
контроль дисперсии, в зависимости от степени КД в системе с нулевой средней
дисперсией
справедливо также по отношению к взаимодействию солитонов в обыч-
ной системе с КД [149, 174].
4.3.	Контроль нелинейности для брэгговской решетки
и солитонов нелинейного уравнения Шредингера
4.3.1.	Введение в проблему контроля нелинейности. Щелевые
солитоны (ЩС) в волоконной брэгговской решетке (РБ) с кубической
нелинейностью, описываемой уравнениями (1.28) и (1.29), и подобные
им уединенные волны составляют отдельный класс солитонов. Принци-
пиальная разница между ЩС и солитонами НУШ в том, что последние
поддерживаются балансом между вызывающей самофокусировку ФАМ
и аномальной хроматической дисперсией. Если нелинейность само-
дефокусирующая, тогда как дисперсия остается аномальной, светлые
солитоны не существуют. Однако знак нелинейности не имеет никакого
значения в модели, описывающей ЩС, поскольку дисперсия (или ди-
фракция, см. ниже), индуцированная решеткой, включает в себя ветви
как нормальной, так и аномальной дисперсии, так что одна из них
будет в состоянии поддерживать солитоны. С учетом последнего об-
стоятельства естественно рассмотреть модель, где нелинейность может
менять свой знак, и использовать в этом случае ЩС.
Простейшая возможность реализовать знакопеременную нелиней-
ность — это взять комбинацию кубической нелинейности и нелинейно-
сти пятого порядка с противоположными знаками. Сами абсолютные
значения нелинейностей, как и ДГС, остаются постоянными. Такая
модификация стандартной модели РБ была рассмотрена в работе [20].
Как и в случае стандартной модели (1.28),(1.29) с кубической нели-
нейностью, для модифицированной модели были найдены в аналитиче-
ском виде стационарные солитонные решения, и их устойчивость была
изучена с помощью численного моделирования. Было установлено,
что семейство щелевых солитонов в модифицированной системе прин-
ципиально отличается от солитонов стандартной модели: семейство
распадается на два несвязанных подсемейства, в каждом из которых
доминирует одно из двух слагаемых, отвечающих нелинейности про-
тивоположных знаков (в соответствии с тем, что можно ожидать), и
часть каждого семейства устойчива.
Другая возможность изучать влияние знакопеременной нелиней-
ности на щелевой солитон — это обратиться к модели с нелинейно-
стью, представленной только кубическим членом, чей знак периоди-
чески меняется в зависимости от эволюционной переменной, то есть
это должна быть комбинация моделей КНЛ и РБ. Периодическое во
времени изменение знака нелинейности не является реалистической
ситуацией. Однако необходимую структуру можно осуществить для
стационарных световых пучков, распространяющихся через слоистую
структуру в планарном нелинейном волноводе.
4.3.2.	Формулировка модели. Согласно сказанному выше, рас-
сматриваемая модель описывается уравнениями
iuz + iux + 7(2)	u|2 + |г>|2) и + v = 0,	(4.8)
ivz - ivx + 7(2) Q |tj|2 + |u|2) v + и = 0,	(4.9)
где z — пройденное расстояние, которое играет роль эволюционной пе-
ременной вместо времени в уравнениях (1.28) и (1.29), х — поперечная
координата в плоскости планарного волновода. Вид уравнений (4.8)
и (4.9) означает, что волновые векторы двух несущих волн, которые
резонансно отражаются одна в другую брэгговской решеткой, образуют
равные углы с осью z. Отражающие зазубрины (или ребра), которые
образуют РБ с шагом h на планарном волноводе, ориентированы нор-
мально к оси z. При этом условие резонанса Брэгга берется в форме
(1.30). Обычной дифракцией в волноводе можно пренебречь, предпо-
лагая, что РБ приводит к более сильной искусственной дифракции.
Хотя уравнения (4.8) и (4.9) содержат явную зависимость от z, полная
мощность сохраняется:
Р =	(|u(z)|2 + |?;(z)|2) <£г.
(4.10)
—оо
Слоистая структура волновода предполагает, что коэффициент кер-
ровской нелинейности y(z) принимает положительное и отрицательное
значения 7+ и 7- в чередующихся слоях (сравните с уравнением
(ЗМ)):	Г
•*)={£: ь+<?^+:ь-.	(4“>
что повторяется периодически с шагом L = L+ + L_. Используя мас-
штабную (скейлинговую) инвариантность уравнений (4.8) и (4.9), все-
гда можно потребовать выполнения следующего условия нормировки:
L+ + L_ = l, L+7+ + L_|7_| = 1.	(4.12)
Таким образом, модель содержит два неустранимых контрольных па-
раметра, в качестве которых могут быть выбраны, например, L+ и 7+,
тогда как другие параметры находятся из уравнений (4.12):
L- = 1 - L+, 7_ = - (1 - Т+7+) / (1 - L+).	(4.13)
Заметим, что соответствующее усредненное значение коэффициента
Керра есть
_ = l+7+ + l 7 = 2L+7+ _ l	(4.14)
Ь-j- -j- L-
Интересуясь знакопеременной моделью с 7_ < 0, рассмотрим здесь
случай Т+7+	1, поскольку согласно уравнениям (4.13) он эквивален-
тен случаю 7_	0.
Из-за того что обычные широкие ЩС (1.34) с малой амплиту-
дой, в С 1, асимптотически эквивалентны широким солитонам НУШ,
естественно рассмотреть параллельно с моделью, основанной на урав-
нениях (4.8), (4.9), также пространственные солитоны НУШ с коэф-
фициентом нелинейности, имеющим ту же форму модуляции, что и
в уравнении (4.11),
1	2
iuz + -jUxx+ 7(z) |u| и = 0.	(4.15)
Сравнение результатов для щелевого солитона и солитона НУШ в этих
двух моделях будет весьма полезным при получении выводов общего
характера, представленных ниже. Кроме того, модель (4.15) интересна
сама по себе.
4.3.3.	Диаграмма стабильности брэгговских солитонов. В от-
личие от солитонов НУШ, вариационное приближение для щелевых со-
литонов очень сложно, даже если нет КНЛ [115]. Поэтому приходится
полагаться только на прямое численное решение уравнений (4.8), (4.9)
с 7(z), определенной согласно уравнениям (4.11) и (4.13). В расчетах
использована начальная конфигурация (при z = 0) в форме точного
решения для ЩС (1.34) для однородной среды, параметризованной в и
взятой при t — 0. Расчеты производились при фиксированном значении
в, тогда как контрольные модельные параметры 7+ и L+ постепенно
менялись, при условии, что L+7+	1. Затем то же самое делалось для
других значений в.
Численные результаты определяют область устойчивости для соли-
тонов на плоскости параметров (L+,7+), которая показана на Рис. 4.3.
Верхней границей области устойчивости является линия L+7+ = 1,
которая, как указывалось ранее, ограничивает рассматриваемый здесь
случай, поскольку локальный керровский коэффициент перестает быть
-40	-20	0	20	40
х
Рис. 4.4. Пример образования устойчивого солитона в брэгговской решетке со
знакопеременной нелинейностью для £+=0,5 и 7+= 1,7. Показана только
u-компонента. Объяснение нарушению симметрии наблюдаемой конфигурации
(то есть импульс малой амплитуды не имеет своего зеркально симметричного
партнера) дано в тексте
ценному в работе [168] и представленному ниже в главе 7 для (2+1 )D
(цилиндрических) солитонов в объемной (3D) слоистой среде без РБ:
там тоже конечное положительное среднее значение коэффициента
Керра необходимо для существования любых солитонов, устойчивых
или неустойчивых (см. рис. 7.1 и связанный с ним текст). Здесь будет
показано, что тот же самый результат справедлив для слоистой модели
НУШ (4.15). С другой стороны, отличие модели РБ от модели НУШ
в том, что знак нелинейности не критичен, как пояснялось выше.
Поэтому здесь существует другая область устойчивости солитонов при
отрицательных значениях среднего коэффициента Керра, то есть когда
L+7+ < 1/2 (эта область на рис. 4.3 не показана).
Образование устойчивых солитонов в этой системе сопровождается
эмиссией излучения и иногда образованием малых дополнительных
импульсов, как показано на рис. 4.4. Эмиссия излучения является
заметной в случае, когда солитон близок к нижней границе устойчиво-
сти (рис. 4.3). С другой стороны, в области неустойчивости исходный
импульс полностью распадается, превращаясь в излучение.
Диаграмма стабильности, показанная на рис. 4.3, была получена
путем численного решения уравнений (4.8) и (4.9) с использованием
начальной конфигурации (1.34) с в = 0,484 • я, что близко к предель-
ному значению из области стабильности всг «1,01- (тг/2) стандартной
модели (1.28), (1.29) с постоянными коэффициентами. Дополнительное
численное моделирование показало, что область стабильности факти-
чески нечувствительна к вариациям 0: например, уменьшение в от
0,484  тг до 0,452-тг (то есть от arccosO, 05 до arccosO, 15, если
вспомнить соотношение ш = cos в между частотой солитона в обычной
РБ (1.34) и в) не приводит ни к каким видимым изменениям формы
солитона в области устойчивости.
4.3.4.	Устойчивость солитонов НУШ с периодическим контро-
лем нелинейности. Для сравнения проявлений КНЛ в различных
моделях уместно построить диаграмму стабильности для солитонов
уравнения (4.15) с 7(2), снова взятой согласно уравнениям (4.11),
(4.13). Численные расчеты проводились с начальным условием
uq(x) = 77 sech (ух),	(4.16)
которое порождает точное солитонное решение НУШ с 7 = 1.
В результате было найдено, что для всех умеренно узких солитонов
(4.16), то есть солитонов с не очень большим значением р, соответ-
ствующая диаграмма стабильности почти неотличима от аналогичной,
показанной на рис. 4.3. Различия между моделями РБ и НУШ стано-
вятся заметными, если г] в начальном условии (4.16) велико. Можно
ожидать, что для очень узких солитонов с большими значениями р, чья
дифракционная длина ~ I/772 много меньше, чем период КНЛ L= 1,
периодическое изменение знака нелинейности, как в (4.11), являет-
ся очень сильным возмущением, которое может разрушить солитон
(сравните с ситуацией для модели РДН, представленной в предыдущем
разделе, где солитоны шириной ~ 1 не могут существовать в модели с
очень большим периодом модуляции L). Действительно, из численного
решения уравнения (4.15) с начальным условием (4.16) было найдено,
что область стабильности сильно сокращается, как показано, напри-
мер, для г) = 5 на рис. 4.5. Даже если эволюция начального импульса
(4.16) с большим г) приводит к образованию устойчивых солитонов, они
часто возникают в результате расщепления исходного импульса, как
показано на рис. 4.6. Напомним, что исходный импульс без фазовой
модуляции не расщепляется в случае интегрируемого НУШ, но его
расщепление происходит в модели РДН при условии, что энергия
импульса достаточно велика (рис. 3.5).
4.3.5.	Взаимодействие между солитонами и генерация дви-
жущихся солитонов. Взаимодействие между солитонами в модели
РБ с контролем нелинейности, основанной на уравнениях (4.8), (4.9),
(4.11) и (4.13) было изучено в работе [21]. В частности, два исходных
солитона с начальной разностью фаз Ду> притягиваются друг к другу,
если Ду> = 0 (см. рис. 4.7(a)), и отталкиваются, если Ду> = тг (см. рис.
4.7(6)) или Ду> = тг/2 (здесь не показано). Рисунок 4.7 также де-
монстрирует две другие важные особенности. Во-первых, оказывается,
что в представленной модели существуют устойчивые «движущиеся»
солитоны (в действительности они не движутся — это наклоненные
Рис. 4.7. Взаимодействие двух идентичных устойчивых солитонов с начальной
разностью фаз Ду? и начальным расстоянием между ними Дж в модели РБ
с периодическим изменением знака нелинейности, при L+ = 0,5, 7+ = 1,94.
Солитоны образованы из конфигурации (1.34) с $~ 0,484-тг (то же, что
использовано на рис. 4.4). (а) Ду? = 0, Дж = 12 (притяжение); (б) Ду? = тг/2,
Дж = 12 (отталкивание). Показана только u-компонента поля
притяжения между исходными солитонами «комок» подвержен моду-
ляционной неустойчивости. По этой причине усиление малых возму-
щений, случайно возникших при численном моделировании, приводит
к нарушению симметрии. Надо заметить, что симметрия сохраняется
в случае отталкивания, рис. 4.7(6), где никакой промежуточный комок
не образовывался *).
*) Примечание, добавленное при переводе. В недавней работе [94] был
предложен более общий механизм, объясняющий видимое спонтанное нару-
шение симметрии в столкновениях солитонов в неинтегрируемых одномерных
моделях. Он основан на несовпадении «фазового» и «амплитудного» центров
пары сталкивающихся солитонов. Этот механизм является полностью детерми-
нированным, то есть он не зависит от случайных малых возмущений, которые
могли бы спровоцировать модуляционную неустойчивость в вышеупомянутом
временно существующем «комке».
Глава 5
РЕЗОНАНСНЫЙ КОНТРОЛЬ ОДНОМЕРНЫХ
СОЛИТОНОВ В БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКИХ
КОНДЕНСАТАХ
Как пояснялось во введении, метод резонанса Фешбаха (РФ) пред-
ставляет собой очень важный экспериментальный инструмент [82, 151,
160], а также является сильным стимулом для развития теории. Метод
резонанса Фешбаха дает возможность контролировать величину и знак
длины рассеяния при атомных столкновениях в БЭК и тем самым
определять коэффициент перед кубично-нелинейным слагаемым в со-
ответствующем уравнении Гросса-Питаевского (ГП). Особый интерес
представляет возможность контролировать коэффициент при нелиней-
ном слагаемом с помощью периодически меняющегося во времени
магнитного поля, что привносит идею управления нелинейностью во
всю проблематику бозе-эйнштейновской конденсации. Для одномер-
ного случая этот метод, названный контролем с помощью резонанса
Фешбаха (КРФ), был продемонстрирован в работе [91]. Теоретический
анализ в этой работе был сфокусирован не на свойствах солитонов, а на
более общих состояниях, чья локализация обусловлена внешним полем
параболической ловушки (в экспериментах с БЭК всегда необходимы
магнитные или оптические ловушки [144]). К этому надо добавить, что
резонансное влияние гармонически модулированной во времени нели-
нейности на фундаментальный солитон и солитоны высших порядков
НУШ (без внешнего потенциала) недавно было продемонстрировано
в работе [156]. В настоящей главе представлены основные результаты
относительно локализованных в одномерных ловушках несолитонных
и солитонных состояний, контролируемых с помощью резонанса Феш-
баха.
5.1.	Периодическая нелинейность в одномерном
уравнении Гросса-Питаевского
Известно, что трехмерное уравнение Гросса-Питаевского (1.40),
описывающее БЭК, который сильно ограничен в поперечных направ-
лениях (х и у) и удерживается в слабом параболическом потенциале
П2а;2/2 вдоль продольной оси х, может быть редуцировано при помощи
усреднения в поперечной плоскости до одномерного уравнения ГП.
В нормализованном виде это эффективное уравнение выглядит следу-
ющим образом:
гщ = ~±ихх + ^П2х2и + a(i)|u|2u,	(5.1)
где и(х, £) есть 1D волновая функция. Следуя работе [91], пред-
положим, что пропорциональный длине рассеяния коэффициент при
нелинейности a(t) меняется во времени с помощью РФ так же, как
модулируется вдоль направления распространения z коэффициент при
дисперсионном слагаемом в моделях с контролем дисперсии солитонов
(см. уравнение (1.50)):
a(i) =
<21 > 0,
Я2 О
О < t < Т/2,
Т/2 < t < Т,
(5.2)
что повторяется с периодом Т. Величина аг в уравнении (5.2) может
быть как положительна, так и отрицательна, но наиболее интересен
случай а.2 < 0, когда коэффициент при нелинейности периодически
меняет знак. Величина a(i) колеблется около своего среднего значения,
так что удобно определить, исходя из (5.2), среднее «постоянное» (по-
мечено индексом de) значение нелинейного коэффициента и амплитуду
его «переменной» (с индексом ас) части формулами
^dc = 2	+ ®2) । ^ас = 2	®2) •	(5-3)
Главное отличие этой модели от рассмотренной в предыдущей главе
модели с контролем нелинейности заключается в важной роли, кото-
рую играет параболическая ловушка (см. ниже)
Наиболее естественным объектом, который можно контролировать
с помощью резонанса Фешбаха (особенно для малых средних значе-
ний а), является система, в которой происходят колебания между ос-
новными состояниями, соответствующими положительному и отрица-
тельному постоянным значениям параметра а. В первом случае (а > 0)
это состояние хорошо описывается волновой функцией Томаса-Ферми
(ТФ) [144]
uTF = ./2^-(^)2 e-i^t	(5.4)
V 2а
где /х — химический потенциал, задаваемый числом атомов в кон-
денсате. В приближении Томаса-Ферми пренебрегают кинетической
энергией одномерного движения атомов в конденсате (слагаемое ихх
в (5.1).
Во втором случае, a < 0, гауссова волновая функция, т. е. основ-
ное состояние квантового гармонического осциллятора, является есте-
ственным приближением для волновой функции основного состояния
БЭК, если только величина а не слишком велика (сильная нелиней-
ность). Численное моделирование подтверждает это предположение:
при решении уравнения (5.1) с начальным условием в виде состояния
ТФ (5.4) с a(0) = 1 возникают устойчивые осцилляции между состоя-
нием ТФ и гауссовыми конфигурациями, как показано на рис. 5.1.
Для малых величин aj и |аг| осцилляции всегда регулярные (пе-
риодические). При увеличении ai и —а^ до значений ~ 1 возбужда-
Рис. 5.1. (а) Установившиеся осцилляции между ТФ и гауссовой конфигура-
циями в конденсате, контролируемом с помощью РФ в слабой параболической
ловушке с й = 0,002 в случае Т = 2, аас = 0, аас = 0, 1 (см. определения
параметров в уравнениях (5.2) и (5.3)). (б) Зависимость от времени амплитуды
поля для аде = 0, аас = 0,1 (пунктирная линия) и адс = 0,4, аас = 0,6
(сплошная линия). В первом случае осцилляции квазипериодические, тогда как
во втором случае — хаотические
ются дополнительные частоты, осцилляции становятся хаотичными,
что сопровождается фрагментацией волновой функции в пространстве.
Последнее означает распад конденсата на мелкие «капли».
Полное описание динамики одномерного, контролируемого с помо-
щью РФ конденсата представлено фазовой диаграммой на плоскости
(ado^ac) на рис. 5.2(a) (полезно сравнить эту диаграмму с диаграм-
мой динамических состояний в модели РДН, представленной выше на
рис. 3.4). Призер (осцилляционное состояние) устойчив в области ниже
сплошной линии, разделяющей области периодических и хаотических
осцилляций в зонах I и II соответственно. В области III бризер прини-
мает форму, более близкую к состоянию ТФ, что вполне естественно,
т. к. атомы в этом случае всегда отталкиваются, поскольку адс > аас-
Наконец в области IV бризер сильно напоминает двухсолитонное ре-
шение НУШ с самофокусировкой (1.16), пример которого показан на
рис. 5.2(6). Стоит заметить, что в соответствии с тем фактом, что
2-солитон слабо нестабилен в свободном пространстве, этот бризер де-
монстрирует совершенно иное поведение в отсутствие ловушки (Q = 0):
в этом случае бризер сбрасывает « 2% своей энергии в виде излучения
и преобразуется в обычный фундаментальный солитон, показанный на
вставке к рис. 3.4(6).
Другой пример динамически контролируемого за счет РФ состоя-
ния БЭК дает инициирование узкого темного солитона (ТС) в захва-
контролируемого с помощью резонанса Фешбаха при Т = 2. (б) Осцилляции
временной формы стабильного состояния близки к 2-солитону НУШ, для
Ode = —0,4 и аас = 0,015. На вставке показано устойчивое состояние фун-
даментального солитона, полученного вместо 2-солитона в том случае, когда
ловушка отсутствует, П = 0
ценном в ловушке конденсате (ТС создает провал плотности в центре
бризера). В математической модели это может быть достигнуто посред-
ством выбора начального условия в форме и —	th се (волновая
функция ТФ задается соотношением (5.4)). Тогда возникает новое
стабильное состояние, характеризуемое совершенно иной динамикой:
центральная часть конденсата, включая темный солитон, остается
фактически неподвижной даже когда a(f) принимает отрицательные
значения, как можно видеть на рис. 5.3 (ср. с колебаниями бризера
на рис. 5.1), и только «крылья» осциллируют квазипериодически меж-
ду состояниями с меньшей и большей кривизной. Последнее может
рассматриваться как остаточные следы исходных ТФ и гауссового
состояний, соответственно. Это солитоноподобное состояние может
рассматриваться как нелинейный эквивалент первого возбужденного
состояния квантового гармонического осциллятора.
5.2.	Резонансное расщепление солитонов высоких
порядков в условиях КРФ
5.2.1.	Описание модели. Достаточно протяженный квази-
одномерный конденсат описывается уравнением ГП без ловушечного
потенциала. Простейший способ ввести КРФ в этом случае — это
добавить малое, гармонически зависящие от времени слагаемое
к большой («постоянной») части коэффициента перед кубически
где xq — координата центра солитона. Поскольку форма результи-
рующего состояния периодически меняется во времени с периодом,
задаваемым выражением (1.17) безотносительно к величине п для
п 2, то можно предполагать возникновение резонанса, если частота
модуляции в (5.5) близка к частоте, соответствующей солитонному
периоду (1.17),
= 4т/2.	(5.7)
На рисунке 5.4 изображена эволюция волновой функции, получен-
ная из начального условия (5.6) для п = 2 и г] = 1 в случае ожидаемого
резонанса при = wq = 4 (согласно (5.7)) и при амплитуде модуляции
b = 0,0005. Это слабое резонансное воздействие является достаточным
для того, чтобы расщепить 2-солитон на два фундаментальных соли-
тона. Амплитуды образовавшихся импульсов очень близки к 771 = 3
и 7/2 = 1, в точном соответствии с параметрами фундаментальных
солитонов, составляющих исходный 2-солитон (1.18). Скорости состав-
ляющих оказались соответственно равными
г?! = 0,00197, v2 = 0,0066,	(5.8)
при этом они относятся как щ : т>2 ~ 1 ; 3.
Рис. 5.4. Типичный пример расщепление 2-солитона, возникшего из начального
условия (5.6) при п = 2 и г) = 1, на асимметричную пару разбегающихся
солитонов. Это расщепление вызвано слабым КРФ с ajm = 4 и b = 0,0005. (а)
Эволюция |</?(а:, t)|. (б) Вид волновой функции при t = 1000
Похожее резонансное разбиение наблюдалось для n-солитонов с
п > 2. В частности, рис. 5.5 показывает этот эффект для начального
состояния (5.6) с 71 = 3, т/ = 0,5,	= 1, которая является резонансной
частотой в соответствии с (5.7)), и параметром модуляции 5 = 0,0005.
На этот раз расщепление порождает три расходящихся фундамен-
тальных солитона, чьи амплитуды близки к Ai = 2,5, А2 = 1,5 и
Аз = 0,5. Эти значения точно соответствуют составляющим исходного
3-солитона (при А = 0,5), как следует из (1.19). Скорости образовав-
шихся солитонов равны
и, = -0,00146, V2 = 0,0732, v3 = -0,0148,	(5.9)
Рис. 5.5. То же, что и на рис. 5.4 для 3-солитона, генерированного начальной
конфигурацией (5.6) сп = Зит? = 0,5. В этом случае вынуждающая частота
и амплитуда равны =1 и Ь = 0,0005
Эти результаты суммированы на рис. 5.6 в виде графиков, по-
казывающих минимальные (пороговые) значения амплитуды Ь, необ-
ходимые для расщепления 2- и 3-солитонов, как функции частоты
модуляции wm. Как видно из рисунка, эти зависимости имеют выра-
женный резонансный вид с резким минимумом на частотах, предска-
занных соотношением (5.7). Аналогичные результаты были получены
для n-солитонов при п = 4 и 5.
Ь
0,003
0,0025
0,002
0,0015
0,001
0,0005
0
0,9 0,95	1	1,05 1,1
и
Рис. 5.6. Минимальные значения амплитуды Ь, необходимые для иницииро-
вания распада 2-солитона (а) и 3-солитона (б), в зависимости от частоты
модуляции wm. Начальные условия взяты в форме (5.6) при, соответственно,
п = 2 и т? = 1 и п = 3 и т? = 0,5. В обоих случаях резкий минимум точно
соответствует резонансной частоте, определяемой формулой (5.7)
5.2.3.	Аналитические результаты. Амплитуды и скорости фун-
даментальных солитонов, на которые распадаются солитоны высоких
порядков, могут быть получены аналитически. Как ранее упоминалось,
величины амплитуд вторичных солитонов совпадают со значениями
амплитуд составляющих исходного тг-солитона, заданных выражения-
ми (1.18) и (1.19). Однако скорости возникающих фундаментальных
солитонов не могут быть предсказаны таким же путем, т. к. согласно
методу ОЗР, который правильно предсказывает величины амплитуд
применительно к уравнению (5.5) при b — 0, скорости должны быть
нулевыми.
Тем не менее, как амплитуды, так и скорости для семейства сфор-
мировавшихся солитонов могут быть вычислены иным путем с исполь-
зованием точных и почти точных законов сохранения для уравнения
(5.5). Имеются два точных динамических инварианта, норма (1.44) и
импульс (1.11), и дополнительно к ним три приближенно сохраняю-
щихся величины: гамильтониан (1.9) и два инварианта более высоких
порядков (1.12) и (1.13). Из-за коэффициента перед нелинейностью
(5.5), содержащего малую переменную часть, эти три величины сохра-
няются только приблизительно.
В случае расщепления 2-солитона (5.6) с амплитудой т] точное
сохранение нормы и приближенное сохранение гамильтониана да-
ют следующие соотношения между г] и амплитудами 771,2 возника-
ющих в этом процессе фундаментальных солитонов: 4г] = гц + 772 и
28т73 ~ 773 + 772. В последнем соотношении пренебрегается кинетической
энергией формирующихся солитонов. Эти два соотношения немедленно
дают ту! = З77 и 772 = т], что соответствует как упомянутым выше чис-
ленным результатам, так и предсказаниям, основанным на выражении
(1.18) для 2-солитона. Более того, точный закон сохранения энергии
дает соотношение, включающее скорости «1,2 вторичных солитонов:
771«1 +7/2^2 = 0. С учетом отношения 771/772 — 3 получаем vi/vz = —1/3,
что хорошо соответствует численным результатам (5.8), хотя и не
определяет абсолютных значений скоростей солитонов.
Подобным образом в случае расщепления 3-солитонов точное со-
хранение нормы N и приблизительное сохранение Н и Д (см. (1.13))
дают следующие соотношения, где вновь пренебрегается малым кине-
тическим слагаемым из-за малости наблюдаемых скоростей:
97/ = 7/1 +7/2 +7/з,
153т/3 RS 7/J + 7/2 + 7/з,	(5.10)
3369т/5 « т/J + 7/^ + Т/f.
Решение этой системы алгебраических уравнений есть т/i = 5т/, 772 =
— Зт/, A3 = т/, то есть те же значения, что были найдены при прямом
численном решении эволюционного уравнения и которые могут быть
найдены в соответствии с предсказаниями метода ОЗР (1.19). Законы
сохранения для Р и Ц порождают следующие соотношения:
7/1 Vi + 772^2 + 7/з«3 = О,
(W - rftvi) + (772^2 - ^2) + (773V3 - ^з) = 0.
Если скорости i)| 2 малы, то отсюда следует, что vi/v? = ——
- WWi - mill') = -1/5, И v3/v2 = -(т/f - 77277?)/(77з - 77377?) = —2.
Эти отношения находятся в согласии с численными результатами (5.9).
5.3.	Резонансные осцилляции фундаментального
солитона в периодически модулированной ловушке
Помимо периодической модуляции длины рассеяния, определяющей
коэффициент нелинейности уравнения ГП (метод КРФ), существует
другая экспериментально реализуемая возможность управления дина-
мическими состояниями в одномерном бозе-конденсате. Этот метод,
предложенный в [71, 72], состоит в периодической во времени модуля-
ции величины магнитного поля, определяющего параметры потенциала
параболической ловушки. Соответствующее нормализованное уравне-
ние ГП имеет вид
+ l^l2^ = t1 +Ecos(wmi)]T2'0, (5.11)
где взаимодействие отвечает притяжению между атомами БЭК, аги
задают амплитуду и частоту модуляции (ср. с (5.5)). Модуляция
ловушки в качестве одного из эффектов может привести к резонансу
с гармоническими осцилляциями, которые солитон как квазичастица
совершает в постоянном параболическом потенциале. В этой связи сто-
ит упомянуть, что щелевые солитоны, поддержанные дополнительным
потенциалом в форме оптической решетки в БЭК с отталкиванием(см.
их описание во введении), имеют отрицательную эффективную мас-
су. Таким образом эти щелевые солитоны могут совершать устойчивые
колебания в инвертированном параболическом потенциале, соответ-
ствующем антиловушке в 1D [154] и 2D [155] случаях.
5.3.1.	Быстрая периодическая модуляция. Одномерное урав-
нение ГП с периодически модулированным во времени потенциалом
магнитной ловушки было детально изучено в работе [6] для случая
быстрой модуляции с высокой частотой а)т. В упомянутой работе
потенциал U(x) мог быть более общего вида, чем U(x) = х2 в (5.11).
В этом случае общее решение можно искать в виде
ф(хЛ) = ^siowCM) + Xrapid(i,i),	(5.12)
где слагаемые xrapid(a:,£) и Ф5]ож(1, t) представляют, соответственно,
быстрые осцилляции волновой функции вследствие высокочастотной
модуляции потенциала и медленно меняющуюся основную часть ре-
шения. Подстановка этого выражения в уравнение (5.11) и выделение
медленно и быстро меняющихся слагаемых позволяет найти XrapidC^, О
из линеаризованного уравнения ГП. Затем методом усреднения может
быть выведено эффективное уравнение для медленно меняющейся ча-
сти решения. В результате, с использованием дополнительного преоб-
разования для медленно меняющейся части решения (5.12)
Ф2(т, f) =
=• \2	1	„
—) Щх) Ф2(т,г)
(5.13)
2
(здесь U(x) — постоянная часть потенциала, например, как говорилось
выше, U(x) = х2), уравнение принимает окончательный вид
,дФ , 1 э2ф , ,,|2л
а+2^ + 1ф1ф =
(5.14)
Это уравнение содержит постоянный потенциал, который, однако,
отличается от исходного U(x), поскольку включает дополнительное
возникшее из-за процедуры усреднения, слагаемое ~ ([/'(т))2 (штрих,
как обычно, означает производную). Заметим, что если U(х) = х2,
дополнительное слагаемое в потенциале также оказывается параболи-
ческим. Пример эффективного потенциала ловушки показан на рисун-
ке 5.7.

0,01
-10	0	10
X
Рис. 5.7. Пример модифицированного из-за слабой модуляции потен-
циала (5.14) (пример взят из статьи [6]). Исходный потенциал
1/(х) = —0,05sech(0,6х) показан пунктиром. Большие значения е = 180 и
Q = 10 позволяют представить результат в наглядной форме. Входящий в урав-
нение (5.14) полный эффективный потенциал показан сплошной линией. За-
метим, что эффективный потенциал имеет два локальных минимума в точках
х = ±i| = 3,96
Интересным следствием уравнения (5.14) является возможность
стабилизировать конденсат в инвертированном параболическом потен-
циале ловушки U(x) = —Сх2 с положительной константой С. Как
следует из (5.14), полный потенциал становится нормальным (неинвер-
тированным) при условии С(е/шт)2 > 1.
5.3.2.	Резонансы в колебаниях солитонов в периодически мо-
дулированной ловушке. Аналитические подходы. Высокочастотное
воздействие, рассмотренное в предыдущем подразделе, не может при-
вести к резонансам. С другой стороны, периодическая модуляция на
средних частотах, соизмеримых с собственными частотами коллек-
тивных колебаний конденсата в ловушке, может вызвать резонансы.
В частности в ряде работ [7, 71, 72] были изучены параметрические
резонансы (ПР), возникающие при периодической модуляции одно-
мерных, двухмерных и трехмерных ловушек, содержащих конденсат
отталкивающихся атомов.
Другая возможность исследовать ПР при движении солитонов в од-
номерном конденсате с притягивающим взаимодействием между ато-
мами была использована авторами статьи [22]. Основные нижеприве-
денные результаты взяты из этой работы.
Предположим, что ловушка эффективно мелкая, так что солитон
может быть аппроксимирован обычным солитоном НУШ (2.6), что
в используемых здесь обозначениях выглядит как
ip(x, t) = т] sech а ехр (г]1/5 + w(x ~ С) + Ь(х ~ С)2]) >	(5.15)
где т], a, b, р, w, £ представляют собой вещественные, зависящие от вре-
мени величины амплитуды, ширины, чирпа фазы, волнового числа и
координаты центра солитона. Применение стандартного вариационного
приближения (ВП) приводит к следующей системе динамических урав-
нений:
а = -^з - ^2 - 2 [1 + £cos(wmf)] а,	(5.16)
тг а л~а
£ =-2[1+ecos(wmf)]£,	(5.17)
где Na = 2р2а — сохраняющаяся норма, пропорциональная числу ато-
мов в конденсате, а точка означает производную по времени d/dt.
Другие динамические переменные задаются соотношениями w = £
и b = d/(2a). (Сравните эти выражения с уравнениями (2.11)—(2.13)).
Уравнение (5.16) равносильно уравнению, которое было выведено
для коллективных колебаний в одномерном БЭК с отталкиванием,
удерживаемом в периодически модулированном потенциале ловуш-
ки [7].
Уравнения, подобные (5.16) и (5.17), могут быть получены при
помощи метода моментов в совершенно другой задаче, а именно при
исследовании эволюции оптического пучка в нелинейном волокне
с переменным коэффициентом преломления [147]. В этой работе бы-
ли предсказаны сильные резонансы в осцилляциях ширины пучка
в случае, когда коэффициент преломления волокна представляет собой
кусочно-постоянную периодическую функцию координаты вдоль оси
волокна, что качественно схоже с периодической модуляцией потенци-
ала ловушки в уравнении ГП.
Тот факт, что уравнение (5.17) для координаты центра солитона
не связано с уравнением для ширины солитона, есть общий резуль-
тат, который справедлив независимо от применимости вариационного
приближения. Действительно, уравнение (5.17) для координаты центра
тяжести солитона, которая определяется как
+оо
CW = x\ijj(x,t)\2dx,
—оо
(5-18)
может быть выведено как точное следствие уравнения ГП с завися-
щим от времени параболическим потенциалом (напомним, что N —
сохраняющаяся норма солитона). В сущности, это есть следствие тео-
ремы Эренфеста (Ehrenfest) применительно к рассматриваемой задаче.
Справедливость этой теоремы для НУШ с параболическим потенциа-
лом была доказана в работе Хассэ [81]).
Здесь уместно привести точный вывод уравнения (5.17). Во-первых,
необходимо продифференцировать выражение (5.18) по времени, заме-
нив на полное выражение, следующее из одномерного уравнения
ГП, например (5.11). Легко видеть, что для уравнения ГП с любым
внешним потенциалом, включая и зависящий от времени потенциал,
эта операция дает следующие равенство:
где Р — импульс, определенный согласно интегральному выражению
(1.11), переписанному в используемых здесь обозначениях. Далее,
дифференцирование интегральной формулы для Р по времени дает
другой точный результат:
+оо
^ = -	U\x)\ip(x)\2dx,	(5.20)
— ОО
где U(x) — потенциал в уравнении ГП. Поскольку норма N в настоя-
щем случае сохраняется, подстановка Р — Nd£/dt из (5.19) в уравне-
ние (5.20) дает
+оо
= j U'(x)\^x)\2dx.	(5.21)
— ОО
Наконец, подставляя U(x) — [1 + scos(wmt)] х2 в (5.21) и учитывая
снова определение (5.18), можно получить уравнение (5.17).
Уравнение (5.17) есть в точности классическое линейное уравнение
Матье (УМ) [12]. Общеизвестно, что УМ описывает параметрические
резонансы, когда шт близка к величинам
щ^ = 2\/2/п,	(5.22)
где п = 1 и п > 1 (п целое) соответствуют основному резонансу и
резонансам более высоких порядков. Уравнение (5.16), которое также
приводит к резонансам, фактически может рассматриваться как нели-
нейное обобщение УМ.
По поводу уравнения (5.16), которое не является точным, но спра-
ведливо только в рамках ВП, важно упомянуть, что в пределе малой
плотности (Ns С 7г2а2/2) второе слагаемое в правой части уравне-
ния может быть опущено. Соответствующее упрощенное уравнение
эквивалентно точному уравнению для ширины солитона, выведенному
в [72] из двумерного уравнения ГП с отталкивающей нелинейностью
и параболическим потенциалом магнитной ловушки. В одномерном
и трехмерном случаях подобных точных уравнений не существует.
Известно, что решения упомянутого уравнения могут быть выражены
с помощью точного преобразования через решения линейного УМ.
Следовательно в пределе, когда основное ГП уравнение переходит в
линейное уравнение Шредингера, что соответствует Ns —> 0, парамет-
рические резонансы в (5.16) точно такие же, что и в (5.17). Однако
в общем случае для конечных значений Ns уравнение (5.16) не сво-
дится к линейному уравнению Матье.
Численные результаты. Тривиальное решение уравнения Матье
(5.17), £ = 0, теряет устойчивость в определенных областях плоскости
параметров (wm,E), близких к точкам ПР (5.22) [12]. В этом случае
решение описывает колебания с постоянно растущей амплитудой. С
другой стороны, решения уравнения (5.16), которое есть нелинейное
обобщение УМ, всегда являются осциллирующими. Очевидно, что
тривиальных (нулевых) решений у этого уравнения нет. Можно пред-
положить, что вблизи точек (5.22) периодические решения последнего
уравнения становятся неустойчивыми, что проявится в неограниченном
росте амплитуды осцилляций («раскачиванию»). Однако отличие от
линейного УМ должно заключаться в периоде раскачки: решение a(f)
уравнения (5.16) не может пройти через ноль, т. к. ширина импульса
всегда положительна, и в случае большой амплитуды колебаний кри-
вая a(t) будет внезапно «разворачиваться» в окрестности точки а = О
вместо проникновения в нефизическую область а < 0. Это означает,
что период раскачки решения (5.16) должен равняться половине соот-
ветствующего периода решения линейного уравнения 5.17.
Последнее предположение подкрепляется численным решением
уравнения (5.16). Действительно, возникшая из-за ПР нестабильность
всегда проявляется в численном моделировании как постоянный рост
амплитуды осцилляций. Это определение делает идентичными начало
развития неустойчивости в (5.17) и в (5.16), поскольку для больших а
и, соответственно, больших амплитуд осцилляций оба уравнения почти
одинаковы, за исключением упомянутой особенности в (5.16), когда
a(t) отскакивает от точки а = 0 и уходит в область положительных
значений. Таким образом в системе предполагается наличие двойного
параметрического резонанса.
Рис. 5.8. Пример двойного резонанса в колебаниях солитона, описываемо-
го уравнением (5.11). Гармоническая ловушка периодически модулирована
на частоте фундаментального резонанса шт = 2\/2 (см. (5.22) с ампли-
тудой е = 0,2. Численное решение производилось для начального условия
фо(х) = sech(i — 0,5) (начальное смещение солитона от центра ловушки,
х = 0, инициирует колебания). Соответствующие результаты для £(i) и a(i),
показанные сплошными линиями, получались из (5.18) и (5.23). Для сравнения
пунктирными линиями показаны результаты решения обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (5.17) и (5.16)
При численном решении уравнения в частных производных для пол-
ной модели (5.11) вызывает интерес проявления двойного ПР, предска-
занного в рамках приближения, основанного на системе обыкновенных
дифференциальных уравнений (5.17) и (5.16). Напомним, что в этой
системе только первое уравнение является точным. Действительно,
двойной резонанс наблюдался при непосредственном численном моде-
лировании в виде роста амплитуды колебательного движения солитона
(внешняя нестабильность), сопровождающего постоянное увеличение
амплитуды внутренних колебаний солитона (внутренняя нестабиль-
ность). Для обнаружения последнего эффекта зависимость £(t) была
получена из результатов численного решения уравнения в частных
a(t) от колебаний, предсказанных в (5.16). Что касается связи с экс-
периментом, то поглотители имитируют испарение атомов из ловушки
конечных размеров, что является реальным физическим эффектом.
Результаты систематического исследования путем прямого числен-
ного решения уравнения (5.11) суммированы в виде карты зон неста-
бильности на плоскости параметров (шт,е), представленной на рис.
5.9. Показанные на рисунке зоны обнаруживают три раздельных ПР,
а именно: основной ПР при — 2,82, очевидно соответствующий
п — 1 в (5.22), и два ПР более высокого порядка при =1,41
и ит — 0, 94, которые соответствуют п = 2 и п = 3 соответственно.
Скорость нарастания неустойчивости быстро падает для резонансов
высоких порядков, что объясняет, почему не удается легко обнаружить
ПР с п > 3 в длящихся также конечное время. Это также объясняет
тот факт, что «языки» нестабильности, соответствующие ПР с п = 2 и
3 не простираются до очень малых значений е на рис. 5.9.
Границы областей внутренней нестабильности на рис. 5.9 в це-
лом близки к границам внешней нестабильности. Напомним, что эти
границы строго эквивалентны границам нестабильности на плоскости
параметров для обыкновенного УМ. Исключение составляет заметный
сдвиг вверх для всех зон внутренней нестабильности, включая ту,
для которой фундаментальный ПР приходится на а>т — 2,82. При-
чиной этого сдвига являются вышеупомянутые радиационные потери,
которые можно интерпретировать как эффективную диссипацию. Со-
ответственно для нелинейного уравнения Матье со слабым затуха-
нием вместо (5.16) следовало бы предложить более аккуратное при-
ближение. Известно, что слабое трение действительно сдвигает зоны
нестабильности УМ вверх по е, не затрагивая в первом приближении
резонансные частоты [150].
И наконец, следует подчеркнуть, что хотя рис. 5.9 демонстрирует
то, что было определено как зоны нестабильности, солитон, даже
после того как амплитуда внутренних колебаний начинает расти, не
распадается. Он остается когерентным, хотя и не стационарным,
объектом. В конечном счете этот солитон разрушится, но только когда
он достигнет краев области интегрирования, которые моделируются
поглощающими стенками.
Глава 6
КОНТРОЛЬ КАНАЛИРОВАННЫХ СОЛИТОНОВ:
ВОЛНОВОДНАЯ-АНТИВОЛНОВОДНАЯ СИСТЕМА
6.1. Введение в предмет
Простейший способ стабилизировать и направить пространственные
оптические солитоны — это использовать для них каналы в виде
волноводов (ВВ), то есть полосок в нелинейных планарных волно-
водах с локально измененным (увеличенным) показателем преломле-
ния (ПП). Многоканальные системы изготавливаются как множество
(иногда говорят «линейка») параллельных волноводов. Антиволноводы
(АВВ) — это структуры с инвертированным по отношению к обычному
волноводу распределением линейного ПП между сердцевиной волново-
да и окружающим ее диэлектрическим слоем, как было рассмотрено
в статье [75] и указанных там ссылках. В линейном приближении
свет покидает сердцевину АВВ, концентрируясь в окружающем (по-
кровном) слое. Однако при условии, что мощность пучка превышает
определенное пороговое значение, световой пучок может быть захвачен
антиволноводом из-за керровской нелинейности, которая приводит к
локальному изменению ПП. Достоинством АВВ является то, что они
могут иметь очень малый поперечный размер (диаметр) как сердцеви-
ны, так и захваченного светового пучка, вплоть до величины порядка
длины волны [75].
Распространение света в антиволноводе всегда неустойчиво, однако
неустойчивость может быть достаточно умеренной, будучи приемлемой
для схем с полностью оптическим переключением между каналами
[75, 76]. В частности эффективный способ локального (в том месте, где
требуется произвести переключение) контроля неустойчивости обес-
печивает так называемая «горячая точка» (ГТ) [117]. То есть пятно,
которое создается и управляется с помощью лазерного пучка, осве-
щающего волноводную структуру в перпендикулярном направлении и
сфокусированного в нужное место на оси АВВ. Из-за эффекта ФКМ
пятно притягивает распространяющийся в антиволноводе сигнал (см.
рис. 6.1).
В работе [86], был предложен новый тип нелинейной волновод-
ной структуры, которая, наряду с обычной для АВВ возможностью
создания переключателей, может обеспечить устойчивую передачу оп-
тических сигналов не любое необходимое расстояние. Эта структура
представляет собой систему периодически соединенных секций АВВ
и ВВ. Такой волновод с чередованием свойств или альтернирован-
ный волновод, или просто чередующийся волновод, очевидно принад-
лежит классу периодически неоднородных систем. Фактически сама
концепция этого класса впервые была выдвинута в той же статье, где
были предложены чередующиеся (альтернированные) волноводы [86].
Объединяющим принципом для этого класса, который был сформу-
лирован в этой статье и развивается в настоящей книге, является
сильная устойчивость солитонов в таких системах, в противополож-
ность ожиданию a priori, что когерентные импульсы должны были бы
быстро разрушаться, распространяясь в сильно неоднородных струк-
турах. В этой главе представлены основные аналитические и числен-
ные результаты для канализованных (channeled) пространственных
солитонов, захваченных в чередующихся (альтернированных) волно-
водах [86].
6.2. Чередующаяся волноводная структура
Чередующийся волновод — это направляющая структура в виде канала
с одинаковыми для сердцевины и покровного слоя коэффициентами
Керра и периодической модуляцией показателя преломления п = по +
+ <5n(z,i) вдоль оси распространения (z), как показано схематически
на рис. 6.1:
/ г. \	\ Г 6п+ >0, в ВВ сегментах ,,
z) = n(x=0, z)—n(x=oo, z)= < с п	«пп	(6.1)
’ v	v	1 йп- <0 в АВВ сегментах v ’
(величины 6п+ и |<5п_| в общем случае различны). Предполагается, что
ПП покровного слоя постоянный, п(х = оо, z) = по, так что модуляция
п присутствует только в сердцевине. Типичная область физически ра-
зумных значений изменений ПП в волноводах сводится к |<5п| ^0,01.
В обычном параксиальном приближении эволюция локальной ам-
плитуды электромагнитной волны Ф(х,z) удовлетворяет простран-
ственной версии НУШ, нормированная форма которого имеет вид
(сравните с уравнением (1.27))
^ + Й = [Е + ^:г’^ф-|ф|2ф-	(6'2)
UZ ох
где Е — постоянная распространения (волновое число) и U(x, z) ~
~ по$п(х, z) — эффективный потенциал канала. Секции системы
с U < 0 (потенциальные ямы) и с U > 0 (потенциальные барьеры)
отвечают, соответственно, сегментам ВВ и АВВ. Подробный вывод
уравнения (6.2) из полного волнового уравнения можно найти в ста-
тье [86].
Как известно, профиль ПП, созданный с помощью диффузной тех-
нологии, которая используется для изготовления сердцевины ВВ/АВВ,
или ABB) системе. Тем не менее устойчивость пространственного со-
литона (пучка), распространяющегося в альтернированной структуре,
в которой чередуются волновод и антиволновод, при малом значении
степени чередования А можно исследовать аналитически. Действи-
тельно, в этом случае можно применить теорию возмущений, в которой
пучок трактуется как квазичастица [106]. Соответствующее пучку
решение уравнения (6.2) с потенциалом (6.4) ищется как
Ф(х, z) — exp [iqx + i<p(z)] Фо(х - С(г))>	(6-6)
где Ф0(а;) = V2Esech (\ZSz) — форма пространственного солитона
в однородной среде, y?(z) — его фаза и £(z) — малое отклонение от
центра солитона. Для подстановки (анзатца) (6.6) теория возмущений
в нижнем порядке дает динамическое уравнение
d2₽ _ A(z) dW
dz2~ M d£ '		’
где эффективная масса и потенциал квазичастицы даются выражения-
ми
М =
= W) =
[ФоО-£)]2 f(x)dx (6.8)
(отдельное уравнение для фазы y?(z) здесь не представлено, поскольку
оно не используется в анализе).
Чтобы изучить устойчивость пучка, направляемого каналом, доста-
точно линеаризовать уравнение (6.7) относительно £(z), что дает
$ = н<ы>
Здесь Uq1 = (dU/d£) |^=о, и ПРИ условии (6.5)
2/ ч _ f (U0'/M)A+	в ВВ сегментах
Ш 2	1 — (Ц//А7) |А_| =-чА, в АВВ сегментах.
(6-10)
Уравнение (6.9) описывает чередование устойчивых осцилляций с
частотой а)+ в ВВ-сегментах и неустойчивой эволюции с инкрементом
неустойчивости в сегментах АВВ. Чтобы судить об устойчивости
или неустойчивости каналированного пучка в целом, необходимо найти
явное решение и на его основе сделать вывод, удерживается ли пучок
в среднем при прохождении большого числа ВВ-АВВ ячеек или нет.
Это подразумевает решение уравнения (6.9) внутри каждого интерва-
ла, где w(z) постоянна, и затем сшивку решений, используя условия
непрерывности £(z) и dtjdz на каждом скачке между различными
сегментами.
Решения внутри ВВ и АВВ сегментов имеют, соответственно, фор-
му
Cwg(^) = а+ cos (ш+г) + b+ sin (ш+г),	(6.11)
Cawg(^) = a- ch (w+z) + &- sb (w+z).	(6-12)
с произвольными константами a± и b±. Из условий непрерывности £(z)
и dtjdz следует система соотношений между этими константами. Най-
ти их не представляет особого труда. Если сегмент АВВ предшествует
сегменту ВВ, то эти соотношения таковы:
а_ = a+cos(w+L+) + b+sin(w+L+),
Ь_ = (ш+ /ш_) [—а+ sin (ш+£+) + Ь+ cos (ш+£+)],
и в противоположном случае
а+ — a- ch (ш_£_) + b- sh (ш_£_),
Ь+ — (ш_/ш+) [а_ sh (ш_А_) + b- ch (w_L_)],
где L+ и L- являются длинами сегментов ВВ и АВВ соответственно
(их отношение часто называют скважностью (duty cycle)).
Композиция двух линейных преобразований (6.13) и (6.14) дает
отображение, которое описывает преобразование амплитуд а± и Ь±
после прохождения всей ячейки структуры чередующихся волноводов.
Оно принимает матричную форму:
(cos х+ ch х- — — sin х+ sh х- sin х+ ch X- + — cos х+ sh X- \
Ш—	UJ—	|
-sinx+chx- + — cosx+shx- cos х+ch X-+ — sin х+sh X- /
где x± = w±^±- Устойчивость захваченного пучка определяется муль-
типликаторами отображения, то есть собственными значениями р\^
матрицы. Условие стабильности имеет вид неравенства |/xi,2|	1. кото-
рое должно выполняться для обоих собственных значений одновремен-
но. Поскольку рассматриваемая система консервативная, единственно
возможным условием устойчивого распространения является точное
равенство обоих значений |лм.2| единице.
Элементарное вычисление собственных значений дает
М1,2 = т/2±Ут2/4 - 1,	(6.15)
где т — след матрицы,
т — 2соз(ш+£+)сЬ(ш_£_) +
+	— и>+) (ш+ш_)-1 sin (ш+£+) sh (w_L_) . (6.16)
Как следует из уравнений (6.15) и (6.16), условия устойчивости |//i,2| —
= 1 реализуются, если |т|	2, или в явной форме
cos (w+L+) ch (<jJ_L_)
2	2
cj+ — CJ
2w+cj_
sin (w+L+) sh (cj_£_)
sjl. (6.17)
Это неравенство представляет всю область стабильности в явной форме
согласно аналитической аппроксимации. Заметим, что условие (6.17)
тривиально выполняется в случае однородного волновода, L_ = 0, и
определенно не выполняется в противоположном случае однородного
ABB, L+ = 0.
Легко найти минимальную величину длины (L+)min сегмента ВВ,
которая необходима, чтобы получить устойчивость при заданных зна-
чениях параметров L_ и как следует из (6.17),
(L+)min =arccos /	1	—	-
у у ch2 (w_L_) + Q2 sh2 (lu_L_) J
— arctg (Qth (w_L_)), (6.18)
где Q =	— и?.) / (2w+<jj_). Легко показать, что выражение (6.18)
всегда положительно. Заметим, что оно остается конечным в пределе
L_ —> оо, что объясняется возможностью найти специальное значение
параметра w+L+, такое, что волноводный сегмент, вставленный меж-
ду двух антиволноводных сегментов, перемешивает собственные моды
так, что отвечающая неустойчивому собственному значению +ш_ мода
в сегменте АВВ, предшествующему сегменту ВВ, переходит в моду, со-
ответствующую устойчивому собственному значению —следующего
сегмента АВВ. Фактически смешивание устойчивой и неустойчивой
собственных мод антиволноводного сегмента волноводными сегмен-
тами является механизмом, который делает возможным устойчивое
каналирование пучка в альтернированной структуре.
Интересным следствием условия стабильности (6.17) является
то, что захваченный пучок не усиливается монотонно с ростом
скважности L+/L- волноводных и антиволноводных сегментов. На-
пример в случае а>2+ = ш2_ неравенство (6.17) принимает форму
|cos (w+L+)| sech(w_L_). Если увеличивать L+, удерживая фикси-
рованным £_, последнее условие реализуется в интервалах
arccos [sech (w_L_)] + 2тгп w+L+
— arccos [sech (w_L_)] + 2тг(п +1), (6.19)
п = 0,1,2,..., и оно не реализуется в промежутках между этими
интервалами. Объяснение состоит в том, что даже если длина анти-
волноводного сегмента очень мала, существуют некоторые значения
отношения L+/L_, которые могут быть произвольно большими, около
которых захваченный пучок неустойчив. Немонотонная зависимость
устойчивости от скважности подтверждается численными результата-
ми, представленными в следующем разделе.
6.4. Численные результаты
6.4.1. Распространение пучка в альтернированной структуре.
Аналитические результаты, представленные в предыдущем разделе,
позволяют надеяться, что захваченные пучки могут быть устойчивыми
в альтернированной структуре, но окончательные результаты, касаю-
щиеся их устойчивости, могут быть получены только в прямом чис-
ленном моделировании. Реалистичный профиль входного пучка может
быть гауссовым:
Ф(г = 0) = Сехр[—(т/ст)2].	(6.20)
Расчеты показывают, что наиболее благоприятный результат, то есть
неограниченное устойчивое распространение с самыми короткими
вставками стабилизирующих волноводных сегментов, может быть по-
лучен при равных длинах волноводного и антиволноводного сегментов
(50% скважность). При этом обе длины оказываются того же порядка,
что и ширины сердцевин. Оценка показывает, что соответствующие
длины волноводного и антиволноводного сегментов в физических еди-
ницах должны принимать значения, близкие к ~ 25А, где А — длина
несущей волны [86]. Типичный пример таким образом стабилизирован-
ного распространения в чередующемся волноводе показан на рис. 6.2.
Там же для сравнения показано неустойчивое распространение в од-
нородном антиволноводе (фактически последний случай отвечает наи-
менее неустойчивому распространению в однородном антиволноводе).
6.4.2. Переключение пучков «горячей точкой». Вышеупомя-
нутая «горячая точка» (ГТ) может вызвать переключение, вытолкнув
пучок из сердцевины волновода в покровный слой в необходимом месте
волновода. При численном моделировании ГТ бралась как небольшое
возрастание показателя преломления (10“2 — 10-3)|<5п| в локальной
области антиволноводного сегмента, имеющей размер 1 х 1 в нор-
мированных единицах, причем 6п такое же, как в уравнении (6.3).
Эффективная сила ГТ, соответствующая этим величинам параметров,
достаточна для контроля переключения. В физических единицах это
означает, что полная мощность пучка, создающего «горячую точку»,
должна быть между 1% и 0, 1% от мощности сигнального пучка. Эта
мощность, хотя и мала, намного превышает уровень флуктуаций, то
есть флуктуации не могут случайно переключать пучок. Подробные
численные расчеты показывают, что фактически такой же эффект
переключения создается другими формами распределения возмущения
распространения, поскольку для переключения большое расстояние не
требуется.
На рис. 6.3 показано большое число частных реализаций пере-
ключения влево и вправо при различных значениях z, наложенных
друг на друга. Каждый раз положение переключения выбрано путем
помещением ГТ в соответствующее место, как показано выше на
рис. 6.1. Заметим, что ГТ на рис. 6.3 всегда располагалась около конца
антиволноводного сегмента, ближе к началу следующего волноводного
сегмента. Поскольку было найдено, что ГТ действует наиболее эффек-
тивно в этом положении, сила ГТ может быть соответственно мини-
мизирована. Легко понять, что наибольшая чувствительность пучка
в воздействию «горячей точки» будет именно в этом месте, поскольку
потенциальная неустойчивость накапливается на конце антиволновод-
ного сегмента.
Глава 7
УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ
СОЛИТОНОВ В ОБЪЕМНЫХ КЕРРОВСКИХ
СРЕДАХ С ЧЕРЕДУЮЩЕЙСЯ
НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
7.1.	Описание модели
Обычное (2+1)-мерное НУШ, определяющее пространственную эволю-
цию световых сигналов в объемных (3D) оптических материалах с
(керровской) нелинейностью, не имеет решений в виде устойчивых
пространственных солитонов в форме цилиндрических пучков: если
нелинейность самодефокусирующая (отрицательная), то любой пучок
расплывается, тогда как в случае самофокусирующей (положитель-
ной) нелинейности существует решение в виде стационарного пучка
с критической величиной его мощности, что было показано Чиао,
Гармире и Таунсом в 1964 году. Фактически это был первый пример
солитона, рассмотренного в нелинейной оптике, и он часто упомина-
ется как солитон Таунса (СТ). Однако этот солитон неустойчив из-за
наличия критического коллапса в решениях 2D НУШ [29, 162]. Тем
не менее в работе [30] с помощью численных расчетов было показано,
что пучок может оказаться до некоторой степени устойчивым, если
коэффициент нелинейности в 2D НУШ подвергается слабой простран-
ственной модуляции вдоль направления распространения. При этом
критическое значение мощности, отвечающее наступлению коллапса,
колеблется, становясь то выше, то ниже мощности пучка, которую
можно считать постоянной, если пренебречь потерями на излучение.
В результате пучок может распространяться на большие расстояния,
хотя в конце концов он разрушится из-за неустойчивости.
Модель сильного КНЛ (контроля нелинейности) для объемных сред
с периодически меняющимся знаком локального керровского коэффи-
циента (таким же, как в 1D НУШ (4.11)) была предложена в ста-
тье [168]:
+ 7(z)|u|2u = 0,	(7.1)
7(z) = /7+’	0<z<L+
м '	1 7-, L+ < z < L+ + L-,	v ’
где дифракционный оператор действует на поперечные координаты
I и у. Основной результат работы [168] заключается в том, что эта
модель допускает существование вполне устойчивых (2+1)-мерных
солитонов, как подробно будет показано ниже. Анализ этой модели
был не только интересен сам по себе, но он также послужил осно-
ванием предсказания устойчивости в двумерном БЭК под действием
периодического во времени КРФ (см. следующую главу).
Осесимметричные пространственные солитоны, являющиеся реше-
ниями уравнения (7.1), выглядят следующим образом:
u(z, г, в) = exp(iS0)t/ (z, г),	(7.3)
где г и 6 являются полярными координатами в плоскости (х,у), S —
целое число — завихренность («спин»), а функция U(z, г) удовлетво-
ряет уравнению
iUz + 1 (игг + -иг - ^и\ +^z)\U\2U = 0.	(7.4)
£ \	Т Т /
7.2.	Вариационное приближение
Прежде всего для анализа решения уравнения (7.4) можно применить
ВП. С этой целью используется следующий анзатц:
U = A(z)rs exp [ib(z)r2 + i<^(z)] sech I
(7.5)
где A, b и а есть амплитуда, чирп и ширина солитона, и ip — его фаза
(сравните с анзатцем для одномерного случая (2.6)). Существенным
отличием в двумерном случае является необходимость добавить мно-
жители rs для S / 0 (по определению S положительно). Теперь можно
вывести систему уравнений для параметров анзатца (7.5). Прежде
всего, благодаря сохранению энергии имеется динамический инвариант
^(s+D = Е<
(7.6)
что позволяет исключить амплитуду А из уравнений. После этого ВП
приводит к уравнению второго порядка для a(z)
ё=2[к^7(г)И	<77)
где чирп выражен как b(z) = (2а) {da/dz (сравните с аналогичным
вариационным уравнениями (2.12) и (2.11) для 1D солитона). Число-
вые константы 7, являются интегралами, возникающими в рамках
формализма ВП. Для 5 = 0 (пучок с нулевым спином) они равны
ю (1,352,0,398,0,295).
В модели КНЛ с периодической модуляцией (7.2), уравнение (7.7)
может быть решено внутри каждого интервала, в котором 7 постоян-
ная. В результате получается
(5-М + Г = НУ,	(7.8)
\ dz /
где V = а2, Н является гамильтонианом уравнения (7.7) и
7(5) _ 7(5)~
Г = 8----(7.9)
Внутри интервала 0 < z < L+ параметр Г принимает постоянное
значение Г+. Далее предполагается, что в интервале L+ < z < L+ + L_
Г имеет другое постоянное значение Г_, и эта конфигурация пери-
одически повторятся. В формулах можно произвести дополнительное
изменение масштаба, чтобы сделать L- = 1 и Г_ = 1, оставляя два
параметра контроля L+ = L и Г+ = Г (заметим, что из определения
Г следует, что если, как положено здесь, Г_ = 1, то Г = Г+ может
принимать значения только меньше чем 1, включая отрицательные
значения). В каждой точке стыковки, где 7 меняет свой знак, ширина
и чирп импульса как функции z должны быть непрерывными. Как
следует непосредственно из приведенных выше уравнений, это просто
означает, что как V, так и dV/dz непрерывны при переходе точки
стыковки. Эти граничные условия реализуются существенно проще,
чем их аналоги в случае контроля дисперсии (КД), где непрерывность
чирпа, задаваемого выражением b — —2fl(z)a(da/dz) (см. (2.11)), и
скачок коэффициента ДГС (3{z) в точке стыковки налагает условие
разрыва на величину производной da/dz. Такое упрощение граничных
условий в представленной модели КНЛ делает возможным получить
результаты в полностью аналитической форме, как показано ниже (что
невозможно в модели КД).
Начиная с произвольных начальных значений То и й> для V(z) и
dV/dzjipH z — 0, можно вывести отображение, которое дает величины
Го и Й) тех же самых переменных на конце периода, то есть при
z = L+ + L- = 1 + L. Непосредственное интегрирование уравнения
(7.8) на сегменте Д± с требованием непрерывности V и dV/dz в точках
стыковки делает возможным вывести отображение в явной, хотя и
громоздкой форме. Тем не менее, неподвижная точка (НТ) отобра-
жения, которая соответствует квазистационарному распространению
пучка, может быть найдена в простой форме:
й) = ±	, VJ = Т.	(7.10)
4ЙГТТ7-1 - тг 0 йт+Т
Эта НТ существует только для отрицательного значения коэффициента
(7.9), а именно Г < -1/L.
Вычисляя усредненную вдоль пути величину коэффициента нели-
нейности с учетом принятой здесь нормировки
= Т+7+ + £-7- = 8Д (£+!)-/,Г_ (£Г+1)
' L+ + L_	8I<(L+1)	’
легко увидеть, что неподвижные точки (7.10) могут существовать
только с положительной 7 (соответствующей в среднем самофоку-
сировке). Учитывая вышеупомянутое необходимое условие Г< — 1/L
Рис. 7.1. Области существования и устойчивости неподвижных точек в па-
раметрической плоскости (Г, L), найденные в рамках вариационного прибли-
жения для модели распространения пучка в слоистой среде, основанной на
уравнениях (7.1) и (7.2). Неподвижная точка устойчива в пятнистой области
и нормировку, из уравнения (7.11) следует минимальная величина
усредненного вдоль пути коэффициента нелинейности, при котором
существуют НТ: (7)min = I^/I^ » 1,3453. Это довольно естествен-
ный результат, поскольку было бы странно ожидать существование
квазистационарных солитонных пучков в случае, когда нелинейность
в среднем самодефокусирующая. С другой стороны, уместно напом-
нить, что одномерные устойчивые солитоны существуют в модели с КД
когда коэффициент УПД точно равен нулю или спадает до значений,
лежащих в узком интервале величин нормальной дисперсии, см. рис.
2.5. Эти особенности еще раз показывают различие между моделью
КД и представленной здесь моделью КНЛ.
Чтобы исследовать устойчивость НТ следует найти собственные
значения р. якобиана отображения д	(^о> ^о) (иначе говоря,
мультипликаторы). Неподвижная точка устойчива, если оба собствен-
ные значения удовлетворяют условию |//|	1. Результаты этого ана-
лиза суммированы на рис. 7.1. Ниже кривой L = — 1/Г не существует
никаких НТ. Выше этой линии НТ устойчивы внутри пятнистой поло-
сы. Вне этой полосы НТ существуют, но они неустойчивы.
7.3.	Численные результаты
Чтобы проверить аналитические результаты, полученные с помощью
ВП, исходные уравнения (7.1) были решены численно, используя ан-
затц (7.5) с параметрами, отвечающими НТ (7.10), которая рассмат-
ривается как исходная конфигурация. Типичный результат показан на
рис. 7.2: после короткого периода релаксации исходный пучок прини-
мает форму, близкую к стационарному устойчивому решению, и далее
распространяется с малыми остаточными колебаниями.
Глава 8
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВУМЕРНЫХ солитонов
В БОЗЕ-ЭЙНШТЕЙНОВСКИХ КОНДЕНСАТАХ,
КОНТРОЛИРУЕМЫХ С ПОМОЩЬЮ РЕЗОНАНСА
ФЕШБАХА
Возможность стабилизировать (2+1)-мерный пространственный соли-
тон в слоистом объемном материале с помощью периодического из-
менения знака коэффициента керровской нелинейности создает осно-
ву для отличающегося физически, но математически эквивалентного
способа стабилизировать двумерные солитоноподобные конфигурации
в БЭК при помощи метода РФ в переменном магнитном поле, что
делает коэффициент нелинейности в соответствующем уравнении ГП
синусоидальной функцией времени. Такая возможность впервые была
независимо исследована в работах [5] и [153]. Дополнительные ре-
зультаты, включая случай трехмерного конденсата в условиях сильного
удержания в одном направлении, когда конденсат можно рассматривать
как почти двумерный, были представлены в работе [133]. Подобный же
метод, обеспечивающий стабилизацию двухкомпонентного двумерного
солитона в системе двух нелинейно связанных уравнений ГП, исследо-
вался в [131]. В этой главе будут представлены основные результаты
для этой важной задачи, следуя главным образом работе [5]. Также
будет показано, что контроль солитонов методом РФ с гармонической
модуляцией, если используется только он, не в состоянии стабилизи-
ровать трехмерные солитоны.
8.1. Модель и вариационное приближение
8.1.1. Общие положения. Нормализованное многомерное уравнение
ГП записывается в обычной форме (сравните с (5.5) в одномерном
случае)
iut + £ Au + [Ao + Ai sin(wmt)] |u|2u = 0,	(8.1)
где Д — двумерный или трехмерный лапласиан, Ai и шт представляют
амплитуду и частоту модуляции РФ, Ао > 0 и Ао < О соответствуют
притяжению и отталкиванию. Далее, используя масштабную инвари-
антность уравнения, положим |Aq| = 1- Уравнение не включает внеш-
ний потенциал, чтобы могло быть исследовать возможность стабили-
зировать конденсат в отсутствие ловушки, полагаясь исключительно
на действие механизма КРФ.
Для последующего анализа достаточно рассмотреть решения урав-
нения (8.1) в ситуациях осевой или сферической симметрии (двумер-
ном и трехмерном случае соответственно), считая, что волновая функ-
ция и зависит от времени и двухмерной или трехмерной радиальной
переменной г, но не включает угловую зависимость. Заметим, что если
солитон не несет завихренности, то неустойчивость из-за нарушения
изотропии неопасна и, следовательно, угловые зависимости могут быть
опущены. Соответственно измененное уравнение (8.1) принимает вид
= - f + -—-	и - [Ao + Ai sin(wmt)] |u|2u,	(8.2)
dt \дг2 г dr
где D — 2 или 3 — пространственные размерности.
Аналитический подход к решению уравнения (8.2) может быть
основан на его вариационном представлении с лагранжианом
L = const £ {и,и*,ut,ul} rD ‘dr,
(8.3)
о
£ = г- №и* -	- |^Г +	(8-4)
2 \ dt dt ) I or I 2
Соответствующий вариационный анзатц для волновой функции осно-
ван, как обычно, на гауссиане (сравните с 7.5)
22уд(г, t) = A(t) exp

(8.5)
где А, а, b и 6 представляют, соответственно, амплитуду, ширину, чирп
и фазу. Подразумевается, что все эти величины являются действитель-
ными функциями времени.
8.1.2. Двумерный случай. В двумерном случае подстановка ан-
затца (8.5) в уравнения (8.3) и (8.4) и интегрирование дают эффектив-
ный лагранжиан
L^D^=const Г— ^а4Л2^ — а2А2^- — А2 — a4A262+2A(t) а2А4] , (8.6)
где A(t) = Ao + Ai sin(wmt). Вариационные уравнения Эйлера-
Лагранжа, следующие из этого лагранжиана, дают закон сохранения
нормы решения, которая пропорциональная числу атомов в конденсате:
7гА2а2 = N = const,	(8.7)
выражение для чирпа b= (2а) lda/dt и эволюционное уравнение для
ширины импульса в замкнутой форме:
d2a _ —Л + Esin(a;mt)
— 7з	’
dt	а
/	N	\
Л = 2 (АОу-- 2) , е =
\ Z7T	/
А1ЛГ
7Г
(8.8)
(8.9)
Эти уравнения по сути те же, что были представлены, включая дву-
мерные, в предыдущей главе (см. (7.6) и (7.7)). Они отличаются только
формой модуляционных функций A(t) и 7(2:).
В отсутствие периодической во времени модуляции, е — 0, уравне-
ние (8.8) имеет интеграл движения — гамильтониан
#2D =
da\2 Л
dt) а2
(8.Ю)
Очевидно, если Л > 0, гамильтониан «проваливается» в отрицательную
бесконечность, Нго — оо при а —> 0, и Нго —» +оо когда а —> О, если
Л < 0. Это означает, что в отсутствие гармонической модуляции можно
ожидать коллапса двумерного импульса, если Л > 0, и, наоборот, его
расплывания при Л < 0. Случай Л = 0 соответствует критическому зна-
чению нормы, которая является сепаратрисой между коллапсирующи-
ми и расплывающимися решениями. Критическая норма соответствует
решению в форме ранее упомянутого солитона Таунса. Заметим, что
в текущих обозначениях и при Ао = +1 точное численное значение
критической нормы есть N — 1,862 [29, 162], тогда как аналитическое
приближенние (8.9) дает N = 2.
Если переменная компонента нелинейного коэффициента гармо-
нически меняется с высокой частотой, уравнение (8.8) может быть
рассмотрено аналитически с помощью метода усреднения, похожего на
тот, что применялся при выводе (5.14) в одномерной модели с быстрой
модуляцией глубины магнитной ловушки. С этой целью предполагает-
ся, что a(t) — а + 6а, при этом |<5а| « |а|, где а медленно меняется во
времени, тогда как 6а является быстро меняющейся функцией времени
с нулевым среднем значением. После простых вычислений могут быть
выведены следующие уравнения для медленных и быстрых перемен-
ных:
(8.12)
j2
—2а = —Л(а~3 + 6а-5 ((<5а)2)) — Зе (6а sin(wmi)) а-4,	(8.11)
dt
d2
—„ба — ЗйаЛа-4 + esin(wmt) а-3,
dr
где (...) означает усреднение по периоду Олг/шт. Решение линейного
уравнения (8.12) получается прямым его интегрированием:
5a(t) =------esin^t)
а3 (а>2 + За 4
(8.13)
Подстановка этого выражения в (8.11) и усреднение дают окончатель-
ное эволюционное уравнение для медленной переменной
d2 _ _ __3 Г Л ЗЛе2 , 3 е2
dt2a~a [	(^а4+ЗЛ)2 + 2^ + зл
(8.14)
Для того чтобы понять, стимулируется или, наоборот, сдерживается
коллапс импульса в условиях гармонической модуляции нелинейности,
можно рассмотреть (8.14) в пределе а —> 0, когда это уравнение сво-
дится к
^5=(_Л+^)5-3.	(8.15)
Из уравнения (8.15) сразу следует, что если амплитуда высоко-
частотного воздействия достаточно велика, е2 > 6Л2, поведение реше-
ния в пределе малых а в точности противоположно тому, что можно
было бы предполагать в присутствии только постоянного воздействия.
А именно, в случае Л > 0 должно возникнуть резкое расширение цен-
тральной области импульса, а в случае Л < 0 все происходит наоборот.
С другой стороны, в пределе больших а уравнение (8.14) принимает
асимптотическую форму d2a/di2 = —Л/а3, которая показывает, что
конденсат остается в состоянии самоудержания в случае Л > 0, так как
отрицательное ускорение d2a/dt2 означает, что величина а меняется от
больших к меньшим значениям. Таким образом, эти асимптотические
результаты предполагают, что уравнение (8.14) задает устойчивое
поведение конденсата, тогда как коллапс импульса, равно как и его
расплывание исключаются при выполнении условия
е > ч/б Л > 0.	(8.16)
Другими словами, условие (8.16) обеспечивает положительность
правой части (8.14) для малых а и отрицательность для больших а.
Это в свою очередь означает, что уравнение (8.14) задает устойчивые
НТ (неподвижные точки). Действительно, когда выполнены условия
(8.16), правая часть (8.14) обращается в нуль в единственной НТ
□ _2	/	/ □ 4
= ^-+ J3 (j - 1 ) - ЗА,	(8.17)
т 4Л у \16Л2	)
устойчивость которой может быть легко проверена в рамках уравнения
(8.14) путем вычисления собственных частот малых колебаний около
этой точки.
Прямое численное решение обыкновенного дифференциального
уравнения (8.8) дает результаты (не показанные здесь), которые в точ-
ности соответствуют результатам, предсказанным методом усреднения,
т. е. имеется устойчивое состояние, в котором a(i) совершает малые
колебания около точки (8.17).
8.1.3. Вариационное приближение в трехмерном случае.
Вычисление эффективного лагранжиана (8.3),(8.4) с анзатцем (8.5)
в трехмерном случае дает
+ ^А(() Л’ - А -	(8.18)
(сравните с (8.6)). Уравнения Эйлера-Лагранжа, следующие из этого
лагранжиана, вновь приводят к сохранению нормы
^3/2^2^ = jy = const	(8.19)
(сравните с аналогичным соотношением для двумерного случая (8.7)),
дают то же самое соотношение для чирпа, что и в двумерном случае,
b = (2a)~lda/dt, и следующее эволюционное уравнение для простран-
ственного размера конденсата:
d2a _ 4 -Л + €sin(cjmi)	/Q Qn.
— з +	4	1	(8.2U)
Ctt Q	<1
где приняты обозначения Л = Ao7V/V27r3 и е = —X\N/V2tt3 (сравните
с уравнением (8.9). Отметим, что уравнение (8.20) отличается от соот-
ветствующего выражения (8.14) в двумерном случае.
В отсутствие гармонической модуляции, е — 0, уравнение (8.20)
обеспечивает сохранение гамильтониана
Очевидно, что	—> —оо при а —> 0, если Л > 0, и	—> +оо, если
Л < 0, следовательно в этих случаях будет иметь место, соответствен-
но, коллапс или распад.
Уравнение (8.20) решалось численно без усреднения для того чтобы
проверить, существует ли в рамках вариационного приближения такая
область в пространстве параметров, где трехмерный конденсат, распа-
дающийся под действием постоянного отталкивающего взаимодействия
между атомами (Л < 0), мог бы быть стабилизирован с помощью
резонанса Фешбаха в гармонически модулированном магнитном поле.
Рис. 8.1 показывает динамику решения уравнения (8.20) посредством
отображения Пуанкаре в плоскости переменных (а, а! = da/dt) для
Л = — 1, е — 100, шт = 1047г и начальных условий a(t = 0) = 0,3, 0,2,
или 0,13 и a!(t = 0) = 0. Из рисунка видно, что во всех этих случаях
решение остается ограниченным и конденсат не испытывает коллапса
и не распадается, при этом ширина области, занимаемой конденсатом,
совершает квазипериодические колебания.
Численное решение уравнения (8.20) показывает, что как и в при-
мерах на рис. 8.1, для обеспечения устойчивости частота и амплитуда
гармонического воздействия должны быть большими. В этом случае
также возможно применение процедуры усреднения подобно тому, как
это было сделано в двумерном случае. Устойчивость предсказывается
численным моделированием только для Л < 0, т. е. для отталкивающего
взаимодействия, характеризуемого постоянной константой нелинейно-
сти. В противном случае постоянного притягивающего взаимодействия,
Л > 0, вариационное приближение предсказывает только коллапс. Та-
ким образом, ситуация оказывается диаметрально противоположной
Рис. 8.1. Отображение Пуанкаре в плоскости (а, а' = da/dt), полученное при
численном решении вариационного уравнения (8.20) в модели трехмерного
бозе-конденсата контролируемого с помощью гармонического резонанса Феш-
баха (ас-КРФ) для Л = 1, е = 100,	= 104тг и различных начальных условий.
Полная модель основывается на уравнении ГП (8.1)
двумерному случаю, где устойчивость предсказывалась только для
Л > 0, см. (8.16).
Процедура усреднения осуществляется через вычисление быстро
осциллирующей поправки 5a(t):
5а =----“т(шт0а ,	(8 22)
— 12а + 4Л
сравните с (8.13) в двумерном случае. Конечное уравнение для медлен-
ной переменной a(t) после усреднения имеет вид (сравните с (8.14))
d2a ____4	.	2е2	,2 6a — 5Л
—7 — a	4 a — Л Ч—z—;------------h £ —z—ё-----------т
dt	- \2а + 4Л.	(w2„a - 12а + 4Л)
(8.23)
В пределе а —> 0 уравнение (8.23) принимает форму
$ = (-л+пк)а”-	<8'24’
сравните с (8.15). Уравнение (8.24) правильно предсказывает одно
свойство трехмерной модели, а именно: в случае Л < 0 и при доста-
точно большой амплитуде переменной компоненты РФ, в > (4/д/З) |Л|,
вместо коллапса происходит распад. Однако другие результаты, следу-
ющие из усредненного уравнения (8.23), не согласуются с результата-
ми, полученными из прямого численного решения полного вариацион-
ного уравнения (8.20). Некоторые из этих результатов показаны на рис.
8.1. В частности, детальный анализ правой части (8.23) показывает, что
это уравнение не предсказывает наличия устойчивой НТ для Л < 0,
и, наоборот, предсказывает существование такой точки для Л > 0.
Это полностью противоречит тому, что было выявлено при прямом
численном решении основного дифференциального уравнения (8.20).
Эта несостоятельность метода усреднения (успешного в двумерном
случае) может быть объяснена существованием сингулярных точек
в уравнениях (8.22) и (8.23) как для Л > 0, так и для Л < 0. В этих
точках знаменатель ш^а5 — 12а+ 4Л правых частей этих уравнений
становится равным нулю. Заметим, что в двумерном случае при Л > 0,
для которого устойчивое состояние в области (8.16) было предсказано
выше, соответствующее уравнение (8.14) не имело таких сингулярно-
стей.
8.2.	Усреднение уравнения Гросса-Питаевского
и гамильтониана
В случае высокочастотной модуляции напряженности магнитного по-
ля при КРФ метод усреднения можно применить непосредственно
к уравнению ГП (8.2), не прибегая к вариационному приближению.
С этой целью решение уравнения ГП ищется в виде разложения по
степеням l/wm:
u(r, t) = Ao(r, t) +	(r, t) + w“2 A2(r, t) + ...,	(8.25)
c (A,2,...) = 0 (символ (...) означает усреднение по периоду быстрой
модуляции). Здесь принята нормировка Aq = +1, поскольку предпо-
лагается, что это должно способствовать устойчивости в двумерном
случае. Окончательным результатом является эффективное уравнение
для главной (медленно меняющейся) части волновой функции в разло-
жении (8.25) до членов порядка ш^2 [5]:
+ ДА) + | А)|2 А) + хА2 (—\ [|Ао6 А) —
от	2	/
- 3|Д)|4ДА) + 21 А)|2Д(| AI2 А) + Ад (IА12Л*)] = о, (8.26)
где г - та же амплитуда, что и в уравнении (8.9). Заметим, что
уравнение (8.26) одинаково справедливо в двумерном и трехмерном
случаях. Детальный анализ этого уравнения, предпринятый в работе
[5], показывает, что остановить коллапс в двумерной версии уравнения
можно тем же способом, который был предсказан выше с помощью
ВП.
Чтобы понять природу явления остановки коллапса при помощи
высокочастотного КРФ, более полезным оказывается подставить раз-
ложение (8.25) и произвести последующие усреднение не в самом
уравнении (8.2), а в гамильтониане
ОО
н=с [ (Ч^12Чл(*)|и|?)(8-27)
о
где dV есть бесконечно малый объем в 2D и 3D случаях, а константа
С положительна. В результате усреднения гамильтониан, содержащий
медленно меняющуюся главную часть Ло(г, Z) волновой функции, при-
нимает вид [5]
Н= dV
|VAo|2-1|Ao|4+^(-^)2 (|V(|Ao|2Ao)|2-3|Ao|8)
z z
(8.28)
где Ai есть тот же коэффициент, что и в (8.1). Возможность останав-
ливать коллапс может быть изучена с использованием этого эффектив-
ного гамильтониана. С этой целью можно воспользоваться примером
обычных вириальных оценок [29, 162]. Как следует из разложения
(8.25), сохранение нормы остается справедливым в первом прибли-
жении для поля А. Таким образом, если данная конфигурация поля
сжалась до «пятна» малого размера р и большой амплитуды К, то
сохранение нормы N дает соотношение
К2pD ~ N	(8.29)
(напомним, что D — размерность пространства). С другой стороны,
оценки такого же рода применительно к слагаемым, в наибольшей
степени стимулирующим коллапс Я_ и, наоборот, останавливающим
коллапс Н+ в усредненном гамильтониане (соответственно четвертое
и третье слагаемое в выражении (8.28)), дают
)2	/	\ 2
№pD, Н+ ~ (—N6/’-2.	(8.30)
\Ш771, /
Исключая амплитуду из (8.30) с помощью соотношения (8.29), мож-
но заключить, что в случае катастрофического самосжатия поля
в 20-пространстве, р —> 0, оба слагаемых Н_ и Н+ предполагают
общую форму асимптотики ~ р-6, следовательно коллапс может быть
остановлен, в зависимости от деталей исходной конфигурации. Заме-
тим, что начальная конфигурация определяет отношение между коэф-
фициентами перед р~ъ в двух асимптотических выражениях. В про-
тивоположность этому, в ЗО-случае слагаемое Н- расходится как
р-9, тогда как противодействующий коллапсу член имеет асимптотику
~ р-8 (при р —> 0). Следовательно, в этом случае коллапс не может
быть предотвращен.
8.3.	Результаты непосредственного численного
анализа
Существование устойчивых самоудерживающихся солитоноподобных
осциллирующих состояний конденсата, предсказанных выше с помо-
щью аналитических приближений в области (8.16), где постоянная
часть нелинейности соответствует притяжению в БЭК, было проверено
и подтверждено прямым численным решением уравнения (8.2) при
D = 2 [5] *).
В случае, когда постоянная часть нелинейности соответствует от-
талкиванию между атомами конденсата, Aq = — 1 в (8.2), численный
расчет всегда показывает распад (расплывание) конденсата в двумер-
ном случае, что также согласуется с приведенными выше предсказани-
ями.
В дополнение к этому непосредственные численные расчеты пока-
зывают, что в отличие от фундаментальных солитонов, их вихревые
аналоги (vortex solitons) не могут быть стабилизированы с помощью
КРФ с периодической модуляцией нелинейности. С другой стороны,
в недавней работе [132] было показано, что в случае двухкомпонент-
ного конденсата, векторного обобщения настоящей модели, возможно
существование устойчивых в течение очень долгого времени составных
солитонов. Причем в этих солитонах одна компонента организована как
фундаментальный солитон (частично некогерентный), тогда как другая
компонента несет вихрь.
В трехмерном случае непосредственные численные расчеты еще
более необходимы в силу довольно противоречивых, как пояснялось
выше, результатов вариационного подхода. При Л < 0 (нелинейность
отвечает отталкивающему взаимодействию) и достаточно большой ам-
плитуде модуляции в КРФ численные расчеты показывают временную
стабилизацию конденсата примерно так же, как было предсказано
выше при решении вариационного уравнения (8.20). Однако эта ста-
билизация непостоянна; в конденсате развиваются мелкомасштабные
малоамплитудные модуляции вокруг их центра. Спустя ~ 50 перио-
дов гармонической модуляции происходит коллапс конденсата. При-
мер такого поведения представлен на рис. 8.2 для N = 1, Л = — 1
И Шт = 1047Г.
Результаты, показанные на рис. 8.2, являются типичными для 3D
случая с Л < 0. Возможный коллапс, который имеет место в этом
случае, является нетривиальным эффектом, поскольку он возника-
ет несмотря на то, что постоянная часть нелинейности заставляет
конденсат расплываться. Расчет показывает, что когда Л > 0, КРФ
с переменным магнитным полем никогда не способен предотвратить
трехмерный коллапс. Эти общие заключения соответствуют прове-
денному выше анализу на основе усредненного гамильтониана (8.28),
который показал, что коллапса нельзя избежать в 3D случае, если
амплитуда переменного воздействия достаточно велика. Кроме того,
*) Прим, автора. Новые примеры прямого численного решения, охватыва-
ющего чрезвычайно протяженный интервал времени (на несколько порядков
превышающий масштаб времени реализуемый в эксперименте) демонстрируют
исключительно медленный распад стабилизированного двумерного солитона.
Окончательный результат этого начинающегося распада остается неизвестным
(Б. Б. Байзаков, частное сообщение).
Рис. 8.2. Эволюция во времени формы конденсата |u(r)|2, полученная пу-
тем численного решения радиального уравнения ГП (8.2) под воздействием
сильной и быстрой модуляции в ас-КРФ (шт = 104тг, е = 90). (а), (б) и (в)
соответствуют моментам времени t = 0,007, 0,01 и 0,015
соответственно
этот конечный результат находится в соответствии с расчетами модели
в трехмерной оптической среде с периодически изменяемым знаком
керровского коэффициента (7.1), (7.2). Как указывалось в предыдущей
главе, численные расчеты никогда не давали устойчивого ЗО-солитона
в этой модели.
В заключение уместно упомянуть статью [14], где излагались про-
тивоположные выводы: что гармоническая модуляция в КРФ может
стабилизировать ЗО-солитоны и может также стабилизировать вих-
ревые 2О-солитоны. Последний результат был получен с помощью
численного решения уравнения ГП, использующего только времен-
ную и радиальную переменные аналогичного уравнению (8.2). Одна-
ко, как известно, неустойчивость вихревых солитонов индуцируется
азимутальными возмущениями, которые нарушают аксиальную сим-
метрию вихрей [45, 113]. Что касается устойчивости ЗО-солитонов,
обеспечиваемой при помощи КРФ [14], то кажется правдоподобным,
что наблюдаемый в работе объект является нестабильным солито-
ном, которому была придана кажущаяся устойчивость за счет очень
высокой точности нахождения его формы и очень малой величины
возмущений в проведенных расчетах. Все другие работы на эту тему
[5, 133, 153, 169] показывают, что ЗО-солитоны в моделях с гармони-
ческим КРФ неустойчивы в отсутствие дополнительных стабилизиру-
ющих элементов. В разделе 10.2, будет показано, что комбинация КРФ
(с гармонической модуляцией магнитного поля) и квазиодномерной
статической оптической решетки является достаточной для полной ста-
билизации ЗО-солитонов, описываемых соответствующим уравнением
Гросса-Питаевского.
Глава 9
КОНТРОЛЬ ДИСПЕРСИИ В МНОГОМЕРНОМ
СЛУЧАЕ
9.1.	Описание моделей
Как было сказано во введении, до сегодняшнего дня не наблюдались
экспериментально ни 3D пространственно-временные солитоны (ПВС)
в объемных оптических средах, ни их 2D аналоги в планарных волно-
водах. По этой причине теоретические исследования новых ситуаций,
в которых можно было бы экспериментально создать оптические ПВС,
сохраняют свою актуальность.
В статье [124] была предложена новая схема, способная обеспечить
устойчивость ПВС в случае обычной керровской (х^) нелинейности
в двумерных средах (планарных волноводах). Речь идет о распро-
странении оптического пучка через слоистую структуру, которая не
влияет на нелинейность (то есть в отличие от ранее рассмотренной
модели контроля нелинейности керровский коэффициент всегда по-
ложителен и постоянен), но обеспечивает периодическое обращение
знака коэффициента локальной ДГС. Таким образом, это модель КД
(контроль дисперсии) в нелинейном планарном волноводе. В той же
работе было показано, что сам по себе КД без дополнительных усилий
не стабилизирует 3D солитоны в объемных средах с аналогичной
слоистой структурой. Однако в двумерном случае были найдены не
только обычные одногорбые (фундаментальные) солитоны, но также
и очень устойчивые двугорбые локализованные осциллирующие вол-
новые пакеты. В настоящей главе суммированы основные результаты,
касающиеся устойчивости ПВС, достигаемой с помощью контроля дис-
персии солитонов в двумерных средах.
Модель непосредственно основана на версии НУШ, очень похожей
на уравнения, рассмотренные в предыдущих главах (см., например,
уравнение (7.12)):
iuz + | (ихх + D(z)uTT) + |u|2u = 0.	(9.1)
Здесь z — пройденное волной расстояние, х — поперечная координата
в планарном волноводе (в объемной среде ихх заменяется на ихх -\-иуу,
где у — вторая поперечная координата), т - то же самое локальное
время, что и в уравнении (1.6). Коэффициент локальной ДГС обо-
знамен здесь как — D, вместо /3. Модуляция КД здесь такая же, как
в случае (1.50),
ВД = |
D+ > 0, 0 < z < L+,
D_ <с О, L+ <с z <с L+ 4- L— = L,
(9.2)
что повторяется с периодом L (в единицах D). Причем аномальной и
нормальной ДГС отвечают D > 0 и D < 0 соответственно. Заметим,
что уравнение (9.1) имеет очевидное свойство галилеевой инвариант-
ности: если ио(х, z, г) является решением, то двухпараметрическое
«движущееся» решение в общей форме имеет следующий вид:
/	\	. (	1 2	1 2
и(х, z, т) — ехр г I qx — шт — -q z — -ш
D(z)dz
х
х Uq
х — qz, z,t + ш
D(z}dz
(9.3)
где q и ш — два произвольных вещественных параметра («галилеевы
бусты»). Указанное свойство следует сравнить с аналогичным свой-
ством инвариантности одномерного НУШ, см. уравнение (1.7).
Чтобы придать уравнению данной модели нормализованную фор-
му, можно, изменив масштаб, положить D+ = 1, L = 2. Отношение
L_/L+ остается неустранимым параметром, но хорошо известно, что
в обычной модели КД для оптических волокон результаты не зависят
ни от этого отношения, ни от длительности солитона Tfwhm- Опре-
деляющую роль играет параметр S = (D+L+ 4- |Z>_|L_) /7pWHM’ см-
уравнение (2.25). Здесь будет полагаться, что L+ = L_ = 1. Тогда
помимо S единственным оставшимся свободным параметром модели
будет УПД (усредненная вдоль пути дисперсия), которая имеет вид
D = D+L+ + D-L~ = 1 (1 + £)_)	(9.4)
Li	2
при условии, что_ D+ = 1,_= 1. Оставшийся параметр D- можно
выразить через D: D_ = 2D — 1, что следует из уравнения (9.4).
Полезно заметить, что рассмотренная только что модель напо-
минает другую модель, предложенную в работе [2]. Она отлича-
ется синусоидальным законом модуляции параметра P(z) вместо
кусочно-непрерывной константы КД-отображения в (9.2) и, что более
важно, модель из работы [2] (в принятых обозначениях) имеет общий
коэффициент модуляции как ДГС (коэффициент перед итт), так и
в слагаемом, учитывающем дифракцию, то есть ихх:
iuz + | [Do 4- Di sin (fcz)] (uxx 4- uTT) 4- |u|2u = 0	(9.5)
c Dq > 0. Фактически эта модель возникла как континуальный пре-
дел некоторой дискретной системы. В контексте нелинейной оптики
это означает периодическое изменение знака поперечной дифракции
(коэффициента перед ихх), что довольно трудно осуществить. Имеется
принципиальная разница между уравнением (9.1), которое отражает
сильную анизотропию в плоскости (ж, т), и изотропным уравнени-
ем (9.5).
9.2.	Вариационное приближение
Вариационное приближение (ВП) является естественным методом для
анализа солитонов уравнения (9.1). Чтобы использовать этот метод
вводится гауссова пробная функция (гауссов анзатц) (сравните (2.6)
и (8.5))
u=A(z) ехр < iip(z)
। г 2	2 л	ч
Ий)+?У <9-6>
где А и <р — амплитуда и фаза солитона, W и Т — его поперечная
ширина и длительность (последняя связана с ранее упомянутой полной
шириной на полувысоте соотношением: Tfwhm = 2х/1п2Т), коэффи-
циенты (чирпа) b и /3 отвечают за пространственную и временную фа-
зовую модуляцию. Лагранжиан, который приводит к двумерной версии
уравнения (9.2), имеет вид
+оо
L = р (uzu* — и*и) — \их\2 — D(z) \ит|z + |u|4j dxdr. (9.7)
— ОО
Подстановка анзатца (9.6) в лагранжиан дает эффективный лагран-
жиан
-LeR = A2WT [4</ - b'W2 - /З'Т2 - W~2 - DT~2+
7Г	L
+A2 - b2W2 - D(z)[32T2] , (9.8)
где штрих обозначает производную d/dz.
Вариационное уравнение 5L,/8<p = 0 применительно к (9.8) как
обычно дает закон сохранения энергии dE/dz = 0, где
Е = A2WT.	(9.9)
Уравнение (9.9) используется для исключения А2 из остальных уравне-
ний. Тогда член ~ у/ в лагранжиане может быть опущен, что позволяет
его упростить:
= -b'W2 - (З'Т2 - -L -	- b2W2 - D(z)(32T2. (9.10)
тгЕ	[Д/2 т2 WT	'
Варьирование последнего выражения относительно W,T и Ъ,/3 дает
следующие уравнения Эйлера-Лагранжа:
Ь W'P D(z)T’
W" = —
W3 2W1 2T'
грп _ D -pt_ D _ DE
D - t3 2WT2 ’
(9.H)
(9.12)
(9.13)
Заметим, что, как известно из описания коллапса в модели 2D
НУШ на основе вариационного формализма [49], в случае /3 = const <
< 0 неподвижная точка (НТ) уравнений ВП (9.12) и (9.13) вырож-
дена: НТ может быть найдена при единственном значении энергии
Е = 2y/D, но для этого специального значения Е существует семей-
ство неподвижных точек с Т — y/DW (где W произвольная посто-
янная). Эти результаты точно соответствуют существованию солито-
нов Таунса в изотропном 2D НУШ. Иными словами, семейство этих
солитонов может быть найдено при единственном значении энергии,
но для произвольной их длительности. В рамках системы уравнений
(9.12) и (9.13) все НТ, соответствующие D = const > 0, являются слабо
неустойчивыми по отношению к малым возмущениям. Это означает,
что возмущения растут линейно с z, а не экспоненциально, и это
соответствует тому факту, что коллапс является критическим в случае
2D, в противоположность сверхкритическому коллапсу в трехмерных
средах.
В случае кусочно-непрерывной константы модуляции, заданной вы-
ражением (9.2), переменные W, W', Т и (3 должны быть непрерывными
в местах соединений сегментов с D = D+. Как следует из (9.11),
непрерывность временного чирпа /3(z) подразумевает скачок Т' при
переходе от D_ к D+ и наоборот:
=	(9-14)
9.3.	Численные результаты
Как вариационные уравнения (9.12), (9.13) так и исходное уравнение
ГП (9.1) исследовались численными методами. В последнем случае
в качестве начального состояния использовался анзатц (9.6) с нулевой
начальной пространственной ФМ (очевидно всегда можно найти точку,
где она исчезает, так что такой выбор начального условия не приводит
к существенным ограничениям), в то время как начальная временная
ФМ (чирп) /30 считалась ненулевой:
uq — Ао ехр
1 ( х V ( т V -д
2 (wj + (.То)	г/3°
(9.15)
Рис. 9.2. Цикл эволюции солитона на плоскости (T,T' = dT/dz) в соответ-
ствии с вариационным приближением в случае, показанном на рис. (9.1).
Скачок Т' происходит в точке соединения L+ и L-, в соответствии с (9.14).
В отличие от длительности Т, пространственная ширина W остается почти
постоянной в течение всего цикла
почти постоянной. Это наводит на мысль, что устойчивый 2D солитон
можно понимать в некотором смысле как «произведение» временного
КД-солитона в направлении оси т и обычного пространственного соли-
тона, локализованного на оси х. Такая факторизация была предложена
при рассмотрении многомерных оптических солитонов в работе [99].
Сравнение с численным решением УЧП показывает, что полученные
результаты действительно хорошо согласуются с предсказанными на
основе ВП.
Однако в некоторых других случаях прямое численное моделиро-
вание процесса, описываемого уравнением (9.1), обнаруживает перио-
дическую эволюцию совершенно иной формы: исходный импульс рас-
щепляется на два субимпульса, которые полностью не разделяются, а
образуют колеблющееся связанное состояние, пример которого показан
на рис. 9.3. В этом случае ВП все еще предсказывает устойчивый со-
литон гауссовой формы. В некоторых случаях, когда ВП предсказывает
отсутствие солитонов гауссовой формы, также были численно обнару-
жены осциллирующие связанные состояния двух субимпульсов. Это
связанное состояние демонстрирует качественно подобное поведение во
всех случаях, когда оно обнаруживалось. Во-первых, исходный гауссов
импульс без временной ФМ (т. е. с нулевым чирпом ) расщепляется на
два субимпульса с чирпами противоположных знаков. Затем в режиме
развитых осцилляций субимпульсы приближаются друг к другу и
почти сливаются во время прохождения слоя с D = D+, а затем они
вновь разделяются в слое с D = Z>_.
Вариационный метод дает ошибочные предсказания в случаях, ко-
гда импульс трансформируется в связанное состояние двух субимпуль-
сов, поскольку простая гауссова пробная функция (9.6) очевидно не
может описывать такие конфигурации. Следует помнить, что расщепле-
ние исходного гауссова импульса является одним из возможных сцена-
энергии (это особенно видно на рис. 9.4(6)) имеет простое объяс-
нение. Эти значения энергии соответствуют энергиям солитона Та-
унса в свободном пространстве. В первом грубом приближении кон-
троль дисперсии солитонов, подобно другим факторам, стабилизирую-
щим КД-солитоны (такие как двумерные и квазиодномерные решет-
ки [24, 26]), стабилизирует изначально слабо неустойчивый солитон
Таунса.
9.4.	Трехмерный случай
Трехмерное общение модели (9.1) с 2D поперечным лапласианом,
ихх + иуу вместо ихх было также изучено с помощью ВП и путем
прямого численного моделирования. В качестве пробной функции был
использован анзатц (9.6), в котором х заменен поперечной радиальной
координатой г = у/х2 + у2 [124]. Как вариационный метод, так и
непосредственно численное решение дают отрицательный результат:
3D солитон никогда не стабилизируется за счет продольного КД.
Даже дополнительный КНЛ, то есть периодическое (по г) изменение
знака коэффициента перед кубическим слагаемым в уравнениях (7.1),
(7.2), не делает 3D солитоны устойчивыми.
Была предложена модель трехмерной слоеной среды (вместо пла-
нарного волновода, рассмотренного выше), которая показывает возмож-
ность создания устойчивых 3D солитонов. Она включает в себя тот же
самый продольный контроль дисперсии как и в 2D модели, который
комбинируется с поперечной (в направлении у) квази 1D решеткой
в форме периодической модуляции показателя преломления (ПП) :
.ди
1д^
1 (
2 у дх2 ду2
+ ecos(2y) 4- |u|2
и = 0. (9.16)
Здесь е — глубина поперечной модуляции (период модуляции норми-
рован так, чтобы быть равным тг), и КД-отображение выбрано в сим-
метричной форме (сравните с (9.2):
ад =
D + Dm > 0, 0 < z < L,
D — Dm < О, L < z < 2L.
(9.17)
Параметры отображения фиксированы изменением масштаба так, что
L = 1 и Dm = 1, тогда как УПД D мала. Эта 3D модель была иссле-
дована, но только в рамках ВП в работе [125] (результаты прямого
численного моделирования будут представлены позже).
Пробная функция ВП — вариационный анзатц — была взята в фор-
ме (сравните с (9.6))

и = A(z) exp
—----1— -----1---—
W2(z)	V2(z)	T2(z)
Рис. 9.5. Пример устойчивых решений вариационных уравнений (9.19)-(9.21),
которые аппроксимируют 3D солитоны в модели (9.16), комбинирующей про-
дольный КД и периодическую модуляцию показателя преломления в попереч-
ном направлении. Ширины солитона в направлениях х,у и т, то_есть W, V и
Т, представлены как функции z для Е = 0,5, е = 1, и D = О
+ | [b(z) I2 + c(z) у2 + ^(z) г2] |, (9.18)
где Уис определяют дополнительную ширину и чирп в направлении,
в котором модулируется ПП. Стандартное ВП приводит к закону сохра-
нения энергии Е = A2WVT и эволюционным уравнениям (сравните
с (9.12) и (9.13))
w" —	1	E	
	IV3	2V2W2VT	
V" -	1	4eV exp (-V2)	E
	V3		2V2WV2T’
	D	E	
D J	rj-l3	2V2 WVT2 ’	
(9.19)
(9.20)
(9.21)
дополненным теми же граничными условиями (точнее, условиями
сшивки) (9.14), что и в 2D модели, а также соотношениями (сравните
с (9.11))
W' V’ т'
b = W'c=v^ = ih- (9’22)
Для больших £ (решетка с большой глубиной модуляции) доста-
точно ограничиться только первыми двумя членами в правой части
уравнения (9.20). Это приближение предсказывает почти постоянное
значение Vq для V, которое есть меньший корень соответствующего
уравнения
4eV04 exp (-V02) = 1
(9.23)
(больший корень соответствует неустойчивому равновесию (9.20)).
Корни существуют при условии, что
E>Emin = e2/16wO,46	(9.24)
при дополнительном ограничении Vq < 2. Тогда подстановка V = Vq
в оставшиеся уравнения (9.19) и (9.21) воспроизводит по существу ту
же динамическую систему, получаемую с помощью ВП для двумер-
ной модели, которая, как показано в предыдущем разделе, приводит
к устойчивым ПВС.
Численное интегрирование уравнений (9.19)-(9.21) дает решения,
соответствующие устойчивым 3D солитонам, пример которого показан
на рис. 9.5. Найденное аналитически предсказание (9.24) для мини-
мальной амплитуды модуляции ПП, необходимой для существования
устойчивых солитонов, с большой точностью проверено с помощью
численного расчета. Эти расчеты также обнаруживают конечные ми-
нимальное и максимальное значения энергии, которые ограничива-
ют область устойчивых солитонов. Еще полезно заметить, что как
и в случае обычных КД-солитонов в оптических волокнах (см. рис.
2.5), представленная модель предсказьгвает устойчивы^ 3D солитоны
при малых отрицательных значениях D вплоть до (—-D)max ~ 0,005,
которое соответствуют нормальной (а не аномальной) усредненной
ДГС в системе.
Глава 10
КОНТРОЛЬ С ПОМОЩЬЮ РЕЗОНАНСА
ФЕШБАХА В ОПТИЧЕСКИХ РЕШЕТКАХ
10.1.	Введение в предмет
Стабилизация ЗО-солитонов в нелинейной оптике и в БЭК (бозе-
эйнштейновском конденсате) является одной из фундаментальных про-
блем в этих областях. Различные теоретические подходы к этой задаче
составляют одну из центральных тем настоящей книги. Как пояснялось
в предыдущих главах, метод переменного во времени КРФ в форме
периодического изменения знака перед нелинейным слагаемым в со-
ответствующем уравнении Гросса-Питаевского (ГП) достаточен для
стабилизации только двумерных солитонов в БЭК. С другой стороны
квазиодномерная оптическая решетка (ОР), создать которую экспери-
ментально значительно проще, чем ее аналоги большей размерности
(2D и 3D), также способна поддерживать стабильные солитоны только
в двумерном варианте, но не трехмерном [26]. Эти результаты под-
сказывают естественный вопрос: может ли комбинация метода КРФ и
квазиодномерной оптической решетки обеспечить полную стабилиза-
цию ЗО-солитонов? В недавней работе [169] на этот вопрос был дан
положительный ответ с использованием аналитического метода (ВП) и
прямого численного моделирования.
Использование комбинации ОР и КРФ с низкочастотной моду-
ляцией магнитного поля предоставляет еще одну интересную возмож-
ность. Действительно, хорошо известно, что уравнение ГП с периоди-
ческим потенциалом дает решения в виде обычных солитонов или ЩС
(щелевых солитонов), если нелинейность отвечает, соответственно,
притяжению или отталкиванию между атомами. Можно ли в случае
периодического медленного переключения знака нелинейности с по-
мощью РФ ожидать периодического адиабатического перехода между
солитонами двух типов? Соответствующие устойчивые переключа-
ющиеся (альтернирующие) солитоны действительно возможны, как
было продемонстрировано в одномерном и двумерном случаях [78].
Обсуждение этих результатов также включено в настоящую главу.
10.2.	Стабилизация трехмерных солитонов
в квазиодномерной решетке
10.2.1.	Модель и вариационное приближение. Предложенная
в работе [169] модель основана на уравнении ГП в трех измерениях,
и включает потенциал одномерной решетки и такую же модуляцию
коэффициента при нелинейности, как и в других моделях, рассмот-
ренных в этой книге. Таким образом, нормализованное уравнение для
одночастичной волновой функции ф принимает вид
=	_ cos(2z)) + (Ло + Ai sin(wmi)) IVI2] V’, (Ю-1)
где лапласиан (оператор кинетической энергии) V2 действует на все
три координаты х, у, и z. Здесь е есть глубина потенциала ОР, чей
период нормирован так, что он равен тг, а Ао и Ai определяют посто-
янную и переменную части контролируемого посредством резонанса
Фешбаха коэффициента при нелинейности, шт является частотой мо-
дуляции магнитного поля в эффекте РФ, которая для краткости будет
далее называться просто частотой РФ-модуляции. Солитоны могут
существовать только в случае, когда постоянная часть взаимодействия
соответствует притяжению между атомами: Aq < 0.
Уравнение (10.1) может быть выведено из лагранжиана
+оо оо
l=h *
\ ot	ot / \oq\ I oz I
— оо 0
- 2e(l - cos(2z)) IV’I2 - (Ao + A] sin(wmf)) |V’|4 , (Ю.2)
где звездочка означает комплексное сопряжение, a q = у/х% + у2 есть
радиальная переменная в поперечной к решетке плоскости. Чтобы
ввести ВП в этой модели, можно использовать комплексный гауссов
анзатц (сравните с подстановкой (9.6)) с действительной амплитудой
j4(f), фазой радиальной и осевой ширинами W(i) и V(t) и соот-
ветствующими чирпами фазы b(t) и ^(f):
V>(r,f) = Лехр \гу>- q2 +ib^ - z2 (^2 +^)] •	(10-3)
Эффективный лагранжиан получается при подстановке выра-
жения (10.3) в уравнение (10.2). Уравнения Эйлера-Лагранжа,
выведенные из эффективного Лагранжиана, дают, во-первых, сохра-
нение пропорциональной числу атомов конденсата нормы солитона
(dE/dt = 0)
dz	= A2W2V
о
(Ю.4)
и, во-вторых, динамические уравнения для ширины W и V (сравните
с выведенными в схожей ситуации в предыдущей главе уравнениями
(9.13), (9.12)):
---2~ — ----3 ”1--7=---3— [^0 +	81п(и-’пгС] >	(10.5)
di? W3 >/8W3V
= ^з - 4eV ех₽ (~у2) +	[Л°+ Л1 sin(cVmi)] ’	(10-6)
Численные результаты будут приведены ниже с учетом нормировки
Е = я-3/2 (это условие может быть всегда выполнено путем изменения
масштабов Ао и А,).
Необходимое условие существования 3D солитона в настоящей мо-
дели может быть получено из этих уравнений в приближенной форме.
С этой целью предполагается, что Ai мало, тогда как шт велика
в (10.1). Предполагается также, что среднее значение W радиальной
ширины солитона W велико (см. ниже). Далее, в самом простом при-
ближении ширину солитона вдоль оси ОР можно считать постоянной,
V(i) « Vo, как определено соотношением
4eVq4 exp (—Vq2) = 1,	(10.7)
что следует из (10.6), где последнее малое слагаемое (~ W~2) опуще-
но. Уравнение (10.7) имеет действительные решения, если величина
потенциала ОР превышает пороговое (минимальное) значение:
e^ethr = e2/16 и 0,46.	(10.8)
Заметим, что такая же величина появилась в аналогичном контексте
в рассмотренной в предыдущей главе модели, см. (9.24). Для е sthr
уравнение (10.7) имеет два действительных решения, которые пред-
полагают существование двух различных солитонов. Кажется весьма
вероятным, что более узкий солитон, соответствующий меньшим Vq,
устойчив, а другой — неустойчив (сравните с ситуацией для статиче-
ских моделей, рассмотренных в [24-26]).
Далее, заменив V(i) на Vq в (10.6), можно искать решение в виде
W(i) ~ W + W\ sin(wmt). Для больших шт переменная часть уравне-
ния дает
Ж, = -
ДА,
У8ТУ3УосЛ
(Ю.9)
Рассмотрение постоянной части в уравнении (10.5) с учетом первой
поправки вследствие усреднения произведения W\ sin (wmt) g(t) дает
следующий результат:
№* = —J--------------------------г. (10.10)
4V2y0Vwm7 ^e|Ao|-V8VoJ
Из уравнения (10.10) следует необходимое условие существования 3D
солитона (напомним, что величина Aq отрицательна):
И > (lAol)min = 4^’	(10-П)
Фактически, в рамках ВП эта минимальная величина для фиксирован-
ного Е соответствует критической норме, необходимой для существова-
ния 2D солитона, т. е. норме солитонов Таунса. Результаты численного
расчета, представленные в следующем подразделе, показывают, что это
условие действительно выполнено, хотя и приближенно.
И наконец, сделанное выше предположение, что W велико, фор-
мально справедливо только когда |Aq| ненамного превосходит опреде-
ленное в (10.11) минимальное значение. Тогда выражение (10.10) будет
большим, поскольку знаменатель является малым.
10.2.2.	Численные результаты. Численное решение уравнения
в частных производных (10.1) для полной модели дает устойчивые од-
нопиковые солитоны в соответствии с предсказаниями ВП, а также их
многопиковые аналоги. Однако обеспечить непосредственное превра-
щение гауссового импульса в солитон оказалось достаточно сложным.
Поэтому в [169] была разработана специальная процедура для форми-
рования устойчивых солитонов в этой модели. С этой целью расчеты
начинались с уравнения (10.1), которое содержало дополнительные
слагаемые в виде специально сконструированного потенциала, обес-
печивающего начало процесса формирования солитона по направлени-
ям q и z. Коэффициенты при других слагаемых также отличались от
коэффициентов в уравнении (10.1). Затем дополнительные слагаемые
постепенно убирались, а коэффициенты перед оставшимися членами
были выбраны в конечном виде, соответствующем 10.1.
На рис. 10.1 показан процесс перестройки исходного импульса в ти-
пичный трехгорбый солитон, наблюдаемый в численном эксперименте.
На рисунке (г) представлена установившаяся форма солитона, которая
остается неизменной в течение произвольно долгого времени. Во всех
многогорбых солитонах относительный сдвиг фаз между соседними
пиками близок к тг.
Важно понять, являются ли многогорбовые солитоны истинными
когерентными связанными состояниями или эти объекты представляют
собой просто наборы квази 2D солитонов, полностью изолированных
друг от друга барьерами в сильном потенциале OP. С этой цель°ю
на рис. 10.1(с>) представлена эволюция амплитуды центрального пика
как в случае непосредственно трехгорбого солитона, так и в случае,
где два боковых пика в начальной конфигурации отсутствовали. Как
литона в квазиодномерной решетке с КРФ в переменном во времени
магнитном поле, получается из непосредственных численных расчетов,
хотя и приблизительно. Рисунок 10.2(6) подтверждает существование
минимальной величины потенциала ОР е, которая необходима для под-
держании 3D солитонов, как предсказывалось в рамках ВП, см. (10.8).
10.3.	Периодические переключения между обычными
и щелевыми солитонами в оптической решетке
10.3.1.	Описание модели. В этом разделе рассматривается дву-
мерная модель с полной 2D оптической решеткой. Соответствующие
уравнение ГП имеет вид
+ е [cos(2a;) + cos(2y)] ф + [Ао + Ai cos(wmt)] \ф|2ф = 0.
О1 ох оу
(10.12)
Единственным динамическим инвариантом уравнения (10.12) с зави-
сящим от времени коэффициентом при нелинейности является норма,
которая пропорциональна числу атомов в конденсате:
N= |ч/>(а;, у, t)|2 dxdy.	(10.13)
Целью настоящего рассмотрения является поиск переключающихся
солитонов (alternate solitons), которые совершают периодические адиа-
батические переходы между конфигурациями, отвечающими щелевым
и обычным солитонам соответственно при Aq + Ai cos(wmt) < 0 и
Aq + Ai cos(wmt) > 0, в том случае, когда частота модуляции достаточно
мала. Результаты, включенные в этот раздел, были получены в рабо-
те [78].
В случае Ai = 0 стационарные решения уравнения (10.12) ищутся
в виде
-0(а;, у, t) = и(х, у) ехр(—ipt)	(10.14)
с действительным химическим потенциалом р и действительной функ-
цией и, которая удовлетворяет уравнению
ри +	+ е [cos(2a;) + cos(2y)] и + Aqiz3 = 0.	(10.15)
дх ду
Поскольку солитоны могут существовать только при значениях р,
принадлежащих щелям в спектре линейных волн, поиску солитонных
решений должно предшествовать рассмотрение спектра линеаризован-
ной версии уравнения (10.15). Линеаризация (10.15) ведет к двумерной
задаче на собственные значения с разделяющимися переменными
(bx + Ly) и(х, у) = -ри(х,у),	(10.16)
Рис. 10.3. Система вертикальных полос дает типичный пример (для е = 7,5)
зонной структуры, найденной для линеаризованной версии уравнения (10.15).
Затушеванные и чистые зоны представляют полосы блоковских разрешенных и
запрещенных (щелевых) состояний соответственно. Солитоны могут существо-
вать только внутри щелей (запрещенных зон). Сплошная кривая показывает
зависимость у(Хо) для численных солитонных решений, найденых из полного
нелинейного стационарного уравнения (10.15) (для е = 7,5 и фиксированной
нормы N = 4тг). Пунктирная кривая представляет собой ту же зависимость для
приближенных солитонных решений, найденных с помощью вариационного
метода на основе гауссова анзатца. Подробности можно найти в [78]). Точки
от «а» до «/» помечают те солитоны, чья форма показана на рис. 10.4
где одномерный линейный оператор имеет вид Lx = д2/дх2 + ecos(2a;).
Соответствующие собственные состояния могут быть выбраны как
= 9k{x)gi{y) с собственными значениями уы — Р-к + Щ,
где <7k(a?) и gi(y) есть пара любых квазипериодических блоховских
функций, являющихся решениями линейного УМ (уравнения Матье)
Ъх9к(х) = —р-к9к(х), уь и yi представляют соответствующие
собственные значения. Полученная таким образом зонная структура
двумерного линейного уравнения (10.16) детально исследовалась (см.
например [138] и [57]). Помимо спектра самого УМ, она включает
полубесконечную щель при у —> —оо и набор щелей (запрещенных зон)
конечной ширины с разрешенными зонами между ними, населенными
квазипериодическими блоховскими волнами. Типичный пример зонной
структуры показан на рис. 10.3.
Известно [24, 57, 177], что в случае постоянной соответствующей
притяжению нелинейности (А[ = 0, Aq > 0) в полубесконечной щели
существует семейство устойчивых стационарных 2D солитонов. В слу-
чае отталкивания, Aq < 0, устойчивые щелевые 2D солитоны могут
быть найдены в конечных щелях [23, 26, 138, 155]. В любом случае
необходимым условием существования стационарных 2D солитонов
является то, что их норма, определенная соотношением (10.13), долж-
u(z, 0)
u(z, 0)
Рис. 10.4. Сплошные линии показывают поперечные сечения формы двумерных
солитонов по линии у = 0, т.е. и(а:,0), см. (10.14). Графики от (а) до (1)
соответствуют цепочке помеченных точек на рис. 10.3
на превосходить определенную минимальную {пороговую) величину
Mhr [57].
Семейства стационарных солитонов характеризуются соответству-
ющими зависимостями /z(Aq) для каждой щели, где существуют соли-
тоны. Для фиксированной величины потенциала ОР в = 7, 5 и фикси-
рованной нормы
7У = 4тг	(10.17)
эти зависимости показаны сплошными кривыми на рис. 10.3. Набор
профилей на рис. 10.4 иллюстрирует возможные формы солитонов.
10.3.2.	Двумерные переключающиеся солитоны. Существование и
устойчивость переключающихся солитонов исследовались с помощью
непосредственного численного решения уравнения (10.12). Первым
следует рассмотреть случай отсутствия постоянной части коэффици-
ента нелинейности, До = 0. При t = 0 расчеты начинались с исходного
профиля, соответствующего численно найденному солитонному реше-
нию стационарного уравнения (10.15) при А = А[ в предположении
А| > 0. Численное моделирование показывает, что действительно име-
ется возможность достичь устойчивого периодического адиабатическо-
го чередования двух форм квазистационарных солитонов: одна соот-
ветствует обычному солитону, принадлежащему полубесконечной щели
в случае постоянной нелинейности и притяжения, другая — щелевому
солитону в одной из конечных щелей при постоянной нелинейности и
отталкивании. Переход к такому переключающемуся солитону, кото-
рый периодически принимает две предельные формы, сопровождается
очень слабыми потерями на излучение. При численном эксперименте
ной норме (10.17), но для соответствующих статических 2D моделей:
~ 0> 04 и ~ -0,04 соответственно. Вполне естественно, что
динамический порог гораздо выше, чем его статические аналоги.
Динамика солитонов, контролируемых с помощью резонанса Феш-
баха, рассматривалась также и для ненулевой отрицательной постоян-
ной части коэффициента при нелинейности, Ао < 0, что соответствует
отталкиванию между атомами БЭК. В этом случае естественно предпо-
ложить существование щелевых солитонов в высокочастотном пределе.
Эта ситуация может быть иллюстрирована примером с Ао = -0,9 и
А[ = 1,6. Численное моделирование начиналось с начального профиля,
соответствующего точке (а) на рис. 10.3, поскольку начальная вели-
чина коэффициента нелинейности А(0) =0,7 соответствует этой точ-
ке. Минимальное мгновенное значение осциллирующего нелинейного
коэффициента составляет в этом случае Amjn = -2, 5. Стационарное
решение с А = -2,5 соответствует точке (а) на рис. 10.3 из второй
щели. В этом режиме осциллирующий нелинейный коэффициент A(t),
в дополнение к периодическому прохождению через точку А = 0 и через
очень узкую зону блоховских состояний между полубесконечной и пер-
вой конечной щелью, также периодически пересекает более широкую
блоховскую зону между первой и второй щелью, в которой стационар-
ные солитоны не могут существовать. Тем не менее, найденный в этом
случае устойчивый переключающийся солитон выживает во всех этих
переходах через «опасные разрешенные зоны», как это представлено на
рис. 10.8. Слабое излучение испускается на начальной стадии эволю-
ции (кривая p(t) вновь показывает эволюцию нормы солитона), и затем
формируется устойчивый переключающийся солитон (ср. с рис. 10.7).
Стоит отметить, что, как видно на вставках, этот солитон имеет
боковые лепестки, которые фактически не осциллируют вместе с его
центральной частью и не исчезают, когда А принимает положительные
значения. Последняя особенность отличает этот стабильный режим от
другого, показанного на рис. 10.5, где боковые лепестки периодически
исчезают.
Наконец, применение механизма контроля с помощью резонанса
Фешбаха к слаболокализованным («слабосвязанным» ) солитонам, та-
ким, как на рисунке 10.4(/), в отличие от того, что было рассмотрено
для компактных («сильносвязанных») солитонов, не может привести к
режиму устойчивого переключения солитонов такого типа для любой
комбинации Ао и А[ в (10.12).
10.3.3.	Динамика одномерных солитонов, контролируемых с
помощью резонанса Фешбаха. Одномерный случай также заслужи-
вает рассмотрения, т. к. в этом случае эксперимент проще, и интересно
будет сравнить полученные результаты с результатами для 2D модели,
обсуждавшимися выше. В частности возникает вопрос, требует ли су-
ществование 1D переключающегося солитона выполнения какого-либо
порогового условия (минимальной нормы). Эффективное одномерное
Список литературы
1.	Abdullaev F. Kh., Baizakov В. В. Disintegration of a soliton in
a dispersion-managed optical communication line with random parameters
// Opt. Lett. 2000. V.25. P. 93.
2.	Abdullaev F. Kh., Baizakov В. B., Salerno M. Stable two-dimensional
dispersion-managed soliton // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. P. 066605.
3.	Abdullaev F. Kh., Caputo J. G. Validation of the variational approach for
chirped pulses in fibers with periodic dispersion // Phys. Rev. E. 1998. V.
58. P. 6637.
4.	Abdullaev F. Kh., Caputo J. G., Flytzanis N. Envelope soliton propagation
in media with temporally modulated dispersion // Phys. Rev. E. 1994. V.50.
P. 1552.
5.	Abdullaev F. Kh., Caputo J. G., Kraenkel R. A., Malomed B. A. Control-
ling collapse in Bose-Einstein condensation by temporal modulation of the
scattering length // Phys. Rev. A.2003. V. 67. P. 013605.
6.	Abdullaev F. Kh., Galimzyanov R. The dynamics of bright matter wave
solitons in a quasi-one-dimensional Bose-Einstein condensate with a rapidly
varying trap // J. Phys. B. 2003. V. 36. P. 1099.
7.	Abdullaev F. Kh., Garnier J. Collective oscillations of one-dimensional
Bose-Einstein gas in a time-varying trap potential and atomic scattering
length // Phys. Rev. A. 204. V. 70. P. 053604.
8.	Абдуллаев Ф.Х., Дарманян С.А., Хабибулаев П.К. Оптические солито-
ны. Ташкент — Фан, 1987
9.	Ablowitz М. J., Biondini G. Multiscale pulse dynamics in communication
systems with strong dispersion management // Opt. Lett. 1998. V. 23. P.
1668.
10.	Ablowitz M. J., Biondini G., Chakravarty S., Horne R. L. On timing jitter
in wavelength-division multiplexed soliton systems // Opt. Commun. 1998.
V. 150. P. 305.
11.	Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. / Пер. с
англ. — М.: Мир, 1987 — 479 с.
12.	Abramowitz М., Stegun /. A. Handbook of Mathematical Func-
tions. — Dover Publication: New York, 1965.
13.	Aceves A. B., Wabnitz S. Self-induced transparency solitons in nonlinear
refractive periodic media // Phys. Lett. 1989. V. 141. P. 37.
14.	Adhikari S. К Stabilization of bright solitons and vortex solitons in a
trapless three-dimensional Bose-Einstein condensate by temporal modulation
of the scattering length // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 063613.
15.	Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. / Пер. с англ. — М.: Мир,
1996 - с...
16.	Agrawal G. Р. Nonlinear Optical Communication Networks. — John Wiley
& Sons, Inc.: New York, 1997.
17.	Aharon 0., Malomed В. A., Band Y. B., Mahlab U. Minimization of
the pulse’s timing jitter in a dispersion-compensated WDM system // Opt.
Quant. Electr. 2004. V. 36. P. 349.
18.	Aitchison J. S., Weiner A. M., Silberberg Y., Oliver M. K., et al. Observa-
tion of spatial optical solitons in a nonlinear glass wave-guide // Opt. Lett.
1990. V. 15. P. 471.
19.	Anderson D. Variational approach to nonlinear pulse propagation in optical
fibers // Phys. Rev. A. 1983. V. 27. P. 3135-3145.
20.	Atai J., Malomed B. A. Families of Bragg-grating solitons in a cubic-quintic
medium // Phys. Lett. A. 2001. V. 155. P. 247.
21.	Atai J., Malomed B. A.Spatial solitons in a medium composed of
self-focusing and self-defocusing layers // Phys. Lett. A. 2002. V. 298. P.
140.
22.	Baizakov B., Filatrella G., Malomed B., Salerno M. A double parametric
resonance for matter-wave solitons in a time-modulated trap // Phys. Rev.
E. 2005. V. 71. P. 036619.
23.	Baizakov В. B., Konotop V. V., Salerno M. Regular spatial structures in
arrays of Bose-Einstein condensates induced by modulational instability // J.
Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2002. V. 35. P. 5105.
24.	Baizakov В. B., Malomed B. A., Salerno M. Multidimensional solitons in
periodic potentials // Europhys. Lett. 2003. V. 63. P. 642.
25.	Baizakov В. B., Salerno M., and Malomed B. A. Multidimensional soli-
tons and vortices in periodic potentials / in: Nonlinear Waves: Classical
and Quantum Aspects. / Eds. by F. Kh. Abdullaev andV. V. Konotop, p.
61. — Kluwer Academic Publishers: Dordrecht, 2004; also available at
http://rsphy2.anu.edu.au/~asdl24/Baizakov_2004_61_Nonlinear Waves.pdf.
26.	Baizakov В. B., Malomed B. A. Salerno M. Multidimensional solitons in a
low-dimensional periodic potential // Phys. Rev, A. 2004. V. 70. P. 053613.
27.	Bang O., Clausen С. B., Christiansen P. L., Torner L. Engineering compet-
ing nonlinearities // Opt. Lett. 1999. V. 24. P. 1413.
28.	Barashenkov I. V., Pelinovsky D. E., Zemlyanaya E. V. Vibrations and
oscillatory instabilities of gap solitons // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P.
5117.
29.	Bergd L. Wave collapse in physics: principles and applications to light and
plasma waves // Phys. Rep. 1998. V. 303. P. 259-370.
30.	Bergd L., Mezentsev V. K., Rasmussen J. Juul, Christiansen P. L., Gaididei
Yu. B. Self-guiding light in layered nonlinear media // Opt. Lett. 2000. V.
25. P. 1037.
31.	Berntson A., Doran N. J., Forysiak W., Nijhof J. H. В. P ower dependence
of dispersion-managed solitons for anomalous, zero, and normal path-average
dispersion // Opt. Lett. V. 23. P. 900 (1998).
32.	Berntson A.. Malomed B. A. Dispersion-management with filtering // Opt.
Lett. 1999. V. 24. P. 507.
33.	Brzozowski L., Sargent E. H. Optical signal processing using nonlinear
distributed feedback structures // IEEE J. Quant. Electr. 2000. V. 36. P.
550.
34.	Burger S., Bongs K., Dettmer S., Ertmer W., Sengstock K., Sanpera A.,
Shlyapnikov G. V., Lewenstein M. Dark solitons in Bose-Einstein conden-
sates // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 83. P. 5198-5201.
35.	Buryak A. V., Di Trapani P., Skryabin D. V., Trillo S. Optical solitons
due to quadratic nonlinearities: from basic physics to futuristic applications
// Phys. Rep. 2002. V. 370. P. 63.
36.	Campbell D. K., Peyrard M. olitary wave collisions revisited // Physica D.
1986. V. 18. P. 47-53.
37.	Campbell D. K., Peyrard M., Sodano P. Kink-antikink interactions in the
double sine-Gordon equation // Physica D. 1986. V. 19. P. 165-205.
38.	Carter G. M., Jacob J. M., Menyuk C. R., Golovchenko E. A., Pilipetskii
A. N. Timing-jitter reduction for a dispersion-managed soliton system: Ex-
perimental evidence // Opt. Lett. 1997. V. 22. P. 513.
39.	Champneys A. R., Malomed B. A., Yang J., Каир D. J. “Embedded solitons":
solitary waves in resonance with the linear spectrum // Physica D. 2001. V.
152-153. P. 340.
40.	Chen P. Y. P., Chu P. L., Malomed B. A. An iterative numerical method
for dispersion managed solitons // Opt. Commun. 2005. V. 245. P. 425.
41.	Chiao R. Y., Garmire E., Townes С. H. Self-trapping of optical beams //
Phys. Rev. Lett. 1964. V. 13. P. 479-482.
42.	Christodoulides D. N., Joseph R. J. Slow Bragg solitons in nonlinear periodic
structures // Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1746.
43.	Clausen С. B., Bang O., Kivshar Y. S. Spatial solitons and induced Kerr
effects in quasi-phase-matched quadratic media // Phys. Rev. Lett. 1997. V.
78. P. 4749-4752.
44.	Cornish S. L., Thompson S.T., Wieman C. F. Formation of Bright
Matter-Wave Solitons during the Collapse of Attractive Bose-Einstein Con-
densates // Phys. Rev. Lett. 2006. V. 96. P. 170401.
45.	Crasovan L.-C., Malomed B.A., Mihalache D. Spinning solitons in
cubic-quintic media // Pramana - Indian J. Phys. 2001. V. 57. P. 1041-
1059.
46.	Darmanyan S., Kobyakov A., Lederer F. Stability of strongly localized
excitations in discrete media with cubic nonlinearity // ЖЭТФ 1998. T. 113.
C. 1253-1261.
47.	Denschlag J., Simsarian J. E., Fede D. L., et al. Generating solitons by
phase engineering of a Bose-Einstein condensat // Science. 2000. V. 287. P.
97-101.
48.	De Rossi A., Conti C., Trillo S. Stability, multistability, and wobbling of
optical gap solitons // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 85.
49.	Desaix M., Anderson D., Lisak M. Variational approach to collapse of
optical pulses // J. Opt. Soc. Am. B. 1991. V. 8. P. 2082.
50.	Di Trapani P., Caironi D., Valiulis G., Dubietis A., Danielius R.,
Piskarskas A. Observation of temporal solitons in second-harmonic genera-
tion with tilted pulses // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 570.
51.	Driben R., Malomed B.A. Split-step solitons in long fiber links // Opt.
Commun. 2000. V. 185. P. 439.
52.	Driben R., Malomed B. A Suppression of crosstalk between solitons in a
multi-channel split-step system // Opt. Commun. 2001. V. 197. P. 481.
53.	Driben R., Malomed B.A., Chu P. L. Solitons in regular and random
split-step systems // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 219. P. 143.
54.	Driben R., Malomed B.A., Chu P. L. Transmission of pulses in a
dispersion-managed fiber link with extra nonlinear segments // Opt. Com-
mun. 2005. V. 245. P. 227.
55.	Driben R., Malomed B.A., Gutin M., Mahlab U. Implementation of non-
linearity management for Gaussian pulses in a fiber-optic link by means of
second-harmonic-generating modules // Opt. Commun. 2003. V. 218. P. 93.
56.	Efremidis N. K., Sears S., Christodoulides D. N., Fleischer J. W., Segev
M. Discrete solitons in photorefractive optically induced photonic lattices, //
Phys. Rev. E. 2002. V. 66. P. 046602.
57.	Efremidis N. K., Hudock J., Christodoulides D. N., Fleischer J. W., Cohen
O., Segev M. Two-Dimensional Optical Lattice Solitons // Phys. Rev. Lett.
2003. V. 91. P. 213906.
58.	B. J. Eggleton, R. E. Slusher, С. M. de Sterke, P. A. Krug, and J. E. Sipe,
Bragg Grating Solitons // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 1627.
59.	Eiermann B., Anker Th., Albiez M., Taglieber M., Treutlein P., Marzlin
К.-P., Oberthaler M. K. Bright Bose-Einstein Gap Solitons of Atoms with
Repulsive Interaction // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 230401.
60.	Eisenberg H. S., Silberberg Y., Morandotti R., Boyd A. R., Aitchison J.
S. Discrete spatial optical solitons in waveguide arrays // Phys. Rev. Lett.
1998. V. 81. P. 3383.
61.	Emplit P., Hamaide J. P., Reynaud F, Froehly C, Barthelemy A. Picosec-
ond steps and dark pulses through nonlinear single mode fibers // Opt.
Commun. 1987. V. 62. P. 374.
62.	Fedichev P. O., Kagan Yu., Shlyapnikov G. V., Walraven J.T. M. Influence
of nearly resonant light on the scattering length in low-temperature atomic
gases // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 2913.
63.	Etrich C., Lederer E, Malomed B.A., Peschel T., Peschel U. Optical solitons
in media with a quadratic nonlinearity // Progress in Optics 2000, V. 41. P.
483-568 (E. Wolf, editor: North Holland, Amsterdam, 2000).
64.	Feng B.-F., Malomed B.A. Bound states of solitons between close
wavelength-separated channels in a dispersion-managed fiber-optic link //
Opt. Commun. 2003. V. 219. P. 143.
65.	Ferrando A., Zacare's M., Fernandez de Cordoba P., Binosi D., A. Mon-
soriu J. Spatial soliton formation in photonic crystal fibers // Opt. Exp. V.
H P. 452.
66.	Ferrando A., Zacares M., Fernandez de Cordoba P., Binosi D., Monsoriu
J. A. Vortex solitons in photonic crystal fibers // Opt. Exp. 2004. V. 12. P.
817.
67.	Fleischer J. W., Segev M., Efremidis N. K., Christodoulides D. N. Ob-
servation of two-dimensional discrete solitons in optically induced nonlinear
photonic lattices // Nature. 2003. V. 422. P. 147.
68.	Fleischer J. W., Bartal G., Cohen O., Manela O., Segev M., Hudock J.,
Christodoulides D. N. Observation of vortex-ring “discrete"solitons in 2D
photonic lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 123904.
69.	Fradkin-Kashi К., Arie A., Urenski P., Rosenman G. Multiple nonlinear
optical interactions with arbitrary wave vector differences // Phys. Rev. Lett.
2002. V. 88. P. 023903.
70.	Gabitov I. R., Turitsyn S. K. Averaged pulse dynamics in a cascaded
transmission system with passive dispersion compensation // Opt. Lett.
1996. V. 21. P. 327 (1996).
71.	Gara'a-Ripoll J. J., Рёгег-Garct'a V. M. Barrier resonances in Bose-Einstein
condensation // Phys. Rev. A. 1999. V. 59. P. 2220.
72.	Gara'a-Ripoll J. J., Pdrez-Gara'a V. M., Torres P. Extended parametric
resonances in nonlinear Schrodinger systems // Phys. Rev. Lett. 1999. V.
83. P. 1715.
73.	Gardner C. S., Green J. M., Kruskal M. D., Miura R. M. Method for
solving the Korteweg De Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. V. 19. P.
1095.
74.	Garnier J. Stabilization of dispersion-managed solitons in random optical
fibers by strong dispersion management // Opt. Commun. 2002. V. 206. P.
411.
75.	Gisin В. V., Hardy A. A. Stationary solutions of plane nonlinear optical
antiwaveguides // Opt. Quant. Electr. 1995. V. 27. P. 565.
76.	Gisin В. V., Kaplan A., Malomed B.A. Spontaneous symmetry breaking
and switching in planar nonlinear antiwaveguide // Phys. Rev. E. 2000. V.
61. P. 2804.
77.	Grimshaw R., He Malomed B.A. Decay of a soliton in a periodically
modulated nonlinear waveguide // Phys. Scripta. 1996. V. 53. P. 385.
78.	Gubeskys A., Malomed B.A., Merhasin I. M. Alternate solitons:
Nonlinearly-managed one- and two-dimensional solitons in optical lattices //
Stud. Appl. Math. 2005. V. 115. P. 255.
79.	Gutin M., Mahlab U., Malomed B.A. Shaping NRZ pulses and suppression
of the inter-symbol interference by a second-harmonic-generating module //
Opt. Commun. 2001. V. 200. P. 401.
80.	Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical
pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Appl. Phys.
Lett. 1973. V. 23. P. 142; Transmission of stationary nonlinear optical pulses
in dispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion ibid. 1973. V. 23. P. 171.
81.	Hasse R. Schrodinger solitons and kinks behave like Newtonian particles //
Phys. Rev. A. 1982. V. 25. P. 583.
82.	Inouye S., Andrews M. R., Stenger J., Miesner H.-J., Stamper-Kurn D.
M., Ketterle W. Observation of Feshbach resonances in a Bose-Einstein
condensate // Nature. 1998. V. 392. P. 151.
83.	Kagan Y., Surko E. L., Shlyapnikov G. V. Evolution and global collapse of
trapped Bose condensates under variations of the scattering length // Phys.
Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2604.
84.	Kanashov A. A., Rubenchik A. M. On diffraction and dispersion effect on
three wave interaction // Physica D. 1981. V. 4. P. 122.
85.	Kapitula T., Kevrekidis P. G., Malomed B.A. Stability of multiple pulses
in discrete systems // Phys. Rev. E. 2001. V. 63, 036604.
86.	Kaplan A., Gisin В. V., Malomed B.A. Stable propagation and all-optical
switching in planar waveguide-antiwaveguide periodic structures // J. Opt.
Soc. Am. B. 2002. V. 19. P. 522.
87.	Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П. Нелинейно взаимодействие дифраги-
рующих световых пучков в среде с квадратичной нелинейностью; взаи-
мофокусировка пучков и ограничение эффективности оптических преоб-
разователей частоы //Письма в ЖЭТФ 1974, Т.20. №11. С. 734-739.
88.	Каир D. J., Malomed В.A., Tasgal R. S. Internal dynamics of a vector
soliton // Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 3049.
89.	Каир D. J., Malomed B.A., Yang J. Collision-induced pulse timing jitter in a
wavelength-division-multiplexing system with strong dispersion management
// J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 1628.
90.	Kevrekidis P. G., Malomed B. A., Bishop A. R. Bound states of
two-dimensional solitons in the discrete nonlinear Schrodinger equation //
J. Phys. A Math. Gen. 2001. V. 34. P. 9615.
91.	Kevrekidis P. G., Theocharis G., Frantzeskakis D. J., Malomed B.A.
Feshbach resonance management for Bose-Einstein condensates // Phys.
Rev. Lett. 2003. V. 90. P. 230401.
92.	Kivshar Y. S., Luther-Davies B. Dark optical solitons: physics and applica-
tions // Phys. Rep. 1998. V. 298. P. 81.
93.	Khaykovich L., Schreck F., Ferrari G., Bourdel T., Cubizolles J., Carr
L. D., Castin Y., Salomon C. Formation of a matter-wave bright soliton //
Science. 2002. V. 296. P. 1290-1293.
94.	Khaykovich L., Malomed B.A. Deviation from one-dimensionality in station-
ary properties and collisional dynamics of matter-wave solitons // Phys.Rev.
A. 2006. V. 74. P. 023607.
95.	Kivshar Yu. S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable
systems // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61. P. 763-911.
96.	Knight J. C., Birks T. A., Russell P. St. J., Atkin D. M. All-silica
single-mode optical fiber with photonic crystal cladding // Opt. Lett. 1996.
V. 21. P. 1547.
97.	Knox F. M., Forysiak W., Doran N. J. 10-Gbt/s soliton communication sys-
tems over standard fiber at 1.55 pm and the use of dispersion compensation
// IEEE J. Lightwave Tech. 1995. V. 13. P. 1955.
98.	Konotop V. V., Vazquez L. Nonlinear Random Waves — World Scientific:
Singapore, 1994.
99.	Hayata K., Koshiba M. Multidimensional solitons in quadratic nonlinear
media // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P. 3275.
100.	Krokel D., Halas N. J., Giuliani G., Grischkowsky D. Dark-pulse propaga-
tion in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 60. P. 29-32.
101.	Lakoba T. Каир D. J. Hermite-Gaussian expansion for pulse propagation
in strongly dispersion managed fibers // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 6728.
102.	Lakoba T„ Yang J., Каир D. L, Malomed B.A. Conditions for stationary
pulse propagation in the strong dispersion management regime // Opt.
Commun. 1998. V. 149. P. 366.
103.	Liu X., Beckwitt K., Wise F. Two-dimensional optical spatiotemporal
solitons in quadratic media // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 1328.
104.	Liu X., Qian L., Wise F. High-energy pulse compression by use of negative
phase shifts produced by the cascaded x^ : x^ nonlinearity // Opt. Lett.
1999. V. 24. P. 1777.
105.	Liu X., Qian L., Wise F. Generation of optical spatiotemporal solitons //
Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P. 4631.
106.	Malomed B.A. Variational methods in nonlinear fiber optics and related fields
// Progress in Optics 2002. V. 43. P. 69-191 (E. Wolf, editor: North Holland,
Amsterdam).
107.	Malomed B.A. Nonlinear Schrodinger equations. // Encyclopedia of Nonlin-
ear Science / Ed. by A. Scott — New York: Routledge, 2005. P. 639-643.
108.	Malomed B. A., Berntson A. Propagation of an optical pulse in a fiber link
with random dispersion management // J. Opt. Soc. Am. B. 2001. V. 18. P.
1243.
109.	Malomed B.A., Drummond P., He H., Berntson A., Anderson D., Lisak M.
Spatio-temporal solitons in optical media with a quadratic nonlinearity //
Phys. Rev. E. 1997. V. 56. P. 4725.
110.	Malomed B.A., Mayteevarunyoo T., Ostrovskaya E. A., Kivshar Y. S.
Coupled-mode theory for spatial gap solitons in optically-induced lattices. //
Phys. Rev. E. 2005. V. 71. №5. P. 056616.
\\\. Malomed B.A., Mihalache D., Wise F., Torner L. Spatiotemporal optical
solitons. // J. Opt. B: Quant. Semicl. Opt., 2005. V.7. P. R53.
112.	Malomed B.A., Parker D. F., Smyth N. F. Resonant shape oscillations and
decay of a soliton in periodically inhomogeneous nonlinear optical fiber. //
Phys. Rev. E. 1993. V. 48. P. 1418.
113.	Malomed B.A., Peng G. D., Chu P. L., Towers L, Buryak A. V., Sammut
R. A. Stable helical solitons in optical media // Pramana V. 57. P. 1061 -
1078 (2001).
114.	Malomed B. A., Smyth N. F. Resonant splitting of a vector soliton in a
periodically inhomogeneous birefringent optical fiber // Phys. Rev. E. 1994.
V. 50. P. 1535-1542 (1994).
115.	Malomed B. A., Tasgal R. S. Vibration modes of a gap soliton in a nonlinear
optical medium // Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 5787.
116.	Malomed B. A., Tasgal R. S. Internal vibrations of a vector soliton in
coupled nonlinear Schrodinger equations // Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P.
2564.
117.	Malomed B.A., Wang Z. H., Chu P. L., Peng G. D. Multichannel switchable
system for spatial solitons // J. Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. P. 1197.
118.	Mamyshev P. V., Mamysheva N. A. Pulse-overlapped dispersion-managed
data transmission and intrachannel four-wave mixing // Opt. Lett. 1999. V.
24. P. 1454.
119.	Манаков C.B. К теории двумерной стационарной самофокусировки элек-
тромагнитных волн // ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 505-516.
120.	Maneuf S., Reynaud F. Quasi-steady state self-trapping of first, second, and
third order subnanosecond soliton beams // Opt. Commun. 1988. V. 66. P.
325.
121.	Matijosius A., Trull L, Di Trapani P., Dubietis A., Piskarskas R.,
Varanavicius A., Piskarskas A. Nonlinear space-time dynamics of ultrashort
wave packets in wate // Opt. Lett. 2004. V. 29. P. 1123.
122.	Matsumoto M. Theory of stretched-pulse transmission in
dispersion-managed fibers // Opt. Lett. 1977. V. 22. P. 1238.
123.	Matsumoto M. Instability of dispersion-managed solitons in a system with
filtering // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1901.
124.	Matuszewski M., Trippenbach M., Malomed B.A., Infeld E., Skorupski A.
A. Two-dimensional dispersion-managed light bullets in Kerr media // Phys.
Rev. E. 2004. V. 70. P. 016603.
125.	Matuszewski M., Infeld E., Malomed B.A., Trippenbach M. Stabilization
of three-dimensional light bullets by a transverse lattice in a Kerr medium
with dispersion management // Opt. Commun. 2006. V. 259. P. 49-54.
126.	McConnell G., Riis E. Ultra-short pulse compression using photonic crystal
fibre // Appl. Phys. B: Lasers Opt. 2004. V. 78. P. 557.
127.	Mihalache D., Mazilu D., Lederer F., Kartashov Y. V., Crasovan
L.-C., Torner L. Stable three-dimensional spatiotemporal solitons in a
two-dimensional photonic lattice // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 055603(R).
128.	McEntee J. Solitons go the distance in ultralong-haul DWDM // Fibre
Systems Europe, January 2003, p. 19.
129.	Mok J. T., de Sterke C.M., Littler I.C.M., Eggleton B.J. Dispersionless slow
light using gap solitons // Nature Physics 2006. V. 2. P. 775-789.
130.	Mollenauer L. F., Stolen R. H., Gordon J. P. Experimental observation of
picosecond pulse narrowing and solitons in optical fibers // Phys. Rev. Lett.
1980. V. 45. P. 1095.
131.	Montesinos G. D., Perez-Garcia V. M., Michinel H. Stabilized
two-dimensional vector solitons // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 133901.
132.	Montesinos G. D., Perez-Garcia V. M., Michinel FL, Salgueiro J. R.
Stabilized vortices in layered Kerr media // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P.
036624.
133.	Montesinos G. D., Perez-Garcia V. M., Torres P. J. Stabilization of soli-
tons of the multidimensional nonlinear Schrodinger equation: matter-wave
breathers // Physica D. 2004. V. 191. P. 193.
134.	Nakazawa M., Kubota H. Optical soliton communication in a positively and
negatively dispersion-allocated optical-fiber transmission-line // Electr. Lett.
1995. V. 31. P. 216.
135.	Neshev D. N., Alexander T. Ostrovskaya E. A., Kivshar Y. S., Martin H.,
Makasyuk L, Chen Z. Observation of Discrete Vortex Solitons in Optically
Induced Photonic Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 92. P. 123903.
136.	Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. / Пер. с англ. — М.: Мир,
1989. - 326 с.
137.	Niculae A. N., Forysiak W., Gloag A. L, Nijhof I. Н. В., Doran N. J.
Soliton collisions with wavelength-division multiplexed systems with strong
dispersion management // Opt. Lett. 1998. V. 23. P. 1354.
138.	Ostrovskaya E. A., Kivshar Y. S. Matter-wave gap solitons in atomic
band-gap structures // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90. P. 160407.
139.	Ostrovskaya E. A., Kivshar Y. S. Matter-Wave Gap Vortices in Optical
Lattices // Phys. Rev. Lett. 2004. V. 93. P. 160405.
140.	Pare C., Bdlanger P.-А. Antisymmetric soliton in a dispersion-managed
system // Opt. Commun. 1999. V. 168. P. 103.
141.	Рагё. С., Roy V., Lesage F., Mathieu P., Belanger P.-А. Coupled-field
description of zero-average dispersion management // Phys. Rev. E. 1999.
V. 60. P. 4836.
142.	Pare C., Villeneuve A., Belanger P.-А., Doran N.J. Compensating for
dispersion and the nonlinear Kerr effect without phase conjugation // Opt.
Lett. 1996. V. 21. P. 459.
143.	Pelinovsky D. E. Instabilities of dispersion-managed solitons in the normal
dispersion regime // Phys. Rev. E. 2000. V. 62. P. 4283.
144.	Pethik C. J..Smith H. Bose-Einstein Condensation in Dilute Gases —
Cambridge University Press. Cambridge, 2002.
145.	Perez-Garcia V. M., Michinel H., Cirac J. I., Lewenstein M., Zoller P.
Low energy excitations of a Bose-Einstein condensate: A time-dependent
variational analysis // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 77. P. 5320.
146.	Perez-Garcia V. M., Michinel H:, Cirac J. I., Lewenstein M., Zoller
P. Dynamics of Bose-Einstein condensates: Variational solutions of the
Gross-Pitaevskii equations // Phys. Rev. A. 1997. V. 56. P. 1424.
147.	Perez-Garcia V. M., Torres P., Garcia-Ripoll J. J., Michinel H. Moment
analysis of paraxial propagation in a nonlinear graded index fibre // J. Opt.
B: Quantum Semiclass. Opt. 2000. V. 2. P. 353.
148.	Pismen L. M. Vortices in Nonlinear Fields — Oxford University Press:
Oxford, 1999.
149.	Poutrina E., Agrawal G. P. Design rules for dispersion-managed soliton
systems // Opt. Commun. 2002. V. 206. P. 193.
150.	Rand R. H. Lecture Notes on Nonlinear Vibrations (http://www.
tam.cornell.edu/randdocs/nlvibe45.pdf).
151.	Roberts J. L., Claussen N. R., Burke J. P., Jr., Greene С. H., Cornell E.
A., Wieman С. E. Resonant Magnetic Field Control of Elastic Scattering in
Cold 85Rb 11 Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 5109.
152.	Russell J. S. Report on Waves. Rep. 14th Meeting British Assoc. Adv. Sci.
1844. P. 311.
153.	Saito H., Ueda M. Dynamically stabilized bright solitons in a
two-dimensional Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. Lett. 2003. V. 90.
P. 040403.
154.	Sakaguchi H., Malomed B.A. Dynamics of positive- and negative-mass
solitons in optical lattices and inverted traps // J. Phys. B. 2004. V. 37. P.
1443.
155.	Sakaguchi H., Malomed B.A. Two-dimensional loosely and tightly bound
solitons in optical lattices and inverted traps // J. Phys. B: At., Mol. Opt.
Phys. 2004. V. 37. P. 2225.
156.	Sakaguchi H., Malomed B.A. Resonant nonlinearity management for non-
linear Schrodinger solitons // Phys. Rev. E. 2004. V. 70. P. 066613.
157.	Satsuma J., Yajima N. Initial value problems of one-dimensional
self-modulation of nonlinear waves in dispersive media // Progr. Theor.
Phys. Suppl. 1974, No. 55, P. 284-306.
158.	Schiek R., Baek Y., Stegeman G. I. One-dimensional spatial solitary waves
due to cascaded second-order nonlinearities in planar waveguides // Phys.
Rev. E. 1996. V. 53. P. 1138.
159.	Silberberg Y. Collapse of Optical Pulses // Opt. Lett. 1990. V. 15. P. 1282.
160.	Stenger J., Inouye S., Andrews M. R., Miesner H. J., Stamper-Kurn D.
M., Ketterle W. Strongly enhanced inelastic colllisions in a Bose-Einstein
condensate near Feshbach resonances // Phys. Rev. Lett. 1999. V. 82. P.
2422.
161.	Strecker К. E., Partridge G. B., Truscott A. G., Hulet F. G. Formation
and propagation of matter-wave soliton trains // Nature. 2002. V. 417. P.
150-153.
162.	Sulem C., Sulem P.-L. The Nonlinear Schrodinger Equation — Springer:
New York, 1999.
163.	Suzuki M., Morita I., Edagawa N., Yamamoto S., Taga H., Akiba S.
Reduction of Gordon-Haus timing jitter by periodic dispersion compensation
in soliton transmission // Electron. Lett. 1995. V. 31. P. 2027.
164.	Toda H., Furukawa Y., Kinoshita T, Kodama Y., Hasegawa A. Optical
soliton transmission experiment in a comb-like dispersion profiled fiber loop
// IEEE Phot. Tech. Lett. 1997. V. 9. P. 1415.
165.	Torner L. Walkoff-compensated dispersion-mapped quadratic solitons //
IEEE Phot. Tech. Lett. 1999. V. 11. P. 1268.
166.	Torner L., Carrasco S., Torres J. P., Crasovan L. C., Mihalache D. Tandem
light bullets // Opt. Commun. 2001. V. 199. P. 277.
167.	Torruellas W. E., Wang Z., Hagan D. J., VanStryland E. W, Stegeman G.
I., Torner L., Menyuk C. R. Observation of Two-Dimensional Spatial Solitary
Waves in a Quadratic Medium // Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 5036.
168.	Towers I., Malomed B.A. Stable (2+l)-dimensional solitons in a layered
medium with sign-alternating Kerr nonlinearity. // J. Opt. Soc. Am. B. 2002.
V. 19. P. 537.
169.	Trippenbach M., Matuszewski M., Malomed B.A. Stabilization of
three-dimensional matter-waves solitons in an optical lattice // Europhys.
Lett. 2005. V. 70. P. 8.
170.	Турицын C.K., Мезенцев В.К. Dynamics of self-similar dispersion- managed
soliton presented in the basis of chirped Gauss-Hermite functions // Письма
в ЖЭТФ. 1998. V. 67. №9. P. 616-621.
171.	Turitsyn S. K., Shapiro E. G., Medvedev S. B., Fedoruk M. P., Mezentsev
V. K. Physics and mathematics of dispersion-managed optical solitons. //
Compt. Rend. Phys. 2003. V. 4. P. 145.
172.	Ueda T., Kath W. L. Dynamics of coupled solitons in nonlinear optical
fibers // Phys. Rev. A. 1990. V. 42. P. 563.
173.	Ustinov A. V. Solitons in Josephson junctions. // Physica D. 1998. V. 123.
P. 315.
174.	Wald M., Malomed B. A., Lederer F. Interaction of moderately
dispersion-managed solitons. // Opt. Commun. 1999. V. 172. P. 31.
175.	Weiner A. M., Heritage J. P., Hawkins R. J., Thurston R. N., Kirschner
E. M., Leaird D. E., Tomlinson W. J. Experimental observation of the
fundamental dark soliton in optical fibers // Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P.
2445.
176.	Xie P., Zhang Z.-Q., Zhang X. Gap solitons and soliton trains in finite-sized
two-dimensional periodic and quasiperiodic photonic crystals // Phys. Rev.
E. 2003. V. 67. P. 026607.
177.	Yang J., H. Musslimanl Z. Fundamental and vortex solitons in a
two-dimensional optical lattice // Opt. Lett. 2003. V. 28. P. 2094.
178.	Zabusky N., Kruskal M. Interactions of solitons in a collisionless plasma and
the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 15. P. 240-243.
179.	Теория солитонов. Метод обратной задачи. / В.Е. Захаров, С.В. Манаков,
С.П. Новиков, Л.П. Питаевский; Под ред. С.П. Новикова. — М.: Наука,
1980. 320 с
180.	Захаров В.Е., Шабат А.Б.. Точная теория двухмерной самофокусировки
и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде //ЖЭТФ. 1971. Т.
61. С. 118-134.
181.	Zltelli М., Malomed В., Matera F., Settembre М. Strong time jitter
reduction using solitons in hyperbolic dispersion managed links // Opt.
Commun. 1998. V. 154. P. 273.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................
Глава 1. Введение.............................................
1.1.	Общее представление о солитонах........................
1.1.1.	Оптические солитоны (15).	1.1.2. Солитоны в бозе-
эйнштейновских конденсатах и их аналоги в оптике (29).
1.2.	Предмет книги: солитоны в периодических неоднородных сре-
дах (контроль солитонов) ...................................
1.2.1.	Общее описание (35). 1.2.2. Одномерные оптические солито-
ны (37). 1.2.3. Многомерные оптические солитоны (40). 1.2.4. Со-
литоны в бозе-эйнштейновских конденсатах (41). 1.2.5. Цель кни-
ги (42).
Глава 2. Периодически меняющаяся дисперсия и контроль диспер-
сии: основные результаты для солитонов .......................
2.1.	Введение в предмет.....................................
2.2.	Модель с гармонической модуляцией локальной дисперсии . .
2.2.1. Вариационные уравнения (45). 2.2.2. Динамика солитонов
в модели с гармонической модуляцией (47).
2.3.	Солитоны в модели с контролем дисперсии................
2.4.	Случайно контролируемая дисперсия......................
2.5.	КД-солитоны с потерями, усилением и фильтрацией........
2.5.1.	Приближение распределенного фильтра (60). 2.5.2. Система
с локальной фильтрацией (64).
2.6.	Столкновения солитонов и связанные состояния солитонов
в двухканальной системе с контролем дисперсии ..............
2.6.1.	Эффекты столкновений солитонов, принадлежащих
различным каналам (66).	2.6.2. Межканальные связанные
состояния (71). 2.6.3. Сопутствующие проблемы (72).
Глава 3. Модель с разделением дисперсии и нелинейности........
3.1.	Описание систем с разделением дисперсии и нелинейности . .
3.2.	Солитоны в системе с разделением дисперсии и нелинейности
3.2.1.	Формулировка модели (75). 3.2.2. Вариационное прибли-
жение (77). 3.2.3. Сравнения с численными результатами (80).
3.2.4.	Диаграмма состояний для солитонов и бризеров (82).
3.3.	Неупорядоченная система................................
3.4.	Комбинация модели с разделением дисперсии и нелинейности
с моделью системы с контролем дисперсии: динамика отдель-
ного и спаренного импульсов................................
3.4.1.	Описание модели (89). 3.4.2. Передача отдельного импуль-
са (90). 3.4.3. Передача спаренного импульса (92).
Глава 4. Контроль нелинейности для квадратичных, кубичных и
брэгговских солитонов ........................................
4.1.	Тандемная модель и фазовый квазисинхронизм (QPM).......
4.2.	Контроль нелинейности. Объединение кубической и квадра-
тичной нелинейностей с контролем дисперсии.................
4.2.1.	Описание модели (96). 4.2.2. Результаты: передача одиноч-
ного импульса (98). 4.2.3. Совместная передача пары импуль-
сов (100).
4.3.	Контроль нелинейности для брэгговской решетки и солитонов
нелинейного уравнения Шредингера...........................
4.3.1.	Введение в проблему контроля нелинейности (101).
4.3.2.	Формулировка модели (102).	4.3.3. Диаграмма ста-
бильности брэгговских солитонов (103).	4.3.4. Устойчивость
солитонов НУШ с периодическим контролем нелинейности (106).
4.3.5.	Взаимодействие между солитонами и генерация движущихся
солитонов (106).
Глава 5. Резонансный контроль одномерных солитонов в бозе-
эйнштейновских конденсатах....................................
5.1.	Периодическая нелинейность в одномерном уравнении Гросса-
Питаевского ...............................................
5.2.	Резонансное расщепление солитонов высоких порядков в усло-
виях КРФ ..................................................
5.2.1.	Описание модели (112). 5.2.2. Численные результаты (113).
5.2.3.	Аналитические результаты (116).
5.3.	Резонансные осцилляции фундаментального солитона в перио-
дически модулированной ловушке.............................
5.3.1.	Быстрая периодическая модуляция (117). 5.3.2. Резонансы
в колебаниях солитонов в периодически модулированной ловуш-
ке (119).
Глава 6. Контроль каналированных солитонов: волноводная-
антиволноводная система ......................................
6.1.	Введение в предмет.....................................
6.2.	Чередующаяся волноводная структура.....................
6.3.	Аналитическое описание пространственных солитонов, захва-
ченных в слабо альтернированной структуре..................
6.4.	Численные результаты...................................
6.4.1.	Распространение пучка в альтернированной структуре (131).
6.4.2.	Переключение пучков «горячей точкой» (131).
Глава 7. Устойчивость пространственных солитонов в объемных
керровских средах с чередующейся нелинейностью................
7.1.	Описание модели........................................
7.2.	Вариационное приближение...............................
7.3.	Численные результаты...................................
Глава 8. Устойчивость двумерных солитонов в бозе-эйнштейновских
конденсатах, контролируемых с помощью резонанса Фешбаха
8.1.	Модель и вариационное приближение......................
8.1.1.	Общие положения (139). 8.1.2. Двумерный случай (140).
8.1.3.	Вариационное приближение в трехмерном случае (142).
8.2.	Усреднение уравнения Гросса-Питаевского и гамильтониана. .
8.3.	Результаты непосредственного численного анализа........
Глава 9. Контроль дисперсии в многомерном случае..............
9.1.	Описание моделей.......................................
9.2.	Вариационное приближение...............................
9.3.	Численные результаты...................................
9.4.	Трехмерный случай......................................
Глава 10. Контроль с помощью резонанса Фешбаха в оптических
решетках......................................................
10.1.	Введение в предмет....................................
10.2.	Стабилизация трехмерных солитонов в квазиодномерной ре-
шетке .....................................................
10.2.1.	Модель и вариационное приближение (162). 10.2.2. Чис-
ленные результаты (164).
10.3.	Периодические переключения между обычными и щелевыми
солитонами в оптической решетке............................
10.3.1.	Описание модели (167). 10.3.2. Двумерные переключаю-
щиеся солитоны (169). 10.3.3. Динамика одномерных солитонов,
контролируемых с помощью резонанса Фешбаха (173).
Предметный указатель.............................................
Список литературы