А. С. Карпенко
„ огики
ЛуКАСЕВИЧА
И ПРОСТЫЕ
ЧИСЛА
«НАУКА*
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ
ACADEMY OF SCIENCES OF THE RUSSIA
INSTITUTE OF PHILOSOPHY
A. S. KARPENKO
Lukasiewicz’s
Logics
and PRIME
NUMBERS
MOSCOW «NAUKA» 2000
А. С. КАРПЕНКО
ж Логики
ЛУКАСЕВИЧА
И ПРОСТЫЕ
ЧИСЛА
МОСКВА «НАУКА» 2000
УДК 510, 511
ББК 87.4
К21
Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных исследований
по проекту 00-06-87014
Ответственный редактор
доктор технических наук В. К. Финн
При сотрудничестве к. ф. н. В. И. Шалака
Карпенко А. С.
Логики Лукасевича и простые числа. — М.: Наука, 2000. — 319 с.
ISBN 5-02-013048-6
В книге впервые в мировой литературе устанавливается прямая связь между логикой
и простыми числами. Хотя многозначные логики Лукасевича явились результатом опро-
вержения фаталистического аргумента Аристотеля, их функциональные свойства имеют
чисто теоретико-числовую природу. Изучение этого факта позволило дать определение
понятия простого числа в логических терминах. Появилась реальная возможность выявить
структуру последних. В итоге простые числа можно представить в виде корневых деревь-
ев. Комбинирование различных логических определений простого числа приводит к по-
строению алгоритма для порождения классов простых чисел. Как для этого, так и для по-
строения корневых деревьев разработаны компьютерные программы. Приводятся различ-
ные таблицы чисел, публикуемые впервые.
Для философов, логиков, математиков.
Karpenko A. S.
Lukasiewicz’s Logics and Prime Numbers. — Moscow, Nauka, 2000. —
319 p.
ISBN 5-02-013048-6
For the first time in the world literature this monograph shows a direct relation between
logic and prime numbers. Although many-valued Lukasiewicz’s logics are the result of refuta-
tion of Aristotle’s fatalistic argument their functional properties have a theoretically-numeric
nature. Consideration of this fact allowed to give the definition of prime number in logical terms.
So real possibility to clarify a structure of prime numbers appeared. Consequently prime num-
bers can be presented in the form of rooted trees. A combination of different logical definitions
of prime number leads to the construction of algorithm for creation of classes of prime numbers.
For this and for the trees special computer programs had been elaborated. Also different tableaux
of numbers are published for the first time.
For philosophers, logicians, mathematicians.
ТП-2001-1-2
ISBN 5-02-013048-6
© Издательство “Наука”, 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Пионеры многозначных логик Э. Пост, Я. Лукасевич и
Д. А. Бочвар создавали свои системы, имея разные цели. А-знач-
ные функционально полные системы Э. Поста Р„ являются обоб-
щением (с циклическим отрицанием) двузначной логики, не
имеющими сколь-нибудь семантически содержательной интерпре-
тации. Трехзначная логика Д. А. Бочвара В3 с промежуточным
истинностным значением “бессмысленно” предназначена для
формализации логических и семантических парадоксов (ее семан-
тическое истолкование очевидно - потеря смысла высказываний в
формально корректном языке). Трехзначная логика Я. Лукасевича,
созданная им в 1920 г., имела философскую мотивацию и была
связана с его идеей опровергнуть аристотелевскую доктрину логи-
ческого фатализма, основанную на двузначной логике.
Однако п-значные обобщения логики Я. Лукасевича [1]
оказались интересным логико-математическим формализмом,
который, не имея ясного семантического истолкования (имеются в
виду истинностные значения, отличные от “истины” и “лжи”),
породил многочисленные исследования логического и алгебраи-
ческого характера1.
Многочисленные попытки построить семантическое истолко-
вание п-значных логик Я. Лукасевича Ln (и > 3) бывали остроум-
ными, но не исчерпывающе убедительными (например, интерпре-
тация Д. Скотта посредством идеи “степени ошибки”).
Первым глубоким результатом, устанавливающим связь
между логиками Я. Лукасевича и арифметическими фактами, была
теорема Р. Мак-Нотона о и ее конечных фрагментах Ln [2] (для
.S’	Sm
каждого набора истинностных значений ----, ..., -- всякий
п-1	п-1
1 Следует упомянуть в связи с этим польских логиков А. Тарского, А. Линден-
баума, М. Вайсберга, Е. Слупецкого, Р. Вуйцицкого и других, а также амери-
канских логиков Б. Россера и А. Тюркетта, Ч. Чэна, А. Роуза и других иссле-
дователей и грузинского логика Р. Григолия.
общий делитель чисел 5Ь Sm, (и-1) является делителем S, где
5	5	5
F(——,	aF(X),..., хт) - функция, выразимая в£„)
п-1	п-1	п-1
Затем были обнаружены факты связи Ln и простых чисел, а
именно в [3] было показано, что логика Я. Лукасевича Ln функ-
ционально предполна тогда и только тогда (т.т.т.), когда (н-1) -
простое число, а также было обнаружено, что L„ имеет /-./-совер-
шенную дизъюнктивную нормальную форму т.т.т., когда (н-1) есть
степень простого числа2.
Напомним, что множество функций X н-значной логики
называется предполным в Рп, если X Ф Рп и для всякой F такой, что
F~eX, [AU{F} ] = Рп, где [AU{F}] - множество всех суперпозиций
функций из AU{F} .
Автор этой книги Александр Степанович Карпенко в много-
численных работах получил ряд глубоких и трудно доказуемых
результатов, устанавливающих интересные связи между логиками
Ln и логиками функционально эквивалентными Ln, с одной
стороны, и арифметическими фактами, с другой стороны. Он
построил характеризации четных чисел и нечетных чисел, соответ-
ственно, посредством логических исчислений, функционально
эквивалентных логикам Я. Лукасевича L„.
Автор книги получил также аналоги результатов [3], характе-
ризующие простые числа посредством специально построенных
исчислений функционально эквивалентных Ln.
Весьма эффектными и труднодоказуемыми результатами
А. С. Карпенко являются теоремы о характеризации простых чисел
через аналоги штриха Шеффера для соответствующих н-значных
логик, для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда 5'^, =
Кп+], где /Си - логика функционально эквивалентная £„+), а £„+) -
множество всех суперпозиций аналога штриха Шеффера для £„+>.
Таким образом, важным итогом многолетних и плодотворных
исследований А. С. Карпенко являются характеризации простых
чисел, степеней простых чисел, четных чисел и нечетных чисел
как посредством специально построенных логических исчислений,
2 ААс.д.н.ф. есть дизъюнкция конъюнкций элементарных формул видаЛр и
11, если р = v
J р - <
v I 0, иначе
J
-----, если
п - 1
О, иначе
ii
так и посредством аналогов штриха Шеффера для соответствую-
щих логик Я Лукасевича.
Методологический смысл результатов автора этой ориги-
нальной книги состоит в том, что обнаружена связь между
фактами арифметики и конечнозначными логиками Я. Лукасе-
вича. По-видимому, “арифметическая природа” логик Я. Лука-
севича не только обнаружена, но и систематически изучена. Это
обстоятельство является некоторым аргументом против общепри-
нятого понимания логик Я. Лукасевича (бесконечнозначной и
конечнозначных) как логических оснований формализаций нечет-
кости в смысле Л. Заде (см. [4]) (хотя, разумеется, для широкого
класса прикладных задач несомненно требуются соответствующие
недвузначные логики как аппарат формализации правдоподобных
рассуждений).
В этой книге представлены также результаты относительно
порождений классов простых чисел, полученные посредством
компьютерных программ, ставших эффективным подспорьем
современных исследований комбинаторных проблем.
А. С. Карпенко - автор уже двух книг по многозначным
логикам. Его книга “Многозначные логики” [5] является информа-
тивным и современным обзором состояния исследований в
области многозначных логик. Настоящая же книга, сохраняя
энциклопедическую тщательность в обзоре результатов, получен-
ных мировым сообществом многозначных логиков, представляет
многолетние систематические исследования автора конечно-
значных логик Я. Лукасевича. Книга А. С. Карпенко существенно
обогащает сферу исследований многозначных логик Ln, пред-
ставленных в [6].
В 1979 г. Д. А. Бочвар высказал идею о том, что многознач-
ные логики следует рассматривать как фрагменты формализован-
ных семантик (эта идея была развита в [7]). Если принять эту
идею, то для трех трехзначных логик В3 (логика Бочвара), Е3
(логика Эббингхауза) и L3 (логика Лукасевича) имеют место
следующие включения (относительно множеств тавтологий и
множества функций в них выразимых): В3 с: Е3 a L3. Для этих
логик допустима следующая интерпретация [7]: В3 - логика
“математической бессмыслицы” (парадоксальность высказываний,
iii
деление на нуль и т. п.)3, Е3 - логика “лингвистической бессмыс-
лицы”, Е3 - логика неопределенности (понимаемой в том смысле,
что промежуточное истинностное значение может быть либо
истинным, либо ложным, но этот факт не установлен).
Аналогичные включения имеют место и для и-значных обоб-
щений В3, Е3 и L3: ВГ:сЕГ:с Ln сТ„ для п > 3, где Тп = Ln, если и
только если («-!)- простое число, а Тп содержит все функции 7,/х)
[З]4, где 1 < I, j < п-2, alij(x) =
i, если х = -Ц-
J>	п-1
О, если х = -Ц-
L ’	п-1
Логики Т„ (их также рассматривает А. С. Карпенко в своей
книге) являются предполными (в Рп) классами функций, сохра-
няющими “истину” (1) и “ложь” (0). В этом смысле они являются
максимально не-постовскими, содержащими изоморф двузнач-
ной логики.
Идея максимальности L3 была высказана В. И. Шестаковым в
[9] и формализована в [10], где было показано, что класс функций,
соответствующий L3, является предполным в Р3. Этот простой
результат привел к неочевидному обобщению: Ln предполна т.т.т.,
когда (и-1) - простое число [3]. Следовательно, простые числа
характеризуются предполными классами логик Я. Лукасевича Ln.
Впоследствии (более чем через 10 лет, в 1983 г. этот факт был
обнаружен Г. Е. Хендри [11], а в 1986 г. - А. Урквартом [12]).
Однако систематическое исследование характеризации различ-
ных множеств натуральных чисел (простых чисел, степеней
простых чисел, четных и нечетных чисел) посредством логик Ln
или функционально им эквивалентных были осуществлены лишь
А. С. Карпенко, результаты которого и представлены в настоящей
книге.
Достоинством этой книги, выгодно дополняющим научную
обстоятельность, оригинальность и нетривиальное™ результатов,
является литературная скрупулезность и библиографическая
тщательность в обзоре результатов, относящихся к теме книги. Эта
объективность и отсутствие “тормозов информированности” из-за
так называемых “языковых барьеров” продолжает традиции
российской школы математической логики, внесшей немалый
3 См. в связи с этим работы польского логика К. Pirog-Rzepecka [8].
4 Впервые эти функции рассматривал А. Роуз (A. Rose).
iv
вклад в развитие этой науки, а в этих традициях знать результаты
своих коллег - дело не только этики, но и профессиональной
производительности.
Наука новейшего времени, сохраняя глубину фундаменталь-
ных принципов, теорий и концепций прошлых периодов своей
истории, достигала изощренных технически и технологически
методов и средств получения результатов. Если прибегнуть к
метафорическому выражению этой мысли, то можно сказать, что
поиск “полезных ископаемых” (новых знаний) происходит в
шахтах большой глубины с помощью автоматизированных
средств.
Добыча новых знаний о связи логик Я. Лукасевича с различ-
ными числовыми множествами осуществлена А. С. Карпенко на
“большой глубине” с помощью эффективных компьютерных
программ. Его книга - не для “трамвайного чтения” (как говорил
Ю. А. Гастев), но она будет интересна логикам, математикам и
программистам, создающим программы для решения творческих
задач.
В последние годы интерес к исследованию логик Я. Лукасе-
вича не только не убавился, но материализовался в двух фунда-
ментальных трудах - Петра Гаека о метаматематических основа-
ниях нечеткой логики [13] и П.Л.О.Чиньоли, Дж.М.Л. Оттавиано и
Д.Мундичи [14] об алгебраических основаниях многозначных
рассуждений. В каждой из этих книг, как и в книге
А. С. Карпенко, рассматриваются логики Я. Лукасевича, что
свидетельствует о значительном прогрессе в этом направлении
логических исследований.
В. К. Финн
[1]	Lukasiewicz J., Tarski A. Investigations into the sentential calculus //
Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, 1956.
[2]	Мак-Нотон P. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний
// Кибернетический сб. 1966. № 3. С. 59-78.
[3]	Бочвар Д. А., Финн В. К. О многозначных логиках, допускающих
формализацию анализа антиномий // Исслед. по математической лин-
гвистике, математической логике и информационным языкам. М.: Наука,
1972. С. 238-295.
[4]	Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.: Мир, 1982.
[5]	Карпенко А. С. Многозначные логики. М.: Наука, 1997.
[6]	Selected papers on Lukasiewicz Sentential calculi. Wydawnictwo
Polskiej Akademii Nauk, 1977.
[7]	Финн В. К., Аншаков О. М., Григолия Р. Ш., Забежайло М. И.
Многозначные логики как фрагменты формализованной семантики //
Семиотика и информатика. 1980. Выл. 15. С. 27-60
[8]	Pirog-Rzepecka К. Systemy nonsense-logics. Warszawa; Wroclaw,
1977.
[9]	Шестаков В. И. О некоторых расширениях исчисления Бочвара и
Клини до функционально полных трехзначных исчислений // Научно-
техническая информация. 1967. № 12.
[10]	Финн В. К. О предполноте класса функций, соответствующего
трехзначной логике Я. Лукасевича // Научно-техническая информация.
1969. № 10.
[11]	Hendry Н. Е. Minimally incomplete sets of Lukasiewiczian truth
functions // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1983. Vol 24, N. 1
P. 146-150.
[12]	Urquhart A. Many-valued logic // Handbook of Philosophical Logic.
1986. Vol. 3.
[13]	Hajek P. Metamathematics of Fuzzy Logic Dordrecht: Kluwer Acad
Publ., 1998.
[14]	Cignoli R.L.O., D'Ottaviano J.M.L., Mundici D. Algebraic
Foundations of Many-valued Reasoning. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ.,
1998.
С существованием систем многозначной
логики мы должны сегодня считаться в
такой же степени, как, например, с
существованием систем неэвклидовой
геометрии.
Я.Лукасевич
При взгляде на простые числа
возникает ощущение, будто стоишь
перед непостижимой тайной творения.
Д.Цагер
ВВЕДЕНИЕ
Название данной книги может показаться несколько стран-
ным, поскольку, казалось бы, что может быть общего между логи-
кой и простыми числами. Тем не менее, для определенного класса
конечнозначных логик такая связь существует с далеко идущими
последствиями А существует ли связь между доктриной логиче-
ского фатализма и простыми числами?
Опровержение Я.Лукасевичем фаталистического аргумента,
изобретенного Аристотелем, явилось основой для построения
первой в мире неклассической логики, а именно трехзначной
Свойства её оказались шокирующими, а последующие обобщения
на произвольный конечнозначный, а затем и на бесконечно-
значный случаи показали, что моделирование конечного и беско-
нечного средствами многозначных логик Лукасевича приводит к
результатам, дающим право говорить о формировании к концу XX
века двух различных и глубоких направлений в современной
символической логике, названных «Конечнозначные логики
Лукасевича» и «Бесконечнозначная логика Лукасевича», которые
сейчас бурно развиваются.
Книга состоит из четырех основных частей, конечнозначные
логики Лукасевича Ln+i (гл. 1-4); их связь с простыми числами
(гл. 5-8); таблицы чисел, вычисленных в ходе исследования; при-
11
ложение, в котором рассматриваются свойства бесконечнозначной
логики Лукасевича L„.
В главе 1 дается элементарное введение в классическую про-
позициональную логику, затем подробно рассматривается проис-
хождение и развитие трехзначной логики Лукасевича Ъ3 и
проводится её сравнение с классической логикой (гл 2). В
результате этого сравнения стало ясно, что расширение
классической логики со всей остротой поставило проблему об
интуитивно приемлемой интерпретации логических связок, самих
истинностных значений, а в итоге возник вопрос: что же на самом
деле есть логическая система? В свете результатов, полученных
нами в дальнейшем, заданный выше вопрос приобретает уже иной
вид, а именно что есть логика! (Этот вопрос в контексте развития
логики на рубеже тысячелетий обсуждается в [Карпенко 2000]). В
главе 3 рассматриваются основные свойства Ъп+ь в том числе сте-
пень кардинальной полноты Ln+i и критерий Мак-Нотона об опре-
делимости операций в Ln+i. Здесь очень важно иметь в виду, что
ни аксиоматический, ни алгебраический методы, ни различные
другие семантические подходы (см. гл. 4), не указывают на уни-
кальность и своеобразность конечнозначных логик Лукасевича
Ln+i. Такие подходы к изучению логических систем мы называем
внешними. Только представление логики в виде функциональной
системы позволяет проникнуть в её сущность.
Именно на этом пути было обнаружено, что функциональные
свойства Ln+i весьма необычны. Впервые это было отмечено в
1970 г. В.К.Финном в кратких тезисах доклада «О классах функ-
ций, соответствующих Л/-значным логикам Лукасевича», откуда
следует, что множество функций логики L„+] является функцио-
нально предполным тогда и только тогда, когда п есть простое
число (гл. 5). Этот результат (впоследствии переоткрытый) лёг в
основание книги и явился главным побудительным мотивом её
написания. Следствием указанного результата явилось построение
весьма простого алгоритма, с помощью которого посредством
функции Эйлера <р(л) каждое натуральное число перерабатывается
в простое. В результате происходит разбиение множества нату-
ральных чисел на классы эквивалентности. Каждый такой класс
эквивалентности представим в виде корневого дерева, корнем
которого является некоторое простое число р. Это в свою очередь
привело к алгоритму, в основе которого лежат свойства обратной
12
функции Эйлера (р'(/и), который по каждому р строит класс экви-
валентности из натуральных чисел (гл. 6). В этой же главе приве-
дены графы (корневые деревья) для первых 25 простых чисел и
сокращенные корневые деревья, начиная с простого числа 101
(№26) и кончая числом 541 (№ 100). Таким образом, каждое
простое число имеет определенную структуру, более того,
определенную алгебраическую структуру в видер-абелевых групп.
Дальнейшие исследования привели к построению такой
конечнозначной логики Kn+i, которая имеет класс тавтологий
тогда и только тогда, когда п есть простое число (гл. 7). Таким
образом, получено определение простого числа в чисто логических
терминах. Оказалось, что по функциональным свойствам логика
Кп+1 совпадает с Ln+i для случая, когда п есть простое число.
Отсюда удается построить штрих Шеффера для простых чисел. В
результате, например, появляются формулы с числом вхождений
штриха Шеффера 648 042 744 959 раз. Интересно, что комбинация
матричных логик для простых чисел приводит к открытию закона
порождения классов простых чисел. В итоге получаем разбиение
множества простых чисел на классы эквивалентности, задаваемые
алгебро-логическими свойствами импликации Лукасевича.
Наконец, в главе 8 дается окончательный ответ на вопрос, что
представляет собой многозначная логика Лукасевича. Природа ее
- чисто теоретико-числовая, и поэтому посредством логических
матриц Лукасевича удается дать характеризацию таких подмно-
жеств натурального ряда, как простые числа, степени простых
чисел, нечетные числа и, самое сложное, четные числа. В послед-
нем случае устанавливается некоторая связь с проблемой Гольд-
баха о представлении четных чисел суммой двух простых.
Все таблицы чисел, кроме значений обратной функции
Эйлера, которые доведены до т < 5000 (таблица 2), публикуются
впервые. Этой таблицы достаточно для построения графов для
первых 52 простых чисел. В таблице 3 приведены значения мощ-
ностей корневых деревьев и сокращенных деревьев для р < 1000.
Таблица 4 представляет значения функции i(p), которая осущест-
вляет разбиение множества простых чисел на классы эквивалент-
ности для р < 500. Особый интерес представляет таблица значений
кардинальной полноты логик Лукасевича (таблица 1) в силу
«избранности» некоторых натуральных чисел. Для вычисления
этих значений, для построения корневых деревьев, а также для
13
порождения классов простых чисел разработаны специальные
компьютерные программы, без которых создание самих таблиц
было бы невозможно.
В Приложении обсуждаются некоторые результаты, получен-
ные в области исследования бесконечнозначной логики Лукасе-
вича Loo, свидетельствующие об исключительной содержательной
глубине этой логики. Для единственного предтабличного расши-
рения Loo приводится точная модель в виде фактор-семантики
Специальный раздел посвящен свойствам импликации Лукасе-
вича, дается новая аксиоматизация импликативного фрагмента Loo
и доказывается его независимость.
Автор выражает искреннюю признательность своему первому
учителю по логике В.А.Смирнову (1931-1996). Обаяние его лич-
ности навсегда останется в памяти учеников.
1. КЛАССИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Эта глава содержит самый необходимый и по возможности
элементарный материал для понимания того, что такое классичес-
кая логика высказываний. Основная цель состоит в последующем
сравнении трехзначной логики Лукасевича и ее обобщений с
классической логикой.
1.1. Логические связки. Истинностные таблицы
Логика высказываний (пропозициональная логика) является
разделом современной символической логики, изучающим слож-
ные высказывания, образованные из простых, и их взаимоотноше-
ния. В отличие от логики предикатов простые высказывания при
этом выступают как целостные образования, внутренняя структура
которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью
каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленя-
ются в сложные. Под высказыванием понимается то, что выража-
ется повествовательным предложением.
В естественном языке существует много способов образования
сложных высказываний из простых. Мы выберем пять общеизве-
стных грамматических связок (союзов) «не», «и», «или», «если ,
то» и «если и только если». Процесс символизации естественного
языка средствами логики высказываний состоит в следующем:
Элементарные высказывания замещаются пропозициональными
переменнымиp,q,r,... с индексами или без них, указанные выше
грамматические связки называются логическими связками (пропо-
зициональными связками), которые получили следующие обозна-
чения и названия -> (отрицание), л или & (конъюнкция), v (дизъ-
юнкция), zd (импликация) и = (эквиваленция), и, наконец, исполь-
зуются скобки (,) для того, чтобы можно было по-разному группи-
ровать высказывания и тем самым определять порядок выполне-
ния операций. Отрицание является одноместной связкой, а осталь-
ные четыре - двухместными. Выражением языка логики высказы-
ваний будем называть любую последовательность указанных
выше символов. Некоторые из этих выражений являются
правильно построенными. Такие выражения называются форму-
лами, определение которых задается следующими правилами, где
15
буквы А, В... используются как метапеременные: (1) всякая пропо-
зициональная переменная есть формула; (2) Если А и В —
формулы, то (-Л), (А а В), (A v В), (А о В), (А « В) тоже формулы;
(3). Никакие другие выражения не являются формулами. Приме-
рами формул являются р, -<q, —\(р v q). Внешние скобки при
записи формул будем опускать. Таким образом, правила задают
эффективный способ распознавания, является ли выражение
логики высказываний формулой. Множество всех формул обозна-
чим посредством For.
Теперь сделаем два основных допущения, на которых осно-
вывается семантика классической логики высказываний:
(I) Каждое простое высказывание является или только
истинным, или только ложным (принцип двузначности).
«Истина» и «ложь» называются истинностными
значениями высказывания и обозначаются соответственно
И и Л или 1 и 0.
(II) Истинностное значение сложного высказывания определя-
ется только истинностными значениями составляющих его
простых высказываний (принцип экстенсиональности).
Это означает, что пропозициональные связки являются
знаками истинностных функций.
Возникает вопрос, какие истинностные функции соответст-
вуют нашим связкам?
Удобным способом задания истинностных функций является
табличный, где слева указываются все возможные приписывания
значений аргументам (пропозициональным переменным), а справа
- значения самой функции:
р	~^р
1 0	0 1
р	q	poq	pvq	pAq	p = q
1	1	1	1	1	i
1	0	0	1	0	0
0	1	1	1	0	0
0	0	1	0	0	i
16
Отсюда, например, следует, что высказывание р о q ложно
тогда и только тогда (т.т.т.), когда р истинно и q ложно. Приве-
денные выше таблицы называются истинностными таблицами, а
определенные посредством их пропозициональные связки называ-
ются классическими связками.
Легко определить, сколько имеется различных классических
связок. Число различных строк в таблице для истинностной функ-
ции с m аргументами равно 2” и на каждой из них значение функ-
ции можно задать двумя способами. 1 или 0. Поэтому число таких
функций составляет 2 в степени 2т. Отсюда, например, число од-
номестных связок равно 4, а число двухместных связок равно 16.
1.2. Законы логики
Каждая формула определяет некоторую истинностную функ-
цию, которая графически может быть представлена истинностной
таблицей. Другими словами, каждая формула может быть пред-
ставлена как функция от пропозициональных переменных, пробе-
гающих по множеству {0, 1). Посредством истинностных таблиц
эта функция единственным образом расширяется на всё множество
формул For. Функцию v : For —> {0, 1} будем называть логической
оценкой множества формул For для любых А, В 6 For.
v (-Л) = 1 т.т.т., когда v(A) = О
v (А о В) = 0 т.т.т., когда v(A) = 1 и v(B) = О
v (A v В) - 0 т.т.т., когда v(A) = v(B) = О
v (А л В) = 1 т.т.т., когда v(X) = v(B) = 1
v (А s В) = 1 т.т.т., когда v(A) = v(B).
Среди всего множества формул выделяются формулы, кото-
рые на каждой строке истинностной таблицы принимают только
значение, равное 1, т е. v (А) = 1 при любом приписывании
значений пропозициональным переменным, входящим в А. Такие
формулы называются тавтологиями (тождественно истинными
высказываниями). В формальной логике тавтологии играют важ-
ную роль. Они служат для записи её законов, так как тавтологии
являются всегда истинными высказываниями только в силу своей
17
символической формы, независимо от содержания входящих в них
исходных высказываний. Легко установить, что формулы
(2)pv-p,
(3)	-,(р л -р)
являются тавтологиями. Законы, выражаемые этими формулами,
называются соответственно законом тождества, законом исклю-
ченного третьего и законом непротиворечия и были сформулиро-
ваны уже Аристотелем. Использование этих законов в качестве
способов рассуждения привело к тому, что они были названы
основными законами мышления. Наиболее распостраненной фор-
мулировкой закона исключенного третьего является следующая:
одно из утверждений р или не-p должно быть истинным. Эта
формулировка получила в схоластической логике название tertium
non datur. Закон непротиворечия формулируется следующим обра-
зом: два взаимно противоречащих высказывания не могут быть
одновременно истинными, т.е. одно из них должно быть лож-
ным. Последний закон формулируется у Аристотеля прежде всего
как универсальный принцип бытия, наиболее достоверный из всех
начал. Однако уже на заре XX в. еще до того, как окончательно
оформилась классическая логика, оба эти закона подверглись
серьезной критике, что положило начало развитию неклассических
логик. В связи с трехзначной логикой Лукасевича мы к этим зако-
нам ещё вернемся, а сейчас дополним список законов классиче-
ской логики:
(4)	-,-р = р	(закон двойного отрицания)
(5)	(р zd q) zd (—iq zd -p) (закон контрапозиции)
(6)	(—p zd —\q) zd (q D) p) (обратный закон контрапозиции).
Особое место среди законов занимают чисто импликативные
тавтологии:
(7)	р zd (q zd р) (закон утверждения консеквента)
(8)	(р zd (q zd г)) zd ((р zd q) zd (p zd г)) (закон
самодистрибутивности)
(9)	(p zd q) zd ((q zd r) zd (p zd г)) (закон транзитивности)
(10)	(p zd (p zd q)) zd (p zd q) (закон сокращения).
18
Обратим внимание на исключительно важное свойство
истинностных таблиц: они дают нам эффективную процедуру для
решения вопроса о том, является ли данная пропозициональная
формула тавтологией. Указанная процедура называется разре-
шающей процедурой и отсюда следует, что данная логика выска-
зываний является разрешимой логикой.
Приведем некоторые общие факты о тавтологиях, настолько
общие, что они называются правилами логики высказываний.
1. Правило отделения (modus ponens). Если А и А о В
тавтологии, то В тавтология (сокращенно МР).
2. Правило подстановки. Если А(р) есть тавтология, то
А(В) тоже тавтология, где В замещает каждое вхождение р, т е.
подстановка в тавтологию приводит к тавтологии (сокращенно
Subsf). Уже отсюда следует бесконечное множество тавтологий.
1.3.	Функциональная полнота
Будем называть формулы А и В логически эквивалентными,
если формула А = В есть тавтология. Очевидно, что если формулы
А нВ эквивалентны, то они равны как истинностные таблицы, те.
принимают одинаковые истинностные значения.
Назовем систему пропозициональных связок М полной, если
всякая истинностная функция представима некоторой формулой, в
которую входят только связки из системы М, т е. посредством
такой системы можно выразить все истинностные функции.
Используя свойства логической эквивалентности, можно показать,
что каждая логическая связка может быть определена в терминах
-л, л, v в классической логике, т е. система пропозициональных
связок {-I, л, v} является функционально полной. Более точно, для
каждой истинностной функции * можно найти такую формулу D,
использующую только связки -1, л, v, что истинностные таблицы
для * и D равны.
Теорема о функциональной полноте. В классической логике
каждая истинностно-функциональная связка может быть
определена в терминах -i, л, v [Мендельсон 1976, с.31-32].
Впервые подобная теорема была доказана Э.Постом [Post
1921].
19
Отметим некоторые эквивалентности, показывающие взаимо-
выразимость одних связок через другие.
pvq = ^p:z>q, p'j q^(p^q)z)q, р v q = -A^p /\ ^q);
p^q = ~Ap=> —>q), p/\ q = -^p v -.q)'
p^q = -^p\/q, p zd q = -,(p л -^q),
(p = q) = (p q) л (<7 :z>p)
Тогда системы связок {-., zs}, {-,, v} и {->, л} являются
функционально полными. Это значит, что мы можем строить
логику высказываний, взяв в качестве исходной любую из указан-
ных систем связок.
1.3.1.	Штрих Шеффера
В классической логике существуют две истинностно-
функциональные связки, каждая из которых образует
функционально полную систему. Первая из них называется штрих
Шеффера (1913 г) высказывание p\q истинно т.тт., когда не
истинно р и не истинно q, т.е. p\q = -р л —<q. Достаточность связки
| следует из тавтологий -р = р\р, р л q =	| (<?|д). Другая связка
называется стрелка Пирса', высказывание p^q истинно т.т.т.,
когда неверно, что р и q оба истинны, т.е. = ->(/? л q). Доста-
точность связки Ф следует из тавтологий -р = р^р, р v q = (р\р) I
Таким образом, для того чтобы показать, что какая-то связка
является штрихом Шеффера, надо (/) определить её посредством
исходных связок, а затем (») посредством её определить исходные.
Некоторые аналогии штриха Шеффера нам понадобятся в после-
дующем.
1.4.	Аксиоматизация. Адекватность
Наряду с понятием тавтологии фундаментальным для логики
является понятие логического следования. Одна из главных задач
логики заключается в том, чтобы устанавливать, что из чего сле-
дует, и тем самым определять, какие высказывания являются
теоремами при заданных условиях. Говорят «В логически следует
из А или является логическим следствием из Я» и пишут А 1= В,
20
если в совместной таблице истинности для А и В формула В имеет
значение. И во всех тех строках, где А имеет значение И. Отсюда
следует, что А 1= В ттт., когда А о В есть тавтология. Если фор-
мула А является тавтологией, то иногда пишут 1= А. Приведенное
определение логического следования без труда может быть расши-
рено на некоторую систему формул Г, и тогда пишут Г t= В. При-
мером логического следования (вывода) из посылок является пра-
вило modus ponens. Отметим также, что в силу табличного опреде-
ления импликации получаем, что тождественно истинная формула
А логически следует из любой системы формул. А из того, что
имеется разрешающая процедура для тавтологий, получаем, что
проблема выводимости произвольной формулы В из заданной сис-
темы посылок также разрешима.
Если определено понятие тавтологии и определено семанти-
ческое понятие логического следования (как это сделано выше), то
говорят, что дано семантическое представление логики высказы-
ваний, а сама логика высказываний зачастую отождествляется с
множеством тавтологий или с самим отношением логического
следования. Однако при этом возникает следующая серьезная
проблема: как обозреть все тавтологии, которых бесконечное мно-
жество? Для решения этой проблемы переходят к синтаксическому
представлению логики высказываний.
В рамках синтаксического подхода формальный (символиче-
ский) язык логики высказываний и понятие формулы остаются
прежними, а из всего множества тавтологий выбирается некоторое
их конечное подмножество, элементы которого называются
аксиомами. Например:
1.	p^(q^p)
2.	(р о (q о г)) о «р о q)(р => г))
3.	p^(pv?)
4.	q о (р v q)
5.	(р о г) о (Jq о г) о ((р v q) or))
6.	(р л q) ^р
7.	(рл^)о^
8.	(ро?)о((рог)о(ро(?лг)))
9-	(Р ^4) ^>(q^> -q>)
21
10.	р zd (-р zd q)
11.	р v —р.
Таким образом, мы задали аксиоматическое определение
логических связок —>, л, v, zd в отличие от табличного при семан-
тическом описании логики высказываний. Переход от формулы
или системы формул к формуле осуществляется с помощью уже
известных правил, которые записываются следующим образом:
RI.HsAhAzdB следует В (modus ponens)
R2. Из У~А(р) следует FA(B) (подстановка).
Так заданную логику высказываний обозначим посредством
С2 и назовем классической логикой высказываний.
Из раздела (1.3) следует, что логику высказываний можно
развивать на основе системы связок {->, zd}. Именно так впервые и
была представлена аксиоматизация С2 в работе Г.Фреге [Frege
1879]. Следующая аксиоматизация С2 принадлежит Лукасевичу
[Lukasiewicz & Tarski 1930, р. 136], который значительно упростил
аксиоматизацию, предложенную Фреге:
1.	pzd(^zd^)
2.	(р ZD (q ZD г)) ZD ((р ZD q) zd (p ZD r))
3.	bp ZD ^7) ZD 0 ZD/?).
Правила вывода: modus ponens и подстановка.
Детально эта аксиоматизация С2 исследуется А.Чёрчем [Чёрч
1960, гл. 2].
Логическое исчисление, заданное посредством некоторого
множества аксиом и некоторого множества правил вывода, назы-
вается гилъбертовским исчислением. Доказуемыми формулами
(или теоремами) рассматриваемого исчисления называются любые
формулы, которые могут быть получены из аксиом исчисления в
результате применения (возможно, многократного) указанных
правил. Запись I- А служит сокращением утверждения «А есть
теорема». Если формула А выводима из некоторого множества Г
исходных формул (посылок), то запись принимает вид Г I- А.
В качестве «вспомогательного» правила весьма полезной
является теорема дедукции, когда какое-нибудь утверждение В
доказывают в предположении верности другого утверждения А,
после чего заключают, что верно утверждение «если А, то В»:
22
Теорема дедукции. Если Г - множество формул, А и В -
формулы и Г, А Ь В, то Г I- А о В. В частности, если A t— В, то
I- А о В [Herbrand 1930].
Исходя из синтаксического представления логики высказыва-
ний, последняя зачастую отождествляется с множеством теорем
или, что более принято, с отношением выводимости. Итак, при
семантическом подходе формулы интерпретируются как функции
на множестве из двух элементов {0, 1}, а при синтаксическом -
как определенный набор символов, и различаются только теоремы
и не теоремы. Однако несмотря на такое различие, оба подхода к
построению логики высказываний, по существу, эквивалентны и,
как говорят, являются адекватными. Это значит, что понятия
логического следования и понятия вывода эквивалентны. Рассмот-
рим в связи с этим весьма примечательную теорему
Теорема адекватности. Для всякой формулы А, I—А т.т.т., когда
1= А.
Доказательство в одну сторону, а именно: для всех А, если
Н А, то 1= А носит название теоремы о корректности. Это
минимальное условие, которое мы требуем от логического исчис-
ления и которое состоит в том, что представленная нами семан-
тика корректна для выбранной аксиоматизации. Для доказатель-
ства теоремы нужно проверить, что все наши аксиомы (1) - (11)
являются тавтологиями, что легко устанавливается непосредствен-
ной проверкой с помощью истинностных таблиц. А наши правила
вывода выбраны таким образом, что они сохраняют тавтологич-
ность. Поэтому все формулы последовательности, образующей
доказательство какой-либо теоремы исчисления С2, в том числе и
сама доказанная теорема, являются тавтологиями. Из этой теоремы
следует важнейшее свойство нашего исчисления высказываний С2:
в С2 формулы А и —А не могут быть одновременно доказуемымы,
т.е. исчисление высказываний С2 непротиворечиво. Ели бы это
было не так, то используя аксиому (10) и применяя дважды modus
ponens, получаем, что в С2 доказуема любая формула В. В силу
этого противоречивая логика высказываний никакой ценности не
представляет. В ней истина и ложь неразличимы и поэтому любая
теорема одновременно истинна и ложна.
23
Имеет место и обратное утверждение о том, что каждая тавто-
логия доказуема, т.е. для всякой формулы А, если t= А, то Н А.
Доказательство этой теоремы не столь тривиально и носит назва-
ние теоремы о полноте (дедуктивной) исчисления высказываний
относительно предложенной семантики. По существу здесь утвер-
ждается, что логических средств, т.е. аксиом и правил вывода
исчисления высказываний С 2 вполне достаточно для доказатель-
ства всех тавтологий. Таким образом, главная цель достигнута:
используя минимальные средства, можно обозреть всё множество
тавтологий.
Как уже говорилось, первая аксиоматизация классической
логики С2 была предпринята Г. Фреге. Однако в терминах
современного символического языка аксиоматизация С2 появилась
в «Principia Mathematica» А.Уайтхеда и Б.Рассела [Whitehead &
Russell 1910-1913]. В обеих работах вопрос о полноте просто не
возникал. Их целью было показать, что вся логика, а в действи-
тельности вся математика, может быть развита внутри их системы,
основанной на классической логике. Первая публикация доказа-
тельства полноты принадлежит Посту [Лэ.$7 1921], который исхо-
дил из системы Уайтхеда и Рассела. Для доказательства теоремы
адекватности Пост использовал двузначные истинностные
таблицы (приведенные выше).
1.5. Алгебраизация
Обратим внимание на то, что некоторые эквивалентности
логики высказываний выражают основные свойства пропозицио-
нальных связок. Например, эквивалентности (Л v В) = (В v А) и (А
л В) = (В л А) выражают коммутативный закон связок конъюнк-
ции и дизъюнкции. Это позволяет представить логику высказыва-
ний в виде своеобразной алгебраической структуры.
Непустое множество L с двумя бинарными операциями v и л
на L называется решеткой, если L удовлетворяет следующим тож-
дествам [Гретцер 1982]:
I.	(a) xvx = х
(Ь) хлх = х	(идемпотентность)
24
II.	(a) xvy = yvx
(b) XAy = улх	(коммутативность)
III.	(a) xv(yvz) = (xvy)vz
(b) x/\(yAz) = (хлу)лг (ассоциативность)
IV.	(a) xv(x/\y) = x
(b) xA(xvy) = x	(поглощение)
Решетка L называется дистрибутивной, если выполняются
законы дистрибутивности:
V.	(a) xv(yAz) = (xvy)A(xvz)
(Ь) XA(yVZ) — (XAy)v(XAz).
Дистрибутивные решетки лежат в основе большинства
хорошо известных многозначных логик. Специально дистрибу-
тивным решеткам посвящена монография [Balbes & Dwinger
1974].
Дистрибутивная решетка L называется решеткой де Моргана
[Moisil 1935], если для одноместного оператора ~ (инволюция)
выполняются тождества
VI.	~~х = х
VII.	~(х v у) = ~х л ~у
VIII.	~(х лу) = ~Х V ~у.
Решетка L с двумя нульарными операциями 0 и 1 называется
ограниченной'.
IX.	(a) xvO = x
(b) х л 1 = х.
X.	(а) х v 1 = I
(Ь) хл 0 = 0.
Ограниченные решетки обычно называются алгебрами. Соот-
ветственно ограниченная дистрибутивная решетка <L, v, л, ~ 0,
1> с отрицанием де Моргана (тождества (VI) - (VIII)) называется
25
алгеброй де Моргана'. Алгебра де Моргана, в которой операция ~
выполняет условие
(К), х л ~х < у v ~у для всех х, у е L,
называется алгеброй Клини [Kalman 1958].
В [Mukaidano 1981] найдено характеристическое тождество,
превращающее алгебру де Моргана в алгебру Клини:
(К* 1), (х Л ~х) V (у V ~у) = у v ~у.
В ограниченной решетке L элемент у называется дополнением
х, если х л у = 0 и х v у = 1. В этом случае элемент у обозначают
~х. Булевой алгеброй называется дистрибутивная решетка с допол-
нениями. Имеется большое число различных (эквивалентных)
систем тождеств, определяющих класс булевых алгебр.
Например, алгебра Ъ = <L, v, л, ~, 0, 1> называется булевой
алгеброй, если <L, у, л, 0, 1> есть ограниченная дистрибутивная
решетка и выполняются следующие два тождества:
(В1). х v~x = 1
(В2). хл~х = 02.
Понятно, что булева алгебра является также алгеброй де Мор-
гана и Клини, поскольку все условия для последних выполняются
в булевой алгебре.
Примеры. 1) Алгебра множеств. Пусть 7(Ц) есть множе-
ство всех подмножеств некоторого множества U. Для Хе Т(Ц)
определим -X как дополнение U\X множества X, а для X и Y из
Т(Ц) пусть X и Y обозначает обычное теоретико-множественное
объединение множеств X и Y, а X л Y обозначает теоретико-
множественное пересечение множеств X и Y. Тогда < Т(Ц),
п, - > оказывается булевой алгеброй. Роль 0 играет пустое множе-
ство 0, а 1 есть U.
1 Е.Расевой ptasiowa 1974] алгебры де Моргана изучаются под названием
квази-булевых алгебр.
1 Обратим внимание на изящную аксиоматизацию булевых алгебр парами
тождеств (П), (Ш), (IV), (V) и (Bl), (В2). Одно из тождеств (V) выводимо: см.
[Биркгоф 1952, с. 191], а также [Кузнецов 1960]
26
2) Алгебра классических истинностных значений. Двух-
элементная структура ^2 = < {0, 1}, V, л, —I, О, 1 > с операциями,
определенными посредством истинностных таблиц, является про-
стейшей булевой алгеброй.
Классическим и одним из наиболее важных результатов в
теории булевых алгебр стала
Теорема представления Стоуна [Stone 1936]: каждая булева
алгебра изоморфна алгебре множеств.
Другая теорема представления утверждает: каждая булева
алгебра изоморфна подалгебре прямого произведения двухэле-
ментной булевой алгебры 'Ey или в другой формулировке: каждая
булева алгебра изоморфна подпрямому произведению двухэле-
ментной булевой алгебры Е2.
Таким образом, благодаря теоремам представления
абстрактные элементы булевых алгебр приобретают конкретный
смысл.
Приведем еще один примечательный пример булевой
алгебры:
3) Алгебра Линденбаума. Рассмотрим бинарное отношение «
на множестве формул For: А ~ В т.т.т., когда А = В есть тавтоло-
гия. Легко убедиться, что « есть отношение эквивалентности на
множестве формул For. Для произвольных классов эквивалентно-
сти IАI и | В | из For!~ пусть IАI о | ВI = IA v ВI, IАI | ВI =
IА л В | и — | АI = 1-1АI. Тогда алгебра L* = < For/&, о, г\ -, 0, 1>
называется алгеброй Линденбаума (классической логики) и есть не
что иное как булева алгебра. Нулевым элементом 0 здесь является
класс всех противоречий | А л -nA I, а единицей 1 - класс экви-
валентности, состоящий из всех тавтологий IA v -nA I.
Легко видеть, что между эквивалентностями классической
логики высказываний С2 и тождествами булевой алгебры сущест-
вует соответствие. Например, между формулой (A v В) = (A v В) и
первым тождеством в (II). Более того, Н А в С2 т.т.т., когда А* =
1 в L*, где А* есть аналог А на языке алгебры L*. Таким образом,
возникают средства для алгебраического доказательства дедук-
тивной полноты логических исчислений.
27
Алгебры Буля, явившись результатом исследований Г Буля в
области законов правильных рассуждений [Boole 1847], нашли
самое широкое применение в логико-математических исследова-
ниях, в области инженерии контактно-релейных схем, компью-
терных наук, аксиоматической теории множеств, теории моделей,
и в других областях науки и математики. Хорошее введение в
теорию булевых алгебр имеется в [Burris & Sankappanavar 1981,
ch. 4]. См. также [Владимиров 1969]. Популярное изложение
имеется в [Яглом 1980], где рассматриваются также конечные
булевы алгебры. Имеется трехтомный справочник по булевым
алгебрам [Monk (ed) 1989].
2.	ТРЕХЗНАЧНАЯ ЛОГИКА
ЛУКАСЕВИЧА Ез
Логическое опровержение фаталистического аргумента
Аристотеля привело Я.Лукасевича к открытию одной из самых
необычных логических систем в мире. Хотя метатеория для
трехзначной логики Лукасевича L3 строится по аналогии с
классической логикой С2 и в ней сохраняются свойства непротиво-
ричивости, полноты и разрешимости, все равно отличие L3 от С2
оказывается фундаментальным. Самое главное заключается в том
что L3 не есть ограничение С2, а наоборот, есть расширение
последней (хотя в первой и не проходят такие основные законы
классической логики, как закон исключенного третьего и закон
непротиворечия). Значит, на самом деле появляются новые операции
с совершенно странными свойствами (таковой является импликация
Лукасевича) и тогда встает серьезный вопрос об их логическом
статусе и о том, что такое логическая система вообще.
2.1.	Ян Лукасевич
Ян Лукасевич (Jan Lukasiewicz) родился 21 декабря 1878 г. во
Львове и умер 13 февраля 1956 г. в Дублине. Выдающийся
польский логик и философ, один из главных представителей
Львовско-Варшавской Школы, зачинатель исследований по
математической логике в Польше. Философское образование
получил во Львове под руководством К.Твардовского - основателя
Л.-В. Школы, затем в Берлине и Лувене (Бельгия). В 1902 г.
защитил докторскую диссертацию. Профессор Варшавского (1915-
1939) университета, ректор Варшавского университета (1922/23 и
1931/1932), академик Польской АН с 1937 г. После Второй миро-
вой войны в 1946 г. получает кафедру математической логики в
Королевской Ирландской академии в Дублине.
В 20-е годы в Варшаве Лукасевич вел семинар, на котором
разработаны основные понятия металогики. Среди его студентов
были А.Тарский, А.Линденбаум, Б.Собочиньский, М.Вайсберг и
др. После войны его учениками по существу стали К. А. Мередит и
А.Н.Прайор. Последний писал в предисловии к своей книге
«Время и модальность» [Prior 1957], что она целиком обязана
Лукасевичу.
29
Целью логических исследований Лукасевич считал прежде
всего разработку точных методов анализа философских рассужде-
ний. В основание философии может быть положена «научная
метафизика», или общая теория предметов, но не эпистемология в
духе Декарта или Канта, ибо такой путь, по мнению Лукасевича,
ведет в тупик. Выход из тупика - в применении логической мето-
дологии, позволяющей свести к минимуму число исходных фило-
софских понятий, обладающих очевидностью и интуитивной
ясностью, чтобы затем через них строго определять философские
понятия «пространственно-временной структуры мира», «причин-
ности», «детерминизма», «индетерминизма» и др. Таким образом,
логика дает методологический образец для философии (в частно-
сти, аксиоматико-дедуктивный метод). Лукасевич весьма скепти-
чески относился к попыткам построения всеобъемлющих фило-
софских систем. Критикуя психологизм и априоризм в логике, он
выдвинул идею логического плюрализма: различные логические
системы способны эксплицировать различные онтологические
теории Например, классическая двузначная логика эксплицирует
принцип «жесткого» детерминизма в философском и научном
мышлении, тогда как переход к многозначной логике позволят
проводить корректные «индетерминистские» рассуждения.
Основные результаты Лукасевича лежат в области математи-
ческой логики. Ему принадлежат важные результаты в области
классической (теория дедукции и аксиоматизация), интуиционист-
ской, модальной, импликативной и вероятностной логики. Он
провел ряд исследований по проблемам аксиоматизации формали-
зованной силлогистики, по истории логики (силлогистика Аристо-
теля, логика древних стоиков); им введена оригинальная бесско-
бочная запись логико-математических формул. Впервые в мире в
1910 г. (одновременно с Н А. Васильевым) им был подвергнут
критике закон непротиворечия (см. [Lukasiewicz 1971]).
Однако главным его результатом было создание новой логики,
с которой он связывал «борьбу за освобождение человеческого
духа» [Lukasiewicz 1918]. Как отмечает Е.Слупецкий в
предисловии к тому избранных работ Лукасевича [Lukasiewicz
1970], «...Проблемой, которой Лукасевич посвятил почти всю
свою жизнь и которую он стремился разрешить, прилагая
необычайные усилия и проявляя огромный энтузиазм, была
проблема детерминизма. Именно эта проблема вдохновила его на
30
изумительную идею многозначных логик» (р. vii). См. также
монографию Я.Воленского [Wolenski 1989]. Широкую известность
принесла Лукасевичу публикация в 1920 г. первой системы
многозначной логики, а именно трехзначной [Lukasiewicz 1920].
Непосредственным философским основанием для этого явилось
опровержениие Лукасевичем аристотелевской доктрины
логического фатализма.
2.2.	Логический фатализм
Философская доктрина, утверждающая, что из одних законов
(принципов) логики следует, что всё в мире предопределено и
поэтому человек не имеет свободы воли, получила название
доктрины логического фатализма. Аргумент логического фата-
лизма с целью его опровержения впервые был изобретен Аристо-
телем (IV в. до н.э.) в его знаменитой 9-й главе трактата «Об
истолковании» [Аристотель 1978].
Сам аргумент можно представить в следующем виде. Предпо-
ложим, сейчас истинно, что завтра будет морское сражение. Из
этого следует, что не может быть, чтобы завтра не было морского
сражения. Следовательно, необходимо, что завтра морское сраже-
ние произойдет (принцип необходимости). Подобно этому, если
сейчас ложно, что завтра будет морское сражение, то необходимо,
что морское сражение завтра не произойдет. Но само высказыва-
ние о том, что завтра произойдет морское сражение, сейчас либо
истинно либо ложно (логический принцип двузначности). Следова-
тельно, или необходимо, что морское сражение завтра произойдет,
или необходимо, что морское сражение завтра не произойдет.
Обобщив этот аргумент, получаем, что всё происходит по необхо-
димости и нет ни случайных событий, ни свободы воли.
Логическая структура данного аргумента выглядит следую-
щим образом. Пусть «р» есть высказывание о будущем случайном
событии; ~р - высказывание, противоречащее р, и читается как
«не-/?»; Т(/?) и F(/?) обозначают соответственно «истинно, что р» и
«ложно, что р»; N(/?) обозначает «необходимо, что /?». Тогда
имеем:
(1)	Т(/?)	N(/?)	- принцип необходимости,
(2)	F(p) -> N(~/?) - по аналогии с (1),
31
(3)	T(p) v F(p) - принцип двузначности,
(4)	N(r>) v N(~/?)	- из (1), (2) и (3) по правилу классиче-
ской логики, которое называется «сложная конструктивная
дилемма»: изА—>С, B—>DhA\/B следует С v D.
В основе приведенного фаталистического аргумента лежат
две посылки: (1) и (3). Первую посылку, утверждающую, что если
истинно, то необходимо, Лукасевич называет «принципом необ-
ходимости» [Лукасевич 1959, § 44], который безоговорочно при-
нимался всеми элинистическими философскими школами.
Посылка (3) является «принципом двузначности» (бивалентности),
утверждающим, что каждое высказывание или истинно или
ложно. Принятие принципа двузначности в античности было
тесно связано с доктриной детерминизма (фатализма). Эпику-
рейцы, которые были индетерминистами, отрицали принцип
двузначности, в то время как стоики, и прежде всего Хризипп,
являющиеся последовательными детерминистами, учили, что все
высказывания, в том числе и высказывания о будущих случайно-
стях, должны быть истинными или ложными, и считали это
утверждение направленным против Аристотеля [Mates 1953].
Большинство комментаторов и исследователей считают, что
Аристотель ограничивает применимость принципа двузначности
относительно высказываний о будущих случайных событиях и
этим разрушает фаталистический аргумент. Одновременно с этим
возникает проблема истинностного статуса высказываний о буду-
щих случайных событиях’.
Лукасевич выразил суть логического фатализма (детерми-
низма) у Аристотеля весьма однозначно: «Аристотель верит, что
детерминизм был бы неизбежным следствием из этого закона
(закона двузначности. - А.К.), следствием, которого он не может
принять. Поэтому он вынужден ограничить этот закон. Однако он
не сделал этого достаточно убедительно и по этой причине его
способ разрешения вопроса не совсем ясен» [Lukasiewicz 1930, р.
176]1 2. Зато совершенно ясно это сделано самим Лукасевичем, что и
привело к созданию первой системы многозначной логики.
1 Подробно о различных фаталистических аргументах и о способах их
опровержения см. в [Карпенко 1990].
2 Страницы здесь и далее указываются по изданию 1970 г.
32
2.3.	Введение в логику
третьего истинностного значения
Суть новаторской идеи Лукасевича заключается в том, что в
логику вводится третье истинностное значение, промежуточное
между «истиной» и «ложью» и интерпретируемое им как «безраз-
лично». В напутсвенной речи, произнесенной в Варшавском
университете 7 марта 1918 г., Лукасевич скажет, что уже в 1910 г.
он пытался сконструировать не-аристотелеву логику, но безрезуль-
татно. Однако теперь (летом 1917 г.) ему удалось доказать
(курсив мой. - А.К ), что «кроме истинных и ложных высказыва-
ний существуют возможные высказывания, к которым объектив-
ная возможность относится как нечто третье в добавление к суще-
ствованию и несуществованию. Это позволяет установить систему
трехзначной логики...» [Lukasiewicz 1918, р. 86].
В своей знаменитой статье «О детерминизме»3 Лукасевич даёт
философское обоснование введения в логику третьего истинност-
ного значения. Здесь Лукасевич обосновывает, что существуют
будущие факты, для которых еще нет соответствующих фактов в
настоящем, т.е. нет ничего, что с необходимостью заставило бы
нас принять высказывание о таком будущем факте как истинное.
Но, с другой стороны, мы не можем утверждать, что такое выска-
зывание ложно, если в настоящее время не существует факта,
являющегося причиной того, что будущий факт не произойдет.
Такие высказывания Лукасевич называет в этой статье «безраз-
личными» и делает важное заключение, что альтернатива, состав-
ленная из двух подобных высказываний, например, «Ян будет
завтра в полдень дома, либо Яна завтра не будет в полдень дома»,
3 Статья является переработкой ректороской речи, произнесенной Лукасевичем
в Варшавском университете на торжественном открытии 1922/23 и опубли-
кованной посмертно в 1961 г. на польском языке. В 1967 г. издана на англий-
ском языке в переводе З.Йордана (автора статьи «Логический детерминизм»
[Jordan 1963], значительная часть которой посвящена концепции Лукасевича),
а в следующем году издана в переводе Р.Роуза. Первый перевод включен в
собрание избранных работ Лукасевича [Lukasiewicz 1970, р. 110-128]. Статья
переведена на многие языки мира и только в 1993 г. появилась на русском
языке [Лукасевич 1993] в переводе В.Л.Васюкова с польского издания и в
сопровождении логического комментария А.С.Карпенко [Карпенко 1993].
Переиздана в журнале «Вопросы философии» в 1995 г., № 5 в сопровождении
философского комментария А.С.Карпенко [Карпенко 1995].
2 А. С. Карпенко
33
должна быть истинна согласно закону исключенного третьего
(см.выше 1.3). Лукасевич утверждает, что аристотелевское реше-
ние проблемы, по-видимому, состоит в том, что альтернатива
«завтра произойдет морское сражение или завтра не произойдет
морское сражение» уже сегодня истинна, но ни высказывание
«завтра будет морское сражение», ни высказывание «завтра не
будет морское сражение» сегодня не являются истинными. Эти
высказывания касаются будущих случайных событий и, как
таковые, они ни истинны и ни ложны.
Предложив такую интерпретацию Аристотеля, Лукасевич,
однако, заключает, что доводы Аристотеля подрывают не столько
закон исключенного третьего, сколько один из глубочайших
принципов всей нашей логики, который им же впервые и
установлен, а именно, что каждое высказывание либо истинно,
либо ложно. Этот принцип Лукасевич называет принципом
бивалентности. Поскольку принцип бивалентности лежит в самих
основах логики, он не может быть доказан. «Ему можно лишь
доверять, а доверяет ему тот, кому он кажется очевидным. Поэтому
мне ничто не препятствует этот принцип не признать и принять,
что кроме истинности и ложности существуют еще другие
логические значения, по крайней мере еще одно, третье
логическое значение. [...] Вводя это третье значение в логику, мы
изменяем её до основания. Трехзначная система логики... отлича-
ется от обычной до сих пор известной двузначной логики в не
меньшей степени, нежели системы неэвклидовой геометрии отли-
чаются от эвклидовой геометрии» [Лукасевич 1993, с. 203-204].
Сейчас можно с уверенностью сказать, что подобная высокая
оценка относительно создания новой логики вполне соответствует
действительности.
2.4.	Истинностные таблицы. Аксиоматизация
К основным проблемам при построении многозначных логик
относятся, во-первых, определение логических связок, во-вторых,
их содержательная интерпретация и, в-третьих, самое сложное,
интерпретация самих истинностных значений. Последнюю мы уже
рассмотрели (и еще к ней вернемся), вторая проблема не нашла
своего решения у Лукасевича, а решение первой предпринято им в
статье «О трехзначной логике» [Lukasiewicz 1920].
34
Оставляя классические значения для импликации -> и отри-
цания ~, когда аргументы принимают значения из множества {О,
1}, Лукасевич следующим образом доопределяет логические
связки:
(1 -> 72) = (72 -> 0) = 72,
(о 72) - (72 -> 72) = (72 -> 1) = 1,
~72 = 72.
Посредством исходных связок
ские связки.
pvq = (p-+q)-*q
р Л q = р \f ~q)
определяются другие логиче-
(дизъюнкция),
(конъюнкция),
р = q = (р—><7)л(<?—>р)	(эквивалентность).
Тогда истинностные таблицы для логических связок выглядят
так:
р	
1 72 0	0 72 1
—>	1	72	0
1	1	72	0
72	1	1	72
0	1	1	1
л	1	72	0
1	1	72	0
72	72	72	0
0	0	0	0
V	1	72 о
1 72 0	1	1	1 I	72	72 1	72	о
	1	72 о
1 72 0	1	72	о 72	1	72 о	72	1
Оценка множества формул For в трехзначной логике Лукасе-
вича есть функция v: For —> {0, 72, 1}, «совместимая» с приведен-
ными выше таблицами. Формула А называется тавтологией, если
при любой оценке v принимает выделенное значение 1. Множество
данных тавтологий называется трехзначной (матричной) логикой
Лукасевича и обозначается посредством L3
Первая аксиоматизация множества тавтологий L3 принадле-
жит ученику Лукасевича М.Вайсбергу [JVajsberg 1931]:
35
2*
1. (р -> q) -> {(q -> г) -> (p -> г))
2.p->(g->p)
3.	(~p -» ~q) -> (q ->p)
4.((p->~p)->p)->p.
Правила вывода такие же, как и для классичекой логики:
Rl. Modus ponens.
R2. Подстановка.
Аксиоматизация Вайсберга означает, что для L3, как и для С2,
имеет место
Теорема адекватности. Для всякой формулы А, НЛ в L3 т.т.т.,
когда 1= А в Ъ3.4
Таким образом, как и классическая логика, исчисление L3
непротиворечиво и дедуктивно полно. На этом фундаментальные
сходства между С2 и Ъ3 заканчиваются.
2.5.	Отличия трехзначной логики Лукасевича L3
от классической
Обратим внимание на одно весьма важное свойство истинно-
стных таблиц для L3, а именно: на классическом можестве истин-
ностных значений, т.е. на множестве {1, 0} определение логиче-
ских связок Ъ3 совпадает с определением связок классической
двузначной логики С2. Отсюда следует, что любая тавтология Е3
есть тавтология С2, но не наоборот.
Например, легко проверить, что закон сокращения
(р -> (р -> д)) -> (р -> q)
не есть тавтология в L3.5 Обратим внимание, что если в
аксиоматизации Вайсберга аксиому (4) заменить на закон
4 В [Epstein 1990] имеется также доказательство теоремы адекватности для Ъ3 в
виде Г \-А т.т.т., когда Г 1= А.
5 Таким образом, трехзначная логика Лукасевича является исторически первым
примером логик без сокращения, которые в последнее время привлекли к себе
большое внимание. См. [Ono & Komori 1985], где также обсуждаются работы
Лукасевича.
36
сокращения, то получим аксиоматизацию С2. Это следует из того
факта, что из аксиом Вайсберга (1), (2) и закона сокращения выво-
дима само дистрибутивность. Таким образом, аксиоматизацию Е3
можно представить как замену в аксиоматизации С2 закона
сокращения на аксиому Вайсберга (4).
На самом деле введение Лукасевичем в логику третьего
истинностного значения, промежуточного между истиной и
ложью, имело весьма радикальные последствия для самой логики,
самым важным из которых оказалось то, что ни закон исключен-
ного третьего р v ~р, ни закон непротиворечия ~(р л ~р) не
являются законами L3: эти формулы принимают значение ’/2,
когда р имеет значение ’А-6 Реакция на подобную ревизию клас-
сической логики была весьма неоднозначной, наиболее важные
содержательные аспекты которой мы рассмотрим ниже.
Наиболее существенное отличие L3 от С2 состоит в следую-
щем. Как явствует из раздела (1.3), классическая двузначная
логика является функционально полной. В Е3 это не так, однако
если к последней добавить оператор Слупецкого Тр, который
переводит любое значение р в ’/2
р	Тр
1 '/1 0	'/2 '/2 '/2
то получим функционально полную трехзначную логику, которую
обозначим посредством L?.
Теперь, если к аксиомам Вайсберга для L3 добавить две
аксиомы, содержащие оператор Слупецкого Тр:
6 Однако если мы отождествим третье истинностное значение % с 1, т е будем
рассматривать L3 с двумя выделенными значениями, то формулы р v ~р и
~(р л ~р) станут тавтологиями. Долгое время считалось, что при таком
рассмотрении множество тавтологий Ъ3 совпадает с множеством тавтологий
С2, пока А.Тюркетт (см [Rescher 1969, р. 27]) не нашел контрпример
~(р -+~p)v~ (~р ~*р)
Эта формула является классической тавтологией, но в L3, когда р принимает
значение %, вся формула принимает значение 0. Заметим, что данная формула
эквивалентна формуле ~(р = ~р).
37
5.	Тр-»~Тр
6.	~Тр -> Тр,
то получим аксиоматизацию трехзначной логики Слупецкого Е^
\Slupecki 1936]. Заметим, что в классической логике никакие фор-
мулы вида A —А и —A А не являются тавтологиями.
В дальнейшем мы уточним функциональные свойства
функционально не полной Ез. При обобщении Ез на произвольный
конечный случай, те. на Ln (и < 2, иеЫ), функциональные
свойства последней окажутся решающим моментом для всего
нашего исследования.
2.6.	Трехзначная модальная логика Лукасевича
Обратим внимание еще на одну особенность Ез, которая
состоит в том, что теперь мы можем конструировать новые логиче-
ские связки, не существующие в Сз. Этот факт для Лукасевича
оказался весьма существенным, поскольку он показал, что в рам-
ках двузначной логики нельзя построить модальную логику, но
теперь, введя в логику третье истинностное значение, Лукасевич
ставит задачу дать такое определение оператора возможности Мр,
чтобы для всех теорем о модальных предложениях, начиная от
Аристотеля и вплоть до Лейбница, существовала бы по крайней
мере одна интерпретация в трехзначной логике Ез, посредством
которой каждая такая теорема была бы истинной [Lukasiewicz
1930]. Все эти теоремы были в итоге сведены Лукасевичем к трем
группам:
(I)	-Мр -> ~р
(И)	~Р -> (~р -► ~Мр)
(III)	Мр л М-р для некоторого р.
Тщательно анализируя эти три утверждения, Лукасевич
показывает, что в рамках классической двузначной логики мы
приходим к противоречию и что ответственность за противоречие
несет логический принцип двузначности (бивалентности).
Размышления о статусе этого принципа, а также анализ
высказываний о будущих случайных событиях опять приводят
Лукасевича к идее введения в логику третьего истинностного
38
значения, которое он окончательно интерпретирует как
«возможность» [Lukasiewicz 1930, р. 166].
Теперь остается только найти подходящее определение
модального оператора возможности Мр в рамках трехзначной
логики L3, что и было сделано в 1921 г. учеником Лукасевича
А Тарским [Lukasiewicz 1930, р. 167].
Мр = ~р —> р,
т.е. «возможно, что р» означает «если не-/?, то р». Оператор необ-
ходимости Lp определяется через исходный оператор Мр обычным
образом: Lp = ~М~р. На основе этих определений строятся истин-
ностные таблицы для Мр и Lp:
р	Мр	Lp
1 % 0	1 1 0	I 0 0
Таким образом, построение модальной логики явилось еще
одним источником появления трехзначной логики Лукасевича.
Обратим внимание, что можно ввести и другие модальные
операторы, наиболее интересным из которых является оператор
случайности:
Qp = Мр л М~р,7
который «выделяет» третье истинностное значение (см. выше
утверждение III):
р	Чр
1 72 0	0 I 0
7 В [Epstein 1990, р. 236] этот оператор интерпретируется как «неопределенно,
что... », обозначается посредством «1р» и определяется весьма изящно
]р=р = ~р.
39
Это позволяет, как отмечает Г.Малиновский [Malinovski 1993,
р. 21], сформулировать в L3 аналоги закона исключенного третьего
и закона непротиворечия:
/> V ~р V Qp
~(р А~Р А ~0р).
Между свойствми модальных операторов L3 и модальных
операторов системы Льюиса S5 имеется некоторое сходство, кото-
рое нашло свое точное выражение в работе Р.Вудруффа [Woodruff
1974], где дан перевод Е3 в S5. Таким образом, Е3 можно проин-
терпретировать посредством S5.
2.7.	Трудности интуитивной интерпретации Е3
С формальной точки зрения трехзначная логика Лукасевича
выглядит безупречной: показана её непротиворечивость, т е. в Е3
недоказуема некоторая формула Л вместе со своим отрицанием ~А,
доказана дедуктивная полнота Е3 и, как и классическая логика, L3
является разрешимой. Но поскольку построение Е3, т е. введение в
логику третьего истинностного значения, имело сугубо содержа-
тельные предпосылки, а именно идею отразить в логической
форме индетерминистский статус высказываний о будущих
случайных событиях и таким образом опровергнуть фаталистиче-
ский аргумент Аристотеля, то встает нетривиальный вопрос:
насколько формальные свойства Е3 оказались адекватными для
выражения этой идеи. И вот здесь как раз возникают весьма серь-
езные затруднения.
Приданию глубокого философского смысла трехзначной
модальной логике Лукасевича посвящена статья создателя
временной логики А.Н.Прайора [Prior 1953], который задает
следующий вопрос: является ли этот модальный язык действи-
тельно подходящим для экспликации тех проблем, которые имел в
виду Лукасевич (р. 321). Ответ на этот вопрос, подчеркиват
Прайор, зависит от интерпретации, которую мы придаем истинно-
стным значениям Е3. В этой работе Прайор впервые обращается к
идее овремененных высказываний, истинностные значения кото-
рых могут изменяться во времени, что было общепринято в антич-
ности и в средние века, как он отмечает, но совсем забыто в наше
40
время. По мнению Прайора, Аристотель в девятой главе трактата
«Об истолковании» пытается преодолеть истинную трудность -
возможность использовать высказывания во вневременном смысле
для описания событий типа «завтрашнее морское сражение». И
Прайор делает вывод, что Аристотель говорит о некоторых выска-
зываниях о будущем, как не являющихся ни истинными, ни лож-
ными, поскольку еще нет определенного факта, с которым эти
высказывания можно соотнести; однако как утверждение, так и
отрицание подобных высказываний потенциально истинно или
потенциально ложно, но не актуально истинно или ложно. Когда
же эта потенциальность исчезает со временем, тогда значение «1»
приписывается высказываниям определенно истинным, т.е. при
описании будущих событий как предопределенных или событий,
которые уже стали настоящими или прошлыми. Такие высказыва-
ния и являются «необходимыми». Таким образом, утверждение
высказываний о состоянии дел в настоящем и прошлом и утвер-
ждение их «необходимости» являются эквивалентными в Е3.
Что же касается вообще свойства модальных операторов в Е3
не принимать третьего истинностного значения, замечает Прайор,
то такая особенность достаточно хорошо согласуется с нашим
интуитивным понятием «возможности» как того, что каким-то
образом оказывается реальным даже тогда, когда того, возможно-
стью чего она является, еще нет. Следствием этого и является дву-
значный характер модальной части Е3. В итоге Прайор очень
высоко оценивает создание Лукасевичем модальной логики Е3 и
считает, что Лукасевич сделал для аристотелевской проблемы
логического фатализма то же, что он сделал для аристотелевской
теории силлогистики.
Казалось бы, все трудности преодолены, но дело в том, и это
признается всеми сторонниками традиционной интерпретации (в
том числе и Лукасевичем), что Аристотель явно утверждал, что
альтернатива р v ~р в любом случае является всегда истинной.
Однако в Е3, как уже отмечалось, закон исключенного третьего не
имеет места. Как предполагает Прайор, Аристотель сказал бы, что
обычно (р v q) = ’/2 при р = */2 и q = */2, но если q в р v q стано-
вится ~р, тогда альтернатива принимает значение не '/2, а 1. Это
позволяет Прайору заключить, что в предполагаемой трехзначной
логике Аристотеля дизъюнкция не была бы истинностно-
функциональной [Prior 1953].
41
В целом ряде более поздних работ, рассматривающих
проблему логической экспликации высказываний о будущих
случайных событиях посредством Е3, расхождение между
Лукасевичем и Аристотелем по поводу р v ~р служит основным
возражением против адекватности Е3 для решения аристотелев-
ской проблемы (см., например, [Seeskin 1971, р. 762], [Haack 1974,
Р- 85]).
Таким образом, хотя Лукасевич и ввел строгое различие
между принципом бивалентности и законом исключенного
третьего, но в его Е3 не принимается ни то, ни другое, что привело
к неадекватной экспликации аристотелевской проблемы. Как
замечает Прайор [Prior 1955, р. 244], а затем С. Мак-Колл [McCall
1966, р. 277], положение можно было бы исправить, если опреде-
лить дизъюнкцию не так, как это сделал Лукасевич: р v q = (р
q) q, а по-другому, как это обычно делается в классической
логике: р\/ q = ~р q. Тогда /> v max(v(p), v(q)), поскольку ’/2
v ’/2 = 1, но теперь р v ~р будет законом в Е3,8 поскольку в этом
случае '/2 v ~’/2 = 1. Но тогда не является законом (р v />)—>/>, и
это, предполагает Мак-Колл, послужило причиной, по которой
Лукасевич выбрал первое определение. И правда, каким образом
можно обосновать дизъюнкцию со свойством l/2 v l/2 = 1? Однако
эти примеры указывают на другую особенность Е3, которая
заключается в том, что уже в трехзначной логике можно обобщать
свойства классических связок по-разному, в результате чего
возможны, например, различные дизъюнкции, в то время как в С2
(как мы видели): pvq = -ipoq = (poq)oq.
Неожиданно выяснилось, и самым очевидным образом, что Е3
имеет свойство, которое уже безотносительно к аристотелевской
проблеме делает ее уязвимой. Т. Сугихара [Sugihara 1954, р. 294] в
рецензии на статью Прайора [Prior 1953] замечает, что не только
формула р v ~р = ’/2, когда р = ’/2, но и дуальная ей формула, а
именно р /\~р тоже принимает значение ’/2, когда р = ’/2, т.е. закон
непротиворечия ~(р л ~р) не является законом Е3. Это говорит о
том, продолжает Сугихара, что невозможно проинтерпретировать
Е3 в терминах случайности. При этом Сугихара ссылается на
8 Это как раз один из тех случаев, когда принцип двузначности нарушен, а закон
исключенного третьего имеет место. Таким образом, разница между ними
является принципиальной.
42
возражение против L3, сделанное Ф.Гонсетом и А.Мостовским.
Возражение Гонсета, считающееся неопровержимым доводом про-
тив содержательной интерпретации L3, состоит в следующем. На
конференции в Цюрихе (1938 г.) «Проблема обоснования и метод
математических наук» при обсуждении доклада Лукасевича (см.
[Lukasiewicz 1941])9 Гонсет обратил внимание (сноска на 105 стр ),
что следующее конъюнктивное высказывание, приведенное Лука-
севичем: «Через год я буду в Варшаве и через год я не буду в
Варшаве» - имеет истинностное значение ’/2, поскольку само
высказывание «Через год я буду в Варшаве» имеет истинностное
значение ’/2 в интерпретации Лукасевича, а операции отрицания и
конъюнкции это значение не меняют. Однако совершенно ясно,
замечает Гонсет, что такое конъюнктивное утверждение должно
быть ложным сейчас. X.Карри [Curry 1941] в рецензии на доклад
Лукасевича отмечает, что остаются неясными те «интуитивные
модальные основания», которые, по утверждению Лукасевича,
должны представлять L3. При этом Карри ссылается на уже
упомянутое обсуждение доклада. Это же возражение приводит
М.Бохеньский [Bochenski 1949, р. 263] в рецензии на две работы
К.Клозака. Клозак утверждает, что закон исключенного третьего
всегда истинен, на что Бохеньский возражает, говоря, что данное
утверждение не признается сторонниками многозначных логик. А
более сильным аргументом против таких логик Бохеньский как раз
считает замечание Гонсета о том, что закон непротиворечия тоже
не имеет в них места. Годом позже Мостовский [Mostowski 1950, р.
213] в рецензии на статью Е.Расевой о многозначных логиках
Лукасевича отмечает, что хотя автор дает некоторые иллюстратив-
ные примеры, соответствующие интерпретации ’/2 как «возможно-
сти»10, но обходит молчанием весьма важное замечание Гонсета.
Как считает Мостовский, «это замечание разрушает всякую наде-
жду, что будет когда-либо возможно найти разумную интерпрета-
цию трехзначной логики Лукасевича в терминах обыденного
языка».
После Сугихары резкой критике содержательную интерпрета-
цию L3 подверг Мо Шо-Куэй [Мох Shaw-Kwei 1954]. Отмечая, что
9 В английском переводе текста дискуссии нет.
10 Здесь Мостовский предлагает интерпретировать 1/2 более подходящим
образом, а именно как «случайность». Такую же интерпретацию принимает и
А.Чёрч [Черч 1960, с. 153].
43
под возможными высказываниями Лукасевич подразумевает
(следуя Аристотелю) высказывания, относящиеся к будущему
времени, Шо-Куэй делает такое заключение: «Мы видим, что
следующие высказывания ие соответствуют нашей интуиции: ’/2 =
% = '/2 л ~li, ’/2 = l/2 v ~’/2. Ибо мы рассматриваем высказы-
вание, независимо от того, относится ли оно к будущему или нет,
как никогда не эквивалентное своему отрицанию; и мы считаем
конъюнкцию высказывания и его отрицания всегда ложной, а их
альтернативу всегда истинной, а не возможностью» (р. 40).
Интересно, что Прайор несколько позже [Prior 1957а] в
блестящем очерке на страницах иллюстрированного литературно-
политического еженедельника «Listener» отмечает, что никто еще
не дал удовлетворительного формального представления связей
между временем и модальностями, хотя ближе всех к этому подо-
шел Лукасевич. Прайор считает, что достижением Лукасевича,
имеющим большие последствия для логики, является его L3. Как
раз здесь Прайор подробно разбирает возражение Гонсета (без
ссылки на него), замечая, что по обычным двузначным допуще-
ниям ни одна логическая связка не является более очевидной и
истинностно-функциональной, чем л, но трудно сохранить этот
истинностно-функциональный характер л в L3.
Позднее Т.Чэпмен [Chapman 1972, р. 598] возражает против
Е3 как средства для преодоления явной несовместимости между
индетерминизмом и двузначным характером любых высказываний
на том основании, что в L3 закон непротиворечия не имеет места.
На то же самое, но десятью годами раньше, указывают известные
историки логики В. и М. Ниль [Kneale 1962, р. 573], в силу чего
они вообще считают логику L3 неприемлемой.
Таким образом, основная трудность при содержательной
интерпретации Ъ3 заключается в строго истинностно-
функциональном характере логических связок л и v, а попытки их
истолкования в не истинностно-функциональном смысле, что
является следствием рассмотрения формально-логических свойств
L3 в контексте фундаментального философского понятия
«возможности» («случайности»), требуют построения иных логик.
На другую трудность, вызванную этим смыслом нового
истинностного значения, обратил внимание Т.Котарбиньский
[Котарбиньский 1963, с. 494-495]. Отметив, что вопрос о роли
многозначной логики для защиты индетерминизма является спор-
44
ним, Котарбиньский продолжает: «Довольно загадочной остается
и проблема интерпретации как знака половинчатости (а также
других знаков логических значений в и-значных системах), так и
существующего в системе Лукасевича функтора М, читающегося
"возможно, что... ". Ведь именно он должен вводить понятие
возможности в исчисление высказываний, но, с другой стороны, и
знак половинчатости тоже должен говорить о какой-то "возможно-
сти" высказывания, логическим значением которого он является».
Таким образом, Котарбиньский указывает на несовместимость в
одной логической системе двух разных видов возможности (оба
встречающихся у Аристотеля), один из которых есть «билатераль-
ная возможность» (двусторонняя), относящаяся к будущим
случайным событиям, а другой вид возможности - «унитеральная
возможность» (односторонняя), описываемая обычными свойст-
вами оператора М, например, р Мр и не верно, что р ~М~р,
т.е. не верно, что р -> Lp. Однако в L3 имеет место р (р Lp).
Наиболее интересной попыткой дать интуитивную интерпре-
тацию L3 является статья Е.Слупецкого, Е.Брыля и Т.Пруцналя
[Slupecki, Bryll, Prucnal 1967] (см. также [Слупецкий 1974]).
Слупецкий исходит из работы Лукасевича «О детерминизме»,
которая не была известна Прайору. Кратко суть этой интерпрета-
ции состоит в следующем. Все события Z разделены на прошлые,
настоящие и будущие и предполагается, что операции над собы-
тиями, а именно сложение и, умножение п и дополнение удов-
летворяют аксиомам булевой алгебры, как это принято в теории
вероятностей, т.е. структура 2 = <Z, о, п, > есть булева
алгебра. Событие является фактически детерминированным, если
существует в прошлом или в настоящем факт, являющийся его
причиной; и событие недетерминировано, если неверно, что оно
детерминировано и в то же время неверно, что противоположное
событие является детерминированным. Отсюда утверждение об
истинности высказывания р, описывающего событие Е, эквива-
лентно утверждению о детерминированности этого события и т.д.
Слупецкий отмечает, что такое понимание логических значений
совпадает с намерениями Лукасевича. Предполагается, например,
что дизъюнкция двух высказываний описывает сумму событий,
описанных ее аргументами, и т.д. Исходя из этого, а также приняв
некоторые естественные утверждения о причинных связях, обос-
новываются таблицы истинности, которые в точности совпадают с
45
матричными определениями дизъюнкции, конъюнкции и отрица-
ния в L3. Однако более тщательный анализ, проведенный
М.Новаком [Nowak 1988], показывает, что допущения
относительно Z должны быть модифицированы так, чтобы Z
выглядела как решетка де Моргана (см. выше 1.5), а не как алгебра
Буля.
Как уже говорилось, исходными операциями в L3 являются
отрицание и импликация, через которые и определяются дизъюнк-
ция, конъюнкция и модальные операторы. Но легко видеть, что
посредством отрицания, дизъюнкции и конъюнкции нельзя опре-
делить импликацию в L3. Более того, при выделенном значении
«1» множество тавтологий в системе с исходными связками {~, v,
л} будет пусто и поэтому, считает Слупецкий, эта система не
представляет какого-либо интереса. Однако если к этой системе
добавить модальные операторы Тарского, то получим логику S3,
функционально эквивалентную L3. Чтобы это показать, доста-
точно через систему связок логики S3 выразить импликацию р —> q
из L3. Слупецкий это делает следующим образом:
Р -> Я = (~Р v Я) v М(~р л 9)",
замечая по этому поводу, что смысл данного выражения, те.
смысл импликации Лукасевича, довольно-таки неуловим. И
поэтому в указанной работе решается проблема, поставленная
Слупецким еше в начале 60-х годов, об аксиоматизации трехзнач-
ной логики Лукасевича L3 со множествами исходных связок {V, ~,
L}, {v, ~, М}, {л, ~, L}, {л, ~, М,}. В итоге, как отмечалось выше,
дается аксиоматизация L3 в сигнатуре {v, ~, N}.
Но Слупецкий обращает внимание и на более существенную
трудность. Операции, которые соответствовали бы операторам М
и L тем же самым образом, как операции сложения, умножения и
дополнения соответствуют ~, v и л, не существуют в булевой
алгебре. Поэтому включая модальные высказывания в трехзнач-
ную логику мы должны расширить ранг пропозициональных
переменных, до сих пор ограниченный высказываниями, описы-
вающими только события, а это является более сложным и менее
интуитивным, замечает Слупецкий. В заключение он отмечает, что
11 Определение импликации р —> q посредством этих же связок имеется уже у
Г.Мойсила [Moisil 1940], но значительно сложнее.
46
хотя интуиции Лукасевича в обосновании трехзначной логики
носят общий характер, тем не менее они чрезвычайно глубоки и
представляют огромный интерес. Детальный же анализ требует
обширных и трудоемких исследований.
Однако вернемся к импликации Лукасевича. Вопрос этот не
праздный уже потому, что эта связка является единственной
исходной бинарной связкой в Е3. К сожалению, можно только
предполагать, из каких мотивов исходил Лукасевич при определе-
нии свойств р -> q. Как отмечает Хао Ван [Wang Hao 1961, р.284],
при введении в логику третьего истинностного значения имеются
две альтернативы приписывания значения всей импликации р —>
q, когда р = '/2 и q = '/2 (Хао Ван третье истинное значение интер-
претирует как «неопределенно» и обозначает как «и»): в одном
случае '/2 —» '/2 = '/2, в другом случае '/2 —> '/2 = 1. В первом случае,
р -» р не является больше универсальным логическим законом. Во
втором случае р —> ~р ~ 1, когда р = ’/2. Однако эти последствия,
замечает Хао Ван, не столько являются основанием для отрицания
одной из альтернатив, сколько служат иллюстрацией того, что или
мы еще не владеем достаточно хорошим пониманием импликации,
примененной к неопределенным высказываниям, или у нас нет
надежного руководящего принципа, позволяющего выбирать
между двумя этими альтернативами. Лукасевич выбирает '/2 -> '/2
= 1, продолжает Хао Ван, и в качестве преимущества сохраняет
закон р —> р. Однако такая интерпретация не позволяет идентифи-
цировать р —> q с ~р v q, поскольку р v ~р не является больше
универсальным логическим законом. Другая альтернатива принята
С.К.Клини [Клини 1957, § 64] в его трехзначной логике К3, где ~,
v и л есть в точности логические связки из Е3. Посредством этой
интерпретации р -> q - ~р v q, и поэтому можно развивать трех-
значную логику, не включая —> в качестве исходной связки. Но
тогда не имеет места р -» р.
Обратим внимание, что матричная трехзначная логика К3
является важным примером алгебры Клини (см. выше 1.5).
Поэтому алгебраическая структура Z должна быть скоррректиро-
вана от решетки де Моргана до алгебры Клини. Что же касается
алгебраической структуры Ъ3, то она намного сложнее (см. раздел
2.10).
47
Интересно, что в дискуссию о логическом статусе высказыва-
ний о будущих случайных событиях, об интерпретации промежу-
точного (третьего) истинностного значения и об интерпретации
самой L3 были втянуты многие виднейшие логики того времени.
Общий итог дискуссии оказался весьма критическим относительно
возможности дать какую-либо интуитивно приемлемую интерпре-
тацию трехзначной логики Лукасевича L3. И для этого, как мы
увидим далее, есть серьезные основания. Тем не менее, попытки
проинтерпретировать L3 продолжаются и одна из последних
принадлежит С.А.Павлову [Павлов 1998], который предложил
рассматривать L3 в рамках разработанного им языка логики лож-
ности (с оператором ложности).
2.8.	Погружение классической логики в L3
Как говорилось выше, L3 с: С2, но тем не менее можно
показать, что L3 богаче С2 (!) Покажем, что L3 содержит трехзнач-
ный изоморф классической логики С2. Для этого посредством
исходных связок L3 определим две новые связки:
Гр = ~Lp,
p->i?=p->(p->?),
истинностные таблицы для которых выглядят так
р	Гр
1 72 0	0 1 1
—>1	1 72 о
1 */2 0	1	*/2	0 1	1	1 1	1	1
Обозначим логику со связками Г и ->i как L3. Покажем, что
множество формул, доказуемых в Ъ3, есть в точности множество
формул, доказуемых в С2, т.е. L3 есть трехзначный изоморф С2.
Возьмем аксиоматизацию С2, предложенную Лукасевичем (см.
раздел 1.4). Заменим в аксиомах вхождения о и - на-э, иГ со-
ответственно. Нетрудно проверить табличным способом,
что, с одной стороны, эти аксиомы так же имеют место в L j, как и
48
правила вывода. С другой стороны, всякая тавтология L * является
тавтологией С2, поскольку истинностные таблицы для L * совпа-
дают с истинностными таблицами для С2 на множестве {0,1}
Таким образом, множества тавтологий L3 и С2 совпадают.
Отсюда следует, что L3 содержит С2 и, значит, богаче последней.
На самом деле мы показали, что существует перевод (погру-
жение) С2 в Е3, т е указано отображение * языка С2 в язык L3:
(р)*=А
(Az>B)*=A* -h В*,
ЬА)*=Г(А)*.
Тогда имеет место следующая
Теорема. НА в С2 т.т.т., когда А* в HL3.
Истинностная таблица для —>i впервые и независимо друг от
друга была приведена в [Slupecki, Bryll, Prucnal 1967] и [Monteiro
А. 1967]. В первом случае, как мы уже видели, р q определяется
как ~Lp v q и приводится аксиоматизация Е3 с исходными связ-
ками ~, L и v12, во втором случае, р -+\q определяется как М~р v q
и отмечается, что в качестве исходных связок для Е3 можно взять
л и —>], определив р -> q как
(В ~>1 tf) A (~q -h ~р).
Приведенное выше определение р q как р -> (р -> q)
принадлежит Р.Вуйцицкому [Wojcicki 1988, р. 72] и позволяет
легко перейти к n-значной логике Лукасевича посредством итера-
ции "р —в определении р q. Вуйцицкий исходит из более
общей теоремы М.Токажа [Tokarz 1971] при доказательстве пере-
вода С2 в L3. Более простое доказательство имеется в [Epstein 1990,
р. 238]. В последней работе отмечается, что для формулировки
теоремы дедукции импликация Лукасевича —> не подходит,
поскольку А л ~А Н ~(А —> В) в Е3, но I# (А л ~А) —> ~(А —> В) в
Е3. Но для этого подходит связка —
12 Интересно, что аксиоматизация логики с такими же связками была уже дана
Л.Оквистом [Aqvist 1962], но без указания на эквивалентность с L3.
49
Если Г, А Ь В, то Г Н А ->] В.
Конечно, рассмотренный нами изоморф С2 не является
единственным в L3. Впервые на то, что трехзначная логика может
иметь С2 в качестве изоморфа, было указано Д.А.Бочваром при
построении трехзначной логики бессмысленности В3 [Бочвар
1938], предназначенной для разрешения некоторых парадоксов
классической математики13. В импликативно-негативной форме
этот изоморф выглядит следующим образом:
р	Гр
1 % 0	0 1 1
	1	72	0
1	1	0	0
72	1	1	1
0	1	1	1
Понятно, что этот изоморф С2 содержтися в Е3 : р q = Lp
—> L</.14 Н.Решер, имея ввиду, что данный изоморф содержтися в
В3, строит (в другой терминологии) также изоморф С2, содержа-
щийся в L3: 1р = ~Мр и р ->м q = Мр —> Mq [Rescher 1969, р. 32-
ЗЗ]15. Г.Малиновский [Malinowski 1997, р.61] приводит еще один
изоморф С2, содержащийся в L3.16
Из наличия в L3 изоморфа С2 следует, что можно дать аксио-
матизацию Е3 на основе С2, т.е. берется аксиоматика С2 в соответ-
ствующем переводе, к ней добавляются аксиомы для дополнитель-
ных связок и аксиомы, определяющие взаимоотношение первой
группы аксиом со второй. В неявном виде для L3 это и было
сделано в работах [Sfapecki, Bryll, Prucnal 1967] и [Финн 1974].
Такой подход положен в основу единого метода аксиоматизации
широкого класса многозначных логик, в том числе и и-значных
13 Заметим, что по своим функциональным свойствам Вз с Ез.
14 Аксиоматизация Ез с исходными связками ~, v, л и -+L предложена
В.К.Финном [Финн 1974, с. 426-427].
13 Этот изоморф является также изоморфом, содержащимся в В3. Интересно, что
комбинация обоих указанных изоморфов, т е. Г и —>м, дает известную
паранепротиворечивую логику Сетте Pi (см. [Karpenko 2000]).
16 На самом деле, как следует из работы В.Е.Комендантского [Комендантский
2000], Ез содержит 65 (!) изоморфов С2, для построения которых им создана
специальная компьютерная программа.
50
логик Лукасевича [Аншаков & Рычков 1982, 1984] и [Anshakov &
Rychkov 1984].
2.9.	Импликация Лукасевича
и трехзначная интуиционистская логика G3
Трехзначная интуиционистская логика G3 появилась в работе
А.Гейтинга [Неу ting 1930], где впервые было сформулировано
пропозициональное (и предикатное) интуиционистское исчисление
Н. Аксиоматизация последнего получается посредством удаления
закона исключенного третьего v —р из аксиоматики классической
логики С2 (см. выше 1.4.).
Матрицы для G3, появившиеся в результате доказательства
независимости Н, выглядят следующим образом:
р	V
1 72 0	0 0 1
	1 72 о
1 72 0	1	72	о 1	1	0 1	1	1
Истинностные таблицы для v и а в G3 в точности совпадают
с таблицами для этих связок в L3 и К3, однако разница между
системами связок весьма существенна, поскольку в G3 через 1 р и
р => q нельзя выразить р v q и р л q. Но
Р v q = Цр => q) => q) л ((q => р) => р).
Отсюда следует, что в качестве исходных связок в G3 можно
взять связки -л, л и =>. Легко убедиться, что ни -,->р => р, ни
р v —р не являются здесь тавтологиями, хотя первая есть
тавтология в L3.
Впервые G3 была аксиоматизирована Я. Лукасевичем
[Lukasiewicz 1941, р. 286]. Она получается за счет добавления к
аксиомам интуиционистского пропозиционального исчисления Н
аксиомы
51
(Ip => g) => (((g => p) => q) => g)17.
Нетрудно показать, что логические связки G3 выразимы
посредством связок из L3:
"Ip = ~(~р->р),
р => g = 1 (~(р -> g)) v g.
Впервые выразимость связок из G3 посредством L3 была
представлена Г.Мойсилом [Moisil 1963а], но формула для вырази-
мости р => g гораздо сложнее. У Л.Монтейро [Monteiro L. 1970]
это выглядит следующим образом:
р => g = L~p v g v (М~р л Mg).
Заметим, что результат Мойсила позволяет дать аксиоматиза-
цию L3 на основе интуиционистской импликации =>, что и было
сделано Л. Итурриоз [Iturrioz 1977 а].
Очевидно, что G3 не эквивалентна L3, поскольку ~р нельзя
выразить связками из G3. Таким образом, G3 с L3. Однако если
добавить связку ~ к G3, то, как показал Мойсил [Moisil 1963 b,
р.146], получим L3:
р -> g = (р => q) v (~g => ~р) 18.
Можно дать другое определение трехзначной импликации
Лукасевича, используя наравне с интуиционистской импликацией
=> дуальную ей, которая обозначается посредством <= и называется
«брауэровой» (см. следующий раздел). Последняя определяется
следующим образом [Monteiro Л. 1980, р. 36]:
17 Заметим, что Н. Решер [Rescher 1969, р. 45] дает неправильную ссылку на
работу Лукасевича, относящуюся к 1952 г., а в [Bole & Borovik 1992, р. 84]
приведенная выше аксиоматизация Gj приписывается К.Гёделю. Трехзначная
логика Рейтинга стала интенсивно исследоваться в нашей стране и по
предложению А. А. Маркова получила название «логика Сметанича» в связи с
первой работой Я. С. Сметанича [Сметанич 1960], изучавшей ее свойства.
Еще одно название Gj - «первая матрица Яськовского». Именно под этим
названием она изучалась в целой серии работ М. Ф. Раца и других (см. [Раца
1969]). К работам этого автора мы вернемся в главе 5, откуда станет ясным,
что трехзначная логика G3 и, следовательно, L3 имеют континуальный
характер в отличие от С2.
18 В [Cignoli 1982, р. 9] имеется упрощение:
р -> q = (р => q) v ~р.
52
р<=ч^ ~(~р => ~Ф-
Отрицание Г, дуальное к 1, определяется как Г/? = р <= 1.
Оказывается, посредством связок 1, Г, v и л можно опреде-
лить отрицание Лукасевича [Cignoli & Monteiro 1965]:
~р = ]р v (р л Г/?).
Более того, посредством этих связок можно определить также
импликацию Рейтинга [Varlet 1969]:
Р => 9 = (lp v 1 \) л (Г/? v q).
Отсюда следует, что трехзначная логика Лукасевича L3 есть в
точности трехзначная Н-В-логика (см. следующий раздел). Заме-
тим, что в ней импликацию Лукасевича можно определить
следующим образом:
p->q = (p=>q)v~(q<=p).
2.10.	Алгебраизация
Для того чтобы перейти к алгебраизации Ъ3, сначала рас-
смотрим исключительно важный класс алгебр, а именно алгебры
Рейтинга и связанные с ними другие алгебраические структуры.
Алгебры Рейтинга являются алгебраическим примером интуицио-
нистской логики [Неу ting 1930] (см. также [vanDalen 1986]).
Пусть х, у е L. Элемент z е L называется псевдодополнением
элемента х относительно у, если z - наибольший элемент со свой-
ством х n z < у. Относительное псевдодополнение обозначается
посредством х => у. Решетка L называется импликативной (см.
[Расёва & Сикорский 1972, гл. 1, § 12])19, если х => у существует
для всех элементов х, у е L. Заметим, что решетка с => обладает
наибольшим элементом 1, так как для любого х, х => х = 1; и,
главное, решетка с => является дистрибутивной. Каждая имплика-
тивная решетка с наименьшим элементом 0 есть алгебра
19 Название «импликативная решетка» впервые появилось у Х.Карри (см.
{Карри 1969]). Здесь на с. 223 импликативные решетки задаются как
эквациональный класс посредством пяти тождеств.
53
Рейтинга20. Или, по-другому, алгебры Рейтинга являются решет-
ками с 0, резидуальными относительно пересечения [Blyth &
Janowith 1972], где «резидуалом» относительно л является как раз
операция =>, определяемая следующим образом:
х <у => z т.т.т., когда х л у < z.
Как эквациональный класс <L, v, л, =>, 0, 1> есть алгебра
Рейтинга, если < L, v, л, 0, 1 > есть ограниченная дистрибутивная
решетка и для бинарной операции => выполняются следующие три
тождества [Эсакиа 1985, с. 23]:
(Н1). хл(х=>у) - хлу
(Н2). XA(y=>z) = хл(хлу => xaz).
(НЗ). (хлу=>х)лг - z.
Очевидно, любая булева алгебра есть алгебра Рейтинга.
Дистрибутивные решетки с операцией => (но в других обо-
значениях), а также с дуальной к ней операцией <= впервые иссле-
довались Т.Сколемом, начиная с 1919 г. (см. [Карри 1969, гл. 4]).
Такие алгебры Х.Карри называет сколемовскими структурами.
Алгебры Рейтинга под названием брауэровы алгебры были
введены Г.Биркгофом в 1940 г. (см. [Биркгоф 1984, гл. 12]).
Алгебра <L, v, л, =>, <=, 0, 1> называется дважды (double)
гейтинговой алгеброй, или дважды брауэровой алгеброй, или
полубулевой алгеброй (под этим названием она аксиоматизируется
в работе [Rauszer 1974])21, или алгеброй Сколема [Григолия 1987,
гл. 4], если <L, v, л, =>, 0, 1> есть алгебра Рейтинга, а <= есть
бинарная операция, дуальная к =>, т. е. элемент z (= х <= у) явля-
ется наименьшим элементом со свойством х о z > у. Операция
х <= у в [Расёва & Сикорский 1972, с. 72] называется «псевдораз-
ностью». В [McKinsey &. Tarski 1946] алгебра <L, v, л, <=, 0, 1>
изучается под названием брауэровой алгебры. Или, по-другому,
20 В [Расёва & Сикорский 1972] алгебры Рейтинга изучаются под названием
псевдобулевых алгебр.
21 Здесь же во второй части работы под названием «Н-В-логика» дается
аксиоматизация интуиционистской пропозициональной логики с дополнитель-
ными операциями Г и <= .
54
алгебры Брауэра являются решетками с 1, резидуальными относи-
тельно объединения:
х>у =>z т.т.т., когда xv y>z.
Дважды алгебры были введены, чтобы восстановить принцип
дуальности булевой алгебры. См. об этом [Iturrioz 1983, р. 33],
[Эсакиа 1985, § II]22.
Алгебра <Z, v, л, =>, ~, 0, 1> называется симметрической
алгеброй Рейтинга [Monteiro А. 1969], если <Z, v, л, =>, 0, 1> есть
алгебра Рейтинга и <L, v, л, ~, 0, 1> есть алгебра де Моргана.
Операция ~ на решетке L позволяет рассмотреть принцип дуаль-
ности: каждое утверждение, доказанное для v, л и остается
истинным, если v и л заменить соответственно на л и v. Более
того, здесь х <= у - ~(~х => ~у). Таким образом, симметрическая
алгебра Рейтинга есть дважды алгебра Рейтинга 23.
Заметим, что в алгебре Рейтинга имеет место ~|х = х => 0, где
унарная операция 1 называется псевдодополнением (интуициони-
стское отрицание), и |"х = х <= 1, где унарная операция Г называ-
ется дуальным псевдодополнением.
Изучение (дистрибутивных) решеток с псевдодополнением 1,
точно так же, как и (дистрибутивных) решеток с инволюцией ~,
стало отдельным направлением в области алгебраических
структур.
Алгебра <Z, v, л, 1, 0, 1> называется р-алгеброй, если <L, v,
л, 0, 1> есть ограниченная решетка и для любого х е L элемент "|х
является псевдодополнением элемента х. Алгебра <Z, v, л, ~|, Г, О,
1> называется дважды /7-алгеброй, если <L, v, л, 1, 0, 1> есть р-
алгебра и <L, v, л, Г, 0, 1> - дуальная /7-алгебра.
Дистрибутивная /7-алгебра называется стоуновой (см.
[Гретцер 1982, с. 152]; здесь же приведена соответствующая лите-
ратура по /7-алгебрам), если она удовлетворяет стоунову
тождеству
"|х v 1 "|х = 1,
22 Свойства дважды алгебр Рейтинга суммируются в [Sankappanavar 1985].
23 Историю вопроса о введении понятия симметрической алгебры Рейтинга см.
в [Iturrioz 1983, р. 33-34]. Изучению симметрических алгебр посвящена
монография [Monteiro А. 1980].
55
и дважды стоунова, если выполняется также тождество
Гх л Г Гх = 0.
Если к алгебре Рейтинга <L, v, л, =>, 0, 1> добавить, напри-
мер, закон исключенного третьего х v ]х = 1 или закон двойного
отрицания 1 "|х = х, то получим аксиоматизацию булевой алгебры.
Теперь рассмотрим алгебраические примеры трехзначной
логики Лукасевича Ъ3. В предыдущем разделе было показано, что
логики со множествами связок {—>, ~} и {v, а, ~, М) эквива-
лентны. Именно в этой сигнатуре Г.Мойсилом [Moisil 1940] было
введено понятие трехэлементной алгебры Лукасевича, аксиома-
тизация которой была значительно упрощена А.Монтейро
[Monteiro А. 1963]: Алгебра
-£3 = <{1, Ч 0}, v, л> М, 1>
есть трехэлементная алгебра Лукасевича, где <{1, Ч 0}, v, л, 1>
есть дистрибутивная решетка с 1 и для унарных операторов ~ и М
выполняются следующие тождества:
1.	—х = х,
2.	~(х А у) = ~Х V ~у,
3.	~х v Мх = 1,
4.	X А ~Х = ~Х А Мх,
5.	М(х А у) - Мх А Му.
Или, по-другому, трехэлементная алгебра Лукасевича £3 есть
алгебра де Моргана, снабженная операцией М, удовлетворяющей
условиям (3), (4), (5). Или, по-другому, £3 есть алгебра Клини,
снабженная операцией М, удовлетворяющей условиям (3), (4).
Заметим, что существует большое число алгебраических построе-
ний для L3, эквивалентных между собой. Чтобы все их
систематизировать, обратим внимание на следующий факт: все
сформулированные выше алгебры, начиная с алгебры де Моргана,
на двухэлементном множестве {0, 1} превращаются в булеву
двухэлементную алгебру.
С введением третьего элемента проблема становится не столь
тривиальной, однако все указанные дважды алгебры, а также сим-
метрическая алгебра Рейтинга и некоторые объединения их сигна-
56
тур являются трехэлементными алгебрами Лукасевича £3,
поскольку трехзначные логики со множествами связок {v, л,"|, Г},
{v, л, =>, <=}, {v, л, =>, ~], {v, л, =>, Г}, {v, Л, =>, Г}, {V, л, <=, 1},
{v, л, 1} эквивалентны.
Поэтому неудивительно, что в [Varlet 1968, 1969] дана харак-
теризация £3 в терминах дважды р-алгебр, а точнее, дважды
алгебр Стоуна; в [Monteiro L. 1970] - в терминах симметрической
алгебры Рейтинга24; в [Iturrioz 1976] - в терминах дважды
алгебры Рейтинга25, и в [Bechio 1978] — в терминах алгебры
Рейтинга с дуальным псевдодополнением и в терминах дуальной
алгебры Рейтинга с псевдодополнением. Заметим, что приведен-
ную выше аксиоматизацию £3 можно рассматривать как аксио-
матизацию в терминах алгебры де Моргана с псевдодополнением
1, если заменить всюду оператор М на TI. Имеются и другие
аксиоматизации £3 [Monteiro А. 1980, ch. VII], например, характе-
ризация £3 в терминах алгебры Нельсона26. См также [Abad &
Figalla 1984].
Интересно проследить изменение алгебраических структур с
увеличением числа элементов. Например, известно, что если п > 3,
то отрицание де Моргана нельзя определить посредством псевдо-
дополнения и дуального псевдодополнения вместе с решеточными
операциями. Поэтому характеризация Ъ4 (см. ниже) способом
Дж. Варле [Varlet 1968, 1969] непригодна. Все дело в том, что
функциональные свойства L3 настолько «богаты»27 и обладают
таким «критическим» свойством, что допускают столь много раз-
личных алгебраических характеризаций.
24 То, что трехэлементная алгебра Лукасевича есть алгебра Рейтинга, а на самом
деле симметрическая алгебра Рейтинга, было впервые показано РМойсилом
[Moisil 1963а]
25 По-другому, £3 есть трехэлементная решетка с 0 и 1, резидуальная
относительно пересечения и объединения
26 Алгебры Нельсона являются алгебраическим примером конструктивной
логики с сильным отрицанием, введенной Д.Нельсоном, а затем
А. А. Марковым. В [Rasiowa 1974] алгебры Нельсона изучаются под названием
квази-псевдобулевых алгебр.
27 Точный смысл этого слова будет определен ниже.
3. КОНЕЧНОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
ЛУКАСЕВИЧА Еп
Уже к 1930 г. были получены основные результаты относи-
тельно матричных логик Лукасевича Ln и введено само понятие
логической матрицы. Все объявленные результаты (без доказа-
тельств) оказались справедливыми и одним из наиболее интересных
является сформулированная А.Тарским теорема о кардинальной
полноте L„ (число расширений). Здесь впервые с помощью компью-
терной программы обсуждаются некоторые свойства этих расши-
рений, а в Таблицах чисел (таблица 1) приводятся значения для п <
2000. Отметим также исключительно важный результат Р. Мак-
Нотона о критерии выразимости логических связок в бесконечно-
значной логике Лукасевича и, как следствие, в Ln. Ни для каких
других логик подобного свойства не обнаружено. Этот результат
окажется существенным при выявлении истинной сущности логик
Ln (см. гл. 8).
3.1. Логические матрицы
Понятие многозначной логической матрицы для фиксирован-
ного пропозиционального языка 5 введено Я.Лукасевичем и
А.Тарским в давно ставшей классической работе [Lukasiewicz &
Tarski 1930], подводящей итог исследованиям Львовско-Варшав-
ской школы в области многозначной логики. См. также \Wojcicki
1988, ch. 3].
Логическая матрица представляет собой систему 9W = < V, fb
..., fk, D > , где V есть непустое множество истинностных значений,
элементы которого обозначаются х, у, z с индексами или без них;
fi, ..., fk - множество матричных операций, определенных на
множестве V, и D - множество выделенных значений, такое, что
D с V. После этого вводится функция оценки v, приписывающая
пропозициональным переменным значения из множества V.
Формула А называется общезначимой в 9W, если при любых
значениях переменных в множестве V значение А принадлежит D.
Матричная логика есть не что иное, как множество общезначимых
формул в данной матрице.
Обратим внимание на то, что логическая матрица 9W пред-
ставляет собой систему <J4, D>, где J4 - некоторая универсальная
алгебра, а множество матричных операций fb ..., fk образует ее
58
сигнатуру. Часто именно в алгебраических терминах дается опре-
деление самой многозначной логики.
Пусть 5 есть пропозициональный язык произвольной логики,
который, как обычно, состоит из множества пропозициональных
переменных, множества логических связок {z>, v, л, -.} и вспомо-
гательных символов, т.е. 5 есть множество всех формул этого
языка. Тогда S можно рассматривать как алгебру формул. Под
логической матрицей для S подразумевается любая матрица ЭЙ =
<J4, D> с алгеброй Л подобной алгебре S, т.е. операции обеих
алгебр имеют одну и ту же арность. Это позволяет определить
оценку языка 5 в 9JI, как гомоморфизм h: 5 -> J4. Пусть А е S.
Тогда формула А истинна, если Ь(Л) е D, и А является тавтоло-
гией, если Ь(Л) е D для каждого гомоморфизма h языка S в J4.
Множество всех тавтологий обозначается посредством £(9Л).
Под правилом над множеством 5 обычно понимается отноше-
ние г с х S, где T(S) есть множество всех подмножеств S и х
есть операция декартова произведения; при этом, естественно,
правила должны сохранять тавтологичность. Для правила modus
ponens (из А и А о В следует В) это свойство содержится в
следующем определении матрицы: логическая матрица называется
нормальной, если формулы AeD и BeV всегда влекут А о В е V,
где D и V два непересекающихся множества [Lukasiewicz & Tarski
1930, р.134]. Таким образом, логическая матрица называется
нормальной, если она верифицирует правило modus ponens.
Предположим, что It есть некоторое множество правил над 5
и пусть X с 5. Каждая такая пара (X, Lt} называется пропозицио-
нальным исчислением L над 5. Говорят, что матрица ЭЛ адекватна
для исчисления (X, Tt), если замыкание X относительно всех
правил из It равно Е(9Л).
Особый интерес представляют исчисления L = (X, Tt), где It
есть множество правил, которое содержит по крайней мере два
правила: modus ponens и подстановку. Понятие вывода формулы А
определяется стандартно, как, например, у Э. Мендельсона
[Мендельсон 1976, с. 36]:
Выводом в L называется всякая последовательность А], .... А„
формул, такая, что для любого i формула Л, есть либо аксиома L,
либо непосредственное следствие каких-либо предыдущих формул
по одному из правил вывода. Формула А логики L называется
59
теоремой в L, если существует вывод в L, в котором последней
формулой является А; такой вывод называется выводом формулы
А. Запись НЛ, как и ранее, служит сокращением утверждения «А
есть теорема». Если формула А выводима из некоторого множества
Г исходных формул, то тогда запись принимает вид Г |-Л.
Поскольку вывод во всех исчислениях определяется по приве-
денной выше схеме, то пара L = (X, £.) полностью определяет
множество доказуемых в L формул. Заметим, что исчисления
рассматриваемого вида принято называть исчислениями гильбер-
товского типа, а множество X - множеством аксиом исчисления
L = (X, 21).
Предположим, что L абсолютно непротиворечиво. Тогда
матрица 2Я называется моделью L, если каждая доказуемая
формула в L общезначима в ЗЯ.' Если же верно и обратное, т. е.
что каждая общезначимая формула в ЗЯ доказуема в L, то модель
ЗЯ называется точной моделью или, по-другому, ЗЯ есть характе-
ристическая матрица для L.
Поскольку понятие матрицы подпадает под более общее поня-
тие алгебраической структуры (или модели), то все модельно-
теоретические операции, которые используются на алгебраичес-
ких структурах, применимы и к логическим матрицам. Некоторые
понятия окажутся нам полезными. Так, 91 = <Л*, D*> является
подматрицей ЗЯ = <34, D>, если 34* есть подалгебра 34 (это
значит, что операции из 34. замкнуты на некотором подмножестве
V* с V) и D* = V* n D. Имеет место следующий важный факт:
если 91 с ЗЯ, то £(ЗЯ) с £(91).
Пусть J есть любое множество индексов. Для каждого j е J
пусть ЗЯ; = <34, D> есть определенная матрица для языка L. Мы
можем образовать произведение алгебры 34. = П 34j и ее под-
J е I
множества D = П Dj. В результате матрица ЗЯ = (34., D) называ-
J е >
ется произведением матриц ЗЯ, и обозначается посредством П
j е J
зя, Имеет место следующая теорема [Jaskowski 1936]:
1 В [Brady 1976] предложена компьютерная программа для построения
матричных моделей для определенного класса пропозициональных исчис-
лений с различными унарными операторами.
60
Если 9W = П SWj, тогда E(9W) = П #(9Wj).
J « f	J e J
Отсюда следует, что операция произведения матриц сохра-
w	W	1
няет класс тавтологии исходной матрицы.
3.2. TV-значная матричная логика Лукасевича
Наиболее известными и, как мы увидим, обладающими
удивительными свойствами являются конечнозначные логики
Лукасевича Ln, матричное определение которых впервые появи-
лось в [Lukasiewicz 1922/1923]. Эти логики являются обобщением
трехзначной логики L3 и имеют следующий пропозициональный
язык £.
Пусть р, q, г с индексами или без них суть пропозициональ-
ные переменные; ~, —> суть логические связки, и ( , ) - вспомога-
тельные символы. Определим понятие формулы.
ОР, Я, г>  ~ формулы;
2) если А и В - формулы, то ~А и А —> В - формулы;
3) никакие другие конечные последовательности исходных
символов, кроме тех, которые построены в силу пунктов (1)—(2), не
являются формулами.
Другие логические связки вводятся как и для L3.
Матрица вида = < Vn, {1} > называется л-значной
матрицей Лукасевича (п е N, п > 2), где Vn = {0, ’/n-i, 2/п-ь • ,
n'2/n-i, 1}; ~ есть унарная и —> бинарная операции отрицания и
импликации соответственно, определенные на множестве Vn
следующим образом:
~х = 1-х,
х —> у = min(l, 1-х+у).
Операции дизъюнкции и конъюнкции вводятся по опреде-
лению:
2 Заметим, что в общем случае операция прямого произведения алгебр не
сохраняет свойств исходной алгебры. Поэтому вводится понятие подпрямого
произведения (см. [Burris & Sankappanavar 1981, р. 57]): алгебра Л является
подпрямым произведением индексированного семейства j алгебр, если
(<)Л < П Д и (ii) л/Л) = Л, для всех jeJ,
j е J
где 7tj есть проективное отображение.
61
x v у = (х->у)—>у - тах(х, у),
хлу = ~(~xv~y) - minfjc, у).
Определим теперь функцию оценки (гомоморфизм) v формул
языка £. в матрице 2П^ . v есть функция оценки формул языка £. в
матрице 2П„ , если она удовлетворяет следующим условиям:
1)	функция v определена для каждой формулы Я;
2)	если Я есть пропозициональная переменная, то г(Я)еУп;
3)	если Я и В есть формулы, то
v(~A) = ~v(A),
v(A -> В) = у(Я) -> v(B).
Обратим внимание, что здесь в левые части равенств входят
пропозициональные связки, а в правые - операции из матрицы
Будем говорить, что формула Я является тавтологией в
матрице 2П^, если v(A) = 1 для любой функции оценки v в
матрице ЭП^1. Наконец, многозначная матричная логика Лукасе-
вича Ln есть множество тавтологий в 2П^ .
Отметим, что матрица 2П £ является характеристической для
классического пропозиционального исчисления С2 (см. раздел 1.4),
а матрица 2П^ является характеристической для трехзначного
исчисления L3 (см. раздел 2.4).
3.3.	Некоторые свойства Ln
Ниже мы увидим, что свойства конечнозначных логик Лукасевича
L„ определенным образом связаны с теорией чисел. Первый глубокий
результат будет рассматриваться в разделе 5.3, а сейчас отметим
некоторые важнейшие свойства Ln, в том числе представляющие
интерес с точки зрения возможности данной связи.
3.3.1.	Отношения между конечнозначными логиками
Лукасевича
Основные отношения между конечнозначными логиками
Лукасевича описываются следующим условием Линденбаума
[Lukasiewicz & Tarski 1930, Теорема 19]:
62
Ln c Lm т.т.т., когда т-1 есть делитель л-1.
Впервые доказательство этой теоремы было опубликовано
Р.Аккерманном [Ackermann 1967, р. 60-63].3
Из этой теоремы имеем очевидное следствие для случая, когда
п-\ есть простое число и (м-1) > 1:
с Lta с . . . с t2n С Ijn С Ij2.
Однако только свойство полноты {степень полноты) конеч-
нозначных логик Ln выявит роль простых чисел на уровне опреде-
ления Ln как матричных логик, т.е. на уровне классов тавтологий.
3.3.2.	Степень полноты для Ln (появление простых чисел)
У Тарского [Tarski 1930 а] дается определение степени
(дедуктивной) полноты произвольной логики L. Мы будем пользо-
ваться этим определением в следующей форме.
Определение 3.1. Ординальной степенью полноты множества
аксиом логики L, символически у (L), является наименьшее орди-
нальное число а 0, такое, что не существует возрастающей
последовательности типа а абсолютно непротиворечивых неэкви-
валентных систем аксиом, которые начинаются с L.
Линденбаум доказал, что ординальная степень полноты L3
есть 3 (см. [Lukasiewicz & Tarski 1930, Теорема 21]. Тарский затем
обобщил эту теорему для всех п, таких, что п-1 есть простое число.
Таким образом, если п-1 есть простое число, то добавление любой
формулы, которая не есть теорема Ln, но есть теорема Ъ2, к аксио-
мам Ln, дает Ъ2; и добавление любой формулы, которая не есть
теорема Ъ2, к аксиомам Ln дает противоречивость. Затем в мае
1930 г. «проблема степени полноты была решена для систем Ln с
произвольным натуральным и; это был совместный результат
семинара Лукасевича и Тарского в Варшавском университете» (см.
сноску на с. 142 в [Lukasiewicz & Tarski 1930]). Доказательство не
было опубликовано и было найдено вновь А. Роузом [Rose 1951,
1952, 1969]:
3 Другое доказательство, более простое, см. в [Urquhart 1986, р. 83-84].
63
Теорема 3.1. Для любого п > 2 ординальная степень полноты Ln
есть d(n-l) + 1, где d(x) есть число всех делителей х. включая
х и I.4
Тарский {Tarski 1930 b] вводит также понятие кардиналь-
ной степени полноты логики; оно может быть переформулировано
следующим образом.
Определение 3.2. Кардинальной степенью полноты логики L,
символически /(L), является число логик, содержащих аксиомы
логики L.
Для L3 и для п-1 - простое число, ситуация аналогичная, т е.
—»
у (L) = у (L) = 3 для п-\ - простое число.
—>
Легко видеть, что Y (М Y (L)- В общем случае теорема для
Y (L), т е. для произвольного п, была впервые опубликована
Токажем [Tokarz 1974а] и упрощена в [Tokarz 1977].
Пусть С = <а}, . . ., ап> - произвольная последовательность
натуральных чисел. Через Nc (Д), 1 < г < п, будем обозначать число
всех подпоследовательностей D из С, которые удовлетворяют
следующим условиям:
(1)	а, е D и для любого b е D, а, > Ь,
(2)	если j к и о;, ак е D, то аД1 не является делителем
п*-1.
Для любого п с(п) = <Л1, ..., ак> будет последовательностью,
определяемой следующими условиями.
(i)	а} = п,
(ii)	а}> > ак> 1,
(iii)	для любого i l<i<к, а-1 есть делитель п-1.
Теорема 3.2. Для конечного п, кардинальная степень полноты Ln
есть
ka;ec(n)	)
На самом деле вычисление кардинальной степени полноты
для произвольной Ln возможно только с помощью специальной
4 Более короткое (и намного) доказательство этой теоремы см. в {Tokarz 1977).
64
компьютерной программы, которая и была создана в начале авгу-
ста 2000 г. М.Н.Рыбаковым (кафедра общей и прикладной алгебры
и геометрии Тверского государственного университета). В течение
всего августа программа несколько раз значительно усовершенст-
вовалась, что позволило разработчику программы вычислить
степень кардинальной полноты для первых 12000 Ln. Значения для
п < 2000 приведены в Таблице 1.
Рассмотрение значений кардинальной полноты логик
Лукасевича Ln представляет собой любопытную картину.
Некоторые числа являются весьма «популярными», а некоторых
вообще нет и, видимо, не предвидится. Так, в десяти тысячах рас-
ширений Ln из первых 100 натуральных чисел появляются
следующие числа:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15, 20, 21,
28, 35, 36, 45, 50, 55, 56, 66, 70, 78, 84, 91.
Как видно из таблицы 1, она содержит 35 различных чисел в
первой тысяче расширений Ln, во второй тысяче расширений
появляется всего 11 новых чисел; в третьей тысяче - 6; в четвертой
тысяче - 5; в пятой тысяче - 5; в шестой тысяче - 4; в седьмой
тысяче - 5 (именно здесь появляется число 91); в восьмой тысяче -
4; в девятой тысяче - 1; в десятой тысяче - 2.
Из первых десяти тысяч логик Лукасевича Ln рекордсменом
является L9241: её степень кардинальной полноты 2068224. Инте-
ресно, что появляющиеся «большие» числа, затем неоднократно
повторяются. Только что указанное число является также степенью
кардинальной полноты L10921.
В связи со степенью кардинальной полноты Ln см. ниже
раздел 6.3.1 «Гипотеза о конечности корневых деревьев».
3.3.3. <Д-операторы
Особое место при изучении свойств конечнозначных логик
Лукасевича занимают .^-операторы (функции), введенные
Дж.Россером и А.Тюркеттом [Passer & Turqette 1952]:
1, если х = 1
О, если х Ф 1.
J,W =
3 А. С. Карпенко
65
Ими доказана следующая
Теорема. Ji-функции определимы посредством -> и ~ в 1„ (р. 18-
22).
Это доказательство упрощено во многих работах.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Пусть Н](х) = ~х и Нк+1(х) = х -> Нк(х).
Рассмотрим 7,-функции:
1, если х < 1
7((х) = <
О, если х > 1
I,-функции определяются индукцией по /. Заметим, что /0(х) =
Нк(х). Предположим, /ч определено для q < i и пусть г есть
наибольшее целое число, такое, что Hr(i+1) > 0. Определим р =
Нг(/+1)-1. Тогда р < i и мы можем определить:
4+1(х) = ~4>(Нг(х)).
Следовательно,
>/о(х) = ~/о(х),
/.(х) = (~Л(х))л(~Л-1(х)).
Заметим, что результат этой теоремы следует из критерия
Р.Мак-Нотона (о нем см. ниже, 3.3.6).
На самом деле .^-операторы являются характеристическими
функциями числа i, i=0, ’/n-i, 2/n.i, ... , n'2/n-i, 1, и обобщают некото-
рые свойства отрицания. В дальнейшем ходе исследования J,-
операторы будут не раз использоваться.
3.3.4. Ln и л-значные логики Гёделя Gn
К. Гёдель [Godel 1932] показал, что никакая конечно-
значная матрица не может быть характеристической для пропози-
ционального интуиционистского исчисления Н. В связи с этим им
была построена следующая логическая матрица
= < V, 1, v, л, =>, {1} >, где
66
*lx =
1, если x = О
О, если г * О,
х v у = тах(ху),
х л у = min[xy)
х^> у =
1, если х < у
у, если х> у,
X <=> у = (х => у) Л (у => х).
Трехзначная логика Гёделя есть в точности трехзначная
логика Рейтинга G3. Таким образом, конечнозначная логика Gn
есть обобщение G3.
Логика Gn аксиоматизирована различными способами
[Thomas 1962], [Hosoi 1966], [Хомич 1986]. Причем, в первой и
последней работе аксиоматизация производится за счет добавле-
ния к интуиционистскому пропозициональному исчислению Н
каждый раз только одной импликативной аксиомы.
Нетрудно показать, что операции из Gn выразимы посредст-
вом операций из Ln, т. е. Gn функционально вложима в Ln. Для
этого надо определить ]х и х => у. Это также следует из критерия
Мак-Нотона, однако стоит показать, как это выглядит на самом
деле. Заметим, что 1х есть не что иное, как оператор Россера-
Тюркетта J0(x). В свою очередь Р. Чиньоли [Cignoli 1982, р.10]
показал, что
х => у = Ji(x -> у) v у.
В итоге операции из Gn определяются в Ln. Это позволяет
строить аксиоматизацию Еп на основе интуиционистской импли-
кации, что и было впервые сделано Р.Чиньоли [Cignoli 1982] (см.
раздел 3.5.)
3.3.5.	Функтор Слупецкого для Ln
В [Ao.y.yer & Turqette 1952, р. 23-25] дано также обобщение
результата Е. Слупецкого относительно bf (см. главу 2):
Пусть Т^(х) = для всех xeV. Тогда система функций
л-1
{х—>у, ~х, T^fx)} функционально полна.
л-1
67
3
В свою очередь обобщением этого результата стала теорема
Эванса-Шварца [Evans & Schwartz 1958]:
Пусть Ti(x) = i, где 0 < i < 1. Тогда система функций {х->у,
~х, Т (х)} является функционально полной т.т.т., когда (п-1, i) =
1, т.е. п-1 и i есть взаимно простые числа 5 6.
Этот результат независимо был открыт Р.Клэем [Clay 1962]
как следствие теоремы:
Система функций {х-+у, ~х, Т, (х)} является функционально
полной т.т.т., когда (п-1, г/, ..., i/J = 1, где 0 < i* <1 и 0 < к < п.
Ниже, в пятой главе, будет дано строгое определение понятия
функциональной полноты.
3.3.6.	Критерий Мак-Нотоиа об определимости операций в Ъп
В общем случае на вопрос о том, какие операции (функции)
можно опеределить в Ln, дает ответ критерий определимости
Р.Мак-Нотона [McNaughton 1951], который является следствием
фундаментальной теоремы Мак-Нотона об определимости опера-
ций (функций) в континуальной логике Лукасевича L«, (см. При-
ложение; раздел 1).
Функция f{~y,...,-^1) = -~ц определима в матрице для Ъп
тогда и только тогда, когда НОД (хь ..., xk, п-1) есть делитель х
(НОД - наибольший общий делитель) .
С помощью критерия Мак-Нотона доказывается много важ-
ных теорем относительно н-значных логик Лукасевича, в том
числе теоремы 3.1 и 3.2. в предыдущем разделе. См. об этом
[Токаж 1979].
3.4.	Аксиоматизация Ln
В разделе 2.5 была рассмотрена аксиоматизация трехзначной
логики Лукасевича L3, предложенная М.Вайсбергом. Однако
неясно, как этот способ аксиоматизации может быть распростра-
5 Другое доказательство см. в [Бочвар & Финн 1972, с. 279-280].
6 В работе [Prucnal 1969] имеется другое доказательство этой теоремы.
68
нен на конечнозначные логики Ln. Правда, ему же принадлежит
аксиоматизация Ln для случая, когда и-1 есть простое число (дока-
зательство не опубликовано). Как отмечается в [Lukasiewicz &
Tarski 1930, р. 142], расширение этого результата на произвольное
конечное п принадлежит Линденбауму (доказательство не опубли-
ковано). Позже М.Вайсбергом [Wajsberg 1935] был предложен
общий метод аксиоматизации широкого класса конечнозначных
логик, куда входят также все и-значные логики Лукасевича.
Однако метод, предложенный Вайсбергом, весьма громоздок и
практически мало пригоден.
Две неудачные попытки аксиоматизировать Ln были пред-
приняты Дж.Россером и А.Тюркеттом [Rosser & Turquette 1945,
195 О]7. Наконец ими был разработан метод аксиоматизации,
[Rosser & Turquette 1952], который включает в себя в качестве
исходного условия общезначимость законов транзитивности,
перестановки и утверждения консеквента (см. выше гл. 1). Кроме
этого здесь впервые было указано на обязательное наличие в
аксиоматизируемой логике ^-операторов. Все эти условия выпол-
няют, например, конечнозначные логики Лукасевича Ln (Теорема
3.5.). Этот метод имеет место также для произвольного числа
выделенных значений и распространяется на предикатные много-
значные логики. Однако, как и предыдущий метод, он оказался
весьма общим и громоздким в применении.
Только в начале 70-х годов появились сразу две
аксиоматизации Ln. После того как было дано алгебраическое
доказательство полноты для бесконечнозначной логики Лукасе-
вича Lc (см. Приложение), появилась возможность распростра-
нить этот метод на и-значный случай, что и было сделано
Р.Григолия [Григолия 1973], [Grigolia 1977]. Аксиоматизация Ln,
предложенная Григолия, основана на том, что к четырем аксиомам
для бесконечнозначной логики Лукасевича Lffl добавляются после-
довательно характеристические аксиомы для каждого п. Выглядит
это следующим образом:
1.	р —>(q —> р)
2.	(р —> q) —> ((q —> г) —> (р —> г))
7 Из последней работы следует, что в Ln выводим закон сокращения
(р —► (р —► q)) -> (р -> q),
что не верно ни для какого п > 3.
69
3.	((р -> q) -> q) -> ((q -> р) —> р)
4.	(~p -» ~q) -> (q -> p)
5.	np-» (n-l)p.
Если n>3, то добавляется следующая аксиома:
6.	(и-1) <(~рУ v (р л (М)р))>
где 1 < j < п-1 и j не делит и-1; ир и р' есть сокращения для
р v р v . . . v р (и раз) ирлр л . . . л р (/ раз) соответственно.
Правила вывода: modus ponens и подстановка.
Другой метод аксиоматизации предложен М.Токажем \Tokarz
1974b], который для этого существенно использовал критерий
Р.Мак-Нотона для выразимости операций в Е„. Однако оба метода
(особенно последний) требуют добавления формул слишком боль-
шой длины.
Поэтому особый интерес представляет работа Р.Тузьяка
[Tuziak 1988], где аксиоматизация для Еп проще, чем во всех
предыдущих работах (правда, в другой сигнатуре, чем исходная у
Лукасевича), и, главное, не опирается на такие сильные метатео-
ремы, как алгебраическое доказательство полноты для или
критерий Мак-Нотона для Е„, хотя для доказательства полноты и
используются средства алгебры Линденбаума.
Новая аксиоматизация выглядит следующим образом для
любого п > 2. Используются следующие сокращения: р ->° q = q,
Р ->*+' q = Р -> (Р ~>к q) и р = q = (р -> q) л (q -> р).
1.	(р-> q)-» ((q-» г)-» (р-» г)).
2.	p-»(q-»p).
3.	((р-> q)-» q)-» ((q-» р)-> р).
4.	(р —q) —» (р —y ’q).
5.	р a q —> р.
6.	р a q -> q.
7.	(р —> q) —> ((р ~г) —> (р —> q а г)).
8.	р -> р v q.
9.	q -> р v q.
10.	(р —> г) —> ((q -» г) -»(р v q -> г)).
11.	(~р-» ~q)-> (q р).
70
12.	(p (p -^s'2 ~р)) —>п1р для любого 2 < s < п-1,
такого, что 5 не есть делитель п-1.
Правила вывода: modus ponens и подстановка.
Обратим внимание, что при п = 2 и п = 3 аксиома (12) отсут-
ствует. При п = 2 мы имеем аксиоматизацию классической
пропозициональной логики. Тогда аксиома (4) есть
(Р ~>(Р -> q)) -> (р -> q).
При п = 3 аксиома (4) есть
(р -> (р -> (р -> q))) -> (р -> (р -> q))
Если п = 4, тогда аксиома (12) приобретает вид
(Р - ~Р) -> ((Р = ~Р) -> ((Р = ~р) -> Р))
При этом достаточно рассматривать только простые числа s в
аксиоме (12).
Аксиоматизация предикатной логики Ъп представлена в
[Urquhart 1986].
Имеются различные исчисления с устранением сечения (или
семантические таблицы) для Ъп (см. [Rousseau 1967], [Takahashi
1967], [Carnielli 1987], [Hdhnle 1993], [Baaz, Fermiiller, Zach 1994],
[Gil, Torrens, Verdii 1997], [Aguzzoli, Ciabattoni, Di Nola 1999]).
Обратим внимание, что в [Prijatelj 1996] предложено генценовское
исчисление логик Ъп, в основе которого лежит ограничение струк-
турного правила сокращения Заметим, что одна из версий ограни-
чения закона сокращения появляется уже в аксиоматизации
Григолия, а у Тузьяка аксиома (4) есть в точности ограничение
закона сокращения в гильбертовской форме.
3.5.	Алгебраизация Ln
Первые работы в области алгебраизации Ln принадлежат
Г Мойсилу, который задался целью построить алгебраический
аппарат для и-значных логик Лукасевича, играющий ту же роль,
что и булевы алгебры для классической логики. В [Moisil 1940]
были построены алгебры для L3 и Ь4, а в [Moisil 1941] (см также
[Moisil 1963 а]) эти алгебры были обобщены на и-значный случай.
Полученные алгебры были названы п-значными алгебрами Лука-
севича', они представляют собой алгебру де Моргана (см. выше
71
S,"х = S, ”({/,) =
раздел 1.5), снабженную множеством операторов 3", которые
определяются на множестве V„ следующим образом:
1,	если i + j >п
0,если1 + j<n.
Заметим, что в \Suchon 1974] дается определение операторов
а" в матрице Лукасевича 9И .
Приведем аксиоматизацию класса всех n-значных алгебр
Лукасевича, принадлежащую Л.Итурриоз [Iturrioz 1977]. В этой
работе введено понятие симметрической алгебры Рейтинга
порядка п:
<L, v, л, =>, ~, а"	0, 1> есть п-значная алгебра Лука-
севича (и > 2), если <L, v, л, =>, ~, 0, 1> есть симметрическая
алгебра Рейтинга (см раздел 2.5) и <т", 1 < z < п-1 суть унарные
операторы, которые удовлетворяют следующим условиям:
(L1) <т"(х v у) = а"х v а"у,
л-1
(L2) а”(х => у) = А (ст"х => ст"у),
(L3) а" а"х= а"х, 1 < i, j < n-1,
(L4) а"х v х = х,
(L5) erf ~х = ~<,.х,
(L6) а”х v ~а”х = 1,
л-1
где A xj стоит вместо X; л Xj+i л ... л Хп.ь
/='
Эквациональный класс n-значных алгебр Лукасевича обозна-
чим посредством £п. Приведем пример £П:
£п = <Vn, v, л, ~, =>, 0, 1>, где
х v у = тах(х, у),
х л у = тт(х, у),
~х= 1-х,
72
х => у есть импликация Гёделя (см. выше 3.3.4),
а" х определены выше.
Поскольку
п-1
X => у = у v ~crn_pL v у (ст^Дх л у) Л ~ап_;_х х)8,
;=1
то характеризации и-значных алгебр Лукасевича, данные
Г.Мойсилом и Л.Итурриоз, эквивалентны.
Свойства эквационального класса £п исследовались в [Cignoli
1970], [Balbes & Dwinger 1974], [Iturrioz 1977, 1983] и других
работах
Очевидно, что алгебра £п есть дважды алгебра Рейтинга,
поскольку х <= у = ~(~у => ~х). См. также [Григолия 1987, с.96].
Еще один факт: алгебра £п есть алгебра Клини [Sicoe 1967].
Обратим внимание, что ./-операторы Россера-Тюркетта выра-
зимы в и-значной алгебре Лукасевича. Установим, что ст„х = 1 и
Сто = 0. Тогда
Ш = стп_,(х) л -ст^^х).
Более того,
ст"(х) = v .Г"_Дх), 1 < i < п (см. [Cignoli 1982, р. 5]).
Таким образом, в и-значной алгебре Лукасевича операторы а”
можно заменить на операторы Г".
Теперь сделаем важное замечание. А. Роуз обнаружил, что
для случая п > 5 и-значная алгебра Лукасевича соответствует не п-
значным логикам Лукасевича Еп, а их фрагментам (см. предисло-
вие в [Cignoli 1970]). Это значит, что посредством операций V, л,
~ и (или ст/1) нельзя выразить импликацию Лукасевича х —> у
для случая п > 5. Это же самое открытие сделал А. Тюркетт
[Turqette 1969], правда, совершенно по другому поводу, а именно
8 Это утверждение есть обобщение Г. Мойсилом [Moisil 1965, р. 213] своего
результата о том, что трехзначная алгебра Лукасевича есть алгебра Рейтинга
[Moisil 1963]. Исправленное доказательство приведенного утверждения дано в
диссертации Р. Чиньоли [Cignoli 1970, р. 310]
73
при обобщении трехзначной логики Бочвара-Клини на л-значный
случай.
Отсюда возникает проблема построения адекватной алгебры
для н-значной логики Лукасевича Ln, тогда построенные алгебры
естественно называть алгебрами Лукасевича-Мойсила 9
Подходящие алгебры для Ln были построены Р.Григолия
[Григолия 1973] (см. также [Григолия 1987, гл. 6]) как ограничение
ЛТУ-алгебр, введенных Ч.Ч.Ченом [Chang 1958] и являющихся
алгебраической семантикой для бесконечнозначной логики Лука-
севича Ес (см. Приложение), на конечный случай. В этих же рабо-
тах Р.Григолия доказал, что произвольная конечная £п-алгебра
Лукасевича (не Лукасевича-Мойсила) представима в виде прямого
произведения £т-алгебр, где т < п и /и-1 делит п-1 (£т-алгебра
есть матрица 9ft ).
Однако эти алгебры не основаны непосредственно на реше-
точной структуре.
В [Cignoli & de Gallego 1981] строится пятиэлементная
алгебра для Lj, в основе которой лежит алгебра де Моргана с
дополнительными условиями для новых унарных операторов10, а в
[Cignoli 1980] (см. в особенности [Cignoli 1982]) введена собст-
венно п-значная алгебра Лукасевича.
Пусть Sn = {(i, j) е N х N: 3 < i < п-2, 1 < j' < n-4,j < i], если n
> 5, и Sn = 0, если n < 5; Tn = {(i, j) e N x N: 2 < i < n-2, 1 <j < n-3,
J < /}, если n > 4, и Tn = 0, если n < 4.
Собственно п-значная алгебра Лукасевича есть система
<L, V, л, =^, ~, {<}lfilSn.>, {Fy}(l,J)eSii, о, 1>
такая, что
<L, v, л, =>, ~, {ofjlssn-l, 0, 1>
есть и-значная алгебра Лукасевича-Мойсила £п, и есть бинар-
ные операции, связанные с £п следующими тождествами:
9 По существу ошибка Г.Мойсила привела к новому направлению в теории
алгебраической логики. См. фундаментальную монографию [Boicescu et al.
1991].
10 Трехзначная и четырехзначная алгебры Лукасевича являются частным слу-
чаем этой алгебры.
74
К(^(х,у)) =
О, если к <i- j
J" (x) л J” (у), если к >i- j
1 <k <«-l.
Эквациональный класс всех собственно и-значных алгебр
Лукасевича обозначим посредством Sn. Очевидно, что для 2 < п <
4, Sn = £п, поскольку в этом случае Sn = 0.
Примером Sn является алгебра £„, если к ней добавим
следующие операции:
^;(х.у)=^(й.йг) =
;^,raU(r,5)=(ij)(/j)eS
О, в остальных случаях
Нетрудно вычислить, что число таких операций есть
(и(п-5)+2)/2, поскольку такова мощность множества Sn для п > 5.
Остается показать, что и-значная импликация Лукасевича
х —> у выразима в сигнатуре алгебры Sn:
х —> у = (х => у) v ~х v V Л"(х, у) [Cignoli 1982, р. 8].
Последняя формула опять же говорит о нетривиальности
импликации Лукасевича —
То, что операции /]"(х, у) выразимы посредством исходных
операций и-значной логики Лукасевича ~х и х —> у, следует из
критерия Р.Мак-Нотона, тем не менее:
/;;(Х,У) = (Х^У)А <"(Х)Л Jy"(y).
В этой же работе Р. Чиньоли дает аксиоматизацию пропози-
циональной логики Ln в сигнатуре алгебры Sn, т.е. на основе
интуиционистской импликации =>.
В заключение отметим, что изучению свойств конечнознач-
ных логик Лукасевича Ln посвящен сборник статей [Wojcicki &
Malinowski (eds.) 1977]. Здесь же приведена библиография, состав-
ленная Г.Малиновским (р. 189-199).
4.	ИНТЕРПРЕТАЦИИ Ln
С появлением и развитем многозначных логик вопрос об их
интерпретации стновился все более актуальным. Не случайно два
последних обзора по многозначной логике [Rose 1981] и [Urquhart
1986] заканчиваются именно этой темой; а проблема интерпрета-
ции истинностных значений является центральной и, видимо, слож-
нейшей проблемой для теории многозначных логик. Суть последней
была сформулирована З.Иорданом: «Без интерпретации приписыва-
ния определенного логического значения числу п “истинностных
значений”, любое п-значное исчисление остается абстрактной
структурой» [Jordan 1945, р. 393-394]. Может показаться удиви-
тельным, что несмотря на то исключительное развитие, которое
получили многозначные логики Лукасевича, вопрос об интерпретации
истинностных значений в этих логиках все еще обсуждается в
современной литературе. Вот что пишет по этому поводу Данна
Скотт. «Перед тем как вы примете многозначную логику как
долгожданного брата, попробуйте понять, что могут означать
дробные истинностные значения. И имеют ли они какой-либо
смысл? Каково концептуальное подтверждение “промежуточных
значений”» [Scott 1976, р. 66]. Остается также неясным, отме-
чает Д. Скотт, обоснование логических операций в Ln. Даже сейчас
можно утверждать, что логические свойства импликации Лукасе-
вича остаются совершенно загадочными и только выход за сферу
чисто логического позволяет выявить некоторые свойства
последней.
Несколько неожиданным оказалось то, что в 70-е годы было
предпринято сразу несколько попыток описания многозначных логик
Лукасевича в терминах бивалентных оценок (см. ниже). Закончилось
это описание формальной интерпретацией Ln строго в терминах
классических истинностных значений Т («истина») и F («ложь»), из
которых образуются T-F-последовательности длиной s (булевы
вектора), а затем на булевой алгебре мощностью 2s строятся
классы эквивалент-ности, которые и выступают в качестве истин-
ностных значений для Ln. Так мы приходим к интерпретации Ln,
названной нами «фактор-семантикой». Поэтому настоящую главу
76
можно было бы назвать так: «Конечнозначные логики Лукасевича с
точки зрения классической»1.
4.1.	Тезис Сушко
В 1975 г. Р. Сушко озадачил сторонников и адептов много-
значных логик построением бивалентной семантики для трехзнач-
ной логики Лукасевича L3 [Suszko 1975] и внес сумятицу в умы
многозначников, продолжающуюся по сей день, выдвижением
тезиса о том, что каждая пропозициональная логика является
двузначной [Suszko 1977].
Пусть For обозначает множество формул пропозициональ-
ного языка L, а {0, 1} - множество истинностных значений. Тогда
LV3 есть множество всех функций t : For —> {0, 1} таких, что для
любых а, Р е For справедливы следующие условия:
(0) t(a) = 0 или t(~a) = 0
(1)	t(a—>Р) = 1 всегда, когда t(P) = 1
(2)	если t(a) = 1 и t(P) = 0, то t(a—>Р) = 0
(3)	если t(a) = t(P) и t(~a) = t(~P), то t(a—>Р) - 1
(4)	если t(a) = t(P) = 0 и t(~a) t(~P), то t(a->P) = t(~a)
(5)	если t(~a) = 0, то t(—a) - t(a)
(6)	если t(a) = 1 и t(P) = 0, to t(~(a->P)) = t(~P)
(7)	если t(a) = t(~a) - t(P) и t(~P) = 1, to t(~(a—>P)) = 0.
В итоге мы получили адекватную семантику для трехзначной
логики Лукасевича L3 [Suszko 1975].
При таком подходе элементы трехзначной матрицы Лукасе-
вича 1, 'Л и 0 не рассматриваются как логические значения; они
предстают, по Сушко, как алгебраические значения. Введенная
нами в разделе 3.2 функция оценки v является как раз алгебраиче-
ской оценкой: гомоморфизмами, отображающими алгебру формул
1 Отметим, что 10-я глава монографии Г.Малиновского [Malinowski 1993]
называется «Классическая интерпретация многозначных логик». В качестве
объекта для изучения берутся конечнозначные логики Лукасевича и рассма-
триваются подходы Р.Сушко, Д.Скотта и А.Укрварта. В основном будем
следовать этой линии с целым рядом дополнительных замечаний и экскурсов.
Непонятно, по каким соображениям в этой главе не рассматривается фактор-
семантика для Ъп
77
в алгебру того же типа истинностных значений (в логическую
матрицу). Тогда как, по Сушко, логической оценкой являются
бивалентные оценки, рассмотренные как характеристические
функции множества формул.
Обычно степень сложности описания многозначной логики
увеличивается вместе с числом истинностных значений. Но в
некоторых случаях сложность может быть упрощена применением
дополнительных связок, «идентифицирующих» исходные (матрич-
ные) значения. Так использование J-операторов Россера и
Тюркетта (см. раздел 3.3.3) дает возможность получить единооб-
разное описание логических оценок для конечнозначных логик
Лукасевича Ln [Malinowski 1977].
Тезис Сушко вызвал определенную критику. Например,
Г.Малиновский [Malinowski 1994] сконструировал трехзначную
квази-матричную логику, для которой метод Сушко не может быть
применен. См. также [Czelakowski 1992, р. 14-15], [da Costa,
Beziau, Bueno 1996] и [Tsuji 1998]. Обсуждению дилеммы двузнач-
ности и многозначности посвящена значительная часть работы
[Beziau 1997]2.
На самом деле, как мы увидим в следующей главе, есть прин-
ципиальная разница между классической двузначной логикой и
многозначной (в том числе трехзначной логикой Лукасевича; см.
раздел 5.2.4), выражающаяся в различных мощностях классов
замкнутых функций.
4.2.	Метод Скотта
Д.Скотт [Scott 1973, 1974], заменяя истинностные значения
оценками, пытается придать более очевидную характеристику
конечным многозначным конструкциям. Оценки являются
двухзначными (bivalent) функциями и задают распределение
множества высказываний данного языка по типам, соот-
2 Бивалентный подход к логике, инициированный Сушко, получил название
«семантика оценок», или «логическая семантика». Однако впоследствии
выяснилось, что независимо от Сушко и из совершенно других побуждений в
начале 70-х годов к этому же пришел Н. да Коста (см , например, [Kotas & da
Costa 1980]). А также [Scott 1971], (van Fraassen 1973] и, в особенности,
[Routley & Meyer 1976].
78
ветствующим исходным логическим значениям. Две выше-
упомянутые статьи содержат только набросок общего метода и его
реализацию для n-значных логик Лукасевича.
Пусть For - множество формул данного пропозиционального
языка £ и V={v0, Vi, ..., vn-i} (« 1) - конечное множество оценок:
элементы множества V являются (в этом случае) произвольными
функциями V! : For —> {t, f} с t, обозначающим истину, и f - ложь.
Под типом высказываний языка £ относительно V мы понимаем
произвольное множество Zp вида
Zp = {а е For : v((a) = v,(P), для произвольного i е {О, I,
Можно легко увидеть, что, используя «-элементное множество
оценок, можно ввести максимально 2П типов: так, например, двух-
элементное множество оценок {м’о, m’i] (см. таблицу) определяет
четыре типа: Zb Z2, Z3, Z4. Накладывая ограничения на оценки, мы
сокращаем число типов. Только что рассмотренное множество
оценок будет определять три (самое большее) типа: Zb Z2, Z4, когда
мы потребуем, чтобы м,0(а) < W|(a) для любого aeFor, два типа:
Z2, Z3, если w0(a) Ф w’i(a) для каждого a е For, и Zb Z4, при
УСЛОВИИ, ЧТО Wo= W],
	wo	m’i
Z,	f	F
Z2	f	T
Z3	t	F
Z4	t	T
Такие типы являются аналогами логических значений. В
[Scott 1973] о них говорится как об «индексах». Рассмотренный
выше пример показывает, что данная значность (valency) меньше
2П может быть получена несколькими способами. Какие из этих
редукций должны быть приняты в расчет, зависит от свойств
пропозициональных связок, которые, со своей стороны, являются
операциями над типами, т.е. отображениями последовательностей
типов в множество типов. Правильный выбор ограничивающих
условий ведет к относительно простому описанию рассмат-
риваемых связок.
79
Используя вышеприведенный метод, Скотт получает описа-
ние импликативной системы н-значной логики Лукасевича с
помощью (н-1)-элементного множества оценок
VLn* = {v0, Vi, vn.2}
такого, что для любых z, je{0, 1,	п-2} пае For {For исполь-
зуется для обозначения множества формул языка £ , включающего
связки отрицания ~ и импликации —>):
{топ) Vj(a) = t всегда, когда v,(a) = t и i < j
и, более того, v0(at) f и vn.2(a2) Ф t для некоторых at,a2 е For .
Нижеприведенная таблица показывает, что множество VLn опре-
деляет п типов Z[, Z2, ..., Zn.t высказываний:
	Vo	Vl	V2		Vn-3	Vn-2
Zo	t	t	t		t	t
Z,	f	t	t		t	t
z2	f	f	t		t	t
						
						
						
Zn-2	f	f	f		f	t
Zn-1	f	f	f		f	f
Функция /(Zj) = н-i-l/n-l является одно-однозначным
обратно направленным отображением множества типов в универ-
сум матрицы Лукасевича : Zo соответствует в матрице 1 и Zn.i
соответствует 0 (см. раздел 3.2). Связки отрицания и импликации
определяются следующим образом: Zj -> Zj = Zmax(Oj.i), ~Zj - Zn-,-1.
Соответственно, для любого ij,k е {0, 1, ...., п-2},
(~)	vk(~a) = t, если и только если Vn-k-2(a) - f
(—>)	vk(a -> Р) = t, если и только если vj(P) = t всегда,
когда i+k < j и v,(a) = t.
Простое вычисление показывает, что множество всех формул
языка £ , истинных при произвольной оценке v, е VLn, есть в
80
точности содержание матрицы 9W*, т.е. (~, —>)-редукт матрицы
Лукасевича 2Я.
) = {а е For*: v,(a) = t, для ie{0, 1,	п-2}}.
Одновременно, однако, отношение следования t=n* с 2For* х For*-.
X t=n а, если и только если v-,(a) = t всегда, когда v,(X) c{t}
для произвольного VjeVLn*
не совпадает с t=n (следование Лукасевича, редуцированное для
языка £ ). Для подтверждения этого достаточно проверить, что
{а—>р, а}#=п* Р всегда, когда {a—>р, a}t=np. t=n* называется услов-
ным суждением. Из этого должно быть понятно, можно ли расши-
рить это (отношение) на весь язык £ и как это можно сделать.
Д. Скотт предлагает, чтобы равенства формы «Vi(a) = t», для
ze{0,	п-2}, читались как «(утверждение) а истинно в степени
г». Следовательно, он предполагает, что числа в ряду 0 < i< п-2
символизируют степени заблуждения в отклонении от истины
{degrees of error in deviation from the truth). Степень 0 - самая
сильная и соответствует «совершенной» истине или отсутствию
заблуждения: все тавтологии логики Лукасевича являются
схемами утверждений, имеющих в качестве своей степени заблуж-
дения 0. Кроме того, импликация Лукасевича может быть удобно
истолкована в этих терминах: предположив i+j < п-2, мы полу-
чаем, что
Vi(a —> р) = t и Vj(a) = t дает vi+j(p) = t.
Так, используя высказывания a —> р, можно выразить вели-
чину различия {shift) между степенями заблуждения посылки и
заключения, которая является мерой заблуждения всей имплика-
ции. Для подтверждения этого Д. Скотт приводит пример из
евклидовой геометрии.
К вопросу об интерпретации импликации Лукасевича ->
Д.Скотт возвращается в работе [Scott 1976] в разделе «Логика
заблуждений» (A logic of errors). Здесь Скотт делает интересное
замечание о том, что многоместное (multiple) отношение
следования
Л о, А\ " Ап-1 ь Bq, В\ Bm-i
81
имеет простую интерпретацию в терминах степени заблуждения i:
всегда, когда i > At для всех t <п, тогда i > Ви
для некоторых и <т.
Остается добавить, что логика заблуждений Скотта была
подвергнута критике Дж.Смайли [Smiley 1976]. Например, указы-
вается, что в подобных терминах нельзя проинтерпретировать
операцию отрицания ~.
4.3.	Интерпретация Уркварта
А.Уркварт [Urquhart 1973] предлагает семантику крипков-
ского типа
%П = <Sn, <, Н>
для некоторых конечнозначных логик, в том числе и для логик
Лукасевича Ъп. Он рассматривает отношение Н между натураль-
ными числами из множества Sn={0, 1, ...., п-2} и формулами: Нс
Sn х For. Имеет место следующая
Лемма. Если х Н а и х<у с Sn, то у Н а.
Роль оценок в %п выполняется отображением F: Var —> 2Sn,
таким, что отношение HF, х HFр, т.т.т., когда х е F(p), удовлетво-
ряет лемме Отношение HF расширяется на множество всех
формул, соответствующих условиям, зависимым от связок. Тогда
формула а является х-истинной в 2Сп, х На, если х HF а для произ-
вольного F такого, как рассмотрено выше. Формула а является
истинной, т.т.т., когда она истинна в точке 0, т.е. выполнено, что О
На. 7СП является семантикой системы, определенной данной
матрицей ЭИп, когда множество всех %п-истинных формул равно
содержанию ЭИп, т.е. когда
E(9Wn)={a с For : 0 На}.
Для n-значных логик Лукасевича Н должно удовлетворять
следующим условиям:
х Ha —> р, т.т.т., когда у Н а дает х+у Н Р всегда,
когда х+у 6 Sn
82
x I—а	т.т.т., когда (л?-2)-х l/-a
x Ha v p т.т.т., когдах Ha или x l-p
x Ha л P т.т.т., когдах Ha и x l-p
x Ha = p т.т.т., когдах Ha -> p и x HP -> a.
Заметим, что «перевод» оценок Скотта из VL* для случая Н
можно осуществить в соответствии с эквивалентностью:
/ На т.т.т., когда ч(а) = t.
На независимость своей интерпретации от семантики
Уркварта Скотт специально обращает внимание в сноске 3 [Scott
1976, р. 73].
Вместо приведения доказательства эквивалентности между
этой модельной теорией и матрицами Лукасевича посмотрим,
каким образом Уркварт пытается установить связь между
формальной семантикой и интуитивными соображениями.
Элементы Sn рассматриваются как моменты времени, где п -
последний элемент в Sn - зафиксирован в качестве некоторой
будущей даты, а 0 интерпретирован как настоящий момент. Таким
образом, «х I—f а» читается как «а доказуемо в момент х». Выска-
зывание может быть доказуемым или не доказуемым в данный
момент. Например, высказывание о будущем событии может быть
доказуемым или не доказуемым сейчас Однако, если а доказуемо
сейчас, то оно доказуемо и во все последующие моменты. Это
означает, что мы думаем о высказываниях не как о неопределен-
ных по времени (temporally indefinite) (например, «Сейчас
Линкольн является президентом»), а как об определенных по
времени (temporally definite) (например, «Линкольн является
президентом в 1971 году н.э.»). До сих пор наше неформальное
объяснение, считает Уркварт, находится в соответствии с фило-
софской мотивировкой, данной в [Lukasiewicz 1930].
При описанной выше интерпретации импликация Лукасе-
вича а —> р доказуема в х, если и только если всегда, когда а дока-
зуема в момент у, р доказуема в момент х+у (т.е. в момент на х
моментов отстоящий в будущее от у). Формула ~а доказуема в
момент х, если и только если а не доказуема в момент, который на
х моментов предшествует последнему моменту в нашем временном
ряду. Таким образом, обе связки Лукасевича - «импликация» и
83
«отрицание» - проявляют значительные отличия от обычных
операторов импликации и отрицания.
Уркварт говорит, что такой способ понимания выявляет
источники трудностей в достижении полностью интуитивной
интерпретации многозначных логик Лукасевича, и он утверждает,
что «естественные» связки импликации и отрицания скорее
должны удовлетворять следующим стандартным условиям.
х На -> р т.т.т., когда для некоторого у е Sn (у Нр всегда,
когда х < у и у На),
х Н~а т.т.т., когда у На не верно для любого у е Sn.
Обратим внимание на рецензию Д.Райна [Rine 1974], в кото-
рой содержательная интерпретация для Ln была подвергнута
критике. Райн отмечает, что смысл леммы не всегда согласуется с
синтаксисом естественного языка. Рассмотрим следующее утвер-
ждение а: «Джон играет в теннис» («John plays tennis»); и пусть {О,
..., п} обозначает временное пространство с того времени, когда
Джон впервые играет в теннис (0), и до того времени, когда он
последний раз играет в теннис (и). Тогда, продолжает Райн, ие
ясно, почему не могут существовать х, у, где х < у, такие, что а
имеет место во всех {0, ..., п-х} и {п-у, ..., и}, но не между п-х и
п-у.
В итоге мы приходим к тому, что любая содержательная
интерпретация истинностных значений в L„ сталкивается с серь-
езными трудностями. И еще большие трудности возникают, когда
это содержание мы пытаемся перенести на интерпретацию логиче-
ских связок Ln. Все дело в том, и на это указывает А.Уркварт
[Urquhart 1986, р.106], что логика неопределенностей, логика
вероятностей и логика заблуждений не являются истинностно-
функциональными логиками, и поэтому подобная интерпретация
Ln не является адекватной. Напомним, что уже А.Прайор [Prior
1957], интерпретируя Ъ3 как логику случайности (т.е. третье
истинностное значение интерпретируется как случайность),
приходит к выводу, что при подобной интерпретации конъюнкция
в L3 не может быть истинностно-функциональной (см. выше
раздел 2.7.). Итак, основная трудность содержательной интерпре-
тации многозначных логик состоит в том, что вкладывая содержа-
ние (смысл) в определенное множество истинностных значений,
84
мы затем пытаемся совместить этот смысл с истинностно-
функциональным свойством многозначных логик. Это свойство
заключается в том (как и для классической логики), что
приписывание истинностного значения сложному высказыванию
есть функция от значений элементарных высказываний, входящих
в него. Что же касается непосредственно самой Ln, то оказалось,
что она имеет сугубо теоретико-числовую природу и связана со
свойствами простых чисел (см. следующие главы).
Тем не менее есть выход из создавшегося положения,
состоящий в том, чтобы истинностные значения многозначных
логик, которыми обычно являются различные множества чисел:
дробные числа, натуральные, целые, и т. д., - проинтерпретиро-
вать в терминах исходного классического множества истинност-
ных значений Т (истина) и F (ложь). По существу впервые такая
интерпретация была предложена Постом [Роя/ 1921] для его
логики Рп, где и-значные высказывания интерпретируются в
терминах классических высказываний. А уже непосредственно в
терминах T-F-последовательностей интерпретация для многознач-
ной логики Лукасевича Ln была предложена М.Бёрдом [Byrd
1979].
4.4.	Фактор-семантика
Вначале введем следующие понятия. Пусть В = {Т, F}, т. е. В
есть множество классических истинностных значений. Посредст-
вом Bs обозначим прямое произведение s раз одинаковых мно-
жеств, равных В:
Bs=BxBx ... хВ (s сомножителей).
Тогда при s>2 Bs есть множество всех T-F-последовательно-
стей (булевых векторов) длины s, которое записывается так:
Bs= {<аь ..., as>| а;бВ}, 1 < i < s.
Поскольку В есть двухэлементное множество, то число эле-
ментов множества Bs равно 2s. Элементы множества Bs обозначим
посредством а, р, у с индексами или без них. Алгебра
Яв=<В5,	V+,A+>
85
есть булева алгебра, где операции —1+, z>+, v+, л+ определяются на
множестве Bs посредством булевых (т. е. классических) операций
-I, zd, v, л следующим образом: для любых T-F-последовтель-
ностей а = <аь ..., а> и 0 = <bi, ..., bs>
-/а = <—>ai,	-ia>,
а zd+ 0 = <ai о bi>, <as о bs>,
a v+0 = <ai v bi>, ..., <asV bs>,
a a+ 0 = <ai л bi>, ..<as л bs>.
Поскольку компоненты a, и bt последовательностей а и 0
принимают классические истинностные значения Т и F (или 1 и
0), то указанные операции над компонентами - это просто логи-
ческие операции над двоичными переменными. Тогда сами опе-
рации -i+,	v+, л+ естественно называть покомпонентными
(булевыми) операциями.
Рассмотрим интерпретацию Ln, предложенную М.Бёрдом
[Byrd 1979]. Им вводится одноместный оператор d(a), который
преобразует T-F-последовательности из Bs таким образом, что все
вхождения Т стоят в начале последовательности:
d(a) = <T,T, ..., T,F,F, ..., F >.
Множество всех таких T-F-последовательностей обозначим
посредством В?. Элементы из В? будем обозначать посредством
ат, 0Т, ... .
Рассмотрим логическую матрицу
anf+i = <в^, d, -^d, {Ts}>,
где операции d, -id и ->d определяются следующим образом:
1.	d(a) - aT
2.	^d(aT) = d(-i+(aT).
3.	aT->d0T = d(aT z/ 0T).
Имеет место следующая
86
Теорема 1. Матрицы = <Vn, {1 }> и ЯИ^., = <2?^, d, ->d,
—>d, jts}> изоморфны, где есть матрица для п-значной
логики Лукасевича.
Таким образом, имеется интерпретация истинностных значе-
ний, будь то натуральные числа или дробные, в терминах клас-
сических истинностных значений Т и F. Например, истинностное
значение 0 интерпретируется T-F-последовательностью, в которой
все вхождения есть F; '/3 - последовательностью <Т, F, F>, т. е.
числитель указывает на число вхождений Т, а знаменатель есть
длина последовательности, обозначенная числом 5 (= п-1).
Обратим внимание, что результат Теоремы 1 имеет также
место, если множество истинностных значений В? заменим на
множество Вр, т. е. оператор d перерабатывает каждую T-F-после-
довательность в такую, что все вхождения F стоят в начале3.
Тогда истинностное значение 73 интерпретируется T-F-последова-
тельностью <F, F, Т>. Поэтому имеет смысл обобщить подобную
интерпретацию так, чтобы она строилась независимо от выбора
множества T-F-последовательностей в качестве истинностных
значений. Такую интерпретацию мы назвали фактор-семантикой
[Karpenko 1983]4, и строится она следующим образом
С булевой алгеброй
Яв=<В8, -V, ^+, V+, А+>
ассоциируем логическую матрицу
2ТЦ = < Bs, =э+, v+, л+, {Ts} >.
Последняя есть не что иное, как прямое произведение клас-
сической двузначной матрицы
ЭИС2 = < {Т, F}, зэ, v, л, {Т} >
s раз на саму себя.
3 Заметим, что крипковскую семантику А. Уркварта [Urquhart 1973] для L„
можно представить именно в таком виде.
4 Заметим, что фактор-семантика была разработана независимо от работы
М.Берда(см [Karpenko 1979]).
87
Для любого а е Bs обозначим через г)(а) число компонент
элемента а, которые равны Т. Тогда а = 0, если г|(а) = rj(P) и Bs/=
есть фактор-множество множества Bs по отношению эквивалент-
ности =. Очевидно, что мощность множества Bs/= равна s+1. Если
а е Bs, тогда |а| будет обозначать класс эквивалентности, опреде-
ленный по а. Фактор-множество Bs/= снабдим операциями -Л и
—следующим образом: для |а|, |0| е Bs/s пусть —Л|а| = |-п+а| и |а|
—|р| = |а' г>+ Р'|, где а' е |а|, Р' е |Р| и а' Rf р', причем отношение
Rf определяется так: <ai, .., а^> RL <bb bs> т.т.т., когда
1) Vi<s (а-,=Т => bi=T), если т)(а) < т|(Р)>
2) Vi<s (bj=T => а,=Т), если г|(а) > т](р).
Заметим, что отношение Rf является отношением толерантно-
сти, т.е. оно рефлексивно и симметрично, но в общем случае не
транзитивно. В этом обнаруживается еще один неожиданный
аспект импликации Лукасевича.
Таким образом, после операции «факторизации» и определе-
ния логических операций на полученных классах эквивалентности
матрица
9Л" = < Bs, о, v+, л+, {Т5} >
преобразуется в матрицу
9lf+1 = < Bs/=, -,L, ->L, {|TS| >
(операции дизъюнкции и конъюнкции как выразимые через
исходные здесь опустим).
Теорема 2. Матрицы ЯП* и 9lf+1 изоморфны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Требуемый изоморфизм достигается посред-
ством отображения ф такого, что для ]а| е Bs/=
₽(М =
Очевидно, что ф есть взаимнооднозначное соответствие.
Покажем, что изоморфизм имеет место, т.е.
(*)	Ф(-^ |а|) = ~ф(|а|),
(**	) ф(|а| ->L (Р|) = ф(|а|) -> ф(|р|).
88
Следующая последовательность равенств является доказа-
тельством (*).
₽Ь‘|а|) =	= 1 - ^1) .рфф.
Для доказательства (**) возьмем а' е |а| и р1 е |Р| такие, что
а' R р'.
(1) т|(а) < т|(Р). Тогда очвидно, что правая часть (**) равна
1. Далее, |а| ->L |р| = |а' z>+ Р'| = |TS|. Следовательно, левая часть
(**) равна <p(|Ts|) = 1, что и требовалось доказать
(2) т|(а) > т|(Р). Тогда правая часть (**) в силу определения
Ф и -> равна -	Но согласно определению ->L и зэ+
число вхождений Т в a' d+ Р' равно r|(P) + (s - т|(а)). Следова-
тельно, левая часть (**) также равна	+ Теорема
доказана
Таким образом, логическая матрица
Я?*! = < Bs/=, -Л ->L, {jTsl >
является характеристической для н-значного исчисления логики
Лукасевича Ln (см. аксиоматизацию в разделе 3.4).
Главный смысл фактор-семантики заключается в том, что
теперь в качестве истинностных значений выступают определен-
ные подмножества s-членных T-F-последовательностей из множе-
ства Bs. Например, истинностное значение '/3 интерпретируется
множеством {<Т, F, F>, <F, Т, F>, <F, F, T>}.
В общем случае мощность множества |а| е Bs/= вычисляется
по формуле для биноминальных коэффициентов
В нашем случае к = т](а) и т = 5. Тогда, например, мощность
множества |<х|, состоящего из T-F-последовательностей длиной
5 = 5, в каждую из которых число вхождений Т есть г|(а) = 3,
равно 10.
Границы применения фактор-семантики обсуждаются в
[Карпенко 1997, с. 132]. Некоторое развитие идей фактор-
семантики см. в [Карпенко 1989].
5. ЛОГИКА КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ
СИСТЕМА
Существуют два основных способа изучения логических
систем: внешний и внутренний. К первому относится представле-
ние логики в виде класса аксиоматизируемых тавтологий или в виде
класса аксиоматизируемых тождеств (многообразий). Последнее
относится к алгебраической семантике логических исчислений.
Однако, как и все другие семантики, рассмотренные в предыдущей
главе, этот способ не позволяет заглянуть в истинную сущность
логики. Это можно сделать только представив логику в виде
функциональной системы, что мы и назвали внутренним способом.
Есть исходное множество логических функций и определенная на
этом множестве одна-единственная операция — суперпозиция. Так
мы приходим к пониманию логики как алгебры функций. Именно на
этом пути в 1970 г. В.К.Финн обнаружил, что конечнозначные
логики Лукасевича L„+I по своим внутренним свойствам являются
функционально предполными т.т.т., когда п есть простое число.
Развитию этого результата посвящаются дальнейшие главы книги.
5.1. Логики Поста
Многозначная логика строилась Постом [Post 1921] как
обобщение двузначной классической логики, развитой А.Уайт-
хедом и Б.Расселом в «Principia Mathematica», где исходными
логическими связками служат отрицание и дизъюнкция. В логике
Поста, которую будем обозначать Рп, исходными связками также
являются отрицание -> и дизъюнкция V, и каждая пропозицио-
нальная переменная может принимать одно из п различных значе-
ний истинности: tb t2, ..., tn, где п - натуральное число; ti интерпре-
тируется как «истина», t„ - как «ложь». Однако мы предпочтем
стандартное определение л-значной матрицы Поста , которая
задается следующим образом:
= <Vn, -1, v, {«-1} >, где
Vn есть множество {0, 1, 2, ..., л-1},
{л-1} - множество выделенных значений.
Матричные операции определяются так:
90
X	-1Х
0	1
1	2
п-2	п-1
п-1	0
Отрицание Поста ->х называется циклическим отрицанием:
-1Х = х + l(mod п),
х v у = тах(х, у).
Рассмотрим конкретный пример n-значной логики Поста, а
именно Р3, где истинностные значения для удобства обозначим,
как в трехзначной логике Лукасевича Е3; и пусть выделенным зна-
чением будет 1 Тогда xvy имеет истинностную таблицу точно
такую же, как xvy в Е3, но существенное отличие заключается в
операции отрицания:
X	-1Х
1 72 0	'/2 0 1
X	-.-.X
1 % 0	0 1 72
Заметим, что в отличие от Е3 и G3 в Р3 (как и во всех Рп) есть
операция (в данном случае циклическое отрицание -i), которая на
множестве классических истинностных значений {0, 1} принимает
отличное от них значение, например, -Л = '/2. Поэтому можно
указать формулу, которая является тавтологией в Р3, но не явля-
ется тавтологией классической логики С2:
-i-i-i(x V (-1Х V -1-пХ)).
Отметим также, что не всякая тавтология С2 с исходными
связками отрицания и дизъюнкции является тавтологией Р3,
например в Р3, как и в Е3, не имеет места закон исключенного
91
третьего х v -пх, но зато имеет место закон исключенного
четвертого:
X V -1Х V —i—,Х.
И вообще, в Рп имеет место закон исключенного (л+1)-го.
Самое главное свойство многозначной логики Поста Рп
заключается в том, что она функционально полна, т. е. любая
операция многозначной логики в ней определима. С функцио-
нально полными логиками мы уже встречались: это и-значные
логики Лукасевича Ln с различными обобщениями функтора
Слупецкого Т(х) (см. раздел 3 3 5). Как частный случай, имеем:
Ь[=Р3
5.1.1. Функциональная полнота Рп
Сначала покажем, как в матрице определяются наиболее
важные операции, а именно константы из Vn, унарные операции
J,(x) и ~х, и бинарная операция х л у 1.
Заметим, что последовательное применение операции -i
дает
X + 1 = -1Х,
х + 2 = -i2x,
х + 3 = -п3х,
х + (п-1) = (х + (п-2)) +1 = -Л’х,
и в итоге
-.° = х = -,пх.
Следовательно,
п-1 = ишх(х, х+1, ..., х+и-1)
и
k = -ik+’(n-l) для к = 0, 1, 2, ..., и-1.
Далее, пусть
J,(K) = -n( д {х + 1}).
Если х = i, тогда J,(x) = и-1
1 См. [Яблонский 1986, с 48-50], [Bole & Borowik 1992, р. 59-60]. Будем
придерживаться последней работы.
92
Л(х) = *
Если х * i, тогда
J.(x) = -> л {х + /} + 1 = (х + (и-1)-х) + 1 = 0.
ten-l-i
Следовательно,
n -1, если x = i
О, если х Ф i.
Наконец, определим функции jsi:
Js,i(x) = —iS + (Ji(x) V п-1-s).
Предположим, f: Vn —> Vn есть любая функция. Тогда
•/(х> = ,УоЛг(оЛх>-
В частности,
~х= У/п-1-и(х)-
Следовательно,
X Л у = ~(~Х V ~у).
Теперь покажем, что множество связок п-значной логики
Поста Рп является функционально полным.
Известно, что в п-значной логике есть аналог совершенной
дизъюнктивной нормальной формы (с д н. ф):
f(x,, ..., xm)= V J (х,)л . . . Л (xm) Af(CTb ..., Стп1),
1
где дизъюнкция берется по всем возможным наборам сть ..., стт
значений переменных Xi, ..., хт. Это значит, что формулу п-
значной логики над множеством элементарных операций {0, 1, ...,
п-1, Л(х), ..., J„(x), х v у, х л у} можно преобразовать в с.д.н.ф.
Доказательство полностью аналогично доказательству для случая
п = 2. Выше мы показали, что указанное множество операций
выразимо посредством ->х и х v у. Отсюда следует функциональ-
ная полнота логики Поста Рп 2.
2 Два других доказательства функциональной полноты Ри см. в [Barton 1979].
93
5.2. Оператор замыкания, полнота и предполнота
классов функций
Многие специалисты, связанные с вычислительной техникой,
инженеры, прикладные математики и физики представляют
модели многозначной логики в виде функциональной системы
[Кудрявцев 1981], обозначаемой (Р„, С), где есть множество
всех функций и-значной логики Поста (или множество всех
функций счетнозначной логики Рш) с заданной на нем операцией
суперпозиции С. Функция, полученная из функций fb ..., fk
подстановкой их друг в друга и/или переименованием аргументов,
называется суперпозицией/, ...,jk [Яблонский 1959, с. 57].
Пусть F с Р„. Множество всех формул над F (определение
формулы над F задается индуктивно) обозначим через <F>. Каж-
дой формуле над F сопоставляется некоторая функция из Р„, кото-
рую по определению реализует эта формула. Множество всех
формул <F> приводит к множеству [F] функций, реализуемых
формулами из <F>, и называется суперпозициями над F Множе-
ство [У7] называется замыканием класса функций F, если оно
содержит все суперпозиции функций над классом F и не содержит
никаких других функций. Таким образом, функциональная замк-
нутость множества F означает, что всякая функция, представимая
через функции из F, также принадлежит F.
Оператор замыкания [ ]3 удовлетворяет следующим условиям:
(i)	Fc[P],
(ii)	[[Л] = [F],
(iii)	Fi g F2 влечет [F] c [F2],
(iv)	Множество функций замкнуто, если F= [F],
Примеры
1.	Класс F = P„, очевидно, является замкнутым классом.
2.	Класс функций от одной переменной, очевидно, является
замкнутым классом.
’ Оператор замыкания [ ] и соответствующие понятия полноты и предполноты
(см. ниже) введены А. В. Кузнецовым (см. [Яновская 1958, с 107])
94
3.	Класс функций от двух переменных не есть замкнутый
класс, поскольку суперпозицией дизъюнкции xvy является функ-
ция от трех переменных xvyvz.
Можно сказать, что замкнутость класса функций F обозначает
собою сохранение при суперпозиции «наследственных» свойств
этих функций. Пример (3) как раз показывает, что свойство быть
функцией от двух переменных при суперпозиции не сохраняется.
Теперь дадим другое, качественно отличающееся от преды-
дущего понимания, определение многозначной логики: п-значной
логикой, порожденной множеством F, называется тройка (F,
<F>, [/*]) Однако в ряде задач в этой тройке изучаются только
соответствия между F и [F], а множество <F> выступает лишь как
средство, определяющее оператор [ ]. Тем самым фактически пере-
ходят к изучению оператора замыкания, а сама функциональная
система (Рп, С), частным случаем которой является классическая
логика (С2, С), зачастую отождествляется с многозначной логикой,
т. е. (Рп, С) выступает в качестве модели многозначной логики. Эта
модель, в отличие от рассмотренных выше алгебр истинностных
значений, является алгеброй функций. Именно такой подход к изу-
чению логик Лукасевича Ln станет для нас главенствующим.
Труднейшей проблемой при изучении функциональных сис-
тем является проблема конструирования новых функций из дан-
ного множества функций. Проблема эта возникает и в пропози-
циональном исчислении, представленном формульной моделью, и
в синтезе автоматов, и в универсальной алгебре; но именно в
логике, представленной в виде функциональной системы, этой
проблеме уделяется специальное внимание4. Н.Р.Емельянов
[Емельянов 1985] показал, что в n-значной логике для любого
фиксированного п>2 задача о выразимости функции посредством
операции суперпозиции через функции определенной системы
является NP трудной задачей, т е. для её решения не существует
полиномиальных алгоритмов. В дальнейшем мы напрямую столк-
немся с этой проблемой, а именно с необходимостью выражения
нужной функции. В результате будут появляться формулы (супер-
позиции), содержащие тысячи и даже миллиарды вхождений
исходных связок.
4 См. обзор И. Розенберга [Rosenberg 1977] (библиография насчитывает 464
названия), а также сборник работ [Csikary & Rosenberg (eds.) 1981].
95
Важнейшим свойством функциональной системы является
свойство функциональной полноты, необходимое, например, в
случае реализации любой переключательной схемы. В первую
очередь этим объясняется наличие огромной литературы по алгеб-
рам Поста5. Система функций F- {f,	...} из Рп называется
функционально полной, если любая функция из Рп представима
посредством суперпозиций функций из системы F. В связи с этим
указанную выше проблему можно сформулировать так: является
ли некоторое множество F функционально полным?
Примеры:
1.	Система F = Рп полна. Очевидно, что множество всех
функций из Рп представляет полную систему.
2.	Система Россера и Тюркетта F = {0, 1, ..., п-1, J0(x),
Jn-i(х), х v у, х л у} является полной в Р„ (см. раздел 4).
3.	Система Поста F- {->х, х v у) полна в Р„. Для доказа-
тельства нужно посредством суперпозиций функций ->х и х v у
выразить все функции системы Россера и Тюркетта (см. раздел 4).
Обычно доказательство полноты конкретных систем в Р„ про-
изводится с помощью метода сведения к заведомо полным систе-
мам. Существует, кроме того, ряд признаков полноты, в которых
рассматриваются множества функций, содержащих некоторые
совокупности функций от одной переменной и еще только одну
функцию, существенно зависящую не менее чем от двух перемен-
ных. Функция f&Pn называется существенной, если она зависит не
менее чем от двух переменных и принимает все п значений из
множества Vn. Специально об этом см. [Яблонский 1986, с. 56-65].
В терминах замыкания можно дать другое определение
полноты, эквивалентное исходному. Система G функций из замк-
нутого класса F полна в F (порождает F), если [G] = F. Система
функций F полна в Р„, если [F] = Рп.
Понятие замкнутого класса может быть применено к решению
вопросов об обосновании неполноты некоторых систем. Например,
рассмотрим систему F= {~х, х v у}. Из определения операций ~х
и х v у следует, что обе функции принадлежат к классу функций,
сохраняющих множество истинностных значений {0, и-1}, т.е. для
любого набора о, состоящего из 0 и п-1, значение функции f(o)
5 См. хронологический обзор Ф.Двингера [Dwinger 1977].
96
является 0 или п-l. Очевидно, что F = [~х, xvy] является приме-
ром еще одного замкнутого класса. В силу сохранения множества
{О, п-\} замкнутый класс [~х, х v у] не содержит, например,
константу 1. Значит, при п > 3 F не будет полной системой. На
этом примере видно, что хотя система {~х, х v у} и является
обобщением системы {->х, xvy} булевых функций, она не явля-
ется полной. Заметим также, что система функций {~х, х —> у}
тоже принадлежит к классу функций, сохраняющих {0, м-1}. В
силу этого м-значная логика Лукасевича Ln не является функцио-
нально полной при п > 3.
В общем случае распознавание того, является ли произволь-
ная система функций F полной или нет, является сожнейшей
технической проблемой для м-значных логик. Выделяются два
подхода к решению задачи о полноте. В первом случае ставится
вопрос о существовании алгоритма, устанавливающего полноту
или неполноту системы функций; во втором - рассматривается
совокупность всех предполных классов функций в Р„. Система F
функций называется предполной в Р„, если F представляет не
полную систему, но добавление к F любой функции f, такой, что f
е Р„н/1 F, преобразует F в полную систему. Или, в терминах
замыкания: Т^предполна в Р„, если [F] Ф Р„ и [fu {/}] = Р„, где f е
Рп и fё F. Важная роль предполных классов функций видна из
следующей теоремы, которая формулирует критерий функцио-
нальной полноты: система функций F п-значной логики полна
тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном
6
предполном классе .
Известно, что в булевой алгебре функций, т.е. в С2, сущест-
вует только 5 предполных классов. Проблема полноты для Р3 была
решена С. В. Яблонским [Яблонский 1954], где полностью описы-
ваются все 18 предполных в Р3 классов. В [Яблонский 1958] полу-
чено также описание нескольких серий предполных классов в
случае п > 4. Этот список расширялся рядом авторов, пока
И.Розенбергом [Rosenberg 1965] было анонсировано, а в
[Rosenberg 1970] дано описание всех предполных классов в п-
значной логике. Как установлено в [Захарова, Кудрявцев,
Яблонский 1969], количество предполных в Рп классов с ростом п
6 Первое доказательство такого критерия полноты для Рп принадлежит
А.В.Кузнецову [Кузнецов 1956].
4 А. С. Карпенко
97
растет сверхэкспоненциально. Хотя число предполных классов
п(п) конечно для любого п, однако очень быстрый их рост указы-
вает на малую практическую эффективность предполных классов
для решения проблемы полноты, что видно из следующей таблицы
[Rosenberg 1973]:
«23456	7	8
тг(л) 5 18	82 643 15 182	7 848 984 >510”
5.2.1. Максимальная л-значная непостовская логика
Особый интерес представляет следующий класс функций.
Пусть Тп обозначает множество всех функций из Рп, которые
сохраняют 0 и л-1, т. е.Дхь ..., хт) е Тп т.т.т., когда Дх], ..., хт) е
{О, н-1}, где Xi е {0, л-1}, 1 < / < т. Из теоремы Яблонского о
функционально предполных классах функций в л-значной логике
[Яблонский 1958] следует, что данный класс функций Тп является
предполным.
Примером предполной в Р3 логики является трехзначная
логика Лукасевича Ln. Последнее следует из работы В. К. Финна
[Финн 1969] о критерии функциональной полноты L3, где пока-
зано, что Аз = Гз.7
Рассмотрим матричное определение логики Тп, соответст-
вующей множеству функций 7„,8 которую В.К.Финн [Finn 1975]
называет «максимальной л-значной непостовской логикой» 9:
= <Vn, ~х, хлу, Jo(x), ..., Jn-i(x), N](x), ..., Nn.2(x), {n-l}>,
где
7 Этот результат относительно L3 был переоткрыт в [Herzberger 1977] и [Hendry
1980]. Заметим, что уже В. И. Шестаковым [Шестаков 1967] было высказано
аналогичное утверждение.
8 Обратим внимание, что полужирным шрифтом у нас обозначаются логические
ситемы, а курсивом - множество всех суперпозиций, полученных из исходных
функций этой системы. Например, множество всех суперпозиций, полученных
из исходных функций ~ и -> логики Лукасевича L«, будем обозначать
посредством L„.
9 Определение класса непостовскик логик см. также в [Бочвар & Финн 1976,
с 266] Это такие логики, в которых операции сохраняют истинностные
значения 0 и и-1.
98
~х, х л у и J,(x) - функции, определенные выше,
песлих е 2}
N,(x) = s	(1</<и-2).
х, если х е {0, п -1}
Сигнатуру матрицы ЭЛ? можно значительно упростить.
Пусть
= < Vn, ~х, х ->т* у, {и-1}, где
1) если п = 3, то х —>т*у = х —>у;
2) если п > 3, то
(п-2, еслих = у и х.у е 2}
X -> у = {
[х -у у, в остальных случаях.
Множество всех функций матрицы ЭЛ? обозначим посред-
♦
ством Тп.
Теорема. Тп = Тпдля любого и > 3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
I- Лс Тп
♦
Сначала определим в Тп импликацию Лукасевича х —> у:
х -> У = ~((у ~>Т’ х) ->т‘ ~(у V х)) V* (х ->т’ у).
Легко показать, что
х ->у - ~((У ~>х) ->~(у ->х)) —>(х ->у).
Поскольку х —>т* у отличается от х —> у только для случая,
когда х = у и х, у е {1, ..., и-2}, то остается проверить этот случай.
Тогда имеем
х -> у = ~((и-2) V* ((и-1 )-(и-2))) V’ (п-2) =
= ~((и-2) V* 1) V* (и-2) = ((и-1)-2) V* (и-2) = и-1.
Следовательно, Ln^Tn. Поскольку х л у е Ln. то х л у е Тп.
Как уже отмечалось, Б. Россер и А. Тюркетт [Rosser & Turquette
99
4*
1952] показали, что для любого п > 3 и любого i е Vn, Ji(x) е Ln.
Отсюда, Ji(x) е Тп. Остается показать, что Н(х) е Тп.
1) п = 3. Тогда
Ni(x) = ~х;
2) п > 3. Тогда
N,(x) = (х ->т* х) ->т* J0(x),
N2(x) = (х V х) ->t’N,(x),
Nn.2(x) = (x ->T‘ x) ->T‘ Nn.3(x),
Таким образом, T„q Tn.
II.	T*n c T„.
Выше мы показали, что Тп включает в себя Т„. Но Т„ является
функционально предполным в Рп множеством функций для
любого п > 3. Поскольку Тп не является функционально полным
множеством функций (функции ~х и х ->т* у сохраняют множество
значений {0, и-1}), то Тп с Т„.
Таким образом, Тп = Т„.
5.2.2.	Базисы. Штрих Шеффера для Р„
К проблеме полноты примыкает задача о базисах, состоящая
в указании всех полных в замкнутом классе F с Р„ подмножеств,
никакое собственное подмножество которых уже не полно в F, т.е.
базисом является минимальная полная независимая система
функций, удаление из которой любой функции делает систему
неполной. Примером базиса в Р2 служит система функций {х л у,
О, 1, хФ у Ф z} и {х v у, -ix}, но не {xv у, хэ у, -ix}, поскольку
х эу = nx v у. Представляют интерес базисы, состоящие из одной
функции, которые называются штрихом Шеффера. Пусть F с Рп.
Тогда функция f из Р„ есть штрих Шеффера (или единственный
генератор) для F, если любая функция из F выразима посредством
конечного числа суперпозиций функции / или, по-другому, если
[/] = F. В Рп базисом, состоящим из одной-единственной функции,
100
является функция Вебба Wn(x, у) [Webb 1935]10, которая определя-
ется посредством исходных операций и-значной логики Поста
следующим образом:
Wn(x, у) = —,(х v у).
Или, по-другому:
Wn(x, у) = тах(х, у) + [(mod п).
Если в Р2 имеются только две полные системы, состоящие из
одной функции: штрих Шеффера х| у и стрелка Пирса хТу, с кото-
рой при п - 2 функция Вебба совпадает (см. выше раздел 1.3.1), то
в Р3 таких функций имеется 3774 и 90 из них коммутативны
[Rousseau 1967 а]. И. Розенберг [Rosenberg 1978] приводит
библиографию по функциям Шеффера включительно по 1978 г.
Теория двухместных штрихов Шеффера для функционально пол-
ных и-значных логик и эффективные правила их построения даны
в [Pinkava 1981].
Дадим пример характеристического свойства функции
Шеффера для Рп (см. [Яблонский 1986, с. 65]): функция f(xi, ..., х^)
из Рп, где п > 3, является функцией Шеффера т.т.т., когда
f(xt, ..., х^) порождает все функции одной переменной, принимаю-
щие не более п-1 значений.
Отсюда следует еще один критерий функциональной полноты
для Л-
5.2.3.	Штрих Шеффера для Ъп
В каждом случае, однако, возникает проблема построения
функции Шеффера для функционально неполных логик. Интере-
сен следующий результат. Дж. Мак-Кинси [McKinsey 1936] скон-
труировал штрих Шеффера для и-значной логики Лукасевича Ъп:
£ху = CxC{CNy}yNCyN{Cy}Ny,
где С и N - импликация и отрицание в нотации Лукасевича, а
скобки указывают на п-2 вхождение заключенного в них выраже-
ния. Для единообразия обозначим функцию Еху как х ->Е у.
10 В [Webb 1936] дается простое доказательство функциональной полноты для
Wn(x, у), посредством определения исходных операций и-значной логики
Поста.
101
Используя 1,(х)-функции, которые не были известны Дж. Мак-
Кинси, можно значительно упростить определение х ->Е у. Заме-
тим, что J„-i(y) = N{Cy}Ny и J0(y) = N{CNy}y. Тогда
х ->Е у = х -> (~J0(y) -> ~(у -> J«-i(y))-
Применив контрпозицию к консеквенту, получим нужное
определение.
X ->Е у = х -> ((у -> J„-1 (у)) -> Jo(y)).
Для сравнения с импликацией Лукасевича х —> у определим
х ->Е у следующим образом:
Е
У~\
х -+Е 0 = п -1 и х -+Е п -1 = (п -1)—х для всех х
х —> у, в остальных случаях.
Теперь нужно посредством х ->Е у определить функции ~х и
х -> у. Мак-Кинси это делает следующим образом:
(а)	п-1 = (х ->Е х) ->Е ((х ->Е х) ->Е (х ->Е х)),
(Ь)	~х = х —>Е п-1,
(с)	х —> у = х ->Е (п-1 —>Е у).
Множество всех суперпозиций функции х —>Е у обозначим
посредством Еп. Таким образом, Еп = Еп для любого п > 2.
В примечании на с. 849 Мак-Кинси показывает, что функция
Вебба не может быть определена в терминах ~х и х -> у, за исклю-
чением случая, когда п+1=2. Таким образом, здесь впервые дано
доказательство того, что множество функций Еп не является функ-
ционально полным ни для какого п > 2. На это же обращает вни-
мание в рецензии на эту статью X.Карри [Curry 1937]. Более того,
Карри указывает на важное различие между результатами Вебба и
Мак-Кинси, которое заключается в том, что функция Шеффера у
Мак-Кинси сама определяется через исходные, а у Вебба нет. На
это различие также обращает внимание в рецензии на эту же ста-
тью У.Куайн [Quine 1937], назвав функцию Вебба «чуждой»
(foreign) к Еп, хотя посредством функции Вебба исходные функции
Еп определяются.
Учитывая замечание Куайна, X.Хендри и Дж.Массей [Hendry
& Massey 1969] предлагают назвать функцию f «настоящей»
102
(indigenous) функцией Шеффера для F с Рп, если f есть штрих
Шеффера для F и в добавление к этому f определима посредством
F. Нас будет интересовать именно такой штрих Шеффера.
Исследования штриха Шеффера для L„ работой Мак-Кинси не
закончились А.Роуз [Rose 1952] обратил внимание, что функция
х —у не является коммутативной, и предложил новое
определение штриха Шеффера для £„, которое значительно проще:
х —>D у — X —>D ~у.
Однако новый штрих Шеффера не имеет места для случая,
когда п = 3/, поскольку i тогда является неподвижной точкой.
Интересно, что точно такой же штрих Шеффера для L„ был
построен в [Hendry & Massey 1969]. Наконец, в другой работе
[Rose 1968] (через шестнадцать лет) Роуз доопределяет функцию
х —>D у таким образом, что она является штрихом Шеффера для
любого множества L„. Однако в разделе 6.3 мы будем ориентиро-
ваться на способ определения штриха Шеффера для £„,
предложенного Мак-Кинси.
Отметим также, что штрих Шеффера для Тп построен в
[Карпенко 1989, с. 180].
Известно, что число базисов в Р? равно 42, и мощность базиса
не превышает 4 (как раз пример такого базиса мы приводили). В
связи с этим интересные результаты содержит работа М.Миякавы
[Miyakawa 1981]. Он установил, что число базисов в Р3 равно 6 763
769, причем мощность базиса (максимальный ранг) не превышает
6. При этом указано число базисов для каждого из рангов от 1 до
6 (расчеты велись с помощью ЭВМ). Таким образом, выяснена
точная структура Р3, в связи с чем возникает сложнейшая
проблема перечисления базисов для произвольного п>2.
5.2.4.	Континуальность Р3
Глобальной задачей для многозначной логики как функцио-
нальной системы остается описание решетки замкнутых классов
данной модели многозначной логики. Для двузначной логики эта
задача полностью решена Э. Постом в начале 20-х годов. В [Рол/
1921] установлено, что мощность множества замкнутых классов в
103
Р? счетна, а в [Post 1941]" дается полное описание решетки замк-
нутых классов, каждый класс строится эффективно и показано, что
каждый замкнутый класс имеет конечный базис. Эти классы
названы классами Поста. Из этих результатов следуют решения
задач о выразимости, полноте, базисах и др. В этой же работе
поставлен вопрос об описании всех замкнутых классов в Рп.
Однако с многозначной логикой дело обстоит совсем по-дру-
гому. Оказалось, что имеются существенные различия между клас-
сической двузначной логикой и многозначной, говорящие о
принципиальной несводимости второй к первой. Ю.И.Янов пока-
зал, что в отличие от Pi для всякого п > 3 существует в Рп замкну-
тый класс, не имеющий базиса [Янов & Мучник 1959]; в свою
очередь А. А.Мучник показал, что для всякого п > 3 существует в
Рп замкнутый класс со счетным базисом [Янов & Мучник 1959].
Непосредственно к этому примыкает следующий примечательный
результат: для всякого п > 3 Рп содержит континуум различных
замкнутых классов, т. е. уже Р3 содержит континуум различных
замкнутых классов. Вообще-то говоря, точная природа такого раз-
личия между двузначной и трехзначной логиками неясна. В силу
указанной трудности (континуальности множества замкнутых
классов) исследуется «локальная» информация о структуре окрест-
ности некоторого произвольного замкнутого класса.
В связи с тем, что уже Р3 содержит континуум различных
замкнутых классов, возникает вопрос о мощности замкнутых клас-
сов других трехзначных логик. Здесь особый интерес представляет
трехзначная логика Рейтинга G3 в силу её «родства» с интуицио-
нистской логикой Н. Исследованию функциональных свойств G3
(первая матрица Яськовского) посвящена монография М.Ф.Раца
[Раца 1990],
Обратим внимание на следующий важный результат [Раца
1982]: множество функций G3 включает континуум замкнутых
классов со счетными базисами, а также континуум замкнутых
классов, вообще не имеющих базиса.
Поскольку G3 функционально вложима в L3 (см. раздел 2.9),
то таковыми же континуальными свойствами обладает и трех-
значная логика Лукасевича L3. Более того, Раца показал, что G,
является предполным в Т3, т.е. G3 предполно в L3.
” См. также [Яблонский, Гаврилов, Кудрявцев 1966]
104
5.3. Функциональные свойства L п (Теорема В.К.Финна)
Здесь нам будет удобней работать со следующей формули-
ровкой конечнозначных логик Лукасевича, которая эквивалентна
исходной. Под л+1-значной матрицей Лукасевича ®1„+1 будем
понимать матрицу следующего вида:
®t„+1 = <Vn+b ~,	{и}> (п > 2, п е N), где
Vn+i = {0, 1,2, ...,«},
{и} - множество выделенных значений.
Функции ~х и х у определяются на множестве Vn+i следующим
образом:
~х = л-х,
х —> у = min(n, л-х+у).
Функции х v у и х л у определяются через исходные:
х v у = (х -> у) у = max (х, у),
х л у = ~(~х л ~у) = min (х, у).
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —> у обозна-
чим посредством £„+/.
Ранее отмечалось, что множество функций L3 является функ-
ционально предполным в Р3, т. е. добавление к L3 какой-либо
функции из Р3, не содержащейся в L3, превращает L3 в Р3. L3 ока-
залось одним из предполных классов Яблонского, а именно тем,
который сохраняет 0 и л-1 и обозначается посредством Т3. Таким
образом, L3 = Т3. Возникает следующий нетривиальный вопрос:
каковы функциональные свойства множества функций Ln+t для
любого л?
Ответ дан В.К.Финном в тезисах докладов [Финн 1970], а
затем опубликовано подробное доказательство в совместной статье
с Д.А.Бочваром [Бочвар & Финн 1972].
Пусть 7^/х) есть функции, определяемые следующим образом:

Т), если х = ^
0, если

105
Истинностными таблицами, отвечающими указанным функциям,
будут таблицы вида
х	0 1 ... i ... n-1 п
4/х)	0 0 ... j ... О О,
где %=i, r|=j, 1 <i, j<n-l.
Обозначим посредством 1„+1 множество всех Лп(х)-функций,
определимых в Тп+ /.
Лемма 1. Множество функций Ln+i является функционально пред-
полным в Pn+i т.т.т., когда все функци 1у(х), l<i, j<n-l, принадле-
жат Ln+i- Причем, если Ln+i -предполное в Рп+1 множество функ-
ций, то Ln+i - Тп+1 [Бочвар & Финн 1972, с. 248-253].
Заметим, что лемма 1 является обобщением результата
В.К.Финна [Финн 1969] о функциональных свойствах Р3. Доказа-
тельство же самой леммы 1 есть по существу доказательство сле-
дующего утверждения: любая функция / е T„+i, которая не равна
константе 0, определима посредством суперпозиции х v у, х а у, I-
функций и J-функций (эта суперпозиция есть аналог полной
дизъюнктивной нормальной формы для двузначной логики).
Таким образом, ответственным за предполноту /,л+/ в /’л+/
является наличие в Zn+i множества функций /„+/. Возникает
вопрос: для каких п имеет место /л+/ с Ъ^\, т. е. для каких п Ln+\ =
Tn+ll
Лемма 2. I„+I с. L„+i m.m.m., когда п есть простое число [Бочвар &
Финн 1972, с. 255-276].
Доказательство леммы 2 хотя и весьма громоздко, но является
конструктивным, так как указан алгоритм построения суперпози-
ций исходных базисных функций ~х, х —> у, равных соответст-
вующим Лт|(х)-функциям. Отсюда, в частности, следует, что при
п = р, где р - простое число, можно указать эффективный способ
построения формулы, отвечающей функции f е L„+i, использую-
щий /-функции и нормальные формы (l-J-с.д.н.ф.), рассмотренные
при доказательстве леммы 1.
Из леммы 1 и леммы 2 получаем теорему 1, которая дает кри-
терий функциональной предполноты множества функций Ln+ /:
106
Теорема 1. L„+I = Tn+; m.m.m., когда для любого п > 2 п есть про-
стое число 12.
Таким образом, множество функций в логике Лукасевича
образует предполное множество, а множество функций в логике
Ln не является таковым.
В итоге мы имеем новое определение понятия простого числа:
произвольное натуральное число п > 2 является простым т.т.т.,
когда множество всех функций Ln+i, соответствующее 1-знач-
им м матричным логикам Лукасевича, есть функционально пред-
полное множество в Рп+;, а именно Ln+1 = Тп+1. Отсюда следует, что
существует бесконечная последовательность />3+1-значных логик
Лукасевича (р3 - s-e в порядке возрастания простое число в нату-
ральном ряду чисел), которым соответствует последовательность
предполных множеств функций, такая, что L р +1 = Т р,+} для всех
5= 1,2, ....
Заметим, что в [Финн 1976, с. 14] устанавливается связь
между понятиями степени (дедуктивной) полноты и функциональ-
ной пред полноты:
Если L„+i = Тп+;, где п>2, то у ( Ln+i) = 3.
5.3Л. Еще одно доказательство (А.Уркварт)
Ещё В.К.Финн обратил внимание на то, что теорема 1 может
быть основана на критерии Мак-Нотона об определимости функ-
ций в £„+; (см. раздел 3.6), поскольку из теоремы Мак-Нотона
следует утверждение леммы 2. Действительно, ДДх) е L„+1 т.т.т.,
когда наибольший общий делитель чисел п и делит нацело ц.
На то, что в основу доказательства данной теоремы может
быть положен критерий Мак-Нотона, обратил также внимание
А.Уркварт [Urquhart 1986, р. 88-89], который независимо от
В.К.Финна дает доказательство теоремы 1. Это доказательство
является самодостаточным, поэтому приведем его полностью.
Обозначим посредством НОД(х,у) наибольший общий дели-
тель х и у; для конечного множества Х={х],...,хт} обозначим
посредством НОД(Х) наибольший общий делитель Х],...,хт.
12 См. также [Финн 1976, с. 10-15]. Краткое резюме на английском языке
имеется в [Finn 1975] •
107
Ключевой леммой для характеризации Ln+/-определимых функций
является:
Лемма 3. Пусть F - множество функций на {0,,..,п}, содержащее
все Ьп+1-определимые функции. Если X с {0,...,п} является F-
замкнутым, то НОД(х, у) еХ для всех х, у еХ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Для всех х,уеХ, если х>у, то х-уеХ. Повторяя вычитание,
получаем, что остаток от деления х на у также содержится в X.
Алгоритм Эвклида для нахождения НОД(х,у) работает путем
повторного вычисления остатков. Таким образом получаем
НОД(х, у)еХ.
Теорема 2 (Критерий Мак-Нотона). т-местная функция f опреде-
ленная на М={0,...,п}, является £„+/-определимой т.т.т., когда
для всякой т-ки a=<ai,...,am>f(a) делится на НОД({а1,...,ат,п}).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Необходимое условие следует из того факта, что если х и у
делятся на К, то ~х и х->у также делится на К.
Для доказательства достаточности мы должны охаракте-
ризовать лишь £п+/-замкнутые множества. Пусть X* будет множе-
ством чисел из М, кратных к. Покажем, что Ln+/-замкнутые
множества - это в точности множества Xt для к, являющегося
делителем п. И наоборот, если X является £п+/-замкнутым множе-
ством, пусть к = НОД(Х). По лемме 3 к&Х. Так как п принадлежит
каждому £„+/-замкнутому множеству, к является делителем п, п =
qk для некоторого q. Пусть теперь у-рк будет числом из М, крат-
ным к. Тогда у = n-(q-p)k и, следовательно, у е X, показывая тем
самым, что X = Xt.
Утверждаемая характеризация £„+/-определимых функций
теперь легко следует из описания £п+/-замкнутых множеств.
Теорема 2 в действительности дает нам больше информации,
чем мы утверждали, а именно характеризацию всех функций,
определимых с помощью функций, включающих множество Лука-
севича. Пусть X - подмножество делителей п. Будем говорить, что
X является НОК-замкнутым, если (1) 1еХ и (2) если х, у е X, то
НОК(х,у), наименьшее общее кратное х и у, принадлежит X. Далее,
для Ус{0,...,л}, Y^0 пусть F(Y) будет множеством функций на
108
{О,.удовлетворяющих условию: для всякого к eY, ai,...,am е X
влечет /(а) е X*. Легко видеть, что F(Y) замкнуто относительно
композиции функций.
Следствие 1. Множества п+1-значных функций, которые замк-
нуты относительно композиции и включают Ln+определимые
функции, являются в точности множествами F(Y), где Y есть
НОК-замкнутое подмножество {0,...,п}.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
По теореме 2 замыканиями таких множеств функций должны
быть множества вида X* для некоторого к, являющегося делителем
п. Множество {^Х* - F-замкнутое множество} является НОК-
замкнутым. Остается лишь проверить, что каждое НОК-замкнутое
подмножество множества М является F-замкнутым множеством
некоторого множества функций F. Соответственно пусть Y будет
НОК-замкнутым подмножеством множества М. Мы хотим
показать, что множества Хк для каждого keY являются в точности
Р(У)-замкнутыми множествами. Пусть X будет Р(У)-замкнутым
подмножеством множества М. По теореме 2, X = X* для к,
являющегося некоторым делителем п. Пусть р - НОК({^|Х с Х„
geY}). Пусть X с Хр; чтобы показать X = Хр, достаточно показать,
что реХ. Определим функцию f посредством^) = p,fia) = 0 для
аФк. Теперь если £еХ9 для geY, то X = Xk с X, и, следовательно,
реХ,, так как Хр является наименьшим множеством Х„ reY,
содержащим X. Отсюда следует, что f e F(Y). Таким образом, р е
X. Доказательство завершено.
Следствие 2. Множество функций L„+1 образует предполное
множество т.т.т., когда п - простое число.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Единственными НОК-замкнутыми подмножествами дели-
телей для простого п являются {1, п} и {1}. Если п не является
простым числом, то могут быть и другие.
Замечание. Между доказательствами В.К.Финна и А.Уркварта
было опубликовано еще одно доказательство о функциональных
свойствах Ln+i, отличное как от первого, так и от второго. Это
доказательство принадлежит Г.Хендри [Hendry 1983], и здесь
функциональная предполнота называется минимальной непол-
нотой.
6. СТРУКТУРАЛИЗАЦИЯ ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ
Представлен алгоритм, перерабатывающий любую логику
Лукасевича L„+J в функционально предполную. Таким образом, нату-
ральный ряд превращается в своеобразную последовательность
простых чисел. Это, в свою очередь, приводит к разбиению нату-
рального ряда чисел на классы эквивалентности, такие, что в каж-
дом классе находится одно и только одно простое число. Отсюда
приходим к структурализации простых чисел в виде корневых
деревьев, примеры которых приведены в тексте. В основе построе-
ния деревьев лежит обратная функция Эйлера (р‘(т). Для
вычисления значений этой функции В.И.Шалаком разработана
специальная компьютерная программа, которая в совокупности с
другими строит сами деревья. Поскольку каждое корневое дерево
представимо в виде р-абелевой группы, то оказывается, что эта
структура является фундаментальной для теории чисел.
6.1. Разбиение множества логик Лукасевича Ln+t
на классы эквивалентности относительно свойства
предполноты
Вернемся к результату теоремы В.К.Финна, в которой дается
критерий функциональной предполноты для множества функций
Ln+i, соответствующего конечнозначным логикам Лукасевича Ъп+ь
Этот критерий состоит в том, что Ln+I предполно т.т.т., когда п
есть простое число. С другой стороны, была построена матричная
логика Тп+|, множество функций Тп+1 которой предполно для
любого п > 2. Очевидно, что L„+i - Т„+1 только для случая, когда п
есть простое число. Возникает следующий вопрос: нельзя ли
построить такую последовательность л+1-значных логик, чтобы
они были предполны для любого п > 2, но при этом сохраняли
свойства логик Лукасевича? Казалось бы, это противоречит
результату теоремы 1 о критерии функциональной предполноты
для множества функций £„+/, но тем не менее такую последова-
тельность логик можно построить и вот в каком смысле.
Из всех трех доказательств теоремы 1 в гл. 5 (В. К. Финна,
Г. Хендри и А. Уркварта) только в первом случае явно указано, что
несет ответственность за непред полноту в L„+i в случае, когда
110
пФ р, гдер - простое число, а именно в этом случае в Ln+l опреде-
лимы не все /^7(х)-функции:

7, если х-
О,еслихф £
(0<g,j]<ri).
Например, пусть п + 1 = 10, и для удобства обозначим множе-
ство истинностных значений V10, как у Лукасевича, т.е.
У]0 = {0, '/9, 7% 3/g, "%, /9, /9, ?/9,	!}•
Из критерия Мак-Нотона следует, что в LI0 нельзя, например,
определить функцию Iv (х), когда х = 3/9, поскольку НОД(3, 9) =
9 9
3, а НОД(3, 7) = 1. Уже в силу этого Ll0 непредполна. Очевидно,
если числитель и знаменатель для всех 7„ из V являются взаимно-
простыми числами, т.е. НОД(/, п) = 1, то определимость /-функций
в Ln+i сохраняется. Отсюда следует, что ответственными за
непредполноту Lio являются значения 3/9 и б/9, числитель и
знаменатель которых не являются взаимно-простыми числами.
Если из У) о мы вычеркнем эти значения, то останется восемь
значений. Пусть п = 8, тогда
Eg = {0, '/?, %, 3Л/, V?, /7, /7, 1}.
Таким образом, от Ll0 мы перешли к Ls, а в силу теоремы 1 L8
является предполной логикой. В общем случае, исходя из опреде-
ления /-функций, рассматриваются только промежуточные истин-
ностные значения и вычеркиваются все значения, в которых
НОД(г, п) Ф 1.
Итак, для того чтобы перестроить некоторое произвольное
множество истинностных значений V, надо определить число
чисел i из ряда 1, 2, ..., и-1, взаимно-простых си, и прибавить два
крайних истинностных значения (0 и 1). Функция, которая опре-
деляется для всех целых положительных и и представляет собой
число чисел, не превосходящих и и взаимно-простых с и,
называется функцией Эйлера (Л.Эйлер: 1707-1783), которая,
согласно К.Гауссу (1777-1855), обозначается знаком <р(и)'. Так, в
начале 80-х годов XX века была переоткрыта функция Эйлера.
1 Функция (р(п) была введена Л.Эйлером (1707-1783) в одной из работ,
опубликованной в 1763 г. Иногда функция Эйлера называется totient function.
Ill
Посредством функции <р(л) из множества истинностных
значений Кп+7 получаем множество V^+2. Тогда построение пред-
полной логики Lp+i из произвольной Ln+i сводится к переработке
произвольного числа п в р, где р - простое число. Таким образом,
каждый раз п из V„+i перерабатывается в ср(и)+1. Итак, мы
установили, что в основе операции «вычеркивания»
промежуточных значений, в которых (i, п) & 1, лежит теоретико-
числовая функция Эйлера <р(л).
Примеры'.
ф(1)=1,	<Р(5) = 4,	Ф(9) = 6,
Ф(2) = 1,	Ф(6) = 2,	ф(10) = 4,
Ф(3) = 2,	Ф(7) = 6,	ф(11) = 10,
Ф(4) = 2,	Ф(8) = 4,	Ф(12) = 4.
Функция Эйлера <р(«) имеет следующие хорошо известные
свойства, которые нам понадобятся в дальнейшем [Виноградов
1981].
(О ф(р)=р-1.
(и) <р(п) является мультипликативной, т.е. если (п\, пЦ = 1,
ТО ф( Л] • п2) = ф( «О • ф( п2).
(п7) Для любого простого числар, ф(р₽) =р₽1(р-1).
Из(1)и (2) следует, что
«к»)=„о - а.)  (1 - ^).. (1 -	=«п (1 - i),
где знак /?|л означает, что множители произведения берутся при
всех возможных простых делителях числа п.
(zv) Значение ф(л) является четным числом для любого
п > 3 2.
В «Англо-русском словаре математических терминов» (отв. ред. П.С Алексан-
дров / М: Мир, 1994) термин «totient» переводится как (p-функция Эйлера,
тотиент-функция.
1 Имеется интернетовский сайт, посвященный свойствам функции Эйлера <р(и),
с обширной библиографией (см. [Totient Function 2000]]). См. также [Maier &
Pomerance 1988] и [Spyroponlus 1989]. С алгебраической точки зрения целые
числа, не превышающие данного числа и взаимно простые с ним, образуют
группу, эта группа является циклической т.т.т., когда и = 2, 4, или п
представимо в формерк или 2рк [Абрамовиц & Стиган (ред.) 1979, с. 630].
112
Пусть <р*(л) = ф(л)+1. Тогда, если п =р, то ф*(л) = (р-1)+1 = р.
Отсюда, если Ln+t предполна, т.е. если п = р, то функция ф*(л) не
изменяет предполноту Lp+l.
Заметим, что для приведенных выше примеров значений
функции ф(и) значение ф*(и) = р, но это имеет место не для всех п.
Например, ф*(16) = 9, a L9+/ не является предполной логикой,
поскольку 9^р. Однако, как мы уже знаем, ф*(9) = 7 и, следова-
тельно, Z-7+/ предполна. Тогда посредством (рк (п) обозначим к-е
применение функции ф*(л). В частности, если п = р, то для любого
£ ^(л)= Р- Очевидно, для любого п, число к конечно, т.е. для
всякого п существует к такое, что ф*к (п) есть простое число3.
Таким образом, мы имеем метод, а на самом деле алгоритм,
по которому любое натуральное число п перерабатывается в
простое р, а следовательно, логику Ln+i в логику Lp+I\
0. Пусть п = П\ и п\ Фр,.
1.	)=р„ или ф*(п} )= п2, где п2<щ.
2. (р\ (п2) = р„ или (р*2 (п2) = п3> где п3 < п2.
к- <Р*к(пк) = Р-
3 Для любого п < 100000 значение фк (и) можно вычислить, используя таблицу
значений <р(и) в [Lal & Gillard 1968]. Предыдущие две хорошо известные
таблицы значений <р(и) принадлежат, соответственно, Дж.Сильвестру (для
и < 1000), изданной в 1883 г., и Дж. Глэйшеру [Glaisher 1940] (для и < 10000)
Заметим, что при издании тех или иных таблиц значений функций обычно
преследуются опеределенные цели. Так, оба предыдущих автора заинтере-
сованы не столько в <р(и) как таковой, но скорее в 1<р(и) и в обратной функции
от <р(и). В настоящем случае интерес, кажется, лежит в нахождении решений
уравнений вида <р(и) = <р(и + 1) и других подобных уравнений. В свою очередь,
издание таблицы значений <р(и) в [Абрамовиц & Стиган 1979, таблица 24.6]
(для и < 1000) предлагает также таблицу первообразных корней. Имеется
<р(ф(и)) первообразных корней числа п. Нас же, как будет видно из
следующего раздела, будет интересовать именно функция обратная к <р(и)
Таблица значений этой фунции для т < 5000 (см. Таблицу 2) позволяет
построить графы в виде корневых деревьев для первых 52 простых чисел.
113
Итак, любая логика Ln+l перерабатывается в предполную
логику Lp+l посредством указанной схемы алгоритма. Например,
логика Ll38+i перерабатывается в логику при этом к = 4. В
итоге, функция <р*к(п) порождает на натуральном ряду N беско-
нечную последовательность простых чисел [Карпенко 1983,
с. 105]:
2, 2, 3, 3, 5, 3, 7, 5, 7, 5, 11, 5, 13, 7, 7, 7, 17,
7, 19, 7, 13, 11, 23, 7, 13, 13, 19, 13, 29, 7, 31,
В этом и заключается ответ на поставленный в начале этого
раздела несколько странный вопрос, о построении такой последо-
вательности и+1-значных логик, чтобы они были предполны для
любого и > 2, но при этом сохраняли свойства логик Лукасевича,
т.е. построен простенький алгоритм, при котором любая логика
Лукасевича Ln+i перерабатывается в предполную логику вида
L
pt(n)+l
А теперь отметим, что только в августе 2000 г. нами была
обнаружена точно такая же последовательность чисел в интерне-
товском сайте Н.Слоана [Sloane 1999]4 Но как раз главный инте-
рес представляет дальнейшее развитие этого результата.
Из существования указанного алгоритма следует, что функ-
ция <рк (пк ) индуцирует разбиение множества логик £„+/ на классы
эквивалентности по отношению =, т.е. = ЬПг+} т.т.т., когда
3&3Z такие, что ^(/7,) = pz(n2). Отсюда, в каждом классе
эквивалентности содержится одна и только одна предполная
логика L р +1, где ps - 5-е по порядку простое число. Сами
классы будем обозначать посредством +1, например,
ХРз+1={6, 9,11, 13}, где/?3 = 5.
6.2. Построение классов +1 (обратная функция Эйлера)
В связи с данным разбиением логик Лукасевича Ln+i
встает задача построения по произвольной предполной логике Lp+i
4 Этот сайт есть расширенный вариант знаменитой «Энциклопедии числовых
последовательностей» [Sloane & Plouffe 1995].
114
соответствующего ей класса Л^+/. Для этого нужно определить
функцию, обратную функции <рк(п). Это можно сделать, зная
множество значений обратной функции Эйлера ф'^и), которая
определяется отношением ф'*(/и) = {и: <р(и) = т}. Например, если
ф(и) = 4, то это уравнение имеет ровно четыре решения, а именно
ф’’(4) = {5, 8, 10, 12}.
Наверное, впервые на проблему решения подобных уравне-
ний обратил внимание Э.Люка (E.Lucas: 1842-1891). По крайней
мере, в книге И.В.Арнольда [Арнольд 1939, с. 270] читаем: «следуя
Люка сгруппированы числа п с одним и тем же значением функ-
ции <р(и) в пределах для ф(и) от 1 до 100, то есть дана таблица
функции обратной по отношению ф(и)» (Таблица 4). В следующем
году появилась таблица значений функции ф'(?и) для т < 2500
[Glaisher 1940].
Интересно, что в монографии [Bolker 1970] поставлена про-
блема (№ 11.19) найти все решения уравнения ф(и) = 24. Решение
этой проблемы приводится в книге [Burton 1976, р. 350]:
ф ’(24) = {35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 84, 90}5.
Заметим, что ни в одной из этих книг по теории чисел обозна-
чение ф '(/и) не встречается.
Только в 1981 г. появилась статья Х.Гупты, специально
посвященная свойствам обратной функции Эйлера ф'(?и) [Gupta
1981]6
5 В книге [Серпинский 1968] предлагается следующая задача под № 245: «Найти
все натуральные числа п < 30, для которых <р(и) = d(n), где <р(и) - функция
Эйлера, a rf(n) - число натуральных делителей числа и». Рассмотрим только
случай п = 30. Делителями числа 30 являются числа 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 и 30,
т.е. <7(30) = 8. Значит, надо решить уравнение <р(и) = 8, где п < 30. Или, по-
другому, найти значения для обратной функции Эйлера ф"’(8), т.е. определить
множество {п: <р(и) = 8} для п < 30. Это множество состоит из чисел (15, 16,
20, 24, 30}. И более того (см. ниже), ни для каких других п > 30 <р(и)	8.
6 Отметим, что в этой работе дается очень простая, не встречающаяся ранее в
литературе, формула сведения (reduction formula) для <р(и). Имеем <р(1) = 1;
для п > 2 мы можем написать п = ри, где р есть простой делитель п, и и есть
некоторое целое число > 1. Тогда легко видеть, что в зависимости от того,
делит р или не делит и,
ф(и) =рф(«) или (р-1)ф(«).
115
Множество значений ср’1 (/я) пусто для всех нечетных и многих
четных значений m > 1. Например, из таблицы значений <p’'(wi)
для п < 100, приведенной в [Арнольд 1939, с. 281], следует, что
числа 14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94 и 98 не являются
значениями ф(я). Более того, из результата [Rechman 1977]
следует, что количество четных чисел, не являющихся значениями
ф(я), бесконечно. Всё это имеет существенное значение для
построения классов Xf +1. Заметим также, что для любого (р-1)
больше 2, ф’(р-1) содержит, по крайней мере, элемент 2р,
поскольку в силу мультипликативности ф(и) имеем <р(2/>) = <р(2) •
<р(р) = 1 • (р-1) = р-1. Отсюда, в каждом классе кроме исход-
ной логики Lp+t, имеется обязательно логика
В [Gupta 1981] определяются нижняя и верхняя границы для
любого непустого множества ф’’(/и). Пусть п - любой элемент ф’
’(/и). Тогда, очевидно, т < п, что и является нижней границей.
Используя формулу
«По-?)
р|л
для вычисления ф(и), получим верхнюю границу, а именно
никакое п, для которого ф(и) = т, не превосходит число U(m), где
£/(m) = m ПМР-1)-
(;>-1)|т
Дается также способ улучшения верхней оценки.
Таким образом, непустое множество ф'’(?и) всегда конечно.
Вообще-то говоря, это следует уже из того, что число делителей т
конечно7. Для нас важно, однако, что в [Gupta 1981] предлагается
способ построения множества ф'(^) по любому т, являющемуся
значением функции ф(и). Это делается следующим образом.
Пусть п есть элемент ф’'(?и) для данного т. Допустим, что р
есть наименьший делитель п. Пусть п=^-и, где (м,р) = 1. Отсюда
следует, что и не имеет простого делителя < р. Очевидно, что
т = ф(и) = ф(/) • ф(м).
7 Отметим также результат из статьи [Pomerance 1980], где установлено, что
множество значений ф’(т) > тс для бесконечного множества чисел т е N,
если с = 0.55092.
116
Для того чтобы это имело место, необходимо, чтобы наше р
являлось таким, что (р —1)| т и и принадлежало к такому подмно-
жеству множества ф*’(/и)/<р( //), которое состоит из тех его элемен-
тов, которые не имеют простых делителей < р. Такое подмно-
жество обозначим посредством (р^ (т/(р{ррУ). Тогда понятно,
что каждый элемент из	является решением
уравнения ip(x) = т. При этом р пробегает по всем тем простым
числам, которые удовлетворяют условию (р - 1)|ти, а Д - по всем
тем значениям, для которых <р( // ) делит т. Значения /3 , для
которых является нечетным числом > 1, выбрасываются.
ПРИМЕР. Пусть т = 36. Чтобы получить простые числар, для
которых (/? —1)|ти, выпишем все делители т; затем, добавив 1 к
каждому из них, оставим только простые числа. Итак, 36 = 22 • З2,
поэтому делителями 36 являются числа
1,	2, 4; 3, 6, 12; 9, 18, 36.
Добавив 1, получаем
2,	3, 5; 4, 7, 13; 10, 19, 37.
Простые числа из этого списка расположим в обратном порядке:
37,	19, 13, 7, 5, 3, 2.
Будем считать, что мы уже располагаем значениями функции
(р ’(х) для всех х < 36. Нам понадобятся следующие множества:
X	ф'(х)
1	{1,2}
2	{4, 6}
6	{7, 9, 14, 18}
18	{19, 27,38, 54}
Тогда имеем следующую таблицу вычислений:
117
р	0	т/ф(р^>	
37	1	1	37 {1} = {37}
19	1	2	19. 0
13	1	3	—
7	1	6	7. 0
5	1	9	—
3	1	18	з {19} = {57}
3	2	6	9 {7} = {63}
	Для	следующего	шага нам потребуются все нечетные
элементы		из ф'(36),	которые мы уже вычислили. Этим
объясняется, почему мы расположили простые числа в обратном
порядке.
Р	0	ш/ф(р^)	
2	1	36	2 {37, 57, 63} = = {74, 114, 126}
2	2	18	4 {19, 27} = {76, 108}
2	3	9	—
В итоге, ф ’(36) - {37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126}.
Стоит сказать, что рассмотренный метод построения
множества ф'(ш) является довольно-таки громоздким, тем более,
что для построения ф ’(те) нужно знать ф’(х) для всех х < т, а
также, в общем случае, разложение элементов из ф'(х) на простые
множители. Но зато этот метод является эффективным. В свою
очередь, мы можем предложить эвристическое применение этого
метода.
Пусть для сравнения опять m = 36. Выпишем все делители
числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 18, 36. Теперь рассмотрим различные
представления числа 36 произведениями делителей, причем
такими, которые являются значениями функции ф(л). Будем идти
слева направо, например, 2-18 = 36. Поскольку ф(3) = 2, ф(19) =
18, а (3, 19) - 1, то ф(3) • (19) = ф(3 • 19) = ф(57). Отсюда л = 57. Так
как п нечетно, то значениями ф'(36) будет также 2-л = 114. В
результе имеем:
118
т = 36 = ф(37), п = 37;
т - 36 = 1  36 = Ф(2) -<р(37) = ф(2 • 37) = ф(74), п = 74;
т = 36 = 2  18 = ф(3) • ф( 19) = ф(3 • 19) = ф(57), п = 57;
пг = 36 = 1 • 2 • 18 = ф(2) • ф(3) • ф(19) - ф(2 • 3 • 19) = ф(114), n = 114;
т = 36 = 2  1 • 18 = ф(22)  ф(19) = ф(22 • 19) = ф(76), п = 76;
т = 36 = 2  1  З2 • 2 = ф(22) • ф(33) = ф(22 • З3) = ф( 108), п = 108;
гс = 36 = 3- 2- 6 = ф(32)• ф(7) = ф(32 7) = ф(63), п = 63;
те = 36=1-3-2-6 = ф(2)• ф(32)• ф(7) = ф(2• З2• 7) = <р( 126), п = 126;
Наличие эффективного метода построения множества значе-
ний ф ’(пг) позволяет в принципе построить алгоритм, который по
любой предполной логике Lp+i строит её класс эквивалентности
Идея алгоритма состоит в следующем.
Рассмотрим функцию, обратную ф*(л), т.е. функцию
(/)' (т). Пусть т= р, где р - простое число.
0. Изр вычитаем 1, т е. имеем р-\.
1.	Находим множество значений ф‘'(р-1), те. находим
множество {л: ф(л) =/?-!}. Это множество может состо-
ять из двух классов: {vo}i и {уе}1э где {v0}i - класс
нечетных значений, не содержащих данное р, a {ve}i ~
класс четных значений. Класс {ve}i каждый раз из
дальнейших рассуждений отбрасывается, поскольку,
ve-l, как нечетное число, не может быть значением
функции Эйлера ф(л). Если класс {vo}i пуст, как,
например, в случае <рл (3) или (р 1 (5), то класс
эквивалентности Xp+i построен. Если же {vo}i непусто,
то находим множество значений ф '(уо -1) для каждого
v0 из класса {vo}i. Имеем два подслучая.
2.	(a) {vo}2 = 0 или (b) {vo}2 * 0. В первом случае про-
чее построения закончен. Если же {vo}2	0, то
все повторяется. Имеем два подслучая.
3.	(a) {v0}3 = 0 или (Ь) {уо}з * 0-
119
Для примера возьмем предполную логику -45?+/- Как ранее
было установлено, ф'(36) = {37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126}, те.
<г(37) = {57, 63} kj {74, 76, 108, 114, 126}, где {vo}, = {57, 63}
и {ve}i = {74, 76, 108, 114, 126}. Рассмотрим ср~} (57) и <р~' (63).
Поскольку множество значений <’ (63) пусто, так как число 62
не является значением функции ф(«), то остается <’ (57)
Находим, что (57)= {87} о {116, 174}, где {v0}z = {87} и {ve}z
= {116, 174} Поскольку (87)= 0, то на этом построение
класса	закончено. Добавив к каждому элементу
построенного множества по 1, получим класс эквивалентности
логик Лукасевича для предполной логики Л5?+/ = {57, 63, 74, 76,
108, 114, 126, 87, 116, 174}.
6.3.	Графы для простых чисел
Перейдем от классов эквивалентности логик Лукасевича
к классам эквивалентности Хр, что приводит к разбиению нату-
рального ряда чисел на классы эквивалентности, такие, что в каж-
дом классе содержится одно и только одно простое число Указан-
ный нами метод, просредством которого производится данное раз-
биение, дает способ представления каждого простого числа в виде
связного, не содержащего циклов, графа с одной выделенной
вершиной, те в виде корневого дерева, которое обозначим
посредством Тр. Корнем дерева Тр является само р, а множеством
вершин - множество элементов Хр В итоге от логик Лукасевича
мы переходим непосредственно к самим простым числам. Приве-
дем графы для первых 5 простых чисел
120
Дальше будем представлять деревья, как их принято сохра-
нять в текстовых файлах. Для сравнения, приведенные выше пять
деревьев выглядят следующим образом:
2
1
3
4
6
5
8
10
12
7
9
15
16
20
24
30
14
18
11
22
В [Карпенко 1983, с. 107]8 приведены корневые деревья для
первых 13 простых чисел (см. также [Карпенко 1989, с. 198]). Здесь
доведем этот список до первых 25 простых чисел (это как раз
простые числа, входящие в первую сотню натурального ряда
чисел):
8 Впервые исходные идеи обсуждались 15 февраля 1980 г. на научно-
исследовательском семинаре сектора логики Института философии АН СССР
121
13
21
25
35
39
45
69
92
138
52
56
70
72
78
84
90
33
51
64
68
80
96
102
120
44
50
66
26
28
36
42
17
32
34
40
48
60
19
27
38
54
122
23	46
29	58
31	62
37	57 87 116 174 63 74 76 108 114 126
И-	
41	55 81 123 164 165 249 332 498 176 200 220 246 264 300 330 162 75 82 88 100 ПО 132 150
123

53
106
59
IIS
61
77
93
141
213
321
425
535
856
1070
1284
561
725
843
957
1437
2157
2876
4314
1916
2874
1065
1124
1136
1276
1420
1450
1686
1704
1914
2130
615
656
704
748
125
428
642
284
426
188
282
99
122
124
154
186
198
91
95
Ill
143
155
175
183
225
339
435
452
464
580
800
820
850
880
984
1056
1122
1200
1230
1320
117
135
146
148
152
182
190
216
222
228
234
252
270
678
696
870
231
244
248
286
308
310
350
366
372
396
450
462
242
177
267
345
519
692
1038
356
368
460
534
552
690
236
354
127
79	158
83	166
89	115 178 184 230 276
97	119 153 194 195 208 224 238 260 280 288 306 312 336 360 390 420
В [Карпенко 1983] при использовании таблицы значений
(p '(w) для т < 2500 (см. [Glaisher 1940]) были построены деревья
для первых 42 простых чисел, а затем для первых 50 простых
чисел [Карпенко 1989]. Далее появляется простое число 241
(№ 53), для которого корневое дерево построено с помощью
компьютерной программы.
128
241
287
305
325
480
513
771
1024
1028
1088
1280
1360
1536
1542
1632
1920
2040
567
652
972
978
1026
1134
369
705
1059
1173
1761
2057
2225
2785
3029
3835
4893
7341
11013
16521
20675
27291
36388
41350
54582
22028
33042
14684
22026
5 А С Карпенко
129
9788
14682
5235
5584
6058
6136
6195
6524
6608
6980
7670
8260
8376
8388
8496
9204
9786
9912
10470
10620
12390
4456
5570
6684
2643
2829
2937
3524
3772
3795
3872
3916
4048
4114
4450
4600
4840
5060
5286
5658
5808
5874
6072
6900
7260
7590
2348
130
3522
385
1335
1412
1424
1472
1564
1780
1840
2118
2136
2208
2346
2670
2760
752
940
1128
1410
485
570
595
663
765
1149
1532
2298
772
776
832
884
896
952
970
1040
1120
1152
1158
1164
1190
1224
1248
1326
1344
1428
1440
1530
131
5*
1560
1680
429
465
699
885
1329
2505
2672
3340
4008
5010
1772
2658
932
944
1180
1398
1416
mo
482
488
495
496
525
789
1052
1578
572
574
610
616
620
650
700
732
738
744
770
792
858
900
924
930
990
1050
13S3S3S3S
132
Компьютерная программа для построения корневых деревьев,
представляющих простые числа, была создана в начале 1995 г.
В.И.Шалаком 9. Программа состоит из трех подпрограмм:
(1)	ERATOS - порождение простых чисел методом решета
Эратосфена;
(2)	INVEULER - вычисление значений обратной функции
Эйлера (p(w);
(3)	P TREES - построение корневых деревьев.
Наиболее трудоемкой операцией является (2), поскольку для
вычисления ф '(/и) в общем случае нужно иметь ф'(х) для всех х <
т, а также знать разложение натуральных чисел на простые
множители10.
С помощью программы В.И.Шалака были вычислены значе-
ния ф'(/и) для т < 200000, что позволило построить корневые
деревья для первых 729 простых чисел. Построение корневого
дерева для простого числа 5521, чей порядковый номер 730,
потребовалось уже вычисления ф'(»1) для т < 285062. В конце
1996 г. это число было преодолено, в результате чего были
построены деревья для первых 2370 простых чисел. В последнем
случае потребовалось вычисление обратной функции Эйлера
ф'^/и) для т < 798279. Чтобы преодолеть простое число 21089 (№
2371), необходимо было просчитать ф '(м) для т < 2215802 (см.
{Карпенко 1997, с. 179]).
В августе 2000 г. В.И.Шалаком были расширены возмож-
ности компьютерной программы, а также введена оценка мощно-
сти (число вершин) деревьев. Программа «высеяла» 1207706
простых чисел, что позволило просчитать значения обратной
функции Эйлера для т < 3317744. Построение корневых деревьев
остановилось на простом числе 30689 (№ 3310), поскольку при
вычислении ф'(3228368) было получено следующее множество
значений {5104689, 6053205, 6456752, 8070940, 10209378,
9 Сектор логики Института философии РАН.
10 Неожиданно в июле 2000 г. в Интернете с помощью поисковой системы
AltaVista был обнаружен сайт с компьютерной программой для вычисления
значений обратной функции Эйлера <р’'(м) и обсуждением того, как это делать
[Rytin 1999] Эта программа полезна тем, что вычисляет искомые значения
сразу для произвольного т. С ее помощью программа для построения
корневых деревьев может бьггь значительно упрощена.
133
12106410}. Однако с помощью программы М.Рытина (см. сноску
10) вычисления дали следующий результат ф'(5104688) = {0} и
Ф'(6053204) = {0}. Таким образом, построение графа для числа
30689 оказалось завершенным.
Неравномерность мощностей деревьев, представляющих
простые числа, поразительна. Для основной части простых чисел
корневое дерево состоит из двух элементов {р, 2р}. Но встреча-
ются такие «монстры», как число 3313 (№ 466) - 2125 элементов
Пока абсолютный рекорд принадлежит графу для числа 21089
(№ 2371) - 5557 элементов, число 30689 (№ 3310) - 2255
элементов. В последующем такой феномен только усиливается.
Статистическое распределение корневых деревьев, представ-
ляющих простые числа, и их свойства - вопрос для специального
исследования.
Отдельного рассмотрения заслуживает вопрос о связи между
данным простым числом р (корнем дерева) и тем наибольшим
простым числом, которое, требуется при нахождении нужных зна-
чений обратной функции Эйлера ф'(ти). Речь идет о некоторой
функции Р(р), порождающей это большое простое число. Причем
это последнее число стремительно растет. Оказывается, в каждом
простом числе содержится «информация» о своем, назовем так,
максимальном напарнике.
6.3	.1. Гипотеза о конечности корневых деревьев
Подчеркнем, что все построенные деревья для простых чисел
являются конечными. Если бы четных чисел, не являющихся
значениями ф(и), было бы конечное множество, то начиная с неко-
торого простого числа р, все классы эквивалентности Хр были бы
бесконечной мощности. Но, как уже отмечалось, из результата
\Rehman 1977] следует, что существует бесконечное множество
четных чисел, не являющихся значениями ф(и). Таким образом,
необходимое условие для конечности каждого класса эквивалент-
ности Хр найдено. Наша гипотеза состоит в следующем (и это
вынесено в заголовок статьи \Karpenko 1986]).
ГИПОТЕЗА 1. V/?(| {п Зк(фк*(и) = р)} I < Ко,
134
т. е. для каждого простого числа р его класс эквивалентности
конечен. Соответственно, каждое корневое дерево 'Тр тоже
конечно.
Обратим внимание, что, по-видимому, существует некоторая
связь между кардинальной степенью полноты логик Лукасевича L„
(см. раздел 3.3.2 и Приложение 1) и корневыми деревьями для
простых чисел, т.е. между функциями у(п) и <р~} (/?). Простое
наблюдение показывает, что именно для больших корневых
деревьев функция у(р) также дает большие значения. Поскольку
степень кардинальной полноты конечно-значных логик Ln всегда
конечна, то нахождение такой связи между указанными
функциями дало бы утвердительное решение данной гипотезы.
Итак, каждое простое число р представимо в виде корне-
вого дерева с выделенной вершиной р. В итоге происходит струк-
турализация простых чисел, и здесь мы находимся только в начале
этого процесса.
6.4.	р-абелевы группы
Известно, что корневые деревья широко используются в
комбинаторике, вычислительной технике, химии и физике и в
особенности при решении различных перечислительных задач.
Поэтому соответствие между корневыми деревьями и простыми
числами может оказаться весьма полезным.
В связи с этим обратим внимание на работу А.Хэлса [Hales
1971], где по каждому корневому дереву строится р-абелева
группа, т е коммутативная группа, порядки всех элементов кото-
рых являются степенями фиксированного простого числа.
Пусть р - произвольное простое число. Вершины дерева,
кроме корневой, выступают в качестве образующих элементов хь
..., хп, и для каждого направленного ребра i —> j (сверху вниз)
принимается соотношение рх, = Xj (или, если j = t, где t - корень
дерева, рх-, = 0 р-абелева группа Gp имеет р" элементов. Поскольку
р в Gp является произвольным простым числом, то данное пред-
ставление имеет сугубо теоретический интерес. Но так как в нашем
случае каждое простое число р представимо в виде только «своего»
корневого дерева Т\, то теперь для каждого такого дерева стро-
ится конкретная р-абелева группа. Например, пусть р = 3. Тогда
135
по корневому дереву Т3 (см. выше), имеющему кроме корня две
вершины X) = 4 и х2 = 6, следующим образом задается /«-абелева
группа G3.
X) ф xi ф X) = 0 и х2 Ф х2 Ф х2 = О,
где Ф есть групповая операция, 0 есть единичный элемент группы
и G3 имеет 9 (=32) элементов. Таким образом, каждое простое
число обладает определенной Gp-структурой.
Как следует из [Hales 1971],/«-абелевы группы представлены
классом эквивалентных корневых деревьев. Перечисление этих
классов поставлено Хэлсом в качестве сложнейшей проблемы. Эта
проблема решена в [Schulz 1982], где алгоритмически строятся
(вычисляются на компьютере) все представления данной группы
В результате имеем
Рис. 1
где р - простое число, Тр - корневое дерево, представляющее это
число, Gp - /«-абелева группа, представляющая данное Тр, {Ti, Т2,
Т3,. . .,Тт} - класс корневых деревьев, представляющих данное Gp
и изоморфных Тр. Отсюда следует, что существуют простые
числа, которые представимы некоторым классом изоморфных
деревьев, хотя для многих корневых деревьев класс
эквивалентности состоит из самого этого дерева, например, {СГ2},
{Т3}, {Тз} ит.д.
Обратим внимание на весьма важный факт не каждому
корневому дереву из класса всех корневых деревьев можно поста-
вить в соответствие простое число в предложенном нами алго-
ритме (см. раздел 6.3). И эта невозможность принципиальна
Например, нельзя закодировать простым числом следующее
дерево.
136
b
a
P
Рис. 2
Поскольку вершина а должна обозначаться нечетным числом
v0 (в силу того, что имеется вершина Ь), то должна существовать
вершина с числом 2а (в силу мультипликативности функции <р(н)
<p(2-v0) = <p(2)-(p(v0) = 1  <p(v0) = tp(v0)), т.е. дерево приобретает
следующий вид:
Рис. 3
Но и такое дерево не кодируется у нас простым числом,
поскольку для существования только одного такого ребра от а к Ь
должно выполняться условие jV(p(w) = 1, гдеТУфОя) есть число чисел
п, для которых функция <р(н) = ти, т.е. найдется только одно такое
п. Здесь самым неожиданным образом мы вышли на известную
гипотезу Кармикайла (R. Carmichael) о функции Эйлера <р(н), кото-
рая утверждает, что для любого т уравнение <р(н) = т либо
неразрешимо, либо имеет по крайней мере два решения. Например,
для т = 14 не имеет решений, а для т = 54 - только два решения
81 и 162. Как показано в [Ribenboim 1996, рр 39-40], эта гипотеза
эквивалентна утверждению, что существуют т п такие, что
ф(и) = <р(т).
11 Число получило название «многочисленности» (multiplicity) [Guy 1994,
р. 94]. Крупнейший польский математик В. Серпинский высказал гипотез)
что все целые числа выступают в качестве N<p(m) П. Эрдёш доказал [Erdos
1958], что, появившись однажды, число N<p(m) появляется бесконечно много
раз Гипотеза Серпинского была доказана К. Фордом [Ford 1998 а, 1998 Ь].
137
Гипотеза была доказана Кармикайлем в статье {Carmichael
1907]. Этот результат появился даже в качестве упражнения в
книге [Carmichael 1914]. Однако им же самим была обнаружена
ошибка в доказательстве [Carmichael 1922] и с этого времени
гипотеза остается открытой. Был предпринят целый ряд попыток
найти контрпример или хотя бы определить нижнюю границу для
контрпримера (см. [Klee 1947, 1969], [Masai & Valette 1982], [Hagis
1986]), пока в статье [Schlafly & Wagon 1994] было показано, что
любой контрпример гипотезе Кармикайла должен иметь больше
чем 10 000 000 цифр. Это значит, возвращаясь к рис 3, что в этом
огромном интервале, если а является значением функции <р(х), то
всегда найдется как минимум два решения уравнения ф(х) = а, а
именно Ь} и Ь2. Тогда рис. 3 примет следующий вид:
Рис. 4
Правда, для первой тысячи простых чисел подобного дерева
не нашлось.
Одним словом, соответствие между корневыми деревьями и
простыми числами не является взаимно-однозначным12. А это
приводит к тому, что могут существовать такие классы эквива-
лентности {Ti, Т2, Тз,... , Тт}, в каждом из которых нет ни одного
дерева Tfl Как раз пример класса изоморфных деревьев,
приведенных в [Schulz 1982, р. 213], является таковым. Здесь воз-
никает истинная
ПРОБЛЕМА. Определить подкласс р-абелевых групп, которые
характеризуются только р-деревьями.
Тогда на этом пути можно было бы утвердительно решить
гипотезу Кармикайля, если окажется, что этот подкласс р-абеле-
12 В [Gobel 1980] устанавливается взаимно-однозначное соответствие между
множеством всех натуральных чисел и множеством корневых деревьев.
138
вых групп обладает свойством, которое не допускает пред-
ставления в виде деревьев, подобных приведенным на рис 2 и 3
Однако деревьям, приведенным на этих рисунках, соответствуют
простые числа, если сами деревья представить в «более компакт-
ном виде». Тем более, что из доказательства гипотезы Серпинского
следует, что мощность большинства деревьев необъятна
6.5. Сокращенные корневые деревья
Обратим внимание, что полужирным шрифтом в дереве для
простого числа 241 выделены вершины, для которых (р 1 (v0)
0, т е. выделены только вершины дерева, которые кодируются
нечетными числами v0, такими, что v0-l есть значение функции
Эйлера. Деревья с таким множеством вершин назовем сокращен-
ными корневыми деревьями (их еще называют деревьями без вися-
чих вершин, кроме корневой). Таким образом, число вершин
сокращенного корневого дерева (С.К.Д.) есть число применений
функции (р~} (v0). Приведем С.К.Д. для некоторых простых
чисел. Для большинства простых чисел С.К.Д. будут обозначаться
точками и кодироваться самими простыми числами, например, в
первой сотне натуральных чисел таких деревьев будет 18 2, 3, 5,
11, 17, 19, 23, 29, 31, 47, 53, 59, 67, 71, 79, 83, 89, 97. Приведем
другие С.К.Д. для нескольких первых простых чисел:
45	165
I	I
25	33	81
9	21	57	5^5
7	13	37	41
Далее, начиная с простого числа 101 (№ 26) и до числа 541
(№ 100), будем представлять деревья (в данном случае С.К.Д.)
опять же, как их принято сохранять в текстовых файлах13:
13 Для простого числа 181 в [Карпенко 1983, с. 109] и, соответственно, в
[Карпенко 1989, с. 200] С.К.Д. построено неправильно.
139
101
103
107
109
133
101
205
201
113
145
185
273
289
585
127
131
137
139
149
151
157
169
261
393
163
167
173
179
140
181
209
265
217
333
501
625
689
865
1377
1665
785
985
1113
1185
297
191
193
221
253
301
453
381
441
357
537
197
199
211
223
227
229
141
233
295
343
361
693
1041
1965
239
241
325
513
369
705
1173
1761
2225
2785
4893
7341
11013
16521
385
765
465
885
1329
525
251
257
263
269
271
277
329
417
142
281
283
293
307
311
313
477
717
507
529
801
1025
1285
1353
897
1005
317
331
337
347
349
353
445
359
367
373
143
379
383
389
397
469
553
621
933
1401
401
505
637
409
419
421
633
431
433
481
861
1293
1941
2913
545
685
657
665
777
439
443
144
449
493
581
649
981
1473
1197
565
849
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
589
813
841
1225
2163
2209
1617
837
145
Теперь нетрудно показать, что деревья на рис. 2 и 3, если их
рассматривать как С.К.Д., соответственно кодируются простыми
числами, например, 401 и 1381:
637
505
401
Рис. 4
Представление простых чисел в виде С.К Д. ставит новые
проблемы. Пусть Тг - число корневых деревьев, имеющих г
вершин. Вопрос о числе изоморфных корневых деревьев порядка г
детально рассмотрен в книге [Харари & Палмер 1977]. Там же в
качестве примера приведены корневые деревья не выше четвертого
порядка, т.е. для г < 4
14 Сайт в Интернете (см. [Ruskey 1996-2000]) начинается сразу с графов для
корневых деревьев ранга г < 5, число которых 9.
146
Можно показать, что для каждого из деревьев на рис. 5, взя-
того как С.К.Д., существует простое число. Для всех них (кроме
второго дерева в г = 4) примеры можно найти в разделе 6.4.
Оставшееся же дерево, как уже показано, кодируется простым
числом 1381, которое является наибольшим для деревьев ранга 4.
Все С.К.Д. ранга 5 также кодируются простыми числами, наиболь-
шее из которых уже 26177.
В связи с предложенными представлениями простых чисел
возникает ряд вопросов:
1.	Характеризуется ли каждое натуральное число п > 2
Tp-деревом, число вершин которого соответствует
этому числу? Например, число 2 характеризуется СС2-
деревом (и многими другими, а именно всеми р-
деревьями вида {р, 2р}), 3 - ^-деревом; 4 - Т7-
деревом; 5 - Т^т-деревом; 6 - “Г;7-деревом; для числа
7 соответсвующего дерева для первой сотни простых
чисел нет.
2.	Этот же вопрос относится и к С.К.Д. для п > 1. Напри-
мер, число 1 характеризуется “Т^-деревом; 2 - “Тг
деревом; 3 - 7"^77-деревом; 4 - -деревом; 5 - Т" 13-
деревом; 6 - 7"^-деревом; 7 - “Г73-деревом, и т.д. В
свою очередь, для всякого ли изоморфного С.К.Д.
поряда г существует простое число? Для г < 4, как было
показано, это имеет место.
3.	Конечна или бесконечна мощность простых чисел
представимых: а) одним и тем же Тр, Ь) одним и тем
же С.К.Д. Например, в первой сотне простых чисел
содержится 60 Т^-деревьев вида {/>, 2р} и 77 С.К.Д.
ранга 1; 4 С.К.Д. ранга 2, и т.д.
Таким образом, от разбиения натурального ряда чисел на
классы эквивалентности, в каждом из которых содержится одно и
только одно простое число, мы перешли к различным разбиениям
на классы эквивалентности самого ряда простых чисел.
Одним из таких отношений эквивалентности может служить
число к применений обратной функции Эйлера (р 1 (v0). При к =
1, как уже отмечалось, в класс эквивалентности из первой сотни
простых чисел попадают 77 чисел (включая число 2), из второй
сотни - 76 чисел. При к = 2 имеем, соответственно, 2 и 6.
147
Другим отношением эквивалентности на множестве простых
чисел может служить количество вершин п Tp-дерева, начиная с п
- 2, 3, 4, 5, или количество вершин п С.К.Д., начиная с п = 1, 2,
3, 4,5, ...
В Таблицах чисел (таблица 3) приведены оценки мощности
обычных корневых деревьев "Тр и сокращенных корневых деревьев
С.К.Д. дляр < 1000.
7. МАТРИЧНАЯ ЛОГИКА ДЛЯ ПРОСТЫХ
ЧИСЕЛ
Оказывается, можно построить такую матричную логику
&п+1, которая имеет класс тавтологий т.т.т., когда п есть простое
число. Более того, удается показать, что по своим функциональным
свойствам Кп+] совпадает с логикой Лукасевича Ln+S для случая,
когда п есть простое число. Отсюда приходим к идее построения
штриха Шеффера для простых чисел. В результате получаем фор-
мулу, в которую штрих Шеффера входит 648 042 744 959 раз.
Логика Кп+1 определеяет класс тавтологий, алгебро-логических
полиномов, каждый из которых задает алгоритм вычисления
простых чисел. Эти вычисления весьма громоздки, но если
рассмотреть комбинацию двух матричных логик К„+1 и K'„+i, то
можно определить закон порождения классов простых чисел. Дока-
зывается, что в эти классы попадают все простые числа. Таким
образом, множество простых чисел разбивается на определенные
классы эквивалентности, задаваемых некоторыми свойствами
импликации Лукасевича.
7.1.	Характеризация простых чисел посредством
матричной логики Kn+i
Возвращаясь к теореме В.К.Финна о критерии функциональ-
ной предполноты класса функций LniI (см. выше раздел 5.3),
напомним, что главный и несколько неожиданный результат
состоит в том, что простые числа характеризуются посредством
предполных классов функций, соответствующих конечнозначным
логикам Лукасевича Ln+i. Это наводит на мысль о построении
такой многозначной матричной логики (обозначим ее посредством
Kn+i), которая имеет класс тавтологий т.т.т., когда п есть простое
число. Тогда простые числа определялись бы классами тавтологий
логики Kn+i [Карпенко 1982].
Определим матрицу ЗП* 1 следующим образом:
ЗЯ* 1 = < Vn+b ~, ->к, {п} > (и>3, neN), где
~х = п-х,
149
у, если 0 < х < у <п и (x,j>) =£ 1 (/)
у, если О < х - у <п	(if)
х -> у, в остальных случаях (Ш),
где (х, у) Ф 1 обозначает, что х и у не являются взаимнопростыми
числами, т. е. х и у имеют общий делитель, отличный от 1, а х —> у
есть импликация Лукасевича, которую для сравнения с импли-
кацией х —>к у определим следующим образом:
п, если х < у
х —> у — >
[п - х + у, если х > у.
Таким образом, функция х —>к у существенно отличается от х —> у,
когда 0 < х <у < п.
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —>к у обозна-
чим посредством К„+1.
Следующие два свойства исходных матричных функций (как
и в L„+i) особенно важны .
—х = х	(закон снятия двойного отрицания),
х —> у = ~у —> ~х (контрпозиция)
В дальнейшем нам понадобятся следующие два свойства
отношения делимости (сокращенно: с.о.д.) (см. [Бухштаб I960]):
I (с.о.д ). Если числа х и у делятся на z, то их сумма х+у
делится на z.
II (с.о.д ). Если числа х и у делятся на z, причем х > у, то и
их разность х-у делится на z.
Лемма 1. Пусть п есть простое число. Тогда, если х < ~х, то
X —>к ~х = п.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Сначала покажем, что (х, п-х) = 1, т.е. г и п-х есть взаимно-
простые числа. Допустим обратное, т. е. (х, п-х) 1. Тогда d\x и
d\n-x, где d есть делитель х и п-х, отличный от 1. Тогда из Цс.о.д)
следует, что d\(x+n-x), т. е d\n. Но это противоречит условию, что п
есть простое число. Таким образом, (х, п-х) = 1. Отсюда в силу
пункта (Ш) определения х ->ку, х ->к~х = п. Лемма 1 доказана.
150
Теперь мы можем дать определение простого числа в терми-
нах класса общезначимых формул.
Теорема 1. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
пе К„+/.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
I. Достаточность. Если п есть простое число, топе Kn+i.
Пусть п есть простое число. Тогда существует такая формула U.
~((х ->ку) ->к~(х ->ку)) ->к(~(х ->ку) ->к(х ->ку)),
что U = п. Рассмотрим подформулы U] - (х —>ку) —>к ~(х —>ку) и
U2 = ~(х —>ку) —>к (х —>ку). Очевидно, что для тех случаев, когда
х —>к у = 0 или х —>к у = п, U - п. В силу леммы 1, если х —>ку <
и/2, то Ui = п, и тогда ~Ui = 0. Отсюда в силу пункта (ш) определе-
ния х —>ку, ~Ui —>к U2 = п, т. е. U = п. Если же х —>ку > м/2, то U2 =
п. Отсюда, ~Ui —>к U2 = п, т. е. U = п.
II. Необходимость. Если п е Kn+i, то п есть простое число.
Докажем контрпозицию этого утверждения. Пусть п не есть про-
стое число. Тогда п имеет делители (по крайней мере один),
отличные от 1 и п. Пусть d есть один из таких фиксированных
делителей. Посредством D обозначим множество элементов вида
m-d, где тее{1, 2, ..., (n/d)-\}. Таким образом, D есть класс положи-
тельных чисел, сравнимых по модулю d, такой, что m-d = 0(mod d).
Покажем, что множество D замкнуто относительно ~х и х —>ку.
Пусть х е D, т е. х = m-d. Тогда ~х = n-(m-d). Из И(с.о.д.)
следует, что d\n-(m-d). Отсюда ~х е D.
Пусть х, ye D и х = m,-d, у = m^d. Тогда х ~^ку = m{-d —>к m.-d.
Имеем два случая.
1) m. d < m.-d. Из определения х —>ку следует, что m.-d —>к
m,-d = m}-d. Отсюда, х —>ку е D.
2) mx-d > m^d. Из определения х —>ку следует, что mx d —>к
m,-d = n-m^-d+myd. Из П(с.о.д.) и 1(с.о. д.) следует, что d\n-
mcd+m^d. Отсюда х —>ку е D.
Следовательно, если п не есть простое число, то не существует
суперпозиции f(x) функций ~х и х —>ку такой, что f(x) = п.
Таким образом, теорема 2 дает новое определение простого
числа. Введя обычным образом пропозициональный язык и функ-
151
цию оценки v на нем (см. раздел 3.2), получаем, что матричная
логика Кп+1 имеет класс тавтологий т.т.т., когда п есть простое
число, т.е. каждое простое число определяется соответствующим
классом тавтологий. В связи с этим возникает нетривиальный
вопрос о функциональных свойствах Kn+i.
7.1.1. Функциональные свойства логики Kn+i
Теорема 2. Для любого п > 3 такого, что п есть простое число,
Кп+! = Ln+i {Карпенко 1989], [Karpenko 1989].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
I. К„+1 с Lп+1
Из определения х —>к у следует, что множество функций Кп+1
не является функционально полным ни для какого п >. 2. По край-
ней мере функции ~х и х —>к у сохраняют множество значений {О,
п}, как и множество функций Ln+I. Поскольку множество £„+/
функционально предполно для случая, когда п есть простое число
[Бочвар & Финн 1972] (см. выше раздел 5.3), то для этого случая
Кп+1 cz Бп+1.
II. Ln+I с Кп+1
Надо показать, что функция х —> у определима посред-ством
суперпозиции ~х и х —>к у. Это можно сделать с помощью
следующих определений:
(А) х —у = ~((у —>кх) —>к~(у —>кх)) —>к(х -»ку)
(S)	х v’ у = (х у) ->1 у
(С)	х ->2 у = ((х -»ку) ->к (~у ->к ~х)) v1
((~У ->к ~х) ->к ((х ->ку))
(D)	X vK у = (х —>к у) —>к у
(Е)	х v2у = (х vKy) v1 (х vKy) = х vy = тах(к,у)
(F)	х ->3 у = (х ->к у) v2 (~у ->к ~х)
(G)	xv3y = (x-»3y)-»3y
(/7) х ->4 у = ((х v3y) ->2 (х v2y)) (х ->3 у)
(7) х —>s у = (х —>4 у) v1 (~у ->4 ~х) = х —> у = min(n, п- х+ у)
152
Рассмотрим каждое из этих определений, выделяя в них
только те свойства, которые используются для определения х —> у.
(А)	х —у = ~((у —>кх) ->к~(у —>кх)) —>к (х —>к у)
1.	Пусть х < у и у = п. Тогда х —>к у = п (Hi). Отсюда х —у
= и = х —> у.
2.	Пусть х = у. Имеем два случая:
2.1.	х < п/2. Имеем два подслучая:
2.1.1.	х = 0. Тогда в силу определения х —/ у (Hi), х —>к у =
п. Отсюда, х —у = х —> у.
2.1.2.	х Ф 0. Тогда х —у = ~(х —>" ~х) —>к х. В силу леммы
1, х —>к ~х - п. Отсюда ~(х —>к ~х) = 0 и, следовательно, х —у
= 0 —>к х = п = х —> у.
2.2.	х > п/2
2.2.1.	х = п. Тогда х —/ у = п. Отсюда х —у = п = х —> у
2.2.2.	х Ф п. Тогда х —у = ~(х —/ ~х) —/ х = (п - (и - х + п
- х)) —>к х = (2х - п) —>к х. Покажем, что ((2х - и), х) = 1. Допустим
обратное, т. е. d\ (2х - п) и d\х, где d * 1. Заметим, что (2х - и) < х
для любого х > п/2. Тогда из П(с.о.д.) следует, что d\ (х - (2х - и)),
т. е. d\ (п - х). Поскольку d\х, то из Цс.о.д.) следует, что d\ (п - х +
х), т. е. rf| п, а это противоречит условию теоремы о том, что п есть
простое число. Следовательно, допущение неверно и в силу
определения х —>к у (Hi), ~(х	~х) —>к х = п. Отсюда х —> у =
х->у.
3.	х > у и х = п- Тогда у —>к х = п и х —>" у = у. Отсюда
X —у = ~(п	0) —>к у = п у = у = X —у.
Обратим внимание на то, что х —у в отличие от х —>* у
всегда принимает значение п, когда х = у, т.е. как и импликация
Лукасевича х -> у. Теперь заметим, что из свойств х —у следует,
что при п =3 и п = 5 для любых 0 < х, у < 5, х у = х —> у. Но уже
при п = 7, если х = 4 и у = 2, то х у = 7, тогда как х —> у = 5
Таким образом, если х > у, то в общем случае х —у х -> у.
(В)	х v1 у = (х у) у
Поскольку х v1 у определяется анологичным образом, как и
дизъюнкция Лукасевича х v у = (х —> у) —> у, то для случаев, когда
х —у = (х —> у), х v1 у = тах(х, у).
153
(С)	х ->2 у = ((х ->ку) ->к (~у ->к ~х)) V1
((~у ->к ~х) ->к ((х —>ку)).
Рассмотрим подформулы С! = (х —>ку) —>к (~у —>к ~х) и Сг =
((~У ->к ~х) ->к ((х —>ку))
1.	х<уиу = и. Тогда х ->к у = п- Отсюда С2 = п и, значит,
Ci v1 С2 = п. Следовательно, х ->2 у = х -> у.
2.	х = у-
2.1.	х<п/2.
2.1.1.	х = 0. Тогда х ->к у = п и, следовательно, х ->2 у =
х -> у (см. случай С. 1).
2.1.2-	х 0. Тогда С! = х ->к ~х. По лемме 1, х ->к ~х = п
Отсюда Ct v1 С2 = п и, следовательно, х —>2 у = х -> у.
2.2.	х>л/2.
2.2.1.	х = п. Тогда ~у —>к ~х = п. Отсюда С\= п н, значит,
Ci v1 С2 = п. Следовательно, х —>2 у = х -» у.
2.2.2.	х Ф п. Тогда С2 = ~х ->к х - п и, следовательно,
х->2 у = х-> у (см С 21.2).
3.	х > у и х, у е {1, 2,..., п-1}. Из определения х ->к у
следует, что тогда х у = х -> у. Поскольку х —> у = ~у -> ~х, то
х ->к у = ~у ->к ~х. Тогда в силу определения х ->к у (н), С] =
(х ->к у) ->к (~у ->к ~х) = х -> у и С2 = (~у ->к ~х) ->к (х ->к у) =
х -> у. Следовательно, х ->2 у = Cj v1 С2 = х —> у.
Таким образом, если х > у, то в отличие от х	у, х —>2 у = х
—> у для всех х, у е {1,2,..., л-1}
(D)	х vKy = (х->ку)->ку:
1.	X < у.
1.1.	х = 0 или/и у = п. Тогда х -»к у = п и, следовательно,
х vKy = п —>к у = у = тах(х, у).
1.2.	(х, у) = 1. Тогда х ->к у = п и, следовательно, х vK у =
п ->к у = у = тах(х, у)
1.3.	(х, у) * 1 • Тогда х ->к у = у и, следовательно, х vK у =
у ->к у = у = /пах(х, у).
2.	х = у.
2.1.	х, у е {0, п}. Тогда х ->ку = п и, следовательно, х vKy
= п —>к у = у = тах{х, у).
154
2.2.	хе {1, 2,..., и-1}. Тогда х —>к у = у и, следовательно,
х vKy = у —>к у = у = /ипх(х, у).
3.	х > у. Имеем два под случая.
3.1.	х Ф п. Тогда в силу определения х —>к у, х vK у =
(и - х + у) —>к у = и-(и-х + у) + у = х = /ипх(х, у).
3.2.	х = п . Тогда х vK у = (и - и + у) —>к у = у —>к у. Имеем
два подслучая.
3.2.1.	у = 0. Тогда х vKy = у —>к у = и = /ипх(х, у).
3.2.2.	у 0. Тогда х vKу = у у = у -* тах(х, у).
Таким образом, дизъюнкция х vK у в отличие от х v у не явля-
ется коммутативной, а именно в последнем подслучае. Отсюда х
vK у типх(х, у). Заметим, что х v1 у = тах(х, у) для этого
подслучая и это свойство х v’ у существенно использовалось при
определении х —>2 у.
(Е)	xv2y = (x VKy) V1 (у vKx) = х vy = /ипх(х, у).
Достаточно проверить случай (D.3.2) т.е. пусть х = и и У * 0.
Тогда у vKx = и и, следовательно, xv2y-xvy = тах(х, у).
(Е)	х ->3 у = (х ->ку) v2 (~у ->к~х).
1.	X < у.
1.1.	х = 0 и/или у = и. Тогда х —>к у = и и у —>к ~х = и
Отсюда х —>3 у = и = х —> у.
1.2.	(х, у) = 1 и/или (и - у, и - х) = 1. Тогда х —>к у = и и/или
~у —>к ~х = и Отсюда х—>3у = и = х—>у.
1.3.	(х, у) * 1 и/или (и - у, п - х) Ф 1 (например, если п = 11,
х = 2 и у = 8, то ~у = 3 и ~х = 9). Тогда х —>ку = у и ~у —>к ~х = ~х
Отсюда х —>3 у = у v2 ~х. Имеем два подслучая:
1.3.1.	(х + у) < п. Тогда у < (и - х). В противном случае
(х + у) > п, что противоречит допущению. Поэтому х —>3 у = ~х
1.3.2.	(х + у) > п. Тогда у > (п - х) и, следовательно,
х —>3 у = у.
2.	х = у-
2.1.	х < и/2.
2.1.1,	х = 0. Тогда х —>к у = и и, следовательно, х —>3 у =
и v2 (~у —>к~х) = п = х —> у.
2.1.2.	х * 0. Тогда х —>к у = х и ~у —>к ~х = ~х, где х < ~х
Отсюда х —>3 у = х v2 ~х = ~х.
155
2.2.	х > п/2.
2.2.1.	х = п. Тогда ~у —>к~х = п и, следовательно, х —>3 у =
(х —>ку) v2 п = х -> у.
2.2.2.	х п. Тогда х —>к у = х и ~у —>к ~х = ~х, где х > ~х
Отсюда х —>3 у - х v2 ~х = х
3.	х > у. Поскольку х —>к у = х —> у для этого случая, то
х —>3у = х —> у.
(G) х73у = (х->3у)ч5у.
1.	X < у.
1.2.	(х, у) = 1 и/или (п - у, п - х) = 1. Тогда в силу (F. 1.1)
х —>3 у = п, и, следовательно, х v3y = п —>3 у = у (F.3).
1.3.	(х, у) 1 и/или (« - у, п - х) 1-
1.3.1.	(х + у) < п. Тогда х —>3 у = ~х (F. 1.3.1) и, следова-
тельно, х v3y = ~х —>3 у. В силу (F.1.3.1), у < ~х. Отсюда х v3y =
~х —>3 у = и - (« - х) + у = х + у (F 3).
1.3.2.	(х + у) > п. Тогда х —>3 у = у (F 1.3.2) и, следова-
тельно, х v3 у = у —>3 у. Из условий (G. 1) и (G. 1.3.2) следует, что у
> п/2, а из (G. 1.3) следует, что у п. Отсюда xv3y = y—>3у = у
(F. 2.2.2).
2.	х = у-
2.1.	х < п/2 
2.1.1. х = 0. Тогда х —>3 у = п (F.2.1.1) и, следовательно,
xv3y = /w3y = y (F.3).
2.1.2 х Ф 0. Тогда х —>3 у = ~х (F.2.1.2) и, следовательно,
х v3 у = ~х —>3 у Поскольку х = у и ~х > х, то х v3 у = ~х —>3 х =
п - (п - х) + х - х + х = 2х (F 3).
2.2.	х > п/2.
2.2.1.	х = п. Тогда х у = х (F.2.2.2) и, следовательно,
х v3 у = п —>3 у = у (F. 3)
2.2.2.	х Ф п. Тогда х —>3 у = х (F.2.2.2) и, следовательно,
х v3y = х —>3 у = х (F.2.2.2).
3.	х > у и х п. Тогда х —>3 у = п - х + у (F 3). Поскольку
(п - х + у) > у, то х v3 у - (п - х + у) —>3 у = п - (п - х + у) + у = х
(F.3).
(77)	х -»4 у = ((х v3y) ->2 (х v2y)) (х ->3 у).
1.	х < у.
156
1.1.	х = 0 и/или у = п. Тогда х —>3 у = и (F. 1.1). Отсюда в
силу свойств х —у, х —>4 у = п = х —> у.
1.2.	(х, у) = 1 и/или (и - у, п - х) = 1. Тогда х —>3 у = п
(FA.2). Отсюда в силу свойств х —>' у, х —>4 у = п = х —> у.
1.3.	(х, у) Ф 1 и/или (и - у, п - х) Ф 1.
1.3.1.	(х + у) < п. Тогда х v3y = х + у (G. 1.3.1), х v2y = у (Е)
и х —>3 у = ~х (F. 1.3.1). Отсюда х —>4 у = ((х + у) —>2 у) —~х =
(и - х - у + у) ~х = ~х ~х = п = х -> у (С.З) и (А 2.2.2).
1.3.2.	(х + у) > п .Тогда х v3y = у (G 1 3 2), х v2y = у (Е) и
х —>3 у = у (F. 1.3.2). Отсюда х —>4 у = (у —>2 у) —у = п —>’ у = у
(С.2.2.2) и (А-3). Следовательно х —>4 у =£ х —> у.
2.	х = у.
2.1.	х < п!2.
2.1.1.	х = 0. Тогда х —>3 у = п (F2.1.1). Отсюда х —>4 у =
и = х—>у(/71 1)
2.1.2.	х Ф 0  Тогда х v3 у = 2х (G.2.1.2), х v2 у = х (Е) и
х —>3 у = ~х (Е 2.1.2). Отсюда х —>4 у = (2х —>2 х) —>’ ~х = (п - 2х +
х) —~х = ~х —~х = п = х —> у (С-3) и (Л.2.2.2).
2.2.	х > п/2 
2.2.1.	х = п. Тогда х —>3 у = п (F.2.2.1). Отсюда х —>4 у = п =
х->у (Я.1.1).
2.2.2.	х п Тогда х v3y = х (G.2.2.2), х v2y = х (Е) и х —>3 у
= х (F.2.2.2). Отсюда х —>4 у = (х —>2 х) —>' х = п —>' х = х (С.2.2.2)
и (А.З). Следовательно, х —>4 у * х —> у.
3.	х > у.
3.1.	х Ф п. Тогда х v3 у = х (G. 3), х v2 у = х (Е) и х —>3 у =
х —> у (F3). Отсюда х —>4 у = (х —>2 х) —>' (х -> у) = п —(х —> у) =
х —> у (С-2) и (А.З).
3.2.	х = п. Тогда х v2 у = п (Е) и х —>3 у = у (F.3). Отсюда
(х v3y) —>2 х v2y = п (в силу свойств х —>2 у). Следовательно х —>4 у
= п —>' у = у = х —> у (А.З).
(Г) х —>5 у = (х —>4 у) v1 (~у —>4 ~х) = х —> у = тт(п, п-х+у).
Рассмотрим случаи, когда х —>4 у = х —> у. Поскольку х —> у =
~у —> ~х, то х —>4 у = ~у —>4 ~х. Отсюда, в силу свойств х v' у,
х —>5 у = х —>4 у - х —> у.
Рассмотрим два случая из (Н), в которых х —>4 у Ф х —> у
157
1.3.2. х < у, (х, у) * 1 и/или (п - у, п - х) * 1, (х + у) > п.
Тогда х ->4 у = у (Н. 1.3.2) и ~у ->4 ~х = п (Н. 1.3.1). Отсюда х ->5 у
== у V1 и = и = х -> у (В).
2.2.2. х = у, х > п/2 и х * п. Тогда х —>4 у = х (Н.2.2.2) и
~У ->4~х = n (Н.2.1.2). Отсюда х ->5 у = х v1 п = п = х —> у (В).
Таким образом, для любых х и у, х —>5 у = х —> у и, следова-
тельно L„+I с Кп+1. В итоге Теорема 1 доказана1.
Из этой теоремы следует (как и в случае для Ln+i), что суще-
ствует бесконечная последовательность /?s+1-значных логик Лука-
севича (ps - s-e в порядке возрастания простое число в натураль-
ном ряду чисел), которым соответствует последователь-ность
предполных множеств функций, такая, что L р +1 = Тр +] для всех .v
= 1, 2, . . .. Но в отличие от Еп+) в Кп+) только таким множествам
функций соответствует матричное построение логики в определен-
ном выше смысле.
Подчеркнем, что доказательство функциональной эквива-
лентности множеств функций Ln+, и Кп+1 ведется только для
случая, когда п есть простое число, т.е. для последовательности
простых чисел, а не для всего натурального ряда чисел. Отсюда и
сложность аналитического выражения (Л) - (7), доказывающего
эту эквивалентность, которое содержит 21 345 281 вхождение
импликации х —>к у.
Теперь мы можем дать еще одно определение простого числа,
но уже в терминах равенства двух классов функций:
Теорема 3. Для любого п> 3 п есть простое число т.т.т., когда
Kn+i — В„+].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
I. Если п > 3 есть простое число, то К„+! ~ L„+J (теорема 2).
И. Если K„+i = L„+i, то м > 3 есть простое число. Докажем
контрпозицию этого утверждения. Пусть п > 3 не есть простое
число. Тогда из теоремы 1 (необходимость) следует, что п <£ K„+h
Но свойства множества функций L„+/ такие, что п е £л+/ для
1 Эта теорема имеет место также и для случая, когда п = 2, но тогда нужно
ввести некоторые ограничения на пункты (;) и (п) в определении функции
х ->к у, что несколько осложнит доказательство, или просто положить, что для
этого случая х —>к у = х —> у.
158
любого п > 3. Следовательно, если п > 3 не есть простое число, то
Kn+i Тп+1-
Таким образом, теорема 3 доказана.
7.2. Матричная логика K’n+i
Доказательство теоремы 2 оказалось довольно-таки
сложным и поэтому возникает естественный вопрос о более
простой характеризации простых чисел посредством логи-
ческих матриц. Оказывается, это можно сделать за счет
ограничения свойств функции х ->ку.
Определим матрицу Эй *+] следующим образом:
®l*+, = < Vn+1, ~, ->к', {п} > (п>3, neN), где
~х = п-х,
х, если 0 < х < у <п, (х,у) + \ и (х + у) <п	(i})
у, если 0 < х < у <п, (х,у) + \ и (х + у) > п	(/2)
у, если 0 < х = у <п
х —> у, в остальных случаях
(»)
(»0>
где (х, у) + 1 обозначает, что х и у не являются взаимнопростыми
числами, а х —> у есть импликация Лукасевича.
Таким образом, случай (?) в определении функции х —>к у
разделился на два подслучая (ц) и (z2) в определении функции
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —>к у обо-
значим посредством K'n+i.
Лемма 1*. Пусть п есть простое число. Тогда, если х < ~х, то
V
X —> —X = п.
Доказательство аналогично лемме 1.
Теорема Г. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
п е К'пи-
Доказательство аналогично теореме 1.
159
Теорема 2'. Для любого п> 3 такого, что п есть простое число,
X п+1 Дп+[.
Нас интересует случай
И. Ln+t с К'п+Г-
(А') х -у’’у = ~((у ~>к х) ~»к ~(у ->к'х)) ~>к' (х -Ук'у)
(В} х v1 у = (х —у) У
(С") х -V у = ~у -ук' ~х
(Д') х -У5 у = х ->2’ ((у ~Уу) ->2'~у
(£") х ->3'у = ~у ->s -х
(F1) х ->4' у = ((х -Ук'у) -У3' (~у -Ук'~х)) V1'
((~У -*к' ~х) V (х—>к у)) = X -э- у.
Полное доказательство имеется в [Карпенко 1995].
Более того, удалось упростить и это выражение [Карпенко
1999]. Здесь приведем полное доказательство.
(А') х ->’’у = ~((у -Ук'х) -Ук'~(у *УК х)) ->к'(х -ук'у)
(Д') х v’ y = (х —у) -У1 у
(С) х -у2' у = ~(~х -Ук ~(х -ук'х)) —>к у
(О') х ->3' у = ((х ->к'у) -У2' (~у -Ук' ~х)) V1'
(~у -Ук' ~х) -У2' (х—>к у)) = X	у.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Рассмотрение формул (А') и (В1) такое же, как в теореме 2.
Перейдем к формуле
(С) х ->2' у = ~(~х -Ук ~(х ->*'х)) ^к'у.
Обозначим подформулу ~(~х -^к ~(х -Ук х)) посредством X.
1.	у = п. Тогда X у = п (iv). Отсюда х -У2 у = и.
2.	у = ~х и х < ~х. Тогда X = х. Отсюда х —>2 у = х -ук ~х и
в силу леммы Г, х —>2 у = п = х —> у.
3.	х = у.
160
3.1.	х = 0. ТогдаX = ~(п —>к ~(0 —>к 0) = п. Отсюда х —>2 у
= п ->к' 0 = 0.
3.2.	0 < х = у < п. Тогда X = ~(~х ->к' ~х) = х. Отсюда
X —>2 у — X —>к' у — X.
3.3.	х = п. Тогда х —>2 у = Х —>к‘ п=п.
Таким образом, для случая х = у функция х —>2 у является
идемпотентной для всех х. Это свойство окажется необходимым
при определении импликации Лукасевича х —> у в формуле (О').
(О') х ->3' у = ((х ->к'у) ->2' (~у ->к' ~х)) vr
(~у ->к' ~х) ->2' (х->ку)) = х -» у.
Пусть О'] = (х —>К' у) —>2 (~у —> К' ~х) И О 2 = (~У —> к ~х) —>2
(х->к'у).
1.	X < у.
1.1.	х = 0 и/или у = п. Тогда х —>к у = п (z'v). Отсюда О 2 = п
(С. 1) и О') v1 п = п. Следовательно, х —>3 у = п = х —>к' у.
1.2.	(х, у) = 1 и/или (п-у, п-х) = 1. Тогда х —> к у = п и/или
~у —>к ~х = п (zv). Отсюда D\ = п и/или О2 = п (С'. 1). Тогда
О'] v' О'2 = п. Следовательно, х —>3 у = п = х —> у.
1.3.	(х, у) Ф 1 и (п-у, п-х) * 1. Имеем два подслучая.
1.3.1.	(х + у) < п. Тогда в силу определения х —>к' у (ц),
х —>к у = х. Очевидно, если (х + у) < п, то (п-у + п-х) > п. Отсюда
~у —>к ~х = ~х (z2). Поскольку х < ~х, то О'] = х —>2 ~х = п (С'.2).
Тогда п v1 О 2 = п. Следовательно, х —>3 у = п = х —> у.
1.3.2.	(х + у) > п. Тогда в силу определения х —>к у = х (1'2).
Очевидно, если (х + у) > п, то (п-у + п-х) < п. Отсюда ~у —>к ~х -
~у (zi). Поскольку ~у < у, то О'2 = ~у —>2 у = п (С.2). Тогда О'] v1 п
- п. Следовательно, х —>3 у - п - х —> у.
2.	х = у.
2.1.	х < п/2.
2.1.1.	х = 0. Тогда х —>к у = п (zv). Отсюда О'2 = п (С'. 1) и
O'i v1 п = п. Следовательно, х —>3 у = п = х —> у.
2.1.2.	х 0. Тогда х —>к у = х и ~у —>к ~х = ~х (zzz). Отсюда
О'] = х ->2 ~х = п (С'.2). Тогда п v1 О'2 = п. Следовательно, х ->3 у
= п = X у.
2.2.	х > п/2.
2.2.1.	х = п. Далее так же, как в (0' 21.1).
6.	А. С. Карпенко
161
2.2.2.	х Ф п. Тогда х —>к у = х и -у —>к' ~х = ~х (Ш). Отсюда
D 2 = ~х —>2 х = п (С.2). Тогда D\ v1 п = п. Следовательно, х —у
= п = х —> у.
3.	х > у. Тогда х —>к' у = х —> у и ~у —>к' ~х = ~у —> ~х (zv).
Поскольку х —> у - ~у —> ~х, то D\ = х —> у и D'2 - х —> у (С'.З).
Тогда D'\ v1 D'2 = х —> у. Следовательно, х —>3 у = х -> у.
Таким образом, для любых х и у, х —>3 у = х —> у и, следова-
тельно, Ln+i с Kn+i. В итоге Теорема 2' доказана.
Теорема 3'. Для любого п> 3 п есть простое число т.т.т., когда
1 К п+1 •
Доказательство аналогично теореме 3.
По транзитивности из теоремы 3 и теоремы 3' следует важная
Теорема 4'. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
К п+1.
Таким образом, для случая, когда п есть простое число, функ-
ции х—>ку и х—>к у совпадают. Другими словами, ограничения (z))
и (z2) при определении х—>к у носят лишь вспомогательный
характер.
Заметим, что число вхождений функции —>к в суперпозицию
(А’) - (О’) всего 167 плюс 113 вхождений функции ~. Возникает
вопрос, можно ли заменить эти функции одной, т е. построить
штрих Шеффера для множества функций {~х, х —>к у}2
7.3. Штрих Шеффера для простых чисел
Как уже обсуждалось (см. раздел 5.2.3), для логик Лукасевича
Ln+i Дж.Мак-Кинси [McKinsey 1936] нашел штрих Шеффера,
обозначенный нами как х —>Е у:
х ->Е у = х -> ((у -> J„(y)) -> J0(y)),
т.е. доказана эквивалентность следующих множеств функций
{~х, X —> у} = {х ->Е у}.
Заменим в формуле
2 Заметим, что не для каждого множества функций существует штрих Шеффера
(см. [Rose 1969])
162
(Q х -У у = ~(~х -У ~(х ->к х)) -У у
все вхождения переменных на их отрицания, а затем их пере-
именуем: Полученную функцию обозначим посредством х —>s у, а
саму формулу посредством (5):
(5)	х -У у = ~(у -У ~(~у -У ~у)) -У ~х.
Рассмотрим свойства функции х —>s у.
1	х = 0. Тогда ~х = п и, следовательно, х -У у = и (iv).
2.	0 < х, у < п. Тогда в силу определения х —>к у (Hi) и
закона снятия двойного отрицания, х -У у = ~у —>к ~х.
3.	х = п.
3.1.	у = п. Тогда х -У у = п —У 0 = 0 (iv).
3.2.	0 < у < п. Тогда х —>sy = ~у —>к 0 = у (iv).
4	у = 0. Тогда 0 —У ~х = п (iv).
Пусть S„+i обозначает множество всех суперпозиций функции
х —У у, т е. [х -У у] = S„+I.
Теорема 5. Для любого п > 3 такого, что п есть простое число,
S„+i = K'n+i [Karpenko 1994], [Карпенко 1995].
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 3.
(l)Sn+IcK'n+l.
Доказательством является формула
(	5) х -У у = ~(у -У ~(~у -У ~у)) -У ~х.
(2) К'п+1 с Sn+I.
Посредством функции х -У у надо определить функции ~х и
х —У у.
(а)	~х = х -У х.
1.	х = 0. Тогда х -У х = п (S. 1).
2.	0 < х < п. Тогда х -У х = ~х —У ~х (S.2). Отсюда х —>s х
= ~х (Hi).
3.	х = п. Тогда х -У х = 0 (5.3.1).
Таким образом, для любого х, ~х = х —>s х.
3 Здесь доказательство несколько упрощено
163
6*
(b)	n - ~(x —>s ~x) -У ~(~x -У x).
Обозначим формулу (6) посредством N и пусть N\ есть ~(х —>s
~х) и М есть ~(~х -У х).
1.	х < nil.
1.1.	х = 0. Тогда	= ~(0 -У и). Поскольку 0 -У п - п (S. 1),
то N\ = 0. Отсюда N = 0 -У N2 = n (S. 1).
1.2.	x 0. Тогда, используя закон снятия двойного отрица-
ния и в силу определения х ->к' у (ш), N\ = ~(х —У ~х). В силу
леммы Г, х ->к’ ~х = п. Отсюда Nt = 0 и, следовательно, N = 0 -У
N2 = n(S.Y)
2.	х > и/2.
2.1.	х - п. Тогда ^2 = ~(0 -У и) = 0 (см. выше пункт 1.1).
Отсюда N = Nx -У 0 = п (5.4).
2.2.	х п. N2 = ~(~х -У х) (см. выше пункт 1.2). В силу
леммы Г, ~х ->к’ х = п. Отсюда N2 - 0 и, следовательно, N =
М -У 0 = и (5.4).
Таким образом, N = п для любых х.
(с)	х —>к у = ~у -У (и -У ~х) = х -У у.
1.	х = 0. Тогда х -У у = ~у -У (и -У и) = ~у -У 0 (5.3.1).
Поскольку ~у —>s 0 = п (5.4), то х -У у = п = х -У у.
2.	у = п. Тогда х -У у = 0 -У (и -У ~х) = п (S. 1). Отсюда =
k	к”
X —> у = п = X —У у.
3.	0 < х, у < п. Тогда х -У у = ~у -У ~х (5.3.2). Отсюда
~у -У ~х = —х —У —у (5.2). Следовательно, х —>к у = п = х —У у.
В итоге х —У у определяется следующим образом:
х -У у = (у _у у) {(((х _у (Х х)) _у (х _у (Х _у х))) _у
(((х -У х) -У х) -У ((X -У х) -У х))) -У (X -У X)}.
Таким образом, функция х -У у является штрихом Шеффера
для К'п+1. Поскольку каждое простое число характеризуется соот-
ветствующим предполным классом функций и только этим клас-
сам принадлежит константа п, т.е. имеется класс тавтологий, то
исходя из этого имеет смысл говорить о штрихе Шеффера для
простых чисел.
В силу теоремы 3, х -У у является также штрихом Шеффера
для класса функций К„ы- Более того, поскольку при доказатель-
164
стве теоремы 5 нигде не использовались пункты (ix) и (z2) в опреде-
лении х —>к у, то непосредственное доказательство того, что х —>s у
есть штрих Шеффера для Kn+i, в точности совпадает с уже приве-
денным доказательством: функция х —>к у заменяется на функцию
х ->к у.
Дадим еще несколько определений простого числа в терминах
равенства различных классов функций.
Теорема 6. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
$п+1	&п+1 •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
I. Если п > 3 есть простое число, то S„+I = Ln+i. По транзи-
тивности из теоремы 5 и теоремы 2' получаем, что Sn+i = Ln+i-
II. Если S„+l = Ln+i, то п > 3 есть простое число. Докажем
контрпозицию этого утверждения. Пусть п > 3 не есть простое
число. Поскольку функция х —>s у определена только посредством
функций ~х и х —>к у, а для этих функций показано, что если п не
есть простое число, то п g Kn+i (теорема Г, необходимость), то,
значит, п £ S„+J. Но п е Ln+I для любого п > 3. Следовательно, если
п не есть простое число, то S„+J * Ln+I.
Таким образом, теорема 6 доказана.
По транзитивности из теоремы 6 и теоремы 3' следует
Теорема 7. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
Sn+i К п+1.
По транзитивности из теоремы 7 и теоремы 4 следует
Теорема 8. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
Sn+i = Kn+i.
Таким образом, одной из характеризаций простого числа
является свойство иметь штрих Шеффера в указанном выше
смысле.
Наконец, из теоремы 6 и результата Дж. Мак-Кинси о штрихе
Шеффера для Ln+I следует
Теорема 9. Для любого п > 3 п есть простое число т.т.т., когда
Sn+i = Еп+1-
165
7.3.1. О формуле для простых чисел
Асимптотическое распределение простых чисел, доказывае-
мое аналитическими методами, изложено в монографии К.Прахара
[Прахар 1967]4, специально посвященной этому вопросу. О первых
50 миллионах простых чисел очень живо и интересно написано в
статье Д.Цагера [Цагер 1984]. Добавим к этому две монографии,
которые находятся в издательстве. [Narkiewicz 2000] и [Pomerance
& Crandal 2000]. Здесь мы подойдем к этому вопросу с совершенно
другой стороны.
Рассмотрим последовательность формул {А') - (£)'), которая
определяет импликацию Лукасевича х —> у. Заменим в ней все
вхождения ~х и х —>к у на соответствующие их определения
посредством штриха Шеффера х —>s у. Полученную формулу
обозначим посредством (£>У. Можно подсчитать, что число вхож-
дений х ->s у в (£>У будет 648 042 744 959.5 В свою очередь, если
произведем соответствующую операцию в последовательности
формул (А) - (/), то получим формулу астрономической длины.
Тем не менее, обозначим её посредством {If. Обратим внимание,
что формулы (£)У и {If конечной длины (в отличие от определе-
ния х —> у посредством х —>Е у), хотя доказательство ведется в
п + 1-значной логике.
Напомним, что доказательство равенства х —> у = (£>У, опре-
делящего импликацию Лукасевича в матричной логике K'„+i в
терминах штриха Шеффера, имеет место не для всякого n е N, т.е.
не для всего натурального ряда чисел, а только для последова-
тельности простых чисел в натуральном ряду. В связи с этим
появляется искушение заявить указанные суперпозиции, выражен-
ные формулами (О')5 и {If, как бы косвенным образом отобра-
жающие сложность закона распределения простых чисел в нату-
ральном ряду. На самом деле сложность заключается в свойствах
функций х —>к у и х —>к у. И как мы увидим в следующей главе,
наиболее сложной окажется характеризация четных чисел. Однако
логики Kn+i и К'п+1 указывают нам формулы, которые в алгебро-
логическом смысле порождают все простые числа.
4 Именно отсюда автор узнал о своем «открытии» функции Эйлера <р(и).
5 Это число разлагается на следующие простые множители: 53 х 79 х 2887 х
53611.
166
Попытки найти формулу, с помощью которой вычислялись
бы (или порождались) все простые числа, имеют длинную исто-
рию. Известно, что не существует полинома без констант, который
принимает значения только в простых числах (см., например,
[Ribenboim 1996]). Тем не менее найдены полиномы от многих
переменных с целыми коэффициентами, такие, что множество
простых чисел совпадает с множеством натуральных значений,
приписываемых переменным. Наилучший результат здесь принад-
лежит Ю.В.Матиясевичу [Матиясевич 1977], который нашел
полином из 10 переменных.
В связи с этим продолжается дискуссия о том, что считать
формулой для простых чисел (см. в особенности [Wilf 1982], а
также [Ribenboim 1997]). Если можно не использовать знак суммы,
факториал, минимизирующую функцию в наших формулах, тогда
в действительности существуют формулы для простых чисел.
Разумная интерпретация слова «формула» выглядит очень просто:
«Машина Тьюринга, которая останавливается на всех входах».
При такой интерпретации определенно имеются останавливаю-
щиеся машины Тьюринга, которые вычисляют п-е простое число.
Однако никто не знает как вычислить это n-е простое число в
полиномиальное время, те. за log п. Это остается открытой
проблемой.
В некотором смысле, а именно в алгебро-логическом, все
наши тавтологии (число которых счетно) логик Kn+i и К'п+1 явля-
ются формулами для простых чисел. Видимо, наиболее короткая
формула, обозначенная посредством U, как раз и использована
нами при доказательстве теоремы 1 (достаточность). Эта формула
является тавтологией в Kn+i при всех натуральных значениях х и у
т.т.т., когда п есть простое число. Алгебро-логические операции ~х
и х —>к у можно заменить на одну-единственную - штрих
Шеффера х —>s у. Правда, в целом эта функция имеет довольно-
таки сложную природу и кроме операций арифметического сложе-
ния, вычитания и min(x, у) включает еще проверку чисел на взаим-
ную простоту. А эта операция уже не является полиномиальной.
Таким же свойством обладают и наши характеризующие теоремы
3, 3’, 4', 6, 7, 8 и 9.
167
Однако, оказывается, от алгебро-логической формулы,
«выражающей» простые числа, можно перейти к такой же
формуле, но порождающей классы простых чисел. А это уже нечто
совсем другое.
7.4. Закон порождения классов простых чисел
Поскольку теорема 4 говорит о том, что для случая, когда п >
3, такого, что п есть простое число, ограничения (Л) и (j2) при
определении функции х —>к у излишни, то можно заменить в
теореме 2' (И) функцию х —>к у на функцию х —>к у. Обозначим
новую последовательность формул посредством (А*) - (D*).
Нетрудно показать, что тогда формула (D*):
х ->* у = ((х ->ку) ->2 (~у ->к ~х)) v1
(~У ->к ~х) ->2 (х-»ку))
определяет импликацию Лукасевича х —> у только для первых пяти
нечетных чисел: 3, 5, 7, 11 и 13. Однако если х<у и (х,у) * 1, (л-у,
л-х) Ф 1, то в общем случае х —>* у Ф х —> у. Например, пусть л =
17, х = 2 и у = 12. Тогда х —>к у = 12, ~у —>к~х = 15, 12 —>215 = 15,
15 —>2 12 = 14, 15 v’ 14 = 15. Таким образом, х ->* у = 15, в то
время как х —> у = 17. Можно показать, что итерация Di (/ = 1, 2,
3,...) формулы (D*) будет задавать классы простых чисел, для
которых формула D, определяет х —> у. Пусть
Aq = ((х —>к у) —>2 (~у->к ~х)) и
Во = ((~у —>к -x^Wy)).
Тогда
Do = Ao V1 Во,
©^(Ao^BoJv1 (Во—>2Ао),
D2 = ((Ao ->2 Во) ^2 (Bo ^2 Ao)) v1 ((Во ->2 А«) ->2 (А« ->2 Во))
и так далее.
Таким образом, смысл итерации состоит в том, что берется
исходная формула Do, в ней осуществляется операция замены
дизъюнкции v1 на импликацию —>2 (эту операцию обозначим
168
посредством: [—>2 / v1]), затем над полученной формулой произ-
водится операция обращения (REV), т.е. импликация записывается
в обратную сторону, и, наконец, обе формулы соединяются
дизъюнктивно. Заметим, что дизъюнкцию v1 в силу формулы
(Е) х v у = (х vKy) v1 (у vKx) = тах(х, у)
можно заменить на обычную дизъюнкцию v, что упрощает вычис-
ления. Тогда в общем случае запись итерации выглядит так:
Т>, = ([->2/ v]Dm) v (REV([—>2/ v]©,,,)).
Обозначим посредством Р; класс простых чисел, при которых
D, = х —> у. В силу идемпотентности операции —>2 замена дизъ-
юнкции v на —>2 сохраняет значения обоих членов дизъюнкции
См, когда они равны, при переходе к D,. Отсюда следует, что
класс Pm содержится в Р,. Тогда имеем
Ро={3,5, 7, 11, 13},
Р, = Р^ {17, 19},
Р2 = Ру {23, 29, 31, 41, 43, 53, 59, 61}.
С помощью компьютерной программы, написанной
В.И.Шалаком в 1995 г., можно вычислить другие Р,. Например,
P3 = P2kj{37, 47, 109}.
Класс Р4 содержит новые простые числа в количестве 51; класс Р5
содержит 21 новое простое число.
Таким образом, для каждого п импликации Лукасевича х -» у
соответствует свой новый класс простых чисел. В результате полу-
чаем разбиение множества простых чисел на классы эквивалент-
ности относительно числа итераций. Это разбиение напрямую
связано со свойствами импликации Лукасевича.
По существу формула является законом порождения про-
стых чисел [Карпенко 1995, с. 307-309], [Karpenko 1996],
[Karpenko 1997], а точнее, законом порождения классов простых
чисел6. Подчеркнем, что в силу теоремы 8 этот закон может
6 На самом деле эти классы простых чисел были открыты в 1982 г. (доклад
автора 2 декабря на 6-й Всесоюзной конференции по математической логике,
Тбилиси), но задавались они функцией х —>2 у (см последовательность формул
(Л) - (Г) в теореме 2), которая отличается от функции х —>3 V в теореме 2' тем,
169
описываться итерацией только одной-единственной функции, а
именно штриха Шеффера х ->sy.
Для наглядности приведем два графика для определенного
числа простых чисел. По вертикали показано число итераций, по
горизонтали - простые числа.
что п —>2 0 = и; и поэтому этот результат не публиковался. Понадобилось более
10 лет, чтобы поиски штриха Шеффера для K„+i (доклад 7 апреля 1993 г. на
научно-исследовательском семинаре сектора логики ИФ РАН) привели к
открытию идемпотентной функции х ->3 у (см. формулу Е' в в последователь-
ности формул (Я) - (F") и упрощенный случай: функцию х ->2 у, которая нами
использовалась при доказательстве теоремы 2').
170
Заметим, что вычислять простые числа по формуле Dj весьма
громоздко и не эффективно, тем более, что для этого существует
огромное число различных алгоритмов (см. обзор [Василенко
1988]). В данном случае нас интересует разбиение простых чисел
на классы Р,. И программа В.И.Шалака выполняет именно эту
задачу, т.е. D, вычисляется только для случаев, когда п = р.
Поэтому введем функцию i, которая по каждому простому числу
дает число итераций i(p). Значения этой функции для р < 500
приведены в Таблице 4.7 Можно упростить исходную формулу
(Z)*), заменив в ней вхождения функции х —>2 у на х —> у и при
этом рассматривая только случай 0 < х < у < п. Правда, на компь-
ютерный процесс вычисления это влияет незначительно.
Значение имело бы, если максимально ограничить процесс
перебора случаев, когда (х, у) Ф 1 и (и-у, и-х) 1, рост которых
экспоненциален. То есть проблема состоит в поиске наиболее
короткого пути (может быть единственного !) от D, к Dj, где i < j.
Но это весьма трудоемкая задача.
7 Вычисления значений для р < 500 потребовало 43 часов работы компьютера
Pentium - 200ММХ.
171
Мы показали, что итерация 29, порождает классы простых
чисел, но встает принципиальный вопрос: порождаются ли все
простые числа? На этот вопрос дает ответ
Теорема 10. Каждое простое число (кроме 2) содержится в
некотором классе Р> [Карпенко 1997, с. 178].
Пусть х < у и (х, у) Ф 1, (п-у, п-х) Ф 1. Свойства функций х —>2
у и х v у таковы, что с ростом числа i в 2?„ т. е. с увеличением
числа итераций, исходные значения х и у также растут. Это сле-
дует из того, что функция х ->2 у для случая х < у выбирает боль-
шее значение, xvy есть тах(ху), а для случая х > у функция х -ф?
у есть функция Лукасевича х —> у, т. е. х —>2 у = р-х+у, а значит у
растет. Рост значений х и у не может продолжаться бесконечно (в
силу конечного числа значений, определяемых числом р) и не
может уменьшаться, как только что было показано, но может
«зацикливаться», т.е. начиная с некоторого i при всех дальнейших
итерациях 27, = z, где z Фр. Это может произойти, если
(а)	х у = х при х > у
и если также выполняется условие
(Ь)	(х, у) Ф 1, тогда у -^х-х.
Отсюда следует, что существуют такие р, которые не попадают ни
в один класс Р,. Покажем, что это не так, поскольку условия (а) и
(6) несовместимы между собой.
В общем случае условие (а) имеет место, когда х = p-к и у =
р-2к. Тогда х —>2 у = (р-к —>2 р-2к) = р-(р-к)+р-2к = p-к. Покажем,
что (p-к, р-2к) = 1, т.е. p-к, и р-2к взаимно-простые числа. Допус-
тим обратное, т.е. d\p-k и б/|р-2£, где d Ф 1. Тогда из П(с.о.д.)
следует, что d\ ((р-к)-(р-2к)), т.е. d\ к. Поскольку d\p-к, то из
1(с.о.д) следует, что d\ (р-к+к), т.е. б/|р. Последнее противоречит
свойству быть простым числом. Таким образом, (p-к, р-2к) - 1.
Тогда у —>2 х Ф х и, значит, при выполнении условия (а) условие (Ь)
не выполняется. Отсюда следует, что для любого нечетного
простого числа р за конечное число итераций / найдется класс Р,.
Таким образом, теорема 10 доказана.
Гипотеза. Каждый класс Р, конечен.
172
Обратим внимание на «нерегулярность» заполнения классов
Pi. Так, простое число 223 попадает только в класс Pg, тогда как
уже класс Р5 заканчивается простым числом 757. С другой
стороны, имеем следующую последовательность мощностей клас-
сов Р{: 5, 2, 8, 3, 51, 21, 54, 19, ... Класс Pg содержит уже больше
250 простых чисел. Все это несомненно отражает невероятную
сложность закона распределения простых чисел в натуральном
ряду, про который Эйлер сказал: «...у нас есть основания считать,
что это тайна, в которую человеческий разум никогда не проник-
нет» (цит. по: [Ayoub 1963, р. 37]).
8. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ КЛАССОВ
НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ЛОГИЧЕСКИМИ
МАТРИЦАМИ ЛУКАСЕВИЧА
Известно, что для диофантовых множеств [Матиясевич 1972]
существуют полиномы от многих переменных с целыми коэффици-
ентами, такие, что множество всех натуральных значений, прини-
маемых ими при натуральных значениях переменных, есть в точно-
сти исходные диофантовы множества. Так был найден полином,
множеством значений которого является множество всех простых
чисел [Матиясевич 1977]. По некоторой аналогии с этим можно
охарактеризовать разные подмножества множества истин-
ностных значений Vn+1 = {0, 1, 2, ..., п}, используя логические
матрицы или, что то же самое, алгебры определенного вида, а
именно простые числа (что сделано в предыдущей главе), степени
простых чисел, четные числа, нечетные числа. Обращает на себя
внимание сложность характеризации четных чисел. Предприни-
мается попытка связать это со знаменитой проблемой Гольдбаха о
разложении четных чисел на сумму двух простых.
1. Простые числа
В предыдущей главе был охарактеризован класс простых
чисел следующим образом: построена матричная логика K'n+i
такая, что К'п+1 имеет класс тавтологий т.т.т., когда п есть простое
число. Более того, было показано, что К'п+1 = Ln+t т.т.т., когда п
есть простое число, где Ln+1 есть n+1-значная логика Лукасевича
[Lukasiewicz & Tarski 1930].
Решающим пунктом при доказательстве функциональной
эквивалентности множества функций К'п+1 и Z„+/ явилось нахож-
дение алгебро-логического полинома, состоящего из вхождений ~
и —>к, такого, что посредством него определяется импликация
Лукасевича —> (см. выше раздел 7). Для сравнения с последую-
щими характеризациями приведем еще раз определение логиче-
ской матрицы 9И^+1, её свойства и сам этот полином:
= < V^b ->к', {»} > (п > 3, п е N), где
~х = п-х,
174
х, если 0 < х < у <п, (х,у)*1 и (х + у) <п (i})
у, если §<х <у <п,(х,у)Ф\и (х + у)>п	(z2)
у, если 0 <х = у <п	(ii)
х у, в остальных случаях
где (х, у) Ф 1 обозначает, что х и у не являются взаимнопростыми
числами, а х —> у есть импликация Лукасевича.
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —>к' у обо-
значим посредством К'п+/.
Лемма 1'. Пусть п есть простое число. Тогда, если х < ~х, то
х ~х = п.
Доказательство аналогично лемме 1 (гл. 7).
Теорема 1'. Для любого п> 3 п есть простое число т.т т., когда
п е К'п+1.
Доказательство аналогично теореме 1 (гл. 7).
Теорема 2'. Для любого п > 3 такого, что п есть простое число,
K'n+l = Ln+i.
Нас интересует наличие следующего полинома.
II. Ln+I с К'п+у.
(А) х у = ~((у ->к'х) ->к'~(у ->к'х))	(х ->к'у)
(В') х v1 у = (х V у) V у
(С') х —у = ~(~х —>к ~(х —>к х)) —>ку
ДУ) Х у = ((х ->К'у) V (~у	~х)) V1'
(~У	~х) V (х->К у)) = х -► у.
Из теоремы Г, теоремы 2' и свойств Ln+i следует
Теорема 3'. Для любого п > 3 п есть простое число тогда и
только тогда, когда K'n+I = Ln+l.
Теперь перейдем к подобной характеризации других подмно-
жеств натурального ряда.
175
2. Степень простого числа
При обсуждении результатов о характеризации простых чисел
во время доклада в ВИНИТИ1 В.К.Финн поставил проблему о
погружении степени простого числа в л+1-значные логики Лукасе-
вича, т.е. когда п = р\ где р - простое число, а р - натуральное
число, р > 1. В связи с этим обратим внимание на следующий
результат в [Бочвар & Финн 1972, теорема 4]. каждая
тождественно неравная 0 функция f е Ln+i имеет I-J-совершен-
ную дизъюнктивную нормальную форму т.т.т., когда п — р\
(Определение 1- и J-функций см. в разделе 5.3). Отсюда возникает
идея о естественном обобщении логики Кп+1 на случай п - р^.
Проблема Финна была специально сформулирована в [Карпенко
1995, с. 306], а в [Карпенко 1998] была построена матричная
логика Fn+i и высказана гипотеза, что данная проблема имеет
решение. В [Карпенко 1999] указан искомый полином без доказа-
тельства, которое приведем здесь с более четким определением
функции х —>F у.
Для решения вышеупомянутой проблемы предлагается огра-
ничить условие, когда (х, у) 1 в пунктах (ц) и (г2) определения
фунции х —>к у:
(if и if) среди общих делителей х и у
не существует такого делителя d,
отличного от 1, который сам или его степень
являются единственными делителелями п.
В противном случае х —>к у = п. В свою очередь, это
ограничение распространяется также на случай, когда 0 < х =
у < п. При этом х + у = п. Это позволяет охарактеризовать числа
вида 2”. Данное ограничение обозначим посредством (jiF).
Так определенную функцию обозначим посредством х —>F у, а
множество всех суперпозиций функций ~х и х —>F у обозначим
посредством Fn+r
Лемма 1F. Пусть п есть степень простого числа, т.е. п = /А
Тогда, если х < ~х, то х —>F ~х = п.
1 18 декабря 1981 г.
176
Если (х, я-х) = 1, то х —>F ~х = п.
Пусть НОД(х, я-х) = d, где d отлично от 1 и я. Так как d явля-
ется простым числом (см. [Бухштаб 1960, Теорема 16]), то допус-
тим, что d = р*, где р* отлично от р в условии леммы. Тогда из
1(с.о.д.)2 следует, что <7*|(х+я-х), т.е. с/*|я, что противоречит усло-
вию леммы. Отсюда р* = р и, следовательно, х —>F ~х - п.
Теорема 4. Для любого п>1п есть степень простого числа р®
т.т.т., когда р^е F„+].
Доказательство аналогично теореме 1 (гл. 7).
Теорема 5. Для любого п > 3, такого, что п есть степень
простого числа, Fn+I =Ln+i.
I. F„+I c Ln+I.
Доказательство следует из критерия Р.Мак-Нотона
[McNaughton 1951] об определимости функций в матрицах Лука-
севича. Напомним: функция _/(“,•••,“) = 7 определима в матрице
для Ln+i, если и только если НОД (хь ..., Хк, и) есть делитель х
(НОД - наибольший общий делитель).
II. L„+I с F„+I.
(Af) х у = ~((У ->Fx) ^Р~(У ->Fx)) ->F(x ->Fy)
x v1 у = (x y) у
(C*) x ->2y = ~((~x ->F~x) ->F~(x Vx)) ->Fy
(1У) х->3у = ((х-/у)->2(~у-/~х))ч/
((~У -^F ~x) S (x->F y)) = x —> y.
В формуле (Af) нас интересует случай
2.	х = у.
2.1.	(х, п) - 1. Тогда доказательство аналогично пункту
(Л.2) в теореме 2 из раздела 7.1 с соответствующей заменой леммы
1 на лемму 1F.
2.2.	(х, я) 1.
2.2.1.	0 < х < и/2 Тогда х —>F ~х = я (zf и iF). В силу
2 I (с. о. д.) если числа х и у делятся на z, то их сумма х + у делится наг.
177
определения х —>F у (Hi), х —>F у = п. Отсюда ~(х —>F ~х) = 0 и,
следовательно, х —>' у = п.
2.2.2.	п/2 < х < п. Тогда х у = (2х - п) ->F х, где
(2х - п) < п (см. пункт (А.2.2) в теореме 2 из раздела 7.1). Отсюда в
силу определения х ->F у и iF), ~(х ->F ~х) ->F х = п. Следова-
тельно, х —>’ у = п.
2.3.	(х, п) Ф 1 и х + х = п. Тогда х —>Fy = п (iiF) и, следова-
тельно, х —>’ у = п.
Таким образом, х —>F у всегда принимает значение п, когда х
= у, т.е. как и импликация Лукасевича х —> у.
Обратим внимание, что формула (С) из теоремы (2’), заме-
нена здесь на формулу (CF). Это позволяет верифицировать случай
п - 2". Проверим формулу
{CF) х ->2у = ~((~х ->F~x) ->F~(x ~>Fx)) Vy.
Здесь надо рассмотреть пункт 3, учитывая ограничение (iiF).
Обозначим подформулу ~((~х —>F ~х) —>F ~(х —>F х)) посредством
3.	х = у.
3.1.	х = 0. Тогда А*7 = ~((л ->F и) ->F ~(0 ->F 0)) = п. Отсюда
х->2у = л->F0 = 0.
3.2.	0 < х = у < п.
3.2.1.	х + у Ф п. Тогда Х? = ~(~х ->F ~х) = х. Отсюда х ->2 у
,F
= х —> у = X.
3.2.2.	х + у = п.
3.2.2.1.	Пусть ограничение (//) не выполняется. Тогда, как
в случае 3.2.1.
3.2.2.2.	Пусть ограничение (п'0 выполняется. Тогда XF =
~(п —>F (~и)) = п. Отсюда х —>2у = п —>Fy = у.
Заметим, что если бы оставалась формула (С), то имели бы:
д*’ = ~(~х о) = ~х. Отсюда х —>2у — ~х —>F х, т е. функция х ->2у
не являлась бы идемпотентной.
3.3.	х = п. Тогда х —>2у =	—>F п=п
Из теоремы 4, теоремы 5 и свойств L„+i следует
Теорема 6. Для любого п>3п есть степень простого числа тогда
и только тогда, когда Fn+i = L„+i.
См. доказательство теоремы 3 в гл. 7.
178
3. Чётные числа
В {Карпенко 1998, с. 39] была поставлена проблема о
характеризации четных чисел посредством логических матриц
Лукасевича в смысле леммы 1 из гл. 7. Вопрос о соответствующем
алгебро-логическом полиноме даже не ставился. Проблема эта
давно интересовала автора, но непонятно было, как подойти к её
решению. В {Карпенко 1999] было предложено следующее
решение, которое с некоторыми уточнениями и полным
доказательством изложим здесь.
Рассмотрим логическую матрицу
= < V„+1, ~, ->е, {п} > (п>3,п е N), где
~х = п-х,
х, если 0<x<y<nux+y<n	(z)
х, если 0<х < у <п, х + у = п и х, у
различной четности	(И)
у, если 0<х<у<пи х + у >п	(ИТ)
у, если 0<х = у<пи x+ytn	(iv)
х —> у, в остальных случаях	(v)
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —>е у обо-
значим посредством £„+7.
Лемма Iе. Пусть п есть чётное число. Тогда, если х < ~х, то
х-Т~х = п.
Поскольку п есть чётное число, то х и ~х являются числами
одинаковой четности и в сумме дают п. Отсюда пункт (И) в опре-
делении х —>е у не выполняется и, значит, х —>е у = п (v).
Теорема 6. Для любого п > 2 п есть четное число т.т.т., когда
и е £п+7.
1. Достаточность. Если п есть чётное число, то п е 'En+i-
Пусть п есть чётное число. Тогда существует такая формула U (см.
теорему 1 в гл. 7):
~((Х ->еу) ->е~(х ->еу)) ->е(~(х ->еу) ->е(х ->еу)),
что U = п. Рассмотрим подформулы U| = (х —>е у) —>е ~(х —>е у) и
U2= ~(х —>еу) —>е(х —>еу).
179
Очевидно, что для тех случаев, когда х -»к у = 0 или х
—>ку = п, U = п. Пусть х —>еу < п/1. Тогда в силу леммы Iе, Ui = п,
~Ui = 0 и, следовательно, U = 0 —>е U2. Пусть х ->е у - пП. или х
->е у = п. Тогда в силу леммы Г, U2 = п и, следовательно, U =
~Ui -»еи = и.
2. Необходимость. Если п е то п есть чётное число.
Докажем контрпозицию этого утверждения: если п не есть чётное
число, то п £ Пусть п есть нечётное число и 0 < х, у < п. Для
того чтобы х —>е у принимало значение и, х и у должны быть
одинаковой четности и в сумме давать п. Но тогда п будет чётным
числом, что противоречит нашему допущению о нечётности п.
Теорема 7. Для любого п > 2 такого, что п есть чётное число,
I. ‘Е-п+1 £ Ln+1-
Доказательство следует из критерия Р.Мак-Нотона об опреде-
лимости функций в матрицах Лукасевича.
II. 1 С ^п+Ь
(Л х у = ~((у ->е X) ->е ~(у ->е х)) ->е (X у),
(ве) X ->2у = ~((у -V X) ->е ~(у ->е х)) ->е (~у -> 1 ~Х),
(С8) х V1 у = (х —>2 у) —>2 у,
(De) X ->3у = ~((~х ->е ~х) ->е~(х ->е х)) -V у
(Л x_>4y = ((x_>ey)_>3(_y_>e_x))vl
((~у ->е ~х) ->3 (х-»е у)) = х —> у.
В формуле (Ае) нас интересует условие
2. 0<х = у<иих> и/2. Тогда в общем случае (2х - и) ->е
х Ф п. Например, пусть п = 10 и х = 6. Тогда х —у = 2 —>е 6 = 2.
Поэтому для того чтобы X —>’ у = п при любых х = у, вводится
формула (В8). Тогда, при этом условии, ~у ~х = п и, следова-
тельно, х —>2 у = п.
Из теоремы 6, теоремы 7 и свойств £„+; следует
Теорема 8. Для любого п> 2 п есть чётное число тогда и только
тогда, когда -Ln+i.
180
4. Нечётные числа
Наконец, дадим характеризацию нечётных чисел (см.
[Карпенко 1999]. Это легко сделать, учитывая, что логические
матрицы Лукасевича имеют неподвижную точку, относительно
отрицания ~х. Пусть
=<V^,~,->°, {и} >, где
~х = п-х,
х у = <
п, если х < у	(z)
у, если 0 <х = у <п и х + у =п (zz)
х —> у, в остальных случаях	(zzz),
Множество всех суперпозиций функций ~х и х —>° у обоз-
начим посредством Оп+!.
Теорема 9. Для любого п >2 п есть нечетное число т.т.т., когда
н с O„+j.
(1) Достаточность. Если п есть нечетное число, то п е
Оп+!. Пусть п есть нечетное число. Тогда существует такая
формула Ц°, а именно
(х-^° у)->° (ху),
что U° = п.
1. Пусть (х ->° у) = 0 и/или (х ->° у) = п. Тогда Ц° = п.
2. Пусть (х ->° у) = гиО<г<и. В силу нашего допущения
о нечетности и, z+z + п. Отсюда z ->° z - п. Следовательно, U° = п.
(2) Необходимость. Если п е О„+/, то п есть нечетное
число. Докажем контрпозицию этого утверждения: если п не есть
нечетное число, той g O„+i. Пусть п есть четное число. Посредст-
вом D обозначим множество элементов вида х+х = п. Покажем, что
множество D замкнуто относительно ~х и х у.
Пусть х е D. Тогда ~х = х, т.е. относительно отрицания
данная матрица имеет неподвижную точку. Следовательно ~х е D.
Пусть х = у и х+у = п. Тогда из определения х —>° у следует, что
х ->° х = х, т.е. для этого случая операция ->° идемпотентна.
Следовательно х —>° х е D.
181
Теорема 10. Для любого п>2, такого, что п есть нечетное число,
Оп+1 = Ln+i
I. O„+]qL„+i.
Доказательство следует из критерия Мак-Нотона о вырази-
мости функций в матрицах Лукасевича.
II. Ln+I a Оп+1.
X —> у = X —>° у.
Из теоремы 9, теоремы 10 и свойств Ln+i следует
Теорема 11. Для любого п > 2 п есть нечётное число тогда и
только тогда, когда On+I = Ln+i-
5. Несколько замечаний
(в том числе и о проблеме Гольдбаха)
Конечно, учитывая результат Мак-Кинси о штрихе Шеффера
для Ln+i (см. раздел 5.2.3) и построение штриха Шеффера для
простых чисел (см. раздел 7.3), есть все основания считать, что
существуют соответствующие штрихи Шеффера для степени
простых чисел, четных чисел и нечетных чисел. Вопрос этот чисто
технический.
Более важной темой является вопрос о погружении арифме-
тики в n+1-значные логики Лукасевича Ln+i- Именно так и был
поставлен вопрос В.К.Финном в связи с характеризацией степени
простого числа: какая часть арифметики может быть погружена в
1„+П
На особые размышления наводит характеризация матрицами
Лукасевича четных чисел. Загадочным выглядит уже то, что из
всех рассмотренных подмножеств натурального ряда эта проблема
оказалась наиболее сложной. Обратим внимание, что при доказа-
тельстве соответствующих теорем здесь неявным образом исполь-
зовался элементарный арифметический факт о разложении четных
чисел на сумму двух четных или сумму двух нечетных чисел. Это
подводит нас к другому разложению четных чисел, к знаменитой
проблеме Гольдбаха3 о разложении четных чисел > 4 на сумму
3 Христиан Гольдбах (1690-1764). В ENCYCLOPEDIA BRITANNICA он назван
русским математиком.
182
двух простых (см., например монографию [Wang 1984]). Если
предположение Гольдбаха верно, тогда для каждого ”исла т
найдутся простые числа pviq такие, что
ф(р) + ф(ч) = 2m,
где <р(х) есть функция Эйлера [Guy 1994, р.105].
Эдмунд Ландау на международном конгрессе математиков в
Кембридже в 1912 г. заявил, что проблема Гольдбаха недоступна
для современного состояния науки. Недоступна она и сейчас. Как
заметил Г.Харди [Hardy 1999, р. 19]: «Сравнительно легко сделать
умное предположение; в действительности имеются теоремы,
подобные "теореме Гольдбаха", которые никогда не были доказаны
и которые любой дурак может понять»4.
В 1885 г. A.Desboves верифицировал предположение Гольд-
баха для 10000. С появлением мощных и сверхмощных компью-
теров границы проверяемых чисел стали быстро расширяться и в
1998 г. J.-M.Deshouillers, H.J.J. te Riele и Y. Saouter установили
верифицируемость предположения Гольдбаха до 4 х 1014.
И все-таки существенного продвижения в общем решении
этой проблемы не видно. Тем не менее, используя методы, изло-
женные в настоящей главе, можно наметить следующий алгебро-
логический подход к рассмотрению этой проблемы (см. [Карпенко
1989, с. 192], [Karpenko 1989, р. 476]). Заметим, что в обеих
указанных работах в качестве исходного условия выдвигалось
построение матричной логики для четных чисел, т.е. логики 2:^/.
Далее стратегия выглядит так (в качестве примера).
На пункт (//) в определении функции х —>е у накладывается
следующее ограничение: х и у не являются простыми числами.
Аналогичное ограничение налагается на пункт (/v). В противном
случае, х —>е у = п. Так определенную функцию обозначим посред-
ством х —>° у. Однако в этом случае при доказательстве аналога
теоремы 6 (достаточность) возникают серьезные затруднения, в то
время как условие необходимости доказывается слишком триви-
ально. На самом деле, при определении функции подобной х —>° у
должен соблюдаться некоторый баланс, позволяющий представить
4 Может быть именно поэтому за решение данной проблемы Британским
издательством «Faber and Faber» в 2000 г. объявлена премия в 1 000 000 $
Информацию об этом и условия конкурса можно найти на сайте
http.//www.mses.dal.ca/~dilcher/Goldbach/index html.
183
константу типа формулы U (или совсем другую) и в то же время
соблюсти условие необходимости. Это как раз и удавалось достиг-
нуть при характеризации указанных подмножеств натурального
ряда.
В завершение этой главы можно теперь со всей определен-
ностью сказать, что n+1-значные логики Лукасевича Ln+i имеют
чисто арифметическую интерпретацию и поэтому все, что
изложено в гл. 4, указывает на некоторые общие факты, свойст-
венные широкому классу пропозициональных логических систем,
или на изощренность человеческого ума.
ТАБЛИЦЫ
ЧИСЕЛ

Таблица 1
Степени кардинальной полноты у(Ъп)
(см. раздел 3.2.2)
п = 1			п= 51	=>	у(п)= 10
п= 2	=>	у (п) = 2	п= 52	=>	у (п) = 6
п = 3	=>	у (п) = 3	п = 53	=>	у(п)= 10
п = 4	—>	у (п) = 3	п = 54	=>	у (п) = 3
п= 5	=>	у(п)= 4	п= 55	=>	у(п)= 15
п = 6	=>	у(п)= 3	п = 56	=>	у (п) = 6
п = 7	=>	у (п) = 6	п= 57	=>	у(п)= 15
п= 8	=>	у(п)= 3	п= 58	=>	у (п) = 6
п = 9	—>	у (п) = 5	п = 59	=>	у (п) = 6
п= 10	=>	у(п)= 4	п — 60	=>	у(п)= 3
п= 11	=>	у (п) = 6	п = 61	=>	у(п)= 50
п= 12	=>	у(п)= 3	п = 62	=>	у(п)= 3
п = 13	=>	у(п)= 10	п= 63	—>	у (п) = 6
п = 14	=>	у (п) = 3	п = 64	=>	у(п)= 10
п = 15	=>	у (п) = 6	п= 65	=>	у(п)= 8
п= 16	=>	у (п) = 6	п = 66	=>	у (п) = 6
п= 17	=>	у (п) = 6	п= 67	=>	у(п)= 20
п= 18	=>	у(п)= 3	п= 68	=>	у (п) = 3
п= 19	=>	у(п)= 10	п= 69	=>	у(п)= 10
п= 20	=>	у (п) = 3	п= 70	=>	у (п) = 6
п= 21	=>	у(п)= 10	п= 71	=>	у(п)= 20
п= 22	=>	у (п) = 6	п= 72	=>	у (п) = 3
п= 23	=>	у (п) = 6	п= 73	=>	у(п)= 35
п= 24	=>	у (п) = 3	п= 74	=>	у (п) = 3
п = 25	=>	у(п)= 15	п= 75	=>	у (п) = 6
п= 26	=>	у(п)= 4	п — 76	=>	у(п)= 10
п= 27	=>	у (п) = 6	п= 77	=>	у(п)= 10
п= 28	=>	у (п) = 5	п= 78	=>	у (п) = 6
п= 29	=>	у(п)= 10	п= 79	=>	у(п)= 20
п= 30	=>	у(п)= 3	п= 80	=>	у (п) = 3
п= 31	=>	у(п)= 20	п= 81	=>	у(п)= 21
п= 32	=>	у (п) = 3	п= 82	=>	у (п) = 6
п= 33	=>	у (п) = 7	п= 83	=>	у (п) = 6
п = 34	=>	у (п) = 6	п= 84	=>	у(п)= 3
п = 35	=>	у (п) = 6	п= 85	=>	У (п) = 50
п= 36	=>	у (п) = 6	п = 86	=>	у (п) = 6
п= 37	=>	у(п)= 20	п= 87	=>	у (п) = 6
п= 38	=>	у(п)= 3	п= 88	=>	у (п) = 6
п= 39	=>	у (п) = 6	п= 89	=>	у(п)= 15
п = 40	=>	у (п) = 6	п= 90	=>	у (п) = 3
п = 41	=>	у(п)= 15	п= 91	=>	у(п)= 50
п= 42		у(п)= 3	п= 92	=>	у (п) = 6
п = 43	=>	у(п)= 20	п= 93	=>	у(п)= 10
п = 44	=>	у(п)= 3	п= 94	=>	у (п) = 6
п = 45	=>	у(п)= 10	п= 95	=>	у (п) = 6
п = 46	=>	у(п)= 10	п= 96	=>	у (п) = 6
п= 47	=>	у (п) = 6	п= 97	=>	у(п)= 28
п = 48	=>	у (п) = 3	п= 98	=>	у(п)= 3
п= 49	=>	у(п)= 21	п= 99	=>	у(п)= 10
п = 50	=>	у (п) = 4	п = 100	=>	у(п)= 10
187
n= 101 =>	у(n)= 20
n = 102 =>	у (n) = 3
n = 103 =>	y(n)= 20
n= 104 =>	у (n) = 3
n = 105 =>	y(n)= 15
n = 106 =>	y(n)= 20
n= 107 =>	y(n)= 6
n= 108 =>	Y (n) = 3
n = 109 =>	Y(n)= 35
n = 110 =>	Y (n) = 3
n= 111 =>	y(n)= 20
n= 112 =>	y(n)= 6
n= 113 =>	y(n)= 21
n= 114 =>	Y (n) = 3
n= 115 =>	y(n)= 20
n= 116 =>	Y (n) = 6
n= 117 =>	y(n) = 10
n= 118 =>	Y(n)= 10
n= 119 =>	Y (n) = 6
n = 120 =>	Y (n) = 6
n= 121 =>	y(n)= 105
n= 122 =>	Y (n) = 4
n = 123 =>	Y (n) = 6
n= 124 =>	Y (n) = 6
n= 125 =>	y(n)= 10
n = 126 =>	Y (n) = 5
n = 127 =>	у (n) = 50
n = 128 =>	Y(n)= 3
n= 129 =>	Y (n) = 9
n= 130 =>	Y (n) = 6
n= 131 =>	y(n)= 20
n= 132 =>	Y (n) = 3
n= 133 =>	Y(n)= 50
n= 134 =>	Y (n) = 6
n= 135 =>	Y (n) = 6
n = 136 =>	y(n)= 15
n= 137 =>	Y(n)= 15
n= 138 =>	у (n) = 3
n= 139 =>	у(n)= 20
n = 140 =>	Y (n) = 3
n= 141 =>	Y (n) = 50
n = 142 =>	Y (n) = 6
n = 143 =>	Y (n) = 6
n = 144 =>	у (n) = 6
n = 145 =>	Y(n)= 56
n = 146 =>	Y (n) = 6
n = 147 =>	Y (n) = 6
n = 148 =>	y(n) = 10
n = 149 =>	y(n) = 10
n= 150 =>	Y (n) = 3
n= 151 =>	Y (n) = 50
n= 152 =>	Y (n) = 3
n= 153 =>	y(n)= 15
n= 154 =>	y(n)= 10
n= 155 =>	y(n) = 20
n= 156 =>	Y (n) = 6
n= 157 =>	Y(n)= 50
n= 158 =>	Y (n) = 3
n= 159 =>	Y (n) = 6
n= 160 =>	Y (n) = 6
n= 161 =>	y(n)= 28
n= 162 =>	у (n) = 6
n= 163 =>	Y(n)= 21
n = 164 =>	Y (n) = 3
n= 165 =>	y(n)= 10
n= 166 =>	y(n)= 20
n= 167 =>	Y (n) = 6
n = 168 =>	у (n) = 3
n= 169 =>	y(n)= 105
n= 170 =>	у (n) = 4
n= 171 =>	y(n)= 20
n= 172 =>	Y(n)= 10
n= 173 =>	y(n)= 10
n= 174 =>	Y (n) = 3
n= 175 =>	у (n) = 20
n= 176 =>	y(n)= 10
n= 177 =>	y(n)= 21
n= 178 =>	у (n) = 6
n= 179 =>	Y (n) = 6
n= 180 =>	Y (n) = 3
n= 181 =>	y(n)= 175
n= 182 =>	у (n) = 3
n= 183 =>	y(n)= 20
n= 184 =>	Y (n) = 6
n= 185 =>	y(n)= 15
n= 186 =>	у (n) = 6
n= 187 =>	y(n)= 20
n= 188 =>	Y (n) = 6
n= 189 =>	y(n)= 10
n= 190 =>	y(n)= 15
n= 191 =>	y(n)= 20
n = 192 =>	Y (n) = 3
n= 193 =>	Y(n)= 36
n= 194 =>	Y (n) = 3
n= 195 =>	Y (n) = 6
n= 196 =>	y(n)= 20
n= 197 =>	y(n)= 20
n= 198 =>	y(n)= 3
n= 199 =>	y(n)= 50
n= 200 =>	Y (n) = 3
188


лллллллллллллллллллллллллллллллллллллллллллллллллл
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
г— СЧс^тГ^ПЧОГ^ОООхО’— ПГ)тГ‘Г)Ю>ООСХО’- СЧС*>^Г‘Пхс>Г'-'00Ох<О’— СЧНтГ1Л\ОГч'000>0 — СЧПтГШ^Г^ОООО
^^^^^^^^^чочочочочочочочочочог^г^г^г^г^г^г^г^г^г^ооооооооаооосюоооооослслслслслслслслслст'о
СЧСЧС^С^СЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧС^СЧСЧП")
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II И II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
ЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙ
Ох
00
—’СЧГ^^Г^хОГ^ОООхО — сЧг^^Г^хОГ^ОООхО — СЧс^^Г^хОГ^ОООхО — СЧГ^тГ^чОГ^ОООхО — СЧг^^Г^ОГ^ОООхО
ООООООООО*—	еЧСЧеЧсЧеЧсЧСЧСЧеЧСЧг^г^г<}Г^г^г^<*)Г<}Г^г^тГтГтГ^гтГ^г^г^Г^гтГ1Л
СЧС^С^СЧСЧС^С^СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧС^СЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧС^СЧС^С^СЧСЧСЧС^СЧС^СЧСЧСЧ
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II И II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
ЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙЙ
n= 301 =>	y(n)= 175
n= 302 =>	Y (n) = 6
n = 303 =>	Y (n) = 6
n= 304 =>	Y (n) = 6
n= 305 =>	y(n)= 21
n= 306 =>	Y(n)= 6
n = 307 =>	y(n)= 50
n= 308 =>	Y(n)= 3
n= 309 =>	y(n)= 50
n= 310 =>	у (n) = 6
n = 311 =>	у (n) = 20
n= 312 =>	у (n) = 3
n = 313 =>	y(n)= 105
n= 314 =>	Y (n) = 3
n= 315 =>	у (n) = 6
n= 316 =>	у(n)= 50
n= 317 =>	y(n)= 10
n= 318 =>	Y (n) = 3
n= 319 =>	y(n)= 20
n= 320 =>	y(n)= 6
n= 321 =>	Y(n)= 36
n= 322 =>	Y (n) = 6
n= 323 =>	у (n) = 20
n = 324 =>	у (n) = 6
n = 325 =>	Y (n) = 56
n= 326 =>	y(n)= 10
n = 327 =>	Y (n) = 6
n = 328 =>	Y (n) = 6
n= 329 =>	Y(n)= 15
n = 330 =>	Y (n) = 6
n= 331 =>	y(n)= 168
n= 332 =>	y(n)= 3
n= 333 =>	Y (n) = 10
n= 334 =>	Y(n)= 10
n = 335 =>	Y (n) = 6
n= 336 =>	у (n) = 6
n= 337 =>	y(n)= 196
n= 338 =>	у (n) = 3
n = 339 =>	Y(n)= 10
n= 340 =>	Y (n) = 6
n= 341 =>	у (n) = 50
n= 342 =>	Y (n) = 6
n= 343 =>	Y (n) = 50
n = 344 =>	y(n)= 5
n= 345 =>	Y(n)= 15
n= 346 =>	Y(n)= 20
n= 347 =>	Y (n) = 6
n= 348 =>	Y (n) = 3
n= 349 =>	у (n) = 50
n= 350 =>	Y (n) = 3
n= 351 =>	у (n) = 50
n — 352 =>	y(n)= 15
n= 353 =>	y(n)= 28
n= 354 =>	Y (n) = 3
n= 355 =>	y(n)= 20
n= 356 =>	Y (n) = 6
n= 357 =>	Y(n)= 10
n= 358 =>	y(n)= 20
n= 359 =>	У (n) = 6
n = 360 =>	Y (n) = 3
n= 361 =>	Y (n) = 490
n = 362 =>	Y (n) = 4
n= 363 =>	y(n)= 6
n= 364 =>	y(n)= 10
n = 365 =>	y(n)= 50
n = 366 =>	у (n) = 6
n = 367 =>	у(n)= 20
n= 368 =>	у (n) = 3
n= 369 =>	y(n)= 21
n= 370 =>	y(n)= 10
n= 371 =>	y(n)= 20
n= 372 =>	Y (n) = 6
n= 373 =>	у (n) = 50
n = 374 =>	Y(n)= 3
n= 375 =>	у (n) = 20
n= 376 =>	y(n)= 15
n= 377 =>	y(n)= 15
n= 378 =>	у (n) = 6
n = 379 =>	y(n)= 105
n = 380 =>	Y (n) = 3
n = 381 =>	у(n)= 50
n= 382 =>	Y (n) = 6
n = 383 =>	Y (n) = 6
n = 384 =>	y(n)= 3
n= 385 =>	y(n)= 45
n = 386 =>	у(n)= 20
n = 387 =>	у (n) = 6
n= 388 =>	у(n)= 10
n= 389 =>	y(n)= 10
n= 390 =>	у (n) = 3
n= 391 =>	y(n)= 168
n= 392 =>	Y (n) = 6
n = 393 =>	Y(n)= 35
n= 394 =>	y(n)= 6
n = 395 =>	у (n) = 6
n= 396 =>	Y (n) = 6
n= 397 =>	Y(n)= 175
n= 398 =>	Y (n) = 3
n= 399 =>	у (n) = 6
n= 400 =>	Y(n)= 20
190
n= 401	=>	Y(n)= 56
n= 402	=>	у (n) = 3
n= 403	=>	Y (n) = 20
n= 404	=>	Y (n) = 6
n = 405	=>	Y(n)= 10
n = 406	=>	Y(n)= 21
n= 407	=>	Y(n)= 20
n = 408	=>	Y (n) = 6
n= 409	=>	Y(n)= 105
n= 410	=>	Y (n) = 3
n= 411	=>	Y (n) = 20
n = 412	=>	Y (n) = 6
n= 413	=>	Y(n) = 10
n= 414	=>	Y (n) = 6
n= 415	=>	Y(n)= 50
n = 416	=>	Y (n) = 6
n= 417	=>	Y (n) = 28
n = 418	=>	Y (n) = 6
n = 419	=>	Y(n)= 20
n= 420	=>	Y (n) = 3
n= 421	—>	Y(n)= 887
n= 422	=>	Y (n) = 3
n — 423	=>	Y (n) = 6
n= 424	=>	Y(n)= 10
n = 425	=>	Y(n)= 15
n = 426	=>	Y(n)= 10
n= 427	=>	Y(n)= 20
n= 428	=>	Y (n) = 6
n= 429	=>	Y(n)= 10
n= 430	=>	Y(n)= 20
n= 431	=>	Y(n)= 20
n= 432	=>	Y (n) = 3
n= 433	=>	Y(n)= 126
n = 434	=>	Y (n) = 3
n= 435	=>	Y(n)= 20
n= 436	=>	Y(n)= 20
n= 437	=>	Y(n)= 10
n= 438	=>	Y (n) = 6
n= 439	=:>	Y(n)= 20
n= 440	=>	Y (n) = 3
n = 441	=>	Y(n)= 105
n = 442	=>	Y(n)= 20
n= 443	=>	Y (n) = 20
n = 444	=>	Y (n) = 3
n = 445	=>	Y(n)= 50
n = 446	=>	Y (n) = 6
n= 447	=>	Y (n) = 6
n = 448	=>	Y (n) = 6
n = 449	=>	Y(n)= 36
n= 450	=>	Y (n) = 3
n= 451	=>	Y(n)= 175
n= 452	=>	Y (n) = 6
n= 453	=>	Y(n)= 1°
n= 454	=>	Y (n) = 6
n= 455	=>	Y (n) = 6
n = 456	=>	Y(n)= 20
n = 457	=>	Y(n)= 105
n= 458	=>	Y (n) = 3
n= 459	=>	Y (n) = 6
n= 460	=>	Y(n)= 15
n= 461	=>	Y(n)= 50
n = 462	=>	Y (n) = 3
n — 463	=>	Y(n)= 168
n= 464	=>	Y (n) = 3
n = 465	=>	Y(n)= 21
n= 466	=>	Y(n)= 20
n = 467	=>	Y (n) = 6
n = 468	=>	Y (n) = 3
n = 469	=>	Y (n) = I75
n= 470	=>	Y (n) = 6
n = 471	=>	Y(n)= 20
n= 472	=>	Y (n) = 6
n= 473	=>	Y(n)= 15
n= 474	=>	Y (n) = 6
n= 475	=>	Y(n)= 20
n= 476	=>	Y(n)= 10
n = 477	=>	Y(n)= 50
n= 478	=>	Y(n)= 10
n = 479	=>	Y (n) = 6
n= 480	=>	Y(n)= 3
n= 481	=>	Y(n)= 336
n= 482	=>	Y (n) = 6
n = 483	=>	Y (n) = 6
n= 484	=>	Y (n) = 20
n= 485	=>	Y(n)= 20
n = 486	=>	Y (n) = 6
n = 487	=>	Y(n)= 28
n= 488	=>	Y (n) = 3
n= 489	=>	Y(n)= 15
n = 490	=>	Y (n) = 6
n = 491	=>	Y(n)= 50
n= 492	—>	Y(n)= 3
n= 493	=>	Y(n)= 50
n= 494	=>	Y (n) = 6
n= 495	=>	Y (n) = 20
n= 496	=>	Y(n)= 50
n = 497	=>	Y(n)= 21
n= 498	=>	Y (n) = 6
n= 499	=>	Y(n)= 20
n= 500	=>	Y (n) = 3
191
n= 501 =>	Y(n)= 35
n = 502 =>	Y (n) = 6
n= 503 =>	Y (n) = 6
n = 504 =>	Y (n) = 3
n= 505 =>	Y(n)= 490
n = 506 =>	Y (n) = 6
n = 507 =>	Y(n)= 20
n = 508 =>	Y(n)= 10
n = 509 =>	Y(n)= 10
n= 510 =>	Y (n) = 3
n= 511 =>	Y(n)= 168
n= 512 =>	Y (n) = 6
n= 513 =>	Y(n)= 11
n= 514 =>	Y(n)= 15
n= 515 =>	Y(n)= 6
n= 516 =>	Y(n)= 6
n= 517 =>	Y(n)= 50
n= 518 =>	Y(n)= 6
n= 519 =>	Y(n)= 20
n = 520 =>	Y (n) = 6
n= 521 =>	Y(n)= 105
n = 522 =>	Y (n) = 3
n= 523 =>	Y(n)= 50
n = 524 =>	Y(n)= 3
n = 525 =>	Y(n)= 10
n = 526 =>	Y(n)= 50
n= 527 =>	Y (n) = 6
n = 528 =>	Y (n) = 6
n= 529 =>	Y(n)= 196
n = 530 =>	Y (n) = 4
n= 531 =>	Y(n)= 20
n= 532 =>	Y(n)= 10
n = 533 =>	Y(n)= 50
n= 534 =>	Y (n) = 6
n = 535 =>	Y(n)= 20
n= 536 =>	Y(n)= 6
n= 537 =>	Y(n)= 15
n = 538 =>	Y (n) = 6
n= 539 =>	Y (n) = 6
n = 540 =>	Y(n)= 10
n= 541 =>	Y (n) = 490
n= 542 =>	Y (n) = 3
n = 543 =>	Y (n) = 6
n = 544 =>	Y (n) = 6
n = 545 =>	Y(n)= 28
n = 546 =>	Y(n)= 6
n= 547 =>	Y(n)= 168
n = 548 =>	Y (n) = 3
n = 549 =>	Y (n) = 10
n = 550 =>	Y(n)= 10
n= 551 =>	Y(n)= 50
n= 552 =>	Y (n) = 6
n = 553 =>	Y(n)= 105
n = 554 =>	Y (n) = 6
n= 555 =>	Y (n) = 6
n = 556 =>	Y(n)= 20
n= 557 =>	y(n)= 10
n= 558 =>	Y (n) = 3
n = 559 =>	Y(n)= 50
n = 560 =>	Y(n)= 6
n= 561 =>	Y(n)= 196
n= 562 =>	Y (n) = 20
n = 563 =>	Y (n) = 6
n = 564 =>	Y (n) = 3
n = 565 =>	Y(n)= 50
n = 566 =>	Y (n) = 6
n = 567 =>	Y (n) = 6
n = 568 =>	Y(n)= 21
n = 569 =>	Y(n)= 15
n = 570 =>	Y (n) = 3
n= 571 =>	Y(n)= 168
n= 572 =>	Y (n) = 3
n= 573 =>	Y(n)= 50
n= 574 =>	Y (n) = 6
n= 575 =>	Y(n)= 20
n = 576 =>	Y(n)= 10
n= 577 =>	Y(n)= 120
n= 578 =>	Y (n) = 3
n = 579 =>	Y(n) = 10
n= 580 =>	Y (n) = 6
n= 581 =>	Y(n)= 50
n= 582 =>	Y (n) = 6
n = 583 =>	Y (n) = 20
n= 584 =>	Y(n)= 6
n = 585 =>	Y(n)= 15
n= 586 =>	Y(n)= 50
n = 587 =>	Y(n)= 6
n = 588 =>	Y (n) = 3
n = 589 =>	Y(n)= 175
n = 590 =>	Y (n) = 6
n= 591 =>	Y(n)= 20
n= 592 =>	Y (n) = 6
n= 593 =>	Y(n)= 21
n = 594 =>	Y (n) = 3
n = 595 =>	Y(n)= 105
n = 596 =>	Y(n)= 20
n= 597 =>	Y(n)= 10
n = 598 =>	Y (n) = 6
n= 599 =>	Y(n)= 20
n= 600 =>	Y (n) = 3
192
n= 601	=>	y(n)= 490	n= 651	=>	Y(n)= 50
n = 602	=>	Y (n) = 3	n= 652	=>	Y(n)= 20
n= 603	=>	Y(n)= 20	n = 653	=>	Y(n)= 10
n= 604	=>	Y(n)= 10	n= 654	=>	Y (n) = 3
n = 605	=>	Y(n)= 10	n= 655	=>	Y (n) = 20
n= 606	=>	Y(n)= 10	n = 656	=>	Y (n) = 6
n= 607	=>	Y(n)= 20	n= 657	=>	Y(n)= 21
n= 608	=>	Y (n) = 3	n= 658	=>	Y(n)= 10
n = 609	=>	Y(n)= 28	n = 659	=>	Y(n)= 20
n= 610	=>	Y(n)= 20	n= 660	=>	Y (n) = 3
n= 611	=>	Y(n)= 20	n= 661	=>	Y(n)= 887
n = 612	=>	Y (n) = 6	n = 662	=>	Y (n) = 3
n = 613	=>	Y(n)= 175	n= 663	=>	Y (n) = 6
n = 614	=>	Y (n) = 3	n= 664	=>	Y(n)= 20
n= 615	=>	Y (n) = 6	n = 665	=>	Y(n)= 15
n = 616	=>	Y(n)= 20	n= 666	=>	Y (n) = 20
n= 617	=>	Y(n)= 105	n= 667	=>	Y(n)= 50
n= 618	=>	Y (n) = 3	n= 668	=>	Y (n) = 6
n= 619	=>	Y(n)= 20	n= 669	=>	Y(n)= 10
n= 620	=>	Y (n) = 3	n = 670	=>	Y (n) = 6
n= 621	=>	Y(n)= 50	n= 671	=>	Y(n)= 20
n= 622	=>	Y(n)= 15	n= 672	=>	Y (n) = 6
n= 623	=>	Y (n) = 6	n= 673	=>	Y(n)= 336
n= 624	=>	Y (n) = 6	n= 674	=>	Y (n) = 3
n= 625	=>	Y(n)= 196	n= 675	=>	Y (n) = 6
n= 626	=>	Y (n) = 6	n= 676	=>	Y(n)= 35
n= 627	=>	Y(n)= 6	n= 677	=>	Y (n) = 20
n= 628	=>	Y(n)= 20	n= 678	=>	Y (n) = 3
n= 629	=>	Y(n)= 10	n= 679	=>	Y(n)= 20
n= 630	=>	Y (n) = 6	n= 680	=>	Y (n) = 6
n= 631	=>	Y(n)= 887	n= 681	=>	Y(n)= 105
n= 632	=>	Y (n) = 3	n= 682	=>	Y (n) = 6
n= 633	=>	Y(n)= 15	n= 683	=>	Y(n)= 20
n= 634	=>	Y (n) = 6	n = 684	=>	Y (n) = 3
n= 635	=>	Y (n) = 6	n = 685	=>	Y(n)= 175
n= 636	=>	Y (n) = 6	n = 686	=>	Y (n) = 6
n = 637	=>	Y(n)= 50	n= 687	=>	Y(n)= 15
n= 638	=>	Y(n)= 10	n= 688	=>	Y (n) = 6
n= 639	=>	Y(n)= 20	n = 689	=>	Y(n)= 21
n= 640	=>	Y (n) = 10	n= 690	=>	Y (n) = 6
n= 641	=>	Y(n)= 45	n= 691	=>	Y(n)= 168
n= 642	=>	Y (n) = 3	n= 692	=>	Y (n) = 3
n= 643	=>	Y(n)= 20	n = 693	=>	Y(n)= 10
n = 644	=>	Y (n) = 3	n= 694	=>	Y(n)= 50
n= 645	=>	Y (n) = 50	n = 695	=>	Y(n)= 6
n = 646	=>	Y (n) = 20	n = 696	=>	Y(n)= 6
n= 647	=>	Y(n)= 20	n = 697	=>	Y(n)= 105
n = 648	=>	Y (n) = 3	n= 698	=>	Y (n) = 6
n= 649	=>	Y(n)= 126	n = 699	=>	Y (n) = 6
n= 650	=>	Y (n) = 6	n= 700	=>	Y (n) = 6
7 А С Карпенко
193
V6I
9 = (u) A	<= 008 = u
891 =(u)A	<= 66A =u
£ = (u) A	<= 86Z. = u
01 =(u)A	<= L6L =u
OA =(u)A	<= 96A =u
9 = (u) A	<= S6A =u
9 = (u) A	<= V6A =«
06V =(u)A	<= £6A =u
9 = (u) A	<= A6A = u
OA =(u)A	<= I6A =u
9 = (u) A	<= 06A =u
01 =(u)A	<= 68A =u
£ = (u) A	<= 88A =u
OA =(u)A	<= ASA =«
9 =(u)A	<= 98A = u
99 =(U)A	<= S8A =u
SI =(u)A	<= V8A =u
OA =(u)A	<= £8A =u
9 = (u) A	<= ZXL =u
ASS =(u)A	<= ISA =u
9 = (u) A	<= OSA = u
9 = (u) A	<= 6AA =u
OA =(u)A	<= 8AA =u
SI =(U)A	<= AAA =u
01 =(u)A	<= 9AA =u
OS =(u)A	<= SAA =u
£ = (u) A	<= VAA =u
01 =(u)A	<= £AA =u
9 = (u) A	<= ZLL =u
891 =(u)A	<= IAA =u
£ = (u) A	<= OAA =n
SS =(u)A	<= 69A =u
9 = (u) A	<= 89A =u
9 = (u) A	<= A9A = u
OS =(u)A	<= 99A =u
01 =(u)A	<= S9A =u
9 = 00 A	<= V9A = u
OA =(u)A	<= £9A = u
£ = 00 A	<= ZOL =u
SOI =(u)A	<= I9A =u
OZ =(u)A	<= 09A =u
9 = (u) A	<= 6SA = u
£ = (u) A	<= 8SA = u
06V =(u)A	<= ASA =u
9 = (u) A	<= 9SZ, =u
OZ =(u)A	<= SSA =u
9 = (u) A	<= VSA = u
IA =(u)A	<= £SA =«
£ = (u) A	<= ASA = u
SOI =(u)A	<= ISA =u
9 = (u) A	<= OSA =u
OS =(u)A	<= 6VA =u
01 =(u)A	<= 8VA = u
9 = (u) A	<= AVA =u
9 = (u) A	<= 9VA =u
SOI =(u)A	<= 9VA = u
£ = (u) A	<= VVA =u
OZ =(u)A	<= £VA = u
OZ =(«)A	<= AVA = u
OS =(u)A	<= IVA =u
£ = (u) A	<= OVA =u
OS =(u)A	<= 6£A =u
9 = (u) A	<= 8£A =u
SA =(u)A	<= A£A =u
OS =(«)A	<= 9£A = u
9 = (u) A	<= S£A =u
£ = (u) A	<= V£A =u
OS =(u)A	<= ££A = u
9 = (u) A	<= A£A =«
OA =(u)A	<= l£A =u
8 = (u) A	<= 0£A = u
SOI =(u)A	<= 6AA =u
£ = (u) A	<= SAA =u
OS =(u)A	<= AAA =u
01 =(u)A	<= 9AA = u
01 =(u)A	<= SAA =u
9 = (u) A	<= VAA =u
01 =(u)A	<= £AA =u
9 = (u) A	<= AAA =u
9AII =(u)A	<= IAA =u
£ = (u) A	<= OAA =u
9 = (u) A	<= 6IA =u
9 = (u) A	<= 8IA =u
01 =(u)A	<= AIA =u
OA = (u) A	<= 9IA =u
891 =(u)A	<= SIA =u
9 = (u) A	<= VIA =u
SI =(u)A	<= £IA =u
01 =(u)A	<= AIA =u
OA =(u)A	<= HA =u
£ = (u) A	<= OIA =u
OS =(u)A	<= 60A = u
9 = (u) A	<= 80A = u
9 = (u) A	<= LOL =u
OA =(u)A	<= 90A =u
9£ =(u)A	<= SOA =u
9 = («) A	<= VOA =u
SOI =(u)A	<= £0A =u
£ = (u) A	<= AOA =u
SAI =(u)A	<= IOA =u
л
л
л
л
л
л
л
л
л
II
л
II
л
л
л
л
л
II
л
л
II
л
л
л
л
л
л
II
л
л
II
л
л
II
л
л
л
л
л
II
л
л
л
II
л
л
II
л
л
л
л
II
л
л
л
II
л
II
л
II
л
л
л
л
00
оо
00
я
я
я
00
II
я
00
II
я
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
чО
00
00
00
00
00
00
00
00
00
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
я
00
II
я
00
00
00
я
я
я
00
00
II
я
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
00
я
я
я
я
я
я
00
00
00
II
я
00
00
II
я
00
II
я
00
II
я
00
II
я
00
II
я
я
00
II
я
00
II
я
00
II
я
00
00
II
я
00
II
я
S
II
я
ООООООООО-^- — гн —	—
оооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооооо
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
яяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяяя
n= 901	=>	y(n)= 980
n = 902	=>	Y (n) = 6
n= 903	=>	Y(n)= 20
n= 904	=>	Y (n) = 20
n = 905	=>	Y(n)= 15
n= 906	=>	Y (n) = 6
n = 907	=>	Y(n)= 20
n= 908	=>	Y (n) = 3
n= 909	=>	Y(n)= 10
n= 910	=>	Y(n)= 10
n= 911	=>	Y(n)= 168
n= 912	=>	Y (n) = 3
n= 913	=>	Y (n) = 196
n= 914	=>	Y (n) = 6
n= 915	=>	Y (n) = 6
n= 916	=>	Y(n)= 20
n= 917	=>	Y(n)= 10
n= 918	=>	Y (n) = 6
n= 919	=>	Y(n)=105
n= 920	=>	Y (n) = 3
n = 921	=>	Y(n)= 105
n = 922	=>	Y (n) = 6
n= 923	=>	Y (n) = 6
n = 924	=>	Y (n) = 6
n= 925	=>	Y(n)= 887
n = 926	=>	Y(n)= 10
n= 927	=>	Y (n) = 6
n= 928	=>	Y(n)= 10
n= 929	=>	Y(n)= 28
n= 930	=>	Y (n) = 3
n = 931	=>	Y (n) = 168
n = 932	=>	Y(n)= 10
n= 933	=>	Y(n)= 10
n = 934	=>	Y (n) = 6
n= 935	=>	Y (n) = 6
n= 936	=>	Y(n)= 20
n= 937	=>	Y (n) = 490
n= 938	=>	Y (n) = 3
n= 939	=>	Y(n)= 20
n= 940	=>	Y (n) = 6
n= 941	=>	Y(n)= 50
n = 942	=>	Y (n) = 3
n= 943	=>	Y(n)= 20
n= 944	=>	Y (n) = 6
n = 945	=>	Y(n)= 21
n = 946	=>	Y(n)= 105
n= 947	=>	Y (n) = 20
n= 948	=>	Y (n) = 3
n= 949	=>	Y(n)= 50
n = 950	=>	Y (n) = 6
n= 951 =>	Y(n)= 50
n= 952 =>	Y (n) = 6
n= 953 =>	Y(n)= 105
n= 954 =>	Y (n) = 3
n= 955 =>	Y(n)= 50
n = 956 =>	Y(n)= 6
n = 957 =>	Y(n)= 10
n= 958 =>	Г(n)= 20
n = 959 =>	Y (n) = 6
n = 960 =>	Y (n) = 6
n= 961 =>	Y(n)= 540
n = 962 =>	Y (n) = 4
n = 963 =>	Y (n) = 20
n = 964 =>	Y(n)= 10
n = 965 =>	Y(n)= 10
n = 966 =>	Y (n) = 6
n= 967 =>	Y(n)= 168
n = 968 =>	Y (n) = 3
n= 969 =>	Y(n)= 35
n = 970 =>	Y(n)= 20
n= 971 =>	Y(n)= 20
n= 972 =>	Y (n) = 3
n = 973 =>	Y(n)= 84
n= 974 =>	Y (n) = 6
n= 975 =>	Y (n) = 6
n= 976 =>	Y(n)= 50
n= 977 =>	Y(n)= 21
n = 978 =>	Y (n) = 3
n= 979 =>	Y(n)= 20
n= 980 =>	Y (n) = 6
n= 981 =>	Y(n)= 175
n= 982 =>	Y(n)= 10
n = 983 =>	Y (n) = 6
n = 984 =>	Y (n) = 3
n = 985 =>	Y(n)= 105
n= 986 =>	Y (n) = 6
n= 987 =>	Y(n)= 20
n= 988 =>	Y(n)= 20
n= 989 =>	Y(n)= 50
n= 990 =>	Y (n) = 6
n= 991 =>	Y(n)= 887
n= 992 =>	Y (n) = 3
n= 993 =>	Y(n)= 28
n = 994 =>	Y (n) = 6
n = 995 =>	Y(n)= 20
n = 996 =>	Y (n) = 6
n= 997 =>	Y(n)= 50
n= 998 =>	Y (n) = 3
n= 999 =>	Y (n) = 6
n= 1000 =>	Y(n)= 15
196
n=1001 =>	y(n)= 70
n= 1002 =>	Y (n) = 20
n = 1003 =>	Y(n)= 20
n = 1004 =>	Y (n) = 6
n= 1005 =>	Y(n)= 10
n= 1006 =>	Y (n) = 20
n= 1007 =>	Y (n) = 6
n = 1008 =>	Y (n) = 6
n = 1009 =>	Y(n)= 1176
n=1010 =>	Y (n) = 3
n = 1011 =>	Y (n) = 20
n=1012 =>	Y (n) = 6
n=1013 =>	Y(n)= 50
n=1014 =>	Y (n) = 3
n=1015 =>	Y (n) = 50
n=1016 =>	Y (n) = 20
n=1017 =>	Y(n)= 15
n=1018 =>	Y(n)= 10
n=1019 =>	Y (n) = 6
n = 1020 =>	Y (n) = 3
n=1021 =>	y(n) = 887
n = 1022 =>	Y (n) = 3
n= 1023 =>	Y(n)= 20
n = 1024 =>	Y (n) = 20
n = 1025 =>	Y(n)= 12
n = 1026 =>	Y(n)= 10
n = 1027 =>	Y(n)= 105
n = 1028 =>	Y (n) = 6
n = 1029 =>	Y(n)= 10
n = 1030 =>	Y(n)= 15
n=1031 =>	Y(n)= 20
n= 1032 =>	Y (n) = 3
n= 1033 =>	Y(n)= 105
n = 1034 =>	Y(n)= 3
n = 1035 =>	Y(n)= 20
n= 1036 =>	Y(n)= 50
n= 1037 =>	Y (n) = 50
n = 1038 =>	Y (n) = 6
n= 1039 =>	Y(n)= 20
n = 1040 =>	Y (n) = 3
n = 1041 =>	Y(n)= 196
n = 1042 =>	Y (n) = 6
n= 1043 =>	Y (n) = 6
n = 1044 =>	Y (n) = 6
n = 1045 =>	Y(n)= 175
n = 1046 =>	Y(n)= 20
n= 1047 =>	Y (n) = 6
n= 1048 =>	Y (n) = 6
n = 1049 =>	Y(n)= 15
n = 1050 =>	Y (n) = 3
n=1051 =>	Y(n)= 887
n= 1052 =>	Y (n) = 3
n = 1053 =>	Y(n)= 10
n = 1054 =>	Y(n)= 21
n = 1055 =>	Y (n) = 20
n= 1056 =>	Y (n) = 6
n = 1057 =>	Y(n)= 336
n= 1058 =>	Y (n) = 6
n = 1059 =>	Y(n)= 10
n = 1060 =>	Y (n) = 6
n = 1061 =>	Y(n)= 50
n = 1062 =>	Y (n) = 3
n= 1063 =>	Y (n) = 50
n= 1064 =>	Y (n) = 3
n= 1065 =>	Y(n)= 105
n= 1066 =>	Y(n)= 20
n= 1067 =>	Y(n)= 20
n = 1068 =>	Y (n) = 6
n= 1069 =>	Y (n) = 50
n = 1070 =>	Y (n) = 3
n = 1071 =>	Y(n)= 20
n= 1072 =>	Y(n)= 50
n = 1073 =>	Y(n)= 21
n = 1074 =>	Y (n) = 6
n = 1075 =>	Y (n) = 20
n = 1076 =>	Y(n)= 10
n = 1077 =>	Y (n) = 10
n= 1078 =>	Y (n) = 6
n = 1079 =>	Y(n)= 50
n = 1080 =>	Y (n) = 6
n=1081 =>	Y(n)= 1764
n = 1082 =>	Y (n) = 6
n = 1083 =>	Y (n) = 6
n=1084 =>	Y(n)= 10
n= 1085 =>	Y(n)= 10
n = 1086 =>	Y(n)= 20
n = 1087 =>	Y (n) = 20
n = 1088 =>	Y (n) = 3
n = 1089 =>	Y(n)= 36
n= 1090 =>	Y(n)= 20
n=1091 =>	Y(n)= 20
n= 1092 =>	Y (n) = 3
n= 1093 =>	Y(n)= 887
n=1094 =>	Y(n)= 3
n= 1095 =>	Y (n) = 6
n = 1096 =>	Y(n)= 20
n = 1097 =>	Y(n)= 15
n = 1098 =>	Y(n)= 3
n = 1099 =>	Y (n) = 50
n=1100 =>	Y(n)= 6
197
n=1101 =>	y(n)= 175
n=1102 =>	у (n) = 6
n=1103 =>	Y(n)= 20
n=1104 =>	Y (n) = 3
n=1105 =>	Y(n)= 196
n= 1106 =>	Y(n)= 20
n=1107 =>	Y(n)= 20
n=1108 =>	Y(n)= 15
n=1109 =>	Y(n)= 10
n=1110 =>	Y (n) = 3
n = 1111 =>	Y(n)= 168
n= 1112 =>	Y (n) = 6
n=1113 =>	Y(n)= 15
n = 1114 =>	Y(n)= 20
n=1115 =>	Y (n) = 6
n=1116 =>	Y (n) = 6
n=1117 =>	Y(n)= 175
n=1118 =>	Y (n) = 3
n=1119 =>	Y(n)= 20
n = 1120 =>	Y (n) = 6
n=H2I =>	Y (n) = 336
n=1122 =>	Y (n) = 6
n=1123 =>	Y (n) = 168
n=1124 =>	Y (n) = 3
n = 1125 =>	Y(n)= 10
n = 1126 =>	Y(n)= 35
n=1127 =>	Y (n) = 6
n=1128 =>	Y(n)= 10
n=1129 =>	Y(n)= 105
n=1130 =>	Y (n) = 3
n=1131 =>	Y(n)= 20
n=1132 =>	Y(n)= 20
n=1133 =>	Y(n)= 10
n=1134 =>	Y (n) = 6
n=1135 =>	Y(n)= 196
n=1136 =>	Y (n) = 6
n=1137 =>	Y(n)= 21
n=1138 =>	Y (n) = 6
n=1139 =>	Y (n) = 6
n = 1140 =>	Y (n) = 6
n=1141 =>	Y(n)= 887
n = 1142 =>	Y (n) = 6
n=1143 =>	Y (n) = 6
n = 1144 =>	Y(n)= 10
n = 1145 =>	Y(n)= 105
n = 1146 =>	Y (n) = 6
n = 1147 =>	Y(n)= 20
n = 1148 =>	Y (n) = 6
n = 1149 =>	Y(n)= 50
n=1150 =>	Y (n) = 6
n=1151 =>	Y(n)= 50
n=1152 =>	Y (n) = 3
n=1153 =>	Y(n)= 165
n=1154 =>	Y(n)= 3
n=1155 =>	Y (n) = 6
n=1156 =>	Y(n)= 168
n=1157 =>	Y(n)= 20
n=1158 =>	Y (n) = 6
n=1159 =>	Y (n) = 20
n=1160 =>	Y (n) = 6
n=1161 =>	Y(n)= 105
n=1162 =>	Y(n)= 15
n=1163 =>	Y(n)= 20
n=1164 =>	Y (n) = 3
n=1165 =>	Y(n)= 50
n = 1166 =>	Y (n) = 6
n=1167 =>	Y (n) = 20
n=1168 =>	Y (n) = 6
n=1169 =>	Y(n)= 21
n=1170 =>	Y (n) = 6
n=1171 =>	Y(n)= 887
n=1172 =>	Y (n) = 3
n=1173 =>	Y(n)= 10
n=1174 =>	Y (n) = 20
n=1175 =>	Y (n) = 6
n=1176 =>	Y(n)= 10
n=1177 =>	Y (n) = 490
n=1178 =>	Y (n) = 6
n=1179 =>	Y (n) = 20
n=1180 =>	Y(n)= 10
n=1181 =>	Y(n)= 50
n=1182 =>	Y (n) = 3
n=1183 =>	Y(n)= 20
n=1184 =>	Y(n)= 10
n=1185 =>	Y(n)= 28
n=1186 =>	Y(n)= 20
n=1187 =>	Y (n) = 6
n=1188 =>	Y (n) = 3
n=1189 =>	Y(n)= 490
n=1190 =>	Y (n) = 6
n=1191 =>	Y(n)= 168
n=1192 =>	Y (n) = 6
n=1193 =>	Y(n)= 15
n=1194 =>	Y (n) = 3
n=1195 =>	Y(n)= 20
n=1196 =>	Y (n) = 6
n=1197 =>	Y(n)= 50
n=1198 =>	Y(n)= 50
n=H99 =>	Y (n) = 6
n= 1200 =>	Y (n) = 6
198
n=1201 =>	Y(n)= 1176
n = 1202 =>	Y (n) = 3
n = 1203 =>	Y (n) = 6
n = 1204 =>	Y (n) = 6
n = 1205 =>	Y(n)= 50
n = 1206 =>	Y (n) = 6
n = 1207 =>	Y(n)= 50
n = 1208 =>	Y (n) = 6
n = 1209 =>	Y(n)= 15
n=1210 =>	Y(n)= 20
n=1211 =>	Y(n)= 50
n=1212 =>	Y(n)= 6
n=1213 =>	Y(n)= 50
n=1214 =>	Y (n) = 3
n=1215 =>	Y (n) = 6
n=1216 =>	Y(n)= 28
n=1217 =>	Y(n)= 36
n=1218 =>	Y(n)= 3
n=1219 =>	Y(n)= 168
n= 1220 =>	Y(n)= 6
n=1221 =>	Y(n)= 50
n= 1222 =>	Y(n)= 20
n=1223 =>	Y(n)= 20
n=1224 =>	Y (n) = 3
n = 1225 =>	Y(n)= 490
n = 1226 =>	Y(n)= 20
n = 1227 =>	Y (n) = 6
n=1228 =>	Y (n) = 6
n = 1229 =>	Y(n)= 10
n=1230 =>	Y(n)= 3
n=1231 =>	Y(n)= 168
n=1232 =>	Y (n) = 3
n=1233 =>	Y(n)= 196
n = 1234 =>	Y(n)= 10
n = 1235 =>	Y (n) = 6
n = 1236 =>	Y(n)= 20
n = 1237 =>	Y(n)= 50
n = 1238 =>	Y(n)= 3
n = 1239 =>	Y(n)= 6
n= 1240 =>	Y(n)= 20
n=1241 =>	Y(n)= 105
n = 1242 =>	Y (n) = 6
n = 1243 =>	Y(n)= 105
n = 1244 =>	Y (n) = 6
n = 1245 =>	Y(n)= 10
n = 1246 =>	Y(n)= 20
n = 1247 =>	Y(n)= 20
n = 1248 =>	Y (n) = 6
n = 1249 =>	Y(n)= 336
n = 1250 =>	Y (n) = 3
n= 1251	=>	Y(n)= 21
n = 1252	=>	Y(n)= 10
n= 1253	==>	Y(n)= 10
n= 1254	=>	Y (n) = 6
n = 1255	=>	Y(n)= 168
n = 1256	=>	Y (n) = 6
n = 1257	=>	Y(n)= 15
n= 1258	=>	Y (n) = 6
n= 1259	=>	Y(n)= 20
n = 1260	=>	Y (n) = 3
n= 1261	=>	Y (n) = 8790
n = 1262	=>	Y (n) = 6
n = 1263	=>	Y(n)= 6
n = 1264	=>	Y (n) = 6
n = 1265	=>	Y(n)= 21
n = 1266	=>	Y(n)= 20
n = 1267	=>	Y(n)= 20
n = 1268	=>	Y (n) = 6
n = 1269	=>	Y(n)= 10
n = 1270	=>	Y(n)= 15
n= 1271	=>	Y(n)= 20
n = 1272	=>	Y (n) = 6
n = 1273	=>	Y (n) = 105
n = 1274	=>	Y (n) = 6
n = 1275	=>	Y(n)= 50
n = 1276	=>	Y (n) = 50
n = 1277	=>	Y(n)= 50
n = 1278	=>	Y (n) = 3
n = 1279	=>	Y(n)= 50
n = 1280	=>	Y (n) = 3
n= 1281	=>	Y(n)= 55
n= 1282	=>	Y(n)= 20
n= 1283	=>	Y (n) = 6
n = 1284	=>	Y (n) = 3
n = 1285	=>	Y(n)= 50
n = 1286	=>	Y (n) = 6
n = 1287	=>	Y (n) = 6
n = 1288	=>	Y(n)= 50
n = 1289	=>	Y(n)= 105
n = 1290	=>	Y (n) = 3
n= 1291	=>	Y (n) = 168
n = 1292	=>	Y (n) = 3
n= 1293	=>	Y(n)= 50
n = 1294	=>	Y(n)= 6
n = 1295	=>	Y (n) = 6
n = 1296	=>	Y(n)= 20
n = 1297	=>	Y (n) = 252
n = 1298	=>	Y (n) = 3
n= 1299	=>	Y(n)= 20
n= 1300	=>	Y (n) = 6
199
n=1301 =>	y(n)= 175	n=1351 =>	Y (n) = 490
n=1302 =>	у (n) = 3	n= 1352 =>	Y (n) = 6
n=13O3 =>	y(n)= 168	n= 1353 =>	Y(n)= 35
n=1304 =>	Y (n) = 3	n= 1354 =>	Y (n) = 20
n= 1305 =>	Y(n)= 15	n= 1355 =>	Y (n) = 6
n=13O6 =>	Y(n)= 50	n= 1356 =>	Y (n) = 6
n=1307 =>	Y (n) = 6	n= 1357 =>	Y (n) = 50
n=1308 =>	Y (n) = 3	n= 1358 =>	Y (n) = 6
n=13O9 =>	Y(n)= 50	n= 1359 =>	Y(n)= 20
n=1310 =>	Y (n) = 20	n=136O =>	Y(n)= 10
n=1311 =>	Y(n)= 20	n=1361 =>	Y(n)= 196
n=1312 =>	Y(n)= 20	11=1362 =>	Y (n) = 3
n=1313 =>	Y(n)= 28	n= 1363 =>	Y(n)= 20
n= 1314 =>	Y (n) = 6	n= 1364 =>	Y (n) = 6
n=1315 =>	Y(n)= 50	n= 1365 =>	Y (n) = 50
n=1316 =>	Y (n) = 6	n= 1366 =>	y(n)= 168
n=1317 =>	Y(n)= 50	n= 1367 =>	Y (n) = 6
n=1318 =>	Y (n) = 6	n= 1368 =>	Y (n) = 3
n=1319 =>	Y (n) = 6	n= 1369 =>	Y (n) = 490
n=1320 =>	Y (n) = 3	n= 1370 =>	Y (n) = 4
n=1321 =>	Y(n) = 3490	n=1371 =>	Y(n)= 20
n= 1322 =>	Y(n)= 3	n=1372 =>	Y (n) = 6
n= 1323 =>	Y (n) = 6	n= 1373 =>	Y(n)= 35
n=1324 =>	Y(n)= 35	n= 1374 =>	Y (n) = 3
n= 1325 =>	Y(n)= 10	n= 1375 =>	Y(n)= 20
n= 1326 =>	Y(n)= 10	n= 1376 =>	Y(n)= 15
n= 1327 =>	Y(n)= 168	n= 1377 =>	Y(n)= 28
n= 1328 =>	Y (n) = 3	n= 1378 =>	Y(n)= 21
n= 1329 =>	Y(n)= 21	n= 1379 =>	Y(n)= 20
n=133O =>	Y (n) = 6	n=138O =>	Y (n) = 6
n=1331 =>	Y(n)= 168	n=1381 =>	Y(n)= 887
n= 1332 =>	Y (n) = 5	n= 1382 =>	Y (n) = 3
n= 1333 =>	Y(n)= 175	n= 1383 =>	Y (n) = 6
n=1334 =>	Y (n) = 6	n= 1384 =>	Y (n) = 6
n= 1335 =>	Y(n)= 20	n= 1385 =>	Y(n)= 15
n= 1336 =>	Y(n)= 20	n= 1386 =>	Y (n) = 6
n= 1337 =>	Y(n)= 15	n= 1387 =>	Y(n)= 887
n= 1338 =>	Y (n) = 6	n= 1388 =>	Y (n) = 6
n= 1339 =>	Y(n)= 20	n= 1389 =>	Y(n)= 10
n=1340 =>	Y (n) = 6	n=139O =>	Y (n) = 6
n=1341 =>	Y (n) = 50	n=1391 =>	Y(n)= 20
n=1342 =>	Y(n)= 10	n= 1392 =>	Y (n) = 6
n= 1343 =>	Y(n)= 20	n= 1393 =>	Y(n)= 196
n= 1344 =>	Y (n) = 6	n= 1394 =>	Y (n) = 6
n= 1345 =>	Y(n)= 540	n= 1395 =>	Y(n)= 20
n= 1346 =>	Y (n) = 6	n= 1396 =>	Y(n)= 50
n= 1347 =>	Y (n) = 6	n= 1397 =>	Y(n)= 10
n= 1348 =>	Y (n) = 6	n= 1398 =>	Y (n) = 6
n=1349 =>	Y(n)= 10	n= 1399 =>	Y(n)= 20
n= 1350 =>	Y (n) = 6	n = 1400 =>	Y (n) = 3
200
n = 1401 =>	Y (n) = 490
n = 1402 =>	у (n) = 6
n = 1403 =>	Y (n) = 6
n=1404 =>	Y (n) = 6
n = 1405 =>	Y (n) = 490
n = 1406 =>	Y (n) = 6
n = 1407 =>	Y (n) = 20
n = 1408 =>	Y(n)= 20
n = 1409 =>	Y (n) = 45
n=1410 =>	Y (n) = 3
n=1411 =>	Y(n)= 168
n=1412 =>	Y (n) = 6
n=1413 =>	Y(n)= 10
n=1414 =>	Y(n)= 10
n=1415 =>	Y(n)= 20
n=1416 =>	Y (n) = 6
n=1417 =>	Y(n)= 105
n=1418 =>	Y (n) = 6
n=1419 =>	Y (n) = 6
n = 1420 =>	Y(n)= 20
n=1421 =>	Y (n) = 50
n = 1422 =>	Y (n) = 10
n = 1423 =>	Y (n) = 50
n = 1424 =>	Y (n) = 3
n = 1425 =>	Y(n)= 21
n = 1426 =>	Y (n) = 50
n = 1427 =>	Y(n)= 20
n = 1428 =>	Y (n) = 3
n = 1429 =>	Y(n)= 887
n = 1430 =>	Y (n) = 3
n=1431 =>	Y(n)= 168
n = 1432 =>	Y(n)= 15
n= 1433 =>	Y(n)= 15
n = 1434	=>	Y (n) = 3
n = 1435 =>	Y(n)= 20
n = 1436 =>	Y(n)= 20
n = 1437 =>	Y(n)= 10
n = 1438 =>	Y (n) = 6
n= 1439 =>	Y (n) = 6
n = 1440 =>	Y (n) = 3
n=1441 =>	Y(n)= 2520
n = 1442 =>	Y (n) = 6
n = 1443 =>	Y (n) = 20
n = 1444 =>	Y (n) = 20
n = 1445 =>	Y(n)= 20
n = 1446 =>	Y(n)= 10
n = 1447 =>	Y (n) = 20
n=1448 =>	Y (n) = 3
n = 1449 =>	Y(n)= 15
n = 1450 =>	Y (n) = 50
n= 1451	=>	Y (n) = 50
n = 1452	=>	Y (n) = 3
n= 1453	=>	Y(n)= 175
n = 1454	=>	Y (n) = 3
n = 1455	=>	Y (n) = 6
n= 1456	=>	Y(n)= 20
n= 1457	=>	Y(n)= 196
n= 1458	=>	Y (n) = 6
n= 1459	=>	Y(n)= 36
n = 1460	==>	Y (n) = 3
n= 1461	=>	Y(n)= 50
n = 1462	=>	Y (n) = 6
n = 1463	=>	Y(n)= 20
n = 1464	=>	Y(n)= 20
n = 1465	=>	Y(n)= 105
n = 1466	=>	Y (n) = 6
n = 1467	=>	Y (n) = 6
n = 1468	=>	Y(n)= 10
n = 1469	=>	Y(n)= 10
n= 1470	=>	Y (n) = 6
n= 1471	=>	Y(n)= 887
n = 1472	=>	Y (n) = 3
n = 1473	=>	Y(n)= 36
n = 1474	=>	Y (n) = 6
n = 1475	=>	Y (n) = 20
n = 1476	=>	Y(n)= 10
n = 1477	=>	Y(n)= 175
n = 1478	=>	Y (n) = 6
n = 1479	=>	Y (n) = 6
n = 1480	=>	Y(n)= 20
n — 1481	=>	Y (n) = Ю5
n = 1482	=>	Y (n) = 3
n = 1483	=>	Y(n)= 168
n = 1484	=>	Y (n) = 3
n = 1485	=>	Y(n)= 50
n = 1486	=>	Y(n)= 105
n = 1487	=>	Y (n) = 6
n = 1488	=>	Y (n) = 3
n = 1489	=>	Y(n)= 196
n = 1490	=>	Y (n) = 3
n= 1491	=>	Y(n)= 20
n = 1492	=>	Y(n)= 20
n= 1493	=>	Y(n)= 10
n = 1494	=>	Y (n) = 3
n= 1495	=>	Y(n)= 50
n = 1496	=>	Y (n) = 20
n = 1497	=>	Y(n)= 105
n= 1498	=>	Y (n) = 6
n= 1499	=>	Y(n)= 20
n= 1500	=>	Y (n) = 3
201
n= 1501	=>	Y (n) = 490
n= 1502	=>	Y (n) = 6
n= 1503	=>	Y (n) = 6
n= 1504	=>	Y(n)= 10
n= 1505	=>	Y(n)= 28
n= 1506	=>	Y (n) = 20
n = 1507	=>	Y (n) = 20
n= 1508	=>	Y(n)= 6
n= 1509	=>	Y(n)= 50
n = 1510	=>	Y (n) = 6
n= 1511	==>	Y (n) = 20
n= 1512	=>	Y (n) = 3
n= 1513	=>	Y(n)= 1764
n= 1514	=>	Y (n) = 6
n= 1515	=>	Y (n) = 6
n= 1516	=>	Y (n) = 20
n= 1517	=>	Y(n)= 10
n = 1518	=>	Y (n) = 6
n= 1519	—>	Y(n)= 168
n= 1520	=>	Y(n)= 10
n= 1521	=>	Y(n)= 196
n= 1522	=>	Y(n)= 20
n= 1523	=>	Y (n) = 6
n= 1524	=>	Y (n) = 3
n= 1525	=>	Y(n)= 50
n= 1526	—>	Y(n)= 10
n= 1527	=>	Y (n) = 20
n = 1528	=>	Y (n) = 6
n= 1529	=>	Y(n)= 15
n= 1530	=>	Y (n) = 6
n= 1531	=>	Y(n)= 887
n = 1532	=>	Y (n) = 3
n= 1533	—>	Y(n)= 10
n= 1534	=>	Y (n) = 20
n= 1535	=>	Y (n) = 20
n= 1536	=>	Y (n) = 6
n= 1537	=>	Y (n) = 66
n— 1538	=>	Y (n) = 6
n= 1539	=>	Y (n) = 6
n = 1540	=>	Y(n)= 21
n — 1541	=>	Y(n)= 887
n= 1542	=>	Y (n) = 6
n = 1543	=>	Y(n)= 20
n = 1544	=>	Y (n) = 3
n= 1545	=>	Y(n)= 15
n= 1546	=>	Y(n)= 20
n= 1547	=>	Y (n) = 6
n = 1548	=>	Y (n) = 20
n= 1549	=>	Y(n)= 175
n= 1550	=>	Y (n) = 3
n= 1551	=>	Y(n)= 50
n= 1552	=>	Y(n)= 20
n= 1553	=>	Y(n)= 21
n= 1554	=>	Y (n) = 3
n= 1555	=>	Y(n)= 168
n= 1556	=>	Y (n) = 6
n= 1557	=>	Y(n)= 10
n= 1558	~>	Y(n)= 10
n= 1559	=>	Y(n)= 20
n= 1560	=>	Y (n) = 3
n= 1561	=>	Y (n) = 3490
n= 1562	=>	Y (n) = 6
n= 1563	=>	Y(n)= 20
n = 1564	=>	Y (n) = 6
n= 1565	=>	Y(n)= 50
n= 1566	=>	Y (n) = 6
n= 1567	=>	Y(n)= 105
n = 1568	=>	Y (n) = 3
n= 1569	=>	Y(n)= 84
n= 1570	=>	Y (n) = 6
n= 1571	=>	Y (n) = 20
n= 1572	=>	Y (n) = 3
n= 1573	=>	Y(n)= 50
n= 1574	=>	Y(n)= 10
n= 1575	—>	Y (n) = 6
n= 1576	=>	Y(n)= 175
n = 1577	=>	Y(n)= 15
n= 1578	=>	Y (n) = 6
n= 1579	=>	Y(n)= 20
n= 1580	=>	Y (n) = 3
n = 1581	=>	Y (n) = 50
n= 1582	=>	Y (n) = 20
n= 1583	=>	Y (n) = 20
n= 1584	=>	Y (n) = 3
n= 1585	=>	Y(n)= 1176
n= 1586	=>	Y (n) = 6
n= 1587	=>	Y (n) = 20
n = 1588	=>	Y(n)= 10
n= 1589	=>	Y(n)= 10
n= 1590	=>	Y (n) = 6
n= 1591	=>	Y(n)= 168
n= 1592	=>	Y (n) = 6
n= 1593	=>	Y(n)= 15
n= 1594	=>	Y(n)= 15
n= 1595	=>	Y (n) = 6
n = 1596	=>	Y(n)= 20
n= 1597	=>	Y(n)= 887
n= 1598	=>	Y (n) = 3
n= 1599	=>	Y (n) = 20
n= 1600	=>	Y(n)= 20
202
n=1601 =>	Y(n)= 120
n= 1602 =>	Y (n) = 3
n= 1603 =>	Y(n)= 50
n = 1604 =>	Y (n) = 6
n= 1605 =>	Y(n)= 10
n= 1606 =>	Y(n)= 20
n = 1607 =>	Y(n)= 20
n = 1608 =>	Y (n) = 3
n= 1609 =>	Y(n)= 105
n=1610 =>	Y (n) = 3
n=1611 =>	Y(n)= 168
n=1612 =>	Y(n)= 10
n=1613 =>	Y(n)= 50
n=1614 =>	Y (n) = 3
n=1615 =>	Y(n)= 20
n = 1616 =>	Y(n)= 20
n=1617 =>	Y(n)= 21
n=1618 =>	Y(n)= 50
n=1619 =>	Y (n) = 6
n= 1620 =>	Y (n) = 3
n=1621 =>	Y(n)= 1176
n= 1622 =>	Y (n) = 3
n= 1623 =>	Y(n)= 6
n= 1624 =>	Y (n) = 6
n= 1625 =>	Y(n)= 105
n= 1626 =>	Y(n)= 15
n= 1627 =>	Y(n)= 20
n= 1628 =>	Y (n) = 3
n= 1629 =>	Y(n)= 50
n= 1630 =>	Y(n)= 10
n=1631 =>	Y (n) = 20
n= 1632 =>	Y (n) = 6
n= 1633 =>	Y(n)= 336
n= 1634 =>	Y (n) = 6
n= 1635 =>	Y (n) = 20
n = 1636 =>	Y(n)= 20
n = 1637 =>	Y(n)= 10
n= 1638 =>	Y (n) = 3
n= 1639 =>	Y(n)= 887
n = 1640 =>	Y (n) = 6
n=1641 =>	Y(n)= 105
n= 1642 =>	Y (n) = 6
n = 1643 =>	Y (n) = 6
n= 1644 =>	Y (n) = 6
n=1645 =>	Y(n)= 50
n=1646 =>	Y (n) = 20
n= 1647 =>	Y (n) = 6
n= 1648 =>	Y(n)= 15
n = 1649 =>	Y(n)= 21
n = 1650 =>	Y (n) = 6
n= 1651
n= 1652
n = 1653
n= 1654
n= 1655
n = 1656
n= 1657
n= 1658
n = 1659
n= 1660
n= 1661
n = 1662
n= 1663
n = 1664
n = 1665
n = 1666
n= 1667
n= 1668
n= 1669
n= 1670
n = 1671
n= 1672
n= 1673
n= 1674
n = 1675
n= 1676
n= 1677
n= 1678
n = 1679
n = 1680
n= 1681
n = 1682
n= 1683
n= 1684
n= 1685
n = 1686
n = 1687
n = 1688
n= 1689
n= 1690
n= 1691
n = 1692
n= 1693
n= 1694
n= 1695
n - 1696
n= 1697
n = 1698
n= 1699
n= 1700
y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
Y(n) =
887
6
50
20
6
6
490
3
6
20
50
6
20
3
45
50
50
3
50
3
20
6
105
6
105
10
10
20
6
6
11196
4
10
50
10
6
20
6
15
6
50
6
175
3
50
20
28
3
20
3
203
n=1701 =>	Y(n)= 175	n=1751 =>	Y(n)= 105
n=1702 =>	Y(n)= 28	n = 1752 =>	Y (n) = 6
n= 1703 =>	y(n)= 20	n= 1753 =>	Y(n)= 105
n = 1704 =>	Y (n) = 6	n= 1754 =>	Y (n) = 3
n= 1705 =>	y(n)= 105	n= 1755 =>	Y (n) = 6
n = 1706 =>	Y (n) = 20	n= 1756 =>	Y(n)= 105
n = 1707 =>	Y (n) = 6	n= 1757 =>	Y(n)= 10
n = 1708 =>	Y (n) = 6	n= 1758 =>	Y (n) = 6
n=1709 =>	Y(n)= 50	n= 1759 =>	Y(n)= 20
n=1710 =>	Y(n)= 3	n= 1760 =>	Y (n) = 3
n=1711 =>	Y(n)= 887	n=1761 =>	Y (n) = 336
n= 1712 =>	Y (n) = 6	n= 1762 =>	Y (n) = 6
n=1713 =>	Y(n)= 21	n= 1763 =>	Y (n) = 6
n=1714 =>	Y (n) = 6	n= 1764 =>	Y (n) = 6
n=1715 =>	Y(n)= 6	n= 1765 =>	Y(n)= 980
n=1716 =>	Y(n)= 15	n=1766 =>	Y (n) = 6
n=1717 =>	Y(n)= 887	n= 1767 =>	Y (n) = 6
n=1718 =>	Y (n) = 6	n= 1768 =>	Y(n)= 20
n=1719 =>	Y (n) = 6	n = 1769 =>	Y(n)= 105
n= 1720 =>	Y(n)= 10	n= 1770 =>	Y (n) = 6
n=1721 =>	Y(n)= 105	n= 1771 =>	Y(n)= 168
n=1722 =>	Y(n)= 3	n= 1772 =>	Y(n)= 20
n= 1723 =>	Y(n)= 168	n = 1773 =>	Y(n)= 10
n = 1724 =>	Y (n) = 3	n = 1774 =>	Y(n)= 10
n = 1725 =>	Y(n)= 10	n= 1775 =>	Y (n) = 6
n= 1726 =>	Y(n)= 50	n= 1776 =>	Y(n)= 10
n= 1727 =>	Y (n) = 6	n= 1777 =>	Y(n)= 196
n=1728 =>	Y (n) = 6	n= 1778 =>	Y (n) = 3
n= 1729 =>	Y(n)= 330	n= 1779 =>	Y(n)= 20
n= 1730 =>	Y (n) = 20	n= 1780 =>	Y (n) = 6
n=1731 =>	Y (n) = 20	n=1781 =>	Y(n)= 50
n= 1732 =>	Y (n) = 6	n = 1782 =>	Y (n) = 6
n= 1733 =>	Y(n)= 10	n= 1783 =>	Y(n)= 196
n = 1734 =>	Y (n) = 3	n = 1784 =>	Y (n) = 3
n = 1735 =>	Y(n)= 50	n= 1785 =>	Y(n)= 15
n= 1736 =>	Y (n) = 6	n= 1786 =>	Y(n)= 168
n = 1737 =>	Y(n)= 105	n = 1787 =>	Y(n)= 20
n=1738 =>	Y(n)= 10	n= 1788 =>	Y (n) = 3
n= 1739 =>	Y (n) = 20	n= 1789 =>	Y(n)= 50
n= 1740 =>	Y (n) = 6	n= 1790 =>	Y (n) = 3
n=1741 =>	Y(n)= 887	n=1791 =>	Y(n)= 20
n = 1742 =>	Y (n) = 3	n= 1792 =>	Y(n)= 10
n= 1743 =>	Y (n) = 20	n= 1793 =>	Y(n)= 55
n = 1744 =>	Y(n)= 20	n = 1794 =>	Y (n) = 6
n= 1745 =>	Y(n)= 21	n= 1795 =>	Y(n)= 168
n= 1746 =>	Y (n) = 6	n = 1796 =>	Y (n) = 6
n = 1747 =>	Y(n)= 50	n= 1797 =>	Y(n)= 10
n = 1748 =>	Y (n) = 3	n= 1798 =>	Y(n)= 6
n = 1749 =>	Y(n)= 50	n= 1799 =>	Y(n)= 20
n = 1750 =>	Y(n)= 20	n= 1800 =>	Y (n) = 6
204
n= 1801	=>	у (n) = 4116
n= 1802	==>	Y (n) = 3
n= 1803	=>	Y (n) = 20
n= 1804	=>	Y (n) = 6
n= 1805	=>	Y(n)= 50
n= 1806	=>	Y(n)= 10
n= 1807	=>	Y(n)= 168
n= 1808	=>	Y (n) = 6
n= 1809	=>	Y(n)= 21
n= 1810	=>	Y(n)= 15
n= 1811	=>	Y (n) = 20
n= 1812	=>	Y (n) = 3
n= 1813	=>	Y(n)= 50
n= 1814	=>	Y(n)= 10
n= 1815	=>	Y (n) = 6
n= 1816	=>	Y(n)= 50
n= 1817	=>	Y(n)= 15
n= 1818	=>	Y (n) = 6
n= 1819	=>	Y(n)= 50
n= 1820	=>	Y (n) = 6
n= 1821	=>	Y(n)= 887
n= 1822	=>	Y (n) = 6
n= 1823	=>	Y (n) = 6
n= 1824	=>	Y (n) = 3
n= 1825	=>	Y (n) = 336
n — 1826	=>	Y(n)= 10
n= 1827	=:>	Y(n)= 20
n= 1828	=>	Y(n)= 50
n= 1829	=>	Y(n)= 10
n= 1830	=>	Y (n) = 6
n= 1831	=>	Y(n)= 168
n= 1832	=>	Y(n)= 3
n= 1833	=>	Y(n)= 15
n= 1834	=>	Y (n) = 20
n= 1835	=>	Y(n)= 20
n = 1836	=>	Y (n) = 6
n= 1837	=>	Y(n)= 490
n= 1838	=>	Y (n) = 6
n = 1839	=>	Y (n) = 6
n= 1840	=>	Y(n)= 6
n— 1841	=>	Y(n)= 196
n= 1842	=>	Y(n)= 6
n= 1843	=>	Y(n)= 20
n= 1844	=>	Y (n) = 6
n= 1845	=>	Y(n)= 10
n = 1846	=>	Y(n)= 50
n= 1847	=>	Y (n) = 20
n= 1848	=>	Y (n) = 3
n = 1849	=>	Y (n) = 3490
n= 1850	=>	Y (n) = 4
n= 1851	=>	Y(n)= 50
n= 1852	=>	Y(n)= 6
n= 1853	=>	Y(n)= 10
n= 1854	=>	Y (n) = 6
n= 1855	=>	Y(n)= 50
n= 1856	=>	Y (n) = 20
n= 1857	=>	Y(n)= 36
n= 1858	=>	Y (n) = 6
n= 1859	=>	Y (n) = 6
n = 1860	=>	Y(n)= 10
n= 1861	=>	Y(n)= 887
n= 1862	=>	Y (n) = 3
n= 1863	=>	Y(n)= 50
n= 1864	=>	Y(n)= 21
n= 1865	=>	Y(n)= 15
n= 1866	=>	Y (n) = 6
n= 1867	=>	Y(n)= 20
n= 1868	=>	Y (n) = 3
n= 1869	=>	Y(n)= 10
n= 1870	=>	Y(n)= 20
n = 1871	=>	Y(n)= 168
n= 1872	=>	Y (n) = 3
n= 1873	=>	Y(n)= 1176
n= 1874	=>	Y(n)= 3
n= 1875	s=>	Y (n) = 6
n= 1876	=>	Y(n)= 21
n= 1877	=>	Y(n)= 50
n = 1878	=>	Y(n)= 3
n= 1879	=>	Y(n)= 20
n= 1880	=>	Y (n) = 3
n = 1881	=>	Y(n)= 105
n= 1882	=>	Y (n) = 50
n= 1883	=>	Y (n) = 6
n= 1884	=>	Y (n) = 6
n= 1885	=>	Y(n)= 50
n= 1886	=>	Y(n)= 20
n= 1887	=>	Y(n)= 20
n = 1888	=>	Y(n)= 20
n= 1889	=>	Y(n)= 28
n= 1890	=>	Y (n) = 3
n= 1891	=>	Y (n) = 3490
n= 1892	=>	Y (n) = 6
n= 1893	=>	Y (n) = 50
n = 1894	=>	Y(n)= 6
n = 1895	=>	Y (n) = 6
n= 1896	=>	Y (n) = 6
n= 1897	=>	Y(n)= 105
n= 1898	=>	Y (n) = 6
n= 1899	=>	Y(n)= 20
n= 1900	=>	Y(n)= 10
205
n=1901 =>	Y(n)= 175
n=1902 =>	Y (n) = 3
n=1903 =>	Y(n)= 20
n= 1904 =>	Y (n) = 6
n= 1905 =>	Y(n)= 196
n= 1906 =>	Y(n)= 20
n=1907 =>	Y (n) = 6
n=1908 =>	Y (n) = 3
n= 1909 =>	Y(n)= 175
n=1910 =>	Y (n) = 6
n=1911 =>	Y(n)= 20
n=19I2 =>	Y(n)= 50
n=1913 =>	Y(n)= 15
n=1914 =>	Y (n) = 3
n=1915 =>	Y(n)= 168
n=1916 =>	Y (n) = 6
n=1917 =>	Y(n)= 10
n=1918 =>	Y(n)= 15
n=1919 =>	Y(n)= 20
n= 1920 =>	Y (n) = 6
n=1921 =>	Y(n)= 825
n= 1922 =>	Y (n) = 6
n= 1923 =>	Y(n)= 10
n= 1924 =>	Y (n) = 6
n= 1925 =>	Y(n)= 50
n=1926 =>	Y(n)= 50
n= 1927 =>	Y(n)= 50
n= 1928 =>	Y (n) = 6
n= 1929 =>	Y(n)= 15
n= 1930 =>	Y (n) = 6
n=1931 =>	Y(n)= 20
n= 1932 =>	Y (n) = 3
n= 1933 =>	Y(n)= 887
n=1934 =>	Y (n) = 3
n= 1935 =>	Y(n)= 6
n=1936 =>	Y (n) = 50
n= 1937 =>	Y(n)= 56
n=1938 =>	Y (n) = 6
n=1939 =>	Y(n)= 168
n= 1940 =>	Y(n)= 6
n=1941 =>	Y(n)= 50
n=1942 =>	Y (n) = 6
n=1943 =>	Y (n) = 6
n= 1944 =>	Y (n) = 6
n=1945 =>	Y(n)= 210
n=1946 =>	Y (n) = 6
n= 1947 =>	Y(n)= 20
n= 1948 =>	Y(n)= 20
n= 1949 =>	Y(n)= 10
n= 1950 =>	Y (n) = 3
n=1951 =>	Y(n)= 887
n= 1952 =>	Y (n) = 3
n= 1953 =>	Y(n)= 28
n=1954 =>	Y(n)= 50
n= 1955 =>	Y (n) = 6
n= 1956 =>	Y(n)= 20
n=1957 =>	Y(n)= 50
n= 1958 =>	Y (n) = 6
n= 1959 =>	Y (n) = 20
n= 1960 =>	Y (n) = 6
n=1961 =>	Y(n)= 490
n= 1962 =>	Y (n) = 6
n= 1963 =>	Y(n)= 50
n= 1964 =>	Y (n) = 6
n= 1965 =>	Y(n)= 10
n= 1966 =>	Y(n)= 20
n= 1967 =>	Y (n) = 6
n= 1968 =>	Y(n)= 6
n= 1969 =>	Y(n)= 196
n= 1970 =>	Y (n) = 6
n=1971 =>	Y(n)= 20
n= 1972 =>	Y(n)= 15
n= 1973 =>	Y(n)= 50
n= 1974 =>	Y (n) = 3
n= 1975 =>	Y(n)= 168
n= 1976 =>	Y(n)= 10
n= 1977 =>	Y(n)= 105
n= 1978 =>	Y(n)= 6
n= 1979 =>	Y (n) = 20
n= 1980 =>	Y (n) = 3
n=1981 =>	Y(n)= 8790
n= 1982 =>	Y (n) = 6
n= 1983 =>	Y (n) = 6
n = 1984 =>	Y (n) = 6
n= 1985 =>	Y(n)= 36
n= 1986 =>	Y(n)= 6
n= 1987 =>	Y (n) = 20
n= 1988 =>	Y(n)= 3
n= 1989 =>	Y (n) = 50
n= 1990 =>	Y(n)= 50
n=1991 =>	Y (n) = 20
n= 1992 =>	Y (n) = 6
n= 1993 =>	Y(n)= 105
n= 1994 =>	Y(n)= 3
n= 1995 =>	Y (n) = 6
n= 1996 =>	Y(n)= 168
n= 1997 =>	Y(n)= 10
n= 1998 =>	Y(n)= 3
n= 1999 =>	Y(n)= 105
n = 2000 =>	Y(n)= 3
206
Таблица 2
Значения обратной функции Эйлера ф *(т)
(см. раздел 6.4)
1:1,2
2 : 3,4, 6
4 : 5, 8, 10, 12
6:7,9, 14, 18
8 : 15, 16,20,24, 30
10 : 11,22
12: 13,21,26,28,36,42
16:17, 32, 34, 40, 48, 60
18:19, 27,38,54
20 : 25, 33, 44, 50, 66
22 :23, 46
24 : 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90
28 :29, 58
30 : 31, 62
32:51,64, 68, 80, 96,102, 120
36 : 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126
40:41,55,75,82, 88, 100, ПО, 132, 150
42 : 43, 49, 86, 98
44 : 69, 92, 138
46 : 47, 94
48 : 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210
52 : 53, 106
54 : 81, 162
56 : 87, 116, 174
58.59, 118
60 : 61, 77, 93, 99, 122, 124, 154,186, 198
64 : 85, 128, 136, 160, 170, 192,204,240
66 : 67, 134
70 : 71, 142
72:73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234,
252, 270
78 : 79, 158
80 : 123, 164, 165, 176, 200, 220,246,264, 300, 330
82: 83, 166
84 : 129, 147, 172, 196, 258, 294
88 : 89, 115, 178, 184,230,276
92 : 141, 188,282
96 : 97, 119, 153, 194, 195,208,224, 238,260,280, 288, 306, 312, 336, 360, 390,
420
100 : 101, 125,202,250
207
102 : 103, 206
104: 159,212,318
106 : 107, 214
108 : 109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378
ПО: 121,242
112: 113, 145,226, 232, 290, 348
116: 177, 236,354
120 : 143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450,
462
126 : 127,254
128 : 255, 256, 272, 320, 340, 384,408, 480, 510
130: 131,262
132 : 161, 201, 207, 268, 322,402,414
136 : 137, 274
138: 139, 278
140:213,284, 426
144 : 185,219, 273, 285, 292,296, 304, 315, 364, 370, 380,432, 438,444,456, 468,
504, 540, 546, 570, 630
148 ; 149, 298
150: 151,302
156 : 157, 169, 237, 314, 316, 338,474
160 : 187, 205, 328, 352, 374, 400,410, 440, 492, 528, 600, 660
162 : 163, 243, 326, 486
164:249, 332,498
166: 167, 334
168 : 203, 215, 245, 261, 344, 392, 406, 430,490, 516, 522, 588
172 : 173,346
176 : 267, 345, 356, 368, 460, 534, 552, 690
178 : 179, 358
180 : 181, 209, 217, 279, 297, 362,418,434, 558, 594
184:235, 376, 470, 564
190 : 191, 382
192 : 93, 221, 291, 357, 386, 388, 416,442, 448,476, 520, 560, 576, 582, 612, 624,
672, 714, 720, 780, 840
196 : 197, 394
198 : 199, 398
200 : 275, 303, 375,404, 500, 550, 606, 750
204:309,412,618
208 : 265,424, 530, 636
210:211,422
212:321,428, 642
216 : 247, 259, 327, 333, 351, 399,405,436,494, 518, 532, 648, 654, 666, 684, 702,
756, 798, 810
220:253, 363,484, 506, 726
208
222 : 223, 446
224 : 339, 435,452, 464, 580, 678, 696, 870
226 : 227, 454
228 : 229, 458
232 : 233, 295,466,472, 590, 708
238 :239, 478
240 : 241, 287, 305, 325, 369, 385, 429,465,482,488, 495, 496, 525, 572, 574, 610,
616, 620, 650, 700, 732, 738, 744, 770, 792, 858, 900, 924, 930, 990, 1050
250:251,502
252 : 301, 381, 387, 441, 508, 602, 762, 774, 882
256 : 257, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 816, 960, 1020
260 : 393, 524, 786
262 : 263, 526
264 : 299, 335, 483, 536, 598, 644, 670, 804, 828, 966
268 : 269, 538
270:271,542
272:289,411,548, 578, 822
276 : 277, 329, 417,423, 554, 556, 658, 834, 846
280 • 281,319,355, 562, 568,638,710, 852
282 : 283, 566
288 :23, 365,455,459, 555, 584, 585, 592, 608,646,728,730,740,760,864,876,
888, 910, 912, 918, 936, 1008, 1080, 1092, 1110, 1140, 1170, 1260
292 : 293, 586
294 : 343, 686
296 : 447, 596, 894
300 :341,453,604, 682, 906
306:307,614
310: 311,622
312 : 313, 371, 395,471, 477, 507, 626, 628, 632, 676, 742, 790, 942, 948, 954, 1014
316:317, 634
320 : 425, 561, 615, 656, 704, 748, 800, 820, 850, 880, 984, 1056, 1122, 1200, 1230,
1320
324 : 489, 513, 567, 652, 972, 978, 1026, 1134
328:415,664, 830, 996
330:331,662
332 : 501,668, 1002
336 : 337, 377, 609, 645, 674, 688, 735, 754, 784, 812, 860, 980, 1032, 1044, 1176,
1218, 1290, 1470
342:361,722
344 :519, 692, 1038
346 : 347, 694
348 : 349,413, 531, 698, 826, 1062
352 : 353, 391, 445, 706, 712, 736, 782, 890, 920, 1068, 1104, 1380
356: 537, 716,1074
209
358 : 359, 718
360 : 403, 407, 427, 475, 543, 549, 627, 651, 675, 693, 724, 806, 814, 836, 854, 868,
950, 1086, 1098, 1116, 1188, 1254, 1302, 1350, 1386
366 : 367, 734
368 : 705, 752, 940, 1128, 1410
372 : 373, 746
378 : 379, 758
380 : 573,764, 1146
382 : 383, 766
384 : 485, 579, 595, 663, 765, 772, 776, 832, 884, 896, 952, 970, 1040, 1120, 1152,
1158, 1164, 1190, 1224, 1248, 1326, 1344, 1428, 1440, 1530, 1560, 1680
388 : 389, 778
392.591,788,1182
396 : 397, 437, 469, 597, 603, 621, 794, 796, 874, 938, 1194, 1206, 1242
400:401,451,505, 802, 808, 825, 902, 1000, 1010, 1100, 1212, 1500, 1650
408 : 409, 515, 818, 824, 1030, 1236
416.795, 848, 1060, 1272, 1590
418 : 419, 838
420 : 421, 473, 497, 539, 633, 639, 842, 844, 946, 994, 1078, 1266, 1278
424.535, 856, 1070, 1284
430 : 431, 862
432 : 433, 481, 511, 545, 657, 665, 741, 777, 819, 855, 866, 872, 945, 962, 988,
1022, 1036, 1064, 1090, 1296, 1308, 1314, 1330, 1332, 1368, 1404, 1482,
1512, 1554, 1596, 1620, 1638, 1710, 1890
438 : 439, 878
440.575, 605, 759, 968, 1012, 1150, 1210, 1452, 1518
442 : 443, 886
444 : 669, 892, 1338
448 : 449, 493, 565, 898, 904, 928, 986, 1130, 1160, 1356, 1392, 1740
452 : 681, 908, 1362
456:457, 687,914,916, 1374
460:461,517, 922, 1034
462 : 463, 926
464 : 699, 885, 932, 944, 1180, 1398, 1416, 1770
466 : 467, 934
468 : 553, 711, 1106, 1422
476 : 717, 956, 1434
478 : 479, 958
480 : 527, 533,715,723, 861,915, 964, 975,976, 992, 1054, 1066, 1144, 1148,
1155, 1220, 1232, 1240, 1300, 1400, 1430, 1446, 1464, 1476, 1488, 1540,
1584, 1716, 1722, 1800, 1830, 1848, 1860, 1950, 1980,2100, 2310
486 : 487, 729, 974, 1458
490 : 491, 982
492.581, 747, 1162, 1494
210
498
500
502
504
506
508
512
520
522
524
528
536
540
544
546
552
556
560
562
564
568
570
576
580
584
586
588
592
598
600
606
612
616
618
620
624
630
632
499, 998
625, 753, 1004, 1250, 1506
503, 1006
551, 559, 635, 637, 783, 903, 1016, 1102, 1118, 1204, 1270, 1274, 1524, 1548,
1566, 1764, 1806
529, 1058
509, 1018
771, 1024, 1028, 1088, 1280, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040
521, 583, 655, 1042, 1048, 1166, 1310, 1572
523,1046
789, 1052, 1578
623, 801, 805, 897, 1005, 1035, 1072, 1196, 1246, 1288, 1340, 1602, 1608,
1610, 1656, 1794, 1932, 2010, 2070
807, 1076, 1614
541, 589, 813, 837, 891, 1082, 1084, 1178, 1626, 1674, 1782
685, 867, 1096, 1156, 1370, 1644, 1734
547, 1094
611,695,831,987, 1108, 1112, 1222, 1316, 1390, 1662, 1668, 1692, 1974
557, 1114
725, 843,957, 1065, 1124, 1136, 1276, 1420, 1450, 1686, 1704, 1914,2130
563, 1126
849, 1132, 1698
569, 1138
571, 1142
577, 629, 679, 873, 969, 1071, 1095, 1154, 1168, 1184, 1216, 1258, 1292,
1358, 1365, 1456, 1460, 1480, 1520, 1728, 1746, 1752, 1776, 1820, 1824,
1836, 1872, 1938, 2016, 2142, 2160, 2184, 2190, 2220, 2280, 2340, 2520, 2730
: 649, 1298
: 879, 1172, 1758
: 587, 1174
: 1029, 1372,2058
: 593,745, 1186, 1192, 1490, 1788
: 599, 1198
: 601, 671, 707, 755, 775, 875, 909, 1023, 1125, 1202, 1208, 1342, 1364, 1414,
1510, 1550, 1750, 1812, 1818, 2046, 2250
: 607, 1214
: 613, 721, 921, 927, 1226, 1228, 1442, 1842, 1854
: 617, 667, 1234, 1334
: 619, 1238
: 933, 1244, 1866
: 689, 785,845,939, 1113, 1185, 1252, 1256, 1264, 1352, 1378, 1484, 1570,
1580, 1690, 1878, 1884, 1896, 1908, 2028, 2226, 2370
: 631, 1262
: 951, 1268, 1902
211
636 : 749, 963, 1498, 1926
640 : 641, 697, 935, 1275, 1282, 1312, 1394, 1408, 1496, 1600, 1640, 1700, 1760,
1870, 1968, 2112, 2244, 2400, 2460, 2550, 2640
642 : 643, 1286
646 : 647, 1294
648 : 703, 763, 815, 981, 999, 1053, 1197, 1215, 1304, 1406, 1526, 1630, 1944,
1956, 1962, 1998, 2052, 2106, 2268, 2394, 2430
652 : 653, 1306
656 : 1245, 1328, 1660, 1992, 2490
658 : 659, 1318
660 : 661,713, 737, 847, 993, 1089, 1322, 1324, 1426, 1474, 1694, 1986, 2178
664 : 835, 1336, 1670, 2004
672 : 673, 731,791, 833, 1011, 1015, 1017, 1131, 1305, 1346, 1348, 1376, 1462,
1508, 1568, 1582, 1624, 1666, 1720, 1960, 2022, 2030, 2034, 2064, 2088,
2262, 2352, 2436, 2580, 2610, 2940
676 :677, 1354
682 : 683, 1366
684 : 1083, 1444,2166
688 : 865, 1384, 1730, 2076
690 : 691, 1382
692 : 1041, 1388, 2082
696 : 767, 1047, 1239, 1396, 1534, 1652, 2094, 2124, 2478
700 : 701,781, 1402, 1562
704: 1059, 1173, 1335, 1412, 1424, 1472, 1564, 1780, 1840,2118,2136, 2208,
2346, 2670, 2760
708 : 709, 1418
712 : 895, 1432, 1790,2148
716 : 1077, 1436,2154
718 :719, 1438
720:779, 793,803,905, 925, 1001,1045, 1085, 1107, 1209,1221, 1281, 1287,
1395, 1425, 1448, 1485, 1558, 1575, 1586, 1606, 1612, 1628, 1672, 1708,
1736, 1810, 1850, 1900, 2002, 2090, 2170, 2172, 2196, 2214, 2232, 2376,
2418, 2442, 2508, 2562, 2574, 2604, 2700, 2772, 2790, 2850, 2970, 3150
726 : 727, 1454
732 : 733, 1101, 1466, 1468,2202
736 : 799, 1504, 1598, 1880, 2256, 2820
738 : 739, 1478
742 : 743, 1486
744 : 1119, 1492,2238
750: 751, 1502
756 : 757, 817, 889, 931, 1137, 1143, 1161, 1323, 1514, 1516, 1634, 1778, 1862,
2274, 2286, 2322, 2646
760 : 761, 955, 1522, 1528, 1910, 2292
764 : 1149, 1532,2298
212
768 :769, 965, 1105, 1455, 1538, 1544, 1552, 1664, 1768, 1785, 1792, 1904, 1930,
1940, 2080, 2210, 2240, 2304, 2316, 2328, 2380, 2448, 2496, 2652, 2688,
2856, 2880, 2910, 3060, 3120, 3360, 3570
772 :773, 1546
776: 1167, 1556, 2334
780 : 869,917, 1179, 1738,1834,2358
784 : 985, 1576, 1970, 2364
786 : 787, 1574
792:851,871,995, 1191, 1311, 1407, 1449, 1588, 1592, 1702, 1742, 1748, 1876,
1990, 2382, 2388, 2412, 2484,2622, 2814, 2898
796 : 797, 1594
800 : 1025, 1203, 1353, 1515, 1604, 1616, 1804, 2000, 2020, 2050, 2200, 2406,
2424, 2706, 3000, 3030, 3300
808 : 809, 1618
810 : 811, 1622
812 : 841, 1682
816 : 959, 1227, 1233, 1545, 1636, 1648, 1918, 2060,2454, 2466, 2472, 3090
820:821,913, 1642, 1826
822 : 823, 1646
826 : 827, 1654
828 : 829, 893, 973, 1251, 1269, 1658, 1786, 1946, 2502, 2538
832 : 901, 1696, 1802,2120, 2544, 3180
836 : 1257, 1676, 2514
838 : 839, 1678
840 : 899, 923, 1055, 1075, 1225, 1263, 1419, 1491, 1617, 1684, 1688, 1798, 1846,
1892, 1988, 2110, 2150, 2156, 2450, 2526, 2532, 2556,2838, 2982, 3234
848 : 1605, 1712, 2140,2568, 3210
852 : 853, 1706
856 : 857, 1714
858 : 859, 1718
860: 1293, 1724, 2586
862 : 863, 1726
864 : 949, 1235, 1295, 1299, 1377, 1443, 1533, 1635, 1665, 1732, 1744, 1755, 1898,
1924, 1976, 1995, 2044, 2072, 2128,2180, 2470, 2590, 2592, 2598, 2616,
2628, 2660, 2664, 2736,2754, 2808, 2886, 2964, 3024, 3066, 3108, 3192,
3240, 3270, 3276, 3330, 3420, 3510, 3780, 3990
876 : 877, 1317, 1754, 1756, 2634
880 : 881, 943, 979, 1265, 1725, 1762, 1815, 1886, 1936, 1958, 2024, 2300, 2420,
2530, 2904, 3036, 3450, 3630
882 : 883, 1766
884 : 1329, 1772,2658
886 : 887, 1774
888 : 1043, 1115, 1341, 1784, 2086, 2230, 2676, 2682
896 : 1347, 1479, 1695, 1796, 1808, 1856, 1972, 2260, 2320, 2694, 2712, 2784,
213
2958, 3390, 3480
900 : 1057, 1359,2114,2718
904 : 1135, 1816,2270,2724
906 : 907, 1814
910.911, 1822
912 : 1145, 1371, 1828, 1832, 2290, 2742, 2748
918.919, 1838
920 : 1175, 1383, 1551, 1844, 2068, 2350, 2766, 3102
924.989, 1127, 1389, 1852, 1978,2254,2778
928 : 929, 1003, 1165, 1858, 1864, 1888, 2006, 2330, 2360, 2796, 2832, 3540
930 : 961, 1922
932 : 1401, 1868,2802
936 : 937, 1007, 1027, 1099, 1183, 1413, 1431, 1521, 1659, 1874,2014,2054,2198,
2212, 2366, 2826, 2844, 2862, 3042, 3318
940 : 941, 1882
946 : 947, 1894
952 : 953, 1195, 1906, 1912, 2390, 2868
956 : 1437, 1916,2874
960 : 1037, 1067, 1205, 1309, 1435, 1581, 1599, 1683, 1845, 1928, 1952, 1984,
2074, 2108, 2132, 2134, 2145, 2288, 2296, 2410, 2440, 2464, 2480, 2600,
2618, 2800, 2860, 2870, 2892, 2928, 2952, 2976, 3080, 3162, 3168, 3198,
3366, 3432, 3444, 3600, 3660,3690, 3696,3720,3900, 3960,4200,4290, 4620
966 : 967, 1934
970.971, 1942
972 : 1141, 1461, 1467, 1539, 1701, 1948,2282,2916,2922, 2934, 3078, 3402
976 : 977, 1954
980 : 1473, 1964,2946
982 : 983, 1966
984 : 1079, 1743, 2158, 2324, 2988, 3486
990 : 991, 1982
996 : 997, 1169, 1497, 1503, 1994, 1996, 2338, 2994, 3006
1000 : 1111, 1255, 1375, 1875, 2008, 2222, 2500, 2510, 2750, 3012, 3750
1004 : 1509,2012, 3018
1008 : 1009, 1073, 1505, 1653, 1677, 1827,1905, 1911, 1935,2018,2032,2146,
2204, 2205, 2236, 2408, 2540, 2548, ЗОЮ, 3048, 3096, 3132, 3306, 3354,
3528, 3612, 3654, 3810, 3822, 3870, 4410
1012 : 1013, 1081, 1587,2026,2116,2162, 3174
1016 . 1527,2036, 3054
1018 : 1019,2038
1020 : 1021, 1133,2042,2266
1024 : 1285,2048, 2056, 2176,2560, 2570, 2720, 3072, 3084, 3264, 3840,4080
1030 : 1031,2062
1032: 1033, 1211, 1557,2066,2422,3114
1038 : 1039,2078
214
1040 :
1044 :
1048 :
1050 :
1056 :
1060 .
1062 :
1068 :
1072 :
1080 :
1086 :
1088 :
1090 :
1092 :
1096 :
1102 :
1104 :
1108 :
1112 :
1116 :
1120 :
1122:
1124 :
1128 :
1136 :
1140 :
1144 :
1150 :
1152 :
1160 :
1162 :
1168 :
1170 :
1172 :
1325, 1563, 1749, 1965, 2084, 2096, 2332, 2620, 2650, 3126, 3144, 3498,
3930
1121, 1569, 1593, 2092, 2242,3138,3186
1049, 1315, 2098, 2104, 2630, 3156
1051,2102
1139, 1157, 1495, 1869,2144,2278, 2314,2392,2415,2492,2576, 2680,
2990, 3204, 3216, 3220, 3312, 3588, 3738, 3864, 4020,4140, 4830
1061, 1177,2122, 2354
1063, 2126
1069, 1253, 1611,2138, 2506, 3222
1345,2152, 2690, 3228
1147, 1159, 1199, 1267, 1355, 1463, 1623, 1629, 1647, 1767, 1881, 1953,
2025, 2079, 2164, 2168, 2294, 2318, 2356, 2398, 2534,2710, 2926, 3246,
3252, 3258, 3294, 3348, 3534, 3564, 3762, 3906, 4050, 4158
1087,2174
1445, 2055, 2192, 2312, 2740, 2890, 3288, 3468,4110
1091,2182
1093, 1641,2186,2188, 3282
1097,2194
1103,2206
1385, 1645, 1833, 2085, 2115, 2216, 2224, 2444, 2632, 2770,2780, 3290,
3324, 3336, 3384, 3666, 3948, 4170, 4230
1109, 2218
1671,2228,3342
1117, 2234
1189, 1207, 1243, 1405, 1595, 2175, 2248, 2272, 2378, 2414, 2486, 2552,
2810, 2840, 2900, 3190, 3372, 3408, 3828,4260,4350
1123,2246
1689, 2252, 3378
1129, 1415, 2258, 2264, 2830, 3396
1707, 2276, 3414
1337, 1713, 1719, 2284, 2674, 3426, 3438
1219,2438
1151,2302
1153, 1241, 1261, 1351, 1547, 1615, 1731, 1737, 1887, 1989, 2037,2295,
2306, 2308, 2336, 2368, 2432, 2482, 2516, 2522,2584, 2702, 2716, 2912,
2920, 2960, 3040, 3094, 3230, 3456, 3462, 3474, 3492, 3504, 3552, 3640,
3648, 3672, 3744, 3774, 3876, 3978, 4032, 4074, 4284, 4320, 4368, 4380,
4440, 4560, 4590, 4680, 5040, 5460
1475, 1947,2596, 2950, 3894
1163,2326
1465,2344, 2930,3516
1171,2342
1761,2348, 3522
215
1176: 1247, 1379, 1421, 1715, 1773,2494, 2744,2758, 2842, 3430, 3546,4116
1180: 1181,2362
1184 : 1779, 2235, 2372, 2384, 2980, 3558, 3576, 4470
1186 : 1187, 2374
1188 : 1273, 1393, 1791, 1809, 1863, 2546, 2786, 3582, 3618, 3726
1192 : 1193,2386
1196 : 1797,2396, 3594
1200 : 1201, 1271, 1313, 1525, 1625, 1705, 1803, 1925, 2013, 2121, 2265, 2325,
2402, 2404, 2416, 2475, 2542, 2625, 2626, 2684, 2728, 2828, 3020, 3050,
3100, 3250, 3410, 3500, 3606, 3624, 3636, 3850, 4026, 4092, 4242, 4500,
4530, 4650, 4950, 5250
1210 : 1331,2662
1212 : 1213, 1821, 2426, 2428, 3642
1216 : 1217,2434
1222 : 1223, 2446
1224 : 1339, 1535, 1839, 2163, 2452, 2456, 2678, 2884, 3070, 3678, 3684, 3708,
4326
1228 : 1229, 2458
1230: 1231,2462
1232 : 1851, 2001, 2468, 2668, 3702,4002
1236 : 1237, 1857, 2474, 2476, 3714
1240: 1555,2488,3110, 3732
1248 : 1249, 1343, 1565, 1855, 2067, 2355, 2385, 2498, 2504, 2512, 2528, 2535,
2686, 2704, 2756, 2968, 3130, 3140, 3160, 3380, 3710, 3756, 3768, 3792,
3816, 4056, 4134, 4452, 4710, 4740, 4770, 5070
1258: 1259, 2518
1260 : 1333, 1349, 1397, 1477, 1519, 1893, 1899, 1917, 2524, 2666, 2698, 2794,
2954, 3038, 3786, 3798, 3834
1264: 1585,2536,3170, 3804
1272 : 1391, 2247, 2782, 2996, 3852, 4494
1276 : 1277, 1357,2554, 2714
1278 : 1279, 2558
1280 : 1923, 2091, 2564, 2624, 2788, 2805, 2816, 2992, 3200, 3280, 3400, 3520,
3740, 3846, 3936, 4182, 4224, 4488, 4800, 4920, 5100, 5280, 5610
1282 : 1283,2566
1284 : 1929, 2572, 3858
1288 : 1289, 1363, 2578, 2726
1290 : 1291,2582
1292 :	1941,2588, 3882
1296 :	1297,	1387, 1417, 1729,	1971, 2109, 2223,	2289, 2331,	2445, 2457, 2565,
2594,	2608, 2774, 2812,	2834, 2835, 3052,	3260, 3458,	3888, 3912, 3924,
3942,	3996, 4104, 4212,	4218, 4446, 4536,	4578, 4662,	4788, 4860, 4890,
4914, 5130, 5670
1300: 1301, 1441,2602, 2882
216
1302 : 1303,2606
1304: 1959, 2612,3918
1306: 1307, 2614
1312 : 1411, 2656, 2822, 3320, 3984,4980
1316: 1977, 2636,3954
1318: 1319, 2638
1320 : 1321, 1403, 1573, 1655, 1675, 1771, 1983,2139,2211,2277,2541,2642,
2644, 2648, 2806, 2852, 2948, 3146, 3310, 3350, 3388, 3542, 3966, 3972,
4278, 4356, 4422, 4554, 5082
1326 : 1327,2654
1328 : 2505, 2672, 3340, 4008, 5010
1332 : 1369, 1561, 2007, 2738, 3122,4014
1344 : 1469, 1685, 1885,2019, 2193,2373,2499, 2692,2696,2752, 2924, 2938,
3016, 3045, 3136, 3164, 3248, 3332, 3370, 3440, 3770, 3920, 4038,4044,
4060, 4068, 4128, 4176, 4386, 4524, 4704, 4746, 4872, 4998, 5160, 5220,
5880, 6090
1352 : 2031, 2708, 4062
1356 : 1589,2043, 3178,4086
1360: 1361, 1507, 2722, 3014
1364 : 2049, 2732, 4098
1366: 1367, 2734
1368 : 1603, 1805, 2061, 2888, 3206, 3610, 4122,4332
1372: 1373, 2746
1376 : 2595, 2768, 3460, 4152, 5190
1380 : 1381, 1457, 1529, 2073, 2762, 2764, 2914, 3058,4146
1384 : 1735,2776, 3470,4164
1392 : 1631, 1745, 2065, 2097, 2301,2655, 2792, 3068, 3262, 3304, 3490,4130,
4188, 4194, 4248, 4602, 4956, 5310
1398: 1399, 2798
1400 : 1775, 2103, 2343, 2804, 3124, 3550,4206, 4686
1404 : 1501,2133, 3002, 4266
1408 : 1409, 1513, 1765, 1955,2818, 2824, 2848, 2944, 3026, 3128, 3530, 3560,
3680, 3910, 4236, 4272,4416,4692, 5340, 5520
1416:2127, 2836, 4254
1422 : 1423, 2846
1424 : 2685, 2864, 3580, 4296, 5370
1426 : 1427, 2854
1428 : 1429, 1673, 2151, 2858, 3346,4302
1432 : 1433, 1795, 2866, 2872, 3590,4308
1436 : 2157, 2876,4314
1438 : 1439,2878
1440 : 1517, 1687, 1825, 2015, 2035,2135, 2169, 2275, 2337, 2379, 2409, 2583,
2715, 2745, 2775, 2896, 2925, 3003, 3034, 3116, 3135, 3172, 3212, 3224,
3255, 3256, 3344, 3374, 3416, 3465, 3472, 3620, 3650, 3700, 3800,4004,
217
4030, 4070, 4180, 4270, 4338, 4340, 4344, 4392,4428, 4464, 4550, 4674,
4752, 4758, 4818, 4836, 4884, 5016, 5124, 5148, 5166, 5208, 5400, 5430,
5490, 5544, 5550, 5580, 5700, 5850, 5940, 6006, 6270, 6300, 6510, 6930
1446 : 1447, 2894
1450 : 1451,2902
1452 : 1453, 1541, 2181, 2906, 2908, 3082, 4362
1456 : 1537, 3074
1458 : 1459,2187,2918,4374
1464 : 1835, 2199, 2932, 2936, 3670, 4398, 4404
1470 : 1471,2942
1472'2397, 3008, 3196, 3760, 4512, 4794, 5640
1476 : 1577, 2217, 2241,2956, 3154, 4434, 4482
1480: 1481, 1639, 2962, 3278
1482 : 1483, 2966
1484 : 2229, 2972, 4458
1486 : 1487, 2974
1488 : 1489, 1865, 2978, 2984, 3730, 4476
1492 . 1493, 2986
1498 : 1499, 2998
1500 : 1661, 1757, 2253, 2259, 3004, 3322, 3514, 4506, 4518
1510: 1511,3022
1512 : 1591, 1651, 1813, 1895, 2271, 2349, 2451, 2667, 2709, 2793, 3028, 3032,
3182, 3268, 3302, 3556, 3626, 3724, 3790, 4542, 4548, 4572, 4644, 4698,
4902, 5292, 5334, 5418, 5586
1520 : 2283, 2865, 3044, 3056, 3820, 4566, 4584, 5730
1522 : 1523, 3046
1528 : 1915, 3064, 3830,4596
1530: 1531,3062
1536 : 1649, 1799, 2307, 2313, 2895, 3076, 3088, 3104, 3298, 3315, 3328, 3536,
3584, 3598, 3808, 3860, 3880, 4160, 4420, 4480, 4608, 4614, 4626, 4632,
4656, 4760, 4896, 4992, 5304, 5376, 5712, 5760, 5790, 5820, 6120, 6240,
6630,6720,7140
1540 : 1633, 3266
1542 : 1543, 3086
1544 : 2319, 3092, 4638
1548 ; 1549, 3098
1552 : 1553, 1945, 3106, 3112, 3890, 4668
1558: 1559, 3118
1560 : 1643, 1703, 1727, 1859, 1975, 2607, 2751,3286, 3406, 3454, 3476, 3668,
3718,3950, 4716, 5214,5502
1566 : 1567,3134
1568 : 2955, 3152, 3940, 4728, 5910
1570 : 1571, 3142
1572 : 1841,2361, 2367, 3148, 3682, 4722, 4734
218
1578: 1579, 3158
1582: 1583,3166
1584 : 1679, 1691, 1985, 2093,2185, 2345, 2403, 2553, 2613, 2691, 2985, 3015,
3105, 3176, 3184, 3358, 3382, 3404, 3484, 3496, 3752, 3970, 3980, 4186,
4370, 4690, 4764, 4776, 4806, 4824, 4968, 5106, 5226, 5244, 5382, 5628,
5796, 5970, 6030, 6210
1592 : 2391, 3188, 4782
1596 : 1597, 3194
1600 : 1601, 1717, 2005, 2125, 2255, 3075, 3202, 3208, 3232, 3434, 3608, 4000,
4010, 4040, 4100, 4250, 4400, 4510, 4812, 4848, 5412, 6000, 6060, 6150,
6600
1606 : 1607, 3214
1608 : 1609, 1883, 2421, 3218, 3766, 4842
1612 : 1613, 3226
1616:2427, 3236, 4854
1618 : 1619, 3238
1620 : 1621, 1793, 1897, 2433, 2439, 2511, 2673, 3242, 3244, 3586, 3794, 4866,
4878, 5022, 5346
1624 : 1711,2523, 3364, 3422, 5046
1626 : 1627, 3254
1632 : 1751, 1781,2023, 2045, 2601, 2877, 3272, 3296, 3502, 3562, 3836, 4046,
4090, 4120, 4908, 4932, 4944, 5202, 5754, 6180
1636 : 1637, 3274
1640 : 1681,2075, 2463, 2739, 3284, 3362, 3652, 4150, 4926, 5478
1644:2469, 3292,4938
1652 :2481, 3308, 4962
1656 : 1657, 1739, 1807, 1939, 2487, 2493, 2679, 2919, 2961, 3314, 3316, 3478,
3572, 3614, 3878, 3892, 4974, 4986, 5004, 5076, 5358, 5838, 5922
1660 : 1837, 3674
1662 : 1663, 3326
1664 : 2703, 3392, 3604, 4240, 5088, 5406, 6360
1666 : 1667, 3334
1668 : 1669, 3338
1672 : 2095, 3352, 4190, 5028
1676:2517,3356, 5034
1680 : 1763, 1769, 1967, 2009, 2105, 2233, 2365, 2485, 2529, 2695, 2697, 2769,
2871, 3165, 3195, 3225, 3368, 3376, 3526, 3538, 3596, 3675, 3692, 3784,
3934, 3976, 4018, 4210, 4220, 4300, 4312, 4466, 4730, 4900, 4970, 5052,
5058, 5064, 5112, 5390, 5394, 5538, 5676, 5742, 5964, 6330, 6390, 6450,
6468, 7350
1692 : 1693, 1981, 2547, 3386, 3962, 5094
1696 : 1697, 1819, 3394, 3424, 3638, 4280, 5136, 6420
1698 : 1699, 3398
1704:2559, 3412,5118
219
1708 : 1709, 3418
1712:2571,3428,5142
1716 : 1817, 2577, 3436, 3634, 5154
1720 : 1721, 1903,2155,3442, 3448, 3806, 4310,5172
1722 : 1723, 3446
1724:2589, 3452,5178
1728 : 1843, 1853, 2165, 2261,2405, 2555, 2619, 2847, 2907, 3213, 3285, 3464,
3488, 3686, 3705, 3706, 3796, 3848, 3885, 3952, 4088, 4095, 4144, 4256,
4330, 4360,4522, 4810,4940, 5110, 5180, 5184, 5196, 5232, 5238, 5256,
5320, 5328, 5472, 5508, 5616, 5694, 5772, 5814, 5928, 6048, 6132, 6216,
6384, 6426, 6480, 6540, 6552, 6570, 6660, 6840, 7020, 7410, 7560, 7770,
7980,8190
1732 : 1733, 3466
1740 : 1741, 1829, 3482, 3658
1746 : 1747, 3494
1752 : 1753, 2051,2195, 2631, 2637, 3506, 3508, 3512, 4102, 4390, 5262, 5268,
5274
1758: 1759,3518
1760 : 2057, 2225, 2643, 2829, 2937, 3524, 3772, 3795, 3872, 3916, 4048,4114,
4450, 4600, 4840, 5060, 5286, 5658, 5808, 5874, 6072, 6900, 7260, 7590
1764 : 2107, 2649, 3087, 3532, 4214, 5298, 6174
1768 : 2215, 3544, 4430, 5316
1772 :2661,3548, 5322
1776 : 1777, 1937, 3129, 3345, 3554, 3568, 3874, 4172, 4460, 5352, 5364, 6258,
6690
1780 : 1969, 3938
1782 : 1783, 3566
1786 : 1787,3574
1788 : 1789, 3578
1792 : 1921, 2245, 2465, 3592, 3616, 3712, 3842, 3944, 4490, 4520, 4640, 4930,
5388, 5424, 5568, 5916, 6780, 6960
1800 : 1801, 1891, 1919, 1963, 1991, 2375, 2387, 2727, 3069, 3171, 3375, 3602,
3782, 3838, 3926, 3982, 4228, 4750, 4774, 5436, 5454, 6138, 6342, 6750
1804 : 1909,3818
1806 : 1849, 3698
1808 : 3405, 3632, 4540, 5448, 6810
1810: 1811,3622
1812 : 2721, 3628, 5442
1820:2733, 3644, 5466
1822 : 1823, 3646
1824 : 2285, 3435, 3656, 3664, 4570, 4580, 5484, 5496, 6870
1830 : 1831, 3662
1836 : 1957, 2149, 2757, 2763, 2781, 3676, 3914, 4298, 5514, 5526, 5562
220
1840 : 1927, 2305, 2585, 3525, 3688, 3854, 4136, 4610, 4700, 5170, 5532, 6204,
7050
1846: 1847, 3694
1848 : 1943, 2315, 2967, 3381, 3704, 3886, 3956,4508, 4630, 5556, 5934, 6762
1856 : 2787, 3009, 3495, 3716, 3728, 3776, 4012, 4660, 4720, 5574, 5592, 5664,
6018, 6990,7080
1860 : 1861,2177, 2799, 2883, 3722, 3844, 4354, 5598, 5766
1864:2335,3736, 4670, 5604
1866: 1867, 3734
1870 : 1871,3742
1872 : 1873, 1961, 2041, 2191, 2765, 2811, 2817, 3021, 3081, 3297, 3339, 3549,
3555, 3746, 3748, 3922, 4028, 4082, 4108, 4382, 4396, 4424, 4732, 5530,
5622, 5634, 5652, 5688, 5724, 6042, 6084, 6162, 6594, 6636, 6678, 7098,
7110
1876: 1877, 3754
1878: 1879, 3758
1880 : 2823, 3764, 5646
1888 : 1889, 3778
1892 : 2841,3788, 5682
1896 : 2219, 2853,4438, 5706
1900 : 1901,2101, 3802,4202
1904 : 2859, 3585, 3812, 3824, 4780, 5718, 5736, 7170
1906: 1907,3814
1908 : 2033,2889, 4066, 5778
1912 : 1913, 2395, 3826, 3832,4790, 5748
1920 : 2123, 2425, 2431, 2635, 2665, 2975, 3111, 3201, 3615, 3825, 3856, 3904,
3927, 3968, 4148, 4216, 4246, 4264, 4268, 4305, 4576, 4592, 4820, 4850,
4862, 4880, 4928, 4960, 5200, 5236, 5270, 5330, 5600, 5720, 5740, 5784,
5856, 5904, 5950, 5952, 6160, 6222, 6324, 6336, 6396, 6402, 6732, 6864,
6888, 7200, 7230, 7320, 7380, 7392, 7440, 7650, 7800, 7854, 7920, 8400,
8580, 8610, 9240
1930: 1931,3862
1932 : 1933, 2021, 2303, 2901, 3866, 3868, 4042, 4606, 5802
1936 : 2047, 4094
1940:2913, 3884, 5826
1944 : 2071, 2119, 2435, 2943, 2997, 3159, 3423, 3591, 3645, 3896, 4142, 4238,
4564,4870, 5832, 5844, 5868, 5886, 5994, 6156, 6318, 6804, 6846, 7182,
7290
1948: 1949,3898
1950 :1951, 3902
1952:2931,3908,5862
1960 : 2059, 2167, 2455, 3928, 4118, 4334, 4910, 5892
1964:2949,3932,5898
1968 : 2905, 3237, 3735, 4316, 4648, 5810, 5976, 6474, 6972, 7470
221
1972 : 1973, 3946
1978: 1979,3958
1980 : 2077, 2189, 2299, 2317, 2973, 2979, 3267, 3964, 4154,4378, 4598, 4634,
5946, 5958, 6534
1986 : 1987, 3974
1992 : 1993, 2171, 2495, 2991, 3507, 3986, 3988, 3992, 4342,4676, 4990, 5982,
5988, 6012,7014
1996: 1997,3994
1998: 1999, 3998
2000 : 2525, 3333, 3765, 4016, 4125, 4444, 5000, 5020, 5050, 5500, 6024, 6666,
7500, 7530, 8250
2002 :2003, 4006
2008 : 2515, 4024, 5030, 6036
2010 :2011,4022
2016 : 2017, 2117, 2147, 2159, 2359, 2639, 2755, 2795, 3027, 3033, 3051, 3185,
3219, 3393, 3915, 4034, 4036, 4064, 4234, 4292, 4294, 4318, 4408, 4472,
4515, 4718, 4816, 5080, 5096, 5278, 5510, 5590, 6020, 6054, 6066, 6096,
6102, 6192, 6264, 6370, 6438, 6612, 6708, 6786, 7056, 7224, 7308, 7620,
7644, 7740, 7830, 8820, 9030
2024 : 2645, 3039, 3243, 4052, 4232, 4324, 5290, 6078, 6348, 6486
2026 : 2027, 4054
2028 : 2029, 2197, 4058, 4394
2032 : 2545, 4072, 5090, 6108
2036 : 3057, 4076,6114
2038 :2039, 4078
2040 : 2575, 3063, 3399, 4084,4532, 5150, 6126, 6798
2048 : 3855, 4096, 4112, 4352, 5120, 5140, 5440, 6144, 6168, 6528, 7680, 7710,
8160
2052 : 2053, 2527, 3249, 4106, 5054, 6498
2058:2401,4802
2060:3093,4124,6186
2062 :2063,4126
2064 : 2249, 3099, 3633, 4132, 4498, 4844, 6198, 6228, 7266
2068:2069,4138
2076 : 2429, 3117, 3123, 4156, 4858, 6234, 6246
2080 : 2081, 2173, 2227, 2605, 2915, 3975,4162, 4168,4192,4346,4454,4664,
5210, 5240, 5300, 5830, 6252, 6288, 6996, 7860, 7950
2082.2083,4166
2086 : 2087,4174
2088 : 2089, 2183, 2443, 2615, 3141, 3363, 3717, 4178, 4184, 4366, 4484, 4886,
5230, 6276, 6282, 6372, 6726, 7434
2096 : 3147, 3945, 4196, 4208, 5260, 6294, 6312, 7890
2098 : 2099,4198
2100 : 2201, 2321, 3153, 4204, 4402, 4642, 6306
222
2110:2111,4222
2112 : 2113,2231,2471, 2737, 3115, 3177, 3417, 3471, 3519,4005, 4226,4288,
4462, 4485, 4556, 4628, 4784,4942, 4984, 5152, 5360, 5474, 5980, 6230,
6354, 6408, 6432, 6440, 6624, 6834, 6942, 7038, 7176, 7476, 7728, 8010,
8040, 8280, 8970, 9660
2120 : 2675, 3183, 3531, 4244, 4708, 5350, 6366, 7062
2124 : 3189,4252, 6378
2128:2129, 4258
2130 :2131, 4262
2136 : 2137, 2327, 3207, 3759, 4274, 4276, 4654, 5012, 6414, 6444, 7518
2140 : 2141,4282
2142 : 2143,4286
2144 : 4035, 4304, 5380, 6456, 8070
2148:2513, 3231,5026, 6462
2152:2153, 4306
2160 : 2161,2257, 2263, 2353, 2705, 2717,2725, 2821, 2849,2945, 3321, 3325,
3441, 3477, 3597, 3627, 3663, 3801, 3843, 3861,4065, 4185, 4275, 4322,
4328, 4336, 4389, 4455, 4514, 4526, 4588, 4636, 4706, 4712, 4725, 4796,
5068, 5410, 5420, 5434, 5450, 5642, 5698, 5852, 5890, 6492, 6504, 6516,
6588, 6642, 6650, 6696, 6882, 6954, 7068, 7128, 7194, 7254, 7326, 7524,
7602, 7686, 7722, 7812, 8100, 8130, 8316, 8370, 8550, 8778, 8910, 9450
2162 : 2209, 4418
2172 : 3261,4348, 6522
2176 : 2329, 4335, 4384, 4624, 4658, 5480, 5780, 6576, 6936, 8220, 8670
2178:2179,4358
2180 : 3273,4364, 6546
2184 : 2279, 2291,2597, 2735, 3279, 4372, 4376, 4558, 4582, 5194, 5470, 6558,
6564
2192 : 3291,4388, 6582
2196:2569,3303,5138, 6606
2200 : 2323, 2875, 3025, 4646, 5750, 6050
2202 : 2203, 4406
2204:3309, 4412, 6618
2206 : 2207, 4414
2208 : 2363, 3055,4155, 4432,4448,4726, 4888, 4935, 5264, 5540, 5560,6110,
6580, 6648, 6672, 6768, 7332, 7896, 8310, 8340, 8460, 9870
2212:2213,4426
2216:3327, 4436, 6654
2220 : 2221, 2453, 4442,4906
2224 : 2785, 4456, 5570, 6684
2232 : 2611, 3351, 3357, 4468, 5222, 6702, 6714
2236 : 2237, 4474
2238 : 2239, 4478
223
2240 : 2825, 3567, 3621, 3729,4215,4496,4544,4756,4785,4828,4972, 5104,
5620, 5650, 5680, 5800,6380,6744, 6816, 7134, 7242, 7458,7656, 8430,
8520, 8700, 9570
2242 : 2243,4486
2244 : 2369, 3369, 4492,4738, 6738
2248 : 2815,4504, 5630, 6756
2250:2251,4502
2256 : 3387,4245,4516,4528, 5660, 6774,6792, 8490
2260 : 2497,4994
2266 : 2267,4534
2268 : 2269, 2413, 2653, 3411, 3429, 3483, 3969,4538,4826, 5306, 6822,6858,
6966, 7938
2272 : 2273,2845,4546,4552, 5690, 6828
2280 : 2281,2483,2519, 2855,4011,4562,4568,4966, 5038, 5348, 5710, 6852,
6876, 8022
2286 : 2287,4574
2288:3657,4876, 7314
2292 : 2293,2681, 3447,4586, 5362, 6894
2296 : 2297,2407,4594,4814
2300 : 3453,4604, 6906
2304 :2509,2885, 3145, 3395, 3459, 3723, 3783,4053,4365,4612,4616, 4641,
4672,4736,4845,4864,4964, 5018, 5032, 5044, 5168, 5355, 5404, 5432,
5770, 5824, 5840, 5920,6080, 6188,6290, 6460,6790,6912,6918, 6924,
6948, 6984, 7008, 7104, 7280, 7296, 7344, 7446, 7488, 7548, 7566, 7752,
7956, 8064, 8106, 8148, 8568, 8640, 8730, 8736, 8760, 8880, 9120, 9180,
9282, 9360, 9690,10080, 10710,10920
2308:2309,4618
2310:2311,4622
2320 : 2419,2563, 3245,4425,4838, 5126, 5192, 5900, 6490, 7788, 8850
2324 : 3489,4652, 6978
2328 :2723, 3501, 5446, 7002
2332 : 2333, 2461,4666,4922
2336 :4395,4688, 5860, 7032, 8790
2338:2339,4678
2340 : 2341, 2449,2489, 3513, 3537,4682,4684,4898,4978, 7026, 7074
2344 : 2935,4696, 5870, 7044
2346:2347,4694
2350:2351,4702
2352 : 2561, 3741,4137,4263,4988, 5122, 5145, 5488, 5516, 5684, 6860, 7092,
7482, 8232, 8274, 8526, 10290
2356:2357,4714
2360 : 3543,4724, 7086
2368 : 2533,2965,4744,4768, 5066, 5930, 5960, 7116, 7152, 8940
2370:2371,4742
224
2372 : 3561,4748,7122
2376 : 2377,2479,2507,2587,2779, 3059, 3573, 3819, 3933,4179,4221,4347,
4754,4958, 5014, 5092, 5174, 5558, 5572, 6118, 7146, 7164,7236, 7452,
7638, 7866, 8358, 8442, 8694
2380 : 2381, 2629,4762, 5258
2382:2383,4766
2384 : 3579,4772,7158
2388:2389,4778
2392 : 2393,2491,2995,4786,4792,4982, 5990, 7188
2398:2399, 4798
2400 : 2501,2567,2651,2807, 3005, 3157, 3355, 3535, 3575, 3603, 3609, 3813,
3939,4059,4545,4575,4804, 4808,4832,4875, 5002, 5084, 5115, 5134,
5252, 5302, 5368, 5456, 5614, 5656, 5775, 6010,6040, 6100,6200, 6314,
6500, 6710,6820, 7000, 7070, 7150, 7206, 7212, 7218, 7248, 7272, 7626,
7700, 7878, 8052, 8118, 8184, 8484, 9000, 9060, 9090, 9150, 9300, 9750,
9900, 10230, 10500, 11550
2410 : 2411,4822
2416:2417,4834
2420 : 2783, 3993, 5324, 5566, 7986
2422 : 2423,4846
2424 : 3035, 3639,4852,4856, 6070, 7278, 7284
2432 : 3651,4868,7302
2436 : 2437,2537, 2891,4874, 5074, 5782
2440 : 2441,4882
2444 : 3669,4892,7338
2446 :2447,4894
2448 : 2603,2863, 3065, 3605, 3681, 3699,4017,4605,4635,4904,4912, 5206,
5356, 5726, 5768,6130,6140, 7210, 7356, 7362, 7368, 7398, 7416, 8034,
8652, 9210, 9270
2456 : 3687,4916, 7374
2458:2459,4918
2460 : 2573, 3693,4924, 5146, 7386
2464 : 2581,2599, 3085, 3335,4936, 5162, 5198, 5336,6170, 6670, 7404, 8004
2466 : 2467,4934
2472 : 2473, 3095, 3711,4946,4948,4952, 6190, 7422, 7428
2476 : 2477,4954
2480 : 4665,4976, 6220, 7464, 9330
2484 : 2641, 3753, 3807, 5282, 7506,7614
2496 : 2669,2873, 3445, 3747,4029,4695,4996, 5008, 5024, 5056, 5338, 5372,
5408, 5512, 5565, 5746, 5936, 6260, 6280, 6320,6760, 6890, 7420,7494,
7512,7536, 7584, 7632, 8058, 8112, 8268,8904, 9390,9420,9480, 9540,
10140, 11130
2500 : 2761, 3125, 5522, 6250
2502:2503, 5006
8. А.С. Карпенко
225
2508 : 2933, 3771, 5866, 7542
2516 : 3777, 5036, 7554
2520 : 2521,2623,2627, 2743, 2947,2989, 3155, 3175, 3311, 3789, 3999,4047,
4191,4257,4431,4473,4557,4851, 5042, 5048, 5246, 5254, 5332, 5396,
5486, 5588, 5894, 5908, 5978,6076, 6310,6350,6622, 7572, 7578, 7596,
7668, 7998, 8094, 8382,8514, 8862, 8946, 9114, 9702
2528 : 4755, 5072, 6340, 7608, 9510
2530:2531,5062
2538 :2539, 5078
2542:2543, 5086
2544 : 3745,4173,4815, 5564, 5992, 7490, 7704, 8346, 8988, 9630
2548 :2549, 5098
2550:2551,5102
2552 : 3831,4071, 5108, 5428, 7662, 8142
2556 : 2557, 3837, 5114, 5116, 7674
2560 : 2827, 3205, 3485, 5128, 5248, 5576, 5632, 5654, 5984,6400, 6410,6560,
6800, 6970, 7040, 7480, 7692, 7872, 8364,8448, 8976, 9600, 9840, 10200,
10560, 11220
2564 : 3849,5132,7698
2568 : 3215, 5144, 6430,7716
2576 : 3867,4089, 5156, 5452,7734, 8178
2578:2579,5158
2580 : 3017, 3873, 3879, 5164, 6034, 7746, 7758
2584 : 3235, 5176, 6470, 7764
2590:2591,5182
2592 : 2593,2701, 2771, 3031, 3367, 3515, 3815, 3891, 3897,4131,4161,4251,
4329,4599,4905,4995, 5186, 5187, 5188, 5216, 5265, 5402, 5542, 5548,
5624, 5668, 5985, 6062,6104, 6520,6734,6916, 7030, 7630, 7776, 7782,
7794, 7824, 7848, 7884, 7992, 8208, 8262, 8322, 8424, 8436, 8502, 8658,
8892, 9072, 9156, 9198, 9324, 9576, 9720, 9780, 9810, 9828, 9990, 10260,
10374, 10530, 11340, 11970
2600 : 3275, 3903,4323, 5204, 5764, 6550, 7806, 8646
2604 : 3909, 5212, 7818
2608 : 2609, 3265, 5218, 5224, 6530, 7836
2612 : 3921, 5228, 7842
2616:2617, 5234
2620 : 2621,2893, 5242, 5786
2624 : 4233, 5312, 5644, 6640, 7968, 8466, 9960
2628 : 3073, 3951,6146, 7902
2632 : 2633, 3295, 5266, 5272,6590, 7908
2636 : 3957, 5276,7914
2640 : 2747,2759, 3289, 3305, 3565, 3685, 3963,4025,4209,4235,4719* 4965,
5025, 5175, 5284, 5288, 5296, 5313, 5445, 5494, 5518, 5612, 5704, 5896,
6292, 6578,6610, 6620,6700, 6776, 7084, 7130,7370, 7926,7932,7944,
226
8050, 8418, 8470, 8556, 8712, 8844, 9108, 9438, 9930, 10050, 10164, 10350,
10626,10890
2646 : 2647, 5294
2652 : 3101, 3981, 3987, 5308,6202, 7962, 7974
2656 : 2657,2839, 5314, 5344, 5678, 6680, 8016,10020
2658 :2659, 5318
2662 : 2663, 5326
2664 : 2831,2899,4023,4107,4683, 5476, 5662, 5798,6244, 8028, 8046, 8214,
9366
2668 : 2773, 5546
2670 : 2671, 5342
2676 : 2677, 5354
2680 : 2959, 5918
2682 : 2683, 5366
2686:2687, 5374
2688 : 2689,2813, 3143, 3365, 3451, 3655, 3955,4041,4165,4407,4437, 5055,
5085, 5378, 5384, 5392, 5504, 5626, 5655, 5848, 5876, 6032,6272, 6286,
6328, 6496; 6664, 6730, 6740,6880, 6902, 7310, 7540, 7840, 7910, 8076,
8082, 8088, 8120, 8136, 8256, 8330, 8352, 8772, 8814, 8874, 9048, 9408,
9492, 9744, 9996, ЮНО, 10170, 10320,10440, 11310,11760, 12180
2692:2693, 5386
2698 : 2699, 5398
2700 : 2869,2981,4077, 5738, 5962, 8154
2704 : 3385, 5416,6770, 8124
2706 : 2707, 5414
2710 : 2711,5422
2712 : 2713,2951,4767, 5426, 5902,6356, 8172, 9534
2718:2719, 5438
2720.3179, 3425,4083,4521, 5444; 6028,6358,6850, 8166, 9042
2728 : 2729, 3415, 5458,5464, 6830, 8196
2730:2731, 5462
2732 : 4101,5468,8202
2736 : 2977, 3199,4113,4809, 5415, 5776, 5954, 6398,6412, 7220, 8226, 8244,
8664, 9618,10830
2740 : 2741, 5482
2744:4119,5492, 8238
2748 : 2749, 5498
2752 : 2753,2941, 5506, 5536, 5882,6920, 8304, 10380
2756 : 2809, 5618
2760 : 2867, 3047, 3227, 3455, 3475, 3619,4143,4149,4371,4587,4653, 5524,
5528, 5734, 5828,6094, 6116,6454, 6910, 6950, 7238, 8286, 8292, 8298,
8742,9174, 9306
2766 : 2767, 5534
2768 : 5205, 5552, 6940, 8328,10410
227
Till: 2881,2921, 3241, 3283,4167, 5762, 5842,6482,6566, 8334
2776 : 2777, 5554
2784 : 3029, 3835,4893, 5235, 5584,6058,6136,6195,6524,6608,6980, 7670,
8260, 8376, 8388, 8496, 9204, 9786, 9912,10470, 10620,12390
2788 :2789, 5578
2790 : 2791, 5582
2796 : 2797, 3269,4197,4203, 5594, 5596, 6538, 8394, 8406
2800 : 2801,2911,2929, 3091, 3505, 3625, 3905, 5325, 5602, 5608, 5822, 5858,
6182, 6248, 7010, 7100, 7250,7810, 8412, 9372, 10650
2802 : 2803, 5606
2808 : 2923,2983, 3211,4239,4293,4503,4563,4977, 5846, 5966, 6004, 6422,
8478, 8532, 8586, 9006, 9126, 9954
2816 : 4227,4539, 5295, 5636, 5648, 5696, 5865, 5888,6052, 6256, 7060, 7120,
7360, 7820, 8454, 8472, 8544, 8832, 9078, 9384, 10590, 10680, 11040, 11730
2818:2819, 5638
2820 : 3113,6226
2832 : 2833, 3545, 5666, 5672, 7090, 8508
2836:2837, 5674
2842 : 2843, 5686
2844 : 4269, 5692, 8538
2848 : 3043, 5728,6086, 7160, 8592, 10740
2850:2851, 5702
2852 :4281, 5708, 8562
2856 : 2857,2987, 3107,4287, 5019, 5714, 5716, 5974, 6214, 6692, 8574, 8604,
10038
2860 : 2861, 3013, 5722, 6026
2864 :4299, 5385, 5732, 5744, 7180, 8598, 8616, 10770
2868 : 3353,4311,6706, 8622
2872 : 3595, 5752, 7190, 8628
2876 :4317, 5756, 8634
2878 :2879, 5758
2880 : 2993, 3007, 3077, 3133, 3553, 3689, 3731, 3895, 3965,4015,4551,4743,
4797, 5005, 5049, 5061, 5475, 5535, 5792, 5986, 6014,6045,6068,6105,
6154, 6232, 6266, 6344, 6405, 6424,6435,6448, 6512,6688, 6748,6825,
6832, 6944, 7106, 7240, 7300, 7378, 7400, 7462, 7600, 7790, 7930, 8008,
8030, 8060, 8140, 8360, 8540, 8676, 8680, 8688, 8784, 8856, 8928, 9100,
9102, 9348, 9486, 9504, 9516, 9594, 9636, 9672, 9768, 10010, 10032, 10098,
10122,10248, 10296,10332,10416, 10800,10860,10950,10980,11070,
11088, 11100,11160,11400, 11700,11880, 12012,12090,12210, 12540,
12600,12810, 12870, 13020,13650,13860
2886 :2887, 5774
2892 : 4341, 5788, 8682
2896 :2897, 5794
2900 : 4353, 5804, 8706
228
2902 : 2903, 5806
2904 : 3635,4359,4623, 5812, 5816,6164, 7270, 8718, 8724, 9246
2908 :2909, 5818
2912 : 4611,6148,9222
2916:2917, 3097,3409,4377,4383,4401,4617,5103, 5834, 5836,6194,6818,
8748, 8754, 8766, 8802, 9234, 10206
2920 : 3223,6446
2926:2927, 5854
2928 : 3665, 5505, 5864, 5872,7330,7340, 8796, 8808, 11010
2938:2939, 5878
2940 : 3053, 3437, 3479, 3773,4413,4419, 5884,6106,6874,6958,7546, 8826,
8838
2944 : 3995,6016,6392, 7520,7990, 9024, 9588,11280
2952 : 2953, 3071, 3695,4731, 5229, 5906, 5912, 6142, 6308, 7390, 8868, 8964,
9462,10458
2956:2957, 5914
2960 : 3725,4443,4917, 5924,6556, 7450, 8886, 9834
2962 : 2963, 5926
2964 : 4449, 5932, 8898
2968 : 2969, 3103, 3715, 5938, 5944, 6206, 7430, 8916
2970 :2971, 5942
2972 : 4461, 5948, 8922
2976 :4467, 5595, 5956, 5968,7460, 8934, 8952, 11190
2984 :4479, 5972, 8958
2988:3173, 3493,4491,4509,6346,6986, 8982, 9018
2992 : 3151,6302
2996.4497, 5996, 8994
2998 :2999, 5998
3000 : 3001, 3131, 3263, 3755, 3775, 3875,4375,4983, 5271, 5625,6002,6008,
6262, 6526, 6644, 7028, 7510, 7550, 7750, 8750, 9012, 9036, 9966, 10542,
11250
ЗОЮ: 3011,6022
3012 : 3521,4527,7042, 9054
3016:3127,6254
3018:3019,6038
3020 : 4533, 6044, 9066
3022 : 3023,6046
3024 : 3139, 3161, 3577, 3785, 3857, 3913,4085,4445,4655,4773,4953,4959,
5031, 5439, 5481, 5685, 5715, 5733, 5805,6056,6064, 6278,6322,6364,
6536,6604,6615, 7112, 7154, 7252, 7448, 7570, 7580, 7714, 7826, 8170,
8890,9084, 9096, 9144, 9288, 9310, 9396, 9546,9804,9906, 9918,10062,
10584, 10668, 10836, 10878, 10962, 11172, 11370, 11430, 11466, 11610,
13230
3036 : 3037, 3149, 3197, 3703,4761, 6074, 6298, 6394, 7406, 9522
229
3040 : 3041, 3247, 3805,6082, 6088,6112,6494, 7610, 7640, 9132, 9168,11460
3044 : 4569,6092, 9138
3048 : 3049, 3563,4581, 6098, 7126, 9162
3056 : 5745,6128, 7660, 9192,11490
3060 : 3061, 3193, 3377,4593,6122,6124, 6386,6754, 9186
3066:3067,6134
3072 : 3281, 3341, 3845,4947, 5397,6152,6176, 6208, 6562,6596,6656,6682,
7072, 7168, 7196, 7616, 7690, 7720,7760, 8320, 8840, 8960, 9216, 9228,
9252, 9264, 9312, 9520, 9792, 9894, 9984, 10608,10752,10794, 11424,
11520, 11580, 11640, 12240, 12480, 13260, 13440, 14280
3078: 3079,6158
3080 : 3509,4899,6532, 7018, 9798
3082 : 3083,6166
3084 : 4629, 6172, 9258
3088 : 3089, 3865,6178, 6184, 7730, 9276
3096 : 3287,4647,4671, 6196, 6574, 9294, 9342
3100 : 3421,6842
3104 :4659, 5835, 6212, 6224, 7780, 9318, 9336, 11670
3108:3109,6218
3116:4677,6236, 9354
3118:3119,6238
3120 : 3121, 3233, 3239, 3443, 3647, 3925,4081,4225,4345,4585,4689, 4929,
5109, 5181, 5247, 5577, 5895, 5925,6242,6466,6478,6572,6812,6886,
6908, 6952,7294, 7336, 7436, 7850, 7900, 8162, 8450, 8690, 9170, 9378,
9432, 9858, 10218, 10362, 10428,10494,11004, 11154, 11790, 11850
3132 : 3661,4701,4707,4779, 6268, 7322, 9402, 9414, 9558
3136 : 3137, 3277, 3349,6274,6304,6554,6698, 7880, 9456, 11820
3140 : 4713, 6284, 9426
3144 : 3419, 3935, 5523,6296, 6838, 7364, 7870, 9444, 9468, 11046
3156:4737, 6316,9474
3160 : 3487, 6974
3162:3163, 6326
3164 : 4749,6332, 9498
3166:3167,6334
3168 : 3169, 3293, 3383,4255,4355, 5037, 5073, 5607, 5955,6279, 6338, 6352,
6368, 6555, 6586, 6716, 6764, 6766,6808,6968, 6992, 7035, 7245, 7504,
7940, 7960, 8372, 8510, 8710, 8740, 9380, 9528, 9552, 9612, 9648, 9936,
10074, 10146,10212, 10452, 10488, 10764, 11214,11256, 11592, 11910,
11940, 12060, 12420, 12558,13110, 14070, 14490
3180:3181,3317, 6362, 6634
3184 : 3985, 6376,7970, 9564
3186 : 3187,6374
3190 : 3191,6382
3192:4791,6388, 9582
230
3200 : 4675,4803, 5151,6015, 6375, 6404, 6416, 6464,6765, 6868,7216, 8000,
8020, 8080, 8200, 8500, 8800, 9020,9350, 9606, 9624, 9696, 10302, 10824,
12000, 12030, 12120, 12300,12750,13200,13530
3202 :3203,6406
3204.3401,4833,6802,9666
3208: 3209,6418
3212 : 4821, 6428, 9642
3216 : 3217, 3497,4827, 5649, 6434,6436,6994, 7532, 9654, 9684, 11298
3220 : 3221,3337,6442,6674
3224 : 4839, 6452, 9678
3228 : 3229, 6458
3232 : 4045, 6472, 8090, 9708
3236 : 4857, 6476, 9714
3240 : 3379, 3439, 3523, 3787,4055,4075,4123,4863,4869,4887,4941, 5301,
5379, 5643, 5691,5859, 6075,6237,6484, 6488, 6758,6878, 7046, 7172,
7574, 7588, 8110, 8150,8246, 9726, 9732, 9738, 9756, 9774, 9882, 10044,
10602, 10692, 10758, 11286, 11382,11718,12150,12474
3248 : 4205, 5133,6728, 6844, 8410, 10092,10266
3250:3251,6502
3252 : 3253,4881, 6506, 6508, 9762
3256 : 3257, 3427, 6514, 6854
3258:3259, 6518
3264 : 3757, 4795, 5253, 5343, 6069, 6135, 6165, 6544,6592, 7004, 7124, 7514,
7672, 8092, 8180, 8240, 9590, 9816,9864, 9888,10404, 10506, 10686,
11508, 12138, 12270, 12330, 12360
3270: 3271,6542
3272:4911,6548, 9822
3276 : 3397, 3829, 3871, 4923, 6794, 7658, 7742, 9846
3280 : 3403,4105,4565, 5043,6225, 6568, 6724, 6806, 7304, 8210, 8300, 9130,
9852,10086,10956,12450
3288 : 4115, 6584, 8230, 9876
3298 :3299, 6598
3300 : 3301, 3473, 3641, 3751, 6602, 6946, 7282, 7502
3304 : 4135, 6616, 8270, 9924
3306 : 3307, 6614
3312 : 3313, 3431, 3601,4145,4277,4465,4865,4971, 5217, 5421, 5499, 5817,
6255, 6345, 6626, 6628, 6632, 6862, 6956, 7144, 7202, 7228, 7756, 7784,
8290, 8554, 8930, 9730, 9942, 9948, 9972, 10008, 10152, 10434, 10716,
10842, 10998, 11634,11676,11844,12510, 12690
3318:3319, 6638
3320 : 4175, 5511, 7348, 8350, 11022
3322: 3323, 6646
3324 : 4989, 6652, 9978
3328 : 3329,4505, 6658, 6784, 7208, 8480, 9010, 10176, 10812,12720
231
3330:3331,6662
3332 : 5001,6668,10002
3336 : 3899, 5007, 5013,6676, 7798,10014, 10026
3342: 3343, 6686
3344 : 6285, 6704, 8380,10056, 12570
3346: 3347, 6694
3352 :4195, 6712, 8390, 10068
3358 : 3359, 6718
3360 : 3361, 3503, 3587, 3653, 3707,4147,4495,4615, 5075, 5289, 5307, 5901,
6027, 6315, 6525,6699, 6722, 6736, 6752, 7006,7052, 7076, 7095, 7174,
7192, 7306, 7384, 7414, 7455, 7568, 7868, 7952, 8036, 8085, 8294, 8420,
8440, 8600, 8624, 8932, 8990, 9230,
9460, 9800, 9940, 10104, 10116, 10128, 10150, 10224, 10578, 10614, 10780,
10788, 11076, 11352, 11484, 11802, 11928, 12054, 12630, 12660, 12780,
12900, 12936, 13050, 13398, 14190, 14700, 14910, 16170
3370 : 3371, 6742
3372 : 3373, 3941, 5067, 6746, 7882, 10134
3384 : 3679, 5079, 5943, 6772, 7358, 7924, 10158, 10188, 11886
3388: 3389, 6778
3390 : 3391,6782
3392 : 5091, 5457, 6788, 6848, 7276, 8560, 10182, 10272, 10914, 12840
3396 : 5097, 6796, 10194
3406 : 3407, 6814
3408 : 3983,4265, 5121, 6824, 7966, 8530, 10236, 10242
3412 : 3413, 6826
3416:5127, 6836, 10254
3420 : 3629, 3971, 3997, 5139, 5157, 7258, 7942,7994, 10278, 10314
3422: 3481, 6962
3424 : 4285, 6856, 8570, 10284
3432 : 3433, 3551, 3611, 3887,4295, 5451,6866,6872, 7102,7222, 7268, 7774,
8590, 10308, 10902
3440 :4325, 5163, 5709, 6465, 6884, 6896, 7612, 8620, 8650, 10326, 10344, 11418,
12930
3444 : 3569,4067, 5169,6892, 7138, 8134, 10338
3448 : 3449,4315,6898,6904, 8630,10356
3456 : 3457, 3589, 3667,4039,4199,4403,4745, 5193, 5211, 5529, 5559, 5661,
5967, 6111, 6495, 6783,6885,6914,6928,6976, 7178, 7215, 7334, 7372,
7412, 7592, 7665, 7696, 7904, 8078, 8176, 8288, 8398, 8512, 8660, 8720,
8806, 9044, 9490, 9620, 9880, 10220, 10360, 10368, 10386, 10392, 10422,
10464, 10476, 10512, 10640,10656,10944, 11016, 11058,11118, 11232,
11322, 11388, 11544, 11628, 11856, 11934, 12096, 12222, 12264, 12432,
12768, 12852, 12960, 12990, 13080, 13104, 13140, 13320, 13566, 13680,
13770, 14040, 14430, 14820, 15120, 15330, 15540, 15960, 16380
3460 : 3461, 3817, 6922, 7634
232
3462 :3463,6926
3464 : 5199, 6932, 10398
3466:3467, 6934
3468 :3469,6938
3480 : 3599, 3839,4543, 5223, 5487,5841,6964,7198, 7316, 7678, 9086, 10446,
10974,11682
3490:3491,6982
3492 : 5241,6988,10482
3498 : 3499,6998
3504 : 3809,4385, 5259, 6153, 6585, 7012, 7016, 7024, 7618, 8204, 8770, 8780,
10518, 10524, 10536, 10548, 12306, 13170
3510:3511,7022
3516 : 3517,4109, 5277, 5283, 7034, 7036, 8218, 10554, 10566
3520 : 3649, 3883,4301,4405,4715,4895, 6171, 6675, 7048, 7298, 7544, 7744,
7766, 7832, 8096, 8228, 8602, 8810, 8900, 9200, 9430, 9680, 9790, 10120,
10572,11316, 11616, 11748, 12144, 12342, 13350,13800,14520,15180
3526: 3527, 7054
3528 : 3529, 3683, 3743, 4415,4459, 5319,6321, 7058, 7064, 7366, 7486, 8428,
8830, 8918, 10596, 10638, 12348, 12642
3532: 3533, 7066
3536 : 6645, 7088, 8860, 10632, 13290
3538:3539, 7078
3540 : 3541, 7082
3544 : 4435, 7096, 8870,10644
3546: 3547, 7094
3552 : 3791, 4151, 5215, 5331, 5337, 5811, 6705, 7108, 7136, 7582, 7748, 8302,
8344, 8920,10430,10662,10674,10704,10728, 11622, 12516,13380, 13410
3556 : 3557,7114
3558:3559,7118
3560 : 4475, 5907, 7876, 8950, 11814
3564 : 3749, 3781, 5349, 5373, 5427, 5589, 7132, 7498, 7562, 10698, 10746, 10854,
11178
3570:3571,7142
3572:5361,7148, 10722
3576:5367,7156, 10734
3580 : 3581, 3949, 7162,7898
3582:3583,7166
3584 : 5763, 6735, 7184, 7232, 7395, 7424, 7684, 7888, 8980, 9040, 9280, 9860,
10776, 10848,11136, 11526, 11832, 13470, 13560, 13920, 14790
3588 : 3713,4193, 5391, 7426, 8386, 10782
3592:3593, 7186
3600 : 3737,4207,4433,4525,4625,4697, 5225, 5285, 5403, 5409, 5425, 5673,
5757, 5889, 5973, 6039, 6363, 6795, 6975, 7125,7161, 7204, 7425, 7474,
7564, 7676, 7852, 7875, 7964, 8414,8456, 8866, 9050, 9250, 9394, 9500,
233
9548,10450,10570,10806,10818, 10850,10872,10908,11346,11514,
11778, 11946, 12078,12276,12684,12726,13500,13590,13950,14250,
14322,14850, 15750
3606 : 3607, 7214
3608 : 5727, 7636,11454
3612 : 3613, 5547, 7226, 7396, 11094
3616 : 3617, 3859, 7234,7264,7718, 9080,10896,13620
3620 : 5433, 7244,10866
3622 : 3623,7246
3624 : 4535,7256,9070,10884
3630:3631,7262
3636 : 3637,4249, 5463, 7274, 8498,10926
3640 : 3763, 3799,4555, 7288,7526, 7598, 9110,10932
3642:3643, 7286
3644 : 5469,7292, 10938
3648 : 3893,6855, 7312,7328,7786, 9140, 9160,10968,10992,13710,13740
3652 : 3841, 7682
3658:3659,7318
3660 : 3721,4037, 5493,7324,7442,8074,10986
3670 : 3671, 7342
3672 : 3673, 3811, 3991,4291,4595, 5517, 5871,6447, 6489,7346, 7352, 7622,
7828, 7982, 8582, 8596, 9190,11028, 11034,11052,11124, 11742, 12894,
12978
3676 : 3677, 7354
3680 : 5781, 6915, 7376, 7708, 7755, 8272, 9220, 9400,10340,11064, 11562, 12408,
13830, 14100, 15510
3690:3691,7382
3692 : 5541,7388, 11082
3696 : 3697, 3827, 4319,4361,4669,4945, 5553, 5635, 5829,6003,6945, 7394,
7408, 7654, 7772, 7912, 8638, 8722, 9016, 9260,9338, 9890, 11106, 11112,
11270,11658,11868, 12006, 13524,13890
3700 : 3701, 7402
3708 : 3709,4333, 5571,7418,8666,11142
3712 : 3961,4645, 5015, 7432, 7456, 7552, 7922, 8024, 9290, 9320, 9440,10030,
11148, 11184, 11328, 12036, 13980, 14160
3718:3719, 7438
3720 : 4043,4103,4805, 5583, 6531, 7444, 7688, 8086, 8206, 8708, 9610, 11166,
11196, 11532, 13062
3726 : 3727, 7454
3728 : 7005, 7472, 9340,11208, 14010
3732 : 3733, 5601, 7466, 7468, 11202
3738 : 3739, 7478
3740 : 5613,7484, 11226
234
3744 : 3869,4069,4685,4823, 5035,5135, 5495,5619, 5883, 5915,6123,6201,
6573, 7065, 7155, 7492, 7496, 7605, 7738, 7844, 8056, 8138, 8164j 8216,
8295, 8764,8792,8848, 9370,9464, 9646,10070,10270,10990,11060,
11238,11244, 11268, 11304,11376,11448,11766, 11830, 12084,12168,
12246, 12324,12402,13146,13188,13272,13356,14130,14196, 14220,
14310, 15210, 16590
3752:5631,7508, 11262
3756:5637,7516, 11274
3760 : 3761,4705, 7522,7528, 9410,11292
3766 :3767, 7534
3768: 3769, 7538
3772 : 3901, 7802
3776:5667, 7556, 11334
3778 : 3779, 7558
3780 : 3937,4009,4169,4417, 5679, 5697, 5751, 7874, 8018, 8338, 8834, 11358,
11394, 11502
3784 : 3979,4735, 7576, 7958, 9470, 11364
3792 : 3793,4121, 6657, 7586, 8242, 8876, 11412, 13314
3796 :3797,7594
3800 :4775, 5703,6303,7604, 8404, 9550, 11406, 12606
3802 :3803, 7606
3808 : 3973,4063,4765, 7624, 7648, 7946, 8126, 9530, 9560, 11436, 11472, 14340
3812 : 5721,7628, 11442
3816 : 3959,6099, 6741, 7918, 8132, 11556, 12198, 13482
3820 : 3821,4213, 7642, 8426
3822 : 3823, 7646
3824 : 5739, 7185, 7652, 7664, 9580, 11478, 11496, 14370
3828:3953, 7906
3832:3833, 7666
3840 : 3977,4097,4487,4825,4879, 5185, 5335, 5525, 5769,6273, 6369, 6545,
7275, 7293, 7712, 7808, 7905, 7936, 7954, 7995, 8194, 8296, 8415, 8432,
8492, 8528, 8536, 8925, 8974, 9152, 9184, 9640, 9650, 9700, 9724, 9758,
9760, 9856, 9920, 10370, 10400, 10472, 10540, 10660, 10670, 11050, 11200,
11440, 11480, 11538, 11568, 11712, 11808,11900, 11904, 12320, 12444,
12546, 12648, 12672, 12738, 12792,12804, 13090,13464, 13728, 13776,
14400, 14460, 14550, 14586, 14640, 14760, 14784, 14880, 15300, 15600,
15708,15810, 15840, 15990, 16800, 16830,17160, 17220,17850, 18480
3846 : 3847, 7694
3850:3851, 7702
3852 : 3853,4501, 5787, 7706, 9002, 11574
3860 : 5793, 7724,11586
3862:3863, 7726
3864 : 4031,4835, 5799,6063, 6909, 7732,7736, 8062, 8084, 9212, 9670,11598,
11604, 12126, 13818
235
3872 : 6141,8188, 12282
3876 : 3877,4529, 5823,7754, 9058,11646
3880 : 3881,4279,4855,7762,7768, 8558, 9710,11652
3888 : 3889,4033,4921, 5705, 5913,6213, 6327, 6357,6669,6867,6993, 7305,
7335, 7371, 7695,7778,7792, 8066, 8284, 8476, 8505, 9128, 9740, 9842,
11410, 11664, 11688, 11736,11772, 11826, 11988,12312,12426, 12636,
12654, 12714, 13338, 13608, 13692, 13734, 13986, 14364, 14580, 14610,
14670, 14742,15390,17010
3896:5847,7796, 11694
3900 :4061, 5853, 7804, 8122, 11706
3904 :4885,7816, 9770,11724
3906:3907, 7814
3910:3911,7822
3912:4571,5877,9142, 11754
3916:3917,4117, 7834,8234
3918:3919, 7838
3920 : 4925, 6177,6501, 7365, 7856, 8236, 8668, 9820, 9850, 11784, 12354, 13002,
14730
3922 : 3923, 7846
3928 : 3929,4915, 7858, 7864, 9830,11796
3930:3931, 7862
3936 : 5395, 8632, 8715, 9296, 10790, 11620, 11952, 12948, 13944, 14940, 17430
3942 : 3943,7886
3944 : 5919, 7892, 11838
3946 :3947,7894
3948 :4613, 5931, 9226, 11862
3956:5937, 7916, 11874
3960 :4087,4163,4303,4367,4477,4627,4807,4955,4975,4991, 5159, 5949,
6231, 6417, 6567,6633,6831, 6897,6951, 7623, 7928, 8174, 8308, 8326,
8606,8734, 8756, 8954, 9196, 9254, 9268, 9614, 9910, 9950, 9982, 10318,
11892, 11898, 11916, 12462, 12834,13068, 13134, 13266, 13662, 13794,
13902, 15246
3966:3967, 7934
3972 : 5961,7948, 11922
3984 : 4985, 5845, 5979,6513, 7485, 7515,7972, 7976, 7984, 8684, 9352, 9970,
9980, 11690, 11958, 11964, 11976,12024,13026, 14028, 14970, 15030
3988:3989, 7978
3992 : 5991,7988, 11982
3996 :4237, 5997, 6021,7996, 8474,11994, 12042
4000 : 4001,4141,4267,4411, 5125, 5555,7575, 8002, 8032, 8282, 8534, 8822,
8888, 10000,10040, 10100,10250, 11000,11110, 12048, 13332, 15000,
15060, 15150, 16500
4002 : 4003, 8006
4004 : 6009, 8012, 12018
236
4006:4007, 8014
4012 : 4013, 8026
4016 : 7545, 8048, 10060,12072,15090
4018:4019,8038
4020 : 4021,6033, 8042, 8044, 12066
4026:4027, 8054
4032 : 4171,4181,4381, 4711,4753, 5045, 5117, 5365, 6051,6057, 6351, 6441,
6477,6579, 7077,7119, 7497,7917, 8068, 8072, 8128, 8265, 8342, 8362,
8385, 8468, 8584, 8588, 8636, 8762, 8816, 8944, 9135,9422, 9436, 9506,
9555, 9632, 10090, 10160, 10192, 10234, 10556, 10730, 11020, 11180,
12040, 12102, 12108,12114,12132, 12192, 12204, 12384, 12528, 12702,
12740, 12876, 12882, 12954, 13158, 13224, 13416,13572, 14112, 14154,
14238, 14448, 14616, 14994, 15240, 15288, 15480, 15660, 15834, 16530,
16770, 17640, 18060, 18270,19110
4048 :4049,4183, 5065, 5405, 7935, 8098, 8104, 8366, 8464, 8648, 10130, 10580,
10810, 12156, 12696, 12972, 15870
4050:4051,8102
4052 : 6081, 8108, 12162
4056 : 4057,4187,4739, 6087, 6093, 6591, 8114, 8116, 8374, 8788, 9478, 12174,
12186, 13182
4060:4189, 8378
4064 : 7635, 8144,10180, 12216, 15270
4068 :4313, 6129, 8626, 12258
4072 : 4073, 5095, 8146, 8152, 10190, 12228
4076:6117,8156, 12234
4078:4079, 8158
4080 : 223,4247,4499, 5105, 5665, 7725, 8168, 8446, 8494, 8998, 9064, 10210,
10300, 11330, 12252, 13596, 15450
4090:4091,8182
4092 :4093,4781, 6147, 8186, 9562, 12294
4096 : 4369, 8192, 8224, 8704, 8738, 10240, 10280, 10880, 12288, 12336, 13056,
15360, 15420, 16320
4098:4099,8198
4104 : 4351,4693, 6159, 6183, 7581, 8212, 8702, 9386, 10108, 12318, 12366, 12996,
15162
4110 : 4111,8222
4116 : 7203, 9604, 14406
4120 : 5155, 8248, 10310, 12372
4124:6189,8252, 12378
4126:4127,8254
4128 :4129, 5165, 6055, 6747, 7785, 8258, 8264, 8996, 9688, 10330, 12110, 12396,
12456, 13494, 14532, 15570
4132:4133, 8266
4136 : 6207, 8276, 12414
237
4138:4139, 8278
4140 : 4309, 4837, 6219, 8618, 9674,12438
4144 : 4321,8642
4152 : 4153,4511, 5195,7287, 8306,8312, 9022,9716,10390,12468,12492,14574
4156:4157,8314
4158:4159, 8318
4160 : 6243, 6519,6681,7815, 8324, 8336, 8384, 8692, 8745, 8908, 9328, 10420,
10480,10600, 11660, 12486, 12504,12576,13038, 13362,13992, 15630,
15720,15900, 17490
4164 : 6249, 8332,12498
4172 : 6261, 8348, 12522
4176 : 4177,4307,4427,4537, 5369, 5605,6267, 6291, 6549, 6903, 7329,7845,
7965, 8354, 8356, 8368, 8614, 8732, 8854, 8968, 9074, 9772, 10460, 10738,
11210, 12534, 12552, 12564, 12582, 12744, 13098, 13452, 13806, 14658,
14868, 15690, 15930
4180 : 4393,4609, 8786, 9218
4192 : 4471, 5245, 8392, 8416, 8942,10490, 10520, 12588, 12624,15780
4196 : 6297, 8396, 12594
4200 : 4201,4331,4343,4379,4631,4907,4949, 5255, 5275, 5375, 5467,6125,
6309,6603, 6963, 7029, 8402, 8408, 8662, 8686, 8758, 8804, 9262, 9284,
9814, 9898, 10510, 10550, 10750, 10934, 12250, 12612, 12618, 13206,
13926,14058
4210 : 4211,8422
4212 :6399, 12798
4216:4217,8434
4218:4219, 8438
4220 : 6333, 8444,12666
4224 : 4439,4589, 5083, 5695, 5785,6339, 6693, 7413, 8211, 8452, 8576, 8878,
8924, 9112, 9178, 9256, 9345, 9568, 9884, 9968,10166, 10304,10720,
10948, 11390, 11570, 11960,12460,12678,12708,12816,12864, 12880,
13248, 13386, 13668,13884,14076,14352, 14826,14952,15456, 16020,
16080, 16422, 16560, 17940,18690, 19320
4228 : 4229, 8458
4230 : 4231, 8462
4240 : 4241,4387, 5305, 5885,8025,8482,8488,8774, 9416,10610,10700,11770,
12732, 14124,16050
4242 : 4243, 8486
4248 : 4963, 5315, 6381, 8504, 9926,10630, 12756,12762
4252 :4253, 8506
4256 : 6387, 8516, 12774
4258:4259, 8518
4260 : 4261, 6393, 8522, 8524, 12786
4264 : 4399, 8798
4270 : 4271, 8542
238
4272 : 4273, 5345, 6265,6411, 6981, 8055, 8546, 8548, 8552, 9308, 10024, 10690,
12530, 12822, 12828, 12888, 13962, 15036, 16110
4280 : 6423,8564,12846
4282:4283, 8566
4284 : 4429,4541, 5047, 6429, 6453, 8572, 8858, 9082,10094, 12858, 12906
4288 :4289,4573, 8578, 8608, 9146, 10760, 12912, 16140
4296 : 4297,4667, 7539, 8594, 9334, 10052, 12924, 15078
4300 : 4741, 9482
4304:6459,8612, 12918
4308 : 5033,6471, 10066, 12942
4312 4531,9062
4320.4453,4469, 4579, 4607,4763, 5291, 5453, 5551, 5621, 5735, 5795, 5995,
6175, 6335, 6475, 6483, 6507, 6771, 6789, 7011, 7059, 7137, 7227, 7315,
7749,8115, 8145, 8151, 8175, 8235, 8325,8463, 8547,8644,8656, 8672,
8775, 8835, 8906, 8938, 9009, 9028, 9052, 9158, 9176, 9214, 9272, 9405,
9412, 9424, 9526, 9592, 9765, 9975, 10136, 10395, 10582, 10820, 10840,
10868, 10900, 10906, 11102, 11242, 11284, 11396, 11470,11590, 11704,
11780, 11990,12350, 12670, 12950, 12966, 12984, 13008, 13014, 13032,
13176, 13284,	13300,	13392,	13542, 13578,	13764,	13908,14022, 14118,
14136, 14256,	14274,	14388,	14454, 14508,	14630,	14652,	15048, 15204,
15372, 15444,	15498,	15624,	16200, 16230,	16260,	16290,	16302, 16350,
16470, 16632,	16650,	16740,	16926, 17094,	17100,	17550,	17556, 17670,
17820, 18018,	18810,	18900,	19530, 19950,20790
4324 : 6627, 8836, 13254
4326 :4327, 8654
4336 :4337, 8674
4338:4339, 8678
4344 : 5435, 8696, 10870, 13044
4348:4349, 8698
4352 : 6987, 8768, 9248, 9316, 10960, 11560, 13152, 13872, 13974, 16440, 17340
4356 : 4357, 4577, 5089, 6537, 6543, 8714, 8716, 9154, 10178, 13074, 13086
4360 : 5455, 8728, 10910, 13092
4362:4363, 8726
4368 : 4553,4901, 5465, 6837, 6873,7791, 8205, 8744, 8752, 9106, 9116, 9164,
9802, 10388, 10930, 10940, 13116, 13128, 13674, 13746, 15582, 16410
4372 :4373, 8746
4374 : 6561, 13122
4380:4829, 9658
4384 : 5485, 8776, 10970,13164
4390:4391,8782
4392 : 4771, 5131, 6597, 7707, 9542, 10262, 10276, 13194, 13212, 15414
4396:4397, 8794
4400 : 4961,6325, 6969, 8625, 9075, 9292, 9922,11500, 12100, 12650, 13938,
17250, 18150
239
4404 : 6609, 8812, 13218
4408 : 4409, 5515, 8818, 8824,11030,13236
4412 : 6621,8828, 13242
4416 : 4559,4709, 5593, 7089, 7191, 8864, 8896, 9118, 9165, 9418, 9452, 9776,
10528, 11080, 11120,11186, 12220, 13160, 13296, 13344,13536, 14178,
14382, 14664, 15792, 16620,16680,16920, 18330,19740
4420 : 4421,4873, 8842, 9746
4422 : 4423,4489, 8846, 8978
4424 : 6639, 8852,13278
4428 : 5173,6651,6723,10346, 13302,13446
4432 : 5545, 8872, 11090, 13308
4440 : 4441,4619, 5575,6663,7359,8882,8884, 9238, 9812, 11150,13326, 14718
4446 : 4447,8894
4448 : 8355, 8912, 11140, 13368, 16710
4450 : 4451, 8902
4452 : 4601, 5201, 5243,6687, 9202,10402,10486,13374
4456 :4457, 8914
4462 : 4463, 8926
4464 : 4849, 5585, 7833, 8936, 9698, 10444, 11170, 13404, 13428, 15666
4472 : 6711,8948, 13422
4476 : 6717, 8956, 13434
4480 : 4481,4633,4777,4939, 5423, 5945,6035, 6215, 8475, 8962, 8992, 9088,
9266, 9512, 9554, 9656, 9878, 9944, 10208, 10846, 11240, 11300, 11360,
11600,11890,12070, 12430, 12760, 13488,13632,14268,14484,14916,
15312, 16860, 16950, 17040, 17400, 19140
4482 : 4483, 8966
4484 : 6729, 8972, 13458
4488 : 5615, 7107, 8984,9476,11230, 13476, 14214
4492:4493, 8986
4496 : 8445, 9008, 11260, 13512, 16890
4500 : 4681,4769, 5257,6753, 6759,6777, 9004, 9362, 9538,10514,13506, 13518,
13554
4506 : 4507, 9014
4512 : 4513,4811, 5645, 9026, 9032, 9056, 9622, 11290,11320, 13548,13584,
16980
4516:4517,9034
4518:4519, 9038
4520 : 5675,7491, 9988, 11350, 14982
4522 : 4523, 9046
4524 : 4661, 9322
4532 : 6801, 9068, 13602
4536 :4687,4699,4727,4927, 5299, 5341, 5719,6807,6813,7047,7239, 7353,
7959, 8001, 8127, 8379, 9076, 9374, 9398, 9454, 9652, 9854, 10598, 10612,
10682, 11438, 13614, 13626, 13644, 13716, 13932, 14094, 14478, 14706,
240
15876,15918,16002, 16254,16758
4544 : 6819, 8535, 9092, 9104, 11380,13638,13656, 17070
4546 : 4547, 9094
4548 : 4549, 9098
4560 : 4561, 5027, 5327, 5725,6685,6843, 6849, 7449, 7557, 8565, 8595, 9122,
9124, 9136, 9932, 10054,10076,10654,10696, 11420, 11450, 13370,13686,
13698,13704,13752, 14898, 15114,16044, 17130, 17190
4566:4567, 9134
4572 : 6861, 9148, 13722
4576 : 4717, 6095, 9434, 9752,12190, 14628
4582 :4583, 9166
4584 : 4979,6879, 8043, 9172, 9958,10724, 13758, 13788, 16086
4590:4591, 9182
4592 : 6891, 7221, 9188, 9628, 13782, 14442
4596 : 4597, 9194
4600 : 4747, 5071, 5755, 5875, 9208, 9494, 10142, 11510, 11750, 13812
4602 : 4603, 9206
4608 :4883, 5383, 5765, 6205,6305,6755, 6921,6939, 7527, 7735, 8655, 8685,
9224, 9232, 9344, 9435, 9472, 9728, 9766, 9928, 9945, 10036, 10064, 10088,
10185,10336,10766, 10808,10864, 11530, 11540, 11648, 11680, 11840,
12160, 12376, 12410, 12580, 12610, 12920, 13510, 13580, 13824, 13836,
13842,13848, 13878, 13896, 13968, 14016,14208, 14560, 14592, 14688,
14892, 14976, 15054, 15096, 15132, 15470,15504, 15912, 16128, 16212,
16296, 17136, 17280, 17310, 17370, 17460,17472, 17520, 17760, 18240,
18360,18564, 18720, 18870, 19380, 19890,20160,20370,21420,21840
4616 : 6927, 9236,13854
4620 : 4621,4757,4853, 5093, 5203,5929,6933, 9242, 9244, 9514, 9706,10186,
10406,11858, 13866
4624 : 4913, 9826
4632 : 5411, 6957, 10822, 13914
4636:4637, 9274
4638 : 4639, 9278
4640 : 5825,7257, 7689, 9676, 9735,10252,10384, 11650, 11800,12980,14514,
15378,15576,17700, 19470
4642:4643, 9286
4648 :4649,4843, 5815, 9298, 9304, 9686,11630, 13956
4650 : 4651, 9302
4656 :4657, 5057, 8169, 9314, 10114, 10892, 14004, 16338
4660: 5137,10274
4662 : 4663, 9326
4664 : 6999, 7383, 9332, 9844, 13998,14766
4672 :4673,4981, 9346, 9376, 9962,11720,14064,17580
4676 : 7017, 9356, 14034
4678:4679, 9358
241
4680 : 4819,4847,4867, 5239, 5855,6083,7023,7347,7467,7821,8253,9364,
9368, 9638, 9694, 9734, 9796, 9956,10478,11710,12166,14046,14052,
14148,14694,14934,15642,16506
4688 : 8805, 9392, 11740,14088,17610
4690 : 4691,9382
4692 :4841, 7041, 9388, 9682,14082
4700.7053, 9404,14106
4702 : 4703, 9406
4704.4859, 5537, 5831,6235,6895,7105,7683,8865, 9718, 9976,10244, 10976,
11032, 11074,11368, 11662,12470,13720, 13790,14184,14210, 14964,
15366, 16464, 16548, 17052, 17730, 20580
4712 : 7071, 9428, 14142
4716 : 4997, 5509,7083,7101,9994,11018,14166, 14202
4720 : 4721, 5905, 9442, 9448, 11810, 14172
4722 : 4723, 9446
4728 : 4729, 9458
4732:4733, 9466
4736 : 7599, 8895, 9488, 9536, 10132,11860, 11920, 14232, 14304, 15198, 17790,
17880
4740 : 7113,9484, 14226
4744 : 5935, 9496, 11870, 14244
4750:4751, 9502
4752 :4891, 5161, 5681, 5957,6097,6365,6965,7131,7209,7437,7521, 7659,
7761, 7839, 8073, 8337, 8955, 9045, 9177, 9315, 9508, 9782, 9916, 10028,
10184, 10322,10348,11116,11144,11362, 11914,12194,12236, 12730,
13930, 14262, 14292, 14328, 14418, 14472, 14874, 14904,15042, 15276,
15318,15522, 15678, 15732,16146, 16674,16716, 16884,17388,17910,
18090, 18354, 18630
4756:4897, 9794
4758:4759, 9518
4760 : 5975,7143,7887, 9524, 10516,11950,14286,15774
4764 : 7149, 9532, 14298
4768 : 5965, 9544, 11930, 14316
4776 : 5579, 7167, 7173, 9556, 11158, 14334,14346
4780: 5269, 10538
4782:4783, 9566
4784 : 7179,7473, 8985, 9572, 9584, 9964, 11980,14358, 14376,14946, 17970
4786 : 4787, 9574
4788 :4789, 9578
4792.4793, 9586
4796 : 7197, 9596, 14394
4798:4799, 9598
242
4800 : 4801, 5213, 5797, 5863,6005,6025,6355,6565, 7175,7503,7701, 7953,
8421, 9015, 9225, 9471,9602,9608,9616, 9664,10004,10065,10168,
10268, 10426, 10504, 10604,10605, 10725,10736, 10912, 11228,11312,
11594, 11726,12010, 12020,12050,12080,12200,12400, 12628, 12710,
13000, 13130,13420, 13640, 14000, 14140,14300, 14350, 14412, 14424,
14436, 14496, 14544, 15006, 15252,15400,15402,15756, 15906, 16104,
16236, 16368, 16842, 16968,18000,18030,18120,18180, 18300, 18450,
18600, 18942, 19500, 19800,20130,20460,21000,21210,21450,23100
4812 :4813, 9626
4816 : 4817, 5017, 9634, 10034
4820 : 7233, 9644, 14466
4824 : 5111, 7263, 10222, 14526
4830 :4831, 9662
4832 : 7251, 9668,14502
4840 : 6655, 8349, 10648,11132, 13310, 15972,16698
4844 : 7269, 9692, 14538
4848 : 5663, 6065,7281, 9105, 9704, 9712,11326,12130,12140, 14556,14562,
14568, 18210
4860 : 4861, 5053, 5149, 5357, 5677,7299,7317, 7533,8019, 9722, 10106, 10298,
10714, 11354, 14598, 14634, 15066, 16038
4864 : 6085, 9736, 12170,14604
4870:4871,9742
4872 : 5887, 7311, 7569, 7611, 8673, 9748,10148,11564,11774, 14622, 15138,
15222,17346
4876 : 4877, 5029, 9754, 10058
4880 : 7323, 9764,14646
4884: 5129, 10258
4888 : 4889, 6115, 9778, 9784, 12230, 14676
4892 : 7341, 9788,14682
4896 : 5069, 5219, 5317, 5491,6695, 7803, 7809, 8589, 8631, 9195, 9808, 9824,
10138, 10412, 10438, 10634,10712,10815,10982, 11452,11536,12260,
12280, 13390, 14420, 14712,14724, 14736,14796, 14832,15606, 15618,
16068, 17178, 17262, 17304,18390, 18420, 18540, 21630
4900 : 5401, 10802
4902 :4903, 9806
4908 :4909, 9818
4912 : 6145, 9832,12290,14748
4916 : 7377, 9836,14754
4918:4919, 9838
4920 : 5063, 5747, 6155,6391,7389, 7719, 8217, 9848,10126, 10292, 11494, 12310,
12782, 14772, 14778, 15438,16434
4928 : 7743, 7797, 9255, 9872, 10005, 10324,10396, 10672,12340, 13340, 14808,
15486, 15594,16008,18510,20010
4930:4931, 9862
243
4932 : 4933, 5761, 7401, 7407, 9866, 9868,11522,14802,14814
4936 : 4937, 9874
4942 : 4943,9886
4944 : 6185, 7419, 9285, 9892, 9896, 9904, 12370,12380,14838,14844,14856,
18570
4950:4951, 9902
4952 : 7431, 9908, 14862
4956 : 4957, 5789, 7443, 9914, 11578, 14886
4960 : 5287, 9952, 10574, 12440, 14928,18660
4966 : 4967, 9934
4968 : 4969,5123, 5143, 5263,5803,6251,7461,7479,7923,8037,8757, 8883,
9938, 10246, 10286, 10526, 10564,11606, 12502, 14922,14958,15012,
15228,15846, 16074,17514,17766
4970 : 5041, 10082
4972 : 4973, 5221, 9946, 10442
4980 : 5177, 5489, 10354, 10978
4984 : 5191, 10382
4986:4987, 9974
4992 : 4993, 5141, 5321, 6245, 6307,6715,8007,8109,8619, 9986, 9992,10016,
10048, 10112, 10282, 10335, 10642, 10676, 10744,10816,11024, 11492,
11872, 12490, 12520, 12560, 12614, 12640, 13430, 13520,13780,14840,
14988, 15024, 15072, 15168, 15264, 16014, 16116, 16218, 16224, 16536,
17238, 17808,18780, 18840, 18960, 19080,20280,20670,22260
4998:4999, 9998
5000 : 6275, 6875, 8283, 9375, 11044, 12500, 12550, 13750, 16566, 18750
Таблица 3
Мощность корневых деревьев Тр и С.К.Д.
(см. раздел 6.3 и 6.5)
р
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
Тр С.К.Д.	р Тр С.К.Д.
2
3
4
9
2
31
6
4
2
2
2
11
24
41
2
2
2
57
2
2
58
2
2
6
17
4
2
2
39
67
2
2
2
2
2
2
25
4
2
2
2
158
2
61
2
2
2
2
2
2
1
1
I
2
1
5
1
1
1
1
1
2
4
6
1
1
2
9
1
1
7
1
1
1
1
1
1
1
5
6
1
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
16
1
9
2
1
1
1
1
1
233	54	7
239	2	1
241	186	19
251	2	1
257	10	1
263	2	1
269	2	1
271	2	1
277	18	3
281	8	1
283	2	1
293	2	1
307	2	1
311	2	1
313	96	11
317	2	1
331	2	1
337	18	1
347	2	1
349	6	1
353	15	2
359	2	1
367	2	1
373	2	1
379	2	1
383	2	1
389	2	1
397	44	6
401	34	3
409	6	1
419	2	1
421	16	2
431	2	1
433	105	11
439	2	1
443	2	1
449	60	9
457	5	1
461	4	1
463	2	1
467	2	1
479	2	1
487	4	1
491	2	1
499	2	1
503	2	1
509	2	1
521	8	1
523	2	1
541	84	9
245
547	2	1	877	8	2
557	2	1	881	132	14
563	2	1	883	2	1
569	2	1	887	2	1
571	2	1	907	2	1
577	54	3	911	2	1
587	2	1	919	2	1
593	9	2	929	12	1
599	2	1	937	39	4
601	24	2	941	2	1
607	2	1	947	2	1
613	292	30	953	6	1
617	4	1	967	2	1
619	2	1	971	2	1
631	2	1	977	2	1
641	30	2	983	2	1
643	2	1	991	2	1
647	2	1	997	20	3
653	2	1	1009	142	16
659	2	1	1013	57	5
661	32	4	1019	2	1
673	70	6	1021	4	1
677	2	1	1031	2	1
683	2	1	1033	8	2
691	2	1	1039	2	1
701	10	2	1049	6	1
709	2	1	1051	2	1
719	2	1	1061	19	3
727	2	1	1063	2	1
733	5	1	1069	6	1
739	2	1	1087	2	1
743	2	1	1091	2	1
751	2	1	1093	281	28
757	141	14	1097	2	1
761	6	1	1103	2	1
769	58	4	1109	2	1
773	2	1	1117	2	1
787	2	1	1123	2	1
797	2	1	1129	6	1
809	2	1	1151	2	1
811	2	1	1153	290	31
821	13	3	1163	2	1
823	2	1	1171	2	1
827	2	1	1181	2	1
829	32	4	1187	2	1
839	2	1	1193	2	1
853	2	1	1201	72	7
857	2	1	1213	11	3
859	2	1	1217	2	1
863	2	1	1223	2	1
246
1229	2	1	1597	2	1
1231	2	1	1601	39	4
1237	20	2	1607	2	1
1249	35	2	1609	14	3
1259	2	1	1613	2	1
1277	8	2	1619	2	1
1279	2	1	1621	224	22
1283	2	1	1627	2	1
1289	4	1	1637	2	1
1291	2	1	1657	48	5
1297	463	40	1663	2	1
1301	96	6	1667	2	1
1303	2	1	1669	2	1
1307	2	1	1693	37	6
1319	2	1	1697	8	1
1321	203	18	1699	2	1
1327	2	1	1709	2	1
1361	4	1	1721	8	1
1367	2	1	1723	2	1
1373	2	1	1733	2	1
1381	54	4	1741	4	1
1399	2	1	1747	2	1
1409	103	11	1753	33	5
1423	2	1	1759	2	1
1427	2	1	1777	20	3
1429	10	2	1783	2	1
1433	6	1	1787	2	1
1439	2	1	1789	2	1
1447	2	1	1801	24	1
1451	2	1	1811	2	1
1453	71	11	1823	2	1
1459	4	1	1831	2	1
1471	2	1	1847	2	1
1481	4	1	1861	24	3
1483	2	1	1867	2	1
1487	2	1	1871	2	1
1489	10	2	1873	222	17
1493	2	1	1877	2	1
1499	2	1	1879	2	1
1511	2	1	1889	2	1
1523	2	1	1901	142	19
1531	2	1	1907	2	1
1543	2	1	1913	6	1
1549	2	1	1931	2	1
1553	63	8	1933	23	3
1559	2	1	1949	2	1
1567	2	1	1951	2	1
1571	2	1	1973	2	1
1579	2	1	1979	2	1
1583	2	1	1987	2	1
247
1993	15	1	2371	2	1
1997	2	1	2377	52	8
1999	2	1	2381	191	14
2003	2	1	2383	2	1
2011	2	1	2389	2	1
2017	105	7	2393	8	1
2027	2	1	2399	2	1
2029	12	3	2411	2	1
2039	2	1	2417	2	1
2053	13	2	2423	2	1
2063	2	1	2437	6	1
2069	2	1	2441	2	1
2081	27	3	2447	2	1
2083	2	1	2459	2	1
2087	2	1	2467	2	1
2089	24	3	2473	9	1
2099	2	1	2477	2	1
2111	2	1	2503	2	1
2113	72	6	2521	70	6
2129	2	1	2531	2	1
2131	2	1	2539	2	1
2137	11	1	2543	2	1
2141	2	1	2549	2	1
2143	2	1	2551	2	1
2153	2	1	2557	5	1
2161	213	22	2579	2	1
2179	2	1	2591	2	1
2203	2	1	2593	128	11
2207	2	1	2609	49	7
2213	2	1	2617	2	1
2221	4	1	2621	7	2
2237	2	1	2633	6	1
2239	2	1	2647	2	1
2243	2	1	2657	8	1
2251	2	1	2659	2	1
2267	2	1	2663	2	1
2269	52	9	2671	2	1
2273	9	2	2677	2	1
2281	14	1	2683	2	1
2287	2	1	2687	2	1
2293	8	2	2689	64	3
2297	4	1	2693	2	1
2309	2	1	2699	2	1
2311	2	1	2707	2	1
2333	12	3	2711	2	1
2339	2	1	2713	8	1
2341	72	8	2719	2	1
2347	2	1	2729	6	1
2351	2	1	2731	2	1
2357	2	1	2741	2	1
248
2749	2	1	3187	2	1
2753	39	8	3191	2	1
2767	2	1	3203	2	1
2ТП	2	1	3209	2	1
2789	2	1	3217	11	1
2791	2	1	3221	11	2
2797	12	2	3229	2	1
2801	97	13	3251	2	1
2803	2	1	3253	8	2
2819	2	1	3257	4	1
2833	10	2	3259	2	1
2837	2	1	3271	2	1
2843	2	1	3299	2	1
2851	2	1	3301	16	2
2857	13	1	3307	2	1
2861	72	10	3313	2125	190
2879	2	1	3319	2	1
2887	2	1	3323	2	1
2897	2	1	3329	10	1
2903	2	1	3331	2	1
2909	2	1	3343	2	1
2917	131	14	3347	2	1
2927	2	1	3359	2	1
2939	2	1	3361	422	28
2953	14	1	3371	2	1
2957	2	1	3373	6	1
2963	2	1	3389	2	1
2969	8	1	3391	2	1
2971	2	1	3407	2	1
2999	2	1	3413	2	1
3001	77	8	3433	15	1
ЗОН	2	1	3449	6	1
3019	2	1	3457	209	15
3023	2	1	3461	22	4
3037	18	2	3463	2	1
3041	12	1	3467	2	1
3049	6	1	3469	2	1
3061	18	3	3491	2	1
3067	2	1	3499	2	1
3079	2	1	3511	2	1
3083	2	1	3517	9	1
3089	21	2	3527	2	1
3109	2	1	3529	26	3
3119	2	1	3533	2	1
3121	405	36	3539	2	1
3137	26	5	3541	2	1
3163	2	1	3547	2	1
3167	2	1	3557	2	1
3169	56	2	3559	2	1
3181	4	1	3571	2	1
249
3581	8	2	4001	39	4
3583	2	1	4003	2	1
3593	2	1	4007	2	1
3607	2	1	4013	2	1
3613	5	1	4019	2	1
3617	8	1	4021	11	3
3623	2	1	4027	2	1
3631	2	1	4049	17	1
3637	27	5	4051	2	1
3643	2	1	4057	14	1
3659	2	1	4073	6	1
3671	2	1	4079	2	1
3673	24	1	4091	2	1
3677	2	1	4093	8	2
3691	2	1	4099	2	1
3697	52	5	4111	2	1
3701	2	1	4127	2	1
3709	6	1	4129	16	1
3719	2	1	4133	2	1
3727	2	1	4139	2	1
3733	39	3	4153	12	1
3739	2	1	4157	2	1
3761	76	6	4159	2	1
3767	2	1	4177	425	32
3769	2	1	4201	36	1
3779	2	1	4211	2	1
3793	24	3	4217	2	1
3797	2	1	4219	2	1
3803	2	1	4229	2	1
3821	6	2	4231	2	1
3823	2	1	4241	30	3
3833	2	1	4243	2	1
3847	2	1	4253	2	1
3851	2	1	4259	2	1
3853	192	21	4261	5	1
3863	2	1	4271	2	1
3877	6	1	4273	51	4
3881	8	1	4283	2	1
3889	542	38	4289	11	2
3907	2	1	4297	8	1
3911	2	1	4327	2	1
3917	7	2	4337	2	1
3919	2	1	4339	2	1
3923	2	1	4349	2	1
3929	6	1	4357	134	15
3931	2	1	4363	2	1
3943	2	1	4373	2	1
3947	2	1	4391	2	1
3967	2	1	4397	2	1
3989	2	1	4409	6	1
250
4421	36	6	4861	834	70
4423	11	2	4871	2	1
4441	12	1	4877	8	2
4447	2	1	4889	6	1
4451	2	1	4903	2	1
4457	2	1	4909	2	1
4463	2	1	4919	2	1
4481	54	4	4931	2	1
4483	2	1	4933	161	7
4493	2	1	4937	2	1
4507	2	1	4943	2	1
4513	12	1	4951	2	1
4517	2	1	4957	6	1
4519	2	1	4967	2	1
4523	2	1	4969	33	3
4547	2	1	4973	10	3
4549	2	1	4987	2	1
4561	61	9	4993	53	2
4567	2	1	4999	2	1
4583	2	1	5003	2	1
4591	2	1	5009	2	1
4597	2	1	5011	2	1
4603	2	1	5021	7	2
4621	164	18	5023	2	1
4637	2	1	5039	2	1
4639	2	1	5051	2	1
4643	2	1	5059	2	1
4649	8	1	5077	230	18
4651	2	1	5081	2	1
4657	14	2	5087	2	1
4663	2	1	5099	2	1
4673	180	16	5101	5	I
4679	2	1	5107	2	1
4691	2	1	5113	13	1
4703	2	1	5119	2	1
4721	50	7	5147	2	1
4723	2	1	5153	74	9
4729	2	1	5167	2	1
4733	2	1	5171	2	1
4751	2	1	5179	2	1
4759	2	1	5189	2	1
4783	2	1	5197	2	1
4787	2	1	5209	6	1
4789	2	1	5227	2	1
4793	2	1	5231	2	1
4799	2	1	5233	5	1
4801	268	24	5237	7	2
4813	2	1	5261	2	1
4817	12	2	5273	6	1
4831	2	1	5279	2	1
251
5281	177	14	5701	32	4
5297	2	1	5711	2	1
5303	2	1	5717	2	1
5309	2	1	5737	8	1
5323	2	1	5741	61	12
5333	2	1	5743	2	1
5347	2	1	5749	2	1
5351	2	1	5779	2	1
5381	2	1	5783	2	1
5387	2	1	5791	2	1
5393	2	1	5801	10	1
5399	2	1	5807	2	1
5407	2	1	5813	2	1
5413	14	3	5821	6	1
5417	2	1	5827	2	1
5419	2	1	5839	2	1
5431	2	1	5843	2	1
5437	14	3	5849	2	1
5441	639	53	5851	2	1
5443	2	1	5857	20	2
5449	2	1	5861	7	2
5471	2	1	5867	2	1
5477	2	1	5869	2	1
5479	2	1	5879	2	1
5483	2	1	5881	27	1
5501	7	2	5897	4	1
5503	2	1	5903	2	1
5507	2	1	5923	2	1
5519	2	1	5927	2	1
5521	738	66	5939	2	1
5527	2	1	5953	12	1
5531	2	1	5981	41	8
5557	2	1	5987	2	1
5563	2	1	6007	2	1
5569	90	8	6011	2	1
5573	2	1	6029	2	1
5581	27	5	6037	5	1
5591	2	1	6043	2	1
5623	2	1	6047	2	1
5639	2	1	6053	2	1
5641	11	1	6067	2	1
5647	2	1	6073	42	5
5651	2	1	6079	2	1
5653	2	1	6089	6	1
5657	2	1	6091	2	1
5659	2	1	6101	2	1
5669	2	1	6113	8	1
5683	2	1	6121	47	3
5689	10	1	6131	2	1
5693	2	1	6133	72	11
252
6143	2	1	6577	17	3
6151	2	1	6581	12	3
6163	90	6	6599	2	1
6173	2	1	6607	2	1
6197	2	1	6619	2	1
6199	2	1	6637	5	1
6203	2	1	6653	2	1
6211	2	1	6659	2	1
6217	11	1	6661	826	59
6221	2	1	6673	23	4
6229	23	2	6679	2	1
6247	2	1	6689	8	1
6257	4	1	6691	2	1
6263	2	1	6701	2	1
6269	2	1	6703	2	1
6271	2	1	6709	2	1
6277	2	1	6719	2	1
6287	2	1	6733	293	26
6299	2	1	6737	2	1
6301	23	3	6761	6	1
6311	2	1	6763	2	1
6317	2	1	6779	2	1
6323	2	1	6781	10	2
6329	8	1	6791	2	1
6337	112	6	6793	6	1
6343	2	1	6803	2	1
6353	2	1	6823	2	1
6359	2	1	6827	2	1
6361	21	2	6829	2	1
6367	2	1	6833	29	2
6373	48	5	6841	62	7
6379	2	1	6857	2	1
6389	2	1	6863	2	1
6397	4	1	6869	2	1
6421	31	5	6871	2	1
6427	2	1	6883	2	1
6449	1325	108	6899	2	1
6451	2	1	6907	2	1
6469	23	3	6911	2	1
6473	6	1	6917	2	1
6481	1122	87	6947	2	1
6491	2	1	6949	2	1
6521	4	1	6959	2	1
6529	54	6	6961	469	39
6547	2	1	6967	2	1
6551	2	1	6971	2	1
6553	100	6	6977	2	1
6563	2	1	6983	2	1
6569	2	1	6991	2	1
6571	2	1	6997	89	12
253
7001	10	1	7507	2	1
7013	2	1	7517	2	1
7019	2	1	7523	2	1
7027	2	1	7529	2	1
7039	2	1	7537	5	1
7043	2	1	7541	255	25
7057	51	3	7547	2	1
7069	2	1	7549	6	1
7079	2	1	7559	2	1
7103	2	1	7561	109	5
7109	2	1	7573	2	1
7121	11	1	7577	2	1
7127	2	1	7583	2	1
7129	151	15	7589	2	1
7151	2	1	7591	2	1
7159	2	1	7603	2	1
7177	17	1	7607	2	1
7187	2	1	7621	2	1
7193	2	1	7639	2	1
7207	2	1	7643	2	1
7211	2	1	7649	15	2
7213	5	1	7669	20	4
7219	2	1	7673	2	1
7229	2	1	7681	117	4
7237	2	1	7687	2	1
7243	2	1	7691	2	1
7247	2	1	7699	2	1
7253	2	1	7703	2	1
7283	2	1	7717	2	I
7297	22	2	7723	2	1
7307	2	1	7727	2	1
7309	4	1	7741	43	7
7321	16	1	7753	11	1
7331	2	1	7757	2	1
7333	22	4	7759	2	1
7349	2	1	7789	2	1
7351	2	1	7793	92	10
7369	12	3	7817	2	1
7393	53	2	7823	2	1
7411	2	1	7829	2	1
7417	15	1	7841	25	1
7433	2	1	7853	2	1
7451	2	1	7867	2	1
7457	8	1	7873	22	2
7459	2	1	7877	26	3
7477	19	3	7879	2	1
7481	6	1	7883	2	1
7487	2	I	7901	2	1
7489	112	9	7907	2	1
7499	2	I	7919	2	1
254
Таблица 4
Значения функции i(p)
(см. раздел 7.4)
i(2)	i(191) = 4	1(439)
i(3) = 0	i(193) = 4	i(443)
i(5) = 0	i(197) = 4	i(449)
i(7) = 0	i(199) = 4	1(457)
i(ll) = O	i(211) = 4	i(461)
i(13) = 0	i(223) = 8	1(463)
i(17)= 1	i(227) = 8	i(467)
i(19)=l	i(229)=8	i(479)
i(23) = 2	1(233) = 8	i(487)
i(29) = 2	i(239)=6	i(491)
i(31) = 2	i(241) = 5	1(499)
1(37) = 3	i(251) = 4	i(503)
i(41) = 2	i(257) = 4	i(509)
i(43) = 2	1(263) = 4	i(521)
i(47)=3	i(269) = 4	i(523)
i(53) = 2	i(271) = 4	i(541)
i(59) = 2	i(277) = 6	i(547)
1(61) = 2	i(281) = 4	i(557)
1(67) = 4	1(283) =5	i(563)
i(71) = 4	i(293) = 4	i(569)
1(73) = 4	1(307) = 5	i(571)
i(79) = 4	i(311) = 4	i(577)
i(83)=4	i(313)=5	i(587)
i(89)=4	i(317) = 5	1(593)
i(97) = 4	i(331)=4	1(599)
i(101) = 4	i(337) = 4	i(601)
i(103) = 4	1(347) = 4	i(607)
i(107) = 4	i(349) = 4	i(613)
i(109)=3	i(353) = 5	i(617)
i(l 13) = 4	i(359) = 6	i(619)
i(127) = 4	i(367)=5	i(631)
i(131) = 4	i(373) = 4	i(641)
i(137) = 4	1(379) = 6	i(643)
i(139)=5	i(383) = 4	i(647)
i(149) = 4	1(389) = 4	i(653)
i(151) = 4	i(397) = 4	i(659)
i(157) = 4	i(401) = 4	i(661)
i(163) = 4	i(409) = 4	i(673)
i(167) = 4	i(419) = 4	i(677)
i(173) = 4	i(421) = 4	i(683)
i(179) = 4	i(431) = 8	i(691)
i(181) = 4	1(433) = 8	i(701)
II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II II
255
II II II II II II II II II II II II II	II	II	II II II	II	II	II	II II II	II	II II II II II	II II II II II II II II II II II II II II II II
30^)^)Q0 00^)00 00 00 00\OQ0 00	00	00	00 00 00	00	00	00	00 00 00	00	00 00 00 00 00	00 00Q\00 00^)^)00 004O00 00 00 00 00 00
992
(£691)?	8 = (19£1)!	9=(l20l)?
(6991)?	8=(£Ш)?	9 =(6101)?
(£991)?	8 = (12£1)!	9 = (£101)?
(£991)?	8=(б1£1)?	9 = (6001)?
(£991)?	8=(£0£1)?	9 = (£66)?
(£,£91)?	8=(£0£1)?	9 =(166)?
(£291)?	8=(Ю£1)?	9 = (£86)?
(1291)?	8 = (£621)1	9 = (££б)?
(6191)?	8 = (1621)?	£=(1£б)?
(£191)?	8 = (6821)1	9 = (£96)?
(6091)!	8 = (£821)?	9 = (£96)?
(£091)?	8=(б£21)?	9 = (£V6)?
(1091)?	8 = (££21)?	£ = (И’б)?
(£691)?	9 = (6521)?	£ = (££6)?
(£891)?	9 = (6НI)?	8 = (626)!
(6£$I)?	9 = (££21)!	8 =(б1б)?
(l£9l)?	9 = (l£2l)?	8=(П6)?
(£991)?	9 = (6221)?	8 = (£06)?
(6991)?	9 = (£221)?	8 = (£88)?
(£991)?	£=(£121)?	8 = (£88)?
(6V9l)?	9 = (£121)?	8 =(188)?
(£Hl)?	9 = (1021)?	8 = (££8)!
(l£9l)?	£ = (£611)?	8 = (£98)?
(£2Sl)?	9 = (£8ll)?	8 = (698)!
(lI9l)?	£ = (1811)?	8 = (£98)?
(66VI)?	£ = (l£ll)?	8 = (£98)?
(£6Я)?	8= (£911)?	9 = (б£8)!
(68Н)?	8=(£9П)?	9 = (628)?
(£8Я)?	8 = (l9Il)?	9 = (£28)?
(£8Я)?	8 = (62ll)?	£ = (£28)?
(18Я)?	8 = (£211)?	9 = (128)?
(1£Я)?	8 = (£111)?	9 = (П8)!
(69Н)?	8 = (60П)?	9 = (608)!
(£SM)!	8 = (£011)?	9 = (£6£)?
(19Я)?	8 =(£601)!	9 = (£8£)?
(£Ж)?	8 =(£601)?	9 = (£££)?
(б£Я)?	8 =(1601)?	9 = (б9£)?
(££Я)?	8 = (£801)?	9=(19£)?
(62Я)?	8 = (6901)?	9 = (£9£)?
(£2Я)?	8 =(£901)?	9 = (19£)?
(£Ш)!	8 =(1901)!	9 = (£Я)!
(60Н)?	9 = (l90l)?	9 = (б££)?
(66£l)?	9 = (6ИИ)?	9 = (£££)?
(18£1)!	9 = (б£01)?	9 = (£2£)?
(£££!)?	£ = (££01)?	9 = (б1£)?
(£9£1)?	9 = (1£01)!	6 = (6О£)?
i(1697) = 8	i(2063) = 8	i(2399)= 11
i(1699) = 8	i(2069) = 8	i(2411)= 10
i(1709)=8	i(2081) = 8	i(2417)= 10
i(1721)=8	i(2083) = 8	i(2423) = 10
i(1723) = 8	i(2087) = 8	i(2437) = 10
i(1733) = 8	i(2089) = 8	i(2441) = 10
i(1741) = 8	i(2099) = 8	i(2447) = 10
i(1747)=8	i(2111) = 8	i(2459) = 10
i( 1753) = 8	i(2113)=8	i(2467) = 10
i(1759)=8	i(2129) = 8	i(2473) = 10
i(1777) = 8	i(2131) = 8	i(2477) = 10
i( 1783) = 8	i(2137) = 9	i(2503) = 10
i(1787)=8	i(2141)= 10	i(2521) = 9
i(1789) = 8	i(2143) = 8	i(2531) = 9
i(1801)=8	i(2153) = 8	i(2539) = 9
i(1811)=8	i(2161)=8	i(2543) = 8
i(1823) = 8	i(2179)=8	i(2549) = 8
i(1831) = 8	i(2203) = 8	i(2551) = 8
i(1847) = 9	i(2207) = 8	i(2557) = 8
i(1861)=8	i(2213)=8	i(2579) = 8
i(1867) = 8	i(2221) = 9	i(2591) = 8
i(1871)=7	i(2237) = 8	i(2593) = 8
i(1873) = 8	i(2239) = 8	i(2609) = 8
i(1877) = 7	i(2243) = 8	i(2617) = 8
i(1879) = 7	i(2251) = 8	i(2621) = 8
i(1889)=7	i(2267) = 9	i(2633)=8
i(1901)=8	i(2269) = 8	i(2647) = 8
i(1907) = 8	i(2273) = 8	i(2657) = 8
i(1913)=8	i(2281) = 8	i(2659) = 8
i(1931)= 8	i(2287) = 8	i(2663) = 8
i(1933)=8	i(2293) = 8	i(2671)=8
i(1949) = 8	i(2297) = 8	i(2677) = 8
i(1951) = 8	i(2309) = 8	i(2683) = 8
i(1973) = 8	i(2311) = 8	i(2687) = 8
i(1979)=8	i(2333) = 10	i(2689) = 8
i(1987) = 8	i(2339) = 10	i(2693) = 8
i(1993) = 10	i(2341)= 10	i(2699) = 8
i(1997)=9	i(2347) = 10	i(2707) = 8
i(1999)=8	i(2351)= 10	i(2711)=8
i(2003) = 8	i(2357) = 10	i(2713) = 8
i(2011)= 9	i(2371)= 10	i(2719)=8
i(2017)= 8	i(2377) = 10	i(2729) = 8
i(2027) = 9	i(2381)= 10	i(2731) = 8
i(2029) = 9	i(2383) = 10	i(2741)= 10
i(2039) = 8	i(2389)= 10	i(2749) = 8
i(2053) = 8	i(2393) = 10	i(2753) = 8
9 А. С. Карпенко
257
i(2767)=8	i(3041) = 8	1(332.9) = 8
i(2777) = 8	i(3049) = 8	i(3331)=8
i(2789) = 8	i(3O61) = 8	t(3343)=8
i(2791)= 9	i(3O67) = 9	i(3347) = 8
i(2797) = 8	i(3079)=8	i(3359) = 9
t(2801) = 8	i(3083) = 8	i(3361)=8
i(2803) = 8	i(3089) = 8	i(3371) = 8
i(2819)=8	i(3109) = 8	i(3373) = 8
i(2833) = 8	t(3119) = 8	i(3389) = 8
t(2837) = 8	i(3121)=8	i(3391)=8
i(2843) = 9	i(3137) = 8	t(3407) = 8
i(2851)=8	i(3163)= 10	i(3413)= 10
i(2857)= 10	i(3167) = 8	i(3433) = 8
i(2861)= 11	i(3169) = 8	i(3449) = 8
i(2879) = 8	i(3181)=8	i(3457) = 9
i(2887) = 8	i(3187) = 10	i(3461)=8
i(2897) = 8	i(3191)=8	i(3463) = 8
i(2903) = 8	i(3203) = 8	i(3467) = 8
t(2909) = 8	i(3209) = 8	i(3469) = 8
i(2917) = 8	i(3217) = 8	i(3491) = 8
i(2927) = 9	i(3221) = 8	i(3499) = 8
i(2939) = 8	t(3229)=9	t(35U) = 8
i(2953) = 9	i(3251) = 8	i(35I7)=8
i(2957) = 8	i(3253) = 9	i(3527) = 9
i(2963) = 8	i(3257) = 8	i(3529) = 8
i(2969) = 8	i(3259)=8	i(3533) = 8
i(2971) = 8	i(3271)=8	i(3539) = 8
i(2999) = 8	i(3299) = 8	i(3541)=8
i(3001)=8	i(3301)=8	i(3547) = 8
i(3011) = 8	t(3307) = 8	i(3557)= 10
i(3019) = 8	t(3313)=8	i(3559) = 9
i(3023) = 9	t(3319) = 8	i(3571) = 9
t(3037) = 8	i(3323) = 10	
ПРИЛОЖЕНИЕ:
Бесконечнозначная логика Лукасевича Loo
Бесконечнозначная логика Лукасевича L„ в силу своих свойств
имеет самое непосредственное отношение как к аксиоматизации,
так и к алгебраизации конечнозначных логик Лукасевича Ln. Инте-
ресно, что разрешимость в L„ может быть сведена к разреши-
мости в единственной логике 1п. Но наибольший интерес L„ пред-
ставляет как самостоятельная алгебраическая структура, исклю-
чительно богатая по своему содержанию и имеющая глубокие связи,
казалось бы, с совершенно отдаленными разделами математики.
Еще одно свойство L„ заключается в том, что она имеет только
одно предтабличное расширение. Эта новая логика совпала с
построенной нами ранее дискретной логикой Ъц, для которой обоб-
щенная фактор-семантика является точной моделью. Также пред-
лагается новая аксиоматизация импликативного фрагмента
логики L„, в основе которой лежит ВСК-логика, и доказывается
независимость этой аксиоматизации.
1.	Аксиоматизация
Бесконечнозначная логика Лукасевича является истори-
чески первым примером логики, в которой явно определено беско-
нечное (счетное или континуальное) множество истин-ностных
значений. Само понятие бесконечнозначной логики введено
Я.Лукасевичем в [Lukasiewicz 1929, § 6] (см. в особенности
[Lukasiewicz & Tarski 1930]). Обобщение конечнозначной логики
Лукасевича Ln (см. выше раздел 3.2) на бесконечнозначный случай
L„ не составляет труда, поскольку символ п не входит в опреде-
ление логических операций в . Поэтому равенства для отри-
цания ~ и импликации -> сохраняются, в качестве истинностных
значений для счетнозначной логики берется множество рацио-
нальных чисел из отрезка [0, 1], а для континуальной логики -
множество действительных чисел в отрезке [0, 1]. Полученную
матрицу обозначим посредством ЭИ :
[0,1]
259
9*
где ~ есть унарная и —> бинарная операции отрицания и импли-
кации соответственно, определенные на множестве [0,1] следую-
щим образом:
~х = 1-х,
х —> у = »нл(1, 1-х+у).
Операции дизъюнкции и конъюнкции вводятся, как и для Ln,
по определению:
х v у = (х -> у) -> у = тах(х, у),
х л у = ~(~х v ~у) = min(x, у).
Функция оценки (гомоморфизм) v формул пропозицио-
нального языка £ в матрицу 3W£, определяется аналогичным обра-
зом, как и для Ln. Формула А является тавтологией в матрице SW ,
если v(A) = 1 для любой функции оценки v в матрице SW £. Беско-
нечнозначная матричная логика Лукасевича L„ есть множество
тавтологий в SW
А.Линденбаум показал [Lukasiewicz & Tarski 1930, р. 141], что
как счетнозначная логика, так и континуальная логика Лукасевича
имеют одно и то же множество тавтологий. Следующий результат
принадлежит Я.Лукасевичу [Lukasiewicz & Tarski 1930, теорема 17
(с)]:
U= П Ln.
Кл<К0
Там же Лукасевич выдвинул гипотезу, что L» аксиоматизи-
руется с правилом подстановки и modus ponens посредством
следующих аксиом:
L 1(р —> q) —> ((q —> г) —> (р —> г))
L2. р -> (q -> р)
L3. ((р —> q) -> q) -> ((q -> р) -> р)
L4. (~р -> ~q) -> (q -> р)
L5. ((р -> q) -> (q -> р)) -> (q -> р).
Эта гипотеза была подтверждена М.Вайсбергом [Wajsberg
1935, р. 240], но доказательства не сохранилось. Позже оказалось,
что аксиома (L5) не является независимой. Различные доказатель-
260
ства этого факта были получены одновременно и независимо друг
от друга К.А.Мередитом [Meredith 1958] и Ч.Ч.Чэном [Chang
1958а]. Таким образом, аксиоматизация L„, получается из аксио-
матизации Ъ3 (см. раздел 2.4) посредством замены аксиомы (W4)
на аксиому (L3). Наконец, А.Роуз и Дж.Россер & Rosser
1958] опубликовали доказательство полноты (L1) - (L5) относи-
тельно ЗИ^. Таким образом, логическая матрица ЗИ^ является
характеристической для исчисления L„, т.е. L„ имеет бесконечную
характеристическую матрицу и, как показал А.Уркварт [Urquhart
1986, р. 84], для La, нет конечной характеристической матрицы.
Отметим, что предложенное доказательство полноты L„
весьма громоздко (45 страниц) и к тому же существенно опирается
на критерий Р.Мак-Нотона [McNaughton 1951] об определимости
операций в бесконечнозначной матрице Лукасевича ЗЛ^. Имея в
виду исключительную важность этой теоремы Мак-Нотона для
исследования свойств L^, приведем необходимую формулировку:
Функция	xk) определима в ЗИ^ посредством
функций ~ и —> т.т.т., когда:
(i)	f является непрерывной и 0 < (хь.., х*) < 1, где 0 <
х, < 1,1 =
(ii)	существует конечное число отличных друг от
друга полиномов 1ь ..., каждый из которых
имеет форму ky - b} + т}х} + ... + mkxk, где все b
и т - такие целые числа, что для каждого набора
(хь..., х*), 0 < х, < 1, / = 1, ..., к, существует j, 1 < j
< ц, такое, чтоf(x\,..., xk) = lj(xb...» xk);
(iii)	для произвольных x„ 0 < x, < 1, i = 1, ..., k имеют
место неравенства 0 <f(*\,..., xk) < 1.
У Р.Мак-Нотона доказательство не является конструктив-
ным, однако, имеется конструктивное доказательство этой теоремы
(см. [Mundici 1994]). Отметим, что уже не раз упоминавшаяся
работа Мак-Нотона положила начало исследованиям в области
непрерывных логик, под которыми понимается всякая бесконечно-
значная логика с непрерывным отрезком множества вещественных
чисел (см. [Кейслер & Чэн 1971] и [Волгин & Левин 1991]).
261
Как отмечается в [Aguzzoli & Ciabattoni 2000, р. 22], в
настоящее время L«, не имеет хорошо разработанной теории
доказательств1, хотя в литературе встречаются различные (секвен-
циальные) исчисления для Ъ„. Однако эти исчисления или не
являются аналитическими, т.е. содержат слишком мало инфор-
мации о конструкции доказательств в (см. [Takahasi 1970],
[Prijatelj 1996], [Ciabattoni & Luchi 1997]), или не являются
внутренними, т.е. требуют совершенно посторонних средств (см.
[Hdhnle 1994], [Mundici & Olivetti 1998], [Wagner 1999]). В свою
очередь в [Aguzzoli & Ciabattoni 2000] строится секвенциальное
исчисление для Ъ», позволяющее редуцировать понятие логиче-
ского следования в Ъет к тому же самому понятию в подходящих
конечных множествах логик Ъп. В результате исчисление является
аналитическим и имеет дело только с формулами логики. К тому
же все манипуляции при доказательстве являются синтаксиче-
скими и совсем не включают каких-либо алгебраических или
геометрических вычислений.
Также стоит добавить, что в указанной работе значительно
улучшается результат Д.Мундичи [Mundici 1987], впервые устано-
вившего, что проблема разрешимости в Ъ„ может быть
редуцирована к той же самой проблеме в подходящем множестве
логик Ъп. Усиление результата состоит в том, что общезначимость
формулы а в Ъ„ может быть проверена в точно одной конечно-
значной логике Ъп, и при том для п меньше 2#<a) + 1, где #(а)
обозначает общее число вхождений переменных в а.
А теперь несколько замечаний о применении Ъ». Исследо-
вания Р.Джайлс [Giles 1974, 1977] в поисках подходящей логики
для формализации физических теорий с неопределенными выска-
зываниями привели к весьма убедительной философской интер-
претации счетнозначной логики Лукасевича Ъ«„ которая имеет
(субъективный) вероятностный характер. В работе Дж. Пыкача
[Pykacz 1994] показана связь Ъ» с аксиоматикой квантовой меха-
ники. Особое место занимает Ъет в исследовании нечетких (fuzzy)
логик. Сама по себе нечеткая логика, построенная на основе неко-
торой теории нечетких множеств (см. [Кофман 1982]), является по
существу многозначной логикой. Поскольку в основе нечетких
1 Тем не менее заметим, что дня Ъ» сконструирован прувер [Beavers 1993 а].
262
множеств Заде [Zadeh 1965] лежит множество чисел в интервале
[О, 1], то это дало повод считать, что нечеткой логикой является
именно континуальная логика Лукасевича Ес. Например, Джайлс
[Giles 1976] утверждает, что Ем относится к теории нечетких
множеств точно так же, как классическая логика к обычной теории
множеств. Такого же мнения придерживается и Х.Скала [Scala
1978]. Моделированию нечетких и неопределенных рассуждений
посредством Е«, посвящена также значительная часть монографии
П.Хаека [Hajek 1998].
Уже привлечение весьма богатых «внешних» средств для
представления Е„ в виде исчислений говорит о необычайной
содержательной глубине этой логики. Еще больше об этом говорят
алгебраические исследования Е„, интерес к которым все более
возрастает.
2.	Алгебраизация
Целое направление в алгебраической логике было основано
работой Ч.Ч.Чэна [Chang 1958 b], в которой вводится понятие МК
алгебры. Основной целью Чэна была разработка алгебраического
аппарата, подходящего для изучения бесконечнозначной пропози-
циональной логики Лукасевича Ем, точно так же, как булева
алгебра стала инструментом для изучения свойств классической
пропозициональной логики. В итоге Чэн дает чисто алгебраи-
ческое доказательство полноты Ес (см. также [Chang 1959])2.
Многообразие, порожденное структурой <[0,1], Ф, О, 0, 1>,
называется MF-алгеброй, где
—iX = 1-Х,
хФу=-|Х—>у = лии(1, х+у),
х О у = —1(—iX Ф ->у) = max (0, х+у-1).
Аксиоматизация Л/Р-алгебры Ч.Ч Чэном содержит 22 тожде-
ства и была упрощена П.Мангани [Mangani 1973] до 9 тождеств
следующим образом. Алгебра А = <А, Ф, О, -i, 0, 1> есть MF-
алгебра т.т.т., когда она удовлетворяет следующим тождествам:
2 Идейная сторона доказательства Роуза и Россера о полноте Е» и доказатель-
ства Чэна рассматривается в статье Дж. Россера [Rosser 1960].
263
1.	х ® (у ® z) = (х ® у) ® z
2.	х®у = у®х
3.	х ® 0 = х
4.	х Ф 1 = 1
5.	->О= 1
6.	-1-iX = X
7.	х® -ix= 1
8.	—>(—iX © у) © у = -i(-iy ® х) ® х
9.	х 0 у = —>(—>х ® ->у)3.
Заметим, что аксиомы (1)-(3) устанавливают, что <А, ®, 0>
есть абелев моноид.
В языке Л/И-алгебр можно определить следующие операции:
х v у = (х 0 —>у) ® у,
X А у = (х ® ->у) 0 у.
Тогда для каждой А/И-алгебры редукт <А, v, л, 0, 1> есть
ограниченная дистрибутивная решетка.
Ч.Ч.Чэн показал [Chang 1958 b], что булева алгебра совпадает
с А/И-алгеброй, если в последней имеет место идемпотентность
х ® х = х. В свою очередь, Р.Григолия [Grigolia 1977] на основе
А/И-алгебры строит А/Ип-алгебры для изучения конечнозначных
логик Лукасевича Ln, откуда, например, следует, что алгебраи-
ческим примером Ъз является А/И-алгебра, если в последней имеет
место х ® х = х®х®х.
Примеры. Пусть G есть решеточно-упорядоченная абелева группа
(/-группа). Для каждого и е G, и > 0, пусть [0, и] = {х е G | 0 < х <
и}, и для каждого х, у е [0, и], пусть х ® у = и л (х + у), -ix = и - х,
1 = w = —>0 и х 0у = 0 v (х + у - и). Нетрудно видеть, что <[0, и],
®, 0, 0, 1> есть А/И-алгебра, которая обозначается T(G, и). Если G
= R (= аддитивная группа действительных чисел с естественным
3 Тождества (6) и (7) можно заменить на тождество -Л = 0 (см. [Cignoli &
Mundici 1998 а]).
264
порядком и и = 1, тогда T(R, 1) совпадает с Л/У-алгеброй [0, 1],
представленной выше.
Х.Бафф [Buff 1985] довел число тождеств до 4, на основе
новой операции —:
1.	х - 0 = х
2.	(х - у) -z = (х - z) -у
3.	х - (х - у) = у - (у - х)
4.	x — 1=0,
где х - у = -.(-ix Ф у), х Ф у = 1 - ((1 - х) -у)), -ix = 1 - х и
хОу = х- (1 - у).
Л/У-алгебра называется линейной т.т.т., когда определенное на
ней отношение частичного порядка х < у является также отноше-
нием линейного порядка:
х < у или у < х.
Главным алгебрическим результатом для логики является
Теорема представления Чэна. Каждая MV-алгебра изоморфна
подпрямому произведению линейно-упорядоченных MV-алгебр, т.е.
дефинициальным вариантам матриц Лукасевича для L„.
Таким образом, равенство имеет место во всех Л/У-алгебрах
т.т.т., когда оно имеет место во всех линейно-упорядоченных MV-
алгебрах.
Теорема полноты. Равенство имеет место в [0, 1] т.т.т., когда
оно имеет место в каждой MV-алгебре.
После доказательства полноты Чэном, являющегося
теоретико-модельным и использующим элиминацию кванторов,
появился целый ряд других доказательств: [Cignoli 1993], где
используется представление свободных абелевых /-групп; [Panti
1995], предложившем геометрическое доказательство; наконец, в
[Cignoli & Mundi ci 1997] дается доказательство теоремы Чэна о
полноте, требующем лишь элементарных знаний алгебры.
Изучение алгебраических свойств L„ шло и по-другому
направлению. Ю.Комори [Komori 1978, 1981] вводит понятие СУ-
265
алгебры* и в последней работе изучает их некоторые алгебраи-
ческие свойства, чтобы исследовать расширения (к этому
вопросу мы вернемся ниже). Систематическое изучение этих
алгебр под названием «алгебры Вайсберга» (W-алгебры) было
предпринято в [Rodriguez 1980]. Часть этих результатов опублико-
вана в [Font, Rodriguez, Torrens 1984], где показано, что W-
алгебры полиномиально эквивалентны А/К-алгебрам. Также в
[Rodriguez 1980] дана характеризация конечнозначных логик
Лукасевича Ъ„ посредством «-элементных алгебр Вайсберга.
Преимущество Л'-алгебр перед А/Калгебрами в том, что они
формулируются в терминах импликации —> и отрицания -> и
поэтому их логический смысл более ясен.
Алгебра А = <А,	1> есть Л^-алгебра т.т.т., когда она
удовлетворяет следующим тождествам:
1.	1 -»х = х.
2.	(х —у) —> ((у —> z) —> (х —z)) = 1
3.	((х -> у) -> у) = ((у -> х) -> х)
4.	(—iX -> -,у) -> (у -> х) = 1.
Доказательство эквивалентности А/К-алгебр и Л'-алгебр осно-
вано на следующих равенствах: х —> у - -ix Ф у, x©y = -ix—>уи
х О у = -i(x —> -пу). Поскольку в Л'-алгебре имеет место
xv у = (х —> у) —> у; х л у = -i(-ix v -пу); 0 = -п 1,
то < A, v, л, -1, 0, 1> есть алгебра де Моргана.
Примером Л^-алгебры является алгебра Линденбаума пропо-
зиционального исчисления L„. Другим примером является
матрица Яй^.
С другой стороны, алгебры Вайсберга могут быть получены
дуальным образом, если идти от ВСК-алгебр. Последние были
введены в [Iseki 1966] как алгебраический пример для ВСК-
логики, сформулированной К.А.Мередитом в 1956 г. (см. [Prior
1962, р. 316]):4 5
4 Напомним, что Лукасевичем импликация —> обозначается посредством С, а
отрицание ~ посредством N.
5 Однако еще ранее эта логика была выделена А.Тарским [Tarski 1936].
266
В. (q —> г) —> ((р —> q) —> (р —> г))
С. (р —> (q —> г)) —> (q —> (р —> г))
К. p->(q->p).
Правила вывода: modus ponens и подстановка.
Sex'-алгебрам посвящена огромная литература (см. обзор
результатов в [Ноо 1988]). А.Вроньский [Wrofaki 1983] показал,
что ВС^-алгебра не является многообразием, т.е. её нельзя задать в
виде одних тождеств. В [Tanaka 1975] было введено понятие
коммутативной Sex’-алгебры, а в [Yutani 1977] показано, что
коммутативная Sex’-алгебра является многообразием:
(1)	х*х = 0
(2)	х * 0 = х
(3)	(х * у) * z = (х * z) * у
(4)	х * (х * у) = у * (у * х).
Эта аксиоматика независима.
В [Istki & Tanaka 1978] развиты основные свойства ВСК-
алгебр и введено понятие ограниченной коммутативной ВСК-
алгебры, т. е. добавлена 1. Здесь показано, что ограниченная
коммутативная ХСХ"-алгебра образует дистрибутивную решетку, а
с условием
х = х ♦ (у ♦ х)
она есть булева алгебра.
Если к аксиомам коммутативной SCX^-алгебры добавить
аксиому
(5)	х* 1=0,
то получим аксиоматизацию ограниченной коммутативной ВСК-
алгебры [Traczyk 1979].
Заметим, что в [Rodriguez 1980] коммутативные Sex’-алгебры
выступают под названием «алгебры Сэйла». Из результатов этой
работы, а также из работы [Romanowska & Traczyk 1980] следует,
что ограниченная коммутативная Sex’-алгебра есть lF-алгебра. В
267
последней работе указанные алгебраические структуры изучались
как дуальные друг к другу.
Обратим внимание, что в уже упоминавшейся работе
Х.Баффа [Buff 1985] совершенно независимым образом была
введена ограниченная коммутативная ВСХ'-алгебра (под другим
названием)6 и доказана эквивалентность с Л/У-алгебрами Чэна.
Таким образом, Л/У-алгебры и ограниченные коммутативные ВСК-
алгебры эквивалентны. Специально этому вопросу посвящена
статья Д.Мундичи [Mundici 1986 а].
Перечисленные алгебраические структуры, эквивалентные
Л/У-алгебрам, отнюдь не единственные, а только лишь первона-
чально открытые. МУ-алгебры под названием «symmetric brick»
были переоткрыты В.Босбахом [Bosbach 1981] в формулировке
П.Мангани. Эта структура была получена в ходе исследования
определенных решеточно-упорядоченных групп (/-групп)7.
Начиная с фундаментальной работы Д.Мундичи [Mundici
1986 b], интерес к теории Л/У-алгебр повысился чрезвычайно в
силу глубоких связей, которые она имеет с абелевыми /-группами
(см. об этом [Nola & Lettieri 1994], а также [Cignoli & Mundici
1998 b]), AF С*-алгебрами, определенными регулярными коль-
цами, и т. д. Заметим, что AF С*-алгебры являются стандартным
инструментом для строгого описания спиновых систем в кван-
товой механике. Взаимоотношению указанных алгебраических
структур, а также ВСХ’-алгебрам посвящена статья Ч.С.Хоо [Ноо
1990] и работа [Cignoli & Mundici 1998 а]. Н.Г.Мартинез [Martinez
1990] доказал для ИЧшгебр теорему типа стоуновского
представления. Отметим также, что теории Л/У-алгебр посвящен
специальный выпуск журнала «Mathware & Soft Computing», 1995,
Vol. II, N 3. В предисловии здесь указывается (с приведением
соответствующей литературы) на глубукую связь теории Л/У-
алгебр с теорией нечетких множеств, аналогичную связи булевых
алгебр с обычной теорией множеств. См. также уже упоми-
навшуюся монографию П.Хаека [Hdjek 1998]. Наконец, упомянем
только что вышедшую книгу [Cignoli, D'Ottaviano, Mundici 2000],
целиком посвященную алгебраическому рассмотрению
бесконечнозначной логики Лукасевича.
6 Х.Бафф показал, что аксиома х • х = 0 выводима из остальных четырех.
7 О последних см. монографию В.М.Копытова [Копытов 1984].
268
3.	Дискретная логика Ls
В разделе 4.4 нами была предложена точная модель для
конечнозначных логик Лукасевича Ln, названная «фактор-
семантикой». Её особенностью является интерпретация истин-
ностных значений Ев соответствующими подмножествами T-F-
последовательностей. Возникает естественный вопрос об обобще-
нии подобной семантики на бесконечнозначный случай.
Пусть, как и ранее, В = {Т, F}, т. е. В есть множество класси-
ческих истинностных значений. Посредством Вк° обозначим
прямое произведение Ко раз одинаковых множеств, равных В:
В*° = В х В х ... х В (Ко сомножителей).
Поскольку В есть двухэлементное множество, то число эле-
ментов множества Вк° равно 2К°, т.е. мощность этого множества
есть континуум. Из этого множества выкинем те Т-F-последова-
тельности, в которых число вхождений Т, как и число вхождений
F, одинаково счетно. Полученное в результате множество,
обозначим его посредством Fin(<a), есть такое множество беско-
нечных T-F-последовательностей из Вк°, в которых или число
вхождений Т конечно (или равно 0), или число вхождений F
конечно (или равно 0). Очевидно, что мощность множества Fin(<o)
счетна. Элементы множества Fm(a) будем обозначать посред-
ством а, р, у с индексами или без них, но при этом обозначения
ат и aF указывают на то, что число вхождений Т или F конечно
(или равно 0).
Для любого a е Fin(a) пусть т|(а) есть конечное число вхож-
дений Т или Fea, такое, что
^(а) =
т, если а есть аТ
-т, если а есть aF,
где т, -т е Z (Z - множество целых чисел). Тогда asp, если
т|(а) = т](р) и Fin(a)/= есть фактор-множество по отношению
эквивалентности S.
Теперь элементы множества Fin(co)/= упорядочим естествен-
ным образом по числу нарастания вхождений Т для классов, где
269
число вхождений F бесконечно, и по числу убывания вхождений F
для классов, где число вхождений Т бесконечно. В результате
полученное множество чисел, представляющее классы эквивалент-
ности из Fin(o)/=, обозначим его посредством S, есть множество с
порядковым типом о + о*, т. е.
Е = {0+, 1,2,3,.......,-3,-2,-1,0’}.
Именно на этом пути была получена следующая логическая
матрица [Карпенко 1985]:
= <£, -J {0"}>.
Логические операции определяются так:
х —>
У~
0 , если х< у
у - х, если х> у,
где «-» есть операция арифметического вычитания, причем ~х0+ =
0'и~£0’ = 0+.
Нетрудно проверить, что все аксиомы бесконечнозначной
логики Лукасевича общезначимы в этой матрице, т.е. матрица
= <Е, ~£, —>£, {0~}> является дискретной моделью для L„.
Заметим, что эта модель является моделью без неподвижных точек
относительно отрицания, т.е. ~Ех х. Логику, для которой матрица
ЯЭТе является характеристической, обозначим посредством Ец.
Для этой логики имеет место фактор-семантика, которая
строится аналогично тому, как это было сделано для Е» (см. также
[Карпенко 1989]).
Рассмотрим следующую логическую матрицу
«/Н.)в	->L.	>, где
множество истинностных значений Fin(<i>)l= определено выше;
{|Т“|} есть множество выделенных значений, которое представляет
собой одноэлементное множество, состоящее из последователь-
ности, в которую входят только Т. Операции ~L и —>L на множе-
стве Fin(fa)fe. определяются следующим образом (здесь операции
-i+ и и+ - обычные булевы покомпонентные операции): для |а|, |р|
270
e Fin(a)/= пусть ~L|a| = |-i+a| и |a| —>L |P| = |a' o+ P'|, где a' e |a|, P'
e |p | и a' R p', причем отношение R на элементах 7чи(о) определя-
ется так: <аь ..., a«> R <ЬЬ ..., Ьш> т.т.т., когда
1)	Vi(a, = Т => b, = Т), если т|(ат) < Т|(рт) или а есть ат и р
есть pF,
2)	Vi(b, = F => a, = F), если T](aF) Л(Рр),
3)	Vi(b, = T => a, = T), если Т|(ат) > т|(рт) или а есть aF и 0
есть Рт,
4)	Vi(a, = F => b, = F), если r](aF) > Л(Рг)
Теорема 1. Матрицы = <£, ~х, -»х, {(Г}> и ЯИЛп(а,)= <Fin(co)/=,
~L, -»L, {|Г|}> изоморфны [Карпенко 1985], [Karpenko 1988].
Таким образом, истинностные значения матрицы 9П£ интер-
претируются определенными счетными подмножествами из
множества 7чи(о)/=. Например, число 3 обозначает счетное множе-
ство T-F-последовательностей, в которые Т входит по три раза в
каждую, а число вхождений F бесконечно. Соответственно, -3
обозначает счетное множество T-F-последовательностей, в которые
F входит по три раза в каждую, а число вхождений Т бесконечно.
В свою очередь, 0+ интерпретируется одноэлементным множеством
|F“|, а О-- одноэлементным множеством |Т“|.
Обратим внимание на следующий интересный результат
В.Л.Васюкова [Vasyukov 1993]: L„ полна относительно тернар-
ной семантики Крипке с оценкой в матрице ЯИе.
В [Карпенко 1997, с. 133] аксиоматизация Ее поставлена в
виде открытой проблемы. Теперь мы можем предложить её
решение.
Введем важное понятие, характеризующее логическое исчис-
ление L в терминах истинностных таблиц. Исчисление L' называ-
ется расширением исчисления L, если каждая доказуемая формула
L доказуема также в L', но не наоборот. Расширение L' называ-
ется собственным расширением исчисления L, если L' непротиво-
речиво, но содержит формулу, не выводимую в L. Исчисление L
называется предтабличным, если все его собственные расширения
табличны, т. е. являются конечно-значными логиками.
271
Еще А. Роуз [Rose 1953] показал, что мощность множества
всех собственных расширений бесконечнозначной логики Лукасе-
вича Ес, т.е. мощность множества всех логик между L„ и С2, явля-
ется счетной. Элементы этого множества будем называть .^-логи-
ками Р.Григолия [Григолия 1976] установил, что множество всех
s/-логик образует алгебру Рейтинга. Независимо от Григолия этот
результат был установлен также Ю.Комори [Komori 1981]. В
работе М.Биверса [Beavers 1993 b] было продолжено изучение
расширений Le, и дано некоторое сравнение результатов Роуза и
Комори.
Легко видеть, что наша логическая матрица ЯЛх есть не что
иное, как линейно-упорядоченная А/Калгебра Чэна, которую он
обозначает посредством С и приводит в качестве примера непред-
ставимой А/К-алгебры. Комори обобщает алгебру С на случай
8“ (n = 1, 2, 3,...), где 8“ как раз и есть С. Роузом было показано,
что каждая ^/-логика является конечно-аксиоматизируемой. Из
доказательства этой теоремы Комори можно извлечь следующую
характеристическую аксиому для 8“:
[(р -> (р -> ~р)] -> [(~Р -> р) -> (~Р v р)].
Таким образом, Ls есть расширение L„ за счет данной
аксиомы.
Как известно, интуиционистская пропозициональная логика
Н имеет континуум расширений [Янков 1968] и среди них ровно
три предтабличных [Максимова 1972]. Естественно возникает
вопрос о предтабличных расширениях логики Лукасевича Loo. Из
работы Биверса [Beavers 1993 b, р. 261] следует, что существует
только одно предтабличное расширение L„ и это есть логика Lx.
4.	ВСКХ - независимая аксиоматизация
импликативного фрагмента Ъ«,
Вопрос об импликации Лукасевича, начиная с появления
трезначной логики L3, всегда оставался темой обсуждения и в
связи с этим интересно по своей простоте замечание, высказанное
в [Doming, Trilles, Valverde 1981, р. 233], что импликация Лукасе-
вича —> была введена из-за того факта, что естественное обоб-
272
щение классической булевой операции в многозначной логике не
удовлетворяет принципу идентичности: х —> х = 1 для всех х е
[О, 1].
А.Роуз [Лоле 1956а], а затем независимым образом Р.Мейер
[Л/еуег 1966] показали, что импликативный фрагмент беско-
нечнозначной логики Лукасевича L,„ аксиоматизируют формулы
В’, К, D, L:8
В’. (р -> q) -> ((q -> г) -> (р г))
К. р —> (q —> р)
D. ((р -> q) -> q) -> ((q -> р) -> р)
L. ((р —> q) —> (q —> р)) -> (q -> р).
Заметим, что это все чисто импликативные формулы из
аксиоматизации предложенной Лукасевичем9.
В работе [Meyer & Parks 1972] при аксиоматизации имплика-
тивного фрагмента логики RM (см. [Anderson & Belnap 1975])
появляется формула
((((p->q)->q)->p)->r)->(((((q->p)->p)->q)->r)->r),
которую обозначим посредством X.
Учитывая то значение, которое сейчас придается ВСК-логи-
кам и ВСК-алгебрам (см. выше), несомненно представляет интерес
аксиоматизация посредством В, С, К, X, где, напомним,
аксиома В есть
(q —> г) —> ((р —> q) —> (р —> г)).
8 См. также [Woiniakowska 1978], где аксиоматизируется посредством К, D
и ((р -> q) -> (Р -> г)) -> ((q ->• р) -> (q -> г)).
9 В последующей статье Роуз [й<ме 1956b] дал аксиоматизацию импликативных
фрагментов Ln~> конечнозначных логик Лукасевича Ln: к добавляется
аксиома (pk'' —> q) —> р) —> р, где k есть натуральное число больше чем 1, т.е.
аксиоматизация получается за счет последовательного ослабления закона
Пирса. В [Карпенко 1997а, с. 125] (см. также [Karpenko 2000]) при построении
решетки фундаментальных импликативных логик в качестве следствия полу-
чаем более естественную аксиоматизацию Ln~>: к добавляется аксиома
(р —>k q) —► (р —Л1 q). При к = 2 эта аксиома совпадает с законом сокращения
W.
273
Доказуемость формулы А будем обозначать посредством НЛ.
Сами доказательства будем записывать способом, предложенным
Я.Лукасевичем [Lukasiewicz 1929], однако в наших обозначениях.
Каждый доказанный тезис будет иметь свой номер и предшест-
вующую строку доказательства, которая состоит из двух частей,
разделенных звездочкой *. Слева стоит формула (или ее номер), в
которую произведена подстановка и которая является большей
посылкой. Справа указывается меньшая посылка, которая также
может быть получена за счет подстановки. Результат применения
modus ponens указывается посредством тире, затем указывается
номер формулы, после чего вся строка заканчивается запятой, а
доказанная формула точкой.
Теорема 2. ВСКХ = B'KDL [Karpenko & Popov 1997].
Утверждение 1. В, С, К, X Н В’, D, L.
1.	(q—> г) —> (( р —> q) —> (р —> г)) (=В).
2.	(р ->(q ->г)) ->(q ->(р ->г)) (= С).
3.	р —> (q —> р) (=К)
4-	((((p->q)->q)->p)->r)_>(((((q->p)->p)_>q)->O_>r) (= X).
2 г/р * 3 - 5,
5.	q —> (р —> р).
5 q/p->(q->p) * 3 - 6,
6.	р->р.
3 р/р->р, q/q->p * 6 - 7,
7-	(q->р)->(р->р)
2 p/q->p, q/p, r/p ♦ 7 - 8,
8	р->((q->р)->р).
1 q/p, r/(q->p)->p, p/(p->q)->q * 8 - 9,
9	(((p->q)->q)->p)->-D.
2 p/q->r, q/p->q, r/p->r * 1 - 10,
274
10.	(p—>q)—>((q—>r)—>(p—>r)) (=B*).
10 q/(q—>p)—>p, r/q * 8 - 11,
11.	(((q—>p)—>p)—>q)—>(p—>q).
2 p/q->p, r/p * 6 p/q->p - 12,
12.	q->(q->p)-»p).
1 r/(q->p)->p, p/(p->q)->q) * 12 - 13,
13.	(((p—>q)—>q)—>q)->(((p—>q)—>q)->((q-^p)-*p)).
i q/((p->q)->q)->q> r/D, p/p->q * 13 -14,
14.	((p—>q)—>(((p—>q)~>q)—>q))—>((p—>q)—>D).
14 * 12 q/p—>q, p/q - 15,
15.	(p—>q)~>D.
1 q/p—>q, r/D, p/((q—>p)—>p)—>q *15-11-16,
16.	(((q—>p)—>p)—>q) —>D.
4 r/D * 9 - 16 - 17,
17.	((p—>q)—>q)—>((q—>p)—>p) (=D)10.
3 p/(((p->q)->q)-*p)-*(q-^p), q/(p->q)-*(q-*p) *
11 q/p, p/q - 18,
18.	((p->q)->(q->p))-*((((p->q)->q)-*p)^(q->p)).
1 p/(p->q)-*(q-*p), q/((p->q)-*q)-*p), r/q-»p * 18 - 19,
19.	(((p—>q)—>q)—>p)—>L.
2 q/((q->p)->(p—>q))->(p—>q), r/L, p/((q->p)->p)~>q *
11 p/q—>p, q/p->q - 19 p/q, q/p - 20,
20.	(((q—>p)—>p)—>q)—>L.
4 r/L* 19-20-21,
21.	((p—>q)—>(q—>p))—>(q—>p) (= L).
10 Другое доказательство В, С, К, X HD имеется в [Slaney & Bunder 1994].
275
Утверждение 2. В', К, D, L Н С, В, X.
1.	(р -> q) -> ((q-> г) -> (р -> г)) (=В').
2.	p-»(q-»p) (=К).
3.	((р-» q)-» q)-» ((q-> р)-» р) (= D).
4.	((р—>q)—>(q—>p))->(q—>р) (= L).
1 q/(q—>р)—>р, r/(p->q)->q * 2 q/q->p - 3 p/q, q/p - 5,
5-	p-*((p->q)->q).
1 p/q, q/(q-»r)-»r, r/p->r * 5 p/q, q/r - 6,
6-	(((q->O->r)->(p->r))-»(q->(p->r)).
1 p/p—>(q->r), q/((q->r)->r)—>(p->r), r/q—>(p—>r) *
1 q/q->r - 6 - 7,
7.	(p-»(q-»r))-»(q-»(p-»r)) (=C).
7 p/p—>q, q/q—>r, r/p-»r * 1 - 8,
8.	(q-> r)-» (( p-» q)-»(p-» r)) (=B).
8 q/((q-»p)->(p—>q)), r/p->q, p/r-»(p->q) 4-9,
9.	((r->(p^q))->((q->p)->(p^q)))->((r->(p^q))->(p^q)).
1 p/q-»(p-»r), q/(r->(p->q))->((q-»p)—>(p->q)),
r/(r—>(p->q))—>(p->q) * 1 p/q-»(p-»r), q/r, r/p->q -
9-10,
10.	((q->p)->r)—>((r-»(p—>q))-»(p—>q)).
1 p/(q-»p)-»r, q/(r->(p->q))->(p->q), r/((p->q)-»r)->r *
10-3 p/r, q/p->q - 11,
11.	((q->p)->r)->(((p->q)->r)->r).
7 p/(p->q)—>q, q/q-»p, r/p * 3 - 12,
276
12.	(q—>p)—>(((p—>q)—>q)—>р).
1 p/q->p, q/((p—>q)—>q)->p * 12 - 13,
13.	((((p—>q)—>q)~>p)~>r)—>((q—>p)~>r).
1 p/(((p->q)->q)->P)->r> q/(q->p)->r, r/(p—>q)->r *
13- 11 - 14,
14.	((((p—>q)—>q)~>p)~>r)—>(((p—>q)—>r)—>r).
7 p/(((p->q)->q)-^p)->r, q/(p->q)->r * 14 - 15,
15.	((p—>q)—>r)—>(((((p—>q)—>q)—>p)—>r)—>r).
1 p/(((q~>P)->P)->q)->r, q/(p->q)->r,
r/((((p->q)->q)->p)->r)->r * 13 p/q, q/p - 15 - 16,
16.	((((p->q)—>q)->p)->r)->(((((q->p)->p)—>q)->r)-^r) (= X).
Таким образом, теорема 2 доказана.
Теорема 3. ВСКХ является независимой аксиоматизацией
Доказательство независимости производится матричным
методом, причем используемые матрицы должны быть нормаль-
ными в смысле Лукасевича-Тарского [Lukasiewicz & Tarski 1930],
т. е. они должны верифицировать правило modus ponens.
Матрица 1.
	0	12	3	4
0 1 2 3 ’4	4	4	4	4	4 3	4	4	3	4 3	2	4	3	4 2	12	4	4 0	12	3	4
Матрица верифицирует С, К, X и фальсифицирует В: q=0, г=1,
р=2.
277
Матрица 2.
—>	0	12	3
0 1 2 *3	3	3	3	3 13	3	3 12	3	3 0	12	3
Матрица верифицирует В, К, X и фальсифицирует С: р=1, q=2,
г=0.
Матрица 3 [Sobocinski 1952]
—>	0	1	2
0 *1 *2	2	2	2 0	1	2 0	0	2
Матрица верифицирует В, С, X и фальсифицирует К: р=1, q=2.
Матрица 4 [Heyting 1930]
0
1
*2
О	1	2
2	2	2
0	2	2
О	1	2
Матрица верифицирует В, С, К и фальсифицирует X: р=1, q=0,
г=1.
Таким образом, Теорема 2 доказана.
Обратим внимание, что матрица 1 и матрица 2 получены с
помощью компьютерной программы MaGIC [Slaney & Meglicki
1991].
В заключение одно краткое замечание об алгебраизации L«,
Для логиков представляет интерес алгебра ВСК*, дуальная к ВСК-
алгебре, т.е. с понятиями у —> х и 1 вместо х * у и 0, соответст-
венно. Тогда коммутативная ВСА*-алгебра с дополнительным
тождеством
278
(х -> у) -> (у -> х) = (у -> х)
является алгебраической версией импликативного фрагмента
бесконечнозначной логики Лукасевича Ъ» (см. [Paiasinski &
Wronski 1986, р. 89]). В свою очередь, для алгебраистов
выглядит как многообразие резидуированных подредуктов пози-
тивных конусов решеточно-упорядоченных абелевых групп
[Bosbach 1974].
Эпилог
(единственный в своем роде)
Появление и особенно дальнейшее развитие многозначных
логик принесло Я.Лукасевичу мировую славу и известность.
Сейчас можно утверждать, что как исследование конечнозначных
логик Лукасевича, так и исследование их обобщений на бесконеч-
нозначный случай, стало двумя отдельными направлениями в
современной символической логике. К концу второго тысячелетия
интерес к этим феноменам логической науки только возрастает, и
связано это в первую очередь с совершенно неожиданным выхо-
дом в области, казалось бы не имеющими никакого отношения к
логике. И тогда возникает вопрос, а что же на самом деле есть
Логика?
Лукасевич, конечно, ничего этого предполагать не мог, хотя
свое открытие многозначных логик оценивал исключительно
высоко. Как минимум пять раз он ставил этот результат на
уровень создания неэвклидовых геометрий. Впервые это было
сделано в Варшавском университете на торжественном открытии
1922/23 учебного года при произнесении ректорской речи: «Трех-
значная система логики, первые наметки которой мне удалось
создать в 1920 г., отличается от обычной, до сих пор известной
двузначной логики в неменьшей степени, нежели системы неэвк-
лидовой геометрии отличаются от эвклидовой геометрии» (см.
[Лукасевич 1993, с. 204]). Впервые в печати подобная оценка
появилась на польском языке в 1929 г. и не где нибудь, а в курсе
лекций «Элементы математической логики», где мы находим
следующее утверждение: «Отношение многозначных логик к
двузначной логике напоминает отношение неэвклидовой геомет-
рии к геометрии Эвклида» [Lukasiewicz 1929, s. 69]. А в
следующем году на французском, языке при обсуждении философ-
ского значения многозначных систем пропозициональной логики:
«Для меня было ясно с самого начала (курсив мой. - А.К.), что
среди всех многозначных систем только две могут претендовать на
философское значение: трехзначная и бесконечнозначная
системы». И далее: «Мне кажется, что философское значение
систем логики, рассмотренных здесь, может быть, по крайней
мере, также высоко, как значение неэвклидовых систем геомет-
280
рии» (см. [Lukasiewicz 1970 а, р. 173 и р. 176]). Это было подтвер-
ждено в 1937 г. в статье на польском языке «В защиту логистики.
Западное католическое мышление и современная логика»: «... с
существованием систем многозначной логики мы должны сегодня
считаться в такой же степени, как, например, с существованием
систем неэвклидовой геометрии» (см. [Лукасевич 1999, с. 229]).
Наконец, это же было провозглашено на международной
конференции «Основания и методы математических наук», состо-
явшейся в Цюрихе в 1938 г.: «Эти различные формы многозначной
пропозициональной логики находятся более или менее в том же
самом отношении к классическому двузначному пропозициональ-
ному исчислению, как различные системы неэвклидовой геомет-
рии находятся к эвклидовой» (см. [Lukasiewicz 1970 b, р. 293]).
Именно здесь во время дискуссии свойства трехзначной логики
были подвергнуты наиболее серьезной критике. И правда, эта
логика оказалась слишком необычной: не только закон исключен-
ного третьего, но и закон непротиворечия не имеют в ней места.
Не ответив ни одному из своих критиков, Лукасевич как
минимум дважды отказался от своего главного научного дости-
жения. Первый раз в 1953 г. при создании новой модальной
логики, являющейся четырехзначной и которую он назвал «Ъ-
модальной логикой». Эта логика получается посредством
умножения двузначной матрицы классической логики саму на
себя. Отсюда все законы классической логики остаются в силе и
остается только определить четырехзначные модальности. Также
рассмотрено обобщение на бесконечнозначный случай. «Когда я
открыл в 1920 г. трехзначную систему логики, я назвал третье
значение, обозначенное посредством ’/г, как "возможность". Позже,
после создания мною и-значных модальных систем, я думал, что
только две из них могут быть философски значимы, а именно 3-
значная и К0-значная система. Ибо мы можем допустить, аргумен-
тировал я, что или возможность не имеет степеней совсем, отдав,
таким образом, предпочтение 3-значной системе, или она имеет
бесконечно много степеней, как в теории вероятностей, и тогда мы
приходим к No-значной системе. Это мнение, как я сегодня вижу,
было неправильным» (см. [Lukasiewicz 1970 с, р. 370-371]). Еще
более резкое отрицание всего предыдущего было сделано
Лукасевичем при расширенном издании его книги об аристо-
281
телевской силлогистике, которая вышла уже после смерти автора в
1957 г.: «Если мы вместе с Аристотелем допустим, что некоторые
будущие события, например, морское сражение, случайны, то
предложения о таких событиях, высказанные сегодня, не могут
быть ни истинными, ни ложными, а поэтому следует иметь третье
значение истинности, отличное от 1 и 0. На основе этой идеи и с
помощью матричного метода, с которым я познакомился через
Пирса и Шредера, я построил в 1920 году трехзначную систему
модальной логики, развитую позднее в статье 1930 года. Сегодня я
вижу, что эта система не удовлетворяет всем нашим интуитивным
пониманиям модальностей и должна быть заменена описанной
ниже системой. Я стою на той точке зрения, что в любой
модальной логике должно быть сохранено классическое
исчисление предложений. До сих пор это исчисление проде-
монстрировало свою надежность и полезность, и оно не должно
быть отвергнуто без достаточно веских оснований». И далее,
заключительный аккорд: «Явсегда думал (курсив мой. - А.К.), что
только две модальные системы обладают возможным философ-
ским и научным значением: простейшая модальная система, в
которой возможность рассматривается как вообще не имеющая
степеней, то есть наша четырехзначная модальная система, и По-
значная система, в которой имеется бесконечно много степеней
возможности» (см. [Лукасевич 1959, с. 233 и 249-250]).
Остается только добавить, что L-модальная логика (вместе с
её No-обобщением) не получила в дальнейшем сколь-нибудь
интересного развития, в логическом мире почти неизвестна и
оказалась еще менее интуитивно приемлемой, чем трехзначная
логика Ъз.
ЛИТЕРАТУРА*
Введение
[Карпенко А.С. 2000] Логика на рубеже тысячелетий // Логические
исследования. Вып. 7. М.: Наука. С. 7-60.
Гл. 1
[Биркгоф Г. 1952] Теория структур. М.: ИЛ. (Перевод с англ.: Birkhoff
G. Lattice theory (revised edition). N.Y., 1948).
[Владимиров Д. A. 1969] Булевы алгебры. М.: Наука.
[Гретцер Г. 1982] Общая теория решеток. М.: Мир. (Перевод с англ.:
Gratzer G. General lattice theory. Berlin: Springer-Verlag, 1978).
[Кузнецов A. B. 1960] Алгебра логики. Философская Энциклопедия.
Т. 1. М. С. 33-38.
[Мендельсон Э. 1976] Введение в математическую логику. М.: Наука.
[Чёрч А 1960] Введение в математическую логику. М.: ИИЛ. (Перевод с
англ.: Church A. Introduction to Mathematical Logic. Princeton Univ.
Press, 1956).
[Яглом И. M. 1980] Булева структура и ее модели. М.: Наука.
[Balbes R. & Dwinger Ph. 1974] Distributive lattices. Columbia (Miss.).
[Boole G. 1847] The mathematical analysis of logic, being an essay towards a
calculus of deductive reasoning. Cambridge. (Переиздано: Oxford-
N.Y., 1948).
[Burris S. & Sankappanavar H.P 1981]. A course in universal algebra.
Berlin: Springer-Verlag.
[Frege G. 1879] Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete
Formalsprache des reinen Denkens. Hale (Hebert). (Англ, перевод:
Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for
pure thought. In: [van Heijenoort J. (ed.) 1967]. P. 1-82).
[Herbrand J. 1930]. Recherches sur la theorie de la demonstration // Travaux
de la Soc. des Sci. et des Lettres de Varsovie III. Vol. 33. P. 33-160.
[Kalman J. A. 1958] Lattice with involution // Transactions of American
Mathematical Society. Vol. 87. P. 485-491.
[Lukasiewicz J. & Tarski A. 1930] Untersuchungen (iber den Aussagenkalkiil
U Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres
de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 1-21. (Англ, перевод: Investigations
1 В список включена только та литература, на которую в тексте имеются ссылки
283
into the sentential calculus. In: Lukasiewicz J. Selected works.
Vfaxszxwa: PWN, 1970. P. 131-152).
[Moisil G. C. 1935] Recherches sur I’algebre de la logique // Annales Sci. de
I'Univ, de Jassy. Vol. 22. P. 1-117.
[Monk J. D. (ed.) 1989] Handbook of Boolean Algebras. Vols. I-III. Amster-
dam: North-Holland Co.
[Mukaidano M. 1981] A set of independent and complete axioms for a fuzzy
algebra (Kleene algebra) // International Symposium on multiple-valued
logic. 11th. Oklahoma. P. 27-34.
[Post E. L. 1921] Introduction to a general theory of elementary propositions
!I American Journal of Mathematics. Vol. 43, N 3. P. 163-185. (Пере-
издано: In: [van Heijenoort J.(ed.) 1967]. P. 264-283).
[Rasiowa H. 1974] An Algebraic Approach to Non-classical Logics.
Warszawa: PWN.
[Stone M. H. 1936] The theory of representations for Boolean algebras //
Transactions of the American Mathematical Society. Vol. 40. P. 37-111.
[van Heijenoort J. (ed.) 1967] From Frege to Gddel: A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-193L Cambridge (Mass.): Harvard Univ.
Press.
[Whitehead A. & Russell B. 1910-1913] Principia Mathematica. Cambridge
(England): Univ. Press. (Переиздано: Cambridge, 1962).
Гл. 2
[Аншаков О. M. & Рычков С. В. 1982] О многозначных логических
исчислениях // Семиотика и информатика. Выл. 19. М. С. 90-117.
[Аншаков О. М. & Рычков С. В. 1984] Об одном способе формализации и
классификации многозначных логик II Там же. Выл. 23. С. 78-106.
[Аристотель 1978] Сочинения. Т. 2. М: Мысль.
[Биркгоф Г. 1984] Теория решеток. М.: Наука. (Перевод с англ.: Birkhoff
G. Lattice Theory. Providence: Rhode Island, 1967).
[Бочвар Д. A 1938] Об одном трехзначиом исчислении и его применении
к анализу парадоксов классического расширенного функциональ-
ного исчисления И Математический сборник. Т. 4, № 2. С. 287-308.
(Англ, переводе: History and Philosophy of Logic, 1981. Vol. 2).
[Гретцер Г. 1982] Общая теория решеток. М: Мир. (Перевод с англ.:
Gratzer G. General lattice theory. Berlin: Springer-Verlag, 1978).
[Григолия P. Ill 1987] Свободные алгебры неклассических логик.
Тбилиси: Мецниереба..
[Карпенко А. С. 1990] Фатализм и случайность будущего. Логический
анализ. М.: Наука.
284
[Карпенко А. С. 1993] Ян Лукасевич: детерминизм и логика // Логические
исследования. Вып. 2. М.: Наука. С. 206-223.
[Карпенко А. С. 1995] Логика, детерминизм и феномен прошлого //
Вопросы философии. № 5. С. 72-81.
[Карри X. 1969] Основания математической логики. М.: Наука, (перевод
с англ.: Сишу Н.В. Foundations of Mathematical Logic. New York:
McGraw-Hill Book Company).
[Клини С. K. 1957] Введение в метаматематику. M.: НИЛ. (перевод с
английского: Kleene S.C. Introduction to Metamatematics. New York:
D. Van Nostrand Company).
[Комендантский В. E. 2000] N-значные изоморфы классической логики
(дипломная работа).
[Котарбиньский Т. 1963] Избранные произведения. М.: ИЛ.
[Лукасевич Я. 1959] Аристотелевская силлогистика с точки зрения
современной формальной логики. М.: ИЛ.
[Лукасевич Я. 1993] О детерминизме И Логические исследования. Вып. 2.
М.: Наука. С. 190-205. (Переиздано: Вопросы философии, 1995, №
5. С. 60-71; Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М.:
РОССПЭН, 1999. С. 179-198).
[Павлов С. А. 1998] Логика ложности как обобщение трехзначной логики
Лукасевича // Логические исследования. Вып. 5. М.: Наука.
С. 206-220.
[Расёва Е. & Сикорский Р. 1972] Математика метаматематики. М.:
Наука. (Перевод с англ.: Rasiowa Н. & Sikorski R. The Mathematics of
Metamathematics. Warszawa: PWN, 1963).
[Рача M. Ф. 1969] О классе функций трехзначной логики, соответствую-
щем первой матрице Ясысовского // Проблемы кибернетики. Вып.
21. С. 185-214.
[Слупецкий Е. 1974] Несколько замечаний о многозначных логиках Яна
Лукасевича // Философия и логика. Философия в современном мире.
М.: Наука. С. 177-187.
[Сметанич Я. С. 1960] О полноте исчисления высказываний с
дополнительной операцией от одной переменной // Труды Москов-
ского математического общества. Т. 9. С. 357-371.
[Финн В. К 1974] Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений
высказываний и их алгебр И Философия в современном мире:
Философия и логика. М. С. 398-438.
[Чёрч А. 1960] Введение в математическую логику. М.: ИИЛ. (Перевод с
англ.: Church A. Introduction to Matmetical Logic. Princeton Univ.
Press, 1956).
[Эсакиа Л. Л. 1985] Алгебры Рейтинга 1. Теория двойственности.
Тбилиси: Мецниереба.
285
[Abad M. & Figalla A. 1984] Characterization of three-valued Lukasiewicz
algebras // Reports on Mathematical Logic. N. 18. P. 47-59.
[Anshakov O. & Rychkov S. 1994] On finite-valued propositional logical cal-
culi // Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 36, N 4. P. 606-629.
[Aqvist L. 1962] Reflexions on the logic of nonsense U Theoria. Vol. 28.
P. 138-157.
[Bechio D. 1978] Algebres de Heyting, algebres de Brouwer et algebres tri-
valentes de Lukasiewicz H Logique et Analyse. An. 21, N 82-83.
P. 237-248.
[Blyth T. S. & Janowith M. F. 1972] Residuation theory. Oxford: Pergamon
Press.
[Bochenski J. M. 1949] Review of K.Klosak. Theoria indeterminizmu
ontologicznego a trojwartosciowa logica zdan prof. Jana Lukasiewicza //
The Journal of Symbolic Logic. Vol. 14. P. 263.
[Bole L. & Borowik P. 1992] Many-valued logics: Theoretical foundations.
Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag.
[Chapman T. 1972] On new escape from logical determinism // Mind. Vol.
81. N 324. P. 597-599.
[Cignoli R. 1982] Proper «-valued Lukasiewicz algebras as S-algebras of
Lukasiewicz л-valued proposional calculi 11 Studia Logica. Vol. 41,
Nl.P. 3-16.
[Cignoli R. & Monteiro A. 1965] Boolean elements in Lukasiewicz algebras.
III I Proceedings of Japan Academy. Vol. 41. P. 676-680.
[Curry H. 1941] Review of [Lukasiewicz J. 1941] // Mathematical Reviews.
Vol. 2. P. 338-339.
[Epstein R.L. 1990]. The semantic foundations of logic. Vol. 1: Propositional
logic. Dordrecht: Kluwer. (2nd ed. 1995).
[Haack S. 1974] Deviant logic. Cambridge.
[Heyting A. 1930] Die Formalen Regeln der intuitionistischen Logik I I
Sitzungsberichte der Preussischen Academic der Wissenschaften zu
Berlin. Phys.-Math. Klasse. P. 42-56.
[Iturrioz L. 1976] Les algebres de Heyting-Brouwer et de Lukasiewicz triva-
lente II Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 17/N 1. P. 119-126.
[Iturrioz L. 1977a] An axiom system for three-valued Lukasiewicz proposi-
tional calculus H Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 18. N 4.
P. 616-620.
[Iturrioz L. 1983] Symmetrical Heyting algebras with operators // Zeitschrift
filr mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik. Bd. 29.
S. 33-70.
[Jordan Z. 1963] Logical determinism 11 Notre Dame Journal of Formal
Logic. Vo. 4. P. 1-38. (Также: О logieznym determinizme // Studia
Logica. 1963. Vol. 14).
286
[Karpenko A.S. 2000] A maximal paraconsistent logic // D. Batens et al.
(eds.) Frontier? of Paraconsistent Logic. Baldock: RSP. P. 181-187.
[Kneale W. & M. 1962] The development of Logic. Oxford: Clarendon Press.
[Lukasiewicz J. 1918] Farewell lecture by proffessor Jan Lukasiewicz,
delivered in the Warsaw University Lecture Hall on March 7, 1918. In:
[Lukasiewicz J. 1970]. P. 84-86.
[Lukasiewicz J. 1920] О logice trojwartosciowey. Ruch Filozoficzny. T. 5.
S.170-171. (Англ, перевод: On three-valued logic. lit: [Lukasiewicz J.
1970]. P. 87-88).
[Lukasiewicz J. 1930] Philosophische Bemerkungen zu mehrwertigen Syste-
men des Aussagenkallkiils. Comptes Rendus des Seances de la Societe
des Sciences et des Lettres de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 51-77.
(Англ, перевод: Philosophical remarks on many-valued systems of
propositional logic. In: [Lukasiewicz J. 1970]. P. 153-178.)
[Lukasiewicz J. 1941] Die Logik und das Grundlagenproblem. Les Entretiens
de Zurich sur les fondements et la methode des sciences mathematiques
6-9, 12. Zurich. P. 82-100. (Англ, перевод: Logic and the problem of
the foundations of mathematics. [Lukasiewicz J. 1970]. P. 278-294).
[Lukasiewicz J. 1970] Selected works. Warszawa: PWN.
[Lukasiewicz J’. 1971] On the principle of contradiction in Aristotle // Review
of Metaphysics. Vol. 24. P. 15-38.
[Malinowski G. 1993] Many-valued logics. Oxford: Clarendon Press.
[Malinowski G. 1997] On many-valuedness, sentential identity, inference and
Lukasiewicz modalities // Logica Trianguli. Vol. 1. P. 59-71.
[Mates B. 1953] Stoic Logic. Berkely-Los Angeles.
[McCall S. 1966] Temporal flux II American Philosophical Quarterly. Vol. 3.
N 4. P. 270-281.
[McKinsey J. С. C. & Tarski A. 1946] On closure elements in closure alge-
bras И Annals of Mathematics. Vol. 47, N 1. P. 122-162.
[Moisil G. C. 1940] Recherches sur les logiques non chrysippiennes // Anna-
les Sci. de I’Univ. de Jassy. Vol. 26. P. 433-466. (Переиздано в:
[Moisil G. C. 1972]. P. 195-232).
[Moisil G. C. 1963a] Le algebre di Lukasiewicz // Analele Univ. Bucuresti.
SeriaActa Logica. Vol. 6. P. 97-135.
[Moisil G. C. 1963b] Les logiques non-Chrysippiennes et leurs applications //
Acta Philosopfica Fennica. Fasc. XVI. P. 137-152.
[Moisil G. C. 1972] Essais sur les logiques non chrysippiennes. Bucarest:
Edition de L'Academie de la Rdpublique Socialiste de Roumanie.
[Monteiro A. 1963] Sur la definition des algebres de Lukasiewicz trivalentes
II Bull. Math, de la Soc. Math, et Phys, de la R. P. Roumaine. Nouvelle
serie 7. Vol. 55. P. 1-12.
287
[Monteiro A. 1967] Construction des alg£bres de Lukasiewicz trivalentes
dans les alg£bres de Boole monadiques, I // Mathematica Japonica.
Vol. 12. P. 1-23.
[Monteiro A. 1969] Sur quelques extensions du calcul propositionnel intui-
tionniste // IVeme Congres des mathimaticiens d’expression latine.
Bucarest.
[Monteiro A. 1980] Sur les algebres de Heyting symetriques. Portugallae
Mathematica. Vol. 39, f. 1-4.
[Monteiro L. 1970] Les algebres de Heyting et de Lukasiewicz trivalentes //
Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 11. P. 453-466.
[Mostowski A. 1950] Review of H. Rasiowa. Z dziedziny logiki mate-
matyczny. 2. Logiki wielo trdjwartoSciowe Lukasiewicza // The
Journal of Symbolic Logic. Vol. 15. P. 213.
[Mox Shaw-Kwei 1954] Logical paradoxes for many-valued system // The
Journal of Symbolic Logic. Vol. 19. P. 37-40.
[Nowak M. 1988] О mozliwosci interpretowania trojwartosciowej logiki
Lukasiewicza metoda Shipeckiego // Acta Universitatis Lodziensis,
Folia Philosophica. T. 5. S. 3-13.
[Ono H. & Komoti Y. 1985] Logics without the contraction rule // The Jour-
nal of Symbolic Logic. Vol. 50, p. 169-201.
[Prior A. N. 1953] Three-valued logic and future contingents // The Philo-
sophical Quarterly. Vol. 3. P. 317-326.
[Prior A. N. 1955] Formal Logic. Oxford: Clarendon Press.
[Prior A. N. 1957] Time and modality. Oxford: Clarendon Press.
[Prior A. N. 1957a] Many-valued logic: the last of three talks on «The logic
game» // The Listener (London). Vol, 57. P. 717-719.
[Rasiowa H. 1974] An Algebraic Approach to Non-classical Logics.
Warszawa: PWN.
[Rauszer C. 1974] Semi-Boolean algebras and their applications to intui-
tionistic logic with dual operations // Fundamenta Mathematica. Vol.
83. P. 219-249.
[Rescher N. 1969] Many-valued Logic. New York: McGraw-Hill Book
Company.
[Sankappanavar H. P. 1985] Heyting algebras with dual pseudo-complemen-
tation // Pacific Journal of Mathematics. Vol. 117, N 2. P. 405-415.
[Seeskin K. R. 1971] Many-valued logic and future contingencies // Logique
et Analyse. An 14. P. 759-773.
[Shipecki J. 1936] Der voile dreiwertige Aussagenkalkiil // Comptes Rendus
des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie.
Classe III. Vol. 29. P. 9-11. (Англ, перевод: The full three-valued
propositional calculus. In: Polish logic: 1920 - 1939. Oxford, 1967.
P. 335-337).
288
[Shipecki J., Bryll J., Prucnal T. 1967] Some remarks on the three-valued
logic of J. Lukasiewicz И Studia Logica. Vol. 21. P. 45-70.
[Sugihara T. 1954] Review of [Prior A.N. 1953] // The Journal of Symbolic
Logic. Vol. 19. P. 294.
[Tokarz M. 1971] Odtwarzanosc klasycznego rachunku zdari w rachukch
Lukasiewicza // Acta Universitatis Wratislaviensis. Vol. 139. P. 89-95.
[van Dalen D. 1986] Intuitionistic logic // D.Gabbay & F.Guenthner (eds.)
Handbook of philosophical logic. Vol. Ш: Alternatives in classical
logic. Dordrecht Reidel Publishing Company. P. 225-339.
[Varlet J. 1968] Algebres de Lukasiewicz trivalentes I I Bull. Soc. Roy. Sci.
Liege. Vol. 38. P. 462-469.
[Varlet J. 1969] Considerations sur les algebres de Lukasiewicz trivalentes //
Ibid. Vol. 36. P. 281-290.
[Wajsberg M. 1931] Aksjomatyzacja trojwartosciowego rachunku zdari.
Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres
de Varsovie. ClasselH. Vol. 23. P. 126-145. (Англ, перевод: Axiomati-
zation of the three-valued calculus. In: Wajsberg M. Logical Works.
Wroclaw, 1977. P. 12-29).
[Wang Hao 1961] The calculus of partialpredicates and its extension to set
theory // Zeitschrift fUr mathematische Logic und Grundlagen der
Mathematik. Bd. 7. S. 283-288.
[Woleriski J. 1989] Logic and Philosophy in the Lvov-Warsaw School.
Dordrecht: Kluwer.
[Wojcicki R 1988] Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence
Operations. Dordrecht: Kluwer.
[Woodruff P. W. 1974] A modal interpretation of three-valued logic // Jour-
nal of Philosophical Logic. Vol. 3. P. 433-440.
Гл. 3
[Бочвар Д. A. & Финн В. К. 1972] О многозначных логиках, допускаю-
щих формализацию анализа антиномий. 1 // Исследования по
математической лингвистике, математической логике и инфор-
мационным языкам. М. С. 238-295.
[Григолия Р. Ш. 1973] Алгебраический анализ л-значных логических
систем Лукасевича-Тарского // Труды Тбилисского гос. ун-та. А 6-7
(149-150). С. 121-132.
[Григолия Р. Ш. 1987] Свободные алгебры неклассических логик.
Тбилиси: Мецниереба.
[Мендельсон Э. 1976] Введение в математическую логику. М.: Наука.
[Токаж М. 1979] Теоремы, выводимые из критерия Мак-Нотона И
В. А. Смирнов (отв. ред.) Логический вывод. М.: Наука. С. 43-49.
10. А. С. Карпенко
289
[Хомич В. И. 1986] Об аксиоматизации некоторых табличных логик //
Логика и системные методы анализа научного знания: Тезисы
докладов к IX Всесоюзному совещанию по логике, методологии и
философии науки, Харьков, 8-10. X. 1986. Секция 1 - 5. М. С. 49-50.
[Ackermann R. 1967] Introduction to Many-valued Logics. London:
Routledge & Kegan Paul.
[Aguzzoli S., Ciabattoni A., Di Nola A. 1999] Sequent calculi for finite-
valued Lukasiewicz logics via Boolean decompositions // Journal of
Logic and Computation (to appear).
[Baaz M., Fermuller C. G., Zach R. 1994 ] Elimination of cuts in first-order
finite-valued logics // Journal of Information Processing and Cyber-
netics. Vol. 6. P. 333-355.
[Balbes R. & Dwinger Ph. 1974] Distributive lattices. Columbia (Miss.).
[Boicescu V., Filipoi A., Georgescu G., Rudeanu S. 1991J Lukasiewicz-Moisil
Algebras (monograph/ Annals of Discrete Mathematics. Vol. 49.
Amsterdam: North-Holland.
[Brady R.T. 1976] A computer program for determining matrix models of
propositional calculi // Logique et Analyse. An. 19, N 74-76.
P. 233-235.
[Burris S. & Sankappanavar H. P 1981]. A course in universal algebra.
Berlin: Springer-Verlag.
[Camielli W. A. 1987] Systematization of finite many-valued logics through
the method of tableaux // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 52.
P. 473-493.
[Chang С. C. 1958] Algebraic analysis of many-valued logics // Transactions
of the American Mathematical Society. Vol. 88. P. 467-490.
[Cignoli R. 1970] Moisil algebras. Notas de Mathematica. N 27. Universidad
National del Sur. Bahia Blanca.
[Cignoli R. 1980] Some algebraic aspects of many-valued logics // Pro-
ceedings of the Third Brazilian Conference on Mathematical Logic. Sao
Paulo. P. 49-69.
[Cignoli R. 1982] Proper и-valued Lukasiewicz algebras as S’-algebras of
Lukasiewicz и-valued proposional calculi // Studia Logica. Vol. 41, N 1.
P. 3-16.
[Cignoli R. & de Gallego M.S. 1981] The lattice structure of some
Lukasiewicz algebras //Algebra Universalis. Vol. 13. P. 315-328.
[Clay R. E. 1962] Note on Shipecki T-functions // The Journal of Symbolic
Logic. Vol. 27, N 1. P. 53-54.
[Evans T. & Schwartz P. B. 1958] On Shipecki T-fimctions // The Journal of
Symbolic Logic. Vol. 23. P. 267-270.
290
[Gil A. J., Torrens A., Verdu V. 1997] On Gentzen systems associated with
the finite linear MV-algebras // Journal of Logic and Computation. Vol.
7, N 4. P. 473-500.
[Godel K. 1932] Zum intuitionistischen Aussgenkalkiil // Anzeiger der
Akademie der Wissenschaften Wien, mathematisch, naturwissen-
schaftliche Klasse. Bd. 69. S. 65-66. (Англ, перевод: On the intuitio-
nistic propositional calculus. In: Godel K. Collected works / Ed. in chief
S. Feferman. N.Y.; Oxford, 1986. Vol. 1. P. 222-225).
[GrigoliaR. 1977] Algebraic analysis of Lukasiewicz-Tarski’s л-valued logi-
cal systems. In: [Wojcicki & Malinowski (eds.) 1977]. P. 81-92.
[Hahnle R. 1993] Automated Deduction in Multiple-Valued Logics. Oxford:
Oxford Univ. Press.
[Hosoi T. 1966] The separable axiomatization of the intermediate proposi-
tional systems of Godel // Proceedings of Japan Academy. Vol. 42.
P. 1001-1006.
[Iturrioz L. 1977] Lukasiewicz and symmetrical Heyting algebras //
Zeitschrift fur mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik.
Bd. 23. S. 131-136.
[Iturrioz L. 1983] Symmetrical Heyting algebras with operators // Ibid. Bd.
29. S. 33-70.
[Jaskowski S. 1936] Recherches sur le systeme de la logique intuitioniste //
Actes du Congres International de Philosophie Scientifique. Paris. Vol.
6. P. 58-61. (Англ, перевод: Investigations into the system of intui-
tionistic logic. In: S. McCall (ed.) Polish logic: 1920-1939. Oxford:
Clarendon Press, 1967. P. 259-263).
[Lukasiewicz J. 1922/1923] Interpretacja liczbowa teorii zdan // Ruch Filo-
zoficzny. T. 7. S. 92-93. (Англ, перевод: A numerical interpretation of
theory propositions. In: [Lukasiewicz 1970]. P. 129-130]).
[Lukasiewicz J. & Tarski A. 1930] Untersuchungen uber den Aussagenkalkiil
H Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres
de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 1-21. (Англ, перевод: Investigations
into the sentential calculus. In: [Tarski 1956]. P. 38-59; [Lukasiewicz
1970]. P. 131-152).
[Lukasiewicz J. 1970] Selected works. Warszawa: PWN.
[McNaughton R. 1951] A theorem about infinite valued sentential logic // The
Journal of Symbolic Logic. Vol. 16. P. 1-13. (Русский перевод: Мак-
Нотон P. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний И
Кибернетический сборник. 1961. № 3. С. 59-78).
[Moisil G. С. 1940] Recherches sur les logiques non chrysippiennes П Anna-
tes Sci. de I'Univ. de Jassy. Vol. 26. P. 433-466. (Переиздано в:
[Moisil G. C. 1972]. P. 195-232).
291
10*
[Moisil G. C. 1941] Notes sur les logiques non ctuysippiennes H Ibid. Vol.
27. P. 86-98. (Переиздано в: [Moisil G. C. 1972]. P. 233-243).
[Moisil G. C. 1963] Le algebre di Lukasiewicz // Analele Univ. Bucuresti.
Seria Acta Logica. Vol. 6. P. 97-135.
[Moisil G. C. 1965] Incercari vechi si noi de logica neclasica. Bucarest.
[Moisil G. C. 1972] Essais sur les logiques non chrysippiennes. Bucarest:
Edition de L'Academie de la Republique Socialiste de Roumanie.
[Prijatelj A. 1996] Bounded contraction and Gentzen-style formulation of
Lukasiewicz logic П Studia Logica. Vol.57. P. 437-456.
[Prucnal T. 1969] Kriterium definiowalnosci fimkcji w matrycah Luka-
siewicza II Studia Logica. Vol. 23. P. 71-77.
[Rose A. 1951] The degree of completeness of some Lukasiewicz-Tarski pro-
positional calculi H The Journal of the London mathematical Society.
Vol. 26. P. 47-49
[Rose A. 1952]. The degree of completeness of the m-valued Lukasiewicz
propositional calculus // Ibid. Vol. 27. P. 92-102.
[Rose A. 1969]. The degree of completeness of the m-valued Lukasiewicz
propositional calculus (correction and addendum) H Ibid. Vol. 44.
P. 587-591.
[Rosser J. B. & Turquette A. R. 1945] Axiom schemes for m-valued proposi-
tional calculi H The Journal of Symbolic Logic. Vol. 10. P, 61-82.
[Rosser J. B. & Turquette A. R. 1950] A note on the dedudctive completeness
of m-valued propositional calculi I I The Journal of Symbolic Logic. Vol.
14. P. 219-225.
[Rosser J. B. & Turquette A. R. 1952] Many-valued Logics. Amsterdam:
North-Holland. (2nd ed. 1958).
[Rousseau G. 1967] Sequents in many valued logic I // Fundamenta Mathe-
maticae. Vol. 60. P. 23-33.
[Sicoe С. O. 1967] A characterization of Lukasiewicz algebras H Proceedings
of Japan Academy. Vol. 43, N 8. P. 729-736.
[Suchon W. 1974] Definition des foncteurs modaux de Moisil dans le calcul
л-valent des propositions Lukasiewicz avec implication et negation //
Reports on Mathematical Logic. N 2. P. 43-47.
[Takahashi M. 1967] Many-valued logics of extended Gentzen style I H Sci-
ence Reports of the Tokyo Kyoiku Daigaku. Section A 9. P. 95-116.
[Tarski 1930a] Uber einige fiindamentale Begriffe der Metamathematik И
Comptes Rendus des Seances de la Sociiti des Sciences et des Lettres
de Varsovie. Classe Ш. Vol. 23. P. 22-29. (Англ, перевод: On some
fundamental concepts of metamathematics. In: [Tarski 1956]. P. 30-37).
[Tarski A. 1930b] Fundamentale Begriffe der Methodologie der deduktiven
Wissenschafien I H Monatshefte filr Mathematik und Physik. Bd. 37.
292
S. 361-404. (Англ, перевод: Fundamental concepts of the methodology
of the deductive sciences. In: [Tarski 1956]. P. 60-109).
[Tarski A. 1956] Logic, Semantics, Metamathematics. Papers from 1923 to
1938. Oxford: Clarenden Press. (2nded. Indianopolis, 1983).
[Thomas I. 1962] Finite limitations on Dummett’s LC И Notre Dame Journal
of Symbolic Logic. Vol. 3. P. 170-174.
[Tokarz M. 1974 a] Invariant systems of Lukasiewicz calculi И Zeitschrift fur
mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik. Bd. 20.
P. 221-228.
[Tokarz M. 1974 b] A method of axiomatization of Lukasiewicz logics // Stu-
dio Logica. Vol. 33. P. 333-338. (Переиздано: [Wdjcicki & Malinowski
(eds.) 1977]. P. 113-118).
[Tokarz M. 1977] Degrees of completeness of Lukasiewicz logics. In:
[Wojcicki & Malinowski (eds.) 1977]. P. 127-134.
[Turquette A. R. 1969] Generalizable Kleene logics // Proceedings of Ameri-
can Mathematical Society. Vol. 20, N 2. P. 361-367.
[Tuziak R. 1988] An axiomatization of the finite-valued Lukasiewicz calculus
// Studio Logica. Vol. 47, N 1. P. 49-55.
[Urquhart A. 1986] Many-valued logic. In: Gabbay D. & Guenthner F. (eds.)
Handbook of Philosophical Logic. Vol. Ill: Alternatives in classical
logic. Dordrecht: Reidel. P. 71-116.
[Wajsberg M. 1935] Beitrftge zum Metaaussgenkalkiil I // Monatshefte filr
Mathematik und Physik. Bd. 42. S. 221-242. (Англ, перевод: Contribu-
tions to meta-calculus of propositions I // Wajsberg M. Logical Works.
Wroclaw: Ossolineum, 1977. P. 89-106).
[Wojcicki R 1988] Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence
Operations. Dordrecht: Kluwer.
[Wdjcicki R. & Malinowski G. (eds.) 1977] Selected Papers on Lukasiewicz
Sentential Calculi. Wroclaw: Ossolineum.
Гл. 4
[Карпенко A.C. 1989] От фактор-семангики к логическому исчислению
алгебр И Синтаксические и семантические исследования иеэкстен-
сиональных логик. М.: Наука. С. 93-100.
[Карпенко А.С. 1997] Многозначные логики (монография). Логика и ком-
пьютер. Вып. 4. М.: Наука.
[Beziau J.-Y. 1997] What Is Many-Valued Logic?. Relatorios de Pesquisa e
Desenvolvimento, Marco de 1997 (Preprint № 06/97).
[Byrd M. 1979] A formal interpretation of Lukasiewicz's logics //Notre Dame
Journal of Formal Logic. Vol. 20, N 2. P. 366-368.
293
[Chelakowski J. 1992] Consequences operations: Foundational studies.
Warszawa. Prepublication.
[da Costa N.C.A., Beziau J-Y, Bueno O.A.S. 1996] Malinowski and Suszko
on many-valued logics: On the reduction of many-valuedness // Modern
Logic. Vol. 6, N 3. P. 272-299.
[Jordan Z. 1945] The development of mathematical logic and of logical posi-
tivism in Poland between the two wars. Oxford. (Переиздано с сокра
щениямив: Polish logic. 1920-1939. Oxford, 1967. P. 346-397).
[Karpenko A. S. 1979] The T-F-interpretation of some и-valued logics // 6th
International Congress for Logic, Methodology and Philosophy of
Science. Abstracts. Section 5. Hannover. P. 98-102.
[Karpenko A. S. 1983] Factor-semantics for n-valued logics // Studia Logica.
Vol. 42, N 2/3. P. 179-185.
[Kotas J. & da Costa N. C. A. 1980] Some problems on logical matrices and
valorizations // A. I. Arruda, N. C. A. da Costa> A. M. Sette (eds). Pro-
ceedings of the Third Brazilian Conferenc6 on Mathematical Logic.
Sociedale Brasileira de Logica. P. 131-145.
(Lukasiewicz I. 19301, PhilosQqhische Bemectamgen zu mehrwertigen Syste-
men des Aussagenkalkiils. Comptes Rendus des Seances de la Societe
des Sciences et des Lettres de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 51-77.
(Англ, перевод: Philosophical remarks on many-valued systems of
propositional logic. In: Lukasiewicz J. Selected Works. Warsza-
wa:PWN, 1970]. P. 153-178.)
[Malinowski G. 1977] Classical characterization of л-valued Lukasiewicz
calculi // Reports on Mathematical Logic. N 9. P. 41-45.
[Malinowski G. 1993] Many-valued logics. Oxford: Clarendon Press.
[Malinowski G. 1994] Inferential many-valuedness // J. Wolenski (ed). Philo-
sophical Logic in Poland. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. P.
75-84.
[Post E. L. 1921] Introduction to a general theory of elementary propositions
I I American Journal of Mathematics. Vol. 43, N 3. P. 163-185. (Пере-
издано: In: Van Heijenoort J (ed.) From Frege to Gddel: A Source Book
in Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge (Mass.): Harvard Univ.
Press, 1967. P. 264-283).
[Prior A.N. 1957] Many-valued logics: the last of three talks on «The logic
game» // The Listener. Vol. 57. P. 717-719.
[Rine D.C. 1974] Review of [Urquhart A. 1973] // Mathematical Review. Vol.
47, N 2. P. 274-275.
[Rose A. 1981] Many-valued logics // Modern logic: a survey. Dordrecht:
Reidel. P. 113-129.
[Routley R & Meyer R 1976] Every sentential logic has a two valued seman-
tics // Logique et Analyse. N 74-75-76. P. 355-356.
294
[Scott D. 1971] On engendring an illusion of understanding // The Journal of
Philosophy. Vol. 68. P. 787-807.
[Scott D. 1973] Background to formalisation // H. Leblanc (edj Truth, Syntax
and Modality. Amsterdam: North-Holland. P. 244-273.
[Scott D. 1974] Completeness and axiomatizability in many-valued logics //
L. Hehkin et al. (eds). Proceedings of the Tarski Symposium. Pro-
ceeding of Symposia in Pure Matematics. Vol. 25. P. 411-436.
[Scott D. 1976] Does many-valued logic have any use? // S.Komer (ed). Phi-
losophy of Logic. Berkeley and Los Angeles: Univ, of California Press.
P. 64-74.
[Smiley T. 1976] Comment on [Scott D. 1976] // Ibid. P. 74-88.
[Suszko R. 1975] Remarks on Lukasiewicz's three-valued logics // Bulletin of
the Section of Logic. Vol. 4, N 3. P. 87-90.
[Suszko R. 1977] The Fregean axiom and Polish mathematical logic in the
1920's // Studia Logica. Vol. 36, N 4. P. 377-380.
[Tsuji M. 1998] Many-valued logics and Suszko's thesis revisited // Studia
Logica. Vol. 60, N 2. P. 299-309.
[Urquhart A. 1973] An interpretation of many-valued logic // Zeitschrifi fiir
mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik. Bd. 19.
S. 111-114.
[Urquhart A. 1986] Many-valued logic // Gabbay D. & Guenthner F. (eds).
Handbook of Philosophical Logic. Dordrecht. Reidel. Vol. Ill: Alterna-
tives in classical logic. P. 71-116.
[van Fraassen B.C. 1973] Formal Semantics and Logics. New York: The
Macmillan Company.
Гл. 5
[Бочвар Д. A. & Финн В. К. 1972] О многозначных логиках, допускаю-
щих формализацию анализа антиномий. 1 // Исследования по
математической лингвистике, математической логике и инфор-
мационным языкам. М.: Наука. С. 238-295.
[Бочвар Д. А. & Финн В. К. [1976] Некоторые дополнения к статьям о
многозначных логиках // Исследования по теории множеств и
неклассическим логикам. М.: Наука. С. 265-325.
[Емельянов Н. Р. 1985] О сложности задачи выразимости в многозначных
логиках И Доклады Академии Наук СССР. Т. 282, № 3. С. 525-529.
[Захарова Е. Ю., Кудрявцев В. Б., Яблонский С. В. 1960] О предполных
классах в Л-значных логиках // Доклады АН СССР. Т. 186, № 3.
С. 509-512.
295
[Карпенко А. С. 1989] Конечнозначные логики Лукасевича: Алгебро-ло-
гические свойства простых чисел // Синтаксические и семантичес-
кие исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука. С. 170-205.
[Кудрявцев В. Б. 1981] О функциональных системах. М.
[Кузнецов А. В. 1956] О проблемах тождества и функциональной пол-
ноты для алгебраических систем И Труды 3-го Всесоюзного мате-
матического съезда. М. Т. 2. С. 145-146.
[Раца М. Ф. 1982] О функциональной полноте в интуиционистской логике
высказываний//Проблемы кибернетики. Вып. 39. С. 107-150.
[Раца М. Ф. 1990] Итеративные цепные классы псевдобулевых функций.
Кишинев.
[Финн В. К. 1969] О предполноте класса функций, соответствующего
трехзначной логике Я. Лукасевича // Научно-техническая инфор-
мация. Сер. 2. № 10. С. 35-38.
[Финн В. К. 1970] О классах функций, соответствующих М-значным
логикам Я. Лукасевича // Тезисы докладов по алгебре, математи-
ческой логике и вычислительной математике. Иваново. С. 42-43.
[Финн В. К. 1976] Логические Проблемы информационного поиска. М.:
Наука.
[Шестаков В.И. 1967] О некоторых расширениях исчислений Бочвара и
Клини до функционально полных трехзначных исчислений И
Научно-техничесКая информация. Сер. 2. № 12. С. 12-17.
[Яблонский С. В. 1954] О функциональной полноте в трехзначном исчис-
лении И Доклады Академии Наук СССР. Т. 95, № 6. С. 1153-1156.
[Яблонский С. В. 1958] Функциональные построения в k-значной логике
И Труды математического института им. В. А.Стеклова. Т. 51.
С. 5-142.
[Яблонский С. В. 1986] Введение в дискретную математику. М.: Наука.
[Янов Ю. И. & Мучник А. А. 1959] О существовании £-значных замкну-
тых классов, ие имеющих конечного базиса // Доклады Академии
Наук СССР. Т. 127. С. 44-46.
[Яновская С. А. 1959] Математическая логика и основания математики И
Математика в СССР за сорок лет. М. § 13.
(Barton S. 1979] The functional completeness of Post’s m-valued proposi-
tional calculus // Zeitschrift ftir mathematische Logic und Grundlagen
der Mathematik. Bd. 25, H. 5. S. 445-446.
[Bole L. & Borowik P. 1992] Many-valued logics: Theoretical foundations.
Vol. 1. Berlin: Springer-Veriag.
[CsZkaiy B. & Rosenberg I. (eds.) 1981] Finite algebra and multiple-valued
logic. Amsterdam etc.
[Cuny H. 1937] Review of [McKinsey 1936] // Zentralblatt fur Mathematik
und ihre Grenzgebiete. 1937. Bd. 16. P. 2.
296
[Dwinger Ph. 1977] A survey of the theory of Post algebras and their
generalizations // Modern uses of multiple-valued logic. Dordrecht.
P. 53-75.
[Finn V. K. 1975] Some remarks on non-Postian logics // Vth International
Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Contri-
buted papers. Section 1. Ontario (Canada). P. 9-10.
[Hendry H. E. 1980] Functional completeness and non-Lukasiewiczian truth
functions // Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 21, N 3.
P. 536-538.
[Hendry H. E. 1983] Minimally incomplete sets of Lukasiewiczian truth func-
tions И Ibid. Vol. 24, N 1. P. 146-150.
[Hendry H. E. & Massey G.J.] On the concepts of Sheffer functions // The
logical way of doing things. New Haven and London, 1969. P. 179-293.
[Herzberger H. G. 1977] Tertium without plenum // International Symposium
on Multiple-Valued Logic. 7th. Charlotte. P. 92-94.
[McKinsey J. С. C. 1936] On the generation of the functions Cpq and Np of
Lukasiewicz and Tarski by means of the single binary operation //
Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 42. P. 849-851.
[Miyakawa M. 1981] Enumerations of bases of three-valued logical functions
// Finite algebra and multiple valued logic. Amsterdam etc. P. 469-487.
[Pinkawa V. 1981] On Sheffer functions in ^-valued logical calculi // Finite
algebra and multiple-valued logic. Amsterdam etc. P. 537-545.
[Post E.L. 1921] Introduction to a general theory of elementary propositions //
American Journal of Mathematics. Vol. 43, N 3. P. 163-185. (Переиз-
дано: van Heijenoort J. (ed.) From Frege to Godel: A Source Book in
Mathematical Logic, 1879-1931. Cambridge (Mass.): Harvard Univ.
Press, 1967. P. 264-283).
[Post E.L. 1941] Two-valued iterative systems // Annals of Mathematical
Studies. Vol. 5.
[Quine W.V. 1937] Review of [McKinsey 1936] // The Journal of Symbolic
Logic. 1937. Vol. 2. P. 59.
[Rose A. 1952] Some generalised Sheffer functions // Proc. Cambridge
Philosophical Soc. 1952. Vol. 48. P. 369-373.
[Rose A. 1968] Binary generators for the m-valued and No-valued Luka-
siewicz propositional calculi // Composite Mathematica. Vol. 20.
P. 153-169. (Переиздано: Logic and Foundation of Mathematics.
Groniugen, 1968).
[Rosenberg I. 1965] La structure des functions de plusieure variables sur un
ensemble finite // Comptes Rendus Acad. Sci. Groupe 1. Vol. 260.
P. 3817-3819.
297
[Rosenberg I. 1970] Uber die fiinktionale VollstSndigkeit in der mehrvertigen
Logiken // Rospravy Ceskoslovenske Academie ved. Rada
matematickych a prirodnich ved. Praha. Rocnik 80, s. 4. S. 3-93.
[Rosenberg I. 1973] The number of maximal closed classes in the set of func-
tions over a finite domain // Journal of Combinatorial Theory. Vol. 14.
P. 1-7.
[Rosenberg I. 1977] Completeness properties of multiple-valued logic
algebras // Computer science and multiple-valued logic: Theory and
applications. Amsterdam. P. 144-186.
[Rosenberg I. 1978] On generating large classes of Sheffer functions //
Aequationes Mathematicae. Basel. Vol. 17. P. 164-181.
[Rousseau G. 1967] Completeness in finite algebras with a single operation //
Proceedings of American Mathematical Society. Vol. 18. P. 1009-1013.
[Rosser J. B. & Turquette A. R 1952] Many-valued logics. Amsterdam (2nd
ed. 1958).
[Urquhart A. 1986] Many-valued logic // D. Gabbay & F. Guenthner (eds.)
Handbook of philosophical logic. Vol. Ill: Alternatives in classical
logic. Dordrecht: Reidel. P. 71-116.
[Webb D. L. 1935] The generation of any и-valued logic by one binary opera-
tion // Proc, of the National Academy of Science. Not. 21. P. 252-254.
[Webb D. L. 1936] Definition of Post's generalized negative and maximum in
terms of one binary operation // American Journal of Mathematics. Vol.
42. P. 193-194.
Гл. 6
[Абрамович M. & Стиган И. (ред.) 1979] Справочник по специальным
функциям с формулами, графиками и математичскими табли-
цами. М.: Наука. (Перевод: Abramowitz М & Stegun I.A. (eds.)
Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and
mathematical tables. 1964.
[Арнольд И.В. 1939] Теория чисел. M.
[Виноградов И.М. 1981] Основы теории чисел. М.: Наука.
[Карпенко А.С. 1983] Последовательность предполных логик Лукасевича
и графы для простых чисел // Труды научно-исследовательского
семинара по логике Института философии АН СССР. М.
С. 103-111.
[Карпенко А. С. 1989] Конечнозначные логики Лукасевича: Алгебро-ло-
гические свойства простых чисел И Синтаксические и семантичес-
кие исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука. С. 170-205.
[Карпенко А.С. 1997] Многозначные логики (монография). Логика и ком-
пьютер. Вып. 4. М.: Наука.
298
[Серпинский В. 1968] 250 задач по элементарной теории чисел. М.:
Просвещение.
[Харари Ф. & Палмер Э. 1977]. Перечисление графов. М.: Мир.
[Bolker E.D. 1970] Elementary number theory. An algebraic approach. New
York: W.A. Benjamin, Inc.
[Burton D.M. 1976] Elementary number theory. Boston etc.: Allyn and
Bacon, Inc.
[Carmichael R.D. 1907] On Euler's ф-function // Bull. Amer. Math. Soc. Vol.
13. P. 241-243.
[Carmichael R.D. 1914] The Theory of Numbers. New York: Wiley.
[Carmichael R.D. 1922] Note on Euler's ф-function // Bull. Amer. Math. Soc.
Vol. 28. P. 109-110.
[Erdds P. 1958] Some remarks on Euler's ф-function // Acta Mathematika.
Vol. 4. P. 10-19.
[Ford K. 1998 a] The distribution of totients // Ramanujan Journal. Vol. 2
P. 67-151.
[Ford K. 1998 b] The distribution of totients // Electron. Res. Announc. Amer.
Math. Soc. Vol. 4. P. 27-34.
[Glaisher J.W.L. 1940] Mathematical tables. Vol. VIII. Number-divisor
tables II. Cambridge. P. 64-71.
[Gobel F. 1980] On 1-1 correspondence between rooted trees and natural
numbers I I Journal of Combinatorial Theory. Series B. Vol. 29. N 1.
P. 141-143.
[Gupta H. 1981]. Euler's totient function and its inverse // Indian Journal of
Pure and Applied Mathematics. Vol. 12. P. 22-30.
[Guy R.K. 1994] Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York:
Springer-Verlag.
[Hagis P.Jr. 1986] On Carmichael's conjecture concerning the Euler phi
functions I I Bollettino della Unione Matematica Italiana. A 5. N 3.
P. 409-412.
[Hales A.W. 1971] Combinatorial represantations of Abelian groups // Proc,
of Symposia in Pure Mathematics. Vol. 19. P. 105-108.
[Karpenko 1986] A hypothesis on the finitness of graphs for Lukasiewicz's
precomplete logics (graphs for prime numbers) // Bulletin of the Section
of Logic. Vol. 15, N 3. P. 102-108.
[Klee V. 1947] On a conjecture of Carmichael // Bull. Amer. Math. Soc. Vol.
53. P. 1183-1186.
[Klee V. 1969] Is there an n for which <p(x) = n has a unique solution? //
American Math. Monthly. Vol. 76. N 3. P. 288-289.
[Lal M. & Gillard P. 1968] Table of Euler's phi function, n < 105.
Neufoundland. (Deposited in the UMT file), 200 pp., paperbound.
299
[Maier H. & Pomerance С. 1988] On the number of distinct values of Euler's
<p-function H Acta Arithmetica. Vol. 49. P. 263-275.
[Masai P. & Valette A.] A lower bound for a counterexample to Carmichael's
conjecture // Bollettino della Unione Matematica Italiana. Vol. 1.
P. 313-316.
[Pomerance C. 1980] Popular values of Euler's ф-function H Mathematika.
Vol. 27. N 1. P. 84-89.
[Rechman F. 1977] On Euler's <p-function // Islamabad Journal of Science.
Vol. 4. N 1-2. (MR 80g: 10005).
[Ribenboim P. 1996] The New Book of Prime Number Records. New York:
Springer-Verlag.
[Ruskey F. 1996-2000] Information on rooted trees.
htpp://www.theory.csc.uvic.ca/~cos/inf7tree/RootedTree.html.
[Rytin M. 2000] Finding the inverse of Euler totient function.
htpp://mathsource. wolfram.com/Content/WhatsNew/0210-755.
[Schlafly A. & Wagon S. 1994] Carmichael's conjecture on the Euler function
is valid below до10,000’000 // Mathematics of Computation. Vol. 63.
P. 415-419.
[Schulz P. 1982] Enumerations of rooted trees with an application to group
presentations // Discrete Mathematics. Vol. 41.
[Sloane N.J. A. 1999] Sequences A039650 И An On-Line Version of the Ency-
clopedia of Integer Sequences.
http://www.research.att.com/~njas/sequences/eisonline.html.
[Sloane N.J. A. & Plouffe S. 1995] The Encyclopedia of Integer Sequences.
San Diego, C.A.: Academic Press.
[Spyroponlus K. 1989] Euler's equation <p(X) = к with no solution // Journal
of Number Theory. Vol. 32, N 2. P. 254-256.
[Totient Function 1996-2000]
http://mathworld. wolftam.com/TotientFunction.html.
Гл. 7
[Бочвар Д. A. & Финн В. К. 1972] О многозначных логиках, допускаю-
щих формализацию анализа антиномий. 1 И Исследования по
математической лингвистике, математической логике и инфор-
мационным языкам. М.: Наука. С. 238-295.
[Бухппаб А. А. 1960] Теория чисел. М.: Учпедгиз.
[Василенко О. Н. 1988} Современные способы проверки простоты чисел И
Кибернетический сборник. Выл. 25. С. 162-188.
[Карпенко А. С. 1982] Характеристическая матрица для простых чисел И
Шестая Всесоюзная конференция по математической логике:
Тезисы докладов. Тбилиси. С. 76.
300
[Карпенко А.С. 1989] Конечнозначные логики Лукасевича: Алгебро-ло-
гические свойства простых чисел // Синтаксические и семантичес-
кие исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука. С. 170-205.
[Карпенко А. С. 1995] Штрих Шеффера для простых чисел // Логические
исследования. Вып. 3. М.: Наука. С. 292-313.
[Карпенко А.С. 1997] Многозначные логики (монография). Логика и ком-
пьютер. Вып. 4. М.: Наука.
[Карпенко А.С. 1999] Характеризация классов натуральных чисел
посредством логических матриц И Труды научно-исследователь-
ского семинара логического центра Института философии РАН.
М С. 217-225.
[Матиясевич Ю.В. 1977] Простые числа перечисляются полиномом от 10
переменных // Зап. Науч. Семинара Ленингр. Отд. Мат. ин-та АН
СССР. Т. 68. С. 62-82.
[Прахар К. 1967] Распределение простых чисел. М.: Мир.
[Цагер Д. 1984] Первые 50 миллионов простых чисел И Успехи матема-
тических наук. 1984. Т. 39. № 3. (В другом переводе: Боро В. и др.
Живые числа. М.: Мир, 1985. С. 42-71).
[Ayoub R. 1963] Introduction to the analytic theory of numbers. Providence.
[Karpenko A.S. 1989] Characterization of prime numbers in Lukasiewicz's
logical matrix // Studia Logica. Vol. 48, N 4. P. 465-478.
[Karpenko A.S. 1994] Sheffer's stroke for prime numbers // Bulletin of the
Section of Logic. Vol. 23. P. 126-129.
[Karpenko A.S. 1996] The class of precomplete Lukasiewicz’s many-valued
logics and the law of prime number generation // Bulletin of the Section
of Logic. Vol. 25. N 1. P. 52-57.
[Karpenko A.S. 1997] The law of prime numbers generation: Logic and
computer realization И International Conference on Information and
Control. Proceedings. Vol. 2. St. Peterburg. P. 494-495.
[McKinsey J. С. C. 1936] On the generation of the functions Cpq and Np of
Lukasiewicz and Tarski by means of the single binary operation //
Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 42. P. 849-851.
[Narkiewicz W. 2000] The Development of Prime Number Theory. Berlin:
Springer-Verlag.
[Pomerance C. & Crandall R. 2000] Prime Numbers. A Computational
Perspective. New York: Springer-Verlag.
[Ribenboim P. 1996] The Book of Prime Number Records, 2nd ed. New York:
Springer-Verlag.
[Ribenboim P. 1997] Are there functions that generate prime numbers? // The
College Mathematics Journal. Vol. 25. No. 5. P. 352-359.
301
[Rose A. 1969] Some many-valued propositional calculi without single
generators // Zeitschrift filr mathematische Logic und Grundlagen der
Mathematik. Bd. 15. S. 105-106.
[Wilf H. 1982] What is answer? II American Mathematical Monthly. Vol. 89.
P. 289-292.
Гл. 8
[Бухпггаб A. A. 1960] Теория чисел. M.: Учпедгиз.
[Карпенко А. С. 1989] Конечнозначные логики Лукасевича: Алгебро-ло-
гические свойства простых чисел // Синтаксические и семантичес-
кие исследования неэкстенсиональных логик. М.: Наука. С. 170-205.
[Карпенко А. С. 1995] Штрих Шеффера для простых чисел И Логические
исследования. М.: Наука, Вып. 3. С. 292-313.
[Карпенко А.С. 1998] Решение проблемы В.К.Финна о погружении
степени простого числа в многозначные логики Лукасевича // Труды
научно-исследовательского семинара Логического центра Инсти-
тута философии РАН. М. С. 35-39.
[Карпенко А. С. 1999] Характеризация классов натуральных чисел
посредством логических матриц И Труды научно-исследователь-
ского семинара логического центра Института философии РАИ.
М. С. 217-225.
[Матиясевич Ю.В. 1972] Диофантовы множества И Успехи мат. наук.
Т. 27, № 5(167). С. 185-222.
[Матиясевич Ю.В. 1977] Простые числа перечисляются полиномом от 10
переменных И Зап. Науч. Семинара Ленингр. Отд. Мат. ин-та АН
СССР. Т. 68. С. 62-82.
[Guy R.K. 1994] Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. § Cl. New
York: Spring-Verlag.
[Hardy G.H. 1999] Ramanujan: Twelwe Lectures on Subjects Suggested by
His Life and work, 3rd ed. New York: Chelsea.
[Karpenko A.S. 1989] Characterization of prime numbers in Lukasiewicz’s
logical matrix И Studia Logica. Vol. 48, N 4. P. 465-478.
[Lukasiewicz J. & Tarski A. 1930] Untersuchungen Ober den AussagenkalktU.
Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres
de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 1-21. (Англ, перевод: Investigations
into the sentential calculus. In: Lukasiewicz J. Selected works.
Warszawa: PWN, 1970. P. 131-152).
[McNaughton R. 1951] A theorem about infinite valued sentential logic. The
Journal of Symbolic Logic. Vol. 16. P. 1-13. (Русский перевод: Мак-
Нотон P. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний.
Кибернетический сборник. 1961. № 3. С. 59-78).
[Wang Y. 1984] Goldbach Conjecture. Singapore: World Scientific Publ.
302
Приложение
[Волгин Л. И. & Левин В. И. 1991] Непрерывная логика: Теория и приме-
нения. Таллинн.
[Григолия Р.Ш. 1976] Решетка всех финигно-аппроксимируемых расши-
рении счетнозначной логики Лукасевича // Исследования по теории
множеств и неклассическим логикам. М.: Наука. С. 221-246.
[Карпенко А.С. 1985] Фактор-семантика для бесконечнозначной логики
Лукасевича И Неклассические логики (Труды научно-исследователь-
ского семинара по логике Института философии АН СССР). М.
С. 20-26.
[Карпенко А.С. 1989] От факгор-семантики к логическому исчислению
алгебр // Синтаксические и семантические исследования неэкстен-
сиональных логик. М.: Наука. С. 93-100.
[Карпенко А.С. 1997] Многозначные логики (монография). Логика и ком-
пьютер. Вып. 4. М.: Наука.
[Карпенко А. С. 1997а] Классификация пропозициональных логик //
Логические исследования. Вып. 4. М.: Наука. С. 107- 133.
[Кейслер Г. Дж. & Чэи Ч.Ч. 1971] Теория непрерывных моделей. М.
[Копытов В. М. 1984] Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука.
[Кофман А. 1982] Введение в теорию нечетких множеств. М.
[Максимова Л.Л. 1972] Предтабличные суперинтуиционистские логики //
Алгебра и логика. № 11. С. 308-314.
[Янков В. А. 1968] Построение последовательности сильно независимых
суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады
Академии Наук СССР. Т. 181, № 1. С. 33-34.
[Aguzzoli S. & Ciabattoni А. 2000] Finiteness in infinite-valued Lukasiewicz
logic H Journal of Logic, Language, and Information. Vol. 9. P. 5-29.
[Anderson A.R. & Belnap N. D., jr. 1975]. Entailment: The logic of
relevance and necessity. Princeton.
[Beavers G. 1993 a] Automated theorem proving for Lukasiewicz logics //
Studia Logica. Vol. 52, N 2. P. 183-195.
[Beavers G. 1993 b] Extensions of the K0-valued Lukasiewicz propositional
logic // Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 34, N. 2. P. 251-262.
[Bosbach B. 1974] Residuation grupoids //Bulletin de I’Academie Polonaise
des Sciencies. Classe 3. Vol. XXII., N 2. P. 103-104.
[Bosbach B. 1981] Concerning bricks // Acta Math. Acad. Sci. Hungar.
Vol. 38. P. 89-104.
[Buff H. W. 1985] Decidable and undecidable WV-algebras // Algebra
Universalis. Vol. 21. P. 234-249.
[Chang С. C. 1958 a] Proof of an axiom of Lukasiewicz // Transactions of the
American Mathematical Society. Vol. 87. P. 55-56.
303
[Chang С. С. 1958 b] Algebraic analysis of many-valued logics // Ibid. Vol.
88. P. 467-490.
[Chang С. C. 1959] A new proof of the completeness of the Lukasiewicz
axioms // Ibid. Vol. 93. P. 74-80.
[Cignoli R. 1993] Free lattice-ordered abelian groups and varieties of MV-
algebras // Proceedings of the IXth Latin American Symposium on
Mathematical Logic, I. Bahia Blanca. P. 113-118.
[Cignoli R. & Mundici D. 1997] An elementary proof of Chang’s complete-
ness theorem for the infinite-valued calculus of Lukasiewicz // Studia
Logica. Vol. 58, N 1. P. 79-97.
[Cignoli R & Mundici D. 1998 a] An Invitation to Cnang's A/K-algebras //
Droste M. & Gdbel R (eds). Advances in Algebra and Model Theory.
Reading, UK: Gordon and Breach Publ. Group. P. 171-197]
[Cignoli R & Mundici D. 1998 b] An elementary presentation of the equiva-
lence MV-algebras and f-groups with strong unit // Studia Logica. Vol.
61. P. 49-64.
[Cignoli R., D'Ottaviano J., Mundici D. 2000] Algebraic Foundation of
Many-Valued Reasoning. Trends in Logic. Vol. 7. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
[Ciabattoni A. & Luchi D. 1997] Two connections between linear logic and
Lukasiewicz logics // Gottlob G., Leitsch A. Mundici D. (eds). Pro-
ceedings of Computational Logic and Proof Theory. Lecture Notes in
Computer Science. Vol. 1289. Berlin: Springer-Verlag. P. 128-139.
[Doming X., Trilles E., Valverde L. 1981] Pushing Lukasiewicz-Tarski
implication a little further // International Symposium on Multiple-
Valued Logic. 11th. Oklahoma. P. 232-234.
[Font J. V., Rodriguez A. J., Torrens A. 1984] Wajsberg algebras // Stochas-
tica. Vol. 8. P. 5-31.
[Giles R 1974] A non-classical logic for physics // Studia Logica. Vol. 33. P.
397-416.
[Giles R 1976] Lukasiewicz logic and fuzzy set theory // International Jour-
nal of Man-Machine Studies. Vol. 8. N 3. P. 313-327.
[Giles R 1977] A non-classical logic for physics И R Wojcicki,
G. Malinowski, (eds). Selected Papers on Lukasiewicz Sentential
Calculi. Wroclaw: Ossolineum. P. 13-51.
[Grigolia R 1977] Algebraic analysis of Lukasiewicz-Tarski’s n-valued logi-
cal systems // Wojcicki R & Malinowski G. (eds/ Selected papers on
Lukasiewicz sentential calculi. Wroclaw. P. 81-92.
[Hahnle R 1994] Many-valued logics and mixed integer programming //
Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. Vol. 12. P. 231-264.
[№jek P. 1998] Metamathematics of Fuzzy Logic. Dordrecht: Kluwer
Academic Press.
304
[Heyting A. 1930] Die Formalen Regeln der intuitionistischen Logik //
Sitzungsberichte der Preussischen (Berlin). Academie der Wissenschaf-
ten zu Berlin. Phys.-Math. Klasse. P. 42-56.
[Нею C. S. 1988] A survey of BCK and 5C/-algebras // SEA Bulletin of
Mathematics. Vol. 12, N 1. P. 1-9.
[Hoo C. S. 1990] MV- and BCK-algebras and some applications //Algebraic
structures and number theory. N.Y. P. 148-164.
[Iseki K. 1966] An algebra related with a propositional calculus I I Proc.
Japan Acad. Ser A, Math. Sci. Vol. 42. P. 26-29.
[Iseki K. & Tanaka S. 1978] An introduction to the theory of BCK-algebras //
Mathematica Japonica. Vol. 23, N. 1. P. 1-26.
[Karpenko A.S. 1988] T-F-sequence and their sets as truth-values // Inten-
sional Logic, History of Philosophy and Methodology. Budapest.
P. 109-119.
[Karpenko A.S. 2000] The classification of propositional calculi // Studia
Logica. Vol. 66.
[Karpenko A.S. & Popov V.M. 1997] BCKX is the axiomatization of implica-
tional fragment of Lukasiewicz's infinite-valued logic LM. Bulletin of the
Section of Logic. Vol. 26, N 3. P. 112-117.
[Komori Y. 1978] The separation theorem of the No-valued Lukasiewicz
propositional logics I I Rep. Fac. Sci., Hizuoka Univ. Vol. 12. P. 1-5.
[Komori Y. 1981] Super-Lukasiewicz propositional logics // Nagoya Mathe-
matical Journal. Vol. 84. P. 119-133.
[Lukasiewicz J. 1929] Elementy logiki matematyeznej; 2nd ed. Warszawa:
PWN, 1958. (Англ, перевод: Elements of Mathematical Logic. N.Y.,
1963).
[Lukasiewicz J. & Tarski A. 1930] Untersuchungen Uber den AussagenkalkUl.
Comptes Rendus des Seances de la Societe des Sciences et des Lettres
de Varsovie. Classe III. Vol. 23. P. 1-21. (Англ, перевод: Investigations
into the sentential calculus // Lukasiewicz J. Selected works. Warszawa:
PWN, 1970. P. 131-152).
[Mangani P. 1973] On certain algebras related to many-valued logics (Italian)
// Boll. U. M. I. (4). Vol. 8. P. 68-78.
[Martinez N.G. 1990] The Priestly duality for Wajsberg algebras // Studia
Logica. Vol. 49, N 1. P. 31-46.
[McNaughton R. 1951] A theorem about infinite valued sentential logic. The
Journal of Symbolic Logic. Vol. 16. P. 1-13. (Русский перевод: Мак-
Нотон P. Теорема о бесконечнозначной логике высказываний.
Кибернетический сборник. 1961. № 3. С. 59-78).
[Meredith С. А. 1958] The dependence of an axiom of Lukasiewicz // Trans-
actions of Amer. Math. Soc. Vol. 87. P. 54.
305
[Meyer R.K. 1966] Pure denumerable Lukasiewicz implication // The Journal
of Symbolic Logic. Vol. 31. P. 575-580.
[Meyer R.K. & Parks Z. 1972]. Independent axioms for the implicational
fragment of Sobocinski's three-valued logic // Zeitschrift fur math. Logik
und Grundlagen der Mathematik. Bd. 18. S. 291-295.
[Mundici D. 1986a] AfL-algcbras are categorically equivalent to bounded
commutative ЛСХ-algcbras // Mathematica Japonica. Vol. 31.
P. 889-894.
[Mundici D. 1986b] Interpretation of AF C*-algebras in Lukasiewicz senten-
tial calculus // Journal of Functional Analysis. Vol. 65. P. 15-63.
[Mundici D. 1987] Satisfiability in many-valued sentential logic is NP-
complete// Theoretical Computer Science. Vol. 52. P. 145-153.
[Mundici D. 1994] A constructive proof of McNaughton’s theorem in infinite-
valued logic // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 59, N 2. P. 596-
602.
[Mundici D. & Olivetti N. 1998] Resolution and model building in the infi-
nite-valued calculus of Lukasiewicz // Theoretical Computer Science.
Vol. 200. P. 335-366.
[Nola A. D. & Lettieri A. 1994] Perfect .Ш -algcbras are categorilly equiva-
lent to Abelian /-groups // Studia Logica. Vol. 53. N 2.
[Palasinski M. & Wronski A. 1986] Eight simple questions concerning BCK-
algebras // Reports on Mathematical Logic. N 20. P. 87-91.
[Panti G. 1995] A geometric proof of the completeness of the calculus of
Lukasiewicz // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 60. P. 563-578.
[Prijatelj A. 1996] Bounded contraction and Gentzen style formulation of
Lukasiewicz logics // Studia Logica. Vol. 57. P. 437-456.
[Prior A.N. 19627 Formal logic. Oxford: Clarendon Press.
[Pykacz J. 1994] Fuzzy quantum logics and infinite-valued Lukasiewicz logic
// Intern. Journal of Theoretical Physics. Vol. 33, N 7. P. 1403-1416.
[Rodriguez A.F. 1980] Un estudio algebraico de los Calculos Proposi-
cionales de Lukasiewicz. Ph. Doc. Diss. University of Barcelona.
[Romanowska A. & Traczyk T. 1980] On commutative BCX-algcbras //
Mathematica Japonica. Vol. 25. P. 567-583.
[Rose A. 1953] The degree of completeness of the No-valued Lukasiewicz
propositional calculus // J. of London Math. Soc. Vol. 28. P. 176-184.
[Rose А. 1956а]. Formalization du calcul propositional implicatif a Xo-
valeurs de Lukasiewicz // Comptes rendud hebdomadaires des seance
de lAcademie des Sciences. Vol. 243. P. 1183-1185.
[Rose A. 1956 b], Formalization du calcul propositionel implicatif a m-
valeurs de Lukasiewicz!I Ibid. Vol. 243. P. 1263-1264.
[Rose A. & Rosser J.B. 1958] Fragments of many-valued statement calculi //
Transaction of the American Mathematical Society. Vol. 87. P. 1-53.
306
[Rosser J.B. 1960] Axiomatization of infinite valued logics // Logique et
Analyse. An. 3. P. 137-153.
[Scala H. J. 1978] On many-valued logics, fuzzy sets, fuzzy logic and their
applications // Fuzzy Sets and Systems. Vol. 1. P. 293-311.
[Slaney J. K., & Bunder M. W. 1994]. Classical versions of BCI, BCK and
BCIW logics // Bulletin of the Section of Logic. 1994. Vol. 23. N 2.
P. 61-65.
[Slaney J. & Meglicki G. 1991] MaGIC (Matrix Generator for Implication
Connectives). Version 2.0. Notes and Guide, Technical report TR-ARP-
1/91, Automated Reasoning Project, Australian National University,
Cannberra.
[Sobocinski B. 1952] Axiomatization of a partial system of three-valued
calculus of propositions // The Journal of Computing Systems. Vol. 1.
P. 23-55.
[Takahasi M. 1970] Many-valued logics of extended Gentzen style II // The
Journal of Symbolic Logic. Vol 35, N 4. P. 493-528.
[Tanaka S. 1975] On л-commutative algebras // Math. Seminar Notes Kobe
Univ. Vol. 3. P. 59-64.
[Tarski A. 1936] Uber die Erweitrerungen der unvollstandigen Systeme des
Aussagenkalkiilus // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums.
Fascicule 7. P. 51-57. (Англ, перевод: On extensions of incomplete
systems of sentential calculus // Tarski A Logic, semantics, meta-
mathematics. Papers from 1923 to 1938. Oxford, 1956. P. 393-400; 2nd
ed. Indianopolis, 1983).
[Traczyk T. 1979] On the variety of bounded commutative BCA'-algebras //
Mathematica Japonica. Vol. 24. P. 283-292.
[Urquhart A. 1986] Many-valued logic // D. Gabbay & F. Guenthner (eds.)
Handbook of philosophical logic. Vol. Ill: Alternatives in classical
logic. Dordrecht: Reidel. P. 71-116.
[Vasyukov V. L. 1993] The completeness of the factor semantics for the
Lukasiewicz's infinite-valued logics // Studia Logica. Vol. 52.
P. 143-167.
[Wagner H. 1999] A new resolution calculus for the infinite-valued proposi-
tional logic of Lukasiewicz // Journal of Applied Non-Classical Logics
(to appear).
[Wajsberg M. 1935] Beitrage zum Metaaussgenkalktil I // Monatshefte fur
Mathematik und Physik. Bd. 42. S. 221-242. (Англ, перевод: Contribu-
tions to meta-calculus of propositions I // Wajsberg M. Logical Works.
Wroclaw: Ossolineum, 1977. P. 89-106).
[Wozniakowska B. 1978]. Algebraic proof of the separation theorem for the
infinite-valued logic of Lukasiewicz // Reports on Mathematical Logic.
Vol. 10. P. 129-137.
307
[Wronski A. 1983} BCL'-algebras do not form a variety // Mathematica
Japonica. Vol. 28. P. 211-213.
[ Yutani H. 1977] On a system of axioms of a commutative BCA"-algebras //
Math. Seminar Notes Kobe Univ. Vol. 5. P. 255-256.
[Zadeh L. A. 1965] Fuzzy sets // Information and Control. Vol. 8. P. 338-353.
Эпилог
[Лукасевич Я. 1959] Аристотелевская силлогистика с точки зрения
современной формальной логики. М.: ИЛ.
{Лукасевич Я. 1993] О детерминизме И Логические исследования. Вып. 2.
М.: Наука. С. 190-205.
[Лукасевич Я. 1999] В защиту логистики // Философия и логика
Львовско-Варшавской школы. М.: РОССПЭН. С. 219-232.
[Lukasiewicz J. 1929] Elementy logiki matematycznef 2nd ed. Warszawa:
PWN, 1958. (Англ, перевод: Elements of Mathematical Logic. N.Y.,
1963).
[Lukasiewicz J. 1970 a] Philosophical remarks on many-valued systems of
propositional logic 11 Selected works. Warszawa: PWN. P. 131-152.
[Lukasiewicz J. 1970 b] Logic and the problem of the foundations of mathe-
matics // Selected works. Warszawa: PWN. P. 278-294.
[Lukasiewicz J. 1970 c] A system of modal logic // Selected works.
Warszawa: PWN. P. 352-390.
Именной указатель
Аншаков О.М. 51
АбрамовицМ. 112-113
Аристотель 18,31,41
АрнольдИ.В. 115-116
Биркгоф Г. 26, 54
Бочвар Д.А. i, 50, 68, 98,
105-106, 151
Бухштаб А. А. 150, 177
Василенко О.Н. 171
Васильев Н.А. 30
Васюков В.Л. 33
Вайсберг М. i, 29, 68
Виноградов И.М. 112
Владимиров Д.А. 28
Волгин Л.И. 261
Гаврилов Г.П. 104
ГаекП. v
Гастев Ю. A. v
Гаусс К. 111
Гольдбах X. 182
ГонсетФ. 43
Гретцер Г. 24, 55
Григолия Р.Ш. i, 54, 69-70
73-74, 272
Емельянов Н.Р. 95
ЗадеЛ. iii,
Захарова Е Ю. 97
Карпенко А.С. ii-v, 12, 32-33,
89, 103, 114, 121, 128, 133,
139, 149, 152, 160, 163, 169,
172, 176, 179, 183, 270,
271, 273
Карри X. 53-54
Кейс лер Г. Дж. 261
Клини С.К. 47
КлозакК. 43
Комендантский В.Е. 50
Копытов В.М. 268
Котарбиньский Т. 44
Кофман А. 262
Кудрявцев В.Б. 94, 97, 104
Кузнецов А.В. 26, 94, 97
Ландау Э. 183
Левин В.И. 261
Линденбаум A. i, 29, 69
Лукасевич Я. i-v, 14, 29, 32-34,
38, 280-282
Мак-Нагон Р. i, 58, 107-108,
180, 182
Матиясевич Ю. В. 167, 174
Максимова Л.Л. 272
Марков А. А. 52, 57
Мендельсон Э. 19,59
Мередит К. А. 29, 266
Мундичи Д. v
Мучник А. А. 104
Нельсон Д. 57
Оттавиано Дж.М.Л. v
Павлов С. А. 48
Палмер Э. 146
ПосгЭ. i
Прахар К. 166
РасёваЕ. 43,53 54
Россер Б. i
РацаМ.Ф. 52, 104
Роуз A. i, 33
Рыбаков М.Н. 65
Рычков С.В. 51
309
СерпинскийВ. 115, 137
Сикорский Р. 53-54
Сильвестр Дж. 113
Сколем Т. 54
Скотт Д. i
Слупецкий Е. i, 30
Сметанин Я.С. 52
Смирнов В. А. 14
Собочиньский Б. 29
СтиганИ. 112-113
Тарский A. i, 29, 58
Твардовский К. 29
ТокажМ. 68
Тюркетт A. i, 37
Уркварт A. iv, 110
Финн В.К. v, 12, 50, 68, 90,
98, 105-107, ПО, 152, 176,
182
Харари Ф. 146
Хендри Г.Е. iv, ПО
Хомич В.И. 67
Хризипп 32
Цагер Д. 11,166
Чёрч А. 22, 43
Чиньоли П.Л.О. v
ЧэнЧ.Ч. i, 261
ШалакВ.И. 110,133,169,171
Шестаков В.И. iv, 98
Эсакиа Л.Л. 54-55
Эйлер Л. 111
Яблонский С.В. 92, 94, 96-98,
101, 104
Яглом И.М. 28
Янков В.А. 272
Янов Ю.И. 104
Яновская С. А. 94
AbadM. 57
Ackerman R. 63
Aguzzoli S. 71, 262
Anderson A.R. 273
Anshakov O.M. 51
AqvistL. 49
Ayoub R. 173
BaazM. 71
BalbesR. 25,73
Barton S. 93
Beavers G. 262,272
Belnap N.D., jr. 273
BechioD. 57
Beziau J.-Y. 78
BlythT.S. 54
Bocheriski J.M. 43
Boicescu V. 74
Bole L. 52, 92
BolkerE.D. 115
Boole G. 28
Borowik P. 52, 92
Bosbach B. 268, 279
Brady R.T. 60
Bryl J. 45,49-50
Bueno O.A.S. 78
BuffH.W. 265,268
Bunder M.W. 275
Burris S. 28, 61
Burton D M. 115
ByrdS.W. 85-86
Carmichael R D. 137-138
CamielliW.A. 71
Chang C.C. 74, 261, 263-264
Chapman T. 44
Chelakowski J. 78
Ciabattoni A. 71, 262
Cignoli R. 52-53, 67, 73-75,
310
264-265, 268 Clay R E. 68 da Costa N.C.A. 78 Crandall R. 166 Cszkary B. 95 Curry H. 43, 102	Herbrand J. 23 Herzberger H.G. 98 Heyting A. 51,53 HooC.S. 267,268 Hosoi T. 67 Iscki K. 266-267
Desboves A. 183 Deshouillers J.-M. 183 Doming X. 272 D'Ottaviano I.M.L. 268 DwingerPh. 25,73,96	Iturrioz L. 52, 55, 57, 72-73 Janowith M.F. 54 Jaskowski S. 60 Jordan Z. 33, 76
Epstein R.L. 36, 39, 49 Erdos P. 137 Evans T. 68	Kalman J. A. 26 Karpenko A. S. 50, 87, 134, 163, 169, 183, 271, 273-274 Klee V. 138
Fermuller C.G. 71 Figalla A. 57 Finn V.K. 98, 107 Font J.V. 266 FordK. 137 Frege G. 22	Kneale W. & M. 44 Komori Y. 36, 265, 272 KotasJ. 78 Lal M. 113 Lettieri A. 268 Lucas E 115
de Gallego M.S. 74 Gil A. J. 71 Gillard P. 113 Giles R. 262-263 Glaisher J.W.L. 113,115,128 GobelF. 138 Godel K. 66 Grigolia R. 69, 264 Gupta H. 115-116 GuyR.K. 137	Luchi D. 262 Lukasiewicz J. 22, 30-34, 38-39, 43, 51, 58-59, 61-63, 69, 83, 174, 259-260, 274, 277, 280-281 Maier H. 113 Malinowski G. 40, 50, 75, 77-78 Mangani P. 263 Martinez N.G. 268 Masai P. 138
Haack S. 42 HagisP.Jr. 138 Hajek P. 263, 268 HahnleR. 71,262 Hales A.W. 135-136 Hardy G.H. 183 Hendry H E. 98, 102-103, 109	Massey G. 102-103 Mates B. 32 McCallS. 42 McKinsey J.C.C. 54, 101, 162 McNaughton R. 68,177,261 Meglicki G. 278 Meredith C. A. 261
311
Meyer R.K. 78,273
Miyakawa M. 103
Moisil G.C. 25, 46, 52, 56-57,
71,73
Monk J.D. 28
Monteiro A. 53, 56 57
Monteiro L. 49, 52, 57
Mostowski A. 43
Mox Shaw-Kwei 43
Mukaidano M. 26
MundiciD. 261-262,264,268,
Narkiewicz W. 166
NoIaA.D. 71,268
Nowak M. 45
Olivetti N. 262
Ono H. 36
Palasiriski M. 279
Panti G. 265
Parks Z. 273
PinkawaV. 101
Pirog-Rzepecka K. iv
PlouffeS. 114
Popov V.M. 274
Pomerance C. 112,116,166
PostE.L. 19, 24, 85, 90, 103-104
Prijatelj A. 71,262
Prior A.N. 29, 40-42, 44, 84, 266
Prucnal T. 45, 49-50, 68
Pycaz J. 262
Quine W.V. 102
Rasiowa H. 26, 57
RauszerC. 54
Rechman F. 116,134
Rescher N. 37,50,52
Ribenboim P. 137, 167
te Riele H.J.J. 183
RineD.C. 84
Rodriguez A.F. 266-267
Romanowska A. 267
Rose A. iv, 63, 76, 103, 162,
261, 272-273
Rosenberg I. 95, 97-98, 101
Rosser J.B. 65, 67, 69, 99,
261, 263
Rousseau G. 71,101
Routley R. 78
Ruskey F. 146
Russell B. 24
Rychkov S. 51
RytinM. 133
Sankappanavar H P. 28, 55, 61
Saouter Y. 183
Scala H.J. 263
Schlafly A. 138
SchulzP. 136,138
Schwartz P.B. 68
Scott D. 76, 78, 79, 81, 83
Seeskin K.R. 42
SicoeC.O. 73
Slaney J.K. 275, 278
Sloane N.J. A. 114
Slupecki E. 38, 45, 49-50
Smiley T. 82
Spyroponlus K. 112
Stone M.H. 27
SuchonW. 72
SugiharaT. 42
SuszkoR. 77
Takahashi M. 71,262
Tanaka S. 267
Tarski A. 22, 54, 58-59,
62-64, 69, 174, 259-260,
266, 277
Thomas I. 67
Tokarz M. 49, 64, 70
Torrens A. 71,266
Traczyk T. 267
312
TrillesE. 272
Tsuji M. 78
Turquette A. 65, 67, 69, 73, 99
TuziakR. 70
Urquhart A. 63, 71, 76, 82, 84,
87, 107, 261
Valette A. 138
Valverde L. 272
Van Dalen D. 53
Van Fraassen B. 78
VarletJ. 57
Vasyukov V.L. 271
Verdu V. 71
Wagner H. 262
Wagon S. 138
Wajsberg M. 35, 69, 260
Wang Hao 47
WangY. 183
WebbD.L. 101
Whitehead A. 24
WilfH. 167
Wojcicki R. 49, 58, 75
Wolenski J. 31
Woodruff P.W. 40
WozniakowskaB. 273
Wroriski A. 267, 279
Yutani H. 267
ZachR. 71
Zadeh L.A. 263
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	i-vi
Введение	11
1. Классическая логика	высказываний	15
1 1 Логические связки	Истинностные таблицы	15
1 2 Законы логики	17
1 3 Функциональная полнота	19
13 1 Штрих Шеффера	20
1	4 Аксиоматизация Адекватность	20
1	5 Алгебраизация	24
2.	Трехзначная логика Лукасевича L3	29
2 1 Ян Лукасевич	29
2 2 Логический фатализм	31
2 3 Введение в логику третьего истинностного значения	33
2 4 Истинностные таблицы Аксиоматизация	34
2 5 Отличия трехзначной логики Лукасевича L3
от классической	36
2 6 Трехзначная модальная логика Лукасевича	38
2 7 Трудности интуитивной интерпретации L3	40
2 8 Погружение классической логики в U	47
2 9 Импликация Лукасевича и трехзна^ная
интуиционистская логика G3	51
2 10 Алгебраизация	53
3.	Конечнозначные логики Лукасевича Ъп	58
3 1 Логические матрицы	58
3 2 А-зиачная матричная логика Лукасевича	61
3 3 Некоторые свойства LB	62
3 3 1 Отношения между коиечнозначнььми логиками
Лукасевича	62
3 3 2 Степень полноты для L„ (появление простых чисел) 63
3 3	3 J,-операторы	65
3 3 4 L„ и и-значные логики Геделя GB	66
3 3	5 Функтор Слупецкого для L„	67
3 3 6 Критерий Мак-Нотона об определимости операций в LB 68
3 4 Аксиоматизация LB	68
3 5 Алгебраизация LB	71
4.	Интерпретации Ln	76
4 1 Тезис Сушко	77
4 2 Метод Скотта	78
4 3 Интерпретация Уркварта	82
4 4 Фактор-семантика	85
314
5.	Логика как функциональная система	90
5 1 Логики Поста	90
5 1 1 Функциональная полнота Рп	92
5 2 Оператор замыкания, полнота и предполнота классов
функций	94
5 2 1 Максимальная и-значная	непостовская логика	98
5 2 2 Базисы Штрих Шеффера	для Р„	100
5 2 3 Штрих Шеффера для L„	101
5 2 4 Континуальность£3	103
5 3 Функциональные свойства Е„ (Теорема В К Финна) 105
53 1 Еще одно доказательство (А Уркварт)	107
6.	Структурализацня простых чисел	ПО
6 1 Разбиение множества логик Лукасевича L„+I на классы
эквивалентности относительно свойства предполноты	110
6 2 Построение классов X +1	(обратная функция Эйлера)	114
6 3 Графы для простых чисел	120
63 1 Гипотеза о конечности корневых деревьев	134
6 4 р-абелевы группы	135
6 5 Сокращенные корневые деревья	139
7.	Матричная логика для простых чисел	149
7 1 Характеризация простых чисел посредством матричной
логики Kn+i	149
7 11 Функциональные свойства логики К„+1	152
7 2 Матричная логика К'„+1	159
7 3 Штрих Шеффера для простых чисел	161
7 3 10 формуле для простых чисел	166
7 4 Закон порождения классов простых чисел	168
8.	Характеризация классов натуральных чисел
логическими матрицами Лукасевича	174
8 1 Простые числа	174
8 2 Степень простого числа	176
8 3 Четные числа	179
8 4 Нечетные числа	181
8 5 Несколько замечаний (в том числе и о проблеме
Гольдбаха)	182
ТАБЛИЦЫ ЧИСЕЛ
Таблица! Степень кардинальной полноты у(Е„)	187
Таблица 2 Значения обратной функции Эйлера ср \т)	207
Таблица 3 Мощность корневых деревьев Тр н С К Д	245
Таблица 4 Значения функции i(p)	255
315
ПРИЛОЖЕНИЕ
Бесконечнозначная логика Лукасевича	259
1	Аксиоматизация	259
2	Алгебраизация	263
3	Дискретная логика «,	269
4	ВСКХ - независимая аксиоматизация импликативного
фрагмента	272
Эпилог (единственный в своем роде)	280
Литература	283
Именной указатель	309
Contents	317
CONTENTS
Preface	i - vi
Introduction	11
1.Classical propositional logic	15
1 1 Logical connectives Truth-tables	15
12 The laws of logic	17
1 3 Functional completeness	19
1 3	1 Sheffer's stroke	20
1 4	Axiomatization Adequacy	20
1 5	Algebraization	24
2.	Lukasiewicz's three-valued logic L3	29
2 1	Jan Lukasiewicz	29
2 2	Logical fatalism	31
2 3	Introduction to logic the third truth-value	33
2 4	Truth-tables Axiomatization	34
2 5 Differences Lukasiewicz's three-valued logic L3
from classical logic	36
2 6	Three-valued modal Lukasiewicz's logic	38
2 7	Difficulties in intuitive interpretation of L3	40
2 8	Embedding classical propositional logic into L3	47
2 9 Lukasiewicz's implication and three-valued
intuitiomstic logic G3	51
2 10 Algebraization	53
3.	Lukasiewicz's finite-valued logics Ln	58
3 1 Logical matrixes	58
3 2 А-valued matrix Lukasiewicz's	logic Ln	61
3 3 Some properties of L„	62
3 3 1 Relation between finite-valued matrix Lukasiewicz's logics 62
3 3 2 Degrees of completeness of L„ (the first appearance of
prime numbers)	63
3 3	3	J,-operations	65
3 3	4	L„ and и-valued Godel's logic G„	66
3 3	5	Slupecki's function for L„	67
3 3	6	McNaughton criterion of definability of operations in L„	68
3 4 Axiomatization of L„	68
3 5 Algebraization of L„	71
4.	Interpretations Ln	76
4 1	Suszko's thesis	77
4 2	Scott's method	78
4 3	Urquhart's interpretation	82
4 4	Factor-semantics	85
317
5.	Logic as functional system ..................................... 90
5.1.	Post's logics P„.......................................... 90
5.1.1.	Functional completeness of P„........................... 92
5.2.	Closure operation, completeness, and precompleteness
of classes of functions ..................................... 94
5.2.1.	Maximal и-valued non-Postian logic ..................... 98
5.2.2.	Bases. Sheffer's stroke for P„......................... 100
5.2.3.	Sheffer's stroke for L„................................ 101
5.2.4.	Continuity of L3....................................... 103
5.3.	Functional properties of L, (V.K.Finn's theorem)......... 105
5.3.1.	One more proof (A.Urquhart)............................ 107
6.	Structuralization of prime numbers............................. 110
6.1.	Partition of the set of Lukasiewicz's logics L„+I relative
to the precompleteness property ............................ 110
6.2.	Constructing of the classes Xp +1 (inverse function
of Euler) .................................................. 114
6.3.	Grapfs for prime numbers ................................ 120
6.3.1.	Hypothesis about finitness of rooted trees ............ 134
6.4.	p-Abelian groups........................................ 135
6.5.	Canceled rooted trees ................................... 139
7.	Matrix logic for prime numbers................................. 149
7.1.	Characterization of prime numbers by matrix logic AT„+/ . 149
7.1.1.	Functional properties of logic K„+t.................... 152
7.2.	Matrix logic K'„+l....................................... 159
7.3.	Sheffer's stroke for prime numbers ...................... 161
7.3.1.	On formulae for prime numbers ......................... 166
7.4.	The law of prime numbers (classes) generation ........... 168
8.	Characterization of classes of natural numbers
by Lukasiewicz's logical matrixes............................... 174
8.1.	Prime numbers............................................ 174
8.2.	Degree of prime number................................... 176
8.3.	Even numbers ............................................ 179
8.4.	Odd numbers.............................................. 181
8.5.	Some remarks (including Goldbach conjecture)............. 182
TABLES OF NUMBERS
Table 1.	Degrees of cardinal completeness y(L„) ............. 187
Table 2.	Values of inverse function of Euler cp'(w)...........207
Table 3.	Cardinality of rooted trees Tf and cardinality
of canceled rooted trees.....................................245
Table 4.	Values of function z(p)..............................255
318
APPENDIX:
Lukasiewicz's infinite-valued logic L«,...........................259
1.	Axiomatization of .......................................259
2.	Algebraization of L„.....................................263
3.	Discrete logic ..........................................269
4.	BCKX - an independent axiomatization of implicational
fragment of .................................................272
Epilogue (unique the only one of its kind)........................280
References........................................................283
Author index......................................................309
Научное издание
Карпенко Александр Степанович
Логики Лукасевича
и простые числа
Утверждено к печати Ученым советом
Института философии РАН
Зав. редакцией Р. С. Головина
Редактор Е. А. Жукова
Художник Т. В. Болотина
Оригинал-макет выполнен
в Институте философии РАН
ЛР № 020297 от 23.06.1997
Подписано к печати 27.11.2000
Формат 60х90'/16. Гарнитура Таймс
Печать офсетная
Усл.печ.л. 20,0- Усл.кр.-отт. 20,0. Уч.-изд.л. 19,6
Тираж 700 экз. Тип. зак. 3671
Издательство “Наука”
117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., 90
Санкт-Петербургская типография “Наука”
199034, Санкт-Петербург В-34, 9-я линия, 12
ISH4 5-02-013048-6