Текст
                    @
БИБЛИОТЕЧКА .КВАНТ.
ВЫПУСК 21
B.r. БОЛТЯНСКИЙ
В.А. ЕФРЕМОВИЧ
НАrЛЯДНАЯ
тополоrия
ПОД редакцией
С, П. НОВИКОВА
lf1Jl)
е
МОСИВА «НАУНА»
rЛАВНАЛ РЕДАI\ЦИЛ
ФИ3ИRО.МА ТЕМАТИЧЕСНОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1982


22.15 Б 79 УДК 513.83 р Е Д А R Ц И О Н Н А Я R О jJ: Л Е r и Я Академик и. К. Кикоин (председатель), академик А. Н. ROJl- иоrоров (заместитель председателя), доктор физ.мат. наук л. r. АСJlамазов (ученый секретарь), членкорресповдент АН СССР А. А. АбрИRОСОВ, аRадеМ:ИR Б. К. Вайвmтейн , эаслуженный учи.. тель РСФСР Б. В. Во3ДВЮI(евсй, академик ' В. М. i'лушков !, ака- демии п. л. Rапица, профессор с. П. Капица, аI\адемик с. п. Но- виков, аRадеМИR 10. А. Осипьяп, аRадемик АПН РСФСР В. r. Ра- зумовский, аRадемик Р. 3. Саrдеев, иавдидат ХИМ. наук М. л. Смо- лянский, профессор я. А. Смородинский, академик С. л. - Соолев, членкорреспондент АН СССР д. К. Фаддеев, члевкорресповдевт АН СССР и. с. ШМОВСRИЙ БОJlТЯНСRИЙ В. r., Ефремович В. А. Б 79 Наrлядная тополоrия....... М.: Наука. rлавная peдaK ция фИ3ИRоматематической литературы, 1983.160 с. (Библиотечка «Квант», Выи. 21). 25 коп. Тополоrия .... сравнительно молодая математичесиая на уна. При- мерно за сто лет ее сущестнованин в ней достиrнуты резуль'rаты, важные для мноrих разделов М8тематини. Поэтому пронинновение в «(мир тополоrии» для начинающеrо нескольно затруднительно, так 1\ак требует знания мноrих фантов rеометрии, алrебры, анализа и друrих разделов математини, а T81-0Re умения рассуждать. Нниrа написана пр()сто и наrлядно. В форме, доступной для по- вимания школьников, ()на знаномит чи'rаТелн с идеями тополоrии, ее основными понятиями и фантами. Большое количество рисунков облеrчает усвоение материала. Этому же способствуют свыше двух- сот задач. Для шнольнинов, преподаватеJ"1ей, студентон. t702040000134 Б 053(02)82 (\Б93282 ББК 22.15 517.6 1702040000134 Б 053 (02) --82 I\Б932--82 @ Издтельств() «Науиа rлавная реданция физинматематиqеСкОА пИ'Jeратуры, 1982 
ПРЕДIIСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ,... Простейmие идеи тополоrии возникают из пепосредственноrо наблюдения за ОКруiкающим миром. Интуитивно ясно., что высказывания о rеометрических свойствах Фиrур не вполне исчерпываются сведениями об их «м:етрических» свойствах (размерах, уrлах и Т. д.). Остается еще «кое"что» за пределами старой rеометрии. l\аI\ОЙ бы длинной ни БЫJIа липия (веревка, про вод, длин" пая :моленула), она м:ожет быть замкнутой или нет; если ЛИНИЯ заiкнута, то она 1tIOiKeT СЛОЖНЫ1tf образом «зауз... ляться>}. Две (или более) замкнутые линии MorYT «зацеп-- JIЯТЬСЯ>} одна с друrой и притом различными способами. Тела, их поверхности, MorYT иметь «дырки». Эти свойства тел харантеризуются те:м:, что ОНИ не l.iеБЯЮТСЯ при дефор l\IаЦIIЯХ, ДОПУСRающих любые растяжения без разрывов. Тание свойства и называIОТСЯ тополоrическими. КрО:МО эле:ментарных rео:м"етричеСRИХ Фиrур, тополоrическими свойствами обладают 1\lноr:ие чисто математические объек ты, И именно это определяет их вая,пость. Однако леrче под1tfетить существование тополоrических свойств Фиrур, чем создать их «исчисление», т. е. раздел м:атематики, обладающий точными понятиями, строrим:и заRонами и ?Iетодами, матеl\lатическими формулами, изо" браiнающими тополоrические величины. Первые вал\ные наблюдения :и точные G.'ополоrические соотношения были найдены еще Эйлером, rayccoM и Ри" ltlапом. Tei не :менее, без преувеличения MOjHHO СI\азать, что тополоrия как раздел науни основана в конце XIX ве... на А. Пуанкаре. Процесс построения тополоrии и реше-- ния ее внутренних задач оказался трудны:м и длительным: оп продолжался не ltleHee 7080 лет, наполненных rлубо... RИМи открытиями и, В ряде случаев, даже пересмотроыI ОСнов. В нем: принял участие ряд наиболее выдающихся математиков CB oero вре:мени, включая совеТСRИХ *). На *) Советская топоп:оrическая школа возникла в Москве, в 20..х !rодах вашем Bel(8, Ее созиатели  П. с. :Vрысоп и п. с. Алексавпров. з 
протяжении мвоrих лет, приблизительно до нонца 50..х rодов тополоrия рассматривалась даже матемаТИRами дру" rих областей кан красивая, но бесполезная иrрymка. Автор этих строк должеR- откровенно признаться, что еще в студенческие времена, в 50x rодах, выбрал себе эту область для будущей деятельности, увлеченный ее кра... сотой и необычностью по сравнению с более традицион" ными разделами матемаТИRИ, и при этом значительное время (до конца 60..х rодов) испытывал неудовлетворев'" ность итоrами развития этой области именно изза недо- статка приложений. Следует заАfетить, что ряд нрасивых тополоrичеСRИХ закономерностей в друrих разделах ма- те:маТИRИ был уже R тому времени обнаружен...... в теории фУНRЦИЙ и комплексном анализе, в Rачественной теории u динамических систем и уравнении С частными производ выми, В теории операторов и дaHe в алrебре. Однако лишь с начала 70...х rодов началось интенсивное проникновение методов тополоrии в аппарат современ- ной физики. Сейчас важность тополоrичеСI\ИХ методов ДJIЯ различных разделов физики уже не вызывает сомнений ......... для теории поля и общей теории относительности, фИЗИRИ анизотропных сплошных сред и низких температур, со. вре:м:енной квантовой теории и т. д. Это приводит R необ. ходимости появления достаточно элементарных популяр- ных книr по тополоrии и ее приложеНИЯ?I, доступных (хо.. тя бы частично) дЛЯ ШRОЛЬНИRОВ старших классов исту" дентов Аlладших курсов с естественнонаУЧНЫ}IИ и техни. чески:ми интересами. Эта книrа написана известными тополоrами и rеомет- рами В. r. БОЛТЯНСRи?tI и В. А. Ефремовичем, ROTOpble MHoro лет посвятили работе, направленной на поуляри. зацию идей тополоrии. R книrе добавлено Приложение t посвященное изложению одноrо интересноrо применввия о:ополоrии в теории нематичеСRИХ ЖИ;ЦRИХ Rристаллов.  Автор Приложения, В. п. Минеев., внес значительный ВRлад Во внедрение методов тополоrии в теоретичеСRУЮ ФИЗИRУ. lы надееIСЯ, что Rниrа будет весьма полезна ШИРОК()4 AIY Kpyry читателей. с. п. Новипов 
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРОВ (\ Тополоrия ....... сравнительно молодой и очень паiКНЫЙ раздеJI l\Ifiтеl\lаТИI\И. Известный Французски ма- те1\lатиН Андре Вейль сназаJl, что за душу каiкдоrо :мате- ыатика борются анrел тополоrии и дьявол абстрактной а.лrебры, выразив зтпм, во...первых, необычайное изяще-- ство и красоту ТОТIОJIоrии И, во-вторых, то, что вся совре... менная ма'rемаТИКf:l представляет собой причудливое пере- плетение идей тополоrии и алrеБрыI. А за последнее время ТОПОJIоrия все более ПРОНИRает в физику, химию, биоло- rию ...... один пример применения идей тополоrии в физике читате:lЬ найдет в IIРИЛОiнении, написанном В. п. lVIинее- Bbll. Однано проникновение в волmебный мир ТОПОJlоrии затруднительно. Подобно тому, "ан строительные леса, ОКруiН8Iощие недостроевное здание, MemaloT охватить . взrлядом ирасоту архитектурноrо З3l\lысла, так мноrочис- ленные и утомительные детали построения, заПОЛНЯIощие книrи по тополоrии, заТРУДIIЯIОТ охватить мыIленныы1 B30pOl\1 f{расивое здание этой 1\18теrvlзтичеСI\ОЙ НВУНИ. Да- н,е СIIеЦИВЛИСТЫl\lатеl\lатини нередко отступаIОТ перед ТРУДНОСТЯl\IИ па пути овладения тополоrией (особенно аЛ'" rебраичеСJ\ОЙ ТОПОJI0rией, первоначаЛЬНЫl\f идеЯl\1 ноторой '""Посвящена третья часть этой J\пиrи). Все это делает очень важным написание попули рных книr по тополоrии. Первая J\пиrа TaRoro рода была вы- пущена в нашей стране епе в середине 30x rодов *). Впоследствии, начиная с 1957 r., во 2I.И 31\i,4""M и 6M вы... пусках «l\lатеl\lатичесноrо просвещения» была опуБЛИНОВRпа по частям наша книrа «ОчеРI\ основных идей ТОПОJlоrии» (в ПОJIыпе, Японии и Венrрии I\ниrа БыIl3a выпущена OT дельным издание:м). Однано обе книrи давно уже стали библиоrрафичеСJ\оii peдKoc.Tы.. В предлаrаеМУIО в н Иl\I а.. пию читателя книrу ВКЛlочена часть l\lатериала из «Очер- Ia», в связи с чем В. А. Ефремович является одним из *) А JI е к с а в Д р о в п. с., Е фре м о в и ч В. А. Очерк основных повятий тополоrии. М.. 1936. 5 
авторов квиrи (и. кстати, основным ИНИЦИ8ТОрО:М: написа- ния OepKa. и проведения популяризаторской работы в области тополоrии). Однако б6льmую часть текста я Ha писал заново (с учетом некоторых научных результатов, полученных за последние rоды). Кроме Toro, я включил в книrу свыше двухсот задач  ведь чтение научной книrи (даже популярной) лишь тоrда приносит пользу, коrда самостоятельно размышляешь над излаrаемыми вопро- сами. Пользуюсь случаем поблаrодарить с. п. Новикова за ценные замечания, 8 также всех читателей, которые за- хотят высказать мнение об этой книrе и замечания к ней. В. r. ВолтяJ-tспий * * * Это издание подrотовил к печати В. r. БОЛТЯНСRИЙ, значительно переработав и дополнив материал Hamero «Очерка». За все это искренне ero блаrодарю; BblpaJI\8IO также признательность с. п. Новикову за ценные за:меча- НИ1! и поддержку. В. А. Ефремович 
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ тополоrил линии t. Идея непрерывности в OCHOBe в истоках I\аждоrо отдела мате.. мати:ки можно видеть о с н о в н у ю и Д е ю, которая пронизывает всё ero здание и определяет ero лицо. Основ.. ной идеей тополоrии является идея непрерывности. Она встречается уже в ?\tlатематическом анализе, но, подчи" венная друrим идеям анализа, не получает там заметноrо развития. Свое полное и всестороннее развитие идея не.. прерывности получает в тополоrии. Приведем два прим:е" ра применения этой идеи. IIример 1. По:кажем, что кубическое уравнение х 3 + ах 2 + Ьх + с :::::: О (1) с произвольными действительными :коэффициентами а, Ь, с имеет, по крайней м:ере" один действительный корень. Запишем уравнение (1) (при х =р О) в виде а;3 ( 1 +  +  -+ ..!... ) == о. z з;2. х 8 При очень большом I fX I слаrаемые ..2:... t Ь 2 , :q очень х х .,, малы по модулю" а выражение в скобках мало отличается от единицы,и потому положи.. тельно. Следовательно, при очень большом I х I левая. часть уравнения (2) имеет тот же знак, что и хВ, Т. е. тот же знак, что и х. Иначе rоворя, пр,и большом отрицательном х (ТОЧ.. на хо на рис. 1) левая часть уравнения (1) отриц а те JI ь- п а, а при большом положи.. G.'ельном х (точка хl) она п о- п о ж и т е п ь п а. Так RaK rрафик является непрерыв- ной привой, то, переходя с ОДНОЙ СТОрОНЫ оси абсцисс на (2) а  х, :n Рис. 1. 'l 
друrую (из точки Ро в точку Рl)' он пересечет эту ось хотя бы в одной точке. Точка х' пересечения rрафика с осыо абсцисс и дает корень уравнения (1). Задачи 1. Докажите, что всякое уравнение печетпой CTe пепи с действительными RоэффициеН'Iами имеет хотя бы один дей ствительный корень. 2. Докажите, что если в уравнении (1) свободный член с отри.. цателеп, то это уравнение имеет хотя бы один положительный норевь. Пример 2. Покажем, что. BORpyr ВСЯRОЙ заМ:RНУТОЙ RрИВОЙ К можно описать нвадрат. Про ведем две параллельные прямые l, l' так, чтобы Rривая К была расположена в полосе между ни:ми, и бу.. дем пере:м:ещать сначала прямую l, а затем l' параллельно + K + а) l' ..... l В ",(1) т' fY u т l А l о) 8) Рис. 2. себе, до тех пор, ПОRа они не RОСНУТСЯ RРИВОЙ К. Получен- ные прямые т, т' (рис. 2, а) называются параллельныии между собой опорными nрямыми линии К. Проведем еще две опорные прямые, перпендикулярные l (рис. 2" б). Мы получим описанный BORpyr линии К прямоуrольпик ABCD. Докажем, что при некотором направлении прямой l прямоуrОЛЬНИR ABCD превратится в квадрат. Обозначим длину стороны AD, параллельной l" через h 1 (l), а длину стороны AB перпеНДИRУЛЯРНОЙ l...... через 8 " 1 
 (l). Описанный прямоуrольник будет квадратом при пl ( l) ....... 12 (l ) == о. Пусть [..... прямая, перпендикулярная l. ОписаннЫЙ прям:оуrольпик со сторонами, параллельными и перпенди- RУЛЯРНЫ:МИ l, совпадает с Te?tl же ПРЯ}lоуrольником ABCD, во параллельной l является сторона АВ, а перпендикуляр- вой l  сторона AD, т. е. h 1 (1) == I АВ I == п 2 (l), п 2 (1) ==1  I AD I == h 1 (l). Таким: образоJ.tl, h 1 (1) ...... h 2 (1) == ...... (h 1 (1) ...... h 2 ( l». (3) Будем теперь поворачивать прямую l, пока она не совпадет с 1. При это:м описанный прямоуrольник будет плавно ?\fеняться, а равность h 1 (l) ....... h 2 (l) будет н е п р е.. рыв п о вависеть от l. Но при переходе от l к 1 эта раз- ность меняет впаI{ (СМ. (3». Следовательно, при своем не-- прерывно:м ив:м:енении она (при некотором положении прямой l) обращается в нуль, Т. е. описанный прямоуrоль" ВИI{ преврапается в квадрат (рис. 2, в). Задачи 3. ДОl\ажите, что BOI{pyr вслкой замкнутой криво ii К МОiНПО описать ромб с уrло:м 600. 4. ДОl\аiI\ите, что если диаметр ПЛОСRоii фиrуры НО превосходит d (Т. е. расстояние :меi-НДУ любыми ее точками не больше d), то суще ствует правил f,НЫЙ ПJестиуrОЛЬНИR, содержащиiI эту фиrуру, у I{o" Toporo расстояние мжду противоположными сторонами равно d. 5. Докажите, что если диаметр простраIIственноii фиrуры но превосходит а, то сущеС'РВует правильныii ОRтаэдр, содержащий эту фиrуру, у KOToporo расстояние меJRДУ ПрОТИВОПОЛОiIПIЫl\ПI rpa иями равно d. В тополоrии рассматриваются функции наиболее об- щеrо вида. Задать фУНI\ЦИЮ ........ это вначит каiI\ДОЙ точке х neKoToporo :множества А (области определенuя функции) поставить в co ответствие определенную ТОЧRУ f (х) HeKoToporo друrоrо множества В. ro ворят в этом случае таRже, что зада по отображеnие f множества А в ':м:ножество В. Кратко это ваписывают в виде f: А  В. Пример 3. Обовначим: через А Рис. 3. контур paBHocTopoHHero треуrольни-- на, а через В  описанную BOKpyr Hero о круя\" ность (рис. 3). Тоrда цеnтралъnое nрое-птироваnие р то.. чек множества А на окружность является отображением р: А  В. 9 
ФУНКЦИЯ f: А  В павывается Henpepbl8иoU в точне ж о Е А, если для х, «мало» отличаIОЩИХСЯ от хо, значе- ния f (х) и t (хо) тоже «мало» отличаются друr от друrа.. Более точно, фунпцuя t (х) непрерывна в точr;е Хо, если для лю- 6020 числа 8 > О .можно подобрать п1ar;oe число б.> О, Чlпо ОЛЯ ЛЮ- 6080 :.с, отстоящ еео от ХО .менее че.Аt на б, cooпtaeтC111 ВlIющее 8наченuе f () отстоиln от f (Хо) .менее че.м на В. Это определение имеет смысл, если и в множестве А, и в множестве В определено раСС1nоянuе ме- жду точками. Чтобы яснее понять, что такое непрерывность отображения, рассмотрим пример р а эры в а, т.. е. нарушения непрерывности отображения. Возьмем обычную реэинку, RОТОРУЮ применЯIOТ в ап.. теке для упаковки лекарств. Она имеет форму окружности'. Будем ее осторожно деформировать, и вдруr она ввекоторой с,воей ТО'1н:е а разорвется. Что это эначит? НеI{оторая ее часть В (рис. 4, а) , 6 GBI Ooooop iJo разрыВа lJосле разрыВа б1 а) / Рис. 4. Rоторая была «близка» к а (т. е. находилась от нее на н у л е в о 11 расстоянии), после разрыва (теперь ее обозначим через В') оказы- вается вовсе не близкой к а' (новое положение точки а). Итаl(, раз. рыв в точке а  зто такое событие, коrда некоторая часть В..фиrУРЫ f бывшая paHblIIe близкой к а (пишем: ЕВа), становится неблиэкой к новому положеншо а' точки а. Теперь понятно спед}'ющее определение: Отображение t: :.с ...... Х' называется непрерывным в точке а, если всякая часть В отображаемой фиrуры. бывшая близкой к а (Т. е. Вба), после отображенм переходит в положение В(, БЛИЗJ\ое R ТОЧRQ, а' == f (а) (т. е. В'ба'). М ожно доказать, что это определение эквивалентно приведен- вому выше определеВИIО. Если отображение '! А  В непрерывно в R а ж Д о ii точне хо 1'tlножества А, то rоворят просто, что отображение f непрерывно. Наrлядно непрерывность отображения ыIжноo себе представить, сказав, что «БЛИЗRие» точки мно- л\ества А переходят в «близкие» точки Ш{ожества В" Т. е. при отображении f не происходит р а 8 рыв о в, нару- шения цельности множества А. 3аметим, что при этом раз- личные точки множества А MorYT образовывать «спайки. (рис. 4, б), кладки» и т. п. {О 
ЗадаЧD 6. Докажите, что отображение, рассмотренвое в пр имере 3, непрерывно. 7. Для произвольноrо действительноro а обозначим через f (а) наибольший из Rорней уравнения x...... 3:1: + а == о. Является ли функция f (:1:) непрерывной? 2. Чем занимается ТОПОJlоrия? Отображение f: А -+ В называется взаимно оди08иачньt.м, если в каждую точку множества В отобра.. ,.кается точно одна точка множества А. Это означает, что, во..первых, никакие две различные точки множества А не переходят в одну и ту же точку множества В (не «склеи- ваются» при отобра)нении f) и, во"вторых, К а ж Д а я точка множества В поставлена в соответствие некоторой точ:ке l\fнол,ества А (Т. е. А отображается н а в с ё множество В, а не на ero часть). Для взаимно однозначно ro отобра)l\ения f: А  В можно определить об ратное отображение /"'1; В  А (которое каждой точке у Е В ставит в соответствие точку множества А, переходящую в у при отобраiкении f). Отображение /3 А  В называется ео.меожорфны.,-и отобраlсеиuе.м (или ео.мео.морфuв,J,f,О.м) , если оно, во...пер- вых, в з а и 1\1 Н О О Д Н О З н а ч н о и, во"вторых, В з а и м н о н е п р еры в н о" т. е. не только Cal\-IO отобрал,ение f непрерывно, но и обратное отобрал,ение '--1 та:кже непрерывно. IIаrлядно rомеоморфизм можно представлять себе :кан таное отображение одноrо :м:ножества на друrое, которое происходит и без разрывов, и без склеиваний. Например, буде?\'1 считать, что фиrуры А, В «иэrотовлены» из очень прочноrо и эластичноrо l\Iатериала, и будем ДОПУСI{ать ЛIО.. бые растял\ения и искривления этоrо материала без раз.. рывов и без образования СI{ладок и склеек; если мы СМО" iHe:t.rI при этих условиях «наложить» Фиrуру А на В, ТО они rомеоморфны. Так, контур треуrольника (или, вообще, JIIобоrо ltIноrоуrольника) rом:еоморфен окружносm; Пример 4. Поверхность шара, поверхность I\уба, ци- линдра ....... все rомеОl\fОрфНЫ между собой. Однако эти по.. верхности не rомеоморфны тору (который MOiRHO наrляд" НО представить себе как поверхность баранки или aBTO мобильной камеры, рис. 5). Поверхность rири (рис. 6) rомеоморфна тору. Пример 5. Будем представлять себе буквы PyccRoro алфавита в виде линий. Буквы r, Л, М, [1, С rомеОl\IОрфНЫ 11 
между собой. БУI\ВЫ Е, У, Т, Ч, Ш, Ц, Э таите rO:Meo" морфны ltlеiНДУ собой, но не rомеоморфны Уl\азавным ра.. нее БУRва:м:. Буква О не rомеОМОрфllа ПИRаRОЙ друrой буи.. ве pycCRoro алфавита. Пример 6. Пусть А  ПОЛУОI\РУЖПОСТЬ С центром о, из I\ОТОрОЙ ПСI\лючевы Бонцевые 'l'оqки 1т, n, а В ..... касатель'" Рис. 5. Рис. 6. пая R ПОЛУОI{РУЯПОСТИ, параллельнnя диаметру тп (рис. 7). Центральное проеRтирование ра А -+ В из цент.. ра о является rомеоморфизмом. ТаRИМ образом, прямая rомеоморфва ПОЛVОRDVЖНОСТИ без Rонцевых точеl{. т п Рис. 7. в СDОЮ очередь ПОЛУОRРУЖНОСТЬ rомеоморфва отревну (ее можно распрямить). Следовательно, прямая 80жео.. жорфпа oтпpbtтOMY отре8пу (Т. е. отреЗRу, из ROToporo выброшены :концевые точки). Задачи 8. ДОRашите, что фиrура, ЯВJIяющаяся объедиве- пием БОI(ОБОЙ поверхности цилиндра и ero нижнеrо основания «<ста- laB») t rомеоморфна Rpyry. 9. ДОRашите, что ПJIоскость rомеоморфна отнрыто:му Rpyry (Т. е. Kpyry, R БОТОрОМУ не ПРИЧИСJIЯЮТСЯ ТОЧRИ оrраничивающей cro ОRРУШВОСТИ). а 'Ханже сфере. из которой «ВЫRОЛОТЮ> (уР.алепа) одна точка. 12 
10. Докажите, что фиrуры, изображенные на рис. 8 (лепта, rомеомор+ная боковой поверхности цилиндра, и дважды перенру'" ченная лента) rомеоморфны между собой *). Поучительно сравнить понятие r о м е о м о р Ф и з.. м а и понятие к о н r р у э н т н о с т и фиrур. В reo... метр ии рассматриваются отображения, сохраняющие рас... стояния между точками. Они называются двuжеnияжи (или перемещениями). В резуль- тате движения каждая фиrура перекладывается на новое место как твердое целое, без измене.- пия расстояний. Две фиrуры, которые пере'водятся одна в дру.. а) rую ( «совмещаются») с помощью движения, называются l'i,OHapy.. энтныжи и рассматриваются как одинаковые, как не отли-- чающиеся (с rеометрической точки зрения) друr от друrа. В тополоrии рассматриваlОТСЯ Рис. 8. отображения, более общие, чем движения, а именно r о м е о м о р Ф н ы е о т о б .. р а ж е н и я. Две rомеоморфные между собой фиrуры pa сматриваются (с тополоrи-ческой точки зрения) как одина- ковые, не отличающиеся друr от друrа. Те свойства фuаур, l'i,omopble не uаженяются при аОJпеожорфnых ото... 6раженuях, nавыlаютсяя т о n о Jt О а и ч е с l'i, U Jп и свойстважи фuzур, или т о n о л о е и ч е с l'i, U ж U U н в а р U а н т а Jп и (от латинскоrо слова invariant ...... неизменный). Изучением тополоrических свойств фиrур и занимается тополоеuя. Задачи t t . Если Фиrура А состоит лишь из конечпоrо чис- ла точек, то через n (А) обозначим число ее точе:.; если же фиrураА содержит бесконечно MHoro точен, то условимся писать n (А) == 00. Является ли n (А) тополоrичеСRИМ инвариантом? 12. Фиrура А называется в.аожu.м,ой в п.аос"ость, если она ro- меоморфна некоторой фиrуре. лежащей в плоскости. Например, «c'FaKaH» (задача 8) ВЛОiJПIМ в плоскостъ. Является ли свойство фи- rypbl быть вложимой В плоскость тополоrическим инвариантом? *) На рис. 8 (и следующих) поверхности изображены «толсты ШП). т. е. кан бы изrотовленвыии иа HeKoToporo материала. Ч ита тель должен иметь в виду. что зто сделано тольно для наrлядности, п должен представлятъ себе «математичеСl(ие» поверхности, не имеющие ТОJIЩИНЫ. 13 
Не следует ДYM:aTЬ что любые две rомеоморфные }IеjI\ДУ собой фиrуры ыIжноo перевести одну в друrую, изrибая, растяrивая и пере:м:ещая их (без разрывов и СRлеиваний) в про с т р а н с т в е. Например, фиrуры, изображен. JIble на рис. 8, н е л iЬ 8 SI перевести одну в друrую та- НИМ способом, они «неодинаково расположены» в прост- ранстве. Верхнюю ленту нужно раз рез а т ь и затем, дважды перекрутив" снова склеить по тем: же самым tfОЧRам; лишь после этоrо ее удастся СОВl\lестить со второй лентой. Этот прием (разрезание фиrуры, а затем:, после над- лежащеrо раСТЯ)I\ения, перемещения ее частей ....... обрат.. !пое склеивание) часто используется в тополоrии для дока- зательства rомеоморфности двух фиrур. «ОдинаRОВОСТЬ расположения» двух фиrур в простран- стве (или в объемлющей их фиrуре) уточняется понятием иаотопии. rоворят, что две rомеоморфные фиrуры А и В и80тoп1lb в объе1\fлющей их фиrуре Р (или, иначе" тоnо- .лоаuчеспu одинаково распО/tожень в Р), если существует rомеОI\:Iорфное отображение фиrуры Р на себя, при кото- ром: фиrfра А переходит в В. Ленты на рис. 8 t'rомеоморф. вы, но н е и 8 о Т О П н ы друl' друrу в пространстве (доказательство этоrо будет дано ниже). О свойствах расположения можно rоворить, если задана пара фuаур: фиrура А и объемлющая ее фиrура Р. Изучением свойств расположения (т. е. изучением тополоrичеСRИХ инвариан- тов пар ы фиrур) таRже занимается тополоrил. Задачи 13. Ливия А (рис. 9) ие разрезает тор Т па две части, а линия С разрезает. Ивотопвы ии А и С в фиrуре Т? ИЗОТОПВLI ли А и С в трехмерном пространстве? Рис. 9. Рис. {О. 14. Докажите, что меридиан А п параллель В тора 'f (си. рис. 9) ИЗ0ТОПНЫ вТ. 15. Докажите. что в фиrуре восьмерRИ (рис. 10) любые иве IJ:O'1 ни. отличные от а:. ИЗОТОПНЫ. {4 
3. lIростейш.ие ТОПОЛОI'ичееRие инварвзпты Выше (пример 4) мы rоворили, что поверх.. ность шара (т. е. сф.ера) не rо:меоморфна тору, и вряд ли у читателя возникло сомнение в это:м:. Но как Д о к а.. з а т ь, что две фиrуры не являются rомеоморфными? Ведь из Toro, что мы н е с у м е л и найти rомео:морф.. Horo отображения одой фиrуры на друrую, не вытенает еще с достоверностью, что TaKoro rомео:м:орфноrо отобра- жения н е с у Щ е с Т в у е Т. ДЛЯ доказательства Toro, что две фиrуры не rOMeo" м:орфны друr друrу, пользуются топО/l,оеuчески.мu инва.. риантами. Пусть, например, с помощью HeKoToporo пра.. вила каждой фиrуре ставится в соответствие определенное число, причем так, что числа, соответствующие двум: r о... :м: е о м о р Ф н ы м фиrурам, всеrда оказываются р а в.. н ы м и. Тоrда это число выражает некоторое свойство фиrуры, сохраняющееся при rомеоморфных отображени... ЯХ, т. е. являющееся тополоrичеСI{ИМ инвариантом. ЕСЛII теперь две фиrуры А и В таковы, что соответствующие Иl\I числа оказались раз л и ч н ы м и; ТО эти фиrуры во ltforYT быть rомеоморфными. Прим:ер 7. Буква Ы представляет собой фиrуру, со.. стоящую из двух «кусков», из двух не связанных l\1е,нду собой частей. Остальные буквы pyccKoro аJIфавита, кро.. l\Ie й, Ё, состоят из одноrо связноrо куска. Число связных «:кусков», из которых состоит фиrура (rоворят также: число KOJrtпOHeHт фиrуры), является тополоrическим ин.. вариаНТОl\'I; если две фиrуры rомеоморфны, то обе они со.. стоят из одинаковоrо числа ко:м:понент. Поэтому буква Ы не rоJtlеОl\Iорфна t наПРИl\lер, букве О, букве П, букве Ц и т. д. Пример 8. На фиrуре восьмерки (см. рис. 10) Иl\lеется такая точка х, что после удаления из восьмерки точки х вместе с близлея{аЩИl\IИ ТОЧI\аl\IИ (рис. 11) мы ПОJlучаеI со 00 Рис. 11. Рис. 12 n е с в я з н у ю фиrуру (содержащую более одной НОМ-- поне:иты). Точку, обладающую этим свойством, называют раабuвающей точ-пой фиrуры. Никакая отличная от х точка х' восьмеРRИ не является разбивающей (рис. 12). 15 
Понятия «разбивающая точка}), «неразбивающая точ" на» тополоrически инвариантны: если х есть разбивающая точка фиrуры А, а t: А --+ В ........ rомео:морфное отображение, то f (х) есть разбивающая точка фиrуры В. Поэтому ч и с- п о разбивающих точек данной фиrуры есть ее тополоrи.. ческий инвариант, число неразбивающих точек....... также тополоrичеСRИЙ инвариант. Задачи 16. Для каждой из букв pYCCKoro алфавита 7J(ажи- тв, СRОЛЫ\О разбивающих и вераэбивающих точек она содержит. До- кажите, что буквы О, r, т, Ь попарно не rомеоморфны. 17. Докажите, что для любоrо натуральноrо n существует фи- ypa, содержащая ровно n раэбивающих точек, а таЮlе фиrура, со- lI.ержащая ровно n неразбивающих точек. Пример 9. Пусть А ...... некоторая фиrура, составленная из конечноrо числа дуr, их....... ее точка. Число дуr фиrу- ры А, сходящихся в точке х, называется и-ндeпcoJН, точ- ки х в фиrуре А. В фиrуре буквы Ж (рис. 13) точка а имеет индекс 1, точка Ь имеет индекс 2, точка с........ ин.. деке 3, а точка d....... индекс 4. Число точен индекса 1, содержащихся в фиrуре А, число точек инден:са 3, индекса 4 и Т. д. все это различные тополоrические инварианты фиrуры А. а d Задачи 18. Докажите, что буквы Ю и Ф не rомеоморфны. Р 13 19. Сформулируйте необходимое и до. ис. . статочное условие, при выполнении кото.. poro фиrура, составленная из конечноrо числа дуr, rом:еоморфна окружности. Фиrуры, состоящие из конечноrо числа дуr, называют в тополоrии поnеч-ны.ми ерафа.ми. В конечном rрафе имеется конечное число вершuп и некоторые из этих точек соединяются непересекаIОЩИМИСЯ дуrами (ребрами rpa- фа); при ЭТОl\f две вершины rрафа можно соединять не... СНОЛЬКИl\fИ ребрам:и и, кро:ме Toro, допускаются замкну... "ые ребра ((петли»), которые начинаются и I\ОIIчаIОТСil в од" ной и той же вершине. Задачи 20. Пусть G  Rонечиый rраф. Через ak (G) обоз.. пачим число вершин этоrо rрафа, имеIОЩИХ индекс k. ДОI\ажите, ЧТО число ребер rрафа G равно 1/ 2 .(аl (С) + 2а2 (G) r Заз (G) + . . .). 16 
21. Допашите, что во БСЯRОМ конечном rрафе число вершив, имеющих нечетный индекс, четно. Пример 10. rраф называется упипурсалъпЬtМ, еоли ero IОЖНО «нарисовать одним росчеРКОl\I», т. е. пройти ero весь непрерывным движением, не проходя одно и то же реб ро дважды. Свойство rрафа быть уникурсальным являе ся, очевидно, тополоrически инвариантным. Однако этот V тополоrический инвариант не является новым, а выра- жается через понятие индекса точки (см. задачу 24). Задачи 22. Докажите, что если каждая вершина конечноro I'рафа имеет индекс, не :меньший двух, то этот rраф содержит ЛИВИЮ, rомеОЬ10РФНУЮ окружности и составленную из ребер rрафа. 23. Докажите, что если все вершины конечноrо связноrо rрафа имеют четный индекс, то ЭТОТ rраф можно «нарисовать одним рос- черком), начав движение из произвольно заданной ero вершины и возвращаясь в ту же вершину. 24. Докажите, что связный rраф тоrда и ТОЛЬКо тоrда уникур- сален, Коrда он содержит не более двух вершин нечетвоrо индекса. Суникурсальными rрафами тесно связана задача о Rениrсберrских мостах, рассмотренная еще Эйлером. В то время в Кениrсберrе (ныне Rалининrрад областной) было 7 l\fOCTOB (рис. 14) через реку Преrель. Вопрос со.. стоит в том, можно ли, проrуливаясь по rороду, пройти n /J А Рис. 14. Рис. 15. через наiI\ДЫЙ 1\10СТ точно по одному разу. Сопоставим с плаНОl\I rорода неното рый rраф: вершина Л обозначает левый береr, [1  правый береr, А и В острова, а ребра rрафа соответствуют l\fOCTaM (рис. 15). В этом rрафе все четыре вершины имеют н е ч е т н ы й индекс. Следова'" тельно, rраф не уникурсален, и потому требуемоrо марш... рута проrУJIКИ н е с у Щ е с т в у е т. 11 
Задачи 25. Докажите, что, добавив еще один мост (rде уrод- но на плане рис. 14), мы получим схему торода, в котором можно пройти через, R8ЖJAЫЙ мост точно по одному разу. 26. Полным ерафо'м' называется конечвый rраф без петель, у ROToporo .nюбые две вершины соер;инены точно одшw реброи. В каком случае ПОЛНЫЙ rраф уникурсален? 4. Эйлерова характеристика rрафа Всякий rраф можно постепенно «построить)}, добавляя одпо ребро за друrим. Например, можно в тре.. буе}IО?fI rрафе перенумеровать заранее все ребра, а затем вычерчивать последовательно первое ребро, второе, третье и т. д. Пример 11. На рис. 16 показан rраф, который 1Ibl хо- тим построить, и выбрана нумерация ero ребер (некоторые ребра прерваны, чтобы показать ваrлядно их возможное располо. жение в пространстве). Ну?tIерация ребер на рис. 16 выбрана так, что при последова.. тельном вычерчивании rрафа в со.. и U ответствии с этои нумерациеи все время получаются с в я з н ы е rрафы. Если бы, однако, I\fbl занумеровали ребра в обраТIIОМ порядке, TQ при вычерчивании у вас получился бы н е с в я з-- н ы й rраф, содержащий три от.. дельно взятых ребра, и лишь ПО.. T01tI, при вычерчивании новых ре.. бер, мы получили бы связный rраф. Естественно возникает ВОП 40 Рис. 16. рос: во всяком ли с в я з н о 1\-1 rрафе существует такая Hy?tlepa- ция ребер, что при поеледовательном вычерчивании rрафа (в соответствии с этой НУ}Iерацией) все врем:я полу" чаются с в я з н ы е rрафы? Ответ на этот вопрос утвердителен (C?tl. задачу 28). Иначе rоворя, всякий свЯ81lьtй ераф может быть получен следующим обра80.м, Mbt берем од1l0 ребро, затем присоеди-- ияе.м, п 1lему еще од1l0 ребро тап, чтобь С1l0ва получился свЯ81lЫЙ ераф, 8атем прuсоеди1lяем еще од1l0 ребро (тап, чтобы С1l0ва получился свЯ81lЫЙ ераф) и т. д. Это утвержде-- ние можно назвать «теоремой о вычерчивании связных rрафов». 18 
Задачи 27. Допашите, что любой связный rраф можно ВЫ- сртпть «одним росчеРRОМ», если разрешить ПрОХОДИТЬ Rаждое реб.. ро точно два раза. 28. Выведите иа предыдущей задачи ДОRазательство теоремы о вычерчивании свяаноrо rрафа. 29. ДОRая(ите. что любые две вершины связноrо rрафа G мож- по соединить в G простой цеnочой ребер, т. с. тапой, что объеJ.P{- пение ребер этой цеПОЧRИ rомеоморфно отреЗRУ. у к а а а н и е: если цепочка ребер, соединяющая а и Ь, дваж- ДЫ проходит через некоторую вершину с, то она содержит «замкну- тую цепочку) (начинаIОЩУЮСЯ и кончаЮЩУIОСЯ в с). KOTOpYIO можно удалить. 30. ДОКЮI(ите, что если любые две вершины rрафа G l\IОЖНО со&- n-инить не менее чем Д в у м я различными прОСТЫ1\lИ цепочками, дО rраф G не имеет вершив индеRса {. Верна ли обратная 'Хеорема? Коптуро-м, в rрафе называется замкнутая цепочка ре- бер, объединение которых представляет собой линию, rОlеоморфную окружности (рис. 17). Связный rраф, не со- держащий ни одноrо НОП- (['ура, называется дерево.м, Рис. {7. Рис. 18. (рис. 18). Мы докаiнем, что ддя дюБО80 дерева, UlttеЮlцеао В вершин и Р ребер, справедливо соотпошеиuе В  р == 1. (4) Для ДОI<азательства проведе1 ИНДУНЦИIО по числу ре.. бер Р. При Р == 1 (дерево Иl\lеет одно ребро 11 две вершины) соотношение (4) справедливо. Предположим, что для лю- боrо дерева" и:м:еющеrо n ребер, соотношение (4) YrKe до- казано" и пусть G ....... дерево" имеющее п + 1 ребро. Так как rраф G связен" то ero м:ожно получить из пекотороrо связноrо rрафа G' добавлением одноrо ребра r (это выте- кает из «Teope?tIH о вычерчива.нии связноrо rрафа»). rраф G' содержит n ребер и тоже не содержит нонтуров, «'. е. является деревом. По предположению индукции для f9 
дерева G' соотношение (4) справедливо, и потому в G' имеется п + 1 вершина. 3аме1'ИМ теперь, что ТОЛЬRО о Д и н конец добавляеl\-10rо ребра r является вершиной rрафа G' (в противном случае, взяв в G' простую цепочку, соединяющую вершины а и Ь, и добавив к этой цепочке ребро r, ltlbl получили бы к о н т у р в rрафе G; рис. 19). Следовательно, при добавлении ребра r в rрафе G поя в.. ляется о Д н о новое ребро и о Д н а новая веРIllина (рис. 20). Иначе rоворя, rраф G имеет п + 2 вершины r ,,,....., Ь I \ I \ а r /.... { 'ъь I I а Рис. 19. Рис. 20. и n + 1 ребро, и ПОТОl'.IУ соотноmение (4) для Hero справед" ливо. Проведенная индукция доказыnает равенство (4) ДЛЯ любоrо дерева. Разность В  Р, rде В ....... число верmин, а Р  чис.. ло ребер rрэфа G, называется эйлеровой хара1i-терuстикой этоrо rрафа и обозначается через 'Х (G). Таким образом, эйлерова характеристика любоео дерева равна 1. Задачи 31. fраф, не содержащий нонтуров, называется лесом. ДОRажите, что если G ........ лес, то число деревьев, которые «рас- тут» в нем (Т. е. число компонент rрафа G), равно Х. (G). 32. Докажите, что если G ...... дерево, то каждые две ero верmиВЬ1 соединены только одной простой цепочкой. Верно ли обратное? Пусть теперь G..... связный rраф, н е я в л я ю- Щ и й с я деревом. Тоrда в G имеется контур; ПУСТЬ rl ....... наноелибо ребро, входящее в этот контур (рис. 21). Удалив из G ребро r 1 , мы получим с в я з н ы й rраф G' (поскольку концы выброmенноrо ребра r 1 соединены в G' простой цепочной  оставшейся частью контура), приче:м вершины у rрафа G' ...... Т е ж е, что и у G. Если G' еще не является деревом, т. е. в G' также есть контур (рис. 22), то мы м:ожем взять произвольное ребро '2 этоrо контура И, выбросив ero, получить с в я з н ы й rраф G" с т е м и ж е вершинами, что и у G, и Т. д. После 20 
выбрасывания RaI\OrOTO ребра rk мы ПОЛУЧИ?I СВЯЗНЫЙ rраф G*, (одержащий все вершины rрафа G и уже не имею- щий нонтуров, Т. е. являющийся дереВО?\-I. Оно называется ma-псижаДЬ1tыж деревом rрафа G, а ребра rt, r 2 , . . ., r1t называются nереМЬLч-пажи. Если В ...... число вершив rрафа G, то максимальное де" рево G* имеет те же В вершив. Соrласно (4) G* имеет В ...... 1 ребро, и потому число ребер rрафа G равно В ..... ....... t + k (чтобы из G* получить G" надо «возвратить» k Рис. 21. Рис. 22. выброшенных ребер..перемычек). СлеповатеЛЬИО J % (G ) == в ..... (В --- 1 + k) == 1. .... '. (5) Так как k > 1) то Х (G) < о. Таким образом, ддя дюбово свЯ8НОВО ерафа G сnраведлuво соотпошенuе Х (G) < {; равенство достuеается в том l/; тольпо в тоеМ случае, есди G ...... дерево Далее, соrласно (5) число перемычеR k == 1 ..... Х (G). Иначе rоворя, ддя получения ерафа G надо -п еео жа-псималъ. пому дереву добавить 1 ...... 'х (G) ребер... nере;м,Ъ7,че-п , паждое из -поторых соедuпяет две (вО8ЖОЖnО, совnадаl0щие) вер- шины, .мапсuжальпоео дерева. Задачи 33. Если связный rраф G получается из HeKoToporo JtepeBa добавлением нескольких замкнутых ребер «<петель») t то В G имеется единственное максимальное дерево. Верно ли обратное? 34. ДОI\а}ките, что если rраф G содерл\ит l компонент, то Х (G) , l. В каком случае достиrается равенство? 35. Будем rовофIть. что в rрафе G задана система топов, если каждому ребру сопоставлено направление инеотрицательное число (ток), причем выполняется правило Кирхеофа: для каждой вершины сумма входящих в нее TOI\OB равна сумме исходящих. До- :кал\ите, что если G...... дерево, то в нем существует только т р и- в и а л ь н а я система токов (все токи равны нулю). 36. Пусть G.... связный rраф, G* ..... ero максимальное l\epeBO, 41 Тl' Т2, . . ., Tk...... перемычки. Докажите. что если произвольно ва- пать токи на ребрах Тl' TI' , . ., Tk, то их можно о n н о з н а ч u о 21 
дополнить токами на остальных ребрах таи, чтобы ПОЛУЧИJIась си- стема токов в G. У к а з а в и е. Для каждой перемычки Тl существует е Д и Н- е т в е в вый контур, содержапий ее и не содержащий друrих пе- ре:мычеи. Если пустить ПО этому контуру ток такой величины и на- правления, как указано на перемычке ri, а аатем ваять сумму всех этих «контурных токов», то мы и получим требуемую систему токов на rрафе G. Если бы существовали две различные системы токов, совпадаIощие па перемычнах, то их разность бьта бы ветривиаль- ной системой токов па дереве G*. 5. Индекс пересечения В-следующих двух примерах рассматривают- л rрафы, не вложимые в плосиость. Пример 12 «<ДО?\fИИИ и иолодцы»). На плосиости даны шесть точек Дl' Д2' Дз (домиии) И 1\1' 1\2' К з (иолодцы); можно ли на плоскости провести тропинии от ка}кдоrо ДО'" мика и иаждому иолодцу, таи чтобы нииакие две тропинки не пересеиались? Ответ отрицательный: если мы проведем все ТРОПИНЦИ, ироме одной (рис. 23) то дЛЯ последней Рис. 23. Рис. 24. тропинии у}не «не будет места» на ПЛОСRОСТИ. ТаRИМ обра- 301\1, rраф Рl' изображенныi па рис. 23, не ВЛОЖИ1\1 в плос.. кость. Пример 13. Обозначим через Р 2 полный rраф с пятью вершинами. На рис. 24 одно ребро прервано: для Hero «нет места» на ПЛОСI{ОСТИ. ТUКИМ обраЗО!\f, rраф Р2 таКiие не вложим в плоскость. Интересно отметить, что построенные rрафы РI) Р! ЯВJIЯIОТСЯ «эталонаl\IИ» rрафов, не вло}кииых в плоскосты если ераф н,е вложиt в nлос,.остъ, то оп обяаателъnо со- держит ераф, 20мео.морфпый Рl или Р2. Это было доказапо ПОЛЬСКИI матемаТИКО1 К. l\ураТОБСКИМ 22 
Задачи 37. ДонаilПIте, что rраф, рассмотренный в прпмеuе 11 (рис. 16), не вложим в плоскость. · 38. Ребрами rрафа служат стороны и наименьшие диаroнали *) правильноrо п...уrОЛЬНИRа. ДОRаiните, что при четном n этот rраф может быть вложен в плосность, а при нечетпом...... пет. 39. Ребрами rрафа служат стороны и паибольmие диarонали *) правильвоrо 2п"уrольнина. Донажите, что при n  3 этот rpаф ие вложим в плосность, но ero можно расположить па торе. 40. Ребрами rpафа служат стороны и наибольшие диаroпали *) праР.1Jльноrо (2п + 1)-уrолъвика. Докажите, что при n  2 этот rраф НА вложим В ПЛОСRОСТЬ. Можно ли ero расположить на торе? Рассуждения, приведенные в примерах 12 и 13 «<нет 1\IЭСТ3>) на плоскости), Rонечно, являются не доназатель- ствами, а лишь пояснениями. Ниже мы ИЗЛОЖИ)I cTporoe доказательство Toro, что rрафы Р l' Р 2 не вложимы в ПЛОСНОСТЬ. Пусть а, Ь ...... два отреЗRа на плоскости, ни один из ко.. торых не содержит концевых точек друrоrо отрезка. Если эти отрезки пересекаются, . то будем писать J (а, Ь) == 1, а если нет, то J (а, Ь) == о. Число J (а, Ь) назовем ипдеп.. сож nересечепuя отревпов а и Ь. Конечное множество отрезков на ПЛОСRОСТИ будем назы.. вать цепью. Отрезки, составляющие цепь, назовем ее ввепъя),tи, а точки, являющиеся концами звеньев, ....... вер" utuпa),tu. Пусть х и у ...... две такие цепи, что ни одна из них не со.. держит ни одной вершины друrой цепи. Отрезки, состав. ляющие цепь ж, обозначим через аl, . . ., а т , а отрезки, составляющие цепь у,....... через Ь 1 ,..., Ь n . Если CYM:l\fa  J (af" b J ) (т. е. сумма индексов пересечения к а ж Д о ro " ; из отрезков а1'.. .,' а т с к а ж Д ы м из отрезков Ь 1 , . . ., Ь n ) четпа, то будем писать J (х, у) == О, а если вта сумма печетна, то J (х, у) === 1. Число J (х, у) назо- вем индепсо:м, пересечения цепей х и у (точнее, индексом пересечения по модулю 2). Цепь, в каждой вершине которой сходится ч е т н о 8 число звеньев, будем называть цuпло),t (по модулю два). Мы докажем, что ипдепс nересечепuя. двух цuплов па плос- пости всееда равеп нулю. В самом деле, так КаК каждая вершина цикла имеет u · индекс, не меньmии двух, то этот цикл содержит ломаную, rомеоморФную окружности (см. задачу 17 на с. 22). Если *) Слеrкв ПРИПОI{нятые пап ПJlОСКОСТЬЮ. чтобы они попарно D8 пересеRались. 23 
из цикла выбросить эту замкнутую ломаную, то останется снова цикл (Iiаждая вершина Иfеет четный индекс). В оставшемся цикле моя\но снова выделить ломаную, ro.. l\fеО}IОрфНУЮ окружности, и т. д. Итак, паждый ци1Wl, жож.. но представить 1i,a1i, об"Ьедиuеuие 1i,оuеЧl-1,оао числа Ао-м,аиых, ао-м,еожорфuых 01i,ружuости (приче-м, эти /tожаuые попарио не uжеют общих отреЗ1i,ов). Поэтому для доказательства Toro, что индекс пересе... че:ния двух цинлов х, У на плоскости всеrда равен нулю, достаточно установить это в случае, коrда кан\дый из цик" лов х, у представляет собой ЛО1iаНУIО, r01\-Iеоморфную ок", ружности. Сдвинув ЧУТЬ"'чуть вершины циклов х и у (что не изменит их индекс пересечения), ?\fbl можем добить ся Toro, чтобы звенья, состаВЛЯIощие циклы х и у, были попарно не параллельными. Выберем теперь прямую l, u u u не параллельную ни однои прямои, соединяющеи какую либо вершину цикла х с какой..либо вершиной цинла у. Буде}f непрерывно перемещать ЦИI\Л х (кан твердое це.. лое) параллельно ПрЯl\fОЙ l (рис. 25). Индекс пересечения J (х, у) Mor бы изменяться лишь в те lVIоменты, коrда вер'" III ины одноrо из циклов Х, у попадают на стороны друrоrо Рис. 25. Рис. 26. (вершины ЦИI\ла х не MorYT попасть в вершины цикла у в силу выбора пря:мой l). Однако в момент, коrда некото- рое звено а ЦИRла х проходит через вершину q ЦИRла у, u число точен пересечения не меняет своеи четности (рис. 2628). То же происходит и при прохождении вер- mин цикла х через стороны цикла у. Поэтому индекс 24 
пересечения J (х, у) не меняется. Но в конце концов цикл х попадает в положение, в которо:м: он не имеет общих точек с у (рис. 25), таи что индекс пересечения становится равным нулю. Следовательно, и первоначально БЫJIО J (х, у) == о. Теперь мы в состоянии Д о R а з а т ь, что rраф Р 1 (при:мер 12), не ВЛОiНИ)! в плоскость. Две тропинки, Beдy щие от р а 3 н ы х ДОМИRОВ 1\ раз н ы м }{олодцам, условимся называть неС.iиеЖНЬL.JtU. Проведем (в виде ло маных линий) все требуемые тропинии (ВОЗМОil-\НО, с пе- рес.ечеНИЯlИ) и обознаЧИI через 1 число точек пересече-- вия по всем парам н е с м е iR н ы х тропинок. lы по нажем, что nри люБОJ,t способе проведенuя тропинок ЧUСАО 1 иечетио. Рис. 27. Рис. 28. ....." .", ". \ .-д: Az \ "---. lx .....J .....'" <' , ...." Ji' , J("'" '1\2 .....) 111- ''''....... Рис. 29. Предположим, что мы :меняем ПОЛОiнение одноЙ тро- пинни, скажем, ТРОПИНRИ Дl1\t. Первоначальное ее по- ложение обозначим через х, а новое......... через х' (рис. 29). НесмеiННЫМИ с ДIКl являются четыре тропинни, оеди'" няющие два оставшихся домика Д2' Дз с двумя оста вши.. мися колодцами 1\2,1\з' Они образуют цикл Д2К2ДЗКЗД2, который мы обозначим через у. Ломаные х и х', вместе взятые, TaKrRe образуют ЦИНЛ. Так кан индеRС пересече- ВИЯ ЛIобых двух циклов равен нулю, то J(x, у) == J (х', у). Иначе rоворя, число точен пересечения тропинки х с циклом у (т. е. со всеми несмежными ей тропинками) имеет ту же четность, что и число точек пересечения ТрО'" пинни х' С цинлом у. Таким образом, при замене тропинки х тропинкой х' число 1 не меняет своей четности. Но тоrда ясно, что для любьх двух расположенuи тро.. пиноп на nлоспости чuс/tО 1 имеет одну u ту же четность. Действительно, послеДовательно заменяя сначала одну тропинку первоrо расположения соответствующей Tp<r u инкои BToporo расположения, затем еще одну и т. д., }Jbl постепенно заменим первое расположение тропинок 25 
вторым, а четность числа 1, в силу доказанноrо, lепятЬ" ея не будет. На рис. 23 имеется только о Д н а точка пересечения тропинок, а потому для /l,.юБО80 расположенuя тропи1l0п число 1 печетпо. Следовательно, провести все тропинки без пересечений (т. е. таи, чтобы было 1 == О) невозможно, и потому rраф Рl не вложим в ПЛОСКОСть. Задачи 41. ДОI{ажите, что J!раф Р2, рассмотренный в при- мере f 3 (с. 22), не вложим в плоскость. 42. Докажите, что на сфере (как и на плоскости) индекс пере.. сечения Лl0бых двух циклов равен нулю. Покажите, что на торе су- ществуют два цикла, индекс пересечения которых равен 1. Пусть теперь а и Ь .... Два н а п р а в л е н н ы х от-- резка, ни один ИЗ которых не содержит концов друrоrо отрезка. Если, идя по направлению первоrо отрезка а, l\{bl увидим, Что второй отрезок Ь пересекает ero с п р а- в а н а л е в о, то будем писать J (а, Ь)  1; если с л е- в а н а П р а в о, то J (а, Ь)  ......1; наконец, если а и Ь не пересекаются, то J (а, Ь) ==: о. Число J (а, Ь) бу.. дем называть индексом пересечения н а п р а в л е Н- н ы х отрезков а и Ь. Цепью (точнее, «целочисленной цепью» ....... в отличие от цепей по модулю 2, рассматривавmихся ранее) будем те-- перь называть конечное множество в а п р а в JI е н.. н ы х отрезков на плоскости. Ипдепс пересеченuя цело- численных цепей tt, у (рассматриваемых в определенном порядке: х.... первая цепь; у --- вторая) определяется, как и преjке: J (х, у) ===  J (ai' b j ), it'; rде аl, . . ., а т .... направленные отрезки, состаВЛЯIощие цепь Х, а Ь 1 , . . ., Ьп, ...... направленные отрезки, составляю- щие цепь у. Наконец, цепь УСЛОВИ}IСЯ называть цu1WtоJН, (точнее, Ц е л о ч и с л е н н ы м циклом), если для каждой вер- ШИНJ..! число В х о Д я Щ и х в нее направленных отрез- ков равно числу и с х о Д я Щ и х. Задачи 43. Наnравленньш ,;оюnуром условимся называть В8МRпутуrо ломанyIО, rомеоморФную окружности, на звеньях кото- роЙ отмечено стрелкаlШ некоторое направление обхода (так, что в каждой вершине IOlеется опно ВХОltящее звено и одно исходящее). 26 
Направленный контур является цик.. ЛОМ. Докажите, что всякий цикл (целочисленпый) можно представить каК объединение конечноrо числа на- правленных контуров, которые по- парно не имеют общих звеньев. 44. Докажите, что индекс пере- сечения любых двух целочисленных ЦllНЛОВ равен нулю. 45. На рис. 30 цикл х состоит ИЗ двух отдельных направлевиых контуров. Докажите, что точка а в том и только в том случае принад- лежит внешней области кольца, если для ЛIобой направленной ломаной у, идущей от о R а, выполнено условие J (х, у) == 2. В. Наном случае точка а ной Кольцевой области? d. Рис. 30. лежит внутри заштрихован- 6. Теорема Жордан:t Выше (см. рис. 25......28) МЫ ДОRазали, Что индекс пересечения любых двух циклов на плоскости pa вен нулю. Возможно, Читатель rOToB предложить более u простое доказательство: в каs:идои точке пересечения замк.. путая ломаная х либо в х о Д и т во внутреннюю об.. ласть замкнутой ломаной у, либо в ы х о Д и т ИЗ внут- ренней области во внешнюю; так как число точек ВХОДа равно числу точек выхода (ПОСКОЛЬRУ они 'tiередуются), то общее число точек пересечения ч е т н о. Однако это доказательство можно признать коррект.. пым, если уже выяснен смысл понятия «внутренняя об ласть», а Это понятие вовсе не является таким простым, КаК кажется на первый взrляд. ВыяснеНИIО ero и посвящен этот пункт. Замкнутая линия, rомеоморфная окружности, назы- вается простой aaJtпuymou линией. Т е о р е м а Ж о р- Д а н а Состоит в том, что вся"ая простая ва,мпnутая ди.. uuя, расположенnая па nлоспости, разбивает эту nдос.. 1i,Ocтb на две области (внутреннюю и внешнюю). Поясним СIЫСЛ этой теоремы. Возьмем две точки, р и q, не лежащие па простой заМRНУТОЙ линии 1. Если р и q можно соеди пить ломаной, не пересекающей l, то считают, Что точки р и q дежат в одпой и той же области относительно линии 1. Если же 11 ю б а я ломаная, соединяющая р и q, пере сенает l, то считают, что р и q лежат в разных областях. Теорема Жордана утверждает, что лиrтия l определяет па ПЛОСI{ОСТИ Д в е области. Rажущаяся «очевидность» creopeMbl Жордава объясняется лишь тем, что мы имеем 27 
в виду очень простые линии {ОНРУil\ПОСТЬ, контур nыпук- JIOrO мноrоуrольника и т. п.}. IJример 14. На рис. 31 изображена простая замкну" тая ломаная. Однако вовсе не «очевидно», что она разре.. зает плоскость на Д в е области; не сразу можно понять, в каной области (внутренней или внешней) лежат точки а, Ь, с, d. Приведем доказательство теоремы Жордана. При этом оrраничимся случаем, коr,ца l ....... не произвольная простая Рис. 31. Рис. 32. замкнутая линия на плоскости, 8 простая замкнутая л о- м а н а я. Пусть Ь 1 , Ь 2 , . . ., Ь п ...... последовательные 8венья л о.. маной l. Возьмем точки р, р', симметричные относительно звена Ь 1 . Через точку р провеl!ем отрезок, параллельный звену Ь 1 , до точки пересечения с биссектрисой уrла меж.. ду 8веньями Ь 1 и Ь 2 (рис. 32). Из этой точки проведем отре'" зок, параллельный Ь 2 , ,цо пересечения с биссектрисой уrла между Ь 2 и Ь з и т. д. В результате мы получим ломаную х, звенья которой нахоятся на одном и том же расстоянии от соотвеТСТВУIОЩИХ звеньев ломаной l. Если при этом расстояние I рр' I ,IJ;остаточно малб, то линия х не пересе- кает линии l и, обойя BOKpyr нее, должна вернуться либо в ТОЧНУ р, либо Б р'. Однако в точку р' ломаная х прийти н е м о' ж е ТI если бы она соединяла точки р и р', то, присоединив к хотрезок рр', м:ы получили бы цикл, который с циклом l пересекается в е Д и н с т в е н.. н о й точке, т. е. индекс пересечения этих двух ЦИКЛов был бы равен 1, что пеВОЗМОjl{НО. Итак, х представляет со- бой з а м к н у т у ю ломаНУIО, один раз обхоящую ло- 28 
маную 1. АнаЛОI'ИЧНО получается ломаная х', ВЫХОДЯ'" щая из р', один раз обходящая l и возвраЩ8Iощаяся I в р. Пусть теперь с..... произвольная точка. не лежащая па линии 1. Тоrда ее МО;I\ПО соединить, не пересекая 1, либо с р, либо с р'! мы може:м провести из точки с луч, u, u I;Iересекающии линии х, х , и от точки с проити ДО пер" в о й точки пересечения этоrо луча с какой..либо из ли- ний х. х', а затем по этой линии ойти !l;o точки рили р'. Нетрудно понять, что если из точки с прове,цены Be различные ломаные у, Z1 не пересекающие 1 и оканчи" вающиеся в рили р'. то обе они оканчиваются в о  н о й и т о и ж е точке. В самом: елеf если бы они оканчива... лись в разных точках (рис. 33), то ломаная у U Z вместе с отрезком рр' составляла бы цикл, индекс пересечения ко.. Toporo С циклом l равен d., РИСо 33. что невозможно. Обозначим теперь через и множество всех точек плос.. кости, которые можно, не пересекая 1, сое,цинить с точкой р, а через V .... множеетво точек, которые МОЖНО t не пере.. секая 1, соединить с р'. Tor]!a и, v И бу'!J.УТ теми ДВУl\fЯ Dбластями, на которые, как утвеРЖllаеr:n rreopeMa Жорда.. па, липия l разбивает плоскость. В самом l:1еле t если точки Cl, С2 прииа,цлежат оnной области (скажем, и), то сущест-- вуют Jlоманые Yt, У2, не пересекающие 1, которые соединя" ют сl, 02 С точкой р. ОбъеIЩнение их представляет собой ломаную, соединяющую Сl и С2 И не пересеI{ающую 1. Итак, две точки, прина.цлежащие оой области, 1';1 о ж Н о соединить ломаной, не пересекающей l. Если )не точки Ct, С 2 принадлежат различным областям, то их н е л ь з я соединить ломаной, не пересекающей l (иначе, кан и вы.. Ше, мы получили бы цикл, имеющий с l индекс пересече- ния 1). Заметим, что все «далекие» точки плоскости раСПОЛО)I\ вы в о n н о й и т о й ж е области относительно линии l. ПОЭТОМУ одна из ЮJух областей, определяемых линией 1,--- н е о l' р а н и ч е н н а Я t а руrая.... о v р а н и.. q е н н а я. Неоrраниченную область называI{)Т 8Helltneu.. 8 оrраниченную..... внутренней. 29 
Задачи 6. Если ломавая 1 сложная (см. рис. 3i), то труд.. но определить «на rлаз», во внутренней или внешней области лежи"I' точка с (Т. е. можно пи, отправляясь из с, выйти из «лабиринта)}, обраsованвоro ливией l). Докаiните, что если луч, ИСХОДЯЩИЙ из точ- RИ С И не ПРОХОДЯЩИЙ через вершины ломаной 1, пересекает 1 в ч е ['- в о 7t1 чиспе точен, то с лежит во внешней области, а если в н е-- ч е l' в О м, ro во внутренней. 47. ДОRажите. что ВСЯRая простая заМRнутая ЛИНИЯ на сфере разбивает сферу на Be области. 48. На ПЛОСRОСТИ проведены k поманых ливий, Rа,ндая из ко- торых сое!tиняет (tBe эа1Jанвые точ:ки Р и q. До:кажите. что если дру- rих общих точек ломаные попарно не имеют, то ПЛОСI{ОСТЬ разбита  па k областей. УRажем (без доказательства), что /(,юБыle две простые аа.мпиутые дипии ll, l2 па п/(,оспости ивотоппь" между со.. бой, т. е. существует rОl\fеоморфное отобраiI-\ение ПЛОСRОС" ТИ на себя, которое переводит II в l2. Это преДЛОiнение о T Л И Ч а е т с SI от теоремы ЖОрДdна, оно утверждает печ.. то большее. В самом деле, пусть 11...... Оl\рУЖНОСТЬ, а l2  произвольная простая замкнутая линия на плоскос.. ти. rОl\'lеоморфное отображение плоскости на себя, пере.. водящее II в l2, переводит внешнюю область Оl\рУЖНОСТИ 11 во внешнюю область линии l2' а внутреннюю область окружности II (. е. открытый к р у r) ....... во внутреННЮIО область линии l2. Таким образом, об'"Ьедunенuе простой аа.мкnутой Itипии l2 и ее внутреnней областu еомео.морфпо nруеу. Теорема Жордана об этом ничеrо не rоворит, ут- верждая лишь существование BYX областей, внутренней и внешней. 7. Что такое линия? Евкли,ц определяет линию RaR «длину без ширины». Это, конечно, не определение, а лишь наrляд" ное о п и с а н и е линий. СлеДУIОЩИЙ пример ПОRазы- вает, однаRО, что это описание вряд ли можно считать удачным. Пример ,15. Возьмем квадрат площади 1 (рис. 34, а) и выбросим из Hero крест (рис. 34, 6), причем ширину п<r лосок креста подберем aK, чтобы площа,ць нреста была равна 1t4. В наждом из оставшихся квадратов снова BЫ режем по кресту (рис. 34, в), причем так, чтобы сумма площадей крестов была равна 178. В Rаж,р;ом из оставших ся 16 маленьких I\вадратов вновь выбросим по кресту (рис. 34, е) craK, чтобы сумма площа;цей выбрасываемых 30 
RYCROB была равна 1/16, It Т. д. Обозначим через А «пре- дельную фиrуру», т. е. пересечение Аl n А 2 n . . · ... ПАп п..., rде Аnфиrура, которая остается DпСЛ8 проведения n этапов построения. Фиrура А как бы «pac сыпается)} на отдельные точки (ибо остающиеся Rвар;р.1ТИ" ИИ делаются все меньше) и тем не менее имеет п о л о iH и Т е л ь н у ю площадь. В самом деле, сначала мы выбро- а) ОО оо о) 00 00 00 00 00 00 00 00 6) 00 00 0000 0000 0000 00 00 00 00 00 00 '00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 2) Рис. 34. СИЛИ из I\вадрата 1/4 ero площади, затем 1/8, затеl\I 1/16 и т. д. В пределе у нас остается фиrура А, имеющая пл щадь 1  (+ + {.. + 116 + .. .). Так как сумма беско вечной убывающей rеометрической проrрессии, записанной в СRобках, равна 1/2, то площадь предельной фиrуры А равна 1/2. ПОСТРОИl\l теперь простую дуёу (т. е. фиrуру, rOfeo :м:орфную отрезку), которая проходит через в с е ТОЧRИ МНОiиества А. ДЛЯ этоrо возь:м:еl\I изоrНУТУIО полоску, co держащую четыре квадрата, полученных на первом этапе построения (рис. 35, а). Затем сделаем полоску более уз Ной и изоrнутой, так Что она бует содержать все KBaдpa 31 
ты, полученные на BTOpOI этапе (рис. 35, б), затем на третьем (рис. 35, в) и Т. д. После п этапов этоrо построения мы получаем полоску В п , которая содержится в предыдущих полосках и содер" жит фиrуру А п (а следовательно, и фиrуру А). Пересече ние В 1 (1 В 2 n . . . этих полосок, Т. е. их «предельную фиrуру», обозначим через В; она также содержит А, и по TO)fY площадь фиrуры В не меньше 1/2. Рис. 35 наrляно а) о) tJ) 2) Рис. 35. показывает, что В является чрезвычайно «извилистой» л и н и е й (простой дуrой). Эта линия Иl\lее'l' ПОJIон\итеЛIr НУЮ площадь, '1'. е. вряд ли может быть названа «длиной без ширины». Евнлид дает также описание линии как «rраницЫ по- верхности». Однако и понитие «rраница», как мы сейчас увидим, таит в себе MHoro неОiI\иданноrо. Мы привыкли считать, что к каждому участку линии плоскость I1рИIЫ кает «с двух сторон». Например, если l  простая замк- нутая линия, то обе области, U и V, определяемые линией l, при 1\'1 Ы К а ю т к ней на Бсем ее протя,кении (Т. е. 32 
как уrодно близко к любой точке х Е l Иl\'lеются и точки области и и точки области V). Кажется «наrлядно очевидным», что линия не может быть СОВfvlестной rраницей более че:м двух областей на плоскости, которые примыкают к этой линии па BCel\1 ее протян\ении. Однако здесь интуиция нас обманывает. Пример 16. Покажем, что на плоскости существует линия, нвляющаяся сов.местпоu ераницей трех областей. Такие линии обнаРУfl{ИJI японский математик Вада. ПреДПОЛОЖИl\I, что и:меется окруженная l\fOpeM: земля и на ней два озера: теплое и холодное. Для подведения во.. дыI от озер и моря к суше проводятся наналы. В первый eHЬ от теплоrо озера отводится I{анал (не сообщающийся с морской водой и водой холодноrо озера) так, чтобы не далее чем на расстоянии 1 от каждой точки суши была вода теплоrо озера (рис. 36). Во второй день канал отводится от холодноrо озера, причем он ниrде не co общается с м:орем, теп- лым озером и построен.. HыM на день раньше ка.. валом, и работа про.. должается до тех пор, пока от I{аждой точки оставшейся суши не да-- .,1ее чем на расстоянии 1 будет вода ХОЛОДlIоrо озера. В третий день канал таким iI\e поряд-- ком отводится от моря. В следующие три дня каналы продолжаются далее, причем так, чтобы на расстоянии, меньшем 1/2, от каждой точки оставшейся суши была вода обоих озер и морская вода. В следующие за ними три дня rycToTa сети каналов увеJIичиnается, таи что любая Boa будет не далее чем на d./4 от каждой тоtlКИ оставшейся суши, и т. д. Заметим, что после КCtндоrо дня работы оставшаяся суша будет СВЯЗНЫ1\f KYCKOl\I, так что мы ltl0il\eM ПОItрыnать ее на сле.. ующий день еще более плотной сетью каналов. В пределе мы получим сеть теплой, ХОJIОДНОЙ и морской ПОД, которые ниrде вместе не сливаIОТСЯ. То, что остапет.. ея от СУJJJИ, будет уже «линией», причеы1 Kal yroHo близко 1-' НС. 36. 2 В. r. БОJl'l'IlUСlОIЙ. В. А. Ь;фреI40Вll1) 33 
от любой точки этой липии будет холодная, теплая и морская вода. Иначе rоворя, на всем протяжении этой ли пии к пей будут «примыкать» т р и области: море с ero каналами, холодное озеро с ero каналами и теплое озеро с ero канала:ми. Евклид дает еще и третье описание линии: «поверх ". БОСТЬ имеет Д в а измерения, линия имеет о Д н о изме рение, точка не имеет н и о Д н о r о измерения». Опре-- делить, что такое размерность (число измерений) фиrуры, пытались мноrие математики. Окончательное выяснение смысла этоrо понятия и создание теории размерности яв" ляется заслуrой замечательпоrо cOBeTcKoro математика п. с. Урысона, безвременно поrибшеrо в возрасте 26 лет в 1924 rоду. rоворят, что множество А, расположенное в фиrуре Х, отделяет точку а от точки Ь, если пе существует в фиrуре Х с в я 3 Н О r о ftlножества, которое содержит точки а и Ь и не пересекается с А. Например, пов"\. ХТIОСТЬ шара (сфера) отеляет в пространстве внутренние точки ПIара ,"  ,. .... .... "" .... "" (/ lJ .........d  а) 5) /A а о о о о D т IJ) п Рис. 37. от внешпих (рис. 371 а). Таким образом, в т р е х м е р" в о м пространстве отделение точек можно производить С помощью  в у м е р н ы х фиrур. На плоскости (кото... рая пре}J;ставляет собой 11. в У м е р н у ю фиrуру) точку вместе с близкими к ней точками можно от остальных TO чек ОТ}J;елить с помощью о Д н о м е р н о й фиrуры (Т. е. пинии, рис. 37, 6). Наконец, на прямой (т. е. о Д н <r м е р н о й фиrуре) точку а вместе с БЛИ3RИl\IИ R ней точ- ками можно от остальных точек прямой ОТj!елитъ с по...  
:мощью фиrуры А, состоящей из двух точек т, n (CI\I. рис. 37, в), Т. е. с помощью п у л ь м е р н о й фиrуры. ИтаR, в фиrуре, имеющей n измерений (или, нак rOBo- рят, в п--жерlЮU фиrуре), отделение ТОЧRИ вместе с близ.. ними н ней 'l'очками от остальной части фиrуры можно производить с помощью фиrур, имеющих на о,цно измерение меньше" чем вся фиrура. Воз- викает мысль дать определение нульмерных фиrур, через них определить одномерные фиrуры (Т. е. линии), затем с помощью одномерных определить двумер- ные фиrуры и T.1J.. Будем rОВОРИТЬ а что фиеура !х нуд,ьжерна, если в ней не су.. ществует nU1«l1Юй с (J я 8 Н О й Рис.. 38. фuеуры, содержащей бодее одной тачки. Например, фиrура, состоящая из конечноrо чис- па точек, вульмерна. Фиrура А в примере t1.5 fl'акже нуль- мерна. Если определено уя(е, какие фиrуры считаются (п ...... 1)"мервыми, то n--жерпая фиеура определяется как фиrура, не являющаяся (п ...... 1)--мерной, в которой lIюбую а) "/  'l" ,/. /. 'Z. ''l  [.I  6) Рис. 39. %Zb''l% ..%%....ij %'  1I 4 . h II % . .'.. . % % » Z%;:% ..%..%.. ./ t)/  & /'; ;..:-,%.% '-::/;..i/. .;%%-  .. i .  . : .  ..  . ;. ij/,:%;::;';:', 'h  II   . .  'l   X , %....?  ;;..;:::/.;.' :.;, '", " / t;:: '/"''l;" /",/%%"" / '''/;о:Х -%[;;; 11 " ;  . .;ilc . :' . ' II ' ;:% .  'l./ .,.:-//./, .; "/, :,' /,/,./, '.',' :> ' 1/;'/' ;( :..r,/'....i'/_, '/ "', ,. /,'/ "'/. ..../I 8z[ %:. :'l . / // 'i'l: /,r/' '/ /..8.-..''i8'/,. ;/. //:-/,j  II ;.-/ ; 'l.:8%1  :%'""....../' ': '..... 'l. --;: ;'1- .-:;: /;''%.;,z.: 2:f1;, '/.;:/'.'/. ,. ",:'/"I '/' II ';/ ". j/,. у //I'/' '/",,;' /'/I//'/, , /,' ./":. ; /. ':'.'l:/ . '../'; , 11 . ; . :>; .с. /'j ,> /',' '/';/ //."/'/. h-»;'l."/ ) rrочку вместе с близкими к ней точками можно ОТДeJIИТЪ от остальной части фиrypы с помощью множества равмер- ности n .... 1 (или меньше). Это и есть урысоиовское опре- деление размерности. Пример 17. Любой rраф является одномерной фиrу- рой, т. е. линией. Действительно, точку а вместе с близ- кими к ней точками можно отиелить ОТ остальной части 2* з5 
rрафа к о в е ч н ы м (ш. е. пупьмерным) множеством I отделяющее множество сопержит вне тоЧRИ, если а-- внутренняя rrочка ребра (а1 на рио. 88), и k ffочеR, если а - вершина индекса k (а2 па рис. 38). Пример 18. Интересный пример липии был построен поль- ским ь1атеы1тикомM Серпивским. Раэелим квадрат на левятъ пваратов и выбросим срепв ий ив них (рис. 39, а). Каж!];ый из восьми оставшихся - квадратов снова разделим па девять квад" ратиков и выбросим средний (рис. 39" 6). Затем тап же посту- пим с каЖl!ЫМ ив оставшихся квадратиков (рио. 39, в) и Т. д. В пре1!еJIе мы получим некото- рую одномерную фиrуру О, {['. е. линию «<ковер Серпипскоrо»). ФИFура О является у 11 и- u u В е р о а л ь н о и ПЛОСRОИ ли- виеir еоди JtUНия l 8Jl,Oжи,м,а 8 n.ltOcпOGmb, то ОМ вложu.мa в 1:0вер СерnиШltоео, т. е. су.. . щесmвует Д,U1tUЯ l' С С 1 вожео-- жорф1UJ,Я 1. .яСНО, что линии, не вложимые в плоскость, не MorYT быть вложены и в ко- вер СеРПИПСRоrо. 01!нако су- ществует в пространстве линия (аналоr ковра серпинскоrо рис. 40). в которую, как дока.. u u зал австриискии математик МеПl'ер, .можно вложить любую .лuпuю, Задачи 49. Существует ЛИ на плоскости ЛИНИЯ, являющаяся СОВ- местной rравицей Jjвадцати областей? 50. Докааите, что диаrоваnь квадрата, в КОТОРО"! построен ковер СерПИВСRоrо С. пересекает С по вульмервому множеству. Выведите отсюда. что ковер СерПИНСRоrо явля. Рио. 40. ется оgвомерпой фиrурой, Т. с. ли- пией. 51. ДокаiRИте. что свопство фИJJУРЫ быть ливией. ЯВJlяетсп 1'0. ПОЛОli'ически.м. иввари.автои. З6 
Часто дают еще одно наrJIядное оп:исапие! «линия есть след движущейся точки». Пример 19. Пусть движущаяся точка пробеrает фиrу ру буквы Ф ДВУIЯ способами, показанными на рис. 41 (сплошной линией указан путь, пройденный внекоторый MOleHT, а штриховой..... р;альнейmее ДВИRение). В обоих случаях точка пробеrает одно и то же M!IOiReCTBo, т. е. «след» движу. щ(йся точки одинаков, но п у т и различны. Даим: точное определение по- нятия пути. Пусть в некоторой фиrуре А движется точка, начи... нан от момента t == О ДО момента t == 1. Для каждоrо ]\10мента t, rде О < t < 1, известно ПОЛОiнение а (t) ДВИiкущейся точки, т. е. каждой l'ОЧI{е t отрезка [о; 1] пос- тавлена в соответствие точка а (t) Е А ( Ilолучается о т о- б р а ж е н и е отрезка [о; 1] в фиrуру А, причем: 01'O браiкение н е п р еры в н о е, так нан точка а (t) «неп... рэрывно» перемещается с изменениеАl t. Это О'fобраа\ение и представляет собой путь. Мы приходим к сле,дующеl\IУ определеНИIОl всякое Heпpepьвпoe отображение отрезfШ [о; 1] в фиауру А 1[,ааываеmcя путем (в этой фиrуре). Любую простую ДУl'У можно представлять себе как путь (ведь простая дуrа получается с ПО10ЩЫО r о I е о. м о р Ф н о r о отображения отрезка, а rомеоrvfорфное отображение непрерывно). В частности, линию, рассмот" ренную в примере 15 (Иl\fеIОЩУIО «площадь»), можно рас-- сматривать как «след движущейся точки». Уже это Пока зывает, что понятие пути является не слишком ПРОСТЫl\-I. Следующий прпмер еще более подтверждает это. Пример 20. Покажеl, что fОЖНО построить путь, ко.. торый прохоит через R а ж Д у 10 ТОЧl{У квадрата. Ины... МИ словами, существует непрерывное отобраi-нение отрез-- ка па весь квадрат; такие пути называются кривыми Пеа... 1Ю. Для получения кривой Пеано построим в квадрате Q все более извивающиеся «полос КИ"JIабиринты»% будеI Д&- лить квадрат на 4, 16, 64, . . ., 4 n , . .. конrруэптных квадратиков (рис. 42), а затем уберем некоторые из их сторон (рис. 43), причем переrородки, оставленные на каком--то этапе построения! сохраняются и на всех после- 31 8. Кривая Пеапо I 1. ,... / I I I , \ \ , ..... ...' а) ,; о) Рпс.. 41. 
дующих. СреJ!IIие линии этих полосок (штриховая ливия на рис. 43) и lJ;адут в пре1jеле путь, ваполняющий весь квадрат Q, tIJ. е. кривую Пеана. Более точно этот путь а) 11) r"''''' I I I , , I I I I I . J I I J о) б) ,.., (""....., I f I I t I I I t I I I L.........J I I I , I , I I I "-... . r...........J t I , t I I .........J L... ..... ..._ в) 2) Рис. 42. Рис. 43. можно опреелить сле.цующим образом. Рассмотрим не... прерывное отображение отрезка [01 d,J на первую mтрихо-- вую ломаную линию (рис. 43t а), при котором отрезон [о; 174] отображается на часть этой ломаной! лежащую в левой нижней четверти БО1;(ьmоrо HBapaTa, отрезок [1L4, 1/2] .....: на часть) лежащую в певом верхнем кваы;рате, а а& 
отреЭI{И [112, 314] и [314, 1.] ....... на части, лежащие в пра- вых (верхнем и нижнем) квадратах. Это отображение обо-- значим через 11 (t) (rne О <;: t <;: d). Далее, через t'J (t) обозначим отображение отрезка [о; 1] на вторую штрихо- вую ломаную (рис. 43, 6), при котором отрезки [о, 1/16], 11/16, 2/16], . . ., [15/16, 1] отображаются на послеова" crельвые части этой ломаной, лежащие в шестнацати квадратах BToporo этапа. Аналоrично, f з (t) будет отобра.. жепием отрезка [о; {] на пунктирную ломаную третьеrо этапа (рис. 43t в) и т. А. Предел последовательности функ.. ций 11 (t), 12 (t), 1з (t), . . . представляет собой отображение 11 [о; 1] --+ Qf Т. е. не которЫЙ п у т ь в квадрате Q; это и есть кривая Пеано. Леrко пояснить, что ЭТОТ предел существует. возыtем,' например, точку 1/8 Е [о; 1]. Так как 1/3 лежит во в т о рой четверти отрезка [о; 1], Т. е. 1/8 Е [17.4, {12], то точка /1 (113) лежит в левом BepXHe:t.1 квадрате на рис. 42, а. Далее, так как 173 Е [5/16, 6/16], rro 12 (1/3) nежит в шестом по порядку квадрате, пробе.. raeMoM штриховой nоманой на рис. 43, б (т. е. в леВОl\1 верхнем квадрате па рис. 42, 6). Так как 113 Е [21/64, 22/64], то 18 (1/3) лежит в 22-м квадрате, пробеrаемом штри- ховой ломаной на рис. 43, в (Т. е. в леВО1\-1 верхнем квад- рате на рис. 42, в), и т. д. Предел этой последовательно- сти уменьшающихся квадра- тов (вложенных последова- ельно один в друrой), Т. е., в данном случае, левая верх... няя вершина квадрата и есть {l'оча 1 ( 1/3). Таким же обра... зом определяется точка 1 (t) для JIюбоrо t Е [о; 1). Заметим, что кривая Пеано не является простой дуrойz О она имеет бесконечно MHoro точек «склеивания» (т. е. в квадрате имеется бесконеч.. но MHoro точек, череа которые построеннЫЙ ПУТЬ I <t) про- хо)!ит более, че)f один раз). t Рис. 44. Задачи 52. Докажите, что в КВ8АРате Q имеются roчкв, через которые построеRВая криваJl Пеаво I (t) прОХОJ]ИТ четыре рааа, во нет точеI(. через которые она прохоJ1lfТ ПJIТЬ раз. 53. Существует ли «простравствевиая крива&' ПеаВО. t . е. путь в кубе, заполняющий весь 8ТО'1 кубr 9 
5i. Расположим в rоризонтальной плоскости квадрат Q и рас- смотрим путь f (t), представляющий собой кривую Пеано в ЭТОМ квадрате. Через g (t) обозначим точку в пространстве, расположен- ную н а Д точкой j (t) на высоте t (рис. 44). Докажите, что KOflta ., пробеrает отрезок [о; 1], точка g (t) пробеrает путь в пространстве, представляющий собой про с т у ю lt У Ji' у. Докажите, что проеRЦIIЯ этой простоп дуrи на rоризоитальвую плоскость вапоп:- вяет весь квадрат Q. Иными словами, построенная] линия (про.. стая дуrа) представляет собой замысловатую «крышу» над в с е и нвадратом Q. Этот при:мер ПОRазывает, что не только понятие пути, ио да- iRe понятие про с т о й д у r и не является таким 'простым. ка- ним оно интуитивно кажется с первоrо взrляда. 
ЧАСТЬ ВТОРАЯ тополоrил ПОВЕРХНОСТЕй 9.. Теорема Эйлера В следующей таблице указано число вершин, ребер и rраней пяти правuльnыlx жnоаоараnnuJti,О8. Название Число Число Число МRоrоrраННИRа вершин ребер rраней Тетраэдр 4 6 4 Куб 8 12 6 Октаэдр 6 12 8 Додекаэдр 20 30 12 Икосаэдр 12 30 20 Из рассмотрения этой таблицы ВИДНО, что для каждо.. 1'0 правильноrо мноrоrранника имеет место соотношение! в ...... Р + r == 2, (6) rде В...... число вершин мноrоrранника, Р...... число ero ребер, r..... число rраней. Соотношение (6) леrко прове.. ряется также для пирамид, приз:м: и друrих мноrоrранни-- ков. Эйлер впервые подметил и доказал это замечатель-- ное свойство мноrоrранников. Уточни)! фОрl\fУЛИрОВКУ теоремы Эйлера. Прежде все- ro заметим, что любая rрань каiRдоrо из рассмотренных мноrоrранников r о м е о м о р Ф н а к р у r у. Далее, поверхность каждоrо из рассмотренных мпоrоrранников (или, вообще, любоrо в ы n у к л о r о мноrоrравпика) rом:еоморфна сфере1 если о..... произвольная внутренняя точка мноrоrранника, а S ...... сфера с центром о, СО)J;ержа.. щая внутри себя этот мпоrоrранник, то проекция поверх-- ности 1tlноrоrрапника на сферу S из центра о представляет собой искомый rомеоморфйзм. Таким образом, теорема Эйлера в уточненной ФОР)IУJIировке принимает следующий 41 
ЕИДI для вСЯКО20 .мноеоераННU'lЮ f повеРХШJсть 1Wmop080 80:меоморфna сфере, а 1Шждая арань 20жеоlttорфна пруеу, справедливо соотnошение (6). Можно придать этой r.reopeMe чисто а'ополоrичеСRyIO формулировку. Для этоrо заметим, что все вершины иреб.. ра мноrоrранника образуют связный r раф, которЫЙ раз- бивает поверхность мноrоrранника на отдельные rрани (Т. е. куски, rомеоморфные Kpyry). Мы получаем следую.. щее (более общее, чем rreopeMa Эйлера) утверждение % Пусть па сфере (иди 20жеоlttорфной ей noверхnости) начерчен сВяаный ераф G, и,меющuй В вершип и Р ребер и равбивающий сферу па r оБNlсmей «<ераней»); тоеда справедливо соотношение (6). Идея lXОR8зательства ЭТОЙ tl'еоремы содержится в задаче 55. Задачи 55. Пусть а..... связны1й rраф, вачерчеввый на сфе- ре, 0* ..,.. ero максимальное дерево и 1с...... число перемьrчек (Т. е. ребер rрафа а, не содеРЖ8ЩИХСЯ в а*). Докажите, что rpаф О. определяет на сфере пишь ОДНУ область (rрань). и потому для Hero соотношение (6) справедливо. Допажите, что добавление каждой переМЫЧRИ увеличивает число rrраней на одну, и получите отсюда до](азатльство теоремы Эйлера. 56. Допашите, что ДЛЯ Л1Qбоro свяввоro rpафа, раСПОJlоmеввоro R а п л о с к о с т и, справедливо соотношение (6) (к числу crpa- вей. надо ПРИЧИСJlЯТЬ и наружную, неоrравичеввую область). 57. Пусть G...... rpаф, ВЛОiКИМЫЙ в IШОСRОСТЬ. Докажите, что при J1юбо:и способе ero вложения в IШоекость он разбивает ШIОСRОСТЬ на r..... В + р + 1 областей, rде т --- число компонент rрафа в, а В ир...... чисп:о ero вершив R ребер. 58. Выпуклый п-уrольнИR разбит на tJ'реyroльвики, примьt- К8Iощие дpyr к дpyry цeпьum сторонами (рис. 45), причем ва сторо- пах n..yroЛЬВИRа распопожевы т вершив раабиевия, а внутри вею р вершив. Докажите. что n-уrOJlЬВИК разбит на т + п + 2р --- 2 треуronьников. 59. ОбозваЧJIJI через п. ЧИСJlО tp8)'rоаьВЬ1Х !'раней BЬ1JI}'RJlOro мпоrо, rраВНИ:К8 через п4 --- число ero четырехуroпыпп rpавей в Т. д. Докажите. что 3па + 2п, + п5 :> {2 + n, + 2п. + 3п, + 'r1to + . . . в ка кои CJlуча8 имеет место paвeHC'I'ВO? 60. rоворят, что связВЬtй ..раф. расположеDllЬ1Й на сфере, опрее JteJIИет тОnOJUJви..еС1'и nра,uльное ptlвбueние сферы, еспи каждаJl rpan этоro разбиения явnяется п-yroJJЫIИКОМ (Т. 8. оrpавичева вамквутой цепочкой ив n ребер) и в наждой верШИИ8 СХОjЯТСИ k I'pa- вей. До кажвn. что в 8ТОМ: случае t t t 1 п+Т==Т+У. .'2 
В:::! п=2, }(=p=r В= Р=n, r=n=2 Рис. 45. Рис. 46. irде Р --- число ребер. Выведите ОТСIода, что кроме раабиений, то.. полоrически эквивалентных пяти правильным мноrоrраННИRам, су.. щеСТВУIОТ nишь два I'ипа тополоrически праВИJlЬНЫХ разбиениii, которые показавы на рис. 46. 10. Поверхности Пример 21. На рис. 47 изображена «книжка с тремя листами». Вблизи точек х, у, z эта фиrура устрое.. на по"разному. Окрестность точки у имеет вид полунруrа, причем точка у лежит в а е р о :р р а н и Ц е. В этом: слу.. чае rоворят, что точка у леiRИТ на крае фиrуры. OKpeCT ность точки z состоит из rrpex полукруrов, соединенных по общему иаметру; rоворят. ЧТО В этом месте фиrура раа.. ветвляеmcя (т. е. к некоторой липии примыкает три или более «листов» рассматрива.. емой фиrуры). Наконец, точ.. ка х имеет окрестность в ви- де Kpyra, причем точка ж ле- жи'f в Н У т р и этоrо Kpyra; здесь фиrура не имеет ни края, ни разветвления. Фиrура, у кот\)рой каЖl);ая Рис. 47. точка х имеет окрестность, rОIеоморфную Kpyry (в н у т р и KOToporo лежит точка x) называется noверхпостъю. Поверхность не имеет краев и разветвлений. Сфера и тор являются поверхностями. Рассматривают также поверхности о праем; они имеют края, но не имеют разветвлений. Rpyr  поверхность с краем. Сфера, в которой вырезаны несколько круrлыxt отверстий (рис: 48)1 также является поверхностью с I\paeM., 43 
Рис. 48. Рис. 49.. t .,.........Jbl ...18'1 I а )5 }' :":.;:.: ::: .::.: :.: :.:. ::\':; :. :.:.::;:[ ;.::::::.;'} \:;::::;? ::,:: .::f':.:::::?;f;:i::: ::..:'':;:.;.::::::::::  .:. ;:  ....... ')0:... б)f  ... : :;: . 6)  2) Рис. 50. 2 G Рис. 51. 4 
Пример 22. Если на торе вырезать Rруrлую дыру, то мы получим поверхность с краем, которая называется ручпой (рис. 49). Пример 23. Интересный пример поверхности с краем БЫJI описан ь 18621865 rодах в работах немецких мате.. маТИRОВ lVlёбиуса и Листинrа. Она получается слеДУIОЩИМ образом. Лента прямоуrольной Фор:мы (рис. 50, а) один раз перекручивается (рис. 50, б, в) и затем ее концы с:клеи ваютсн. Полученная поверхность с краем (рис. 50, е) а) 8) Рис. 52. называется лептой Мё6иуса. Эта понерхность имеет 11 и m ь о Д н у с т о р о н у. Например, перемещая кисточку по ленте Мёбиуса (рис. 51), мы придем к OMY iI{е месту, с KOToporo начинали закрашивание, но с об ратной стороны" Перемещая кисточку дальше, мы закра- сим всю ленту Мёбиуса и убедимся, что у нее нет «второй стороны». Разумеется, наrлядное описание односторонней по.. верхности с помощью «окрашивания» возможно лишь для «толстой поверхности») изrотовленной из HeKoToporo материала; математически же повеРХНОС1'Ь не имеет тол- щины. Поэтому приведем друrое описание «односторон... ности» " В каждой точке а ленты 1ёбиуса можно провести два противоположных вектора, перпендикулярных к ней в этой точке (рис. 52, а). ати векторы называют 1tор.)Ш/tя... ЖU к ленте Мёбиуса в точке а. Выберем одну из них и нач. нем перемещать точку а вместе с нормалью по ленте Мё- биуса (рис 521 б). }\оrы;а crочка а обойы;ет всю ленту Мё-  
биуса, перемещающаяся норIаJIЬ перей,цет не в СБое пер- nоначальное положение, а в про rr и в о п О л о ж н о е (рис. 52, в). Итак, па ленте Мёбиуса сущеетвует maJt:oи 8a.мKпyтьй путь (обход), что при прохождении этоео пути п0р.мадъ п поверхп0сти приходит в no/Южепие, противо- nОJlожпое первоnачa.ttъnо.му. Поверхности, облап;ающие та- I{ИМИ обходами, и называются одностороnnижи. О,цнако; rоворя о нормалях, мы изучаем не а:'олько са- lrlY поверхность, по и ее располо)кение в пространстве. а) Рис. 53. Поэтому приведем «внутреивее. опреllеление OlPlOCTOpOR" них поверхностей. Условимся вонрур точки а, из которой проведена нормаль, описывать небольmую окружность и па ией отмечать стрелкой направление, которое иа конца прове,ценной нормали наблюлается как направление про- т и в часовой стрелки (РИС. 53 ! а). Если точка а перемв- u щается, то вместе с иеи перемещается и НОрl\lаль, а также окружность с имею- u щимся на неи направ- пением. Rоrда мы обве веи окружность по всей lIвите Мбиуса, направ- .пение на окружности изменится па противо- положное (так как вор- Рис. 54. мань изменит свое на- правление, рис. 53! 6). llтаИ t па лепте Мёбиуса имеется тапой замкнУТЫЙ путь (оБХО}j) t что при перемещении окружности вдоль этоrо пути направление на окружiIости меняется на противоположное. Такие обхопы называются обращающижи ориентацию. Если на поверхности н е т обращающих ориентацию оБХООВt flO она называется ориентируежой (или двуСТ<r роив:ей);. если е с  ь .... nеориентируе.мой (или односто. ронней). С иаrляной точки зрения ориентируемость 03" fIачаеТ а что всю поверхность можно ПОRрЫТЬ ыJIеньRими fl 
онружностями И выбрать па них таRие направления, что БЛИЗRие онружпости буут ориентированы о lJ. и н а н о в о. Пусть теперь Ql и Q2 --- иве поверхности, У каж,цой из которых имеется нрай, rомео:морфный окружности (рис. 54). Соелинив «<снлеив») края этих поверхностеЙ J Рис. 55. мы получим олну HOBYIO поверхность. rОВОРЯТ f что дыра, имеющаяся в поверхности Qlf заклеивается поверхностыо Q2 (или наоборот). Пример 24. Рассмотрим сферу f в которой вырезано р HpyrJIblX !l;blp, и занлеим каждую ИЗ дыр ручкой. Полу.. ченная поверхность (рис. 55, а) называется сферой с р ручажи. Сфера с одной ручкой rомеоморфна тору (рис. 55, 6), а сфера с двумя рУчкаl\tlи..... поверхности «кренделя» (получающейся склеиванием lЖВУХ ручеR рис. 55, в). Задачи 61. Докажите, что rраф «домики и колодцы» (при- мер 12) :можно расположить (без самопересечений) на ленте Мёбиуса. Q а. 6 tJ с с d d а) Рис. 56. 62. :у «зубчатой» фиrуры, изображенной на рис. 56, а, склеи-- ваются с перекручиванием каждые два отрезка, обозначенные оди.. иаково (рис. 56. 6). Докажите, что получающаясн поверхность ЯВJ1летсл ОJlностороввей, а ее :край rомео:м:орфеп о:кружвости, 
63. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, не соединяющихся между собой. ДОRаiките, что поверхность полу... чившеrося тела rомеоморфна сфере с тремя ручками. d. h ь а а) о tY) 8) 6 z) Рис. 57. 64. В ПJаре высверлены три С1\ВО3IIЫХ цилиндричесних отвер" стия, оси ноторых проходят через центр шара. ДОI{ажите, что по.. ЕСРХНОСТЬ lIОЛУЧИБшеI'ОСЯ тела rомео:морфна сфере с пятью ручками. 65. Если попарно склеить противо... ПОЛОiнные стороны квадрата с учетом YKa ванных на рис. 57, а направлений, то полу- чится тор (рис. 57, б, 6, е). Накая по- верхность получится, если склеивание Ь проиавести с учетом направлений на рис. 58 (сторона с остается не склеенной)? 66. Накая поверхность получится, если в 4kуrольнике, показанном на рис. 59, попарно СКJlеить одинаково обо... 58. эвачевные стороны с учетом направлений? МЫ ПОДХОДИМ R формулировке зам:ечатеJIЬНОЙ теоремы о топо,Л,оеuчес1tой 1i'л'ассифu1tацuи поверхностей, получен.. Рис. 59. вой в прошлом столетии Мёбиусом и французским мате... Аlатиком Жорданом. Условимся рассматривать ТОЛЫiО ва.жпнутые пО6ерхпости (которые не И!lеЮ1' кран и попус- , 
кают разбиение на к о н е ч н о е число :мноrоуrольни ков). Плоскость, например, не является замкнутой по верхностью: конечный rраф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, KO'l'op:Ole все rомео:морфныI Kpyry. Задача ТОПОJlоrической классификации поверх ностей заключается в том, чтобы указать тапие попарио не 20.мео.морфuье зампuутъе nоверхnости, Чlпо любая вампnутая поверхность со.мео.морфuа одllОЙ ив иих. JIначе rоворя, нужно перечислить все тоnолоеичеспu различnые Ba.iпп1tymbe nоверхности. Решение этой задачи рассмотрим сначала для opиeп тиpye.мьx поверхностей. Обозначим через РО сферу, а через P k  сферу с k ручками. Оказывается, что пoвepx ности Ро, Рl, Р2'...' Р 10 ... (7) и даrn nолnую тополосическую плассифипацию заt1llутьх opueumupyeMbLX поверхпостей, т. е. здесь nеречислеnь все тоnолосически различuые mUnbL тапих поверхпостей. Доказательство будет дано в следующих двух пунктах, 11. Эйлерова характеристика поверхности Пусть Q  поверхность (с краем: или без края, двусторонняя или односторонняя), которая допус кает разбиеnие па .мnоеоуеоль1-tuпи; это означает, что на поверхпости 10ЖНО «нарисовать» rраф, разбивающий ее на конечное число кусков, rомеоморфных Kpyry. Обо значим: число вершин и ребер rрафа через В иР, а число мноrоуrОЛЬНИI\ОВ, на которые Q разбивается ЭТИl\l rpa фом, через r. Число х (Q) == в  Р + r (8) называется эiiлеровой хараптеристикой поверхности Q. CTporo rоворя, число (8) определяется не самой поверх.. IIОСТЬЮ Q, а выбором ее разбиения на мноrоуrольники. Од.. нако теорема Эйлера показывает, что для поверхности Q" rомеОl\10рфНОЙ сфере, эйлерова характериетика н е з а- в и с и т от выбора разбиения на мноrоуrольники: Х (Q) == == 2 (см. (6». {Уlы ДOKa}leM, что и для любой nоверхпости Q ее айлерова характеристипа 'Х (Q) не аависит от выбора раабие!tия па ,м,llО20уеольnuкu, а определяется самой по-- верХ1tостью, является ее тОnОЛО8uчеспи;м, иnвариаnто;м,. В CBl\fOM деле, пусть на поверхности Q «нарисованы» Два rрафа G 1a G 2J каil\ЫЙ из которых залает разбиение па 4Я 
мноrоуrОЛЬНИRИ. Числа вершин, ребер и rраней разбие- ния, определяемоrо rрафом G 1 , обозначим через В 1 , Рl, r 1 , а соответствующие числа ля разбиения, опрееляемо" ro rрафом G 2 ,...... через В 2! Р21 r 2 . Вообще rоворя, rрафы G 1 и G 2 ){OrYT пересекаться в б е с к о н е ч н о м числе точек. 0WIaKo, «пошевелив» rраф G 1 , мы сможем добить- ся Toro, чтобы G 1 и а 2 пересекались лишь в к о н е ч н о и числе точек. Далее, если rраф а 1 U G, несвязеи, то, «пошевелив» rрафы G 1 , G 2 , можно добиться Tqro, чтобы они имели о&- щие ТОЧRИ И j следовательно, их объединение было связ" вым. Итак, мы можем преполаrаТЬf что rрафы G 1 и G 2 пересекаютя JIИШЬ в конечном числе точек и имеют связ" ное объединение G 1 U G 2 - Считая новыми вершинами все !JОЧКИ пересечения rрафов G 1 и G 2 , а также все вершины этих rрафов, мы найдем, что G 1 U G 2 является к о н е ч.. н ы:м с в я з н ы м r раф о м: (ero ребрами являются куски ребер rрафов G 1 и G 2 , на которые они разбиваются вершинами rрафа G 1 U G 2 ). Обозначим через В и р число вершин и ребер rpa- фа G 1 U G 2 , а через r ---- число rраней, на которые он раз.. бивает поверхность Q. Иея состоит в ТОМ 2 чтобы l!оказатъ равенства В 1  Рl + r 1 == В..... Р + r, } В 2 ...... Р2 + r 2 == В..... Р + r, из которых и бует слеовать, что В 1  Рl + r 1 == В 2 ..... ....... р 2 + r 1. Оба равенства (9) оказываются СJXИнаRОВОJ покажем первое. Пусть М...... векоторЫЙ мноrоуrольник (<<rрань»), оп" релеляемый rрафом G 1 . Обозначим число вершин и ребер rрафа G r U G 2 , расположенных в н у т р и М (не на кон.. туре), через В' и р', а число вершин (а значит, и ребер) этоrо rрафа f расположенных на контуре мноrоуrольника М, через q. Далее, число rраней, опре)Jеляемых rрафом G 1 U G'}. и соержащихся в М, обозначим через r'. На рис. 60 имеем В' == 4, р' == 12; f( == 9, q == 15. Вырежем теперь мноrоуrольник М (вместе с имеющей.. ся на нем частью rрафа G 1 U а 2 ) из поверхности Q. Так как М rомеоморфен Kpyry и t значит, полусфере 9 то ero можно второй «<нижней») полусферой дополнить o по- верхности! rомеоморфной сфере (рис. 61). На этой сфере расположен связный rраф, имеющий В' + q верmин" р' + q ребер и определяющий r' + 1 rраней (r' rранеЙ со}!ержится в М и еще олной rранью является нижняя (9) 5Q 
полусфера). Сле,цовательно соrласпо (6), (В' + q) ...... --- (р' + q) + (r' + 1) == 2, Т. е. В' ..... Р' + r' == 1. (10) Если trеперь (возвращаясь к поверхности Q: па которой начерчен rраф G 1 U G 2 ) мы выбросим из rрафа G 1 U G 2 ero часть, расположеПНУIО в н у т р и М, то получится новый rраф, l!ЛЯ KOToporo, однако, число В ..... Р + r ос- а'анется таким же, пав и ля rрафа G 1 U G 2 . В самом ,целе, С( Рис. 60. РИQ" 61. вместо В' вершин, Р' ребер и r' rраией, имевmиxся в и у т- р и М, мы теперь БУ,lJеи иметь О вершин, О ребер и oJJ.IIY rрань (сам ШlоrоyrОJIЬНИК М), (1'. 8. число В' ...... Р' + r' ваменится на О ..... О + t, а ЗТО. соrласно (10), ничеrо не меняет. 1Ie(,pъ IIСНО, ЧТО если мы И8 rрафа G ж U О" выбросим ero части, расположенные в н у l' Р И В О е х мвоrоyrоль- ников, опреJjeJIяемьп rрафом Gt, ro получим новЫЙ rраф G*, 1J)IЯ иотороrо число В .... Р + r буe'l' (1'акии же, как и ПЛЯ rрафа Gt U G 2 . Иначе rОВОРЯ f В* ...... Р* + r* == в ..... Р + r. (11) rде В* и р* ...... число вершин и ребер rрафа а* 1 а r* .... v число опрев:еJIяемых им rрапеи. .3аиетии, наконец, что rраф а* получается И8 G 1 АОа бавлением нескольких новых вершин на ребрах. Добав.. ление каЯQЖОЙ новой вер Il1инhI уве .11И':IИ вает число ребер на t (поскольку добавленная вершина разбивает ОlЩо из ре.. бер на два). Следовательно. если переход от rрафа а 1 к G* осуществляется добавлением'" новых вершин, то В*  ;;::: В 1 + k l P*==P 1 + k. Кроме Toro. r* ;::: r 1 (так как rраф 5' 
G* определяет т е ж е rрани, что и rраф G 1 ). 1"аким 06- разо:м, В*  р* + r* == (В 1 + k)  (Рl + k) + r 1 == == В 1 ...... Рl + r 1, а это, соrласно (11), и дает первое из соотношений (9). IITalc, эйлерова характеристика поверхности не зави.. сит от ее разбиения на мноrоуrольники, а определяется саIОЙ поверхностью. Нро:ме Toro, эйлерова характеристи... ка является топОЛО2uчес-кu.м иnварианто:м: если поверх.. ности Ql И Q2 rомеоморфны, то Х (Ql) == х (Q2)' в самом деле, при rомеО10рфИ3lе f: Ql --+ Q2 rраф G 1 , начерченный на поверхности Ql, переходит в rраф G 2 == f (G 1 ), начер" qенный на Q2, причем вершин, ребер и rраней на поверх- ности Q2 будет с  о л ь к о ж е, сколько и на поверх- ности Ql. Задачи 67. Докажите, что сфера с вырезаввыми в веи q дырами имеет эйлерову :характеРИСТИRУ 2 ...... q. 68. Пусть Ql и Q2  две поверхности, каждая из которых имеет край, rомеоморфвый окружности. Докажите, что, склеивая эти края (см. рис. 54), мы получим поверхность, эйлеРОВ8 характеристика которой равна Х (Qt) + х (Q2). 69. Чему равна эйлерова !Характеристика Kpyra? Ручки? Лен- ты Мёбиуса? 70. Докал(ите, что эйлерова характеристика поверхности Pk равна 22k. 71. На торе осуществлено тополоrичес!(и правильное разбие- вие (Cfd. задачу 60). Докажите, что каждая fравъ ЯБляетя либо треуrольником, либо четырехуrольником, либо mестиуrольником. Приведите примеры правильвых разбиений каждоrо из этих типов. 72. На замкнутой поверхности Q нарисован rраф с В вершина- ми и Р ребрами. Он разбивает поверхность Q на r областей (среди которых, возможно, есть не rомеоморфные Rpyry). Докажите, что В ---- Р + r  х (Q). у к а з а н и е. Для Toro чтобы разрезать поверхность Q на мвоrоуrольники (rомеоморфные Kpyry), достаточно последователь- но применить одну или несколько операций следующеrо вида: а) добавление новой вершины на одном из ребер rрафа; б) добавле-. вие ребра, имеющеrо лишь одну общую вершину с начерченным rpa.. фом; в) добавление ребра, соединяющеrо две вершины уже нач'ер.. чениоrо rрафа. Проверьте, что при каждой из этих операций число В ....... Р + r может лишь уменьшиться. 73. На замкнутой поверхности Q на.черчен rраф с В вершинами и Р ребрами; поверхность Q разбивается этим l'РЭФОМ на r областей. Докажите, что если каждая иа областей имеет на своей rранице не менее k ребер, то (k  2) Р  kB  kX (Q). 52 
,12. Классификация заМRНУТЫ ориентируемых поверхностей Поверхности (7) попарно не rО}Iеоморфны" rraR RaK ИIеIОТ раз н ы1 е эйлеровы хараRтеРИСТИRИ (за- дача 70)$ ТаRИМ образом, для доказательства теоремы, сформулированной в конце ПУНRта 10, остается устано- вить, что л ю б а я замкнутая ориентируемая поверх- ность rомеО:МОрфН8 одной из поверхностей (7). ДОRаза- ельство проведе:м в неСRОЛЬRО этапов. А) Пусть Q ....... некоторая связная заМRнутая ориенти- руе:м:ая поверхность. Начертим на ней связный rраф G, разбивающий ее на rрани, rомео:морфные Kpyry. Для каждой вершины rрафа G возь:м:ем на поверхности Q ма- ленький RрУЖОК, содерj-кащий внутри себя эту вершину. Эти RРУЖRИ будем: называть luаnОЧ1i,ажu. Далее, для кат- доrо ребра rрафа G возьмем УЗRУЮ nO/toc1i,Y, идущую вдоль этоrо ребра и соединяющую шапочки, Rоторые соответ- CTBYIOT Rонцам ВЗЯ1'оrо ребра. Если удалить из поверх- ности Q все шапочки и все полоски, то от каждой rрани останется RYCOR, rом:еоморфный Kpyry; этот KYCOR бу,цем р НС. 62. Рис. 63. называть сердцевиной rрани. На рис. 62, на котором изо- бражен кусок поверхности Q, шаПОЧRИ заштрихованы, по- JlОСКИ ПОRрЫТЫ ТОЧI\ами, а сер;g;цевины оставлены белыми. Идея заRЛlочается в том, чтобы разрезать поверхность Q на шаПОЧI\И, ПОЛОСRИ, сердцевины, а затем снова склеить ее из этих кусков, прослеживая шаr за шаrом, что полу- чается при СК.леиваIIИИ. Преj-I<де Bcero вырежеl\l из поверхности Q все серlJ;це- вины rраней; оставшуюся часть поверхности обозначим: через Qo. Ее край состоит из всех контуров сердцевин. 53 
Б) Выделим в rрафе G максимальное дерево (на рис. 63 оно вычерчено жирно), и всее полоски, соответствующие перемычкам (Т. е. ребрам rрафа G J не ВХОlJ;ЯЩИМ в это дe рево), расс.ечем в середине. Отрезки аl ы 1, agb 2 , . . ., арЬ р. по которым производптся рассечение полосок, назовем хордажи. Рассечение будем производить постепенно: рас.. сечение по xope аl ы 1 превращает Qo в поверхность Ql; если в Ql произнести рассечение по хорде а 2 Ь 2 , получим поверхность Q2; ...; наконец, рассекая QPI по хорде арЬ р , получим поверхность Qp. Д.JIЯ получения из Qp по- верхности Q о нужно вновь произвести склеивание по хор- дам. В) Преже чем осуществлять эти обратные склеивания, заметим, что поверхность Qp еожео.морфна пруеу. В самом деле, будем вычерчивать максимальное epeBO rрафа G, беря OWIO ребро, еще одно, еще одно и Т. ;[1;........ так, чтобы все время получал ось дерево. Полоска и две шаПОЧI{И, соответствующие первому ребру и ero концам, составляют поверхность, rомеоморфную Kpyry (рис. 64, а). Добавле- вие полоски и шапочки, соответствующих второму ребру 1 снова lJ;aeT поверхность, rомеоморфную Kpyry (рис. 64, б). aJ 6) If\ Рис. 64. В ,/ u ообще, при каждом проведении ребра, R уже имевшеися поверхности, rомеоморфной Kpyry, приклеиваются одна полоска и одна шапочка, что вновь дает поверхность, ro-- fеоморфную Kpyry. В конце концов, вычертив максималь- ное дерево rрафа G, мы получим rомеоморфную Kpyry ,'1 поверхность, составленную из всех шапочек и тех полосок,' которые соответствуют ребрам максимальноrо дерева. Для получения поверхности Qp остается приклеить nолу- nоД,оспи, образовавmиеся из оставшихся полосок после рассечения по хордам (пунктир на рис. 64, в). Но каждое приклеивание полуполоски оставляет поверхность rOMeo:,:, морфной Kpyry. Мы 'попашем теперь, что паждая ИВ поверхностей Qp'J. Qpl" . . . Qlt Qo еомеожорфна сфере,- в поторой вырезаны 54 
нес-поль-по дыр и часть ИВ них ваплееnа ручпажu. Относи- trельно поверхности Qp это очевидно I она rомеоморфна Бруrу" а.'. е. сфере, в которой вырезана одна дыра и не ВRлеено ни одной РУЧRИ. r) Рассмотрим при каждом i  1" . . ., р переход от поверхности Qil R поверхности Qi (т. е. рассечение по хорде aib,) и обратный переход от Q, R Qi....l. Здесь MoryT Рис. 65. представиться: две возможности I точки а, и Ь, раСПОJIО- u u жены на о Д в о и и т о и ж е компоненте края по.. верхности Q'..l ИJlИ на р а 8 и Ы х компонентах. Если а, и Ь, расположены па р а 8 в Ы х компонея.. «,ах I{рая поверхности Qi--l, то рассечение по хорде aib, приводит к уменьшению числа дыр на одну (рис. 65, а D 6). Следовательно, обратный переход (от Q, к Qil) сво'" ится К вырезанию одной вовой дыры. Поэтому, если , Qi &IОjirчалась из сферы вырезанием иеСКОЛЬRИХ дыр' и ваклеивавием части И8 них ручками, то вто же справед- пиво и для Q....t. Д) Пусть теперь ковцы хорды а,Ь, принадлежат о 1J. и о й компоненте края поверхности Q,...t (рис. 66). Получающая:ся при рассечении поверхностъ Q i (рис. 67) rомеоморфна поверхности (рис. 68), получающейся ив Qi--l Д В У м я раsрезаМИi сначала по замкнутой линии l, не пересеRающейся с краем поверхности Q"....l (это дает промежуточную поверхность llt, (рис. 69), а затем по хорде а,с" концы которой .лежат на р а 8 н ы Х компо- нентах края поверхности f/t. Обратный переход от Q, (см. рис. 68) R f/t (рис. 69), как мы видели в пункте r), сводится к вырезанию одной дыры. Остается рассмотреть переход от Qf к Qf--t. Итак, пусть QT получается: ив Ql--l разрезанием ПО ков- туру lJ не пересекающемуся с краем поверхности Qil04 65 
Рис. 66. Рис. 67. Рис. 68. Рис. 69. РИс. 70. C 
Если вместо Toro" чтобы производить этот разрез, мы вы- режем ив Q....l УЗRУЮ ПОЛОСRУ L, заRлючающую внутри себя JlИНИЮ l (рис. 70), то получится поверхность, rO?tIeo {орфная (/t. ПОЛ<ЮRа L rо?tIео:м:орфна либо ленте 1\1Iёбиуса, либо БОRОВОЙ поверхности цилин;.t;ра. В caMO'M деле, если Рис. 71. Рис. 72. эту ПОЛОСRУ разрезать (рис. 71), то ее можно распрямить в УЗRУЮ прямоуrольную ленту; следовательно, L IОЖНО получить склеиванием концов прямоуrольной ленты, и надо лишь проследить, происходит это склеивание с перекручиванием или нет. Но ленте Мёбиуса ПОЛОСRа L rомеоморфна быть ие может, TaR RaK на ленте Мёбиуса имеется обход, обраща- ющий ориентацию, а исходная поверхность Q (и все по- верхности Qo, Q1, ..., Qp) о р и е н т и р у е м ы. ИтаR, L rомеоморфна боковой поверхности цилиндра. Следовательно, после разрезания по линии 1 она распа- дается на две части, и потому поверхность Q имеет по сравнению с Q.....l Д В е новые Rомпоненты края 11, 12. Обратный переход от f!t к Qt....l заRлючается в СRлеива- нии двух контуров дыр 11, l2' имеющихся на поверх.. ности Qt. ОRРУiI\ИМ понтуры ll' 12 УЗRИМИ Rольцевыми ПОЛОСRа- ми и соединим их ПОЛОСRОЙ друr с друrом. Мы получим на поверхности (/t фиrуру «<ОЧНИ», рис. 72), rОlеоморф" :пую I\pyry с двумя дырами (рис. 73). СRлеивание ROHTY" ров 11 И l2 должно производиться С учетом про т и в о.. п о л о ж н о й ориентации на них, так :как иначе по.. ЛОСRа, заштрихованная на рис. 74, превратилась бы при склеивании в ленту Мёбиуса, что невозможно в силу ориентируемости поверхности Qil. Следовательно, СRлеи.. вание ROHTypOB 11 и 12 равносильно ВRлеиваНИIО в по.. верхность QТ рУЧI\И (рис. 75). ИтаК J переход от Qi К QT 57 
сводится R вырезыванию одной дыры, а переход от QТ R Qil  R уменьшению числа дыр и вклеиванию одной РУЧRИ. Поэтому еCJIИ Qi получалось из сферы выреза- нием неСRОЛЬRИХ дыр и заRлеиванием части из них руч- нами, то это же справедливо и для QIl.   .  ') """ 12 I )   Рис. 73. Рис. 74.  Рис. 75. Е) Проведенная индукция показывает, что Qo полу- чается из сферы вырезаием k + r дыр и заклеиванием k ив вих ручками (k > О, r > О). Остается заметить, что при переходе от Qo к исходной поверхности Q в поверх- ность Qo вновь вклеиваются все сердцевины, т. е. каждая из r дыр, имеющихся в поверхности Qo, заклеиваеТСJl Rруrои. Таким образом, Q получается из сферы Bblpera- нием k дыр и ваклеиванием их всех ручками, Т. е. Q rомеоморфна одной из поверхностей (7). Задачи 74. Сформулируйте и покажите l'eopeмy о I'OПОJlО rиЧООКОЙ КJlассифихации ориентируемых поверхностей с краем 75. На поверхности Pk проведено q контуров, ие пересек8IOЩИХ си m>yr с JФуrом, причем после разреэавия по всем этим контурам по верхвость остается связной. Докажите, что q " k. 76. На замкнутой поверхности Q ООУЩООТВJIено ТОПОJlоrически праВИJlьвое равбиевие: каждая aHЬ - пятиуrОJlЬВИR, в каждой вершине сходятся по четыре rpаии. Докажите, что если число rрав:ей не кратно воськи, то поверхность Q веориевтируема. 77. На за:мRНУТОЙ поверхности Q проведевы три линии р, q, r, rоиеоиорфные отрезку, которые имеют общие концы и попаРilО ве Иi\lею'l' дpyrn общих точек. Докажите, что если разрез по ОДНОЙ и8 ливий р U q, р U Т, q U r оставляет поверхность связной, то :хотя бы одна И8 IIВУХ m>уrJП также обладает зтим свойством. 78. ЕCJ1И на опвой из rpаней правильноrо додекаэдра (рис. 76,4) продолжить все стороны до пересечения, то иы ПОJlУЧИИ праВИJIL- ную пятиконечную 8везАУ (рис. 76, 6). Две такие звеэАЫ. построен- 5ц 
ВЬ1е на смеЖВЬ1Х rравях (рис. 76, 8) :имеют оБЩИЙ отрезок М. Усло- виися, однако. считать, что 8ТИ звезды примьmaIOт lWyr к друrу только по отрезкам аЬ И cd, а отрезок Ьс будем считать ((лишВlDrf» пересечением 8ТИХ звезд, ПРОИСХОДЯЩШI из..за «неудачноrо) расп()- ложения этих звезд в пространстве. После построения аналоrичвых звезд для в с е:х rраней додекаэдра (рис. 76, е) мы получим HeKOT рую поверхность Q, расположеввую в пространстве с самопересече.. пиями (<<JIИШВШШ» ливиями пересечения БУD:УТ ребра ИСХОltВоrо а) о) Рис. 76. одекаэдра). Докажите, что эта поверхность является ориевтируе.. мой и имеет эйлерову характеристику Х (Q) == ......16' а значит, r меоморфна сфере с девятью ручнами. Можно построить и ИНУIО поверхность, связаниую с 1{одекаэд... рои. Добавим к контуру каждой звезды такие отрезки, как Ьс (рио. 76, в), так что получится замкнутая пятизвенная ломаная (са.. мопересекающаяся). Затем раСПравим эти ломаные, устранив само.. пересечения (так что.сторонами станут отрезки типа ad), и на каждую из них натянем rpaHb (пятиуroльник). Тоrда получится поверхность, состоящая из двенадцати пятиуrОJIЬНЫХ rраней, причем число вер- ШИН (таких, как а, d) будет также равно 12, а число ребер 30. Дока.. Жите, что эта поверхность ориентируема и имеет эйлерову характе- Ристику Х == 62 а значит. rом:еом:орфва сфере с четырьмя ручками. 5ff: 
79. Построим на Rаждой rрапи куба «четырехконечную звезду» (с искривленными лучами; см. рис. 77, а) так, чтобы соседние звезды соприкасались краями лучей (рис. 77, 6). После построенин таких звеЗ)А на всех rравях куба получится поверхность, раСПОЛОiI\енная а) б) Рис. 77. в пространстве с самопересечениями «<лишними» линиями пересече- вия будут ребра куба). Докажите, что эта поверхность rомеоморф- на Р s. 80. Какие поверхности получатся, если построить «трехконеч. ные авезды» (а"налоrично !!'Ому, как описано в условии запачи 79) на rранях тетраэдра, октаэдра, икосаэира? 13. Классификация 38Ш\нутых u неориентируемых поверхностен Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с саАfопересе- чениями. Пример 25. На рис. 78, а изображена поверхность с краем l, а на рис. 78., б ....... ее разрез через «rорлыmко) а) 6) Рис. 78. Заклеивание дыры 1 RpyroM дает зам:кнутую поверхность (рис. 78, в), :которая, однако, пересекает себя. В деЙС1'ВИ" тельности сам:опересечения не должно быть ........ м:ы ХОТИАI считать.. что оно возникает лишь из-за «неудачноrо» 6() 
расположения поверхности в пространстве. Полученная поверхность называется бутЬ/tnОЙ Клейпа. Она ОДНО" сторонняя I начав движение от ТОЧRИ, раСПОЛОiRенпой на U u внеmнеи поверхности rорлыmка" можно проити внутрь rОрЛЫШRа (рис. 78" 6). Пример 26. Тав вак прай леllтъ Дfё6uуса еОJ,tеОJtорфеn о"'руж1tостu (рис. 79), то :м:ожно попытаться ПрИКJlеитъ  Рис. 79. пенту Мёбиуса своим краем к краю дыры, выреЗRППОЙ в неRОТОРОЙ поверхности. На рис. 80, а изобра,.кена пеита Мёбиуса (RОЛЬЦО с перекручиванием), а на рис. 80, б ..... кусок поверхности Q с вырезавной в пей ырой. Если «равоrнуть» внутреннюю «лопасть» поверх- uости QI trO nerKo увидеть (рис. 80, в), что в ней вырезана Il) 6) Рис. 80.. дыра, rомеоиорфная Rpyry. Так KaI поверхности, пзо.. бражевные на рис. 80" а и б" имеют одинаковый край, то можно склеить их краями" т. е. вn.митъ лепту Мёбuуса в nруzдую дьzру, въре8аnnую в поверхnости Q. Правда, при этом лента Мёбиуса ока}иется пересекающейся с по.. верхностыо QJ во м:ы будем считать" что пересечение:вов" викает лишь из"ва «веудачвоrо» расположения в про- странстве. Заклеивание дыры лентой Мёбиуса А{ОЖНО описать и иначе. Равреже1t1 ленту  1ёбиуса по ее с р е Д в е й л и II И и. Для этоrо мы долн\ны сначала СRлеить боко- ВЫе стороны ПРЯАfоу[ольвика (с Dерекруqивапи.м --- чтобы 01, 
получилась лента Мёбиуса) а затем произвести разрез по линии тпр (рис. 81" а). Но ыжноo выполнить действ1UI в обратном порядке; сначала разрезать прямоуrольвик по линии тnр (рис. 81, б), а затем произвести склеивание БОRОВЫХ отрезков (с учетом направления стрелок). Для склеивания повернем нижнюю половину прям:оуrольника «наизнанку» (рис. 81, 8) и расположим половинки, как на рис. 81, 8. Теперь петрудно произвести _ необходимые 1/ & а b n) r -  h а) rZ а 1/ ) t т, п, р, I Q Q Q а Q (1 i a' ь ! т2 п2 Р2 6) а 1/ 4)/J t т, n, р,  Q О  . J а CI а t tl' т: п2 PI. 1) Рис. 8f. СI(леивания (рис. 811' д). МЫ ВИДИМ, что раареаанuе лепты Мёбиуса по средней линии дает фиауру, ео.мео.морфную "ольцу. На рис. 81 по казаны точки" Dо,nучивmиеся ИВ точеl' т, n, р при разрезании по средней ЛИВИИ. На рис. 81, д одинаково оБО8наченные 'lочки ЯВЛЯЮТСЯ А И- а ы е т р а Л ъ н о про т и в о поп о ж в ы м и. Обрат- ное снлеиваие снова превращает вольцо в пенту Мёбиуса. Следовательно, если па одной опружности польца схлвить жеждll собой 1Ulждые две диа.метралъно nротU80noложные точпи, то JКЫ nОд'УЧUМ Д,еnту Мёбиуса. Пусть жеперь l ...... контур круrлой дыры па П8КОТОРОЙ поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) BOKpyr дыры l и обозначим: через " наружный контур этоrо кольца (рис. 82). Тоrда ПОЛУЧИТСЯ поверх-- ность, rом:еоморфная Q (только с несколько большей дырой l'), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре l oTpesaHHoro кольца каждые две диаметрально противо ПОJlожные точки; or1!a кольцо превратится в lIевту 62 
Мёбиуса. Эту ленту Мёбиуса мы и вклеим в дыру l' . Б результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверх-- БОСТЬ, rомеоморфную ей) ленту Мёбиуса. Но разрезание поверхности по контуру l' и обратное склеивание этоrо разреза ?\-IОЖНО было и не делать: достаточно было просто снлеить на контуре l каждые две диаметрально ПРОТИВОПОЛОrl\ные точки. Итак, C1hlleUBaHue каждых двух диаметрально противополож ных точек на контуре круелой ды pь равnосильно в1iJtеиванию в эту ды,ру лепты Мёбиуса. Пример 27. В проективной re ометрии к точкаl\f обычной (евк-- лидовой) плоскости присоединя IОТСЯ несобственные (бесконечно удаленные) точки. Присоединение бесконечно удаленных точек про-- изводится таким образом, что :к каждой прямой, проходящей в евклидовой плосности, присоединяется о Д н а бесконечно удаленная точка, причем для всех параллельных между собой прямьтх эта бесконечно удаленная точка одна и. та же (т. е. парал-- лельные прямые «пересекаются в бесконечности»)! а для Рис. 82. Рис. 83. непараллельных прямых бесконечно удаленные ТОЧRИ раз л и ч н ы. Плоскость, пополненная бесконечно удаленными точками, называется nрое-птuвной пJtоспостъю. ЧтоБI>! выяснить тополоrическую структуру проектив- пой плоскости, рассмотрим полусферу с центром о, каса- IОЩУЮСЛ плоскости И расположенную таи, что диамет" ральная ПЛОСI\ОСТЬ полусферы параллельна ПЛОСRОСИ (рис. 83). Центральное проектирование из точил о явля- , . 63 
ется rОl\lеОМОрфНЫl\f отображение1 открытой полусферы (получающейся выбрасыванием из полусферы всех точек ОI'раничивающей ее окружности) на всю евнлидову плосность. Проведем теперь через точку касания полусферы пря- мую 1 на ПJIОСКОСТИ, а через точку о  прямую l', парал лельную 1. ПРЯl\lые l и l' «пересекаются в бесконечности}) таи, что точки т 1 и т 2 , в которых прямая l' пересекается с краем: полусферы, «проектируются» (вдоль ПрЯl\10Й l') В одну и ту же точку ...... в бесконечно удаленную точку ПрЯl\10Й l. Следовательно, отображение n о л у с Ф еры с к р а е м на плоскость, пополненную бесконечно уда- леННЫl\fИ точками (т. е. на проеКТИВНУIО плоскость), не является взаи:мно однозначным: двум различным точкам т 1 , т 2 на крае полусферы соответствует одна и та же точка проективной плоскости. Чтобы это отображение стало взаим:но однозначным (и rомеоморфным), нужно с к л е- и т ь ме}нду собой каждые две диаl\lетрально противо- положные точки на крае полусферы. Иначе rОБОрЯ, про- ективная плоскость rомео:морфна полусфере, к краю ко.. торой приклеена лента Мёбиуса (или сфере с одной дырой, которая заклеена лентой Мёбиуса). Из этоrо следует, что проективная плоскость (в отличие от евклидовой) яnля ется о Д н о с т о р о н н е й поверхностью. Теперь мы можем сформулировать вторую половину TeopelЫ 1\1ёбиусаЖордана о классификации поверхно- стей, а именно, дать перечисление всех тополоrичеСl\l1 различных типов замкнутых н е о р и е н т и р у е- мы х поверхностей. Обозначим через N q поверхность, получающуюся из сферы .вырезывание}1 в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мёбиуса. Оl\азывается, что пове рхnости N l' N 2' . . ." N q' . . . (12) и дают nОJtНУЮ топО/l,оаuчес-пую 1'i,Jtассифипацию ba,m-пнутЬLХ пеориентируе.мых nоверхн,остей. Задачи 81. ДОКВiI\ите, fJTO если в поверхности N q вырезать круrлую дыру, то IIолучающаяся поверхность с {(раем АI0}кет быть расположена в трехмерном' пространстве без самопересечеllИЙ. у к а 3 а н и е: lJолучающаяся lIоперхпость l'ОМООl\lОРфнз рас.. смотренной в задаче 62. 82. ДокаЖИТU t \jTO l.1Jlul)Oba Xa!JaKJ.\)!Jtl(.;l 11\" UUUtjj;J.\.uUC'l'ai JV Q равна 2 ...... q. 64 
88. На сфере вырезаны т + n + р дыр; п И8 них S&М8е1Пt ручкаШl, а n ....... аептамп Мёбиуса. Докажите, что эйлерова харак- I'eрИСТИRа получивmейся поверхности с краем равна 2 ..... 2т ..... n ...... р. 84. Докажите, что rpаф «4 ДОМИRа и 4 колодца. (ребрами кото- poro являются соеДИНЯIOщие тропинки --- по ОДНОЙ от каждоro ОШlRа к каждому 1\ОЛОДЦУ) не может быть размещен без самопере- сечений па проективной плоскости, но может быть расположен на !Юре. 85. На поверхности Q удалось начертить rpаф «т 1I0ИИКОВ и 11 тп колодцев». Докажите, что Х (Q) <; т + 11 ..... 2 . 86. Какой иа поверхностей (12)- rомеоморфна бутылка Клейна? Проективная плоскость? 87. Какие поверхности получаются, если на рис. 84, 4, б, е, а снлеить (с учетом ваправвевий) сторонЫ, помеченные одиваковыШl бунва:ми? а а ь а 6) Рис. 84 ,,) i) 88. В трехмерном пространстве R ваята лента Мёбиуса, а в четырехмерно)! пространстве Rt. содержащем R3, взята точка р f!!/= f$ R3. 1\ .ленте МёбиуС8 добавлены все пряJ,fоливейиыe отрезки, соединяющие р с точками, лежащими на ире ленты Мёбиуса. До- !tан(ите, что получивmаяся поверхность rомеом:орфна проективной плоскости. Докажите, что Лlобая поверхность N р может быть рас- ПОo1l0жева в Rt без самопересечевий. r оверхвости (12) попарно не rомеоморфны, так как вм:еют различные эйлеровы характеристики (задача 82). Поэтому для доказательства Toro, что поверхности (12) дают полную тополоrическую нлаССИфИRацию замкнутых веориентируеАIЫХ поверхностей, остается установить, что 1\ а ж Д а я замкнутая неорпеитируемая поверхность r011e0110pqJHa одной из поверхностей (12). Это доказы- вается точно так же, как и в пункте 12. Разница будет, во..первых, в том, что лента L (см. рис. 70) теперь MOiKeT ОRазаться rомеоморфной ленте Мёбиуса (ПОСRОЛЬКУ рас.. сматриваются и е о р и  в Т и р у е м ы е .поверхности). В этом случае поверхность rл, ПОJIучивmаяся после Bblpe 411 QаВИJl по.n:оски LI. будет иметь о Д н у новую компоненту :края (так как край полоски L, Т. е. JIеиты Мёбиуса, rоиоо.. S В. r j БОт'ВDСRиl t В. А. Ефремовв'! 65 
морфен окружности). Наоборот, Qi+l получается И8 Qf приклеиванием полоски L к одному из контуров, принад. лежащих краю поверхности Qi, т. е. Qil получается из QT аа"леuванuем одной ablpbt лентой Мёбиуса. Во"вто- рых, разница будет в том, что склеивание контуров 11 И 12 на рис. 72....... 73 теперь может производиться с учетом не обявательно противоположной ориентации на них (что равносильно ВRлеиванию ручки, рис. 75), но, воз- можно, с учетом о Д и н а к о в о й ориентации контуров. В этом случае поверхность Qil получается из Qr за- клеиванием Д в у х дыр лентами Мёбиуса (вадача 89). ТаRИМ образом, рассуждение, проведенное в пункте 12, ПОRавывает., что любая аамnnутая неорuеnтируемая по- верхность Q получается иа сферы Bbtpe8anue. i u k + q abLp u 8аnлеuваnuеж k дыр ручnамu, а q abtp ....... лентами Мё- бuуса. При этом q;> 1, так как при q == о мы получили бы о р и е н т и р у .е м у ю поверхность P t , а по усло- вию поверхность Q была неориентируемой. Остается заметить, что если в поверхность вклеена хотя бы одна лента Мёбиуса, то вклеивание ручки равносильно ВRлеи- ванию Д в у х лент Мёбиуса (задача 90). Поэтому по.. верхность Q, получающаяся из сферы вырезанием k +q дыр и ВRлеиванием k ручек и q лент Мёбиуса (rде q > 1), rомеоморфна сфере, в которой вырезаны 2k + q дыр и все они заклеены лентами Мёбиуса. Иначе rоворя, Q rOMeo морфна одной из поверхностей (12). Задачи 89. В Kpyre вырезаны две ДЫрЫ. и ИХ "овтуры '1' 12 склеены с учетом одинаковой ориентации на них. Докажите, что это 8квивалентво заклеиванию обеих дыр лентами Мёбиуса. у к а з а н и е. Произведем дополнительные разрезы по ливиям aтna, cpqc t (рис. 85, а) и перевернем «наизнанку» отрезанный кусок (рис. 85, б). Теперь СRJIеивание контуров 11 и 12 осуществляется непосредственно (рис. 85, в) и остается вновь склеить проведепвые разрезы, т. е. склеить. «диаметрально противополон(вые» точки на llВУХ контурах. 90. В Kpyre вырезаны три дыры и одна из вих заклеена лептоii Мёбиуса, а контуры двух друrих дыр склеены с учетом противопо- ложной ориентации на них (ручка). Докажите, что зто равносильно ваRJIеиванию всех трех дыр лентами Мёбиуса. у к а з а н и е. Проведем дополнительный разрез тlаЬт2, а ватем вывернем отрезанный кусок «наизнанку» (рис. 86). Мы по- лучаем «серповидную» дыру t на контуре которой склеиваются каж- дые две «диаметрально противоположвые» точки, и еще два конту- ра, которые надо склеить с учетом о Д и н а к о в о й ориентации на них. 91. Сформулируйте и докажите теорему о ТОПОЗIоrической 1Шас- сификации неориентируемых поверхностей с краем. 66 
а) 5) а) 4) Рис. 86. В) Рис. 85. б) 2) З* 67 
14. Векторвые ПOJJЯ на поверхвостJIX Вопрос, которЫЙ рассматривается в этом пункте, заключается в следующем., Можно ли на заданной ориентируемой поверхности Q построить непрерывное поле направлений, т. е. выбрать в каждой ее точке тапой u u венулевои касательныи вектор, что при переходе от точки к точке вектор меняется непрерывно? Пример 28. На сфере направление с севера на юr (рис. 87, а) имеет особые ТОЧRИ в долюсах; в этих точках Fllt'. Н1. :( о ,  ...., ,It \.. "" ... ..... .", " ....    ......,. ..А'  '*' ' ./' '...... ........,.." ...... , ....... '.. --" ."" ....... ..... ..............",,--" б) векторы направлены в разные стороны и непрерывность нарушается. То же можно сказать о направлении с запада на востон (рис. 87, б). Вообще, кап мы увидим дальше, на всей сфере не существует B прерывноrо поля направлений. Это иноrда ФОРIУЛИРУЮТ в ви- де «теоремы о еже»: если из каждой ТОЧRИ поверхности сфе- ры растет «колючка» (ненулевой вектор" не обязательно касаю.. щийся сферы) и направления «колючек» от точии к точке ме-. u няются непрерывно, то наидет- си хотя бы одна «колючка», перпендикулярная к сфере. Действительно, в Пр.отиввом Рис. 88. случае, спроектировав каждую ....... , «КОЛЮЧRУ» aq на - Rасательную плоскость, проведенную в точке а, из которой эта «ко- лючка» растет (рис. 88), мы получили бы на всей сфере непрерывное поле иеиулевых касательных векторов" а это невозможно. 68 
На рис. 89, а, б показан вид векторных полей, рас.. смотренных в примере 28, вблизи ceBepHoro полюса, а ва рис. 89, в  более сложная особая точка (так называемое седло). Коrда мы один раз обойдем особую точку (напри" мер, против часовой стрелки), направления векторов со.. вершат в случаях, изображенных на рис. 89! а) и б) один t I \ t I .У...... '" /r  ttt+,' \  '\ + 11,)1' ' ,. А-- 1'0. '" \ ./ I I tft \ ',', , \ +, ,.Jr" I I 1'-::""  .A' / It\ , " " \ t l-- .А' l I J I '" 1. \ .. ..-Jr  ....."J t \.. '"-  ) .... ...  +  О .. ... ... ... ... " "1 I  :: ........ о..... :: !:= K'I.",.  \ \ ....O1 I , f ...  f  r' R  '. \ '" , \ '......II J 1 ,"" ,, 11' , 11 1  "', "" .,,#  " "  \J ' 1 ' / " . " ,,:: А'; ' \ ' \I / I +  7'""  \  ! I    Рис. 89. поворот в. т о м ж е направлении (рис. 90, а, 6).., а в случае рис. 89, в) ...... один поворот, но ужq в про т И.. в о п о л о ж н о м направлении (рис. 90, в). В связи с этим rоворят, что особая точка на рис. 89, а (и па а) б) 4) Рис. 90. рис. 89, б) имеет индекс +1, а особая точка на рис. 89, в ..... индекс ....... 1. Выдающийся французский математик Анри Пуанкаре (1854........1912) доказал, что если На аа.м,пнутой ориентиру" е.м,ои поверхности Q задано поле ненулевых 1W,сателъных вепторов, непрерывное всюду, про,м,е понечноео чис.IIД особых точеп, то су.м,м,о, иHдeoв всех особых точеп равна Х (Q). Пример 29. Так как Х (Р,,) == 2  2k, то Х (P k ) =#= о при k =1= 1. Следовательно, на ориентируемой поверхно- сти, отличной от тора Р l' В е с у Щ е с т в у е т непре- 69 
рывноrо поля непулевых касательных векторов без особых точеН. На торе же векторное поле существует (например, можно взять векторы, направленные вдоль параллелей). Доказательство теоремы Пуанкаре проведем в два этапа: сначала докажем, что для л ю б ы х двух вектор- ных полей CY?fMa индексов одинакова, а затем построим поле, для KOToporo эту сумму леrко вычислить. Пусть на поверхности Q заданы два ненулевых век- торных поля с конечным числом особых точек. Вектор первоro поля в точке х обозначим через V 1 (х), а вектор BTOpOI'O поля........ через V 2 (х). Разобьеl\I Q на маленькие мноrоуrольники так, чтобы в каЖДОl\L мноrоуrольнике было не более одной особой точки каждоrо поля и все особые точки лежали в п у т р и MHO rоуrольников. Заметим, что если х не явля- ется особой точкой поля Vl' то вблизи точки х мы можем п о в е р н у т ь векторы этоrо поля, оставляя ero непрерыв- ным (рис. 91: по мере увеличе.. Рис. 91. ния радиуса окружности век... торы поворачиваются все мень- ше). Пользуясь этим, повернем векторы поля V1 вблизи вершин таким образом, чтобы в каждой вершине хо векто... ры V1 (хо) И V 2 (хо) С О В П а л и (рис. 92). Так как поверхность Q ориентируема, то на ней можно указать положительное направление отсчета уrлов (ска- жем, против часовой стрелки, если смотреть на поверх- ность с внешней стороны). Возьмем теперь некоторое ребро Т 1 (рис. 92) и выберем на нем направление (например, от вершины а R Ь). Будем сначала, двиrаясь от а к Ь в этом направлении, следить за вектором Vl (х), а пото?tl, возвращаясь от Ь к а, следить за вектором V 2 (х). I{оrда мы пробежим ребро тl туда и обратно, вектор, за которым ?tlbl 'следим, непрерывно пере- мещаясь, вернется к прежему ПОЛОiнен;ию (поскольку V 1 (а) == V 2 (а) и V1 (Ь) == V 2 (Ь». Число оборотов, которое совершает этот вектор (учитывая выбранное направление отсчета уrлов), обозначим через d (т 1 ). На рис. 92 имеем d (r 1 ) == 1, d (r 2 ) == О, d (тз) == ........1. Заметим, что если на ребре Т 1 взять противоположное направление (от Ь к а), то d (т 1 ) изменит знак (так как вектор, 8а KOTopьm мы 70 
следим, буде поворачиваться в обратном направле" нии) . Пусть М ..... один из мноrоуrольников. Rоrда мы обой... дем ero контур (в положительном направлении), вектор Vl (х) совершит некоторое число оборотов....... обозначим это число череа 11 (M), а вектор V 2 (х) совершит Z2 (М) оборотов. Обозначим через Т 1 , Т 2 , . . ., rk стороны мноrоуrольника М и зададим :р:а них направления, соответствующие по... лоа.жительному обходу ero контура (см. рис. 92). Обойдем Рис. 92. . :RCrIT.yp (начиная от точки а) в положительном направле.. !Нии" следя за вектором Vl (х), а затем (после возвращения, в а) обойдем контур в про т и в о п о л: о ж и о м на.. правлении, наблюдая за вектором V 2 (х). В результате наблюдаемый вектор совершит ZI (М) ..... Z2 (М) оборотов. Но мы можем следить за поворотами векторов «по частям»: наблюдая Vl (х) при движении по ребру Тl и V 2 (х) при обратном движении по ребру Тl; далее, наблюдая Vl (х) JlРИ прохождении ребра Т 2 и V 2 (х) при обратном движении по ребру r l и Т. д. В этом случае :мы насчитаем d (r 1 ) + + d (r 2 ) + . . . + d (rk) оборотов. Так как суммарный поворот не зависит от Toro" в каком порядке складывать yrJIH поворота вектора на каждом из ребер, то 11 (М) .... Z2 (М) == d (rJ + d (Т 2 ) + . . . + d rk). (13) Иа формулы (13) 'петрудно вывести соотношение Zl (М) == Z2 (М)] (14) 71 
в котором суммирование ПрОИ8ВОДИТСЯ по в С е 11 IШ0- roуrольникам. В самом деле, про суммируем .равенства (13) по всем мноrоуrQльникам. В правой части получив- mейся суммы каждо-е ребро r встретится Д в а ж Д ы, так как к нему примыкают два мноrоуrОЛЬНИRа М 1 и Ма (рис. 93). Но при положительном обходе :контура М 1 ребро r получит одно направление, а при положительном Рис. 93. \ Рис. 94. обходе :КOHTypa M 2 ........ про т и в о п о л о ж н о е на- правление. Следовательно, в правой части один раз встре- тится d (т), а второй раз d (r). Так как это произойде',С с каждым ребром, то Zl (М) ........ »2 (М) == о. Пуст(' м ........ не:который мвоrоуrольник и хо ........ особая точка поля v 1 (х), расположенная в нем. Построим систе- му простых зам:кнутых линий, соединяющую контур ино- rоуrольника М с окружностью, обходящей точку хо (рис. 94). При переходе от одной линии к близкой ей число оборотов вектора V 1 (х) должно измениться м а л о. поскольку' поле V 1 (х) непрерывно. Но число оборотов является ц е л ы м и потому «мало» измениться не может, т. е. остается п о с т о я н н ы м при переходе от линии к линии. Но при обходе по контуру мноrоуrольника М число оборотов равно Zl (М), а при обходе по о:кружиости BOKpyr Точ:ки хо получается индекс этой точки. Таким образом, число Zl (М) Р а в н о индеRСУ особой точки хо (если внутри М нет особых точек, то Zl (М)== О). Из этоrо вытеI\ает, что число Zl (М) равно сумме индексов в с е ]t 72 
особых точек nОJlЯ Vl (ж). АнаJlоrИЧВО t число Zt (м) равно сумме индексов поля V 2 (ж). Иа этоrо в силу (14) вытекает, что у обоих помй CYJfI,Af,fJ иН,депсов одинапова. Этим завершев первЫЙ этап. Выберем теперь внутри, каждоrо м:ноrоуrольвика щевтр», а вз каждом ребре..... «середину», и построим векторное поле, как показано ва рис. 95: вдоль ребер век.. торы направлены от вершин к «середине», из вершив Рис. 95.  R"1\f Вершина 1" .-к t  .'(? ,\1 \\ 11 Сере8ина" ребра \/? o /1t " Центр" 2ранu Рис. 96. вевторы в ы х о Д я т, а к «центрам» мноrоуrОЛЬНИRОВ при х о Д я т. Особыми точками этоrо поля на поверх.. ности Q будут вершины, «середины» и «центры». При этом (рис. 96) индекс каждой особой точки в вершине и в «центре» равен +1, а индекс «середины» ребра равен 1 (седло)" Следовательно, для этоrо поля (а потому и для JIюбо-rо друrоrо) сумм& индексов всех особых точек равна В.(4- 1 ) + Р.(......1) + r. <+1) == х (Q). 13 
Задачи 92. Докажите, что иа ВСЯКОЙ sаМI{иутоii поверх- ности существует векторное поле с единственной особой точкой. 93. Дохажите, что на всякой поверхности с краем существует векторное поле без особых точек (направление векторов в точках края должно касаться поверхности, но может не быть Rасательным к Rраю). 94. Докажите, что теорема ПуаНRаре остается справедливой для ориентируемой поверхности с краем, если в каждой ТОЧRе края вектор направлен по касательной к этому Rраю. 95. Докажите т е о р е м у Б р а у эра: если ': к  к  nРОИВ60дъное непрерывное отображение круеа К в себя, то существу" ет (хотя бы одна) неподвижная точка, т. е. такая точа х Е К, оторая переходит при отображении f в себя: f (х) == х. у к а з а н и е. Если бы неподвижных точен не было, то, по.. строив векторы, идущие из каждой точки х в точку f (х), мы получи- ли бы ненулевое непрерывное векторное поле без особенностей. 15. Проблема четырех красок Области, на которые конечный rраф G разбивает плоскость, назовем «странами». На рис. 97 страны А и Б поrраничны (примыкают друr к друrу по общему ребру). Страны Б и В также поrраничны (у иих даже два общих ребра). Стра- ны А и В не являются по. rраничными: хотя у них есть общая точка (вершина), но нет общих ребер. Мы хотим раскрасить страны в разные цвета, чтобы получил ась «политическая карта». Разум:еется, чтобы страны были хорошо видны, ис. 97. необходимо поrраничные страны окрашивать в р а 3- п ы е цвета. Однако в целях экономии количества кра- СОН разрешается непоrраничные страны окрашивать ОДНИI цветом. Какое М:ИНИ?tfальное количество красок HYilHO И?fIеть, чтобы -можно было раскрасиtь л ю б у ю карту на плоскости? Эта задача была сформулирована в. 1852 rоду ЛОII- донсним студентом rутри, который обнаружил, что для различения rрафств на карте Анrлии достаточно четы- ре х красок, и выдвинул rипотезу о ТОМ, что четырех цветов достаточно для раскраски л ю б о й Карты. Спустя почти сорок лет анrJIИЙСКИЙ математик iXИВУА 74 
доказал, что: любую нарту на ПЛОСI\ОСТИ можно раскрасить в п я т ь цветов. Постепенно проблема четырех красок приобретала все больший интерес. В 1968 rоду Оре и Стемпл доказали, что любую карту, имеющую не более 40 стран, можно раскрасить в четыре цвета. В настоящее время считается, что справедливость rипотезы четырех красок установлена. Слово «считается» употреблено в связи с тем, что известные сейчас решения этой проблемы базируются на применении ЭВМ и СВЯ заны с выполнением orpoMHoro, необозримоrо количества вычислений, причем про в е р к а правильности BiiI.. числений практически невыполнима. Первое «машинное» решение было получено в 1976 rоду американскими MaT матиками К. Аппелем и В. Хакеном. С помощью машины (которая «помоrала» им постепенно усовершенствовать первоначальную проrрамму) они разбили все возможныe карты на почти 2000 (четко указанных) типов и составили машинную проrрамму их исследования. Для каждоrо из этих типов *) машина решала (по составленной про- rpaMMe) задачу: может ли в рассматриваемом типе пaprп найтись тапая, которая не распрашивается 8 четыре цвета? Rоrда, выполнив десятки миллиардов арифмеrи-- ческих и доrических операций, машина давала OTeT «Нет», переходили к следующему типу карт и т. д. ПОJIуr чив ответ «Нет» для всех типов карт, Аппель и XaeB объявили, что ими получено машинное решение проблемJЯ четырех красок. Однако rарантии в правильности этоrо (<:м:ашинноrоt решения все же пет. Ведь в каком"то (cKaiKel\'l, ceMHaдцa том) типе карт машина моrла ответить «Нет» не в резу-ль" тате безупречноrо анализа, а изза мимолетноrо сбоя в электронной схеме (что бывает нередко). Не зная об этом, вычислители переходит к восемнадцатому, девят", надцатом:у ... типу карт, фактически про п у с т и в исследование семнадцатоrо типа. Не будет rарантии в пра:вильности решения даже в том случае, если мы, за тратив мноrо месяцев, повторим: уникальный машинный эксперимент: может быть, rде"то в мноrомиллиардной цепочке вычислений, связанных с тем же семнадцатым типом, и в нашей машине произойдет сбой? Новое машинное решение было предложено в 1978 rоду Д Коэном. Число типов карт было у Hero сущест" *) Кроме трех, ноторые были исследованы «вручную», ПОСRОЛЬ- ну машина с ВИIOI не справилась. 15 
BHHO меньшим, причем результат машинныx вычислеНИЙ по каждому типу и подтипу он получаJl не в виде roтOBo" ro «HeT, а в форме, допускающей «ручную» проверку. Ero не интересовало, каким путем шла м а ш и и а при исследовании данноrо подтипа и сколько операций это потребоало; исследование подтипа считалось завер-- meHHbll\f, коrда машина находила достаточно короткий n у т ь про в е р к и окоичательноrо «Нет». Решение проблемы четырех красок, найденное Коэном, изложено в книrе среднеrо объема и формата. По ero мнению, п р o в е р к а этоrо реmения может быть, при желании, :вы.. полнена вручную одним человеком в течение двух--трех лет (!) ежедневной восьмичасовой работы. Однако «скеп.. тики» считают, что и это решение малоприемлеИОI вряд u ли человек, занимав-шиисл с утра до вечера в течение двух лет нудным перебором вариантов, может rарантироватъ, что он ниrде не допустил ни одной ошибки. Задачи 96. На плоскости (или на сфере) начерчен rраф, все вершины KOTOpOro имеют четные индексы. Докажите, что полу.. чившаяся карта может быть раскрашена в два цвета. у к а 3 а н и е: воспользуйтесь понятием индекса пересечения. 97. Докажите, что для раскраски любой карты на ПЛОСRОСТИ (пли на сфере) достаточно пяти цветов. 98. На некоторой поверхности начерчен такой rpаф, что из каждых двух поrраничных стран хотя бы одна ЯВJIяется треуrоль.. ником. Докажите, что эту карту можно раскрасить в четыре цвета. 99. Проведено n «переroродою, идущих от одной ив концепт" рических окружностей к друrой. Сколько нужно цветов ДЛЯ рас.. Iрашипания получившейся карты? 16. Раскрашивание карт на поверхностях Пример 30. Хивуд доказал, что любую -парту на торе м,ожно распрасить семью "paa.м,и (это вытекает из доказываемоrо ниже неравенства (16». Он привел также пример, показывающий, что м е н ь ш е, чем сеЪ'IЬЮ цветами, обойтись нельзя. При склеивании проти'" воположных сторон прямоуrольник (рис. 98) превращается в тор с семью страна1rIИ на нем (рис. 99)() К а ж Д ы е две страны поrраничны, т. е. все семь стран должны быть рас.. крашены в раз н ы е цвета. Если любая карта на поверхности Q допускает рас- краску в n цветов, но существует карта, для раскраски которой нельзя обойтись меньшим ЧИСJlОМ цветов, то n называется хрожатuчес-пUJН, '/,иcдoJН, поверхности Q; оно 76 
обозначается через соI (Q). Для сферы и тора имеем, СОfласво сказанному выше, col (Ро)== 4, col (Рl) == 7. Вообще, ДЛЯ произвольной з а м к и у т о й поверхности Q, отличной от бутылки Клейна N. t хроматическое число ается фор;м,УJl,ОЙ Xивyдa cOl(Q)==[ 7+ V 49;24%(Q) ], (15) I'де квадратные скобки означают целую часть, а ДЛЯ БУ4 '1'ЫJIКИ Клейна имеем соl (N 2 ) == 6. а2 t1 J О" 0s 06 07 08 а, а/о а" G/ z a fJ l1 о '" "1. ар о, а 2 а,,' a s а7 а, a g a flJ а/l a f2 0,з ОО Рис. 98. G 5 Рис. 99. Эти результаты получены усилиями нескольких по.. колений математиков. :Хивуду принадлежит .доказатель.. ство BepaBeHCTlJa COl(Q)<[ 7+ V 49;:24 X (Q) ]. (16) Оставалос); установить, что на поверхности Q, отличной от бутылки Клейна, существует карта, для раскраски RОТОрОЙ нельзя обойтись м е и ь ш и м, чем указано в (15), числом цветов. Вначале такие карты были постро" ч ены для нескольких первых поверхностеи в последовател ностях (7), (12). Доказательство существования требуемой RapTbl для л ю б о й веориентируемой поверхности было 7. 
получено Ринrелем (1954), а для ориентируемой  Рин... rелем и HHrcoM (1968). Приведем доказательство неравенства (16). Пусть на поверхности Q начерчена карта, требующая для своей раскраски с цветов, rде с == col (Q). Выберем внутри Rаждой страны точну (<<столицу»). Для каждых двух по rраничных стран, проведем по территории этих стран о Д н у «железную дороrу», соединяющую их столицы (рис. 100), причем так, чтобы различные «железные . Рис. 100. дороrи» не пересекались. Вместо ОRраСRИ страны в яеко- торый цвет мы можем водрузить в ее «столице» флаr" имеющий этот цвет; если при этом две «столицы» соеди- нены «железной дороrой» (т. е. страны поrраничны), то их флаrи должны иметь разный цвет. ТаRИМ образом, надо «ОRрасить» вершины rрафа G* (ребрами ROToporo являются «железные дороrи») таким образом, чтобы любые две с м е ж н ы е вершины (соединенные ребром) имели разный цвет. Ясно, что хрожатичеспое число rрафа а*, Т. е. наимен.ьmее число цветов, требуемых ДЛЯ такой ero раскраски, равно с. Выбросим из G* некоторую вершину а и все примыка- ющие к ней ребра. Если при переходе к получившемуся rрафу а' хроматическое число ие уменьшилось, то вместо G* можно взять более простой rраф а'. Возможно! в G' тоже можно провести выбрасывание вершины и ". 11.. 78 
В конце концов мы получим «неупрощаемый» rраф G**, содержащийся в G*, Т. е. хроматическое число rрафа G** равно с, но выбрасывание л ю б о й вершины rрафа G** и примыкающих I( ней ребер приводит к уменьшению хромаТИ1Jескоrо числа. Число вершин и ребер rрафа G** обозначим через В иР, а число областей, на которые этот rраф разбивает поверхность Q,...... через r. Тоrда (см. задачу 72) в ...... Р + r  х (Q). (17) R* каждой вершине ерафа G** прuжыJtZает не менее с ..... 1 ребер. В самом деле, допустим, что R вершине 6) а) Рис. 101. ь Е G** ПРИ!\Iыкает k ребер [bql], . . ., [bqk]' rде k < с ....... 1. Выбросив из G** вершину Ь и эти ребра, мы получим: rраф G" с м е н ь ш и м, чем с, хроматическим ЧИСJlОМ. Раскрасим этот rраф в с  1 цвет. Так как k < с ...... 1, то из с ....... 1 цвета, в которые окрашен rраф G", хотя бы vAiiH цвет н е и с п о л ь в о в а н для окраски вершин ql' · · ., qk. Окрасив вершину Ь в Этот неиспользованный цвет, мы ПОJlУЧИМ окраску rрафа G** в с ....... 1 цвет, что, однако, противоречит выбору rрафа G* * . Итак, к каждой вершине rрафа G** примыкает не менее с ....... 1 ребра. 1Iз 8Toro (см. задачу 20) вытекает не-- равенство (с .... 1) В < 2Р. (18) Далее, каiидая из областей, определяемых rрафом G**, имеет не менее Т р е х ребер. Действительно, наличие «одноуrольника», (рис. 101, а) означало бы существование «железной дороrи», идущей из Столицы в ту же самую столицу (без захода в друrие столицы), ,а наличие «ДBY уrольника» (рис. 101, б) означало бы, что некоторые две «столицы» соединены Д в у м я Rороrами; но мы таКИХ пopor не проводили. 79 
Пересчитав теперь ребра по всем r областям, мы васчи- '1'аем не менее зr ребер; при этом каждое ребро засчиты- вается Д в а ж Д ы (так как к нему примыкают две обла- сти). Следовательно, зr , 2Р, Т. е.  Р  r ;;;. о. п рибав- 1 ляя это неравенство к (17), получаем В ...... 3 Р ;;:: Х (Q) или, иначе, 2Р < 6В  6х (Q). Учитывая (18), получаем теперь (с ....... 1) В , 6В  6х (Q), т. е. c 1<6 6XQ) . (19) Теперь нетрудно завершить доказательство. Пусть сначала поверхность Q rомеоморфва c.wepe: Q == РО. Тоrда Х (Q)  2, т. е. доказываемое неравенство (16) принимает вид col (Q) < 4. Это неравенство справедливо, поскольку проблема четырех красок решена. Пусть теперь Q ::::: N 1 , т. е. Х (Q) :::: 1. Доказываемое перавенство (16) принимает вид col (Q) < 6. Это неравенство 6 справедливо, таи как из (19) следует, Что с --- 1 < 6... В' и потому с...... 1 -< 5 (поскольку число с..... 1 ..... целое). Пусть, наионец, Q  зам:кнутая п.оверхность, отлич- ная от РО и N 1 . Тоrда Х (Q) -< о (задачи 70, 82). Так,как В > с (ИН,аче rраф G** можно было бы раскрасить в с ..... 1 цвет), то  6XQ) <  6\(Q) , и потому, соrласно (19), с ....... 1 -< 6...... 6х (Q) , Т. е. с 2 ..... 7с + 6х (Q) -< о. Это оана- с чает, что Число с принадлежит отрезку, концами KOToporo являются корни KBaApaTHoro трехчлена х 2 ........ 7% + 6х (Q) (корни действительны, поскольку 6х (Q) ,О). Следова- тельно, о не превосходит большеrо из этих корней, Т. е. с<+(7 + У49  24% (Q)). Таким образом, неравенство (16) -справедливо и в атом случае. Задачи . 100. Поврхиость Q попучаетсв иа сферы вырезы- ванием k + q дыр и замеивавиеи k ив них ручками. Докажите, что со} (Q) == со} (Pk). . 10t. Поверхность Q поJtyЧается из сферы выреэывавиек1с +q дыр и З8меиванием q ив них лентами Мёбиуса. Докажите, что со! (Q) == col (N q). в частности, :хроматическое чиспо певты МёбllJ'- са равво 6. ' - 80 
102. Приведите пример карты на проективной плоскости (или иа ленте Мёбиуса), которую нельзя раскрасить пятью цветами. 103. Че:му равно хроматическое число rpафа, вершинами и ребрами Koтoporo служат вершины и ребра n..yroльпика? 104. Каново хроматическое число rрафа «т домиков и n ко- подцев»? 105. Докажите, что сущетвует rраф, не ВJlОЖИМЫЙ в заданную поверхность. 106. rраф G с хроматическим числом 2 имеет n вершин. Какое максимальное число ребер может иметь этот rраф? 107. Докажите, что если на заданной поверхности начерчена карта с достаточно маленькими странами, то ее можно раскрасить в 7 цветов. 108. Докажите, что если на поверхности Q можне начертить I'pаф, имеющий хроматическое число с, (то со} (Q)  с. 109. Докажите, что на бутылке Клейна можно начертить пол.. вый rраф с шестью вершивами. Выведите отсюда, что со} (N 2)  6. 17. «(Дикая сфера)  Мы рассмотрим здесь вопросы, связанные" с про с т р а н с т в е н н о й теоремой Жордана, но прежде поrоворим об индесе пересечения в пространстве. Пусть Q...... поверхность (возможно, имеющая край), составленная 'из плоских мноrоуrольников, и G ..... rраф, ребрами HOToporo являются прямоливейные отрезки. Бу- дем rоворить, что G и Q находятся в обще,м, положении, если верщивы rрафа не принадлежат Q, а ero ребра не имеют общих точек- с ребрами поверхности Q. Если при этом число точек пересечения rрафа с поверхностью чет но, то будем писать J (G, Q) == о, а если печетно, r.ro J (G, Q) == 1. Число J (G, Q) назовем uнде1й:ОЖ пересече- ния rрафа G с поверхностью Q. Как и в п. 5, доказывается, что еслu noверхпость Q не uжeет прая, а ераф G nредстав.л,яет собой ципJt (т. 8. в 1Шждой еео вершине сходится четное число ребер), mo J (G, Q) == о. Задачи 110. Условимся roворить, что объединение конеч.. Boro числа мноrоуrольвиков , пространстве представляет собой дву.мерный ЦUi'Д (по модулю 2). если эти мвоrоуrольвики не имеют общих внутренвих точек и R КflЖДому ребру (мы считаем «ребрашо cTopoвы мвоrоуroлырmов) примы:кает четвое число мвоrоуrольви.. :ков. Докажите, что равенство J (G, Q) == о остается справедливыи, если G....... ОАROмерJЩЙ. а Q --- двумерВЬ1Й "ЦИЮI- (по модулю два). причем они находятся в пространстве в общем положении. 1ft. Пусть Q .... двуиерВЫЙ ЦИЮI по модулю 2, который будеи предстaвJIlIТЬ себе .СП IUIПRLtV) иа мет8JIлических Шlоrоуroльвиков. Докажите, что обnасти, иа которые он разбивает пространство, кож.. 81 
во ((Залить жидкостями» двух цветов, TaI\, чтобы 1\ Кi\iКДОМУ l\flloro- yrОJIЬВИКУ примыкали с двух сторон разные по цвету «жидкости}). 112. Докажите, что существует «пространственная карта», требующая для своей раскраски (или «заливки разноцветными жикостями») не менее 1982 цветов. 113. Конечное множество о р и е н т и р о в а н н ы х мвоrо.. уrольнИRОВ в пространстве, которые не имеют общих внутренних точек (но MorYT иметь общие ребра и вер.. тины), образуют двумерный целочисленный цuJt;л, еСЛJJ для Rаждоrо направленноrо ребра число п о л о ж и т е л Ь В о при:мы кающих к нему мноrоуrольников (М 1 и М 4 на рис. 102) равно числу о т р и Ц а .. т е л ь н о примыающихx (М 2 И М 3 на рис. 102). Докажите, что если G ..... одвомервый целочисленный цикл, а Q ...... двумерныЙ целочисленвый ЦИRЛ в пространстве, то их инде"с ne ррсеченuя J (G, Q) ==  J (r i , M j ) i. j равен нулю; здесь суммирование распрост. Рис. 102. ранено на все направленные отрезки Тl! . . ., rk, составляющие цикл G, и все ориентированные миоrоуrольвики Мl'.." MZ t составляющие цикл Q, причемJ (rit Mj) == +1 МИ J (rit MJ) == .....1, в зависимое.. :Еи от ТOro, соответствуют ли ориентации правилу буравчика (рис, 103, а) или вет (рис. 103, 6). Рис. 103. 114. Пусть Q ..... двумерный целочисленвый цикл, р и q .... не принадлежащие ему точки. Проведем направленную ломаную Х, идущую от точки р к q. Докаите, что индекс пересечения J (х, Q) не зависит от выбора ломанои х t а определяется только точками р \ П q.  115. Пусть Q ..... двумерный цикл по модулю 2. Докажите, что ero мвоrоyrольники можно ориентировать так, чтобы получился целочислеивый цикл. 116. Пусть Q..... двумерный цеЛОЧИCJIенВЫЙ цикл. Докажите, что если существует направленная ломаная х (незамквутаll), для которой J (х, Q) ..:.. n, то Q разбивает пространство не меиее, чем на n + 1 областей. Верно ли обратное? 82 
с помощью понятия индекса пересечения по МОl1;УЛЮ 2 доказывается (примерно так же,' как в п. 6) про.. с т р а н с т в е н н ы й а н а л о r теоремы Жордана : всяnая важnнуmaя поверхность Q, распо.ложен1ШЯ в тpex жерном' пространстве без само nересеченu й, разбивает пространство па две об.ласти; одна из них  о r р а н и.. ч е н н а я ( она называется внутренней), а друrая (внешняя)  н е о r р а н и '[ е н н а я. Заметим, что (хотя об этом не rоворится в формулировке теоремы) поверхность, ВЛО}ltенная в трехмерное пространство без самрпересечений, должна быть д в у с т о р о iI н е й: ведь она раз б и в а е т пространство на две области, а'. е. имеет «две стороны». Этим подтверждается то, что замкнутая о Д н о с т о р о н н я я поверхность не может быть вложена в трехмерное пространство без самопере сечени й. Задачи 117. Из точии с проведеи луч l, не встречающий pe бер поверхности Q (составлеивой из плосиих мвоrоуrольНИRОВ). Докажите, что с в том и тольио В том случае принадлежит ввутрен" ией области, определяемой поверхвостью Q, если луч l пересекает Q в нечетном числе точек. 118. Существует ли в пространстве множество, ЯВJlяющееся совместной rраницей трех областей? в конце п. 6, rде шла речь о «плоской» теореме Жор.. 1J;aHa, мы отметили, 'что объе,цинение простой замкнутой линии и ее внутренней области rомеоморфно Kpyry. Спра... ведливо ли аналоrичное (на первЫЙ взrля,IJ; столь же «очевидное») пространственное утверждение: «объедине-- вие поверхности, rомеоморфной сфере, и ее внутренней области rомеоморфно шару»? Для наиболее простых по-- верхностей, rомеоморфных сфере (например, ,цля выпук-- лых мноrоrранников), это, действительно, верно. Однако в общем случае это «очевидное» утверждение н е в е р" н о  интуиция 81J;есь обманывает нас. Иными словами, существует в трехжерноltf, пространстве такая поверх.. ШJстъ, еожеоltf,орфпqя сфере, чmo об'Ьединенuе этой noвepx пости и ее внутренней оБJtaCти пе еоltf,еоltf,орфно шару. \ Построение такой «дикой сферы» связано с работами фрак- цузскоrо математика Антуана и американскоrо матема- (['ика Ап:ексаццера. Преж,це чем перехоть R описанию «дикой сферш, рассмотрим вопрос о стяэиваеlrtости линий. Пусть l...... простая замкнутая .пИНИЯ j расположенная в фиrре М. &1 
Будем rОБОрИТЬ, что линия l стяи8ае.N,(J, в М, если су- ществует поверхность Р, rоме6МОРфНaJI Kpyry и имеющая 1 своим краем, Rоторая расположена (ВОЗ!fОЖНО, с само.. пересечениями) в фиrуре М. Термин «стяrиваемость» связав с тем, что на «ируrе» Р можно начертить систему «концевтричеСRИХ окружиостеЙ»f по которым l может быть постепенно стянута в точку. Задачи 119. Докажите, что ecJIИ. М ... ОТКрЫТЫЙ шар, то в М любая простая заМRвутая ливия стяrиваеиа. 120. Докажите, что если фиrypа А состоит из конечиоro числа 'lOЧ6И,"'О окружность 1, расположевная в пространстве вве А t мо- жет быть вне А стянута. у к а а а н и е. Если взять юар, содержащий 1, то, «вдавливав ero, чтобы получались идущие ввутрь трубки, иожво построить тело, rомеоиорфвое шару, которое содержит ввутри себя ливию 1, во не содержит точек ив:ожества А . Утверждение, содержащееся в задаче 120, можно пояснить следующим образом. ЕСJIИ l....... оиружносты 1 не проходящая через точки фиrуры А (состоящей из ко- нечпоrо числа точек), то Kpyr, натянутый на l. (даже а) Рис. 104. \ если он проходит через некоторые ив rrочек фиrуры А), может быть при помощи неБОJIЬШОЙ I(еформации «снят» с тех точек фиrуры А, через которые он ПРОХОДИJI. Может создаться впечатле.ние t что в ДОПОJIнительном простран- стве произвольноrо н у JI Ь М е р н о r о множества А ЛIобая окружность стяrиваема. ОдиаК4J это н е в е р в о. Пример 31. Рассмотрим замкнутую цепь А 1 , состоя- щую из нескольких сцепленных звеньев (рис. 104, а). Дадее, заменИАI каждое звено анаJIоrичиой замкнутой ц&-. почкой из более мелких звеньев, прохоящей внутри прещнеrо звена. Мы получим Шlожество A g С At, со- стоящее из мноrих мелких звеньев (рис. 1042 6). Тепер 84 
каждое звено, 00 CTltВ ляющее множество А2' заменим зам- кнутой цепочкой еще более мелких звеныmек (раСПОlIаrа- IOщейся внутри прежнеrо звена). Мы получим множество Аз С А 2 . Продолжая этот процесс, получим посл&- довательность Аl::>А2Азс... Пересечение всех; этих МНОjиеств представляет собой антуаШJвС1Wе Jrl,ножество А * . м ножество А * нулъжеРШJ. В самом деле, размеры звенышек, составляющих множество Аn, неоrраниченно уменьшаются с.ростом n, и потому в А * не существует связ вых множеств, отличных от точки. Пусть тепС:}рь ll........ окружность, сквозь которую про-- ХО}J;ИТ первоначаJIЬНО взятая цепочка Аl' и К 1 ..... Kpyr С rраницей ll. На рис. 105, а Kpyr К 1 пересекает тор Тl, служащий поверхностью одноrо ив звеньев цепи, по двум окружностям (меридианам); одна иа них обозначена через 12. Часть Kpyra К 1 , оrраниченная линией 12' предстаВJIяет собой MeHЬ крут 1(2. Этот MeHЬ Kpyr по отноПI пию К Части множества А2' расположенной внутри тора т 1, нахоится в таком же положении, что и Kpyr К 1 по lz О о) Рис. 105. отношению ко всему мно)неству А 1 (рис. 105, 6). Можно себе представить, что К 2 (а потому и 1(1) пересекает один из торов (служащих rраницами звеньев множества А 2 ) по BYМ меридианам; один из них обозначим через 13 и Т. д. Таким образом, Iфуr 1(1 (<<пленка», натянутая на 11) пересекаетсяи с МНОiRеством А' I , и с А2' И С Аз и Т. д., откуда вытекает, что К 1 пересекается и с преДeJIЬНЫМ множеством А * . РазумееТСЯ f на 11 можно натянуть не «,олько Кl, во И иную пленку, являющуюся непрерывным образом Kpyra; O}»laKo провеДemIое рассуждение пояс.. вяет, что 11 ю б а я такая пленка пересекается е А * (путь доказательства 8Toro факта обсуждается в п. 25). Итак, ОХРУЖШJсть 11 не стяаивае.ма во внsшне.м npocтpaНr 85 
стве аnтуаnовсnоао ж1tожества А *. Это нульмерное, как бы рассыпающееся на отдельные точки :множество «ме-. тает» провести пленку {являющуюся непрерывным 06pa ЗОМ Kpyra)2 натянутую на 11. Задачи 121. Докажите, что на 11 можно натянуть пленку, t rомеоморфную ручке и расположенную вне А * . 122. Постройте простую заМКНУТУIО ЛИНИЮ, проходящую через все ТОЧRИ aHTyaHoBcKoro множества. Пример 32. Теперь мы в состоянии дать описание «дикой сферы». Пусть 8  сфера, содержащая внутри себя множество А 1 и окру;кность 11 (рис. 105, а). Прода.. ПИМ сферу 8 в н ескольких местах, чтобы получились трубки, идущие внутрь и подходящие к каждому из торов, оrраничиваюЩRХ множество А 1 (рис. 106). Мы можем это сделать таи;, чтобы трубки не подходи.. ли к окружности 11. Полу.. ченная поверхность 81 (сфера со вдавленными трубками) rомеоморфна сфере, а ее внутренняя область и 1 rО}lеоморфна открытому тару, причем линия 11 лежит внутри и 1 . Теперь от концов трубок Рис. 106. вдавим внутрь более узкие rrрубки, идущие внутри торов, оrраничивающих множество AI' и подходящие к звеньям множества А 2 . Мы получим поверхность 82, !Также rомеоморфную сфере, причем ее внутренняя область и'}, rомеоморфна открытому тару и со.цержит 11- Затем мы вдавим еще более узкие трубки, подходящие к звеньям множества Аз, и т. д. На кажр;ом mare полУчается поверхнос.ть Sn, romeomoP«P-- вая сфере, причем ее внутренняя область и п rомеоморфна открытому тару и содержит ll. Постепенно трубки ста.. новятся все короче, поверхность ви;g:оивменяется все меньте f и поэтому п р е Д е JI ь Н а я поверхность S* остается rомеоморфной сфере. Так как при этом «щупаль- цы», выпускаемые поверхностями 8 п , все ближе под" ХОАЯТ К А * j ([О предельная сфера В* с о пер ж и ';с 86 
м.пОiкество А * . Внутренняя область и*. сферы s* н е пер е с е к а е т с я с антуановским множеством А * (поскольку это множество лежит н а r р а н и Ц е s* области и*), т.. е. вся область и* цеЛИRОМ лежит в н е А *. Поэтом:у окружность 11, расположенная внутри и* f н е с т я r и в а е м а в u* (поскольку линия 11 не стя" rиваеl\Iа вне А *). Из этоrо вытекает, что область u* не rомеоморфна открытому шару (задача 119). Поэтому объединение поверхности s* и ее внутренней области не rомеоморфно замкнутому шару. 18. Узлы Если концы «нити», на которой завязан узел. яе соединены, то узел можно «развязать». Поэтому в то- полоrии рассматрвают узлы только на з а м к н у т ы х линиях. Пример 33. На рис. 107 изображен nросmoй увел (иноr,IJ;а ero называют также «трилистником»). iH' 6) Рис. 107. Рис. 108. C.) C bci ) а) C ) 6) Рис. 109. Пример 34. Обычный J!ВОЙНОЙ узел (рис. 108, а) не следует смешивать с так называемым жорси.м, УВ/t01А {рис. -108, 6)1 увеп: на рис. 108, а моряки пренебрежитель- Во именуют «бабymкиным» узлом (он леrче развязыва- ется). На рис. 409 иаиы ([ОПОJIоrические схемы ЭТИХ узлов. frl 
с тополоrической точки зрения уаел..... это линия в mрехжерН,оМ, npocmpa1tCmвe, еожеОЖОРфн'ая охружН,ости. р а 3 н Ы м и узлами считаются такие, которые Н,еиао- тоnnы. Представляется, например, наrлядно очевидным, что «заузленная» и «незаузлевная» линии на рис. 11 О а) б) Рис. 110. тополоrически пеодинаково располо жены (неизотоппы). Д.о к а з а т е л ь с т в о этоrо факта м:ы рассмотрим позже (в п. 25). Будем представлять се бе узел реализованным: в виде простой замкнутой ломаной l в пространстве и спроекти" руем ее па «rоризонтальную»  плоскость. П роекция узла l мо: \/" жет оказаться пересекаlощеи себя; при этом мы MOrKeM пред" нужно, некоторые из звеньев), что проекция имеет лишь двой.. . nьe точки пересечения (т. е. про.. екции никаких трех звеньев не а) 5) имеют общей точки). Мы усло.. Рис. 111. вимся на чертежах п р е р ы- в а т ь то из дyx звеньев, пе" ресекающихся на проекции, которое проходит н и ж е. Б результате получится наrлядный рисунок, так называ.. емая нормальная проекция узла (рис. 111, а). Можно изображать узлы и в виде плавных линий на плоское.. тв (без уrловых точек), сохраняя те же соrлаmения о сплошных и прерванных учаСТl\ах (рис. 111, б). Задачи 123. Докажите, что всякий целочисленпый одно- мерный цикл можно преjJ.ставить в виде объединения неСI{ОЛЪИ:Х; ориентированных уалов, т. е. направленных контуров в простраист- 88 
ве, которые мотут иметь обп],ие верШIJНЫ, но ДРУI'ИХ общих точек попарно не имеIОТ. 124. Докажите, что трижды перекрученная лента (рис. 112) rом:еоморфна ленте Мёбиуса. а ее край изотопен простому узлу. 125. Донажите, что замысловатая «пряжка», изображеввая на рис. 113, rомеоморфна ручке, а ее край изотопев простому узлу. Рис. 112. Рис. 113. 126. Докажите, что любая не rомеоморфная Kpyry поверхность (ориентируемая ипи веориевтируемая), край которой rомеоморфен окружност, может быть так вложена в q>eXMepHoe пространство, что ее крап будет простым узлом. в связи с задачами 12416 возникает вопрос, для дю60ео ли узла L существует «натянутая на неео nден1Ш», т. е. поверхность (без саж о.. пересечепий), имеющая L сво.. Ut пр аеж ? "Утвердительный ответ на этот вопрос дал Ф. ФаJI:КЛЪ (советский Мllте-- маТИI{, приехавший к нам в 1934 rоду ив Австрии) при помощи следующеrо изящно- ro рассуждения. Нормальная проекция узла L разбивает плоскость на области, причем эту «карту» можно раскра" сить в два цвета, например, белый и красный. Возмож" ность такой «шахматной» раскраски вытекает из задачи 96, поскольку в каждой вершине получающеrося в проекции rрафа сходятся четыре ребра. Мы можем при этом счи.. тать, что наружная (неоrраниченная) «страна» окрашена в б е л ы й цвет; на рис. 114, а контур узла показан без перерывов, чтобы ясно были видны «страны». Если теперь вновь наметить на проекции узла L разрывы, как на нор- мальной проекции, то чертеж станет пространственным, fl. е. «красные» области окаiI\УТСЯ соединенными с пер а) Рис. 114. 5) 89 
кручиваниями (рис. 114, б). Это и дает требуемую поверх. ностъ, имеющую узел L своим праем. Заметим, что nOJIY- чаеАlая поверхность, вообще rоворя, неориентируема (СМ. рис. 112). Однако более «осторожное» приклеивание стран позволяет для JIюбоrо узла построить о р и е н т и р у е.- м у ю поверхность, имеIОЩУЮ этот узел своим краем (СМ. задачи 130......132). Задачи 127. Для каждоrо из узлов на рис. 115 И80брааите указанным способом поверхность, имеющую этот узел своцм Kpae?\I. I\акой иа поверхностей, Pk или N q' с вырезанной в ней Rруrлой ды.. рой rом:еоморФвы эти поверхности? 128. Докажите, что поверхность Фравкля в том и только в том CJIучае неориевтируема, если существует простая замкнутая ливия, проходящая по «врасным» областям и н е ч е т н о е число раа пе:- реходящая из страны в страну через двойные точки (рис. 116). 129. Докажите, что если Шlеется переплетение, т. е. объедине.. вие нескольких простых замкнутых линий в пространстве (рис. 117), которые попарно не пересекаются друr с друrом, то существует с в я з н а я поверхность без самопер, есечевий имеющая своим ир аем это переметевие. 130. Пусть L..... переплетение. Выберем на каждой из ero ли.. вий направление обхода и обозначим через z одно мер ВЫЙ целочис.. ленный цикл, являюЩИЙся нормальной проекцией переплетения L. Фиксируем во внешней области точку о и каждой стране М, на которые цикл z разбивает П.JIоскость, припишем число k (М), равное индексу пересечения J (х, z), rде ж..... ваправлеввая ломаная, иду- щая от точКи о к некоторой внутреввей точке страны М (рис. 118). Докажите, что если М 1  страна, для КОТОрОЙ I k (М) I принимает н а и б о л ь ш е е значение, '10 те части цикла z, которые состав.. ляют rраиицу страны Мl' имеют направления, образующие обхоп контура страны М 1 (по или против часовой стрелки). 131. В условиях задачи 130 .выбросим из ЦИЮIа z участки, со- стаВЛЯIощие контур cTpaвы М 1 (с некоторым запасом) и вместо них добавим «переМЬJ1ШИ) (ПyвRтир на рис. 119, а), в результате чеrо получится ЦИRЛ У/' t имеющий меньшее чиCJIО стран, чем z. Ава. поrичное построение проведем и на переплетении L; получится переплетение LI" проектирующееся в ци:кл z'. Выброшенные участ- Itи дополним такими же перемЫчка:ми и натянем на полученный кои- тур поверхность Р, rомеоморфную Kpyry и имеющую вблизи пере- мычек перекрученвые «лопасти» (см. рис. 119, б). Докажите, что если на L' натянута ориентируемая плевка Q, то при подклеивании к Q поверхности Р (по пере:мыкам)) мы получаем также о р и е и- '1 И Р У е м У ю поверхность, натянутую на цикл z. 132. Полъsуясь результатами двух последних задач, АОRЮКИ- tre, что если L  переплетение в пространстве, на I'аждом "OHпype "отороео выбрано пРОU880льное направление обхода, то существует та'!;ая орuентируемая поверх1-Юсть, "раем "оторой IЮляетсл пере- плетение Lt чmо не"оторая lJe ориентация СО2ласована с наnр4ВЛВ" ние,," обхода на, I'аждой ив линий переплетения L. у к а 8 а н и е. Ha]lo следить за тем, чтобы на каЖJjОИ там построения весь край получающеЙСJl поверхности бьш ВИllев сверху. 00 
Рис. 115. Рис. 116. Рис. 117. Рис. 118, Рис. 119, 91 
133. Докажите, чт-о если для ЦИКJfа z наибольшее значение чис.. ла J k (М) 1, рассмотренвоrо в аадаче 130, равно n, то для поверх- ности, натянутой на переплетение L по методу задач {30132, име- ем Х (Q)  n  q, rде q ----- число двойных точек цикла z. 134. Докажите, что если переплетение L содержит 1 компо" вевт, причем число двойных точек на ero нормальной проекции z равно q, а наибольшее значение числа I k (М) I ДЛЯ цИкла z равно n. ТО на это переплетение можно натянуть ПJIенку, rомеоморфную сфе.. ре с k ручками, в которой выреаано l круrлых дыр, rде k  1 + q......n.......l + 2 · 135. Докажите, что на морской (а аRЖе на «бабушкин») увел MOiKHO натянуть пленку, roмеоморФвую сфере с тремя пырами, две из которых заклеены ручками. :19. Кооффициент зацеПJIеВИJl Для двух ие пересекающихся друr с ApyroM ориентированных контуров х, у в пространстве (х ...... пер вый контур, у ....... второй) можно следующим образом опре.. делить некоторое целое число, называемое поаффициенто.м, вацеnJtенuя этих контуров. Рассмотрим нормальную проек" цию переплетения х U у на некоторую «(rоризонтальвую») u u плоскость и пусть а ....... двоиная точка на Э'tои проекции, в которой контур х идет н и ж е, чем у. Если, двиrа'ясь вблизи а по направлению контура х, мы увидим (в проек ции), что у пересекает ero с л е в а и а п р а в о (рис. 120, а), то точке а припишем число +1, а если' с п р а в а н а л е в о (рис. 120, б), то .....1. В остальных a/ I ' а) '-.а/  6) Рис. 120. fлyqаях (Т. 8. если пересекаются два участка о Д в о r о и т о r о ж е контура или если контур х проходит в ы.. m е, чем у) ДВОЙНОЙ точке а припишем число О.. Сумма этих чисел по всем двойныM точкам на проекции называет ея 11,оэффuциентом' зацепления и обозначается через  (х, у). Првмер 35. Для двух соседних звеньев обычной ме- таллической цепи (рис. 121, а) коэффициент зацепления равен ::1::1 (рис. 121, б). Для контуров, изображе нных ка рис. 122, имеем '" (х, у) == 3. 92 
Как мы увидим дальше, коэффициент зацепления  (х, у) зависит лишь от расположения самих контуров х, у, а не от способа проектирования. Далее, если контуры ж, у непрерывно деформируются в пространстве (напри. мер, движутся, как шарнирные ломаные), оставаясь л) Рис. 1.21. в каждый момент не пересекающимися, то их коэффици" ент зацепления tu (х, у) не меняется. Наконец, отметим, что коэффициент зацепления tu (х, у) является (с точно... стью до знака) uвотопuчеспu-м иuвариаuто-м. Иначе ro.. БОрЯ, если f --- rомеоморфное отображение TpeXMepHoro пространства на себя, то при втом отображения х, у переходит в такие контуры f (х), f (у), что tu (f (х), f (у» ::::: ::1:: tu (х,  у). . Пример 36. В конце п. 2 упо- миналось, что хотя дважды пере... -Крученная лента rОltlеоморфна не- перекрученной (см. рис. 8 на с. 13) вти фиrуры не изотопны Рис. 122. друr друrу в пространстве. 'Iеперъ мы можем это Д о к а 8 а т ь. В самом деле, коэффициент зацепления краев ленты равен в слу.. чае дважды перекрученной ленты :1::1 (в зависимости от Toro, в какую сторону перекручена лента), а в случае неперекрученной ленты..... нулю (рис. 123). Поэтому. при rомеоморфном отображении пространства на себя дважды переRрученная лента не может перейти внеперекручен.. пую. Дважды перекрученная лента не может быть превра.. щена в неперекрученную, как бы мы ни деформировали ее (оставляя rомеоморфной себе); ведь при такой деформации врая ленты перемещаются, не пересекаясь друr с друrом, и потому коэффициент зацепления измениться не может. Пример 37. Постоянный ток 1, протекаIОЩИЙ по бес.. Rонечвому прямолинейному проводу Р, создает маrнит", 93 
Ное поле, напряженность KOToporo па расстоянии r от 21 провода имеет величину Н === r. Как известно, потенциа.. лом маrнитноrо поля называется работа, которую надо затратить, чтобы из некоторой фиксированной точки ХО (точки nулевоео потенциала) переместить маrнитный полюс, o e +1  O а)  o   i х 6) 0  Рис. 123. равный единице, в заданную точку поля. В рассматривае- мом случае потенциал  маrнитноrо поля мноrозначен. Действительно, если из точки 3:0 перемещать маrнитный полюс в точку а по двум путям, показаННblМ на рис. 124, а, б. Ха а) Рис. 124. то первое перемещение требует дополнительной работы 2/ 2 u б против силы ............ на пути 31r, т. е. дополнительнои ра оты, r численно равной 4311. Мы видим, что один обход BOKpyr провода (не обязательно по окружности  можно идти по . любому пути) меняет маrнитный потенциал W (а) па величину 4311. Вообще, после т обходов BOKpyr про.. пода, rде т ...... целое число (положительное, отрицательное или нуль), потенциал изменится на 431lm. То же выраже.. вие для изменения потенциала справедливо в случае JIюбоrо (не обязательно прямолинейноrо) провода (рис. 125). Число обходов (<<витков») пути z BOKpyr провод" ника Р равно взятому со зваком минус 1Юэффицие"ту за... 04 
цеnлеuuя проводника Р с путем Z, Т. е. при обходе вокруз проводника Р по 8aM-пllyтoy пути Z жаеиитпый nотеицШlJl, .меilяется 1lа величи1tу 4п 1т, 1 rде m == ...... t1) (Р, z). Вели..  \.\. чину 1т иноrда называют «числом ампервитков» (если rrOK 1 измеряется в амперах). 1 Задачи 136. Докажите, а что при перестановке контуров их коэффициент зацепления ве меняется; w (х, у) == 11) (у, х). Р 125 137. Направленвые нонтуры ис.. же t y симметричны новтура:м ,y относительно неRОТОРОЙПЛОСRОСТИ (учитывая направление об- \Хода). ДОRажите. что tv (x. yl) ==  tv (х, у). 138. Каков коэффициент вацеплевия края ленты Мёбиуса (см. рис. 50, 8 на с. 44) и ero средней линии? 139. Пусть Q --- поверхность, rомеоморфвая ленте Мёбиуса (рис. 126), х  ее :край, а у .... «средняя лИния» (т. е. образ средней линии ленты Мёбиуса М, изображевиоrо на рис. 50, 8, при rомеоморфиэме f: М  .... Q). Докажите, что число tv (х, у) не- четно. Теперь мы дадим l1Pyroe (экви- валентное) определение коэффициен- та зацепления. Будем представлять себе контуры х, у лежащими «почти целиком» в плоскости нормальной проекции, так что лишь вблизи двой- ных точек один из них проходит Р 126 Д ис. . чуть ниже друrоrо. алее, рас- смотрим ориентированную пленку Q, натянутую на контур у (так, как зто было опи- сано в задаче 132: контур у виден целиком, если смотреть на пленку Q сверху), причем будем считать, что эта пленка «провисает», располаrаясь вблизи свое.. ro края почти вертикально (рис. 127). оrда в тех двойных точках, в которых контур х идет в Ы m е у, он проходит и выше пленки Q, т. е. пе пересекает ее. В тех же точках, rде контур Х проходит н и ж е у, он пересекает пленку Q; при этом рассматриваемый участок контура х имеет с плен кой Q индекс пересечения +1, если, rлядя по направлению линии х, мы видим, что линия у пересекает ее сл е в а в а п р а в о (рис. 128, а) и .....1, если пересечение проис.. ходит с п р а в а в а JI е в о (рис. 128, 6). Из этоrо сле- 95 
дУет (если сравнить определение коэффициента зацепле- пия и индекса пересечения). что справедливо равенство  (х, у)  J (х, Q), (20) еде Q .... двужерная орuентuруе.мая пltен1'Ш, натянутая "а понтур 11 и соаltасоваnnо с nU& ориентированная. Рис. 127. ;:с Рис.. {28. Равенство  (20) останется справедливым, если взять JI ю б у ю пленну Q (не обязательно построенную так, как это было сделано в вадаче 132). В самом деле, пусть имеются две различные ориентируемые пленки Q, Q', натянутые на контур у и ориентированные СОfласованно с ним. Рассмотрим р а в н о с т ь пленок Q и Q', т. е. объелинение пленки'Q с имеЮIЦейся на вей ориентацией и пленки Q' с противоположной ." ориентацией. Эта разность яв- Jlяется двумерНЫltf целочислен.. HыM Ц И К Л О М (даже если Q и Q' пересекаются). Так как индекс " пересечения целочисленноrо цик- ла х с этим двумеРНЫ"l ЦИКJIОМ ра- вен НУЛIО, то J (х, Q) == J (х, Q'). ИЗ равенства (20) следует, что коэффициент зацепления (перво-- начально определенный с пом:о", Рис. 129. ЩЬЮ нормальной проекции) н е 8 а в и с и т от выбора плоскости проекции. Ив (20) вытекают также и друrие уп о ми.. навmиеся выше свойства коэффициента зацепления., Задачи 140. IIJIen8, иативутав BW контур У (и иаХОl.lлщаR- ел в обще)1 положении с контуром z), пересекаетсв с  в еJllDlствев.. вой ТОЧRе. Докажите, что ппеJIК8, В8тяиутая на ковтур . переее- кается с у. М 
141. Пусть . у.... ориентированные контуры в пространстве. Из фор:мупы (20) вытекает, что ecJIИ существует ориевтироваввая Jfленва, натянутая на у и не пересеRaIOщаJlСЯ С:е (рис. 129), 1'0 t\) (%, 1/) == о. Докажите обратную теорему.  . 142. ДОRажвте, что если t\) (ж, у) есть ч е т в о е ЧИСJJО, то существует плевка (возможно, не ориентируемая), натянутая на 11 и не имеющая общих точек еж. 143. Убедитесь. что q>и новтура на рис. 117 имеют попарно коэффициенты зацепления. равные нулю. Постройте пленку, roMeo- )fОРФВУЮ ручке. которая натянута на ОJlИВ из этих l\OBTypOB И в8 пересе:кается с двумя друrими. I 'В. r. БОЛТRВСRиI. В. А. ВфреМОВlA 
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ rомотопии и rомолоrии 20. Периоды мвоrозначпых функций Пусть h....... некоторый путь в фиrуре Х t идущий orr начальной точки :1:0 до конечной ТОЧИИ Хl. Иначе rоворя.. h: 10; 1]  х есть непрерывное отображе- ние, удовлетворяющее условиям h (О) :=: Хо, h (1) == Хl' Будем этот путь пеnрерьюн,о дефОРЖUРО6ать в фиrуре Х, оставляя концевые точки ХО и Хl неподвижными. На рис. 130 по- ЛОiltения деформируемоrо пути изображены тонкими линиями. Mbt всеада будем рассматривать тод,ь-- по тапие деформации путей, при Koтopьx пonцeвьe точки н,е CJte- щающся. Два пути h 1 , h 2 В фиrуре Х, I имеющие одни и те iHe концевые точки, называются 20мотопньс.ми в этой фиrуре, если при помощи деформации (происходящей в фи- rype Х) h 1 может быть превращен в h 2 ; rомотопность путей обозна- чается записью h} ,..." h 2 . Пример 8. Б Kpyre любые два пути, имеющие общие концы, rомотопны между собой. Наrлядно это можно пояснить, вообразив, что путь представляет собой растя- нутую резиновую нить, извилисты:м образом расположен- ную внутри Kpyra. Если мы отпустим резипку, закрепив нонцевые точки Хо, Хl И позволив пити свободно переме... щаться, то она начнет деформироваться и, сжимаясь, рас- положится по прямолииейиому отрезку J соединяющему ХО и :1:1. Таким образом, любой путь в Kpyre rомотопев отрезку, соединяющему концевые точки ж о И :Сl! и потому любые два пути, соединяющие :со и Хl! rомотопвы. Пример 39. Обозначим через Х кольцо, оrраниченное дву.МЯ ОКрУiI\ВОСТЯ1fIИ С 06iцИАl центром о. Выбере!\l не... ХО Рис. 130. "З 
J\ОТОРУЮ точку %0 Е Х и для любой точки х Е Х обозна.. чпм через q> (х) величину уrла хоох (рис. 131). Функция (f) (х) .мnоzоаnачпа (она определена с точностью до слаrае иоrо вида 2kn, rде k ..... целое число). Предположим, что в точке х  хо мы выбрали KRkoe--либо одно значение fPo этой функции. При перемещении i'очки х в кольце Х уrол q> (х) будет непрерывно меняться. По.. этому каждому пути h, ведущему в кольце Х T точки ХО к точке Хl' соответствует вполне определен- u иое значение Ч>1 мпоrозначнои функции <» (х), к которому МЫ приходим, взяв В точке :1:0 значе- пие <»0 этой функции и вепре- PHBlIO перемещаясь вдоль пути h от хо до хl. При ЭТОI r о м 0- f.I' О П н ы м путям, ведущим в копьце Х из точки Ж О В точку Xl' соответствует о Д н о и т о ж е значение функции. В самом деле, значение функции, к которому МЫ приходим, проходя путь h, будет при непрерывной деформации пути h само непрерывно меняться. Следова- f1'елъно, это значение должно оставаться постоянным: непре.. рывно Iеняясь, оно не может перескочитъ» от одноrо из возможных значений функции <р (х) в точке :1:1 к друrому (от.. личающемуся от Hero на 2kn). Пример 40. Если в примере 37 (с. 93) фиксировать точ" ., ну нулевоrо потенциала х о , то во внешней области провод" ника Р определится мноrозначная функция W (х) (Mar.. нитныIй потенциал). Переместившись из точки XoB точку Х 1 по HeKoTOpOl\IY пути h, мы придем: ко вполне определенному значению :маrнитноrо потеНЦиала в точке Хl. r о м о т о п н ы е мел\ду собой пути, ведущие из ХО в Хl' дадут в точке Хl о Д Н О И Т О Ж е значение маrнитноrо потенциала, а неrОl\10топные IOl'YT привести к раЗЛИЧНЫl\f значениям функции W (х) в точне Х1. Задачи 144. IIa :MIIU,HCC100 Х (рис. 132) IIостропте Mlioro впаЧFIУI() функцию, припимаЮЩУIО в точ:ке Хо бесконечное МПОiнест" ЕО значеНИЙ J среди ноторых ИJеIОТСЯ зпачения О, 1, У 5. .ro Рис. 131. Рис. 132. 4* 99 
145. На множестве Х (рис. f32) постройте таную мвоrозвачиyIO фуmщию, что 11Ва в е r о:м: о т о п в ы х пути, ведущих иа ZO К, 2"1' приводят К О J.X н о :м: у и т о м у же значению в точке Zl. Пример 41. На фиrуре Х (рис. 133) рассмотрим функ- циЮ f (х)  «1'1 (х) + У 2 <1'2 (х)  уз <l'з (х), rде <1'1 (х), fP2 (х), <l'з (х) --- величины уrлов аl 0 l Х ' а2 0 2 Х ' азоsX. Функция f (х) мноrознаЧНR. Если мы, начав движение иа точки хо, пройдем путь h 1 (рис. 133), то (при возвращении Рис. 133. в точку хо) к 8начевию функции <1'1 (х о ) прибавится 2п, а значения функций <1'2 (хо) И Ч>& (х о ) не изменятся; сл&- довательно, к значению функции t (х) в точке хо прибавится 2п. При обходе же пути Ь,. к значению функции в точке хо прибавится 2пУ2, а при обходе пути h3 прибавится .... 2пУ 3. Числа 2п, 2пУ2, ---2nуз можно назвать пе.. яиода.ми функции I (х) на множестве Х соответствующими вамкнутым путям h 1 , Ьв' h з . . Рассмотрим теперь путь, ПОJIучающийся, если сначала пройти, Ь 1! а затем h,; этот путь обозначается через hlht и называется nроиаведенueж' путей h 1 и h'J. Ясно, что при прохождении пути h 1 h 2 К значению функции t (х) приба.. вится 2п + 2п-у2. АН8JIоrичво, при прохождении пути h8hl к 8иачению функции I (х) прибавится ......21tуз + 2п. Вообще, при перемножении двух путей (наЧИНВIОЩИХСЛ и кончающихся в точке %0) соответствующие этим путям периоды функции f (х) СRЛ8дываются. Так как значение функции f (х), получаемое в резуль- aTe прохождевия BeltoToporo UУТИ J ие изменяется при ro- 100 
I :иотопии этоrо пути, то мы можем не различать rомотоп" ные пути. Иначе rоворя, М:ОЖtl:Q рассматривать не сами пу.. ти (начинающиеся и кончающиеся в точке *0)' а "",accы, путей, объединяя в один класс все rомотоппЬiе между co бой пути. Класс всех путей, rомотопных пути h, будем обозначать через Ih], а множество всех таких классов  через n (Х). Эти классы можно пер е м н о ж а т ь: берем путь h, принадлеil\ащий первому классу, путь k, приn3.д-- лежащий второму классу, и перемножаем их; тоrда класс, который содержит путь hk, и называется nроиаведение:м. двух взятых классов: [h]. Ik] == [hk]. Смысл введения классов путей понятен: каждому U v Rлассу соответствует некоторыи период мноrозначнои функции f (х), а при перемножении двух классов COOTBeT . втвующие периоды складываются.. 21. Фундаментальная rруIП18 Классы rомотопных путей и произведение этих классов можно рассмотреть для любой фиrуры х. Будем рассматривать только такие пути в Х, которые Ha чинаются и кончаются в ФИI(сированной точке хо Е х. Любые два из таких путей можно перемножить. Будем рассматривать классы путей, объединяя в один класс все rомотопные между собой пути. Если а ........ некоторый класс и h....... какойлибо путь, принаДJIежэщий этому классу,  то будем rоворить, что h....... представителъ I(ласса а и писать а == Ih]. Множество всех классов обозначим через n (Х). У,мuожение классов определим так jI(e, как и в пре дыдущем пункте (см. рис. 133): если а и Ь ....... два класса путей (начинаIОЩИХСЯ и кончающихся в точке Хо), а h и k  какиелибо их представитеJШ, т. е. а  [h], Ь  == [k), то класс, представителем KOToporo является путь hk, мы объявляем nроиаведени.е,м классов а и Ь, Т. е. аЬ == [hk]. Заметим, что если вместо h и k взять друrие представители h' и k' рассматриваемых классов а и Ь, то МЫ получим путь h'k', r о )1 о Т о п н ы й пути hk, Т. е. определяющий тот iKe самый класс: [h'k'] == [hk). Таким образом, произведение двух классов определяется именно этими к л а с с а м и, а от выбора представитеJlей ие зависит. Оказывается, что относительно. введенной опе.. рации умножен ия ,множество n (Х) Я8Jlяется еруnnой .). *) с понятием rруппы читатель :может познакомиться по выпtедшей в серии «Библиотечка «Квант» книrе: А л е к с а в Д р о в п. С. Введение в теорию rрупп. I!!!!!'" М.: Наука, 1980. '01 
i02 р пс. 1.34. о h Рис. 135. r а о Рис. 1;)0. о J о 
'Vаажеи вкраi'це, как 8ТО устанавливается. Если h ...... какой..либо путь, принадлежащий классу а, а q ..... путь, которЫЙ :может быть стянут в точку, то qh "..., h (рис. 134) и hq  п. Поэтому, обозначая символом 1 класс всех пу.. flей, стяrиваемых в точку, мы получаем 1а == а, а1 == tJ для любоrо класса а Е 1t (Х), т. е. класс 1 является eallr ницей относительно умножения, введенноrо в 11: (Х). Далее. если а ... какой..пибо класс и h ..... ero предста... витеJIЬ, то обозначим череа h f8J1 путь h, пробеrаемый в о().. ратном направлении (рис. 135). Тоrда каждый из путей hh"' l и h"' l h иожет быть стянут в точку (на рис. 136 показа... но стяrивание в точку пути hh"'l). Поэтому, обозначив че- рез 4"'1 класс, которому принадлежит путь hl, мы найдем.. что aa"' l == 1, а"' l а  1, Т. е. в n (Х) дЛЯ каждоrо элемента а существует обратньtЙ. НеСJIОЖНО доказывается, что умножение в n (Х) асей.. цuативно. Таким образом, множвство 1с (Х) есть r р у п.. п а. Она называется фундажентaJl,ЬНОЙ вруппой фиrуры Х (построенной в точке %0). Можно покавать (см. 8адачу 148), что если любые две точки MorYT быть соединены путем в фиrуре Х, то фунда.. ментальные rруппы фиrуры Х, построенные в р а 8 н ы х точках ХО и :1:0' И З О м о р Ф н ы. В этом случае (который мы только и будем рассматривать) можно просто rоворить о фундаментальной rруппе фиrуры Х, не указывая, в какой точке она построена. Фундаментальная еруnпа яв.. ллетсл тОnОJtоаuчесnu,м, ипварuанто,м" т. е. если фиrуры Х и У rомеомрфны, то ИХ фун" даментальные rруппы 1t (Х) И 1t (У) изоморфны.3аслуrаоткрытия и изу... чения этоrо тополоrическоrо ин.. варианта принадлежит Пуанкаре. Задачи t 146. Если rруппа n (Х) тривиальна (Т. е. состоит только из еди.. ничноrо элемента), то фиrура Х называет.. ел односвявной. Иначе rоворя, фиrура Х О д носвязна , если любой замкн у тый П у ть Рис 137 . . D Х 10жет быть стянут в точку. Докажите, что Лlобая в ы п у к л а я фиrура (в час.. тности, прямая, плоскость, отрезок, KPYl', шар, DЫПУRЛЫП :МНО'" rоуrольник или мноrоrранник) односвязны. 147. Докажите, что сфера односвязна.  к а 3 а н и е: любой путь (даже заполняющий всю сферу, подобно кривой Пеано) MOiHeT быть j!ефОрМl1рован в «rлаДБИЙ ПУТЬ», не ПОI{рываIОЩИЙ всю сферу, 103 
148. Пусть w ....... путь, соеиняющий две точки ЖcJ, 2:0 фиrYPы х. I{аждому ааМRНУТОМУ пути h с начальной точкой 2:0 поставим в со- ответствие путь h* == w...1hw с начальной точкой 2: (рис. 137). До- кажите, что этим определяется изоморфизм Фундаментальной rруп. пы Фиrуры х t построенной в точке Хо, и rрупnы, построенной в точ. , ке хо. Прмер 42. Покажем, что' фундаментальная еруппа 01'i,ружностu является. свободной цunличес1'i,ОЙ, ln. е. И80" жорфnа аддитивной еруппе це.лых чисел. В самом деле, обозначим путь, равномерно ,обходящий окружность В в не-котором «положитеЛЬНО?\-f» направлении, через а, а обратный путь --- через a-- 1 . Тоrда a n будет обоз.... начать путь, I n , раэ обходящий окружность: в «llОЛОil\И" тельном» направлении, если n > О, и в «отрицательном», если n < О (путь а О оставляет точку покоящейся в вачаJIЬ" ной точке х о ). Любому пути можно поставить в соответствие некото- рый rрафик: положение ТОЧJ(И, пробеrающей путь, BaдaeT  ся вначением параметра Z (например, вреl\fени) на единич" ном отрезке О < t < 1. С друrой стороны, этому ;не поло ению точки соответствует ее уrловаякоордивата  на 'f 4п о t а) б) Рис. 138. окружности В (отсчитываемая от начальной точки жо). Откладывая по оси абсцисс t, а по оси ...ординат уrол <р, получим rрафик зависимости <р (t) (причем q> (О) == О). Если ТОЧК8, ДВИЖУЩ8ЯСЯ Р а в н о м е р н О, обходит ОКРУil\ПОСТЬ n раз, мы получаем путь a n ; ero rрафик ....... ПРJlМОJIинейный отрезок, соединяющий точки (о; О) и (1; 2nп). Однако точка может двиrаться по окружности В,, 11HoroRpaTBo иаменяя ваправлевае движения. На рис. 138,а 404 
покавав rрафик пути, схематически изобраil\енноrо на рис. 138, б. Но каким бы ни был замкнутый путь на окружности, ero rрафик всеrда соединяет точку (о; О) с точкой (1; 2п31), rде п --- некоторое целое число: ведь,. пройдя этот путь, мы возвращаемся в точку Хо, уrловая координата которой является ЧИСЛОА-I, кратным 231. Число п называется числож обходов по окружности. 1 Любой путь f, совершающий 2 ...... п обходов, ео.мотопеn пути ап: начертив на одном pYHKe rpa фИКИ путей f и а п , ваставим каiI\ДУЮ точку первоrо rрафика перемещаться параллельно оси ординат до rрафика пути а п . Если такое перемещение проив.. водить одновременно для всех точек (рис. 139), то мы проде формируем rрафик пути f в OT резок, ЯВЛЯIОЩИЙСЯ rрафиком пути а п . Но если rрафик дефор- мируется, то и сам путь дефор... мируется, откуда и следует, что пути f и ап rомотопны. Значит, все пути, совершающие n обходов по окружно- сти, rомотопны пути а п , т. е. принадлежат одному классу путей. Пути же, для которых число обходов равлично, не rомотоппы А-Iежду собой. Итак, ЭJtе.меnты фуnда.меnта.льnой еруппы охружnости В nаходятся во вааи.мnо одnоаnач1tож соответствии с це... лыжи чисJtа.мu. Так как при перемножении путей их числа обходов, очевидно, складываются, то из этоrо следует, что еруппа 11; (В) U80.морфnа аддитивной еруппе целых ч uсел. t о I  Рис. {39. Задачи 149. Допажите, что фундаментальная rруппа иру.. rOBoro польца является свободной циклической rруппой. 150. Фиrура Х представляет собой ШIОСRОСТЬ, из КОТОрОЙ вы.. полота (удалена) одна точка. Допажите, что rруппа n (Х) .... сво- бодная ЦИRJIическая. 151. ДОI(ажите, что внутренняя область простой замкнутой JlИ- И l односвязна. Если же область G имеет rравицу, состоящую бо-- пее чем иа одноrо ааМНПУТОl'О контура (си. рис. 132 на с. 99), то G веопосвязuа. 405 
22. Клеточные раабиеНВR в полиэдры МЫ часто рассматривали поверхность" Q, па RОТОрОЙ начерчен rраф G J разбивающий ее на части, rомеоморфные Kpyry. Это пример 1Wtеточноео разбиения. Поверхность Q представляется в виде объединения попар- но не пересекающихся Jhlteтoп: НУАЪ.мерных, одножернЫ3J и двумерных. Нульмерными клетками являются т о ч.. к и ..... вершинЫ rрафа G. Одномерные клетки...... ребра rрафа (l (без, концов). Каждая одномерная клетка rомеоморф- на открытому отрезку (без КОН- цов). Двумерные клетки --- кус- ки поверхности, на которые она распадается, если ее разрезать по ребрам rрафа G. Каждая двумерная клетка rомеоморфпа открытому Kpyry. l\10ЖНО TaKiRe рассматривать клеточные разбиения, в которых к некоторому ребру (одномер- ной клетке) примыкают три, четыре или большее число дву" мерных клеток, а не обязатель- но две или одна, как было в случае поверхности с краем. К некоторым ребрам MOiHeT не ПРИl\lыкать ни одной дву- мерной клетки (рис. 140). Если клеточное разбиение со- стоит только иа нульмерных и ОДНО:lерных клеток, то оно представляет собой r раф. В тополоrии рассматривают 1\леточные раябиения Jlюбоrо числа измерений. Например, трехмерное клеточное разбиение состоит из клеТОR раз- lерностей 0,1,2,3 (приqем если удалить все КJlетки размерностей 0,1,2, то оно распадается на трехмерные н.летки, каiRдая из которых rомеоморфна открытому шару). Фиrура, I\ОТОРУЮ l\10ЖНО представить в виде нлеточ" Iloro разбиения, называется поJtuэдро.м. Фиrуры, paCCl\10T- реиныIe в примерах 16 (с. 33), 18 (с. 36), 31 (с. 84), поли... дра1И не ЯВЛЯIОТСН. Пример 43. Сферу Р о ?\:lOiHHO представить в виде нлеточ.. 1JOro разбиения, СОСТQящеI'О из ОДНОЙ НУJlЬIСрПОЙ II ОДНОЙ двумерной клетки. Действительно, если в сфере «ВЫНО... JOTb» точку, то остаВПIанся часть l' будет rомеоморфна Оl'RРЫТО:МУ HpYlY. Одномерных 101t.:'.101, ЭТО клеточное l)аз Gнепие не содерil\ИТ. Рис. 140. 106 
Пример 44. На рис. 141 изображено клеточное разбие- ние, состоящее из Kpyra и ero rраницы, разбитой на две ПОЛУОКРУiRНОСТИ r 1 , Т 2 . Склеивание диаметрально проти-- воположных точек ОКРУjRНОСТИ превращает кру!' в проев.. тивную ПЛОСI\ОСТЬ, причем оба ребра, Т 1 , Т 2 , склеиваются в одно ребро Т. МЫ получаем клеточное разбиение проективной ПЛОСI\ОСТИ, со- держащее одну вершину, одно ребро r и одну ДВУ!:lерную клетку Т. IIример 45. Начертим на торе парал- лель а и меридиан Ь, пересекающиеся в точке о (см. рис. 57, е на с. 48). Мы получаем клеточное разбиение тора, со- стоящее из одной вершины о, двух pe бер а, Ь и одной двумерной клетки Т. Действительно, разрез по меридиану и параллели превращает тор в квадрат (см. задачу. 65 на С. 48), т. е. в иусок, rомеоморфный Kpyry. Рис. 141. Задачи 152. ДОRажите, что РУЧRУ можно представить в виде Rлеточноrо разбиения, содержащеrо одну вершину, три ребра и од- ну двумерную RлеТRУ (СМ. рис. 58 на с. 48). 153. Докажите (СМ. рис. 59 на с. 48), что сферу с k РУЧRами MOil\HO представить в виде Rлеточноrо разбиения, содержащеrо одну вершину, 2k ребер и OHY двумерную RлеТRУ. I Нам понадобится rоворить о н а п р а в JI е н и и о б х о Д а па контуре rрани (двумерной клетки). Смысл слов «направление обхода» в случае, коrда rрань rOMeo морфна Kpyry, очевиден. В более сложных случаях наII равление обхода определяется следующим образом. При разрезании по всем ребрам rрань (рис. 142, а) превращает ся в кусок, rомеоморфный Kpyry (рис. 142, б). Обойдем один раз rраницу этоrо куска в некотором направлении. При обратном «склеивании» paccMoTpeHHoro КУС:К.а в rрань этот обход и даст обход по контуру арани. Можно посту пить И иначе: совершить обход «очень близко» R rраницо клетки, ниrде ее не пересекая (рис. 142, в)_ Рассмотрим некоторую rрань Rлеточноrо разбиения; Бсе ребра, к которым она примыкает, как..либо ориенти руем (Т. е. выберем на них направления) и обозначим бук вами а, Ь, с, . . Совершим теперь обход по контуру rрани , и одновременно с этиц будем выписывать некоторый ОДНО" член. Если мы, начиная обход, движемся сначала по реб- ру а ) ТО ъщ вапиmе a ИJIИ aJ. смотря O тому, проходим 107 
мы (6{)ве-рmая обход) ребро а по направлению имеющейся па атом ребре стрелки или против нее. Если следующее ребро, которое мы проходим, обозначено, скажем, бук вой а, то мы справа припишем d или а 1 , смотря по тому, в каком направлении мы пробеrаем ребро d. Если всле за тем мы проходим ребро т, то припишем справа m или а) 5) Рис. 142. 6) т.... 1 и т. Д. Совершив вееь обход, мы выпишем пекоторЫЙ u ... '" одночлен, которыи называетс,я ео.мотопичес"ои ерапицеи рассматриваемой rрани. - rомотопическую rраницу можно записать поразному, в зависимости О'Е Toro, в каком направлении обходить кон.. тур rрави и с RaRoro ребра наqпнать обход. Мы будем для наiКДОЙ rрави брать одну за- u пись 'rомотопическои rраницы (безразлично, какую иы1нно).. Например, обходя против u часовои стрелки контуры клеток 'tl' 't 2 , 't 3' 't 4. на рис. 143, мы получим их rомотопиче.. ские rравицы: adbc; kh.... 1 g... 1 ftr 1 g; hl; Z...lk.... 1 . Р 143 Заметим, что Р еб р о g вет р е-- ВС. . чается в rомотопической rpa вице rрави 't2 дважды. Мы дадим теперь (без доказательства) способ вычиспе-. вия фундаментальной rруппы связноrо полиэдра Х. ВОБЬ. мем Rакое-нибудь ero клеточное разбиение и обозначим через G rраф, образованный вершинами и ребрами. В rpa.. фе G выберем м:аксимальное дерево и все ребра, входящие в_ это дерево) пометим цифро 1. О с ж а n. ь и ы е ребра 1\)8 
rрафа G (перем:ычки) пак..либо ориентируем и пометим раз.. личными букваfИ а, Ь, С,. .. Далее, для каждой rраIlИ рассматриваемоrо Rлеточноrо разбиения выпишем ее ro-- мотопическую rраницу, не обращая Вtlи:манин на ребра, помеченные цифрой 1. Наконец, построим rруппу, при.. вяв буквы а, Ь, С, -. . ., надписанные на переМЫЧI\ах, аа ее о б р а 8 у Ю Щ и е э л е м е н т Ы, а за о n р е Д е- л я ю Щ и е с о о т н о m е н и я между этими обра-- Вующими...... равенства, получающиеся, если псе выписан.. ные rомотопические rраницы nриравнятъ единице. Эта еруппа изоморфна фуnдажеnталъnой еруппе полиэдра х. Пример 46. Возьмем клеточное РlrЗбиепие проективной плоскости, рассмотренное в примере 44. аксимальное дерево состоит из одной вершины. Поэтому ребро r яв- ляется единственным обраЗУIQЩИМ Э1Iементом фундамен- альной rруппы. Далее, rомотопичеСК-QЯ rрапица двумер- ной клетки l' (СМ. рис. 141) равна т.т. Итак, фундаменталь.. , U u вая rруппа проентивнои плоскости определяется одноИ образующей r с соотноmением ,2  1, т. е. является rруп- пой BToporo порядка. _ Пример 47. Рассмотрим клеточное разбиение тора, опи санное в примере5. rомотопическая rраница двумерной клетки 1:' равна aba"' l b-- 1 (надо обойти контур на рис. 57, а (см. с. 48) против часовой стрелки). Таким образом, фун- даментальная rруппа тора имеет две образующие а, , связанные единственным соотношением abalb"'l::::: t, Т. е. аЬ == Ьа. Иначе rоворя, она является свободной абе- певой rруппQ.Й с двумя образующими. Задачи 154. Используя клеточное разбиение, рассмотрен- ное в аааче 152, докажите, что фундаментальная rруппа руч"и пред.. ставляет собой rруппу с тремя образующими а, Ь, с и единственным соотвотттевием Ьа == саЬ. Эта I'р"ппа н е к о м м у т а т и в н а: наПРИМРt Ьа =1= аЬ. 155. Используя результат задачи 153, 110кажите, ЧТО rруппа n (Pk) ииеет 2k образующих- а 1' Ь 1 , а 2 , Ь 2 ... ., ak, bk с единственным: соотношением atblal1bl1aeb2a;lb;1. ... .a"bkaklb"kl == 1. При k  2 эта rруппа веабелева (например, tlt b l =р Ь 1 а l). 156. Докажите, что rруппа п (N q) имеет q образующих Сl' 2 2 2 С2' . . .. Cq, связанных единственным соотношением C 1 с 2 . . . . · с q ==, == 1. 157. ДОRажите, что две замкнутые поверхности (без края). в том и ТОЛЬRО В том случае rомеоморфвы, если их фундамавтапьиые !rрУППЫ изоморфны. 158. Букетом окружностей B называется объединение k прос.. «,x 8a1r1RВYT X пивий. ROTopble все имеют общую точку о и БОJIьmе tOQ 
общих точек попарно не ИJ4еIOТ (рис. {М). Докажите, что п (81) есть свободная уппа с k обраsyIOIЦИИИ. 159. Область Х на плоскости оrpавичева оДIШМ вве mяm.t' контуром и k ввутре 'R1ПtМИ (СМ. РИС. 132 на с. 99). Донажите, что п (Х) есть своболиая rpуппа с k образующими. 23. акрыТИJI Прииер 48. На окружпо- . сти В С центром о фиксируем началь- ную точку Хо'И для любой точки х Е В обозначим через tp(x) величину цент-"- ральноrо уrла хоох. Функция q> (х) оп- ределена с точностью до числа, KpaTHoro 2п. fрафик Е этой м:ноrозвачной функции l-10жет быть П строен на боцовой поверхности бесконечноrо ц и л и н д- р а; он имеет вид винтовой линии с marOM 211: (рис. 145). Обозначим через р проектирование линии Е па окруж" пость В вдоль образующих ЦИЛИВJlра. Длч произвольвой точки х Е В возьмем не.. большую ее окрестность а. Часть линии Е, проекти- рующаяся на и, состоит из · отдельных кусков ..., V 1' V О' V 1,... (рис. 146). Rадый из H с помощью проекции р rомеоморфно отображается на всю о к.. рестность и. Указанное свойство подводит нас к понятию nак,рытuя. Пусть р --- H прерывное отобран(ение фиrуры Е на В. Допустим, что р обладает таким н(е u СВОИСТВО?\-I, нак и в при:мере 48: ДЛЯ наiКДОЙ точки х Е В lrIOiI(HO подоб11ать таПУIО ее 01\рестность и, ЧТО полный прообраз р"'l( И) (т. е. 1IIO" а\ество всех точеI{ фиrуры Е, переходящих при отобра jнен:ии р в точки окрестности И) rаспадается На чаС'IИ, l\аiндая ив ноторых при пом:ощи ]) rом:ео:морфно отоб 11аiЕается На и. При этих услов:инх Е называется пaxpы ,пuе.м (или nакрыв'lющей фuсурой) для В. Части ПОЛНО 1'0 прообlJаза pl (и), rОlСОl\rоrФно отображаЮDиес.я па и, 110 Рис. 144. Рис. 145. ,..... ...",.....--.. --..., '" .,-- "->... I vz v, I" f'.--.... I J I I I I I I I I I I 1 1 I J 1..__ Рис, 146. J 
называются дuстaAf,U накрытия. По числу листов разJНI:- чают двулистные,. трехлистные и т. д. накрытия. HaKpы 'l'ие окружности винтовой линией бесконечнолистно. Иринер 49. Всякая односторонняя поверхность N имеет в качестве Д в у л и с т н о й накрывающей HeKO торую двустороннюю поверхность Р. Расположим поверх иость N в пространстве (с самопересечениями) без точек излома и отложим на каждой нормали (в ту и друrую CTO РОВУ от точки х Е N) отрезки X и x' постоянной длины 8, rде 8 ....... малое положительное число. Если бы поверх... ность N была двусторонней, то точки  и Ж' описали бы две р а 8 л И Ч н ы е поверхности, «параллельные» N. Но TaI{ нак поверхность N о д н о с т о р о н н я Я, то МЫ получим о Д н у поверхность Р: ведь при обходе по некоторому замкнутому пути на односторонней поверх ности нормаль хЖ меняет направление, т. е. переходит в x', так что точки fi и 'принадлежат о Д н о м у кус... ку поверхности Р. Наrлядно это построение можно опи... сать так: вообразим поверхность N ивrотовленной из «тол... CTOrO» материала и окрасим ее всю краской. Если' теперь «сжечь» поверхность N., считап, что красна неrорючая, то оставmийся тонкий слой краски и образует поверхность Р, двулистно накрывающую N. При этом поверхность :Р д в у с т о р о н в я я: одна ее сторона обращена к сож.. женной поверхности N, а друrая ...... наружу. Например, если ленту Мёбиуса, изrотовленную из «толстоrо» rорючеrо материала, окрасить неrорючей крас- кой) а затем ленту Мёбиуса сжечь, то мы получим ленту, rомеоморфную боковой поверхности цилиндра (четыреж... ды перекрученную, как леrко убедиться на модели), ко- fIорая двулистно накрывает ленту Мё6иуса. Задачи 160. Докажите, что если Е является k-листным на- крытием полиэдра В t то Х (Е) == Тех (В). 161. Докажите, что двулистная накрывающая поверхности N q является сферой с q ...... 1 ручками. Пусть фиrура Е является накрывающей для В и р: Е --+ В .... соответствующая проекция..Пусть, далее, h --- путь в фиrуре В, исходящий из точки хо, а o Е Е ...... неко", торая точка, раСПОЛОrкенная «над» хо, Т. е. удовлетворяю... щая условию р (o) == Хо. Тоrда в Е существует (причеJ\tI единственный) путь h, начинающийся в точке ХО и пере... ходящий в путь h при отображении р; он называется uапрываЮllJUм, путем. В самом l!еле, пусть и ....... А-Iалень.. 11 
кая окрестность точки 3:0 и и ...... тот ЛИСТ накрЫтия, ко- торый содерiКИТ точку Хо. Тоrда, поскольку р: и -+ и --- rомеоморфизм, мы однозначно сможем «подня» кусочек пути h, находящийся в окрестности и, на лист и (рис. 147). Если Х 1  концевая точка Toro участка пути, который мы УiI\е «подняли», то можно рассмотреть окрестность и 1 очки Хl И соответствующий лист накрытия, что позволит D 41'.-."., ..., -"" p Рис. {47. ПрОДОЛiRИТЬ наI\РЫВaIOЩИИ путь 1i еще на один кусочек, и т. д. Рассмотрение накрывающих путей позволяет 'устано- вить теорему о связи между накрытиями и фундаменталь- пой rруппой. МЫ ее приведем (без доказательства) в СЛ дующей упрощенной формулировке. Если связный noд"U-o вдр Е является k-листны,м, наnрывающиж над В и nорядоп еруnnы n (Е) (т. е. число ее 8ле.мептов) равен n, то noрядоп еруnnы n (В) равен kn. Накрытие Е НаД В называется ун иверсал ьны.м" если оно о Д н о с в Я з и о. В силу сказанноrо выше число .ли- СТОВ униерсальноrо накрытия Над В равно порядку rpYJI- пы 1t (В); любое Apyroe накрытие имеет меньшее число ли- СТОВ. Накрытие проективиой плоскости сферой (см. задачу 1(1) универсально в силу однЬсвязности феры. Сфера является также универсальной накрывающей для самой себя. Оказывается, что для всех ва.мпнутыз: поверхно- сrnей, кроже сферы и nроеnтuвной nдоспости, универсаль- ной nаКрЬUJаЮЩей Я8мется ocnocть. Доказательством этоrо факта мы и закончим-этот пункт. Прежде Bcero, так пак оДностороц:g;яя поверхность N имеет своей ДВУЛИСТ. 112 
пой накрывающей некоторую двустороннюю поверхность р t то универсальное накрытие над Р будет универсаль... НЫМ накрытием и над N. Поэтому достатолно рассмотреть двусторонние поверхности, ОТЛичные от сферы. Разделим плоскость двумя системами параллельных прямых на конrруэнтные квадраты; склеивая :каждЫЙ квадрат в тор, МЫ получим отображени-е всей плоскости на тор, причем точкам, одинаково расположенным в различных квадратах (рис. 148), соответствует одна и та же точка тора о Рис. 148. а (рис. 149). Получающееся накрытие У н и в е р с а л ь... н о, так :как плоскость односвязна. КаждыЙ из квадратов ЯВJlяется так называемой Фунда... м,ентальнои областью, Т. е. связным куском накрывающей (плос:кости), который взаимно однозначно отображается ва тор. Рис. 150 показывает, что фундаментальная область определена не однозначно. Опишем теперь разбиение На фундаментальные обла- сти, из :которых склеийаются друrие двусторонние поверх- ности, например, Р 2. Такое разбиение удобно произвести с помощью r е о м е т р и и Л о б а ч е в с к о r о. В этой rеометрии сумма уrлов мноrоуrольника меньше, чем в евклидовой rеометрии, причем сумма уrлов YMeHIr .Шается при увеличении 'размеров мноrоуrольника. На... пример, cYJдeCTByeT правильный восьмиуrольник с уrла-- ми т. Если такие восьмиyrольвики прикладывать дрyr к друrу целыми сторонами, то ими можно заполнить всю плоскось Лобачевскоrо, причем в вершинах будут CX<r диться по восемь мноrоуrольников. На рис. 151 изобра.. жено такое разбиение для l,lодели плоскости Лобачевскоrо в «Kpyre Пуанкаре». Это..и есть разбиение плоскости Ло- бачевскоrо (она rомеоморфна открытому Kpyry, а потому и плоскости Евклида) на фундаментальные области: 1З 
003l&IfВQвие' сторон И8ждоrо восьииуrОJIьпика дает Р 2 (см. рис. 59 на с. 48) и получается накрывающее отображе- Рис. 150. Рис. 151. НИ,А плоскости Лобачевскоrо на Р2. Аналоrичное разбие.. иие плоскости Лобачевскоrо можно построить и для JIЮ" бой поверхности P, (k :;> 2). Задачи 162. На рис. 152 изображена «плоскость с беско- вечным ЧИСJlОМ ручек». Покажите. что при k  2 она ыжетT служить накрытием над поверхность!О Pk. Рис. 152. Рис.  153. 163. Покажите, что поверхность, изображенная на рис. 153, M0iIteT служить накрывающей для любой поверхности Pk (k  2). 164. Постройте универсальную накрывающую ДЛЯ фиrуры, со.. стоящей из сферы и касающейсл ее O:KPYi-I\IlОСТИ. .J 11 
24. Степень отооражеВRJI В BOBB8JI теорема алreбры На рис. 154 изображено непрерывное ото. бражение f окружности р на окружность Q. На окрест.. ность точки У отображаются два куска окружности Р, причем отображаются п о л о ж и т е JI ь Н О (т. е. с со.. хранением направления обхода). rоворят, что в точке 11 это отображение имеет степень 2. В точке ж отображение ffакже иыеет степень 2: хотя на окрестность точки хото.. бражаются ч е т ы р е куска окружности Р, но три ив них отображаются ПОJ10житель.. но, а один --- отрицательно. Если МЫ обозначим через р число листов, положительно отображающихся на окрест- ность некоторой токи z Е Q, а через n --- число листов, ото. браil\аrощихся отрицательно, o степенью отображения f в rrочке z будет число р ...... n. Во всех точках окружности Q степень отображения f одинакова (и равна двум); напри.. мер, в точке х имеем р  n == 3..... 1 == 2. О степени отображения можно rоворить и в случае отображения поверхностей. Пусть Р и Q ....... две замкну- тые ориентируемые поверхности, па наждой из которых задана ориентация. Пусть, далее, f: Р  Q  некоторое непрерывное отображение; будем предстаВJ!ЯТЬ себе, что поверхность Р «наложена» на поверхность Q, располаrаясь па ней несколькими «слоями» и образуя складки. Если па окрестность точки z Е Q отображается несколько «листов» поверхности Р, то HeKOTOpы из этих листов MorYT отобра. жаться п о л о ж и т е л ь н'о (с сохранением ориента ции, рис. 155 а), а неноторые  о т р и Ц а т е л ь н о (рис. 155, б). Если все «листы» поверхности Р отобраj-нают ся па онрестность точки z rомеоморфно, причем число .т.rи стоп, на которых отображение f положительно, равно р, а ЧИС.ТIо листов, на которых оно ОТрИIательно, равно n, то ЧИСJIО р ...... п наЗывается степеНЪ10 отображения f в ТОЧ не z. IiетрУДRО понять, что степень отображения t о д п н а н о в а вблизи Jllобой ТОЧI\II поверхности Q. Действи.. TeJIbIlo) при пере11ещепии тuЧ]{И z числа р и п lеПЯIОТСЯ р '  х а  ! :> Рис. {54. 115 
v вишь при прохождении через краи складки, НО разв:остъ р ....... n ОСJается неизменной (рис. 156). Заметим еще, ЧТО коrда ото6ражеnие f непрерывно дефОРl!ируется, степеJlЬ u ero остается неизменнои; это можно пояснить, заметив, что образование (или расправление) складок не меняет сте- пени отображения. а) ь) Рис. 155. с помощью понятия С'fепени отображения можно дать ... изящное доказательство о с в о в в О и т е о р е и ы а л r е б р ы: любой мноеочД,ен, f (z) == zm + alzl + . . . + ат--l : + а т , . степени т > 1 с ко.м,nJ.l,епспыж,и ( в частности, действитед'"Ь- н,ыжи) поэффuциентаtи аl,...  O " . . ., а т u.мeeт хотя бы один IJ.   порен.ь. f , .. Возьмем сферу S, Rасаю"  . о. + о. z' Q щуюся плоскости в начале KO '\.. CJ-  ординат, и будем наЗыВать точку касания южnы.м, поД,ю- Рис. {56. со.м" а ПРОТИВОПОЛОiRНУЮ точ- ку n --- ceвepHЬ,м, полюсо.."" сферы (рис. 157). Будем ИЗображать Номплексное число z == х + iy точной в плоскости, считая ж и у ero RООРДИ" ватаМи (рис. 158). Отрезок nz пересекает сферу S в Н,еКО10" рой точке, RОТОРУЮ мы будем считать UВQбраженuем, комплексиоrо числа z на сфере s. Обратно, имея на сфере точку It, леrко узнать, какое КОМП.ле.ксное число она изо- бражаеТi прямая па при пересеч:ении с плоскостью и даст искомое J.(омплексное число. Однако северный полюс n не -изображает никакоrо комплексноrо числа. Мы уело.. пимен считать 2 - что точ:ка n изо6раil\ает «бесконечиое) ,t16 
RомплеRсное число, обозначаемое символом 00. ПОВОДОМ для TaRoro соrлаmения служит то, что при неоrраничеп.. ном удалении ТОЧRИ z на ПЛОСRОСТИ (в любую сторону) от начала координат изображающая ее ТОЧRа на сфере приближается к n. Сфера 8 называется пОЖnМ1reнои сфе.. рой, или сферой Рижапа. Отметим, что (в отличие от проек" rrивной плоскости; см. рис. 83 на с. 63) сфера 8 получилась п о Рис. {57. Рис. 158. ИЗ плоскости добавлением ОДНОЙ бесконечно у.цалеиной точки 00. Мы буем изображать значения I на ОДIIОЙ комплексной сфере 81, а значния миоrочлена f (z) ....... на друrой такой же сфере 82. Каждой «конечной» точке z == х + iy сферы 81 соответствует «конечная» точка f (z) сферы 82. При . этом если z будет приближаться R 00, (10 f (z) также будет приближаться к точке 00 сферы 8?. Действительно! мы имеем 1 (z) === zm ( 1 +  +  +... + . а::: + а: ) ; Z Z J Z при Z  00 (т. е. при неоrраниченном увеличении числа Izl) выражение в скобках приближается R елинице, а множитель Zm неоrраниченно увеличивается. Таким обраЗОА-I, дополнив определение мноrочлена условием f (00) == 00, мы получаем н е п р еры в н о е отобра.же вие f всей сферы 81 на сферу 82. Для доказательства основной теоремы алrебры нужно установить, что найдется точка z Е 81' для которой t (z) == О, т. е. что точка О сферы 82 является образом хотя бы оной ТОЧRИ Z Е 81. Если бы это было не так, Т. е. точка О сферы 82 не ПОI\рывалась образом f (81) сферы 81' (10 степень отображения 1I 81 -+ 82 вблизи crочки О E.i В, была бы равна и у л Ю, а так как степень 117 
одинакова вблизи любой точки, то просто степень отобра- жения 1 была бы равна нулю. Поэтому для оказаТ.ельства основной теоремы алrебры достаточно установить, что степень отображения 1 о т л и ч н а от нуля. Мы покажеМ f что она равна т, т. е. совпадает со степенью мноrочлеиа f (z) (это и послужило причиной введения термина «cтe пеиъ отображения»). Будем изменять значения коэффидиентов аl, а 2 , . . . . . ., а т , приближая их к нулю; мноrочлен 1 (z) будет ме- НJIТЬСЯ, отображение I1 81  82 будет непрерывно де- формироваться. В результате 'мы получим мноrочлен 11 (z) == zm. Но так КаК при деформации отображения ero степень не меняется, то отображе ния / и 11: имеют о Д и н а К о в у ю степень. Степень же отображения 11 леrко подсчитать. Разобьем плоскость лучами, ис... ходящими из точки О, на т KOHr.. руэнтных уrлов (рис. 159). Так как при возведении комплексноrо чис...  на z в степень т ero aprYMeHT уве", личивается в т раз, то каждый из этих уrлов с помощью 11 отобра.. Рис. 159. жается «<растяrивается») на всю сферу 82. Таким образом, при ото... ' бражении 11 образ сферы 8r. покрывает т раз (причем по.. ложительно) сферу 82. Отсюа и вытекает, что степень отображения /1 (а значит, и 1) равна щ. Теорема доказана. В настоящее время известно l\IHOrO I?азличных дока- зательств основной rreopeMbl алrебры, но все они являются tl' О n о л о l' И q е с к и м И, т. е. в той или иной форме испрльзуют иею непрерывности. Без привлечения ией ополоrии оказывать основную теорему алrебры невоз- можно; MOjHHO сказать (хотя это звучит несколько стран.. но), что основная теорема алrебры является nеалеебраu- чеспой теорежои. Задачи 165. Докажите, что если q  тk, то существует отображение 11: Pq --+ Р", имеющее степень т. 166. Докажите, что если Р и Q ..... ориентируемые поверхности и отображение: f: Р  Q является kлистным накрытием, то степень отображения f равна :f:k. _ 167. Докажите, что если I (z) ..... мноrочлен степени т > 1, то при векотором с (комплексном или действительном) уравневие f (z) == с имеет ие более т ее 1 различных корней. · 118 
01 к а 8 а в и 9. Еми ЧИСJIО корней равно т JtJIя J1юбоro с, 1'0 11 81'" 8. ЯВJIяется накрытием И, с.педоватеJlЬНО, rомеОblОрфИ3МОм. 168. Докажите, что при k > t всякое отображение j: РО .... .... Pk стяrивае:ио (и потому имеет степень нуль). ;у к а з а в и е. Докажите, что WIЯ f существует накрывающее отображение 1: Ро.... Е. rп e Е .... универсальное накрытие нал Pt. 25. rpymm узла Пусть L 1 И L g .... лва узла в трехмерном пр<r странстве. Обозначим через D 1 дополнительное про. страпство узла L 1 (Т. е. Шlожество всех rrочек пространства, не лежащих на пипии Lt), а через D 2 --- дополнительное пространство узла L'J.. Если узлы L 1f L. «OlPlHaKOBbl. Рис. Рис. 161. (изотопны), Т. е. существует rомеоморфное отобрал<ение f пространства на себя, при котором L 1 переходит в L2' rro f (D 1 ) == D 2 , т. е. ополнительные пространства rOMeo... морфны. Следовательно, rруппы n (D 1 ) и 1t (D 2 ) изом:орф", ВЫ, Т. е. фундаментальная еруппа доnол1tuтельноао пPcr cтpaптвa является инвариантом увла. Этот инвариант называется rруппой узла. Мы будем rpynny узла обозна... чать буквой G, т. е. G (L 1 ) == n (D 1 ). Из сказанноrо ясно, Что если rруппы G (L) и G (L') не изоморфны, то узлы L и L' не ИЗОТОПНЫ. YKarReM теперь (без доказательства) способ вычисления rруппы узла. Пусть норм:альная проекция узла L разбита па п дуr аl, а 2 , . . ., а п , отделенных перерыва:ми. KpOl\I8 U'oro, выIеремM на L направление обхода и ОТ!\Iетим ero С1реЛIа!\IИ на дуrах аl, а 2 , . . , а п (рис. 160). Теперь длll ОПIIСЭНИЯ rруппы G (L) возь:мем в пространстве точку о, раСПОЛ()tl-\енную в ы IJI елипии L, и из нее проведе:м зам:к-- i:fУ1LIЙ путь Хl0 охватывающий LJ;yry C{,k! расположенную 19 
. над ak' и обходящий ее в соответствии с правилом бурав- чика (рис. 161). rомотопические классы путей Xk (k == == 1, 2, . . . п) являются о б раз у ю Щ и м и rруппы узла. Рассмотрим теперь какуюнибудь двойную точку про- екции и обойдем BOKpyr нее по небольшой окружности l (по часовой стрелке), выписывая одновременно некото- рый одночлен. Именно, если встретивщаяся (при движEro пии ПО l) дуrа а t в х О Д И Т внутрь окружности, то возь- мем соответствующий символ Х в степени +1, а если вы- ходит из окружности, то в степени 1. Обойдя ВОКРУl' u u двоинои точки;мы выпишем, слева направо, произведение четырех множителей, которое приравняем единице; напри.. мер, 1J;ЛЯ войной rrочки на рис. 162 получим соотношение ---1 ...1 1 XtXk Х; Xk == . Нетрудно ваrляр;по представить себе, что путь XiX"k1xj1Xk действительно rрмотопен нулю в дополнительном про странствеl на рис. 163 изображена пленка, rомеоморфная о о  a. ,............. " /". " / / \ со; Л 1 , " .; ...........4,.., а. 'J Рис. f 62. Рис. 163. KpyrY1 натянутая на этот путь. Оказывается, что, напи- сав такие соотношения ,I(ЛЯ всех двойных точек, мы и по.. лучаем полную систему соотношений между образующими Хl, Х21 . . ., ХN' ЭТО описание rруппы узла примепимо и к произвольным переплетениям. - I Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных узлов и переплетений, рассмотрим один алrебраический пример. Пример 50. Докажем, что rруппа G, заданная тремя образующими Хl, Х 2 , Ха и соотношениями ...1....1 1 ...1 --1 1 ( ...1 1 1 Х2 Х I Х З Хl == , ХЗ Х 2 Х l Х2 == , .ХI Х З Х 2 ХЗ == , неабедева. Для доказательства обозначим через G' rруппу самосовмещений равносторониеrо треуrолъника; она со. 120 
стоит из шести элементов I поворотов BOKPY:V точки о на О 2п 4n u , , , уrлы '3 t 3 и трех осевых симметри Х1, Х2, ХЗ 1 оси которых показаны на рис. 164. Без труда проверяется. ,. , ,. что для элементов $1, Х2, Ха указанные соотношения спра.. ведливы. При это},{ rруппа а' неабелева. Следовательно. rруппа а, заданная образующими Хl, Х 2 , Х З И выписан.. выми соотношеНI'::ЯМИ, также неабелев (действительно, из I-z-' I t аз " ",,1 ' UJ 2 а1. , /' VJ:J/ Рис. 164. Рис. 165. этих соотношений н е м о ж е т вытекать, что rруппа о. абелева, так как тоrда и rруппа G' должна была бы быть lабелевой, что неверно). , Пример 51. На рис. 1.65 изображена проекция простоrо узла L. Соотношения между образующими Хl, Х2, Ха (взя'" '1'ые в двойных точках Рl, Р2, Ра) совпадают с соотноше-- пиями, которые указаны в примере 50. Таким образом, rруппа G (L) этоrо узла неабелева. Следовательно, узел  L н е и з о т о п е н окружности (у которой фундамен" тальная rруппа дополнительноrо пространства является свободной циклической и потому абелева). Таким обра.. . зом, увел L не может быть развязан без разрезания нити. Пример 52. На рис. 166 изображено переплетение Lt образованное средними линиями торов, которые COCTaB JlЯЮТ множество Аl на рис. 104, а (с. 84). rруппа G (L) этоrо переплетения, имеет 2т образующих Хl,..., Х т , У1, . . .; Ут, которые получаются, если рассматривать пути, охватывающие дуrи at,. . ., а т , Ь 1 , . . ., Ь т , изо браженвые на рис. 166. Между этими образующими имеется 2т соотношений (выписанных для. двойных точек Pi, Qi), ноторые имеют слеующий вид: - :XtXjXjlYi+l == 1 ) XiYilYjlYi+l == 1; i == 1, . . . , т t2t 
(rд& следует считать tr: m +l == а:l, Ут+l == Уl)' ОКРУЖИОС'nl 1, изображенная на рис. 166, представляет собой путь в дополнительном пространстве переплетения L, причем Rласс этоrо пути равен ж 1 1 Уl (рис. (67). Докажем, что путь О pm  ·  J-D Hf, 9, b z f \Ji' bj  ai А а- /, Рис. 166. Рис. 167. l неrомотопен пулю в дополнительном пространстве, Т. е. . при стяrивании окружности l в rrочку она непременно пересечет переплетение L. ДЛЯ доказательства обозначим через G' rруппу само.. совмещений правильноrо туrольника. Она состоит из по . воротов BOKpyr точки о на yr . О 2п 4п 2 (т  1) n л ы ,.......... ............. ..., mtm' т u , И осевых симметрии %1'.. . , . . ., %т, оси которых показа.. ны на рис. 168. Положим, ............. кроме Toro, $: =\:1::" Iv;:а:ю;/ ' /J'=:c; '- \ I  '=' 0:1/ т-r, / i15 '8 '\. \ I /// " , \1 /./ ,,;    11 I I I I , , , , , У } == Xтl' У 2 == Х т , УЗ === , , , == Х 1 , ..., У т == Xт2. . Без труда проверяется, что эти элементы rруппы G' удовлетворяют всем выписан.. ным соотношениям (посколь I{Y (Xi)-l == Xtl. а X;Xf+1 есть поворот на уrол ;: ), Кроме Toro, элемент (х])"'l Уl (представляющий собой 4п )  G " ( ПОБОрОТ на уrол т отличен от еДИНИIЫ rруппы т. е. от тожественн.оrо 9тобраrl\ения). Следовательно, и в rруп.. ле G элемент (х.д"' l Уl отличен от еиницы. Иначе rОБОрЯ 2 122 IX; Рис. 168. 
окружность l определяет в дополнительном пространстве u путь, неrомотопныи нулю. Авалоrичио можно доказать, что ПУТЬ l неrомотопен нулю и в дополнении переплетения, преДставляющеrо собой объединение средних линий торов, составляющих множество А 2 (рис. 104, 6), и т. д. Это И дает обоснование свойств aвT.yaHOBCKoro множества, рассмот" peHHoro в п. 17. L Задачи 169. Докажите, что пе- реплетение, изображенное на рис. f f 7 (с. 91), невозможно «разнять», не разры- вая ни одной из лИВИЙ. у к а в а и и е. Докажите, что ок- ружность II определяет невулевой эле- мент rруппы G (L). rде L..... переплете- Рис. 169. nие, образованное двя друrими окру- жностями. Для этоrо проверьте, что G (L) есть свободная rpyrlIva с двумя образующими. . 170. Докажите, что онружность 1, изображенную на рис. 169, невозможно tснять» с ливии L и, следовательно, в дополнительном простра.нстве линии L не существует ПJIенки, rомеоморфной Kpyry, которая «натянута» на l. Докажите также, что существует плеlШа, roмеоморфная ручке, которая «наТЯНУТа» на l и расподожена в j!O- полнительном пространстве линии L. 26. Циклы и rомолоrии На каждом из рисунков 170, 171 одномер- ный цикл z (он изображен в виде плавной линии, а не ло- маной) оrраничивает на поверхности некоторую область х. На рисунках эта область «<пленка», натянутая на цикл z) ориентирована соrласованно с этим циклом. Буде}1 считать каrНДЫЙ оераничивающий ципА (Т. е. цикл, на ко.. торый можно натянуть пленку) несущественным, или, как rоворят, 20жолоеичныж нулю. . На рис. 172,а изображены два цикла Zl и Z2; объедиве ние этих циклов обозначим через Zl + Z2. На рис. 172, 6 Dоказана раз н о с Т ь Zl...... Z2 'Этих циклов (т. е. сумма цикла Zl и цикла ......Z2' получающеrося из Z2 изменением ориентации). На рисунке видно, что цикл Zl...... Z2 rO:MO. JIоrичен нулю (он является rраницей пленки х). В этом случае rоворят, что циклы Zl И Z2 еоtолоеичньz. В работах Пуанкаре были введены и изучены epynnbz eoJtoIIoeиu J являющиеся важными тополоrическими инва.. 123 
риавтами. Идея их построения состоит в тои, чтобы ИВУ- чить, как веЛИR в данной фиrуре Хнапас ЦИКЛОВ 1 которые попарно не rомолоrичвы. Рис. 110. Рис. 171. а) Z, Рис. t 72. Задачи 171. Докажите, что на сфере каждый одномерный I\RК.л rом()лоrичен нулю. 172. Докажите, что в дополнительном пространстве множества Аl' paccMoTpeBHoro в примере 31 (а звачит, и в дополнительном пространстве антуавовското множества А * С At) цикл II (см. рис. 105, а ва с. 85) r о м о л о r и ч е н в у л ю. Отсюда можно аакпючить, что СnlЯ2uвае.мостъ цикла является более ТОНI{ИМ свойст- вом, чем ero rомолоrичвость нулю. 173. Докажите, что кал(дый иа циклов, иаобра1кенных заl\lКПУ- тыми контурами на рис. 173, 174, rомолоrичен нулю впе остальных контуров. 174. Дока1ките, что если Itоэффициепт зацепления tv (Zlt Z2) отличен ОТ нуля, то ни ОДИН ИЗ циклов Zt, %2 не rомолоrичев HY JlЮ В дополнительном пространстве АРУТОТО цикла. Для построения rpynn rомолоrий следует обобщить понимание циклов и натяrиваемых на них пленок. На рис. 175 каждый ,ИЗ циклов Zl? Z2 rомолоrичен нулю: ЦИКЛ 124 
. Zl является rраиицей Kpyra rtl + 2; а цикл Z2 ...... rраницей J\pyra Тl + Тз- Сумма же Zl + Z2 оrраничивает «область (Тl + '{ 2 ) + ('tl + 'tз) === 2'tl + '{ 2 + 't' З, состоящую из .дважды взятой» клетки Т1 и «одии раз взятых» клето.tt ft'2 и з- Таким обра30I, чтобы убедиться, что цикл Zl + Z2 Рис. 173. Рис. 174. rомолоrичен нулю, приходится брать клетки с определен- НЫМИ коэффициентами. Точно так же циклы MorYT COCTQ-o IIТЬ из плеток, взятых с некоторыми коэффициентами. Например,.на рис. 176 сумма 71 + Т 2 + Тз + 3Т4 является ЦИI\ЛОМ, поскольку (учитывая «трижды взятое» ребро 7 ZJ Z, Рис. 175. Рис. 176. в Rаждой вершине число входящих и исходящих ребер одинаково. Отметим следующую теорему, вытекаIОЩУIО из аапона двойственности АлеКС8вдера ....... ПОИТРЯI'ина (полнYIО фор.. мулировиу этоrо закона мы здесь не приводим). Пусть р ..... nолuэдр, расположенный в тpeX,Mepnot евплuдовом nростраnстве, а Q...... еао дополнительное nрострапство; чи"д Zl, расположенный в одной ив фuаур Р, Q, в то.м, и тодьпо 8 то-м, случае не ео;молоаuчен нулю в этой фиауре, ecJtlt в друаой из этих фиеур найдется цикл Z2, аацеnленnыи С 11 (Т. е. tv (Zl Z2)' =1= О). 12 
При мер 53. На рис. 177 изображена линия Р и цикл е' в дополнительном пространстве Q, причем цикл z' не зацеплен с одномерными циклами полиэдра Р. Следова.. treJIЬНО, z' rомолоrичен нулю в Q. На рисунке показана двумерная пленка х' c:Qf Р rраницей которой является цикл z'. z' Задачи 175. Для циклов тl' m l , тз, m.l' расположенных на поверхности кренделя (рис. t 78), укажите в дополнительном про- странстве такие циклы %1' %2' Zз, z., что w (mi, Zj) равно единице при i == i и нулю при i=l=i (i. i == Рис. 177. == {, 2, З, 4). 176. Докажите, что для любо- 1'0 узла 1 С RЗ существует такой ПОЛИЭllР К С R3. rом:еоморфвый боковой поверхности цилиндра, что один край еro совпадает с 1, а lФуrой край l' имеет с 1 нулевой коэффициент зацепления. Рис. 178. 177. Постройте в фиrуре Р (СМ. рис. 132 на с. 99) циклы тl' т'2' тз, а в ее дополнении (в пространстве) циклы Zl' Z2' ZЗ так, что w (Ini, z j) равно еливице при i == i и нулю при i =1= ;. БУ,1!ем рассматривать не саl\IИ одномерные циклы, а пдассы ео.молоеий, объединяя в один клас все rомоло- rичные между собой одномерные циклы рассматриваемой фиrуры х. Операция сложения превращает :м:ножество всех классов в rpynny; это и есть одномерная еруппа 20" Jrt,ОЛ02U й Н 1 (Х). ОПИlпем способ в ы ч и с л е н и я ОДНОIерной rруппы rОl\!олоrий. Прежде Bcero отмеТИl\!, что если два ЦURла Zl, Z2 е о .7Jt О т о n 1t bL (т. е, моzут БЬLть получе1tЪL одиn из друе020 с пОJrtОUfЬЮ деформации), то 0пи ОМОЛО2иЧ1iЬ. Наrлядно это можно объяснить Tel\l, что «след», который «за:м:етает>} цикл Zl в процесее ero деформ:ацип в Z2, И есть та ПТIенка, КОТОIJ3.Я СО8lAИННОТ ЦИI\ЛЫ Zl И Z2 (рис. 17а). 126 
Обратное может не иметь места; rомолоrичные ЦИRЛЫ на рис. 180 ие rомотопныж перемещению цикла Zl на поверх- вости Q В цикл Z2 мешают «ырки», имеющиеся на поверх- ности между этими циклами. Таким образом/'для rомоло- Рис. 179. Z Рис. 180. rичпости lI;BYX циклов  о с Т а т о ч н о (но не необходи- мо), чтобы. они были rомотопными. Леrко представить себе наrJlЯНО, что если за,цапо клеточное разбиение полиэра Х, то любой ОJJ;НОl\lерный цикл в этом ПОЛИЭll;ре может быть при помощи еформации «СПВИНУТ» в одножерныи остов, т. е. в rраф, состояЩИЙ из всех вершин и ребер (рис. 181). «Скла.цки», которые MorYT возникнуть при .цеформации, :можно распрямить. Следо" вательно, любой О)jномерный цикл rомотопен (а значит, и rомолоrичен) циклу, состав.. ленному из р е б ер, взятых с некоторыми коэффициента- l,IИ. Таким образом, для вы- числения rруппы rомолоrий Н 1 (Х) достаточно paCCMaT ривать одном-ерные циклы, составленные из ребер (с HeKO торымИ целочисленными коэффициентами). Пленки же, патяrиваемые на циклы, можно считать составленными из Д в у м е р и ы х клеток, взятых с некоторыми коэффи циентаltlИ. Значит, нужно, во..первых, найти все O]J;HOMepHble ЦИК ЛЫ (составлеНlJые из ребер) и, во"вторых ! научиться вы- числять r р а н и Ц ы двумерных клеток, чтобы выяс вить, какие одномерные циклы pyr pyry rомолоrичны. Первое не пре.цставляет ТРУ1!а! на.цо лишь прослер;итъ, Рис. 181. .12r 
чтобы в каждой вершине число в х о Д я Щ и х ребер было равно числу и с х о Д я Щ и х (учитывая коэффи" циенты). Второе фактически мы уже умеем делаты надо совершить обхо,1! по контуру :клетки (в соответствии с ее ориентацией), но выписывать не про и з в е lJ. е н и е ребер (что мы делали при составлении ео.мотоnичесJr,OU zранuчы клетки), а их с у м м у с учетом знаков. Иначе rоворя, в rраницу gвуиервой клетки  (ее обозначают через B't') ребро r ВОЙет с коэффициентом, равным сумме ПОК8зателей степени, с которыми r входит в rомотопиче.. скую rраницу. НапримеРt для клеток на рис. 143 (с. 108), ориентированных против часовой стрелки, мы имеем 8Тl == а + ь + с + d; 81:2 == ...... d + f ....... h + k; (k 3 == h + l;. 8't 4. === ...... k ....... l. Пример 54. Клеточное разбиение двумерной сферы Р о, рассмотренное в примере 43, содержит только' две клетки% нульмерную и двумерную. ОДНОАlерных клеток это раз. биение не содержит cOBcel, поэтому аруппа Н 1 (РО) три.. виа/l,ъна (ненулевых одномерных циклов в этом клеТОЧНО1 разбиении нет). Пример 55; Рассмотренное в примере 44 клеточное разбиение проективной плоскости N 1 состоит из одной нуль.. мерной клетки, одной одномерной клетки r и ОДНQЙ ДBY мерной клетки 1;. Любой одномерный цикл имеет вид kr (поскольку, кроме т, друrих ребер нет), причем цикл 2r rомолоrичен НУЛIО (так как 2т == 8т; см. рис. 141 на с. 107). Отсюда следует, что одномерная ерупna еОМО/l,оеий Н 1 (N 1 ) проептuвной n/l,оспости яв/l,яеmcя еруnnой nоря81Ш 2. ЗамеТИ?I, что при вычислении rрупп rо:молоrий в при- мерах 54, 55 мы использовали о Д н о клеточное разбие... ние рассматриnаемоrо полиэдра, но rоворили не о «rруппе rомолоrий этоrо разбиеНИЯ»1 а о rруппе rО?fолоrий caMoro полиэдра: В действительности, это оправдано, поскольку epynnь еОМО/l,оеий nО/l,uэдров не вависят от выбора п/l,еточ- пых раабuепuй, а всеце/l,О Q.nреде/l,ЯЮmcя са,м,и.ми пО/l,uэдра,м,u. Задачи 178. На рис. 182 показано клеточиое разбиение ленты Мёбиуса (обе ПОЛУОКРУiI\НОСТИ па пиутренnем контуре склеи.. ваются в одно ребро а). ПровеРЬ1'е, что ЕЛ == с ........ 2а, и выведите отсюда, что одномерная rpуппа rомолоrий ленты Мёбиуса является свободной циклической. 179. Докажите, что для клеточноrо разбиения тора Т, paccloT" peHHoro в примере 45 (с. 107), справедливо соотношение д't == О. Bы ведите отсюда, что Н 1 (Т) есть сноБОl\ная абелева rРуппа с gвумя образующими а. Ь. 28 
180. Докажите, что ЦIIIOI z, и80бражеввый на РИQ. f8З, rОИОJIО- I'Ичев :l:3a:l: 2Ь (rде 8вак, 8ависят ОТ напраВJIений, выбраИIIЬП на параллели tJ и меридиане Ь тора Т). 181. Докажите, что одномерная rруппа rомопоrий кренделя Р. является своборой абелевой rpуппой с четырьмя образую щлм:я тl' т 2, тА, т (си. рис. f 78). 182. Докажите. что 01(НОJrlервая rpуппа roМОJIоrий поверхиос.. I'И Р" явпяется своБОllИОЙ абе.певой rруппой с 2k образую щпuп . 183. Вычислите rруппу Н 1 (N q). С {О l' В е l': абеJlева rруппа с q об- разующими Сl' СВ. . . .. C qt связаlпlы' Рис. {82. Рис. i8З. t-IИ единствеввыM соотноmением 2Сl + 2cs + . . . + 2cq == о. Эту I'рynnу можно описать и иначе: прямая сумма rpуппы BТOpOro по.- рJ,lдка и своБОДl10Й абеJlевой rруппы с q .... f обраsующm.ш.) 184. Докан(ите, ЧТО 8амкнутая поверхность Q в '1'ОМ И только 8 ТОМ случае неориевтируема, если в rpуппе Н 1 (Q) имеется 8J1eMem порядна 2. Докажите 'lакже, что иве замкнутые поверхиосm в ТOIf И только в тои спучае ro:моморФвы. если их опвомервые rpуппы l'Qe мопоrий изоморфны. 185. Докажите. что не существует меточвоrо рааБИ8ВИЯ ro- ра, состоящеro менее чем ив четырех меток. Рассмотрим еперь н у 11 Ь М е р н ы е rомолоrии. НульмернЫЙ ЦИКJI мы получаем) ваяв вершины КJlеточноrс разбиения с некоторыми це- почисленными коэффициента- ми. Далее, rраница ребра рав- на разности ero КОНЦОВ I на рис. 184 имеем дТ1 == Ь .... а. дТ 2 == о. Два нуnьмерных ЦИRла rОМ:ОJIоrичвы, если И u разность является rраницеи векоторой суммы OHOMepHЫX клеток (с какими"то коэффи- циентами). Наконец, будем рассматривать нуnьмервые 1i.IШССЫ 30Jf,OAOZиa, объеИНJIJI в орн класс все rОИОJlОrич- ные I:Iежду собой пульмервые циклы рассиатриваеиоrо полиэдра х. Операция сложения превращает множество всех классов в rруппу; ето и есть вульмервая rруппа ro- МОJIоrий Но (Х). $ в. r, ВОJJТIIВСКIIЙ. В. А. ВфреIlО.... '2 Рис. {84. f29 
Задачи 186. Докажите, что еспи "1. r.. .. " J't .... ПрОСТ8В цеПОЧRа ваправnевных ребер, ИВУЩ8Я ОТ вершины а. к верmиве Ь. то д (ТI + Т! + . . . + 'k) == Ь... 4. 187. Докажите, что ооnи Х... связный по.пИ8дР. 1'0 пюбой вульмервый ЦИlШ в Х roио.поmч8В орой точке, вватой. некоторым;., RоэффициеВ'lOЪf. '1. е. I'pупп& Н D (х) ЯМИ8ТСВ своборой ЦИЮIиче- екой. 188. ДокаmИТ8, что ес.пи ПОПИВJ;lp Х 800т0И'l ив  компоненТ, ro Н о (Х) есть своборав абе.пева уппа о 1t обравующими. АваJIоrИЧIIО опреgеляеТСJl n в у м е р в а я rруппа rОМОJIоrий 8. (Х)I иужио В  рассматривать ввумериые ЦИКЛЫ и натявутые на ша rrpeXMepHble «пленки». ПрlDlер 56. Пусть  СОСТОИ17 ив всех точек трехмернОе ro пространства, lIежащих на торе и внутри oero «<полный тор»). ПОЛИ8ВР }f можно препставить в ВИllе клеточпоrо разбиения, в котором, кроме клеток о, а . Ь, I расположен-  вых на rrope J имееТСJl еще oa пвумерная клетка 1i «<поперечное сечение» тора)! rраницей которой служит мерииан Ь, и ора rrрехмериая клетка v .... внутренность tropa, рассеенназ по клетке ЧJ'-. rраницы клеток ИАlеют следующие значения! да == О, дЬ == О, дТJ == О! {h' == Ь" ди == 17 (З8м:етим, что трехмерная к.леТRа v о ввy сторон приМы......- кает R вумерной клетке 'tJ' , причем с ОWlой стороны ориен" trация клетки ф' аблюпаеТСЯt как ориентация по часовой стрелке, а о РУFОЙ стороны.... против 8треЛКИj поэтому в ди клетка 'О, не вхо,цит). ,. Одцомерные циклы 8Toro клеточноrо равбиения имеют ви ka + lb (rne k f l .... целые), причем цикл Ь rомолоrи. чен нулю (на Hero натянута пленка <17'). Сле.цовательно, любой оы;номерный цикл rомолоrичен ka, и потому rруппа Н 1 (Х) ..... свобо.цная ЦИRJIическая. Далее! так KaI( д (т11 + nQi') == nЬ 1 (['о тt(1 + nТJ' (l'олько в том случае яв" ляеТGЯ ивумерным циклом (ж. е. имеет rраницу, равную нулю), если n == о. Итак, пвумерные ЦИRЛЫ имеют вид т17. Но .любой (['акой цикл rомолоrичев нулю (ПОСКОЛЬRУ ди == (J1, f1'. е. v есть «трехмерная плевка», натянутая па _, двумерный цикл <u). СлеоватеЛЬНОf rруппа Н 2 (Х) три.. виальна. В ря}!е случаев у,цобно вместо вычисления всей rруппы rоМ<tлоrий Н,. (Х) оrравичиться лишь нахож.цением рапеа ,11 этой rруппы, оп называется r-мерныи чucJW.'И Bemтzt ПОЛИЭtJ;ра  и обозначается череа р, <  Опреiелевие 130 
чисел Бетти можно сформулировать и иначе. rоворят, что т-мерные циклы %1, . . ., Zn В Х ео.моД,()zuчес-пu пеаависи,м,ы, если, каковы бы ни были целые числа k 1 , . . ., k,., хотя бы одно из которых отлично от нуля, цикл k 1 z 1 + . . . 1. . . + knz n не rомолоrичен нулю в х. Теперь т"мер- ное число Бетти р,. (Х) определяется как н а и б о л ь- m е е число rомолоrически независимых r"MepHblX циклов в х. в качестве примера применения чисел Бетти приведем (без доказательства) следующую теорему о вычислении эй- лерОБОЙ характеристики. Пусть Х ....... некоторый полиэдр; рассмотрим какое-нибудь ero клеточное разбиение и обо- значим через (1,. число т-мерных клеток этоrо разбиения (r == О, 1, 2, ...). Тоrда эймрова хара-птеристипа nО/l,uэд ра Х, т. е. чucм Х (Х)   (....... 1)" CXr, может быть вычис.- пена по ero числам БеТТИI ос (Х) ==  (...... 1)rp,. (Х) (сум- мирование распространено на все значения т == О, 1, 21 ... вплоть до наибольшей из размерностей клеток полиэд- ра Х). Пример 57. Трехмерная сфера 8 З определяется кан rрапица шара в четыреХ)lеРНОl\l пространстве R4; в leKap а'овых прямоуrольных координатах Х1! Х22 Ха, %4 она определяется уравнением (1;2 + х2 + х2 + х 2 == 1 1 2 3 4 · Рассматривая «четырехмернЫЙ аналоr& рисунков 157 (с. 117) и 7 (с. 12), нетрудно доказать, что трехмерная сфера с выколотой точкой rомеоморфна трехмерному ев.. RЛИДОВУ ПРОСТр,анству, а потому ...... открытому трехмер-- по:му шару. Следовательно, r.rрехмерную сферу можно представить в виде клеточноrо разбиения, состоящеrо tfолько из двух клеТОКI нульмерной клетки о и трехмер- ной клетки v. Поэтому (ср. пример 54) epynпь ео.мОдОеий Н о (83) И Н 8 (83) яв/tЯюmcя свободны.ми ци-плuчес-пижu, а в оста/l,ЬНЫХ раа.мерностях 8руппы 801ttолоеuи тpex.мep нои сферы тривиальны. Из 8Toro слеlXует, что ро (83) == . == Ра (88) == 1, Рl (88) == РI (83) == о. I Пример 58. Подобно тому f как склеивание против<r положных сторон квщжрата дает rr о р, склеивание проти 80ПОЛОЖНЫХ rраней куба l!aeт трехжерный moр та (ero не .следует путать о п о л н ы м tl'ором, см. пример 56). Например, на rранях ABCD и аЬса (рис. {85) склеива- ются иеж)!у собой (fОЧКИ, которые являются концами отрезка. паралпепыIrоo ребрам Аа, ВЬ 1 Сс) Dd. Все Bep 5* 131 
шины нуба склеиваются вместе, что aeT о Д н у нульмер. пую клетку. Далее, все параллельные ребра склеиваются :вместе; после склеивания остаются т р и одномерные метки. Попарное склеивание противоположных rраней дает т р и WJyмepHble клетки. НаконеЦt мы имеем о Д н у ехмерную клетку. Это и }!ае17 клеточное разбиение трех.. иерноrо тора ТЗ. RаЖllая из клеток имеет rраницу, рав" ную нулю, и потому еруnna ео.молоаий Нз (ТЗ) трехмер- Boro тора ТЗ является свободной ЧU1hltUчес1i,ОЙ, а 1Шждая ив tJ 00 ota с Рис. 185. Рис, 186. аруnn НI (Т8); Н'}, (Т8) ямяется свобод1IOЙ абедевой epynпofJ, о тре.м,я, обрasующu,м,u. Иа 8Toro CJleyeT2 что Ро (Т8) =а == Ра (Т') .. 1, Р! (та) == Р! (ТВ) == з. Пример 59. Покажем, что из asr:1J nOJtН,ЫЖ торО8, С1h4eивая иж друа (J друаоJlt араница.м.и, Jltожно nOJtучить трехжерную сферу. Тор (СМ. рис. 5 на о. 12) разбивае..., пространство 118 АВе части I внутреннюю, предстаВJIЯЮ- щую собой полнЫЙ TOPt И внешнюю. При пополвении {fpex.. MepHoro пространства орой. rrочкой (в' результате чеrо ПОJIучается трехмерная сфера) JJнеmвяя часть 'l'акже прв- вращаеТСJl в полный (['ор (что и вает разбиение трехмерной сферы на a склеенных между собой полных тора). Это псно иа рассотренИJI рис. t86. При вращении 8Toro чертежа вопруv прямой l кажвая «смовая ливия», начи.. вающаяся на «safJ11!e» А и ковчаюЩ8ЯСЯ на В (включая и панию т 00 т 1 котораJl преставляе'J собой о В в У JIИВИЮ, ибо имеется только о Д в а бесконечно удален- ная точка), дает тополоrический КРуР, и вее такие пруrи ваполняют Вllешность тора, ПОJIучающеrося при враще- вии са ар ЯiОВ» А и В. Этих KpyroB имеется СТOJIЬКО, 132 
СКОЛЬRО точек паОRРУЖНОСТИl>«заряда» А. ТаRИМ обра-- OM, внепmость тора (пополненная о,чНОЙ бесконечно у.цаленной точкой) rомеоморфна полному тору. Задачи 189. Докажите, что для TpexMepHoro шара Х rруп- пы 81 (Х), Н'}, (Х), н 3 (Х) IJ'ривиальны. 190. Рассмотрим часть TpeXMepHoro пространства, оrравичен- вую двумя ковцентричеСRИМИ сфера1rШ «<трехмерное кольцо»), И ОТО)I(дествии (склеим) I(аждые две точки этих сфер, лежащие па одном радиусе. Докажите, что у получающеrося полиэдра Х псе !rрynпы rомолоrий Н о (Х), 111 (Х), Н 2 (Х), Н 3 (Х) ...... свободные цик- лические.  191. Вычислите rруппы rомолоrий полиэдра, представллющеrо собой объединение поверхности Pk и ее внутренней области. 192. Вычислите rомолоrии трех.мерnоео проехтивnоео nрост.. раnства. которое получается из TpexMepHoro шара, если на ето !rранице склеить I(аmдые две диаметрально противоположпые точки. 193. Докажите, что любая эамннутая поверхность может быть без самопересечевий расположена в трехмерном проеКТИВНО1{ про- странстве. 194. Пусть' Х ..... полиэдр, рассматриваемый внекотором кле- «'Очном разбиении и r.lw , ..... число ето т"мерных клеток (r == О, 1, . . . . . ., п, тде n...... наибольшая из размерностей меток). Докажите, что АЛЯ любоrо т == О, 1 t . . ., n  1 справедливо HepaBeHCTDO r r }j (..... 1) r--k a k :> }j (..... 1) r...k Pk (Х). k-=l k==l у к а 8 а н и е. Рассмотрите т".мерnый остов Х Т полиэдра Х (состоящий из всех клеток рассматриваемоrо разбиения, имеющиXi размерность <Т) и Аокажите соотношения Ро (X r ) с: Рб (Ж), Рl (Ж') == Р! (Х), ..., Р'...1 (ХТ) == Рт...l (Х), р, (х т ) > р, (Х). Отметим в заключение, что при построении rрупп ro.. молоrий можно было бы в Rачестве коэффициентов брать не целые числа, а вычеты по модулю 2, вычеты по мо!(улю т (или, вообще, элементы некоторой абелевой rрynпы G). Получающиеся rруппы rомолоrий обозначаются через Н,. (Х, Z,,), Hr (Х, Zn), Н,.(Х, G). Например, если RОЭффИ" циентами являются вычеты по модулю 2, то все клетки можно рассматривать н е о р и е н т и р о в а н н ы м и. В случае, коrда rруппой коэффициентов является цик" пическая rруппа порядка р, rде р....... простое число, rруппа rомолоrий Н, (Х, Zp) является прямой сумм:ой нескольких rрупп, изоморфных Zp; число слаrаеМЬ1Х в этой прямой сумме называется r..жерnы,м, чucлом Бетти полuэдра Х по N,одУItЮ р. 133 
Задачи 195. Докажите, что ltJIя проективвоl ПJIОСRосm' N 1 rруппы Но (N 1 , Zs), 81 (N 1 , Z2)' НI (N 1 , Z2) являются rруппами Bтoporo порядка. 196. Докажите, что поверхности P1t в N 2ft имеют (во Bce'll размерностях) одинаковые rpуппы rомолоrий по МОllУЛЮ 2. 197. Вычислите ltЗIЯ тpexMepBoro проективноrо пространства (см. заllачу 192) rомолоrии по модулю 2. 27. Топопоrвческое ПРОВ8ведевве Пример 60. RаЖ,1Хая точка цилиндра Е (рие. {87) )lожеrr быть вапана парой точек (3:1 у), rде х ле- ЖИ'» на иижнем основании В t а У --- на образующей Ра провеп я через :tJ отрезов, параллельный F, а через у --- RPyr, параллельиЫЙ В, МЫ получим на их пересечении пс- RОМУЮ точку цилиндра. Таким образом, цилиндр Е .можно 1 Е Рис. 187. Рис. 188. рассматривать кап Jrtножество всех пар (Х, у), еде 3:..... точка одной фuеуръ В (круеа)! а у .... точпа друеой фuеу ры F (отрезка). Пример 6f. На торе Е (рис. '188) прове;цем меридиан В и параллель Р. ДЛЯ за}J;ания ЛIобой точки тора ы;остаточно указать flОЧКУ х е в и точку у Е Р! прове.ця через (IJ па- раллель, а через у мери;циан, мы получим на их переее- чении ИСКОМУIО rrочку тора. Таким образом, тор Е JrtОЖ1l0 рассматривать пак м,ножество всех пар (х, у), аде Х е В, уе Р. . В расс:м:отренных примерах мы имели тоnолоеuчеспое nроиаведе1lие фиrур В и Fz цилинр есть тополоrическое произведение Rpyra и отрезка, тор.... тополоrическое произведение BYX окружностей. Вообще, фиеура Е nааывается тополоеическиж проиаведеuие,м фuеур В и FJ     .J 134 
еСАи Е ;м,ОЖlЮ рассжатрuвать пап ,множество всевО8,м,ож.. ,пых пар (х, у), еде х Е В, У Е Р. Отметим, что здесь . rоворится пить о том, ИЗ к а к и х точек состоит фиrура Е, но слеlЖует еще указать [' о п о л о r и ю в фиrуре Е. Наrлядно эту тополоrию можно описать, сказав, что crОЧRИ (хl' Yl) И (х 2 , У2) фиrуры Е будут' «близкими», если «l и а: 2 являются «близкими» в В f а Yl и У2 являются «БЛИЗКИl\IИ)} в F. Существенно, чтобы кажлой точке фиrуры Е соот" ветствовала некоторая пара (х, У) и чтобы раз л и "!.. п ы е пары соответствовали разли'iпьiм ТОЧRам фиrупы Е. Пример 62. Рассмотрим на п сфере эпваmoр В и пулевой же... ридиаn F. ДЛЯ эа;g;ания точки па сфере д;ocTaTo1Цlo УRазать ее ееоерафичеспие поордиuaты, Т. е. trОЧКИ х Е В t У Е Fs провеlXЯ ерез эти ТОЧRИ меридиан и па.. раллель (рис. 189); мы получим На их пересечении искомую точ" ву (х, у) сферы. Но это не эна.. tIИт, ЧТО сфера...... тополоrиче.. сное произвеение ЭRватора и .u меРИl!иана; еиствительио, если Рис. {89. ж и х' .... )JBe различные ТОЧRИ экватора, а n ....... верхний конец мерииана (северный по.. люс), то р а s л и ч н ы м парам (х, п) и (х', п) соответ" c'.tByeT о;g;иа и та же точка п на сфере. Задачи 198. Докажите, что кольцо, оrраниченное двумя концентрическими окружностями, есть 'lополоrическое произsо" Аение окружности и отрезка. 199. Докажите, ЧТО полный rop (пример 56) является тополо- trическим произвелеиием: Rpyra и окружности. 200. Докажите, что полиэдр Х, рассмотренный в задаче {90, является тополоrическим произведеиием сферы и ОКРУЖНQСТИ. 201. Докажите, что трехмерный тор Т3 является ТОПОlIо:riIче... ским произвеением обычноrо (двумерноro) q'opa и окружности. Можно также сказать, что T:.J.... топопоrическое произведепие t р е х окружностей. Рассмотрим теперь вопрос о r о м о л о r и ч е с к и х u своиствах ополоrическоrо произвеения, оrраничиваясь для простоты рассмотрением не rрупп rомолоrИЙ J а лишь чисел Бетти. Если в примере 61 считать меридиан и па.. раплель Оl!llомерными циклами. O. их тополоrическое tЗ5 
произведевие (тор) будет ДВУl\fерным ЦИRЛОl\l. Вообще. если Е ....... тополоrичесное произведение полиэдров В и F tJ , u В ноторых соответственно взяты циклы Z, z размерностеи r, r', то можно раССl\Iотреть про и з в е Д е н и е этих цинлов, которое будет (т + r/)MepHblM циклом в полиэдре Е. Оназывается, что таким путем: (переМНОiIением: цинлов., ВЗЯТЫХ В В и Р) можно получить ситеl\{У rомолоrически' незавиеим:ых циклов в полиэ;g;ре Е. ДЛЯ этоrо нужно сначала взять l\fаксимальное число rомолоrически неза- висиl\fыx нульмерных циклов в. В И т"'м:ерных циклов в F; переl\fно»,ая эти циклы, MЫ получим Ро (В) Р,. (F) циклов в Е) им:еющих раЗl\lерность т. 3атем нужно взять l\1аНСИ1vIальное число rомолоrически независимых одно. l\IepHblX циклов в В и (т ...... 1)1\IepHblX в F; перемножаЯ t МЫ получим еще Рl (В) Pl (F) циклов в Е, имеIОЩИxt размерность r. 3aTel\1 нужно взять двум:ерные циклы в В и (т ...... 2),,:мерные в F и Т. д. Соединяя все полученные цикы вместе, мы и получим l\lаксимальное число r"'l\Iep.. ных rомолоrически неэависимых циклов в полиэдре Е. ТаНИl\1 обраЗОl\I, еслu Е...... топОЛО2uчесlltое проuзведенuе полиэдров В и F, то Р, (Е) == Ро (В) Р,. (р) + Рl (В) PT1 (F) + + Р2 (8) Р,и.2 (F) + . . · + Р,. (1J) Ро (F). Этой формуле м:ожно дать слеДУIощее «rрафическое» истолкование. Составим таблицу, у которой на пересе- чении iro столбца и j...й строни стоит ЧИСЛО Р! (В) р; (F)z , . . . PJ{F) . . . Р2 (Р) Pl(F) Ро (Р) . - . . . . .  . . . . . . . . . I I Ро (В) Pj (F) Рl (В) Р j (Р) Р, (8) Р j (Р) ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ро (В) Р2 (Р) Рl (В) Р2 (F) . . . Pt (В) Р2 (Р) . . . Ро (В) Рl (Р) Рl (8) Рl (Р) . . . Р, (В) Pl (F) . . . Ро (В) Ро (Р) 01 (В) Ро (Е) . . . Р, (В) Ро (Р) . . . Ро (В) 1'1 (В) I ... I Р, (В) . . . I . 
Тоrда СУМ:fировапие чисел, стоящих на rй диаrонали ЭТОЙ таблицы, и дает r"мерпое число Бетти полиэдра Е: Ipo (В) р r (F)I /Pl (В) Р,....1 (F)I / ... I Ip r (В) Ро (F)I Задачи 202. Составьте указанную таблицу дЛЯ ТОПОЛО- rnческоrо произведения сферы и окружности; вычислите этим приемом числа Бетти полиэдра, paccMoTpeDoro в задаче 190 (СМ. таиже задачу 200).. 203. Докажите, что если полиэдр Е является тополоrическим произведепием полиэдров В и Р, то Х (Е) == Х (В). Х (Р). 204. Вычислите числа Бетти n-мерноrо тора (т.. е. тополоrиче- cKoro произведевия n окружностей). 205. Докажите, что трехмерная сфера не rомеоморфна топо- поrическому произвееиmo окружности и некоторой поверхности. То же докажите для трехмерпоrо проективноrо пространства. 28. Расслоения Вернемся к примеру 60 и обозначим через р про е к Ц и ю цилиндра Е на ero оспование В. ДЛЯ каждой точки х Е В прообраз р....l (х) представляет собой отревок, параллельный F. Эти отрезки будем иазы... вать сJtоя.м,u. Ha каЖ1l0Й точкой х базисной фиrуры В расположен (<<растет») соответствующий слой, а весы  цилипдр рассJtO,uваеmcя и представляет собой объеl!ИНEr ние всех слоев (как бы связку стерженьков). Вообще nроекчия р, ставящая 8 соответствие точке (х, у) е Е точку х Е Bt отображает тополоrическое про... изведение Е фиrур В и F на баву В t причем прообраз р....l (х) любой точки х Е В (СJЮй, «растущий над х»), roMeo- морфен p Это можно прослер;итъ в примере 61 и в вана- чах 198.....201. Рассмотрим теперь проекцию рвинтовой липии Е па окружность В (см. пример 48 на с. 110). Каждый про- , ораз р"'! (ж) «<спОЙ J растущий па!& точкой Х.Е В») rоиео- f з.'l! 
морфеп ,9шесту Р, C<?1qpeMY из u r.rочек ..., .?п.) ......211:, о; 2п,' 4, e1t... влови прямои. Этот римр, О т Л и ч а @ rJ:.  fI от тоttОJIоrическоrо произвеения ок.  ружности В И слоя F (которое состоит из бесконечноrо числа отельцЫХ оружностей; рис. d90). OnHaKO прооб. раз р"'l (и) окрестности U распаl:l;ется на ОТl!ельные JIистыI 1 r,r. е. р"'l( u) есть fXоnолоrическое произведение онреСТIIОСТИ и и слоя F (см. рис. 146 на с. 110). Иначе rоворя, n о к а л ь н о (т. е. в окрест-- :.. НОСТИ каж,цой. .очки х Е В) Е является тополоrеским произве}JепиеМ f но в Ц е DI о М ..... вет. В тополоrии в такиxt случаях и;gдользуют термин ло-падъН,о тpUBuq,JtbHoe раССАоение (т. е. тополоrи. че.Кое произвеение считается в топо. лоrии «тривиальны)!)) расслоением).' Вообще; юбое на"рытие Я8/tЯеmcя JtCJ4! JW,JI,bHO трuвuaJtЪНЫЖ расслоениеж, при.' чеж слой F етоео расслоения сосmoит ив иаОАироваuuых точеп; В примере 49 (с. \111) СЛоЙ состоит ИЗ двух rrочек, на- крытие Е пре}jставляет собой ориенти- С  руемуЮ иоверхвост, а база В  в е- .  о р и е н т и р у е м у ю. . ...2пе; Пример 63. Обозначим через В сред- : нюю линию ленты Мёбиуса Е. Через кажр;ую точку  Е В прохо.дит попе. речпый отрезок,; который мы БУ}jем счи- I {[ать слоем, «растущим» над точкой 3J (эти поперечные отрезки получаются из поперечных ОТ- реЗRОВ прямоуrольной ленты при склеивании ее в лепту l\fёбиуса). Отображая кажпыи поперечный отрезок в со... ответствуЮщую r.rОЧНУ (с, мы получаем nроепцию р! Е ...-t- В, причем р"l (х) есть слой Ba)J rrочкой ж Е В. Это Р90JIоевие 11 (/В Q л tь и о rr р и в и а л ь в о. В самом де1lе, если взять ,ва окружности В небольmую p;yry и !  ев прообраз р-:-l ( и), преиставляет обой тополоrическое ' ПРОИ8ве)1ение lrYИ 'l! и слоя F (рис. t191). В целом же JIнта 1.\Iёбиуса  не .flвnяеТСII rополоrическ ПРОИ8веl!е. ваем окружаОС11! в йотрезка F (си. завачу 198). Прииер 64. Еще Оl!ВИМ: пимером локально rrривиаль- поrо расслоеВИJt.n:У}RИТ норм,-4рованный пасатеАъныи nУЧО" поверхности. Пусть В -- ориентируемая поверхность. Обозначим череа Е :множество всех векторов 1!ЛИИЫ 1_ КlЮ8ЮЩИХСJl 'поверхвооти В. Череа рl Е...... В обозначим "З8 C "rtef  2rtef L:) R ОеТ Рис. 190. 
отображение f сопоставляющее каждому касатеЛЬНО:ft!у вектору z Е Е ту точку ж Е В, ив которой этот вектор «растет». Слой р"'l (ж) пап точкой ж Е В (состоящий ив всех векторов lJ;ЛИИЫ 1. f касающихся поверхности в r.rочке ж) rомеоморфен о к р у ж н о с т и. Отображение Е F р , 1/ 1/ 'р 11) pl(и) 1) Рис. {91. р! Е -+ В является локально тривиальным расслоением. В самом .целе, маленькую окрестность и точки х на поверх- ности В можно считать кусочком п л о с к о с т И., и ПО- тому кажый вектор 1 касающийсн поверхности В в какой..либо точке ж Е U t может быть задан как пара (х, у), rде у...... точка единичной окружности F {рис. 192). Иначе ro- воря 1 p"l ( и) представляется в виде rrополоrическоrо произведения ок- рестности U и ОКРУiННОСТИ F. Пусть, в частности, Е....... нор- мированный касательный пучок сферы 82 (т. е. l\fHOiHeCTBO всех единичных beHTO-;Jов, Rасающихся этой сферы). flpOCTpaHCTBO Е можно представить в виде клеточноrо разбиения, со... стоящеrо из четь"!рех клеток. В са:мом lJ;еле, пусть хо Е 82 И F (j ......: слой над точкой хо. Выберем: ТОЧRУ ,;0 Е F о и ос.. rrавmуюся чаСть слоя F о (ОДНО}\tlерНУIО клеТRУ) обозначим через q;1. Далее, пусть 1)...... векторное поле на сфере 82" имеющее в точке ХО единственную особенность (с индек" с 01\1 +2). Поле 1) можно рассматривать как ДВУl\lерНУIq клетку в Е. Эта Rлетка проектируется на всю сферу 82 с выколотой точкой Хо, а с каждым слоем (KpoIe Fo) пересекается в одной точке. Наконец, выбросив И3 Е клетки ,;0,,;1, ,;2 == 1), мы ПОЛУЧИl\l м:ножество ,;3, rO:M:eo- м:орфное открытом:у TpeXl\fepHOMY шару. Таким образом, Е представляется в виде клеточноrо разбиения {,;О, '171, (t2, q;3}. Заметим, что rраница Rлетки 1) == ,;2 представляет собой дван\ды обеrаемый слой F о, Т. е. д,;2 == 2,;1. Осталь," вые клетки имеют нулевую rраницу! д,;3 == О, д-т;1  О, 8т,0  о. Из, этоrо нетрудно заключить. ЧТО числа БеТТII Т,,- ----..... I /!I { rJ' , \, I .......... Рис. 1З 
проотранства Е имеют следующие значения I Ро (Е) == == Ра (Е) t:::: 1; Рl (Е) == р" (Е) == о. Заметим; что при рассмотрении rомолоrий по модулю 2 имеем iЛ2 == О, и потому числа Бетти пространства Е по мо.цУЛЮ 2 имею'D вип Ро :::; Pl == Р2 == Рз ==: 1. 8адачи 206. Докажите, что бутылку Клейна можно пред- ставить в виде покально тривиальноrо расслоения, базой и слоеи KOTOpOro является окружность. 207. Докажите, что нормироваввый касательный пучок дву- MepHoro тора Т rомеоморфев I'pехмерному тору. 208. Докажите, что если покально тривиальное расслоение пмеет своей базой Jjвумерную сферу t а слоем..... окружность, то пространство Е этоro расслоения можно получить из JXBYX полных. торов, склеивая их rраницами. 209. Докажите, что если базой локалъно тривиальноrо рас- слоения является окружность, а слоем...... отрезок, то Е rомеоморф- но либо KpyroBoMY кольцу, либо ленте Мёбиуса. Французскому математику Жану Лере принадлежит важная теорема о rомолоrиях расслоенных пространств. Мы сформулируем ее здесь в упрощенном: виде. Пусть Рl Е --+ В ....... некоторое расслоение, базой ко- Toporo ЯВЛяется связный полиэдр t имеющий fI'ривиаль- ную фундаментальную rруппу t а слоем ...... произвольный полиэдр. Составим «,аблицу , которую мы имели для случая, коrда Е..... тополоrическое произведение фи- ryp В и Р, и в этой таблице наметим стрелки «XOll.OM коня» (рис. d93). На каrК,IJ;ОЙ стрелке надпишем некото- рое неотрицательное целое число, придерживаясь сле- дующих правил! d) число, стоящее в каждой клет- Ке, н е м е н ь m е, чем сумма чисел. надписаПНЫI па тех двух стрелках, одна из КОТОрЫХ ВХОР;ИТ В aH. ную клетку, а друrая ВЫХОДИТ из пее; 2) если на- чало или конец стрелки выходят за пределы таблицы, то на этой стрелке на1J;писывается число о. То, что полу- чается, назовем таблицей Е,. Теперь составим новую таблицу. В каждой клетке поставим вовое число, получающееся, если из числа, ранее u стоявmеrо в этои КлеТItе, вычесть сумму чисел, на вхо- дящей и I исходящей стрелках. Затем наметим стрелки «удлиненным ходом копя» (рис. 194) и на них надпишем числа по тем iI\e правилам.- Это дает таблицу Ев. Таким же путем из таблицы Е з получаем таблицу Е4 и т. д. Вообще в таблu'i Е п стрелки ведут на n клеток влево п на п ..... 1 кпетну BBep. 40 
Ясно, что какую бы мы ни взяли клетку f стоящие в ней числа (в таблицах Е 2, Е з, Е 4, ...) в конце концов переста- БУТ меняться, стаБИЛИЗИРУЮТСЯI J стрелки становятся все длиннее и в конце концов будут выходить за пределы таб- лицы. -Таблицу, составленную из стабилизировавшихсл чисел, назовем таблицей Еоо (стрелок в ней нет). Теорема Лере утверждает, что существует та-пои способ падпись.,,- ванuя чисел па стрелпах, при .1Wтором, суммирование чи- сел, стоящих па Т-и диавопали таблuцы Еоо, дает r-Mepnoe чuсло Бетти nростР.l,1tCтва:Е.!Аналоrичная теорема спра... - ве!1.лива и ,р;ля чисел Бетти по простому модулю р. Пример 65. Пусть р! Е -+ В ..... некоторое расслоение. базой KOToporo служит сфера 821 а слоем....... окружность 81. Тоrда Ро (В) == Р2 (В) == {, Ро (F) == Рl (F) == 1, а ос- rrальные числа Бетти базы и слоя равны нулю. Поэтому таблица Е 2 имеет видt показаннЫЙ на рис. 195 (во всех клетках, кроме указанных четырех, записано число о; на всех стрелках, кроме ука. ванной, надписано число О). На указан- ной стрелке может быть надписано либо О б 1 Т б Е Рис. 195. 'Число t ли О . а лица 3 совпадает . G Еоо (все стрелки выходят за пределы таблицы). Следовательно, по теореме Лере, пространсто Е рассматриваемоrо расслоения может иметь либо числа Бетти Ро (Е) == Рl (Е) == Р2 (Е) == Рз (Е) == 1 (если на стрелке надписан О), либо число Бетти Р2 (Е) == р з (Е) == 1 t Рl (Е) == Р2 (Е) == О (если надписана единица). Первая воз- можность реализуется, ,например, для тополоrическоrо произведения сферы 82 и окружности 8! (см. задачу 200). Вторая возможность реализуется для RacTeJILHorO пучка сферы 82 (СМ. пример 64). J Рис. 193. Рис. 194. f f I I j4i 
29. Теория Морса Наличие rоризонтальной касательной .... в е- о б х о Д и м о е условие пли Toro, чтобы lIиффереНЦИРУEr мая функция nостиrала J.fаксимума или минимума (ло- Rальноrо) во внутренней очке ХО своей области опред шения. Однако это условие не является достаточным! в lnОЧ1re перееuба с rОРИЗ0нтальной касательной функция не достиrает ни маRСИМУlа, ни минимума. Заметим, что rrоЧRИ максимума и минимума у с fX О Й.. ч и в ы относительно малых' «шевелений» rрафИRа (рис. d96 а). Точка переrиба (с rОРИЗ0нтальной касатель- ной) устойчивостью не облаnаеТI при «mевелениИ» rрафи- ка ова может пропасть (Т. е. вблизи нее не БУ1!ет rrочек с rоризонтальпой касательной; рис. t96 f 6). ,g !I о :СО а) х о :с о) Рис. 196. Для функций o Д в у х переменвьп , у (заданных в некоторой области на n 3I о С К О С  и) MOO указать аналоrичное необходимое условие: для moео чтобы Фунпцuя f (х, у) достиеад,а ло1'ШltЬНlJео жапсu.м,у.ма Шtи .:миnижужа во внущреuuей точпе (:СО ' уо) своей об.IШCти оп. редедеnиЯ t необходuжо, чmoбы эта moч1Ш бы/Ш притиче.. соЙ, т. е. чтqбь ерафип ФУU1Jии иже"" в тОЧ1re. (Хо, Уо) еорuаОUтaJl,ЬRУЮ асатеJ1,ЬUУЮ nJl,()cocтb. Пример 66. На рисунке d 97 изображены rрафики функций f(J (х , у) == с + х 2 + уа, fJ. (х, у) == о + ж' ..... yS, 12 (х ! у) == о ...... (1;2 ... у2. (21) Точка (01 О) является пли каqой ив них критической I 1!1IИ 10 (z. 11) .... это fXочка минимума! JIJIВ 1" (4!! у) --- I'очка маКСИ)'IYМ8, а функция 11 (z, 1/) не И)lеет в (['очке (о; О) ни максимума. ни минимума ... 8ТО aK называемая ce}!JIOBaJI &43 
rrrочка. Все вти I'ОЧRВ У С т о й ч и в ы относительно ма- 'ИЫХ «mевелениЬ rрафика. Существуют и более <1ложвые :критические ТОЧКИI иапрlDlер, функция f (tt, у) - w ..... З ху 2 имеет в начале коориа'1' ссело rrpeiъero порядка») ('1'ри % а) 6) спуска и три по;g:ъема, а не два, как на рис. d97, 6). Одна" ко как уrо,цно малым «шевелением» Ji'рафика можно побить" сл, чтобы в о е критические точки стали п е в ы р о ж.. Д е н н ы м и .... trаКИМИ J как на рис. d97. Можпо жакже рассмат" ривать ФУНКЦИИ t salXaEble не на плоскости, а на по- верхности ..... ве.ць вблизи каждой своей точки по- верхность rrополоrически устроена так же! как плос- кость. При мер 67. Для любой rrочки р, принар;лежащей тору Т, обозначим через f (р) высоту rrочки р на,ц  rоризонтальной плоско- Рис. 198. стью п. Эта функция имеет (при показанпом на рис. {98 расположении тора) одну trОЧКУ маК,имума а 1 OWIY точку минимума d и Be седло" вые точки Ь, с. Таким образом, если мы обозначим через СО число ([очек минимума 1 через CJ..... число седловых rrочек, а через Os.... число точек максимума, rro в этом примереС о ==1 f С 1 == 2, С 2 == 1, и потому сО..... С 1 +С 2 == о.. Пример 69. Для сферы, расположенной обычным обра.. зом, ,r.ra же фувнция f (р) {«BЫOOTa «,очек Ba rоризов" 143, 
тальной плоскостью) имеет две критические точки! ТОЧRУ минимума ( «южный полюс») и точку максимума «<северный полюс»). Таким образом, в этом случае СО == == 1, С 1 == О, с'}. == 1, Т. е. СО ...... С 1 + с'}, == 2. Рассм:отренные примеры пор:водят к формулировке u v теоремы о критических точках, принаnлежащеи анrлии.. скому математику Морсу. Условимся rоворить, что точка минимума имеет инекс О, сер;ловая точка  индекс 1. а точка максимума ..... инекс 2. Теперь мы можем сформу- лир овать «первую половину» теоремы Морса- (вля случая поверхности)! пусть па поверхности Q вадапа фунпция, uжеющая тодъпо невырожденные J';ритичеСJ';uе точки; тоеда Сй .... С I :+ О. ==  (Q), (22) тде СО ..... число критических точек инпекса О (Т. е. (fочек минимума), С 1  число критических точек индекса 1 (се.- дел), С 2 --- число Rритических точек ин.цекс 2 (точек !tl аксимума). В самом елеt функция f определяет на поверхности Q ли пии уровня (вдоль каждой из которых функция f прини- 1\la ет п о с т о я н н о е значение). Нроме тото, моашо на Q наметить дипии наиСJ';орейшеео СnУС1'Ш, вдоль которых функция f наиболее быстро убывает; они пер п е н  И.. К У л я рвы линиям уровня. Векторы, касающиеся ли.. пий наискорейmеrо спуска, образуют векторное поле на поверхности Q. В очках, не являющихся критическими, это векторное поле не имеет особенностей. На рис. 499 , v 7i  а) 6) ; 6) Р,ИО;l t 99. показан ви BeKTopHoro поля вблизи точки минимума (а), седловой t1'очки (6), (['очки максимума (8). Леrко проверяет- 'ся, что j == (.....1)1t, rlXe j ..... индекс особенности BeKTopHoro поля, а k --- ИН)J;екс критической точки (см. рис. 89 на с. 69). СлеоватеЛЬНОt рассматриваемое векторное поло имеет СО особенностей с инексом +1 (минимумы), С 1 особенностей с ивеКСОltl 1 (Сllловые жочки) и ,еще С 2 {44 / 
особенностей с индексом +1 (максимумы). Из теоремы Пуанкаре о векторных полях (п. 14) теперь следует спра.. ве.цливость формулы (22) для любой замкнутой о р и е н.. tr и Р У е м о й поверхности. Задачи 210. Донажите, что формула (22) справедлива R ля любой вамкнутой веориентируемой поверхности. 211. Докажите, что если на поверхности Pk В8Jlаиа фуmщия, все критические точки которой невырождевы, то число критичооКИХ\ I'очек не меньше 2k + 2. Рассмотрим теперь «вторую половину» теоремы Морсаl пусть на nовеРХШJсти Q задана функция, u.меющая тоАЪпо neвырожденные притичеспие точпи; тоеда СО > Ро (Q), С 1 .... Со > Рl (Q) ...... Ро (Q). (23) Для доказательства проолжим преnыущие рассуж.. l(евия. БУ.t\ем считать, что значения, которые функция f прици:м:ает в критических точках, попарно различны. Мы можем считать критические точки аl, . . ., a q перенумеро.. ванными таким образом, что t (аl) > f (а 2 ) > . . . > f (a q ). Вблизи аl (точки наибольшеrо максимума, рис. 200, а) пинии уровня замкнуты и окружают точку йl. Разрезйв поверхность по одной из этих линий, мы получим llвумер" вую клетку ([1 и остаток Q (рис. 200, 6). Теперь упростим фиrуру Ql. Для этоrо рассмотрим ли- вию уровня, проходящую чуть в ы m е очки а", и OTpEr жем от Ql часть F 1, расположенную выше этой ливии уров- ня (рис. 200, в). Оставшуюся часть поверхности обозваЧИltl . через Ql. Так как между Ql и а 2 критических точек вет; то вся часть Р 1 заполнена «параллельно идущими» линиями наискорейmеrо спуска, и по этим линиям можно Р 1 «сри.. путь» вниз в Q;. Так как при эом Сl);виrе (как и при всякой rомотопии) любой цикл переходит в rомолоrичнЫЙ, то фиrура" Ql имеет те же rомолоrии, что и Q. Рассмотрим линию уровня 1, проходящую чуть н и ж е crочки а", и обозначим через Q" часть поверхности. лежа" щую ниже этой линии. Пусть, например, а2 является с е lJ. л о М. МЫ ытемM сдвинуть (по линиям ваискорей- mero спуска) Ql' в Q2....... всюду, за исключением окрестно.. сти точки а2 (рис. 200, е). Затем можно сжать оставшуюся «перем:ычку» в оомерную клетку (f!, при клеенную к Q2 (рис. 200, д). Эти еформации не ИЗltfеняют rОl\lолоrий. CeДOBaTeJlЬBO, еРВ9_Ц'Iальная поверхность Q имеет те 445 
В) 2) Jo. fl:J "' f, r , a3' а)  02 е:" о :JJ 'е l Q; ,.,............................. . "  " / , I \ I ................, \ J  ,,.., , ,," ,,.' \ I I , ' \ \ ;;/ : '\ "..... .,A"" I " ..... .... ...,..... .._ I , -- " " .".' " ..".........  ; ж) Рис. 200, 146 
же rомолоrИИ t что и фиrура, получающаяся из Q2 при- клеиванием ОWIомерной плетки q;2 (соответствующей сел.. пу), а затем lIвумерной плетки l (соответствующей мак- симуму). ,. Далее мы С)1винем Q2 в часть Q2t лежащую ниже линии уровня, прохоящей чуть выше точки аз. Если аз ест,. rrочка минимума, то оставшаяся вблизи точки аз часть F' поверхности (Т. е. Kpyr) имеет те же rом:олоrии, что и точ- на, Т. е. нульмерная клетка (t'a (рис. 200, е). Обозначив фиrуру, получающуюся из Qs отбрасыванием нуска F', через Qf мы нахолим , что первовачальная поверхность Q ИМеет те же rомолоrИИ t что и фиrура, получающаяся Q * б u u ИЗ З до авлением вульмернои клетки 8' олпомернои q;r"f u вумернои <t'l. В повде КОНЦОВ t мы оставим от первоначальвой по- верхности после1!НЮЮ точку минимума a q (рис. 200, О/С). Идя обратным путем, мы наЙllем, что ФиrУРУI имеющую ([е же rомолоrИИ f что и поверхность Q, можно получить u послеовательным приклеиванием клетоК I каЖllОИ точие минимума соответствует в у 11 Ь М е р н а я клетка f ceJl- пу ..... ономериая клетка, а максимуму.... А в У и е р- п 8 11. Иначе rоворя, Q и:меет те же еожоМJЭUU, чmo и не.. поmoрый no,Л,uэдРt содержащий Со Н,у,Л,ь.мерnых. С Ж одно- ,:мерпыж и а" дву.мерН,ых 1Ut8тo1C. Иа 8Toro и вытекае'! спра.. ве1ХЛИВОСТЬ иеравевств (23) (СМ. 8a.uачу f94 па о. {33). Задачи 212. Докажите, что соотвоmеиив (22) , (28] спра- веltJlИВЫ ПВ чисеJI Бетти по любому простому ldОЮТЛЮ р. 213. Докажите, что С,.;> Pr (Q), ., == О, {, 2. Заметим в заключевие f что можно рассматривать функ- ции и на смвоrомерных поверхностях» (в залачах {90 ! {92 И примерах 57 f 58 рассматриваются «трехмерные поверх.. ПОСТИ»). На n-мерной «поверхности» Q имеется n + t Ш.. пов невырожденных критических точек (в формулах! ана.. лоrичных (21), может быть в правой части O t, . . ., n минусов). Теорема Морса (и рассмотренное ее BOKa8a fI'ельство) сохраняются и в этом CJIучае. Например, пера- вепства (23) принимают виll . . .  (...1)r...kC1t;;>  (- t)J'--k Ра (Q)J r == О, . . ..11 n. "==О "==О {41 
ПРИЛОЖЕНИЕ тополоrИЧЕСRИЕ ОБЪЕКТЫ В НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ В. п. Мипеев Мноrие математические понятия или даже целые теорип, появившись на свет, долrие rоды Я(ИВУТ, не имея прило- жений вне самой :матемаТИI\И.' В качестве примера достаточно ВСПОМШIТЬ историю О ваrадочными комплексными числами, вошед- шими в физику и технику спустя несколько столетий после cBoero открытия. Хорошим при:мером. подобноrо рода до недавнеrо вре- мели моrла СЛуiКИТЬ и тополоrия. Однако в течение последнеrо деся- тилетия в нескольких довольно далеких друr от дрУfа област физики воаник ряд задач, получивших свою адекватную форМули....  РО8НУ И решение на языке тополоrии, что поаволило значительно продвинуться в соответствующих разделах физики. Наrлядную иллюстрацию к сказанному Jl:aeT биофизика поли- меров, имеющая дело с rиrантскими молекулами белков и нуклеи- новых кислQ.Т. Рассматривая положения, которые молекула МОЖе17 заНIIмать в пространстве, мы сталкиваемся с оrраничевиями топо- поrичоокой природы. В самом деле, чисто математически дливваJl ааМf\нутая молекула представляет собой ваМRНУТУЮ линию. Мы внасм, что такие линии образуют узлы. Различные У8ЛЫ нельзя продеформировать дуr в друrа без разрыва ливии и после щеrо склеивания KODЦOB. Условие неразрывности линий обеспе- чено тем, что АЛJl создания разрыва необходимо разорвать 'Химиче- ские связи в данной' точке полимерной цепи. Энерrетические 8а- траты TaKoro процесса довольно значительны. Поэтому !фи дост&: \ точпо низкой температуре вероятность разрывов мала и молекупы полимера Moryт существовать в состоянии с данной увмъной КОВ- фиrурацией практически неоrpаниченно долrо. Ва'RВЫЙ вопрос. каItая часть молекул из общеrо числа молекул задаввой длиИЪ1 обладает определенной узельной конфиrурацией, реmается на ос- нове перечислепия типов тополоrически различных умов, иввест- вом из алreбраичеСItой тополоrии. В биофизине полимеров сами длинные молекулы обрвзуют то- полоrические объекты ....... уалы. В друrих областях физики мы при- iXОДИМ К объеl\там, обладающим rонолоrичеСКИМJI своiiствами. .iI\e не CTOJIb непосрf'ДСТНР.ННЫМ обрэяпм. Так, в теории поля фиrу- рируют частицы, МаТМ(k'1чески ОUНЫUuемые венторвыми "ОЛЯМИ 148 
r.\C тополоrическими особеввостяии. В физике конденсировавиоro состояния с тополоrией оказалась связана устойчивость ряла e- фектов структуры упоряпочеввых веществ: обычвых и жидких ВРИ- сталлов, сверхпроводников, сверхтекучих жиltкостей и ферромаr- ветиков. В этом приложевии мы позвакошmся с простейmиМ вещесТ40 ВОМ, устойчивость дефевтов котороro имеет тополоrическyIO прироу. Это нематический жиWtий кристалл, часто называемый просто mематик». Необходимые математические:повятия: индекс BeKTopBoro поля, фундаментальная rpуппа, степень отображения и др., в при- пошении разъясняются весьма беrло. Точвые определения и КОМ- u ы1втариии к ним можно наити в основном тексте вниrи. 1. Нематик Нематический жидкий кристалл состоит из удли- ненных молекул, вааимолействие между которыми стремится вы.. строить их параллельво дру!' APyry. При высоких I'емпературах тепловое движение препятствует этому и вещество представляет обычную жипкость (рис. {, а). При температурах виже некоторой критической (типичные значения температур перехода дя нема.. 1I't{l<OB порядка нескольких десятков rрадуов Цельсия) в жидкости "....../ " I \ .......  I " 1/ \1 ...... }/, \ \ /1 .....,.. / ......... " /1\1/,,' \ а) t lt 1'\ 1'11, . \ ' \ " I , 1," I I '\ , " 5) Рис. 1. появляется выделеПВО8 напраВJIеВИ8. воль Koтoporo преимуще- ственно ориентировапы оси молекул. При ЭТОМ, как и в обычной жидкости, распределение] центров тяжести иЬлеКУJl вемв.тика остается хаотичееним (рис. 1, 6). НеБОJIьmпе отклонения осей молекул от параллельноro дpyr m>yry направления связаны степ.. новыми Itолебаниями. МатематичеСRИ направление преимущест- венвой ориентации описывается с помощью единичноrо вектора d, называемоrо дирехторо-м. Особое название вектора d связано с тем, что, хотя концы длинных молекул отличаются Apyr от ro>yra. по их расположение неупорядочевво (СМ. рис. 1, б) и состояния вематика с противоположными направлениями вектора d (а и a) фИ3111Jескu перазпИЧlPJЫ. ДруrИ?IU словами, векторы а ыжноo 149 
представлять не как стрелочки. а КаК палочки, задающие mппъ . направление (direction), но не ero Знак. Иа..за влияния стенок сосуда и внеmнш; полей (например, мар. витвоro) состояния нематика всеrда HeOItВOpOДВъt. Это значит. что направление llиректора tl постепеиво меняется от точки К точке. Распреltеление d в пространстве называется ве"торны.м поле,и' еl{Ивичиоrо вектора d. 2. ДИСКJlИВацви в вематике БлаrОltаря сильному рассеянию света нематиче- скии ЖИgкий кристалл выrЛЯДИ11 нак мутная непроврачная Жид- кость. Если разrЛЩtЬtвать ее в микроскоп, то можно заметить ДЛИВ- пые тонкие вити. плавающие в жиnкости. Именно они и дали назва- ние этому типу ЖИllКD кристаллов (нема...... по..rречески «ВИТЬ). Еще в начале века исслеllователи понимали, а теперь это TBepltO 8) Рио. 2. установленный фаR1', что нити B нема тиках ..... не посторонние ВRрап- леВйЯ, а особенности в расположении молеRУЛ. 11 самом ltеле, в попе направлений директора d возможны осо- бые ливии. на ROTOpLIX направление d не опреJ;lелено (раЗРЫВ80). tакие распределения d проrце Bcero изобразить в случае ПЛОСRИ BeKTOpВъtXl полеj, т. е., Rora все BeRTopbl d в пространстве парал- лельиы некоторой ПЛОСRОСТИ (см. рис. 2, rJXe поле диреRтора ПОRа.. заво чертотmами). Мы знаем, что особые ТОЧRИ векторных полей на плоскости характеризуются иHдecaMи особой точКи...... числом v полВъt:х! оборотов в положительном направлении 2 соnертаемыХ! 150 
:seKTOpO)1 d qри О9Л особо. точки по замкнутому контуру . {Так, особой тбча8, йа6браженпоii на рис. 2, а, соответствует индекс N == 1, на: рис. 2.  .... \' == ....f. на рис. 2, 8 ..... 'v == 2. Как мы ПО)I" ПИМ, состояния, отличаroщиеся q-олько внаком d, -.. неразличимы. ;Z}оэтому возможны особые q-очки. при обхопе которых по замкнуто. му контуру  вектор d совершает полуцелое число оборотов. Так, индекс особьп: 'lочек, изображеввых на рис. 2, е ид, равен СОО1'.. BeTCTeввo t/2 и -1/2. Особые roчки на рис. 2 представляют собой выхоп в плОскость рисунка особой липии в поле направлений d. Если взrлявуть па особую пииию рис. 2. а не «сверху», а «сбоку., ,[О распределение d буде'!' !JыrЛЩtеть, как показано на рис. 3, а. По предложению авrлийскоrо физика Франка ливии разрыва в поле направлений директора были названы дuсплuпация.мu. .......... ......... ........ ........................... а) ............ ..................... ......... ...................... 1111111 1 ........ ...........  ......................... ......... ....... ........... ......................... ........ ..........  ............................ р НС. 3. Так пак вааИМОJjействие между молекулами стремится вы- строить их параллепьно.наличиеособых ливий в распределении d внерrетически невыrодио. Слеповательно. в немаnmе должны воз- никать веформации распрепеления d. стремящиеся устранить осо- бенности и перевести распределение в однородное, облаJXающее наивизmей 8нерrией. Как 8ТО мон(ет ПрОИ80ЙТИ, nerкo уви!tеть на примере 1tисклинации. изображенпой на рис. 8. а. Действительно, J];еформация. показанная на последовательности рисувков 3. а .... 8, переводит распрепеление в однородное. не обладающее mmакими особеввостяии. Эта веформация ПОЛЯ d. напоминающая CКJIaдblBa- ние 80нтика, получила название «вытекание в третье измерение», Q'aK как направления d, первоначально лежащие в пnоскости риа. 2,! tI, выстраиваются D перпеЩtикулярном: ей направлении (РИО. 8, В). Таким образом, мы вцuии, что рсЮIИВация, И80бражен- вая на рис. 2. а. 3. а. неустойчива по отношению к вытеканию в I'peтьe иамерение. Спрашивается, устойчивы ЛИ пруrие АИСКJIИ- нации? Как сформулировать признак, ПО8DОЛlПOЩИЙ Отличать устойчивые IIИСЦJllIвации 0'1 веустоiiчввых? 151 
Разумеется, любую ДИСRлинацию можно уничтожить, создаваll I разрывы в поле директора, как это показано на последоватеЛЬН04: сти рисунков 4, а ...... 8. Заметим, однако, что в окрестности разрыва I молекулы будут упорядочены не параллельно, как в нематике. ,---  ....... / ..,...t........ ...........  ......... . / / .......................... /" "",............................ ........ ......... ......... /'" .................................. / / ................ ......- ................ ........ .......... {! / ....... ......... .......... ......,.,. / / / .................................;.- ....... .................... .......,........ ( (()--004.......................  /   о .................. ........ ........... ................. ..........  \ \ \.  ......... ........... ........ \ " "::::-................... ....... ......... ----- ................. " ................ ........ '-,.........,........... .......... ................ ....... ""'-. . '. -........   ......... '" ........ ........  .......... ........ ......... ""'--.. ................. .......... .......... ......... .......... .......... а) 5) 8) р нс. 4. а ПОJj уrлом друр к друrу, как в обычной жидкости. Значит, созда.. пие TaKoro1 разрыва эквивалентно плавлению нематическоrо по- рядка на целой полуплоскости, опирающейся на особую ливию, что требует большиХ1 затрат энерrии. Иначе rоворя, этот процесс обладает колоссальным внерrетическим барьером. Поэтому при исследовании устойчивости Дисклинаций веобходимо сразу orpa- вичиваться лишь непрерывными nеформациями поля а. Раз твк, 8J;leCb может оказаться полезной тополоrия. ;. "'. 3. ДИСКJlИНации и ТОПОJlоrия Пусть D объеме, 8аполнениом нематИRОМ, имеется какое-то распреltеление векторов d. Ивьmи словами, каждой точке r Bamero объема поставлен в соответствие вектор а ... 8адано век- . troplloe попе tl (r). ВО8ьмем векторы d И8 раввых точек объема и переllесем параЛJ1епьво сашm себе так, чтобы они начивалисъ ив OnHO! точки (рио. 5, tJ И 6). TorAa их ковцы будут лежать на поверхности сферы едивичноro радиуса, которая тем самым ЯВJIЯ- ется областью изменения векторов d. Таким образом, 14ьt получаем, что векторвое поле d (r) осущеСТВJIЯет отображение точек r Hamero объема в точки на поверхности сферы ервичноrо радиуса. Заметим теперь, что сфера, по которой беrают концы вектора tl, не совсем обычная. В самом деле, d не простой вектор, а вектор.. nиректор, и состояния d и....d физически ltеотличимы. Это 8начит, что диаметрально противоположные точки сферы вквивапевтвы ми, как rоворят в тополоrии, сфера склеена своими диамерально противоположвы точками. Такая сфера называется проети8НОЙ nлос"остью и обозначается RРЭ. Разумеется, представить рсэульта'l клеивания диаметра.uьно противоположных точек сферы в трех- мервом пространстве невозможно. a и не НУЖDО; достаточно ВИШЬ 152 
помнить, что ТОЧRИ d и --d iiiII8 это не две разные а одна и та iI<e «,ОЧI\а. Итак, векторное поле d (r) осуществляет отображение точек r I{оордипатпоrо пространства в точни проективной плоскости RP2. ............ ...... б) Рис. 5. Посмотрим теперь, каное отношение иеет склейка R вопросу об устоiiчивости дисклинаций в нематике. Пусть в поле директора d (r) имеется дисклинационная линия L, Т. е. ЛИНИЯ, на которой попе d (r) терпит разрыв (рис. 6, а). . Окружим ее замкнутым контуром у. Каждая точна r 8Toro контура  'б) . Рис. 6. имеет своим образом точку d (r) на поверхности БР2, а весь замкну- ТЫЙ контур. ':v отображается в замкнутый контур r на поверхности RP2 (рио. 6, 6). Очевидно, что любой непрерывной деформации поля d (r) в окрестности контура V соответствует деформация НОВ- (,l'ypa r на поверхности RP2. В частности, еформация распределе- J ВИЯ d (r), названная вытеканием ливии в третье иамерение (си. рис. 3), сопровождается стяrиванием контура r на поверхности RP2 в ТОЧRУ (рис. 7. а .... 8). Понятно. что И в общем случае устраНИМЫ),1 (неустоичивым) ИСRливациям: на поверхности Бр2 соответствуют контуры r, стя- rи,Ваемые в ТОЧRУ. Будем обозначать класс таких контуров, а вместе о ЦШ1 и 1АИСШlивациu. сим.вОJlОМ r о. Леrко сообрааиь, что для пло- 153 
ских полей к этому Rлассу относятся все диснлинации С целым ив.. дексом 'v BeKтopHoro поля d (r) (см. рис. 2, а ..... В). Все пошуры ндасса r o , а значит, и все векториые поля ДИСЮIинаций этоrо Rласса "' можно непрерывно продеформировать друХ' в дpyra. r с друrой стороны, в нема тиках имеются ДИСI\линации, изобра- женные, например, a рис. 2, 8, д, такие, что образами онружаю- щих их ковтуро'в  являются контуры типа r l / l , соединяющие диаметрально противоположные точки сфе- ры (рис. 8). Мы знаем, что такие точнв 8квивалентвы, а вначит, контуры r l /. замк- нуты! В отличие от контуров типа f(j, кон- ы r l / 2 невозможно стянуть в точку по поверхности RP2. В этом отношении нон.. t туры типа r .,. напоминают контуры, обе.. irающие дырку у бублина. Это леrко себе представить, деформируя и склеивая сферу I"ОЛЬКО в двух пиаметрально противополож- ных точках А.... начала и конца контура r ./.. Контуры типа r.,. невозможно стянуть в точку, зато их можно продеформировать ltPYl' в друrа. ДИСЮIинации, изображенные на рис. 2", д, устойчивы. Соответствующие им распределения невоз- можно превратить в опнородвые ни:каной непрерывной деформаци- ей поля d (r), !Хотя леtно преобразовать друr в друrа. Полезно самостоятельно ПРОJ}еформировать поле рисувка 2, 8 В поле ри.. су&ка 2, д, иля чеrо пре1Jварительно проделать деформацию сооТ- ветствующих ROaтYPOB f. /2 на RP2, изображепных на рис. 8. Подчеркнем, что существование замкнутых новтуров r l / 2 , ие стяrиваемьп в roчку, а значит, и тополоrически устойчивых дискливаций,является ИСRлючительно следствием эквивалентности пиаметральио противоположных точен d и d. На обычвой сфере без всяких cIt'-tееК любой замкнутый RОНТУР можно стянуть В roчку И, следовательно, еСJlll бы состояния d и d были отличимы, ro в таком веществе (изотропный ферроиаrнетик) вообще ие БЫlIО бы а) А Рис. 8. ан   6) , 6) Рис. 7. 
устойчивых особых ливий. Сфера и RPs локально СВ окрестности каждой точки) 8квивалевтИЬ1, но rлобальио (в целом) имеют разные roполоrические свойства I Итак, с точки зревия ТQПолоrии в нематическом жидком кри- сталле имеется Bcero два типа ливий РСКJIииаций: арактеризуе- .......,... 5) Рис. 9. МЫХ на проективной плоскости ааМRНУТЫМИ контурами типа ro, стяrиваемыми по' ней в точку. либо заМRНУТЫМИ контурами типа r1Ja не стяrиваемыми по ней в очку. 'Устойчивые ливии типа r 112 ие Mor заканчиваться внутри объема о нематиком. Они либо Ba} кнуты, либо выходят на поверхносrь. Докаже:ц зто утвеРЛ(lIение от противоположпоrо. Если бы они моrли заканчиваться в объеме, то TOP1ta Q них можно было бы снять и стянуть в точку охватывающий их контур у, а вначит, стянулся бы в точку и ero образ r 1 / 2 на про-- еRТИВНОЙ плоскости, что невозможно для контуров типа r 1 / 2 . На- против, неустойчивым линиям тополоrия не запрещает заканчи ватьея внутри объема, OHaKO отрезкам особых линий энерrетиче- ски BblroHO СОRращать свою длину и они или исчезают совсем, или, если они одвим: концом ПРИRреплены к поверхности, сжимаясь, превращаются в поверхностную особую точну. Линии ltискливаций взаимолействуют между собой, и в случае притяжения ltВe ливии MorYT. например, сливаться воину. Нанов уле'J7 результат слияния? Получится ли ив двух устойчивых вновь устойчивая линия или она будет неустойчивой и исчезнет, Т. е. ИСХОl{ные линии аиниrилируют? Тополоrия иае'l' ответ и на этот вопрос. На проеRТИВНОЙ плоскости образом нонтура  == 1'1 + 1'2 (СМ. рис. 9, а), охватывающеrо' сразу две ЛИIJИП типа r 1 / 2 , будет НОНТУР r l / 2 , проходимый дважды, что обозначается как произве- цение rt/2.rl/21 Нан явствует ИЗ рис. 9, б, такой контур эквивален- rеи контуру ro и, следоватеn:ьво. СТlIfиваеи в точку. Это озваЧD.ет, 155 
что пве устоitчивые nискл и нации , еливаясь, превращаютея в H Устойчивую ltИСЮIииацию типа r o , '1.'. е. аивиnшируют. В еказаввом: можко убеJjИТЬСЯ и вепосреJ1ствевио, lеформируя распреI\елевие d (r), иаображевиое на рис. 9, а, в распределение рис, 2, а. Напро- тив, слияние устойчивой и неустойчивой исклинаций BcerRa па устойчивую, что можно коротко записать как rl/J.ro == rO.rl/J == ro.  СформулироваlПlЬtе вакоВЬ1 умножения означают, что множе- ство классов контуров ка RPI, состоящее из BYX элементов rC) и r l / J , образует rpуппу 11:1 (RPI), называемую фундаментальной еруnпой проективной плоскости. iYмножение элементов в этой rруппе можно заменить аквивалеПТI;IblМ ему ложением индексов у контуров, при условии, что все целые числа эквиваленТВЬ1 пулю: r l /..r l /. <== ro  +  ==0; i 1 r1/a. rO == r l / z --+ T + 0==2. 4. Особые точки КРО)lе особых линий в поле вектора d (r), в объе.. 61е, занимаемом нематиком, возможны особые точки.... точки раз- рыва в поле d (r). Простейшим примером такой точки является точ- ка, вокруl' которой направления вектора d совпадают о направле- l' ниями радиус"вектора, отложеввоrо из втой точки d (r) == I r , · Векторы d (r), roрчащие во все стороны BOKpyr особой точки, на- пошmают иroлки свернувmеrося в КJIубок ежа, поэтому ата особая roчка получила название езю. tY стойчив ли ен{? иныи словами, кошко ИИ путем непрерывной ltеформации поля d (r) устранить эту особую точку и превратить поле d (r) в опнородное? Для ответа иа 8ТО'1' вопроо окружии особую 'lочку сферой о. Образом сферы а на ВР' БУltет вся поверхность вр', ПРОХОltимая ОДИН раз. Такии образом, поле d (r) BOKpyr ежа осуществляет отображение степени единица оферы о на Врl. Будем непрерывно аеформировать пове tI (r) ... tпричооывать) ежа. При атом образ сферы а, который мошно преJlстаВJIЛТЬ как замкнутую плевку (т. е. ШIевиу без края), обтяrивающую ВР., БУl\ет также 1{еформироваться и образовывать СКJIаIКИ. Но стянуть ату' ПJIевку в точку, оставаясь на RPI, нам ие упается, а значит, и не: УАастся устранить особую ТОЧКУ в попе а (r). Степень отображения -- жополоrический иввариавт. В общем случае, WIя иссле110вания произвольной особой точки в поле d (r) на устойчивость, вало окружить ее сферой а И проеле- дить 88 ее образом на Rpl. Всем устойчивым особым точкам соот- ветствуют ПJlеВRИ ..... образы а на RP., целое число раз окутываю- щие проективвую плоскость. Неустойчивыи особым точ!tам соот- ветствуют еаМRИУТЫ8 WIешш, СТЛfиваемые по Нр2 В ТОЧltу со f56 
степенью отображения N == о. у стойчи.вые особые точки, как и устой- чивые особые линпи, :можно устранить только путем создания раз- рывов в поле d (r), что требует преодоления колоссальноrо энерrе- mческоrо барьера. Мы рассматривали такой процесс в случае осо- бой ЛИВИИ (см. рис. 4). В отличие от особой ливии, для устранения устойчивой особой точки необхоnимо создать разрыв в поле d (r) па выходящей из нее ливии. Степень отображения.... целочислеllвый ивпекс. ВОЗlIИRает вопрос: чем отличаются ежи, имеющие степень разноrо внака, на- пример, ежи с N == 1 и"N == ....1. Они должньt отличаться направ- аением иroлок, т. е. равнои ориентацией ПJIенок -- образов сфе- ры о. В первом случае иrолки торчат наружу, а во втором:-- внутрь. Но мы знаем, что протиnоположвые направления d (r) ) Рис. 10. ) неотличимы. Поэтому ежи с N == 1 и N ::--t - это одна и та же особая точка с I N I ::::а {. С дрyrой стороны, слияние двух ежей, казалось бы, J(ОJIЖВО приводить R СJIожению индексов, и вначит, если мы сложим Ава ежа с индексами I N 1 I == 1 и I N t I == 1. мы можем получить как ежа с индексом 2, flaK и ежа с ивдеRСОМ О, Т. е. устранимую (веУТОЙЧИDУЮ) особую точку. Тцкое поведение кажется вевероятВЬ1М. А что же будет на самом дме? Реальвый процесс CJIиявия ежей дает результат, зависяЩИЙ от nyти CJIиявия! Этот факт следует из нетривиальвости фувдамев '1апьной rруппы вематичес.коro жидкоrо кристалла пl (RP2). В '1'0- ПОJJоrии ero вазывают влиянием пt. Напримр, слияние особы:! точек с I N 1 I == 1 и I N 2 I == 1 может пр о исходить вдоль путей .... ... ..' " и ,\" ПРОХОДЯЩИХ по разные cTopoвы от ливии устоичивоп дискли нации. На рис. 10, а ТОIIRИШI ливиями показавы ЛИJIИИ поля d (r), ЛИНИЯ ДИСRJlИВ8ЦИИ перпеВДИRулярна плоскости рисунка и обо- 8вачева буквой о. Очевидно, CJIиявие вдоль пути 'V дает точечную особенность с I N I == 2, иаображеввую на рис. 10, б. Обратим ввимавие. что раСDреgeJIевие поn:я па рис. 10. б ие имеет оси сии- tS 
метр ии , а ТОJIЬИО ПJIОСRОСТЬ СИШIетр ии , перпеИДИИУJIJIPВ'YIO МОе скости рисунка. Слияние ежей ВДОЛЬ пути У дает точечную особев.. нооть с J N 1== О, которая покаваиа иа рис. {О,8. Здесь распреле- пение d (r) 8ксиаnьио сmmеrpичво ОТИОСИтeJIьно rоризовтальноЙ оси, проходящей в ПЛОСRОСТИ рисуипа. Итак, палпчие АИСRЛИВации в поле d (r) приводит к иеодно- впачвости результата слияния ежей. Разумеется, иеолвозначность юrеет место только в присутствии тополоrически устойчивых ДИС- КJIипаций, соответствующих иеrpивиальньw элементам фувдамев- U'альпой rрYI;IПЫ. 5. Что и rде еще? Мы видели, что тополоrичеСRие спойства замнпу- x контуров И пленок на проективвой плоскости дают возмож- ность проаиаnизировать ряд вопросов, связаввыx с устойчивостью D слиянием nИСRJIиваций D особых '1'Очек в иематичеСRОМ жидком кристалле. Кроме особеввостей поля d (1'), тополоrия дает воз.. можвость раСIOlассифицировать устойчивые нособые конФиrура- ции поля d, (r) -- домениые стевии и солитоНьt. ВО3НИRающие в поле d (1') В присутствии внешних 8лекrpических и маrвитвых попей. Нематик ие ОltИВОК. Существует ЦeJIЫЙ обширный класс упор я- Аоченвых веществ: обычвые И жидкие кристаллы всех типов, ферро- и антиферр, омаrиетини сеrиетоэлектрики, сверхпроводники и сверхтекучие жидкости, при изучении которых ОRазываIОТСЯ пол«td- выии 'lОПОJIоrические методы. Поведение особенностей В нематике определяпось тополоrическими свойствами области изменения директора d, - проективной плоскости }1рэ. В друrих упорядочен- иых веществах реализуются 1@yrие ТИПЫ полей: поля векторов, поля матриц и, соответствепио, lIPyrие области D изменения пара- ы1траa порядка. Фундаментальная rруппа п 1 , вообще roворя, не-- коммутативна. Из существующих В прироле веществ некоммутатив" вую ФУВИ8мевтальную rруппу Пl (D) имеет лишь l]ВУХОСНЫЙ *) нематический жидкий кристалл. Некоммутативность Пl (D) при.. ВОj1ИТ К ряltу красивых, но пока еще экспериментально ие обнару.. iRеJпIых слепствий. Наиболее впечатляющие приложевия тополоrии появились в связи с открытием в {972 r. сверхтекучих фаз леrкоrо изотопа I'8.JIИЯ м- 'Не. Оказалось, что сами сверхтекучие свойства этих фаз в значительной мере I.tиктуются roполоrией. Об этих свойствах. а l'аКЖ8 мвоrиx рyrих приложениях roполоrии в физике можно прочесть в брошюре r. Е. Воловика и В. п. Мивеева «ФИЗИИ8 и rополоrиm, вьmyщеввой в {980 1'. издательством «Знание». *) Неиатический жи.«кий кристалл, с которым имели иело мы'''''' ороосВЫЙ вематический жиgкий кристалл. 
\ СОДЕРЖАНИЕ · ,- >'" IIредисповие редактора Предисловие авторов Ч а с '1 ь пер в а я. тополоrия ЛИНИй {. Идея непрерывности 2. Чем занимается ТОПОJIОrDЯ? з. Простейmие ТОПОJIоrические иивариаВТЬ1 4. Эйлерова характеристика rрафа 5. Индекс пересечения 6. Теорема Жордана 7. Ч то такое ливия? 8. Кривая Пеано. Ч а с т ь в т о р а Н. тополоrия ПОВЕРХНОСТЕй 9. Теорема Эйлера 10. Поверхности 11. Эйлерова характеристика поверхности 12. Классификация BaМRВYТЫ ориевтируемыJ.1 поверх- ностей 13. I\лассифинация aaWHYТLII! неориевтируемьа по- верхностей 14. ВеI,торпые поля Ба поверхностя 15. Проблема четырех красок 16. Раскрашивание карт на повеРХНОСТd 17. «Диная сфера» 18. Узлы 19. Коэффициент зацепления Ч а с т ь т р е т ь я. rомотопии И rомолоrии 20. Периоды мноrозначных ФУНRЦИЙ 21. Фундаментальная rруппа 22. Клеточные разбиения п полиэдры 23. НаР.'рЫТИЯ 24. Степень отображения и основная теорема алrебры 25. rруппа узла 26. Циклы и rомолоrии 27. ТополоrпчеСRое произведение 28. Расслоения 29. Теория Морса При л о ж е н 11 е. тополоrИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ В НЕМАТИЧЕСКИХ жидких !{РИСТАJIЛАХ (В. П. Минеев) '3 5 7 7 f1 15 18 22 27 30 37 41 41 43 49 53 60 68 74 76 81 87 · 92 98 98 101 106 110 115 119 123 134 137 142 148 
В.4ади.мир rриаорьеsuч ВодтянсJtuiJ Вади,м -f1pcenьeeu" Ефре.мовuч НАrЛ1lJ1ВАЯ тополоrИJl ......4 (Серия: Библиотечка cKBaBTt) Редактор r. с. Вулиnов ['ехв. редактор Е. В.Аl0РО80ва RoppeRTopbl Т. с. Вайсбера, Л. CJ, Сомова ИВ .NЪ f 1913 СаВВО в набор 00.07.82. ПОJXписано R печати f6.09.82. Формат 84)(1081/.. Бумarа '1'ИII. Н з. Обыкновенная rаРRИТJра- ВЫСОRая печать. Ус лови. пА. 1I. 8,.. Vч.-изд. п. 8,08. ираж 120 000 3ана8 .Ni 1. Цена 26 RОп. ИВJXатепьсТDО .Науна. rпавная редакция фиэико-математическоl питературы 117071. ыснва,' 8-71, J1евИВСRИЙ проспект, 15 2-а I'ипоrрафил ИЗJlате,nьства .HaYKat. 121099, Москва, Шубинекий пер.. 10