msh1934-4

Похожие

Эволюция геометрической мысли с 66-ю чертежами

Владимирский округ. Большая и Малая Московские улицы и улица Правды

Симметрия и структура кристаллов

Детская военная энциклопедия. Том 2

Текст

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ Н.

МАТЕМАТИЬ

и
ФИЗИКА

В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

г<Т‘ 1,

МЕТОДИЧЕСКИЙ СБОРНИК

_- - — - — — — J ' ' - 'Т - ~ • - — ' “"*• _ Т - «<-. I

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧЕБНО-ПЕлАх ^ГИЧЕСКОЕ

- 1v

ЙЗДАТЕЛЬО ВО
ОГЛАВЛЕНИЕ

Д. Л. ВОЛКОВС’ ИЙ

Научный и научно-популярный отдел

В. Крыжановский— По^тро~ние тяга самостоятельных геометрий................ 4

Проф. П. Беленовский—«Фигурные числа...................................... 9

Р. Бончковский— Заметка о числе различных форм многоу, ельников.......... 12

Доц. Зет цель — Об определении длин биссектрис внутренних и внешних углив
треугольника М.................................................. 15

Проф. И. Чистяков - О квадратных уравнениях.......................• • 18

11< оф. К В. Чишсов— Физические основы фотографии. . . -................. 23

Научн. comp. Е. Островский — Магнитная дефектоскопия металлов............ 29

Проф. П. Пипов — Энергия Солнца и звезд и ее источники................... 35

Общая методика

В. Бедловский — Идея функциональной зависимости величин в математике средней
школы ................................................................... 42

Проф. И. ЧглюС'Пчин—Исторический обзор вокнейших направлений в методах
и орган клацни преподавания цшзики в буржуазной и советский школе........ 50

А. Калашников — Педагогические требования к письменным работам по физике . 56

Частная методика

А. Грошев — Геометрические задачи, заимствованные из механики....... 61

М, Берг — Обратные круговые функции в средней школе................. 66

В. Ефремов — Первые уроки при прохождении т, игонометрических уравнений . 72

Д. Волковский — К вопросу о признаке делимости на 8.....•........... 76

Проф: Д. Галанин —Набор приб. ров для лабораторных работ по геометрической
оптике .... .......................................... 78

А. Романский—Анилин в демонеп ациях молекулярных свойств жидкостей ... 81

Е. Горячкин — К вопросу о методике преподавания трехфазного тока.... 82

Э. Галлер—Небеси.>.й глобус, заменяющий подвижную карту неба ...... 88

М. Набоков — Самодельные модели и приборы к курсу астрой мии........ 89

Доц. А. Белогорский — Некоторые пояснения к опыту с разборной лейденской
банкой.............................................................. 92

Н. Иващенко — Демонстрация экстра1- 94

А. Калашников и асп. В. Юськович
работ по физике..................................................... 95

А. Калашников — Опыт системат 97

Проф. Д. Галанин — Как показа 0’

В. Сирочинский — Несколько пр 05

Вопросы

И. Кавун — Американская метод! 16

Асп. В. Юськович — Математика 23

Определение длины световой вол 25

Д. Пав toe — Больше внимания 26

И. Мальишв— Медель действия 30

В. Кюнцель—Определение пик, 33

Критик

Прпф. И. Чистяков — И юги лет 34

Задачи, Предложенные на третье! 35

М. Б‘ рг — О приемных испытан*
1934 ............................................................... 36

Д. Гончаров — Во росы преп та 39

В. Морев — Методико-математич« Ю

Г. Килачицкай — П. Филипп!
, П. Филипп 18

| , П. Филиппи

с их решения 19

Д. Сахаров — Я. i . 11 е р е л = [д

Н. Паоша—Пр.ф. A. id. Бач 1
лицы по физи )]

Щ—— II ~ -...........— J П>2
д. л. волковский

Скончавшийся 12 августа 1934 г. методист арифметики Дмитрий Лукич
Волковский был одним из значительных деятелей в области начального ма-
тематического образования в СССР. Дмитрий Лукич Волковский родился
в 186Э г.; с самого юного возраста он почувствовал интерес к педагогиче-
скому делу, которым и занимался затем всю жизнь, избрав своей специаль-
ностью начальное преподавание математики. Прослушав в дни мол ядости на
педагогических курсах выдающихся методистов тс го времени — Гольден-
берга, Шохор-Троцкого, Арженикова и др., Дмитрий Лукич Волковский все-
цело отдался изучению методики арифметики, причем скоро приобрел в этой
области больше й опыт и большую эрудицию.

Результатом его практической и теоретической работы было издание
им ряда учебников по арифметике для учащихся начальной школы с методи-
ческими руководствами для учителей, каковы: <Детский мир в числах' в трех
частях, «Руководство к «Детскому миру» 2-я ч., «Математика для детек», «Беседы
А. И. Гольденберга по счислению» и др. Составленные глубоко прод\манно,
просто и практично, книги Дмитрия Лукича Е >лковского получили широкое
распространение в русских начальных школах и принесли значительную
пользу делу народного образования. Сверх того Дмитрий Лукич Волковский
поместил в педагогических и математических журналах множество старей
и заметок по отдельным вопросам методики аоифметики.

Важной заслугой Дмитрия Лукича Волковского- является также изда-
ние под его редакцией переводов известных иностранных учебников ариф-
метики: Бореля, Таннери, ф. Мартеля и в особенности руководств и трудоз
по методике арифметики: Лая, Штеклина, Уэнтворта и Рида, Торндайка и др.,
что значительно подняло среди русских педагогов интерес к вопросам на-
чвльного обучения математике и способствовало улучшению его постановки
С особою любовью Дмитрий Лукич Волковский всегда вел работу с учите-
лями начальных школ на многочисленных педагогических курсах и конфе
ренциях, съездах и пр. Смерть постигла его среди разносторонней и нап-
ряженной учебно-литературной работы. Многочисленные бывшие слушатели
и ученики его и преподаватели начальных школ в СССР навсегда сохранят
о нем благодарную и светлую память.

Редакция.
НАУЧНЫЙ И НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ОТДЕЛ

ПОСТРОЕНИЕ РЯДА САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ ГЕОМЕТРИЙ

В. КРЫЖАНОВСКИЙ (Одесса)

§ 1. Возможность существования множест-
венности параллельных геометрий уст :новлена
сравнительно недавно. Лишь в начале теку-
щего столетия найден метод их построения.

В этой статье имеется в виду говорить
о тех достижениях новой геометрии, где до-
казана возможность этой множе-
ственности и установлен ряд гео-
метрических систем, точнее—ряд
самостоятельных геометрий, пов-
торяющих одна другую; все такие
геометрии построены по одному и тому же
методу, во всех одновременно можно ука-
зать последовательный ряд одинаковых по
смыслу теорем, которые формулируются лишь
в разных терминах; происходит при переходе
от одной геометрии к другой только замена
одних элементов другими (элементов, состав-
ляющих основание системы). Каковы же на-
учные обоснования такой именно множест-
венности геометрий?

§ 2. Здесь уместно будет вспомнить прежде
всего о принципе дуализма, или прин
ципе двойственности. Принцип э от, разви-
тый более ста лет тому назад Poncelet и
особенно Gergonne, хорошо иллюстриро-
вал тот факт, что теоремы позиционного ха-
рактера (так называемой геометрии положе-
ния), устанавливающие связь между точками,
остаются справеаливыми и для коррелятив-
ных связей (полярных) плоскостей, происходит
лишь замена элементов точка*—»плоскость;
равным образом, согласно принципу двой-
ственности, в геометрии плоскости можно
теорему, указывающую соотношение, между
точками, заменить параллельною же теоремою,
дающею соотношение между прямыми ли-
ниями.

Но принцип дуализма совершенно не ре-
• шает вопроса о возможности существования
множественности самих геометрий, равно не
указывает метода их построения. Он уста-
навливает лишь параллельность теорем двух
геометрических систем, а их может быть еще
несколько. Принцип дуализма дает лишь па-
раллельность построения в двух системах
различных, образов — точек и плоскостей.

Элементарная геометрия и так называемая
высшая геометрия представляют одну геомет-
рическую систему — систему точек, так как
за элементы всех построений всегда прини-
маются точчи. Новая геометрия вводит эле-
менты и другого рода: она содержит не-
сколько новых отдельных систем, и система
точек есть лишь одна из возможных геомет-
рических систем в настоящее время.

§ 3. По какому же пути шло развитие и
решение вопроса о множественности геомет-
рий? Работа Poncelet — „Theorie gSrerale
des polares reciproques", вышедшая в 1829 г.,
работа S t е i n е г’а - „Die Theorie aer <<egelsch-
nifte gestiitzt auf p ojectivische Eigenschafen",
1876 г.; наконец, работа Th. Reye—bSyn-
thetische Geometre der Kugeln uni Linearen
Kugelsysteme", 1879 r., — вот этапы, прибли-
жающие к решению вопроса о множествен-
ности геометрий.

Последний, т. е. Th. Reye, изучает уже
так называемые линейные (определяемые
наименьшим числом элементов) и квадра-
тичные (сферические) совокупности
шаров; он создает уже новые геометрии
(геометрию круп в и геометрию шаров), опе-
рируя кругами и шарами как элементами но-
вых систем. Словом, в конце прошлого века
существовало уже несколько параллельных
геометрических систем.

4. Но все это еще не давало решения
вопроса об общем методе построения ряда
самостоятельных геометрий, равно как не
решало вопроса о том, можно ли данный
геометрический образ принять за элемент (но-
вой) системы.

Блестяще разрешил вышеуказанные, воп-
росы и создал ряд новых геометрических
систем, построенных по одному и то - у же
методу, русский геометр и кристаллограф
Е. С. Ф е д о р о в, бывший директор и профес-
сор Горного института в начале текущего
столетия в Петербурге.

Затронутые выше вопросы освещены проф.
Федоровым в 1907 и 1908 гг. Его труд —
„Новая геометрия как основа черчения", из-
данный в 1907 г., с поразительной просто-
той указывает условие, при котором данный
геометрический образ можно принять за эле-
мент новой геометрии. Эта книга и особе iho
последующие труды проф. Е. С Федорова,
установившие несколько новых геометриче-
ских систем, отчетливо выдвинули самый
метод построения ряда самостоятельных гео-
метрий, метод, который следует озаглавить
согласно терминологии покойного Федорова,
так:

Прима, секунда, терция, кварта.

В переводе на обычный язык геометрии
вышеуказанные термины дадут соответственно:
прямую, плоскость, пространство трех из-
мерений (координат), четырехмерное прост-
ранство.

Созданая Th. Reye геометрия шаров отно-
сится, кстати сказать, к геометрии четырех
измерений; в цитируемой выше книге 1879 г.
Reye дает небольшое введение в аналитиче-
скую геометрию шаровых систем; шар имеет
у Reye четыре координаты: три прямоуголь-
ные координаты его центра, за четвертую
координату взято „Potenz"— сопряжение —
„степень" шара в начале координат (степень
равна квадрату касательной к шару из на-
чала). Все шары пространства образуют ли-
нейное многообразие четырех измерений, гео-
метрию четвертой ступени, линейную квар-
ту. О делении геометрии на ступени будет
сказано ниже.

$ 5. Возвращаясь к терминологии „прима”,
„секунда”, „терция", „кварта", надо сразу
оговориться, что эти „прямые", „плоскости"
и т. д. установлены проф. Федоровым в бо-
лее широком понимании, чем обычные прямые,
плоскости и пространства, созданные геомет-
рическими точками; проф Федоров опери-
рует примами кругов, примами шаров, при-
мами параллельных векторов, примами гар-
монических векторов и отрезков; равным об-
разом им введены секунды и терции кругов,
шаров, параллельных векторов, гармониче-
ских отрезков и векторов.

$ 6. Федоров проводит четко различие
между кругами обыкновенными и кругами век-
ториальными. Этим он значительно расши-
ряет и углубляет идеи Th. Reye; равным
образом Федоров отличает шары обыкновен-
ные от векториальных, что совсем не было
отмечено Reye. Тут проф. Федоров следует
элементам геометрии направления
(идеи Laguerre 1879—1880 гг., см. т.
II, издан в 1905 г., статья „Stir la
G6ometrie de direction"); на каждой прямой
имеем два противоположных направления, на
каждой окружности имеется два цикла (точка
своим движением создает прямую, цикл);

к данному циклу, т. е. векториальному кругу,
можно провести лишь одну каса гельную дан-
ного направления. Векториальные круги и
шары можно отмечать векторами, именно:
радиусом, на конце которого поставлены
стрелки прямого или прямо-противополож-
ного направления, что дает положительные
и отрицательные круги и шары: это создает
связь между геометрией параллельных векто-
ров и геометриями векториальных кругов и век-
ториальных шароз, что имеет громадное прак-
тическое значение.

§ 7. Федоровым установлены примы, се-
кунды, терции шаров и векториальных кру-
гов; даны построения и свойства прим, се-
кунд, терций векториальных кругов и шаров,
то же—для обыкновенных. Th. Reye разрабо-
тал лишь линейные совокупности (системы)
кругов и шаров обыкновенных; квадратич-
ные же его шаровые системы* относятся к ша-
рам векториальным; вся книга Reye написана
без единого чертежа, что делает ее трудной
для изучения. Федоров, восполняя пробелы
проф. Reye, создал квадратичные совокуп-
ности шаров обыкновенных и линейных для
шаров векториальных в труде 1908 г. —
„Этюды по геометрии шаров". Кроме того
Федоров, следуя своему методу, создал не-
сколько новых параллельных геометрических
систем.

$ 8. Укажем еще на разницу в термино-
логии Th. Reye и проф. Е. С. Федорова.

Прима Федорова была названа Reye: термином
„пучок", на-
пример: Ku-
gel biischel;

Секунда „ „ „ „связка", на-

пример. Ки-
gelbiindel;

Терция , „ „ „ворох, куст",

1 апример:
Kugtlie-
biisch.

Reye рассматривает, конечно, в своей кни-
ге и круговой пучок, круговую связку, кру-
говой куст, относя их к частным случаям
соответствующих шаровых систем; Reye дал
свойства всех трех этих круговых систем.

.9. Переходим к вопросу, возможна ли
геометрия данного элемента, конечно как
одна из параллельных геометрий

Уже в книге „Новая геометрия как осно-
ва черчения" показана Федоровым
основная мысль, что геометрия ка-
кого-нибудь элемента возможна,
если можно определить прямую из
этих элементов. Как же выбирать в ос-

* Комплексы, конгруенции, Kugelschaar.
нову каждой геометрии определенный гео-
метрический образ как элемент системы? Как
определить приму из этих элементов?

$ 10. Ч то б ы р е ш и ть во п р о с, м о жет
ли данный геометрический образ
быть принят за элемент системы,
говорит проФ. Федоров, нужно оп-
ределить, можно ли из беек он е ч-
ного множества положений в про-
странстве и видоизменений этого
образа взятьдва произвольные и
по ним однозначно определить
линейную приму, т. е. со во ку п-
ность, всегда получающуюся тож-
дественно, какие бы два ее эле-
мента мы ни избрали для опреде-
ления.

Такая совокупность для геометрии точек
называется пр1мой линией; она однозначно
о гределена двумя произвочьными своими
точками.

$ 11. Этот принцип и его развитие, т. е.
построение секунд и терций из данных эле-
ментов, проверены Федоровым в упомянутой
выше книге «Новая геометрия" для созда-
ния ряда геометрий (геометрия точек, гео-
метрия кругов, геометрия шаров, геометрия
нарзллечьных векторов и пр.); там же пока-'
зано, что последователь ый ряд теорем по-
зиционного характера (выведенных при по-
мощи построений геометрии положения) по-
строений применим в одинаковой мере для
всего этого ряда геометрий.

Jj /2. Линейная прима однозначно оп-
ределена двумя произвольными кругами одной
плоскости, двумя произвольными шарами,
двумя произвольными параллельными векто-
рами и т. д. Но надо отличать, как было
замечено выше, приму кругов (шаров) обыкно-
венных от примы кругов (шаров) векториаль-
ных. Два обыкновенных круга (шара) имеют
два центра подобия; два векториальных круга
(шара) данного направления имеют только
один центр подобия, строго однозначно опре-
деляемый. Линейная прима векториальных
шаров или кругов характеризуется постоян-
ным отношением между радиусом данного
круча или шара примы и расстоянием их
центра от центра подобия; все шары и круги
примы центрами своими расположены на пря-
мой.

Может ли прямая (точечная) быть элемен-
том самостоятельной геометрии? Существует
геометрия, где эчементом взята прямая линия,
создающая своим перемещением линейчатые
поверхности, комплексы, конгруенции, ком-
плексы первого и второго порядка. Это —гео-
метрия Пл юкера. Но дают ли две про-
6

извольные прямые (непараллельные) возм ж-
ность однозначно определить приму? Приму
дадут, например, два параллельных вектора
плоскости либо пространства*. Двумя произ-
вольными прямыми нельзя однозначно опре-
делить линейную приму. Посему геометрия
Плюкера не войдет в рассматриваемый нами
ряд параллельных геометрий; она занимает
свое особое место. В заключение приведем
правило построения линейной примы для дан-
ных параллельных векторов: векторы эти имеют
начальные и конечные точки, проводят пря-
мую через обе начальные точки и другую
прямую через обе конечные точки двух дан-
ных векторов. Пересечение обеих прямых дает
центр подобия примы, он же центр примы и
•’очечный ее вектор; по одну сторону от цен-
тра имеются параллельные векторы различной
длины одного направления, по другую сто-
рону от центра расположатся в приме парал-
лельные векторы противоположного направле-
ния и раздичных размеров.

Как построить линейную приму по двум
данным векториальным кругам либо шарам?
Если заменить оба данных круга (либо шара)
их параллельными радиусами одинакового на-
правления, если круги даны одного и того
же направления, и параллельными радиусами
прямо-противоположного направления, когда
круги имеют прямо-противоположное направ-
ление, — то построение сведется к вышеука-
занному. Можно поступить иначе: для двух
векториальных кругов одинакового направле-
ния провести две касательных ^внешних), для
кругов прямо-противоположного направления
провести касательные внутренние; точка пере-
сечения обеих касательных есть центр примы
и в то же время это точечный круг примы,
разделяющий всю приму на две части: по
одну сторону расположены круги одного на-
правления и различных размеров, по другую
сторону центра примы будут круги противо-
положного направления всевозможных разме-
ров. Аналогично идет построение линейной
примы по двум данным векториальным шарам.

Перечислим еще случаи линейных прчм
обыкновенных кругов и шаров, определяемых
по двум данным. Если даны два пересекаю-
щихся круга, то все остальное круги пврмн
проходят через общие точки пересечения
данных кругов. Если даны два обыкновенных
шара, пересекающиеся по общему кругу, то
все шары линейной примы проходят через
этот общий круг.

Если для определения линейной примы взяты

* Оба вектора могут быть одинакового направ-
ления, либо их направления пряио-протижчпо-
ложччы.
два обыкновенных круга, имеющие одну
общую точку, то последняя будет единствен-
ной общей точкой всех кругов примы, и,
значит, прима состоит из кругов, касатель-
ных в этой точке. То же и для шаров, имею-
щих одну общую точку касания.

Гораздо труднее построить линейную приму
по двум данным обыкновенным не пересекаю-
щимся кругам, либо по двум данным обыкно-
венным не пересекающимся шарам. Ни один
из кругов примы не имеет ни с каким дру-
гим ни одцой общей точки, потому что иначе
эта точка была бы общею для всех кругов
примы. Чертеж такой примы дается на стра-
нице 42 книги „Новая геометрия как основа
черчения". Этим мы ограничим вопрос о по-
строении линейных прим и перейдем к по-
строению линейных секунд.

$ 13. Линейная секунда (точек; кру-
гов обыкновенных и кругов векториальных;
шаров как обыкновенных, так шаров вектори-
альных; параллельных векторов и т. д.) одно-
значно определена тремя данными ее элемен-
ТЭ1ЛИ, не принадлежащими одновременно одной
и той же приме; иначе — одна линейная
прима и еще один, не принадлежащий этой
приме, элемент того же рода определяют одно-
значно линейную секунду. ртЪт элемент с
каждым элементом примы однозначно опре-
деляет линейную приму; совокупность же
таких линейных прим и составит линейную
секунду из данных элементов.

Что характеризует, например, линейную
секунду векториальных шаров, кругов? Харак-
теристикою служит: 1) плоскость центров
всех шаров и кругов; 2) наличие оси подо-
бия на этой плоскости; 3) постоянное отно-
шение радиусов шаров и кругов к расстоя-
нию их центров от оси подобия. Сама ось
подобия есть геометрическое место точечных
шаров и кругов линейной секунды; ось эта
разделяет положительные шары и круги се-
кунды от отрицательных, иначе: шары и круги
одного направления отделены осью от шаров
и кругов противоположного направления.

Если построить линейную секунду для трех
данных, параллельных в пространстве, векто-
ров, соблюдая правило построения линейных
прим для каждых двух любого направления
данных векторов, то получим три центра по-
добия, которые лежат на оси подобия секунд л.
Три начальные точки векторов дадут пло-
скость, в которой расположена ось подобия
секунды.

J 14. Линейная терция однозначно
определяется четырьмя элементами (точками,
кругами, шарами, параллельными векторами
и пр.). Имея линейную секунчу и придав к

ней еще один такого же характера элемент,
не принадлежащий этой секунде, получим
линейную терцию. Она содержит бесчислен-
ное множество секунд, как пространство —
бесчисленное множество плоскостей.

Не принадлежащий секунде элемент с каж-
дой примой (а их в секунде сколько угодно)
секунды составляют линейную секунду; вот
совокупность таких секунд и составляет ли-
нейную терцию. Для терции векториальных
шаров характеристикою служит: 1) плоскость
подобия и 2) постоянное отношение радиусов
шаров и кругов к расстоянию их центров от
этой плоскости. Плоскостью подобия поло-
жительные шары отделяются от отрицатель-
ных; шары одного направления отделяются
от шаров противоположного направления;
сама же плоскость подобия терции есть гео-
метрические место точечных шаров тегщии.

Примам, секундам и терциям шаров присуще
постоянное отношение радиусов к некоторому
расстоянию (см. выше); различают поэтому
два главных разряда прим, секунд, терций,
шаров, смотря по тому, будет ли эго харак-
теристичное отношение большим или меньшим
единицы; переходи >1й случай — когда это отно-
шение равно единице

$ 15. Из вышесказанного уже видно, что
существует множество геометри-
ческих параллельных систем. И
теоремы одной из них переносятся
в другую, сохраняя ту же реакцию,
но в новой терминологии. Что же
обуславливает такую возможность
переноса, что делает ограниче-
ние в переносимости теорем из
одной геометрии в другую? Тут надо
установить понятие о ступени другой со-
вокупности" разным элементам соответствует
разная ступень их полной совокупности.

Совокупности, составленные из данных
однородных элементов, различаются по сту-
пеням. Наиболее выделяются те совокупности,
которые определяются наименьшим числом
своих элементов. Прямая линия, например,
выделяется по простоте своей из всех возмож-
ных линий и определена (прямая) только
двумя своими произвольными элементами;
окружность же определена тремя, эллипс —
пятью элементами. Прямая, дающая простую
бесконечность элементов, и есть совокуп-
ность первой ступени.

Плоскость есть совокупность вто-
рой ступени, она составлена бесконечным
множеством совокупностей первой ступени.

Геометрия точек на плоскости —
совокупность второй, геометрия точек
в пространстве—третьей ступени.
Пространство есть терция точек; в простран-
стве имеется бесконечная совокупность пло-
скостей, например параллельных. Геометрия
кругов на плоскости — совокупность третьей
ступени (полная совокупность кругов); гео-
метрия шаров — четвертой ступени.

Система параллельных векто-
ров— большой ценности геометрия, создан-
ная и развитая Е. С. Федоровым —тоже имеет
свою ступень; полная совокупность параллель-
ных векторов на плоскости есть система
третьей ступени, то же в простран-
стве— четвертой ступени.

И вот, одинаковая ступень двух
геометрий, например точек пространства
и кругов на плоскости; точек пространства
и параллельных векторов плоскости и т. п.—
и дает параллельность теорем в
обеих системах одновременно. Ко-
нечно, нельзя установить параллельности тео-
рем в двух геометрических системах разных
ступеней. Это потому, что одна и та же
ступень двух геометрий позволяет
легко установить однозначное со-
ответствие между элементами той
и другой системы, чего не будет, когда
системы — разных ступеней. Вышеуказанное
соответствие приводит к параллельности по-
строения, к параллельности теорем.

Открытые проф. Федоровым новые геомет-
рические системы в 1908 г.—геометрии
гармонических отрезков и векто-
ров — относятся ктретьей ступени.

§16. Какова практическая цен
ность новых геометрических си-
стем? Что побуждало, например, горного ин-
женера Е. С. Федорова заниматься геометрией
кругов плоскссти или геометрией параллель-
ных векторов? Что содействовало созданию
новых геометрий? Только практические сооб-
ражения и удобшва построений заставили
проф. Федорова расширить геометрию обык-
нов. иных кругов плоскости, написанную Reye
еше в 1879 г., и создать геометрию векто-
риальных кругов.

Федоров искал способа точного изображе-
ния точек пространства на плоскости, нового
способа, отличного от обычного в таком слу-
чае способа начертательной геометрии. По-
следний метод дает здесь два отдельных чер-
тежа (план и профиль, например), и должно
быть чем-нибудь обусловлено отношение изо-
бражений одной и той же точки на обоих;
это не удовлетворяло горного инженера при
изображении системы подземных горных вы-
работок, когда наиболее удобно пользоваться
векториальными проекциями, дающими план

иа одном чертеже. Система параллельных век-
торов, как показал Федоров в статье „Точ-
ное изображение точек пространства на пло-
скости" в 1907 г., незаменима для этого слу-
чая. Система параллельных векторов пло-
скости, как было отмечено выше (полная
система), и система точек пространства—обе
третьей ступени. А это дает легкую возмож-
ность установить между ними однозначное
соответствие и выработать способ изображать
точки пространства и предметы, ими образо-
ванные, при помощи параллельных векторов
плоскости; точки заменяются, для характери-
стики которых достаточно двух точек — на-
чальной и конечной. Точки пространства мож-
но изображать на плоскости при помощи
обыкновенных кругов, так как обе системы —
третьей ступени, что показано Федоровым
обстоятельно в той же статье в первой ее
части, но удобнее система векториальных кру-
гов; наиболее же удобна система параллель-
ных векторов. Зд:сь пг.оф. Федоров пошел
значительно дальше профессора Фидлера,
автора книги, изданной в 1882 г. под назва-
нием „Циклография". Фидлер в книге „Цикло-
графия" занимается, как и Reye, вопросами
систем шаров и кругов.

В § 13, 14, 15 Фидлер говорит о возмож-
ности изображать точки пространства кругами
на плоскссти. Федоров развил, углубил и
закончил идеи Фидлера и показал их практи
чески удобную сторону при трудных по-
строениях. Федоров доказал, что выражением
коррелятивности между точками пространства
и кругами на плоскости служит определенный
параболоид (вращения) коррелятивности, и
указал его замечательные свойства.

В той же статье „Точное изображение..."
после указаний преимуществ системы парал-
лельных векторов перед системами кругов,
обыкновенных и векториальных, приложен
план рудничных выработок трудного фед Юров-
ского штока в Кебадеке, что представляет
блестящее научное достижение и удачное
разрешение поставленной цели.

Е. С. Федоров был выдающимся кристал-
лографом, труды его в этой области пользо-
вались большой известностью в Западной
Европе. Он первым стал применять в своей
специальности начала нс вой геометрии.

В 1917 г. была напечатана его статья
„Применение начал новой геометрии к кри-
сталлооптике" (напечатана в „Известиях Рос-
сийской Академии наук"). Статья большого
научного значения, лишний раз подт верждаю-
шая, что в лице Е. С. Федорова мы имели
выдающегося геометра.
ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Про4. П. БЕЛОНОВСКИИ (Кировск)

1. Целое число — основное понятие ариф-
метики. Изучение его свойств, в особенности
таких, которые относятся к установлению
законов делимости, законов распредеюния
простых чисел и следования их друг за дру-
гом, привлекало к себе внимание очень
многих математиков уже в очень отдаленные
от нас времена.

Известно, какое значение придавали изу-
чению свойств целых чисел Пифагор и его
ученики, выставившие тезис о том, что
„числа правят миром".

Пифагорейцы, а также и греческие мате-
матики более поздних веков (Евклид, Эра-
тосфен) очень интересовались так называе-
мыми „совершенными" числами, т. е. такими,
сумма всех настоящих* делителей которых
равна рассматриваемому числу (например
28 — 1 -)- 2 -|- 4 ф- 7 -f-14), или числами „дру-
жественными", т. е. такими парами чисел,
у которых сумма настоящих делителей каж-
дого из них равна другому. Совершенными
и дружественными чи.лами интересовались
Фермат, Эйлер.

Благодаря Фермату же получили извест-
ность и „многоугольные", или „фигурные",
числа. Рассмотрим некоторые свойства этих
последних. Их характер и происхождение
термина можно выяснить следующим образом.
Представим себе, что на продолжении сто-
роны правильного л-угольника, равной еди-
нице длины, строятся один за другим подоб-
ные многоугольники, с центром подобия в
общей для всех вершине и двумя общими
сторонами, выходящими из взятой вершины
(см. чертеж для случая л = 4); длины сто-

* То-есть всех делителей, за исключением де-
лителя, равного самому числу.

рон должны возрастать при этом на 1 при
переходе одного многоугольника к следую-
щему. Будем нумеровать по порядку, начи-
ная с общей вершины, все точки сторон
многоугольников, отстоящие друг от друга
на 1, так, чтобы, обходя периметры 1-го,
2-го, 3-го и т. д. многоугольников, в направ-
лении вращения часовой стрелки, занумеро-
вать каждую такую точку только один раз.
Тогда на той, общей всем многоугольникам,
стороне, на которой окажется точка с номе-
ром л, расположатся последовательно л-уголь-
ные числа различных порядков, начиная с
1-го: 1л, Зл—3, 6л — 8. . . и т. д.

Не трудно видеть, что всякое л-угольное
число лг-го порядка есть, таким образом,
сумма т первых членов арифметической
прогрессии, первый член которой всегда =1,
а разность равна л — 2. Таким образом, тре-
угольные, квадратные, пятиугольные и т. д.
числа лг-го порядка суть суммы л> первых
чисел прогрессий.

1, 2, 3, 4,. . ., т

1, 3, 5, 7,.. .2лг — 1

1, 4, 7, 10 .. .Злг —2

Поэтому общее выражение для л-угольного
числа лг-го порядка будет:

(1>

Приняв выражение (1) как определение
л-угольного числа лг-го порядка, будем счи-
тать, что числа л и т в (1) могут прини-
мать следующие значения:

л = 3, 4, 5 ... и т. д.
лг=О, 1, 2, 3, 4... и т. д.

В течение почти двух веков (XVII — XIX)
многоугольные числа привлекали к себе
внимание математиков, пытавшихся доказать
следующую теорему, высказанную, но не
доказанную Ферматом:

„ Всякое целое положительное число
может быть представлено в виде
суммы трех треугольных, четырех
четырехугольных, пяти пятиугольных
и т. д. чисел".

Впервые эту теорему доказал Кош и*,

* Mem. de I’Jnstitut de Path,—14, 1813 — 1815,
p. 177’, см. также Oeuvrts (2), 6, p. 320.

Современное изложение этого доказательства
см. у ₽. Bachm onn’a „Arithme.ik der quadratl-
schen Formen", I, 1925, S. 155 — 162.
видоизменив ее условие следующим обра-

зом:

„ Всяко.’ целое положительное число
может быть представлено в виде
суммы п п угольных чисел, из кото-
рых, по крайней мере п — 4 числа
суть 0 или 1“.

Мы не будем приводить здесь доказатель-
ство э ой теоремы, отсылав читателя к ис-
точникам, указанным в примечании. Насто-
ящая заметка рассматривает другую, более
простую задачу, относящуюся к многоуголь-
ным числам, а именно: она имеет целью
указать алгоритм для нахождения всех
пр'дставлений заданного натурального числа
числами многоугольными и дать иескопько
элементарных зависимостей между многоу-
гольными числами различных угольностей и
порядков.

2. Пусть задано целое положительное чис-
ло л. Обозначая через х — порядок, а через
у — угольность фигурного числа, найдем все
целые положительные решения неопределен-
ного уравнения третьей степени:

po-i = х + (у — 2) . (2)

Гак как всегда

Р>) = 0 и Pf=l,

и так как чисел, угольность которых меньше
трех, не рассматривают, то, решая уравне-
ние (2), будем считать, что:

Итак:

2SxS[l/2/V], (5)

где знак [Д] обозначает наибольшее целое
число, заключающееся в А.

Уразнеиие (4) равносильно такому:

Су-2)(х-1)-Н2=^, (6)

или такому:

(y-2)x + 2 = “fcp-J. (7)

Отсюда заключаем, что оба числа

2N 2(N— 1)
— и —-------т—

одновременно должны быть числами целыми,
а так как кроме того х и х—1 будут
всегда взаимно-простыми между собою, то,
принимая вс внимание (4), (5), (6) и (7),
приходим к следующему выводу:

Длч того чтобы число х было поряд-
ком фигурного числа представляющего
заданное число N, необходимо и доста-
точно, чтобы.

а. Удовлетворялось неравенство:
2Sxg[| 27?]Г

b. Чтобы х было делителем чи-
сла 2V, а х — 1 делителем числа
2-(V — 1).

Достаточность условия вытекает непосред-
ственно из уравнения (4):

х^2; (3)

Уравнение (2) всегда имеет очевидное
решение:

х — 2, у — N,
которое дает

N -= PW.

Это представление числа W будем назы-
вать тривиальным.

Из (2) получаем:

д _ _2W-1) Vf ...

У 2 х(к — 1) х— 1 х • W

На основании второго из неравенств (3)
заключаем, что:

2(N — >)~^х(х — 1),
откуда

х(х-|- 1)S2V,

и, следовательно:

x<Z\/'2N'.

В силу вышесказанного алгоритм для на-
хождения всех представлений числа N будет
таков: раскладываем 2/V и 2-(N—1) на
первоначальные множители и строим все
возможные делители этих чисел, удовлетво-
ряющие неравенству (5); отобрав те из иих,
которые удовлетворяют условию (а), нахо-
дим порядки, а по (2) и угольности иско-
мых представлений.

Пример /7=2", где п натуральное
число.

Имеем: 2/7= 2П+1; 2-(А/-1) =2 (2я — 1);

п+ 1
/Г\/=2 2 .

Так как делителями числа 2 могут быть
солько степени двух, то можно, очевидно,
положить-

2S/<2 [“] •
Итак, мы должны теперь искать делителей
числа 2(М—1) среди чисел вида

2т — 1, где 1 SnS [ .

Так гак 2т— 1 всегда нечетно, то достаточ-
но подобрать т так, чтобы число 2т — 1 было
делителем М—1=2"—1, для чего, как
известно, необходимо и достаточно, чтобы
т бы по делителем числа п. Решение вопро-
са сводится, следовательно, к отбору из ряда

Представляет интерес исследование случая,
когда АГ> г>а, где р нечетное простое
число, а также других возможных предполо-
жений о составе делителей числа Л'.

Выведем в заключение несколько про-
стых соотношений между фигурными числами.
Из общего выражения (1) легко находим*

Р«=Рт+(« —3)/^‘-г

Сложив почленно ряд равенств:

чисел

1; 2; 3,.

л— 1

~2~

Е<31_ р(3)
‘ т — ' т

р^р%+р^

делителей числа п.

Пусть эти делители будут:

Г1 = Ъ г2> Л3> • • • rs<

мы получим тогда s различных представле-
ний заданного числа N — 2". Порядки х для
этих представлений будут равны:

Хд = 2; х2 = 2г“; х3 = 2Г», . . . xs — 2r*,

а соответствующие угольности у будут:

j, = 24--2(?"~--—i=l,2, 3, ...,э.

' 1 2Г‘—1

Рассмотри* два случая:

n — 2k и n = 2k-\-\.

Пусть я = 2А; тогда

1 k.

Если k — число простое, большее двух,
то возможно только три представления:

х.=2; х2 = 2?; х, —2й;

V, = 2*й; у = 4 (2г*-* + П . л = 4

Если, например, М=214= 16 384, то по-
лучим:

16 384 = Р <1С 384) = р (2732) = Р(4)
- 2 4 128-

Для случая k—2 возможно только два
представления:

P(i6)=po = 16.

Пусть теперь п= 2fr-f- 1; тогда

1 а 4-1.

Решений столько, сколько существует дели-
телей числа 2k -|- 1, не превосходящих
k 4- 1 Если 2п 4- 1 есть число простое, то
существует только одно тривиальное пред-
ставление:

дг—22ft+1 = pw.

р(5)=р(3) I 2р(3)

' т т 1 т __ 1

и замечая, что треугольные числа m-го по-
рядка имеют вид:

р(з)_ m(zn + I)1

Гт— 2 >

найдем следующее выражение для суммы
многоугольных чисел одного и того же
порядка, но различных угольностей:

(*)

/=з

Сумма т первых треугольных чисел может
быть приведена к виду:

^Р(?=у[1’2+2’3 + 3'4 + - ' т(,П^

/=1 1

4-1)1=-1[1.2-з4-2-з-з-|-з-з 44-.. 4-

4- 3-т-(т 4- 1)]-

Замечая, что сумма первых k слагаемых,
стоящих в скобках, равна k(k-^- 1)(А4~2),
находим:

пР и(т + П(я4-?)

2.~ 6 • <8’

Складывая почленно ряд равенств:

Р(?=1 -]-(я — 2) Р?

Ж=2 4-(я — 2) Р?

Р^’ = я:4-(я-2)Р<111,
и принимая во внимание формулу (8), полу-
чим выражение для суммы первых т чисел
одной и той же угольности, равной п, и
порядков от 1 до т включительно:

£ pH = т (т+ П _ 2) „ + 5J Г)

7=1

Комбинируя формулы (*) и (**) и сумми-
руя в каком-либо порядке, например, сна-
чала по индексу /, а затем по /, получим:

У У pW= МГл+Д(л-2) [т (п_ 1} _
z=d ;=1

-« + 7]. Г*,

Последняя формула дает сумму следующих
фигурных чисел:

А3)+р2) + . • . + ^3) +

+ А4) + ^2)+--. + ^) +

+ Р1Л) +Р'2Я)+- • • + /’»

ЗАМЕТКА О ЧИСЛЕ РАЗЛИЧНЫХ ФОРМ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Р. БОНЧКОВСКИЙ (Москва)

1. Многоугольником мы будем называть,
как это принято в элементарной геометрии,
замкнутую ломаную линию, расположенную
на плоскости без самопересечений. Известно,
что многоугольник делит плоскость на две
части, из которых одна лежит целиком в
конечной части плоскости, а другая содер-
жит сколько угодно далекие точки плоскости.
О первой части говорят, что она лежит
внутри многоугольника; о второй,— что она
лежит вне многоугольника. Над многоуголь-
ником мы будем производить операцию, кото-
рую назовем деформацией многоугольника.
&га операция состоит в том, что все вер-
шины многоугольника заставляют непрерывно
скользить по некоторым кривым в плоскости
многоугольника, причем все его стороны со-

Черт. 1.

о гветствующим образом укорачиваются или
удлиняются. Так, например, четырехугольник
ABCD путем деформации можно превратить
в четырехугольник ABCD' (черт. 1); для этого
достаточно засгаьить вершину D пробежать
отрезок £)£)'. Сторона AD при этом укора-
12

чивается и превращается в отрезок AD';
сторона CD удлиняется и превращается в от-
резок CD'. Тошо так же четырехугольник
ABCD можно путем деформации превратить
в четырехугольник ABCD" (черт. 2); для
этого'достаточно заставить вершину £Г про-
бежать отрезок DD".

Единственное ограничение, которое мь.
введем, состоит в том, что в процессе

деформации не должно происходить само-
пересечений многоугольника. Очевидно, даже
при наличии этого ограличения любой много-
угольник может быть преобразован путем
деформации во всякий другой многоуголь-
ник с тем же числом вершин.

2. При преобразовании одного многоуголь-
ника в другой с помощью деформации мотут
представиться два различных случая: либо
преобразование одного многоугольника в дру-
гой можно выполнить таким образом, что во
время деформации число сторон многоуголь-
ника не изменяется, либо при преобразовании
одного многоугольника в другой число сто-
рон многоугольника хота бы один раз умень-
шается, независимо от того, какой именно
деформацией выполняется преобразование.
Мы будем говорить, что многоугольники
имеют одну и ту же форму, если налицо
первый случай; во втором случае мы будем
говорить, что многоугольники имеют различ-
ную форму. Так, в предыдущих примерах
четырехугольники ABCD и ABCD* имеют
одну и ту же форму, в то время как четырех-
угольники ABCD и ABCD" имеют различную
форму. Действительно,, при деформации че-

Черт. 3.

тырехугольника ABCD в четырехугольник
ABCD", в тот момент, когда вершина D
попадает в точку Е, четырехугольник ABCD
превращается в треугольник АВС. При этом
невозможно провести это преобразование так,
чтобы в процессе деформации четырехуголь-
ник ABCD не превращался в треугольник.

Наша задача буает состоять в определе-
нии числа различных форм л-угольниког для
любого значения п. Это число будем обоз-
начать символом Фя.

Для мааых значений п числа Фп легко
определяются путем непосредственного вычер-
чивания многоугольников. С возрастанием п
О сс

гой — меньше 180°. Один из этих углов
принадлежит той части плоскости, которая
лежит внутри многоугольника; этот угол
будем называть внутренним углом много-
угольника. Если внутренний угол многоуголь-
ника больше 180°, мы будем называть его
входящим углом. Так, на чертеже 2 четырех-
угольник ABCD" имеет входящий угол AD"C.
Внимательный читатель сейчас же заметит,
что два одноименных многоугольника имеют
одну и ту же форму, если они имеют одно
и то же число входящих углов, которые на
контурах многоугольников одинаковым об-
разом чередуются с остальными их углами.

4. Если же два одноименных многоугольника
имеют разное число входящих углов или же
равное число входящих углов чередуется с
другими углами на контурах этих двух много-
угольников различным образом, тоэти много-
угольники имеют разную форму.

Действительно, в этом случае при дефор-
мации по крайней мере один угол, который
до того не был входящим, делается входящим,
или наобороа. Но при деформации много-
угольника его углы изменяются непрерывно,
поэтому, изменяясь от значения, меньшгго
180°, до значения, большего 180°, или при
обратном изменении, этот угол до окен по
крайней мере один раз принимать значение,
равное 180°. Но в тот момент, когда этот
угол равен 180°, число сторон многоугольника
уменьшается. Из изложе шого видно, что это
уменьшение числа сторон происходит неза-
висимо от того, как производилась дефор-
мация, а лишь от того, что входящие углы
на контурах этих двух многоугольников распо-

Черт. 4.

число Фя очень быстро возрастает, и опре-
деление его делается весьма затруднительным.
Приводим значения Фл для небольших зна-
чений п:

Ф3 = 1; Ф4 = 2; ФБ = 4; Фв = 8; Ф7 - 15.

На чертежах 3 и 4 изображены различные
фирмы четырех- и пятиугольников.

3. Две стороны многоугольника, имеющие
общ} ю вершину, образуют на плоскости два
угла, из которых один больше 180°, а дру-

ложены различным образом. Отсюда следует,
что рассматриваемые многоугольники имеют
различную форму

Заметим, что какова бы ни была форма
многоугольника, по крайней мере три его
угла не являются входящими.

5. Пусть теперь число сторон многоуголь-
ника п=р, где р — некоторое простое чис-
ло. Перенумеруем вершины многоугольника
в порядке их расположения га контуре чис-
лами 1, 2, 3 ... р.
Существует только одна форма p-уголь-
ника, не имеющего входя цих углоь. Это —
выпуклый м.огоугольннк. Символически это
мы запишем гак:

Ф° = 1.
р

Точно так же существует только одна
форма р-угольника с одним входящим углом.
Действительно, любой из углов многоуголь-
ника может быть входящим; это дает р много-
угольников. Но достаточно сделать цикличе-
скую нереста ивку номеров вершин, чтобы
убедиться, что все эти многоугольники тож-
дественны. (Последовательность 1, 2, З...р
при циклической перестановке переходит в
последовательность 2, 3 ... р, 1.) Этому соот-
ветствует такая деформация многоугольника
1, 2, 3.. .р в многоугольник 2, 3, ..р, I,
при которой первая вершина переходит во
вторую, вторая—в третью и т. д. Если
первый многоугольник имел входящий угол
с вершиной 1, а второй многоугольник имел
входящий угол с вершиной 2, то эта пере-
становка показывает, что многоугольники при-
надлежат к одной форме, гак как она пока-
зывает, что входящие и невходящие углы
расположены одним и тем же способом на
контурах обоих многоугольников. Таким об-
разом:

ф* = 1.
р

Для р-угольника с дзумя входящими углами
получаем:

ф2 _PZ11

р 2 •

не может быть равно k2, так как тогда п
было бы четным числом, как это следует
из равенства k — i=n-\-i — kA и, следова-
тельно, полученные ранее (р— 1) многоуголь-
ники действительно попарно тождественны.
Благодаря этому, истинное число р-угильни-

р — 1
ков с двумя входящими углами равно .

Можно р-угольник с двумя входящими
углами превратить в р-угольник с тр.-мя вхо-
дящими углами, если один из его остальных
углов превратить во входящий. Это превра-
щение можно проделать (р — 2) способами.
Следовательно, получится

(р — 2) Ф2

многоугольников с тремя входящими углами.
Но можно, подобно предыпущему, показать,
что эти многоугольники по три тождественны,
если число п — р простое число. Поэтому
действительное число р-угольников с тремя
входящими углами есть

фз 1) (jP—

л 2-3

Воспользовавшись методом математической,
индукции, можно показать, что вообще:

Ф* =(Р~,)(-9~2 з'' {£=2.3..., р - 3>.

Для k — р — 2, р — I, р мы получаем
Ф*—0

Действительно, имеется лишь одна форма
многоугольника с одним входящим углом;
если один из остальных его углов путем
деформации также сделать входящим, много-
угольник превратится в многоугольник с двумя
входящими углами. Поскольку имеется (р — 1)
углов, над которыми может быть проде-
лана ’ эта операция, число многоугольников
с двумя входящими углами окажется рав-
ным (р—1). Но эти многоугольники по
два тождественны. Действительно, пусть i и
k — номера вершин входящих углов. Выпол-
ним циклическую перестановку, переводящую
номер i в k. Тогда вершина, ранее имевшая
номер k, теперь будет иметь номер I, а вер-
шина i приобретает теперь какой-то новый
номер fej, причем или k — i=i — k„ или
k— i = —ky. Так как при изменении

нумерации сам многоугольник не изменился,
то многоугольник с входящими углами ink
тождествен многоугольнику с входящими
углами i и k,. При п=р простому числу k
14

так как не существует р-угольника, число
входящих углов которого превышает п—3.

6. Теперь легко определить общее число
различных форм р-уюльника:

Ф = фо ф1 ф2 I фЗ I . . . I фр -'3

Р Р * 1 Р ' Р ' Р> ' Р

_1_ <fiP -2 _1_ <Т>Р — 1L <Т>п-1 1 1 I Р 1

(р-П [р -2)

п 2-3 ' '

(р-1)(р-2)---[р-(р-3) + 1]

2-3- (р —3)

р — 1 । (Р — Г (Р — 2)

, (р —1)(р —2)

^.3

(р-П(р-2)- ,

2-3

Р — 1

р 1 ' 2 1

, (р- 1>(р —2)

Р— [

11 2-3 I

1 Р 2 Р

р(р~1) , р(р- 1)(л —2)

1 2 "Г 1 2-3
। । P<P~ D(P —2) । P( v— ) I

г 1-2-3 ' 1-2 "

4Hi]-^-7=70 + i)f-
p-1 2_2P —2 g—1

2 p p 2 '

или окончательно:

p p 2

Для первых значений p получаем:

ф =1; Ф =4; Ф7 — 15; Ф„ = 181;

Ф13 = 624.

7. Я не ставлю своей целью дать полное
решение задачи; мне хотелось только обра-
тить на нее внимание читателей. Я надеюсь,
что кто-нибудь из читателей займется ею
и найдет решения для того случая, когда
число п вершин многоугольника есть число
составное.

8. Следует обратить внимание на естест-
венное обобщение задачи, которое полу-
чается, если рассматривать многоугольники
в смысле Пуансо (L. Poinsot) и Мёби-
уса (А. F. Motins). Пуансо определял
«-угольник как фигуру, которая получится,
если п произвольных точек Д,, А2,... Ап
плоскости соединить прямолинейными отрез-
ками так, чтобы каждая точка была соеди-
нена со следующей по порядку точкой и
чтобы последняя точка была соединена с пер-
вой. Очевидно, при таком определении много-

угольника не исключается возможность его
самопересечений. Мёбиус определял «-уголь-
ник как систему конечного числа о резков,
из которых каждый каждым своим концом
смыкается с одним из остальных отрезков
системы. Если при этом ввести ограничение,
что отрезки системы должны образовывать
одну цепь, то определение Мёбиуса и Пуансо
в сущности дают одно и то же геометриче-
ское образование.

Будем называть многоугольник Пуансо
особым, если хотя бы одна из его вершин
лежат на одной прямой с двумя соседними
вершинами, или лежит на одной из сторон
многоугольника, или совпадает с другой его
вершиной. Два «-угольника (не являющихся
особыми) будем считать имеющими одну и
ту же форму, если один из них может быть
превращен в другой с помощью деформации
так, что во время деформации многоугольник
ни разу не превращается в особый много-
угольник; если же такое превращение невоз-
можно, многоугольники должны считаться
имеющими разную форму. Обобщение рас-
смотренной нами задачи состоит в опреде-
лении числа различных форм «-угольника-
Пуансо.

Наконец, можно рассматривать ориентиро-
ванные многоугольники Пуансо. т. е. такие,
у которых различают положительное и отри-
цательное направление обхода ко <тура.

Из изложенИЪго читатель может видеть,
что рассмотренная нами задача в ее общей
постановке черезвычайно сложна и интересна.

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ДЛИН БИССЕКТРИС ВНУТРЕННИХ И ВНЕШНИХ
УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА

Доц. ЗЕТТЕЛЬ (Москва)

1. В настоящей заметке я хочу предло-
жить один способ вычисления длин биссек-
трис и показать, что ряд формул для реше-
ния косоугольных треугольников легко по-
лучается, если для их вывода использовать
формулы дтя вычисления длин биссектрис.
Докажем предварительно одну вспомогатель-
ную теорему, на которой можно основать
вычисление биссектрис внутренних углов
треугольника.

2. Биссектриса внутреннего угла треуголь-
ника делится в центре вписанного круга так,
что отношение отрезка от вершины угла до
центра к отрезку от центра до основания
равно отношению суммы двух сторон треу-

гольника к третьей, противолежащей вер-
шине, из которой биссектриса выходит.

Пусть из вершины В треугольника АВС
проведена биссектриса BD. Если О— центр-
вписанного круга, то:

ВО __а + с,

OD~~b~
Из треугольника ABD имеем
ВО __ АВ
OD~AD'

Из треугольника АВС получаем
AD с
ВС~~ а ’

AD 4- DC_с + а .
AD с ’

Подставив в равенство (1) значение AD,
получим

ВО___с (а + с) _

ОО ~ be ’.

во _а + с _

OD b •

Итак, теорема доказана.

Составив из пропорции (2) производную,
найдем, чю

ВО JrOD _ аА-Ь 4-с ___ 2р

ВО а-^-с а-}-с" ' ’

Обозначив биссектрису из угла В через рв,
перепишем равенство (3) следующим обра-
зом

Ъ = а2'-'В°- <4>

3. Из прямоугольного треугольника ОМВ,
где ОМ = г; ВМ = р — Ь, легко вычи-
слить ВО'.

ВО - /г2 -|- (р — 6)2.

где 5—площадь треугольника АВС.

В0 Ур(р — аНр — Ь)(р — с) р2(р — Ь)*
_____________________Р_ ____ *

во , У Р(Р~Ь} [р2 ^арА-ас—рс+р2 - pb\ _
_____________________Р_____________

_ Ур~'р ~~Ь [ с + 2р‘4 — р (с- » ч- с)]

oq= Уаср(р-Ь)

Подставив в равенство (4) значение ВО,
получим

R — 2р РФ — Ё) _ 2 Уаг,Р (р ~ р)

’’в " (а г с) р а-\-с

По аналогии

₽л = a^Tb ^~ЬсР (р ~ я)

Рс=я-2-7 Уpab (р - с).
1 с a b

4. Равенство (4) дает возможность легко
.В В .В

выразить sin у, cos у и tg 2 через стороны
треугольника.

Действительно,

. В ОМ s

sin —- — -5— =---------=

2 ВО Уаср(р — Ь)

—tf {р-а^Р-с} .

V ас ’

сп л___mb _yfp(p ь}.

2 ВО У ас •

to — = тЛ<Р — д) (Р ~ г>

ё 2 V Р(Р-У) ’

Основываясь на равенстве

ВО___с + а

OD ~ ~Ь~ ’

легко получить первую формулу Мо, [ьвейде

ъ .в •
Sin у

Из треугольника BAD имеем
. , В \ А —С

ВО _ АВ sin ADB_Sin \С+ 2 ' C0S i
OD~AD . В В В~'

SHly sin у sin у

ВО а 4-е .

а так как — ~&—» то формула Моль-

вейде получена.

5. Интересное соотношение получим, пере-
множив длины отрезков ВО, АО, ОС, т. е.
длины отрезков биссектрис от вершин до
точки их пересечения.

во_ Уаср(о-Ь) . А0 УЬср (р - Ь) .

Р Р '

со = УаЬр(° -с)

АОВО-СО-= а2Ь’2с2Р3(Р — а^Р—ЬЦр-с) __

= = = <6>

Равенство (6) позволяет вывести две инте-
ресные формулы. Из треугольника ОМВ
имеем

ВО

В-
Sin у

Аналогично

АО=—А‘ =

ЯП -у Sill —
Перемножив полученные равенства и при-
няв во внимание равенство (6), получим

. А . В . С
sm TrSin sin --
X xS z

4/?r2.

Отсюда \

. n . A . В . C
r=4f?sin 9 sin 2 sin у . (7)

Так как

ао=^—£, BO=^—^, CO=^—^,
AHL.

COS — COS у COS у

то легко получим следующую формулу:

(Р — а)(р — Ь)(р — с) =

. _ „ А Р С

= ARr cos 9- cos — cos у ;

/2(Р- а){р — Ь)(р — с) =
ARC

; = ARr2p2 cos cos — cos у ;

p = 4R cos у cos у cos у. (8)

Формула (8) дает возможность легко полу-
чить известное соотношение: »

sin А sin В -f- sin С=
. АВС
— 4 COS у COS у COS у .

Действительно,

1R (sin А + sin B-f-sin С)_
Р______________________2 —

— R (sin А 4- sin В 4~ sin Q-

Подставив в равенство (8) значение р,
получим

sin A 4~rsin В 4~ sin С=

.АВС ,п.

= 4 cos у cos у cos у. (9)

Подставив в равенство (10) значение D,A
из равенства (И), получим

ВО, _с(а - с)_а-с

O,D, ~ be ~ b ’ 1 1

ВО, 4- О,Р,_a -\-b — с_21р — с)

ВО, а —с а —с

Обозначив биссектрису BD-, через [Д, по-
лучим:

^-^~С-6 * В°г ПЗ)

Опустим из О, перпендикуляр 0,711, на
сторону АВ- — радиус вневписанного
круга ^=——,5^—отрезок от вершины
Р ь

до точки касания вневписанного круга, рав-
ный, как известно,/? — а. Из треугольника
ВМг0 получим

ВО, = |/ (;,-^)2+ (р-а)* =

__У(р - с} (р— Д)[р(р —о + (Р —с)(р —о)1
р — с •

, _V(p—a)(P—c)(p*—pb+ p-i—pc—pa+ac)
1 р — е

ВО,= ]/^р-а)(р-0

1 р — с ' '

Подставив в равенство (13) значение ВО,
из равенства (14), получим

V ас (Р —а)(р—с) •

7. Равенство (10) позволяет легко вывести
вторую формулу Мольвейде:

6. Для вычисления длины биссектрисы BD-,
внешнего угла треугольника рассмотрим
треугольник BAD-,. Пусть АОг — биссектриса
угла BAD-,', О,— центр вневписанного круга,
касающегося стороны АВ. Из треуголь-

ника BAD,, где AD,—биссектриса, имеем:
7?Oi АВ п /ini

O,D~D,A’ ( J

Из треугольника BD,A имеем

ВО,___ВА ___sin BD,A__sin BD,A

O,D, AD, ~ sin D,B A В

1 * cos—

Из треугольника D,BC найдем
ZBZ?1/i4-|4-4 + c=n,

Из треугольника ABC найдем, что BD,— / BD А = —_____—- — С А ~с

биссектриса внешнего угла треугольники— 2— 1 2 2 2

делит АС так, что D,A с_. D,C а ’ Итак, во, _ А—С sin
L>,A с АС а — с' 2 Л1атематика и физика № 4. (И) » * . «адлг&| ЬНвЛ"< -s - АЯ ЧЬ» - v ‘ Л Ofi, В c°s
Заменив ВОу OyDy ег0 получим значением из равен- получим формулу7 тангенсов:
ства (13), вейде: вторую формулу Моль- а + с . А—С Cts~2~
а — с _ . А —С Sill —— (15) а — с . В ctgy
ь В cosv а + с , A-t-C 2

Разделив равенство (5) и равенство (15), а —с А —С'

т. е. первую формулу Мольвейда на вторую, 2

(16)

О КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ

Проф И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. Основным способом решения всякого
квадратного уравнения является приведение
его, с помощью различных преобразований,
к виду двучленного уравнения: х2 — п, реше-
ния которого хг = п их = — Vп- Таким
образом, решение квадратного уравнения сво-
дится к действию извлечения квадратного
корня. В зависимости от вида подкоренного
количества п корни при этом могут оказаться
действительными или мнимыми; действитель-
ные корни могут быть рациональными или
иррациональными. Б учебниках алгебры из-
лагаются классические методы для приведения
к двучленному виду и вывода формул реше-
ния приведенного квадратного уравнения:
х2рх= О и неприведенного: ах--|-

Ьх -ф- с = 0. В настоящей заметке мы имеем
в виду изложить различные другие способы
для вывода формул решения квадратных урав-
нений, а также коснуться ряда вопросов,
связанных с решением этих уравнений и мало
освещенных в учебной литературе.

Важнейшим способом преобразования алге-
браических выражений является способ под-
становки вместо входящих количеств — дру-
гих, связанных с ними определенным образом,
причем целью подстановки является получе-
ние более простого выражения. Имея это в
виду, применим к решению неприведенного
квадратного уравнения:

х2 -)- рх -]- q = 0,

подстановку х=у — у ; тогда получим:

или, после упрощения:

У=т~

т. е. мы пришли к двучлен юму квадрат юму
уравнению. Отсюта

а следовательно,

или, окончательно:

В зависимости от знака поткоренного выра-
жения полученные корни могут быть оба дейст-
вительными или оба мнимыми; наконец, они
будут равными при^-=^.

2. Переходя, в частности, к решению чи-
словых уравнений 2-й степени по вышеприве-
денной формуле, заметим, что оно становится
особенно простым, когда коэфициент р
число четное: р = 2р*. Действительно, тогда
x=—p^Vp"1 — q. (1)

Заслуживает особого внимания тот случай,
когда р целое число, оканчивающееся ну-
лем. Тогда число р'= оканчивается циф-
рой 5, но такие числа, как легко видеть,
особенно легко возводить в квадрат. Дейст-
вительно, пусть N=10m4-5; тогда № =
= 100 т2 -ф- 100 т -ф- 25, или №=•-
100 т (<гг1) -|-25, т. е. N2 содержит т (тф-1)
сотен и 25 единиц. Следовательно, чтобы воз-
вести в квадрат число, оканчивающееся
цифрою 5. надо число десятков, заключаю-
щихся в нем, умножить на число, единицею
большее, и к полученному произведению при-
писать 25. Например, чтобы возвысить в квад-
рат число 35, надо число десятков в нем,
г. е. 3, умножить на число единицею большее,
т. е. на 4, получим 12; приписывая 25, най-
дем: 352=1225; подобно этому, найдем:
852 = 7225; 6952 = 483 025 и т. п. Обратно,
может случиться, что требуется извлечь квад-
ратный корень из числа, оканчивающегося на
25 и обладающего тем свойством, что число
сотен в нем представляет произведение двух
целых последовательных чисел. Тогда, на осно-
вании сказанного, для извлечения квадратного
корня из данного числа, достаточно взять
меньший из полученных сомножителей и при-
писать к нему 5. Например )/5625 = 75;
]Л819025 =905 и т. п. Ясно, что изложен-
ные приемы возведния соответствующих чи-
сел в степень и извлечения из них квадрат-
ного корня могут быть прилагаемы и к де-
сятичным дробям, а также к целым числам с де-
сятичною дробью, оканчивающейся на 5, нап-
ример: 0,452 = 0,2025 ; 8,52 — 72,25 и т. п.;
точно так же: )/30,25 = 5,5; |/0,4225 =
= 0,65 и пр.

На основании сказанного легко решать
по формуле (1) квадратное уравнение приве-
денного вида и в том случае, когда коэфи-
цнент р оканчивается нечетной цифрою, так
как половина его р' будет представляться
целым числом с десятичной дробью, оканчи-
вающейся на 5, и, следовательно, легко может
быть возведена в квадрат; например, решая
уравнение: (

х2— 17 х-|-66 = 0,
получим:

х = 8,5 ±/72,25 — 66,

ИЛИ

х=8,5±/б,25, т. е. х = 8,5-4-2,5;

следовательно,

хг = 11; х2 = 6.

Итак, приведенное уравнение:

х2 -J- рх4-}- д = 0,
следует во всех случаях решать по формуле
(О, т. е. _______

х = — р' -4- / р'2 — q,

причем р' половина коэфициента р.

3. Формула для решения приведенного
квадратного уравнения может быть выведена
еще следущим способом, не встречающимся
в учебниках алгебры: так как х в общем
случае будет числом иррациональным, то
положим, что уравнению

х2 рх -|- q — 0

2 '

удовлетворяет число х = а-|-]/р, где 0 не
есть полный квадрат.

Подставляя значение х в уравнение, най-
дем:

a2-f-2 a'Kp4-₽4"Pa+PF/P+? = 0.
или

(а2 + р+ра q) -]- (2 а4~р)/р = 0.

Такое уравнение* если р не есть точный
квадрат, может быть удовлетворено только
тогда, когда в отдельности

а24-Р4_Ра-|-'7 = 0, и 2а4-р = 0.

Но из последнего уравнения находим а~
р

= — а подставляя это значение в первое
уравнение, получим:

-?-Н-т?-Н=о.

откуда —q

Итак,

Но ясно, что при тех же значениях а и р
корнем уравнения будет а — /р, т. е. для х
можно взять и значение

Наконец, если даже р есть полный квадрат,
очевидно, что значения аир, обращающие
в нуль выражения:

(а2 4-₽ + />« + ?) и (2а4-р)

непременно обратят в нуль и выражение

(а2 4- Р + р а + д) ± (2 а 4- Р)

т. е. удовлетворят данному уравнению; зна-
чит, формула решения

является действительно общей, справедливой
й для действительных и для мнимых корней.

4. Формула для решения непривеленного
уравнения

ах2 -J- Ьх 4- с = 0,

в учебниках алгебры обычно выводится при
помощи разделения обеих частей его на а,
что ведет к уравнению приведенного вида

19
решая которое, получаем:

— b ± 1/й2 — 4ас
х~ 2S

Однако и эту формулу можно получить
иначе, пользуясь способом подстановки. Имен-
но, умножая обе части неприведенного урав-
нения на а, получим: а2хг-[- abx-\-ac = 0;
затем, положив ах=у, будем иметь приве-
денное уравнение:

-|'ас = 0;

решение его будет

— b ± j/fr2 — 4ос

У— § ’

а так как х — —, то
а

__— Ь ± У Ь2 — 4ас

Х 2а

Полагая, что b четное число, b — 2Ь', мож-
но последней формуле, после сокращений,
придать вид:

х~Ь' ± |/Ь'2— ас
а

Но той ж<‘ формулой, hi основании выше-
сказанного о возведении в квадрат чисел,
оканчивающихся цифрою 5, можно пользо-
ваться и в тех случаях, когда коэфициент
оканчивается нечетной цифрой. Так, решая
уравнение:

5х2 6х — 11—0,

имеем:

х=—3Д- т. е. х, = 1;

a J

решая же уравнение

3«2-}-5х — 22 — 0,
в 5

видим, что здесь ^'==^- = 2,5, а потому.

_ — 2,5 ± |/б,25 + ьб
а

или
— 2,5 ± l/72^5 —2,5 ±8,5.

х 3 , т. е. х— $ ,

Xj = 2; х2~ з .

Итак, во всех случаях неприведенное
уравнение
ах2 Ьх с — 0,
следует решать по формуле:

х — Ь' ± b'i— ас

а ’

где

‘'-2-

5. После вывода формул для решения
полного и неполного квадратных уравнений
в курсах алгебры обычно выводятся выраже-
ния для суммы и произведения корней при-
веденного квадратного уравнения, т. е. фор-
мулы Виета: х,-(-х2 =— р; х1х3=д. Эти
формулы далее используются для дальнейше-
шего исследования корней уравнения, именно:
для определения их знаков в том случае,
когда очи действительны и различны Одна-
ко такой способ исследования является не-
сколько искусственным. Вместо него можно
пользоваться непосредственным исследованием
корней уравнения, т. е.

xi = —p' + ifp'2 — Ч

и х2 = — р'~- \fp'2—q ^ = р-у

Имея в виду, что здесь р'2 q, рассмот-
рим отдельно два случая:

1) Тогда j/p'2— q будет по абсо-
лютной величине менее р'; поэтому, если при
этом р’>0, то Xj и х2 будут оба отрица-
тельны; если же р'<^0, то оба—положи-
тельны.

2) <7<С0; в этом случае р'2 —q^>p’,
а потому, как при р' положительном, так и
р' отрицательном, х, будет положительным,
х3— отрицательным. Результаты этого иссле-
дования могут быть представаены следующей
таблицей (знак р одинаков со знаком р).

р' я *1 Х-2
+ + — —
— + -L 4-
+ — + —
— + 4-

Подобно этому, можно провести исследо-
вание знаков корней неприведенного урав-
нения

ах2 -j-bx -|-с = 0,

в том случае, когда они действительны и
различны Действительно, имея в вид}, что
а можно сделать всегда больше нуля, и что
корни выражаются формулами

— Ь' +1 Ь'* —- пс, v . — Ь' — \/b'2— ас,
---- ------------- ’ Х«--- -------..----- '

рассмотрим, подобно предыдущему, два слу-
чая:

1) с^> 0. Тогда Ь'2 — ас будет менее
Ь* по абсолютной величине, а потому при
Ь' > 0 оба корня х3 и х2 будут отрицатель-
ны, а при Ь' <^0 — положительны.

2) с < 0. В этом случае Ъ'2— ас будет
по абсолютной величине более Ь', а потому,
какой бы ни был знак Ь', корень х, будет
положительным, а х2— отрицательным. Ре-
зультаты этого исследования можно предста-
вить такой таблицей:

6. Вышеупомянутые формулы Виета, выра-
жающие сумму и произведение корней при-
веденного квадратного уравнения, т. е.

Х1 4 Х2 = — Р’ Х3Х2=Я,

в руководствах алгебры обычно выводятся
непосредственной их проверкой, т. е. сложе-
нием и умножением корней. Можно, однако,
предложить и иной их вывод, остановившись
сначала на случае равных корней. В этом
случае;

— ^ = х2 = —

следовательно:

х]4х2 = 2-(—£•) = — р;

xix2=(—^2 = Q-

Переходя к случаю неравных корней, мы
можем, подставляя их в уравнение, составить
гва равенства:

х12+рх1 4-9 = °;

V + Ру2 + ? = °-

Определим из этих равенств р и д-, для
этого вычтем их почленно и получим:

х/ — х22 -|- р (х, — х2) = О,

а сокращая на (х} — х2), что возможно, так как
будем иметь Xj-J-^ — — Л или

Р = — (х,+х2).

Подставляя вместо р это значение в пер-
вое из предыдущих равенств, получим:

х12— (*i + *г) хл + Я - = О,

откуда следует, что х}х2 — q.

Сумма и произведение корней квадратного
уравнения представляют собою пример про-
стейших симметрических функций
корней, т. е. таких выражений, в которых
х1 и х2 можно переставить на место друг
друга без изменения величины этих выраже-
ний. Можно показать, что и любая симмет-
рическая функция тех же корней уравнения
может быть выражена без его решения через
р и q. Так, кроме суммы корней (х, 4 х2;
и произведения их хтх2, симметрическими
функциями корней являются: сумма их квад-
ратов, кубов, сумма обратных величин кор-
ней и пр., т. е.

+ х22; *13 + *23>‘ ~ " 11 т- Д’

Для этих выражений получаем:
х2+х22= (xi + x2)2 — 2xix2=P2
xi3 + х23 = + хг)3 — 3-V3X2 (*i + Х2> =~

= Р3Н-Зр<7;

= пр.

Хц 1 х2 xtx3 <?

7. Те же формулы Виета могут быть ис-
пользованы для решения различных задач
числового характера, в которых требуется
найти два числа, если вопрос может быть
приведен к выражению связи между их сум-
мою и произведением. Приведем два простых
примера:

а) Данное число р разделить на две части
так, чтобы их произведение равнялось их
сумме, т. е. р.

На основании условия искомые числа х,
и х2 должны быть корнями квадратного
уравнения х2 — рх-]~ р =()•, решая его, бу-
дем иметь:

__ Р ± Vp (Р —4)

Х~~ 2

Исследуя это решение, мы видим, что
если р положительное и р<^4, то корни
уравнения будут мнимыми, и задача оказы-
вается невозможной. При р = 4 корни будут
равными, именно: х1 = х2 = 2, и, действи-
тельно, 2 2 = 2-2 = 4. Наконец, при р>4

корни данного уравнения будут действитель-
ными, неравными и притом положительными,
так как число, стоящее под радикалом, менее
р'2. Однако в общем случае решения будут
иррациональными. Поэтому представляет ин-
терес вопрос о том, какой состав должно
иметь число р, чтобы его можно было раз-
ложить на два рациональных числа, сумма
которых равнялось бы их произведению. Для
решения этого вопроса положим:

Ур2 — 4р=р — 2t,

где t — некоторое рациональное число. От-
сюда:

р2— 4p = p2~4pt-y4t2- 4р (t — 1) = 4£2,

& -г

и, следовательно, р = —- . Тогда x^—t-,
t

*2 ~ ‘

Итак, если р имеет вышеприведенный вид,
причем т0 оно может быть разложено
на два рациональных положительных слагае-
мых, произведение которых равно самому
числу р. Так, полагая t = 2, найдем полу-
ченное уже значение р = 4; делая f = 3,
9 3

найдем Р = 2 MXj = 3; х2=-^ и, действи-
о , 3_____________q 3 ____9

тельно, 3 2" = 3. — = — и т. п.

С) Данное число р разделить на две час-
ти так, чтобы сумма их квадратов равнялась
их сумме, т. е. числу р. Обозначая искомые
части числа р через х, и х2 имеем xt -f- х2 —
=х124-х22; но так как х,2-{-х22=(х] -|- х2)2—
— 2ХдХ2, то получаем уравнение р=р2—
п2 —“ р
— 2q, где q = x1 х2. Отсюда: q= •
Поэтому искомые числа будут корнями квад-
ратного уравнения

х2 — рх У— - = 0.

Решая его, найдем:

Р± Ур (2~/4
2

поэтому имеем два корня:

_р+1р(2 —р). .. р— Vptf — Р')

1 — 2 . х2 —

При положительном р эти корни будут
действительными только при условии 2 >> р.
Если р = 2, имеем равные решения х, = 1 и
х2 — 1. При р <С 2 будем иметь различные
решения, в общем иррациональные. Чтобы
вывести рациональные значения для р, поло-
22

жим Ур(2—p)=zpt; отсюда 2 — p=pt2
2

1 р ~~ 1 + <2 •

Подставляя это значение в выражения для
Хд и х2, будем иметь:

1-М _ 1 — t

xi ~ 1 +ц и хг — ! •

„ , 1 2

Так, полагая г = — , получим р =--=- =

, + 4-

= 1,6; далее имеем

Хд=4 = 1,2; х2=-|=0,4.

J о 2 5

И, действительно,

(1,2)2 -j- (0,4)2 = 1,44 -j- 0,16 = 1,6.

<9. Приведенные в предыдущих примерах
способы для определения условий, когда
корни квадратного уравнения будут рацио-
нальными, могут быть применены к иссле-
дованию общего вопроса о том, когда реше-
ния квадратного уравнения будут рациональ-
ными. Такого исследования не делается в кур-
сах алгебры; между тем, оно представляет
не.сомненный интерес и легко может быть
выполнено следующим образом.

Представляя решение приведенного квад-
ратного уравнения

х2 -|- рх -|- q -|- 0

в виде

х — — р'-Т- [Ур'2—q,
где

положим

Vp'l—q=p' -1,

то гда р'2— q=p'2 — 2р7 4~ /2, откуда q =
— i(2p' — t), или q = t(p — t). Давая здесь
числу t произвольные рациональные значе-
ния, мы получим сколько угодно значений
для q, при которых корни приведенного
квадратного уравнения х2 -\-рх -|- q = 0 вы-
ражаются рациональными числами. Так, при
£=1 имеем q — p—1, откуда следует, что
уравнение х2 4~ Р* Ч-р—1=0, в котором
свободный член на 1 менее коэфициента при
х в 1-й степени всегда имеет рациональные
корни: хг =—1;х2 =—р + 1. Например,
уравнения х24~5х 4~4=0; X2 — 5х—6=0
и т. п. имеют рациональные решения. Полл
гая же р= 10, a t = —3, получим q — — 3 )
и уравнение х24~Юх — 39 = 0, причел
корни х,= 3; х2=—13 рациональны.

Подобным же образом можно вывести ус-
ловия рациональности корней не фиведенного
квадратного уравнения ах2-^- Px-j-c — O.
Для этого положим в формуле решения его

— b'± VV-- ас ,, b

х =---------------; Ь = тг.

а ’ 2 ’

\'Ь'2— ас - Ь'— at,

где I — некоторое рациональное число. Оп-
ределяя отсюда число с,, имеем: Ь'2—ас =
— Ь'2— 2ab't-\-a2t2, следовательно: с =
= t(2b’- at).

При таком значении с х будет иметь вид:

— (Ьг— at) .

Х =-------------, т. е. х,= — 1;

— b + at
Х„ =----- .

Придавая в выведенной формуле для с числу
t какие-либо рациональные значения, будем
получать квадратные уравнения, имеющие
рациональные корни. Так, полагая /=1 и
t ——1, найдем для с соответствующие зна-

чения с=Ь—а и с =—(л 4- Ь), откуда
следует, что уравнения

ях’-|- bx -J- (Ь — а)— О
и

ах2-|- Ьх — (а Ь) = О

всегда имеют рациональные решения;

. — Ь + а

первое: х,=— 1; х2= — _ - -,

а второе:

Полагая же, например, а = 3, Ь=2 и
/ = 5, найдем: с=10— 75 = — 65, и
уравнение примет вид

Зх2 -f- 2х — 65 = 0.

Решая его, получим действительно рацио-
нальные корни:

к 13

*1= — 5; *2= s' •

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОТОГРАФИИ

Проф. К. В. ЧИБИСОВ (Москва)

Приближается 100-летний юбилей сущест-
вования фотографии: офипиальной датой
обнародования метода получения светописного
изображения является 1839 г. С этой датой
связаны три события: 1) сообщение Араго в
Парижской Академии наук (7 января) о резуль-
татах, достигнутых Дагерром; 2) сообще-
ние Тальбота в Лондонском королевском
обществе (31 января) о своем изобретении —
.фоюгеническом рисовании", и 3) первое упо-
минание Джоном Гершелем в сообще-
нии Лондонскому королевскому обществу
(14 марта) слова „фотография" в современном
понимании. Несмотря однако на сравнительно
большой промежуток времени существования
фотографии, теоретические успехи ее физиче-
ского обоснования относятся к последним при-
мерно 25 годам. Такое запоздалое развитие те-
оретической базы современной фотографии,
отразившейся, несомненно, и на ее техническом
состоянии, находится в связи с многократ-
ными изменениями фотографического метода,
предлагавшимися в результате элементарных
и чисто случайных эмпирических наблюдений.
Различные видоизменения фотографического
метода были связаны с поисками более со-
вершенного, в смысле практического приме-
нения, процесса. Особенное внимание, естест-
венно, уделялось вопросу о степени свете

чувствительности тех слоев, на которых
получалось фотографическое изображение.
Характерно, что фотография начинает свое
существование одновременно с двух методов,
разработанных независимо друг от друга,
причем современная фотография создалась,
невидимому, в результате развития изобре-
тения Тальбота, тогда как дагерротипия
постепенно теряла свое практическое значе-
ние. Характерно также, что толчком к мысли
о получении изображения химическим путем
было, как в истории открытия Даггера, так
и в истории открытия Тальбота, наблюдение
оптического изображения.

Таким образом, первый период существо-
вания фотографии характеризуется поисками
метода, который как наиболее совершенный
лег бы в основу практической фотографии.
Началом новой эпохи фотографии следует
считать введение в практику сначала колло-
идной, а затем более совершенной желати-
новой фотографической эмульсии. Открытия,
наметившие новую эпоху в развитии фото-
графии, относятся к концу семидесятых и
восьмидесятых годов прошлого столетия, при-
чем количественный метод, определяющий
возможность точных теоретических исследо-
ваний, был создан уже на рубеже XX столе-
тия. Отсюда становится понятным заметное
отставшие в накоплениях теоретического ма-
териала по сравнению с обильными данными
фотографической практики, относя сюда не
только статическую фотографию, но и дина-
мическую— кинематографию. Основной при-
чиной, послужившей к развитию и углублению
фото1 рафической науки за последнее двад-
цатипятилетие, было применение обобщений и
аналогий на базе достшкений последних лет
в других областях физико-химических знаний.
Задачей настоящего сообщения и является
общий очерк современного состояния взглядов
на физические основы фотографии.

Получение фотографического изображения
слагается из ряда связанных между собой
процессов, последовательность которых на-
глядно иллюстрируется прилагаемой схемой,
предложенной Джонсом. Полный цикл
процессов, в результате которого получается
фотографическое изображение, можно разбить
на две части, повторяющие друг друга, а
именно: на негативный процесс и на пози-
тивный процесс. Сначала фотографируемый
предмет проектируется при помощи оптиче-
ской системы—объектива фотографической
камеры — па светочувствительный слой плас-
тинки или пленки, причем время проекти-
рования в зависимости от освещения предмета,
светосилы обьектива и степени светочувст-
вительности слоя может иногда выражаться
долями секунды. Такого короткого проме-
жутка времени оказывается недостаточно для
получения сразу видимого изображения. Но
его вполне достаточно для образования
скрытых, невидимых глазом изменений, ко-
торые носят назвшие скрытого (латентного)
изображения. После этого светочувствитель-
ный слой с содержащимся в нем скрытым
изображением подвергается сложной хими-
ческой обработке — проявлению, фиксиро-
ванию, промыванию и сушке, в результате
которой получается уже видимое изображе-
ние, но в первой части цикла фотографичес-
ких процессов, оно—обращенное, негативное.
Повторив эти операция, легко получаем по-
зитивное изображение, которое может быть
или на бумаге для рассматривания в отра-
женном свете или на стекле (на прозрачной
пленке) для рассматривания в проходящем
свете. Таким образом, получение фотогра-
фического изображения сводится к приготов-
лению светочувствительного слоя, к получе-
нию затем на нем скрытого изображения и,
наконец, к проявлению, т. е. к превращению
скрытого изображения в видимое. Следова
тельно, для понимания физической сущности
фотографии в основном необходимо знать
физико-химическую природу свегочувстви-
24

тельного слоя и механизм тех пр вращений,
которые дают сначала скрытое, а затем ви-
димое изображение.

Приготовление светочувствительных мате-
риалов составляет задачу фотохимической
промышленности; эти матер |алы поступают
в продажу в виде фотопластинок, фотопленки
(кинопленки) и фотобумаги. Последняя обычно
применяется для получения уже позитивного
изображения. Перечисленные материалы не
имеют принципиального отличия между со-
бой — все они несут на соответствующей
подложке собственно светочувствительный
слой. Последний получается путем нанесения
на подложку фотографической эмульсии, со-
стоящей из желатины и галоидных солей се-
ребра .

Основной частью фотографической эмуль-
сии и являются галоидные соли серебра,
т. е. соединения серебра с хлором, бромом
или иодом. Негативные фотографические
эмульсии, о которых, главным образом, будет
итти речь в настоящей статье, состоят из
бромистого серебра с примесью йодистого
в количестве до 1О°/о. Светочувствительный
слой отнюдь не является однородным, сплош-
ной массы слоем, в чем легко убедиться,
прибегнув к микроскопу. Он имеет зернистое
строение, представляет взвесь чрезвычайно
мелких, но отличающихся друг от друга по
величине частичек бромистого серебра в же-
латине; последняя является, с одной стороны,
средою, твердо удерживающей эти частички
на поверхности подложен, называемые эмуль-
сионными зернами, с другой же — средою,
имеющей чрезвычайно важное физико-хими-
ческое значение в процессе приготовления
эмульсии и проявления слоя Часто эмульсион-
ные зерна имеют явно выраженное кристал-
лическое строение, что можно отчетливо
наблюдать в микроскоп ггрн очень больших
увеличениях, а именно:при линейном увели-
чении от 1500 до 2500 раз. Наиболее часто
встречаются зерна в виде плоских, довольно
разнообразной формы табличек, толщина ко-
торых в 10 раз меньше диаметра. Такие
зерна в виде табличек располагаются при
высыхании эмульсионного слоя вследствие
особых явлений поверхностного натяжения
большей своей поверхностью параллельно
поверхности слоя, что имеет, как очевидно,
очень важное значение при освещении слоя.

Чтобы составить себе представление о ве-
личине эмульсионных зерен, достаточно при-
вести следующие данные: светочувствитель-
ный слой в сухом виде имеет в среднем
толщину около 0,02 мм. в объеме, отвеча-
ющем каждому квадратному сантиметру по-
верхности такого с оя, находятся от 50 до
500 млн. эмульсионных зерен, которые вслед-
ствие очень малой толщины располагаются
в виде большого числа отдельных наслоений,
а именно: в разрезе эмульсионный слой мо-
жет иметь до 100 элементарных слоев зерен;
д (аметр зерен колеблется от десятых долей ji
(1 р= 0,001 мм), до 5 и даже 10 g; в среднем
диаметр зерен высокочувствительных эмуль-
сий равен приблизительно 2 р. Однако не
все эмульсии состоят из зерен с явно выра-
женным кристаллическим строением; встреча-
ются и такие эмульсии, в которых зерна
имеют приблизительно сферическую форму.
Но если такие зерна исследовать при помощи
рентгеновских лучей, являющихся могучим
орудием для распознавания внутреннего строе-
ния вещества в смысле относительного рас-
положения составляющих его атомов, то ока-
зывается, что и такие эмульсионные зерна
имеют внутреннюю структуру, отвечающую
зернам с явно кристаллическим очертанием.

Какая же характерная особенность имеет
место во внутреннем строении кристалличе-
ского зерна, а также вообще кристалла? Чтобы
ответить на этот вопрос, необходимо коротко
коснуться схемы строения атомов и тех при-
чин, которые заставляют различные атомы
соединяться друг с другом, образуя сложные
вещества. По современным взглядам атом
любого вещества имеет строение, в миниа-
тюре повторяющее строение солнечной сис-
темы; как в последней в центре находится
солнце, вокруг которого по различным ор-
битам (замкнутым путям) вращаются планеты,
так и в атоме в центре находится ядро, во-
круг которого на различных орбитах враща-
ются так называемые электроны; центральное
ядро несет в себе всю массу атома и имеет
положительный электрический заряд; элек-
троны же имеют отрицательный заряд — они
являются атомами отрицательного электри-
чества; оказывается при этом, что величина
положительного заряда центрального ядра
в точности отвечает сумме отрицательных
зарядов всех электронов; атомы различных
простых веществ имеют различную массу
ядра и различное число электронов, которыми
определяются различные физические и хими-
ческие свойства атомов.

Под влиянием тех или иных причин атомы
некоторых веществ могут терять электроны,
т. е., иначе говоря, один или несколько
электронов, в зависимости от природы атома,
могут выйти из сферы влияния центрального
ядра. Тогда такой измененный атом теряет
первоначальные свойства атома простого ве-
щества и превращается в положительно за-

ряженную частицу, которой присвоено назва-
ние иона; наоборот, атомы других веществ
могут воспринимать лишние электроны; в этом
случае из первоначального атома возникает
отрицательный ион. Такие противоположно
заряженные ионы и дают начало образования
молекулы (частицы) сложного вещества; в мо-
лекуле положительный ион удерживает около
себя отрицательный; так, например, в случае
бромистого серебра положительный ион се-
ребра соединен с отрицательным ионом брома.
Вполнеочевидно, что для разложения бромисто-
го серебрт на составляющие его атомы необхо
димо тем или иным способом заставить из-
быточный электрон из иона брома переско-
чить к иону серебра, тогда и выделяются
нейтральные, а следовательно, свободные
атомы серебра и брэма; этот процесс назы-
вается восстановлением бромистого серебра
до металлического и может быть совершен
как непосредственно по. действием света,
так и под действием проявляющего раствора

Кристаллические вещества также состоят из
ионов, чередующихся между собою и обра-
зующих более сложную систему, называемую
пространственной кристаллической решеткой;
так, в случае бромистого серебра ионы се-
ребра и брома образуют прос тую кубическую
решетку. С внешней стороны кристаллы чи-
стого бромистого серебра, а также эмульсион-
ные зерна, в очень редких случаях имеют
форму куба; главным образом, они образуют,
как было указано выше, различные, правиль-
ных начертаний таблички, что объясняется
своеобразными условиями их роста.

Если к раствору азотнокислого серебра
(ляписа) прибавить раствор бромистого ка-
лия, то образуется творожистый осадок бро-
мистого серебра, осаждающийся, вследствие
нерастворимости в воде, на дно сосуда, в
котором производилось смешивание. Если же
получение бромистого серебра производить
в присутствии желатины, как это делается
во время прш отделения фотографической
эмульсии, то последняя не дает образующе-
муся бромистому серебру слипаться в ком-
пактную массу и оседать на дно; по причине
такой защитной роли желатины образуется
взвесь мелких зернышек — микрокристаллов
бромистого серебра; в этим заключается
чрезвычайно важное значение желатины. При-
готовленные из такой свежеполученной эмуль-
сии пластинки обладают, однако, незначи-
тельной светочувствительностью. Для повы-
шения светочувствительности свежеприготов-
ленную эмульсию выдерживают известное
время при определенной температуре; эта
стадия приготовления эмульсии называется
созреванием. Процесс созревания фотогра-
фической эмульсии как с принципиальной,
так и технической стороны распадается на
две части. В первой части совершается, глав-
ным образом, кристаллизационный процесс,
заключающийся в росте микрокристаллов бро-
мистого серебра. Оствальдом и другими
исследователями было показано, что рост
микрокристаллов происходит вследствие не-
одинаковой растворимости частиц различной
величины: мелкие частицы обладают большей
растворимостью, поэтому их вещество, пере-
ходя в раствор, служит для роста более
крупных частиц. Во второй части процесса
созревания происходит повышение светочув-
ствительности, причем это повышение связано
с ростом индивидуальной светочувствитель-
ности отдельны)! эмульсионных зерен. Таким
образом, получается фотографическая эмуль-
сия, состоящая из микрокристаллов галоид-
ного серебра, окруженных желатиной и
обладающих различной светочувствительно-
стью. Следовательно, название .-фотографи-
ческая эмульсия” следует считать техничес-
ким термином, так как в действительности
это не эмульсия, а полидисперсная кристал-
лизационная суспензия, т. е. взвесь микро-
кристаллов различной величины в растворе
желатины; в воздушно-сухом состоянии это
также суспензия, так как желатиновый слой
содержит до 10°/,, влаги, поэтому его можно
рассматривать как очень концентрированный
раствор желатины.

Описанное с гроение светочувствительного
слоя имеет чрезвычайно глубокий физиче-
ский смысл, так как оно является основной
причиной возможности получать изображение,
т. е. передавать полутоны и контрасты.
Эмульсионный слой, в смысле способности
запечатлевать отбрасываемое на него опти-
ческое изображение, можно рассматривать
как светочувствительный растр, т. е. мо-
жно провести аналогию с тем принципом,
который используется в автотипии. Этот спо-
соб, опубликованный впервые в 1882 г.
Мензенбахом и Шмейделем, заклю-
чается в том, что изображение разлагается
на отдельные точки. На светлых местах эти
точки малы и очень редки, в полутонах
точки укрупняются и сгущаются и, наконец,
совершенно темные места представляют
сплошные тени без каких-либо точек. Для
осуществления этого способа передачи полу-
тонов необходим так называемый растр, т. е.
специально изготавливаемая на стекле очень
мелкая сетка из прозрачных и непрозрачных
линий или точек; сетка помещается перед
плоскостью изображения; тогда небольшой
26

участок последнего, если его увеличить, будет
иметь вид, показанный на чертеже 1. В отли-
чие от применяемого в автотипии регулярного
растра светочувс'т,вительный слой предста-
вляет растр иррегулярный, т. е. разложение
изображения на отдельные точки осущест-
вляется при помощи незакономерно распо-
ложенных эмульсионных зерен, представля-
ющих независимые друг от друга светочув-
ствительные элементы слоя. Однако зерни-

Черт. I. Схема получения фотографического изо-
бражения (по Джонсу). I— субъективное пред-
ставление объекта в мозгу наблюдателя; II— оп-
тическое изображение освещенного объекта в гла-
зу наблюдателя; /// — объектив отбрасывает изо-
бражение объекта на негативный материал; IV—
после некоторого определенного времени освеще-
ния возникает скрытое изображение; V—после
проявления получается негатив; V/— объектив
отбрасывает негативнее изображение на позитив-
ный материал; VII—после некоторого определен-
ш гс времени освещения ty возникает скрытое
изображение; VIII—госле проявления получается
позитив; /X— освещенный лампой накаливания
позитив создает оптическое из< бражение в глазу
на< людателя; X— субъективное представление по-
зитива в мозгу наблюдателя.

стость фотографического слоя значительно
более тонка, чем у автотипного растра,
поэтому при изготовлении клише для печати
фотографирование через растр производится
на обыкновенный светочувствительный слой.
Таким образом, получение фотографического
изображения основано на том, что в участках
более сильного действия света большее число
зерен полуает способность к проявлению,
а следовательно, на негативе этот участок
будет более темным.

Специальные исследования показали, что
при действии света на фотографический слой
эмульсионные зерна оказываются независи-
мыми друг от друга; эта неза шсимость имеет
место также и в процессе проявления. Сле-
довательно, для раскрытия физической сущ-
ности фотографического процесса достаточно
рассмотреть механизм поведения индивиду-
ального эмульсионного зерна. Несмотря на
очевидную важность вопроса о поведении
индивидуальных эмульсионных зерен, он стал
предметом исследования лишь в последние
годы; честь крупных достижений в этом
направлении принадлежит главным образом
английским и американским исследова-
телям.

Микрофотографическим путем легко пока-
зать, что процесс проявления отдельных
зерен, подвергнутых короткому освещению,
начинается не равномерно по всему зерну, а
с отдельных точек, так называемых центров
проявления. Картина начальной стадии этого
процесса аналогична тому, что наблюдается
при видимом фотохимическом разложении
зерна под действием сильного света, т. е.
отложение металлического серебра под дей-
ствием света, так же как в процессе про-
явления, начинается в некоторых, разбросан-
ных в зерне по закону случая, точках. Цен-
тры проявления отнюдь не образуются под
влиянием только проявляющего раствора,
они присутствуют в зерне до его действия.
Применением оригинального статистического
приема шведский исследователь Сведберг
доказал, что центры проявления расположены
на поверхности эмульсионных зерен.

Указанные особенности вместе с некото-
рыми явлениями химического воздействия на
эмульсионные зерна выдвинули предполо-
жение, что последние обладают неоднород-
ностью в своем внутреннем строении и что
эта неоднородность и есть одна из основных
причин их большой светочувствительности.
Неоднородность эмульсионного зерна по
современным взглядам объясняется тем, что
в его пространственную кристаллическую
решетку, составленную, как было указано
выше, из ионов серебра и ионов брома,
включено в ничтожных количествах инород-
ное вещество — металлическое или сернистое
серебро. Эти включения играют роль сенси-
билизируюЩих (увеличивающих фотографи-
ческую чувствительность) ядер, около кото-
рых сосредоточивается как действие света,
так и действие различных химических веществ.
Включение инородного вещества в простран-
ственную кристаллическую решетку зерна
осуществляется во время созревания эмуль-
сии, когда оформляются фотографические
свойства путем совместной кристаллизации

бромистого серебра с веществом, составля-
ющим сенсибилизирующие ядра.

Прежде чем однако рассматривать физико-
химическую роль сенсибилизирующих ядер
при образовании скрытого изображения,т.е.
прежде чем рассматривать механизм фото-
графической чувствительности, мы рассмот-
рим сначала, из чего состоит скрытое изо-
бражение. Очевидно, э^от вопрос сводится
к рассмотрению различия между измененным
и неизмененным эмульсионным зерном, так
как скрытое изображение состоит из изме-
ненных светом зерен, обладающих вследст-
вие этого способностью к проявлению.

Если на фотографический слой действовал
световой поток достаточно продолжительное
время, то образуется сразу видимое глазом
потемнение, которое вызвано отложением
металлического серебра. Следовательно, под
действием света бромистое серебро способно
разлагаться на составляющие его элементы.
Так как видимое потемнение, получаемое
при продолжительном освещении слоя, вызы-
вается металлическим серебром, то нет
никаких оснований отвергать возможность
фотохимического выделения серебра при об-
разовании скрытого изображения и считать,
что механизм образования скрытого изобра-
жения должен быть существенно отличным
о г механизма выделения серебра при длитель-
ном действии света. Разница того и другого
случая, повидимому, только количественная;
при коротком действии света изображение
остается скрытым только потому, чю выде-
ленное металлическое серебро образует нич-
тожную концентрацию. Можно подсчитать,
что на площади в 1 кв. см обычного свето-
чувствительного слоя находится в среднем
5.1018 молекул бромистого серебра, а так
как при нормальной выдержке 1 кв. см стая
поглощается примерно 3.1011 квантов света и,
следовательно, по закону фотохимической
эквивалентности выделяется такое же коли-
чество атомов серебра, то отсюда ясно, что
один атом серебра будет приходиться на
2.107 молекул бромистого серебра.

Гипотеза о выделении свободного металличе-
ского серебра при образовании скрытого фото-
графического изображения была впервые вы-
сказана Гутри в 1850г., нотольков 1930г.,
в результате блестящих исследований П о-
ля — физика из Геттингена—и его сотрудни-
ков, эта гипотеза получила прямое экспери-
ментальное доказательстьо. Поль производил
исследование фотохимического разложения
в кристаллах на примере галоидных солей
щелочных металлов, кубические кристаллы
которых, обладая более простым строением,
27
были им использованы в качестве модели.
Свое исследование Поль вел двумя пугя
ми—-оптическим и электрическим. Первона-
чально он исследовал свгтопоглощение в
кристаллах галоидных солей щелочных ме-
таллов и показал, что картина спектрального
поглощения не зависит от природы металла
Это обстоятельство указывает, что кванты
, вета поглощаются ионами галоида. Область
по! лощения бесцветных, прозрачных кристал-
лов этих солей лежит в крайней коротко-
волновой ультрафиолетовой части спектра;
например, в случае бромистых солей порог
поглощения находится в области с длиною
волны около 200 jjlji. Если осветить кристалл
бромистой соли указанными лучами более
или менее продолжительное время, то такой
кристалл делается окрашенным; следователь-
но, происшедшие под действием света из-
менения являются причиной появления новой
полосы поглощения уже в длинноволновой,
видимой части спектра. По характеру этого
поглощения можно установить, что оно выз-
вано выделившимися под действием света
атомами металла. Количество фотохимически
образовавшихся свободных атомов металла на-
столько однако мало, что оно не поддается оп-
ределению при помощи химического анализа
н обнаруживается только оптическим путем.
Если теперь подействовать на такой окра-
шенный кристалл светом с длиной волны,
соответствующей его новой полосе поглоще-
ния, то окраска исчезает, и кристалл прини-
мает первоначальное состояние. При очень
коротком действии ультрафиолетового света
можно получить невидимое изменение кри-
сталла, т. е. нечто, подобное скрытому изо-
бражению, причем обнаружить его можно
электрическим путем. Поль описал следую-
щий опыт, который настолько показателен,
что может применяться как лекционный опыт:
с двух противоположных сторон кристалли-
ческой пластинки, например из бромистого
калия, наносится путем возгонки тонкий
слой золота, который используется в качест-
ве электродов, и кристалл вводится в цепь
электрометра. Если с одной стороны дейст-
вовать ультрафиолетовым светом, то электро-
метр не обнаруживает никакого изменения;
если при этом время освещения было очень
коротко, то не наблюдается также никакого
видимого изменения кристалла. Если теперь
заставить с другой стороны падать на кри-
сталл интенсивный красный свет, который,
как было указано, разрушает первоначальное
фотохимическое изменение, то электрометр
обнаружит электрический ток, хотя первона-
чальное изменение и было чрезвычайно мало.
28

Механизм описанного явления, согласно совре-
менным представлениям, сводится к следую-
щему: при действии ультрафиолетового свега
поглощение каждого кванта ионом брома со-
провождается освобождением с него лишне! о
электрона, который перескакивает на ион ка-
лия, и, таким образом, выделяются свободные
атомы калия и брома. Так как электрометр
не обнаруживает при этом электрического
тока, то, следовательно, приходится предпо-
лагать. что перескакивание электрона при
первичном фотохимическом процессе проис-
ходит на соседний ион калия. При действии
красного света поглощение осуществляется
атомами калия, причем поглощение каждого
кванта сопровождается обратным освобожде-
нием электрона, который пробегает однако
некоторый путь, прежде чем он осядет на
атоме брома,—на это указывает возникающий
электрический ток. Неясным в описанном
процессе остается вопрос о причине длитель-
ного сосуществования свободных атомов ка-
лия и брома, которые обладают большим
химическим сродством друг к другу. Выде-
ляющийся под действием света металл может
оставаться в кристалле не только в атомарном
состоянии: несколько атомов могут соеди-
няться между собой, образуя ультрамикро-
скопические частицы,—-на это будет указы-
вать цвет окрашенного кристалла.

Аналогичная карт ина имеет место при
действии света в каждом микрокристаллс
фотографической эмульсии —следовательно,
первичный фотохимический процесс заклю-
чается в перескоке электрона с иона брома
на ион серебра; эта работа совершается за
счет лучистой энергии, причем производят
ее лишь те кванты, которые способны по-
глощаться ионами брома. Однако, если бы
образование скрытого изображения ограни-
чивалось только этим процессом, то едва ли
была бы возможность получать эмульсии с
тем огромным различием в фотографической
чувствительности, которая может быть до-
стигнута в производстве. Для физического
объяснения указанной особенности галочдо-
серебряных эмульсий характерным является
тот факт, что при резком различии в фото-
графической чувствительности, определяемой
после проявления, практически но наблюда-
ется разницы в распределении чувствитель-
ности по спектру. Это обстоятельство указы-
вает, что механизм первичного фотохимиче-
ского процесса остается неизмененным,
следовательно, изменение фотографической
чувствительности совершается в результате
вторичного процесса. Как указывает ряд
экспериментальных данных, причиной этого
процесса являются сенсибилизирующие ядра,
на которых оседают (коагулируют) атомы
или частицы металлического серебра, образуя,
таким образом, центры, вызывающие начало
процесса проявления. Так как центры про-
явления образуются на месте сенсибилизи-
рующих ядер, то, следовательно, фотографи-
ческое значение имеют лишь те ядра, которые
расположены на поверхности эмульсионных
зерен. Причина активности только поверхно-
стных сенсибилизирующих ядер и центров
проявления вполне понятна- сенсибилизирую-
щие ядра дают начало образованию центров
проявления, последние же сообщают зерну
способность к проявлению, а так как процесс
проявления есть восстановление бромистого
серебра эмульсионного зерна в металличе-
ское, то совершенно очевидно, что этот
процесс должен начинаться с поверхности
соприкосновения твердого вещества с про-
являющим раствором. Современные данные о
механизме процесса проявления, разрабатывае-
мые А. И. Рабиновичем, подтверждают

описанное представление; эти данные указы-
вают, что процесс проявления начинается с
удерживания (абсорбции) на металлическом
серебре, составляющем центры проявления,
молекул восстановителя; в результате этого
во много раз повышается концентрация
восстанавливающего вещества, что дает воз-
можность начаться восстановительному про-
цессу, который и превращает скрытое изо-
бражение в видимое. В заключение необ-
ходимо указать, что инороднее включение
в эмульсионном зерне будет только в том
случае играть роль сенсибилизирующего ядра,
если оно перейдет некоторую кри гическую
величину: то же самое относится н к центру
проявления — сенсибилизирующее ядро пре-
вращается в центр проявления при условии
достижения им определенной критической
величины, т. е. только в том случае, если
на нем отложится достаточное число атомов
серебра. Вопрос о размерах как сенсибили-
зирующего ядра, так и центра проявления
остается в настоящее время пока открытым.

МАГНИТНАЯ ДЕФЕКТОСКОПИЯ МЕТАЛЛОВ

Научн. сотр. Е. ОСТРОВСКИЙ (Москва)

Предлагаемый вниманию читателя ряд прак-
тических схем магнитной дефектоскопии, т. е.
способов нахождения дефектов и браковки
металлов, способов основанных на изменении
той или иной его магнитной характеристики,
в своем наиболее простом виде с успехом мо-
жет быть продемонстрирован в физическом
кабинете даже при относительно скромном
оборудовании.

Чрезвычайно простыми опытами может быть
дано понятие о возможных практических при-
менениях группы остроумных методов дефек-
тоскопии— методов, вращающихся в кругу
известных физических явлений.

При демонстрациях с рентгеновской труб-
кой принято останавливаться на возможно-
стях метода просвечивания, переходя от его
применения в целях медицины к его роли
в технике испытания качества материалов.

Точно так же в главе о спектрах подчер-
кивается роль и значение спектрального ана-
лиза в распознавании присутствия того или
иного элемента.

Между тем, при изучении глав электромаг-
нитной индукции и электромагнетизма со-
вершенно отсутствует идея практического
применения „аномалий магнитного потока",

вызванных внесенным в магнитное поле фер-
ромагнитным материалом, который служит
уже не просто сердечником, а испытуемым
объектом.

Принципы магнитного анализа находят в по-
следние годы большое количество примене-
ний при качественном и количественном
анализе металлов. Определение всевозможных
дефектов внутри ферромагнитного металла:
трещин, раковин, газовых пор, мест с неоди-<
наковой твердостью и т. д.. — эта сторона
применений роднит его с рентгеновским ме-
тодом просвечиваний.

Применение магнитного анализа при ис-
пытании материала на углерод и некоторые
другие примеси, имеет известную аналогию
со спектральным анализом или, еще ближе,
из области химии — с химическим анализом.

На практике наиболее часто для испыта-
ния качества материала применяются хими-
ческий и микроскопический способы. Эти
классические методы имеют, при всей своей
точности, один существенный недостаток, от
которого в значительной степени свободен
магнитный метод.

Недостаток заключается в том, что эти
способы предполагают при испытании разру-
шение данного образца. Очень часто, однако,
требуется испытать материал или готовое
изделие так, чтобы оставить его в абсолютно
неизмененном виде. В этом случае прихо-
дится обращаться к двум сравнительно мо-
лодым способам — рентгеновскому методу
просвечиваний металлов и магнитному.

Понятно, что приемы магнитного анализа
могут быть применены в таких материалах,
которые способны к проявлению магнитных
свойств, т. е. в первую очередь к ферромаг
нитным металлам.

Конечно, это несколько суживает область
применения магнитного анализа, который в си-
лу этого не столь универсален, как рентге-
новский метод. Однако, если учесть эконо-

Черт. 1.

мичность и экспериментальную простоту ряда
методов магнитной дефектоскопии и в то же
время вспомнить значение в народном хозяй-
стве черных металлов, к которым в дан-
ном случае следует отнести: железо, различ-
ные сорта сталей, чугун, никель, кобальт
и др., то значение магнитного анализа ни-
как нельзя недооценивать.

В Америке приемами магнитного анализа
пользуются уже около 20 лет для испытаний
и браковки материалов и изделий. В послед-
нее время ряд новых подобных способов дала
Германия.

У нас в Советском союзе разработано не-
сколько приемов магнитного анализа для ряда
конкретных случаев. Так, например, в Инсти-
туте Транспортной Электротехники сконструи-
рован прибор для определения скрытых тре-
щин в осях железнодорожных вагонов. В Го-
сударственном Физико-Техническом Институте
произведена работа, в результате которой
разработан метод, позволяющий находить по-
верхностные трещины в изделиях формы бру-
са постоянного сечения.

Ряд методов дан также Всесоюзным элек-
тротехническим институтом.

МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА НАБЛЮДЕНИИ АНО-
МАЛИИ В МАГНИТНОМ ПОТОКЕ ИСПЫТУЕМОГО

МАТЕРИАЛА ИЛИ ГОТОВОГО ИЗДЕЛИЯ

При передвижении в магнитном поле замк-
нутого контура в последнем возбуждается
электродвижущая сила всякий раз, как про-
исходит либо изменение магнитного потока,
либо проводник меняет скорость своего дви-
жения и, таким образом, в равные промежутки
времени перерезывается различное число маг-
нитных силовых линий.

Поместим в намагничивающую катушку
с протекающим током сердечник из испытуе-
мого материала: сбразец намагнитится. На-
денем теперь непосредственно на
тело образца маленькую катушку,
образец соединенную с прибором, регистри-
/ рующим ток — гальванометром. fie-
ri редвигая равномерно нашу катушку
вдоль сердечника, мы будем каждую
секунду перерезать одно и то же
количество силовых магнитных ли-
ний, при условии, если наш сердеч-
ник однороден на всем протяжении
(черт. 1).

В этом случае изменения магнит-
ного потока происходить не будет,
и гальванометр будет стоять на нуле.

В тех случаях, когда токовую (на-
магничивающую) катушку надеть
непосредственно на сердечник невоз-
можно, употребляют схему, изобра-
женную на чертеже 2.

Гак видно рз чертежа, к испытуемому
сердечнику дополнительно присоединяется
железное ярмо с навитой на него токовой
обмоткой. Контур, соединенный с гальвано-
метром (искательная катушка), скользит вдоль
испытуемого объекта. При этой схеме так
же, как и в первом случае, до тех пор пока
нет изменения магнитного потока, гальвано-
метр при движении катушки стоит на нуле.
Тока в контуре нет. Но если внутри испы-
туемого образца имеется какой-либо дефект
(например трещина, пустота и т. д.), то ка-
тушка, проходя через это место, попадает
в область с другой плотностью магнитного
потока

Таким образом, в месте дефекта (хотя бы
в виду существования воздушных промежут-
ков) движущийся контур пройдет через об-
ласть с меняющимся магнитным потоком. По-
этому в нем должна возникнуть в этот момент
электродвижущая сила. Таким образом, стрел-
ка гальванометра в момент прохождения
катушки через место дефекта даст отброс,
указав на присутствие кратковременного им-
пульса тока.

Графически показания гальванометра на
всем протяжении образца изобразятся кри-
вой, помещенной внизу чертежа 2. Конечно,
подобная кривая является идеальной для слу-
чая абсолютно равномерного намагничивания
образца на всем протяжении.

Когда намагничивание произво-
дят переменным током, то ярмо
приготовляют из листового железа
(чтобы уничтожить действие мо-
гущих возникнуть в ярме из сплош-
ного материала токов Фуко). При
намагничивании постояпнным то-
ком ярмо может быть сделано из
сплошного железа.

Совершенно очевидно, что попе-
речная и продольная трещины в
материале должны дать при по-
добной схеме совершенно различ-
ный ход в кривых отклонения галь-
ванометра.

В то время как поперечный де-
фект, направленный перпендикулярно к маг-
нитному потоку, вызывает резкое изменение
магнитного потока и, следовательно, столь же
резкий отброс гальванометра (см. левые кри-
вые черт. 3), продольная трещина вызовет
слабое изменение магнитного потока и, сле-
довательно, практически слабое отклонение
гальванометра.

даваемое им магнитное поле было перпенди-
кулярно к продольной оси образца.

ИСПЫТАНИЯ ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНЫХ РЕЛЬСОВ

В рельсах, бывших в употреблении, с те-
чением времени могут появляться различные
внутренние трещины и разрывы. Эти трещи-

Черт. 2.

ны не видны снаружи и потому оказываются
подчас чрезвычайно опасными. Так, напри-
мер, при одном крушении поезда в Север-
ной Америке был обнаружен разрушенный
на много кусков рельс; при этом в каждом
куске оказались скр лтые до этого внутрен-
ние трещины. Благодаря дефектам этого рель-
са и произошло крушение поезда. Образо-

поперечный разрыв

на пос топи ноч токе

Черт. 3.

переменном токе

Таким образом, уже из сказанного видно,
что определение продольных трещин оказыва-
ется делом гораздо более сложным, чем по-
перечных.

Для испытания продольных трещин при-
дется (если пользоваться подобным методом)
использовать поперечное намагничивание. Для
этого нужно приспособить ярмэ так, чтобы

ванне трещин налипни происходит постепенно
ввиду непрерывных ударов о рельсы мас-
сивных колес проходящих поездов.

При этом могут образовываться самые раз-
нообразные виды трещин.

На снимках показаны различные возмож-
ные виды трещин — поперечные, продольные
и лучевяе (черт. 4).
Если требуется испытать свободный рельс
(не непосредственно на железнодорожной ли-
пин), то это можно сделать следующим об-
разом.

Черт. 4.

Как видно из чертежа 5, испытуемый рельс
кладется на две железных колоды, в свою
очередь лежащие на втором дополнительном
рельсе. Таким путем осуществляется замкну-
тая магнитная цепь.

Черт. 5.

3 нем непосредственно на рельс надевается
искательная подвижная катушка, а поверх
нее —намагничивающая катушка, через ко-
торую пропускается постоянный намагничи-
вающий ток.

Если рельс здоровый, то при равномерном
передвижении искательной катушки (соединен2
32

ной с гальванометром) вдоль рельса, мы не
получим отклонения гальванометра. Если же
в нем имеются скрытые трещины или рако-
вины, то по величине и характеру отброса
стрелки гальванометра можно судить о раз-
мерах, виде и местонахождении трещины.

Поперечные трещины будут давать сильное
и быстрое отклонение стрелки;продольные —
более слабое и длительное.

Черт. 6.

Отклонение можно регистрировать и фо-
тографическим путем, и, таким образом, в не-
сколько минут испытать 15-метровый рельс
на все дефекты и неоднородности.

При испытании рельсов непосредственно
на железнодорожной линии вложить рельс
в намагничивающую обмотку невозможно
и поэтому приходится применять вышеопи-
санную схему с дополнительным ярмом
(см. черт. 2).

Для подобного передвижного контроля на
расстоянии может быть применен особой кон-
струкции дефектоскоп.

Черт. 7.

Как видно из рисунка (черт. 6) замыка-
ющим ярмом исследуемого участка рельса
служит электромагнит, на котором и распо-
ложена намагничивающая обмотка.

Искательная катушка облегает верхнюю
часть рельса и при передвижении всей уста-
новки скользит вдоль него. Наблюдатель, си-
дящий на стуле, следит за отклонением галь-
ванометра по световому зайчику на матовом
стекле и наносит эти отклонения на дви-
жущуюся бумажную ленту.
Конечно,такую отметку можно произвести
и путем фотографирования.

Если наблюда1ель заметил существенный
дефект, то автомотрисса может быть оста-
новлена, и данный участок рельса может быть
исследован более детальным образом.

Типичные кривые, полученные этим мето-
дом, изображены на чертеже 7.

ПОНДЕРОК.ОТОРНЫЙ ИСКАТЕЛЬ ДЕФЕКТОВ

Конструкция этого прибора, усовершенство-
ванного в измерительном отделе ВЭИ, весьма
проста. На конце стрелки укреплен якорь,
составленный из пакетика листовой транс-
форматорной стали. Стрелка посажена на оси
с агатовыми подпятниками. Другой конец
стрелки, при ее повороте, дает контакт
с сигнальной цепью. В нормальном положе-
нии стрелка удерживается посредине при
помощи двух пружинок.

При испытании прибор ставят таким обра-
зом, чтобы направление магнитного потока
было перпендикулярно стрелке. В таком по-
ложении прибор передвигается вдоль испы-
туемого образца (еще лучше, дабы избежать
механических сотрясений, если прибор не по-
движен, а передвигается образец).

Когда прибор проходит мимо дефектного
.места, на пучок трансформаторной стали дей-
ствуют силы притяжения, вызванные наличием
здесь потоков рассеяния, что вызывает двой-
ное отклонение стрелки (сначала в направле-
нии движения, затем в обратном). Одновре-
менно с этим противоположный конец стрелки
последовательно замыкает контакты, и при
помощи промежуточного реле зажигается сиг-
нальная лампа или делается отметка реги-
стрирующего прибора.

Недостатки этого метода: поверхность ис-
пытуемого предмета должна быть ровной,
иначе на прибор будут действовать потоки
рассеяния, вызванные несущественными по-
верхностными неоднородностями; большая чув-
ствительность прибора к механическим сотря-
сениям.

СПОСОБ, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ЯВЛЕНИЯ „СНИН-ЭФФЕКТА“

Те способы намагничивания, которые осу-
ществлялись до сих пор путем намагничивания
образца навитыми на него витками с пропу-
скавшимся через них током, — такой способ
создавал продольное намагничивание образца
(вдоль его длины).

Можно, однако, осуществить и поперечное
намагничивание данного образца. Для этого
достаточно, чтобы наш стержень был исполь-
зован в качестве проводника. Пропустив че-
3 Математика и физика № 4.

рез него ток вдоль его длины, мы создадим
магнитное поле вокруг него (и внутри него),
направленное в перпендикулярном направлении
к его длине.

Если по ферромагнитному проводнику про-
текает постоянный электрический ток, то
никаких дополнительных явлений (по сравне-
нию с неферромагнитными металлами, напри-
мер, медью), помимо самого факта попереч-
ного намагничивания образца, не происходит.

Если же вдоль железного или стального
проводника течет переменный электрический
ток, то в нем возникает в резко выраженной
форме явление так называемого поверхност-
ного эффекта или, иначе, скин-эффекта. Явле-
ние это особенно сильно сказывается у фер-
ромагнитных материалов: у неферромагне-
тиков (например меди) оно значительно слабее
и практически начинает сказываться только
при более высоких частотах. При обычной же
частоте в 50 периодов для неферромагнетиков
этим эффектом можно пренебречь.

Скин-эффект заключается в том, что токо-
несущим оказывается не все сечение провод-
ника, а только часть его, Провод становится
как бы „тоньше", и благодаря этому его
электрическое сопротивление повышается. При
использовании железа в качестве материала
для железных проводов это явление оказы-
вается чрезвычайно вредным и его всеми
возможными способами стремятся уменьшить.

В ма! нитной же дефектоскопии это явле-
ние может быть использовано с польшой
выгодой для обнаружения скрытых трещин
в испытуемом материале. Если вдоль иссле-
дуемого объекта пропускать электрический
ток, и если его материал однороден на всем
протяжении, то на равных участках будет
получаться одинаковое падение напряжения.
Если же имеются на каком-либо участке де-
фект или местная неоднородность материала,
то падение напряжения окажет ся другим
по сравнению с здоровым участком оси.

Однако с постоянным током здесь не уда-
лось бы получить удовлетворительных резуль-
татов ввиду того, что он течет по всему
сечению, и полученная разница оказалась бы
ничтожной.

Другое дело получается, если использовать
переменный ток относительно высокой ча-
стоты (порядка 1000 периодов). В этом случае
в результате скин-эффекта ток течет в слое
порядка 1,5 мл, или, грубо говоря, по по-
верхности.

Если на пути течения тока встречается тре-
щина, то току приходится ее огибать. Путь,
пройденный током между двумя точками боль-
ного участка, значительно удлиняется, н
разность потенциалов между ними становится
значительно больше. Таким образом, здесь
явление скин-эффекта приходит нам на по-
мощь в вопросе испытания на дефекты. Ниже-
описанный способ для испытания вагонных
осей, основанный на использовании явления
скин-эффекта, был разработан в ГФТИ в
Ленинграде.

Наиболее простая схема для испытания
вягонной оси по такому способу показана на
чертеже 8.

Вдоль исследуемой оси пропускается 1000-
периодный переменный ток порядка 100 — 200
ампер. Требуемая сила тока получается, транс-
формируя (через понижающий трансформа-
тор) ток, даваемый 1000-периодной машиной.

При такой установке разность потенциалов
на концах оси получалась порядка 6—9 вольт.
Если присоединять к двум участкам оси че-
тыре острия, соединенных, как показано на
чертеже 8, к гальванометру с термопарой
(или к телефону), то, очевидно, что токи,
поступающие в гальванометр (или телефон)
от каждого из этих участков, будут всюду
создавать на клеммах индикатора тока электро-
движущие силы, противоположно направлен-
ные.

Если оба участка здоровые, то при равной
их длине ток через гальванометр не пойдет;
если в одном имеется трещина, то при глу-
бине ее порядка 5 мм и длине участков в 15 мм
разница между электродвижущими силами на
клеммах индикатора может достигать 30°/0.

Принимая во внимание, что колебания в
цепи городского тока, в среднем, равны
3—5°/0, мы получаем величину, которую мож-
но учесть.

Описанная схема имеет то неудобство, что
сопротивления контактов между осью и ос-
триями нельзя сделать в точности одинако-
34

выми (вследствие неровности оси). Ввиду
этого и при отсутствии дефекта в контроль-
ной цепи гальванометра может протекать не-
который ток.

В более точных схемах, -основанных также
на использовании скин-эффекта, измеряемое
падение напряжения от участка на оси через
усилитель подается на сетку катодной лампы.

ИСПЫТАНИЕ ПО МЕТОДУ МАГНИТНЫХ ОПИЛОК

Этот способ основан на том обстоятельстве,
что в местах дефектов (в трещинах) испыту-
емого материала образуются при намагничи-
вании магнитные полюса. Магнитный поток
в месте дефекта как бы „выпирает" наружу.

Черт. 9.

Поэтому, если кусок стали, который хотят
испытать на отсутствие дефектов, сначала
намагнитить и затем внести в масляную баню,
содержащую тонко измельченные опнлкиго
последние будут ложиться там, где им»'7'ся

полюса, т. е. на трещинах.

Этим способом можно обнаружит» фецц«-

ны, не видимые простым глазом.
На чертеже 9 показано практическое осу-
ществление этого метода при испытании
большого куска стали, который при охлаж-
дении получил трещины. Так удавалось найти
трещины, лежащие на 3 мм и более внутри
поверхности.

Если материал — закаленный (сталь), то до-
статочно остаточного намагничивания, так как
после намагничивания кусок стали становится
постоянным магнитом.

Этот способ был использован американцами
при браковке зубчатых колес.

Делались также попытки применять этот
метод для изучения качества сварных швов.
Спектры железных опилбк доброкачественного
нормального шва и плохого оказываются не-
одинаковыми.

Исследования эти, однако, еще не вышли

из рамок лабораторных исследований и, таким
образом, в вопросах сварки рентгеновский ме-
тод пока еще более действителен.

По способу, предложенному Ру, испытуе-
мый шив помещается между полюсами элек-
тромагнита. Шов покрывается белой бума! ой
и посыпается из пульверизатора опилками.
В пустых местах, вследствие образования маг-
нитных полюсов, опилки собираются и, таким
образом, дают очертания полых мест в месте
сварки.

Весьма удачно применяется метод опилок
также для исследования деталей сложной
формы (например коленчатые валы).

Часто достаточно бывает провести по на-
магниченной испытуемой детали тонкой наж-
дачной бумагой, как получившиеся опилки
начнут собираться вокруг микротрещин.

ЭНЕРГИЯ СОЛНЦА И ЗВЕЗД И ЕЕ ИСТОЧНИКИ

Проф. П. ПОПОВ (Москва)

Изучение Солнца, его энергии и источ-
ников ее имеет большое значение по одному
тому, что вся жизнь, все явления на Земле
почти исключительно зависят от той энергии,
которую получает Земля от Солнца. Смена
времен года, различие климатов, все движе-
ния в земной атмосфере и океанов—резуль-
таты превращения солнечной энергии. Сол-
нечные лучи производят круговорот воды на
земном шаре. Возникновение, развитие и
поддержание органической жизни на Земле
было бы невозможно без солнечной теплоты
и света. В настоящее время практическая
значимость изучения процессов, происходя-
щих на Солнце, не ограничивается только ука-
занными общеизвестными явлениями. Уста-
новление связи периодических колебаний
солнечной деятельности с погодой ставит
вопрос о возможности предсказания погоды
таким путем на долгие сроки. Влияние сол-
нечных лучей на земную атмосферу сказы-
вается на изменении состава воздуха, на его
прозрачности, слышимости радиосигналов и
т. д. Сравнение солнечного излучения в раз-
личных местностях позволяет судить о воз-
можности разведения различных сельско-
хозяйственных культур. Наконец, исчерпае-
мость тех энергетических ресурсов, которые
в настоящее время, главным образом, исполь-
зуются в технике (уголь, нефть), и малая
доля первоначальной солнечной энергии, до-
ходящей через них до нас, выдвигают проб-
3*

лему непосредственного использования сол-
нечной энергии. Все эти вопросы имеют
особое значение для социалистического стро-
ительства в нашей стране. Поэтому у нас
создана специальная комиссия по проблеме
„Земля — Солнце" для объединения и коор-
динирования работы астрономических и гео-
графических учреждений по изучению круга
вопросов о связи между явлениями иа Земле
и Солнце и об использовании добытых нау-
кой данных на службе социалистического
хозяйства.

Но наряду с этим, непосредственно прак-
тическим значением, изучение деятельности
Солнца важно и с научной стороны. Солн-
це представляет собою одну из звезд, вбли-
зи которой мы находимся и можем наблюпать
различные процессы, недоступные изуче-
нию на звездах, вследствие их отдаленности.
Это важно не только в том отношении, что
дает нам много для более полного представ-
ления о звездной гселенной, но и с общей
точки зрения — изучения материи и ее дви-
жения. Для пояснения этого приведем слова
известного космогониста Джинса из его
статьи „Современное развитие космической
физики": „Для астронома-физика каждая
отдельная звезда — целая физическая система.
Это тигель, в котором материя подвергается
действию температур и давлений, совершен-
но недоступных земному физику. Исследуя
излучение звезд, астрофизик пытается ра-
собраться в физическом строении, открыть
источник их энергии и понять механизм,
посредством которого энергия переносится
к поверхности звезд, разрежаясь затем в про-
странство в виде излучения. Таким путем
есть надежда узнать о таких свойствах ма-
терии, которые недоступны земному физику,
в силу ограниченности пределов физических
условий, находящихся в его распоряжении.
Конечная цел^ астрофизики — слить косми-
ческую физику с земной так, чтобы получи-
лась всеобъемлющая наука". Вот в разре-
шении этой задачи первостепенную роль и
играет изучение энергии Солнца как одной
из звезд. Нам важно поэтому, прежде всего,
составить себе представление об общем ко-
личестве лучистой энергии Солнца, его из-
менении, запасах энергии и их пополнении.

ИЗМЕРЕНИЕ СОЛНЕЧНОЙ ЭНЕРГИИ

Мы можем судить об общем количестве
излучаемой Солнцем энергии по той ее доле,
которую мы получаем на Земле. Рассмотрим
снача та ту часть лучистой энергии Солнца,
которую мы воспринимаем как свет. Ее
значение весьма важно для сельского хозяй-
ства, так как именно энергия солнечного
света, преобразуясь в хлорофиле растений,
идет на процессы их дыхания и питания.
Было измерено освещение, производимое
Солнцем в зените в тропическах странах,
и найдено, что оно равно 103 000 люксов,
т. е. Солнце в зените освещает горизонталь-
ную поверхность (перпендикулярную к сол-
нечным лучам) так же, как 103 000 между-
народных с вечей с расстояния 1 м.

Если же учесть поглощение лучей в земной
атмосфере, то это число доходит до 135 000
люксов. Так как Солнце находится от Земли
на расстоянии не 1 ж, а 149 500 000 000 м
и освещенность изменяется обратно-про-
порционально квадрату расстояния, то
сила света Солнца должна быть равна
135 000. 149 500 000 0002 =9.02-1027 между-
народных свечей.

Разделив это число на площадь поверх-
ности солнечного диска (радиус Солнца =
— 695 550 кж=109,05 экваториальных радиу-
сов Земли), найдем, что каждый квадратный
сантиметр поверхности Солнца светит, как
200 000 международных свечей. Эти числа
уже дают представление об огромной мощ-
ности солнечного излучения. Но к более
интересным результатам приводит изучение
тепловых действий лучистой энергии Солнца.
Дело в том, что общим для всех лучей свой-
ством является их способность без остатка
и наиболее легким способом трансформиро-
36

вать свою энергию в энергию тепловую, что
происходит при падении лучей на поверх-
ность абсолютно черного тела.

За меру лучистой энергии, приходящей
к нам от Солнца, принимают так называемую
солнечную постоянную, т. е. количество теп-
лоты, получаемое в одну минуту у предела
земной атмосферы одним квадратным санти-
метром поверхности, перпендикулярной к сол-
нечным лучам. Опытное определение солнеч-
ной постоянной- было бы очень просто, если
бы Земля не была окружена атмосферой и
по своим свойствам представляла абсолютно
черное тело. В действительности задача из-
мерения солнечной постоянной распадается
на две части: во-первых, надо измерить при
помощи специального прибора, имеющего
черную поверхность, количество теплоты,
получаемое на поверхности Земли; во-вторых,
учесть влияние земной атмосферы, которая
поглощает часть проходящей через нее лу-
чистой энергии.

Приборами, служащими для измерения
солнечной теплоты, являются актинометры,
или пиргелиометры (от греческих слов пир—
жар, гелиос — солнце). Простейший из них
предел 1вляет наполненную водой тонкостен-
ную металлическую коробку, серебряное
дно которой вычерчено и в которую вставлен
точный термометр. Измерение ведется кало-
риметрическим способом и состоит в Тим,
что прибор то выставляют на Солнце зачер-
ненным дном перпендикулярно к лучам, то
закрывают его от солнечных лучей, все время
отсчит! 1вая температуру воды по термометру.
Таким образом, зная массу годы в коробке и
учтя потерю теплоты прибором в окружаю-
щий воздух, можно вычислить число калорий,
полученных дном коробки от Солнца. В других
приборах, как пиргелиометр Онгстрема, ис-
пользуется электрический ток для измерения
количества теплоты. К нижним сторонам двух
одинаковых зачерненных металлических пла-
стинок прикреплены спаи термоэлектрического
элемента, в цепь которого включен гальвано-
метр. Одна из этих пластинок подвергается
действию солнечных лучей, другая, будучи за-
тенена, включается в цепь батареи аккумуля-
торов с реостатом и амперметром. Реостатом
регулируется ток так, чтобы обе пластинки
были нагреты одинаково (одна— солнеч-
ными лучами, другая — током), что обнару-
жится отсутствием тока в термоэлементе.
Количество теплоты определяется на осно-
вании закона Джоуля—Ленца. Значительным
распространением пользуется так называемый
биметаллический актинометр Михельсона.
Здесь солнечные лучи падают на тонкую
пластинку, представляющую полоску из двух
различных металлов (платина — медь). Вслед-
ствие различия в коэфициентах расширения
металлов пластинка изгибается, величина из-
гиба наблюдается в микроскоп по перемеще-
нию тонкой кварцевой нити, прикрепленной
к свободному концу пластинки, и дает меру
количества теплоты, полученной от солнеч-
ных лучей.

Определение влияния земной атмосферы
представляет большие трудности. Поглоще-
ние лучей в атмосфере зависит от высоты
Солнца над горизонтом и, кроме того, лучи
различной длины волны поглощаются земной
атмосферой различно. Следовательно, одно-
временно с пиргелиометрическим измерением
общего количества солнечной энергии необ-
ходимо определять сравнительную интенсив-
ность лучей различной длины волны. Для
этого солнечный свет разлагают спектро-
скопом и интенсивность излучения в различ-
ных частях спектра измеряют болометром,
впервые осуществленным Ланглеем.

Для учета этого влияния служит формула
Бугэ: У— , где У— измеренная интен-
сивность солнечного излучения, Уо — интен-
сивность солнечного излучения за пределами
земной атмосферы, z —зенитное расстояние
солнца, р — коэфициент прозрачности земной
атмосферы. Величина У измеряется пирге-
лиометром. Для определенья Уо и р надо
иметь два уравнения, т. е. определить У при
двух различных зенитных расстояниях.

Главными частями болометра являются спек-
трометр, все оптические части которого
изготовлены из прозрачных для всех лучей
материалов, и две очень тонкие вычерненные
платиновые полоски, составляющие две ветви
мостика Уитстона. При одинаковых темпера-
турных условиях для полосок гальванометр
мостика остается на нуле. Но если одну из
полосок поместить поперек солнечного спек-
тра, полученного в спектрометре, а другую
оставить в тени, то первая полоска нагре-
вается, ее сопротивление увеличивается, и
по величине отклонения гальванометра мож-
но измерить падающую в месте полоски
солнечную энергию. Передвигая полоску бо-
лометра вдоль всего спектра и регистрируя
отклонения гальванометра, определяем рас-
пределение энергии вдоль солнечного спектра.
Применяются также, преимущественно для
ультрафиолетовых лучей, актинометры, осно-
ванные на фотоэлектрическом эффекте, кото-
рый состоит в том, что поверхность некото-
рых металлов (натрий, кадмий, цинк и др.)
под действием лучей, преимущественно с ко-
роткой длиной волны, испускает электроны.

Измеряя получающийся таким образом ток,
можно судить об интенсивности лучей в дан-
ном участке спектра. На Этом основано
устройство распространенных у нас фото-
электрических актинометров конструкции
проф. Н. Н. Калитина.

Сложность учета ослабления лучистой
энергии в атмосфере обусловливается тем,
что оно происходит в результате влияния
ряда факторов — поглощения и рассеяния
(отражения) молекулами постоянных газов
атмосферы, водяными парами, содержание
которых меняется, тем или иным присутст-
вием пыли и мглы. Приходится подсчитывать
потери, вызываемые действием каждого из
указанных факторов. Начатые Ланглеем рабо-
ты продолжаются в настоящее время в США
под руководством Аббота, а у нас в
СССР над определением солнечной постоянной
проводились работы проф. Н. Н. К а л и т и-
н ы м в Павловске (близ Ленинграда).

Из 3500 наблюдений, произведенных в те-
чение 1902—1924 гг., мы имеем среднюю ве-
личину солнечной постоянной 1,938- .

J см2 мин

Эти значит, что каждый квадратный сан-
тиметр поверхности, перпендикулярный к сол-
нечным лучам на Земле, получал бы от
Солнца в каждую минуту почти 2 малых
калории. Пользуясь механическим эквива-
лентом теплоты, мы можем энергию, при-
ходящую к нам от Солнца, выразить в ме-
ханических единицах: 1 см2 получает от
Солнца 1,35-106 эргов в секунду. Выражая
в технической системе единиц, мы получим,
что мощность солнечного излучения, падаю-
щего на 1 м2, составляет 1,81 лош. сил. На
весь земной шар изливается от Солнца поток
лучистой энергии в 2,31 -1014 лош. сил, т. е.
231 биллион лош. сил. Этой мощности вполне
хватает на все процессы на Земле.

Зная количество энергии, получаемое Зем-
лей на расстоянии 149,5 млн. км от Солн-
ца, можно подсчитать, какова мощность на
самой поверхности Солнца. Так как каждый
квадратный сантиметр перпендикулярной
к лучам поверхности на этом расстоянии
получает 1,94 кал., то вся получаемая Солн-
цем энергия будет уловлена полной сфери-
ческой поверхностью с радиусом в 149,5 млн.
и для энергии, испускаемой всей солнечной
поверхностью вокруг себя, мы получим:
4п 149 500 0002-1,94 кал. в минуту.

Принимая во внимание, что радиус солн-
ца = 695 500 км, можно вычислить энергию,
излучаемую каждым квадратным сантиметром
солнечной поверхности. Это вычисление да-
ет 89 500 кал. в минуту на 1 см2. Полная
37
же мощность излучения всего Солнца равна
5,08.1023 лош. сил. Сравнив это число
с мощностью солнечной энергии, попадающей
на Землю, мы увидим, что из всей своей
мощности Солнце уделяет Земле меньше
одной двухмиллиардной доли. На основании
законов излучения можно определить и тем-
пературу поверхности Сплнца. Прилагая
к Солнцу законы излучения, мы определяем
так называемую эффективную температуру
Солнца, т. е. температуру абсолютно черного
тела, которое имеет такие же размеры, как
Солнце, и излучает так же, как Солнце.
Более детальные исследования показали, что
Солнце в целом излучает почти так же, как
абсолютно черное тело. Закон Стефайи —
Больцмана дает зависимость между энергией
абсолютно черного тела и его температурой
в форме Е = 82 У4, где Е — энергия в
кал ~ -

см^мин и 4 — абсолютная температура в ты-
сячах градусов. Так как каждый квадратный
сантиметр солнечной поверхности излучает
89 500 кал[мин, то 89 500 = 82 У4, откуда
У=5,75 тыс. градусов, или 5750° абсолют-
ной температуры. По закону Вина произ-
ведение длины волны Хт, у которой имеется
наибольшая интенсивность энергии, на абсо-
лютную температуру У есть величина по-
стоянная. Выражая длину волны в микро-
нах, имеем: Х^У—2885. Так как боломет-
рические измерения распределения энергии
в солнечном спектре дают максимум энергии
для волны Хт=0,48 ц, то для эффективной
температуры Солнца получаем:

7'=^ = 6000°

Этот результат близок к предыдущему.

Наблюдения обнаруживают, что излучение
центра видимого солнечного диска значи-
тельно интенсивнее, чем излучение краев
диска, а именно: излучение центра диска
соответствует температуре в 6300°, а излуче-
ние краев — 5000°. Это объясняется тем,
что в центре диска к нам идет излучение
от более глубоких и ^олее горячих слоев
Солнца, а у краев лучи идут наклонно, по-
глощающее действие наружных слоев атмос-
феры Солнца сильнее.

Итак, говоря по отношению к Солнцу
о температуре в 6000°, которую мы опре-
деляем из наблюдения, мы имеем в виду
температуру вблизи поверхности, которую
мы видим. Если же брать внутренние слои,
то на основании своих исследований амери-
канский астрофизик Эддингтон* пришел к

* Эддингтон — „Звезды и атомы".

заключению, что „по мере погружения внутрь
Солнца температура быстро поднимается выше
миллиона градусов и возрастает в центре
приблизительно до 40 000 000°“.

Самое название „солнечная постоянная"
показывает, что поток солнечной энергии
отличается в общем удивительным постоян-
ством. За всю историю человечества, а веро-
ятно и за всю геологическую историю Земли,
общая температура земной поверхности не
изменилась, в конце концов, даже и на не-
сколько градусов. Временные же охлаждения
земной поверхности (ледниковые периоды),
объясняются чисто земными причинами —
поднятием и опусканием материков, процес-
сами горообразования и т. п. — или же про-
хождением нашей планетной системы сквозь
газовую туманность, поглощающую солнечное
излучение. Однако современные, более точные
исследования обнаруживают некоторые не-
большие изменения солнечной постоянной.
Определяя солнечную постоянную на поверх-
ности Земли и наблюдая ее изменения,
нельзя решить, заключаются ли причины этих
изменений в самом Солнце или же измени-
лась прозрачность нашей атмосферы. Для ре-
шения этого американскими исследователями
Абботом и Фаулем произведены измере-
ния на ряде станций в разных местах зецного
шара в одно и то же время. При этом на-
блюдались одновременные повышения и пони-
жения солнечного тепла. Эти совпадения уже
не могли быть случайными, зависящими от
погоды, и надо признать, что причина в самом
Солнце. Наблюдавшиеся изменения имеют
характер небольших колебаний, протекающих
в течение нескольких дней, но кроме того
большую роль играют солнечные пятна: чем
больше солнечных пятен, тем больше тепла
дает солнце. В годы максимумов пятен сол-
нечная постоянная составляет около 1,96
кал . „„ ,

—- —, в годы минимумов—1,92 (разница
см* мин

в 2°/0). Очень важным является установ-
ление связи короткопериодических коле-
баний солнечной деятельности с погодой.
На основании зависимости между солнечной
постоянной и температурой в данном месте
Клейтон в США смог по измерениям сол-
нечной постоянной предсказывать погоду в
этом месте. Подобные наблюдения поставлены
и у нас в СССР под общим руководством Гид-
рометеорологического управления. Эти методы
предсказания погоды для нас особенно ценны
тем, что избавляют нас от зависимости от за-
граничных метеорологических обсерваторий.

Методами, подобными тем, которые при-
меняются при исследовании Солнца, можно
также определить энергию излучения звезд,
выраженную в калориях. Если для этих звезд
известны их радиусы из измерения с помо-
щью особою точного прибора— интерфероме-
тра (основанного на интерференции света),
то измерениями с термопарой можно опре-
делить так же, как и для Солнца, темпера-
туру звезд по закону Стефани — Больцмана.
Результаты показывают, что и для звезд из-
лучение их в общем близко к излучению
абсолютно черного тела. Температуры же
звезд различны- от 2000° в среднем у наи-
менее горячих звезд (так называемый класс
М) до 35 000° у наиболее горячих звезд
(класс О). Есть и другие способы определе-
ния температуры звезд: 1) по показателю
7900*
цвета звезды, пользуясь формулой 7=^ об + С
где Т—абсолютная температура, С—пока-
затель цвета, определяемый из наблюдений
и представляющий разность между фотогра-
фической и визуальной звездными величи-
нами; 2) по распределению энергии вдоль
спектра звезды и сравнению полученной кри-
вой энергии с формулой Планка; 3) по ин-
фракрасному излучению для холодных звезд,
по теории ионизации для самых горячих
звезд и др.

Интересно отметить близкое согласование
в общем результатов всех этих различных
способов определения температуры звезд,
как это видно из следующей таблицы, даю-
щей эффективные температуры звезд различ-
ных спектральных классов, обозначаемых
условно большими буквами латинского алфа-
вита :

Спек- тральный класс Эффективная температура
По инфра- красному излучению (Никольсон) По кривой энергии (Сэмсон) По показа- телю цвета (Бриль)
В 23 000° 24000° —
А 11 600 12 400 —
F 7 900 8 500 7 300°
G 6 000 5900 5 400
К 4 600 4 000 4 300
м 3 400 3 200 3 200

Солнце с эффективной температурой около
6000° относится к классу G и принадлежит

* Формула эта выводится из формулы Плавка
для энергии излучения, полученной глазом (наи-
большая чувствительность к длине волны Х =
= 0,55 р) и фотографической пластинкой (макси-
мум чувствительности при X = 0,43 ц).

далеко не к самым энергичным звездам —
оно прошло уже свою стадию наибольшего
расцвета.

ИСТОЧНИКИ ЭНЕРГИИ СОЛНЦА И ЗВЕЗД

Как мы видим, Солнце излучает энергию
с громадной мощностью, а есть звезды, мощ-
ность излучения которых еще значительно
больше. В отношении Солнца мы уже гово-
рили, что мощность его излучения почти не
ослабевает на протяжении многих миллионов
лет. То же самое относится и к звездам,
которые совершенно подобны Солнцу. Пред-
, ставляется поэтому чрезвычайно интересным
|и важным установить, сколько же времени
существует Солнце, излучая эту энергию, и
из каких источников оно черпает эту энергию.

Мы сможем составить представление о
минимальной продолжительности существова-
ния Солнца, если будем знать возраст Зем-
ли, которая является, так сказать, дочерью
Солнца. Наиболее точным и достоверным
в настоящее время способом определения
возраста Земли является исследование радио-
активных явлений, так как на течение радио-
активных явлений не влияют никакие внеш-
ние обстоятельства. Сущность этого метода
такова. После того как в земной коре вы-
кристаллизовались такие радиоактивные ве-
щества, как уран и торий, до настоящего
времени происходил непрерывный процесс их
радиоактивного распада: из урана возникал
постоянный элемент — урановый свинец, из
тория—ториевый свинец. Так как скорость
этого распада не зависит ни от каких внешних
влияний и хорошо определена лабораторными
исследованиями, то ясно, что, измерив тепе-
решнее соотношение между количеством
урана и продуктов его распада в каком-ни-
будь минерале, можно вычислить возраст
этого минерала. Такие вычисления были сде-
ланы по различным минералам и обнаружили
удивительное согласие. Они дали для воз-
раста минералов древнейшей геологической
формации — докембрийской — 1,3.109 лет,
т. е. более миллиарда лет. Это нижний пре-
дел (наименьший) возраста земной коры.
Верхний же предел может быть найден, если
считать, что весь свинец в земной коре ура-
новый. В этом случае вычисления дают для
возраста Земли 8.109 лет. Таким образом,
со времени отвердения Земли прошло от 1
до 8 миллиардов лет. Солнце, несомненно,
много старше Земли, и его возраст можно
принять никак не менее 10]0 лет.

Первое предположение об источниках энер-
гии Солнца, излучаемой в окружающее про-
странство, было то, что просто происходит
39
сгорание вещества, из которого состоит Солн-
це. Нетрудно рассчитать, что если бы Солнце
целиком состояло из каменного угля, то оно
при полном сгорании дало бы энергию, кото-
рой хватило бы только на 5000 лет. Ясно,
что это предположение не может быть при-
нято.

Так же несостоятепьной оказалась и тео-
рия Роберта Майера, открывшего, как
известно, закон сохранения и превращения
энергии и полагавшего, что энергия Солнца
поддерживается метеорами, падаюшими на
Солнце. Неточные расчеты показывают, что
для поддержания солнечного тепла метео-
риты должны были бы падать на Солнце
в недопустимо огромном количестве. Вообще
же, как показал Эддингтон и др., солнечная
энергия не может пополняться извне — ее
источники должны находиться в глубоких
недрах Солнца.

В середине XIX в. знаменитый немецкий
физик Гельмгольц, а затем Томсон
(Кельвин) на основании закона сохранения
и превращения энергии показали, что-при
сжат ии масса газообразной туманности должна
сильно разогреваться: сгущение туманности
можно рассматривать как падение ее частиц
к центру, причем механическая работа этого
падения должна превращаться в теплоту. Со-
гласно Гельмгольцу и Кельвину, такое медлен-
ное сжатие Солнца продолжается в настоящее
время и является источником энергии, излу-
чаемой Солнцем По исчислениям Томсона,
для поддержания солнечной энергии материя
поверхностных слоев Солнца должна опу-
скаться и радиус Солнца сокращаться на 35 м
в год, что для наблюдений неуловимо. Если
подсчитать таким образом полную энергию,
которая должна была бы освободиться при
сжатии Солнца даже от бесконечно больших
размеров до теперешних, т. е. при измене-
нии его радиуса от оо до 695 500 км (при-
меняя диференцирование и интегрирование),
то получим величину энергии,равную 2,27.1048
эргов. Разделив ее на ежегодный расход
энергии (1,2.1041), получаем максимальную
продолжительность существования Солнца
примерно в 20 млн. лет, и, следовательно, тео-
рия сжатия не может объяснить гораздо боль-
шей длительности солнечного излучения.

В начале XX в. неоднократно делались
попытки приписать громадную мощность сол-
нечного излучения присутствию на Солнце
радиоактивных веществ. Однако радий рас-
падается сравнительно очень быстро, и вычис-
ления показывают, что если бы Солнце даже
целиком состояло из радчя, то оно излучало
бы много больше энергии, чем в действи-
40

тельности, но иссякло бы слишком скоро —
через несколько десятков тысяч лет. Другой
радиоактивный элемент — уран — распадается
очень медленно, зато мощность этого излу-
чения слишком мала.

Таким образом, все известные нам из опы-
та источники энергии оказываются совер-
шенно недостаточными. Это относится и
к звездам так же, как и к Солнцу. Поэтому
предположили, что источниками звездной
энергии являются внутриатомные процессы,
пока еще не наблюдавшиеся в условиях на-
шего земного опыта. Такими процессами мо-
гут быть — образование атомов сложных эле-
ментов из более простых или даже полное
превращение вещества в лучистую энергию.
Оба объяснения исходят из закона эквива-
лентности массы и энергии, выражаемого фор-
мулой Е = /гаС2, где Е—полная энергия,
т — масса и С—скорость света. Из этой
формулы следует, что масса в 1 г эквива-
лентна энергии в 9.1020 эргов. Это соотно
шение было теоретически выведено для част-
ных случаев еще в 1881 г. Дж. Тпм со ном, а
для общего случая любой массы и любой энер-
гии— Эйнштейном в 1905 г. Оно под-
тверждено лабораторными опытами с быстро-
движущимися электронами катодных лучей
радия. Возможность такого объяснения можно
видеть на примере образования гелия из во-
дорода. Масса протона, т. е. ядра атома во-
дорода, равна 1,0073. При соединении четы-
рех протонов, образующих ядро атома гелия,
мы должны иметь 4.1,0073 = 4,029, тогда
как масса ядра атома гелия равна 4,000
Следовательно, приходится считать, что раз-
ность 0,029 превратилась в энергию и выде -
лилась при процессе соединения. Этот расчет'
дает, что при превращении только одного
грамма водорода в гелий должна освобож-
даться энергия в 67 млрд, килограммометров.
Новейшие работы Рессела и Стремгрена
показали, что Солнце приблизительно на -д-
О
состоит из водорода. Если из всего этого
водорода образуется гелий, то освободится
энергия, равная 4,4.1051 эргов. Разделив это
на ежегодный расход солнечной энергии
(1,2.1041 эргов), находим, что этот источник
обеспечил бы излучение Солнца на 30 млрд ,
лет. Такое объяснение было выдвинуто Пер-
реном в 1931 г. и затем детально развито
Аткинсоном в 1931г. Однако Стенс-
гольд показал (1933 г.), что звезда, построен-
ная по модели Аткинсона, была бы неустойчива
и, значит, не могла бы дтительно существовать.

Попытки оценить возраст звезд приводят
к заключению, что он во многих, случаях.
значительно выше того предела, который мы
приняли для Солнца. Следовательно, надо
искать еще более мощных источников энер-
гии. Джинс, Эддингтон и другие счита-
ют источником звездной энергии превращение
вещества в лучистую энергию. Это сводится
к предположению, что при неизвестных ус-
ловиях, господствующих в звездных недрах,
электрон может слиться с протоном: оба, как
противоположные заряды, уничтожаются, а
масса их превращается в лучистую энергию
и разбегается в виде электромагнитных волн,
образуя как бы мощный всплеск в эфире.
В этом случае вся масса превращается в энер-
гию, и количество энергии получается в 137
раз больше, чем при образовании гелия из
водорода. Процесс этот обычно называется ани-
гиляцией, т. е. уничтожением материи. Этот
термин ошибочен, так как здесь, конечно,
материя не уничтожается, а только переходит
из одной формы в другую. Нужно сказать,
что это только предположение, и современ-
ная квантовая механика пока еще не находит
места процессам анигиляции. Один из ос-
новоположников теории квантов, известный
датский физик Нильс Бор, даже высказал
мнение, что в недрах звезд происходит нару-
шение закона сохранения энергии. Эта идея,
разумеется, недопустима, ибо возможность
получать энергию из ничего, что по Бору
имеет место будто бы внутри звезд, резко
противоречит опыту и очевидным образом

открывает двери идеализму и религии. Ее надо
рассматривать как очередное проявление кри-
зиса буржуазной науки, углубляющегося по
мере углубления всеобщего кризиса капитализ-
ма. В своем докладе на I Всесоюзном астроно-
могеодезическом съезде в январе 1934 г. наш
молодой и талантливый астроном В. А. Ам-
барцумиан, развивая гипотезу ленинград-
ского физика Ландау о том, что близ
центра звезды имеется „патологическая" об-
ласть с плотностью, близкой к плотности атом-
ных ядер, высказал, что нет необходимости
говорить о нарушении закона сохранения
энергии или об анигиляции материи. Именно:
оказывается, что при медленном сжатии и
уплотнении звезды механическая энергия этого
сжатия благодаря чрезвычайной плотности
звездного ядра будет в миллионы раз больше,
чем в старых подсчетах Томсона, основанных
на приблизительной однородности звезд. Таким
образом, предполагая, что в звездах имеются
ядра огромной плотности и что звезды в ходе
своей эволюции сжимаются, мы видим, что
это сжатие может служить источником звезд-
ной энергии в течение биллионов лет. Так
возрождается в новой форме теория сжатия
на основе закона сохранения и превращения
энергии. Хотя эти идеи еще-слишком новы,
чтобы можно было их считать уже установ-
ленными, но в общем, невидимому, мы близки
к решению проблемы источников звездной
энергии.
ОБШАЯ МЕТОДИКА

.ИДЕЯ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ВЕЛИЧИН В МАТЕМАТИКЕ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ *

•

В. БЕДЛОВСКИЙ (Ростов н/Д)

Начало XX столетия, как известно препо-
дающим математику, ознаменовалось разви-
тием широкого международного движения,
которое настаива ю на коренной реформе
преподавания математики в средних учебных
заведениях. Это движение стояло в тесной
связи с борьбой за реальное образование и
за признание за математикой и естествозна-
нием должного места в школе. Направление
и содержание этой мысли, положившей на-
чало реформе французских программ, заме-
чательно охарактеризовано профессором
Таннери в высказанной им формулиров-
ке: „Никто не имеет ни малейшего представ-
ления о том, что такое математика, не по-
дозревает ее необычайного объема, природы
задач, нами решаемых, до тех пор, пока не
узнает, что такое функция, как данная функ-
ция изучается, как идут ее изменения, как
она представляется при помощи кривой, как
алгебра и геометрия оказывают друг другу
поддержку; как число и пространство друг
друга поясняют, как определяются касатель-
ные, площади, объемы, как мы приходим к со-
зданию новых функций, новых кривых и к
их изучению. Это как раз те указания и
приемы, которые нужны для каждого, кто
хочет понимать быстроту современного дви-
жения и факты многообразных научных
приложений, которые с каждым днем проявля-
ют все более и более свое стремление видо-
изменить и углубить наш способ мышления
и нашу жизнь".

Математика как основа и ключ количе-
ственного сравнения глубоко проникает во
все методы научного исследования и мыш-
ления мерой и числом — в процессы воспри-
ятия (при наблюдении и опыте), а формули-'

* В статье попутно затрагиваю ся вопросы фи-
лософского характера. Автор мимоходом касается
диалектического мышления и, отождествляя по-
следи, н с „функциональным мышлением” рефор-
мистов, тем самым делает значительную ошибку.—

ровкой функциональной зависимости — в про-
цесс научного творчества (при установлении
закона).

Еще в 1834 г. писал Лобачевский-
„Нельзя сомневаться ни в истине того, что
все в мире может быть представлено числом,
ни в справедливости того, что всякая в нем
перемена и отношение выражается аналити-
ческой функцией". Все подобного рода вы-
сказывания, таким образом, все более и бо-
лее ярко подчеркивали мысль о( том, что
математика, предметом изучения которой
являются количественные соотношения и про-
странственные формы материальной действи-
тельности, становится естественным и в
высшей степени важным, хотя и не единст-
венным, средством в познавании реального
мира. Естественно поэтому во всю ширь
должен был подняться вопрос о коренной
реформе преподавания математики. Вопрос
этой реформы упирался прежде всего в не-
обходимость борьбы со старой схоластиче-
ской школой, с застывшей на пороге XVII
столетия математикой древних и средних
веков. Поэтому авторитетные педагоги и ма-
тематики К ерше нштей нер, Перри,
Клейн в свое время так горячо настаивали
на развитии у учащихся „функционального
мышления" как центральной задачи нового
преподавания математики в средних учеб-
ных заведениях и как начала, объединяющего
весь материал учебной математики. Изуче-
ние истории этого вопроса, безусловно,
представляет большой интерес и лучше всего
вскрывает методологическую сущность идей,
известных теперь под именем „идей о функ-
циональной зависимости и переменных вели-
чинах".

История раскрывает перед нами два ос-
новных периода в развитии математики: пер-
вый период до XVII в., период спокойного
созерцания застывших образов, 'когда мате-
матика была изумительна по высотам гео-
метрического знания, но лишена идеи дви-
жения. Второй период датируется от откры-
тия Декартом аналитической геометрии
в 1637 г. Затем, в XVII в., вырастает мощ-
ное орудие познания реального мира — ана-
лиз бесконечно малых (диференциальное и
интегральное исчисление). Со времени завер-
шения Ньютоном и Лейбницем дифе-
ренциального и интегрального исчисления
человечество получило возможность глубже
проникнуть в тайны природы и изображать
математически процессы и постоянно непре-
кращающееся движение, а не только состоя-
ние, покой. У Ньютона основной идеей яв-
лялось представление о течении: обе пере-
менные х, у рассматривались как функции
<р (t) и ф (t) времени t, — между тем, как течет
время, „текут" непрерывно и эти функции.
То же находим и в изложении Лейбница,
в его работах 1684 г. Сам Лейбниц назвал
свое открытие принципом непрерывности во
всяком процессе природы, т. е. положение:
„Natura non tacit salium".

Таким образом, со времени расцвета так
называемой высшей математики, математики
переменнных величин, в нее „против ее воли
и без ее ведома", по выражению Энгельса,
вошла диалектика. Войдя стихийно в мате-
матику, она как высший метод мышления
по-новому осветила и ряд вопросов элемен-
тарной математики.

Как же обстоял вопрос с продвижением
этого нового мощного орудия математики
в дело познания законов природы? До каких
пределов возможно было знакомство с мате-
матикой, обязательной для всякого образован-
ного человека, и что должно составлять об-
ласть астронома, инженера, физика и специа-
листа-математика? Еще недавно (XIX в.) вопрос
этот решался традиционным делением мате-
матики на элементарную и высшую. Первая —
математика постоянного — была резко ограни-
чена, оторвана от второй и под именем „эле-
ментарной математики" преподносилась уча-
щимся низшей и средней школы. Этот отдел
математики занимался исключительно посто-
янными вычислениями (числами), и все со-
держание его было далеко от идеи движения,
идеи переменных величин. Высшая же мате-
матика была предоставлена высшей школе, где
классовый отбор учащихся обеспечивал, что
изучение движения и изменения чисел не
поведет к „вредным обобщениям".

Такое разделение математики на две рез-
ко выраженные части удовлетворяло капита-
листическое общество и сохранилось непри-
косновенным почти до половины XIX в., тща-
тельно охраняемое буржуазной школой. Само
же преподавание математики в средней и
высшей школе проводилось на основе идеа-
листической философии, под лозунгом чи-

стой науки и не затрагивало открыто вопро
сов методологии. Усвоив указанную точку
зрения и иногрируя развитие науки в тече-
ние XVIII и XIX вв., школьная математика
(особенно элементарная) в значительной мере
приобрела признаки схоластичности. Курс
элементарной математики вылился в опреде-
ленные рамки и как бы замер в раз навсегда
остановившихся пределах. Традиционный
курс алгебры совершенно игнорировал по-
нятие о функции и о переменном числе, не-
смотря на то, что эти понятия явились ис-
точником дальнейшего развития математики
и ее блестящих приложений. Отгородившись
от анализа, школьная алгебра также была
оторвана и от арифметики. Между первой
и второй обычно шло разделяющее их по-
нятие об относительных числах и буквен-
ных выражениях. Вопрос об уравнениях в
этом тоадиционном курсе прорабатывался
одновременно. Если алгебра и давала цен-
ные понятия о методе уравнений как анали
тическом методе решения разных задач, то,
будучи лишена понятий о переменной вели-
чине и функции, она не пошла дальше ал-
гебры XVII в. В-области геометрии спокойно
царил еще Евклид, изучаемый зачастую пря-
мо по подлиннику. В свое время проф.
Клейн так выразил мысль о школьной мате-
матике XIXв.: „Можно подумать, что мате-
матика—мертвая наука, что в ней ничего
не меняется, что в этой области знания нет
новых идей". Между тем быстро развиваю-
щийся капитализм, бурный рост промышлен-
ности и торговли во второй половине XIX в.
требовали более совершенного математиче-
ского орудия. Средний командный состав,
необходимый в технике, торговле, морском
и военном деле, оказался далеко не подго-
товленным. Вся совокупность капиталисти-
ческой экономики требовала именно того ма-
тематического образования, которое мо1ло
быть быстро приложено к технике и коммер-
ческому делу. Потребность в математике пе-
ременных величин, в математике, устанавли-
вающей функциональную связь величин, ха-
рактеризующих жизненные процессы, стала
неоспоримой. Это обстоятельство вызвало
в конце XIX в. движение за уничтожение
пропасти между элементарной и высшей ма-
тематикой, за введение элементов последней
в среднюю школу В истории математики
это движение известно под именем „движе-
ния Джона Перри и Феликса Клейна".

Английская школа в то время отличалась
особенным консерватизмом, и выступления
по вопросам обоснования новых методов в
математике были сопряжены с большими
трудностями. Бывший техник Д. Перри по-
этому и подошел к вопросу о реформе ан-
глийских школьных программ несколько не-
обычным путем. Сперва он поставил этот
вопрос среди инженеров, мастеров и тех-
ников. Он практически показал им, как
можно быстро ознакомиться и ввести в
практику ряд положений, составляющих при-
вилегию высшей математики. Затем, уже с
большей последовательностью и осторож-
ностью, Перри приводит аргументы за ре-
форму, исходя из технических потребностей.
Перри предлагает свой перечень вопросов, под-
лежащих изучению в элементарной матема-
тике, уже без разделения на математику пе-
ременных и постоянных. В этот же период
гораздо шире вопрос о реформе был постав-
лен немецким профессором Геттингенского
университета Феликсом Клейном. Е
литературе, которую создало это движение за
реформу (Reformbewegung) в Германии, важ-
ным документом является Меранская програм-
ма, имеющая большое значение и до сих пор.
Эта программа стала знаменем, объединив-
шим сторонников рефопмы. Меранская про-
грамма содействовала развитию и русской
педагогической мысли. История этого доку-
мента такова: в 1900 г. в Берлине была
созвана конференция по вопросам среднего
образования, на которой особенно остро
стал вопрос о естествознании, так как с
1879 г., после мюллеровского процесса,
гаковое было вовсе устранено в старших
классах средней школы Германии. На кон-
ференции инициатор движения, выдающийся
германский педагог Клейн, выступил с тре-
бованием положительного знания и кратко
изложил свои требования в области рефор-
мы математического образования. Но в Гер-
мании, где царили прочно традиции и где
классицизм пустил глубоко свои корни,
борьба за новое течение потребовала боль-
шой настойчивости и сил. Не получив ка-
кого бы то ии было разрешения вопроса,
энергичный Клейн снова и снова подни-
мает его. На съезде естествоиспытателей
и врачей в Гамбурге (1901 г.), а затем
в 1903 г. в Касселе Клейну удалось отстоять
свои тезисы. Собрание полностью выразило
сочувствие и, по предложению Клейна, этот
вопрос был передан президиуму с тем, чтобы
подвергнуть его глубокому обсуждению на
ближайшем съезде в Бреславле. На Брес-
лавтьском съезде (1904 т.) вопросу о рефор-
ме было уделено большое внимание. Засе-
дание было открыто речью К. Фрике „О со-
временном состоянии преподавания естество-
знания и математики в средней школе", затем
44

быт заслушан доклад Клейна — „О препода-
вании математики и физики". По поручению
съезда специально созданная комиссия при-
ступила к составлению программ для сред-
них школ, которые были приняты съездом
естествоиспытателей в 1905 г. в г. Меране.
С целью придать движению международный
характер Клейн добивается постановки во-
проса о реформе на VI Международном ма-
тематическом конгрессе в Риме в 1908 г.
С этого момента движение получило широ-
кое распространение во всех странах.

В чем же заключалась сущность требова-
ний, предъявляемых сторонниками реформы
к преподаванию математики в средней шко-
ле? Коротко эти требования можно форму-
лировать так: установившееся в современ-
ной математике основное понятие о функции
должно стать исходным и доминирующим
в преподавании математики в средних учеб-
ных заведениях. Задача развития у учащихся
способности функционального мышления (func-
tionales Denken) должна составлять первое
и основное треб твание. Для изучения поня-
тия функции в курс средней школы должны
быть введены элементы анализа бесконечно-
малых. Возражая противникам реформы, счи-
тавшим, что понятие о функции может быть
дано учащимся и без всякой реформы про-
грамм, Клейн резко подчеркнул:если против-
ники полагают, что предложения с во гятся к
тому, чтобы сообщить, что такое функции,
то это существеннейшая ошибка. Задачи ре-
формы — в том, чтобы идею функциональ-
ной зависимости провести через все препо-
давание, через весь курс алгебры и геомет-
рии. Курс математики средней школы должен
быть не просто дополнен основными поня-
тиями высшей математики, в виде добавоч-
ного раздела в программах для реальных
училищ, а именно проникнут ими от начала
и до конца. Понятие о функции и перемен-
ной величине не должно вводиться в каком-
нибудь из классов как нечто совершенно’
новое. С самого начала курса алгебры и гео-
метрии учащиеся должны получать посте-
пенную подготовку к этим понятиям, с тем,
чтобы в конце курса приобретенные знания
составили законченное целое. Примером ме-
тодического и дидактического развертывания
математических понятий в указанном духе
может служить Меранская программа, отдель-
ные и важные разделы которой считаю по-
лезным привести.

Ill класс. Подготовление к обучению ариф-
метике путем повторного решения важней-
ших задач в буквенных обозначениях. Уче-
ние о прямых, об углах и о треугольниках.
Движение фигур. Зависимость одних элемен-
тов треугольника от других.

IV класс. Дальнейшие упражнения в на-
хождении численных значений буквенных
выражений при положительных и отрицатель-
ных значениях переменных. Выяснение функ-
ционально! о характера буквенных выражений.

V класс. Уравнение 1-й степени с одним
и несколькими неизвестными. Зависимость
буквенного выражения от входящих в него
переменных. Графическое изображение ли-
нейных функций и применение этого изоб-
ражения к решению уравнений.

VI класс. Исследование квадратного вы-
ражения, зависящего от одной переменной,
графическим методом. Решение задач 2-й сте-
пени посредством пересечения прямых и
парабол. Графическое изображение как сред-
ство наглядного выражения эмпирических ре-
зультатов.

VII класс. Развитие понятия о степени.
Выяснение перехода от этого понятия к по-
казательной функции. Графическое изображе-
ние взаимной зависимости логарифма и анти-
логарифма. Решение квадратного уравнения
с двумя неизвестными путем вычисления и
графическим методом. Счетная линейка. Ха-
рактеристика взаимной зависимости измене-
ния углов и их функций как на основе фор-
мул гониометрии,так и путем графического
их изобоажения. Ознакомление с гармониче-
ским соответствием.

VIII класс. Связный обзор изученных до
сих пор функций. Изучение их возрастания
и убывания (по возможности, введение поня-
тий о диференциале и интеграле). Многочи-
сленные примеры из геометрии, физики и
механики.

IX класс. Учение о конических сечениях.
Элементарные приложения к астрономии. Об-
зор важнейших частей курса с историче-
ской и философской точки зрения.

Программа обращает внимание на харак-
терные особенности связи элементарной мате-
матики начальной школы с математикой сред-
ней школы и на внесение в последнюю
элементов высшей математики. При наличии
большого ряда упражнений с буквенными
обозначениями и формулами учащиеся посте-
пенно переходят к алгебре, не чувствуя тех
затруднений, которые имеют место при обыч-
ной точке зрения, что буквенные обозначения
знаменуют переход к алгебре. Объяснительные
записки к приведенной выше программе осо-
бенно подчеркивают то обстоятельство, что
теория должна сводиться к объяснениям на
конкретных примерах, и лишь постепенно
можно знакомить учащихся с простыми отвле-

ченными понятиями, выявляя необходимость
точных определений и строго логических
доказательств. Таким образом, реформа и ее
документ — Меранская программа — внесли
коренное изменение как в содержание эле-
ментарного курса математики, так и в методы
ее изложения. Но удалось ли целиком осуще-
ствить эти идеи? Безусловно нет. Многие
государства (Англия, Германия, Франция,
затем Австрия), считаясь с запросами техники,
ввели только элементы анализа в последних
классах, но совершенно не коснулись тра-
диционного курса алгебры и геометрии.
Вообще нужно сказать, что реформаторские
требования осуществились (да и то ие пол-
ностью) только в части содержания программ,
оставив методологическую и методическую
сторону этого вопроса до более удобного
случая. Затем война 1914 г. совсем остано-
вила эту реформу ^особенно в Германии)
Важно и характерно отметить русскую школу.
Здесь вплоть до революции 1917 г. програм-
мы оставались почти неизменными и только
произошла (по тем же соображениям) над-
стройка их в дополнительных классах реаль-
ных и коммерческих училищ. Только после
1917 г., уже в советской школе, идеи Ме-
ранской программы осуществились полностью
в программах единой трудовой школы. Ха-
рактерно, что война и дальнейшие события,
последовавшие в 1915—1917 гг., оказали
свое огромное действие на реформу препо-
дования и в буржуазных школах, В резуль-
тате в 1921 г. появляется в свет „Меран-
ская программа в новой обработке", в ко-
торой сделан упор на связь математики с
действительностью и на практические прило-
жения ее. В настоящее же время основ-
ные понятия математики и, прежде всего,
понятия о функции получили всеобщее рас-
пространение и проникли в среднюю школу.

II.

Целесообразность введения новых идей
в элементарную математику с методологиче-
ской и методической точки зрения ясна. Выра-
ботка у учащегося научного миропонимания,
диалектического метода познания, есть ос-
новная задача нашей школы. Отсюда и за-
дача усвоения систематического курса мате-
матики должна осуществляться так, чтобы
обучение математике способствовало раз-
витию у учащихся марксистско-ленинского
мировоззрения. При таком понимании задач
математического образования введение новых
идей в элементарную математику становится
уже не только потребностью практики (на
45
что указывали буржуазные ученые Перри и
Клейн), но и необходимостью для правиль-
ного диалектического понимания явлений при-
роды. В самом деле, основное свойство всего
существующего — непрестанная изменяемость,
постоянно не прекращающееся движение. Диа-
лектика убеждает нас в том, что эти изме-
нения совершаются не хаотично, а по опре-
деленным законам, выражающим зависимость
изменения одних вещей от изменения других.
В таком случае для количественного выраже-
ния каждого закона природы вполне конкретна
и приемлема схема: изменения объектов х, у,
z... влекут за собой изменения объектов х',
У, г'... Справедливости этой схемы подтвер-
ждается на любом законе из физики, механики,
химии, биологии и т. д. Например: закон Ку-
лона в магнитном и электрическом поле, за-
кон Бойля-Мариотта, закон всемирного тяго-
тения, закон Гей Люссака, закон кратных
отношений, периодический закон и т. п.

В каждом изучаемом явлении мы наблю-
даем две стороны: количественную и качест-
венную. Полноценное знание мы получаем
только при изучении обеих сторон явления.
Возьмем закон всемирного тяготения. Одной
формулировки: „Все тела притягивают друг
друга", конечно, недостаточно, чтобы исполь-
зовать закон для познания вопроса всемир-
ного тяготения. Количественное же выраже-

К Мт

ние закона г = — - вскрывает характер

изменения силы притяжения от изменения масс
и расстояния между ними и тает возможность
изучать движение небесных светил. Такое
рассмотрение вопроса имеет ценность с двух
сторон: с практической—потому, что оно дает
правильное математическое выражение закона,
применяемого при многочисленных подобного
рода исследованиях; с методической — вскры-
вает процесс движения, ибо при изменении
масс каждый раз мы наблюдаем изменение
силы притяжения. Изучение перечисленных,
в качестве примеров, законов во всей их
полноте действительно возможно только при
наличии понятия о переменном числе и о
существующей связи между переменными
величинами. С подобного рода функциональ-
ными зависимостями, как отмечено ранее,
исследователю природы и техники приходится
иметь дело постоянно. Так, пройденый путь
есть функция скорости и времени. Сила элект-
рического тока находится в функциональной
зависимости от напряжения тока и сопротив-
ления проводника. Площадь комнаты находится
в функциональной зависимости от ее длины
и ширины. Объем газа при постоянной тем-
46

пературе находится в функциональной зави-
симости от давления, испытываемого газом.
На целом ряде таких примеров можно усмот-
реть то огромное значение переменных вели-
чин и функциональной зависимости, которая
связывает изучение математики с изучением
физики, химии, механики и других областей
знания.

Но что означает такая постановка вопроса
преподавания математики, а следовательно,
и введение в нее элементов анализа? Не что
иное, как выработку у учащихся диалекти-
ческого способа мышления и формирование
научного миропонимания.

Кроме отмеченного огромного значения
понятия о функциональной зависимости для
выработки диалектического мышления у уча-
щегося, оно весьма ценно и с точки зрения
методики преподавания математики Все ос-
новные вопросы элементарного курса, как-то:
развитие понятия о числе, умение вычерчи-
вать графики и диаграммы, а также поль-
зоваться ими, зависимость между элементами
геометрических фигур, вопрос об уравнениях,
логарифмы, вопросы тригонометрии (особенно
обратные тригонометрические функции) с
введением основного понятия математики —
понятия о функциональной зависимости,— по-
лучили более конкретное, ясное освещение для
учащихся, а также и более широкое приме-
нение их на практике. Новые идеи, безус-
ловно, сыграли также большую роль в деле
смягчения укрепившегося формального харак-
тера преподавания математики в школе.

III.

Всякий предмет преподавания в школе чер-
пает свой материал из соответствующей науч-
ной дисциплины, подвергает его отбору и
переработке, согласно дидактическим требо-
ваниям и задачам, которые поставлены перед
школой. Затронутый нами вопрос о функцио-
нальной зависимости есть также, по суще-
ству, большой и сложный вопрос целой науки
математического анализа. Вся глубина и стро-
гость изложения идеи о функции,ее много-
стороннее приложение на практике, конечно,
вскрываются только в высшей школе. Тем
не менее, тонкость этих идей, завоевавших
себе видное место в средней школе, мето-
дические требования в смысле доведения этих
идей до полного сознания учащегося, требуют
от самого преподавателя ясного понимания их
и знакомства с историей их развития.

Слово „функция" впервые появилось у
Лейбница в его письмах к Гюйгенсу
(1694 г.), и введено в математику в связи
с потребностями техники и естествознания.
В основании понятия функции лежат три ло-
гически разнородных определения, которые
можно назвать: аналитическим (оперативным),
табличным и графическим.

Первое—это старое определение, данное
Эйлером: „Functio quantitatis variabilis est
expressio analitica quomodo cunque composita ex
ilia quantitate variabili et numeris seu quantita-
tibus constantibus“.

По этому определению функция дана, если
имеется математическое выражение, указыва-
ющее определенный конечный ряд операций,
которые нужно произвести над каждым зна-
чением аргумента, чтобы получить соответст-
вующее значение функции. Такое определение
можно считать формальным заданием функ-
ции, т. е. заданием при помощи формулы,
как-то: / = /0(1+^)> гДе «эль" есть функ-
ция от „тэ“. Примером такого задания функ-
ции может служить целый ряд формул,
известных учащимся средней школы, напри-
мер: С — 2пг где длина окружности есть
функция ее радиуса; А — FScos(F,S), где
работа, совершаемая силой „эф* на путь „эс",
есть функция трех независимых переменных:
силы, пути и угла, образованного направле-
нием векторов пути и силы; v = v0-|-gt,
где скорость падающего тела под влиянием
земного притяжения есть функция двух пере-
менных: начальной скорости и истекшего
промежутка времени. При этом во всех при-
веденных примерах каждому определенному
значению аргумента соответствует одно зна-
чение функции; поэтому такие функции
носят название однозначных, или униформ-
ных функций. Если же функция задана
формулой х2 -{- У1 — А2 или у = arctg х, то
при определенном значении аргумента функ-
ция получает два или несколько значений.
Такие функции будут многозначными, или
мультиформными, функциями. Указанное опе-
ративное определение функции может быть
дано учащемуся в самом начале-изучения
алгебры и, в сущности, только оно вполне
осмысливает и уясняет значение введения
букв на место чисел в арифметике.

Второе определение понятия функции,
данное впервые германским математиком
Дирихле (1837 г.), можно формулировать
так: „игрек" называется функцией от „икса",
если для каждого данного значения „икса"
„игрек" принимает определенное значение.
И третье определение, — это определение,
отождествляющее функцию с произвольно
начерченной линией (прямой или кривой).
Все три определения функции, безусловно,
должны быть известны изучающему, ибо они
во многом дополняют друг друга, способствуя

тем самым лучшему и всестороннему изуче-
нию данного вопроса. На практике в различ-
ных случаях мы и пользуемся то одним, то
другим способом задания функции. Два пос-
ледних, т. е. табличный и графический мето-
ды, имеют применение во всех прикладных
науках, но, кроме того, не менее ценными они
являются как методы, дающие возможность
их практических приложений. Однако ана-
литический способ задания функций имеет
двоякое преимущество: во-первых, по анали-
тическому заданию функции мы всегда можем
дать ее графическое изображение и развер-
нуть значения аргумента и функции в таб-
лицы. Во-вторых, функция в аналитической
форме наиболее поддается общему математи-
ческому исследованию. Сравнительная же-
ценность, значение и взаимная связь всех
способов задания функции проявляются имен-
но в том, что они в совокупности дают тот
могущественный метод математического иссле-
дования явлений, которым пользуются тех-
ника и естествознание.

Для пояснения сказанного рассмотрим бли-
же, как естествоиспытатель изучает явления,
природы. Как, например, изучаются особен-
ности расширения воды при изменении темпе-
ратуры. Измерения, которые производит фи-
зик, приводят его к следующей таблице:

t V
0° 1.000123
1° 069
2° 030
3° 007
4° 1.000000
5° 008
10° 1.000267
15° 0866
20° 1763
25° 2940
30° 4347

С точки зрения математики, он имеет функ-
цию, определенную с помощью таблицы, где
для каждого значения t дано значение v.
Следовательно, нетрудно получить закон в
его общей формулировке: объем есть функция
температуры воды, т. е. Исследуя

упругость насыщенных паров воды, Батте л-
л и дает следующую таблицу, полученную им
из опыта (см. таблицу на стр. 48).

Подметив закон изменения упругости пара,
Баттелли пытается выразить его формулой
Inp = а bat |-
Темпера- тура t Упругость пара в мм
100 790
150 3574
200 11629
250 29 951
300 67 620
320 88 343
350 126 924
360 141 865

Галилей, исследуя падение тел, также
получил таблицу значений, из которой выво-
дится эмпирическая формула зависимости
пройденного пути от времени. Так, если s —
путь, пройденный падающим телом в метрах,
t — время, то формула имеет вид s = atz.

Несомненно, что Джоуль и Ленц, Ом,
Фа радей пришли к обобщению известных в
физике законов: 1) Q=0,24IzRt\2) R~K^ ,
A

3 ) m=C—It, путем длительных экспериментов

и записей результатов в виде таблиц. Таким же
путем получили эмпирическую формулу для
колебания маятника: Т = 2тг1/ — .

V g

Так поступают физики, техники, натурали-
сты и т. п. Всякое явление природы считается
ими изученным с количественной стороны,
если установлена количественная зависимость
между факторами этсуо явления. Что означает
найденная таким опытным путем таблица с мате-
матической стороны? Это и есть табличное
задание функциональной зависимости между
переменными величинами, позволяющее из
отдельных фактов вскрыть общий закон (эмпи-
рическую формулу). При дальнейшем изучении
явления количественная зависимость факто-
ров выражается уже уравнением, составлен-
ным на основе этих опытных данных. Такое
математическое выражение (в формуле уравне-
ния) законов не только придает им отчетливую
форму, но и позволяет, уже чисто математи-
ческим путем, вывести из них ряд следствий,
которые иногда трудно заметить, изучая явле-
ния экспериментальным методом. Если про-
следить историю развития техники, естествен-
ных и математических наук, то легко заметить,
как на известном этапе проблемы первых
(опыт) давали толчки математической мысли,
и, наоборот, готовая, развитая математическая
теория часто давала возможность быстро и
правильно осветить и разрешить ту или иную
проблему опытной науки.

Современному инженеру и физику известны
десятки уже готовых формул, выражающих
зависимость между отдельными фактами того
или иного явления, а следовательно, ему дана
возможность применить их как к отдельным
случаям практики, так и к новому, углублен-
ному изучению явления. В самом деле, нужна
ли таблица значений отдельных фактов для
инженера-электрика в вопросе наивыгодней-
шего соединения элементов в батареи, когда
ему известны функции (заданные уравнениями)
. Е
1=----;— для последовательного соединения

г пЕ _

элементов и / =------- для параллельного?

Для практических целей ему вполне доста-
точно именно математического выражения
функциональной зависимости силы тока от
сопротивления внутренней и внешней цепи.
Эти уравнения дают ему возможность про-
стыми подсчетами выбрать наивыгоднейшее
соединение элементов.

Разберем еще пример, характерный для
наших рассуждений. Возьмем всем известный
из физики закон Био и Савара, устанав-
ливающий количественное соотношение между
силой тока и магнитным полем, им образуемым.
Био и Савар пришли к заключению, что
электромагнитная сила пропорциональна силе
тока, количеству магнетизма, синусу угла
между направлением тока и радиусом-векто-
ром и обратно-пропорциональна квадрату рас-
стояния от элемента тока до полюса, что
выражается функцией F= m11 , откуда на-

пряжение магнитного яполя тока выразится
формулой zHt= ——— . Характерно то,
что закон этот нельзя проверить непосред-
ственно опытом, так как ни элемент тока,
ни магнитный полюс нельзя реализовать в дей-
ствительности. Тем не менее, мы применяем
этот закон именно в форме данного уравне-
ния к многочисленным практическим случаям
замкнутых токов и к двухполюсным магни-
там. Во всех случаях наши применения оправ-
дываются иа опытах с действительными токами
и магнитами. Тем же физиком Саваром на-
пряжение магнитного поля прямого тока как
частный случай указанного закона получено

. . .. 2/

в форме М= ~ уже непосредственно из
го
опыта.

Итак, научное и техническое значение ана-
литического выражения функциональной за-
висимости огромно. Ценность такого метода
задания функции именно в том, что матема-
тическое уравнение, с одной стороны, позво-
ляет обобщить частное, кратко формулировать
закон в общем его виде и, с другой — иссле-
дуя функцию при всевозможных частных зна-
чениях, можно получить ряд новых соотно-
шений, которые выражают новые физические
законы как следствия первых. Так, напри-
мер, исследования Фурье закона колебаний
привели к созданию целой теории тригоно-
метрических рядов и к пересмотру основного
математического понятия — понятия о функ-
ции. Установление причинной зависимости
между законами Кеплера н Ньютона
привело к глубокому пониманию законов дви-
жения небесных тел. Исследуя математически
заданные функции, естествоиспытатель, физик,
техник, именно благодаря функциональному
выражению зависимости, легко находят опти-
мальные значения (максимум и минимум) в
исследуемых ими явлениях. Достаточно ука-
зать на целый ряд практических задач по
определению наибольших объемов, площадей,
кратчайшего железнодорожного пути, наилуч-
шего освещения и целый ряд задач по электро
технике.

Характерным примером может служить исто-
рия-возникновения понятия абсолютного нуля.
Применения аналитического выражения функ-
ции в форме Pt— Ро (l-f-00 привели физиков
к понятию оптимального давления газа, а от-
сюда—к понятию об абсолютной температуре
и к понятию абсолютного нуля (—273°). Тут
мы силой математических операций над задан-
ным уравнением PZ = PO(1-j-^Z), выражаю-
щим только количественную сзязь фактов,
пришли к весьма интересному выводу, который
вскрывает уже качественную сторону явления.
Функциональная зависимость, представленная
в форме таблицы отдельных значений функций
и аргумента, ценна тем, что дает конкретную
характеристику частных моментов из „жизни"
функции и весьма часто позволяет решать ряд
практических задач (гаковыми являются табли-
цы тригонометрических функций, логарифмов,
квадратных и кубичных корней и т. д.), а
аналитическое выражение функции, кроме
этого, дает еще полную возможность иссле-
довать и исчерпать все общее и частное, вы-
оаясенное функцией. Отсюда понятно, почему
функции в аналитическом виде представляют
большой интерес как для современного есте-
ствоиспытателя и математика, так и для уча-
щегося средней и высшей школы.

Не менее ценным в научном, практическом
и методическом отношениях является также и
графический метод изображения функциональ-
ной зависимости. Графический метод в об-
щем понимании,—это метод условного обозна-
чения вещей и их отношений. .Этот метод —

4 Математика и физика .МЬ 4.

чрезвычайно простой; он воспроизводит'перед
наблюдателем только линии, пучки линий и
изредка поверхности. Но для тех, кто умеет чи-
тать его язык, он оказывается богаче и говорит
больше, чем всякий другой метод. С большой
точностью вычерченный график выражает со-
бой невероятно много, его можно читать снизу
и сверху, аналитически и синтетически, и при
каждом способе чтения видеть явление, им изо-
браженное в новой форме и связи. Неудиви-
тельно- поэтому, что метод графического изо-
бражения зависимости нашел огромное при-
менение в самых разнообразных областях зна-
ния. Им пользуются и астрономия, и геогра-
фия, и физика, и техника, и страхование,
и общественные науки, и метеорология, и даже
психология и логика. Более того, сама природа
дает нам графические изображения. Этот ме-
тод дает, с одной стороны, наглядность при
изучении и усвоении уже открытого явления,
способствуя полному пониманию как отдель-
ных фактов его, так и законов в целом. С
другой стороны, он служит самим научным
исследованиям и в целом ряде случаев явля-
ется единственно возможным для выражения
функциональной зависимости величин (авто-
матическое изображение при помощи термо-
графов, барографов, индикаторов, осцилло-
графов, фотохронографических записей и
т. д.). Вычерченные тем или иным способом
кривые показывают более ясно, чем таблицы
чисел, как изменяются представляемые ими
величины, где они возрастают, где убывают и
насколько быстро. Когда же мы составляем
две-три кривые на одном и том же чертеже,
то имеем полную возможность сравнить между
собою изменения различных величин. Поль-
зуясь этим методом в обучении, мы можем
преподать учащимся в наглядном виде идею
изменения величин, приближения их к пре-
делу и даже идею интегрирования. Ведь нельзя
же сомневаться в том, что наглядное изо-
бражение имеет гораздо ббльшую область
влияния, чем отвлеченная мысль, да и,
кроме того, полученные путем измерения
таблицы чисел безусловно страдают неиз-
бежными ошибками, которые на вычерчен-
ной кривой выступают отчетливо. Перевод
табличных значений функции на графический
язык часто дает возможность легко подобрать
вид функции. Вычисление промежуточных
значений (интерполяция), а также замена дан-
ной функции более простой могут быть при-
ведены графически гораздо легче, чем анали-
тически. В области преподавания математики
этот метод ценен именно тем, что позволяет
соединить воедино три основные математи-
ческие идеи — число, образ и формулу — в

49
одном основном понятии о функциональности.
В технических же расчетах, когда функция
задана непосредственно графически, часто
излишне находить ее аналитическое выраже-
ние, и решение задачи производится прямо по
графику. Укажем пример: в паровых машинах
и газовых двигателях вычерчивается механи-
чески „индикаторная"1 диаграмма, дающая из-
мененения давления пара по обе стороны порш-
ня. Для нахождения моментов действия силы
на поршень простым наложением этих двух
диаграмм находят точки пересечения их. Точно
так же в настоящее время расчеты движения
поездов делаются исключительно графическим
методом. В настоящее время применение прин-
ципа замены функции ее графиком, употреб-
ление номограмм, т. е. чертежей, заменяющих

таблицы и формулы, привело к целой науке
номографии.

Подводя итог сказанному о ценности и значе-
нии существующих способов задания функцио-
нальной зависимости, нетрудно сделать вывод,
что каждый из них имеет свои удобства и об-
ласть специальных приложений. Поэтому сред-
няя и высшая школа, воспитывающая функцио-
нальное мышление у учащихся, ведет изуче-
ние функций с трех сторон: составляется таб-
лица значений функции, дающая основу зна-
комства с последней; вычерчивается график,
позволяющий сразу одним взглядом охватить
ход ее изменения в рассматриваемом интер-
вале; составляется и изучается, с целью обос-
нования подмеченного закона, аналитическое
выражение функции.

ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ВАЖНЕЙШИХ НАПРАВЛЕНИИ В МЕТОДАХ
И ОРГАНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ ФИЗИКИ 3 БУРЖУАЗНОЙ
И СОВЕТСКОЙ ШКОЛЕ

•

Проф.^И..ЧЕЛЮСТКИН (Ленинград)

I. Начало научного изучения основ физи-
ки и использование экспериментально-ис-
следовательского метода было положено и
проведено, как известно, Галилеем
(1564—1642 гг.).

Эксперментально-исследовательский метод
в изучении природы вообще и, в частности,
физики, обогащавший науку новыми откры-
тиями в течение трехсот лет, достиг особен-
ного развития и успеха за последние пять-
десят лет.

Необходимые для экспериментально-иссле-
довательского изучения природы приборы де-
лались либо самими исследователями, либо
производились кустарным способом; и только
в XVIII в. в Париже и Лондоне начинается
индустриальное массовое производство море-
ходных, астрономических, угломерных прибо-
ров, хронометров и т. п.

По особому заказу отдельных исследовате-
лей начинается в то же время приготовление
приборов для отдельных специачьиых наблю-
дений и исследований. Но только в конце
первой половины XIX в., сначала в Париже,
а затем и в других местах, начитается спе-
циальное приготовление демонстрационных
приборов для экспериментального преподава-
ния физики, сначала в высших, а затем — в
конце второй половины XIX в. — ив сре ще-
учеиных заведениях.

2. До 80-х годов прошлого столетия в ста-
рой буржуазной школе преобладали книжно-
словесные способы изучения физики при клас-
сно-урочной форме организации занятий. Из-
ложение изучаемого материала велось в дог-
матической форме.

Впоследствии к изучению по книге и к
словесному преподаванию начали прибавлять
записи на классной доске формул и их вы-
водов, затем — схематические чертежи и ри-
сунки. Все приборы и все опыты заменялись
некоторыми чертежными набросками мелом на
доске. Отсюда начинается хорошо известный
„меловой период" преподавания физики.

Такая „меловая физика" особенно долго
удержалась в русской дореволюционной шко-
ле. Этот „меловой период" в русской школе
длился почти до конца 90-х годов прошлого
столетия, когда, наконец, стали раздаваться
протестующие голоса против подобного из-
ложения физики как основного предмета есте-
ствознания в средней школе. В первую оче-
редь об этом заговорили в печати профессора
физики Ф. Н. Шведов, О. Д. X вол ь со и
и Н. А. Умов, а также ряд преподавате-
лей в Петербурге.

Таким образом, в конце 90-х годов прош-
лого столетия начинает получать в средней
школе некоторое распространение демонстра-
ция опытов и приборов, сопутствующая объяс-
нению преподавателя. Но „меловое препо-
давание" физики еще долго продолжалось
и было общим явлением даже в тех школах,
где существовали физические кабинеты. В эти
кабинеты изредка приводили учащихся, чтобы
сразу показать несколько опытов. Но в боль-
шинстве случаев ограничивались демонстра-
цией только приборов.

Тем не менее, с конца XIX в. в методиче-
ской литерат)ре, на съездах и конференциях
препода вате/ей физики ведется настойчивая
пропаганда за экспериментальное преподавание
физики. Мстив роььа экспериментального пре-
подавания физики была очевидна преподавате-
лям физики и того времени. Опыты не только
воспроизводят изучаемые явления, но и дают
возможность установить связь между ними,
т. е. выяснить законы, регулирующие про-
цессы природы.

Здесь следует отметить основоположников
экспериментального преподавания физики на
самодельных приборах в упрошенной поста-
новке— петербургских преподавателей 4 й'
зики Ковальского, Дубровского,
Дрентельна и др., выступавших, начиная
с 80-х годов, с соответствующими докладами
на собраниях физиков и написавших книги
по постановке экспериментального препода-
вания. Это направление возникло на почве
борьбы за экспериментальный метод в не-
удовлетворительной обстановке преподавания
физики в большинстве школ.

Следовательно, с конца XIX в. совершенно
окрепла методическая мысль, что эксперимен-
тальная постановка преподавания, демонстра-
ция опытов являются необходимым условием
сознательного усвоения курса физики в сред-
ней школе. Поэтому совершенно понятно,
почему профессора физики университетов гели
пропаганду за экспериментальную постановку
преподавания физики, так как они в своих
университетах имели дело не только с плохо
подготовленными студентами, но и с совер-
шенно равнодушными к столь важной и ин-
тересной части естествознания, как физика.

В 1898 г. комиссия, работавшая под пред-
седательством проф. Н. А. У м о в а, по вопро-
сам о мерах лучшей постановки преподава-
ния физики в гимназиях выставила требова-
ние. чтобы в каждой гимназии и в каждом
реальном училище были созданы физические
кабинеты и оС срудованы для постановки экс-
периментального преподавания. С этой целью
комиссия составила список приборов и при-
надлежностей для нормального физического
кабинета; она выработала также положения
о подготовке преподавателей физики и о под-
держании их знаний на уровне успехов пре-

подавания физики в обстановке образцовых
физических кабинетов, создаваемых в каждом
учебном oKpjre. Эти требования и соответ-
ствующие постановления о нормальных усло-
виях преподавания физики настойчиво повто-
рялись на собраниях физиков с 1900 до 1913 г.
Некоторые столичные школы (преимуществен-
но привилегированные) создали у себя очень
хорошие физические кабинеты с необходи-
мым числом физических приборов и с соот-
ветствующим техническим оборудованием.

Хорошее оборудование создавалась и в не-
которых частных школах, готовивших клас-
совую интеллигенцию, и особенно в коммер-
ческих училищах — в связи с интересами тор-
говли и развития капитализма.

Такие школы выписывали приборы и, обо-
рудование из-за '-раницы (главным образом
из Германии). В 1904 г. появилась книга
Лукьянова „Физический кабинет средних
учебных заведений" (2 тома) в качестве „ру-
ководства к экспериментированию для препо-
давателей физики". В этой книге имеются
описания приборов и установок, изготовляв-
шихся главным образом германской фирмой
Макса Коля. Затем появилась в переводе с
французского, книга А б р а г а м а—„Сборник
элементарных опытов по физике" составленный
при участии многих физиков (1905 г.). На-
ряду с этими трудами переиздаются упомя-
нутые выше и появляются новые книги по
постановке упрощенных опытов пор физике
на самодельных приборах.

3. Под экспериментальным преподаванием
физики в конпе XIX столетия подразумева-
лись не только демонстрации опытов и при-
боров, но и практические занятия учащихся
в лаборатории.

В методической [литературе за указанный
период особенное внимание уделялось.' воп-
росу сб экспериментально-лабораторных'прак-
тических занятиях учашихся.

В 80-х годах прошлого столетия вопрос
о практических занятиях учашихся в лабора-
тории впервые был поставлен в Америке и
в Англии. Известный в свое время пропаган-
дист эвристического метода английский прг ф.
Армстронг (в 1884 г.) поставил вопрос
о введении эвристического метода в препо-
давание естественных наук, доказывая, что
этот метод „ставит учащегося в положение
исследователя и позволяет открывать науч-
ные факты, вместо того, чтобы только слы-
шать о них"*. Учащиеся должны быть при-
влечены к участию в собирании материала.

* Г. Ар м строй г — „сврьстический метол обу-
чены;:" (извлечение и пеосвсд проф. Павлова,
М. 1900 г.).
Поэтому учащиеся должны производить сами
опыты и наблюдения. Следовательно, значи-
тельное место в преподавании физики и дру-
гих отделов естествознания должно отводить-
ся экспериментально-лабораторным занятиям.

Эта пропаганда в Англии под влиянием
развивающегося капитализма нашла благо-
приятную почву и оказалась настолько успеш-
ной, что начали создаваться естественно-
научные средние учебные заведения, которые
заняли прочное место в системе английского
образования. В этих школах на первой сту-
пени изучения физики занятия учащихся в
лаборатории предшествовали теоретическому
разбору изучаемой темы, а в старших клас-
сах— наоборот: лабораторные занятия сле-
довали за теоретическим изучением отделов
физики или отдельных тем. Отражение этой
пропаганды под влиянием тех же социально-
экономических ^условий имело место и в дру-
гих странах: так, например, во Франции учеб-
ные планы 1902 и 1905 гг. содержат указа-
ния на введение в курс физики лаборатор-
ных практических занятий. А с 1905 г. во
Франции также проводится большая пропа-
ганда за введение при изучении физики лабо-
раторных занятий. В Париже устраивается
выставка приборов ц<я таких занятий.

На Всемирной выставке в 1906 г. в Зрюс-
селе демонстрируются приборы, приспособле-
ния, оборудования для лабораторных заня-
тий, а также и тетради учащихся с соответ-
ствующими зарисовками >и записями прове-
денных занятий.

Примерно в то же время в Германии, также
под влиянием развивающегося капитализма
и под впечатлением английского движения,
развивается большой интерес к новым мето-
дам изучения естественных наук и, в частно-
сти, физики; обновляются программы и методы
преподавания; создаются высшие реальные
школы, гд; устраиваются хорошие физические
кабинеты для демонстрационного преподава-
ния физики и проводятся практические лабо-
раторные занятия учащихся в специально обо-
рудованных аудиториях и лабораториях*.

Конечно, это не имело общего распростра-
нения; так ставилось преподавание физики

* В некоторых средне-учебных заведениях подза-
нятая физикой отводится от 5 до 8 комнат. На-
пример, в одном гамбургском реальном училище,
где в свое время вел занятия по физике извест-
ный методист-физик Гримзель, было отведено
для преподавания физики 8 комнат с общей площа-
дью в 300 кз. ж; в другом гамбургском реальном
училище — 7 комнат в 250 кв. ж; в Фридрихской
реальной гимназии в Берлине, где вел занятия
также известный методист-физик Ган, было отве-
дено 5 комнат с площадью в 235 кз. ж.

в наиболее привилегированных школах. Но
и в других школах была определенная тен-
денция поставить так же углубленно и осно-
вательно преподаваниз физики. Анкета, про-
веденная в 1907 г., уже констатировала, что
демонстрационная постановка преподавания
физики, увязанная с обязательными практи-
ческими лабораторными занятиями, охваты
вала 10'Yj учебных заведений.

Вплоть до империалистической войны в Гер-
мании постановка преподавания в указанном
направлении быстро развивалась и достигла
значительных успехов.

После революции в Германии, примерно
с 1922 г., начинается переход от прежней
системы отдельных самостоятельных предме-
тов на новую систему „слитного", или „ин-
тегрального", преподавания, похожего на быв-
шую у нас комплексную систему преподава-
ния. Эта реформа, проводимая на протяжении
1922 —1925 гг., перевела физику, как и
другие предметы, из самостоятельного учеб-
ного предмета в предмет вспомогательный,
связанный с группой других предметов, вы-
бранных для проведения „слитного" обучения
в данной школе.

В результате такой организации занятий
физика оказалась значительно урезанной по
сравнению с недавним прошлым. Но зато
практические лабораторные занятия по фи-
зике сделались обязательными для всех школ,
и значительно увеличилось самое число лабо-
раторных занятий*.

Однако экономические условия многих
германских школ за последние годы таковы,
что о дальнейшем развитии лабораторных
занятий не может было и речи; физические
кабинеты некоторых школ настолько слабо
оборудованы, что преподаватели вынуждены
были перейти на прежнее, преимущественно
лекционно-демонстрационное преподавание.

Из имеющейся литературы мы видим, что
в буржуазных государствах наибольшее раз-
витие постановки лабораторных практических
занятий учащихся имеет место в американской
школе, где примерно 5О°/о времени отводится
на лабораторные занятия и 50°/о — на пре-
подавание с классными демонстрациями.

Начало распространения практических ла-
бораторных занятий в Америке относится к

* На каждой ступени изучения физики прово-
дятся 74 лабораторных работы, а на старшей—94.
Список этих работ приведен в методике препода-
вания физики Карла Гана, вышедшей из печати
в 1927 г. Подробное описание постановки этих ра-
бот имеется в методическом руководстве того же
Гана и Коха, напечатанном в 1926 г. Большинство
описанных опытов имеют большой стаж и выдер-
жали двадцатилетнюю проверку.
1887 г., ко времени опубликования списка
практических работ Гарвардским колледжем;
а уже к 1889 г. „Комиссия десяти", образо-
ванная „Национальной ассоциацией воспита-
ния" в своем постановлении указывает, что
лабораторным занятиям должна быть уделена
половина всех часов, отводимых на занятия
физикой.

В каком соотношении должны находиться
лабораторные занятия к классным занятиям?
На этот вопрос в книге американского ме-
тодиста-физика Мэн на: „Как учить физике
в целях общего образования", вышедшей в
переводе на русский язык в 1925 г., мы на-
ходим такой ответ: „Многократно обсуждался
вопрос, должны ли лабораторные занятия
служить для проверки и иллюстрации фактов
и законов, ранее изложенных в классе, или
же факты и законы должны сначала демон-
стрироваться в лаборатории и затем обсуж-
даться в классе. Вывод из этих дебатов, не-
видимому, можно формулировать вопросом:
что больше — шесть или полдюжины? В са-
мом деле, если факты и законы сначала об-
суждаются в классе, то ученики выполняют
более сознательно лабораторные занятия, а
если предшествуют лабораторные занятия, то
ученики лучше усваивают преподаваемое в
классе. Но при всем расхождении мнений
по этому вопросу все согласны с тем, что
классные лабораторные занятия должны быть
связаны в хорошо координированный, про-
стой и единый курс"*.

Что касается' введения лабораторных заня-
тий в русской дореволюционной школе, то
впервые этот вопрос ставится на съезде пре-
подавателей физико-химических наук в Мо-
скве в 1899 г., где было сделано несколько
докладов о введении практических лабора-
торных занятий в курс средней школы. В 1900
году в.Петербурге комиссия, работавшая по
реформе средней школы, по докладу проф.
О. Д. Хвольсона признала желательным введе-
ние практических занятий по физике. С тех
пор этот вопрос постоянно дебатируется в ме-
тодических журналах (особенно в журнале
„Физическое обозрение" с 1908 до 1915 г.),
на съездах и в обществах преподавателей фи-
зики. Целый ряд преподавателей физики,
не дожидаясь общего разрешения этого воп-
роса, на свой риск организует и ведет прак-
тические занятия со своими учащимися в не-
которых • школах.

В связи с этим появляются и методические
руководства по постановке лабораторный за-

* К. Р. Мэнн — «Как учить физике в целях
общего образования" (Л., 1925 г.).

нятий: Волоткевича (в Киеве, 1910 г.),
Григорьева, Знаменского, Кавуна,
Глинки (СПБ, 1910 г.), Индриксона
(СПБ, 1911 г.), Дрентельна (СПБ, 1913г.)
и др.

Большое место этот вопрос о практиче-
ских лабораторных занятиях занимает в ра-
боте съезда преподавателей физики, бывшего
в Ленинграде в 1913 г. Здесь отчетливо
формулируется положение, проверенное уже
имевшейся практикой, что практические за-
нятия являются не дополнением к курсу, а
тесно с ним сплетаются и составляют орга-
ническую часть преподавания физики.

Вскоре после этого времени начинают вы-
ходить учебники по физике, в которых опи-
сание лабораторных занятий сливается с из-
ложением систематического курса физики
(например, учебник Б а,ч ии с к о г о, Ka-
rn и н а и др.).

Давая здесь исторический обзор главней-
ших направлений в методах и организации
преподавания физики в буржуазной шкэле,
мы остановились более подробно на введении
практических лабораторных занятий наряду
с демонстрационным преподаванием физики,
потому что это направление в постановке
преподавания физики на протяжении почти
полустолетия имело решающее значение в
изучении основ физики, в приобретении уча-
щимися положительных знаний и прочных
навыков.

В буржуазной школе стремление к введе-
нию экспериментальных лабораторных заня-
тий имело целью привести учащихся от ов-
ладения формальными знаниями и навыками
к более основательному и более углублен-
ному усвоению физики и к приложению
знаний по физике к технике и к практиче-
ской жизни. В последнее десятилетие, на-
пример, в Германии — с введением системы
„слитного" преподавания — увеличение прак-
тических занятий в физической лаборатории
имело в виду привести учащихся от изуче-
ния жизненных фактов к более умелому ов-
ладению и более широкому использованию
приобретаемых в лаборатории эксперименталь-
ных навыков в > решении "практических и
разнообразных технических, жизненных за-
дач и вопросов.

4. Что касается экскурсий по физике, то
история их совсем незначительна. Только в
1913 г. на I Всероссийском съезде препода-
вателей физики ставится серьезно вопрос об
экскурсиях и прорабатывается довольно под
робный план их. В резолюциях этого сьезда
мы читаем: „Усвоению курса физики, помимо
практических занятий, весьма способствует
ознакомление учащихся на практике tc 'раз-
личными техническими применениями физи-
ческих принципов. Экскурсии для осмотра
различных •'ехнических установок полезны,
кроме того, и для общего развития уча-
щихся" *.

В 1915 г. и в официальных кругах (см. ма-
териалы по реформе средней школы, изд. ми-
нистерства народного просвещения в 1915г.)
ставится вопрос о желательности проведе-
ния экскурсий по физике на завод, элек-
трическую станцию, в какую-либо мастер-
скую или в лабораторию — в качестве до-
полнения к классному экспериментальному
изучению физики. И это почти все, чго мы
знаем о проведении экскурсий по физике в
дореволюционной русской школе.

5. В закл очение краткого исторического
обзора о методах работы скажем несколько
слов о пользовании учебником. При книжно-
словесном преподавании физики учебник был
почти исключительным способом изучения фи-
зики. Учебник считался как бы универсальным
орудием для образования ума. -

В „меловой период” учебник также яв-
лялся главным пособием в домашней работе
учащихся Приготовление учащимися уроков
сводилось к заучиванию страниц учебника
и еще записок, диктовавшихся учащимся для
объяснения непонятных терминов или слож-
ных рисунков.

С развитием экспериментального препода-
вания физики появляются учебники с мето-
дически-выдержанным содержанием (например
учебник Ц и н г е р а), которые использовались
не'только для закрепления в памяти изуча-
емого в классе материала, но и для само-
стоятельной экспериментальной и другой
проработки учащимися отдельных вопросов
(например для решения задач).

С введением лабораторных занятий появ-
ляются учебники, в которых, как уже было
сказано выше, наряду с систематическим из-
ложением материала описывается и постанов-
ка лабораторных занятий.

Демонстрационное преподавание и экспе-
риментальные практические занятия учащихся
в лаборатории, сопровождаемые чертежами,
рисунками и записями, дазали хорошие ре-
зультаты сравнительно с пред идущими мето-
дами преподавания. Здесь создалось новое,
крайнее течение — игнорирование учебника.

При опытном преподавании, говорит один

*К I Всероссийскому съезду преподав целей
физики была составлена книга под заглавием „Экс-
курсии", лечившаяся путеводителем для экскур-
сий, проводимых во время съезда.

из против ников занятий по учебникуг— „учеб-
ник как классное пособие во время урока,
конечно, не имеет смысла, и, если бы пре-
подаватель предложил прочесть после объяс-
нения урока соответствующую статью учео-
ника в классе, то это лишь в редких слу-
чаях помогло бы закреплению в памяти на-
блюденных фактов”**.

В другом месте тот же автор пишет: „К
чему же сводится, в конце концов, роль учеб-
ника физики? В классе, во время урока, при
опытном преподавании —он не нужен. Как
пособие учащимся для домашнего приготов-
ления уроков он не только бесполезен, но
даже и вреден. Длл самостоятельного же
чтения нужен не учебник, а книги, специ-
ально составленные для этой цели”***.

Такие крайние суждения объясняются тем,
что в то время не было методически-в одер-
жанных учебников. С появлением, например,
такого учебника, как учебник Цингера —
„Начальная физика” (1910 г.), указанные
рассуждения о вредном значении учебника
при приготовлении уроков отпадают.

6. Что касается форм организации учебных
занятий в дореволюционный период, то преоб-
ладала почти исключительно классно-урочная
форма. Эта организационная форма занятий
создавалась, конечно, не для развития коллек-
тивизма в классных 1 руппах и в школе, не
для внесения в ее работу, в ее организацию
социальных начал, а исключительно по прак-
тическим соображениям—для экономии тру-
да, времени, обстановки: дешезле одному учи-
телю обучать сразу несколько человек, чем
каждого в отдельности. Дети приходили в шко-
лу для индивидуальных занятий; занимались в
одном месте, в классном помещении, при одном
учителе или сменяющих друг друга учителях.
Учитель, давая учащимся одни и те же зна-
ния, общую работу сразу всему классу, был
заинтересован — с точки зрения своих педа-
гогических принципов — в том, чтобы воз-
действовать непосредственно на каждого уча-
щегося в отдельности.

На этом мы заканчиваем краткий истори-
ческий обзор важнейших направлений в ме-
тодах и организации преподавания Лизики
в буржуазной школе и переходим к такому
же краткому обзору—в советской школе.

7. Что касается экспериментального пре-
подавания, то с самого начала строительства
советской трудовой школы во всех програм-

* См. брошюру А. П. Аксюка— „Нужен ли
учеаник физики в школе* (1904 г., стр. 23).

** Там же.

*** Там же.
мах Наркомпроса постоянно девались указа-
ния на экспериментальную постановку пре-
подавания физики и необходимость оборудо-
вания физических кабинетов. В программах
Наркомпроса от 1932 г. имеется наметка нор-
мального оборудования физической лабора-
тории ФЗС и делается попытка политехнизи-
розать оборудование кабинетов и приборов.

Если мы в настоящее время имеем не мало
школ, в которых нет достаточно-о оборудо-
вания физических кабинетов (и как исклю-
чение — отсутствие кабинетов), то это объяс-
няется, главным образом, чрезвычайно быст-
рым ростом школьной сети, сильным отста-
ванием производства приборов от увеаичения
числа школ и другими временными затруд-
нениями.

Значительную помощь при недостаточном
оборудовании физических лабораторий пре-
подавателям оказывали такие руководства по
постановке опытов и оборудованию физиче-
ских кабинетов, как книги: Краси кова —
„Упрощенные приборы по физике и опыты
с ними" и Галанина—„Физический ка-
бинет в начальной школе". Обе книги появи-
лись в период строительств- советской школы.

8. Если в дореволюционный период в рус •
с кой школе обязательные лабораторные заня-
тия по физике в учебные часы имеют место
только в некоторых средне-учебных заведе-
ниях и проводятся за счет настойчивости и
исключительной энергии отдельных препода-
вателей, то после революции лабораторные
занятия сделались обязательными и составляют
неотъемлемую часть курса физики. Во всех
программах выпущенных Наркомпросом, на-
чиная с 1919 г., отводится большое и видное
место самостоятельным занятиям учащихся в
физической лаборатории. Если же в некоторых
школах — до последнего времени—эти заня-
тия не получили должного распространения
и осуществления, то причиной этого являются
неблагоприятные материальные условия в от-
дельных школах или неподготовленность пре-
подавателей к таким занятиям.

В 1926 г. появилась книга П. А. Знамен-
ского „Лабораторные занятия по физике"
(в 1927 г. вы пло 2-е издание); в этой книге
почти весь курс физики в средней школе пла-
номерно излагается на основе самостоятельных
работ учащихся в физической лаборатории.
Эта книга является хорошим справочником
для преподавателя в его работе по постановке
лабораторных занятий и даст ему возможность
и в настоящее время, в случае надобности,
увеличить число лабораторных работ сравни-
тельно с числом работ, указанных в стабильных
программах

В учебниках, вышедших в последнее время
(Горячкина, Неймана и Соколика,
Фалеева и др.), лабораторные практические
занятия сливаются с общим изложением курса
физики. То же самое имеется и в стабильных
учебниках физики Фалеева и Перыш-
ки н а, в которых (следует отметить) приве-
дено все же недостаточное число лаборатор-
ных занятий для более углубленного изуче-
ния физики в средней школе.

Лабораторные практические занятия в совет-
ской школе, органически связанные с изуче-
нием систематического курса физики, дают
преподавателям возможность прежде всего про-
вести с учащимися более углубленно систе-
матическое изучение курса физики, подвести
их к более полному и более точному знанию
основ физики и, таким образом, более отчет-
ливо вскрыть перед учащимися диалектический
характер физических явлений; затем — воору-
жить учащихся экспериме (тальными техниче-
скими навыками, необходимыми им для пло-
дотворного участия в социалистическом строи-
тельстве.

9. В отношении применения экскурсий при
преподавании физики можно сказать, что
только посте Октябрьской революции совер-
шенно определенно и настойчиво ставится
вопрос о необходимости проведения экскур-
сий по физике в производство и природу.

Во всех программах Наркомпроса, начиная
с 1919 г., имеются не только мотивированные
указания на необходимость проведения экскур-
сий по физике, но и даются некоторые мето-
дические указания и списки экскурсий.

В 1923 г. в Ленинграде была созвана экс-
курсионная конференция, которая рассматри-
вала вопросы, связанные с экскурсиями уча-
щихся на фабрики и заводы. После этой кон-
ференции в печати появляется целый ряд ру-
ководств по проведению производственных
экскурсий.

10. Что касается учебников по физике, то
в послереволюционный период первое время
используются старые учебники (Цингера,
Бачинского, Кашина и др.).

Затем с введением занятий по заданиям по-
являются „Рабочие книги", назначение которых
— заменить учителя. Материал в них распре-
деляется по заданиям и темам. В них нет вы-
держанного систематического изложения курса
физики, например: 1) „Рабочая книга по
физике для седьмого года обучения" Мориа-
кри и др., изд. 1928 г.; 2) „Рабочая книга
по физике для шестого года обучения" Аб-
кина и Преображенского, изд. 1928 г.;
3) „Рабочая книга по физике для пятого года
обучения", тех же авторов, изд. 1928 г
На смену „Рабочей книге" с физическим
материалом начали выходить “Рабочие книги"
с преобладанием технического материала, по-
хожие на физико-технические хрестоматии
(например, „Рабочая книга по физике для шес-
того года обучения" Дорофеева и др.,
Гиз 1932 г., или „Рабочая книга для седь-
мого года. Физические основы электрификации
СССР" Неймана и Со ко лика, Гиз 1931 г.
и 1932 г.).

В историческом постановлении ЦК о сред-
ней и начальной школе указывается, что на-
ряду с применением разнообразных методов
обучения преподаватель обязан всемерно при-
учать детей к работе над учебниками и другими
книгами.

Что касается выбора учебников для занятий,
то в настоящее время, как известно, имеется
стабильный учебник, и тем самым для учителя
отпадаетдовольнотрудная, стоявшая раньше, за-
дача о выборе наиболее подходящего учебника.

11.6 период строительства советской трудо-
вой школы, от классно-урочной формы орга-
низации занятий через так называемую „лабо-
раторную систему („Дальтон-план"), механиче-
ски перенесенную в советскую школу буржуаз-
ную форму организации занятий, сменившуюся
затем „лабораторным планом" с „бригадно-ла-
бораторными" методами работы, которые при-
вели к так называемому „методу проектов",
с щемившемуся к ликвидации учебных пред-
метов, как таковых, мы пришли по названию
к той же классно-урочной форме организации,
но имеющей совершенно иные установки и
цели, чем имела классно-урочная форма в до-
революционной школе.

В советской школе вся работа учащихся
строится таким образом, чтобы она во всех
конкретных моментах практического выявле
ния строилась на коллективных началах.
Организация учебно-образовательного процес-
са, методы его проведения в течение всего
времени строительства советской школы со-
провождались и сливались с работой по орга-
низации среды учащихся.

Даже в период увлечения организацией за-
нятий по так называемому „Дальтон-плану",
являющемуся ярким выявлением индивидуали-
стической культуры, в советской школе шла
настойчивая работа по развитию у учащихся
коллективистических навыков; и в литературе
и на педагогических собраниях указывалось
на несовместимость „Дальтон-плана" в чистом
виде с принципами коллективного воспита-
ния *.

В настоящее время — с восстановлением
классно-урочной формы организации занятий
в советской школе — укрепились групповые
классные коллективы, являющиеся ячейками
общешкольного коллектива.

Каждый классный коллектив не является
случайным собранием детей: он строится на
объединении общей классной работы, на объ-
единении общих интересов и стремлений уча
щихся, на подчинении личных интересов от
дельных учащихся интересам всей классной
группы, на широком разделении труда и слож-
ном сотрудничестве в классной, общешколь-
ной и общественной работе школы.

На таких принципах и условиях в советской
школе развивается в настоящее время классно-
урочная форма организации занятий.

! ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТРЕБОВАНИЯ К ПИСЬМЕННЫМ РАБОТАМ ПО
ФИЗИКЕ

•

А. КАЛАШНИКОВ (Институт политехнического образования. Опытная школа им. Радищева)

При учебной работе по физике учащемуся
приходится применять различные формы ра-
боты для усвоения материала. При этом пись-
менные работы разных типов занимают значи-
тельное место.

Несомненно, основными формами работы,
с помощью которых учащийся усваивает ма-
териал физики,являются: слушание объяснений
преподавателя, наблюдение демонстраций, уча-
стие в беседе класса, проработка лабораторных
56

работ, чтение учебника, решение задач на
классной доске. Однако письменные работы
в связи с этими формами усвоения учащимися
учебного материала занимают также немало-
важное место. Иногда к письменным работам
учащихся по физике относятся как к неиз-

* Книга И. А. Ч ел юст кин а — „Класс как
трудовой коллектив" (Гиз, 1927 г., см. главу I —
„Организация классной работы по принципам тру-
дового коллектива").
бежному злу, которое скорее вредит учебной
работе, чем помогает ей. Основанием для
этого взгляда служит, во-первых, большое ко-
личество времени, которое тратят учащиеся
при записывании материала по физике и, во-
вторых, возможность закрепления орфографи-
ческой неграмотности, поскольку ученические
тетрадки не проверяются и не оцениваются
преподавателем с этой точки зрения.

Такой взгляд на письменные работы уча-
щихся по физике не является правильным,
потому что усвоение учебного материала про-
исходит значительно прочнее, если его запи-
сывать или конспектировать. Эффективность
запоминания учебного материала становится
значительно больше, если учащийся не только
услышит и поймет, не только прочитает и
разберется, но и запишет и проконспектирует
изучаемый материал. Особенно большое зна-
чение запись учебного материала или конс-
пектирование учебника имеет для учащихся,
обладающих зрительной памятью. Независимо
от индивидуальных особенностей, как пока-
зывают материалы Крауфорда, записи
значительно помогают усваивать учебный ма-
териал. Крауфорд проводил эксперимент, в
котором участвовал 131 учащийся. Учащимся
было предложено заниматься теми методами,
какие они находят нужными. Всем учащимся
была дана по проработанной части курса
контрольная работа. Оказалось, что те уча-
щиеся, которые применяли в своей работе
подробные записи и конспектирование, по-
лучили и высшую оценку контрольной рабо-
ты.

„77 слушателей, делавших письменные за-
метки, имели среднюю оценку успеваемости,
равную 5,37;

33 слушателя, делавших заметки в книгах,
имели среднюю оценку успеваемости 5,03;

21 слушатель, не делавшие никаких заметок,
имели среднюю оценку 4,91;

Средняя оценка всех 131 слушателя была
равна 5,20“ (К р а уф о р д — „Методика ум-
ственной работы").

Таким образом, письменные работы уча-
щихся являются существенным моментом ус-
воения материала; особенно это относится
к запоминанию формул и чертежей: перепи-
сывание формул и перерисовка чертежей значи-
тельно усиливают запоминание изучаемого ма-
териала. Поэтому мы должны культивировать
в соответствующем объеме письменные работы
учащихся, рационально организовав их про-
ведение.

Все виды письменных работ, которые упо-
требляются учащимися при изучении физики,
мы можем разбить на три основные группы:

А) работы при изучении нового материала
(записи бесед, лекций, конспектирование учеб-
ника и других книг);

Б) работы при повторении и закреплении
материала (решение задач, вторичное конспек-
тирование);

В) работы при учете изученного материала
(письменные контрольные работы).

Разберем требования, которым должны удов-
летворять вышеуказанные группы письменных
работ.

Разберем прежде всего группу А, кудр
входит, главным образом, ведение классных
и домашних тетрадей. Что и как записывать
в этих тетрадях — вот основной вопрос, ко-
торый требует определенного разрешения.

Исходя из тою, что рационально прове-
денная запись помогает усвоению классной
беседы, мы должны требовать, чтобы каждый
учащийся вел такую запись в своей классной
тетради. Для того чтобы такая запись орга-
низовывала мышление и память учащегося,
необходимо обеспечить как со стороны пре-
подавателя, так и учащегося наиболее рацио-
нальные формы. К таким формам записи мы
должны относить четкое деление разбираемой
темы на отдельные мелкие отделы, каждый
из которых должен иметь заголовок.
В младших классах средней школы
(VI, VII) необходимо, чтобы эти заголовки
формулировал сам преподаватель. Такие за-
головки должны выделяться путем подчеркива-
ния в тетради.

Далее, если преподаватель дает в своей
беседе такой материал, который ученик не
может найти в учебнике, он обязан преду-
предить класс о необходимости его записать
и проконтролировать в конце урока запись
на выборку в одной-двух тетрадях, чтобы
удостовериться, что записано правильно. Если
же материал беседы имеется полностью в учеб-
нике, которым ученик может воспользоваться,
то запись его должна ограничиться кратким
конспектом. При этом, однако, необходимо
требовать, чтобы в тетрадь были полностью
занесены:

а) вывод формул и законов;»

б) решение типовых задач;

в) чертежи, рисуемые учителем на доске,
и схемы демонстрируемых приборов.

Для контроля этой работы целесообразно
перед каждым следующим уроком требовать
на выборку от 2—3 учащихся тетради на
просмотр, давать указания относительно за-
писей и ставить отметку за их правильное
и аккуратное ведение.

Запись беседы в классе учащимися не
должна превращаться в диктовку со стороны
преподавателе за исключением младших
классов средней школы, и то только в том
случае, когда преподаватель сообщает мате-
риал, не имею цийся в учебниках и который
надо знать в точных формулировках.

Можно рекомендовать всем учащимся (а от
некоторых — слабо успевающих — требовать)
краткое конспектирование того учебного
материала, который задается на дом по учеб-
нику. Если учесть, что по физике должна
быть у ! учащихся только одна тетрадь для
классной и домашней работы, то необходимо
требовать, чтобы в ней были четко отграни-
чены поперечной чертой записи, относящиеся
к беседе преподавателя, и конспект домашней
работы, чтобы мо к но было сразу видеть, как
ведутся эти две формы записей, и можно
было соответствующим образом их оценить.

Рассмотрим теперь письменные работы
типа Б, т. е. работы при повторении и закреп-
лении материала. В практике некоторых школ
нет вяделзния в особую тетрадь решения
задач и практических упражнений. Так назы-
ваемая общая тетрадь по физике позволяет
сразу обозреть всю работу учащегося по
физике, как проделанную для записей бесед,
так и для решения задач. Но решение задач
по физике представляет собой особый вид
учебной работы, и поэтому крайне желательно
его в: (делить в особую тетрадь. Кроме того
решение задач является обычным видом до-
машаего задания, который приходится пре-
подавателю чаще всего проверять. Тетрадь
для задач и практических упражнений по
физика обязательно должна быть из клетча-
той бумаги, что давало бы возможность легко
скроить различные графики.

При'ведении этой тетради нужно придержи-
ваться следующих правил:

а) задачи делятся по отделам физики, ко-
торые прорабатываются в данном классе;
перед каждым таким отделом должен быть
соответствующий заголовок;

б) внутри отдела рекомендуется делать
подзаголовки, соответствующие определенным
темам или параграфам учебника;

в) с левой стороны тетради пишется по-
рядковый номер задачи (соответствующий
порядковому номеру решаемой данным уча-
щим :я задачи); далее пишется шифр (если
задача взята из учебника); в квадрате ста-
вится номер параграфа, а рядом—номер задачи;

г) условия задачи записываются кратко;

д) все числовые данные из этого условия
выписываются под условием вместе с их
условными обозначениями, принятыми в дан-
ном курсе физики; решение задачи разби-
вается на вопросы;

е) каждый вопрос должен иметь письмен-
ную формулировку;

ж) в старших классах средней школы, как
правило, решение вопросов должно быть
в общей форме (алгебраическим), а затем,
после приведения задачи к формуле, подста-
новка чисел и перечисление; в младших
классах средней школы дэпустим и арифме-
тический путь решения задач;

з) ответ каждой задачи должен быть поме-
щен на правой стороне страницы в 1^2—2 см
от края и подчеркнут;

и) там, где схема позволяет уяснить уча-
щемуся физический смысл задач, необходимо
требовать, чтобы такая схема при решении
задач была начерчена;

Такие приемы решения и записи задачи
рационализируют работу учащегося, облегча-
ют контроль за выполнением решения и
сосредоточивают внимание учащегося прежде
всего на уяснении физического смысла каж-
дой задачи.

Рассмотрим, наконец, третий тип письмен-
ных работ по физике — тип В, т. е. письмен-
ные контрольные работы.

Практика массовых и опытных школ вы-
работала три вида письменных контрольны t
работ:

1) описательная контрольная работа на
какую-либо одну тему, например закон
Архимеда и его применение; тепловые машины,
принципы их устройства и применение и т. д.;

2) ряд вопросов по пройденному курсу (от 4
до 8) со включением одной-двух вычислитель-
ных задач;

3) измерители типа тестов успеваемости,
включающие в себя от 20 до 30 заданий,
составленных с применением обычной тесто-
вой методики.

Каждый из этих видов имеет свои достоин-
ства и недостатки, и определение рациональ-
ных форм этих видов должно стать предме-
том дальнейшей экспериментальной работы
опытных школ. На основании учета имеюще-
гося опыта можно дать следующие характе-
ристики и требования по отношению к
указанным выше типам контрольных работ.

Тематические контрольные ра-
боты дают возможность лучше, чем другие
типы контрольных работ, охарактеризовать
индивидуальные отличия в знании предмета,
выясняют объем специальных слов и понятий,
сосредоточенных около данной темы (харак-
теризуют словарь ребенка), но с помощью
их трудно сравнивать знания одного учаще-
гося со знаниями других, поскольку они вы-
ражаются обычно в индивидуальных формах:
их поэтому очень трудно обрабатывать.
Такие контрольные работы иногда следует
давать в младших классах средней школы с
целью выяснения индивидуального мышления
по данному пред нету. Для этой цели надо вы-
бирать красочные, интересующие ребят темы.

В зависимости от характера проводи-
мого учета эти контрольные работы можно
давать в двух формах: в форме свободного
сочинения (типа Шаррельмана) и в форме
сочинения по плану, даваемому педагогом.
В последнем случае обработка и сравнение
знаний значительно облегчаются, но теряется
возможность вскрытия индивидуальных раз-
личий.

Как правило, в старших классах средней
школы этого типа контрольные работы не
должны применяться, так как очень трудно
найти объективный критерий оценки таких
работ.

контрольные работы типа воп-
росников наиболее распространены в сов-
ременной массовой школе; но, как показы-
вает разбор этих вопросников, они состав-
ляются без достаточно глубокого анализа
того материала, который подлежит учету.
Преподаватели, составляя вопросники, не ус-
танавливают предварительно узловых момен-
тов, которые надлежит вскрыть с помощью
этих вопросов. Вопросы обычно даются в
очень общей форме, на которые, следова-
гстьно, возможны и общие ответы; поэтому
ученик, более распространенно ответивший
на вопрос, по существу отвечает настолько
же неправильно, насколько и ученик, дав-
ший краткий общий ответ. При оценке
вопросов плюс-минус (а иная оценка чрезвы-
чайно затруднила бы обработку) не получает-
ся выявления различий между слабыми и
сильными учениками. Это особенно хорошо
показывает опыт некоторых школ, где при-
менялись подобные вопросники, причем ока-
залось, что так называемая диференцирую-
щдя сила их чрезвычайно мала. Отсюда и
корреляция (связь) их с общей оценкой учи-
теля незначительна (г = 0,42).

Для того чтобы контрольные работы типа
вопросников могли служить хорошим мери-
лом знаний данного класса и показывать
различия в объеме этих знаний межщ от-
дельными учащимися данного класса, они дол-
жны составляться на основе следующих тре-
бований:

а) вопросники должны составляться на ос-
нове установления главных элементов,
из которых складывается знание данной
темы;

б) число вопросов должно быть не меньше 5
и не больше 8; меньшее число затрудняет

диференциацию класса, а большее требует
слишком много времени на написание;

в) из этого числа должны быть , два легких,
два средних и один трудный вопрос или три
легких, три средних и два трудных;

г) оценка вопроса, если вопрос имеет одну
трудность, при совершенно правильном ответе
должна быть единицей; при наличии непол-
ного ответа, но обнаруживающего наличие
знания, допустима оценка — половина;

д) в число вопросов по каждой теме, по
которой решались задачи, следует включать
одну или две вычислительных задачи, при-
чем они должны даваться в такой, форме,
при которой центр тяжести решения лежит
в правильном применении физических зако-
номерностей к практическому материалу, а не
в математических операциях;

е) вопросы должны диктоваться или спи-
сываться с доски; лучше, однако, предвари-
тельно написать их на доске и затем дикто-
вать классу;

ж) для того чтобы избегать списывания
по время решения контрольной работы, воз-
можно применять два варианта вопросника,
причем диктовать два различных варианта
двум соседним учащимся (т. е. одному про-
дольному ряду учащихся — один вариант,
а соседнему с ним ряду —другой вариант).
Диктовка идет в перекрестном порядке (сна-
чала первый вопрос одному ряду — учащиеся
могут его обдумывать и решать, затем первый
вопрос второго варианта — второму ряду,
после этого второй вопрос — первому ряду
и т. д.). Если два варианта составить затруд-
нительно, тогда надо применить такое рас-
саживание учащихся, при котором сильные
учащиеся сидели бы вместе, так же, как и
слабые.

Чрезвычайно существенным моментом яв-
ляется методика построения вопросов, но она
теснейшим образом связана с анализом знания
по каждой конкретной теме программы. Поэ-
тому детальное рассмотрение этих вопросов
мы относим в другое место.

Измерители типа тестов успева-
емости, будучи напечатаны, требуют от
уча дихся наименьшего количества времени
на письмо; хотя формально их следует отне-
сти к особому виду письменных работ по
физике, однако центр тяжести применения
их лежит не столько в особой организации
письменных работ учащиеся, сколько в пред-
варительной разработке их на основе особой
методики. Как показывает практика приме-
нения их в школе им. Радищева, учащиеся
старших классов средних способностей ре-
шают измеритель, заключающий в себе 30
вопросов, в 1 час—1 час 20 минут, т. е.
в среднем одно задание решается в 2’/2
минуты. При этом среднее количество слов,
которое пишет учащийся, падающее на каж-
дое задание, колеблется от трех до четырех.
Следовательно, общая нагрузка чисто пись-
менной работы здесь невелика; ббльшая часть
времени уходит на обдумывание и на при-
поминание. Поскольку печатные измерители
знаний по физике пока недоступны массовой
школе, постольку здесь нецелесообразно раз-
бирать их построение и применение как
особого вида письменной работы учащихся
по физике.

Записи в тетрадях о беседах преподава-
теля обычно не вскрывают подлинной картины
урока, как он проходил на самом деле. Если
же попробовать применить силы учащихся
для протоколирования урока во всех частях
его проведения (что в старших классах впол-
не возможно), то для этой цели можно пред-
ложить ведение круговых тетрадей: одну —
для записи классных уроков, другую — для
записи домашних работ. Проведение их,
как показывает опыт школы им. Радищева
(далеко еще не совершенный), позволяет
выяснять как общую структуру урока, так
и средний объем домашних заданий, кото-
рые учащимся приходится выполнять. Круго-
вые тетради являются, с нашей точки зре-
ния, очень важной документацией, позволяю-
щей преподавателю с той или иной степенью

объективности судить о фактически проде-
ланной им работе.

Очень важно установленные правила веде-
ния письменных работ учащихся того или
иною типа довести до сведения учащихся.
Для этого было бы целесообразно применять
вывешивание в классе (в физическом каби-
нете) доски под заглавием „Как надо вести
письменные работы". На этой доске должны
быть даны: краткие правила ведения тетра-
дей, правила должны быть иллюстрированы
соответствующими образцами. В качестве
образцов на этой доске должны быть выве-
шены тетради для записей бесед с тремя
градациями качества: хорошая тетрадь, сред-
няя тетрадь, плохая тетрадь. Точно так же
и в отношении тетрадей дня решения задач.
Такая доска служила бы справочным местом
относительно того, как надо вести письмен-
ные работы, а, с другой стороны, она пока-
зывала бы те образцы оценок, которые пре-
подаватель применяет при отметках за со-
держание тетрадей.

Вопросы о письменных работах по физике,
разрешаемые в данной статье, нуждаются
в детальной опытной проверке. Часть пред-
ложений является бесспорно установленной
на основе опыта массовой школы, другая
же часть является предложениями для даль-
нейшей проверки. Материалом для организа-
ции ее и служит в основном настоящая
статья.
ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ, ЗАИМСТВОВАННЫЕ ИЗ МЕХАНИКИ

А. ГРОШЕВ (Москва).

Элементарная геометрия обычно имеет де-
ло с фигурами, не изменяющимися в процессе
задачи. Между тем, если рассматривать де-
формацию или движение фигур, то можно
получить ряд задач, интересных как с чисто
математической стороны, так и с прикладной.
Задача настоящей статьи — наметить ряд про-
стейших вопросов из механики и теории
механизмов, доступных для использования
в средней школе в целях обогащения курса
элементарной математики рядом полезных уп-
ражнений. При этом ни в какой мере не
имеется в виду давать систематические све-
дения из механики; предлагаются только гео-
метрические задачи на доказательство, вы-
числение и построение, связанные с дефор-
мирующимися или движущимися фигурами,
для решения которых потребуются некото-
рые представления о движении и механиз-
мах. Можно, кроме того, отметить, что все
вопросы деформации фигур, затронутые в дан-
ной статье, сводятся к задачам на построе-
ние, отличающимся от обычных задач только
неопределенностью (множественностью реше-
ний) и предположением непрерывной деформа-
ции фигуры.

Некоторые из предлагаемых здесь задач и
вопросов можно вынести на занятия в классе,
остальные мыслятся автором как упражнения
для более сильных и интересующихся мате-
матикой учеников, как материал для учени-
ческой самодеятельности. Некоторые задачи,
может быть, представят интерес и для препо-
давателей.

Рассмотрение простейших свойств движе-
ния, хотя бы только плоского, вполне уме-
стно в курсе геометрии и может помочь
самой геометрии. Я имею в виду прежде все-
го описание двух основных типов движения:
поступательного и вращательного. Этими дви-
жениями геометрия пользуется (построение
параллельных с помощью линейки и треуголь-
ника, построение окружности с помощью
циркуля), и поэтому нелишним было бы их
назвать ученикам и научить выделять
в тех движениях, где они имеют место. Пло-
ское вращательное движение не представляет

трудностей для понимания, да и вращение
в пространстве не требует много :слов для
объяснения. Поступательное движение как
будто труднее для понимания учащихся и о
нем, может быть, можно говорить только
в старших классах средней школы и не в та-
ких общих формулировках, как это сделано,
например, для частного случая поступатель-
ного движения — параллельного перенесения
в геометрии Бореля-Штеккеля. Начинать
тут, конечно, нужно именно с этого частного
случая, когда траекторией каждой точки яв-
ляется прямая. Хорошие примеры такого рода
приведены в только что упомянутой геомет-
рии. Шарнирный параллелограм с укреплен-
ной одной стороной и движущимися другими
дает хороший пример поступательного дви-
жения отрезка, концы которого явно дви-
жутся по окружностям.

Вот несколько примеров, относящихся к по-
ставленным вопросам.

Задача 1. ABCD—шарнирный параллело-
грам. Вершины А и В неподвижны, стороны
AD и ВС вращаются около точек А и В.

Доказать, что любая точка М стороны DC
движется по кругу, и найти центр и радиус
этого круга (черт. 1).

Задача 2. Треугольник АВС вращается
в своей плоскости около вершины А. Дока-
зать, что при любом повороте угол между
начальным и конечным положением ВС равен
углу между начальным и конечным положе-
нием АВ или АС.

Задача 3. В плоскости даны два равных
отрезка АВ и (черт. 2). Найти такую
точку О, чтобы Д АВО был равен ДД^О,
т. е. чтобы вращением треугольника' ОАВ
около точки О можно было перенести отре-
зок АВ в положение А2В2 (теорема Шаля).
Задачу можно решать или обычным анали-
зом, предположив, что она решена, или же
на основании того сображения, что через
точки А и Аг, В и Вг пройдут дуги концент-
рических окружностей.

Задача 4. На равных окружностях О,
Ог, Оа нанесены точки А, А1г А2 таким об-
разом, что отрезки, соединяющие эти точки,
параллельны соответствующим линиям цент-
ров (черт. 3). Доказать, что это построение

возможно и что полученный треугольник
АА3Аа можно передвигать в плоскости таким
образом, что все его вершины будут дви-
гаться по окружности — вершина А по ок-
ружности О и т. д.

Движение с успехом может быть использо-
вано в ряде задач по тригонометрии. Недо-
статочная подготовка наших учащихся по
тригонометрии общеизвестна. В частности,
крайне схематичны представления о функ-
циях углов, превышающих 180°. Учащийся
средней школы обычно имеет слабое пред-
ставление о том, где и зачем употребляются
эти углы и их функции, и потому относя-
щиеся к ним сведения им усваиваются фор-
мально.

Предлагаемые ниже несколько задач мо-
гут быть использованы в целях борьбы с ука-
занными недочетами.

Задача 5. Стержень Оа вращается в пло-
скости чертежа вокруг точки О против ча-
совой стрелки. Подвижный конец стержня
соединен шарниром с ползуном А, движу-
62

щимся по другому стержню ЕС (черт. 4).
Вращение ОА вызывает вращение ВС во-
круг точки В. Выразить длину ВА в зави-
симости от угла <р и доказать, что получен-
ная формула верна при любом значении ф
(имеется в виду 180°). Положив ОВ = а

и О А = Ь, найти из полученной формулы
наибольшую и наименьшую величину АВ и
сравнить полученный результат с чертежом.
Определить длину той части стержня ВС,
по которой скользит ползун А.

Задача 6. Кривошип* О А вращается во-
круг оси О. Шатун АВ скреплен шарнирами
с кривошипом и с ползуном, движущимся
по стержню MN (черт. 5). Положив ОА = а,
£В=Ь, расстояние ОС от О до MN рав-

ным d и считая b>a-\~d, выразить рас-
стояние ВС в зависимости от угла и убе-
диться, что полученная формула верна при
любом положении кривошипа ОА.

Задача 7. ABCD — шарнирный паралле-
лограм (черт. 6), Е — ползун, скользящий
по стороне АВ. Сторона АВ неподвижна.
ВС колеблется около точки В. Определить
угол наибольшего отклонения коромысла ВС

‘Кривошипом в плоском механизме назы-
вается звено, вращающееся вокруг оси, проходя-
щей через ею конец. Если звено не может делать
полного оборота, а только качается, описывая не-
который угол,то оно называется коромыслом.
от горизонтального положения (приняв за из-
вестные размеры ВС, АВ, СЕ). Определить,
при каких соотношениях между длинами АВ,

Черт. 6.

СВ, СЕ вычисленный угол окажется острым,
прямым, тупым.

Задача 8. Клин В, опирающийся щекой
на клин А, может двигаться в вертикальном

направлении (черт. 7). На сколько подымется
клин В кверху, если клин А подвинуть на b
влево?

Задача 9. Равнобочный клин А сопри-
касается щеКамй с телами В и С, из кото-
рых первое неподвижно, а второе может дви-

Черт. 8.

гаться в горизонтальном направлении (черт. 8).
На сколько сдвижется вправо тело С, если
клин А опустится на h вниз?

Две последние задачи полезно решить и
геометрически, без применения тригономет-
рии, заменив в каждом случае данный угол
а двумя данными линейными размерами.

Н есомненный интерес с точки зрения ма-
тематики представляет знакомство с так назы-
ваемым шарнирным четырехзвенником (черт. 9),
частным случаем которою, шарнирным па-
раллелограмом, мы утке пользовались. Непод-
вижное звено этого механизма носит назва
ние стойки, или станины. Каждое смежное
с ним звено может оказаться или кривоши-’
пом или коромыслом, в зависимости от раз-
меров звеньев. О том, как влияют относи-
тельные размеры звеньев на характер их движе-
ния, говорит теорема Грасгофа (цитирую по
„Теории механизмов" проф. Столярова):
шарнирный четырехзвенник может иметь два
кривошипа или один кривошип, если сумма
наибольшего и наименьшего из его звеньев

не больше суммы остальных звеньев; при этом
механизм получает два кривошипа, если
стойкой сделать наименьшее звено, и один
кривошип, если в стойку обратить звено,
соседнее с наименьшим. При невыполнении
указанных условий четырехзвенник имеет два
коромысла.

Доказательство этой теоремы несложно и
не выходит, по методу, из пределов элемен-
тарной математики. Разумеется, знакомить
учащихся с этой теоремой нет надобности,
но некоторые частные вопросы разобрать
можно.

Задача 10. В четырехзвеннике ABCD
(черт. 9) звено АВ—стойка, AD — криво-
шип, ВС—коромысло, причем AD — наи-
меньшее звено и АВ"> ВС. Доказать, что
при этих условиях имеют место неравенства
AD \ LC <~ЛВ-{ ВС hDC — AD>AB-
— ВС.

Доказательство основано на следующих
соображениях. Коромысло ВС не может со-
вершать полного вращения. Наибольшего от-
клонения от звена АВ оно достигнет тогда,
когда расстояние АС окажется наибольшим,
и наименьшего отклонения от АВ достигнет
при наименьшем значении АС. Осуществив
оба указанные положения на чертеже, легко
получим требуемые неравенства. Следует от-
метить, что при некоторых частных усло-
6»
виях эти неравенства могут обращаться в ра-
венства.

Задача 11. В предыдущей задаче выра-
зить расстояние АС через AD, DC и угол
D. Выяснить по полученной формуле, при
каких значениях угла D расстояние АС до-
стигнет наибольшей и наименьшей величины.
Сгерить результат с чертежом.

Задача 12. При условиях задачи 10
доказать неравенство AD -}- АВ < DC 4- ВС,
придав четырехзвеннику надлежащее положе-
ние (в частном случае неравенство может
обратиться в равенство).

Задача 13. Дано три колеса одного и
того же радиуса, соединенные шарнирными
лараллелограмами, как показано на чертеже 10

Черт. 10.

При вращении колеса А колеса В и С также
„ращаются. Доказать, что расстояние точки
F от шатуна ED сохраняет постоянную ве-
личину.

На чертеже 11 изображен четырехзвенник,
называемый антипараллелограмом. Звенья его

«попарно равны, а именно: AD = BC и АВ =
= CD. Легко сообразить, что такую форму
может принять вращающийся шарнирный па-
ратлелограм. Действительно, когда звенья
параллелограма проходят через такое поло-
жение, когда они все располагаются по од-
ной прямой, то может случиться, что один
кривошип будет продолжать вращение в преж-
64

нем направлении, а другой — переменит на-
правление вращения на обратное. Тогда по-
лучится то, что изображено на чертеже 12
(точно так же вращающийся шарнирный анти-
параллелограм может принять форму парал-
лелограма). Изменение формы происходит при
переходе механизма через так называемые
мертвые положения, при которых кривошип
и шатун располагаются по одной прямой.
В технике сущестзуют приспособления, ме-
шающие переходу одной формы в другую.

Можно думать, что эта кинематическая
связь параллелограма и антипараллелограма
может заинтересовать любознательных уче-

Черт. 12.

ников. Осуществить этот переход они могут
как на чертеже с помощью циркуля и ли-
нейки, так и на модели, сделанной из по-
лосок картона или бумаги.

Задача 14. В шарнирном антипараллело-
граме ABCD (черт. И) одна из меньших
сторон, например АВ, неподвижна. Придать
кривошипу ВС несколько различных поло-
жений и построить в каждом случае осталь-
ные стороны. Среди положений ВС, конечно,
следует взять и такие, когда вершина С ока-
жется ниже стороны АВ. Сделать то же са-
мое для антипараллелограма с закрепленной
большей стороной. Предполагается, что анти-
параллелограм не переходит в параллело-
грам.

Задача 15. Обозначить на чертеже И
точку пересечения сторон AD и ВС буквой
О и доказать равенство треугольников О АВ
и OCD. Доказать, что сумма отрезков АО 4-
-\-ОВ при вращении антипараллелограма
остается постоянной (т. е., что точка О опи-
сывает эллипс).

Задача 16. Какую форму имеет фигура
ACDB, получающаяся на чеотеже 11 от сое-
динения А с С и В с D? Через какие частные
формы пройдет эта фигура при вращении
механизма ABCDt Ответы доказать.

Задача 17. На чертеже 13 изображен
четырехзвенник, называемый механизмом Гал-
ловея. Геометрически это дельтоит, т. е.
АВ = AD и BC = DC. Очевидно, если звено
АВ неподвижно, а звено AD вращается около
точки А, то ВС тоже вращается около точки
В. Доказать, что при переходе механизма
через положение, когда все его звенья рас-
положатся по одной прямой, не может прои-
зойти искажения формы фигуры, аналогии-
«ого искажению параллелограма, о котором
говорилось выше, т. е. доказать, что если
точка D окажется ниже прямой АВ, то и
точка С будет ниже этой прямой.

Задача 18. Построить ряд положений
механизма Галловея (черт. 13) и убедиться,

Черт. 13.'

что при повороте кривошипа AD на 360°
(начиная от положения АВ), кривошип ВС
повернется на угол в 180°.

Задача 19. В механизме Галловея (черт.

14) AB=AD = a, BC=CD = b, углы а и

р отсчитываются в обычном направлении.
Доказать соотношение

а • siny = £ • sin(p---)

и убедиться в том, что оно верно для всех
положений механизма.

В заключение привожу три задачи, не свя-
занные какой-либо общей темой.

Задача 20. Коромысло АС качается око-
ло оси А (черт. 15). Шатун BD в точке С
скреплен с коромыслом, а в конце В — с пол-
зуном, движущимся по оси АМ. Оба скрепле-
ния шарнирные. Длина BD вдвое больше АС

' Ма1емат1!ка и физика № 4.

и BC=CD*. Доказать, что при качании
коромысла точка D движется по прямой, про
ходящей через точку А и перпендикулярной
к АМ.

Задача 21. По неподвижному кругу
катится без скольжения другой, равный ему,
круг. Доказать, что катящийся круг, сделав
полный оборот около неподвижного, сделает
два полных оборота около своего центра.

Эта задача достаточно известна и очень
эффектна. В правильности утверждаемого ею
факта легко убедиться на опыте, прокатив,
например, две равные монеты одну по другой

Для формального доказательства достаточно
убедиться в том, что подвижный круг пово-
рачивается вокруг своего центра на угол,
вдвое больший, чем поворачивается линия
центров относительно неподвижного круга.

На чертеже 16 дан неподвижный круг О
и два положения подвижного О, и Оя. Легко
убедиться в том, что радиус ОгС отклонился
от своего первоначального положения ОгА на
угол CO2N, вдвое больший угла поворота
линии центров О2ООГ

Задача 22. Имеем два круга с отноше-
нием диаметров, равным 2. Меньший круг
катится по .большему, соприкасаясь с ним
внутренним образом. Доказать, что любая
точка окружности меньшего круга движется
по одному из диаметров большего круга.

Эта задача известна в механике под назва-
нием кардановых кругов. Ее решения, при-
водимые в курсах механики или высшей ма-
тематики, достаточно просты, но элементар-
ное решение еще проще, что бывает далеко
не часто.

Привожу доказательство. На чертеже 17
даны два положения катящегося круга. Из
условий задачи следует, что длина дуги АВ
равна длине дуги ВС, где С есть точка катя
щегося круга, совпадавшая при первом поло-

* На чертеже BC>CD.

65
же ши с точкой А. Докажем, что точка С
должна лежать на диаметре AAV

Так как отношение радиусов данных кру-
гов равно 2, то из равенства дуг выте-

Черт. 17.

кает, что отношение их центральных углов
равно половине, т. е. угол АОВ должен быть
вдвое меньше ума СО^В, что как раз и бу-
дет иметь место, если точка С лежит на диа-
метре ААг. Если точку С предположить не

на диаметре АА}, а в каком либо друюм
положении, то указанного необходимого ра-
венства не будет. Следовательно, точка малой
окружности, совпадавшая с А, при качении
круга, будет двигаться по диаметру AAV

Кардановы окружности используются в тех-
нике для преобразования движения. Из каче-
ния одного зубчатого колеса по другому
получается возвратное прямолинейное движе-
ние точки, лежащей на периферии катящегося
круга (конкретный примером. Л,Математике
для инженеров0 Фихтенгольца, ч. 1-я,
стр. 307).

Приведенные задачи, конечно не исчерпы-
вают взятой темы. Автор надеется, что ему
удастся опубликовать еще некоторые, собран-
ные им, материалы, относящиеся, главным
образом, к вопросу о преобразовании фигур.

При составлении настоящей статьи было
использовано большое количество учебников
и задачников по теоретической и прикладной
механике, но основными источниками сложили:
„Теория механизмов" проф. Столяоова н
„Кинематика механизмов" проф. Левен-
сона.

ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ

М. БсРГ (Москва)

Ввиду того значения, которое обратные
круговые функции имеют в анализе, осо-
бенно в интегральном исчислении, необхо-
димо, чтобы абитуриенты средней школы,
переходя в высшую школу, приносили с со-
бою правильное представление об этих функ-
циях и их основных свойствах. Успешное
усвоение этого материала возможно только
учащимися старшего класса, имеющими до-
статочное математическое развитие, и при-
том при непременном выполнении следующих*
двух предпосылок: 1) учащиеся должны уже
ранее быть знакомы с понятием функцио-
нальной зависимости вообще и обладать на-
выком в исследовании простейших функций,
как-то: линейной, квадратичной и т. п., с
построением и чтением их 1 рафиков, иметь
хотя бы интуитивное представление о непре-
рывности и случаях ее нарушения; 2) учащиеся
должны иметь надежные познания по обыч-
ному курсу элементарной тригонометрии. Если
первоначальные сведения о тригонометриче-
ских функциях в упрощенном виде почерпнуты
из метрических соотношений в прямоугольном
треугольнике, то они должны быть затем
6G

обобщены, и систематический курс элементар-
ной тригонометрии должен базироваться на
тригонометрическом курсе. Вместе с тем мы
полагаем совершенно излишним вводить в
этот элементарный курс понят ие о радианном
измерении углов: ведь конечной целью этого
курса является выработка умения применять
свойства тригонометрических функций и тож-
дественные тригонометрические преобразова-
ния к решению треугольников, а также к та-
ким задачам физики, где учащимся приходит-
ся пользоваться градусным измерением углов.
Исходя из тех же соображений, считаем, что
желательно не включать в элементарный курс
тригонометрические уравнения, естественное
мзсто которых именно в отделе обратных
круговых функций.

Главными моментами, на которых необхо-
димо сосредоточить внимание при прохожде-
нии рассматриваемого нами раздела, являются
нижеследующие: 1) выяснение самого поня-
тия обратных круговых функций, их много-
значности и области возможного изменения
их аргумента; 2) выделение главных значений
обратных круговых функций; 3) определение
зависимостей между главными значениями
обратных круговых функций одного и того
же аргумента; 4) определение общих выраже-
ний обратных круговых функций .через их
ыавные значения; 5) применение учения об
обратных круговых функциях к решению
тригонометрических уравнений.

Но прежде чем приступить к проработке
указанного материала, необходимо остановить
внимание учащихся на некоторых вопросах,
относящихся к математическим (аналитиче-
ским) функциям вообще. Вычислительная ма-
тематика имеет дело только с отвлечен-
ными числами. Запись вида y=f(x)
фиксирует функциональную зависимость меж-
ду двумя отвлеченными числами х и у, из
которых второе изменяется в зависимости от
изменения первого. Эта мысль легко выясня-
ется на примерах. Если у = х2, то эта запись
имеет самодовлеющий отвлеченный смысл.
В нее может быть вложено то или другое
конкретное содержание, например у может
выражать площадь квадрата со стороною х,
но может выряжать и путь, пройденный во
время х при постоянном ускорении, равном
двум единицам. Или _у —— может выражать
высоту параллелограма, равновеликого квад-
рату со стороною а и имеющего основание х,
но может выражать также силу электриче-
ского тока при электродвижущей силе а2 и
сопротивлении х. Итак, каков бы ни был
конкретный смысл исследуемых геометриче-
ских или физических величин, зависимость
между ними выражается уравнением, содер-
жащим только отвлеченные числа. Те же
соображения должны быть применены и
к тригонометрическим функциям: если мы
черпаем представление о них из геометрии,
то из этого представления должна быть сде-
лана абстракция; чтобы тригонометрические
функции полностью обладали характером дру-
гих математических функций, мы должны
мыслитьихкак отвлечен ныечисла,
уже не связанные с теми геометри-
ческими образами, из которых они
получились, и аргументом их уже
не должен быть угол, а должно
быть некоторое отвлеченное чис-
ло, способное из ме пяться. Это число
может быть истолковано как отношение длины
дуги центрального угла к радиусу, но как
аргумент функции должно мыслиться незави-
симо от этого толкования. Самые знаки sin,
cos... получают при этом смысл зна-
ков определенных вычислитель-
ных операций. Так, если j=sinх, то мы
имеем дело с двумя переменными числами х
5*

и у, из которых второе получается как ре-
зультат операции, указываемой знаком sin и
выполненной над первым. Какие именно вы-
числения следует выполнить над числом х,
чтобы получить у = sin х. это — вопрос до-
вольно сложный, с котором учащиеся позна-
комятся при изучении высшей математики, но
он не сложнее вопроса об операциях, указы-
ваемых хотя бы знаком логарифмирования,
например в уравнении у= lg2 х.

Выставленное требование, вытекающее из
нашего общего представления о математиче-
ских функциях вообще, и заставляет сделать
переход от градусною измерения углов к
радианному: размер угла определяется отвле-
ченным числом, выражающим отношение дуги
к радиусу. Необходимо проделать ряд упраж-
нений для полного закрепления этого нового
для учащихся способа выражения аргумента
тригонометрических функций, причем реко-
мендуется ббльшую часть упражнений подби-
рать так, чтобы не было надобности в ис-
пользовании таблиц тригонометрических функ-
ций. В результате такой проработки учащиеся
должны безошибочно определять числовые
значения тригонометрических функций при
таких числовых значениях аргумента, как О,
я , я , я , тс , 2 .3 .5

6 > ± 4 ’, ±у. ±-2 , ± з тг, ± 4-тг,± -6 тг, ±
3

+ тг, + у п, но совершенно избегать исполь-

зования таблиц также не следует: полезно
будет подсчитать, например, sin 1, tgl, sin ’ , -
tg и т. д. Проделав ряд подобных примеров,

необходимо еще раз остановить внимание на
я 1

новом их истолковании: если sin -g-= g-, то
это значит, что совокупность вычислений,
обозначаемая символом sin, будучи выполнена

над числом-^ 0,5236, приводит к резуль-
тату если tg-^- = 1, то операция, обозна-

чаемая знаком tg, выполненная над числом
~ = 0,7854.., дает в результате число 1, и
т. д. На этом месте прохождения курса уча-
щиеся должны бы гь ознакомлены с графиками
тригонометрических функций, которые они
могут строить или измерением циркулем со-
ответствующих отрезков на тригонометриче-
ском круге или при помощи числовых дан-
ных, взятых из таблиц тригонометрических
функций.

На изложенном однако еще не заканчива-
ется подготовительная работа к прохождению
/левы об обратных круговых функциях: необ-
ходимо на примерах более простых функций
выяснить общеэ понятие о взаимно-обратных
функциях. Естественно начать с конкретных
задач: если площадь квадрата определяется
длиною его стороны, го, обратно, величиною
площади определяется длина стороны квад-
рата; если высота падения тела есть функция
времени, то, обратно, по данной высоте паде-
ния можно определить время падения. Из
подобных примеров выводим определение
понятия взаимно-обратных функций, а имен-
но: функция, обрати ,я данной функции, опре-
деляет числовые значения аргумента данной
функции по данным числовым значениям са-
мой данной функции. От конкретных приме-
ров переходим к аналитическим.

Если у = 2 J -|- 1, то х = - если у =
— х2-|-3, то х = + l/y — 3. Второй из
приведенных примеров вместе с тем дает
возможность указать на то, что однозначная
функция может иметь обратную ей многознач-
ную функцию — в данном примере двузнач-
ную; кроме того — еще ина то, что область
изменения независимого переменного может
оказаться ограниченною—в данном примере

3, так как данная функция х = у/у— з
перестает быть действительною при _У<СЗ,
принимая мнимые значения.

Выяснив на таких примерах понятие взаим-
но-обратных функций (иногда смешиваемое
учащимися с понятием о взаимно-обратных чи-
слах и величинах), желательно доказать, что
графики взаимно-обратных функций симмет-
ричны относительно биссектрисы координат-
ного угла.

Изложенным материалом исчерпывается под-
готовка к изложению учения об обратных
круговых функциях. К нему мы и переходим.

1. ОБРАТНЫЕ КРУГОВЫЕ ФУНКЦИИ
И ИХ МНОГОЗНАЧНОСТЬ

Изложение должно исходить из построения
углов, соответствующих данному числовому
значению одной из тригонометрических функ-
ций: такие построения известны учащимся
из элементарного курса тригонометрии. Стро-

ятся, например, углы, синус которых равен 2 ,
или, например, тангенс которых равен 1.
Каждому данному числовому значению одной
из тригонометрических функций соответст-
вует бесконечная серия вполне определенных

углов; например, если sin а = то для а
получаются значения 30°, 150J, 390°, 510°
—210э...Каждому из этих углов соответствует
68

определенная величина отношения длины дуги
тг 1 Зя ,»

к радиусу, как-то: —, -g , g- ... Итак: если
дано числовое значение одной из тригоно-
метрических функций, то им определяются
числовые значения отношений бесконечной
серии дуг к радиусу; можно сказать, что
отношение длины дуги к радиусу
естьфункциятригонометрической
функции этого отношения; но эта
функция имеет не одно определенное число-
вое значение, а бесконечное множество опре-
деленных значений: она многозначна.
Таким образом, приходим к определению’
обратными круговыми функциями
называются функции, определяю
щие отношен и едлины дуги к ради-
усу по данной величине одной из
тригономе.трических функций уг-
ла, соответствующего искомому
отношению дугикрадиусу. Вводятся
обозначения обратных круговых функций,
понимаемых в этом общем смысле: Arcsin х.
Arccosx, Arctg х, Arccotgx. Учащиеся должны
понимать, что аргументом х этих функций
является числовое значение соответствующей
тригонометрической функции,что sin и Arcsin,
tg и Arctg являются символами взаимно-обрат-
ных операций в том же смысле, как, напри-
мер, знаки возведения в степень и извлече-
ния корня Уместно будет теперь же дать
графики обратных круговых функций, отмечая
при этом, что в случаях Arcsin х и Arccosx
аргумент, как выражающий величину синуса
или косинуса, может изменяться только в пре-
делах от—1 до -|-1, так что графики этих
двчх функций заключены между двумя пря-
мыми, параллельными оси ординат и отстоя-
щими от нее ча 1. В случаях Arctg х и
Arccotgx аргумент х может изменяться от— оо
до сю, так как соответствующие тригоно-
метрические функции могут принимать про-
извольные числовые значения^

Полезно будет проделать такие примеры,
3 3 V 2

как tg Arcsin = 4- -j—cos Arctg 1 =4-^— ;

ь 5 - 4 - 2

cotg Arctg-J, =2, с указанием на многозна-
чимость аргумента определяемых в них триго-
нометрических функций.

2. ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ
ФУНКЦИЙ

Для выделения главных значений обратных
круговых функций желательно параллельное
испочьзование чертежа тригонометрического
круга и графиков тригонометрических функ-
ций и обратных круговых функций.
„ П I

Рассматривая изменение дуги от — у до ~г
мы замечаем, что в этом интервале
изменения дуги х ее тригонометрические
функции sin х и tg х принимают последователь-
но все возможные для них числовые значе-
ния: sin х изменяется от— 1 до - l.tgxoT —
— оо до -р оо, и притом непрерывному из-
менению дуги х соответствуют непрерывные
же изменения sinx и tg х. Обратно: каждому
данному числовому значению синуса или
тангенса соответствует единственная дуга в
it , я
указанном интервале от— — до-f—ту, т. е.
каждому данному значению х соответствует
единственное значение многозначных функ-
ций Arcsin х или bArctgx, заключенное в интер-
вале от—уДО-|-у. Такие значения и на-
зываются главными значениями рассматривае-
мых двух функций и обозначаются через
arcsin х и arctg х.

Итак, —~ arcsin х S -f- ;

-Jgarctgx^ + -f.

Если бы мы выделили для дуги интервал
от 0 до тт, то для синуса получили бы
только положительные значения; для тангенса
получили бы все возможные значения от О
до -]- ос , но при дуге ~ получился бы раз-
рыв непрерывности.

Итак, условия, которым удовлетворяют вы-
деленные нами функции arcsin х и arctg х,
являющиеся главными значениями многознач-
ных функций Arcsinх и Arctgх, следующие:

1) они однозначны и непрерывны для всей
возможной области изменения аргумента х,
причем в случае arcsin х имеем:—lsSx<-|-l,
в случае arctg х область изменения аргу-
мента неограничена;

2) они заключены в интервале от--

Д° +т.

Необходимо проделать ряд примеров на
определение числовых значений arcsin х и
arctg х при разных положительных и отри-
цательных значениях х, подбирая последние
так, чт< бы большинство примеров решалось
непосредственно без помощи таблиц триго-
нометрических функций. Самые примеры же-
лательно записать в виде двух таблиц, из
которых явствовало бы, что положительным
значениям х соответствуют положительные же
значения arcsin х и arctg х—и обратно, и

что возрастанию х соответствуют возраста-
ния рассматриваемых функций.

Переходим к выделению главных значений
многозначных функций arccosx и arccoigx.
Пользуясь опять чертежом тригонометриче-
ского круга и графиками данных функций,
легко показать, что интервал

является неприменимым в данном случае,
так как при изменении дуги в этом интер-
вале cosx приобретает только положитель-
ные значения, a cotgx при х = 0 претерпе-
вает нарушение непрерывности.

Подходящим является интервал от 0 до тт:
в этом интервале содержится единственная
дуга, соответствующая данной величине ко-
синуса или котангенса, причем непрерывному
изменению этих тригонометрических функ-
ций соответствует непрерывное изменение
дуги.

Таким образом: OS arccos xjgn; OSarc-
cotgxSn. Эти две функции, в противополож-
ность возрастающим функциям arcsin х и
arctg х, убывают с возрастанием аргумента.
При положительных значениях аргумента они
к

меньше — , при отрицательных — больше

Ряд проделанных примеров должен закре-
пить эти представления.

3. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ГЛАВНЫМИ ЗНАЧЕ-
НИЯМИ ОБРАТНЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИИ одного
И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

Этот вопрос проще всего выясняется на
тригонометрическом круге, но желательно
повторить выяснение его на соответствую-
щих графиках функций.

На чертеже вычерчивают дуги АМг и ANV
соответств} ющие положительному значению
(xj аргумента функций arcsinх и arccos х;
на том же чертеже строят отрицательную
дугу ЛТИ2 и положительную дугу ANp изо-
бражающие arcsinх и arccosx при отрица-
тельном значении аргумента (хг). В обоих
случаях доказывается на основании равен-
ства соответствующих треугольников, а также
теоремы о равенстве дуг при равенстве цент-
ральных углов, что алгебраическая сумма
построенных двух дуг АМ и AN равна

Итак:

arcsin х-|- arccos х = -^.

Случаи положительного и отрицательного
значения аргумента х лучше дать на отдель-
ных чертежах.
С помощью чертежа изображается вывод
аналогичного уравнения для arctg х и
arccotgx:

arctg х arccotg х = .

Полезно проверить выведенные уравнения
на некоторых частных значениях; например,
первое уравнение при х, равном

£1, -4-1;

— 2 2

второе — при х, равном

0,4-1, Ч-1/з, 4- —. ~4~ ос-
' 1 в/Ч

Необходимо подчеркнуть, что эти уравне-
ния имеют силу только для главных значе-
ний обратных круговых функций.

В некоторых учебниках приводятся еще
соотношения:

arcsin x=arccos i/i — _^= arctg . х _= =
* 4 * 6 j/1— x*

— arccotg ~ -*1* и т. n.

Но к этим соотношениям следует подхо-
дить с большой осторожностью: они без-
условно правильны только при xSZ 0; при
х<^0 первое выражение равно третьему и
второе — четвертому, что непосредственно
вытекает из сравнения интервалов, указан-
ных выше для главных значений обратных
круговых функций.

4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОыЦИХ„ ВЫРАЖЕНИЙ ОБРА.
НЫХ КРУГОВЫХ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ ИХ ГЛАЗНЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ

Связь между общими выражениями и глав-
ными значениями обратных круговых функ-
ций также выясняется из построений на три-
гонометрическом кру ге или на графиках этих
функций и выражается различно для различ-
ных функций.

Начнем с arcsin х. Обозначим главное зна-
чение этой функции черезуь, так чтоу0 = аге
sinx. Из тригонометрии известно, что две
дуги, дающие в сумме полуокружность, имеют
равные между собою синусы: sin (п—Jo)=
= sn_yc. Таким образом, получаем, кроме
у0, еще дугу и—j0, соответствующую дан-
ной величине синуса. От прибавления к ду-
гам _у0 и тг—у0 дуг, содержащих целое
число окружностей, получаем неограничен-
ное число дуг, соответствующих той же
ветчине синуса. Обозначая эти дуги через
у2, имеем

У1 =je+2rT»

J2 =тг—Jo + 2n-/c,

где к— произвольное целое число, положи-
тельное или отрицательное.

Второе из этих выражений может быть
преобразовано:

_уг = (2лг-|-1) тг—>о;

^ = 2X71+.^.

Эти два выражения отличаются друг от
друга тем, что в выражении уА число тг мно-
жится на произвольное четное число и к
этому произведению прибавляется _у(1, между
тем как в выражении у2 число тг множится
на произвольное нечетное число и из этого
произведения вычитается.

Два выражения могут быть объединены
введением множителя при уь, обращающе-
гося в 4- 1 при четном множителе числа тг
и в—1 при нечетном кратном тг. Таким
множителем является (— 1 )я, если множитель
при тг обозначим через п.

Итак, вообще у = ъ-п -|-J0 (—1)п,
или

arcsin х = тг-/г.-}- (— 1)”-arcsin х.

Переходим к arccosx. Если опять введем
обозначение _у0 = arccosx, то заметим, что
при перемене знака дуги ее косинус не из-
меняется; поэтому данной величине косинуса
соответствует еще дуга—у(]. К каждой из
дуг Jo и—Jo можно прибавить 2п-я, не
изменяя величины косинуса. Получаем общее
выражение искомых дуг y = 2rr-zz4- vc. или
Arccos x = 2n-zr47 arccos х.

Еще проще обстоит вопрос для arctg х и
arccotgx. Определив главные значения этих
функций, достаточно прибавить к ним произ-
ведение тг на произвольное целое число,
положительное или отрицательное, чтобы по-
лучить общие выражения этих функций:

arctg х = tt-zz-}- arctg х; arccotgx —
— тг z! -(- aretgx.

Необходимо проделать ряд упражнений в
определении общих выражений обратных кру-
говых функций и в выделении тех значений
их,, которые заключены между данными пре-
делами, например между 0 и Зп, между —
— 2тг и -|— 4 тг.

5. ПРИМЕНЕНИЕ УЧЕНИЯ ОБ ОБРАТНЫХ КРУГО-
ВЫХ ФУНКЦИЯХ К РЕШЕНИЮ ТРИГОНОМЕТРИ-
ЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ-^

Тригонометрическими уравнениями назы-
ваются уравнения, в которые входят триго-.
неметрические функции подлежащего опре-
делению угла или нескольких углов. Решить
тригонометрическое уравнение значит — най-
ти общее выражение тех углов, трнгономет-
рические функции которых удовлетворяют
данному уравнению. Соответственно устано-
вленному нами отвлеченному пониманию три-
гонометрических функций, мы можем неиз-
вестное тригонометрического уравнения пони-
мать как отвлеченное число, тригонометриче-
ские функции которого, входящие в уравне-
ние, ею определяют.

Простейшим видом тригонометрических
уравнений являются уравнения, содержащие
только одну из тригонометрических функ-
ций искомого утла. Более сложными являются
уравнения, содержащие несколько тригоно-
метрических функций одного или несколь-
ких углов.

Решение уравнений первого вида состоит
из двух частей: 1) чисто алгебраической —
определения числового значения той триго-
нометрической функции, которая входит в
данное уравнение, и 2) определения общего
выражения угла, соответствующего найден-
ному числовому значению этой тригономе-
трической функции.

Для пояснения решим пример: 2cos3<p—
—3 cos2<p - -2 cos^> = 0.

Или: cos<p (2cos?<p—3 cos ср—2) = 0.

Получаем: 1) cos<p = 0;

2) 2 cos2 tp — 3 cos p — 2 = 0,
3^2^9+16—3dt5 .

откуда cos -f =----4-----—•—4—

о 1

cos tp = 2 или cos p = — —.

Итак, для cos<p мы получили три значе-
ния 0; 2; —

Второе из них отбрасываем, как не имею-
щее смысла.

Остается: или cos <р= Оили cos ср — —

Обозначая соответствующие величины ис-
комого угла через и <р2, получаем:

ср3 — 2п-л;

<р2 = 2п п + $ п,

где л— произвольное целое число.

Поверка решения получается подстановкой
числового значения cos ср в данное уравнение.

Если задача, решаемая при помощи триго-
нометрического уравнения, по своему харак-
теру накладывает некоторые ограничения на
величину искомого угла, то из общего ре-
шения должны быть выделены те значения
для угла, которые удовлетворяют этим огра-
ничениям. Если, например, искомый угол <р
решенного сейчас уравнения должен быть уг-

лом треугол-ника, т. е. быть больше нуля
и меньше тт, то из найденных нами углов
только один является решением задачи, а имен-

но <р = ^-гг, т. е. искомый угол содержит 120°.

Если уравнение — более сложного состава,
т. е. или содержит различные тригономет-
рические функции искомого аргумента или
тригонометрические функции нескольких аргу-
ментов, связанных с искомым простым со-
отношением, то решение его должно быть
направлено на то, чтобы левая часть уравне-
ния, приравненная нулю, распадалась на со-
множители, из которых каждый содержал бы
только одну функцию и притом только одного
переменного. Поясним сказанное на примере-
sin Зх= sin х.

Даем два способа решения.

Способ 1 Выражая sin Зх через sin х,
преобразовываем уравнение к виду

3 sin х — 4 sin3 х = sin х,
или

sin х — 2 sin3 х = 0.

Получаем

sinx(l— 2sin2x) = 0.

I. sinx = 0, откуда x—п-л.

1 n

II. sinx=±j7^’ откуда x = ^-(2n4~l).

Вторая группа решений несомненно удо-
влетворяет уравнению.

Первое решение сомнительно; хотя при
х = п-л обе части данного уравнения и об-
ращаются в нуль, но при изменении х и
стремлении его к пределу п-л отношение
sin3x к sinx не стремится к единице, а
имеет своим пределом число 3

х->пл.

В зависимости от смысла задачи, приво-
дящей к данному уравнению, решение или
может быть допущено или должно быть от-
брошено.

Способ 2. sin Зх — sin х преобразовываем
в произведение и получаем после сокраще-
ния на 2

sinx-cos2x = 0.

Уравнение распадается на два уравнения:
sinx = 0, откуда х = п-л,

и cos2x = 0, откуда 2х=^-(2л-|-1),
или х — ^- (2п 1).
Выражения для х те же, что при первом
способе решения.

Преобразовывая тригонометрическое урав-
нение, следует по возможности избегать та-
ких операций, которые могут приводить к
исчезновению решений или появлению лиш-
них решений, не удовлетворяющих данному
уравнению, например — возведения уравнения
в степень, умножения и деления на выра-
жение, содержащее неизвестное. Но если ход
решения потребовал таких операций, то не-
обходимо исследовать вопрос о равносильно-
сти или неравносильности данного и пре-
образованного уравнений.

Вообще, решение тригонометрических урав-
нений— вопрос, требующий большой осмо-
трительности, которая может быть выработана
лишь на фоне понимания теории алгебраи-
ческих уравнений.

Что касается времени, потребного на про-
хождение статьи об обратных круговых функ-
циях в связи с тригонометрическими урав-
нениями, то оно, конечно, зависит от степени
подготовленности учащихся, но и при вы-
соком уровне развития класса требуется, по
нашему мнению, не меньше 24 часов клас
сной проработки и столько же для домашних
упражнений.

ПЕРВЫЕ УРОКИ ПРИ ПРОХОЖДЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ

в. ЕФРЕМОВ (Москва)

Предлагаемая статья не содержит никаких
открытий. Цель — ее поделиться с молодыми
начинающими преподавателями своим опытом
по вопросу о методике решения тригономет-
рических уравнений. Необходимость настоя-
щей статьи диктуется тем, что: 1) до сих
пор мы не имеем методики тригонометрии,
откуда можно было бы почерпнуть нужные
сведения; 2) в самих учебниках тригономет-
рии по этому вопросу дается слишком мало
указаний.

В учебнике Рыбкина, как в старом
(§ 71—73), так и в новом, стабильном из-
дании (§ 70 — 72), о тригонометрических
уравнениях впервые говорится после прохо-
ждения всей гониометрии. И в то же время
сами уравнения в задачнике того же Рыбкина
помещены в самом начале, др вывода фор-
мул соотношения между функциями одного
угла. Таким образом, получается какая-то
неувязка: решай тригонометрические уравне-
ния, не отдавая себе отчета ни в том, что
такое тригонометрическое уравнение, ни что
значит — решить его.

В других, наиболее известных учебниках
тригонометрии: Шмулевича (как в ста-
ром дореволюционном, так и в издании
1928 г.), Крогиуса, П ен и о нжке в ич а,
Гебеля, Билибина, Бореля, Ребь-
ера, Виноградова, Кильдюшевско-
го, Пиопуговского, мы не встречаем
такой непоследовательности. В них просто и
задачи и само знакомство с тригонометриче-
скими уравнениями отнесены к концу гонио-
72

метрии, с чем мы не можем согласиться.
Решение уравнений в тригонометрии, по на-
шему мнению, должно проводиться (как и в ал-
гебре) на протяжении всего курса, так как
оно дает благодарный материал для упраж-
нений в выводимых формулах. Такой взгляд
проводится в старых учебниках П ржеваль-
ского и Слетова и в наших лучших
„Рабочих книгах":Гангнуса, Брусилов-
ского, Гуревича и Минорского.

Автор статьи является сторонником того
взгляда на преподавание тригонометрии, при
котором сначала проходится (как особая
глава планиметрии) ознакомление с тригоно-
метрическими функциями острого угла и ре-
шаются прямоугольные треугольники, а уже
затем начинается прохождение гониомет-
рии.

В решении тригонометрических уравнений
мы различаем два момента: 1) нахождение
значения какой-нибудь тригонометрической
функции (собственно говоря, решение алге-
браического уравненья) и 2) нахождение
значения аргумента. В то время как первый
момент, как мы уже упоминали, должен по-
следовательно проводиться на протяжении
всего курса гониометрии, начинаясь тотчас
же после ознакомления с тригонометрическими
функциями любого угла, второй момент
должен быть проработан целиком в самом
начале гониометрии.

Этой проработке и посвящается настоящая
статья. Наиболее удобным путем нам пред-
ставляется следующий.
Дав обобщение понятия угла, мы во всем
дальнейшем уже не должны отступать от
него и, указывая на чертеже угол в d гра-
дусов, мы должны требовать от учащихся
ответа в общем виде: йЦ-ЗбО°/г. Здесь
удобно дать такую задачу: вписать в окруж-
ность правильный мноугольник и, приняв
одну из его вершин за начало дуг, указать „
общий вид дуг, имеющих конец в каждой
из остальных вершин. Для домашней само-
стоятельной проработки полезно дать зада-
чу 6 в § 1 нового стабильного издания
задачника Рыбкина, на который мы в даль-
нейшем и будем ссылаться.

После этого необходимо решить задачу
№21 из § 2, в которой требуется по об-
щему виду углов написать несколько их
частных значений. Запись частных значений
мы делаем в виде таблички такого вида:

ЧАСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ УГЛА «=1504-120^

ных значений нужно указать лишь те, кото-
рые находятся в определенных границах, на-
пример от 0° до 360°. Тогда таблица укора-
чивается и будет иметь вид:

п 0 1 2
a 15° 135° 255°

Второй момент в подготовительной к ре-
шению тригонометрических уравнений работе
мы имеем при решении задач на построение
угла по данному зиачанию его тригонометри-
ческой функции (§2, №17—20). При реше-
нии этих задач мы ограничиваемся лишь гео-
метрической стороной вопроса, построением.
Но при этом мы подчеркиваем наличие в
пределах одной окружности двух углов, имею-
щих одно и то же значение тригономет-
рической функции. Здесь нелишне обратить
внимание учащихся на своеобразное сход-
ство решения этой геометрической задачи
иа построение, при котором мы получаем
два угла, с решением квадратного уравнения,
при котором получаются также два корня.
Сходство это еще усиливается, когда мы от
общего случая переходим к частному. При
значении дискриминанта, равном нулю, оба

корня квадратного уравнения хт =——
— 6 — 0 —Ь

и х,= — *---сливаются в один: х = —:—

2 2а 2а

Также и при некоторых частных значе-
ниях тригонометрических функций, напои-
мер sinx=l, мы получаем не два, а лишь
один угол. Полезно при этом показать рас-
положение точек, служащих концами иско-
мых дуг, последовательно для случаев: sin х =
=0,8; 0,9; 0,95, и отметить их стремление
слиться в одну, при приближении значения
синуса к 1.

После этих предварительных упражнений
мы имеем достаточную подготовку для того,
чтобы приступить к решению простейших
тригонометрических уравнений. Конечно, мы
предварительно даем определение тригоно-
метрического уравнения, указывая разницу
между уравнениями: atg2x-|-6tgx4-c = 0
и x2tga-|-xiga-|-c = 0» где о. есть извест-
ная величина. Оба уравнения являются ква-
дратными, но второе является квадратным от-
носительно х, в то время как первое будет
также квадратным, но относительно tgx, от-
носительно же х оно является уравнением
тригонометрическим. Полезно напомнить ана-
логичный случай в алгебре с уравнениями,
содержащими радикалы, например: 3)/х = 1
и 3 —1=0. В то время как первое
оказывается иррациональным, второе явля-
ется уравнением 1-й степени. Указываем, что
решить тригонометрическое уравнение зна-
чит— найти угол. Всякое тригонометриче-
ское уравнение может быть приведено к од-
ному из трех простейших уравнений:

sinx = /ra; cosx = m; tgx = m.

В первых двух уравнениях т может иметь
значения лишь от — 1 до -]— 1; в третьем под
т подразумевается любое действительное
число.

Решение этих простейших тригонометри-
ческих уравнений удобнее всего начинать с
третьего, как дающего наиболее простой
ответ. Берем уравнение: tgx = 2,6. Ответ
мы находим построением угла и его измере-
нием, в случае надобности, транспортиром.
Но здесь уже мы не ограничиваемся лишь
построением, а предлагаем учащимся дать
ответ в общем виде для обоих построенных
углов:

Х1=69° + 36Оэ-л и х2 = 249° + 360° • п.

Затем обращаем внимание учащихся на
то, что оба эти ответа легко могут быть
объединены в один:

х =69°180° п,
и напоминаем, что период тангенса равен
180°.

После этого вызываем к доске кого-либо
из учащихся и предлагаем решить уравнение:
tgjc = —6. На этом уравнении показывается,
чго главным" углом при записи общего
вида решения обыкновенно берется наимень-
ший по абсолютной величине, т. е. в дан-
ном случае отрицательный. Устанавливаем
здесь же границы: — 90° и 4-90° для главных
значений углов в уравнении tgx = m. На уро-
ке выгодно решать не те примеры, которые
помещены в № 22, а аналогичные им. Примеры
же, помещенные в задачнике, оставить для
домашней проработки.

После этого переходим к решению вто-
1 о

рого уравнения: cos.v =. Здесь раоота
проводится почти таким же образом, как и
при решении предыдущих уравнений, но те-
перь уже вся работа выполняется учащимися.
При решении этого уравнения мы получаем
два ответа: х, = 60°-|-360э-п и =300э-|-
-]-360о-л. Иногда учащиеся сами предлагают
второй ответ в виде: —60°-|- 360°• п. Если
этого нет, то преподаватель сам должен их
натолкнуть на мысль об удобстве взять отри-
цательный угол: х2 =—60° -|- 360° -п, и
тогда объединение обоих ответов в один:
= х±60°-|-350э-п, происходит без затруд-
нений. Здесь очень полезно подчеркнуть тот
факт, что при положительном значении
косинуса мы имеем на чертеже два острых
угла: положительный и отрицательный.

Затем вызывается к доске другой уча-
щийся для решения такого уравнения, в ко-
тором косинус имеет отрицательное значение.
Мы заостряем внимание учащихся на том
факте, что при отрицательном значении
косинуса главным углом будет тупой, по-
ложительный угол; в объединенной фор-
муле перед этим углом ставим двойной знак.
Таким образом, границами для главного угла
при решении уравнения cosx = /n служат
О и тг, а не —у и 4-у, как это было
при решении уравнения lgx = m. Это чрез-
вычайно важное обстоятельство усваивается
учащимися не сразу и требует довольно боль-
шого числа упражнений. •

Наконец, мы переходим к решению урав-
У~3 о

нения siti х= Весь путь решения этого
уравнения проводится аналогично вышеизло-
женному, и мы получаем два ответа: Xj —
= 60°360°-п и х2= 120°+ 360°.и. Воз-
никает вопрос, нельзя ли и в этом случае
объединить оба ответа. После обычных пре-
74

образований получаем: хг =60° lb0°-2/z

и х2 =— 60°+ 180°-(2л Ц- 1)- Сравнивая
оба ответа, мн замечаем теперь различие между
ними в следующем: 1) знак первого члена;
2) множитель при 180°. Чтобы объединить
обе формулы, учащиеся иногда предлагают
поставить перед 60° двойной знак: +60°.
Указываем на недопустимость этого: наличие
того или иного знака находится в зависимости
от числа л. Предлагаем ввести перед главным
углом множитель (— 1)“. Давая л значения
ряда последовательных целых чисел, убеж-
даемся, что (—I)" может иметь лишь два
значения: (-|-1) при четном значении л и
(—1) при п нечетном. Таким образом, мно-
житель (—- 1)п оказывается своеобразным обо-
значением двойного знака -4-' при четном п
имеем плюс, при нечетном — минус. А это
нам как раз и требуется в наших формулах,
которые мы теперь объединяем в такую:

х=(~ 1)п-60°4- 180°-л.

Таким же образом решаем уравнение

У~3

Sin X =--- ,

Мы придерживаемся того взгляда, что это
объединение ответов следует проводить. За-
траченный на это труд вполне окупается той
экономией, которая получается в дальнейшем
при выписывании ответов.

Но, выводя объединенную формулу, мы
не настаиваем на обязательном ее при-
менении, допуская в самостоятельных рабо-
тах учащихся запись ответов и в виде двух
формул. В обоих случаях однако мы требуем
от учащихся умения написать ряд частных
значений. Это умение оказывается очень
полезным в дальнейшем при решении более
сложных уравнений, когда учащийся стано-
вится втупик перед тем фактом, что получен-
ный им ответ по форме отличается от того,
который помещен в задачнике. В такое по-
ложение попадает учащийся, например, при
решении задачи № 49 из § 9, получая ответ
. л . 2

в виде: х=Ч—-л, между тем как в
задачнике дан ответ: х = -г--|-~-л.

о ' о

Находя частные значения в границах от 0
до 360°, получаем в первом случае:

п 0 1 2 3
X о| я я 5 72’ 6’Л 7 3 6 2 ” 11 6 Я
Совпадение частных значений служит га-
рантией правильности обоих ответов. Между
тем тождество обоих ответов не делается яс-
ным даже после вынесения в обоих выраже-
ниях множителя за скобки. В первом слу-
чае получаем х == у (-4- 1 4* 4 л); во втором:
х = (1 2л). Не всегда ведь на уроках

алгебры указывается, что два выражения:
4/г—|—1 и 4л—1 (или 4п -J- 1 и 4«-|-3),
рассматриваемые вместе, дают все нечетные
числа, как и 2л 4- 1.

Мы видим, что решение задачи № 22 из
§ 2 должно быть на уроке проделано пол-
ностью. Это может занять 2—3 часа. Но
времени на это жалеть не надо, так как здесь
лежит центр тяжести решения тригонометри-
ческих уравнений.

Проработка № 23—31 из § 2, наоборот,
не может представить никаких затруднений
и может быть почти целиком отнесена на
самостоятельную работу учащихся. Един-
ственно, на чем здесь приходится остано-
виться, это на получении невозможных отве-
2
тов вроде: sin х—1,2; secx — и т. д.
О

Получая при решении алгебраического,
относительно какой-нибудь тригонометриче-
ской функции, уравнения, вроде 2 sin2х -р
-Psinx—1=0, несколько ответов, мы ре-
комендуем номера ответов ставить не у аргу-

, - 1

мента, а у функции, т. е. писать sin1x = -j

1 1

и sm2x =—1, а не sinx1=— и sinx2 =
= — 1.

Этим самым мы подчеркиваем тот факт,
что решаем алгебраическое уравнение. Дейст-
вительно, при решении этого уравнения можно
было бы поступить так. Обозначим sin х = у.
Тогда получим уравнение: 2у2 -j-y— 1=0, из

ч. 1 1

которого найдем: j, = -? и У2 —— 1-

Переходя снова к синусам, имеем: (sin х) =
-=~-и (sinx) =— 1. По аналогии с записью:
(sin х)2= sin2 х, пишем: sin) х =-g и sin2x=
= —1. Находя дальше значения аргумента,

мы и номера будем писать у аргумента, т. е.
напишем: х, — (—!)”.30°-ф- 180°л и х2 =
= (— 1)”-90° -j- 180°л = 90°(2w —1).

После проработки № 23—31 из § 2 мы
считаем правильным перейти к решению прос-
тейших тригонометрических уравнений в об-
щем виде. Мы ни в коем случае не можем
согласиться с тем, что предлагается некото-
рыми авторами, в том числе и Рыбкиным,
даже в стабильном новом издании. В § 70
у Рыбкина сказано: „Если для функции ис-
комого угла получается выражение буквен-
ное (например sinx = flZ>), то оно и считается
окончательным ответом".

Не говоря уже о том, что здесь Рыбкин
впадает в противоречие с самим собой, так
как на предшествующей странице он же
говорил, что „решить тригонометрическое
уравнение значит — определить те углы, ко-
торые удовлетворяют ему...“, он теряет в
высшей степени удобный случай для введения
понятия об обратных круговых функциях.

Переходя к решению уравнения tgx=m
в общем виде, мы напоминаем учащимся
аналогичные случаи из алгебры. Решая урав-
нения: х3 = 27; х2 = 16, учащиеся прямо
пишут: в первом случае (отбрасывая мнимые
корни) х = 3, а во втором х112 = -4-4. Но
если приходится такие же уравнения решать
в общем виде:х3 — а; х2 = Ь, то для написа-
ния ответов приходится прибегнуть к новому
символу — знаку корня. Мы пишем ответы в
виде: х—%/~^; х = ±У~Ь, но не оставляем
уравнения нерешенными. Таким же образом
для решения уравнения tgx = m мы должны
ввести новый символ Таким символом явля-
ется arctg т, который мы научаем читать, как
„дуга (или угол), тангенс которого равен т“.
Под этим символом в некоторых, может быть,
наиболее популярных учебниках (Рыбкина,
Шмулевича) и „Рабочих книгах" (Ганг-
н у с а, Брусиловского) подразумевается
главное значение угла. Для общего же вида
всех углов применяется символ Arcus (с про-
писной буквы). Между тем в учебниках по
высшей математике такого различия между
агсиэ’ами и Агсиз’ами нет и под агсиз’ами
(с малой буквы) подразумевается совокупность
всех дуг. Такого же взгляда надлежит при-
держиваться и нам.

Познакомив учащихся также с символами
arcsin т и arccos т и проработав с ними
№ 33—36 из § 2 задачника Рыбкина, мы
говорим, что в дальнейшем будем применять
эти символы во всех тех случаях, когда мы
не хотим или не можем выразить главное
значение аргумента числом. Более же подроб-
75
ное изучение этих обратных круговых функ-
ций мы откладываем на самый конец курса.
Затем мы останавливаемся на частных слу-
чаях простейших тригонометрических уравне-
ний, когда wr = 0, и выводим формулы:
arcsin 0 = 180°-и; arccos0 = 90°4~ 180°• п и
arctgO =180°-л, запоминание которых уча-

щимися считаем очень для них полезным.

На этом мы считаем поконченным со вто-
рым моментом в решении тригонометрических
уразнений и считаем возможным в дальней-
шем при решении тригонометрических урав-
нений требовать от учащихся ответов в об-
щем виде.

К ВОПРОСУ О ПРИЗНАКЕ ДЕЛИМОСТИ НА 8*

Д. ВОЛКОВСКИЙ (Мэсква>

Обыкновенно указывается такой признак
делимости на 8; на 8 делится только такое
число, которое оканчивается тремя нулями
или у которого три последние цифры выра-
жают число, кратное 8. Этот признак по
своей простоте и краткости стоит вне вся-
кого сомнения. Вывод его точно так же
прост**. Но при всем том этот признак слиш-
ком общ и потому требует если не допол-
нительного определения, то, во всяком
случае, дополнительного разъяснения.
Говоря об общности и дополнительном разъ-
яснении указанного признака делимости, мы
имеем в виду вторую половину его, а именно:
на 8 делится такое число, у которого три
последние цифры выражают чис-
ло, кратное 8; ибо в пределе 1000 су-
ществует весьма много чисел (всего 124
числа), делящихся на 8; притом весьма зна-
чительное большинство из них такие, про
которые сразу, при доселе существующем
признаке делимости, нельзя сказать, кратны
они 8 или нет. Между тем знание такого
признака, по которому можно было бы сразу
сказать, кратно любое трехзначное число 8
или нет, не бесполезно как в теоретическом,
так и в практическом отношениях. Вот побуж-
дение, которое заставило нас взяться за перо
и поделиться наблюдениями и выводами,
подсказанными нам опытом и размышлением,
с товарищами по профессии и любителями
арифметики.

/. Рассматривая в пределе сотни числа,
кратные 8, мы видим, что таких чисел всего
12: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,

* Материал к кружковым занятиям в школе.—
Ред.

** Ввиду этого мы и не делаем вывода, отсы-
лая читателей к любому руководству по арифме-
тике, где говорится о признаке делимости на 8.
76

88, 96, и притом они легко запоминаются,
ибо первые девять из них есть результат
таблицы умножения; числа же 80 и 88 при-
надлежат к разряду, так сказать, очевидных
чисел, про которые сразу можно сказать,
что они кратны 8. Остается одно число 96,
но и оно легко запоминается, как легко под-
дающееся разложению на 80 и 16 и как
последнее число в пределе сотни, кратное 8.
Итак, все числа в пределе первой сотни,
кратные 8, весьма легко запоминаются: во
всяком случае, если не легче, то и не труд-
нее, чем семь трехзначных чисел, кратных
125,-125,250, 375, 500, 625, 750 и 875
(см. признак делимости на 125).

2. Рассматривая трехзначные числа, крат-
ные 8, мы замечаем следующее соотношение
между двузначными и трехзначными числами,
кратными 8: 200 делится на 8, а следова-
тельно, и 400, и 600 и 800 делятся на 8,
т. е. все так называемые круглые трех-
значные числа, у которых разряд сотен
обозначен четной цифрой.

Если же 200, 400, 600 и 800 делятся на
8, то и 208, 408, 608, 808 и 216, 416,
616, 816 и 224, 424, 624, 824 и т. д. крат-
ны 8, т. е. те трехзначные числа с четной
цифрой сотен, у которых десятки и едини-
цы представляют одно из тех 12 чисел в пре-
деле первой сотни, которые кратны 8.

Отсюда ясно, что весьма легко знать все
те трехзначные числа, кратные 8, у которых
разряд сотен выражен четной цифрой.

3. Рассматривая далее трехзначные числа,
мы наблюдаем следующее: в 100 делимости,
на 8 мешают 4 единицы, а следователь-
н о, те же 4 единиц я препятствуют делимости,
на 8 и числам 300, 500 700 и 900 т. е.
трехзначным числам с нечетной цифрой;
сотен, ибо 300 = 2004-100, 500=400-}-
100, 700 = 600 + 100, 900=8004-1(0.

4. Если мы теперь к этим 4 единицам,
препятствующим разделиться числу на 8,
прибавим 4 единицы, то у нас получится
чсего 8 единиц, и тогда число разделится
на 8; так, например, если мы к 100, 300,
500, 700, 900 прибавим по 4, т. е. возьмем
числа 104, 304, 504, 704, 904, то эти числа
разделятся на 8. А если 104, 304, 504, 704,
904 разделятся на 8, то и 112, 312, 512,
712, 912; 120, 320, 520, 720, 920; 128,
328, 528, 728, 928 и т; д. разделятся на 8.

5. Сравнивая теперь все трехзначные числа
с нечетной цифрой сотен, кратные 8, с
грехзначными числами с четной цифрой сотен,
кратными 8, мы видим, что во всех трехзнач-
ных числах с нечетной цифрой сотен в разряде
единиц и десятков, взятых вместе, всегда
на 4 единицы меньше разряда единиц
и десятков, взятых вместе, так сказать, со-
ответствующих* им трехзначных чисел
с четной цифрой сотен, кратных 8; так, на-
пример, в числах 104, Зи4, 504, 704, 904
сумма единиц первого разряда на 4 единицы
меньше суммы единиц первою разряда чисел
208, 408, 608, 808; в числах 112,312,512,
712, 912 сумма единиц первого и второго
разряда (12) на четыре единицы меньше сум-
мы единиц первого и второго разряда (16)
чисел 216, 416, 616, 816; то же самое заме-
чается в числах 120, 320, 520, 720, 920
и 224, 424, 624, 824 и т. д.

6. Если же так, то легко отыскать все
трехзначные числа с нечетной цифрой сотен,
кратные 8.

Для этого стоит только помнить все числа
в поеделе первой сотни, кратные 8. Если,
например, мы хорошо знаем, что 32 делится
на 8, то мы живо сообразим, что из трех-
значных чисел с нечетной цифрой сотен на
8 разделятся 128, 328, 528, 728, 928, т. е.
такие трехзначные числа с нечетной цифрой
сотен, у которых сумма единиц и десятков
на 4 единицы меньше 32, а равно и такие
числа, у которых десятки и единицы на 4
больше 32, т. е. 136, 336, 536, 736, 936.
Если мы хорошо помним, что 56 делится на
8, то скоро сосчитаем, что и 152, 352, 552,
752,952, а также 160, 360, 560, 760, 960
разделятся на 8, и т. д. Или, чтобы скоро
сообразить, кратно ли 8, например, 570 или
нет, мы должны хорошо знать, что из дву-
значных чисел, близких к 70, кратно 8 число
72, а потому мы должны взять в разряде
десятков и единиц на четыре единицы меньше
72, чтобы получить число, делящееся на 8,

* Соответствующими числами мы условимся
считать 104, 304, 504, 704, 904 и 208, 408, 608,
08; 112, 312, 712, 912; 216, 416 316, 816; 120, 320,
520, 720 и 224, 424, 624, 821 и т. д.

ибо у’нас разряд сотен обозначен нечетной
цифрой. Таким числом будет 568. Следова-
тельно, 570 не делится на 8.

7. Итак, наблюдение иад всеми числами
в пределе 1000, кратными 8, приводит иас
к следующим выводам: во-первых, в пределе
первой сотни есть всего 12 чисел, кратных
8, которые легко запоминаются; во-вторых
из трехзначных чисел те, у которых сотни
выражены четной цифрой, а разряд десятков и
единиц представляет одно из чисел, кратных 8,
делятся на 8; в-третьих, из трехзначных чи-
сел с нечетной цифрой сотен те кратны 8,
у которых разряд десятков с единицами на
4 единицы меньше чисел в пределе первой
сотни, кратных 8.

Вдумываясь во второе и третье положения,
мы видим, что они основываются на первом,
так что, для того чтобы сразу сказать, кратно
какое-либо трехзначное число 8, необходимо
отлично помнить все числа в пределе первой
сотни, которые делятся на 8.

II.

Таковы теоретические обоснования второй
половины признака делимости на 8. Соб-
ственно говоря, на этой теоретической сто-
роне вопроса можно было бы и закончить
наши рассуждения об упомянутом признаке
делимости. Но чтобы эти рассуждения имели
большую силу, свидетельствуя о практической
применимости своей, мы укажем на методи-
ческую сторону вопроса, как, по нашему мне-
нию, следует вести дело обучения детей вто-
рой половине признака делимости на 8, что-
бы это обучение, способствуя своим вника-
нием в различные соотношения чисел умст-
венному развитию детей, в то же время
давало возможность легким и скорым спосо-
бом узнавать этот признак делимости.

Мы, обыкновенно, разделяем дело обуче-
ния этому признаку на следующие ступени.

Во-первых, мы утверждаем детей в том
самом легком положении данного признака,
что на 8 не делятся те числа, которые окан-
чиваются нечетной цифрой. Во-вторых, пере-
ходим к рассмотрению всех чисел в пределе
первой сотни, кратных 8. В-третьих, рас-
сматриваем круглые трехзначные числа с
четной цифрой сотен; в-четвертых,— круглые
трехзначные числа с нечетной цифрой сотен
по отношению их делимости на 8; в-пятых,—
любые трехзначные числа с четной цифрой
сотен (кроме тех, о которых говорится в
первом и третьем пунктах), притом с точки
зрения указанного выше основного принципа
теории признаков делимости, т. е. разлагаем
любое такое число на два слагаемых, из ко-
торых одно должно состоять из круглых со-
тен, а другое — из разряда десятков и еди-
ниц; например, берем число 458, разлагаем
его на два слагаемых: 400-J-58; 400 делится
на 8, а 58 не делится; следовательно, число
458 не кратно 8. Берем другой пример: число
464 раскладываем на два слагаемых: 400ф-
64; каждое из них делится на 8, следова-
тельно, и все число разделится на 8. Из
рассмотрения mhoihx таких примеров при-
водим учащихся к тому заключению, что из
грехзначных чисел с четной цифрой сотен
те Делятся на 8, у которых разряд десятков
с единицами есть одно из чисел, крат-
ных 8.

В-шестых, переходим к рассмотрению лю-
бых трехзначных чисел с нечетной цифрой
сотен (кроме тех, о которых говорится в
первом и четвертом пунктах), при этом с
той же точки зрения и точно так же, как и
в пункте 5; причем обращаем внимание де-
тей на ту особенность, что трехзначные
числа с четной цифрой сотен можно разло-
жить или на два таких слагаемых, из кото-
рых одно кратно 8, а другое не кратно, или
же на такие два слагаемые, из которых оба
кратны 8; а трехзначное число с нечетной
цифрой сотен (пункт 6) можно разложи гь
или на такие два слагаемых, из которых одно
не кратно 8, а другое кратно, или же на
такие два слагаемых, из которых оба не

кратны 8. При этом останавливаем внимание
учащихся и на том, что если оба слагаемые
не разделятся на 8, то это еще не значит,
что и все число не разделится на 8; ибо
может случиться, что сумма единиц обоих
слагаемых, мешающих числу разделиться на
8, будет 8, и тогда все число разделился
на 8. И уже отсюда переходим к установле-
нию того положения, что из всех трехзнач-
ных чисел с нечетной цифрой сотен те кратны
8, у которых десятки и единицы представ-
ляют собою числа на 4 единицы меньше чи-
сел в пределе первой сотни, кратных 8.

В-седьмых, чтобы из всех этих шести пунк-
тов выделить существенное, мы сводим их
к трем основным, упомянутым выше поло-
жениям. И, наконец, в-восьмых, делаем такую
разъяснительную прибавку к установленной
формулировке признака делимости на 8: на
8 делится только такое число, которое окан-
чивается тремя нулями или же у которого
три последние цифры выражают число, крат-
ное 8, т. е. когда число сотен выра-
жено четной цифрой, а единицами
и десятками служит одно из чисел
в пределе сотни, кратных 8; а если
число сотен выражено нечетной
цифрой, то единицами и десятка-
ми служит одно из чисел, на че-
тыре единицы меньших или боль-
ших чисел в пределе сотни, крат-
ных 8.

НАБОР ПРИБОРОВ ДЛЯ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ
ОПТИКЕ*

Проф. Д. ГАЛАНИН (Москва)

I. ВВЕДЕНИЕ.

При начале изучения геометрической опти-
ки чрезвычайно важно дать учащимся кон-
кретные знания основных законов отражения
и преломления света. Необходимо в созна-
нии учащихся твердо закрепить ряд ассоциа-
ций между действительно происходящими
явлениями отражения и преломления света,
схематическими чертежами лучей и словес-
ными формулировками законов.

Дальнейшее изучение геометрической оп-
тики может итти, не соприкасаясь во всех
деталях с наглядными экспериментами, если
в самом начале основные законы будут твер-

* Из работ физической лаборатории Института
политехнического образование.

до усвоены и указанные выше ассоциации
будут установлены.

При прохождении геометрической оптики
нельзя обойтись без чертежей; только на
чертежах может быть выяснено значение тео-
рии, но чтобы эти чертежи были понятными,
необходимо на самостоятельном опыте уча-
щихся заставчть их убедиться в полном
согласии чертежей и законов с явлениями,
действительно происходящими при отражении
и преломлении света.

С другой стороны, необходимо довести
знания до „плодоносящей“ степени и дать
возможность убедиться, что отмеченные за-
коны теории дают возможность построить
оптические приборы, увеличивающие остроту
нашего зрения.
Таким образом, для лабораторной работы
особенно необходимо иметь аппаратуру для
начала темы и для ее конца. Задача дать та-
кую аппаратуру была поставлена перед физи-
ческой лабораторией ЦПИИПО и разрешена
ею следующим образом.

Для установления при помощи опыта за-
конов отражения и преломления был скон-
струирован столик-спектрометр, изображен-
ный на чертеже 1.

Он представляет собой круг с градусными
делениями, помещенный на конце палки, за-
жимаемой в треножнике (например от уни-
версального штатива, сконструированного

Черт. 1.

ЦНИИПО в прошлом году и переданного
для изготовления промышленности). На палке,
являющейся осью круга, движутся два дер-
жателя (для первых опытов будет нужен
только один). На одном держ|теле укреплен
осветитель. Осветитель состоит из маловольт-
ной лампочки, находящейся в трубке, кото-
рая кончается двумя щелями; благодаря двум
щелям на круге при зажигании лампочки
прорисовывается весьма узкий луч света,
идущий через центр круга. При вращении
осветителя луч на время проходит через
центр круга, и его направление легко отсчи-
тывается по градусным делениям.

Кроме этого столика, для опытов необхо-
димы отдельные детали от набора к шайбе
Гартля: плоское зеркало, вогнутое зеркало,
полуцилиндр и линза, призма (трапеция).

и. отражение света

Опыт 1. Ставят зеркало так, чтобы
отражающая поверхность проходила через
центр круга столика перпендикулярно к ли-
нии 0—180°.

Зажигают лампочку осветителя, регулиру-
ют его положение и положение зеркала так,

чтобы луч света, прорисовывающий на круге
свое направление, проходил чере! 0° и отра-
жался по тому же направлению. Передвигают
осветитель на какое-нибудь число градусов.
Отмечают направление отраженного луча,
также прорисовывающего путь. Опыт лучше
вести при небольшом затемнении. Полного
затемнения не нужно, достаточно загородить
прямой свет окна или поместить прибор в
более темном месте комнаты. Ставят осве-
титель на 0°, 10°, 20°, 30° и т. д. и отсчи-
тывают угол падения и отражения. Угол от-
считывается от перпендикуляра к зеркалу,
которым является линия 0—180° прорисо-
ванная на круге столика.

Убеждаются в справедливости закона: угол
отражения равен углу падения.

Опыт 2. Снимают плоское зеркало и ста-
вят вогнутое зеркало на самом краю столика
так, чтобы линия, соединяющая края зеркала,
была перпендикулярна к линии 0—180°.

Передвигают осветитель и следят за отра
женным лучом, отодвигают или приближают
зеркало и добиваются, чтобы при вращении
луча отраженный луч все время совпадал с па-
дающим. Так как осветитель вращается во-
круг оси столика, луч все время проходит
через центр круга столика. Если зеркало по-
ставлено правильно, и направление отражае-
мого луча при всяких положениях осветителя
совпадает с падающим лучом, то центр круга
совпадает с центром зеркала. Измеряют мил-
лиметровой линейкой расстояние от центра
круга д<? зеркала и находят величину ради-
уса кривизны зеркала.

Опыт 3. Делят найденный радиус кривиз-
ны зеркала пополам и ставят зеркало на рас-
стояние, равное половине радиуса кривизны
от центра круга так, чтобы линия, соединяю-
щая края зеркала, была перпендикулярна к ли-
нии 0— 180°.

Зажигают лампочку и ставят осветитель
на 0°. Проверяют правильность установки
зеркала с совпадением падающего и отражен-
ного луча. Поворачивая осветитель в ту
или другую сторону, замечают, что отражен-
ный луч все время остается параллельным ли-
нии 0—180°. Центр круга являетсч главным
фокусом зеркала.

Устанавливают из опытов 2 и 3 два ос-
новных свойства вогнутого зеркала:

I. Луч, проходящий через центр зеркала,
отражается обратно по тому же направлению.

2. Луч, проходящий через главный фокус,
отражается от зеркала параллельно оптической
оси зеркала.

Эти три опыта касаются отражения света.
После того как они будут проделаны, можно
рисовать чертежи построения изображения
в вогнутых зеркалах без опасения, что они
будут малопонятны. Работа может быть про-
ведена как исследовательская, почти без пред-
варительной беседы об отражении света.

III, ЗАКОНЫ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СВЕТА

Опыт 4. Ставят стеклянный полуцилиндр
так, чтобы плоская грань совпадала с цент-
ром круга и была перпендикулярна к линии
О — 180° круга. Ставят осветитель на 0° и
убеждаются, что при перпендикулярном па-
дении луча на грань, разделяющую две среды,
направление луча не меняется. Вращают ос-
ветитель на 10°, 20°, 30° и отсчитывают
углы падения и углы преломления.

При переходе из стекла в воздух луч не
преломляется, так как падает на раздел сред
перпендикулярно к грани. Для этого и при-
меняется форма полуцилиндра. Записывают
углы падения и углы преломления в табли-
цу. В VII классе достаточно выяснить, что
луч, преломленный в стекле, приближается
к перпендикуляру, восставленному к границе
сред, и выясняют отсутствие пропорциональ-
ности между числом градусов угла падения
и угла преломления. В этом случае таблица
будет иметь вид:

Наблю- дение Угол падения Угол прелом- ления Отношения угла паде- ния к углу преломления
1
2
3
4

В X классе надо от углов взять по триго-
нометрическим таблицам синусы и дать в таб-
лице их отношение. Таблица принимает такой
вид:

IV. ПОКАЗАТЕЛИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ

Далее переходим к опытам преломления
луча (среднее) в пластинке, призме и опти-
ческом стекле.

Опыт 5. Пользуясь выведенным правилом
преломления луча при переходе из одной
среды в другую, прослеживают два случая
преломления: пластинки с параллельными гра-
нями и пластинки с гранями под углом. Для
этого на столик ставят трапецию из набора
для шайбы Гартля так, чтобы параллельные
грани шли перпендикулярно к линии О —180°,
и, вращая осветитель, убеждаются, что луч
всегда выходит параллельно падающему. За-
тем трапецию ставят так, чтобы луч падал
на грани, идущие под углом, и убеждаются,
что в этом случае луч отклоняется к более
широкой части угла.

Эти опыты являются подготовительными к
опытам с цилиндрическим стеклом (линзой).

Опыт 6. Ставят на столик цилиндричес-
кое стекло, осветитель ставят на 0. Стекло
располагают в центре круга так, чтобы его
края были перпендикулярны к линии 0 — 180°
и передвигают его в этом направлении. Ког-
да луч встречает клин стекла, он отклоняется
в одну сторону; когда встречает середину,
не отклоняется; когда снова встречает клин —
отклоняется в другую сторону. Схема опыта
изображена на чертеже 2.

Далее ставят стекло посередине (черт. 2 Ь),
вращают осветитель. Луч, проходя через сте-
кло, почти не меняет

270

Черт. 3.

своего направления.

Отодвигают стекло от центра все дальше и
дальше и каждый раз вращают осветитель в
обе стороны от линии 0 — 180°, следя за
преломленным лучом (черт. 3). Добиваются
такого положения стекла, чтобы при враще-
нии осветителя выходящий из стекла луч все
время оставался параллельным оптической
оси линзы (линии 0—1FOJ). Тогда, оче-
видно, центр круга будет главным фоку-
сом цилиндрического стекла. Выводят заклю-
чения:

АНИЛИН (^ДЕМОНСТРАЦИЯХ МОЛЕКУЛЯРНЫХ СВОЙСТВ ЖИДКОСТЕЙ

А. РОМАНСКИЙ (Москва)

В курсе „Общей физики" Эдзера и
„Курсе физики" Н. В. Кашина приводятся
описания так называемой „демонстрации Dar-
ling’a", хорошо известной физико-химикам
п, к сожалению, мало распространенной у
физиков.

1. Удобно несколько видоизменить поря-
док постановки этой демонстрации следую-
щим образом.

В обыкновенный химический стакан или,
лучше, сосуд с плоско-параллельными стенками
наливается почти до краев вода. Над стака-
ном помещается на штативе бюретка с кра-
ном, и кончик бюретки распотагается очень
бли ’.ко. 1—2 мм, от поверхности воды. В бю-
ретке находится анилин.

Обычно продажный анилин недостаточно
чист, окислен и обладает янтарно-желтым
цветом различных оттенков. Для постановки
нашей демонстрации такой анилин особенно
удобен и эффектен. Плотность анилина при
15'С 1,02—1,03 г[см3 (в зависимости от
чистоты) и, так как растворимость его в воде
I при таких температурах незначительна, он

6 Математика и физика № 4.

1. Луч, идущий через середину стекла,
проходит стекло, не преломляясь.

2. Луч, идущий через главный фокус, вы-
ходит параллельно оптической оси.

После этой работы в беседе объясняют
способы построения изображений в оптиче-
ских стеклах.

Затем после этих лабораторных работ,
свойства оптических стекол изучают на оп-
тическом столике, как это делается обычно
и много раз описано, почему мы здесь не
будем останавливаться на этих работах.

должен опускаться на дно сосуда с водой и
образовывать хорошо отграниченный слой.
Откроем -слегка кран бюретки. Капли ани-
лина, при достаточной осторожности, не
падают на дно, но начинают скопляться на
поверхности воды тонким слоем. Дальнейшее
наполнение расширяющегося „мешочка" вле-
чет образование и отрыв большой янтарной
капли. Скорость процесса можно изменять
по желанию, регулируя ее краном бю-
ретки.

2. После отрыва капли на поверхности во-
ды всегда остается некоторое количество ани-
лина, наглядно иллюстрируя один из ИСТОЧ-
НИКОВ погрешности в методе определения ко-
эфициента поверхностного натяжения при
помощи сталагмометров. Введя на поверх
ность воды каплю эфира, можно вызвать па-
дение на дно этого остатка. Этим же путем —
при помощи эфира — можно уменьшать
размеры падающих капель анилина, ускорив
их отрыв, вследствие известного свойства
эфира понижать поверхностное натяжение на
границе с водой, по сравнению с величиною

81
поверхностного натяжения воды на границе с
ее насыщенными парами.

3. Если на дно химического стакана с во-
дой налить при помощи пипетки Мора около
25— 30 см3 анилина, а стакан поставить
над огнем горелки, получится явление
„обратной капли”. Анилин обладает боль-
шим коэфициентом объемного расширения
(-х-8,5-10-4 грд-1) нежели вода и около
60°С его плотность становится меньше плот-
ности воды: теперь анилиновая капля „пада-
ет на поверхность воды, причем повторяются
все характерные явления капли”*. Поднявшаяся
капля попадает в соприкосновение со слоями
воды и воздуха, находящимися при более низ-
кой температуре, и падает снова на дно. Это
явление можно повторить несколько раз, соот-
ветственным образом регулируя нагревание.

4. Применение анилина в качестве жид-
кости для демонстрации опыта Плато позво-
ляет показать весь процесс образования сферы
на занятиях перед слушателями, что представ-
ляет значительное удобство в методическом

отношении. Для этого в стакан или сосуд
с плоско-параллельными стенками с водой на-
сыпается заранее подобранное количество
каменной соли с таким расчетом, чтобы по-
лученный раствор обладал плотностью, не-
сколько большею, чем плотность анилина. Ос-
торожно пипеткой Мора наливаем поверх
воды 10—12 сж3 анилина. Его слой, плава-
ющий на поверхности бесцветного раствора
соли, в воде отделяется хорошо. По стенке
сосуда приливаем при помощи другой пипетки
Мора чистую воду, понижая концентрацию
и плотность раствора до тех пор, пока слой
анилина не соберется в большую, плохо сфор-
мированную каплю под самой поверхностью
воды. Добавление еще нескольких капель во-
ды вызывает отрыв сферы Плато.

Размер ее можно увеличить, введя внутрь
образованного шара кончик пипетки Мора
и очень медленно давая вытекать из нее ани-
лину.

Вся демонстрация занимает примерно 3—5
минут.

К ВОПРОСУ О МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ ТРЕХФАЗНОГ О ТОКА

е. ГОРЯЧКИН (Москва)

В программе X клаоса поставлен вопрос
о трехфазном токе. Содержание и объем
пункта программы — „Понятие о трехфазном
токе" — не расшифрованы стабильным учеб-
ником, поскольку последний в текущем году
не вышел из печати. Очевидно, что бюджет
времени X класса позволит коснуться этого
вопроса только слегка: выяснить принцип
получения трехфазного тока и дать понятие
о простейшей цепи трехфазного тока
и способах включения. Однако просмотр
программы по электротехнике для X класса
показывает, что сведения о трехфазном токе,
которые должны быть у учащихся, не гак
уже малы — изучается устройство асинхрон-
ного мотора. Для изучения же мотора необ-
ходимо знание принципа вращающегося маг-
нитного поля, а следовательно, более пол-
ное и четкое представление о трехфазном
токе и, в частности, о диаграмме токов,
угле сдвига фаз, скольжении и т. п. Ясно,
что углубленную проработку придется давать
на теоретических занятиях электротехникой,
базируясь на общих сведениях, сообщенных
в курсе физики.

* Именно эта часть демонстрации описана в вы-
ше цитируемых курсах Эдзера и Н. В. Кашина.

Вопрос о трехфазном токе, кроме десятого
года, может возникнуть также в VII классе.
Действительно, при занятиях электротехникой,
именно при изучении электрических цепей
освещения, волею или неволею придется рас-
сматривать способы включения в цепь трех-
фазного тока. Уже на одной из первых бе-
сед при осмотре ввода в здание учащиеся
увидят три, а в провинции и четыре, поовода.
При этом для класса в его массе, преподава-
тель может ограничиться несколькими общими
словами о токе и показать рецептурно спо-
собы включения, не прибегая, может быть,
даже к обычной терминологии вроде „звезда
и треугольник”. Однако целый ряд наиболее
любознательных учащихся предъявит требо-
вание дать объяснение загадочным трем про-
водникам, ломающим представления об обыч-
ной цепи из двух проводников — прямого и
обратного. Если в классе нет времени для
ответа на такие вопросы, то в кружковой
работе преподаватель должен в значительной
мере удовлетворить требование учащихся.

Если, таким образом, необходимость изу-
чения трехфазного тока выдвигается в VII
классе самими учащимися, сколько-нибудь
внимательно осмотревшими сеть освещения
в помещении и т. п., то возникает вопрос
о Том, позволят ли уровень развития и зна-
ния учащихся выяснить хотя бы принцип
получения и канализации трехфазного тока.
К сожалению, вопрос о методике трехфазного
тока разработан в литературе довольно слабо;
вернее, имеющиеся методические разра-
ботки построены, главным образом, в равнении
на курс электротехники и не учитывают ни
уровня знаний учащихся средней школы, ни
особенностей требований, предъявляемых
физикой.

Практика показывает, что даже в VII клас-
се возможно дать понимание трехфазного
тока, если преподаватель „будет настороже",
не позволит себе скользнуть в дебри всякого
рода обычных вычислений и будет в широ-
кой мере опираться на принцип построения
цепи постоянного тока.

В настоящей методической разработке,
сделанной в 16-й образцовой школе БОНО
(Москва), не представляется возможным дать
подробное рассмотрение вопроса о трехфаз-
ном токе. Здесь будут указаны лишь глав-
нейшие принципиальные положения и намечен
в общих чертах путь, по которому должен итти
преподаватель как в VII, так и в X классах.

Первой необходимейшей предпосылкой для
успеха работы является понимание учащимися
схемы цепи постоянного тока в ее целом и
умение производить включения приемников
параллельно и последовательно. Поэтому на-
чинать вопрос о трехфазном токе как в седь-
мом, так и в десятом годах до проработки
всего курса электричества не представляет-
ся возможным. К сожалению, нередко пре-
подаватель обращает недостаточное внимание
на вопрос об основной схеме самой цепи,
состоящей из трех основных элементов: ге-
нератора, проводников и приемников. При
этом учащиеся не представляют себе того
непрерывного замкнутого пути (круга), по
которому движутся электроны. Знания их
по большей части ограничиваются назначе-
нием клемм-]-и — источника энергии, и из}
чается лишь внешняя цепь, без всякой по-
пытки уяснить, что генератор представляет
собой, так же, как и любая часть электри-
ческой цепи, „проходной коридор”, с той
только разницей, что в источнике энергии
у электронов создается известный „напор”.
Самая сущность электрической цепи, ее прин-
цип остаются обычно невыясненными; отсюда,
между прочим, неудачи ввести сколько-нибудь
соответствующие действительности представ-
ления о напряжении, единстве силы тока во
всех точках неразветвленной цепи и т. п.

Второй необходимейшей предпосылкой
служит четкое знание принципа генерирова-
6*

ния однофазного переменного тока. Дости-
гается это путем обычного рассмотрения
вращения контура рамки в однородном поле,
причем обращается большое внимание на
сравнительную величину индуктированной
электродвижущей силы для различных поло-
жений контура. С учащимися в курсе физики
важно выяснить, в какие моменты электро-
движущая сила равна нулю, наибольшей и
наименьшей величинам, и построить кривую
напряжения тока.

Изучение трехфазного гока следует начи-
нать с рассмотрения принципа соответствую-
щего генератора. Наиболее важным положе-
нием, усвоение которого определяет успех
всей дальнейшей работы, является следующее:
генератор трехфазного тока со-
стоит из трех отдельных генепа-
торов, из которыхкаждый даетео-
вершенно самостоятельный „обык-
новенный” (однофазный)* пере-
менный ток. Преподаватель сделает круп-
ную ошибку в методическом отношении, если
не начнет с подобного определения и не
добьется того, чтобы учащиеся усвоили это
положение. Обычно при этом задаются во-
просы о целях такой комбинации токов и т. п.;
их приходится просто отводить, заверив, что
объяснение будет дано и может стать ясным
только впоследствии. Далее надо дать схему,
изображенную на чертеже 1 и необходимую
как переходный момент от одной рамки,ге-
нерирующей однофазный ток, к схеме про-
стейшего генератора трехфазного тока. При
изучении схемы чертежа 1 и обращают внима-
ние прежде всего на то, что установка со-
держит три отдельных генератора: 1, 2 и 3
однофазного тока. При этом подчеркивают,
что так как рамки должны иметь одинаковое
число оборотов, то их можно, напрчмер,
насадить на один общий вал. Благодаря
этому они генерируют переменные токи оди-
наковой частоты. Наконец, рамки закреплены
на валу так, что их плоскости АВ образуют
между собой углы в 120° и 240°, вследствие
чего кривые электродвижущих сил будут
. м 12

сдвинуты между собой на -=- и периода,
и о

Затем преподаватель строит график сначала
в виде трех отдельных чертежей и затем при-
дает ему обычный вид, показанный на чер-
теже 2.

* Самое слово „однофазный* не следует произ-
носить перед учащимися впоедь д<> конца всей
проработки, так как этот термин получает смысл
и право гражданства только после введения поня-
тия о трехфазном токе. Автор пользуется этим тер-
мином по вполне понятным причина»'.
Рассмотрев, таким образом, принцип rtpo-
стейшего генератора, можно дать более точ-
ное определение трехфазного тока, именно;
комбинация из трех самостоятельных пере-

Черт 1.

менных токов, имеющих одинаковую частоту
и сдвинутых по фазе на периода, носит
О

название тр°хфазного переменного тока.

Естественно, что для получения этих токов
нужно иметь шесть колец и для их канали-
зации к приемникам пользоваться шестью
проводниками.

Далее преподаватель выясняет, что магнит-
ное поле для всех трех рамок может быть

взяю общим и рамки укреплены на одном
якоре, так, как это, например, изображено
на чертеже 3. При этом еще раз подчерки-
вается самостоятельность всех трех обмоток
и, следовательно, самостоятельность каждого
из трех токов. Здесь же еще раз указы-
вается, что для канализации этих токов
нужны шесть проводников при шести коль-
цах и щетках.

Подобная настойчивость в подчеркивании
необходимости шести проводников держит

Черт. 3.

учащихся в сфере обычных для них предста-
влений об электрической цени и отвлекает
до поры до времени от канализации по трем
проводникам, которые им пришлось видеть
при осмотре ввода и стояков.

В X классе возможно и вполне уместно
дать схему генератора, приближающуюся к
типу, употребляемому в технике. Для этого
разбирается схема, изображенная на чертеже
4. Прежде всего указывается, что в машинах
переменною тока для упрощения конструк-
ции вращают не проводники, а магнитное
поле, дли чего обмотку якоря помещают на
статоре и обмотку индуктора — на роторе.
Ротор машины в простейшем случае состоит
из постоянного магнцта или электромагнита.
Проводники 1, I, 2, II, 3, III, образующие
обмотку, уложены внутри железного кольца
и соединены между собой попарно: I с I, 2
с II и 3 с III, так, как это показано на чер-
теже 4. Сечения этих проводников изобра-
жены для отметок направления индуктируемых
токов в виде кружков. Проводники в ука-
занных сочетаниях расположены так, что
плоскости рамок 1, I, 2, II и 3, III образу-
ют между собой углы в 120° и 240:>. Тогда
при вращении магнита по часовой стрелке
в проводниках 1, 2 и 3, изображающих
начало обмотки каждой секции, возникают
токи указанных направлений и притом сдви-
нутых но фазе на -у периода. В проводни-
ках I, II, III индуктируются токи, находящие-
ся в таких же по величине фазах, что в 1,
2, 3, но прямо-противоположаых по напра-
влению. Генератор дает шесть проводников,
причем следует считать, что каждый ток ка-
нализируется по двум проводникам. Давать

Черт. 4.

здесь способы соединения звездой и тре-
угольником не только несвоевременно, но и
вредно. Очень подходящей моделью, на ко-
торой можно показать расположение обмоток
и индуктора, является модель, употребляемая
обычно для демонстрации вращающегося маг-
нитного поля и изображенная на чертеже 5.

Черт. 5.

На модели ясно видны три секции (рамки),
их расположение под углами в 120° и 240°,
шесть выводов и „индуктор" в виде магнит-
ной стрелки. Такая модель может служить
только для уяснения расположения обмоток,
по благодаря слабому магнитному полю
стрелки и невозможности привести ее во

вращение демонстрировать на ней получение
трехфазного тока очень трудно. Для демон-
страции трехфазного тока следует взять же-
лезное кольцо возможно большего днаметоа
(</=15—20 см) и сечения (s =5—10 см'-')
и нанести на него три обмотки в виде трех
узких катушек а, b и с и медленно вращать
внутри кольца сильный магнит или электро-
магнит (черт 6). Если каждую из катушек

Черт. 6.

соединить с демонстрационными гальваноме-
трами, то при сравнительно медленном вра-
щении, стрелки гальванометров придут в ко-
лебательное движе ше, смещенное по фазе

на -у периода.

Следует предостеречь преподавателя от
чрезвычайно распространенной схемы (черт. 7),
на которой, как приходилось не раз наблю-

дать автору, объяснялся принцип получения
трехфазного тока. Пользуясь только одним
правилом правой руки, этот вопрос стано-
вится неразрешимым, тогда как для схемы 6
он разрешается сравнительно легко.

Действительно, при обмотках, сделанных
по схеме чертежа 6, в рассматриваемый
момент в катушке 1, I электродвижущая
сила соответствует своему максимуму и имеет
направление от зрителя, как это показано
на сечении проводника. В правой и левой
85
катушках для рассматриваемого момента элект-
родвижущая сила одинакова по величине и по
направлению, т. е. направлена в том и дру-
гом случае к зрителю. Одним словом, вели-
чины индуктированных сил соответствуют мо-
менту, отмеченному буквой t на чертеже 2.
Ясно, что в проводниках, лежащих снаружи
кольца, не будет происходить индуктирова-

Черт. 8.

ния, так как силовая линия поля не выходит
за пределы внешней поверхности АВ кольца.
Следует обратить внимание на то, что полу-
чение трехфазного тока возможно лишь
при условии, что катушки достаточно тонки;
в противном случае возможны случаи что в
одной и той же катушке происходит индук-
тирование противоположных по направлению
электродвижущих сил. В схеме чертежа 7
для показанного момента в проводниках,
лежащих справа и слева от оси ОО3 катушки
1, I, индуктируются одинаковые по величине
и направлению электродвижущие силы, ко-

Черт. 9.

торые, складываясь, дают результирующую,
равную нулю.

При дальнейшем вращении индуктора ре-
зультирущая может стать неравной нулю
только при условии, что плотность потока,
пересекающего проводники А и В, стано-
вится неодинаковой. Вообще говоря, вопрос
о получении тока и составлении его графика
по схеме чертежа 7 труден и потому не мо-
жет быть рассмотрен в средней школе.

В частности, чем меньше сечение в катуш-
ке, тем сложнее становится вопрос, и его
благоприятное разрешение наступает в слу-
чае, когда ширина катушки (черт. 4 и 5)
соответствует половине окружности.

Таким образом, в X классе преподаватель
должен рассматривать принцип генератора
по схемам чертежей 3 и 4, что при знании
правила правой руки проходит довольно легко.
86

На этом заканчивается первый этап работы,
и в дальнейшем следует поставить и рас-
смотреть вопрос о способах соединения об-
моток и о включении приемников. Первым
делом преподаватель строит схему, в кото-
рой от каждой из обмоток /Ц, А2, Л3, обо-
значенных знаком генератора, идут два про-
водника (черт. 8), благодаря чему получают-
ся гри не зависящие друг от друга цепи,
питающие приемники В2, В2, В3. Таким об-

Черт. 10.

разом, первая рассматриваемая схема повто-
ряет уже сообщенное учащимся о необхо-
димости канализации токов по шести про-
водникам. Далее, нетрудно, отправляясь от
схемы трех цепей постоянного тока (черт. 9)
с тремя генераторами Л.г и А3 (элемен-
тами), дать комбинированную цепь этого
тока (черт. 10), а затем и трехфазного с че-
тырьмя проводниками вместо шести (черт. 11).

Черт. И.

Действительно, действие приемников
В2, Ва не нарушается и в том случае, если
вместо отдельных проводников I, II и III
(черт. 8 и 9) взять общий проводник О.
Такое уменьшение числа проводников нужно
не только разобрать на схемах, но для' по-
стоянного тока продемонстрировать, взяв
три батареи Av А2 и Аа и какие-нибудь
приемники Вг, В2 и В3, например лампочки
или звонки (рис. 10 и И).

Рассмотренная система канализации тгех-
фазного тока является наиболее простой и
носит название четырехпрогодной. Видоиз-
менив взаимное расположение генераторов
и приемников, можно получить схему, изоб-
раженную на чертежах 12 и 13, где четвер-
тый общий провод показан более тонкой
линией. Этот чертеж позволит выяснить, по-
чему рассматриваемое соединение генерато-
ров и приемников носит название „звезды“
или „звездочки". Действительно, генераторы
А2, Ая и Ад и приемники Bv В2 и В3 ис-
кусственно расположены так, что образуют
собой трехлучевые звездочки. Возвращаясь
к схемам чертежей 9, 10, 11 и 12, препо-
даватель указывает, что в четвертом общем
проводнике течет сила тока J=i^
где i2, i3— силы тока в проводниках 1,
2 и 3.

На основании графика трехфазного тока
(черт. 2) можно сделать заключение, что
сумма сил для любого момента трех одно-
фазных токов (одинаковой частоты и сдви-

нутых по фазе на -у периода) Z/-]- iz i3
равна нулю, т. е. J= -|- i2 -j- i3 = 0.

Для X класса этот вопрос выясняется так-
же при помощи элементарных преобразова-
ний выражения

J = + 13—Isin£-|-Isin (*-|- +

+ Isin(H-^)

и приведения его к нулю.

Еще проще, пользуясь чертежей 14, дать
геометрическое доказательство. Пусть радиу-

сы 01,02 и 03, изображающие величины 1,
образуют по отношению к оси ОХ углы
*р 14-120°, f-|-240o.

Построим на одном из подвижных радиу-
сов, например 02, равносторонний треуголь-
ник 0,2,4. Тогда сторона 2,4 будет парал-
лельна 0,1, и 0,4, будет составлять продол-
жение 0,3. Проектируя стороны 0,2 2,4 на
продолжение линии 6,2, найдем, что сумма
проекций 2,6 и 2,5 равна проекции 6,5, т. е.
I sin *4 I sin(*4~ 120°) = 1 sin(* -|-240o), что и
требовалось доказать. Соотношение (1) од-
нако справедливо при том условии, когда

нагрузка на каждую фазу является одинако-
вой, т. е. сопротивления приемников, вклю-
ченных в каждую ветвь, везде равны между
собой. Отсюда следует, что надобность
в четвертом общем или, как его называют
электротехники, нулевом проводнике мо-
жет отпасть, так как сила текущего в нем
тока при одинаковой нагрузке для каждого
момента времени равна нулю (черт. 13).

Аналогично для пепи постоянного тока
можно подобрать условия, при которых
канализация от трех генераторов может про-
исходить по трем проводникам вместо четы-

рех (черт. 15). Таких комбинаций может
существовать бесчисленное множество, со-
ответствующих каждому моменту трехфазного
тока, например отмеченному на чертеже 2
буквой t. Для рассматриваемого момента
генератор А, должен быть составлен из двух
элементов, генераторы Аг и А3— каждый
из одного элемента. Легко видеть, что при
указанном расположении полюсов в провод-
нике I будет течь суммарный ток 4 = z, 4- i3.

который будет разделяться на два тока
i? и is и далее, по проводникам 2 и 3, течь
к генераторам. Подобная картина характерна
для трехфазаого тока; именно: ток, прите-
кающий к группе приемников по одному
проводнику, утекает, разделяясь на две рав-
ные или неравные, части по двум остальным
проводникам. В частности, имеет место слу
чай, что I, = i2, причем i3 = 0. Кроме того
к группе приемников ток может притекать
по двум проводникам и утекать, суммируясь
по одному, причем опять-такн осуществля-
ется тождество: г, -)- ф -Г /3 — 0.

Не слетует смущаться тем обстоятельство'!,
что при подобных схемах постоянного тока
приемные лампы поочередно будут гореть

с различным накалом. Это в действительно-
сти имеет место в цепи трехфазного тока,
но незаметнр для глаза, благодаря тому, что
накал нити ламп при больших частотах тока
не успевает следовать за изменениями силы
то а; по крайней мере это явление неза.. етно
для простого ,глаза.

(Продолжение следует)

НЕБЕСНЫЙ ГЛОБУС, ЗАМЕНЯЮЩИЙ ПОДВИЖНУЮ КАРТУ НЕБА

Э. ГАЛЛЕР (Уральск)

В виду возрождения в средней школе
астрономии как самостоятельного предмета
я хочу обратить внимание преподавателей
астрономии на один забытый прибор, кото-
рый может принести немалую пользу.

Приступающему к изучению неба необхо-
димо прежде всего научиться ориентиро-
ваться на небе. Для этой цели служит, меж-
ду прочим, так называемая подвижная карта

Черт. 1.

неба, которая дает возможность для всякого
момента отделить видимую часть неба от
невидимой. Но эта карта имеет один суще-
ственный недостаток. Так как на ней прихо-
дится изображать почти все небо, то мас-
штаб для зве дпых растояний в различных
местах карты различен. Это обстоятельство
очень затрудняет начинающим использование
карты.

Для устранения этого недостатка я решил
заменить карту глобусом и построил прибор,
88

котсрый под именем „Небесный глобус с пе-
редвижкой муфтой системы Галлера" изгото-
влялся фирмой Макс Коль в Германии
(Хемниц) (черт. 1)

Прибор состоит из неподвижного небесного
глобуса, вокруг которого вращается полуша-

Черт. 2.

ровая му фта, закрывающая невидимую в дан-
ный момент часть неба. Установка муфты дела-
ется при помощи двух вертикальных цилин-
дрических колец, из которых одно, с деле-
ниями на месяцы и дни, укреплено на не-
подвижном основании глобуса, а другое,
с делениями на часы, расположено как раз
над первым и прикреплено к муфте, с кото-
рой вместе и вращается. Чтобы установить
муфту в нужное положение, надо, как на
карте, повернуть ее так, чтобы черта, пока-
зывающая часы наблюдения на подвижном
кольце, приходилась как раз против черты
неподвижного кольца, показывающей месяц
и день наблюдения.

Ввиду того, что в настоящее время до-
стать этот прибор нельзя, конструкцию его
можно упростить настолько, что для изготов-
ления его можно воспользсваться любым
небесным глобусом (черт. 2).

К оси глобуса (нужно, чтобы она враща-
лась вместе с глобусом) прикрепляется пер-
пендикулярно к ней кружок с делениями на
месяцы и дни, причем так, чтобы круг скло-
нения, проходящий через точку весеннего
равноденствия, приходился против 22 марта.
На подставке глобуса укрепляется концен-
тричное с этим кружком горизонтальное
кольцо с делениями на часы. Вокруг глобуса
на одном или нескольких вертикальных стер-
женьках укреплено наклонное кольцо, кото-
рое показывает положение плоскости гори-
зонта и отделяет на глобусе видимую (верх-

нюю) часть неба от невидимой (нижней).
Это кольцо должно быть укреплено в таком
положении, чтобы плоскость его прохо ила
через центр глобуса и составляла с осью
его угол, равный широте места наблюдения.
Расположение надписей показано на чертеже
внизу отдельно.

При помощи такого глобуса могут ре-
шаться также некоторые астрономические
задачи.

Например:

1) Определить общий вид звездного неба
для данного часа, числа и месяца.

2) Определить время восхода, захода и
кульминации звезды, а также место восхода
и захода. Для этого надо только навести на
звезду тот или другой край муфты или дугу
и посмотреть, какой час приходится над чер-
той, обозначающей месяц и число наблюде-
ния.

3) Определить время, когда удобнее всего
наблюдать звезду. Поставив муфту так, что-
бы звезда приходилась в видимой части
неба, не близко к горизонту, смотрят, какие
месяцы и дни приходятся против вечерних
часов.

САМОДЕЛЬНЫЕ МОДЕЛИ И ПРИБОРЫ К КУРСУ АСТРОНОМИИ

М. НАБОКОВ (Москва)

При бедности пособиями по астрономии
приходится нередко искать возможности соз-
дать их собственными силами, не затрачивая
притом много времени на самое изготовле-
ние.

Одним из необходимейших пособий для
наблюдения является зрительная труба. Так
как промышленность еще не выпускает астро-
номических труб, то можно пользоваться
имеющимися в продаже биноклями или моно-
кулярами. При умелом пользовании биноклем
даже при шестикратном увеличении можно
видеть подробности лунной поверхности,
спутников Юпитера, некоторые объекты
звездного мира.

Вместо бинокля, стоящего довольно доро-
го, возможно самому устроить зрительную
трубу и притом с большим увеличением,
чем у бинокля. Для этой цели может слу-
жить набор оптики бинокля, продающийся
в Ленинграде в магазине ВООМП (угол
проспекта 25 Октября и Мойки, д. № 19).
Этот набор состоит из двух линз для объек-
тива, трех линз для окуляра и двух призм.

Для составления трубы призмы не нужны
и могут быть употреблены для какой-нибудь
другой цели. При наборе имеется чертеж,
поясняющий, как надо расставлять линзы
В бинокле объектив и окуляр состоят из
линз, склееных канадским бальзамом. Линзы
продаются несклеенными, поэтому придется
проделать эту работу самому. При склеивании
линз следует поступать так: разогревши пред
варительно и линзы и бальзам, положить на
горизонтальную поверхность плосковогнутую
линзу вогнутостью вверх. Захватив при по-
мощи стеклянной палочки каплю бальзама,
переносим ее на середину линзы и тотчас же
накладываем приклеиваемую вторую, стараясь
это сделать так, чтобы вторая линза, коснув-
шись капли своим весом, расплющила каплю
в тонкий слой без Пузырков воздуха.

Если этого не происходит, можно помочь
легким нажатием пальца. При неудаче и не-
обходимости повторить склеивание канадский
бальзам можно отмыть ксилолом или бензолом.
Следует при этом линзы брать уже заранее
тщательно протертыми от грязи и остере-
гаться, чтобы между стеклами не попали со-
ринки.

Если нет возможности получить канадский
бальзам, можно соединить линзы путем на-
клеивания по краям уже сложенных линз
бумажного или коленкорового ободочка*.

Самую трубку можно сделать из картона
и для вставки в нее линз выточить из дерева
кольца или изготовить слегка пружинящие
кольца из проволоки. Такая труба будет да-
вать шестикратное увеличение (как и бинокль).
Опыты показывают, что в этих линзах хро-
матическая аберрация исправлена настолько,
что можно применять и несколько бблыпее
увеличение — в 10 или 15 раз.

Для получения большего увеличения можно
применить два приема: или взять в качестве
окуляра линзу с меньшим фокусным рассто-
янием или применить в качестве „линзы Бар-
лоу" двояковогнутую линзу (очковое стекло),
которую можно приобрести в оптических ма-
газинах.

В качестве окуляра с большим увеличением
можно взять лупу (лучше ахроматическую)
с фокусным расстоянием в 1—I1/, см.

„Линза Барлоу" представляет собою дво-
яковогнутую линзу с уничтоженной хромати-
ческой аберрацией. Поставленная на пути
сходящегося от объектива пучка лучей, она
раздвигает эти лучи и тем увеличивает фо-
кусное расстояние объектива.

Пусть мы имеем объектив с фокусным
расстоянием F^, двояковогнутую линзу с
фокусным расстоянием F2 и фокусное рас-
стояние всей системы Fo. Теория дает такое
соотношение:.

Го "Г,

Здесь s есть расстояние между главными
точками обеих линз. Легко видеть, что фо-
кусное расстояние системы Fo зависит от s.

При s — 0 егэ можно найти из формулы:

1=1x1

Го Г^Г/

При s = Fj уравнение обращается в

1=1 + 1^1.

Го ГЛ Г2^Га-

Так как в нашем случае линза вогнутая,
то Fg — отрицательно, и поэтому первое урав-
нение обращается в

11 1

Го^Г» Fa *

* При этом светосила несколько уменьшится.
90

Следовательно, если мы приставим двояко-
вогнутую линзу непосредственно к объективу,
то получим более длинный фокус; передви-
гая эту линзу по направлению главного фокуса
объектива, мы будем получать все меньшие
фокусные расстояния его. Отсюда же видно,
что возможен подбор линзы, могущей дать
заданное изменение фокусного расстояния.

Если устроить передвижение этой линзы
вперец и назад внутри трубы, то можно
получить плавное изменение увеличения.

Опыты, проделанные в физико-техниче-
ской лаборатории Центрального научно-ис-
следовательского института полйтехнического
образования показывают, что обыкновенная
двояковогнутая линза из зеркального стекла
может повысить увеличение указанного выше
набора до 10 раз без заметной хроматиче-
ской аберрации. Поступаясь этим условием,
можно довести увеличение до 15 раз и все-
таки изображения оказываются не хуже, чем
в трубе из очкового стекла.

Следует иметь в виду, что при применении
линзы фокусное расстояние соответственно
удлиняется, и это должно быть учтено при
изготовлении трубки.

При наблюдениях с биноклем и тем более
в трубу, необходима установка, устраняющая
дрожание.

Опыты показывают, что разница между
наблюдениями с установленным и неустанов-
ленным биноклем довольно ощ) гичельна. Так,
при наблюдении с биноклем в руках невоз-
можно разглядеть спутников Юпитера. При
установленном бинокле спутники Юпитера
видны вполне ясно (опыт такого наблюдения
был сделан педагогами специальных курсов
для преподавателей астрономии в Москве).

Кроме того при наблюдениях с установлен-
ным биноклем видны звезды на половину
звездной величины более слабые, чем види-
мые с биноклем в руках. Можно, конечно,
придумать много различных способов уста-
новки бинокля. Один из наиболее простых —
сделать из трубок азимутальную установку,
привинчивающуюся к фотографической тре-
ноге. Такой штатив изображен на чертеже 1.
Он дает возможность навести бинокль и в
зенит. Противовесом служит коробка с сухой
батарейкой, шнуры от которой могут быть
проведены к ручной лампочке.

При отсутствии металлических трубок мож-
но подобную же установку сделать из дерева*.

*М. Е. Набоков—„Астрономические наблю-
дения с биноклем", Гиз 1927 г. А. А. Чикин—
, Астрономическая труба из очковых стекол", ГТТИ
1932 г.
При изложении астрономии на уроках часто
бывает нужно пользоваться моделями. Осо-
бенно необходимы модели при разборе эле-
ментов сферической астрономии, так как у
учащихся нет достаточно прочных простран-
ственных представлений. Простейшей мо-
делью небесной сферы может служить шаро-
образная колба (так называемой круглодонная)
с налитой в нее наполовину водой. Крепко
закупорив горлышко колбы, перевертываем ее
и оставляем в наклонном положении, зажав
горлышко в деревянный штатив. Получаем
модель небесного свода и с горизонтом, на

Черт. 1.

которой можно показать суточное вращение
небесной сферы. На поверхности колбы
следует заранее наметить место Солнца и
нескольких созвездий. Вполне понятно, что,
давая разные наклоны горлышку колбы, мы
можем воспроизводить явления суточного вра-
щения небесной сферы для места любой
широты.

В качестве звездной карты (при наблюде-
ниях ночью), оказывается полезным обыкно-
венный зонт, на котором вышиты или нари-
сованы околополярные созвездия (черт. 2)*.

Для монтирования некоторых пособий
очень полезно использовать набор „Конструк-

Черт. 2.

тор" и таблицу „Измерите 1ьные приборы"
П. И. Попова и Карасева (Огиз).

Таблица эта состоит из разделенных шкал
и разделенных кругов, что особенно нужно
для моделей по астрономии. Из отдельных
деталей „Конструктора" можно собрать „ар-
миллярные сферы", отметив на них линию

Черт. 3.

* М. Е. Набоков —«Астрономический войт",
„Русский астрономический календарь" на 1926 г.;
М. Е. Набоков —„Первоначальное знакомство с
созвездиями", Учпедгиз 1931 г.

горизонта и системы координат шнурами
разных цветов, протянутыми через дырсчкн
полосок,, Конструктора". Это пособие (черт. 3)
оказывается очень полезным на уроках по
элементам сферической астрономии. Диаметр
сферы достаточно взять в 30—40 см.

Из того же „Конструктора" возможно
построить модели теодолита и экваториаль-

которой крепится ось, вращается, будучи
закрепленной на двух болтиках. Пользуясь
шестернями и червячным ходом, имеющимися
в наборе, оказалось возможным сцелать и
микрометрическое движение.

Черт. 4.

ной установки (черт. 4 и 5). Для изготов-
ления этих моделей следует использовать
таблицу „Измерительные приборы", наклеив
лимбы па выпиленные из фанеры круги.
Трубу можно сделать совсем без оптики —
только с крестом нитей вместо объектива
и диоптром вместо окуляра. При желании
к такой модели присоединяется труба с со-
ответствующей оптикой.

Для того чтобы сделать три уравнительных
винта, на которых гтоит теодолит, нужно
припаять гайки и сквозь них пропустить
винты, прилагаемые к набору „Конструктор".
Модель экваториальной установки делается с
переменной широтой, так как панель, на

Черт. 5.

При конструировании этих моделей в Цен-
тральном научно-исчедовательском институте
политехнического образования ближайшее
участие в выполнении этой работы принимал
А. М. Иванов, сотрудник физико-техни-
ческой лаборатории института.

НЕКОТОРЫЕ ПОЯСНЕНИЯ К ОПЫТУ С РАЗБОРНОЙ ЛЕЙДЕНСКОЙ
БАНКОЙ

•

Доц. А. БЕЛОГОРСКИЙ (Свердловск)

Известно, что опыт с разборной лейден-
ской банкой ставится прежде всего с целью
показать, что зарячы банки находятся на
поверхности стекла, а не на металлических
обкладках. Между тем в ряде учебников и
курсов физики имеются некоторые неточно-
сти как в описании самой демонстрации.

так и в тех выводах, какие делают их авторы
после постановки опыта Надо заметить, что
эти выводы оказываются противоречивыми, а
последнее обстоятельство является порой
большой помехой в работе не только сту-
дентов, но и педагогов. Настоящая стать.!
заключает в себе попытку разъяснения этих
пеючностей. Гак, в известном курсе физики
проф. Михельсона (Москва, 1930 г.) на
странице 475 имеется следующее замечание
по поводу этого опыта: „Поставим стеклян-
ный С'пакан на стол. Взяв внешнюю обклад-
ку непосредственно руками, а внутрен-
нюю — за изолирующую ручку, сбл /зим их
до соприкосновения. Никакого сотрясения и
никакой искры между обкладками не за-
мечается" (курсив наш.— А. Б.).

Между тем в учебнике проф. Бачинс-
кого „Электричество и магнетизм" (Моск-
ва, 1922 г.) на страницах 55—56 по этому
вопросу читаем следующее: „Зарядив раз-
борную лейденскую банку и выждав не-
сколько минут, изолируют ее и разни-
мают части, из которых она состоит.
Две обкладки дадут только весьма сла-
бую и кру" (курсив наш. — А. Б.)

Как видим, оба вывода по одному и тому
же вопросу несколько противоречивы. К
сожалению, проф. Бачинский не дает более
полного описания порядка и расположения
самого опыта, и потому несколько неясно,
при каких обстоятельствах он получает эту
весьма слабую искру при соприкосновении
обкладок.

Мне приходилось ставить этот опыт не-
однократно, и всегда при соприкосновении
обкладок получалась искра, которая порой
проскакивала между обкладками, когда пос-
ледние находились одна от другой на рас-
стоянии 1—2 см. Эту искру по силе можно
сравнить с искрой, какая получается в опыте
с электрофором. Замечу при этом, что, по
условиям работы, я всегда начинал разборку
банки почти тотчас же после ее зарядки и
поступал при этом следующим образом.

После зарядки банки я ставил ее на какой-
нибудь изолятор (хотя бы на стол), а затем
с известной предосторожностью производил
ее разборку и, не касаясь руками внешней
обкладки, подносил к ней внутреннюю об-
кладку, держа последнюю за изолирующую
ручку.

Несколько иного порядка придерживался при
постановке этого опыта проф. Д. А. Гольд-
г а м м е р, и по этому поводу он в курсе
своих лекций (Казань, 1913 г.) на странице 879
говорит с те дующее: „Беря руками метал-
лические обкладки, мы их разэлектоизо-
вывием, а затем снова собираем бансу.
Соединяя, наконец, разрядником обкладки,
получаем искру: явление объясняется тем,
что изоляторы отчасти оказываются и
проводниками, и заряды с обкладок про-
никают внутрь стекла* (курсив наш —
А. Б.).

В этом замечании проф. Гольдгаммера
имеется уже определенное указание на то,
что обкладки банки после ее разборки ока
зываются в действительности несколько на-
электризованными. Замечание подобного же
рода делает Индриксон, автор известного
учебника физики (Ленинград, 1918 г.).

Это явление требует некоторого пояснения,
без которого никак нельзя обойтись при из-
ложении вопроса о местонахождении самих
электрических зарядов у заряженной лейден-
ской банки. Кроме того не менее важ-
ным является вопрос о причине наличия
электрических зарядов на обкладках конден-
сатора, если, как указано выше, принято
считать, что заряды банки находятся на по
верхности стекла, а не на обкладках. У про-
фессора Михельсона в этом отношении по
тем опытным данным, какие у него получа-
ются, вопрос ясен. Индриксон об этом явле-
нии не говорит ни слова.

Для объяснения этого явления профессор
Гольдгаммер приходит к следующему выводу:
„Электричество находятся не только на
металлических обкладках конденсатора, но
проникает внутрь изолятора. Изоляторы
отчасти оказываются проводниками, и
заряды с обкладок проникают внутрь сте-
кла" (курсив наш. — А. Б)

Такое объяснение, данное проф. Гольд-
гаммером, ясное дело, не удовлетворит
учащихся. Оно не разъяснит этого, надо
сказать, очень интересного явления, а вы-
зовет возражения, среди которых на пер-
вом месте будет стоять следующее: как увя-
зать такое объяснение с теми явлениями,
какие обычно наблюдаются в диэлектриках;
мало того, как увязать эту мысль с явлением
поляризации диэлектриков, при которой по-
ложительные и отрицательные элементарные
заряды могут, как известно, испытывать ли пь
очень небольшие относительные смещения.

Кажется, что в данном случае явление
„относительного смещения" электрических за-
рядов в диэлектриках может быть положено
в основу объяснения факта появления заря-
дов на обкладках лейденской банки.

В самом деле, при отделении обкладок лей-
денской банки ог диэлектрика, который после
зарядки банки оказался диэлектрически поля-
ризованным, происходит частичное отделение
зарядов от последнею в силу относительного
электрического смещения и перехода некото-
рого количества зарядов с диэлектрика на
самые обкладки, при соединении которых и
наблюдается проскакивание искры. Заметим,
что эта искра может становиться относительно
и меньше и больше, в зависимости от того.
Как Протекал самый опыт и как происходило
электрическое максвелловское смещение. Та-
кое объяснение не противоречит ни сущест-
вующим положениям о статическом электри-
честве, ни взглядам Максвелла и Фара-
дея, причем последний, с целью показать, что
носителем электрических зарядов действи-
тельно является диэлектрик, и сконструиро-
вал разборную лейденскую банку, опыт с
которой считается классическим. Быть может,
проф. Д. А. Гольдгаммер, говоря о том, что
изоляторы оказываются проводниками, имел
в виду электрическое максвелловское смеще-
ние, но об этом он не говорит ни слова.
Для объяснения явления перехода заря-
дов с диэлектрика на обкладку во время

разборки конденсатора можно воспользоваться
некоторой аналогией этого опыта с опытом
Кавендиша, при помощи которого обнаружи-
вается полное перенесение электрических за-
рядов с шара на два специально пригнанных
к нему по размерам полушария, тогда как
здесь в опыте с разборной лейденской банкой
такой перенос зарядов наблюдается лишь в
слабой степени. Это и понятно, так как в
проводниках всегда имеется очень большое
число „свободных" или, по крайней мере,
легкоподвижных электронов, между тем, в
изоляторах все электроны неразрывно связаны
с соседними положительными ядрами, входя-
щими в состав тех же атомов и молекул.

ДЕМОНСТРАЦИЯ ЭКСТРАТОКОВ

Н. ИВАЩЕНКО

Для демонстрации экстратоков замыкания
и размыкания обычно пользуются двумя тра-
диционными опытами Фарадея, описанными,
например, у Гримзеля.

При этом для демонстрации экстратока за-
мыкания и размыкания часто пользуются
двумя различными схемами соединения при-
боров (для экстратока размыкания снимается
стекло с гальванометра и ставится задержи-
ватель стрелки). Для того чтобы опыты хо-
рошо удались, требуется катушка с довольно
большой самоиндукцией. Эти и подобного
рода схемы соединения дают возможность на-
блюдать не экстратоки в отдельности, а лишь
их суммарное действие с основным током (на-
пример по запаздыванию отклонения стрелки
гальванометра при замыкании и т. п.).

Между тем, существуют схемы соединения
приборов, позволяющие обойтись одной уста-
новкой для демонстрации обоих экстратоков,
не требующие развинчивания гальванометра
и дающие возможность наблюдать экстратоки
отдельно от основного тока.

Например, можно соединить по схеме,
указанной на чертеже 1, следующие приборы:
катушку самоиндукции—L, гальванометр —
Г, источник тока Б, ключ К, ключ А,, со-
противление R и амперметр А. Сопротивле-
ние подбирается равным омическому сопро-
тивлению катушки L так, чтобы при замкнутой
цепи тока в гальванометре Г не было. Ключ
К служит для того, чтобы во время подби-
рания сопротивления R можно было выклю-
чать гальванометр Г и после того замкнуть
94

ток ключом A’j, чтобы избавиться от меша-
ющего действия экстратоков на гальванометр
во время подготовки опыта. Во время же вы-
полнения опыта сперва замыкают ключ К,

При замыкании ключа К, благодаря воз-
никновению экстратока замыкания, в гальва-
нометре пройдет ток одного направления, а
при размыкании ключа К, — противополож-
ного. При достаточно чувствительном галь-
ванометре (например зеркальном) опыт этот
удается даже при катушке со сравнительно
небольшой самоиндукцией (например, взяв
обмотку электромагнита или трансформатора
и т. п.). Можно увеличить чувствительность
опыта, собрав приборы по схеме мостика
Уитстона. Однако в этом случае схема услож-
няется и её целесообразно применять только
в том случае, если учащиеся уже предвари-
тельно хорошо знакомы с мостиком Уитстона
вообще.

Проверив установку при помощи гальва-
нометра, можно заменить гальванометр лам-
почкой накаливания (от карманного фонаря).
Если взять при этом достаточно мощный
источник тока и катушку с достаточно боль-
шой самоиндукцией, то можно добиться того,
что лампочка будет вспыхивать только в мо-

мент замыкания и размыкания тока и погасать
при установившемся течении тока, что осо-
бенно наглядно доказывает существование
экстратоков. Однако в этом опыте нельзя по-
казать направление токов, проходящих через
лампу, а потому такой опыт полезно ставить
лишь после демонстрации опытов с гальвано-
метром.

Амперметр А служит для того, чтобы ре-
гистрировать наличие тока в цепи при отсут-
ствии тока в гальванометре.

ОПЫТ ПРОВЕДЕНИЯ ХРОНОМЕТРАЖА ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ ПО
ФИЗИКЕ

А. КАЛАШНИКОВ и асп. В. ЮСЬКОВИЧ (Институт политехнического образования, опытная школа им.
Радищева).

Настоящая работа является предваритель-
ным исследованием, ставящим себе целью
изучение практики лабораторных работ по
физике с помощью хронометража. Как из-
вестно, в методической литературе по физике
мы почти не иадеем исследований, которые
точно фиксировали бы отдельные этапы про-
ведения лабораторных работ, указывали бы
средние нормы времени и выясняли бы ти-
пичное поведение учащихся во время их про-
ведения. Между гем, построение программы
по физике, а затем и построение рабочих
планов должно все больше и больше опирать-
ся на более или менее точные данные, вы-
водимые из опыта относительно норм времени,
отводимого на ту или иную работу.

Вследствие этого мной было предложено
аспиранту В. Юськовичу собрать предвари-
тельный материал по разработке этой темы.
Задача была поставлена следующая: взяв не-
большое количество одноименных лаборатор-
ных работ, прохронометрировать их и выяснить
как бюджет времени, так и фактическое по-
ведение учащихся при звеньевой организации
лабораторных работ. В качестве объекта ис-
следования была выбрана работа „Определе-
ние теплоты плавления льда", которая в
школе ставилась в четырех различных классах:
в двух шестых и в двух девятых. Во всех
классах условия и план работ были разные:
звенья имели состав от двух человек до че-
тырех, инструктаж при проветении работы
был также неодинаков, руководили работами
три различных преподавателя. Общим во всех
работах являлось оборудование и схема наб-
людений и измерений.

Методика наблюдения состояла, как уже
сказано, в хронометрировании отдельных дей-

ствий и поведения учащихся и преподава-
телей.

Для этого употреблялась хронометражная
сетка, в которой выделялись графы, соответ-
ствующие типичным действиям учащихся и
преподавателей во время работы. Наблюдаю-
щий отмечал вертикальной линией пропорцио-
нально времени поведение учащегося в соот-
ветствующей графе (см. прилагаемый образец
хронометражного бланка).

Результат хронометража по шестым клас-
сам получился следующий (в процентах):

Класс Подготовка к работе Консультация с преподавате- лем, учащими- ся и с другими звеньями Измерения и вычисления Вычисление и оформление Непроизводи- тельное время
VI „а1 . . VI ,6“ . . Среднее в процен- тах .... 12,1 38,6 25,3 14,0 7,0 25,0 39,1 32,1 23,6 8,3 15,9 25,3 13,9 19,6

Краткий анализ приведенных цифр.

1. В классе VI „б“ преподаватель посвя-
тил объяснению выполнения лабораторной
работы в три с лишком раза больше времени,
чем в классе VI „а“. Это отразилось на
отсутствии взаимной консультации учащихся,
это дало более уверенный ход выполнения
работы, большее производительное время и
снизило почти в две раза непроизводительное
время.

2. Следует отметить, что четверть всего
времени (25°/0) затрачена была совершенно
непроизводительно. Это является ненормаль-
ным явлением и проистекало от недостаточ-
ной организации работы.

3. В классе VI „а" звено состояло из
четырех человек, в классе VI „б“—из трех
человек. В первом случае непроизводительное
время в два рлза выше.

4. Звенья не проводят полного оформления
лабораторной работы — вычисления средней
процентной ошибки, дачи чертежей, таблиц.
Это можно было сделать за счет непроиз-
водительного времени.

Результат} хронометража * по IX классам
получился следующий (е процентах):

Класс Подготовка к работе Вывод формулы Консуль- тация Наблюде- ния и из- мерения^ В в; числе- ния и офор- мления Непроизво лит. время
IX „а* . . 6.2 — 7,9 45,0 15,1 25,8
IX .6“ . 9,3 19,8 1,1 3 ,4 27,7 7,5
Среднее в
процентах 7,8 9,9 4,5 38,7 21,4 16,6

noiroreetta * pafair вон а в форм й роизводсгро наблюдении v и зюар ени и офор мпен че *
раэясь л panel OJM1* ЛО UNVrf noiro roe/4 спиС с досчч обЗумь еаниг прос могр Записал салим консул 1*слм> лгмие вывоА ферм ОМ«,3 весов шивв "»а ОМ’ир лида изме рекиг теме «ожЗ ЛвдоМ пома шов а ролул» Г(ТЬ« ош<|4 ujrot taeoc
1
? 1 1
3 ...1.
с 1 '
5 1
в 1
Z
6 If
9
ю 1
11 •
12 II;
□ 1 1
14 < 1 1
15 11;
ГБ 1
17 1;
16 1;
19 1
20
21
22 1 I;
23 1 I;
24
25

1 S 2 3 2 2 II 15 1 1.5 10 18.5 2 1 г 23.5 1 2
11 5 4 с 1 3.5 15.5 • 2 1 4 5 г t 265 6 в
Ш 5 3 1 2 13 Z 1 9 21.5 Б i 23.5 1 2 73
cprd 5 3 2 1.6 1.3 I.B >3.3 0.0 з.з 1.2 2,6 0.6 Б 26 i.6 26.5 о.з 2 1 7.3
ссгдн ЗвГИГ Ю - 9,3 ЗГ" 2.2 16,6 •/ “л 1.1% ' 3 ,9 - 12,4 % 26 6 - .9" 3.1 - 2, 7о 7,5%

ЛЛ, 0 6 звено 3 чел

время — S II 1934

I учащ .... - ----

II --------------------

III-----------------------------------------------

Черт 1.

Краткий анализ приведенных цифр и допол-
нительные наблюдения.

1. В звене класса 1Х„а“ бросается в глаза
очень большое время, потраченное непроизво-
дительно, более чем в три раза по сравнению
со звеном класса IX „б“;у одного учащегося
96

класса IX „а“ свыше 5О°/о непроизводительно
потраченного времени.

2. Оформление работы не доводятся до
конца, нет вычисления среднего по классу,
средней процентной ошибки, не все учащиеся
оформляют лабораторную работу.
3. В обоих классах имела место тенденция
подогнать результаты измерений и вычисле-
ний к значению искомых постоянных — те-
плоты плавления.

Выводы. Из этого количества наблюде-
ний нельзя делать никаких решающих обших
выводов, относящихся к нормировке работы
и к ее организации. Однако некоторые пред-
варительные замечания на основании этого
материала позволительно сделать, хотя бы в
порядке рабочей гипотезы для дальнейшей
проверки.

При звеньевой организации лабораторных
работ значительное количество времени — от
15 до 5О°/о— тратится непроизводительно.

Хороший инструктаж и детально прорабо-
танный план работы понижают непроизводи-
тельную трату времени.

В звене, составленном из учащихся различ-
ной подготовки, фактически работу ведет
наиболее сильный, слабый же сравнительно
мало участвует в работе (см. хронометражные
бланки и время, относящееся к каждому уче-
нику).

Необходимо систематически и широко изу-
чать постановку лабораторных работ методом
хронометража, так как последний дает воз-
можность детально изучить организацию и
условия проведения лабораторных работ по
физике.

ОПЫТ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО ПРИМЕНЕНИЯ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПС ФИЗИКЕ

А. КАЛАШНИКОВ (Москва)

Для того чтобы можно было вывести ряд
заключений о методических особенностях
того или иного курса содержании программы,
о расположении материала в ней, о методах
преподавания и т. д. — необходимо, прежде
всего, изучить знания учащихся, как они
складываются при данных условиях. Это
является основной задачей всякого педагоги-
ческого исследования, поскольку последнее
стремится установить всякие причинные зави-
симости между условиями преподавания и
знаниями учащихся,

В задачу настоящей работы входило про-
верить на опыте применение измерителей
для изучения знаний учащихся на материале
курса физики IX класса. Измерителем мы
называем ряд специально подобранных зада-
ний, решение которых учащимися дает
представление как об объеме, так и о качестве
знаний. Для построения их материал каждой
четверти подвергался тщательному методи-
ческому анализу для выявления основных
элементов знания, из которых складываются
знания материала программы данной четверти.
После того как такая работа была проделана,
для каждого элемента подбиралось соответ-
ствующее задание, решение которого, в боль-
шинстве случаев, имело однозначный харак-
тер, т. е. учащийся мог решить его только
одним способом, всякий иной бил бы непра-
вильным.

Опытный класс, знания которого изучались
с помощью измерителей, имел довольно пест-
рый состав, что для цели настоящей работы
не было нежелательным. Методы преподава-

7 Математика и физика № 4.

ния применялись обычные для старших клас-
сов средней школы: беседы сопровождались
демонстрациями, последние сменялись реше-
нием задач; в течение года были проведены
все лабораторные работы, которые требова-
лись по программе, при этом на каждую
установку лабораторной работы приходилось
от 2 до 3 учащихся; все учащиеся были
снабжены стабильными учебниками. Препода-
ватель в своем изложении старался возможно
ближе держаться содержания наркомпросов-
ских программ и стабильного учебника, чтобы
таким образом иметь возможность изучить
и содержание программы так, как оно отра-
жается в знаниях учащихся.

Таким образом, методика исследования
вкратце заключалась в следующем: материал
программы IX класса подвергался анализу
на элементы, к этим элементам подбирались
соответствующие задачи и вопросы. Вопросы
эти обыкновенно проводились через обсуж-
дение в группе физики ИПО: далее из этих
вопросов составлялся четвертной измеритель,
который в печатном виде раздавался уча-
щимся для решения его в течение 2 часов.
Среднее время решаемости — 1 час 20 минут.

Систематическое проведение измерителей
из четверти в четверть, проводимое через
одних и тех же учащихся, давало возмож-
ность более или менее объективного сравне-
ния как знаний самих учашихся, так и труд-
ности отдельных вопросов программы девя-
того года обучения.

Задачи, входящие в измерители, имели
самую разнообразную форму: прямой вопрос.

97
дополнение, вычислительные задачи, допол-
нение рисунка или черчение графика, состав-
ление формул, вывод формул, указание соот-
ветствия. Каждая из этих форм выбиралась
в зависимости от того, какое качество или
структуру знаний желательно было устано-
вить. Надо сказать, что вопрос об адэкват-
ности измерителя качеству знания еще далеко

Черт. 1.

не выяснен в современной литературе педа-
гогических измерений, поэтому здесь мы
имеем, возможно, ряд произвольных момен-
тов. В большинстве случаев каждая задача
измерителя имела одну трудность, и реше-
ние ее в этом случае обозначалось едини-
цей. Если решение было неполным, но
часть знаний несомненно обнаруживалась
при этом решении, то такая решаемость
обозначалась половиной. Наряду с этим были
9Я

такие задачи, которые очень трудно был<
различить по отдельным трудностям, как,
например, вывод формул, решение вычисли-
тельных задач и т. д.; такие задачи оцени-
вались баллом выше единицы — от 2 до 5,
причем эта оценка определялась чисто эмпи-
рически, исходя из рассмотрения устных
ответов и состояния знаний учащихся, кото-

рые они обнаруживали в те-
чение четверти. Таким об-
разом, сумма баллов полной
решаемости измерителя обыч-
но была выше числа задач;
например, измеритель за I
четверть при 33 задачах имел
максимальную оценку42;за II
четверть измеритель включал
35 задач при максимальной
оценке 44 и т. д. Не все из-
мерители были безукориз-
ненны по своей объективно-
сти (т. е. не все допускали
совершенно одинаковое по-
нимание вопросов со сторо-
ны учащихся), но таких за-
дач было очень небольшое
количество.

Таблица решаемости чет-
вертных измерителей, при-
водимая нами ниже, соста-
влена следующим образом:
в столбцах помещены цифры,
показывающие процент ре-
шаемости т. е. процент пра-
вильных решений всего из-
мерителя в целом; внизу даны
цифры, показывающие, сколь-
ко задач было включено в
измеритель и какова их мак-
симальная оценка. Из этой
таблицы видно, что мини-
мальная решаемость измери-
телей была 36°/0, а макси-
мальная — 93° '0.

Из этой же таблицы вид-
но, что медиана решаемости

четвертях совершенно устойчива
около 66°/0. С другой стороны,
обнаружили значительное коле-

была во всех
и равнялась
края класса

бание по четвертям, причем эти колебания
имеют тенденцию повышения от первой чет-
верти к последней; для этого можно сравнить
квартили группы по четвертям (см. черт. 1).

Общий характер распределения решаемости
среди учащихся класса и изменение решае-
мости по четвертям показаны на графике чер-
тежа 1, который построен так, что и число
учащихся и решаемость переведе пл в про
центы. По ординате мы имеем процент решае-
мости, а по абсциссе — процент учащихся.
Анализ этих кривых наглядно дает величину ме-
диан и отдельных квартилей по четвертям года.

РЕШАЕМОСТЬ ЧЕТВЕРТНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ
УЧАЩИХСЯ (в процентах)

№ учащихся I четверть II четверть III четверть IV четверть. Средняя годовая
1 . . ... 2...... 3 4 5 6 7 8 9 10 . ... . 11 12 . .... . 13 14 15 16 17 18 19 . ... . 20 21 22 23 21 25 26 27 28. .... . 29 30 33 29 48 40 50 45 51 43 48 52 63 63 67 55 61 69 71 69 71 68 66 63 72,5 68 87 80 80 56 56 50 46,5 6'2,5 70 55 59 73 64 70 53,5 61 62,5 62.5 69 67 85 70 78,5 69 78,5 83 80 68 77 75,5 93 95 99 61 48,5 46 42 46 56,5 59,5 53 68 56,5 69,5 58 68 62 63 56,5 74 85,5 74 68 83 95 79 92 85,5 93,5 36 60 52 66 62 60 60 64 60 58 66 70 64 60 62 74 68 72 72 82 70 86 96 88 90 88 98 46,5 48,8 49 50,6 54,1 55,2 55,6 56,4 58 61 61,9 62 62 62,8 64,8 64,2 65,3 68,6 71,7 73,2 74,4 74,8 75,2 75,5 78 81,1 87,8 88,8 89,1 92,3
Число задач . 33 35 30 20 | 118
Максимальная опенка . . 42 44 38 25

Равенство медиан показывает, что мы имели
каждые четверти измерители приблизительно
одной и той же трудности, а колебания квар-
тилей показывают, что здесь менялась успе-
ваемость самого класса. График показывает,
что это изменение сводилось к росту однород-
ности класса, хотя в целом надо признать
этот класс далеко не однородным (см., на-
7*

пример, колебания решаемости в пределах
первых 10°/о класса). В качестве меры одно-
родности класса можно использовать квар-
тильные отклонения (полуразности квартилей).
В первой четверти это отклонение равнялось
10,5, а в четвертой — 9.

Далее, чрезвычайно важно было сравнить,
соответствует ли распределение средней годо-
вой успеваемости в классе тем результатам,
которые получены на весенних испытаниях.
Эти испытания были организованы, с одной
стероны, путем дачи измерителя, совершенно
аналогичного тем, которые давались в конце
каждой четверти, а с другой стороны — путем
устных и письменных испытаний, проводив-
шихся следующим образом: перед учащимися
были выставлены как демонстрационные
приборы, так и установки для лабораторных
работ, употреблявшихся в течение учебного
года. Учащимся предлагалось написать, как
называется и для чего служит каждый демон-
страционный прибор, или описать весь ход
лабораторной работы; затем каждому учаще-
муся предлагалссь от 2 до 5 вопросов,
на которые он отвечал устно. Оценка этой
части работы имела максимальный балл 4U
со ступенями в 5 единиц. Таким образом,
общий балл, получаемый учащимся на весен-
них испытаниях, складывался из оценки его
работы по измерителям и из оценки его
ответов на письменно-устных испытаниях
с приборами.

Сравнение этой суммарной оценки со сред-
ней годовой каждого учащегося представлено
на следующем графике (черт. 2). Из него
видно, что общий характер распределения
успеваемости в классе на весенних испытаниях
не сильно изменился. Однако в то время как
медианы успеваемости по средней годовой и
по в.сеннему испытанию почти полностью
совпадают (64 и 63,5), квартили дают зна-
чительное различие, особенно в верхней по-
ловине класса; квартиль первый равен 59 и
54, квартиль третий — 81 и 74. Края класса
на весенних испытаниях сильно подтянулись.

Перехожу теперь к анализу решаемости
измерителей по содержанию. Для того чтобы
сделать выводы, какие вопросы являлись наи-
более трудными и, следовательно, давали
наименьшую решаемость, предела на следую-
щая работа: все задачи (118), дававшиеся на
четвертных испытаниях в течение года, были
разбиты на четыре группы: А, В, С, D.
В группу А входили те вопросы и задачи,
которые были решаемы от 0 до 25°/0 всех
учащихся класса. В группу В входили воп-
росы и задачи, решавшиеся от 26 до 5О°/о
всех учащихся, и в группу С— те вопросы,
которые решались от 51 до 75°/0 всего класса.
В группу D — все остальные вопросы.

Отсутствие решаемости или неполная реша-
емость того или иного вопроса зависят не
только от трудности материала, даваемого
в программе и в стабильном учебнике, но
могут определяться также и методикой пре-
подавания и подготовкой самих учащихся.
Для того чтобы исключить влияние этих ус-
ловий, необходимо было бы придать такому

|QO

уулщяхсл
• %

го 25 30
с.

40 50 СО

U<f

сред
годов

испыт

(I,

Б3.5

Черт. 2.

массовый характер, где

имели

эксперименту

бы место и различные методы и уровни пре-
подавания и различная подготовка учащихся.
Поскольку в данном случае мы имеем лишь
один класс, мы не можем с полной уверен-
ностью говорить о том, что отсутствие ре-
шаемости или, наоборот, стопроцентная реша-
емость тех или иных задач именно этим
классом уже являются показателем трудности
или легкости тех или иных вопросов прог-
раммы. Но если нет полной уверенности
в этом отношении, то существует известная
100

вероятность, которая не может быть малой
для резких случаев. В принятой нами клас-
сификации эти резкие случаи (по трудности)
сгруппированы нами в группы А й В (с про-
центом решаемости от нуля до 50). Рассмо-
трение вопросов, входящих в эти группы,
показывает, что наиболее трудными вопросами

являются,
с точки
теории и,

во-первых, объяснение явлений
зрения молекулярно-кинетической
во-вторых, задачи не стандартного
типа, имеющиеся в учебнике, а
требующие сообразительности и
применения изученных закономер-
ностей. Из частных вопросов сле-
дует отметить как особо труд-
ные — понимание вывода формулы
давления газа (через число и ки-
нетическую энергию молекул);
объяснение молекулярной теорией
явлений поверхностного натяже-
ния и капиллярности -(особенно
понимание формулы Лапласа); по-
нимание различий в удельной теп-
лоемкости газа при постоянном
объеме и при постоянном давле-
нии; уяснение физического смысла
газовой постоянной; понимание
круговых процессов работы газа.

Слабая решаемость вычисли-
тельных задач знаменует собой не
только неумение прилагать физи
ческиезакономерности к практике,
но и недостаточную математичес-
кую подготовку учащихся. Рас-
смотрение задач, даваемых в изме-
рителях, показывает, что учащиеся
не обладают достаточными навы-

ками математически-логического
мышления и не справляются иногда
с простейшими вычислительными
операциями (например вычисление
процентов).

Наиболее легко учащимися ре-
шаются вопросы информационного
характера: * знание определений, формул и
величин, в них входящих, знание конкрет-
ных фактов и пт. д.

Все это в целом показывает, что содер-
жание программы и учебника девятого года
обучения не является достаточно обоснован
ным. Если программа весьма перегружена
материалом, требующим от учащегося боль-
шого охвата фактов и умения теоретически
их осмыслить с точки зрения молекулярно-
кинетической теории, то учебник страдает
исключительной сжатостью изложения как
раз тех вопросов, которые наиболее трудно
понимаются учащимися, и наиболее много-
с.ювен в тех местах, которые представляют
собой описание и изложение моментов, уже
достаточно известных преподавателю, вошед-
ших в практику преподавания. Такие вопросы,
как кинетическая теория газов, впервые вво-
димые в общеобразовательную школу, урав-
нение состояния газа, вопрос о круговых
процессах — стабильный учебник излагает бе?
всякой попытки подойти к изложению этих
вопросов, не учитывая специфики общеобразо-
вательной школы, и просто копирует вузов-
ские учебники, вплоть до перепечатки ряда
непонятных и не объясняемых в учебнике
чертежей (как, например, чертеж опыта Штер-
на, чертеж машины Линде и др.).

Наличие преимущественной решаемости
вопросов информационного характера перед
вопросами, требующими умения оперативно
распоряжаться знаниями физики, показывает
в первую очередь то, что благодаря пере-
грузке программы усвоение материала про-
исходит не достаточно глубоко, и знание
акойомерностей не превращается в умение
и привычку ими пользоваться.

Выводы.

1. Проведенная работа показывает большую
целесообразность систематического примене-
ния измерителей для определения относитель-
ной успеваемости учащихся в течение всего
года.

Преимущества применения измерителей:
равенство условий, в которые ставятся все
учащиеся класса, максимальное использование
времени, идущего на повторение и для про-
верки (поскольку в процессе решения изме-
рителей весь класс, одновременно работая,
в то же время и повторяет материал); воз-
можность точного сравнения продвижения
каждого учащегося в овладении материалом
в течение всего года; возможность точного изу
чения распределения успеваемости в классе.

2. Испытания, не повышая уровня знаний
для середины класса, благоприятно отзыва-
ются на его краях, повышая успеваемость как
отстающих, так и выдающихся учащихся.

3. Решения измерителей, применяемых
в массовом масштабе, могут служить косвен-
ной проверкой содержания программы; в дан-
ном случае применение измерителей позволило
сделать выводы относительно доступности
программы IX класса лишь в наиболее резких
случаях. Эти выводы сводятся к следующему:
программа, несомненно, перегружена; вслед-
ствие перегрузки у учащихся нехгатает вре-
мени глубоко и сознательно усвоить материал.
Ряд вопросов (указанных выше) безусловно
сомнителен в отношении необходимости вне-
сения нх в программу девятою года; ста-
бильный учебник далеко не всегда помогает
учащимся овладевать материалом*.

КАК ПОКАЗАТЬ „ПАРАДОКС ПАСКАЛЯ11

Д. ГАЛАНИН (Москва)

Независимость давления на дно от формы
сосуда обычно показывают при помощи при-
бора Паскаля, причем этот опыт „редко
>дается“. Наши производящие организации
почему-то очень любят эют прибор и про-
изводят его в весьма большом количестве.
Однако его педагогическая ценность довольно
сомнительна, особенно в том варианте, кото-
рый вместо свободно отпадающего дна снаб-
жен дном из резиновой перепонки. В этом
случае давление жидкости распространяется
неизвестно на что, так как перепонка имеет
разную площадь, в зависимости от произво-
дпм< го на нее давления. В существующей
конструкции, к тому же, перепонки не видно;
не видно и механизма из пружинки, созда-
ющего силу противодавления, уравновеши-
вающую давление ьоды. В этом, как и во мно-
гих других случаях, оригинальный прибор,
созданный Паскалем, проверявшим свой пара-

докс на опыте, подвергся „промышленной эво-
люции" и потерял все те черты, которые его
делали столь ценным в руках его изобре-
тателя, Напомним, что описанием этого опыта
начинается знаменитый „Трактат о равновесии
жидкости" Паскаля, изданный в 1663 г. * **
„Если прикрепить к стене несколько сосу-
дов, один такой, как на фигуре первой,
другой—наклонный, как на второй, затем
белее широкий, как па третьей, потом узкий,
как на четвертой, затем такой, который пред-
ставляет собою не что иное, как узкую трубку,

«Выводы автора ь отношении программы, под-
крепленные изучением опыта массовой школы,
легли в основу исправления программы IX класса,
Наркомпросом в 1934 г. — Ред.

** „Классики естествознания*. Начала гидроста-
тики. Архимед, Стэвин, Галилей, Паскаль, пер.
Н. Гол го в я, Технико-теоретич. изд., У. 1933 г.,
< тр. 365.
примыкающую внизу к широкому, но не
имеющему почти высоты сосуду, как на фи-
гуре пятой, — наполнить их все водой до
одинаковой высоты, сделать у всех внизу
одинаковые отверстия, каковые закрыть проб-
ками, чтобы удержать воду, то опыт покажет,
что нужна одинаковая сила для того, чтобы
воспрепятствовать этим пробкам выпасть, хотя
вода в этих различных сосудах находится
в весьма различных количествах. Происходит
это потому, что вода имеет отинаковую вы-
соту во всех сосудах, и мерой указанной
силы является вес воды, содержащейся в пер-
вом сосуде, однородном по своей форме.
И если это количество веды весит сто фунтов,
то нужна сила в сто фунтов, чтобы удержать
каждую из пробок, даже и у пятого сосуда,
хотя вода, заключенная в ней, не весит и
одной унции (черт. 1).

Черт. 1.

—^Чтобы проверить это точно, надо закрыть
отверстие пятого сосуда круглым куском
дерева, обернутым прядью, как поршень насо-
са, каковой кусок должен входить в отвер-
стие и проходить через него с такой точно-
стью, чтобы не застревать и в то же время
препятствовать выходу воды; затем прикре-
пить к середине этого поршня нитку, которая
проходила бы через эту тонкую трубку, при-
вязать ее к одному плечу коромысла весов,
а на другое плечо повесить груз в сто фун-
тов; тогда мы увидим полное равновесие этого
груза в сто фунтов с водой в тонкой трубке,
каковая вода весит одну унцию; если же
хоть немного уменьшить груз в сто фунтов,
то вес воды опустит поршень, а следовательно,
и то плечо коромысла весов, к которому он
прикреплен, и поднимет то, на котором в.чсит
груз немного менее ста фунтов. Если эта
вода замерзнет, а лед не пристынет к сосуду,
то, чтобы удержать его в равновесии, доста-
точно будет иметь на другом плече коромысла
весов всего лишь одну унцию; если же при-
близить к сосуду огонь и растопить лед, то
понадобятся уже сто фунтов, чтобы уравно-
весить тяжесть этого льда, расплавленного
102

в воду, хотя мы располагаем всего только
одной унцией ее".

Упоминание о ста фунтах, очевидно, не
случайно, а на самом деле сосуды у Паскаля
были очень большие, так что тре 'не поршня
в цилиндрической части дна было незаметно,
так как оно ведь не возрастает с размером
сосуда, а остается более или менее посто-
янным. Мы умышленно привели эту длинную
выписку, чтобы показать, насколько точно
в описании указаны все условия опыта.

В одном очень старом физическом каби-
нете мне пришлось однажды видеть очень
древний прибор для опыта Паскаля, необы-
чайной величины, так что в сосуд входило
едва ли не ведро воды. Давление получалось
в несколько килограммов, и трением, конечно,

можно было вполне пренебречь. Ряд посте-
пенных переделок исказил оригинальный
прибор и, конечно, значительно уменьшил
его демонстративность и убедительность ори-
гинального опыта.

Конечно, вряд ли можно особенно наста-
ивать на возвращении к прежним большим
размерам в этом приборе, однако надо ука-
зать, что вода — продукт недорогой, а при
большом размере можно сделать сосуды из
жести и наливать их полными.

Наиболее наивное искажение прибор Пас-
каля претерпел в том варианте, когда твер-
дое дно сосуда заменяется жтким дном из
ртути (черт. 2 — Трындин, 2107). В этом
случа» прибор показывает уже совсем другое
явление, так как у Паскаля идет речь о дав-
лении жидкости на твердое тело, а не
на другую жидкость

Наиболее правильно и ближе всего к ори-
гинальному прибору Паскаля сконструиро-
ваны приборы Паскаля Гортлем (черт. 3,
Черт. 3.

Трындин, 2103) и Гримзелем (черт. 4, Грим-
зель, т. I, стр. 371, рис. 314). Здесь мы
имеем твердое дно, двигающееся в цилин-
дрической части сосуда, укрепленное на весах.

Чеот 4.

Особенно интересна конструкция Гримзеля,
в которой давление измеряется и абсолютно
в граммах.

Чтобы создать движение дна без трения,
сделано следующее, очень остроумное при-
способление. Дно представляет собой эбо-
нитовый цилиндрик, свободно, с зазором

Черт. 5.

около 0,5— 1 мм, входящий в цилиндр,, сое-
диненный с подставкой. Края цилиндра вы-
точены, как показано на чертеже 5, в виде
канавки. В эту канавку наливается ртуть,
которая, благодаря своему большому поверх-
ностному натяжению, не проходит в щель
и препятствует проникновению воды. В то
же время трение при движении дна почти
исключено. Высота столба отсчитывается по
линейке, прикрепленной к дну и проходящей
внутри сосудов. В таком виде размеры при-
бора могут быть уменьшены до обычных.

Прибор Гримзеля требует тщательного
изготовления и вряд ли скоро появится в
школе. Наоборот, приборы неудачных кон-
струкций в школе далеко не редки, а иногда
имеются даже в нескольких экземплярах, по-
этому хотелось бы найти
пути к более рациональ- , П1

ному использованию этой \

аппаратуры. ' |

Сосуды разной формы
очень легко использовать । (

для опыта, если и не в П ' I

точности воспроизводя-
щего опыт Паскаля, то —--------— — —-^5

достаточно ясно показы-
вающего то же явление. :

Последовательность ря-

да опытов, касающихся :

давления тяжелой жид- ~ ~

кости, в этом случае бу- г— и----—==1.

дет следующая.

Сначала показывают Черт. 6.
разными способами уве-
личение давления с глубиной. Это можно
сделать на высоком сосуде с отверстиями
или при помощи воронки, закрытой перепон-
кой и соединенной с манометром из изог-
нутой стеклянной трубки.

После этого показывают известный опыт —
„Давление жидкости снизу вверх"—на ци
линдрической трубке с отпадающим дном,
погруженной в сосуд с водой.

Очень важно при этом показать, что дно
очень сильно прижимается к трубке, и необ-
ходима значительная сила, чтобы это дно
отодвинуть. Для этого пробуют отодвинуть
дно палочкой, опущенной внутрь трубки.
Наверху палочку снабжают тарелочкой для
гирь (черт. 6). После того как дно оторвано
гирями, проделывают опыт снова, наливая
внутрь трубки подкрашенной воды. Если
пластинка сделана из целлулоида или фибра,
с удельным весом около единиц j, то опыт
выходит очень чисто, и пластинка отвали-
вается только тогда, когда уровень жидкости
. в наружном сосуде и в трубке сравняется.
Этим известным и весьма ценным опытом
с необычайной простотой и убедительностью
подтверждается положение, что давление жид

кости равно площади, помноженной на вы-
соту и удельный вес жидкости.

Когда это усвоено, показывают тот же
опыт с сосудом, расширяющимся вверх, а
затем с сосудом суживающимся. Проделываем
опыт и с палочкой и с водой (черт. 7 и 8).

не менее убедительного, чем оригинальный
опыт Паскаля.

Очень интересно показать расширяющийся
сосуд, закрытый пластинкой сверху. Для этого
надо иметь большую пластинку из куска ма-

тового стекла и большой сосуд, в который
входила бы верхняя часть расширяющегося
кверху сосуда.

Кроме того укажем с коническим сосудом
еще один опыт.

Сосуд ставится нижним дном на матовую
стеклянную пластинку и в него наливается
вода.

Сосуд крепко стоит (черт. 9)

Черт. 10.

Черт. 8.

Давление снаружи остается, очевидно, по-
стоянным, так как площадь дна одна и та же
во всех сосудах. Давление же изнутри, ка-
залось, должно быть различно в расширяю-
щемся и в суживающемся сосудах (в этом и
есть “парадокс Паскаля"); однако опыт пока-
зывает противоположное.

Таким приемом можно использовать сосуды
от прибора для закона Паскаля для опыта,

Сосуд переворачивается и ставится на
пластинку широким отверстием. Пластин-
ку прижимают крепко руками к Сосуду,
сосуд наполняют водой и опускают ру-
ки: сосуд подпрыгивает, и вода наливается
(рис. 10).

Из этих опытов становится ясным состав-
ляющая веса воды, прижимающая сосуд к пла-
стинке (в первом случае) и отталкивающая
его вверх (во втором случае;.
НЕСКОЛЬКО ПРИБОРОВ ПО ФИЗИКЕ.

В. СИРОЧИНСКИЙ (Минск)

Научно-исследовательский институт комму-
нистического воспитания в Белоруссии в прош-
лом году открыл у себя физический каби-
нет, который должен был заняться вопросом
о методической ценности существующих у
нас в продаже физических приборов, их ре-
конструкции и, при возможности, построения
новых оригинальных приборов, выработанных
опытом советской школы, средней и высшей.

Ниже помещается описание оригинальных
и полуоригинальных физических приборов,
сконструированных и сделанных в институте.

Черт. 1

1. Прибор для разложения и сло-
жения движений, скоростей и во-
обще разного рода векторных ве-
личин не только по правилу парал-
лелограма, но и по правилу парал-
лелепипеда.

Сложение и разложение производятся весь-
ма просто и в высшей степени наглядно.

В этом приборе использована идея фаб-
ричного мостового крана, состоящего, как
известно, из „моста", катящегося по рельсам,
тележки, катящейся вдоль моста, и лебедки,
подымающей груз вверх. При помощи мо-
стового крана, как известно, можно переме-
щать груз из одного пункта завода в какой
угодно другой (в пределах, разумеется, путей
крана), так как мостовой кран может совер-
шать движения по трем координатным осям:
два движения в горизонтальной плоскости
и одно — в вертикальной.

Наш прибор (черт. 1) состоит из деревян-
ного каркаса, верхние перекладины которого
АВ и CD служат рельсами (деревянными)
для передвижения большой тележки („соб-
ственно моста") на металлических колесиках.

По этой большой тележке передвигается
меньшая тележка, тоже на металлических ко-
лесиках. При помощи крепкой нитки (или
шпагата) меньшая тележка прикрепляется к
пункту Е каркаса. Эта нитка проходит через
кольцо g. Вторая нитка связывает меньшую
тележку с грузом Р. Таким образом, не-
трудно сообразить, что когда передвигается
"блыпая тележка, то будет одновременно пе-
редвигаться и меньшая тележка, подымая груз
Р. При обратном движении большей тележки
будет также обратно двигаться и меньшая
тележка под действием груза Р. Вставивши
в меньшую тележку воронку с песком, мы
на площадке (на рисунке не обозначена) за-
пишем диагональ параллелограма, построен-
ного на двух одновременных передвижениях.
Наблюдая сбоку движение подымающегося и
опускающегося груза Р, мы видим, что и он
движется по диагонали параллелограма, по-
строенного на двух перемещениях в верти-
кальной плоскости.

Совсем просто можно получить сложение
движений по трем координатным осям (диа-
гональ параллелепипеда). Для этого неболь-
шой груз т подвешивается к нитке, пропу-
щенной через отверстие в меньшей тележке
(то самое, в которое вставлялась воронка) и
закрепленной на гвоздике Ь. Когда движутся
большая и меньшая тележки, то подымается
и грузик т, участвуя, таким образом, в трех
движениях одновременно. При обратном дви-
жении тележек груз опускается, также уча-
ствуя одновременно в трех движениях. В ре-
зультате ясно видно, что । рузик движется
по диагонали каркаса нашего прибора.

Подвесив к большей тележке маятник на
двух нитках, мы можем получить синусоиду
в результате двух движений: поступатель-
ного — тележки и колебательного — маятника.
Фиксируется эта синусоида при помощи во-
ронки с песком, вставченной в подвес маят-
ника.

Освободив тележки от ниток и придавая
какую угодно скорость каждой тележке в
отдельности, мы можем наблюдать самые
разнообразные случаи сложения и разложения
векторов. Например, желательно показать,
как получается индикаторная диаграмма в
результате сложения двух дзижений каран-
даша индикатора паровой машины.

Для этого в меньшую тележку вставляем
воронку с песком. Чтобы песок не сыпался
без надобности, мы в воронку вставляем стер-
женек, закрывающий узкое отверстие ворон-
ки. Его легко вынуть. Затем, двигая боль-
шую тележку, подобно поршню паровой ма-
шины (сначала постепенно ускоряющимся дви-
жением, в конце — постепенно замедляющим-
ся), а малую тележку — подобно изменению
объема парового цилиндра, мы из песка
получаем фигуру, похожую на индикаторную
диаграмму. Опыт можно производить вдвоем.

Черт. 2.

Нам кажется, что вопрос сложения и раз-
ложения векторных величин, направленных
по двум и трем осям, нами разрешен более
удовлетворительно, чем в существующих в
настоящее время для этого школьных при-
борах.

2. Прибор для демонстрации за-
конов равно мерн о-ус коренного и
рав н о за м е дл е н н о г о движения тел,
автоматически записывающий ве-
личину путей, пройденных в оди-
наковые промежутки времени.

На универсальной подставке (описана бу-
дет ниже) подвешивается диск Максвелла
на нитках, длиною около 1,5 м (черт. 2)
Если на ось диска Максвелла навертеть акку-
ратно нитки, на которых он подвешен, а
потом диск выпустить из рук, то он, рас-
106

кручиваясь, начинает „падать" вниз, посте-
пенно ускоряя свое движение. Дойдя до кон-
ца ниток и продолжая вращаться по инерции,
диск подымается вверх, постепенно замедляя
свое движение. В этом виде прибор всем
известен. Мы к нему сделали следующее
добавление: сбоку подвесили маятник, дли-
ною тоже около 1,5 м (чечевица маятника
может подыматься и опускаться). На ось диска
надеваем кисточку, смоченную каким-либо
цветным раствором. Подвешенный сбоку маят-
ник приспособлен так, что кисточка касается
его стержня и может оставлять на нем следы.
Подымаем диск Максвелла до самого верха,
накрутив всю нитку на его ось. Маятник,
подвешенный сбоку, отведем в сторону. Вы-
пустив из рук диск Максвелла и пустивши
в ход маятник, мы увидим, что кисточка
оставляет следы на стержне маятника через
промежутки времени, равные полупериоду
полного колебания маятника. Маятник не-
трудно, разумеется, отрегулировать так, чтобы
этот промежуток времени равнялся, если угод-
но, одной секунде.

Если желательно продемонстрировать за-
медленное движение, то, приведя в движе-
ние диск Максвелла и дождавшись, когда он
дойдет до самого низу, — пустим в ход бо-
ковой маятник. Кисточка будет наносить следы
на стержень маятника при поднятии диска
вверх. Величины путей, пройденные в оди-
наковые промежутки времени, теперь будут
постепенно уменьшаться. Чтобы повторить
опыт несколько раз, кисточку следует сма-
чивать растворами разной окраски, например
раствором марганцевокислого кали, двухро-
мокислого кали, медного купороса, флюо-
ресцина и др.

Сравнивая пути, пройденные в одинаковые
промежутки времени при движении диска
вниз, мы увидим, что это движение не пред-
ставляет собою в точности равномерно-уско-
ренного движения. Однако, если придать дис-
ку удобообтекаемую форму, сглажи-
вая острые края диска, то движение его в
значительно ббльшей мере приблизится к
равномерно-ускоренному движению. Еще боль-
шего приближения к законам равноускорен-
ного движения мы достигнем, взявши неболь-
шой металлический диск с хорошо центри-
рованной осью и закругленными краями.
Поднятие диска вверх очень близко подхо-
дит к равномерно-замедленному движению.

Имея в своем распоряжении нескол1ко
дисков—деревянных и металлических— с ост-
рыми и закругленными краями с лопатками,
мы без труда демонстрируем влияние трения
воздуха на ускорение движущихся в нем тел.
Этот прибор дает возможность продемон
стрировать еще следующие явления:

а) Закон затухания колебаний.
Диск Максвелла с каждым разом подымается
на все меньшую и меньшую высоту. Будем
отмечать высоты поднятия диска. Взяв отно-
шение двух последовательных высот, мы уви-
дим, что это отношение сохраняется и для
всех других пар высот, непосредственно еле-,
дующих одна за другою.

Ь) Уменьшение давления на пло-
щадку падающим грузом. На верхнюю
площадку универсальной подставки (рис. 3)
ставим весы Беранже. На одну чашку этих

весов кладем перекладину, к которой под-
вешен диск Максвелла, и уравновешиваем
весы, кладя на другую чашку соответствующий
груз или разновес. Накручивая нитку, поды-
мем диск Максьелла до чашки весов, а потом
выпускаем его из рук. Диск станет падать
вниз. Весы совершенно ясно показывают
„уменьшение веса" падающего тела, т. е.,
правильнее говоря, давления на чашку весов.
Это уменьшение сохраняется даже и тог-
да, когда диск начинает подыматься
вверх! Опыт производит сильное впечат-
ление на вдумчивого ученика или студента.
Описание этого опыта имеется у Поля, но в
очень сложной установке (Р. Поль, „Введе-
ние в механику и акустику") Нетрудно рас-
считать и объяснить уменьшение давления

падающего груза на связанную с ним пло-
щадку.

Возьмем числовые данные, относящиеся к
нашему прибору. Вес диска в нашем при-
боре равен 575 г. Длина ниток 140 см.
Время падения — около 5 сек.

Высчитаем ускорение по формуле

25 280 .. , „

а = -^= 25 =11 см/сек2

Скорость в конце 5-й секунды v = 55 см/сек.

Значит, уменьшение веса будет равняться
575.11 6300 дин = 6,3 г.

с) Определить величину удара или импуль-
са в момент, когда диск меняет свое на-
правление. Как известно, в этот момент чаш-
ка весов, к которой подвешен диск, должна
получить толчок, равный 2 mv. Время „удара"
можно определить- —в нашем приборе оно рав-
няется 0,2 сек*. Значит, импульс будет рав-
няться 2 mv—jt, и на чашку весов надо

„ 2пти

положить дополнительно j — -> чтобы вос-

становить равновесие весов во время толчка.
Опыт прекрасно подверждает правильность

/ 1150-55 ооллл

наших расчетов (/=—— =«= 32 000 дин =
== 33 г). Когда в кинетической теории га-
зов приходится определять величину удара,
полученного стенкой от одной молекулы, и
писать, что mv — (—mv) — 2mv, то всякий раз
чувствуется необходимость как-нибудь кон-
кретно подвердить этот расчет. Наш прибор
позволяет осуществить количественную и на-
глядную поверку теоретических расчетов уп-
ругого удара молекулы о стенку.

3. Наклонная плоскость с авто-
матической записью путей, прой-
денных в равные промежутки вре-
мени катящимся телом.

К универсальной подставке прикрепляется
наклонная плоскость (черт. 4) при помощи
скобы и болтов, как показано на чертеже, под
желательным углом. К этой же наклонной пло-
скости приспособлен маятник с линейкой на
шарнире, устанавливаемой параллельно на-
клонной плоскости. На наклонную плоскость
кладется цилиндр, на ось которого насажи-
вается кисточка, смоченная в ка-
ком-нибудь красящем растворе(см.

* Время удара (импульса) мы определили так:
к маятнику внизу, на уровне оси лиска в са-ом
низком его положении, мы наклеили кусок бу-
маги, длиною равный (приблизительно) амплитуде
качания маятника. Кисточка на оси диска в мо-
мент улара оставляет на бумаге прямую линию.
Сравнивая ,е с длиною амплитуды, можно высчи-
тать время удара.
выше). I (илиндр удерживается на особой под-
вижной площадке. Она на рисунке не видна.
Пускаем в ход маятник, нажимаем площадку.
Освобожденный цилиндр приходит в равно-
ускоренное движение и кисточкой на линейке
L отмечает отрезки пути, пройденные им в
равные промежутки времени.

Как видим, один и другой приборы весьма
наглядно и удобно дают возможность в лек-
ционной обстановке продемонстрировать за-
коны равноускоренного движения, не затра-
чивая на это много времени.

4. Рычаги и рама для опытов по
механике (черт. 5).

Несмотря на свою исключительную простоту
и доступность, опыты с рычагами проходят

в школах крайне неудовлетворительно, на-
сколько можно судить по испытаниям при
поступлении в вузы. Не изучается и десятая
доля того, что можно и следует изучать на
этом простим и весьма важном приборе. Ви-
ною отчасти служит то обстоятельство, что
в продаже и вообще в школьной практике
отсутствуют образцы приборов, на которых
можно было бы показать всю сумму явле-
ний, так или иначе связанных с рычагом.

Для опытов с рычагами нами построена
обыкновенная рама, хорошо известная физи-
кам. Для закрепления подставок и блоков
мы использовали так- называемые „лисицы**.
„Лисицами“ плотники зовут закрепления при
помощи скобы и клиньев. „Лисицы** дают
возможность закреплять разного рода при-
способления в какой угодно точке рамы. На
других особенностях рамы мы здесь не остана-
вливаемся. Рычагов следует сделать несколько,
108

разных форм (прямые, кривые, ломаные и
т. д.) с точками приложения сил на одной
прямой с осью вращения рычага, а также выше
и ниже этой оси. Ось вращения одних ры-
чагов может быть (приблизительно) в центре
тяжести, а других — несколько выше или ниже
его. Разумеется, демонстрировать все рычаги
сразу нецелесообразно да и ненужно. Но в
школе они должны быть для решения раз-
ных вопросов и задач, совершенно неизбеж-
ных при хорошо оборудованном изучении
физики. Ведь свойство весов — этого важней-
шего прибора физики — всецело связано со
свойствами и законами рычага.

Один из рычагов следует построить так,
чтобы его легко можно было превратить в
коромысло хороших и достаточно чувстви-
тельных школьных весов.

Главную роль во всех наших опытах играет
рычаг без гвоздей. Это — обыкновенный
прямоугольный стержень, деревянный, с но-
жом, острие которого проходит несколько
выше центра тяжести. Против острия, с ниж-
ней стороны рычага, прикреплена длинная
стрелка с насадкой, перемещающейся на
стрелке с некоторым трением. Насадок долж-
но быть несколько, разного веса. Подшип-
ником для оси служат две свальные пластинки,
прикрепленные к особого вида держалке
(черт. 5). Держалка при помощи „лисиц**
закрепляется на любой высоте рамы. К раме
же, при помощи тех же „лисиц**, прикрепля-
ется и шкала, с условными делениями против
стрелки рычага.

Вместо гвоздей мы пользуемся подвесками
(черт. 5—а,Ь), свободно перемещающимися по
рычагу. Для управления центром тяжести у
нас имеется длинная стрелка с перемещаю-
щейся по ней насадкой.

На таком рычаге очень удобно проверяет-
ся все законы рычага при помощи неболь-
ших грузиков, например монет, положенных
прямо на плечи рычага. Если имеются грузы
с крючками, то их легко прицепить к под-
вескам, о которых сказано выше. Для ком-
пенсации моментов вращения самих подвес-
ков берутся еще два подвеска и без грузов
размещаются соответственно на плечах ры-
чага.

Для превращения такого рычага в коро-
мысло весов и исследования его в этой роли
достаточно к подвескам прицепить чашки ве-
сов (черт. 6). Очень хорошо для этой цели
иметь готовые роговые чашки. Тогда не толь-
ко по существу, но и по внешнему виду
рычаг с подвешенными к нему роговыми чаш-
ками производит впечатление „настоящих ве-
сов".
Такие весы, аккуратно сделанные, годятся
для всех школьных опытсв по физике, вклю-
чая сюда и взвешивание газов. Колба в 500

см3 при повышении температуры
на 100° (приблизительно) показы-
вает уменьшение веса весьма за-
метно. Бумажный цилиндр, подве-
шенный вверх дном к коромыслу
наших весов, отчетливо показы-
вает подъемную силу нагретого
воздуха, если снизу поднести заж-
женную спичку. Правда, в начале
этого опыта играет роль и конвек-
ционный ток, но по прошествии
нескольких секунд, когда уста-
навливается стационарный режим,
ясно наблюдается уменьшение ве-
са вследствие ушедшего при нагре-
вании воздуха.

Рычаг без гвоздей весьма удо-
бен и как рычаг и как коромысло
весов. Однако могут указать на
один существенный недостаток та-
кого рычага, особенно когда он
служит коромыслом весов: ось вра-
щения рычага или коромысла нахо-
дится не на одной прямой с точка-
ми опоры подвесков. Точки опоры

подвесков лежат выше оси вращения рычага
Формула чувствительности весов для этого
случая может быть записана в таком виде:

1 ОН

U~-2K-OF-\-G-OE

Черт. 6.

где U—перегрузок, OF—плечо общей на-
грузки, ОН —«плечо перегрузка, ОЕ — плечо
коромысла, в 2 К— общая нагрузка и G— вес
коромысла.

Из этого уравнения видно, что в нашем
рычаге с увеличением общей нагрузки чув-

ствительность весов увеличивается. Знак ми-
нус при 2К-ОРкак раз относится к
тому случаю, когда „точки" опоры под-

Черт. 5.

весков лежат выше оси вращения рычага
или коромысла весов.

Предел общей нагрузки находится посред-
ством сравнения момента общей нагрузки с
моментом общего веса коромысла, стрелки
и насадки. Очевидно, общая нагрузка не мо-
жет быть очень велика, но во всяком случае
она достаточна для большинства опытов с
весами в школе. Конечно, коромысло лшко
передвигать так, чтобы точки опоры подвес-
ков лежали на одной линии с осью враще-
ния его. Весы, устроенные посредством ры-
чага, повышают интерес к законам рычага,
показывают многообразие его особенностей,
несмотря на простоту устройства; показы-
вают, как используются законы физики в
технике, в данном случае — технике весов.

5. Тепловой гальванометр (черт. 7).

Тот же рычаг с длинной стрелкой можно
использовать для демонстрации удлинения про-
волоки при нагревании ее электрическим то-
ком. Ясно, что в данном случае рычаг будет
играть роль „увеличителя" перемещений.

На раме для опытов по механике (а еще
лучше на отдельной раме, построенной спе-
циально для тег лового гальванометра) натяги-
ваетсятонкаяпроволокаот неподвижного крюч-
ка А через два блока (черт. 7) к неподвиж-
ному крючку В. К средней точке послед-
не. о звена натянутой проволоки прякрепляет-
ся нитка, другой конец которой наматы-
вается на колышек в нижней перекладинке
рамы. Колышек этот может вращаться и, та-
ким образом, натягивать в большей или мень-
шей степени нить. К средней точке этой

приборов. Самым простым прибором, по на-
шему мнению, явлется прибор, описанный в
физике Поля („Введение в электричество").
Однако в том виде, как этот прибор описан
у Поля, он (т. е. прибор) дает очень мало.

Черт. 7.

нити прикрепляется вторая нить; она перебра-
сывается че.'ез блок и привязывается к ко-
роткому плечу нашего рычага с длинной стрел-
кой и шкалой под ней. Длинный конец
рычага, а также длинная стрелка будут от-
13 увеличенное удлинение
проволоки от нагревания
ее током. Большое увели-
чение дают еще и про-
гибы ниток, если они вна-
чале были близки к 180°.

Построенный таким об-
разом тепловой гальвано-
метр удобен для демон-
страции устройства теп-
ловых гальванометров
вообще. Кроме того он
может служить превос-
ходным прибором для
практических работ по
градуировке тепловых ам-
перметров и вольтметров.
Перегоревшая проволс ка
легко восстанавливается.

6. Методом стрелки и
натянутых нитей мы вос-
пользовались также для

демонстрации деформации растяжения и про-
гиба, как видно из чертежей 8 и 9.

7. Прибор длядемонстрации сло-
жения и разложения колебатель-
ных движений (черт. 10).

Сложение колебательных движений демон-
стрируется целым рядом простых и сложных
110

потому что приводится в движение неопре-
деленными толчками руки.

В чашей конструкции этот прибор вместе
с чрезвычайной простотой отличается, мы ска-
зали бы, полной демонстративной убедитель-
ностью

Черт. 10.

К подставке из куска толстой доски при-
крепляется сбоку планка А. К доске и план-
ке прикрепляются две ножовки, на концах
которых находятся квадратные фанерные до-
щечки с прорезами. Одна дощечка колеблет-
ся в вертикальном, а дру1ая—в горизон-
тальном направлении. Первая имеет горизон-
тальный прорез, а вторая — вертикальный.
В состоянии равновесия прорезы пересекают-
ся в средних точках.

При помощи проволок колеблю-
щиеся дощечки соединяются с ко-
ленчатым валом, сделанным из толстой
проволоки. На валу имеются три колена,
расположенные под углом в 90° и 180° друг
к другу.

Если дощечки, соединенные с коленами
под углом в 90°, привести в движение при по-
мощи вращения коленчатого вала, то свето-
вой пучок, проходя через перемещающийся
пункт пересечения двух щелей (прорезов),
даст на экране правильную окружность при
равенстве колен. Вращение светлого пятьа
на экране может быть правое или левое, в
зависимости от последовательности горизон-
тального и вертикального колебаний.

Если обе проволоки фанерных дощечек бу-
дут присоединены к одному и тому же ко-
лену, то результирующее колебание будет
прямолинейное, направленное по диагонали
параллелограма двух основных колебаний. Точ-
но так же получим диагональ параллелограма,
соединив дощечки с коленами под углом 180°;
только теперь диаганаль будет соединять две
другие точки параллелограма.

Коленчатый вал дает наглядное представ-
ление о сдвиге фаз на 9С°, или четверть пе-
риода, о противоположных фазах, об одно-
именных фазах и о влиянии сдвига фаз на
форму результирующей двух исследуемых ко-
лебаний. Теперь перейдем к описанию неко-
торых наших приборов по оптике.

8. Обыкновенный проекционный фонарь,
приспособленный только для проекции диа-
позитивов, нетрудно перестроить так, чтобы
он годился и для горизонтальной и вертика-
льной проекции разных опытов (кристалли-
зации, поверхностного натяжения, капилляр-
ных явлений, магнитного и электростатиче-
ского поля и т. д.).

Для этого мы снимаем объектив с держа-
телем, а вместо этого делаем рамку длиною
около 0,5 м, по которой может двигаться на
салазках „объективная” доска, т. е. доска
с вырезом для вставления объектива. Рамка
для диапозитивов снимается. Таким образом,
между конденсатором и объективом можно
ставить плоскопараллельную ванну, электро-
скоп и другие приборы для вертикальной про-
екции ( ерт. 11).

Для проекции горизонтальных предметов
нами построен черный деревянный ящик, вну-
три которого, вставляется зеркало под углом
в 45°. К этому же ящику прикреплен метал-
лический стержень, по которому может сколь-

зить „объективная” доска (т. е. доска с про-
резом для объектива, черт. 12). Для поворота
изображений в вертикальную плоскость й»
„объективной” доске имеется поворачивающе-

Черт. И.

еся зеркало. Поставив это зеркало под уг-
лом в 45°, мы повернем изображение в вер-
тикальную плоскость. Слегка меняя угол, мы
можем повысить или понизить изображение.
Для проекции горизонтальных предметов кон-

Черг. 12.

денсатор разбирается; одна полсвина его ос-
тавляется на месте (плоской стороной к источ-
нику света), а другая половина вставляется
в вырез ящика плоской стороной вверх. Прое-
цируемые приборы ставятся или прямо на
конденсор или лучше на стеклянную пластин-
ку, положенную на конденсор.

Несмотря на то, что построенные нами при-
способления для горизонтальной и вертикаль-
ной проекции давно известны и представляют
собою весьма ценное добавление к проекци-
онному фонарю и легко могут быть сделаны
в любой школе, однако же ни в продаже, ни
в школах их не имеется.

9. Для проекционного фонаря и других
подвижных установок нами сконструирована
универсальная подставка. Она состоит из до-
вольно тяжелой подставки, к которой при-

Черт. 13.

крепляется рама около 2 м высотою. На этой
раме движется вверх и вниз площадка с на-
угольниками снизу для большей устойчивости.
При помощи особого рода скобок (черт. 13)
площадка может быть закреплена очень проч-
но на любой высоте рамы

Ю.Доскадля демонстрации отра-
жения, преломления н разложения
света.

Имеется целый ряд простых приборов для
демонстрации преломления, отражения и раз-
ложения света, например шайба Гартля, при-
бор Розенберга, оптические скамьи разных
систем и т. д. Наше приспособление для
этих явлений, пожалуй, будет и проще и на-
гляднее. А главное, при помощи его опыты
демонстрируются в таком масштабе, что видны
со всех сторон в большом классе. В качестве
источника света может с успехом служить ке-
росиновая лампа с плоским фитилем.

Наш прибор представляет собою фанерную
доску (черт. 14), размером околе 1 кп. м.
На доску накл ен лист ваттманской белой
бумаги, ниже которого в доске делается пря-
моугольный вырез (10X5). Против выреза
привинчивается зачерненная подставка, во-
первых, для зеркала, поставленного под углом
в 45° и закрытого с боков, и, во-вторых, для
черной пластинки с пятью щелями для про-
пускания света, лежащей горизонтально на
подставке. Другая небольшая жестяная пла-
стинка служит для закрывания и открывания
отверстий. С противоположной стороны, про-
тив выреза, ставится керосиновая лампа реб-
ром фитиля против щелей.

Черт. 14.

Чтобы лист бумаги на фанерной лоске пред-
с.авлял ровную плоскую поверхность, его
наклеивают так: кладут бумагу на стол, сма-
чивают водой за исключением краев шириною
в 2—3 см, смазываемых столярным клеем.
Бумага смоченной стороной прикладывается
к доске и закрепляется по краям кнопками.
Когда бумага высохнет, она туго натянется
на доске и даст достаточно плоскую поверх-
ность. После этого кнопки можно вынуть.

Для демонстрации отражения света весьма
полезно иметь тонкую стальную никелирован-
ную линейку. Ей легко придавать любую
кривизну. Пропустив один тонкий пучок света
так, чтобы он заметно скользил по наклеен-
ной бумаге, и приставив линейку перпенди-
кулярно к ней, мы увидим отражение этого
пучка света. Прикладывая транспортир, легко
проверяем законы отражения света. Весьма
важно показать, что при отражении несколь-
ких пучков света от плоского зеркала со-
храняется чх относительное поло-
жение, т. е., если лучи до отражения были,
например, параллельны друг к другу, то и
после отражения они сохранят то же самое
взаимное положение.

Приняв несколько лучей на вогнутую ли-
нейку, мы увидим их сходимость и пересе-
чение в некоторой точке. При помощи сталь-
ной и гибкой линейки легко показать зави-
симость фокусного расстояния от кривизны
зеркала.

Для преломления и разложения света необ-
ходим набор такого же стекла, как и для
шайбы Гартля.

11. Приборыдля интерференции
и поляризации света. Имея „реформи-
рованный" проекционный фонарь, нетрудно
поставит! ряд опытов по интерференции и
поляризации света при помощи приборов, ко-
торые ничего не стоит построить самому уча-
щемуся. Для демонстрации интерференции
света достаточно взять предметное стекло и
покровное стеклышко, вымыть их аккуратно
мылом и спиртом, а потом хорошенько про-
тереть и высушите. Приложив теперь покров-
ное стеклышко к предметному и слегка на-
жимая его, например спичкой, мы увидим
весьма отчетливо целый ряд радужных интер-
ференционных кривых. При изменении на-
жима кривизна интерференционных полос
также меняется.

Чтобы показать это явление всей аудито-
рии, мы можем воспользоваться нашим при-
способлением для горизонтальной проекции:
зеркало в черном ящике прикрываем черной
бумагой или фанерой и кладем на нее наш
прибор для интерференции. Он окажется под
углом в 45° к пучку света, выходящему из
фонаря. При надлежащем фокусировании мы
на потолке увидим красивую картину интер-
ференции света. Тут же следует показать и
изменение кривизны линий при нажиме на
покровное стеклышко каким нибудь стержнем.

Разумеется, при этой установке весьма
легко использовать светофильтры и показать
явление интерференции в монохроматическом
свете.

Как известно, явление поляризации можно
наблюдать при отражении и преломлении света.
Мы не будем здесь описывать всем извест-
ный поляризатор, сделанный из предмет-
ных стекол. Укажем разве только на очень
удобный способ их закрепления в картонной
четырехгранной коробке. Стопка чистых стек-
лянных пластинок, числом около 20, распола-
гается в коробке, как показано на чертеже 15,
и закрепляется двумя небольшими кусками
картона, которые приклеиваются и прикреп-
ляются проволокой к пунктам А и В. По
8 Математика и физика № 4.

закону Брюстера, тангенс угла поляризации
равняется показателю преломления. Значит,
для стекла угол поляризации будет равен
около 56°, и потому пластинки стекла должны
располагаться под углом около 34° к граням
коробки (черт. 15). Имея два таких поляри-

Черт. 15.

затора, можно показать при помощи проек-
ционного фонаря, все главнейшие школьные
опыты по поляризации света.

12. Прибордля демонстрации
звуковых колебаний.

Для демонстрации звуковых колебаний су-
ществует не много приборов, которые были
бы доступны по цене и простоте своего уст-
ройства для средней школы. Знаменитым фи-
зиком Лебедевым был предложен прибор,
довольно простой и наглядный, для демон-
страции звуковых колебаний, но почему-то он
не получил широкого распространения.

Мы построили прибор для демонстрации
звуковых колебаний по образцу прибора Ле-
бедева, но, значительно его упростив, сделали
более доступным нашей школе.

Прибор состоит из двух металлических
колец с внутренним диаметром не меньше
5 см. Между этими кольцами зажимается тон-
кий вощеный лист бумаги в качестве мем-
браны. Лебедев рекомендует в качестве мем-
браны брать пробковый листок. Но достать
или приготовить такой тонкий пробковый
листок не так-то легко.

Тонкая вощеная бумага в нашем приборе
давала вполне хорошие результаты. Бумага
берется вощеная, потому что обыкновенная
папиросная бумага при пении и разговоре
быстро пропитывается влагой и становится
негодной в качестве мембраны.

Чтобы тонкая вощеная мембрана прочно
держалась в кольцах, необходимо еще поло-
жить между кольцами картонные прокладки.

Само собою понятно, что когда мы будем
говорить или петь перед мембраной, она бу-
дет колебаться соответственно данному звуку.

Чтобы эти колебания сделать видимыми и
продемонстрировать их в большой аудитории,
мы к мембране прикрепляем маленькое лег-
кое зеркальце, сделанное из покровного
стеклышка. Зеркальце закрепляется при
помощи проволочной вилки и трех малень-
ких пробочек. На чертеже хорошо видна
вилка и три пробочки, в прорезах которых
держится зеркальце. На чертеже зеркальце
изображено Круглым. Две Пробочки а, b
надеваются на острия вилки, а третья пробочка
с („центральная") приклеивается к мембране.
Амплитуды колебания зеркальца так малы, что
разрезы пробок не мешают этим колебаниям.

С противоположной стороны к мембране,
а вернее к кольцам, прикрепляется неболь-
шой рупор.

Чтобы этот прибор можно было легко и
удобно устанавливать необходимым образом,
следует для него построить специальный шта-
тив, показанный на чертеже 16.

Черт. 16.

Для демонстрации звуковых кривых необ-
ходимы вращающееся зеркало и проекцион-
ный фонарь. Вся установка весьма облегча-
ется, если из фонаря брать тонкий пучок свега
при помощи диафрагмы с отверстием не
больше 1,5 мм. Хорошо при этом пользо-
ваться длиннофокусной линзой.

Если перед мембраной (через рупор) петь
какую-нибудь гласную и вращать при этом
зеркало, то на экране получается светлая кри-
вая, для каждого звука особая.

13. Демонстрационный гальвано-
метр. Весовой вольтметр и ампер-
метр.

Для демонстрации связи между током и
магнитом пользуются обычно гальваноскопом
с весьма маленькой стрелкой, так что опыт
выходит малоубедительным и плохо видимым
с далеких парт класса или аудитории.

Мы построили гальванометр с магнитной
стрелкой, длиною в 25 см, сделанной изобык-
114

новенной ножовки. Намагниченная посред-
ством натирания ножовка припаяна к оси (мож-
но взять иголку), вращающейся в стеклянных
гнездах, вставленных в стенки рамки. Сама
рамка, в пазах которой намотано около
150 витков изолированного провода (диамет-
ром 0,4 мм), может быть в подставке распо-
ложена и вертикально и горизонтально, что

Черт. 176.
весьма удобно при разнообразных опытах
с этим прибором. Чтобы регулировать чув-
ствительность гальванометра, мы насаживаем
на верхний конец магнитной стрелки обычную
проволочную канцелярскую скрепку. Ее можно
передвигать вверх и вниз, изменяя, таким об-
разом, центр тяжести стрелки и чувствитель-
ность гальванометра (рис. 17а и б).

При аккуратном выполнении прибор весьма
чувствителен и может служить с успехом
инклинатором и деклинатором, особенно бла-
годаря скрепке, дающей возможность в до-

Черт. 18.

вольно широких пределах регулировать центр
тяжести магнитной стрелки.

Несколько меньшие магнитные стрелки мы
употребили для приготовления весовых вольт-
метра и амперметра. Стрелки эти можно при-
готовить или из малых ножовок или, еще
лучше, из стальной часовой пружины.

Наш весовой вольтметр (черт. 18) построен
из рамки (приблизительно 25X6), в пазах
jоторой намотано около 100 витков изоли-
рованной проволоки, диаметром около 0,3 мм.
Магнитная стрелка из выпрямленной стальной

Часовой Пружины имеет в середине швейную
иглу в качестве осн, вставленную в стеклян-
ные гнезда (стеклянные трубочки, запаянные
с одной стороны и вставленные в деревянную
раму). Кроме того к магнитной стрелке при-
паян на уровне оси, перпендикулярно к
стрелке, небольшой стерженек, например ку-
сок пилки от лобзика. Рамка прикрепляется
к подставке с клеммами для ввода тока.

При пропускании тока стрелка отклонится
на некоторый угол. Чтобы стрелка опять
стала вертикально, необходимо на стерженек
повесить некоторый небольшой грузик в виде
проволочки (проволочная петелька). Переме-
щаем его на стерженьке до тех пор, пока
магнитная стрелка не станет вертикально.
Опыт показывает (а также и теория), что груз,
необходимый для приведения стрелки в пер-
воначальное („нулевое") положение, пропор-
ционален силе тока. Присоединяя этот галь-
ванометр параллельно цепи, мы будем иметь
достаточно точный вольтметр. Для амперметра
следует, конечно, взять гораздо меньше вит-
ков и включать его последовательно в цепь.

Весовые вольтметр и амперметр при своей
чрезвычайной простоте очень удобны при
первоначальном ознакомлении с измерениями
силы и напряжения тока, так как подходят
к измерениям тока с самой доступной
для учащихся стороны. Кроме того при-
бор не боится манипуляций в руках учащегося.

Для студента такой прибор представляет
собою недурную задачу: определить чувстви-
тельность прибора и точность измерений при
помощи его.

Для градуировки прибора может служить
уравнение:

q=CI,

где q — нагрузка, /— сила тока, а С— коэфп-
циеит пропорциональности или постоянная
прибора.
вопросы преподавания за границей

АМЕРИКАНСКАЯ МЕТОДИКА МАТЕМАТИКИ В ЕЕ БИБЛИОГРАФИИ

И. К А В У Н (Гос. падинститут им. Герцена)

В настоящей заметке мы пытаемся дать об-
зор литературы по методике математики в
США и наметить, насколько это возможно
для автора, не выезжавшего в эту страну,
основные тенденции этой литературы.

Настоящее математики в Америке связано с
тремя великими ее организациями: Амери-
канским математическим общест-
вом*, преследующим чисто научные цели;
Математической ассоциацией Аме-
рик и**, имеющей в виду главным образом пре-
подавание математики в высшей школе, и Н а-
циональным советом преподавате-
лей математик и*** — федерацией клубов
и ассоциаций преподавателей средних и эле-
ментарных школ, насчитывающей около 10
тыс. членов. Национальный совет, объединяю-
щий преподавателей математики средних и
элементарных школ имеет свой орган — жур-
нал „The Mathematics Teacher" ****, который
выходит 8 раз в год, каждый номер объемом
в 64 странипы. Подписная цена за границу
2,50 доллара в год. Каждый член Националь-
ного совета уплачивает ежегодный взнос в
2 доллара и получает этот журнал бесплатно.
Во главе журнала стоит авторитетный в пре-
подавательских кругах профессор математики
университета и учительского колледжа (выс-
шая педагогическая школа) В. Д. Р и в (W. D.
Reeve).

Национальный совет, кроме своего журнала,
выпускает ежегодно учебники*****. За время
существования Национального совета, т. е. с
1921 г., вышло 9 сборников, цена которых
такова: первый распродан, второй стоит 1,25
доллара, а прочие — по 1,75 доллара.

Содержание ежегодников следующее:

Во втором ежегоднике 3 статьи — о препо-
давании арифметики; 3 статьи — о преподава-
нии математики в младших классах школы

• .The American Mathematical Society".

** .The Mathematical Association of America".

*** .The National Council of Teachers of Mathema-
tics*.

**** .The Mathematics Teacher", 525 West 120 th
st. New York Citv.

***** „National Council of Teachers of Mathema-
l.cs Yearbooks", Bureau of Publications, 525 West
120 th st. New York City.

II ступени; 3 статьи — о преподавании мате-
матики в старших классах школы II ступени.

Третий ежегодник содержит статьи по раз-
ным вопросам преподавания математики и,
главным образом, — о преподавании анализа в
школе II ступени.

Четвертый — посвящен обзору преподава-
ния математики в разных государствах.

Пятый — весь посвящен вопросам препо-
давания геометрии.

Шестой — рассматривает школьную матема-
тику в ее приложениях.

Седьмой — весь посвящен вопросам препо-
давания алгебры.

Восьмой — содержит статьи о преподавании
математики в школе II ступени.

Девятый — заключает статьи, предметом ко-
торых служит функциональное Мышление, пе-
ременная и функция; психология этого поня-
тия, его история; понятие функции в средней
школе, в практике; курс математики, основан-
ный на понятии функции.

В 1916 г. в США был организован под
руководством Математической ассоциации Аме-
рики Национальный комитет по математиче-
ским нуждам *, составленный из 6 препода-
вателей высшей школы и 7 преподавателей
средней школы. Этот комитет составил боль-
шой доклад о реорганизации преподавания
математики в средней школе **, который был
опубликован в 1923 г. и оказал огромное
влияние на реформу преподавания математики,
став отправным пунктом в развитии методики
математики.

Чрезвычайно благоприятным условием для
успехов американской методики математики
является дружное сотрудничество профессоров
высшей школы, преподавателей средней школы
и профессоров психологии и педагогики. Так,
реформа преподавания математики проводи-
лась под руководством Математической ассо-
циации Америки; в Национальном комитете

* „National Committee on Mathematical Require-
ments".

* * „The Reorganization of Mathematics in Secon-
dary Education",м Report by the .National Cgmyiit-
tee on Mathematical Requirements" 1923. Revised
by J. W. Young. Houghton Mifflin Co., 1927.
участвовали почти на паритетных началах про-
фессора н преподаватели математики. В На-
циональном совете преподавателей математики
средней школы принимают деятельное участие
профессора математики университетов и кол-
леджей*, как, например, J. О. Hassler, нынеш-
ний президент совета, W.D. Reeve—редактор
журнала,, Maihem. Teacher", J. Р. Everett, D. Е.
Smith и др. Над вопросами преподавания ма-
тематики работают многие специалисты по
психологии и педагогике, как, например, Е. L.
Thoi ndike, С. Н. Judd, J. Dewey, F. В. Knight,
О. S. Lutes и др. Профессора математики
университетов и высших педагогических учеб-
ных заведений (колледжей) принимают участие
в журнале „Mathem. Teacher", составляют учеб-
ники, создают методические руководства (D. Е.
Smith, J. Р. Everett и др.). Такое сотрудниче-
ство профессоров, преподавателей матема-
тики и психологов весьма благоприятно для
развития методов и для обогащения учебной
литературы: ни в одной стране не уделяется
так много внимания вопросам преподавания
математики, как в США.

Исследовательская работа в области мето-
дики математики в Америке в большой сте-
пени основывается на дидактическом экспе-
р .менте. Методическая теория создается спер-
ва дедуктивным путем, исходя из некоторых
общих дидактических и математических прин-
ципов. Затем эта теория проверяется и исправ-
ляется как в целом, так и в частях с помощью
дидактического эксперимента, который заклю
чается, с одной стороны, в записи уроков
и в их анализе, а с другой — в проверке ре-
зультатов с помощью тестов.

Американская методика математики обязана
психологам применением этих объективных ме-
тодов исследования к дидактическим пробле-
мам**. В настоящее время этими методами
пользуются и математики.

* Колледжи в Америке — высшие специальные
учебные заведения. Teachers College - учительский
колле дж, соответствующий нашему педвузу.

** Назовем здесь ряд исследований в области пре-
подавания арифметики, сделанных специалистами
психологии:

Knight Luseand Р,uch—Problems in the
Teaching of Arithmetic, Jowa Supply Co., J„wa City.
Jowa.

Lutes O. S. — An Evaluation of The Techni-
ques for Improving to solve Arithmetic Problems.
University of Jowa. Monographs in Education, N \

В us well G. T.— Diagnostic Studies In Arith-
metic. University of Chicago Press, 1926.

Buswell G. T and .j и d d С. H.— Summary of
Educational Rei ting to Arithmetic. University of
Chicago Press, 1925.

J н d d С. H. — Psychological Analysis of the
Fundamental? of Arithmetic.

Приведем примеры. Во втором ежегоднике
три первых статьи посвящены вопросам пре-
подавания арифметики. Авторы этих статей
свои выводы делают большей частью на ос-
новании эксперимента. Исследуется, например,
вопрос о роли „распределенных" и „нераспре-
деленных" упражнений в выработке вычисли-
тельных навыков. Распределенными назы-
ваются примеры, планомерно охватывающие
всевозможные случаи арифметического дейст-
вия с определенными повторениями каждого
слуая. В нераспределенных упражнениях, взя-
тых из задачника, комбинации чисел случайны.
Для определения значения распределенных уп-
ражнений наблюдению подвергнуты были 600
детей, из которых одна часть обучалась по
задачнику, а другая решала примеры, состав-
ленные и распределенные по определенному
плану. При испытании вычислительных навы-
ков у этих детей распределенные примеры
дали избыток правильных ответов в 18 °/ь в
сложении, 19°/0 — в вычитании, в 35 °/0 — в
умножении и в 24°/0— в делении

В „Mathem. Teacher" (1929, 1) помещена
статья L. Е. Mensenkamp’a о классификации
учащихся IX класса по их способностям к
изучению алгебры. Автор пользуется в своем
исследовании методом корреляции В этом же
роде статья Н. Weissman’a, трактующая о клас-
сификации учащихся по их способностям к
изучению геометрии.

Очень интересная статья J. В. Orleans дана
в „Mathem. Teacher" (1924, 4 и 5) о методах
исследования одаренности учащихся в алгебре
и геометрии и вероятной успеваемости их по
этим предметам. Исследование производилось
с помощью тестов; ответы учащихся обраба-
тывались при помощи варияционной стати-
стики.

Следует отметить значительное распростра-
нение в американской методике объективных
методов исследования дидактических проблем.

Психология входит в качестве необходимого
элемента в американскую методику матема-
тики. Редкая статья или книга, трактующая
общие или частные вопросы преподавания
математики, не исходит из данных психологии
или философии (точнее — логики). Националь-
ный комитет, создавая свой знаменитый док-
ладо реорганизации преподавания математики,
разослал вопросник 24 специалистам психо-
логии и материал, полученный от них, исполь-
зовал для своих заключений *.

* Назовем здесь сочинения психологического
содержания, на которые часто ссылаются авторы
статей и монографии по вопросам преподавания
математики:

Dewey J. — How We Think, Heathang Co. 1910.
Возвратимся к важнейшему документу аме-
риканской методики математики — к докладу
Национального комитета. В этом документе
названы следующие основные цели изучения
математики в средней школе:

1) Развитие тех способностей понимания
и анализирования количественных и простран-
ственных отношений, которые нужны для по *
нимания действительности и контроля над нею,
для оценки процесса цивилизации в его раз-
личных видах.

2) Развитие тех навыков мышления и дей-
ствия, которые могут сделать эти способности
эффективными в жизни инцивидуума.

Таким образо..., подчеркивается значение
математического образования для развития
„навыков мышления". В методических руко-
водствах и статьях обращается большое вни-
мание на развитие математического мышления.
W. Betz, член редакционной коллегии жур-
нала „Mathem. Teacher", автор ряда обстоя-
тельных и интересных статей, в статье
„The Transfer of Training" (Yearbook) говорит:
„Постуляционное мышление имеет капиталь-
ное значение во всех областях человеческого
знания. Доказательство представляет простей-
шее и наиболее удобное введение в посту-
ляционное мышление." Поэтому преподавание
геометрии в средней школе имеет глубокое
основание. Эта мысль, по словам W. Betz’a,
получила классическое выражение в сочине-
ниях профессора С. J. Keyser*а*.

Выставляя требование развития мышления,
Национальный комитет наряду с этим подчер-
кивает важность воспитания способностей ин-
туиции и оценки. Он предостерегает против

Keyser С. J. — Tie Human Worth of Rigorous
Thinking. Co’umbia University Press, 1916,

Keyser C. J.—Thinking about Thinking. Dutton
and CS. 1926.

К e у s e r C. J.— Mathematical Philosophy. Dutton
and Co. 1922.

Shaw J. B. — The Philosophy of Mathematics.

Judd С. H.—Psychology of Secondary Education.
Ginn and Co. 1927.

Jnglis A. — Principles of Secondary Education.

Houghton Mifflin Co. 1918.

Thorndike E. L.— The Measurement of Intelli-
gence, Columbia University, 1926,

Douglas A. A. — Secondary Education. Hough-
ton Miflin Co. 1927.

* См. ссылку № 10. 11. и 12.

Carson G. St. L..— Essays on Mathematical Edu-
cation, Ginn and Co, 1913.

Herrick C. J. — The Thinking Machine, The
University of Chicago Press, 1929

Colvin S. S.— The Learning Process. Macmillan
Co, 1917.

Pyle W. H. — The Psychology of Learning. War-
wick and York, 1921.

Judd С. H. Psychology of High School Subjects.

Ginn, Boston, 1915.

изобилия в курсе математики изолированных и
несогласованных мелочей и рекомендует под-
чинять преподавание математики „некоторым
общим идеям1'. Комитет предостерегает и про-
тив крайностей „механизации". Чрезмерное
увлечение — говорится в докладе — преобра-
зованиями (^Manipulation) есть одно из основ-
ных препятствий к умственному прогрессу. На-
выки в преобразовательн 'й технике есть только
средство, а не цель.

Итак, в Америке имеются весьма благоприят-
ные факторы для развития методики матема-
тики: принципы преподавания математики, от-
четливо выраженные весьма авторитетным в
глазах учительства органом — Национальным
комитетом; мощная организация преподавате-
лей математики; помощь со стороны профес-
суры; глубокие психологические традиции. Не-
смотря на это в американской методической
учебной литературе существуют недостатки,
которые мы считаем нужным отметить.

Доклад Национального комитета заключает
прекрасный принцип — развитие математичес-
кого мышления. В учебниках же — особенно
в учебниках алгебры—теория развита слабо,
поверхностно. В журнале „Mathem. Teacher", в
ежегодниках Национального совета и в руко-
водствах по методике помещено множество
статей, в которых рассыпаны тонкие психоло-
гические мысли и наблюдения, но почти от-
сутствуют такие статьи, в которых вопросы
элементарной математики обсуждались бы с
целью углубления и обоснования самих ма-
тематических понятий.

Если сопоставить два журнала — немецкий
„Zeitschrift ftir Mathematischen urd Naturwi°sen-
schaftlichen Unterricht" и американский „Mat-
hem. Teacher", то можно усмотреть и в содер-
жании статей и в характере их противополож-
ные тенденции: в первом журнале помещаются
по преимуществу статьи математического со-
держания, нередко даже выходящие за пределы
курса средней школы, и редко встречаются
статьи дидактического и психологического ха-
рактера: во втором, наоборот—статьи, углуб-
ляющие, обосновывающие понятия элементар-
ной математики почти отсутствуют, зато дает-
ся много места дидактической психологии.

Чрезмерная погоня за психологическими ос-
новами преподавания математики порождает
невнимание к математическим основам и си-
стеме понятий, к некоторой поверхностности,
противоречащей требованию развития мышле-
ния , Так, в первой статье второго ежегодника
автор, проф- Knight, говоря о вычитании, об-
ращает свое внимание не на основы этого дей-
ствия, а на „костыль", считая таковым знак
минус Мы все знаем книги Торндайка, пере-
веденные на русский язык; они довольно одно-
сторонне освещают вопросы преподавания
арифметики и алгебры.

Надо отметить еще один немаловажный факт:
в методических сочинениях и в журнале „Mat-
Iietn. Teacher" редко встречаются статьи, от-
носящиеся к вопросам преподавания матема-
тики в старших классах средней школы.

Объяснение состояния преподавания мате-
матики в американских школах дают автори-
тетнейшие в американских учительских кру-
гах профессора — Смит и Рив. Они говорят.'
„Большинство европейцев, осматривавших на-
ши школы, говорят, что наша учебная работа
поверхностна. Это утверждение верно, ра-
бота, проделываемая во французском лицее
или в немецкой гимназии, много совершеннее.
Мы жертвуем совершенством намеренно. Эга
же участь ожидает и Европу в будущем.
Бисмарк отвергал „обученный пролетариат".
Америка построена на иных принципах. Хо-
рошо или плохо — мы думаем, что хорошо, —
мы потребовали равенства в привилегиях на
образование, требовали равного суда и права
голоса. Мы знаем, чго кокдый юноша имеет
одно и тоже право пройти через университет,
че то .ько за свой счет, но и за счет госу-
дарства".

В Америке элементарное и среднее обра-
зование продолжается 12 лет, которые груп-
пируются двояко: 8 лет элементарной школы
и 4 года — средней, или 6 лет элементарной
школы и 6 — средней. Во втором случае шесть
классов средней школы (по американской тер-
минологии High School, т. е. высшая школа)
делятся на три младшие класса средней школы
(Junior High School) и три старшие класса сред-
ней школы (Senior High School).

Перейдем к обзору методической литера-
туры по арифметике. Изучение арифметики
в обычном понимании содержания этого пред-
мета продолжается 8 лет, В исследовании
методов преподавания арифметики особенно
деятельное участие принимали американские
психологи. Во втором ежегоднике Нацио-
нального совета мы имеем обстоятельные
статьи, относящиеся к преподаванию арифме-
тики, авторов F. В. Knight, G. Т. Buswell и
J. Р. Haynes, из которых первые два — про-
фессора психологии. Эти статьи очень инте-
ресны именно с психологической стороны,
но авторы их мало вникают в самое существо
математических понятий. Перечислим некото-
рые вопросы, которые рассматриваются в этих
статьях.

Производить ли вычитание многозначных
чисел с помощью отнимания или дополнен ih?

Как добиться того, чтобы учащиеся при
делении десятичных дробей правильно пере-
мещали запятую?

Как складывать числа, записанные в стол-
бик, — начиная снизу или сверху?

О выборе действий при решении задачи;
вспомогательные средства и трудности.

Ошибки в арифметических действиях и др.

От журнальных статей по методике ариф-
метики перейдем к той главе книги * изве-
стных американских авторов, профессоров
D. Е. Smith и W. D. Reeve, которая посвяще-
на преподаванию арифметики. В ней мы встре-
чаем подробный перечень всего того, что „не-
существенно" в курсах арифметики, затем —
перечень всех тех объектов, которые являют-
ся достойными изучения, с короткими ука-
заниями к каждому, и только. В этой главе
мы не находим раскрытия существа матема-
тических понятий; не находим указаний, как
эти понятия сделать ясными и довести их до
полного усвоения. К главе приложена библио-
графия книг, очевидно, по мнению авторов,
достойных рекомендации**.

Перейдем к литературе, относящейся к пре
подаванию алгебры. И в этой части препода-
вания математики мы встречаемся в американ-
ской литературе, главным образом, со статьями
психологического или дидактического харак-
тера, дающими общие установки преподавания
алгебры. Приведем для иллюстрации нашего
впечатления некоторые темы, с которыми мы
встречаемся „в М a them. Teacher":

„Классификация учащихся IX класса по их
склонностям к алгебре" (1929, I).

„Классные методы преподавания алгебры"
(1926,6).

„Бригадная работа по алгебре" (1923,4).

„Алгебраический язык" (1923,4).

„Пользование задачами при обучении ал-
гебре" (1927,2).

„Система в решении алгебраических за-
дач" (1923,6).

„Устная работа в курсе алгебры" (1927,4).

„Психология ошибок в алгебре" (1922,2;
1925,2; 1927,4). „

Большая часть статей и книг по методике
алгебры посвящена первым ступеням в пре-
подавании алгебры.

* D. Е. S m i t h and W. D. R e e v e, The Teaching
of Junior H'gh School Mayhem .tics. Ginn and Co,
1927.

** Назовем некоторые из этих книг:

LennesN. Y. — The Teaching of Arithmetic. The
Macmillan Co., 1924

Osburn W. J. — Corrective Arithmetic. Houghton
Mifflin Co, 1924.

Overmann J. R.— Principles and Methods of
Teaching Arithmetic. Lyons and Cunianen, 19’10.
О. R. Pease, автор из Стокгольма, в „Mat-
hem. Teacher” (1929,5) дает чрезвычайно ин-
тересный анализ дидактической сложности
курса алгебры на первом году ее обучения.
Он излагает теорию „учебных единиц”, кото-
рые он определяет так. В сумме (-|-4) -|-
-|- (—4) = 0 цифра 4 есть учебная единица.
Комбинация знака -j- и цифры 4 в символе
-|- 4 представляет собой более сложную учеб-
ную единицу. Наконец выражение (4-4)-|-
-|- (— 4) есть еще более сложная учебная
единица. Образуя систему таких учебных
единиц, автор создает, таким образом, ме-
тодику начал алгебры; результаты проработки
этой методики он исследует при помощи
тестов. Алгебраический навык, по мнению
автора, представляет собой суммирование
умений, доведенных до автоматизма и отне-
сенных к разным точкам алгебраического поля.

Е. R. Breslich, проф. математики Чикаг-
ского университета, в статье, помещенной
в „Mathem. Teaher” (1932,2), выставляет три
основные задачи курса алгебры: 1) довести
до полной ясности понятия, на основе ко-
торых совершаются преобразовательные про-
цессы; 2) тренировать ученика в анализиро-
вании соотношений, выраженных алгебраи-
ческими символами; 3) побуждать ученика
к самостоятельному раскрытию закономерно-
стей алгебры. Эти же принципы мы находим
в дидактических статьях и в книгах разных
авторов. В статье, озаглавленной „Куда
ведет алгебра” („Mathem. Teacher" 1930,2),
автор W. Betz говорит о слабых успехах
учащихся по алгебре и видит причину этого
в отсутствии цели преобразований, в сле-
пом символизме и в подражательном меха-
низме обучения. Он утверждает, что алгебра
есть „тип мышления”, на развитие которого
должно быть обращено большое внимание.
При этом он приводит интересную мысль
J. Dewey*:„Алгебра, правильно преподаваемая,
поднимает наши понятия на высокую ступень
их развития, освобождая нас от конкретных
визуальных и обязательных привычек, которые
привязывают ум наш к матери-Земле”.

В американской методике алгебры прочно
привилась внушенная, очевидно, психоло-
гами мысль, что навыки должны укрепляться
в связи с усвоением понятий и логических
процессов. Эту мысль мы находим в докла-
де Национального комитета и во многих
статьях. J. Р. Everett, проф. математики,
в весьма поучительной книге** восстает про-

* «How We Think" (см. ссылки № 9).

**„The Fundamental Skill of Algebra", Bureau of
/nbllcations Teachers College, 525 Wes* 120th st.
New York.

тив бессмысленно проделываемых преобразо-
ваний и видит главное средство к усвоению
преобразований в ассоциативных умениях
(associative skills). В статье—„Aigebra and
Mental Perspective”—в седьмом ежегоднике
он говорит о том же.

Та же мысль составляет основу содержа-
тельной статьи A. S. Wanenmacher’a в „Mathem.
Teacher" (1934,3), в которой автор утвер-
ждает, что символы бессмысленны, если
понятия, которые приводят к ним, не стали
вполне привычными. Поэтому он настаивает
на неторопливом и сознательном усвоении
предмета, говоря, что постепенное и нетороп-
ливое образование понятий и навыков со-
хранит больше времени, чем скоро добытый
„мешок чудес”.

Медленная постепенность в выработке по-
нятий алгебры и в нарастании сложности,
простота преобразовательных упражнений,
психологическое обоснование дидактических
приемов составляют характерную особен-
ность американской методики. Эту особен-
ность можно усмотреть отчетливо в книге двух
ветеранов американской методики матема-
тики— Смита и Рива*, которые отри-
цают „бесконечную работу над бессмыслен-
ными формами”.

Национальный комитет и Математическая
ассоциация Америки пропагандировали идею
преподавания анализа в средней школе. Ме-
сто ему было указано на двенадцатом году
обучения. Мы не имеем сведений, какая часть
школ в настоящее время перешла к препо-
даванию анализа, но мы знаем, что сущест-
вуют несколько учебников анализа для сред-
них школ и ряд статей, посвященных этому
вопросу**. Курс анализа ставится в Америке
то как самостоятельный предмет, то как
глава в алгебре. При определении места ана-
лиза в американской школе следует иметь
в виду время прохождения других отделов
математики; систематические курсы матема-
тики в американских школах начинаются до-
вольно поздно. В первых восьми классах
преподается арифметика и интуитивная гео-

* См. выше сноску.

**NordgaardM. А. - - Introduction Calculus as
a High School Subject. The Thirb Jearbook.

Swenson J A. Selected Topics in Calculus
for the High Schools. The Third Yearbook.

Farmer S. B.—Place and Teaching of Calculus
in Secondary Schools. „Mathem. Teach.", 1927,4

Rosenberger N. B. — The Place of the Ele-
mentary Calculus in the Senloi High-School Mathe-
matics. Columbia University. New York City, 1921.
The Ninth Yearbook.

Baker W. M.— Calculus for Beginners. Bell and
sons.
метрия. Другие отделы
гаются по годам чаще

Первый план:

IX класс.Э,.ементарная(на-
чальная) алгебра.

X , Планиметрия.

XI „ Промежуточная
алгебра.

XII , Стереометрия и
тригонометрия.

математики распола-
всего так

Второй план:

Элементарная алгебра.

Промежуточная алгеб-
ра.

Планиметрия.

Стереометрия и триго-
нометрия.

Из этой таблицы видно, что в американ-
ской школе отделы математики преподаются
не параллельно, как у нас, а последовательно.
Правда, не все школы даржатся такого плана.
Против разобщенности отделов возражают
отдельные голоса (, Mathem. Teacher", 1934,1).

Заканчивая обзор методической литера-
туры по алгебре, обратим внимание на книгу
англичанина Р. Р. Nunn, которая пользуется
в Америке большим вниманием и считается-
в преподавании математики как бы настоль-
ной. Действительно, это обширная книга
(изд. 1931 г., 616 стр.), заключающая не
только алгебру, но и анализ и тригономет-
рию*. Книга очень содержательна; однако та
система элементарного курса алгебры, кото-
рой придерживается автор, и методическая
трактовка отдельных вопросов не соответ-
ствуют нашим традициям.

В американских школах преподавание гео-
метрии организуется в виде двух ступеней:
экспериментальная, или интуитивная, или
неоформленная (informal) геометрия и дока-
зательная геометрия. Единообразия в пост-
роении курса геометрии в Америке не суще-
ствует. Е. Н. Taylor („Mathem. Teacher",
1930,4) дает описание вариантов неоформлен-
ного курса геометрии. Чаще всего этот курс
начинается на шестом году и изучается три
года — в VI, VII и VIII классах. На девятом
году в некоторых школах вводится доказа-
тельный курс геометрии, который включает
в себя несколько глав, обычно: равенство
треугольников, равенство накрестлежащих
углов, сумму углов треугольника, теоремы
о подобии, теорему Пифагора, измерение
углов. На десятом или одиннадцатом году

* Приведем еще здесь книги других авторов,
пользующихся в Америке известностью:

Durell. — II е Teaching cf Elementary Algebra.

Open Court Publishing Co. Chicago.

Hassler and Smith — The Teaching of Se-
condary Mathematics. Macmillan Co.

В r c s 1 i c h. The Teaching of Mathematics in
Secondary Schools. University Press, Chicago.

Creslich,- Problems in Teaching Secondary
Schools Mathematics. University Press, Chicago.

планиметрию проходят систематически. Сте-
реометрия обычно попадает в XII класс.

В американской школе интуитивному (intui-
tive, informal) курсу геометрии уделяют много
внимания. Необходимость его зафиксирована
в таком важном и авторитетном документе,
как доклад Национального комитета. Исто-
рическое и психологическое обоснование,
метод и содержание этого курса разрабо-
таны весьма тщательно: вопрос о препода-
вании интуитивной геометрии имеет в Аме-
рике свою историю и богатую литературу.
Еще в 1854 г. Т. Hill написал„Первые
уроки геометрии". Начиная с этого времени
стали появляться одна за другой книги, со-
держащие материал для интуитивной геомет-
рии. Некоторые из них были переведены
на русский язык, именно: книги Юнга,
Кемпбелла, Роу.

В книге Smith and Peeve* в главе V из-
лагается содержание интуитивной геометрии.
Мы не можем сказать, чтобы распределение
материала было принципиально обосновано;
в „Mathem. Teacher" (1930,4) помещена
статья М. Gugle, в которой вопрос о препо-
давании интуитивной геометрии излагается
более планомерно, дается программа этого
курса. В конце статьи проводится заимство-
ванный из книги W. Z. Schaaf** образец
плана уроков, посвященных треугольнику.
План очень богат содержанием, и мы не мо-
жем его привести целиком. Укажем основ-
ные его подразделения: А) То, что учитель
должен знать: направление преподавания гео-
метрии— от интуитивной к доказательной
геометрии, историю и психологию, ран-
нюю историю геометрии, конгруэнцию и по-
добие и т. д. В) Объекты геометрии: формы,
меры и положения; навыки, умения, понятия
и др. С) Симметрия, приложения. D) Образо-
вательное значение. Е) Психологические со-
ображения. F) Учебный процесс.

Признавая необходимость содержательного
интуитивного курса геометрии, американские
педагоги высоко ставят образовательное зна-
чение дедуктивного курса. Проф. математики
С. В. Upton поместил в пятом ежегоднике
весьма содержательную, интересную статью
о непрямом методе доказательства, в которой,
между прочим, говорит, что цель преподавания
геометрии заключается не только в том, чтобы
познакомить ученика с методами доказатель-
ства, но также в том, чтобы воспитать в нем

* См. выше сноску.

** .A Соште for Teachers of Junion High School
Mathematics*1. Bureau of Pub’lcat ons, Columbia
University.
строгость мышления, которую проф. Keyser
назвал: „Если — то".

Дедуктивный курс геометрии американские
математики строят аксиоматически. Но они
допускают зависимость аксиом, т. е. такие
аксиомы, которые в более формальном курсе
могли бы быть доказаны, и принятие неко
торых теорем без доказательства. а

В 1923 г. Национальный комитет дал
перечень 16 допущений. В 1912 г. „Коми-
тет пятнадцати" назвал 12 теорем, которые
могли бы быть приняты без доказательства.
Carson* — английский педагог — рекомендует
принимать сперва некоторые теоремы в ка-
честве постулатов, впоследствии же, когда во-
прос о независимости постулатов станет для
учащихся доступным, доказать их.

Изучая геометрию, ученики, по словам
проф. W. D. Reeve, должны приучиться пони-
мать смысл доказательства и математической
точности, вместе с тем познать „разность
открытия абсолютной истины". Наряду с этим
он предостерегает против некоторых край-
ностей, каковы: переоценка строгости, из-
лишества в определениях, перегрузка мате-
риала, нераздельность существенного и не-
существенного.

Говоря о сокращениях и дополнениях, Ree-
ve решает резко вопрос: надо сократить число
теорем и увеличить количество „оригиналь-
ной" работы, т. е. задач на доказательство,
вычисление и построение. Dr. Osgood из Har-
vard однажды сказал: „Уменье доказать тео-
рему еще не дает уверенности в том, что
ученик ее знает. Испытанием знания теоремы
служит уменье ею пользоваться". G. W. Evans
(„Mafhem. Teacher", 1930,2) предлагает весь
курс геометрии снести к 104 теоремам, обя-
зательным для ученика. Приемная комиссия
в колледжах доводит их до числа 181.

Из методов преподавания геометрии в центре
внимания американских препо гавателей стоят
аналитический и синтетический методы, ко-
торые в американской литературе встреча-
ются неоднократно. Аналитический метод
служит средством для открытия доказатель-
ства, синтетический — для его оформления.
Этими обоими методами пользовался Евклид
и греческие геометры. Мысли об этих мето-
дах мы находим в статьях A. A. Grant („Ma-
them. Teacher", 1934,1, стр. 8), W. D. Reeve
(Пятый ежегодник, стр. 25)

Рив ставит вопросы: должны ли мы пол-
ностью давать доказательства? Может быть,
лучше делать пропуски, которые ученики
должны заполнять, и затем оформлять все

* См. сноску выше.

122

доказательство в цепом? Должны ли мы по-
ощрять учеников в открытии доказательства,
делая им в соответствующих местах намеки?

Разработав теорему, американские препо-
даватели предлагают ученикам упражнения,
расположенные в определенном порядке (graded
exercises). Рив и Смит различают упраж-
нения с доказательством в два шага, в три
шага (two — sfeo proof, three — ster proof)*.

Начало дедуктивного курса геометрии для
учащихся особенно трудно. Поэтому в аме-
риканской методической литературе сущест-
вуют проекты различных подходов к дедук-
тивной геометрии**.

Считаясь с индивидуальностью учащихся,
некоторые авторы предлагают класс делить
на три группы—А, В и С, и каждой группе
предлагать различную нагрузку, в зависимо-
сти от ее успехов ***.

Американская методика математики боль-
шое место в обучении отводит книге — учеб-
нику и задачнику. Книги изучаются и сравни-
ваются между собой со стороны их содер-
жания и методических достоинств. В амери-
канской литературе существует ряд работ,
посвященных изучению учебников. Приведем
здесь из статьи L. Е. Mensenkatnp’a **** ряд
требований, которые он предъявляет к учеб-
нику геометрии:

1) Была ли книга испробована перед вы-
пуском в свет в классе?

2) Каков преподавательский опыт автора?

3) Каков образовательный ценз автора, ка-
ковы его работы?

4) Соответствует ли книга требованиям
Национального комитета и приемной комис-
сии в колледжи?

5) Безупречна ли книга со стороны науч-
ной?

6) Каков стиль, язык?

7) Может ли книга поддерживать интерес
у ученика?

8) Как изложена вводная часть книги: спо-
собна ли она заинтересовать ученика? Кратки
ли определения, ясно ли формулированы,
даны ли к ним вопросы'и упражнения? Пред-
лагаются ли построения и измерения? Соб-
людена ли постепенность перехода от интуи-
тивной геометрии к логической? Ясна ли не-
обходимость логического доказательства?

9) Дает ли автор списрк минимума числа
теорем, необхотимых для того, чтобы овла-
деть предметом?

* Smith and Reeve — Teaching of Junior High
School Math-matics. стр. 240.

** Fifth Yearbook, стр. ЗЭ, 44, 54.

***, Mathem. Teacher", стр. 17, 1933,4.

**** Fifth Yearbook, стр. 119. •
10) Оказывает ли автор ученикам помощь
в изучении теорем путем указания общих
подходов, предложением задач и вопросов
перед изучением теоремы?

11) Предлагает ли автор теоремы для са-
мостоятельного доказательства?

12) Заставляет ли автор самостоятельно
размышлять ученика путем некоторых про-
пусков в доказательствах или указанием ме-
тода доказательства?

13) Обращает ли автор внимание на дока-
зательства наиболее трудных теорем?*

Заканчивая нашу статью, отметим особен-
ности американской литературы, относящейся
к методам преподавания математики. Огром-
ное влияние на развитие этой литературы
оказал Национальный комитет с его докладом.
Редкая статья или книга, посвященлая во-
просам преподавания математики, обходится
без ссылки на этот важный документ. Marie
Gugle в своей статье о геометрии в младших
классах средней школы восклицает: „Доклад
Национального комитета—это наша библия!"
(„Mathem. Teacher", 1930, 4). В настоящее
время ведущую роль в развитии этой лите-
ратуры играют Национальный совет препо-
давателей математики с его журналом и еже-

годниками и ряд выдающихся деятелей этого
Совета — профессора Reeve, Everett, Schlanch,
Bassler, Harber, Betz, Breslich, Smith, Upton
и др.

Американские психологи принимают дея-
тельное участие в работе над дидактическими
проблемами, и поэтому американская методи-
ка математики в значительной части ее про-
никнута психологическими идеями.

Наконец, положительную сторону амери-
канской методики составляют сотрудничество
авторов и преемственность их работ, вслед-
ствие чего начинают создаваться научные
традиции как в выборе тем, так и в методах
исследования. Авторы признают и ценят ра-
боты своих товарищей, весьма часто ссыла-
ются на них, цитируют их. Библиографиче-
ские отзывы и аннотации объективны, всегда
доброжелательны: наряду с недостатками кни-
ги непременно отмечаются и ее достоинс гва.

Мы дали здесь суммарный очерк американ-
ской методики математики. В будущем мы
надеемся познакомить читателей с частными
ее вопросами. Несмотря на некоторые ее не-
достатки, бросающиеся в глаза нам, воспи-
тавшимся в иных традициях, они заслуживают
внимания.

МАТЕМАТИКА НА СЛУЖБЕ ТРЕТЬЕЙ ИМПЕРИИ

Дсп. НПО В. ЮСЬКОВИЧ (Москва)

Под таким названием помещена статья в
журнале „Zeitschrlfi ftir mathematischen und
naturwissenschaftlichen Unter.icht aller Schul-
gatzungen" № 1, 1934. Автор статьи, некто
Георг Гамель, пытается дать математике фи-
лософское обоснование. Советскому препо-
давателю математики и физики небезынте-

* Назовем здесь некоторые, достойные внима-
ния, книги и статьи о преподавании геометрии,
кроме тех, которые были упомянуты ранее:

Breslich Е. R. — Articulation of Junior and
senior High School Mathematics. The Eighth Yearbook.
Bureau of P bli.-ations, columlia Universiy.

Reeve W. D. — The Teaching of Geometry. The
Fifth Yearbook.

Reeve W. D. — Demonstrative Geometry for the
Ninth Grade. „Math. Teach*., 1933,3.

Shlauch W. S.—The Analiti' Method in the
Teac. ing of Geometry. The Fifth Yearbook

Shibliti— Recent Developments in the Teaching
of Geometry. State College, Pennsylvania, 1932 „The
Teaching of G ometry in Schools". A Report prepa-
red for the Matheratcal A-sociatlon. London.
Beil and Sons, Third Edition, 1928.

Nunn T; P. — The Sequence of Theorems in
School Geometry. „Mathem. Teacher", vol. XVIII, стр.
321.

ресно знать те аргументы, при помощи которых
математика облачается в одежды служанки
фашизма.

Чуть не эпиграфом статьи приводит автор
слова Адольфа Вагнера, баварского министра
внутренних дел, что „вместо господства ма-
терии национал-социалистическое мировоз-
зрение поставит господство духа".

Автор признает, что математические цен-
ности имеют значение для всех государств.
Тем не менее, математика имеет особую цен-
ность „для прочности духа Третьей империи"
и для воспитания молодежи в фашистском
благомыслии.

Гамеля не удовлетворяет та роль матема-
тики, которую она играет в естественных
науках и технике, при самотето- и дири-
жаблестроении, в биологии, в сельском хо-
зяйстве. Он сочувственно относится к мысли
одного итальянца, который говорит даже о
„математической теории борьбы за сущест-
вование". Роль математики, мол, в защите
страны признана с незапамятных времен. Ар-
химед защищал Сиракузы при помощи своей
науки. Леонардо да Винчи, превосходный мате-
матик, строил крепости и работал над пробле-
мой воздухоплавания. До войны не было
артиллерийского офицера, который не знал бы
математики на „хор". К тому же, у роман-
ских и англосаксонских народов математика
стоит на весьма высоком уровне.

Отсюда вывод: математику нужно поднять
выше, чем она стоит у романских и англосак-
сонских народов. Гамель видит чуть не зна-
мение божие в том факте, что высшая мате-
матика открыта людьми, принадлежащими к
германству—англичанином Ньютоном и нем-
цем Лейбницем. А ведь французы и итальянцы
обладают большой одаренностью к математи-
ке. И, наконец, немец Лейбниц понимал ма-
тематику больше с философской точки зре-
ния и глубже, чем Ньютон, который смотрел
на нее с практической стороны.

Таков ход мыслей фашистского мыслителя.
„Глубокомыслие" автора привело его к из-
любленному тезису о превосходстве герман-
ской расы и в области математики. Вся эта
фашистская стряпня не нуждается в каком-
либо опровержении. Дальше следуют не ме-
нее „оригинальные" и „глубокие11 мысли.

Число мы познаем не из практики, но и
не из чистой логики. Оно скорее — нечто
самобытное, оно — первоявление, предшест-
вующее нашему духу. Математика — прообраз
духовной творческой деятельности. В мате-
матике мысль и дело — едины. „Эта филосо-
фия математики лежит на линии Платона,
Лейбница, Канта и Фихте, следовательно, на
линии немецкого идеализма. К ней мы снова
присоединяемся. Это — философия крови и
расы, она не всякому доступна (стр. 15).

Так связывает Гамель в один узел кров-
ного родства идеалистическую философию и
реакционную теорию чистоты расы.

Кто является математиком?—вопрошает ав-
тор статьи. И, будучи последователен себе,
отвечает: математик не только тот, кто
от рывает ее законы в узком смысле слова.
„Всякий, кто видит великий порядок в мире
(sic!) и кто наново преобразует мир упоря-
доченным действием; следовательно, матема-
тик— великий государственный деятель" (стр.
13). Несколькими строчками ниже следует
продолжение.

„Математик — великий полководец. Он —
геометр, когда имеет перед глазами план
битвы на плацдарме Он комбинирует как
математик: если он хочет победить — он стя-
гивает свои боевые силы в надлежащий мо-
мент в должном месте" (там же). Не потому
ли, интересуется автор, великие полководцы
в большинстве любили математику? Валлен-
штейн, оказывается, изучал в юности своей
математику. Наполеон, Шарн Горст, Мольт-
ке высказывали о математике очень теплые
и ценные слова. Наполеон же, как известно,
основал Политехническую школу (E’cole ро-
1у1ёсЬш'дие), еще и ныне являющуюся шко
лой для офицеров, инженеров и матема-
тиков.

Мольтке, как оказывается, сказал 28 ав-
густа 1876 г. учителям и ученикам Цвинау
„Занимайтесь, главным образом, историей,
кеографией и математикой". Эти факты, по
мысли Гамеля, обладают неотразимой убеди-
тельностью для каждого немца-фашиста. В
этом, видно, и заключается особая ценность
математики для Третьей империи.

Для молодежи гораздо важнее практиче-
ской стороны математики ее воспитательная
ценность, которая вытекает из неразрывной
„связности духа математики с Третьей импе-
рией". Главное здесь — в геройстве. Мате-
матика ведь не легкая игра, не безответствен-
ные умные речи. ,.Она требует жертв, само-
пожертвования, напряженной работы головы,
которая (работа), по словам нашего вождя,
должна быть равноценна и почитаема так же,
как и работа рук". И та и другая работа
требует служения. Математика требует слу-
жения истине, искренности и точности. „Ма-
тематика сама по себе идеальна и, следо-
вательно, ее истины — истины в нашем духе".
„Математика нам врождена. Обе эти истины—
антиматериалистические"... „Обе они тре-
буют порядка, дисциплины, обе борются с
хаосом, с произволом" (sic!). Итак, мате-
матика в руках фашиста является перед на-
ми в роли попечительницы порятка; разуме-
ется, порядка социального. Математика — в
роли орудия против растущего возмущения
масс фашистским произволом. Математика —
в роли орудия классовой борьбы, в защиту
буржуазного порядка!
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ ПРИ ПОМОЩИ ПОЧТОВОЙ
ОТКРЫТКИ

1. Из почтовой открытки (или из плотной
бумаги) нужно вырезали два куска I и II,
размерами примерно 5X5 см. В каждом
куске от края вырезаем щель шириной d —
= 24 мм. По обе стороны от щели на куске
II протыкаем иголкой два маленьких отвер-
стия х и х', которые от середины щели име-

3 о

ют определенное расстояние а = ^-мм. Этим
и заканчивается изготовление аппаратуры.

2. Выполнение. Кусок со щелью I
нужно держать близко у глаза, а щель II по-
мещают иа вытянутой руке довольно близко
к пламени свечи. В результате щель II будет
ярко освещена и по обе стороны от нее рас-
положится ряд светлых и темных линий.
Вместо пламени свечи можно использовать
любой, ярко освещенный белым или моно-
хроматическим светом предмет. В первом слу-
чае щель II окаймляется спектральными ли-
ниями. В зависимости от силы освещения
щели' II видны наряду с первым спек.ром
также и спектры высших порядков.

3. Объяснение. Щель I, находящаяся
у глаза, дает на сетчатке глаза дифракцион-
ные линии первого и высших порядков, ко-
торые мы непроизвольно проектируем на щель
II, поэтому последняя окружается дифракци-
онными полосами.

4. Измерение. Если приближать щель
II к глазу, то и светлые линии, окаймляю-
щие щель, тоже сдвигаются (это вытекает из

проекционного характера явления). Прибли-
жая или удаляя щель II, можно добиться
того, что первые светлые линии по лбе сто-
роны щели II совпадают с отверстиями х и х',
которые видны светлыми точками на темном
фоне. Затем определяем расстояние между
щелями I и II. Пусть оно равно, например,
/0 = 45 см.

Если X—длина световой длины, то для
первой линии будет иметь место отношение

2 .__£о

3 '

В нашем случае з — мм ^хх> ~ $ ММУ

d = 0,25 .им и определяется при помощи
лупы и масштабной линейки.

/о = 45О мм, значит

, 0,25 _ '

К = -=т мм — 557 ЦЦ.
4Л() * *

5. Замечания, а) Ширина щели II не
играет в расчетах какой-либо особой роли;
она может быть несколько шире 0,25 мм.

Ь) Чем ближе щель I находится к глазу, тем
дальше располагаются дифракционные линии
друг от друга и тем меньше будет между
щелями /0.

Перевел с нем. В. Юськович.

„Praktische Schiilphysik" № 6, 1934.
ИЗ ПРАКТИКИ ШКОЛЫ

БОЛЬШЕ ВНИМАНИЯ АРИФМЕТИКЕ

Д. ПАВЛОВ (Алушта, Крым)

В настоящей заметке я ставлю вопрос о
преподавании арифметики в пятых классах,
вопрос, с которым на сегодняшний день в
школе неблагополучно. Мало сказать, что
годами не усваивается программа; надо ска-
зать, что подчас наблюдается полная безгра-
мотность, которая, как хроническая, но
тяжелая болезнь, требует немедленного опе-
ративного вмешательства.

Школа, в которой я работаю, неполная
средняя школа, хотя опа без первых четырех
классов.

Третий год я преподаю математику в V и
VI классах этой школы.

Могу констатировать следующее:

1. Как правило, учащиеся задач решать
не умеют. Примерно- „Длина двух отрезков
прямой равна 60 см, причем один из них на
10сд< больше другого. Какой длины каждый
отрезок?®

Подымается лес рук! Ответ: 30 и 40. Когда
учащимся поможешь воочию убедиться, что
сумма расходится с условием задачи, тогда
начинается подбор чисел. Вывод: соста-
вление уравнений 1-й степени с
одним неизвестным по алгебре в
VI классах затруднительно для са-
мых лучших учеников, несмотря
на то, что техника решения урав-
нений всем классом в среднем
усваивается на „хорошо®.

2. Громадное большинство поступающих
в V класс не знает техники устного счета
даже в пределах 100. Деление устно, при-
мерно, 84 на 3, 95 на 5 производится так,
как если бы они производили это деление
письменно — углом.

3. Навык последовательного логического
мышления неразвит, что особенно отражается
при доказательствах даже несложных теорем,
или еще лучше—в решении арифметических
пропорций.

4. Навык самостоятельной работы над
книгой отсутствует.

5. Печатного текста, в особенности в точ-
ных науках, не понимают, и потому,
несмотря на наличие учебников, приходится
126

вести записки, применяясь к их пониманию,
допуская подчас упрощенчество, что, безу-
словно, вредно. Отсюда, как вывод, можно
сказать, что общее развитие оставляет желать
лучшего. Математическое же развитие отсут-
ствует.

6. Разностное и кратное отношения чисел
знают не твердо: „на® и „в® при увеличении
или уменьшении путают.

7. Зависимости между данными и резуль-
татами действий не знают.

8. Терминология страдает: произведение
(примерно) может быть названо произведе-
нием в последнюю очередь, после того как
будут названы сумма, разность, частное;
уменьшаемое и вычитаемое, делимое и дели-
тель без ошибок сразу не указываются.

9. Действия над целыми числами нередко
производятся неверно, в особенности деление.

10. В области обыкновенных и десятичных
дробей много совершенно неосознанных мо-
ментов.

11. Настойчивости найти ошибку, довести
работу до конца и добиться ответа нет.

Если ко всему этому прибавить ошибки-
описки по невниманию, рассеянности,
небрежности, когда (примерно) вместо 8,
пишут 3; вместо 23 переносят на другую
строчку 32; число 1275 читают и перепи-
сывают 1257; когда начинают делением, а
кончают действие вычитанием; когда деле-
ние дробей обращается в умножение (только
ие на обратную вторую дробь), и наоборот,
и т. д. — всего не перечтешь, то станет
вполне ясно с каким материалом прихо-
дится повторять, отшлифовывать пройденное
в начальной школе по арифметике.

Приходится не закреплять, а сыз-
нова прорабатывать, исправлять,
искоренять закрепленные ошибки
прошлого как с внутренней, смы-
словой стороны, так и с внешней,
технической.

Значимость такой работы небольшая. Во-
первых, потому, что одного года — пятого
года обучения — совершенно недостаточно,
чтобы теоретически и практически прорабо-
Wb весь курс арифметики от начала до
конца (десятичная система счисления — за-
дачи на проценты) плюс буквенные выраже-
ния. Во-вторых, ни для кого не секрет, что
учить, методически правильное своевременно
учить, гораздо легче, чем переучивать, чем
отучать от укоренившихся ошибок.

По рабочему плану по математике в
V классена 1933/34 учебный год, данному
нашей школе Крымнаркомпросом, проработка
основных свойств четырех арифметических
действий должна быть закончена к 6 октября.
Я израсходовал значительно больше вре-
мени, но желаемых результатов все же не
достиг. Так, в течение всего года я шел не
в ногу с рабочим планом и, вместо того
чтобы с 4 мая приступить к повторению,
я лишь 9 мая закончил первый тип за-
дач на проценты, повторяя отдел дробей
при проработке отношений и пропорций.
Таким образом, недоработка программы не-
большая: второй, третий типы задач на про-
центы можно будет проработать теперь до
конца учебного года, после того как V класс
освободится от испытаний, а буквенные
выражения — отложить до осени; тогда эта
тема в VI классе будет своевременно служить
непосредственным переходом к алгебре.

Но я уклонился. Дело не в доработке
программы, а в очень низких показателях
успеваемости.

Если в I четверти года успеваемость вы-
ражалась в 53,7°/0 в среднем по обоим
пятым классам, то в течение года она не
поднялась выше 78,5°/0.

А результат испытания... Это подчас ре-
корд безграмотности!

Алушта. 15 мая. Письменное испытание
по арифметике в V классе „а". Учащихся—
31. Предлагаются три вполне доступных
по своему содержанию вопроса.

1. Совместные действия с обыкновенными
и десятичными дробями — пять действий. В
числителе — сложение, умножение; в знаме-
нателе—деление, вычитание.

2. Решить пропорцию: 1-й член — целое
число с одним десятичным знаком, 2-й член —
неизвестное с целым коэфициентом, 3-й и 4-й
члены — целые числа.

3. Задача - пример в два дейстгия. Найти
35°/0 от 9800 руб.; узнать остальную сумму,
на которую куплен материал.

Второго действия 18 человек вовсе не
делали.

Обстановка работы вполне нормальная,
настроение учеников строго деловое, волне-
ния не наблюдалось. К концу второго часа
переписанные набело работы подаются всеми.

Результаты: „оч. хорошо" — 3, „хорошо" —
8, „уцовл."—12, „неудовл."—8.

16 мая Письменное испытание по ариф-
метике в V классе „б Учащихся — 27. Вопро-
сы, их содержание как в отношении объема,
так и трудности — такие же, как и в V „а“,
лишь числа другие да задача - пример на
проценты в одном действии. Обстановка рабо-
ты, условия—те же. Результаты: „хорошо" —
3, „удовл."—5, „неудовл."—19.

Только один ученик дал полностью верные
ответы.

В чем же дело? В том, что учащиеся са-
мостоятельно работать еще не научились;
ответственности за выполняемую работу они
в себе не выработали.

Так было и в течение года.

Я не ждал хороших результатов, но я не
ждал и такой безграмотности. Ошибки—раз-
ных калибров, ошибки всяких типов, причем
среди этих ошибок есть такие, которых я
никогда за свою 29-летнюю работу в школе
не встречал.

Вот серия ошибок. Переписываю их в том
виде, как они написаны у учащихся в пись-
менных работах:

1. 315:30= 1(у 8 учащихся из 31).

2. 1,5+2 "4-з|=1^+24 +

। е3 _1 5-6 , 2.чо,

4 — 1 J0-6 3-20 °4.Г5-“

— 1 а® П5__

1 60 + 2 60 I'd 60 “ ° 180 ~~

= 6 оё (у одного);

ОО

1 6 , о 8 , „ 9 «23

у него же: 1 12+2 12+3 12= 636

3. 315:30=1^ (у одной девочки).

. 55 13 „7 13 4 «7-7

4- 14~8=14-6-8=14^-68^==

= || — 6 § — 6 56 (У другой девочки).

3 3 11 —5 3- 8___ 6 5 _

1 8 5’ 8 — 5 5 —8~ 3 3 ~

= 1 (у одного)

6. 0,5-} 0,4 4-0,375 = 0,384.

Запись в черновике: 0,5

0,4
0,375
0,384

(у двух девочек, рядим сидящих).
7. По условию примера надо из 1 отнять

3 3,33-8

v Ученик решает:-р-—1-7г=?-з —

О • г 5 о 5-8

, 3-5 24-15 , 1 . .

-18^==-40“=14б (У одного)

4 39.5

8. 1 -=-:3 =——= 15; он же обращает в не-
о о

правильную дробь: 1 g- = 11 •

9. 1 -^- = 9; 1 -|- = 11 (у одной девочки;она
О о

сидела далеко от допустившего такую
же ошибку в предыдущем примере).

10. 0,5 4-0,4 4-0,375 = 0,01275;

запись: 0,5 (у двух мальчиков,

0,4 рядом сидящих)
0,375

0,01275

fi 3 о 2 ___,3-5 ~ 2-8

IL 1 8 — 3Т = 18^~Ь-5’ =

15+16 31 .

= —эд— = 40 (У одного мальчика).

12. Он же продолжает:

531.5J_____23].51_231 10_ ^10

40'°10~ 40 '40 ~51 :40~ 1 2040'

,,,, 3 3 , 3-5 3-8 ,

73' 1 8‘—5 = 18+~Г8 = 1 =

15 + 24 39. „ ,

= —эд—= эд(у одной девочки).

Можно еще привести примеры безграмот-
ности, но и этого, пожалуй, вполне доста-
точно, чтобы показать, как неблагополучно
обстоит дело с арифметикой.

Кто же эти ученики, допустившие приве-
денные ошибки?

Ошибку под № 5 допустил мальчик; в V
классе он учится первый год; IV класс окон-
чил в школе при Петровском руднике (Дон-
басс).

Под № 6—две девочки; они окончили
греко-русскую начальную школу в Кучук-
Ламбате, Алуштинского района.

Под № 8—мальчик; поступил в нашу школу
месяца полтора назад со справкой Таллин-
ской ШКМ Белгородского района (ЦЧО).
Школа запросила характеристику этого
ученика,— ответа до сих пор не последовало;
между тем, этот ученик па испытаниях по
всем дисциплинам получил „неудовлетвори-
тельно“.

Под № 9 — девочка; три года сидит в V
классе; первые два года ничего не делала,
на третьем году стала учиться на „хорошо®
и „очень хорошо“.

Под № 10 — мальчик, второгодник; пос-
тупил из местной греческой школы; первый
год проучился до мая; две четверти этого
года учился в 14-й неполной средней школе
в Симферополе и с началом III четверти снова
возвратился в нашу школу. Все остальные —
из местной русской начальной школы.

Было бы, конечно, неверно говорить, что
все, поступающие в V класс — - слабые уче-
ники. Совсем нет. Среди них есть и очень
хорошие, успевающие и по арифметике и
по другим дисциплинам, но это те ученики,
за которыми наблюдают, помогают и кон-
тролируют дома их работу; это те ученики,
у которых есть свои природные способно-
сти, свое природное стремление не останав-
ливаться на полдороге, доводить работу до
конца, упорно отыскивая твои ошибки и
критически относясь ко всей своей работе
в целом. Беспомощных, менее стойких, менее
способных, казалось бы, должна была бы
направить и развить школа, но, к сожалению,
эта работа проводится не всеми, не всегда
и не везде.

Чем же объяснить эти грубые ошибки,
это недопонимание арифметики как одного
из важнейших разделов для дальнейшего
изучения математики?

Безусловно, это объясняется теми недо-
статками и недомоганиями, перечисленными
раньше, которыми страдает большинство по-
ступающих в V класс, — отсутствием того ма-
тематического развития, которое, как воздух,
необходимо каждому школьнику. Какие усло-
вия порождали эти темные пятна? Что и
сейчас еще дает им право граждане гва в
наших школах?

Целый ряд причин приводил и еще при-
водит к печальным результатам успеваемости
школьников.

1. Никуда негодные показатели учебы, как
отрыжка прошлого, тянутся еще с тех
пор, когда в школах слишком рьяно, „без
меры в длину, без конца в ширину®, без
хотя бы внутренней критики, проводили ком-
плексы и проекты на манер американских,
вроде „Поможем тете Мариетте вырастить
картофель® и т. п.

2: Не может быть достаточно хороших
показателей учебы там, где работа каждого
педаюга и школы в целом со всем ее руко-
водством проходит в „замурованном
состоянии®, протекает в своей соб-
ственной скорлупе, несмотря на пол-
ную возможность обмена опытом, вообще
связи с другой школой, родственной первой.

3. А от с у т ст ви е к о н т ро л я работы
учителя, с точки зрения методической пра-
вильности в постановке педпроцесса, не яв-
ляется ли темной стороной большинства на-
ших школ? Безусловно является.

4. А разве на этой почве не порождаегся
безответственность в работе? Вне
всякого сомнения она стимулируется отсут-
ствием контроля, что раньше всего отража-
ется на методике уроков; правильно постав-
ленная методическая работа либо
отсутствует либо принимает уродливую фор-
му, когда подменяется зачитывани-
ем рабочих планов, сплошь и ря-
дом заполненных заголовками из
программ и учебников, а самый
педпроцесс пускается на волю
волн, так как для многих он — terra incog-
nita (незнакомая область).

5. К следующему существенному недостат-
ку надо отнести—для многих школ — от-
сутствие живой творческой ра-
боты, которая, безусловно, служит стимулом
хороших показателей учебы, так как вызы-
вает желание, работоспособное настроение,
не утомляет, а, наоборот, сокращает каждый
академический час работы. Кому не знакома
картина Бельского „Устный счет“? Сколько
в ней переживаний на лице каждого школь-
ника. А это дается не сонной проработкой
материала, к тому же подчас случайного, а,
может быть, и недоступного детскому пони-
манию.

6. Нельзя также пройчи мимо вопроса
смены учителей. Иногда это является
необходимостью, и возражать тут или не
одобрять — не приходится. Иногда же игно-
рируются интересы школьников и интересы
дела вообще и „без вины виноватый" педа-
гог, только потому, что не оказался в фаворе
у заведующего школой или ОНО, намеча
ется к перемещению — „для пользы дела"
или „на укрепление района". И хорошо,
если об этом только поговорят, ограничатся
лишь трепкой нервов педагога, не дадут ему
спокойно использовать свой летний отдых;
но бывает и хуже, когда необоснованные
перемещения приводятся в исполнение, и
страдает от этого и педагог и, в первую оче-
редь, то дело, которое, быть может, он с
трудом наладил. Такие случаи смены учите-
лей ничем не оправдываются и достойны
осуждения.

7. Наконец, немаловажным фактором в
деле достижения хороших результатов учебы
является участие родителей в жизни
школы. Зачастую оно совершенно ничтожно.
Некоторых родителей ни за что не дозовешь-
ся в школу. Казалось бы, довольно им
стоять в стороне и все надежды
9 Математика физика J* 4

по обучению и воспитанию своих
детей исключительно возлагать
на школу. Довольно им быть безу-
частными и безответственными
за качество будущей смены, буду-
щих строителей новой жизни.

8. Переходя к последнему моменту, во-
просу программы, надо отметить, что в
1933/34 учебном году неоднократными по-
становлениями и директивами партии и пра-
вительства много ненормальностей изжито и
изживается, и год будет закончен, несомнен-
но, с лучшими показателями. Но для даль-
нейших завоеваний на фронте нашего просве-
щенческого производства необходимо будет
пересмотреть программы.

Грограмму по математике в на-
чальной школе надо считать без-
условно перегруженной. К изуче-
нию дробей приступают с III класса, т. е.
тогда, когда дети еще недостато шо овладели
целыми числами, и потому многое из раздела
о дробях не доходит до их сознания; к то-
му же надо принять во внимание и их воз-
растные особенности.

Поэтому в начальной школе прочно зало-
жить фундамент всей математики это — тео-
ретически и практически прора-
ботать раздел о целых числах со
всей терминологией, с развитием тех-
ники устного счета до 1000, с обяза-
тельным умением решать задачи с соста-
влением к ним планов и объяснений, стно
и письменно.

Это, безусловно, дает математическое раз-
витие и будет способствовать развитию во-
обще.

Раздробление, превращение и все четыре
действия над метрическими мерами надо также
включить в программу начальной школы.
Сюда же — порядок действий и скобки.

Дальше. Делимость чисел, дроби
обыкновенные и десятичные итео-
рию отношений и пропорций пере-
нести в программу V класса. Выгоды
этого:

1) на хорошем фундаменте целых чисел
легче будет прорабатывать раздел о дробях,
да и возраст детей будет старше;

2) материал будет для детей новым, за-
хватывающим, а не наскучившим; ему, несом-
ненно, будет уделяться детьми должное вни-
мание. Таким образом, разгружая программу
по арифметике в начальной школе, мы раз-
гружаем и программу V класса: не будет
надобности начинать с обозначения и чтения
числа, а с делимости чисел, что дает эконо-
мию во времени месяца полтора, если не боль-
ше. На случай опасений, что все же нехва-
тит времени на проработку дробей, поскольку
дробя будут прорабатываться детьми впервые,
можно будет учебную сетку по математике
несколько увеличить, и vies в виду пройти в
V классе элементарные сведения из геомет-
рии в прежнем объеме.

Буквенные выражения перене-
сти нашесгойгод обучения: програм-
ма по алгебре в VI классе не перегружена,

и весь программный материал свободно
укл , цыгается до 10 мая

Возможно, что предлагаемый мной проект,
как вопрос принципиальный, нуждается в
изменении. Но что какое-то перераспределе-
ние материала по арифметике между классами
должно быть, так как диктуется необходи-
мостью, то это — вне всякого сомнения,
потому что без прочного здорового фунда-
мента крепких знаний не построить*.

МОДЕЛЬ ДЕЙСТВИЯ ГЕНЕРАТОРА ПОСТОЯННОГО ТОКА

И. МАЛЫШЕВ {Ленинград)

В курсе электричества, который изучается
в средних школах, одно из затруднительных
для объяснения явлений — это процесс изме-
рения э.д.с. в витке при повороте его ^в
магнитном поле на 360°.

Не менее трудным является и объяснение
действия коллектора в генераторе постоян-
ного тока как своего рода выпрямителя пе-
ременного тока. Испытывая на собственной
практике отсутствие достаточно наглядного
пособия подобного рода, я попытался само-
стоятельно построить модель, на которой с
одновременной демонстрацией изменения
э. д. с. во вращающемся витке при пересе-
чении им магнитных силовых линий, демон-
стрируется действие коллектора, а также
легко объясняется синусоидальное изменение
э. д. с. в витке.

1. ПРИНЦИП УСТРОЙСТВА

По окружности между изображениями
магнитных полюсов вращается пластинка с
карманными лампочками по концам, в цепи
которых находится сп.щиальный реостат. По-
ловина окружности по вертикальному на-
правлению заклеивается, скажем, прозрачной
красной бумагой и половина — син й. Если
вращать лампочки по другую сторону бумаги
между полюсами магнита, при этом пере-
ключая реостат так, чтобы в противоположных
точках вертикального диаметра лампочки
гасли,а в противоположных точках горизон-
тального диаметра горели наиболее ярко, в
промежутках же в 90э яркость постепенно
падала снова до полного угасания, то полу-
чится впечатление усиливающегося значения
э. д. с. При пересечении витком магнитных
силовых линий под углом 90° постепенное
ослабевание и полное исчезновение в момент
движения витке вдоль силовых линий.

1. Угловая панель.

Модель делается в виде угловой панели,
вертикальная доска которой выпиливается из
хорошей фанеры толщиною в 5 мм. Для
основания выстругивается доска размером
в 270 мм X 95 мм X 25 мм из березы или
ели.

Доска распиливается вдоль на две части
по ширине 30 мм и 65 мм, затем свинчи-

вается двухдюймовыми шурупами вместе
с вертикальной панелью (черт. 1).

На фанере делается разметка острым цир-
кулем или карандашом по чертежу 1 и по
окружности просверливаются отверстия в ко-
личестве 16 диаметром d = 10 мм центро-
вой паркой. После изготовления вся панель
отшкуривается мелким номером стеклянной
бумагой и протирается тряпочкой с каким-
нибудь маслом.

2. Реостат.

Для реостата вырезается из фанеры круг
(способом, изображенным на черт. 2) диа-
метром d =90 мм, и от центра к краям

* В настоящее время программ по арифметике
в начальной школе Наркомпросом изменена и, в
общем, в том направлении, какое предлагает автор
статьи. Редакция.
проводятся карандашом 16 радиусов на'рав-
ном расстоянии друг от друга. Затем из цен-
тра круга описываются две окружности ра-
диусами в 25 мм и 35 мм, которые пере-
секут радиус круга (один из 16) в двух
точках, где и просверливаются отверстия

Черт. 2.

d = 1,5 мм, всего 32. Эти отверстия будут
служить для крепления -'контактов, изготов-
ляемых из медной проволоки </ = 1,5 мм.
Проволочные контакты (при помощи плоско-
губцев) сгибаются в форме буквы. П, проде-
ваются в отверстия в диске, а с другой сто-

роны один конец от края диска сгибается
ударами молотка. Второй конец слегка под-
гибается навстречу первому (черт. Зс). После
смонтирования всех 16 контактов их нужно
сверху немного спилить напильником на
плоскость (черт. За, Ь, с).

Черт. 4.

Для сопротивления берутся две катушки
балалаечных струн и наматываются на изо-
ляцию гуперовского прово1 a d — 5—Я мм
и длиною в 260 мн. Мотать нужно очень
плотно (но не виток к витку), иначе вся
проволока не вместится на гупер. Намотан-
ное сопротивление с отводами видно на чер-
теже 4а. Первая секция имеет сопротивление
9*

в 2 раза больше, чем две последующие и
отдельности.

Сопротивтение~укрепляется с задней сто-
роны диска между краем его и окружностью
контактов (черт. 4 Ь.). Соедийения произ-
водятся х< рошо изолированным проводом
ПБД — 0,5 по схеме чертежа 5 с примене-
нием пайки. Диск с реостатом укрепляется
с 'задней стороны панели при помощи теле-

фонного гнезда, пропущенного через центры
реостата и панели. С передней стороны пос-
ледней холостые контакты реостата пр и этом
должны встать против отверстий по верти-
кальному диаметру, а контакты с проводом
для клеммы - - против отверстий по горизон-
тальному диаметру. С задней стороны на
горизонтальной панели укрепляются 2 клеммы,
к которым подводятся провода от горизон-

Черт. 6.

тальных контактов и телефонного гнезда
(схема черт. 5). При монтаже реостата нужно
прослецить, чтобы не соединялись пересека-
ющиеся провода.

3. Разрез вигка с коллектором.

Устройство витка с коллектором ясно
видно из чертежа 6. Остается сказать, что
планка с отверстиями делается из жести.
Барабан коллектора—из березы или другого
хорошего дерева. К середине планки в цен-
тре ее припаивается гайка, свинченная
с клеммы, которая будет служить осью для
всей вращающейся системы. Планка крепится
к барабану при помощи маленьких шурупов.
Можно изготовить такой же виток, только
барабан должен будет изобразить полюсные
кольца, для наглядности имеющие различный
диаметр. Устройство такого витка видно из
чертежа 7.

4. Вращающиеся ла'мпочки.

Дтя крепления всей вращающейся системы
берется клемма с карболитовой головкой.

На ней монтируется ползунок с пластин-
ками для контакта с лампами и пластина

с самими лампами, i ричем последняя должна
соетиняться с телом клеммы, а первая изо-
лируется от нее. Все части делаются из
кровельной жести но чертежу 8 а, Ь, с. Изо-

Отеерстие
для ламлочни

Черт. 8.

лятором берется кусочек киноленты илитон-
кий картон. Собранная деталь проверяется
на элемент, нет ли соприкосновения тела клем-
мы и ползунка. Подробности сборки вид гы из
чертежа 8с. Щетки показаны на чертеже 9.

5. Сборка и окраска модели.

Все изготовленные части модели собира-
ются на вертикальной панели; с передней
стороны ее навинчивается на пропущенный

с задней стороны винт клеммы виток с кол-
лектором. Укрепление щеток видно на чер-
теже 10.

Собранная модель проверяется. К клеммам
присоединяют батарею элементов в 4—4,5
вольт и начинают вращать лампочки, при
этом отверстия витка с коллектором должны
приходиться против лампочек.

Черт. 9.

Последние должны ярко гореть в горизон-
тальном положении, и постепенно свет ослабе-
вает до полного угасания при вертикальном
положении лампочек.

После исправления тех или иных дефек-
тов, обнаруженных при проверке, модель
окрашивается масляной краской. Общий

Черт. Ю.

тон — белая краска. Магниты — красные. Ви-
ток катушки — зеленый. На полюсах магни-
тов делаются надписи 5 и N — синей или
черной краской. С задней стороны отверстия
заклеивают красной и синей бумагой (про-
зрачной), и модель готова к употреблению.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ

В. КЮНЦЕЛЬ (Пермь)

Для определения абсолютного показателя Отсюда нетрудно вычислить искомый по-
преломления жидкости можно силами любой казатель преломления:
школы изготовить весьма простой прибор,
дающий вполне удовлетворительные резуль- fga __ я

таты эксперимента.

Предлагаемый прибор (черт. 1) представляет л ОВ

ванну,' на дне которой находится линейка KT^F~OF

Черт. 1.

АВ (например, молочного цвета шкала от
сломанного термометра).

При помощи другой линейки OD с двумя
диоптрами можно легко уловить деления
шкалы АВ.

Положим, наблюдатель видит, когда в
сосуде еще жидкости нет, л-е деление
шкалы.

Налив в сосуд испытуемую жидкость, он
амечает уже не л-е, а лг-е деление.

„ n-OF

Откуда КВ=—ОВ~ ’

, □ т — KF

Н° = OB—F-

Зная аи[], находим искомый показатель
х по формуле: sira

х = —=-.
sinp

Величины ОВ и OF находятся при помощи
скрепленной с ванной боковой линейки ОВ.

Ю Математика л физика Л» 4.
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ. ХРОНИКА

ИТОГИ ЛЕНИНГРАДСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОЛИМПИАДЫ

Проф. И. ЧИСТЯКОВ (Москва)

1. Весною текущего 1934 г. Ленинградский
государственный университет нм. А. С. Бубнова
устроил среди оканчивавших в этом году в Ле-
нинграде среднюю школу, т. е. рабфаки и девя-
тилетку, математическую олимпиаду. Главной
целью олимпиады был смотр и выявление молодых
дарований в области математических наук; попутно
имелось в виду вызвать повышенный интерес
к содержанию преподавания математики среди
учащих и учащихся, а также сделать ряд наблюде-
ний над постановкой обучения математики в сред-
ней школе. Олимпиада была проведена весьма
продуманно и серьезно. Для осуществления ее
был организован особый комитет в составе пред-
седателя — профессора ЛГУ Б. Н. Делоне, ряда
других профессоров и преподавателей универси-
тета и других учебных заведений, а также пред-
ставителей гороно, партийных и общественных
ср1анизаций; большое содействие олимпиаде ока-
зала ленинградская печать. Олимпиада была раз-
бита на три тура. Первый тур был организацион-
но-подготовительным. Он заключался в популяри-
зации устраиваемого соревнования, информации
о его задачах и целях среди учащихся и препо-
давателей Ленишрада и в установлении связи
с учебными заведениями. С этой целью были рас-
пространены: особое воззвание ко всем учащимся
старших классов средней школы с объяснением
целей олимпиады и способов ее проведения, а
также листок с задачами, которые могли бы слу-
жить ориентировочным материалом для будущих
участников олимпиады. Задачи эти были средней
трудности — из области алгебры, геометрии и
тригонометрии, по требовали некоторого повышен-
ного математического развития и сообразитель-
ности. В то же время комитет обратился к учебным
заведениям с предложением выделить для участия
в олимпиаде сильнейших по математике из окан-
чивающих курс в текущ м году в количестве 3 че-
ловек на каждый класс девятилетки, 5 человек —
из каждой группы рабфаков и 10% из общего
числа обучающихся на курсах по подготовке
в вузы. Инициатива комитета была встречена,
в общем, весьма сочувственно, и учащиеся, коман-
дированные школами, приняли участие во втором
туре олимпиады, носившем характер отборочного
испытания для окончательного участия в соревно-
вании. На этом испытании, состоявшемся 18 ап-
13ч

реля 1934 г. в здании Ленинградского университета,
командированным учащимся, которых явилось
307 человек (в том числе 178 школьников и 129
рабфаковцев), были предложены для решения
каждому три несложных задачи: по алгебре — па
решение уравнений, по планиметрии — на дока-
зательство и по стереометрии с тригонометрией —
на вычисление. Задачи были настолько нетрудные,
что умение решать их еще не обеспечивало бы
возможности нормально работать на 1 курсе втуза,
не говоря уже о физмате университета; в них
не входили и вопросы из более трудных отделов
элементарной математики, как .вы: теория соедине-
ний, бином Ньютона, тригониометрические уравне-
ния, задачи на построение, решение треугольников
и пр. Однако эти задачи сильно затруднили явив-
шихся учащихся; все три задачи без всяких не
дочетов решили только 14 участников; с некото-
рыми недочетами их сделали еще 28 человек,
а с более серьезными дефектами — еще 20 человек.
Эти 62 человека и были допущены к участию
в третьем, окончательном туре олимпиады, причем
с ними предварительно были проведены при ЛГУ
специальные дополнительные занятия, состоявшие
в решении специально сос (явленных задач, чтении
лекций, разъяснении некоторых вопросов и пр.
Из допущенных к окончательному соревнованию,
которое было третьим туром олимпиады, явились
48 человек. На этом испытании каждому учаще-
муся было предложено по две задачи из различ-
ных областей математики, требующих, кроме
хорошего знания теории, некоторой находчивости
и сообразительности, а также исследования. Из
участников этого тура 11 человек были признаны
победителями; кроме того были премированы еще
10 человек ва хорошее решение задач.

Ввиду интереса, прздставляемого содержанием
задач третьего тура, мы приводим здесь текст
некоторых из них.

2. Основная задача олимпиады — выявить иаи-
лучших математиков из числа оканчивающих
в 1934 г. в Ленинграде среднюю школу — была,
таким образом, умело и целесообразно выполнена.
Но наряду с этим комитет по устройству олим-
пиады собрал, при изучении ее р.зультатов, весьма
об вирный материал, позволяющий судить о по-
становке преподавания математики в средних
школах Ленинграда, который лает возможность
в известной мере судить и о ведении препода-
вания математики в СССР вообще. Этот материал
был тщательно разработан в специально образо-
ванной комиссии, составленной из руководителей
олимпиады и ряда п иглашенных лиц под пред-
седательством профессора ЛГУ Г. М. Фихтенгольца.
Кроме материалов, полученных непосредственно
от второго и третьего ту ров олимпиады, комиссия
имела еще беседы с учащимися и с наиболее
компетентными преподавателя . и, ведущими заня-
тия в средней школе и на рабфаках, использовала
работу существующего при ЛГУ института по
повышению квалификации педагогов, а также
устроила обширное совещание из профессоров и
преподавателей ленинградских вузов, представи-
телен гороно, инструкторов районов и пр. В ре-
зультате комиссия составила обширную докладную
записку, в которой, на основании материаиов,
доста тленных олимп <адой и дополне! ных другими
путями, высказывает свое мнение о существую-
щих в настоящее время у нас недочетах в поста-
новке математического образования и о желатель-
ных мероприятиях для его усовершенствования.

Отметив, что олимпиада подтвердила надежды
университета, что среди учащейся мол .дежи
имеется много талантливых и одаренных матема"
тическими способностями лиц, комиссия в то же
время указывает, что среди участвовавших в со-
ревновании значительное большинство обнаружило
слабые знания по математике и, в особенности,
слабое математическое развитие. Несколько лучше
учащиеся производят вычисления, хотя в решении
задач по тригонометрии слаба и эта сторона, но
очень слабо вообще теоретическое развитие, и в
особенности — геометрическое воображение. Так,
в алгебраических задачах слабее всего учащиеся
оказываются там, где надо было применять ис-
следование, например в вопросах о равносиль-
ности уравнений и посторонних корнях; в задачах
на доказательство выявилось полное отсутствие
логичности у многих писавших, неумение рас-
суждать и правильно излагать свои мысли. Хуже
всего однако, обстоит дело с ра’витием простран-
ственных представлений, которое у большинства
учащихся чрезвычайно слабо развито. Эти выводы,
полученные при проведении олимпиады, нашли
подтверждение в работе комиссии и на основании
прочих, собранных ею, материалов. Оказалось,
что математический багаж абитуриентов нашей
средней школы является пока еще весьма скудным.
Не сообщая учащимся достаточного математиче-
ского развития, школы часто не дают даже и фак-
тического знания материала, установленного про-
граммой, ибо последняя нередко полностью не
выполняется.

3. Не имея возможности коснуться всех выво-
дов и предложений, сделанных комиссией, отметим,
что одной из причин отрицательных явлений в

10*

области математического образования комиссия
считает недостаточную квалификацию преподавате-
лей математики, — с этим нельзя не согласиться.
Так, даже в Ленинграде имеется 73°|0 преподавате-
лей начальных школ и 55°/0—средних школ без
высшего образования. Во многих же других горо-
дах Союза математику преподают лица, прошедшие
только семилетку или краткосрочные педагогиче-
ские курсы. Педагогические техникумы и педвузы
пока тоже еще выпускают преподавателей невы-
сокой квалификации, что объясняется слабой под-
готовкой поступающих в них студентов. Так как
при быстром росте в СССР числа школ количество
подготовленных преподавателей математики физ-
матами и педфаками еще долго будет отставать
от необходимой нормы, то желательно принять
меры для повышения квалификации уже имею-
щихся преподавателей. Следует уничтожить суще-
ствующую уравниловку и давать преимущества слу-
жебного и материального характера наиболее та-
лантливым, знающим и усердным педагогам. Крайне
необходимо прийти иа помощь учительству в его
работе изданием соответствующей учебной и науч-
ной литературы. В настоящее время источником
сведений по математике как для преподавателя, так
и для ученика является почти исключительно
стабильный учебник. Желательно издание матема-
тических хрестоматий, расширенных курсов по
элементарной математике, сборников и журналов,
из которых учителя могли бы черпать пополне-
ние и расширение своих математических сведений.

Подобно этому, желательно издание соответ-
ствующей математической литературы и, в частно-
сти, математических журналов для учащихся.
В каждой школе всегда имеется немало лиц, об-
ладающих математическим дарованием и интере
сующихся ею, но юлное отсутствие математиче-
ских книг и пособий не дает выхода этому инте-
ресу. Поэтому полезно было бы устройство школь-
ных и районных математических кружков—наподо-.
бие существующих уже шахматных, драматических,
физкультурных и иных. Большую пользу могло бы
принести устройство местных и районных сорев-
нований, по |бных организованной ЛГУ матема-
тической олимпиаде. Такие соревнования способ-
ствовали бы поднятию интереса к математике в
широких кругах учащих и учащихся. Отметим,
чти соревнования подобного рода, под именем
конкурсов, издавна проводите!, во Франции, где
они играют существенную роль и отношении
своевременного выявления наиболее одаренной
молодежи и общего повышения уровня математи-
ческого образования в этой стране.

В заключение своей докладной записки, которая
содержит, кроме уже приведенных общих поже-
ланий, много и иных разумных и полез тых пред-
ложений для улучшения постановки у нас препода-
вания математики, комиссия правильно указывает,

135
что ошибки и дефекты в преподавании математики
медленнее и тоуднее поддаются исправлению, чем
промахи в обучении другим предметам, и имеют
большое значение для народного хозяйства. Необ-
ходимо помнить, что работа школы в области
обучения математике есть часть работы над буду-
щим советской культуры, пауки, техники и народ-
ного хозяйства. Особенно важное значение работа
школы имеет для нормального комплектования
и нормальной деятельности советских техникумов,
вузов и, в особенности, университетов.

В общем, хотя устройство ленинградской олим-
пиады и могло бы быть в некоторых отношениях
подвергнуто критике, а выводы комиссии кое
в чем не свободны от сгущения красок, все же
нельзя не признать работу комитета по устройству
олимпиады и комиссии — весьма ценными, а за-
ключения их по вопросу о состоянии у нас пре-
подавания математики и о мерах для поднятия его
на более высокую ступень — заслуживающими са-
мого пристального и серьезного внимания.

ЗАДАЧИ, ПРЕДЛОЖЕННЫЕ НА ТРЕТЬЕМ ТУРЕ ЛЕНИНГРАДСКОЙ
ОЛИМПИАДЫ

1. а) Если а, Ь, с — стороны треугольника, то
корни уравнения:

62x2 + (62 -f- сп- — а2) х + <?2 — О,
будут мнимые.

Ь) Треугольник скользит по своей плоскости
так, что две его стороны все время проходят через
две неподвижные точки Показать, что третья сто-
рона сохраняет постоянное расстояние от третьей
неподвижной точки.

2. а) Пусть а и ₽ корни уоавнения х2 + />х
+ '1 = 0; у и 8 — корни уравнения х2 -|- qx + 1 = 0.
Показать, что:

(а _7) (р _ 7) (я + 8) (р + 8) = р2 + gi.

Ь) Пересечь заданную треугольную пирамиду
так, чтобы в сечении получился ромб.

3. а) Исключить х и у из уравнений asin’x -|-
+ Ь cos2 х = п и b sin2 у + a cos2 у = т.

Ь) Две окружность пересекаются в точках А и В',
через точку А проведена секущая окружностей
в точках Р и Q. Какую линию описывает середина
М отр 'зка Р и Q, когда секущая вращается около
точки Л?

4. а) Пай гн предел дроби:
tg(a + *)—tg(? —*)
ar с tg (a -t- х) — arc tg (a — x)
при x, стремящемся к нулю.

b) Две касательные к кругу неподвижны, а
третья катится по кругу. Доказать, что отрезок
третьей касательной, заключенный между первыми
двумя, виден из центра под постоянным углом.

5. Ь) Три грани трехгранногоугла с взаимно-пер-
пендикулярными ребрами пересекают шар по трем
кругам. Доказать, чтО“сумма площадей этих кругов
не изменится, если повернуть этот трехгранный
угол около его вершины так, чтобы его грани не
перестали пересекать шар.

6. а) Решить систему уравнений:

х2 = « + (_у—Z)2
j*2 = Ь + (z — х)2
w z2=f + (Х— >)2

Ь) Показать, что касательные к двум пересекаю-
щимся кругам, проведенные из произвольной точки
на продолжении их общей хорды, равны между
собой.

7. а) Доказать, что:

X + 2х2 + 3x3 .... _|_ Пхп =

nxt1-2 — (л -|- 1) Xя +1— X
= (1-Х)2 •

Ь) Расстояние произвольной точки окружности
от хорды есть среднее пропорциональное между
расстояниями от той же точки до касательных,
проведенных в концах этой хорды.

8. а) Если sec a sec Щ-tg з tg f=tg у, то cosg2-[^0.

b) Доказать теорему: прямые, соединяющие
вершины треугольной пирамиды с центрами тя-
жести противоположных граней, пересекаются в
одной точке, делящей каждую из этих прямых в
отношении 3:1.

О ПРИЕМНЫХ ИСПЫТАНИЯХ В МОСКОВСКИЙ ЭЛЕКТРОИНСТИТУТ
СВЯЗИ В АВГУСТЕ 1934 г.

Берг (Москва)

М.

Приемные испытания в Московский электро-
институт связи проводились соответственно с ука-
заниями .Справочника' ЦИК СССР.

На все время летних каникул была организована
консультация для лиц, намеревавшихся подверг-
нуться испытаниям, которая проводилась одним из
136

преподавателей института в начале лета по одно-
му разу, в конце — по два раза в шестидневку
и в достаточной мере была использована канди-
датами па прием в институт. Эта?'консультацня
была по преимуществу очная: письменных обра-
щений было счепь немного.
Самое испытание было письменное и устное.
Согласно разъяснению „Справочника", письменное
испытание имело в виду определение уровня на-
выков в выполнении арифметических действий,
алгеб[ аическпх и тригонометрических преобразо-
ваний, в алгебраическом решении конкретных
задач и умении разбираться в геометрических про-
странственных соотношениях. Было заранее со-
ставлено и в достаточном количестве отпечатано
восемнадцать вариантов тем, приблизительно оди-
наковой степени трудности: каждый из экзамено-
вавшихся получал на руки при начале письменного
испытания свой вариант темы. Каждый из вариан-
тов содержал 4 алгебраических задачи и 3 задачи
по геометрии и трегонометрии. За; ачи не требовали
для своего р« шения никаких сложных вычислений:
работа, на выполнение ко.орой давалось 4 часа,
была окончена наиболее сильными из кандидатов в
1 час, и даже немного меньше.

По алгебре предложены были такие задачи:
1) решение уравнения 1-й степени, требующее не-
сложных преобразований: сложения и вычитания
дробей, разложения на сомножители с примене-
нием простейших формул разложения, вынесения
за скобки общего множителя и группировк»
членов четырехчлена. Результат получался в виде
несложного дробного выражения, числовое значе-
ние которого требовалось определить при данных
числовых значениях входящих букв, выраженных
десятичными или простыми дробями—положи иль-
ными или отрицательными; 2) упрощение неслож-
ного выражения, в которое входили дробные и
отрицательные степени. Результат получался в
формах j/za или j или^/ -у.'дребовалосьвы-
числить этот корень с приближением до 0,01 при
данных числовых значениях букв, причем подко-
, еппое количество получалось в виде правильной
десятичной дроби с тремя десятичными знаками;
3) несложная задача на составление уравнений, не
труднее задач, имеющихся в сборнике Шапошни-
кова и Вальцева; 4) решение иррационального или
показательного или логарифмического у равнения,
не требуюшего применения 'таблиц логарифмов.

По геометрии: 1) упрощение тригонометриче-
ского выражения, приводящееся к применению
общеизвестных основных формул тригонометрии
(приведения тригонометрических функций к про-
стейшему виду аргумента,теоремы сложения ислед-
ствнй из нее, преобразований сумм и разностей
к логарифмируемому виду); 2) и 3) вычислитель-
ные задачи по планиметрии и стереометрии, в
одной из которых находила применение тригоно-
метрия.

Задачи требовали лишь безусловно обязатель-
ных для окончивших среднюю школу умений и
не предъявляли требований к находчивости и осо-
бой сообразительности экзаменовавшихся. Тем не

менее они с самого начала показались непосиль-
ными значительному проценту из лиц, допущен-
ных к испытанию: из общего чпела 800 с лишним
записавшихся бо iee 200 уклонились от испытания,
узнав от ранее экзагеновавшихся о характ< ре
предъявлявшихся кним требований. Но и среди лиц,
пожелавших экзаменоваться, около половины (59э о;
выполнило письменную работу хорошо или вполне
удовлетворительно, 18,6®J0 решило удовлетвори-
тельно задачи по алгебре и неудовлетворительно
по геометрии; 4,4<>/0— удовлетворительно по гео-
метрии и неудовлетворительно по алгебре, нако-
нец, 28°/о—неудовлетворительно по обоим разделлм.

Первая задача затруднила лишь наиболее сла-
бых, не справившихся даже с обычными рацио-
нальными преобразованиями или же допустивппх
в арифметических вычислениях грубые промахи,
но эта группа ошибок в большинстве работ не
встречается.

Действия над дробными и отрицательными сте-
пенями оказались недостаточно усвоенными у не-
сколько большего процента абитуриентов: некото-
рые, вместо того чтобы применить общие правила
действий над степенями, вводили др .бнсстн и ир-
рациональности, усложняя эгим вадачу, и запуты-
вались в выполнении действий. Некоторые не знают
извлечения корня, полагая, например, |Л),81 и
|/0,144 равными 0,09 и 0,12, и не понимают, что
корень из правильной дроби больше подкоренного
числа.

Задачи на составление уравнений давались очень
простые, например: „Миноносец может догнать на-
ходящийся от него на расстоянии 60 км крей< ер
в 10 часов. Причем миноносец проходит в -^-часа
на 3 км меньше того расстояния, которое крей-
сер проходит в полчаса. Определить скорости
и того и другого". Или: „1 кг чгя и 1 кг кофе
стоят 108 руб. Если бы цепа чая повысилась на
100и, а цена кофе понизилась па 25о,о, то за
то же количество чая и кофе пришлось бы за-
платить 102 руб. Определить цену 1кг чая и 1 кг
кофе в отдельности". И все-тгки более не
решили таких задач.

Меньше всего ошибок в последней задаче по
алгебре, хотя в некоторых случаях правильного
хода решения не отброшены корни, приводящие к
логорифмам отрицательных чисел или к отрица-
тельному значению кс рвя, понимаемою как ариф-
метический, т. е. положительный, корень.

Задачи по геометрии и тригонометрии, как вид-
но из вышеприведенных цифровых данных, за-
труднили экзаменующихся значительно больше
алгебраических.

Чисто тригонометрические преобр 1зования (за-
дача № 1) выполнены большинством экзамено-
вавшихся (кроме слабейших) удовлетворительно.
Из планиметрических задач оказались трудными
137
такие: .Основания равнобедренной трапеции даны
и содержат а и b единиц. Диагонали трапеции
взаимнс-перпендикулярны. Определить площадь
трапеции'. Или: «Периметр правильного вписан-
ного в круг девятиугольника равен Р. Определить
периметр правильш то девятиугольника, описан-
ного около того же круга'. Очевидно, абитуриенты
средней школы во многих случаях не имеют на-
выка в определении весьма простых зависимостей
между элементами геометрических фигур. Н о
хуже всего обстоит дело с простран-
ственными представления миучаших-
ся. Задача: „Определить поверхность куба, впи-
санного в шар радиуса R' — решена неверно
большинством из решавших ее. Набросав очень
Небрежг ый чертеж, многие из экзаменовавшихся
вообразили, что ребро куба равно R УзГРешая
задачу: «Около шара радиуса R описан ко-
нус, высота которого равна Н. Определить
объем конуса', некоторые вообразили, ру-
ководствуясь наброса’ ным ими чертежом, что
конус—равносторонний и что его образующая
делится пополам в точке касания с шаровой
поверхностью. Особенно затруднила задача: «Опре-
делить объем прямого параллелепипеда, описан-
ного около шара радиуса R и имеющего в осно-
вании ромб с острым углом а'. Выражение:
«Образующая конуса видна из центра описанного
шара под данным углом а“, встречающееся в тек-
сте одной из предложенных задач, оказалось
непонятным для значительной части решавших
эту задачу; пришлось растолковать этот термин,
который, конечно, должен быть вполне понятным
для всякого абитуриента школы.

Наилучше подготовленны"ми оказа-
лись все-таки окончившие москов-
ские рабфаки и некоторые из моско в-
ких школ, притом последних выпус-
ков. Провинциальные учебные за-
ведения дали наибольшее число
уклонившихся от испытаний или со-
вершенно не справившихся с зада-
чами.

На устном испытании предлагались в первую
очередь вопросы в связи с ошибками, допущенными
в письменной работе, имеьшпе целью выяснить,
зависят ли они от непонимания сути дела или же
являются более или менее случайными. После
этого предлагалось экзаменующимся подготовить
ответы по теоретическим вопросам из алгебры,
геометрии и тригонометрии. Притом совершенно

не ставились вопросы чисто принципиального
характера, например по алгебре о сущности отри-
цательного или иррационального числа, о степени
с иррациональным показателем и т. д.; по геомет-
рии— о построении теории параллельных, о при-
менении метода пределов; по тригонометрии — о
распространении выводов основных формул пре-
образований на углы произвильной величины.
Выводы из отдела комбинаторики предлагались
только сильнейшим из экзаменовавшихся и то не
всегда с полным успехом. Проверялось по-
нимание тех разделов курса, которые
имеют непосредственное примене-
ние к практике математических вы-
числений. Благодаря такому ограничению уст-
ные испытания дали значительно более благо-
приятные результаты, и приблизительно половине
неудачников удалось поправиться на устном ис-
пытании. Все же 28,£>о/о общего числа экзамено-
вавшихся признаны неподготовленными По алгеб-
ре некоторые из кандидатов не умели обращаться
с радикалами, ошибались в формальном логариф-
мировании, не отдавали себе отчета в свойствах
десятичных логарифмов, обнаружили неумение
исследовать корни квадратного или биквадратного
уравнения, не могли вывести формулы суммы чле-
нов прогрессии. По геоме грии давались доказатель-
ства планиметрических теорем в малопоследс натель-
ной форме. Большинство экзаменовав-
шихся затрудняется в решении ос-
новных задач на геометрические по-
строения. Доказательство простейших стерео-
метрических теорем приходилось предлагать с
большой осторожностью, и даже фактическое зна-
ние основных стереометрических соотношений
оказалось крайне бедным. Ответы по тригоно-
метрии в указанных выше скромных рамках были
гораздо лучше.

Сравнивая истекшие испытания
с прошлогодними, все"-таки можно
отметить некоторый успех: уменьшился
процент совершенно неподготовленных, и в этом
смысле уровень познаний абитуриентов средней
школы показывает небольшое повышение. Ос-
тается надеяться что это повышение пойдет более
быстрым темпом и что возможно будет — парал-
лельно— повысить требования, предъявляемые
к поступающим в высшую школу, с тем, чтобы
обеспечить ее контингентом студентов, вполне под-
готовленных к усвоению серьезного и достаточно
обширного курса высшей математики.
ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЕ

Д. ГОНЧАРОВ

Во многих педагогических журналах рассеяны
отдельные статьи и заметки го вопросам препода-
вания математики в начальной и средней школе.
Однако в подавляющем большинстве случаев этот
материал остается неиспользованным. А между тем
многое могло бы пригодиться педагогу-практику,
преподавателю методики математики в педтехни-
кумах и пединститутах, инструкторе и-методистам,
студентам педагогических учебных заведений и т. д.
Конечно, не все статьи равноценны: есть хорошие,
удачные, есть вызывающие дискуссию, есть, разуме-
ется, и такие, которые требовали бы и отрицатель-
ной характеристики. Имея в виду все это, нам ка-
жется неплохим на первых порах хотя бы кратко
информировать о том, что есть на страницах педа-
гогических журналов по вопросам преподавания
математики. С этой целью для начала избираем
журнал „Начальная школа* за 1934 г.

„НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА"

Орган управления начальной и средней школы
Наркомпроса РСФСР.

1934 г. январь, № 1.

1. А. П ч е л к о —„Элементы наглядности при
обучении арифметике", стр. 12—15. В статье вы-
сказаны общие соображения о значении принципа
наглядности и о том, что этот принцип занимает
и должен занимать одно из главных мест в препода-
вании математики. Автор заканчивает свою статью
правильным указанием на то, что, учитывая значе-
ние наглядности н проводя ее в своей практиче-
ской работе, учитель облегчит учащимся усвоение
программного материала и создаст предпосылки
для развития отвлеченного мышления у ребенка.

Февраль, № 2.

2. Л. Володина—„О проработке нумера-
ции в пределе 1000", стр. 25—27.

Статья написана по материалам Центральной
педагогический лаборатории 11аркомпроса. В статье
дается достаточно полная схема уроков на тему
„Нумерация в пределе 1000* из практики опытной
школы Наркомпроса им. Горького в Москве. Кроме
того в статье приводится дидактический материал
в виде цепей из шариков, надетых на нитку, пало-
чек и связок палочек. Описание такого урока может
помочь рядовому учителю в его повседневной ра-
боте и подвести ито!и своему собственному опыту.
По году урока можно сделать ряд замечаний.

3. П е ч е р н и к о в а И. —„Проверочные испы-
тания по математике*, стр. 28 - 32.

Автор статьи рассматривает вопросы, связанные
с целью испытаний по математике и методикой
проведения самих испытаний. В основу построения

(Одесса)

этой методики автор кладет следующие три педоло-
гические предпосылки: 1) создание у учащихся
сознательного отнои ения к испытаниям по мате-
матике; 2) создание у учащихся интереса и 3) по-
сильность знаний для учащихся. Автор статьи
вдумчиво и внимательно подходит к ряду методи-
ческих и психологических вопросов.

4. Д. В. —„Обзор методических, педагогиче-
ских пособий по математике', стр. 4G—48.

В этом обзоре даются краткие аннотации на из-
вестные книги: 1) А. М. Воронец—„Очерки по
методике математики для I ступени*, изд. 1926 г.;
2) Д. Л. Волковский — „Методика целых чис ;л*,
изд. 1С33 г.; 3) И. Н. Ка в у н—„Какобучать геомет-
рии в школе I ступени*, изд. 1927 г.; 4) А. И. Го л ь-
денберг—„Беседы по счислению*, Гиз, 1923 г.;
5) Лебедев — „Как научиться самому измерять
землю*; 6) Г. Б. Поляк—„Основные вопросы
методики арифметики*, изд. 1929 Г. 7) Дче книги
Торндайка—„Новые методы преподавания
арифметики*, и „Психология арифметики*, и ряд
других, всего 14 названий. Все эти книги предлага-
ются вниманию учителей, причем делаются те или
иные предупреждения.

5. М. Скарюкин — „Как оживить уроки
устного счета', стр. 43.

Маленькая заметка на страничке „Рационализа-
торских предложений*. Предлагается такой прием:
кто решит поднимает руку и идет за доску напи-
сать, какой у него получился ответ. При правиль-
ном ответе фамилия этого ученика записывается
на доске.

Едва ли такому приему можно сочувствовать.

6. Из блокнота методиста. „Как облегчить усво-
ение арифметической терминологии', стр. 43.

Предлагается довольно искусственный и наду-
манный прием: для закрепления терминологии на
уроках устного счета спрашивать не готовый
ответ, а примерно так: „Скажи сумму всех цифр
ответа*, „Скажи разность цифр в ответе*.

Предложение автора заставляет сомневаться в
целесообразности такого приема.

Март, № 3.

7. Л. Володина —„Развитие умения решать
задачи', стр. 28—33.

Тема статьи в достаточной мере соответствует ее
содержанию, предста рляющему изложение опыта
работы во II классе опытной школы им. Горького
в Москве. Статья представляет определенный инте-
рес в смысле исканий и пробы систематизации
основных приемов проработки простых и сложных
задач. В этом ценность статьи. Однако сама система-
тизация и сами ее основания довольно примитивны.
Тем „е менее, автор статьи производит впечатле-
ние живого, ищущего, вдумчивого педагога.

8. С. К а ч к а е в — „Как решать сложную за-
дачу в VI классе", стр. 33—о5.

Статья представляет собой конспект урока на
тему: «Решение задачи с постановкой вопросов1.
Разработана задача из „Сборника упражнений"
ч. 2-я, Поповой. Разработку конспекта можно
считать в общем удовлетворительной, хотя по по-
воду отдельных мест конспекта .ложно сделать ряд
замечаний.

9. Н. Конобеевский — .Наглядные посо-
бия по математике (объемные)", стр. 54 —56.

В статье дастся описание объемных наглядных
пособий, изготовляемых заводами Главучтехпрома
Наркомпрпса РСФСР. Описываются такие пособия:
1) классные счеты, 2) ученические счеты, 3) ариф-
метический ящик, 4) весы Беранже, 5) метр не-
складной, 6) мерные кружки, 7) часовой цифер-
блат, 8) набор геометрических тел, 9) классные
чертежные принадлежности, 10) ученические чер-
тежные принадлежности.

10. И. Кили ко в—„Упрощенный способ про-
верки умножения и деления многозначных чи-
сел", стр. 53.

Предлагается общеизвестный способ проверки
девяткой без всякого обоснования этого способа и
«скрытия его сущности.

11. М. К. Студицкий —,0 записях по ариф-
метике", стр. 53—54.

Предлагается при записи деления отказаться от
кавычек (°) и черточек (==) и пр. Предложение
правильное по существу, но обоснование этого
предложения у автора слишком мудреное.

Апрель, № 4.

12. О. А. Пчел ко—,Как провести испыта-
ние по математике в III и IV классах",
стр. 13—14.

Исходя из указаний иистру:щии Наркомпроса о
проведении проверочных испытаний, автор статьи
указывает, что в практике проведения проверочных
работ наблюдались и случаи снижения програм-

мных требований и случаи перегрузки учащихся
материалом в письменных работах. Учитывая нако-
пившийся опыт, автор предостерегает от возмож-
ных ошибок в проведении испытаний, считая, что
проверка должна отразить все разделы программы,
соответственно этому,— умения, навыки и развитие
учащихся. Для отделов народного образования
результаты испытаний должны дать материал для
сравнительной характеристики школ н учителей.

13. М. Осипцев — „Как использовать нг
уроках математики цифровой материал до-
клада т. Сталина", стр. 15—18.

Из практики опытной школы нм. Радищева в
Москве автор описывает три основных урока в IV
классе, на которых был использован наиболее яркий
цифровой материал доклада т Сталина на XVII парт-
съезде. Описание уроков в достаточной мере под-
робное; план и ход уроков продуманный и прове-
денный в общем удачно. Опыт автора может быть
полезен работникам начальной школы в смысла
умения естественного и удачного подхода к ряду
вопросов социалистического строительства па уро-
ках математики, не впадая при этом в „ко тплекс-
ность".

14. С. К а ч к а е в — „Измерительные работы
на местности и съемка аланов в III и IV клас-
сах", стр. 19 -25.

В статье описаны измерительные работы, преду-
смотренные программами по математике для началь-
ной школы. Автор правильно отмечает, что без
измерительных р'.бот на открытой местности „уче-
ник познает пространство только на чертеже книги
или тетради, не получая конкретных представлений
об аре, гектаре, километре, не умеет читать мест-
ность, не может ориентироваться по плану, по ком-
пасу". В статье описаны три работы для III класса
и пять работ для IV класса. Несмотря на кажу-
щуюся простоту, некоторые работы не л°гки для
учащихся III и IV классов. Мало уделено внимания
предварительной подготовке к работам на местно-
сти, а от этого зависит успех самих работ.

(Продолжение следует).

МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ БИБЛИОГРАФИЯ ПО ТЕМАМ

В. МОРЕВ (Ленинград)

Относительные чиста

1. Гурьев, П., Предварительные упражне-
ния в алгебре, входящие собственно в состав ал-
гебраического языка. „Пед. журнал", ч. VI, Спб.
1884, III, стр. 169 — 181.

2. Четыре алгебраические действия. „Учитель".
Спб. 1862, VI, стр. 254 — 255, VII, стр. 299: XII —
XIV, стр. 60и -603.

3. Евтушевский В. А. Несколько уроков
для выяснения материала и метода преподования
140

пропедевтики алгебры. „Пед. сборник", Счб. 186 6,
IV । тр. 313 — 322

4. Томас И., Об отрицательных числах „Пед.
сборник", Спб. 1867, V, стр. 478 — 492.

\ 5. Е в т у ш е в с к и й В. А., Методика элемен-
тарного курса арифметики, алгебры и геометрии
в низших классах общеобразовательного завеае-
ния. „Пед. сборник", Спб. 1867. XI, стр. 960 —
981; XII, стр. 1071 — 1094.

6. Страннолюбский А., Курс алгебры,
основанный на постепенном обобщении арифме-
тических задач (дидактические указания Д1я пре-
подавателя начальной школы). „Учитель*, Спб.
1867 — 1868. Приложение, стр. 184.

7. Е „ т у ш е в с к и й В. А., Пропедевтика ал-
гебры. „Гкд. сборник”, Спб. 1868, VII, стр. 764—
808; VII, с.р. 858 — 875.

8. Ч е I а н с к и й Ф., Об отрицательных коли-
чествах. „Семья и школа”, Спб.' 1871, VI (кн. 2-я),
стр. 51 — 68.

9. Че канский Ф., Учение об отрицатель-
ных количествах перед судом логики. Спб.-18/2.

1» 10. Дмитриев М., уроки об отрицательных чис-
лах. „Пед. сборник”, Спб. 1875, VI, стр. 611 — 633.

II. Евт у ше. вскийВ А. и Глазырин А. К.
Методика приготовительного курса алгебры, Спб.
1876, стр. 125.

12. Г. Н , Развитие понятия о противоположных
величинах. „Семья и школа”, Спб. 1876, II (кн.
2-я), стр. 156—160.

13. Щепа некий И., Опыт критического раз-
бора учения об отрицате, ьных количествах. „Семья
и школа”, Спб. 1876, VIII (кн. 2-я), стр. 88—111.

14. Ефимов А., Заметка об элементарном
изложении теории действий над отрицательными
к мичествами. „Семья и школа” (уч.-восп. отдел),
Спб. 1882, т. II, стр. 353—361.

15. Г ирм ан С., Вывод правила умножения
положительных и отрицательных количеств, не
зависящий от того, целые или дробные числа
абсолютные величины множимого и множителя.
„Вести, оп. физ. и эл. мат.*, Киев 1889, № 66, стр.
122—123.

16. Дмитриев М., Первые страницы алгебры.
Гю программе IV класса кадетских корпусов. Спб.
1890, ц. 75 коп.

17. Е р м а ко в В. П., О начальном преподава-
нии алгебры. „Вести, оп. физ. и эл. мат.* 1890,
№ 102, стр. 101—109.

18. О и к е, О преподавании алгебры. „Пед.
сборник”, Спб. 1892, V, стр. 442—472 и в -Сбор-
нике в пользу голодающих”, изд. Лучицкого,
Киев 1891.

19. Г о р и з о н т о в В. К., Учение о положитель-
ных и отрицательных числах в алгебраическом
анализе. Симбирск 1881, стр. 33, ц. 40 коп.

20. Матковский П., Выделение некоторых
законов алгебры и образование понятия о ь, ibom
числе. „Вести, оп. физ. и эл. мат.”, Одесса, № 101,
стр. 81—87; № 102, стр. 109—112, „Пед. сбор-
пик*, 1892, IV, стр. 385—396.

21. Он же, Геометрическое представление чи-
сел, рассматоиваемых в алгебре. „Пед. сборник”,
Спб. 1892, XII. стр. 555—569.

22. И. Д. [о л б н я], Заметка о некоторых основ-
ных вопросах элементарной алгебры. „Пет.
сборник”, Спб. 1892, VIII, стр. 139—144.

23. Нечаев Н., О начальном преподавании
алгебры. „Пед. сборник”, Спб. 1892, I, стр.
37 -65.

24. Ш а п о ш н и к о в Н. А., Разбор статьи В.
Ермакова „О преподавании алгебры”. „Пед.
сборник”, 1893, II, стр. 533 — 565.

25. Шидловский Вл., К вопросу о препода-
вании основ алгебры. „Пед. сборник”, Спб. 1893,
XI, стр. 435-440.

26. Н. С., Переместительность и сочетательность
произведения алгебраических количе :тв. „Вести,
оп. физ. и эл. мат.”, Одесса 1897, .№ 248, стр.
211—212.

27. А и д р и а и о в В., Один из способов изложе-
ния теории отрицательных чисел. „Пед. сбор-
ник”, Спб. 1900, 1, стр. 52—55.

28. Шапошников А. II., Систепа первых ,-
уроков по алгебре, М. 1903, 8°, стр. 31-4-1 к.—
1600.

29. Орешников М.. Несколько слов о так
называемом „правиле знаков" в элементарной
алгебре. „Вести, оп. физ. и эл. мат.*, Одесса 1905,
№ 394, стр. 230-234.

30. К и с е л е в А. П., Положительные и отри-
цательные числа. Числа несоизмеримые (оттиск
из 23-го изд. „Элементарной алгебры”), изд.
В. В. Думнова. М. 1911, стр. 91, ц. 35 коп.

31. Сорокин В. С., Математические действия
и количества, Томск 1911, стр. 26 4-1, ц. 35 коп. —
600.

32. Аг ура А. Д., К вопросу о начальном пре-
подавании алгебры. Одесса 1912, стр. 55—100.

33. Ш т е п е н к о М. 3., С чего и как лучше на-
чинать преподавание алгебры. Доклад в совеща-
нии преподавателей г. Екатеринодара и обсужде-
ние его. Сборн. „Матер, по улучшению преп. ма-
тем. в Кавказском учебном округе*, Тифлис 1913,
стр. 8—12.

34. Соловьева А. В., Примерный урок па Y
тему: действия иад алгебраическими количествами.
Разбор урока. Сборн. „Матер, по улучшению
преп. матем. в Кавказском учебном округе”, Тиф-
лис 1913, стр. 186—142.

35. Москвина., Числа положительные, от-
рицательные и нуль. „Матем. образование”. М.
1915, VI—VII, стр. 293-313.

36. Фридман В. Г., Методика преподавания
отрицательных и положительных чисел (относи-
тельных чисел) в средней школе. Доклад на II
Всероссийском съезде преп. математики. М.
1915, стр. 248- 255.

37. Гибш И., Один из „проклятых” вопросов
в области педагогики начальной алгебры (о сумме
и произведении относительных чисел). „Вести, оп.
физ. и эл. мат.*, Одесса 1916, № 658, стр. 231—
236.

38. Арсеньев Н., Классная проработка темы:
„Сложение относительных чисел', основанная па
примерах, взятых из окружающей жизни. „Наш
труд*, Ярославль 1928 II, стр. 22—23.

39. Воронин С. В., К вопросу о преподава-
нии отрицательных чисел. „Научн. известия Смо-
ленского университета", 1, 1929, стр. 115 — 125.

40. К о м п а н и й ц П. А., Целые относительные
числа как пары натуральных чисел. (Из лекций
для студентов института им. Герцена.) Л. 1929,
стр. 36. стеклограф.

41. С л е т о в Н. П., Выяснение реального смысла
относительных чисел. „Матем. образование*, М.
1929, VI, стр. 219—229.

42. Попов И. Г., К методике графической 'у
иллюстрации сложе шя и вычитания алгебраиче-
ских чисел. „Физ., хим., мат., техн, в труд, школе”.

М. 1930, VI, стр. 85—86.

43. Астр я б А., Сложение и вычитание относи-
тельных чисел на приборе „плюс-минус” И. К о т-
рохова, „Физ., хим., мат, техн, в сов. школе”.
М. 1931, II, стр. 54—57.

Пропедевтика геометрии

1. Литтров, Общенародная геометрия.

Соч. Литтрова. С 8 листами чертежей. Перевод
с нем. Федорова. Спб. 1850,12°, стр. 197, ц. 50 коп.
(одобр. Комит. грамотности). Рец.: В. В о л е н с,
„Учитель*, 1862, т. XVI, стр. 834.

2. Ефремов П., Наглядюе изложение пред- |/
верительных понятий о геометрии, с 2 таблицами.
Казчпь 1859, ц. 50 коп. Рец.: .Современник", 1860,
кн. JV.

3 Н. В., Приготовительные уроки к геометрии.
.Учитель", Спб. 1861, т. VII, стр 280-282; т. VIII,
стр 310—312; т.1Х, стр. 344—347; т. X, стр. 378-381,
Рец.: А. Филонов, .Русские педагогические
журналы", „Ж. М. Н. Пр." 1861, 112, отд. 3,
стр. 79—80.

г». Ди стер вег А., Начатки детского школь-
ного учения. Перевод с нем., приложение к „Ж.
М. Н Пр." 1861, ч. III, стр. 1—115-рЗ листа,
табл.-f-IV (огл.). Из них пропедевтика геометрии —
стр. 23—45 — отд. от т. Спб. 1861, 8°, стр. 115-J-3
листа т бл., ц. 30 коп.

5. Первоначальная геометрия для
’ уездных училищ и вообще для начинающих (по
Дистервегу), „Учитель", Спб. 1861, т. XI—XII,
стр. 442 — 450, с черт.

у/ 6. Элементарная геометрия по Ди-
стервегу, „Учитель", Спб. 1861, т. XIII, стр. 491—
497; т. XIV, стр. 543—545; т. XV, стр. 576—580;
т. XVI, стр. 621-626; т. XVII, стр. 658-661;
. XVIII, стр. 706 -709; т. XIX, стр. 738- 842;
г. XX, стр. 791-797; т. XXI, стр. 844-846; т. XXII,
стр. 893—895; т; XXIII, стр. 940-943. Рсц.: А. Ф и-
лонов, ст. „Русские педагогические журналы",
„Ж. М. Н. Пр.“, 112, 1861, отд. 3, стр.
79—80.

V 7. Диел ер вег, Элементарная геометрия Ди-
стервега. Учебное пособие дтя уездных училищ
и вообще для начинающих. Перевел с нем. и до-
полнил В. Волеис, Спб. 1862, 16п, стр. XI4-134.
ц. 30 коп. (перепечатка статей из журнала
„Учитель"). Изд. 2-е, доп. и измененное, Свб.
1866 г., ц. 50 коп. Рец.: М а д ж у г и и с к и й.,—
„Циркуляр по уравнению Одесск. уч. округа"
1866 г., III; „Обзор нар.-учебной литегатуры Ко-
митета грамотности", Саб. 1878, стр. 313.

8. Ярошинский Н., О преподавании перво-
начальной геометрии в уездных училищах. „Вос-
питание", 1863, т. VIII—IX, стр. 34—37.

9. Евтушевский В А., Приготовительный
курс геометрии. „Пед. сборник", 1866, т. III,
отд. офиц., стр. 64—65.

10. Евтушевский В. А., Из пропедевтики
геометпии. „Пед. сборник", 1366, т. VII, стр.
482—490.

И. Косинский М. О., Приготовительный
курс геометрии. Вып. 1-й. Наглядная геометрия,
Спб. 1866, 8°, стр. 80, ц. 35 коп. Рец.: „Книжный
вестник" 1866, т. II, стр. 36. Изд. 3-е, „Наглядная
геомезрия для детей ог 9 до 12 лет", Спб. 1875.
8°, стр. 80, ц. 35 коп. Рец.: Ф. Егоров, „Учебно-
воспитательная библиотека", т. I., М. 1875.

12. Шишке-вич А., Материалы для пригото-
вительного курса геометрии. „Пед. сборник"
18f6, т. X- стр. 739-755.

13. Фан-аер-Флит П. П., Элементарный курс
геометрии. Руководство для преподавателей. „Учи-
тель", Спб. 1868 г. Нрилож. 10 листов. Отд. изд.
Спб. 1868 г. (26X16), стр. 162 Рец.: Е. С. Вол-
ков, „Пед. сборник", 1570, VI, стр. 644-670.

14. Гельман А., Приготовительный курс гео-
метрии в вопросах М. 1868, и. 50 коп.

15. Леве А., Преподавание геометрии в народ-
ных школах. „Нар. школа". Спб. 1869, т. I, XI,
стр. 5-8.

16. Дистервег А., Элементарная геометрия
для начинающих и для школ. Перевод с ием. Спб.
1870, п. 40 коп. Изд. 2-е 1873, ц. 30 коп.

17. Комментарий кэтемент.рной геометрии
Ад. Д и ст е р в е га. Перевод с нем. Спб. 187и,
142

и. 25 коп. Рец.: „Обзор нар.-учебной литературы
Комитета грамотности", Спб. 1878, стр. 312.

18. С е л t з н е в И., О первоначальном обучении
детей геометрии. Разбор руководств К с с и н-
ского, Фан-дер-Флита, Гельмана, Ди-
ете рвега и Г л а в и н с ко го. „Детский сад",
1870, т. IV, стр. 178-185.

19. Вулих 3. Б., О приготовительном курсе
геометрии г средних учебных заведени! х. „Семья
и .1 к 'Ла", 187, кн. 2, т. VIII, стр. 55--70; т. IX,
1872, кн. 2; т. II. стр. 218-233; т. III, 534-573.

20. Нам а нс кий Г., Геометрические дополне-
ния к арифметике, Вычисление поверхностей и
объемов тел. Спб. 1872, ц. 15 коп.

21. Вулих 3. Б., Приготовительный курс гео-
метрии. П 1собие для учителей, Спб. 1873, 8°,
ц. 69 коп. Изд. 2-е, Со б. 1874, 8°, стр. 137 +
+ 3 табл, чертежей, ц. 50 коп. Рец.: „Спб. ведо-
мости", 1о73, № 70; И. Селезнев, „Детский
сад", 1874, т. I, стр. 50—53; „Систематический
обзор русск' й нар.-учебн. литературы Комитета
грамотности", Спб. 1878, стр. 311.

22. Кондратенко Т. (напечатано — П), Уро-
ки геометрии. Знакомство с телами. „Нар. школа",
Спб. 1873, т. XII, стр 6—13.

23. Давидов А. Ю., Геометрия для уездных
училищ. Составлена по Дистервегу. Изд. Си-
лаевых, М. 1673, 8°, стр. 63, п. 35 коп. Изд. 2-е,
М. 1876, 7200, изд. 11-е, Думнова М., 1900,
Г’000. Изд. 32-е, т-ва Думнова, М. 1917, стр. 61,
ц.,55 коп. — 6000.

24.,- Рецензии:

Романов И., Учебно-воспитательная библио-
тека", т. I. 1875, ч. 2-я, стр. 159-160; „Пед.
сборник” 1877, т. VII, стр. 784—790. В. Латы-
шев, „Пед. сборник", 1880, т. I, стр. 64—65
„Ж. М. Н. Пр.", 1. 84, 236, т. XI, отд. 3, стр. 32—36,
, Пед. хроника", 18ь5 Ж. М. Н. Пр., 1902, т. VII,
стр. 9—10.

24. Малинин А. Ф., Геометрия и собрание
геометрических з щач для уездных (и городских)
училищ. М. 1873, 8°, стр. 200, ц. 65 коп. Изд.
12-е, М. 19i 1, 16 800. Изд. 23-е, т-ва И. Д. Сы-
тина, М. 1917, стр. 206. ц. 75 коп. —10000. Рец.'
„Нар. школа", 1903, т. VI1I, стр. 42; И. Рома-
нов, — „Учебно-воспитательная библиотека",
т. I, 1875, ч. 2-я, стр. 154—159, „Систематиче-
ский обзор нар.-учебной литературы" 1878, стр.
309—310; „Лед. хпоника", 1885, стр. 91; „Ж. М.
Н. Пр.," 1887, т. IV, стр. 54-60; 1892, т. II.

25. Волков Е., Образовательный курс нагляд-
ной геометрии. Руководство для преподавателей
начальных и городских школ и низших классов
средних образова1ельных заведений. Спб. 1873,
стр. 218, ц. 1 р. Рец.: И. Р. „Нар. школа" 1874,
т. I, стр. 38—39; „Пед. листок" 1874, т. I, стр.
66-70.

26. Кондратенко Т. С., Вопросы из началь-
ной гео»:еприи (240 №)—„Нар. школа", Спб.
1374 г„ т. V, стр. 10-18.

27. Л а ш к е в и ч К., Пропедевтика геометрии,
„Пед. сборник" 1875, т. VII, стр. 733—764.

28. Савин И.,Приготовительный курс геомет-
рии для военных гимназий и народных школ, изд.
1-е, М. 1878, 8°, стр. 59 +IV, ц. 50 коп.; изд. 2-е,
испр, М. 1870, 8°, стр. 74 +IV, ц. 50 коп. 2400.
Реп.: „Пел. хроника", 1878, т. V, стр. 108—109;
1879, т. XXX, стр. 652. Соболев, „Пед. музей"
1878, т. XI, стр. 806.

29. Спенсер В. Г., Геометрия путем изобре-
тения.
Сборник оппеделеиий, вопросов и задач для
ознакомления детей с геометрическими представ-
лениями и подготовки к изучению ее. Перевод
с англ. 4. Резенер. Спб. 1878, 8°, стр. 59,
ц. 35 коп., 2000; реп.: Л. Кублицкий, „Пед.
музей" 1879, т. XII, сто. 386; „Пед. хроника",
1879, т. IX, стр. 202-204.

30. Пл. И., О начальном преподавании геомет-
рии в городских училищах. „Записки учителя"
1884, т. IV. стр. 266- -272.

31. Ф л о р и н с к и й Г. Н„ Превращение пря-
моугольника в квадрат разрезыванием и переложе-
нием разрезанных частей. „Журнал элем нт. ма-
тематики", т. I, Киев 1884, т. VIII, стр. 145- -146;
Дополнение — т. X, стр. 2G.

32. Ф л о р и н с к и й Г. Н.г Превращение квад-
рата в равносторонний треугольник переложением
разрезанных частей. „Журнал элемент, матема-
тики", 1, Киев 1885, т. ХП, стр. 312.

33. Ф л о р и н с к и й Г. Н., Превращение пря-
моугольно1 о треугольника в квадрат переложением
частей. „Журнал элемент, математики", I, Киев
1885, т. XVIII, стр. 353-357.

34. С е н и г о в Н. П., Геометрические тела,
наглядно рассмотренные. „Школа и матем.", Спб.
j885, т. I, стр. 9—16; т. II, стр. 9-12 (73—76);
т. III, стр. 13-20 (145-152).

35. Добровольский В., Приготовительный
курс геометрии.

Подробный конспект пропедевтики геометрии
для учащих.

Игд. ред. журнала „Записки учителя", М. 1886,
8°, стр. >2, ц. 35 коп. —1500.

36. Кириллов, Краткий курс геометрии для
городских и уездных училищ, 1 ыч. 1-й, М. 1887,
8°, стр. 40 + 2 н., 2400. Вып. 2-й, М. 1888, 12°,
стр. 43—98—12 С

37. Хмелев Н., Приготовительный курс гео-
метрии (курс 3-го отд. городских училищ). Орен-
бург 1889, 3°, стр. 18—1200.

38 Миронов П. М., Приготовительный курс
геометрии, Самара 19ПС 8°, стр. 46, ц. 45 ко '.,
500. Изд. 8-е, Уфа 1914 (22X14). ' тр. 122 +
+ 17 листов чертежей, ц. 45 коп. — 3000.

39. Демура Г., Концентрическая геометрия
(I и II концентры). Составл. примените ьно к про-
грамме городских училищ. Киев 1891, 8°, стр.
128 с таблицами тертежей, ц. 85 коп.

40. Житков С. Как следует начинать препо-
давание геометрии „Вестнг" оп. физ. и элемент,
математики", 1892 г., Сем. XII, № 133, стр. 6—12;
№ 134, стр? 27-34; № 141, стр. 193- 203.

41. Ермаков В. П., О преподавании гео-
метрии „Пед. сборник", 1895, т. X, стр. 327—
336.

42. А г а п ь е в В., О пропедевтике геометрии
(по поводу ст. В. Ермакова). „Пед. сборник",
1896, т. I, стр. 351—367.

43. Миронов П. М., Учебник геометрии, с
приложением: 1) вопросов для повторения, 2) гео-
метрических упражнений и 3) раз ер. ок тел.
В 4 частях, чзд. 2-е. Уфа 1896, 8°, 101’0, ч. 1-я,
стр. III-Ь110—14 чертежей, ц. 40 коп.; ч. 4-я,
1897, стр. 118, ц. 45 коп. (курс 3—6 отделений
городских училищ). Рец.: В. 3. (авьялог, ), „Го-
родской и сельский учигель“. Казань 18 7, т. II,
Стр. 81 — 88. Коо*

44. М а л ы х и и М., Курс наглядной геометрии.
Для трех низших классов женских гимназий.
С 116 чертежами, М. 18‘’7, Рец.: М. С., „Пел.
сборник", 1898 г., т. IV, стр. 415; „Ж. М. Н. Пр."
1898, т. VII, отд. 3, стр. 7—9.

45. Ш афро в И., Пропедевтика геометрии.
Куге третьего гола городских училищ. Под ред.
Н. И Л а в р о в а, М. 1898, 8°, стр. 42, ц. 25 коп.,
изд. 3-е, 1902, сто. 42, ц. 25 коп., 2400; изд. 7-е
1912 стр. 6ч, ц. 20 коп. — 4000.

46. Начатки геометрии. Составлено по
Кэру, М. 1903, 8°, стр. 140-f-i+f-l н.,ц. 75 коп.—
1200.

47. Юревич Г. Я, Пошотовительный курс
геометрии, 8°, Рига 1912, 357 (20 X I*1)* стр. 32,
черт., ц. 15 к п.— 12 00П.

48. К лунный П., Курс начальной наглядной ;
геометрии. Первые уроки учеников по геометрии
(с задачами, чертежами и” планами). Спб. 1906,
8°, стр. 64, н. 2 > коп. — 3009.

49. К е м п б е л л ь В., Наглядная геометрия &
Пособие для обучения и самообучения. С пред.
А. Филиппса. Переводе англ. Е. Попова.
Изд. Горбуноза-Посадова, М. 1908 (21 X 14), стр.
215, с рис, ц. 1 р. 10 к. - 4200; изд. 2-е, 1910,
520.’; изд. 3-е, 1913, стр. 207, п 1 р. — 3200; изд.
бр. Сиикевич. Владивосток (192(1). Рец.: В. Сол-
лертинский, „Ж. М. Н. Пр.," 1908, т. X,
Ф. П а в л о в, пр. 357, „Русская мысль", 1911, т. XII,
Н. Томилин, „Русская школа", 1912, т. I;
стр. 7; Г II „Вестник воспитания", 1г08, т. Ill,
стр. 81 -82; Н. К. „Для нтр. учит.*, 1908, т. V,
стр. 27; „Русский начальный учитель", 1911,
т. X, стр 4э1.

50. Г у р в и ч Л., Как я учил своего мальчика
геометрии. Первые у оки геометрии для детей.
Изд. Г( рбуиова-Посадовч. М. 1908 (22X 15),
стр. 77, с 203 рис, ц. 40 коп. — 2400; изд. 2-е
1919, ц. 35 коп. — 4200.

Рец.: Д. (В о л к о в с к ь ") „Для народного учи-
теля", 1908, т. VII, стр. 28- ’9; В. Соллертии-
ский, „Ж. М. Н Пр.", 1:08, т. XII; Ф. Павлов.
„Русская школа", 1909 т. IX, стр. 20—21; Д. Вол-
ковский, „Вестник воспитания", 1909, отд.
2-й, стр. 75—78.

51. А с тр я б А. М., Наглядная геометрия. На- р-
чальпый курс для трех младших классов средних
учебных заведений. Киев 1109, 8°, стр. X + 171,
ц. 90 коп. — 3000; изд. 3-е, 1913, стр. XII + 155 +
+ 8 н. + 6 листов таблиц, ц. 80 коп. — 50С0, изд. 4-е,
перераб. Наглядная геометрия (лабораторный ме-
тод изложен.1Я)«Л[ервая ступень. Начальный курс,
Киев 1917, стр" 4 п.+124 с рис. + 7 таблиц,
п. 90 коп. 5000; изд. бе, Ги|, М.-П. 1923
(23X16), стр. 159 ц. 1 р, —25000.5Рец.: Н. Ти-
мин с к и й, „Народное образование в Виленск.
уч. округе", 1909, т. V, стр. 246—243; В. С о л -
Вертинский, „Ж. М. Н. Пр.", 19П9, т. VII;
Ф. Па 1Лов, „Русская школа", 1909, т. IX,
стр 23; „Русский начальный учитель," 1910,
т. III. стр 146, В. Масленко, „Техн, и коммерч,
образ.", 1912, т. VIII: Н. Извольский, „Пед.
вестник Московского уч. окпуга", 1913, т. IV —
V; В. Сафронов, „Математика в школе", со.
I, Л. 1924, стр. 86—90; „Известия В ЦИК", 1923,
№ 240.,

52. В э р, Поль, Начатки опытной геометрии 1'
в-приложении к измеречию линий, поверхностей
и тел. Перевод с франц., под ред. и с предисл.
А. Гатлиха., М. 1910 (20X13), стр. 112,
ц. 30 коп.—3000; изд. З е, 1915 - ЗСОО; Рец.:
В. Соллертинский „Ж. М. Н. Пр.", 1910,
т. VIII; А. Павлов, „Пед. листок", 1910, т. VJ,
стр. 548; Ф. Павлов, „Русская школа", 1911,
т. III, стр. 32—33.

53. Долгов Ал., Начатки геометрии. Состав-
лено по Кэр у, Ю и гу и Гариссону. М. 1910,8®,
стр. 207, с черт., п. 75 коп.— 3000. Рец.: Ф. Пав-
лов, .Русская школа", 1910, т. III, стр. 12—13.

54. Кутузов Н. Е., Наглядная геометрия. Для
двухкла, спых школ и других падальных училищ
с повыш. курсом. М. 1910 (23X15), стр. 144,
с ‘ 00 чертежами, ц. 70 кип. —2000; изд. 2-е, М.
1915, стр. 130, с рис., ц. 70 коп. —3000. Рец.:
В. Соллертинский, -Ж. М. Н. Пр.“, 1910.
т. V; Н. Томилин, «Русская школа", 1912,
т. I, стр. 7; В. Фридман. „Школа и жизнь",
191 >, т. X; „Русский начальный учитель", 1910,
т. VI—VII, стр. 198.

55 Плетнев И., Учебник геометрии дня го-
родских училищ. Курс 3-го и 4-го годов обучения,
Спб. 1911 (26X18), стр. 93, л. 40 коп, —1245.

56. ТО н г Г. и Юнг У., Первая книжка по гео-
метрии. Перевод с англ. А. Бачинского. М.
1911 (21X14), стр. XI+ 199, с 127 рисунками и
3 таблицами, ц. 50 i оп. Рец.: В. Соллертин-
ский, „Ж. М. Н. Пр ", 1911, т. VIII; „Русский
начальный учитель", 1911, т. X. стр. 451; Н. То-
ми л и н, „Русская школа", 1912, т. I, стр. 7.

57. лБ е л л юст и н В. К., Основные положения
по обучению начальной гео летрии. „Пед. вестник
Московского уч. округа", 1912, т. I, стр. 39—74.

58. Р а ш е в с к и й К. Н., Краткий курс геомет-
рии в связи с пропедевтическим курсом. Руко-
водство для городских училищ, женских гим-
назий и других учебных заведений, М. 1910
(23X16), стр. 128, ц. 50 коп. — 3000; изд.- 2-е,
1913—3000; изд. 3-е, 1916, стр. 154, с чертежами,
ц. 1 р. Реп.: В. Соллертинский, „Ж. М. Н.
Пр.“, 1910, т. X; А. П а в л о в, „Педаг. листок",
1910, т. VII, стр. 548; Ф. Павлов, „Русская
школа", 1911, т. III, стр. 33 и 1913, т. X, стр. 109;
Н. Извольский, .Вестник опытной физики-
1910, № 528; „Русский начальный учитель", 1911,
т. I, стр. 34.

59. Ф и л и п п о в и ч Ф., Начальная геометрия
в развертках. 2пб. 1912 (24X18), стр. 23,
и. 45 коп., т. 50С0. Рец.: Н. Т о м и л и и, „Русская
школа", 1912, т. I, стр. 8; В. М — в „Пел. вестник
Московского V4. округа" 1912, т. VII—VIII, стр. 98;
Ф. П., „Техн, и коммерч, образование", 1912, т. Ill,
стр. 56.

60. Г о р с к и й И. Ф., О пропедевтическом кур-
се геометрии. Доклад — „Труды Туркест. съезда
препол. средних уч. заведений", Ташкент 1913,
стр. 155- -161.

61. Извольский Н. А., Первые шаги курса
геометрии, ^Математическое образование" 1913,
т. I, стр. 24—29.

62. Лексип Н. Г., Опыт практического руко-
водства по методике геометрии. Пропедевтический
курс геометрии. Методические указания в форме
бесед с учителями и примерные наглядно лабора-
торные уроки с учащимися. Казань 1913 (25Х
Х17). стр. 432 + IV +1 лист чертежей, ц. 2 р.,
—1200; изд. 2-е. Лабораторный метод изучения гео-
метрии, Казань 1917 (22X15), стр. 396-| П1 +
5, ц. 3 р., —1510. Рец.: В. Соллертинский,
„Ж. М. Н. Пр.“, 1913, т. XII, 1914, т. X; В. Мро-
чек, „Техн, и коммерч, образование’, 1914, т. I,
стр. 62—63; Н. Рыжков, „Вестнчк Оренбург-
ского уч. округа', 1915, т. II: С. Бер иштей н,
„Пед. сборник" 1916, т. II, стр. 257: Р. К ю н,
„Нар. образов нир в.Виленском уч. округе", 1914,
т. 111, стр. 145. Вл. Ш и д л о в с к и й, „П зд. мысль",
1918, т. I —II, стр. 132 -133.

63. Маркус Э. А., Нтглядиая геометрия. Курс
геометрии для младших и старших классов сред-
них уч. заведений и для начальных и городских
144

училищ. Спб. 1913 (23Х1Ь), стр. XIII + 236, с
рис., ц. 1 р. — 5000. Рец.: В. С о л л е р т и н с к и н,
„Ж. М. Н. Пр.“, 1913, VIII; Вл. Шидловский,
гПед. сборник", 1914, VIII, стр. 128—129.

64. Петровский П., Начальный курс гео-
метрии в методической разработке. Киев 1913
(26X17), стр. 68—2С0.

65. Раевский А. А., Начальная книжка по
геометрии. Введение в теоретическую и практи-
ческую геометрию для низших училищ. Спб.
1913 (26X17), стр. 60--1 листа чертежей, ц.
50 коп. Рец.: Н. Извольский, — „Математиче-
ские образование", 1913, т. I, стр. 43—45.

66. Ге рте ль Ф, Преподавание геометрии на
основе самодеятельности учащихся. Учебный план
для изучения геометрических форм с помощью
наблюдения, лепки, черчения, вычисления и сло-
весного списания. Пп. 1914 (35X16), стр. 58
—1000; „Пед. сборник", 1914, № VI, стр. 581—
609; № VII, стр. 1—30.

у/ 67. Извольский Н. А., Начальный курс
геометрии. М. 1914, стр. IX+ 104, с рис.,
п. 80 коп. — 2100. Рец.: В. Соллертинский.
„Ж. М. Н. Пр.“, 1914, т. V; Возражение Н. И з-
в о л ь г к о го и ответ В. Соллертинского,
„Ж. М. Н. Пр.“, 1914, т. XII; Ф. Павлов, „Рус-
ская школа", 1914, т. IV, стр. 28.

68. Кул и шер А. Р., Учебник геометрии,
ч. 1-я. Курс подготовительный. Для младших классов
средних уч. заведений и пр. Спб. 1914 (21X15),
стр. XII+ 130, с 130 рисунками и 5 таблицами,
ц. 90 коп. —5200. Рец.: Д - р и н, „Пед. образование",
1914, т. V, стр. 79. „Речь", 1914, № 134,
А. Генкель, „Техн, и коммерч, образование".
1914, т. IV, стр. 53 -54, С. Бернштейн, „Пед.
сборник", 1916, т. IV; В. Со л лер «некий;
„Ж. М. Н. Пр.“, 1915, т. V, стр. 114—121.

69. Никитина. И., Первая ступень из гео-
метрии. М. 1914 (21X14), стр. 64, с рис.,
ц. 20 коп.—3000; изд. 2-е, 1915, стр. 80, ц. 30 коп.
— 5000; изд. 3-е, Гиз, М. 1922, стр. 80, с илл.—
10 000; изд. 11-е, 1928—15 000 (всего 440 тыс.).

70. Никитина. И., Вторая степень из гео-
метрии. М. 1916 (21X14), стр. 143, с чер'.,
ц. 50 коп. — 3000", изд. 3-е, Гл. упр. Гиз, М. 1922,
стр. 144, с илл.— 10 000; изд. 7-е, М.-Л. 1923
(21X15), стр. 127, с илл., н. 40 коп. — 60 000 (всего
240 тыс.). Рец. (на обе): И. Дуб, „Вестник опыт-
ной физики", 1916, № 652; Р., „Народное образо-
вание в Виленском учь округе", 1913, т. XII, стр. 702,
А. Кул;; шер, „Русская школа", 1915, т. IX—X,
стр. '21—23; В. Фридман, „Школа и жизнь",
1916 г., № 48, стр. 6; Гус, Сб. „Просвещение",
Пгр. 1923, т. Ш, стр. 301, А. В о р о н е ц, „Вестник
просвещения". М. 1923 г., т. V—VI, стр. 301—303;
С. Анцыферов, „Просвещение на транспор-
те", М. 1923 г., т. XI — XII, стр. 50; „Просвещение
Донбасса", 1923, т. X — XI, стр. 188; „Книгоноша",
1924, № 37, стр. 13 и № 40, стр. 23.

71. Гебель В. Я., Наглядная геометрия в за-
дачах и вопросах (составл. по А. Горн б рук).
М. 1915 (24X16), вып. 1-й, стр. 119 + 4 н., с черт.,
ц. 50 коп. — 3 100; вып. 2-й, стр. 80, ц. 35 коп. —
2400.

Рец.: Н. Извольский, „Математичес :ий ве-
стник" 1915, т. V (сект.), стр. 154 -159; В. Фри fl-
ман, „Школа и жизнь", 1915, № 37 и X» 50,
Б. Коялович, „Ж. М. Н. Пр.“, 1916, т. I,
сгр. 109—111; Л. Кул и шер, .Русская школа",
1917, т. IX—XII, стр, 7—11; „Техн, и коммерч
образование", 1915, т. VII (ноябрь), стр. 47 (пе-
репеч. рец. А. К. из газ. „Речь").
72. Л и з а р е в С. С., Начальный курс геомет-
рии в двухклассных училищах. Курс 4-го отделе-
ния. „Кубанская школа0, 1916 г., т. Ill, стр. 155—
160; т. V, стр. 250 - 256.

'* 73. К а р а се в П. А., Геометрия на подвижных
моделях. Изготовление и применение подвижных
моделей геометрических форм. М. 1916 (22X16),
стр. 100, с рис., ц 75 коп—2000; Гиз, М.-П. 1923,
стр. 104, с илл. — п. 60 коп. — 5000; изд. 2-.е, М.-Л.
1925, стр. 112, с илл — ц. 50 коп. — 10 0о0. Рец.:
В. Фридман, „Школа и жизнь”, 1916, Х° 32,
стр. 12, В Шидловский, „Пед. сборник",
1917, т. Ill —IV, стр. 295—296; С. Козюль*
кин, „Знамя рабфака”, 1923, т. 111 — V, стр. 148—
149; „Просвещение Донбасса”, 1923, т. IV, стр.
105—106; Г. П., „Сборник статей по вопросам
физ.-мат. наук и их преподавание'-, г. I, 1924,
стр. 163; „Книгоноша-1, 1924, Xs 41, стр. 22,
В. Репьев, „Физ., хим., мат. и техн, в трудовой
школе”, 1929, т. I, стр. 68.

74. Трейтлейн П., Наглядная геометрия
(приложение к методике). Пгр. 1916, (19X14),
стр 73, 3150.

75. К у л и ш е р А. Р., Методика и дидактика
подготовительного курса геометрии. Пособие для
преподавателей. Пгр. 1917 (23X17), стр. XIX -|-
256, ц. 3 р. 90 к — ,510; изд. 2-е, Пгр. 1919, стр.
XXVIII+4 н. 4-256 (ц. 18 р.); изд. 3-е, Пгр. 1923,
стр 208 -)- III, с илл. Б. ц. — 5000.

Рец.: С. И. Ш ох о р- Т р о п к и й, „Пед. мысль”,
1919 г., т. X —X1I стр. 121—126. „Книга и рево-
люция”, 1920, т. Ill — IV; „Сборник рецензий на
метод.|Ч. литературу', М. 1929, стр. 147; Д. В.
„Начальная школа", М. 1934, П, стр. 47.

. 76. Ор юв С. В., Первые работы по измере-

нию земли. Руководство для трудовой школы. Гиз,
М. 1921, (23X15), стр. 70—50000, изд. М.-Л.
1926 — 35 000 (всего 140 тыс.). Рец.: Я. П., „Книга
и революция”, 1922, т. XX; О. Д рож ж ин,
„Книгоноша”, 1924, Xs 40, стр. 23.

77. Я г о д о в с к и й К., Курс пропедевтической
геометрии в общей системе школьного образова-
ния. „Естествознание в школе”, 1922, т. III — V.

78. Вольф Фр. X., Практическая геометрия
для школь. I ступени. Гиз, М.-П. 1923—7000,
вып. 1-й. Пособие д.~я преподавателей, стр. 77,
с черт., ц. 25 коп.. Пособие для учеников, стр.
45 4-1 н„ с черт., ц. 25 коп.; изд. 2-е, 1925—7000.
Рец.: А. И. Голубовская, „Математика в
школе”, сб. 1-й, Л. 1924, стр. 83—84.

79. Кавун И. Н.. Начальный курс геометрии
для школ I ступени, Гиз (23X16), ч. 1-я. Курс
первых четырех лет. М.-П. 1923, стр. 118 ч-11,
с черт., ц. 70 коп. — 25 000; изд. 2-е, Л* 1^24, стр.
101 4-П с черт., ц. 45 коп.—.50 000; ч. 2-я курс
пятого года. М.-П. 1923—118, : черт., ц. 70 коп.
стр. 25 000; изд. 2-е,_ Л. 1924, < 4р. 87 4-1 н., с 90
черт., ц. 35 коп. — 50 000. *

Рец.: В. гт>ридман, „Книгоноша”, '923, X» 16,
стр. 10; „Просвещение Донбасса”, 1923, т. X—XI,
стр. 187; В. Сафронов, „Математика в школе”,
сб. 1-й, Л. 1924, стр. 90—93; сб. „Вопросы пре-
подавания математики”, Л. 1925, Д. Волков-
ский, „Вестник просвещения”, 1925, т. II — Ill,
стр. 259.

30. Мартин П. и Шмидт О., Геометрия
* дома, поля и мастерских. Перев. с нем. и пре-
дисл Р. А. Кроги уса. Гиз, М.-П. 1923, (24X16),
стр. 120, ц. 45 коп.--20 000; изд. 3-е, Л. 1924,
стр. 124—30 000. Гец.: Е. Отто, „Математика в
школе”, сб. I-й, Л. 1924, стр. 95 —98; сб „Вопросы
преподавания математики”, 1925.

81. Шалыт Е. Г., Наглядная геометрия. Эле- 1/
ментарный практический курс. С 233 рис. в тек-'
сте, Гиз, М.-П. 1923 (23X16), стр. 216—30 00 ;
изд. 4-е, М.-Л. 1925 (24X16), стр. 204 4- 2 п , ц. 1 р„
20 000 (всего 85 тыс.).

Рец.: А. Воронец, „Вестнйк просвещения”,
М. 1924 г., т. I, стр. 124; „Книга о книгах”, М.
1924, т. I — II, стр. 72; В. Фр н дм ан, „Книго-
ноша”, 19 4, Xs IX, стр. 11 Н. Юхоцкая,
„Отчет матем. конференции Дальпевс сточного
университета”, 1926, март, стр. 21—23.

82. Грацианский И. И., Основные поло-
жеиия методики и дидактики геометрии в школе
I ступени, „Математика в школе”, сб. 1-й, Л.
1924, стр. 68—76.

83. Кавун И. Н-, Курс геометрии в 1 классе
II ступени. „Математика в школе”, сб. 3-й, Л.
1925, стр. 80-106.

84. Саванов С., Когда начинать системати-
ческий курс геометрии. „Вопросы просвещения”,
Иваново-Вознесенск 1924, т. II (март-апрель),
стр. 63—66.

85. Т и ц А., Пропедевтический курс элементар-
ной геометрии. Ги Украины, Одесса 1925 (’4X16),
стр. 81 4- 3 н. 4- XXV таблиц чертежей, ц. 1 р. 30 к.—
5000.

86. Трейтлейн П., Наглядное обучение гео- /
метрии. Перевод, с нем. В. А. Крогиуса, с 82
чертежами в тексте и атласом чертежей. Руко-
водство для преподавателей. Гиз, М.-Л. 1925
(24X16), стр. 89 4- 1 н. f- XXV111 стр. чертежей,
ц. 80 коп. — 7000. Рец.: „Книгоноша”, 1925, № 24,
стр. 19; В и к, С а фро нов, „Математика в школе,
1926 г., вып. 1-й (сб.' 5-й), стр. 108—109; „Сбор-
ник рецензий на методическую литературу”, М
1929, стр. 148; Д, В. „Начальная школа”, 193Д
Xs II, стр. 48.

87. Карасев П. А., Элементы геометрии, изу-
чаемые на перегибании листка бумаги. Гиз, М. П
1923 (18X13), стр. 106, ц. 50 коп. — 5000; изд. 2-е, '
1924, и. 40 коп. — 501 0. Рец.: В. Ф р и д м а и, „Кни-
гоноша”, 19/3 г., Xs 16, стр. 10; А. И. Голу-
бовская, „Математика в школе”, сб. 1-й,-. Л.
1924, стр. 84—86; В. Репьев, „Физ., хим., мат.
и техн, в трудовой школе”, М. 1929 г., т. 1, стр. 68.

88. Карасев П. А. и Попов П, И, „Сам
измеряй и вычисляй”. Рабочая тетрадь по гео-
метрии. Гиз, М.-Л. (23X18), ч. 1-я. Линейные
измерения. 1926 г., стр. 60, с «\лл. 4-2 листа
сетки, ц. 45 коп. — 1.5 0Q0, изд-2-е/ 1930- 10000,
ч. 2-яд Узмере.цге * > >щжи, 926, стр. 47,
с 2 Jii сетки, ц. 3-5 кор. — 15 000; изд. 3-е,

1929, ц. 20 коп.— 10 000; ч. 3-я. Измерение объ-
емов и весов,. 1928, стр. z8, с. плл., ц. 35 коп. —10 000;
изд. 2-е, 1930—10 000. Рец.: В. Фридлаи, „Кни-
гоноша”, 1926, т. VI, стр. 33, сб. „Аннотации”,
М.-Л. 1928, стр. 35.

89. Головин Н., Геометрия в школе I сту- \z"
пени и практические работы по вемлемершо.
„М-тод. путеводитель”, А 1927, т. IV, стр. 22—25.

90. Кавун И. Н., Начальная геометрия. Ма-
териалы для школьной работы учителя. Гиз, М.-Л.
1928 (20X13), стр. 131, с илл., ц. 1 р. 4000.

91. Афанасьева-ЭренфестТ., Как пачп- '/
нать обучение геометрии. „Физ., хим., мат. и техн,
в трудовой школе”, 929 г., т. VIII. стр. 66—72;
1931 г., т. I, стр. 68-77.

92. Свеницкий В. и Михеев С., Гео- V/
метрия в псле. Гиз, М.-Л. 1929 г. (23X15), стр.
39, с черт., ц. 40 коп,—3000 (печаталось в жур-
нале „Военное дело”). „Вопросы просвещен ,я
на Сев. Кавказе”, 1929 г., т. III, стр. 48.
93. Белянин, Как начать проработку измере-
ния площадей в III группе I ступени, ,3а ком.
иросве) ;ение*, М. 1932 г.,

94. Петров М. — Прямолинейные фи гурт f
(пятый год обучения). , та ком. воспитание*. М.
1932, т. X -XI, стр. 49-60.

95. Лебедев IV, Окружность и круг. .Сбор-
ник метод, статей по математике*, ЛООНО 1933 г.,
стр. 40 - 48.

93. Головин Н., Урок по математике (на-
хождение площади непр 1вильн .х прямолинейных
фигур) в IV группе, .Народный учитель*, 1 33,
т. IV, :тр. 71—74.

97. Васильев Н., Методическая разработка
двух уроков по геометрии на третьем году обу-
чения по теме „Прям >угольник", .Культфронт
ЦЧО*, Воронеж 1933 г., Ms 17—18 (сентябрь),
стр. 23—26.

98. Яшан ин И., Геометрия в школе I сту.
пени (методы преподавания). .Горьковский про
свещеиец*. 1933 г., IX-X, стр. 23 27,

99. Лебедев П., Урок .Виды треугольников*
(IV класс), »В помощь учителю-.

100. Гурвиц Ю. и Г а н г н у с Р., Начальные
сведения по геометрии. Учебник для средней
школы, пятый год обучения. Утвержден ко;
легией Наркомпроса РСФСР. Учпедгиз, М. 1933
(20X14), стр. 64, с илл., ц. 55 коп., 500 000; изд.
2-е, М. 1934, ц. 30 ко г., 175 000. Гец.: Е. Бе-
резанская и М. Дейнеко, „Критико-биб-
лич'рафич. бюллетень* Уч. пед. ли:., ГЛ. 1933 г.,
т. VIII, стр. 10 — И.

101. Загоскина Е., Площади прямолинейных
фигур, .Математика и физика в средней школе*,
М. 1934 г., т. I, стр. 66—69.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

1. Гольденберг А. И. — Соотнс шеиие меж-
ду сторонами правильных пяти-, шести- и десяти-
угольников, вписанных в окружность. «Мат. ли-
сток", I, М. 1879, II, стр. 41—42.

2. ЖбиковскийА. К. — Hei оторые теоремы
о правильных многоугольниках. „Сборн. протоко-
лов Общества естеств. при Казанском универси-
тете", т II, 1881, стр. 40—43.

3. Грузинцев А. П. —Распространение спо-
собов Абул-Джуда для определения сторон пра-
вильных вписанных многоугольников, .Сообщения
и протоколы Харьковского кит. общества", 1884,
I, стр. 37 —40.

4. Гольденберг А. И. — Вычисление сто-
роны правильного многоугольника в вавнсимости
от стороны многоугольника, имеющего вдвое мень-
шее число сторон*, .Пед. сборн.*, Спб 1886, VII,
стр. 129—1 Я. Рец.: .Вестник оп. физики и элем,
математ.* 1836, сея. I, № 7, стр. 156—157.

5. Ковар жик Ф.— Построение правильных
многоугольников по данной стороне, Вестник оп.
физики и элем, математ.* 1888, сем. V, № 52, стр.
83—86.

6. Коваржи к -Ф. — О делении окружности
на равные части, .Вестник оп. физики и элем,
математ.* 1888, сем. IV, № 40, стр. 77—85.

7. Полтавцев-В. —О делении окружности
на 15 и на 17 равных частей, Вестник оп. физики
и элем, математ.' 1889, сем. VI, № 72, стр. 246—257.

8. Шенрок И. — Простой п; ием вычисления
площадей правильных 2п-угольников, вписанных
в круг, .Гимназия*, Ревель 18! 0, XII, стр. 715.

9. К. — Определение стороны правильного впи-
санного пятиугольника, .Вестник оп. физики и
элем, математ.* 1891, сем. XI, стр. 40.

10. П ф е й ф е р Э.— О соотношении сторон
правильных вписанных в круг многоугольников,
.Вестник оп. физики и элем, математ.* 18.-3.

XIV, № 162, стр. 124-127.

С. Л — Построение правильного семиуголь-

инка по данной стороне, .Вестник оп.физики и элем,
математ.* 1895, сем. XVIII, № 206, стр. 43—44.

12. В. Г. — О правильном пятнадцатиугольнике
(по статье Viacenc'a Iarolimek‘5), .Вестник оп. физи-
ки и элем, математ.* 1898, сем. XXII, № 264, стр.
314—315.

13. Построение правильного пятиугольника
по дачной стороне, .Вестник оп. физики и элем,
математ.* 1901. № ЗСО, стр. 282.

14. М. В. — Доказательство известной теоремы
из теории пределов (разность площадей описанных
и вписанных одноименных правильных много-
угольников), .Вестник оп. физики и элем, мате-
мат.* 1903, № 344, стр. 187—188.

15. Флоров П. — Зависимость между пери-
метрами правильных многоугольников и вычисле-
ние л. .Тема для учащихся*, «Вестник оп. физики
и элем, математ.* 1903, М° 314, стр. 182—183.

16. Дмитровский А. А. — Об изменении
периметров правильных вписанных и описанных
многоугольников при увеличении числа сторон
на единицу, «Вестник оп. физики и элем, мате-
мат.* 1905, № 385, стр. 13—15.

17. Каценельсои Б. — Способ приближен-
ного построения стороны правильного вписанного
15-угольника, „Вестник оп. физики и элем, мате-
мат.* 1906, № 385, стр. 20.

18. Вебер Г. — Деление окружности па рав-
ные части. Перзв. с нем. «Вестник оп. физики и
элем, математ." 1905, № 416, стр. 180—188 и № 417.

19. КалбуггГн К., Способ вычисления диаго-
нали пятиугольника „Записки мат. кружка при
Оренбургском реальном училище", 1906, январь.

20. Построение правильного 17-угольника,
„Вестник оп. физики и элем, математ.* 1906, №
430, стр. 225—231; № 431—432, стр. 250—262.

21. Отчет о работах на тему для учащихся:
„Зависимость между периметрами правильных
многоугольников и вычисление л', „Вестник оп.
физики и элем, математ.' 1907, № 433, стр. 12—18;
№ 434, стр. 40—44.
22. Беляев’ский А.— Ячейка пчелиного сота
с точки зрения математики, „Пчеловод, жизнь*,
т. IV, Вятка 1909, стр. 804—809.

23. Григорьев Е. — К делению окружност и
иа 6 равных частей, .Вестник оп. физики и элем,
математ". 1909, № 472, стр. 368—369.

24. Пламеневский И. И. — Деление окруж-
ности иа равные части и определение сторон пра-
вильных вписанных многоугольников, ,Физ.-мат.
сборник*, изд. Управления Кавказского учебного
округа, III, Тифлис 1910, стр. 68—79.

25. Гагге К. — Построение правильного 17-
угольиика, .Вестник оп. физики и элем, математ.*
1911, № 536, стр. 193—199.

26. Томашевич Е. С. — О периметрах и
площадях правильных мноугольников, вписанных
в круг и описанных около него, „Мат. образ.*
М. 1913, V.

27. Дмитровский А. А. — Заметка по пово-
ду ст. Е. С. Томашевича (см. № 25), .Мат.
образ.* М. 1913, VII (ноябрь), стр. 336.

28. С в е ш н и к о в Г. - Формула Эйлера для
правильных многоугольников, .Мат. образ.*, 1913,
II, стр. 63—64.

29. Соллертинский В. — Заметка по по-
воду ст. Свешникова, .Мат. образ.*, 1913, IV,
стр. 160—162.

30. Н. А. и Любжинский — Соотношение
между сторонами описанных около круга много-
угольников о п и 2 п сторонах, .Мат. листок*,
19'5, IX (декабрь), ср. 126—128.

31. 3 е т е т л ь С. И. — О построении некоторых
правильных многоугольников, .Известия Ураль-
ского университета*, т. II, Свердловск 1922—1923,
стр. 105—203 2 табл.

32 Чистяков И. И., К отделу о правильных
многоугольниках, .Мат. образ.*, М. 1928, I, стр.
33—36.

33. Гельбак Г. — Элементарнейшее вычисле-
ние стороны девятиугольника. Доступно всякому,
знакомому с первыми главами начальной геомет-
рии. Изд. П. Сойкина, Л. 1925 (22 X 15), стр. 15,
с черт., ц. 30 коп. — 1000.

34. Трубин Ф. Г. — Общий вывод сторон
правильных многоугольников векториальным спо-
собом, Пермь 1928 (23X 18). СгР- 16 с черт.,
литограф.

35. Ч истяков И. И.— К отделу о правиль-
ных многоугольниках, .Мат. образ,* М. 1928, I,
стр. 33—36.

36. Дмитровский А. А. — Приближенные
построения правильного девятиугольника и ради-
ана, .Мат. образ.*, М. 1928, III, стр. 128—132.

37. К о с г р и ц Б. — Нахождение стороны пра-
вильного девятиугольника. .Физика, химия, мате-
мат. и техника в трудовой школе*, М. 19.8, V,
стр. 113-119.

38. Сагаловчч Г.— Правильные многоуголь-
ники, .Физика, химия, математ. и техника в тру-
довой школе*, М. 1929, III, стр. 62—64.

39. Добротай Н. И. — О площади правиль-
ного 12-угольника, .Мат. образ.*, М, 1930, VII—
VIII, стр. 223—230.

40. Адамович С. — Две теоремы о правиль-
ных многоугольниках, .Мат. образ.*, М. 1930, I,
стр. 29 —30.

41. Стратилатов П. — К вопросу построе-
ния правильных многоугольников, .Физика, химия,
математ. и техника в сов. школе", М. 1932, I, стр.
53—56; III, стр. 69—70.

КУРС АРИФМЕТИКИ П. Филипп и До ши.
Для пользования: а) в профессиональных шко-
лах и б) в практических, коммерческих и про-
мышленных школах. Третье улучшенное издание,
1929 г. .Библиотека технического обучения*,
Париж, улица Бонапарта 92.

Как видно из заглавия, учебник предназначается
ие для общеобразовательных школ, а для техни-
ческих средне-учебных заведений. Этот же учеб-
ник рекомендован во Франции и для так называ-
емых .высших* классов во .вторичной* системе
образования. Эти .высшие* классы «вторичной*
системы соответствуют приблизительно бывшим
ранее в России реальным гимназиям и тоагово-
промышлеиным школа и. Школы этого типа во
Франции разделены, начиная со второго года
обучения, иа ряд специальных отделений: обще-
образовательна, коммерческое, проиышлзнное и
т. д. Эти же школы .вторичной" системы постав-

ляют: основные кадры учащихся в высшие учеб-
ные заведения во Франции. Специализация в стар-
ших классах не мешает этим школам сохранять
в основном характер классических средне-учебных
заведений, с сохранением преподавания латин-
ского и греческого языков.

Учебник обнимает на 432 страницах полный и
подробный курс арифметики, начиная от первич-
ного определения числа и кончая главой о при-
менении арифметики в правилах вычисления про-
центов, учета, исчисления налогов, в страховом деле,
в сплавах и смесях. В курс вхидят простые числа,
дроби (простые и десятичные), отношения пропор-
ции и пропорциональные величины. Специальная
глава посвящена единицам мер, времени, весов,
электричества, температуры и т. д. При изло-
жении единиц прэстраиства даны основные гео-
метрические правила по вычислению площадей
и объемов.
Учебник, удовлетворяя полностью требованиям к
теоретическому усвоению арифметики, в то же
время является прекрасным опытом постановки
практического, применительно к окружающей жи-
зни, преподавания математики. Составители поль-
зуются буквально каждым случаем, чтобы указать
практическое применение каждой новой теоремы
или правила.

Так, например, непосредственно перец дачей
новых определений в каждом разделе дается сна-
чала практический пример, иллюстрирующий сле-
дующие за ним определения. После каждого
раздела дается особая глава, указывающая пооядок
и практические правила быстрого применения
пройденных теорем на практике.

Расположение материала сделано со свойствен-
ной французской науке логичностью и последо-
вательностью. Возведение в степень соединено
с умножением и даже не выделено в самостоя-
тельную главу, а преподается как часть умноже-
ния. Извлечение корня следует непосредственно
за главой о наибольшем и наименьшем общем
делителе и т. д.

Наиболее ярко практический уклон учебника
проявляется в задачах, занимающих более 130
страниц всего учебника. Задачи закапчивают
собой каждый раздел и составлены с применением
правил всех предшествующих разделов. Девять
десятых этих задач приспособлено к тем требова-
ниям , которые практическая работа в любой про-
фессии может предъявить учащимся. При этом
условия и данные вадачи взяты не ,с потолка",
а соответствуют действительно существующим в
жизни соотношениям и нормам. Даже в самом
начале, после главы о сложении простых чисел,
даны задачи об определении мировой продукции
нефти по данным о ее добыче в разных странах,
об определении веса общей загрузки мартенов-
ской печи, по данным о весе отдельных материа-
лов, входящих в эту нагрузку и т. д. Особенно
часты задачи на всякого рода вычисления в раз-
ных отраслях промышленности и техники.

Все это, вместе с ясностью и простотой изло-
жения, делает учебник весьма интересным для
наших педагогов.

Г. И. Килачицкий

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ. П. Филипп и Ф. Доши.
Для пользования: а) в профессиональных шко-
лах, б) в практических, коммерческих и промыш-
ленных школах и в) в высших классах „первич-
ной" системы образования.

Третье просмотренное и улучшенное издание
1933 г. „Библиотека технического обучения",
Париж, улица Бонапарта 92.

Настоящий учебник алгебры отражает типич-
ные черты того практического уклона, который
существует в профессиональных и технических
школах и в школах „первичной" ступени. В .Офи-
циальной пр грамме по изучению алгебры в прак-
тических, коммерческих и промышленных школах*,
опубликованной министерством просвещения 28
августа 1909 г., указано:

„Целью изучения алгебры является — позволить
учащимся понять и применять формулы, с кото-
рыми они встретятся при прохождении курса ме-
ханики, технологии, электричества и т. д., и поз-
же, — в практической работе. Как результат этого
изучение теории должно быть сведено к минимуму,
необходимому для понимания текущих операций.

В выборе примеров и упражнений, предлагае-
мых учащимся, преподаватель должен руководст-
воваться необходимостью практического примене-
ния приобретенных знаний".

В соответствии с изложенным настоящий курс
алгебры весьма сжат. Г1оьтому-то он рекомендуется
также и для пользования в школах „первичной"
системы, преследующих, по существу своему, ту
же практическую цель: дать грамотных работников
и техвиков для мастерских и цехов.

Логическим выводом из изложенного явилось
сокращение целого ряда отделов, обычно довольно
развитых в наших учебниках алгебры. Так, на-
пример, весьма поверхностно и кратко изложена
теория извлечения корней, иррациональных выра-
жений, теория функций и отношений. Зато дано
полное и ясное описание-счетной линейки. Глав-
ный упор учебник делает на усвоение основных
операций с алгебраическими выражениями и па
решение уравнений 1-й и 2-й степени.

Некоторый интерес представляет последователь-
ность изложения во гторой части. Сейчас же по-
сле уравнений 2-й степени с одним неизвестным
идет изложение прогпессий, затем логарифмов и
далее следуют: заметки об изменениях линейного
двучлена степени, 'заметки об ал>ебраических
функциях и теория сложных процентов

В общем—хороший образец сокращенного,
сжатого и практического курса по алгебре.

Г. И. Килачицкий
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ ПО АРИФМЕТИКЕ
С ИХ РЕШЕНИЯМИ. П. Филиппи Ф. Доши.

Лля пользования: а) в профессиональных шко-
лах и б) в практических, коммерческих и про-
мышленных школах.

Издание 1924 г. .Библиотека технического обу-
чения*, Париж, улица Бонапарта 92.

Задачник является приложением к полному
курсу арифметики тех же авторов (см. рецензию
на этот учебник) и служит тем же целям. Стрем-
ление дать учащемуся возможность научиться при-
менять в житейской и профессиональной практике
правила арифметики нашло в этом задач' ике свое
полное осуществление. Гримеры взяты прямо из
производственною процесса многочисленных от-

раслей техники: по электричеству, ткацкому делу,
машинному делу, добыче угля, нефти и целого
ряда отдельных ремесл.

Авторы отказались от метода дачи готовых ре-
шений, в виде добавочной таблицы в конце задач-
ника: после каждой задачи тут же дается не сольдо
ее решение, но и изложение самого метода ее
решения.

Задачник разбит на те же разделы, что и основ-
ной учебник.

При существующем у нас уклоне к политехни-
зации учебных заведений ознакомление с этим
задачником могло бы быть весьма полезным и
для наших педагогов и для наших составителей
задачников. Г. И. Кплачицкий

JHAETE ЛИ ВЫ ФИЗИКУ. Я. М. Перель-
м а и. ГТТИ 1934 г., ц. 2 р. 80 к.

Заслуги Перельмана вобласти популяризации зна-
ний по физике общеизвестны. Его новая книга про-
должает то же дело. К; к указано в предисловии,
оаа .предназначается для читателя, который про-
шел физику в средней школе и полагает поэтому,
что начала этой науки ему известны и перенз-
вестны*. Цель автора — разубедить читателя в
таком самомнении и вместе с тем показать, что
.область элементарной физики гораздо богаче со-
держанием, чем многие думают*. С этой целью
читателю предлагается ряд вопросов, нечто вроде
.физической викторины". Вопросы снабжены бо-
лее или менее детальными ответами.

Книга написана с обычным для Перельмана
мастерством и содержит много нового материала.

Недостатком книги является некоторая случай-
ность в подборе материала. Почти отсутствуют
вопросы из области электричества, которое могло
бы дать весьма много интересного материала. С
другой стороны, некоторые вопросы явно выходят
из рамок элементарной физики (например во-
просы, касающиеся теории относительности). Вряд
ли стоит включать их сюда.

Ввиду того, что книга, несомненно, заслуживает
распространения и получит его, полезно будет
разобрать мелкие недостатки, которые в ней
имеются.

Вопрос 8. Автор спрашивает: .Может ли
насекомое производить давление в 100 000 ат*, и
в ответ? указывает, что оса при укусе оказывает
более сильное давление.

Вопрос этот подобен вопросу: можно ли натя-
нуть нитку с силой в 1000 /п? Очевидно, нельзя,
так как нить оборвется при меньшей силе. По
той же причине ин насекомое, ни кто другой не
могут оказать одностороннее давление, большее
разрушающего давления. Все известные вещества

разрушатся ранее, чем будет достигнуто давление
в 100 000 ат.

Вопросы 12 и 13. Напрасно автор проте-
стует против общепринятого убеждения в невоз-
можности изменить движение тела одними только
внутренними силами. Пример с ракетой совер-
шенно неубедителен: газы, выбрасываемые раке-
той, являются для нее, конечно, внешним телом,
а не частью ракеты.

Вопрос 14. В ответе сказано: „Безусловно
правильно, что трение не может Сыть непосред-
ственной причиной движения". Это вовсе не бе-
зусловно. А фрикционные передачи?

Вопрос 17. .Всякая сила имеет пва конца*.
Совершенно недопустимое выражение.

Вопрос 20. При втором из указанных спо-
собов двигать лодку (посредством воздушной
струи, действующей на лопатки колеса, вращаю-
щего гребной винт) лодка тоже придет в движе-
ние, так как к. п. д. колеса и винта не может быть
равен 100о/о.

В о п р о с 23. Утверждение автора, что при за'
медленном движении маятника Максвелла вверх
чашка весов, к которой он подвешен, опускается,—
неверно. В этом случае она тоже поднимается;
ускорение имеет то же направление, как и при
опускании маятника, т. е. вниз.

В о п р о с-25. Рассуждения автора относительно
причины отклонения пламени, движущегося за
экраном, в сторону экрана, т. е. вперед, неубе-
дительны.- Дело ведь осложняется вихревыми дви-
жениями воздуха, возникающими при движении
экрана.

Вопрос 29. Необходимо указать, что человек
1

должен стоять на расстоянии -д- длины платформы
от ее левого края.

Вопрос 34. Смысл наливания в фальшивые
кости евг.нца все же есть. Он заключается в том,
о кость с налитым свинцом имеет больше шан-
сов упасть на ближнюю к центру тяжести грань,
так как, ударившись о ребро, она, несомненно,
повалится на эту грань.

Вопрос 48. Задача о показании безмена, к
которому привешен блок с нитью, соединенной с
грузами в 2 кг и 1 кг, решена неверно. Сила на-
2 т, пи,
тяжепия нити, равная----!—— g,

mi +" т2

равна в данном случае 1 2- кг, а показание без-
О

„ 2
мена 2—кг.

Вопрос 52. „Качель есть физический маят-
ник, длиной которого следует считать расстояние
от точки привеса до центра тяжести качающегося
груза". Необходимо оговорить неточность в этом
определении.

В о п р о с 64. Нельзя утверждать, что .свободно
падающая капля невесома”. Ведь она падает рав-

номерно.

Вопрос 108. Одна стомиллиардная атмос-
феры не самый низкий вакуум, а такой, который
еще может быть надежно измерен. Современные
насосы могут дать еще большие разрежения.

Вопрос Ю9. В дополнение к приведенным
автором цифрам состава разреженного воздуха
интересно было бы указать, почему процентные
отношения составных частей воздуха при низких
давлениях отличны от отношений при атмосфер-
ном давлении.

Вопрос ПО. Объяснение верхнего предела
атмосферы может вызвать недоумение. Ведь не
летят же молекулы снизу вверх без всяких столк-
новений до высоты 600 км)

Вопрос 122. Расчет силы, не дающей же-
лезному стержню расшириться при нагревании,
неточен. Не принято во внимание изменение по-
перечных размеров.

Вопрос 125. Из ответа можно вывеши не
соответствующее действительности заключение,
что слой снега в 1 см толщиной лучше держит
тепло, чем деревянная доска такой же толщины.
А конвекция?

Вопрос 126. Теплопроводность меди в 7,5 раз
больше теплопроводности чугуна, а не наобо-
рот.

Вопрос 127. Маляры не замазывают второй
рамы не затем, чтобы увеличить тепловую изо-
ляцию, а для того, чтобы наружное стекло не по-
крывалось инеем. Это, невидимому, ведет к цели.

Вопрос 131. Автор, полемизируя с учебни-
ком технической физики Лоренца в отношении
охлаждения поднимающегося атмосферного воз-
духа, дает свое объяснение, являющееся только
перефразировкой объяснения Лоренца. Расчет
дает для температурного градиента в тропосфере,
как известно, выражение -2— , где J— механиче-

ский эквивалент тепла, т. е. именно то, что ука-
зывает Лоренц. Фазический смысл этого таков:
скорость молекул воздуха при поднятии в поле
тяжести убывает, и легко видеть, что квадрат
средней квадратичной скорости, определяющий
температуру воздуха изменяется, пропор ционально
высоте поднятия.

Вопрос 134. Температура гвоздя, даже цели-
ком умещающегося в пламени, не будет равна
температуре пламени. Она всегда будет ниже тем-
пературы пламени вследствие разницы в коэфи-
циентах поглощения.

Вопрос 136. Удельная теплоемкость в дяного
пара заметно меняется с температурой, и это надо
было бы подчеркнуть.

Вопрос 148. Завод сухого льда находится
в Москве.

Вопрос 155. Автор указывает, что термометр
показывает температуру воздуха независимо от
наличия ветра. Следовало бы добавить, что, теоре-
тически говоря, температура воздуха перед термо-
метром несколько выше, а сзади его — несколько
ниже указываемой нм температуры.

Вопрос 165. Надо пояснить, о каком-имепн >
давлении ззуковых волн илет речь (волновом или
максимальном).

Вопрос 183. На рисунке ИЗ исправить: „От
Солнца”, а не „К Солнцу”.

Вопрос 189. Автор указывает, что одной из
причин выбора красного цвета для сигналив
является ббльшая чувствительность глаза к крас-
ному цвету, чем к синему нли зеленому. Это не-
верно: глаз больше чувствителен к зеленому, чем
красному цвету.

Вопрос 191. Объясняя, почему на экваторе
теплее, чем на полюсе, автор не упоминает о раз-
личной длине пути лучей Солнца в земной атмос
фаре вблизи экватора, что играет большую роль.

Вопрос 193,Кроме перминвара(названиого оши-
бочно перми варом) существует еще целый ряд спла-
вов, обладающих гораздо большей магнитной прони-
цаемостью, чем перминвар (например пермаллой).

Вопрос 209. .Сила тока в осветительной сети
достигает 0,5 ампера, — но только до тех пор,
пока в цепь не включилось человеческое тело.
Включение последнего значительно понижает силу
тока”. Чрезвычайно небрежно отредактированный
текст. Что это значит? Где сила то га достигает
0,5 ампера? В сети или в лампочке? Если даже в
последней, то почему так мало. И что такое зна-
чит „включение человеческого тела в цепь”. Ка
кую? Вообще, если бы это писал не Перельман,
то можно было бы заподозрить автора в безгра-
мотности в отношении основных понятий об элек-
тричестве.

Вопрос 211. Вряд ли можно утверждать, что
„чистая вода, падая на камень, не гставляет на
его поверхности ни малейшего следа, сколько бы
Лет Или тысячелетий ни длился такой процесс*.
Ведь никто тысячелетних опытов не про зводил.

Вопрос 212. Объяснение назначения „Дуби-
нушки” при подъеме „бабы” как своеобразного
приема охраны труда вызывает большие сомнения.

Вопрос 229. Автор спрашивает, где молекулы
движутся скорее: в водяном паре, в жидкой воде
или ьо льду, если температура их всех 0° С?
Ответ гласит, что скорости молекул всюду одина-
ковы, замечая в скобках, что точнее можно гово-
рить лишь о равенстве кинетических энергий, так
как молекулы воды, водяного пара и льда не тож-

дественны. Эго последнее правильное замечание
лишает смысла самый вопрос.

Вопрос 231. Относительно самых низких до-
стигнутых температур. Де-Гааз в Лейдене достиг
в 1933 г. температуры 0,055 К (см. „Успехи фи-
зических наук”, т. XIV, вып. 1-й).

Вопрос 232. В ответе укатано, что длина
свободного пробега молекул уменьшается при
повышении температуры. Это неверно. Длина сво-
бодного пробега от температуры зависит мало, и,
согласно Сезерлзнду; при повышении температуры
увеличивается. Д. Сахаров

.СПРАВОЧНЫЕ ТАБЛИЦЫ ПО ФИЗИКЕ”
Приф. А. И. Бачинский и К. А. Путилов.
Изд. 2-е, переработанное, Учпедгиз, М. 1J34 г.,
106 стр., цена 1 р. 10 к., в переплете 1 р. 70 к.

Книга содержит 165 таблиц.

Из них:

Математические..................16

Данные астрономии и геофизики . 16

Меры............................38

Универсальные постоянные .... 13

Плотность и тепловое расширение И

Сжимаемость жидкостей, поверхно-
стное натяжение, поглощение газов
водою..........•................4

Упругость, прочность трение ... 10

Теплота ...................... 28

Акустика........................7

Оптика..........................6

Электричество.............. ... 12

Молекулы и атомы............... 1

Из химии.................. .... 2

Из истории науки ...............1

Как видно из таблиц, в них главное внимание
уделено мерам — 38 таблиц.

Все хорошо знают, что в школьной физике
меры являются самым больным вопросом, поэтому
отведение им столь значительного места надо
признать весьма уместным.

Таблицы эти составлены весьма рационально.
В них даны полностью все три системы мер си-
стематически, и кроме того, для каждой физической
величины даны все меры со взаимным переводом.
Есть сравнительные таблицы метрических мер со
старыми русскими и иностранными мерами.

Несмотря на сравнительно малое число таблиц,

отведенных остальным вопросам, все существенно
нужное имеется.

Приучение ребят со школьной скамьи к ис-
пользованию справочников является весьма важной
задачей. Рассматриваемый справочник — единст-
веннный подходящий, могущий полностью обслу-
жить среднюю школу и в значительной мере—
высшую.

Несомненно, все таблицы по своему содержа-
нию вполне доступны учащимся.

В виду того, что эта кйижка, весьма тщательно
проверенная и проредактированная, несомненно
нужна школе, ее придется скоро переиздавать.

В предвидении этого укажем на вкравшуюся
неточность выражения, принятую в технических
книгах, но нежелательную в книге, предназначен-
ной для школы.

В таблице 28 читаем: „Мировые запасы водя-
ных сил . . . составляют. . . лошадиных сил1
и: „Запасы гидравлической энергии . . . состав-
ляют . . . лошадиных сил".

И в первой и во второй фразах речь идет
о мощности, что и следует подчеркнуть.

Кроме того для последующего издания следует
выразить такие пожелания:

1. В таблице 46 дать еще раз определение, что
такое герц.

2. Таблицы 118 и 129 продолжить до крити
ческой температуры дав, хотя бы приблизитель-
ные* данные.

3. Дать дополнительно таблицы:

а) мощность живых двигателей;

б) скорость различных движений.

А. Павша

* Насколько нам известно, точных данных для
это1 о интервала температур нет.
ЗАДАЧИ

1. Показать, что всякое нечетное число и по-
ловина следующего за ним числа суть числа вза-
имно-простые.

2. Найти число, кратное 2, 3 и 7, и имеющее 42
делителя.

3. Показать, что число 74®— 1 делится на 3300.

4. Определить, какое из чисел

(*®+D и (х9 + х)

будет более при действительных значениях х.

5. Доказать неравенство:

6. Найти значение коэфициентов р и q в трех-
члене х* + рх2 + q, зная, что он делится на трех-
член Xs + 2х + 5 и выразить частное.

7. Решить уравнение:

г---, Г &

+ 7+7

уГ'Ла + х.

8- Показать, что если а, Ь, с — стороны треуголь-
ника, то трехчлен второй степени

-I- а*) х + с’

всегда имеет положительное значение.

9. Олред. лить, при каком значении т корни
биквадратного уравнения:

х‘ — (З/п + 5) х« + (щ + 1)3 = 0,

составляют арифметическую прогрессию.

10. Решить уравнение:

х» -ЗаЬх + аВ-^ fce —о.

11. Из медиан данного треугольника строят
треугольник, из медг н полученного треуголь-
ни а — новый треугольник и т. д.до бескон> чности.
Зная, что площадь первого треугольника S, иайти
предел суммы площадей всех полученных тре->
угольников.

12. В данный круг вписать четырехугольник
по двум данным противоположным сторонам i i
сумме двух остальных сторон

13. Две стороны треугольника равны 9 и 10 л,
а радиус вписанного в него круга 2 м. Наи г in
третью сторону.

14. В данный треугольник со сторонами а, Ъ, с
вписать равносторонний треугольник так, чтобь!
вершина его лежала на основании Ь, и вычис
лить его площадь.

15. Решить уравнение:

tg22x + tg9x=10.

16. Найти угол между диагоналями правильной
четырехугольной призмы, боковая поверхност;
которой составляет половину полной.

17. Найти отношение сторон треугольника,если
они составляют арифметическую прогрессию, при*
чем наибольший угол превосходит наименьший
на 60°.

18. Доказать равенство:

arc tg - arc tgl- arctg ^ = 0.

Редакционная коллегия: И. К. Андронов,

А. Н. Барсуков, Е. С. г ерезанская А. Н. Зильберман,

А. Г. Калашников, В. Н. Молодший, П. И. Попов,

Н. П. Суворов, И. И. Чистяков.

Отв. ред. А. И. Барсуков, отв. секр. В. Н. Молодший.

Тех. редактор Г. Симановский.

.Upec редакции: Москьа, Орлик» з,
Учпедгиз, периодсектор.

Сдано в производство 29/Х 1934 г.

Подписано к печати 8/11 1935 г.

Учгиз № 6527. Объем 9f/a п. л.,
В 1 п. л. 78 000 зн. Бумага 72X105.
За<. 4732

Тираж 16 с00.

Уполномоченный Главлита № 6-1151

I-я Образцова! типография Огива РСФСР треста „Полиграфкнига". Москва, Валовая, 23.
енг 1 р.

УПРАВЛЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ И СРЕДНЕ^ .

УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕС

лОМПРОСА РСФСР

»ГГВЭ

МАТЕМД^и.» : ФИЗИКА

шноле
СРЛКОЙЕ барсуков
пл. 1-ХН

ЗАДАЧИ ць препо-

давателю средней школы в педагогиче-
ской работе и в повышении его теоре-
тического и методического уровня.

В СБОРНИКЕ БУДУТ ПОМЕЩАТЬСЯ:
научные и научно-популярные статьи по
актуальным вопр' гам математики, физики,
астрономии, а та т статьи по истории
этих наук. Вопрос общей и частных
методик. Из школьной практики. Препо-
давание математики, физики и астроно-
мии за границей. Критика и библиогра-
фия. Педагогическая консультация. За-
дачи для педагогов и учащихся средней
школы.

СБОРНИК РАССЧИТАН на преподава-
телей математики, физики и астрономии
в средней школе, но является также
пособием и для студентов педвузов.

6 сборников в год. Подписная а на год—6 руб.

Подписка на все сборники приним».. 1 в>.4ми отделениями,
магазинами, киосками и уполномоченными КОГИЗа, на почте
и в главной конторе подписных и периодических изданий
КОГИЗа, Москва, Маросейка, 7.