Г.А.Бендриков, Б.Б.Буховцев, В.В.Керженцев, Г.Я.Мякишев
ФИЗИКА. ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОСТУПАЮЩИХ В ВУЗЫ
Содержит задачи в рамках вступительных экзаменов по физике из числа
предлагавшихся в течение ряда лет на различных факультетах Московского
государственного университета. К каждой теме даны краткие указания,
касающиеся общей методики решения задач, и основные формулы, используемые
при решении. Подробные решения приведены для методически наиболее важных
задач. 8-е изд. — 1998 г.
Для учащихся школ, гимназий, лицеев с углубленным изучением физико-
математических дисциплин, для подготовки к конкурсным экзаменам в ВУЗы.
СОДЕРЖАНИЕ
Задачи Ответы и
решения
Предисловие 5
Глава I. Механика
§ 1 Прямолинейное равномерное и равнопеременное 7 205
движение
§ 2. Криволинейное движение
§ 3. Вращательное движение
§ 4. Динамика прямолинейного движения
§ 5. Закон сохранения импульса
§ 6. Статика
§ 7. Закон сохранения энергии
§ 8. Динамика вращательного движения
§ 9. Закон всемирного тяготения
§ 10. Гидро- и аэромеханика
§11. Колебания и волны
Глава II. Теплота и молекулярная физика
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
§ 13. Количество теплоты. Коэффициент полезного действия
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
§ 15. Элементы молекулярной физики
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары 90 289
Глава III. Электричество и магнетизм
§ 18. Закон Кулона 95 294
§ 19. Электрическое поле 100 299
Напряженность электрического поля A00). Потенциал.
Работа электрических сил A02). Электрическая
емкость A08).
§ 20. Постоянный электрический ток 117 316
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление
проводников A17). Последовательное и параллельное
15
18
20
29
33
40
48
52
54
60
63
65
72
85
87
216
2А2
224
234
238
246
252
259
260
263
266
267
271
284
285

соединения проводников. Добавочные сопротивления
и шунты A19). Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
A25). Последовательное и параллельное соединения
источников тока. Правила Кирхгофа A32).
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
§ 23. Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция
§ 24. Переменный электрический ток
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
Глава IV. Оптика
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
§ 27. Отражение и преломление света на плоской границе
§ 28. Фотометрия
§ 29. Сферические зеркала
§ 30. Тонкие линзы
§31. Оптические системы
Приложения
I. Фундаментальные физические константы
П. Множители и приставки для образования десятичных
кратных и дольных единиц и их наименований
III. Единицы и размерности физических величин в СИ 391
139
147
150
158
163
165
167
172
176
183
197
390
390
331
337
338
343
347
349
349
358
361
368
381

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник предназначен в помощь поступающим в
высшие учебные заведения при подготовке к экзаменам по физике,
а также слушателям подготовительных отделений и курсов. Он
содержит задачи по всем вопросам программы вступительных
экзаменов, кроме задач на волновые свойства света и задач по
атомной физике, практически не встречающихся в экзаменацион-
экзаменационных билетах. В книгу вошли преимущественно задачи, предлагав-
предлагавшиеся в течение ряда лет на вступительных экзаменах по физике
на физическом, механико-математическом, химическом, геологи-
геологическом, биолого-почвенном и географическом факультетах Мос-
Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, а
также на факультете вычислительной математики и кибернетики и
факультете почвоведения.
В сборнике представлены задачи разной трудности, что, с одной
стороны, преследует методические цели, а с другой стороны, отра-
отражает различную степень сложности задач. В книгу включены так-
также задачи, несколько выходящие за рамки действующей в настоя-
настоящее время программы по физике для поступающих в вузы. Тако-
Таковыми являются некоторые задачи § 11 "Колебания и волны", зада-
задачи на расчет электрических полей в диэлектриках, ряд задач § 23
"Магнитное поле тока. Электромагнитная индукция", все задачи
§ 24 "Переменный электрический ток" и некоторые задачи раздела
"Оптика". В большинстве случаев эти задачи относятся к вопросам,
которые так или иначе рассматриваются в школьных учебниках по
физике. Авторы считают, что разбор указанных задач поможет
читателю более свободно ориентироваться в основном материале
программы вступительных экзаменов по физике.

В целях развития навыков и культуры решения физических за-
задач многие из них снабжены подробными решениями. Все решения
построены по единому, наиболее целесообразному плану: состав-
составление необходимых уравнений, решение их в общем виде, подста-
подстановка числовых данных; при этом математика используется в пол-
полном объеме программы средней школы.
К каждой теме задачника даны краткие указания, касающиеся
общей методики решения задач, и перечень основных формул, ис-
используемых при решении. В ряде мест приведены методы решения
задач, которые, хотя и не выходят за рамки программы средней
школы и могут быть легко освоены поступающими в вузы, в сред-
средней школе рассматриваются далеко не всегда. Усвоение подобных
методов значительно облегчает подготовку к вступительным экза-
экзаменам и помогает поступившим в вуз сравнительно легко перейти
от школьных методов обучения к вузовским.
Сборник неоднократно перерабатывался, расширялся и по-
пополнялся новыми задачами из числа предлагавшихся на разных
факультетах Московского университета при подготовке третьего
издания A976 г.). Тогда же в соответствии с пожеланиями
подготовительных отделений и курсов, которые широко пользуют-
пользуются задачником, и в целях стимулирования самостоятельной работы
учащихся для части задач были опущены решения и даны лишь
ответы. Подробные решения приведены, как правило, для основ-
основных задач, на которые и должны ориентироваться читатели.
В настоящем издании общий план книги, содержание и нумера-
нумерация задач остались прежними. Однако формулировки и решения
задач существенно переработаны с учетом требований ныне дей-
действующих программ по физике для поступающих в вузы. В конце
книги приведен ряд таблиц, полезных при решении задач.
Раздел сборника "Механика", кроме задач по кинематике, напи-
написан Г.Я. Мякишевым, раздел "Теплота и молекулярная физика" и
задачи по кинематике - В.В. Керженцевым, раздел "Электриче-
"Электричество и магнетизм" - Г.А. Бендриковым, раздел "Оптика" - Б.Б. Бу-
ховцевым. Общее редактирование сборника выполнено Б.Б. Бу-
ховцевым.
Авторы выражают глубокую благодарность В.Г. Зубову и
Г.Е. Пустовалову, немало способствовавшим улучшению сборника.

ЗАДАЧИ
Глава I
МЕХАНИКА
§ 1. Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
Изучение механики обычно начинают с кинематики. Кинематика опи-
описывает механическое движение тел с геометрической точки зрения, без
рассмотрения действующих на них сил.
Задачей кинематики является определение кинематических характе-
характеристик движения тел - их положения (координат), скоростей, ускорений,
времени движения и т.д. - и получение уравнений, связывающих эти
характеристики между собой. Эти уравнения позволяют по одним из-
известным характеристикам находить другие и тем самым дают возмож-
возможность при минимальном числе исходных данных полностью описывать
движение тел.
При решении задач механики, в частности кинематики, нужно в первую
очередь выбрать систему координат (систему отсчета), задать ее начало и
положительные направления координатных осей и выбрать начало от-
отсчета времени. Без выбора системы координат описать движение невоз-
невозможно. В соответствии с характером задач, рассматриваемых в дальней-
дальнейшем, мы будем пользоваться в случае прямолинейного движения системой
координат, состоящей из одной координатной оси OS, вдоль которой
происходит движение, с началом отсчета в точке О. В более сложных
случаях будет применяться декартова прямоугольная система координат
с взаимно перпендикулярными осями ОХ и 0Y, пересекающимися в точке
О, которая является началом отсчета.
Равномерное и равнопеременное прямолинейное движение описыва-
описывается кинематическими уравнениями (так называемыми законами движе-
движения), дающими зависимость координаты s и скорости v от времени:
s = s0 + vot + at2/2, u=v() + at, A)
где а — ускорение, t - время, протекшее с начала отсчета, т.е. с момента,
когда тело имело начальную координату sq и начальную скорость Ц). При
а = const уравнения A) описывают равнопеременное движение, при а - О -
равномерное. Все остальные формулы равнопеременного движения,
например связь между начальной скоростью и координатой тела в момент
полной остановки: s0 = v^lla, можно легко получить из этих уравнений.

Число уравнений типа A) зависит как от характера движения, так и от
выбора системы координат. Например, при выборе в качестве системы
координат оси OS (рис. 1) для тела, движущегося из точки А в точку В по
прямой с начальной скоростью Vq и ускорением а, направленным против
положительного направления координатной оси, уравнения A) будут
иметь вид s = Sq + ц/ - Ш212, и = щ- at.
Для описания движения этого же тела
vw можно взять также прямоугольную систе-
Ny му координат с осями ОХ и OY, располо-
расположенными, как показано на рис. 1. Коорди-
Координата .?() тела в этом случае будет опреде-
определяться проекциями до и у() на оси OX vlOY.
При движении тела эти проекции на оси
координат изменяются. Скорость v тела
можно представить в виде суммы двух
составляющих их и иу, направленных вдоль
координатных осей. Модули этих состав-
составляющих равны модулям проекций их и иу
Рис- ' скорости на соответствующие оси. Анало-
Аналогично, модули составляющих ускорения равны модулям проекций ах и ау.
Для каждой проекции координаты и скорости на соответствующую ось
может быть написана своя пара кинематических уравнений:
Уо
х = \
у =
\vOxlt— \ах
I r2/2,
vx =
vx =-ly
Ov
Здесь дг(), у() и щх, иОу - проекции начальной координаты и начальной
скорости тела на координатные оси. (О выборе знаков перед ц)Л, иОу, ах и
ау см. ниже.)
Описания движения в различных системах координат эквивалентны
между собой в том смысле, что при известном расположении двух систем
координат относительно друг друга по величинам, найденным в одной
системе, можно определить соответствующие величины в другой. Напри-
Например, легко убедиться, что расстояние АВ (рис. 1), пройденное телом и
равное s - ^0. выражается через расстояния х - х0 и у0, на которые пере-
переместились за это время проекции координаты тела:
s-s0 =-yj(x-xQJ
¦yl
Начальная скорость у0 и ускорение а тела могут быть найдены, если
известны их проекции на оси координат:
2x + v2Oy, а = .Пг~
При решении задач следует выбирать такую систему координат, в ко-
которой уравнения, описывающие движение, получаются простыми. Ясно,

что при прямолинейном движении система уравнений, описывающая это
движение, выглядит проще, если берется одна ось координат, направлен-
направленная вдоль движения. При криволинейном движении приходится брать
прямоугольную систему координат с двумя осями и представлять дви-
движение в виде суммы двух движений, происходящих вдоль координатных
осей. Уравнения имеют более простой вид, когда направления осей вы-
выбираются так, что некоторые из проекций в течение всего времени дви-
движения равны нулю.
При составлении уравнений очень важен вопрос о знаках перед мо-
модулями проекций s, и и а. Если координата отсчитывается в поло-
положительную сторону от начала отсчета (положительное направление оси
координат указывается стрелкой на конце оси), то ей приписывается знак
плюс. Проекции ускорений и скоростей считаются положительными, если
направление соответствующей составляющей совпадает с положитель-
положительным направлением оси, в противном случае в уравнениях они пишутся со
знаком минус. Например, на рис. 1 проекция ускорения на ось О Y поло-
положительна, а проекция скорости на ту же ось отрицательна. Неизвестные
величины лучше писать со знаком плюс. При нахождении этих величин в
процессе решения задачи их знак определится сам собой. Например, для
тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью v0, если
ось OS направлена вертикально вверх и начало отсчета совпадает с
поверхностью земли, s = uot - g?2/2 (ускорение свободного падения g
направлено вниз). В этом случае знак координаты s зависит от t: для
t > 2y()/g координата .v отрицательна.
Иногда пройденный телом путь отождествляют с координатой s, a
уравнение A) называют уравнением пути. В общем случае это непра-
неправильно. Путь - это сумма всех расстояний, пройденных телом вдоль
траектории. В частности, в приведенном выше примере координата s в
момент времени t = 2v{)/g будет равна нулю (тело упадет на землю), в то
время как пройденный телом к этому времени путь / будет равен сумме
расстояний от земли до наивысшей точки, достигнутой телом, и от этой
точки до земли (l=v^/g).
При решении задач на движение нескольких тел рекомендуется пользо-
пользоваться одной системой координат. В некоторых случаях бывает удобно
систему координат связать с одним из движущихся тел и рассматривать
движение остальных тел относительно избранного.
Эти указания относятся прежде всего к § 1-3, однако они могут пона-
понадобиться и при решении других задач во всем разделе "Механика".
1. Товарный поезд идет со скоростью vx = 36 км/ч. Спустя время
т = 30 мин с той же станции по тому же направлению вышел
экспресс со скоростью v2 = 72 км/ч. Через какое время t после
выхода товарного поезда и на каком расстоянии s от станции
экспресс нагонит товарный поезд? Задачу решить аналитически и
графически.
9

2. Из городов А я В, расстояние между которыми L = 120 км,
одновременно выехали навстречу друг другу две автомашины со
скоростями I/, = 20 км/ч и v2 = 60 км/ч. Каждая автомашина, пройдя
120 км, остановилась. Через какое время t и на каком расстоянии s
от города С, находящегося на полпути между А и В, встретятся
автомашины? Задачу решить аналитически и
графически. Построить график зависимости
расстояния / между автомашинами от времени t.
3. Стержень АВ длины / опирается концами о
пол и стену. Найти зависимость координаты у
конца стержня В от времени t при движении
конца стержня А с постоянной скоростью v в
направлении, указанном на рис. 2, если перво-
первоначально конец А имел координату х{).
4. Товарный поезд длины /, = 630 м и экспресс
длины /2 = 120 м идут по двум параллельным
путям в одном направлении со скоростями
vx = 48,6 км/ч и и2 = 102,6 км/ч соответственно. В течение какого
времени экспресс будет обгонять товарный поезд?
5. Два поезда идут навстречу друг другу со скоростями и] =
= 36 км/ч и и2 = 54 км/ч. Пассажир в первом поезде замечает, что
второй поезд проходит мимо него в течение времени t = 6 с. Какова
длина второго поезда?
6. Теплоход, имеющий длину / = 300 м, движется по прямому
курсу в неподвижной воде со скоростью vx. Катер, имеющий ско-
скорость и2 = 90 км/ч, проходит расстояние от кормы движущегося
теплохода до его носа и обратно за время
t = 37,5 с. Найти скорость у, теплохода.
7. На наклонную плоскость, составляющую с
горизонтом угол а, опирается стержень, ко-
который может перемещаться только по верти-
вертикали благодаря направляющему устройству АВ
(рис. 3). С какой скоростью и поднимается
стержень, если наклонная плоскость движется
влево со скоростью ul
8. Капли дождя на окнах неподвижного трамвая оставляют по-
полосы, наклоненные под углом а = 30° к вертикали. При движении
трамвая со скоростью и = 18 км/ч полосы от дождя вертикальны.
Найти скорость капель дождя и в безветренную погоду и скорость
ветра w.
Рис.3
10

9. Пловец переплывает реку, имеющую ширину h. Под каким
углом а к направлению течения он должен плыть, чтобы перепра-
переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? Где он в
этом случае окажется и какой путь „у проплывет, если скрость те-
течения реки равна и, а скорость пловца относительно воды равна у?
Рис.5
10. Лодочник, переправляясь через реку ширины h из пункта А в
пункт В, все время направляет лодку под углом а к берегу (рис. 4).
Найти скорость лодки и относительно воды, если скорость течения
реки равна и, а лодку снесло ниже пункта В на расстояние /.
11. Корабль идет на запад со скоростью и. Известно, что ветер
дует с юго-запада. Скорость ветра, измеренная на палубе корабля,
равна «о. Найти скорость ветра и относительно земли.
12. Тело 1 начинает двигаться из точки А по направлению к
точке В со скоростью vx; одновременно тело 2 начинает двигаться
из точки В по направлению к точке С со скоростью и2 (рис. 5). Рас-
Расстояние АВ = L. Острый угол ABC = ос. В какой момент времени t
расстояние / между телами 1 и 2 будет минимальным и каково это
расстояние?
13. Один поезд шел половину пути s со скоростью vx = 80 км/ч, а
половину пути - со скоростью и\ = 40 км/ч. Другой поезд шел поло-
половину времени / со скоростью и2 = 80 км/ч, а половину времени - со
скоростью и'2 = 40 км/ч. Какова средняя скорость каждого поезда?
14. Тело, имея начальную скорость и0 = 2 м/с, двигалось в тече-
течение времени г, = 3 с равномерно, t2 = 2 с с ускорением а2 = 2 м/с2,
t3 = 5 с с ускорением а3 = 1 м/с2, f4 = 2 с с ускорением аА = - 3 м/с2,
t5 = 2 с равномерно со скоростью, полученной в конце промежутка
времени tA. Найти конечную скорость v, пройденный путь s и
среднюю скорость vcp на этом пути. Задачу решить аналитически и
графически.
15. Самолет, летящий горизонтально со скоростью v, попадает
в полосу дождя, капли которого падают вертикально со скоро-
П

стью w. Кабина пилота имеет два стекла: верхнее - горизонтальное
и переднее - наклоненное к горизонту под углом а (рис. 6). Каждое
из стекол имеет площадь S. Найти отношение числа капель воды,
падающих в единицу времени на переднее стекло, к числу капель,
падающих в единицу времени на верхнее стекло.
16. Тело, имея начальную скорость
I i/0 = 1 м/с, двигалось равноускоренно и при-
wy / ~ [-"[ обрело, пройдя некоторое расстояние, ско-
a \W I рость ик = 7 м/с. Какова была скорость тела
) на половине этого расстояния?
17. Тело, имея некоторую начальную ско-
Рис'6 рость, движется равноускоренно из некото-
некоторого положения. Известны координаты тела
л',, хъ х3, отсчитанные вдоль направления движения от произвольно-
произвольного начала отсчета в моменты времени /,, t2, t3. Найти ускорение тела.
18. Парашютист спускается с постоянной скоростью v = 5 м/с.
На расстоянии h = 10 м от земли у него выпал предмет. На сколько
позже приземлится парашютист, чем этот предмет? Сопротивле-
Сопротивлением воздуха для падающего предмета пренебречь. Считать уско-
ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
19. Тело, имея некоторую начальную скорость, движется равно-
равноускоренно. За время t тело прошло путь s, причем его скорость
увеличилась в п раз. Найти ускорение тела.
20. По одному направлению из одной точки одновременно нача-
начали двигаться два тела: одно - равномерно со скоростью v = 980 см/с,
а другое - равноускоренно без начальной скорости с ускорением
а - 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?
21. Два поезда прошли одинаковый путь s за одно и то же вре-
время /, однако один поезд, имея начальную скорость, равную нулю,
прошел весь путь с ускорением а = 3 см/с2, а другой поезд половину
пути шел со скоростью vx = 18 км/ч, а половину пути - со ско-
скоростью v2 = 54 км/ч. Найти путь s, пройденный поездами.
22. Автомобиль, трогаясь с места, едет с ускорением ах. Достиг-
Достигнув скорости v, он некоторое время едет равномерно, а затем тор-
тормозит с ускорением а2 до остановки. Найти время t движения авто-
автомобиля, если он прошел путь s.
23. Поезд прошел путь s = 60 км за время t = 52 мин. Сначала он
шел с ускорением +а, в конце с ускорением -а, остальное время с
максимальной скоростью v =72 км/ч. Найти модуль ускорения,
если начальная и конечная скорости равны нулю.
12

24. Какая предельная скорость приземления v парашютиста до-
допустима, если человек, не имея парашюта, может безопасно пры-
прыгать с высоты й^2м?
25. Камень брошен с высоты h = 28 м вертикально вверх с на-
начальной скоростью у0 = 8 м/с. Найти скорость и падения камня на
землю.
26. Тело падает без начальной скорости с высоты h = 45 м.
Найти среднюю скорость иф падения на второй половине пути.
27. За какое время t свободно падающее без начальной скорости
тело пройдет сотый сантиметр своего пути?
28. Свободно падающее без начальной скорости тело в послед-
последнюю секунду падения прошло 2/3 своего пути. Найти путь s, прой-
пройденный телом.
29. Тело брошено с некоторой высоты вертикально вверх с
начальной скоростью у0 = 30 м/с. Найти координату h и скорость и
тела через время t = 10 с, а также пройденный за это время путь s.
Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
30. Свободно падающее без начальной скорости тело спустя
некоторое время после начала падения находилось на высоте
Л] = 1100 м, а еще через время At = 10 с - на высоте h2 = 120 м над
поверхностью земли. С какой высоты h падало тело?
31. Тело, брошенное вертикально вверх, дважды проходит через
точку на высоте h. Промежуток времени между этими прохожде-
прохождениями равен At. Найти начальную скорость тела и0 и время At0 от
начала движения тела до возврата в начальное положение.
32. Одно тело брошено вертикально вверх с начальной ско-
скоростью и0, другое падает с высоты h без начальной скорости.
Движения начались одновременно и происходят по одной
прямой. Найти зависимость расстояния s между телами от вре-
времени t.
33. С башни, имеющей высоту h, бросают одновременно два ша-
шарика: один - вертикально вверх со скоростью V\, другой - верти-
вертикально вниз со скоростью и2. Найти промежуток времени At, отде-
отделяющий моменты их падения на землю.
34. С крыши падают одна за другой две капли. Через время t2 =
= 2 с после начала падения второй капли расстояние между капля-
каплями стало равным s = 25 м. На сколько раньше первая капля оторва-
оторвалась от крыши?
35. С высоты h\ = 10 м без начальной скорости падает камень.
Одновременно с высоты h2 = 5 м вертикально вверх бросают дру-
13

гой камень. С какой начальной скоростью и0 брошен второй ка-
камень, если камни встретились на высоте h = 1 над землей?
36. Два тела брошены вертикально вверх с одинаковыми началь-
начальными скоростями с интервалом времени At. С какой скоростью бу-
будет двигаться второе тело относительно первого?
37. Лодка подтягивается к высокому
берегу озера при помощи веревки,
которую наматывают с постоянной
скоростью v = 1 м/с на цилиндриче-
цилиндрический барабан, находящийся на высоте
h = 6 м над уровнем воды (рис. 7).
Найти зависимость скорости лодки ил
от длины веревки /. Найти также
Рис. 7
скорость лодки в момент времени,
когда / = 10 м, и перемещение лодки из этого положения за
время t ~ 1 с.
38. По наклонной плоскости одновременно начали двигаться два
тела: одно - вверх с начальной скоростью и0 = 0,5 м/с, другое - вниз
без начальной скорости. Через какое время t тела встретятся и
какой будет их относительная скорость в месте встречи, если
первоначальное расстояние между телами / = 2,5 м?
39. Тело соскальзывает без трения с наклонной плоскости.
Найти угол а наклона плоскости к горизонту, если средняя ско-
скорость тела за первые 0,5 с на 2,45 м/с меньше, чем средняя скорость
тела за первые 1,5 с.
40. Стальной шарик, упавший с высоты h - 1,5 м на стальную
доску, отскакивает от нее с потерей 25% скорости. Найти время t,
которое проходит от начала движения шарика до его второго паде-
падения на доску.
41. Мяч свободно падает с высоты h = 120 м на горизонтальную
плоскость. При каждом отскоке скорость его уменьшается вл = 2
раза. Построить график скорости и найти пройденный мячом путь
от начала движения до остановки.
42. На движущуюся вертикально вверх со скоростью и горизон-
горизонтальную гладкую плиту свободно падает шарик. Расстояние от
точки начала падения шарика до его места встречи с плитой рав-
равна h0. На какую высоту h от этого места подскочит шарик после
соударения с плитой? Плита, обладая очень большой массой, не
изменяет своей скорости в результате соударения с шариком. Счи-
Считать соударение абсолютно упругим.
14

43. Вертикальная гладкая плита движется
горизонтально со скоростью и. Летящий в го-
горизонтальной плоскости со скоростью Ц) ша-
шарик соударяется с плитой. Направление полета
шарика составляет угол а с перпендикуляром
к плите (рис. 8). Найти скорость и шарика
после соударения с плитой. Плита, обладая
очень большой массой, не изменяет своей ско-
скорости в результате соударения с шариком. Рис- 8
Считать соударение абсолютно упругим. Силой тяжести пре-
пренебречь.
§ 2. Криволинейное движение
При прямолинейном движении направление скорости тела остается
неизменным. Если же тело движется по криволинейной траектории, его
скорость в любой точке направлена по касательной к траектории в этой
точке. Криволинейное движение является всегда ускоренным, так как
изменяется направление скорости, даже если не изменяется ее модуль.
Для расчета движения по криволинейной траектории удобно исполь-
использовать прямоугольную систему координат с двумя осями. Одну из осей
направляют обычно параллельно ускорению, другую - перпендикулярно
к нему.
44. Тело брошено с высоты h горизонтально с начальной ско-
скоростью у0. Как зависят от времени координаты тела и его полная
скорость? Вывести уравнение траектории.
45. С башни, имеющей высоту h = 25 м, горизонтально брошен
камень с начальной скоростью и()= 10 м/с. На каком расстоянии s
от основания башни он упадет на землю?
46. Камень, брошенный с башни горизонтально с начальной ско-
скоростью 1/0 = 10 м/с, упал на расстоянии s = 10 м от башни. С какой
высоты h был брошен камень?
47. Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол
его скорость и= 7,8 м/с. Высота стола h = 1,5 м. Найти начальную
скорость тела v0.
48. Камень брошен с горы горизонтально с начальной скоростью
иа = 15 м/с. Через какое время t его скорость будет направлена под
углом а = 45° к горизонту?
49. Камень, брошенный с крыши дома горизонтально с началь-
начальной скоростью 1/0 = 15 м/с, упал на землю под углом а = 60° к гори-
горизонту. Какова высота h дома?
15

50. Тело брошено с высоты h = 2 м горизонтально так, что к
поверхности земли оно подлетает под углом а = 45° к горизонту.
Какое расстояние по горизонтали пролетает тело?
51. Тело брошено горизонтально. Через время t = 5 с после бро-
броска направления полной скорости v и полного ускорения а соста-
составили угол Р = 45°. Найти полную скорость v тела в этот момент.
Считать ускорение свободного падения g = 10 м/с2.
52. Камень брошен с высоты h вверх под углом а к горизонту с
начальной скоростью v0. Под каким углом р* к горизонту и с какой
скоростью v камень упадет на землю?
53. Тело брошено горизонтально с начальной скоростью
у0 = 15 м/с. Найти нормальное а„ и касательное ах ускорения через
время t = 1 с после начала движения тела.
54. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной
скоростью f(). Как зависят от времени скорость и тела и угол Р ее
наклона к горизонту?
55. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной
скоростью vQ. Найти законы движения для координат тела и полу-
получить уравнение траектории.
56. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной
скоростью у,). На какую высоту h поднимется тело? В течение
какого времени t будет продолжаться подъем тела?
57. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной
скоростью v(). Какое время t тело будет находиться в полете? Какое
расстояние s по горизонтали от места бросания пролетит тело?
58. Тело брошено с земли под углом а к горизонту с начальной
скоростью и0. Построить графики зависимости вертикальной про-
проекции скорости vy от времени t; координаты у (высоты); коорди-
координаты х (расстояния по горизонтали от места бросания).
59. Камень брошен под углом а = 30° к горизонту с начальной
скоростью щ = 10 м/с. Через какое время t камень будет на высоте
h = 1 м?
60. Камень, брошенный под углом а = 30° к горизонту, дваж-
дважды был на одной высоте h: спустя время (, = 3 с и время t2 = 5 с
после начала движения. Найти начальную скорость v0 и вы-
высоту h.
61. Тело, брошенное под углом а = 60° к горизонут, через время
f = 4 с после начала движения имело вертикальную проекцию
скорости vy = 9,8 м/с Найти расстояние s между местом бросания и
местом падения.
16

62. Камень брошен с башни, имеющей высоту h, с начальной
скоростью vQ, направленной под углом а к горизонту. На каком
расстоянии s от основания башни упадет камень?
63. Два тела брошены под углами at и а2 к горизонту из одной
точки. Каково отношение сообщенных им начальных скоростей,
если они упали на землю в одном и том же месте?
64. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью
1/0 = 10 м/с. Найти скорость у тела в момент, когда оно оказалось на
высоте h = 3 м.
65. Камень брошен с высоты h под углом к горизонту с
начальной скоростью v0. С какой скоростью i/ камень упадет на
землю?
66. Тело брошено под углом а к горизонту с начальной ско-
скоростью f0. Через какие промежутки времени после бросания
скорость тела будет составлять с гори-
горизонтом углы C, = 45° и C2 = 315° ?
67. Какую начальную скорость и0
имел снаряд, вылетевший из пушки под
углом а = 30° к горизонту, если он про-
пролетел расстояние s = 17 300 м? Извест-
Известно, что сопротивление воздуха умень-
уменьшило дальность полета в четыре раза.
68. Мотоциклист въезжает на вы-
высокий берег рва, параметры которого указаны на рис. 9. Какую
минимальную скорость v должен иметь мотоциклист в момент
отрыва от берега, чтобы перескочить
через ров?
69. Камень брошен с башни под
углом а = 30° к горизонту с начальной
скоростью v0 = 10 м/с. Каково кратчай-
кратчайшее расстояние / между местом броса-
бросания и местом нахождения камня спустя
время t = 4 с после бросания?
70. Сверхзвуковой самолет летит го-
горизонтально со скоростью v = 1440 км/ч
на высоте h = 20 км. Когда самолет
пролетает над зенитной установкой, из
орудия производится выстрел (рис. 10). Какова должна быть мини-
минимальная начальная скорость v0 снаряда и угол а ее с горизонтом,
чтобы снаряд попал в самолет?
Рис.9
Рис. 10
17

71. Два тела брошены одновременно из одной точки - одно
вверх, другое вниз, оба с начальной скоростью щ = 30 м/с под углом
а = 60° к вертикали. Найти разность уровней, на которых будут
находиться тела спустя время t - 2 с.
72. С самолета, летящего горизонтально со скоростью w0, на
высоте /?0 сброшен груз. На какой высоте h скорость груза будет
направлена под углом а к горизонту? Сопротивлением воздуха
пренебречь.
73. Самолет, оторвавшись от взлетной дорожки, летит по пря-
прямой линии, составляющей с горизонтом угол а = 30°, с начальной
скоростью у0 = 50 м/с и ускорением а = 3 м/с2. Из самолета спустя
время t0 - 5 с после отрыва его от земли выброшен по вертикали
вниз ключ с начальной скоростью и0 = 3 м/с относительно
самолета. На каком расстоянии от места взлета упадет ключ?
74. С высоты h = 2 м вниз под углом ос = 60° к горизонту брошен
мяч с начальной скоростью ц, = 8,7 м/с. Найти расстояние s между
двумя последовательными ударами мяча о землю. Удары считать
абсолютно упругими.
75. Шарик свободно падает по вертикали на наклонную пло-
плоскость. Пролетев расстояние h = 1 м, он упруго отражается и вто-
второй раз падает на ту же плоскость. Найти расстояние s между пер-
первым и вторым ударами шарика о плоскость, если последняя состав-
составляет с горизонтом угол а = 30°.
§ 3. Вращательное движение
Изменение положения тела при движении по окружности характери-
характеризуют углом поворота радиуса, проведенного к телу. Угол поворота чаще
всего выражают в радианах:
2л рад = 360°, 1 рад = 180°/я, 1° = 7t/18O рад.
Угловая скорость со равномерно движущегося по окружности тела -
отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку
времени, в течение которого совершен этот поворот. Единицей угловой
скорости является радиан в секунду (рад/с).
Линейная скорость и тела - отношение длины пройденного пути к
промежутку времени, в течение которого пройден этот путь. Она
определяется угловой скоростью со тела и его расстоянием R от оси
вращения: v = со/?.
Быстроту движения тела по окружности характеризуют также часто-
частотой вращения п — числом оборотов, совершаемых телом в единицу вре-
времени, и выражают в оборотах в секунду (об/с). Частота вращения п свя-
связана с угловой скоростью со соотношением со = 2пп.
18

Период вращения Т — время, в течение которого тело делает полный
оборот: Т = 1/п = 2 л/со.
При равномерном движении тела по окружности ускорение тела в
любой точке направлено перпендикулярно к скорости движения, т.е. по
радиусу окружности к ее центру. Это ускорение называется цент-
центростремительным. Его модуль ап - u2/R = со2/?.
При равноускоренном движении тела по окружности центростре-
центростремительное (нормальное) ускорение а„ вместе с касательным (танген-
(тангенциальным) ускорением ах (изменяющим модуль скорости и) определяют
полное ускорение а тела.
76. Найти радиус R маховика, если при вращении линейная ско-
скорость точек на его ободе V\ = 6 м/с, а точек, находящихся на рас-
расстоянии г= 15 см ближе к оси вращения, v2 = 5,5 м/с.
77. Линейная скорость точек обода вращающегося диска
fj = 3 м/с, а точек, находящихся на расстоянии г = 10 см ближе к оси
вращения, и2 = 2 м/с. Найти частоту вращения диска.
78. Велосипедист едет с постоянной скоростью и по прямоли-
прямолинейному участку дороги. Найти мгновенные линейные скорости
точек Л, В, С, D, Е, лежащих на ободе колеса
(рис. 11), относительно земли.
79. Материальная точка движется по окруж-
окружности радиуса R = 20 см равноускоренно с ка-
касательным ускорением ах = 5 см/с2. Через ка-
какое время t после начала движения центро-
центростремительное ускорение а„ будет больше ах
вп = 2 раза? у//////////////////////
80. Материальная точка, двигаясь равно- рис. 11
ускоренно по окружности радиуса R = 1 м,
прошла за время г, = 10 с путь s = 50 м. С каким центростреми-
центростремительным ускорением а„ двигалась точка спустя время г, = 5 с после
начала движения?
81. Ось вращающегося диска движется поступательно в гори-
горизонтальном направлении со скоростью v. Ось горизонтальна, на-
направление ее движения перпендикулярно к ней самой. Найти мгно-
мгновенную скорость I/, верхней точки диска, если мгновенная скорость
нижней точки диска равна щ.
82. При равноускоренном движении тела по окружности полное
ускорение а и линейная скорость v тела образуют угол а = 30°.
Найти отношение центростремительного и касательного уско-
ускорений.
19

83. Найти линейную скорость v и центростремительное уско-
ускорение а„ точек на экваторе и на широте <р = 60°. Считать радиус
Земли R = 6400 км.
84. Маховое колесо, вращающееся с частотой п = 240 об/мин,
останавливается в течение промежутка времени t = 0,5 мин. Найти
число оборотов /V, сделанных колесом до полной остановки.
85. Поезд въезжает на закругленный участок пути с начальной
скоростью у0 = 54 км/ч и проходит равноускоренно расстояние
s = 600 м за время t = 30 с. Радиус закругления R = 1 км. Найти
скорость v и полное ускорение а поезда в конце этого участка пути.
V//////////////////.
Рис. 12
Рис. 13
86. С колеса автомобиля, движущегося с постоянной скоростью
и, слетают комки грязи. Радиус колеса равен R. На какую высоту h
над дорогой будет отбрасываться грязь, оторвавшаяся от точки А
колеса, указанной на рис. 12? Изменится ли высота h, если колесо
будет катиться с пробуксовкой?
87. В винтовой желоб (рис. 13) положен тяжелый шарик. С ка-
каким ускорением а нужно тянуть нить, намотанную на цилиндр
с желобом, чтобы шарик падал свободно, если диаметр цилиндра
равен D, а шаг винтового желоба равен Ю.
§ 4. Динамика прямолинейного движения
При решении динамических задач нужно прежде всего выяснить, какие
силы действуют на тело, движением которого мы интересуемся. Необ-
Необходимо изобразить эти силы на чертеже. При этом нужно отчетливо
представлять себе, со стороны каких тел действуют рассматривае-
рассматриваемые силы. Следует помнить, что силы "действия" и "противодействия",
фигурирующие в третьем законе Ньютона, приложены к разным
телам. Поэтому на данное тело может действовать лишь одна из этих
двух сил.
20

В задачах обычно встречаются следующие типы сил.
1. Силы тяжести mg (рис. 14) - сила, действующая на тело со стороны
Земли. Эта сила приложена к центру масс тела. Если других сил нет, то
сила тяжести сообщает телу массы т ускорение свободного падения
g = 9,80665 м/с2 = 9,81 м/с2. Если пренебречь вращением Земли, а также
' mg
Рис. 14
Рис. 15
отклонениями от сферической симметрии распределения составляющих
ее масс, то силу тяжести можно считать направленной к центру Земли.
2. Сила реакции опоры N (рис. 15а) - сила, с которой опора действует
на тело. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкосновения тел.
Зависимость силы реакции опоры от деформации в задачах обычно не
рассматривается.
3. Сила нормального давления FH д (рис. 156) - сила, с которой тело
давит на опору. Эта сила перпендикулярна к поверхности соприкосно-
соприкосновения тел, равна по модулю (согласно третьему закону Ньютона) силе
реакции опоры и противоположна ей по направлению, так что для
модулей этих сил справедливо равенство FH д = N.
т т
¦»>—«*¦
У//////////////////////
Рис. 16
V
У////////////
Рис. 17
4. Сила натяжения подвеса Г - сила, с которой подвес действует на
тело. Эта сила направлена вдоль оси подвеса. Если тела связаны неве-
невесомой нитью (веревкой, тросом и т.п.), то натянутая нить действует с
одинаковыми силами как на одно, так и на другое тело (рис. 16). При этом
нить может быть перекинута через систему невесомых блоков. Обычно
нить считается нерастяжимой и зависимость силы натяжения нити от
деформации не рассматривается.
Сила натяжения подвеса (сила реакции подвеса), так же как и сила
реакции опоры, относится к силам упругости, особенность которых
состоит в том, что они направлены перпендикулярно к поверхности
соприкосновения взаимодействующих тел или вдоль их осей.
5. Сила трения / (рис. 17) — сила сопротивления, возникающая при
относительном перемещении прижатых друг к другу тел. Эта сила
направлена по касательной к поверхности соприкосновения тел и проти-
противоположно направлению перемещения данного тела. Важно обратить
21

внимание на неоднозначность силы трения покоя. При покое сила трения
в зависимости от других сил, приложенных к телу, может меняться от
нуля до некоторого максимального значения, определяемого силой
нормального давления FH.„:/max = kFH .„, где к - коэффициент трения*. При
скольжении обычно принимается, что / = /тах
(рис. 18). Учитывая, что модули сил нормального
/max давления и реакции опоры равны, можно выразить
u максимальную силу трения /тах через силу реакции
*" опоры Л/:/тах =kN (для модулей сил). Это соотно-
соотношение будет часто использоваться при решении
/п,
задач.
Для того чтобы определить направление силы тре-
Рис. 18 ния, можно применить следующий прием: предполо-
предположить, что сила трения мгновенно исчезла, и найти
направления относительных скоростей трущихся тел. Направления сил
трения будут противоположны направлениям относительных скоростей.
После того как найдены действующие на тело силы, следует записать
уравнение движения (второй закон Ньютона). При движении по прямой
второй закон Ньютона имеет вид та - F\ + Fi + ... + Fm где
Fj, F2,..., F,, - проекции сил на прямую, по которой происходит движение.
Положительное направление отсчета удобно выбирать совпадающим с
направлением\ускорения. Если направление составляющей силы совпа-
совпадает с направлением ускорения, то соответствующая проекция силы бе-
берется со знаком плюс, в противном случае - со знаком минус. До того как
задача решена, направление ускорения, вообще говоря, неизвестно и
может быть выбрано произвольно. Если полученное в процессе решения
задачи ускорение положительно, то его направление выбрано правильно,
если отрицательно - то неправильно.
В направлении, перпендикулярном к прямолинейному движению,
сумма проекций сил равна нулю, так как ускорение в этом направлении
отсутствует. Этими равенствами можно воспользоваться в случае, когда
надо найти силу реакции опоры, определяющую силу трения.
Если рассматривается движение системы тел, то уравнение движения
нужно записать для каждого тела системы. Задача может быть решена
лишь тогда, когда число независимых уравнений равно числу неиз-
неизвестных. В число неизвестных часто кроме величин, которые требуется
найти по условию задачи, входят еще силы реакции опоры, трения и
натяжения подвеса, возникающие при взаимодействии тел системы.
Для решения задачи о движении системы связанных друг с другом тел
одних уравнений движения, вообще говоря, недостаточно. Нужно запи-
записать еще так называемые кинетические условия, выражающие собой
соотношения между ускорениями тел системы, обусловленные связями
внутри нее. Например: 1) тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют
* В настоящее время для обозначения коэффициента сухого трения чаще
используется буква \i.
22

одинаковые по модулю ускорения: | ах\ - | <з21 (обычно это соотношение
подразумевается непосредственно при записи уравнений движения); 2) при
наличии подвижного блока ускорение тела А по модулю у///////////////,
в два раза меньше ускорения тела В (рис. 19): | ав\ =
Решение следует первоначально получить в общем
виде и лишь затем подставлять числовые значения в
избранной системе единиц. Полезно проследить, как бу-
будут изменяться найденные величины в зависимости от
величин, заданных в условии задачи.
Если в задаче требуется найти не только силы и
ускорения, но также координаты (или пройденные пу-
пути) тел и их скорости, то кроме уравнений движения
нужно использовать кинетические уравнения для координат и скоростей.
88. Поезд массы т = 500 т после прекращения тяги паровоза
останавливается под действием силы трения /= 0,1 МН через время
t = 1 мин. С какой скоростью v шел поезд до момента прекращения
тяги паровоза?
89. Паровоз на горизонтальном участке пути, имеющем длину
,v = 600 м, развивает силу тяги F - 147 кН. Скорость поезда массы
т - 1000 т возрастает при этом от v 0 = 36 км/ч до v - 54 км/ч. Най-
Найти силу сопротивления/движению поезда, считая ее постоянной.
90. Воздушный шар массы М опускается с постоянной ско-
скоростью. Какой массы т балласт нужно выбросить, чтобы шар под-
поднимался с той же скоростью? Подъемная сила воздушного шара Q
известна.
91. С какой силой F нужно действовать на тело массы т = 5 кг,
чтобы оно падало вертикально вниз с ускорением я = 15 м/с2?
92. Автомобиль движется с ускорением а — м/с2. С какой силой F
человек массы т = 70 кг давит на спинку сиденья?
93. Проволока выдерживает груз массы mmax = 450 кг. С каким
максимальным ускорением можно поднимать груз массы
т = 400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не обор-
оборвалась?
94. Веревка выдерживает груз массы тх = ПО кг при подъеме
его с некоторым ускорением, направленным по вертикали, и груз
массы т2 = 690 кг при опускании его с таким же по модулю уско-
ускорением. Какова максимальная масса т груза, который можно под-
поднять на этой веревке, двигая его с постоянной скоростью?
95. Найти силу натяжения Т каната, к которому подвешена клеть
подъемной машины, если клеть массы m = 300 кг движется: с
23

ускорением ах = 1,6 м/с2, направленным вверх; с ускорением а2 =
= 0,8 м/с2, направленным вниз.
96. Масса лифта с пассажирами М = 800 кг. Найти ускорение
лифта и его направление, если сила натяжения троса, на котором
подвешена кабина лифта, такая же, как у неподвижного лифта
массы т - 600 кг.
97. К потолку движущегося лифта на нити подвешена гиря
массы Ш\ = 1 кг. К этой гире привязана другая нить, на которой
подвешена гиря массы т2 — 2 кг. Найти силу натяжения Т верхней
нити, если сила натяжения нити между гирями Т{) = 9,8 Н.
98. С какой силой F,, д будет давить на дно шахтной клети груз
массы тп = 100 кг, если клеть поднимается с ускорением а -
= 24,5 м/с2?
99. Груз массы m = 140 кг, лежащий на полу кабины опускаю-
опускающегося лифта, давит на пол с силой FH.,, = 1440 Н. Найти ускорение
лифта и его направление.
100. В лифте установлен динамометр, на котором подвешено
тело массы m = 1 кг. Что будет показывать динамометр, если:
1) лифт движется вверх с ускорением а\ = 4,9 м/с2; 2) лифт движется
вверх замедленно с ускорением а2 = 4,9 м/с2; 3) лифт движется вниз
с ускорением а3 = 2,45 м/с2; 4) лифт движется вниз замедленно с
ускорением а4 = 2,45 м/с2?
101. Какая горизонтальная сила F требуется, чтобы тело массы
m = 2 кг, лежащее на горизонтальной поверхности, начало
скользить по ней с ускорением а = 0,2 м/с2? Коэффициент трения
между телом и поверхностью к = 0,02.
102. При быстром торможении трамвай, имевший скорость v -
- 25 км/ч, начал двигаться "юзом" (заторможенные колеса, не
вращаясь, начали скользить по рельсам). Какой участок пути
.v пройдет трамвай с момента начала торможения до полной
остановки? Коэффициент трения между колесами и рельсами
к = 0,2.
103. Камень, скользящий по горизонтальной поверхности, оста-
остановился, пройдя расстояние s = 20,4 м. Найти начальную скорость
камня v. Сила трения / между камнем и поверхностью составляет
6% силы тяжести, действующей на камень.
104. На горизонтальной доске лежит груз. Какое ускорение а в
горизонтальном направлении следует сообщить доске, чтобы груз
соскользнул с нее? Коэффициент трения между грузом и доской
к = 0,2.
24

105. На горизонтальной поверхности лежит доска массы М =
= 10 кг, а на доске - брусок массы т - 1 кг. Какую минимальную
силу F в горизонтальном направлении надо приложить к доске,
чтобы брусок соскользнул с нее? Коэффициент трения между
бруском и доской к = 0,1.
106. Тело массы т движется по горизонтальной поверхности под
действием силы F, направленной под углом а к горизонту (рис. 20).
Найти ускорение а тела. При какой силе Fo движение будет
равномерным? Коэффициент трения между телом и плоскостью
равен к.
I
Г
Рис. 20 Рис. 21
107. Тело массы т движется вверх по вертикальной стене под
действием силы F, направленной под углом а к вертикали (рис. 21).
Найти ускорение а тела. Коэффициент трения между телом и
стеной равен к.
108. Какой путь s за время t пройдет "юзом" воз массы т, если
щука и рак тянут его в противоположные стороны по горизонтали
с силами F\ и F2, лебедь тянет с силой F3 в ту же сторону, что и рак,
но под углом а к горизонту? Коэффициент трения между колесами
и поверхностью земли равен к. Начальная скорость воза v0 - 0.
109. Тело массы т - 40 г, брошенное вертикально вверх с
начальной скоростью va = 30 м/с, достигло высшей точки подъема
спустя время t = 2,5 с. Найти среднюю силу сопротивления /
воздуха, действовавшую на тело во время полета.
110. Акробат массы т = 70 кг прыгнул с трапеции на натянутую
сетку, которая при этом прогнулась на расстояние Ah = 1 м. Высота
трапеции над сеткой h = 6 м. С каким ускорением а двигался
акробат, прогибая сетку, и с какой силой реакции N сетка действо-
действовала на тело акробата?
111. Какая минимальная сила сопротивления/воздуха действует
на парашютиста и парашют общей массы т = 75 кг при полностью
раскрытом парашюте?
25

от.
т2
Рис. 22
112. Сила сопротивления /, действующая на раскрытый пара-
парашют, пропорциональна квадрату скорости (коэффициент пропор-
пропорциональности к = 20 Н • с2/м2). Масса парашютиста т = 72 кг. С ка-
какой высоты h должен спрыгнуть человек без парашюта, чтобы
скорость его приземления равнялась скорости приземления пара-
парашютиста, прыгнувшего с большой высоты?
113. Два тела с массами гп\ = 50 г и тг = 100 г связаны нитью" и
лежат на гладкой горизонтальной поверхности (рис. 22). С какой
силой F можно тянуть первое тело,
чтобы нить, способная выдержать
силу натяжения Ттах - 5 Н, не оборва-
оборвалась? Изменится ли результат, если
силу приложить ко второму телу?
114. Два тела связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной
поверхности. К телу массы тх приложена сила F,, направленная
вдоль поверхности, а к телу массы т2 - сила F2<FX, направленная в
противоположную сторону. Найти силу натяжения Т нити при
движении тел.
115. Три тела связаны нитью и лежат на гладкой горизонтальной
поверхности. К телу массы тх приложена сила Fx, направленная
вдоль поверхности, а к телу массы т3 - сила F2> Fb направленная в
противоположную сторону (рис. 23). Найти силу натяжения Т нити
между телами с массами гпх и гп2.
А
ж.
т2
Рис. 23
Рис. 24
116. На брусок массы тх = 0,18 кг поставлена гиря массы т2 =
= 2 кг (рис. 24). С помощью нити, перекинутой через блок**, брусок
с гирей скользит с постоянной скоростью на доске, когда на чашку
массы w3 = 0,18 кг положена гиря массы w4 = 0,5 кг. Найти коэф-
коэффициент трения к между бруском и доской.
* Напомним, что нить (веревка, трос и т.п.) считается невесомой и нерастя-
нерастяжимой.
** Здесь и далее блок считать невесомым, если это не оговорено в условии
задачи.
26

Рис. 25
117. К одному концу веревки, перекинутой через блок, подвешен
груз массы т = 10 кг (рис. 25). С какой силой F нужно тянуть вниз
за другой конец веревки, чтобы груз поднимался с
ускорением а = 1 м/с2?
118. Через блок, подвешенный к динамометру, пе-
перекинут шнур, на концах которого укреплены грузы
с массами тх = 2 кг и т2 = 8 кг. Что показывает дина-
динамометр при движении грузов?
119. На одном конце нити, перекинутой через блок,
подвешен груз массы т - 500 г. Известно, что нить не
обрывается, если на другом ее конце закрепить груз
массы М = 1 т и осторожно отпустить его. Какую силу
натяжения Т выдерживает в этом случае нить?
120. На одном конце нити, перекинутой через блок, подвешено
тело массы Ш\ - 30 г. Другой конец нити соединен с легкой
пружиной, к концу которой прикреплено тело массы гп2 = 50 г.
Длина пружины в нерастянутом состоянии /0 = 10 см. Под дей-
действием силы F = 0,1 Н пружина удлиняется; ее деформация Д/ =
= 2 см. Найти длину / пружины во время движения грузов, считая,
что колебания в системе отсутствуют.
121. Две гири с массами w, = 3 кг и ш2 = 6,8 кг висят на концах
нити, перекинутой через блок. Первая гиря находится на 2 м ниже
второй. Гири пришли в движение без начальной скорости. Через
какое время t они окажутся на одной высоте?
122. Два тела массы т = 240 г каждое подвешены на концах
нити, перекинутой через блок. Какую массу т0 должен иметь груз,
положенный на одно из тел, чтобы каждое из них прошло за время
t - 4 с путь h = 160 см?
123. Два тела массы т = 100 г каждое под-
подвешены на концах нити, перекинутой через блок.
На одно из тел положен груз массы т0 ~ 50 г.
С какой силой FH д будет давить груз на тело, на
котором он лежит, когда вся система придет в
движение?
124. С каким ускорением див каком направле-
направлении будет перемещаться центр масс двух грузов с
массами гп\ и т2 (щ < т2), если эти грузы связаны
нитью, перекинутой через блок? Рис. 26
125. Найти силу натяжения Т нити в устройстве, изображенном
на рис. 26, если массы тел т,\ = 100 гиш2 = 300 г.
У///////////////////
У
пг2
27

126. Найти ускорение а тела, соскальзывающего с наклонной
плоскости, образующей с горизонтом угол а = 30°. Коэффициент
трения между телом и плоскостью к = 0,3.
127. С вершины наклонной плоскости, имеющей длину / = 10 м и
высоту h = 5 м, начинает двигаться без начальной скорости тело.
Какое время / будет продолжаться движение тела до основания
наклонной плоскости и какую скорость v оно будет иметь при
этом? Коэффициент трения между телом и плоскостью к = 0,2.
128. Тело начинает движение с начальной скоростью v0 вверх по
наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол ос. Через ка-
какой промежуток времени t тело вернется в точку, из которой оно
начало двигаться вверх? Коэффициент трения между телом и
плоскостью к < tg a.
129. По склону горы, имеющей длину / = 50 м и высоту h - 10 м,
на веревке спускают без начальной скорости санки массы т = 60 кг.
Найти силу натяжения Т веревки, если санки у основания горы
имеют скорость v = 5 м/с, а сила трения/между санками и поверх-
поверхностью горы составляет 10 % силы тяжести, действующей на санки.
130. На гладкой наклонной плоскости, образующей угол а = 30°
с горизонтом, находится тело массы m = 50 кг, на которое действу-
действует горизонтально направленная сила F = 294 Н
(рис. 27). Найти ускорение а тела и силу FH „, с
которой тело давит на плоскость.
131. Два тела с массами т, = 10 г и гп2 = 15 г
Рис. 27 связаны нитью, перекинутой через блок, уста-
установленный на наклонной плоскости (рис. 28).
Плоскость образует с горизонтом угол а = 30°. Найти ускорение, с
которым будут двигаться эти тела.
Рис. 28
Рис. 29
132. Три груза с массами Wj, m2 и m3 связаны нитью, перекинутой
через блок, установленный на наклонной плоскости (рис. 29).
Плоскость образует с горизонтом угол а. Начальные скорости
грузов равны нулю. Найти силу натяжения Т нити, связывающей
28

грузы, находящиеся на наклонной плоскости. Коэффициент трения
между грузами и плоскостью равен к.
133. Шар массы т лежит в ящике, соскальзывающем без трения
с наклонной плоскости. Плоскость образует с горизонтом угол ос.
Найти силы, с которыми шар давит на переднюю стенку и на дно
ящика.
134. На наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом,
стоит кубик массы т. Плоскость находится в лифте, движущемся с
ускорением я, направленным вверх. Найти силу нормального дав-
давления FHn кубика на плоскость. При каком коэффициенте трения к
между кубиком и плоскостью кубик не будет соскальзывать вниз?
135. Доска массы М может двигаться без трения по наклонной
плоскости, образующей с горизонтом угол а. С каким ускорением
айв каком направлении должен бежать по доске человек массы т,
чтобы доска не соскальзывала с наклонной плоскости?
136. На тележке, скатывающейся без трения с наклонной плос-
плоскости, установлен стержень с подвешенным на нити шариком
массы т = 2 г. Найти силу натяжения Т нити, если плоскость об-
образует с горизонтом угол а = 60°.
137. На наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а,
находится бак с водой, имеющий массу т. С какой силой F,
параллельной наклонной плоскости, нужно двигать бак, для того
чтобы поверхность воды в баке была параллельна наклонной
плоскости? Коэффициент трения между баком и наклонной пло-
плоскостью равен к.
138. По тросу, образующему с гори-
горизонтом угол ос, катится без трения
блок, к которому подвешено ведро с
водой. Высота воды в ведре равна h.
Каково давление воды на дно ведра во
время движения?
139. С каким ускорением а должен ехать грузовик, чтобы бревно
длины / и канат длины Ь, которым оно привязано к грузовику,
составляли прямую линию (рис. 30)? Канат привязан к грузовику
на высоте h от поверхности земли.
§ 5. Закон сохранения импульса
Из второго и третьего законов Ньютона следует закон со-
сохранения импульса: изменение полного импульса системы тел
равно сумме импульсов внешних сил, действующих на тела системы. Так
29

как импульс тела и импульс силы - величины векторные, то такое равен-
равенство выполняется для проекций этих величин на любую прямую. Таким
образом
(от,у,'+ m2v j +... + mnv 'п)~ (от,у, + m2v2 +... + mnv„) =
= F,At+F2At + ... + FnAt.
где ms, m2,..., /и„ — массы тел системы, и,, v2,..., г>„ и v,', u^, .... и,'-проек-
и,'-проекции начальных и конечных скоростей этих тел на некоторое направление,
a FtAt. F2At, ...,FnAt- проекции импульсов внешних сил на это же на-
направление.
Если система замкнута, т.е. на тела, которые мы относим к этой си-
системе, не действуют внешние силы, то сумма проекций импульсов внеш-
внешних сил на любое направление равна нулю:
FtAt + F2At+ ...+ F,,At = 0,
и, следовательно,
[ ' +¦¦¦+ mnv'n =mlvl +m2v2 +... + mnvn,
т.е. проекция импульса системы тел на любое направление сохраняется
неизменной. Однако и для незамкнутой системы может оказаться, что
сумма проекций импульсов всех внешних сил на некоторое избранное
направление равна нулю. Тогда остается неизменной проекция импульса
системы тел лишь на это направление. Проекции же импульса системы
тел на другие направления при этом не сохраняются.
Нужно иметь в виду, что если конечное состояние системы отдалено
от начального малым интервалом времени (например, время выстрела
или соударения тел), то импульсом FAt таких внешних сил, как тяготе-
тяготение и вязкое трение, можно пренебречь и рассматривать систему как
замкнутую.
При записи закона сохранения импульса нужно следить за правиль-
правильностью расстановки знаков. Некоторое направление произвольно выби-
выбирается за положительное. Проекция импульса тела записывается со
знаком плюс, если направление составляющей совпадает с избранным
направлением, и со знаком минус - в противном случае. Для тел, на-
направления движения которых не заданы в условии задачи, знаки могут
быть расставлены произвольно. Если в результате решения задачи ока-
окажется, что проекция импульса положительна, то направление движения
тела выбрано правильно, если отрицательно, то - неправильно.
140. Какова средняя сила давления F на плечо при стрельбе из
автомата, если масса пули т = 10 г, а скорость пули при вылете из
ствола и = 300 м/с? Число выстрелов из автомата в единицу вре-
времени п = 300 мин.
141. Мяч массы т = 150 г ударяется о гладкую стенку под углом
а = 30° к ней и отскакивает без потери скорости. Найти среднюю
30

силу F, действующую на мяч со стороны стенки, если скорость
мяча v = 10 м/с, а продолжительность удара At = 0,1 с.
142. Падающий вертикально шарик массы т = 200 г ударился об
пол со скоростью v = 5 м/с и подпрыгнул на высоту h = 46 см.
Найти изменение Ар импульса шарика при ударе.
143. Из орудия массы М = 3 т, не имеющего противооткатного
устройства (ствол жестко скреплен с лафетом), вылетает в гори-
горизонтальном направлении снаряд массы т - 15 кг со скоростью v =
= 650 м/с. Какую скорость и получает орудие при отдаче?
144. Снаряд массы т = 20 кг, летевший горизонтально со ско-
скоростью v = 50 м/с, попадает в платформу с песком и застревает в
песке. С какой скоростью и начнет двигаться платформа, если ее
масса М = Ют?
145. Пушка, стоящая на гладкой горизонтальной площадке,
стреляет под углом а = 30° к горизонту. Масса снаряда т = 20 кг,
его начальная скорость v = 200 м/с. Какую скорость и приобретает
пушка при выстреле, если ее масса М = 500 кг?
146. Орудие, имеющее массу ствола М - 500 кг, стреляет в гори-
горизонтальном направлении. Масса снаряда т = 5 кг, его начальная
скорость v = 460 м/с. При выстреле ствол откатывается на рас-
расстояние .V = 40 см. Найти среднюю силу торможения/, возникаю-
возникающую в механизме, тормозящем ствол.
147. Снаряд массы т - 50 кг, летящий со скоростью v = 800 м/с
под углом а = 30° к вертикали, попадает в платформу с песком и
застревает в нем. Найти скорость платформы и после попадания
снаряда, если ее масса М = 16 т.
148. Человек, стоящий на коньках на гладком льду реки, бросает
камень массы т = 0,5 кг. Спустя время t = 2 с камень достигает
берега, пройдя расстояние .v = 20 м. С какой скоростью и начинает
скользить конькобежец, если его масса М = 60 кг? Трением пре-
пренебречь.
149. Два человека с массами тх = 70 кг и т2 = 80 кг стоят на
роликовых коньках друг против друга. Первый бросает второму
груз массы т = 10 кг со скоростью, горизонтальная составляющая
которой v = 5 м/с относительно земли. Найти скорость vj первого
человека после бросания груза и скорость v2 второго после того,
как он поймает груз. Трением пренебречь.
150. Тело массы М = 990 г лежит на горизонтальной поверх-
поверхности. В него попадает пуля массы т = 10 г и застревает в нем.
Скорость пули v = 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь
31

s пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и
поверхностью к = 0,05.
151. Навстречу платформе с песком, движущейся со скоростью
и, по гладкому наклонному желобу соскальзывает без начальной
скорости тело массы т и застревает в песке. Желоб длины / обра-
образует с горизонтом угол а. Найти скорость и платформы после
попадания в нее тела, если масса платформы равна М.
152. Ракета, имеющая вместе с зарядом массу М = 250 г, взлетает
вертикально вверх и достигает высоты h - 150 м. Масса заряда
т = 50 г. Найти скорость v истечения газов из ракеты, считая, что
сгорание заряда происходит мгновенно.
153. С платформы массы М = 20 т, движущейся со скоростью и =
= 9 км/ч, производится выстрел из пушки. Снаряд массы т = 25 кг
вылетает из орудия со скоростью v = 700 м/с. Найти скорости
платформы непосредственно после выстрела: если направления
движения платформы и выстрела совпадают; если эти направления
противоположны.
154. По горизонтальным рельсам со скоростью v = 20 км/ч
движется платформа массы М = 200 кг. На нее вертикально падает
камень массы т = 50 кг и движется в дальнейшем вместе с
платформой. Через некоторое время в платформе открывается
люк, и камень проваливается вниз. С какой скоростью и движется
после этого платформа? Трением пренебречь.
155. Ядро, летевшее горизонтально со скоростью v = 20 м/с,
разорвалось на два осколка с массами т1 = 10 кг и т2 = 5 кг.
Скорость меньшего осколка v2 = 90 м/с и направлена так же, как и
скорость ядра до разрыва. Найти скорость vx и направление дви-
движения большого осколка.
156. Две лодки движутся по инерции параллельными курсами
навстречу друг другу. Когда лодки поравнялись, с одной из них на
другую осторожно переложили груз массы т = 25 кг. После этого
лодка с грузом остановилась, а лодка без груза продолжала дви-
двигаться со скоростью v = 8 м/с. С какими скоростями vx и v2 дви-
двигались лодки до встречи, если масса лодки, в которую переложили
груз, М = 1 т?
157. Три лодки массы М каждая движутся по инерции друг за
другом с одинаковыми скоростями и. Из средней лодки в крайние
одновременно перебрасывают грузы массы т каждый со ско-
скоростью и относительно лодок. Какие скорости vx, v2 и v3 будут
иметь лодки после перебрасывания грузов?
32

158. Человек массы т = 60 кг переходит с носа на корму лодки.
На какое расстояние s переместится лодка длины / = 3 м, если ее
масса М - 120 кг?
159. Поезд массы М = 500 т шел равномерно по горизонтальному
пути. От поезда отцепился последний вагон массы т = 20 т. В мо-
момент, когда вагон остановился, расстояние между ним и поездом
было s = 500 м. Какой путь / прошел вагон до остановки, если
известно, что сила сопротивления движению пропорциональна
силе тяжести и не зависит от скорости движения?
160. Снаряд вылетает из орудия со скоростью у0 под углом а к
горизонту. В верхней точке траектории снаряд разрывается на два
разных осколка, причем скорости осколков непосредственно после
взрыва горизонтальны и лежат в плоскости траектории. Первый
осколок упал на расстоянии s от орудия в направлении выстрела.
Найти место падения второго осколка, если известно, что он упал
дальше первого.
161. Снаряд летит по параболе и разрывается в верхней точке
траектории на два разных осколка. Первый осколок упал верти-
вертикально вниз, второй - на расстоянии s по горизонтали от места
разрыва. Найти скорость снаряд перед разрывом, если известно,
что взрыв произошел на высоте h и время падения первого осколка
равно ?(>.
§ 6. Статика
При решении задач на статику, так же как и при решении динамических
задач, нужно прежде всего выяснить, какие силы действуют на рас-
рассматриваемые тела. Эти силы необходимо изобразить на чертеже.
В статике используются два типа уравнений, выражающих условия
равновесия тела:
(сумма проекций действующих на тело сил на любое направление равна
нулю) и
(сумма моментов этих сил относительно любой неподвижной оси равна
нулю).
При решении задач на плоскости (именно такие задачи преиму-
преимущественно встречаются) для проекций сил можно записать два неза-
независимых уравнения для взаимно перпендикулярных направлений, напри-
например для горизонтального и вертикального. Целесообразно выбирать на-
направления таким образом, чтобы проекции сил выражались наиболее
33

просто, т.е. чтобы соответствующие косинусы углов между силами и
выбранным направлением составляли 0 или 1 или были бы заранее
известны. Нужно следить за тем, чтобы проекции сил, имеющих одина-
одинаковые направления, входили в уравнение с одними и теми же знаками.
Если рассматриваемые в задаче силы лежат в одной плоскости,
то можно записать только одно независимое уравнение для моментов
сил относительно оси, перпендикулярной к этой плоскости. Решение
задачи упрощается, если ось выбрать так, чтобы в уравнение ЕЛ/, = О,
по возможности, не входили моменты сил, знание которых не требуется
по условию задачи. Для этого нужно, чтобы плечи этих сил были
равны нулю.
Моменты сил, вращающих тело по часовой стрелке, входят в уравнение
с одним знаком, а моменты сил, вращающих тело против часовой стрелки,
должны иметь противоположный знак. Если направление составляющих
отдельных сил или направление вращения для моментов этих сил не
известны заранее, то, как и в задачах на динамику, знак может быть
выбран произвольно, а о действительном направлении можно будет
судить по результатам решения задачи.
При нахождении центра масс системы тел проще всего, как правило,
рассмотреть моменты сил относительно оси, проходящей через центр
масс. Равенство нулю суммы моментов сил тяжести относительно этой
оси представляет собой уравнение для координат, определяющих поло-
положение центра масс.
162. В одном случае два человека тянут в противоположные
стороны за концы канат с равными по модулю силами F. В другом
случае один конец каната привязан к неподвижной опоре, а за
другой его конец тянут два человека с теми же по модулю силами
F. Какую силу натяжения испытывает канат в обоих случаях?
163. Цилиндр двигателя внутреннего сгорания имеет внутренний
диаметр D = 0,16 м. Число болтов, крепящих крышку цилиндра,
п = 8. При сгорании горючей смеси развивается давление Р - 6
МПа. Найти диаметр d болтов, обеспечивающих десятикратный
запас прочности. Допустимое напряжение в стали Ро =150 МПа.
164. С какой минимальной силой F, направленной горизонталь-
горизонтально, нужно прижать плоский брусок массы т = 5 кг к стене, чтобы
он не соскользнул вниз? Коэффициент трения между бруском и
стеной к = 0,1.
165. Однородная линейка массы т на 1/3 длины выступает за
край стола. Какую силу F нужно приложить, чтобы сдвинуть ли-
линейку вдоль ее длинной стороны? Коэффициент трения между ли-
линейкой и столом равен к.
166. Деревянный брусок массы т = 2 кг лежит на наклонной
плоскости, образующей с горизонтом угол а = 60°. С какой силой
34

F, направленной перпендикулярно к плоскости, необходимо при-
прижать брусок, чтобы он не соскользнул? Коэффициент трения
между бруском и плоскостью к = 0,4.
167. Тонкая доска с двумя низкими опорными выступами на
концах лежит на наклонной плоскости (рис. 31). При каком мини-
Рис. 31
Рис. 32
мальном значении угла наклона а плоскости к горизонту доска
начнет скользить по наклонной плоскости? Коэффициенты трения
между нижней и верхней опорами и наклонной плоскостью равны
к\ и кг.
168. Фонарь массы т = 20 кг подвешен на двух одинаковых
тросах, образующих угол а = 120°. Найти силу натяжения Г тросов.
169. К тросу длины / = 3 м, концы которого закреплены на одной
высоте, на расстояниях а = 1 м от точек закрепления подвешены
два груза массы т = 1 кг каждый. Провисание троса в средней
части составило Д/ = 10 см. Найти силы натяжения Ть Т2 и Г3 троса
на каждом из трех участков.
170. На кронштейне, изображенном на рис. 32, висит груз массы
m - 100 кг. Найти силы натяжения стержней А В и ВС, если они
образуют угол а - 60°, а в точках А, В и С - шарниры.
171. При взвешивании на неравноплечих рычажных весах масса
тела (по сумме масс уравновешивающих гирь) на одной чаше весов
оказалась равной шх =2,2 кг, а на другой-w2 = 3,8 кг. Найти
истинную массу тела т.
172. Однородный стержень с прикрепленным на одном из его
концов грузом массы т = 1,2 кг находится в равновесии в гори-
горизонтальном положении, если его подпереть на расстоянии 1/5 дли-
длины стержня от груза. Найти массу стержня М.
173. Однородная балка лежит на платформе так, что один ее
конец на 1/4 длины свешивается с. платформы. К свешивающемуся
концу прилагают силу, направленную вертикально вниз. Когда эта
35

сила становится равной F = 2000 Н, противоположный конец балки
начинает подниматься. Найти массу балки.
174. Два человека несут трубу массы т = 80 кг и длины / = 5 м.
Первый человек поддерживает трубу на расстояний а — 1 м от ее
конца, а второй держит противоположный конец трубы. Найти
силу давления трубы, испытываемую каждым человеком.
175. К стене прислонена лестница массы т
под углом а к вертикали. Центр масс лестницы
находится на расстоянии 1/3 длины от ее верх-
верхнего конца. Какую горизонтальную силу F нуж-
нужно приложить к середине лестницы, стобы верх-
верхний конец ее не оказывал давления на стену?
176. Под каким минимальным углом а к гори-
горизонту может стоять лестница, прислоненная к
гладкой вертикальной стене, если центр масс ее
находится в середине? Коэффициент трения
между лестницей и полом равен к.
177. Две одинаковые тонкие дощечки с гладкими закруглен-
закругленными краями поставлены на стол и опираются друг на друга.
Каждая дощечка образует с вертикалью угол а (рис. 33). Каким
должен быть коэффициент трения к между дощечкой и столом,
чтобы дощечки не падали?
178. Стержень массы т = 1,5 кг и длины / = 1 м одним концом
шарнирно прикреплен к потолку. Стержень удерживается в откло-
отклоненном положении вертикальным шнуром, привязанным к сво-
У77//////////////////
Рис. 33
У//////////////////
Рис. 34
бодному концу стержня. Найти силу натяжения Т шнура, если
центр масс стержня находится на расстоянии а - 0,4 м от шарнира.
179. Тяжелый цилиндрический каток массы m необходимо под-
поднять на ступеньку высоты h (рис. 34). Найти минимальную силу F,
которую необходимо для этого приложить к центру масс катка в
36

горизонтальном направлении, если радиус катка г больше высоты
ступеньки h.
180. Дифференциальный ворот состоит из двух цилиндров с ра-
радиусами Г] = 0,2 м и гг - 0,1 м, закрепленных на общей оси (рис. 35).
На цилиндрах укреплен канат, который при вращении ворота на-
наматывается на цилиндр большего диаметра и сматывается с ци-
цилиндра меньшего диаметра. На образуемой кана-
канатом петле подвешен блок. Какую силу F нужно
приложить к рукоятке ворота длины / = 1 м, что-
чтобы удерживать или равномерно поднимать груз
массы т = 10 кг?
181. Конец однородного стержня АС, имеюще-
имеющего массу т-[, шарнирно закреплен на доске в точке
А (рис. 36). К другому концу стержня привязана
переброшенная через блок нить, на конце которой
находится груз. Какова должна быть масса груза
т2, для того чтобы отрезок нити ВС был
горизонтальным, а стержень образовывал с доской угол а? Будет
ли равновесие устойчивым?
182. К гладкой вертикальной стене на веревке длины / = 4 см
подвешен шар массы т - 300 г и радиуса г = 2,5 см. Найти силу
давления шара на стену.
183. На плоском дне ящика находится шар. Дно ящика образует
некоторый угол с горизонтом. Шар удерживается в равновесии
нитью, параллельной дну (рис. 37). На какой максимальный угол а
можно наклонить дно ящика, чтобы шар оставался в равновесии?
Коэффициент трения между шаром и ящиком равен к.
Рис 36
a
//////////////////////
Рис. 37
Рис. 38
184. Две тонкие палочки с массами Мит соединены в систему,
изображенную на рис. 38. Палочки могут вращаться без трения
вокруг осей А и В, проходящих через нижние концы палочек.
Верхние концы палочек сходятся под прямым углом так, что конец
одной палочки лежит на торце другой (последний закруглен).
37

Верхняя палочка массы М образует с горизонтом угол а. При
каком минимальном коэффициенте трения к между палочками
нижняя не упадет?
185. Две параллельные и противоположно направленные
силы F] = 10 Н и F2 - 25 Н приложены в точках А и В стержня,
расположенных на расстоянии d=\,5 м друг от друга. Найти
силу F, уравновешивающую силы Ft и F2, и точку ее прило-
приложения.
186. Два однородных кубика с массами Ш\ = 0,3 кг и т2 = 1,2 кг и
длинами ребер /] =0,08 м и /2 = 0,12 м соединены при помощи
однородного стержня, имеющего массу т = 0,6 кг и длину d = 0,1 м.
Концы стержня прикреплены к серединам граней кубиков, а цент-
центры кубиков лежат на продолжении оси стержня. Найти положение
центра масс системы.
187. Четыре однородных шара с массами тх = 1 кг, т2 = 5 кг,
т3 = 7 кг, т4 = 3 кг укреплены на невесомом стержне так, что их
центры находятся на равных расстояниях d = 0,2 м друг от друга.
На каком расстоянии х от центра третьего шара находится центр
масс системы?
188. Две стороны проволочной рамки в форме равностороннего
треугольника сделаны из алюминиевой проволоки, а третья - из
медной. Проволоки имеют одинаковые сечения, а сторона тре-
треугольника / = 1 м. Плотности алюминия и меди р, = 2,7-103 кг/м3,
р2 = 8,9103 кг/м3. Найти положение центра масс системы.
189. Однородный цилиндр поставлен на наклонную плоскость,
образующую с горизонтом угол ос. При каком максимальном зна-
значении угла остах цилиндр еще не опрокинется, если высота ци-
цилиндра вдвое больше его радиуса?
190. На каком расстоянии от дна находится
центр масс тонкостенного цилиндрического
стакана, имеющего высоту h = 12 см и диаметр
d = 8 см, если толщина дна в два раза больше
толщины стенок?
191. Однородная пластина имеет форму по-
полукруга радиуса г, соединенного с прямоуголь-
Рис 39
ником, имеющим основание, равное диаметру
полукруга, и высоту h (рис. 39). Найти отношение hlr, если центр
масс всей пластины совпадает с геометрическим центром
полукруга (точкой С). Расстояние от центра масс полукруга С\ до
его геометрического центра С равно 4г/3п.
38

192. Однородный полушар массы тх, имеющий радиус г, вы-
выпуклой стороной лежит на горизонтальной плоскости. На край
полушара положен небольшой груз массы т2. Под каким углом к
горизонту наклонен ограничивающий полушар круг? Расстояние
от центра масс полушара до геометрического центра равно 3/78.
193. Найти положение центра масс однород-
однородного диска радиуса R, из которого вырезано от-
отверстие радиуса г < R/2 (рис. 40). Центр выреза
находится на расстоянии RI1 от центра диска.
194. Три человека несут однородную метал-
металлическую плиту, имеющую форму равнобед-
равнобедренного треугольника с основанием а = 0,6 м и
высотой h = 1,25 м. Толщина плиты d - 4 см,
плотность материала плиты р = 3,6-103 кг/м3.
Какую силу давления испытывает каждый человек, если все несу-
несущие держат плиту за вершины треугольника?
195. Три человека несут однородную плиту массы mi = 70 кг,
имеющую форму равностороннего треугольника со стороной
а = 2 м. Двое держат плиту за одну из вершин, а третий - за про-
противоположное основание. На каком расстоянии / от этой верши-
вершины закреплен на плите сосредоточенный груз массы т2 = 100 кг,
если сила давления распределена поровну между всеми не-
несущими?
Рис. 40
Рис. 41
Рис. 42
196. На двух вертикально расположенных пружинах одинаковой
длины горизонтально подвешен стержень. Жесткости пружин
&i = 0,02 Н/м и к2 = 0,03 Н/м, расстояние между ними d = 1 м.
39

В каком месте стержня нужно подвесить груз, чтобы стержень ос-
остался в горизонтальном положении? Массой стержня пренебречь.
197. Верхний конец стального стержня длины / = 1 м и радиуса
г = 0,5 см закреплен (рис. 41). Модуль Юнга стали Е = 196 ГПа.
Найти удлинение А/ стержня, если к его середине и нижнему концу
с помощью специального подвеса прикрепить грузы массы т =
= 400 кг каждый. Массой стержня пренебречь.
198. Кронштейн, укрепленный на вертикальной стене, имеет
конструкцию, изображенную на рис. 42. Треугольник А СВ - равно-
равнобедренный, с основанием АВ, расположенным горизонтально,
и высотой h. Стержни AD nBD длины / каждый шарнирно при-
прикреплены к стене. Канат CD также имеет длину /. Найти силу натя-
натяжения Т каната CD и силы N, сжимающие стержни AD и BD, если в
точке D подвешен груз массы т. Массами стержней и каната
пренебречь.
§ 7. Закон сохранения энергии
При решении задач данного параграфа используется закон
сохранения энергии. Разность между конечным (?г) и на~
чальным (Е\) значениями энергии системы равна работе внешних сил:
Ег-ЕХ=А.
Для двух тел полная энергия равна сумме кинетических энергий тел
и потенциальной энергии их взаимодействия:
В задачах обычно встречается только одна частная форма потен-
потенциальной энергии - энергии взаимодействия с Землей тела, поднятого над
поверхностью Земли на высоту h:V- mgh. Изменение потенциальной
энергии не зависит от формы пути, по которому движется тело, и опре-
определяется разностью высот.
Так как при падении тела изменением кинетической энергии Земли
можно пренебречь, то закон сохранения энергии можно написать в виде
mv} , mv2
I 1^9 ft ШЛ
+ mght — + mgh2 = const.
z. 2
Работа силы F при поступательном перемещении тела, к которому она
приложена, на прямолинейном отрезке длины s выражается формулой
А = Fs cos а, где а — угол между направлениями силы F и отрезка s. При
а < л/2 работа положительна, при а > л/2 работа отрицательна.
Следует иметь в виду, что механическая энергия в замкнутой системе
не сохраняется, если внутри системы действуют силы сопротивления (или
40

трения), зависящие от скорости . Работа сил сопротивления должна по-
поэтому всегда рассматриваться как работа внешних сил. При наличии
сопротивления для незамкнутой системы
Е2~Е\-А+ Лсо„р,
где А — работа внешних сил, ЛСО1Гр - работа сил сопротивления, действую-
действующих внутри системы. Механическая энергия не сохраняется также при
неупругом соударении. Здесь для нахождения скоростей после соударения
следует пользоваться законом сохранения импульса.
Если работа совершается за время t, то средняя мощность
,-т- Fs cos a
W — ,
t
где sit — средняя скорость. Мгновенная мощность
W - Fv cos a,
где v - мгновенная скорость.
199. Летящая с некоторой скоростью пуля попадает в мешок с
песком и входит в него на глубину /] = 15 см. На какую глубину /2
войдет в песок пуля той же массы, если скорость ее движения
будет вдвое больше? Считать силу сопротивления движению пули
в песке постоянной.
200. Пуля массы т = 10 г подлетает к доске толщины d = 4 см со
скоростью Ц) = 600 м/с и, пробив доску, вылетает из нее со ско-
скоростью v = 400 м/с. Найти среднюю силу F сопротивления доски.
201. Пуля массы т летит со скоростью у0 и пробивает тяжелую
доску толщины d, движущуюся навстречу пуле со скоростью и.
С какой скоростью v вылетит пуля из доски? Считать силу сопро-
сопротивления F движению пули в доске постоянной. Скорость доски
заметно не изменяется.
202. В тело массы т, = 990 г, лежащее на горизонтальной
поверхности, попадает пуля массы т2 = 10 г и застревает в нем.
Скорость пули v= 700 м/с и направлена горизонтально. Какой путь
s пройдет тело до остановки? Коэффициент трения между телом и
поверхностью к = 0,05.
203. Сила F = 0,5 Н действует на тело массы т = 10 кг в течение
времени t = 2 с. Найти конечную кинетическую энергию тела К,
если начальная кинетическая энергия равна нулю.
* Силами сопротивления (или трения) при решении задач следует пренебречь,
если нет других указаний в условии.
41

204. Поезд массы т = 1500 т движется со скоростью v = 57,6 км/ч
и при торможении останавливается, пройдя путь s = 200 м. Какова
сила торможения F1 Как должна измениться сила торможения,
чтобы поезд остановился, пройдя в два раза меньший путь?
205. Какую работу совершил мальчик, стоящий на гладком льду,
сообщив санкам скорость и = 4 м/с относительно льда, если масса
санок т = 4 кг, а масса мальчика М = 20 кг?
206. Найти мощность W, развиваемую пороховыми газами
при выстреле из винтовки, если длина ствола / = 1 м, масса пули
т - 10 г, а скорость пули при вылете v = 400 м/с. Массой газов,
сопротивлением движению пули и отдачей винтовки пренебречь.
Считать силу давления газов постоянной в течение всего времени
движения пули в стволе.
207. Два автомобиля с одинаковыми массами одновременно тро-
трогаются с места и движутся равноускоренно. Во сколько раз мощ-
мощность первого автомобиля больше мощности второго, если за одно
и то же время первый автомобиль достигает вдвое большей ско-
скорости, чем второй?
208. Автомобиль массы т = 1 т трогается с места и, двигаясь
равноускоренно, проходит путь s = 20 м за время t = 2 с. Какую
мощность W должен развить мотор этого автомобиля?
209. Моторы электровоза при движении со скоростью v =
= 72 км/ч потребляют мощность W = 800 кВт. КПД силовой уста-
установки электровоза Т| = 0,8. Найти силу тяги F моторов.
210. Какой максимальный подъем может преодолеть тепловоз,
развивающий мощность W = 370 кВт, перемещая состав массы
т - 2000 т со скоростью и = 7,2 км/ч? Считать угол наклона а по-
полотна железной дороги к горизонту малым, а силу сопротивления
движению равной king, где к = 0,002.
211. Мощность гидростанции W = 73,5 МВт. Найти объемный
расход воды V,, если КПД станции Г| = 0,75 и плотина поднимает
уровень воды на высоту h = 10 м.
212. Подъемный кран за время t = 1 ч поднимает массу
строительных материалов т = 3000 т на высоту h =10 м. Какова
мощность W двигателя крана, если КПД крана Г| = 0,6.
213. Трактор массы т - 10 т, развивающий мощность W =
= 150 кВт, поднимается в гору со скоростью v = 5 м/с Найти угол
наклона а горы к горизонту.
214. Транспортер поднимает массу песка т = 200 кг на авто-
автомашину за время ;= 1 с. Длина ленты транспортера / = 3 м, угол
42

наклона ее к горизонту а = 30°. КПД транспортера Г| = 0,85. Найти
мощность W, развиваемую его электродвигателем.
215. Шарик прикреплен к концу невесомой жесткой спицы, имею-
имеющей длину / = 10 см. Второй конец спицы закреплен так, что спица
с шариком может свободно вращаться в вертикальной плоскости.
Какую минимальную скорость v в горизонтальном направлении
нужно сообщить шарику, чтобы спица сделала полный оборот? В
начальный момент спица вертикальна и шарик расположен внизу.
216. Тяжелый шарик, подвешенный на нерастяжимой и невесо-
невесомой нити, имеющей длину /, отклоняют от вертикали на угол а и
затем отпускают. Какую максимальную скорость v приобретет
шарик?
217. Тело брошено под углом к горизонту со скоростью v0.
Используя закон сохранения энергии, найти скорость тела v на
высоте h над горизонтом.
218. Камень массы т = 300 г брошен с башни горизонтально
с некоторой скоростью. Спустя время / = 1 с скорость камня соста-
составила с горизонтом угол а = 30°. Найти кинетическую энергию К
камня в этот момент.
219. Камень массы т = 5 кг упал с некоторой высоты. Найти
кинетическую энергию К камня в средней точке его пути, если он
падал в течение времени t = 2с.
220. Какой кинетической энергией К обладает тело массы
т = 1 кг, падающее без начальной скорости, спустя время ( = 5 с
после начала падения?
221. Пуля, вылетевшая из винтовки вертикально вверх со ско-
скоростью 1/0 = 1000 м/с, упала на землю со скоростью v = 50 м/с.
Какая работа А была совершена силой сопротивления воздуха,
если масса пули т = 10 г?
222. Пуля массы т - 0,3 г, выпущенная из пневматической вин-
винтовки вертикально вверх, упала на землю спустя время г = 11с.
Каково среднее давление воздуха на пулю внутри ствола, если его
длина / = 45 см, а диаметр d = 4,5 мм?
223. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v = 49 м/с.
На какой высоте h его кинетическая энергия К будет равна потен-
потенциальной энергии ?/?
224. К телу массы т = 4 кг приложена направленная верти-
вертикально вверх сила F = 49 Н. Найти кинетическую энергию К тела в
момент, когда оно окажется на высоте h = 10 м над землей. В на-
начальный момент тело покоилось на поверхности земли.
43

225. Тело, брошенное с высоты Н — 250 м вертикально вниз со
скоростью v = 20 м/с, погрузилось в грунт на глубину ft = 20 см.
Найти силу сопротивления F грунта, если масса тела т = 2 кг.
226. Для забивки сваи груз массы т = 200 кг поднимают со ско-
скоростью v = 5 м/с, а затем отпускают на высоте Н = 10 м, после чего
он движется свободно до удара о сваю. Масса сваи М = 300 кг. Сила
сопротивления грунта движению сваи F - 20 кН. Какова энергия
груза Е в момент его удара о сваю? На какую глубину h опускается
свая после каждого удара? С какой максимальной частотой п
можно производить удары? Считать ускорение свободного паде-
падения g = 10 м/с2.
227. Самолет массы т = 5 т двигался горизонтально со ско-
скоростью V\ = 360 км/ч. Затем он поднялся на высоту h = 2 км. При
этом его скорость стала у2 = 200 км/ч. Найти работу А, затра-
затраченную мотором на подъем самолета.
228. Пуля массы т = 20 г, выпущенная под углом а к горизонту,
в верхней точке траектории имеет кинетическую энергию К =
- 88,2 Дж. Найти угол а, если начальная скорость пули v = 600 м/с.
229. Человек массы М прыгает под углом а к горизонту со ско-
скоростью у(). В верхней точке траектории он бросает со скоростью v
вертикально вниз груз массы т. На какую общую высоту h
подпрыгнул человек?
230. Брошенное вертикально вверх тело массы т = 200 г упало
на землю спустя время t= 1,44 с. Найти кинетическую энергию
тела К в момент падения на землю и потенциальную энергию U в
верхней точке траектории.
231. Мяч падает с высоты h = 7,5 м на гладкий пол. Какую ско-
скорость v нужно сообщить мячу, чтобы после двух ударов о пол он
поднялся до первоначальной высоты, если при каждом ударе мяч
теряет 40 % энергии?
232. Конькобежец, разогнавшись до скорости v, въезжает на
ледяную горку. На какую высоту h
от начального уровня он подни-
поднимается, если горка составляет угол а
с горизонтом? Коэффициент тре-
рис 4з ния между коньками и льдом
равен к.
233. Санки съезжают с горы, имеющей высоту h и угол наклона
к горизонту а, и движутся далее по горизонтальному участку
(рис. 43). Коэффициент трения на всем пути одинаков и равен к.
44

Найти расстояние s, которое пройдут санки, двигаясь по горизон-
горизонтальному участку, до полной остановки.
234. Кирпич с размерами / х 2/ X 4/ кладут на горизонтальную
плоскость поочередно в трех различных положениях. Как меняется
потенциальная энергия кирпича при изменении его положения?
235. Какую работу А нужно совершить, чтобы поднять грунт
на поверхность земли при рытье колодца, имеющего глубину
h = 10 м и поперечное сечение S = 2 м2? Средняя плотность грунта
р = 2 • 103 кг/м3. Считать, что вынимаемый грунт рассыпается тон-
тонким слоем по поверхности земли.
236. Однородная цепочка длины / лежит на гладком столе. Не-
Небольшая часть цепочки свешивается со стола. В начальный момент
времени лежащий на столе конец цепочки придерживают, а затем
отпускают, и цепочка начинает под действием силы тяжести со-
соскальзывать со стола. Найти скорость движения цепочки в тот
момент, когда длина свешивающейся части х < 1/2.
237. Колодец, имеющий глубину h и площадь дна S, наполовину
заполнен водой. Насос выкачивает воду и подает ее на поверхность
земли через цилиндрическую трубу радиуса R. Какую работу А
совершит насос, если он выкачает всю воду из колодца за время ft
238. Свинцовый шар массы т = 500 г, движущийся со скоростью
v = 10 м/с, соударяется с неподвижным шаром из воска, имеющим
массу М = 200 г, после чего оба шара движутся вместе. Найти
кинетическую энергию К шаров после соударения.
239. Пластмассовый шар массы М лежит на подставке с отвер-
отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая
пуля массы т и пробивает его насквозь. При этом шар подска-
подскакивает на высоту Н. На какую высоту h над подставкой поднимется
пробившая шар пуля, если перед попаданием в шар она имела
скорость у0?
240. Четыре одинаковых тела массы т = 20 г каждое рас-
расположены на одной прямой на некотором расстоянии друг от
друга. С крайним телом соударяется такое же тело, имеющее ско-
скорость v = 10 м/с и движущееся вдоль прямой, на которой располо-
расположены тела. Найти кинетическую энергию К системы после соуда-
соударений, считая соударения тел абсолютно неупругими.
241. На горизонтальной плоскости стоят два связанных нитью
одинаковых бруска, между которыми расположена сжатая пру-
пружина, не скрепленная с брусками. Нить пережигают, и бруски рас-
расталкиваются в разные стороны так, что расстояние между ними
45

возрастает на величину А/. Найти потенциальную энергию U сжа-
сжатой пружины, если масса каждого бруска равна т. Коэффициент
трения между брусками и плоскостью равен к.
242. Происходит центральное соударение двух абсолютно уп-
упругих шаров, имеющих массы т, и т2 и скорости v^ и и2- Найти
скорости шаров после соударения.
В
м
У//////////////////////
Рис. 44
Рис. 45
243. Брусок лежит на дне ящика у стенки А (рис. 44). Ящик в
результате кратковременного внешнего воздействия на противо-
противоположную стенку В начал двигаться горизонтально со скоростью
v. Расстояние между стенками А и В равно /. Длина бруска мала по
сравнению с /. Массы ящика и бруска одинаковы. Через какое
время t брусок вновь коснется стенки Л? Считать соударение
бруска со стенкой В абсолютно упругим.
244. Клин массы М находится на идеально гладкой горизон-
горизонтальной плоскости. На клине лежит брусок массы т, который под
действием силы тяжести может скользить по клину без трения.
Наклонная плоскость клина имеет плавный переход к горизон-
горизонтальной плоскости (рис. 45). В начальный момент система покои-
покоилась. Найти скорость v клина в тот момент, когда брусок с высо-
высоты h соскользнет на плоскость.
245. Пять одинаковых шаров, центры которых лежат на одной
прямой, находятся на небольшом расстоянии друг от друга. С край-
крайним шаром соударяется такой же шар,
имеющий скорость у = 10 м/с и дви-
движущийся вдоль прямой, соединяющей
центры шаров. Найти скорость послед-
последнего шара, считая соударения шаров абсо-
Рис 46 лютно упругими.
246. Идеально гладкий шар А, движу-
движущийся со скоростью v0, одновременно соударяется с двумя такими
же, соприкасающимися между собой шарами ВиС (рис. 46). Найти
46

Рис. 47
скорости шаров после соударения, считая соударения шаров абсо-
абсолютно упругими.
247. Два идеально гладких шара радиуса г лежат, соприкасаясь
друг с другом, на идеально гладкой горизонтальной плоскости.
Третий такой же шар радиуса 2/\ движущийся со скоростью у0
по той же плоскости, соударяется одновременно с двумя шарами
(рис. 47). Найти скорость большого
шара после соударения, считая соударе-
соударения шаров абсолютно упругими.
248. Под каким углом а разлетаются
после абсолютно упругого соударения
два одинаковых идеально гладких шара, если до соударения один из
них покоился, а другой летел со скоростью у0, направленной под
углом а Ф 0 к прямой, соединяющей их центры в момент
соударения?
249. Два абсолютно упругих шара летят навстречу друг другу.
Кинетическая энергия первого шара в к1 раз больше, чем второго
(к = 4/3). При каком отношении v2/v{ скоростей до удара шары
после удара будут двигаться в ту же сторону, что и первый шар до
удара, если масса первого шара тх больше массы второго шара т{1
250. Два абсолютно упругих шарика с массами тх = 100 г и
т2 = 300 г подвешены на одинаковых нитях длины / = 50 см каждая
(рис. 48). Первый шарик отклоняют от положения у////////////,
равновесия на угол а = 90° и отпускают. На какую
высоту поднимется второй шарик после соударения?
251. Шарик бросают из точки А вертикально вверх
с начальной скоростью t/0. Когда он достигает пре-
предельной высоты подъема, из точки А по тому же на-
направлению с той же начальной скоростью v0 бро-
бросают другой такой же шарик. Через некоторое время
шарики встречаются и происходит абсолютно упру-
упругое соударение. На какой высоте соударяются ша-
60'
Рис. 48
рики? На какую высоту после соударения поднимется первый
шарик?
252. Снаряд при вертикальном выстреле достиг высшей точки
полета h = 3000 м и разорвался на два осколка с массами т1 = 3 кг и
т2 = 2 кг. Осколки продолжают лететь по вертикали - первый
вниз, второй вверх. Найти скорости осколков vx и v2 через время
t = 2 с после взрыва, если их полная энергия в момент взрыва
Е = 247 кДж.
47

§ 8. Динамика вращательного движения
При решении задач на динамику вращательного движения следует
поступать таким же образом, как и при решении задач на динамику
прямолинейного движения. Прежде всего нужно выяснить, какие силы
действуют на движущиеся тела, и изобразить эти силы на чертеже. Затем
следует записать уравнения движения.
При равноускоренном вращении тела по окружности центростре-
центростремительное ускорение ап = i//R = со2/? в сумме с касательным ускорением ах
дает полное ускорение тела. При равномерном вращении ускорение ат,
характеризующее изменение скорости по модулю, равно нулю и полное
ускорение определяется только центростремительным ускорением: а =
= г/IR = (H2R.
Согласно второму закону Ньютона
mv2/R = !Fh
где SF, - сумма проекций сил на направление радиуса. Если проекция
силы направлена к центру, ее нужно считать положительной, если от
центра - отрицательной. Эту сумму проекций сил часто называют цент-
центростремительной силой. Однако следует иметь в виду, что нет особых
центростремительных сил специфической природы, а есть сумма проек-
проекций тех сил, которые вообще рассматриваются в механике и о которых
кратко говорилось во введении к § 4.
253. Шарик массы М подвешен на нити, имеющей длину /. Шарик
отклоняют от положения равновесия на угол а() = 90° и отпускают
без толчка. В тот момент, когда шарик проходит положение равно-
равновесия, на него садится муха массы т, летевшая горизонтально на-
навстречу шарику со скоростью v. На какой угол а отклонится после
этого шарик?
254. На горизонтально вращающейся платформе на расстоянии
R = 50 см от оси вращения лежит груз. При какой частоте п враще-
вращения платформы груз начнет скользить? Коэффициент трения меж-
между грузом и платформой к = 0,05.
255. На краю горизонтально вращающейся платформы радиуса
/{= 1 м лежит груз. В какой момент времени t после начала вра-
вращения платформы груз соскользнет с нее, если ее вращение равно-
равноускоренное и в момент времени ta = 2 мин она имеет угловую ско-
скорость со = 1,4 рад/с? Коэффициент трения между грузом и платфор-
платформой к = 0,05.
256. Каков должен быть минимальный коэффициент трения к
между шинами автомобиля и асфальтом, чтобы автомобиль мог
пройти без проскальзывания закругление радиуса R = 100 м при
скорости v = 50 км/ч?
48

257. Тело массы т = 200 г равномерно вращается в горизон-
горизонтальной плоскости по окружности радиуса R = 0,5 м с частотой
П\ - 3 об/с. Какую работу А нужно совершить, чтобы увеличить
частоту вращения до п2 = 5 об/с?
258. Барабан сушильной машины, имеющий диаметр D =
= 1,96 м, вращается с угловой скоростью о) = 20 рад/с. Во сколько
раз сила F, прижимающая ткань к стенке, больше силы тяжести
mg, действующей на ткань?
259. Самолет делает петлю Нестерова ("мертвую петлю"), имею-
имеющую радиус R = 255 м. Какую минимальную скорость v должен
иметь самолет в верхней точке петли, чтобы летчик не повис на
ремнях, которыми он пристегнут к пилотскому креслу?
260. С каким максимальным периодом х можно равномерно
вращать в вертикальной плоскости шарик, привязанный к нити,
имеющей длину / = 2,45 м?
261. Невесомый стержень равномерно вращается в горизон-
горизонтальной плоскости с частотой п. На расстояниях /, и /2 от оси вра-
вращения закреплены грузы с массами т} и т2. Какая горизонтальная
сила F действует на ось вращения, если ось находится между
грузами?
262. Автомобиль массы т = 1000 кг движется со скоростью
v - 36 км/ч по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны
R = 50 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его сере-
середине? С какой минимальной скоростью ymin должен двигаться авто-
автомобиль для того, чтобы в верхней точке он перестал оказывать
давление на мост?
263. Автомобиль массы т = 2000 кг движется со скоростью
v = 36 км/ч по вогнутому мосту, имеющему радиус кривизны
R = 100 м. С какой силой F давит автомобиль на мост в его
середине?
264. Автомобиль массы т движется со ско-
скоростью v по выпуклому мосту, имеющему ра-
радиус кривизны R. С какой силой F давит авто- \ч R
мобиль на мост в точке, направление на кото- \
рую из центра кривизны моста составля- \г
ет с направлением на его середину угол а \
(рис.49)? Рис49
265. Через реку ширины d = 100 м пере-
переброшен выпуклый мост в форме дуги окружности. Верхняя точка
моста поднимается над берегом на высоту h = 10 м. Мост может
49

Рис. 50
выдержать максимальную силу давления F = 44,1 кН. При какой
скорости грузовик массы т = 5000 кг может переехать через мост?
266. Невесомый стержень может вращаться без трения вокруг
горизонтальной оси, перпендикулярной к стержню и проходя-
проходящей через точку О (рис. 50). На стержне с одной стороны от оси
укреплены одинаковые по массе
грузы на расстояниях / и 1/2 от
точки О. С другой стороны на
стержне укреплен груз удвоенной
массы на расстоянии 1/2 от оси. В
начальный момент стержень был
расположен горизонтально, а затем отпущен без толчка. Найти
скорость и среднего груза в момент прохождения стержнем поло-
положения равновесия.
267. Человек массы т = 70 кг сидит на середине трапеции. Палка
трапеции подвешена на веревках длины / = 8 м. При качании
человек проходит положение равновесия со скоростью v = 6 м/с.
Какова сила натяжения Т каждой веревки в этот момент?
268. Шарик массы т, подвешенный на нити, отклоняют от поло-
положения равновесия на угол а = 90° и отпускают. Какова максималь-
максимальная сила натяжения Т нити?
269. Грузик массы m = 20 г, прикрепленный к концу невесомого
стержня, имеющего длину / = 40 см, равномерно вращается
в вертикальной плоскости вокруг другого конца с частотой п =
= 10 об/с. Найти силы натяжения Тх и Г2 стержня в моменты
прохождения грузиком верхней и нижней точек траектории.
270. Небольшое тело массы m вращается в вертикальной пло-
плоскости на невесомой штанге. Найти разность сил натяжения штан-
штанги в случае, если: а) скорость вращения постоянна; б) изменение
скорости вращения вызывается силой тяжести.
271. Шарик массы m подвешен на нити, выдер-
выдерживающей силу натяжения Т = 2mg. На какой угол
а от вертикали нужно отклонить шарик, чтобы он
оборвал нить, проходя через положение равно-
равновесия.
272. Шарик массы m подвешен на нити, имею-
имеющей длину /. В точке А, отстоящей от подвеса на
расстоянии а по вертикали, вбит гвоздь (рис. 51).
, Известно, что нить обрывается при силе натяже-
Рис 51 ния ^ > т8- ^а как°й минимальный угол а от
50

вертикали нужно отклонить груз, чтобы при дальнейшем сво-
свободном движении к положению равновесия нить оборвалась, заце-
зацепившись за гвоздь?
273. При каком отношении масс гП]1т2 два тела, связанные
нитью, могут вращаться с одинаковыми угловыми скоростями на
гладкой горизонтальной поверхности, если
ось вращения делит нить в отношении 1 : 3?
274. По вертикально расположенному об-
обручу радиуса R может без трения скользить
колечко. Обруч вращается вокруг верти-
вертикальной оси, проходящей через его центр.
Колечко находится в равновесии на высоте h
от нижней точки обруча (рис. 52). Найти
угловую скорость со вращения обруча.
275. На вертикальной оси укреплена гори-
горизонтальная штанга, по которой могут без
трения перемещаться два груза с массами т1 Рис-52
и т2, связанные нитью длины /. Система вра-
вращается с угловой скоростью со. На каких расстояниях от оси на-
находятся грузы, будучи в положении равновесия? Какова при этом
сила натяжения Г нити?
276. Мальчик массы т = 45 кг вращается на "гигантских шагах" с
частотой п = 12 об/мин. Длина каната / = 5 м. Какова сила натя-
натяжения Тканата?
277. Камень, подвешенный к потолку на веревке, движется в
горизонтальной плоскости по окружности, отстоящей от потолка
на расстоянии h = 1,25 м. Найти период х обращения камня.
278. Шарик массы т, подвешенный на нити, имеющей длину /,
вращается в горизонтальной плоскости. Какова должна быть сила
натяжения Т нити, чтобы радиус R окружности, по которой дви-
движется шарик, мог достигнуть величины 2//V 5?
279. Шарик, подвешенный на нити, имеющей длину /, описывает
окружность в горизонтальной плоскости. Нить составляет с верти-
вертикалью угол а. Найти период х обращения шарика, если маятник
находится в лифте, движущемся с постоянным ускорением а < g,
направленным вниз.
280. Гирька массы т, привязанная к резиновому шнуру, вра-
вращается в горизонтальной плоскости с частотой п. Шнур составляет
с вертикалью угол а. Найти длину нерастянутого шнура /0, если
известно, что для растяжения его до длины / требуется сила F.
51

281. Какую скорость v должен иметь вагон, движущийся по
закруглению радиуса R = 98 м, чтобы шар массы т = 10 кг,
подвешенный на нити к потолку вагона, отклонился от вертикали
на угол а = 45°? Какова при этом сила натяжения Г нити?
282. Небольшое тело соскальзывает без трения с вершины
полусферы радиуса R. На какой высоте h тело оторвется от по-
поверхности полусферы?
283. Маленькое колечко массы т надето на большое проволоч-
проволочное кольцо радиуса R, расположенное в вертикальной плоскости.
Колечко без начальной скорости начинает скользить вниз из
верхней точки большого кольца. По какому закону изменяется
сила давления F колечка на большое кольцо в зависимости от
высоты h, на которую опустится колечко? Трением пренебречь.
284. Небольшое тело соскальзывает по наклонной поверхности,
переходящей в "мертвую петлю", с высоты
#о = 2/?, где R - радиус петли (рис. 53). На
какой высоте h тело оторвется от поверх-
поверхности петли? С какой высоты Н должно
скатываться тело, для того чтобы отрыва
Не ПРОИЗОШЛО?
285. Велосипедист при повороте по за-
Рис.53 о
круглению радиуса R наклоняется к центру
закругления так, что угол между плоскостью велосипеда и поверх-
поверхностью земли равен а. Найти скорость v велосипедиста.
286. Полотно дороги на повороте радиуса R наклонено в сторону
центра закругления и составляет угол а с горизонтом. По дороге
едет велосипедист, скорость которого такова, что на повороте ве-
велосипед перпендикулярен к полотну дороги. С какой силой F вело-
велосипед давит на дорогу, если масса велосипедиста с велосипедом
равна ml Какова при этом скорость v велосипеда?
287. Конькобежец движется со скоростью v по окружности ра-
радиуса R. Под каким углом а к горизонту он должен наклониться,
чтобы сохранить равновесие?
§ 9. Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения в виде
y
где у = 6,6720 • lO1 Н • м2/кг2 » 6,67 ¦ 101 Н • м2/кг2 - гравитационная
постоянная, непосредственно справедлив только для материальных точек,
52

т.е. для тел, геометрические размеры которых во много раз меньше рас-
расстояния /" между ними. Если одно из тел имеет форму шара, радиус ко-
которого много больше размера другого тела, то этот закон также спра-
справедлив. Для двух тел сферической формы он справедлив при любых их
размерах.
Гравитационная сила (сила тяжести) сообщает всем телам, свободно
падающим у поверхности Земли, независимо от их массы одно и то же
ускорение g = 9,80665 м/с2 = 9,81 м/с2. Это происходит вследствие того, что
инертная масса тела, входящая в уравнение движения, и гравитационная
масса в законе всемирного тяготения равны друг другу.
Не следует смешивать силу тяжести и вес тела. Под весом понимается
сила, с которой тело давит на опору, или же сила, с которой оно растя-
растягивает подвес. Сила тяжести на Земле всюду, за исключением полюсов,
не равна весу, так как тела участвуют во вращении Земли и, следова-
следовательно, движутся с ускорением. Поэтому, строго говоря, сила тяжести не
уравновешивается силой реакции опоры, равной по модулю весу. Правда,
разница между силой тяжести и весом очень мала из-за малой угловой
скорости вращения Земли.
288. Найти силу притяжения F между Землей и Луной. Масса
Земли т3 - 6 • 1024 кг, масса Луны тп = 7,3 • 1022 кг, среднее рас-
расстояние между их центрами г = 3,8 • 108 м.
289. Ускорение свободного падения у поверхности Луны в 6 раз
меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли. Во
сколько раз выше и дальше может прыгнуть человек на Луне, чем
на Земле?
290. Вычислить первую космическую скорость v у поверхности
Луны, если радиус Луны Rn = 1760 км, а ускорение свободного
падения у поверхности Луны в 6 раз меньше ускорения свободного
падения у поверхности Земли.
291. Ракета поднялась на высоту h = 990 км. На сколько умень-
уменьшилась сила тяжести, действующая на ракету, на высоте h по срав-
сравнению с силой тяжести mg, действующей на нее, у поверхности
Земли*?
292. Радиус Луны Rn примерно в 3,7 раза меньше радиуса Земли
/?з, а масса Луны тл в 81 раз меньше массы Земли т3. Найти уско-
ускорение свободного падения #л у поверхности Луны.
293. Радиус Солнца Rc примерно в ПО раз больше радиуса Земли
R3, а средняя плотность Солнца рс относится к средней плотности
Земли р3, как 1 : 4. Найти ускорение свободного падения gc у по-
поверхности Солнца.
* Здесь и далее считать радиус Земли /?3 = 6400 км.
53

294. Какую работу А нужно совершить, чтобы вывести спутник
массы ш = 500 кг на круговую орбиту, проходящую вблизи поверх-
поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь.
295. Звездная система состоит из двух одинаковых звезд, на-
находящихся на расстоянии г = 5 ¦ 1011 м друг от друга. Найти период
Т обращения звезд вокруг общего центра масс, если масса каждой
звезды m = 1,5 • 1034 кг.
296. Спутник движется вокруг некоторой планеты по круговой
орбите радиуса гс = 4,7 • 109 м со скоростью v = 104 м/с. Какова
средняя плотность р планеты, если ее радиус R = 1,5 ¦ 108 м?
297. Искусственный спутник Земли движется по круговой ор-
орбите на расстоянии h от ее поверхности. Найти период Т обраще-
обращения спутника, если радиус Земли R3 > h.
298. Какой период Т обращения имел бы искусственный спутник
Земли, удаленный от ее поверхности на расстояние, равное радиусу
Земли /?3?
299. Найти радиус гс круговой орбиты искусственного спутника
Земли, имеющего период обращения Т = 1 сут.
300. Найти период Т обращения Луны вокруг Земли, если Луна
движется по круговой орбите радиуса гп = 3,8 108 м.
301. Найти среднюю плотность р планеты, если на ее экваторе
показание динамометра, к которому подвешено тело, на 10 %
меньше, чем на полюсе. Продолжительность суток на планете
т = 6 ч.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
В задачах на гидро- и аэростатику встречается новый тип силы -
выталкивающая сила Архимеда. В остальном эти задачи не отличаются
от обычных статических задач. Следует иметь в виду, что сила Архимеда
приложена к центру масс объема жидкости, вытесненной телом.
Особенностью жидкостей и газов как механических сред является
подчинение их закону Паскаля. Давление на жидкость или газ передается
одинаково во всех направлениях. Поэтому давление внутри жидкости на
данной глубине будет постоянным.
При решении задач по гидро- и аэродинамике используются в ос-
основном законы сохранения импульса и энергии.
302. В наполненное до краев ведро опускают кусок льда. Часть
воды, равная объему погруженной части льда, при этом вылива-
выливается. Изменится ли давление на дно, когда лед растает?
54

ll
— _=:
JZ-Z1 -
'1
—
—
--h
-
-i-Al
—
—
1-я-
- —
Tl | i |
III
303. В цилиндрическое ведро диаметра D = 25 см налита вода,
занимающая объем V = 12 л. Каково давление р воды на стенку
ведра на высоте h = 10 см от дна*?
304. До какой высоты h нужно налить жидкость в цилинд-
цилиндрический сосуд радиуса R, чтобы сила F, с которой жидкость давит
на боковую поверхность сосуда, была равна силе давления на дно?
305. Пробирку длины / = 10 см доверху
заполняют водой и опускают открытым концом
в стакан с водой. При этом почти вся пробир-
пробирка находится над водой. Найти давление р
воды на дно пробирки. Атмосферное давление
ро = О,1 МПа.
306. Цилиндрический сосуд высоты h = 1 м за-
заполняют маслом с плотностью р = 0,9 • 103 кг/м3
и погружают открытым концом в бассейн с
водой (рис. 54). Найти давление масла в сосуде
непосредственно у его дна в точке А, если из- Рис 54
вестно, что нижний конец сосуда находится на
глубине Н = 3 м от поверхности воды в бассейне. Атмосферное
давление /?0 = ОД МПа.
307. В U-образную трубку наливают ртуть. Затем в одно из
колен трубки наливают масло, а в другое воду. Границы раздела
ртути с маслом и водой в обоих коленах находятся на одном
уровне. Найти высоту столба воды /г0, если высота столба масла h =
= 20 см, а его плотность р = 0,9 • 103 кг/м3.
308. В два цилиндрических сообщающихся сосуда наливают
ртуть. Сечение одного из сосудов вдвое больше другого. Широкий
сосуд доливают водой до края. На какую высоту h поднимется при
этом уровень ртути в другом сосуде? Первоначально уровень ртути
был на расстоянии / от верхнего края широкого сосуда. Плотности
ртути и воды р и р0 известны.
309. В U-образную трубку с сечением S налита ртуть, зани-
занимающая объем V. Затем в одно из колен трубки налили воду и
опустили железный шарик массы т. На какую высоту h поднялся
уровень ртути в другом колене? Плотности ртути и воды р и р0
известны.
310. Малый поршень гидравлического пресса за один ход опус-
опускается на высоту h = 0,2 м, а большой поршень поднимается на
* Здесь и далее считать плотность воды р0 = 103 кг/м3.
55

высоту Н - 0,01 м. С какой силой F действует пресс на зажатое в
нем тело, если на малый поршень действует сила/= 500 Н?
311. При подъеме груза, имеющего массу т = 2 т, с помощью
гидравлического пресса была затрачена работа А = 40 Дж. При
этом малый поршень сделал п = 10 ходов, перемещаясь за один ход
на высоту h = 10 см. Во сколько раз площадь S большого поршня
больше площади s малого?
312. В цилиндрический сосуд налиты равные по массе коли-
количества воды и ртути. Общая высота столба жидкостей в сосуде
Н = 143 см. Найти давление р на дно сосуда. Плотность ртути
р = 13,6 • 103 кг/м3.
313. Льдина равномерной толщины плавает, выступая над
уровнем воды на высоту h = 2 см. Найти массу льдины, если пло-
площадь ее основания S = 200 см2. Плотность льда р = 0,9 • 103 кг/м3.
314. Каким может быть наибольший объем V, льдины, пла-
плавающей в воде, если алюминиевый брусок объема V2 = 0,1 м3,
примерзший к льдине, заставляет ее утонуть? Плотности льда и
алюминия р, = 0,9 • 103 кг/м3 и р2 = 2,7 ¦ 103 кг/м3.
315. Кусок льда массы т = 1,9 кг плавает в цилиндрическом
сосуде, наполненном жидкостью с плотностью р = 0,95 ¦ 103 кг/м3.
Площадь дна сосуда S - 40 см2. На сколько изменится уровень жид-
жидкости, когда лед растает?
316. Полый шар, сделанный из материала с плотностью рь
плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность р2. Радиусы
шара и полости равны R и г. Какова должна быть плотность ве-
вещества р, которым следует заполнить полость шара, чтобы он пла-
плавал внутри жидкости?
317. Бревно, имеющее длину / = 3,5 м и диаметр D = 30 см,
плавает в воде. Какова масса т человека, который может стоять на
бревне, не замочив ноги? Плотность дерева р = 0,7 • 103 кг/м3.
318. Кипа хлопка, находясь в воздухе, растягивает пружину
динамометра с силой Р„ = 1470 Н. С какой силой Р будет растя-
растягивать пружину та же кипа, находясь в вакууме? Плотности хлопка
в кипе и воздуха р = 0,8 ¦ 103 кг/м3 и р„ = 1,2 кг/м3.
319. Найти плотность р однородного тела, действующего на не-
неподвижную опору в воздухе с силой Рк = 2,8 Н, а в воде - с силой
Ро = 1,69 Н. Выталкивающей силой воздуха пренебречь.
320. Для определения плотности неизвестной жидкости одно-
однородное тело подвесили на динамометре в этой жидкости, а затем в
вакууме и в воде. Оказалось, что тело, находясь в жидкости, растя-
56

гивает пружину динамометра с силой Рж = 1,66 Н, в вакууме -
с силой Р = 1,8 Н, в воде - с силой Ро = 1,6 Н. Найти плотности
жидкости и тела рж и р.
321. Из водоема медленно с постоянной скоростью вытаскивают
алюминиевый цилиндр, имеющий длину / = 2,3 м и площадь попе-
поперечного сечения S = 100 см2. Когда над поверхностью оказалась
1/4 часть длины цилиндра, веревка оборвалась. Найти максималь-
максимальную силу натяжения Т, которую выдерживает веревка. Плотность
алюминия р = 2,7 ¦ 103 кг/м3.
322. Полый шарик из алюминия, находясь в воде, растягивает
пружину динамометра с силой Ро = 0,24 Н, а в бензине - с силой
Рб = 0,33 Н. Найти объем V полости. Плотности алюминия и бен-
бензина р = 2,7 ¦ 103 кг/м3 и рб = 0,7 • 103 кг/м3. Выталкивающей силой
воздуха пренебречь.
323. При взвешивании в воздухе тело объема V = 1000 см3 было
уравновешено медными гирями массы ти = 880 г. Какова масса
уравновешивающих гирь при взвешивании этого тела в вакууме?
Плотности меди и воздуха рм = 8,8 ¦ 103 кг/м3 и р = 1,2 кг/м3.
324. Слиток сплава золота и серебра в воздухе растягивает
пружину динамометра с силой Р = 14,7 Н, а в воде - с силой на
АР = 1,274 Н меньше. Найти массы золота тх и серебра т2 в слит-
слитке, считая, что при сплавлении их первоначальный объем не
изменился. Плотности золота и серебра р, = 19,3 • 103 кг/м3 и
р2 = 10,5 ¦ 103 кг/м3.
325. Два однородных тела из одного и того же материала под-
подвешены к противоположным концам рычага и уравновешивают
друг друга в вакууме. Сохранится ли это равновесие в воздухе?
326. Тонкая однородная палочка шарнирно закреплена за верх-
верхний конец. Нижний конец палочки погружен в воду. При равнове-
равновесии под водой находится к = 1/5 часть длины палочки. Найти плот-
плотность вещества палочки.
327. К концу однородной палочки, имеющей массу т = 4 г,
подвешен на нити алюминиевый шарик радиуса г = 0,5 см. Палоч-
Палочку кладут на край стакана с водой, добиваясь равновесия
при погружении в воду половины шарика. В каком отноше-
отношении делится палочка точкой опоры? Плотность алюминия
р = 2,7 • 103 кг/м3.
328. Однородный куб плавает в воде, причем 3/4 его объема
погружены в воду. Если с помощью тонкой нити прикрепить центр
верхней грани куба к плечу рычага длины 1Х = 8 см и уравновесить
57

его гирей массы т = 30 г, прикрепленной к другому плечу рычага
длины 12 = 4 см, то куб будет погружен в воду только на 2/3 своего
объема. Найти длину I ребра куба.
329. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коро-
коробочку, из-за чего уровень воды в сосуде поднялся на высоту
1=2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробочка
утонет? Плотность железа р = 7,8 • 103 кг/м3.
330. Однородный куб плавает в ртути, причем 1/5 часть его
объема погружена в ртуть. Если на этот куб положить второй куб
такого же размера, то первый куб погрузится в ртуть на 1/2 часть
своего объема. Какова плотность материала второго куба рк?
Будет ли система плавающих кубов в устойчивом равновесии?
Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
331. В сосуде находятся две несмешивающиеся жидкости с
различными плотностями. На границе раздела жидкостей плавает
однородный куб, погруженный целиком в жидкость. Плотность
материала куба р больше плотности pi верхней жидкости, но
меньше плотности р2 нижней жидкости: р, < р < р2. Какая часть
объема куба находится в верхней жидкости?
332. Плавающий куб погружен в ртуть на 1/4 своего объема.
Какая часть объема куба будет погружена в ртуть, если поверх нее
налить слой воды, полностью закрывающий куб? Плотность ртути
р = 13,6 • 103 кг/м3.
333. Пузырек газа поднимается со дна озера с постоянной ско-
скоростью. Найти силу сопротивления воды /, если объем пузырька
V = 1 см3.
334. Груз, прикрепленный к двум одинаковым воздушным ша-
шарам, поднимается с постоянной скоростью. Плотности воздуха и га-
газа в шарах равны р и рг. Каким будет ускорение груза а, если один
из шаров лопнет? Массой оболочек шаров и сопротивлением воз-
воздуха пренебречь.
335. Два аэростата поднимают вверх одинаковые грузы. Первый
движется с ускорением а = g/2, а второй - с постоянной скоростью.
Плотности газа рг в аэростатах одинаковы и равны половине плот-
плотности воздуха р. Объем первого аэростата равен Vx. Найти объ-
объем V2 второго аэростата. Считать массы оболочек одинаковыми.
Сопротивлением воздуха пренебречь.
336. Какую работу А нужно совершить при медленном подъеме
камня, имеющего объем V = 0,5 м3, из воды с глубины h = 1 м?
Плотность камня р = 2,5 • 103 кг/м3.
58

337. Стеклянный шарик массы т = 100 г, находящийся у по-
поверхности глицерина, погружают на глубину h = 1 м. Найти изме-
изменение AU потенциальной энергии шарика. Плотности глицерина и
стекла р! = 1,2 ¦ 103 кг/м3 и р2 = 2,4 ¦ 103 кг/м3.
338. Мяч массы т = 0,5 кг и диаметра d = 24 см погружают в воду
на глубину h - 4 м. Найти изменение AU потенциальной энергии
мяча. Деформацией мяча пренебречь.
339. С какой высоты h должно падать тело, имеющее плот-
плотность р = 0,4 • 103 кг/м3, чтобы оно погрузилось в воду на глубину
Н = 6 см? Сопротивлением воды и воздуха пренебречь.
340. Сосуд с водой движется поступательно вдоль горизонталь-
горизонтальной прямой с ускорением а. Под каким углом а к горизонту будет
располагаться поверхность воды?
341. В бак равномерной струей в единицу времени поступает
объем воды V, = 2 дм3/с. На каком уровне h будет держаться вода в
баке?
342. Направленная горизонтально струя воды бьет в вертикаль-
вертикальную стенку. С какой силой струя давит на стенку, если скорость
истечения воды v = 10 м/с и вода поступает через трубку, имеющую
сечение S = 4 см2? Считать, что после удара вода стекает вдоль
стенки.
343. С катера, идущего со скоростью v = 18 км/ч, опускают в
воду изогнутую под прямым углом трубку так, что опущенный
конец трубки горизонтален и обращен отверстием в сторону
движения. Другой конец трубки, находящийся в воздухе, вертика-
вертикален. На какую высоту h по отношению к уровню воды в озере
поднимется вода в трубке? Трением пренебречь.
344. Какова примерно скорость катера v, если вода поднимает-
поднимается при движении вдоль его носовой вертикальной части на вы-
высоту h = 1 м?
345. На гладкой горизонтальной поверхности стоит сосуд с во-
водой. В боковой стенке сосуда у дна имеется отверстие площади S.
Какую силу нужно приложить к сосуду, чтобы удержать его в
равновесии, если высота уровня воды в сосуде равна hi
346. На поршень шприца площади 5 действует сила F. С какой
скоростью v должна вытекать в горизонтальном направлении
струя из отверстия площади я? Плотность жидкости равна р.
59

§ 11. Колебания и волны
Период колебаний математического маятника, т.е. тела, геометри-
геометрические размеры которого намного меньше длины нити, на которой оно
подвешено, а масса намного больше массы нити подвеса, вычисляется по
формуле
Особое внимание следует обратить на задачи 355-357 и 371. Они сложны
для понимания, и в школе обычно не рассматриваются.
В условиях задач могут быть даны различные значения скорости звука
в воздухе, так как эта скорость зависит от температуры.
347. Один из маятников за некоторое время совершил п, = 10
колебаний. Другой за то же время совершил п2 = 6 колеба-
колебаний. Разность длин маятников А/ = 16 см. Найти длины маятни-
маятников /j И /2.
348. Маятник представляет собой упругий шарик, прикреплен-
прикрепленный к концу нити, имеющей длину /. При колебаниях шарик стал-
сталкивается с упругой массивной стенкой в моменты, когда нить зани-
занимает вертикальное положение. Найти период Т колебаний маят-
маятника. Длительностью столкновения пренебречь.
349. Математический маятник длины /
совершает колебания вблизи вертикальной
стенки. Под точкой подвеса маятника, на рас-
расстоянии а = 1/2 от нее, в стенку вбит гвоздь
(рис. 55). Найти период Т колебаний маят-
маятника.
350. Два одинаковых упругих шарика подве-
подвешены на нитях, имеющих длины I, = 1 м и
12 = 0,25 м, так, что центры масс шариков нахо-
находятся на одном уровне и шарики соприкаса-
соприкасаются друг с другом. Нить второго шарика от-
отклоняют на небольшой угол и отпускают.
О
Рис. 55
Сколько раз столкнутся шарики за время Д/ = 4 с, прошедшее
с начала движения второго шарика?
351. При температуре 6] = 20 °С период колебаний маятника
Тх = 2 с. Как изменится период колебаний, если температура воз-
возрастет до 02 = 30 °С? Коэффициент линейного расширения мате-
материала маятника а = 1,85 • 10~5 К.
60

352. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус Земли в
3,7 раза больше радиуса Луны. Как изменится период колебаний
маятника при перенесении его с Земли на Луну?
353. Часы с секундным маятником, имеющие период колебаний
Г() = 1 с, на поверхности Земли идут точно. На сколько будут от-
отставать эти часы за сутки, если их поднять на высоту h = 200 м над
поверхностью Земли?
354. Найти потенциальную энергию U математического маят-
маятника массы т = 200 г в положении, соответствующем углу откло-
отклонения нити от вертикали а = 10°, если частота колебаний маятника
v = 0,5 с. Считать потенциальную энергию маятника в положении
равновесия равной нулю.
355. С каким ускорением див каком направлении должна дви-
двигаться кабина лифта, чтобы находящийся в ней секундный маятник
за время t = 2 мин 30 с совершил п = 100 колебаний?
356. Математический маятник длины / подвешен в вагоне, дви-
движущемся горизонтально с ускорением а. Найти период колебаний
. этого маятника.
357. Кубик совершает малые колебания в вертикальной плос-
плоскости, двигаясь без трения по внутренней поверхности сфериче-
сферической чаши. Найти период колебаний кубика, если чаша опускается
вниз с ускорением а - g/З. Считать, что внутренний радиус чаши R
много больше ребра кубика.
358. Эхо, вызванное ружейным выстрелом, дошло до стрелка че-
через время f = 4c после выстрела. На каком расстоянии s от стрелка
находится преграда, от которой произошло отражение звука? Ско-
Скорость звука в воздухе v = 340 м/с.
359. На расстоянии 5 = 1068 м от наблюдателя ударяют молотком
по железнодорожному рельсу. Наблюдатель, приложив ухо к
рельсу, услышал звук на время At = 3 с раньше, чем он дошел до
него по воздуху. Найти скорость звука и в стали. Скорость звука в
воздухе v = 340 м/с.
360. Звук выстрела и пуля одновременно достигают высоты
h = 680 м. Выстрел произведен вертикально вверх. Какова началь-
начальная скорость пули? Скорость звука в воздухе v = 340 м/с. Сопро-
Сопротивлением движению пули пренебречь.
361. Из пункта А в пункт В был послан звуковой сигнал частоты
v = 50 Гц, распространяющийся со скоростью v = 340 м/с. При этом
на расстоянии от А до В укладывалось целое число волн. Опыт
повторили, когда температура была на Д6 = 20 К выше, чем в
61

первом случае. При этом число волн, укладывающихся на рас-
расстоянии от А до В, уменьшилось на два. Найти расстояние / между
пунктами А и В, если при повышении температуры на 1 К скорость
звука увеличивается на 0,5 м/с.
362. Найти скорость звука v в воде, если колебания с периодом
Т = 0,005 с вызывают звуковую волну длины X = 7,175 м.
363. Найти частоту v звуковых колебаний в стали, если рас-
расстояние между ближайшими точками звуковой волны, отличаю-
отличающимися по фазе на ф = 90°, составляет / = 1,54 м. Скорость звука в
стали v = 5000 м/с.
364. Найти разность фаз ф между двумя точками звуковой вол-
волны, отстоящими друг от друга на расстоянии / = 25 см, если частота
колебаний v = 680 Гц. Скорость звука в воздухе v = 340 м/с.
365. Узлы стоячей волны, создаваемой камертоном в воздухе,
отстоят друг от друга на расстоянии / = 40 см. Найти частоту
v колебаний камертона. Скорость звука в воздухе v = 340 м/с.
366. Звуковые колебания частоты v имеют в первой среде длину
волны Я,,, а во второй - длину волны Х2. Как изменяется скорость
распространения этих колебаний при переходе из первой среды во
вторую, если Х\ = 2Х21
367. Звуковые колебания распространяются в воде со скоростью
vx - 1480 м/с, а в воздухе - со скоростью v2 = 340 м/с. Во сколько
раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха
в воду?
368. Камертон один раз зажат в тисках, а другой раз стоит на
резонаторном ящике. В обоих случаях камертон возбуждается оди-
одинаковыми по силе ударами. В каком случае камертон будет звучать
дольше?
369. К верхнему концу цилиндрического сосуда, в который
постепенно наливают воду, поднесен звучащий камертон. Звук,
издаваемый камертоном, заметно усиливается, когда расстояния от
поверхности жидкости до верхнего конца сосуда достигают значе-
значений hi = 25 см и h2 = 75 см. Найти частоту колебаний v камертона.
Скорость звука в воздухе v = 340 м/с.
370. Труба длины / = 1 м заполнена воздухом при нормальном
атмосферном давлении. Один раз труба открыта с одного конца,
другой раз - с обоих концов и в третий раз закрыта с обоих концов.
При каких минимальных частотах в трубе будут возникать стоячие
звуковые волны в указанных случаях? Скорость звука в воздухе
v = 340 м/с.
62

371. Движущийся по реке теплоход дает звуковой сигнал часто-
частоты V = 400 Гц. Стоящий на берегу наблюдатель воспринимает звук
свистка как колебания с частотой V = 395 Гц. С какой скоростью и
движется теплоход? Приближается или удаляется он от наблюда-
наблюдателя? Скорость звука в воздухе и - 340 м/с.
Глава II
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
Уравнения, выражающие зависимость объема и линейного размера тел
от температуры:
V, =V0(l + af), /,=/0(l + p0, A)
являются приближенными, поскольку в них не принимается во внимание
зависимость самих температурных коэффициентов объемного и линей-
линейного расширения а и C от температуры. При расчетах по формулам A)
следует иметь в виду, что получаемые результаты могут быть достаточно
точными только в интервалах температур, в которых изменения коэффи-
коэффициентов малы по сравнению с этими коэффициентами. В таблицах
обычно приводятся средние значения аире указанием интервалов
температур, для которых эти значения определены (см. задачу 376).
Значения V() и /0 в формулах A) относятся к температуре t = 0 °С. В тех
случаях, когда в задачах даны начальные объемы или длины при темпе-
температурах, не равных нулю, часто начинают решение задач с определения Vo
и /() и в итоге получают, например, для длины выражение
Такой метод расчета нецелесообразен. Действительно, умножив числи-
числитель и знаменатель этой формулы на 1 - pf), получим
_ l
' ' 1-р2Г,2
Ввиду малости коэффициента р по сравнению с единицей, члены, содер-
содержащие Р2, малы по сравнению с членом, в который р входит в первой
степени. Их можно отбросить. В результате формула для вычисления
63

длины /, оказывается более простой и достаточно точной для практически
важных случаев:
/,=/,[1+^2-*,)].
Точно так же имеем
V, = V,[l + <x(r2-*,)].
372. Как должны относиться длины /, и /2 двух стержней из мате-
материалов с различными коэффициентами линейного расширения р^
и C2, чтобы при любой температуре разность длин стержней оста-
оставалась постоянной?
373. Два одинаковых стальных моста должны быть построены
один на севере, другой на юге. Каковы должны быть при О °С за-
зазоры, компенсирующие удлинение моста при изменении темпе-
температуры, если на юге возможны колебания от -10 до +50 °С, а на
севере от -50 до +20 °С? При 0 °С длина моста L() = 100 м, коэф-
коэффициент линейного расширения стали C = 10~5 К.
374. Латунный сосуд при нагревании увеличился в объеме на
п = 0,6 %. Найти увеличение температуры At сосуда, если коэф-
коэффициент линейного расширения латуни C = 2- 10~5 К4.
375. При температуре ?() = 0 °С длины алюминиевого и желез-
железного стержней /Оа = 50 см и /()ж = 50,05 см. Сечения стержней оди-
одинаковы. При какой температуре tx длины стержней и при какой
температуре t2 их объемы будут одинаковы? Коэффициен-
Коэффициенты линейного расширения алюминия и железа (За = 2,4 • 10~7 К
ирж=1,2- Ю-7 К.
376. Коэффициенты объемного расширения воды для трех
интервалов температур:
a, =-3,3
a2 = 4,8 ¦
a3=l,5-
• Ю-5 K-1
Ю-5 K-l
1(H К-1
@ «г,
D=?f2
A0 =s
=? 4 °C),
¦ ^ 10 °C),
t3 =s 20 °C).
Найти объем воды V при температуре t = 15 °С, если при тем-
температуре t'= 1 °С объем V = 103 см3.
377. Сообщающиеся сосуды заполнены жидкостью, имеющей
температуру t\. При нагревании жидкости в одном из сосудов до
температуры t2 уровень жидкости в этом сосуде установился на вы-
высоте Я, а в другом - на высоте h. Найти коэффициент объемного
расширения жидкости.
64

378. Найти объем шарика ртутного термометра, если известно,
что при температуре г() = О °С ртуть заполняет только шарик, а
между делениями 0 и 100 °С объем канала V = 3 мм3. Коэффициент
объемного расширения ртути а = 1,8 ¦ Ю~4 Кг1, коэффициент
линейного расширения стекла C = 8- Ю^Кг1.
379. В кварцевый литровый сосуд диаметра d = 6 см до половины
налили воду, а затем положили шар из эбонита, имеющий объем
V = 100 см3. На какую высоту А/г поднимется уровень воды при
изменении температуры от г, = 10 °С до t2 = 70 °С? Коэффициент
объемного расширения воды а = 3 • 10~4 К, коэффициент ли-
линейного расширения эбонита C = 8- 10'5 К. Тепловым рас-
расширением кварца пренебречь.
380. В кварцевый сосуд объема Vх = 2,5 л помещен латунный
цилиндр массы т2 = 8,5 кг. Остальная часть сосуда заполнена во-
водой. При нагревании сосуда вместе с содержимым на
At - 3 °С уровень воды в сосуде не изменился. Найти
коэффициент объемного расширения воды ос. Коэффи-
Коэффициенты линейного расширения кварца и латуни [3, =
= 0,42 • 1(Н К-! и C2 = 0,2 • Ю-4 К-1. Плотность латуни
р2 = 8,5 • 103 кг/м3.
381. В колбу, плотно закрытую пробкой со вставлен-
вставленной в нее трубкой, до самой пробки налит керосин
(рис. 56). Как изменится давление на дно колбы при рис, 56
нагревании керосина на At = 30 °С, если объем колбы
V = 2 л, высота ее h = 20 см, сечение трубки 5 = 2 см2? Коэффи-
Коэффициент объемного расширения керосина а = 10 3 К', его плотность
до нагревания р = 0,8 • 103 кг/м3. Тепловым расширением колбы
пренебречь.
§ 13. Количество теплоты.
Коэффициент полезного действия
Количеством теплоты называют энергию, переданную от одного тела
к другому без совершения работы.
При изменении температуры тела количество переданной теплоты
вычисляется по формуле
Q = cm(t2 - f 1) = cm At = cm AT, B)
где с - удельная теплоемкость вещества, t\ и t2 - начальная и конечная
температуры тела.
65

Превращение жидкости в пар происходит при постоянной температуре.
Количество теплоты, переданной при этом жидкости, вычисляется по
формуле
а, = Ал1,
где X — удельная теплота парообразования. При конденсации пара такое
же количество теплоты выделяется:
Плавление кристаллического тела также совершается при постоянной
температуре и требует передачи телу количества теплоты
?>,1Л = гт,
где г - удельная теплота плавления. При кристаллизации то же коли-
количество теплоты выделяется:
(?кР = -''т.
Если внутри системы, изолированной от окружающих тел, не совер-
совершается механической работы, то для нее справедливо уравнение тепло-
теплового баланса:
<2i + B2 + - + a, = o. C)
где Q\. О.ъ ¦¦¦< Qn — количества теплоты, полученные (положительные) или
отданные (отрицательные) телами системы. Эти количества теплоты
выражаются вышеприведенными формулами.
382. Латунный сосуд массы т = 0,2 кг содержит т{ = 0,4 кг
анилина при температуре ?, = 10 °С. В сосуд долили т2 = 0,4 кг
анилина, нагретого до температуры t2 = 31 °С. Найти удельную
теплоемкость са анилина, если в сосуде установилась температура
9 = 20 °С. Удельная теплоемкость латуни с - 0,4 кДж/(кг • К).
383. В сосуд объема V с теплонепроницаемыми стенками, запол-
заполненный газом с молярной массой [i при температуре Т и давлении р,
внесен медный шарик массы ты, имеющий температуру Ты. Какая
температура 9 установится в сосуде? Удельные теплоемкости газа
и меди равны с и си. Газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль • К).
384. В сосуде смешиваются три химически не взаимодействую-
взаимодействующие жидкости, имеющие массы тх = 1 кг, т2 = 10 кг, тъ - 5 кг,
температуры t, = 6 °С, t2 = -40 °С, ?3 = 60 °С и удельные теплоемко-
теплоемкости с, = 2 кДж/(кг ¦ К), с2 = 4 кДж/(кг ¦ К), с3 = 2 кДж/(кг • К). Найти
температуру 0 смеси и количество теплоты, необходимое для по-
последующего нагревания смеси до t = 6 °С.
66

385. В два одинаковых сосуда, содержащих воду (в одном масса
воды Ш\ = 0,1 кг при температуре Г, = 45 °С, в другом масса воды
т2 - 0,5 кг при температуре t2 = 24 °С), налили поровну ртуть.
После установления теплового равновесия в обоих сосудах оказа-
оказалось, что температура воды в них одна и та же и равна 0 = 17 °С.
Найти теплоемкость Сс сосудов. Удельная теплоемкость воды
с = 4,2 кДж/(кг ¦ К).
386. Для измерения температуры воды, имеющей массу т = 66 г.
в нее нагрузили термометр, который показал температуру
?! = 32,4 °С. Какова действительная температура 0 воды, если тепло-
теплоемкость термометра С, = 1,9 Дж/К и перед погружением в воду он
показывал температуру помещения г2 = 17,8 °С? Удельная тепло-
теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ¦ К).
387. В стеклянный сосуд, имеющий массу т,. = 120 г и темпе-
температуру tc = 20 °С, налили горячую воду, масса которой т = 200 г и
температура t = 100 °С. Спустя время т = 5 мин температура сосуда
с водой стала равной 0 = 40 °С. Теряемое в единицу времени коли-
количество теплоты постоянно. Какое количество теплоты теря-
терялось в единицу времени? Удельные теплоемкости сосуда и воды
сс = 840 Дж/(кг ¦ К) и с = 4,2 кДжДкг • К).
388. В сосуд, содержащий массу воды т = 2 кг при температуре
t = 5 °С, положен кусок льда массы тл = 5 кг, имеющий температу-
температуру tn = -40 °С. Найти температуру 0 и объем V смеси после установ-
установления теплового равновесия. Удельные теплоемкости воды и льда
с = 4,2 кДж/(кг • К) и с„ = 2,1 кДж/(кг ¦ К), их плотности при f0 = 0 °С
равны р = 103 кг/м3 и рл - 0,92 • 103 кг/м3. Удельная теплота плавле-
плавления льда г = 0,33 МДж/кг. Теплоемкостью сосуда и потерями тепла
пренебречь.
389. Ванну объема V - 100 л необходимо заполнить водой,
имеющей температуру 0 = 30 °С, используя воду с температурой
t = 80 °С и лед с температурой tn - -20 °С, Найти массу тя льда,
который придется положить в ванну. Удельные теплоемкости
воды и льда с = 4,2 кДж/(кг ¦ К) и сл - 2,1 кДж/(кг • К), плот-
плотность воды р = 103 кг/м3. Удельная теплота плавления льда
/• = 0,33 МДж/кг. Теплоемкостью ванны и потерями тепла пре-
пренебречь.
390. В сосуд, содержащий массу воды т — 10 кг при температуре
t = 10 °С, положили лед, имеющий температуру г„ = -50 °С, после
чего температура образовавшейся смеси оказалась равной
6 = -4 °С. Какая масса тя льда была положена в сосуд? Удель-
67

ная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К) и удельная теплоем-
теплоемкость льда с„ = 2,1 кДжДкг ¦ К). Удельная теплота плавления льда
/• = 0.33 МДж/кг.
391. Кусок свинца, имеющий массу т = 1 кг, расплавился
наполовину при сообщении ему количества теплоты Q = 54,5 кДж.
Какова была начальная температура Т свинца? Удель-
Удельная теплоемкость свинца с = 130 Дж/(кг ¦ К). Удельная тепло-
теплота плавления свинца г = 24 кДж/кг, его температура плавления
7,1Л = 600 К.
392. Тигель, содержащий некоторую массу олова, нагревается
электрическим током. Выделяемое в единицу времени количество
теплоты постоянно. За время т0 = 10 мин температура олова
повышается от tx = 20 °С до и = 70 °С. Спустя еще время т = 83 мин
олово полностью расплавилось. Найти удельную теплоемкость с
олова. Удельная теплота плавления олова г = 58,5 кДж/кг, его
температура плавления t,m = 232 °С. Теплоемкостью тигля и поте-
потерями тепла пренебречь.
393. В сосуд положили кусок льда массы тп = 10 кг, имеющий
температуру tn = -10°С. Найти массу т воды в сосуде после того,
как его содержимому сообщили количество теплоты Q = 20 МДж.
Удельные теплоемкости воды и льда с = 4,2 кДжДкг ¦ К) и
с„ = 2,1 кДжДкг • К). Удельная теплота плавления льда
/• = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды
л, = 2,3 МДж/кг.
394. В прямоугольную кювету длины а = 24 см и ширины Ъ =
— 20 см, содержащую воду при температуре / = 25 °С, налили
жидкий азот, взятый при температуре его кипения t.d = -196 °С.
После испарения азота вода охладилась до температуры г0 = 0 °С и
покрылась корочкой льда при той же температуре. Найти толщину
/? ледяной корочки, считая, что пар азота уходит от поверхности
льда, нагревшись до его температуры, а половина всего получен-
полученного паром количества теплоты отдано водой. Объем воды в
кювете был V = 1 л, масса азота т.л = 0,8 кг. Плотности воды и льда
р = 103 кг/м3 и рл = 0,92 • 103 кг/м3. Удельные теплоемкости газо-
газообразного азота и воды с.л = 1,05 кДж/(кг ¦ К) и с - 4,2 кДж/(кг ¦ К).
Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная
теплота парообразования азота X - 0,2 МДж/кг.
395. В сосуде содержится смесь воды массы т = 500 г и льда
массы т„ = 54,4 г при температуре to = O °C. В сосуд вводится сухой
насыщенный пар массы тп = 6,6 г при температуре t = 100 °С.
68

Какой будет температура 0 после установления теплового равно-
равновесия? Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная
теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота
парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
396. Под колоколом воздушного насоса находится вода массы
т = 40 г при температуре t0 = 0 °С. Воздух из-под колокола быстро
откачивают. Благодаря интенсивному испарению воды оставшаяся
часть ее замерзает. Найти массу тп образовавшегося льда, если его
температура также t{) = 0 °С. Удельная теплота плавления льда
г - 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования воды
X = 2,3 МДж/кг.
397. В сосуде, из которого откачивают воздух, находится неболь-
небольшая масса воды при температуре t0 = 0 °С. Благодаря интенсивному
испарению воды оставшаяся часть ее замерзает. Испарившаяся
вода имеет массу т = 2,71 г. Найти первоначальную массу воды М.
Удельная теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг, удельная тепло-
теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
398. Найти массу т воды, которая может быть превращена
в лед испарением эфира, имеющего массу т., = 0,1 кг и темпера-
температуру t = 20 °С. Начальная температура воды также t - 20 °С.
Удельные теплоемкости воды и эфира с - 4,2 кДж/(кг • К) и
c.j = 2,1 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда
г = 0,33 МДж/кг, удельная теплота парообразования эфира
X = 0,38 МДж/кг.
399. Вода может быть переохлаждена до температуры t = -10 °С.
Такое состояние воды неустойчиво, и при любом возмущении вода
превращается в лед с температурой /0 = 0 °С. Какова масса тп льда,
образовавшегося из переохлажденной воды, если масса ее т = 1 кг?
Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная тепло-
теплота плавления льда г = 0,33 МДж/кг.
400. Колба заполнена смесью воды и ртути, массы которых
ГП] = 0,5 кг и т2 = 1 кг. При сообщении содержимому колбы
количества теплоты Q = 90 кДж из колбы выливается часть
воды массы т = 3,5 г. Найти коэффициент объемного расши-
расширения ртути сс2- Удельные теплоемкости воды и ртути
С\ = 4,2 кДж/(кг • К) и с2 = 140 Дж/(кг • К), их плотности
р, = 103 кг/м3 и р2 = 13,6 • 103 кг/м3. Коэффициент объемного
расширения воды о^ = 1,5 • КУ4 К.
401. В сосуд с тающим льдом положили кусок латуни массы
т = 430 г. При этом часть льда массы тл = 200 г превратилась в
69

воду. Найти объем латуни V в момент погружения ее в сосуд.
Удельная теплоемкость латуни с = 0,4 кДж/(кг ¦ К), ее плотность
при ?о = 0 °С равна р0 = 8,6 • 103 кг/м3. Удельная теплота плавления
льда г = 0,33 МДж/кг. Коэффициент линейного расширения латуни
C = 2- 10-5К->.
402. В цилиндре двигателя внутреннего сгорания при работе
образуются газы, температура которых tt = 727 °С. Температура
отработанного газа t2 = 100 °С. Двигатель расходует в единицу вре-
времени массу тх = 36 кг/ч топлива. Какую максимальную полезную
мощность может развивать этот двигатель? Удельная теплота сго-
сгорания топлива q = 43 МДж/кг.
403. Во сколько раз максимально возможный КПД двигателя
внутреннего сгорания больше максимально возможного КПД па-
паровой машины, работающей на перегретом паре при температуре
г, = 300 °С, если температура газов в цилиндре двигателя достигает
t2 = 1000 °С? Отработанные газ и пар имеют одинаковые темпе-
температуры t = 100 °С.
404. Судно на подводных крыльях "Метеор" развивает мощность
N = 1500 кВт при КПД двигателя Г) = 30 %. Найти расход топлива
на единицу длины пути при скорости судна и = 72 км/ч. Удельная
теплота сгорания топлива q = 50 МДж/кг.
405. Реактивный самолет пролетает со скоростью и = 900 км/ч
путь s = 1800 км, затрачивая массу топлива т — 4 т. Мощность
двигателя самолета Л' = 5900 кВт, его КПД Г) = 23 %. Какова
удельная теплота сгорания q топлива, применяемого самолетом?
406. Какую массу керосина т потребовалось бы сжечь, чтобы
вывести спутник массы М = 103 кг на круговую орбиту вблизи
поверхности Земли, если бы все количество теплоты превраща-
превращалось в работу? Радиус Земли R = 6400 км. Удельная теплота сго-
сгорания керосина q - 46 МДж/кг.
407. Каков КПД Г) двигателя автомашины мощности Л' =
= 20 кВт, если при скорости и = 72 км/ч двигатель потребляет
объем V = 10 л бензина на пути s = 100 км? Удельная теплота
сгорания бензина q = 44 МДж/кг, его плотность р = 0,7 • 103 кг/м3.
408. В электрическом чайнике мощности /V = 800 Вт можно
вскипятить объем V = 1,5 л воды, имеющей температуру ?, =
= 20 °С, за время т = 20 мин. Найти КПД чайника. Удельная
теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К).
409. За время х = 1 ч в холодильнике превращается в лед при
температуре t{) = 0 °С масса воды т = 3,6 кг, имевшая начальную
70

температуру t = 20 °С. Какая мощность N потребляется холо-
холодильником от электросети, если он отдает в окружающее про-
пространство в единицу времени энергию Qx = 840 Дж/с? Удельная
теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавле-
плавления льда /¦ = 0,33 МДж/кг.
410. Поезд массы т = 2000 т при торможении с ускорением а =
= 0,3 м/с2 остановился спустя время т = 50 с после начала тормо-
торможения. Какое количество теплоты Q выделилось при тормо-
торможении?
411. С какой скоростью v должна вылететь из ружья свинцовая
дробинка при выстреле, сделанном вертикально вниз с высоты
h = 100 м, чтобы при ударе о неупругое тело дробинка расплави-
расплавилась? Начальная температура дробинки Т = 500 К, температура
плавления свинца Г11Л = 600 К. Удельная теплоемкость свинца
с = 0,13 кДжДкг • К), его удельная теплота плавления г = 25 кДж/кг.
Считать, что выделившееся количество теплоты распределилось
между дробинкой и телом поровну.
412. Брусок массы m равномерно поднимают за привязанную к
нему веревку на высоту h по доске, которая образует с горизонтом
угол а. Веревка параллельна доске. Коэффициент трения бруска о
доску равен к. Найти энергию W, которая идет на нагревание доски
и бруска.
413. Тело массы m = 1 кг соскальзывает с наклонной плоскости
длины / = 22 м, которая образует с горизонтом угол а = 30°. Ско-
Скорость тела у основания наклонной плоскости и = 4 м/с. Какое коли-
количество теплоты Q выделилось при трении тела о плоскость, если
начальная скорость тела v0 = 0?
414. Найти частоту вращения п вала паровой машины, если сред-
среднее давление пара р - 1 МПа и мощность машины N = 200 кВт.
За один оборот вала поршень делает один рабочий ход / = 0,5 м.
Площадь поршня S = 0,2 м2.
415. Пуля массы т, летящая со скоростью ии попадает в
деревянный куб массы М, лежащий на гладком столе, и проби-
пробивает его. Найти энергию W, превратившуюся в тепло, если
пуля прошла через центр куба и скорость ее после вылета стала
равной и2.
416. Найти количество теплоты Q, которое выделилось при
абсолютно неупругом соударении двух шаров, двигавшихся на-
навстречу друг другу. Массы первого и второго шаров тх - 0,4 кг и
т2 = 0,2 кг, их скорости i>i = 3 м/с и v2 =12 м/с.
71

§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
Состояние газа определяется его объемом V, давлением р и температу-
температурой t. Законы для идеальных газов выражаются более простыми форму-
формулами, если температура выражена в Кельвинах: Т/К = t/°C + 273,15. Если
масса газа постоянна, то состояние газа описывается следующими за-
законами.
Закон Б о й л я-М а р и о т т а. При постоянной температуре
(изотермический процесс, t = const)
P\Vx=p2V2=... =PoV'o,
или
pV = const. D)
Закон Гей-Люссака. При постоянном давлении (изобарный
процесс, р = const) объем газа при температуре t
V,= V0(l+at),
где Vo - объем газа при г0 = О °С и a = A/273) К - температурный
коэффициент объемного расширения, или
VIT = const. E)
Закон Шарля. При постоянном объеме (изохорный процесс,
V = const) давление газа при температуре /
где ро - давление газа при г0 = О °С и р" = a = A/273) К - температурный
коэффициент давления, или
рГГ = const. F)
Объединенный газовый закон. При небольших плотно-
плотностях газы подчиняются уравнению
P\V\IT\ =
или
pV/T = const. G)
Величины /Jo, T{) и Vo соответствуют "нормальному состоянию" газа,
т.е. состоянию при р{) = 101,325 кПа G60 мм рт. ст.) и То = 273 К. Зани-
Занимаемый газом объем пропорционален количеству газа v. Если количе-
количество газа v = 1 моль, то при нормальных условиях (давлении ра и темпе-
температуре Г()) согласно закону Авогадро любой газ занимает объем
VQil = 22,41 ¦ 10~3 м3/моль. Следовательно,
Величина R одна и та же для всех газов: R = 8,31 ДжДмоль • К) - и носит
название газовой постоянной.
72

Таким образом, объединенный газовый закон для v = 1 моль можно
представить в виде
pVy, = RT. (8)
Это соотношение называется уравнением Клапейрона-Менделеева.
Уравнение состояния идеального газа. Для про-
произвольного количеста газа v объем при тех же условиях увеличивается
в v раз. Следовательно, во столько же раз увеличивается и правая часть
уравнения (8), т.е.
pV = vRT = — RT, (9)
М
где v = ml\i, m - масса газа ид- его молярная масса. Выражение (9) носит
название уравнения состояния идеального газа. Оно определяет связь
между параметрами, характеризующими состояние газа. Для неизменного
количества газа v постоянство одного из параметров приводит к зави-
зависимости между двумя оставшимися, т.е. к уравнению соответствующего
газового закона. Так, при Т= const получается закон Бойля-Мариотта D).
при р = const - закон Гей-Люссака E) и при V = const - закон Шарля F).
Закон Дальтона (закон парциальных давлений). Давление,
которое оказывал бы газ, входящий в состав смеси, если бы он был один
в этом сосуде, называется парциальным. Согласно закону Дальтона
давление смеси газов равно сумме их парциальных давлений. С точки
зрения молекулярной физики, согласно которой давление объясняется
ударами молекул о стенки сосуда, закон Дальтона означает, что действия
на стенки сосуда молекул каждого из газов складываются. В частности,
закон Дальтона применим и при добавлении в сосуд, в котором уже
находится газ под давлением р, некоторого количества этого же газа. В
этом случае парциальное давление добавленного газа можно рас-
рассчитывать так. как если бы сосуд был пустой. Окончательное же давле-
давление будет складываться из этого парциального давления и давления газа
р в сосуде.
Уравнения D)—(9) описывают только такие состояния, для которых во
всех точках объема, занимаемого газом, температуры и давления одина-
одинаковы, т.е. состояния, когда газ находится в тепловом равновесии. При
непрерывном изменении р, V и Т уравнения D)-(9) применимы ко всей
последовательности состояний только при бесконечно медленных про-
процессах, когда неравномерности в распределении температуры и давления
бесконечно малы. Если процессы идут не бесконечно медленно, рас-
рассмотренные уравнения как уравнения процессов не имеют смысла, но
остаются справедливыми как уравнения состояния для моментов времени,
когда газ оказывается в состоянии теплового равновесия.
417. Представить на графиках, в координатах р, V; р, Т и V, Т
изотермический процесс для одного моля газа при температурах
73

418. При нормальных условиях газ занимает объем Vo = 1 м3.
Какой объем V будет занимать этот газ при изотермическом сжа-
сжатии до давления р = 4,9 МПа? Нормальное атмосферное давле-
давление р{) = 0,1 МПа.
419. Газ сжат изотермически от объема V, = 8 л до объема
V2 = 6 л. Давление при этом возросло на Ар = 4 кПа. Каким было
первоначальное давление /?,?
^^ 420. Каково давление газа в цилиндре под
F поршнем, если поршень удерживается в
равновесии при помощи стержня, вдоль ко-
которого действует сила F - 9,8 Н (рис. 57)?
Рис. 57 Площадь поршня 5 = 7 см2, стержень состав-
составляет с нормалью к поршню угол а = 30°.
Атмосферное давление р{) = 0,1 МПа. Трением пренебречь.
421. В баллоне объема V = 10 л находится кислород, масса ко-
которого т = 12,8 г. Давление в баллоне измеряется U-образным
манометром, заполненным водой. Какова разность уровней Ah
воды в трубках манометра при температуре газа t - 27 °С? Атмо-
Атмосферное давление р{) = 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3,
молярная масса кислорода [i = 0,032 кг/моль.
422. В цилиндре под поршнем массы т = 6 кг нахо-
находится воздух. Поршень имеет форму, показанную на
рис. 58. Площадь сечения цилиндра So = 20 см2. Атмо-
Атмосферное давление р{) = 0,1 МПа. Найти массу груза М,
который надо положить на поршень, чтобы объем
воздуха в цилиндре изотермически сжать в два раза.
Трением пренебречь.
Рис. 58 423. Один конец цилиндрической трубки длины / =
= 25 см и радиуса г = 1 см закрыт пробкой, а в другой
вставлен поршень, который медленно вдвигают в трубку. Когда
поршень подвинется на расстояние А/ = 8 см, пробка вылетает.
Считая температуру неизменной, найти силу трения F пробки о
стенки трубки в момент вылета пробки. Атмосферное давление
р„ = 0,1МПа.
424. Узкая цилиндрическая трубка длины L, закрытая с одного
конца, содержит воздух, отделенный от наружного столбиком рту-
ртути длины h. Трубка расположена открытым концом вверх. Какова
была длина / столбика воздуха в трубке, если при перевертывании
трубки открытым концом вниз из трубки вылилась половина
ртути? Плотность ртути равна р. Атмосферное давление равно р0.
74

425. Посередине откачанной и запаянной с обоих концов гори-
горизонтально расположенной трубки длины L = 1 м находится столбик
ртути длины h = 20 см. Если трубку поставить вертикально, стол-
столбик ртути сместится на расстояние / = 10 см. До какого давления р
была откачана трубка? Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3.
426. Запаянную с одного конца трубку длины L = 76 см по-
погружают в вертикальном положении открытым концом в сосуд
с ртутью. На каком расстоянии / от поверхности должен нахо-
находиться запаянный конец трубки, чтобы уровень ртути в ней был
ниже уровня ртути в сосуде на величину h = 76 см? Плотность
ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
427. Открытую с обоих концов трубку длины L = 2 м погружают
в вертикальном положении на половину ее длины в сосуд с ртутью.
В трубку вдвигают поршень. На каком расстоянии / от поверхно-
поверхности ртути в сосуде должен находиться поршень, чтобы уровень
ртути в трубке опустился на величину h = 1 м? Плотность ртути
р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р() = 0,1 МПа.
428. К дну цилиндра длины /, с площадью поперечного сече-
сечения S\ приделана трубка длины /2 с площадью поперечного сече-
сечения S2- Трубка целиком погружена в ртуть (рис. 59).
На какую величину h опустится ртуть в трубке, если
выдвинуть поршень до самого дна цилиндра? При
какой минимальной площади поперечного сечения ' /
цилиндра 5, из трубки будет вытеснена вся ртуть?
Плотность ртути равна р. Атмосферное давление
равно р().
429. В сосуд с ртутью погружена в вертикальном
положении трубка с поршнем, открытая с нижнего
конца. Если поршень находится на расстоянии Рис. 59
/0 = 1 см от поверхности ртути в сосуде, то уровни
ртути в сосуде и трубке одинаковы. Найти давление воздуха р в
трубке после подъема поршня над уровнем ртути в сосуде до
высоты / = 75 см. Плотность ртути р = 13,6 ¦ 103 кг/м3. Атмосфер-
Атмосферное давление р0 = ОД МПа.
430. Для измерения глубины погружения в море различных при-
приборов применяется запаянная с одного конца стеклянная трубка
длины /() = 1 м, которая погружается в воду вместе с приборами в
вертикальном положении открытым концом вниз. Максимальная
глубина погружения Н вычисляется по минимальной высоте /
сжатого воздуха в трубке. Для определения высоты / внутренние
75

стенки трубки покрываются легкорастворимой в воде краской.
Та часть трубки, куда не проникла вода, остается окрашенной.
На какую глубину Н была опущена трубка, если оказалось, что
/ = 0,2 м? Плотность воды р = 103 кг/м3. Атмосферное давление
Ро = 0,1 МПа. Температуру воздуха в трубке считать постоянной.
431. Пузырек воздуха поднимается со дна водоема, имеющего
глубину Н. Найти зависимость радиуса пузырька г от глубины h
его местонахождения в данный момент времени, если его объем на
дне водоема равен V. Силы поверхностного натяжения не учи-
учитывать.
432. Тонкий резиновый шар радиуса /•) = 2 см заполнен воздухом
при температуре /, = 20 °С и давлении р0 = 0,1 МПа. Каков будет
радиус шара г2, если его опустить в воду с температурой t2 = 4 °С на
глубину h = 20 м?
433. Из затонувших подводных лодок иногда спасались, откры-
открывая сначала нижние клапаны (кингстоны), а затем верхний люк, и с
пузырем воздуха выскакивали на поверхность. Какая доля к
объема лодки не заливалась водой после открытия кингстонов,
если лодка находилась на глубине h = 42 м? Плотность морской
воды р = 1,03 • 103 кг/м3. Начальное давление воздуха в лодке
А, = 0,1 МПа.
434. Оболочку аэростата, объем которой V, = 600 м\ заполняют
при атмосферном давлении р() = 0,1 МПа гелием, имеющим объем
V2 = 500 м3. На какой высоте над уровнем Земли газ целиком
заполнит оболочку аэростата? Атмосферное давление убывает
вблизи Земли на Л/?(, = 133 Па при подъеме на каждые АН = 11 м
высоты. Температуру считать постоянной.
435. Два одинаковых сообщающихся сосуда с поршнями частич-
частично заполнены жидкостью с плотностью р. Рас-
Расстояния поршней от поверхностей жидкости
одинаковы и равны Н (рис. 60). Один из порш-
поршней закреплен, а второй поднимают на высоту /?.
При какой высоте h разность уровней жидкости
в сосудах будет равна HI Начальное давление
воздуха в каждом из сосудов равно р.
436. Ртуть, налитая в U-образную трубку, не
доходит до ее концов на расстояние h = 20 см.
Одно колено трубки запаяно (рис. 61). Найти понижение h2 уровня
ртути в открытом колене, если при выпускании части ртути
через кран ее уровень в запаянном колене понизился на hx = 18 см.
76
р
н
- — — _
р
— —

Рис.61
Плотность ртути р = 13,6 • 103 кг/м3. Атмосферное давление р{) =
= 0,1 МПа.
437. Найти объем и засасывающей камеры
поршневого насоса, если при откачивании этим
насосом воздуха из баллона объема V = 4 л давление
уменьшается при каждом цикле в п = 1,2 раза.
438. Насос имеет объем засасывающей камеры и.
За сколько циклов работы насоса можно откачать
баллон объема V, снизив давление в нем со значе-
значения р до р,р. Температуру считать постоянной.
439. Компрессор, обеспечивающий работу отбой-
отбойных молотков, засасывает из атмосферы в единицу
времени объем воздуха Vx = 100 л/с. Сколько отбой-
отбойных молотков может работать от этого компрессора, если каж-
каждый молоток расходует в единицу времени объем воздуха vx =
= 100 см3/с при давлении р = 5 МПа? Атмосферное давление р() =
= 0,1 МПа.
440. До какого давления накачан футбольный мяч объема V =
= 3 л за п = 40 качаний поршневого насоса? При каждом качании
насос захватывает из атмосферы объем воздуха v = 150 см3.
Атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
441. Камеры автомобильных шин накачиваются при помощи
насоса, работающего от двигателя. Сколько времени требуется для
того, чтобы камеру объема V = 6 л накачать до давления р =
= 0,5 МПа, если при каждом цикле насос захватывает из атмосфе-
атмосферы цилиндрический столб воздуха высоты h = 10 см и диаметра
d = 10 см и если время одного качания т = 1,5 с? Начальное
давление в камере р{) = 0,1 МПа.
442. Два сосуда, наполненных воздухом при давлениях
рх = 0,8 МПа и р2 = 0,6 МПа, имеют объемы V, = 3 л и V2 = 5 л.
Сосуды соединяют трубкой, объемом которой можно пренебречь
по сравнению с объемами сосудов. Найти установившееся давление
р в сосудах. Температуру считать постоянной.
443. Два сосуда с объемами У\ - 40 л и V2 = 20 л содержат газ при
одинаковых температурах, но разных давлениях. После соединения
сосудов в них установилось давление р = 1 МПа. Каково было на-
начальное давление рх в большем сосуде, если начальное давление в
меньшем сосуде р2 = 0,6 МПа? Температуру считать постоянной.
444. Три сосуда с одинаковыми объемами сообщаются между
собой кранами. Первый сосуд содержит газ массы т\, третий - тот
77

же газ массы т2, во втором сосуде - вакуум. Сначала соединили
второй и третий сосуды, а когда давление выровнялось, второй
сосуд отсоединили от третьего и соединили с первым. Давление в
первом и втором сосудах установилось равным р. Найти начальное
давление рх в первом сосуде. Температуру считать постоянной.
445. Представить на графиках в координатах р,V;p,TuV,T изо-
изобарный процесс для одного моля газа при давлениях р = рх и р = Ърх.
446. При нагревании газа на AT = 1 К при постоянном давлении
объем его увеличился в два раза. В каком интервале температур
происходило нагревание?
447. Газ нагревают от температуры f, = 27 °С до температуры
t2 = 39 °С при постоянном давлении. На сколько процентов увели-
увеличился его объем?
448. Два сосуда с одинаковыми объемами V соединены тонкой
капиллярной трубкой, объемом которой можно пренебречь по
сравнению с объемами сосудов. В середине капилляра находится
капля ртути. Найти зависимость между относительным измене-
изменением температуры АТ/Т и смещением капли А/, если начальная
температура газа в обоих сосудах была равна Т и нагревается толь-
только один сосуд. Площадь капилляра равна S.
449. Полый шарик объема V = 100 см3 снабжен длинной трубкой
с делениями. Объем трубки между соседними делениями AV =
= 0,2 см3. В шарике и части трубки находится воздух, который от-
отделен от наружного воздуха каплей ртути. При температуре t = 5 °С
капля ртути стоит у деления п = 20. В каких пределах можно изме-
измерять температуру таким термометром, если трубка имеет N = 100
делений? Тепловым расширением шарика и трубки пренебречь.
450. Закрытый цилиндр, расположенный горизонтально, разде-
разделен на две части подвижным поршнем. Одна часть цилиндра запол-
заполнена некоторым количеством газа при температуре t\ = -73 °С,
другая - таким же количеством газа при температуре t2 = 27 °С.
Поршень находится в равновесии. Найти объемы V, и V2, зани-
занимаемые газом в двух частях цилиндра, если общий объем газа
V = 500 см3.
451. Цилиндрический сосуд, расположенный горизонтально,
заполнен газом при температуре t = 27 °С и давлении р = 0,1 МПа
и разделен на две равные части подвижной перегородкой. Каково
будет давление р', если в одной части газ нагреть до темпера-
температуры t' = 57 °С, а в другой - температуру газа оставить без из-
изменения?
78

452. Цилиндр разделен на две части подвижным поршнем,
имеющим массу т и площадь сечения S. При горизонтальном
положении цилиндра давление газа в сосуде по обе стороны
поршня одинаково и равно р. Найти давление р' газа над поршнем,
когда цилиндр расположен вертикально. Температуру считать по-
постоянной.
453. В трубке длины L = 1,73 м, заполненной газом, находится
столбик ртути длины И = 30 мм. Когда трубка расположена верти-
вертикально, ртуть делит трубку на две равные части. Давление газа над
ртутью р = 8 кПа. На какое расстояние / сдвинется ртуть, если
трубку положить горизонтально? Плотность ртути равна р.
454. В объеме К = 4 л находится масса т - 0,012 кг газа при
температуре Т = 450 К. При какой температуре Т плотность этого
газа р' = 6 кг/м3? Давление считать постоянным.
455. Открытую стеклянную колбу, имеющую форму шара
радиуса г = 2 см, с горлышком длины / = 10 см и диаметра
d = 1 см нагрели до некоторой температуры tx, а затем погрузили
целиком в воду горлышком вниз. При охлаждении колбы вода
вошла в горлышко. Когда колба приняла температуру воды
/2 = 13 °С, ее приподняли из воды, не переворачивая, так что шаро-
шарообразная часть оказалась над водой, а горлышко - частично погру-
погруженным в воду. Когда уровни воды в горлышке и снаружи вы-
выровнялись, под водой осталась половина горлышка. Какова темпе-
температура ?ь до которой была нагрета колба? Тепловым расширением
колбы пренебречь.
456. Воздух в открытом сосуде нагревают от температуры
?, = 10 °С до температуры t2 = 600 °С. Затем, герметически закрыв
сосуд, охлаждают воздух в нем до первоначальной температуры t\.
Найти плотность воздуха в сосуде при температуре t2 и после
охлаждения. Плотность воздуха при нормальных условиях р0 =
= 1,3 кг/м3. Тепловым расширением сосуда пренебречь.
457. Цилиндр с тяжелым поршнем, расположенный вертикаль-
вертикально, заполнен кислородом, масса которого m = 10 г. После увеличе-
увеличения температуры на AT = 50 К поршень поднялся на высоту
h-1 см. Найти массу поршня М, если давление газа над поршнем
р0 = 0,1 МПа. Площадь поршня S = 100 см2. Молярная масса кисло-
кислорода |Х = 0,032 кг/моль.
458. В запаянной цилиндрической трубке, расположенной гори-
горизонтально, находится воздух при нормальных условиях. Трубка раз-
разделена подвижным поршнем на две части, отношение объемов
79

которых V\/V2 = 1/2. До какой температуры t{ следует нагреть
меньшую часть трубки и до какой температуры t2 охладить боль-
большую часть трубки, чтобы поршень делил трубку на две равные
части? Нагревание и охлаждение обеих частей производится при
У IT = const.
459. Посередине закрытой с обоих концов трубки длины L = 1 м,
расположенной горизонтально, находится в равновесии подвижная
перегородка. Слева от нее температура газа /, = 100 °С, справа -
t2 = 0°С. На каком расстоянии / от левого конца трубки установится
перегородка, если температура всего газа станет равной t2 = 0 °С?
460. Открытую пробирку с воздухом при давлении /?, медленно
нагрели до температуры tx, затем герметически закрыли и
охладили до температуры t2 = 10 °С. Давление при этом упало до
р2 = 0,7 р\. До какой температуры tx была нагрета пробирка?
Тепловым расширением пробирки пренебречь.
461. В цилиндре под поршнем находится воздух при давлении
/>i = 0,2 МПа и температуре ^ = 27 °С. Какой массы груз т нужно
положить на поршень после нагревания воздуха до температуры
?2 = 50 °С, чтобы объем воздуха в цилиндре был равен первона-
первоначальному? Площадь поршня S - 30 см2.
462. Манометр на баллоне с газом в помещении с температурой
Г] = 17 °С показывает давление р = 240 кПа. На улице показание
манометра уменьшилось на Ар = 40 кПа. Найти температуру воз-
воздуха на улице, если атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
v 463. При изготовлении электроламп их на-
наполняют инертным газом при температуре
t\ = 150 °С. Под каким давлением должны на-
наполняться лампы, чтобы при температуре
t2 = 300 °С, которая устанавливается в лампе при
горении, давление не превышало ра = 0,1 МПа.
464. Доказать, пользуясь законами идеаль-
О Т ных газов, равенство температурных коэф-
коэффициентов объемного расширения а и дав-
лениия C.
465. На рис. 62 дан график изменения состояния идеального газа
в координатах V, Т. Представить этот процесс на графиках в коор-
координатах р, Vяр, Т.
466. Газ последовательно переводится из состояния 1 с темпера-
температурой Т] в состояние 2 с температурой Т2, а затем в состояние 3 с
температурой Т} и возвращается в состояние 1. Найти температуру
80

7*3, если процессы изменения состояния происходили так, как это
показано на рис. 63, а температуры Г, и Т2 известны.
467. Газ, занимающий при температуре Г, = р
= 400 К и давлении/7] =0,1 МПа объем V) = 2 л,
изотермически сжимают до объема V2 и давле-
давления р2, затем изобарно охлаждают до температу-
температуры Гз = 200 К, после чего изотермически изменяют
объем до V4 = 1 л- Найти конечное давление р4.
468. Решить предыдущую задачу графически,
построив графики в координатах р, V; р,Тп V, Т. ° v
469. Вычислить газовую постоянную R, кото- рис бз
рая входит в уравнение pV^ = RT, описывающее
состояние одного моля газа.
470. Найти массу m водорода, находящегося в баллоне объема
V = 20 л под давлением р = 830 кПа при температуре t = 17 °С.
Молярная масса водорода и. = 0,002 кг/моль.
471. Некоторый газ массы ni] = 7 г при температуре tx = 27 °С
создает в баллоне давление/?] = 50 кПа. Водород массы т2 = 4г при
температуре t2 = 60 °С создает в том же баллоне давление р2 =
= 444 кПа. Какова молярная масса и., неизвестного газа? Молярная
масса водорода и,2 = 0,002 кг/моль.
472. Открытый сосуд содержит воздух при температуре t\ = 27 °С.
Какая часть массы воздуха останется в нем при нагревании до тем-
температуры t2 = 450 °С? Тепловым расширением сосуда пренебречь.
473. Из баллона со сжатым кислородом израсходовали столько
кислорода, что его давление упало со значения рх - 9,8 МПа до
р2 = 7,84 МПа. Какая часть массы кислорода израсходована?
474. В баллоне объема V = 0,2 м3 находится гелий при давлении
Р\ =0,1 МПа и температуре г, = 17 °С. Массу гелия в баллоне
увеличили, при этом его давление повысилось до р2 = 0,3 МПа, а
температура - до t2 = 47 °С. На сколько увеличилась масса гелия?
Молярная масса гелия и. = 0,004 кг/моль.
475. Газ массы m = 16 г при давлении р = 1 МПа и температуре
t = 112 °С занимает объем V = 1600 см3. Определить, какой это газ.
476. Найти плотность азота при температуре t = 27 °С и давлении
р = 0,1 МПа. Молярная масса азота |Х = 0,028 кг/моль.
477. Высота пика Ленина на Памире Н = 7134 м. Атмосфер-
Атмосферное давление на этой высоте р = 38 кПа. Найти плотность воз-
воздуха на вершине пика при t0 = 0 °С. Молярная масса воздуха
|Х = 0,029 кг/моль.
81

478. При каком давлении р плотность газообразного азота при
температуре t = -73 °С составляет 0,4 плотности воды при ком-
комнатной температуре р() = 103 кг/м3?
479. Под каким давлением р} нужно наполнить воздухом баллон
объема V, = 10 л, чтобы при соединении его с баллоном объема
V2 = 30 л, содержащим воздух при давлении р2 = 0,1 МПа, устано-
установилось общее давление р = 0,2 МПа?
480. Два сосуда одинакового объема содержат воздух; один - при
температуре Г, и давлении ри другой - при температуре Т2 и давле-
давлении р2. Сосуды соединены, и после выравнивания давлений и тем-
температур воздух нагрет до температуры Т. Какое давление уста-
установится после нагревания?
481. Закрытый с обоих концов цилиндр, расположенный гори-
горизонтально, наполнен газом при давлении р = 100 кПа и темпе-
температуре t = 30 °С и разделен подвижным поршнем на две равные
части длины L = 50 см. На какую величину AT нужно повысить
температуру газа в одной части цилиндра, чтобы поршень сместил-
сместился на расстояние I = 20 см? Во второй части цилиндра температура
не изменяется. Найти давление газа р' после смещения поршня.
482. Длинная пробирка открытым концом погружена в сосуд с
ртутью. При температуре t{ = 47 °С уровни ртути в пробирке и в
сосуде совпадают. Над уровнем ртути остается часть пробирки
длины L = 76 см. На какую высоту / поднимется ртуть в пробирке,
если ее охладить до температуры t2 = -33 °С? Атмосферное давле-
давление ро = 0,1 МПа.
483. Сосуд объема V = 100 л разделен на две равные части
полупроницаемой перегородкой. В одной части сосуда находится
т, =2 г водорода, во второй - v2 = 1 моль азота. Найти давление,
установившееся по обе стороны перегородки, если она может про-
пропускать только водород. Температура в обеих половинах сосуда
одна и та же: t = 127 °С и постоянна. Молярная масса водорода
и., = 0,002 кг/моль.
484. Внутри закрытого цилиндра, расположенного горизон-
горизонтально, имеется тонкий теплонепроницаемый поршень. В одной
части цилиндра находится кислород при температуре t\ = 127 °С,
в другой - водород при температуре t2 = 27 °С. Массы обоих газов
одинаковы. На каком расстоянии / от торца цилиндра в части,
в которой находится водород, расположен поршень? Длина
цилиндра L = 65 см. Молярные массы кислорода и водорода
и.1 = 0,032 кг/моль и |х2 = 0,002 кг/моль.
82

485. Сосуд с газом разделен подвижной перегородкой на две
части, отношение объемов которых У} /V2 = 2/3. Температуры газа
в меньшем и большем объемах tx = 111 °С и t2 = 267 °С, давления в
них одинаковы и равны р. Каково будет отношение объемов, если
температуры сравняются? Теплообмен возможен только через пе-
перегородку.
486. Цилиндр длины L = 85 см разделен на две части подвижным
поршнем. Одна часть цилиндра заполнена кислородом, а другая -
водородом. При каком положении поршня давления в обеих частях
цилиндра будут одинаковы? Температуры и массы газов в обеих
частях цилиндра одинаковы. Молярные массы кислорода и водо-
водорода II, = 0,032 кг/моль и |12 = 0,002 кг/моль.
487. В условиях предыдущей задачи найти, при каких темпе-
температурах кислорода Г] и водорода Т2 поршень будет делить цилиндр
на равные части.
488. Найти температуру Т азота массы m = 2 г, занимающего
объем V = 830 см3 при давлении р - 0,2 МПа.
489. Шар заполнен газом при давлении р, = 0,105 МПа и темпе-
температуре г, = 27 °С. После подъема шара на высоту, где давление газа
р0 = 0,08 МПа, объем шара увеличился на п = 5% и давление в нем
стало отличаться от атмосферного на Ар = 5 кПа. Найти темпе-
температуру t2 воздуха на этой высоте, предполагая, что газ в шаре при-
принял эту температуру.
490. Сколько баллонов водорода, имеющих объем v - 50 л каж-
каждый, при температуре t = 27 °С и давлении р = 4 МПа потребуется
для заполнения аэростата объема V = 1000 м3, если при темпера-
температуре f = 7 °С давление в нем должно быть р' = 0,1 МПа?
491. В каждую из четырех шин автомобиля накачан
объем Vx = 200 л воздуха при температуре tx = 17 °С. Объем шины
V2 = 54,6 л, площадь сцепления шины с грунтом при температуре
t2 = 0 °С S = 290 см2. Найти массу m автомобиля. Атмосферное
давление р0 = 0,1 МПа.
492. Баллон объема V, = 40 л содержит сжатый воздух при
давлении р, = 15 МПа и температуре tx = 27 °С. Какой объем V во-
воды можно вытеснить из цистерны подводной лодки воздухом этого
баллона, если лодка находится на глубине h = 20 м, где температура
t2 = 7 °С? Плотность воды р = 103 кг/м3. Атмосферное давление
А) = 0,1 МПа.
493. Два невесомых поршня, соединенных нитью, вставлены
в открытую с двух сторон трубку, имеющую площадь сечения
83

S = 10 см2, и могут перемещаться без трения. Давления и темпе-
температуры между поршнями и снаружи одинаковы и равны
Ро = О,1 МПа и t = 27 °С. До какой температуры t' нужно нагреть
воздух между поршнями, чтобы нить, соединяющая поршни,
порвалась? Нить выдерживает силу натяжения F = 30 Н.
V, 5,
S2 V2
2А/34ДЛ
Рис. 64
а о
Рис. 65
494. В двух горизонтально расположенных цилиндрах с закре-
закрепленными поршнями находится воздух при давлении р0 и темпе-
температуре То (рис. 64). Объемы воздуха в цилиндрах равны V\ и V2,
площади сечений поршней равны S, и S2- Наружное давление равно
нулю. Между поршнями вставляют стержень и освобождают
поршни от закрепления, а затем воздух в первом цилиндре нагре-
нагревают до температуры Т. Найти силу F, сжимающую стержень в
установившемся состоянии.
495. Шар с нерастяжимой оболочкой массы М - 11,6 г напол-
наполнен водородом, занимающим объем V = 10 л. Температура водо-
водорода и окружающего шар воздуха ?0 = 0 °С. Найти давление р во-
водорода в шаре, если результирующая подъемная сила шара
равна нулю, т.е. шар парит в воздухе. Атмосферное давле-
давление ро = О,1 МПа. Молярные массы водорода и воздуха
II, = 0,002 кг/моль и [12 = 0,029 кг/моль.
496. Воздух в стакане высоты Н = 10 см с площадью дна S =
= 25 см2 нагрет до температуры г, = 87 °С. Стакан погружен вверх
дном в воду так, что его дно находится на уровне поверхности
воды. Какой объем воды войдет в стакан, когда воздух в стакане
примет температуру водыГ2 = 17 °С? Атмосферное давление р0 =
= 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3.
497. Стакан высоты h = 9 см, наполненный на 2/3 водой, плавает
в воде так, что его края находятся на уровне ее поверхности
(рис. 65а). Этот же стакан с воздухом, нагретым до температуры
tx = 87 °С, погружают в воду вверх дном (рис. 655). На какую
84

глубину Н нужно погрузить стакан, чтобы он, приняв температуру
воды г2 = 27 °С, не всплывал и не тонул? Атмосферное давление
рп = 0,1 МПа. Плотность воды р = 103 кг/м3.
§ 15. Элементы молекулярной физики
Все тела состоят из отдельных мельчайших частиц: молекул, атомов,
элементарных частиц. Частицы хаотически движутся и взаимодействуют
друг с другом. Молекулы или другие структурные элементы (атомы,
ионы, электроны) настолько малы, что в любом макроскопическом теле
их число огромно. Их число, отнесенное к одному молю, называется
постоянной Авогадро:
/44 = 6,02- I О23 моль-1.
Молярной массой называют массу вещества, взятого в количестве
одного моля:
ц = m()NA,
где Шо = mIN = m/NAv - масса одной молекулы.
Хаотическое тепловое движение молекул газа приводит к их упругим
соударениям со стенками сосуда, в котором газ находится. Громадное
число таких соударений создает давление газа, которое, таким образом,
пропорционально средней кинетической энергии поступательного движе-
движения его молекул.
498. Найти массы молекул водорода и кислорода.
499. Число молекул в единице объема неизвестного газа при
нормальных условиях л0 = 2,7 • 1025 м~3. Этот же газ при тем-
температуре ? = 91°С и давлении р = 800 кПа имеет плотность
р = 5,4 кг/м3. Найти массу т молекулы этого газа.
500. Найти число молекул п0 в единице объема газа при нормаль-
нормальных условиях. Постоянная Авогадро NA = 6,02 • 1023 моль-1.
501. В цилиндре под поршнем находится газ при нормаль-
нормальных условиях. Сначала объем газа увеличили в к = 10 раз, затем
газ нагрели при постоянном давлении до температуры t = 127 °С.
Найти число молекул п в единице объема газа в конечном
состоянии.
502. Ампула объема V = 1 см3, содержащая воздух при нормаль-
нормальных условиях, оставлена в космосе, где давление можно счи-
считать равным нулю. В ампуле пробито отверстие. Через какое
время х давление в ампуле станет равным нулю, если считать, что
через отверстие в единицу времени вылетает пх = 108 с-1 молекул
воздуха?
85

503. Шар радиуса /•, содержащий газ при температуре Т, нахо-
находится в вакууме. Через отверстие в стенке шара часть газа выте-
вытекает. Каким окажется давление р2 газа в шаре, после того как
вылетит п молекул газа, если начальное давление газа внутри шара
было р{1 При нормальных условиях в единице объема газа содер-
содержится число молекул я().
504. Диаметр молекулы азота d = 0,3 нм. Считая, что молекулы
имеют сферическую форму, найти, какая часть объема, занимае-
занимаемого газом, приходится на объем самих молекул при нормаль-
нормальных условиях (То = 273 К, р0 = 0,1 МПа), а также при давлении
р = 500 р{). Считать, что при этих давлениях газ не отличается от
идеального.
505. На стенку площади S налетает поток молекул, имеющих
среднюю скорость v. Число молекул, движущихся по направлению
к стенке, в единице объема равно па. Масса каждой молекулы
равна т. Найти действующие на стенку силу и давление, если мо-
молекулы движутся перпендикулярно к стенке и удары молекул о
стенку абсолютно упругие.
506. Сосуд в форме кубика содержит v = 10~3 моль идеального
газа. К каждой из шести граней кубика перпендикулярно к граням
в любой момент времени движется одинаковое число молекул.
Масса каждой молекулы т = 3 ¦ 10~26 кг, средняя скорость тепло-
теплового движения молекул v = 500 м/с. Найти давление р газа. Считать
удары молекул о стенку сосуда абсолютно упругими.
507. В сосуде находится газ при давлении р = 0,15 МПа и
температуре t = 273 °С. Какое число п молекул находится при этих
условиях в единице объема сосуда?
508. Какова температура Т газа, находящегося под давлением
р = 0,5 МПа, если в сосуде объема V = 15 л содержится п = 1,8 ¦ 1024
молекул?
509. В сосуде объема V = 1 л при температуре t = 183 °С нахо-
находится п = 1,62 • 1022 молекул газа. Каково будет давление р газа,
если объем сосуда изотермически увеличить в к = 5 раз? Число
молекул газа в единице объема сосуда при нормальных условиях
щ = 2,7 ¦ 1025 м-3.
510. Современные вакуумные насосы позволяют понижать дав-
давление до р ~10~И) Па. Какое число молекул газа п содержится в
единице объема при этом давлении и температуре t = 48 °С?
511. Некоторая масса водорода находится при температуре
Г,'= 200 К и давлении рх = 0,4 кПа. Газ нагревают до температуры
86

T2 — 10 000 К, при которой молекулы водорода практически пол-
полностью распадаются на атомы. Найти давление р2 газа, если его
объем и масса остались без изменения.
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость
Энергия Q, сообщаемая телу в виде теплоты, идет на изменение AU
внутренней энергии этого тела и на совершение этим телом работы А над
окружающими его телами. Согласно закону сохранения энергии.
Q = AU + A. A0)
Внутренняя энергия тела складывается из кинетической энергии его
молекул, зависящей от средней скорости их теплового хаотического
движения, и потенциальной энергии взаимодействия молекул между
собой, зависящей от взаимного расположения молекул. Потенциальная
энергия взаимодействия молекул идеального газа равна нулю. Полная же
кинетическая энергия молекул газа пропорциональна (при постоянном
объеме) давлению газа на стенку сосуда (см. задачи 505 и 506). С другой
стороны, в этом случае по закону Шарля давление пропорционально
температуре. Таким образом, внутренняя энергия идеального газа про-
пропорциональна его температуре.
Работа, совершаемая газом при расширении от объема Vx до V2> если
давление р остается постоянным, определяется выражением
A=p(V2-V,). A1)
Согласно закону сохранения энергии A0) для увеличения внутренней
энергии газа на одну и ту же величину, а следовательно, и для повышения
на одну и ту же величину температуры газа требуется сообщить ему
различное количество теплоты в зависимости от работы, совершаемой
при этом газом. Поэтому, в частности, теплоемкость газа при постоянном
объеме Су, когда процесс нагревания не сопровождается совершением
работы, оказывается меньше, чем теплоемкость его при постоянном
давлении Ср, когда газ, согласно формуле A), совершает работу.
512. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится
кислород массы m = 2 кг. Для повышения температуры кислорода
на AT = 5 К ему было сообщено количество теплоты 2 = 9160 Дж.
Найти удельную теплоемкость кислорода ср, работу А, соверша-
совершаемую им при расширении, и увеличение его внутренней энергии
AU. Молярная масса кислорода (X = 0,032 кг/моль.
513. Шар, наполненный сухим воздухом при температуре ta = 0 °С
и давлении рх = 99,4 кПа, уравновешен на весах. Когда шар был
87

откачан до давления воздуха в нем р2 = 1 кПа, для равновесия
потребовалось положить на одну из чашек весов груз массы
т = 37 г. Найти объем V шара. Плотность воздуха при нормальных
условиях ро =1,3 кг/м3.
514. Некоторая масса газа находится в баллоне объема V = 1 л.
После выпускания части газа из баллона давление в нем умень-
уменьшилось на Ар = 56 кПа, а масса баллона с газом - на Am = 2 г.
Температура газа при этом не изменилась. Найти плотность рп газа
при нормальном давлении р0 = 0,1 МПа и температуре опыта.
515. В баллоне объема V = 2,5 л находится газ при температуре
/0 = 0 °С. Масса баллона с газом т1 = 200 г. В баллон добавили пор-
порцию того же газа, после чего масса баллона с газом увеличилась до
т2 = 201 г. На какую величину Ар возросло давление в баллоне,
если добавленный газ при нормальных условиях имел плотность
р0 = 1,2 кг/м3? Температуру считать постоянной.
516. В цилиндре под поршнем находится кислород массы
т = 2 кг. Поршень закреплен. Какое количество теплоты Q нужно
сообщить кислороду, чтобы его температура повысилась на AT =
= 5 К? Найти увеличение внутренней энергии AU и удельную
теплоемкость кислорода cv в этом случае (см. задачу 512).
517. Два металлических шара радиуса г = 10 см с одинаковыми
массами, один из которых откачан, а другой заполнен кислородом
при давлении г = 2 МПа, вносят в камеру, через которую идет
поток насыщенного водяного пара, имеющего температуру
tu =100 °С. После того как температуры пара и шаров выровня-
выровнялись, оказалось, что на откачанном шаре сконденсировалась масса
воды тх = 10 г, а на заполненном шаре -т2= 12,33 г воды. Началь-
Начальные температуры шаров t = 27 °С. Найти удельную теплоем-
теплоемкость с кислорода. Удельная теплота парообразования воды X =
= 2,3 МДж/кг. Молярная масса кислорода и. = 0,032 кг/моль.
Тепловым расширением шаров пренебречь.
518. В теплоизолированном сосуде объема V = 5,6 л находится
кислород при температуре tx = 66 °С и давлении pt = 0,25 МПа. Для
нагрева газа до температуры t2 = 68 °С ему требуется сообщить
количество теплоты 2 = 21 Дж. Какова удельная теплоемкость с
кислорода при этих условиях? Молярная масса кислорода jx =
= 0,032 кг/моль. Тепловым расширением сосуда пренебречь.
519. Температура газа, имеющего массу т и молярную массу (X,
повышают на величину AT один раз при постоянном давлении р, а
другой раз при постоянном объеме V. Насколько отличаются
88

сообщенные газу количества теплоты Qp, Qv и удельные теплоем-
теплоемкости ср, cv при постоянном давлении и постоянном объеме?
520. При изотермическом расширении идеальный газ совершает
работу А = 20 Дж. Какое количество теплоты Q сообщено газу?
521. В теплоизолированном цилиндре с поршнем находится азот
массы т = 0,2 кг при температуре г, = 20 °С. Азот, расширяясь,
совершает работу А = 4,47 кДж. Найти изменение внутренней
энергии азота AU и его температуру t2 после расширения. Удельная
теплоемкость азота при постоянном объеме cv = 745 Дж/(кг • К).
522. Для повышения температуры газа, имеющего массу т =
= 20 кг и молярную массу \1 = 0,028 кг/моль, на AT = 50 К при посто-
постоянном давлении необходимо затратить количество теплоты Qp =
= 0,5 МДж. Какое количество теплоты Qv следует отнять от этого
газа при постоянном объеме, чтобы его температура понизилась
на AT = 50 К?
523. Температура воды массы т = 1 кг повышается на AT = 1 К.
Найти увеличение внутренней энергии AU\, приходящееся на
одну молекулу. Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг К),
ее молярная масса \1 = 0,018 кг/моль. Коэффициент объем-
объемного расширения воды а = 2 ¦ 10 К~'. Атмосферное давление
pQ = 0,1 МПа.
524. Один моль кислорода нагревается при постоянном объеме
от температуры ?0 = 0 °С. Какое количество теплоты Q необходимо
сообщить кислороду, чтобы его давление увеличилось в три раза?
Удельная теплоемкость кислорода при постоянном объеме cv =
= 657 Дж/(кг • К), его молярная масса [I = 0,032 кг/моль.
525. Воздух массы т = 5 г нагревается при постоянном давлении
от температуры То = 290 К. Какое количество теплоты Q
необходимо сообщить воздуху, чтобы его объем увеличился в два
раза? Считать, что удельная теплоемкость воздуха при постоянном
давлении равна ср= 1,018 кДж/(кг ¦ К).
526. Давление азота в сосуде объема V = 3 л после нагревания
возросло на Ар = 2,2 МПа. Найти количество теплоты Q, сооб-
сообщенное газу. Удельная теплоемкость азота при постоянном объеме
cv = 745 Дж/(кг -К), его молярная масса [I = 0,028 кг/моль.
527. В цилиндре под невесомым поршнем находится воздух
массы m = 3 кг. Температура воздуха увеличивается на AT'= 100 К
при постоянном давлении. Найти работу А, совершаемую газом
при расширении. Плотность воздуха при нормальных условиях
Ро = 1, 3 кг/м3.
89

Pi
Pi
528. В цилиндре объема Vx = 190 см3 под поршнем находится газ
при температуре Тх = 323 К. Найти работу расширения газа при
нагревании его на AT = 100 К. Масса поршня m = 120 кг, его
площадь S = 50 см2. Атмосферное давление рп = 0,1 МПа.
529. В цилиндре под поршнем находится газ, состояние которого
изменяется следующим образом: в процессе 1-2 увеличивается
давление при постоянном объеме V; в процессе 2-3 увеличивается
объем при постоянном давлении р\\ в процессе 3-4 увеличивается
объем при постоянной температуре Г3; в процессе 4-1 газ воз-
возвращается в первоначальное состояние при постоянном давле-
давлении р2. Представить на графиках изменение состояния газа в коор-
координатах р, V; р,Т и V, Т. Показать, при каких процессах газ полу-
получает (отдает) теплоту. Как при этом изменяется температура и
какая совершается работа?
530. Некоторая масса газа, занимающего
г3 объем V, = 0,01 м3, находится при давлении
?3 Pi = 0,1 МПа и температуре Тх = 300 К. Газ
нагревается вначале при постоянном объ-
объеме до температуры Т2 = 320 К, а затем при
-*¦ постоянном давлении до температуры
*~ 2 3 Т3 = 350 К (рис. 66). Найти работу А, совер-
Рис. 66 шаемую газом при переходе из состояния 1 в
состояние 3.
531. В цилиндре под поршнем в объеме V = 1674 см3 находится
насыщенный водяной пар, имеющий массу m = 1 г и температуру
t = 100 °С. Какую работу А нужно затратить, чтобы сжать весь пар
до полного превращения его в жидкость при той же температуре?
Плотность воды при t = 100 °С под давлением ее насыщенного пара
р = 0,96 • 103 кг/м3.
532. В двух теплоизолированных цилиндрах с объемами Vt = 3 л
и V2 = 5 л находятся одинаковые газы при давлениях рх = 0,4 МПа и
р2 = 0,6 МПа и температурах tx = 27 °С и t2 = 127 °С. Цилиндры
соединяют трубкой. Какая температура Т и какое давление р
установятся в цилиндрах после смешивания газов?
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
Паром называют обычно газ при температуре ниже критической,
когда он может быть превращен в жидкость повышением давления без
понижения температуры. Насыщенный пар — это пар, находящийся в
равновесии со своей жидкостью. Если насыщенный пар содержит
90

взвешенные капельки жидкости, то он называется влажным, в про-
противном случае - сухим. Ненасыщенный пар называют также перегретым
паром.
Ненасыщенный пар по своей природе ничем не отличается от
обычного газа. Поэтому для него справедливо уравнение состояния
pV=™RT.
A2)
Однако по мере приближения температуры к критической в
состояниях, близких к насыщению, наблюдаются заметные отклонения от
уравнения A2), возникающие из-за взаимодействия молекул между собой.
С той же оговоркой это уравнение может быть применено и в качестве
уравнения состояния для сухого насыщенного пара. В этом случае объем
V в уравнении A2) будет уже не объемом всего сосуда, а лишь объемом,
который занимает пар (в сосуде кроме насыщенного пара обычно
содержится и некоторое количество жидкости).
При рассмотрении процессов, происходящих с насыщенным паром,
нужно учитывать, что при изменении температуры, давления или объема
изменяется также и масса пара. В частности, при изотермическом
изменении объема масса пара изменяется пропорционально объему.
Следовательно, плотность пара р = m/V и его давление р не изменяются.
Поэтому для насыщенного пара уравнение состояния часто удобно
применять в виде
р = [ip/RT.
533. В цилиндре с поршнем находится жидкость под большим
давлением. Поршень медленно поднимают. Представить графи-
графически зависимость давления р в цилиндре от увеличения объема V
для двух постоянных температур Г, и Т2 (изотермы Тх = const и
Т2 = const; 7[ < Т2).
534. На рис. 67 представлена зависи-
зависимость давления насыщенного пара от
температуры (кривая abck). Почему
эта зависимость, в отличие от закона
Шарля для газов, не является линей-
линейной? В каких случаях зависимость
давления пара от температуры будет
изображаться линиями abd и abcel o
535. Ненасыщенный пар в цилиндре
под поршнем сначала нагревают при
постоянном объеме, затем медленно
сжимают при постоянной температуре до полного сжижения.
Представить графически зависимость давления р от объема V.
т„ тс тк г, к
Рис. 67
91

536. Сколько молекул содержит единица массы насыщенных и
ненасыщенных паров ртути и воды? Молярные массы ртути и воды
II, = 0,2 кг/моль и и.2 = 0,018 кг/моль.
537. При температуре t = 4 °С давление сухого насыщенного
пара р = 0,8 кПа. Во сколько раз плотность воды р„ при темпера-
температуре t = 4 °С больше плотности пара р? Какие объемы прихо-
приходятся на одну молекулу воды и пара? Молярная масса воды
д = 0,018 кг/моль.
538. Во сколько раз при температуре t = 400 °С плотность р,
пара ртути при атмосферном давлении отличается от плотности р2
насыщенного пара ртути? Атмосферное давление рх =0,1 МПа,
давление насыщенного пара ртути при температуре t = 400 °С
р2 = 0,22 МПа.
539. В котел объема V = 5 м3 накачали массу воды тп = 20 кг.
Содержимое котла нагрели до температуры Т = 453 К. Найти массу
m и давление р пара в котле. Плотность насыщенного пара при
температуре Т = 453 К рп = 5,05 кг/м3. Молярная масса воды
ц = 0,018 кг/моль.
540. В замкнутом сосуде объема V = 1 м3 находится вода массы
аи,, = 12 г и некоторая масса насыщенного пара, плотность и
давление которого при данной температуре р() = 0,008 кг/м3 и
ро= 1,1 кПа. Какое давление р установится при увеличении объема
в к - 5 раз? Температура при увеличении объема не изменяется.
541. Под колоколом воздушного насоса находится влажная
губка. При откачивании газа под колоколом установилось давле-
давление р - 1 кПа и температура t = 7 °С. Спустя время х = 1 ч после
начала откачки давление резко упало. Найти массу m воды, кото-
которая содержалась в губке. Насос откачивает в единицу времени
объем воды Vz = 10 л/с. Молярная масса воды \1 = 0,018 кг/моль.
542. Закрытый сосуд объема V = 0,5 м3, содержащий воду массы
m = 0,5 кг, нагрели до температуры Т = 420 К. На какую величину
AV следует изменить объем сосуда, чтобы в нем содержался только
насыщенный пар? Давление насыщенного пара при температуре
Т = 420 К р0 = 0,47 МПа. Молярная масса воды [I = 0,018 кг/моль.
543. В пароперегреватель, содержащий сухой пар массы
m = 120 кг при температуре t = 111 °C, подано некоторое количе-
количество теплоты, из которого на долю пара пришлось количество
теплоты Q = 18 МДж. В результате давление пара достигло пре-
предельного значения и поднялся предохранительный клапан, имею-
имеющий диаметр d = 4 см. Каково было начальное давление пара р,
92

если сила, открывающая клапан, F = 1,57 кН? Удельная тепло-
теплоемкость пара с = 1,5 кДж/(кг • К).
544. В трубке, открытым концом опущенной в воду, в объеме
V = 30 см3 при температуре / = 17 °С находится смесь насыщенного
пара и гелия (рис. 68). Высота столба воды в трубке h = 10 см.
Найти массы пара и гелия mj и т2. Давление насыщенного пара при
температуре t = 17 °С рх = 1,94 кПа. Молярные массы
воды и гелия [i} = 0,018 кг/моль и Д2 = 0,004 кг/моль,
атмосферное давление р0 = 0,1 МПа.
h\\
545. В цилиндре под поршнем над водой в объеме
V = 1 м3 при температуре t = 30 °С находится смесь на-
насыщенного пара и азота. Масса смеси т = 286 г. Какая
масса пара Am сконденсируется, если объем уменьшить
в к = 3 раза при постоянной температуре? Какое дав- р ,„
ление р было у смеси до сжатия? Давление насыщен-
насыщенного пара при температуре t = 30 °С р\ = 4,2 кПа. Молярные массы
воды и азота \1Х =0,018 кг/моль и ц2 = 0,028 кг/моль.
546. Влажный пар, содержащий п = 15 % (по массе) воды в виде
капелек и имеющий давление р = 15 кПа и температуру tu = 100 °С,
конденсируют, смешивая с водой, температура которой f = 20 °С.
Какое отношение воды и пара требуется (по массе) для получения
смеси с температурой 6 = 40 °С? Температура кипения воды при
давлении р = 15 кПа tKm, = 54 °С. Удельные теплоемкости воды и
пара с = 4,2 кДжДкг • К) и с„ - 1,9 кДж/(кг • К). Удельная теплота
парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
547. Когда в воде нет растворенных газов, она может быть
нагрета при атмосферном давлении до температуры более высо-
высокой, чем температура кипения. При введении в воду каким-либо
способом воздуха перегретая вода бурно, взрывообразно закипает,
и температура ее быстро падает до температуры кипения при
атмосферном давлении. Какая масса т„ пара получится из воды,
нагретой до температуры t = 120 ° С, если масса воды т = 10 кг?
Удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг • К). Удельная тепло-
теплота парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
548. В закрытом сосуде объема V = 0,4 м3 находятся в тепловом
равновесии при температуре tx = -23 °С лед и насыщенный пар,
масса которых т = 2г. Какое количество теплоты Q необходимо
сообщить содержимому сосуда для повышения его температуры до
/2 = _1 °С? Давление насыщенного пара рх = 77 Па при темпера-
температуре tx и р2 = 560 Па при температуре t2. Удельные теплоемкости
93

при температуре ниже tn = О °С льда и пара сл = 2,1 кДж/(кг • К)
и с = 1,3 кДж/(кг • К). Удельная теплота плавления льда
г - 0,33 кДж/кг. Удельная теплота парообразования воды
X = 2,3 МДж/кг. Молярная масса воды (X = 0,018 кг/моль.
549. В объеме V] = 20 л содержится насыщенный пар при тем-
температуре t = 100 °С. Какую работу надо совершить, чтобы путем
изотермического сжатия уменьшить объем пара до V2 = 10 л?
Объемом воды, образовавшейся при конденсации, пренебречь.
550. Найти работу пара по перемещению поршня на расстояние
/ = 40 см, если давление пара равномерно убывает при пере-
перемещении поршня от рх = 2,2 МПа до р2 = 0,2 кПа. Площадь поршня
S = 300 см2. Представить работу на графике зависимости давления
от объема.
551. Опыт Торричелли производят со спиртом вместо ртути.
Найти высоту h, до которой поднимется спирт. Атмосферное
давление в момент опыта рх - 93,6 кПа. Плотность спирта
р = 0,76-103 кг/м3, давление пара спирта при температуре опыта
р2 = 0,6 кПа.
552. Найти абсолютную влажность воздуха, если парциальное
давление насыщенного пара р = 14 кПа, а температура / = 60 °С.
Молярная масса воды (X = 0,018 кг/моль.
553. Абсолютная влажность воздуха при температуре tx = 60 °С
Р] = 0,005 кг/м3. Найти абсолютную влажность воздуха р2 после
понижения температуры до t2 = 20 °С. Давление насыщенного пара
при этой температуре р2 = 2,335 кПа. Молярная масса воды
|а = 0,018 кг/моль.
554. Абсолютная влажность воздуха при температуре ?, = 60 °С
р! = 0,05 кг/м3. Найти абсолютную влажность воздуха р2 после
понижения температуры до t2 = 10 °С. Давление насыщенного пара
при этой температуре р2 = 1,226 кПа. Молярная масса воды
(Х = 0,018 кг/моль.
555. В сосуде находится воздух, относительная влажность кото-
которого при температуре ^ = 10 °С f\ = 60 %. Какова будет относи-
относительная влажность /2 после уменьшения объема в к = 3 раза и
нагревания воздуха до температуры t2 = 100 °С? Плотность насы-
насыщенного пара при температуре tx = 10 °С pt = 9,4 • 10~3 кг/м3.
Молярная масса воды [i = 0,018 кг/моль.
556. Плотность влажного воздуха при температуре t = 27 °С
и давлении р = ОД МПа р = 1,19 кг/м3. Найти абсолютную р' и от-
относительную/' влажности воздуха, если при температуре ? = 27 °С
94

рлотность насыщенного пара р0 = 0,027 кг/м3. Молярные массы
воздуха и воды |Х] = 0,029 кг/моль и \12 = 0,018 кг/моль.
557. В комнате объема V = 40 м3 при температуре t = 20 °С
относительная влажность воздухаf] = 20 %. Какую массу воды нуж-
нужно испарить для увеличения относительной влажности воздуха до
f2 = 50 %? Плотность насыщенного пара при температуре t = 20 °С
р= 17,3-Ю-3 кг/м3.
558. В комнате объема V - 50 м3 относительная влажность воз-
воздуха/, = 40 %. Если испарить дополнительно массу воды т = 60 г,
то относительная влажность воздуха увеличится до/^ = 50 %. Како-
Какова при этом будет абсолютная влажность воздуха р?
559. Найти отношение плотностей влажного (относительная
влажность /= 90 %) и сухого воздуха при давлении р0 = 0,1 кПа
и температуре t = 27 °С. Плотность насыщенного пара при t = 27 °С
р() = 0,027 кг/м3. Молярные массы воздуха и воды и., = 0,029 кг/моль
и [12 = 0,018 кг/моль.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
По закону Кулона сила взаимодействия F двух точечных за-
зарядов <7| и с/2, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна произ-
произведению зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между
ними:
F = k^. A)
Если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью е
(е > 1), то сила взаимодействия между ними
B)
гг
Диэлектрическая проницаемость е показывает, во сколько раз сила
взаимодействия между зарядами в среде меньше, чем в вакууме; для
вакуума е = 1, т.е. формула B) в этом случае совпадает с формулой A).
В системе единиц СИ основной электрической единицей является
единица силы тока ампер (А) - сила тока, при котором отрезки тонких
95

бесконечно длинных параллельных проводников длины 1 м каждый
взаимодействуют в вакууме с силой 2-10~7 Н. Единица заряда в этой
системе единиц кулон (Кл) является производной и определяется как
заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при электри-
электрическом токе 1 А в течение 1 с: 1 Кл = 1 А • с.
Чтобы получить при помощи формулы A) силу в системе единиц СИ -
в ньютонах, - заряды выражают в кулонах, расстояния - в метрах,
коэффициент пропорциональности к при этом записывают в виде
* = —
где во = 8,85-Ю"2 Ф/м - электрическая постоянная, выражаемая в фарадах
на метр, а множитель 4л введен для того, чтобы ряд других формул имел
более простой (рациональный) вид. Таким образом, в СИ коэффициент
пропорциональности
к= 1/4тсео = 9- 109Н-м2/Кл2
- размерная величина.
В соответствии с этим сила взаимодействия двух зарядов, находящихся
в среде, выражается формулой
F=_L_m, C)
4тсе0 гг
где 8 - относительная (безразмерная) диэлектрическая проницаемость
вещества (относительно диэлектрической проницаемости вакуума), значе-
значения которой приводятся в таблицах*.
Если имеется несколько (более двух) электрических зарядов, то силы
взаимодействия между каждой парой этих зарядов не зависят от наличия
остальных. Поэтому результирующая сила, действующая на каждый
заряд, складывается по правилу сложения векторов из сил, действующих
на него со стороных всех других зарядов (принцип суперпозиции).
Поверхностной плотностью а электрического заряда называется заряд,
приходящийся на единицу площади поверхности заряженного тела. При
равномерном распределении заряда q по поверхности тела поверхностная
плотность заряда
а = q/S,
где S - площадь тела. Поверхностная плотность заряда выражается
в кулонах на квадратный метр (Кл/м2).
560. Два одинаковых точечных заряда q взаимодействуют в
вакууме с силой F = 0,1 Н. Расстояние между зарядами г = 6 м.
Найти эти заряды.
В большинстве задач этого раздела относительная диэлектрическая про-
проницаемость е принята равной единице и в формульные выражения не входит.
96

561. Какое число N электронов содержит заряд в одну еди-
единицу заряда в системе единиц СИ A Кл)? Элементарный заряд
е=1,60-10-19Кл.
562. Два точечных заряда qx и q2 находятся на расстоянии г друг
от друга. Если расстояние между ними уменьшается на величину
Дг = 50 см, то сила взаимодействия F увеличивается в два раза.
Найти расстояние г.
563. Тонкая шелковая нить выдерживает максимальную силу
натяжения Т = 10 мН. На этой нити подвешен шарик массы
m = 0,6 г, имеющий положительный заряд ql = 11 нКл. Снизу в
направлении линии подвеса к нему подносят шарик, имеющий
отрицательный заряд q2 = -13 нКл. При каком расстоянии г между
шариками нить разорвется?
564. Отрицательный точечный заряд Q расположен на прямой,
соединяющей два одинаковых положительных точечных заряда q.
Расстояния между отрицательным зарядом и каждым из положи-
положительных относятся между собой, как 1 : 3. Во сколько раз изме-
изменится сила, действующая на отрицательный заряд, если его поме-
поменять местами с ближайшим положительным?
565. Два отрицательных точечных заряда qx=-9 нКл и
q2 = _36 нКл расположены на расстоянии г = 3 м друг от друга.
Когда в некоторой точке поместили заряд q0, то все три заряда
оказались в равновесии. Найти заряд qa и расстояние между за-
зарядами qx и qQ.
566. Три одинаковых точечных заряда q = 20 нКл расположены в
вершинах равностороннего треугольника. На каждый заряд дей-
действует сила F = 10 мН. Найти длину а стороны треугольника.
567. Три одинаковых точечных заряда
qx = q2 = q3 = 9 нКл расположены в вершинах
равностороннего треугольника. Какой точечный
заряд до нужно поместить в центре треугольника,
чтобы система находилась в равновесии?
568. Четыре одинаковых точечных заряда
q = 10 нКл расположены в вершинах квадрата со
стороной а = 10 см. Найти силу, действующую со
стороны трех зарядов на четвертый. рис. 69
569. Четыре одинаковых по модулю точечных
заряда \q\ - 20 нКл, два из которых положительны, а два отри-
отрицательны, расположены в вершинах квадрата со стороной а = 20 см
так, как показано на рис. 69. Найти силу, действующую на по-
97

мешенный в центре квадрата положительный точечный заряд
qa = 20 нКл.
570. На изолированной подставке расположен вертикально
тонкий фарфоровый стержень, на который надет металлический
полый шарик А радиуса г (рис. 70). После
сообщения шарику заряда q = 60 нКл по стер-
стержню опущен такой же незаряженный металли-
металлический шарик В массы т =0,1 г, который со-
соприкасается с шариком А. На каком расстоянии
h от шарика А будет находиться в равнове-
равновесии шарик В после соприкосновения, если
mg < k@,5qJ/ DгJ? Трением шариков о стержень
| пренебречь.
571. Вокруг отрицательного точечного заря-
Рис. 70 да д0 = _5 нКл равномерно движется по окруж-
окружности под действием силы притяжения малень-
маленький заряженный шарик. Чему равно отношение заряда шарика к
его массе, если угловая скорость вращения шарика со = 5 рад/с, а
радиус окружности R = 3 см?
572. Два одинаковых шарика массы т = 9 г находятся друг от
друга на расстоянии /•, значительно превышающем их размеры.
Какие равные заряды необходимо поместить на шариках, чтобы
сила их кулоновского взаимодействия уравновешивала силу
гравитационного притяжения?
573. Найти силы взаимодействия двух точечных зарядов qx =
= 4 нКл и q2 = 16 нКл в вакууме и в керосине (диэлектрическая
проницаемость е = 2) на расстоянии г = 20 см.
574. Два точечных заряда, находясь в воздухе на расстоянии
/] =5 см, взаимодействуют друг с другом с силой F\ = 120 мкН,
а находясь в некоторой непроводящей жидкости на расстоянии
г2 = 10 см, - с силой F2 = 15 мкН. Какова диэлектрическая прони-
проницаемость жидкости?
575. Найти расстояние гх между двумя одинаковыми точечными
зарядами, находящимися в масле (диэлектрическая проницаемость
е = 3), если сила взаимодействия между ними такая же, как в
вакууме на расстоянии г2 = 30 см.
576. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на
нитях равной длины в одной точке, разошлись в воздухе на не-
некоторый угол 2а. Какова должна быть плотность р материала
шариков, чтобы при погружении их в керосин (диэлектрическая
98

проницаемость е = 2) угол между нитями не изменился? Плотность
керосина рк = 0,8 • 103 кг/м3.
577. Два одинаковых заряженных шарика подвешены на нитях
равной длины в одной токе и погружены в жидкость. Плотности
материала шариков и жидкости равны р и рж. При какой ди-
диэлектрической проницаемости жидкости угол расхождения нитей в
жидкости и в воздухе будет один и тот же?
578. Одноименные точечные заряды qx и q2 расположены в
вершинах равностороннего треугольника со стороной г в однород-
однородной среде с диэлектрической проницаемостью е. Найти суммарную
силу F, действующую на точечный заряд q3, расположенный в
третьей вершине треугольника.
579. Три точечных заряда, расположенных друг от друга на
расстояниях г12, л13 и г23, взаимодействуют в вакууме с силами F12,
F13 и F23 соответственно. Найти через известные величины выра-
выражение для третьего заряда.
580. С какой силой взаимодействовали бы в вакууме два
одинаковых точечных заряда q - \ Кл, находясь на расстоянии
г = 0,5 км друг от друга?
581. Два одинаковых шарика подвешены в воздухе на нитях так,
что их поверхности соприкасаются. После того как каждому
шарику был сообщен заряд а ~ 0,4 мкКл, шарики разошлись на
угол 2а = 60°. Найти массу шариков, если расстояние от центров
шариков до точки подвеса / = 0,2 м.
582. Составлен прибор из двух одинаковых проводящих шариков
массы т = 15 г, один из которых закреплен, а другой подвешен на
нити длины / = 20 см. Шарики, находясь в соприкосновении, полу-
получают одинаковые заряды, вследствие чего подвижный шарик от-
отклоняет нить на угол 2а = 60° от вертикали. Найти заряд каждого
шарика.
583. Шарик, несущий заряд q = 50 нКл, коснулся внутренней
поверхности незаряженной проводящей сферы радиуса R = 20 см.
Найти поверхностную плотность заряда на внешней поверхности
сферы.
584. Найти поверхностную плотность заряда на внешней по-
поверхности проводящей сферы радиуса R = 20 см, если в центре
сферы на изолирующей палочке находится шарик, несущий заряд
q = 50 нКл. Будет ли изменяться поверхностная плотность при
изменении положения шарика внутри сферы?
99

§ 19. Электрическое поле
Напряженность электрического поля
Электрические заряды создают в пространстве вокруг себя электри-
электрическое поле. На электрический заряд, помещенный в точку пространства,
где есть электрическое поле, действует сила.
Электрическое поле в каждой точке пространства характеризуется
напряженностью. Напряженностью электрического поля Е в данной
точке называется отношение силы F, действующей на помещенный в эту
точку точечный заряд </о, к этому заряду:
E = F/q0. D)
Напряженность электрического поля - векторная величина, направление
которой совпадает с направлением силы F при q0 > 0. Если известна
напряженность электрического поля в данной точке, то согласно формуле
D) на помещенный в эту точку заряд qtt действует сила
E)
Точечный заряд q создает вокруг себя электрическое поле, напря-
напряженность которого в точке, удаленной от этого заряда на расстояние г,
согласно формуле D) и закону Кулона B) в системе единиц СИ выра-
выражается соотношением
где е - диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей прост-
пространство вокруг заряда, а коэффициент пропорциональности к = 1/4яе0 =
= 9 • 109 Н • м2/Кл2. В системе единиц СИ за единицу напряженности
принимается вольт на метр (В/м) - такая напряженность, при которой на
заряд 1 Кл действует сила 1 Н (см. далее формулу A1)).
Напряженность электрического поля Е, создаваемого в данной точке
несколькими точечными зарядами, равна векторной сумме напря-
женностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности
(принцип суперпозиции):
Е=Е] +Е2+ ... +Е„.
Следует иметь в виду, что электрическое поле равномерно заря-
заряженного шара радиуса R, полный заряд которого равен q, совпадает вне
шара с электрическим полем точечного заряда, равного заряду q шара и
помещенного в его центре. Поэтому напряженность в точках, удаленных
от центра шара на расстояние г 5* /?, можно вычислять по формуле F).
585. На каком расстоянии г от точечного заряда q = 0,1 нКл, на-
находящегося в дистиллированной воде (диэлектрическая проницае-
проницаемость е = 81), напряженность электрического поля Е = 0,25 В/м?
100

586. В центре проводящей сферы помещен точечный заряд
q = 10 нКл. Внутренний и внешний радиусы сферы г - 10 см и
R = 20 см. Найти напряженности электрического поля у внутрен-
внутренней (i^) и внешней (Е2) поверхностей сферы.
587. Одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды
\q\ = 18 нКл расположены в двух вершинах равностороннего
треугольника со стороной а = 2 м. Найти напряженность элек-
электрического поля Е в третьей вершине треугольника.
588. В вершинах при острых углах ромба, составленного из двух
равносторонних треугольников со стороной а, помещены одина-
одинаковые положительные заряды qx = q2 = <?• В вершине при одном
из тупых углов ромба помещен положительный заряд Q. Найти на-
напряженность электрического поля Е в четвертой вершине ромба.
589. Решить предыдущую задачу, если заряд Q отрицателен, в
случаях, когда: a) \Q\ < q\ б) \Q\ = q; в) \Q\ > q.
590. Диагонали ромба dx = 96 см и d2 = 32 см. На концах длинной
диагонали расположены точечные заряды qx = 64 нКл и q2 =
= 352 нКл, на концах короткой - точечные заряды q3 = 8 нКл и qA =
= 40 нКл. Найти модуль и направление (относительно короткой
диагонали) напряженности электрического поля в центре ромба.
591. Какой угол а с вертикалью составит нить, на которой висит
шарик массы т = 25 мг, если поместить шарик в горизонтальное
однородное электрическое поле с напряженностью Е = 35 В/м,
сообщив ему заряд q = 1 мкКл?
592. Шарик массы т = 0,1 г закреплен на нити, длина которой /
велика по сравнению с размерами шарика. Шарику сообщают
заряд q = 10 нКл и помещают в однородное электрическое поле с
напряженностью Е, направленной вверх. С каким периодом будет
колебаться шарик, если сила, действующая на него со стороны
электрического поля, больше силы тяжести (F > mg)l Какой
должна быть напряженность поля Е% чтобы шарик колебался с
периодом То = 2тц///#?
593. Шарик массы m = 1 г подвешен на нити длины / = 36 см. Как
изменится период колебаний шарика, если, сообщив ему положи-
положительный или отрицательный заряд \q\ = 20 нКл, поместить шарик в
однородное электрическое поле с напряженностью Е = 100 кВ/м,
направленной вниз?
594. В однородном электрическом поле с напряженностью
Е = 1 МВ/м, направленной под углом а = 30° к вертикали, висит на
101

нити шарик массы т = 2 г, несущий заряд q = 10 нКл. Найти силу
натяжения нити Т.
595. Электрон движется в направлении однородного электри-
электрического поля с напряженностью Е = 120 В/м. Какое расстояние
пролетит электрон до полной потери скорости, если его начальная
скорость v = 1000 км/с? За какое время будет пройдено это
расстояние?
596. Пучок катодных лучей, направленный параллельно об-
обкладкам плоского конденсатора, на пути / = 4 см отклоняется на
расстояние h = 2 мм от первоначального направления. Какую ско-
скорость v и кинетическую энергию К имеют электроны катодного
луча в момент влета в конденсатор? Напряженность электриче-
электрического поля внутри конденсатора Е = 22,5 кВ/м.
Потенциал. Работа электрических сил
Разностью потенциалов (или напряжением) V между точками а и b
электрического поля называется отношение работы А, которую совер-
совершают электрические силы при перемещении заряда q из точки а в точку
Ъ, к этому заряду.
V = A/g. G)
Эта величина не зависит ни от формы пути, по которому происходит
перемещение, ни от самого заряда q, а зависит только от свойств электри-
электрического поля и от выбора точек anh. Поэтому, если в качестве конечной
точки перемещения заряда q выбрать некоторую постоянную точку с
(например, бесконечно удаленную точку), то отношение A/q может
служить характеристикой электрического поля в произвольной точке а. В
этом случае его называют потенциалом ц>а поля в точке а (относительно
точки с). Потенциал поля в точке с можно считать равным произвольной
постоянной величине, которую удобно положить равной нулю.
Если фа и ф/, - потенциалы точек аиЬ,то
У=фа-Ф*. (8)
Согласно формулам G) и (8) работа А, совершаемая электрическими
силами при перемещении заряда q из точки а в точку Ъ, если известна
разность потенциалов V между этими точками или известны потенциалы
фа и ф/, поля в этих точках, определяется выражением
A = qV=q(q>a-(f>h). (9)
Единицей разности потенциалов в системе единиц СИ является вольт
(В) — такая разность потенциалов, при которой электрические силы
совершают работу 1 Дж при перемещении заряда 1 Кл: 1 В =
= 1 Дж/1 Кл.
102

Если электрическое поле создается точечным электрическим заря-
зарядом q, помещенным в среде с диэлектрической проницаемостью е, то
потенциал в точке, удаленной на расстояние г от этого заряда,
Ф = * =
= •
гг 4ке0 ег
(Ю)
Здесь потенциал отсчитывается относительно бесконечно удаленной
точки, в которой он равен нулю. Знак потенциала определяется знаком
заряда q.
Потенциал электрического поля, создаваемого в данной точке не-
несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме потенциа-
потенциалов полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом по отдельности:
ф = ф, + ф2+ ... +ф„.
При неподвижных зарядах потенциалы всех точек на поверхности и
внутри проводника одинаковы.
Электрическое поле равномерно заряженного шара радиуса R, полный
заряд которого равен q, совпадает вне шара с электрическим полем
точечного заряда, равного заряду q шара и помещенного в его центре.
Поэтому потенциал точек поля, создаваемого шаром на расстояниях
г 5= R от его центра, можно вычислять по формуле A0). В частности,
потенциал точек на поверхности и внутри проводящего шара радиуса R
определяется выражением
ф = &—= —.
eR 4ле0 eR
Между двумя характеристиками электрического поля - напря-
напряженностью и потенциалом - существует связь. Если фа и фЛ - потенциалы
точек а и Ь, лежащих на одной линии напряженности в однородном
электрическом поле на расстоянии г друг от друга, то напряженность
электрического поля
A1)
Если поле неоднородно, то эта формула дает лишь среднее значение
напряженности на линии напряженности между двумя этими точками.
Из формулы A1) следует, что напряженность электрического поля
можно измерять разностью потенциалов, приходящейся на единицу
длины. В системе единиц СИ за единицу напряженности принимается
вольт на метр (В/м) - такая напряженность электрического поля, при
которой разность потенциалов между точками, удаленными друг от друга
на расстояние 1 м по линии напряженности, равна 1 В.
597. Найти потенциал шара радиуса R = 0,1 м, если на расстоя-
расстоянии г = 10 м от его поверхности потенциал электрического поля
Ф,. = 20 В.
103

+ 1
о
-4
О
А
О
-2
О
+ 3
о
598. N одинаковых шарообразных капелек ртути одноимейно
заряжены до одного и того же потенциала ф. Каков будет потен-
потенциал Ф большой капли ртути, получившейся в результате слияния
этих капель?
599. В центре металлической сферы радиуса R = 1 м, несущей
положительный заряд Q = 10 нКл, находится маленький шарик с
положительным или отрицательным зарядом \q\ = 20 нКл. Найти
потенциал ф электрического поля в точке, находящейся на
расстоянии / = 10/? от центра сферы.
600. До какого потенциала можно зарядить находящийся в воз-
воздухе (диэлектрическая проницаемость
е = 1) металлический шар радиуса R =
= 3 см, если напряженность электрического
поля, при которой происходит пробой в
воздухе, Е = 3 МВ/м?
601. Два одинаково заряженных шарика,
расположенных друг от друга на рас-
расстоянии г = 25 см, взаимодействуют с силой
F = 1 мкН. До какого потенциала заряжены
шарики, если их диаметры D = 1 см?
602. В вершинах квадрата, расположены
точечные заряды (в нКл): qx = + 1, q2 = - 2, q3 = + 3, q4 = - 4 (рис. 71).
Найти потенциал и напряженность электрического поля в центре
квадрата (в точке А). Диагональ квадрата 2а = 20 см.
603. Найти потенциалы и напряженности электрического поля в
точках аъЬ, находящихся от точечного заряда q = 167 нКл на
расстояниях га - 5 см и rh — 20 см, а также работу электрических
сил при перемещении точечного заряда q0 = 1 нКл
,Я из точки а в точку Ь.
Г"У \Гь 604. Точечный положительный заряд q создает
S |» в точках аиЬ (рис. 72)поля снапряженностямиЕа
и Eh. Найти работу электрических сил при пе-
Рис. 72 ремещении точечного заряда q0 из точки а в
точку Ъ.
605. В атомной физике энергию быстрых заряженных частиц
выражают в электронвольтах. Электронволып (эВ) - это такая
энергия, которую приобретает электрон, пролетев в электриче-
электрическом поле путь между точками, разность потенциалов между кото-
которыми равна 1 В. Выразить электронвольт в джоулях. Какую ско-
скорость имеет электрон, обладающий энергией 1 эВ?
104

а с
-о
-\
b d\
, 606. Электрон летит от точки а к точке Ь, разность потенциалов
между которыми V = 100 В. Какую скорость приобретает электрон
В точке Ь, если в точке а его скорость была равна нулю?
607. Какую работу необходимо совершить при переносе точеч-
точечного заряда <7о = 30 нКл из бесконечности в точку, находящуюся на
расстоянии г = 10 см от поверхности заряженного металлического
шара? Потенциал на поверхности шара ф = 200 В, радиус шара
R = 2 см.
608. При переносе точечного заряда q0 = 10 нКл из бесконеч-
бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии г = 20 см от поверхности
заряженного металлического шара, необходимо
совершить работу А = 0,5 мкДж. Радиус шара R = ф
= 4 см. Найти потенциал ф на поверхности шара.
609. Два одинаковых заряда q(l = q = 50 мкКл
находятся на расстоянии га = 1 м друг от друга.
Какую работу А надо совершить, чтобы сблизить
их до расстояния rh - 0,5 м?
610. Два заряда qa = 2 мкКл и qh = 5 мкКл Яь\
расположены на расстоянии г = 40 см друг от друга
в точках a Tib (рис. 73). Вдоль прямой cd, про- Рис. 73
ходящей параллельно прямой ab на расстоянии
d = 30 см от нее, перемещается заряд q{) = 100 мкКл. Найти работу
электрических сил при перемещении заряда <7о из точки с в точку d,
если прямые ас и bd перпендикулярны к прямой cd.
611. Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены
на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу элек-
электрических сил при перемещении заряда q0 из центра первого коль-
кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен
заряд <7], а на втором - заряд q2.
612. На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд
q. Какова наименьшая скорость и, которую необходимо сообщить
находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q0,
чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?
613. На шарик радиуса R = 2 см помещен заряд q = 4 пКл. С ка-
какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение
из бесконечно удаленной от него точки?
614. Между горизонтально расположенными пластинами плос-
плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный
металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсо-
абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если
105

в момент удара на него переходит заряд ql Разность потенциа-
потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между
пластинами равно d.
615. Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на
одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик
закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу т, получает
начальную скорость и, направленную вниз. На какое минимальное
расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?
616. Найти максимальное расстояние h между шариками в
условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет
отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика
направлена вверх.
617. Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки
а к точке Ь, увеличил свою скорость с иа = 1000 км/с до vh =
= 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и Ь
электрического поля.
618. В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью v =
= 2 • 107 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора.
На какое расстояние h от своего первоначального направления
сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние
между пластинами d = 2 см, длина конденсатора / = 5 см, разность
потенциалов между пластинами V = 200 В.
619. Положительно заряженная пылинка массы т = 10~8 г
находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины
которого расположены горизонтально. Между пластинами создана
разность потенциалов V] = 6000 В. Расстояние между пластинами
d = 5 см. На какую величину необходимо изменить разность потен-
потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд
уменьшился на q0 = 1000 el
620. Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной
отрицательно.
621. В электрическое поле плоского конденсатора, пластины
которого расположены горизонтально, помещена капелька масла,
имеющая заряд q = 1 е. Напряженность электрического поля
подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов
между пластинами конденсатора V = 500 В, расстояние между
пластинами d = 0,5 см. Плотность масла р = 0,9 ¦ 103 кг/м3. Найти
радиус капельки масла.
622. Внутри плоского конденсатора, пластины которого распо-
расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины
106

Рис. 74
I я 1 см с металлическими шариками на концах, несущими за-
заряды +<7 и -<7 (\q\ = 1 нКл). Палочка может вращаться без трения
вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность
потенциалов между пластинами конденсатора V = 3 В, расстояние
между пластинами d = 10 см. Какую работу
необходимо совершить, чтобы повернуть па-
палочку вокруг оси на 180° по отношению к _
тому положению, которое она занимает на °"
рис. 74?
623. Внутри плоского конденсатора по-
помещен диэлектрический стержень длины
/ = 3 см, на концах которого имеются два
точечных заряда +qvi-q (\q\ = 8 нКл). Разность потенциалов между
пластинами конденсатора V = 3 В, расстояние между пластинами
d = 8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти
момент сил, действующий на стержень с зарядами.
624. На концах диэлектрической палочки длины / = 0,5 см
прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды -q и +q
{\q\ = 10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора,
расстояние между которыми d = 10 см (рис. 75). При какой мини-
минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V
палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу
растяжения F = 0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.
Рис. 75
Рис. 76
625. Металлический шарик 1 радиуса R\ = 1 см прикреплен с
помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего
весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают
заряженный шарик 2 радиуса R2 = 2 см. Расстояние между шари-
шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой,
а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для
107

восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы
т = 4 мг. До какого потенциала ф был заряжен шарик 2 до замы-
замыкания его проволочкой с шариком 1?
Электрическая емкость
Электрической емкостью (или просто емкостью) уединенного про-
проводника называется величина
C = q/q>, A2)
где q - его заряд, (р - потенциал (относительно бесконечности). Емкость
уединенного шара радиуса R, помещенного в среду с диэлектрической
проницаемостью е, вычисляется по формуле
С = 4леое/?,
где ?о = 8,85 ¦ 10~12 Ф/м - электрическая постоянная.
Два изолированных друг от друга проводника, заряженных равными по
модулю, но противоположными по знаку зарядами, образуют конден-
конденсатор. Эти проводники называют обкладками конденсатора. Емкостью
конденсатора называется положительная величина
<P2) = <7/V. A3)
где q - заряд на одной из его обкладок, V = ф] - (р2 - разность потенциалов
между ними. Емкость конденсатора с диэлектриком, заполняющим
пространство между обкладками,
С = еСо,
где Со - емкость этого же конденсатора без диэлектрика. Емкость
плоского конденсатора, представляющего собой две параллельные пла-
пластины площади S каждая, пространство между которыми заполнено
диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е, вычисляется по
формуле
С = еС0 =
где Со = e()S/af - емкость плоского конденсатора без диэлектрика, а
d - расстояние между пластинами. Если q - заряд на одной из пластин
конденсатора, то напряженность поля между пластинами
Е =
Разность потенциалов между пластинами
V = (pj - ф2 = Ed =
При параллельном соединении конденсаторов с емкостями С1; С2,..., С„
их общая емкость
108

Общую емкость последовательно соединенных конденсаторов с емкостя-
емкостями С\, С2,..., С„ можно найти из соотношения
111 1
— = — + — + ... + —.
С С, С2 С„
Конденсатор с емкостью С, заряженный зарядом q до разности потен-
потенциалов V, обладает энергией
w
2 2С 2 '
За единицу емкости согласно формулам A2) и A3) в системе единиц
СИ принимается фарад (Ф) - это емкость такого проводника, потенциал
которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл:
1 Ф = 1 Кл/1 В.
626. Во сколько раз изменится емкость проводящего шара ра-
радиуса R, если он сначала помещен в керосин (диэлектрическая про-
проницаемость е, = 2), а затем в глицерин (диэлектрическая прони-
проницаемость е2 = 56,2)?
627. Плоский конденсатор имеет емкость С = 5 пФ. Какой заряд
находится на каждой из его пластин, если разность потенциалов
между ними V = 1000 В?
628.Поверхностная плотность заряда на пластинах плоского
вакуумного конденсатора а = 0,3 мкКл/м2. Площадь пластины
S = 100 см2, емкость конденсатора С = 10 пФ. Какую скорость при-
приобретает электрон, пройдя расстояние между пластинами кон-
конденсатора?
629. Плоский воздушный конденсатор состоит из трех пластин,
соединенных, как показано на рис. 77. Площадь
каждой пластины S = 100 см2, расстояние между
ними d = 0,5 см. Найти емкость конденсатора.
Как изменится емкость конденсатора при погру-
погружении его в глицерин (диэлектрическая прони- рИс. 77
цаемость е = 56,2)?
630. Конденсатор состоит из п латунных листов, проложенных
стеклянными прокладками толщины d = 2 мм. Площади латунного
листа и стеклянной прокладки равны S = 200 см2, диэлектрическая
проницаемость стекла е = 7. Найти емкость конденсатора, если
п = 21 и выводы конденсатора присоединены к крайним листам.
631. Маленький шарик, имеющий заряд q = 10 нКл, подвешен на
нити в пространстве плоского воздушного конденсатора, круглые
пластины которого расположены горизонтально. Радиус пластины
109

конденсатора R = 10 см. Когда пластинам конденсатора сообщили
заряд Q=\ мкКл, сила натяжения нити увеличилась вдвое. Найти
массу шарика.
632. Между вертикальными пластинами плоского воздуш-
воздушного конденсатора подвешен на нити маленький шарик, несущий
заряд «у = 10 нКл. Масса шарика т = 6 г, площадь пластины
конденсатора S = 0,1 м2. Какой заряд Q надо сообщить пластинам
конденсатора, чтобы нить отклонилась от вертикали на угол
а = 45°?
633. Какой заряд пройдет по проводам, соединяющим пластины
плоского воздушного конденсатора и источник тока с напряже-
напряжением V = 6,3 В, при погружении конденсатора в керосин (диэлек-
(диэлектрическая проницаемость е = 2)? Площадь пластины конденсатора
S = 180 см2, расстояние между пластинами d = 2 мм.
634. Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности
потенциалов Vo = 200 В. Затем конденсатор отключили от источ-
источника тока. Какой станет разность потен-
потенциалов между пластинами, если расстояние
между ними увеличить от dQ = 0,2 мм до
d = 0,7 мм, а пространство между пластинами
заполнить слюдой (диэлектрическая прони-
проницаемость е = 7)?
635. Пластины плоского воздушного кон-
конденсатора присоединены к источнику тока с
напряжением V = 600 В. Площадь квад-
квадратной пластины конденсатора 50 = 100 см2,
расстояние между пластинами d = 0,1 см.
Какой ток будет проходить по проводам
при параллельном перемещении одной пластины вдоль другой со
скоростью v = 6 см/с (рис. 78)?
636. Найти заряд, который нужно сообщить двум параллельно
соединенным конденсаторам с емкостями С, = 2 мкФ и С2 = 1 мкФ,
чтобы зарядить их до разности потенциалов V = 20 кВ.
637. Два одинаковых плоских конденсатора соединены парал-
параллельно и заряжены до разности потенциалов Vo = 6 В. Найти
разность потенциалов V между пластинами конденсаторов, если
после отключения конденсаторов от источника тока у одного
конденсатора уменьшили расстояние между пластинами вдвое.
638. Два конденсатора с емкостями С\ = 1 мкФ и С2 = 2 мкФ
зарядили до разностей потенциалов V, = 20 В и V2 = 50 В. Найти
Рис. 78
110

разность потенциалов V после соединения конденсаторов одно-
одноименными полосами.
639. Конденсатор емкости Сх = 20 мкФ, заряженный до разности
потенциалов Vt = 100 В, соединили параллельно с заряженным до
разности потенциалов V, = 40 В конденсатором, емкость которого
С2 неизвестна (соединили одноименно заряженные обкладки кон-
конденсаторов). Найти емкость С2 второго конденсатора, если раз-
разность потенциалов между обкладками конденсаторов после соеди-
соединения оказалась равной V = 80 В.
640. Конденсатор емкости С\ = 4 мкФ, заряженный до разности
потенциалов V', = 10 В, соединен параллельно с заряженным
до разности потенциалов V2 = 20 В конденсатором емкости
С2 = 6 мкФ (соединили разноименно заряженные обкладки кон-
конденсаторов). Какой заряд окажется на пластинах первого кон-
конденсатора после соединения?
641. Конденсатор, заряженный до разности потенциалов
V\ = 20 В, соединили параллельно с заряженным до разности потен-
потенциалов V2 = 4 В конденсатором емкости С2 = 33 мкФ (соединили
разноименно заряженные обкладки конденсаторов). Найти ем-
емкость С, первого конденсатора, если разность потенциалов между
обкладками конденсаторов после их соединения V = 2 В.
642. Конденсатор емкости С, = 1 мкФ, заряженный до разности
потенциалов V] = 100 В, соединили с конденсатором емкости С2 =
= 2 мкФ, разность потенциалов V2 на обкладках которого неизвест-
неизвестна (соединили разноименно заряженные обкладки конденсаторов).
Найти разность потенциалов V2, если разность потенциалов между
обкладками конденсаторов после соединения оказалась равной
V = 200 В.
643. Два проводящих шара с радиусами /?, и R2 расположены так,
что расстояние между ними во много раз больше радиуса большего
шара. На шар радиуса /?j помещен заряд q. Каковы будут заряды на
шарах после соединения их проводником, если второй шар не был
заряжен? Емкостью проводника, соединяющего шары, пренебречь.
644. Два проводящих шара с радиусами R} = 8 см и R2 = 20 см,
находящихся на большом расстоянии друг от друга, имели
электрические заряды qx = 40 нКл и q2 = -20 нКл. Как перерас-
перераспределятся заряды, если шары соединить проводником? Емкостью
проводника, соединяющего шары, пренебречь.
645. Два проводящих шара с радиусами Rx = 10 см и R2 = 5 см,
заряженных до потенциалов cpj =20 В и ф2 = 10 В, соединяются
Ш

проводником. Найти поверхностные плотности зарядов на шарах
а, и а2 после их соединения. Расстояние между шарами велико по
сравнению с их радиусами. Емкостью проводника, соединяющего
шары, пренебречь.
646. Плоский воздушный конденсатор, заряженный до разности
потенциалов Vo = 800 В, соединили параллельно с таким же по раз-
размерам незаряженным конденсатором, заполненным диэлектриком.
Какова диэлектрическая проницаемость е диэлектрика, если после
соединения разность потенциалов между пластинами конденса-
конденсаторов оказалась равной V = 100 В?
647. Найти емкость С трех плоских воздушных конденсаторов,
соединенных параллельно. Размеры конденсаторов одинаковы:
площадь пластины S = 314 см2, расстояние между пластинами
d = 1 мм. Как изменится емкость трех конденсаторов, если про-
пространство между пластинами одного конденсатора заполнить слю-
слюдой (диэлектрическая проницаемость в) = 7), а другого - парафи-
парафином (диэлектрическая проницаемость е2 = 2)?
648. В заряженном плоском конденсаторе, отсоединенном от
источника тока, напряженность электрического поля равна Ео.
Половину пространства между пластинами конденсатора запол-
заполнили диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е (толщи-
(толщина диэлектрика равна расстоянию между пластинами). Найти на-
напряженность электрического поля Е в пространстве между пласти-
пластинами, свободном от диэлектрика.
649. Два последовательно соединенных конденсатора с емко-
емкостями С[ = 1 мкФ и С2 = 3 мкФ подключены к источнику тока с
напряжением V = 220 В. Найти напряжение на каждом конден-
конденсаторе.
650. Два последовательно соединенных конденсатора с емко-
емкостями С, = 1 мкФ и С2 = 2 мкФ подключены к источнику тока с
. напряжением V = 900 В. Возможна ли работа
° II ~л\ ° такой схемы, если напряжение пробоя конден-
с> С2 саторов Vnp = 500 В?
P,,c 7g 651. Два последовательно соединенных кон-
конденсатора подключены к источнику тока с
напряжением V = 200 В (рис. 79). Один конденсатор имеет по-
постоянную емкость С\ = 0,5 мкФ, а другой - переменную емкость С2
(от Cmin = 0,05 мкФ до Стах = 0,5 мкФ). В каких пределах изменяется
напряжение на переменном конденсаторе при изменении его
емкости от минимальной до максимальной?
112

652. При последовательном соединении трех различных кон-
конденсаторов емкость цепи Со = 1 мкФ, а при параллельном соеди-
соединении емкость цепи С= 11 мкФ. Найти емкостью конденсаторов
Сг и С3, если емкость конденсатора С\ = 2 мкФ.
653. При последовательном соединении трех различных кон-
конденсаторов емкость цепи Со = 0,75 мкФ, а при параллельном соеди-
соединении емкость цепи С- 1 мкФ. Найти емкости конденсаторов С2
и С3 и напряжения на них V2 и V3 (при последовательном соеди-
соединении), если емкость конденсатора Сх = 3 мкФ, а напряжение на
нем V, = 20 В.
654. Три последовательно соединенных конденсатора с емко-
емкостями С, = 100 пФ, С2 = 200 пФ, С3 = 500 пФ подключены к источ-
источнику тока, который сообщил им заряд q = 10 нКл. Найти напря-
напряжения на конденсаторах V\, V2 и V3, напряжение источника тока V и
емкость всех конденсаторов С().
655. Три последовательно соединенных конденсатора с емко-
емкостями С, =0,1 мкФ, С2 = 0,25 мкФ и С3 = 0,5 мкФ подключены к
источнику тока с напряжением V = 32 В. Найти напряжения Vx, V2 и
V3 на конденсаторах.
656. Два одинаковых воздушных конденсатора емкости С =
=100 пФ соединены последовательно и подключены к источнику
тока с напряжением V = 10 В. Как изменится заряд на конденсато-
конденсаторах, если один из них погрузить в диэлектрик с диэлектрической
проницаемостью е = 2?
657. Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емко-
емкостями соединены последовательно и подключены к источнику
тока. Пространство между пластинами одного из конденсаторов
заполняют диэлектриком с диэлектрической проницаемостью
е = 9. Во сколько раз изменится напряженность электрического
поля Е в этом конденсаторе?
658. Решить предыдущую задачу для случая, когда конденсаторы
после зарядки отключаются от источника тока.
659. Два плоских воздушных конденсатора с одинаковыми емко-
емкостями С = 10 пФ соединены последовательно. Насколько изменится
емкость конденсаторов, если пространство между пластинами
одного из них заполнить диэлектриком с диэлектрической прони-
проницаемостью е = 2?
660. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S
и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам
проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкла-
113

док, а ее толщина намного меньше d. Найти емкость конденсатора
с проводящей пластинкой, если пластинка расположена на рас-
расстоянии / от одной из обкладок конденсатора.
661. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S
и расстоянием между ними d введена параллельно обкладкам
проводящая пластинка, размеры которой равны размерам обкла-
обкладок, а толщина du - d/3 < d. Найти емкость конденсатора с прово-
проводящей пластинкой.
662. Плоский воздушный конденсатор заряжен до разности по-
потенциалов V() = 50 В и отключен от источника тока. После этого в
конденсатор параллельно обкладкам вносится проводящая пла-
пластинка толщины du = 1 мм. Расстояние между обкладками d = 5 мм,
площади обкладок и пластинки одинаковы. Найти разность потен-
потенциалов V между обкладками конденсатора с проводящей пла-
пластинкой.
663. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S
и расстоянием между ними d вводится параллельно обкладкам
диэлектрическая пластинка толщины dx < d. Диэлектрическая про-
проницаемость пластинки равна е, площади обкладок и пластинки оди-
одинаковы и равны S. Найти емкость конденсатора с диэлектрической
пластинкой.
664. Пространство между обкладками плоского конденсатора
заполнено тремя диэлектрическими пластинками равной толщины
d = 2 мм из стекла (е, = 7), слюды (е2 = 6) и парафина (е3 = 2).
Площади обкладок и пластинок одинаковы и равны S = 200 см2.
Найти емкость С такого конденсатора.
I
S/2
-гСл -г-С
Рис. 80
Рис.81
665. В плоский воздушный конденсатор с площадью обкладок S
и расстоянием между ними d внесена параллельно обкладкам
диэлектрическая пластинка с диэлектрической проницаемостью
е = 2, которая расположена так, как показано на рис. 80. Во сколь-
114

ко раз изменится емкость конденсатора при внесении в него
пластинки?
666. Найти общую емкость конденсаторов, включенных по схе-
схеме, изображенной на рис. 81. Емкости конденсаторов С] = 3 мкФ,
С2 = 5 мкФ, С3 = 6 мкФ и С4 = 5 мкФ.
c4=
о
—If—
"||Cl
II
о
Рис. 82
Рис. 83
667. Найти общую емкость конденсаторов, включенных по
схеме, изображенной на рис. 82. Емкость каждого конденсатора
равна Со.
668. Найти разность потенциалов между точками аи b в схеме,
изображенной на рис. 83. Емкости конденсаторов С] = 0,5 мкФ и
С2 = 1 мкФ, напряжения источников тока V, = 2 В и V2 = 3 В.
669. Бумажный конденсатор емкости С\ = 5 мкФ и воздуш-
воздушный конденсатор емкости С2 = 30 пФ соединены последователь-
последовательно и подключены к источнику тока с напряжением V = 200 В.
Затем воздушный конденсатор заливается керосином (диэлектри-
(диэлектрическая проницаемость е = 2). Какой заряд q про-
протечет при этом по цепи?
670. Два одинаковых плоских воздушных кон-
конденсатора соединены последовательно и подклю-
подключены к источнику тока. Во сколько раз изменит-
изменится напряженность электрического поля в одном
из них, если другой заполнить диэлектриком с ди-
диэлектрической проницаемостью е = 4?
671. На точечный заряд, находящийся внутри
плоского конденсатора, имеющего заряд q, действует сила F. На
какую величину AF изменится эта сила, если конденсатор в
течение времени t заряжать током /?
672. Конденсаторы, соединенные по схеме, изображенной на
рис. 84, подключают в точках а и Ъ к источнику тока с напря-
Рис. 84
115

жением V = 80 В, а затем отключают от него. Найти заряд, кото-
который протечет через точку я, если замкнуть ключ К. Емкости кон-
конденсаторов С, = С2 = С3 = Со и С4 = ЗС0, где Со = 100 мкФ.
673. Четыре конденсатора соединены по схеме, изображенной
на рис. 85. Полюсы источника тока можно присоединить либо к
-о о +
ь
Г
а
-6 0 +
Рис. 86
точкам а я Ъ, либо к точкам тип. Емкости конденсаторов Сх =
= 2 мкФ и С2 = 5 мкФ. Найти емкости конденсаторов Сх я Су, при
которых заряды на обкладках всех конденсаторов по модулю будут
равны между собой независимо от того, каким способом будет
присоединен источник тока.
674. Два одинаковых плоских воздушных конденсатора встав-
вставлены друг в друга так, что расстояние между любыми двумя сосед-
соседними пластинами d = 5 мм. Каждый конденсатор соединен с источ-
источником тока, напряжение которого V - 100 В, одна из пластин
каждого конденсатора заземлена (рис. 86). Какова напряженность
электрического поля Е между пластинами аяЫ
675. Найти поверхностную плотность заряда на пластинах пло-
плоского конденсатора, если электрон, не имевший начальной ско-
скорости, пройдя путь от одной пластины к другой, приобретает ско-
скорость v = 107 м/с. Расстояние между пластинами d = 3 см.
676. Конденсатору емкости С = 2 мкФ сообщен заряд q =
= 1 мКл. Обкладки конденсатора соединили проводником. Найти
количество теплоты Q, выделившееся в проводнике при разрядке
конденсатора, и разность потенциалов между обкладками конден-
конденсатора до разрядки.
677. При разрядке батареи, состоящей из п — 20 параллель-
параллельно включенных конденсаторов с одинаковыми емкостями С =
- 4 мкФ, выделилось количество теплоты Q = 10 Дж. До какой
разности потенциалов были заряжены конденсаторы?
116

678. Какое количество теплоты Q выделится при заземлении
заряженного до потенциала ф = 3000 В шара радиуса R = 5 см?
679. Какой заряд q сообщен шару, если он заряжен до по-
потенциала ф = 100 В, а запасенная им электрическая энергия
680. Найти количество теплоты Q, выделив-
'?
шееся при соединении верхних незаземленных '? ¦? 2
обкладок конденсаторов с емкостями Q = 2 мкФ и с, -L -*-С2
Сг = 0,5 мкФ (рис. 87). Разности потенциалов I I
между верхними обкладками конденсаторов и ~ ~
землей V, = 100 В и V2 = -50 В. Рис. 87
681. Найти количество теплоты Q, выделив-
выделившееся при соединении одноименно заряженных обкладок конден-
конденсаторов с емкостями С\ = 2 мкФ и С2 = 0,5 мкФ. Разности потен-
потенциалов между обкладками конденсаторов V\ = 100 В и V2 = 50 В.
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
Сила электрического тока (или просто ток) определяется по формуле
/ = ф,
где q - заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за
время t.
В системе единиц СИ единица силы тока ампер (А) является основ-
основной и определяется как сила тока, при которой отрезки тонких беско-
бесконечно длинных параллельных проводников длины 1 м взаимодействуют в
вакууме с силой 2 • 10~7 Н. В соответствии с этим 1 Кл = 1 А • с.
Плотностью тока (при равномерном распределении тока по попереч-
поперечному сечению проводника) называется величина
j = US,
где S - площадь поперечного сечения проводника. Единицей плотности
тока является ампер на квадратный метр (А/м2).
Для участка цепи, содержащего проводники первого и второго рода
(металлы и растворы или расплавы электролитов), справедлив закон
Ома:
I = V/R, или I = kV,
где R — сопротивление проводника, k = 1/R — его проводимость, а V —
напряжение на этом участке цепи (разность потенциалов между его
концами).
В системе единиц СИ за единицу сопротивления принят ом (Ом) -
сопротивление такого проводника, в котором при напряжении 1 В течет
117

ток 1 А: 1 Ом = 1 В/А. Единицей проводимости является сименс (См):
1 См=1 Ом.
Сопротивление проводника с постоянным поперечным сечением, изго-
изготовленного из однородного материала, связано с длиной проводника / и
площадью его поперечного сечения S соотношением
R = pl/S,
где р - удельное сопротивление материала проводника. Единицей
удельного сопротивления является ом-метр (Ом ¦ м).
Зависимость сопротивления металлического проводника от темпера-
температуры t определяется выражением
где а - температурный коэффициент сопротивления, /?() - сопротивление
проводника при температуре % = О °С.
682. Найти плотность тока, если за время t = \0 с через попе-
поперечное сечение проводника протекает заряд q = 100 Кл. Площадь
поперечного сечения проводника S = 5 мм2.
683. Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до макси-
максимального значения V = 3 В. Сопротивление прибора R = 300 Ом.
Число делений шкалы прибора N = 100. Какова будет цена деления
шкалы прибора, если использовать его в качестве милли-
миллиамперметра?
684. Каким сопротивлением должен обладать прибор, чтобы
его можно было использовать либо в качестве вольтметра с пре-
пределом измерения напряжений до значений V = 15 В, либо в качестве
миллиамперметра с пределом измерения токов до значений
/ = 7,5 мА?
685. Отклонение стрелки вольтметра до конца шкалы соот-
соответствует напряжению V{) = 15 В. При этом через вольтметр течет
ток /о = 7,5 мА. Найти сопротивление вольтметра и ток, текущий
через вольтметр, когда он показывает напряжение V - 5 В.
686. Найти ток в цепи источника тока, замкнутого на проводник
с сопротивлением R = 1000 Ом, если при последовательном вклю-
включении в эту цепь миллиамперметра с сопротивлением Ro = 100 Ом
он показал ток /0 = 25 мА.
687. Найти напряжение на проводнике с сопротивлением R =
= 10 Ом, если за время t = 5 мин протекает заряд q = 120 Кл.
688. В электрическую сеть последовательно включены плитка,
реостат и амперметр, имеющие сопротивления R} = 50 Ом,
118

R2 — 30 Ом и /?3 = 0,1 Ом. Найти напряжения на плитке, реостате и
амперметре, если в цепи протекает ток / = 4 А.
689. Сопротивление единицы длины медной проволоки R, = R/1 =
= 2,23 Ом/м. Найти удельное сопротивление р меди. Диаметр
проволоки D = 0,1 мм.
690. Найти сопротивление R медной проволоки, масса кото-
которой т = 1 кг, а площадь поперечного сечения S = 0,1 мм2. Плот-
Плотность меди у = 8,9 • 103 кг/м3, ее удельное сопротивление
р = 0,017 мкОм • м.
691. Удельное сопротивление графитового стержня от каран-
карандаша р = 400 мкОм • м. Какой ток / пройдет по стержню, если на
него подать напряжение V = 6 В? Длина стержня / = 20 см, его
диаметр D = 2 мм.
692. При включении в электрическую цепь проводника, имею-
имеющего диаметр D = 0,5 мм и длину / = 47 мм, напряжение на нем
V = 1,2 В при токе в цепи / = 1 А. Найти удельное сопротивление р
материала проводника.
693. Электрическая цепь состоит из трех последовательно соеди-
соединенных кусков провода одинаковой длины, сделанных из одного
материала, но имеющих разные сечения: S, = 1 мм2, S2 = 2 мм2,
S3 = 3 мм2. Напряжение на концах цепи V = 11 В. Найти напряжение
на каждом проводнике.
694. Для измерения температуры применили железную прово-
проволочку, имеющую при температуре tx = 10 °С сопротивление
/?i = 15 Ом. При некоторой температуре t2 она имела сопротив-
сопротивление R2 = 18,25 Ом. Найти эту температуру. Температурный
коэффициент сопротивления железа а = 6 • 10 К.
695. Найти температуру t2 вольфрамовой нити лампочки, если
при включении в сеть с напряжением V - 220 В по нити идет ток
/ = 0,68 А. При температуре tx = 20 °С сопротивление нити R =
= 36 Ом. Температурный коэффициент сопротивления вольфрама
а = 4,6- Ю-3 К-1.
Последовательное и параллельное соединения проводников.
Добавочные сопротивления и шунты*
Общее сопротивление цепи при последовательном соединении про-
проводников равно сумме сопротивлений этих проводников:
/? = /?, +/?2 + ...+/?„.
* Сопротивлением подводящих проводов при решении задач следует пре-
пренебречь, если оно не задано в условии.
1J9

Общее сопротивление параллельно соединенных проводников связано с
сопротивлениями этих проводников соотношением
1
R
1
= — +
1
1
h'+Rn-
Соответственно общая проводимость последовательно включенных про-
проводников удовлетворяет соотношению
111 1
— = —+ — + ... + —,
к кх к2 кп
а общая проводимость параллельно включенных проводников равна
сумме их проводимостей:
к = к\ + к2 + ... + к„.
696. Какое надо взять сопротивление R, чтобы можно было
включить в сеть с напряжением V = 220 В лампу, рассчитанную на
напряжение Vo = 120 В и ток /0 = 4 А?
697. Две дуговые лампы и сопротивление R соединены последо-
последовательно и включены в сеть с напряжением V= ПО В. Найти
сопротивление R, если каждая лампа рассчитана на напряжение
Vo = 40 В, а ток в цепи / = 12 А.
698. Для измерения напряжения на участке цепи последова-
последовательно включены два вольтметра (рис. 88). Первый вольтметр дал
показание V] = 20 В, второй - V2 = 80 В. Найти
сопротивление второго вольтметра R2, если
сопротивление первого вольтметра R^ = 5 кОм.
699. Реостат из железной проволоки, мил-
миллиамперметр и источник тока включены по-
последовательно. При температуре ta = 0 °С сопротивление реоста-
реостата Rq = 200 Ом. Сопротивление миллиамперметра R = 20 Ом, его
показание /0 = 30 мА. Какой ток /, будет показывать мил-
миллиамперметр, если реостат нагреется до температуры t = 50 °С?
Температурный коэффициент сопротивления железа а =
= 6- 10 К-1.
700. Проводник с сопротивлением R = 2000 Ом состоит из двух
последовательно соединенных частей: угольного стержня и про-
проволоки, имеющих температурные коэффициенты сопротивления
а, = -10 ¦ 10~3 К и а2 = 2 • 10~3 К. Какими следует выбрать
сопротивления этих частей, чтобы общее сопротивление провод-
проводника R не зависело от температуры?
120

701. Составить такую схему электропроводки для освещения
одной лампочкой коридора, которая позволяет включать и вы-
выключать свет независимо в любом конце коридора.
702. В сеть с напряжением V = 120 В включены две элект-
электрические лампочки с одинаковыми сопротивлениями R = 200 Ом.
Какой ток пойдет через каждую лампочку при их параллельном и
последовательном соединениях?
Рис. 89
Рис. 90
703. Реостат со скользящим контактом, соединенный по схеме,
приведенной на рис. 89, является потенциометром (делителем
напряжения). При перемещении движка потенциометра снимаемое
с него напряжение Vх изменяется от нуля до напряжения на
клеммах источника тока V. Найти зависимость напряжения Vx от
положения движка. Построить график этой зависимости для слу-
случая, когда полное сопротивление потенциометра Ro во много раз
меньше сопротивления вольтметра /'.
704. Найти сопротивление R биметаллического (железо-медь)
провода длины / = 100 м. Диаметр внутренней (железной) части
провода d = 2 мм, общий диаметр провода D = 5 мм. Удель-
Удельные сопротивления железа и меди р] = 0,12 мкОм ¦ м и р2 =
= 0,017 мкОм ¦ м. Для сравнения найти сопротивления железного и
медного проводов /?ж и Ru диаметра D и длины /.
705. Найти общее сопротивление проводников, включенных
в цепь по схеме, изображенной на рис. 90, если сопротивления
Rl=R2 = R5 = R6=:l Ом, Л3 = Ю Ом, R4 = 8 Ом.
706. Общее сопротивление двух последовательно соединенных
проводников R = 5 Ом, а параллельно соединенных /?0 = 1,2 Ом.
Найти сопротивление каждого проводника.
707. К проволочному кольцу в двух точках присоединены под-
подводящие ток провода. В каком отношении делят точки присоеди-
присоединения длину окружности кольца, если общее сопротивление полу-
получившейся цепи в и = 4,5 раза меньше сопротивления проволоки, из
которой сделано кольцо?
121

708. В цепи, изображенной на рис. 91, амперметр показы-
показывает ток / = 0,04 А, а вольтметр - напряжение V = 20 В. Найти
сопротивление вольтметра R2, если сопротивление проводника
Л, = 1 кОм.
709. Найти сопротивление Rt лампочки по показаниям вольт-
вольтметра (V = 50 В) и амперметра (/ = 0,5 А), включенных по схеме,
Рис.91
Рис. 92
изображенной на рис. 92, если сопротивление вольтметра R2 =
= 40 кОм.
710. Найти сопротивление проводника R] по показаниям ам-
амперметра (/ = 5 А) и вольтметра (V = 100 В), включенных по
схеме, изображенной на рис. 93, если сопротивление вольтметра
R2 = 2,5 кОм. Какова будет ошибка в определении Ru если, предпо-
предположив, что R2^R\, при расчетах пренебречь током, текущим через
вольтметр?
''2
Рис. 93
Рис. 94
711. К источнику тока с напряжением V присоединены последо-
последовательно два проводника с одинаковыми сопротивлениями R.
Какова будет разница в показаниях вольтметров с сопротив-
сопротивлениями R и 10/?, если их поочередно подключать к концам одного
из проводников?
712. К источнику тока с напряжением V = 12 В присоединены две
лампочки (рис. 94). Сопротивления участков цепи гх = г2 = г3 =
= г4 = г = 1,5 Ом. Сопротивления лампочек Rt = R2 = R = 36 Ом.
Найти напряжение на каждой лампочке.
713. В схеме, изображенной на рис. 95, напряжение источника
тока V = 200 В, а сопротивления проводников /?, = 60 Ом, R2 = R3 =
= 30 Ом. Найти напряжение на сопротивлении Rt.
122

S 714. Электрическая цепь состоит из источника тока с напря-
напряжением V= 180 В и потенциометра с полным сопротивлением
ц = 5 кОм. Найти показания вольтметров, присоединенных к
-потенциометру по схеме, изображенной на рис. 96. Сопротивления
вольтметров /?, = 6 кОм и R2 = 4 кОм. Движок х стоит посередине
потенциометра.
Рис. 96
715. Три резистора включены по схеме, изображенной на
рис. 97. Если резисторы включены в цепь в точках а и Ь, то
сопротивление цепи будет R = 20 Ом, а если в точках а и с, то
сопротивление цепи будет Ro = 15 Ом. Найти сопротивления
резисторов /?ь /?2, /?3, если /?j = 2/?2.
716. На сколько равных частей нужно разрезать проводник,
имеющий сопротивление R = 36 Ом, чтобы сопротивление его
частей, соединенных параллельно, было Ro = 1 Ом?
/
1 —
/
b с
Рис. 97
Рис. 98
717. Из проволоки сделан каркас в форме куба (рис. 98), каждое
ребро которого имеет сопротивление г. Найти сопротивление R
этого каркаса, если ток / в общей цепи идет от вершины А к
вершине В.
718. Из проволоки, единица длины которой имеет сопро-
сопротивление /?,, сделан каркас в форме окружности радиуса г, пере-
пересеченной двумя взаимно перпендикулярными диаметрами (рис. 99).
Найти сопротивление Rx каркаса, если источник тока подключен к
точкам cad.
123

719. Провод длины L = 1 м сплетен из трех жил, каждая из ко-
которых представляет собой кусок неизолированной проволоки с
сопротивлением единицы длины /?, = 0,02 Ом/м. На концах провода
создано напряжение V - 0,01 В. На какую величину А/ изменится
ток в этом проводе, если от одной жилы удалить кусок длины
/ = 20 см?
720. Источник тока первоначально присоединяют к двум со-
соседним вершинам проволочной рамки в форме правильного вы-
выпуклого n-угольника. Затем источник тока присоединяют к вер-
вершинам, расположенным через одну. При этом ток уменьшается в
1,5 раза. Найти число сторон п-угольника.
721. Как надо соединить четыре проводника с сопротивлениями
/?, = 1 Ом, /?2 = 2 Ом, /?з = 3 Ом и /?4 = 4 Ом, чтобы получить
сопротивление R = 2,5 Ом?
722. Найти проводимость к цепи, состоящей из двух последо-
последовательных групп параллельно включенных проводников. Прово-
Проводимости каждого проводника первой и второй групп равны
кх = 0,5 См и к2 = 0,25 См. Первая группа состоит из четырех
проводников, вторая - из двух.
723. Вольтметр рассчитан на измерение напряжений до
максимального значения V() = 30 В. При этом через вольтметр идет
ток / = 10 мА. Какое добавочное сопротивление R){ нужно
присоединить к вольтметру, чтобы им можно было измерять
напряжения до V = 150 В?
724. Стрелка миллиамперметра отклоняется до конца шкалы,
если через миллиамперметр идет ток I- 0,01 А. Сопротивление
прибора R - 5 Ом. Какое добавочное сопротивление Rn нуж-
нужно присоединить к прибору, чтобы его можно было использовать в
качестве вольтметра с пределом измерения напряжений V = 300 В?
725. Вольтметр, соединенный последовательно с сопротив-
сопротивлением /?| = 10 кОм, при включении в сеть с напряжением
V = 220 В показывает напряжение V, = 70 В, а соединенный
последовательно с сопротивлением /?2, показывает напряжение
V2 = 20 В. Найти сопротивление /?2.
726. Вольтметр с сопротивлением R = 3 кОм, включенный в
городскую осветительную сеть, показал напряжение V = 125 В.
При включении вольтметра в сеть через сопротивление /?() его
показание уменьшилось до Vo = 115 В. Найти это сопротивление.
727. Вольтметр с сопротивлением R = 50 кОм, подключенный
к источнику тока вместе с добавочным сопротивлением /?д =
124

: =s 120 кОм, показывает напряжение Vo = 100 В. Найти напряжение
V источника тока.
728. Найти показание вольтметра V с сопротивлением R в цепи,
изображенной на рис. 100. Ток до разветвления равен /, сопро-
сопротивления проводников /?, и /?2 известны.
729. Имеется прибор с ценой деления /0 = г R2
= 1 мкА/дел и числом делений шкалы N = 100.
Сопротивление прибора R = 50 Ом. Как этот
прибор приспособить для измерения токов до
значения / = 10 мА или напряжений до значения
V=1B?
730. Миллиамперметр с пределом измерения рИс. 100
токов /0 = 25 мА необходимо использовать как
амперметр с пределом измерения токов / = 5 А. Какое сопро-
сопротивление /?„, должен иметь шунт? Во сколько раз уменьшается
чувствительность прибора? Сопротивление прибора R = 10 Ом.
731. Амперметр с сопротивлением R = 0,2 Ом, накоротко при-
присоединенный к источнику тока с напряжением V = 1,5 В, показы-
показывает ток / = 5 А. Какой ток /0 покажет амперметр, если его
зашунтировать сопротивлением /?ш = 0,1 Ом?
732. При шунтировании гальванометра сопротивлениями Rx, R2 и
/?з в них ответвляется 90, 99 и 99,9 % тока / общей цепи. Найти эти
сопротивления, если сопротивление гальванометра R = 27 Ом.
733. Миллиамперметр с числом делений шкалы N - 50 имеет
цену деления /0 = 0,5 мА/дел и сопротивление R = 200 Ом. Как этот
прибор приспособить для измерения токов до значения / = 1 А?
734. К амперметру с сопротивлением R = 0,1 Ом подключен
шунт с сопротивлением /?,„ = 11,1 мОм. Найти ток, текущий через
амперметр, если ток в общей цепи / = 27 А.
735. Параллельно амперметру с сопротивлением R = 0,03 Ом
включен медный проводник длины / = 10 см и диаметра D =
= 1,5 мм. Найти ток в цепи /, если амперметр показывает ток
/о = 0,4 А. Удельное сопротивление меди р = 0,017 мкОм • м.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
Электрический ток в полной (замкнутой) цепи, состоящей из внешнего
сопротивления R и источника тока с ЭДС % и внутренним сопротивле-
сопротивлением г,
125

Напряжение на участке цепи, если этот участок содержит источник
тока с ЭДС % и имеет сопротивление R (включая и внутреннее сопро-
сопротивление источника тока),
где ф] и (р2 - потенциалы начала и конца этого участка (рис. 101а). Здесь
предполагается, что начало участка - у положительного полюса источни-
а ср п б се п
Ф2 _'+ Ф1 Ф2 _',м Ф1
Рис. 101
ка тока, конец участка - у отрицательного полюса и что ток / внутри
источника течет от отрицательного полюса к положительному. Если дру-
другие участки цепи также содержат источники тока, то на данном участке
возможно противоположное направление тока внутри источника
(рис. 1016). В этом случае
М = % + IR.
1Ъ6. В цепи источника тока с ЭДС % = 30 В идет ток / = 3 А.
Напряжение на зажимах источника V = 18 В. Найти внешнее сопро-
сопротивление цепи R и внутреннее сопротивление источника г.
1Ъ1. В цепи, состоящей из реостата и источника тока с ЭДС
% = 6 В и внутренним сопротивлением г = 2 Ом, идет ток /, =
= 0,5 А. Какой ток /2 пойдет при уменьшении сопротивления
реостата в три раза?
738. Источник тока с ЭДС % и внутренним сопротивлением
г замкнут на сопротивление /?. Как меняется ток в цепи и напря-
напряжение на зажимах источника в зависимости от /??
Построить графики этих зависимостей при % = 15 В
и г = 2,5 Ом.
739. Нить накала радиолампы включена последо-
последовательно с реостатом в цепь источника тока с ЭДС
% = 2,5 В и внутренним сопротивлением г = 0,1 Ом
(рис. 102). Необходимый ток накала достигается,
Рис. 102 ^ D о 7 /-> rj -
когда сопротивление реостата /?] = 8,4 Ом. Найти
ток в цепи накала /, если сопротивление нити накала R2 = 30 Ом.
740. Для питания нити накала радиолампы необходимы напря-
напряжение V = 4 В и ток / = 1 А. Найти дополнительное сопротивле-
сопротивление /?ь при котором в цепи накала достигается необходимый ток
126

|(см. рис. 102). ЭДС источника тока % = 12 В, его внутреннее сопро-
I тявление г = 0,6 Ом.
741. Лампа подключена медными проводами к источнику тока с
ЭДС % = 2 В и внутренним сопротивлением г = 0,04 Ом. Длина
проводов / = 4 м, их диаметр D = 0,8 мм, удельное сопротивление
меди р = 0,017 мкОм • м. Напряжение на зажимах источника
V = 1,98 В. Найти сопротивление лампы R.
742. Вольтметр, подключенный к источнику тока с ЭДС
% - 120 В и внутренним сопротивлением г = 50 Ом, показывает
напряжение V - 118 В. Найти сопротивление вольтметра R.
743. При подключении внешней цепи напряжение на зажимах
источника тока с ЭДС % = 30 В оказывается равным V- 18 В.
Внешнее сопротивление цепи R = 6 Ом. Найти внутреннее сопро-
сопротивление источника г.
744. Источник тока с ЭДС % = 1,25 В и внутренним сопро-
сопротивлением г = 0,4 Ом питает лампу, рассчитанную на напряжение
V] = 1 В. Сопротивление лампы /?, = 10 Ом. Найти сопротивление
подводящих проводов /?2 и напряжение на них V2.
745. Источник тока питает п = 100 ламп, рассчитанных на
напряжение К, = 220 В и соединенных параллельно. Сопротивление
каждой лампы Rt = 1,2 кОм, сопротивление под-
подводящих проводов /?2 = 4 Ом, внутреннее сопро-
сопротивление источника г = 0,8 Ом. Найти напря-
напряжение на зажимах источника и его ЭДС.
746. Какова должна быть ЭДС % источника
тока в схеме, изображенной на рис. 103, чтобы
напряженность электрического поля в плоском
конденсаторе была Е - 2,25 кВ/м? Внутреннее
сопротивление источника г = 0,5 Ом, сопротив- иа
ление резистора R = 4,5 Ом, расстояние между пластинами кон-
конденсатора d = 0,2 см.
747. Источник тока с ЭДС % - 15 В и внутренним сопро-
сопротивлением /• = 5 Ом замкнут на резистор с сопротивлением
R = 10 Ом. К зажимам источника подключен конденсатор емкости
С = 1 мкФ. Найти заряд на конденсаторе.
748. Электрическая цепь состоит из источника тока* и двух
последовательно соединенных резисторов с одинаковыми сопро-
сопротивлениями R. К концам одного из резисторов присоединяют по
Здесь и далее внутренним сопротивлением источника тока и подводящих
проводов следует пренебречь, если оно не задано в условии.
127

очереди два вольтметра: один имеет сопротивление R, а другой -
сопротивление 10 R. Во сколько раз будут отличаться показания
вольтметров?
749. К источнику тока с ЭДС % = 8,8 В присоединены по-
последовательно резистор с неизвестным сопротивлением /?] и рези-
резистор с сопротивлением R2 = 1 кОм. Вольт-
Вольтметр с сопротивлением R = 5 кОм, подклю-
подключенный к концам резистора /?ь показывает
напряжение V = 4 В. Какое падение напря-
напряжения V будет на резисторе /?,, если
отключить вольтметр?
750. Какой ток / покажет амперметр* в
схеме, изображенной на рис. 104? Сопро-
Сопротивления резисторов /?, = 1,25 Ом, R2 - 1 Ом, /?3 = 3 Ом, RA-1 Ом,
ЭДС источника % = 2,8 В.
751. Найти ток /, идущий через источник тока в схеме, изо-
изображенной на рис. 105. Сопротивления всех резисторов одинаковы
и равны R = 34 Ом, ЭДС источника % = 7,3 В.
752. Найти ток /, идущий через резистор с сопротивлением R2
в схеме, параметры которой даны на рис. 106.
753. Один полюс источника тока с ЭДС % = 1400 В и внутрен-
внутренним сопротивлением г = 2,2 Ом подключен к центральной алюми-
Рис. 104
R I
R
R
—1 I-J
1 г*
R
—1 1—
1 1
R
R
i
—С^
R
,_!
R
_i—
1
R
Рис. 105
Рис. 106
ниевой жиле кабеля (диаметр жилы D} = 8 мм), другой - к его
свинцовой оболочке (наружный диаметр D2 = 18 мм, внутренний -
d2 = 16 мм). На каком расстоянии / от источника кабель порвался и
произошло замыкание жилы с оболочкой, если начальный ток
* Здесь и далее сопротивлением амперметра следует пренебречь, если оно не
задано в условии.
128

j: короткого замыкания / = 120 А? Удельные сопротивления алю-
алюминия и свинца Р] = 0,03 мкОм • м и р2 = 0,2 мкОм • м.
754. Найти ток /, текущий через резистор с сопротивлением /?, в
схеме, параметры которой даны на рис. 107, в первый момент
после замыкания ключа, если до этого напряжение на конден-
конденсаторе было постоянным.
с
d=C d=C
Рис. 107
Рис. 108
Рис. 109
755. Найти напряжения Vx и V2 на конденсаторах с емкостями Сх
и С2 в схеме, параметры которой даны на рис. 108.
756. Найти заряды qx,q2-n.q-i на каждом из конденсаторов
в схеме, параметры которой даны на рис. 109.
757. В цепь, питаемую источником тока с внутренним сопро-
сопротивлением г = 3 Ом, входят два резистора с одинаковыми сопро-
4ZD-
К2
,С
Рис. 110
Рис. 111
тивлениями /?] = R2- 28 Ом, включенные параллельно, и резистор
с сопротивлением /?3 = 40 Ом (рис. 110). Параллельно резистору /?3
подключен конденсатор емкости С = 5 мкФ, заряд которого q =
= 4,2 Кл. Найти ЭДС % источника.
758. Два резистора с одинаковыми сопротивлениями /?, =
= 25 Ом и резистор с сопротивлением R2 = 50 Ом подключены к
источнику тока по схеме, изображенной на рис. 111. К участку ab
129

подключен конденсатор емкости С = 5 мкФ. Найти ЭДС % источ-
источника тока, если заряд на конденсаторе <у = 0,11 мКл.
759. Найти заряд на конденсаторе емкости С в схеме, параметры
которой даны на рис. 112.
760. Найти напряжение на конденсаторе емкости в схеме, пара-
параметры которой даны на рис. 113.
Рис. 113
761. Источник тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом
замкнут на резистор с сопротивлением R. Вольтметр, подключен-
подключенный к зажимам источника, показывает напряжение Vi = 20 В.
Когда параллельно резистору с сопротивлением R присоединен
резистор с таким же сопротивлением /?, показание вольтметра
уменьшается до V2 = 15 В. Найти сопротивление резистора /?, если
сопротивление вольтметра велико по сравнению с R.
762. К источнику тока с ЭДС % = 200 В и внутренним сопро-
сопротивлением г = 0,5 Ом подключены последовательно два резистора
с сопротивлениями /?! = 100 Ом и /?2 = 500 Ом. К концам резистора
/?2 подключен вольтметр. Найти сопротивление R вольтметра, если
он показывает напряжение V = 160 В.
763. Проволока из нихрома изогнута в виде
кольца радиуса а = 1 м (рис. 114). В центре
кольца помещен гальванический элемент с
ЭДС % = 2 В и внутренним сопротивлением
г = 1,5 Ом. Элемент соединен с точками с и d
кольца по диаметру с помощью такой же
нихромовой проволоки. Найти разность потен-
потенциалов между точками end. Удельное сопро-
сопротивление нихрома р = 1,1 мкОм • м, площадь
сечения проволоки S = 1 мм2.
764. К источнику тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом,
подключены два параллельно соединенных резистора с сопротив-
Рис. 114
130

! деииями /?i = 10 Ом и /?2 = 2 Ом. Найти отношение токов,
протекающих через резистор /?j до и после обрыва в цепи рези-
резистора /?2.
765. Два резистора с сопротивлениями /?t = /?2 = 1 Ом и реостат,
имеющий полное сопротивление /?3 = 2 Ом, присоединены к источ-
'¦ «з
Рис. 115
R2
Рис. 116
нику тока с внутренним сопротивлением г = 0,5 Ом (рис. 115).
К разветвленному участку цепи подключен вольтметр. Когда дви-
движок реостата находится на его середине (точка д), вольтметр пока-
показывает напряжение Va = 13 В. Каково будет показание вольт-
вольтметра, если движок передвинуть в крайнее правое положение
на реостате? Сопротивление вольтметра велико по сравнению
c/?i и/?2.
766.Шесть проводников с одинаковыми сопротивлениями
/?о = 2 Ом соединены попарно параллельно. Все три пары соеди-
соединены последовательно и подключены к источнику тока с внутрен-
внутренним сопротивлением г = 1 Ом. При этом по каждому проводнику
течет ток /0 = 2,5 А. Какой ток будет течь по каждому проводнику,
если один из них удалить?
767. Источник тока с ЭДС % = 100 В и внутренним сопротив-
сопротивлением г = 0,2 Ом и три резистора с сопротивлениями /?] = 3 Ом,
/?2 = 2 Ом и /?3 = 18,8 Ом включены по схеме, изображенной на
рис. 116. Найти токи, текущие через резисторы R{ и R2.
768. К источнику тока с ЭДС % = 120 В и внутренним сопротив-
сопротивлением г = 10 Ом подключены два параллельных провода с со-
сопротивлениями /?! = 20 Ом. Свободные концы проводов и их сере-
середины соединены друг с другом через две лампы с сопротивлениями
/?2 = 200 Ом. Найти ток, текущий через источник тока.
769. При замыкании источника тока на резистор с сопротивле-
сопротивлением /?! =5 Ом в цепи идет ток 1Х = 5 А, а при замыкании на
131

резистор с сопротивлением /?2 = 2 Ом идет ток /2 = 8 А. Найти
внутреннее сопротивление г и ЭДС источника тока %.
770. При замыкании источника тока на резистор с сопротив-
сопротивлением /?, = 14 Ом напряжение на зажимах источника V! = 28 В,
а при замыкании на резистор с сопротивлением R2 = 29 Ом напря-
напряжение на зажимах V2 = 29 В. Найти внутреннее сопротивление г
источника.
771. Амперметр с сопротивлением /?, = 2 Ом, подключенный к
источнику тока, показывает ток /, = 5 А. Вольтметр с сопротив-
сопротивлением /?2 = 150 Ом, подключенный к такому же источнику тока,
показывает напряжение V = 12 В. Найти ток короткого замыкания
/к источника.
772. Два параллельно соединенных резистора с сопротивлениями
/?, =40 Ом и /?2 = Ю Ом подключены к источнику тока с ЭДС
% — 10 В. Ток в цепи / = 1 А. Найти внутреннее сопротивление
источника и ток короткого замыкания.
773. Аккумулятор с ЭДС % = 25 В и внутренним сопротивле-
сопротивлением г = 1 Ом заряжается от сети с напряжением V = 40 В через
сопротивление R = 5 Ом. Найти напряжение Va на зажимах аккуму-
аккумулятора.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.
Правила Кирхгофа
Электрический ток в общей цепи при последовательном соединении п
одинаковых источников тока в батарею
п%
I = -
R + nr
где R - внешнее сопротивление цепи, а?иг- ЭДС и внутреннее сопро-
сопротивление каждого источника тока (аккумулятор, генератор, гальваниче-
гальванический элемент и т.д.).
При параллельном соединении и одинаковых источников тока ток
в общей цепи
R+rin
При решении задач на разветвленные электрические цепи, особенно
если в этих цепях имеется несколько источников тока, удобно поль-
пользоваться правилами Кирхгофа, которые заключаются в сле-
следующем.
132

;; Алгебраическая сумма всех токов, приходящих в точку разветвления
(узел) и выходящих из нее, равна нулю:
/,+/2+...+/„ = 0. A4)
Токи, входящие в узел, считаются положительными, а выходящие из
узла - отрицательными. Например, для узла а на рис. 117 уравнение для
токов будет /5 —1\ — Ц = 0.
Направление тока на каждом участ-
участке цепи между двумя узлами можно
выбирать произвольно, сохраняя, одна-
однако, это направление на всех этапах
решения задачи. Если в результате ре-
решения для каких-либо токов полу-
получаются отрицательные числовые зна-
значения, то это означает, что перво-
первоначальные направления токов были
выбраны неправильно.
При обходе любого замкнутого кон-
u Рис 117
тура в сложной электрической цепи
алгебраическая сумма падений напряжения на элементах цепи (включая и
внутренние сопротивления источников тока) равна алгебраической сумме
ЭДС источников тока, имеющихся в этом контуре:
I\R\ +hRi+ ¦¦¦ +l,ftn = ?>x +%2+ ••• +?>„. A5)
Направление обхода каждого контура (по часовой стрелке или против
нее) произвольно. Падение напряжения считается положительным, если
выбранное заранее направление тока на этом участке между двумя
узлами совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным, если
направление тока противоположно направлению обхода. ЭДС считается
положительной, если при обходе по контуру источник тока проходит от
отрицательного полюса к положительному, и отрицательной - в против-
противном случае. Например, для контура abed на рис. 117 при обходе по часо-
часовой стрелке уравнение A5) запишется в виде
+ Г,) + /2(/?2 + Г2) - /3(Я3 + Г3) ~ /4*4 = «1 - «2 ~ Из-
Извели полная схема содержит т узлов, то уравнения A4) составляются
для т-\ узлов. При составлении уравнений A5) для контуров нужно
следить за тем, чтобы каждый вновь взятый контур не мог быть получен
сложением или вычитанием уже рассмотренных контуров. Полное число
уравнений, составленных по правилам Кирхгофа, должно совпадать с
числом участков между узлами, т.е. с числом различных токов в данной
схеме.
774. Найти разность потенциалов между точками а и b в схеме,
изображенной на рис. 118. ЭДС источников тока <ё1 = 1 В и
%2 = 1,3 В, сопротивления резисторов /?j = 10 Ом и /?2 = 5 Ом.
133

775. Два элемента с ЭДС <ё1 = 1,5Ви'ё2 = 2Ви внутренними
сопротивлениями Г] = 0,6 Ом и г2 = 0,4 Ом соединены по схеме,
изображенной на рис. 119. Какую разность потенциалов между
точками а и Ъ покажет вольтметр, если сопротивление вольтметра
велико по сравнению с внутренними сопротивлениями элементов?
Рис. 118
«..г,
776. Два элемента с ЭДС <ё1 = 1,4Ви<ё2=1Д В и внутренними
сопротивлениями гх = 0,3 Ом и г2 = 0,2 Ом замкнуты разноимен-
разноименными полюсами (рис. 120). Найти напряжение на зажимах элемен-
элементов. При каких условиях разность потенциалов между точками а
и Ъ равна нулю?
777. Два источника тока с одинаковыми ЭДС % - 2 В и внут-
внутренними сопротивлениями г{ = 0,4 Ом и г2 = 0,2 Ом соединены
последовательно. При каком внешнем сопротивлении цепи R на-
напряжение на зажимах одного из источников будет равным нулю?
ъ
Рис. 120
Рис. 121
778. Найти внутреннее сопротивление гх первого элемента в
схеме, изображенной на рис. 121, если напряжение на его зажимах
равно нулю. Сопротивления резисторов Rt = 3 Ом, /?2 = 6 Ом,
внутреннее сопротивление второго элемента г2 = 0,4 Ом, ЭДС
элементов одинаковы.
134

779. При каком соотношении между сопротивлениями резисто-
резисторов /?ь /?2, /?з и внутренними сопротивлениями элементов гх,г2
(рис. 122) напряжение на зажимах одного из элементов будет равно
нулю? ЭДС элементов одинаковы.
l|-
Рис. 122
Рис. 123
Рис. 124
780. Два генератора с одинаковыми ЭДС 1 = 6В и внутренними
сопротивлениями г, = 0,5 Ом и г2 = 0,38 Ом включены по схеме,
изображенной на рис. 123. Сопротивления резисторов Rx = 2 Ом,
/?2 = 4 Ом, /?3 = 7 Ом. Найти напряжения V, и V2 на зажимах
генераторов.
781. Три элемента с ЭДС %х =2,2 В, %2 = 1,1 Ви^3 = 0,9 В
и внутренними сопротивлениями Г\ = 0,2 Ом, г2 = 0,4 Ом и г3 =
= 0,5 Ом включены в цепь последовательно. Внешнее сопротив-
сопротивление цепи R - 1 Ом. Найти напряжение на зажимах каждого
элемента.
782. Батарея из четырех последовательно включенных в цепь
элементов с ЭДС % = 1,25 В и внутренним сопротивлением
;=0,1 Ом питает два параллельно соединенных проводника с
сопротивлениями /?) = 50 Ом и /?2 = 200 Ом. Найти напряжение на
зажимах батареи.
783. Сколько одинаковых аккумуляторов с ЭДС % = 1,25 В и
внутренним сопротивлением г = 0,004 Ом нужно взять, чтобы
составить батарею, которая давала бы на зажимах напряжение
V = 115 В при токе / = 25 А?
784. Батарея из п = 40 последовательно включенных в цепь
аккумуляторов с ЭДС % = 2,5 В и внутренним сопротивлением
г = 0,2 Ом заряжается от сети с напряжением V = 127 В. Найти
зарядный ток, если последовательно в цепь введен проводник
с сопротивлением R = 2 Ом.
785. Два элемента с ЭДС <ё1 = 1,25Ви^2=1,5Ви одинаковыми
внутренними сопротивлениями г = 0,4 Ом соединены параллельно
(рис. 124). Сопротивление резистора R = 10 Ом. Найти токи, теку-
текущие через резистор и каждый элемент.
135

786. Два элемента с ЭДС <ё1=6Ви<ё2 = 5 В и внутренними
сопротивлениями ^ = 1 Ом и г2 = 2 Ом соединены по схеме, изобра-
изображенной на рис. 125. Найти ток, текущий через резистор с сопро-
сопротивлением /? = 10 Ом.
787. Три одинаковых элемента с ЭДС % = 1,6 В и внутрен-
внутренним сопротивлением г = 0,8 Ом включены в цепь по схеме, изобра-
Рис. 125
Рис. 126
женной на рис. 126. Миллиамперметр показывает ток / = 100 мА.
Сопротивления резисторов /?j = 10 Ом и /?2 = 15 Ом, сопротивление
резистора R неизвестно. Какое напряжение V показывает вольт-
вольтметр? Сопротивление вольтметра очень велико, сопротивление
миллиамперметра пренебрежимо мало.
788. Сопротивления резисторов /?, и /?, и ЭДС %х vl%2 источников
тока в схеме, изображенной на рис. 127, известны. При какой ЭДС
%¦*, третьего источника ток через резистор /?3 не течет?
Рис. 127
Рис. 128
789. Цепь из трех одинаковых последовательно соединенных
элементов с ЭДС % и внутренним сопротивлением г замкнута
накоротко (рис. 128). Какое напряжение покажет вольтметр, под-
подключенный к зажимам одного из элементов?
790. Источник тока с ЭДС %0 включен в схему, параметры ко-
которой даны на рис. 129. Найти ЭДС % источника тока и направле-
направление его подключения к выводам а и Ъ, при которых ток через
резистор с сопротивлением /?2 не идет.
136

791. Два элемента с одинаковыми ЭДС % включены в цепь
последовательно. Внешнее сопротивление цепи R = 5 Ом. Отно-
Отношение напряжения на зажимах первого элемента к напряжению на
зажимах второго элемента равно 2/3. Найти внутренние сопро-
сопротивления элементов г, и г2, если г, = 2г2.
Рис. 129
Рис. 130
792. Два одинаковых элемента с ЭДС % - 1,5 В и внутренним
сопротивлением /• = 0,2 Ом замкнуты на резистор, сопротивление
которого составляет в одном случае Rx - 0,2 Ом, в другом — R2 =
= 20 Ом. Как нужно соединить элементы (последовательно или
параллельно) в первом и во втором случаях, чтобы получить
наибольший ток в цепи?
793. Два элемента с ЭДС 1, =4В и1?, = 2В и внутренними
сопротивлениями Г] = 0,25 Ом и г2 = 0,75 Ом включены в схему,
изображенную на рис. 130. Сопротивления резисторов /?, = 1 Ом и
R2 = 3 Ом, емкость конденсатора С = 2 мкФ. Найти заряд на кон-
конденсаторе.
794. К батарее из двух параллельно включенных элементов с
ЭДС %х и ^2 и внутренними сопротивлениями г, и г2 подключен
резистор с сопротивлением R. Найти ток /, текущий через резистор
R, и токи /) и /2 в первом и втором элементах. При каких условиях
токи в отдельных цепях могут быть равными нулю или изменять
свое направление на обратное?
795. Батарея из п одинаковых аккумуляторов, соединенных в
одном случае последовательно, в другом - параллельно, замыкает-
замыкается на резистор с сопротивлением R. При каких условиях ток, теку-
текущий через резистор, в обоих случаях будет один и тот же?
796. Батарея из п = 4 одинаковых элементов с внутренним
сопротивлением г — 2 Ом, соединенных в одном случае последо-
последовательно, в другом - параллельно, замыкается на резистор с сопро-
сопротивлением R = 10 Ом. Во сколько раз показание вольтметра в
одном случае отличается от показания вольтметра в другом слу-
случае? Сопротивление вольтметра велико по сравнению с R и г.
137

797. Как изменится ток, текущий через резистор с сопротивле-
сопротивлением R = 2 Ом, если п = 10 одинаковых элементов, соединенных
последовательно с этим резистором, включить параллельно ему?
ЭДС элемента % = 2Ъ, его внутреннее сопротивление г = 0,2 Ом.
798. Батарея составлена из N = 600 одинаковых элементов так,
что п групп соединены последовательно и в каждой из них
содержится т элементов, соединенных параллельно. ЭДС каждого
элемента % = 2 В, его внутреннее сопротивление /- = 0,4 Ом.
При каких значениях пит батарея, будучи замкнута на внешнее
сопротивление R = 0,6 Ом, отдаст во внешнюю цепь максимальную
мощность? Найти при этом ток, текущий через сопротивление /?.
799. Емкость аккумулятора Q{) = 80 А • ч*. Найти емкость бата-
батареи из п = 3 таких аккумуляторов, включенных последовательно и
параллельно.
800. Найти емкость батареи аккумуля-
аккумуляторов, включенных по схеме, изображен-
| i i i || ной на рис. 131. Емкость каждого акку-
' ' ' ' ' мулятора <2о = 64 А • ч.
801. Мост для измерения сопротивле-
сопротивлений сбалансирован так, что ток через
гальванометр не идет (рис. 132). Ток в
правой ветви / = 0,2 А. Найти напряжение V на зажимах источника
тока. Сопротивления резисторов R} = 2 Ом, R2 = 4 Ом, /?3 = 1 Ом.
802. Найти токи, протекающие в каждой ветви цепи, изобра-
изображенной на рис. 133. ЭДС источников тока %\ = 6,5 Ви12 = 3,9 В.
Сопротивления резисторов /?, = R2 = R3 = ^4 = ^5 = ^в = R = Ю Ом.
b h «2 с
i|—1|—1|—1|—1|—I
Рис. 131
Рис. 132
* Емкостью аккумулятора называется заряд Q, который проходит по цепи при
разрядке через нее заряженного аккумулятора. При разрядном токе / и времени
разрядки т емкость аккумулятора Q = /т и выражается в ампер-часах (А • ч).
138

§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
При перемещении заряда q в электрическом поле из точки с потен-
потенциалом ф] в точку с потенциалом (р2 электрические силы совершают
работу
А = <7(ср, - ф2) = qV.
Если по проводнику течет ток /, то через поперечное сечение проводника
в течение времени т проходит заряд q = /т. Поэтому при прохождении
тока / по проводнику, разность потенциалов между концами которого
равна V, за время х совершается работа
А = IVx.
По закону сохранения энергии результатом этой работы является то,
что проводник приобретает сам и передает окружающим телам экви-
эквивалентное количество энергии W в различных видах (в виде теплоты,
механической, химической энергии и т.д.). В частности, если происходит
выделение энергии только в виде теплоты Q, то
Q = w = IVx.
Заменяя в соответствии с законом Ома V на IR, получаем закон
Д ж о у л я-Л енца:
g = /2flT= \P-xlR,
где R — сопротивление проводника.
В системе единиц СИ единицей работы, энергии и теплоты явля-
является джоуль (Дж). Поэтому, если электрические величины выра-
выражать в единицах системы СИ (заряд в кулонах, ток в амперах,
сопротивление в омах и разность потенциалов в вольтах), то количе-
количество теплоты, вычисляемое по приведенным формулам, получается в
джоулях.
Мощность постоянного тока / при прохождении по проводнику с сопро-
сопротивлением R определяется соотношениями
N=W/x = IV = I2R = V2/R.
Единицей мощности в системе единиц СИ является ватт (Вт):
1 Вт= 1 Дж/1 с= 1 А В.
Электрическая энергия может выражаться также в единицах, яв-
являющихся произведением единиц мощности и единиц времени. В част-
частности, так как 1 Дж = 1 Вт ¦ с, то 1 кВт ¦ ч = 10 гВт ¦ ч = 3,6 • 106 Вт • с =
= 3,6 • 106 Дж.
139

Коэффициентом полезного действия (КПД) системы называется
величина
= JV»l . ,оо% = -2!2 -2!™*. юо%,
W W
где WUO4 - полезная работа (энергия), Wiinp - полная затраченная энергия
и Wm)TCp - потерянная энергия.
803. Какая энергия (в гектоватт-часах и джоулях) запасена в
аккумуляторе с ЭДС % - 2 В, имеющем емкость Q = 240 А ¦ ч?
804. Какой заряд пройдет по проводнику с сопротивлением R =
= 10 Ом за время т = 20 с, если к его концам приложено напря-
напряжение V = 12 В? Какая при этом будет произведена работа?
805. Насколько изменится температура воды в сосуде, содер-
содержащем массу воды т = 0,2 кг, если через проводник, помещен-
помещенный в него, прошел заряд с/ = 100 Кл, а к концам проводника
приложено напряжение V = 20 В? Удельная теплоемкость воды
с = 4,2 кДжДкг • К).
806. Можно ли вместо двух параллельно включенных электро-
электроплиток мощности /V = 500 Вт каждая включить в сеть электро-
электрокамин, который потребляет ток / = 12,5 А при напряжении V =
= 120 В, если предохранитель рассчитан на ток, потребляемый
плитками?
807. Найти площадь сечения проводов, отводящих ток от
генератора мощности /V = 1 ГВт, если ток передается на транс-
трансформатор под напряжением V = 15 кВ. Плотность тока в проводе
не должна превышать j =10 А/мм2.
808. Дуговая печь потребляет ток / = 200 А от сети с
напряжением V = 120 В через ограничивающее сопротивление
R = 0,2 Ом. Найти мощность, потребляемую печью.
809. Нагревательная спираль электроаппарата для испарения
воды имеет при температуре t = 100 °С сопротивление R = 10 Ом.
Какой ток / надо пропускать через эту спираль, чтобы аппарат
испарял массу воды т = 100 г за время т = 1 мин? Удельная теплота
парообразования воды X = 2,3 МДж/кг.
810. Электропечь должна давать количество теплоты Q =
= 0,1 МДж за время г = 10 мин. Какова должна быть длина
нихромовой проволоки сечения S = 0,5 мм2, если печь предназна-
предназначается для сети с напряжением V - 36 В? Удельное сопротивление
нихрома р = 1,2 мкОм • м.
140

811. Комната теряет в сутки количество теплоты Q = 87 МДж.
Какой длины / надо взять нихромовую проволоку диамет-
диаметра D = 1 мм для намотки электропечи, поддерживающей
температуру комнаты неизменной? Печь включается в сеть с
напряжением V = 120 В, удельное сопротивление нихрома
р = 1,2 мкОм • м.
812. В сосуд, содержащий массу воды т = 480 г, помещен
электронагреватель мощности N = 40 Вт. Насколько изменилась
температура воды в сосуде, если ток через нагреватель проходил
в течение времени т = 21 мин? Удельная теплоемкость воды
с = 4,2 кДжДкг ¦ К), теплоемкость сосуда вместе с нагревателем
Сс = 100 Дж/К.
813. Найти мощность N электронагревателя кастрюли, если в
ней за время т = 20 мин можно вскипятить объем воды V = 2 л.
КПД электронагревателя Г) = 70%. Удельная теплоемкость воды
с = 4,2 кДж/(кг • К), начальная температура воды г, = 20 °С.
814. Сколько времени надо нагревать на электроплитке мощ-
мощности N = 600 Вт при КПД Г] = 75% массу льда тя = 2 кг, взятого
при температуре ?, = -16 °С, чтобы обратить его в воду, а воду
нагреть до температуры t2 = 100 °С? Удельная теплоемкость льда
сл = 2,1 кДж/(кг ¦ К), удельная теплота плавления льда г =
= 0,33 МДж/кг, удельная теплоемкость воды с = 4,2 кДж/(кг ¦ К).
815. Какова должна быть длина нихромовой проволоки диамет-
диаметра D = 0,3 мм, чтобы при включении последовательно с 40-ваттной
лампочкой, рассчитанной на 127 В, проволока да-
давала нормальный накал при напряжении в сети
V = 220 В? Удельное сопротивление нихрома
р = 1,2 мкОм • м.
оч/- г, г, Рис. 134
816. Реостат с полным сопротивлением R под-
подключен к сети с напряжением V (рис. 134). Во сколько раз изме-
изменится потребляемая от сети мощность, если движок реостата пере-
переместить на 1/4 длины от его конца?
817. Найти КПД насосной установки, которая подает в единицу
времени объем воды VT = 75 л/с на высоту h = 4,7 м через трубу,
имеющую сечение S = 0,01 м2, если мотор потребляет мощность
/V = 10 кВт.
818. Моторы электропоезда при движении со скоростью
v = 54 км/ч потребляют мощность N = 900 кВт. КПД моторов и
передающих механизмов Т| = 80%. Найти силу тяги F, развиваемую
моторами.
141

819. Железная и медная проволоки одинаковых длин и сечений
соединены последовательно и включены в сеть. Найти отноше-
отношение количеств теплоты, выделившихся в каждой проволоке.
Удельные сопротивления железа и меди равны р, =0,12 мкОм • м и
р2 = 0,017 мкОм • м. Решить эту же задачу для случая параллель-
параллельного соединения проволок.
820. Железная и медная проволоки одинаковых длин и сечений
включены в сеть на равные промежутки времени сначала после-
последовательно, затем параллельно. Найти отношение количеств
теплоты, выделившихся в проволоках в обоих случаях, если
по железной проволоке тек один и тот же ток. Удельные сопротив-
сопротивления железа и меди р, =0,12 мкОм ¦ м и р2 = 0,017 мкОм • м.
821. За время Т) = 40 с в цепи из трех одинаковых проводников,
соединенных параллельно и включенных в сеть, выделилось
некоторое количество теплоты. За какое время т2 выделится такое
же количество теплоты, если проводники соединить последо-
последовательно?
822. Два одинаковых электронагревателя, потребляющих
каждый мощность N - 200 Вт при напряжении V = 120 В, длинными
и тонкими проводами подключены к источнику тока. Найти
сопротивление проводов R, если при последовательном и при
параллельном соединениях нагревателей они выделяют в единицу
времени одно и то же количество теплоты.
823. В электрочайнике с двумя нагревателями необходимо на-
нагреть объем воды V = 2 л от комнатной температуры (?0 = 20 °С) до
температуры кипения. Каждый нагреватель, включенный в сеть
отдельно, выделяет мощность /V, = 250 Вт. Через какое время
закипит вода, если ее подогревать одним нагревателем или двумя,
включенными в ту же сеть последовательно или параллельно друг
другу? КПД нагревателя г) = 80 %. Удельная теплоемкость воды
с = 4,2 кДж/(кг ¦ К).
824. Электрочайник имеет в нагревателе две секции. При
включении первой секции вода в чайнике закипает за время Т] =
= 10 мин, а при включении второй секции - за время х2 = 40 мин.
Через какое время закипит вода, если включить обе секции парал-
параллельно или последовательно?
825. Две лампы имеют одинаковые мощности. Одна из
них рассчитана на напряжение V, = 120 В, другая - на напря-
напряжение V2 = 220 В. Во сколько раз отличаются сопротивления
ламп?
142

826. Какое сопротивление имеют 40- и 75-ваттные лампы, рас-
рассчитанные на включение в сеть с напряжением V = 120 В? Какой
ток течет через каждую лампу?
827. Какую мощность будет потреблять 25-ваттная лампочка,
рассчитанная на напряжение V, = 120 В, если ее включить в сеть с
напряжением V2 = 220 В?
828. 100-ваттная лампа включена в сеть с напряжением V =
= 120 В. Сопротивление лампы в накаленном состоянии больше,
чем в холодном (при температуре /() = 0°С), в 10 раз. Найти тем-
температурный коэффициент сопротивления материала нити и
сопротивление лампы в холодном состоянии, если во время горе-
горения лампы температура нити t = 2000 °С.
829. Найти сопротивление 100-ваттной лампы при комнатной
температуре t{) = 20 °С, если при напряжении сети V = 220 В тем-
температура нити t = 2800 °С. Температурный коэффициент сопроти-
сопротивления материала нити а = 4 ¦ 10~3 К.
830. К источнику тока с ЭДС % - 140 В на расстоянии / = 400 м
от него подключена лампа, рассчитанная на напряжение V = 120 В
и мощность N = 100 Вт. Как изменится падение напряжения на
лампе, если параллельно ей подключить вторую такую же лампу?
Удельное сопротивление провода р = 0,028 мкОм ¦ м, его сечение
5=1 мм2.
831. На какое расстояние / можно передавать электроэнергию
от источника тока с ЭДС % = 5 кВ так, чтобы на нагрузке с
сопротивлением R = 1,6 кОм выделялась мощность N = 10 кВт?
Удельное сопротивление провода р = 0,017 мкОм • м, его сечение
S = I мм2.
832. Под каким напряжением V нужно передавать электро-
электроэнергию на расстояние / = 10 км, чтобы при плотности тока
j - 0,5 А/мм2 в стальных проводах двухпроводной линии элект-
электропередачи потери в линии составляли 1% передаваемой мощ-
мощности? Удельное сопротивление стали р = 0,12 мкОм • м.
833. Цепь состоит из двух параллельно включенных ламп мощ-
мощности N = 30 Вт каждая. Потери мощности в подводящих проводах
составляют 10 % полезной мощности. Найти напряжение на
зажимах источника тока, если он обеспечивает в цепи ток / = 2 А.
834. От источника тока с напряжением V = 750 В необходимо
передать мощность /V = 5 кВт на некоторое расстояние. Какое
наибольшее сопротивление R может иметь линия передачи, чтобы
потери энергии в ней не превышали 10 % передаваемой мощности?
143

835. Какой наибольшей мощности электропечь можно устано-
установить в конце двухпроводной линии, имеющей сопротивление
R = 10 Ом, если источник тока развивает мощность N = 6 кВт при
напряжении V - 1 кВ?
836. Два параллельно соединенных резистора с сопротивлениями
/?i = 6 Ом и /?2 = 12 Ом подключены последовательно с резистором,
имеющим сопротивление R = 15 Ом, к зажимам генератора с ЭДС
% - 200 В и внутренним сопротивлением /• = 1 Ом. Найти мощность,
выделяющуюся на резисторе /?,.
837. Элемент с ЭДС % = 12 В и внутренним сопротивлением
г = А Ом замкнут на сопротивление R = 8 Ом. Какое количество
теплоты будет выделяться во внешней цепи в единицу времени?
838. Найти полную мощность элемента при сопротивлении
внешней цепи R = А Ом, если внутреннее сопротивление элемента
/¦ = 2 Ом, а напряжение на его зажимах V = 6 В.
839. Батарея элементов, замкнутая на сопротивление R] =2 Ом,
дает ток /, = 1,6 А. Та же батарея, замкнутая на сопротивление
R2 = 1 Ом, дает ток /2 = 2 А. Найти мощность, теряемую внутри
батареи во втором случае.
840. Найти ЭДС % и внутреннее сопротивление г аккумулятора,
если при токе /, = 15 А он отдает во внешнюю цепь мощность
УУ| = 135 Вт, а при токе /2 = 6 А - мощность N2 = 64,8 Вт.
841. К источнику тока с ЭДС % = 8 В подключена
нагрузка. Напряжение на зажимах источника
V = 6,4 В. Найти КПД схемы.
842.-Найти КПД схемы, изображенной на рис. 135.
_|LI I Сопротивления резисторов /?, = 2 Ом и R2 = 5 Ом,
внутреннее сопротивление источника тока г = 0,5 Ом.
Рис. 135 843. Найти КПД схемы, в которую включен эле-
элемент с ЭДС % и внутренним сопротивлением г, если
ток в цепи равен /. Выразить КПД: через %, г и /; через сопро-
сопротивление внешней цепи R и внутреннее сопротивление элемента г;
через ЭДС элемента % и напряжение на его зажимах V.
844. Найти ток / в цепи аккумулятора с ЭДС % = 2,2 В, если
сопротивление внешней цепи R = 0,5 Ом и КПД схемы rj = 65 %.
845. Найти внутреннее сопротивление аккумулятора г, если при
замене внешнего сопротивления /?, = 3 Ом на R2 = 10,5 Ом КПД
схемы увеличился вдвое.
846. Батарея из п = 6 последовательно включенных элементов с
одинаковыми ЭДС % = 1,5 В питает током / = 0,28 В две последова-
144

|; тельно включенные лампы с сопротивлением R = 12,5 Ом каждая.
Найти КПД батареи и внутреннее сопротивление элемента.
847. При включении электромотора в сеть с напряжением
V = 120 В он потребляет ток / = 15 А. Найти мощность, потребля-
потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора
R = 1 Ом.
848. Найти зависимость мощности Nh выделяемой во внешней
цепи, мощности N2, выделяемой внутри источника тока, а также
полной мощности /V = /V, + N2, развиваемой источником, от со-
сопротивления внешней цепи R. Построить графики этих зависи-
зависимостей. ЭДС источника % = 15 В, его внутреннее сопротивление
/• = 2,5 Ом.
849. Найти сопротивление Л", внешней цепи элемента, при ко-
котором мощность N, потребляемая во внешней цепи, такая же, как и
при сопротивлении R2 = 10 Ом. Внутреннее сопротивление эле-
элемента /• = 2,5 Ом.
850. К аккумулятору с внутренним сопротивлением г = I Ом
подключен нагревать с сопротивлением R = 8 Ом. Затем парал-
параллельно с первым подключили второй такой же нагреватель. Найти
отношение количеств теплоты, выделяющихся в единицу времени
во внешней цепи.
851. К источнику тока с внутренним сопротивлением г = 1 Ом
подключаются два резистора с сопротивлением R = 0,5 Ом каждый.
Один раз резисторы подключаются последовательно, другой раз -
параллельно. Найти отношение мощностей, выделяющихся во
внешней цепи в обоих случаях.
852. Батарея состоит из параллельно соединенных элементов с
ЭДС % = 5,5 В и внутренним сопротивлением г = 5 Ом. При токе во
внешней цепи / = 2 А полезная мощность N = 7 Вт. Сколько эле-
элементов имеет батарея?
853. Нагреватель, имеющий сопротивление R - 25 Ом, питается
от двух одинаковых аккумуляторов с внутренним сопротивлением
г = 10 Ом. Параллельно или последовательно следует соеди-
соединить аккумуляторы, чтобы получить в нагревателе большую
мощность?
854. Электровоз массы т = 300 т движется вниз по горе со
скоростью v = 36 км/ч. Уклон горы а = 0,01, сила сопротивления
движению электровоза составляет 3% от действующей на него
силы тяжести. Какой ток протекает через мотор электровоза, если
напряжение в сети V = 3 кВ и КПД электровоза ц = 80 %?
145

855. Из одного пункта в другой передается электроэнергия,
питающая установку мощности N = 62 кВт. Сопротивление про-
проводов линии R = 5 Ом. Найти падение напряжения в линии, потери
мощностей в ней и КПД передачи, если передача осуществляется
при напряжениях V, = 6200 В и V2 = 620 В.
856. Какое сопротивление R должен иметь резистор из нихро-
мовой проволоки, включенный последовательно с лампой, чтобы
лампа горела нормальным накалом при напряжении V = 220 В,
если лампа рассчитана на напряжение Vo = 120 В при мощности
N = 60 Вт? Найти длину / проволоки, если ее удельное сопротивле-
сопротивление р = 1,0 мкОм ¦ м, а ее сечение S = 0,5 мм.
R
Рис. 136
Рис. 137
857. Найти мощность N, выделяющуюся во внешней цепи,
состоящей из двух резисторов с сопротивлением R каждый, если на
резисторах выделяется одна и та же мощность как при после-
последовательном, так и при параллельном соединении. ЭДС источника
тока % = 12 В, его внутреннее сопротивление г = 2 Ом.
858. Какую мощность N потребляет схема, изображенная на
рис. 136? ЭДС элемента % = 12 В, его внутреннее сопротивление
/• = 0,4 Ом. Сопротивления резисторов R\ = 2 Ом, R2 = 4 Ом,
R? = 3 Ом, К4 = 6 Ом и /?5 = 10 Ом.
859. Три одинаковых элемента с ЭДС % и резисторы с сопро-
сопротивлением R каждый включены в цепь, изображенную на рис. 137.
Найти мощность, выделяющуюся на всех сопротивлениях схемы.
860. Для составления елочной гирлянды имеется и, = 10 лам-
лампочек мощности N = 2 Вт при номинальном напряжении V, = 4 В и
некоторое число лампочек, имеющих ту же мощность при номи-
номинальном напряжении V, = 8 В. Какое минимальное число п2 8-воль-
товых лампочек нужно взять, чтобы, добавив их к десяти 4-вольто-
вым, составить гирлянду для включения в сеть с напряжением
V()=120B?
146

861. Источник тока замыкают первый раз на сопротивление
/?, = 9 Ом, второй раз - на сопротивление R2 = 4 Ом. Оба раза за
одно и то же время на сопротивлениях выделяется одно и то же ко-
количество теплоты. Найти внутреннее сопротивление г источника.
862. При одном и том же напряжении одна лампа потребляет
мощность, в два раза большую, чем другая. Найти мощности Nt и
N2, потребляемые каждой лампой при их последовательном
включении в цепь, если вместе они в этом случае потребляют
мощность N.
863. От источника тока необходимо передать потребителю
мощность N{) = 4 кВт. Сопротивление подводящих проводов R =
= 0,4 Ом. Какое напряжение должно быть на зажимах источника,
чтобы потери мощности в проводах составля-
составляли 4 % потребляемой мощности?
864. Конденсатор емкости С\, имеющий за-
заряд <г/ь соединяют через резистор с конденса-
конденсатором емкости С2, имеющим заряд q2. Какое ко-
количество теплоты Q выделяется на резисторе?
Соединяются противоположно заряженные об-
обкладки.
865. Найти энергию W батареи конден- Рис.138
саторов, изображенной на рис. 138, при разомкнутом и замкнутом
ключе К. Емкости конденсаторов С, -С,Сг- 2С, С3 = С/2, С4 = С.
ЭДС источника тока равна %.
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
Электролизом называется выделение вещества на электродах, по-
погруженных в раствор или расплав электролита, при прохождении тока.
Масса т выделившегося при электролизе вещества согласно первому
закону Фарадея пропорциональна заряду q, прошедшему через
раствор или расплав электролита:
т = kq = klx,
где / - ток в цепи, X - время его прохождения, а коэффициент пропор-
пропорциональности к, различный для разных веществ, носит название электро-
электрохимического эквивалента и выражается в килограммах на кулон (кг/Кл).
Согласно второму закону Фарадея электрохимический
эквивалент вещества прямо пропорционален молярной массе и. этого
вещества и обратно пропорционален его валентностям z:
*^ = ^.
F Fz
147

где химический эквивалент вещества А = ц/z выражается в килограммах
на моль (кг/моль). Постоянная Фарадея F (в кулонах на моль) имеет для
всех веществ одно и то же значение и равна произведению постоянной
Авогадро NA на элементарный электрический заряд е:
F = NAe = 96 484,56 Кл/моль « 9,65 • 104 Кл/моль.
Эта постоянная показывает, какой заряд должен пройти через раствор
электролита, для того чтобы на электроде выделилась масса вещества,
численно равная его химическому эквиваленту.
Подставив в формулу первого закона Фарадея выражение для к, полу-
получим объединенный закон Фарадея:
Fz
866. Найти электрохимический эквивалент натрия. Молярная
масса натрия (J. = 0,023 кг/моль, его валентность z = 1. Постоянная
Фарадея F = 9,65 ¦ 104 Кл/моль.
867. Цинковый анод массы m = 5 г поставлен в электролити-
электролитическую ванну, через которую проходит ток / = 2 А. Через какое
время т. анод полностью израсходуется на покрытие металлических
изделий? Электрохимический эквивалент цинка к = 3,4 • 10~7 кг/Кл.
868. Найти постоянную Фарадея, если при прохождении через
электролитическую ванну заряда q = 7348 Кл на катоде выде-
выделилась масса золота т = 5 г. Химический эквивалент золота
А = 0,066 кг/моль.
869. Найти элементарный электрический заряд е, если масса
вещества, численно равная химическому эквиваленту, содержит
No = NJz атомов или молекул.
870. Молярная масса серебра ц.] = 0,108 кг/моль, его валентность
z, = 1 и электрохимический эквивалент кх = 11,18 • 10~7 кг/Кл.
Найти электрохимический эквивалент золота к2, если молярная
масса золота \i2 = 0,197 кг/моль, его валентность z2 = 3.
871. Найти массы веществ, выделившихся за время т = 10 ч на
катодах трех электролитических ванн, включенных последова-
последовательно в сеть постоянного тока. Аноды в ванных - медный, никеле-
никелевый и серебряный - опущены соответственно в растворы CuSO4,
NiSO4 и AgNO3. Плотность тока при электролизе j = 40 А/м2,
площадь катода в каждой ванне S = 500 см2. Электрохимические
эквиваленты меди, никеля и серебра к\ = 3,3 • 10~7 кг/Кл, к2 -
= 3 • Ю-7 кг/Кл и к3 = 11,18 • 10-7 кг/Кл.
148

I 872. При никелировании изделий в течение времени т = 2ч
отложился слой никеля толщины / = 0,03 мм. Найти плотность
тока при электролизе. Электрохимический эквивалент никеля
-к = 3 • Ю~7 кг/Кл, его плотность у = 8,9 • 103 кг/м-\
873. Амперметр, включенный последовательно с электролитиче-
электролитической ванной, показывает ток /„ = 1,5 А. Какую поправку надо
внести в показание амперметра, если за время х = 10 мин на катоде
отложилась масса меди т = 0,316 г? Электрохимический эквива-
эквивалент меди к = 3,3 ¦ 10~7 кг/Кл.
874. Желая проверить правильность показаний вольтметра, его
подключили параллельно резистору с известным сопротивлением
R = 30 Ом. Последовательно в общую цепь включили электро-
электролитическую ванну, в которой ведется электролиз серебра. За время
х = 5 мин в этой ванне выделилась масса серебра т = 55,6 мг.
Вольтметр показывал напряжение Vo = 6 В. Найти разность между
показанием вольтметра и точным значением падения напря-
напряжения на резисторе. Электрохимический эквивалент серебра
к= 11,18 ¦ Ю-7 кг/Кл.
875. Для серебрения ложек через раствор соли серебра в тече-
течение времени х = 5 ч пропускается ток / = 1,8 А. Катодом служат
п = 12 ложек, каждая из которых имеет площадь поверхности
S = 50 см2. Какой толщины слой серебра отложится на ложках?
Молярная масса серебра ц = 0,108 кг/моль, его валентность := 1 и
плотность у = 10,5 • 103 кг/м3.
876. Две электролитические ванны включены последовательно.
В первой ванне находится раствор хлористого железа (FeCl2), во
второй — раствор хлорного железа (FeCl^). Найти массы выде-
выделившегося железа на катодах и хлора на анодах в каждой ванне
при прохождении через ванну заряда с/ = 9,65 • 107 Кл. Моляр-
Молярные массы железа и хлора |1Ж = 55,85 ¦ 10~3 кг/моль и дх =
= 35,357 • Ю-3 кг/моль.
877. При электролизе раствора серной кислоты (CuSO4) расхо-
расходуется мощность N = 37 Вт. Найти сопротивление электро-
л/ита, если за время т.= 50 мин выделяется масса водорода
т = 0,3 г. Молярная масса водорода \х == 0,001, кг/моль, его валент-
валентность Z - 1. . , .¦¦;:¦., ; ,,; ,¦ ¦;¦
878. При электролитическом способе получения никеля на
единицу массы расходуется-Wm =.,1Q кВт • ч/~кг электроэнергии.
Электрохимический эквив.ал^нт никеля,^ == 1,08 : 10?3 кг/(А ¦ ч).
При каком напряжении производился электролиз? .,._., ¦ ,:1
149

879. Найти массу выделившейся меди, если для ее получения
электролитическим способом затрачено W = 5 кВт ¦ ч электро-
электроэнергии. Электролиз проводится при напряжении V = 10 В, КПД
установки г\ = 75%. Электрохимический эквивалент меди
к = 3,3 ¦ 10-7 кг/Кл.
880. Какой заряд проходит через раствор серной кислоты
(CuSO4) за время т. = 10 с, если ток за это время равномерно
возрастает от /, = 0 до /2 = 4А? Какая масса меди выделяется
при этом на катоде? Электрохимический эквивалент меди
к = 3,3 • Ю-7 кг/Кл.
881. При рафинировании меди с помощью электролиза к
последовательно включенным электролитическим ваннам, имею-
имеющим общее сопротивление R — 0,5 Ом, подведено напряжение
V - 10 В. Найти массу чистой меди, выделившейся на катодах
ванны за время t = 10 ч. ЭДС поляризации ? = 6 В. Электро-
Электрохимический эквивалент меди к = 3,3 • 10~7 кг/Кл.
882. При электролизе воды через электролитическую ванну в
течение времени т = 25 мин шел ток / = 20 А. Какова температура t
выделившегося кислорода, если он находится в объеме V = 1 л под
давлением р = 0,2 МПа? Молярная масса воды |1 = 0,018 кг/моль.
Электрохимический эквивалент кислорода к = 8,29 • 10~х кг/Кл.
883. При электролитическом способе получения алюминия на
единицу массы расходуется Wlm = 50 кВт • ч/ кг электроэнергии.
Электролиз проводится при напряжении V, = 16,2 В. Каким будет
расход электроэнергии W2m на единицу массы при напряжении
V2 = 8,1B?
§ 23. Магнитное поле тока.
Электромагнитная индукция
Вокруг проводников с током и постоянных магнитов образуется
магнитное поле. При помещении в магнитное поле проводника с током на
отрезок проводника действует сила, зависящая от ориентации отрезка в
пространстве, пропорциональная длине этого Отрезка и току в нем.
Магнитное поле характеризуется магнитной индукцией В. Магнитная
индукция В направлена вдоль отрезка проводника с током, если этот
отрезок ориентирован так, что на него со стороны магнитного поля не
действует сила. Если магнитная индукция В перпендикулярна к на-
направлению отрезка, то модуль магнитной индукции
В = FmJll,
где / - длина отрезка проводника, / - ток, текущий в нем, Fm.lx — макси-
максимальная сила, действующая на отрезок проводника в магнитном поле.
150

t В системе единиц СИ, когда сила выражается в ньютонах, ток -
в амперах, а длина - в метрах, единицей магнитной индукции является
тесла (Тл).
Если в некоторой области пространства известна магнитная индукция,
то на помещенный в этой области отрезок проводника длины /, по кото-
которому течет ток /, действует со стороны магнитного поля сила
F = /B/sina, A6)
где a - угол между направлением магнитной индукции и отрезком
проводника. Направление этой силы определяется правилом ле-
левой руки. Заметим также, что это правило может служить и для
определения направления магнитной индукции, если известны направле-
направление силы, действующей на отрезок проводника с током, и направление
тока.
Вспомогательной величиной, характеризующей магнитное поле, явля-
является напряженность магнитного поля Н. Модуль и направление напря-
напряженности магнитного поля в данной точке пространства могут быть
найдены, если известны форма, размеры и расположение контура, по
которому течет ток, создающий магнитное поле, и сам этот ток. В
частности, модуль напряженности магнитного поля, создаваемого очень
длинным прямолинейным проводником, по которому течет ток /, в
точках, лежащих на расстояниях /• от проводника, выражается в виде
Н = 1/2пг. A7)
В этом случае линии индукции магнитного поля (линии, направление
касательной к которым в любой точке совпадает с направлением
магнитной индукции В в этой точке) представляют собой окружности с
центрами на проводнике, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к
проводнику.
В системе единиц СИ единицей напряженности магнитного поля
является ампер на метр (А/м).
Если известна напряженность магнитного поля Н, то магнитную индук-
индукцию В можно найти по формуле
В = \ЪРН. A8)
Здесь |10 = 4л • 10~7 Гн/м = 12,56 ¦ 10~7 Гн/м - магнитная постоянная, а |1 -
относительная (безразмерная) магнитная проницаемость вещества (отно-
(относительно магнитной проницаемости вакуума), значения которой приво-
приводятся в таблицах. Для вакуума |1 = 1; для всех веществ, кроме ферро-
ферромагнетиков (железа, никеля, кобальта и некоторых сплавов), |1 очень
мало отличается от единицы. Для ферромагнетиков |1 сильно зави-
зависит от напряженности магнитного поля Н и может достигать десят-
десятков тысяч.
Из формулы A8) следует, что в системе единиц СИ величины Н я В
имеют разные размерности и их числовые значения различны.
151

Магнитным потоком (потоком магнитной индукции) через некоторую
поверхность площади S называется величина
Ф = ВБ cos a,
где а - угол между направлением магнитной индукции В и нормалью
(перпендикуляром) к поверхности. При этом подразумевается, что вели-
величина В cos а во всех точках поверхности одна и та же. При поверхностях
сложной формы, как, например, поверхность, ограниченная витками
катушки, следует найти потоки через отдельные участки поверхности
(через поверхности, ограниченные отдельными витками), а затем сложить
эти потоки. В системе единиц СИ единицей магнитного потока является
вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл • м2.
Если магнитное поле вызвано током /, протекающим по какому-либо
контуру, то магнитный поток через поверхность, ограниченную этим
контуром, пропорционален току:
Ф = и, A9)
где L - индуктивность контура, которая зависит от геометрических
свойств (формы и размеров) контура и магнитных свойств (магнитной
проницаемости) окружающей среды. В системе единиц СИ индуктивность
выражается в генри (Гн).
При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную
некоторым контуром, в этом контуре индуцируется ЭДС % (ЭДС индук-
индукции), равная скорости изменения магнитного потока:
% = -АФ/At, B0)
где АФ - изменение магнитного потока, At - промежуток времени, в
течение которого произошло это изменение, а знак минус отражает пра-
правило Ленца, согласно которому индуцируемая в кон-
контуре ЭДС вызывает ток такого направления, что
магнитное поле этого тока препятствует изменению
магнитного потока. В большинстве случаев при
числовых расчетах этот знак может быть опущен.
При движении в магнитном поле незамкнутого
проводника в этом проводнике индуцируется ЭДС,
которая может быть найдена по формуле B0), если
считать, что ДФ - поток через площадь, "заметаемую"
проводником за время At (на рис. 139 площадь S, "заметаемая" провод-
проводником ah при его перемещении из положения 1 в положение 2, за-
заштрихована). В этом случае ток в проводнике не возникает, но между
концами проводника появляется разность потенциалов, равная ЭДС
индукции %.
Если магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром,
изменяется вследствие изменения тока, протекающего по этому контуру,
то в контуре индуцируется ЭДС, которую называют ЭДС самоиндукции.
152

Г1ри постоянной.индуктивности L (т.е. при неизменных.магнитной про-
проницаемости среды, размерах и форме контура) ЭДС самоиндукции
где А / - изменение тока за время At. ,
884. Индукция однородного магнитного поля 5 = 2 Тл. Найти
напряженность магнитного поля*.
885. Напряженность однородного магнитного поля длинного
соленоида Н = In/I. Найти магнитную индукцию в железном сер-
сердечнике соленоида, если длина соленоида / = 50 см, число витков
п = 500, ток /,= 10 А. Магнитная проницаемость железа ji = 5000.
886. Найти магнитную проницаемость железа, если напряжен-
напряженность магнитного поля в железе Н = 800 А/м, а магнитная индукция
В = 5 Тл.
887. Прямой проводник длины / = 1 см расположен перпенди-
перпендикулярно к линиям индукции в однородном поле. Какая сила дейст-
действует на проводник, если по нему идет ток / = 1 А, а магнитная ин-
индукция В = 10 мТл?
888. Прямой проводник ab длины / = 0,2 м и массы т = 5 г под-
подвешен горизонтально на двух невесомых ни-
тях оа и оЪ в однородном магнитном поле.
Магнитная индукция В = 49 мТл и перпендику-
перпендикулярна к проводнику (рис. 140)**. Какой ток
надо пропустить через проводник, чтобы одна
из нитей разорвалась, если нить разрывает-
ся при нагрузке, равной или превышающей
Mg = 39,2 мН?
889. На прямой проводник длины / = 0,5 м, Рис. 140
расположенный перпендикулярно к линиям
индукции магнитного поля, действует сила F = 0,15 Н. Найти ток /,
протекающий в проводнике, если магнитная индукция В = 20 мТл.
890. Между полюсами магнита подвешен горизонтально на двух
невесомых нитях прямой проводник длины / = 0,2 м и массы т =
= 10 г. Индукция однородного магнитного поля В = 49 мТл и пер-
перпендикулярна к проводнику. На какой угол а от вертикали откло-
* Здесь и далее, где это не оговорено в условии задачи, магнитная проницае-
проницаемость среды ц = 1 и в формульные выражения не входит.
"Кружок с точкой означает, что индукция направлена на читателя перпенди-
перпендикулярно к плоскости рисунка, в которой лежат векторы /и F. . /
153

нятся нити, поддерживающие проводник, если по нему пропустить
ток/= 2 Л?
891. Найти напряженность И и индукцию В магнитного поля
прямого тока в точке, находящейся на расстоянии /• = 4 м от про-
проводника, если ток / = 100 А.
892. ГОСТ 8.417-81 дает такое определение единицы силы
тока - ампера: "Ампер равен силе неизменяющегося тока, который
при прохождении по двум параллельным прямолинейным провод-
проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового
поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м
один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длины
1 м силу взаимодействия, равную 2 • 10~7 Н". Исходя из этого опре-
определения, вычислить магнитную постоянную |i,0.
893. Найти силу взаимодействия, приходящуюся на единицу
длины проводов воздушной линии электропередачи, если ток в
линии / = 500 А, а расстояние между проводами г = 50 см.
894. Индукция однородного магнитного поля В = 0,5 Тл. Найти
магнитный поток через площадку 5 = 25 см2, расположенную
перпендикулярно к линиям индукции. Чему будет равен магнитный
поток, если площадку повернуть на угол
ф = 60° от первоначального положения?
895. Найти магнитную индукцию и
магнитный поток через поперечное сече-
р . ние никелевого сердечника соленоида
(рис. 141), если напряженность однород-
однородного магнитного цоля внутри соленоида И - 25 кА/м. Площадь
поперечного сечения сердечника 5 = 20 см2, магнитная проница-
проницаемость никеля |1 = 200.
896. Магнитный поток через поперечное сечение катушки,
имеющей п = 1000 витков, изменился на величину ЛФ = 2 мВб в
результате изменения тока в катушке от /, = 4 А до /2 = 20 А.
Найти индуктивность L катушки.
897. Виток площади 5 = 2 см2 расположен перпендикулярно к
линиям индукции однородного магнитного поля. Найти индуцируе-
индуцируемую в витке ЭДС, если за время At = 0,05 с магнитная индукция
равномерно убывает от 5, = 0,5 Тл до В2 = 0,1 Тл.
898. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток ка-
катушки, имеющей п = 1000 витков, если при равномерном исчезно-
исчезновении магнитного поля в течение времени At = 0,1 с в катушке
индуцируется ЭДС % = 10 В?
154

f 899. Рамка в форме равностороннего треугольника помещена в
однородное магнитное поле с напряженностью Н = 64 кА/м. Нор-
Нормаль к плоскости рамки составляет с линиями индукции магнит-
магнитного поля угол а = 30°. Найти длину стороны рамки а, если в рамке
при выключении поля в течение времени At = 0,03 с индуцируется
ЭДСё = 10 мВ.
900. Квадратная рамка со стороной а = 10 см помещена в одно-
однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с
линиями индукции магнитного поля угол а = 60°. Найти магнитную
индукцию В этого поля, если в рамке при выключении поля в
течение времени At = 0,01 с индуцируется ЭДС % - 50 мВ.
901. Плоский виток площади S = 10 см2 помещен в однородное
магнитное поле перпендикулярно к линиям индукции. Сопротив-
Сопротивление витка R = 1 Ом. Какой ток / протечет по витку, если магнит-
магнитная индукция поля будет убывать со скоростью ABIAt = 0,01 Тл/с?
902. Плоский виток площади S = 10 см2 помещен в однородное
магнитное поле с напряженностью Н = 80 кА/м, перпендикуляр-
перпендикулярное к линиям индукции. Сопротивление витка R - 1 Ом. Какой
заряд протечет по витку, если поле будет исчезать с постоянной
скоростью?
903. Какова индуктивность катушки с железным сердечником,
если за время At = 0,5 с ток в цепи изменился от /, = 10 А до
/2 = 5 А, а возникшая при этом ЭДС самоиндукции % = 25 В?
904. Проводник длины / = 2 м движется в однородном магнитном
поле со скоростью v = 5 м/с, перпендикулярной к проводнику и
линиям индукции поля. Какая ЭДС индуцируется в проводнике,
если магнитная индукция В = 0,1 Тл?
905. Самолет летит горизонтально со скоростью v = 900 км/ч.
Найти разность потенциалов, возникающую между концами кры-
крыльев самолета, если вертикальная составляющая индукции земного
магнитного поля В{) = 0,5 мкТл и размах крыльев самолета / = 12 м.
906. С какой скоростью должен двигаться проводник длины / =
= 10 см перпендикулярно к линиям индукции однородного магнит-
магнитного поля, чтобы между концами проводника возникла разность
потенциалов V = 0,01 В? Скорость проводника составляет с
направлением самого проводника угол а = 30°. Линии индукции
перпендикулярны к проводнику, индукция В = 0,2 Тл.
907. Какой ток идет через гальванометр, присоединенный к же-
железнодорожным рельсам, при приближении к нему поезда со ско-
скоростью v = 60 км/ч? Вертикальная составляющая индукции земного
155

магнитного поля В{) = 50 мкТл. Сопротивление гальванометра
R - 100 О"м. Расстояние между рельсами / = 1,2 м; рельсы считать
изолированными друг от друга и от земли.
908. Квадратная рамка со стороной / = 2 см помещена в одно-
однородное магнитное поле с индукцией В = 100 Тл. Плоскость рамки
перпендикулярна к линиям индукции поля. Сопротивление рамки
R - 1 Ом. Какой ток протечет по рамке, если ее выдвигать из
магнитного поля со скоростью и = 1 см/с, перпендикулярной к
линиям индукции? Поле имеет резко очерченные границы, и сто-
стороны рамки параллельны этим границам.
909. Проволочный виток площади S = 1 см2, имеющий сопро-
сопротивление R = 1 мОм, пронизывается однородным магнитным
полем, линии индукции которого перпендикулярны к плоско-
плоскости витка. Магнитная индукция изменяется со скоростью AB/At =
= 0,01 Тл/с. Какое количество теплоты выделяется в витке за
единицу времени?
910. Прямоугольная рамка, подвижная сторона которой имеет
длину /, помещена в однородное магнитное поле с индукцией В.
Плоскость рамки перпендикулярна к линиям индукции магнитного
поля. Подвижную сторону, которая вначале совпадает с противо-
противоположной ей неподвижной, начинают двигать равномерно со
скоростью и. Найти зависимость тока / в рамке от времени t.
Сопротивление единицы длины проводника равно /?,.
911. Два параллельных, замкнутых на одном конце провода,
расстояние между которыми / = 50 см, находятся в однородном
магнитном поле с индукцией 5 = 5 мТл. Плоскость, в которой
расположены провода, перпендикулярна к линиям индукции поля.
На провода положен металлический мостик, который может
скользить по проводам без трения. Мостик под действием силы
F = 0,1 мН движется со скоростью v = 10 м/с. Найти сопротивле-
сопротивление R мостика. Сопротивлением проводов пренебречь.
912. Рамка из п = 1000 витков, имеющих площадь 5 = 5 см2,
замкнута на гальванометр с сопротивлением R = 10 кОм и поме-
помещена в однородное магнитное поле с индукцией В = 10 мТл, причем
линии индукции поля перпендикулярны к ее плоскости. Какой
заряд q протечет по цепи гальванометра, если направление индук-
индукции магнитного поля .плавно,изменить на; обратное?
913. Замкнутая катушка диаметра Ас числом витков п поме-
помещена в однородное;магжитное. рщге с> индукцией В. Плоскость
катушки перпендикулярна к линиям индукции поля. Какой заряд q
156

Шротечет по цепи катушки, если ее повернуть на 180°? Проволока,
}-fa которой намотана катушка, имеет площадь сечения S и удельное
сопротивление р.
914. В цепь включены последовательно источник тока с
ЭДС % = 1,2 В, реостат с сопротивлением R - \ Ом и катушка
с индуктивностью L = 1 Гн. В цепи протекал постоянный ток /0.
С некоторого момента сопротивление реостата начинают менять
так, чтобы ток уменьшался с постоянной скоростью Л//Л? =
= 0,2 А/с. Каково сопротивление R, цепи спустя время t = 2 с после
начала изменения тока?
Рис. 142
915. Какой ток / покажет амперметр в схеме, изображенной на
рис.142,если индукция перпендикулярного к плоскости рисунка
однородного магнитного поля меняется с течением времени по
закону В = к ft Точки end лежат на концах диаметра проволочного
кольца. Сопротивление единицы длины проволоки равно R,;
диаметр кольца равен D.
916. Квадратная рамка со стороной а = 1 см помещена в одно-
однородное магнитное поле с индукцией В = 10 мТл так, что две сто-
стороны рамки перпендикулярны к линиям индукции поля, а нормаль
к плоскости рамки образует с ними угол а = 30°. Найти момент сил
М, действующий на рамку, если по ней протекает ток / = 0,1 А.
917. Пятиугольная рамка abede, изображенная на рис. 143, дви-
движется в однородном вертикальном магнитном поле со скоростью v,
перпендикулярной к линиям индукции поля и стороне рамки ab.
Магнитная индукция поля равна В. Найти ЭДС, индуцируемую в
рамке, и ток в ней.
918. С какой угловой скоростью надо вращать прямой провод-
проводник длины г = 20 см вокруг одного из его концов в плоскости,
перпендикулярной к линиям индукции однородного магнитного
поля, чтобы в проводнике индуцировалась ЭДС % = 0,3 В? Магнит-
Магнитная индукция поля В = 0,2 Тл.
157

§ 24. Переменный электрический ток
Частота колебаний/, период Г и круговая частота со переменного тока
связаны соотношениями
/= ЦТ, со = 2л/Г=2л/.
В случае так называемых синусоидальных переменных токов при
мгновенных значениях ЭДС в контуре
% = %п sin(cor + ф)
или при напряжении (на концах участка цепи)
V = Vo sin(ctM + ф) B1)
мгновенные значения тока в этом контуре (на этом участке цепи)
/ = /0 sin cof. B2)
Здесь %о, V() и /() - амплитудные (наибольшие) значения ЭДС, напряжения
и тока, ф - начальная фаза ЭДС (или на-
напряжения). Начальная фаза тока принята
равной нулю.
eg При последовательном включении в цепь
переменного тока проводника с активным
сопротивлением R, катушки с индуктивным
сопротивлением XL = coL и конденсатора с
емкостным сопротивлением X с = 1/соС
рис 144
(рис. 144) полное сопротивление цепи
Z = ^R2+((X)L-\ I ЮСJ
B3)
Между амплитудными значениями тока в этой цепи и напряжением на ее
концах существует связь, аналогичная закону Ома:
В этом случае сдвиг фаз между напряжением и током (он равен начальной
фазе напряжения, если мгновенные значения напряжения и тока опре-
определяются формулами B1) и B2)), можно найти из выражения
coL-1/coC
tgq> = . B4)
Если в цепи отсутствует сопротивление R или индуктивность L, то в
формулах B3) и B4) их следует положить равными нулю. При отсутствии
же конденсатора емкость С цепи следует считать бесконечно большой.
Эффективные значения тока, напряжения и ЭДС связаны с их ампли-
амплитудными значениями соотношениями
/э = /0 /л/2, К, = Vo /л/2, % = % Iл/2.
158

I Если мгновенные значения напряжения и тока на участке цепи
определяются формулами B1) и B2), то средняя мощность, выделяемая на
этом участке,
N = -^cosq) = /ЭУЭ cos(p,
где cos ф - коэффициент мощности.
При прохождении по проводнику с сопротивлением R переменного
тока в течение времени X выделяется количество теплоты
Q = /э Лт.
На индуктивном и емкостном сопротивлениях тепло не выделяется.
При преобразовании переменного тока с помощью трансформатора, в
котором можно пренебречь рассеянием магнитного потока и током в
первичной обмотке при разомкнутой вторичной (током холостого хода),
токи /| и /2 в обмотках обратно пропорциональны числам W\ и w2 витков
обмоток:
1Х /I2 = W] /w2 = к.
Величина к носит название коэффициента трансформации.
ЭДС %{ ис^2, индуцируемые в обмотках изменяющимся магнитным
потоком, прямо пропорциональны числам витков:
Трансформатор, сопротивление обмоток которого мало по сравнению
с индуктивным сопротивлением, имеет КПД, близкий к единице. Для
такого трансформатора 1{ё\ = 1{&ъ т.е. мощность тока во вторичной цепи
равна мощности тока в первичной цепи.
919. Прямоугольная рамка площади S = 100 см2 вращается
в горизонтальном однородном магнитном поле с частотой п =
= 50 об/с (рис. 145). Магнитная индукция поля
В = 0,2 Тл. Найти закон изменения магнитного по-
тока через рамку в зависимости от времени t, если в
начальный момент времени плоскость рамки: а) рас-
расположена горизонтально; б) составляет с горизон-
горизонтальной плоскостью угол ф = 30°. Рис- 145
920. В условиях задачи 919 найти амплитуду ЭДС,
индуцируемой в рамке. Как изменится амплитуда ЭДС, если
частоту вращения рамки увеличить в три раза?
921. Найти максимальный магнитный поток через прямо-
прямоугольную рамку, вращающуюся в однородном магнитном поле с
частотой п = 10 об/с, если амплитуда индуцируемой в рамке ЭДС.
^о = ЗВ (см. рис. 145).
I, 159

922. Найти частоту вращения прямоугольной рамки в однород-
однородном магнитном поле с индукцией В = 0,5 Тл, если амплитуда
индуцируемой в рамке ЭДС %() = 10 В (см. рис. 145). Площадь рамки
S = 200 см2, число витков рамки w - 20.
923. Напряжение на концах участка цепи, по которому течет
переменный ток, изменяется с течением времени по закону
V = V() sin(COf + тс/6), где ф = тс/6 - начальная фаза напряжения. В
момент времени t = Т/12 мгновенное значение напряжения
V - 10 В. Найти амплитуду напряжения Vih круговую частоту со и
частоту / тока, если период колебаний Т = 0,01 с. Представить
графически зависимость напряжения от времени /.
924. Найти индуктивность катушки, если амплитуда напряжения
на ее концах Vo = 160 В, амплитуда тока в ней /„ = 10 А и частота
тока/'= 50 Гц.
925. Индуктивное сопротивление катушки X, = 500 Ом, эффек-
эффективное напряжение сети, в которую включена катушка, V3 - 100 В,
частота тока /' = 1 кГц. Найти амплитуду тока в цепи и индуктив-
индуктивность катушки.
926. Найти сдвиг фаз ф между напряжением V = Vo sin(cof + ф) и
током / = /0 sin (Of для цепи, состоящей из последовательно вклю-
включенных резистора с сопротивлением R = 1 кОм, катушки с индук-
индуктивностью L = 0.5 Гн и конденсатора с емкостью С = 1 мкФ. Найти
мощность, выделяемую в цепи, если амплитуда напряжения
К(, = 100 В, а частота тока /'= 50 Гц.
927. В цепь последовательно включены резистор с сопротив-
сопротивлением R = 1 кОм, катушка с индуктивностью L = 0,5 Гн и кон-
конденсатор с емкостью С = 1 мкФ. Найти индуктивное сопротивление
XL, емкостное сопротивление Хс и полное сопротивление Z цепи
при частотах тока/, = 50 Гц и/2 = Ю кГц.
928. К зажимам генератора присоединен конденсатор с ем-
емкостью С = 0,1 мкФ. Найти амплитуду напряжения на зажимах,
если амплитуда тока /„ = 2,2 А, а период тока Т = 0,2 мс.
929. В сеть переменного тока с эффективным напряжением
V.j - 127 В последовательно включены резистор с сопротивлением
R = 100 Ом и конденсатор с емкостью С = 40 мкФ. Найти ампли-
амплитуду тока в цепи.
930. В сеть переменного тока с эффективным напряжением
V.j = 120 В последовательно включены проводник с сопротив-
сопротивлением R = 15 Ом и катушка с индуктивностью L = 50 мГн. Найти
частоту тока/^ если амплитуда тока в цепи /0 = 7 А.
160

.",. 931. Найти полное сопротивление цепи, состоящей из последо-
последовательно включенных конденсатора с емкостью С = 0,1 мкФ и
катушки с индуктивностью L = 0,5 Гн, при частоте тока/= 1 кГц.
При какой частоте/0 полное сопротивление цепи равно нулю?
932. В колебательный контур (рис. 146) включен источник пере-
переменного тока с ЭДС % - %{) sin cor, где амплитуда ЭДС %{) = 2 В. При
резонансе амплитуда напряжения на отдельных
элементах контура, например на конденсаторе,
значительно увеличивается. Найти резонансную
амплитуду напряжения на конденсаторе, если из-
известно, что она во столько раз больше амплитуды
ЭДС, во сколько раз индуктивное сопротивле-
сопротивление XL (или емкостное сопротивление Хс) при резо-
резонансе больше сопротивления R. Резонансная частота контура
/о = 0,1 МГц, индуктивность катушки L — 1 мГн, сопротивление
контура R = 3 Ом.
933. Соленоид с железным сердечником (дроссель), имеющий
индуктивность L = 2 Гн и сопротивление обмотки R = 10 Ом, вклю-
включен сначала в сеть постоянного тока с напряжением V = 20 В, а
затем в сеть переменного тока с эффективным напряжением
V.3 - 20 В и частотой тока/= 0,4 кГц. Найти ток, текущий через
соленоид, в первом случае и амплитуду тока во втором случае.
934. Найти коэффициент мощности cos (p электрической цепи,
если генератор отдает в цепь мощность N = 8 кВт, амплитуда тока
в цепи /() = 100 А и амплитуда напряжения на зажимах генератора
V,, = 200 В.
935. От генератора переменного тока питается электро-
электропечь с сопротивлением R = 22 Ом. Найти количество тепло-
теплоты <2, выделяемое печью за время х = 1 ч, если амплитуда
тока /A = 10 А.
936. Кипятильник работает от сети переменного тока с эф-
эффективным напряжением К, = 100 В. При температуре t{) - 20 °С
сопротивление фехралевой спирали R = 25 Ом. Какая масса
кипящей воды превращается кипятильником в пар за время
х = 1 мин? Удельная теплота парообразования воды г = 2,3 МДж/кг.
Температурный коэффициент сопротивления фехраля а =
= 2- Ю-2 К-'.
937. Неоновая лампа включена в сеть переменного тока с
эффективным напряжением V.3 - 71 В и периодом Т = A/50) с.
Найти промежуток времени At, в течение которого длится вспыш-
161

ка лампы, и частоту вспышек лампы п. Напряжение зажигания
лампы V., - 86,7 В считать равным напряжению гашения Vr.
938. Найти частоту вспышек неоновой лампы, включенной в
сеть переменного тока по схеме, изображенной на рис. 147. ЭДС
батареи элементов % — 60 В, эффективное напряжение, снимаемое
с автотрансформатора, Vu = 28,3 В, напряжение
зажигания лампы V3 - 86,7 В. Частота перемен-
переменного тока/= 200 Гц.
939. Ток в первичной обмотке трансформатора
/, = 0,5 А, напряжение на ее концах V, = 220 В.
Ток во вторичной обмотке трансформатора
/2 = 11 А, напряжение на ее концах V2 = 9,5 В.
Найти КПД трансформатора.
940. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэф-
коэффициентом трансформации к = 8 включена в сеть переменного
тока с напряжением \\ = 220 В. Сопротивление вторичной обмотки
/¦ = 2 Ом, ток в ней / = 3 А. Найти напряжение V2 на зажимах вто-
вторичной обмотки.
941. Первичная обмотка трансформатора для питания накала
радиоприемника имеет w, = 12 000 витков и включена в сеть пере-
переменного тока с напряжением Vj = 120 В. Какое число вит-
витков и>2 должна иметь вторичная обмотка, если ее сопротивление
г = 0,5 Ом? Напряжение накала радиоприемника V2 = 3,5 В при
токе / = 1 А.
942. Первичная обмотка понижающего трансформатора вклю-
включена в сеть переменного тока с напряжением V, = 220 В. Напря-
Напряжение на зажимах вторичной обмотки V2 = 20 В, ее сопротивление
/• = 1 Ом, ток в ней I -2 А. Найти коэффициент трансформации к и
КПД Г) трансформатора.
943. Первичная обмотка понижающего трансформатора с коэф-
коэффициентом трансформации к = 10 включена в сеть переменного
тока с напряжением V, = 120 В. Сопротивление вторичной обмотки
г = 1,2 Ом, ток в ней / = 5 А. Найти сопротивление R нагрузки
трансформатора и напряжение V2 на зажимах вторичной обмотки.
944. Найти амплитуду и фазу напряжения в сети, питаемой
двумя последовательно включенными генераторами перемен-
переменного тока, напряжения на зажимах которых V, - V\{) sin сог и
V2 = V2o sin № - фо)- Амплитуда напряжения генераторов V,,, = 60 В
и V2i) = 100 В; частота тока/= 50 Гц; начальная фаза напряжения
второго генератора ф() = 30°.
J62

§ 25. Электромагнитные колебания и волны
Период Т собственных электромагнитных колебаний контура, сос-
состоящего из катушки с индуктивностью L и конденсатора с емкостью С,
если активным сопротивлением R контура можно пренебречь по срав-
сравнению с индуктивным (при резонансной частоте), определяется формулой
Томсона:
Частота электромагнитных колебаний контура
/ = 1 / Т = 1 / 2%4LC.
Длина электромагнитной волны в вакууме
X = cT=c/f,
где с = 2,99792458 • 108 м/с = 3 • 10s м/с - скорость распространения
электромагнитных волн в вакууме (скорость света в вакууме).
945. После того как конденсатору колебательного контура был
сообщен заряд q = 1 мкКл, в контуре происходят затухающие
электромагнитные колебания. Какое количество теплоты выде-
выделится в контуре к тому времени, когда колебания полностью
затухнут? Емкость конденсатора С = 0,01 мкФ.
946. Эффективное напряжение на конденсаторе колебательного
контура V'э = 100 В. Емкость конденсатора С = 10 пФ. Найти
максимальные значения электрической и магнитной энергий в
контуре.
947. Колебательный контур состоит из катушки с индуктив-
индуктивностью L = 3 мГн и плоского конденсатора в виде двух дисков
радиуса /• = 1,2 см, расположенных на расстоянии d = 0,3 мм друг от
друга. Найти период Т электромагнитных колебаний контура.
Каков будет период Т колебаниий, если конденсатор заполнить
веществом с диэлектрической проницаемостью ? = 4?
948. Для предотвращения короткого замыкания в колебательном
контуре генератора (вследствие случайного соприкосновения
обкладок переменного конденсатора друг с другом) последова-
последовательно с переменным конденсатором включается постоянный
конденсатор, емкость которого Со намного больше максимальной
емкости переменного конденсатора С. Максимальной емкости
переменного конденсатора С до включения постоянного конден-
конденсатора соответствовала частота колебаний/-. Во сколько раз изме-
163

нится частота колебаний контура после включения постоянного
конденсатора, если емкость этого конденсатора Со = пС, где п = 50?
949. Резонанс в колебательном контуре, содержащем конден-
конденсатор емкости Со = 1 мкФ, наступает при частоте колебаний
/i = 400 Гц. Когда параллельно конденсатору емкости Со подклю-
подключается конденсатор емкости С, резонансная частота становится
равной /т = 100 Гц. Найти емкость конденсатора С.
950. В каких пределах должна изменяться индуктивность ка-
катушки колебательного контура, чтобы в контуре происходили ко-
колебания с частотой от/, = 400 Гц до/> = 500 Гц? Емкость кон-
конденсатора С = 10 мкФ.
951. Радиоприемник можно настраивать на прием радиоволн раз-
различной длины: от Х\ - 25 м до Х2 = 200 м. В какую сторону и во
сколько раз нужно изменить расстояние с/ между пластинами
плоского конденсатора, включенного в колебательный контур
радиоприемника, при переходе к приему более длинных волн?
952. Каков диапазон частот радиоволн миллиметрового диапа-
диапазона (от А-) = 1 мм до Х2= \0 мм)?
953. Найти длину волны рентгеновских лучей, если их частота
/= 3 • 109 ГГц.
954. Найти диапазон длин волн генератора, возбуждающего
электромагнитные колебания заданной амплитуды и частоты, если
он рассчитан на диапазон частот от/, = 0,1 МГц до /2 = 26 МГц.
955. Какой интервал частот и длин волн может перекрыть один
из диапазонов радиоприемника, если индуктивность колебатель-
колебательного контура радиоприемника этого диапазона L = 1 мкГн, а его
емкость изменяется от С) = 50 пФ до С2 — 100 пФ?
956. Какую длину волны электромагнитных колебаний бу-
будет принимать радиоприемник, колебательный контур которо-
которого имеет конденсатор с емкостью С = 750 пФ и катушку с индук-
индуктивностью L = 1,34 мГн? Найти частоту колебаний контура радио-
радиоприемника.
957. Частоту колебаний электромагнитного контура /0 = 30 кГц.
Какой будет его частота /, если расстояние между пластинами
плоского конденсатора контура увеличить в п = 1,44 раза?
958. При изменении тока в катушке индуктивности на величину
Л/ = 1 А за время At = 0,6 с в ней индуцируется ЭДС % = 0,2 мВ.
Какую длину X будет иметь радиоволна, излучаемая генератором,
колебательный контур которого состоит из этой катушки и кон-
конденсатора емкости С = 14,1 нФ?
164

959. Найти частоту / электромагнитных колебаний контура,
изображенного на рис. 148, а также круговую частоту со, период Т
и длину волны X, излучаемой контуром. Ин-
Индуктивность катушки контура L = 10 мГн. емкость
конденсатора С\ = 880 пФ, емкость подстроечного
конденсатора С2 = 20 пФ.
960. Колебательный контур, содержащий кон- рИс. 148
денсатор емкости С = 20 пФ, настроен на длину
волны X = 5 м. Найти индуктивность катушки L контура и частоту
его колебаний/.
961. На какую длину волны настроен колебательный контур, со-
состоящий из катушки с индуктивностью L = 2 мГн и плоского кон-
конденсатора? Пространство между пластинами конденсатора за-
заполнено веществом с диэлектрической проницаемостью ?=11.
Площадь пластин конденсатора S = 800 см2, расстояние между
ними d = 1 см.
962. Найти емкость конденсатора колебательного контура, если
при индуктивности L = 50 мкГн контур настроен на длину волны
электромагнитных колебаний X = 300 м.
963. Емкость переменного конденсатора колебательного кон-
контура изменяется в пределах от С\ до С2 = 9СХ. Найти диапазон длин
волн, принимаемых контуром, если емкости конденсатора С(
соответствует длина волны Л, = 3 м.
964. Колебательный контур радиоприемника настроен на
радиостанцию, частота которой/0 = 9 МГц. Во сколько раз нужно
изменить емкость переменного конденсатора контура, чтобы он
был настроен на длину волны X = 50 м?
965. Электромагнитные волны распространяются в некоторой
однородной среде со скоростью сср = 2 ¦ 10х м/с. Какую длину волны
X имеют электромагнитные волны в этой среде, если их частота в
вакууме/0 = 1 МГц?
Глава IV
ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
В вакууме и в однородной среде свет распространяется прямолинейно.
Скорость света в вакууме с - 2,99792458 ¦ 108 м/с = 3 • 10х м/с, в веществе -
с„ = с/п, где п — показатель преломления вещества.
165

Свет представляет собой поперечные электромагнитные волны. Длина
волны \ связана с частотой колебаний V, периодом Г и скоростью v соот-
соотношениями
Х= иТ= vlv.
Квантовые свойства света проявляются во взаимодействии света с
веществом. Энергия кванта (порции) света с частотой v определяется вы-
выражением
е = hv.
Здесь /; = 6,626176 • 104 Дж ¦ с = 6,62 ¦ 10~34 Дж ¦ с (или Дж/Гц) - по-
постоянная Планка.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
связывает энергию е падающего на вещество кванта света, работу выхода
у4кых электрона из вещества и кинетическую энергию К = mv2l2 выле-
вылетевшего электрона.
966. Человек, рост которого h = 1,7 м, идет со скоростью
v = 1 м/с по направлению к уличному фонарю. В некоторой момент
времени длина тени человека была /, = 1,8 м, а спустя время t = 2 с
длина тени стала I2— 1,3 м. На какой высоте Н висит фонарь?
967. Схема опыта Майкельсона по определению скорости
света изображена на рис. 149. Расстояние АВ = / = 35,5 км. С какой
частотой v должна вращаться восьми-
восьмигранная зеркальная призма К, чтобы
источник света S был виден в трубу Г?
Расстояние ОВ мало по сравнению с
расстоянием АВ.
968. Алмазная пластина освещает-
освещается фиолетовым светом частоты V =
= 0,75 • 1015 Гц. Найти длины волн А,, и А^
фиолетового света в вакууме и в алмазе,
если показатель преломления алмаза для этих длин волн п = 2,465.
969. Найти показатель преломления п среды, в которой свет с
энергией кванта е = 4,4 ¦ 10~19 Дж имеет длину волны А, = 300 нм.
970. Найти энергию ? кванта света, соответствующего длине
волны А, = 500 нм.
971. Найти длину волны А, света, которым освещается поверх-
поверхность металла, если фотоэлектроны имеют кинетическую энер-
энергию К = 4,5 • 10~2() Дж, а работа выхода электрона из металла
166

¦ 972. Какова минимальная частота v света, при которой еще
наблюдается фотоэффект, если работа выхода электрона из
металла ЛИЬ1Х = 3,3 • 1СН9 Дж?
§ 27. Отражение и преломление света
на плоской границе
На границе двух сред наблюдаются явления отражения и преломления
света.
При отражении света падающий луч, перпендикуляр, восстановленный
в точке падения луча к отражающей поверхности, и отраженный луч
лежат в одной плоскости. Угол отражения равен углу падения.
В случае преломления падающий луч, перпендикуляр, восстановлен-
восстановленный в точке падения луча к границе раздела двух сред, и преломленный
луч лежат в одной плоскости. Угол падения а и угол преломления Р
связаны равенством
sin a/sin p = n2/nh
где /z, и п2 — показатели преломления первой и второй сред, а п = n^ln^ -
относительный показатель преломления двух сред. Для воздуха п ~ 1.
Если п2 < «1 (вторая среда оптически менее плотная), то a < р.
Максимальному углу преломления Р = 90° соответствует угол падения ос0,
определяемый равенством sin a() = tiiln v При угле падения a > a0 суще-
существует только отраженный луч, преломленный луч отсутствует (явление
полного отражения).
973. Круглый бассейн радиуса /? = 5м залит до краев водой. Над
центром бассейна на высоте h = 3 м от поверхности воды висит
лампа. На какое расстояние / от края бассейна может отойти
человек, рост которого Н = 1,8 м, чтобы все еще видеть отражение
лампы в воде?
974. Яркая лампа висит над центром комнаты на высоте h = 2,5 м
от пола. Высота комнаты Н = 4 м. На полу
лежит плоское зеркальце диаметра d =
= 5 см. Какого диаметра "зайчик" будет от
него на потолке, если зеркальце располо-
расположено на расстояниях /, = 0,5 м и /2 = 1,5 м от
центра комнаты?
975. Угол между двумя плоскими зерка-
зеркалами можно изменять, вращая одно из
зеркал вокруг ребра угла (рис. 150) с постоянной угловой ско-
скоростью оо = 1,5 град/с. Точечный источник света S расположен на
167

перпендикуляре к неподвижному зеркалу, восстановленному в
точке А ребра на расстоянии h = 10 см от него. Через какое время t
расстояние между изображениями источника в зеркалах будет
/= 10 см?
976. Два плоских зеркала расположены под углом друг к другу, и
между ними помещен точечный источник света. Изображение
источника в первом зеркале находится на расстоянии ах — 6 см, а во
втором зеркале - на расстоянии а2 = 8 см от источника. Расстояние
между изображениями источника / = 10 см. Найти угол ф между
зеркалами.
977. Два малых плоских зеркала расположены на одинаковых
расстояниях друг от друга и от точечного источника света. Каков
должен быть угол ф между зеркалами, если луч после двух отра-
отражений: а) направляется прямо к источнику; б) возвращается обрат-
обратно к источнику по пройденному пути (т.е. испытывает еще одно
отражение)?
978. Плоское зеркало поворачивают на угол \\f = 21°. На какой
угол Ь повернется отраженный от зеркала луч?
979. Узкий луч света, проходя через маленькое отверстие в
экране (перпендикулярно к поверхности экрана), попадает на вра-
вращающееся шестигранное зеркало, ось вращения которого парал-
параллельна поверхности экрана и находится напротив отверстия. Какой
длины L будет прочерчивать полоску на экране отраженный от
зеркала луч. если расстояние между зеркалом и экраном / = 1 м?
Размерами граней зеркала по сравнению с расстоянием / пре-
пренебречь.
980. Два зеркала образуют друг с другом угол ф < п. На одно из
зеркал падает луч света, лежащий в плоскости, перпендикулярной
к ребру угла. Доказать, что угол отклонения Ф этого луча от
первоначального направления после отражения от обоих зеркал не
зависит от угла падения.
981. Два плоских зеркала образуют друг с другом угол ф < к. Луч
света отражается последовательно от двух зеркал. На какой угол Ф
от своего первоначального направления отклонится отраженный
луч, если система зеркал поворачивается на угол \|/ вокруг оси, ле-
лежащей в плоскости обоих зеркал? Как падающий, так и отражен-
отраженный лучи лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.
982. Сечение стеклянной призмы имеет форму равнобедренного
треугольника. Одна из равных граней призмы посеребрена. Луч
света падает на непосеребренную грань призмы перпендикулярно к
168

ее поверхности и после двух отражений выходит через основание
призмы перпендикулярно к нему. Найти углы призмы.
983. Луч света входит в стеклянную призму под углом ос = к/6
и выходит из призмы в воздух под углом у = тс/3, причем, пройдя
призму, отклоняется от своего первоначального направления на
угол "& = л/4. Найти преломляющий угол ф призмы.
984. Найти показатель преломления п скипидара и скорость
распространения света с„ в скипидаре, если при угле падения
а = 45° угол преломления C = 30°.
985. Луч света падает перпендикулярно к боковой поверхности
призмы, преломляющий угол которой ф = 30°. Найти угол откло-
отклонения "б луча от первоначального направления после выхода из
призмы. Показатель преломления материала призмы п = 1,4.
986. Высота Солнца над горизонтом \|/ = 20°. Пользуясь зерка-
зеркалом, пускают "зайчик'" в воду озера. Под каким углом у к гори-
горизонту нужно расположить зеркало, чтобы луч света в воде шел под
углом C = 41° к вертикали? Показатель преломления воды п = 1,33.
987. При падении на плоскую границу двух сред с показателями
преломления /?, и /?2 луч света частично отражается, частично
преломляется. При каком угле падения а отраженный луч перпен-
перпендикулярен к преломленному лучу?
988. Преломленный луч света составляет с отраженным угол
90°. Найти относительный показатель преломления, если луч пада-
падает на плоскую границу сред под углом а, для которого sin а = 0,8.
989. На поверхности водоема, имеющего глубину Н = 5,3 м,
плавает фанерный круг радиуса г = 1 м, над центром которого на
некоторой высоте расположен точечный источник света. Какова
должна быть эта высота /?, чтобы радиус R тени от круга на дне
водоема был максимальным? Найти этот максимальный радиус.
Показатель преломления воды п = 1,33.
990. На поверхности озера, имеющего глубину /7 = 2 м, нахо-
находится круглый плот радиуса R = 8 м. Найти радиус г полной тени от
плота на дне озера при освещении воды рассеянным светом. Пока-
Показатель преломления воды п = 1,33.
991. Луч света падает на стеклянную пластинку с показателем
преломления п = 1,7 под углом а, для которого sin а = 0,8. Вышед-
Вышедший из пластинки луч оказался смещенным относительно падаю-
падающего луча на расстояние b = 2 см. Какова толщина h пластинки?
992. На какое расстояние / сместится луч света, распространяю-
распространяющийся в стекле с показателем преломления п, если на его пути
169

имеется плоскопараллельная щель ширины d, заполненная возду-
воздухом? Угол падения луча на щель равен а. Полного отражения не
происходит.
993. Луч света выходит из призмы под тем же углом, под каким
входит в призму, причем отклоняется от первоначального на-
направления на угол -б = 15°. Преломляющий угол призмы ф = 45°.
Найти показатель преломления п материала призмы.
994. У призмы с показателем преломления п = 1,41 и прелом-
преломляющим углом ф = 30° одна грань посеребрена. Луч света падает на
непосеребренную грань под углом а = 45° и после отражения вы-
выходит из призмы через эту же грань. Найти угол Ф между падаю-
падающим и выходящим лучами.
995. Найти угол ~д отклонения луча стеклянной призмой с пре-
преломляющим углом ф = 5°, если луч падает на грань призмы под
малым углом. Показатель преломления стекла п = 1,8.
996. Луч света падает под углом а = 58° на поверхность воды,
налитой слоем толщины h = 10 мм в стеклянное блюдце с пло-
плоскопараллельным дном. Показатель преломления воды «] = 1,33.
Найти показатель преломления п2 стекла блюдца, если вышедший
под блюдцем луч смещен относительно падающего на расстояние
/ = 6,2 мм, а в стекле луч проходит путь L = 5 мм.
997. На горизонтальном дне водоема, имеющего глубину
h = 1,2 м, лежит плоское зеркало. Луч света падает на поверхность
воды под углом а = 30°. На каком расстоянии / от места падения
этот луч снова выйдет на поверхность воды после отражения от
зеркала? Показатель преломления воды п = 1,33.
998. На горизонтальном дне бассейна, имеющего глубину
h = 2 м, лежит плоское зеркало. Луч света, преломившись на
поверхности воды, отражается от зеркала и выходит в воздух.
Расстояние от места вхождения луча в воду до места выхода
отраженного луча из воды / = 1,5 м. Найти угол падения луча а.
Показатель преломления воды п = 1,33.
999. У плоскопараллельной пластинки, имеющей толщину
d = 5 см, нижняя поверхность посеребрена. Луч света, падающий на
пластинку под углом а = 30°, частично отражается от верхней
поверхности, частично проходит в пластинку, отражается от ниж-
нижней поверхности пластинки, и, преломляясь вторично, выходит в
воздух параллельно первому отраженному лучу. Найти показатель
преломления «материала пластинки, если расстояние между па-
падающим и выходящим лучами / = 2,5 см.
170

1000. На стеклянную плоскопараллельную пластинку толщины d
падает луч света под углом а. Луч частично отражается от верхней
поверхности, частично проходит в пластинку и, отразившись от
нижней поверхности, выходит через верхнюю. Найти угол ф вы-
выхода луча и длину L пути, пройденного преломленным лучом в
пластинке. Показатель преломления стекла равен п.
1001. Какова толщина d стеклянной плоскопараллельной пла-
пластинки, если точку на задней поверхности пластинки наблюдатель
видит на расстоянии / = 5 см от передней поверхности? Показатель
преломления стекла п = 1,6. Луч зрения перпендикулярен к поверх-
поверхности пластинки. Для малых углов tg a =» sin а *= а.
1002. У плоскопараллельной пластинки, имеющей толщину
d - 1,2 см, задняя поверхность посеребрена. Точечный источник
света расположен на расстоянии / = 1,5 см от передней поверхности
пластинки. На каком расстоянии L от источника находится его
изображение, получающееся в результате отражения лучей от зад-
задней поверхности пластинки? Показатель преломления материала
пластинки п = 1,6. Луч зрения перпендикулярен к поверхности
пластинки.
1003. Стержень опущен концом в прозрачную жидкость, пока-
показатель преломления которой равен п, и образует с поверхностью
жидкости угол а. Наблюдателю, который смотрит сверху, конец
стержня, погруженный в жидкость, ка-
кажется смещенным на угол C (рис. 151).
При каком угле наклона стержня а угол
смещения C будет максимальным?
1004. Сечение стеклянной призмы
имеет форму равностороннего треуголь-
треугольника. Луч падает на одну из граней пер-
перпендикулярно к ней. Найти угол Ф между
направлениями падающего луча и луча,
вышедшего из призмы. Показатель пре- Рис. 151
ломления стекла п = 1,5.
1005. В цистерне с сероуглеродом на глубине h - 26 см под
поверхностью расположен точечный источник света. Найти пло-
площадь круга на поверхности жидкости, в пределах которого воз-
возможен выход лучей в воздух. Показатель преломления сероугле-
сероуглерода п - 1,64.
1006. Водолаз стоит на горизонтальном дне водоема, имеющего
глубину Н - 15 м. На каком расстоянии / от водолаза, рост кото-
171

poro h- 1,7 м, находятся те части дна, которые он может увидеть
отраженными от поверхности воды? Показатель преломления
воды п - 1,33.
1007. На дне водоема, имеющего глубину Н = 3 м, находится
точечный источник света. Какой минимальный радиус R должен
иметь круглый непрозрачный диск, плавающий на поверхности
воды над источником, чтобы с вертолета нельзя было обнаружить
этот источник света? Показатель преломления воды п = 1,33.
1008. В жидкости с показателем преломления п = 1,8 помещен
точечный источник света. На каком максимальном расстоянии h
над источником надо поместить диск диаметра D = 2 см, чтобы свет
не вышел из жидкости в воздух?
1009. В толще стекла с показателем преломления п = 1,5 на
расстоянии h = 10 см от плоской поверхности стекла находится
точечный источник света. Непрозрачный диск расположен на этой
поверхности так, что его центр находится в ближайшей к источ-
источнику точке. Диск и стекло покрыты снаружи плоским слоем
гладкого льда без воздушной прослойки. Какой минимальный
радиус R должен иметь диск, чтобы свет не вышел через поверх-
поверхность льда?
1010. Пучок света скользит вдоль боковой грани призмы, сече-
сечение которой имеет форму равнобедренного треугольника. При
каком предельном преломляющем угле ф призмы преломленные
лучи претерпят полное отражение на второй боковой грани
призмы? Показатель преломления материала призмы п = 1,6.
1011. Призма с преломляющим углом ф = 60° сделана из стекла с
показателем преломления п = 1,75. При каком угле падения а луча
света на одну из граней выход луча из второй грани становится не-
невозможным?
1012. Луч света падает перпендикулярно к короткой грани
трехгранной поворотной призмы с углами 90° и 45°, изготовленной
из стекла с показателем преломления п = 1,75. На какой макси-
максимальный угол Ь может отклониться луч в направлении к 90°-ному
ребру в плоскости, перпендикулярной к этому ребру, чтобы свет не
выходил частично через длинную грань призмы?
§ 28. Фотометрия
В фотометрии вводят световые величины. Так, энергию, переноси-
переносимую светом через какую-нибудь площадку за единицу времени и оце-
оцениваемую по зрительному восприятию, называют световым потоком Ф
172

через эту площадку. Освещенность поиерхности Е = Ф/S, где S - площадь
поверхности.
Силой света источника по данному направлению называется величина
/ = Ф/со, где СО - телесный угол, в котором распространяется световой
поток Ф. Телесный угол определяется отношением площади S() поверх-
поверхности, вырезаемой телесным углом из
сферы (центр которой находится в вершине
телесного угла), к квадрату радиуса /¦ этой
сферы, т.е. СО = S(//-2 (рис. 152). В случае ма-
малого телесного угла, если вместо поверхно-
поверхности сферы Su берется ограниченная тем же
телесным углом площадка S, расстояние до
которой от вершины телесного угла равно г
и перпендикуляр п к которой составляет Рис. 152
угол а с радиусом, то S{) = S cos а. При этом
Е = (/ cos а)//2, где /¦ - расстояние от источника до освещаемой площадки,
а - угол падения лучей на нее.
Единицей светового потока является .иомен (лм), освещенности —
люкс (лк), силы света — кандела (кд), телесного угла — стерадиан (ср). Рас-
Расстояние г выражают в метрах (м).
1013. Лампа с силой света / = 200 кд укреплена на потолке ком-
комнаты. Найти полный световой поток Ф, падающий на стены и пол
комнаты.
1014. Фотографический снимок печатали "контактным спосо-
способом". При этом лампа располагалась на расстоянии /| = 60 см от
снимка, а экспозиция длилась tx - J6 с. Каково должно быть
время экспозиции ь, если заменить лампу на другую с силой
света, втрое меньшей, и поместить ее на расстоянии г2 = 45 см от
снимка?
1015. Две лампы, силы света которых /, = 75 кд и /2 = 48 кд,
находятся друг от друга на расстоянии г = 1,8 м. Где надо поместить
между ними экран, чтобы его освещенность была одинакова с той
и другой стороны?
1016. Две лампы, силы света которых /, = 25 кд и /2 = 8 кд,
находятся друг от друга на расстоянии г — 1,8 м. На каком рас-
расстоянии г, от первой лампы (на линии, соединяющей лампы) надо
поместить лист бумаги, чтобы освещенность его со стороны
первой лампы была вдвое больше, чем со стороны второй?
1017. При осмотре внутренней поверхности сферического резер-
резервуара, имеющего диаметр d = 20 м, в его верхней точке был укреп-
укреплен источник с силой света / = 1000 кд. Найти освещенность в той
173

точке поверхности резервуара, в которой лучи падают под углом
ос = 34°. Свет, отраженный от стенок резервуара, не учитывать.
1018. Над центром квадратного стола со стороной а = 1,5 м на
высоте h = 1 м от поверхности стола висит лампа. Во сколько раз
изменится освещенность в центре стола, если эту же лампу по-
повесить на той же высоте над одним из углов стола?
1019. На столе лежит раскрытая книга, корешок которой длины
/ = 52 см направлен к настольной лампе. Линия, соединяющая верх
страницы с нитью лампы, имеет такую же длину / и наклонена под
углом ф = 60° к поверхности стола. Найти разницу освещенностей
верха и низа страницы, если сила света лампы / = 60 кд.
1020. Найти полный световой поток Ф, создаваемый источ-
источником, помещенным на мачте высоты h = 12 м, если на расстоя-
расстоянии / = 16 м от основания мачты он создает освещенность Е = 3 лк.
1021. На высоте h - 8 м над землей висит лампа с силой света
/ = 1000 кд. Найти площадь S участка, в пределах которого осве-
освещенность не меньше чем Е = 1 лк.
1022. На высоте h = 5 м над землей висит лампа с силой света
/ = 400 кд. Найти площадь S участка, внутри которого освещен-
освещенность меняется в пределах от ?, = 0,25 лк до Е2 - 2 лк.
1023. Над площадью висит фонарь, создающий освещенность
Е\ = 10 лк в тех точках, в которых лучи падают на землю под углом
ос, (cos а, = 0,3). Какова освещенность Е2 в точках, в которых лучи
падают на землю под углом <х2 (cos а2 = 0,6)?
1024. Круглый зал диаметра d = 30 м освещается лампой,
укрепленной в центре потолка. Найти высоту h зала, если наи-
наименьшая освещенность стены зала в п = 2 раза больше наименьшей
освещенности пола.
1025. На высоте hi =2 м над серединой круглого стола,
имеющего диаметр d = 3 м, висит лампа с силой света /, = 100 кд.
Ее заменили лампой с силой света /2 = 25 кд, изменив расстояние от
лампы до стола так, что освещенность середины стола не изме-
изменилась. Как изменилась освещенность края стола?
1026. Площадка освещается двумя различными лампами, вися-
висящими на столбе одна над другой на высоте hx - 8 м и h2 = 27 м. На
каком расстоянии / от основания столба находятся точки площадки,
освещенность которых не изменится, если поменять лампы
местами?
1027. Три одинаковых точечных^ источника с силой света
/ = 10 кд каждый расположены в вершинах равностороннего
174

*.
треугольника со стороной а = 1 м. В центре треугольника перпен-
перпендикулярно к его плоскости и параллельно одной из его сторон
расположена маленькая пластинка. Найти освещенность каждой из
сторон пластинки.
1028. Три лампы и небольшой экран расположены в верши-
вершинах ромба, одна из диагоналей которого равна его стороне. Экран
перпендикулярен к другой диагонали (рис. 153). Какую силу света /
имеет средняя лампа, если при ее выключении освещенность
экрана уменьшается в п = 2 раза и две
другие лампы меют силу света /0 = 10 кд?
1029. Две лампы с силой света / = 200 кд
каждая висят на столбе одна над другой на ! ,'
высоте Л, = 3 м и /?2 = 4 м. Найти освещен- *с"^
ность поверхности земли на расстоя-
расстоянии / = 2 м от основания столба. ~*
1030. Две одинаковые лампы прикреп- °
лены к потолку комнаты на расстоя- Рис 153
нии / = 4 м друг от друга, на высоте h = 2 м
от поверхности стола. Найти отношение освещенностей центра
стола в случаях, когда стол расположен: под одной из ламп;
посередине между лампами.
1031. Экран освещается двумя лампами с силой света /A = 200 кд,
расположенными симметрично относительно центра экрана. Рас-
Расстояние от каждой лампы до экрана (по перпендикуляру) /г0 = 4 м,
расстояние между лампами / = 2 м. Какую силу света / должна
иметь лампа, помещенная на расстоянии h = 6 м от центра экрана,
чтобы она дала в центре экрана такую же освещенность, как две
упомянутые лампы?
1032. Точечный источник света S освещает поверхность А В
(рис. 154). Во сколько раз увеличится
освещенность в точке С, если сбоку от
источника света на расстоянии SD = SC
поместить плоское зеркало, отражающее
свет в точку С? Коэффициент отражения
зеркала считать равным единице. . tr
1033. Лампа, подвешенная к потолку,
Рис 1 54
имеет в горизонтальном направлении силу
света / = 96 кд. Какой световой поток Ф
падает на картину площади S = 0,5 м2, если картина висит верти-
вертикально на стене напротив лампы на расстоянии а = 4 м от нее, а на
175

противоположной стене на расстоянии h = 2 м от лампы находится
большое плоское зеркало?
1034. Какова освещенность маленькой гори-
горизонтальной площадки (рис. 155), если над ней на
расстоянии / = 2м находится точечный источник
с силой света / = 60 кд, а на расстоянии d = 1 м от
источника и площадки вертикально располо-
^ жено плоское зеркало?
1035. Плоский экран и идеально отражающее
плоское зеркало образуют двугранный угол
р ф = 45°. Между экраном и зеркалом, на оди-
одинаковом расстоянии а от них, помещен то-
точечный источник света S. Какова освещенность в точке А экрана,
ближайшей к источнику?
§ 29. Сферические зеркала
Сферическое зеркало представляет собой отполированную поверх-
поверхность шарового сегмента. Прямая, проведенная через центр сферы (опти-
(оптический центр зеркала) и вершину шарового сегмента (полюс зеркала),
называется главной оптической осью зеркала. Всякая другая пря-
прямая, проходящая через оптический центр, называется побочной опти-
оптической осью.
Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения пе-
пересекает ее в фокусе зеркала, лежащем на расстоянии F = R/2 от зер-
зеркала, где R - радиус кривизны зеркала (радиус сферы). В случае вы-
выпуклого зеркала главную оптическую ось пересекает не сам отражен-
отраженный луч, а его мнимое продолжение. В этом случае фокус можно назвать
мнимым.
Плоскость, проведенная через фокус перпендикулярно к главной
оптической оси, называется фокальной плоскостью. Лучи, параллельные
побочной оптической оси, после отражения сходятся в точке, лежащей на
фокальной плоскости зеркала (в случае выпуклого зеркала - продол-
продолжения лучей).
Лучи, исходящие от небольшого предмета, после отражения от
зеркала образуют изображение. Каждой точке предмета соответствует
одна точка изображения. Изображение может быть действительным,
когда оно образовано самими лучами, отраженными от зеркала (рис. 156),
или мнимым, когда оно образовано продолжениями отраженных
лучей (рис. 157). « ; <¦•
Пусть предмет (или источник) располагается в вершине пучка пере-
пересекающихся лучей. Если эта вершина действительно существует даже при
наличии зеркала, то источник считается действительным (рис. 158). Если
же в присутствии зеркала вершина обрадована лишь продолжениями
лучей, тр мы имеем дело с мнимым источником (рис. 159).
176

] Расстояние d от предмета до зеркала, расстояние/от зеркала до
изображения и фокусное расстояние F связаны соотношением
называемым формулой зеркала. При таком написании формулы вели-
величины d,fn F считаются положительными (в условиях задач значения d, /и
F заданы по модулю). Знаки же перед членами формулы зеркала выби-
.--•*
Рис. 156
Рис. 157
Рис. 158
Рис. 159
раются по правилу: если предмет (источник), изображение, фокус явля-
являются действительными, то перед соответствующими членами формулы
ставится плюс; если мнимыми, то ставится минус.
Если перед всеми членами формулы зеркала знаки поставлены в
соответствии с указанным правилом, то полученный ответ будет всегда
положительным, так как он характеризует только модуль искомой ве-
величины. Часто, однако, действительность или мнимость источника,
изображения или фокуса неизвестна. В этом случае перед соответст-
соответствующим членом в формуле зеркала можно поставить любой знак
(удобнее обычно плюс), т.е. предполагать предмет (изображение, фокус)
действительным или мнимым. Положительность ответа указывает тогда
на правильность этого предположения, отрицательность - на его оши-
ошибочность.
Формула зеркала и все вышеуказанные свойства зеркала справедливы
только для лучей, идущих вблизи главной оптической оси и составляющих
с ней малые углы. Во всех задачах подразумевается, что мы имеем дело
именно с этим случаем.
1036. Посеребренная сфера рассечена на две части плос-
плоскостью. На каком расстоянии b от центра сферы проходит эта
177

плоскость, если меньшая часть представляет собой сфери-
сферическое зеркало диаметра а = 0,64 м с фокусным расстоянием
F = 0,65 м?
1037. На каком расстоянии d от вогнутого зеркала с фокусным
расстоянием F - 1 м необходимо поместить источник света, чтобы
его изображение совпало с самим источником?
1038. Расстояние от предмета до вогнутого зеркала d = 0,5 м.
расстояние от зеркала до изображения/= 2 м. Найти радиус кри-
кривизны R зеркала.
1039. Предмет высоты h = 0,06 м находится на расстоянии
d = 0,14 м от вогнутого зеркала с фокусным расстоянием F = 0,11 м.
Найти высоту Н изображения предмета.
1040. Предмет находится на расстоянии d = 0,48 м от вогнутого
зеркала. Зеркало дает действительное изображение предмета с
уменьшением к = 4. Найти радиус кривизны R зеркала.
1041. Вогнутое зеркало дает действительное изображение пред-
предмета с увеличением к = 4. Найти фокусное расстояние F зеркала,
если расстояние между предметом и его изображением а = 1,5 м.
1042. Малый участок поверхности сферы посеребрен. На
диаметрально противоположной стороне сферы получилось изоб-
изображение некоторого предмета, помещенного внутри нее. С каким
увеличением к изображается предмет?
1043. Расстояние от точечного источника света до вогнутого
зеркала d = 2R, где R - радиус кривизны зеркала. Источник нахо-
находится на главной оптической оси зерка-
зеркала. Где расположено его изображение?
Построить ход лучей.
1044. На вогнутое зеркало пада-
падает луч АО В, пересекающий главную
оптическую ось зеркала в точке О. От-
Рис-160 раженный от зеркала луч BO'D пере-
пересекает ту же ось в точке О' (рис. 160). Найти построением поло-
положение фокуса зеркала.
1045. Вогнутое зеркало дает действительное изображение пред-
предмета с увеличением к\ = 5. Если переместить предмет на некоторое
расстояние вдоль главной оптической оси, изображение пере-
переместится вдоль оси на такое же расстояние. Найти увеличение
к2 при новом расположении предмета. s
1046. Вогнутое зеркало дает действительное изображение пред-
предмета с увеличением к\ = 5. Если зеркало переместить на расстояние
178

a = 2 см ближе к предмету, то увеличение предмета станет к2 = 7.
Найти фокусное расстояние F зеркала.
1047. Вогнутое зеркало дает действительное изображение пред-
предмета с уменьшением ?, = 1/4. Если предмет переместить на
расстояние а = 5 см ближе к зеркалу, то уменьшение изображения
станет к2 = 1/2. Найти фокусное расстояние F зеркала.
1048. Фокус вогнутого зеркала расположен на расстоянии
а - 0,24 м от предмета и на расстоянии Ъ = 0,54 м от его изобра-
изображения. Найти увеличение к предмета, даваемое зеркалом.
1049. Светящаяся точка расположена на расстоянии d = 0,75 м от
вогнутого зеркала и на расстоянии / = 0,05 м от главной оптической
оси зеркала. Изображение точки находится на расстоянии L = 0,2 м
от оси. Найти радиус кривизны R зеркала в случаях, когда изобра-
изображение действительное и мнимое.
1050. Пучок лучей от бесконечно удаленного источника света
падает на экран, имеющий отверстие диаметра d = 7 см. Плоскость
экрана перпендикулярна к лучам. На расстоянии а = 68 см за экра-
экраном расположено вогнутое зеркало с фокусным расстоянием
F = 0,28 м, главная оптическая ось которого совпадает с осью
пучка. Найти диаметр D светлого круга на экране.
1051. Точечный источник света помещен в фокусе зеркала с
фокусным расстоянием F = 20 см. Во сколько раз освещенность
экрана, находящегося на расстоянии г = 0,2 км от источника при
наличии зеркала больше, чем в той же точке экрана без зеркала?
1052. Прожектор установлен на высоте h = 30 м от поверхности
земли. Найти освещенность Е в центре светлого пятна на поверх-
поверхности земли на расстоянии / = 40 м от основания вышки. Прожек-
Прожектор имеет точечный источник с силой света / = 500 кд и рефлектор
с фокусным расстоянием F = 20 см. Считать, что прожектор дает
параллельный пучок лучей.
1053. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 1 м дает
мнимое изображение предмета, расположенное на расстоянии
/= 3 м от зеркала. На каком расстоянии d от зеркала находится
предмет?
1054. Вогнутое зеркало с радиусом кривизны R = 120 см дает
прямое изображение предмета с увеличением к = 4. На каком рас-
расстоянии d от зеркала находится предмет?
1055. Вогнутое зеркало дает изображение предмета с увеличе-
увеличением к = 6. Найти радиус кривизны R зеркала, если предмет распо-
расположен на расстоянии d = 21 см от зеркала.
179

1056. Вогнутое зеркало дает изображение предмета с увеличе-
увеличением к = 2. Найти радиус кривизны R зеркала, если расстояние
между предметом и изображением а = 18 см.
1057. Светящаяся точка находится на главной оптической оси
вогнутого зеркала на одинаковых расстояниях от зеркала и его
фокуса. Перпендикулярно к оси зеркала расположен экран, центр
которого совпадает с оптическим центром зеркала. Во сколько раз
диаметр светлого круга на экране превышает диаметр зеркала?
1058. Зеркало дает мнимое изображение с увеличением к = 2.
Найти радиус кривизны R зеркала, если расстояние между пред-
предметом и изображением а = 1,5 м.
1059. Светящаяся точка расположена на расстоянии / = 0,2 м от
главной оптической оси вогнутого зеркала, ее мнимое изображе-
изображение - на расстоянии L ~ 0,5 м от той же оси. Во сколько раз фокус-
фокусное расстояние зеркала превышает расстояние от светящейся
точки до фокальной плоскости?
1060. Отрезок, соединяющий фокус вогнутого зеркала с его
полюсом, разделен на три равные части, и в точках деления поме-
помещены точечные источники света. Каково расстояние / между
изображениями этих источников, если радиус кривизны зеркала
равен /??
1061. Упавший на мягкую глину шар оставил в ней углубле-
углубление, радиус которого равен 0,8 радиуса шара. После затвердевания
глины выемку посеребрили и получившееся сферическое зеркало
накрыли плоским стеклом. С каким увеличением дает это зеркало
изображение рисунка, нанесенного в центре
т стекла?
5 1062. На рис. 161 SO - предмет, S'O' - его
д мнимое изображение в зеркале, ОО'- главная
—— -J-— оптическая ось зеркала. Найти построением
положения полюса зеркала, его оптического
Рис- 1б1 центра и фокуса.
1063. Человек видит свое изображение в сферическом зеркале,
находящемся от него на расстоянии d = 0,2 м, увеличенным в
к = 1,5 раза по сравнению с изображением в плоском зеркале, на-
находящемся на таком же расстоянии. Найти радиус кривизны
R сферического зеркала.
1064. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с фокусным
расстоянием F = 0,5 м и после отражения собираются в точке,
отстоящей на расстоянии /= 0,2 м от зеркала и на расстоянии
180

L = 0,15 м от его главной оптической оси. На каком расстоя-
расстоянии / от оси соберутся лучи, если убрать зеркало? Построить
ход лучей.
1065. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало с фокус-
фокусным расстоянием F = 10 см так, что их продолжения пересекаются
на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 0,3 м за
зеркалом. На каком расстоянии от зеркала сойдутся лучи после
отражения?
1066. Сходящиеся лучи падают на вогнутое зеркало так,
что их продолжения пересекаются на главной оптической
оси зеркала на расстоянии d = 0,2 м за зеркалом. После отраже-
отражения лучи сошлись в точку, расположенную на расстоянии, рав-
равном 1/5 фокусного расстояния зеркала. Найти радиус кривизны
R зеркала.
1067. Расстояние от светящейся точки до зеркала d = 4,8 см,
расстояние от изображения этой точки до фокуса зеркала
а = 20 см. Точка находится на главной оптической оси зеркала.
Найти фокусное расстояние F зеркала.
1068. На главной оптической оси вогнутого зеркала с радиусом
кривизны R находится маленькая лампочка накаливания. Расстоя-
Расстояние от лампочки до зеркала d - R/4. Найти освещенность Е2 в
центре экрана, расположенного перпендикулярно к главной опти-
оптической оси на расстоянии 2/? от зеркала. Освещенность в центре
экрана, находящегося на расстоянии R, равна Е\. Потерями света
при отражении пренебречь.
1069. Построить изображение 5" светящейся точки S, находя-
находящейся на главной оптической оси выпуклого зеркала, если по-
положения оптического центра зеркала С, его полюса Р и фокуса
F известны.
1070. Предмет находится на расстоянии d = 5 от выпуклого
зеркала с радиусом кривизны R = 1,5 м. На каком расстоянии /от
зеркала находится изображение предмета?
1071. Изображение источника света получено с помощью вы-
выпуклого зеркала на расстоянии/= 60 см от зеркала. На каком рас-
расстоянии d от зеркала расположен источник, если фокусное рас-
расстояние зеркала F = 90 см?
1072. Мнимое изображение предмета получено с помощью вы-
выпуклого зеркала на расстоянии/= 12 см от зеркала. На каком рас-
расстоянии d от зеркала расположен предмет, если радиус кривизны
зеркала R - 40 см?
181

1073. Пламя свечи находится на расстоянии d = 1,5 м от
выпуклого зеркала с фокусным расстоянием F = 0,5 м. Найти
уменьшение к изображения пламени свечи.
1074. Предмет высоты h = 4 мм находится на расстоянии
d= 10 см от выпуклого зеркала с радиусом кривизны R = 60 см.
Найти высоту Н изображения предмета.
1075. Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F - 0,2 м дает
мнимое изображение предмета с уменьшением к = 1/2. На каком
расстоянии d от зеркала расположен предмет? Построить ход
лучей.
1076. Радиус кривизны выпуклого зеркала R = 1,6 м. На каком
расстоянии d перед зеркалом должен находиться предмет, чтобы
его изображение получилось в п = 1,5 раза ближе к зеркалу, чем
сам предмет?
1077. Светящаяся точка расположена на расстоянии d = 1 м от
выпуклого зеркала, а ее изображение делит точно пополам от-
отрезок главной оптической оси между полюсом зеркала и его фоку-
фокусом. Найти радиус кривизны R зеркала.
1078. Человек смотрит в посеребренный стеклянный шар диа-
диаметра / = 0,6 м, находясь от него на расстоянии d = 0,25 м. На каком
расстоянии а от человека расположено его уменьшенное мнимое
прямое изображение?
1079. Тонкий карандаш длины / = 6 см расположен вдоль главной
оптической оси выпуклого зеркала. Изображение его ближайшего
к зеркалу конца находится на расстоянии /, = 20 см от зеркала,
дальнего - на расстоянии /2 = 24 см от зеркала. Найти фокусное
расстояние F зеркала.
1080. Луч пересекает главную оптическую ось выпуклого
зеркала в некоторой точке А. На каком расстоянии от точки А
необходимо расположить зеркало, чтобы луч, отразившись от
него, пересек главную оптическую ось в точке В, отстоящей от
точки А на расстоянии / = 1,5F?
1081. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их
продолжения пересекаются на главной оптической оси зеркала на
расстоянии d - 24 см за зеркалом. После отражения от зеркала
лучи сходятся на оси зеркала в точке, находящейся перед ним на
расстоянии/= 40 см. Найти радиус кривизны R зеркала.
1082. Выпуклое зеркало с фокусным расстоянием F = 1,45 м
закрывает собой отверстие в непрозрачном экране. Сходящиеся
лучи падают на зеркало так, что после отражения они сходятся на
182

^главной оптической оси зеркала на расстоянии/= 55 см перед
экраном. На каком расстоянии d за экраном сойдутся лучи, если
вынуть зеркало из отверстия?
1083. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало с радиу-
радиусом кривизны R = 0,4 м так, что их продолжения пересекаются
на главной оптической оси зеркала на расстоянии d = 0,7 м за
зеркалом. На каком расстоянии / от зеркала сойдутся лучи после
отражения?
1084. Сходящиеся лучи падают на выпуклое зеркало так, что их
продолжения пересекаются в точке, находящейся на расстоянии
d - 0,4 м за зеркалом. После отражения от зеркала лучи расходятся
таким образом, что их продолжения пересекаются в точке, отстоя-
отстоящей от зеркала на расстоянии /= 1,6 м. Обе точки пересечения
лежат на главной оптической оси зеркала. Найти фокусное рас-
расстояние F зеркала.
1085. Через круглое отверстие в экране, имеющее диаметр
d = 4 см, на выпуклое зеркало, находящееся на расстоянии а = 16 см
от экрана, падает параллельный пучок света (вдоль главной опти-
оптической оси зеркала перпендикулярно к экрану). Отразившись от
зеркала, пучок света, попадая на тот же экран, образует вокруг
отверстия светлое пятно диаметра D = 6 см. Найти радиус кри-
кривизны R зеркала.
1086. Пучок параллельных лучей, пройдя через круглое отверс-
отверстие в листе бумаги, образует на экране, параллельном листу и рас-
расположенном от него на расстоянии а - 45 см, светлый круг
диаметра d = 6 см. Когда экран заменили выпуклым зеркалом, то
на листе бумаги появился светлый круг диаметра D = 33 см. Найти
радиус кривизны R зеркала.
§ 30. Тонкие линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сфериче-
сферическими или сферической и плоской поверхностями. Толщину линзы будем
считать малой по сравнению с радиусами кривизны R\ и/?2 ее поверх-
поверхностей. Поэтому вершины сферических поверхностей можно считать
практически сливающимися в одной точке, называемой оптическим
центром линзы. Луч, проходящий через оптический центр линзы, т.е.
идущий вдоль оптической оси линзы, не изменяет своего направления.
Оптическая ось, проведенная через вершины сферических поверхностей,
называется главной оптической осью, прочие — побочными.
Линза, у которой середина толще, чем края, называется собирающей.
Если края линзы толще середины, то линза — рассеивающая. Условное
183

обозначение собирающей линзы показано на рис. 162, рассеивающей -
на рис. 163.
Лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления в
линзе сходятся в фокусе. Фокус линзы действительный для собирающей
линзы, мнимый - для рассеивающей. Плоскость, проведенная через фокус
Рис. 162
Рис. 163
Рис. 164
перпендикулярно к оптической оси, называется фокальной плоско-
плоскостью. Каждый из лучей, параллельных побочной оптической оси, после
преломления проходит через одну и ту же точку, лежащую на фокальной
плоскости линзы. В случае рассеивающей линзы в этой точке пере-
пересекаются не сами лучи, а их продолжения.
Тонкая линза для лучей, составляющих малый угол с главной опти-
оптической осью, обладает свойством давать изображение точки предмета и
виде точки. Изображение предмета может быть действительным или
мнимым. В первом случае оно образовано лучами, действительно пере-
пересекающимися после преломления в линзе (рис. 164), во втором случае
изображение образовано продолжениями преломленных в линзе лучей
(рис. 165).
Уберем линзу и найдем вершину пучка пересекающихся лучей. Эта
вершина - одна из точек предмета или источника. Так как в присутствии
Рис. 165
линзы лучи могут и не пересекаться в действительности в этой точке, то
предмет или источник может быть как действительным (рис. 166), так и
мнимым (рис. 167). В последнем случае источником будет вершина пучка
продолжений лучей, падающих на линзу.
Формула линзы и правило, по которому ставятся знаки перед членами
этой формулы, полностью совпадают с аналогичными для сферического
зеркала, т.е.
184

---„;*
|где расстояние от предмета до линзы d, расстояние от линзы до изобра-
жения/и фокусное расстояние F являются величинами положительными.
Плюс перед членами формулы ставится, если соответствующий пред-
предмет (изображение) действительный, минус - если мнимый. Знак ответа
указывает лишь на правильность
определения характера (но не модуля) ^*
неизвестной величины. Положитель-
Положительный ответ свидетельствует о справед-
справедливости предположения о мнимости —-*'
или действительности изображения
(предмета), отрицательный - об оши- *
бочности.
Фокусное расстояние F, радиусы Рис. 167
кривизны R | и /?2 сферических поверх-
поверхностей линзы и показатели преломления г\\ и п2 вещества линзы и
окружающей среды связаны соотношением
F [п2 X /?, Я
Как обычно, формула дает только модуль F; знак же перед левой частью
выбирается по обычному правилу: плюс - действительный фокус, минус -
мнимый. Знаки перед членами, содержащими /?, и R2, берутся поло-
положительными для выпуклых поверхностей, отрицательными — для вогну-
вогнутых. Величина D = 1/F, обратная фокусному расстоянию, называется
оптической силой линзы. Оптическая сила D линзы выражается в диоп-
диоптриях: 1 дптр = 1 м.
1087. При съемке автомобиля длины / = 4 м пленка распола-
располагалась от объектива на расстоянии/= 60 см. С какого расстояния d
снимали автомобиль, если длина его негативного изображения
L = 32 мм?
1088. Проверяя свои очки, человек получил на полу ком-
комнаты действительное изображение лампы, висящей на высоте
Н = 3 м, держа очковое стекло под лампой на расстоянии h = 1 м от
пола. Какова оптическая сила D стекла?
1089. Точечный источник света находится на главной оптиче-
оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 6 см
на расстоянии d = 4 см от нее. На каком расстоянии а от линзы по
ту же сторону, что и источник, необходимо поставить плоское
зеркало, чтобы по другую сторону линзы существовало дей-
действительное изображение источника на расстоянии /= 12 см от
линзы?
185

1090. На рис. 168 S - точечный источник света, S' - его изобра-
изображение. Найти построением положение оптического центра линзы
и каждого из ее фокусов в случаях, когда главной оптической осью
линзы являются прямые 1-4.
1091. Найти построением положение фокусов линзы для луча,
изображенного на рис. 169.
* S
*S'
Рис. 168
Рис. 169
Рис. 170
1092. Фотограф, находящийся на борту судна, снимает катер,
идущий встречным курсом. В момент съемки катер находится под
углом а = 45° по ходу судна на расстоянии d =
= 150 м от него (рис. 170). Скорости движения
судна У] = 18 км/ч, а катера v2 = 36 км/ч. Какое
максимальное время экспозиции At может дать
фотограф, чтобы размытие изображения на
пленке не превышало Д/ = 0,03 мм? Фокусное рас-
расстояние объектива фотоаппарата F = 5 см.
1093. Как нужно изменить расстояние между
объективом фотоаппарата и пластинкой при
переходе от съемки очень удаленных предметов к
съемке объекта, расположенного на расстоянии
d = 2 м от объектива с фокусным расстоянием F = 13,5 см?
1094. Изображение предмета получается на матовом стекле
фотоаппарата. На какое расстояние а надо передвинуть объектив
фотоаппарата, если между объективом и матовым стеклом
поместить стеклянную пластинку толщины h = 4 мм с показателем
преломления п - 1,6? Считать углы падения настолько малыми, что
sin a « tg a.
1095. Собирающая линза вставлена в круглое отверстие в непро-
непрозрачной ширме. Точечный источник света находится на главной
оптической оси линзы на расстоянии d = 10 см от нее. По другую
сторону линзы на таком же расстоянии d от нее поставлен перпен-
перпендикулярно к оси экран. На экране виден светлый круг, диаметр ко-
которого в п = 2 раза меньше диаметра линзы. Найти фокусное
расстояние F линзы.
186

I 1096. Точечный источник света находится на главной опти-
|ческой оси линзы на расстоянии d = 25 см от нее. Фокусное рас-
\ стояние линзы F = 10 см, ее радиус г = 5 см. По другую сторону
„линзы ставят экран так, что на нем получается четкое изобра-
изображение источника. Затем экран перемещают вдоль оси на расстоя-
расстояние а = 5 см. Найти радиус R светлого круга на экране.
1097. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 0,06 м
вставлена в отверстие радиуса г = 0,03 м в непрозрачной ширме. На
экране, находящемся на расстоянии а = 0,16 м от ширмы, полу-
получено четкое изображение точечного источника света. Каков
будет радиус R светлого круга на экране, если вынуть линзу из
отверстия?
1098. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 5 см
вставлена в круглое отверстие радиуса г = 3 см в доске. Точечный
источник света находится на главной оптической оси линзы на
расстоянии d = 15 см от нее. По другую сторону доски помещен
лист бумаги, на котором получается четкое изображение источ-
источника. Каков будет радиус R светлого круга на листе бумаги, если
линзу вынуть из отверстия?
1099. Изображение миллиметрового деления шкалы, располо-
расположенной перед линзой на расстоянии d = 12,5 см, имеет на экране
длину L = 8 см. На каком расстоянии/от линзы находится экран?
1100. Освещенная щель высоты h = 5 см проектируется с по-
помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см на
экран, отстоящий от линзы на расстоянии/= 12 см. Найти высоту
Н изображения щели на экране.
1101. Предмет длины / = 8 см проектируется на экран. Какое
фокусное расстояние F должен иметь объектив, находящийся на
расстоянии /=4 м от экрана, чтобы
изображение предмета на экране имело
длину L = 2 м?
.1'
1102. В центре плоского зеркала, по-
поставленного под углом а = 45° к гори-
зонту, находится верхний фокус горизон-
тально расположенной линзы объек-
тива эпидиаскопа с оптической силой
D = 10 дптр. На расстоянии 1-2 мм от Рис. 171
нижнего фокуса помещают ярко осве-
освещенную фотографию, имеющую размеры а X h = 4 X 6 см2
(рис. 171). Найти расстояние L от экрана до главной оптической
187

оси линзы и размеры А X В четкого изображения фотографии на
экране.
1103. Собирающая линза с оптической силой D = 8 дптр дает
изображение предмета, равное размеру предмета. Как нужно из-
изменить расстояние между линзой и предметом, чтобы его изобра-
изображение уменьшилось в три раза?
1104. Собирающая линза дает на экране изображение предмета с
увеличением к = 2. Расстояние от предмета до линзы превышает ее
фокусное расстояние на величину а = 6 см. Найти расстояние / от
линзы до экрана.
1105. Точечный источник света находится на расстоянии d от
собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 0,6 м. Колебания
линзы поперек главной оптической оси приводят к колебаниям
изображения точки с амплитудой Л, = 1,6 см, а поперечные коле-
колебания источника с той же амплитудой вызывают колебания
изображения с амплитудой А2= 1,5 см. Найти расстояние d от
источника до линзы.
1106. Расстояние от предмета до собирающей линзы в п = 5 раз
больше фокусного расстояния линзы. Найти увеличение к линзы.
1107. На каком расстоянии / от объектива проекционного
аппарата с фокусным расстоянием F = 0,l м нужно поместить
экран, чтобы изображение на экране было в к - 50 раз больше
предмета на диапозитиве?
1108. При топографической съемке с самолета, летящего
на высоте Н = 2000 м, необходимо получить снимки местности в
масштабе 1 : 4000. Каково должно быть фокусное расстояние F
объектива?
1109. Объектив телевизионного передатчика отбрасывает изо-
л бражение свободно падающего предмета, на-
находящегося перед ним на расстоянии d - 5 м,
_„ на светочувствительный слой передающей
F трубки. Найти фокусное расстояние F объ-
объектива передатчика, если изображение дви-
Рис. 172 жется с ускорением а = 0,2 м/с2.
1110. Построить изображение отрезка АВ,
параллельного главной оптической оси собирающей линзы
(рис. 172).
1111. Точечный предмет движется по окружности со скоростью
v = 3 см/с вокруг главной оптической оси собирающей линзы в
плоскости, перпендикулярной к оси и отстоящей от линзы на
188

Iрасстоянии d = 1,5 F, где F - фокусное расстояние линзы. В каком
" направлении и с какой скоростью V движется изображение
предмета?
1112. Собирающая линза с фокусным расстоянием F = 4 см дает
изображение точки, расположенной на расстоянии d - 12 см от
линзы несколько выше ее оптической оси. На какое расстояние L
сместится изображение точки на экране при перемещении линзы
на расстояние / = 3 см вниз от ее первоначального положения?
1113. Светящаяся точка описывает окружность радиуса г в
плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси собираю-
собирающей линзы с оптической силой D, а ее изображение описывает на
экране окружность радиуса R. На каком расстоянии / от линзы
находится экран?
1114. Какое увеличение к диапозитива дает объектив проек-
проекционного фонаря с фокусным расстоянием F = 0,25 м, если экран
удален от объектива на расстояние/'= 4 м?
1115. Расстояние от предмета до собирающей линзы и от линзы
до изображения одинаковы и равны d = 0,5 м. Во сколько раз
увеличится изображение, если сместить предмет на расстояние
а = 20 см по направлению к линзе?
1116. С помощью фотографического аппарата, имеющего
размеры кадра 24 X 36 мм2 и фокусное расстояние объектива
F = 50 мм, производится фотографирование стоящего чело-
человека, рост которого h - 1,8 м. На каком расстоянии d от человека
нужно установить аппарат, чтобы сфотографировать человека во
весь рост?
1117. Действительное изображение светящейся точки полу-
получается на расстоянии /= 8 см от линзы и на расстоянии L = 2 см
ниже ее главной оптической оси. Фокусное расстояние линзы F =
= 5 см, ее радиус /• = 5 см. На каком расстоянии а перед линзой
нужно поставить экран, имеющий форму верхней половины линзы,
чтобы изображение точки исчезло?
1118. Кинооператору требуется снять автомобиль, движущийся
со скоростью v =12 км/ч на расстоянии d = 26 м от оператора.
Фокусное расстояние объектива .кинокамеры F= 13 мм. Какова
должна быть экспозиция Лг,. чтобы размытость AL контуров
изображения не превышала величины а = 0,05 мм?
1119. Фокусное расстояние двояковыпуклой линзы F =<5 см.
Точечный источник света находится на главной оптической оси
линзы на расстоянии d = 6 сщдл цее^ Линзу разрезали по диаметру
189

на две равные части, которые раздвинули на расстояние 2/ = 1 см
симметрично относительно оси. Найти расстояние S между двумя
изображениями точки.
1120. Вдоль главной оптической оси собирающей линзы с
фокусным расстоянием F = 12 см расположен предмет, один конец
которого находится на расстоянии d\ = 17,9 см от линзы, а другой -
на расстоянии d2 = 18,1 см. Найти увеличение к изображения.
1121. С каким увеличением к изображается тонкий прямой
предмет, совпадающий на некотором участке с главной оптической
осью собирающей линзы, если объект, установленный у одного
конца предмета, изображается с увеличением ?,. а у другого - с
увеличением А2? Оба конца предмета находятся от линзы на рас-
расстояниях больше фокусного.
1122. Шарик поочередно помещают в точки А и В, находящиеся
на главной оптической оси собирающей линзы по одну сторону от
нее. Расстояние АВ = I. Линза дает поочередно два изображения
шарика с увеличениями кА и кв. Найти расстояние L между изобра-
изображениями шариков.
1123. Каково минимально возможное расстояние amin между
предметом и его изображением, полученным с помощью собираю-
собирающей линзы с фокусным расстоянием F1
1124. Расстояние между предметом и его действительным
изображением а = 6,25 F, где F - фокусное расстояние собирающей
линзы. Найти расстояния d и/от предмета до линзы и от линзы до
изображения.
1125. Свеча находится на расстоянии а = 3,75 м от экрана. Между
ними помещают собирающую линзу, которая дает на экране чет-
четкое изображение свечи при двух положениях линзы. Найти фокус-
фокусное расстояние F линзы, если расстояние между положениями
линзы b = 0,75 м.
1126. Свеча находится на расстоянии а от экрана. Между ними
помещают собирающую линзу, которая дает на экране четкое
изображение свечи при двух положениях линзы. Найти расстояние
Ь между положениями линзы, если фокусное расстояние линзы
равно F.
1127. Собирающая линза дает четкое изображение предмета на
экране, имеющее высоту Нх. Оставляя неподвижными экран и
предмет, перемещают линзу к экрану и находят, что при другом
четком изображении предмета высота изображения равна Нг-
Найти высоту предмета h.
190

; 1128. Предмет находится на расстоянии а = 0,6 м от экрана.
Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на
экране четкое изображение предмета при двух положениях линзы.
Найти отношение п размеров изображений, если расстояния между
положениями линзы Ь = 0,4 м.
1129. Предмет находится на расстоянии а = 0,9 м от экрана.
Между ними помещают собирающую линзу, которая при одном
положении дает на экране увеличенное изображение предмета, а
при другом - уменьшенное. Найти фокусное расстояние F линзы,
если отношение размеров изображений п = 4.
ИЗО. Предмет находится на расстоянии а = 0,8 м от экрана.
Между ними помещают собирающую линзу, которая дает на
экране четкое изображение предмета при двух положениях линзы.
Найти расстояние b между положениями линзы, если отношение
размеров изображений п = 9.
1131. Предмет находится на расстоянии а = 0,1 м от переднего
фокуса собирающей линзы, а экран, на котором получается четкое
изображение предмета, - на расстоянии b = 0,4 м от заднего фокуса
линзы. Найти фокусное расстояние F и увеличение к линзы.
1132. Изображение предмета на матовом стекле фотоаппарата
при съемке с расстояния d\ = 8,5 м имеет высоту Н{ = 13,5 мм,
а с расстояния d2 = 2 м - высоту Н2 = 60 мм. Найти фокусное
расстояние F объектива.
1133. С помощью линзы на экране получили четкое изобра-
изображение пламени свечи, имеющее высоту //, = 15 см. Отодвинув
свечу от линзы на расстояние h = 1,5 см и передвинув экран,
получили четкое изображение пламени свечи, имеющее высоту
Н2 = Ю см. Найти фокусное расстояние F линзы, если высота
предмета /? = 5 см.
1134. Источник света находится на расстоянии а = 5 м от экрана,
на котором с помощью собирающей линзы получают увеличенное
в к — 4 раза изображение источника. Экран отодвигают на рас-
расстояние h = 4 м; при этом восстановить четкость увеличенного
изображения можно, передвинув линзу или источник. Найти увели-
увеличения к\ и к2 в обоих случаях.
1135. Какое увеличение к может дать лупа с оптической силой
D = 8 дптр? Расстояние наилучшего зрения d{) = 25 см.
1136. Лупа дает увеличенное в кх = 5 раз изображение предмета,
лежащего в ее фокальной плоскости. Эту лупу хотят использовать
в качестве объектива проекционного фонаря. На каком расстоя-
191

нии d от объектива должен располагаться диапозитив, чтобы на
экране получилось его изображение, увеличенное в кг = 10 раз?
Расстояние наилучшего зрения d0 = 25 см.
1137. Лупа находится на расстоянии ft = 5 см от глаза, изобра-
изображение - на расстоянии наилучшего зрения d() = 25 см. На каком
расстоянии а от глаза должен располагаться предмет при рас-
рассмотрении его через лупу с фокусным расстоянием F = 2 см? Какое
при этом получится увеличение Ю.
1138. Линза с оптической силой D = 4 дптр дает увеличенное в
к = 5 раз изображение предмета. На каком расстоянии d перед
линзой находится предмет?
1139. Собирающая линза дает расходящийся пучок света, причем
угол между крайними лучами пучка 2а = 60°. Найти фокусное рас-
расстояние F линзы, если ее радиус г = 5 см, а точечный источник
света находится на расстоянии d = 4 см от линзы.
1140. Собирающая линза с фокусным расстоянием F - 6 см дает
расходящийся пучок света, причем угол между крайними лучами
пучка 2а = 90°. Найти расстояние d от точечного источника света
до линзы, если ее радиус /• = 3 см.
1141. Точечный источник света помещен в фокусе собирающей
линзы с фокусным расстоянием F = 6 см. За линзой на расстоянии
ft = 12 см от нее расположен плоский экран, на котором видно
светлое пятно. В какую сторону и на какое расстояние а от фокуса
линзы надо переместить вдоль главной оптической оси источник,
чтобы радиус г светлого пятна на экране увеличился в п = 2 раза?
1142. Построить изображение светящейся точки, лежащей на
главной оптической оси собирающей линзы на расстоянии,
меньшем фокусного. Положение фокусов линзы задано.
1143. Найти построением положение светя-
светящейся точки, если известен ход двух лучей после
~^3^>kt их преломления в линзе (рис. 173). Один из этих
v>v лучей пересекается с главной оптической осью
линзы в ее фокусе.
Рис. 173 1144. Мнимое изображение предмета находится
на расстоянии /= 1 м от собирающей линзы с
фокусным расстоянием F = 0,25 м. На каком расстоянии d от линзы
расположен предмет?
1145. Мнимое изображение предмета, расположенного на рас-
расстоянии d = 0,4 м от собирающей линзы, находится на расстоянии
/= 1,2 м от линзы. Каково фокусное расстояние F линзы?
192

1146. Мнимое изображение предмета находится в фокальной
плоскости собирающей линзы. На каком расстоянии от линзы
расположен предмет?
1147. Собирающая линза дает прямое изображение предмета с
увеличением к = 2. Расстояние между предметом и изображением
а = 20 см. Найти фокусное расстояние F линзы.
1148. Собирающую линзу с оптической силой D = 0,5 дптр поме-
помещают между двумя точечными источниками света так, что отно-
отношение расстояний d{ и d2 от источников до линзы п = djd2 - 4. Рас-
Расстояние между изображениями Ъ — 2 м, причем изображения
находятся по одну стороны линзы. Найти расстояние а между
источниками.
1149. Два точечных источника света находятся на расстоянии
h = 24 см друг от друга. Между ними на расстоянии d = 6 см от
одного из них помещена собирающая линза. При этом изображе-
изображения обоих источников получились в одной и той же точке. Найти
фокусное расстояние F линзы.
1150. Расстояние от предмета до линзы d= 10 м, расстояние от
линзы до изображения/= 2,5 м. Найти оптическую силу D линзы в
случаях мнимого и действительного изображений.
1151. Фокусное расстояние собирающей линзы F = 18 см. Где
расположена светящаяся точка, если ее изображение получается
на расстояниях/= 12 см от линзы и L = 5 см от главной оптической
оси?
1152. Собирающая линза дает изображение предмета, располо-
расположенного от нее на расстоянии d = 9,9 см, с увеличением к = 10.
Найти фокусное расстояние F линзы в случаях действительного и
мнимого изображений.
1153. Фокусное расстояние собирающей линзы F - 10 см, рас-
расстояние от предмета до фокуса b = 5 см, высота предмета h = 2 см.
Найти высоту Н действительного и мнимого изображений.
1154. Главная оптическая ось собирающей линзы совпадает с
осью светового конуса, образованного сходящимся пучком лучей, а
фокус линзы совпадает с вершиной конуса. На каком расстоянии/
от линзы пересекаются лучи после преломления, если оптическая
сила линзы D = 5 дптр?
1155. На пути сходящегося пучка лучей поставили собирающую
линзу с фокусным расстоянием F = 1 см. В результате лучи
сошлись в точке А на расстоянии/= 5 см от линзы. На каком
расстоянии b от точки А сойдутся лучи, если линзу убрать?
193

1156. Цилиндрический пучок лучей, имеющий радиус г, - 5 см,
направляется на рассеивающую линзу параллельно ее главной
оптической оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно радиуса
г2 = 7 см. Каков будет радиус г3 пятна на экране, если рассеи-
рассеивающую линзу заменить собирающей с тем же фокусным рас-
расстоянием?
1157. Цилиндрический пучок света радиуса гх = 4 см направ-
направляется на собирающую линзу параллельно ее главной оптической
оси. Пройдя линзу, пучок дает на экране пятно радиуса г2 = 2 см.
Каков будет радиус г3 пятна на экране, если собирающую линзу
заменить рассеивающей с тем же фокусным расстоянием?
1158. Мнимое изображение светящейся точки в рассеивающей
линзе с оптической силой D = -5 дптр находится в два раза ближе к
линзе, чем сама точка. Найти положение светящейся точки, если
она лежит на главной оптической оси линзы.
1159. Висящий на стене здания термометр рассматривают через
рассеивающую линзу с оптической силой D = -5 дптр. Линза рас-
расположена параллельно стене ниже термометра так, что шарик
термометра виден в направлении побочной оптической оси линзы,
отклоняющейся от главной оптической оси вверх на угол а = 30°.
Под каким углом C к главной оси расположена побочная ось, на
которой лежит изображение верхней точки термометра, если дли-
длина изображения термометра Н = 6,4 см, а расстояние между линзой
и стеной d = 60 см?
F о
Рис. 175
1160. Светящаяся точка S расположена перед рассеивающей лин-
линзой. Построить ход произвольного луча SK, падающего на рас-
рассеивающую линзу. Положение оптического центра О линзы и ход
луча SBC заданы (рис. 174).
1161. Построить ход произвольного луча АВ, падающего на
рассеивающую линзу. Положения главной оптической оси линзы и
ее фокусов заданы (рис. 175).
194

1162. Предмет высоты h = 0,03 м расположен на расстоя-
расстоянии d = 0,15 м от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
F = 0,3 м. На каком расстоянии/от линзы находится изображение?
Какова будет высота Н изображения?
1163. Точечный источник света, расположенный на расстоянии
Ji = 1,2 м от рассеивающей линзы, приближают к ней вдоль глав-
главной оптической оси до расстояния d2 = 0,6 м. При этом мнимое
изображение источника проходит вдоль оси расстояние /=10 см.
Найти фокусное расстояние F линзы.
1164. Световой луч, падающий на рассеивающую линзу с фо-
фокусным расстоянием F = 13,5 см, после преломления в ней пере-
пересекает главную оптическую ось линзы в точке^ отстоящей от
линзы на расстоянии /= 9 см. В какой точке пересечет луч ось,
если линзу убрать?
1165. Сходящийся пучок лучей, проходящий через отверстие
радиуса /• = 5 см в непрозрачной ширме, дает на экране, распо-
расположенном за ширмой на расстоянии b = 20 см, светлое пятно ра-
радиуса R = 4 см. После того как в отверстие вставили линзу, пятно
превратилось в точку. Найти фокусное расстояние F линзы.
1166. Сходящийся пучок лучей имеет вид конуса с вершиной в
точке А. Когда на пути лучей поставили рассеивающую линзу,
сходящийся пучок превратился в расходящийся с вершиной в точке
В. Точки А и В лежат на главной оптической оси линзы на
расстоянии / = 0,45 м друг от друга, и оптический центр линзы
делит отрезок В А в отношении п : т = 1 : 2. Найти фокусное
расстояние F линзы.
1167. Рассеивающая линза с фокусным расстоянием F = 12 см
помещена между двумя точечными источниками в два раза ближе
к одному из них, чем к другому. Расстояние между изображениями
источников L = 7,8 см. Найти расстояние / между источниками.
1168. Экран расположен на расстоянии / = 21 см от отверстия,
в которое вставлена линза радиуса /• = 5 см. На линзу падает
сходящийся пучок лучей, в результате чего на экране образуется
светлое пятно радиуса R = 3 см. Оказалось, что если линзу убрать,
то радиус пятна не изменяется. Найти фокусное расстояние F
линзы.
1169. Стеклянная линза имеет в воздухе (п *=» 1) оптическую силу
D = 5 дптр. Найти фокусное расстояние F той же линзы,
погруженной в воду. Показатель преломления стекла п„ =1,5,
воды п„ = 1,33.
195

1170. Стеклянный стержень с показателем преломления п„ =
= 1,5 имеет воздушную полость (п = 1), одна сторона которой
плоская и перпендикулярна к оси стержня, а другая - выпуклая,
с радиусом кривизны R = 10 см. Вдоль стержня распространяется
пучок параллельных лучей. Найти фокусное расстояние F воз-
воздушной линзы.
1171. Кусок стекла с показателем преломления пст = 1,5 имеет
воздушную полость (я ~ 1) в виде двояковыпуклой линзы с
радиусами кривизны R = 10 см. На главной оптической оси
линзы внутри стекла на расстоянии d = 20 см от линзы нахо-
находится песчинка. Найти расстояние / от линзы до изображения
песчинки.
1172. Крайние лучи видимого спектра для оптического стекла
¦'флинт" имеют показатели преломления п{ = 1,745 и пг = 1,809. Из
этого стекла сделана двояковыпуклая линза с радиусами кривизны
R = R2 = 0,2 м. Найти расстояние а между фокусами линзы для
крайних лучей спектра.
1173. Собирающая линза с радиусами кривизны /?, = 12,5 см и
R2 = 26 см дает в воздухе (п *=> 1) действительное изображе-
изображение предмета, расположенное на расстоянии /= 24 см от линзы,
когда предмет находится на расстоянии d = 50 см от линзы. Та же
линза, погруженная в жидкость, действует как рассеивающая с
фокусным расстоянием F = 1 м. Найти показатель преломления пж
жидкости.
1174. Две собирающие линзы одинаковой формы сделаны из
разных сортов стекла с показателями преломления л, = 1,5 и
пг- 1,7. Найти отношение фокусных расстояний линз в воздухе
(п ~ 1) и в воде (п„ = 1,33).
1175. Плосковыпуклая линза с фокусным расстоянием F { =
= 10 см погружена плоской поверхностью в воду так, что сфери-
сферическая поверхность линзы находится в воздухе. Перпендикулярно к
поверхности воды падают параллельные лучи света. На каком рас-
расстоянии F2 от плоской поверхности линзы фокусируются световые
лучи? Показатель преломления воды п„ = 1,33. Диаметр линзы
много меньше ее фокусного расстояния.
1176. Фотограф с лодки снимает морскую звезду, лежащую на
дне прямо под ним на глубине Н = 2 м. Во сколько раз изображение
на пленке будет меньше предмета, если фокусное расстояние
объектива Ft - 10 см, расстояние от объектива до поверхности
воды / = 50 см? Показатель преломления воды п„ = 1,33.
196

1177. В музее сфотографирована большая гравюра, а затем и ее
отдельные фрагменты в натуральную величину. Во сколько раз
было увеличено время экспозиции при фотографировании деталей
гравюры, чтобы интенсивность почернения фотопластинки оста-
осталась прежней?
§ 31. Оптические системы
Расчет изображений в сложной оптической системе, компоненты
которой (линзы, зеркала) расположены вдоль общей главной оптической
оси, удобно производить, разбив его на последовательные этапы. Не
обращая первоначально внимания на все компоненты системы, кроме
первого, нужно вычислить положение изображения, даваемого первой
линзой (или зеркалом). Это изображение в свою очередь служит источ-
источником для второй линзы (или зеркала), которая также рассматривается
отдельно от всех остальных частей системы.
При этом, если первый компонент системы дает мнимое изображение,
то на второй компонент падают расходящиеся лучи, и, следовательно,
источник для него будет действительным. Если же первый компонент
системы дает действительное изображение, то на второй компонент
могут, в зависимости от его положения, падать сходящиеся или расхо-
расходящиеся лучи. В первом случае источник для второй линзы (или зеркала)
должен, как обычно, считаться мнимым, во втором случае - действи-
действительным. Так как лучи падают далее на следующую линзу (или зеркало),
то процесс расчета продолжается и далее до выхода лучей из системы.
Размер полученного изображения и увеличение рассчитываются ана-
аналогично. Особый интерес представляет вычисление углового увеличения,
за меру которого можно принять отношение тангенсов углов между
пучками лучей, входящими в систему и выходящими из нее. Если
рассматривать только приосевые пучки (малые углы), то отно-
отношение тангенсов можно заменить отношением синусов или отношением
самих углов.
Микроскоп можно рассчитывать как двухлинзовую систему, в которой
действительное изображение, даваемое объективом, рассматривается в
окуляр как в лупу. Увеличение микроскопа вычисляется как произведение
увеличений объектива и окуляра. При длительной работе глаз
наблюдателя должен быть не напряжен (аккомодирован на бесконеч-
бесконечность). Это означает, что объектив создает изображение в фокальной
плоскости окуляра, и увеличение окуляра к2 = d{)/F2, где dQ- расстояние
наилучшего зрения нормального глаза, F2 - фокусное расстояние окуляра
(см. задачу 1135). Увеличение объектива к\ = 5/F], где F^ — фокусное
расстояние объектива, 5 - длина тубуса микроскопа (расстояние между
задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра). Таким обра-
образом, увеличение микроскопа
197

Под расстоянием наилучшего зрения d() во всех задачах понимается
наименьшее расстояние, на котором человек может четко видеть детали
предметов без чрезмерного напряжения глаза. Так как чрезмерное
напряжение глаза нигде не предполагается, под расстоянием наилучшего
зрения d{) можно подразумевать ближний предел аккомодации нор-
нормального глаза. Во всех задачах считается, что d{) = 25 см.
Очки, рассматриваемые в ряде задач, представляют собой тонкие
линзы, вплотную прилегающие к глазу.
1178. Две линзы с фокусными расстояниями F { и F2, пристав-
приставленные вплотную друг к другу, дают изображение источника, рас-
расположенного на некотором расстоянии перед линзами. Обе линзы
заменяют одной, помещенной на том же месте. Какова должна
быть оптическая сила D этой линзы, чтобы положение изобра-
изображения источника не изменилось?
1179. Точечный источник света помещен в фокусе рассеиваю-
рассеивающей линзы. Собирающая линза, приставленная вплотную к рас-
рассеивающей, превращает падающий на нее из рассеивающей линзы
расходящийся пучок лучей в параллельный. Найти отношение
фокусных расстояний линз.
1180. Фотоаппаратом, имеющим объектив с фокусным расстоя-
расстоянием Fx = 13,5 см, фотографируют предмет, находящийся на рас-
расстоянии d - 18 см от объектива. Расстояние от объектива до фото-
фотопластинки /= 27 см. Найти фокусное расстояние F2 линзы, кото-
которую надо приставить вплотную к объективу, чтобы изображение
на пластинке было резким.
1181. Плосковыпуклая линза изготовлена из вещества с пока-
показателем преломления п. Радиус кривизны выпуклой поверхности
линзы равен R, плоская поверхность линзы посеребрена. Найти
оптическую силу D такой системы.
1182. Предмет расположен на расстоянии d = 18 см от плоско-
плосковыпуклой линзы с фокусным расстоянием F — 12 см. Выпуклая
поверхность линзы обращена к предмету, плоская поверхность
линзы посеребрена. На каком расстоянии / от линзы находится
изображение предмета?
1183. Сходящийся пучок лучей, падающих на двояковогнутую
линзу с радиусом кривизны R = 3 м, имеет вид конуса, вершина
которого находится на расстоянии d = 4 м за линзой. Задняя
поверхность линзы посеребрена. Преломившись на передней
поверхности линзы, отразившись от задней и снова преломившись
на передней, лучи сходятся в точку, расположенную на расстоя-
198

нии /i = 12 м перед линзой. На каком расстоянии /2 за линзой
сошлись бы лучи, если бы задняя поверхность линзы не была
посеребрена?
1184. Светящаяся точка находится на расстоянии d = 15 см от
плоского зеркала на главной оптической оси. Плоское зеркало рас-
расположено в оптическом центре вогнутого зеркала с радиусом
кривизны R = 60 см*. Найти положение изображения светящейся
точки, даваемого лучами, отраженными от вогнутого, а затем от
плоского зеркала.
1185. Точечный источник света находится на двойном фокусном
расстоянии от собирающей линзы на главной оптической оси.
Плоское зеркало расположено на таком расстоянии за линзой, что
лучи, отразившись от зеркала и вторично пройдя через линзу, идут
параллельным пучком. Найти диаметр / пучка, если диаметр линзы
равен L.
1186. Свеча находится на расстоянии d = 15 см перед соби-
собирающей линзой с фокусным расстоянием F = 30 см. Плоское зерка-
зеркало расположено на расстоянии Ъ = 15 см за линзой. На каком рас-
расстоянии а от линзы получится изображение свечи, даваемое
системой?
1187. Точечный источник света находится на расстоянии
d = 15 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием
F = 10 см на главной оптической оси. По другую сторону линзы на
расстоянии b = 5 см от нее расположено плоское зеркало. Найти
расстояние а между источником и его мнимым изображением в
зеркале.
1188. Параллельный пучок света падает на собирающую линзу, а
затем на вогнутое зеркало с фокусным расстоянием F2 = 24 см.
Расстояние между линзой и зеркалом ft = 32 см. Каким должно
быть фокусное расстояние F, линзы, чтобы свет, отразившись
от зеркала, собрался в точке, удаленной от зеркала на расстоя-
расстояние/^ 6 см?
1189. Собирающая линза с фокусным расстоянием F находится
на расстоянии b перед вогнутым зеркалом с радиусом кривизны R.
На каком расстоянии d перед линзой нужно поместить точечный
источник света, чтобы лучи, пройдя линзу, отразившись от зеркала
и снова пройдя линзу, собрались в той же точке, где расположен
* Здесь и далее имеется в виду, что все компоненты системы (линзы, зеркала)
расположены вдоль общей главной оптической оси.
199

источник? При каких расстояниях b от линзы до зеркала решение
возможно?
1190. Точечный источник света находится на расстоянии
cl= 10 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 12 см
на главной оптической оси. Лучи, преломившись в линзе, падают
на выпуклое зеркало, расположенное на расстоянии ft = 3 см за
линзой. Отраженные от зеркала лучи, вновь
пройдя через линзу, идут пучком, параллельным
оптической оси (рис. 176). Найти радиус кри-
кривизны R зеркала.
1191. Точечный источник света находится на
Рис. 176 расстоянии d = 15 см от линзы с фокусным рас-
расстоянием F = 10 см на главной оптической оси.
За линзой расположено выпуклое зеркало с радиусом кривизны
R = 24 см. Линза формирует изображение источника с помощью
лучей, прошедших через линзу, отраженных от зеркала и вновь
прошедших через линзу. На каком минимальном расстоянии а от
линзы должно находиться зеркало, чтобы изображение источника
света совпало с самим источником?
1192. Рассеивающая линза и вогнутое зеркало расположены так,
что пучок лучей, параллельных главной оптической оси, пройдя
линзу, отразившись от зеркала и еще раз пройдя линзу, остается
параллельным той же оси. Фокусные расстояния линзы и зеркала
F\ = 12 см и F2 = 36 см. Где и какое получится изображение, если
поместить точечный источник света в оптическом центре зеркала?
1193. Малые противоположные участки поверхности сферы
радиуса R посеребрены. Светящаяся точка находится на диаметре,
соединяющем центры участков. На каком расстоянии а от центра
сферы должна находиться светящаяся точка, чтобы после отраже-
отражения от одного, а затем от другого участка лучи сошлись на рас-
расстоянии h = 3R/4 от центра сферы?
1194. Две собирающие линзы с оптическими силами D { = 5 дптр
и D2 - 3 дптр расположены на расстоянии b ='10 см друг от друга.
На каком расстоянии от задней линзы получается изображение
бесконечно удаленного источника, даваемое системой, если свет
источника попадает сначала на линзу: 1) с оптической силой D,,
2) с оптической силой D2?
1195. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
F{ = 10 см и F2 = 15 см расположены на расстоянии b = 30 см друг от
друга. Где следует поместить точечный источник света, чтобы
200

идущие от него лучи по прохождении обеих линз образовали пучок
лучей, параллельных главной оптической оси?
1196. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
F| = 20 см и F2 = 40 см расположены на расстоянии Ъ = 1,5 м друг от
друга. Предмет высоты / = 2 см находится на расстоянии
d{ = 25 см от первой линзы. На каком расстоянии f2 от второй
линзы получится изображение предмета после прохождения лучей
через обе линзы? Какова высота L2 полученного изображения?
1197. Две одинаковые собирающие линзы с фокусным расстоя-
расстоянием F = 0,1 м каждая расположены на расстоянии Ъ = 0,25 м друг
от друга. Предмет находится на расстоянии d - 0,2 м от первой
линзы. На каком расстоянии а от предмета находится его изоб-
изображение, даваемое системой линз?
1198. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
F\ = 2 см и F2 = 20 см расположены на расстоянии Ъ - 24 см друг от
друга. Построить изображение предмета, находящегося на рас-
расстоянии d = 3 см от первой линзы. Найти увеличение к.
1199. Две собирающие линзы с фокусными расстояниями
F\ = 10 см и F2 = 15 см дают изображение предмета высоты / = 2 см,
расположенного на расстоянии d = 10 см от первой линзы. Найти
высоту L изображения предмета, даваемого системой линз. Постро-
Построить изображение предмета.
1200. В трубу вставлены две одинаковые собирающие линзы с
фокусным расстоянием F = 12 см каждая. Предмет расположен на
расстоянии d - 3 м от первой линзы. На каком расстоянии/от
второй линзы получится изображение, если расстояние между
линзами b -25 см?
1201. На каком расстоянии Ъ друг от друга нужно расположить
две собирающие линзы с фокусными расстояниями Fх = 5 см и
F2 = 3 см, чтобы параллельный пучок лучей, пройдя сквозь них,
остался параллельным?
1202. На каком расстоянии Ъ друг от друга нужно расположить
собирающую и рассеивающую линзы с фокусными расстояниями
/Г1 = 10сми/г2 = 6 см, чтобы параллельный пучок лучей, пройдя
сквозь них, остался параллельным?
1203. На систему из трех линз падает параллельный пучок лучей.
Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными расстояниями
Fi = 10 см и F2 = 20 см находятся на расстоянии b = 15 см друг от
друга. На каком расстоянии а от рассеивающей линзы нужно
расположить вторую собирающую линзу с фокусным расстоя-
201

нием F3 = 10 см, чтобы выходящий из системы пучок лучей остался
параллельным?
1204. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусными рас-
расстояниями F, = 30 см и F2 = 10 см расположены на расстоянии
b - 20 см друг от друга. На собирающую линзу падает парал-
параллельный пучок лучей диаметра ?>, = 12 мм. Каков диаметр D2 пучка
на расстоянии а = 20 см за рассеивающей линзой?
1205. Собирающая и рассеивающая линзы с фокусным рас-
расстоянием F = 20 см каждая находятся на расстоянии Ъ = 25 см друг
от друга. На каком расстоянии d от собирающей линзы нужно
расположить на главной оптической оси точечный источник света,
чтобы система дала параллельный пучок лучей? Построить ход
лучей в случае, когда источник не находится на главной оптической
оси линз.
1206. Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными рас-
расстояниями F\ = 8 см и F2 = 10 см находятся на расстоянии ft = 6 см
друг от друга. На каком расстоянии d от рассеивающей линзы
нужно расположить на главной оптической оси светящуюся точку,
чтобы система давала параллельный пучок лучей?
1207. Рассеивающая и собирающая линзы с фокусными рас-
расстояниями Ft = 10 см и F2 = 15 см расположены на расстоянии
/? = 30 см друг от друга. На расстоянии d = 12 см от рассеивающей
линзы на главной оптической оси находится точечный источник
света. Найти расстояние а между источником и его действитель-
действительным изображением.
1208. На каком минимальном расстоянии I должны быть поме-
помещены на Луне два ярких источника света для того, чтобы их можно
было видеть с Земли в телескоп раздельно? Фокусные расстоя-
расстояния объектива и окуляра телескопа F, = 8 м и F2 = 1 см. Чело-
Человеческий глаз может видеть раздельно два предмета, наблюдаемые
под углом не менее ф() = 0,001 рад. Расстояние от Земли до Луны
г «3,8- 10я м.
1209. Фокусные расстояния объектива и окуляра трубы Галилея
F\ = 45 см и F2 - 5 см. При замене линз в трубе на две собирающие
получилась труба Кеплера с тем же увеличением, что и труба
Галилея. Найти фокусные расстояния F'3 и F4 двух собираю-
собирающих линз.
1210. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива
F = 24 см установлена на бесконечность. После того как окуляр
трубы был передвинут на некоторое расстояние, стали ясно видны
202

предметы, удаленные от объектива на расстояние d = 6 м. На какое
расстояние а передвинули окуляр?
1211. Для определения увеличения зрительной трубы, окуляром
которой является собирающая линза, объектив заменяют квадрат-
квадратной диафрагмой со сторой /. Найти увеличение к трубы, если оку-
окуляр дает действительное изображение диафрагмы со сторой L.
1212. Какова длина / зрительной трубы, объектив и окуляр кото-
которой имеют фокусные расстояния F, = 25 см и F2 = 8 см, если рас-
рассматриваемый предмет удален в бесконечность, а его изображение,
даваемое окуляром, находится от окуляра на расстоянии наилуч-
наилучшего зрения d0 = 25 см?
1213. Для наблюдения некоторого объекта используют длинно-
длиннофокусный микроскоп, объектив которого не должен приближаться
к объекту ближе чем на расстояние d = 5 см. С каким фокусным
расстоянием F надо взять объектив, если увеличение микроскопа
должно быть к\ = 180, а увеличение окуляра к2 = 20?
1214. Фокусное расстояние объектива микроскопа F, = 0,5 см,
расстояние между объективом и окуляром / = 16 см. Увеличение
микроскопа к = 200. Найти увеличение к2 окуляра, если расстояние
наилучшего зрения d{) - 25 см.
1215. Фокусное расстояние окуляра микроскопа F2 = 4 см, рас-
расстояние между объективом и окуляром / = 16 см. Увеличение
микроскопа к = 300. Найти фокусное расстояние /*", объектива
микроскопа, если расстояние наилучшего зрения d{) = 25 см.
1216. Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа
F\ = 8 мм и F2 — 5 см, расстояние между объективом и окуляром
/ = 21 см. Найти увеличение к микроскопа, если расстояние наилуч-
наилучшего зрения d() = 25 см.
1217. Фокусные расстояния объектива и окуляра микроскопа
F| = 3 мм и F2 = 5 см. Предмет находится от объектива на рас-
расстоянии d = 3,1 мм. Найти увеличение к микроскопа и расстояние /
между объективом и окуляром, если расстояние наилучшего
зрения d{) = 25 см.
1218. Фокусные расстояния объектива и окуляра микроско-
микроскопа F, = 4 мм и F2 = 2,5 мм. Предмет находится на расстоянии
а = 0,2 мм от фокуса объектива. Найти увеличение к и длину
8 тубуса микроскопа, если расстояние наилучшего зрения
du = 25 см.
1219. Предмет находится на расстоянии d = 6,1 ммЪт объектива
микроскопа. Фокусное расстояние окуляра F2 = 1,25 см, увеличение
203

микроскопа к= 1200. Найти фокусное расстояние объектива Fu
если расстояние наилучшего зрения d{) = 25 см.
1220. Фокусное расстояние объектива микроскопа Т7, = 0,3 см,
длина тубуса микроскопа 5 = 15 см, увеличение микроскопа
к = 2500. Найти фокусное расстояние F2 окуляра, если расстояние
наилучшего зрения d{) = 25 см.
1221. Ближний и дальний пределы аккомодации глаза бли-
близорукого человека dx - 10 см и d2 = 12,5 см. Каковы будут пределы
d[ и d'2, если человек наденет очки с оптической силой
Оочк=-7дптр?
1222. Ученик привык читать книгу, держа ее на расстоянии
d = 20 см от глаза. Какова должна быть оптическая сила DO,IK
очков, которые должен носить ученик, чтобы читать книгу, держа
ее на расстоянии наилучшего зрения d{) = 25 см?
1223. Близорукий человек может четко видеть предмет, если он
находится на расстоянии не дальше d = 20 см от глаза. Какова
должна быть оптическая сила D(I|K очков, которые должен носить
этот человек, чтобы четко видеть удаленные предметы?
1224. Какие очки необходимо прописать близорукому человеку,
о котором шла речь в задаче 1221, чтобы исправить недостатки его
зрения?
1225. Дальнозоркий человек может читать книгу, держа ее на
расстоянии не менее d = 80 см от глаза. Какова должна быть
оптическая сила DOMK очков, которые должен носить человек,
чтобы читать книгу, держа ее на расстоянии наилучшего зрения
<7„ = 25 см?
204

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
МЕХАНИКА
§ 1. Прямолинейное равномерное и равнопеременное движение
1. Направим координатную ось OS с началом в точке отправления
поездов вдоль направления движения (рис. 177). Координата товарного
s, км
О
Рис. 177
0,5 1,0 /, ч
Рис. 178
поезда в момент времени t, когда его догнал экспресс, S\ = v\t. Координата
экспресса, который шел на время т меньше, в этот же момент вре-
времени s2 = v2{t - т). Обе эти координаты должны быть равны координате
места, где экспресс догнал товарный поезд: s\ = s2 = s. Приравняв s{ и s2,
находим
t =
- V\) = 1 Ч, .V = U]U
- f[) = 36 KM.
с
в
L/2
\°
L/2
Графическое решение представлено на рис. 178, где линии 1 и 2 -
графики движения товарного поезда и
экспресса. Точка их пересечения
определяет координату s места, где
экспресс догонит товарный поезд, и
время t, когда это произойдет.
2. Направим координатную ось с
началом в точке С от С к В (рис. 179). Законы движения первой и второй
автомашин имеют вид
sx - -L/2 + v{t, s2 = L/2 - v2t.
Рис. 179
205

При встрече координаты должны быть одинаковы: sx = s2 = s. Приравняв
.?! и s2, находим
t = LI(vx +v2)= 1,5 ч, s = L/2-v2t = -L/2 + vlt = -30KM.
Графическое решение представлено на рис. 180, где линии 1 и 2 -
графики движения первой и второй автомашин. Точка их пересечения
определяет время t и координату s места встречи.
-60
Рис. 180
Рис. 181
График зависимости расстояния / между автомашинами от времени t
показан на рис. 181.
3. Закон движения конца стержня А: х^ = л'о + ы, уА = 0; следовательно,
>'е=л//2'-(.xo+vtJ¦
4. В неподвижной системе координат (рис. 182) обгон начинается, когда
координаты начала экспресса и конца товарного поезда одинаковы и
Рис. 182
равны, например, % Заканчивается обгон в момент времени, когда одина-
одинаковы координата s^ начала товарного поезда и координата s^ конца
экспресса. Если за начальный момент времени принять начало обгона, то
законы движения начала товарного поезда и конца экспресса будут
Приравняв sx и s2, получим t={lx + l2)/(v2 - vx) = 50 с.
206

Рис. 183
. Эту задачу можно решить в движущейся
вместе с товарным поездом системе коор-
координат, начало которой совпадает с началом
этого поезда, а направление - с напра-
направлением его движения (рис. 183). В этой
системе координат скорость экспресса и2 =
= v2 — V\. Закон движения конца экспресса,
если за начальный момент времени принять начало обгона, будет иметь
вид s = — (/] + l2) + v{i- В момент завершения обгона конец экспресса
окажется в начале нашей системы координат. Поэтому его координата
s = 0: следовательно, для этого момента времени
h + h = v2't, / = (/,+ /2)/(и2 - vx) = 50 с.
5. /= (и, + v2)t= 150 м.
6. и, = -^v2 —2lv2lt =15 м/с.
7. В системе координат, изображенной на рис. 184, законы движения
наклонной плоскости и стержня имеют вид
xj=s = ш, у\ =0; х2 = 0, у2 = h = vt.
Для любого момента времени у2 = h = s tg а, следовательно, и = и tg a.
8. Вертикальная составляющая скорости капель vy = v cos а от
скорости движения трамвая и и скорости ветра w не зависит. Горизон-
q ^,*"\ a
О
Рис. 184
"л X
тальная проекция скорости капель при неподвижном трамвае опреде-
определяется скоростью ветра: vx = v sin a = w. При движении трамвая согласно
условию
v/= и sinoc-и = 0, или w = u = 5 м/с.
Из рис. 185 находим, что скорость капель в безветренную погоду
vy = vx ctg a = и ctg а = 8,66 м/с.
9. Направим ось ОХ системы координат с началом в месте, где пловец
входит в воду, вдоль берега по течению, а ось OY - перпендикулярно к
207

берегу. Предположим, что скорость пловца v составляет с осью ОХ угол а
(рис. 186). Тогда закон движения пловца в проекциях на оси координат
будет иметь вид
х = (и + v cos <x)t, y={v sin a)?.
Пловец попадает на другой берег, когда у = 1г. Необходимое для этого
время t = h/v sin а. Оно будет минимальным, когда sin а максимален, т.е.
а = я/2 (рис. 187): fmil, = h/v.
и since
ucosa О и X
Рис. 186
При а = л/2 имеем х = ut. Поэтому, когда пловец окажется на другом
берегу, / = xmin = utmin = uh/v. Длина пройденного пути
s = -JF+lS =¦¦ h4u2 + v2 /v .
10. В системе координат XOY с началом в пункте А (рис. 188)
координаты лодки:
х - (и — v cos a)f, у = (v sin a)f.
Подставляя х = /, у = h, получим v =hu/{l sin a + h cos a).
11. Направим ось ОХ системы координат (рис. 189) против движения
корабля (на восток), а ось OY - перпендикулярно к движению (на север).
Проекция и()л. = м() cos P скорости ветра uq относительно корабля больше
ucosa О и I
Рис. 188
с
з Ч^У
Ю-З 1
У
/
А
°
и
% I
X
Рис. 189
проекции мЛ = и cos a скорости ветра и относительно земли на величину v
(здесь Р и a - углы между курсом корабля и направлениями скоростей м0 и
и, и— скорость корабля):
mq cos р = и cos a + v. A)
208

Проекции скоростей и0), = и() sin C и иу = и sin а в направлении, перпен-
перпендикулярном к движению корабля, равны между собой:
и() sin р = и sin a. B)
Чтобы исключить неизвестный угол Р, возведем A) и B) в квадрат и
сложим почленно: щ = и2 + \? + 2vu cos а; отсюда
и = - v cos a
Учитывая, что а = 45°, имеем
Здесь мы отбросили отрицательный корень, так как согласно условию
и > 0 (этот корень появился при возведении в квадрат уравнений A) и B)).
12. Рассмотрим движение тела 2
относительно тела 1. В системе коор-
координат XOY, связанной с телом 1
(рис. 190), проекции относительной
скорости и тела 2 будут
vx = - (i/| + v2 cos a), vv = v2 sin a.
Сама относительная скорость
v=Jvx+vy направлена по диаго-
диагонали прямоугольника, построенного Рис. 190
на vy и vy. Кратчайшим расстоянием
между телами 1 и 2 за все время их движения будет длина перпендикуляра
AD = / к линии, по которой направлена относительная скорость. Если
обозначить угол между осью ОХ и относительной скоростью v через C, то
/ = L sin p, причем sin P = vy/v. Таким образом,
/ = Lvv I JvK + vy = Lv2 sina/-y v] + v2 + 2vsv2 cosa.
Время, в течение которого тело 2 в относительном движении пройдет
расстояние BD = L cos P, будет t = BD/v = (L cos p)/u. Подставляя значения
cos p = lvx/v I и и, получим
t = L(v{ + v2 cos a) l{i>\ + v\ + 2vx v2 cos a).
13. Время движения первого поезда fj = s/2v\ + s/2v/, его средняя
скорость vcp i = 2v\ul'/(V] + к/) = 53,3 км/ч. Путь, пройденный вто-
вторым поездом, s2 = (v2 + v2)t/2, его средняя скорость vcp2 = (v2 + v2')/2 =
= 60 км/ч.
209

14. v = щ + a2t2 + a-sh + a4f4 = 5 м/с;
(vot2 + a2t\ 12) + [(u0 + a2t2 )t3 + azt\ 12]
м;
vcp = sl{tx +12 + Ц + r4 +15) = 5,9 м/с.
На графике v=f(t) (рис. 191) конечная скорость ик = 5 м/с. Путь ,v
численно равен сумме площадей sh обозначенных на рисунке: -4=Y,si =
= 6 + 8 + 42,5 + 16 + 10 = 82,5 м. Средняя
скорость иср численно равна высоте прямо-
прямоугольника, площадь которого равна сумме
площадей ,v,-.
15. Скорость капель дождя относительно
самолета и = -yjw + Vq , где и0 = - и, составляет
угол C с горизонтом, причем sin C = w/u и
5
Рис. 191
10 15 i, с cos C = vo/u (рис. 192). На переднее стекло в
единицу времени падают капли дождя, нахо-
находящиеся в косой призме с образующей и,
площадью основания S (основанием является это стекло) и высотой
h — и sin 7, где у= а + C (рис. 193). Объем этой призмы
V = Su sin (а + C) = 5«(sin а cos C + cos а sin C).
Если в единице объема находится одновременно п капель, то число
капель в призме, или, что то же, число капель, падающих на переднее
Рис. 192
Рис. 193
стекло в единицу времени, /V] = nV. Учитывая значения V, sin C и cos C,
найдем /V] = Sn(v sin a + w cos a). Положив в этой формуле a = 0, получим
число капель, падающих в единицу времени на верхнее стекло: N2 - Snw.
Таким образом,
N\/N2 = (v sin a + w cos a)/w.
16. Так как v\ - Vq = 2a/ и v2 -Vq = 2a//2, то v =
= 5 м/с
2H

17. Составляем уравнения движения:
*2-х\ = v\(h - г,) + aih ~ hJl2,
л-3 - х, = v,(r3 - fi) + fl(f3 - hJl2,
где У] - скорость в точке х\. Исключая V\ из этих уравнений, найдем
а = 2 (Х1 ~ Х2 )fi + (*i ~ хз )f2 + (*2 ~ xi Хз
('2 - 'i Kb - *2 X*i - /3)
18. т = h/v+\v -д/и +2gh |/#= 1 с.
19.а = 2(п- l)s/(n+ l)f2.
20. Когда второе тело догонит первое, их координаты будут равны, а
время x = 2v/a = 200 с.
21. s = 8и2и| /a(U| + и2J = 3750 м.
22. Обозначив времена равноускоренного, равномерного и равноза-
медленного этапов движения через гь f2 и ?3, составим уравнения для
каждого этапа:
3 3 2 3 /> к 23 = 0-
Вместе с соотношениями t = /[ + ?2 + ?з и s ~ s\ + S2 + ^з они составят
систему из семи уравнений с семью неизвестными. Решая эту систему,
найдем
t = s/v + 0/2*2] + v/2a2).
Значительно проще можно получить решение при помощи графика
и=/(?)(рис. 194). Путь численно равен площади фигуры, ограниченной
ломаной линией, выражающей эту зависи-
зависимость, и осью времени. Эта площадь
равна площади прямоугольника sq = vt без
площадей треугольников s^ и sy.
s = .?()- .?| - .v3 = vt- \?-fla\ - iP-flai,
откуда для времени t получим значение,
приведенное выше.
23. Характер движения поезда такой рис ^
же, как и движения автомобиля в задаче
22. Поэтому для нахождения решения достаточно в ответе задачи 22
учесть, что п\ = й2 = а. В результате получим t = s/v + via. Решая это
уравнение относительно а, найдем а = \P-/(vt — s) = 0,17 м/с2.
24. i/ = V2i^ =6,3 м/с.
25. v =
VQ =24,8 м/с
211

26. vcp =
27. г =
+1)/2 * 25,4 м/с.
с.
28. За время движения t тело пройдет путь s = gt2/2, а за вре-
время движения /()<?- путь sq = gto/2. По условию задачи .v - .v() =
= B/3)s и t — f() = х = 1 с. Из системы четырех уравнений с четырьмя
неизвестными можно получить для s квадратное
Н
уравнение: s2 — 3gt2s +9g2t4/16 = 0. Из двух корней
этого уравнения
-А
лишь первый удовлетворяет условию задачи. Таким
образом, s = C / 4)B ± л/з "jgt2 = 21,Л м.
29. Направим координатную ось ОН с началом от-
отсчета в месте бросания тела вверх (рис. 195). Тогда
уравнения движения будут иметь вид
h=v0t-gt2/2,v=v0-gt. A)
Рис. 195
При достижении максимальной высоты подъема /zm.lx
скорость тела v - 0. Из второго уравнения A) найдем,
что тело достигает высоты hmax спустя время t = v^g после бросания. При
t =? vo/g координата h и путь s равны; в частности, при t = vo/g путь
,v = /гтах = v о /2g. При t > v{<Jg координата h убывает, в то время как путь s
(сумма всех расстояний, пройденных телом, независимо от направления
движения) продолжает увеличиваться; в частности, при t = 2vo/g
координата h = 0, т.е. тело вернулось в место бросания, а путь s = 2/imax =
= Vq I g. При t > 2v()/g координата становится отрицательной, т.е. тело
спускается ниже места бросания (если, конечно, для этого есть
возможность). Из рис. 195 видно, что при t > v^g пройденный телом путь
s = 2hmM - h =v
'-(VQt-gPll),
B)
где t - время, протекшее с начала движения. Это выражение будет верно и
при t > 2v()/g. В тех же случаях, когда t < vo/g, путь вычисляется, как и
координата, по первой формуле A).
По условию t = 10. с > vo/g = 3 с. Поэтому вычисление пути надо делать
по формуле B); при этом получается s = 290 м. Координата и скорость для
этого момента времени, найденные по формулам A), будут h = - 200 м
и у = — 70 м/с.
21-2

31. Если за начало отсчета взять место бросания тела, то координата h
тела, брошенного вверх, определяется уравнением
h = vot-gt2/2. A)
Это уравнение при заданных ц} и h удовлетворяет двум значениям t:
h,i =
Разность этих значений есть промежуток времени между прохождениями
телом одной и той же высоты /г, т.е.
= Г2 - Г, =2^vl-2ghlg\
B)
отсюда Уо = -yJ2gh + g (At) /4. Если в выражении B) положить /г = 0, то
мы получим промежуток времени от начала движения до возврата в
начальное положение: А?о = 2uo/g. Подставляя значение ц,, найдем
А/о = 2^2
32. s = h — v()t.
33. Направим координатную ось ОН с началом в месте бросания шари-
шариков вверх. Тогда уравнения движения шариков будут иметь вид
й, = h + v]tl -gt]l2, h2 = h- v2t2- gtj/2,
где t\ и t2 — времена падения на землю первого и второго шариков.
Падению на землю соответствуют координаты h\ = h2 = 0. Определив t\ и
t2 из полученных квадратных уравнений, найдем
/ ^2(A,-/j) = 3,69 м/с.
36. Скорости первого и второго тел в момент времени t будут У| =
= v0 — gtn v2= Vq - g(t - At). Скорость
второго тела относительно первого
v = v2 - Vy — gAt постоянна, т.е. тела
движутся относительно друг друга
равномерно.
37. Пусть за некоторый весьма
малый промежуток времени t лодка
переместилась из точки А в точку В
на расстояние uV - Sq = vnt (рис. 196).
За это время веревка, имевшая
положение AD, заняла положение
BD, причем длина ее уменьшилась
D
\/ s0
s
A
E
Рис. 196
213

на величину / - /0 = vt. При малом времени t будет мал также и угол а.
Поэтому угол C в равнобедренном треугольнике BCD будет очень мало
отличаться от 90°, т.е. треугольник ABC можно считать прямоугольным и
1-10 _ vt _ v _
S-Sn
VJ
cosy;
отсюда ил = v/cos у. При приближении лодки к берегу угол у увеличивается
и скорость ип возрастает. Как видно из рис. 196, cos у = s/l =
= yl2 — /г2 II; поэтому при / = 10 м скорость лодки
vn =vll4l2 -h2 =1,25 м/с.
Для нахождения перемещения лодки формулу пути равномерного
движения s - л о = vnt можно применять лишь в том случае, когда
промежуток времени t достаточно мал и скорость лодки в течение него не
успевает заметно измениться:
s-so=M2-h2 -фо-h2 =M2-h2 -^(l-vtf-h2 =1,25 м.
38. Направим координатную ось OS с началом в месте расположения
первого тела вдоль наклонной плоско-
плоскости (рис. 197) и запишем законы дви-
движения для первого и второго тел:
и\ = Ц) - G? sm °0?>
Рис. 197
5, = 4)?-0?sin
v2 = -(g sin <x)t,
,v2 = / - (g sin a)?2/2.
В момент встречи s\ — s2,1 = vot, т.е. t = 1/vq = 5 с. Скорость второго тела
относительно первого v = v2 - V\ = -v0 = - 0,5 м/с.
39. У(.р | = sjtx = Ц) + (g sin a)txl2, ucp2 = s2/t2 = v0 + (g sin a)r2/2; отсюда
sin a = 2(ucp2 - ucp
- f,) = 1/2, т.е. a = 30°.
40. Скорость движения шарика у доски при первом падении на нее
U] = -\J2gh, время падения t\ = ^J2h/g. Скорость в момент отскакива-
отскакивания v2 = 0,75v\ = 0,75 yj2gh . Из условия v = v2 - gt2 = 0 находим время
движения шарика вверх после отскакивания: t2 = v2/g = 0,75л/2й /g . Так
как время подъема и время падения одинаковы, то искомое время
t = tl+2t2 = 2,5^2h/g = 1,38 с.
41. Если координатную ось ОН направить вверх, то при падении мяча
проекция скорости отрицательна и пропорциональна времени: v = - gt-
214

c\
A
Рис. 198
На графике такому движению соответствует линия О А, причем tg a
соответствует ускорению —g (рис. 198). При ударе проекция скорости
мгновенно меняет знак на противоположный, и модуль ее уменьшается
согласно условию задачи в я = 2 раза, т.е. после удара модуль скорости
соответствует точке В. При подъеме скорость падает до нуля (точка С),
причем наклон линии остается прежним, так как ускорение все время
равно —g. Далее снова происходит падение. При падении достига-
достигается та же по модулю скорость, которая
была в первый момент после удара i
(точка D), и т.д.
Согласно формуле и2 = 2gh высота подъ-
подъема пропорциональна квадрату скорости. О
Поэтому после к-го удара, когда скорость
будет в пк раз меньше, чем перед первым
ударом, высота Яд. будет в п2к раз меньше я, \ D
т.е. /гд. = hln2k. После каждого удара мяч
будет проходить вверх и вниз путь, рав-
равный удвоенной высоте: после первого
удара 5] = 2h\ = 2я/я2, после второго удара
52 = 2я2 = 2я/я4, после третьего удара
Л'з = 2я3 = 2Л/яй и т.д. Чтобы получить полный путь, надо к сумме
s\ + л'2 + 53 + ... прибавить еще путь s0 = я, пройденный до первого удара.
Таким образом
, 2я 2я , 2АЛ 1 1
s = h + — + — + ... = h— I+ — + —-
я я я V п я
Здесь в скобках стоит бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
со знаменателем q = 1/я2. Сумма членов такой прогрессии равна 1/A —
— q) = n2/(n2 — 1). Подставив это значение в выражение для пути, получим
s = h(n2 + Щп2 - 1) = E/3)я = 200 м.
42. Шарик к моменту встречи с плитой приобрел в неподвиж-
неподвижной системе отсчета скорость и() = -y2gh{). Скорость шарика относитель-
относительно плиты, движущейся ему навстречу, в этот же момент равна
Щ - —(v 2#я() + и). После абсолютно упругого соударения скорость шарика
относительно плиты w = -w0. Скорость v шарика в неподвижной систе-
системе отсчета после соударения больше скорости шарика относитель-
относительно плиты на величину и (плита догоняет отскочивший шарик со ско-
скоростью и): v = w + и = у 2g/j() + 2м. Искомая высота
А= v2
43. Разложим скорость шарика v0 на тангенциальную (вдоль
плиты) и нормальную (перпендикулярно к плите) составляющие:
215

u|t = v0 sin а и vOn = u0 cos a. Тангенциальная составляющая, благо-
благодаря гладкости стенки, после соударения шарика с плитой не изменится.
Нормальная составляющая относительно движущейся плиты
wOn = vOn +u = v0 cos a + и после соударения изменит знак, сохранив
свой модуль: wn =-wOn. Относительно неподвижной системь! отсчета
нормальная составляющая vn изменится на величину и (плита догоняет
отскочивший шарик со скоростью и):
vn = -О„ + и) = -(Ц) cos a + 2и).
Полная скорость шарика относительно неподвижной системы отсчета
после соударения с плитой будет
v =
0 cosa + 2uJ+
q sin2a.
§ 2. Криволинейное движение
44. Направим ось ОХ системы координат XOY (рис. 199) с началом на
поверхности земли вдоль начальной скорости v{), а ось OY — верти-
вертикально вверх в точку, из которой брошено тело. Движение тела можно
представить как сумму равномерного движе-
движения со скоростью у0 в горизонтальном на-
направлении и равноускоренного движения без
начальной скорости в вертикальном напра-
направлении с ускорением ау = -g, направленным
вниз. Проекции скорости на оси координат и
полная скорость в этом случае будут
A)
U, = \)п
а) их = щ, б) vy = -gt,
Рис. 199
v =
v2 = ^vl +g2t2.
Законы движения для координат имеют вид
а) х = Ц) t, б) у = h - gt2/2.
Исключив время t из уравнений C), получим уравнение траектории:
B)
C)
D)
Это - уравнение параболы.
45. Исключив время t из уравнений C) задачи 44, при у = 0 найдем
г — v — л_л/ ~)Uln — 00 Л I»
0V g ,
46. Исключив время / из уравнения C) задачи 44, при х = s и у
h = gs I2vq =4,9 м.
= 0
найдем
216

- 47. Исключив время t из уравнений B) и C6) задачи 44, при у = 0 найдем
14, = ^v2-2gh = 5,6 м/с.
48. Когда скорость тела, брошенного горизонтально, составляет с
горизонтом угол а = 45° (см. рис. 199), имеем tg а = vylvx = -1; отсюда со-
согласно уравнениям A) задачи 44 получаем t = v^lg ~ 1,5 с.
49. h = (vQ tg осJ/ 2g = 34,4 м.
50. / = 2h I tg а = 4 м.
51. Полным ускорением является ускорение свободного падения g;
следовательно, C - угол между полной скоростью и вертикалью (см.
рис. 199). Поэтому tg Р = vx/vy = 1 и vx = vy = gt (по модулю). В этом случае
из уравнения B) задачи 44 следует v = J2v 2 = gt^2 ~ 70,5 м/с.
52. Время падения камня (момент, когда у = —1г)
t= [v0 sin a + у (v0 sin аJ + 2gh] Ig.
Угол (i определяется выражением
J
а vx vosina-gt J(v0 sinocJ +2gh
tgP= ^= =
vx v0 cos a v0 cos a
Скорость камня в момент падения у — Jv2 + у2 = -уUg + 2g/j¦
53. Как видно из рис. 200, проекции ускорения свободного падения на
нормаль On и касательную Ох таковы:
а„ = g cos a, ax = g sin а,
cos а = Уд. /у, sin а = иу I и.
Зависимости vx, vy и у от времени определяются
уравнениями A) и B) задачи 44; следовательно,
ап =gvx /у = gv0 /^vq +g2t2 =8,2 м/с2,
ax = gvy Iv =g2tl^vl +g2t2 =5,4 м/с2.
54. Направим ось ОХ системы координат XOY с рис 2qq
началом в месте бросания тела горизонтально в ту
сторону, куда тело брошено, а ось OY - вертикально вверх (рис. 201).
Движение тела можно представить в виде суммы равномерного движения
в горизонтальном направлении со скоростью vOx = и0 cos a и равно-
равноускоренного движения в вертикальном направлении с начальной ско-
скоростью %у = vQ sin a и ускорением ау = -g. Проекции скорости на оси
координат и модуль скорости в этом случае будут
а) vx = vOx = v0 cos a, 6) vy = vOy-gt= v0 sin a-gt, A)
v = ^jv2 + v) = ^Vq +g2t2 - 2(v0 sina)gf. B)
217

Зависимость угла р от времени определяется выражением
tg р = vy I vx - (Ц) sin a - gt) /и0 cos а.
Ha восходящей части траектории (при vQy > gt) имеем tg р > 0 и верти-
вертикальная составляющая скорости направлена вверх, проекция vy ^ 0; на
нисходящей части траектории (при vOy < gt) tg P < 0 и вертикальная
составляющая скорости направлена вниз, проекция иу < 0.
Y
"by,,
О
«Ov
Рис. 201
Рис. 202
55. Используя ту же систему координат, что и в задаче 54 (см. рис. 201),
запишем законы движения для координат тела:
а) х = (Ц) cos a) t, 6)y = (vQsina)t-gt2/2. A)
Уравнение траектории тела получим, исключив время t из этих
уравнений:
у = х tg a - gx2 /2(vQ cos аJ. B)
Это - уравнение параболы.
56. При у = h проекция скорости vy = 0. Время подъема t и высоту h
найдем из уравнений A) задач 54 и 55:
t = (v0 sin a) /g, h = (v0 sin aJ /2g.
57. Так как в месте падения у = 0, то из уравнения A6) задачи 55 найдем
время полета: t = 2{v0 sin a) /g. Дальность полета s = x, т.е. координату
места падения, найдем из уравнения Aа) задачи 55, подставив в него
найденное значение времени полета: s = (v2 sin 2a)/g.
58. График зависимости vy=f(t) строится по формуле A6) задачи 54
(рис. 202). При t = 0 имеем vy = v$y = vq sin a; при t = f = (u0 sin a)/g проек-
проекция vy = 0. График зависимости vy = fly) получим, исключив время t из
уравнений A6) задач 54 и 55 (рис. 203):
Vy = ±^{v0 sinaJ-2?y.
График зависимости vy = flx) получим, исключив время t из уравнения
A6) задачи 54 и уравнения Aа) задачи 55 (рис. 204):
vy = v0 sin a-gx/(vo cos a).
218

59. Из формулы A6) задачи 55 при у = h получим для t уравнение
2 2v0 sin а 2h
Г 1 + — = 0,
8 8
A)
два корня которого t] = 0,28 с и t2 = 0,75 с показывают, что на высоте Л
камень был дважды.
Y
О
О
у
-Л
Рис. 203
Рис. 204
V/////////////////////////////
Рис. 205
60. Используя уравнение A) задачи 59 и свойства корней квадратного
уравнения, согласно которым t\ + t2 = 2(u() sin a)/g и t\t2 = 2h/g, получим
ц, = i?(?, + г2) /2 sin a = 78,4 м/с, /г =
= 73,5 м.
61. Исключая начальную скорость и$ из уравнения A6) задачи 54 и
используя решение задачи 57, получим
s = 2 (vy +gtJ ctg a / g = 284 м.
62. В системе координат с началом в месте бросания (рис. 205) законы
движения будут те же, что и в задаче 55. Искомое расстояние s - х при
у = -h. Подставляя у = -/г.в уравнение B) задачи 55, получим для х
квадратное уравнение, решая которое, найдем
s= (v0 / g)cosa(v0 sin a + ^ (v0 sin aJ +2gh).
В выбранной системе координат х > 0, поэтому второй корень уравнения
отброшен.
63. Обозначим начальные скорости тел буквами и(И и vQ2 . Для тел,
упавших на землю, в формуле B) задачи 55 надо положить у = 0. Заменяя
в этой формуле и0 и а на v0] и а] для первого тела и на v(J и а2 для вто-
второго, найдем из двух получившихся уравнений Цм 1чп = V sin 2a2/sin 2ol\.
Если СС2 = 90° - аь то vm /vm = 1 и vm = v02.
64. v =
65. v =
- 2gh =6,4 м/с.
+ 2gh.
219

66. Согласно рис. 201 tg p" = иу lvx . По условию tg C, = 1, tg p2 = -1.
Используя для vx и Vy формулы A) задачи 54, найдем
t2 =
67. Дальность полета снаряда без учета сопротивления возду-
воздуха при заданной начальной скорости можно найти по формуле
x = {vq sin2a)/g (см. задачу 57). Согласно условию х - 4s; отсюда
ц, = 2V^/sin2a = 886 м/с.
68. В системе координат с началом в точке А (см. рис. 9) траектория
мотоциклиста будет описываться уравнением B) задачи 55. Подставляя в
это уравнение координаты точки приземления х - s и у = —h, найдем
минимальную скорость:
v = s-yfg I cos a л/2(/г + s tg a).
69. Используя ту же систему координат, что и в задаче 62 (см. рис. 205),
имеем / = va'2 + у2, где х и у — координаты камня в данный момент вре-
времени. Зависимость координат камня от времени дается формулами A) и
B) задачи 55. Поэтому
- (v0 sinao)gt + g2t2 /4 =67,9 м.
70. Чтобы снаряд достиг самолета, горизонтальная проекция его
начальной скорости ц)г должна быть не меньше скорости самолета и, а
вертикальная проекция начальной скорости иОу должна быть по крайней
мере равна yJ2gh; отсюда минимальная начальная скорость снаряда
Ц) = V v1 + 2gh = 743 м/с. Из условия tg a = vOy/v()x=^J2gh /v = 1,56 находим
a = 57°.
71. у\~У2 = 2Ц) t cos a = 60 м.
72. Используя ту же систему координат, что и в задаче 44 (см. рис. 199).
Проекции скорости груза при его падении vx = u() и vy = —gt. Угол наклона
скорости к горизонту определяется выражением tg a = vy /vy. Скорость
имеет угол наклона а в момент времени t = -(v{)/g) tg a (a < 0). Подставляя
это значение t в закон движения груза по вертикальному направлению
у = h0 - gt2/ 2, найдем h = y = h()- (ц, tg aJ/2g.
73. В системе координат, изображенной на рис. 206, координаты ключа
в момент выброса его из самолета:
*о = (vo h + ato 12) cos a, >>0 = (v010 + at\ 12) sin a.
Проекции скорости ключа в этот момент:
v0x = (уо + at0)cosa, vOy = (v0 +ato)sma-uo.
220

; Координаты ключа после выброса из самолета: <
х-хо+ vOxt= (voto + atl / 2) cos a + [ (v0 +at0)cosa]t, A)
y = yo+ v0yt-gt2/2 = (voto+ato/2)sina +
+ [(v0 + atQ)sma-u0]t-gt2/2. B)
В момент падения ключа j = 0. Исключая время из A) и B), найдем
расстояние s = л. Ввиду сложности коэффициентов в уравнении B)
Рис. 206
рекомендуется предварительно вычислить эти коэффициенты. Имеем
у0 = 144 м, uOv = 29,5 м/с, g/2 = 4,9 м/с2. Искомое расстояние s = 766 м.
74. Вертикальная проекция скорости в _г_о
момент удара иу = V (Ц) sin aJ + 2gh; время
подъема на максимальную высоту /гтах
(рис. 207) t =vy/g. Горизонтальная проек-
Рис. 207
Рис. 208
ция скорости vx = Vq cos а. Искомое расстояние равно координате точки
второго удара:
s = x = 2tvx =2u0 cosa-J(v0 sinaJ +2gh/g -9,1 м.
75. В системе координат XOY с началом в точке первого удара шарика
о плоскость (рис. 208) скорость шарика согласно законам упругого удара в
момент удара и первый момент после удара равна V 2gh и направлена
после удара под углом 90° - а к оси ОХ. Проекции скорости после удара:
B)
22>Г
vx =^2ghcos(90° -a) + gsinat = ¦
v v = ^2gh sin (90° - a) - g cos Ш = s]2gh, cos a - gt cos a.

Из уравнения B) находим, что время достижения высшей точки
траектории ?, = y2h/g. Время между первым и вторым ударами t = 2t}.
Искомое расстояние равно координате точки второго удара:
s = х = Jlgh Г sin а + (#<2/2)sin а = 8/isin а = 4 м.
§ 3. Вращательное движение
76./? = vlr/(vl-v2) = 1,8 м.
77. п = 6O(uj - v2) /2лг = 97 об/мин.
78. При качении колеса по земле все его точки участвуют одно-
одновременно в двух движениях: вдоль поверхности земли с постоян-
постоянной горизонтальной скоростью v и вокруг оси вращения с касательной
скоростью vx, модуль которой
постоянен, а направление меня-
меняется. При качении без пробукси-
ровки или проскальзывания ско-
скорости v и vT, по модулю равны.
В v, vx
Рис. 209
Рис. 210
Мгновенные скорости указанных точек колеса находим, складывая v и ит
по правилам векторного сложения (рис. 209):
иА = их - v = 0, vB = их + v = 2v,
vc = -^ v
v =
2vxv cos a =2v cos(a/2),
v e = "V v* + v2 ~ ^ vxv cos « = 2u sin (a / 2).
79. an = v2 IR, v = aTt. По условию задачи a,, = naz; следовательно,
t = yjnft/dx = 2,78 с
80. an = As2t\ I Rt? = 25 м/с2.
81. fj = 2v- i»2 (см. задачу 78).
82. а„/ах = tg a = 0,58 (рис. 210)..
222

!: ¦¦ 83. На экваторе
на широте ф = 60°
v0 = 2kR/T = 465 м/с,
anQ= vllR = 0,034 м/с2;
м/с,
%=
= 0,017 м/с2.
84. N = nt/2 = 60.
85. От начала закругленного участка пути поезд проходит расстояние
s=v()t + axt2/2, A)
где ах - касательное ускорение. При этом его скорость
v = у0 + ах t. B)
Из A) и B) находим
ах = 2(s - v0 t)/t2 = 0,33 м/с2, v = Bs - v0 t)/t = 25 м/с.
Полное ускорение
=O,7O8M/C2.
86. В системе координат XOY, изображенной на рис. 211, скорость
комка грязи в момент отрыва от колеса направлена по касательной к
ободу в точке А (см. рис. 12). Если колесо катится без пробуксовки или
проскальзывания, то vx = и. Так как начальная
вертикальная координата комка уо = R(l - cos a),
то закон движения вдоль оси OY имеет вид
у = /?A - cos a) + (v sin a)t - gt2/2.
Далее, используя уравнение A6) задачи 54 и
время движения до максимальной высоты (см.
задачу 56), получим
h = у = R(l - cos a) + (v sin aJ/2g.
Если движение автомобиля с той же ско-
скоростью сопровождается пробуксовкой колеса, то
vx > v и высота подъема комков грязи будет
больше. Если же колесо проскальзывает относительно поверхности
земли при торможении (движение юзом), то vx < v и комки будут взлетать
на меньшую высоту.
87. Пусть N - число оборотов, сделанных цилиндром за время t. В этом
случае шарик не будет задерживаться желобом, если длина N шагов
Рис.211
223

г _r
ф ф
т mg Т т\
винтового желоба будет равна расстоянию, на которое шарик упадет за
это время при свободном падении, т.е. Nh = gt2/2. Если нить тянули при
этом с ускорением а, то расстояние, на которое ее вытянули, / = at2/2, что
равно в то же время длине смотанных с цилиндра N витков нити: / = nDN.
Из этих выражений легко получить а = KgD/h.
§ 4. Динамика прямолинейного движения
88. v = film <* 43 юл/ч.
89. f = F-ma = F-m(v2-Vo)/2s « 4,3 кН.
90. При спуске с постоянной скоростью сумма сил, действующих на
шар, равна нулю: Mg - Q -/= 0, где/- сила
сопротивления движению шара. При
подъеме шара сила сопротивления по-
прежнему равна /, так как согласно условию
задачи скорость постоянна, но теперь эта
сила направлена вниз. Сумма всех сил с
учетом уменьшения массы за счет
т8 т mS выброшенного балласта по-прежнему равна
Рис 212 Рис 213 нулю: (М ~ т)# ~ ^ +^'= °' Исключая из ЭТИХ
уравнений/, найдем т — 2(М - Q/g).
91. Действующие на тело силы изображены на рис. 212: F - искомая
сила, mg - сила тяжести. На основании второго закона Ньютона
та = F + mg; отсюда F = т(а - g) ~ 26 Н.
92. F = та = 70 Н.
93. Действующие на груз силы изображены на рис. 213; Г-сила натя-
натяжения проволоки, mg - сила тяжести. На основании второго закона
Ньютона та = Т-mg. Согласно условию задачи Т *? Гтах = ттах#. Следо-
Следовательно, а «? g(mm,dK/m - 1) « 1,2 м/с2.
94. m = 2ш1/и2/(' + т2) = 190 кг.
95. Сила натяжения каната не зависит от направления движения самой
клети (направления ее скорости) и определяется только ее ускорением. В
первом случае направление ускорения совпадает с направлением силы
натяжения каната. Поэтому знаки а\ и Т\ одинаковы: ma\ — T\— mg, т.е.
Г, = т(а{ + g) = 3420 Н.
Во втором случае та2 = mg - Т2, т.е.
Т2 = m(g - а2) « 2705 Н.
96. Используя решение задачи 95, получим а = g(l - mIM) = 2,45 м/с2;
ускорение направлено вниз.
97. Действующие на гири силы изображены на рис. 214. Уравнения
движения имеют вид
mxa = T-T{)-mxg, m2a = То-m2g,
224

\' Jo
•где а — ускорение груза, равное ускорению лифта, mxg и m2g - силы тя-
тяжести, действующие на гири тх шт2. Решая уравнения относительно Т,
получим Т = {ni\ + т2)Т{)/т2 = 14,7 Н.
98. Сила реакции дна клети N у//////
направлена вдоль ускорения лиф-
лифта а (рис. 215). Следовательно,
та = N — mg;
отсюда
/V = mg + та = 1004,5 Н.
По третьему закону Ньютона с
такой же (по модулю) силой
груз будет давить на дно клети:
FH,I{ = N= 1004,5 Н.
99. а = Nlm - g = 0,49 м/с2,
где N - сила реакции пола ка-
кабины, равная (по модулю) силе
давления на пол кабины FH 1{;
ускорение направлено вверх.
100. Действующие на тело
силы изображены на рис. 216:
Г- сила, с которой действует на
тело растянутая пружина (пока-
(показание динамометра), mg- сила тяжести. В случае 1) уравнение движения
тела имеет вид тах = Т\ — mg; отсюда Г, = m(g + at) = 14,7 Н. В случае
2) имеем ma2 = mg + Т2, так как направления ускорения д2 и силы тяжести
совпадают, следовательно, Т2 = m(g — а2) = 4,9 Н. В случае 3) выражение
для силы Т имеет тот же вид, что и в случае 2), ибо направление
ускорения то же самое: Тт, = m(g — а3) = 7,35 Н. В случае 4) сила
Т4 = m(g + д4) = 12,25 Н.
Т m2g
Рис.214
Рис. 216
N
f
N
mg
Рис.218
101. На основании второго закона Ньютона ma = F —/, где /= kN,
aiV- сила реакции опоры (рис. 217). Так как движение вдоль вертикали
отсутствует, то N = mg; следовательно, F = т(а + kg) = 0,79 Н.
102. s = v2/2a = v2/2kg = 12,3 м.
103. v ~ p-0,06gs « 4,9 м/с.
104. В горизонтальном направлении на груз действует только сила
трения/(рис. 218). Сообщаемое грузу ускорение a =f/m. В вертикальном
225

N
направлении груз не движется: N — mg = 0, где Л' -^ сила реакции опоры.
Максимальная сила трения покоя fm.M = kN = kmg. Следовательно, возмож-
возможные значения ускорения груза удовлетворяют неравен-
неравенству а =? fmajm - kg. Доске нужно сообщить ускорение
a>kg- 1,96 м/с2. В этом случае сила трения не сможет
сообщить грузу ускорение, достаточное для его дви-
движения без проскальзывания.
105. Используя решение задачи 104, найдем, что
F 2* kg(M + m)= 10,8 Н.
106. Сообщаемое грузу ускорение (рис. 219)
а = ,F(cos а + к sin а)//я - kg,
Fo = ktng/(cos а + к sin а).
107. а = ,F(cos а - к sin a)/m - g.
108. Действующие на воз силы изображены на рис. 220. Если mg <
F3 sin а, то воз может оказаться в "облаках" (решение выходит за рам-
У//////
mg
Рис.219
mg
Рис. 220
ки условия задачи, так как рак и щука уже не будут тянуть в противопо-
противоположные стороны).
Если mg > F3 sin а и/= Ш = k(mg - F3 sin а) > 1/^ - F\ + Ft, cos а|, где N -
сила реакции поверхности земли, то "воз и ныне там", т.е. s = 0.
Если mg > Ft, sin а и k(mg - Ft, sin а) < \F2 — F\ + Ft, cos <x|, to
s = [±(F, -F2-F3 cos a) - k(mg - F3 sin a)]t2/2m,
где знак плюс относится к случаю F{ > F3 cos a + F2 и знак минус - к
случаю F\ < Ft, cos a + F2.
109./= /п(ц,// - g) « 0,088 H.
110. a = gh/Ah = 58,8 м/с2; N = mg + ma = mg(l + А/ЛЛ) « 4802 H. .
111./= mg = 735 H.
226

113. Натянутая нить действует с одинаковыми силами Т на оба тела
(рис. 221). На первое тело вдоль горизонтали действует также сила F.
Действующие по вертикали силы взаимно уравновешены и не влияют на
движение тел в направлении силы F. Уравнения движения первого
и второго тел имеют вид m xa = F— Т, т2а = Т. Здесь учтено, что оба тела
Т
т-,
'////////////////У///////////////////////
Рис. 221
имеют одинаковые ускорения. Согласно условию задачи Т =? Гтах; следо-
следовательно, а =? TmaJm2 и
F < Tmm + пца = (те, + m2)Tm.Jm2 = 7,5 Н.
Если сила приложена ко второму телу, то приведенные рассуждения
остаются в силе, только массы mt ит2 меняются местами. Теперь
F =? (m2 + m\)Tm,Jm\ = 15 Н.
114. Т = (mxFi + m2F])/(ml + m2).
115. T = [ni\F2 + (m2 + m3)Fl]/(mi + m2 + пц).
116. Силы, действующие на брусок с гирей и на чашку с гирей, изобра-
изображены на рис. 222; N - сила реакции доски, Г-сила натяжения нити,
/- сила трения. Так как движение по вертикали отсутствует, то
N - (ni\ + m2)g = 0. При равномерном движении имеем Г—/=0 и
(шз + ni^)g - Т = 0. Сила трения f=kN = k(m\ + m2)g. Исключая из этих
уравнений Т, найдем к = (пг3 + m^)l{m] + m2) = 0,3.
f
\
N
\
T
i
'//////////Л
(m]+m2)g
Рис. 222
Рис. 223
117. На груз действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т веревки,
равная силе F, приложенной к ее другому концу (рис. 223). Искомая сила
определяется с помощью второго закона Ньютона: та = F — mg; отсюда
227

118. Так как блок неподвижен, то действующая на него со стороны
динамометра сила F = 2Т (рис. 224). Уравнения движения грузов:
= m2g-T,
Здесь учтено, что ускорения грузов одинаковы, но ускорение второго
груза направлено вниз, а первого - вверх. Исключая из этих уравнений а,
найдем Г = 2m^m2g/(mi + т2). Искомое показание динамометра на осно-
основании третьего закона Ньютона будет
F = 2Т= 4mlm2g/(m] + m2) « 62,7 Н.
У//////////
т2ё ' mg т mg
Рис. 224 Рис. 225
119. Так как масса груза т во много раз меньше массы груза М, то
можно считать, что грузы движутся с ускорением g. Сила натяжения нити
определяется уравнением mg ~ Т - mg; отсюда Т ~ 2mg - 9,8 Н.
120. Согласно решению задачи 118 сила, растягивающая пружину,
Т = 2mim2g/(m] + m2). По закону Гука Т = Щ - /()), где к = F/AI - жесткость
пружины; отсюда
/=/о + 2m]m2gA!/(m1 + m2)F = 17,35 см.
121. t = ^/2Л(т, +m2)/(m2 -mt)g =0,1 с, где /г = 1 м- путь, пройденный
каждой из гирь.
122. №0 = 4hm/{gt2 - 2h) = 10 г.
123. Действующие на тело и груз силы изображены на рис. 225. По
третьему закону Ньютона сила нормального давления груза FH л равна по
модулю силе реакции N тела, на котором он лежит. Уравнения движения
для двух тел и груза запишутся в виде
ma = T- mg, ma = mg — T + N, m{)a = /%i> - N.
Исключая отсюда аи Т, найдем
FH д = N = 2mm0g/Bm + m0) ~ 0,39 H.
228

124. Центр масс грузов, очевидно, будет опускаться. Пусть вначале
центр масс находится в точке Со (рис. 226) на расстоянии bi по вертикали
от первого груза и на расстоянии Ь2 от второго. Величины h\ и Ь2
удовлетворяют условию
= m2b2- A)
B)
За время t второй груз опустится на расстояние
Н = а,/2/2,
а первый поднимется на то же расстояние. Центр масс системы опустится
за это же время на расстояние к, определяемое уравнением
тг(Н + Ь2- Л) = тх{Н
Л).
Рис. 226
Отсюда, учитывая уравнения A) и B), найдем, что в данный момент
времени
т-, + ni
т2
Ускорение я0 определяется системой уравнений, приведенной в задаче
118: /3d = (т2 - nii)gl(m\ + m2). Поэтому
\2 о 2
-Щ gt =at
] + т2 J 2 2
Таким образом, центр масс системы движется равноускоренно с уско-
ускорением
а = (т2 - mtfg/inii + m2J.
125. Считая, что тело массы т\ поднимается, а неподвижный блок
с телом массы т2 опускается, уравнения движения можно записать в виде
(рис. 227)
229

Связь между ускорениями ах и а2 найдем из следующих соображений.
Если первое тело поднимется на высоту h\, то второе тело опустится за
это время на высоту h2 = h\/2. Так как пройденные пути прямо
пропорциональны ускорениям, то отсюда вытекает, что по модулю
а2 = а\Ц. Решая данную систему уравнений, найдем
Т= 3mxm2gl(Am\ + m2) = 1,26 Н,
а, = 2(пг2 - 2m\)glDm\ + пг2) = 5,6 м/с2,
а2 = (т2 — 2w])g/D/W[ + т2) = 2,8 м/с2.
126. Ускорение вдоль наклонной плоскости определяется суммой
проекций сил на данное направление (рис. 228): та = mg sin a —f. Сумма
N
mg
Рис. 228
Рис. 229
Рис. 230
проекции сил на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости,
равна нулю: N - mg cos a = 0. Следовательно, сила трения /= kN =
= kmg cos а. Ускорение
а = g sin а -f/m = #(sin а - к cos а) = 2,45 м/с2.
127. Как видно из решения задачи 126, ускорение тела а =
= g(sin a - к cos а). Согласно условию задачи sin a = hll = 1/2,
cosoc = V/2 - h211= = д/3/2. Время и конечная скорость определяются
кинематически:
t =
2,5 с, v =
8 м/с.
,„_ v 0 Vsin а-к, cos a + Vsin a + к cos a
lz». t = —
g (sin а + к cos oc)Vsin а - к cos а
129. Второй закон Ньютона для движения вдоль наклонной плоскости
запишется в виде (рис. 229) та = mg sin a -/- Т, где sin а = hll, a/= 0,1/и#-
Кинематическое соотношение, определяющее ускорение, имеет вид
а = v2/2l; следовательно,
Т = mgh/l - 0,lmg - mv2f2l « 44,1 H.
130. Для движения тела вдоль наклонной плоскости уравнение
Ньютона имеет вид (рис. 230)
ma = mg sin a + F cos а, или а = g sin а + (F cos a)/m = 10 м/с2.
230

Силу давления на плоскость Fn-n, равную по третьему закону Ньютона
силе реакции плоскости N, можно найти из равенства нулю проекций сил
на направление, перпендикулярное к наклонной плоскости:
mg cos a - F sin а - N = О,
или
FHR = N = mg cos а - F sin а = 277,3 H.
131. Если предположить, что перетягивает груз массы т2,
нения движения грузов запишутся в виде (рис.231) т2а = m2g
гп\а = Т - ni\g. Исключая силу натяжения Т,
найдем проекцию ускорения на направление
движения:
а = (ni2g sin a - mxg)l{m2 + m{) = -0,98 м/с2.
то урав-
уравsin a - Т,
N
Знак минус означает, что движение в дей-
действительности происходит в направлении, об-
обратном тому, которое мы предположили.
132. Уравнения движения грузов для проек-
проекций на направления движения имеют вид
Рис.231
- Го, m2a = Tq — T— m2g(sin а± к cos a),
= Т- m^g(sin <x±k cos а).
Здесь Г0-сила натяжения нити между грузами с массами ту и т2; знак
плюс относится к случаю, когда грузы движутся вверх по наклонной
плоскости, знак минус-к случаю, когда они движутся вниз. Из этих
уравнений находим
- (т2 + тъ) (sin a ± к cos а)
/и, + т2 + тъ
1 + sin а ± к cos а
_
T = m2m3g-
mx+m2+ тт,
Движение вверх по наклонной плоскости (а > 0) возможно при
От] > (т2 + /rc3)(sin а + к cos а), а движение вниз (а < 0) - при
Щ < (т2 + щ)(&ш а — к cos а), tg ot > к Если эти условия не выполняются,
то грузы неподвижны, а сила натяжения Т может принимать различные
значения:
1 + sin a + к cos а
от 0 до m2m3g
-в зависимости от соотношений между m\, m2, т$, к и а и от силы
натяжения нити в начальный момент. Например, при tg ос < к и
Щ < wi2(sin ос + к cos а) грузы на наклонной плоскости можно установить
так, что нить между ними не будет натянута, т.е. Т - О.
231

133. По третьему закону Ньютона сила нормального давления на опору
FH д равна по модулю силе реакции опоры N. Со стороны ящика на шар
могут действовать силы реакции N\ и N2, перпендикулярные к дну и
передней стенке ящика (рис. 232). Уравнение движения шара имеет вид
та = mg sin a - N2. Учитывая, что ускорения шара и ящика одинаковы,
уравнение движения ящика можно записать в виде Ma = Mg sin a + N2, где
Рис. 232
Рис. 233
М - масса ящика. Эти уравнения совместны лишь при N2 = 0. Сила
давления на переднюю стенку ящика F,, д2 = N2 = 0, так как составляющие
сил тяжести, действующих на шар и ящик, сообщают шару и ящику
одинаковые ускорения g sin a.
Сила давления на дно ящика такая же, как и при обычном соскаль-
соскальзывании тела: /v;li = N{ = mg cos a.
134. Силы, действующие на кубик, изображены на рис. 233: /- сила
трения, Л' - сила реакции плоскости, равная по модулю искомой силе
нормального давления FH д на плоскость. Согласно условию задачи кубик
движется вместе с лифтом с ускорением а, направленным вверх. Уравне-
Уравнение движения для вертикального направления имеет вид
та = /Vcos a-mg +/sin a. A)
В горизонтальном направлении ускорение отсутствует. Поэтому сумма
проекций сил на горизонтальное направление равна нулю:
/cos a - N sin a = 0. B)
Из уравненийA)и B)находим
FH д = N = m(g + a) cos a, /= m{g + a) sin a.
Таким образом, наличие у лифта ускорения, направленного вверх,
эквивалентно увеличению ускорения свободного падения на величину а.
Коэффициент трения должен, как и в случае неподвижной наклонной
плоскости, удовлетворять условию к > tg a.
232

135. Проекция силы тяжести, действующей на доску вдоль наклонной
плоскости, равна Mg sin а. Следовательно, при равновесии доски такая же
сила должна действовать на доску в противоположном направлении со
стороны человека. По третьему закону Ньютона на человека со стороны
доски также будет действовать сила реакции, равная Mg sin а и на-
направленная параллельно плоскости вниз (рис. 234; изображены лишь те
Т.
Рис. 234
Рис. 235
составляющие сил, действующих на доску и человека, которые направле-
направлены вдоль наклонной плоскости).
По втором закону Ньютона ускорение человека вдоль наклонной
плоскости определяется суммой проекций сил по этому направлению:
та = mg sin a + Mg sin а. Из этого уравнения найдем, что человек должен
бежать с ускорением а = g sin a(l + Mini), направленным вниз. Напра-
Направление движения самого человека при этом безразлично.
136. Предположим, что при установившемся движении шарик отклонен
от перпендикуляра к наклонной плоскости на угол C (рис. 235). Тогда
второй закон Ньютона для движения шарика вдоль плоскости запишется
в виде
та = mg sin a + Т sin C. A)
Сумма сил, действующих на шарик в перпендикулярном к плоскости
направлении, равна нулю:
mg cos a - Т cos C = 0. B)
Но при установившемся движении все точки тележки, шарик и нить
движутся с одним и тем же ускорением
а = g sin а. Подставляя его в уравнение A),
получим Т sin C = 0. Из уравнения B) видно,
что Т Ф 0; следовательно, C = 0 и нить
перпендикулярна к наклонной плоскости.
Искомая сила натяжения
Т = mg cos a = 9,8 мН.
137. На малый элемент воды Дот, нахо-
находящийся у поверхности, действует сила
реакции AN со стороны дна бака, перпен- _ _,,
дикулярная к поверхности, и сила тяжести
Amg (рис. 236). Для того чтобы поверхность воды в баке была парал-
233

лельна наклонной плоскости, уравнение движения элемента воды должно
иметь вид Ата = Amg sin ос; следовательно, ускорение этого элемента а =
= g sin а. Это ускорение должен иметь весь бак с водой. Уравнение движе-
движения для него запишется в виде
та = mg sin a = mg sin а - kmg cos а + F.
Отсюда находим, что действующая на бак сила F равна по модулю силе
трения: F=f= kmg cos a.
138. При установившемся движении все элементы ведра с водой дви-
движутся по прямым линиям, образующим с горизонтом угол а, как и при
, движении тела по наклонной плоскости.
Следовательно, все элементы воды дви-
движутся с ускорением а = g sin а, которое
сообщается составляющей силы тяжести
вдоль троса. Значит, сила реакции со сто-
стороны дна ведра на воду перпендикулярна к
направлению движения и уравновешивает
составляющую силы тяжести вдоль этого
направления: N = mg cos а (рис. 237).
Рис.237 По условию задачи т = pSh, где S -
площадь дна ведра, ар- плотность воды.
Согласно третьему закону Ньютона сила давления воды на дно ведра FH n
равна силе реакции N со стороны дна. Поэтому давление воды на дно
ведра
p = N/S = pgh cos a.
139. Бревно будет составлять с канатом одну линию в том случае, если
оно не будет касаться земли. В противном случае окажется, что, когда
бревно и канат состарляют одну линию, сумма моментов сил относи-
относительно центра масс бревна отлична от нуля.
Уравнение движения бревна при выполнении условия задачи будет
иметь вид та = Т cos а, где m — масса бревна, Т - сила натяжения каната,
а - угол между бревном и поверхностью земли. По вертикали переме-
перемещения бревна не происходит, поэтому mg = T sin а; отсюда
а = gctgas*g^{b + if -h2 Ih.
§ 5. Закон сохранения импульса
140. F = Ар/At = mvn = 15 H.
141. Так как стенка гладкая, то при столкновении составдяющая им-
импульса мяча вдоль стенки не изменяется (рис. 238; изображены импульсы
мяча перед ударом р\ и после удара pi). Составляющая же, перпенди-
перпендикулярная к стенке, меняет направление. В результате мяч отскакивает
234

под углом ос к стенке. Изменение проекции импульса мяча на направле-
направление, перпендикулярное к стенке, имеет вид
Ар = mv sin a - {-mv sin а) = Imv sin а.
Искомая сила
F = Ар/At = 2(mv sin a)/At = 15 Н.
142. Ар = m(v + ^J2gh) = 1,6 кг ¦ м/с.
143. м = —mv/M = -3,25 м/с. Знак минус показывает, что скорости орудия
и снаряда направлены в противоположные стороны.
144. и = mv]{M + m)~\ м/с.
145. Импульс системы пушка-снаряд вдоль горизонтального на-
направления, равный нулю до выстрела, за время выстрела не изменяется,
так как в этом направлении внешние силы не действуют. В данном случае
mvsma
mv
Рис. 238
Рис. 239
Рис. 240
выстрел произведен под углом а к горизонту, и проекция импульса
снаряда на горизонтальное направление равна mvcos а (рис. 239). По
закону сохранения импульса Ми + mv cos a = 0; отсюда
и = -(mvcos а)/М = -7 м/с.
146./= Ma = m2v 2 /2sM =13,2 кН.
147. Проекция импульса снаряда на горизонтальное направление равна
«if sin а (рис. 240). Закон сохранения импульса для направления вдоль
горизонтали имеет вид
mv sin а-(т + М)и; отсюда и = mv sin а/(т + М)~ 1,25 м/с.
Вертикальная же составляющая импульса снаряда будет передана Земле в
целом.
148. и = ms/Mt = 0,083 м/с.
149. v\ = mvlm\ = 5/7 м/с; v2 = mv/(m2 + т) = 5/9 м/с.
150. s = m2v 2 /2kg(M + тJ = 50 м.
15L w = (Mf - m^2gl sin a cos а) 1{М + т).
152. v = (М - m)^2ghlm =217 м/с.
235

153. В первом случае И\ = (Ми - mv)/(M — т) ~ 6 км/ч, во втором-
и2 = (Ми + mv)l(M -m)~ 12 км/ч.
154. Скорость платформы после падения на нее камня определяется с
помощью закона сохранения импульса: и = Mv/(M + т) = 16 км/ч. Эта ско-
скорость не изменится при выпадении камня через люк, так как при этом не
возникают силы, действующие на платформу в горизонтальном на-
направлении.
155. и, = [(«?i + m2)v - m2v2]/m] =-15 м/с; скорость первого осколка
направлена против скорости движения ядра до разрыва.
156. v = mv2/M ~ 0,2 м/с; v2 = v = 8 м/с.
157. Скорости лодок после перебрасывания грузов определяются с по-
помощью закона сохранения импульса. Груз, брошенный в первую лодку,
будет иметь относительно воды скорость v + и, а груз, брошенный в
третью лодку, приобретает скорость v-u. Импульс системы первая
лодка-груз до попадания груза в лодку равен Mv + m(v + и)- Приравнивая
его импульсу системы после попадания груза в лодку, получим скорость
первой лодки:
Mv +m(v +u) = (M + m)v,, vx =[Mv +m(v +
Для третьей лодки закон сохранения импульса имеет вид
Ми +т(и -и) = (М + т)ьъ, и3 =[Ми +т(и -и)]/(М + т).
Скорость второй лодки не изменится. Действительно, до перебрасывания
грузов импульс лодки с грузом равен (М + 2т)и. Согласно условию он не
изменится после выбрасывания грузов:
(М + 2т)и = Ми2 + т(и + и) + m(v - и): отсюда v2 = v.
158. Если v - скорость человека относительно лодки, аи — скорость
лодки относительно воды, то скорость человека относительно воды будет
равна v + и. По закону сохранения импульса
m(v + и) + Ми = 0; отсюда и/и - -т/(М + т).
Отношение скоростей во время движения остается постоянным. Поэтому
отношение пройденных перемещений будет равно отношению скоростей:
s/l = —ml(M + т), т.е. s = -lml(M + т) = -1 м.
Знак минус показывает, что перемещения человека и лодки противо-
противоположны по направлению.
159. Полная сила, с которой поезд действует на Землю в горизон-
горизонтальном направлении, равна нулю, так как сила тяги постоянна и равна
силе трения. Разрыв состава не изменяет этого факта, ибо сила сопро-
сопротивления движению не зависит по условию от скорости. Следовательно,
сила, действующая в горизонтальном направлении со стороны Земли на
систему поезд-отцепившийся вагон, также равна нулю. Поэтому к систе-
системе можно применить закон сохранения импульса. Удобнее всего это сде-
сделать в системе отсчета, движущейся со скоростью, равной скорости
236

поезда до его разрыва: mv + (М - т)и = 0, где v и и - скорости вагона и
поезда относительно выбранной системы отсчета в произвольный момент
времени; отсюда v/u = —(Л/ - т)/т. Знак минус соответствует тому, что в
нашей системе вагон и поезд движутся в разные стороны. Так как
отношение скоростей постоянно и начальные скорости вагона и поезда
одинаковы, то отношение путей /' и L', пройденных в движущейся системе
координат вагоном и поездом, будет равно отношению скоростей:
Г/L'= (М - т)/т. A)
В момент, когда скорость вагона в движущейся системе координат
станет равной скорости у() поезда до его разрыва, будет выполняться
равенство
s = l' + L'. B)
Пройденное вагоном расстояние /' равно / - расстоянию, которое вагон
проходит до остановки в покоящейся системе координат, так как
ускорение вагона по модулю и время движения вагона одни и те же в
обеих системах (в одной из них скорость изменяется от нуля до v0, а в
другой - от у() до нуля). Решая си-
систему уравнений A) и B), найдем v
I=(M- m)s/M = 480 м. 4^ Щ " "^"С
160. На рис. 241 изображены тра- Я/^л,? ,,\ ,,)¦ , Г,",-,,.
¦п У///////////////.'//////////////////i У//
ектории снаряда и осколков. Разрыв ' Л L
происходит в точке А. лежащей на р 941
высоте h = (v0 sin aJ/2g и находящей-
находящейся на расстоянии / = (vq sin2a)/2^ от места выстрела (см. задачи 56, 57).
Скорость снаряда в этой точке v = ц> cos а. Начальные скорости осколков
снаряда v\ и и2 связаны со скоростью снаряда в этой точке законом
сохранения импульса: Mv = MvJ2 + Mv2/2, где М - масса снаряда.
Начальную скорость первого осколка V\ можно найти по заданному
расстоянию s. Имеем s-I=V\t, где t = д/2/iIg = (и0 sin2а)/g - время по-
полета осколка; отсюда
U| = sg/i\) sin a - Ц) cos а.
Начальная скорость второго осколка
v2 = 2v~ V] = Зщ cos a - sg/v0 sin а.
Искомое расстояние
2t = 2(Vq s\n2a)/g-s.
Данную задачу можно решить и другим способом. Центр масс осколков
движется так, как двигался бы неразорвавшийся снаряд. Осколки падают
на землю одновременно, и центр масс системы в момент падения будет
237

находиться на расстоянии 2/ от места выстрела. Для этого необходимо,
чтобы выполнялось соотношение
MBl - .v)/2 = M(L - 20/2; отсюда L = 4/ - s = 2( у02 sin 2a )/# - 5.
161. Примем за положительные направления осей координат верти-
вертикальное вниз и горизонтальное в сторону полета снаряда (рис. 242). После
разрыва снаряда первый осколок согласно условию имеет только верти-
вертикальную составляющую скорости. Поэтому закон сохранения импульса в
проекциях на горизонтальное направление
имеет вид Mv = Mvlxl2, где М - масса
снаряда, a v2x - модуль составляющей ско-
скорости второго осколка. Так как импульс
снаряда по вертикали перед взрывом равен
нулю: Mviy/2 + Mv2y/2 = О, то вертикальные
'?/////////////////////////////// составляющие скоростей осколков равны
Рис 242 по МОДУЛЮ и направлены в противополож-
противоположные стороны: v2y - -V\r
Запишем также кинематические уравнения движения осколков. Для
первого и второго осколков имеем
h=vlyt0+gt%/2, h = v2yt + gt212, s = v2xt,
где t - время падения второго осколка. Исключив из этих уравнений v[y,
v2y, v2y и t, получим для скорости снаряда перед разрывом квадратное
уравнение:
2/i [ 2 tn ) 8/г
Из двух его корней
4h{ 2 t0) 4h{ 2
решением задачи будет корень, содержащий знак плюс, так как при
нашем выборе положительного направления v > 0. Таким образом,
окончательно имеем v= sgto/4h.
§ 6. Статика
162. Тх =F;T2 = 2F.
163. d = D^]WP/nP0 ~ 36 мм.
164. Действующие на брусок силы изображены на рис. 243:
N — сила реакции стены, / =? kN — сила трения, mg — сила тяжести. При
равновесии N = F и/= mg. Следовательно, kF 3= mg. Минимальная сила
F = mg/к = 490 Н.
238

165. F>kmg. !
166. Действующие на брусок силы изображены на рис. 244: N — сила
реакции плоскости,/=? Ш-сила трения, mg-сила тяжести. При рав-
равновесии суммы проекций сил вдоль наклонной плоскости и в перпен-
перпендикулярном направлении равны нулю:
/- mg sin a = О, F + mg cos а - N = 0;
отсюда F s= mg(sm а- к cos а)/к ~ 32 Н.
167. Действующие на доску силы изображены на рис. 245: N{ и
N2 — силы реакции наклонной плоскости,/] и/2-силы трения, mg-сила
V
' mg
Рис. 243
mg
N
mg
Рис. 244
Рис, 245
тяжести. Равенство нулю суммы моментов сил относительно осей, прохо-
проходящих через нижнюю и верхнюю опоры, дает N\=N2 = (mg cos a)/2.
Равенство нулю суммы проекций сил вдоль наклонной плоскости при-
приводит к уравнению mg sin a =f\ +f2. Скольжение будет отсутствовать при
/i =? k\Ni и/2 =? k2N2. Минимальный угол определяется уравнением
mg sin а = (^| + к2) (mg cos а)/2; отсюда tg a = (к\ + к2)/2.
168. Равенство проекций сил на горизонтальное направление требует
равенства сил натяжения тросов (рис. 246). Для равновесия необходимо,
Рис. 247
чтобы сумма проекций сил на вертикальное направление была равна
нулю:
27cos(a/2) - mg = 0; отсюда Т = mg/2cos(a/2) = 196 Н.
239

169. Г, = Т3 = 98 Н; Т2 = 97,5 Н.
170. Действующие на точку В кронштейна силы изображены на
рис. 247. Стержень АВ растянут с силой Тх, а стержень ВС сжат с силой Т2.
Суммы проекций этих сил вдоль горизонтали и вдоль вертикали равны
нулю, так как точка В находится в равновесии:
Г, - Т2 cos a = О,
mg - Т2 sin а = 0;
отсюда
Т] = mg ctg a = 568 Н,
171. m = -yJm]m2 = 2,9 кг.
172. Равенство моментов сил тяжести относительно оси, проходящей
через точку опоры (рис. 248), приводит к уравнению mgl/5 = Mg(l/2 - 1/5),
где / - длина стержня; отсюда М = 2w?/3 = 0,8 кг.
т Mg
Рис. 248
¦ mg '/,
Рис. 249
173. Относительно оси. проходящей через край платформы, сумма
моментов сил mg и F равна нулю. Так как плечи этих сил в соответствии с
условием задачи одинаковы (рис. 249), то mg = F = 2000 Ниш- 200 кг.
174. Согласно третьему закону Ньютона силы реакции трубы NiuN2
равны по модулю искомым силам давления (рис. 250). Так как сумма сил
должна быть при равновесии равна нулю, то yV,+
+ N2 - nig — 0. Равенство моментов сил относительно оси,
проходящей через точку О (можно было бы выбрать и
N,
lo
Т mg
Рис. 250
//3
mg
О\
/777777777777/
Рис.251
- а) = mgl/2. Решая полученную си-
силюбую другую ось), имеет вид
стему уравнений, найдем
Л/, = mgllKl -а) = 490 Н, N2 = nigil - 2a)/2(l -d) = 294 H.
175. Если верхний конец лестницы немного отошел от стены, то
относительно оси, проходящей через точку О (рис. 251), момент создают
240

только силы F и mg. Равенство моментов этих сил позволяет записать
уравнение
F(/cos ос)/2 - mg{2hm ос)/3 = О,
где / — длина лестницы; отсюда F = {mg tg a)/3.
176. oc = arctg(l/2?).
177. Из равенства суммы сил вдоль вертикали следует (рис. 252), что
N = mg. Уравнение моментов сил относительно оси, проходящей через
точку соприкосновения дощечек, имеет вид
mg{l sin oc)/2 +/Z cos ос = N1 sin а,
где / - длина дощечки; отсюда
f=(N- mg/2)tg a = (N tg a)/2.
Для равновесия необходимо выполнение условия /=? kN; следовательно,
* 3* (tg a)/2.
178. Равенство нулю суммы моментов сил mg и Т (рис. 253) отно-
относительно оси шарнира (точка О) приводит к уравнению
W/2 -Ь2 - mga(^l2 - b1 / /) = О,
где / - длина шнура; отсюда сила натяжения Т = mgall — 6 Н.
179. F = mgjhBr-h) l{r-h).
180. F = mg(r]-r2)/2l = 5H.
181. m2 = {ni\ tg a)/2; равновесие устойчиво.
I
Рис. 254
//////У//////77///////.
Рис. 252
182. Так как стена гладкая, то со стороны стены на шар действует
только сила реакции опоры N, перпендикулярная к стене (рис. 254). Эта
сила по третьему закону Ньютона равна по модулю искомой силе
давления шара на стену. Моменты сил N и mg относительно точки О
равны нулю. Следовательно, сила натяжения Т нити также не создает
момента относительно этой точки. Продолжение нити пройдет через
241

центр масс шара. Условия равновесия для составляющих сил вдоль
горизонтали и вертикали имеют вид
N - Т sin а = 0, mg - Т cos а = 0; отсюда N = mg tg a.
Из треугольника АОВ находим
183. Сумма проекций сил на направление, перпендикулярное к дну
ящика, должна быть равна нулю (рис. 255). Проекции на это направление
V////////////////////////
Рис. 255
V//////////////////////////////////.
Рис. 256
имеют только сила тяжести mg и сила реакции дна ящика Л'. Таким
образом, N = mg cos а. Следовательно, сила трения
f^kmg cos a. A)
Равновесие шара зависит от выполнения этого неравенства. Поэтому
выберем ось, относительно которой будем определять моменты сил так,
чтобы момент силы трения был отличен от нуля, момент же силы
натяжения Т нити обращался бы в нуль (чтобы можно было не вычислять
эту силу). Этому условию удовлетворяет ось, проходящая через точку А
закрепления нити перпендикулярно к плоскости рисунка. Относительно
этой оси плечо силы- трения равно 2г, плечо силы тяжести / = /• sin a, a
плечи сил Т и /V равны нулю (/• - радиус шара). Сумма моментов сил при
равновесии равна нулю:
2;/- mgr sin a = 0; отсюда/= (mg sin oc)/2.
Учитывая неравенство A), найдем, что при равновесии kmg cos a s=
s= (mg sin а)/2; следовательно, максимальный угол а определяется из
условия tg а = 2к.
184. Действующие на верхние концы палочек силы изображены на
рис. 256: /- силы трения, Л' - силы реакции палочек друг на друга. Если L
и / — длины большой и маленькой палочек, то уравнения моментов отно-
относительно осей А и В, проходящих через концы палочек, имеют вид
Mg(L cos oc)/2 = NL, mg(l sin oc)/2 =/?;
отсюда N = (Mg cos oc)/2,/= (mg sin oc)/2. Так как/=? kN, то минимальный
коэффициент трения, при котором система будет находиться в равно-
равновесии, к =flN -mX% aJM.
242

185. Для равновесия необходимо, чтобы равнялись нулю суммы сил,
действующих на стержень, и моментов сил относительно оси, проходя-
проходящей через любую неподвижную точку. Из уравнения Fl + F - F2 = 0 вы-
вытекает, что сила F параллельна силам Ft и F2, направлена вдоль Fj и равна
Точку приложения силы F проще всего найти, если рассмотреть сумму
моментов сил относительно оси, проходящей через эту точку. В этом
случае момент силы F будет равен нулю, а моменты сил F\ и F2 должны
¦
d
0 0
mg
I
\
Рис. 257
Рис. 258
уравновешивать друг друга. Пусть эта точка С расположена на рас-
расстоянии х от точки А и все силы составляют со стержнем угол а. Тогда
уравнение моментов сил будет иметь вид
Fjx sin a + F2(d - х) sin а = 0, или х = F2d/(F2 - F,) = 2,5 м.
Результат не зависит от угла а, за исключением случая а = 0, когда сила F
может быть приложена в любой точке стержня.
186. Сумма моментов сил тяжести относительно оси, проходящей через
центр масс, должна равняться нулю. Если х - расстояние от центра масс
системы С до центра масс стержня (рис. 258), то
+ d/2 +x) + mgx -
d/2 - х) = 0;
отсюда х = [m2(l\ + d) - гп\{1] + d)]/2(ml + т2+ т) = 0,05 м, т.е. центр масс
системы лежит в точке прикрепления большего кубика.
187. Положение центра масс системы заранее не известно. Поэтому
можно предположить, что он находится в произвольной точке С стержня,
не совпадающей с центром ни одного из шаров (рис. 259). Сумма момен-
моментов сил относительно оси, проходящей через центр масс С системы,
должна быть равна нулю:
mxgBd + x) + n^gid + x) + m3gx - m4g(d - х) = 0;
отсюда х = (/и4 — m-i— 2m{)dl(m\ + т2 + т$ + т^) = -5 см. Знак минус озна-
означает, что центр масс системы лежит не справа от центра третьего шара,
как мы предположили, а слева на расстоянии 5 см.
243

188. Расстояние от центра масс системы до середины медной проволоки
х = л/3р,//2Bр1+р2) = 16,3 м.
189. Для того чтобы цилиндр не опрокинулся, необходимо, чтобы
момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку А
(рис. 260), поворачивал цилиндр против часовой стрелки. Следовательно,
вертикальная прямая, проведенная через центр масс цилиндра, должна
проходить через основание цилиндра. По условию задачи сечение
к d >
m,g ^
d
1
< d ,\
1
m^g
mg
Рис. 259
Рис. 260
цилиндра представляет собой квадрат, поэтому искомое максимальное
значение угла a,™* = 45°.
190. х = h2/(d + 2h) = 4,5 см.
191. hlr = л/273.
192. На рис. 261 изображены силы, создающие отличный от нуля
момент относительно оси, проходящей через точку А. Плечи сил ni\g и
m2g равны ВС = 3(г sin ос)/8 и ED = г cos a. Сумма моментов этих сил равна
нулю:
г sin a)/8 - ту cos a = 0; отсюда tg a =
193. При определении положения центра масс диск с вырезом фор-
формально можно рассматривать как сплошной диск массы ni\, на который
наложен диск радиуса г, имеющий отрицательную массу -ш2, равную по
О
Рис. 261
Рис. 262
модулю массе вырезанной части. Из соображений симметрии очевидно,
что центр масс диска (точка С на рис. 262) лежит на продолжении прямой
О А, соединяющей центры диска и выреза. Равенство моментов сил
244

тяжести, действующих на положительную и отрицательную массы,
относительно оси, проходящей через точку С, дает (х = ОС)
= m2g{x + R/2).
Учитывая, что т\ - %R2<3 и т2 = тсг2о, где о" - масса единицы площади
диска, находим искомое расстояние: х = r2R/2(R2-r2).
194. Из соображений симметрии очевидно, что в вершинах, соот-
соответствующих равным углам, на плиту со стороны несущих ее людей
V////////////////////////////
mg
Рис. 263
действуют одинаковые силы, т.е. N2 = /V3. Центр масс треугольника лежит
на пересечении его медиан (точка С на рис. 263). Равенство нулю суммы
моментов сил относительно оси 00', проходящей через центр масс плиты
параллельно основанию BD, дает
N2/;/3 + М,Л/3 - 2ЛУ?/3 = 0.
Здесь учтено, что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на
основание, совпадает с медианой, а точка пересечения медиан отстоит от
основания треугольника на 1/3 длины медианы.
Из этого уравнения следует, что N, = N2 = N3. Так как при равно-
равновесии сумма сил, действующих на плиту, равна нулю, то N] +
+ N2 + N3 — mg = 0, т.е.
N^=N2 = N3 = mg/3 = ahdpg/6 = 176,4 H.
Согласно третьему закону Ньютона силы Nb N2n N3 равны по модулю
искомым силам.
195./ = ^^^17,ЗсМ.
2л/3 т2
196. Стержень остается в горизонтальном положении, если удлинения
пружин одинаковы. В этом случае на стержень со стороны пружин будут
действовать силы F, = кхх nF2 = к2х, где х - удлинение пружины (рис. 264).
Точка О прикрепления груза определяется равенством моментов сил F, и
F2 относительно оси, проходящей через эту точку: F^a = F2(d - а), где а —
расстояние от точки О до пружины с жесткостью к\\ отсюда искомое
расстояние а = dk-JQix + к2) = 0,6 м.
245

197. A/ = 3mgl/2ni^E = 0,38 мм.
198. Действующие на точку D силы изображены на рис. 265: mg - сила
тяжести, действующая на груз, N — силы реакции стержней друг на друга,
сжимающие стержни. Из соображений симметрии очевидно, что стержни
AD и BD сжаты одинаково. Спроецировав силы на направление высоты
DE пирамиды ABCD и приравняв нулю сумму проекций сил, получим
уравнение Т cos а - 2/V cos а = 0, где а - угол между любым из ребер
с
mg
Рис. 265
\'mg
F
Рис. 266
пирамиды и ее высотой DE (равенство углов между ребрами пирамиды и
высотой DE вытекает из равенства прямоугольных треугольников CDE,
ADE и BDE).
Теперь найдем проекции всех сил на вертикальную плоскость,
перпендикулярную к высоте DE (рис. 266). Имеем Т„ = Т sin a, /V,, =
= /V sin а, где sin а = СЕ/1. Угол C, равный углу AEF, определяется
соотношением cos C = (/г - СЕ)/АЕ = (h — CE)/CE. Сумма проекций всех сил
на вертикаль CF равна нулю.
mg -Tsma~2N sin a cos p = 0.
Учитывая, что Т = 2/V, и подставляя выражения для углов а и C, получим
T=lmglh,N=lmgl2h.
§ 7. Закон сохранения энергии
199. /2 = 4/, = 60 см.
200. F = m(v2- Ц)) /2d = -25 кН; знак минус указывает на то, что сила F
направлена против скорости пули.
201. v = ^j(vo+uJ-2Fd/m - и.
202. s = п?2у212{гп] + miI kg = 50 м.
203. Работа силы F равна приращению кинетической энергии:
Fx = К, где х — расстояние, пройденное телом за время t. Так как
ускорение тела а = Flm постоянно, то х = Ft2/ 2m. Следовательно,
К = (FtJ/ m = 0,05 Дж.
246

204. F = mv21 2s = 960 кН; сила торможения должна увеличиться
в два раза.
205. А = (т + M)mv2l2M = 38,4 Дж.
206. W = mv3/4l = 160 кВт.
207. В 4 раза.
208. W = 4s2m/fi = 200 кВт.
210. a = Wlmgv -k~0,007 рад.
211. V, = W/pghr\ = 103 м3/с.
212. W = mghlr\t = 20 кВт.
213. a = arcsin {Wlmgv) ~ 17°.
214. W = {mgl sina) / r\t = 3,46 кВт.
215. v з» ^4~gl= 1,98 м/с.
216. Потенциальная энергия шарика, отклоненного на угол а,
U = mgh, где h = DC (рис. 267). Очевидно, что DC = BD - ВС =
= /A - cosa) = / • 2sin2 (а/2). Следовательно, U = 2mgl sin2 (a/2). Макси-
Максимальную скорость маятник будет иметь в положении D, когда вся
потенциальная энергия его превратится в кинетическую: 2mgl sin2 (a/2) =
= mv212; отсюда скорость v=24glsm (a/2).
2l7.v = ^jvl-2gh.
218. К = mg2t2/2stn2 a = 58 Дж.
219. К = mg2t2 /4 = 480 Дж.
221. A = mvl/2 - mv2/2 = 4987,5 Дж. Д
222. p = mg2t2 /2шР1 - 61 кПа.
223. h = v2/4g = 61,25 m.
224. К = h{F - mg) = 98 Дж.
225. F = m[v2 + 2g{H + h)] /2h « 26,9 кН. Рис. 267
226. Если принять за нулевой уровень потенциаль-
потенциальную энергию груза на уровне головки сваи, то его энергия в момент удара
будет равна полной энергии груза в тот момент, когда груз был отпущен:
Е = mv]/2 = mgH + ти2/2 = 22,5 к%ж, A)
где и ] — скорость груза непосредственно перед ударом.
Ввиду кратковременности удара сила сопротивления грунта не может
за время удара заметно изменить импульс системы. Так как удар
неупругий, то
mVi = {m + M)v2, B)
где v 2 - скорость груза и сваи после удара. Разность конечной энергии
груза и сваи (потенциальной энергии на глубине h) и их начальной
247

энергии (кинетической энергии сразу после удара) равна работе силы
сопротивления грунта:
(m + M)gh - (т + M)im,/2 = Fh. C)
Из соотношений A)-C) найдем
h = m\2gH + v2)/2g(m + M)(mg + Mg-F) = -0,6 м.
Здесь F > mg + Mg. В противном случае (F < mg + Mg) свая безостановочно
погружалась бы в грунт, даже если бы груз был помещен на нее без
всякого удара, а при F > Mg погружение сваи происходило бы и в
отсутствие груза.
Время между двумя последовательными ударами будет не меньше
r = H/v + v/g
Частота ударов не должна превышать
п = 6Qvg/(Hg + v2 + v^2gH+v2 ) ~ 13 mar1.
227. А = mgh + mv\l2 - тщп ~ 81 МДж.
228. а = 60°.
229. h = (vо sin aJ/2g + m 2v2/2M2g.
230. K=U = mg212/8 = 5 Дж.
231. и = 4^[2gh/3 = 16,2 м/с.
232. h=v2l2g{l+kctga).
233. s = h(l—k ctg a)/k. При к > tg а санки останутся на месте.
234. U3-U2 = mg!; U2-Ux= mgl/2; U3 -U}= 3mgl/2.
235. A = S pgh2/2 = 1,96 МДж.
236. Пусть потенциальная энергия цепочки, лежащей на столе, равна
нулю. Тогда в момент, когда будет свешиваться часть цепочки, имеющая
длину х, ее потенциальная энергия будет равна произведению силы
тяжести mgxll, действующей на свешивающуюся часть, и расстояния -х/2
(цепочка однородна, и центр масс свешивающейся части находится на
расстоянии х/2 ниже края стола). Здесь т - масса цепочки. На основании
закона сохранения энергии имеем (пренебрегая потенциальной энергией
части цепочки, свешивающейся в начальный момент)
mv2/2-mgx2/2l = 0; отсюда и = xyg/l.
237. Центр масс воды в колодце находится на расстоянии ЗЛ/4 от
поверхности земли. Поэтому на подъем воды из колодца затрачивается
работа
ЗА „АЗА 3pgSh2
А, = mg— = pgS = -1-2 ,
1 4 К 2 4 8
где р - плотность воды. Кроме того, насос сообщает воде некоторую
кинетическую энергию, так как из трубы вода вытекает с определенной
248

скоростью v, которую можно найти из соотношения Sh/2 = nR2 vt.
Дополнительная работа
A2 = mv2/2 = pS3h3116n2R4t2.
Полная работа
A = 3 pgSh2/8 + pS3h31 \6%2RAt2.
238. К = m2u2/2(m + M) = 1,8 мДж.
239. Согласно закону сохранения импульса mv0 = mv + Ми, где vtmi -
скорости пули и шара в первый момент после пробивания шара пулей.
Закон сохранения энергии дает два уравнения:
mgh = mv2 / 2, MgH = Ми2/ 2.
Исключая из этих уравнений и и и, найдем
h = (ти0 - М 4lgHJ12m2g.
240. К = ти2/10 = 0,2 Ц,ж.
241. U = kmgAl.
242. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
m2 v'2
m2v\l 2 = mxv'2 12 +m2v'\l2,
где v | и v 2 - скорости шаров после соударения. Для решения этой си-
системы уравнений удобно в обоих уравнениях по одну сторону знака равен-
равенства объединить величины, относящиеся к первому шару, а по другую -
ко второму, после чего разделить второе уравнение на первое. В резуль-
результате получится уравнение первой степени: и] + v\ =v2 + v\. Решая это
уравнение совместно с первым, получим
(ш, -m2)vi +2m2u2 (m2-ml)v2+2mlu]
v\ = , v'2 = .
ш, + т2 те, + т2
243. t = 211 v.
244. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем
ти = Mv, mgh = тем2/2 + Mv212,
где и и v — скорости бруска и клина после того, как брусок соскользнет на
горизонтальную плоскость. Решение этих уравнений дает
v = ту 2gh/(m + М)М.
245. При абсолютно упругом соударении двух одинаковых шаров про-
происходит обмен скоростями. Движущийся шар останавливается, а поко-
покоящийся приобретает его скорость. Это непосредственно вытекает из
249

выражений для скоростей шаров после соударения, полученных в
задаче 242:
(m, -m2)vx +2m2v2 (m2-ml)v2+2m]v,
vx = , v'2 =
те + m
, 2
+ m2 W| + m2
При wi = m2 и v2 = 0 будем иметь v\ =0, ai^ =v\. Поэтому после ряда
последовательных соударений все шары будут покоиться, кроме
последнего шара, который приобретет скорость у= 10 м/с.
246. Шар А получит скорость и = -uq/5, а шары В и С — скорости
и = о
247. В момент соударения на маленькие шары действуют силы, направ-
направленные вдоль прямых, соединяющих их центры с
центром большого шара. Поэтому после соударения
их движение происходит по этим прямым. Ввиду
симметрии их скорости одинаковы по модулю и
составляют с направлением движения большого шара
одинаковые углы а (рис. 268). Большой же шар
сохраняет свое направление движения.
Запишем закон сохранения импульса для проек-
проекций на направление движения большого шара и закон сохранения
энергии:
Mv{) = Ми + 2mucos ос, A)
Mvp Ми2 2ти2
2 2 2
где Мит- массы большого и маленького шаров, a v и и - их скорости
после соударения. Преобразуем выражения A) к виду
M(vq — и) = 2mu cos а, М(щ — и2) = 2mu2. B)
Возведем первое из уравнений B) в квадрат и поделим на второе:
M(vo-v)/(vo+ v) = 2mcos2a. C)
При делении отброшен случай v= vq, когда скорость большого шара не
изменяется, т.е. соударения не происходит. Из уравнения C) имеем
и = vo(M - 2т cos2 а.) I {М + 2т cos2 a).
Рассматривая треугольник ВАС, получим cos2 a = 8/9. Учитывая также,
что М = %т, находим окончательно и = Tvq/1 1.
248. После соударения второй шар со скоростью и будет двигаться по
прямой, соединяющей центры шаров в момент соударения (см. задачу
247), а первый - со скоростью v под углом а к ней (рис. 269). Запишем
закон сохранения импульса для проекций на направления, параллельное
250

этой прямой и перпендикулярное к ней, а также закон сохранения
энергии:
mug cos ot() = ти cos a + ти,
i sin ot() = ти sin а, A)
B)
тио/2 = mv2l2 + тем2/2,
где т - масса каждого шара. Сократим
уравнения A) на от, возведем каждое из них в
квадрат и сложим:
иа = и2 + 2uu cos а + и2.
C)
г>о
Рис. 269
Сократив B) на т/2 и вычтя полученное
выражение из C), получим 2ии cos a = 0;
отсюда имеем cos а = 0, т.е. а = я/2.
249. Пусть скорость второго шара до удара v j > 0. Тогда скорость
второго шара до удара v2 < 0. Учитывая знаки У|ИУ2, найдем из формул,
полученных в задаче 242, скорости первого и второго шаров после удара:
v, =
-m2)vx +2m2u2
т, + да,
v2 =
(т2 -от, )v
т,
Так как wj > m2, iov'2 > 0 в любом случае. Для выполнения требования
и\ > 0 необходимо, чтобы
(mi -m2)v\ >2m2v2, №VLmi/m2- I >2v2/v].
A)
С другой стороны, согласно условию задачи
.2 „. ..2
'2 _
у7 I |га,
, или —- = —
и 1 к\ т0
Следовательно,
те,
отсюда
Так как после учета знаков скоростей везде подразумеваются их модули,
то из A) следует, что ymi/m2 > 0. Поэтому решение неравенства со
знаком минус следует отбросить. Таким образом,
Учитывая, что т.\ > т2, из формулы A) имеем
B)
\lk. C)
Из неравенств B) и C) следует взять неравенство B), как более сильное
(числитель в правой его части больше к, и, следовательно, правая часть
больше 1/к). При к = 4/3 получим v2lv\ > 3/2.
251

250. h = Aim] /(m, + m2J = 12,5 см.
251. Шарики соударяются на высоте h = Зц)/8#; первый шарик подни-
поднимается на высоту Н = Ц)/2#.
252. Полная энергия в первый момент после взрыва
2 2
Е = (пц + m2)gh + п\\ Ун/2 + m2v2fJ2,
где v к) и у 20 - скорости осколков в этот момент. Так как взрыв протекал
очень быстро, то импульсом силы тяжести за время взрыва можно
пренебречь и для нахождения соотношения между скоростями осколков в
первый момент после взрыва можно применить закон сохранения импуль-
импульса: т^и 1() + Шг^го - 0. Решая систему этих двух уравнений, найдем
т2 Е - (от, + т2 )gh _ пц Е~{тх +m2)gh
v10 Jz > у20 лг •
у иг, /и, + ш2 у т2 ш,
Искомые скорости осколков будут
и 1 = ^ ю - ?' = -164 м/с, V2=V2a-gt~ 245 м/с.
§ 8. Динамика вращательного движения
M-JZgl - mv
253. а = 2 arccos
254. я >—J— =0,16 об/с.
255. г = ^Э- =
256. /t= v2/Rg~ 0,2.
257. И = 2n2R2m(nl - п]) = 15,8 Дж.
258. F/mg = ю2?>/2? = 40.
259. В вершине петли на пилота действуют сила тяжести mg и сила
реакции N со стороны кресла, направленная вниз (рис. 270а), или со
стороны ремней, направленная вверх (рис. 2705). Эти силы сообщают
необходимое для вращения центростремительное ускорение. Следова-
Следовательно, в общем случае
mv2 /R = mg + N.
При достаточно большой скорости самолета mv2/R > mg и /V > 0, т.е. N
направлена в ту же сторону, что и сила тяжести, и, следовательно, пилот
будет прижат к креслу (рис. 270а). При mv21R = mg пилот переста-
перестает давить на кресло. Наконец, при настолько малой скорости, что
mv2/R < mg, сила N < 0. В этом случае пилот повисает на ремнях и сила iV
252

будет направлена вверх (рис. 2706). Таким образом, минимальная ско-
скорость определяется неравенством v2/R s? g; отсюда v з* V#)? =180 км/ч.
260. х =? 2ir{Ug = 3,14 с.
261. F = Bя«J (/,«, - 12т2).
262. Силы, действующие на автомобиль вдоль радиуса моста, изобра-
изображены на рис. 271: mg - сила тяжести, N - сила реакции моста. По третьему
закону Ньютона искомая сила давления F равна по модулю силе реакции
Рис. 270
моста /V. Согласно второму закону Ньютона центростремительное уско-
ускорение автомобиля определяется суммой сил, действующих на него вдоль
радиуса окружности, по которой он движется:
mv21R = mg -N;
отсюда F — N = mg - mv2/R = 7,8 кН.
2
Сила давления на мост станет равной нулю при mvm\n /R = mg.
Следовательно, vmin = \gR ~ 80 км/ч. При скорости, превышающей umin,
автомобиль не будет оказывать давление на мост.
Рис. 271
263. В отличие от задачи 262, здесь к центру окружности, по кото-
которой происходит движение автомобиля, направлена сила реакции моста N,
а не сила тяжести mg (рис. 272). Согласно второму закону Ньютона
mv21R = N - mg. Искомая сила
F = N = mg + mv2/R « 21,6 кН.
253

264. Вдоль радиуса моста на автомобиль действуют сила реакции моста
N и проекция силы тяжести mg cos а (рис. 273). Согласно второму закону
Ньютона искомая сила
F - N = mg cos a- mu2/R.
Она достигнет максимума при а = 0.
265. Максимальная сила давления на мост будет в верхней точке моста
(см. задачу 264). Минимально допустимую скорость v можно найти из
У/////////////,
выражения mg - F = ти2 /R, где т - масса грузовика. Следовательно,
должно выполняться неравенство и з» ~4R(mg-F)lm. Радиус кривизны
моста определяется из треугольника АСО (рис. 274). По теореме
Пифагора R2 - dP-IA + (R - hJ\ отсюда радиус кривизны R - (Ah2 + S)l%h. С
учетом этого получим, что v s» 40,6 км/ч.
266. Искомую скорость можно найти с помощью закона сохранения
энергии. Если за нулевой уровень потенциальной энергии принять гори-
горизонтальную плоскость, проходящую через точку О, то начальная энер-
энергия грузов будет равна нулю. Поэтому будет равна нулю и полная
конечная энергия грузов в тот момент, когда стержень займет верти-
вертикальное положение. Обозначив через т массу каждого из малых грузов,
будем иметь
ти тBи) 2ти
-mg--mgl+2mg- =
(здесь учтено, что скорость малого груза на конце стержня вдвое больше
скорости среднего груза); отсюда v = -JgUl.
267. Действующие на систему человек-трапеция силы изображены на
рис. 275. Так как в нижней точке траектории человек имеет ускоре-
ускорение v2/l, направленное вверх, то согласно второму закону Ньютона
mv
= 2Т — mg; отсюда Т —
mv
--2- «500H.
2
254

268. Максимальнуюсилу натяжения нить имеет в момент, когда шарик
проходит через положение равновесия. Именно в этой точке скорость
шарика максимальна, а сила натяжения направлена против силы тяжести
(рис. 276). По второму закону Ньютона mi/2// = Т - mg, где / - длина нити, а
Т— ее сила натяжения. Скорость и шарика найдем из закона сохранения
энергии: mu2/2 = mgl. Исключая из этих двух уравнений и, имеем Т = 3mg.
In
Рис. 276
' mg
Рис. 277
269. Уравнения движения для грузика в верхней и нижней точках
траектории запишутся в виде (рис. 277)
mco2/ = mg + Т\, отсо2/ = Т2- mg,
где со = 2пп - угловая скорость вращения; отсюда
Тг =
+ mg ** 31,75 Н.
270. а) Т2-Тх = 2mg; б) Т2-Т\ = 6mg; здесь Г, и Т2 - силы натяжения
штанги при положении тела вверху и внизу.
271. Второй закон Ньютона в момент, когда шарик проходит поло-
положение равновесия, можно записать в виде mv2ll = Т — mg (рис.278).
Скорость шарика в нижней точке траектории можно найти из за-
закона сохранения энергии: mv2l2 = mgl{\ -cosа). Нить оборвется, если
Т > 2mg. Следовательно, cos а < 1/2, т.е. а > 60°.
272. cos а = 1 - (/ - а)(Т - mg)/2mgl.
273. ni\lm2 = 3, так как ось должна проходить через
центр масс системы.
274. со = ^gl(R-h).
275. Груз массы тх должен находиться на расстоянии
х2 = m2l/(mi + т2) от оси вращения; 7'= тхт2Шг1(тх + т2).
276. Мальчик движется в горизонтальной плоскости по
окружности радиуса R = / sin а, где а - угол между канатом
и вертикалью (рис. 279). Центростремительной силой,
действующей на мальчика, является проекция F = Т sin а силы натяже-
натяжения Т каната на направление радиуса (проекция силы тяжести, действую-
255

щей на мальчика, на это направление равна нулю). Учитывая, это угловая
скорость мальчика со = 2пп, запишем второй закон Ньютона для движения
по окружности:
mw2R = F, или 4n2n2ml sin a = T sin а;
отсюда Т = 4n2n2ml « 355 Н.
277. Центростремительной силой, действующей на камень, является
проекция F = Т sin а силы натяжения веревки Т на направление радиуса
Гссксс,
Рис. 279
Рис. 280
(рис. 279), где а-угол, который веревка составляет с вертикалью. Вто-
Второй закон Ньютона для движения камня по окружности радиуса R будет
иметь вид
m&2R = T sin a, A)
где со = 2тс/х - угловая скорость камня, am- его масса. Так как в вер-
вертикальном направлении ускорения у камня нет, то проекции на верти-
вертикаль сил, действующих на него, равны по модулю и противоположны по
знаку, т.е.
Т cos а = mg. B)
Разделив A) и B), получим tg a = (tJR/g. Учитывая, что R = h tg а и, следо-
следовательно, co2ft/g = 1, получим со = -sjg I h и х = 2n^h/ g = 2,25 с.
278. Т = mgS (см. задачи 276 и 277).
279. На шарик действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т
нити (рис. 280). Движение его относительно Земли складывается из дви-
движения по вертикали вместе с лифтом и обращения вокруг оси АО.
Запишем второй закон Ньютона для проекций на вертикальное на-
направление и на направление радиуса ОВ окружности, описываемой
шариком:
ma = mg-T cos a, ma>2l sin а = Т sin а,
256

где со - угловая скорость шарика, т — его масса. Исключая из этих уравне-
уравнений Т, получим со2/ = (g - a)/cos а; отсюда
x = 2л / со = 2n^jlcosa/(g-a).
?sn / Bnnfml-F
zeO. /n = x g.
Bnn)z(mg-Fcosa)
281. Силы, действующие на шар, изобра-
изображены на рис. 281: Г-сила натяжения нити,
mg - сила тяжести (центр окружности, по кото-
которой движется вагон, справа от вагона). Центро-
Центростремительной силой для шара является про-
проекция силы натяжения Т на направление ра-
радиуса (проекция силы тяжести на это напра-
направление равна нулю). Второй закон Ньютона
для движения по окружности в этом случае
можно записать в виде mv2/R = T sin а. В вертикальном направлении
ускорения у шара нет; поэтому проекции на вертикаль сил, действующих
на шар, равны по модулю и противоположны по направлению, т.е.
mg = Г cos а. Разделив первое уравнение на второе, получим
Рис. 281
и ~ I Rg = tg a, откуда и =.
112 км/ч.
N
Сила натяжения нити Т= mg/cos a ~ 137 Н.
282. Пока тело не покинуло поверхность полусферы, на него, кроме
силы тяжести mg, действует еще сила реакции опоры N (рис. 282). Второй
закон Ньютона для движения по полусфере имеет вид
mil 2/R = mg cos a - N,
т.е. произведение массы тела на центростремительное ускорение равно
сумме проекций на радиус полусферы сил, действующих на тело (угол a
определяет положение тела на полусфере).
В момент, когда сила реакции опоры N
делается равной нулю, тело отрывается от
полусферы. Соответствующий угол а находим
из уравнения mv2/R = mg cos a. Используя
закон сохранения энергии, можно записать
mgR = mv2/2 + mgR cos a.
Рис. 282
Следовательно, 2A - cos a) = cos a; отсюда
cos a = 2/3. Искомая высота h = R cos a = 2RI3.
283. Согласно третьему закону Ньютона сила давления F колечка на
большое кольцо равна по модулю силе реакции N со стороны большого
кольца: F = N = mg{\ - ЗА//?). При h < R/3 сила давления колечка напра-
направлена к центру большого кольца, а при А > /?/3 - от центра.
77777777777777777777777777777/
257

284. Тело отрывается от поверхности петли в точке В (рис. 283), когда
сила реакции со стороны поверхности петли становится равной нулю и
центростремительной силой является проекция
mg cos а силы тяжести mg на радиус. Следова-
Следовательно, как и в задаче 282, здесь должны вы-
выполняться второй закон Ньютона и закон сохра-
сохранения энергии:
mv2/R = mg cos a, mgH{) = mv2/2 + mgh.
В
Рис. 283
Учитывая, что h=R{\ + cos а), из этих уравне-
уравнений находим, что cos а = 2/3, т.е. h = 5R/3.
Чтобы тело не оторвалось от петли в ее верхней точке, когда ос = 0 и
h = 2R. исходные уравнения должны иметь вид
mv 2/R = mg, mgH = mv 2/2 + 2mgR.
Из этих уравнений получим Н = 5R/2.
285. На велосипедиста и велосипед действуют: сила тяжести mg, сила
реакции поверхности земли N и сила трения/(рис. 284) Так как центр
масс не перемещается по вертикали, то N - mg = 0. Необходимое для
Рис. 284
Рис. 285
движения по окружности центростремительное ускорение сообщается
силой трения: mv2/R =/. Массу системы велосипедист-велосипед будем
считать сосредоточенной в центре масс. Тогда направление результи-
результирующей силы N +/совпадает с направлением вдоль велосипеда к центру
масс системы велосипедист-велосипед. Поэтому /= /V ctg a = mgctgtt.
Подставляя это значение/в уравнение движения, найдем и = *JgRctgct.
286. Силы, действующие на велосипед с велосипедистом, изображены
на рис. 285. Так как можно считать, что момент сил относительно центра
масс велосипеда с велосипедистом равен нулю, то сила трения от-
отсутствует. Равенство нулю суммы проекций сил на вертикальное на-
направление дает уравнение N cos a = mg, откуда N = mg/cos а. По третьему
закону Ньютона с такой же по модулю силой велосипед будет давить на
дорогу.
258

Центростремительное ускорение сообщается проекцией силы реакции
полотна дороги N на горизонтальное направление:
ти2 /R = /Vsinoc = mgtga; отсюда v = ^JRgtga.
.a = arctg(Rg/u2).
§ 9. Закон всемирного тяготения
288. F = 2 • 1020 Н.
289. Человек прыгает на Луне в 6 раз выше и дальше, чем на Земле.
290. v = д/ Rng/6 ~ 1,7 км/с.
291. На mg/4.
292. gn=g"M^\ =1,65 м/с2.
293. gc = gRc рс//?зРз ^ 270 м/с2.
294. А=ти2/2= mgR/2 = 16 ГДж.
295. T =
m =l,57-106c.
296. p = 3u2rc/4nyR2 = 0,5 • 103 кг/м\
297. T = 2n
+ H . Учитывая, что g ~ уиг3//?з, и пре-
небрегая квадратом и кубом отношения /г/Л3, найдем Т
3 ч 58 мин.
км.
300. Т = 2лд//"л /gfl3 = 27 сут.
301. На тело, подвешенное к динамометру, действуют сила тяжести mg
и сила натяжения Т пружины динамометра (рис. 286). Обе силы на-
направлены вдоль радиуса планеты. На экваторе тело
движется по окружности со скоростью v = 2nR/x, где
R - радиус планеты. Разность сил mg - Т сообщает телу
центростремительное ускорение. Согласно второму
закону Ньютона
mv2IR= 4n2mRI%2 = mg-T.
По условию задачи Т = 0,9mg. Сила тяжести у *"
поверхности планеты mg = my MIR2, где М - ее масса. Рис. 286
259

м
Искомую плотность р = з— можно найти, подставив в уравнение
A%R /3
движения выражения для сил mg и Т: р = Зтс/ОДут2 = 3,03 • 103 кг/м3.
§ 10. Гидро- и аэромеханика
302. Не изменится.
303. р = ро?DУ/тс?>2 - И) = 1,2 кПа.
304. h = R.
305. Давление (в мм рт. ст.) вычисляют по формуле р = Ро~ р(^/р> где
р = 13,6 • 103 кг/м3 - плотность ртути, а / выражено в миллиметрах. Иско-
Искомое давление р = 752,6 мм рт. ст.
306. Давление в любой точке сосуда с жидкостью согласно закону
Паскаля зависит только от высоты. На границе раздела масла с водой у
открытого конца сосуда давление воды будет ргр = р() + p^gH. С другой
стороны разность давлений масла внутри сосуда между точкой А и
границей раздела масла с водой определяется высотой столба масла:
ргр — р = pgh; отсюда р = р0 + k(PqH - ph) = 120,6 кПа.
307. /|0 = р/г/ро = 18 см.
308. Л = 2ро//Cр - р0).
309. h = (m + p0V)/2pS.
310. F =fh/H = 10 кН.
311. S/s = mghn/A = 490.
312. Искомое давление р = р^/ц + pgh2, где 1ц и h2 - высоты столбов
воды и ртути (рис. 287). Согласно условию задачи
Н = h\ + h2 и pahxS = ph2S, где S - площадь попереч-
поперечного сечения сосуда. Решив полученную систему
И уравнений, найдем/? = 2p0pgH/(p0 + р) = 26,1 кПа.
313. m = р0рй5/(р0 - р) = 3,6 кг.
314. У, ^ (р2 - Po)Vty(po - р,) = 1,7 м3.
Рис- 287 m p - рп
315. h = —-—— = -2,5 см (уровень понизится).
s РРо
= (p2-Pi)(/?//'K + Pi.
317. m = (po - р) • %D2l/4 « 74 кг.
318. Р = РаA + рв/р) = 1472,205 Н.
319. р = р„/У(Л, - Л)) «* 2,5 ¦ 103 кг/м3.
320. рж = (Р~Р*)ро = о, 7 • 103 кг/м3, р = -^Р-й- = 9 • 103 кг/м3.
' ~ 'о "~ 'о
321. Т = gS[pl - ро(/ -1/4)] « 440 Н.
260

322. V = [/>„(р - Ро) - Л)(Р - Рб)]/вР(Ро ~ Рб) = 10 см3.
323. т = темA - р/рм) + Vp « 881,08 г.
324. те, = 296 г; т2 = 1204 г.
325. Сохранится.
326. р = 2ро?A - к/2) = 0,36 • 103 кг/м3.
Bр-р0) = 1,58.
/, Ът
328. Равенство моментов сил, изображенных на рис. 288, относительно
оси рычага (точки О) позволяет записать уравнение Mgl] - Fl{ = mgl2, где
О
mg1
Рис. 288
Рис. 289
Mg = pgP и F = ро#2/3/3 - сила тяжести и выталкивающая сила, дей-
действующие на куб, mg — сила тяжести, действующая на гирю, р - плотность
вещества куба. Так как свободно плавающий куб погружен в воду на 3/4
своего объема, то р = Зр()/4. Подставив выражения для сил mg и F и
плотности р в исходное уравнение, получим / = \J4ml2 /poA ^4 см.
329. После того как коробочку опустили в сосуд, объем содержимого
сосуда, находящегося ниже уровня воды, включая теперь и подводную
часть коробочки, увеличился на величину SI, где S - площадь поперечного
сечения сосуда. Но так как объем воды в сосуде не изменился, то
увеличение объема, как раз равно объему подводной части коробочки,
т.е. объему вытесненной ею воды.
Объем коробочки V можно найти из равенства силы тяжести и вы-
выталкивающей силы, действующих на коробочку: Vpg — Slpog. Если бы
коробочка сразу утонула, то уровень воды в сосуде поднялся бы на
величину х, которую можно найти из равенства Sx = V = poSl/p. При
потоплении коробочки уровень воды опустится на величину I — х =
= /A-ро/р)« 1,74 см.
330. После того как на первый куб положен второй, первый куб
погружается в ртуть еще на 0,3 части своего объема. Следовательно,
плотность материала второго куба рк = 0,Зр = 4,08 • 103 кг/м3. Равновесие
будет неустойчивым, так как при отклонении кубов от положения
равновесия возникает момент сил, еще больше наклоняющий систему
(рис. 289, где Mg - сила тяжести, действующая на систему кубов,
261

F - выталкивающая сила, точка приложения которой при нарушении
равновесия смещена относительно оси 00).
331. На куб вдоль вертикали действуют три силы (рис. 290): сила
тяжести Mg = pg/3, сила давления на верхнюю грань F\ = P]g(h -x)l2
и сила давления на нижнюю грань F2 = [p\gh + Р2#С ~ ХЖ2- При равно-
равновесии F] + pgl3-F2 = 0; отсюда р/ — р,д- = р2/-р2х. В верхней жидкости
находится часть куба, имеющая объем Vx = / 2х. Следовательно, в верхней
жидкости находится часть объема, равная VII3 = х/l. Как вытекает из
полученого уравнения, х/l = (р2 - р)/(р2 - Pi)-
/г,
—
-
—
JMg
— А —
Рис. 290
Рис.29!
332. Погруженная в ртуть часть объема куба равна 1 - Зр/4(р - ро) =
= 0,19.
334. а = g/2 = 4,9 м/с2.
335. y^
(p-pr)(fl + g) 3
336. А = g(p - p{))hV = 73,5 кДж.
337. AU = m[>h(p]/p2 - 1) = -0,49 Дж (потенциальная энергия умень-
уменьшилась).
338. AU = (ткРро - m)gh ~ 265 Дж (потенциальная энергия увеличилась).
З39.й = (р()-р)///р=9см.
340. На малый элемент воды Am у поверхности действуют сила реакции
AN со стороны дна сосуда, перпендикулярная к поверхности, и сила
тяжести Amg (рис. 291). Сумма этих сил должна быть горизонтальна, так
как элемент вместе с сосудом движется, имея горизонтальное ускорение
а. По второму закону Ньютона Ата = Amg tg а; отсюда tg a = alg.
341. h = V,2/2gS2 =5м.
342. Импульс FAt силы, действующей на стенку, равен по модулю
изменению импульса струи воды за время At, так как по третьему закону
Ньютона силы взаимодействия стенки и струи равны. За время At через
сечение трубки протечет масса воды т = p$Sv At. Согласно условию
задачи конечная скорость воды в горизонтальном направлении равна
нулю. Поэтому за время At импульс струи воды изменится на
Ар = ти = p^Si/At. Следовательно, F = PqSi/ = 40 Н.
262

343. Удобнее решать задачу, считая катер неподвижным, а воду -
движущейся относительно него со скоростью и. Тогда вода в трубке
поднимется вверх, приобретая некоторый запас потенциальной энергии за
счет кинетической энергии жидкости, поступающей в нижний конец
трубки. Закон сохранения энергии для единицы объема жидкости будет
иметь вид P()f2/2 = p^gh; отсюда h = i//2g = 1,3 м.
344. v ~ -\J2gh ~ 4,4 м/с (см. задачу 343).
345. F = 2pghS = 2pS, где р - давление у дна. Вода действует на стенку с
отверстием с силой на 2pS меньшей, чем на противоположную стенку, а
не на pS, как могло бы показаться на
первый взгляд. Это связано с уменьше-
уменьшением давления на стенку с отверстием
вследствие большей скорости течения
воды у этой стенки.
346. Пусть за время At поршень пере-
мДг
vAt
мещается на расстояние uAt (рис. 292),
где и - скорость поршня. Тогда сила F ис' ~
совершит за это время работу А = FuAt. За время At вытекает масса
жидкости т = pSuAt. Поэтому изменение кинетической энергии жидкости
равно pSuAt(v2/2 - и2/2). Это изменение произошло за счет работы
внешней силы F. Следовательно,
pSuAt(v2/2 - и2/2) = FuAt.
Скорость истечения жидкости и связана со скоростью поршня и соот-
соотношением Su = su. Исключая из двух последних уравнений и, найдем
Sp{\-s2/S2)'
Если, как обычно, s =? S, то и -J2F / Sp.
§ 11. Колебания и волны
n%Al ri\Al
347. 1Х = —y-—% = 9 см; 12 = —? т = ^5 см.
щ —п2 пх — п2
348. T^
349. T=
350. 5 раз.
351. Возрастает в 1,0000093 раза.
352. Увеличится примерно в 2,4 раза (см. задачу 292).
353. На поверхности Земли маятник длины / за время t совершит
= iITq колебаний, причем Т^ = 2n^l I g0, где g0 - ускорение свободного
263

падения у поверхности Земли. На высоте h над Землей часы отстанут на
время At = n(T-T()), где Т= 2к^1I g — период колебаний маятника на
высоте h, a g - ускорение свободного падения на этой высоте. Используя
формулу mg = mgo/(l + Л2//?3), связывающую силу тяжести mg на высоте /?
с силой тяжести т#0 У поверхности Земли, найдем g/g0 = R3 /(/?3 + hJ, где
/?з - радиус Земли. Отношение периодов TQ/T = ^jg/ g0 = R3 /(/?3 + /г);
отсюда Т = T{)(R3 + /г)//?з, Т — Т() = Toh/R. Таким образом, за время t часы
отстанут на время At = Tonh/R3 = th/R3. При t = 1 сут = 86 400 с отставание
составит At = 2,7 с.
354. U = mg2(l - cos a)/4n2v2 = 2,9 мДж.
355. По отношению к стенкам лифта, движущегося с ускорением я,
тела, неподвижные относительно Земли, будут иметь ускорение, на-
направленное против ускорения лифта. Это эквивалентно изменению
ускорения свободного падения. Оно, можно сказать, будет равно не g, a
g ± а в зависимости от направления ускорения лифта. Именно так можно
истолковать результаты, полученные при решении задач 95, 96, 98-100.
Таким образом, в лифте, движущемся с ускорением а, маятник длины /
имеет период колебаний Т = 2n^ll{g + a), причем знак плюс под корнем
соответствует ускорению, направленному вверх, а знак минус - уско-
ускорению, направленному вниз. Направление же движения лифта (направле-
(направление его скорости) на период колебаний никакого влияния не оказывает.
Период колебаний маятника в лифте согласно условию задачи уве-
увеличился: он совершил п = 100 колебаний за время t = 2 мин 30 с = 150 с, а
не за время t = 100 с. Следовательно, ускорение свободного падения тел в
лифте относительно его стенок равно g - а, а сам лифт имеет ускорение,
направленное вниз. Период колебаний маятника в движущемся лифте
Т = 2n^Jl(g-a) = 11п. В том же случае, когда лифт неподвижен отно-
относительно Земли, маятник имеет период То -2n^l/g = 1 с. Отношение
периодов
отсюда a = g\\ ^~\~ 5,4 м/с2.
у 1г )
356. Ускорение свободного падения относительно вагона складывается
векторно из вертикально направленного ускорения свободного падения g
относительно Земли и дополнительного ускорения а, направленного гори-
горизонтально, которое имеют относительно стенок вагона тела, неподвиж-
неподвижные относительно Земли (см. задачу 355). Поэтому маятник в вагоне
будет иметь период колебаний Т=
357. T = 2n^3RI2g (см. задачу 355).
358. .V = vt/2 = 660 м.
264

359. и = sv/(s - v At) = 5100 м/с.
360. щ = v + gh/lv = 349,8 м/с.
361. Длина волны в первом опыте X = l/п, где п - число длин волн,
укладывающихся на расстоянии /. Во втором опыте Х&6 = 1/(п — 2).
До повышения температуры скорость звука v — vX = Vl/n, а после по-
повышения Уде = vA-де = v//(n - 2). Так как п = vl/v, то им = vlv/(vl - 2v).
Скорость звука возрастает по линейному закону: уде = v{\ + аЛ9), где
а = @,5/330) К. Подставляя в данное выражение значение уде, получим
/ = 2уA + аДе)МхДе « 450 м.
362. v =Х/Т= 1435 м/с.
363. v = и/4/= 812 Гц.
364. ф = 2я/2=180°.
365. v = vfk = 425 Гц.
366. При распространении волн частота колебаний не изменяется при
переходе из одной среды в другую. Так как v = v/X, то v^ - 2v2.
367. Так как при переходе из одной среды в другую частота колебаний
не изменяется, то Х^/Х2 = vjvj = 4,35.
368. Камертон без резонаторного ящика звучит гораздо слабее, чем с
ящиком, и, следовательно, теряет меньше энергии в единицу времени на
излучение звуковых волн. Поэтому камертон, зажатый в тисках, будет
звучать дольше.
369. Звучание камертона усиливается в тот момент, когда частота
собственных колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой
колебаний камертона. Собственные колебания воздушного столба в
сосуде соответствуют установлению в нем стоячей волны такой длины X,
что у нижнего конца образуется узел смещения частиц воздуха, а у
верхнего - пучность. Таким образом, в свободной части трубы h
укладывается Х/4, ЗА/4, 5V4 и т.д., т.е. в общем случае Bк + 1)V4 = h, где
к — целое число. Напомним, что в стоячей волне между двумя узлами
укладывается половина длины волны.
Так как частота колебаний в звуковой волне v = и/Х, то соответст-
соответствующая некоторому значению к частота камертона v = Bк + l)v/4h. По
условию задачи частота имеет вполне определенное значение. Поэтому
различным высотам воздушного столба h\ и h2 должны соответство-
соответствовать два значения к, отличающиеся на единицу: к{=пик2 = п+1, причем
должно выполняться условие Bк\ +
+ 1)у/4й] = B&2 + 1)ь/4/12; отсюда, полагая
п = 0, найдем kj = 0 и к2 = 1. Следовательно,
V = и/4 А, = 3v/4h2 = 340 Гц.
370. V! = у/4/ = 85 Гц; v2 = v3 = и/21 =
= 170Гц- Рис 293
371. Частота звука зависит от скорости
движения источника (эффект Доплера). При неподвижном источнике
(точка So на рис. 293) за время, равное периоду колебаний Т, колебание
265

распространится на расстояние, равное длине волны ^0 = иТ. Если же
источник (S на рис. 293) движется со скоростью и, то за время Т он
пройдет в направлении распространения волны путь иТ, и колебание
распространится за это время на расстояние X = Xq - иТ = (и - и)Т. При
удаляющемся источнике X = {и + и)Т. Таким образом, частота колебаний,
воспринимаемых ухом неподвижного человека от движущегося источника
звука, v = и/Х = vX(J{v + и). Это выражение можно упростить, если и <§ v.
Для этого умножим числитель и знаменатель на (v ± и) и пренебрежем
членом и2 по сравнению с и2. Тогда v =v()(l ± u/v). Знаку плюс соот-
соответствует приближение источника, а знаку минус- удаление.
Согласно условию задачи v < v(), и, следовательно, теплоход удаляется
от берега. Искомая скорость и = иA - v/v()) = 4,25 м/с.
Глава II
ТЕПЛОТА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
§ 12. Тепловое расширение твердых тел и жидкостей
372. Стержни при нагревании на величину Af будут иметь длины
/[' = /| + ф]Af и 1'г = /г + 'гРг^• ^° условию 1'2 -1[ = /2 - /j. Следовательно,
/]//2 = Рг/Pi- Так как коэффициент линейного расширения зависит от
температуры, то найденное условие удовлетворяет поставленному
требованию для интервалов температур, в которых можно считать, что
Рг/Pi - const.
373. Зазор при понижении температуры ниже О °С увеличивается.
Следовательно, размер зазора должен определяться только максимальной
температурой нагревания выше О °С. Для моста на юге L, - L(l =
= L()(if i = 50 мм, для моста на севере L2 - Ln = L$t2 = 20 мм.
374. Af = /?/300f} = 100 °С.
375. f, = 10ж~/оа0 =83,4°С; и= ^ °'л = 27,8°С.
'оаРа-^ОжРж ' ЩА ~ '()жРж)
376. V - V'(l + a,Af, + a2Af2 + a3At3) = 1001 см3, где Af, = 3 °С,
Af2 = 6 °С, Af3 = 5 °С.
377. Для интервала температур f] =? t =? f2 коэффициент объемного
расширения жидкости a = (Н - h)/(ht2 - Ht{).
378. Если V() - объем шарика с ртутью при температуре f0, то при
температуре t = 100 °С шарик и канал до деления 100 °С будут иметь
объем (Уо + V)(l + ЗРО- Этот объем равен объему ртути УоA + at) при той
же температуре; отсюда
У„ = V(l + 3P0/(a - зр> = V/(a - 3P)f« 191 мм3.
266

379. При указанных размерах сосуда и шара и при объеме налитой
воды Vq = 500 см3 шар находится целиком под водой; поэтому
ДА = 4(ocV0 + 3pV)(f2 - ЦIпсР- = 0,37 см.
380. При нагревании объем сосуда увеличился на ДУ, = Vx • 3C,At,
объем латунного цилиндра V2 = т2/р2 увеличился на AV2 =
= (m2/p2) • Зр2Дг, объем воды V = V, - V2 изменился на AV = (У, - V2)ocAr.
Так как уровень воды в сосуде не изменился, то AV, - AV2 = AV; отсюда
а = 3(P,VlP2 - р2т2)/(У,р2 - m2) = -3,79 ¦ 10 Кг1.
Значение а получилось отрицательным, т.е. нагревание происходило при
температуре между 0 и 4 °С.
381. Ар = psaAt(V- hS)/S(l + aAt) = 2,24 кПа.
§ 13. Количество теплоты.
Коэффициент полезного действия
382. с.л = ст(в - t{)l[m2(t2 - 0) - иг, F - г,)] = 2 кДж/(кг ¦ К).
383. 0 = (црсУ+ cKmMRTw)TI(\ipcV + cMmMRT).
384. Температура смеси 9 = -19 °С: для нагревания смеси до t = 6 °С
необходимо количество теплоты Q = 1,3 МДж.
385. Сс = c[m2(t2 - 9) - m,(f, - 9)]/(r, -12) = 140 Дж/К.
386. Термометр при погружении в воду получил количество теплоты
Q = CT(?i - t2). Это количество теплоты отдано ему водой; следовательно,
Q = тс(в - ?,); отсюда 9 = CT(/i - h)/mc + г, = 32,5 °С.
387. В единицу времени терялось количество теплоты Q,r =
= 161,3 Дж/с.
388. Можно представить себе следующие случаи: 1) весь лед растает, и
температура смеси будет выше f0 = 0 °С; 2) вся вода замерзнет, и
температура смеси будет ниже to\ 3) температура смеси будет равна /(), и
часть льда растает.
При охлаждении до fy вода отдает количество теплоты Q, =
= mc(t — ?о) = 42 кДж, в то время как при нагревании до ?() лед поглощает
количество теплоты Q2 = »глсл(г() - tn) = 420 кДж. Так как Q2> Q\, то могут
осуществляться лишь случаи 2) или 3) Если вся вода замерзнет, то она
отдаст еще количество теплоты Qj = mr = 660 кДж. Так как Q3 + Q\ > бг>
то возможен лишь случай 3); следовательно, температура смеси
0 = ?о = 0 °С. Составив для этого случая уравнение теплового баланса:
mc(t - 9) + тхг = тлсл(в - tn),
найдем массу замерзшей воды тх:
тх = [тлс„(в - tn) - mc{t - &)]/r = 1,145 кг.
267

Таким образом, массы находящихся в сосуде при температуре
9 = О °С воды и льда будут равны т - тх и тл + тх, а их объемы V] =
= (т- тх)/р, У2 = (т„ + тх)/ря. Общий объем смеси
У = у, + у2 = (т - тх)/р + (тл + тх)/рл = 7,54 дм3.
389. Количество теплоты, полученное льдом при нагревании от
температуры tn до t0 = О °С, равно тлсл1л. Количество теплоты, необхо-
необходимое для плавления льда, равно тлг. Количество теплоты, полученное
водой, образовавшейся из льда, при нагревании от tQ = О °С до темпе-
температуры 9, равно тлс&. Количество теплоты, отданное теплой водой при
остывании от температуры t до температуры 9, равно (pV— mn)c(t — 9), где
(pV— /ил) - масса теплой воды. Составляем уравнение теплового баланса:
/илслгл + тлг + /илс9 = (pV - m»)c(t - 9);
отсюда тл = pVc(t - 9)/(г + сл?л + ci) ~ 30 кг.
390. mn = rnc(t-t0)^mr+mcn(tQ-Q) ^Q „ _ ^ ,о = 0 „с
391. Т = Т,ш - BQ - mr)l2mc = 273 К.
392. с = г То/[(?2 - r,)t - (fim - t2yto] = 0,23 кДж/(кг ¦ К).
393. Количества теплоты: для нагревания льда до to = O°C-Ql -
= mncn(t() - ?л) = 0,21 МДж; для плавления льда - Q2 = пглг = 3,3 МДж; для
нагревания воды до t = 100 °С - Q3 = mnc(t-10) = 4,2 МДж; для испарения
воды - Q4 = игл^- - 23 МДж. Сравнивая эти количества теплоты с коли-
количеством теплоты Q, видим, что
т.е. весь лед превратится в воду с температурой t = 100 °С и лишь часть
воды массы тл - т превратится в пар. На превращение в пар этой массы
воды потребуется количество теплоты Qs - (тл - т)Х. Таким образом,
количество теплоты, сообщенное содержимому сосуда, Q = Qi + Q2 + Qj +
+ Q5. Подставив сюда найденные выше выражения и решив полученное
уравнение относительно т, найдем
т = —— [А, + сл (t0 —
X
394. h = [ma(k + c.dQ - 2pVct\l2pnabr = 0,4 см.
395. В сосуде происходит выделение количества теплоты Q\ при
конденсации пара и Q2 при охлаждении воды, образовавшейся из этого
пара, от температуры t = 100 °С до температуры смеси 0. В то же время
происходит поглощение количества теплоты ??з при плавлении льда и Qa
при нагревании воды, бывшей ранее в сосуде и образовавшейся при
плавлении льда, от температуры ?о = 0 °С до температуры смеси 9.
Максимальное количество выделенной теплоты (когда весь пар скон-
сконденсируется, а образовавшаяся при этом вода охладится до t0 = 0 °С)
268

Q\ + Qi - '"Д + mnc(t - t0) ~ 18 кДж равно количеству теплоты
<2з = "»лг = 18 кДж, поглощенному льдом, когда он весь расплавится.
Таким образом, Q^ = 0, и в сосуде будет только вода при температуре
0 = ^ = О °С.
396. Испарившаяся вода имеет массу т - тл. На ее испарение требуется
количество теплоты Q = (т- тл)Х. При быстром откачивании теплота от
окружающих тел не успевает передаваться воде. Поэтому все это коли-
количество теплоты получается при образовании льда, т.е. Q = тлг. Следо-
Следовательно, (т - тл)Х = т„г и тл = тХ/(г + X) - 35 г.
397. М = т{г + Х)/г = 22,7 г (см. задачу 396).
398. Количество теплоты, необходимое для испарения эфира, отдается
водой и эфиром при их охлаждении до температуры /0 = О °С и водой при
замерзании. Таким образом,
m.Jk - тэсэA - tQ) + mc(t - f0) + mr;
отсюда m = тэ[Х - c.^t - /0)]/[/" + c(t -10)] = 82 r.
399. Количество теплоты, необходимое для нагревания воды, отни-
отнимается у воды при превращении ее в лед, т.е.
mc(tn - 0 = т„г; отсюда тл = mc(tn - t)/r = 124 г.
400. Предположим, что при нагревании температура содержимого
колбы увеличилась на AT. До нагревания вода имела объем У, = mxlpx, a
ртуть - У2 = т2/р2- Плотность воды после нагревания р = Р]/A +
+ OCjAT). Объем вытекшей воды
V = m/p = m(l + а,ДГ)/р,.
При нагревании объем воды увеличился на AV} =а11/|Д7, а объем
ртути - на AV2 = а2У2АГ. Так как колба была заполнена до краев, то
Д1/] + ДК2 = Д^- Повышение температуры ДТ найдем из уравнения
Q = (гп\С] + /м2с2)ДГ. В результате имеем
a, =—^~[m(m1cl+mzc2)-alQ(rnl -m)] = 1,7-10^ К.
?mQ
401. Масса латуни m = Vopo = Vp, где р = ро/A + 3fk) - плотность латуни
до погружения в сосуд, когда кусок латуни имел температуру t; отсюда
V = (/и/р())A + ЗрО- Для определения начальной температуры латуни t
составим уравнение теплового баланса: теплота, затраченная на плавле-
плавление льда, получена за счет охлаждения латуни, т.е. шлг = mc{t - ta), откуда
t = т„г/тс. Следовательно,
V=(m/po)(l + Ъ$тяг1тс) = 51,2 см3.
402. Количество теплоты, выделяющееся при сгорании топлива
в единицу времени, Qx = mxq. Из этого количества теплоты за то же
время превращается в полезную работу лишь часть N = QTr\, где
269

Л = (Г, - Т2IТ] - наибольший КПД двигателя {Т, = /,- + 273 К; / = 1, 2).
Следовательно, полезная мощность, развиваемая этим двигателем, не
может превышать
/V = mxq(T: - 72)/Г, = 263 кВт.
403. Максимально возможные КПД двигателя и паровой машины
•Л, = (Г2 - Т)/Т2 и л2 = G*1 - Л/7*1 (где Г,- = г,- + 273 К; / = 1, 2). Отношение
КПД двигателя и паровой машины равно г|,/г|2 = (Т2 - T)TJ{TX - Т)Т2 = 2.
404. Расход топлива на единицу длины пути ms = N/q r\v = 5 кг/км.
405. g = Ns/mvr\ = 46 МДж/г.
406. Условие движения спутника по орбите Mu2/R = Л/g может быть
выполнено, если спутнику сообщена кинетическая энергия W = Ми2/2. Эта
энергия получается путем превращения тепловой энергии Q = qm, выде-
выделяющейся при сгорании керосина, в механическую энергию, т.е. W = Q.
Совместное решение этих уравнений дает m = MgRI2q ~ 670 кг.
407. ц = (Ns/pVQv) ¦ 100 % = 32 %.
408. Г) = [Vpc(t2 - tx)INx] ¦ 100 % = 52 %, где t2= 100 °С - температура
кипения воды.
409. В окружающее пространство за время т отдается количество
теплоты Qo - mc{t - tu) + mi\ отнятое у воды при ее охлаждении и превра-
превращении в лед, а также превращенная в теплоту в процессе работы холо-
холодильника энергия W, полученная от электросети. Всего за время X отда-
отдается количество теплоты QXX = Q{) + W. Мощность, потребляемая холо-
холодильником.
Вт.
410. Q = та2х2/2 = 225 МДж.
411. v = л/4с(Т„л -T) + Ar- 2gh = 388 м/с.
412. Так как движение равномерное, то сила натяжения веревки F
равна сумме проекций на направление наклонной плоскости силы тяже-
тяжести и силы трения: F = mg(sin a + к cos а). При подъеме тела на высоту h
оно проходит вдоль наклонной плоскости расстояние / = hi sin а. При
этом совершается работа А = FI, которая идет на увеличение потенциаль-
потенциальной энергии тела (кинетическая энергия не изменяется) и на нагревание
бруска и доски, т.е. А = mgh + W; отсюда W - kmgh ctg a.
413. б = mgl sin а - mv2 / 2 = 100 Дж.
414. п = N/pSl = 2 об/с.
415. Из закона сохранения импульса находим скорость куба после
пролета сквозь него пули: и = (m/M)(vi - u2). Энергия, превратившаяся в
тепло, равна разности кинетической энергии пули перед попаданием в куб
mi/]2 /2 и кинетической энергии куба и пули Mv2 /2 + mv2/2 после про-
прохождения пули сквозь куб. Следовательно,
,„ >nv\ (Ми2 mu,2 I m[ 2
W = —!— + —— \ = —\ vf у,
' J 2| М
m[ 2
= —\ vf
2|_
270

416. Согласно закону сохранения импульса скорость совмест-
совместного движения шаров после абсолютно неупругого удара
и = {щу\ - гп2^2I{щ + тг)- Далее из закона сохранения энергии следует
| тгу\ (mx+m2)v2 ^т]т2(и] + ^2
2 2 2 2{т{+т2)
§ 14. Законы идеального газа и уравнение состояния
417. См. рис. 294-296.
418. Согласно закону Бойля-Мариотта Ро^о = pV; отсюда
= pQV0/p = 0,02 м3.
Р
О
О
зг, г
Рис. 294
Рис. 295
о
Т, ЗГ, Т
Рис. 296
419. /?, = V2A/?/(V| - V2) = 12 кПа.
420. p = (F cos a)/S + pQ = 110 кПа.
421. M = \mRT-\iVp{)\ /\lVpg = 2,9 см.
422. Давление р внутри цилиндра без груза на поршне определя-
определяется из условия равновесия поршня (рис. 297): pS cos a = mg + PqSq, где
S = Sq/ cos а - площадь внутренней скошенной поверх-
поверхности поршня; отсюда р = mg/So + pq. Давление р' внутри
цилиндра, когда на поршне лежит груз, определяется ана-
аналогично: р' = (mg + Mg)/S0 + р0. По закону Бойля-
Мариотта pV = p'V\ где согласно условию задачи V = V/2.
Из этих уравнений получим М = PqSq/ g + m = 26 кг.
423. F = ponr2l/(l ~ A/) « 46 H.
424. Давление воздуха рх внутри трубки, обращенной
открытым концом вверх, равно сумме атмосферного
давления р0 и давления столбика ртути pgh: p\ = pq + pgh.
Объем воздуха в трубке V{ = SI, где S - площадь попе-
поперечного сечения трубки (рис. 298). Когда трубка повернута
открытым концом вниз, то атмосферное давление р0
271

уравновешивается давлением воздуха внутри трубки р2 и давлением
столбика оставшейся в ней ртути pgh/2: Po=P2 +pgh/2, или Р2=Ро~ pgh/2.
Объем воздуха в этом случае V2 = S(L - Л/2). Используя закон Бойля-
Мариотта р\ V] ~ pfli, найдем
l=(p0-pgh/2KL-h/2)
Ра + Pgh
425. В обоих концах трубки воздух первоначально занимал объем
V = S(L - h)/2, где S - площадь поперечного сечения трубки, и имел давле-
h
1
I
L
I
1
и
Щ
Рис. 298
Рис. 299
Рис. 300
ние р. Когда трубку поставили вертикально (рис. 299), объем воздуха в
верхней части трубки стал V\ = S[(L - /i)/2 + /], а давление стало р\; в ниж-
нижней части трубки объем стал V2 = S[(L - /i)/2 - /], а давление стало рав-
равным Р2- Согласно закону Бойля-Мариотта для верхней части трубки
pV = p\Vu откуда (L - h) p - (L-h + 2l)px;
для нижней части трубки
pV = P2V2, откуда (L-h)p = (L-h-2Г)р2.
A)
B)
С другой стороны, столбик ртути находится в равновесии, когда
давление воздуха в нижней части трубки равно сумме давлений воздуха в
верхней части трубки и столбика ртути, т.е.
Pi=P\+pgh- C)
Исключив р\ и/?2 из уравнений A)-C), найдем
р = pgh[(L - hJ - 4P]/4l(L -h) = 50 кПа.
426. Давление воздуха в трубке до ее погружения в ртуть р\ = р(), а
объем его V\ = SL, где S — площадь поперечного сечения трубки. После
погружения трубки в ртуть давление воздуха в ней стало Р2~ Ро + Pgh, a
272

объем его
или
V2 = S(h + l) (рис. 300). По закону Бойля-Мариотта р\ Vi = р2V2,
= (Ро + pgA) (A + /); отсюда / = poL/(p() + pgA) - А = -38 см,
т.е. запаянный конец трубки должен находиться на расстоянии
/ = 38 см от поверхности ртути в сосуде.
427. / = Lpo/2(p() + pgh) - А = -57 см (рис. 301).
428. До вдвигания поршня объем воздуха в цилиндре V) = ?]/], а его
давление рх = р0. При вдвинутом поршне объем воздуха в трубке V2 = S2h,
а его давление р2 = ро + pgh (рис. 302). Согласно закону Бойля-Мариотта
P\V\ =/'2^2. ИЛИ
= (po+pgA)S2A;
отсюда Н = \Щ
2gp \{2gp) pgS2
Перед корнем следует взять знак плюс, так как величину h мы считаем
положительной (с увеличением h давление р2 увеличивается). Подставив в
то же уравнение h = 12и решив его относительно S\, найдем минимальную
площадь поперечного сечения цилиндра:
429. До подъема поршня объем воздуха в трубке Vn = SlQ, где
S — площадь поперечного сечения трубки, а давление воздуха равно pq.
h ¦-
SB
Рис. 301
Рис. 302
Рис. 303
После подъема поршня на высоту / ртуть в трубке поднимется на высоту
А над уровнем ртути в сосуде (рис. 303). Объем воздуха в трубке станет
V = S(l — А), а его давлениер = ро— pgh, т.е. А = (pq -p)/pg. Согласно закону
Бойля-Мариотта Ро^о = pV* или Ро^'о = pS(l - А). Учитывая выражение
для А, имеем роР?'о = P(pgl-Pn + р)\ отсюда
273

Так как давление воздуха в трубке не может быть отрицательным,
то перед корнем следует взять знак плюс. В результате получим
р= 11,6 кПа.
430. Объем воздуха в трубке до ее погружения Vo = SIq (S - поперечное
сечение трубки), а давление воздуха в ней равно р$. Если нижний конец
трубки погружен на глубину Н (рис. 304), то
объем воздуха в ней V = SI, а уровень воды
внутри трубки находится на расстоянии Н -
- (/о - /) от поверхности моря. При этом давле-
давление воздуха в трубке будет равно р = р() +
+ pg(H - /() + /). По закону Бойля-Мариотта
p0V0 = pV, т.е.
Рис. 304
отсюда Н = (р0 + pgl) (/0 - l)/pgl ~ 41,6 м.
431. Давление воздуха на дне водоема
Pi - Ро + Р$Н' на глубине h - р2 = Ро + pgh.
Объем пузырька на глубине h равен и - 4%гъ1Ъ.
Согласно закону Бойля-Мариотта
p1V= р2и, или О0 +pgH)V = (р0 + pghLnP 13;
отсюда г = 3/3(p0+pg//)V747tO0+pg/0.
432. r2 = г, л]р0Т2 /(р0 + p0g/iOj « 1,37 см (см. задачу 431).
433. к = v/ V = РоДро + Р.?'1) = 0,19, где V - объем лодки, v - объем
лодки, свободный от воды.
434. Н = ро(К, - V2)A///V1Ap0 = 1,38 км.
435. Начальный объем воздуха под поршнями V = SH, где S - площадь
поперечного сечения сосудов. Конечный объем воздуха под закреплен-
закрепленным поршнем V, = S(H + HIT) = 3SH/2, а
под подвижным поршнем V2 = S(H +
+ h- HIT) = S(h + H)I2) (рис. 305). Конечные
давления под ними равны р\ и р2. Разность
этих давлений определяется разностью
уровней жидкости в сосудах; рх - р2 = pgH.
Согласно закону Бойля-Мариотта для со-
сосуда с закрепленным поршнем
Рис- ЗО5 pV = р,У,, или рН = Зр]Я/2; отсюда р, = 2р/3.
Следовательно, р2 = Р\- pgH = 2р13 - pgH. Согласно закону Бойля-Ма-
Бойля-Мариотта для сосуда с подвижным поршнем
pV = p2V2, или ph
отсюда h = {Ар +3pgH)HI2Bp - 3pgH).
274

436. Начальный объем воздуха в запаянном колене Vq = Sh (S — пло-
площадь поперечного сечения этого колена), а давление в нем равно р0.
После выпускания части ртути объем воздуха в этом колене стал
V = S(h + Aj), а давление в нем р = р0 - pg(h2 - h\) (рис. 306). Согласно
закону Бойля-Мариотта
Povo = Pv> или Poh = [Po - 9sVh - A,
отсюда А2 = А][ро + р#(й + h\)]/pg(h +h{) = 53 см.
437. Перед засасыванием воздух занимает объем
баллона V и имеет давление /?]. В конце засасывания
объем, занимаемый воздухом, состоит из объема бал-
баллона и объема засасывающей камеры: V + v, давление
при этом становится равным р2. Согласно закону
Бойля-Мариотта p\V = pj(V + и), илир\1р2 = (V + v)/V.
По условию задачи Р\1рг = п. Следовательно, v = Рис.306
= \/(л-1) = 0,8л.
438. Перед засасыванием воздух занимает объем баллона V, а давление
его равно р. В конце первого засасывания объем воздуха складывается из
объема баллона и объема засасывающей камеры: V + и, а давление его
становится равным р\. Согласно закону Бойля-Мариотта pV =¦ P\(V + v),
откуда
Р] = pv/(V + v).
При втором цикле роль начального давления будет играть р\, поэтому
p2=P]V/(V+ v)=p[V/(V+ и)]2.
При третьем цикле начальное давление будет р2; следовательно,
рг=ргуцу+ v) = p[V/(V+ v)f,
и т.д. Ясно, что после п циклов давление будет
pn=p[V/(V+ и)]", или Pn/p = [V/(V+ v)]n.
Логарифмируя, найдем
\g(Pn/p0) = n\g[V/(V+ v)],
или n = \g(pn/p0)/\g[V/(V+ v)].
439. Объем воздуха при давлении р, необходимый в единицу времени
для работы п молотков, равен nvx. По закону Бойля—Мариотта р\Vx = pnvx;
отсюда п = PqVx/pux = 20.
440. В конце каждого засасывания воздух при атмосферном давлении
Ро занимает объем и засасывающей камеры насоса. В мяче этот воздух
занимает объем V и имеет парциальное давление р, которое можно найти
из закона Бойля-Мариотта; р = vpo/V. После п качаний давление р„ в мя-
мяче будет равно сумме парциальных давлений: р„ = пр = пир0/ V = 0,2 МПа.
275

441. Парциальное давление одной порции воздуха можно найти при
помощи закона Бойля-Мариотта (см. задачу 440): р\ = vpo/V, где
и = nd2h/4 - объем воздуха, засасываемый при одном цикле работы
насоса. Сумма парциальных давлений всех порций воздуха, добавляемых в
камеру за п циклов работы насоса, будет пр\ = ncPhnpo/AV. Сложив эту
величину с начальным давлением в камере р0, найдем конечное давление:
р = ncPhnpn/W + pn; отсюда число циклов работы насоса, необходимых
для получения давления р в камере,
n = 4V(p-po)nd2hpo.
Время накачивания камеры
t = nx = 4V(p-po)x/Tid2hpU =46 с.
442. После соединения сосудов воздух, находившийся в каждом из них,
распределится по объему V\ + V2 двух сосудов. Для воздуха, находивше-
находившегося в первом сосуде, согласно закону Бойля-Мариотта р\У\ = p\(V\ + V2);
для воздуха, находившегося во втором сосуде, p2V2 = р'2(У\ + V2), где р\
и р'2 - парциальные давления. Складывая эти равенства, получим
P\V\ + Рг^2 = (р'\ + р'г)(У\ + V^). По закону Дальтона установившееся
давление р — р\+ p'j. Таким образом,
P(PiV, + P2V2)/(Vi + V2) = 675 кПа.
443. рг =
444. /7j =
+ V2) -P2V2W1 = 1,2 МПа (см. задачу 442).
т2).
V
Pi
О
V
О
о
Рис. 307
Рис. 308
Рис. 309
445. См. рис. 307-309.
446. Начальная и конечная температуры газа (V2 — 2V{):
¦ = 1 К,
447. ДУ/V, = (V2 - V})/Vi = [{T2 - Г,)/Г,] • 100 % = 4 %.
448. Для ненагретого сосуда согласно закону Бойля-Мариотта
pV = p'(V - SAI); для нагретого сосуда согласно объединенному газовому
закону pV/T = p'(V + SAl)/(T + AT), где р и р' - давления в сосудах до и
после нагревания. Исключив из этих уравнений pip', найдем
ATIT = 2SAll{V - SAI) = 2SAIIV.
276

.. 449. Ox 7j =-^ = 267 К „о Т2 = Т(У+МАП = Ш К.
V + nAV V + nAV
450. V, = VT, /(Г, + Г2) = 200 см3, V2 = VT2 /G, + Т2) = 300 см3.
451. Изменение объема AV одинаково для обеих частей цилиндра.
Согласно объединенному газовому закону для ненагретой части цилиндра
pV = p'(V - AV), для нагретой pVIT = p'(V + AV)/T', где V — первоначальный
объем каждой части цилиндра. Исключая отсюда AV/V, найдем
р' = р(Т + ТIТГ = 105 кПа.
452. Пусть при горизонтальном положении цилиндра объем каждой из
частей равен V. При вертикальном положении цилиндра объем верхней
части стал V + AV и давление в ней равно р', объем нижней части стал
V - AV и давление в ней равно р + mg/S. Согласно закону Бойля-Мариотта
имеем
pV= p'(V+AV), pV = (p' + mg/S)(V-AV).
Исключив из этих уравнений AV/V, получим
2S
отсюда
Р =
P Г'
s V s
(второй корень отброшен, так как он дает для р' отрицательные зна-
значения).
453. / = pgh(L - A)/2B/7 + pgh) = 17 см.
454. Г = р77р" = mT/Vp' = 225 К.
455. Так как давление в колбе перед погружением и в конечном
ее состоянии одно и то же (равно атмосферному), то для этих состоя-
состояний газа vyv2 = ТХ1Т2, где V, = 4ла3/3 + nd2l/A, V2 - 4ля3/3 + л^2//8 -
начальный и конечный объемы воздуха в колбе. Следовательно,
Г, = T2VJV2 = 2Г2A6а3 + 3/^)/C2а3 + ЪЫЪ) = 316 К.
456. р2 = PoTi/Tz = 0,41 кг/м3.
457. Уравнение состояния газа до и после нагревания;
pV = (m/ \X)RT, p(V + Sh) = (m I \i)R(T + AT),
где p, V и Т - давление, объем и температура газа до нагревания. Вычитая
второе уравнение из первого и учитывая, что р - ра + Mg/S, найдем
M = mRAT/[igli-pQS/g~85 кг.
458. Условие VIT = const означает, что процессы нагревания и охлажде-
охлаждения происходят изобарно. При отношении начальных объемов Vt/V2 = 1/2
эти объемы составляют части V\ = У/3 и V2 = 2V/3 от объема V всей
трубки. Конечные объемы обеих частей одинаковы: V3 = W2. Согласно
277

закону Гей-Люссака для меньшей части V1/V3 = T0/Tt, для большей части
V2/V3 = Г()/Г2, где Го = 273 К - температура, соответствующая начальным
условиям; отсюда
Г, = TqVJV] = 2TJ1 = 410 К, Т2 = T0VyV2 = ЗГ0/4 « 205 К.
459. / = L72/(r, + Т2) « 42 см.
460. Г, =/?,7'2/р2 = 404К.
461. m = Sp\(T2 - Г,)/№ « 4,6 кг.
462. Манометры обычно градуируются так, что они показывают раз-
разность между давлением внутри баллона и атмосферным давлением.
Поэтому давление в баллоне, когда он находится в помещении, р^ = р + р0,
а давление в баллоне, когда он вынесен на улицу, р2 - р + р0 - Ар. Так как
объем газа остается неизменным, то по закону Шарля р\1Т\ = р2/Т2, где
Т2- t + 273 К - температура наружного воздуха; отсюда
Т2 = р2Г,/р1 = (р + А, - ДрOУ(р + А,) = 256 К.
463. Давление газа, которым наполняются лампы, должно удовлет-
удовлетворять закону Шарля: p/Ti = Pq/Ту, отсюда р = T\pVlIT2 = 74 кПа.
О
О
Рис.310
Рис. 311
464. Пусть в цилиндре под поршнем находится некоторая масса газа,
который при температуре /0 = 0 °С имеет давление р() и объем V().
1) Нагреем газ до температуры t\ при постоянном давлении рц. Тогда по
закону Гей-Люссака газ займет объем V\ = КоA + аг().
2) Сожмем газ при постоянной температуре t\ от объема V] до объема
V{). В результате газ будет иметь давление р\, причем по закону Бойля-
Мариотта p()Vj =ptV0.
3) Охладим газ до температуры ?о при постоянном объеме К(). При этом
газ возвратится в первоначальное состояние и его давление уменьшится
от р{ до рц. Согласно закону Шарля рх ир{) связаны соотношением
Подставив выражение для V] из закона Гей-Люссака и выражение для
/:>] из закона Шарля в выражение закона Бойля-Мариотта, получим
M)VOA + ш,) = A)V(i(l + РГ|); отсюда а = C.
465. См. рис. 310 и 311.
278

466. Для перехода между состояниями 3 и 1 должно выполняться
соотношение р$У^Тт, = pxV^IT\. С другой стороны, как видно из рис. 63, в
этом случае V = кр, т.е. V-^lpi = V\lp\. Процесс перехода между состояниями
1 и 2 изохорный; следовательно, Р\1р2 = Т\/Т2. Наконец, процесс между
состояниями 2 и 3 изобарный, т.е. р2 = Рз- Из приведенных соотношений
найдем 7J, = То /Ту
467. рл = р, V]T?>/V4Tl = ОД МПа.
468. Для данной массы газа при любых процессах можно приме-
применять объединенный газовый закон в виде pV/T = В = const. Постоянную
р, МПа
0.2
0.1
0
\4 \
i
i
i
2
¦* ** ^
V, л
P,b
0.2
a,
0
111a
4
/
200
/ )
*
1
}
400
т, к
к,
2
1
0
л
S
= 0.1 МПаЬ'
200 400
г. к
Рис.312
Рис.313
Рис. 314
величину В можно найти, подставив в это уравнение известные для
начального состояния значения р{, Vx, T\\ имеем для нашей задачи
В = p\V\IT\ =0,5 Дж/К. Построим графики процессов, предварительно
выбрав масштаб для /?, V и Т (рис. 312-314). В результате получим, что
/>4 = 0,1 МПа.
469. При нормальных условиях (давлении р0 = р#Ло = 101,325 кПа, где
р = 13,595 • 103 кг/м3 - плотность ртути, g = 9,81 м/с2 - ускорение свобод-
свободного падения и /?0 = 760 мм - высота ртутного столба, и температуре
Гц = 273 К) моль любого газа согласно закону Авогадро занимает объем
Vqm = 22,41 • 10~3 м3/моль; отсюда
= 8,31 Дж/(моль • К).
470. Из уравнения состояния идеального газа найдем
m = \ipV/RT= 138 г.
471. ц, = mi[i2P2Tl/m2i?\T2 = 0,028 кг/моль.
472. Уравнения состояния воздуха в сосуде при атмосферном давлении
р до и после нагревания: pV= m{RT]l\Ji npV= m2RT2/\J., где гщ и m2 - массы
воздуха в сосуде до и после нагревания. Поделив второе уравнение на
первое, найдем m2jm\ = Г]/Т2 = 0,415.
279

473. (от, - m2)lm\ = (p, -p2)lp\ = 0,2.
474. «г - m, = ([iV/R)(p2/T2 -р,/Г,) = 57 г.
475. ц = mRTIpV = 0,032 кг/моль (кислород).
476. Из уравнения состояния имеем р = mlV -\iplRT - 1,12 кг/м3.
477. ро = 0,49 кг/м3 (см. задачу 476).
478. р = 0,4/гГро/ц = 24 МПа (см. задачу 476).
479. Задачу можно решить тремя способами.
I. Установившееся давление выражается формулой (см. задачу 442)
отсюда
+ V2) - p2V2]/V] = 0,5 МПа.
П. Уравнения состояния воздуха в первом и во втором баллонах:
= niiRT/\i, p2V2 = m2RT/\x;
после соединения баллонов p(V\ + V2) = (mx + m2)RTI\i, где ni\ и т2 — массы
воздуха в первом и втором баллонах. Исключив из этих уравнений ms и
т2, получим сновар\ = [p(V\ + V2) -p2V2]/V\.
III. Предположим, что в трубе, соединяющей баллоны, имеется пор-
поршень (рис. 315). Сместим поршень так, что-
чтобы давления в баллонах стали одинаковыми
у „ и равными р. Объем воздуха в первом балло-
баллоне увеличится на величину AV и станет рав-
равным V] + AV, а во втором баллоне умень-
Рис. 315 шится на ту же величину и станет рав-
равным V2 - AV. Теперь поршень можно
удалить, не нарушая равновесия газа. По закону Бойля-Мариотта
P\VX =/?(V| + AV) иp2V2= p(V2-AV). Складывая эти уравнения, найдем
P\V{ + p2V2 = p(V\ + V2), откуда получим для определения рх прежнюю
формулу.
481. Уравнение состояния газа до нагревания в каждой части цилиндра:
PSL = —RT, A)
М-
где SL = V- объем каждой части цилиндра, S - площадь его поперечного
сечения. Объемы нагретой и ненагретой частей: V] = S(L + I) и V2 =
= S(L - I). Уравнения состояния газа в них:
p'S(L + l) = — R(T+AT), B)
p'S{L-l) = -RT, C)
Ц
где /У- давление газа после смещения поршня (одно и то же в обеих
частях цилиндра в силу равновесия поршня), Т + AT — температура в
280

нагретой части цилиндра. Поделив уравнения состояния друг на друга,
получим
T+AT=T(L+l)/(L-l); отсюда AT = 2Tl/(L - /) = 404 К.
Правые части уравнений состояния A) и C) равны между собой,
поэтому p'S(L - I) = pSL (это уравнение представляет собой закон Бойля-
Мариотта для той части цилиндра, температура которой не изменилась);
отсюда находим р' = Lp/(L - I) = 167 кПа.
482. / = L(l - д/Г2 / 7]) = 10 см. (При решении задачи обратить внимание
на то, что pg = Pq/L.)
483. Так как водород свободно проходит через перегородку, то он
распространяется по объему V всего сосуда и для него уравнение состоя-
состояния будет P\V = ni]RT/]Xu откуда его давление рх = mxRTI\i.\V. Для азота
уравнение состояния будет p2V/2 = (m2l\i2)RT = v2/?7\ Так как в той части
сосуда, в которой раньше был один азот, теперь находятся и водород и
азот, то полное давление р будет складываться из парциальных давлений
Р] и р2. Таким образом,
р = Р]+р2 = (т,/ц, + 2v2)RT/V = 0,1 МПа.
484. / = ц^Г2/(ц,72 + \i2T{) = 60 см.
485. Уравнения состояния для газа в первой и второй частях сосуда до
выравнивания температур:
pV2 =
Поделив их друг на друга, находим VlT2/V2T] = m\lm2. Уравнения состояния
для газа в первой и второй частях сосуда после выравнивания температур:
p'V{=mxRTI\Ji, p'V2' = m2RT I\i,
где V{ и V{ - конечные объемы первой и второй частей, Т - общая
температура яр'— давление, одно и то же в обеих частях в силу равнове-
равновесия перегородки. Поделив эти два уравнения друг на друга, найдем
V{/V{ = m,/m2. Таким образом,V,7 V{ =ViT2/V2Ti =4/5.
486. Пусть длина той части цилиндра, которая заполнена кислородом,
равна /, тогда водородом заполнена часть цилиндра длины L — I. Их
объемы равны К, = SI и V2 = S(L — I), где S - площадь поперечного сечения
цилиндра. Уравнения состояния кислорода и водорода:
pSl = mRT/щ, pS(L - /) = mRTI\i2.
Поделив одно уравнение на другое, получим
//(L - /) = Цг/ц,; отсюда / = L\x,2l(\x,x + \i2) = 5 см.
487. Положив в уравнениях состояния (см. задачу 486) / = L/2, Т=ТХ для
кислорода и Т = Т2 для водорода, заметим, что левые части этих
уравнений будут равны. Приравняв поэтому правые части, получим
281

Г|/Г2 = Ц1/Ц2 = 16- При любых температурах, для которых будет вы-
выполняться это условие, поршень будет делить цилиндр на равные части.
488. T = ypV/mR = 280 К.
489. После подъема шара его объем V2 = V] + //V], а давление газа
в нем р2 = р{) + Ар. Согласно объединенному газовому закону имеем
P\VJT\ = p2V2/T2; отсюда
Т2 = p2V2Ti/p} V, = (р0 + Др)A + n)TJpx = 255 К.
490. Объем водорода, заключенного в п баллонах, V = пv. Из объеди-
объединенного газового закона pV/T = p'V'/T' находим число баллонов:
п = p'VT/pvT =* 536.
491. Действующая на автомобиль сила тяжести mg, направленная вниз,
уравновешивается четырьмя силами реакции опоры со стороны грунта на
шины, направленными вверх. Будем считать, что все четыре силы реак-
реакции опоры одинаковы и равны F = mg/4. На соприкасающийся с грунтом
плоский участок шины сверху (изнутри) действует сила давления pS
воздуха, заключенного в шине; снизу же действует сила реакции опоры со
стороны грунта F. Эти силы уравновешиваются. Таким образом, при тем-
температуре t2 давление воздуха внутри шины р = F/S = mg/4S. Согласно
объединенному газовому закону
u или wigV2/4ST2 =
отсюда in = ^^^oVyV^itf ~ 4000 кг.
492. Чтобы вытеснить воду из цистерны, воздух должен иметь дав-
давление, по крайней мере равное давлению воды на глубине h: р2 =
= /?о + pgh. После расширения воздух займет объем V2 = V + V|. Согласно
объединенному газовому закону
или
отсюда V = p\V\T2l{pa + pgh)T{ - У, = 1,85 м3.
493. T'>(F + p(?)T/p(yS = 390 К.
494. Равновесие устанавливается, когда силы давления воздуха в ци-
цилиндрах на оба поршня будут равны, т.е. когда p\S\ = Рг$2- Применим для
воздуха в первом цилиндре объединенный газовый закон: /?OV]/To =
= P]V{/T, а для воздуха во втором цилиндре - закон Бойля-Мариотта:
p0V2 = Р2У2 ¦ После нагревания поршни сместятся на одинаковые рас-
расстояния и изменения объемов воздуха в цилиндрах будут пропорцио-
пропорциональны площадям поршней: (Vj' - Vi)/(V2- V2') = S)/S2. Решив систему
четырех уравнений с четырьмя неизвестными рь р2, V{, V{, найдем
= р0,(, ТО Fs
7E^+5У) М
282

495. Из уравнений состояния находим массу т} водорода, находящегося
в шаре, и массу т2 воздуха, вытесненного шаром: ту = pV\iJ poVOil и
т2 = ^Дг/^оц' где V{)il = 22,41 ¦ 10~3 м3/моль - объем моля идеального газа
при нормальных условиях. Согласно закону Архимеда при парении шара в
воздухе сила тяжести, действующая на шар с водородом,
(М + ni\)g равна силе тяжести вытесненного воздуха m2g;
отсюда
Р = (Р0/И1ХИ2 - Vi?M/V)~ 0,15 МПа.
496. Пусть уровень воды в стакане находится на
расстоянии h от дна стакана (рис. 316). Давление воз-
воздуха в стакане будет р() + pgh. Так как давление р0
соответствует приблизительно давлению 10-метрового
столба воды, a h < Н = 0,1 м, то pgh составляет менее Pplc- 316
1% атмосферного давления и величиной pgh можно
пренебречь по сравнению с р^, т.е. считать, что давление воздуха в
стакане неизменно. Тогда согласно закону Гей-Люссака V\/T\ = V2/T2, где
I'l = HS и V2 = hS - начальный и конечный объемы воздуха в стакане,
отсюда /; = НТ2/Т], и объем вошедшей в стакан воды
V = (Н - h)S = HS{TX - T2)/Tt = 49 см3.
Если учесть изменение давления воды в стакане в зависимости от
расстояния h и применить при этом объединенный газовый закон:
pnHS/T\ = (ро + pgli)hS/T2, то для h получится сложная формула:
А = (Ро /2pg)^\ + WT2pglpJx - 1).
Вычисление по этой формуле дает V = 50 см3. Заметим еще, что если
корень в этом выражении разложить по формуле бинома Ньютона и
ограничиться двумя членами: 1 + 2HT2pg/p{)Tu то мы получим для h
выражение, найденное ранее при помощи закона Гей-Люссака.
497. Согласно закону Архимеда погруженный до краев стакан
(см. рис. 65а) плавает при условии, что сила тяжести mg, действующая на
него, вместе с силой тяжести pgV{, действующей на налитую в него воду,
равны силе Архимеда pgV, где V = liS - объем стакана, V\ = = liS/3 - объем
налитой в него воды (S - площадь его поперечного сечения). Таким
образом,
mg + 2pghS/3 = pghS; отсюда mg = pghS/3.
Погруженный вверх дном на глубину Н стакан (см. рис. 656) будет
находиться в равновесии, если сила Архимеда pgV2, где V2 - объем
сжатого в стакане воздуха, равна силе тяжести mg, действующей на
стакан. Учитывая выражение для mg, найдем V2 = hS/3. Давление воздуха
в стакане р = рп + pg(H — 2h/3). Используя объединенный газовый закон:
pohS _[po + pg(H-2h/3)]hS/3
получим Н = ро(ЗГ2 - Tx)lpgTx + 2/7/3 = 15,4 м.
283

§ 15. Элементы молекулярной физики
498. Массы молекул водорода и кислорода иг, = 3,3 • 10~27 кг и т2 ~
= 5,3-Ю-26 кг.
499. т = рорТ/порТц = 3,33 • Ю6 кг, где Та = 273 К, р0 = 0,1 МПа.
500. щ = NA/VQil = 2,7 ¦ 1025 м (постоянная Лошмидта).
501. п = NAT0/kVQllT = 1,83 ¦ 1024м, где То = 273 К, V0[1 = 22,41 х
X 10~3 м3/моль - объем, занимаемый одним молем идеального газа при
нормальных условиях.
502. В объеме Vq^ = 22,41 • 10~3 м3/моль содержится при нормальных
условиях число молекул NA = 6,02 • 1023 моль. Так как при одних и тех же
условиях число Hq молекул в сосуде пропорционально его объему,
то по/и = NA/VOil. отсюда w() = uNл/V^. Искомое время т = п{)/пх =
= vNA/V0[Lnx = 8500 лет.
503. р2 =р\- 3np0T/4nn(f3T{), где То = 273 К и р0 = 0,1 МПа.
504. Возьмем один моль азота, который при нормальных условиях
занимает объем VOil = 22,41 ¦ 10~3 м3/моль, а при давлении р и той же
температуре согласно закону Бойля-Мариотта занимает объем V =
= V{)vjy^lp. В одном моле азота содержится число молекул Л^ =
= 6,02 • 1023 моль". Объем каждой из них равен nd3/6, и их суммарный
объем и= %d3NAl6. Таким образом, на объем самих молекул приходится
при давлении р() часть объема
u/V{)ii = (nd3NA/6V{)ii) ¦ 100 % = 0,038 %,
а при давлении р - часть объема
v/V^ = (nd3N>/6V0M/>0) ¦ 100 % = 19 %.
505. Каждая молекула до удара о стенку имеет импульс ти, направ-
направленный к стенке. После абсолютно упругого удара направление скорости
молекулы меняется на обратное. Поэтому импульс молекулы после удара
становится равным -ти. При этом изменение
импульса каждой молекулы ти- (-ти) = 2ти.
? /pZb. В течение промежутка времени т о стенку
'С~~" i'S^ ударятся все те молекулы, которые, находясь в
параллелепипеде с основанием S и длиной /= ит,
Рис.317 двигались по направлению к стенке (рис. 317).
Объем этого параллелепипеда V = Sux, и в нем
находится N = nSvx движущихся к стенке молекул. За промежуток
времени т произойдет изменение импульса N молекул, равное 2munSvt.
По второму закону Ньютона imvnSvz = Ft, где F - сила, действующая на
молекулы со стороны стенки. Согласно третьему закону Ньютона такая
же сила действует на стенку. Таким образом, F'— 2nmv2S и давление
р = F/S - 2пти2.
506. Давление на стенку р = 2пти2 (см. задачу 505), где л — число
молекул в единице объема, движущихся по направлению к этой стенке.
284

По направлению к каждой грани кубика движется n = vNA/6 молекул;
отсюда р = vNAmv2/3 = 1,5 Па.
507. Число молекул, содержащихся в одном моле газа, равно по-
постоянной Авогадро NA. Согласно уравнению состояния количество газа
v = pV/RT; отсюда
п = \NA/V = pNA/RT = 2 ¦ 1025 м-3.
508. Т = pVNA/nR = 301 К (см. задачу 507).
509. р = np0T/nnkVT0 = 20 кПа, где р0 = 0,1 МПа, То = 273 К.
510. n=pNA/RT=3-10ю м-\
511. Масса газа m = ппц), его молярная масса (i = ш()Л/д, где niQ- масса
одной молекулы, п - число молекул в данном объеме и NA - число моле-
молекул в одном моле газа (постоянная Авогадро). Подставив m и (I в уравне-
уравнение состояния pV = mRT/\x, находим р = nRT/NAV, т.е. при прочих равных
условиях давление пропорционально числу частиц п. Если бы молекулы
не распадались, то согласно закону Шарля при температуре Т2 было бы
давление pi = p\T2IT\. Вследствие распада каждой молекулы водорода на
два атома полное число частиц увеличивается вдвое. Поэтому при
температуре Т2 давление будет 2р2 = 2рА Т21Т\ = 40 КПа.
§ 16. Внутренняя энергия и работа расширения газов.
Теплоемкость
512. На поршень действуют сила тяжести, сила атмосферного
давления извне и сила давления кислорода изнутри. Первые две силы все
время остаются постоянными. Так как поршень в любой момент
находится в равновесии, то во время нагревания кислорода его давление р
остается также постоянным. Таким образом может быть найдена
удельная теплоемкость кислорода при постоянном давлении:
г/; = е/шДГ=916Дж/(кгК).
Работа расширения при постоянном давлении Л = p(V2 - V^), где V\ и
V2 - начальный и конечный объемы газа. Уравнения состояния газа до и
после нагревания:
pV} = mRTxl\i, pV2 =
Вычитая первое уравнение из второго, найдем
где Т2-Т\ = AT - разность конечной и начальной температур; отсюда
А = mR(T2 - Т})/ц = 2,59 кДж.
Подводимое к газу количество теплоты идет на увеличение его
внутренней энергии AU и на совершение работы A:Q = AU + А; отсюда
513. V = mp{)l(p\ -рг)Ро = 29,2 л.
285

514. Уравнения состояния до и после выпускания газа из баллона:
= m2RTI\x,
где ni\ и т2 - массы газа в баллоне, а р\ ир2- давления газа до и после
выпускания. Вычитая одно уравнение из другого и учитывая, что Am =
= /??]- пи и Ар = /), - р2, имеем VAp = AmRT/\i; отсюда \l/RT = Am/VAp. С
другой стороны, плотность газа Ро при давлении /?0 можно найти из
уравнения состояния:
Ро = Po\llRT = p0Am/VAp = 3,7 кг/м3.
515. Ар =ри(т2- w!i)/Vpo = 68 кПа.
516. Если газ нагревается при постоянном объеме, то газ не совершает
работы. Поэтому все подводимое к газу количество теплоты Q идет на
увеличение его внутренней энергии AU (см. задачу 512): Q =
= AU = 6,57 кДж. Удельная теплоемкость кислорода при постоянном
объеме су = Q/mAT = AUImAT = 657 ДжДкг ¦ К).
517. Из уравнения состояния находим массу кислорода: т = \ipVIRT =
= 4m3\lp/3RT, где V = 4яг3/3 - объем шара. Уравнения теплового баланса
для откачанного и заполненного шаров:
d(Tu-T) = 1лц, (тс2 + С^Т,, - Т) = Хт2,
где С] - теплоемкость откачанного шара. Исключая из этих уравнений
величину С\ и учитывая выражение для т, получим удельную тепло-
теплоемкость кислорода:
с = ЗЦт2-nii)RT/4nr3p(Tn-T)\i = 670 Дж/(кг • К).
518. с = QRTxl\ipV{T2- Г,) = 660 Дж/(кг • К).
519. Количество теплоты Q, сообщаемое газу, идет на увеличение его
внутренней энергии AU и на совершение газом работы: Q = AU + А. При
постоянном давлениир работа расширения газа А = р(У2- V]), где V2 и \'\ -
конечный и начальный объем газа. Уравнения состояния газа до и после
нагревания:
i, pV2 =
Вычитая первое уравнение из второго, найдем p(V2 - V{) = mRAT/\x. где
АТ= Т2— Г, -разность конечной и начальной температур газа. В результа-
результате Qp = AU + mRAT/ц..
При постоянном объеме работа расширения газа А = 0 и Qv = AU.
Следовательно, Qp— Qv = mRAT/\x.
Удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном
объеме: ср - QplmAT, cv = QylmAT. Разделив разность Qp— Qv на rnAT,
получим ср - cv = R/[i.
Таким образом, существует различие удельных теплоемкостей газов,
находящихся при постоянном давлении и при постоянном объеме. Для
твердых и жидких тел, ввиду значительно меньшего коэффициента их
286

объемного расширения, в большинстве случаев этой разницей можно
пренебречь.
520. Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кине-
кинетическую энергию его молекул, которая зависит только от температуры
газа, но не зависит от расстояния между молекулами и, следовательно, от
объема газа. При изотермическом процессе не изменяется температура,
поэтому внутренняя энергия остается постоянной. Следовательно, коли-
количество теплоты, сообщаемое газу, должно быть равно работе, соверша-
совершаемой газом: Q = A-20 Дж.
521. Так как газ в цилиндре теплоизолирован, то он совершает работу
только за счет уменьшения AU своей внутренней энергии. Поэтому
AU = А = 4,47 кДж. С другой стороны, к состоянию газа с той же конечной
температурой можно прийти (см. задачу 519), если уменьшить его
внутреннюю энергию на ту же величину AU. отнимая у него количество
теплоты Qy = mcv(T\- Т2) при постоянном объеме. Таким обраом.
AU = /ж'1/G, - Г2); отсюда Т2- Г, - AUImcv = 263 К.
522. При изменении температуры газа на одну и ту же величину AT
при постоянном объеме и при постоянном давлении разность ко-
количеств теплоты Qp- Qv = mRAT/\X (см. задачу 519); отсюда Qv =
523. Количество теплоты Q = спгАТ при нагревании воды идет на
увеличение AU ее внутренней энергии и на совершение при тепловом
расширении воды работы А = p^AV = paaVAT против сил атмосферного
давления, где V = 10~3 м3 - первоначальный объем воды. Проведя вы-
вычисления, получим А ~ 0,2 мДж, в то время как Q = 4,2 кДж, т.е. при обыч-
обычных услових Q > А. Поэтому можно считать, что Q = AU.
Один моль газа содержит NA молекул (NA = 6,02 • 1023 моль~'). Вода
массы m содержит п = mNA/[i молекул. Таким образом, на одну молекулу
приходится увеличение внутренней энергии At/, = AU/n = 1,26 • 10~22 Дж.
524. Q = 2\icvT{) = 11,5 МДж.
525. Q = niCpAT = mcpT{) = 1,49 кДж.
526. Уравнения состояния газа до и после нагревания:
PiV = mRT\l\i, p2V = mRT2/\x,
где Р| и р2 - начальное и конечное давления, Т} и Т2 - начальная и
конечная температуары, m - масса газа. Вычитая первое уравнение из
второго, найдем
VAp = V(p2~P\) = mR(T2- T,)/\i; отсюда Т2-Т, = \iVAplmR.
Количество теплоты, сообщенное газу при постоянном объеме,
Q = mcy(T2- T,) = \iCyVAplR = 16,5 кДж.
527. А = тр0АТ/р0Т0 = 84,5 кДж, где р0 = 0,1 МПа и То = 273 К -
нормальные давление и температура.
287

528. Давление газа в цилиндре постоянно: р-р^ + mglS. Работа расши-
расширения газа при постоянном давлении А = p(V2- V\), где V2 - конечный
объем газа. По закону Гей-Люссака W2IVX = T2[T\, отсюда
V2=VlT2/Tl, V2-Vi=V](T2-Tl)/Tl=VlAT/T].
Таким образом, А = (/>0 + mglS)V]KTIT] = 20 Дж.
529. График изменения состояния газа в координатах р, V приведен на
рис. 318. Участок 1-2-изохорный процесс: температура увеличивается,
происходит поглощение теплоты, работы
газ не совершает. Участок 2-3 - изобарное
расширение. Температура увеличивается
(изотерма, на которой лежит точка 3, соот-
соответствует большей температуре, чем изо-
изотерма, на которой лежит точка 2), проис-
происходит поглощение теплоты, газ совершает
работу. Участок 3-4 - изотермическое рас-
расширение: температура остается постоянной,
происходит поглощение теплоты, газ совер-
совершает работу. Участок 4—1 - изобарное сжа-
сжатие: температура уменьшается (изотерма, на
которой лежит точка 4, соответствует боль-
большей температуре, чем изотерма, на которой
лежит точка 1), происходит выделение
теплоты, работа — отрицательная.
Графики изменения состояния газа в координатах р, TnV, Г приведены
на рис. 319 и 320.
1 I I
1 1
2 V
i
1
i
1 /
i
¦
i
i
i
1*
1
\
\
\
1
const
II
N
ч^
"з
\
\
\
\
Р2 =
= const
<\
= const4
hi
4
const
О
V
Рис.318
/Р\--
2 Р-^—.
/
<? /
\ /
/
/
\/
= const
3
ел
С
О
О
II
1 р2 = const
/
V
/
/
^ /
/ ,
/ *V 2
/ ,'' V = const
с
о
и
II
Е-Г
>з
= const
о
Рис. 319
О
Рис. 320
530. При переходе между состояниями 1 и 2 газ работы не соверша-
совершает, так как его объем не изменяется (поршень неподвижен). При пере-
переходе между состояниями 2 и 3 работа газа А=р2(У3-У2). Величиныр2,
V2 и V3 определяются из уравнений процессов - изохорного A-2): р\/р2 =
288

= TIT2 (V, = V2), и изобарного B-3): V2/V3 = T2/Tj (р2 = const); отсюда
A =p]Vl(T3-T2)/T] = 100 Дж.
531. A = po(V - V) ~ pn{V - m/p) = 167 Дж, где рй = 0,1 МПа - давление
насыщенного водяного пара при t = 100 °С, равное нормальному атмос-
атмосферному давлению, а V - объем сконденсировавшейся воды.
532. Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кине-
кинетическую энергию его молекул. Она пропорциональна его температуре и
числу молекул. Внутренние энергии газа в первом и втором цилиндрах
U i = kv\Ti и U2 = kv2T2 и газа в цилиндрах после смешивания
U = fc(V) + V2)T, где к - коэффициент пропорциональности, зависящий от
природы газа, V| и v2 - количества газа (в молях) в первом и во втором
цилиндрах. Согласно закону сохранения энергии И \ + U2 = U, и, следова-
следовательно, У|Г, + V2T2 = (V] + V2)T. Из уравнений состояния для газов до сме-
смешивания найдем V] = ptVi/RT\ и v2 = p2V2/RT2. Подставив эти выражения в
предыдущее равенство, получим
Vx IR+p2V2IR = (P]VX I RTX + p2V2 I RT2)T.
Таким образом,
T = TJ2{p]V]+p2V2)l(p]VJ2+p2V2Tl) = 366 К.
Из уравнения состояния для смеси газов p(V\ + Vi) = (/?[ + n2)RT, используя
найденные ранее выражения для Vj, v2 и Т, получим (см. задачу 442)
р = (Р] V, + PjV2) /(V, + V2) = 525 кПа.
§ 17. Насыщенные и ненасыщенные пары
533. Рассмотрим ход изотермы Г, = const (рис. 321). При подъеме
поршня давление на жидкость убывает. Объем же жидкости от давления
почти не зависит (жидкости практически несжимаемы). Поэтому пока под
поршнем находится только жидкость, участок ah изотермы практически
совпадает с изохорой. Когда давление в цилиндре становится равным
давлению насыщенного пара при тем-
температуре Г) (давлению ph), в цилиндре
кроме жидкости появляется насыщенный
пар. Давление насыщенного пара не
зависит от его объема. Поэтому при
дальнейшем увеличении объема изотерма
совпадает с изобарой (участок be) до тех
пор, пока вся жидкость в цилиндре не
превратится в пар (при объеме Vc). При
дальнейшем увеличении объема пар
становится ненасыщенным, и зависимость
его давления от объема подчиняется
закону Б ойля-Мариотта. Рис.321
V, V,.
289

Ход изотермы Т2 = const такой же, но, так как давление и плотность
насыщенного пара при этой температуре больше, полное испарение
жидкости произойдет при объеме Ve < Vc.
534. Давление, оказываемое паром на стенки сосуда, обусловлено уда-
ударами молекул о стенки и пропорционально кинетической энергии моле-
молекул и числу молекул в единице объема (см. задачу 506). Средняя кине-
кинетическая энергия молекул пара пропорциональна температуре (см. введе-
введение к § 16), в то время как число молекул насыщенного пара в единице
объема возрастает при повышении температуры.
Линия abd на рис. 67 на участке ah совпадает с зависимостью давле-
давления насыщенного пара от температуры, на участке hd представляет собой
отрезок прямой, проходящей через начало координат.
'' Такой ход объясняется тем, что при температуре Th вся
жидкость, бывшая в сосуде вместе с насыщенным
паром, превратилась в пар. Далее же происходит, со-
согласно закону Шарля, изохорное увеличение давления.
Линия abce представляет собой такой же процесс, но
при большей массе жидкости и пара в сосуде. Темпе-
Температура 7\. — критическая температура. Говорить о
парах при температуре выше критической нет смысла.
Рис. 322 Поэтому все линии обрываются при этой темпе-
температуре.
535. Участок 1-2 (рис. 322) - изохорное увеличение давления при
нагревании. Участок 2-3 - изотермическое сжатие ненасыщенного пара
(происходит согласно закону Бойля—Мариотта до насыщения пара — до
начала его сжижения). Участок 3-4 - изотермическое сжатие насыщен-
насыщенного пара (происходит сжижение, а давление остается постоянным).
536. Число молекул вещества при заданной его массе не зависит от
состояния вещества, если не происходит химических реакций. Количество
вещества (в молях), имеющего массу m и молярную массу ц, v = m/]X. Один
моль вещества содержит число молекул /VA. Следовательно, масса веще-
вещества m содержит число молекул п = vNA = mNAl\i. Единица массы вещества
содержит число молекул пш = NAl\i, что для паров ртути и воды дает
,!ml=NA/^=3-W24KT-1. nm2=NA/n2=3,3-\025 кг.
537. При температуре t = 4 °С плотность воды р„ = 103 кг/м3. Плотность
пара р можно найти при помощи уравнения состояния:
р = ixp/RT; отсюда р„/р = pKRTI\xp = 1,6 • 105.
Один моль вещества содержит число молекул NA = 6,02 • 1023 моль.
Единица объема вещества содержит число молей v = р/(Х и, следова-
следовательно, число молекул pNA/\i. На каждую молекулу воды и пара
приходятся объемы
V;i=|X/p,,/V4=3-10-29M3, V = \i/pMA=RT/pNA =4,8 104 м3.
290

538. Согласно уравнению состояния pV = mRTI\i плотности газов и
паров при постоянной температуре пропорциональны их давлениям.
Поэтому р]/р2 = Р\1рг ~ 0,45.
539. Масса пара, необходимая для насыщения объема котла при темпе-
температуре Т = 453 К, /но = p{)V = 25,25 кг. Так как /и() > иг,,, то вся вода
превратилась в ненасыщенный пар. Следовательно, m = иг„ = 20 кг. Из
уравнения состояния находим давление: р = mRT/\xV = 0,84 МПа.
540. В сосуде до увеличения его объема содержался пар массы и?() =
= PqV = 8 г (объемом, занимаемым водой, можно пренебречь). Масса воды
и пара была игн + иг() = 20 г. Для насыщения объема kV при той же
температуре необходима масса пара m'0=p0kV = 40 г. Так как
иг„ + иг0 < /«Q, то после увеличения объема пар будет ненасыщенным. Его
плотность р = (и;,, + п1())/кУ. Давление при данной температуре
пропорционально плотности. Поэтому р = РоР/Ро = /?о(иг„ + m())/p{)kV =
= 0,55 кПа.
541. Давление оставалось постоянным, пока под колоколом
был насыщенный пар, плотность которого р = ]ip/RT. За время X
был откачан объем V = Vxx, в котором содержался пар массы
m = pV=y.pVtx/RT=279r.
542. Насыщенный пар массы m при давлении р согласно уравнению
состояния должен занимать объем V = mRT/\xp. Следовательно, ДV =
= V - V = mRTI\ip - V = -0,29 м3 (знак минус показывает, что объем
должен быть уменьшен).
543. р = —- 4FT = 1 МПа.
nd2(T + Q/mc)
544. Давление смеси насыщенного пара и гелия в трубке р = р^— р,1>Л.
По закону Дальтона это давление складывается из парциальных давлений
пара и гелия р\ и р2; отсюда р2 = Ро~Р\ - р,?Л- Из уравнения состояния
найдем массы пара и гелия пц и ль:
OTi 4,310Kr, m2 4,Z10Kr.
' RT 2 RT
545. Если бы в цилиндре был только насыщенный пар массы т и весь
он сконденсировался, то объем образовавшейся воды (около
0,3 • 10~3 м3) был бы мал по сравнению с объемом V = V/k = 0,33 м3.
оставшимся под поршнем после сжатия. Поэтому можно считать, что весь
объем цилиндра после сжатия занят смесью пара и азота, причем
парциальное давление пара р\ во время сжатия не изменилось. Из
уравнения состояния находим массы насыщенного пара до и после
сжатия: пц = pxV\i\IRT, m{ = P\V'\it I RT = piV\i] I kRT; отсюда масса скон-
сконденсировавшегося пара
Ьт = тх-т[ = pxVx\ix(k-X)lkRT = 20 г.
291

Масса азота т2 = т - nt\ = (mRT - p\V\i{)IRT. Из уравнения состояния
находим парциальное давление азота до сжатия:
р2 =
Давление смеси до сжатия по закону Дальтона
Р = Р\+Рг =[p\V{\i2-\i^ + mRT]l\L2V = 21,2 кПа.
546. Влажный пар массы ти отдает количества теплоты: Qt =
- cmnn(tn- ?кип) при охлаждении входящей в его состав воды до темпе-
температуры конденсации; Q2 = cumu(l - n)(tn- tKim) при охлаждении сухого (за
вычетом капель воды) пара до той же температуры; <23 = А.л7гмA — п) при
конденсации пара; Q4 = тис(гк)ш ~ ^ ПРИ охлаждении образовавшейся из
пара воды (включая и бывшие в нем капельки) до температуры смеси.
Холодная вода массы т получает количество теплоты Q5 = civ(Q - t).
Согласно уравнению теплового баланса Qi + Q2 + б? + Q& - GsS отсюда
масса холодной воды, приходящаяся на единицу массы пара,
тп c(Q-t)
547. тп = mc(t - fK1,,,)A = 0,37 кг, где Гкнм = 100 °С - температура кипения
воды при атмосферном давлении.
548. Объемом, который занимает в сосуде лед, можно пренебречь. Из
уравнения состояния найдем массы пара при температурах t\ и t2:
пц = Vpt \il RT\, m2 = Vp2\i IRT2.
Массы испарившегося и оставшегося льда
У{Рг Р\\ '
т„ = т~, - т, = L— — \, ш,, = т- т1 =
1 ¦ R \ Т Т ) ' '
\, ш,, тт1 .
R \ Т2 Тх ) ' ' RT2
Количество теплоты, необходимое: для испарения льда, <2л = тл(г + X); для
нагревания пара, Q = m2c(t2— f]); для нагревания оставшегося льда,
Q'n = m'ncn(t2 -/|). Полное количество теплоты
^<c-c'> + infJ(r,-r,) = 3,92 кДж.
RT2
R \T2 7]
549. Давление насыщенного пара при постоянной температуре не
зависит от объема. При температуре t = 100 °С оно равно нормальному
атмосферному давлению ра = 0,1 МПа. При изобарическом сжатии работа
А=ро(У]-У2)=1кЛж.
550. При перемещении поршня объем цилиндра изменился на
V2-V\ = SI. При равномерном убывании давления можно взять в расчет
292

среднее давление р = (р\+ р2)/2 и искать работу, как при постоянном
давлении:
A = p(V2-V[) = (p]+P2)j = ]4,4 кДж.
График зависимости давления от объема (рис. 323) при равномерном
убывании давления от PxiipPi изображается отрезком прямой ab. Пло-
Площадь трапеции с основаниями аУ \ -
= р\ и bV2 = Рг и высотой V2- V\ = SI численно
равна работе А.
551. h = (px -p2)/pg ~ 12,5 м.
552. р = \ip/RT= 0,091 кг/м3.
553. Плотность насыщенного пара при тем-
температуре Г2= 20 °С р2 = [ip2/RT2=n,3- 10~3кг/м3.
Таким образом, р2 > pi- Поэтому при охлажде-
охлаждении до температуры t2 насыщение не будет
достигнуто, конденсация не начнется, и содер-
содержание пара в единице объема воздуха останется
прежним, т.е. р2 = pi = 0,005 кг/м3.
554. При температуре t2 = 10 °С плотность насыщенного пара р2 =
= [ip2/RT2 = 9,4 ¦ 10~3 кг/м3. Таким образом, р2 < Pi- Поэтому
при охлаждении до температуры t2 часть пара сконденсируется, и абсо-
абсолютная влажность будет определяться плотностью насыщенного пара
р2 = 9,4- 10-3кг/м3.
555. При температуре t\ абсолютная влажность воздуха до уменьше-
уменьшения его объема Pi =/ip. Масса влаги в единице объема сосуда
после сжатия воздуха (не только в виде пара, но и в виде сконден-
сконденсировавшейся жидкости, если возникли условия для конденсации) р2 =
= kf\p = 16,9 • 10~3 кг/м3. При температуре /2 = 100 °С давление насыщен-
насыщенного пара равно нормальному атмосферному давлению ра = 0.1 МПа
и его плотность ро = \xp^lRT2 = 0,58 кг/м3. Так как p(j > p2, то в сосуде
будет ненасыщенный пар с относительной влажностью /2 = р2/ро =
= (?/,рЯ7УцА))' ЮО % = 2,9%.
556. р' = (ц,р - р/гГ)ц2//гГ(ц, - ц2) = 13,1 • Ю-3 кг/м3;/' = (р'/ро) х
х 100 % = 48,5 %.
558. р = mf2/(f2-fi)V = 0,006 кг/м3.
559. Плотность сухого воздуха р, = ^p^RT. При относительной влаж-
влажности/плотность пара р' =/ро = \121>г/КТ, где р2 - парциальное давление
пара; отсюда р2 =fpoRT/[i2. Так как давление влажного воздуха рп скла-
складывается из парциальных давлений воздуха и пара р\ и ръ то рх = р0— р2 =
- Ро- fPoRT/\i2. Плотность воздуха (без пара) при этом парциальном
давлении
р" = ц,р, / ВТ = ц,р01RT - щ/р0 / ц2.
293

Плотность влажного воздуха
Отношение плотностей влажного и сухого воздуха
р2/р, =1-(ц|-ц2)/р0ЯГ/ц|ц2р0= 0,987.
Глава III
ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
§ 18. Закон Кулона
560. По закону Кулона с/ = г УeF/к = 0,2 мкКл, где к = 1/4яе0 =
= 9 • 109 Н • м2/Кл2.
561. N = qle ~ 6,25 • 10|Н электронов.
562. г = Д/- B + лГг) = 1,71 м.
563. г < ^k\qxq2 I I(T - mg) = 1,8 см.
564. Положительные заряды q могут быть расположены как по обе
стороны от отрицательного заряда Q, так и по одну сторону от него.
Отношение сил в первом и втором случаях:
1 ' 16 rl 9 rl
¦^^=2*^3*^ = 0.675,
2 - 4 r 9 r2
где г - расстояние от заряда 2 до ближайшего положительного
заряда q.
565. Обозначим модуль силы буквой F с двумя индексами, первый из
которых показывает, на какой заряд действует сила, а второй -
со стороны какого заряда она действует (например, F(n - сила, действую-
действующая на заряд с/о со стороны заряда q{). Возьмем в качестве координатной
оси ОХ прямую, проходящую через заряды q\ a q2 (рис. 324). За начало
отсчета О примем точку, где находится заряд qt, а за положительное
направление - направление от заряда q^ к заряду q2. Закон Кулона
(в нашей записи) дает возможность определить лишь модуль вектора
силы, а знак проекции вектора будет, как обычно, положительным, если
сила направлена в положительном направлении оси ОХ, и отрицательным
в противном случае.
294

На каждый из трех зарядов действуют со стороны двух других по две
силы. Для равновесия необходимо, чтобы эти две силы были противо-
противоположными по направлению. Легко видеть, что это условие выполняется
лишь в случае, когда заряд q{) находится на оси ОХ между зарядами qx и q2
—0—-* ¦*—©—>—
F12 О F|g FQl <70 F02
Рис. 324
и имеет противоположный по сравнению с q\ и q2 знак. Пусть расстояние
между зарядами q{ и <уо равно х (О < х < г). Тогда (рис. 324):
а) на <7о действуют силы
Fm=\kq{)q[/x2\ и F,,2= \kq{)q2l{r - хJ\\
б) на q\ действуют силы
Fm = \kqxq{)lx2\ и Fn = \kqxq^r2\\
в) на q2 действуют силы
F2{) = \kq2qo/(r-xJ\ и F2] = \kq2qt/r2\.
При равновесии всех трех зарядов:
a)-F0, +/7о2 = О; 6)-F12 + /71o = O; в) F2l-f2() = 0.
Условие а) приводит к квадратному уравнению относительно х:
2 21 <gr, i I q, I т
x + — rx r = 0.
\q2\-\q]\ I q2 I - I qx I
Для корней этого уравнения
l
Г
Xi т =
\q2\-\qx\
выполняются условия: 0 < X] < г в любом случае; х2 < 0 при \q2\ > \qx\;
х2 > г при 1</21 < l<7il. Второй корень должен быть отброшен, как не
удовлетворяющий условиям равновесия. Таким образом,
X = X, = -;! Г=1М.
I q2 I - I qx I
Условие б) дает l^o^j I/jc2 = lq\q2i/r2: отсюда
2
0
\q2\x2
(\q2 I - I q) l)
295

566. Каждый заряд q взаимодействует с двумя другими зарядами q,
расположенными на расстоянии а от рассматриваемого (рис. 325). Поэто-
Поэтому на любой заряд действуют две равные по модулю силы F, = F2 = kq2/a2.
Равнодействующая этих сил (проекция векторной суммы этих сил на
диагональ параллелограмма)
F =
2kql
cos (a/2); отсюда a = q
2кcos (ос/2)
F
= 2,5 см.
567. На заряд </i действуют две равные по модулю силы со сторо-
стороны зарядов q2 и с/3, а также сила со стороны заряда q{) (рис. 326). Ввиду
Рис. 325
Рис. 326
равенства зарядов q\ = q2 = с/з = q получаем с/() = V 3 q/3 = 5,2 нКл. На заряд
</о действуют три равные по модулю силы, равнодействующая которых
равна нулю.
568. Каждый заряд с/ взаимодействует с тремя другими зарядами q, два
из которых находятся на расстоянии а от рассматриваемого, а один - на
расстоянии г = a/cos a =V2а (рис. 327). Поэтому на любой заряд действу-
действуют три силы: F] = F% = kq2/a2 и F2 = kq2/(y2aJ. Равнодействующая этих сил
(проекции векторной суммы этих сил на диагональ квадрата)
F = 2F]cosa + F2 = 42kq2 I a2 + kq2 12a2 =172мкН
и направлена по диагонали квадрата от его центра.
569. На заряд q0 действуют четыре силы, направленные попарно
по двум диагоналям квадрата (рис. 328) и равные по модулю Fo =
= kqoq/r2 (r = яЛ/2 - половина диагонали квадрата). Равнодействующая
этих сил
F - 4F() cos a = 8 lcq0 q cos a/a2 ~ 509 мкН,
где a = 45° - угол между диагональю и направлением равнодействующей.
570. После соприкосновения шарика В с шариком А заряд q пере-
перераспределится между шариками поровну и шарик В будет подниматься
296

вверх. Равновесие силы тяжести и силы Кулона наступит при k@,5c/J/h2 =
= mg; отсюда h ~ 9 см.
q
Рис. 327
571. с//т = ю2/?3/Л:1<7„1 = 15 мкКл/кг.
572. q = m^Glk = 0,774 пКл, где G = 6.67 • Ю1 Н ¦ м2/кг2 - гравита-
гравитационная постоянная.
573. Силы взаимодействия зарядов в вакууме и в керосине
F = kchii2lr2 = 1,44 мН и FK = к</,с/2/гг2 = F/г = 0,72 мН.
Следует отметить, что силы, приложенные к различным по модулю
зарядам, равны по модулю и противоположны по направлению. На экза-
экзаменах нередко ошибаются, утверждая, что к большему заряду приложена
большая сила. Это противоречит не только закону Кулона, но и третьему
закону Ньютона.
575. ;-| = г2П? = 17,3 см.
576. До погружения в керосин на шарики действуют (рис. 329а): сила
тяжести mg, сила натяжения нити Т, сила кулоновского отталкивания
F = кс/2/г2. где m - масса шарика, q - его заряд и г - расстояние между
/ !
—
\a
~4
*-"
f-p-
Рис. 329
шариками. При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное
и горизонтальное направления равны нулю (см. введение к § 6):
Тcos a-mg = Q, F-Tsin a = 0.
A)
297

При погружении шариков в керосин сила Кулона FK = kq2/tr2; сила
Архимеда/= mgpK/p и направлена вверх (рис. 3296). Условие равновесия
сил теперь примет вид
Гк cos а - (mg -f) = О, FK - Тк sin а = 0. B)
Из A) и B) имеем
F/FH = mg/(f- mg); отсюда р = ерк/(е - 1) = 1,6 ¦ 103 кг/м3.
577. е = р/(р - рж) (см. задачу 576).
578. F = k.
579. Обозначим заряды через с/\9 с/2 и Чу Тогда по закону Кулона
Исключая из этих уравнений ц\ и с/2, найдем
580. Сила взаимодействия F = kq^-Jr1 = 36 кН. Эта сила довольно
целика: она приблизительно равна силе, с которой притягивается к Земле
тело массы m = 3600 кг.
2а
Ч
mg
Рис. 330
Рис. 331
581. Ha каждый шарик действуют: сила натяжения нити Г, сила
тяжести mg и сила кулоновского отталкивания F = kq2/r2, где /• = 2/sin a
(рис. 330). При равновесии шарика суммы проекций сил на вертикальное и
горизонтальное направления равны нулю (см. задачу 576):
Т cos а - mg = 0, F - Т sin а = 0.
Исключив из этих уравнений Т и учитывая выражения для F и г, получим
m = kq2 cos <x/4l2g sin3 a = 6,3 r.
582. На подвижный шарик действуют: сила тяжести mg, сила куло-
кулоновского отталкивания F и сила натяжения нити Г (рис. 331). При
298

равновесии шарика суммы проекций сил на горизонтальное и верти-
вертикальное направления равны нулю:
F cos а - Т sin 2а = О,
F sin а + Т cos 2а - mg = 0.
Исключая из этих уравнений Г, находим
tg2a
— mg.
cosa + tg2a sin a
Используя известную формулу ctg a = sin 2a/(l - cos 2a), получаем
_ 1 - cos 2a
F = : mg.
sin a
Как видно из рис. 331. расстояние между шариками г = 2/ sin a. Следо-
Следовательно,
F = kq2 /г = kq4 IAl2 sin2 a;
отсюда
q = 2Ц{)щ I k){\- cos 2a)sin a = Цпщ I k = 0,8 мкКл.
583. Заряд шарика q полностью перейдет на внешнюю поверхность
сферы и распределится по ней равномерно.
Поэтому поверхностная плотность заряда на
сфере
о = q/S = q/4 nR2 = 0,1 мкКл/м2.
584. При внесении шарика с зарядом q внутрь
проводящей сферы на внешней поверхности
сферы появляются индуцированные заряды
того же знака, что и заряд q, а на внутренней -
противоположного знака (рис. 332). Поверхно-
Поверхностная плотность заряда на сфере
O = q/S = q/4 nR2 = 0,1 мкКл/м2.
Рис. 332
При изменении положения шарика электрическое поле внутри сферы
будет меняться, но это не скажется на распределении зарядов на внешней
поверхности сферы и их плотность будет прежней.
§ 19. Электрическое поле
Напряженность электрического поля
585. Напряженность электрического поля, создаваемая точечным
зарядом, Е = kq/гг2; отсюда г = у kqleE = 2,1 м.
5"86. Заряд q, находящийся в центре сферы, индуцирует на внутренней
поверхности сферы заряд —q, а на внешней поверхности - заряд +q
299

(см. задачу 584). Индуцированные заряды ввиду симметрии распределены
равномерно. Электрическое поле у внешней поверхности сферы совпа-
совпадает с полем точечного заряда, равного сумме всех зарядов (находящегося
в центре и индуцированных), т.е. с полем точечного заряда q. Следова-
Следовательно, Е2 = kqlR2 = 2,25 кВ/м.
Заряды, распределенные равномерно по сфере, внутри этой сферы
электрического поля не создают. Поэтому внутри сферы поле будет
создаваться лишь зарядом, помещенным в центре. Следовательно,
?, = kqlr2 = 9 кВ/м.
587. Напряженность электрического поля Е в третьей вершине тре-
треугольника (в точке Л) является векторной суммой напряженностеи Е\ и
Е2, создаваемых в этой точке положительным и отрицательным зарядами.
Эти напряженности равны по модулю: Е\ = Е2 = kqla2, и направлены под
углом 2а = 120° друг к другу. Результирующая этих напряженностеи рав-
равна по модулю Е = 2к \q\ cos a/a2 = 40,5 В/м (рис. 333), параллельна линии,
соединяющей заряды, и направлена в сторону отрицательного заряда.
588. Напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба
(в точке А) является векторной суммой напряженностеи (рис. 334), созда-
создаваемых в этой точке зарядами q^, q2 и Q: Е = Е{ + Е2 + Е3. По модулю
напряженности Ет, = kQla2, ?] = Е2 = kqla2, причем направления напря-
напряженностеи Е\ \\Е2 составляют с направлением напряженности Е3 °ДИ~
наковые углы а = 60°. Результирующая напряженность направлена вдоль
короткой диагонали ромба от заряда Q и равна по модулю
Е = kQla2 + 2k{qla2) cos a = k(q + Q)/a2.
589. Напряженности электрического поля Ех, Е2и Е3, создаваемые
зарядами qu q2 и Q в заданной точке, имеют модули, найденные в задаче
588, однако напряженность Е^ направлена в противоположную сторону,
т.е. к заряду Q. Таким образом, направления напряженностеи Е\, Е2ш Е^
составляют между собой углы 2а = 120°. а) При \Q\ < q искомая
напряженность Е = к (q - \Q\)/a2 и направлена вдоль короткой диагонали
ромба от заряда Q; б) при \Q\ = q напряженность Е = 0; в) при \Q\ > q
напряженность Е = к (IQI - q)ja 2 и направлена вдоль короткой диагонали
ромба к заряду Q.
300

' 590. Напряженности электрического поля в центре ромба, создаваемые
соответственно зарядами q\, q2, <7з и <7д>
E]=4kq]/d2u E2 = Akq2ld\, Е3 = Акс/т,/^, Е4 =
Напряженность в центре ромба
= DА / d;
- qx y d2 +{q4- q3 J^,4 = 15,9 кВ/м.
Угол а между направлением этой напряженности и короткой диагональю
ромба определяется выражением
tga = (Е2 - Е])/(Е4 - ?,) = (Яг ~ Ч\ fd\ Kq4 -
= 1, т.е. a = 45°.
i
mg
591. На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F = qE со стороны
электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 335). При равновесии
шарика суммы проекций сил на вертикаль-
вертикальное и горизонтальное направления равны
нулю:
Т cos a - mg - 0. -Т sin a + qE = 0;
отсюда Ig a = qElmg = 1. т.е. a ~ 45°.
592. На шарик действуют: сила тяжести
mg и сила F = qE со стороны электриче-
электрического поля, направленная вверх. Так как по
условию F > mg, то при равновесии шарик
будет находиться у верхнего конца верти-
вертикально натянутой нити (рис. 336). Равно-
Равнодействующая сила F и mg, если бы шарик был свободен, вызывала бы
ускорение а = qElm - g, которое, так же как и ускорение свободного
падения g, не зависит от положения шарика. Поэтому поведение шарика
будет описываться теми же формулами, что и поведение шарика под
действием силы тяжести без электрического поля (при прочих равных
условиях), если только в этих формулах g заменить на а. В частности,
период колебаний шарика на нити
Рис. 336
Т = 2%-ilTa =
При Т = Го должно выполняться условие а = g. Следовательно,
Е = Imglq = 196 кВ/м.
593. При наличии однородного электрического поля с напряжен-
напряженностью Е, направленной вниз, период колебаний шарика (см. задачу 592)
Т = 2ял/ ml/(mg + \q\E). В отсутствие электрического поля Г() = 2пу IIg =
= 1,20 с. Для положительного заряда q период Гг = 1,10 с, а для отри-
отрицательного Т2 = 1,35 с. Таким образом, изменения периода в первом и
втором случаях будут Г, - То = - 0,10 с и Т2 - Го = 0,15 с.
301

594. На шарик действуют: сила тяжести mg, сила F = qE со стороны
электрического поля и сила натяжения нити Т (рис. 337). Возможны два
случая: а) напряженность поля направлена вниз; б) напряженность поля
направлена вверх. При равновесии шарика
Т cos C = mg + qE cos a. 7sinC = qE sin a,
где знак плюс относится к случаю а), а знак минус - к случаю б);
Р - угол между направлением нити и вертикалью. Исключая из этих
уравнений р, найдем
Т = л/('"йJ ±2qmgEcosa + (qEy .
При этом: а) Т = 28,7 мН, б) Т = 12,0 мН.
595. Электрон в поле движется равнозамедленно. Пройденный путь s и
время /, за которое он проходит этот путь, определяются соотношениями
5= v /2уЕ = 2,31 см,
/ =v I уЕ = 47 не,
где у= elm = 1,76 ¦ 10" Кл/кг - удельный заряд электрона (отношение
заряда электрона к его массе).
/////////л //////////,
Е
' V
UF
1
-——.
-—-
Рис. 337
Рис. 338
596. На электрон при его движении между пластинами конденсатора
действует сила F = еЕ со стороны электрического поля. Эта сила на-
направлена перпендикулярно к пластинам в сторону, противополож-
противоположную направлению напряженности, так как заряд электрона отрицателен
(рис. 338). Силой тяжести mg, действующей на электрон, можно пре-
пренебречь по сравнению с силой F. Таким образом, в направлении, парал-
параллельном пластинам, электрон движется равномерно со скоростью и, имев-
имевшейся у него до того, как он влетел в конденсатор, и пролетает рас-
расстояние / за время t = 1/v. В направлении же, перпендикулярном к пласти-
пластинам, электрон движется под действием силы F и, следовательно, имеет
ускорение а = Flm = eE/m; за время t он смещается в этом направлении на
расстояние h = at2/2 = eEl 2/2mv 2; отсюда
и = ЦеЕ12тк = 3,98 • 107м/с,
к = mv2/2 = eEl11 Ah = 7,2- КГ16 Дж.
302

Потенциал. Работа электрических сил
597. Поле вне шара совпадает с полем точечного заряда, равно-
равного заряду <7 шара и помещенного в его центре. Поэтому потенциал
в точке, находящейся на расстоянии R + г от центра шара, ф,. = kq/(R + г);
отсюда с/ = (R + л)ф,- Ik. Потенциал на поверхности шара ф = kqlR =
= (R + ))(?,./R = 2,02 кВ.
598. Пусть заряд и радиус каждой капельки ртути равны q и г. Тогда
ее потенциал ф = kqlr. Заряд большой капли Q - Nс/, и если ее
радиус равен R, то ее потенциал Ф = kQIR = kNqlR = Nqr/R. Объемы
маленькой и большой капель v = 4пг 3/3 и V = 4%R ?/3 связаны между
собой соотношением V = Nv. Следовательно, r/R = 1//V 1/? и потенциал
Ф = Mp/W 1/3 = N 2/3 ф.
599. В результате электростатической индукции на внешней и вну-
внутренней поверхностях сферы появятся равные по модулю, но противо-
противоположные по знаку заряды (см. задачу 584 и рис. 332). Вне сферы
потенциалы электрических полей, создаваемых этими зарядами, в любой
точке равны по модулю и противоположны по знаку. Поэтому потенциал
суммарного поля индуцированных зарядов равен нулю. Таким образом,
остаются лишь поля, создаваемые вне сферы зарядом BQ на ее по-
поверхности и зарядом шарика q. Потенциал первого ноля в точке уда-
удаленной от центра сферы на расстояние г, ф[ = kQlr = kQ/\O R, а потенциал
второго поля в той же точке ф2 = kqlr = kql 10 R. Полный потен-
потенциал ф = ф| + ф2 = k{Q + <y)/10 R. При q = +20 нКл ф = 27 В; при
</ = -20нКл ф = -9В.
600. Наибольшую напряженность электрическое поле имеет у поверх-
поверхности шара: Е = kq/eR 2. Потенциал шара ф = kq/eR; отсюда ф = ER = 90 В.
601. Из закона Кулона определяем заряды шариков: q = /Л/ Flk. Заряд (/,
находящийся на шарике радиуса R = D/2. создает на поверхности этого
шарика потенциал
R D
В том месте, где находится этот шарик, заряд другого шарика создает
потенциал ф2 = kqlr = у kF. Таким образом, потенциал каждого шарика
602. Потенциал в центре квадрата равен алгебраической сумме потен-
потенциалов, создаваемых всеми зарядами в этой точке:
ф = ф, +ф2+ф3 +ф4 =(k/a)(q] +q2 +<?3 +Чл) = -180 В.
303

Напряженность поля в центре квадрата является векторной сум-
суммой напряженностей, создаваемых каждым зарядом в этой точке:
Е - Е\ + Е2 + Ез + Ец. Модули этих напря-
напряженностей
+ 1
о
-2
О
-4
О
Е3 =
q^/a2, E2=kq2/a2,
q3 la2, E4 = kqA I a2.
+ 3
о
Рис. 339
Удобно сначала сложить попарно векторы,
направленные по одной диагонали в проти-
противоположные стороны (рис. 339): Е, + Еъ и
Е2 + Е4. При данных зарядах сумма Е\ + Е3 по
модулю равна сумме Е2 + Е4. Поэтому ре-
результирующая напряженность Е направлена
по биссектрисе угла между диагоналями и
составляет с этими диагоналями углы а = 45°. Ее модуль Е = 2545 В/м.
603. Напряженности электрического поля в точках a ab
Еа = kq I г2 = 600 кВ/м, Еь = kq I гЛ2 = 37,5 кВ/м.
Потенциалы в этих точках
фи = kq I ra =30 кВ, <pfo = kq I rh = 7,5 кВ.
Работа электрических сил при перемещении заряда <7о из точки а в точку b
А = Яо(Фа -Ф/,) = kqQq0 Ira-\lrh) = 22,5 мкДж.
604. Напряженности электрического поля в точках а и b равны
Еи = kq I ra и Е/, = kq I rh , где га и rh — расстояния точек а и b от заряда q.
Потенциалы в точках а и b равны <ря = kqlra ~ ykqEa и фЛ = kqlrh = л/ kqE/,;
отсюда работа, необходимая для перемещения заряда </0 из точки
а в точку Ь,
А = Чо((?а~(?ь) = Aол[к~Я(л[Ё^-л[Е^).
605. При прохождении электроном разности потенциалов V = 1 В
электрические силы совершают над электроном работу А = eV =
= 1,60 ¦ 10~19 Дж. Эта работа равна кинетической энергии, приобретенной
электроном, т.е. 1 эВ = 1,60 ¦ 10"'9 Дж. Поскольку eV = mv2/2, то v =
= yl2eV/m = 593 км/с.
606. Работа электрических сил равна изменению кинетической энергии
электрона: eV = mv2/2; отсюда v = y2eVlm = 5930 км/с
607. Потенциал на поверхности шара <p = kq/R; отсюда (его заряд
q = (pR/k. Потенциал на расстоянии R + г от центра шара ф,- =
= kq/(R + г) = ф/?/(/? + г). При переносе заряда q0 из точки с потенциалом
ф,. в бесконечность работа электрических сил А = <7офг = qo*pRI(R + >') =
304

= 1 мкДж. Такую же работу необходимо совершить против электрических
сил при переносе заряда <7о из бесконечности в точку, находящуюся на
расстоянии /• от поверхности шара.
608. <р = A(R + r)lqrfi = 0,3 кВ.
609. А = <70(ф/, - <ро) = kqlyq(l/rh - I/O = 22,5 Дж.
610. А = kqo{qa - qh)(\/d - \Hr2 + d2) = -0,36 мДж.
611. Найдем потенциал, создаваемый зарядом q, находящимся на коль-
кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии Л' от его центра
(рис. 340я) и, следовательно, на расстояниях г =VR2 + х2 от точек,
лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с
расстоянием г. Тогда заряд Д<7,, находящийся на каждом отрезке (/ - номер
отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке
А потенциал ф, = kAqj/r. Потенциал, создаваемый в точке А всеми
отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстоя-
расстояние г), будет
Ф = ф, +ф2 + Фз +¦•• = (к/ r)(Aqx + Aq2 + Aq3 +...).
В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т.е. заряд всего кольца q;
поэтому Ф = kqlr = kq/y R2 + х2.
Потенциал Ф] поля в центре первого кольца складывается из
потенциала, создаваемого зарядом </;, находящимся на первом кольце, для
которого л" = 0, и потенциала, создаваемого зарядом <7г, находящимся на
Я\
Рис. 340
втором кольце, для которого х = d (рис. 3406). Аналогично находится
потенциал в центре второго кольца:
Ф, =k(qi/R + q2/^R2+d2), Ф2 = k(q2l R + qA /VR2 +d2 ).
Окончательно для работы имеем
612. Если заряды qn и q одного знака, то удалить шарик от кольца в
бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же
знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий
шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю
305

13 бесконечности: nw2/2 + с/ф = 0, где ф = kqlR - потенциал в центре кольца
(см. задачу 611); отсюда v = л/ 2k\q{)q\lmR.
613. v = ^ikeqlmR = 800 км/с.
614. Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с
напряженностью Е = Vld. направленной вертикально. После удара шарик
приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора.
Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила
F = с/Е = qV/d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии
изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае - электри-
электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и
конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле
силы тяжести, получим
А = Fh = —— h = mg(h — Н), откуда h=-
d mgd — qV
615. Согласно закону сохранения энергии
mgh — (mv~ l
где qV- работа электрических сил, V - kqlH - kqlh - разность потенциалов
точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для опреде-
определения h получаем квадратное уравнение:
2g mgH J mg
Решая его, найдем
2[2g mgH ) у 4{2g mgH ) mg
(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте,
достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость,
направленную вверх).
2 ^ 2g mgH J ^ 4{2g mgH ) mg
617. Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет
на увеличение кинетической энергии электрона:
е (фа — фй) = mv212 — mvf? 12,
откуда
фа-фй= (v2 - vl )/2y = -22,7 В,
306

где у - удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна.
Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона
увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.
618. За время пролета t = Ilv (см. задачу 596) электрон смещается в
направлении действия силы на расстояние
h = at112 = yVl2/2 u2d = 5,5
MM,
где у- удельный заряд электрона.
619. На пылинку действуют силы тяжести mg и сила F = qxEx со
стороны электрического поля, где <?] - начальный заряд пылинки и
Е\ = V\ld — напряженность электрического поля в конденсаторе. Чтобы
пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора
должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F. или mg = qxVxld; отсюда qx = mgdI Vx.
Так как уменьшение заряда пылинки на <7() = 1000 е равносильно
увеличению положительного заряда на до, то новый заряд пылинки
с/2 = с/\ + (/о. При равновесии mg = c/2V2/d, где V2 - новая разность
потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для q2, q2 и <7о,
найдем
V2 = mgd I q2 = mgVxd/(mgd + 1 OOOeV,) = 5020 B.
Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V2 — V] =
= — 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд
пылинки увеличился).
620. Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положи-
положительно. Новый заряд пылинки q2 - с\х - с/{), где с/о = 1000 е. Поэтому
(см. задачу 619)
V2 = mgd I q2 = mgVxdl(mgd - ЮООеУ,) = 7460 B.
Напряжение между пластинами нужно увеличить на V2-Vx = 1460 В.
621. При равновесии
Dлг3 /3)pg = eV/d, откуда г = феVI Angpd =7,6-10~5см.
622. Напряженность электрического поля в конденсаторе Е = Vld.
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,
Va/, = ф„ - фй = El = Vlld, где фя - потенциал в точке расположения заряда
+q, а ф/,- потенциал в точке расположения заряда -q; при этом ф„ > ф/,.
При повороте палочки электрические силы совершают работу по
переносу заряда —q из точки а в точку h и заряда +q из точки b в точку а,
равную
Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.
307

623. M = qVHd = 9 ¦ 10"9 Н • м.
624. V = -[f + Ht =460 кВ.
l )
625. Если до замыкания шарик 2 имел заряд q, то сумма зарядов
шариков 1 и 2 после замыкания q2 + q2 = q. Потенциалы же их после
замыкания одинаковы: ф = kq^/K\ = kq2/R?. Следовательно, q2 = q\RilR\-
После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой
тв = кЩг = к^-, откуда ?1=/,M--L.
h я /?, \ к R2
Начальный потенциал шарика 2
kq k(qx+q2)
Ф = =!
7
—т = ! = kq, - = h \kms— ! — = 12,6 кВ.
Электрическая емкость
626. Емкости проводящего шара в керосине и в глицерине С; =
и С2 = 47i?oe2/?. Их отношение С2/ С|= е2/е, = 28,1.
627. Заряд на пластине, заряженной положительно, q = CV = 5 иКл.
628. v= V2yoS/C = 1,03 • 107 м/с, где у- удельный заряд электрона.
629. Конденсатор из трех пластин можно рассматривать как два пло-
плоских воздушных конденсатора с емкостью e^S/d каждый", соединенных
параллельно (см. рис. 77). Поэтому общая емкость (без диэлектрика)
Со = 2z{)Sld ~ 35,4 пФ. При погружении конденсатора в глицерин его
емкость С = еС() = 2е0е Sid « 200 нФ.
630. C = Ct 1{п - 1) = е() е S/(n -1)^=31 пФ.
631. лг = qE/g = \ q\Q I ZqR2 g = Ъ.1 т.
632. Напряженность электрического поля внутри плоского конден-
конденсатора связана с зарядом Q на его пластинах соотношением Е = Q/Щ) S.
На шарик внутри конденсатора действуют сила тяжести mg, сила
натяжения нити Т и сила F = qE со стороны электрического поля
(см. рис. 335). При равновесии шарика в пространстве конденсатора
(см. задачу 591) qF = mg tg а, или
—— = mglga; отсюда Q = —-—^-tg(X = 5,2 мкКл.
805 q
* Напомним, что в большинстве задач относительная диэлектрическая прони-
проницаемость среды, в том числе и воздуха, принята равной единице и в формульные
выражения не входит.
308

633. Если qx и <72 - заряды на пластинах до и после погружения
конденсатора в керосин, то
Aq = q2-qx = ео(е- \)C0V = eo(e- IMV/rf = 50 нКл.
634. Заряд на пластинах не изменяется, поэтому V = dV0/ed0 =
= 100В.
635. При перемещении пластины емкость конденсатора в данный
момент времени определяется той частью площади пластин, по которой
они перекрывают друг друга. В моменты времени tx и t2 площади 5] =
= ?() - vltx, S2 = Stt - ult2, где / = 10 см - длина стороны пластины. В эти
моменты времени конденсатор имеет емкости С] = enS\ Id, C2 = ео5() Id, a
заряды на его пластинах
qx=CxV = EQSxVld, q2=C2V = ?0S2V/d.
Заряд, протекший по проводам за время At = t2 - tх,
Aq = qx -q2 = еоE", -S2)VId = ?0vl(t2 -tx)Vld.
При этом ток / = AqlAt = е() и! V/d = 32 нА.
636. Общий заряд параллельно соединенных конденсаторов
q = (Ci + C2)V = 0,6 мкКл.
637. V=2VOI3=4B.
638. V=(C[V]+ C2V2)/(Ci + C2) = 40 B.
639. C2 = C,(Vl -У)/(У-У2)=10мкФ.
640. Заряды конденсаторов до их соединения q\ = C\VX и q2 = C2V2.
После соединения разноименно заряженных обкладок конденсаторов
общий заряд q = l<72~c/i' = (С] + C2)V и заряд первого конденсатора
ц\ — С| V. где V — разность потенциалов между обкладками конденсаторов
после соединения; отсюда
q[ = С, I C2V2 - С,Vx I /(С, + С2) = 32 мкКл.
641. После соединения разноименных обкладок общий заряд q = CV
равен разности зарядов qt = C\ V\ и q2 = C2V2 отдельных конденсаторов, где
С = С] + С2 — общая емкость после соединения. Таким образом,
(Cx+C2)V = qVx-C2V2, qx>q2\
(CX+C2)V = C2V2~CXV], qx<q2.
Решая эти уравнения, получим в первом и во втором случаях
С, = (V2 + V)C2I(VX - V) = 11 мкФ, С, = (У2- V)C2I(VX + V) = 3 мкФ.
642. До соединения заряды первого и второго конденсаторов
с/1 = ICiKjl и <72 = IC2V2I. После соединения разноименных обкладок общий
заряд
Чг- Я\ = \C2V2\ - 1С,1/,1 = ± 1(С, + C2)V\.
309

Двойной знак мы здесь поставили потому, что заранее не известно, какой
из зарядов, <72 или qx, больше; отсюда
l ± 1(С,
С2)Щ1С2.
Решение со знаком минус соответствует случаю, когда знаки зарядов на
пластинах первого конденсатора после соединения пластин не меняются,
а со знаком плюс - случаю, когда эти знаки становятся обратными. Так
как в нашем случае \С\ V{\ < \{С\ + C2)V\, а величина \V2) должна быть всегда
положительной, то существует лишь одно решение - со знаком плюс. В
результате IV2I = 350 В.
643. qx = Rxql{Rx + R2)\ q2 = R2ql(R\ + R2).
644. Соединение шаров проводником эквивалентно параллельному
соединению конденсаторов. После соединения
ч[ = СМ\ + ЧгЖСх + С2) = Rx{qx + q2)l{R{ + R2) = 1,9 нКл,
q'2 = C2(q{ + c/2)/(C, + C2) = R2{qx + q2)l{R{ + R2) = 4,8 нКл.
645. Заряды на шарах до и после соединения qx = Rx<px, q2 = /?2ф2 и q[ =
= /?|ф, q'2 = /?2ф- Общий потенциал шаров после соединения определим из
условия сохранения заряда: ф = (/?jср| + R2<p2)/(RX + R2). Заряды на первом и
втором шарах после соединения
+R2)-
q'2 =
Поверхностные плотности зарядов на шарах
646.
о, = ад[ IR 1 = ео(/?,ф1 + R2q2)/R\(R] + /?г) = 4,425 нКл/м2,
а2 = г(й'2 IR\ = е„ (/?,ф, + R2<p2)/R2(RX + R2) = 8,85 нКл/м2.
= (V0-VW=7.
о-
С,
'-О
647. Емкость трех конденсаторов без
диэлектрика С, = ЗС(| = Зе0Ш = 832,5 пФ.
При заполнении двух конденсаторов ди-
диэлектриками емкость трех конденсаторов
= 2775 пФ.
= e,, (e, + e2 +
Co 648. Если d - расстояние между пласти-
1 нами и С() - емкость конденсатора без ди-
Рис. 341 электрика, то разность потенциалов между
пластинами конденсатора (без диэлектрика)
Vo = E{)d и заряд на пластинах q = C0V = С{)Е^. Конденсатор, половина ко-
которого заполнена диэлектриком, можно рассматривать как два соединен-
соединенных параллельно конденсатора (рис. 341), причем один не содержит
диэлектрика и имеет емкость С\ = Са/2, а в другом все пространство
310

между пластинами заполнено диэлектриком, и поэтому его емкость С2 =
= еС()/2. Полная емкость конденсатора, половина которого заполнена
диэлектриком, С = С\ + С2 = (е + 1)С()/2. При отключенном источнике
тока заряд на пластинах сохраняется, поэтому разность потенциалов
между пластинами V = q/C, и напряженность электрического поля в
пространстве между пластинами, свободном от диэлектрика, Е = VId =
= q/Cd = 2E{)/(? + 1).
649. Если V] и V2 - напряжения на первом и втором конденсаторах, то
V =V\ + V2, а заряды на них одинаковы и равны q = C\V\ = C2V2', отсюда
Vx = C2VI(C\ + С2) = 165 В, V2 = C,V7(C, + С2) = 55 В.
При последовательном соединении конденсаторов на конденсаторе мень-
меньшей емкости напряжение больше, чем на конденсаторе большей емкости.
650. Напряжения на первом и втором конденсаторах Vt =
= C2V7(C, + С2) = 600 В и V2 = C,W(C| + С2) = 300 В (см. задачу 649).
Работать при указанном в условии задачи напряжении пробоя конден-
конденсаторов нельзя, ибо произойдет пробой первого, а затем и второго кон-
конденсаторов.
651. При изменении емкости переменного конденсатора С2 от Ст1„ до
Стах напряжение на нем V изменяется в пределах (см. задачу 649)
Vmin = CXVI(CX + Стм) = 100 В, Vm,a = C,V/(C{ + Cmin) = 182 В.
652.
± с2
2 \ A C{-Co
653. При последовательном соединении конденсаторов имеем
I/С,) — 1/С] = 1/С2 + 1/Сз, при параллельном С - С\ = С2 + С^. Из этих
уравнений находим С2С3 = С{)С\(С - С\)/(С] - С()). Согласно теореме Виета
С2 и Со, должны быть корнями квадратного уравнения
х2 + (С, - С)х + C(?i{C - Cx)/(Ci - С„) = 0.
Решая его, найдем л-1>2 = С2 = С3 = 2 мкФ. Заряды на всех конденсаторах
при последовательном соединении равны между собой:
q = С, V, = C2V2 = C3V3; отсюда V2 = С, Vt/C2 = 30 В,
1/3 = с,1ус3 = зо в.
654. При последовательном соединении конденсаторов заряд каждого
конденсатора равен q, поэтому
К, = q/C] = 30 В, V2 = q/C2 = 15 В, V3 = q/C3 = 6 В.
Напряжение источника тока равно полному напряжению на всех кон-
конденсаторах: V - у, + V2 + V3 = 51 В. Так как при последовательном соеди-
соединении 1/С,) = 1/С] + 1/С2 + 1/С3, то
С,, = СХС2СЪ1(СХС2 + СхСг + С2СЪ) = 59 пФ.
311

655. К, = С2СтУ1{С{С2 + CtCi + С2Сг) = 20 В;
V2 = С,СзК/(С,С2 + СХС3 + С2С3) = 8 В;
V3 = CQV/CC.Cz + СХСЪ + С2С3) = 4 В.
656. При последовательном соединении конденсаторов заряды на кон-
конденсаторах равны. До погружения одного из них в диэлектрик заряд на
каждом конденсаторе </0 = CV{) = CV/2; после погружения одного из них в
диэлектрик заряды конденсаторов будут q = CV\ = eCV2. Учитывая, что
V] + V2 = V, имеем q = eCV/(l + е). Изменение заряда на конденсаторах
q - q{) = С Bе - 1)У/2 A + е) = 167 пКл.
657. Первоначальная напряженность электрртческого поля в каждом
конденсаторе Е\ = Vfld, где d - расстояние между пластинами конден-
конденсатора. После заполнения одного конденсатора диэлектриком напря-
напряженность электрического поля в нем Е2 = V/(e + 1)^. Отношение
напряженностей ?2/^1 = 2/(е + 1) = 0,2.
658. После отключения конденсатора от источника тока и заполнения
его диэлектриком заряд на нем не изменяется: q = CV/2 = eCV2. Напря-
Напряженность электрического поля в конденсаторе, заполненном диэлектри-
диэлектриком, Е2 = V2/d = У/2Ы. Отношение напряженностей ?2/^1 = 1/? = 1/9.
659. Изменение емкости соединенных конденсаторов АС = (е—1) х
хС/2(е+ 1)= 1,7 пФ.
о-
с2
-о о-
-о
о—
d-, U
м *vr
с.
-о о-
Рис. 343
С,
-О
660. После введения пластинки образовалось два последовательно
включенных конденсатора с емкостями С\ = e^S/l и С2 = e<,)S/(d-l)
(рис. 342). Их общую емкость определим из соотношения
1
¦ = — + -
/ d-l
d
e0S
1
"с'
где С - первоначальная емкость конденсатора. Таким образом, после
введения пластинки при любом ее положении С() = С.
661. Введение проводящей пластинки между обкладками конденсатора
приводит к образованию двух последовательно включенных конденса-
312

торов с расстояниями между обкладками J, и d2 и емкостями С, = e^ldx и
С2 = EqS/cIj, где J] + d2 = d - dtl (рис. 343). Их общую емкость находим из
соотношения
1
1
d - d,.
отсюда
?0S
d-d,,
При с/,, = d/3 имеем C() = ЗС/2, где С = е(M7й! - первоначальная емкость
конденсатора.
662. Емкости конденсатора до и после внесения проводящей пластинки
толщины du (см. задачу 661) Со = E^SId и С = z^SI(d-dli). Заряд конден-
конденсатора, отключенного от источника тока, не изменяется: q = C^V^ = CV;
отсюда разность потенциалов между обкладками
конденсатора после внесения проводящей пластинки
V = CoV()/C = (d - dn)V{)/d = 40 В.
663. Если в конденсатор ввести тонкую проводя-
проводящую пластинку, параллельную его обкладкам, то на
ее поверхности появятся равные заряды противо-
противоположного знака. При этом электрическое поле в
конденсаторе не изменится и емкость конденсатора
останется прежней (ср. с задачей 660). Емкость
конденсатора с диэлектрической пластинкой можно
найти, предположив, что на поверхностях этой
пластинки нанесены тонкие проводящие слои. В
этом случае образуются три последовательно
соединенных конденсатора с емкостями С] =
S
Рис. 344
ь С2 =
и C3 = ?(M/<г/3, где d2 и d3 — расстояния между поверхностями диэлектриче-
диэлектрической пластинки и обкладками, причем d2 + <э!3 = d - dt (рис. 344). Общая
емкость конденсатора С определяется из формулы
1111 1 fd,
С
- + d2
отсюда
s~<
eoeS
664. С = еое^езЭДе^г + е,е3 + e2e3)d = 90 пФ (см. задачу 663).
665. Представим конденсатор с диэлектрической пластинкой в виде
двух параллельно включенных конденсаторов, первый из которых не
содержит диэлектрика и имеет емкость С\ = С0/2, где С() = Z^SId —
первоначальная емкость конденсатора, а во втором площадь обкладки
равна площади диэлектрической пластинки S/2 (рис. 345а). Затем второй
конденсатор представим в виде двух последовательно соединенных кон-
конденсаторов, один из которых не содержит диэлектрика и-имеет емкость
С2 = С», а другой полностью заполнен диэлектриком и имеет емкость
313

C3 = еС() (рис. 3456). Емкость этих двух конденсаторов С4 -
= С2С3/(С2 + С3) = еС0/A + е). Емкость всех трех конденсаторов
С = С] + С4 = A + Зе)С„/2A + е). Отношение емкостей С7С() =
= A+Зе)ДA+е) = 7/6.
Здесь мы считаем, что размеры обкладок намного больше расстоя-
расстояния между ними, и поэтому пренебрегаем краевыми эффектами, т.е.
отличием электрического поля на краях обкладок и диэлектрической
о-" с, '-о о-
1с,
. с,== в?-
т
с.
о—
с,=
О—(
Сг
Сз
I
т
т
Т
Рис. 346
пластинки от однородного. В противном случае емкость первоначального
конденсатора не равна емкости трех конденсаторов, изображенных на
рис. 3456.
666. С = С|С3/(С, + С3) + С2С4/(С2 + С4) = 4,5 мкФ.
667. Схема включения, представленная на рис. 82, эквивалентна схеме,
изображенной на рис. 346а. Ввиду равенства емкостей всех конденса-
конденсаторов разность потенциалов между точками а и b равна нулю, кон-
конденсатор С4 всегда не заряжен, и схема упрощается (рис. 3466). Общая
емкость конденсаторов
С = СХ + СгСг1(Сг + С3) + С5Сб/(С5 + Св) = 2С„.
668. Vah = (С,V{ - СтУгЖСх + С2) = -1,3 В.
669. q = Vc\c2{z - 1)/(С, + C2)(Cj + eC2)« 30 пКл.
670. Вначале разность потенциалов между обкладками каждого кон-
конденсатора была V] = V/2, где V - напряжение источника тока. После за-
заполнения одного из них диэлектриком V = qlC + q/eC = q(? + 1)/еС, где
(/-заряд на каждой обкладке, a q/C = Ve/(e+ 1) = V2 и q/eC - разно-
разности потенциалов между обкладками до и после заполнения конден-
конденсатора диэлектриком. Так как напряженность электрического поля
в конденсаторе пропорциональна разности потенциалов между его
обкладками, то отношение напряженностей до и после заполнения
ЕХ1Е2 = V,/V2 = (е + 1)/2е = 5/8.
671. AF = FItlq.
672. После подключения к источнику тока заряд каждого кон-
конденсатора в последовательной цепи amb равен q' = C'V, где С' =
= С\СЪ1(B] + С3) - емкость цепи amb, а заряд каждого конденсатора в
314

последовательной цепи апЪ равен q" = C"V, где С" = С2С4/(С2 + С4) - ем-
емкость цепи anh. Разность потенциалов между точками а и т равна
V = q'IC\ = C3V7(Ci + C3); разность потенциалов между точками а и п равна
V" = q"/C2 = C4V/(C2 + С4). После отключения от источника тока схему
можно рассматривать как две параллельные цепи из последовательно
включенных конденсаторов (man из С\ и С2 и тЪп из С^ и С4), заряженных
до разности потенциалов
уо = V" -V' = | —^ ^—V-
[С С С)
При замыкании ключа К разность потенциалов между точками т и п
становится равной нулю. Цепь man разряжается, и через точку а проте-
протекает заряд q = CV, где С = С\С21(С\ + С2) — емкость этой цепи. Таким
образом,
г) 8
673. Сх = С2 = 5 мкФ; Су = С, = 2 мкФ.
674. Относительно земли пластина а имеет потенциал ф„ = -V,
а пластина b - потенциал ф/, = V. Разность потенциалов между ними
Фй~ Ф« = 2V, и напряженность электрического поля Е - (фл - Ф„)/<5? =
= 2Vld = 40 кВ/м.
675. а = и2/&укс1 ~ 833 нКл/м2, где у = е/т = 1,76 • 1011 Кл/кг - удельный
заряд электрона.
676. По закону сохранения энергии количество теплоты, выделившееся
при разрядке конденсатора, равно электрической энергии, запасенной в
конденсаторе: Q = W = q2/2C = 0,25 Дж. Разность потенциалов между
обкладками конденсатора до разрядки V = qlC = 500 В.
677. Энергия, запасенная в п конденсаторах, W = nCV2/2 = Q\ отсюда
разность потенциалов V = л/ IQInC = 500 В.
678. Емкость шара С = 4ле()/?. Вся электрическая энергия заряженного
шара перейдет в теплоту: Q = Сф2/2 = 271?A/?ф2 - 25 мкДж.
679. Электрическая энергия, запасенная шаром, W = qq>/2, откуда
q = 2М7ф = 0,4 мКл.
680. До соединения конденсаторов их заряды q\ = С\ V,, q2 - C2V2, а их
общая энергия Wq = C{V\I2 + C2V2/2. После соединения конденсаторов их
полный заряд q = qx + q2 = (Q + C2)V, где V - разность потенциалов между
верхними обкладками и землей; отсюда V = (С,^ + C2V2)I(C\ + C2). После
соединения верхних обкладок конденсаторов их общая энергия W =
= (С, + C2)V2I2 - (C,V, + C2V2J/2(C, + С2). Выделившееся количество
теплоты равно разности начальной и конечной энергий конденсаторов:
, - V2J/2(C, + С2) = 4,5 мДж.
315

При V\ = V2 нет перехода зарядов, поэтому теплота не выделяется. Если
потенциалы V\ и V2 имеют одинаковые знаки, то теплоты выделяется
меньше, чем в случае разных знаков потенциалов.
681. Выделившееся количество теплоты равно разности энергий кон-
конденсаторов до и после соединения (см. задачу 680):
Q = WU-W= CxC2{Vx - K2J/2(d + С2) = 0,5 мДж.
§ 20. Постоянный электрический ток
Закон Ома для участка цепи. Сопротивление проводников
682. Ток в проводнике / = qlt. Плотность тока j = I/S; отсюда
j = qltS = 2 кА/м2.
683. Цепи деления шкалы прибора как миллиамперметра i = UN =
= V/RN = 0,1 м А/дел.
684. Сопротивление прибора R — VII - 2 кОм.
685. Сопротивление вольтметра найдем из условия, что при отклонении
стрелки на всю шкалу напряжение на зажимах прибора равно Vo, а ток,
текущий через прибор, равен /0: R = Vq/I0 = 2 кОм. Когда же вольтметр
показывает напряжение V, то через него течет ток / = VIR =
= /()v/V0 = 2,5 мА.
686. / = /„(/? + Ло)//? = 27,5 мА.
687. V=qR/t = 4B.
688. К, =//?! = 200 В; V2 = IR2 = 120 В; V3 = Шъ = 0,4 В.
689. р = kRD2/41 = 0,017 мкОм • м.
690. R = pm/yS2 = 191 Ом.
691. / = nVD2/4pl = 0,236 А.
692. р = VSIIl = VkDz/4H = 5 мкОм • м.
693. V, = IRl = S2S3V/(SiS2 + 5,53 + S2S^) = 6 В;
V2 = //?2 = 5,53V7E,52 + S,S3 + S2S3) = 3 B;
V3 = //?3 = S^V/iS^ + 5,53 + S2S3) = 2 B.
694. При температурах ?j и Г2 сопротивления проволочки /?] =
= /?0(l + af]) и /?2 = /?o(l + cw2). где /?o - ее сопротивление при ?() = 0 °C.
Искомая температура
t2 = [R2 (i + af,) - /?,]/«, = 48,3 °C.
695. t2 = [V(l + Ш,) - //?]//« = 1910 °C.
Последовательное и параллельное соединения проводников.
Добавочные сопротивления и шунты
696. R = (V- Vo)//O = 25 Ом.
697. Напряжение на сопротивлении VR = V - 2V0. По закону Ома
/я = //?; отсюда R = (V- 2V,,)// = 2,5 Ом.
316

698. Через вольтметры протекает один и тот же ток /. Так как
вольтметр показывает напряжение на собственном сопротивлении,
то / = V]//?] и сопротивление второго вольтметра R2 = ^V^ = ^2^1/^1 =
= 2 кОм.
699. /, = /0(Л0 + /?)/[/?0( 1 + да) + /?] = 23,6 мА.
700. При температуре t общее сопротивление последовательно
включенных частей проводника с сопротивлениями R{ и R2 будет
R = R\+R2 = /?н)( 1 + ccif) + Л2()A + а20 = Лю + /?2о + (а,/?,,) + a2R2o)t, где /?ш и
/?2о - сопротивления угольного стержня и проволоки при fy = 0 °С.
Общее сопротивление проводника не зависит от температуры, если
«|/?10 + а2/?2о = 0. В этом случае при любой температуре R = Rn) + /?20.
Из последних двух уравнений найдем
/е1() = a2R/(a2- a,) = /?/6 = 333 Ом,
/?2о = -а,/?/(а2- а,) = 5Л/6 = 1667 Ом.
701. Схемы электропроводки, позволяющие включать и выклю-
выключать лампочку в любом конце коридора, показаны на рис. 347. У концов
Рис. 347
коридора устанавливаются два переключателя /7[ и /72, каждый из
которых имеет два положения. В зависимости от расположения выводов
от сети может оказаться выгоднее с точки зрения экономии проводов
вариант а или б.
702. /[ = V/R = 0,6 А при параллельном соединении; /2 = V/2R = 0,3 А при
последовательном соединении.
703. Пусть при данном положении движка сопротивление участка ах
потенциометра равно гх (см. рис. 89). Тогда общее сопротивление этого
участка и вольтметра (они соединены параллельно) Rx = rxr/(rx + г), а
сопротивление остальной части потенциометра xb равно /?() - гх. Таким
образом, полное сопротивление между точками аи b будет
гх+ г
Ток в цепи / = V/R. Напряжение на участке ах
Так как по условию Rq <^ г и, кроме того, /\ =s Rq, to первым членом в
знаменателе можно пренебречь по сравнению со вторым (первый член
317

представляет собой произведение двух малых величин i\ и /?о— i\, в то
время как второй - произведение малой величины /?() на большую
величину г). Следовательно, Vк ~ i\V/R{), т.е. напряжение Vх пропор-
пропорционально сопротивлению г,. В свою очередь сопротивление /\. пропор-
пропорционально длине участка ах.
Рис. 348
Рис. 349
На рис. 348 сплошная прямая показывает зависимость Vv от гЛ,
штрихпунктирная линия - зависимость V, от i\, когда R{) ~ г, т.е. когда в
выражении для Vy нельзя пренебречь первым членом в знаменателе. Эта
зависимость не является линейной, однако и в этом случае Vx изменяется в
пределах от нуля до напряжения на клеммах источника V.
704. Площади сечения железной и медной частей провода S\ = Kd2/4 и
S2 = %(D2-d2)/4 (рис. 349). Их сопротивления R] = p,//S| и R2 = p2l/S2.
Сопротивление R биметаллического провода находится по формуле
параллельного соединения проводников:
h _ 4/PiP2
Г)
+R2
¦ = 0,100м.
Сопротивления железного и медного проводов диаметра D и длины /
Rx = 4/ p,/nD2 = 0,61 Ом, Лм = 4/ р2/лО2 = 0,087 Ом.
(Rl+ /?б)(/?2 + ^ + Ra + Л5) + (/?г + ^4 + *
705. R=
~ 7Ом
706. При последовательном соединении двух проводников с сопро-
сопротивлениями /?| и/?2 их общее сопротивление R=R\ + R2, а при па-
параллельном соединении - R = /?]/?2/(/^i + /?г)! отсюда /?0/? = /?]/?2. Согласно
известному свойству приведенного квадратного уравнения (теорема
Виета) сумма корней этого уравнения равна второму его коэффициенту с
обратным знаком, а произведение корней - свободному члену, т.е. /?) и /?2
должны быть корнями квадратного уравнения г2 + рг + с/ = 0 с р =
= -/? и ?/ = /?(,/?; отсюда/?, 2 =(/?±д//?2-4/?0/?)/2. Подставив значения /?0
и /?, найдем /г,=ЗОмий2 = 2Ом (или /?, = 2 Ом и /?2 = 3 Ом).
318

707. Точки присоединения подводящих проводов делят длину окруж-
окружности кольца в отношении 1 : 2, т.е. отстоят друг от друга по дуге на 120°.
708. /?2 = V/?,/(//?, - V) = 1 кОм.
709. Ток в общей цепи / = /, + /2, где 1Х ш 12 - токи, текущие через
лампочку и вольтметр. Так как V = I\R\ = I2R2, то /2 = V/R2 и Rt = V/It =
= V/(! - I2) = VR2/(IR2 - V) = 100 Ом. Пренебрегая
током /2 = 1,25 мА по сравнению с / = 0,5 А
получим по приближенной формуле /?] = V/I то же
значение сопротивления лампочки: Rt = 100 Ом.
710. Показание вольтметра V = I]R\ = I2R2, где /.
и /2 — токи, текущие через сопротивление и
вольтметр. Общий ток I = 1{ + /2; отсюда Rt = V/l\ =
= V/(I - /2) = VR2I(IR2 - V) = 20,16 Ом.
Если пренебречь током /2 по сравнению с /, то
искомое сопротивление R{ = V 11 = 20 Ом. Ошибка
в определении /?,' будет
R?
"-O
Рис. 350
=Rl-R(=
-12)- V/I = ]2VI
= 12VI1X1.
Учитывая, что V/I = R[ hI2/1\ =R\/R2, найдем относительную ошибку:
ARJRi = R[l R2 = 0,008, т.е. 0,8 %.
711. Вольтметры с сопротивлениями R и 10/? показывают напря-
напряжения V] = У/3 и V2 = 10V/21; поэтому разница в показаниях вольтметров
V2 - V, = V/l.
712. Напряжения на первой и второй лампочках
r +brR+R~
= 9,54В.
713. Ц = ¦
¦ = 80В.
714.4=
V,=
4RiR2+(Rl +R2)R
R2{2RX+R)V
=96В;
= 84В.
4R]R2+(Rl+R2)R
715. Эквивалентные схемы включения изображены на рис. 350. Сопро-
Сопротивления реостатов
I
J
2*0-*
716. Весь проводник имеет сопротивление R = пг, где г - сопротивление
каждой из п равных частей проводника. При параллельном соединении п
319

7
одинаковых проводников их общее сопротивление /?() = г/п. Исключая /¦,
получим /?//?о = п2; п может быть лишь целым положительным числом,
большим единицы. Поэтому решения возможны только в случаях, когда
/?//?„ = 4, 9, 16, 25, 36,... В нашем случае п = д/ЗбТТ = 6.
717. На участках Аа и W? (рис. 351), ввиду равенства сопротивлений
ребер куба и их одинакового включения, ток / равномерно разветвляется
„ по трем ветвям и поэтому в каждой из них равен 1/3.
j На участках ab ток равен 1/6, так как в каждой точке
а ток вновь разветвляется по двум ребрам с равными
сопротивлениями и все эти ребра включены
одинаково.
Напряжение VAB - IR между точками А а В скла-
складывается из напряжения VAa = ///3 на участке Аа,
напряжения Vab = lr/6 на участке ab и напряжения
VhB = /г/3 на участке ЬВ: IR = lr/Ъ + /г/6 + /г/3 = 51 г/6;
Рис. 351 отсюда R = 5//6.
718. Если источник тока подключен к точкам с и
с/, то напряжения на участках da и ab равны, поскольку проволока
однородна. Следовательно, разность потенциалов между точками а и h
равна нулю. Ток на этом участке отсутствует. Поэтому наличие или
отсутствие контакта в точке пересечения проводников ab и cd без-
безразлично. Сопротивление /?v, таким образом, представляет собой сопро-
сопротивление трех параллельно включенных проводников: cd с сопротивле-
сопротивлением 2rRh cad и cbd с одинаковыми сопротивлениями nrRi. Из соотноше-
соотношения 1//?Л. = 1/2/7?, + 1/71/7?/ + 1/7Г/7?, находим Rx = 2nrR,/(K + 4).
719. Д/ = 3Vl/RiLBL + /) = 0,136 А.
720. п = 5.
721. Сопротивление R = 2,5 Ом достигается, когда проводники вклю-
включены по схеме смешанного соединения (рис. 352).
R
Рис. 353
722. к = 4/с,?2/B?| + кг) = 0,4 См.
723. Для измерения вольтметром более высоких напряжений, чем
те, на которые рассчитана шкала, необходимо включить последовательно
с вольтметром добавочное сопротивление /?д (рис. 353). Напряжение
на этом сопротивлении Vn = V - Vo; поэтому сопротивление /?„ =
= 12кОм.
320

724. Для измерения прибором напряжений, не превышающих V, не-
необходимо последовательно с ним включить такое добавочное сопротив-
сопротивление Кд, чтобы V = /(К + Кд), где /- максимальный ток через прибор;
отсюда Кд = V/I - К = 30 кОм.
725. R2 = RlV1(V- V2)/V2(V-Vi) ~ 46,7 кОм.
726. Городская осветительная сеть представляет собой источник тока,
обладающий внутренним сопротивлением, намного меньшим сопро-
сопротивления вольтметра R. Поэтому напряжение V = 125 В, которое пока-
показывал вольтметр при непосредственном включении в сеть, равно на-
напряжению источника тока. Это значит, что оно не изменяется и при
включении вольтметра в сеть через сопротивление Ко. Поэтому V =
= /(/? + Л0), где / = Vq/R - ток, текущий через вольтметр; отсюда
727. Ток, текущий через вольтметр и добавочное сопротивление,
/ = Vo/R. Напряжение источника тока V = I(R + Кд) = (К + Rn)V0/R =
= 340 В.
728. V = 1R2RI(R + 2/?, + R2).
729. Для измерения более высоких токов, чем те, на которые рассчи-
рассчитана шкала, параллельно прибору включается шунт с сопротивле-
сопротивлением Кш = i0NR/{I - i()N) = 50,5 Ом; для измерения напряжений после-
последовательно с прибором включается добавочное сопротивление К„ = (V -
-ioNR)/i()N = 199 Ом, где i()N = /0 - ток, текущий через прибор при
максимальном отклонении стрелки, i^JVR = Vq —
напряжение на его клеммах в этом случае (см. / ^-^ /(
задачи 723 и 730).
о-»-
730. При включении параллельно прибору
R,,,
шунта (рис. 354) ток / должен делиться так,
чтобы через миллиамперметр протекал ток /д. Рис. 354
Через шунт при этом течет ток /,,,, т.е. / =
= /() + /,„. Напряжения на шунте и на миллиамперметре равны: /()/? = /,„/?,„;
отсюда /?„, = /()/?/(/ —/о) = 0,05 Ом. Чувствительность прибора уменьша-
уменьшается, а цена деления прибора увеличивается в п = ///q = 200 раз.
731. /0 = VRJ/[V(Rm + R)- 1R2] = 3 А.
732. Так как шунты присоединяются к гальванометру параллельно, то
условие равенства напряжений на гальванометре и на шунтах дает
0,1//? = 0,9//?,, 0,01/Л = 0,99/Я2, 0,001/Я = 0,999/Л3;
отсюда
К, = К/9 = 3 Ом, К2 = К/99 = 273 мОм, К3 = К/999 = 27,1 мОм.
733. Наибольший ток, протекающий через прибор, /q = iqN. Для из-
измерения токов, значительно превышающих ток /0, необходимо парал-
параллельно прибору включить шунт, сопротивление которого /?ш значительно
меньше сопротивления миллиамперметра К (см. задачу 730):
К,„ = /qK/(/ - /„) = i()/VK/(/ - /„И) = 5,125 Ом.
321

734. Ток, текущий через шунт, /,„ = / - /(). Падения напряжения
на шунте и амперметре равны: /„,/?,„ = /»R; отсюда /о = //?,„/(/? + /?,„) = 2,7 А.
735. / = /(,(!+ nD2R/4pl) = 12,9 А.
Закон Ома для полной (замкнутой) цепи
736. Напряжение на внешнем сопротивлении цепи V = IR. Ток в цепи
/ = %/(R + г); отсюда R=V/I = 6 Ом, r = {%- V)/l = 4 Ом.
737. По закону Ома для цепи /, = %/(R + г) и /2 = %/(R/3 + г), где
R - сопротивление реостата. Исключив из этих уравнений R, найдем
V, В
15
10
5
10
20 R, Ом 0
Рис. 355
10
20 /?, Ом
738. Ток в цепи / = %/(R + г). Напряжение на зажимах источника тока
V = IR = %R/{R + г). При R - 0 через источник течет ток короткого
замыкания /к = 6 А. С увеличением R ток стремится к нулю (по гипер-
гиперболическому закону) (рис. 355а), а напряжение стремится к ЭДС
% = 15 В (рис. 3556).
739. Ток цепи накала / = %I(RX + R2 + r) = 65 мА.
740. Сопротивление нити накала R2 = V/I. Ток накала при наличии
дополнительного сопротивления R\ в цепи / = %/(R] + R2 + г); отсюда
Я, = Cg-V-/г)//= 7,4 Ом.
741. R = Vrl{% -V)- 4pl/nD2 = 3,82 Ом.
742. R = Vr/(% -V) = 2,95 кОм.
743. Напряжение на зажимах источника тока равно падению напря-
напряжения на внешнем сопротивлении цепи: V = IR, где / = %/(R + г); отсюда
/• = R{% - V)/V = 4 Ом.
744. Ток в цепи / = %/(R\ + R2 + r). Падение напряжения на лампе и
подводящих проводах Vj = IR] и V2 = IR2. Из этих уравнений находим
V, =¦
322

745. Через каждую лампу течет ток /] = V]/R\ (рис. 356). Ток в общей
цепи I = nl\ = nV^/Ri. Напряжение в подводящих проводах V2 = IR2 =
i. Напряжение на зажимах источника тока и его ЭДС.
V=VX+V2 = V,(l + nRJRO = 293 В,
% = v + lr = V,[l + n(R2 + г)//?)] = 303 В.
Рис. 356
746. % = {R + r)EdlR = 5 В.
747. q = C% R/(R + r) = 10 мкКл.
1 2
Рис. 357
{lOR/[\)(R/2 + R)
749. V = %Vrl{%r - VR2) = 4,4 B.
750. Изобразим схему иначе (рис. 357). Заменим сопротивления
резисторов R\,R2uRt, сопротивлением R$=R\ + R2RtiI{R2 + R^). Тогда
полное сопротивление цепи
^ R0R4 =
36
Ro + R4 R2R3 + (/?i + /?4)(/?2 + R
и амперметр покажет ток / = %/R = 1,8 А.
751.1 = 34%/73R = 0,1 А.
752. Падения напряжения на резисторах Й,ий2,а также на резисторах
2/?] и 27?2 пропорциональны их сопротивлениям. Поэтому падение напря-
напряжения на резисторе R равно нулю и ток через него не проходит. Через
резистор R2 течет ток / = %/(R\ + R2).
753. Полное сопротивление цепи R = R] + R2 + r, где сопротивления
жилы и оболочки до места замыкания
*4P
I _
кг - Рг тг - Рг
41
3
- «2
Ток в цепи / = %/R; отсюда
1 =
- lr)
4l[p}/D?+p2/(D22-d22)]
= 2,18км.
323

754. Напряжение на конденсаторе V =%. Это же напряжение будет в
первый момент после замыкания ключа на резисторе Rt. Поэтому
текущий через него в этот момент ток / = %/R\.
755. После включения источника тока с ЭДС % конденсаторы заря-
зарядятся, и, когда ток прекратится, все их обкладки, соединенные с резис-
резистором R, будут иметь одинаковый потенциал. Конденсаторы с емкостями
С + С] и С + С2 включены последовательно с источником тока. Общее
напряжение на них V\ + V2 = %, а заряд на них q = (С + C{)VX = (С + C2W2;
отсюда
У, = (С + С2)%1BС + С, + С2), V2 = (С + С,)«/BС + С, + С2).
756. Обкладки конденсатора С\ замкнуты через резисторы Rt и R2.
Поэтому заряд на этом конденсаторе </, = 0 (после прекращения зарядки
конденсаторов С2 и Cj). Так как после зарядки конденсаторов токи в
схеме не протекают, то напряжения на конденсаторах С2 и Сз равны %.
Следовательно, q2 = С2% и q^ = С^&.
757. Падение напряжения на резисторе R3 будет V = q/C = IRy, отсюда
ток, текущий через этот резистор, / = q/CR^. Полное сопротивление цепи и
ЭДС источника тока
R =
758. % = (<7/С)A + 2/?2//?,) = 110 B.
759. Сопротивление конденсатора постоянному току бесконечно ве-
велико. Поэтому после зарядки конденсатора по резистору /?3 ток проте-
протекать не будет. Не будет и падения напряжения на этом резисторе.
Следовательно, точка а и верхняя обкладка конденсатора будут иметь
одинаковый потенциал. Потенциал же точки b будет равен потенциалу
нижней обкладки конденсатора. Таким образом, напряжение на конден-
конденсаторе будет равно падению напряжения на резисторе R2. Ток в цепи
/ = %I{R\ + R2) и V = IR2 = %R2I(R\ + R2)\ отсюда заряд на конденсаторе
q = CV=C%R2/(R]+R2).
(?? R R R
760. V = 2 3 4 (см. задачу 759).
R^R2R3 + R1R3R4 "*" R\RzRa "*" R2R3R4
761. Напряжения на зажимах источника тока в первом и во втором
случаях V\ = I\R и V2 = l2R/2. Токи в общей цепи в этих случаях
/, = %I{R + г) и /2 = %/(R/2 + г); отсюда
R = rBV2 - V))/(V2 - У\) = 2 Ом-
762. Падение напряжения на резисторе R2 (и на вольтметре) V = №о
(рис. 358), где /?о = RiRKRi + R)- сопротивление параллельно включенных
324

вольтметра и резистора R2. Ток в общей цепи равен /= %I{R\ + Ro + r).
Решая совместно эти уравнения, получим
V(R{+r)R2
%R2 - V{R{ +R2+r)
= 2,05кОм.
Тот же результат можно получить, решая систему уравнений
/ = /0 + /2, V = IoR, V = 12R2, % =
R2 h
о, Г
Рис. 358
Рис. 359
Рис. 360
763. В эквивалентной схеме резисторы /?] соответствуют проволокам,
соединяющим элемент с кольцом, а резисторы R2 - двум половинам,
кольца (рис. 359). Полное внешнее сопротивление цепи R = 2R] + R-i/2, где
/?! = pa/S и R2- pna/S. Ток в общей цепи / = %/{R + г). Разность потен-
потенциалов между точками cad
у _ IR2 _ %R2 _ %л
2 4/?|+/?2+2r 4 + n + 2rS/pa
= 0,64В.
764. /, //,' = (/?,+ r)R2 /[/?,R2 + r(/?, + R2)] = 11 /16.
765 v= K,[^i^+(^2 + r){2Rx +R3)] ^16E
RlR3+(R2+r){Ri+Ri)
766. Сопротивление каждой пары проводников равно Rq/2. Полное
внешнее сопротивление цепи до удаления одного из проводников Rx =
= 3Rq/2. По закону Ома для полной цепи /] = 2/о = %I(R\ + /); отсюда ЭДС
источника тока % = 2/0(/?, + /•) = /()(ЗЛ0 + 2г). После удаления одного из
проводников полное внешнее сопротивление цепи R2 = 2Rq/2 + Rq = 2Rq.
Ток в общей цепи I2 = % I{R2 + г). Через проводник, оставшийся без пары,
будет идти ток /2 = /о(ЗЛо + 2r)/BR0 + г) = 4 А, а через остальные
проводники будут идти токи /2/2 = 2 А.
767. /, = %R21 [(/?3 + г) (/?, + R2) + /?i R2] = 1,98 А;
h = "Ш\ I№з +') № + Я2) + Я, ^z] = 2,97 А;
768. Верхняя лампа и провода, идущие к ней, начиная от места
,,присоединения нижней лампы (рис. 360), образуют последовательную
хцепочку с сопротивлением /?3 =R\ + R2. Эта цепочка соединена парал-
325

лельно с нижней лампой и вместе с ней образует сопротивление /?4 =
= R3R]/{R3 + R\)= (Rx + R2)R\/{2Rj + R2). Полное внешнее сопротив-
сопротивление цепи
R = R +R __
34 2RX+R2
Через источник тока течет ток
= %BR]+R2)
/=
769. Если % и ;• - ЭДС и внутреннее сопротивление источника то-
тока, то /) = % I'(/?] + г) и /2 = % I (R2 + г). Из этих уравнений имеем г =
= (/,/?,-/2/?2)/(/2-/,) = 3 ОмД =/1/2(/?]-/?2)/(/2-/,)= 40В.
770. r = R]R2(V2-V\)l{V^R2-V2R]) = 1 Ом.
771. При подключении к источнику тока амперметра через него
течет ток /j =% /(R\ + г), где % - ЭДС батареи, а г - ее внутреннее сопро-
сопротивление; при подключении к источнику тока вольтметра через него
течет ток /2 = % /(R2 + г), и вольтметр показывает напряжение V = I2R2 -
= %R2/(R2 + г); отсюда
/- = R2(V -/,/?,) /(hR2-V),
% = IXV{R2-R\)I(I]R2-V).
Ток короткого замыкания (при равном нулю внешнем сопротивлении)
/к = %ir = 1XV{R2 - RX)IR2{V-1XRX) = 29,6 А.
2>гОм;к А
/(/?,+ R2) r
11Ъ. При зарядке аккумулятор включается навстречу источнику тока.
Во время зарядки ток внутри аккумулятора течет от положительного
полюса к отрицательному. Напряжение сети V = % +/(/?+ /•), где / - ток
зарядки; отсюда / = (V-%)I(R + г). Напряжение на зажимах аккумулятора
уя = //• + % = {уг + %R) I (R + г) = 27,5 В.
Последовательное и параллельное соединения источников тока.
Правила Кирхгофа
774. Поскольку %2 >%х, то ток / будет идти в направлении, указанном
на рис. 118, при этом разность потенциалов между точками а и Ь.
V = %x +IRx=%2-IR2=(%2Rl+%lR2)/(Rl+R2)= 1,2В.
775. Поскольку %2 >%х, то ток / будет идти в направлении, указанном
на рис. 119. Током через вольтметр пренебрегаем ввиду того, что его
сопротивление велико по сравнению с внутренними сопротивлениями эле-
326

ментов. Падение напряжения на внутренних сопротивлениях элементов
должно равняться разности ЭДС элементов, так как они включены
навстречу друг другу: /(/-, + г2) = %2-%х\ отсюда / = (%2-%])/(/-, + г2).
Разность потенциалов между точками а и Ь (показание вольтметра)
V = %\ + /г, = Сё, г2 + %гг\I{гх + г2) = 1,8 В.
776. V = Сё, г2 + 'ёг/",)/(/•, + г2) = -0,1 В; Vah = 0 при 'ё, г2 = %2г\.
777. Ток в цепи / = 2% / (R + г, + г2) (рис. 361). Напряжения на зажимах
источников тока V\ = % - /г, и V2 = 'ё - /г2. Решая первые два уравнения
при условии V\ = 0, получим R = г, - г2 = 0,2 Ом. Условие
V2 = 0 неосуществимо, так как совместное решение перво-
первого и третьего уравнений приводит к значению R < 0.
778. Ток в общей цепи / = 2% /(/? + ;-,+ г2), где внешнее
сопротивление цепиR-R]R2I{RX+ R2). По условию задачи
напряжение на зажимах первого элемента V = % — /г, = 0;
D*
отсюДа Рис. 361
г, = [Л, Я2 + г2(Л, + R2)]/(R\ + R2) = 2,4 Ом.
779. /? = /-,- г2; где Я = RtR2R3 (/?2/?3 + Я^з + #i^2) (см. задачу 778).
780. Ток в общей цепи / = 2% / (R + г, + г2), где внешнее сопротивление
цепи R = R]R2Ri, (R\R2 + R\R3 + /?2/?з)- Напряжения на зажимах первого и
второго генераторов
у - Z jr - %[*!^2^3 + (Г2 - Г,)(Л,/?2 + К,/?3 + ^2/?3)] = з Е
1 '
у =%_1г _
2 2
(г2 + /-,)(/?, /?2 +R1R3+R2R3)
г2х/?,/?2 + я,л, + /?2/?3)]
781. По закону Ома для полной цепи ток I = % /(R + г), где % -%1 +
+ %2 + %3 и ;• = ;-, + г2 + 73- Напряжение на зажимах каждого элемента
равно разности ЭДС и падения напряжения на внутреннем сопротивлении
элемента:
R
%
% ,
< Напряжение на зажимах батареи элементов равно падению напря-
напряжения на внешнем сопротивлении цепи: V = V\ + V2 + V3 = 2 В. Напря-
327

жение на зажимах третьего элемента оказалось отрицательным, так как
ток определяется всеми сопротивлениями цепи и суммарной ЭДС, а
падение напряжения на внутреннем сопротивлении г3 больше, чем %3.
782. V = IR = 4%RXR2/[RXR2 + 4r (/?, + R2)] = 4,95 В.
783. Напряжение на зажимах батареи V = п% —Inr. Следовательно,
n = V/(%-!>¦)= 100.
784. I = (V-n%)!(R + nr) = 2,1 к.
785. Падение напряжения на резисторе, если токи текут в направ-
направлениях, указанных на рис. 124, V = IR = %х - 1хг = %2- /о'".Учитывая, что
I = 1Х +12, находим
/, = [{R + r)% i-R%2]/ rBR + О = -0,25 А,
/2 = [(/? + r)%2-R%x\lrBR + r) = 0,35 А.
Заметим, что /[ < 0. Это значит, что направление тока /] противоположно
указанному на рис. 124.
г 1"
<?
—\
«1
Л а
h
h
Al3
А \-
R2
з
ь
Рис. 363
786. Выбрав направления токов, указанные на рис. 362, составим
уравнения Кирхгофа. Для узла b имеем /] +12 -1 = 0; для контура ahef
(обход по часовой стрелке) /[ rx + IR = %и и для контура bcde (обход
против часовой стрелки) I2 r2 + IR = %2. Из этих уравнений найдем
I = С&, г2 + %2 rx) I [/?()-, + г2) + г, г2] = 0,53 А.
787. Внутреннее сопротивление элементов г0 = г + г 12 = 3/-/2. Сопро-
Сопротивление параллельно включенных резисторов /?0 = R\R2I(R\ + R2)-
Общая ЭДС элементов ^0 = 2^. Согласно закону Ома для полной цепи
V = %0-I(R0 + /•„) = 2% -/[/?iR2I(RX + R2) + 3/V2] = 2,48 В.
788. Выберем направления токов 1Ъ /2 и /3 через резисторы RhR2H R3,
указанные на рис. 363. Тогда /3 = /) + /2. Разность потенциалов между
точками a nb будет равна %х -l\R\ = ^з ~'з^з = ^2 + h^-г- Если /3 = 0, то
/, = -1Ъ%х + /,/?, =%3и%3 = %2-lxR2. Исключая /,, находим %ъ = {%XR2 +
+ %2R1)/(RX+R2).
789. Рассмотрим ту же схему без вольтметра (рис. 364). Из закона Ома
для полной цепи находим / = Ъ% / Ъг = % / г. Из закона Ома для участка
328

цепи между точками а и b получим Va/, = —Ir + % = 0. Подключение
вольметра к точкам, разность потенциалов между которыми равна нулю,
ничего не может изменить в цепи. Поэтому вольтметр будет показывать
напряжение, равное нулю.
' ' " "'"' d
Рис. 365
Рис. 366
790. Подключим источник тока к выводам а и h и выберем направ-
направления токов, указанные на рис. 365. Для узла е имеем / = /0 + /2. При
обходе контуров aefb и ecdf по часовой стрелке получим
I(Ri+R3) +l2R2 = -%, I0R0-I2R2 = %)-
Используя условие 12 = 0, находим % = -^0(^i + R3)IRq- Знак минус пока-
показывает, что полюсы источника тока на рис. 365 нужно поменять местами.
791.г, =2Я/5 = 2Ом,/-2 = /?/5 = 1 Ом.
792. При параллельном соединении двух элементов внутреннее
сопротивление и ЭДС равны г/2и1; при последовательном соединении
они равны 2г и 2%. Через резистор R при этом текут токи
Отсюда видно, что /2 > 1\, если R /2 + г < R + г 12, т.е. если г < R. По
условию задачи в первом случае /?t = ;•; следовательно, токи при парал-
параллельном и последовательном соединениях одинаковы. Во втором случае
R2 > г. Поэтому ток больше при последовательном соединении.
793. q =
R2
= 7 мкКл.
794. Выберем направления токов, указанные на рис. 366. Для узла Ь
имеем / - /] - /2 = 0. При обходе контуров abefw. bade по часовой стрелке
получим
l2r2 + IR-%2, 1\Г\
Из этих уравнений находим
ч -¦
j =%2{R+rx)-%xR
2 R{r
г\г
\гг
329

Ток / = 0 тогда, когда изменена полярность включения одного из
элементов и, кроме того, выполнено условие %\ г2 - ^>2 '"i- Ток /] = 0 при
%] = R%2I(R + r2), а ток /2 = 0 при %г = R%t/(R + г,). Токи /, и /2 имеют
направления, указанные на рис. 366, если R%2/(R +r2)<%\ <
< (R + ri)%2/R. Они меняют свое направление при %\ < R%2/(R + r2) или
%2 <R%J(R + r{).
795. При n(R - г) = R - г. Если R = г, то число элементов произвольно;
если R * г, задача не имеет решения (п = 1).
796. Vx /V2 = {nR + i-)/(R + nr) - 2,33, где Vx - показание вольтметра при
последовательном соединении элементов, V2 - при параллельном.
797. А/ = п(п - 1)<7? - r)% I {R + nr)(nR + г) = 4 А.
798. Общее число элементов N = пт (рис. 367). Ток во внешней цепи
/ = n%/(R + nrlm), где rim - внутреннее сопротивление группы из т
параллельно соединенных элементов, a nrlm -
внутреннее сопротивление п групп, соединен-
соединенных последовательно. Максимальная мощ-
мощность (см. задачу 848) отдается во внешнюю
цепь при равенстве сопротивления R вну-
внутреннему сопротивлению батареи элементов
nrlm, т.е. R = nrlm = п2 г / N; отсюда п =
= V RNI г = 20, т = NI n = 30. При этом через
сопротивление R течет ток / = 46 А.
799. При последовательном соединении
через все аккумуляторы батареи течет один и
тот же ток, поэтому все они разрядятся в течение одного и того же
времени. Следовательно, емкость батареи будет равна емкости каждого
аккумулятора: Qi - Go = 80 А • ч.
При параллельном соединении п аккумуляторов через каждый из них
течет 1/л часть общего тока; поэтому при том же разрядном токе в общей
цепи батарея будет разряжаться в п раз дольше, чем один аккумулятор,
т.е. емкость батареи в п раз больше емкости отдельного аккумулятора:
Q2 = nQ{) = 240 А • ч.
Заметим, однако, что энергия W = % /х = %Q, отдаваемая батареей в
цепь, и при последовательном и при параллельном соединении п ак-
аккумуляторов в п раз больше энергии, отдаваемой одним аккумулятором.
Это происходит потому, что при последовательном соединении ЭДС,
батареи в п раз больше ЭДС одного аккумулятора, а при параллельном
соединении ЭДС батареи остается той же, что и для каждого аккуму-
аккумулятора, но Q увеличивается в п раз.
800. Каждая группа из пяти аккумуляторов, включенных после-
последовательно, имеет емкость Qi = Go = 64 А • ч (см. задачу 799). Три.
параллельно включенные группы дают общую емкость батареи Q2 fA
= 3Q0 = 192 А • ч.
Рис. 367
801. V = //?, (R2 +R3)IRj = 2 В.
j
330

802. Составляем уравнения Кирхгофа в соответствии с направлениями
токов, указанными на рис. 133: /] + /2 — /3 = 0 для узла Ь; /3-/4-/5 = 0 для
узла h; /5 - 1Х -/6 = 0 для узла/; при этом /, rx + 15г5 = %) -%2 Для контура
ahfg (обход по часовой стрелке), /2(г2 + г3) + 14г4- — %2 для контура bcdh
(обход против часовой стрелки) и /4 г4 — /^ г6 - /5 г5 = 0 для контура hdef
(обход по часовой стрелке). Решая эту систему уравнений с учетом, что
все сопротивления одинаковы и равны R = 10 Ом, получим
/, (8^1 - 1%гI13R = 0,19 А, /2 = -<$х + 4%2I\ЪR = -0,17 А,
/3 = Gg, - 11%2) 113 R = 0,02 А, /4 = B^, - 5^2)/13 R = - 0,05 А,
/5 = E^, -6«з)/13 /? = 0,07 А, /6 = (%2 - Ъ%хI13 /? = -0,12 А.
Отрицательные значения токов /2, /4 и /6 показывают, что при данных
ЭДС источников и сопротивлениях резисторов эти токи текут в стороны,
противоположные указанным на рис. 133.
§ 21. Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца
803. Запасенная энергия W = % /т; емкость аккумулятора Q = /т; отсюда
W = %Q = 4,8 гВт • ч = 1,73 МДж.
804. Заряд, прошедший по проводнику, q = /т = Vx / R = 24 Кл.
Произведенная при этом работа А = X^-xl R = 288 Дж.
805. Считая, что энергия, выделяющаяся в проводнике при прохож-
прохождении тока, полностью идет на нагревание воды, имеем qV = cm(t2 — ^), где
t\ и t2 - начальная и конечная температуры воды; отсюда изменение
температуры воды At = t2 - t\ = qVlcm = 2,4 К.
806. При двух параллельно включенных в сеть плитках ток в общей
цепи /j = 2N/V = 8,3 А. Ток / = 12,5 А, потребляемый камином, больше,
чем /j; поэтому нельзя ручаться за то, что предохранитель, выдержи-
выдерживающий ток при включении плиток, не перегорит при включении камина.
807. Ток в проводах, идущих от генератора, / = NIV, а плотность
тока У = HS; отсюда площадь сечения проводов S - NljV = 6,7 • 103 мм2.
808. N = I(V -//?)= 16 кВт.
809. Считая, что вся электрическая энергия затрачивается на испа-
испарение воды, получим I2 R = Хт/х; отсюда / = yhnlxR = 19,4 А.
810. По закону Джоуля-Ленца Q = V^-xIR, где R = pl/S - сопротивление
проволоки, /-ее длина; отсюда /= l^Sx/pQ ~ 3,24 м.
811. / = nD2V2x/4pQ = 10,2 м.
812. Полученное количество теплоты идет на нагревание воды и сосуда
d нагревателем, поэтому Nx = cm{t2 -Ц) + Cc(t2 - tx), где t\vtt2- начальная и
конечная температура воды. Изменение температуры воды
At=t2-ti= Nxl(cm + Сс) = 24 К.
331

813. Электрическая энергия, идущая на нагревание воды, W =
= r\Nx = cm{t2 - ?]), где т = pV = 2 кг - масса воды, t2 = 100 °С - конечная
температура воды; отсюда /V = cm(t2 - f])/r|X = 800 Вт.
814. Время нагревания определяется из уравнения теплового баланса
(го = О°С):
* = [cnmn(t0 - ?,) + гтл + cmn(t2 - to)]/i\N = 348 с.
815. / = (Y-V0)V0nD2/4pN = 19,2 м, где Vo = 127 В.
816. Отношение выделяемых на реостате мощностей Nq/N = 4/3.
817. Для подачи воды на высоту h необходима мощность
No = (AU + AT)/x = pVzgh + pVxt/ 12.
КПД установки
л = ^о_ = PJ4 \ h + _1т I 0 556 т.е. л = 55,6%. ¦
/V УУ [s 2S2)
818. Мощность, необходимая для движения поезда, равна Nq = Flit =
= Fv = tiN; отсюда F = t\NIv = 48 кН.
819. Токи, идущие через обе проволоки, соединенные последователь-
последовательно, одинаковы и равны /. При этом в проволоках за время х выде-
выделяются количества теплоты Gi = I2R\X nQ2 = /2/?2х, где R\ = p]US, R2 =
= p2llS - сопротивления железной и медной проволок, / и S — их длина и
площадь сечения. Отношение количеств теплоты при последовательном
соединении Q\IQ2 = R\/R2 = P1/P2 = 7,06.
При параллельном соединении токи в железной и медной проволоках
/j = VIR} и /2 = V/R2, где V — напряжение в сети. В этом случае за время х в
проволоках выделяются количества теплоты Q[ = V х/ /?, и Q2 = V х/ R2.
Их отношение Q[l Q2~ R2I R\ = p2 / p] = 0,14.
820. G, / Q2=R2I R\ =P2/Pi =0,14.
821. x2 = 9x, = 6 мин, так как Q = 3V2x] /R = V2
823. Для нагревания воды до температуры кипения t = 100 °С
необходимо количество теплоты Q = cm(t -1{)), где m = pV = 2 кг - масса
воды в чайнике. При включении одного нагревателя его мощность
N\ = IV, где / - ток, текущий через него, и V - напряжение сети. В этом
случае на нагревание воды идет часть теплоты, выделяемой нагрева-
нагревателем, Q =T|/ViXi; отсюда время нагревания воды одним нагревателем
т, =Q/r\N} = cm{t-tQ)lT\Nx ~ 56 мин.
При параллельном включении двух нагревателей, как и при включении
одного из них, на каждом нагревателе будет напряжение сети V. Следо-
Следовательно, в каждом из них будет выделяться та же мощность TV] и общая
мощность будет N2 = 2Ni; отсюда время нагревания воды двумя нагрева-
нагревателями х2 = Q/t\N2 = х212 ~ 28 мин.
332

При последовательном включении нагревателей общий ток через
них будет равен 1/2. Поэтому общая мощность, выделяемая в них,
А/3 = IV/2 = Ni 12. Следовательно, время нагревания воды в этом случае
Ь - Q /Л^з = 2т, = 1 ч 52 мин.
824. При последовательном соединении секций х3 = X] + Т2 = 50 мин; при
параллельном соединении секций х$ = Х\Х2/'(tj + х2) = 8 мин.
825. Используя закон Джоуля-Ленца /V = Vx //?, = V2IR2, находим
Л2/Л, =V2/V? = 3,4.
826. Мощность лампы N = IV = V2 /R, где / - ток, текущий через лампу,
R - ее сопротивление; отсюда для первой и второй ламп имеем
Я, = V2//V, =360Ом, /,=ЛУУ=О,ЗЗА;
R2 = V2/N2=192Om, I2 = N2/V= 0,63 А.
827. N2 = V22NJV] = 84 Вт.
828. Когда лампа включена, /V = V2 /R, где /? = /?0A + ш) - сопротив-
сопротивление нити горящей лампы и Яо = /?/10 - сопротивление нити лампы при
температуре f0; отсюда
а = (R-Ro)/Rot = 4,5 • 10 К, /?„ = V2/ 10N = 14,4 Ом.
829. /?„ = V72 A + a/0)//V(l + at) = 42,8 Ом.
830. Сопротивления лампы и проводов /?] = V2 /N nR2 = р • 2//51. Ток,
текущий по линии, и падение напряжения на лампе равны
/ = %I{RX + R2), V = R{&I{RX + R2).
При подключении второй лампы сопротивление двух ламп равно R\I2.
Поэтому ток, текущий по линии, и падение напряжения на лампах равны
%RJ2
V' = -
ч
R]/2+R2 R]/2 + R2
Изменение напряжения на лампе
(Rl+R2)(R]+2R2)
Bр IN + SV2 )Dp IN + SV2)
Знак минус показывает, что при включении второй лампы падение
напряжения на первой уменьшается.
¦< 831. / = S(%^R/N -R)/2р = 11,4 км.
<¦ 832.У=200/р/=120кв.
1 833. Напряжение на зажимах источника тока V = V] + V2, где V\ и
V2 - падения напряжения на нагрузке и на проводах линии. Мощность,
333

выделяемая на нагрузке, /V] = 2/V = IV \. Потери мощности в линии N2 =
= 0,Ш, = 0,2/V = IV2; отсюда V, = 2N/I, V2 = 0,2W и V = 2.2N// = 33 В.
834./? = V2/12,1/V=9,3Om.
835. Ток в линии / = NIV. Потери мощности в линии Ыг = I2R = Л^й/У2.
Мощность электропечи N2 = N — N^ = N - bP-RIV2 = 5,64 кВт.
836. N = %2R\Rl /[(/?, + Я2)(/? + г) + Я,Я2]2 = 267 Вт.
837. Ток в цепи / = %I(R + г). Количество теплоты, выделяемое во
внешней цепи в единицу времени, Q^ = t1R = %2RI{R + уJ « 8 Дж/с.
838. Полная мощность элемента N = P(R + г), где / - ток в цепи. Так как
/ = V/R, то N = 1/2G? + О/Я2 = 13,5 Вт.
839. Внутри батареи теряется мощность N = /2г, где г — внутреннее
сопротивление батареи. Если % - ЭДС батареи, то по закону Ома для
полной цепи в первом и втором случаях % = I\(R\ + г) и % = /г(/?2 + '0;
отсюда
-^=0,2Ом,
//)
841. КПД - это отношение полезной работы (мощности) ко всей
затраченной работе (полной мощности). Полезной мощностью в данном
случае является мощность, выделяемая на нагрузке, N\ = IV, где / - ток в
цепи. Так как ЭДС % по определению представляет собой полную работу,
совершаемую источником тока при перемещении по цепи единичного
заряда, а в единицу времени через сечение проводника проходит заряд,
численно равный /, то полная мощность источника тока равна N2 = %1.
Таким образом, КПД схемы г, = /V,//V2 =Vf% = 0,8, т.е. г, = 80%.
842. г, = RXR2/[R^R2 + /-(/?, + R2)] = 0,74, т.е. ц = 74 % (см. задачу 841).
843. КПД схемы Г) = Vl% (см. задачу 841). Так как V = IR и % =
= I(R + г) = V + 1г, то г, = R/(R + г) = (%- lr)l% = VF&.
844. КПД схемы ц = Vl% (см. задачу 841), где V = IR - напряжение на
зажимах источника; отсюда / = r\%/R = 2,86 А.
845. г = RiR2/(R2 - 2/?,) = 7 Ом.
846. г, = Ш1% = 0,78, т.е. г) = 78 %; г = (л^ - 2/Я)/л/ = 1,2 Ом.
847. Полная мощность, потребляемая мотором, Nl = IV = 1,8 кВт. На
нагревание обмоток теряется мощность N2 = I2R. Полезная мощность
N = /Vj - N2 = I(V - IR). КПД мотора г\ = N/N{ = (V - IR)/V = 0,875, т.е.
t| =87,5%. Здесь не учтены потери мощности, возникающие вследствие
нагревания сердечников якоря и статора вихревыми токами и вследствие
трения в подшипниках.
848. Ток в цепи / = %/(R + г). Мощность, выделяемая во внешней цепи,
Л', = I2R = %2R/(R + гJ. Мощность, выделяемая внутри источника ток»,
N2 = %2rl{R + rJ. Полная мощность <
N = NX+N2 = I%= %2I{R + r). "'
334

Из рис. 368 видно, что с увеличением R мощность N\, выделяемая во
внешней цепи, сначала возрастает, а затем уменьшается. Чтобы найти
сопротивление R, при котором выделяется максимальная полезная мощ-
мощность, рассмотрим зависимость TVj от тока /:
Прибавив к этому выражению и отняв от него величину %21Аг, можно
представить Л^ в виде
Nl=%2/4r-r(I-%/2rJ;
отсюда следует, что максимальная полезная мощность /Vo = %2/4г выде-
выделяется при токе / = %/2г, т.е. при R = г. В этом случае КПД r\ = NJN = 0,5.
т.е. г| = 50 %. Мощности N2 и /V с увеличе-
увеличением R монотонно уменьшаются. При
этом быстрее уменьшается мощность Л^,
выделяемая внутри источника. Поэтому с
ростом R КПД возрастает.
Из графика зависимости Л'] от R видно
также, что одна и та же полезная мощ-
мощность может быть получена при двух
значениях R, одно из которых больше, а
другое меньше г.
849. Если % - ЭДС источника тока, то
через сопротивление R\ течет ток /j =
= %I(R\ + г) и во внешней цепи выделяется
мощность /V = У,2/?! = %2RXI{R\ + гJ. Через сопротивление R2 течет ток /2 =
= %/(R2 + /•) и во внешней цепи выделяется мощность /V =/2 R2 = %2R2I{R2 +
+ гJ; отсюда для определения R\ получаем квадратное уравнение:
5
Рис. 368
10 R, Ом
= 0.
Решив его, найдем R\ = 0,625 Ом или R\ = R2 = 10 Ом (см. задачу 848).
: 850. Gt2/Gti = 2(Я + rJ/(R + 2rJ = 1,62.
851. N]IN2 = (R + 2rJ/BR + rJ = 1,56.
852. n = I2r/(%l-N) = 5.
853. NJN2 = (R + 2rJ/BR + rI = 9/16; большая мощность - при па-
параллельном соединении.
854. Проекция силы тяжести в направлении движения F = mg sin a =
.=w mgtga = 0,0lmg меньше силы сопротивления f=0,03mg. Поэтому
мотор совершает работу против равнодействующей этих сил. За время х
эта работа А = (/'- F)vt = rilVx, где / — ток, текущий через мотор; отсюда
335

855. При напряжении на зажимах источника тока V и силе тока в линии
/ мощность источника IV = I2R + N; отсюда ток в линии
= (\l2R){V±4v2 -4NR).
Два значения тока соответствуют двум возможным сопротивлениям
нагрузки, при которых на нагрузке выделяется одна и та же мощность
(см. задачу 848). Знак минус перед корнем соответствует меньшему току,
а следовательно, и меньшим потерям мощности в линии.
Падение напряжения и потери мощности в линии
V' = IR = A / 2)( V ± 4v2-4NR),
/V' = IV' = (]/2R)(V2 -2NR± WV2 -4NR).
КПД передачи (отношение мощности, потребляемой установкой, к мощ-
мощности, отдаваемой источником в линию)
При V = V\ = 6200 В падение напряжения и потери мощности в линии
V" = 50 В (или 6150 В) и /V' = 508 Вт (или 7,6 МВт); КПД передачи
г) = 99,8 % (или 0,8 %). Цифры в скобках соответствуют большему зна-
значению тока. При V = V2 = 620 В под корнем получается отрицательное
число. Это значит, что при сопротивлении линии R = 5 Ом в этом случае
нельзя получить требуемую мощность ни при каком значении сопро-
сопротивления нагрузки.
856. R = (V- V0)Vq/N = 200 Ом; / = RS/p = (V - V0)V^S/Np = 100 м.
858. Из условия R-\IRj, = R2/R4 следует, что ток через резистор R5 не
идет. Поэтому полное сопротивление R цепи складывается из сопро-
сопротивлений двух параллельных цепочек /?ь /?2 и /?3, R^ и внутреннего сопро-
сопротивления элемента г:
Схема потребляет мощность
.у %\ %(Ri
R (/?]+/?2X/?3 +
859. /V = 8%2BR.
860. Через лампочку должен течь ток / = N/V, где V — номинальное
напряжение, т.е. 4-вольтовые лампочки рассчитаны на ток 0,5 А,
а 8-вольтовые - на ток 0,25 А. Следовательно, необходимо смешанное
включение: последовательно с десятью 4-вольтовыми лампочками нужно
336

включить параллельно друг другу две одинаковые группы 8-вольтовых
лампочек. Падение напряжения на дополнительных группах 8-вольтовых
лампочек будет V() - r\\V\, а число лампочек в обеих группах должно быть
861. г = ^RXR2 = 6 Ом.
862. /V, = 2Л73; N2 = N/3.
863. Потери мощности в подводящих проводах N = 0,04/V(l. Ток в них
/ = л/ NIR . Падение напряжения на нагрузке \\ = No/1 = N0-^R/ N. Паде-
Падение напряжения на подводящих проводах V2 = IR - -J~RN. Напряжение на
зажимах источника
V = Vx + V2 = (NQ + N)slR/N =208 В.
864. Общий заряд на соединенных обкладках q = q] - q2. Емкость обра-
образовавшегося конденсатора С = С\ + С2. Энергия, запасенная в конденсато-
конденсаторах до и после соединения,
Щ = q] /2C, + q\ /2C2, W2 = (q, - q2f /2(C, + С2).
На резисторе выделилось количество теплоты
Q=W1-W2= (q,C2 - q2C, f 12C,C2 (C, + C2).
865. При разомкнутом ключе К конденсаторы С\ и С2 имеют заряды q\
напряжения на них Vx = q/C nV2 = q/2C, причем V\ + V2 = сё; отсюда
с/ = 2С%/3, V\ = 2С^/3 и V2 = %1Ъ. Аналогично находим заряды и напряжения
на конденсаторах С3 и С4; (/' = Сс<§/3, V^ = 2^/3 nV4 = %/Ъ. Так как V\ = У3,
потенциалы обкладок конденсаторов, присоединенных к ключу, одина-
одинаковы. При замыкании ключа ничего не изменяется. Полная энергия бата-
батареи конденсаторов равна сумме энергий, запасенных в каждом из них:
,
§ 22. Электролиз. Законы Фарадея
866. к = ц/Fz = 2,39 ¦ 10 кг/Кл.
867. т = т/к/ = 2 ч.
868. Согласно объединенному закону Фарадея т = \i!x/Fz - Aq/F, где
А = \ilz, aq = /Т; отсюда F = Aq/m = 9,65 • 104 Кл/моль.
869. Ионы в растворе электролита несут на себе число элементарных
зарядов, равное валентности г. При выделении массы вещества, численно
равной его химическому эквиваленту, через раствор проходит заряд,
численно равный постоянной Фарадея, т.е. F - zN0 = NAe. Следовательно,
элементарный заряд е = F/NA = 1,60 ¦ 10ю Кл.
337

870. По второму закону Фарадея имеем к\ = \i\IFz-[ и к2 = \i^Fz2\ отсюда
электрохимический эквивалент золота к2 = k]Z^\i2/z2\i\ = 6,8 ¦ 10~7 кг/Кл.
871. Ток в ваннах / = jS. По первому закону Фарадея массы выде-
выделившихся при электролизе веществ rri\ = kJSx = 23,8 г, т2 =
873. По первому закону Фарадея т = klx, где / - ток в цепи; отсюда
I = mlkx = 1,6 А, т.е. в показание амперметра надо внести поправку
д/ = /-/„ = ОД А.
874. По первому закону Фарадея т - klx, где /-ток в цепи. Точное
значение падения напряжения на сопротивлении V = IR = mR/kx = 4,97 В.
Разность между показанием вольтметра и, точным значением падения
напряжения AV = V- Vo = -1,03 В.
875. Толщина слоя d = \lIt/FzynS = 58 мкм.
876. В первой ванне железо двухвалентно (z, = 2), во второй - трех-
трехвалентно (z2 = 3). Поэтому при прохождении через растворы одинаковых
зарядов выделяются различные массы железа на катодах: в первой ванне
Ш\ = \i.xqlz\F = 27,93 кг, во второй ванне отг = Цж^г^ - 18,62 кг. Так как
валентность атомов хлора z = 1, то на аноде каждой ванны выделяется
масса хлора т = \±xq/zF = 35,357 кг.
877. R = -^-~ = 0,4 Ом.
Fz" m
878. V = Wmmlq = kWm = 10,8 В.
879. КПД установки ц = IVx/W = Vq/W, где q - заряд, прошедший через
ванну. Масса выделившейся меди т = kq; от-
i сюда т = kr\W/V - 0,445 кг.
4 - ^ 880. Средний ток / = (/, + 12)/2. Заряд, протек-
^^^?%р . ший через раствор, q = /х = (I{ + li)XJ2 = 20 Кл.
-frftf%%W//$ Нахождение заряда графическим путем пока-
\<rf?7//////f///////W—»- зано на рис. 369. На графике зависимости тока
' 0 ' от времени заштрихованная площадь численно
рис 369 равна заряду. Масса меди, выделившейся на
катоде, m = kq = ?(/, + /2)х/2 = 6,56 мг.
882. t = pV\ilkRlx - 312 К, где R = 8,31 ДжДмоль • К) - газовая по-
постоянная.
883. W2m=V2W1JVi.
§ 23. Магнитное поле тока.
Электромагнитная индукция
884. В = Цо#; отсюда Н = В/щ, = 1,59 МА/м.
885. В = |io|i// = До|Л./я// = 62,8 Тл.
886. [I = В1уф = 5000. . <
338

887. На прямой проводник с током, расположенный перпендикуляр-
перпендикулярно к линиям индукции в однородном магнитном поле, действует сила
F = ВП = 0,1 мН. Направление силы определяется правилом
левой руки (рис. 370)*.
888. На проводник действуют: две одинаковые силы
натяжения нитей Т, сила тяжести mg и сила F = В И sin а со
стороны магнитного поля, где а - угол между направле-
направлениями тока / и магнитной индукции В (в нашем случае
а = 90° и sin а = 1). Подразумевается, что направления тока и
магнитной индукции таковы, что сила F направлена вниз (см. рис. 140). В
противном случае силы натяжения нитей при пропускании тока не
возрастают, а уменьшаются, и нити не оборвутся.
Если проводник находится в равновесии, то 27 - mg - F = 0; отсюда
7 = (mg + F)/2. Для разрыва одной из нитей необходимо выполнение
условия
7 = (mg + F)/2 5= Mg,
или
I 3* BМ - m)g/Bl = 3 А.
889. Если проводник расположен перпендикулярно к направлению
магнитной индукции, то F = ВП, где / - ток в проводнике; отсюда
/ = F/B/=15A.
890. На проводник действуют: силы натяжения двух нитей Т, сила
тяжести mg и сила F = Bll со стороны магнитного поля (рис. 371).
При равновесии проводника суммы проек-
проекций сил (с учетом их знаков) на вертикальное
и горизонтальное направления равны нулю:
mg - 7cosoc = 0, F - 7 sin ос = 0; отсюда tga =
= Flmg = Bll/mg « 1, т.е. а « 45°.
891. Н = I/2nr = 4 А/м, В = ц0Н = \iol/2nr =
= 5 мкТл.
892. Вокруг бесконечно длинного прямолиней-
прямолинейного проводника, по которому течет ток /]; обра-
образуется магнитное поле, напряженность которого р от]
на расстоянии г от проводника Н = 1\12пг, а индук-
индукция В = \i.Q\iH = \]цр.1 \12ш. При этом векторы Н и В направлены одинаково
и лежат в плоскости, перпендикулярной к проводнику. На отрезок вто-
второго проводника длины /, по которому течет ток /2, магнитное поле
действует с силой F = BI2l sin а, где а - угол между направлениями отрезка
проводника и магнитной индукции. Так как второй проводник параллелен
первому, то а = 90° и since = 1. Таким образом, F = [lonli^lftnr, отсюда
* Кружок с крестиком означает, что ток направлен от читателя перпен-
перпендикулярно к плоскости рисунка, в которой лежат векторы В тар.
339

До = 2nFr/\iIxI2]. Подставив значения /, = /2 = 1 A, / = 1 м, F = 2 ¦ 10~7 H,
(j. = 1 (для вакуума), найдем (J.o = 4л • 10~7 Гн/м.
893. F, = Fll = |io/2/2ro- = 0,1 H (см. задачу 892).
894. На рис. 372 показано направление магнитной индукции и по-
положение площадки в обоих случаях. По определению магнитный поток
Ф = BS cos а, где а - угол между нормалью п к
площадке и направлением магнитной индукции
В. В первом случае а = 0, cos а = 1 и Ф = BS =
= 1,25 мВб; во втором случае а = ф (углы с
взаимно перпендикулярными сторонами) и
Ф = BS cos ф = 625 мкВб.
895. В = |1„ц/7 = 6,28 Тл; Ф = BS cos a = BS =
= 12,56 мВб.
896. L = ;;ДФ/(/2 - /,) = 125 мГн.
897. % = -(В2 - Bi)S/At = 1,6 мВ.
898. Ф = %Atln = 1 мВб.
899. Начальный магнитный поток через рамку Ф] = BS cos а, где
S = а л/З/4 - площадь рамки и В = (!(// - магнитная индукция. Конечный
магнитный поток Ф2 = 0. Изменение магнитного потока АФ = Ф2 — Ф] =
= -BS cos а. ЭДС индукции
Рис. 372
_
АФ
At
4Af
отсюда
а = 2
1/2
= 10 см.
900. В = % At/a2 cos a = 0,1 Тл.
9О1./
R RAt R At
902. ц = -%At/R = -АФ//? = -
903. ЭДС самоиндукции
= 0,1 мКл.
% - -LAI/At, где А/ = /2 - 1Х; отсюда
904. ЭДС индукции % = -АФ/Af, где АФ = BAS = BlvAt - магнитный поток
через площадь AS, "заметаемую" провод-
проводником за время At (рис. 373). Опуская знак
минус, найдем % = Blv = 1 В.
905. Крылья самолета за время At "заме-
"заметают" площадь AS = ivAt. Магнитный поток
через эту площадь равен АФ = В cos ocA,S,
Рис. 373 гДе В cos а = ^о ~ вертикальная составляю-
составляющая индукции земного магнитного поля
(а - угол между вертикалью и направлением магнитной индукции). Раз-
Разность потенциалов V между концами крыльев самолета равна ЭДС %,
340

индуцируемой в металлических крыльях и корпусе самолета при его
движении в магнитном поле Земли:
V = % = АФ/At = Bnlv = 0,15 В.
906. Площадь, "заметаемая" за время А? проводником, скорость кото-
которого v направлена под углом а к самому проводнику, представляет собой
vAt
- ~-
я®
1 •
• • •
Рис. 374
Рис. 375
площадь параллелограмма (рис. 374): AS = ivAt sin а. Магнитный поток
через эту площадь АФ = BAS. Разность потенциалов V между концами
проводника равна ЭДС %, индуцируемой в этом проводнике:
V = % = АФ/Аг = Blv sin а; отсюда v = V/BI sin а = 1 м/с.
907.1 = %/R = B{)lv/R = 10 мкА.
908. Пока рамка находится в области, где имеется магнитное поле,
магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой, при дви-
движении рамки не изменяется. Поэтому ЭДС индукции в рамке не возни-
возникает. После того как одна из сторон рамки вышла за границу поля
(рис. 375), магнитный поток через поверхность, ограниченную рамкой,
будет изменяться. За время At рамка перемещается на расстояние vAt
и часть площади рамки, которую пересекает магнитное поле, умень-
уменьшается на величину AS = Iv At. Магнитный ноток за это время изменяется
на величину АФ = -ВAS = -Blv At. Индуцируемая в рамке ЭДС % =
= -АФ/Аг = Blv, и по рамке протечет ток / = %/R = Blv /R = 2 мкА. Когда
рамка выйдет из области, где имеется магнитное поле, ЭДС индукции
снова станет равной нулю.
909.
о2 / дп \2
. Q, =^ОТ =1 Н
ДЖ/С'
910. l=vlBI2R,{l+vt).
911. R = B2l2vlF = 0,625 Ом.
912. При плавном изменении магнитной индукции в рамке индуци-
индуцируется ЭДС % = АФ/Af, где АФ - изменение магнитного потока, At - время,
в течение которого происходило это изменение. Ток в рамке / = %/R =
= АФ/RAt. Заряд, протекший по цепи за время At, q = I At = АФ//?. На-
Начальный поток магнитной индукции Ф] = BSn. При изменении напра-
направления магнитного поля на обратное магнитный поток изменяет знак.
341

Поэтому конечный магнитный поток Ф2 = -BSn. Изменение магнитного
потока АФ = Ф, - Ф2 = 2BSn. Таким образом, q = 2BSnlR = 1 мкКл.
913. q = BSD/2p (см. задачу 912).
914. Сумма ЭДС источника тока и ЭДС, индуцируемой в цепи при
равномерном изменении тока, равна % + LAIIAt. Ток изменяется по закону
/ = /,)- (AI/At)t, где /0 = %/R. Сопротивление цепи в любой момент времени
% +LAIIAt
' ~ %/R-(Al/At)t'
В момент времени t = 2c искомое сопротивление R, = 1,75 Ом.
915. Рассмотрим контуры and и end, площади которых S = лО2/8
(рис. 376). Магнитные потоки через каждый контур
в моменты времени t\ и и будут
/, «2
ф, =
= ktxnD2 /8, Ф2 = B2S = kt2nD2 18.
ЭДС индукции в каждом контуре (поскольку
магнитное поле меняется равномерно) % =
Рис. 376
Пусть ЭДС индукции вызывает в контурах
токи, направления которых показаны на рис. 376.
Взяв направление обхода контуров против часовой
стрелки и применив правила Кирхгофа, получим
IR2 =
I2R2
+h=
где R | = RjD - сопротивление проводника cd, R2 = R(aDI2 - сопротивления
проводников cmd и end. Решая эти уравнения, найдем /, = 0, / =
916. Направления сил, действующих на рамку с током со стороны
магнитного поля, определяются правилом левой руки (рис. 377а). На
Ж
if
у /
А. Л
К
qsma
Рис. 377
стороны рамки ск и dl действуют силы F\ и F2, направленные противо-
противоположно по одной прямой. Они не создают момента сил. На стороны
рамки cd и kl действуют силы F3 = FA = IBa. Они образуют даару,
342

создающую момент сил М, равный произведению одной из этих сил на
расстояние между линиями, по которым они направлены. Как видно из
рис. 3776, на котором показан вид рамки со стороны ск, это расстояние
равно a sin а. Таким образом, М = F3a sin a = IBa2 sin а = 50 нН • м.
917. Общая ЭДС, индуцируемая в рамке при движении в однородном
магнитном поле, равна нулю, так как равно нулю изменение магнитного
потока через площадь, ограниченную рамкой. Поэтому равен нулю и ток
в рамке.
Общую ЭДС, индуцируемую в рамке, можно рассматривать также
как сумму ЭДС, индуцируемых в каждой из сторон рамки. Если скорость
движения проводника составляет угол ф с самим проводником, а ли-
линии индукции поля перпендикулярны к направлениям проводника и его
скорости, то индуцируемая в нем ЭДС % = Blv sin ф (см. задачу 906).
Поэтому ЭДС в сторонах рамки ае и be не возникают. В
стороне ah возникает ЭДС %$ = Bl^u. В сторонах ed и cd
возникают ЭДС %\ = Bl\V sin ф] и %2 = В/ги sin фг- Так
как /j sin ф] + lj sin ф2 = /о, то полная ЭДС в сторонах
ed и cd будет %\ + %г = Вк)и> т-е- равна по модулю ЭДС
в стороне ab, но имеет с ней противоположное (при
обходе по контуру) направление; поэтому тока в рамке
не возникает.
918. За время Д? проводник, вращаясь с угловой скоростью со, по-
повернется на угол ф = coAf и "заметет" сектор, площадь которого AS =
= ф;2/2 = оог2А?/2 (рис. 378). Магнитный поток через эту площадь и ЭДС
индукции
АФ = BAS = Вт2 At/2, % = АФ/At = В(йг2/2;
отсюда (О = 2%/Вг2 = 75 рад/с.
§ 24. Переменный электрический ток
919. а) Ф = Фо sin oof = BS sin Bnnt); б) Ф = Фо sin (оси + <р) =
= Фо sin(tt)f + 30°), где Ф() = 2 мВб. Отсчет начальной фазы ф производится
от горизонтальной плоскости в сторону вращения рамки.
920. Рамка, занимавшая в начальный момент времени горизонтальное
положение, вращаясь с угловой скоростью со = 2юг, в момент времени t
будет составлять с горизонтальной плоскостью угол (Of = 2%nt (рис. 379). В
течение последующего очень малого промежутка времени At она повер-
повернется еще на малый угол coAf. Пусть сторона рамки, параллельная оси 00,
равна а и сторона рамки, перпендикулярная к оси, равна Ь. За время At
проводник рамки cd переместится в положение c'd' и "заметет" при этом
площадь AS = a(b/2)(uAt = S(uAt/2, где S = ab - площадь рамки. Магнитный
поток через площадь, "заметаемую" проводником cd, ДФ = В AS cos а, где
а — утгол между нормалью п к плоскости cc'd'd и направлением магнитной
индуйции В.
343

Если промежуток времени At очень мал, то угол а практически равен
углу со/, так как направление нормали п мало отличается от направления
стороны рамки kd, а вектор В по условию направлен горизонтально.
Таким образом, ДФ = (l/2)BSwAt cos 00/. Следовательно, в момент време-
времени t в проводнике cd индуцируется ЭДС ^ = АФ/At = (l/2)BSw cos (Of.
V, В
Vo
10
Vo/2
5
0
-5
-10
/Г\
Г/12
\
\ ' /'
\ Т/2 / T*t
\ /
Рис. 380
Рис. 379
Вектор В параллелен плоскостям, в которых при вращении рамки
движутся проводники kd и 1с. Поэтому через "заметаемые" этими про-
проводниками площади магнитный поток равен нулю и ЭДС не возникает. В
проводнике ad, как легко видеть, индуцируется ЭДС %j, равная по моду-
модулю % 1, но направленная так, что при обходе по контуру рамки эти ЭДС
складываются. В результате суммарная ЭДС, индуцируемая в рамке,
Наибольшее значение ЭДС принимает в те моменты времени, когда
cos со? максимален, т.е. равен единице. Поэтому амплитуда ЭДС
%0 = BSm = 2nnBS = 0,.614 В.
При увеличении частоты вращения рамки в три раза амплитуда ЭДС
также увеличится в три раза, т.е. Щ ~ 1,884 В.
921. Фо = %{)/2кп = 48 мВб (см. задачу 920).
922. л = %()/2nwBS - 8 об/с (см. задачу 920).
923. Круговая частота тока со = 2к/Т = 628 с~', частота тока / =
= 1/Г = 100 Гц. В момент времени t = Г/12 мгновенное значение
напряжения
V = V& sinfcof + -1 = Vo sin
0 { Ь) °
f — ,+ *
- = —Vo;
6 2 °
1 Vo sinf ,
Ь) ° УТ 6
отсюда Vo = 2V/ V3 = 11,6 В. График зависимости напряжения от времени
представлен на рис. 380. г
344

924. Индуктивное сопротивление катушки XL = ooL, где со = 2я/
круговая частота тока. Амплитуда тока Iq = Vo/XL\ отсюда L
= Vy2n/7() = 0,051 Гн.
925. L = XJ2nf= 0,080 Гн; /0 = Vo / XL = V2 V3 IXL = 0,28 A.
926. Полное сопротивление Z = -\//?2 + (ooL - 1 / coCJ . Мощность
2[/?2+(coL-l/coCJl fi
т.е. cp = -72°40'.
927. Индуктивное сопротивление XL = ooL, емкостное сопротивление
I ? 2"
Xc = 1/coC и полное сопротивление Z = -yjR~ +(tt)L- 1/g)C) . где
G) = 2л/- круговая частота тока. При/| = 50 Гц (со = 3,14 ¦ КJ с~')
XL= 157Om,Xc=318kOm,Z=3,33kOm;
при /2 = 10 кГц (со = 6,28 • 104 с)
Xl=31,4kOm.Xc= 15,9 Ом, Z= 31,4 кОм.
928. У,, = /()ХС = /0772лС = 0,7 кВ.
930. / = л/2Уэ2 - /02/?2 / 2nl0L = 61 Гц.
931. Полное сопротивление цепи
X = IcoL - 1/coCI = \2nfL - 1/2Я/С1.
Из условия, что при частоте f0 полное сопротивление цепи равно нулю,
имеем 2nf[)L = 1/2л/уС; отсюда/о = \I2k~JlC =711 Гц.
932. V,, = п%и = 420 В, где п = 2nf()L/R = l/2nf(fiC (см. задачу 931).
933. В цепи постоянного тока / = VIR = 2 А. Индуктивное сопротив-
сопротивление соленоида XL = ooL = 2nfL = 5 кОм. Амплитуда напряжения
Vo = a/2V3. Так как /? <t XL, то амплитуда переменного тока
I0 = V0/XL= 42V.J2nfL = 5,6мА.
934. Мощность N = (/()Vy2) cos ф; отсюда cos ф = 2/V//0Vo = 0,8.
935. Эффективный ток /э = /0 / V2. Количество теплоты, выделяемое
печью, Q = /2Rz = /02Rx12 = 3,96 МДж.
936. ш = Va2x(l + ш0) I rR(\ + at) = 5 г , где t = 100 °С - температура кипе-
кипения воды.
345

937. В сети с эффективным напряжением Уэ амплитуда напряжения
Ко = л/2Уэ. Принимая начальную фазу напряжения равной нулю, запи-
запишем закон изменения напряжения с течением времени:
V = Vn sin (Of = Vn sin — t.
o;
Зажигания (гашения) лампы происходят в моменты времени tm(t'm), когда
мгновенное напряжение в сети равно напряжению зажигания (рис. 381):
К =
; отсюда
sin-
= 0,
Наименьшее положительное значение, которое может иметь величина
2тт/Т, стоящая под знаком синуса, составляет 60° = я/3. В общем случае
2mJT=mn±n/3,
где m = 0, 1, 2,... Следовательно,
tm = mTI2 ± Tib.
Знак плюс здесь соответствует моментам зажигания лампы (напряжение
в эти моменты возрастает по модулю), а знак минус - моментам гашения
-V-
Рис. 381
0 Г/4 Г/2 ЗГ/4 Г г
Рис. 382
лампы (напряжение убывает по модулю). В частности, первая вспышка
происходит при t{) = Г/6 и первое гашение - при/j" = Г/2-7/6 = Т/3.
Таким образом, длительность вспышки At = t[ — to = T/6 = 3, Змс.
Вспышки и гашения происходят в течение каждой половины периода;
следовательно, частота вспышек п = 2/Т= 100.
938. Амплитуда переменного напряжения на выходе автотрансфор-
автотрансформатора V() = V^Mj. Это напряжение с течением времени изменяется по
закону V\= Vo sin Bnft). Напряжение между электродами лампы ,У2 =
= % + V] = % + V2 Уэ sin Bnft) (график зависимости этого напряжения от
времени приведен на рис. 382).
346

При sin Bл/0 = 1 напряжение V2 принимает наибольшее значение
^2max = ^ + V2V3 =100 В. При sin Bnft) = -1 напряжение V2 принимает
наименьшее значение V2mm = % -V2V3 = 20 В, т.е. V2max >VinV2 mm < Vr
Таким образом, напряжение на электродах лампы становится больше
напряжения зажигания лишь один раз в течение периода, поэтому частота
вспышек неоновой лампы равна частоте тока/= 200 Гц.
939. Мощность, подводимая к первичной обмотке (затраченная мощ-
мощность), /V, = I\VX. Мощность, отдаваемая вторичной обмоткой нагрузке
(полезная мощность), N2 = I2V2. КПД трансформатора
Л = /v2 / /V, = I2V21 /,Vj = 0,95, т.е. л = 95 %.
940. Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС % = V\/k. Напряжение
на ее зажимах V2 - % - lr = Vxlk ~ lr = 21,5 В.
941. Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС должна быть равна
напряжению накала V2 и падению напряжения на сопротивлении обмотки
lr. Поэтому отношение чисел витков в обмотках w2lw] = (V2 + lr)IV\\
отсюда w2 = (V2 + Ir)w\/V] = 400.
942. Индуцируемая во вторичной обмотке ЭДС %2 = V2 + l2r. Коэф-
Коэффициент трансформации трансформатора
k = Vl/c&1 = V,(V2+/2r) = 10.
Ток в первичной обмотке находим из условия V\l\ =%2I2. КПД
трансформатора (отношение мощности на зажимах вторичной обмотки к
мощности, потребляемой первичной обмоткой)
r\ = V2l2 IV,/, = V2 /Щ = V2 /(V2 + l2r) = 0,91, т.е.л = 91%.
943. V2 = VJk -lr=6B,R = V2/I = Vjkl - r = 1,2 Ом.
944. Амплитуда напряжения Vo = ^V^20 +2Vj0V20 совфд + V20 = 155B;
tg ф = V2() sin 9,1/(^10 + V2(>eos ф()) = 0,34, т.е. <p = 19°.
§ 25. Электромагнитные колебания и волны
945. Пренебрегая излучением электромагнитной энергии в простран-
пространство, можно считать, что вся запасенная в конденсаторе энергия перейдет
в теплоту, т.е. Q = W = с/2/2С = 5 мДж.
946. Электрическая энергия в контуре максимальна в те моменты
времени, когда конденсатор полностью заряжен и ток в контуре равен
нулю. Ее значение W = CV02 / 2 = СК,2 = 0,1 мкДж, где Vo = V2Уэ - ампли-
амплитуда напряжения на конденсаторе. Эта энергия равна полной энергии
контура. В те же моменты времени, когда конденсатор полностью
разряжен и по катушке идет наибольший ток, внутри катушки образуется
наибольшее магнитное поле, т.е. контур обладает максимальной магнит-
магнитной энергией. Если считать, что потери энергии в контуре за период
347

колебаний пренебрежимо малы, то по закону сохранения энергии макси-
максимальная магнитная энергия равна максимальной электрической.
947. Период колебаний T = 2%4lC ~2nr^m0L/d = 1,26мкс; Т'=
= 2K-4LC = 2nr^nE0EL/d = 2,51 мкс.
948. /2//j =VT+77n =1,01.
949. /, = 1 /2кл[Щ, /2 = 1 /2к^ЦС0 + С); отсюда емкость С =
= С0(/;2-/22)//22=15мкФ.
950. Частоты колебаний контура /, = \/2n^]LiC,f2 = 1 /2кл[ЦС; отсю-
отсюда получаем, что индуктивность катушки должна меняться от Ц =
= 1 / 4я2С/,2 = 16мГн до L, = 1 / 4тс2С/22 = 10 мГн.
952. Граничные значения частот диапазона f] = с/Х\ и/2 = г/А,2, где
с = 3 • 10* м/с - скорость распространения электромагнитных волн в
вакууме. В результате получим/i = 300 ГГц,/2 = 30 ГГц.
953. X = c/f=0,l нм.
954. От А,, = clf\ = 3 км до Х2 = dfг = 11,6 м.
955. Частота электромагнитных колебаний/= 1/2лд/'LC, длина волны
X = c/f=c ¦ 2лVLC. Подставляя числовые данные, имеем
/, = 22,2 МГц, А,, = 13,4 м; /2 = 16 МГц, ^ = 19,6 м.
Таким образом, диапазон радиоприемника перекрывает интервал частот
А/= 22,2-16 МГц и интервал длин волн АХ~ 13,4-19,6 м.
956. X = c/f = c-2%-sjLC = 1,88км; /= с/Х = 0,159 МГц.
957. f = fo4n =36кГц.
958. X = 2пс4сШШ = 2450 м.
959. / = 1 /2n^L(C, + С2) = 53кГц; со = 2л/ = 1/д/ЦС, +С2)=3,33х
х105с"': Г = 2л^ЦС| + С2) =18,8 мкс; Х=сТ= 2кс ^L(Q +C2)= 5650 м.
1 /" 7 Л^
960./ = - = 60 МГц; L = — =352нГн.
A, CUncJ
961. A, = cT = 2nc^jeoeSL/d = 2350 м.
962. Период колебаний контура Т = 2n-JtC, где С - емкость конден-
1 ( х V
сатора. Длина волны А, = сТ; отсюда С = — = 507 пФ.
963. Диапазон длин волн ограничен А,, = с7] = 2nc-sJLCl и А,2 = сГ2 =
= 2kcJlC2 = bncJLC\, где с = 3 • 108 м/с -скорость распространения
348

электромагнитных волн, Т\ и Tj - наименьший и наибольший периоды
колебаний контура, L - индуктивность катушки контура; отсюда Х2 =
= ЗА,] = 9 м. Таким образом, диапазон длин волн контура ограничен Хх =
= 3 м и %2 = 9 м.
964. СУС, = (А/;/сJ = 2,25.
965. Частота колебаний электромагнитной волны при переходе из
одной среды в другую не изменяется, поэтому при скорости распро-
распространения сср длина волны X = сср//0 = 200 м.
Глава IV
ОПТИКА
§ 26. Волновые и квантовые свойства света
966. H=(ut + l]- /2)Л/(/, - /2) = 8,5 м (рис. 383).
967. Источник будет виден в трубу, если за
время t = 21/с прохождения светом пути ABOCD
призма успеет повернуться на 1/8, 2/8, 3/8, ...,
вообще, на /с/8 часть полного оборота.
Поэтому
21 \ к , с
— = , откуда v = к —
с v 8 16/
¦¦ 528к Гц,
где/:= 1,2,3,...
968. В вакууме Xt = civ = 400 нм, в алмазе
А,2 = c,,/v = clnv = 162 нм.
969. л = гЛДе=1.5.
970. е = /7V = hcfk « 4 ¦ 109 Дж.
971. X = hcl(AWM + K) = 250 нм.
972. По закону Эйнштейна /;v =Л„|,|Х + ти2/2 2» Л|ШХ; следовательно,
фотоэффект наблюдается при частоте v 3» AnuJh = 5 • 1014 Гц.
§ 27. Отражение и преломление света
на плоской границе
973. l = RH/h = Зм.
974. D = d(H/h + 1)= 13 см в обоих случаях.
975. Точка S и ее изображения 5" и S" в зеркалах лежат на окружности
радиуса h с центром в точке А (рис. 384). Очевидно, что угол S'AS" в два
раза больше угла \|/ = Ш, на который повернулось зеркало. Поэтому
/ = 2/г sin \|/ и
arcsin(/ / 2h)
t = -
со
= 20 с.
349

976. cos ф = (P -a\ - a\)/2axa2 = 0; ф = я/2.
977. а) Луч возвращается к источнику, описав правильный треугольник
(рис. 385). Поэтому углы падения луча на зеркала а = 30°, углы
скольжения у = 60° и треугольник ABC - правильный, т.е. угол между
зеркалами ф = у = 60°.
Рис. 385
б) Чтобы возвратиться к источнику по пройденному пути, луч должен
упасть на второе зеркало перпендикулярно к его поверхности (рис. 386).
Поэтому треугольник ABC - прямоугольный и угол ф = 30°.
978. Если а - угол падения луча на зеркало до
поворота зеркала, то угол отражения также равен
а. Угол между падающим и отраженным лучами
равен 2а. После поворота зеркала угол падения
стал равен а + \|/, угол отражения также стал
равен а + \|/, а угол между падающим и отра-
отраженным лучами стал равен 2(ос + \|/). Падающий
луч остался неподвижным; следовательно, отра-
отраженный луч повернулся на угол Ф = 2(а + \|/) — 2а =
= 2\|/ = 54°.
979. L = 2/ tg 60° = 3,46 м.
980. Если а - угол падения луча на первое
зеркало, 6 - на второе (рис. 387), то Ф = 2а + 26
(как внешний угол треугольника ABC). Кроме
того, из треугольника ОВС имеем
ф + (я/2 - 5) + (я/2 - а) = я;
отсюда Ф = 2(а + 6) = 2ф, т.е. угол ¦& не зависит от
угла падения луча.
981. После двух отражений от зеркал луч А^ет
по направлению, составляющему угол 2ф с направлением падающего луча
(см. задачу 980). Этот угол не зависит от положения зеркал и потому не
Ф
С
Рис. 386
350

изменяется при их вращении. Отраженный луч, не поворачиваясь, пере-
перемещается параллельно самому себе. Искомый угол тЭ- = 0.
982. Ход лучей в призме показан на рис. 388. Угол падения луча на
посеребренную грань ВС равен углу ф = /- ABC призмы (эти углы имеют
D
Рис. 388
взаимно перпендикулярные стороны). Очевидно, что угол падения на
непосеребренную грань А В внутри призмы Z. DEF = Z. SDE = 2ц> (как
внутренние накрест лежащие при параллельных прямых SD и EF и
секущей DE). На рисунке изображен случай, когда этот угол больше
предельного для данного сорта стекла. При этом Z. ЕАС = L FEP - 2ф
(как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Так как Z. ABC +
+ L ВАС + L АСВ = к, то
L ABC = ф = 36°, L ЕАС = L АСВ = 2ф = 72°.
В
¦ Рис. 389
9)83. Обозначим через Р и 6 углы, которые составляет луч, иду-
идущий внутри призмы, с перпендикулярами к граням (рис. 389а). Сумма
углов треугольника АКС равна к, а сумма углов четырехугольника АВСК
351

равна 2я, причем L ВАК = Z. ВСК = я/2. Следовательно, ф = Р + 8. В то же
время Ф - внешний угол треугольника ADC, поэтому Ф = (а - Р) + (у- 8) =
= а + у - ф. Искомый угол ф=а+у-Ф= я/4. Построение хода
луча в призме, показанное на рис. 3896, приводит к решению ф =
Эти решения получены лишь при помощи геометрических условий.
Однако одновременно с этими условиями должны выполняться и законы
преломления. В частности, во втором случае угол падения на вторую
грань призмы 8 = ф + Р > ф. Так как показатель преломления стекла п > 1
и sin 8/sin у = 1/л, то sin у > sin 8 и у > ф. Последнее неравенство противо-
противоречит значениям у= 4я/12 и ф = 5я/12; поэтому второе решение следует
отбросить.
984. п = sin a/sin р = с/сп, т.е. п = 1,4; с„ = с/п = 2,14 ¦ 10х м/с.
985. sin т> = sin<p(wcos<p--i/l-«2sin2<p ] = 0,25; i5 = 14°30', либо
¦& - arcsin (n sin ф) - ф = 14°30'.
986. у = A/2) [я/2 + \|/ + arcsin (n sin Р)] = A/2) (90° + 20° + 60°) = 85°.
П \ < 112
«1
Рис. 390
987. По закону преломления sin a/ sin P = п^п-^. Кроме того, а +
+ л/2 + Р = я (рис. 390); отсюда sin P = cos а, и, следовательно, tg a =
= п21п\, а = arctg (п21п\).
988. п = sin а / sin(90° - а) = sin а / Vl-sin2a = 1,33.
989. tg а = ;//?, /? = ;+ Я tg p, sin a/ sin Р = п (рис. 391); отсюда
R = г(\
г2(п2 -
Максимальным радиус тени /?тах = г + Н/ уп - 1 = 7 м будет при h = 0.
990. r=R-Hl4n2 -I = 5,73 м.
991. Вышедший из пластинки луч параллелен падающему, поэтому
Л/cos Р = fo/sin (a - Р) (рис. 392). Так как sin a/sin P = п, то
b4n2 -sin2 a
since V« -sin a- VI -sin a
= 4,2 см.
352

oo-> ; n cos a .
992. / = , -] ища.
^л/1-я2 sin2 a J
Рис. 391
Рис. 392
993. Ход лучей в призме показан на рис. 393. Так как Ф - внешний угол
равнобедренного треугольника ADC, то Ф = 2(а - Р). Сумма углов тре-
треугольника ABC равна ср + 2(я/2 - Р) = я, т.е. ф = 2р. По закону преломления
sin a/sin C = п; отсюда
n = ¦
sin[(i3-
sin(<p/2)
1 -costp
= 1,3.
Рис. 393
Рис. 394
994. Ход лучей в призме показан на рис. 394. Так как угол между
перпендикулярами к граням равен <р, то Л АСВ = 2(Р - <р). В треугольнике
ABC сумма углов
(я/2 + 8) + 2(Р - <р) + (я/2 - Р) = я;
отсюда
6 = 2ф-Р.
Искомый угол ¦& есть внешний угол треугольника ADB. Поэтому
A)
B)
353

Записав еще законы преломления:
sin a/sin P = п, sin 6/sin y= 1/л,
получим систему уравнений A) - C), из которой следует
C)
/ ( I ^ 2 2 ^
sinr1} = sina/1-1 sin2(p-yw~ — sin a-cos2(psina) I —
-cosa sin2(pV« —sin2 a—cos2фsin a
V J
Подставив ф = я/6 и а = я/4, находим
sin тЗ = A /4)(л/2л/5 -Зп2 + л/3^2и2 - 1 + 1 -л/3^2п2 - 1 1
Если л = л/2~, то легко показать, что на посеребренную грань призмы в
точке С луч падает перпендикулярно к грани; следовательно, отраженный
луч пойдет по пути падающего. Из полученной формулы в этом случае
следует sin Ф = 0 и Ф = я. Если же п = 1.41 точно, то sin Ф = 0,0059, т.е.
искомый угол отличается от 180° приблизительно на 20'.
Рис. 395
Рис. 396
995. Пусть луч падает на грань А В под углом а (рис. 395), и преломля-
преломляется под углом р. По закону преломления
sin a/sin P = п. A)
Соответственно
sin 8/sin y= 1/n.
Угол "d - внешний угол треугольника ADC. Потому
B)
C)
354

Далее, Z. АКС = я - ф; следовательно,
Ф = Р + б. D)
Решая систему уравнений A)-D) и учитывая, что при малых углах
отношение синусов можно заменить отношением углов, получим г^ =
= (п - 1)ф = 4°.
996. Ход луча показан на рис. 396. Очевидно, что
/ = sin(a-P)+ Lsin(a-у)-
cosP
Кроме того, sin a/sin P = /ц, sin p/sin y= п2/>ц; отсюда
Л cos a л/'Ь -sm'a -cosa
- - /г + - i _ v -
или
Правую часть, где все величины известны, обозначим через А (А
~ 0,497). Таким образом, приходим к квадратному уравнению
I - А2 )п\ - 2Ап2 - д/l + tg2 a = 0,
решение которого
щ = , —
определяет два значения я2. Так как показатель преломления положи-
положителен, то а?2 = 1,55.
997. Из рис. 397 имеем / = 2/г tgP. По закону преломления
sina/sinp = n; отсюда / = 2/г sin a/ 4n -sin а = 97 см.
998. а = arcsinfn//V4ft2+/2} = 28°.
999. Ход лучей в пластинке показан на рис. 398. Угол ABC в прямо-
прямоугольном треугольнике АСВ равен а, поэтому АВ = //cos а. С другой
стороны, из треугольника ADB видно, что АВ = 2d tg C. Углы а и Р свя-
связаны законом преломления: sin a/sin p = п. Решая эти уравнения, получим
¦ ч2
2 — cosa =1,8.
355

1000. ф = a; L = 2nd/л/и2-sin2 а .
v///////////////////////
Рис. 397
Рис. 398
1001. Для определения кажущегося местоположения точки построим
два луча, исходящих из точки и попадающих в глаз наблюдателя. Пусть
один из лучей перпендикулярен к поверхности пластинки, второй падает
на поверхность пластинки под углом а, преломляется под углом Р и попа-
попадает в глаз наблюдателя, которому кажется, что точка находится на
пересечении продолжений лучей на расстоянии / от поверхности пластин-
пластинки. Из рис. 399 видно, что / tg p1 = d tg а; отсюда tg a/tg p1 = l/d. По закону
преломления sin a/sin C = l/п. Для малых углов а и Р левые части послед-
последних уравнений можно считать одинаковыми; следовательно, равны и
правые части, т.е. d = я/ = 8 см.
Рис. 399
Рис. 400
1002. Наблюдатель видит изображение в точке 5" пересечения двух
близких лучей, вышедших из S и отразившихся от задней поверхности
пластинки (рис. 400). Луч SBC, перпендикулярный к пластинке, после
отражения проходит через S. Луч, падающий на пластинку под малым
углом а, выходит из нее в точке А на расстоянии АВ = / tg a + 2d tg P от
оси. В то же время АВ = (L -1) tg a. Ввиду малости углов a и C закон
преломления можно записать в виде sin a/sin р = п ~ tg a/tg p. Решив
систему уравнений, найдем L = 2A + din) = 4,5 см.
1003. Конец стержня находится на глубине Н = I sin a, где / - длина
погруженной части стержня. Вследствие преломления лучей на поверх-
356

ности жидкости наблюдатель видит конец стержня на глубине h =
= I cos a tg (а - Р) (рис. 401). Для наблюдателя, смотрящего в вертикаль-
вертикальном направлении, углы падения 8 и преломления у малы, поэтому Н = nh
(см. задачу 1001), или tg a = n tg (а - Р). Решая это уравнение отно-
относительно р, получим (я - l)/tg Р = tg a + л/tg а.
Рис.401
Рис. 402
Угол C будет максимальным при таком угле а, при котором сумма,
стоящая в правой части, будет минимальной. Так как произведение этих
слагаемых есть число постоянное, то очевидно, что минимальная сумма
достигается при равенстве слагаемых. Следовательно,
tg a = fl/tg а; а = arctg 4n .
1004. Преломившись на грани А В призмы, луч не отклоняется от
перпендикуляра (рис.402); поэтому угол падения луча на грань АС
(в призме) составляет а = 60°. Угол, под которым луч должен был бы
выйти, преломившись на грани АС, можно найти по закону преломления
sin a/sin C = \jn. При a = 60° и п = 1,5 угол C не имеет действительных
значений. Следовательно, на грани А С происходит полное отражение и
луч выходит через грань ВС перпендикулярно к ней. Искомый угол ЕОР =
= ¦&= 60°.
1005. S = ля2/(л2 - 1) = 1256 см2.
1006. 1> B#-Л)/л/я2 - 1 = 32,3м. Части дна, находящиеся на рас-
расстояниях ближе 32,3 м, плохо видны водолазу, так как лучи от этих частей
попадают в его глаз после отражения от участка поверхности воды, через
который достигает водолаза дневной свет.
1007. Лучи источника, попадающие на поверхность под углом, пре-
превышающим угол полного отражения, не выходят в воздух. Поэтому
/? = Я/л/л2-1 -3,6м.
1008. а) h = 1,5 см, если глубина погружения источника больше
1,5 см; б) на поверхности, если глубина погружения источника меньше
1,5 см.
357

1009. R = hin -1 =8,9 см.
1010. Угол C преломления лучей на первой грани (рис. 403)
определяется из уравнения sinGt/2)/sin Р = п, откуда sin Р = 1//;, т.е. Р -
предельный угол полного отражения. Для полного отражения на второй
Рис. 403
Рис. 404
грани должно быть 6 3» р. Очевидно, что ф = Р + 8; следовательно,
минимальный преломляющий угол призмы ф = 2Р, или
=0,976;
отсюда ф = 77°20'.
1011. Выход луча из второй грани невозможен, если угол падения
на эту грань 5 больше или равен предельному углу полного отраже-
отражения. Следовательно, sin a 5* 1/п. Кроме того, как видно из рис. 404,
ф = р + 5 и sin a/sin p = и; отсюда
I ~п
sin i = и sin ф-v 1 — sin a -
следовательно, a =? 48°.
1012. sin ¦& = 0,3; # = 17°30'.
j п
smty^Jn - 1-cos ф = 0,7435;
§ 28. Фотометрия
1013. Стены и пол комнаты видны из точки, находящейся на потолке,
под телесным углом со = 2я ср; поэтому Ф = /со = 1256 лм.
1014. Фотографическое действие света можно считать пропорцио-
пропорциональным световой энергии, попавшей на фотобумагу за время экс-
экспозиции. Эта энергия в свою очередь пропорциональна произведению
освещенности фотобумаги на время. Поэтому, для того чтобы получить
одинаковые снимки, необходимо добиться выполнения равенства
/, /, /,
2 l\ = 2 ^; отсюда г2 = —| — | г, =
Г, Гт h
358

1015. Пусть /•] и /-2 - расстояния от экрана до ламп. По условию
1\/>"\ =1г1 гг
+ >'г = '"• отсюда
Г л =¦
г = 1 м, г2 = ¦
г = 0,8 м.
Второй корень каждого квадратного уравнения не соответствует услови-
условиям задачи, согласно которым экран должен быть расположен между
лампами.
1016. aj = г^у/] /(л/Zi ±л/2/2). Знак минус соответствует случаю, когда
обе лампы освещают одну и ту же сторону листа: г1=9м. Если же лист
расположен между лампами, то /•] = 1 м.
1017. E = Ild V1 — sin а=3лк.
1018. К /E2=(l + a2/2h2K12 ~3,1.
1019. Если принять нить лампы за точеч-
точечный источник света (рис. 405), то освещен-
освещенности верха и низа книги
_
/cosa
_
/cosp1 _ /sin((p/2)
с с- Г •
El - Е2 = — sin ф -
Расстояние от источника до низа книги Рис.405
/• = 2/ соз(ф/2) (здесь использована теорема о
внешнем угле треугольника и учтено, что этот треугольник равно-
равнобедренный); отсюда
sin(9/2) 1
^г—— = 155 лк.
4cos2(9/2)J
1020. Если сила света источника одна и та же по всем направлениям, то
полный световой поток Ф = 4пЕ(Р + h2K/2/h = 25 130 лк.
1021. Участок представляет собой круг радиуса г, на границах которого
? = Ih/{h2 + г2K12. Площадь круга
S = кг2 = л[(//?/?J/3 - h2} = 1055 м2.
1022. S=n(IhJ/3(E[2n - Ef'3) = 942 м2.
1023. ?|(/cosa|)/r2 = (/cos3a|)/ft2, ?2 = (/cos3а2)/Л2, где h -
высота фонаря над землей, / — сила света фонаря; отсюда ?2 =
= ?, (cos a2 / cos a, K = 80 лк.
1024. Наименьшая освещенность пола Et
наблюдается в точках пола вблизи стены,
наименьшая освещенность стены ?2 имеет место
в точках вблизи пола (рис. 406):
_ /cosP _ lh _ /cosa _
1 ~ h2+d2 I4~ (h2+d214K12' 2 ~ h2 + d214~ (h2 + d214K12 '
По условию задачи ?г/?| = и; отсюда высота зала h = d/2n = 7,5 м.
d
Рис. 406
Id 12
359

1025. Освещенности середины стола от первой и второй ламп:
?¦, = /, /h[ и Е2 = 1г1к\. Освещенности края стола в двух случаях:
-г*
?,' =
(hf+dz/4)
3/2
'2
По условию задачи Е\ = Е2; отсюда
Е'г
+ d2l4f2
+ d2l4?12
3/2
T
Рис. 407
1026. Суммарная освещенность в искомых
точках (рис. 407)
г/,2 , .2,3/2
Е =
K/2
¦ i2h2i{iA + 14У
где /j и /2 - силы света первой и второй ламп. Если поменять лампы
местами, то суммарная освещенность в тех же точках
?" = /2А,/(/ + А, )' 2 + /]А2 /(/2 + А^K'2.
По условию задачи Е = ?"; следовательно,
/ = Л( ' А2 " (А] ' + А2 ') = 21,6 м.
1027. Освещенность каждой из сторон Е = 31/а2 = 30 лк.
1028. / = Зл/3(и -1)/0 = 52 кд.
1029. ?'=/А1/(/2+А2K'2 +/А2/(/2 +А22K'2 = 14,26 лк (рис. 407).
, 1030. Освещенность центра стола есть сумма
^^ освещенностей, создаваемых каждой лампой в
отдельности (рис. 408). Если стол расположен
под одной из ламп, то
/ /cos a A
Ел = —2 + — 2 > ГДе COS а :
Рис.408 h h +l
Если стол расположен посередине между лампами, то
„ 2/cosP „ А
*-*
1 h2+(l/2)
Отношение освещенностей
у, где
1031. / =
3/2
f-il*'+T' '-¦
= 820 кд.
{h2+l2)
=1.54.
3/2
360

1032. Введение плоского зеркала равносильно появлению нового
источника 5", являющегося изображением источника S в зеркале
(рис. 409). Источник 5" имеет ту же силу света /, так как при отражении от
D С.
С
Рис. 409
плоского зеркала телесный угол, в котором распространяется световая
энергия, не изменяется и потери энергии отсутствуют. Освещенности при
наличии зеркала и без него:
?, = Ца2 + (/ cos3a)/<72(l + cos aJ, E2 = На1.
Отношение освещенностей Ех IЕ2 =Зл/2/2 = 1,12.
1033. Освещенность Е = 11а2 + 1/(а + 2ЬJ можно считать одной и той
же во всех точках картины (см. задачу 1032). Световой поток Ф =
= ES « 3,75 лм.
1034. Е = Аг
1
= 20,3 лк.
[\ + {4d2ll2)f12
1035. Мнимое изображение 5" источника в зеркале BD находится на
расстоянии / от экрана ВС (рис. 410). Освещенность в точке А
Е = Ца2 + (/ cos a)//2.
Величины / и cos а находятся из геометрических соображений:
I2 =BаJ +а2 -4а2 соз(л-ф) = а2E + 4со8ф),
sin а.12а- sin(rc - ф) / /, cos а = A + 2 cos ф) / д/5 + 4со8ф.
В результате получаем
1+V2
ГчЗ/2
§ 29. Сферические зеркала
1036. Радиус кривизны сферического зеркала R = 2F. По теореме
Пифагора (a/2J + b2 = R2 (рис. 411); отсюда b = ^4F2 -а2 /4 = 1,26 м.
1037. lid + 1//= 1/F. По условию/= d, т.е. d = 2 м.
361

1038. l/d + 1//= l/F = 2/R, т.е. R = 2df/(d +j) = 0,8 м.
1039. l/d + l/f= l/F; H/h =f/d, или H = Fh/(d -F) = 0,22 м.
1040. R = 2d/(k + 1) = 19,2 см.
1041. к =fld, l/d + 1//= l/F,/- d = a, т.е. F = to/(/t2 - 1) = 0,4 м.
1042. к = Ъ.
Рис. 411
Рис. 412
1043./= Fd/(d~ F) = 2R/3; изображение действительное.
Для построения можно использовать два луча, исходящие из точки S
(рис. 412). Луч SP идет вдоль главной оптической оси зеркала и после
отражения идет вдоль той же оси. Для построения хода после отражения
произвольного луча SA проведем побочную оптическую ось ВС II SA.
Отраженный луч ADS' пройдет через точку D пересечения побочной
оптической оси ВС с фокальной плоскостью FD. В точке S' на пере-
пересечении отраженных лучей PS' и AS' получится действительное изобра-
изображение источника S.
1044. Если бы точка О была источником света, то точка О' являлась
бы его изображением. Следовательно, любой луч, упавший на зеркало из
точки О, после отражения пройдет через
точку О'. Проведем побочную оптиче-
оптическую ось ОЕ II ВО' и соединим точки Е и
О' (рис. 413). Используя свойство обра-
обратимости лучей, будем считать, что на
зеркало падают параллельные лучи ОЕ и
DB, которые после отражения от зеркала
сходятся в точке М, лежащей на фо-
фокальной плоскости зеркала. Опустив из точки М перпендикуляр на
главную оптическую ось, определим положение фокуса F.
1045. Первоначальное увеличение к] =f/d, причем l/d + l/f= l/F. Если
предмет и его изображение переместились на расстояние х, то l/(d + х) +
+ 1/(/- х) = 1/F. Новое увеличение к2 = (/"- x)/(d + х); отсюда кг = 1/к] = 0,2 и
А' =/— d, т.е. предмет и изображение поменялись местами.
1046. F = кхкга/(кг - *,) = 35 см.
Рис.413
1048. Если предмет расположен дальше фокуса зеркала, то a = d— F,
b=f-Fvi формула зеркала имеет вид l/d + 1//= l/F. Если же предмет
362

расположен между зеркалом и его фокусом, то a = F — d,b=f+Fn
формула зеркала записывается в виде l/d - 1//= 1/F. Обе системы
уравнений дают к =f/d = ~Jb/a = 1,5.
1049. Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому предмету,
расположенному перпендикулярно к главной оптической оси зеркала, он
изображался бы с увеличением к = L/l =f/d. В
случае действительного изображения l/d + l/f=
= 1/F = 2/R и R = 2Ld/(L + /) = 1,2 м. В случае
мнимого изображения l/d— l/f= 1/F = 2/R и
R = 2Ld/(L - /) = 2 м.
1050. Крайний луч АВ пучка, отразившись от
зеркала и пройдя через фокус, попадает на экран
в точку Е, лежащую на границе светлого круга Рис.414
(рис. 414). Из подобия треугольников BFP и EFM
следует
(d/2) : F = ф/2): {а - F), откуда D = d(a- F)/F = 0,1 м.
1051. Без зеркала источник с силой света / создает на экране, уда-
удаленном от него на расстояние /\ освещенность Е = 1/г2. При наличии
зеркала к световой энергии, идущей от источника, добавляется энергия
лучей, приходящих к экрану после отражения от зеркала. Так как эти
лучи можно считать параллельными, то световой поток Ф, падающий на
площадку S экрана после отражения от зеркала, будет таким же, как и
поток, падающий на такую же площадку S зеркала. Общая освещенность
площадки S экрана при наличии зеркала
_ „ Ф _ /со _ IS IF2 I I
ЕЕ Е Е
/со _
— = Е +
S
Е + Е +—!г + —~.
S S S r2 F2
Отношение освещенностей E.JE = 1 + (r/FJ ~ 106.
1052. На экране, поставленном перпендикулярно к лучу прожектора
будет светлое пятно, освещенность которого Eq равна освещенности ре-
рефлектора. Источник расположен в фокусе рефлектора, поэтому Eq = I/F2.
Свет падает на землю под углом а, для которого cosa = /i/-v' +h~\
следовательно,
E=E0cosa=lh/F24l2 + h2 -7500 лк.
1053. l/d- 1//= 2/R; отсюда d=fR/Bf+ R) = 0,43 м.
1054. Прямое изображение в вогнутом зеркале является мнимым.
Искомое расстояние определяется системой уравнений
l/d-l/f=2/R, f/d=k; отсюда d=R(k- l)/2* = 45 см.
1055. l/d ± l/f= 2/R, k=f/d. Знак плюс соответствует действительному
изображению, минус — мнимому. Отсюда R = 2kd/{k ± 1), т.е. R = 36 см для
действительного изображения и R = 50,4 см для мнимого.
363

Рис.415
1056. Увеличенное изображение может быть действительным или
мнимым. В этих случаях соответственно должны быть выполнены соот-
соотношения
l/d + 1//= 2/R, fid = к, /- d = a,
l/d-l/f=2/R, fld = k, f+d = a.
Обе системы уравнений дают R = 2ка/(к2 - 1) = 24 см.
1057. Светлый круг на экране получается из-за отражения лучей
зеркалом (рис. 415). Так как светящаяся точка S расположена ближе
фокуса, лучи можно считать исходящими
из мнимого источника - изображения S' точки S.
По формуле сферического зеркала l/d - 1// =
= l/F, где d = F12. Диаметр зеркала / =
= 2/tg а, диаметр светлого круга на экране
L = 2(/'+ 2F) tg а; отсюда Ц1=Ъ.
1058. Увеличенное мнимое изображение дает
вогнутое зеркало. При этом должны выполнять-
выполняться соотношения
l/d-l/f=2/R, f/d=k, f+d = a;
отсюда R = 2ка/(к2 - 1) = 2 м.
1059. Если бы светящаяся точка принадлежала некоторому предмету,
расположенному перпендикулярно к главной оптической оси зеркала, он
изображался бы с увеличением к = L/l = f/d. Так как l/d - 1// =
= 1/F, то к = F/(F - d) = L/l = 2,5.
1060. Расстояние между мнимыми изобра-
изображениями источников / = 0,75/?.
1061. Если С A -R- радиус кривизны зерка-
зеркала (радиус шара), а ВА = г - радиус выемки
(рис. 416), то расстояние от рисунка (предме-
(предмета) до зеркала ВР = d определится из теоремы
Пифагора (R-dJ + г2 = R2. Увеличение к =f/d,
причем l/d- 1//= 2/R. Так как по условию
/•//? = 0,8, то? = [2^1-(г//?J -I] =5.
1062. Луч, идущий по радиусу зеркала,
отражается по тому же радиусу. Поэтому
положение оптического центра зеркала С
найдем, соединив точки S и S' и продолжив
линию до пересечения с главной оптической
осью (рис. 417). Луч, отраженный от зеркала в
его полюсе Р, составляет с осью ОО' такой же
угол, как и луч падающий. Отложив отре-
отрезок OQ, равный размеру предмета, по другую
Рис. 416
364

сторону оси и соединив точки Q и S', найдем полюс Р зеркала. Положение
фокуса F определим, проведя луч SM II ОО' и соединив точки S' и М.
1063. Мнимое изображение в сферическом зеркале находится на рас-
расстоянии /'i = (R - d) ¦ 2d/(R — 2d) от человека и имеет размер Нt =
= Rh/(R - 2d), где h - размер рассматриваемой детали (рис. 418). В плоском
зеркале (R —» «>) имеем /2 = 2d и Н2 = h. Изображение в сферическом
С
Рис.417
зеркале человек наблюдает под углом <р,, причем tg <pi = Н^/r^, в плоском -
под углом ф2, причем tg <р2 = H2h'2- Угловое увеличение к = tg <pj / tg <p2;
отсюда R = kd I(к - 1) = 0,6 м.
1064. Для построения удобно использовать лучи, проходящие через
фокус и через оптический центр зеркала, а также луч, параллельный
главной оптической оси (рис. 419).
Точку S схождения лучей в отсутствие
зеркала можно рассматривать как
мнимый источник, а расстояние / этой
точки от оси - как размер мнимого
предмета, содержащего точку S. Тогда
L - размер действительного изображе-
изображения этого предмета, a S' - изображение
точки S. Из формул - l/d + 1//= 1/F и
fid = Lll находим / = FL/(F -f) = 0,25 м.
1065. Точку пересечения лучей, продолженных за зеркало, можно
рассматривать как мнимый источник. Так как - l/d + 1//- 1/F, то
/ =Fd/(d + F) = 7,5 см.
1066. R = 2F = 8d ~ 1,6 м (см. задачу 1065).
1067. Фокусное расстояние определяется из систем уравнений
\ld + \lf = \IF, 1/-Л=а.
Если изображение точки расположено ближе к зеркалу, чем фокус, то
f—F = -а; если же изображение точки расположено дальше фокуса, то
/— F = +а. Первая система уравнений дает
Рис.419
FU2 -a/2 +
/4-ad, т.е. fj = 12 см, F2=8 см.
365

Из второй системы уравнений имеем
FX4 =-al2±4a2 /4 + ad, т.е. F3=4 см, F4 =-24 см.
В последнем случае зеркало оказывается выпуклым.
1068. Лампочка S расположена ближе к зеркалу, чем фокус, ее
изображение 5" находится на расстоянии / за зеркалом (рис. 420). Из
формулы l/d - 1// = 2/R получаем/ = Rd/(R - 2d). Изображение лампочки
R
Рис. 420
Рис.421
можно рассматривать как добавочный источник, создающий на поверх-
поверхности зеркала ту же освещенность, что и лампочка. Поэтому сила света /
этого источника связана с силой света лампочки /() соотношением
IIf2 = lo/cfi; отсюда / = I{)f2/d2 = 4/0. Освещенность экрана, находящегося
на расстоянии R от зеркала,
+ l0l{R-dJ=32ll9R2, т.е. / = 9?,R2 132.
I0/BR-dJ = 333?,/1225«0,272?,
Искомая освещенность
E2=IIBR + ff
1069. Для построения необходимо найти ход любых двух лучей,
исходящих из точки S (рис. 421). Луч SP, отразившись, идет вдоль главной
оптической оси. Чтобы определить направление произвольного луча SK
после отражения от зеркала, проведем побочную оптическую ось CNUSK.
Через точку А пересечения побочной оси с фокальной плоскостью
должно пройти продолжение А К отраженного луча KR. Изображение
точки S находится в точке 5" пересечения продолжений отраженных лучей
PD и KR. Изображение будет мнимым, так как лучи расходятся.
1070. Для выпуклого зеркала l/d + 1//= -1/F, где F = R/2. Искомое
расстояние / = -Rd /(/? + 2d) ~ - 0,65 м. Знак минус означает, что изо-
изображение предмета получается мнимым.
1071. Учитывая, что выпуклое зеркало дает мнимое изображение
источника, имеем
\ld-\lf = -\IF; отсюда d = fFI(F-/) = 1,8 м.
1072. d = //?/(/? - If) = 30 см. у-
1073. k=f/d = F/(d + F)= 1/4.
366

1074. H = Rhl{R + 2d) = 3 мм.
1075. Для построения пользуемся лучами, параллельными оптической
оси, а также лучами, продолжения которых проходят через фокус зеркала
или через его оптический центр (рис. 422). Так как \jd— 1//= — 1/F,
к = Lll = fld = 1/2, то d = A/*- 1)/= 0,2 м.
1076. d = (л - 1)F = (п - l)R/2 = 0,4 м.
1077. R = Id = 2 м.
1078. a = d+f= 2dBd + l)/Dd + I) = 0,34 м.
Рис. 422
Рис. 423
1079. Если ближайший к зеркалу конец карандаша находится от него
на расстоянии d\, дальний - на расстоянии d2, то
11 111 1 , , ,
d\ f\ F  /2 F
Решив эту систему уравнений, получим
F —
Знаку минус соответствует значение F = 12 см, при котором пред-
предмет не может быть действительным, так как d < 0. При знаке плюс F =
= 120 см.
1080. Считая, что луч NA принадлежит пучку лучей, сходящихся к
точке А, можно принять эту точку за мнимый источник (рис. 423). Точка
В будет тогда действительным изображением источника. Расстояние
АР = d, расстояние ВР = /'. Из формулы зеркала - lid + 1//= -1/F и
условия d +f= I находим
d=F + -±JF2+-=0.25F-G±5).
2 V 4
Годится только значение d = 0,5F, так как при d — 3F луч после отра-
отражения не пересекает главную оптическую ось.
1081. Источник мнимый, изображение действительное, так что
R = 2F = 2fdltf- d) = 1,2 м (см. задачу 1080).
367

1082. Из формулы -\jd + 1//= -1/F имеем й? = fF/(f + F) = 0,4 м.
1083. Так как d — расстояние от линзы до мнимого источника, то
формула выпуклого зеркала имеет вид
-Ш+ l/f=-l/F = -2/R .
Перед членом 1//, содержащим неизвестное расстояние от зеркала
до точки пересечения лучей, ставим знак плюс. Если после отражения от
зеркала пересекутся не сами лучи, а их
мнимые продолжения, значение/получит-
значение/получится отрицательным. Если же отраженные
лучи сходятся, то значение / получится
положительным. В нашем случае / =
= Rd/(R - 2d) = -0,28 м, т.е. отраженные
лучи расходятся так, что их продолжения
пересекаются в точке, находящейся на
расстоянии/= 28 см за зеркалом.
1084. В данном случае как источник, так и изображение являются
мнимыми, поэтому формула выпуклого зеркала имеет вид
-Ш - 1// = -1/F; отсюда F=fd l(f +d) = 0,32 м.
1085. Отраженные лучи идут пучком, расходящимся как бы из фокуса
зеркала, расположенного от зеркала на расстоянии F = Л/2. Из подобия
треугольника следует (рис. 424)
Рис. 424
D a+R/2 2a + R
RI2
R
откуда /? =
2ad
D-d
= 64 см.
1086. R = 2ad/(D -d) = 20 см.
§ 30. Тонкие линзы
1087. d=fl/L = 7,5 m.
1088. D = \lh + l/(H - h) = 1,5 дптр.
1089. a = - -
2{
= 8 см.
2{f-F
1090. Оптический центр линзы О лежит на пересечении прямой SS' с
главной оптической осью. Проводя затем прямые SB и S'B', параллельные
оси, соединим точку S с точкой В', а
точку S' с точкой В и продолжим прямые
SB' и S'B до пересечения с осью. В точках
пересечения лежат фокусы линзы
(рис. 425-428).
Изложенный способ определения
оптического центра линзы и ее фокусов
основан на известном методе построения
Рис. 425 изображения точки с помощью трех
368

лучей: луча, параллельного главной оптической оси, луча, идущего через
центр линзы, и луча, проходящего через фокус. В случаях 1)-3) линза
собирающая, в случае 4) — рассеивающая. В случаях 1) и 4) изображение
мнимое, в случаях 2) и 3) - действительное.
Рис. 426
Рис. 427
Рис. 428
Рис. 429
1091. Положение фокусов можно найти, опустив на главную опти-
оптическую ось перпендикуляры из точек пересечения с данным лучом
побочных оптических осей, параллельных падающему и преломленному
лучам (рис. 429).
1092. At« d&UF(vx - v2) sin a « 8,5 мс.
1093. a=f-F = F2/(d - F) = 98 см.
1094. В результате прохождения через пластинку световой луч, со-
составляющий с оптической осью угол а (рис. 430), смещается параллельно
Рис. 430
самому себе на расстояние h, определяемое из уравнений
sinoc/sinP = л, b = /isin(oc — P)/cosp",
(см. задачу 991). Точка пересечения лучей после прохождения пластинки
сместится на расстояние
369

Здесь учтено, что при выполнении условия sin a ~ tg а выполняется также
sin Р = tg p. На такое расстояние а надо передвинуть объектив фото-
фотоаппарата.
1095. Возможны два случая, а) Если расстояние d от линзы до экрана
больше расстояния/от линзы до изображения 5" источника S, лучи пада-
падают на экран расходящимся пучком (рис. 431, я). Из подобия треуголь-
d
В
\
d
Рис.431
ников ABS' и CDS' находим f/(d -/) = п. Используя формулу линзы
Md + 1//= l/F, получим F = nd/Bn + 1) = 4 см.
б) Если расстояние d от линзы до экрана меньше расстояния / до
изображения, лучи падают на экран сходящимся пучком (рис. 431, б). Из
подобия треугольников ABS' и CDS' находим f/(f- d) = п. Используя снова
формулу линзы lid + l/f= l/F, получим F = nd/Bn - 1) = 6,7 см.
1096. Первоначальное расстояние от линзы до экрана/= Fdl(d - F).
После того как экран переместили на расстояние а, изображение
-*s
a a
g\cV
В
Рис. 432
Рис. 433
источника расплылось в круглое пятно GH или DE (рис. 432). Из подобия
треугольников ABC,GHC к DEC следует 2/72Л =/7а, откуда R -
= ar(d-F)IFd= 1,5 см.
1097. Из формулы линзы lid + I/a ~ l/F и подобия треугольников
(рис. 433) имеем
2r/d = 2R/(d + a), откуда tf = ar/F = 0,08 м.
1098. R = dr/(d -F) = 4,5 см.
1099. Увеличение k = Ul= fid, откудаf=,Ld/l= Юм. ;
370

1101. F =fll(L + /) = 15,4 см.
1102. L = I/ID2 = 5 м. Увеличение к = I/ID = 50; A = ka = 2 м, В =
= й=3м.
1103. Увеличение к = 1/3. Расстояние между линзой и предметом нужно
увеличить на величину а = A - k)/kD = 0,25 м.
1104. Согласно формуле линзы l/d + 1//= 1/F, где F- фокусное
расстояние линзы и d = F + а (по условию). Увеличение к = fid; отсюда
f=k(k + 1)а = 36см.
1105. Если А — амплитуда колебаний линзы или источника, то
Л, /Л = (/' + d)ld и А2/А = fid. Кроме того, l/d + 1//= 1/F; отсюда d =
= A{F/A2 = 0,64 м.
1106. к = 4.
1107. Ш + 1//= 1/F, /t =/7^, откуда/= (? + 1)F = 5,1 м.
1108. \1Н + 1//= 1/F, к=1/Н = 2,5 • 10-4; отсюда F = Ш/A + к) = 0,5 м.
1109. В момент времени t свободно падающий предмет имеет скорость
и = gt. За малый промежуток времени At он пройдет расстояние А/ = vAt,
изображение предмета пройдет за то же время расстояние AL = VAt, где
V = at. Очевидно,
AL/Al = f/d, \ld + \/f = \/F;
отсюда
F-adl{a + g)^Q,\ м.
1110. Для построения изображения каждой из точек достаточно опре-
определить ход любых двух лучей, исходящих из точки, после преломления в
линзе (рис. 434).
Рис. 434
Рис. 435
1111. Из формулы линзы l/d + 1//= 1/F найдем расстояние / =
= Fdl(d - F) = 3F, а затем увеличение к = fid = F/(d - F) = 2. Предмет,
изображение и оптический центр линзы всегда расположены на одной
прямой, поэтому изображение движется по окружности вдвое большего
радиуса с вдвое большей скоростью: V = к и = 6 см/с. Предмет и изобра-
изображение находятся в диаметрально противоположных точках окружностей,
так что скорости vaV направлены в противоположные стороны.
1112. Расстояние/от линзы до экрана определяется по формуле линзы
l/d + 1//= 1/F. При смещении линзы вниз изображение также скользит
вниз по экрану (рис. 435). Из подобия треугольника ASB и O\SO2 Следует,
что Lll = (d +f)/d; поэтому L = ldl{d-F) = 4,5 см.
371

1113. Rlr =fld. Из формулы линзы l/d + 1//= D имеем f=(R+ r)/rD.
1114. Из уравнений l/d + 1//= 1/F vik=fld найдем к = flF -1 = 15.
1115. До смещения предмета d\ = d,f\ = d и, следовательно, по форму-
формуле линзы F = d/2 = 0,25 м. Увеличение кх =/, /d] = 1. После смещения пред-
предмета d2 = d — а и к2 -fi/d2. Применяя формулу линзы \/d2 + 1//г = 1/F,
получим
-F) = Fl(d-a-F) = dl(d-2a) = 5.
1116. d = F(l +h/H). По условию размер изображения Н =s 36 мм;
следовательно, d 5= 255 см.
1117. Изображение исчезнет, если ни один луч, исходящий из точки, не
попадет на линзу (рис. 436). Тогда г/а = ll(d - а). Кроме того,
L
1
1 1 1
— = —, — + — = —; отсюда а = -
rFf
d + f
LF+rf-rF
¦ = 8 см.
Рис. 436
Рис. 437
1118. Расстояние А/ = vAt, на которое переместится автомобиль за
время экспозиции, и расстояние AL, на которое переместится за то же
время его изображение, связаны соотношением ALIAl =f/d. Кроме того,
l/d + l/f = l/F. По условию AL =? а. Решив данную систему уравнений и
неравенств, получим At^a{d-F)/uF~5 мс.
1119. Формула линзы l/d + l/f= 1/F позволяет найти расстояние/, на
котором изображение находится от линзы. Каждая из раздвинутых частей
линзы действует как целая линза, главная оптическая ось которой отсто-
отстоит от источника на расстоянии /. Следовательно, каждое из изображений
отстоит от этой оси на расстоянии L = Ifjd (рис. 437). Искомое расстояние
5 = 2L + 2/ = ldl(d-F) = 6 см.
1120. Увеличением изображения назовем, как обычно, отношение
линейного размера изображения к размеру предмета: к = L/l = (f\ -
—/2VW2 ~ ^i)- Применив дважды формулу линзы: l/dt + l/f\ = 1/F и
Шг + Чг = 1/F, получим к = F2/^, - F){d2-F)« 4.
1121. Предмет, расположенный вдоль главной оптической оси, изо-
изображается с увеличением к = F2/(d\ — F)(d2 — F) (см. задачу 1120). Объект,
находящийся на расстоянии d], изображается с увеличением к] = F/(d\ — F),
на расстоянии d2 — с увеличением к2 — F/(d2 — F) (см. задачу 1115). Следо-
Следовательно, к = к]к2.
372

1122. L = kAkBl.
1123. Обозначим а = d +/. Так как F = fd/(f + d) и y^d^ (f+d)/2,
то a =fd/F =? (/¦+ dJ/4F — a2/4F; отсюда a э= 4F. Следовательно, amjn =
= 4F. При этом я1 =/= IF.
1124. Ш + 1//= 1/F, rf +/= a; отсюда
V t a ~ R V
F, f = —+ Fa =
Таким образом, возможны два решения:
dx = 5F, /, = 1.25F и d2 = 1.25F, /2 = 5F.
Наличие этих двух решений следует из свойства обратимости световых
лучей: источник можно заменить изображением, а изображение -
источником, изменив направления лучей на противоположные.
1125. Для первого и второго положений линзы имеем
111,, 111,.
d\ /, F d2 f2 F
По условию \d2- d\l = b. Из первых четырех уравнений следует, что
d\ и/j, так же как и d2 и f2, должны являться корнями уравнения
х2 - х + aF = 0, т.е.
(второе положение линзы есть обращенное первое). Следовательно,
Ъ1 = Л(а21Л - aF), или F = (a2- Ь2)/4а = 0,9 м.
1126. b = ^a2-AaF (см. задачу 1125).
1127. Увеличение в первом случае Hx/h = f\ld\, во втором H2/h =
= f2/d2. Применяя дважны формулу линзы, получим /, = d2 af2 = dx
(см. задачу 1124). Перемножая полученные уравнения, найдем h = у Н\Н2.
1128. Используя дважды формулу линзы и данные о расстояниях а и b
(см. задачи 1124, 1125), получим
dx =/2 = 0,5(a ± b), d2 =fi = 0,5(a + b).
Размер изображения в первом случае lf\ld\, во втором случае lf2ld2, где
/ - размер предмета. Отношение размеров изображений
п =fxd1)dxf2 = (а + bfl{a ± ЬJ, т.е. it, = 0,04, к2 = 25.
1129. Пусть положения линзы отстоят друг от друга на расстоянии Ь.
Воспользовавшись решениями задач 1125 и 1128, получим
(a + bJ/(a-bf=n, F = (а2 - b2)l Aa = a4nl[4h+ \f = 0,2м. .
373

ИЗО. b = a{4k-\)l(Jk +1) = 0,4 м (см. задачи 1125,1128).
1131. F = 4ab = 0,2м, k = yab+b)l[4ab+a) = 4bTa=^-
1132. F = {H2d2 - Hxdx)l(H2 - Hi) = 11,3 см.
1133. F = HxH2b/(Hx - H2)h = 9 см.
1134. Для основного расположения
l/d+ 1//= l/F, d+f=a, fld = k.
После перемещения экрана и линзы
Ш, + 1//, = l/F, dx +/, = а + Ь, /,/rf, = *,.
После перемещения экрана и источника
Ш2 + \Ц2 = l/F, d2+f2 = a + h + с, h =/+ *. W2 = k2.
Отсюда
k _
A + A;)Va + b - л/аA - A:J + b(\ + kJ
k2 + k 9.
ak
1135. Если рассматривать предмет через лупу, то угол зрения ф(
определяется из уравнения tg ф] = hid = H/f, где huH - размеры предмета
и изображения. Так как мнимое изображение должно лежать от линзы,
приставленной вплотную к глазу, на расстоянии /э= d0, то из форму-
формулы линзы l/d- l/f= D получаем, что do/(l + Dd0) =? d =? l/D. Если рас-
рассматривать предмет без лупы, то угол зрения ф2 находится по формуле
tg ф2 = hld{). Увеличение лупы к = tg ф]/1§ ф2 = do/d; следовательно,
Dd0 ^k^ Dd(} + 1, или 2 =s к =? 3.
1136. Лупа дает увеличение кх = d^F предмета, лежащего в ее фокаль-
фокальной плоскости (см. задачу 1135). Если использовать ее в роли объектива
проекционного фонаря, то она дает увеличение k2=f/d. Изображение
на экране - действительное, поэтому l/d + 1//= l/F. Следовательно, d =
= (к2 + 1№о/к2к1 = 5,5 см.
1137. По формуле линзы l/d - l/f= l/F, где d- a-b — расстояние от
предмета до лупы, /= do — b — расстояние от лупы до изображения.
Предмет, находящийся на расстоянии d0, глаз видит под углом фь который
определяется из равенства tg ф] = h/dy, где h — размер предмета. Если
предмет рассматривать через лупу, то угол зрения ф2 определяется по
формуле tg ф2 = h/{a - b). Увеличение к = tg фг/tg ф] = dQ/(a - b). Следо-
Следовательно,
do-b + F
374

1138. Увеличенное изображение может быть действительным или
мнимым:
l/d ± 1//= D, fid = к; отсюда d=(k± 1)/Ш.
Для получения действительного изображения предмет нужно помес-
поместить перед линзой на расстоянии d\ = 0,3 м, мнимого - на расстоянии
d2 = 0,2 м.
Рис. 438
Рис. 439
1139. Как видно из рис. 438, г =/tg а. Расстояние/от линзы до изобра-
изображения источника определяется по формуле линзы l/d- l/f- 1/F, откуда
F = rd/(r - d tg a) « 7,4 см.
1140. Из уравнений l/d - l/f = 1/F и/= r/tg a, где/ - расстояние
между линзой и изображением источника, следует, что d = rF/BF tg a +
+ г) = 2 см.
1141. Когда источник находится в фокусе линзы, на экран падают
параллельные лучи и пятно имеет радиус, равный радиусу г линзы. Если
источник удалять от линзы, то пятно будет сначала уменьшаться, а затем
увеличиваться до прежних размеров. Следовательно, источник нужно
приближать к линзе. Пусть требуемые размеры пятно имеет, когда источ-
источник S находится на расстоянии d от линзы. При этом лучи от изобра-
изображения S' источника, проходящие через края линзы, идут к краям пятна по
прямым линиям (рис. 439). Тогда должны вы-
выполняться соотношения
a = F-d, l/d- l//= 1/F, (f+ b)/2rn =//2r; у __,,.-
отсюда а = F2(n - l)/[b + F(n - 1)] = 2 см. F S,
1142. Для нахождения хода произволь- q
ного луча SA после преломления в линзе не-
необходимо найти точку В пересечения по-
побочной оптической оси СВ II SA с фокаль-
фокальной плоскостью линзы (рис. 440). Глаз, расположенный за линзой,
увидит мнимое изображение S' в точке пересечения продолжений
лучей OF и АВ.
В
О
Рис. 440
375

1143. Продолжив данные лучи до их пересечения, получим изобра-
изображение S' светящейся точки (рис.441). Соединим полученную точку S' с
оптическим центром линзы О. Луч BF после
преломления идет через фокус; значит, до
преломления он шел параллельно главной
оптической оси. Проведем SB II OF. Искомая
точка S лежит на пересечении OS' и BS.
1144. Так как изображение мнимое, то
l/d- l//= 1/F; отсюда d=fF/(f+ F) = 0,2 м.
1145. F=fd/(f-d) = 0,6 м.
1146. Из формулы линзы l/d- l//= 1/F, где
/= F, имеем d = F/2.
Рис-441
1148. По условию а = d] + d2nd\= nd2. Изображение первого источ-
источника - действительное, изображение второго - мнимое. Поэтому
Ш, + 1//, = \/F = D, Ш2 - 1//2 = VF = D,
где /i и/г — расстояния от линзы до изображений. По условию
!/i -fi\ = h.
В случае, если изображение первого источника находится дальше от
линзы, чем изображение второго, т.е. fx -f2 = &> получаем для d2 квад-
квадратное уравнение
nDB - Db)d\ + (Db - 1)(л + \)d2 -b = 0.
Решая его, находим
a = (n + \)d) = (n +1)
2
О - Db)(n +1)
- Dbfjn -\J+An
2nD{2-Db)
= 5 м
(отрицательный корень не имеет смысла).
В случае, если /2 —/( = Ь, формулу для а получим, поменяв знак h на
обратный. В результате будем иметь а = 7,17 м (значение а = 1,16 м не
удовлетворяет условию задачи, так как при этом изображения источников
находятся по разные стороны от линзы).
1149. F = 2d{h-d)/b = 9 см.
1150. Для мнимого изображения l/d-l/f=Du откуда Dx =
= (f—d)/fd - -0,3 дптр (линза рассеивающая). Знак плюс перед Dx в
формуле линзы поставлен потому, что оптическая сила линзы - величина
неизвестная. Для действительного изображения
Ш + 1//= ?>2, откуда D2 = <f+ d)/fd= 0,5 дптр
(линза собирающая).
1151. Отношение расстояний от изображения точки и от самой точки
до главной оптической оси L/l=f/d. В случае действительного изобра-
изображения l/d + 1//= 1/F и d =fF/(f- F) = -36 см, / = LF/(f- F) = -15 см, т.е. на
376

линзу падают лучи, которые в отсутствие линзы сошлись бы в точке,
отстоящей от линзы на 36 см и от оси на 15 см. Источник получается
мнимым, что противоречит условию задачи. В случае мнимого изобра-
изображения l/d - l/f= 1/F и d =fF/(f+ F) = 7,2 см, / = LF/(f+ F) = 3 см.
1152. Увеличение k-f/d, где/- расстояние от линзы до изобра-
изображения. В случае действительного изображения l/d + llf— 1/F и
F = kdftk + 1) = 9 см; в случае мнимого изобра-
изображения l/d - 1//= 1/F и F = kd/(k - I) = 11 см. ^
1153. Если d — расстояние от предмета до ^°"~~2^
линзы, а / - от линзы до изображения, то в »—^
случае действительного изображения
l/d + 1//= 1/F, H/h =f/d и d = F + b. •—
2r-,
В случае мнимого изображения
l/d- 1//= 1/F, Hlh=fld и d=F-b.
2r
Рис. 442
Обе системы уравнений дают Н = Fh/b = 4 см.
1154. Вершина конуса служит мнимым источником, находящимся на
расстоянии d = F от линзы. Согласно формуле линзы
- l/d + 1//= 1/F = D,
откуда /= 1/2D = 0,1 м.
1155. b=f2/(F-f)= 12,5 см.
1156. Из подобных треугольников имеем (рис. 442).
га/г, = (а + F)/F, г3/Г] = \(F - a)/F\,
где а — расстояние от линзы до экрана. Знак модуля поставлен для того,
чтобы учесть возможный случай а> F. Решив систему уравнений, полу-
получим /'з = 12/'| — г2\ = 3 см.
1157. г3 = 2;-] - г2 = 6 см, если расстояние
от линзы до экрана меньше фокусного
расстояния; гъ =¦ 7.г\ + г2 = 10 см, если это
расстояние больше фокусного.
1158. Для рассеивающей линзы l/d— l/f =
= -1/F = D. По условию задачи /= d/2. Сле-
Следовательно, светящаяся точка расположена
от линзы на расстоянии d = F = -l/D = 0,2 м.
1159. По формуле линзы l/d - l/f= -1/F =
= D. Из рис. 443 видно, что a =/tg а и Н + а =
= /tg Р; отсюда tg Р = tg а - H/d - HD ~ 1,
т.е. р = 45°.
1160. Луч SO проходит через линзу, не
изменяя направления (рис. 444). Знание хода двух лучей, исходящих из
точки 5, позволяет найти ее изображение 5'. Луч S# после преломления
пойдет по направлению КР так, что продолжение этого луча пройдет
через точку S'.
Рис. 443
377

1161. Проведем побочную оптическую ось линзы MON IIАВ и фо-
фокальную плоскость линзы MF (рис. 445). Продолжение ВМ преломлен-
\
м
Рис. 444
Рис. 445
ного луча ВС проходит через точку М пересечения фокальной плоскости
с побочной оптической осью. Способ основан на том, что параллельный
пучок лучей, один из которых можно считать совпадающим с побочной
оптической осью, после преломления идет так, что продолжения лучей
собираются в точке, лежащей на фокальной плоскости линзы.
1162./= Fd/(F + d) = O,lu;H = hF/(F + d) = 0,02 м.
1163. Для двух положений источника имеем
1/d, - 1//, = -1/F, \ld2 - Щ = -1/F,
где/] и /г - расстояния от линзы до изображений в первом и втором слу-
случаях. По условию /| - /г = /. Система уравнений приводит к квадратному
уравнению
(di -d2- OF2 - l{dx + d2)F - ldxd2 = 0,
решение которого дает
F = ¦
= 0, о м
2(d]-d2-l)
(второй корень соответствует собирающей линзе).
1164. Луч пересечет главную оптическую ось в точке, отстоящей на
расстоянии d от плоскости, в которой находилась линза. Согласно фор-
формуле линзы
-Ш + 1//= -1/F, т.е. d =fFI(f+ F) = 5,4 см.
1165. Точка схождения лучей в отсутствие линзы (мнимый источник)
лежит на расстоянии d от ширмы, причем
R/(d -b) = rid (при b < d) или R/(b -d) = r/d (при d < b).
По формуле линзы -l/d + l/b = l/F (перед членом 1/F берем положи-
положительный знак, так как F является неизвестным). Решая полученную систе-
378

му, найдем F = ± rb/R = ± 25 см. Знак плюс соответствует случаю Ъ < d
и указывает на то, что в отверстие нужно вставить собирающую (положи-
(положительную) линзу, знак минус - рассеивающую (отрицательную).
1166. Точка А играет роль мнимого источника,
точка В - мнимого изображения (рис. 446),
поэтому по формуле линзы —l/d— l/f = — 1/F.
Согласно условию задачи /+ d = I nfld - т/п,
отсюда
F = = 0,1 м.
ml n + nJ т + 2
, Рис. 446
1167. / = [~9F(F -L)± 3 W 8F2 + (F - LJ]/4BF -
- L). Отрицательный корень не имеет смысла, поэтому / = 12 см.
1168. Линза может быть собирающей или рассеивающей. В случае
собирающей линзы вершина S светового конуса в отсутствие линзы (мни-
(мнимый источник) лежит за экраном на расстоянии dx - rl/(r — R) от отвер-
отверстия (рис. 447), а при наличии линзы точка S' схождения лучей (изобра-
(изображение) находится на расстоянииf\ = rl/(r + R). По формуле линзы
-Ш, + 1//, = 1/F,; отсюда Fx = rl/2R = 17,5 см.
В случае рассеивающей линзы (рис. 448).
d2 = ;•//(/- + R), f2 = ;¦//(/• - R), ~\jd2 + l//2 = -1/F2.
Следовательно, F2 - dl2R = 17,5 см.
/
Рис. 447 Рис. 448
1169. Оптическая сила линзы в воздухе и в воде соответственно
отсюда F = "»
D(ncr-n,s)
R, R2
= 0,8 м.
R,
1170. Фокусное расстояние F воздушной линзы в стекле определяется
по формуле
nctR
т.е. линза рассеивающая.
379

1171. Фокусное расстояние F воздушной линзы в стекле определяется
выражением — = 1 —i— . По формуле линзы
F {п„ J\R R)
Ill , Rdncl.
—i— = —; отсюда f = —
d f F J 2d(]~na.)-RnCT
= -8,57 см,
т.е. изображение мнимое.
1172. a = F,-F2 =¦
/?|/?2(л2-л,)
(R]+R2)(n]-l)(n2-\)
1173. Используя формулу линзы, имеем
= 1,062 см.
11 J 1 1 ,
T + T = ("c,- -]) — + ^T - в воздухе,
d f "•' l Л, Л,
1 fncr ,11 1 ,
= -?!--l —н в жидкости,
F W A*, R2
- URl +1//?2+1/'j + 1// = , 66
"ж ~ 1 / Л, +1 / R2 -1 / F
1174. В воздухе F, /F2 = (и2 - 1)/(и, - 1) = 1,4. В воде F', /F'2 =
1175. Если бы из линзы луч входил в воздух, то он преломлялся бы
под углом Р| и вышел бы из линзы на расстоянии / от ее оптической оси
(рис. 449). Для такого луча
sinoc/sinP] =1/лст, tgP,=//f;.
Если из линзы луч входит в воду, то
sin a /sin E2 = п„ I пС1., tgP2=//F2.
С учетом этого находим
sinC, /sinp2 = nn и F2 = nnF] = 13,3 см.
1176. Морская звезда кажется фотографу
находящейся на расстоянии h = HlnK от
поверхности воды, т.е. на расстоянии
d - I + h от объектива (см. задачу 1001). По
формуле линзы l/d + 1//= 1/F. Изобра-
Изображение будет меньше предмета в k = dlf раз; следовательно, к =
= (lnB + H)/Fn-1 = 19.
1177. Из каждой точки фотографируемого предмета объектив фото-
фотоаппарата .виден под телесным углом Дсо «= Sid}, где d — расстояние от пред-
предмета до объектива, S -~ площадь линзы объектива. Световой поток от
Рис. 449
380

предмета, проникающий внутрь фотоаппарата, пропорционален площади
предмета 5, и телесному углу Асо: ;
Ф = М, А со,
где b — коэффициент пропорциональности. Этот световой поток распре-
распределяется по площади изображения 52. Поэтому освещенность изобра-
изображения
где/- расстояние от объектива до изображения, а S\ /S2 = d2/f2.
При съемке гравюры издалека /, = F, при съемке же деталей в нату-
натуральную величину f2 ~ 2F. Поэтому отношение освещенностей
т.е. освещенность уменьшилась в 4 раза. Во столько же раз следует уве-
увеличить время экспозиции, чтобы интенсивность почернения фото-
фотопластинки осталась прежней.
§ 31. Оптические системы
1178. Лучи, прошедшие первую линзу, дадут изображение (действи-
(действительное или мнимое) на расстоянии а от линзы, определяемом формулой
линзы lid ± 1/йг = ± 1/F|. Это изображение служит источником (мнимым
или действительным) для второй линзы, т.е. ± Ца + 1//= ± 1/F2. Для
заменяющей линзы l/d + l/f= D. Сравнивая сумму первых двух уравнений
с третьим, убеждаемся, что D = ±1/F, ± 1/Fi, т.е. оптическая сила линзы,
заменяющей систему приставленных вплотную линз, равна алгебраиче-
алгебраической сумме оптических сил этих линз.
Так как рассуждение можно продолжить, приставив к двухлинзовой
системе третью линзу, то результат может быть распространен на любое
число линз. Формула зеркала по структуре и смыслу совпадает с форму-
формулой линзы, поэтому сделанный вывод касается также оптических систем,
содержащих зеркала (приставленные вплотную к линзе). Здесь, однако,
необходимо иметь в виду, что отразившись от зеркала, луч еще раз может
пройти через линзу, которую в этом случае придется учитывать дважды.
XI /"• г расс /г собир ~~ ^*
1180. l/d + 1//= 1/F, + 1/F2, или F2 = dfFx /(/F, + dFx - df) = 54 см
(см. задачу 1178).
1181. Система равносильна двум сложенным вместе линзам cDn= 1/F -
= (п - l)/R каждая, поскольку оптическая сила плоского зеркала равна
нулю. Оптическая сила системы D = 2Dn = 2(п - l)/R.
1182. f=Fd/Bd-F) = 9 см. '
1183. Для непосеребренной линзы — l/d + l//2 = -17F. Посеребренную
линзу можно рассматривать как систему, состоящую из трех сложенных
381

вместе компонентов: рассеивающей линзы с ?>]=— 1/F, выпуклого
зеркала с D2 = -2/R и рассеивающей линзы с D\ = — 1/F, Оптическая сила
такой системы D = D, + D2 + D\=- 2A//? + 1/F), поэтому для посеребрен-
посеребренной линзы
1 1 „ , 2frRd
1— = Д отсюда г7 = = 2 м.
d / 2 2fd + dR+Rf
1184. Расстояние от светящейся точки до вогнутого зеркала а = R - d.
Расстояние/от изображения точки до вогнутого зеркала определяется по
формуле зеркала 1/а + 1//= 2/R. Расстояние от этого изображения до
плоского зеркала h = R -/. Второе изображение, даваемое плоским зерка-
зеркалом, находится по другую сторону плоского зеркала на таком же рас-
расстоянии b от него. Следовательно, расстояние от второго изображения до
вогнутого зеркала с = R + Ъ; отсюда
с = R(R - 3d)/(R - 2d) = 30 см. Второе изо-
изображение находится в фокусе вогнутого
зеркала.
1185. В отсутствие зеркала линза дала
бы изображение источника в точке С на
расстоянии /, определяемом из формулы
линзы l/d + l/f= 1/F (рис. 450). Чтобы лучи
после вторичного преломления в линзе
шли параллельным пучком, они должны после отражения от зеркала
сойтись в фокусе линзы. Треугольники ABC и DEF подобны. Следо-
Следовательно, IIL = E/f; отсюда / = (d — F)L Id. По условию задачи d = 2F,
поэтому / = LI2.
1186. Изображение свечи, даваемое линзой, отстоит от нее на рас-
расстоянии /, а от зеркала - на расстоянии Ъ +/. Изображение в плоском
зеркале расположено по другую сторону зеркала на том же расстоянии
h +/ и, следовательно, на расстоянии 2Ь +/от линзы. Лучи, как бы исхо-
исходящие из этого изображения, снова проходят через линзу, образуя изобра-
изображение на расстоянии а от нее. Из формул линзы для первого и второго
изображений l/d - 1//= 1/F и l/Bb +f)+\/a= 1/F имеем
a = F[2b(d - F) - Fd] l[2b{d -F) + F(F- 2d)} = 60 см.
1187. Расстояние / от линзы до изображения источника, даваемого
линзой, определяется формулой l/d- l/f= -1/F. Это изображение распо-
расположено на расстоянии / + b перед зеркалом. Мнимое изображение в
зеркале находится на таком же расстоянии за зеркалом. Общее рас-
расстояние
= 31 см.
1188. Так как/< F^, то на зеркало падает сходящийся пучок. Если бы
зеркала не было, то вершина этого пучка находилась бы на расстоянии F\
382

от линзы и, следовательно, на расстоянии d = Fx - Ъ от зеркала (рис. 451).
По формуле зеркала -l/d + l/f = l/F2; отсюда
см.
1189. Лучи собираются в точке, где расположен источник, если любой
луч, идущий от источника, пройдя через линзу, падает на зеркало по его
радиусу и отражается по тому же направлению. Линза при этом может
Рис.451
Рис. 452
быть расположена ближе (рис. 452) или дальше (рис. 453) оптического
центра С зеркала:
11
d f
1
—,
F
= R или — + — = —, b-f=F.
d f F
Обе системы уравнений дают d = F(R - b)/(F + R - b). Так как по условию
источник действительный, то решение возможно лишь в случаях h =? R
илиF + R <Ь.
Лучи собираются в точке, где расположен источник, также в случае,
если источник находится на таком расстоянии b от линзы, что линза дает
Рис. 453
Рис. 454
его изображение на самом зеркале (рис. 454), т.е. l/d + Mb = 1/F, откуда
d = Fbl{h - F). В этом случае необходимо, чтобы выполнялось условие
b>F.
1190. Данную задачу, как обычно, можно представить как совокуп-
совокупность трех задач, рассматриваемых последовательно.
1) Источник расположен на расстоянии d от линзы с фокусным
расстоянием F. Его изображение находится на расстоянии f\ от линзы
(рис, 455). . . .
383

2) Это изображение находится на расстоянии d2 от зеркала и служит
для него действительным источником. Его изображение получается на
расстоянии/2 от зеркала (рис. 456).
Рис. 455
Рис. 456
3) Так как лучи по выходе из линзы идут пучком, параллельным
главной оптической оси, то изображение, даваемое зеркалом, служит для
линзы действительным источником, расположен-
расположенным от нее на расстоянии d^ = F (рис. 457). Следо-
3 ^"^ вательно,
\ld-\lfx=\IF, \/d2-\/f2=-2/R,
d2=ft+b, d3=f2+b = F;
Рис. 457
отсюда
R = 2(Fd + Fb - bd)(F - b)/[2(Fd + Fb - bd)- F2] = 21 см.
1191. Расстояние/) от линзы до первого изображения источника, да-
даваемого линзой, удовлетворяет уравнению l/d + l//j = l/F. Второе изобра-
изображение получается в зеркале на расстоянии f2 от него, причем \/{а —f\) —
- l/f2 = - 2/R. Наконец, для третьего изображения, даваемого линзой,
должно выполняться условие 1/(а +f2) + l/d = l/F. Из первого уравнения
системы находим /, = Fd/(d - F). Исключив /2 из двух других уравнений,
получим квадратное уравнение
a2 -Bf]-R)a + f]2 -Rft =0; отсюда а = /, - RI2+ RI2.
Решение со знаком минус дает а = Fdlid - F) — R = 6 см. В этом случае
лучи, вышедшие из линзы, падают на поверхность зеркала перпенди-
перпендикулярно, а первое изображение, даваемое линзой, совпадает с оптическим
центром зеркала. Решение со знаком плюс приводит к большему
значению: а = /| = 30 см. При этом изображение совпадает с полюсом
зеркала.
1192. Из условия задачи следует, что передний фокус линзы совпадает с
оптическим центром зеркала, т.е. линза расположена от зеркала на рас-
расстоянии R-Fu где/? = 2F2- радиус кривизны зеркала (рис.458, верхняя
половина). Изображение источника, помещенного в фокусе рассеиваю-
рассеивающей линзы, получается на расстоянии/] = F) /2 от линзы (см. задачу 1146)
и, следовательно, на расстоянии d2 - R - F, /2 от зеркала. Это изобра-
изображение служит действительным источником для зеркала. Поэтому, если
384

бы лучи не проходили второй раз через линзу, то они собирались бы на
расстоянии/2 от зеркала, причем
/2
-К
Отразившийся от зеркала сходящийся пучок встречает линзу, располо-
расположенную на расстоянии dlt=f2-{R-F{) = CF2 - F\)FX /BF2 - Fx) от точки
схождения лучей; поэтому
CF2-F,)F,
По условию задачи F] < 2F2, поэтому /3 < 0. Это значит, что, выйдя из
линзы, лучи расходятся, а точки пересечения их продолжений лежат
между зеркалом и линзой на расстоянии/3 = -CF2 - F\)F] /F2 = -32 см от
линзы (рис. 458, нижняя половина).
Рис. 458
Рис. 459
1193. Для первого участка имеем 1/G? - а) + 1/B/? + с) = 2/R, для вто-
второго -1/с + 1/(/? - h) = 2/R (рис. 459); отсюда а = Rh/Db - R). Если b = 3R/4,
то а = 3/?/8; если b = -3R/4, то а = 3R/16.
1194. Если бы задней линзы не было, изображение удаленного
источника получилось бы в фокальной плоскости передней линзы. Это
изображение служит для задней линзы мнимым источником. Расчеты
дают в первом и втором случаях
/ =
1-М),
D] +D2-bD{D2
= — м,
13
/ =
1-ЬР2
D]+D2-bD]D2 65
м.
1195. На расстоянии d = (b - F2)F\ /(b - F2 — Fj) = 30 см перед первой
линзой или на расстоянии d = (b — F])F2/(fo — Fj — F2) = 60 см за второй
линзой.
1196. Изображение, создаваемое первой линзой, находится на рас-
расстоянии/) от нее и имеет высоту L] = fcj I = (f\ ld\) l, где к\ — увеличение
первой линзы. От второй линзы оно находится на расстоянии d^= I-f\ и в
свою очередь служит для нее предметом. Изображение, создаваемое
второй линзой, находится на расстоянии /2 от нее и имеет высоту
385

L2 = k2L] = (f2 ld2) L\, где k2 - увеличение второй линзы. По формуле
линзы
1/</,+1//, =1/F,, \/d2+]/f2=\/F2.
Решая полученную систему уравнений, найдем
f2=F2[b(dl-F])-F]dl]/[(b-F2)(dl-F])-F]d]] = 2 м,
L2 = k]k2l = F]F2U[(b-F2)(d] -F1)-dlF1] = 32 см.
1197. а = [b2 F - (d + b){b - 2F)d]/[FBd - F) - b(d - F)] = 0,35 м
(см. задачу 1196).
1198. См. задачу 1196 и построение на рис. 462. Мнимое изображение
находится от второй линзы на расстоянии
f=F2(bd-bF1-Fld)/[(F2-b)(d-Fl)+Fld] = \,8 м.
Увеличение k = FxF21[{F2 - b)(d-F]) + F]d] = 20.
1199. Предмет расположен в фокальной плоскости первой линзы;
следовательно, лучи, идущие от какой-
либо точки предмета, по выходе из
линзы идут параллельным пучком. Если
вторая линза расположена на расстоянии
b < (а\ + a2)Fx /21 от первой линзы, где а,
и а2 — диаметры линз, то каждый из таких
параллельных пучков, пройдя вторую
линзу, даст изображение соответствую-
соответствующей точки предмета в фокальной
плоскости второй линзы. Из подобия треугольников следует (рис. 460),
что
// F] = LI F2, откуда L = IF2I /^ = 3 см.
Построение хода лучей ясно из рис. 460. Изображение получается
действительным. Его можно наблюдать, поместив глаз на соответ-
соответствующем расстоянии за второй линзой.
1200./ = F[b(d-F)-Fd]/[(b-F)(d-F)-Fd] = 3u (см. задачу 1196).
1201. Задняя фокальная плоскость первой линзы должна совпадать с
передней фокальной плоскостью второй линзы, поэтому b = F\+ F2~ 8см.
Задачу можно решить также, применяя общую формулу (см. задачу 1194),
в которой нужно положить/—> оо.
1202. Если первой на пути пучка стоит собирающая линза, то для
достижения желаемого результата должны совпадать задние фокальные
плоскости линз. Если же первой стоит рассеивающая линза, то должны
совпадать передние фокальные плоскости. Искомое расстояние b =
= F] - F2 - 4 см в обоих случаях. При Fj < F2 задача не имеет решения.
Рис. 460
= F3
3
F2+b-Fx
=6 см.
386

1204. За рассеивающей линзой пучок также параллельный. Его
диаметр D2 = Dt F2 /F, = 4 мм.
1205. Источник следует поместить перед собирающей линзой на таком
расстоянии d, чтобы сходящийся пучок лучей имел вершину в точке на
задней фокальной плоскости рассеивающей линзы. По формуле линзы
l/d + 1/(F + b) = 1/F, откуда d = F{F + b)/h = 36 см.
Построение хода лучей ясно из рис. 461. Точка S' является изобра-
изображением источника S в собирающей линзе, и, следовательно, через нее
должны пройти продолжения всех лучей,
вышедших из собирающей линзы. Среди
этих лучей выбираем тот, кторый идет
через оптический центр рассеивающей
линзы. Все остальные лучи, прошедшие си-
систему, будут параллельны выбранному.
1206. Если светящаяся точка располо-
расположена со стороны рассеивающей линзы, то
d = F] (F2 - h)l{F\ — F2 + b) = 8 см (точка рас-
расположена в фокусе рассеивающей линзы).
Если светящаяся точка расположена со стороны собирающей линзы, то
d = [b(F]+b)+FlF2]/(F1-F2+b) = 4\ см.
1207.a = d + b + F2(Fld + F^b + bd)/[(b-F2)(d + F,) + F, d] = 68 см.
1208. В телескопе фокальная плоскость объектива совпадает с
фокальной плоскостью окуляра. Параллельный пучок лучей, пройдя
такую систему линз, остается параллельным, но составляет уже другой
угол с осью трубы. Угловое увеличение телескопа к = F\ /F2. Отрезок
длины / между двумя яркими источниками глаз видит под углом ф = Иг. По
условию задачи Ахр & ф0; отсюда / s* (pofF2 /Ft ~ 475 м.
1209. Длина трубы Галилея / = Fj - F2, ее увеличение к = F] /F2. По
условию задачи труба Кеплера должна иметь ту же длину / = F3 + F4 и
такое же увеличение к = F3 /F4. Следовательно,
Рис. 461
3
Fl+F2
=36
Fl+F2
=4 см.
1210. Окуляр передвинули на расстояние а = F2/(d - F) = 1 см дальше от
объектива.
1211. Если труба предназначена для наблюдения удаленных предметов,
то расстояние между ее объективом и окуляром d = F] + F2, а увеличение
трубы к = F] /F2, где F[ и F2 — фокусные расстояния объектива и окуляра.
При наличии диафрагмы l/d + 1/f = 1/F2, причем/7^ = L/l; отсюда к = IIL.
1212. / = do F2 /(d0 + F2) + F, « 31 см.
1213. Увеличение микроскопа к] = к2к3, объектива к3 -fid. По форму-
формуле линзы l/d + 1// = 1/F; отсюда F = fc, dlk\ + к2. Так как d з= 5 см,
то F з= 4,5 см.
387

1214. Увеличение микроскопа к = к\к2\ для объектива к} =f\ ld\ (рис.
462), причем d\ и/j связаны соотношением \ld\ + \lf\ = 1/F]. Увеличение
окуляра к2 = do /d2, где d2 = I -f\. Решив
систему пяти уравнений, найдем к2 = (dn +
+ */?,)/(/-/?,) «8.
На рис. 462 изображен случай, когда
окончательное изображение находится на
расстоянии do от линзы окуляра. Если же
глаз наблюдателя не напряжен, то из оку-
окуляра должны выходить параллельные
пучки лучей. В этом случае d2 = / -/, = F2,
где F2 - фокусное расстояние окуляра.
Система уравнений и решение остаются
прежними.
1215. Увеличение микроскопа к =
= 5do /Fi F2, 5 = / - F] - F2 - длина тубуса микроскопа; отсюда F, =
= (/ - F2) do/(kF2 + d()) = 2,45 мм.
1216. Для ненапряженного глаза к = (/ - F} - F2) do/F] F2 = 95 (см. за-
задачу 1215). Если же окончательное изображение рассматривается с
расстояния наилучшего зрения, то
Рис. 462
= (l- Ft- F2)d0/ FlF2+(l-
=120.
1217. Увеличение объектива кх = Fj /(d —F{) (см. задачу 1115), окуляра
k2 = d^ /F2 (см. задачу 1136). Увеличение микроскопа и расстояние между
объективом и окуляром
= 150, 1 =
d-E
F2=14,3 см.
2
Если глаз рассматривает изображение с расстояния d(), то к2 - d$ /F2 + 1
(см. задачу 1135) и
(d-F])F2
d-Fx
1218. Из формулы линзы 1/(д + Fj) + l/f\ = \IF\ получаем увеличение
объектива кх -fx l(a + F\) = Fx /а; увеличение окуляра к2 = dg /F2. Увели-
Увеличение микроскопа к = kj k2 = F i d$/aF2 = 200; длина тубуса микро-
микроскопа 5 = /] -F, = F? Iа = 8 см.
1219. Увеличение микроскопа к = F\ dQ/(d- F{)F2 (см. задачу 1217);
отсюда F] = MF2 l{d0 + kF2) = 6 мм.
1221. Когда человек рассматривает без очков предмет, находящийся на
расстоянии ближнего предела аккомодации, то мышцы, управляющие
преломляющей системой его глаза, наиболее напряжены. Если заменить
глаз эквивалентной линзой с экраном (сетчаткой), то можно восполь-
388

зоваться обычной формулой 1/d, + 1//, = Du где/, - глубина глаза
(расстояние от линзы, которой можно заменить преломляющую систему
глаза, до экрана). Рассматривая тот же предмет в очках, человек по
условию задачи напрягает мышцы глаза так же, как и без очков, поэтому
W, + 1//', = О, + DmK. Отсюда ближний предел аккомодации глаза, воору-
вооруженного очками, d\ = d\l{\ + Do,lltd\) = 0,33 м.
Аналогично для дальнего предела аккомодации (наибольшее рас-
расслабление мышц глаза) имеем l/d2 + 1//2 = D2, где глубина глаза/2 и
оптическая сила глаза D2, вообще говоря, другие. Если же человек наде-
наденет очки, то
1 / d'2 + 1 / /2 = D2 + Д,,|К, откуда d'2=d2l{\ + DmKd2) = 1 м.
1222. Для глаза без очков и с очками имеем
l/d+l/f=D и
отсюда D(I|K = 1/<г/() - l/d = -1 дптр. Пройдя такую линзу, лучи от предмета,
находящегося на расстоянии da = 25 см, идут так, как если бы они
исходили из точек, отстоящих на расстоянии d = 20 см от глаза.
1223. По условию задачи d = 20 см есть дальний предел аккомодации
глаза. Поэтому в очках должны быть использоаны такие линзы, пройдя
которые параллельные лучи от бесконечно удаленных предметов каза-
казались бы исходящими из точек, отстоящих на расстоянии d = 20 см. Так как
эти точки лежат в фокальной плоскости линзы, то оптическая сила очков
А.чк = -Ш = -5 дптр.
1224. Исправить недостатки зрения данного человека - значит
прописать ему такие очки, чтобы, надев их, он мог четко видеть пред-
предметы, находящиеся на расстоянии не ближе do = 25 см, а также беско-
бесконечно удаленные предметы. Для достижения первой цели человеку
нужны очки с оптической силой Dh)MK = I/do — \/d\ =-6 дптр (см. за-
задачу 1222). Тогда наиболее далекие предметы, которые сможет ви-
видеть этот человек, будут находиться от него на расстоянии d'2 =
- d2/(l + D,,,,IK d2) = 0,5 м (см. задачу 1221). Следовательно, для того чтобы
видеть очень далекие предметы, человеку нужны другие очки с опти-
оптической силой D2o4K = —1/^2 = ~8 дптр (см. задачу 1223). Надев их, он смо-
сможет видеть предметы, находящиеся не ближе d\ = d) /(I + D2o,,K d{) - 0,5 м.
Таким образом, данный человек должен иметь очки с опти-
оптической силой D|(,,1K = -6 дптр ("для близи") и очки с оптической силой
^2Aмк = ~8 дптр ("для дали") или очки, у которьтх нижняя часть каждого
стекла изготовлена в виде линзы с оптической силой DUviK, а верх-
верхняя - в виде линзы с оптической силой D2o4K (так называемые "бифо-
"бифокальные" очки).
1225. DO,,K = l/d0 ~ Ш = 2,75 дптр (см. задачу 1222).

ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Фундаментальные физические константы
Гравитационная постоянная
Ускорение свободного падения
(нормальное)
Скорость света в вакууме
Магнитная постоянная
Электрическая постоянная
Масса покоя электрона
Масса покоя протона
Элементарный заряд
Отношение заряда электрона к
его массе
Постоянная Планка
Постоянная Авогадро
Постоянная Больцмана
Молярная газовая постоянная
Постоянная Фарадея
Объем моля идеального газа
при нормальных условиях
(Л) =Ю1 325 Па, Г„ = 273,15 К)
G= 6,6720- 10"" Н-м2/кг2
g = 9,80665 м/с2
с = 2,99792458 • 108 м/с
Но = 4л • 10 Гн/м = 12,5663706144 ¦ 10 Гн/м
?0= 8,85418782- 10-'2Ф/м
те= 9,109534- КГ31 кг
тр = 1,6726485 ¦ 107 кг
е= 1,6021892- 109 Кл
е/те= 1,7588047- 1011 Кл/кг
h = 6,626176- 104Дж-с
NA = 6,022045 • 1023 моль
к= 1,380662- 103Дж/К
R= 8,31441 ДжДмоль-К)
F= 96,48456 • 103 Кл/моль
К„ = 22,41383 ¦ 10 м3/моль
П. Множители и приставки для образования
десятичных кратных и дольных единиц и их наименований
Множи-
Множитель
1018
1015
1012
109
106
103
102
10'
Приставка
наиме-
наименование
ЭКСО
пета
тера
гига
мега
кило
гекто
дека
обозна-
обозначение
Э
П
Т
Г
М
к
г
да
Множи-
Множитель
ю-'
ю-2
ю-3
го-6
ю-9
ю-12
ю-15
10-18
Приставка
наименование
деци
санти
МИЛЛИ
микро
нано
пико
фемто
атто
обозначение
Д
С
м
мк
н
п
ф
а
390

III. Единицы и размерности физических величин в СИ
Определения единиц физических величин приведены для основных (выделены полужирным шрифтом) единиц СИ.
Внесистемные единицы, допустимые к применению наравне с единицами СИ, отмечены кружком
Величина
Длина
Площадь
Объем
Плоский угол
Телесный угол
Время
Скорость
Ускорение
W
\О
L
L2
L3
-
-
Т
LT-1
LT~2
Единица
метр
°астрономическая
единица длины
"световой год
°парсек
квадратный метр
°гектар
кубический метр
°литр
радиан
стерадиан
секунда
"минута
°час
°сутки
метр в секунду
метр на секунду в
квадрате
м
а.е.
св. год
ПК
м2
га
м3
л
рад
ср
с
мин
ч
сут
м/с
м/с2
Связь с основными единицами СИ
Основная единица
Метр равен длине пути, проходимого светом
в вакууме за 1/299 792 458 секунды
1 а.е. = 1,49598- 10й м
1 св. год = 9,4605 • 1015м
1 пк = 3,0857- 1016м
1 га = 104 м2
1 л = 10 м3
Дополнительная единица
Дополнительная единица
Основная единица
Секунда равна 9 192 631 770 периодов
излучения, соответствующего переходу
между двумя сверхтонкими уровнями
основного состояния атома цезия-133
1 мин = 60 с
1 ч = 3600 с
1 сут = 86 400 с

Продолжение
Величина
Угловая скорость
Угловое
ускорение
Частота
периодичес-
периодического процесса
Частота вращения
Масса
Плотность
Удельный объем
Массовый расход
Объемный расход
Сила
Давление
Жесткость
г-1
г-1
г-1
м
L~3M
мг~х
L37-'
LMT~2
L-]MT~2
MT~2
Единица
радиан в секунду
радиан на секунду
в квадрате
герц
секунда в минус
первой степени
килограмм
"тонна
°атомная единица
массы
килограмм на
кубический
метр
кубический метр
на килограмм
килограмм в
секунду
кубический метр
в секунду
ньютон
паскаль
ньютон на метр
рад/с
рад/с2
Гц
С
кг
т
а. е. м.
кг/м3
м3/кг
кг/с
М3/С
Н
Па
Н/м
Связь с основными единицами СИ
1 рад/с = 1 с
1 рад/с2 = 1 с
1 Гц= 1 с
Основная единица
Килограмм равен массе международного
прототипа килограмма
1 т = 103 кг
1 а. е. м. = 1,6605655 • 1(Г27 кг
1 Н = 1 кг • м • с
1 Па = 1 Н/м2 = 1 и • кг • с
1 Н/м = 1 кг ¦ с

Напряжение
Динамическая
вязкость
Кинематическая
вязкость
Поверхностное
натяжение
Импульс (количе-
(количество движения)
Момент силы
Момент импульса
(момент коли-
количества движе-
движения)
Момент инерции
Работа, энергия
Мощность, поток
энергии
Температура (тер-
модинами-
модинамическая)
Температурный
коэффициент
Температурный
градиент
L2T~l
мт~2
LMT~l
l2mt~2
L2MT~l
L2M
L2MT-2
L2MT~3
®
паскаль
паскаль-секунда
квадратный метр
на секунду
ньютон на метр
килограмм-метр в
секунду
ньютон-метр
килограмм-метр в
квадрате в
секунду
килограмм-метр в
квадрате
джоуль
ватт
кельвин
"градус Цельсия
кельвин в минус
первой степени
кельвин на метр
Па
Па с
М2/С
Н/м
кг • м/с
Нм
КГ • М2/С
кг • м2
Дж
Вт
К
°с
к-1
К/м
1 Па = 1 Н/м2 = 1 м • кг ¦ с-2
1 Па • с = 1 м • кг • с
1 Н/м = 1 кг • с
1 Н ¦ м = 1 м2 • кг • с
1 Дж = 1 Н ¦ м = 1 м2 • кг • с
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2 • кг • с"
Основная единица
Кельвин равен 1/273,16 части
термодинамической температуры тройной
точки воды
tl°C = Г/К -273,15

Продолжение
Величина
Количество
вещества
Молярная масса
Молярный объем
Количество теп-
теплоты (теплота)
Удельная теплота
Молярная тепло-
теплота
Теплоемкость,
энтропия
Удельная тепло-
теплоемкость, удель-
удельная энтропия
Молярная тепло-
теплоемкость, мо-
молярная энтро-
энтропия
N
MN~]
L*N-1
L2MT~2
L2T~2
L2MT-2N~l
L2Afr20-'
L27-20-'
L2Mr-2QrlN-1
Единица
моль
килограмм на
моль
кубический метр
на моль
джоуль
джоуль на кило-
килограмм
джоуль на моль
джоуль на
кельвин
джоуль на кило-
грамм-кельвин
джоуль на моль-
кельвин
моль
кг/моль
м3/моль
Дж
Дж/кг
Дж/моль
Дж/К
ДжДкг • К)
ДжДмоль • К)
Связь с основными единицами СИ
Основная единица
Моль равен количеству вещества системы,
содержащей столько же структурных
элементов, сколько содержится атомов в
углероде-12 массой 0,012 кг
1 Дж = 1 Н • м = 1 м2 • кг • с
1 Дж/кг = 1 м2 ¦ с~2
1 Дж/моль = 1 м2 • кг • с~2 • моль
1 Дж/К = 1 м2 • кг • с • К
1 Дж/(кг - К) = 1 м2 • с-2 • К
1 ДжДмоль • К) = 1 м2 ¦ кг • с~2 • К • моль

Тепловой поток
Плотность теп-
теплового потока
Теплопровод-
Теплопроводность
Коэффициент
теплопередачи
Концентрация
(плотность
числа частиц)
Молярная кон-
концентрация
Коэффициент
диффузии
Сила электри-
электрического тока
Плотность элект-
электрического тока
МТ~Ъ
МГ-3<Эг1
L~3N
/
L-2I
ватт
ватт на квадрат-
квадратный метр
ватт на метр-
кельвин
ватт на
квадратный
метр-кельвин
метр в минус
третьей
степени
моль на куби-
кубический метр
квадратный метр
в секунду
ампер
ампер на квад-
квадратный метр
Вт
Вт/м2
Вт/(м • К)
Вт/(м2 - К)
м-3
моль/м3
М2/С
А
А/м2
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2 ¦ кг • с
1 Вт/м2 = кг • с~3
1 Вт/(м • К) = 1 м ¦ кг • с-3 • К
1 Вт/(м2 • К) = 1 кг ¦ с" • К
Основная единица
Ампер равен силе неизменяющегося тока,
который при прохождении по двум
параллельным проводникам бесконечной
длины и ничтожно малой площади кругового
поперечного сечения, расположенным в
вакууме на расстоянии
1 м один от другого, вызвал бы на каждом
участке проводника длиной 1 м силу
взаимодействия, равную 2 • 10~7 Н

Продолжение
Величина
Количество
электричества
(электри-
(электрический заряд)
Поверхностная
плотность
электричес-
электрического заряда
Пространственная
плотность
электричес-
электрического заряда
Электрическое
напряжение,
электрический
потенциал,
разность
электрических
потенциалов,
электродви-
электродвижущая сила
Напряженность
электричес-
: КОГО ПОЛЯ
Электрическое
сопротивление
77
L~2Tl
L-41
L2MT~3r]
LMT'3!-1
L2MT~3r2
Единица
кулон
кулон на
квадратный
метр
кулон на куби-
кубический метр
вольт
вольт на метр
ом
Кл
Кл/м2
Кл/м3
В
В/м
Ом
Связь с основными единицами СИ
1 Кл = 1 с - А
1 Кл/м2 = 1 м • с • А
1 Кл/м3=1м~3-с-А
1 В = 1 Вт/А = 1 м2 ¦ кг • с • А
1 В/м = 1 Вт/(А • м) = 1 м • кг • с • А
1 Ом = 1 В/А = 1 м2 • кг • с • А

Удельное элект-
электрическое
сопротивление
Электрическая
проводимость
Удельная элект-
электрическая
проводимость
Электрическая
емкость
Электрическая
постоянная,
абсолютная
диэлектри-
диэлектрическая прони-
проницаемость
Поток электри-
электрического сме-
смещения
Электрическое
смещение
Магнитный поток
(поток магнит-
магнитной индукции)
Магнитная индук-
индукция (плотность
магнитного
потока)
Индуктивность
L?MT 3/2
L-2M-T4/2
TI
L~2TI
L2MT-2I-'
L2MT-2I~2
ом-метр
сименс
сименс на метр
фарад
фарад на метр
кулон
кулон на
квадратный
метр
вебер
тесла
генри
Ом • м
См
См/м
Ф
Ф/м
Кл
Кл/м2
Вб
Тл
Гн
1 Ом • м = 1 м3 ¦ кг • с • А~2
1 См = 1 Ом = 1 м • кг1 ¦ с3 ¦ А2
1 См/м = 1 Ом • м = 1 м ¦ кг • с3 ¦ А2
1 Ф = 1 Кл/В = 1 м-2 • кг ¦ с4 ¦ А2
1 Ф/м = 1 м • кг ¦ с4 • А2
1 Кл = 1 с • А
1 Кл/м2 = 1 м • с • А
1 Вб = 1 В • с = 1 Тл ¦ м2 = 1 м2 ¦ кг - с • А
1 Тл = 1 В • с/м3 = 1 Вб/м2 = 1 кг - с • А-1
1 Гн = 1 м2 • кг • с • А

Окончание
Величина
Магнитная пос-
постоянная, абсо-
абсолютная маг-
магнитная прони-
проницаемость
Напряженность
магнитного
поля
Энергия излу-
излучения
Мощность излу-
излучения (поток
излучения)
Интенсивность
излучения
(плотность
потока излу-
излучения)
Поток частиц
Плотность потока
частиц
LMT-У-2
L-Ч
L2MT~2
L2MT~3
МТ~Ъ
T-i
L-2T-1
Единица
генри на метр
ампер на метр
джоуль
ватт
ватт на квадрат-
квадратный метр
секунда в минус
первой степени
секунда в минус
первой сте-
пени-метр в
минус второй
степени
Гн/м
А/м
Дж
Вт
Вт/м2
С
с-' • м-2
Связь с основными единицами СИ
1 Гн/м = 1 м • кг • с • А
1 Дж = 1 м2 ¦ кг • с
1 Вт = 1 Дж/с = 1 м2 • кг • с~3
1 Вт/м2 = 1 кг • с

Сила света
Световой поток
Световая энергия
Светимость
Освещенность
Яркость
Оптическая сила
Энергетическая
сила света
(сила излу-
излучения)
Энергетическая
светимость
(излучатель-
ность)
Энергетическая
освещенность
(облученность)
Энергетическая
яркость (лучис-
(лучистость)
J
J
77
L~\I
L~2J
L~2J
L~l
L2MT~3
МТ~Ъ
МТ~Ъ
МТ~Ъ
кандела
люмен
люмен-секунда
люмен на квад-
квадратный метр
люкс
кандела на квад-
квадратный метр
°диоптрия
ватт на стерадиан
ватт на
квадратный
метр
ватт на
квадратный
метр
ватт на стера-
диан-квадрат-
диан-квадратный метр
КД
лм
лм ¦ с
лм/м2
лк
кд/м2
дптр
Вт/ср
Вт/м2
Вт/м2
ВтДср • м2)
Основная единица
Кандела равна силе света в заданном направ-
направлении источника, испускающего моно-
монохроматическое излучение частотой
540 ¦ 1012 Гц, энергетическая сила света
которого в этом направлении составляет
1/683 Вт/ср
1 лм = 1 кд ¦ ср
1 лм ¦ с = 1 с ¦ кд • ср
1 лм/м2 = 1 м ¦ кд • ср
1 лк = 1 лм/м2 = 1 м ¦ кд • ср
1 дптр = 1 м~'
1 Вт/ср =1 м2 • кг ¦ с • ср~'
1 Вт/м2 = 1 кг • с
1 Вт/м2 = 1 кг • с
1 ВтДср • м2) = 1 кг • с~3 • ср