Текст
Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты
ШЕСТОЕ ИЗДАНИЕ
Джон К. Халл
Профессор по деривативам и риск-менеджменту финансовой группы Maple Директор финансового центра имени Бонхэма
Школа управления Джозефа Л. Ротмана
Университет Торонто
ВИЛЬЯМС
к»
Издательский дом “Вильямс” Москва • Санкт-Петербург • Киев 2008
Оглавление
Предисловие 31
Глава 1. Введение 37
Глава 2. Механизм функционирования фьючерсных рынков 63
Глава 3. Стратегии хеджирования с помощью фьючерсов 97
Глава 4. Процентные ставки 133
Глава 5. Определение форвардных и фьючерсных цен 165
Глава 6. Процентные фьючерсы 203
Глава 7. Свопы 227
Глава 8. Механизм функционирования опционных рынков 269
Глава 9. Свойства фондовых опционов 299
Глава 10. Стратегии торговли акциями с использованием опционов 323
Глава 11. Биномиальные деревья 345
Глава 12. Винеровские процессы и лемма Ито 373
Глава 13. Модель Блэка-Шоулза-Мертона 397
Глава 14. Опционы на фондовые индексы, валюту и фьючерсы 439
Глава 15. Управление риском: использование “греческих” коэффициентов 477
Глава 16. “Улыбки волатильности” 521
Глава 17. Основные вычислительные процедуры 541
Глава 18. Стоимость под риском 597
Глава 19. Оценки волатильности и корреляции 631
Глава 20. Кредитный риск 657
Глава 21. Кредитные деривативы 693
Глава 22. Экзотические опционы 721
Глава 23. Страховые, погодные и энергетические деривативы 751
Глава 24. Еще раз о моделях и вычислительных процедурах 763
Глава 25. Мартингалы и меры 799
Глава 26. Процентные деривативы: стандартные рыночные модели 829
Глава 27. Поправки на выпуклость, временные поправки и кванто 861
Глава 28. Процентные деривативы: модели краткосрочных ставок 881
Глава 29. Процентные деривазивы: модели HJM и LMM 919
Глава 30. Еще раз о свопах 943
Глава 31. Реальные опционы 965
Глава 32. Провалы и уроки 987
Глоссарий 1001
Программа DerivaGem 1031
Главные биржи, на которых осуществляется торговля фьючерсами
и опционами 1039
Таблица значений функции N(x) при х 0 1041
Таблица значений функции N(ж) при х 0 1043
Предметный указатель 1045
Содержание
Предисловие 31
Глава 1. Введение 37
1.1 Биржевые рынки 38
Электронные рынки 38
1.2 Внебиржевые рынки 39
Объем рынка 39
1.3 Форвардные контракты 40
Выплаты по форвардным контрактам 41
Форвардные цены и спот-цены 43
1.4 Фьючерсные контракты 43
1.5 Опционы 44
1.6 Виды грейдеров 46
1.7 Хеджеры 48
Пример хеджирования с помощью форвардных контрактов 48
Пример хеджирования с помощью опционов 49
Сравнение 50
1.8 Спекулянты 50
Пример спекуляции с помощью фьючерсов 51
Пример спекуляции с помощью опционов 52
Сравнение 53
1.9 Арбитражеры 54
1.10 Опасности 55
Резюме 56
Дополнительная литература 56
Вопросы и задачи 57
Упражнения 60
Глава 2. Механизм функционирования фьючерсных рынков 63
2.1 Основы 63
Зак рытие позиций 64
2.2 Характеристики фьючерсного контракта 66
Актив 66
Величина контракта 67
Условия поставки 68
Месяцы поставки 68
Котировка цен 68
Лимиты цен и позиций 69
2.3 Сходимость фьючерсной цены к цене спот 69
2.4 Ежедневные расчеты и маржа 70
Маржинальные операции 70
Дополнительные подробности 73
Расчетная палата и клиринговая маржа 74
Кредитный риск 75
Обеспечение на внебиржевых рынках 75
2.5 Газетные котировки 77
Цены 77
Расчетные цены 77
Самые высокие и самые низкие цены на протяжении срока действия 80
Количество открытых контрактов и объем торгов 80
Характер фьючерсных цен 80
2.6 Поставка 81
Уплата наличными 82
2.7 Виды трейдеров и приказов 83
Приказы 83
2.8 Регулирование фьючерсных рынков 84
Нарушения правил торговли 85
2.9 Бухгалтерский учет и налоги 86
Бухгалтерский учет 86
Налоги 87
2.10 Форвардные и фьючерсные контракты 89
Прибыль от фьючерсного или форвардного контракта 89
Котировка валютных курсов 90
Резюме 90
Дополнительная литература 91
Вопросы и задачи 91
Упражнения 94
Глава 3. Стратегии хеджирования с помощью фьючерсов 97
3.1 Основные принципы 98
Короткие хеджинговые позиции 98
Длинные хеджинговые позиции 99
3.2 Аргументы за и против хеджирования 101
Хеджирование и акционеры 101
Хеджирование и конкуренты 102
Другие ситуации 103
3.3 Базисный риск 104
Базис 105
Выбор контракта 107
3.4 Перекрестное хеджирование 109
Вычисление оптимального коэффициента хеджирования 110
Оптимальное количество контрактов 112
3.5 Фьючерсы на фондовые индексы 114
Фондовые индексы 114
Хеджирование портфеля обыкновенных акций 117
Причины хеджирования портфеля акций 119
Изменение коэффициента Д 121
Влияние цены отдельной акции 121
3.6 Пролонгация хеджингового контракта 122
Резюме 124
Дополнительная литература 126
Вопросы и задачи 127
Упражнения 129
Приложение 3.1. Формула для вычисления оптимального коэффициента хеджирования 131
Глава 4. Процентные ставки 133
4.1 Виды процентных ставок 133
Казначейские ставки 134
Ставки LIBOR 134
Ставки репо 136
4.2 Начисление процентных ставок 137
Непрерывное начисление 138
4.3 Нуль-купонные ставки 140
4.4 Оценка облигаций 140
Доходность облигации 141
Номинальная доходность 141
4.5 Вычисление казначейских нуль-купонных ставок 142
4.6 Форвардные ставки 145
4.7 Соглашения о форвардных ставках 148
Оценка 150
4.8 Дюрация 151
Модифицированная дюрация 153
Портфели облигаций 154
4.9 Выпуклость 155
4.10 Теории временной структуры процентных ставок 156
Резюме 157
Дополнительная литература 158
Вопросы и задачи 159
Упражнения 161
Глава 5. Определение форвардных и фьючерсных цен 165
5.1 Инвестиционные и потребительские активы 165
5.2 Продажа без покрытия 166
5.3 Предположения и обозначения 167
5.4 Форвардная цена инвестиционного актива 168
Иллюстрация 168
Обобщение 170
Что делать, если продажа без покрытия невозможна 171
5.5 Известный доход 172
Иллюстрация 172
Обобщение 173
5.6 Известная доходность 175
5.7 Оценка форвардных контрактов 176
5.8 Совпадают ли форвардная и фьючерсная цены? 179
5.9 Фьючерсные цены на фондовые индексы 180
Индексный арбитраж 182
5.10 Форвардные и фьючерсные контракты на валюту 183
Иностранная валюта как актив с известной доходностью 186
5.11 Товарные фьючерсы 187
Стоимость хранения 187
Потребительские товары 188
Удобная доходность 189
5.12 Чистая стоимость финансирования 190
5.13 Варианты поставки 191
5.14 Фьючерсные цены и ожидаемая будущая цена спот 191
Кейнс и Хикс 192
Риск и доходность 192
Риск, связанный с фьючерсной позицией 192
Нормальный депорт и контанго 194
Резюме 194
Дополнительная литература 195
Вопросы и задачи 196
Упражнения 199
Приложение 5.1. Доказательство того, что форвардная и фьючерсная цены при постоянной процентной ставке эквивалентны 201
Глава 6. Процентные фьючерсы 203
6.1 Календарные поправки 203
Казначейские облигации 204
Корпоративные и муниципальные облигации 204
Инструменты денежного рынка 205
6.2 Котировки казначейских облигаций 205
6.3 Фьючерсы на казначейские облигации 206
Котировки 206
Коэффициенты пересчета 207
Облигация с наиболее дешевой поставкой 210
Определение фьючерсных цен 211
6.4 Фьючерсы на евродоллары 213
Сравнение форвардных и фьючерсных процентных ставок 215
Применение фьючерсов на евродоллары для продолжения
нулевой кривой ставки LIBOR 217
6.5 Стратегии хеджирования, основанные на манипулировании
дюрацией 219
6.6 Хеджирование портфелей активов и долговых обязательств 221
Резюме 222
Дополнительная литература 223
Вопросы и задачи 223
Упражнения 226
Глава 7. Свопы 227
7.1 Механизм процентных свопов 227
Ставка LIBOR 228
Иллюстрация 228
Применение свопов для преобразования обязательств 230
Применение свопов для преобразования активов 232
Роль финансовых посредников 233
Маркет-мейкеры 234
7.2 Календарные поправки 235
7.3 Подтверждения 236
7.4 Сравнительное преимущество 237
Иллюстрация 237
Критика сравнительных преимуществ 239
7.5 Природа ставок свопов 241
7.6 Построение нулевой кривой LIBOR/своп 242
7.7 Оценка процентных свопов 243
Оценка свопов с помощью цен облигаций 243
Оценка свопов с помощью соглашений о форвардных ставках 245
7.8 Валютные свопы 248
Иллюстрация 249
Применение валютных свопов для преобразования долговых обязательств и активов 250
Сравнительные преимущества 250
7.9 Оценка валютных свопов 253
Оценка валютного свопа с помощью цен облигаций 253
Оценка валютного свопа в виде портфеля форвардных контрактов 254
7.10 Кредитный риск 256
7.11 Другие виды свопов 258
Разновидности стандартного процентного свопа 259
Другие валютные свопы 260
Свопы обыкновенных акций 260
Опционы 261
Товарные свопы, свопы волатильности и другие экзотические инструменты 261
Резюме 261
Дополнительная литература 262
Вопросы и задачи 263
Упражнения 266
Глава 8. Механизм функционирования опционных рынков 269
8.1 Виды опционов 269
Опционы “колл” 270
Опционы “пут” 270
Досрочное исполнение 271
8.2 Опционные позиции 272
8.3 Базовые активы 274
Опционы на акции 274
Валютные опционы 275
Опционы на фондовые индексы 275
Фьючерсные опционы 275
8.4 Характеристика фондовых опционов 276
Дата истечения 276
Цены исполнения 277
Терминология 277
Опционы FLEX 278
Дивиденды и дробление акций 278
Позиционные лимиты и лимиты исполнения 280
8.5 Газетные котировки 280
8.6 Торговля 282
Маркет-мейкеры 282
Компенсирующие приказы 283
8.7 Комиссионные вознаграждения 283
8.8 Маржинальная торговля 285
Продажа непокрытых опционов 285
Другие правила 286
8.9 Опционная расчетная палата 287
Исполнение опциона 287
8.10 Регулирование 288
8.11 Налогообложение 288
Правило фиктивной сделки 288
Конструктивные продажи 289
8.12 Варранты, управленческие акционерные опционы
и конвертируемые облигации 290
8.13 Внебиржевой рынок 292
Резюме 293
Дополнительная литература 294
Вопросы и задачи 294
Упражнения 296
Глава 9. Свойства фондовых опционов 299
9.1 Факторы, влияющие на цены опционов 299
Цена акции и цена исполнения 300
Срок действия 300
Волатильность 302
Безрисковая процентная ставка 303
Размер будущих дивидендов 303
9.2 Предположения и обозначения 303
9.3 Предельные цены опционов 304
Верхняя граница 304
Нижняя граница для опционов на покупку бездивидендной акции 305
Нижняя граница для опционов на продажу бездивидендной акции 306
9.4 Паритет опционов “колл” и “пут” 308
Американские опционы 311
9.5 Досрочное исполнение: опционы на покупку
бездивидендных акций 312
9.6 Досрочное исполнение: опционы на продажу
бездивидендных акций 314
9.7 Влияние дивидендов 315
Нижняя граница стоимости опционов “колл” и “пут” 316
Досрочное исполнение 317
Паритет опционов “колл”и “пут” 317
Резюме 317
Дополнительная литература 318
Вопросы и задачи 319
Упражнения 321
Глава 10. Стратегии торговли акциями с использованием опционов 323
10.1 С гратегии, использующие один опцион и акции одной
компании 323
10.2 Спрэды 326
Бычьи спрэды 326
Медвежьи спрэды 328
Спрэды “коробка” 329
Спрэды “бабочка” 331
Календарные спрэды 333
Диагональные спрэды 336
10.3 Комбинации 336
Стрэддл 336
С грин и стрэп 338
Стрэнгл 339
10.4 Другие выигрыши 340
Резюме 341
Дополнительная литература 342
Вопросы и задачи 342
Упражнения 344
Глава 11. Биномиальные деревья 345
11.1 Одноступенчатая биномиальная модель 345
Обобщение 347
Нерелевантность ожидаемой доходности акции 349
11.2 Безрисковая оценка 349
Пример одноступенчатой биномиальной модели 350
Реальный и риск-нейтралызый мир 351
11.3 Двухступенчатые биномиальные деревья 352
Обобщение 354
11.4 Пример оценки стоимости опциона “пут” 355
11.5 Американские опционы 356
11.6 Коэффициент дельта 357
11.7 Сопоставление волатильности с помощью параметров и и d 358
11.8 Увеличение количества шагов по времени 361
Использование программы DerivaGem 362
11.9 Опционы на другие активы 363
Опционы на акции с непрерывно начисляемой дивидендной доходностью 363
Опционы на фондовые индексы 364
Валютные опционы 364
Фьючерсные опционы 365
Резюме 367
Дополнительная литература 369
Вопросы и задачи 369
Упражнения 371
Глава 12. Винеровские процессы и лемма Ито 373
12.1 Марковское свойство 374
12.2 Стохастические процессы с непрерывным временем 375
Винеровские процессы 376
Обобщенный винеровский процесс 377
Процесс Ито 380
12.3 Процесс, описывающий изменение цены акции 381
Модель с дискретным временем 383
Метод Монте-Карло 383
12.4 Параметры 385
12.5 Лемма Ито 386
Применение к форвардным контрактам 387
12.6 Свойство логнормальности 388
Резюме 389
Дополнительная литература 390
Эффективные рынки и марковское свойство цен акций 390
Стохастические процессы 390
Вопросы и задачи 390
Упражнения 392
Приложение 12.1. Доказательство леммы Ито 394
Глава 13. Модель Блэка-Шоулза-Мертона 397
13.1 Логнормальное свойство цен акций 397
13.2 Распределение ставки доходности 400
13.3 Ожидаемая доходность 401
13.4 Волатильность 403
Оценка волатильности по ретроспективным данным 403
Операционные и календарные дни 406
13.5 Концепции, лежащие в основе дифференциального
уравнения Блэка-Шоулза-Мертона 407
Предположения 409
13.6 Вывод дифференциального уравнения Блэка-Шоулза-Мертона 409
Цены котируемых деривативов 412
13.7 Риск-нейтральная оценка 412
Применение модели Блэка-Шоулза для оценки форвардных контрактов на поставку акций 413
13.8 Формулы Блэка Шоулза 414
Свойства формул Блэка-Шоулза 416
13.9 Интегральная функция нормального распределения 417
13.10 Варранты и управленческие акционерные опционы 418
13.11 Подразумеваемая волатильность 421
13.12 Дивиденды 422
Европейские опционы 422
Американские опционы 423
Аппроксимация Блэка 425
Резюме 427
Дополнительная ли тература 428
Распределение изменений цены акции 428
Модель Блэка-Шоулза 428
Риск-нейтральные оценки 429
О причинах волатильности 429
Вопросы и задачи 429
Упражнения 433
Приложение 13.1. Доказательство формулы Блэка-Шоулза-Мертона 435
Глава 14. Опционы на фондовые индексы, валюту и фьючерсы 439
14.1 Оценка опционов на акции с известной дивидендной
доходностью 439
Нижние границы для цен опциона 440
Паритет опционов “колл” и “пут” 440
14.2 Формулы для вычисления цен опционов 440
Дифференциальное уравнение и риск-нейтральные оценки 441
Биномиальные деревья 442
14.3 Опционы на фондовые индексы 442
Котировки 442
Оценка 444
Биномиальные деревья 445
Страхование инвестиционного портфеля 445
Страхование инвестиционного портфеля, коэффициент бета которого не равен 1,0 447
14.4 Валютные опционы 449
Оценка 450
Биномиальные деревья 451
14.5 Фьючерсные опционы 452
Котировки 453
Опционы на процентные фьючерсы 454
Причины популярности фьючерсных опционов 458
Паритет между опционами “колл” и “пут” 458
14.6 Оценка фьючерсных опционов с помощью биномиальных
деревьев 460
Обобщение 461
Многоуровневые деревья 462
14.7 Дрейф фьючерсных цен в риск-нейтральном мире 463
Дифференциальное уравнение 464
14.8 Модель Блэка для оценки фьючерсных опционов 464
14.9 Фьючерсные и реальные опционы 465
Оценки американских опционов 466
Резюме 467
Дополнительная литература 468
Вопросы и задачи 469
Упражнения 474
Глава 15. Управление риском: использование “греческих” коэффициентов 477
15.1 Иллюстрация 477
15.2 Непокрытые и покрытые позиции 478
15.3 Стратегия ограничения убытков 479
15.4 Дельта-хеджирование 481
Коэффициенты дельта, характеризующие европейские фондовые опционы 483
Коэффициенты дельта, характеризующие другие европейские опционы 484
Коэффициенты дельта форвардных контрактов 486
Коэффициенты дельта фьючерсных контрактов 486
Динамические аспекты дельта-хеджирования 487
За счет чего образуется стоимость 490
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля 491
Стоимость транзакций 492
15.5 Коэффициент тета 492
15.6 Коэффициент гамма 495
Создание гамма-нейтрального портфеля 496
Вычисление коэффициента гамма 498
15.7 Зависимости между коэффициентами дельта, тета и гамма 500
15.8 Коэффициент вега 500
15.9 Коэффициент ро 503
15.10 Практическое хеджирование 504
15.11 Анализ сценариев 506
15.12 Страхование инвестиционного портфеля 507
Использование индексных фьючерсов 509
15.13 Волатильность фондового рынка 510
Резюме 511
Дополнительная литература 512
Вопросы и задачи 513
Упражнения 516
Приложение 15.1. Разложение Тейлора и параметры хеджирования 519
Глава 16. “Улыбки волатильности” 521
16.1 Еще раз о паритете опционов “колл” и “пут” 521
16.2 Валютные опционы 523
Эмпирические результаты 525
Причины “улыбки волатильности” валютных опционов 526
16.3 Опционы на акции 527
Объяснение “улыбки волатильности” опционов на акции 529
16.4 Временная структура волатильности и поверхности
волатильности 529
Влияние модели 531
16.5 Греческие буквы 531
16.6 Ситуация, в которой допускается один большой скачок 532
Резюме 535
Дополнительная литература 535
Вопросы и задачи 536
Упражнения 538
Приложение 16.1. Определение подразумеваемых
риск-нейтральных распределений по “улыбкам волатильности” 540
Глава 17. Основные вычислительные процедуры 541
17.1 Биномиальные деревья 541
Риск-нейтральная оценка 542
Определение параметров р, и и d 542
Дерево, описывающее изменения цены акции 544
Обратный обход дерева 544
Алгебраическая интерпретация 546
Оценки греческих коэффициентов 548
17.2 Использование биномиальных деревьев для оценки
индексных, валютных и фьючерсных опционов 550
17.3 Использование биномиальных деревьев для оценки акций,
приносящих дивиденды 552
Известная дивидендная доходность 552
Известный долларовый дивиденд 554
Метод контрольной величины 558
17.4 Альтернативные методы построения деревьев 560
Триномиальные деревья 561
17.5 Параметры, зависящие от времени 562
17.6 Моделирование по методу Монте-Карло 564
Деривативы, зависящие от нескольких рыночных переменных 569
Генерирование случайных нормально распределенных чисел 569
Количество испытаний 571
Приложения 571
Вычисление греческих коэффициентов 572
Случайное блуждание по дереву 572
17.7 Процедуры уменьшения дисперсии 573
Метод антитетической переменной 573
Метод контрольной величины 574
Важность правильного выбора траекторий 575
Стратифицированный выбор 575
Сопоставление моментов 576
Использование псевдослучайных последовательностей 576
17.8 Конечно-разностные методы 578
Неявный конечно-разностный метод 578
Явный конечно-разностный метод 582
Замена переменной 584
Связь с триномиальным деревом 586
Другие конечно-разностные методы 588
Применение конечно-разностных методов 589
Резюме 589
Дополнительная литература 591
Вопросы и задачи 592
Упражнения 595
Глава 18. Стоимость под риском 597
18.1 Показатель VaR 597
Горизонт времени 600
18.2 Историческое моделирование 600
18.3 Построение моделей 603
Суточная волатильность 603
Инвестиционный портфель, состоящий из акций одной компании 604
Портфель, состоящий из акций двух компаний 605
Выгоды диверсификации 606
18.4 Линейная модель 607
Учет процентных ставок 608
Приложения линейной модели 609
Линейная модель и опционы 609
18.5 Квадратичная модель 61 I
18.6 Метод Монте-Карло 615
18.7 Сравнение подходов 616
18.8 Тестирование в предельных режимах и обратное тестирование 616
18.9 Анализ главных компонентов 617
Вычисление показателя VaR с помощью анализа главных компонентов 619
Резюме 621
Дополнительная литература 622
Вопросы и задачи 623
Упражнения 625
Приложение 18.1. Отображение денежных потоков 628
Глава 19. Оценки волатильности и корреляции 631
19.1 Оценка волатильности 631
Схемы взвешивания 633
19.2 Модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего 634
19.3 Модель GARCH(1,1) 636
Веса 637
Возвращение к среднему значению 638
19.4 Сравнительный анализ моделей 638
19.5 Метод максимального правдоподобия 638
Оценка постоянной дисперсии 639
Оценка параметров модели GARCH(1,1) 640
Насколько хороша модель? 643
19.6 Применение модели GARCH(1,1) для прогнозирования
волатильности
644
Временная структура волатильности 646
Влияние колебаний волатильности 647
19.7 Корреляция 648
Условие согласованности оценок ковариации 650
Резюме 652
Дополнительная литература 652
Вопросы и задачи 653
Упражнения 655
Глава 20. Кредитный риск 657
20.1 Кредитные рейтинги 657
20.2 Вероятности дефолтов 658
Интенсивность дефолтов 659
20.3 Степени возмещения 660
20.4 Оценка вероятностей дефолтов по ценам облигаций 661
Более точные вычисления 661
Безрисковая процентная ставка 663
Свопы активов 663
20.5 Сравнение оценок вероятностей дефолтов 664
Сравнение риск-нейтральных и реальных оценок 667
20.6 Оценки вероятности дефолта на основе цен акций 669
20.7 Кредитный риск, связанный с деривативными транзакциями 671
Уточнение оценок производных финансовых инструментов
с учетом риска дефолта контрагента 672
20.8 Уменьшение кредитного риска 674
Взаимозачет 674
Обеспечение 675
Понижающие триггеры 676
20.9 Корреляция между дефолтами 678
Модель гауссовых пакетов 679
Применение факторных моделей для описания корреляционной структуры 681
Коэффициент биномиальной корреляции 682
20.10 Кредитная стоимость под риском 683
Метод CreditMetrics 685
Резюме 687
Дополнительная литература 687
Вопросы и задачи 688
Упражнения 691
Глава 21. Кредитные деривативы 693
21.1 Свопы кредитных дефолтов 693
Свопы кредитных дефолтов и доходность облигаций 695
Облигация, наиболее дешевая для поставки 696
21.2 Кредитные индексы 696
21.3 Оценка свопов кредитных дефолтов 697
Переоценка свопов кредитных дефолтов 700
Оценка вероятностен дефолта 700
Бинарные свопы кредитных дефолтов 701
Насколько важной является степень возмещения? 701
Будущее рынка свопов кредитных дефолтов 702
21.4 Форвардные контракты и опционы на свопы кредитных
дефолтов 703
21.5 Свон на совокупную доходность 704
21.6 Пакетные свопы кредитных дефолтов 706
21.7 Обеспеченные долговые обязательства 706
Синтетические обеспеченные долговые обязательства 707
Торговля отдельными траншами 708
21.8 Оценка пакетных свопов кредитных дефолтов
и обеспеченных долговых обязательств 709
Использование модели гауссовых пакетов для определения
времени дефолта 710
21.9 Конвертируемые облигации 712
Резюме 715
Дополнительная литература 717
Вопросы и задачи 717
Упражнения 719
Глава 22. Экзотические опционы 721
22.1 Пакеты 722
22.2 Нестандартные американские опционы 722
22.3 Форвардные опционы с отложенным стартом 723
22.4 Сложные опционы 724
22.5 Опционы Chooser 725
22.6 Барьерные опционы 726
22.7 Бинарные опционы 729
22.8 Опционы “с оглядкой назад” 730
22.9 Опционы Shout 732
22.10 Азиатские опционы 733
22.11 Опционы на обмен активов 736
22.12 Пакетные опционы 737
22.13 Статическая репликация опционов 738
Резюме 741
Дополнительная литература 742
Вопросы и задачи 743
Упражнения 746
Приложение 22.1. Вычисление моментов для опенки пакетных и азиатских опционов 748
Глава 23. Страховые, погодные и энергетические деривативы 751
23.1 Вопросы, связанные с определением цен 751
23.2 Погодные деривативы 752
23.3 Энергетические деривативы 754
Сырая нефть 754
Природный газ 755
Электроэнергия 755
Моделирование цен на электроэнергию 757
Хеджирование рисков производителями электроэнергии 757
23.4 Страховые деривативы 758
Резюме 760
Дополнительная литература 760
Вопросы и задачи 761
Упражнения 762
Глава 24. Еще раз о моделях и вычислительных процедурах 763
24.1 Альтернативы модели Блэка-Шоулза 764
Модель дисперсии с постоянной эластичностью 764
Модель скачкообразной диффузии Мертона 766
Модель гамма-дисперсии 767
24.2 Модели стохастической волатильности 769
24.3 Модель подразумеваемой волатильности 772
24.4 Деривативы, зависящие от предыстории 773
Иллюстрация на основе опциона “с оглядкой назад” 774
Обобщение 776
24.5 Барьерные опционы 779
Модель адаптивной сетки 782
24.6 Опционы на два коррелированных актива 782
Преобразование переменных 782
Применение непрямоугольных деревьев 784
Уточнение вероятностей 785
24.7 Метод Монте-Карло и американские опционы 786
Метод наименьших квадратов 786
Параметризация границы исполнения 790
Верхние границы 791
Резюме 792
Дополнительная литература 793
Вопросы и задачи 794
Упражнения 797
Глава 25. Мартингалы и меры 799
25.1 Рыночная цена риска 800
Альтернативные условия 803
25.2 Несколько переменных состояния 804
25.3 Мартингалы 806
Теорема об эквивалентной мартингальной мере 806
25.4 Альтернативные варианты масштаба цен 808
Использование в качестве масштаба цен депозитного счета денежного рынка 808
Использование в качестве масштаба цен стоимости облигации с нулевым купоном 809
Процентные ставки в моделях, использующих в качестве масштаба цен стоимость облигации 810
Использование в качестве масштаба цен рентной ставки 811
25.5 Многочисленные независимые показатели 813
25.6 Приложения 813
Модель Блэка-Шоулза 814
Опционы на обмен активов 815
25.7 Изменение масштаба цен 816
Резюме 818
Дополнительная литература 819
Вопросы и задачи 819
Упражнения 822
Приложение 25.1. Обобщение леммы Ито на ситуацию с несколькими источниками неопределенности 824
Глава 26. Процентные деривативы: стандартные рыночные модели 829
26.1 Модели Блэка 829
Использование модели Блэка для оценки европейских опционов 830
Отложенные выплаты 831
Корректность модели Блэка 832
26.2 Облигационные опционы 832
Внутренние облигационные опционы 833
Европейские облигационные опционы 834
Волатильности доходности 836
Теоретическое обоснование модели 838
26.3 Процентные опционы “кэп” и “фло” 839
Опцион “кэп” как портфель, состоящий из процентных опционов 840
Опцион “кэп” как портфель облигационных опционов 841
Опционы “фло” и “коллар” 841
Оценка опционов “кэп” и “фло” 842
Реальная и слабая волатильности 844
Теоретическое обоснование модели 845
Использование программы DerivaGem 846
Влияние календарных поправок 847
26.4 Европейские свопционы 848
Оценка европейских свопционов 849
Брокерские котировки 851
Теоретическое обоснование модели свопционов 852
Влияние календарных поправок 853
26.5 Обобщения 853
26.6 Хеджинговые процентные деривативы 854
Резюме 855
Дополнительная литература 856
Вопросы и задачи 856
Упражнения 859
Глава 27. Поправки на выпуклость, временные поправки и кванто 861
27.1 Поправки на выпуклость 862
Приложение 1: процентные ставки 864
Приложение 2: ставки свопа 865
27.2 Временные поправки 866
Уточнения к приложению 1 868
27.3 Кванто 868
Использование традиционных риск-нейтральных мер 870
Резюме 873
Дополнительная литература 873
Вопросы и задачи 874
Упражнения 876
Приложение 27.1. Формула для вычисления поправки на выпуклость 878
Глава 28. Процентные деривативы: модели краткосрочных ставок 881
28.1 Основы 881
28.2 Модели равновесия 882
Модель Рендлемана-Барттера 883
Модель Васичека 884
Модель Кокса, Ингерсолла и Росса 885
Двухфакторные модели равновесия 886
28.3 Безарбитражные модели 887
Модель Хо-Ли 888
Однофакторная модель Халла- Уайта 890
Модель Блэка-Карасински 891
Двухфакторная модель Халла-Уайта 892
28.4 Опционы на облигации 892
Опционы на облигации с купонными выплатами 893
28.5 Структуры волатильности 894
28.6 Деревья процентных ставок 894
Иллюстрация использования триномиальных деревьев 895
Нестандартное ветвление 896
28.7 Общая процедура построения дерева 897
Первый этап 897
Второй этап 900
Иллюстрация второго этапа 901
Формулы для вычисления параметров а и Q 903
Распространение метода на другие модели 904
Выбор функции f(r) 905
Применение деревьев в сочетании с аналитическими формулами 907
Дерево для оценки американских облигационных опционов 908
28.8 Калибровка 909
28.9 Хеджирование с помощью однофакторной модели 912
Резюме 912
Дополнительная литература 913
Вопросы и задачи 914
Упражнения 916
Глава 29. Процентные деривативы: модели HJM и LMM 919
29.1 Модель Хита, Джэрроу и Мортона 920
Процессы, описывающие изменение цен облигаций с нулевыми купонами и форвардных ставок 920
Расширение модели для нескольких факторов 922
29.2 Модель рынка LIBOR 923
Модель 924
Волатильность форвардной ставки 925
Реализация модели 926
Распространение модели на ситуации с несколькими факторами 927
Опционы “храповой кэп”, “жесткий кэп” и “гибкий кэп” 928
Оценка европейских свопционов 931
Калибровка модели 933
Асимметрия волатильности 934
Бермудские свопционы 935
29.3 Ценные бумаги, обеспеченные закладными 936
Обеспеченные ипотечные обязательства 937
Вычисление стоимости ценных бумаг, обеспеченных закладными 938
Спрэд с учетом опциона 938
Резюме 939
Дополнительная литература 940
Вопросы и задачи 941
Упражнения 942
Глава 30. Еще раз о свопах 943
30.1 Разновидности простых сделок 943
30.2 Сложные свопы 945
30.3 Валютные свопы 948
30.4 Более сложные свопы 949
Своп по ставке LIBOR 949
Свопы CMS и СМТ 950
Дифференциальные свопы 952
30.5 Свопы обыкновенных акций 953
30.6 Свопы с внутренними опционами 955
Накопительные свопы 955
Аннулируемые свопы 957
Аннулируемые сложные свопы 958
30.7 Другие свопы 959
Нестандартные сделки 960
Резюме 961
Дополнительная литература 961
Вопросы и задачи 961
Упражнения 962
Глава 31. Реальные опционы 965
31.1 Оценка капиталовложений 965
31.2 Расширение сферы применения риск-нейтральных оценок 967
31.3 Оценка рыночной цены риска 969
31.4 Оценка нового бизнеса 970
31.5 Товарные цены 972
Процесс с возвращением к среднему 974
31.6 Оценка инвестиционных опционов 976
Резюме 982
Дополнительная литература 983
Вопросы и задачи 983
Упражнения 984
Глава 32. Провалы и уроки 987
32.1 Уроки для пользователей деривативов 987
Установите пределы допустимого риска 989
К пределам допустимого риска следует относиться серьезно 990
Не пытайтесь перехитрить рынок 991
Не следует недооценивать выгоды диверсификации 991
Анализируйте сценарии и проводите испытания 992
32.2 Уроки для финансовых учреждений 992
Постоянно контролируйте трейдеров 992
Следует разделить дилерское подразделение, среднее звено и вспомогательный офис 993
Не следует слепо доверять математическим моделям 993
Придерживайтесь консервативных оценок первоначальной
прибыли 994
Не продавайте клиентам некачественные финансовые инструменты 994
Не игнорируйте риск ликвидности 995
Берегитесь, если кто-то еще придерживается такой же стратегии торговли 996
32.3 Уроки для нефинансовых корпораций 997
Убедитесь, что правильно понимаете смысл сделки 998
Убедитесь, что хеджер не превратился в спекулянта 998
Будьте осторожны, превращая финансовый отдел в прибыльное подразделение 999
Резюме 999
Дополнительная литература 1 000
Глоссарий 1001
Программа DerivaGem 1031
Главные биржи, на которых осуществляется торговля фьючерсами и опционами 1039
Таблица значений функции Л;(ж) при х < 0 1041
Таблица значений функции N(x) при х О 1043
Предметный указатель 1045
Технические замечания
Доступны на Web-сайте автора www.rotman.utoronto.ca/~hull
1. Поправка на выпуклость при оценке фьючерсов на поставку евродолларов (Convexity Adjustment to Eurodollar Futures).
2. Свойства логнормального распределения (Properties of the Lognormal Distribution).
3. Оценка варрантов при условии, что стоимость акции и варранта имеет логнормальное распределение (Warrant Valuation When Value of Equity plus Warrants Is Lognormal).
4. Точная процедура оценивания американских опционов на покупку акций, предусматривающих выплату единственного дивиденда (Exact Procedure for Valuing American Calls on Stocks Paying a Single Dividend).
5. Вычисление интегральной вероятности для двухмерного нормального распределения (Calculation of the Cumulative Probability in a Bivariate Normal Distribution).
6. Дифференциальное уравнение для цены деривативного контракта на акцию с известной дивидендной доходностью (Differential Equation for Price of a Derivative on a Stock Paying a Known Dividend Yield).
7. Дифференциальное уравнение для цены деривативного контракта на фьючерсную цену (Differential Equation for Price of a Derivative on a Futures Price).
8. Использование аналитической аппроксимации для оценки американских опционов (Analytic Approximation for Valuing American Options).
9. Обобщенная процедура построения деревьев (Generalized Tree-Building Procedure).
10. Разложение Корниша -Фишера и его применение для оценки коэффициента VaR (The Cornish-Fisher Expansion to Estimate VaR).
11. Операции над матрицами кредитных переходов (Manipulation of Credit Transition Matrices).
12. Вычисление интегрального нецентрального распределения “хи-квадрат” (Calculation of Cumulative Noncentral Chi-Square Distribution).
13. Эффективная процедура оценки американского опциона “с оглядкой назад” (Efficiend Procedure for Valuing American-Style Lookback Options).
14. Двухфакторная модель Халла-Уайта (The Hull-Уайт Two-Factor Mode).
15. Оценка опционов на облигации с купонными выплатами в рамках однофакторной модели процентной ставки (Valuing Options on Coupon-Bearing Bonds in a One-Factor Interest Rate Model).
16. Построение дерева для процентной ставки с непостоянными шагами по времени и переменными параметрами (Construction of an Interest Rate Tree with Nonconstant Time Steps and Nonconstant Parameters).
17. Стохастический процесс для краткосрочной ставки в рамках модели временной структуры HJM (The Process for the Short Rate in an HJM Term Structure Model).
18. Оценка сложного свопа (Valuation of a Compounding Swap).
19. Оценка свопа обыкновенных акций (Valuation of an Equity Swap).
20. Обобщение результатов риск-нейтральной оценки (A Generalization of the Risk-Neutral Valuation Result).
Предисловие
Иногда мне не верится, что в первом издании этой книги было только 330 страниц и 13 глав! За последние 15 лет я был вынужден значительно расширить книгу, пытаясь отразить быстро изменяющиеся реалии рынков деривативов.
Как и прежде, в книге рассматривается несколько рынков. Это вполне целесообразно при изучении бизнес-дисциплин, экономики и прикладной финансовой инженерии на старших курсах. Кроме того, ее можно использовать при обучении студентов младших курсов, имеющих хорошую математическую подготовку. Книга будет также полезной многим профессионалам, желающим расширить свои знания в области анализа производных инструментов. Я был приятно удивлен тем, что примерно половину покупателей книги составляют финансовые аналитики, трейдеры и другие профессионалы, действующие на рынках деривативов.
Одним из ключевых вопросов, встающих перед автором, пишущим книгу, посвященную производным инструментам, является использование математики. Если математический аппарат слишком сложен, материал, изложенный в книге, станет недоступным многим студентам и специалистам-практикам. И наоборот, если математический аппараз излишне прост, некоторые важные вопросы будут освещены весьма поверхностно. Исходя из этого, я стремился особенно тщательно излагать математические аспекты, связанные с анализом производных инструментов. Несущественные математические факты можно либо пропустить, либо изложить в приложениях. Новые концепции, представляющие особый интерес для читателей, объясняются очень подробно и иллюстрируются многочисленными примерами.
Книга посвящена рынкам производных ценных бумаг и управлению рисками. Предполагается, что студенты прослушали вводные курсы по финансам, теории вероятностей и математической статистике. От читателей не требуется никаких априорных знаний об опционах, фьючерсных контрактах, свопах и других производных инструментах. Следовательно, эта книга будез вполне доступной для студентов, еще не прослушавших курс, посвященный инвестициям.
Книгу Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты можно по-разному использовать для обучения студентов. Преподаватели, читающие вводный курс по производным инструментам, вероятно, посвятяз большую часть времени первой части книги. В свою очередь, преподаватели, читающие более сложные курсы, могут комбинировать главы из второй части книги по своему усмотрению. Я считаю, что материал, изложенный в главе 32, представляет собой удачное завершение как вводного, так и более сложных курсов.
Что нового
Материал, изложенный в книге, обновлен и уточнен. Новое издание имеет следующие отличительные черты.
1. Полностью переработаны главы, посвященные кредитному риску и кредитным деривативам (главы 20 и 21). Теперь они содержат более современную информацию, адекватно отражающую современное состояние этого важного сегмента рынка; эта информация изложена в доступной для студентов форме.
2. Материал, содержавшийся в первых шести главах пятого издания, теперь представлен семью главами, посвященными форвардным и фьючерсным контрактам, а также свопам. Новый стиль изложения должен облегчить студентам освоение этих тем. Хеджирование теперь описывается в главе 3. Глава 4 посвящена использованию и способам вычисления процентных ставок. В главе 5 излагаются методы вычисления форвардных и фьючерсных цен. Глава 6 содержит информацию о процентных фьючерсах, а глава 7 посвящена свопам.
3. Книга содержит более 50 врезок, посвященных примерам из практики.
4. Более подробно излагаются вопросы реализации моделей с помощью программы Excel (например, моделирование по методу Монте-Карло в главе 17, а также реализация моделей GARCH в главе 19 и модели гамма-дисперсии в главе 24). Соответствующие рабочие листы Excel можно загрузить с Web-сайта автора.
5. Автор исключил из книги слишком сложные математические подробности, разместив их на своем Web-сайте в виде дополнительных технических замечаний (Technical Notes). В результате изложение упростилось и стало более доступным для студентов.
6. Книгу сопровождает программа DerivaGem версии 1.51. В отличие от предыдущей версии, теперь рабочие листы подпрограммы Calculator открыты.
7. Главы, посвященные биномиальным деревьям (глава 11) и свопам (глава 7), в новом издании изложены более подробно.
8. В книгу включена новая глава, посвященная поправкам на выпуклость, временным поправкам и кванто. Ранее этот материал содержался в главах “Мартингалы и меры” и “Процентные деривативы: стандартные модели рынка”.
9. Последовательность глав во второй части книги изменена. Теперь она лучше соответствует потребностям студентов и преподавателей.
10. В книгу включено много новых тем. Например, в главе 1 освещаются вопросы, связанные с определением объемов рынков деривативов, в главе 20 описываются международные правила оценки банковских рисков Basel II,
а в главе 24 излагается модель гамма-дисперсии. Многие другие темы также освещаются подробнее. В частности, в главе 5 более глубоко изложены методы вычисления поправки на выпуклость при оценке фьючерсов на поставку евродолларов, в главах 20 и 21 детальнее описаны модели гауссовых пакетов, а в главах 8 и 13 подробнее освещены вопросы, связанные с управленческими акционерными опционами.
11. В математические обозначения внесено одно изменение: величины 5t, 5х и так далее теперь записываются как At, Ах и т.д. (В предыдущем издании мы стремились избежать перегрузки символа А, используя символ <5, однако предложенное обозначение не нашло поддержки у читателей.)
12. В книгу включены новые задачи и упражнения.
13. В целом, текст книги и состав задач существенно переработаны.
Программное обеспечение
Книга распространяется вместе с новой версией программы DerivaGem (version 1.51), которая состоит из двух приложений для программы Excel: Options Calculator и Applications Builder. Приложение Options Calculator предназначено для оценки разнообразных опционов. Все рабочие листы теперь открыты. В свою очередь, приложение Applications Builder содержит большое количество функций программы Excel, из которых пользователь может составить свое собственное приложение. Это приложение включает в себя большое количество примеров, что позволяет студентам более просто исследовать особенности опционов и вычислительных процедур. Кроме того, усовершенствованные программы позволяют решать более интересные и сложные задачи.
Подробное описание программного обеспечения помещено в конце книги. Новые версии этих программ можно загрузить с Web-сайта
www.rotman.utoronto.ca/~hull.
Слайды
С моего Web-сайта можно также загрузить несколько сотен слайдов, созданных с помощью программы PowerPoint. При необходимости преподаватели могут адаптировать эти слайды и применять в процессе чтения своих курсов.
Ответы на вопросы
Как и в пятом издании, задачи, помещенные в конце каждой главы, подразделяются на две группы: “Вопросы и задачи” и “Упражнения”. Ответы на вопросы и решения задач изложены в отдельной книге Options, Futures, and Other Derivatives’. Solutions Manual, выпущенной издательством Prentice Hall для студентов.
Технические замечания
В шестом издании книги имеется новшество: технические замечания. Они содержат математические подробности изложенных тем и могут быть загружены с моего Web-сайта
www.rotman.utoronto.са/-hull.
Выделяя математические подробности в виде технических замечаний, я стремился упростить изложение и сделать книгу более доступной для студентов.
Интерактивное обучение
В сотрудничестве с корпорацией Learning Dividends, Inc. я разработал программу для интерактивного обучения Hull on Derivatives, охватывающую первую половину книги. Эта программа состоит из 14 модулей, которые сопровождаются анимацией и подробными инструкциями. Более подробная информация размещена на Web-сайте
www.hullonderivatives.com.
Благодарности
В процессе создания этой книги принимало участие большое количество теоретиков, студентов и специалистов-практиков. Наиболее важные и полезные замечания сделали Фархан Аслани (Farhang Aslani), Джас Бадьял (Jas Badyal), Эмилио Бароне (Emilio Barone), Джованни Бароне-Адези (Giovanni Barone-Adesi), Алекс Берже (Alex Bergier), Георгий Блазенко (George Blazenko), Лоуренс Бут (Laurence Booth), Фелим Бойл (Phelim Boyle), Питер Карр (Peter Carr), Дон Чанс (Don Chance), Ж.-П. Шато (J.-P.Chateau), Рен-Роу Чен (Ren-Raw Chen), Джордж Кон-стантинидес (George Constantinides), Майкл Креши (Michel Crouchy), Эммануил Дерман (Emanuel Derman), Брайан Доналдсон (Brian Donaldson), Дитер Дорп (Dieter Dorp), Скотт Драбин (Scott Drabin), Жером Дункан (Jerome Duncan), Стейнар Экерн (Steinar Ekem), Дэвид Фоулер (David Fowler), Луис Ганьон (Louis Gagnon), Даджианг Гуо (Dajiang Guo), Йорген Холлбек (Jorgen Hallbeck), Ян Хоукинс (Ian Hawkins), Майкл Хемлер (Michael Hemler), Стив Хестон (Steve Heston), Берни Хилдебрандт (Bernie Hildebrandt), Майкл Халл (Michelle Hull), Кийоши Като (Kiyoshi Kato), Кевин Книфзи (Kevin Kneafsy), Ян Мак-Дональд (Iain MacDonald), Бил Маргрейб (Bill Margrabe), Иззи Нелькин (Izzy Nelkin), Нейл Персон (Neil Person), Поль Потвин (Paul Potvin), Шайлендра Пандит (Shailendra Pandit), Эрик Райнер (Eric Reiner), Ричард Рендельман (Richard Rendelman), Гордон Робертс (Gordon Roberts), Крис Робинсон (Chris Robinson), Шерил Роузен (Cheryl Rosen), Джон Рамси (John Rumsey), Ани Саньял (Ani Sanyal), Клаус Шергер (Klaus Schurger), Эдуардо Шварц (Eduardo Schwartz), Michael Selby (Майкл Селби), Piet Sercu (Пьет Серку), Дуэйн Сток (Duane Stock), Эдвард Торп (Edward
Thorpe), Йисонг Тиан (Yisong Tian), П. В. Висванат (Р. V. Viswanath), Джордж Ванг (George Wang), Джейсон Вей (Jason Wei), Боб Уэйли (Bob Whaley), Алан Уайт (Alan White), Хэйлианг Янг (Hailiang Yang), Виктор Зак (Victor Zak) и Джозеф Земек (Josef Zemek).
Особенную благодарность я выражаю Эдуардо Шварцу, который прочитал первоначальный вариант рукописи первого издания книги и сделал множество чрезвычайно ценных замечаний. Кроме того, я благодарен Ричарду Рендельману и Джорджу Костантинидесу, способствовавшим повышению качества дальнейших изданий книги.
Первые пять изданий книги завоевали большую популярность среди специалистов-практиков. Их комментарии и предложения учтены в новом варианте. Я хотел бы выразить отдельную благодарность Дэну Клайну (Dan Cline) и Дэвиду Форфару (David Forfar). Кроме того, на новое издание большое влияние оказали студенты университета Торонто (University of Toronto), прослушавшие мой курс, посвященный производным инструментам. Огромную помощь в научных исследованиях при работе над шестым изданием книги мне оказал Ив Нот (Ives Noth) из университета св. Галлена (University of St. Gallen).
Особой благодарности заслуживает мой коллега по университету Алан Уайт, с которым я провожу исследования в области производных инструментов на протяжении последних 22 лет. За это время мы провели огромное количество дискуссий, касающихся самых разных аспектов этой темы. Многие новые идеи, изложенные в книге, а также новые способы изложения традиционных тем разработаны нами совместно. Алан тщательно изучил первоначальный вариант книги и сделал множество тонких замечаний. Кроме того, Алан выполнил большую часть работы, связанной с разработкой программы DerivaGem.
Отдельную благодарность я выражаю сотрудникам издательства Prentice Hall за их энтузиазм, советы и поддержку. В частности, я признателен моему редактору Дэвиду Александеру (David Alexander) и финансовому помощнику редактора Франческе Калорего (Francesca Calorego). Кроме того, я выражаю благодарность Скотту Бару (Scott Barr), Леа Джуэл (Leah Jewell), Полю Доннелли (Paul Donelly) и Морин Риопелле (Maureen Riopelle), которые в разное время играли главную роль в подготовке книги.
Свои комментарии читатели могут присылать по адресу: hullfirotman.utoronto.са
Джон Халл (John Hull)
Школа управления Джозефа Л. Ротмана (Joseph L. Rotman School of Management) Университет Торонто (University of Toronto)
От издательства
Вы, читатель этой книги, и есть главный ее критик. Мы ценим ваше мнение и хотим знать, что было сделано нами правильно, что можно было сделать лучше и что еще вы хотели бы увидеть изданным нами. Нам интересно услышать любые ваши замечания, касающиеся книги.
Мы ждем ваших комментариев. Вы можете прислать нам бумажное или электронное письмо либо просто посетить наш Web-сервер и оставить свои замечания там. Одним словом, любым удобным для вас способом дайте нам знать, нравится ли вам эта книга, а также выскажите свое мнение о том, как сделать наши книги более интересными для вас.
Посылая письмо или сообщение, не забудьте указать название книги и ее авторов, а также ваш обратный адрес. Мы внимательно ознакомимся с вашим мнением и обязательно учтем его при отборе и подготовке к изданию последующих книг. Наши координаты:
E-mail: inf o@williamspublishing. com
WWW: http: //www.williamspublishing.com
Информация для писем из:
России: 115419, Москва, а/я 783
Украины: 03150, Киев, а/я 152
Благодарности издательства
Издательский дом "Вильямс"благодарит Никифорова Андрея за большой вклад в подготовку издания книги.
Глава 1
Введение
В течение последних 25 лет роль производных цепных бумаг на финансовом рынке постоянно возрастает. Фьючерсы и опционы стали активно котироваться на многих биржах по всему миру. Форвардные контракты, свопы и различные виды опционов регулярно становятся предметами сделок между финансовыми учреждениями, управляющими инвестиционных фондов и корпорациями за пределами бирж. Производные ценные бумаги сопутствуют выпуску облигаций, используются в качестве компенсаций, становятся инструментом для капиталовложений и т.д. В настоящее время любой финансист должен хорошо понимать механизм деривативов, а также уметь их использовать и оценивать.
Производной ценной бумагой (derivative), производным финансовым инструментом, деривативом называется финансовый документ, стоимость которого зависит (т.е. является производной величиной) от стоимости других, базовых переменных. Как правило, этими переменными выступают цены разнообразных рыночных активов. Например, фондовый опцион или опцион на акции (stock option) является производной ценной бумагой, стоимость которой зависит от цены акции. Однако производные ценные бумаги могут зависеть от любых переменных, например от цен на свинину или от количества снега, выпавшего на определенном горнолыжном курорте.
С момента выхода первого издания этой книги в 1988 году рынок производных ценных бумаг претерпел много изменений. В настоящее время предметом активной торговли стали кредитные (credit), электрические (electricity), погодные (weather) и страховые деривативы (insurance derivatives). Кроме того, появились новые виды процентных, валютных и фондовых деривативов. Новые идеи возникли также в области риск-менеджмента и методов измерения рисков. Финансовые аналитики убедились в необходимости глубокого изучения явления, получившего название реальные опционы (real options). (Реальными называются опционы, возникающие в связи с тем, что компания инвестирует средства в реальные активы, например в землю, здания и оборудование.) В данном издании мы постарались учесть все новшества.
Глава 1 представляет собой обзор функционирования форвардного, фьючерсного и опционного рынков, а также особенностей поведения хеджеров, спекулян
тов и арбитражеров. Более подробное описание этих понятий приводится в последующих главах.
1.1 Биржевые рынки
Биржа производных ценных бумаг это рынок, на котором люди торгуют стандартизованными контрактами, определенными биржей. Такие биржи существуют уже довольно долгое время. Например. Чикагская срочная товарная биржа (СВОЕ — Chicago Board of Trade, www.cbot.com) была основана в 1848 году в качестве посредника между фермерами и торговцами зерном. С самого начала существования этой биржи ее основной задачей являлась стандартизация количества и качества зерна, предлагаемого на продажу; Уже через несколько лет на бирже заключили первый контракт фьючерсного типа. Это был так называемый контракт “по прибытии” (to-arrive contract). Вскоре спекулянты заинтересовались контрактами и поняли, что торговать ими выгоднее, чем зерном. Конкурирующая фьючерсная биржа - Чикагская товарная биржа (СМЕ - Chicago Mercantile Exchange, www. erne . com) — была организована в 1919 году. В настоящее время фьючерсные биржи существуют по всему миру
Чикагская биржа опционов (СВОЕ — Chicago Board Options Exchange, www. cboe. com) начала свою деятельность в 1973 году с продажи опциона “колл” на 16 акций. Опционная торговля существовала и до 1973 года, но лишь Чикагской опционной бирже удалось создать организованный рынок с четкими контрактами. Торговля опционами “пут” началась на этой бирже в 1977 году. В настоящее время биржа СВОЕ торгует опционами на акции более чем 1200 компаний, а также опционами на многие фондовые индексы. Фьючерсы и опционы завоевали широкую популярность. В настоящее время ими торгуют биржи по всему миру. В качестве базового актива в этих сделках используются иностранные валюты и фьючерсные контракты, а также акции и фондовые индексы.
Электронные рынки
Как правило, торговцы деривативами встречаются в операционном зале биржи и с помощью выкриков и сложной системы сигналов оговаривают сделки, которые хот я г заключить. Такой способ торговли называется открытым торгом (open outcry system). В последние годы биржи все чаще предпочитают не открытые, а электронные торги (electronic trading). В этом случае продавцы и покупатели заключают сделки, общаясь с помощью компьютера. Нет никаких сомнений, что со временем биржи полностью перейдут па систему электронных торгов.
1.2 Внебиржевые рынки
Не все сделки заключаются на биржах. Важной альтернативой биржам является внебиржевой рынок. Объем сделок, заключаемых на этом рынке, в настоящее время уже превышает объем сделок, заключенных на биржах. Внебиржевой рынок представляет собой телефонные и компьютерные сети дилеров, которые не встречаются друг с другом. Сторонами сделки, как правило, являются либо две финансовые организации, либо финансовая организация и один из ее корпоративных клиентов. По отношению к наиболее популярным ценным бумагам финансовые организации часто выступают в качестве маркет-мейкеров. Это значит, что они всегда готовы покупать заявленные ценные бумаги по “цене покупки” (bid price) или же продавать их по “цене продажи” (offer price).
Телефонные переговоры на внебиржевом рынке, как правило, записываются. Если между участниками сделки возникает спор о предмете соглашения, они решают его с помощью прослушивания сделанной записи. Основное преимущество внебиржевого рынка заключается в том, что условия контракта не регламентируются биржей. Участники сделки могут сами устанавливать условия, приемлемые для обеих сторон. Недостатком внебиржевого рынка является наличие определенного кредитного риска (иначе говоря, существует определенная вероятность, что контракт не будет исполнен). Как указывалось ранее, биржи были организованы именно для того, чтобы исключить какой бы то ни было кредитный риск.
Объем рынка
И внебиржевой, и биржевой рынки деривативов огромны. Несмотря на то что статистические данные об этих рынках несопоставимы, совершенно очевидно, что внебиржевой рынок намного крупнее биржевого. Банк международных расчетов (Bank for International Settlements, www.bis . org) собирает статистические данные о рынках деривативов начиная с 1998 года. На рис. 1.1 приведены графики 1) основных сумм транзакций, остававшихся незавершенными на протяжении периода времени между июнем 1998 года и июнем 2004 года, и 2) общей стоимости активов, лежащих в основе биржевых контрактов за тот же период. Из рис. 1.1 следует, что к июню 2004 года объем внебиржевого рынка вырос до 220,1 трлн долл, (что примерно в пять раз больше объема мирового валового внутреннего продукта), а объем биржевого рынка достиг 49,0 трлн долл.
Чтобы правильно понять эти данные, следует иметь в виду, что основная сумма, лежащая в основе транзакции на внебиржевом рынке, не совпадает с ее стоимостью. В качестве примера рассмотрим внебиржевой контракт на покупку 100 млн долл. США за британские фунты стерлингов через один год по заранее установленному обменному курсу. Общая основная сумма этой транзакции равна 100 млн долл. Однако стоимость контракта может быть равна только одному
Рис. 1.1. Объемы внебиржевого и биржевого рынков
миллиону долларов. По оценкам Банка международных расчетов рыночная валовая стоимость всех незавершенных внебиржевых контрактов в июне 2004 года составляла около 6,4 трлн долл.1
1.3 Форвардные контракты
Форвардный контракт (forward contract) - чрезвычайно простая производная ценная бумага. Он представляет собой соглашение о покупке или продаже того или иного актива в определенный момент времени в будущем по определенной цене. Антиподом форвардного контракта является договор на реальный товар (spot contract), представляющий собой соглашение о немедленной покупке или продаже актива. Форвардный контракт является предметом торговли на внебиржевом рынке. Как правило, он заключается между двумя финансовыми организациями или финансовой организацией и одним из ее клиентов.
Говорят, что одна из сторон занимает длинную позицию (long position) и согласна купить актив в заранее оговоренный день по заранее установленной цене. Противоположная сторона занимает короткую позицию (short position) и согласна продать актив в тот же день и по той же цене.
В настоящее время очень популярны форвардные контракты на иностранную валюту. Большинство крупных банков держит на службе как спот-трейдеров (spot traders), так и форвардных трейдеров (forward traders). Спот-трейдеры заключают сделки с иностранной валютой при условии ее немедленной поставки. Форвардные трейдеры заключают контракты на поставки валюты в будущем.
1 Валовая рыночная стоимость контракта, который стоит 1 млн долл, для одной стороны и — 1 млн долл. - для другой, равна 1 млн долл.
В табл. 1.1 приведены текущие и форвардные курсы обмена фунтов стерлингов (GBP) и долларов США (USD), установленные крупным международным банком 3 июня 2003 года. Курс (quote) — это количество долларов США, которые можно получить за фунт стерлингов. Первая строка означает, что банк готов купить один фунт стерлингов на спот-рынке (т.е. с практически немедленным расчетом) по цене 1,6281 долл, и продать его на этом же рынке за 1,6285 долл. Вторая, третья и четвертая строки означают, что банк готов купить один фунт стерлингов через один, три и шесть месяцев за 1,6248, 1,6187 и 1,6094 долл, соответственно и продать один фунт стерлингов через один, три и шесть месяцев за 1,6253, 1,6192 и 1,6100 долл, соответственно.
Таблица 1.1. Текущие и форвардные курсы обмена валют USD — GBP на 3 июня 2003 года (GBP — фунт стерлингов, USD — доллар США)
Продажа Покупка
Текущий курс 1,6281 1,6285
Форвардный контракт на один месяц 1,6248 1,6253
Форвардный контракт на три месяца 1,6187 1,6192
Форвардный контракт на шесть месяцев 1,6094 1,6100
Форвардные контракты можно использовать для хеджирования рисков, связанных с колебаниями валютных курсов. Предположим, что 3 июня 2003 года финансовый директор некоей американской корпорации узнает, что через шесть месяцев (3 декабря 2003 года) корпорация должна заплатить один миллион фунтов стерлингов, и желает хеджировать риск, связанный с изменением курса иностранной валюты. Используя котировки, приведенные в табл. 1.1, финансовый директор может согласиться заключить форвардный контракт на покупку одного миллиона фунтов стерлингов через шесть месяцев по курсу 1,6100 долл. В результате, с одной стороны, корпорация занимает длинную позицию по форвардному контракту на приобретение фунтов стерлингов и обязывается купить у банка один миллион фунтов стерлингов 3 декабря 2003 года, заплатив 1,61 млн долл. С другой стороны, банк занимает короткую форвардную позицию на продажу фунтов стерлингов и обязывается 3 декабря 2003 года продать один миллион фунтов стерлингов за 1,61 млн долл. Таким образом, обе стороны заключили обязательное соглашение.
Выплаты по форвардным контрактам
Рассмотрим позицию корпорации, заключившей описанную выше сделку. Какие исходы возможны в этой ситуации? Форвардный контракт обязывает корпорацию купить один миллион фунтов стерлингов, заплатив за это 1 610000 долл.
Если бы через шесть месяцев валютный спот-курс поднялся до 1,7000 долл, за фунт стерлингов, то форвардный контракт стоил бы корпорации 90000 долл. (1 700000 — 1610 000). Таким образом, корпорация смогла бы купить один миллион фунтов стерлингов по курсу 1,6100, а не 1,7000 долл, за фунт. Аналогично, если бы через шесть месяцев обменный валютный курс упал до 1,5000 долл, за фунт стерлингов, то форвардный контракт имел бы отрицательную стоимость, равную 110000 долл., так как компания вынуждена будет переплатить за необходимую ей валюту.
Вообще говоря, доход (или убыток) участника сделки, занимающего длинную позицию в форвардном контракте, в расчете на одну единицу актива равен
St ~ К,
где К — цена поставки, a St — спот-цена. Эта величина образуется благодаря тому, что владелец контракта обязывается купить актив, стоящий St денежных единиц за К единиц. Аналогично доход (или убыток) по короткой позиции в форвардном контракте в расчете на одну единицу актива равен
К — St-
Мы видим, что владелец контракта может получить доход или же понести убыток. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 1.2. Поскольку заключение форвардного контракта ничего не стоит, платежи от реализации контракта являются либо прибылью, либо убытком трейдера.
Рис. 1.2. Платежи от реализации форвардного контракта: 1) длинная позиция, 2) короткая позиция (/< — цена поставки, St — цена актива в день выполнения контракта)
Форвардные цены и спот-цены
Зависимость между форвардными и спот-ценами будет подробно изучаться в главе 5. В этом разделе мы просто объясняем причины, по которым вводятся эти понятия. Для иллюстрации взаимосвязи между ними рассмотрим бездивидендную акцию стоимостью 60 долл. Предположим, у нас есть возможность дать или взять в долг деньги на один год под 5%. Какой должна быть однолетняя форвардная цена этой акции?
Однолетняя форвардная цена акции равна 63 долл., т.е. 60 долл, плюс 5% годовых. Если бы форвардная цена превышала эту сумму, скажем, была бы равной 67 долл., мы могли бы занять 60 долл., купить одну акцию и продать ее заблаговременно за 67 долл. После погашения долга мы получили бы через год четыре доллара чистой прибыли. Если же форвардная цена была бы меньше 63 долл., например была бы равной 58 долл., то инвестор, владеющий акцией, представляющей собой часть инвестиционного портфеля, мог бы продать ее за 60 долл., заключить форвардный контракт на ее выкуп через год по цене 58 долл., а вырученную сумму инвестировать под 5% годовых, получив три доллара прибыли. Таким образом, в результате такой операции инвестор получил бы на пяль долларов больше, чем в ситуации, когда он просто хранит акцию в портфеле на протяжении года.
1.4 Фьючерсные контракты
Как и форвардный, фьючерсный контракт — эго соглашение о покупке или продаже актива в определенное время в будущем по определенной цене. В отличие от форвардных контрактов, фьючерсные контракты, как правило, заключаются на биржах. Для этого контракты подвергаются стандартизации. Поскольку обе стороны контракта могут не знать друг друга, биржи предоставляют гарантии, что контракт будег выполнен.
Самыми крупными биржами, на которых заключаются фьючерсные контракты, являются Чикагская срочная товарная биржа (Chicago Board of Trade, СВОТ) и Чикагская товарная биржа (Chicago Mercantile Exchange, СМЕ). На этих и других биржах по всему миру заключаются фьючерсные контракты, в которых базовым активом могут являться самые разнообразные товары и ценные бумаги. К товарным активам относятся свинина, крупный рогатый скот, сахар, шерсть, лесоматериалы, медь, алюминий, золото и олово. Финансовыми активами являются фондовые индексы, иностранные валюты и казначейские облигации. Фьючерсные цены регулярно публикуются в финансовой прессе. Предположим, что 1 сентября декабрьская фьючерсная цена золота установлена на уровне 300 долл. Именно по этой цене, исключая комиссионные, трейдеры согласны покупать и продавать золото в декабре. Она, как и другие цены, устанавливается в операционном зале
биржи (т.е. по закону спроса и предложения). Если трейдеров, желающих занять длинную позицию, больше, чем трейдеров, стремящихся занять короткую позицию, цена растет; в противном случае она падает.
Остальные детали фьючерсных контрактов, в частности, требования к марже, процедуры расчетов, правила поставки, спрэд между ценами покупки и продажи и роль расчетной палаты биржи, описаны в главе 2.
1.5 Опционы
Опционы котируются как на биржах, так и на внебиржевом рынке. Существует два основных вида опционов. Опцион покупателя, опцион на покупку, опцион “колл " (call option) дает его владельцу право купить базовый актив в определенный день по определенной цене. Опцион продавца, опцион на продажу, опцион “пут" (put option) дает его владельцу право продать базовый актив в определенный день по определенной цене. Цена актива, зафиксированная в контракте, называется ценой исполнения (execution price) или ценой страйк (strike price). Дата, оговоренная в контракте, называется датой истечения контракта (expiration date) или сроком платежа (maturity). Американский опцион (American option) ) можно исполнить в любой момент до истечения срока его действия. Европейский опцион (European option) может быть исполнен только в момент его истечения.’’ Большинство опционов, которыми торгуют на биржах, являются американскими. На рынке фондовых опционов предметом одного опционного контракта, как правило, является купля или продажа 100 акций. Анализировать европейские опционы проще, чем американские, причем некоторые свойства американских опционов были позаимствованы у европейских.
Подчеркнем, что опцион дает его держателю лишь право на определенное действие, но не накладывает на него обязанности выполнить его. Этим опционы отличаются от форвардных и фьючерсных контрактов, которые обязывают их держателей купить или продать базовый актив. Обратите внимание также на то. что заключение форвардных и фьючерсных контрактов является бесплатным, а за опцион необходимо заплатить.
Крупнейшей опционной биржей в мире является Чикагская опционная биржа (СВОЕ — Chicago Board Options Exchange, www.cboe.com). В табл. 1.2 приведены цены американских опционов на акции компании Intel, зафиксированные в момент закрытия торгов 29 мая 2003 года. Цены исполнения опционов равны 20 и 22.50 долл. Сроки действия опционов истекают в июне, июле и октябре 2003 года. Июньские опционы истекают 21 июня 2003 года, июльские — 19 июля
’Обратите внимание на то что термины “американский” и “европейский” не связаны с местоположением бирж. Например, некоторые европейские опционы котируются как на европейских, так и на североамериканских биржах.
Таблица 1.2. Цены опционов на акции компании Intel по состоянию на 29 мая 2003 г.; цена акции = 20,83 долл.
Цена исполнения, долл. Опционы “колл”, долл. Опционы “пут”, долл. Июнь Июль Октябрь Июнь Июль Октябрь
20,00 22,50 1.25 1,60 2,40 0,45 0,85 1,50 0,20 0,45 1,15 1,85 2,20 2,85
2003 года, а октябрьские — 18 октября 2003 года. Цена акции компании Intel в момент закрытия торгов 29 мая 2003 года была равна 20,83 долл.
Предположим, что инвестор отдал брокеру приказ купить один октябрьский опцион “колл” на акции компании Intel с ценой исполнения 22,50 долл. Брокер передаст этот приказ трейдеру, заключающему сделки на бирже СВОЕ. Затем этот трейдер найдет другого трейдера, желающего продать один октябрьский опцион “колл” на акции компании Intel с ценой исполнения 22,50 долл., и согласует с ним цену покупки. Предположим, что цена опциона равна 1,15 долл., как показано в табл. 1.2. Эта сумма представляет собой цену опциона на покупку одной акции. В США один опционный контракт заключается на покупку или продажу 100 акций. Следовательно, инвестор должен через брокера перевести на счет биржи 115 долл. Затем биржа переведет эту сумму на счет контрагента по транзакции.
В нашем примере за 115 долл, инвестор получает право купить 100 акций компании Intel по 22,50 долл, каждая. Контрагент по транзакции получает 115 долл, и согласен продать 100 акций компании Intel по 22,50 долл, за каждую, если инвестор решит исполнить опцион. Если цена акций компании Intel до 18 октября 2003 года не поднимется выше 22,50 долл., то опцион исполнен не будет, а инвестор потеряет 115 долл. Однако если акции компании Intel вырастут в цене и опцион будет исполнен при цене 30 долл, за акцию, то инвестор сможет купить 100 акций по цене 22,50 долл, за каждую акцию. Таким образом, его прибыль составит 750 долл., а с учетом первоначальной стоимости опциона — 635 долл.
Рассмотрим альтернативную сделку. Например, инвестор мог бы купить один июльский опцион “пут” с ценой исполнения 20 долл. Из табл. 1.2 следует, что этот опцион стоил бы 100 х 0,85, т.е. 85 долл. Итак, за 85 долл, инвестор получил бы право на продажу 100 акций компании Intel по 20 долл, за каждую до 19 июля 2003 года. Если цена акции компании Intel превысила бы 20 долл., то опцион исполнен не был бы, а инвестор потерял бы 85 долл. Однако если бы инвестор исполнил опцион при условии, что цена акции равна 15 долл., то, купив 100 акций компании Intel и продав их по 20 долл., он получил бы прибыль в размере 500 долл. Чистая прибыль после вычета стоимости опциона составила бы 415 долл.
На бирже СВОЕ продаются и покупаются американские опционы. Если представить для простоты, что на этой бирже продаются европейские опционы, т.е. мо
гут исполняться только в момент истечения их срока действия, то функция прибыли инвестора в зависимости от окончательной цены акции выглядит так, как показано на рис. 1.3.
Рис. 1.3. Чистая прибыль в расчете на акцию 1) при покупке контракта на 100 октябрьских опционов “колл” на акции компании Intel с ценой исполнения 22,50 долл, и 2) при покупке контракта на 100 июльских опционов “пут” на акции компании Intel с ценой исполнения 20 долл.
Дальнейшие детали операций на опционных рынках и способы вычисления цен опционов рассматриваются в других главах. В данном разделе достаточно выделить четыре типа участников опционных рынков.
1. Покупатели опционов “колл”.
2. Продавцы опционов “колл”.
3. Покупатели опционов “пут”.
4. Продавцы опционов “пут”.
Говорят, что покупатели занимают длинные позиции (long positions), продавцы — короткие (short). Продажа опциона также называется выписыванием опциона (writing the option).
1.6 Виды трейдеров
Рынки производных ценных бумаг развиваются чрезвычайно успешно. Дело в том, что рынки деривативов оказались привлекательными для самых разных трейдеров и характеризуются большой ликвидностью. Если инвестор желает заключить контракт, ему не составит труда найти контрагента.
На рынке деривативов существует три крупные категории трейдеров: хеджеры, спекулянты и арбитражеры. Хеджеры используют фьючерсные, форвардные и опционные контракты для снижения риска, возникающего вследствие потенциального изменения рыночных показателей. Спекулянты используют эти контракты
для того, чтобы выиграть в случае, если они угадают изменение рыночных показателей в будущем. Арбитражеры стремятся получить прибыль за счет того, что они занимают противоположные позиции в сделках с двумя или более видами финансовых инструментов. Как показано во врезке “Пример из деловой практики 1.1”, хеджинговые фонды все шире используют деривативы, преследуя все три цели.
В следующих разделах мы проанализируем деятельность этих трейдеров более подробно.
Пример из деловой практики 1.1. Хеджинговые фонды
Хеджинговые фонды все шире используют производные финансовые инструменты для хеджирования, спекуляций и арбитража. Хеджинговые фонды, как и взаимные фонды, инвестируют средства в интересах своих клиентов. Однако, в отличие от взаимных фондов, они не обязаны регистрироваться в соответствии с законами о ценных бумагах, принятыми в США. Это объясняется тем, что хеджинговые фонды получают средства от лиц и организаций, имеющих большой финансовый опыт, и не предлагают свои ценные бумаги публично. Взаимные фонды являются субъектами регулирования и обязаны правильно оценивать свои паи, гарантировать их выкуп в любое время, открыто декларировать свою инвестиционную политику, использовать левередж в ограниченном объеме, не занимать короткие позиции и т.д. Хеджинговые фонды не связаны этими ограничениями. Это дает им большую свободу действий при разработке сложных, необычных и выгодных инвестиционных стратегий. Взносы, взыскиваемые хеджинговыми фондами со своих клиентов, зависят от эффективности фонда и являются относительно высокими — как правило, от 1 до 2% от суммы инвестиций плюс 20% от прибыли. Хеджинговые фонды получили большую популярность и в 2004 году инвестировали в интересах своих клиентов более одного триллиона долларов. Появились даже “фонды фондов”, осуществляющие инвестиции в портфели других хеджинговых фондов.
Инвестиционная стратегия, которой обычно следуют менеджеры хеджинговых фондов, связана с использованием деривативов в спекулятивных или арбитражных целях. Сформулировав стратегию, менеджер должен выполнить следующие действия.
1. Оценить риски, которым подвергается фонд.
2. Решить, какой уровень риска является приемлемым и как его хеджировать.
3. Уточнить стратегию хеджирования неприемлемых рисков (как правило, с использованием деривативов).
Рассмотрим примеры торговых стратегий, которым следуют хеджинговые фонды.
Конвертируемый арбитраж (convertible arbitrage): занять длинную позицию но конвертируемым облигациям в сочетании с активной короткой позицией по базовым акциям.
Бросовые ценные бумаги (distressed securities): купить ценные бумаги, выпущенные разорившимися компаниями или компаниями, близкими к банкротству.
Отсталые рынки (emerging markets): инвестировать средства в долговые обязательства и акции компаний из развивающихся и отсталых стран, а также долговые обязательства их правительств.
Инвестиционный фонд (growth fund): вложить средства в растущие акции, хеджируя риски с помощью продаж опционов без покрытия.
Макро-, или глобальная стратегия (macro or global): использовать производные финансовые инструменты для спекуляций на колебаниях процентных ставок или обменных курсов иностранных валют.
Нейтральный рынок (market neutral): купить ценные бумаги, которые считаются переоцененными, и продать ценные бумаги, которые считаются недооцененными, чтобы свести риски к нулю.
1.7 Хеджеры
Рассмотрим способы, которыми хеджеры могут уменьшить риск с помощью форвардных и опционных контрактов.
Пример хеджирования с помощью форвардных контрактов
Предположим, что сегодня — 3 июня 2003 года, и руководство американской компании ImportCo знает, что 3 сентября 2003 года ей придется заплатить 10 млн фунтов стерлингов за товары, приобретенные у британского поставщика. Курс обмена долларов США на фунты стерлингов приведен в табл. 1.1. Компания ImportCo может хеджировать риск, связанный с колебанием курса фунта стерлингов, купив фунты стерлингов у финансового института по трехмесячному форвардному контракту по цене 1,6192 долл, за фунт. Это позволит зафиксировать сумму, которую компания выплатит британскому экспортеру, на уровне 16 192 000 долл.
Представим себе еще одну американскую компанию, скажем, ExportCo, экспортирующую товары в Великобританию. Предположим, что 3 июня 2003 года руководству компании стало известно, что через три месяца она получит 30 млн фунтов стерлингов. Компания ExportCo может хеджировать риск, связанный с колебанием курса иностранных валют, продав фунты стерлингов по
трехмесячному форвардному контракту по цене 1,6187 долл, за фунт. Это позволит зафиксировать сумму, которую компания получит от британского импортера, на уровне 48 561 000 долл.
Обратите внимание на то, что если компания не станет хеджировать риски, ее прибыль может оказаться даже выше, чем при хеджировании, и наоборот. Вернемся к компании ImportCo. Если курс обмена долларов США на фунты стерлингов по состоянию на 3 сентября равен 1,5000 и компания не хеджировала риски, то 10 млн фунтов стерлингов, которые она должна заплатить, окажутся равными 15 млн долл. Эта сумма меньше, чем 16 192 000 долл., зафиксированных при хеджировании. С другой стороны, если курс обмена фунтов стерлингов на доллары окажется равным 1,7000 долл, за фунт, то 10 млн фунтов стерлингов будут стоить 17 млн долл. В этом случае хеджирование оказывается более выгодным! Позиция компании ExportCo по отношению к хеджированию рисков прямо противоположна. Если курс обмена фунтов стерлингов на доллары в ноябре окажется меньше 1,6187 долл, за фунт, хеджирование станет выгодным. В противном случае хеджировать риски не следует.
Эти примеры иллюстрируют основную особенность хеджирования: оно позволяет гарантировать определенный уровень выплачиваемой или получаемой суммы, но не гарантирует, что эти суммы будут выгоднее, чем суммы, полученные в ситуации, когда хеджирование не выполняется.
Пример хеджирования с помощью опционов
Опционы также позволяют хеджировать риски. Представим себе инвестора, который в мае 2003 года владеет 1 000 акциями компании Microsoft. Текущая цена этих акций равна 28 долл, за штуку. Инвестора беспокоит, что цена акций компании Microsoft может продолжать падать в течение следующих двух месяцев, и он хочет предотвратить свои потери. Чтобы избежать убытков, инвестор может купить на Чикагской опционной бирже десять июльских опционов “пут” с ценой исполнения 27,50 долл. Это даст ему право продать 1 000 акций по цене 27,50 долл, за каждую. Если котировочная цена опциона равна 1,00 долл., то каждый опционный контракт стоит 100 х 1,00 = 100 долл., а общая стоимость стратегии хеджирования равна 10 х 100 — 1000 долл.
Итак, описанная стратегия стоит 1 000 долл., однако нет никакой гарантии, что на протяжении всего срока действия опционного контракта акции будут стоить не более 27,50 долл. Если рыночная цена акций компании Microsoft за это время упадет ниже 27,50 долл., опционы можно исполнить, выручив 27 500 долл. Если учесть опционную премию, вырученная сумма уменьшится до 26 500 долл. Если же цена акции компании Microsoft будет выше 27,50 долл., исполнять опцион нецелесообразно. Однако в этом случае стоимость пакета акций все равно будет больше 27 500 (а с учетом опционной премии — 26 500 долл.). Чистая при
быль, полученная благодаря портфелю опционов (с учетом величины опционной премии), зависит от того, какой будет цена акций компании Microsoft через два месяца. График этой функции представлен на рис. 1.4.
Рис. 1.4. Прибыль от владения двухмесячными опционами на акции компании Microsoft с учетом и без учета хеджирования
Сравнение
Между двумя видами хеджирования — с помощью форвардных и опционных контрактов — существует принципиальная разница. Форвардные контракты предназначены для нейтрализации риска с помощью фиксирования суммы, которую хеджер должен заплатить или получить за базовый актив. Опционные контракты, наоборот, обеспечивают страхование. Они позволяют инвестору защитить себя от будущих изменений цен, оставляя ему возможность получить выгоду из благоприятных условий. Кроме того, в отличие от форвардных контрактов, опционы требуют выплаты аванса.
1.8 Спекулянты
Рассмотрим теперь возможности, открывающиеся перед спекулянтами благодаря форвардным и опционным контрактам. В то время как цель хеджеров — избежать рисков, связанных с изменениями цены актива, спекулянты заключают пари на то, что цена актива вырастет или упадет до определенного уровня.
Пример спекуляции с помощью фьючерсов
Представим себе американского спекулянта, который в феврале считает, что фунт стерлингов в течение следующих двух месяцев укрепит свои позиции по отношению к доллару США, и готов подкрепить свои интуитивные предположения ставкой, равной 250000 фунтов стерлингов. С одной стороны, спекулянт может просто купить 250 000 фунтов стерлингов, надеясь, что укрепление этой валюты принесет ему прибыль. Купленные фунты стерлингов можно положить на депозитный счет в банке. С другой стороны, спекулянт может занять длинную позицию в четырех апрельских фьючерсных контрактах на фунты стерлингов, купленных на Чикагской товарной бирже. (Каждый фьючерсный контракт стоит 62500 фунтов стерлингов.) В табл. 1.3 показаны результаты применения обеих стратегий при условии, что текущий курс фунтов стерлингов равен 1,6470 долл., а фьючерсная цена на апрель равна 1,6410 долл, за фунт стерлингов. Если курс обмена в апреле достигнет 1,7000 долл, за фунт, фьючерсные контракты принесут спекулянту прибыль, равную (1,7000 — 1,6410) х 250000 = 14750 долл. Если в феврале купить на спот-рынке 250 000 фунтов стерлингов за 1,6470 долл, за фунт, а в апреле продать их по 1,7000 долл., то прибыль составит (1,7000 — 1,6470) х х 250000 = 13250 долл. Если обменный курс в апреле упадет до 1,6000 долл, за фунт, фьючерсный контракт принесет (1,6410 — 1,6000) х 250000 = 10250 долл, убытка. В то же время потери от операций на спот-рынке увеличатся до (1,6470 — — 1,6000) х 250000 = 11750 долл. Итак, рассмотренные альтернативы могут принести приблизительно одинаковые прибыли или убытки. Однако в этих вычислениях не учитывалась процентная ставка, которую спекулянт можег получить или заплатить. В главе 5 будет показано, что если спекулянт получает процентную ставку в фунтах стерлингов, а выплачивает ее в долларах, суммы прибыли или убытков в обоих случаях будут одинаковыми.
Таблица 1.3. Спекуляции с помощью спот- и фьючерсных контрактов. Стоимость одного фьючерсного контракта равна 62 500 фунтов стерлингов
Февральская сделка
Покупка 250000 фунтов стерлингов Спот-цена — 1,6470 Покупка четырех фьючерсных контрактов Фьючерсная цена = 1,6410
Инвестиция, долл. 411750 20000
Прибыль, если апрельская цена спот = 1,7000 13250 14 750
Прибыль, если апрельская цена спот = 1,6000 -11 750 -10250
В чем же заключается разница между этими альтернативами? В первом варианте для покупки фунтов стерлингов необходимо иметь 41 I 750 долл. Однако во втором варианте спекулянт может обойтись сравнительно небольшой суммой — возможно, 20 000 долл., депонировав ее на маржинальном счете. (Понятие маржи обсуждается в главе 2.) Фьючерсный рынок позволяет спекулянту использовать “рычаг” (leverage), т.е. с относительно небольшими издержками провести крупную спекулятивную операцию.
Пример спекуляции с помощью опционов
Рассмотрим еще один пример. Допустим, что в октябре некий спекулянт пришел к выводу, что акции компании Amazon.com в течение ближайших двух месяцев будут расти в цене. Текущая цена акции равна 20 долл., а двухмесячный опцион “колл” с ценой исполнения 22,50 долл, продается за один доллар. В табл. 1.4 приведены прибыли (убытки), которые могут принести две альтернативные инвестиционные стратегии, если спекулянт желает инвест ировать 2 000 долл. В первом варианте спекулянт покупает 100 акций, а во втором — 2 000 опционов “колл” (т.е. заключает 20 контрактов на покупку опционов “колл”). Предположим, что догадка спекулянта верна и цена акций компании Amazon.com в декабре поднимется до 27 долл. В первом варианте покупка акций принесет прибыль, равную
100 х (27 - 20) --= 700 долл.
Однако второй вариант намного выгоднее. Опцион “колл” на акции компании Amazon.com с ценой исполнения, равной 22,50 долл., принесет 4,50 долл, выигрыша, поскольку он дает право спекулянту купить за 22,50 долл, акции, стоящие 27 долл. Общий выигрыш, который спекулянт получит, купив 2.000 опционов, равен
2 000 х 4,50 = 9000 долл.
Вычитая из этого выигрыша опционную премию, приходим к выводу, что чистая прибыль во втором варианте равна
9000 - 2000 = 7000 долл.
Итак, опционная стратегия в 10 раз выгоднее, чем стратегия, основанная на покупке акций.
Однако опционы повышают сумму потенциальных убытков. Предположим, что в декабре цена акции упадет до 15 долл. В первом варианте потери составят
100 х (20 - 15) = 500 долл.
Во втором варианте опцион “колл” в этом случае не исполняется, и опционная стратегия приведет к потере 2 000 долл. — исходной суммы, выплаченной
Таблица 1.4. Сравнение прибылей (убытков), которые могут принести две альтернативные стратегии спекуляции акциями компании Amazon.com на сумму 2 000 долл, в октябре
Цена акций в декабре
Инвестиционная стратегия 15 долл. 27 долл.
Купить 100 акций, долл. -500 700
Купить 2 000 опционов “колл”, долл. -2 000 7000
за опцион. Прибыли и убытки от рассмотренных двух стратегий спекуляции на акциях компании Amazon.com зависят от их цены через два месяца. График этой функции представлен на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Прибыли и убытки от двух стратегий спекуляции на акциях компании Amazon.com
Опционы, как и фьючерсы, образуют “рычаг”. В рассмотренном примере применение опционной стратегии увеличивает сумму потенциальных потерь. Иначе говоря, при удачном стечении обстоятельств все будет очень хорошо, а при неудачном — очень плохо!
Сравнение
И фьючерсы, и опционы позволяют спекулянтам играть на системе рычагов. Однако между ними есть принципиальная разница. При использовании фьючерсов потенциальная прибыль или убыток спекулянта могут быть очень большими. При использовании опционов спекулянт рискует только суммой, затраченной на их приобретение.
1.9 Арбитражеры
Еще одну важную категорию маркет-мейкеров фьючерсных, форвардных и опционных контрактов образуют арбитражеры (arbitrageurs) — инвесторы, стремящиеся получить прибыль, не связанную с риском, одновременно заключая сделки на нескольких рынках. В последующих главах будет показано, какие арбитражные возможности открываются перед инвесторами, когда фьючерсная цена актива не равна его цене спот. Мы также убедимся в том, что арбитражные стратегии можно применять и на опционных рынках, а пока проиллюстрируем концепцию арбитража на очень простом примере.
Представим себе, что некая акция одновременно котируется и на Нью-Йоркской фондовой бирже (New York Stock Exchange, www. nyce. com) и на Лондонской фондовой бирже (London Stock Exchange, www.stockex.co.uk). Допустим, что на Нью-Йоркской фондовой бирже ее цена равна 172 долл., на Лондонской — 100 фунгов стерлингов, а валютный курс равен 1,7500 долл, за фунт. Арбитражер может одновременно купить 100 акций на Нью-Йоркской фондовой бирже и продать на Лондонской, получив прибыль, не связанную с риском, равную (без учета стоимости транзакций)
100 х [(1,75 х 100) - 172] = 300 долл.
Для мелкого инвестора стоимость транзакций может поглотить всю прибыль. Однако крупная инвестиционная компания может снизить стоимость транзакций как на валютном, так и на фондовом рынках до очень небольшого уровня. Для нее арбитражные возможности могут оказаться очень привлекательными.
Арбитражные возможности, подобные описанной выше, не могут быть долговременными. Как только арбитражер купит акцию на Нью-Йоркской фондовой бирже, законы спроса и предложения немедленно станут “толкать” доллар вверх. Аналогично после продажи акции на Лондонской фондовой бирже курс фунта стерлингов станет снижаться. Очень скоро при текущем валютном курсе обе цены станут одинаковыми. Действительно, наличие арбитражеров, жаждущих прибыли, делает маловероятным долговременное неравенство между ценами одной и той же акции, выраженными в фунтах стерлингов и долларах. Обобщая этот пример, можно сказать, что само существование арбитражеров минимизирует вероят ность арбитражных возможностей, возникающих за счет разницы цен на разных финансовых рынках. В дальнейшем на протяжении всей книги большинство аргументов, касающихся фьючерсных и форвардных цен, а также стоимости опционных контрактов, основаны на предположении об отсутствии арбитражных возможностей.
Пример из деловой практики 1.2. Крах банка Barings
Деривативы являются универсальными финансовыми инструментами. Их можно использовать и для хеджирования, и для спекуляции, и для арбитража. Одна из опасностей, подстерегающих компании, торгующие производными ценными бумагами, заключается в том, что сотрудник, которому поручено осуществлять хеджирование или следить за арбитражными возможностями, может стать спекулянтом.
В 1995 году сотрудник банка Barings в Сингапуре Ник Лисон (Nick Leeson) получил право осуществлять арбитраж на основе разницы между фьючерсными ценами на индекс Nikkei 225, регистрировавшимися на биржах Сингапура и Осаки. Со временем Лисон из арбитражера преврагился в спекулянта, причем никто из его руководителей в Лондоне не подозревал об этом. Некоторое время Лисону удавалось скрывать убытки, которые он терпел на бирже. Затем, стремясь компенсировать потери, он стал делать крупные ставки на будущие изменения индекса Nikkei 225, но лишь усугубил положение дел.
Со временем Лисон был разоблачен, а ущерб, который он нанес банку, составил около одного миллиарда долларов. В итоге банк Barings, существовавший более 200 лет, был уничтожен. Один из основных уроков, которые следует извлечь из этой истории, состоит в том, что необходимо точно и однозначно устанавливать трейдерам пределы допустимых финансовых рисков и строго отслеживать выполнение этих требований.
1.10 Опасности
Как мы убедились, деривативы можно использовать и для хеджирования, и для спекуляции, и для арбитража. Именно универсальный характер производных финансовых инструментов порождает проблемы. Иногда трейдеры, имеющие право хеджировать риски или осуществлять арбитражные стратегии, становятся (вольно или невольно) спекулянтами. Результаты могут быть катастрофическими. Один из этих примеров описан выше (см. врезку “Пример из деловой практики 1.2").3
Чтобы избежать проблем, с которыми столкнулся банк Barings, как финансовые, так и нефинансовые корпорации должны установить системы контроля, гарантирующие, что деривативы используются подобающим образом. Компании должны точно и однозначно установить пределы допустимого риска и ежедневно контролировать деятельность трейдеров, строго отслеживая выполнение своих требований.
По этому сюжету снят фильм Rogue Trader.
Резюме
Одним из наиболее впечатляющих достижений в области финансов за последние 25 лет является стремительный рост рынков производных ценных бумаг. Во многих ситуациях и хеджеры, и спекулянты считают более выгодным торговать деривативами, а не самими активами. Некоторые производные ценные бумаги котируются на биржах, другие деривативы являются предметом торговли между финансовыми учреждениями, фондовыми менеджерами и корпорациями на внебиржевом рынке. Большая часть нашей книги посвящена различным видам производных ценных бумаг. Ее цель — описать единообразные методы работы со всеми деривативами, которые требуют оценки, а не только с опционами или фьючерсами.
В этой главе мы ознакомились с форвардными, фьючерсными и опционными контрактами. Форвардные и фьючерсные контракты связаны с обязательством купить или продать актив в определенное время в будущем по определенной цене. Опционные контракты такого обязательства на их держателей не накладывают. Существует два вида опционных контрактов: опцион “колл” и опцион “пут”. Опцион “колл” дает его владельцу право купить актив в определенный момент по определенной цене. Опцион “пут” дает его владельцу право продать актив в определенный момент по определенной цене. Форвардные, фьючерсные и опционные контракты заключаются на куплю и продажу самых разнообразных активов.
Производные ценные бумаги оказались очень успешным изобретением на рынке капиталов. На этом рынке существует три вида трейдеров: хеджеры, спекулянты и арбитражеры. С помощью производных ценных бумаг хеджеры стремятся минимизировать риск, связанный с колебанием цены актива. Спекулянты, наоборот, рассчитывают на изменение цен, чтобы извлечь из этого выгоду, используя систему рычагов. Арбитражеры пытаются получить преимущество, используя разницу между ценами на двух разных рынках. Если, например, арбитражеры видят, что спот-цена актива падает, они могут компенсировать свои позиции на двух рынках, чтобы зафиксировать прибыль.
Дополнительная литература
Chancellor Е. Devil Take the Hindmost — A History of Financial Speculation. — New York: Farra Straus Giroux, 1999.
Merton R. C. Finance Theory and Future Trends: The Shift to Integration // Risk, 12, 7 (July 1999). -P. 48 51.
Miller M. H. Financial Innovation: Achievements and Prospects // Journal of Applied Corporate Finance, 4 (Winter 1992). — P. 4-11.
Rawnsley ./. Н. Total Risk: Nick Leeson and the Fall of Barings Bank. — New York: HarperCollins, 1995.
Zhang P. G. Barings Bankruptcy and Financial Derivatives. — Singapore: World Scientific, 1995.
Вопросы и задачи
1.1. В чем разница между длинной и короткой позициями в форвардном контракте?
1.2. Объясните подробно разницу между хеджированием, спекуляцией и арбитражем.
1.3. Чем отличаются длинный форвардный контракт с форвардной ценой, равной 50 долл., и длинная позиция в опционе “колл” с ценой исполнения, равной 50 долл.?
1.4. Объясните подробно разницу между продажей опциона “колл” и покупкой опциона “пут”.
1.5. Трейдер занимает короткую позицию в форвардном контракте на продажу 100 тыс. фунтов стерлингов по курсу 1,500 долл, за фунт. Определите прибыль или убытки трейдера, если обменный курс в момент истечения срока действия контракта равен 1) 1,4900 долл, за фунт; 2) 1,5200 долл, за фунт.
1.6. Трейдер занимает короткую позицию во фьючерсном контракте на поставку 50 000 шерсти с фьючерсной ценой, равной 50 центов за фунт. Определите прибыль или убытки трейдера, если цена шерсти в момент истечения срока действия контракта равна 1) 48,20 центов за фунт; 2) 51,30 центов за фунт.
1.7. Представьте себе, что вы выписали трехмесячный опционный контракт на продажу 100 акций компании AOL Time Warner с ценой исполнения, равной 40 долл. Текущая биржевая цена этих акций равна 41 долл, за штуку. Какие обязательства вы на себя взяли? Определите величину потенциальной прибыли или убытков.
1.8. Объясните разницу между внебиржевым и биржевым рынками. Что представляют собой цены продажи и покупки, предлагаемые маркет-мейкерами на внебиржевом рынке?
1.9. Представьте себе, что вы решили сыграть на повышении цен акций определенной компании. Текущая цена акции равна 29 долл., а трехмесячный опцион "колл” с ценой исполнения, равной 30 долл., стоит 2,90 долл. В вашем распоряжении есть 5 800 долл. Опишите две альтернативные стратегии, одна из которых связана с приобретением акций, а другая — с покупкой опциона. Определите величину потенциальной прибыли или убытков.
1.10. Предположим, что вы владеете 5 000 акций по 25 долл, за каждую. Может ли опцион продавца подстраховать вае от падения цены этих акций в течение следующих четырех месяцев?
1.11. Первый выпуск акций образует фонды компании. Можно ли сказать то же самое о фондовом опционе? Аргументируйте свой ответ.
1.12. Объясните, почему форвардный контракт можно использовать как для спекуляций, так и для хеджирования.
1.13. Предположим, что мартовский опцион “колл” на акции по 50 долл, за каждую стоит 2,50 долл, и держатель владеет им до марта. При каких обстоятельствах владелец опциона получит прибыль? При каких условиях опцион будет выполнен? Постройте график, иллюстрирующий зависимост ь прибыли, полученной от длинной позиции в этом опционе, от цены акции в момент истечения срока действия опциона.
1.14. Предположим, что июньский опцион продавца на акции по 60 долл, за каждую стоит четыре доллара и держатель владеет им до июня. При каких обстоятельствах продавец опциона (т.е. сторона, занимающая короткую позицию) получит прибыль? При каких условиях опцион будет выполнен? Постройте график, иллюстрирующий зависимость прибыли, полученной от длинной позиции в этом опционе, от цены акции в момент истечения срока действия опциона.
1.15. Трейдер выписывает сентябрьский опцион “колл” с ценой исполнения, равной 20 долл. Предположим также, что сейчас март, цена акции равна 18 долл., а цена опциона равна двум долларам. Опишите денежные потоки трейдера, если опцион удержится до сентября, а цена акции к этому времени вырастет до 25 долл.
1.16. Трейдер выписывает декабрьский опцион “пут” с ценой исполнения, равной 30 долл. Цена опциона равна четырем долларам. При каких обстоятельствах трейдер окажется в выигрыше?
1.17. Компании известно, что через четыре месяца она получит определенную сумму в иностранной валюте. Какой тип опционного контракта лучше всего подходит для хеджирования?
1.18. Американская компания через шесть месяцев должна заплатить один миллион канадских долларов. Объясниге, как можно хеджировать риск, связанный с колебанием курса валют, с помощью 1) форвардного контракта; 2) с помощью опциона.
1.19 Трейдер занял короткую позицию в форвардном контрам е на поставку 100 млн иен. Форвардный обменный курс равен 0,0080 долл, за иену. Определите величину потенциальной прибыли или убытков грейдера, если обменный
курс в конце контракта равен 1) 0,0074 долл, за иену; 2) 0,0091 долл, за иену.
1.20. На Чикагской продуктовой бирже продаются фьючерсные контракты на долговременные казначейские облигации. Каких трейдеров могут привлечь такие контракты?
1.21. “Опционы и фьючерсы — это игры с нулевой суммой.” Что означает это утверждение?
1.22. Вычислите прибыль, которую может принести инвестиционный портфель, в состав которого входят длинный форвардный контракт на некий актив и длинный европейский опцион продавца на этот же актив с одинаковыми сроками истечения срока действия и ценой исполнения, равной форвардной цене актива на момент формирования портфеля.
1.23. В 1980-х годах компания Bankers Trust выпустила опционные долговые обязательства на валютный курс (index currency option notes). Они представляли собой облигации, выплаты по которым зависели от валютного курса на момент погашения. Один из выпусков облигаций ICON предназначался для Банка долговременного кредитования Японии (Long Term Credit Bank of Japan). В этой облигации было зафиксировано следующее условие: если бы курс обмена иены на доллар St в момент погашения облигации (в 1995 г.) превысил 169 иен за доллар, владелец акции получил бы 1 000 долл. Если же этот курс был меньше 169 иен за доллар, объем выплат держателю акций вычислялся бы по формуле
1000 — max
Если же валютный курс снизился бы до 84,5 иен за доллар, держатель облигации в момент ее погашения не получил бы ничего. Докажите, что облигации ICON представляют собой комбинацию обычной облигации и двух опционов.
1.24. Предположим, что 1 июля 2005 года компания заключила форвардный контракт на покупку 10 млн японских иен 1 января 2006 года. Затем 1 сентября 2005 года она заключила форвардный контракт на продажу 10 млн японских иен 1 января 2006 года. Вычислите выигрыш, полученный в результате применения этой стратегии.
1.25. Предположим, что курс обмена фунтов стерлингов на американские доллары и форвардные валютные курсы таковы: текущий курс — 1,6080, 90-дневный форвардный курс — 1,6056, 180-дневный форвардный курс — 1,6018. Какие возможности открываются перед арбитражером в следующих ситуациях:
I) 180-дневный европейский опцион на покупку одного фунта за 1,57 долл, сгон г два цента;
2) 90-дневный европейский опцион на продажу одного фунта за 1,64 долл, стоит два цента.
Упражнения
! .26. В настоящее время цена золота равна 500 долл, за унцию. Форвардная пена поставки через один год равна 700 долл. Арбитражер может взять кредит под 10% годовых. Что должен делать арбитражер? Будем считать, что стоимость храпения золота равна нулю и что золото не приносит доход.
1.27. Текущая цена акции некоей компании равен 94 долл., а трехмесячный опцион “колл” с ценой исполнения, равной 95 долл., в данный момент продастся за 4,70 долл. Инвестор, считающий, что цена акции вырастет, должен решить, что выгоднее купить: 100 акций или 2 000 опционов “колл” (т.е. 20 опционных контрактов). Для реализации каждой из стратегий необходимо вложить 9 400 долл. Что вы посоветуете инвестору? До какого уровня должна вырасти цена акции, чтобы опционная стратегия оказалась более выгодной?
1.28. Предположим, что 29 мая 2003 года некий инвестор владел 100 акциями компании Intel. Как показано в табл. 1.2, цена акции равна 20,83 долл., а октябрьский опцион “пут” с ценой исполнения 20 долл, стоит 1,50 долл. Инвестор имеет выбор: либо купить один октябрьский контракт на опционы "пут” с ценой исполнения 20 долл., либо поручить брокеру продать 100 акций компании Intel, как только их цена упадет до 20 долл. Обсудите преимущества и недостатки этих стратегий.
1.29. Выпуск облигаций компании Standard Oil был организован следующим образом. Держатели облигаций не получили никаких процентов. В момент пшашения облигаций компания пообещала заплатить 1 000 долл, и дополнительную сумму, зависящую от текущей цены нефти. Эга премия равна произведению числа 170 на величину, на которую цена барреля нефти в момент погашения облигации превысит 25 долл, (если это превышение будет иметь место). Дополнительная сумма не может превысить 2 550 долл, (ню соответствует пенс барреля нефти, равной 40 долл.). Эти облигации предоставило их владельцам право на часть произведенной продукции, что чрезвычайно важно для преуспевания компании. Если цена произведенной продукции и тднимется. сумма дополнительных выплат увеличится. Докажите, что облигации компании Standard Oil представляют собой комбинацию обычной облигации, длинной позиции в опционе на покупку нефти
с ценой исполнения, равной 25 долл., и короткой позиции в опционе на покупку нефти с ценой исполнения, равной 40 долл.
1.30. Предположим, что в ситуации, описанной в табл. 1.1, финансовый директор говорит своему контрагенту: “Через шесть месяцев я должен продать один миллион фунтов стерлингов. Если обменный курс будет меньше 1,59 долл, за фунт, вы должны уплатить мне 1,59 долл, за фунт. Если обменный курс будет больше 1,63 долл, за фунт, я продам фунты по 1,63 долл. Если же обменный курс будет лежать в диапазоне от 1,59 до 1,63, то я продам фунты стерлингов по обменному курсу”. Какой опцион позволяет реализовать эту crparei ию финансового директора?
1.31. Как с помощью валютных опционов хеджировать ситуацию, описанную в разделе 1.7. так чтобы компания ImportCo была застрахована на случай, если валютный курс будет меньше 1,4000, а компания ExportCo получила гарантии безопасности на случай, если валютный курс будет не меньше 1,4200? Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость хеджа в каждом из вариантов, предполагая, что волатильность валютного курса равна 12%, процентная ставка в США равна 3%, а процентная ставка в Великобритании равна 4,4%, Будем считать, что текущий валютный курс является средним арифметическим валютных курсов покупки и продажи, указанных в табл. 1.1.
1.32. Некий трейдер приобретает европейский опцион “колл” и выписывает европейский опцион “пут” с одинаковыми активами, ценами исполнения и сроками действия. Опишите позицию трейдера. При каких условиях цена опциона покупателя совпадет с ценой опциона продавца?
Механизм функционирования фьючерсных рынков
В главе 1 указано, что как фьючерсные, так и форвардные контракты представляют собой соглашения по купле или продаже некоего актива в определенный момент в будущем по определенной цене. Торговля фьючерсными контрактами осуществляется на организованных биржах, причем условия контрактов стандартизованы. В противоположность фьючерсным, форвардные контракты являются конфиденциальными соглашениями между двумя финансовыми учреждениями или финансовым учреждением и одним из его корпоративных клиентов.
В этой главе раскрываются детали функционирования фьючерсных рынков. Мы рассмотрим такие вопросы, как характеристики контракта, операции с маржинальными счетами, организация биржи, методы регулирования рынка, способы определения цен и выполнение фьючерсных транзакций с целью бухгалтерского учета и налогообложения. Будут также рассмотрены форвардные контракты и разъяснена разница между видами выплат, возникающих в рамках фьючерсных и форвардных контрактов.
2.1 Основы
Как указано в главе 1, фьючерсные контракты являются предметом очень активной торговли по всему миру. Две наиболее крупные фьючерсные биржи в США — Чикагская продуктовая биржа (СВОТ, www.cbot.com) и Чикагская товарная биржа (СМЕ, www.cme.com). Две крупнейшие биржи в Европе --Лондонская международная биржа финансовых фьючерсов и опционов (www. lif f е . com) и Eurex (www. eurexchange . com). В число других больших бирж входят Товарная фьючерсная биржа в Сан-Пауло (Bolsa de Mercadorias у Futures, www.bmf.com.br). Токийская международная биржа финансовых фьючерсов (Tokyo International Financial Futures Exchange, www. tif f e . or . jp), Сингапурская международная валютная биржа (Singapore International Monetary Exchange, www.simex.com. sg) и Сиднейская фьючерсная биржа (Sydney Futures Exchange, www. sf e. com. au). Более полный список фьючерсных бирж приведен в конце книги.
Рассмотрим процедуру заключения фьючерсного контракта на примере фьючерса на кукурузу, проданного на Чикагской продуктовой бирже (СВОТ). Предположим, что 5 марта некий инвестор из Нью-Йорка позвонил брокеру и поручил ему купить 5 000 бушелей кукурузы с поставкой в июле того же года. Брокер немедленно передал грейдеру, находящемуся в торговом зале Чикагской продуктовой биржи, приказ запять длинную позицию в одном контракте, поскольку величина отдельного контракта на кукурузу на Чикагской продуктовой бирже равна как раз 5 000 бушелей. Допустим, что в то же самое время другой инвестор из Канзаса передал своему брокеру приказ продать 5 000 бушелей кукурузы с поставкой в июле. Следуя полученным инструкциям, этот брокер передал трейдеру, находящемуся в торговом зале Чикагской продуктовой биржи, приказ занять короткую позицию в одном контракте. Эти два трейдера встретились в торговом зале, согласовали цену на кукурузу в июле и заключили сделку.
Говорят, что инвестор из Нью-Йорка, согласившийся купить кукурузу, занимает длинную фьючерсную позицию (long futures position) в одном контракте, а инвестор из Канзаса, согласившийся продать кукурузу, занимает короткую фьючерсную позицию (short futures position) в одном контракте. Цена, согласованная в торговом зале биржи, называется текущей фьючерсной ценой (future price) июльского контракта. Предположим, что эта цена равна 170 центов за бушель. Эта цена, как и любая другая, диктуется законами спроса и предложения. Если в конкретный момент времени количество трейдеров, желающих продать кукурузу в июле, превышает количество трейдеров, стремящихся ее купить в те же сроки, цена будет снижаться. Если в конкретный момент времени количество т рейдеров, желающих купить кукурузу в июле, превышает количество трейдеров, стремящихся ее про дать в те же сроки, цена будет расти. Вслед за этим на рынке появятся новые продавцы, и баланс между продавцами и покупателями будет сохранен.
Закрытие позиций
Огромное количество фьючерсных контрактов не завершается поставкой товаров, поскольку большинство трейдеров предпочитают закрывать свои позиции до наступления срока поставки, указанного в контракте. Закрытие позиции (closing out a position) означает заключение сделки, смысл которой противоположен исходной. Например, инвестор из Нью-Йорка, купивший 5 марта фьючерсный контракт на покупку кукурузы в июле, может закрыть позицию, продав этот контракт 20 апреля (т.е. занять короткую позицию). В свою очередь, инвестор из Канзаса, продавший 5 марта контракт на поставку кукурузы в июле (т.е. занимающий длинную позицию), может закрыть позицию, купив этот контракт 20 апреля. В каждом из вариантов общая прибыль или убыток инвестора определяется изменением фьючерсной цены в течение периода с 5 марта по 20 апреля.
Поставка актива стала настолько непривычным событием, что трейдеры иногда забывают о его дегалях (см. врезку “Пример из деловой практики 2.1”). Несмотря на эго мы посвятим часть главы описанию механизма поставок активов в рамках фьючерсных контрактов. Это объясняется тем, что именно вероятность окончательной поставки тесно связывает между собой фьючерсную цену и спот-цену. 1
Пример из деловой практики 2.1. Непредвиденная поставка
Эту историю (возможно, выдуманную) рассказал автору руководитель одной из финансовых организаций. Ее главным героем является новый сотрудник организации, который раньше не работал в финансовом секторе. Один из клиентов компании регулярно заключал фьючерсные контракты на покупку крупного рогатого скота с целью хеджирования рисков и регулярно отдавал распоряжение закрыть позицию в последний день торгов. (Контракты на поставку крупного рогатого скота заключаются на Чикагской товарной бирже. В рамках каждого контракта предусматривается поставка 40000 фунтов живого веса.) Новому сотруднику поручили управлять счетом клиента.
Когда срок контракт а подходил к концу, сотрудник обратил внимание на то, что клиент постоянно занимает длинную позицию по контракту, и поэтому поручил биржевому трейдеру занять еще одну длинную (а не короткую) позицию. В результате этой ошибки финансовая организация заняла длинные позиции в двух фьючерсных контрактах на поставку крупного рогатого скота. Когда ошибку обнаружили, торги уже закончились, и финансовая организация (а не клиент) должна была нести ответственность за допущенный промах. Руководство компании было вынуждено разбираться в деталях поставки крупного рогатого скота в соответствии с фьючерсными контрактами, чего до сих пор никто никогда не делал. По условиям контракта крупный рогатый скот на протяжении месяца поставки должен быть доставлен стороной, занимающей короткую позицию в контракте, в одно из многих мест, расположенных в США. Поскольку финансовая организация занимала длинные позиции по контрактам, ей ничего не оставалось, как ожидать, пока сторона, занимающая короткую позицию, пришлет на биржу уведомление о намерении осуществить поставку, а биржа перешлет его покупателю.
В итоге, финансовая организация получила от биржи соответствующее уведомление и узнала, что крупный рогатый скот в следующий вторник будет доставлен в городок, расположенный за 2 000 миль. Сотрудник, допустивший ошибку, был отправлен принимать товар. Оказалось, что в этом городке каждый вторник проходит аукцион по продаже крупного рогатого скота. Сторона, занимавшая
'Как указывалось в ставе I, епог-цена ио цена акигва при условии его практически немедленной поставки.
короткую позицию, просто купила крупный рогатый скот на аукционе и немедленно передала его покупателю. К сожалению, купленный крупный рогатый скот нельзя было перепродать в тот же день и пришлось ждать следующего вторника. Таким образом, сотрудник должен был решать проблемы с размещением и кормежкой купленного скота. Отличное занятие для начинающего финансиста!
2.2 Характеристики фьючерсного контракта
Основные биржи, торгующие фьючерсными контрактами, перечислены в конце книги. Разрабатывая новый контракт, биржа должна четко определить его содержание. В частности, она должна указать актив, величину контракта (т.е. количество актива, поставляемого в рамках одного контракта), а также место и сроки поставки.
Иногда биржа предлагает несколько альтернативных вариантов поставляемого актива или мест поставки. Как правило, право выбора принадлежит стороне, занимающей короткую позицию (т.е. стороне, согласившейся продать актив). Если сторона, занимающая короткую позицию, готова поставить актив, она подает на биржу уведомление о намерении осуществить поставку (notice of intention to deliver). Это уведомление означает, что вид актива и место поставки выбраны.
Актив
Если активом является товар, он может иметь несколько степеней качества. Следовательно, биржа должна обусловить сорт или несколько сортов товара, удовлетворяющих ее требованиям. Например, Нью-Йоркская хлопковая биржа так определила актив, являющийся предметом фьючерсного контракта на поставку апельсинового сока.
Сорт А (США), показатель Брикса не меньше 57 градусов, отношение показателя Брикса к кислотности не менее 13:1 и не более 19:1, фактор цвета и вкуса не менее 37, фактор повреждения не более 19, минимальное количество баллов — не менее 94.
Фьючерсный контракт на поставку пиломатериалов произвольной длины, продаваемый на Чикагской товарной бирже, содержит следующее определение.
Каждая единица поставки должна состоять из досок сечением 2x4, длина которых колеблется от 8 до 20 футов, имеющих сорт “строительные и стандартные” (Construction and Standard), “выше стандартного” (Standard and Better), первый или второй (#1 или #2). Однако ни в коем случае количество досок сорта “стандартный” или второго сорта не должно быть больше 50%. Каждая единица поставки должна быть произведена в штатах Калифорния, Айдахо, Монтана. Невада,
Орегон, Вашингтон, Вайоминг, Альберта, Британская Колумбия или в Канаде и содержать доски, произведенные из сортовой альпийской ели. ели Энглеманна, ажурной ели, корабельной сосны и/или виргинской сосны.
Цена некоторых товаров зависит от сорта поставки. Например, во фьючерсных контрактах на поставку кукурузы, заключаемых на Чикагской продуктовой бирже, стандартным является сорт “Желтая № 2" (“No. 2 Yellow”). Если поставщик предлагает замену, цена товара изменяется.
Финансовые активы во фьючерсных контрактах, как правило, очень хорошо и однозначно определены. Например, нет никакой необходимости указывать сорт японской иены. Однако на Чикагской продуктовой бирже котируются интересные фьючерсы на покупку или продажу казначейских облигаций и ног. Базовым активом во фьючерсном контракте на покупку или продажу казначейских облигаций является долгосрочная облигация казначейства США, срок погашения которой превышает' 15 лет и которую нельзя погасить досрочно. Базовым активом во фьючерсном контракте на покупку или продажу казначейских нот является долговременный налоговый сертификат казначейства США, срок погашения которого больше 6,5, но меньше 10 лет (отсчет идет от даты поставки). В обоих случаях цена фьючерсного контракта, устанавливаемая биржей, зависит от номинального процентного дохода и срока погашения облигации. Детали этих сделок рассматриваются в главе 6.
Величина контракта
Величина контракта определяет количество актива, поставляемого в рамках контракта. Этот момент для биржи очень важен. С одной стороны, если контракт слишком велик, многие инвесторы, желающие хеджировать относительно малые риски либо занимающиеся относительно небольшими спекуляциями, не смогут прибегнуть к помощи биржи. С другой стороны, если контракт слишком мал. торговля им может стать невыгодной, поскольку связана с определенными затратами.
Правильная величина контракта очевидным образом зависит от вероятного пользователя. Например, сумма поставок сельскохозяйственной продукции, как правило, колеблется в диапазоне от 10 000 до 20000 тыс. долл. В то же время для некоторых финансовых фьючерсов эта сумма намного больше. Например, в рамках фьючерсных контрактов на покупку и продажу казначейских облигаций поставляются ценные бумаги номинальной стоимостью 100000 долл.
В некоторых случаях биржи вводят “мини-контракты”, привлекая мелких инвесторов. Например, контракт Mini Nasdaq 100. которым торгуют на Чикагской торговой бирже, заключается на 20 единиц индекса Nasdaq 100, в то время как обычный контракт заключается на 100 единиц.
Условия поставки
Место поставки должно быть указано биржей. Это особенно важно для товаров, поставка которых связана со значительными транспортными расходами. Например, в контракте на поставку пиломатериалов произвольной длины, разработанном на Чикагской товарной бирже, место поставки определено следующим образом.
Товар должен быть доставлен из штатов Калифорния, Айдахо, Монтана, Невада, Орегон, Вашингтон, Вайоминг, Альберта или Британская Колумбия по железной дороге либо в товарном вагоне, либо на вагон-платформе. причем в последнем случае каждая упаковка должна быть завернута в бумагу без дополнительной оплаты покупателем.
Если в контракте указаны другие пункты поставки, цена, полученная стороной, занимающей короткую позицию, иногда корректируется. Например, во фьючерсном контракте, предлагаемом на Чикагской продуктовой бирже, пунктом поставки могут быть Чикаго, Бсрнс-Харбор, Толедо или Сент-Луис. Однако поставка в Толедо или Сент-Луис осуществляется с дисконтом, равным четырем центам на бушель, по сравнению с контрактом, пунктом поставки в котором является Чикаго.
Месяцы поставки
Фьючерсные контракты различаются по месяцам поставки. Биржа должна точно указать период на протяжении месяца, в течение которого может быть выполнена поставка. Во многих фьючерсных контрактах период поставки растягивается на весь месяц.
Месяцы поставки изменяются от контракта к контракту и выбираются биржей, исходя из интересов участников сделок. Например, основными месяцами поставок в валютных фьючерсах на Чикагской товарной бирже являются март, июнь, сентябрь и декабрь. Фьючерсные контракты на кукурузу, предлагаемые на Чикагской товарной бирже, предусматривают поставку в январе, марте, мае, июле, сентябре, ноябре и декабре. В каждый момент времени контракт заключается на ближайший месяц поставки и на определенное количество месяцев поставки, следующих за этой датой. Биржа сама определяет, когда начинать торги по контрактам с определенным месяцем поставки. Кроме того, биржа указывает последний день этих торгов. Как правило, торги завершаются за несколько дней до последнего срока поставки.
Котировка цен
Котировка фьючерсных цен проста и понятна. Например, фьючерсные цены на сырую нефть на Нью-Йоркской товарной бирже кот ируются в долларах за бар-
рель с двумя десятичными цифрами после запятой (г.е. с точностью до цента). Фьючерсные цены на казначейскую облигацию и казначейский билет на Чикагской продуктовой бирже котируются в долларах и т ридцать вторых долях доллара. Минимальное изменение цены зависит от способа ее котировки. Таким образом, минимальное изменение фьючерсной цены сырой нефти равно 0,01 долл., а фьючерсной цены казначейской облигации и казначейского билета — одной тридцать второй доллара.
Лимиты цен и позиций
В большинстве контрактов лимиты изменения ежедневных цен устанавливаются биржей. Если цена падает на величину, равную дневному лимиту, говорят, что контракт вышел ча нижний предел (limit down). Если цена вырастает на величину, равную дневному лимиту, говорят, что контракт вышел ла верхний предел (limit нр). Как правило, в этом случае торги на этот день прекращаются. Однако в некоторых случаях биржа имеет право изменить пределы изменения цен и продолжить торги.
Цель установления лимитов цен предотвратить большие изменения цен, возникающие при крупных спекуляциях. Однако если цена товара резко увеличивается или уменьшается, эти лимиты могут стать искусственными барьерами, мешающими торгам. Вопрос, благотворно ли влияют лимиты цен на фьючерсные торги, является спорным.
Позиционные лимиты - это максимальное количество контрактов, которые может держать спекулянт. Цель позиционного лимита — предотвратить чрезмерно большое влияние спекулянтов на состояние рынка.
2.3 Сходимость фьючерсной цены к цене спот
По мере приближения месяца поставки фьючерсная цена сходится к цене спот базового актива. Как только этот месяц настанет, эти цены либо совпадут, либо будут очень близкими.
Для того чтобы убедиться в этом, предположим сначала, что на протяжении периода поставки фьючерсная цена превышает цену спот. В этом случае у трейдеров возникают очевидные арбитражные возможности.
1. Заключить короткий фьючерсный контракт.
2. Купить актив.
3. Выполнить поставку.
Эти действия принесут прибыль, равную величине, на которую фьючерсная цена превосходит цену спот. Как только грейдеры воспользуются этой арбитражной возможностью, фьючерсная цена упадет. Допустим теперь, что на протяжении
периода поставки фьючерсная цена ниже цены спот. Компании, заинтересованные в покупке актива, предпочтут заключить длинный фьючерсный контракт и подождать его исполнения. В этом случае фьючерсная цена будет расти.
В результате, фьючерсная цена на протяжении поставки должна быть очень близкой к цене спот. Сходимость фьючерсной цены к цене спот продемонстрирована на рис. 2.1. На рис. 2.1, а изображена зависимость, когда фьючерсная цена превышает цену спот, а на рис. 2.1, б - - когда цена спот превышает фьючерсную. Ситуации, в которых возможны такие зависимости, обсуждаются в главе 5.
Цена спот
Время
Время
а) б)
Рис. 2.1. Зависимость между фьючерсной ценой и ценой спот от близости сроков поставки: а) фьючерсная цена выше цены спот; б) фьючерсная цена ниже цены спот
2.4 Ежедневные расчеты и маржа
Если два инвестора контактируют без посредников и согласны купить и продать актив в будущем по определенной цене, очевидно, существует риск. Один из инвесторов может пожалеть, что заключил невыгодную сделку, и попытаться ее аннулировать. Кроме того, инвестор может просто не найти финансовых ресурсов, чтобы выполнить соглашение. Одна из самых главных задач биржи — так организовать торги, чтобы дефолт стал невозможным. Именно для этого была изобретена маржа.
Маржинальные операции
Чтобы показать, как работает маржа, представим себе инвестора, связавшегося со своим брокером во вторник, 5 июня, чтобы купить декабрьские фьючерсные
контракты на золото на Нью-Йоркской товарной бирже (СОМЕХ). Предположим, что текущая фьючерсная цена золота равна 400 долл, за унцию. Поскольку величина контракта равна 100 унциям, инвестор желает заключить контракты на покупку 200 унций по этой цене. В этой ситуации брокер должен потребовать от инвестора депонировать финансовые средства на маржинальном счете (margin account). Сумма, которая должна лежать на маржинальном счете до истечения срока действия контракта, называется первоначальной маржой (initial margin). Допустим, что эта сумма равна 2 000 долл, за каждый контракт, т.е. на счете инвестора в нашем примере должно лежать 4 000 долл. В конце каждого операционного дня маржинальный счет корректируется, отражая прибыль или убытки инвестора. Эта практика называется переоценкой активов (marking to market).
Предположим, что в конце операционного дня 5 июня фьючерсная цена упала с 400 до 397 долл. В итоге, инвестор потерял 600 долл. (= 200 х 3), поскольку золото, которое он обязался купить в декабре по 400 долл, за унцию, можно будет продать только по 397 долл. Следовательно, баланс на маржинальном счете необходимо уменьшить на 600 долл., т.е. до 3 400 долл. Аналогично, если в конце первого операционного дня декабрьская фьючерсная цена золота поднимется до 403 долл., сумма на маржинальном счете увеличится на 600 долл., т.е. до 4600 долл. Первая переоценка активов выполняется в конце того операционного дня, в течение которого был заключен контракт, и в дальнейшем осуществляется каждый день.
Обратите внимание на то, что переоценка активов — не просто предмет соглашения между брокером и его клиентом. Если фьючерсная цена уменьшается и сумма на маржинальном счете инвестора, занимающего длинную позицию, уменьшается на 600 долл., брокер должен заплатить бирже 600 долл., а биржа, в свою очередь, перечислит эти деньги брокеру инвестора, занимающего короткую позицию. Аналогично, если фьючерсная цена увеличивается, брокеры инвесторов, занимающих короткие позиции, платят бирже соответствующие суммы, а брокеры инвесторов, занимающих длинные позиции, получают их от биржи. Позднее мы рассмотрим этот механизм более подробно.
Инвестор имеет право снимать с маржинального счета любую сумму, превышающую первоначальную маржу. Чтобы гарантировать поддержание положительного баланса на маржинальном счете, биржа устанавливает гарантийную маржу (maintenance margin), величина которой немного меньше первоначальной маржи. Если баланс на маржинальном счете падает ниже гарантийной маржи, инвестор получает маржинальное требование (margin call) и на следующий день должен дополнить счет до уровня первоначальной маржи. Дополнительная сумма, зачисляемая на маржинальный счет; называется вариационной маржой (variation margin). Если инвестор не вносит ее, брокер закрывает позицию, продавая контракт. В рассмотренном выше примере закрытие позиции, аннулирующее контракт, осуществляется путем продажи 200 унций золота с поставкой в декабре.
В табл. 2.1 продемонстрировано движение средств на маржинальном счете при одном из возможных вариантов изменения фьючерсных цен на золото (см. описанный выше пример). Предполагается, что гарантийная маржа равна I 500 долл, на контракт, т.е. ее общая величина равна 3 000 долл. 13 июня баланс на маржинальном счете упал на 340 долл, ниже уровня гарантийной маржи. В результате брокер выставил маржинальное требование на 1 340 долл. Как следует- из табл. 2.1, инвестор внес вариационную маржу до закрытия торгов 16 нюня. 19 июня баланс на маржинальном счете снова упал ниже уровня гарантийной маржи, и инвестор получил маржинальное требование на 1 260 долл. Эту сумму инвестор внес на маржинальный счет до закрытия торгов 20 июня. 26 июня инвестор решил за-
Таблица 2.1. Маржинальные операции инвестора, занимающего длинную позицию в двух фьючерсных контрактах на золото. Первоначальная маржа равна 2 000 долл, на контракт или 4 000 долл, в сумме. Гарантийная маржа равна 1 500 долл, на контракт или 3 000 долл, в сумме. Контракт вс тупает в силу 5 июня при цене 400 долл, за унцию и закрывается 26 июня при цене 392,30 долл, за унцию. Числа, стоящие во втором столбце, за исключением первой и последней строк, представляют собой фьючерсные цены на момент закрытия торгов.
День Фьючерсная цена, долл. Дневная прибыль (убыток), долл. Совокупная прибыль (убыток), долл. Баланс маржинального счета, долл. Маржинальное требование, долл.
400.00 4000
5 июня 397.00 (600) (600) 3400
6 июня 396.10 (18U) (780) 3 220
9 июня 398,20 420 (360) 3 640
10 июня 396.10 (220) (580) 3420
11 июня 396.70 (80) (660) 3 340
12 июня 395,40 (260) (920) 3 ОН)
13 июня 393,30 (120) (1 340) 2 660 1 340
16 июня 393.60 60 (1 280) 1060
17 июня 391,80 (360) (1 640) 3 700
18 июня 392.70 180 (1460) 3 880
19 июня 387,00 (1 140) (2 6001 2 710 1260
20 июня 387,00 0 (2 600) 4 000
23 июня 388,10 220 (2 380) 4 220
24 июня 388.70 120 (2 260) 1 340
25 июня 391,00 460 (1 800) 1800
26 июня 392,30 260 (1510) 5 060
крыть позицию, продав оба контракта. Фьючерсная цена в этот день была равной 392,30 долл., а потери инвестора в сумме составили 1 540 долл. Обратите внимание на то, что 16, 23, 24 и 25 июня сумма на маржинальном счете превышала уровень первоначальной маржи. Как следует из табл. 2.1, инвестор не воспользовался своим правом на снятие излишков.
Дополнительные подробности
Многие брокеры позволяют инвесторам получать процент с суммы, лежащей на маржинальном счете. Таким образом, если инвестор может получить процентную ставку где-то еще, этот баланс не является истинной стоимостью фьючерсного контракта. Чтобы удовлетворить требования, касающиеся первоначальной маржи (но не последующие маржинальные требования), инвесторы иногда депонируют у брокера ценные бумаги. Как правило, вместо наличных денег инвесторы вносят казначейские облигации по цене, равной около 90% их номинала. Иногда вместо денег брокеры принимают акции, правда, за полцены.
В результате переоценки активов расчеты по фьючерсным контрактам производятся ежедневно, а не только в момент их погашения. В конце каждого дня прибыль инвестора зачисляется на маржинальный счет (убытки, соответственно, списываются со счета), сводя стоимость контракта к нулю. Фактически, фьючерсный контракт каждый день закрывается, а на следующий день возобновляется по новой цене.
Минимальные уровни первоначальной и гарантийной маржи устанавливаются биржей. В некоторых случаях отдельные брокеры могут требовать от своих клиентов более крупную первоначальную маржу, однако снижать ее они не имеют права. Уровни маржи зависят от изменчивости цен базового актива. Чем выше изменчивость, гем выше уровни маржи. Как правило, гарантийная маржа устанавливается на уровне, равном 75% от первоначальной.
Маржинальные требования могут зависеть от целей трейдера. Добросовестному хеджеру (bona fide hedger), например компании, производящей товары, на которые выписан фьючерсный контракт, чаше предъявляются более низкие требования, чем спекулянту. Это объясняется более низкой вероятностью дефолта. Сделки в рамках дей-трейдинга и сделки спрэд характеризуются более высокими уровнями маржи, чем сделки в рамках хеджирования. Дей-трейдинг (day trade) означает, что трейдер открывает и закрывает позицию в течение одного дня. Осуществляя сделку спрэд (spread transaction), трейдер одновременно занимает длинную позицию по активу с одним сроком истечения контракта и короткую позицию по тому же активу с другим сроком выплат.
Обратите внимание, что уровни маржи для коротких и длинных фьючерсных позиций одинаковы. Трейдеру не составляет труда одновременно занять как короткую, так и длинную позиции. С одной стороны, занимая длинную пози-
цлю на рынке реального товара (spot market), трейдер обязывается купить актив с немедленной поставкой. Это не вызывает никаких проблем. С другой стороны, занимая короткую позицию, трейдер обязывается продать товар, которым он еще не владеет. Эго более сложная сделка, которая на конкретном рынке может как осуществиться. так и провалиться. Более подробно мы рассмотрим эти вопросы в главе 5.
Расчетная палата и клиринговая маржа
Расчетная палата биржи (exchange clearinghouse) — это подразделение биржи, выступающее посредником при осуществлении фьючерсных сделок. Она гарантирует выполнение обязательств каждой из сторон сделки. Расчетная палата состоит из большого количества членов. Брокеры, не являющиеся членами расчетной палаты, должны осуществлять свои операции через одного из ее членов. Основная задача расчетной палаты — отслеживать все сделки, осуществляющиеся в течение дня, чтобы можно было вычислить нетто- позицию (net position) каждого из их участников.
Аналогично тому, как инвестор получает маржинальное требование от брокера, член расчетной палаты обязан поддерживать баланс на маржинальном счете но требованию расчетной палаты. Этот баланс называется клиринговой маржой (clearing margin). Маржинальный счет члена расчетной палаты, аналогично маржинальному счету инвестора, отражает прибыли и убытки, подсчитанные в конце каждого операционного дня. Однако по отношению к члену расчетной палаты применяется только первоначальная, но не гарантийная маржа. Каждый день баланс на маржинальном счете члена расчетной палаты по каждому контракту должен поддерживаться на определенном уровне, равном первоначальной марже, умноженной на количество еще невыполненных контрактов. Следовательно, в зависимости от сделок, заключенных в течение дня, и колебания цен, член расчетной палаты должен в конце каждого операционного дня вносить на маржинальный счет определенную компенсацию. Кроме того, он может в конце дня снять деньги со счета. Брокеры, не являющиеся членами расчетной палаты, должны поддерживать баланс на маржинальном счете с помощью одного из членов расчетной палаты.
При вычислении клиринговой маржи расчетная палата определяет количество невыполненных контрактов на основе брутто (gross base) или нетто (net base). В первом варианте общее количество всех длинных позиций просто складывается с общим количеством коротких позиций, занятых клиентами. Во втором варианте противоположные позиции разрешается компенсировать. Предположим, что член расчетной палаты имеет двух клиентов: один из них занимает длинную позицию в 20 контрактах, а другой — короткую позицию в 15 контрактах. При использовании брутто-основы клиринговая маржа вычисляется с учетом 35 контрактов,
а при использовании нетто — с учетом пяти контрактов. В настоящее время большинство бирж при вычислении маржи использует нетто-основу.
Кредитный риск
Маржинальная система гарантирует, что трейдеры не откажутся от взятых обязательств. В целом эта система оказалась весьма успешной. Инвесторы, заключавшие контракты на основных биржах, всегда честно выполняли их условия. Однако 19 октября 1987 года фьючерсные биржи подверглись серьезному испытанию. В этот день индекс S&P 500 упал более чем на 20%, и инвесторы, занимавшие длинные позиции по фьючерсам на этот индекс, обнаружили, что на их маржинальных счетах возник отрицательный баланс. Некоторые из инвесторов предпочли отказаться от своих контрактов (несмотря на то, что эти обязательства были строго юридически оформлены). В результате некоторые брокеры не получили денег от клиентов, не смогли выполнить маржинальные требования по контрактам, заключенным в их интересах, и разорились. Однако все инвесторы, занимавшие короткие позиции по фьючерсным контрактам на индекс S&P 500, получили причитающиеся им выплаты.
Обеспечение на внебиржевых рынках
Кредитный риск традиционно считается одной из основных отличительных черт внебиржевых рынков. Всегда существует вероятность того, что контрпартнер, участвующий во внебиржевой сделке, объявит дефолт. Интересно, что, стремясь минимизировать кредитный риск, внебиржевые рынки стали имитировать маржинальную систему, принятую на биржах, и разработали процедуру обеспечения (eollaterization).
Рассмотрим контракты, заключенные между компаниями А и В, действующими на внебиржевом рынке. Для обеспечения контрактов эти компании могут заключить соглашение об обеспечении, в котором предусматривается процедура ежедневной переоценки заключенного контракта в соответствии с заранее согласованной методологией. Если в какой-то момент стоимость контракта для компании А увеличивается, то компания В должна выплатить компании Азалог, сумма которого равна приросту стоимости контракта. Аналогично, если в какой-то момент стоимость контракта для компании А уменьшается, то компания А должна выплатить компании В залог, сумма которого равна величине, на которую уменьшилась стоимость контракт а.
Обеспечение значительно снижает кредитный риск, которому подвергаются внебиржевые контракты. Детали этой процедуры обсуждаются в главе 20. В 1990-х годах соглашения об обеспечении широко использовались хеджинговым фондом LTCM (Long-Term Capital Management). Это позволило ему интенсивно использовать левередж. Кон грак ты обеспечивали защиту от кредитного риска, но,
как показано во врезке “Пример из деловой практики 2.2”, высокий левередж сделал этот хеджинговый фонд весьма уязвимым к другим рискам.
Пример из деловой практики 2.2. Крупные потери фонда Long-Term Capital Management
Хеджинговый фонд LTCM (Long-Term Capital Management) был организован в середине 1990-х годов и всегда предусматривал обеспечение своих транзакций. Этот хеджинговый фонд следовал стратегии, известной под названием арбитраж конвергенции (convergence arbitrage). Ее смысл очень прост. Фонд пытался найти две облигации X и Y, выпущенные одной и той же компанией и имеющие примерно одинаковую доходность, причем облигация X должна была быть менее ликвидной, чем облигация У (т.е. продаваться и покупаться менее активно). Рынок всегда ценит ликвидность. В результате, облигация X стоила меньше, чем облигация У. Фонд LTCM стремился купить облигацию X, продать без покрытия облигацию У и выждать, пока цены этих бумаг в будущем совпадут.
Компания ожидала, что при увеличении процентных ставок цены обеих облигаций уменьшатся примерно па одну и ту же величину. Таким образом, сумма обеспечения, выплачиваемая за облигацию X, должна быть равной сумме обеспечения, выплачиваемой за облигацию У. Аналогично при уменьшении процентных ставок фонд LTCM ожидал, что цены обеих облигаций увеличатся примерно на одну и ту же величину. Следовательно, сумма обеспечения, выплачиваемая за облигацию X, и в этом случае должна быть равной сумме обеспечения, выплачиваемой за облигацию У. Таким образом, соглашения об обеспечении не должны были создавать значительного оттока средств из фонда.
В августе 1998 года Россия объявила дефолт. В результате у инвесторов возникло стремление к переводу средств в первоклассные активы (“flight to quality”). Это проявилось в том, что инвесторы стали чаще, чем обычно, предпочитать ликвидные активы, и спрэды между ценами ликвидных и неликвидных инструментов в инвестиционном портфеле фонда LTCM резко увеличились. Цены облигаций, купленных фондом LTCM, упали, а цены облигаций, по которым фонд LTCM занимал короткие позиции, возросли. И те. и другие облигации требовали обеспечения. В компании возник высокий левередж, и она не смогла удовлетворить требования о залогах, которые должны были быть выплачены в соответствии с соглашениями об обеспечении. В результате фонд должен был закрыть все позиции, потеряв около четырех миллиардов долларов. Если бы в компании не было такого высокого левереджа, она, вероятно, могла бы пережить стремление инвесторов к переводу средств в первоклассные активы и дождаться момента, когда цены ликвидных и неликвидных облигаций станут ближе друг к другу.
2.5 Газетные котировки
Многие печатные издания публикуют котировки фьючерсных цен. Например, газета The Wall Street Journal регулярно публикует фьючерсные цены в разделе Money and Investing. В табл. 2.2 приведены котировки фьючерсных цен, опубликованные в газете The Wall Street Journal в четверг, 5 февраля 2004 года. Котировки относятся к торгам, прошедшим накануне (т.е. в среду, 4 февраля 2004 года). Цены индексных, валютных и процентных фьючерсов приводятся в главах 3, 5 и 6 соответственно.
В заголовке каждого раздела табл. 2.2 указаны базовый актив, биржа, на которой прошли торги, величина контракта и котировка цены. Первым активом является кукуруза, продаваемая на Чикагской срочной товарной бирже. Величина контракта равна 5 000 бушелей, а цена котируется в центах за бушель. В первом столбце указаны также месяцы, в течение которых продаются и покупаются конкретные контракты. Например, контракты на покупку и продажу кукурузы, сроки действия которых истекали в марте 2004. мае 2004, июле 2004, сентябре 2004, декабре 2004, марте 2005 и декабре 2005, были проданы 4 февраля 2004 года.
Цены
Первые три числа в каждой строке представляют собой цену открытия, а также наибольшую и наименьшую цены, достигнутые в ходе торгов на протяжении операционного дня. Цена открытия — это цена, по которой контракты продаются сразу после открытия торгов. 4 февраля 2004 года цена открытия на кукурузу с поставкой в марте 2004 года была равна 273,25 цента за бушель, а на протяжении дня цена колебалась от 269,25 до 274,74 цента.
Расчетные цены
Четвертое число — это расчетная цена (settlement price). Эта величина является средним арифметическим цен, по которым контракт продавался сразу после открытия и непосредственно перед закрытием торгов в течение операционного дня. Пятое число представляет собой изменение расчетной цены по сравнению с предыдущим днем. Для контракта на кукурузу с поставкой в марте 2004 года расчетная цена 4 февраля 2004 года была равна 270,25 цента, т.е. на 2,75 цента меньше, чем 3 февраля 2004 года.
Расчетная цена является важным показателем, поскольку она используется для вычисления ежедневных прибылей и убытков, а также маржинальных требований. В случае контракта на кукурузу с поставкой в марте 2004 года инвестор, занимающий длинную позицию в одном контракте, может обнаружить, что с 3 по 4 февраля 2004 года его счет уменьшился на 137,50 долл. (= 500 х 2,75 цента).
Таблица 2.2. Котировки фьючерсных цен, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. (В столбцах указаны месяц, цена открытия, наибольшая и наименьшая цены, расчетная цена, изменение расчетной цены, самая высокая и самая низкая фьючерсные цены, достигнутые на протяжении всего срока действия конкретного контракта, и количество открытых позиций)
Exchange Abbreviations
For commodity futures ana futures options
CBT-Chicago Board of Trade;
CME-Chicago Mercantile Exchange;
CSCE Coffee. Sugar & Cocoa Exchange. New York.
CMX-COMEX (Div. Of New York Mercantile Exchange);
EUREX European Exchange.
RNEX-Financial Exchange (Div of New York Cotton Exchange).
IPE-lntenraconal Petroleum Exchange;
КС Kansas City Board of Trade
UFFE-London International Financial Futures Exchange;
MATIF Marche a Forme International de France:
ME-Montreal Exchange;
MPtS-Minneapolis Grain Exchange:
NQLX-NQLX (unit of Euronext.liffe)
NYCE-New York Cotton Exchange;
NYFE-New York Futures Exchange (Sub of New York Cotton Exchange);
NYM-Now York Mercantile Exchange;
ONE-CneChlcago
SFE-Sydney Futures Exchange;
SGX-Smg.ipwa Exchange Ltd.
Future* prtce* reflect day and overntfrt trading Open hrtereet reflect* prevkw* day'* trading
Wednesday, February 4, 2004
Grain and Oileeed Future* OPEN INT
LIFETIME
OPEN HIGH LOW SETTLE CHG HIGH LOW
Corn «BD-MN h; <Ht> re ta.
War 27325 274.75 26925 27025 -2.75 28150 219.00 292,145
May 278.00 275.75 274.00 27525 -2.75 285.75 224.50 130569
July 28050 28250 277.00 27825 -225 28850 227.75 79Л47
Sept 274.50 276.00 272.50 272.50 -2.75 283.00 229.75 14,330
Dec 270,75 273.00 268.50 270.00 -.75 278.75 232.50 105,132
MrO5 274.25 276.00 27225 27350 -1.00 28150 239.00 7,662
Dec 25250 252.75 25250 25275 -25 258.00 Ей vol 54.315; vol Tue 81306; open mt «2256. 4555 OatSKBTHOW be; cents per bu. 235JO 1364
Mar 15625 15625 153.00 153.00 -ЗЛ0 164.75 13100 4,361
May 158.50 158.50 155.75 155.75 -325 Fst vol 543; vol Tue 1134; open Int 6,487, *277. 163.75 135.00 1403
Soybeans «sn-irxx ь,' mb re h.
Mar 803.00 813.00 802.00 805.75 325 855.00 508.00 110,983
May 805.00 811.50 804ХЮ 805.75 125 85350 515.50 83,539
July 795.50 79950 79L50 792.00 -ЗЛ) 842.00 520.00 37,161
Auj 765.50 770 00 760.00 760.50 -525 804.00 52100
Sept 714.00 714.00 7«J0 706.50 -550 748.00 528.00 4,033
Nov 643.50 646.50 635.00 636.50 -825 678.00 483.00 22,489
Ja05 643.00 643.00 638.00 638.00 -7.00 678.00 Ей vol 5X149, vol Tue 69,055; open int 267,713, -1819 Soybean Mealrctn-m t« i re (» 573.00 440
Mar 246.80 249.80 246.50 247.00 20 26Ш 152.50 46,742
May 247.00 249.80 246.40 246.50 -.40 26820 153.00 59,488
July 243.40 24550 242.30 24240 -LOO 26320 15250 32,077
Auj 234.80 23550 23280 233.00 -1.10 25120 154.00 11892
Sept 22LD0 222.00 2182(0 219.30 -.90 23450 154.00 9,574
Oct 192.50 192,50 189.00 190.00 -140 206.00 150.50 7,015
Dec 189.00 169.00 185.50 185.60 -2.60 202.50 150.00 15,868
Ja05 138.00 188Л0 18550 18530 -2.40 203.00 Ей vol 20,000; vol Tue 33,272; open irrt 184,147, -2,396. Soybean Oil «зп-мл» к- снь per Ik 161.50 882
Mar 29.66 30.13 29.75 29.66 3037 19.00 70,068
May 29.75 30.02 29.66 29.76 .04 30.19 19.01 64Д91
July 29.80 2900 2900 29.45 -.02 2927 19.01 41093
Aus 2908 29.15 28.85 28.90 -.05 2920 19.05 5,103
Sept 2825 2825 27.95 2800 -.02 28.35 1901 6,754
Oct 26.90 27.00 26Л0 26.90 -15 27.10 19.00 5,429
Dec 25.90 25.90 25.75 25.78 -.19 26:30 Est vol 17,571; vol Tue 33,871 воет Int 204.766. *2,177. Rough Rice(CBT)-2^m cwt; cents per cwt 13.98 10,994
Mar 776.00 78450 770.00 77350 -LOO 925.00 680.00 5Д18
My 81650 616.00 809.00 809.00 -LOO Est vol 409; vol Tue 973; open Mt 7,275, -63. 939.00 76100 541
WheatrcBTHXU tv «ь re u
Mac 38050 382.00 37525 376.00 -450 42150 30L50 75,392
May 386.75 387.00 38LOO 38250 -425 413.00 290.00 28,178
July 38100 38150 377.00 37725 -425 «Ш же® 25.753
Sept 382.00 38350 38L00 38150 -350 «2.00 326.00 L803
Dec 39150 392.00 38850 39050 -350 410.00 330.00 3,219
Ей vol 18516; vol Tue 24,710; и>ет int 134,517, *36.
Wheat whom ta; «re re ь.
Mac 386.00 38750 380.00 380.50 -7J0 416.00 314J0 35,068
May 385.75 387.00 379.00 380.50 -6.75 412 D0 315.00 14,006
July 38350 384.00 ЗИЛ) . -475 «8.00 313.00 11690
Sect 384.50 386.00 383.50 386.00 -2.00 405.00 33450 1938
Dec 392.50 393.50 390.00 390Л) -550 408.50 34100 U7?
Ей vol 19,427; vol Tue 1ДО; open hit 63,983, -463.
Wheat (MKS^m ы,- «re re ы.
M« 412.00 413.25 409Л1 41L00 -2.50 42325 343.75 13,938
May 407.00 «725 40150 40225 475 420.00 34950 7,993
400.00 400 395Л) 395Л) -550 41100 352.00 4,185
Sept 396.50 396.50 39150 391.50 -550 «зло 346.00 4^98
Dec 400.00 «100 395.75 396.00 -5.00 406.00 355Л) 1037
Ей vol 7,695; vol Tue 6203; орет int 32,066, -868,
Livestock Future*
Catttefeeder(CME)-su« k, «re re *
Mai 83.70 83.80 8222 8222 -150 97.45 7750 5,192
Apr 8530 85.40 83.92 83.92 -150 94.90 7830 2260
May 85.85 85.85 84.35 8435 -150 93,90 7910 3,739
Aus 8820 8820 86.77 86.77 -150 9325 8160 2,316
Sept 87.75 87.75 87.00 87.00 -150 92.00 8170 297
Oct 8825 8825 87.00 87.00 -150 92.00 8195 31?
Ей vol 1472,- vol Tue 1,739: cperi int 14,199, *22. Cattie-Live (шеидо к,- семь p« it
Feb 76.30 76.45 74^2 74^2 -150 94.95 7100 18526
Apr 72.87 73.05 7137 7137 -150 85.55 6860 42.771
June 69.95 70.15 68.42 68.42 -150 7875 6650 15,578
Au? 72.45 72.55 70.95 70.95 -150 7720 66.00 8Л44
Oct 7550 7555 74.02 7420 -132 78.80 69.50 10518
1Ж 77.07 77.15 75.65 76.12 -102 78.90 7200 3,520
Est vol 16,156; vol Tue 10,727; open int 100345, *316.
HogsLean «мендо k.- «re re ».
Feb 59.80 59.97 58.97 59.42 50 63.00 50.75 5,560
Apr 595? 60.00 58.70 58.87 -.47 62.40 53.55 28,654
May 60.55 6025 60.30 60.65 -.05 63.90 55.90 1621
65.00 65.10 64.05 64.60 -15 67.10 58.40 8,907
July 6170 6180 6125 61.47 -.02 63Л5 56.90 £.
Aus 59.70 59.80 5925 5955 .10 6137 55.00 1521
Oct 5250 5225 5225 5225 -.35 54.65 49.00 919
Dec 52.40 53.15 5225 5257 -12 53.97 49.00 522
Ей vol ЮЖ vol Tue 8,924; орет ht 50,055, -1609. Pork Bellies (сменило i& <мь per h
Feb 8630 87.67 8630 8730 117 93.40 76.40 831
Mac 8730 8825 8730 88.02 130 93.15 7690 879
May 89.05 89.50 88.75 8930 167 9415 79.« 385
Ей vol 669; vol Tue 883; орет int 2,270, -26.
Food and Fiber Future*
Lumber (ОЮ-шданпЛгеДОМП
Mar 33420 344.50 334.00 34430 10Л 365.00 25620 2,408
May 336.60 346.60 336.60 346.60 10Л 35750 26310 686
July 337.90 344.00 335.10 34320 630 354.90 28100 233
Ей vol 889; vol Tue 286; орет Int 3,368, -22.
MilkcaowN k. «re re *
Feb 1124 1175 1172 1175 .05 1190 10.95 2554
Mar 1220 12.76 1220 1220 .05 12.35 1105 2,525
Apr 12.65 12.75 12.60 12.73 13 12.75 1100 1Ж
May Ш8 13.00 Ш7 12.95 13 13.00 1100 1948
June 1313 1326 13.12 B26 .16 1332 1141 1761
July 13.74 13.95 13.72 13.86 12 13.95 1160 1676
«4 ИИ 1425 ИВ 1420 .02 1428 1165 1723
Sept 14.55 14.75 14.55 Ш5 .05 14.75 12.10 1900
Oct 13.94 14.15 1339 14J5 .11 1415 1189 1513
Nov 12.95 1320 12.95 1320 .25 13.30 1139 Ц69
Dec 12.40 12.45 12.40 12.45 .05 12.50 ИЗО 809
Ей vol 1437; vol Tue 842; орет int 19,736, *289.
Окончание табл. 2.2
OPEN LOW SETTLE (№ LIFETIME OPEN INT
HIGH LOW
Cocoa «ив-м <мк tm $peftoa
M® 1606 1615 1578 1581 -19 2358 1.250 22,360
May 1596 1599 1565 1569 -21 2265 1,345 13,766
July 1595 1596 1,572 1564 -23 2307 1,350 12922
Sept 1590 1590 1562 1563 -24 2,402 «70 8.710
Bl vol 9,057, vol Tue 9,675; орет irt 87,295, -1218.
Coffee «яв-пда 1 ibv cents per lb
Цаг 73.75 74.00 7160 72.60 -205 83.00 59.65 59,048
May 75.® 75.80 73.70 74.65 -195 82.00 6175 26,054
Mi 77.00 77.70 75.70 76.45 -1.95 8250 63.90 8,737
Sept 78.40 79.20 77.40 78.15 -J .90 83.45 65J5 7£37
tec 80.19 8125 80.15 80?5 -1.90 85.95 68.50 4,577
MrO5 E3.40 83.70 8340 8330 -L8> 87.90 71® 2,948
Ей vol 3222ft vol Tue 15,761; open int 109,783, ’ 1,170.
Sugar-World (csce-mtco fa, o»u „ -ft.
Mac 5.74 5.77 5.66 5.68 -.07 7.65 5.50 131Ю4
May 594 5.97 537 528 -Iff 732 554 50,135
July 5.97 6.00 5.92 5.93 -.06 6.95 5.50 37,213
Oct 6.09 6.10 6.02 6.03 -.06 6.82 5.55 25,822
MrOS 6.33 6.33 627 628 -.04 6.82 6.24 11,411
May 6.32 6.33 6.30 630 -.03 657 620 4,813
July 628 629 628 525 - 03 6.42 6.15 2901
Ей vol 23,839; vol Tw 34525; open Int 265,575, - 1048
Sugar-Domestic л,,: «ль r« i
Mac 2035 20.40 20.35 20.40 .w 2222 2020 884
May 2035 2035 20.35 20 35 ... 22.07 2015 3£35
July 2050 20.50 20.50 20.50 ... 22.10 2025 3280
Sept 20.74 20.74 20.74 20.74 -.01 22.07 20.63 3,087
Nov 2105 2105 2105 2105 ... 21.70 20.94 855
JaOS 20.80 2020 20.80 20.80 ... 21.48 20.80 285
Ей vol 43, vol Toe 203; орет int 12,510, -112.
Cotton (HCD-MAM lbs." <мЬ иг 0.
Мл 69.10 69.90 68.70 6925 .35 86.00 45.60 43,633
May 7120 7195 70.75 7127 .44 86.00 5150 27,184
July 7235 73.00 7180 72.30 .35 8550 56.75 3,ч24
Dec 68.00 6825 67.50 6775 .05 7100 59.W 6.330
Est vol 12,611; vol Tue 21'122; орет int 88,074. *239.
Orange Juice oivcehw ж «*> r к lb.
Mac 6120 62.00 60.00 6165 25 103.50 60.60 25203
May 64.50 64.70 64.00 64.45 25 105.00 63.50 7,488
July 6720 67.30 66.50 67.05 .35 106.00 66.40 1,518
Sept 69.40 7000 69.40 69.40 .Я 86.80 69.25 774
7130 7130 7130 71.90 -.10 9150 7130 491
Ей vol 1846, vol Tue 125% орет int 36,251. -123.
mexai future*
Copper-High «шо-гдо ! lbs; cents per fe.
Feb 116.90 117.30 116.90 11735 0.60 117.30 67.20 1033
Mar 116,85 117.55 116.50 117.45 0.60 117.55 69 75 65,863
Apr 11655 116.90 116.55 117.10 0.60 116.90 7195 941
May 116.05 116.70 115.95 116.55 0.45 116.70 70.90 8,263
June 116.00 116.15 115.75 115.95 0.40 116.15 73.50 724
July ШЛО 115.45 115.00 11530 035 115,45 70.90 6,549
Aug 114.30 114.70 114.30 114.70 040 114.70 /3.65 486
Sept 113.90 114.00 113.90 114.1ft 0.40 114.00 /0.95 2211
Oct 113.25 11325 11325 Ш45 0.40 11325 /4.® 388
N<w 112.55 112.70 11245 11285 0.40 Ш.70 79.00 287
Dec Ш.85 11235 IU.M 112.20 035 11235 7420 4,135
MrOS 110.55 110.55 110.50 110.40 025 11055 74.40 322
Ей vol 11,006; vol Tue 8,17ft open int 91868, -170.
Goidrouj-mirw. u,$per troy or.
Feb 399.80 401.30 398.50 «1.® 120 431.50 322.® 5,090
Apr 400.70 40130 399.40 401.70 1.80 43230 320.® 143,464
June 40140 403.00 400.50 402.70 100 43220 227.W 29£68
Aug 40310 40310 402.00 453.70 180 43130 324.70 8,621
Dec 404.10 405.50 403.00 405.50 179 434.50 290.® 22312
Ей vw 40,000, vol Tue 40,608; open int 236,512, -4297
Platinum омо-я tnr «г. ; $ per troy w.
Apr 824.00 824.00 81200 820 £0 -5.70 868.00 677.® 6Д6
July ... ... ... 810.60 -5.70 852.® Ml® 292
Est wl 602; vol Tue 808; open int 7,126, -95. Silver (CMX>5£00 troy w; arts per troy «.
Feb 6115 6115 6115 6145 2.4 6115 6115 240
Mar 613.0 618,5 607.0 6142 25 6795 437.0 78,2®
May 614.5 620.0 608.5 6162 2.6 681.0 445.0 7,153
July 616.5 6210 6110 617Л и 673.0 «6.0 5.063
Dec 618.5 6Z3jO 613.0 619.9 2.6 6772 4400 12.458
DcO5 627.0 627.0 627.0 624.6 3.9 675.0 436.0 1564
Est vol 16Ж «1 Tue 15,05$ орет Int 107,431 -482.
Petroleum Futures
Crude Oil, Light Sweet (hym)-uoo Ws; $ pec m
Mar 34.09 34.45 32.95 3320 -100 35.25 20.35 196,160
Apr 3222 3325 3185 3199 -0.8 ? 34.50 20.35 91932
May 3221 3220 3125 3132 -072 33.85 20.35 42,364
June 3155 3165 3020 30.84 -063 3325 2033 39,700
Jwy 31.00 3110 30.40 3037 -0,60 32.60 20.86 29,920
Aug 3057 30.60 30.10 29.93 -058 32.15 20.84 19,040
Sept 3021 39.21 29£5 2938 -036 31.61 20.82 26,690
Oct 29.93 2993 29.93 29.33 -0.54 3120 23.75 17,830
Nov 29.59 29,70 29.59 2911 -0.53 30.85 24.75 14,370
tec 29.60 29.60 29.00 28.92 -052 30.69 16.15 51129
JaO5 29.00 29.00 29.00 28.67 -050 30.33 23.25 15,606
Feb 28.75 28.75 28.75 28.48 -ОЛ9 30.07 23.85 5,061
June 2824 28.24 28.24 27.29 -0.45 29.05 22.40 10,556
tec 27.42 27.52 2720 27.03 -0.39 28.31 17.00 25Л54
Dc06 26.77 26,77 2660 26.38 -039 27.65 19.10 16,726
te07 26.45 26.50 26.40 26,18 -034 2735 19.50 9,971
Dc08 2650 26.50 2630 26.18 -034 27.15 19.75 7,354
Ей vol 225,9?6; vol Tue 219,163,- open kit 663,890, *1.691
Heating OH No. 2(nymh2^»5<; $ per sal
Mac .9142 .9280 .8830 .8897 -.0245 10129 3370 64,063
Apr .8770 .8840 £505 .8586 -.0166 .9417 .6275 22296
May £436 £436 £200 £251 -.0151 8881 .6140 10,010
June £174 £185 .7950 £016-.0136 £581 .6354 Ц337
July .7800 .7918 .7800 .7896 -.0131 .8380 £415 7,713
Aug 7925 .7925 .7750 .7876 -.0126 .8373 £455 5,437
Oct .8050 £050 .8050 .7986 -.0121 £425 .6655 1,466
No» 8100 .8100 £100 £046 -.0121 .8480 .6820 1548
tec £175 £175 £100 £106 - 0121 .8540 £937 10,047
Ей ий 66,129; vol Tue 49,216; орет mt 141,064, *3,503.
Gasoiine-NY Unleaded (иумнгж
Mar L®15 12150 .9740 .9857 -Л158 LM1G .7325 67,894
Apr 10475 10530 10190 10385 -.0124 10800 .7975 27,871
May ЮЛО 1.0310 1,0130 10150 -.0119 10655 £080 13,375
June 10050 1.3100 .9920 .9895 -.0109 10410 .8070 63®
July .9550 .9650 .9550 .9615 -.0104 1.01® .9300 3,617
Sept .9090 .9090 .9050 .8940 -.0089 .9380 .8530 5260
Est vol 46Ж vol Tue 48,469, open int 131831, ’2.200.
Natural Gas отинож mm&u, s per ммки
Mar 5.670 5.790 5.560 5.654 .003 7500 3150 51734
Apr 5.350 5.420 5280 5.340 .015 6.010 2.970 23,196
May 5.180 5270 5,180 5210 .020 5.668 3.030 25205
June 5220 5.260 5.190 5210 £20 5.612 1010 19,336
July 5230 5274 5280 5235 .020 5.622 3.040 17,676
Aug 5260 5294 5220 5250 .020 5.624 3,120 13,402
Sept 5220 5 265 5,180 5218 .020 5.640 3.100 13.093
Oct 5.230 5 240 5.200 5,225 £17 5.580 3.100 14,742
Nov 5,430 5.460 5.400 5.423 £V 5.735 3270 10,289
tec 5.610 5.660 5.580 5.613 .015 5.912 3.460 12860
JaO5 5.745 5800 5.710 5 750 .015 6.027 3 520 9,971
Feb 5.710 5.720 5.680 5.710 £15 5.991 3.400 9,752
Ma 5570 5570 5.505 5.540 .020 5.740 3.640 8,955
May 4.880 «80 4.880 4.900 .020 5.000 3.500 4,187
June 4,920 4.920 4,920 4.925 .020 5,020 3.530 «18
July 4.950 4.950 4.950 4,961 .020 5.050 3560 10,788
Aug 4.950 4.950 4.950 4.971 .020 5.065 3 230 5,Л9
Dec 5290 5290 5290 5.311 .015 5.400 3.960 4,389
Bi vol 46.926: ий 45,710; wen int ЗО7Ж -1.771.
Brent Crude («нои net ььь,- $ per m.
Mar 2932 29.80 28.85 2828 -0.62 32.10 23.00 81,701
Apr 2928 29.53 2Я62 28.66 -033 3154 22,95 82264
May 29.10 29.34 28,45 28.48 -0.66 3118 2197 22,069
June 2828 29.07 282 5 28.29 -0.65 3023 23.45 27,498
July 2869 28.83 28.29 28.08 -O£5 30.55 23.65 10,450
Aug 2810 28.51 28.10 27.87 -0.M 3020 24.00 9.032
Sept 2825 2829 27.88 27.65 -0.64 29.77 24.40 11307
Oct 27.94 28.08 27.94 27.45 -0.63 39.45 20 90 5,806
Nov 27.73 27.88 2773 2727 -0.61 3825 24.15 5,352
Dec 27£5 2770 27.17 27.10 -059 3823 25.32 24,112
JaO5 27.44 27.45 2735 2628 -057 2870 22.43 3,611
Dec 26JW 26.90 25.90 25.65 -034 26.90 2191 20,253
DcO6 25.30 253 0 25.30 25.05 -029 26,05 24,10 3,400
Est vol 113Ж vol Tue 113,278; open Int 321427, -3,267.
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. и Clearance Center, Inc. (c) 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервирован ы.
Аналогично инвестор, занимающий короткую позицию по одному контракту, может обнаружить, что его счет в те же сроки увеличился на ту же величину.
Самые высокие и самые низкие цены на протяжении срока действия
Шестое и седьмое числа представляют собой самую высокую и самую низкую фьючерсные цены, достигнутые на протяжении всего срока действия конкретного контракта. Так, контракт на поставку кукурузы в марте 2004 года до 4 февраля 2004 года продавался около года. Самая высокая цена этого контракта за этот период была равна 281,50 цента, а самая низкая — 219,00 цента.
Количество открытых контрактов и объем торгов
Последний столбец табл. 2.2 содержит количество открытых позиций (open interest) по каждому контракту. Этот показатель равен общему количеству невыполненных контрактов, т.е количеству длинных или коротких позиций. Из-за проблем, связанных со сбором данных, дата, к которой относится количество открытых позиций, на один день отстает от даты, к которой относится цена контракта. Таким образом, в номере газеты The Wall Street Journal от 5 февраля 2004 года количест во открытых позиций относится к 3 февраля 2004 года. В частности, количество открытых позиций по контракту на поставку кукурузы в марте 2004 года было равно 292 145 контрактов.
В конце каждого раздела табл. 2.2 приводится оценка объема торгов по контрактам со всевозможными сроками дсйст вия в течение 4 февраля 2004 года и фактический объем торгов по этим контрактам по состоянию на 3 февраля 2004 года. В ней также показано общее количество открытых позиций по всем контрактам по состоянию на 3 февраля 2004 года, а также изменение количества открытых позиций но сравнению с предыдущим днем. Для всех фьючерсных контрактов на кукурузу предполагаемый объем торгов в течение 4 февраля 2004 года был равен 54 315 контрактов, а фактический объем торгов по состоянию на 4 февраля 2004 года — 81 306 контрактов. Количество открытых позиций по всем фьючерсным контрактам по состоянию на 3 февраля 2004 года было равно 632 256. что на 1 555 контрактов больше, чем в предыдущий день.
Иногда объем торгов в течение одного дня превышает количество открытых позиций на момент закрытия в конце дня. Это значит, что в течение дня было заключено большое количество дневных сделок.
Характер фьючерсных цен
Из табл. 2.2 можно извлечь большое количество разных примеров фьючерсных цен. Например, как показано на рис. 2.2, фьючерсная цена на золото на Нью-
Йоркской фондовой бирже и фьючерсная цена на нефть марки Brent на Чикагской срочной товарной бирже растут по мере увеличения срока действия контракта. Это явление называется нормальным рынком (normal market). И наоборот, фьючерсные цены на сахар по мере увеличения срока действия контракта падают. Это явление называется инвертированным рынком (inverted market). Некоторые товары не подчиняются ни первому, ни второму шаблону. Например, фьючерсная цена сырой нефти по мере увеличения срока контракта сначала возрастает, а потом убывает.
Рис. 2.2. Зависимость расчетных фьючерсных цен от срока действия контрактов по состоянию на 4 февраля 2004 года для а) золота и б) нефти марки Brent
Март 04 Май 04 Июл04 Сент 04 Ноя 04 Янв05 б)
2.6 Поставка
Как указывалось ранее, крайне редко фьючерсные контракты заключаются с целью реальной поставки актива. В подавляющем большинстве случаев они закрываются раньше. Несмотря на это возможность реальной поставки актива по фьючерсному контракту не исключена. Следовательно, необходимо проанализировать процедуры поставки.
Период времени, в течение которого необходимо выполнить поставку, определяется биржей и варьируется от контракта к контракту. Момент поставки выбирается стороной, занимающей короткую позицию, которую мы в дальнейшем будем называть “инвестор А”. Если инвестор А решил выполнить поставку, его брокер предоставляет в расчетную палату биржи уведомление о намерении осуществить поставку (notice of intention to deliver). В этом уведомлении указывается количество выполняемых контрактов, а также место поставки и сорт поставляемого товара (если базовым активом является товар). Затем биржа выбирает сторону, занимающую длинную позицию, которая должна принять поставку.
Предположим, что контрагентом инвестора А во фьючерсном контракте является инвестор В. Отсюда вовсе не следует, что поставку будет принимать именно
он. Инвестор 13 может досрочно закрыть свою позицию, продав контракт инвестору С. В свою очередь, инвестор С может перепродать контракт инвестору D и т.д. Как правило, биржа адресует уведомление о намерении поставить товар инвестору, который последним занял незакрытую длинную позицию. Стороны фьючерсных контрактов, занимающие длинные позиции, обязаны принять это уведомление. Однако если его можно переадресовать, у инвесторов, занимающих длинные позиции, есть, как правило, полчаса, чтобы найти другого инвестора, занимающей длинную позицию и готового принять от них это уведомление.
Если речь идет о товаре, принятие поставки обычно означает обмен денег на складскую расписку. Все расходы, связанные с хранением товара на складе, обязана взять на себя сторона, осуществляющая поставку. Например, при поставке скота этими расходами могут являться затраты на кормление и уход. В финансовых фьючерсных контрактах поставка, как правило, осуществляется с помощью телеграммы. Практически во всех контрактах ценой, по которой осуществляется поставка, является цена, зафиксированная накануне отправки уведомления о намерении выполнить поставку. Иногда эта цена корректируется в зависимости от сорта поставляемого товара, места поставки и других условий. Вся процедура поставки, начиная с отправки уведомления о намерении осуществить поставку и заканчивая самой поставкой, занимает два-три дня.
В любом контракте есть зри критические даты: первый день уведомления (first notice day), последний день уведомления (last notice day) и последний торговый день (last trading day). Первый день уведомления это первая дата, когда инвестор можез подазь на биржу уведомление о намерении осуществить поставку по фьючерсному кон тракту. Последний денз> уведомления - это последний такой день. Последний день юргов это дата, как правило, на несколько дней предшествующая последнему дню уведомления. Чтобы избежать необходимости принять реальную поставку, инвестор должен закрыть длинную позицию по данному контракту до первого дня уведомления.
Уплата наличными
Некоторые финансовые фьючерсы, например, на фондовые индексы оплачиваются наличными, поскольку поставить реальный базовый актив по такому контракту невозможно. Например, для фьючерсных контрактов на индекс S&P 500 поставка акзива представляла бы собой поставку инвестиционного портфеля, содержащего 500 акций. Когда контракт оплачивается наличными, он просто переоценивается в последний торговый день и все позиции по нему объявляются закрытыми. Чтобы гарантировать, что фьючерсная цена будет сходиться к цене спот, расчетная цена в последний день торгов устанавливается равной спот-цене базового акзива, зафиксированной в момент либо открытия, либо закрытия торгов в этот день. Например, окончательный расчез по фьючерсному контракзу на
индекс S&P 500. заключенному на Чикагской товарной бирже, выполняется по цене открытия, зафиксированной в третью пятницу месяца поставки.
2.7 Виды трейдеров и приказов
Существует две основные категории трейдеров, выполняющих сделки: брокеры-комиссионеры и брокеры-i рейдеры. Брокеры-комиссионеры (commission brokers) следуют инструкциям своих клиентов и взимают с них за это комиссионную плату. Брокеры-трейдеры (locals) проводят операции за собственный счет.
Лица, занимающие трейдерские позиции, независимо от того, являются ли они брокерами-трейдерами или брокерами-комиссионерами, подразделяются на хеджеров, спекулянтов и арбитражеров (см. главу 1). В свою очередь, среди спекулянтов различают мелких спекулянтов, а также дневных и позиционных трейдеров. Мелкие спекулянты, или скальперы (scalpers), отслеживают очень кратковременные тренды и пытаются извлечь выгоду из небольших колебаний контрактных цен. Они, как правило, занимают свои позиции на несколько минут. Дневные трейдеры (day traders) удерживают свои позиции не более одного операционного дня. Они не желают подвергаться риску, ожидая свежих новостей. Позиционные трейдеры (position traders) занимают свои позиции намного дольше. Они рассчитываю! на значительную прибыль за счет общего изменения рыночной ситуации.
Приказы
Простейший тип приказа, отдаваемого брокеру, — рыночный приказ (market order). Он представляет собой указание немедленно совершить сделку по самой выгодной рыночной цене. Однако существует еще несколько разновидностей приказов. Рассмотрим наиболее распространенные из них.
Лимитный приказ (limit order) фиксирует определенную цену. Этот приказ может быть выполнен только по этой или более выгодной цепе. Следовательно, если в лимитном приказе инвестора, желающего занять длинную позицию, указана цена, равная 30 долл., эго значит, что приказ будет выполнен, если цена актива достигнет 30 долл, или станет еще ниже. Разумеется, нет никакой гарантии, что такой приказ будет вообще выполнен, поскольку цена может никогда не достичь указанного предела.
Стоп-приказ (stop order, or stop-loss order) также оговаривает определенную цену. Выполнение этого приказа откладывается до того момента, пока цена актива не упадет до цены предложения или станет еще более низкой. Предположим, что клиент отдал брокеру стоп-приказ на продажу актива по цене 30 долл., в то время как его рыночная цена равна 35 долл. В этой ситуации брокер ожидает, пока цена актива не упадет до 30 долл. Фактически, в момент, когда на рынке устанавливается цена, зафиксированная в стоп-приказе, он становится рыночным приказом.
Цель стоп-приказа, как правило, — закрыть позицию при неблагоприятном изменении цен. Тем самым он ограничивает возможные потери инвестора.
Стоп-лимитный приказ (stop-limit order) представляет собой комбинацию стоп-приказа и лимитного приказа. Как только цена сделанного предложения становится равной или меньше стоп-цены, этот приказ становится лимитным. В стоп-лимитном приказе фиксируются две цены: стоп-цена (stop price) и предельная цена (limit price). Предположим, что в данный момент рыночная цена актива равна 35 долл., а клиент отдал брокеру стоп-приказ, в котором стоп-цена равна 40 долл., а предельная цена — 41 долл. Как только на рынке появится предложение по цене 40 долл., стоп-лимитный приказ станет лимитным приказом с ценой, равной 41 долл. Если стоп-цена и предельная цена совпадают, такой приказ иногда называют стоп-лимитным приказом (stop-and-limit order).
Условный рыночный приказ (market-if-touched order — MIT order) исполняется по наиболее выгодной цене после того, как цена предложения достигнет указанного уровня или станет еще более высокой. Фактически, как только цена предложения достигает заданного уровня, условный рыночный приказ становится просто рыночным. Условный рыночный приказ известен также под названием биржевой приказ (board order). В то время как стоп-приказ ограничивает потенциальные потери при неблагоприятном стечении обстоятельств, условный рыночный приказ направлен на достижение прибыли за счет благоприятной конъюнктуры.
Дискреционный приказ, или приказ “по усмотрению ” (discretionary order, or market-not-held order), представляет собой разновидность рыночного приказа, исполнение которого может быть отложено по усмотрению брокера в ожидании более выгодной цены.
В некоторых приказах оговариваются временные ограничения. Если не указано иное, приказ считается действительным в течение дня и теряет свою силу в момент закрытия торговой сессии. Почасовый приказ (time-of-day order) регламентирует интервал времени в течение дня, когда он должен быть исполнен. Открытый приказ, или приказ “стоять до конца ” (open order, or good-till-cancelled), считается действительным вплоть до момента его исполнения или до даты истечения контракта. Приказ “сейчас или никогда” (fill-or-kill), как следует из его названия, должен быть исполнен немедленно после его получения или аннулирован.
2.8 Регулирование фьючерсных рынков
Фьючерсные рынки в США в настоящий момент регулируются Комиссией по торговле товарными фьючерсами (Commodity Futures Trading Commission — CFTC, www. eftc. gov), организованной в 1974 году. Эта организация несет ответственность за лицензирование фьючерсных бирж и одобрение контрактов. Все
новые контракты и изменения, внесенные в существующие контракты, должны получить одобрение комиссии CFTC. Для этого контракт должен приносить пользу экономике. Как правило, это значит, что контракт должен удовлетворять нужды как хеджеров, так и спекулянтов.
Комиссия CFTC стремится к общественной пользе. Она следит за тем, чтобы цены открыто сообщались публике, а трейдеры, торгующие фьючерсными контрактами, сообщали о неоплаченных контрактах, выходящих за установленные рамки. Кроме того, комиссия CFTC выдает лицензии всем лицам, желающим заняться фьючерсной торговлей. Для этого комиссия исследует информацию о кандидатах и устанавливает минимальные требования к капиталу. Комиссия CFTC рассматривает поступающие жалобы и принимает к нарушителям дисциплинарные меры. Кроме того, она имеет право заставить биржи наложить взыскание на членов биржи, нарушающих правила.
С появлением в 1982 году Национальной фьючерсной ассоциации (National Futures Association — NFA, www.nfa.futures.org) некоторые функции комиссии CFTC перешли к ней. Национальная фьючерсная ассоциация объединяет людей, занимающихся фьючерсной торговлей. Ее цель — предотвратить мошенничество и гарантировать, что все операции на фьючерсном рынке наилучшим образом соответствуют общественным интересам. Эта ассоциация имеет право отслеживать торговые сделки и применять при необходимости дисциплинарные меры. Кроме того, она разработала эффективную систему разрешения споров между отдельными лицами и членами ассоциации.
Время от времени некоторые аспекты фьючерсной торговли оказываются в сферах компетенции Комиссии по ценным бумагам и биржам (Securuties and Exchange Commission — SEC, www. sec. gov), Федерального резервного управления (Federal Reserve Board, www. federalreserve. gov) и Министерства финансов США (U.S. Treasury Department, www.treas.gov). Эти организации следят за влиянием, которое фьючерсные рынки оказывают на рынки реальных ценных бумаг, в частности, акций, а также казначейских векселей и облигаций. Комиссия SEC имеет право наложить вето на появление новых фьючерсных контрактов на акции и фондовые индексы. Однако основная ответственность за состояние рынка фьючерсов и опционов лежит на комиссии CFTC.
Нарушения правил торговли
В основном, фьючерсные рынки функционируют эффективно, принося обществу пользу. Однако время от времени на них возникают нечестные игроки. Например, некая группа инвесторов может попытаться “загнать рынок в угол”.2
2Возможно, наиболее известным примером такой стратегии является деятельность братьев Хант (Hunt) на рынке серебра в 1979-80 гг. Со средины 1979 года и до начала 1980 года их активность привела к росту цены с 9 до 50 долл, за унцию.
Для этого она занимает огромную длинную фьючерсную позицию, одновременно пытаясь повлиять на поставки базового актива. По мере приближения срока выполнения контракта, группа инвесторов не закрывает свою позицию, и в результате количество невыполненных контрактов может превысить количество товара, доступного на рынке. В этот момент держателям коротких позиций становится ясно, что им будет трудно поставить такое количество товара, и они в отчаянии бросаются продавать свои контракты. В результате как фьючерсная, так и спот-цена резко возрастают. Как правило, в таких ситуациях регулирующие органы повышают маржинальные требования, накладывая на позиции более жесткие ограничения и делая невыгодными сделки, увеличивающие спекулятивную открытую позицию. Это вынуждает участников рынка закрывать свои позиции.
Еще один тип нечестной игры может возникнуть вследствие действий трейдеров, торгующих в операционном зале биржи. Впервые о таких нарушениях стало известно в 1989 году, когда в газетах появились сообщения о том, что ФБР провело двухлетнее расследование деятельности Чикагской продуктовой биржи и Чикагской торговой биржи, используя агентов, работающих под прикрытием. Это расследование стало ответом на жалобы крупного сельскохозяйственного концерна. В частности, ФБР выяснило, что на бирже существовали клиенты, предлагавшие завышенную цену, а трейдеры занижали объемы выручки от продаж и использовали конфиденциальную информацию о приказах клиентов в своих корыстных целях (нарушение, известное под названием лидирование (front running)).
2.9 Бухгалтерский учет и налоги
Полное описание подробностей бухгалтерского учет а и налогообложения фьючерсных контракт ов выходит за рамки нашей книги. Трейдер, желающий получить детальную информацию, должен обратиться к экспертам. В этом разделе мы лишь в общих чертах изложим существующее положение дел.
Бухгалтерский учет
Стандарты бухгалтерского учета требуют оценки рыночной стоимости фьючерсного контракта. Эго необходимо для того, чтобы определить, можно ли его квалифицировать как хеджинговую сделку. Если фьючерсный контракт используется для хеджирования, прибыли и убытки от этого контракта относятся к тому же периоду, что и прибыли и убытки от хеджируемого актива. Это правило называется бухгалтерским учетом при хеджирования (hedge accounting).
Представим себе трейдера, который в сентябре 2004 года занял длинную позицию во фьючерсном контракте на поставку кукурузы в марте 2005 года и закрыл свою позицию в конце февраля 2005 года. Допустим, что в момент заключения контракта фьючерсная цена кукурузы была равной 250 центам за бушель, в конце
2004 года достигла 270 центов за бушель, а в момент закрытия контракта была равной 280 центам за бушель. Контракт был заключен на поставку 5 000 бушелей. Если контракт не считается хеджинговой сделкой, его прибыль, подлежащая бухгалтерскому учету, в 2004 году равна
5000 х (2.70 - 2.50) = 1000 долл..
а в 2005 —
5000 х (2,80 - 2,70) = 500 долл.
Если компания хеджирует покупку 5 000 бушелей кукурузы в феврале 2005 года, то контракт квалифицируется как хеджинговая сделка, а полная сумма прибыли в 2005 году фиксируется на уровне 1 500 долл.
Правила бухгалтерского учета при хеджировании очень практичны. Если компания хеджирует покупку 5 000 бушелей кукурузы в феврале 2005 года, то благодаря фьючерсному контракту она гарантирует, что цена покупки будет близка к 250 центам за бушель. В бухгалтерском отвеге отражается тот факт, что эта цена будет выплачена в 2005 году. На балансе 2004 года этот факт никак не отражается.
В июне 1998 года Совет по стандартам финансового учета (Financial Accounting Standards Board — FABS) издал бюллетень № 133 “Правила бухгалтерского учета при использовании производных инструментов и хеджировании” (FAS 133). Правила FAS 133 распространяются на все виды производных ценных бумаг (включая фьючерсы, форварды, свопы и опционы). В соответствии с этими правилами, все производные ценные бумаги должны быть учтены в бухгалтерском балансе по справедливой рыночной стоимости.3 Кроме того, повысились требования к публикации финансовой отчетности акционерных компаний. Это уменьшило свободу компаний в трактовке правил финансового учета операций хеджирования. Чтобы иметь право применить эти правила, компания должна доказать, что хеджируемый инструмент эффективно компенсирует риски, причем оценку этой эффективности необходимо осуществлять каждые три месяца. В настоящее время Международный совет по стандартам финансового учета (International Accounting Standards Board) выпустил аналогичный стандарт 1AS 39.
Налоги
По правилам налогообложения в США основными моментами являются прибыль или убыток, подлежащие налогообложению, а также время, в которое они были зафиксированы. Прибыли и убытки могут быть либо капитальными, либо частью обычного дохода.
3До этого времени одним из преимуществ производных ценных бумаг была возможность нс указывать их в бухгалтерском балансе.
Для корпоративного налогоплательщика капитальные прибыли облагаются налогом так же, как и обычный доход, поэтому возможности уменьшить потери в данной ситуации ограничены. Капитальные убытки можно вычесть из баланса только в пределах капитальных прибылей. Корпорация может производить зачет капитальных убытков за три года назад и производить зачет капитальных прибылей на пять лет вперед. Для налогоплательщика, не имеющего нрав юридического лица, кратковременные капитальные прибыли облагаются налогом по той же ставке, что и обычный доход, однако налог на долговременные капитальные прибыли не может превышать 15%. (Долговременными капитальными прибылями являются прибыли, полученные от продажи капитального актива, владение которым продолжалось более одного года; кратковременными капитальными прибылями являются прибыли, полученные от продажи капитального актива, владение которым продолжалось менее одного года.) Для налогоплательщика, не имеющего прав юридического лица, капитальные убытки можно вычесть из бухгалтерского баланса только в пределах капитальных прибылей плюс обычный доход, превышающий 3 000 долл., и отнести на любое количество лет вперед.
Как правило, позиции во фьючерсных контрактах рассматриваются так, будто они будут закрыты в последний день финансового года. Прибыли и убытки являются капитальными. Для налогоплательщика, не имеющего прав юридического лица, они рассчитываются по 60% длинных контрактов и 40% коротких контрактов. Это правило называется “60/40”. Таким образом, налогоплательщик, не имеющий прав юридического лица, имеет право отнести любые чистые потери на три года назад и компенсировать любые потери за предыдущие три года, применяя правило “60/40”.
На операции хеджирования эти правила не распространяются. Правила налогообложения и бухгалтерского учета по-разному трактуют операции хеджирования. С точки зрения правила налогообложения, операцией хеджирования является обычная сделка, выполняемая по одной из следующих причин.
1. Чтобы уменьшить риск, связанный с изменением цен и колебанием валютного курса по отношению к собственности, которой владеет или планирует владеть налогоплательщик с целью получения обычного дохода.
2. Чтобы уменьшить риск, связанный с изменением цен, процентных ставок либо колебанием валютного курса по отношению к займу, сделанному на-логоплател ыциком.
Идентификация хеджинговой сделки должна происходить до конца дня, в течение которого налогоплательщик заключил сделку. Хеджируемый актив должен быть идентифицирован в течение 35 дней. Прибыли и убытки, возникшие в результате осущест вления операции хеджирования, измеряются гак же, как и обычный доход. Момент времени, в который они фиксируются, как правило, совпадает с моментом получения дохода или выявления потерь от хеджируемых активов.
2.10 Форвардные и фьючерсные контракты
Основные различия между форвардными и фьючерсными контрактами приведены в табл. 2.3. Оба контракта представляют собой соглашение о купле или продаже актива по определенной цене в определенный день. Форвардный контракт заключается на внебиржевом рынке и не имеет стандартной величины или стандартных условий поставки. В форвардном контракте предусматривается одна дата поставки, как правило, совпадающая с датой его завершения. Фьючерсные контракты стандартизованы и заключаются на бирже. Расчет по ним производится ежедневно. Кроме того, фьючерсные контракты, как правило, завершаются досрочно.
Таблица 2.3. Сравнение форвардных и фьючерсных контрактов
Форвардный контракт Фьючерсный контракт
Заключается на внебиржевом рынке Нс стандартизован Обычно предусматривает одну конкретную дату поставки Расчет производится к концу срока действия контракта Как правило, завершается поставкой или наличным расчетом Определенный кредитный риск Заключается на бирже Стандартизован Допускает диапазон дат поставки Расчет производится ежедневно Как правило, закрывается досрочно Кредитного риска практически нет
Прибыль от фьючерсного или форвардного контракта
Предположим, что курс обмена фунтов стерлингов но 90-дневному форвардному контракту равен 1,6000 долл, за фунт и совпадает с фьючерсной ценой контракта с поставкой через 90 дней. Какова разница между прибылью и убытками держателей этих двух контрактов?
В рамках форвардного контракта полная прибыль или убытки выясняются только в конце срока его действия. В рамках фьючерсного контракта полная прибыль или убытки выясняются ежедневно, поскольку процедуры расчета выполняются каждый день. Предположим, что инвестор А занял длинную позицию на один миллион фунтов стерлингов, заключив 90-дневный форвардный контракт, а инвестор В занял длинную позицию на один миллион долларов, заключив 90-дневный фьючерсный контракт. (Поскольку каждый фьючерсный контракт предусматривает покупку или продажу 62 500 фунтов стерлингов, инвестор В должен купить 16 контрактов.) Предположим, что валютный спот-курс через 90 дней равен 1,8000 долл, за фунт стерлингов. На 90-й день инвестор А получит прибыль,
равную 200 000 долл. Инвестор В получит такую же прибыль, но растянутую на 90 дней. В некоторые дни инвестор В будет нести потери, а в другие дни — получать прибыль. Однако в целом, подводя баланс прибылей и убытков, мы придем к выводу, что прибыль за 90 дней равна 200 000 долл.
Котировка валютных курсов
Как форвардные, так и фьючерсные контракты часто заключаются на поставку иностранной валюты. Однако на этих двух рынках существуют разные правила котировки валютного курса. Фьючерсные цены всегда котируются в долларах или центах США за единицу иностранной валюты. Форвардные цены всегда котируются так же, как цены спот. Это значит, что относительно фунта стерлингов, евро, австралийского доллара и новозеландского доллара форвардные цены выражаются с помощью количества долларов США за единицу иностранной валюты. Их можно непосредственно сравнивать с котировками фьючерсных цен. Относительно остальных основных валют форвардные цены выражаются с помощью количества единиц иностранной валюты за один доллар США. Рассмотрим канадский доллар. Фьючерсная цена, равная 0,7050 долл. США за канадский доллар, соответствует форвардной цене, равной 1,4184 канадских долларов за доллар США (1.4184 = 1/0.7050).
Резюме
Очень большая доля фьючерсных контрактов не завершается реальной поставкой базового актива. Как правило, они закрываются досрочно. Для каждого фьючерсного контракта существует диапазон дат и детально проработанная процедура поставки актива. Некоторые контракты, например контракты на фондовые индексы, завершаются наличным расчетом, а не поставкой базового актива.
Спецификация контракта является одной из основных задач фьючерсной биржи. Обе стороны любого контракта должны точно знать, что, где и когда будет поставлено. Кроме того, они должны знать детали, связанные с часами торговли, правилами котировки цен, максимальными лимитами ежедневного колебания цен и т.п. Новые контракты должны получить одобрение Комиссией по ценным бумагам и биржам.
Важным аспектом фьючерсных рынков является маржа. Инвестор поддерживает маржинальный счет с помощью брокера. Баланс на этом счете уточняется ежедневно, отражая прибыли и убытки. Иногда, при неблагоприятной конъюнктуре, брокер может получить требование восполнить маржинальный счет. Брокер должен быть либо членом расчетной палаты, либо обслуживать маржинальный счет с помощью одного из се членов. Каждый член расчетной палаты ведет свой
маржинальный счет, который уточняется ежедневно, отражая прибыли и убытки по сделкам, за которые несет ответственность данное липо.
Биржа систематически собирает информацию о фьючерсных ценах и немедленно распространяет ее среди инвесторов по всему миру. Многие ежедневные газеты, например The Wall Street Journal, регулярно публикуют сводные таблицы, содержащие результаты предыдущих торгов.
Между форвардными и фьючерсными контрактами существует множество различий. Форвардные контракты представляют собой конфиденциальные соглашения между двумя сторонами, в то время как фьючерсные контракты заключаю тся на бирже. Форвардный контракт предусматривает одну дату поставки, в то время как во фьючерсном контракте допускается несколько альтернативных дат поставки. Поскольку форвардные контракты заключаются не на бирже, нет необходимости их стандартизировать. Расчеты по форвардным контрактам, как правило, осуществляются в момент истечения срока их действия. Большинство форвардных контрактов завершается реальными поставками или наличными расчетами.
В следующих главах анализируются способы котировок форвардных и фьючерсных цен. Кроме того, там более детально описывается применение форвардных и фьючерсных контрактов для хеджирования рисков.
Дополнительная литература
Duffie D. Futures Markets. — Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1989.
Gastineau G. L., Smith D. J. and Todd R. Risk Management, Derivatives, and Financial Analysis under SFAS No. 133. — The Research Foundation of AIMR and Blackwell Series in Finance, 2001.
Jorion P. Risk Management Lessons from Long-Term Capital Management H European Financial Management, 6, 3 (September 2000). — P. 277-300.
Kawaller I. G. and Koch P. D. Meeting the Highlv Effective Expectation Criterion for Hedge Accounting // Journal of Derivatives, 7, 4 (Summer 2000). — P. 79-87.
Lowenstein R. When Genius Failed: The Rise and Fall of Long-Term Capital Management. - New York: Random House, 2000.
Warwick B„ Jones E J. and Teweles R. J. The Futures Game. 3rd edn. - New York: McGraw-Hill, 1998.
Вопросы и задачи
2.1. В чем заключается разница между количеством открытых позиции и объемом торгов‘1
2.2. В чем разница между брокером-трейдером и брокером-комиссионером?
2.3. Представьте себе, что вы заключили на Нью-Йоркской товарной бирже короткий фьючерсный контракт на покупку серебра в июле по цене 5,20 долл, за уннию. Величина контракта равна 5 000 унций. Первоначальная маржа равна 4 000 долл., а гарантийная маржа — 3 000 долл. Какие изменения фьючерсных цен могут привести к появлению маржинального требования? Что произойдет, если вы не выполните маржинальное требование?
2.4. Представьте себе, что в сентябре 2006 года вы заняли длинную позицию во фьючерсном контракте на поставку сырой нефти в мае 2007 года. Допустим, что вы закрываете свою позицию в марте 2007 года. В момент заключения контракта фьючерсная цена была равна 18,30 долл, за баррель, в момент закрытия позиции — 20,50 долл, за баррель, а в декабре 2006 года — 19,10 долл, за баррель. Один контракт заключается на поставку 1 000 баррелей нефти. Какова ваша полная прибыль? Когда вы ее получите? Как вычислить налог, если вы 1) хеджер или 2) спекулянт? Будем считать, что финансовый год заканчивается 31 декабря.
2.5. Что означает стоп-приказ на продажу по цене 2 долл.? Когда он применяется? Что означает лимитный приказ на продажу по цене 2 долл.? Когда он применяется?
2.6. В чем заключается разница между маржинальными операциями, которые выполняются членом расчетной палаты, и маржинальными операциями, которые выполняются брокером?
2.7. В чем заключается разница между правилами котировки валютных курсов на фьючерсном, наличном и форвардном рынках?
2.8. Сторона, занимающая короткую позицию во фьючерсном контракте, может выбирать сорт поставляемого товара, место и дату его поставки и т.п. Как влияют эти возможности на фьючерсную цену: увеличивают ее или уменьшают? Аргументируйте свой ответ.
2.9. Какие вопросы являются наиболее важными при разработке новых контрактов?
2.10. Объясните, как маржа защищает инвесторов от возможного дефолта.
2.11. Некий инвестор занимает длинные позиции в двух фьючерсных контрактах на поставку замороженного апельсинового сока. Каждый контракт заключается на поставку 15 000 фунтов. Текущая фьючерсная цена равна 160 центов на фунт, первоначальная маржа равна 6 000 долл, на контракт, а гарантийная маржа — 4500 долл, на контракт. Какое изменение цены может привести к предъявлечию маржинального требования? При каких обстоятельствах инвестор имеет право снять 2 000 долл, с маржинального счета?
2.12. Докажите, ч:О если фьючерсная цена товара на протяжении всего периода поставки превышает цену спот, у инвестора появляются арбитражные
возможности. Существуют ли арбитражные возможности, если фьючерсная цена товара на протяжении всего периода поставки меньше цены спот? Аргументируйте свой ответ.
2.13. Объясните разницу между условным рыночным приказом и стоп-приказом.
2.14. Что означает стоп-лимитный приказ на продажу товара по 20,30 долл., если предел равен 20,10 долл.?
2.15. Предположим, что в конце некоего дня член расчетной палаты занимает длинные позиции в 100 контрактах, а расчетная цена равна 50000 долл, на контракт. Первоначальная маржа равна 2 000 долл, на контракт. На следующий день член расчетной палаты принял на свою ответственность расчеты по еще 20 длинным контрактам, заключенным по цене 51 000 долл, за контракт. Расчетная цена в конце этого дня равна 50200 долл. Какую сумму член расчетной палаты должен внести на свой маржинальный счет?
2.16. 1 июля 2006 года некая американская компания заключила форвардный контракт на покупку 10 млн фунтов стерлингов с поставкой 1 января 2007 года. Затем 1 сентября 2006 года она заключила форвардный контракт на продажу 10 млн фунтов стерлингов с поставкой 1 января 2007 года. Опишите выигрыш, который принесет описанная стратегия.
2.17. Форвардная цена швейцарского франка с поставкой через 45 дней котируется на уровне 1,8204 долл. Фьючерсная цена контракта с поставкой через 45 дней равна 0,5479. Объясните эти две котировки. Какой из этих контрактов более выгоден для инвестора?
2.18. Допустим, вы позвонили вашему брокеру и дали ему инструкцию продать один контракт на поставку свинины в июле. Опишите, что случится после этого приказа.
2.19. “Спекуляции на фьючерсных рынках — азартная игра чистой воды. Обществу невыгодно допускать спекуляции на фьючерсных рынках.” Обсудите эту точку зрения.
2.20. Укажите в табл. 2.2 контракты с наибольшим количеством открытых позиций. Рассмотрите каждый раздел отдельно: зерновые и масличные культуры, скот и мясо, пища и текстиль, металлы и бензин.
2.21. Что произойдет, если биржа станет заключать сделки по контрактам, в которых базовый актив определен нечетко?
2.22. “Когда в операционном зале биржи заключается фьючерсный контракт, количество открытых позиций увеличивается на единицу, остается неизменным или уменьшается на единицу.” Объясните это утверждение.
2.23. Предположим, что 24 октября 2006 года вы заняли короткую позицию во фьючерсном контракте на поставку крупного рогатого скота в апреле
2007 года. Допустим, что вы закрыли свою позицию 21 января 2007 года. Фьючерсная цена в момент заключения контракта равна 61,20 цента за фунт, в момент закрытия позиции — 58.30 цента за фунт, а в конце декабря 2006 года - 58,80 ценза за фунт.
2.24. Фермер, выращивающий крупный рогатый скот, продав его, рассчитывает получить в течение трех месяцев 120000 фунтов. Фьючерсный контракт на Чикагской товарной бирже рассчитан на поставку 40000 фунтов крупного рогатого скота. Может ли этот фермер использовать фьючерсный контракт для хеджирования? Какие плюсы и минусы хеджирования должен взвесить фермер?
2.25. Перенесемся в июль 2005 года. Горнодобывающая компания только что открыла небольшое месторождение золота. На постройку шахты требуется шесть месяцев. Затем на шахте установится более-менее постоянный уровень добычи золей а. На Нью-Йоркской зорговой бирже можно заключить фьючерсные контракты на поставку золота в августе 2005 года или декабре 2006 года. Каждый контракт рассчитан на поставку 100 унций. Объясните, как горнодобывающая компания может использовать фьючерсные рынки для хеджирования рисков.
Упражнения
2.26. Некая компания занимает короткую позицию в контракте на поставку 5 000 бушелей пшеницы по 250 центов за бушель. Первоначальная маржа равна 3 000 долл., а гарантийная маржа — 2000 долл. Какое изменение цены может привести к предъявлению маржевого требования? При каких условиях инвестор имеет право снять с маржинального счета 1 500 долл.?
2.27. Предположим, что хранение кукурузы не требует затрат, а кредитная процентная ставка равна 5% в год. Как заработать деньги на кукурузном рынке 4 февраля 2004 года, заключив контракты с поставкой в марте и мае 2004 года? Воспользуйтесь табл. 2.2.
2.28. Какая позиция эквивалентна сочетанию длинной позиции по форвардному контракту на покупку актива по цене К в определенный день и опциона на продажу этого актива по цене К в тот же день?
2.29. Web-страница автора www.rotman.utoronto.ca/~hull/data содер-жиз ежедневные цены закрытия по фьючерсным контрактам на сырую нефть и фьючерсным контрактам на золото с поставкой в декабре 2001 года. (Оба контракта заключаются на бирже NYMEX.) Загрузите эти данные и ответьте на следующие вопросы.
1) Насколько высокой должна быть гарантийная маржа по контрактам на поставку сырой нефти и золота, чтобы счет, баланс которого в конкретный день ненамного превышает гарантийный уровень маржи, через два дня (т.е. через день после получения маржинального требования) имел отрицательный баланс с вероятностью, равной 1%. На какую величину необходимо повысить гарантийную маржу, чтобы эта вероятность упала до 0,1%. Будем считать, что ежедневные изменения цен подчиняются нормальному закону с нулевым математическим ожиданием.
2) Представьте себе, что инвестор занял длинную позицию по нефтяному контракту в начале периода, к которому относятся данные, и удерживал ее до конца этого периода. Все излишки на маржинальном счете немедленно изымались. Используйте гарантийную маржу, вычисленную в п. 1, для уровня риска, равного 1%, считая что величина гарантийной маржи равна 75% от первоначальной. Вычислите количество маржинальных требований и количество ситуаций, в которых маржинальный счет имел отрицательный баланс и, следовательно, имел основания закрыть позицию. Будем считать, что в вычислениях учтены все маржинальные требования. Повторите вычисления, если инвестор занимает короткую позицию в контракте на поставку золота.
Стратегии хеджирования с помощью фьючерсов
Многие из участников фьючерсных рынков являются хеджерами. Они используют фьючерсные рынки для уменьшения угрожающего им риска. Этот риск может быть связан с изменениями цен на нефть, валютного курса, состояния фондового рынка или других показателей. Идеальное хеджирование (perfect hedge) полностью исключает риск. На практике такие хеджинговые контракты встречаются редко. Процитируем одного из грейдеров: “Единственный случай идеального хеджирования я видел только в японском саду". (Игра слов: первоначальный смысл слова hedge — живая изгородь. — Примеч. ред.) Таким образом, большинство исследован и й хеджирования с помощью фьючерсов сводится к попыткам разработать такие условия хеджирования, которые бы наиболее близко отвечали его идеальному случаю.
В главе рассматривается большое количество вопросов, связанных с разработкой хеджинговых сделок. Когда для этого пригодна короткая фьючерсная позиция? Когда следует занять длинную фьючерсную позицию? Какие фьючерсные контракты следует использовать? Чему равен оптимальный размер фьючерсной позиции, минимизирующий риск? На этом этапе мы ограничимся стратегией хеджируй и забудь (hedge-and-forget). Иначе говоря, мы будем предполагать, что инвесторы не делают попыток “уточнять” хеджинговые позиции после того, как они созданы. Хеджер просто занимает фьючерсную позицию в момент заключения хеджи нговой сделки и закрывает се в конце срока действия. В главе 15 мы рассмотрим динамические стратегии хеджирования, в которых хеджинговая позиция строго контролируется и постоянно уточняется.
На протяжении всей главы фьючерсные контракты считаются эквивалентными форвардным, иначе говоря, мы будем игнорировать ежедневные денежные расчеты. Это значит, что в большинстве ситуаций мы пренебрегаем временной стоимостью денег; поскольку все денежные потоки возникают только в момент закрытия хеджинговой позиции.
3.1 Основные принципы
Выбирая фьючерсные рынки для хеджирования риска, отдельный инвестор или компания обычно стремятся занять позицию, в максимальной степени нейтрализующую риск. Представим себе компанию, знающую, что в течение трех ближайших месяцев увеличение пены товара на один цент принесет ей 10000 долл., а уменьшение его цены на один цент нанесет ей убытки на ту же сумму. Чтобы нейтрализовать риск, финансовый директор компании должен занять короткую фьючерсную позицию. При увеличении цены товара на один цент эта позиция должна принести убытки на 10000 долл., а при уменьшении - прибыль на ту же сумму. Если цена товара упадет, прибыль, полученная благодаря короткой фьючерсной позиции, компенсирует потери компании. Если же цена возрастет, убытки, нанесенные короткой фьючерсной позицией, компенсируются прибылью, полученной компанией.
Короткие хеджинговые позиции
Описанная выше хеджинговая позиция называется короткой (short hedge), поскольку она связана с короткой фьючерсной позицией. Она удобна в ситуациях, когда хеджер уже владеет активом и собирается продать его в будущем. Например. короткое хеджирование может использовать фермер, владеющий несколькими свиньями и знающий, что через два месяца ему придется продать их на местном рынке. Короткая хеджинговая позиция также используется в ситуациях, когда хеджер в данный момент еще не владеет активом, но впоследствии обязательно получит право собственности на него. Представим себе, например, американского экспортера, знающего, что через три месяца он получит определенное количество евро. Если курс евро по отношению к доллару США вырастет, экспортер получит прибыль, а если упадет — понесет убытки. В свою очередь, если курс евро по отношению к доллару США вырастет, короткая фьючерсная позиция принесет убытки, а если упадет - прибыль. Итак, хеджинговая позиция компенсирует риск экспортера.
Чтобы подробнее описать короткое хеджирование в конкретней ситуации, предположим, что сегодня 15 мая и нефтедобывающая компания только что заключила контракт на продажу одного миллиона баррелей сырой нефти. В качестве цены поставки избрана рыночная цена по состоянию на 15 августа. Следовательно, нефтедобывающая компания занимает позицию, описанную нами ранее: увеличение цены нефти на один цент принесет ей 10000 долл., а уменьшение этой цены на один цент нанесет компании убытки на ту же сумму. Предположим, что цена спот сырой нефти 15 мая равна 19 долл, за баррель, а фьючерсная цена сырой нефти на август на Нью-Йоркской товарной бирже (NYMAX) равна 18,75 долл, за баррель. Поскольку каждый фьючерсный контракт на бирже NYMEX заключи-
ется на поставку 1 000 баррелей, компания может хеджировать свой риск, заняв короткую позицию в 1 000 августовских фьючерсных контрактах. Если нефтедобывающая компания закроет свои позиции 15 августа, эта стратегия зафиксирует цену сырой нефти на уровне, близком к 18,75 долл, за баррель.
Рассмотрим еще одну возможную ситуацию. Предположим, что цена спот сырой нефти 15 августа равна 17,50 долл, за баррель. По контракту на продажу за свою нефть компания получит 17,5 млн долл. Поскольку август это месяц поставки по фьючерсному контракту, фьючерсная цена на 15 августа должна быть очень, близкой к цене спот в этот день, т.е. к 17,50 долл. Следовательно, прибыль компании составит примерно
18.75 — 17.50 = 1,25 долл, на каждый баррель,
т.е. короткая фьючерсная позиция принесет компании прибыльна сумму 1,25 млн долл. Таким образом, общий объем средств, полученный от фьючерсной позиции и продажи нефти, будет равен примерно 18,75 долл, за баррель, т.е. 18,75 млн долл.
Рассмотрим противоположную ситуацию, когда цена нефти 15 августа равна 19,50 долл, за баррель. В этом случае компания получит 19,5 млн от продажи нефти и понесет убыток от короткой фьючерсной позиции в размере
19.50 — 18.75 = 0,75 долл, на каждый баррель.
Как и в предыдущем примере, общий объем средств, полученный от фьючерсной позиции и продажи нефти, будет равен примерно 18,75 млн долл. Легко видеть, что в обеих ситуациях компания получит приблизительно 18,75 млн долл.
Длинные хеджинговые позиции
Хеджинговые позиции, связанные с длинной фьючерсной позицией, называются длинными (long hedges). Длинные хеджинговые позиции применяются, когда компания знает, что в будущем должна купить определенный актив, и желает зафиксировать его цену.
Предположим, что сейчас 15 января. Производитель изделий из меди знает, что 15 мая ему потребуется 100000 фунтов меди, чтобы выполнить определенный, контракт. Наличная цена меди равна 140 центов за фунт, а фьючерсная цена на май —120 центов за фунт. Фабрикант может хеджировать риск, заняв длинную позицию в четырех майских контрактах на бирже СОМЕХ (подразделение биржи NYMEX) и закрыв их15 мая. Каждый контракт заключается на поставку 25000 фунтов меди. Эта стратегия позволяет зафиксировать ее цену на уровне 120 центов за фунт.
Предположим, что цена на медь 15 мая установилась на уровне 125 центов за фунт. Поскольку май — это месяц поставки по заключенному фьючерсному
контракту, эта цена должна почти совпадать с фьючерсной. Следовательно, фьючерсный контракт принесет производителю прибыль, равную примерно
100000 х (1,25 - 1,20) = 5000 долл.
Выплатив за медь 100000 х 1,25 = 125000 долл., производитель получит примерно 125000-5000 = 120000 долл. И наоборот, представим себе, что 15 мая фьючерсная цена оказалась равной 105 центов за фунт. В этом случае фьючерсный контракт принесет фабриканту убытки в размере примерно
100000 X (1,20 - 1,05) = 15000 долл.
Кроме того, за медь производитель должен заплатить 100 ОООх 1,05 = 105 000 долл. Итак, общая стоимость стратегии снова равна 120000 долл., т.е. 120 центов за фунт.
Обратите внимание на то, что компании выгоднее заключить фьючерсный контракт, чем покупать медь 15 января на рынке реального товара. Если он сделает последнее, он должен будет заплатить 140, а не 120 центов за фунт, а также понесет затраты, связанные с хранением товара и издержками на уплату процентов. Если компания постоянно работает на рынке меди, эти неудобства можно компенсировать с помощью удобной доходности, связанной с физическим владением медью (обсуждение понятия удобной доходности приведено в главе 5). Однако если компания уверена, что 15 мая медь ей не понадобится, удобная доходность не будет иметь никакой ценности.
Длинные хеджинговые позиции можно использовать для частичной компенсации существующих коротких позиций. Представим себе инвестора, продавшего акцию без покрытия (продажа без покрытия рассматривается в разделе 5.2). Частично риск, связанный с этим, объясняется результативностью фондового рынка в целом. Инвестор может нейтрализовать этот риск, заняв длинную позицию во фьючерсных контрактах на фондовый индекс. Эта стратегия будет рассмотрена немного позже.
Описывая приведенные выше примеры, мы предполагали, что фьючерсная позиция закрывается в месяце поставки. Однако хеджинговая позиция имеет тот же самый эффект, если поставка может быть выполнена в любое время. И все же осуществление или принятие поставки может быть связано с большими затратами. По этой причине реальная поставка по фьючерсному контракту, как правило, не выполняется вплоть до истечения срока контракта. Как будет показано ниже, хеджеры, занимающие длинные позиции, обычно избегают поставок, закрывая свои позиции досрочно.
Кроме того, в предыдущих примерах предполагалось, что фьючерсный контракт ничем не отличается от форвардного. На практике переоценка активов оказывает небольшое влияние на эффективность хеджинговой позиции. Как показано
в главе 2, это значит, что расчеты по фьючерсному контракту осуществляются не в последний момент, а ежедневно на протяжении всего срока хеджинговой сделки.
3.2 Аргументы за и против хеджирования
Аргументы в пользу хеджирования настолько очевидны, что нет нужды их повторять. Большинство компаний занимаются производством, розничной торговлей, оптовой торговлей или предоставлением услуг. У них нет опыта прогнозирования рыночных показателей, таких как процентные ставки, валютные курсы или цены на товары. Следовательно, для них хеджирование рисков, связанных с этими факторами, является целесообразным. Такие компании могут сосредоточиться на своем основном виде деятельности. Осуществляя хеджирование, они избегают неприятных сюрпризов, таких как резкое повышение цен на товары.
На практике многие риски хеджировать невозможно. В оставшейся части раздела мы рассмотрим некоторые из причин этого явления.
Хеджирование и акционеры
Иногда в качестве одного из аргументов указывают, что акционеры, если захотят, могут сами осуществлять хеджирование. Однако это утверждение является спорным. Оно предполагает, что акционеры знают о рисках, присущих деятельности компании, столько же, сколько и ее руководство. Во многих ситуациях это далеко не так. Кроме того, этот аргумент игнорирует влияние комиссионных и стоимость других транзакций. При выполнении крупных транзакций затраты на один хеджируемый доллар ниже, чем при выполнении мелких операций. Следовательно, хеджирование рисков, осуществляемое компаниями, дешевле, чем хеджирование, выполняемое мелкими акционерами. Действительно, во многих ситуациях размер фьючерсных контрактов делает хеджирование недоступным для индивидуальных акционеров.
Акционерам гораздо проще диверсифицировать риск. Акционер, владеющий хорошо диверсифицированным портфелем, может быть неуязвимым ко многим рискам, характерным для деятельности корпораций. Например, кроме владения акциями компании, использующей медь, акционер, прибегающий к диверсификации инвестиционного портфеля, может владеть акциями компании, производящей медь. Это делает его малочувствительным к колебаниям цены на медь. Если компания эффективно соблюдает интересы диверсифицированных акционеров, необходимость в хеджировании не возникает. Однако насколько реальной является описанная выше ситуация — большой вопрос.
Хеджирование и конкуренты
Если в определенной отрасли промышленности хеджирование не является общепринятой практикой, отдельно взятой компании нет никакого смысла выделяться из общей массы. Конкурентное давление, существующее в этой отрасли, может приводить к постоянному колебанию цен на товары и услуги, зависящему от цен на материалы, процентных ставок, валютных курсов и т.п. В этой ситуации компания, не осуществляющая хеджирование, может рассчитывать на почти постоянную прибыль. В то же время прибыль компании, хеджирующей риски, может варьироваться в широких пределах!
Чтобы проиллюстрировать эту точку зрения, рассмотрим две ювелирные компании — SafeandSure Company и TakeaChance Company. Будем считать, что большинство ювелирных компаний не занимаются хеджированием колебаний цен на золото, и компания TakeaChance -- не исключение. Однако компания SafeandSure решила отличиться от своих конкурентов и использовать фьючерсные контракты для хеджирования рисков на протяжении 18 месяцев.
Уменьшит ли компания SafeandSure свои риски? Если цена на золото возрастет, экономический пресс приведет к росту оптовых цен в ювелирной промышленности. Это не приведет к расширению диапазона, в котором колеблется прибыль компании TakeaChance. Однако прибыль компании SafeandSure за счет хеджирования возрастет. Если же цена на золото упадет, экономический пресс приведет к снижению оптовых цен в ювелирной промышленности. Однако прибыль компании SafeandSure за счет хеджирования снизится. В экстремальных условиях хеджирование может принести компании SafeandSure убытки! Эта ситуация описана в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Опасность хеджирования в ситуации, когда конкуренты этого не делают
Изменение цены на золото Влияние на оптовые цены Влияние на прибыль компании TakeaChance Влияние на прибыль компании SafeandSure
Возрастает Возрастает Нет Возрастает
Убывает Убывает Нет Убывает
В дальнейшем мы рассмотрим пример, демонстрирующий важность учета всех обстоятельств при хеджировании. При разработке стратегии хеджирования необходимо учитывать все возможные эффекты, возникающие вследствие изменения цены и влияющие на прибыль компании.
Другие ситуации
Необходимо понимать, что хеджирование с помощью фьючерсных контрактов может как увеличить, так и снизить прибыль компании по сравнению с ситуацией, когда хеджирование не осуществляется совсем. Вернемся к примеру, в котором упоминалась нефтеперерабатывающая компания. Если цена на нефть упадет, продажа одного миллиона баррелей принесет компании убытки, которые будут компенсированы фьючерсной позицией. В этом случае руководство компании должно поблагодарить своего финансового директора за предусмотри гельность. Очевидно, что хеджирование в этой ситуации предпочтительнее, чем его отсутствие. Если же цена на нефть возрастет, продажа одного миллиона баррелей принесет компании прибыль, которая будет компенсирована фьючерсными позициями. Очевидно, что в этом случае компании не следовало хеджировать риски. Хотя хеджирование выглядит вполне логичным, финансовому директору будет довольно трудно обосновать его необходимость. Допустим, что цена нефти в момент окончания хеджингового контракта равна 21,75 долл. Следовательно, по фьючерсному контракту компания потеряет по гри доллара на каждом барреле. Можно представить себе диалог между финансовым директором и президентом компании.
Президент: Это ужасно. За последние три месяца мы потеряли на фьючерсном рынке три миллиона долларов. Как это могло произойти? Я требую объяснений.
Финансовый директор: Фьючерсные контракты предназначены для хеджирования колебаний цен. а не для извлечения прибыли. Не забывайте, что благодаря росту цен на нефть мы получили дополнительно около трех миллионов долларов.
Президент: Как это понимать? Это все равно что сказать: “Ничего, что в Калифорнии объем продаж упал, зато в Нью-Йорке вырос”.
Финансовый директор: Если бы цена на нефть упала ...
Президент: Меня не интересует, что было бы, если бы цена упала. На самом деле она выросла. Я вообще не понимаю, как можно играть на таком фьючерсном рынке. Наши акционеры считают, что в этом квартале наши дела идут особенно хорошо. А теперь я должен оправдываться и объяснять им. что из-за Вас мы потеряли три миллиона долларов. Боюсь, Вы не получите премии в этом году.
Финансовый директор: Это нечестно. Я только ...
Президент: Нечестно! Радуйтесь, что я Вас не уволил. Ведь я потерял три миллиона долларов.
Финансовый директор: Все зависит от точки зрения.
Теперь понятно, почему финансовые директоры гак сопротивляются хеджированию! Хотя хеджирование снижает риск для компании, некомпетентное руководство можег накатать финансовых директоров за возможные потери. Единственное решение в этой ситуации - заранее обьяснить всем высшим руководителям компании суть хеджирования. В идеале стратегию хеджирования должен одобрить совет директоров, который в свою очередь должен разъяснить ситуацию менеджерам и акционерам.
Пример из деловой практики 3.1. Хеджирование рисков золотодобывающих предприятий
Для золотодобывающей компании вполне естественно хеджировать риски, связанные с колебаниями цен на золото. Как правило, на добычу всего золота, содержащегося в шахте, уходит несколько лет. Если компания собирается выйти с этим золотом на рынок, то она сильно рискует. Действительно, шахта, вначале казавшаяся прибыльной, при падении цен на золото может оказаться убыточной.
Обычно золотодобывающие компании подробно разъясняю! своим акционерам суть принятой стратегии хеджирования. Однако некоторые из компаний отказываются от хеджирования. Они стремятся привлечь акционеров, желающих извлечь прибыль от продажи золота при росте цен на него и готовых смириться с риском потерь при их падении. Другие компании заключают хеджинговые сделки. Они оценивают количество унций золота, добываемого в течение каждого месяца на протяжении следующих нескольких лет, и занимают короткие фьючерсные позиции или заключают форвардные контракты, чтобы зафиксировать цену на золото, которую они собираются получить.
Представьте себе, что вы ~- руководитель компании Goldman Sachs и только что заключили форвардный контракт с золотодобывающей компанией, взяв на себя обязательство купить большое количество золота по фиксированной цене. Как хеджировать ваш риск? Для этого достаточно одолжить у центрального банка золото и продать его по рыночной цене. (Центральные банки многих стран владеют крупными запасами золота.) В конце форвардного контракта вы купите золото у золотодобывающей компании по фиксированной цене и отдадите долг центральному банку. Центральный банк взыщет с вас определенную плату (вероятно, 1,5% годовых) за аренду золога (golden lease rate).
3.3 Базисный риск
В рассмотренных выше примерах хеджинговые сделки были неправдоподобно хорошими. Во-первых, хеджеру была известна точная дата поставки актива. Во-вторых, с помощью фьючерсных контрактов хеджер мог компенсировать практически все риски, связанные с ценой актива в момент поставки. На практике
хеджирование не бывает таким простым. Перечислим некоторые из причин этого явления.
1. Актив, цена которого хеджируется, может не совпадать с базовым активом фьючерсного контракта.
2. Хеджеру может быть неизвестна точная дата покупки или продажи актива.
3. Фьючерсный контракт может быть закрыт досрочно.
Эти проблемы порождают базисный риск (basis risk). Рассмотрим это понятие подробнее.
Базис
Базисом (basis) в хеджировании называется следующая величина.1
Базис = Цена спот хеджируемого актива — Фьючерсная цена
Если хеджируемый актив и базовый актив фьючерсного контракта совпадают, то в момент истечения срока фьючерсного контракта базис равен нулю. До этого момента базис может быть как положительным, так и отрицательным. В рамках очень краткосрочных контрактов цена спот должна быть равной фьючерсной. Из табл. 2.2 и рис. 2.2 следует, что для некоторых активов базис является положительным (например, для золота), а для других — отрицательным (например, для нефти марки Brent).
Если цена спот растет быстрее, чем фьючерсная, то базис растет. Этот эффект называется укреплением базиса (strengthening of the basis). Если, наоборот, фьючерсная цена растет быстрее цены спот, то базис уменьшается. На рис. 3.1 продемонстрировано изменение базиса с течением времени в ситуации, когда базис на протяжении всего срока действия фьючерсного контракта является положительным.
Чтобы проанализировать природу базисного риска, введем следующие обозначения.
51 : цена спот в момент tp
S2 : цена спот в момент t2',
Fi : фьючерсная цена в момент tp,
F2 : фьючерсная цена в момент /,2;
'Это обычное определение. Однако иногда, особенно когда базовым активом фьючерсного контракта является финансовый актив, используется альтернативное определение базиса.
Базис = Фьючерсная цена — Цена спот
Цена спот
_______ Время fi t2
Рис. 3.1. Изменение базиса с течением времени
61 : базис в момент ti,
62 : базис в момент 62-
Будем предполагать, что хеджирование начинается в момент ti и прекращается в момент 62. Например, предположим, что цена спот и фьючерсная цена в момент хеджирования были равны 2,50 долл, и 2,20 долл, соответственно, а в момент прекращения хеджирования — 2,00 долл, и 1,90 долл, соответственно. Это значит, что Si = 2,50, F\ = 2,20, S2 = 2,00 и F2 = 1,90. По определению базиса
bi = Si - Fi,
62 — S2 — F2,
т.е. bi — 0,30 и 62 = 0,10.
Представим себе сначала хеджера, знающего, что актив будет продан в момент t2, и занимающего короткую фьючерсную позицию в момент ti. Цена, по которой продается актив, равна S2, а прибыль от фьючерсной позиции равна Fi — F2. Следовательно, эффективная цена актива при хеджировании равна
S2 + Fi — F2 — Fi + 62-
В нашем примере эта цена равна 2,30 долл. В момент Ц значение фьючерсной цены Fi известно. Если бы в этот момент хеджеру было известно значение 62» то все было бы прекрасно. Риск хеджирования очевидным образом связан с показателем 62, поэтому он и называется базисным. Представим теперь, что компания, знающая, что она купит актив в момент 62, занимает длинную хеджинговую позицию в момент Ц. Цена, по которой продается актив, равна S2, а потери от хеджинговой позиции равны Fi — F2. Следовательно, эффективная цена актива при хеджировании равна
S2 + Fi — F2 = Fi + 62-
Это выражение совпадает с предыдущим. Значит, и эффективная цена останется прежней — 2,30 долл. Фьючерсная цена F] в момент ty известна, а величина Ь? представляет собой базисный риск.
Обратите внимание на то, что базисный риск может как укрепить, так и ослабить позиции хеджера. Рассмотрим короткую хеджинговую позицию. Если базис неожиданно укрепится, позиция хеджера улучшится; если же базис неожиданно ослабеет, позиция хеджера ухудшится. Для длинной хеджинговой позиции справедливо обратное утверждение: если базис неожиданно укрепится, позиция хеджера ухудшится; если же базис неожиданно ослабеет, позиция хеджера улучшится.
Базовый актив фьючерсного контракта иногда отличается от хеджируемого актива. В этом случае базисный риск, как правило, увеличивается. Обозначим через S? цену базового актива фьючерсного контракта в момент t?. Как и прежде, через S2 будем обозначать цену хеджируемого актива в момент Осуществляя хеджирование, компания гарантирует, что цена, которую она заплатит (или получит) за актив, равна
S2 + Fi - F2.
Это выражение можно переписать так.
Fj + (6Д - F2) + (S2 - So).
Слагаемые S'.) - F2 и S'2 - S?2 представляют собой два компонента базиса. Слагаемое S-2 — F> представляет собой базис, возникающий, если хеджируемый актив совпадает с базовым активом фьючерсного контракта, а слагаемое S2 — S2 представляет собой базис, возникающий вследствие несовпадения этих активов.
Выбор контракта
Ключевым фактором, влияющим на величину базисного риска, является выбор фьючерсного контракта, используемого для хеджирования. Этот выбор состоит из двух компонентов.
1. Выбор базового актива фьючерсного контракта.
2. Выбор месяца поставки.
Если хеджируемый актив точно совпадает с базовым активом фьючерсного контракта, первый выбор очень прост. В других обстоятельствах необходимо выполнить тщательный анализ и определить, какие из доступных фьючерсных контрактов имеют фьючерсные цены, наиболее сильно коррелирующие с ценой хеджируемого актива.
На выбор месяца поставки влияют несколько факторов. В примерах, рассмотренных выше, предполагалось, что хеджер выбирает фьючерсный контракт, у которого месяц поставки совпадает с закрытием хеджингового контракта. Однако,
как правило, в этих условиях выбирается фьючерсный контракт с более поздним месяцем доставки. Дело в том, что иногда фьючерсная цена довольно сильно отклоняется от спот-нены актива в течение месяца доставки. Кроме того, если сроки хеджингового и фьючерсного контрактов совпадают, хеджер, занимающий длинную позицию, подвергается риску получить реальную поставку физического актива. Это может повлечь дополнительные затраты и доставить неудобства.
Как правило, по мере увеличения разницы между датой завершения хеджингового контракта и месяцем поставки базисный риск возрастает. Для того чтобы это предотвратить, существует хорошее эмпирическое правило: следует выбирать ближайший месяц, который начинается после окончания хеджингового контракта. Допустим, что месяцами поставки по конкретному контракту являются март, июнь, сентябрь и декабрь. Если хеджинговый контракт завершается в декабре, январе или феврале, следует выбрать мартовский контракт, если в марте, апреле и мае — июньский и т.д. В основе этого правила лежит предположение, что все контракты имеют достаточно высокую ликвидность. На практике наиболее ликвидными являются фьючерсные контракты с короткими сроками поставок. Следовательно, хеджер в некоторых ситуациях может предпочесть короткие фьючерсные контракт ы с последующим их возобновлением. Эта стратегия будет рассмотрена ниже.
Пример 3.1
Допустим, что сегодня 1 марта. Некая американская компания рассчитывает получить в конце июля 50 млн японских иен. На Чикагской товарной бирже котируются фьючерсные контракты на иены с поставками в марте, июне, сентябре и декабре. В рамках одного контракта поставляется 12,5 млн иен. Следовательно, 1 марта компания может занять короткие позиции в четырех сентябрьских фьючерсных контрактах. Получив ожидаемые иены в конце июля, компания закроет свои позиции. Предположим, что фьючерсный курс иены 1 марта равен 0.7800 цента за иену, а цена спот и фьючерсная цена в момент закрытия контракта равны 0,7200 и 0,7250 соответственно.
Прибыль, полученная благодаря фьючерсному контракту, в момент его закрытия равна 0,7800 0,7’2500 — 0,0550 цента за иену. Базис в этот момент равен
0,7200 — 0,7250 = —0,0050. Эффективный курс иены равен окончательной цене спот плюс прибыль от фьючерсного контракта.
0,7200 + 0,0550 = 0,7750 цента за иену.
Эту величину можно также представит ь в виде суммы первоначальной фьючерсной цены и значения базиса в момент закрытия контракта.
0.7800 — 0.0050 — 0.7750 цента за иену.
Общая сумма, полученная компанией за 50 млн иен, равна 50 х 0.00775 млн долл., т.е. 387 500 долл. п
Пример 3.2
Допустим, что сегодня 8 июня. Некая компания должна купить 20000 баррелей сырой нефти в какой-то момент времени между октябрем и ноябрем. В настоящее время нефтяные фьючерсные контракты котируются на бирже NYMEX и заключаются на поставку 1 000 баррелей каждый. Итак, компания решает использовать декабрьский контракт для хеджирования и занимает длинную позицию в 20 декабрьских контрактах. 8 июня фьючерсная цена сырой нефти равна 18,00 долл, за баррель. Компания решает купить сырую нефть К) ноября. Следовательно, в этот день она должна закрыть фьючерсный контракт. Наличная и фьючерсная цены в этот день равны 20,00 долл, и 19,10 долл, за баррель.
Прибыль, полученная благодаря фьючерсному контракту, в момент его закрытия равна 19,10 18.0(1 = 1,10 долл, за баррель. Базис в момент завершения
контракта равен 20.00 19,10 -- 0,90 долл, за баррель. Эффективная цена барре-
ля сырой нефти равна окончательной цене спот минус прибыль от фьючерсного контракта
20.00 — 1.10 --- 18,90 долл, за баррель.
Эту величину можно также представить в виде суммы первоначальной фьючерсной цены и значения базиса в момент закрытия контракта.
18.00 + 0.90 - 18.90 долл, за баррель.
Общая сумма, заплаченная компанией за 20 000 баррелей сырой нефти, равна 18,90 х 20 000 - .578 000 долл. □
3.4 Перекрестное хеджирование
В рассмот ренных выше примерах базовый актив фьючерсного актива совпадал с хеджируемым активом. Если же эти активы не совпадают, то возникает перекрестное хеджирование (cross hedging). Представим себе, например, что некая авиакомпания озабочена фьючерсной ценой на реактивное топливо. Поскольку фьючерсные конт ракты на такое топливо не продаются, для хеджирования компания может выбрать фьючерсный контракт на поставку печного топлива.
Коэффициентом хеджирования (hedge ratio) называется отношение размера позиции, занятой по фьючерсному контракту, к величине хеджируемого актива. До сих пор мы считали, что коэффициент хеджирования был равен 1,0. Так, в примере 3.2 хеджируемым активом были 20 000 баррелей сырой нефти, и именно на это количество компания заключала фьючерсные контракты.
При перекрестном хеджировании такой выбор коэффициента хеджирования не всегда является оптимальным. Хеджер должен выбирать коэффициент хеджирования, минимизирующий дисперсию стоимости хеджируемой позиции. Рассмотрим способ реализации этой стратегии.
Вычисление оптимального коэффициента хеджирования
Введем следующие обозначения.
AS: изменение цены спот S на протяжении срока действия хеджингового контракта;
AF: изменение фьючерсной цены F на протяжении срока действия хеджингового контракта;
as: стандартное отклонение величины AS;
ар: стандартное отклонение величины AF;
р : коэффициент корреляции между величинами AS и AF;
h*: коэффициент хеджирования, минимизирующий дисперсию позиции хеджера.
В приложении 3.1 показано, что
h*=p^-. (3.1)
crF
Оптимальный коэффициент хеджирования (minimum variance hedge ratio) равен произведению коэффициента корреляции между величинами AS и AF на отношение их стандартных отклонений. На рис. 3.2 продемонстрирована зависимость дисперсии позиции хеджера от коэффициента хеджирования.
Дисперсия позиции
/?*
Рис. 3.2. Зависимость дисперсии позиции хеджера от коэффициента хеджирования
Если р = 1 и ар = <75, оптимальный коэффициент хеджирования h* равен 1,0. Этого можно было ожидать, поскольку в этом случае фьючерсная цена представляет собой зеркальное отражение цены спот. Если р = 1 и ар = 2<7g, оптимальный коэффициент хеджирования равен 0,5. В этом также нет ничего удивительного, поскольку в этой ситуации фьючерсная цена всегда в два раза превышает цену
спот.
Как показано на рис. 3.3, оптимальный коэффициент хеджирования h* представляет собой наклон прямой в регрессионной модели, в которой AS является откликом, a AF — независимой переменной. Это интуитивно понятно, поскольку мы требуем, чтобы коэффициент /;.* был прямо пропорциональным отношению между величинами AS и AF. Эффективность хеджирования (hedge effectiveness) - это доля дисперсии, исключаемая за счет хеджирования. Эффективность хеджирования равна р2, или
,T.S
Параметры р. <тг.- и а.ч в формуле (4. Г) обычно оцениваются на основе ретроспективных данных о колебаниях цены спот и фьючерсной цены — AS и AF. (Неявно считается, что тенденции, характерные для прошлого, будут воспроизведены в будущем.) Для этою исследуемый промежуток времени разбивают на большое количество одинаковых ненересекающихся интервалов, на которых вычисляются величины AS и AF. В идеале, дайна каждого из таких интервалов должна быть равной длине интервала хеджирования. На практике количество доступных наблюдений весьма ограничено, поэтому для расчетов выбирают намного более короткие интервалы времени.
Рис. 3.3. Зависимость дисперсии позиции хеджера от коэффициента хеджирования
Оптимальное количество контрактов
Введем следующие обозначения.
Na: размер хеджинговой позиции (единиц);
Qf'- размер фьючерсного контракта (единиц);
N*-. оптимальное количество фьючерсных контрактов, используемых для хеджирования.
Номинальная стоимость контрактов, используемых для хеджирования, равна h*Na. Следовательно, количество требуемых контрактов определяется по формуле
Qf
(3.2)
Пример 3.3
Некая авиакомпания собирается купить через месяц два миллиона галлонов топлива для реактивных двигателей и решила использовать для хеджирования покупки топливные фьючерсы.2 В табл. 3.2 приведены данные о колебаниях фьючерсной цены и цены спот галлона реактивного топлива NS и AF соответственно, собранные на протяжении 15 последовательных месяцев. Следовательно, количество наблюдений п равно 15. Обозначим ?-е наблюдения величин NS и NF через Xi и yi соответственно. Из табл. 3.2 следует, что
15 15
х-1 =-- -0,013, 52 = °>0138’
1=1 7=1
15 15
52 yi=о,ооз, 52 = °’0097’
г=1 i=l
15
52 xiVi = 0,0107.
i=l
Перекрестное хеджирование, осуществленное компанией Delta Airlines, описано в работе Ness A. Delta Wins on Fuel // Risk, June 2001. — P. 8.
Таблица 3.2. Данные, на основе которых вычисляется оптимальный коэффициент хеджирования при покупке топлива для реактивных двигателей
Месяц Изменение фьючерсной цены галлона топлива (= Xi) Изменение цены спот галлона топлива (= yi)
1 0,021 0,029
2 0,035 0,020
3 -0,046 -0,044
4 0,001 0,008
5 0,044 0,026
6 -0,029 -0,019
7 -0,026 -0,010
8 -0,029 -0,007
9 0,048 0,043
10 -0,006 0,011
11 -0,036 -0,036
12 -0,011 -0,018
13 0,019 0,009
14 -0,027 -0,032
15 0,029 0,023
Применяя стандартные статистические формулы, вычислим следующие величины.
п — 1
п(п — 1)
= 0,0313.
15 £у,2 i=l
П — 1
П (п — 1)
= 0,0263.
15 15 15
п S хгУг ~ £ Уг
i=l г=1 г=1
15
«£ yl -
г=1
= 0,928.
Определим оптимальный коэффициент хеджирования h* по формуле (3.1).
h* = 0,928 х
0,0263
0,0313
= 0,78.
aF =
=
Р =
Размер фьючерсных топливных контрактов, котируемых на бирже NYMEX, равен 42 000 галлонов за баррель. Из формулы (3.2) следует, что оптимальное количество фьючерсных контрактов, используемых для хеджирования покупки реактивного топлива, равно
0,78 x 2000000
т.е. компания должна заключить .37 фьючерсных контрактов. □
3.5 Фьючерсы на фондовые индексы
Рассмотрим фьючерсы на фондовые индексы и способы их применения для хеджирования рисков, связанных с колебаниями цен акций.
Фондовый индекс (stock index) отражает стоимость гипотетического портфеля акций. Вес акции в портфеле равен доле средств, инвестированных в эти акции. Относительное увеличение фондового индекса за короткий интервал времени равно относительному увеличению стоимости гипотетического портфеля. Поскольку дивиденды, как правило, в вычислениях не учитываются, фондовые индексы отражаю! отношение капитальных прибылей и убытков от инвестирования средств в акции, включенные в гипотетический портфель.3
Хотя состав гипотетического портфеля не изменяется, веса, приписанные отдельным акциям, входящим в его состав, являются переменными. Если цена отдельной акции, включенной в портфель, растет быстрее остальных, то ей автоматически присваивается больший вес. Некоторые индексы конструируются на основе гипотетического портфеля, в который входят по одной акции многих компаний. Веса, приписанные таким акциям, пропорциональны их рыночным ценам, правда, при их вычислении необходимо учитывать эффект “расщепления” акций. Другие индексы формируются так, чтобы веса акций, входящих в портфель, были прямо пропорциональны величине рыночной капитализации компании (которая равна произведению цены акции на количество неоплаченных акций). Стоимость базового портфеля автоматически уточняется при расщеплении акций, выплате дивидендов и выпуске новых акций.
Фондовые индексы
В табл. 3.3 приведены фьючерсные цены по контрактам на большое количество разных фондовых индексов, опубликованные в газете The Wall Street Journal
’Исключение составляет индекс совокупного дохода (total return index). При его вычислении предполагается, что все дивиденды, полученные благодаря акциям, снова инвестируются в гипотетический портфель.
5 февраля 2004 года. Эти цены были зафиксированы на момент закрытия торгов 4 февраля 2004 года.
Таблица 3.3. Котировки фьючерсов на фондовые индексы, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. (В столбцах указаны месяц, цена открытия, максимальная и минимальная цены, зафиксированные в течение дня, расчетная цена, изменение, максимальная и минимальная цены, зафиксированные на протяжении всего срока действия контракта, и количество открытых позиций соответственно)
Index Futures
DJ Industrial Average (свт)-яо > into
Mat 10446 10507 10418 10440 -38 10687 8580 36.831
June . 10419 -18 10475 9000 Est vol 11,816, vol Tue 182; open mt 37,455, -65. Idx prl- Hi 10524.22; to 10447.18; Close 10470.74, -34.44 Mini DJ Industrial Average (ten-ss > into 581
Mar 10446 10506 10417 10440 -38 10687 9069 Vol Wed 70/199; open lot 48.W5, -1,739. DJ-AIG Commodity Index «вп-яоо«into 46,175
Feb 439.3 -3.5 456.2 452.1 Est vol 1,150; vol Tue 220; open int 2,571, and) Id* prl: HI 139.159; Lo 137.163; Close 137 350 -1.171. S&P 500 Index (СМЕНИ» > index 2,351
Mar 113290 113360 112300 112390 -910 123950 77700 585,763
lune 112620 113100 112250 112290 -910 115350 78000 Est vol 46,110; vol Tue 45.600, open int 610,710, «107. Id* prl: Hi. 1136.03; Lo 1124.74, Close H26 52, -9.51 Mln! S&P 5OO (CME)-$50 * index 21,212
Mar 113300 113350 112200 112400 -900 115500 98650 Vol Wed 595,531, open int 550,820, -18,936. S&P Midcap 400 (СМЕНЯЮ x index 539.566
Mar 584.50 586.00 580.30 580.80 -6.00 603.25 559 75 Est vol 582, vol Tue 672, open int 15,880, -98. Idx prl; Hr 587.39; Lo 580.91 Close 58L63. -5 76. Nasdaq 1OO (сменим > ink. 15.879
Mar 148850 148850 146200 146300 -2400 150900 14t>200 Est vol 14.295' vol Cue 9,985; open int 72,918, -246. id* prl: Hi 1482.35; Lc 1461.01; Close 1462.61, -2924. Mini Nasdaq 1OO (смени > «й 72,861
Mar 1488.0 1489 0 1461,5 1461.0 -24.0 1563.0 1307.0 Vol Wed 257X39, open int 250794, <4,618 GSCI (CMEH250 x warty index 249,320
Feb 264.50 266.10 25850 258.50 -5.50 274.50 251 50 Est vol 243; vol Tue 104; open int 14,901, +31 Idx prl: HI 265.61, Lo 258.87; Close 259.53, -4.02. TRAKRS Long-Short Tech((MEHi > i«« 14,534
July 40.30 4030 39.82 39.82 -140 45.25 19.76 Est vol 87; vol Tue 150; open int 410,834.. ’150. Id* prt: Hi 40.03, lo 38.16' Close >856, -1.47 Russell 2000(сменяю x into 410,834
Mar 576.50 576.50 563.50 563.75 -14.40 585 75 557.50 Est vol 3,572; vol Tue 969; open int 22,953, -42. Idx prl: Hi 579.15, Lo 564.03, Close 564.03. -15.12 Russell 1000(N(FE)-SSOO Mei 22,953
Mar .. 601.00 -5.05 618.00 603.00 Est vol 79; vol Tue 66; open int 77,631, -72. Id* prl: Hi 607.34; Lo 60123; dose 602,10, -524. 77,631
NYSE Composite Index (WTEMSfi * index Mar . ... 6509.50 -57.00 6556.00 6115 00 Est vol fl, vol Tue 0; open int 1,260» uxb. Id* prl Hi 6574.76; Lo 6520.91 Close 6526.10. -48.72. 1,260
U.S. Dollar Index crimxHW > mi
Mar 87.04 87 30 86.92 8702 W Ш18 8510 16/14
June .. .. 87 43 .04 88.37 85.71 Est vol 2,500’ vol Tue 2,772; open int 1S.543, 410, Idx prl: Hi 87.10; Lo 36.70; open int 8684, «05. Nikkei 225 Stock Average ccmehs > ы» 4116
Mar 10400. 10510 10360. 10330. 265 11155 7670. Est vol 3,558; vol Tue 2.468, open mt 30,730, ‘33 index: Hi 10627.26; lc 10418.77, Close 104472?, -194.67. Share Price Index csfo-aud 25»iw?x 3054
Mar 32570 3267.0 3250.0 3254.0 -2.0 3346.0 ,.7000 160,822
June 3264 0 32780 3264.0 3266,0 2.0 335C.U 2700.0 Est vol 10,928, vol Tue 10.569; open mt 167,890, -2,133 Index. Hi 3273.5. Lc 3263.6, Close 3265.6, *1.3. CAC 4O Stock Index cmatifhio x index 3,931
Feb 3626.0 3632.5 36O3.V 3614.0 -29.5 3729.5 3531.5 346,178
Mar 3630.0 3634.5 ЗЫ0.5 3620.0 -29 5 3734.5 2885.0 130,956
June 35615 3563.5 3562.5 3560.5 -29.0 1651.5 3282.0 Est vol 77,301; vol Tue 76,586; open mt 489,860, -19,063. Index: Hi 3625.38; Lo 3602.94; Close 3607.57, -30M Xetra DAX(f®EXH25 x into 8,810
Mar 4050.0 4056.0 4018.0 4029.5 -31.0 4190.0 3237.5 286,286
June 4065,0 4074.5 4042.5 4050.5 -3J.0 42100 3251.0 10,167
Sept 4086.5 4096.0 4064.0 4072.0 -31.5 4231.0 3961.0 Vol Wed ШЛ73, open mt 299,327, -1,522 Index. Hi 4050.08; lo 4008.80; Close 402837. ’9.14 FTSE 1OO Index (LIFFE)-f 10 * Index 2,874
Mar 4340.0 4386.5 4339.5 4376.0 13.0 4509.5 38955 426,561
June 4352.0 4385.5 4352.0 4384.5 9.5 4514.6 4019.5 17,929
Sept 4372.5 4374.5 4372.5 4394.5 10.0 4526.5 42335 Val Wed 59.473; open int 462,529, +1,934. index: Hi 4409.30, Lc 4369.10; Close 4398.50, +7.90. DJ Euro STOXX SO Index (WRfxHiC x into 10,192
Mar 2834.0 2841.0 2820.0 2B2L0 -27.0 2921.0 2376.0 1.226,828
June 2797.0 2800.0 2785.0 2783.0 -27.0 28810 2364.0 88,041
Sept 2796.0 2796.0 2787D 2782.0 -27.0 2881.0 27090 Vo! Wed 384,795; open int 1,329,323, -2,788. lode*. Hi 2839.55; Lo 281618; Close 2319.92, -2134 DJ STOXX 50 Index (EUREXHlfix index 14,454
Mar 2675.0 2689.0 2671.0 2674.0 -14.0 2757.0 23930 39,662
June . . .. 2653.0 -14.0 Vol V№ 1,895; open int 43.302, *513. Index: Hi 2698.24; Lo 2681,59, Close 2689.82, -5.23. 640
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones. Inc. и Copyright Clearance Center, Inc. © 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
Индекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Average) вычисляется по инвестиционному портфелю, состоящему из акций 30 ведущих компаний США (так называемых “голубых фишек”). Веса, приписанные этим акциям, пропорциональны их ценам. На Чикагской продуктовой бирже заключаются фьючерсные кот ракты двух видов. Фьючерсные контракты первого типа заключаются на сумму, в десять раз превышающую величину индекса. Фьючерсные контракты второго типа (контракты на индекс Mini DJ Industrial Average) заключаются на пятикратную стоимость индекса.
Индекс Standard & Poor’s 500 (S&P 500) вычисляется по инвестиционному портфелю, состоящему из акций 500 разных компаний: 400 промышленных фирм, 40 коммунальных компаний, 20 транспортных фирм и 40 финансовых организаций. Веса акций, входящих в этот портфель, в каждый момент времени пропорциональны их рыночной капитализации. Этот индекс учитывает 80% рыночной капитализации всех акций, входящих в листинг Нью-Йоркской фондовой биржи. На Чикагской торговой бирже (СМЕ) предлагаются два контракта на фондовый индекс S&P 500. Величина одного из них равна 250-кратному индексу, а другого (Mini S&P 500) — 50-кратному. Индекс Standard and Poor’s Midcap 400 (S&P 400) аналогичен индексу S&P 500, но в его инвестиционный портфель входят акции 400 компаний с несколько меньшей рыночной капитализацией.
Индекс Nasdaq 100 основан на 100 акциях. Он вычисляется Автоматической котировочной службой Национальной ассоциации торговцев ценными бумагами (National Association of Securities Dealers Automatic Quotations Service). На бирже СМЕ предлагаются два вида контрактов ~ на 100- и 20-кратную величину индекса (Mini Nasdaq 100).
Индекс Nasdaq 100 рассчитывается на основе 100 акций с помощью Службы автоматической котировки Национальной ассоциации торговцев ценными бумагами. На бирже СМЕ предлагаются два вида контрактов: один на 100-кратный индекс, а второй (контракт Mini Nasdaq 100) — на 20-кратный индекс.
Индекс Russel 2000 учитывает цены акций 2000 мелких компаний США. Индекс Russel 1000 учитывает цены акций 1 000 крупнейших компаний США. Индекс NYSE Composite рассчитывается по стоимости всех акций, котирующихся на Нью-Йоркской фондовой бирже. Индекс доллара США отражает курс шести иностранных валют (евро, иены, фунта, канадского доллара, шведской кроны и швейцарского франка). Индекс Nikkei 225 (Nikkei 225 Stock Average) вычисляется по инвестиционному портфелю, состоящему из акций 225 крупнейших компаний, котируемых на Токийской фондовой бирже. Веса акций вычисляются на основе их цен. Величина одного фьючерсного контракта на этот индекс, предлагаемого на бирже СМЕ, равна пятикратному индексу Nikkei 225.
Индекс Share Price учитывает стоимость всех обыкновенных акций австралийских компаний. Индекс САС-40 вычисляется на основе цен акций 40 основных компаний Франции. Индекс DAX-30 отражает цены акций 30 ведущих компаний
Германии. В основе индекса FTSE 100 лежит инвестиционный портфель, включающий в себя акции 100 крупнейших компаний Великобритании, котируемые на Лондонской фондовой бирже. Индексы DJ Euro Stoxx 50 и DJ Stoxx 50 — это два разных индекса, которые вычисляются по ценам акций ведущих европейских компаний (“голубых фишек”), зафиксированных компанией Dow Jones и ее европейскими партнерами. Фьючерсные контракты на эти индексы заключаются на бирже Еигех, а их величина равна десятикратному индексу и измеряется в евро.
Другие индексы, перечисленные в табл. 3.3, не являются фондовыми. Например, товарный индекс DJ-AIG и фьючерсный индекс GSCI предназначены для отслеживания цен основных товаров. Технологический индекс TRAKRS является довольно необычным. Он предназначен для отслеживания результативности портфеля, состоящего из длинных позиций по акциям отдельных высокотехнологических компаний и коротких позиций по финансовым инструментам, представляющим высокотехнологический сектор промышленности.
Как указывалось в главе 2, фьючерсные контракты на фондовые акции рассчитываются наличными и не предусматривают реальной поставки актива. Все контракты переоцениваются в последний торговый день, а их цены фиксируются либо на момент открытия, либо на момент закрытия торгов, после чего позиции объявляются закрытыми. Например, контракты на индекс S&P 500 закрываются на уровне, зафиксированном в момент открытия торгов в третью пятницу месяца поставки.
Хеджирование портфеля обыкновенных акций
С помощью фьючерсов на фондовые индексы можно хеджировать портфель акций. Введем следующие определения.
Р: текущая стоимость портфеля;
А-. текущая стоимость акций, лежащих в основе фьючерсного контракта.
Если состав портфеля акций идентичен набору акций, по которым рассчитывается фондовый индекс, оптимальным является коэффициент хеджирования, равный 1,0. Из уравнения (3.2) следует, что количество фьючерсных контрактов, по которым хеджер должен занять короткую позицию, равен
А” = (3.3)
Предположим, например, что портфель стоит один миллион долларов и отражает состав акций, по которым вычисляется индекс S&P 500. Текущее значение индекса равно 1 000, и один фьючерсный контракт заключается на сумму, в 250 раз превышающую величину индекса. В этой ситуации Р — 1000 000 и А — 250 000. Следовательно, для хеджирования портфеля необходимо занять короткую позицию по четырем контрактам.
(3.4)
Если состав портфеля не является отражением фондового индекса, для вычисления оптимального коэффициента хеджирования можно воспользоваться параметром /3 из модели оценивания капитального актива. Параметр /3 представляет собой наклон прямой в регрессионной модели, в которой откликом является дополнительный доход портфеля, а независимой переменной — дополнительный доход рынка при безрисковой процентной ставке. Если (3 — 1,0, дополнительный доход портфеля стремится к дополнительному доходу рынка; если /3 — 2,0, дополнительный доход портфеля вдвое превышает дополнительный доход рынка; если /3 = 0,5, дополнительный доход портфеля в два раза меньше дополнительного дохода рынка и т.д.
Предположим, что фондовый индекс, лежащий в основе фьючерсного контракта, хорошо отражает состояние рынка. Можно показать, что в этом случае оптимальный коэффициент хеджирования равен параметру (3, характерному для инвестиционного портфеля. Из формулы (3.2) следует, что
n-=4
Эта формула справедлива, если срок исполнения фьючерсного контракта близок к сроку хеджирования, а ежедневные расчеты по фьючерсному контракту во 4 внимание не принимаются.
Проиллюстрируем полезность этой формулы на следующем примере. Предположим, что значение индекса S&P равно 1 000, стоимость портфеля равна 5 000000 млн долл., безрисковая процентная ставка равна 4% годовых, дивидендная доходность индекса равна 1% годовых, а коэффициент (3 для портфеля равен 1,5. Предположим, что для хеджирования портфеля на ближайшие три месяца используется четырехмесячный фьючерсный контракт на индекс S&P 500 стоимостью 1 010 долл. Сумма отдельного фьючерсного контракта в 250 раз превышает величину индекса. Следовательно, А = 250 х 1000 = 250 000. Из формулы (3.4) следует, что количество фьючерсных контрактов, в которых необходимо занять короткую позицию для хеджирования портфеля, равно
5000000 ’ 250000
Допустим, что за три месяца индекс S&P 500 упал до 900 пунктов, а фьючерсная цена стала равной 902 долл. В этом случае доход от короткой фьючерсной
4Чтобы учесть ежедневные расчеты по фьючерсным контрактам, величину А в формуле (3.4) необходимо заменить стоимостью фьючерсного контракта (см. задачу 5.23). Обсуждение этого вопроса содержится в работах Daffee D. Futures Markets. — Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1989; Rendelman R. A Reconciliation of Potentially Conflicting Approaches to Hedging with Futures // Advances in Futures and Options Research, 6 (1993). — P. 81-92. Теоретически, хеджинговая позиция должна уточняться каждый день. Эта стратегия называется размыванием хеджинговой позиции (tailing the hedge).
позиции равен
30 х (1010 - 902) х 250 = 810000 долл.
Индекс снизился на 10%. Его дивидендная доходность равна 1% в год, т.е. 0,25% за три месяца. Если учесть дивиденды, инвестор, заключивший фьючерсный контракт на индекс, потерял бы за три месяца 9,75%. Трехмесячная безрисковая процентная ставка равна приблизительно 1%. Поскольку параметр (3, характерный для портфеля, равен 1,5, справедлива следующая формула.
Ожидаемая доходность портфеля — безрисковая процентная ставка = = 1,5 х (Доходность индекса — безрисковая процентная ставка).
Отсюда следует, что ожидаемая доходность портфеля равна
1,0 + [1,5 х (-9,75 - 1,0)] = -15,125%.
Таким образом, ожидаемая стоимость портфеля (включая дивиденды) через три месяца будет равна
5000000 х (1 - 0,15125) =4243 750 долл.
Следовательно, ожидаемая стоимость позиции хеджера, включая прибыль от хеджирования, равна
4 243 750 + 810 000 = 5 053 750 долл.
Результаты вычислений приведены в табл. 3.4. Легко видеть, что общая стоимость позиции хеджера через три месяца практически не зависит от величины индекса.
В этом примере мы проигнорировали зависимость между фьючерсными ценами и ценами спот. Как будет показано в главе 5, фьючерсная цена 1 010 долл, приблизительно соответствует ожидаемой стоимости индекса при заданных процентной ставке и размере дивидендов. Это относится и к фьючерсным ценам, ожидаемым через три месяца, приведенным в табл. 3.4.5
Причины хеджирования портфеля акций
Как следует из табл. 3.4, описанная стратегия хеджирования через три месяца увеличивает стоимость позиции хеджера на 1%. В этом нет ничего удивительного, поскольку безрисковая процентная ставка равна 4% годовых, т.е. 1% за три месяца.
’Выполняя вычисления, результаты которых приведены в табл. 3.4, мы предполагали, что доходность акций легко предсказать, безрисковая процентная ставка остается постоянной, а доходность индекса в течение трех месяцев идеально коррелирует с доходностью портфеля. На практике эти условия никогда точно не соблюдаются, и доход хеджеров ниже, чем указано в табл. 3.4.
Таблица 3.4. Эффективность хеджирования фондовых индексов
Величина индекса через три месяца 900 950 1000 1050 1100
Текущая фьючерсная 1010 1010 1010 1010 1010
величина индекса Фьючерсная величина индекса через три месяца 902 952 1003 1053 1103
Прибыль (убытки) от фьючерсной позиции 810000 435000 52 500 -322500 -697500
Доходность рынка -9,750% -4,750% 0,250% 5,250% 10,250%
Ожидаемая доходность портфеля -15,125% -7,625% -0,125% 7,375% 14,875%
Ожидаемая стоимость портфеля через три месяца (с учетом дивидендов) 4 243 750 4618 750 4993 750 5368 750 5 743750
Общая стоимость 5 052 750 5053 750 5046 250 5046 250 5046 250
позиции через три месяца, тыс. долл.
Таким образом, стоимость позиции хеджирования за три месяца увеличилась на величину безрисковой процентной ставки.
Естественно спросить, зачем тогда хеджеру заключать фьючерсные контракты? Чтобы заработать безрисковую процентную ставку, ему достаточно было бы просто продать портфель акций и инвестировать полученную прибыль в казначейские векселя.
Во-первых, хеджирование оправдано, если инвестор уверен, что правильно подобрал состав инвестиционного портфеля. В этой ситуации хеджер может быть совершенно не уверен в перспективах развития рынка в целом, но абсолютно уверен в прибыльности выбранных им акций (с учетом коэффициента /3). Хеджирование с помощью индексных фьючерсов компенсирует риск, связанный с изменением рынка, при этом на прибыль влияет только относительная эффективность самого портфеля. Во-вторых, хеджер может владеть инвестиционным портфелем долгое время, и в этой ситуации ему понадобятся средства защиты от кратковременных колебаний на рынке. Альтернативная стратегия, связанная с продажей портфеля и покупкой его вновь, может привести к неоправданно высоким затратам на оплату транзакций.
Изменение коэффициента /3
В примере, проиллюстрированном в табл. 3.4, коэффициент портфеля /3 был сведен к нулю. Иногда с помощью фьючерсных контрактов этот коэффициент можно сделать ненулевым. Вернемся к предыдущему примеру. Пусть стоимость индекса S&P 500 равна 1 000 долл., стоимость портфеля равна 5 000 000 долл., а коэффициент бета, характеризующий портфель, равен 1,5. Поскольку каждый контракт заключается на 250-кратную стоимость индекса, величинах равна 250000. Количество контрактов для хеджирования портфеля, в которых следует занять короткие позиции, вычисляется по формуле (3.4).
1,5 х
5000000
250000
Например, чтобы уменьшить коэффициент /3 с 1,5 до 0,75, количество заключаемых фьючерсных контрактов следует уменьшить с 30 до 15. И наоборот, чтобы увеличить коэффициент /3 до 2,0, необходимо занять длинную позицию в 10 фьючерсных контрактах. В общем, чтобы изменить значение коэффициента с /3 до /3*, где /3 > в*, необходимо занять короткую позицию в (/3 — /3*) контрактах. Если же /3 < /3*, следует занять длинную позицию в (/3* — /3) д контрактах.
Влияние цены отдельной акции
Некоторые биржи котируют фьючерсные контракты на поставку акций отдельных, специально отобранных компаний, однако в большинстве случаев акции отдельной компании можно хеджировать только с помощью индексных фьючерсных контрактов.
Хеджирование цены отдельной акции с помощью индексного фьючерсного контракта похоже на хеджирование инвестиционного портфеля. Количество индексных фьючерсных контрактов, в которых хеджер должен занять короткую позицию, равно (ЗР/А, где /3 — бета-коэффициент акции, Р — общая стоимость имеющихся акций, а А — текущая стоимость акций, лежащих в основе индексного фьючерсного контракта. Обратите внимание на то, что хотя количество контрактов, которые должен заключить хеджер, совпадает с количеством контрактов, используемых для хеджирования инвестиционного портфеля, эффективность хеджирования значительно снижается. Хедж компенсирует только риски, связанные с колебаниями рынка, а этот риск относительно мал по сравнению с рисками, возникающими вследствие колебания цен отдельных акций. Хеджирование целесообразно, когда инвестор уверен в относительной прибыльности выбранной акции, но не уверен в перспективах рынка в целом. Кроме того, хеджирование могут применять инвестиционные банки, гарантирующие размещение нового выпуска ценных бумаг на рынке и желающие защититься от его колебаний.
Представим себе инвестора, который в июне владеет 20 000 акций компании IBM стоимостью 100 долл, каждая. Он полагает, что в течение следующего месяца рынок будет очень неустойчивым, однако акции компании IBM останутся прибыльными. Исходя из этих рассуждений, инвестор решает использовать августовский фьючерсный контракт на индекс S&P 500 для хеджирования своей позиции в течение одного месяца. Коэффициент /3 компании IBM равен 1,1, текущее значение индекса равно 900, а текущая фьючерсная цена по августовскому контракту на индекс S&P 500 равна 908. Каждый контракт предусматривает выплату суммы, в 250 раз превышающей величину индекса. В данном случае Р — 20000 х х 100 = 2 000 000 и А = 900 х 250 = 225 000. Количество контрактов, в которых инвестор должен занять короткую позицию, равно
1,1 х
2000000
225000
Округляя эту величину до ближайшего целого числа, приходим к выводу, что хеджер должен занять короткую позицию в 10 фьючерсных контрактах, закрыв их через месяц. Предположим, что за это время цена акции компании IBM вырастет до 125 долл., а фьючерсная цена индекса S&P 500 поднимется до 1080. В этой ситуации инвестор получит прибыль в размере 20 000 х (125—100) = 500 000 долл, за счет акций компании IBM и потеряет 10 х 250 х (1080 — 908) = 430000 долл, из-за фьючерсных контрактов.
В описанном примере хеджирование компенсирует прибыль, полученную от базового актива, убытками, принесенным фьючерсными контрактами. Это может показаться нелепым. Однако мы не устанем повторять, что цель хеджирования — не прибыль, а уменьшение риска. Хеджинговая сделка смягчает проигрыш и уменьшает выигрыш.
3.6 Пролонгация хеджингового контракта
Иногда хеджинговые контракты заканчиваются позже, чем даты поставки всех доступных фьючерсных контрактов. Тогда хеджер должен пролонгировать хеджинговый контракт, закрыв один из фьючерсных контрактов и заняв аналогичную позицию в другом, предусматривающем более поздний срок поставки. Хеджинговые контракты можно пролонгировать многократно. Представим себе компанию, желающую с помощью короткой хеджинговой позиции уменьшить риск, связанный с ценой актива в момент Т. Пронумеруем возможные фьючерсные контракты (не обязательно существующие в данный момент) в порядке возрастания их сроков поставки: 1,2,..., п. В этой ситуации компания может использовать следующую стратегию.
Момент ti: занять короткую позицию по фьючерсному контракту 1.
Момент <2: закрыть фьючерсный контракт 1 и занять короткую позицию по фьючерсному контракту 2.
Момент t^: закрыть фьючерсный контракт 2 и занять короткую позицию по фьючерсному контракту 3.
Момент tn: закрыть фьючерсный контракт п — 1 и занять короткую позицию по фьючерсному контракту п.
Момент Т: закрыть фьючерсный контракт п.
Предположим, что в апреле 2004 года некая компания решила продать 100000 баррелей нефти в июне 2005 года и хеджировать риск с коэффициентом 1,0. Текущая цена спот нефти равна 19 долл. Несмотря на то что нефтяные фьючерсы заключаются на Нью-Йоркской товарной бирже на срок до шести лет, будем считать, что компанию могут устроить только шестимесячные контракты с высокой ликвидностью. Следовательно, компания должна занять короткую позицию в 100 контрактах с поставкой в октябре 2004 года. В сентябре 2004 года она пролонгирует хеджинговую сделку, заключая контракт с поставкой в марте 2005 года. В феврале 2005 года компания может снова пролонгировать хеджинговую сделку, заключив контракт с поставкой в июле 2005 года.
Один из возможных исходов такой стратегии представлен в табл. 3.5. Допустим, что в момент заключения контракта с поставкой в октябре 2004 года фьючерсная цена нефти составляла 18,20 долл, за баррель, а в момент его закрытия — 17,40 долл. Таким образом, прибыль компании составит 0,80 долл, за баррель. В марте 2005 года контракт заключается по цене 17,00 долл, за баррель, а закрывается — по цене 16,50 долл, за баррель, принося прибыль в размере 0,50 долл, за баррель. В июле 2005 года контракт заключается по цене 16,30 долл, за баррель, а закрывается — по цене 15,90 долл, за баррель, принося прибыль в размере 0,40 долл, за баррель. Окончательная цена спот равна 16 долл.
Выигрыш за счет коротких позиций по фьючерсным контрактам (без учета стоимости денег) равен
(18,20 - 17,40) + (17,00 - 16,50) + (16,30 - 15,90) = 1,70.
Цена нефти упала с 19 до 16 долл. Компенсация падения цены нефти на три доллара в размере 1,70 долл, совершенно недостаточна. Однако если фьючерсная цена меньше цены спот, то рассчитывать на полную компенсацию нельзя. Самое большее, на что можно надеяться, — это фиксация фьючерсной цены, которую следует использовать в контракте на июль 2005 года при условии, что такие контракты являются предметом активной купли-продажи.
Ежедневные расчеты по фьючерсным контрактам могут привести к несогласованности между расписаниями денежных потоков по хеджинговой сделке
Таблица 3.5. Данные, иллюстрирующие пролонгацию хеджингового контракта
Дата Апрель 2004 Сентябрь 2004 Февраль 2005 Июнь 2005
Фьючерсная цена в октябре 2004 г. 18,20 17,40
Фьючерсная цена в марте 2005 г. 17,00 16,50
Фьючерсная цена в июле 2005 г. 16,30 15,90
Цена спот 19,00 16,00
и денежных потоков в рамках хеджируемой позиции. Пролонгация хеджингового контракта на достаточно долгий период может породить серьезные проблемы (см. врезку “Пример из деловой практики 3.2”).
Пример из деловой практики 3.2. Компания Metallgeselschaft: хеджирование привело к банкротству
Иногда пролонгация фьючерсных контрактов может привести к интенсификации денежных потоков. Особенно ярко эта проблема проявилась в деятельности компании Metallgeselschaft (MG) в начале 1990-х годов.
Компания MG продала огромный объем топлива и бензина, заключив контракты с фиксированной ценой на сроки от пяти до десяти лет. Цена контрактов превышала рыночную на 6-8 центов. Компания хеджировала свои риски, заняв длинные позиции в кратковременных фьючерсных контрактах, которые постоянно пролонгировались. Однако цена нефти упала, и трейдеры получили маржевые требования. В результате, компания MG стала испытывать денежные затруднения. Менеджеры компании, разработавшие неудачную стратегию хеджирования, утверждали, что кратковременные наличные затраты будут компенсированы будущими поступлениями за счет исполнения долговременных контрактов с фиксированной ценой. Однако руководство компании было сильно озабочено огромной утечкой наличности. В результате компания закрыла все свои хеджинговые позиции и аннулировала контракты на поставку нефти с фиксированной ценой. В итоге компания MG потеряла 1,33 млрд долл.
Резюме
В главе рассмотрены многочисленные способы, с помощью которых компания может компенсировать риски, связанные с колебаниями цены актива, заключив фьючерсные контракты. Если при повышении цены актива компания получает прибыль, а при понижении — несет убытки, целесообразно занять короткую хеджинговую позицию. Если же при повышении цены актива компания несет
убытки, а при понижении — получает прибыль, следует занять длинную хеджинговую позицию.
Цель хеджирования — уменьшить риск. Благодаря этому, многие менеджеры считают хеджирование благом. Однако существует огромное количество теоретических и практических причин не хеджировать риски. С теоретической точки зрения, акционеры могут исключить многие риски просто за счет продуманной диверсификации инвестиционного портфеля. В этих ситуациях хеджирование нецелесообразно. С практической точки зрения, если конкуренты нс осуществляют хеджирование, оно иногда повышает, а не понижает риски. Кроме того, если компания может извлечь прибыль за счет благоприятной конъюнктуры, финансовому директору трудно объяснить целесообразность хеджирования, снижающего ожидаемую прибыль.
Важным понятием хеджирования является базисный риск. Базис — это разность между ценой спот и фьючерсной ценой актива. Базисный риск возникает из-за неопределенности будущего значения базиса в момент закрытия контракта. Базисный риск, в основном, более характерен для потребительских активов, чем для инвестиционных.
Коэффициент хеджирования — это отношение размера позиции по фьючерсному контракту к величине хеджируемого актива. Коэффициент хеджирования, равный 1,0, не всегда является наиболее выгодным. Если хеджер желает минимизировать дисперсию позиции, следует выбрать оптимальный коэффициент хеджирования, представляющий собой наклон прямой в регрессионной модели, в которой откликом является изменение спот-цены актива, а независимой переменной — изменение его фьючерсной цены.
Для хеджирования систематического риска, связанного с портфелем акций, можно использовать индексные фьючерсы. Количество необходимых для этого фьючерсных контрактов равно произведению коэффициента (3 на отношение величины портфеля к размеру одного фьючерсного контракта. Кроме того, с помощью индексных фьючерсов можно изменить портфельный коэффициент Д, не изменяя состава портфеля.
Если на рынке нет походящих фьючерсных контрактов, истекающих позже срока хеджирования, можно применить пролонгацию хеджингового контракта. В основе этой стратегии лежит серия последовательных фьючерсных контрактов. Перед закрытием первого фьючерсного контракта хеджер заключает второй, с более поздним сроком поставки. Перед закрытием второго фьючерсного контракта хеджер заключает третий, с более поздним сроком поставки и т.п. Пролонгация хеджингового контракта оправдана, если существует сильная корреляция между изменениями фьючерсной цены и спот-цены актива.
Дополнительная литература
Allayannis G. and Weston J. The Use of Foreign Currency Derivatives and Firm Market Value // Review of Financial Studies, 14, 1 (Spring 2001). — P. 243-276.
Bodnar G. M., Hayt G. S. and Marston R. C. 1998 Wharton Survey of Financial Risk Management by U.S. Non-Financial Firms // Financial Management, 2, 4 (1998). - P. 70-91.
Brown G. W. Managing Foreign Exchange Risk with Derivatives // Journal of Financial Economics, 60 (2001). — P. 401-448.
Culp C. and Miller M. H. Metallgesellschaft and the Economics of Synthetic Storage // Journal of Applied Corporate Finance, 7, 4 (Winter 1995). — P. 62-76.
Ederington L. H. The Hedging Performance of the New Futures Market // Journal of Finance, 34 (March 1979). — P. 157-170.
Edwards F. R. and Canter M. S. The Collapse of Metallgeselschaft: Unhedgeable Risks, Poor Hedging Strategy, or Just Bad Luck? // Journal of Applied Corporate Finance, 8, 1 (Spring 1995). — P. 86-105.
Geczy C„ Minton B. A. and Schrand C. Why Firms Use Currency Derivatives // Journal of Finance, 52, 4 (1997). — P. 1323-1354.
Graham J. R. and Smith C. W. Tax Incentives to Hedge H Journal of Finance, 54, 6 (1999). -P. 2241-2262.
Haustalter G. D. Financing Policy, Basis Risk, and Corporate Hedging: Evidence from Oil and Gas Producers // Journal of Finance, 55, 1 (2000). — P. 107-152.
Mello A. S. and Parsons J. E. Hedging and Liquidity // Review of Financial Studies, 13 (Spring 2000). - P. 127-153.
Neuberger A. J. Hedging Long-Term Exposures with Multiple Short-Term Futures Contracts // Review of Financial Studies, 12 (1999). P. 429-459.
Petersen M. A. and Thiagarajan S. R. Risk Management and Hedging: With and Without Derivatives H Financial Management, 29, 4 (Winter 2000). — P. 5-30.
Stulz R. M. Optimal Hedging Policies H Journal of Financial and Quantitative Analysis, 19 (June 1984). - P. 127-140.
Tufano P. Who Manages Risk? An Empirical Examination of Risk Management Practices in the Gold Mining Industry // Journal of Finance, 51, 4 (1996). — P. 1097-1138.
Tufano P The Determinants of Stock Price Exposure: Financial Engineering and the Gold Mining Industry // Journal of Finance, 53, 3 (1998). — P. 1015-1052.
Вопросы и задачи
3.1. В каких условиях целесообразно занять 1) короткую и 2) длинную хеджинговую позицию?
3.2. Объясните, что такое базисный риск, возникающий, когда для хеджирования используются фьючерсные контракты.
3.3. Объясните, что такое идеальное хеджирование. Всегда ли идеальное хеджирование приводит к лучшим результатам, чем неидеальное? Аргументируйте свой ответ.
3.4. В каких ситуациях оптимальный коэффициент хеджирования портфельных инвестиций приводит к результатам, которых можно достичь и без хеджирования?
3.5. Приведите три причины, по которым финансовый директор компании может отказаться от хеджирования риска.
3.6. Предположим, что стандартное отклонение ежеквартальных изменений цены товара равно 0,65 долл., стандартное отклонение ежеквартальных изменений фьючерсной цены товара равно 0,81 долл., а коэффициент корреляции между ними равен 0,8. Укажите оптимальный коэффициент хеджирования для трехмесячного контракта. Какой смысл имеет эта величина?
3.7. Некая компания вложила 20 млн долл, в инвестиционный портфель, коэффициент (3 которого равен 1,2. Она хотела бы хеджировать свои риски с помощью фьючерсных контрактов на фондовый индекс S&P 500. Текущее значение этого индекса равно 1 080, а сумма каждого контракта равна 250-крагному значению индекса. Какая хеджинговая позиция может минимизировать риски компании? Что должна предпринять компания, чтобы снизить портфельный коэффициент /3 до 0,6?
3.8. Фьючерсные контракты на кукурузу, заключаемые на Чикагской продуктовой бирже, предусматривают сроки поставок в марте, мае, июле, сентябре и декабре. Какой контракт следует применить для хеджирования, если хеджинговый контракт истекает в 1) июне, 2) июле и 3) январе?
3.9. Всегда ли идеальное хеджирование фиксирует текущую спот-цену актива в будущей транзакции? Аргументируйте свой ответ.
3.10. Объясните, почему короткая позиция хеджера улучшается, если базис неожиданно укрепляется, и ухудшается, если базис неожиданно ослабевает.
3.11. Представьте себе, что вы — финансовый директор японской компании, экспортирующей электронное оборудование в США. Опишите свою стратегию хеджирования рисков, связанных с колебанием валютных курсов. Как вы убедите свое руководство принять эту стратегию?
3.12. Вернемся к примеру 3.2 из раздела 3.3. Предположим, что компания решила использовать коэффициент хеджирования, равный 0,8. Как это решение повлияет на реализацию хеджирования и его результаты?
3.13. “Если оптимальный коэффициент хеджирования равен 1,0, хеджирование является идеальным.” Верно ли это утверждение? Аргументируйте свой ответ.
3.14. “Если базисного риска нет, оптимальный коэффициент хеджирования всегда равен 1,0.” Верно ли это утверждение? Объясните свой ответ.
3.15. “Если удобная доходность высока, целесообразно занять длинную хеджин-говую позицию.” Объясните смысл этого утверждения. Приведите пример.
3.16. Предположим, что стандартное отклонение ежемесячных изменений спот-цены крупного рогатого скота равно 1, цента за фунт, стандартное отклонение ежемесячных изменений фьючерсной цены крупного рогатого скота в только что закрытом контракте было равно 1,4 цента за фунт. Коэффициент корреляции между изменениями фьючерсной цены и цен спот равен 0,7. Допустим, что сегодня 15 октября. Производитель говядины хочет использовать для хеджирования своих рисков декабрьские фьючерсные контракты. Каждый контракт предусматривает поставку 40 000 фунтов крупного рогатого скота. Какую стратегию должен выбрать производитель говядины?
3.17. Фермер, выращивающий кукурузу утверждает: “Я не использую для хеджирования фьючерсные контракты. Реальную опасность для меня представляют не колебания цен на кукурузу, а погода”. Обсудите эту точку зрения. Должен ли фермер оценить ожидаемую урожайность кукурузы и хеджировать риски, пытаясь зафиксировать цены на свою продукцию?
3.18. 1 июля некий инвестор получил 50000 акций одной компании. Биржевая цена этих акций равна 30 долл. Желая хеджировать риск, связанный с колебаниями биржевой цены акции в течение ближайшего месяца, инвестор решает использовать сентябрьский фьючерсный контракт на фондовый индекс Mini S&P 500. Текущее значение этого индекса равно 1 500, причем один контракт заключается на сумму, равную 50-кратной величине индекса. Коэффициент акции Д равен 1,3. Какую стратегию должен применить инвестор?
3.19. Вернемся к табл. 3.5. Предположим, что компания решила использовать коэффициент хеджирования, равный 1,5. Как это решение повлияет на реализацию хеджирования и его результаты?
3.20. Рассмотрим ситуацию, в которой для хеджирования используется фьючерсный контракт. Объясните, почему переоценка контракта порождает проблемы, связанные с денежными потоками.
3.21. Менеджер авиакомпании утверждает: “Не имеет смысла использовать топливные фьючерсные контракты. Цена на топливо с одинаковой вероятностью может стать как больше, так и меньше фьючерсной цены”. Обсудите эту точку зрения.
3.22. Предположим, что годовая плата за аренду золота равна 1,5%, а однолетняя безрисковая процентная ставка равна 5,0%. Обе ставки начисляются ежегодно. Воспользуйтесь аргументами, изложенными во врезке “Пример из деловой практики 3.1”, и вычислите однолетнюю форвардную цену, которую компания Goldman Sachs должна установить на золото, цена спот которого равна 400 долл.
Упражнения
3.23. В следующей таблице приведены данные о ежемесячных изменениях спот-цены и фьючерсной цены некоего товара. Вычислите с их помощью оптимальный коэффициент хеджирования.
Изменение цены спот +0,50 +0,61 -0,22 -0,33 +0,79
Изменение фьючерсной цены +0,56 +0,63 -0,12 -0,44 +0,60
Изменение цены спот +0.04 +0.15 +0.70 -0.51 -0,41
Изменение фьючерсной цены -0,06 +0,01 +0,80 -0,56 -0,46
3.24. Представьте себе, что сегодня 16 июля. Некая компания владеет инвестиционным портфелем стоимостью 100 млн долл. Портфельный коэффициент /3 равен 1,2. На протяжении временного периода с 16 июля до 16 ноября компания хотела бы установить портфельный коэффициент (3 на уровне 0,5, используя декабрьский фьючерсный контракт на фондовый индекс S&P 500, котируемый на бирже СМЕ. Текущее значение индекса равно 1 000, причем сумма каждого контракта равна 250-кратному значению индекса.
1) Какую позицию должна занять компания?
2) Предположим, что компания изменила свою точку зрения и теперь хочет повысить портфельный коэффициент <3 с 1,2 до 1,5. Какую позицию по фьючерсным контрактам должна занять компания?
3.25. Перенесемся в октябрь 2004 года. Некая компания знает, что в феврале 2005, августе 2005, феврале 2006 и августе 2006 ей придется купить по одному миллиону фунтов меди. Для хеджирования рисков компания решила использовать фьючерсные контракты, котируемые в подразделении СОМЕХ Нью-Йоркской товарной биржи. Каждый контракт предусматривает поставку 25 000 фунтов меди. Первоначальная маржа равна 2 000 долл, за контракт,
а гарантийная маржа — 1 500 долл, за контракт. Компания хотела бы хеджировать 80% всей суммы. Приемлемыми считаются фьючерсные контракты, срок действия которых не превышает 13 месяцев. Разработайте стратегию хеджирования, используя текущие и фьючерсные цены (в центах за фунт), приведенные в таблице.
Дата Октябрь 2004 Февраль 2004 Август 2005 Февраль 2006 Август 2006
Цена спот 72,00 69,00 65,00 77,00 88,00
Фьючерсная цена на март 2005 г. 72,30 69,10
Фьючерсная цена на сентябрь 2005 г. 72,80 70,20 64,80
Фьючерсная цена на март 2006 г. 70.70 64.30 76,70
Фьючерсная цена на сентябрь 2006 г. 64,20 76,50 88,20
Как эта стратегия повлияет на цену меди? Чему равна первоначальная маржа в октябре 2004 года? Получит ли компания хотя бы одно маржевое требование?
3.26. Фондовый менеджер владеет инвестиционным портфелем стоимостью 50 млн долл, и коэффициентом 0, равным 0,87. Менеджера беспокоит состояние рынка в течение ближайших двух месяцев, и для хеджирования риска он планирует использовать трехмесячные фьючерсные контракты на фондовый индекс S&P 500. Текущее значение индекса равно 1 250, сумма одного контракта в 250 раз превышает значение индекса, безрисковая процентная ставка равна 6% годовых, а дивидендная доходность индекса равна 3% годовых.
1) Чему равна теоретическая фьючерсная цена по трехмесячному фьючерсному контракту?
2) Какую позицию должен занять фондовый менеджер, чтобы исключить влияние рынка на протяжении следующих двух месяцев?
3) Вычислите эффект вашей стратегии на доходы менеджера, если уровень рынка на протяжении двух месяцев равен 1000, 1 100. 1300 и 1 400, а одномесячная фьючерсная цена на 0,25% выше, чем величина индекса в этот момент.
Приложение 3.1. Формула для вычисления оптимального коэффициента хеджирования
Предположим, что в момент £2 ожидается поступление Na единиц актива. Руководство компании решило хеджировать риски в момент t\, заняв короткие позиции по фьючерсным контрактам на Nf единиц аналогичного актива. Коэффициент хеджирования h вычисляется по формуле
fc=^. (3.1.1)
Обозначим общую сумму выручки от продажи актива при хеджировании прибыли и убытков через Y, так что
Y = S2NA - (F2 - F^Nf,
т.е.
Y = SiNa + (S2-Si)Na-(F2-Fi)Nf, (3.1.2)
где Si и S2 — цены актива в моменты 1\ и t2, a Fi и F2 — фьючерсные цены актива в моменты ti и t2. Пользуясь формулой (3.1.1), выражение величины Y в формуле (3.1.2) можно переписать следующим образом:
Y = SiNa + Na(AS - hAF), (3.1.3)
где
AS = S2 - Si и AF = F2 - Fi.
Поскольку величины Si и NA в момент ti известны, то дисперсия величины Y в формуле (3.1.3) достигает минимума, когда дисперсия разности AS — hAF является минимальной. В свою очередь, дисперсия величины AS — hAF равна
V = as + ~ 2hpaSCTF,
где параметры erg, стр и р определены в разделе 3.4, так что
5ц ,2 г,
— = 2/icrF - 2pusaF.
Приравнивая это выражение к нулю и учитывая, что слагаемое является положительным, приходим к выводу, что значение переменной /г, при которой дисперсия достигает минимума, равно
к as п = р—. СГр
;; • . ' '**’ 1 <в 'r •-'’i-," ' ^’ ***
Глава 4
Процентные ставки
Процентные ставки представляют собой фактор, влияющий на оценку практически всех деривативов. По этой причине они будут часто упоминаться в остальной части книги. В главе рассматриваются некоторые фундаментальные вопросы, связанные с измерением и анализом процентных ставок. В частности, разъясняются правила начисления сложных ставок и смысл непрерывного начисления ставок, которое широко используется при оценке деривативов. В главе рассматриваются понятия нуль-купонной ставки, номинальной доходности, кривой доходности, излагаются принципы оценки облигаций, а также в общих чертах описана процедура вычисления нуль-купонных казначейских процентных ставок. Кроме того, в главе описываются форвардные ставки и правила выработки соглашений о форвардных ставках, а также рассматриваются разные теории временной структуры процентных ставок. В заключение демонстрируется использование дюрации и поправок на выпуклость при оценке чувствительности стоимости облигаций к изменениям процентных ставок.
Для простоты изложения в этой главе мы будем игнорировать календарные поправки. Природа этих поправок и способы их применения в процессе вычислений будут описаны в главах 6 и 7. Кроме того, в главе 6 будут рассмотрены процентные фьючерсы и способы использования дюрации для хеджирования рисков, связанных с колебаниями процентных ставок.
4.1 Виды процентных ставок
Процентная ставка (interest rate) — это количество денег, которые заемщик обещает выплатить кредитору. Для каждой конкретной валюты существует множество разных видов процентных ставок. В частности, финансовые операции с национальной валютой предполагают использование процентных ставок по закладным (mortgage rates), депозитных ставок (deposit rates), базисных ставок по кредитам (prime borrowing rates) и т.п. Процентные ставки устанавливаются в зависимости от величины риска, что заемщик не выплатит долг кредитору. Этот вид риска называется кредитным (credit risk). Чем выше кредитный риск, тем выше процентная ставка, обещанная заемщиком.
Казначейские ставки
Казначейские ставки, или ставки по казначейским обязательствам (treasury rates), это процентные ставки, используемые правительством при заимствовании средств в своей собственной валюте. Например, ставки по казначейским обязательствам США — это процентные ставки, под которые правительство США занимает доллары; японские казначейские ставки — это ставки, под которые японское правительство может занять иены, и т.д. Как правило, предполагается, что вероятность правительственного дефолта по облигациям, деноминированным во внутренней валюте, равна нулю.1 По этой причине казначейские ставки часто называются безрисковыми.
Казначейские ставки играют важную роль, поскольку они используются для оценки казначейских облигаций. Они иногда применяются для вычисления выигрыша по деривативу. Однако торговцы деривативами (особенно те, кто активно работает на внебиржевом рынке), как правило, не используют казначейские ставки в качестве безрисковых. Вместо них они предпочитают применять ставки L1BOR.
Ставки LIBOR
Термин LIBOR представляет собой аббревиатуру от словосочетания London Interbank Offer Rate (Лондонская межбанковская ставка продавца). Ставка LIBOR, установленная конкретным банком, является процентной ставкой, под которую этот банк готов предоставить другим банкам большое количество депозитов оптом. Крупные международные банки активно торгуют между собой одномесячными, трехмесячными, шестимесячными и годовыми депозитами, деноминированными во всех мировых валютах. Одномесячной ставкой LIBOR называется процентная ставка, под которую предоставляются одномесячные деривативы, трехмесячной ставкой LIBOR называется процентная ставка, под которую предоставляются трехмесячные деривативы, и т.д.
Депозит, размещенный в банке, можно считать займом, предоставленным этому банку. Следовательно, чтобы принять от другого банка депозит под ставку LIBOR, банк должен соответствовать определенным критериям кредитоспособности. Как правило, он должен иметь кредитный рейтинг АА.2
Финансовые организации, имеющие кредитный рейтинг АА, рассматривают ставку LIBOR как краткосрочные альтернативные затраты на привлечение капитала (opportunity costs of capital). Под эту ставку они могут на короткие сроки занимать средства у других финансовых учреждений. Их собственные ставки LIBOR
1 Вероятность дефолта равна нулю, поскольку правительство всегда может погасить эти облигации за счет дополнительной эмиссии денег
' Высший рейтинг, присваиваемый компании агентством S&P, равен ААА. Второй по величине рейтинг АА. Соответствующие рейтинги, устанавливаемые конкурирующим агентством Moody’s, равны Ааа и Аа соответственно.
представляют собой ставку, под которую они готовы предоставлять свои избыточные средства другим финансовым организациям. Ставки LIBOR не свободны от кредитного риска. Существует небольшая вероятность того, что финансовое учреждение, имеющее кредитный рейтинг АА, объявит дефолт по займу, сделанному под ставку L1BOR. Однако ставка LIBOR близка к безрисковой. Торговцы деривативами считают, что ставки L1BOR лучше отражают поведение “истинной” безрисковой ставки, чем казначейские ставки, поскольку большое количество налогов и норм государственного регулирования искусственно занижают значения казначейских ставок (см. врезку “Пример из деловой практики 4.1”). Чтобы учесть обычную практику деривативных рынков, в остальной части книги термин “безрисковая ставка” означает ставку LIBOR.3
Пример из деловой практики 4.1. Что такое безрисковая ставка
Естественно предположить, что для торговцев деривативами, работающих в финансовых организациях, индикаторами поведения безрисковых процентных ставок являются процентные ставки по казначейским векселям и облигациям. Однако на практике в качестве краткосрочных безрисковых процентных ставок трейдеры обычно используют ставки LIBOR. Это объясняется тем, что они рассматривают ставку LIBOR как краткосрочные альтернативные затраты на привлечение капитала (см. раздел 4.1). Трейдеры считают, что казначейские ставки слишком занижены и не могут использоваться в качестве безрисковых. Причины этого явления перечислены ниже.
1. Финансовые организации вынуждены приобретать казначейские векселя и облигации, чтобы выполнить требования многочисленных регуляторных норм. Это приводит к росту цен казначейских инструментов и снижению доходности.
2. Объем банковского капитала, который должен храниться в виде казначейских векселей и облигаций, существенно меньше, чем объем капитала, который должен храниться в виде инвестиций в другие инструменты, подвергающиеся очень малому риску.
3. В США казначейские инструменты предоставляют их владельцу больше налоговых льгот, чем другие инструменты с фиксированным доходом, поскольку они не облагаются налогом на уровне штата.
Ставка LIBOR приближенно равна краткосрочной кредитной ставке, устанавливаемой для компаний, имеющих рейтинг АА. Следовательно, она не может считаться идеальной заменой безрисковой процентной ставки. Существует
3Точнее говоря, как показано в главе 7, безрисковую процентную ставку следует рассматривать как ставку, производную от ставки LIBOR, а также котировочных цен свопов и фьючерсов на поставку евродолларов.
небольшая вероятность, что заемщик, имеющий рейтинг АА, объявит дефолт по кредиту, взятому по ставке LIBOR. Несмотря на это трейдеры все же считают ставку LIBOR лучшим практическим приближением безрисковой ставки. Ставки LIBOR устанавливаются на 12 месяцев. Как будет показано в главе 7, для продолжения аппроксимации безрисковой процентной ставки за пределы 12 месяцев следует использовать показатели рынка фьючерсов на поставку евродолларов и рынка свопов.
Кроме ставок L1BOR, крупные ставки устанавливают ставки UBID (London Interbank Bid Rate Лондонская межбанковская ставка покупателя). Это ставка, по которой банки готовы принимать депозиты от других банков. В любой момент времени между установленными ставками LIBID и LIBOR существует небольшой спрэд (причем ставка LIBOR выше ставки L1BID). Сами ставки устанавливаются в результате активной межбанковской торговли и непрерывно изменяются, стремясь уравновесить спрос и предложение средств на межбанковском рынке. Например, если банков, желающих занять доллары США на три месяца, больше, чем банков, желающих одолжить доллары США на три месяца, то трехмесячные ставки LIBID и L1BOR в США, устанавливаемые банками, вырастут. Аналогично, если банков, желающих одолжить доллары США на три месяца, больше, чем банков, желающих занять доллары США на три месяца, то трехмесячные ставки L1B1D и LIBOR в США. устанавливаемые банками, упадут. Ставки LIBOR и L1B1D образуют рынок евровалют (eurocurrency market). Этот рынок не регулируется никакими правительствами.
Ставки репо
Иногда при операциях с ценными бумагами торговцы используют договора репо (repo), т.е. договор об обратном выкупе (repurchase agreement). Договор репо — эго контракт, по которому торговец ценными бумагами, владеющий ценными бумагами, согласен продать их другой компании с последующим выкупом по немного более высокой цене. Тем самым один торговец выдает кредит другому. Разница между ценой продажи и ценой будущей покупки ценных бумаг представляет собой процент, который компания-покупатель получит за свои услуги. Этот процент называется ставкой репо (repo rate). Если заем хорошо продуман, его кредитный риск очень мал. Если первоначальный владелец ценных бумаг не выполнит соглашение об обратном выкупе, то компания, предоставившая заем, просто оставит ценные бумаги в своей собственности. Если же условия договора нарушит компания-покупатель, первоначальный владелец ценных бумаг оставит себе деньги.
Наиболее распространенным является договор репо-овернайт (overnight-repo), который заключается на один день. Однако иногда используются и срочные репо (term repo), предусматривающие более длинные сроки действия соглашений.
4.2 Начисление процентных ставок
Заявление банка, что процентная ставка по однолетнему депозиту равна 10% годовых, выглядит ясным и недвусмысленным. Однако смысл этого утверждения зависит от способа начисления ставок.
Если сложная процентная ставка начисляется раз в год, утверждение банка означает, что вложенные 100 долл, до конца года вырастут до
100 х 1,1 = 110 долл.
Если сложная процентная ставка начисляется раз в полгода, значит, каждые полгода на вклад поступают 5% лежащей на нем суммы. В этом случае вложенные 100 долл, до конца года вырастут до
100 х 1,05 х 1,05 = 110,25 долл.
Если сложная процентная ставка начисляется раз в квартал, значит, каждые три месяца на вклад поступают 2,5% лежащей на нем суммы. В этом случае вложенные 100 долл, до конца года вырастут до
100 х 1,0254 = 110,38 долл.
Увеличение вклада в зависимости от частоты начисления процентов приведено в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Увеличение вклада, равного 100 долл., в зависимости от частоты начисления сложных процентов при ставке, равной 10% годовых
Частота начисления Величина вклада в конце года, долл.
Раз в год (т = 1) Раз в полгода (гп = 2) Раз в квартал (гп = 4) Ежемесячно (т = 12) Еженедельно (т = 52) Ежедневно (т = 365) 110,00 110,25 110,38 110,47 110,51 110,52
Частота начисления процентов определяет единицы, в которых измеряется процентная ставка. Процентную ставку с одной частотой начисления процентов можно выразить через ставку с другой частотой начисления. Например, из табл. 4.1 следует, что процентная ставка, равная 10,25% с начислением раз в год,
эквивалентна процентной ставке, равной 10% с начислением раз в полгода. Разницу между частотами начисления процентов можно сравнить с разницей между километрами и милями. Просто это две разные единицы измерения.
Чтобы обобщить наши выводы, предположим, что инвестор вложил А единиц денег на п лет под R процентов годовых. Если процентная ставка начисляется раз в год, то окончательная сумма вклада равна
А(1 + Я)п
Если же процентная ставка начисляется т раз в год, то окончательная сумма вклада равна
(о \ тп
1 + -) (4-1)
т )
Непрерывное начисление
Предел выражения (4.1), если величина т стремится к бесконечности, называется непрерывным начислением (continuous compounding).4 В этом случае легко показать, что сумма А, инвестированная на п лет под R процентов, вырастет до величины
AeRn, (4.2)
где е = 2,71828. Функция ех предусмотрена в большинстве калькуляторов, поэтому вычисление выражения (4.2) не составляет труда. Например, в табл. 4.1 содержатся величины А = 100, п = 1 и R = 0,1. Следовательно, при непрерывном начислении вклад А вырастет до
ЮОе0’1 = 110,52 долл.
С точностью до двух десятичных знаков эта величина совпадает с суммой, полученной при ежедневном начислении процентов. В большинстве реальных ситуаций непрерывное начисление можно считать эквивалентным ежедневному начислению процентов. Начисление суммы, вложенной на п лет, при непрерывном начислении процентов и ставке, равной R, связано с умножением на коэффициент eRn. Скидки с суммы, положенной на тех же условиях, вычисляются с помощью умножения на коэффициент e~Rn.
На протяжении всей книги, если не указано иное, предполагается, что сложные проценты начисляются непрерывно. Читателям, привыкшим, что проценты на вклад начисляются раз в год, полгода, квартал или как-то еще, такое правило, на первый взгляд, может показаться странным. Однако при оценке деривативов в подавляющем большинстве случаев используется именно непрерывное начисление процентов.
4Специалисты по страхованию иногда называют непрерывно начисляемую процентную ставку силой интереса (force of interest).
Предположим, что Rc — процентная ставка, начисляемая непрерывно, а /?.т — эквивалентная ей ставка, начисляемая т раз в год. Из выражений (4.1) и (4.2) вытекает следующее равенство.
ЛеЯСП = А / t +
\ т
или
ел<
Значит,
Rc = т In
т.е.
Rm = т (eR^m - 1) .
(4.3)
(4-4)
Эти формулы позволяют пересчитывать процентные ставки, начисляемые т раз в год, в непрерывно начисляемые проценты и наоборот. Функция In х представляет собой натуральный логарифм и предусмотрена в большинстве калькуляторов. Взаимосвязь между функциями In х и ет выражается следующим утверждением: если у = In х, то х = еу.
Пример 4.1
Рассмотрим процентную ставку, равную 10% годовых с начислением раз в полго-да. Подставляя в формулу (4.3) величины т = 2 и Rm = 0,1, приходим к выводу, что эквивалентная процентная ставка с непрерывным вычислением равна
21П\1 + Т/ =0,09758,
т.е. 9,758% годовых. □
Пример 4.2
Предположим, что ростовщик предоставил заем под 8% годовых с непрерывным начислением, хотя на самом деле проценты выплачиваются раз в квартал. Подставляя в формулу (4.4) величины т = 4 и Rc = 0,08, приходим в выводу, что эквивалентная процентная ставка с ежеквартальным вычислением равна
4(е0,08/4 - 1) = 0,0808
т.е. 8,08% годовых. Это значит, что на 1000 долл, займа заемщик должен каждый квартал выплачивать 20,20 долл. □
4.3 Нуль-купонные ставки
Процентная ставка по инструментам с нулевым купоном, нулъ-купонная ставка или нулевая ставка (zero rate), — это процентная ставка, начисляемая на инвестиции в финансовые инструменты со сроком действия п лет. И проценты, и основной капитал по этим инвестициям выплачиваются через п лет. Промежуточные выплаты не предусмотрены. Эта процентная ставка иногда еще называется п-летней спот-ставкой (n-year spot rate). Предположим, что пятилетние казначейские обязательства с нулевым купоном и с непрерывным начислением процентов имени нулевую ставку, равную 5% годовых. Это значит, что 100 долл., инвестированных на пять лет по безрисковой процентной ставке, вырастут до
100 х е° 05x5 = 128,40 долл.
Многие рассматриваемые нами процентные ставки не являются нуль-купонны-ми в полном смысле. Предположим, что пятилетняя государственная облигация предусматривает 6%-ный купон. Цена этой облигации не соответствует пятилетней казначейской нуль-купонной ставке в полной мере, поскольку часть дохода выплачивается в форме купона еще до истечения пятилетнего срока. Позднее мы рассмотрим способ определения казначейской нуль-купонной ставки по цене котируемых ценных бумаг.
4.4 Оценка облигаций
Многие облигации предусматривают периодические выплаты по купонам. Кроме того, в момент погашения владелец облигации получает ее номинальную стоимость. Теоретическую цену облигации можно вычислить как приведенную (текущую) стоимость всех денежных выплат, которые получит ее владелец, если в качестве дисконтной используется нуль-купонная ставка. Допустим, что казначейские нуль-купонные ставки с непрерывным начислением равны величинам, представленным в табл. 4.2 (способ их вычисления будет рассмотрен позднее). Предположим также, что двухлетняя казначейская облигация, номинальная стоимость которой равна 100 долл., предусматривает купонные выплаты 6% годовых раз в полгода. Чтобы вычислить текущую стоимость первого купона на сумму, равную трем долларам, используем величину коэффициента дисконтирования, равного 5% для шести месяцев. Чтобы вычислить текущую стоимость второго купона на сумму, равную трем долларам, сделаем скидку на 5,8% за год. Итак, теоретическая цена облигации
3е-0,05х0,5 + ^-0,058x1.0 + ^-0,064x1,5 103е”0,008x2.0 g83g долл_
Таблица 4.2. Казначейские нуль-купонные ставки
Срок погашения, лет Нуль-купонная ставка, % с непрерывным начислением
0,5 1,0 1,5 2,0 5,0 5,8 6,4 6,8
Доходность облигации
Доходность купонной облигации равна дисконтной ставке, уравнивающей суммы денежных поступлений по облигации ее рыночной стоимости. Предположим, что теоретическая цена рассмотренной нами облигации, равная 98,39 долл., совпадает с рыночной стоимостью облигации (т.е. рыночная стоимость облигации точно согласована с табл. 4.2). Если у — доходность облигации при непрерывном начислении процентов, должно выполняться следующее уравнение.
3e-s/xo.5 + 3е-?/х1,0 + Зе-з/х1,5 + 1ОЗе-ух2.о = 9839 дслл
Решая это уравнение с помощью итерационного метода, получаем: у = 6,76%.5
Номинальная доходность
Номинальная доходность (par yield) облигации — это такая величина купонной ставки, которая приравнивает рыночную стоимость облигации к ее номиналу. Обычно облигации предусматривают полугодовые купоны. Предположим, что купон по двухлетней облигации в нашем примере равен с% годовых (т.е. 0,5с за полгода). Используя нуль-купонные ставки, приведенные в табл. 4.2, приходим к выводу, что стоимость акции совпадает с номинальной, если выполняется следующее уравнение.
0,5се“°’05х°’5-|-0,5св~0’058х1’0+0,5се“П’()64х1’5+(100+0,5с)е"0’068х2’0 = 100 долл.
Решая это уравнение относительно переменной с, получим ответ: с = 6,87%. Итак, номинальная доходность двухлетней облигации равна 6,87% годовых при полугодовом начислении процентов (или 6,75% при непрерывном начислении).
’Нелинейное уравнение вида у(х) = 0 можно решать с помощью метода Ньютона-Рафсона. Выбирая в качестве начального приближения значение уо, по формуле уг+1 = yi — f(yi)/ получим последовательность чисел yi, у?, ..., сходящуюся к решению уравнения. Здесь f'(y,) — значение производной функции / по переменной у в точке у->.
Обобщим сказанное. Пусть d -- приведенная стоимость одного доллара, полученного в момент погашения облигации, А — стоимость аннуитета, по которому в момент погашения каждого купона выплачивается один доллар, и т — количество купонных выплат за год. Тогда доходность с вычисляется с помощью решения следующего уравнения.
100 = А— 4- 100d.
т
Следовательно, (100 - 100d) т с~ АГ~ ‘
В нашем примере т = 2, d = е~°>068х2 = 0,87284 и
А = g—0,05x0,5 + f-0,058x1.0 + <,-0,064x1,5 + g-0,068x2,0 = 3 ^7 долл.
Эта формула подтверждает, что номинальная доходность равна 6,87% годовых при полугодовом начислении.
4.5 Вычисление казначейских нуль-купонных
ставок
Рассмотрим способы вычисления казначейских нуль-купонных ставок по стоимости ценных бумаг, лежащих в основе сделки. Один из методов называется бутстрэп (bootstrap method). Чтобы проиллюстрировать сущность этого метода, рассмотрим данные о цене пяти облигаций, приведенные в табл. 4.3.
Таблица 4.3. Результаты расчета по методу бутстрэп
Номинал облигации,долл. Срок погашения, лет Годовой купон*, долл. Стоимость облигации, долл.
100 0,25 0 97,5
100 0,50 0 94,9
100 1,00 0 90,0
100 1,50 8 96,0
100 2,00 12 101,6
* Половина годового купона должна выплачиваться каждые шесть месяцев
Поскольку первые три облигации не предусматривают купонных выплат, нуль-купонные ставки в момент погашения этих облигаций вычисляются просто. Трехмесячная облигация на момент погашения принесет 2,5 долл., если сумма первоначальной инвестиции равна 97,5 долл. При ежеквартальном начислении трехмесячная процентная ставка равна (4 х 2,5)/97,5 = 10,256%. Из формулы (4.3)
следует, что при непрерывном начислении процентов ставка равна
4 In
0,10256 4
= 0,10127,
т.е. 10,127% годовых. Шестимесячная облигация на момент погашения приносит 5,1 долл, дохода, если первоначальная сумма равна 94,9 долл. При полугодовом начислении процентов шестимесячная ставка равна (2 х 5,1)/94,9 = 10,748% годовых. Кроме того, из формулы (4.3) следует, что при непрерывном начислении
ставка равна
2 In
0,10748 \
2 /
= 0,10469,
1 +
т.е. 10,469% годовых. Аналогично при непрерывном начислении однолетняя став-
ка равна
1,1('+я
= 0,10536,
т.е. 10,536% годовых.
Срок погашения четвертой облигации равен 1,5 годам. По ней осуществляются следующие выплаты.
6 месяцев: 4 долл.
1 год: 4 долл.
1,5 года: 104 долл.
Из предыдущих вычислений мы знаем, что дисконтная ставка на выплаты через шесть месяцев равна 10,469%, а через год — 10,536%. Кроме того, нам известно, что стоимость облигации, т.е. 96 долл., должна быть равной текущей стоимости всех выплат, полученных ее владельцем. Обозначим через R полуторагодичную нуль-купонную ставку. В этом случае должно выполняться следующее уравнение.
4е-0,10469x0,5 + 4е-0,10536x1,0 + Ю4е~ Дх1,5 = gg
Итак,
e-/?xi,5 = 0,85196,
или
д = _ыад|19б=0110681
1,5
Таким образом, полуторагодичная нуль-купонная ставка равна 10,681%. Это единственная нуль-купонная ставка, соответствующая полугодовой и годовой ставкам, а также данным из табл. 4.3.
Двухлетнюю нуль-купонную ставку можно точно так же вычислить с помощью шестимесячной, годовой и полуторалетней нуль-купонных ставок, а также
информации, приведенной в табл. 4.3. Обозначим через R двухлетнюю нуль-ку-понную ставку. В этом случае должно выполняться следующее уравнение.
6б,-0,10469x0,5 + 6е-0,10536X1,0 + ^-0.10681x1,5 ... 106е~Ях2,О = 101д
Следовательно, В — 0,10808, т.е. 10,808%.
Результаты вычисления ставок приведены в табл. 4.4. Зависимость нуль-ку-понной ставки от срока погашения называется нулевой кривой (zero curve). Как правило, нулевую кривую представляют в виде ломаной, вершины которой вычисляются с помощью метода бутстрэп. (Это значит, что в нашем примере нуль-купонная ставка через 1,25 года равна 0,5 х 10,536 4- 0,5 х 10,681 = 10,6085%.) Кроме того, обычно считается, что на интервалах до первой точки и после последней точки нулевая кривая проходит горизонтально. Нулевая кривая, построенная на основе вычисленных нами данных, приведена на рис. 4.1. Если бы сроки погашения облигаций были более долгими, следовало бы уточнить нулевую кривую на интервале после двух лет.
Таблица 4.4. Непрерывно начисляемые нуль-купонные ставки, определенные по данным из табл. 4.3
Срок погашения, лет Нулевая ставка, % с непрерывным начислением
0,25 10,127
0,50 10,469
1,00 10,536
1,50 10,681
2,00 10,808
Рис. 4.1. Нулевые ставки, вычисленные с помощью метода бутстрэп
На практике обычно не бывает облигаций со сроками погашения точно через 1,5 года, 2 года, 2,5 года и т.д. В таких ситуациях аналитики прибегают к интерполированию данных с помощью нулевой кривой. Например, если известно, что облигация со сроком погашения через 2,3 года с 6%-ным купоном продается за 98 долл., а облигация со сроком погашения через 2,7 года с 6,5%-ным купоном продается за 99 долл., то можно предположить, что облигация со сроком погашения через 2,5 года с 6,25%-ным купоном должна быть продана за 98,5 долл.
4.6 Форвардные ставки
Форвардными называются процентные ставки, установленные на будущие интервалы времени на основе текущих нуль-купонных процентных ставок. Чтобы проиллюстрировать их вычисление, предположим, что во втором столбце табл. 4.5 приведены нуль-купонные ставки. Предполагается, что ставки начисляются непрерывно. Итак, ставка на уровне 3% годовых, установленная на один год, означает, что, вложив сегодня 100 долл., через год инвестор получит 100е0,03х1 = = 103,05 долл.; ставка на уровне 4% годовых, установленная на два года, означает, что, вложив сегодня 100 долл., через два года инвестор получит Ю0е0,04х2 = = 108,33 долл, и т.д.
Таблица 4.5. Вычисление форвардных ставок
Год, п Нулевая ставка п-летних инвестиций, % в год Форвардная ставка на п-й год, % в год
1 3,0
2 4,0 5,0
3 4,6 5,8
4 5,0 6,2
5 5,3 6,5
Из табл. 4.5 следует, что форвардная процентная ставка на второй год равна 5%. Эта процентная ставка учитывает нуль-купонные процентные ставки за период с конца первого года до конца второго. Ее можно вычислить по однолетней нуль-купонной процентной ставке, равной 3% годовых, и двухлетней нуль-купон-ной процентной ставке, равной 4% годовых. Процентная ставка, установленная на второй год, выбирается так, чтобы среднее арифметическое значение этой ставки с однолетней ставкой равнялось 4% за все два года. Чтобы показать, что правильная ставка равна 5% в год, предположим, что сумма инвестиций равна 100 долл. При ставке, равной 3% на первый год и 5% на второй, к концу второго года сумма увеличится до
100е0’03х1е°’05х1 = 108,33 долл.
При ставке, равной 4% за оба года, доход за два года также будет равен
100е°’О4х2 = 108,33 долл.
Отсюда следует, что при непрерывном начислении процентных ставок и комбинировании ставок за несколько последовательных периодов времени эквивалентная ставка просто равна средней ставке за весь интервал времени. (В нашем примере, когда ставки равны 3% за первый год и 5% за второй, средняя ставка за два года равна 4%.) Этот результат является приблизительным, поскольку эти ставки не
начислялись непрерывно.
Форвардная ставка на третий год обусловлена двухлетней процентной ставкой, равной 4% годовых, и трехлетней нуль-купонной ставкой, равной 4,6% годовых. Она равна 5,8% годовых. Это объясняется тем, что двухлетняя инвестиция под 4% годовых сочетается с однолетней инвестицией под 5,8% годовых, что в среднем дает 4,6% в год. Другие форвардные ставки можно вычислить аналогично (см. третий столбец в табл. 4.5). В обшем, если R] и - это нуль-купонные процентные ставки, соответствующие срокам погашения Т\ и Т^, a Rp — форвардная процентная ставка, установленная для интервала времени между моментами 71 и ?2, то
R.2T2 — R>T]
Rf = ~^tT
(4.5)
Чтобы проиллюстрировать эту формулу, рассмотрим вычисление форвардной ставки на четвертый год на основе данных, приведенных в табл. 4.5: Т\ — 3, 7^ = 4, = 0,046 и /?2 == 0,05. Результат равен Rp — 0,062.
Формулу (4.5) можно переписать следующим образом.
Rf = R2 + (Т?2 — 7?]) ——--7г - ti
(4.6)
Отсюда следует, что если на интервале времени между моментами 7\ и Т? нулевая кривая имеет положительный наклон, т.е. R2 > Ri, то Rp > R% (иначе говоря, форвардная ставка больше обеих нуль-купонных ставок). Аналогично, если на интервале времени между моментами 71 и Т2 нулевая кривая имеет отрицательный наклон, т.е. R2 < 7?i, то Rp < R2 (иначе говоря, форвардная ставка меньше обеих нуль-купонных ставок).
Переходя в формуле (4.6) к пределу при Т2 —> Т\ и обозначая предельный момент времени через Т, получаем следующий результат:
Rf = R + T^,
где R — нуль-купонная ставка с погашением в момент Т. Величина Rp называется мгновенной форвардной ставкой (instantaneous forward rate) с погашением
в момент Т. Именно эта форвардная ставка используется для очень короткого периода времени в будущем, который начинается в момент Т.
Предположим, что нуль-купонные процентные ставки для займов и инвестиций одинаковы (для крупных финансовых учреждений эта натяжка не является слишком грубой). Инвестор может зафиксировать форвардную ставку на будущий период времени. Допустим, что нуль-купонные ставки равны величинам, указанным в табл. 4.5. Если инвестор взял в долг 100 долл, под 3% на один год, а затем инвестировал эту сумму под 4% на два года, то в конце первого года его денежные расходы будут равны 100е° 03х1 = 103,05 долл., а в конце второго года денежные доходы будут равны 100е°,04х2 = 108,33 долл. Поскольку 108,33 = 103,05е0,05, доход инвестора равен форвардной ставке (т.е. 5%), начисленной на 103,05 долл, в течение второго года. Допустим далее, что инвестор взял в долг 100 долл, на четыре года по 5% и вложил их на три года под 4,6%. В конце третьего года его денежный доход будет равен 1ООео,46х3 = 114,80 долл., а в конце четвертого года его денежный расход будет равен 100е°,05х4 = 122,14 долл. Поскольку 122,14 = = 114,8Ое0,062, на четвертый год деньги следует давать в долг под форвардную ставку, равную 6,2%.
Если инвестор считает, что в будущем ставки будут отличаться от текущих форвардных ставок, то он может осуществить одну из многих возможных торговых стратегий (см. врезку “Пример из деловой практики 4.2”). Одна из этих стратегий сводится к заключению контракта, который называется соглашением о форвардной ставке (forward rate agreement). Рассмотрим эту стратегию подробнее.
Пример из деловой практики 4.2. Игры на основе кривой доходности в городке Оранж Каунти
Предположим, что некий инвестор может занять или одолжить средства по ставкам, приведенным в табл. 4.5, и полагает, что однолетние процентные ставки в течение следующих пяти лет изменятся не очень сильно. В этом случае инвестор может взять деньги в долг на один год и вложить их на пять лет. В конце первого, второго, третьего и четвертого годов однолетний долг можно пролонгировать. Если процентные ставки останутся неизменными, то эта стратегия принесет ему около 2,3% годовых, поскольку инвестор получает доход на уровне 5,3%, выплачивая ставку, равную 3%. Этот вид торговой стратегии называется игрой на основе кривой доходности (yield curve play). Инвестор рассчитывает на то, что в будущем ставки будут существенно отличаться от форвардных ставок, зафиксированных на рынке в настоящий момент. (В нашем примере на рынке зарегистрированы однолетние форвардные ставки, равные 5%, 5,8%, 6,2% и 6,5%.)
В 1992-1993 гг. Роберт Цитрон, финансовый директор муниципалитета г. Оранж Каунти, успешно занимался играми на основе кривой доходности. Выигрыш, полученный благодаря этим играм, стал существенным дополнением
к бюджету города. В результате Роберт Цитрон был переизбран на второй срок. (Примечательно, что ни один из его оппонентов в ходе избирательной компании ни разу не упомянул о том, что такие игры являются довольно рискованными.) В 1994 г. мистер Цитрон повысил ставки в своей игре. Он сделал крупные инвестиции в финансовые инструменты, которые приносили выигрыш, равный разности между фиксированной и плавающей ставками (inverse floaters). Кроме того, он использовал эффект рычага, сделав займы на рынке ставок репо. Если бы краткосрочные процентные ставки остались неизменными или упали, то все было бы хорошо. Однако на протяжении 1994 г. процентные ставки резко выросли.
1 декабря 1994 г. муниципалитет г. Оранж Каунти объявил, что его потери от сделанных инвестиций составили 1,5 млрд долл., и через несколько дней был объявлен банкротом.
4.7 Соглашения о форвардных ставках
Соглашение о форвардной ставке (FRA — forward rate agreement) — это внебиржевое соглашение, устанавливающее определенный размер процентной ставки на определенную основную сумму в течение определенного периода времени в будущем. В данном разделе мы рассмотрим способы оценки FRA.
Проанализируем соглашение о форвардной ставке, в соответствии с которым некая компания X одалживает компании Y деньги на период времени между моментами Т\ и Т^. Введем следующие обозначения.
Rk'. процентная ставка, установленная соглашением о форвардной ставке;
Rf. форвардная ставка L1BOR, установленная на период времени между моментами Т[ и Т2;6
Rm- фактическая ставка LIBOR, действующая в период времени между моментом Ti и датой выплаты Т2;
L: основная сумма контракта.
Откажемся на время от предположения о непрерывном начислении процентов и допустим, что частота начисления ставок Rf и Rm согласована с продолжительностью контракта. Это значит, что если Т? - Т\ = 0,5, то проценты начисляются раз в полгода, если Т% — Ti = 0,25 — раз в квартал и т.д.
Как правило, компания X желает получить за заем по ставке LIBOR сумму Rm- Соглашение о форвардной ставке означает, что вместо этого компания получит сумму R^. Дополнительная процентная ставка (которая может быть и отрицательной) равна Rk — Rm- Она представляет собой прибыль (или убыток),
6Форвардные ставки LIBOR вычисляются с помощью нулевой кривой LIBOR/своп так, как показано в разделе 4.6. Процедура построения кривой LIBOR/своп описана в разделе 7.6.
полученную благодаря заключению соглашения FRA. Процентная ставка устанавливается в момент Ti и выплачивается в момент Т^. Следовательно, дополнительная процентная ставка (extra interest rate) создает денежный поток, получаемый компанией X в момент Т^. Величина этого потока равна
L(Rk ~ Rm)(Tz — Ti). (4.7)
Кроме того, существует денежный поток, получаемый компанией Y. Его величина равна
L(Rm ~ Rk)(Tz - 7i). (4.8)
Из формул (4.7) и (4.8) следует другая интерпретация соглашения о форвардной ставке. Его можно трактовать как соглашение, в рамках которого компания X получает доход, начисляемый на основную сумму за период времени между моментами Ti и ?2 по процентной ставке Rk, и выплачивает реализованную рыночную ставку Rm- В свою очередь, компания Y выплачивает доход, начисленный на основную сумму за период между моментами времени 71 и Т% по фиксированной ставке Rk, и получает доход по ставке Rm-
Как правило, соглашения о форвардной ставке заключаются в момент Т), а не в момент Т-2. Следовательно, выигрыш следует пересчитать с момента Ту на момент Ti. В момент 7\ выигрыш для компании Хравен
L(Rk-Rm) (T2-Tj)
1 + 7?м(Г2-71) ’
а для компании Y —
L(Rm-Rk) (72-71)
1 + RM (Т2 - Ti) ’
Пример 4.3
Предположим, что некая компания заключила соглашение о форвардной ставке, в котором указано, что в течение трехмесячного периода, начало которого наступит через три года, она получит фиксированную ставку на уровне 4%, начисленную на основную сумму в размере одного миллиона долларов. Если на самом деле трехмесячная ставка LIBOR будет равна 4,5%, то за три месяца величина денежного потока через 3,25 года составит
1000000 х (0,04 - 0,045) х 0,25 = -1250 долл.
Эта сумма эквивалентна величине денежного потока, зафиксированного через три
года:
1250
1 + 0,045 х 0,25
= — 1 236,09 долл.
Денежный поток контрпартнера через 3,25 года составит +1250 долл., а через три года---1-1236,09 долл, (все процентные ставки в примере начисляются раз
в квартал.) □
Оценка
Чтобы оценить FRA, сначала заметим, что при Rk = Rf его стоимость всегда равна нулю.7 Это объясняется тем, что, как показано в разделе 4.6, крупные финансовые учреждения могут бесплатно фиксировать форвардную ставку на будущий период времени. Например, они могут зафиксировать форвардную ставку, которую планируют получить в период времени между вторым и третьим годом, взяв определенную сумму денег в долг на два года и инвестировав ее на три года. Аналогично они могут зафиксировать форвардную ставку, которую планируют выплатить в период времени между вторым и третьим годом, взяв определенную сумму денег в долг на три года и инвестировав ее на два года.
Сравним два соглашения о форвардных ставках. Согласно первому соглашению держатель контракта за период времени между моментами Ti и Т2 должен получить форвардную ставку R.p на основной капитал L. Согласно второму соглашению за тот же период времени на ту же сумму держатель контракта должен получить форвардную ставку R.p- Эти контракты отличаются только размерами выплат в момент Т2. Следовательно, разность между стоимостью второго и первого контрактов равна текущей стоимости разности между размерами процентных выплат, т.е.
L(RK-RF)
где /?2 — непрерывно начисляемая процентная ставка в момент завершения контракта Тг-8 Поскольку стоимость соглашения FRA, предусматривающего ставку Rf, равна нулю, стоимость соглашения FRA, обещающего ставку Rp, равна
VFra = L (Rp - Rf) (Т2 - Тх) e~R*r*. (4.9)
Если соглашение FRA предусматривает досрочную выплату процентной ставки Rk, его стоимость вычисляется по следующей формуле.
VFRA = L (Rf - Rp) (Т2 - Ti) е-^7'2. (4.10)
Пример 4.4
Допустим, что нуль-купонная и форвардная ставки LIBOR принимают значения, приведенные в табл. 4.5. Рассмотрим соглашение о форвардной ставке, по которой между концом первого года и концом второго года на основную сумму, равную одному миллиону долларов, инвестор получит 6%, начисляемых ежегодно. В данном случае при непрерывном начислении форвардная ставка равна 5%,
7Как правило, при первом заключении соглашения о форвардной ставке ставка Rk устанавливается на уровне форвардной ставки Rp.
8Обратите внимание на то, что сроки начисления ставок Rk, R и Rp согласованы с разностью 7 2 - 7’1, в то время как ставка Т?2 начисляется непрерывно.
а при ежегодном — 5,127%. Из формулы (4.9) следует, что стоимость данного соглашения FRA равна
1 000 000 х (0,06 - 0,05127) х е'°’04х2 = 8 058 долл. п
Сравнивая формулы (4.7) и (4.9), легко увидеть, что стоимость соглашения о форвардной ставке легко вычислить, выполнив следующие этапы.
1. Вычисляем выигрыш, предполагая, что форвардные ставки были реализованы, т.е. Rm = Ry-
2. Дисконтируем выигрыш по безрисковой ставке.
4.8 Дюрация
Дюрация (duration) облигации — мера эффективного срока погашения облигации, определяемая как взвешенное среднее значение сроков времени до каждого платежа. Например, дюрация облигации с нулевым купоном со сроком погашения через п лет равна п лет. Однако дюрация n-летней облигации с процентными купонами меньше этой величины, поскольку ее владелец получает определенные денежные суммы до истечения срока погашения.
Предположим, что владелец некоей облигации в моменты tj получает денежные суммы Cj(l < г < п). Цена облигации В и ее доходность у (начисляемая непрерывно) связаны следующим соотношением.
В = ^сге^. (4.11)
г=1
Дюрация облигации D определяется по формуле
----. (4.12)
L)
Эту величину можно переписать следующим образом.
Выражение в квадратных скобках представляет собой отношение текущей стоимости денежных сумм в момент Ц к цене облигации. В свою очередь, цена облигации равна сумме всех выплат. Следовательно, дюрация облигации является средневзвешенной суммой моментов выплат, в которой весами являются доли
текущей стоимости облигации, обусловленные выплатами в моменты t4-. Сумма всех весов равна единице.
Если осуществить параллельный сдвиг Ду кривой доходности, то будет выполняться следующее приближенное равенство.
ДВ=^Ду. (4.13)
dy
Из формулы (4.11) следует, что
71
= (4.14)
?=1
(Обратите внимание на то, что между величинами В и у существует обратная зависимость. Если доходность облигации увеличивается, то цена облигации уменьшается. Если доходность облигации уменьшается, то цена облигации увеличивается.) С помощью формул (4.12) и (4.14) можно вывести основную формулу дюрации.
ДВ = -ВЕ>Ду. (4.15)
Ее можно переписать в следующем виде.
= -D&y. (4.16)
Формула (4.16) представляет собой приближенную зависимость между процентными изменениями цены облигации и ее доходности. Она удобна в употреблении, и благодаря этому дюрация, впервые предложенная Маколеем (Macaulay) в 1938 году, стала широко распространенным показателем.
Рассмотрим трехлетнюю облигацию с 10%-ными купонами и номинальной стоимостью, равной 100 долл. Предположим, что доходность облигации равна 12% годовых с непрерывным начислением. Следовательно, у — 0,12. Купонные выплаты в размере пяти долларов выплачиваются каждые полгода. Вычисления, необходимые для определения дюрации облигации, приведены в табл. 4.6. Значения текущей стоимости денежных сумм, выплачиваемых по облигации, при условии, что учетная ставка равна доходности облигации, приведены в третьем столбце (например, текущая стоимость первой денежной выплаты равна 5е- °42хо,5 __ — 4,709 долл.). Сумма всех чисел в третьем столбце равна 94,213 долл. Веса вычисляются путем деления чисел из третьего столбца на 94,213. Сумма всех чисел в пятом столбце равна дюрации облигации, т.е. 2,653 года.
Небольшие изменения процентных ставок часто измеряются с помощью базисных пунктов (basis points), т.е. сотых частей годового процента. Оценим точность вычисления дюрации облигации по формуле (4.15).
Таблица 4.6. Вычисление дюрации облигации
Время, лет Денежные суммы, долл. Текущая стоимость, долл. Вес Время х Вес
0,5 5 4,709 0,050 0,025
1,0 5 4,435 0,047 0,047
1,5 5 4,176 0,044 0,066
2,0 5 3,933 0,042 0,083
2,5 5 3,704 0,039 0,098
3,0 105 73,256 0,778 2,333
Всего 130 94,213 1,000 2,653
Пример 4.5
Цена В облигации, рассмотренной в табл. 4.6, равна 94,213 долл., а дюрация D — 2,653 года. Следовательно, из формулы (4.15) следует, что
ДВ = -94,213 х 2,653Ду.
т.е.
ДВ = -249,95Ду.
Если доходность облигации увеличивается на 10 базисных пунктов, т.е. на 0,1%, Д(/ = +0,001. Отсюда следует, что ДВ = —249,95 х 0,001 = —0,250, а значит, цена облигации снижается до 94,213 — 0,250 — 93,963 долл. Насколько точен этот результат? Если доходность облигации увеличивается на 10 базисных пунктов, ее цена равна
0,121x0,5 + 5е-0,121 + 5е-0,121x1,5 + 5е~0,121x2,0_|_
+ 5e-0421x2-5 + 1о5е-О,121х1,5 = 93 963 долл
Этот результат с точностью до третьего десятичного знака совпадает с доходностью облигации, вычисленной по ее дюрации. □
Модифицированная дюрация
Предыдущий анализ был основан на предположении, что процентная ставка у начисляется непрерывно. Если же она начисляется раз в год, приближенную формулу (4.15) можно переписать следующим образом.
ДВ
1 + у
Вообще говоря, если процентная ставка у начисляется т раз в год, то
дв =
1 + у/т
Переменную В*. определенную формулой
1 + у/т'
иногда называют модифицированной дюрацией облигации (bond’s modified duration). Эта переменная позволяет записать формулу для вычисления изменения цены облигации в более простом виде.
ДВ = -BD*Ay.
(4.17)
В этой формуле предполагается, что процентная ставка у начисляется т раз в год.
Оценим точность этой формулы.
Пример 4.6
Цена В облигации, рассмотренной в табл. 4.6, равна 94,213 долл., а дюрация D — 2,653 года. Доходность облигации при начислении процентов раз в полгода равна 12,3673%. Модифицированная дюрация D* равна
D*
2,653
1 + 0,123673/2
= 2,499.
Из уравнения (4.17) следует, что
ДВ = —94,213 х 2,4985Ду,
т.е.
ДВ = -235,39Ду.
Если доходность облигации (при начислении процентов раз в полгода) увеличивается на 10 базисных пунктов, т.е. на 0,1%, то Ду = +0,001. Отсюда следует, что ДВ = —235,39 х 0,001 = —0,235, а значит, цена облигации снижается до 94,213 — 0,235 = 93,978 долл. Насколько точен этот результат? Если доходность облигации увеличивается на 10 базисных пунктов, т.е. до 12,4673% (что соответствует 12,0941% при непрерывном начислении), точные вычисления выполняются точно так же, как и в предыдущем примере. Цена облигации в этом случае равна 93,978 долл. Это свидетельствует о том, что формула для вычисления модифицированной дюрации является довольно точной. □
Портфели облигаций
Дюрацию портфеля облигаций D можно представить как среднее взвешенное значение всех дюраций отдельных облигаций, веса которых пропорциональны их ценам. В этой ситуации для оценки изменения стоимости портфеля В при небольшом изменении процентных ставок Ду также можно использовать формулы (4.15) и (4.17), где В — стоимость портфеля.
Следует подчеркнуть, что применять понятие дюрации к портфелю облигации можно лишь в том случае, когда доходности всех облигаций, входящих в портфель, изменяются на одну и ту же величину. Если эти облигации имеют разные сроки погашения, такое предположение выполняется только тогда, когда существует параллельный сдвиг кривой доходности нулевого купона. Таким образом, выражения (4.15) и (4.17) следует интерпретировать как оценки влияния, которое параллельный сдвиг нулевой кривой Ду оказывает на стоимость портфеля облигаций.
4.9 Выпуклость
Зависимости, связывающие дюрацию облигации и ее доходность, применяются только при небольших изменениях доходности. На рис. 4.2 показана зависимость между относительными изменениями стоимости и изменениями доходности двух портфелей облигаций, имеющих одинаковую дюрацию. В начале координат градиенты этих двух кривых являются одинаковыми. Это значит, что при малых изменениях доходности стоимости этих портфелей изменяются на одинаковую величину. Это соответствует формуле (4.16). При больших изменениях доходности портфели ведут себя по-разному. Зависимость изменения стоимости портфеля X от изменения доходности его облигаций имеет большую кривизну, чем аналогичная зависимость для портфеля Y. Чтобы учесть эту кривизну, в формулу (4.16) вводят фактор выпуклости (convexity factor).
Коэффициент выпуклости вычисляется по следующей формуле.
1 д2В
В ду2 В
С помощью разложения в ряд Тейлора можно получить более точное выражение, чем формула (4.13).
Это приводит к следующей формуле.
Л-р- /дД9+ 'с(Дв)'д
JD Z
Коэффициент выпуклости инвестиционного портфеля становится максимальным, если выплаты по ценным бумагам происходят равномерно через большие промежутки времени. И наоборот, коэффициент выпуклости достигает минимума, если все выплаты происходят единовременно. Согласовывая выпуклости и дюрации ценных бумаг, компания может застраховаться от относительно большого
Рис. 4.2. Два портфеля облигаций с одинаковыми дюрациями
параллельного сдвига нулевой кривой. Однако она остается незащищенной от непараллельных изменений.
4.10 Теории временной структуры процентных ставок
Возникает естественный вопрос: что означает форма нулевой кривой? Почему она иногда постоянно убывает, иногда постоянно возрастает, а иногда то возрастает, то убывает? Для ответа на этот вопрос предложено множество теорий. Простейшей из них является теория ожиданий (expectations theory). В основе этой теории лежит предположение о том, что долгосрочные процентные ставки должны отражать ожидаемые краткосрочные процентные ставки. Точнее говоря, эта теория утверждает, что форвардная процентная ставка, соответствующая определенному периоду в будущем, равна ожидаемой нуль-купонной ставке за этот период. В свою очередь, теория сегментации (segmentation theory) предполагает, что краткосрочные, среднесрочные и долгосрочные процентные ставки не обязаны зависеть друг от друга. В рамках этой теории считается, что крупные инвесторы, например большие пенсионные фонды, инвестируют средства в облигации с определен iwm сроком погашения и неохотно меняют один срок погашения на другой. Краткосрочная процентная ставка определяется по законам спроса
и предложения, существующим на рынке краткосрочных облигаций; среднесрочная процентная ставка зависит от уровней спроса и предложения, сложившихся на рынке среднесрочных облигаций, и т.д.
Наиболее привлекательной является теория предпочтительной ликвидности (liquidity preference theory), утверждающая, что форвардная процентная ставка всегда должна быть выше ожидаемой нуль-купонной ставки. Основное предположение, лежащее в основе этой теории, заключается в том, что инвесторы предпочитают сохранять ликвидность и вкладывать средства на короткие сроки. С другой стороны, заемщики, как правило, предпочитают брать активы в долг по фиксированным ставкам на долгие периоды времени. Если процентные ставки, предлагаемые банками и другими финансовыми посредниками, соответствуют теории ожидания, го долгосрочные процентные ставки должны быть равными средним ожидаемым краткосрочным процентным ставкам. В обычных обстоятельствах инвесторы предпочитают вкладывать свои средства на короткий срок, а заемщики предпочитают брать деньги в долг надолго. В итоге, банки финансируют большое количество долгосрочных займов и хранят большое количество краткосрочных депозитов. Это порождает повышенный риск потерь, связанных с уменьшением стоимости ценных бумаг в результате снижения процентных ставок. На практике, чтобы уравновесить количество вкладчиков и заемщиков и снизить риск потерь, финансовые посредники повышают долгосрочные процентные ставки по отношению к ожидаемым краткосрочным процентным ставкам. Это позволяет снизить спрос на долгосрочные таймы с фиксированной ставкой и стимулировать инвесторов вкладывать свои средства на долгий срок.
Резюме
Наиболее важными процентными ставками для торговцев производными финансовыми инструментами являются казначейские ставки и ставки LIBOR. Казначейскими называются ставки, под которые правительство делает заимствования. Ставки L1BOR эго краткосрочные кредитные ставки, по которым один банк готов предоставить заем другому банку на межбанковском рынке. При оценке производных ценных бумаг в качестве безрисковых часто используются ставки LIBOR.
Частота начисления определяет масштаб измерения процентной ставки. Разность между процентными ставками, начисляемыми ежегодно и ежеквартально, аналогична разности между расстояниями, измеренными в милях и в километрах. При анализе стоимости деривативов трейдеры часто используют непрерывное начисление ставок.
На финансовых рынках существует большое количество разных процентных ставок. В частности, для n-летних инвестиций, весь доход по которым выплачи-
вается в конце срока, применяется n-летняя нуль-купонная ставка, или п-летняя спот-ставка. Номинальная доходность облигации в момент ее погашения равна купонному проценту, при котором стоимость облигации совпадает с номинальной. Форвардными называются ставки, устанавливаемые на будущие периоды времени на основе текущих нуль-купонных ставок.
Для вычисления нуль-купонных ставок чаще других используется метод бут-стрэп. Его сущность заключается в следующем: сначала анализируются краткосрочные инструменты, которые затем разворачиваются в долгосрочные, на каждом этапе обеспечивая согласованность нуль-купонных ставок с ценами финансовых инструментов. Этот метод ежедневно используется для уточнения нулевой кривой казначейской ставки.
Соглашение о форвардной ставке (FRA —- forward rate agreement) — это внебиржевое соглашение, устанавливающее определенный размер процентной ставки на определенную основную сумму в течение определенного периода времени в будущем. Стоимость такого соглашения можно оценить, предположив, что форвардные ставки были реализованы, и дисконтировав вычисленный выигрыш.
Важным понятием, тесно связанным с процентной ставкой, является дюрация. Она измеряет чувствительность стоимости портфеля облигаций к небольшому параллельному сдвигу кривой нуль-купонной доходности. В частности,
ДВ = — BDLsy,
где В — стоимость портфеля облигаций, D — дюрация портфеля, Ду — величина небольшого параллельного сдвига, а ДВ — результирующее изменение стоимости портфеля облигаций.
Дополнительная литература
Allen S. L. and Kleinstein A. D. Valuing Fixed-Income Investments and Derivative Securuties. — New York Institute of Finance, New York, 1991.
Fabozzi F. J. Fixed-Income Mathematics: Analytical and Statistical Techniques. — McGrow-Hill, New York, 1996.
Fabozzi F. J. Duration, Convexity, and Other Bond Risk Measures. — Frank J. Fabozzi Assoc., 1999.
Grinblatt M. and Longs taff F. A. Financial Innovation and the Role of Derivatives Securitues: An Empirical Analysis of the Treasury Strips Program // Journal of Finance, 55, 3 (2000). - P. 1415-1436.
Jorion P. Big Bets Gone Bad: Derivatives and Bankruptcy in Orange County. — New York: Academic Press, 1995.
Stigum M. and Robinson F. L. Money Markets and Bond Calculations. — Chicago: Irwin, 1996.
Вопросы и задачи
4.1. Банк установил процентную ставку, равную 14% годовых с ежеквартальным начислением. Вычислите эквивалентную процентную ставку 1) при непрерывном начислении и 2) при ежегодном начислении.
4.2. Объясните смысл ставок LIBOR и LIBID. Какая из них выше?
4.3. Допустим, что шестимесячная и однолетняя нуль-купонные ставки равны 10% годовых, срок погашения облигации равен 18 месяцам, ставка купона равна 8% годовых (при начислении раз в полгода), а доходность равна 10,4% годовых. Чему равна цена облигации? Чему равна 18-месячная нуль-купонная ставка? Все начисления производятся раз в полгода.
4.4. Некий инвестор получил 1 100 долл., вложив год назад 1 000 долл. Вычислите процентный годовой доход при разных видах начисления.
1) начисление раз в год;
2) начисление раз в полгода;
3) начисление раз в месяц;
4) непрерывное начисление.
4.5. В таблице приведены нуль-купонные процентные ставки с непрерывным начислением.
Срок погашения, мес. Ставка, % годовых
3 8,0
6 8,2
9 8,4
12 8,5
15 8,6
18 8,7
Вычислите форвардную процентную ставку на два, три, четыре, пять и шесть кварталов вперед.
4.6. Предположим, что нуль-купонные ставки принимают значения, указанные в задаче 4.5. Чему равна стоимость соглашения FRA, дающего его держателю возможность получить 9,5%, начисленных на основную сумму, равную одному миллиону долларов, за трехмесячный период, начинающийся через год? Будем считать, что процентная ставка начисляется поквартально.
4.7. Предположим, что временная структура процентной ставки имеет положительный наклон. Расположите следующие величины в порядке возрастания.
1) пятилетняя нуль-купонная ставка;
2) доходность пятилетней облигации с купонами;
3) форвардная ставка, соответствующая периоду между моментами времени 5 и 5,25 года в будущем.
4.8. Как дюрация характеризует чувствительность стоимости портфеля облигаций к процентным ставкам? Какие ограничения следует учитывать при вычислении дюрации?
4.9. Какой уровень процентной ставки при непрерывном начислении соответствует 15% годовых с ежемесячным начислением?
4. К). Депозитный счет приносит 12% годовых при непрерывном начислении, но доход вычисляется раз в квартал. Какой доход будет выплачиваться поквартально на депозит в сумме 10000 долл.?
4.11. Предположим, что 6-, 12-, 18-, 24- и 30-месячные нуль-купонные ставки равны 4%, 4,2%, 4,4%, 4,6% и 4,8% годовых при непрерывном начислении соответственно. Оцените наличную цену облигации с номинальной стоимостью, равной 100 долл., и сроком погашения через 30 месяцев, если купонные выплаты в размере 4% годовых выплачиваются раз в полгода.
4.12. Купонные выплаты по трехлетней облигации в размере 8% выплачиваются раз в полгода, а наличная цена равна 104 долл. Чему равна доходность такой облигации?
4.13. Предположим, что 6-, 12-, 18- и 24-месячные нуль-купонные ставки равны 5%, 6%, 6,5% и 7% годовых соответственно. Чему равна двухлетняя номинальная доходность?
4.14. Предположим, что нуль-купонные процентные ставки с непрерывным начислением принимают значения, приведенные в таблице.
Срок погашения, лет Ставка, % годовых
1 2,0
2 3,0
3 3.7
4 4.2
5 4,5
Вычислите форвардную процентную ставку на второй, третий, четвертый и пятый годы.
4.15. Используя ставки, указанные в задаче 4.14, оцените стоимость соглашения FRA, в соответствии с которым держатель должен выплатить в течение третьего года 5%, начисленные на один миллион долларов.
4.16. Десятилетняя облигация с 8%-ным купоном в настоящий момент продается за 90 долл. Десятилетняя облигация с 4?/о-ным купоном в настоящий ». момент продается за 80 долл. Чему равна десятилетняя нуль-купонная ставка? {Подсказка: рассмотрите вариант, в котором инвестор занимает длинную позицию по двум двухлетним облигациям с 4%-ными купонами и короткую позицию по одной облигации с 8%-ным купоном.)
4.17. Подробно объясните, почему теория предпочтения ликвидности согласуется ; с эмпирическим наблюдением, в соответствии с которым временная струк-
i тура чаще имеет возрастающую тенденцию, чем убывающую.
| 4.18. “Если нулевая кривая возрастает, то нуль-купонная ставка в момент пога-
1 шения превышает номинальную доходность. Если нулевая кривая убывает, 5 имеет место обратная зависимость.” Обоснуйте это утверждение.
4.19. Почему казначейская ставка в США значительно меньше других ставок, j близких к безрисковой?
4.20. Почему заем на рынке репо имеет очень небольшой кредитный риск?
4.21. Объясните, почему соглашение FRA эквивалентно обмену плавающей процентной ставки на фиксированную.
’ 4.22. Доходность пятилетней облигации равна 11% (начисляемых непрерывно).
В конце каждого года выплачивается 8%-ный купон.
1) Какова цена облигации?
2) Какова дюрация облигации?
3) Используя дюрацию, вычислите, на какую величину изменится цена облигации, если доходность снизится на 0,2%.
4) Вычислите цену облигации, если ее доходность равна 10,8% годовых, и сравните результат с ответом, полученным при решении задачи 3.
4.23. Наличные цены шестимесячного и однолетнего казначейских векселей равны 94,0 и 89,0 долл. Полуторалетняя облигация с полугодовыми купонными выплатами в размере 4 долл, продается за 94,84 долл. Двухлетняя облигация с полугодовыми купонными выплатами в размере 5 долл, продается за 97,12 долл. Вычислите 6-, 12-, 18- и 24-месячные нуль-купонные ставки.
Упражнения
4.24. Предположим, что процентная ставка равна 5% годовых при полугодовом начислении. Чему равна эквивалентная ставка 1) при ежегодном начислении, 2) при ежемесячном начислении и 3) при непрерывном начислении?
4.25. Предположим, что 6-, 12-, 18- и 24-месячныс нуль-купонные ставки равны 4%, 4,5%, 4,75% и 5% годовых соответственно (начисления производятся раз в полгода).
I) Чему равны эти ставки при непрерывном начислении?
2) Чему равна форвардная ставка, установленная на шестимесячный период, начинающийся через 18 месяцев?
3) Чему равна стоимость соглашения FRA, в соответствии с которым его держатель должен выплачивать 6% (при полугодовом начислении) от основной суммы, равной одному миллиону долларов, в течение шестимесячного периода, начинающегося через 18 месяцев?
4.26 Чему равна двухлетняя номинальная доходность, если нулевые ставки принимают значения, указанные в задаче 4.25? Чему равна доходность двухлетней облигации, при которой купонная выплата равна ее номинальной доходности?
4.27. В таблице приведены цены следующих облигаций.
Номинальна» стоимость облигации,долл. Срок погашения, лет Годовой купон\ долл. Цена облигации, долл.
100 0,50 0,0 98
100 1.00 0.0 95
100 1,50 6.2 101
100 2,00 8,0 104
’Предполагается, что половина этой суммы выплачивается раз в полгода.
1) Вычислите нуль-купонные ставки для сроков погашения, равных 6, 12, 18 и 24 месяца.
2) Чему равны форвардные ставки на следующие периоды: от 6 до 12 месяцев, от 12 до 18 месяцев, от 18 до 24 месяцев?
3) Чему равна 6-, 12-, 18- и 24-месячная номинальная доходность облигации, предусматривающей выплаты раз в полгода?
4) Определите цену и доходность двухлетней облигации с полугодовыми купонами на 7% годовых.
4.28. Портфель А состоит из однолетней облигации с нуль-купонным купоном и номинальной стоимостью 2 000 долл., а также десятилетней облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью 6000 долл. Портфель В состоит из 5,95-летней облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью 5 000 долл. Текущая доходность всех облигаций равна 10% годовых.
1) Покажите, что оба портфеля имеют одинаковую дюрацию.
2) Покажите, что процентные изменения стоимости обоих портфелей на 0,1% годовых приводят к такому же повышению их доходности.
3) Какие процентные изменения стоимости двух портфелей приведут к 5%-ному росту доходности?
Глава 5
Определение форвардных и фьючерсных цен
В главе рассматривается взаимосвязь между форвардными и фьючерсными ценами, с одной стороны, и ценой спот, с другой. Форвардные контракты легче анализировать, чем фьючерсные, поскольку они не предусматривают ежедневных расчетов - только единовременную выплату в момент истечения срока контракта. По этой причине большая часть анализа в первой части главы будет относиться к форвардным, а не фьючерсным ценам. К счастью, если сроки действия форвардного и фьючерсного контрактов совпадают, форвардная и фьючерсная цены актива, как правило, очень близки. Во второй части главы мы воспользуемся этим результатом для определения фьючерсных цен для контрактов на фондовые индексы, иностранную валюту и другие активы.
5.1 Инвестиционные и потребительские активы
Анализируя форвардные и фьючерсные контракты, необходимо различать инвестиционные и потребительские активы. Инвестиционный актив (investment asset) — это товар или ценные бумаги, которыми владеют значительное количество инвесторов, преследуя инвестиционные цели. Очевидно, что акции и облигации представляют собой яркий пример инвестиционных активов. Золото и серебро также можно отнести к категории инвестиционных активов. Следует отметить, что инвестиционные активы не обязательно приобретаются для инвестиционных целей. Например, серебро часто используется в промышленном производстве. Однако для того чтобы актив считался инвестиционным, необходимо, чтобы большое количество инвесторов приобретали его именно для инвестиций. Потребительский актив (consumption asset) — это товар, приобретаемый для потребления. Как правило, такой актив не предназначен для инвестирования. К числу потребительских активов можно отнести медь, нефть и свинину.
Как будет показано ниже, для определения форвардной и фьючерсной цен инвестиционного актива на основе его цены спот и других рыночных показате
лей можно использовать методы арбитража. Однако для определения форвардной и фьючерсной цен потребительских активов эти приемы применить невозможно.
5.2 Продажа без покрытия
Некоторые арбитражные стратегии, описанные в главе, используют продажу без покрытия или короткую продажу (short selling). Так называются сделки, связанные с продажей активов, которые продавцам не принадлежат. В некоторых, но не во всех случаях предметом таких сделок являются инвестиционные активы. Рассмотрим пример продажи без покрытия акций некоей компании.
Предположим, инвестор отдал своему брокеру приказ продать без покрытия 500 акций компании IBM. Брокер выполнит этот приказ, взяв акции взаймы у другого клиента и продав их на рынке, как обычно. Если у брокера всегда есть возможность взять акции взаймы у своих клиентов, инвестор может занимать короткую позицию сколь угодно долго. Однако на определенном этапе инвестору все же придется закрыть короткую позицию, купив 500 акций компании IBM и вернув их кредитору. Если цена акций упадет, инвестор получит прибыль, если вырастет — понесет убытки. Если в какой-то момент времени на протяжении срока действия контракта брокер потеряет возможность брать акции взаймы, инвестор попадет в стесненное положение (short-squeezed) и вынужден будет закрыть позицию немедленно, даже на невыгодных условиях.
Инвестор, занимающий короткую позицию, должен выплачивать брокеру все доходы, например дивиденды или проценты, которые в обычных условиях приносят продаваемые ценные бумаги. В свою очередь, брокер обязан перечислять эти деньги на счет клиента, у которого акции были одолжены. Рассмотрим позицию инвестора, продавшего без покрытия 500 акций компании IBM в апреле, когда цена акции была равна 120 долл., и выкупившего их в июле, когда ее цена упала до 100 долл. Предположим, что дивиденд на акцию был равен одному доллару и выплачивался в мае. Следовательно, в мае инвестор должен был выплатить 500 X 1 = 500 долл. Кроме того, закрывая позицию в июле, инвестор заплатил 500 х 100 = 50000 долл. Итак, чистая прибыль инвестора составила
60 000 - 500 - 50 000 = 9 500 долл.
Этот пример проиллюстрирован в табл. 5.1. В ней показано, что денежные потоки от продажи без покрытия представляют собой зеркальное отражение денежных потоков, возникающих вследствие покупки акций в апреле и их последующей продажи в июле.
Инвестор обязан поддерживать баланс маржинального счета (margin account) через брокера, депонируя деньги или ценные бумаги. Они служат гарантией, что при увеличении цены акций инвестор не откажется от короткой позиции. Этот
Таблица 5.1. Денежные потоки, возникающие вследствие продажи без покрытия и покупки акций
Покупка акций
Апрель: Покупка 500 акций за 120 долл. —60 000 долл.
Май: Получение дивидендов +500 долл.
Июль: Продажа 500 акций по 100 долл. +50 000 долл. Чистая прибыль = — 9 500 долл.
Продажа акций без покрытия
Апрель: Заем 500 акций и продажа их по 120 долл. +60 000 долл.
Май: Выплата дивидендов —500 долл.
Июль: Покупка 500 акций по 100 долл. —50 000 долл.
Замена одолженных акций для закрытия короткой позиции
Чистая прибыль = +9 500 долл.
счет напоминает маржинальный счет для фьючерсных контрактов, рассмотренный в главе 2. Сначала инвестор должен внести первоначальную маржу, а затем при увеличении цены акций от него могут потребовать дополнительные взносы. Маржинальный счет не отражает затрат инвестора, поскольку на него начисляются проценты. Если процентная ставка покажется инвестору неприемлемо низкой, то для погашения маржинальных требований он может воспользоваться казначейскими векселями. Выручка от продажи ценных бумаг принадлежит инвестору и, как правило, становится частью первоначальной маржи.
Регулирующие органы США в настоящее время разрешают продавать акции без покрытия, если в момент продажи их цена растет (on an uptick), т.е. если последним по времени изменением цены акции было ее увеличение. Исключение составляют лишь продажи без покрытия корзины акций, по которой рассчитывается фондовый индекс.
5.3 Предположения и обозначения
В главе приняты следующие предположения, касающиеся основных маркет-? мейкеров.
1. Сделки на рынке осуществляются бесплатно.
2. Чистая прибыль маркет-мейкеров облагается налогом по одинаковым правилам.
? 3. Маркет-мейкеры могут как брать, так и давать деньги взаймы по одной и той
? же безрисковой процентной инвестиционной ставке.
4. Маркет-мейкеры могут использовать возникающие арбитражные возможности.
Подчеркнем, что эти утверждения не распространяются на всех маркет-мейкеров. Достаточно, чтобы они выполнялись для ключевых маркет-мейкеров, например для крупных инвестиционных банков. Это вполне резонно, поскольку именно стремление главных маркет-мейкеров использовать арбитражные возможности определяет зависимость между форвардными и ценами спот.
На протяжении главы используются следующие обозначения.
Т: время до момента поставки по форвардному и фьючерсному контрактам, лет;
Sq: текущая цена базового актива, лежащего в основе форвардного или фьючерсного контракта;
Foi текущая форвардная или фьючерсная цена;
г: годовая безрисковая процентная ставка на инвестиции, срок действия которых истекает в момент поставки (т.е. через Т лет), выраженная через ставку с непрерывным начислением.
Теоретически, безрисковой называется процентная ставка г, под которую осуществляются заимствования и кредиты, имеющие полную гарантию возврата денег. Иногда эту ставку считают равной казначейской ставке, под которую правительство занимает деньги в собственной валюте. Однако на практике, как указано в главе 4, крупные финансовые учреждения устанавливают ее на уровне ставки LIBOR.
5.4 Форвардная цена инвестиционного актива
Проще всего оценить форвардный контракт на поставку инвестиционного актива, не приносящего инвестору никакого дохода. Примерами таких активов являются бездивидендные акции и облигации с нулевым купоном.
Иллюстрация
Рассмотрим трехмесячный форвардный контракт на покупку акции, не предусматривающей выплаты дивидендов.1 Предположим, что текущая цена акции равна 40 долл., а трехмесячная безрисковая процентная инвестиционная ставка равна 5% годовых. Рассмотрим арбитражные стратегии в двух противоположных ситуациях.
'Форвардные контракты на отдельные акции на практике встречаются редко. Однако они очень полезны для иллюстрации основных идей. Фьючерсы на отдельные акции впервые появились в США в ноябре 2002 года.
Сначала предположим, что форвардная цена относительно высока и равна 43 долл. Арбитражер может взять в долг 40 долл, по безрисковой процентной ставке, равной 5% годовых, купить одну акцию и заключить форвардный контракт на продажу одной акции с поставкой через три месяца. По истечении трех месяцев арбитражер поставляет акцию и получает 43 долл. Сумма, которую необходимо выплатить кредитору, равна
40е0,05x3/12 = 40)50
ДОЛЛ.
Следуя этой стратегии, арбитражер через три месяца фиксирует прибыль, равную 43,00 - 40,50 = 2,50 долл.
Предположим теперь, что форвардная цена относительно мала и равна 39 долл. Арбитражер может продать одну акцию без покрытия, инвестировать доход, полученный от продажи, на три месяца под 5% годовых и занять длинную позицию в трехмесячном форвардном контракте. Доход, полученный от продажи акции, через три месяца будет равен 40е0,05х3/12 = 40,50 долл. Итак, через три месяца арбитражер выплатит за акцию 39 долл., получит ее от контрагента по форвардному контракту и закроет ею короткую позицию. Его чистая прибыль через три месяца вычисляется так.
40,50 — 39,00 = 1,50 долл.
Эти две торговые стратегии продемонстрированы в табл. 5.2.
Таблица 5.2. Арбитражные возможности, возникающие, когда форвардная цена не совпадает с ценой спот актива, не приносящего дохода. (Цена актива = 40 долл., процентная ставка = 5%, срок действия контракта = 3 месяца)
Форвардная цена = 43 долл. Форвардная цена = 39 долл.
В настоящий момент: Занимаем 40 долл, под 5% на три месяца Покупаем одну акцию Заключаем форвардный контракт на продажу актива через три месяца по 43 долл. Через три месяца: Продаем актив за 43 долл. Возвращаем 40,50 долл, в качестве долга с процентами Полученная прибыль = 2,50 долл. В настоящий момент: Продаем без покрытия одну акцию и получаем 40 долл. Инвестируем 40 долл, под 5% на три месяца Заключаем форвардный контракт на покупку актива через три месяца по 39 долл. Через три месяца: Покупаем актив по 36 долл. Закрываем короткую позицию Полученная прибыль = 1,50 долл.
При каких условиях возникают арбитражные возможности, описанные выше? Первая арбитражная возможность возникает, если форвардная цена больше 40,50 долл. Вторая арбитражная возможность возникает, если форвардная цена меньше 40,50 долл. Следовательно, если бы арбитражные возможности были исключены, форвардная цена должна была бы установиться на уровне 40,50 долл.
Обобщение
Чтобы обобщить описанный пример, рассмотрим форвардный контракт на бесприбыльный инвестиционный актив, цена которого равна Sq. В наших обозначениях Т — это срок действия контракта, г — безрисковая процентная ставка, a Fq — форвардная цена. Зависимость между величинами Fo и Sq описывается следующей формулой.
Fo = SoerT. (5.1)
Если Fq > SoerT, арбитражер может купить актив и заключить форвардные контракты на его продажу. Если Fo < SoerT, арбитражер может продать актив без покрытия и заключить форвардные контракты на его покупку.2 В нашем примере So = 40, г = 0,05 и Т = 0,25. Следовательно,
Fo = 40е°’05х0’25 = 40,50 долл.
Эта величина полностью согласуется с нашими предыдущими вычислениями.
И длинная позиция по форвардному контракту, и покупка с немедленной поставкой (spot purchase) приводят к получению актива в момент Т. Форвардная цена выше спот-цены, поскольку существуют затраты на финансирование покупки с немедленной поставкой на протяжении срока действия форвардного контракта. Это обстоятельство не учли менеджеры компании Kidder Peabody, что привело к большим неприятностям (см. врезку “Пример из деловой практики 5.1”).
Пример 5.1
Проанализируем четырехмесячный форвардный контракт на покупку облигации с нулевым купоном, срок погашения которой наступит через один год. Текущая цена облигации равна 930 долл. (Это значит, что облигация будет погашена через восемь месяцев после истечения срока действия форвардного контракта.) Будем считать, что четырехмесячная безрисковая непрерывно начисляемая процентная ставка равна 6% годовых. Поскольку облигация с нулевым купоном не приносит дохода, следует применить формулу (5.1), в которой Т = &/V2., г — 0,06 * So
2Чтобы убедиться в справедливости формулы (5.1), рассмотрим другую стратегию: купить одну акцию актива и заключить форвардный контракт на его продажу через Т лет по цене Fo долл. Такой контракт стоит So долл, и очевидным образом приводит через Т лет к притоку наличности в сумме Fo долл. Следовательно, величина So должна быть равной текущей цене Fo. Иначе говоря,
So = Foe.~rT, т.е. Fo = SoerT.
и So = 930. Форвардная цена Fq вычисляется по формуле
Fo = 930е°’06х4/12 = 948,79 долл.
Именно такой должна быть цена поставки в контракте, который заключается сегодня. □
Пример из деловой практики 5.1. Ошибка компании Kidder Peabody
Инвестиционные банки разработали способ создания нуль-купонных облигаций, получивших название стрип (strip), используя казначейские облигации с купонами путем продажи денежных потоков, создаваемых облигациями с купонами в качестве отдельных ценных бумаг. Джозеф Джетт (Joseph Jett), трейдер компании Kidder Peabody, придумал относительно простую торговую стратегию. Он планировал покупать облигации “стрип” и продавать их на форвардном рынке. Как показывает равенство (5.1), форвардная цена финансового инструмента, не приносящего дохода, всегда выше цены спот. Предположим, например, что трехмесячная процентная ставка равна 4% годовых, а спот-цена облигации “стрип” равна 70 долл. Трехмесячная форвардная ставка облигации “стрип” равна 70ео,О4х3/12 = 70,70 долл.
' Компьютерная система компании Kidder Peabody сообщила, что прибыль каждой сделки, заключенной Джеттом, равна величине, на которую форвардная цена превышает цену спот (в нашем примере, 0,70 долл.). Фактически, эта прибыль ; представляла собой не что иное, как стоимость финансирования покупки обли-Ё гации “стрип”. Однако пролонгируя свои контракты, Джетт мог предотвращать г |ти расходы.
| ' В результате система сообщила, что благодаря сделкам Джетта компания [Получила 100 млн долл, прибыли (и Джетт получил большую премию), в то
время как на самом деле убытки компании составили около 350 млн долл. Этот дример демонстрирует, что даже крупные финансовые учреждения могут делать элементарные ошибки!
; Что делать, если продажа без покрытия невозможна
Продажа без покрытия разрешается не для всех инвестиционных активов. Однако это не создает никаких трудностей. Чтобы вывести формулу (5.1), возможность продажи без покрытия вовсе не обязательна. Требуется лишь значительное юличество людей, владеющих активами исключительно с целью инвестирования i (для инвестиционных активов это условие выполняется по определению). Если форвардная цена слишком низкая, эти люди предпочтут продать актив и занять : длинную позицию в форвардном контракте.
Предположим, что базовый актив — это золото. Будем считать, что оно не приносит доходов, а его хранение не требует затрат. Если Fq > SoerT, инвестор может придерживаться следующей стратегии.
1. Взять в долг So долл, под г процентов на Т лет.
2. Купить одну унцию золота.
3. Заключить форвардный контракт на продажу одной унции золота.
Через Т лет унцию золота можно продать за Fo долл. За кредит в этот момент необходимо уплатить SoerT долл. Следовательно, инвестор получит прибыль, равную Fo — SoerT.
Предположим теперь, что Fo < SoerT. Инвестор, имеющий унцию золота, может сделать следующее.
1. Продать золото за So долл.
2. Инвестировать полученную сумму на время Т под г процентов.
3. Занять длинную позицию в форвардном контракте на покупку одной унции золота.
Через Т лет инвестированная сумма возрастет до SqF1 долл. В этот момент инвестор может выкупить золото за Fo долл., получив прибыль, которая на SoerT— — Fo долл, больше, чем прибыль инвестора, который просто хранил золото.
Для акции, не предусматривающей выплату дивидендов, форвардная цена также должна устанавливаться на уровне, исключающем рассмотренные выше арбитражные возможности. Следовательно, формула (5.1) выполняется и в этом случае.
5.5 Известный доход
В разделе рассматривается форвардный контракт на инвестиционный актив, обеспечивающий его владельцу вполне предсказуемый денежный доход. Примером такого актива являются акции с дивидендами и облигации с процентными купонами. Сначала проанализируем вычислительный пример, а затем перейдем к формальным рассуждениям.
Иллюстрация
Рассмотрим длинный форвардный контракт на покупку облигации с процентными купонами, текущая цена которой равна 900 долл. Предположим, что форвардный контракт заключен на девять месяцев, а через четыре месяца ожидается выплата по купонам в размере 40 долл. Предположим, что четырех- и девятимесячная безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) равны 3% и 4% годовых соответственно.
Предположим сначала, что форвардная цена относительно высока и равна 910 долл. Арбитражер может взять в долг 900 долл, на покупку облигации и заключить форвардный контракт на ее продажу. Текущая стоимость первой выплаты по купонам равна 40е’~0,03х4/12 = 39,60 долл. Следовательно, 39,60 из 900 долл, заимствуется под 3% годовых на четыре месяца, поэтому эту сумму можно возместить после выплаты по купонам. Оставшиеся 860,40 долл, заимствуются под 4% годовых на девять месяцев. Сумма, начисленная на это вложение через девять месяцев, равна 86О,4Оео,4х0,75 = 886,60 долл. В момент исполнения форвардного контракта инвестор получил за облигацию 910 долл. Итак, чистая прибыль арбитражера вычисляется по следующей формуле.
910,00 - 886,60 = 23,40 долл.
Предположим теперь, что форвардная цена относительно низкая и равна 870 долл. Инвестор, владеющий облигацией, может продать ее без покрытия и заключить длинный форвардный контракт. Из 900 долл., вырученных от продажи облигации, 39,60 долл, инвестируются на 4 месяца под 3% годовых, так что ее рост компенсирует выплаты по купону. Оставшиеся 860,40 долл, инвестируются на 9 месяцев под 4% годовых и возрастают до 886,60 долл. Из этой суммы 870 долл, выплачиваются при исполнении форвардного контракта для закрытия короткой позиции. Итак, инвестор получит
886,60 - 870,00 = 16,60 долл.
Эти две стратегии продемонстрированы в табл. 5.З.3
Первая стратегия приносит прибыль, если форвардная цена больше 886,60 долл., а вторая стратегия является прибыльной, если форвардная цена меньше этой суммы. Следовательно, если бы арбитражные возможности были исключены, форвардная цена должна была бы установиться на уровне 886,60 долл.
Обобщение
Этот пример можно обобщить. Будем считать, что I — текущая стоимость дохода, который должен принести инвестиционный актив на протяжении срока действия контракта.
Fo = (So - 1УТ. (5.2)
В нашем примере So = 900,00, I = 40е~0,03х4/12 = 39,60, г = 0,04 и Т = 0,75. Следовательно,
Fo = (900,00 - 36,60)е°’04х0’75 = 886,60 долл.
3Если продажа облигации без покрытия невозможна, то инвесторы, уже владеющие этой облигацией, могут продать ее и купить форвардный контракт, увеличив стоимость своей позиции на 16,60 долл. Это напоминает стратегию, которую мы описали в разделе 5.4, рассматривая операции
с золотом.
Таблица 5.3. Арбитражные возможности, возникающие, когда девятимесячная форвардная цена не совпадает с ценой спот актива, приносящего доход. (Цена актива = 900 долл., доход в размере 40 долл, выплачивается через четыре месяца, четырех- и девятимесячная безрисковые процентные ставки равны 3% и 4% соответственно)
Форвардная цена = 910 долл. Форвардная цена = 870 долл.
В настоящий момент: В настоящий момент:
Занимаем 900 долл.: 39,60 долл, на четыре месяца и 860,40 долл. — на девять месяцев Покупаем одну акцию Заключаем форвардный контракт на продажу актива через девять месяцев по 910 долл. Продаем без покрытия одну акцию и получаем 900 долл. Инвестируем 36,40 долл, на четыре месяца и 860,40 долл. — на девять месяцев Заключаем форвардный контракт на покупку актива через девять месяцев по 870 долл.
Через четыре месяца: Через четыре месяца:
Получаем 40 долл, дохода от актива Возвращаем 40 долл, в качестве первого долга с процентами Получаем 40 долл, дохода от четырехмесячной инвестиции Выплачиваем 40 долл, дохода по активу
Через девять месяцев: Через девять месяцев:
Продаем актив за 910 долл. Возвращаем 886,60 долл, в качестве второго долга с процентами Полученная прибыль = 23,40 Получаем 886,60 долл, от девятимесячной инвестиции Покупаем актив за 870 долл. Закрываем короткую позицию Полученная прибыль = 16,60
Это полностью согласуется с нашими предыдущими вычислениями. Формула (5.2) применяется к любому активу, приносящему заранее известный денежный доход.
Если Fq > (So — Г)егТ, арбитражер может зафиксировать прибыль, купив актив и заняв короткую позицию в форвардном контракте на его поставку. Если Fo < (So — I)erT, арбитражер может зафиксировать прибыль, продав актив без покрытия и заняв длинную позицию в форвардном контракте. Если продажи без контракта невозможны, инвестор, владеющий активом, предпочтет продать актив и занять длинную позицию в форвардных контрактах.4
4Чтобы убедиться в справедливости формулы (5.2), рассмотрим другую стратегию: купить одну акцию актива и заключить форвардный контракт на его продажу через Т лет по цене Fo долл. Такой контракг стоит So долл, и очевидным образом приводит через Т лет к притоку наличности в сумме
Пример 5.2
Проанализируем десятимесячный форвардный контракт на покупку акции стоимостью 50 долл. Предположим, что безрисковая непрерывно начисляемая процентная ставка равна 8% годовых, а дивиденды на акцию равны 0,75 долл, и выплачиваются через три, шесть и девять месяцев. Текущая стоимость дивидендов I вычисляется по формуле
I = 0,75е-°-О8х3/12 + 0,75е-°-08х6/12 + 0,75е-°’О8х9/12 = 2,162 долл.
Величина Т равна 10 месяцам, следовательно, форвардная цена Fq, полученная по формуле (5.2), вычисляется следующим образом.
Fo = (50 - 2,162)е°’08х10/12 = 51,14 долл.
Если форвардная цена меньше этой величины, арбитражер может продать акцию без покрытия по цене спот и купить форвардный контракт. Если форвардная цена больше этой величины, арбитражер может продать форвардный контракт и купить акцию по цене спот. □
5.6 Известная доходность
Рассмотрим ситуацию, в которой известна доходность актива, лежащего в основе форвардного контракта, а не денежная сумма, которую он может принести. Иначе говоря, предположим, что доход от актива выражается в процентах от его цены, зафиксированной на момент выплаты. Кроме того, будем считать, что доходность актива равна 5% в год. Если доход выплачивается один раз в год, он равен 5% цены актива. (В таких случаях говорят, что доходность равна 5% годовых с ежегодной выплатой.) Если доход выплачивается два раза в год, он равен 2,5% его цены. (Иначе говоря, доходность равна 5% годовых с выплатами раз в полгода.) В разделе 4.2 указывалось, что, как правило, процентная ставка рассчитывается при условии непрерывного начисления процентов. Доходность вычисляется по таким же правилам. Формулы для перевода доходности актива при ежегодном начислении процентов в доходность при другой частоте выплат совпадают с формулами, приведенными в разделе 4.2.
Обозначим через q среднюю годовую доходность актива на протяжении срока действия форвардного контракта. Можно доказать (см. задачу 5.20), что
Fo = Soe^T. (5.3)
FB долл, и доходу с текущей стоимостью I долл. Исходные затраты равны So. Текущая стоимость поступлений равна I + Foe~rT. Следовательно, So = 1 + Foe~rT, т.е. Fo = (So — I)erT.
Пример 5.3
Проанализируем шестимесячный форвардный контракт на покупку актива, приносящего доход, равный 2% его цены, при выплате процентов один раз в шесть месяцев. Предположим, что безрисковая непрерывно начисляемая процентная ставка равна 10% годовых. Цена актива равна 25 долл. В данном случае So = 25, г = = 0,10 и Т = 0,5. Доходность при начислении процентов раз в полгода равна 4% годовых. Применяя формулу (4.3), приходим к выводу, что при непрерывном начислении процентов доходность равна 3,96% годовых. Значит, q = 0,0396, и формула (5.3) для вычисления форвардной цены дает следующий результат.
Fo = 25e(°’w-0-0396)x0-5 = 25,77 долл.
5.7 Оценка форвардных контрактов
Стоимость форвардного контракта в момент его заключения равна нулю. На более поздних стадиях эта величина может стать как положительной, так и отрицательной. Используя введенные выше обозначения, будем предполагать, что К — цена поставки актива по контракту, / — текущая стоимость форвардного контракта на продажу актива, Fo — текущая форвардная цена контракта, проданного некоторое время назад, Т — срок поставки, а г — Т-летняя безрисковая процентная ставка.
Необходимо точно понимать смысл величин Fo, К и /. Если в настоящий момент контракт заключается впервые, то цена поставки К равна форвардной цене Fo, а стоимость контракта f равна нулю. С течением времени цена Костается постоянной (поскольку она является частью контракта), но цена Fo изменяется, так что стоимость / может стать как положительной, так и отрицательной.
Для всех форвардных контрактов на покупку инвестиционных активов или активов потребления справедлива следующая формула
/ = (Fo - К)е~гТ. (5.4)
Чтобы убедиться в правильности формулы (5.4), применим способ, которым мы воспользовались в разделе 4.7 при анализе соглашений о форвардных ставках. Сравним два форвардных контракта на покупку актива с разными ценами поставки: Fo и К. Разница между ними заключается лишь в сумме, выплачиваемой за базовый актив в момент Т. По первому контракту эта сумма равна Fq, а по второму — К. Итак, в момент Т разница между денежными доходами равна Fo — К, а в текущий момент — (Fq — К)е-гГ. Следовательно, стоимость контракта с ценой поставки Fo на (Fq — К)е~гТ долл, меньше стоимости контракта с ценой поставки К. Стоимость контракта с ценой поставки Fq равна нулю по
определению. Отсюда следует, что стоимость контракта с ценой поставки К равна (Fo — К}е~тТ. Итак, формула (5.4) доказана.
Аналогично формула для вычисления стоимости форвардного контракта на продажу с ценой поставки К равна
(К - F0)e~rT.
Пример 5.4
Предположим, что некоторое время назад был заключен форвардный контракт на покупку бездивидендной акции. До срока поставки осталось шесть месяцев. Допустим, что безрисковая непрерывно начисляемая процентная ставка равна 10% годовых, цена акции равна 25 долл., а цена поставки — 24 долл. В данном случае So = 25, г = 0,10, Т = 0,5 и К — 24. Применяя формулу (5.1), вычислим шестимесячную форвардную цену Fo.
Fo = 25e0,lx0’5 = 26,28 долл.
Из формулы (5.4) следует, что стоимость форвардного контракта в настоящий момент равна
/ = (26,28 - 24)е”°’1х0’5 = 2,17 долл. п
Формула (5.4) демонстрирует, что мы можем оценить форвардный контракт на покупку актива, предположив, что цена актива в момент истечения срока действия контракта равна форвардной цене Fq. Чтобы убедиться в этом, достаточно обратить внимание на то, что при сделанных предположениях форвардный контракт в момент Т приносит прибыль, равную F() — К. Следовательно, его текущая стоимость равна (Fq - К)егТ, т.е. величине / в формуле (5.4). Аналогично можно оценить стоимость форвардного контракта на продажу актива, предположив, что поставка реализуется по текущей форвардной цене.
Используя формулы (5.4) и (5.1), можно вывести следующую формулу для вычисления стоимости форвардного контракта на инвестиционный актив, не приносящий доход.
/ = So - Ке~гТ. (5.5)
Аналогично, используя формулы (5.4) и (5.2), можно вывести следующую формулу для вычисления стоимости форвардного контракта на покупку инвестиционного актива, не приносящего дохода.
f = So - I - Ke~rT. (5.6)
И наконец, используя формулы (5.4) и (5.3), можно вывести следующую формулу для вычисления стоимости форвардного контракта на продажу инвестиционного актива, не приносящего дохода.
f = Soe-^ - Ke~rT. (5.7)
Если фьючерсные цены изменяются, то прибыли и потери от фьючерсных контрактов представляют собой произведение изменения фьючерсной цены на размер позиции. Эта прибыль получается практически немедленно, поскольку расчеты по фьючерсным контрактам производятся ежедневно. Формула (5.4) показывает, что при изменении форвардной цены прибыли и потери представляют собой текущую стоимость произведения изменения форвардной цены на размер позиции. Разница между прибылями/потерями по форвардным и фьючерсным контрактам иногда вызывает недоразумения в работе валютных трейдеров (см. врезку “Пример из деловой практики 5.2”)
Пример из деловой практики 5.2. Ошибка системы?
Валютный трейдер, работающий на некий банк, заключил форвардный контракт на покупку одного миллиона фунтов стерлингов по обменному курсу 1,6000 долл, за фунт через три месяца. Одновременно трейдер, работающий в другом отделе, занял длинную позицию в 16 контрактах на трехмесячные фьючерсы на поставку фунтов стерлингов. Фьючерсная цена равна 1,6000 долл., причем каждый контракт заключается на поставку 62 500 фунтов стерлингов. Следовательно, форвардный и фьючерсный трейдеры заняли одинаковые позиции. Через несколько минут и форвардная, и фьючерсная цены выросли до 1,6040 долл. Банковская система показала, что фьючерсный трейдер получил прибыль в размере 4 000 долл., а форвардный — только 3 900 долл. Форвардный трейдер немедленно позвонил в отдел компьютерных систем и стал возмущаться. Прав ли форвардный трейдер?
Нет! Ежедневные расчеты по фьючерсным контрактам гарантируют, что фьючерсный трейдер практически немедленно получит прибыль, образовавшуюся благодаря увеличению фьючерсной цены. Если форвардный трейдер закрыл свою позицию, заключив контракт на продажу фунтов стерлингов по 1,6040 долл., то он должен был бы заключить контракт на покупку одного миллиона фунтов стерлингов по цене 1,6000 долл, через три месяца и продать этот миллион через три месяца за 1,6040 долл. Прибыль в этом случае действительно равна 4 000 долл. Но она будет получена не сегодня, а только через три месяца. Прибыль форвардного трейдера равна текущей стоимости прибыли, равной 4000 долл. Это полностью согласуется с формулой (5.4).
В определенной степени форвардного трейдера должен утешить тот факт, что как прибыль, так и убытки обрабатываются одинаково. Если бы форвардная или фьючерсная цены упали до 1,5960 долл, за фунт, а не поднялись бы до 1,6040 долл, за фунт, то фьючерсный трейдер потерял бы 4000 долл., в то время как форвардный трейдер — только 3 900 долл.
5.8 Совпадают ли форвардная и фьючерсная цены?
В приложении 5.1 приведены арбитражные аргументы, доказывающие, что при постоянной безрисковой процентной ставке форвардная цена контракта с определенной датой поставки совпадает с фьючерсной ценой контракта с тем же сроком поставки. Эти рассуждения можно распространить также на ситуации, в которых процентная ставка выражается известной функцией, зависящей от времени.
Теоретически, если процентная ставка меняется непредсказуемым образом (как это и происходит в действительности), то форвардная и фьючерсная цены не могут совпадать. Чтобы выявить природу зависимости между этими ценами, рассмотрим ситуацию, в которой цена базового актива S сильно и положительно коррелирует с процентными ставками. Если величина S возрастает, инвестор, занимающий длинную позицию во фьючерсном контракте, благодаря процедуре ежедневных расчетов немедленно получает прибыль. Положительная корреляция означает, что процентные ставки при этом, вероятно, также вырастут. Следовательно, у держателя контракта возникает стимул инвестировать полученную прибыль под более высокий процент. Аналогично, если величина S уменьшается, инвестор немедленно несет убытки. Поскольку процентные ставки при этом, вероятно, снизятся, у инвестора возникает стимул компенсировать убыток, взяв деньги в долг под проценты, не превышающие средней ставки. Инвестор, заключивший форвардный, а не фьючерсный контракт, не может ни извлечь выгоду, ни понести убытки от колебаний процентной ставки. Следовательно, фьючерсный контракт на покупку может быть более выгодным, чем аналогичный форвардный контракт. Отсюда следует, что, если цена базового актива S сильно и положительно коррелирует с процентными ставками, фьючерсные цены в среднем должны быть выше форвардных. Если же величина S сильно и отрицательно коррелирует с процентными ставками, с помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что отношения между фьючерсными и форвардными ценами будут противоположными.
Теоретическая разница между форвардными и фьючерсными ценами для контрактов, срок действия которых ограничен несколькими месяцами, в большинстве случаев невелика, и ею можно пренебречь. Однако на практике существует множество факторов, не учтенных в теоретических моделях, которые могут привести к несовпадению фьючерсных и форвардных ставок. Как правило, благодаря расчетной палате биржи, риск дефолта со стороны контрагента во фьючерсном контракте меньше, чем в форвардном. Кроме того, в некоторых ситуациях фьючерсные контракты имеют более высокую ликвидность, чем форвардные. Несмотря на это, в большинстве случаев можно считать, что форвардная и фьючерсная цены совпадают. Именно это предположение принято на протяжении всей книги. По
этой причине символ Fo обозначает как текущую фьючерсную, так и текущую форвардную цены актива.
По мере увеличения срока действия фьючерсного контракта разница между форвардными и фьючерсными контрактами становится более значительной. Довольно опасно предполагать, что форвардные и фьючерсные цены являются взаимозаменяемыми величинами. В частности, это относится к фьючерсным контрактам на евродоллары, срок действия по которым достигает десятков лет. Эти контракты рассматриваются в главе 6.
5.9 Фьючерсные цены на фондовые индексы
Фьючерсы на фондовые индексы были введены в разделе 3.5. Там же было показано, что фьючерсные контракты на фондовые индексы представляют собой весьма полезный инструмент для управления инвестиционным портфелем. Рассмотрим теперь способ оценки стоимости индексных фьючерсов.
Фондовый индекс можно считать ценой инвестиционного актива, по которому выплачиваются дивиденды.5 В данном случае инвестиционный актив — это портфель акций, по которым рассчитывается индекс, а дивиденды, выплачиваемые по этим акциям, представляют собой дивиденды, которые должен был бы получить их владелец. Как правило, известной предполагается доходность, а не денежный доход. Если q — это доходность акции, то с помощью формулы (5.3) можно вывести следующее выражение для вычисления фьючерсной цены Fo.
Fo = SQe^T. (5.8)
Обратите внимание на то, что в табл. 3.3 фьючерсные цены индекса Доу-Джонса по июньским контрактам меньше, чем по мартовским. Это означает, что 4 февраля 2004 года дивидендная доходность q была больше, чем безрисковая ставка г.
Пример 5.5
Рассмотрим трехмесячный фьючерсный контракт на индекс S&P 500. Предположим, что дивидендная доходность акций, включенных в соответствующий инвестиционный портфель, равна 1% в год, текущая величина индекса равна 800, а безрисковая непрерывно начисляемая процентная ставка равна 6% годовых. В данном случае So = 800, г — 0,06, Т = 0,25 и q = 0,01. Применяя формулу (5.8), вычислим фьючерсную цену Fo.
Fo = 800е(0’06“0’01)х0’25 = 810,06 долл. п
5Иногда это не так (см. врезку “Пример из деловой практики 5.3”).
Пример из деловой практики 5.3. Фьючерсный контракт на индекс Nikkei 225
Чтобы вычислить стоимость индексных фьючерсов по формулам, приведенным в этой главе, необходимо знать стоимость инвестиционного актива. Это значит, что нам следует оценить портфель активов, участвующих в сделках. Актив, лежащий в основе фьючерсных контрактов на индекс Nikkei 225, заключаемых на Чикагской товарной бирже, оценить невозможно, и причины этого довольно сложны. Предположим, что S — это стоимость индекса Nikkei 225. Следовательно, он представляет собой стоимость портфеля, состоящего из акций 225 японских компаний, оцененных в иенах. Величина переменной, лежащей в основе фьючерсных контрактов на фондовый индекс Nikkei 225, заключаемых на бирже СМЕ, равна 5S и выражается в долларах. Иначе говоря, фьючерсный контракт заключается на основе цен, выраженных в иенах, но интерпретирует их так, будто они измеряются в долларах.
Никто не станет инвестировать средства в портфель, стоимость которого всегда равна 5.S долл. Лучшее, что можно сделать, — инвестировать средства в портфель, стоимость которого всегда меньше 5S иен или всегда меньше 5QS долл., где Q — курс доллара по отношению к иене. Арбитражные аргументы, изложенные в этой главе, использовали предположение, что цена спот, на основе которой рассчитывается фьючерсная цена, совпадает с ценой актива, по которой инвестор может его продать. Следовательно, для индекса Nikkei 225 формула (5.8) неверна.
Фьючерсный контракт на индекс Nikkei 225, заключаемый на Чикагской товарной бирже, представляет собой пример кванто (quanto). Кванто — это производный финансовый инструмент, в котором базовый актив оценивается в одной валюте, а выплаты — в другой. Эти деривативы рассматриваются в главе 27.
На практике дивидендная доходность акций, входящих в инвестиционный портфель, лежащий в основе соответствующего фондового индекса, на протяжении года изменяется от недели к неделе. Например, дивиденды по большому количеству акций, котируемых на бирже NYSE, каждый год выплачиваются в первую неделю февраля, мая, августа и ноября. Выбранная величина показателя q представляет собой среднюю годовую дивидендную доходность акций на протяжении срока действия контракта. Для вычисления показателя q должны выбираться акции, дивиденды по которым выплачиваются в течение срока действия контракта. Анализ табл. 3.3 показывает, что фьючерсные цены на индекс S&P 500 уменьшаются по мере увеличения срока действия контрактов до 0,4% годовых. Это соответствует ситуации, в которой безрисковая процентная ставка равна 0,4% в год.
Индексный арбитраж
Если Fq > Soe^~g^7, инвестор может получить прибыль, купив контракт на немедленную поставку акций, входящих в соответствующий инвестиционный портфель, и заняв короткую позицию во фьючерсном контракте. Если Fq < S(}e(r'q)T, инвестор может получить прибыль, следуя противоположной стратегии, т.е. продав акции, по которым рассчитывается индекс, и заняв длинную позицию во фьючерсном контракте. Эти стратегии называются индексным арбитражем (index arbitrage). Если F < SQeSr~q^T, индексный арбитраж часто осуществляется пенсионными фондами, владеющими индексируемыми портфелями акций. Если F > SQe^r~q^T, индексный арбитраж выполняется корпорациями, владеющими кратковременными инвестициями денежного рынка. Для индексов, основанных на большом количестве разных акций, арбитраж иногда осуществляется путем продажи относительно небольшой выборки акций, цены которых зеркально отражают цены акций, на основе которых вычисляется индекс. Довольно часто арбитраж выполняется с помощью программной торговли (program trading), т.е. процедуры, в рамках которой сделки автоматически генерируются компьютерами.
Как правило, деятельность арбитражеров гарантирует справедливость формулы (5.8), однако иногда это становится невозможным, и фьючерсные цены отклоняются от цен спот (см. врезку “Пример из деловой практики 5.4”)
Пример из деловой практики 5.4. Индексный арбитраж в октябре 1987 г.
Для осуществления индексного арбитража трейдер должен иметь возможность очень быстро заключать сделки как по фьючерсным контрактам на индексы, так и по инвестиционному портфелю, состоящему из акций, на основе которых вычисляется индекс, руководствуясь ценами, установленными на рынке. В обычных рыночных условиях это возможно только с помощью программной торговли, и формула (5.8) остается справедливой. Рынок отклонялся от нормального состояния только 19 и 20 октября 1987 года. В “черный понедельник”, наступивший 19 октября 1987 года, рынок упал почти на 20%, а на Нью-Йоркской фондовой бирже было продано 604 млн акций (рекордное количество за всю историю!). Компьютерные системы биржи в этот день оказались перегружены, и все приказы на покупку и продажу акций, поступившие в этот день, исполнялись с задержкой на два часа.
Большую часть дня фьючерсные цены были значительно меньше соответствующего индекса. Например, в момент закрытия торгов индекс S&P 500 был равен 225,06 (упав за день на 57,88 пунктов), а фьючерсная цена на этот индекс с поставкой в декабре была равна 201,05 (упав за день на 80,75 пунктов). Основной причиной паники стали задержки в обработке приказов, сделавшие индексный арбитраж невозможным. На следующий день, во вторник, 20 октября 1987 года, Нью-Йоркская фондовая биржа установила временные ограничения
на программную торговлю. Это также затруднило индексный арбитраж и разрушило традиционную взаимосвязь между фондовыми индексами и фьючерсами на эти индексы. В какой-то момент фьючерсная цена в декабрьском контракте была на 18% меньше, чем индекс S&P 500. Однако уже через несколько дней рынок вернулся в обычное состояние, и арбитражные возможности вновь позволили инвесторам использовать формулу (5.8), выражающую взаимозависимость между фьючерсной и ценой спот фондовых индексов.
5.10 Форвардные и фьючерсные контракты на валюту
Перейдем к анализу форвардных и фьючерсных контрактов. Базовым активом в таких контрактах является иностранная валюта. Следовательно, переменная So — это текущая цена спот единицы иностранной валюты в долларах, a Fo — ее форвардная или фьючерсная цена. Это соответствует определениям величин So и Fo, введенным нами ранее для форвардных и фьючерсных контрактов на другие базовые активы. Однако, как указывалось в разделе 2.10, иногда они вычисляются не так, как спот-курс и форвардный курс. Для большинства иностранных валют, кроме британского фунта стерлингов, евро, а также австралийского и новозеландского доллара, спот-курс и форвардный курс обычно котируются в виде количества единиц валюты, эквивалентного одному доллару.
Иностранная валюта характерна тем, что ее владелец может получить проценты на уровне безрисковой процентной инвестиционной ставки, установленной в соответствующей стране. Например, владелец может инвестировать валюту в иностранные облигации. Обозначим через гj безрисковую процентную ставку, полученную от инвестирования денег на время Т за границей, а через г — внутреннюю безрисковую процентную ставку, полученную от инвестирования денег на то же самое время.
Зависимость между величинами Fo и So задается следующей формулой.
Fo = Soe^~r^T. (5.9)
Эта формула, хорошо известная в области иностранных финансов, выражает паритет процентных ставок (см. рис. 5.1). Предположим, что некий инвестор обладает 1000 единиц иностранной валюты. В момент Т у него есть два способа конвертировать ее в доллары. Во-первых, он может инвестировать ее на Т лет под ставку и заключить форвардный контракт на продажу выручки, полученной в долларах в момент Т. Это принесет инвестору 1OOOF'-'7 Fo долларов. Во-вторых, он может обменять иностранную валюту на рынке наличности и инвестировать выручку на Т лет под ставку г. Это принесет инвестору lOOOSoer7 долларов. В отсутствие
арбитражных возможностей эти две стратегии должны привести к одинаковым результатам. Следовательно,
1 OOOe^rFo = 10005оегГ.
Таким образом,
Fo = Soe(r-rf)T.
Рис. 5.1. Два способа конверсии 1000 единиц иностранной валюты в доллары в момент Т. Здесь So — текущая цена спот единицы иностранной валюты в долларах, a Fo — ее форвардная или фьючерсная цена, а г и г/ — внутренняя и зарубежная безрисковые процентные ставки
Пример 5.6
Предположим, что двухлетние процентные ставки в Австралии и США равны 5% и 7% соответственно, а валютный спот-курс равен 0,6200 долл. США за австралийский доллар. Из формулы (5.9) следует, что двухлетний форвардный валютный курс должен быть равен следующей величине:
О,62е(о’о7-о’о5)х2 = 0,6453.
Предположим сначала, что двухлетний форвардный валютный курс меньше указанного уровня и равен, например, 0,6300. Тогда арбитражер может сделать следующее.
1. Взять в долг на два года 1 000 австралийских долларов под 5% годовых, конвертировать их в 620 долларов США и инвестировать под 7% годовых (обе процентные ставки начисляются непрерывно).
2. Заключить форвардный контракт на покупку 1 105,17 австралийских долларов за 1105,17 х 0,63 = 696,26 долл. США.
Сумма, равная 620 долл. США, инвестированная под 7% годовых, за два года вырастет до 620е0,07х2 = 713,17 долл. Для покупки 1 105,17 австралийских долларов инвестор затратит 696,26 долл. США, что позволит ему погасить долг, который с учетом основной суммы и процентов достигнет ЮООе0,0ох2 = 1105,17 долл. США. Следовательно, эта стратегия позволяет арбитражеру повысить безрисковую прибыль до 713,17 — 696,26 - 16,91 долл. США. (На первый взгляд, прибыль невелика, но представьте себе стратегию, в рамках которой инвестор берет в долг 100 млн австралийских долларов!)
Предположим теперь, что двухлетний форвардный курс равен 0,6600 долл. США за австралийский доллар (т.е. больше уровня, установленного формулой (5.9)). В этой ситуации арбитражер может сделать следующее.
1. Взять в долг на два года 1000 долл. США под 7% годовых, конвертировать их в 1000/0,6200 = 1612,90 австралийских долларов и инвестировать под 5% годовых.
2. Заключить форвардный контракт на продажу 1 782,53 австралийских долларов за 1782,53 х 0,66 = 1176,47 долл. США.
Сумма, равная 1 612,90 австралийских долларов, инвестированная под 5% годовых, за два года вырастет до 1612,90е°’05х2 = 1782,53 австралийских долларов, что эквивалентно 1 176,47 долл. США. Сумма, необходимая для выплаты долга с учетом процентов, равна 1 000е°’°7х2 = 1150,27 долл. США. Следовательно, эта стратегия позволяет арбитражеру повысить безрисковую прибыль до 1176,47 — - 1150,27 = 26,20 долл. США. □
В табл. 5.4 приведены котировки фьючерсных курсов иностранной валюты по состоянию на 4 февраля 2004 года. Курс японской иены выражен через центы, а курсы других валют — через доллары.
По состоянию на 4 февраля 2004 года процентные ставки инвестиций, сделанных в японских иенах и швейцарских франках, были ниже, чем процентная ставка инвестиций, сделанных в долларах США. Это соответствует ситуации, юмда г > rf, и объясняет, почему фьючерсные курсы этих валют, указанные в табл. 5.4, возрастают по мере увеличения срока контракта. В Австралии, Великобритании, Канаде и Мексике процентные ставки были выше, чем в США. Это соответствует ситуации, когда г/ > г, и объясняет, почему фьючерсные курсы этих валют падают по мере увеличения срока контракта.
Два последних контракта в табл. 5.4 связаны с обменными курсами евро/иена и евро/фунт. Чтобы применить формулу (5.9) для оценки стоимости контракта евро/иена, можно оценить параметры Sq и Fo с учетом курса иена/евро, переменную г установить равной процентной ставке, измеренной в иенах, а переменную г/ — процентной ставке, измеренной в евро. Аналогично, чтобы применить фор-
Таблица 5.4. Котировки валютных фьючерсов, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. (В столбцах указаны месяц, цена открытия, максимальная и минимальная цены, зафиксированные в течение дня, расчетная цена, изменение, максимальная и минимальная цены, зафиксированные на протяжении всего срока действия контракта, и количество открытых позиций соответственно)
Currency Futures________________________________
Japanese Yen (смеяцяож $ w м
Маг 9490 .9507 .9476 .9497 .ОСП .9515 .8240 161371
June .9524 .9529 .9510 .9526 .000 .9532 .8496 8,070
Est vol 6,229; vol Tue 14,298; open ini 169,516, *4,280.
Canadian Dollar ccmd-cad 100Ж $ per cad
Маг .7466 .7500 .7431 .7485 .0015 .7863 .6150 57,248
June .7450 .7480 .7421 .7465 .0015 .7850 .6201 3,453
Sept .7448 .7460 .7414 .7449 .0015 .7815 .6505 1635
De< .7440 .7445 .7405 .7433 .0015 .7800 .6940 787
Est vol 6,009; vol Tue 12,621’ open int 63,329. -2,091
British Pound (СМ£Н62Ж $ per £
Mar 1.8335 1.8338 18225 1.8277 -.0049 1.8488 1.5654 66,330
June 1.8200 1.8200 1.8060 13135 -.0051 1.8373 1.6080 127
Est vol 6,429; vol Tue 14,952; open int 66,822. ‘2.5Л
Swiss Franc (сменит $ p« chf
Mar .8018 .8020 .7970 .8002 -.0008 .8249 .7060 40,530
June „ .8019 -.0008 .8248 .7U7 216
Est vol 4,223; vol lue 9,933; open int 40,899, *458.
Australian Dollar (cmej-ai© woo; $ w add
Mai .7605 .7614 .7545 .7578 -.0034 .7769 .5193 50,309
June .7490 .7500 .7490 .7494 -.0034 .7686 .5645 843
Est vol 3,108; vol Tue 10,590; open int 51,677, -1877
Mexican Peso (cmehaxn 500,000; $ per mxn
Mar .G899O .09050 .08857 .08920 -00057 .09330 .08600 36,882
June .08900 .08915 .08780 .08812 -00060 .09125 .08495 594
Est vol 12,680; vol Tue 6,785; open int 38,120, -303.
Euro/US Dollar (CMEH125,000; J per C
Mar 1.2532 12565 1.2478 1.2520 -.0013 1.2875 10425 122,318
June 1.2492 1.2520 1.2460 12491 -.0013 12837 10570 1,293
Est vol 20,357, vol Tue 69,168; open int 124,312, +3,721.
Euro/US Dollar (тжехнзоож; $ p« *
Mar ........ 12520 -.0012 12841 1.4720 510
Est vol 191 vol Tue 93; open Int 512, -12.
Euro/Japanese Уепстшнюож ¥ pet <
Mar 131.85 13185 13161 13185 -.28 136.44 130.45 7,752
Est vol 67; vol Tue 287; open int 7,752, +76.
Euro/British Pound (tinexhwooh ₽«*
Mar .6840 .6843 .6832 .6852 .0013 .7094 .6832 9,964
Est vol 198; vol Tue 454; open int 9,964, +360.
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. Copyright Clearance Center, Inc. © 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
мулу (5.9) для оценки стоимости контракта евро/фунз, можно оценить параметры So и Fo с учетом курса фунт/евро, переменную г установить равной процентной ставке, измеренной в фунтах, а переменную гf — процентной ставке, измеренной в евро.
Пример 5.7
Фьючерсный курс канадского доллара, указанный в табл. 5.4, по мере увеличения срока контракта возрастает примерно на 1,0% в год. (В сентябре 2004 года расчетная цена была равна 0,7449, т.е. примерно на 0,5% ниже, чем в марте 2004.) Это означаез, что 4 февраля 2004 года кратковременные процентные ставки в Канаде были примерно на 1,0% годовых выше, чем в США. п
Иностранная валюта как актив с известной доходностью
Обратите внимание на то, что если заменить величину q на величину г/, формула (5.9) становится идентичной формуле (5.3). Иностранную валюту можно считать инвестиционным активом, имеющим известную доходность. Эта доход
ность равна безрисковой процентной ставке инвестиций, сделанных в иностранной валюте.
Чтобы понять это, отметим, что величина дохода, выплачиваемого в иностранной валюте, зависит от курса иностранной валюты. Предположим, что однолетняя процентная ставка инвестиций, сделанных в фунтах стерлингов, равна 5% годовых. Американскому инвестору британский фунт за год принесет 5% своей стоимости. Иначе говоря, доходность этого актива равна 5% годовых.
5.11 Товарные фьючерсы
Перейдем к анализу товарных фьючерсов. Для начала рассмотрим влияние стоимости хранения на фьючерсные цены товаров, играющих роль инвестиционных активов, например золота и серебра.6 В дальнейшем будем считать, что эти активы не приносят дохода.
Стоимость хранения
Как показано во врезке “Пример из деловой практики 3.1”, стратегии хеджирования, которые применяют золотодобывающие компании, поощряют инвестиционные банки делать золотые займы. Владельцы золота, например центральные банки, получают плату за аренду золота (gold lease rate). Это же относится и к серебру. Следовательно, золото и серебро приносят их владельцам доход. Кроме того, как и для других товаров, хранение золота и серебра связано с определенными затратами.
Из формулы (5.1) следует, что при нулевой стоимости хранения форвардная цена товара, т.е. инвестиционного актива, задается следующей функцией:
Fo = Soerr. (5.10)
Стоимость хранения можно отнести к затратам. Если U — текущая стоимость всех затрат, связанных с хранением товара на протяжении всего срока действия контракта, то из формулы (5.2) следует, что
Fo = (So + U)erT. (5.11)
Пример 5.8
Рассмотрим однолетний фьючерсный контракт на золото. Предположим, что хранение золота стоит два доллара за унцию, причем плата вносится в конце года.
6Напомним, что актив считается инвестиционным не только тогда, когда он используется исключительно для инвестиционных целей. Единственное, что для этого требует» я, — чтобы некоторые лица использовали его для инвестиций и были готовы его продать, заключив ыорвардные контракты, когда это станет выгодным. Это объясняет, почему серебро, несмотря на ег о широкое применение в промышленности, представляет собой инвестиционный актив.
Допустим, что цена спот равна 450 долл, и безрисковая процентная ставка равна 7% годовых. Это соответствует следующим величинам: г — 0,07, Sb = 450, 7=1 и
U = 2е-0’07х1 = 1,865.
Из формулы (5.11) следует, что фьючерсная цена Fo равна
Fo = (450 + l,865)e°’07xl = 484,63 долл.
Если Fo > 484,63, арбитражер может зафиксировать прибыль, купив золото и заключив однолетние фьючерсные контракты на его продажу. Если Fo < 484,63, инвестор, владеющий золотом, может повысить прибыль, продав золото и заключив однолетние фьючерсные контракты на его покупку. □
Если затраты на хранение в любой момент времени пропорциональны стоимости товара, их можно считать отрицательной доходностью. В данном случае из формулы (5.3) следует, что
Fo = Soe^r+u)T, (5.12)
где и — годовая стоимость хранения, пропорциональная цене спот.
Потребительские товары
Товары, представляющие собой потребительские, а не инвестиционные активы, обычно не приносят дохода, но могут требовать значительных затрат на хранение. Рассмотрим арбитражные стратегии, которые используются для вычисления фьючерсных цен на товары на основе их спот-цен.7 Предположим, что равенство (5.11) не выполняется и справедливым является неравенство
Fo > (Sb + U}erT. (5.13)
Чтобы воспользоваться этой возможностью, арбитражер может применить следующую стратегию.
1. Взять в долг Sq + U долл, под безрисковую процентную ставку и купить на них одну единицу товара, оплатив стоимость его хранения.
2. Заключить форвардный контракт на продажу единицы товара.
Если представить фьючерсный контракт как форвардный, эта стратегия приведет через период времени Т к получению прибыли, равной Fo - (So + U)erT. Эту стратегию можно без труда реализовать для любого товара. Однако если арбитражер поступит так, цена Sq станет расти, а цена Fo — падать, пока неравенство (5.13) не поменяет знак. Следовательно, неравенство (5.13) не может выполняться сколь угодно долго.
7Спот-цена некоторых товаров зависит от места поставки. Будем считать, что для покупок с немедленной поставкой и для фьючерсных сделок места доставки одинаковы.
Предположим далее, что
Fo < (So + U)erT. (5.14)
Многие виды инвестиционных активов, например золото или серебро, инвесторы, как правило, используют исключительно для инвестирования. Если выполняется неравенство (5.14), то арбитражер может реализовать следующую стратегию.
1. Продать товар, компенсировать стоимость хранения и инвестировать прибыль под безрисковую процентную ставку.
2. Заключить форвардный контракт на покупку.
В результате, в момент истечения срока контракта инвестор без всякого риска получит прибыль, которая на (So + U)erl - Fq превышает прибыль, полученную инвестором, просто хранящим товар. Следовательно, неравенство (5.14) не может выполняться сколь угодно долго. Итак, поскольку неравенства (5.13) и (5.14) не могут выполняться долгое время, приходим к выводу, что Fq = (So + U)erI.
Для товаров, которые не используются для инвестиций, эти рассуждения становятся необоснованными. Лица и компании, хранящие товары на складах, делают это из-за их потребительской ценности, а не инвестиционной привлекательности. Они неохотно продают товар и избегают покупать форвардные контракты, поскольку форвардные контракты нельзя израсходовать. Следовательно, нет никаких факторов, препятствующих неравенству (5.14). Таким образом, для потребительских товаров можно утверждать лишь, что
Fo < (5b + U)erT. (5.15)
Если стоимость хранения прямо пропорциональна цене спот, выполняется неравенство
Fo 5’0с(г+'")7'. (5.16)
Удобная доходность
Неравенства (5.15) и (5.16) возможны из-за того, что владельцы потребительских товаров могут считать, будто физическое владение товаром более выгодно, чем заключение фьючерсных контрактов. Например, хозяин нефтеочистительного завода вряд ли рассматривает фьючерсные контракты на сырую нефть эквивалентом сырой нефти, закачанной в хранилище. Сырая нефть, хранящаяся в резервуарах, может быть использована для дальнейшей переработки, а фьючерсный контракт — нет. В общем, владение физическим активом позволяет промышленникам поддерживать производственный процесс, извлекая прибыль в условиях дефицита. Фьючерсные контракты эту возможность не обеспечивают. Выгода, полученная от владения физическими активами, иногда называется удобной доходностью (convenience yield), обеспеченной товаром. Если стоимость хранения
U известна, то удобная доходность у выражается следующей формулой.
Foe’/T = (So + U)erT.
Если стоимость хранения единицы товара и прямо пропорциональна его стоимости спот, удобную доходность у можно определить по формуле
FoeyT = S^r+u)T,
т.е.
Fo = Soe(r+“-»)r. (5.17)
Удобная доходность определяет величину, на которую левые части неравенств (5.15) или (5.16) меньше правых. Для инвестиционных активов удобная доходность должна быть равной нулю, иначе возникают арбитражные возможности. На рис. 2.2 из главы 2 показано, что по состоянию на 4 февраля 2004 года фьючерсные цены на сырую нефть имели тенденцию к снижению при увеличении срока действия контракта. Это означает, что для этих товаров удобная доходность у больше, чем величина г 4- и.
Удобная доходность отражает рыночные ожидания, связанные с будущей доступностью товара. Чем выше вероятность дефицита, тем выше удобная доходность. Если владельцы товаров имеют крупные запасы, вероятность дефицита в ближайшем будущем невелика, и удобная доходность снижается. С другой стороны, низкие запасы повышают удобную доходность.
5.12 Чистая стоимость финансирования
Зависимость между фьючерсными и ценами спот можно выразить через чистую стоимость финансирования (cost of carry). Эта величина равна затратам на хранение актива плюс проценты за привлекаемые финансовые ресурсы для покупки актива минус доход. Для акции, не предусматривающей выплаты дивидендов, чистая стоимость финансирования равна г, поскольку в этом случае затраты на хранение и доход равны нулю. Для фондового индекса эта величина равна г — д, поскольку доход равен q. Для валюты эта величина равна г — rf. Для товаров, у которых затраты на хранение составляю! долю и в цене товара, чистая стоимость финансирования равна г -I- и и т.д.
Обозначим чистую стоимость финансирования через с. Для инвестиционного актива фьючерсная цена равна
F« = SoecT. (5.18)
Для потребительского актива она равна
Fo = Soe^T, (5.19)
где у — выгодная доходность.
5.13 Варианты поставки
В то время как форвардный контракт, как правило, устанавливает конкретный день поставки, фьючерсный контракт часто позволяет стороне, занимающей короткую позицию, выбрать для поставки любой день в течение периода, определенного для поставки. (Обычно для выражения намерения осуществить поставку эта сторона имеет несколько дней.) Это несколько затрудняет вычисление фьючерсных цен. Что если срок контракта будет выполнен в начале, середине или в конце периода поставки? Несмотря на то что большинство фьючерсных контрактов закрывается непосредственно перед истечением срока их действия, для того чтобы вычислить теоретическую фьючерсную цену, важно знать возможный момент поставки.
Если фьючерсная цена растет по мере увеличения срока действия контракта, из формулы (5.19) следует, что с > у, поэтому выгоды от владения активом (включая удобную доходность и чистые затраты на хранение) меньше безрисковой процентной инвестиционной ставки. В таких ситуациях стороне, занимающей короткую позицию, лучше всего осуществить поставку как можно раньше, поскольку процент, заработанный за счет наличных инвестиций, перевешивает выгоды от владения активом. Как правило, фьючерсные цены в таких ситуациях должны вычисляться исходя из условия, что поставка будет осуществлена в начале периода поставки. Если фьючерсная цена уменьшается по мере увеличения срока действия контракта (т.е. с < у), справедливо обратное утверждение. В таких ситуациях стороне, занимающей короткую позицию, лучше всего осуществить поставку как можно позже, и фьючерсную цену следует рассчитывать исходя из этого.
5.14 Фьючерсные цены и ожидаемая будущая цена спот
Усредненный прогноз цены актива, сделанный участниками рынка на определенный момент времени, называется ожидаемой будущей ценой (expected future price). Предположим, что сейчас июнь, а фьючерсная цена кукурузы с поставкой в сентябре равна 200 центов. Возникает вопрос: какова ожидаемая будущая цена кукурузы в сентябре? Она равна 200 центам, больше этой величины или меньше? Как показано на рис. 2.1, к моменту истечения срока контракта фьючерсная цена сходится к цене спот. Если бы ожидаемая цена спот была меньше 200 центов, то сентябрьская фьючерсная цена должна была бы снизиться, и трейдеры, занимающие короткие позиции, получили бы прибыль, а трейдеры, занимающие длинные позиции, понесли бы убытки. Если же ожидаемая цена спот была бы больше 200 центов, то сложилась бы противоположная ситуация: сентябрьская фьючерсная цена должна была бы снизиться, и трейдеры, занимающие короткие позиции,
понесли бы убытки, а трейдеры, занимающие длинные позиции, получили бы прибыль.
Кейнс и Хикс
По мнению экономистов Джона Мейнарда Кейнса (John Maynard Keyns) и Джона Хикса (John Hicks), если хеджеры стремятся занять короткие позиции, а спекулянты — длинные, то фьючерсная цена актива будет меньше ожидаемой в будущем цены спот. Это происходит потому, что спекулянты требуют компенсации за риск, которому они подвергаются. Они заключают сделки только в тех случаях, когда в среднем ожидают выигрыша. В этой ситуации хеджеры в среднем несут убытки, но они согласны на это, поскольку фьючерсные контракты снижают их риски. Если же хеджеры стремятся занять длинные позиции, а спекулянты — короткие, то фьючерсная цена, по мнению Кейнса и Хикса, будет больше ожидаемой в будущем цены спот по тем же самым причинам.
Риск и доходность
Современная точка зрения на взаимосвязи между фьючерсными ценами и ожидаемой будущей ценой основана на зависимости между риском и ожидаемой доходностью. В целом, чем выше риск, связанный с инвестицией, тем выше ожидаемый инвестором доход. Читатели, знакомые с принципами оценки капитальных активов, знают, что в экономике существует два типа рисков: систематический и несистематический. Несистематический риск не должен волновать инвестора. Его можно практически полностью исключить, диверсифицировав портфель инвестиций. Следовательно, инвестор не должен требовать более высокого ожидаемого дохода за счет несистематического риска. И наоборот, систематический риск невозможно исключить. Он возникает в результате корреляции между доходами от инвестиций и доходами от фондового рынка в целом. Как правило, если величина систематического риска положительна, инвесторы требуют дохода, который превышает безрисковую процентную инвестиционную ставку. Если же величина систематического риска отрицательна, инвесторы согласны смириться с доходом, не превышающим безрисковую процентную инвестиционную ставку.
Риск, связанный с фьючерсной позицией
Представим себе спекулянта, занимающего длинную фьючерсную позицию в надежде, что цена спот в момент истечения срока контракта будет выше фьючерсной. Предположим, что спекулянт оценивает текущую стоимость фьючерсной цены на уровне безрисковой процентной ставки. Будем считать, что фьючерсный контракт можно считать форвардным. В момент поставки прибыль, полученная от безрисковой инвестиции, используется для покупки актива. Затем этот актив
немедленно продается по рыночной цене. Денежные потоки спекулянта имеют следующий вид.
Настоящее время: —Foe~rT.
Конец фьючерсного контракта: +St-
Здесь Fo — текущая фьючерсная цена, St — цена актива в момент Т, т.е в конце срока действия фьючерсного контракта, а г — безрисковая доходность средств, инвестированных на время Т.
Как оценить эту инвестицию? Для вычисления величины денежного потока, ожидаемой в момент Т, следует применить дисконтную ставку, равную доходности, требуемой инвестором от этой инвестиции. Текущая цена инвестиции равна
-Foe~rT + E(ST)e~~kT,
где к — учетная ставка, принятая для инвестиции (т.е. ожидаемая доходность, которую инвестор требует от своей инвестиции), a E(Sy) — математическое ожидание цены актива в момент Т. Предположим, что чистая текущая стоимость всех инвестиционных возможностей на фондовом рынке равна нулю:
-Foe~rT + E(ST')e~kT = О,
или
Fo = E(S'r)e(r~fc)'r = 0. (5.20)
Как мы отметили выше, доходность, требуемая инвестором от капиталовложения, зависит от величины систематического риска. Рассматриваемая нами инвестиция, по существу, представляет собой капиталовложение в активы, лежащие в основе фьючерсного контракта. Если величины доходности от этого актива не коррелируют с фондовым рынком, то в качестве дисконтной следует использовать безрисковую ставку, так что к = г. В таком случае формула (5.20) принимает следующий вид.
Fo = E(ST).
Это значит, что фьючерсная цена является объективной оценкой ожидаемой фьючерсной цены спот при условии, что доходность базового актива не коррелирует с уровнем фондового рынка.
Если корреляция доходности актива с уровнем фондового рынка является положительной, то к > г и из формулы (5.20) следует, что Fo < E(St). Это значит, что актив, лежащий в основе фьючерсного контракта, связан с положительным систематическим риском. В этом случае следует ожидать, что фьючерсная цена будет ниже ожидаемой будущей цены спот. Примерами активов, связанных с положительным систематическим риском, являются фондовые индексы. Доходность, ожидаемая инвесторами от акций, по которььм рассчитывается индекс, как
правило, больше, чем безрисковая процентная ставка г. Дивиденды обеспечивают доходность, равную д. Таким образом, ожидаемый рост индекса должен быть больше г — q. Следовательно, формула (5.8) согласуется с утверждением, что фьючерсная цена не превышает ожидаемую будущую цену фондового индекса.
И наконец, если корреляция доходности актива с уровнем фондового рынка является отрицательной, то к < г и из формулы (5.20) следует, что Fo > Е(.8т). Это значит, что актив, лежащий в основе фьючерсного контракта, связан с отрицательным систематическим риском. В этом случае следует ожидать, что фьючерсная цена будет выше ожидаемой будущей цены спот.
Нормальный депорт и контанго
Ситуация, в которой фьючерсная цена ниже ожидаемой будущей цены спот, называется нормальным депортом (normal backwardation). Если фьючерсная цена выше ожидаемой будущей цены спот, ситуация называется контанго (contango).
Резюме
В большинстве случаев можно считать, что фьючерсная цена контракта с определенной датой поставки совпадает с форвардной ценой контракта с той же датой поставки. Теоретически, если инвестор может с высокой точностью предсказать изменения процентных ставок, эти цены должны быть эквивалентными.
Для анализа фьючерсных (или форвардных) цен удобно разделить фьючерсные контракты на две категории: те, в которых значительное количество собственников владеют активами с целью инвестирования, и те, в которых базовый актив используется для потребления.
Для инвестиционных активов рассмотрены три ситуации.
1. Актив не приносит дохода.
2. Актив приносит известный доход.
3. Актив обеспечивает известную доходность.
Результаты подытожены в табл. 5.5. Эти формулы позволяют вычислить фьючерсные цены для контрактов на фондовые индексы, валюту, золото и серебро. Затраты на хранение этих активов можно считать убытками.
Фьючерсные цены потребительских активов невозможно представить в виде функции, зависящей от цены спот и других измеримых показателей. В этой ситуации становится важным параметр, получивший название “удобная доходность”. Он определяет диапазон цен, при которых инвестор полагает, что физическое владение активом является более выгодным, чем владение фьючерсными контрактами. Эта выгода может возникнуть как в результате кратковременного дефицита, так и в результате возможности поддерживать производственный процесс. Арбит-
Таблица 5.5. Результаты анализа контрактов, срок действия которых равен Т, цена инвестиционного актива равна Sq, а безрисковая процентная инвестиционная ставка за период времени Т равна г
Актив Форвардная/фьючерсная цена Стоимость контракта с ценой поставки К
He приносит дохода SoerT So - Ке~гТ
Приносит известный доход с текущей стоимостью I (So - I)erT So~ I - Ке~гТ
Имеет известную Soe^T Soe-«T - Ке~гТ
доходность q
ражные аргументы позволяют определить верхнюю границу фьючерсной цены товара, но не дают возможности доказать равенство фьючерсной цены и цены спот.
В некоторых ситуациях полезной оказывается концепция чистой стоимости финансирования. Эта величина равна затратам на хранение актива плюс стоимость финансирования актива минус доход. Фьючерсная цена инвестиционного актива превышает цену спот на величину, равную стоимости чистого финансирования. Фьючерсная цена потребительского актива превышает цену спот на величину, равную стоимости чистого финансирования удобной доходности.
Если предположить, что модель оценки капитальных активов верна, то зависимость между фьючерсной ценой и ожидаемой будущей ценой спот зависит от знака корреляции между доходом от владения активом и доходом, который можно получить на фондовом рынке. При положительной корреляции фьючерсная цена становится ниже ожидаемой будущей цены спот, а при отрицательной корреляции — выше. Только при отсутствии корреляции теоретическая фьючерсная цена равна ожидаемой будущей цене спот.
Дополнительная литература
Сох J. С., Ingersoll J. Е. and Ross S.A. The Relation between Forward Prices and Futures Prices // Journal of Financial Economics, 9 (December 1981). — P. 321— 346.
Ghon R. S. and Chang R. P. Intra-day Arbitrage in Foreign Exchange and Eurocurrency Markets // Journal of Finance, 47, 1 (1991). — P. 363-380.
Jarrow R. A. and Oldfield G. S. Forward Contracts and Futures Contracts // Journal of Financial Economics, 9 (December 1981). — P. 373-382.
Kane E. J. Market Incompleteness and Divergences between Forward and Futures Interest Rates H Journal of Finance, 35 (May 1980). — P. 221-234.
Pindyck R. S. Inventories and the Short-Run Dynamics of Commodity Prices // Rand Journal of Economics, 25, 1 (1994). — P. 141-159.
Richard S. and Sundaresan M. A Continuous-Time Model of Forward and Futures Prices in a Multigood Economy // Journal of Financial Economics, 9 (December 1891). - P. 347-372.
Routledge B. R., Seppi D. J. and Spatt C. S. Equilibrium Forward Curves for Commodities // Journal of Finance, 55, 3 (2000). — P. 1297-1338.
Вопросы и задачи
5.1. Что произойдет, если инвестор продаст акцию без покрытия?
5.2. В чем заключается разница между форвардной ценой и стоимостью форвардного контракта?
5.3. Предположим, что вы заключили шестимесячный форвардный контракт на акцию, не предусматривающую выплаты дивидендов, а безрисковая процентная ставка (с непрерывным начислением) равна 12% в год. Чему равна форвардная цена?
5.4. Некий фондовый индекс равен 350. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых (с непрерывным начислением), а доходность индекса — 4% годовых. Какой должна быть фьючерсная цена по четырехмесячному контракту?
5.5. Объясните подробно, почему фьючерсную цену золота можно вычислить по его цене спот и другим измеримым показателям, а фьючерсную цену меди --нет?
5.6. Подробно объясните смысл терминов удобная доходность и чистая стоимость финансирования. Какая связь существует между фьючерсной ценой, ценой спот, удобной доходностью и чистой стоимостью финансирования?
5.7. Почему иностранную валюту можно считать активом с известной доходностью?
5.8. Можно ли утверждать, что фьючерсная цена фондового индекса отличается от ожидаемой стоимости этого индекса? Аргументируйте свой ответ.
5.9. Однолетний форвардный контракт на покупку акции, не предусматривающей выплаты дивидендов, заключен в тот момент, когда цена акции была равна 40 долл., а безрисковая процентная ставка была равна 10% годовых при непрерывном начислении.
1) Вычислите форвардную цену и начальную стоимость этого форвардного контракта.
2) Шесть месяцев спустя цена акции поднялась до 45 долл., а безрисковая процентная ставка осталась на уровне 10%. Вычислите форвардную цену и стоимость этого форвардного контракта.
5.10. Безрисковая процентная ставка равна 7% годовых с непрерывным начислением, а доходность фондового индекса равна 3,2% годовых. Текущая величина индекса равна 150. Вычислите шестимесячную фьючерсную цену.
5.11. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 9% годовых с непрерывным начислением, а доходность фондового индекса в течение года изменяется. В феврале, мае, августе и ноябре дивиденды выплачиваются на уровне 5% годовых, а в другие месяцы — на уровне 2% годовых. Предположим, что текущая величина индекса 31 июля 2006 года была равной 300. Вычислите фьючерсную цену по контракту с поставкой 31 декабря 2006 года.
5.12. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 10% годовых с непрерывным начислением, а доходность фондового индекса равна 4% годовых. Текущая величина индекса равна 400, а фьючерсная цена по контракту с поставкой через четыре месяца равна 405. Какие арбитражные возможности открываются в этой ситуации?
5.13. Используя данные, приведенные в табл. 5.4, оцените разницу между кратковременными процентными ставками в Мексике и США 4 февраля 2004 года.
5.14. Двухмесячные процентные ставки в Швейцарии и США равны 3% и 8% годовых с непрерывным начислением соответственно. Спот-курс франка равен 0,6500 долл. Фьючерсная цена франка по контракту с поставкой через два месяца равна 0,6600 долл. Какие арбитражные возможности открываются в этой ситуации?
5.15. Текущая цена серебра равна 9 долл, за унцию. Стоимость хранения серебра иа протяжении года равна 0,24 долл, за унцию и оплачивается ежеквартально. Считая, что процентные инвестиционные ставки по всем товарам равны 10%, вычислите фьючерсную цену золота с поставкой через девять месяцев.
5.16. Предположим, что F\ и F> — фьючерсные цены по контрактам на поставку одного и того же товара с датами закрытия tj и где t2 > Н- Докажите, что
Г2 С F1er(t2-*1\
где г — постоянная процентная ставка, а стоимость хранения равна нулю. Будем считать, что фьючерсный контракт не отличается от форвардного.
5.17. Если компания хеджирует свои будущие денежные поступления, сумма которых известна, используя форвардный контракт, риск, связанный с изменением валютного курса, отсутствует. Если же компания выполняет хеджирование с помощью фьючерсного контракта, процедура переоценки активов
порождает определенный риск. Объясните природу этого риска. В частности, укажите, какой контракт должна выбрать компания — форвардный или фьючерсный — в следующих ситуациях.
1) Курс иностранной валюты на протяжении срока действия контракта резко падает.
2) Курс иностранной валюты на протяжении срока действия контракта резко возрастает.
3) Курс иностранной валюты на протяжении срока действия контракта возрастает, а затем возвращается к начальному значению.
4) Курс иностранной валюты на протяжении срока действия контракта падает, а затем возвращается к начальному значению.
Будем считать, что форвардная цена эквивалентна фьючерсной.
5.18. Иногда утверждают, что форвардный валютный курс является объективной оценкой будущего курса. При каких условиях это утверждение справедливо?
5.19. Докажите, что скорость роста фондового индекса равна дополнительному доходу, полученному по этому индексу сверх безрисковой процентной ставки. Будем считать, что безрисковая процентная ставка и доходность индекса постоянны.
5.20. Докажите, что формула (5.3) справедлива, проанализировав сочетание инвестиции в активы и короткой позиции по фьючерсному контракту. Допустим, что весь доход от актива реинвестируется в тот же актив. Воспользуйтесь рассуждениями, приведенными в сносках 2 и 4, и подробно объясните, какие действия должен предпринять арбитражер, если равенство (5.3) не выполняется.
5.21. Объясните смысл ожидаемой цены на товар в конкретный день в будущем. Предположим, что 4 февраля 2004 года спекулянт планирует заключить фьючерсный контракт на продажу сырой нефти, а хеджер планирует заключить фьючерсный контракт на покупку сырой нефти. Какую ожидаемую фьючерсную цену сырой нефти могли бы предсказать сторонники теорий Кейнса и Хикса? Используйте табл. 2.2.
5.22. Индекс Value Line разработан для того, чтобы отражать изменение стоимости инвестиционного портфеля, в который входят одинаково взвешенные акции более 1600 компаний. До 9 марта 1988 года изменение этого индекса вычислялось как геометрическое среднее изменений цен акций, лежащих в основе индекса. Правильно ли в этих условиях формула (5.8) выражает зависимость фьючерсной цены индекса от его цены спот? Если нет, укажите, переоценивает эта формула фьючерсную цену или недооценивает?
5.23. Некая американская компания интересуется фьючерсными контрактами, заключаемыми на бирже СМЕ для хеджирования риска, связанного с курсом австралийского доллара. Обозначим через г процентную ставку (по всем товарам) на американский доллар, а через rf — процентную ставку (по всем товарам) на австралийский доллар. Предположим, что т и rf — константы, и компания использует для хеджирования рисков, возникающих в момент t, фьючерсные контракты, срок которых истекает в момент Т (Т > t).
1) Докажите, что оптимальный коэффициент хеджирования равен
e(r/-r)(T-t)
2) Покажите, что если величина t равна одному дню, оптимальный коэффициент хеджирования почти равен величине So/Fq, где Sq — текущий спот-курс валюты, a Fo — текущий фьючерсный курс, принятый в контракте, срок которого истекает в момент Т.
3) Покажите, что компания может учесть ежедневные расчеты по фьючерсным контрактам, используемым для хеджирования, срок действия которых длится больше одного дня, выбрав коэффициент хеджирования так, чтобы он был равен спот-курсу валюты, деленному на ее фьючерсный курс.
Упражнения
5.24. Дивиденды по акции некоей компании равны одному доллару и выплачиваются через два и пять месяцев. Цена акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка по всем товарам равна 8% годовых с непрерывным начислением. Инвестор только что занял короткую позицию по шестимесячному форвардному контракту на акцию этой компании.
1) Вычислите форвардную цену и начальную стоимость этого форвардного контракта.
2) Три месяца спустя цена акции выросла до 48 долл., а безрисковая процентная ставка осталась на уровне 8% годовых. Вычислите форвардную цену и стоимость короткой позиции по этому форвардному контракту.
5.25. Банк предлагает своему корпоративному клиенту выбор между займом наличных под 1 1% годовых и займом золота под 2% годовых. (Если клиент берет в долг золото, проценты также выплачиваются золотом. Следовательно, взяв в долг 100 унций, должник должен через год вернуть 102 унции золота.)
Безрисковая процентная ставка равна 9,25% годовых, а стоимость его хранения — 0,5% годовых. Не слишком ли резко отличается процентная ставка золотого займа от процентной ставки наличного займа? Процентные ставки по обоим займам начисляются непрерывно. Безрисковая процентная ставка и затраты на хранение также вычисляются непрерывно. Предположим, что 1) золото не приносит дохода и 2) золото приносит 1,5% годовых.
5.26. Компания, не знающая, в какой именно день она должна выплатить или получить сумму в иностранной валюте, может попытаться заключить с банком форвардный контракт, в котором указан период поставки. Компания желает зарезервировать за собой право выбора точной даты поставки, чтобы согласовать его со своими денежными поступлениями. Поставьте себя на место менеджера банка. Какую цену вы установили бы за договор, который хочет заключить клиент?
5.27. Валютный трейдер, работающий на банк, заключает форвардный контракт на покупку одного миллиона фунтов стерлингов через три месяца при валютном курсе, равном 1,6000 долл. В то же время другой трейдер занимает длинную позицию по 16 трехмесячным фьючерсным контрактам. Фьючерсная цена этих контрактов равна 1,6000 долл., и величина каждого контракта равна 62 500 фунтов стерлингов. Через несколько минут после заключения контрактов форвардная и фьючерсные цены возросли до 1,6040 долл. Оба трейдера объявили о прибыли в размере 4 000 долл. Банковская система показывает, что трейдер, заключивший фьючерсный контракт, получил 4 000 долл, прибыли, а трейдер, заключивший форвардный контракт, получил только 3 900 долл. Форвардный трейдер тут же стал звонить руководству банка с жалобой на работу автоматизированной системы. Объясните, что произошло. Почему прибыль трейдеров оказалась разной?
5.28. Некая компания заключает форвардный контракт с банком на продажу иностранной валюты по курсу А'| в момент Ti. Валютный курс в момент Ту оказался равен Si (> Kj). Компания попросила банк продлить форвардный контракт до момента Т2 (> Ту). Банк согласился, но предложил новый валютный курс К%. Как вычислить этот курс?
Приложение 5.1. Доказательство того, что форвардная и фьючерсная цены при постоянной процентной ставке эквивалентны
Докажем, что форвардная и фьючерсная цены при постоянной процентной ставке эквивалентны. Предположим, что фьючерсный контракт длится п дней, и обозначим фьючерсные цены в конце г-го дня через Fi (0 < i < п). Кроме того, обозначим через S дневную безрисковую процентную ставку, которая считается постоянной. Рассмотрим следующую стратегию.8
1. В конце нулевого дня (т.е. в начале контракта) занять длинную фьючерсную позицию по е5 контрактам.
2. В конце первого дня увеличить длинную позицию е2<5 контрактов.
3. В конце второго дня увеличить длинную позицию до е3<5 контрактов и т.д.
Итоги этой стратегии продемонстрированы в табл. 5.6. В начале г-го дня инвестор занимает длинную позицию по е6г контрактам. Прибыль (а возможно, и убыток) от этой позиции в течение г-го дня равна
- Fi^)e6i.
Предположим, что эта прибыль накапливается до n-го дня. В конце этого дня прибыль равна
(F - Fi-^e^6 = (Я - Fi^ )enS.
Стоимость всей инвестиционной стратегии в конце zi-го дня равна
п
^(Fi-F^e^. 1=1
Эту сумму можно вычислить следующим образом.
[(Fn - Fn^ + (Fn_i - Fn_2) + • • • + (Fi - Fo)en<5] = (Fn - F0)enS.
Поскольку величина Fn совпадает с окончательной ценой спот актива St, окончательную стоимость этой стратегии можно записать следующим образом.
(Sr - F0)enS.
8Эта стратегия была предложена в работе Сох J. С., Ingersoll J. Е. and Ross S. A. The Relation between Forward Prices and Futures Prices // Journal of Financial Economics, 9 (December 1981). — P. 321-346.
Таблица 5.6. Инвестиционная стратегия, демонстрирующая эквивалентность фьючерсной и форвардной цен
День 0 1 2 n — 1 71
Фьючерсная цена Fq Fi f2 Fn-i Fn
Фьючерсная позиция е6 е25 e3d enS 0
Прибыль/потери 0 (Fl - F0)es (^-Fje25 ... ... (Fn -Fn-Je"6
Совокупные прибыль/потери через п дней 0 (Fi - F0)e"6 (F2-Fi)en,s ... ... (Fn -Fn^)e^
Инвестиция суммы, равной Fq, в безрисковую облигацию по описанной выше стратегии принесет в момент Т следующую прибыль.
Foe^ + (Sr - ^o)en<5 = STenS.
При этом для всех описанных выше длинных фьючерсных позиций не требуется никаких инвестиций. Следовательно, чтобы в момент Т получить сумму, равную 8теп6, можно инвестировать сумму, равную Fq.
Предположим далее, что форвардная цена в конце нулевого дня равна Gq. Инвестируя эту сумму в безрисковую облигацию и занимая длинную форвардную позицию в еп6 форвардных контрактах, инвестор гарантированно получает в момент Т сумму 8реп5. Итак, существуют две инвестиционные стратегии: одна из них требует первоначального взноса, равного Fq, а вторая — первоначального взноса, равного Gq. В результате обеих стратегий в момент Т инвестор получает сумму, равную 8теп&. Следовательно, при отсутствии арбитражных возможностей выполняется условие
F0 — Gq.
Иначе говоря, фьючерсная цена и форвардная цена идентичны. Обратите внимание, что это доказательство не требует, чтобы расчеты проводились ежедневно. Фьючерсная цена, основанная на контракте с еженедельными расчетами, также совпадает с форвардной ценой, если выполняются соответствующие условия.
Процентные фьючерсы
До сих пор мы рассматривали фьючерсные контракты на товары, фондовые индексы и иностранную валюту. Мы рассмотрели механизм их функционирования, способы их использования для хеджирования и методы вычисления фьючерсных цен. Теперь перейдем к обсуждению процентных фьючерсов.
В главе рассматриваются казначейские облигации и фьючерсы на евродоллары, получившие широкое распространение в США. В мире существует много аналогичных процентных фьючерсов. Кроме того, показано, как процентные фьючерсные контракты в сочетании с дюрацией, описанной в главе 4, позволяют хеджировать риски компании, связанные с колебаниями процентных ставок.
6.1 Календарные поправки
Рассмотрим календарные поправки, используемые при определении процентных ставок. Календарные поправки определяют закон, по которому накапливаются проценты. Задача заключается в следующем: необходимо вычислить процентный доход, накопленный за некоторый период времени, зная процентный доход, полученный за другой период времени (например, за время, прошедшее между двумя купонными выплатами).
Календарная поправка имеет вид Х/У. Если мы вычисляем процентный доход, начисленный за период, прошедший между двумя датами, символ X обозначает количество дней, прошедших за это время, а символ У — количество дней, из которых состоит базовый период. Таким образом, искомый процентный доход вычисляется по следующей формуле.
Количество дней, прошедших между двумя датами Процентный доход Количество дней, из которых состоит базовый период за базовый период
В США широко используются три календарные поправки.
1. “Длина расчетного периода/Длина базового периода”.
2. “30/360”.
3. “Длина расчетного периода/360”.
Казначейские облигации
Первая поправка применяется к казначейским облигациям США. Это значит, что процентный доход за расчетный период времени, прошедший между двумя датами, зависит от отношения его длины к длине базового интервала, т.е. к количеству дней, прошедших между двумя купонными выплатами. Предположим, что номинальная стоимость облигации равна 100 долл., купонные выплаты осуществляются 1 марта и 1 сентября, а доходность равна 8%. Вычислим процентный доход, накопленный с 1 марта по 3 июля. В качестве базового выберем период между 1 марта и 1 сентября. Этот период состоит из 184 календарных дней. Процентный доход, накопленный за это время, равен четырем долларам. Период между 1 марта и 3 июля состоит из 124 календарных дней. Следовательно, процентный доход, накопленный за это время, равен
124 х 4 = 2,6957.
184
Корпоративные и муниципальные облигации
Вторая поправка применяется при оценке корпоративных и муниципальных облигаций. Это значит, что в наших вычислениях расчетный месяц состоит из 30 дней, а расчетный год — из 360 дней. Следовательно, общее количество расчетных (не календарных) дней, прошедших с 1 марта по 1 сентября, равно 180, а с 1 марта по 3 июля — (4 х 30)+2 = 122. Рассмотрим корпоративную облигацию, характеристики которой совпадают с характеристиками казначейской облигации, описанной выше. Процентный доход по этой облигации за период с 1 марта по 3 июля равен
122 ---х 4 = 2,7111. 180
Как показано во врезке “Пример из деловой практики 6.1”, иногда календарная поправка 30/360 приводят к неожиданным последствиям.
Пример из деловой практики 6.1. Календарные поправки бывают обманчивыми
Предположим, что между 28 февраля и 1 марта 2005 года у вас есть возможность купить правительственную или корпоративную облигацию США. Купонные выплаты по этим облигациям совпадают. Какую из облигаций следует предпочесть?
Хотя облигации выглядят одинаково привлекательными, следует предпочесть корпоративную. К этой облигации применяется календарная поправка 30/360, поэтому между 28 февраля и 1 марта 2005 года проходит три дня. В то же время к правительственной облигации применяется первая календарная поправка, а значит, учитывается только один день. Итак, выбрав корпоративную облигацию, вы за указанный период заработаете в три раза больше!
Инструменты денежного рынка
К инструментам денежного рынка применяется третья поправка. Это значит, что базовый период состоит из 360 дней. Процентный доход, накопленный за часть года, вычисляется путем деления фактического количества прошедших дней на 360 с последующим умножением на величину процентной ставки. Следовательно, процентный доход, заработанный за 90 дней, в точности равен одной четвертой котируемой процентной ставки. Обратите внимание на то, что процентный доход, накопленный за весь год, состоящий из 365 дней, в 365/360 раз больше котируемой процентной ставки.
Цены инструментов денежного рынка иногда котируют с помощью учетной ставки (discount rate). Эта ставка представляет собой процентный доход, представленный в виде доли окончательной, а не первоначальной номинальной стоимости финансового инструмента. Рассмотрим в качестве примера казначейские векселя США. Если котировка 91-дневного казначейского векселя равна 8, то его годовая доходность равна 8% от номинальной стоимости. Предположим, что номинальная стоимость векселя равна 100 долл. За 91 день он принесет процентный доход в сумме 2,0222 долл. (= 100 х 0,08 х 91/360). Это значит, что истинная доходность 91-дневного казначейского векселя равна 2,0222/(100 — 2,0222) = = 2,064%. В целом, зависимость между наличной ценой казначейского векселя в США и его котировкой имеет следующий вид.
Р = -- (10Q - У). п
Здесь Р — наличная цена, Y — котировка казначейского векселя, а п — срок погашения, измеренный в календарных днях.
6.2 Котировки казначейских облигаций
Цены казначейских облигаций в США котируются в долларах с точностью до 1/32 части. Котировки распространяются на облигации номинальной стоимостью 100 долл. Следовательно, котировка 90-05 означает, что котировочная цена облигации с номинальной стоимостью 100000 долл, равна 90 156,25 долл.
Котировальная цена, которую трейдеры называют чистой ценой (clean price), не совпадает с наличной ценой (cash price), которую трейдеры называют грязной (dirty price). Имеет место следующее равенство.
тт ... , Процентный доход, накопленный
Наличная цена = Котировка +
после последней выплаты
Чтобы проиллюстрировать эту формулу, предположим, что сегодня 5 марта 2007 года, доходность рассматриваемой облигации равна 11%, срок ее погашения — 10 июля 2012 года, а котировка — 96-16, т.е. 95,50 долл. Поскольку купоны
по правительственным облигациям оплачиваются раз в полгода (заключительный купон выплачивается в момент погашения), последняя по времени выплата была 10 января 2007 года, а следующая будет 10 июля 2007 года. С 10 января по 5 марта 2007 года проходит 54 дня, с 10 января по 10 июля 2007 года пройдет 181 день. Купонная выплата за период с 10 января по 10 июля по облигации номинальной стоимостью 100 долл, равна 5,50 долл. Процентный доход, накопленный на 5 марта 2007 года, представляет собой долю купона, предназначенного для оплаты 10 июля. Поскольку для казначейских облигаций используется поправка “длина расчетного периода/длина базового периода”, этот процентный доход равен
54
— х 5,5 = 1,64 долл.
lol
Следовательно, наличная цена 100-долларовой облигации равна
95,5 + 1,64 = 97,14 долл.
Итак, наличная цена облигации стоимостью 100000 долл, равна 97 140 долл.
6.3 Фьючерсы на казначейские облигации
В табл. 6.1 приведены котировки фьючерсов на казначейские процентные ценные бумаги, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. Как следует из этой таблицы, наиболее популярными долговременными процентными фьючерсными контрактами в США являются фьючерсы на казначейские облигации, заключаемые на Чикагской продуктовой бирже (СВОТ). По этим контрактам может быть поставлена любая безотзывная облигация, срок погашения которой превышает 15 лет, считая с первого дня месяца поставки. Как будет показано далее, биржа СВОТ разработала особую процедуру уточнения цен конкретных облигаций, полученных сторонами, занимающими короткую позицию.
В США также активно котируются казначейские ноты и пятилетние фьючерсные контракты на их поставку. Предметом фьючерсного контракта на поставку казначейских нот может быть любая правительственная облигация (или нота), срок погашения которой колеблется от 6,5 до 10 лет. Пятилетние фьючерсные контракты заключаются на поставку любых из четырех казначейских нот, недавно выпущенных в оборот.
Оставшаяся часть раздела посвящена фьючерсам на поставку казначейских облигаций. Во всем мире существует множество фьючерсных контрактов на поставку облигаций. Многие из описанных фактов относятся и к ним.
Котировки
Цены фьючерсов на казначейские облигации котируются точно так же, как и цены самих казначейских облигаций (см. раздел 6.2). В табл. 6.1 показано, что
расчетная цена контракта, срок действия которого истекает в июне 2004 года, по состоянию на 4 февраля 2004 года равна 110-03, т.е. П03/з2- Величина одного контракта равна номинальной стоимости облигации, умноженной на 100000. Таким образом, изменение котировки фьючерсной цены на один доллар приводит к увеличению стоимости фьючерсного контракта на 1 000 долл. Поставка может быть осуществлена в любой день на протяжении месяца поставки.
Коэффициенты пересчета
Как указывалось ранее, сторона, занимающая короткую позицию во фьючерсном контракте на поставку казначейских облигаций, может выбирать любую, не подлежащую досрочному выкупу облигацию, срок погашения которой превышает 15 лет. При поставке конкретной облигации цена, которую получит за нее сторона, занимающая короткую позицию, вычисляется с помощью коэффициента пересчета (conversion factor). Цена, используемая при поставке, равна произведению коэффициента пересчета и расчетной цены. Как указано в разделе 6.2, с учетом накопленного процентного дохода наличная сумма, полученная на каждые 100 долл, номинальной стоимости, равна следующей величине.
Расчетная цена х Коэффициент пересчета + Накопленный процентный доход
Величина одного контракта равна номинальной стоимости облигации, умноженной на 100000. Допустим, что расчетная цена равна 90 - 00, коэффициент пересчета равен 1,3800, а процентный доход, накопленный к моменту поставки, равен трем долларам на каждые 100 долл, номинальной стоимости. Наличная сумма, полученная стороной, занимающей короткую позицию (и, соответственно, заплаченная стороной, занимающей длинную позицию), равна следующей величине.
1,3800x90,00+3,00 = 127,20 долл, за каждые 100 долл, номинальной стоимости
Сторона, занимающая короткую позицию в контракте, должна поставить облигации номинальной стоимостью 100000 долл, и получить 127 200 долл.
Коэффициент пересчета, применяемый при определении цены облигации, равен стоимости доллара ее основной суммы в первый день месяца поставки при условии, что процентные ставки для всех сроков погашения равны 6% годовых (с начислением раз в полгода). При вычислении срок погашения облигации и даты купонных выплат округляются с недостатком с точностью до трех месяцев. Это правило позволило бирже СВОТ разработать полные таблицы. Если после округления срок погашения облигации оказывается кратным полугоду, предполагается, что первый купон будет оплачен через шесть месяцев. Если после округления срок погашения облигации оказывается не кратным полугоду (т.е. остаток равен
Таблица 6.1. Котировки процентных фьючерсов, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. (В столбцах указываются месяц, цена открытия, наибольшая и наименьшая цены, расчетная цена, изменение, наибольшая и наименьшая цены за все время действия облигации и количество открытых позиций соответственно)
Interest Rate Futures_____________________________
Treasury Bonds ри a low
Mar 1U-2S Ш-П 109-18 111-17 -3 116-23 101-00 467,134
June 110-09 110-12 109-16 110-03 -3 116-15 104-00 31,215
Est ¥01 183,504 vol Tue 208,442, open Int 499,090, *8,789.
Treasury Notes «во-яоо.ооо; pts 32п* a 100%
Mar 113-29 14005 113-15 113-22 -45 116-10 106-29 1.130.4W
June 112-17 112-17 111-29 112-03 -4.5 113-18 107-13 147,892
Est vol 489,43% vol Tue 623,701; open Int 1,278,301 -9,178.
5 Yr. Treasury Notes «втиию.ооо; pts 32n<is of iom
Mar 12-215 112-24 12-125 112-17 -3.5 19-215 09 145 882,174 Est vol 219,841; vol Tue 268,683: open Int 948,759, *6,645.
2 Yr. Treasury Notes «bd-«w»>; pts Mnds of ion
Mar 07-132 07-142 07-102 07-127 -.2 07-205 106-02 164,711
Est vol 15,846; vol Tue 11,507; open int 166,044, >168.
30 Day Federal Funds (cbti ss.ooo.ooo; 100 - daily avg.
Feb 99.000 99.000 98.995 99.000 ... 99.890 98.700 64,359
Mar 99.00 99.00 98.99 98.99 99.16 9874 48,219
Apr 99.00 99.00 98.99 98.99 99.17 89.96 71817
May 98.96 98.96 98.95 98.96 99.79 98.40 37,989
June 98.94 98.95 98.94 98.95 98.97 98.38 27,460
July 98.87 98.87 98.86 98.87 ... 98.93 9820 26,248
Aus 9877 98.78 98.77 98.78 .01 98.85 9824 4,137
Sept 98.70 98.71 98.68 9871 -.01 98.79 9822 5,260
Est vol 15,789; vol Tue 16,390; open int 286,642, -49,041.
10 Yr. Interest Rate Swaps еип-яоо.ооо; pts sinus of 100%
Mar Ш-15 111-19 111-03 111-10 —6 113-05 107-20 39,568
Est vol 1,060; vol Tue 968; open int 39.569, *269.
10 Yr. Muni Note Index гап-ядию a ink.
Mar 103-13 103-21 103-08 103-15 1 105-04 99-21 2249
Est vol 269; vol Tue 194; open Int 2,249, +6.
Index: Close 104-15; Yield 4.44.
OPEN
OPEN HIGH LOW SETTLE CHG yield CHG INT
1 Month Libor <CME>-53,000,000; pts of 10M
Feb 98.90 98.90 98.89 98.89 1.11 29,195
Mar 98.89 98.89 98-89 98.89 111' ... 11,060
Apr 9836 98.86 98.86 98.86 ... 1.14 ... 8279
May 98.83 98.83 98.82 98.82 1.18 2,550
Oct 98.44 98.44 98.43 98.44 1.56 51960
Est vol 1215; vol Tue 2,781 open Int 171,119, *1172.
Eurodollar <сме>-ядюо,ооо; pts of ion
Feb 98.86 98Ж 98.86 98.86 1.14 32246
Mar 98.84 98.84 98.83 98.84 116 827,925
Apr 98.80 98.80 98.79 98.80 120 35,531
May 98.75 98.75 98.74 9874 126 14,543
June 98.69 98.69 98.66 98.68 1.32 838,794
July 9858 9858 98.57 98.58 1.42 2,150
Sept 98.41 98.43 98.38 98.41 159 ... 794,586
Dec 98.04 98.06 98.00 98.03 197 600,750
Mr® 97.65 97.67 97.58 97.63 2.37 419,479
June 97.24 97.26 97.19 97.23 277 330,839
Sept 96.88 96.90 96.82 96.86 ... 3.14 ... 260,971
Dec 96.56 96.59 96.51 96.55 3.45 191396
Mr06 96.32 96.33 96.25 96.30 -.01 3.70 .01 172,526
June 96.10 96.11 96.04 96.07 -.01 3.93 .01 128,625
Sept 95.91 95.91 95.83 95.86 -.01 4.14 .01 119,346
Dec 95.69 95.71 95.63 95.66 -.02 4.34 .02 105,045
Mr07 95.47 9553 95.46 95.49 -.02 451 .02 75,659
June 95.34 95.38 95.30 95.33 -.03 4.67 .03 66,675
Sept 95.19 95.23 95.16 95.18 -.03 4.82 .03 73288
Dec 95.® 95.09 95.02 95.04 -.03 4.96 .03 59/439
Mr08 94.92 94 97 94.90 94.92 -.03 5.08 .03 46,996
June 94.80 94.86 9479 94.81 -.03 5.19 .03 50,074
Sept 94.71 94.75 94.68 94.71 -.03 529 .03 34,029
Dec 94.65 94.65 94.57 94.60 -.03 5.40 .03 26,470
Ju09 94.42 94.47 94.41 94.43 -.03 5.57 .03 9247
Sept 94.34 94.40 94.34 94.35 -.03 5.65 .03 8,400
Dec 94.26 94.31 94.25 94.27 -.03 5.73 .03 4,633
MrlO 94.19 94.19 94.18 94.19 -.04 5.81 .04 8,192
June 94.12 94.12 94.11 9412 -.04 5,88 .04 6,761
Sept 94.05 94.05 94.04 94.05 -.04 5.95 .04 4,683
Est vol 780/408; vol Tue 779,833; open int 5,375,781 *11885.
LIFETIME OPEN
OPEN HIGH LOW SETTLE (HG HIGH LOW INT
Euroyen (СМЕнтм»дю% pts of iocs
Mar 99.91 99.91 99.91 99.91 99.92 99.14 11530
June 99.91 99.91 99.91 99.91 99.92 99.41 9,096
Sept 99.89 99.89 99.69 99.89 99.90 99.35 12,320
Mr05 99.82 99.82 99.B2 99.82 9954 99.27 4,726
Est vol 431 vol Tue 25; open Int 49,808, *775.
Short Sterling aifFEX500,000; pts of тик
Feb 95.82 95.82 95.82 95.82 9559 95.80 1913
Mar 95.76 95.77 95.75 95.76 96.80 93.01 188,159
June 9557 9558 95.54 95.56 96.71 93.04 201882
Sept 95.37 95.40 95.34 95.36 96.59 93.35 153,843
Dec 95.21 95.24 95.19 95.20 96.48 93.25 139,045
Mr05 95.10 95.13 95.06 95.08 96.38 93.29 83,684
June 95.01 95.04 94.98 94.99 96.30 93.29 72,583
Sept 94.95 94.97 94.91 94.92 96.23 94.06 70,992
Dec 94.88 94.91 94.85 94.86 96.15 94.06 35,228
МЮ6 94.82 94.84 94.80 94.82 .02 96.10 94.05 27,988
June 94.77 94.81 94.75 94.77 .02 95.97 94.04 28,423
Sept 94.74 94.78 94.72 94.74 .02 95.75 94.32 15,264
Dec 94.74 94.75 94.71 94.72 .02 95.83 94.25 6,356
МЮ7 94.69 94.69 94.69 9471 .02 95.82 94.33 527
June 94.71 94.71 9421 94.70 .02 95.73 94.66 639
Est vol 14Z.W6: vol Tue 184,402. open int 1.026552. -264
Long Gilt (UFFEJ-CIOO,ООО, pts of 1001
Mar 107.95 108.41 107.95 108.12 .26 109.73 105.39 159,338
Est vol 50,453; vol Tue 36217; open Int 159,339, -153.
3 Month Euribor (UFFEJ-ftOOO.OW, pts of 100S
Feb 97.92 97.93 97.92 97.93 .01 97.96 97.77 13,595
Mar 97.94 97.95 97.93 97.94 .01 98.29 93.83 562,698
June 97.91 97.92 97.69 97.90 .02 93.21 93J9 511614
Sept 97.77 9728 97.75 9726 .03 98.08 93.73 428,741
Dec 97.55 97.57 97.53 9755 .04 97.91 93.64 436,055
Mr® 97.32 97.34 97.30 97.31 .03 97.77 94.07 301516
June 97.09 97 JO 97.06 97.07 .03 97.60 94.29 197,768
Sept 96.88 96.89 96.84 96.86 .02 97.44 94.29 119,907
Dec 96.68 96.69 96.65 96.66 .02 97.28 94.41 95,512
Mr06 96.51 96.53 96.48 96.50 .02 97.14 94.40 41,992
June 96.35 9636 96.32 96.33 .02 96.96 94.66 37,197
Sept 9620 9621 96.17 96.18 .02 96.81 9458 22,947
Dec 96.03 96.04 96.01 96.02 .02 96.60 94.62 11,645
Mr07 95.93 95.93 95.93 95.90 .02 96.48 94.57 4,473
June 95.79 95.79 95.79 95.80 .02 96.29 94.57 2.490
Sept 95.69 95.69 95.69 95.70 .02 96.21 95.26 2,204
Est vol 547,848; vol Tue 533,760; open int 2,791222. *50,205.
3 Month Euroswlss (LIHEJ-CHF 1,000,000; pts of loos
Mar 99.73 99.74 99.72 99.73 99.75 96.32 95,989
June 99.61 99.61 99.56 9957 -.02 99.63 96.93 81441
Sept 99.37 99.39 99.35 99.36 -.01 99.41 97.60 41632
Dec 99.14 99.14 99.11 99.12 -.01 99.17 98.00 32,364
Mr® 98.87 98.87 98.86 98.87 -.01 98.93 97.90 7,335
June 98.65 98.65 98.61 9862 -.01 98.68 97.74 9,694
Sept 98.43 98.44 98.36 98.41 -.02 98.47 97.75 4,732
Dec 98.21 9822 9814 98.19 -.01 98.24 97.92 2,745
Est vol 14,180; vol Tue 21649; open int 275,932, -1,537.
Canadian Bankers Acceptance cmekao 1.000,000
Mar 97.71 97.71 97.67 97.68 -0.02 97.78 93.77 70,087
June 97.78 97.78 97.72 9725 -0.03 97.88 95.34 97,819
Sept 97.71 97.71 97.65 97.68 -0.03 97.81 94.22 35,605
Dec 97.51 97.51 97Л5 97.47 -0.04 97.62 94.10 17,196
Mr® 97.21 97.21 97.16 9718 -0.04 97.33 94.45 9,163
Sept 96.53 9653 9653 9651 -0.04 96.64 95.21 1200
Est vol 24,925; vol Tue 21162; open Int 238,828, *585.
10 Yr. Canadian Govt. Bonds (met-ud 100,000
Mar 11058 110.64 110.07 110.39 -0.22 111.61 106.90 90,003
Est vol 6,222; vol Tue 12,898; open int 90,003, *6,036.
Окончание табл. 6. i
3 Yr. Commonwealth T-Bonds <sfe>-auo itxwoo
Маг 94.38 94.48 94.37 94.47 0.09 94.56 93.96 609,295
Est vol В0Ж vol Tue 72,788; open int 609,295, *83,322.
Euroyen (SGXH100,000,000; pts of KXA
Mar 99.91 99.91 99.91 99.91 99.92 98.19 60,509
June 99.91 99.91 99.91 99.92 0.61 99.92 99.45 71194
Sept 99.89 99.90 99.89 99.90 0.01 99.90 99.34 43Д55
Dec 99.87 99.87 99.87 99.87 99.87 99.22 45Д34
Mr05 99.81 99.82 99.81 99.82 0.01 99.85 99.18 23,103
lune 99.78 99.78 99.78 99.78 0.01 99.85 99.10 20,948
Sept 99.70 99.71 99.70 99.71 0.02 99.74 98.95 14,023
Dec 99.61 99.62 99.61 99.61 0.01 99.77 98.80 3,635
MrO6 9950 99.50 99.50 99.50 0.01 99.76 98.84 3,405
June 99.42 99.42 99.42 99.43 0.02 99.75 98.55 1.380
Dec 99.23 9923 99.23 99.23 0.02 99.71 98.35 1851
Est vol ЗД60; vol Tue 5,292; open int 295,306, -1,880.
5 Yr. EurO-BOBLauREXHWM; ph of 100*
Mar 111.59 111.66 111.47 111.56 ... 112.06 108.71 743,130
lune 110.79 110.30 110.71 110.75 .. 11116 109.50 7,545
voi Wed 532,579: open int 750,875, *21.654
10 Yr. Euro-BUND(EUREXHioo,ooo, ptsofiOOT
Mar 114.30 114.45 114.15 114.26 -0.02 117.76 110.73 945,187
June 113.31 113.43 113.26 113.23 -0.01 114.11 110.62 27,345
vol Wed 841,211. open int 972.534, -23,916.
2 Yr. EurO-SCHATZ<EUREXHW00; pts of IMS
Mar 106.18 106.20 106.13 106.17 ... 106.35 104.95 633,537
June 105.80 105.84 105.79 105.80 ... 105.83 105.21 28,066
vol Wed 437,442; open int 711,603. *22,620.
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. и Clearance Center, Inc. © 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
трем месяцам), предполагается, что первый купон будет оплачен через три месяца, а накопленный процентный доход будет вычтен.
Для иллюстрации этого правила в качестве первого примера рассмотрим облигацию с 10%-ным купоном, срок погашения которой истекает через 20 лет и два месяца. Для вычисления коэффициента пересчета срок погашения округляется до 20 лет. Следовательно, предполагается, что выплаты по купонам будут осуществляться через каждые шесть месяцев на протяжении 20 лет, начиная с момента покупки. Предположим, что номинальная стоимость облигации равна 100 долл. Если учетная ставка равна 6% годовых с начислением раз в полгода (или 3% за каждые шесть месяцев), стоимость облигации вычисляется следующим образом.
40
у- 5 100
1.03* + 1Д3*°
?'~1
= 146,23 долл.
После деления этой суммы на номинальную стоимость облигации приходим к выводу, что коэффициент пересчета равен 1,4623.
В качестве второго примера рассмотрим облигацию с 8%-ным купоном, срок погашения которой истекает через 18 лет и четыре месяца. Для вычисления коэффициента пересчета будем считать, что срок погашения облигации истекает через 18 лет и три месяца. Отбрасывая все выплаты за три первых месяца при ставке, равной 6% годовых (начисляемой раз в полгода), вычислим стоимость облигации.
4 100
Процентная ставка за три месяца равна ^/1,03— 1, т.е. 1,4889%. Следовательно, после пересчета текущая стоимость облигации равна 125,83/1,014889 = 123,99 долл. Вычитая накопленный процентный доход, равный двум долларам, получаем 121,99 долл. Следовательно, коэффициент пересчета равен 1,2199.
Облигация с наиболее дешевой поставкой
В любой момент на протяжении месяца поставки по фьючерсному контракту Чикагской торговой биржи у поставщика существует большой выбор облигаций. Их доходность и сроки погашения весьма разнообразны. В частности, сторона, занимающая короткую позицию, может выбрать облигацию с наиболее дешевой поставкой. С одной стороны, сумма, которую получает сторона, занимающая короткую позицию, вычисляется по следующей формуле.
Назначенная Коэффициент , Накопленный фьючерсная цена пересчета процентный доход '
С другой стороны, стоимость покупки облигации вычисляется по такой формуле.
Стоимость = Назначенная цена н- Накопленный процентный доход.
Следовательно, облигация с наиболее дешевой поставкой минимизирует следующую величину.
Назначенная цена — Назначенная фьючерсная цена х Коэффициент пересчета
Приняв решение о поставке, сторона, занимающая короткую позицию, может определить облигацию с наиболее дешевой поставкой путем простого перебора.
Пример 6.1
Допустим, что сторона, занимающая короткую позицию, решила осуществить поставку и пытается выбрать среди трех облигаций, перечисленных в табл. 6.2, облигацию с наиболее дешевой поставкой. Допустим, что текущая котировка фьючерсной цены равна 93 - 08, т.е. 93,25 долл. Стоимость поставки каждой из облигаций вычисляется следующим образом.
Облигация 1: 99,50 — (93,25 х 1,0382) = 2,69 долл.
Облигация 2: 143,50 - (93,25 х 1,5188) = 1,87 долл.
Облигация 3: 119,75 - (93,25 х 1,2615) = 2,12 долл.
Таблица 6.2. Облигации, предназначенные для поставки в примере 6.1
Облигация Котировка, долл. Коэффициент пересчета
1 99,50 1,0382
2 143,50 1,5188
3 119,75 1,2615
Итак, с наиболее дешевой поставкой является вторая облигация. □
На выбор облигации с наиболее дешевой поставкой влияет множество факторов. Если доходность облигаций выше 6%, правило вычисления коэффициентов пересчета отдает предпочтение поставке облигаций с небольшими купонными выплатами и большими сроками погашения. Если доходность облигаций ниже 6%, правило вычисления коэффициентов пересчета отдает предпочтение поставке облигаций с большими купонными выплатами и короткими сроками погашения. Кроме того, если кривая доходности возрастает, предпочтение отдается долгосрочным облигациям, а если убывает — краткосрочным.
Кроме возможности выбрать облигацию с наиболее дешевой поставкой, сторона, занимающая короткую позицию, может организовать непредсказуемую игру.
Пример из деловой практики 6.2. Непредсказуемая игра
Торги по фьючерсным контрактам на поставку казначейских облигаций на Чикагской продуктовой бирже прекращаются в 14:00 по чикагскому времени. Однако торги по самим казначейским облигациям прекращаются только в 16:00. Кроме того, трейдер, занимающий короткую фьючерсную позицию, должен до 20:00 послать расчетной палате уведомление о намерении осуществить поставку. Если уведомление отправлено, цена по счету вычисляется на основе расчетной цены, установленной в этот день, т.е. цены, по которой заключались сделки непосредственно перед закрытием торгов в 14:00.
Это открывает возможность непредсказуемой игры (wild card play). Если после 14:00 цена облигации стала снижаться, сторона, занимающая короткую позицию, может отправить уведомление о намерении осуществить поставку и купить облигации с наиболее дешевой поставкой, приготовившись к поставке по фьючерсным ценам, зафиксированным в 14:00. Если цена облигации не снижается, сторона, занимающая короткую позицию, может сохранить открытую позицию и ожидать возможности осуществить описанную стратегию на следующий день.
Как и другие возможности стороны, занимающей короткую позицию, непредсказуемая игра связана с определенными ограничениями, поскольку она снижает фьючерсную цену.
Определение фьючерсных цен
Точную теоретическую фьючерсную цену казначейской облигации определить довольно трудно, поскольку сложно оценить стратегию стороны, занимающей короткую позицию. Однако если предположить, что и облигация с наиболее дешевой поставкой, и дата поставки известны, то фьючерсный контракт на поставку казначейской облигации можно трактовать как фьючерсный контракт на поставку
ценных бумаг с известным процентным доходом.1 Из формулы (3.1.2) следуег, что фьючерсная цена Fq связана с наличной ценой S'o следующей зависимостью.
Fo = (So - I)erT. (6.1)
Здесь I — текущая стоимость купонов на протяжении срока действия контракта, Т — время, оставшееся до истечения срока действия контракта, а г — безрисковая процентная ставка, установленная на период времени длиной Т.
Пример 6.2
Допустим, что для некоего фьючерсного контракта на поставку казначейских облигаций известно, что облигация с наиболее дешевой поставкой предусматривает 12%-ные купоны с коэффициентом пересчета, равным 1,4000. Предположим также, что срок поставки наступает через 270 дней. Купоны облигации оплачиваются раз в полгода. Как показано на рис. 6.1, последняя выплата по купонам была осуществлена 60 дней назад, следующий купон будет оплачен через 122 дня, а следующая очередная выплата состоится через 305 дней. Временная структура является ровной, а непрерывно начисляемая процентная ставка равна 10% годовых. Предположим, что текущая цена облигации равна 120 долл. Наличная цена облигации получается путем сложения назначенной цены и доли купонных выплат, накопленных ее владельцем. Следовательно, наличная цена равна
/?/л
120 + гтГГгю х 6 = 121’978 долл-
Дата завершения Выплаты Текущий Выплаты фьючерсного Выплаты
по купонам момент по купонам контракта по купонам
।---------1---------------------1----------------------|-------1
60 122 148 35
дней дня дней дней
Рис. 6.1. Временная диаграмма для примера
Купонная выплата в размере шести долларов будет получена через 122 дня (= 0,3342 года). Текущая стоимость этой выплаты равна
6е-о,1хо,3343 = 5 803 долл
Фьючерсный контракт длится 270 дней (0,7397 года). При 12%-ной доходности фьючерсная цена облигации по наличному расчету была бы равна
(121,978 - 5,8ОЗ)е°Дх0’7397 = 125,094 долл.
'На практике для идентификации облигации с наиболее дешевой поставкой аналитики обычно предполагают, что нулевые ставки в момент закрытия фьючерсного контракта равны текущим форвардным ставкам.
До момента поставки осталось 148 дней. Назначенная стоимость контракта на поставку 12%-ных облигаций вычисляется по следующей формуле.
125,094 - 6 х *481ОП = 120,242 долл.
305 — 122
Из определения коэффициента пересчета следует, что эквивалентом 12%-ной облигации является 1,4000 стандартных облигаций. Таким образом, котировка фью
черсной цены равна
120,242
мооо =85’88'долл-
□
6.4 Фьючерсы на евродоллары
В США очень популярны трехмесячные фьючерсы на поставку евродолларов, сделки по которым заключаются на Чикагской товарной бирже (СМЕ). Евродолларами называются доллары, депонированные в американских или иностранных банках, расположенных за пределами США. Процентной ставкой на евродоллары называется процентная ставка, начисленная на соответствующие депозиты. По существу, эта ставка эквивалентна ставке LIBOR, рассмотренной главе 4.
Фьючерсные контракты на евродоллары подразумевают трехмесячную (90-дневную) процентную ставку на евродоллары. Это позволяет инвестору зафиксировать процентную ставку, начисляемую на один миллион долларов, на будущий трехмесячный период, который начинается в третью среду месяца поставки. Сроки платежей наступают в марте, июне, сентябре и декабре не позднее, чем через 10 лет со дня заключения контракта. Это значит, что в 2004 году инвестор может использовать фьючерсы на евродоллары для того, чтобы зафиксировать процентную ставку на трехмесячный период, который начнется в далеком 2014 году. (В табл. 6.1 приведены котировки на 2010 год.) Краткосрочные контракты заключаются на другие месяцы выплат. Как следует из табл. 6.1, 4 февраля 2004 года на бирже СМЕ заключались краткосрочные контракты, истекающие в феврале, апреле, мае и июле 2004 года. Однако количество открытых позиций по этим контрактам относительно невелико.
Чтобы понять механизм функционирования фьючерсных контрактов на евродоллары, рассмотрим контракт на март 2005 года, указанный в табл. 6.1. Его расчетная цена равна 97,63. Этот контракт завершается в третью среду месяца поставки. В данном случае третья среда месяца поставки приходится на 16 марта 2005 года. Пока эта дата не наступила, контракт ежедневно переоценивается. Однако 16 марта 2005 года расчетная цена устанавливается равной 100 - R, где R — фактическая трехмесячная процентная ставка на евродоллары, зафиксированная в этот день и начисляемая ежеквартально с учетом коэффициента пересчета по
формуле “длина периода/360”. (Следовательно, если фактическая трехмесячная процентная ставка на евродоллары, зафиксированная 16 марта 2005 года, равна 2%, то окончательная расчетная цена равна 98). Таким образом, расчетная цена устанавливается равной окончательной оценке контракта, и все контракты объявляются закрытыми.
Контракт организовывается так, что изменение фьючерсной котировки на один базисный пункт соответствует 25 долл, прибыли или потери по контракту. Если котировка фьючерсного контракта на евродоллары увеличивается на один базисный пункт, трейдер, занимающий длинную позицию, получает 25 долл., а трейдер, занимающий короткую позицию, теряет 25 долл. Аналогично, если котировка фьючерсного контракта на евродоллары уменьшается на один базисный пункт, трейдер, занимающий длинную позицию, теряет 25 долл., а трейдер, занимающий короткую позицию, получает 25 долл. Это соответствует утверждению, сформулированному выше: контракт фиксирует процентную ставку, начисляемую на один миллион долларов, на три месяца. Если годовая процентная ставка изменится на один базисный пункт, то процентный доход, начисленный на один миллион долларов, за три месяца изменится на величину
1000000 х 0,0001 х 0,25 = 25 долл.
Поскольку котировка фьючерсного контракта на евродоллары равна 100 минус фьючерсная процентная ставка на евродоллары, инвестор, занимающий длинную позицию, получает прибыль, когда процентные ставки падают, а инвестор, занимающий короткую позицию, — когда процентные ставки растут.
Пример 6.3
Допустим, что 4 февраля 2004 года инвестор решил зафиксировать процентную ставку, которая будет начислена на пять миллионов долларов в течение трех месяцев, начиная с 16 марта 2005 года. Инвестор занимает длинную позицию в пяти фьючерсных контрактах March05 на евродоллары по цене 97,63. 16 марта 2005 года трехмесячная ставка LIBOR оказалась равной 2%, поэтому окончательная расчетная цена равна 98,00. Благодаря длинной фьючерсной позиции инвестор получает 5 х 25 х (9 800 — 9 763) = 4 625 долл. Процентный доход, начисленный на пять миллионов в течение трех месяцев по ставке 2%, равен
5000000 х 0,25 х 0,02 = 25000 долл.
Таким образом, прибыль от фьючерсного контракта достигает 29625 долл. Это именно та прибыль, которую можно было бы получить, если бы процентная ставка была бы равной 2,37% (5000000 х 0,25 х 0,0237 = 29625 долл.). Этот пример показывает, что фьючерсная сделка зафиксировала процентную ставку на уровне 2,37%, т.е. (100 - 97,63)%. □
Цена контракта на бирже равна
10000(100 — 0,25(100 — Q)], (6.2)
где Q — котировка. Таким образом, расчетная цена контракта на март 2005 года, равная 97,63 и указанная в табл. 6.1, соответствует цене контракта
10000(100 - 0,25(100 - 97,63)] = 994075 долл.
В примере 6.3 окончательная цена контракта равна
10000(100 - 0,25(100 - 98)] = 995000 долл.
Разница между окончательной и первоначальной ценами контракта равна 925 долл., поэтому инвестор, занимающий длинную позицию по пяти контрактам, выиграет 5 х 925 долл., т.е. 4625 долл. Это соответствует правилу “25 долл, за один базисный пункт”.
По состоянию на 4 февраля 2004 года временная структура процентной ставки в США была возрастающей. Фьючерсная ставка, установленная на трехмесячный период, начинающийся 16 марта 2005 года, равна 2,37%; фьючерсная ставка, установленная на трехмесячный период, начинающийся 21 марта 2007 года, равна 4,51%, а фьючерсная ставка, установленная на трехмесячный период, начинающийся 17 марта 2010 года, равна 5,81%.
В других странах существуют аналоги процентных фьючерсных контрактов на поставку евродолларов. Как показано в табл. 6.1, на Чикагской товарной бирже заключаются контракты на поставку евроиен, а на Лондонской международной бирже финансовых фьючерсов (LIFFE — London International Financial Futures Exchange) — на поставку евро по трехмесячной ставке LIBOR и трехмесячные фьючерсы на поставку еврошвейцарских франков.
Сравнение форвардных и фьючерсных процентных ставок
Контракт на евродоллары напоминает соглашение о форвардной ставке (см. раздел 4.7), поскольку он также фиксирует процентную ставку на будущий период времени. Для коротких сроков (до одного года) фьючерсную процентную ставку на евродоллары можно считать эквивалентной соответствующей форвардной ставке. В более долгосрочных контрактах разница между фьючерсной и форвардной процентными ставками становится более существенной. Сравним фьючерсный контракт на евродоллары по процентной ставке, установленной на период между моментами времени Т\ и Т^, с соглашением FRA, заключенным на тот же период. Расчеты по фьючерсному контракту на евродоллары производятся ежедневно. Окончательный расчет производится в момент Т). Он отражает процентную
ставку, установленную на период между моментами времени Ту и Т^. В противоположность этому, соглашение FRA не предусматривает ежедневных перерасчетов, а окончательный расчет, отражающий реализованную процентную ставку, установленную на период между моментами времени Ту и Т^, осуществляется в момент Т2.2
Следовательно, разница между фьючерсами на евродоллары и соглашением FRA состоит из двух компонентов.
1. Разница между фьючерсным контрактом на евродоллары и аналогичным форвардным контрактом, который не предусматривает ежедневных расчетов. Выплата по второму контракту осуществляется в момент Ту и равна разности между форвардной процентной ставкой и реализованной процентной ставкой.
2. Разница между форвардным контрактом, расчеты по которому производятся в момент Ту, и форвардным контрактом, расчеты по которому производятся в момент Т>.
На практике эти два компонента могут порождать недоразумения. Оба они занижают форвардную процентную ставку по сравнению с фьючерсной, но для долгосрочных контрактов сокращение из-за второго компонента становится намного меньше, чем сокращение из-за первого. Причины, по которым первый компонент (ежедневные расчеты) уменьшает форвардную ставку, следуют из аргументов, изложенных в разделе 5.8. Предположим, что вы заключили контракт, выплата по которому в момент Ti равна Rm — Rf, где Rf — ставка, заранее установленная на период времени между моментами 7) и Т2, a Rm — ставка, реализованная за этот период, и вы имеете возможность перейти на ежедневные расчеты. В этом случае, если процентная ставке увеличится, то возникнут денежные поступления, а если уменьшится — денежные расходы. Это повышает привлекательность ежедневных расчетов: ведь теперь, если процентная ставка будет высокой, на ваш маржинальный счет могут поступить дополнительные деньги. В результате для варианта с ежедневными расчетами рынок может установить более высокую величину Rf (сократив ваш накопленный ожидаемый выигрыш). Иначе говоря, переход от ежедневных расчетов к расчету в момент Ту сокращает величину Rf-
Чтобы понять причину, по которой второй компонент сокращает форвардную ставку, предположим, что выплата Rm — Rf производил ся не в момент Ту, а в момент (как в обычном соглашении о форвардной ставке). Если величина Rf велика, то выплата будет положительной. Поскольку ставки высоки, стоимость выигрыша в момент Т^, а не в момент 7), относительно велика. Если величина Rf невелика, то выплата будет отрицательной. Поскольку ставки низки, стоимость выигрыша в момент 72, а не в момент 7), относительно невелика. В общем, следу
2Как указывалось в разделе 4.7, расчет может происходить в момент Ту, но в таком случае он равен текущей стоимости выплаты по обычному форвардному контракту в момент Т-2.
ет предпочесть выплату в момент Т]. Если выплата осуществляется в момент Т}, а не в момент Т), следует предусмотреть компенсацию уменьшения ставки Rp.3
Для пересчета фьючерсных процентных ставок в форвардные аналитики осуществляют так называемую коррекцию выпуклости (convexity adjustment). Одной из наиболее распространенных является следующая поправка.4
Форвардная ставка = Фьючерсная ставка — 0,5cr2tit2, (6.3)
Здесь — срок погашения фьючерсного контракта, — время, оставшееся до первой выплаты процентов по фьючерсному контракту, а а - стандартное отклонение краткосрочных процентных ставок в течение года. Обе ставки начисляются непрерывно.5 Типичное значение ст равно 1,2%, т.е. 0,012.
Пример 6.4
Рассмотрим ситуацию, в которой ст — 0,012. Вычислим форвардную ставку, если котировка восьмилетнего фьючерсного контракта на поставку евродолларов равна 94. В данном случае ty = 8, #2 = 8,25. В этом случае коэффициент коррекции выпуклости равен
0,5 х 0,0122 х 8 х 8,25 = 0,00475,
т.е. 0,475% (47,5 базисных пунктов). Если коэффициент пересчета вычисляется по формуле “длина периода/360”, то при поквартальном начислении фьючерсная ставка равна 6% годовых. Если коэффициент пересчета вычисляется по формуле “длина периода/365”, то при поквартальном начислении фьючерсная ставка равна 6 х 365/360 — 6,083% в год, а при непрерывном — 6,038%. Таким образом, форвардная ставка равна 6,038 — 0,475 = 5,563% в год при непрерывном начислении. Из табл. 6.3 следует, что величины поправок на выпуклость с ростом сроков действия контрактов увеличиваются. □
Анализ табл. 6.3 показывает, что величина поправки приблизительно прямо пропорциональна квадрату срока действия фьючерсного контракта. Таким образом, поправка на выпуклость для 8-летнего контракта приблизительно в 16 раз превышает поправку для двухлетнего контракта.
Применение фьючерсов на евродоллары для продолжения нулевой кривой ставки LIBOR
Нулевая кривая ставки LIBOR, установленной на один год, определяется одномесячной, з рехмесячной, шестимесячной и двенадцатимесячной ставками LI-
3 Влияние разницы во времени на стоимость производного финансового инструмента обсуждается в главе 27.
4См. технические заметки 1 (Technical Note 1) на Web-сайте автора.
5Эта формула основана на модели процентных ставок, предложенной Хо-Ли (Ho-Lee) и рассматриваемой в главе 28. См. работу Но T.S.Y. and Lee S.-B. Term structure movements and pricing interest rate contingent claims // Journal of Finance, 41 (December 1986), 1011-1029.
Таблица 6.3. Поправки на выпуклость для фьючерсной ставки в примере 6.4
Сроки действия фьючерсов, лет Поправки на выпуклость, базисные пункты
2 3,2
4 12,2
6 27,0
8 47,5
10 73,8
BOR. Используя поправку на выпуклость и фьючерсы на евродоллары, можно продолжить нулевую кривую на более долгий период времени. Предположим, что срок действия г-го фьючерсного контракта истекает в момент Ti (г = 1,2,...). Как правило, считается, что форвардная процентная ставка, вычисленная по фьючерсной процентной ставке, применяется к периоду с момента 7) до момента Ti+\. (Большой ошибки в этом предположении нет.) Это позволяет применить для определения нуль-купонных ставок процедуру бутстрэп. Допустим, что Fi — это форвардная ставка, вычисленная по г-му фьючерсному контракту на поставку евродолларов, a Ri — нуль-купонная ставка для срока выплаты в момент 7). Из формулы (4.5) следует, что
р __ Дг+1У}-|-1 — RjTj
rri rry ’
-4+1 — -4
так что
Fi (Ti+i — 7)) + RiT
Ri+i =----------™----------- (6-4)
-4+1
Другие евроставки, такие как еврофранки (Euroswiss), евроиены (Euroyen) и ев-ролибор (Euroibor), используются аналогично.
Пример 6.5
Четырехсотдневная нуль-купонная ставка LIBOR при непрерывном начислении равна 4,80%. Вычисления на основе котировок фьючерсов на поставку евродолларов показывают, что форвардная ставка на 91-дневный период, который начнется через 400 дней, равна 5,30% с непрерывным начислением. Для вычисления 491-дневной процентной ставки можно применить формулу (6.4).
0,053 х 9! + 0,048 x 400 =
491
т.е. 4,893%. Чтобы вычислить 589-дневную ставку, можно использовать вторую форвардную ставку.
0,055 х 98 4- 0,04893 х 491 „„„„„„
~-------------------------=0,04994,
т.е. 4,994%. Для продолжения нулевой кривой вплоть до окончания срока действия следующего фьючерсного контракта на евродоллары можно использовать следующую форвардную ставку, равную 5,60%. (Несмотря на то что ставка является 90-дневной, она применяется на период от 91 до 98 дней между сроками действия двух фьючерсных контрактов на евродоллары.) □
6.5 Стратегии хеджирования, основанные на манипулировании дюрацией
Понятие дюрации введено в разделе 4.8. Рассмотрим ситуацию, в которой для хеджирования актива, доходность которого зависит от процентных ставок, например, портфеля облигаций, используется процентный фьючерсный контракт.
Введем следующие определения.
Fc: цена процентного фьючерсного контракта;
Dp: дюрация актива, лежащего в основе фьючерсного контракта в момент его завершения;
Р: форвардная стоимость хеджируемого портфеля в момент завершения хеджа (на практике эта стоимость считается равной текущей стоимости портфеля);
Dpi дюрация портфеля в момент завершения хеджингово контракта.
При изменении доходности всех облигаций в моменты их погашения на одну и ту же величину Ду, т.е. при параллельном сдвиге кривой доходности, выполняются следующие приближенные равенства.
ДР = -PDp^y, AFc = —FcDpky.
Следовательно, количество контрактов, необходимых для хеджирования неопределенной величины Ду, равно
N*
РРр
FcDp
(6.5)
Это число называется коэффициентом хеджирования, основанного на манипулировании дюрацией (duration-based hedge ratio). Иногда его также называют коэффициентом ценовой чувствительности хеджирования (price sensitivity hedge ratio).6 В результате применения этого коэффициента дюрация всей позиции становится равной нулю.
бБолее подробное обсуждение равенства (6.5) содержится в работе Rend'eman R. Duration-Based Hedging with Treasury Bom Futures // Journal of Fixed Income, 9, no. 1 (June 1999). — P. 84-91.
Если в качестве инструмента хеджирования используется фьючерсный контракт на поставку казначейских облигаций, хеджер должен вычислять коэффициент Dp для каждой отдельной облигации. Это значит, что хеджер должен оценить, какая из облигаций в момент заключения хеджингового контракта является наиболее дешевой для поставки. Если впоследствии процентные ставки изменятся так, что наиболее дешевой для поставки станет другая облигация, хеджинговый контракт придется скорректировать, а его эффективность станет ниже ожидаемой.
Если хеджинговый контракт основан на процентном фьючерсе, важно учитывать, что процентные ставки и фьючерсные цены изменяются в противоположных направлениях. Если процентные ставки растут, то цены процентных фьючерсов падают. И наоборот, если процентные ставки падают, то цены процентных фьючерсов растут. Следовательно, если при падении процентных ставок компания несет убытки, она должна хеджировать риск, занимая длинную фьючерсную позицию. Аналогично, если компания теряет деньги вследствие роста процентных ставок, она должна хеджировать риск, занимая короткую фьючерсную позицию.
Выбирая фьючерсный контракт, хеджер должен стремиться к тому, чтобы дюрация базового актива была как можно ближе к дюрации хеджируемого актива. Для хеджирования рисков, связанных с колебаниями краткосрочных ставок, как правило, используются фьючерсы на поставку евродолларов. В то же время для хеджирования рисков, порожденных колебаниями долгосрочных ставок, обычно применяются фьючерсные контракты на поставку казначейских облигаций и нот.
Пример 6.6
Представьте себе, что сегодня 2 августа. Руководитель одного из фондов, инвестировавшего в правительственные облигации 10 млн долл., полагает, что процентные ставки на протяжении следующих трех месяцев будут очень неустойчивыми. Чтобы хеджировать стоимость портфеля, менеджер решает использовать декабрьский фьючерсный контракт на поставку казначейских облигаций. Текущая фьючерсная котировка равна 93-02, т.е. 93,0625. Поскольку каждый контракт предусматривает поставку облигаций с номинальной стоимостью 100 тыс. долл., цена фьючерсного контракта равна 93 062,50 долл.
Предположим, что дюрация портфеля облигаций через три месяца будет равна 6,80 лет. Предполагается, что в этот момент наиболее дешевой для поставки будет 20-летняя казначейская облигация с 12%-ным годовым купоном. Доходность этой облигации в настоящий момент равна 8,80% в год, а ее дюрация в момент завершения фьючерсного контракта будет равна 9,20 лет.
Чтобы хеджировать инвестиционный портфель, управляющий фондом должен занять короткую позицию по фьючерсному контракту на поставку казначейских облигаций. Если процентные ставки вырастут, короткая фьючерсная позиция принесет прибыль а портфель облигаций — убытки. Если же процентные ставки упадут, короткая позиция принесет убытки, а портфель облигаций — прибыль. Ко-
личество фьючерсных контрактов, в которых менеджер должен занять короткую позицию, можно вычислить по формуле (6.5).
10000000 6,80
--------х —— — 79,42.
93062,50 9,20
Округляя эту величину до ближайшего целого числа, приходим к выводу, что менеджер должен занять короткую позицию по 79 контрактам. □
6.6 Хеджирование портфелей активов
и долговых обязательств
Финансовые учреждения часто стремятся хеджировать риск, связанный с колебанием процентных ставок, уравнивая среднюю дюрацию своих активов со средней дюрацией своих обязательств. (Долговые обязательства можно интерпретировать как короткие позиции по облигациям.) Эта стратегия называется согласованием дюрации (duration matching) или иммунизацией портфеля (portfolio immunization). Она гарантирует, что небольшой сдвиг процентных ставок не сможет оказать значительного влияния на стоимость портфеля и долговых обязательств, поскольку прибыль (потери), связанная с владением активами, компенсируется потерями (прибылью), связанными с долговыми обязательствами.
Стратегия согласования дюрации не позволяет обезопасить инвестиционный портфель от непараллельных изменений процентных ставок. В этом заключается одна из ее основных слабостей. На практике краткосрочные процентные ставки, как правило, более изменчивы, чем долгосрочные. Кроме того, между этими ставками нет идеальной корреляции. Иногда изменения краткосрочных и долгосрочных ставок происходят в противоположных направлениях. Финансовые организации часто пытаются справиться с непараллельными изменениями процентных ставок, изобретая новые методы (см. врезку “Пример из деловой практики 6.3”).
Пример из деловой практики 6.3. Управление активами и долговыми обязательствами банка
В 1960-х годах процентные ставки были низкими и не очень изменчивыми. Из-за этого многие банки привыкли принимать краткосрочные депозиты и делать долгосрочные займы. В 1970-х годах процентные ставки выросли, и некоторые банки обнаружили, что они вынуждены обслуживать долгосрочные займы, сделанные в 1960-х годах по низкой процентной ставке. В результате некоторые банки потерпели убытки.
Комитеты, управляющие активами и долговыми обязательствами банков (ALM — asset-liability management), тщательно оценивают риски, связанные с колебаниями процентных ставок. На первом этапе они сравнивали дюрации активов и долговых обязательств, но это не позволило банкам защититься от непа
раллельных сдвигов кривой доходности. Это заставило их изобрести стратегию GAP (GAP management). Она заключается в разбиении нулевой кривой на сегменты (buckets). Первый сегмент может соответствовать периоду от нуля до конца первого месяца, второй — от начала второго месяца до конца третьего и т.д. Затем комитет ALM оценивает эффект, связанный с небольшим увеличением одного из сегментов, фиксируя остальные сегменты нулевой кривой.
Если это влияние недопустимо велико, то, чтобы уменьшить его, необходимо заключить сделки по тщательно подобранным ценным бумагам. Современные банки имеют в своем распоряжении намного больше инструментов, позволяющих управлять рисками, чем в 1960-х годах. К этим инструментам относятся свопы, соглашения о форвардных ставках, облигационные фьючерсы, фьючерсы на евродоллары и другие процентные деривативы.
Резюме
На финансовых рынках США существует два очень популярных процентных фьючерсных контракта: на поставку казначейских облигаций и на поставку евродолларов. По фьючерсному контракту на поставку казначейских облигаций сторона, занимающая короткую позицию, имеет много интересных возможностей.
1. Контракт можно выполнить в любой день месяца поставки.
2. Для поставки можно выбрать любую из доступных альтернативных облигаций.
3. В любой день на протяжении месяца поставки уведомление о намерении осуществить поставку по цене, зафиксированной в 14:00, можно отправить до 20:00.
Эти возможности снижают фьючерсную цену.
Фьючерсный контракт на поставку евродолларов предусматривает трехмесячную ставку, отсчет которой начинается в третью среду месяца поставки. Эти контракты часто используются для оценки форвардных ставок LIBOR при построении нулевой кривой. Если для этого используются долгосрочные контракты, то при переоценке активов необходимо учитывать коэффициент выпуклости.
При хеджировании риска, связанного с колебанием процентных ставок, большую роль играет понятие дюрации облигаций. Эта величина представляет собой среднее время ожидания инвестором первой выплаты. Продолжительность облигации является средневзвешенной суммой моментов выплат, в которой весами являются доли текущей стоимости облигации.
Для использования стратегии хеджирования, основанной на манипулировании дюрацией, необходимо, чтобы все процентные ставки изменялись на одинаковую величину. Это значит, что временная структура допускает только параллельные
сдвиги. На практике краткосрочные процентные ставки являются более изменчивыми, чем долгосрочные, и поэтому эффективность хеджирования снижается, если дюрация облигации, лежащей в основе фьючерсного контракта, значительно отличается от дюрации хеджируемого актива.
Дополнительная литература
Burghardt G. and Hoskins W The Convexity Bias in Eurodollar Futures // Risk, 8, 3 (1995). - P. 63-70.
Duffle D. Debt Management and Interest Rate Risk; in W. Beaver and G. Parker (eds.), Risk Management: Challenges and Solutions. — New York: McGraw-Hill, 1994.
Grinblatt M. and Jegadeesh N. The Relative Price of Eurodollar Futures and Forward Contracts // Journal of Finance, 51, 4 (September 1996). — P. 1499-1522.
Вопросы и задачи
6.1. Купонные выплаты по американской казначейской облигации в размере 7% выплачиваются 7 января и 7 июля. Какой процентный доход будет накоплен на каждые 100 долл, основной суммы, вложенной держателем облигации за период между 7 июля 2004 года и 9 августа 2004 года? Как изменится ваш ответ, если облигация окажется корпоративной?
6.2. Допустим, что сегодня 9 января 2005 года. Цена казначейской облигации с 12%-ным купоном и сроком погашения 12 октября 2009 года котируется как 102-07. Какова наличная цена облигации?
6.3. Какой коэффициент пересчета применяется на Чикагской срочной бирже? Как он используется?
6.4. Цена фьючерсов на евродоллары изменилась от 96,76 до 96,82. Какую прибыль получит или какие убытки понесет инвестор, занимающий длинные позиции в двух контрактах?
6.5. Какова цель поправки на выпуклость, применяемой в фьючерсах на евродоллары?
6.6. Ставка LIBOR, установленная на 350 дней, равна 3% с непрерывным начислением, а форвардная ставка, вычисленная по фьючерсным контрактам на евродоллары, истекающим через 350 дней, равна 3,2% с непрерывным начислением. Оцените нулевую ставку, установленную на 440 дней.
6.7. Предположим, что сегодня 30 января. Вы управляете портфелем облигаций стоимостью шесть миллионов долларов. Дюрация портфеля через шесть месяцев будет равна 8,2 года. Сентябрьская фьючерсная цена казначейской
облигации в настоящий момент равна 108-15, а дюрация облигации с наиболее дешевой поставкой в сентябре равна 7,6 лет. Как хеджировать риск, связанный с колебанием процентных ставок, в течение следующих шести месяцев?
6.8. Котировка 90-дневной казначейской облигации равна 10,00. Чему равна доходность (вычисленная на основе календарной поправки “длина расчетного периода/365”), которую инвестор получит благодаря казначейской облигации за 90-дневный период?
6.9. Предположим, что сегодня 5 мая 2005 года. Котировка правительственной облигации с 12%-ным купоном, срок обращения которой истекает 27 июля 2011 года, равна 110-17. Чему равна ее наличная цена?
6.10. Предположим, что фьючерсная цена казначейской облигации равна 101-12. Какая из следующих четырех облигаций имеет наиболее дешевую поставку?
Облигация Цена Коэффициент пересчета
1 125-05 1,2131
2 142-15 1,3792
3 115-31 1,1149
4 144-02 1,4026
6.11. Представьте себе, что сегодня 30 июля 2005 года. Наиболее дешевую поставку по сентябрьскому фьючерсному контракту имеет казначейская облигация с 13%-ным купоном. Ее доставка ожидается 30 сентября 2005 года. Купонные выплаты по облигации каждый год производятся 4 февраля и 4 августа. Временная структура является плоской, а процентная ставка с начислением раз в полгода равна 12% годовых. Коэффициент пересчета равен 1,5. Текущая котировка облигации равна ПО долл. Вычислите фьючерсную цену этого контракта.
6.12. Инвестор ищет арбитражные возможности на фьючерсном рынке казначейских облигаций. Какие осложнения вызывает тот факт, что сторона, занимающая короткую позицию, может выбрать для поставки любую облигацию со сроком погашения до 15 лет?
6.13. Предположим, что девятимесячная ставка LIBOR равна 8% годовых, а шестимесячная ставка LIBOR — 7,5% годовых (при непрерывном начислении). Определите трехмесячную цену фьючерса на поставку евродолларов, срок действия которого истекает через шесть месяцев.
6.14. Предположим, что 300-дневная нулевая ставка LIBOR равна 4%, а котировки евродолларов для контрактов, истекающих через 300, 398 и 489 дней, равны 95,83, 95,62 и 95,48. Вычислите 398-дневную и 489-дневную нулевые ставки
LIBOR, предполагая, что между форвардными и фьючерсными ставками нет разницы.
6.15. Предположим, что портфель облигаций с дюрацией, равной 12 лет, хеджируется с помощью фьючерсного контракта, дюрация базового актива в котором равна четырем годам. Какое значение имеет тот факт, что 12-летняя ставка имеет меньшую изменчивость, чем четырехлетняя?
6.16. Предположим, что сегодня 20 февраля, и руководитель финансового отдела узнает, что 17 июля компания собирается выпустить облигацию номинальной стоимостью 5 млн долл, и со сроком погашения через 180 дней. Если бы эта облигация была выпущена сегодня, компания получила бы 4 820 000 долл. (Иначе говоря, компания получила бы 4 820 000 долл., а через 180 дней должна была бы выкупить свои облигации на сумму 5 000 000 долл.) Котировка сентябрьского фьючерса на поставку евродолларов равна 92,00. Как хеджировать риски компании?
6.17. 1 августа под управлением менеджера находился портфель облигаций стоимостью 10 млн долл. Продолжительность этого портфеля в октябре будет равна 7,1 лет. Текущая котировка декабрьского фьючерсного контракта на поставку казначейских облигаций равна 91-12, а дюрация облигации с наиболее дешевой поставкой в момент его исполнения будет равна 8,8 лет. Как защитить портфель облигаций от колебаний процентных ставок на протяжении следующих двух месяцев?
6.18. Вернемся к задаче 6.17. Как уменьшить дюрацию портфеля до трех лет?
6.19. Между 30 октября 2006 года и 1 ноября 2006 года у вас есть выбор: владеть правительственными облигациями с 12%-ными купонами или корпоративными облигациями с 12%-ными купонами. Тщательно оцените все календарные поправки и выберите одну из перечисленных облигаций. Риском дефолта можно пренебречь.
6.20. Предположим, что котировка фьючерсов на поставку евродолларов равна 88, а срок исполнения контракта истекает через 60 дней. Чему равна форвардная ставка LIBOR на период от 60 до 150 дней? Решая эту задачу, можно игнорировать разницу между форвардными и фьючерсными контрактами.
6.21. Котировка фьючерсной цены контракта на евродоллары, истекающего через шесть лет, равна 95,20. Стандартное отклонение изменений краткосрочной процентной ставки за один год равно 1,1%. Оцените форвардную процентную ставку LIBOR, установленную на период между моментами, соответствующими 6,00 и 6,22 года.
6.22. Объясните, почему форвардная процентная ставка меньше соответствующей фьючерсной ставки, вычисленной по фьючерсному контракту на поставку евродолларов.
Упражнения
6.23. Предположим, что банк может дать или взять заем по одной и той же процентной ставке на рынке LIBOR. 90-дневная ставка равна 10% годовых, а 180-дневная — 10,2% годовых. Обе ставки начисляются непрерывно. Фьючерсная цена евродолларов по контракту, срок действия которого истекает через 91 день, равна 89,5. Какие арбитражные возможности открываются перед банком?
6.24. Канадская компания желает разработать фьючерсный контракт по канадской ставке LIBOR на основе американского фьючерсного контракта на поставку евродолларов и форвардных контрактов на курс иностранных валют. Объясните на примере, как поступить компании. Будем считать, что фьючерсный и форвардный контракты ничем не отличаются.
6.25. Фьючерсная цена контракта СВОТ на поставку облигации в июне 2005 года равна 118-23.
1) Вычислите коэффициент пересчета для облигации с 10%-ным купоном, срок погашения которой истекает 1 января 2021 года.
2) Вычислите коэффициент пересчета для облигации с 7%-ным купоном, срок погашения которой истекает 1 октября 2026 года.
3) Предположим, что котировки облигации в задачах 1 и 2 равны 169,00 и 136,00 соответственно. Какая из этих облигаций имеет наиболее дешевую поставку?
4) Предположим, что инвестор действительно осуществляет поставку облигации с наиболее дешевой поставкой. Чему равна наличная цена этой облигации?
6.26. Менеджер, управляющий инвестиционным портфелем, планирует использовать казначейские облигации для трехмесячного хеджирования. Стоимость портфеля равна 100 млн долл., а дюрация через три месяца будет равна четырем годам. Фьючерсная цена равна 122. Каждый фьючерсный контракт заключается на 100000 долл. Продолжительность вероятной облигации с наиболее дешевой поставкой в момент исполнения контракта будет равна девяти годам.
1) Как необходимо скорректировать хедж, если через месяц вероятной облигацией с наиболее дешевой поставкой станет облигация, срок погашения которой наступит через семь лет?
2) Предположим, что за три месяца все процентные ставки возрастут, однако долгосрочные ставки вырастут на меньшую величину, чем кратко-и среднесрочные. Как это повлияет на эффективность хеджирования?
Свопы
Первые свопы появились в начале 1980-х годов. С тех пор рынок свопов продемонстрировал феноменальный рост. В настоящее время свопы стали основным инструментом на внебиржевом рынке деривативов.
Своп (swap) — это соглашение между двумя компаниями о будущем обмене денежными потоками. В нем указываются даты выплат и способ определения их объемов. Как правило, при вычислении размеров будущих выплат используются прогнозируемые значения одного или нескольких рыночных показателей.
Одним из наиболее простых примеров свопа является форвардный контракт. Предположим, что 1 марта 2006 года некая компания заключила форвардный контракт на покупку 100 унций золота по цене 400 долл, за унцию через год. Следовательно, этот форвардный контракт эквивалентен свопу, по которому компания согласна 1 марта 2007 года выплатить 40000 долл, и получить 100S долл., где S — рыночная цена одной унции золота, зафиксированная в этот день.
В то время как форвардный контракт предусматривает простой обмен денежными потоками в определенный момент времени, своп обычно означает многократный обмен денежными потоками в разные моменты времени. В главе рассматриваются вопросы, связанные с разработкой свопов, их использованием и способами оценки. Основное внимание будет уделено двум наиболее популярным свопам: простому процентному свопу (plain vanilla interest rate swap) и валютному свопу с фиксированными курсами (fixed-to-fixed currency swap). Другие типы свопов будут рассмотрены в главе 30.
7.1 Механизм процентных свопов
Простой процентный своп является наиболее распространенной разновидностью свопов. Он представляет собой соглашение, согласно которому компания согласна в течение нескольких лет выплачивать денежные суммы, равные процентному доходу, полученному в результате применения к номинальной сумме фиксированной процентной ставки. Взамен компания получает процентный доход, вычисленный путем применения к той же самой номинальной сумме плавающей ставки за тот же период времени.
Ставка LIBOR
В качестве плавающей ставки во многих процентных свопах используется ставка LIBOR, описанная в главе 4. LIBOR — это процентная ставка, предлагаемая банками за размещение депозитов, полученных от других банков на рынках евродоллара. Как правило, ставки LIBOR устанавливаются в результате соглашения между банками на один, три, шесть и двенадцать месяцев и котируются во всех основных валютах.
Аналогично тому, как базисная ставка (prime rate) часто используется для определения процентного дохода по займам с плавающей процентной ставкой на внутренних финансовых рынках, ставка LIBOR является основной при оценке процентного дохода от займов на международных финансовых рынках. Чтобы понять способ ее применения, рассмотрим пятилетний заем с шестимесячной ставкой LIBOR плюс 0,5% годовых. Срок действия займа разбивается на десять интервалов, по шесть месяцев каждый. На каждый из указанных интервалов времени процентная ставка устанавливается на уровне 0,5% годовых плюс ставка LIBOR, зафиксированная в начале этого периода. Проценты выплачиваются в конце каждого периода.
Иллюстрация
Рассмотрим гипотетический трехлетний своп, заключенный 5 марта 2004 года между компаниями Microsoft и Intel. Предположим, что компания Microsoft согласилась выплатить компании Intel процентную ставку на уровне 5% годовых на основную сумму в размере 100 млн долл. Взамен компания Intel согласилась выплатить компании Microsoft шестимесячную ставку LIBOR на ту же основную сумму. В таком случае компания Microsoft является плательщиком фиксированной ставки (fixed-rate payer), а компания Intel — плательщиком плавающей ставки (float-rate payer). Допустим, что компании обмениваются выплатами каждые шесть месяцев, а 5%-ная ставка начисляется раз в полгода. Диаграмма этого свопа изображена на рис. 7.1.
Рис. 7.1. Процентный своп между компаниями Microsoft и Intel
Первый обмен выплатами произошел 5 сентября 2004 года, через шесть месяцев после заключения соглашения. Компания Microsoft должна была выплатить компании Intel 2,5 млн долл. Эта сумма равна процентному доходу, начисленному на 100. млн долл, через шесть месяцев по ставке 5% годовых. В свою очередь,
компания Intel должна была выплатить компании Microsoft процентный доход, начисленный на 100 млн долл, по шестимесячной ставке LIBOR, установленной на период, предшествующий 5 сентября 2004 года, т.е. по состоянию на 5 марта 2004 года. Предположим, что 5 марта 2004 года шестимесячная ставка LIBOR была равна 4,2%. Итак, компания Intel должна была выплатить компании Microsoft 0,5 х 0,042 х 100 = 2,1 млн долл.1 Обратите внимание на то, что суммы первого обмена известны заранее, поскольку они вычисляются по ставке LIBOR, установленной на момент заключения контракта.
Второй обмен должен был произойти 5 марта 2005 года, т.е. через год после заключения контракта. В этот день компания Microsoft снова должна была выплатить компании Intel 2,5 млн долл. В свою очередь, компания Intel должна была выплатить компании Microsoft процентный доход, начисленный на 100 млн долл, по превалирующей шестимесячной ставке LIBOR, установленной на период, предшествующий 5 марта 2005 года, т.е. по состоянию на 5 сентября 2004 года. Предположим, что 5 сентября 2004 года шестимесячная ставка LIBOR была равна 4,8%. Итак, компания Intel должна была выплатить компании Microsoft 0,5 х 0,048 х 100 = 2,4 млн долл.
В целом, этот своп предусматривает шесть обменов. Фиксированные выплаты всегда равны 2,5 млн долл. Переменные выплаты вычисляются с помощью превалирующей шестимесячной ставки LIBOR, установленной на полугодовой период, предшествующий дате выплаты. Процентный своп всегда конструируется так, чтобы одна сторона выплачивала другой разницу между двумя суммами. В нашем примере компания Microsoft 5 сентября 2005 года должна была выплатить компании Intel 0,4 млн долл. (= 2,5 — 2,1 млн долл.), а 5 марта 2005 года — 0,1 млн долл. (= 2,5 — 2,4 млн долл.).
В табл. 7.1 перечислены все выплаты в рамках свопа при конкретных значениях процентных ставок LIBOR. В таблице приведены суммы, выплаченные и полученные компанией Microsoft. Обратите внимание на то, что основная сумма в размере 100 млн долл, используется только для вычисления процентного дохода. Сама эта сумма обмену не подлежит. Именно по этой причине она называется номинальной (notional principal).
Если бы компании, заключившие своп, обменялись основной суммой в конце срока действия контракта, его природа от этого никак не изменилась бы. Основная сумма остается неизменной как при фиксированных, так и при плавающих ставках. В этой ситуации обмен основными суммами не имел бы никакого финансового смысла. В табл. 7.2 показаны денежные потоки (млн долл.), указанные в табл. 7.1, при обмене основными суммами в конце контракта. Эта таблица позволяет по-иному посмотреть на своп. Денежные суммы, указанные в третьем
'Эти вычисления немного неточны, поскольку в них игнорируются календарные поправки. Этот вопрос будет рассмотрен немного позднее.
Таблица 7.1. Денежные суммы (млн долл.), выплаченные компанией Microsoft по 5%-ной фиксированной ставке и полученные по ставке LIBOR в рамках трехлетнего свопа на 100 млн долл.
Дата Шестимесячная ставка LIBOR, % Денежные суммы, полученные по плавающей ставке Денежные суммы, выплаченные по фиксированной ставке Разность
5 марта 2004 г. 4,20
5 сентября 2004 г. 4,80 +2,10 -2,50 -0,40
5 марта 2004 г. 5,30 +2,40 -2,50 -0,10
5 сентября 2004 г. 5,50 +2,65 -2,50 +0,15
5 марта 2005 г. 5,60 +2,75 -2,50 +0,25
5 сентября 2005 г. 5,90 +2,80 -2,50 +0,30
5 марта 2005 г. +2,95 -2,50 +0,45
столбце, эквивалентны денежным потокам, возникающим, когда инвестор занимает длинную позицию по облигации с плавающей ставкой. Денежные суммы, приведенные в четвертом столбце, соответствуют денежным потокам, возникающим, когда инвестор занимает короткую позицию по облигации с фиксированной ставкой. Из этой таблицы следует, что своп можно интерпретировать как обмен облигации с плавающей ставкой на облигацию с фиксированной ставкой. Как следует из табл. 7.2, компания Microsoft занимает длинную позицию по облигации с плавающей ставкой и короткую позицию по облигации с фиксированной ставкой. Со своей стороны, компания Intel занимает длинную позицию по облигации с фиксированной ставкой и короткую позицию по облигации с плавающей ставкой.
Такое описание денежных потоков позволяет понять, почему плавающая ставка в свопе фиксируется за шесть месяцев до выплаты. Для облигации с плавающей ставкой процентный доход обычно вычисляется в начале периода, выплачивается — в конце. Определение размеров выплат по простому процентному свопу, аналогичных приведенным в табл. 7.2, подтверждает этот факт.
Применение свопов для преобразования обязательств
Компания Microsoft может использовать своп для преобразования займа с плавающей ставкой в заем с фиксированной ставкой. Предположим, что компания Microsoft взяла в долг 100 млн долл, по ставке LIBOR плюс 10 базисных пунктов. (Один базисный пункт равен одной сотой процента, так что ставка займа равна
Таблица 7.2. Денежные потоки (млн долл.) из табл. 7.1 при обмене основными суммами в конце контракта
Дата Шестимесячная ставка LIBOR, % Денежные суммы, полученные по плавающей ставке Денежные суммы, выплаченные по фиксированной ставке Разность
5 марта 2004 г. 4,20
5 сентября 2004 г. 4,80 +2,10 -2,50 -0,40
5 марта 2005 г. 5,30 +2,40 -2,50 -0,10
5 сентября 2005 г. 5,50 +2,65 -2,50 +0,15
5 марта 2006 г. 5,60 +2,75 -2,50 +0,25
5 сентября 2006 г. 5,90 +2,80 -2,50 +0,30
5 марта 2007 г. +102,95 -102,50 +0,45
LIBOR + 0,1%.) Затем компания Microsoft заключила своп, в рамках которого возникает три денежных потока.
1. Компания выплачивает ставку LIBOR + 0,1% внешним кредиторам.
2. Компания получает ставку LIBOR в рамках свопа.
3. Компания выплачивает 5% в сроки, указанные в свопе.
Эти три денежных потока эквивалентны процентной ставке, равной 5,1%. Следовательно, компания Microsoft трансформировала заем с плавающей ставкой LIBOR + 10 базисных пунктов в заем с фиксированной ставкой, равной 5,1%.
Компания Intel, в свою очередь, могла бы трансформировать заем с фиксированной ставкой в заем с плавающей ставкой. Предположим, что компания Intel взяла в долг 100 млн долл, под 5,2%. Заключив своп, она создает три денежных потока.
1. Компания выплачивает 5,2% внешним кредиторам.
2. Компания выплачивает ставку LIBOR в сроки, предусмотренные свопом.
3. Компания получает 5% в сроки, установленные свопом.
Эти потоки наличности эквивалентны выплатам по процентной ставке LIBOR + 0,2% (т.е. “LIBOR + 20 базисных пунктов”). Итак, с помощью свопа компания Intel трансформирует заем с фиксированной ставкой, равной 5,2%, в заем с плавающей ставкой “LIBOR+20 базисных пунктов”. Эти потенциальные возможности, открывающиеся перед компаниями Microsoft и Intel, продемонстрированы на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Применение свопа для трансформации долговых обязательств
Применение свопов для преобразования активов
Свопы можно использовать также для преобразования активов. Встанем на точку зрения компании Microsoft и покажем, как с помощью свопа трансформировать актив, приносящий фиксированный процентный доход, в актив, приносящий плавающий процентный доход. Допустим, что компания Microsoft имеет 100 млн долл, в облигациях, которые принесут в течение следующих трех лет процентный доход в размере 4,7% годовых. Заключив своп, компания Microsoft создает три денежных потока.
1. Компания получает 4,7% по облигациям.
2. Компания получает ставку LIBOR в сроки, установленные свопом.
3. Компания выплачивает 5% в сроки, установленные свопом.
Эти денежные потоки эквивалентны процентному доходу, полученному по ставке “LIBOR — 30 базисных пунктов”. Итак, компания Microsoft могла бы трансформировать актив, приносящий 4,7% годовых, в актив, приносящий ставку “LIBOR — 30 базисных пунктов”.
Теперь встанем на точку зрения компании Intel. С помощью свопа она могла бы преобразовать актив, приносящий плавающий процентный доход, в актив, приносящий фиксированный процентный доход. Предположим, что компания Intel вложила 100 млн долл, под ставку “LIBOR—20 базисных пунктов”. Заключив своп, она создает три денежных потока.
1. Компания на свои инвестиции получает ставку “LIBOF — 20 базисных пунктов”.
2. Компания выплачивает ставку LIBOR в сроки, установленные свопом.
3. Компания получает 5% в сроки, установленные свопом.
Эти денежные потоки эквивалентны процентному доходу, полученному по ставке, равной 4,8%. Итак, компания Intel могла бы преобразовать актив, приносящий процентный доход на уровне ставки “LIBOR — 20 базисных пунктов”, в актив, приносящий 4,8%. Потенциальные возможности по использованию свопов для трансформации активов продемонстрированы на рис. 7.3.
Рис. 7.3. Применение свопа для трансформации активов
Роль финансовых посредников
Как правило, нефинансовые компании, такие как Microsoft и Intel, не вступают в переговоры по свопу непосредственно, как это показано на рис. 7.2 и 7.3. Каждая из них общается с финансовым посредником, например с банком или другим финансовым учреждением. Простые свопы для обмена фиксированных и плавающих ставок в США обычно конструируются так, чтобы финансовое учреждение за свои услуги получило три или четыре базисных пункта (т.е. 0,03% или 0,04%).
На рис. 7.4 продемонстрирована роль финансового посредника в ситуации, изображенной на рис. 7.2. Финансовое учреждение заключает две компенсационные сделки с компаниями Intel и Microsoft. Если дефолт невозможен, финансовое учреждение получит гарантированную прибыль в размере 0,03% (т.е. три базисных пункта) в год, начисленную на номинальную сумму, равную 100 млн долл. (Иначе говоря, за три года финансовый посредник получит 30 000 долл.) В итоге, компания Microsoft берет заем под 5,115% (а не под 5,1%, как показано на рис. 7.2), а компания Intel — под ставку “LIBOR + 21,5 базисных пункта” (вместо ставки “LIBOR + 20 базисных пунктов”, как показано на рис. 7.2).
Рис. 7.4. Процентный своп, изображенный на рис. 7.2, при наличии финансового посредника
На рис. 7.5 проиллюстрирована роль финансового посредника в ситуации, изображенной на рис. 7.3. Как и в предыдущем варианте, если ни одна из сторон не объявит дефолт, финансовое учреждение получит гарантированную прибыль в размере 0,03%. В итоге, компания Microsoft получает ставку “LIBOR — 31,5 базисных пункта” (вместо ставки “LIBOR — 30 базисных пунктов”, как показано на рис. 7.3), а компания Intel получает 4,785% (а не 4,8%, как на рис. 7.3).
Рис. 7.5. Процентный своп, изображенный на рис. 7.3, при наличии финансового посредника
Обратите внимание на то, что в каждом из этих вариантов финансовая организация заключает два отдельных контракта: один — с компанией Intel, а второй — с компанией Microsoft. Скорее всего, компания Intel даже не узнает, что финансовый посредник заключил компенсационный своп с компанией Microsoft и наоборот. Если одна из этих компаний объявит дефолт, финансовая организация обязана исполнить контракт, заключенный с другой стороной. Спрэд в размере трех базисных пунктов частично компенсирует риск дефолта, которому подвергается финансовый посредник.
Маркет-мейкеры
На практике представляется крайне маловероятным, что две компании одновременно обратятся к одному и тому же посреднику, пожелав занять противоположные позиции в одном и том же свопе. По этой причине многие финансовые организации играют роль самостоятельного маркет-мейкера свопов. Это значит, что они готовы заключить своп, даже не имея компенсирующего соглашения с другой компанией.2 Маркет-мейкеры должны очень точно оценивать и хеджировать риски, которым они подвергаются. В частности, для хеджирования рисков на рынке свопов широко используются облигации, форвардные соглашения и процентные фьючерсы. В табл. 7.3 приведены котировки простых долларовых свопов, установленные маркет-мейкером.3 Как указано выше, спрэд между ценами продавца и покупателя колеблется от трех до четырех базисных пунктов. Среднее значение фиксированных ставок покупателя и продавца называется ставкой свопа (swap rate).
Таблица 7.3. Фиксированные ставки продавца и покупателя на рынке свопов, а также ставки свопов (процентов годовых)
Срок действия, лет Покупка Продажа Ставка свопа
2 6,03 6,06 6,045
3 6,21 6,24 6,225
4 6,35 6,39 6,370
5 6,47 6,51 6,490
7 6,65 6,68 6,665
10 6,83 6,87 6,850
2 Иногда такие свопы называют свопами хранения (warehousing swaps).
3В США получили широкое распространение свопы, в которых фиксированные выплаты, осуществляемые каждые шесть месяцев, обмениваются на выплаты по плавающей ставке LIBOR, осуществляемые каждые три месяца. В табл. 7.1 предполагалось, что выплаты по фиксированной и плавающей ставкам осуществляются каждые шесть месяцев. Как будет показано позднее, фиксированная ставка, теоретически, должна оставаться неизменной, независимо от того, как часто осуществляются выплаты по плавающей ставке — через каждые три или шесть месяцев.
Рассмотрим еще один своп, в котором фиксированная ставка равна текущей ставке свопа. Вполне резонно предположить, что стоимость этого свопа равна нулю. (Какими еще критериями мог руководствоваться маркет-мейкер при выборе котировок ставок покупателя и продавца, совпадающих со ставкой свопа?) В табл. 7.2 показано, что своп можно характеризовать как разность между облигацией с фиксированной ставкой и облигацией с плавающей ставкой. Введем следующие обозначения.
Bfix: стоимость облигации с фиксированной ставкой;
Bfli стоимость облигации с плавающей ставкой.
Поскольку стоимость свопа равна нулю,
Bfix = Bfl. (7.1)
Позднее этот результат будет использован при обсуждении способа построения нулевой кривой LIBOR/своп.
7.2 Календарные поправки
На выплаты по свопу влияют календарные поправки, рассмотренные в разделе 6.1, поэтому некоторые из сумм, указанных в рассмотренных выше примерах, являются не совсем точными. Рассмотрим, например, выплаты по шестимесячной ставке LIBOR, приведенные в табл. 7.1. Поскольку она является процентной ставкой денежного рынка, ее котируют с поправкой “длина периода/360”. Первая выплата по плавающей ставке, приведенная в табл. 7.1 и основанная на ставке LIBOR 4,2%, равна 2,1 млн долл. Поскольку с 5 марта 2004 года по 5 сентября 2004 года проходит 184 дня, эта сумма должна быть равной
184
100 х 0,042 х = 2,1467 млн долл.
В общем, денежная сумма, полученная по плавающей ставке LIBOR в момент выплаты по свопу, равна LRn/360, где L — основная сумма, R — соответствующая ставка LIBOR, ап — количество дней, прошедших с момента последней выплаты.
Фиксированная ставка, выплачиваемая в рамках свопа, котируется аналогично. В результате, фиксированные выплаты в разные моменты времени могут быть разными. Фиксированная ставка, как правило, котируется с поправкой “длина пе-риода/365” или “30/360”. Таким образом, ее нельзя непосредственно сравнивать со ставкой LIBOR, поскольку она применяется к целому году. Чтобы добиться сравнимости этих ставок, необходимо либо умножить шестимесячную ставку LIBOR на коэффициент 365/360, либо умножить фиксированную ставку на коэффициент 360/365.
Для простоты изложения, в оставшейся части главы мы будем игнорировать календарные поправки.
7.3 Подтверждения
Подтверждением (confirmation) называется юридическое соглашение, лежащее в основе свопа. Оно подписывается обеими сторонами. В табл. 7.3 приведена выписка из гипотетического подтверждения, заключенного между компаниями Microsoft и Intel. Создание подтверждения облегчают наработки Международной ассоциации по свопам и ценным бумагам (International Swaps and Derivatives Association — ISDA), расположенной в Нью-Йорке. Эта организация разработала большое количество соглашений (Master Agreements), в которых оговорены терминология, используемая при заключении свопов, последствия, которые возникнут при наступлении того или иного события, а также другие детали. Можно утверждать почти наверняка, что в свопе, выписка из которого приведена в табл. 7.3, обязательно содержится фраза о применении норм, сформулированных ассоциацией ISDA.
Пример из деловой практики 7.1. Выписка из подтверждения гипотетического простого свопа, заключенного компаниями Microsoft и Intel
Дата сделки Дата вступления в силу Соглашение о рабочих днях (распространяется на все даты) Календарь праздников Дата завершения контракта Выплаты по фиксированной ставке Плательщик фиксированной ставки Номинальная сумма по фиксированной ставке Фиксированная ставка Календарная поправка к фиксированной ставке Даты выплаты фиксированной ставки Выплаты по плавающей ставке Плательщик плавающей ставки Номинальная сумма по плавающей ставке Плавающая ставка 27 февраля 2004 года 5 марта 2004 года Начиная со следующего рабочего дня США 5 марта 2007 года Компания Microsoft 100 млн долл. США 5,015% годовых Длина периода/365 Каждый год 5 марта и 5 сентября, начиная с 5 сентября 2004 года и включая 5 марта 2007 года Компания Goldman Sachs 100 млн долл. США Шестимесячная ставка LIBOR, долл. США
Календарная поправка к плавающей Длина периода/360 ставке
Даты выплаты плавающей ставки Каждый год 5 марта и 5 сентября,
начиная с 5 сентября 2004 года и включая 5 марта 2007 года
В табл. 7.3 указаны календарные поправки, применяемые к ставкам, а также соглашение о рабочих и праздничных днях, установленных в США. Это значит, что если дата выплаты приходится на выходные или праздничные дни, то сама выплата должна осуществляться в ближайший рабочий день.4 Например, 5 сентября 2004 года — это воскресенье. Следовательно, выплата должна быть осуществлена в понедельник, 6 сентября 2004 года.
7.4 Сравнительное преимущество
Как правило, объясняя популярность свопов, указывают на сравнительные преимущества, которые получают компании. Рассмотрим применение процентного свопа для преобразования долговых обязательств. Как указывалось, одним компаниям выгоднее брать деньги в долг на рынке фиксированных ставок, а другим — на рынке плавающих ставок. Делая заем, целесообразно выбирать более выгодный рынок. В результате, компания может занять деньги под фиксированный процент, несмотря на то что хотела получить заем по плавающей ставке, и наоборот. Для того чтобы преобразовать заем в желаемую форму, компания может заключить своп.
Иллюстрация
Предположим, две компании, АААСогр и ВВВСогр, решили взять деньги в долг на пять лет по ставкам, приведенным в табл. 7.4. Корпорация АААСогр имеет кредитный рейтинг ААА, а корпорация ВВВСогр — кредитный рейтинг ВВВ.5 Предположим, что компания ВВВСогр желает взять заем по фиксированной ставке, а корпорация АААСогр — по плавающей ставке, связанной с шестимесячной ставкой LIBOR. Поскольку кредитный рейтинг корпорации ВВВСогр ниже кре-
4Иногда в контрактах применяется модифицированное соглашение о следующих рабочих днях. Оно почти ничем не отличается от обычного, за исключением одного условия: если следующий рабочий день приходится на другой месяц, выплата производится в рабочий день, непосредственно предшествующий дате выплаты. Соглашения о предшествующих рабочих днях и модифицированные соглашения о предшествующих рабочих днях формулируются аналогично.
’Кредитные рейтинги, устанавливаемые агентством S&P (в порядке снижения кредитоспособности), равны AAA, АА, А, ВВВ, ВВ, В и ССС. Соответствующие рейтинги, присваиваемые агентством Moody’s, равны Ааа, Аа, А, Ваа, Ва, В и Саа соответственно.
дитного рейтинга корпорации АААСогр, корпорация ВВВСогр вынуждена платить более высокий процент как при фиксированной, так и при плавающей ставках.
Главная особенность кредитных ставок, предлагаемых корпорациями АААСогр и ВВВСогр, заключается в том, что разница между фиксированными ставками больше, чем между плавающими. На рынке фиксированных ставок корпорация ВВВСогр платит на 1,2% больше, чем корпорация АААСогр, а на рынке плавающих ставок — только на 0,7% больше. Следовательно, корпорация ВВВСогр имеет сравнительное преимущество на рынке плавающих ставок, а корпорация АААСогр —- на рынке фиксированных ставок.6 Эта очевидная аномалия стимулирует заключение свопа. Корпорация АААСогр делает заем по фиксированной ставке, равной 4% годовых, а корпорация ВВВСогр — по плавающей ставке “LIBOR + +1% годовых”. Затем они заключают своп. В итоге, корпорация АААСогр получает заем по плавающей ставке, а ВВВСогр — по фиксированной.
Таблица 7.4. Процентные ставки по займам
Фиксированная Плавающая
АААСогр 4,0% Шестимесячная ставка LIBOR + 0,3%
ВВВСогр 5,2% Шестимесячная ставка LIBOR + 1,0%
Чтобы понять механику свопов, сначала предположим, что корпорации АААСогр и ВВВСогр непосредственно контактируют друг с другом. Своп, который они могут обсуждать, изображен на рис. 7.6. Эта схема очень похожа на рис. 7.2. Корпорация АААСогр берет на себя обязательство выплатить корпорации ВВВСогр процент на уровне шестимесячной ставки LIBOR, начисленный на 10 млн долл. В свою очередь, корпорация ВВВСогр согласна выплатить корпорации АААСогр фиксированную ставку в размере 3,95% годовых, начисленную на ту же сумму.
Рис. 7.6. Процентный своп между компаниями ААА Corp и ВВВСогр
Итак, корпорация АААСогр создает три денежных потока.
1. Компания внешним кредиторам выплачивает 4% годовых.
2. Компания получает 3,95% годовых от корпорации ВВВСогр.
6Обратите внимание на то, что сравнительное преимущество корпорации ВВВСогр на рынке плавающих ставок не означает, что она заплатит меньше, чем корпорация АААСогр. Просто сумма, на которую выплаты корпорации ВВВСогр превышают выплаты корпорации АААСогр, на этом рынке будет меньше. Один из моих студентов описал эту ситуацию следующим образом: “Корпорация АААСогр больше платит меньше на рынке фиксированных ставок, а корпорация ВВВСогр меньше платит больше на рынке плавающих ставок”.
3. Компания выплачивает корпорации ВВВСогр ставку LIBOR.
В итоге, корпорация АААСогр выплачивает ставку “LIBOR + 0,05% годовых”. Это на 0,25% меньше, чем процент, который она должна была бы выплатить на рынке плавающих ставок. Корпорация ВВВСогр также создает три денежных потока.
1. Компания выплачивает внешним кредиторам ставку “LIBOR + 1,0% годовых”.
2. Компания получает ставку LIBOR от корпорации АААСогр.
3. Компания выплачивает корпорации АААСогр 3,95% годовых.
В итоге, корпорация ВВВСогр выплачивает 4,95% годовых. Это на 0,25% меньше, чем процент, который она должна была бы выплатить непосредственно на рынке фиксированных ставок.
Как видим, своп улучшает позиции обеих компаний на 0,25% годовых. Следовательно, общий выигрыш равен 0,5% годовых. Можно показать, что общий выигрыш от такого процентного свопа всегда равен а — Ь, где а — разность между фиксированным ставками, а b — разность между плавающими ставками, предлагаемыми обеим компаниям. В данном случае а — 1,2%, а b = 0,70%.
Если корпорации АААСогр и ВВВСогр не вступают в непосредственный контакт и пользуются услугами финансового посредника, возникает схема, изображенная на рис. 7.7. (Эта схема очень похожа на рис. 7.4.) В данной ситуации корпорация АААСогр в итоге осуществляет заем по ставке LIBOR + 0,07%, корпорация ВВВСогр — по фиксированной ставке, равной 4,97%, а финансовое учреждение получает спрэд, равный четырем базисным пунктам в год. Выигрыш корпорации АААСогр равен 0,23%, корпорации ВВВСогр — 0,23%, а финансового посредника — 0,04%. Общий выигрыш всех сторон, как и раньше, равен 0,50%.
Рис. 7.7. Процентный своп между компаниями АААСогр и ВВВСогр с участием финансового посредника
Критика сравнительных преимуществ
На самом деле сравнительные преимущества, описанные нами выше, остаются под вопросом. В самом деле, почему в табл. 7.4 разности между кредитными ставками, предлагаемыми корпорациям АААСогр и ВВВСогр на рынках фиксированных и плавающих ставок, должны быть разными. Рынок свопов существует уже довольно долгое время, поэтому вполне резонно предположить, что такая разница должна компенсироваться с помощью арбитража.
Причина, по которой существует разница между кредитными ставками, объясняется природой контрактов, предлагаемых компаниям на рынках фиксированных и плавающих ставок. Фиксированные ставки в размере 4,0% и 5,2%, предлагаемые компаниям ААА Corp и ВВВСогр, являются пятилетними (иначе говоря, именно по этим ставкам корпорации могут выпустить пятилетние облигации с фиксированным процентом). В свою очередь, плавающие ставки “LIBOR + 0,3%” и “LIBOR + 1,0%”, предлагаемые компаниям АААСогр и ВВВСогр, являются шестимесячными. Кредитор, как правило, имеет возможность пересматривать плавающие процентные ставки каждые полгода. Если кредитоспособность компаний АААСогр или ВВВСогр упадет, кредитор может увеличить спрэд, добавляемый к ставке LIBOR. В исключительных ситуациях кредитор может вообще отказаться пролонгировать заем. Кредиторы, предоставляющие займы по фиксированным ставкам, не имеют возможности изменять условия договора.7
Спрэды между ставками, предлагаемыми компаниям АААСогр и ВВВСогр, отражают разности между вероятностями их дефолтов. Вероятность, что на протяжении ближайших шести месяцев одна из этих компаний объявит дефолт, очень мала. Забегая вперед, скажем, что статистика дефолтов показывает, что вероятность дефолта компании, имеющей относительно небольшой кредитный рейтинг (например, ВВВСогр), со временем возрастает быстрее, чем вероятность дефолта компании, имеющей относительно высокий рейтинг (например, A A A Corp). Вот почему разность между пятилетними фиксированными ставками больше, чем спрэд между шестилетними ставками.
После оформления займа по плавающей ставке “LIBOR +1,0%” и заключения свопа, показанного на рис. 7.7, корпорация ВВВСогр получает заем по фиксированной ставке на уровне 4,97%. Приведенные выше аргументы показывают, что на самом деле ситуация выглядит иначе. На практике фиксированная ставка равна 4,97%, только если корпорация ВВВСогр имеет возможность продолжать делать займы по плавающим ставкам “LIBOR + 1,0%”. Если, например, кредитный рейтинг корпорации ВВВСогр упадет и новый кредит она сможет взять только по плавающей ставке “LIBOR + 2,0%”, то фиксированная ставка кредита возрастет до 4,97%. Поскольку увеличение спрэда ставки LIBOR для компании ВВВСогр вероятнее, чем его снижение, то, в среднем, следует ожидать, что фиксированная ставка окажется выше 4,97%.
Своп, изображенный на рис. 7.7, позволяет компании АААСогр зафиксировать ставку “LIBOR + 0,07%” не на шесть, а на все пять лет. Это очень выгодно для компании. Теневой стороной этой сделки является риск дефолта финансового
7 Если заем по плавающей ставке предусматривает, что спрэд, добавляемый к ставке LIBOR, гарантируется заранее независимо от кредитного рейтинга, сравнительные преимущества вообще исчезают.
посредника. Если бы компания АААСогр сделала обычный заем по фиксированной ставке, этот риск не возник бы.
7.5 Природа ставок свопов
Рассмотрим природу ставок свопов и зависимости между рынками свопов и ставок LIBOR. Как указывалось в разделе 4.1, ставка LIBOR — это процентная ставка, по которой банк с кредитным рейтингом АА занимает деньги на период от 1 до 12 месяцев у другого банка. Как показано в разделе 7.3, ставка свопа представляет собой 1) фиксированную ставку, по которой маркет-мейкер на рынке свопов готов заплатить за получение ставки LIBOR (эта величина называется ценой продавца (bid rate)) и 2) фиксированную ставку, которую он согласен получить в обмен на выплату ставки LIBOR (эта величина называется ценой покупателя (offer rate)).
Как и ставки LIBOR, ставки свопов не являются безрисковыми. Однако они близки к безрисковым. Финансовое учреждение может получить пятилетнюю ставку свопа, начисленную на определенную основную сумму, выполнив следующие действия.
1. Одолжить основную сумму на первые шесть месяцев заемщику, имеющему кредитный рейтинг АА, а затем повторно одолжить эту сумму на следующие шесть месяцев другому заемщику с кредитным рейтингом АА.
2. Заключить своп на обмен процентного дохода, полученного по ставке LIBOR, на пятилетнюю ставку свопа.
Это означает, что пятилетняя ставка свопа является процентной ставкой, кредитный риск которой соответствует ситуации, в которой заемщику, имеющему кредитный рейтинг АА, предоставляются 10 последовательных шестимесячных займов по ставке LIBOR. Аналогично семилетняя ставка свопа является процентной ставкой, кредитный риск которой соответствует ситуации, в которой заемщику, имеющему кредитный рейтинг АА, предоставляются 14 последовательных шестимесячных займов по ставке LIBOR. Ставки свопов с другими сроками действия интерпретируются аналогично.
Обратите внимание на то, что ставки свопов меньше кредитных ставок заемщика с рейтингом АА. Кредитору намного выгоднее каждые шесть месяцев одалживать деньги разным заемщикам, имеющим в начале периода займа кредитный рейтинг АА, чем предоставить пятилетний заем компании, имеющей в начале периода кредитный рейтинг АА.
7.6 Построение нулевой кривой LIBOR/своп
В разделе 4.1 сказано, что трейдеры, торгующие деривативами, при оценке производных финансовых инструментов, вместо безрисковой процентной ставки, часто используют ставки LIBOR. К сожалению, ставки LIBOR можно непосредственно измерить только для контрактов, срок действия которых не выходит за пределы 12 месяцев. Как указано в разделе 6.4, нулевую кривую ставки LIBOR можно продолжить за пределы 12 месяцев, используя фьючерсы на евродоллары. Как правило, этот метод используется для продолжения ставки LIBOR на период до двух лет, а иногда — до пяти лет. Для продолжения нулевой кривой LIBOR на более долгие сроки трейдеры используют ставки свопов. Результирующую кривую иногда называют нулевой кривой LIBOR (LIBOR zero curve), а иногда — нулевой кривой свопа (swap zero curve). Чтобы избежать недоразумений, мы будем называть ее нулевой кривой LIBOR/своп (LIBOR/swap zero curve). Покажем, как с помощью ставок свопов можно построить нулевую кривую LIBOR/своп.
Сначала заметим, что если для дисконтирования используется нулевая кривая LIBOR/своп, то стоимость впервые выпущенной облигации с плавающей ставкой, по которой выплачивается шестимесячная ставка LIBOR, всегда равна ее номинальной стоимости (или номиналу).8 Это объясняется тем, что процентный доход по облигации начисляется по ставке LIBOR, и эта же ставка используется в качестве дисконтной. Таким образом, процентный доход по облигации равен ее дисконту, а значит, номинальная стоимость облигации установлена правильно.
Из формулы (7.1) следует, что для вновь выпущенного свопа, в котором фиксированная ставка равна ставке свопа, выполняется равенство Врх = Вц. Только что мы показали, что номинальная стоимость свопа равна Вд. Следовательно, величина Вцх также равна номинальной стоимости свопа. Таким образом, ставки свопов образуют набор облигаций с номинальной доходностью (par yield bonds). Например, из ставок свопов, перечисленных в табл. 7.3, следует, что двухлетняя номинальная доходность LIBOR/своп равна 6.045%, а трехлетняя номинальная доходность LIBOR/своп — 6,225% и т.д.9
Как правило, для построения нулевой кривой LIBOR/своп используется метод бутстрэп (bootstrap), с помощью которого мы строили казначейскую нулевую кривую в разделе 4.5. Ставки LIBOR позволяют построить нулевую кривую на период до одного года. Ставки свопов определяют номинальную доходность облигаций, на основе которых, в свою очередь, можно определить долгосрочные ставки.
8Это утверждение относится и к впервые выпущенным облигациям, по которым выплачивается одномесячная, трехмесячная и 12-месячная ставка LIBOR.
’Аналитики часто интерполируют ставки свопов перед построением нулевой кривой. Таким образом, они имеют в своем распоряжении ставки свопов по контрактам, сроки действия которых кратны шести месяцам. Например, из данных, приведенных в табл. 7.3, следует, что ставка свопа, срок действия которого равен 2,5 года, предполагается равной 6,135%, а ставка свопа, срок действия которого равен 7,5 года, предполагается равной 6,696% и т.д.
Пример 7.1
Допустим, что 6-, 12- и 18-месячные нулевые ставки LIBOR/своп равны 4, 4,5 и 4,8% с непрерывным начислением соответственно. Кроме того, предположим, что двухлетняя ставка свопа, выплаты по которому производятся каждые полгода, равна 5%. Эта ставка свопа означает, что облигация с номиналом 100 долл, и полугодовым купоном в размере 5% годовых продается по номиналу. Пусть R — двухлетняя нулевая ставка. Тогда
2,5е-°’04х0’5 + 2,5е-°’045х1-° + ^бе"0’048*1’5 + 102,5е2/г = 100
Решая это уравнение, получаем, что R = 4,953%. (Обратите внимание на то, что в этих вычислениях не учитывались календарные поправки; см. раздел 7.2.) □
7.7 Оценка процентных свопов
Рассмотрим способ оценки процентных свопов. В момент заключения стоимость свопа равна нулю или близка к этой величине. Однако через некоторое время его стоимость может стать как положительной, так и отрицательной. Существует два подхода к оценке свопа. С одной стороны, своп можно рассматривать как сочетание длинной позиции по одной облигации и короткой позиции по другой. С другой стороны, его можно интерпретировать как портфель соглашений о форвардных ставках.
Оценка свопов с помощью цен облигаций
В рамках процентного свопа обмен основными выплатами не происходит. Однако, как показано в табл. 7.1, мы можем предположить, что в конце свопа основные выплаты обмениваются без изменения их стоимости. В таком случае, с точки зрения плательщика плавающей ставки, своп можно трактовать как сочетание длинной позиции по облигации с фиксированной ставкой и короткой позиции по облигации с плавающей ставкой. Таким образом,
Iswap = -Bfix
где VsWap — стоимость свопа, Вц — стоимость облигации с плавающей ставкой (соответствующая сделанным выплатам), а Вцх — стоимость облигации с фиксированной ставкой (соответствующая сделанным выплатам). Аналогично, с точки зрения плательщика фиксированной ставки, своп можно интерпретировать как сочетание длинной позиции по облигации с плавающей ставкой и короткой позиции по облигации с фиксированной ставкой. Таким образом,
I'swap = BfiK.
Стоимость облигации с фиксированной ставкой Вцх можно определить так, как показано в разделе 4.4. Чтобы оценить стоимость облигации с плавающей ставкой, обратим внимание на то, что стоимость облигации сразу после выплаты процентного дохода равна ее номиналу. Это объясняется тем, что в этот момент облигация представляет собой “честную сделку”, в рамках которой заемщик выплачивает ставку LIBOR за каждый следующий период накопления.
Предположим, что номинальная сумма свопа равна L, следующий обмен выплатами по плавающей ставке произойдет в момент t* (он зависит от даты предыдущей выплаты), а сумма выплат равна к*. Сразу после выплаты = L. Следовательно, непосредственно перед выплатой Вц = L + k*. Таким образом, облигацию с плавающей ставкой можно рассматривать как финансовый инструмент, обеспечивающий единовременный денежный поток L + k* в момент t*. Дисконтируя эту величину, можно вычислить текущую стоимость облигации с плавающей ставкой.
(Д + Л*)е-Г‘г,
где г* — нулевая ставка LIBOR/своп, установленная на срок t*.
Пример 7.2
Предположим, что некое финансовое учреждение заключило своп с номинальной суммой 100 млн долл., по которому оно выплачивает шестимесячную ставку LIBOR, а получает — 8% в год (с начислением раз в полгода). До истечения срока действия свопа осталось 1,25 лет. Ставки LIBOR с непрерывным начислением и сроками выплат через 3, 9 и 15 месяцев равны 10%, 10,5% и 11% соответственно. Шестимесячная ставка LIBOR в момент последней по времени выплаты равна 10,2% (с начислением раз в полгода).
Вычисления стоимости свопа, интерпретируемого как набор облигаций, приведены в табл. 7.5. Денежные потоки по облигации с фиксированной ставкой в дни выплат равны 4, 4 и 104 долл. Дисконтные коэффициенты, применяемые к этим денежным потокам, равны
0,1x0,25 -0,105x0,75 -0,11X1,25
Они приведены в четвертом столбце табл. 7.5. В ней указано, что стоимость облигации с фиксированной ставкой равна 98,238 млн долл.
В данном примере к* = 0,5 х 0,102 х 100 = 5,1 млн долл., a t* = 0,25. Таким образом, облигацию с плавающей ставкой можно оценить как финансовый инструмент, приносящий 105,1 млн долл, в течение трех месяцев. В таблице показано, что стоимость облигации с плавающей ставкой равна 102,505 млн долл.
Стоимость свопа равна разности между ценами этих облигаций.
Lswap — 98,238 — 102,505 = —4,267 млн долл.
Если бы финансовое учреждение занимало противоположную позицию и выплачивало фиксированную ставку, получая плавающую, то стоимость свопа составила бы +4,267 млн долл. Обратите внимание на то, что в наших вычислениях по-прежнему игнорируются календарные поправки. □
Таблица 7.5. Оценка свопа, интерпретируемого как набор облигаций. Здесь В[а — облигация с фиксированной ставкой, а Вц — облигация с плавающей ставкой, лежащие в основе свопа
Время Денежные потоки по облигации Денежные потоки по облигации вя Дисконтный коэффициент Денежный поток по облигации в настоящее время Денежные потоки по облигации в настоящее время
0,25 4,0 105,100 0,9753 3,901 102,505
0,75 4,0 0,9243 3,697
1,25 104,0 0,8715 90,640
Всего: 98,238 102,505
Оценка свопов с помощью соглашений о форвардных ставках
Своп можно интерпретировать как портфель соглашений о форвардных ставках. Рассмотрим своп, заключенный между компаниями Intel и Microsoft (см. рис. 7.1). Этот своп представляет собой трехлетний контракт, заключенный 5 марта 2004 года и предусматривающий выплаты каждые полгода. Первый обмен происходит в момент заключения свопа. Остальные пять обменов можно интерпретировать как соглашения о форвардных ставках. Обмен, осуществленный 5 марта 2005 года, представляет собой соглашение FRA, в котором процентный доход, равный 5%, обменивается на процентный доход, полученный по шестимесячной ставке, зафиксированной на рынке 5 сентября 2004 года. Обмен, осуществленный 5 сентября 2004 года, представляет собой соглашение FRA, в котором процентный доход, равный 5%, обменивается на процентный доход, полученный по шестимесячной ставке, зафиксированной на рынке 5 марта 2005 года и т.д.
Как показано в разделе 4.7, соглашение FRA можно оценить, предположив, что форвардные процентные ставки стали реальностью. Поскольку простой процентный своп представляет собой портфель соглашений о форвардных ставках, его оценка осуществляется точно так же. Процедура оценки простого процентного свопа выглядит следующим образом.
1. С помощью нулевой кривой LIBOR/своп вычисляются форвардные ставки для каждой ставки LIBOR, определяющей денежные потоки в рамках свопа.
2. Вычисляются денежные потоки в предположении, что ставки LIBOR совпадают с форвардными.
3. С помощью нулевой кривой LIBOR/своп вычисленные денежные потоки по свопу дисконтируются так, чтобы получить стоимость свопа.
Пример 7.3
Вернемся к предыдущему примеру. По условиям свопа финансовое учреждение согласно выплачивать шестимесячную ставку LIBOR и получать 8% годовых, начисляемых раз в полгода на номинальную сумму, равную 100 млн долл. До истечения срока действия свопа осталось 1,25 лет. Ставки LIBOR с непрерывным начислением и сроками выплат через 3, 9 и 15 месяцев равны 10%, 10,5% и 11% соответственно. Шестимесячная ставка LIBOR в момент последней по времени выплаты равна 10,2% (с начислением раз в полгода).
Вычисления стоимости свопа, интерпретируемого как набор облигаций, приведены в табл. 7.6. В первой строке приведены денежные потоки, подлежащие обмену через три месяца. Их величина уже определена. Фиксированная ставка, равная 8%, порождает денежный приток в сумме 100 х 0,08 х 0,5 = 4 млн долл. Плавающая ставка, равная 10,2% (установленная три месяца назад), порождает денежный отток в сумме 100 х 0,102 х 0,5 = 5,1 млн долл. Во второй строке таблицы приведены денежные потоки, подлежащие обмену через девять месяцев. Они вычислены при условии, что форвардные ставки стали реальностью. Денежный приток, как и прежде, равен 4 млн долл. Для того чтобы вычислить денежный отток, сначала необходимо вычислить форвардную ставку, установленную на период от трех до девяти месяцев. Из формулы (4.5) следует, что эта ставка равна
0,105 x 0,75-0,10 x 0,25
--------"ад------------= 0’10'5’
т.е. 10,75% при непрерывном начислении. По формуле (4.4) получаем, что форвардная ставка равна 11,044% при полугодовом начислении. Следовательно, величина денежного оттока равна 100x0,11044x0,5 — 5,522 млн долл. В третьей строке таблицы приведены денежные потоки, подлежащие обмену через 15 месяцев. Они также вычислены при условии, что форвардные ставки стали реальностью. Дисконтные коэффициенты, применяемые к этим денежным потокам, равны
-0,1x0,25 е-0,105x0,75 е-0,11х1,25
Текущая стоимость обмена через три месяца равна —1,073 млн долл. Стоимость соглашений о форвардных ставках, соответствующих обменам через 9 и 15 месяцев, равна —1,407 и —1,787 млн долл, соответственно. Общая стоимость свопа
равна —4,267 млн долл. Это согласуется с вычислениями, проделанными в примере 7.2, когда своп раскладывался на облигации. □
Таблица 7.6. Оценка свопа, интерпретируемого как портфель соглашений о форвардных ставках. Денежные потоки по плавающей ставке вычислены при условии, что форвардные ставки стали реальностью
Время Денежные потоки по фиксированной ставке Денежные потоки по плавающей ставке Чистые денежные потоки Дисконтный коэффициент Текущая стоимость чистых денежных потоков
0,25 4,0 -5,100 -1,100 0,9753 -1,073
0,75 4,0 -5,522 -1,522 0,9243 -1,407
1,25 4,0 -6,051 -2,051 0,8715 -1,787
Всего: -4,267
Фиксированная ставка в простом процентном свопе выбирается так, чтобы в начальный момент времени его стоимость была равной нулю. Следовательно, сумма стоимостей всех соглашений о форвардных ставках, образующих своп, также равна нулю. Однако это не означает, что стоимость каждого из соглашений FRA равна нулю. Одни соглашения могут иметь положительную стоимость, а другие — отрицательную.
Рассмотрим соглашения о форвардных ставках, образующих своп между компанией Intel и компанией Microsoft (см. рис. 7.1).
Если форвардная ставка больше 5,0%, стоимость соглашений FRA для компании Microsoft является отрицательной. Если форвардная ставка равна 5,0%, стоимость соглашений FRA для компании Microsoft равна нулю. Если форвардная ставка меньше 5,0%, стоимость соглашений FRA для компании Microsoft является положительной.
Предположим, что временная структура процентных ставок в момент заключения свопа возрастала. Поскольку сумма всех стоимостей соглашений FRA равна нулю, то для всех предшествующих дней выплат форвардная процентная ставка должна быть меньше 5,0%, а для всех последующих — больше этой величины. Таким образом, для компании Microsoft совокупная стоимость всех соглашений о форвардных ставках во все предыдущие моменты выплат являлась положительной, а во все последующие моменты времени — отрицательной. Если же временная структура процентных ставок в момент заключения свопа убывала, верно обратное утверждение. Влияние наклона временной структуры на стоимость форвардных контрактов продемонстрировано на рис. 7.8.
Рис. 7.8. Зависимость стоимости форвардных контрактов от срока их завершения. Панель а) описывает ситуацию, когда временная структура процентных ставок является возрастающей и мы получаем фиксированный процент или временная структура процентных ставок является убывающей и мы получаем плавающий процент; панель б) соответствует ситуации, когда временная структура является возрастающей и мы получаем плавающий процентный доход или временная структура является убывающей и мы получаем фиксированный процентный доход
7.8 Валютные свопы
Дру1ую популярную разновидность образуют валютные свопы (currency swaps). В простейшем варианте они сводятся к обмену основными суммами и процентными доходами, выраженными в разных валютах.
Основная сумма в валютном свопе должна быть указана в двух валютах. Обмен основными суммами, как правило, происходит в начале и в конце свопа.
Обычно основные суммы выбираются приблизительно одинаковыми в соответствии с валютным курсом, установленным на момент заключения свопа.
Иллюстрация
Рассмотрим гипотетический пятилетний валютный своп между компаниями IBM и British Petroleum, заключенный 1 февраля 2004 года. Предположим, что компания IBM выплачивает 7%-ную фиксированную ставку в фунтах стерлингов и получает 7%-ную фиксированную ставку в долларах. Выплаты производятся раз в год, а основные суммы равны 15 млн долл, и 10 млн фунтов стерлингов. Такой своп называется свопом с фиксированными курсами (fixed-to-fixed swap), поскольку обе обмениваемые ставки являются фиксированными. Его схема изображена на рис. 7.9. Встречные денежные потоки изображены на нем стрелочками. Процентные выплаты на протяжении свопа и обмен суммами в заключительный момент происходят в тех же направлениях. В итоге, компания IBM выплачивает 15 млн долл, и получает 10 млн фунтов стерлингов. Каждый год на протяжении срока действия контракта компания IBM получает 0,60 млн долл. (= 4% от 15 млн долл.) и выплачивает 0,70 млн фунтов стерлингов (= 7% от 10 млн фунтов стерлингов). В конце свопа она выплачивает основную сумму в размере 10 млн долл, и получает взамен 15 млн фунтов стерлингов. Эти денежные суммы указаны в табл. 7.7.
Рис. 7.9. Валютный своп
Таблица 7.7. Денежные потоки компании IBM в рамках валютного свопа
Дата Суммы в долларах, млн Суммы в фунтах стерлингов, млн
1 февраля 2004 года -15,00 +10,00
1 февраля 2005 года +0,60 -0,70
1 февраля 2006 года +0,60 -0,70
1 февраля 2007 года +0,60 -0,70
1 февраля 2008 года +0,60 -0,70
1 февраля 2009 года +15,60 -10,70
Применение валютных свопов для преобразования долговых обязательств и активов
Валютный своп можно использовать для перевода долговых обязательств из одной валюты в другую. Предположим, что компания IBM имеет возможность выпустить 4%-ную облигацию номиналом 15 млн долл. США. С помощью свопа эту транзакцию можно преобразовать в заем 10 млн фунтов стерлингов под 7%. Первоначальный обмен основными суммами переводит процентные доходы от выпуска облигации из долларов в фунты стерлингов. Последующие обмены в рамках свопа представляют собой обмен процентами, начисленными в разных валютах.
Кроме того, свопы позволяют преобразовать активы. Допустим, что компания IBM может инвестировать 10 млн фунтов стерлингов в Великобритании, предполагая получить в течение следующих пяти лет по 7% в год. Однако компания подозревает, что позиции доллара США по отношению к фунту стерлингов за это время укрепятся, и поэтому предпочитает учитывать размеры своих инвестиций в долларах. Своп позволит преобразовать инвестицию, сделанную в фунтах стерлингов, в инвестицию, равную 15 млн долл., что обеспечивает доходность на уровне 4%.
Сравнительные преимущества
Валютные свопы дают компаниям ряд сравнительных преимуществ. Для их демонстрации рассмотрим следующий гипотетический пример. Предположим, что пятилетний заем по фиксированной ставке стоит компаниям General Motors (США) и Qantas Airways (Австралия) столько, сколько показано в табл. 7.8. Предполагается, что австралийские ставки выше, чем американские. Кроме того, компания General Motors более кредитоспособна, чем компания Qantas Airways, поскольку ей предлагают более выгодные ставки в обеих валютах. Для трейдера, заключающего своп, интерес представляет тот факт, что разности между ставками, выплачиваемыми компаниями General Motors и Qantas Airways, не являются одинаковыми. На рынке американских долларов компания Qantas Airways выплачивает на 2% больше, чем компания General Motors, а на рынке австралийских долларов — только на 0,4% больше.
Таблица 7.8. Кредитные ставки, образующие основу валютного свопа
Ставка в долл. США, % Ставка в австралийских долл., %*
General Motors 5,0% 12,6%
Qantas Airways 7,0% 13,0%
Котировки ставок скорректированы, чтобы отразить влияние налогов.
Эта ситуация аналогична описанной в табл. 7.4. Компания General Motors имеет сравнительное преимущество на рынке долларов США, а компания Qantas Airways — на рынке австралийских долларов. Анализируя табл. 7.4, в которой были приведены ставки простого процентного свопа, мы указали, что наблюдаемое преимущество в большой степени является иллюзорным. Ситуация на валютных рынках иная, поэтому есть надежда, что в данной ситуации сравнительное преимущество носит реальный характер. Одним из источников сравнительного преимущества являются налоги. Вполне возможно, что позиция, занятая компанией General Motors, позволяет снизить налоги на ее совокупный процентный доход по сравнению с процентным доходом, полученным от австралийского займа. Позиция компании Qantas Airways может быть противоположной. (Процентные ставки в табл. 7.8 подобраны так, чтобы отразить влияние налогов.)
Допустим, что компания General Motors желает взять в кредит 20 млн австралийских долларов, а компания Qantas Airways планирует занять 12 млн долл. США. Текущий валютный курс равен 0,6000 долл. США/австралийский доллар. Это создает прекрасные предпосылки для валютного свопа. Компании General Motors и Qantas Airways могут осуществить займы на рынках, где они имеют сравнительное преимущество: компания General Motors может взять взаймы американские доллары, а компания Qantas Airways —австралийские. Затем они могут заключить валютный своп и преобразовать заем австралийских долларов в заем американских долларов и наоборот.
Как указывалось ранее, разность между ставками на кредиты в долларах США равна 2%, а в австралийских долларах — 0,4%. По аналогии с простым процентным свопом общий выигрыш всех сторон равен 2,0 — 0.4 = 1,6% годовых.
Существует множество способов организации свопов. На рис. 7.10 показан своп, который можно заключить с финансовой организацией. Компания General Motors берет взаймы доллары США, а компания Qantas Airways — австралийские доллары. Благодаря свопу компания General Motors превращает кредитную ставку по американским долларам, равную 5% годовых, в кредитную ставку по австралийским долларам на уровне 11,9% годовых. В итоге компания выигрывает 0,7% годовых. Аналогично компания Qantas Airways трансформирует кредитную ставку по австралийским долларам, равную 13% годовых, в кредитную ставку по американским долларам на уровне 6,3%. В итоге компания также выигрывает 0,7% годовых. Со своей стороны финансовый посредник выигрывает 1,3% по американским долларам и проигрывает 1,1% по австралийским. Если проигнорировать разницу между валютами, чистый выигрыш финансовой организации составит 0,2%. Как и следовало ожидать, общий выигрыш всех сторон равен 1,6% годовых.
Каждый год финансовое учреждение будет получать выигрыш в размере 156000 долл. США (= 1,3% от 12 млн долл. США) и терять 220000 австралийских долларов (= 1,1% от 20 млн долл. США). Финансовый посредник может
Доллары Доллары
Рис. 7.10. Валютный своп, основанный на сравнительном преимуществе
вообще избежать риска, связанного с колебанием курса валют, каждый год, пока действует своп, покупая 220000 австралийских долларов на форвардном рынке. Это позволит ему зафиксировать чистый выигрыш в американских долларах.
Своп можно реконструировать так, что финансовый посредник получит 0,2%-ный спрэд в долларах США. На рис. 7.11 и 7.12 показаны два альтернативных варианта валютного свопа. Необходимо подчеркнуть, что они носят умозрительный характер, поскольку не устраняют риск, которому подвергаются компании General Motors и Qantas Airways из-за колебания валютного курса.10 В соответствии со схемой, изображенной на рис. 7.11, компания Qantas Airways подвергается риску, связанному с колебанием валют, поскольку она выплачивает 1,1% годовых в австралийских долларах и 5,2% годовых в долларах США. В схеме, показанной на рис. 7.12, валютному риску подвергается компания General Motors, выплачивающая 1,1% годовых в долларах США и 13% годовых в австралийских долларах.
Доллары Доллары
Рис. 7.11. Альтернативная реконструкция валютного свопа, при которой компания Qantas Airways подвергается определенному риску, связанному с колебанием курса валют
Доллары Доллары
Рис. 7.12. Альтернативная реконструкция валютного свопа, при которой компания General Motors подвергается определенному риску, связанному с колебанием курса валют
|0Как правило, валютный риск перекладывается на плечи финансового посредника, поскольку именно ему удобнее всего хеджировать этот риск.
7.9 Оценка валютных свопов
Как и процентные свопы, валютный своп с фиксированным курсом можно либо разложить на позиции по двум облигациям, либо представить в виде портфеля форвардных контрактов на обмен валют.
Оценка валютного свопа с помощью цен облигаций
Пусть VSwap — это стоимость свопа, указанная в долларах США, когда компания получает доллары и отдает иностранную валюту. Тогда справедлива следующая формула.
Hswap — Bd ~ SqBp
Здесь Вр — стоимость облигации, на которой основан своп, выраженная в иностранной валюте, Вр — стоимость облигации, на которой основан своп, измеренная в долларах США, a So — текущий валютный курс (измеренный в виде отношения количества единиц внутренней валюты на единицу иностранной валюты). Следовательно, стоимость свопа можно выразить с помощью ставки LIBOR по двум валютам, временной структуры процентных ставок во внутренней валюте и текущего валютного курса. Аналогично стоимость свопа, в котором компания получает иностранную валюту и выплачивав! доллары, выражается следующей формулой.
^swap ~ SqBf Bd-
Пример 7.4
Предположим, что временная структура процентных ставок, как в Японии, так и в США, является постоянной. Японская ставка равна 4% годовых, а американская — 9% годовых (обе ставки начисляются непрерывно). Некая финансовая организация заключила валютный своп, по которому каждый год она получае! 5% годовых в иенах и выплачивав! 8% годовых в долларах. Основные суммы в каждой из валют равны 10 млн долл, и 1 200 млн иен. Своп будет продолжаться еще три года, а текущий валютный курс равен 110 иен за 1 доллар США.
Результаты вычислений представлены в табл. 7.9. Во втором столбце показаны величины денежных потоков по облигации, оцененной в долларах. В третьем столбце приведены величины денежных потоков, к которым применена дисконтная ставка, равная 9%. Величины денежных потоков по облигации, номинированной в иенах, приведены во четвертом столбце. Текущая стоимость денежных потоков по облигации, оцененной в иенах, к которой применена дисконтная ставка, равная 4%, приведена в последнем столбце.
Стоимость облигации Bd, измеренной в долларах, равна 9,6439 млн долл. Стоимость облигации, измеренной в иенах, равна 1230,55 млн иен. Следовательно,
стоимость свопа равна
1230 'S'S
---------9,6439 = 1,5430 млн долл.
110
Таблица 7.9. Оценка валютного свопа, интерпретируемого как набор облигаций. (Все суммы измеряются в миллионах долларов)
Время Денежные потоки по облигации, измеренной в долларах Текущая стоимость Форвардные денежные потоки по облигации, измеренной в иенах Текущая стоимость
1 0,8 0,7311 60 57,65
2 0,8 0,6682 60 55,39
3 0,8 0,6107 60 53,22
4 10,0 7,6338 1200 1064,30
Всего: 9,6439 1230,55
Оценка валютного свопа в виде портфеля форвардных контрактов
Валютный своп с фиксированным курсом можно также разложить на ряд форвардных контрактов. Как показано в разделе 5.7, форвардные валютные контракты можно оценить на основе предположения, что форвардные ставки стали реальностью. Сами форвардные ставки вычисляются по формуле (5.9).
Пример 7.5
Рассмотрим ситуацию, описанную в предыдущем примере. Как в Японии, так и США временные структуры процентных ставок LIBOR/своп являются постоянными. В Японии ставка равна 4% годовых, а в США — 9% годовых (обе ставки начисляются непрерывно). Представим себе, что финансовое учреждение заключило валютный своп, по которому оно получает 5% годовых в иенах, выплачивая 8% годовых в долларах. Основные суммы в обеих валютах равны 10 млн долл, и 1 200 млн иен соответственно. Своп будет действовать еще три года, а текущий обменный курс равен 110 иен = 1 долл.
Результаты вычислений представлены в табл. 7.10. Каждый год финансовое учреждение выплачивает 0,08 х 10 = 0,8 млн долл, и получает 1200 х 0,05 = = 60 млн иен. Кроме того, в конце третьего года финансовое учреждение выплачивает основную сумму, равную 10 млн долл., получая основную сумму, равную 1 2000 долл. Текущий спот-курс равен 0,009091 долл, за иену. В таком случае
г — 4% и rf = 9%. Из формулы (5.9) следует, что однолетняя форвардная ставка равна
О,ОО9О91е(о’О9~о’°4)><1 = 0,009557.
Двухлетняя и трехлетняя форвардные ставки в табл. 7.10 вычисляются аналогично. Форвардные контракты, лежащие в основе свопа, можно оценить, предположив, что форвардные ставки стали реальностью. Если реализована однолетняя форвардная ставка, то денежный поток в иенах стоит 60 х 0,009557 = 0,5734 млн долл., а чистый денежный поток в конце первого года равен 0,8 — 0,5734 = = —0,2266 млн долл. Текущая стоимость этой суммы равна
—О,2266е-0,09><1 = —0,2071 млн долл.
Эта сумма представляет собой стоимость форвардного контракта, соответствующего денежным потокам в конце первого года. Стоимость остальных форвардных контрактов вычисляется аналогично. Как показано в табл. 7.10, общая стоимость форвардного контракта равна 1,5430 млн долл. Это согласуется со стоимостью свопа, разложенного на облигации, вычисленные в примере 7.4. □
Таблица 7.10. Оценка валютного свопа, интерпретируемого как набор облигаций. (Все суммы измеряются в миллионах долларов)
Время
1 -0,8 60 0,009557 0,5734 -0,2266 -0,2071
2 -0,8 60 0,010047 0,6028 -0,1972 -0,1647
3 -0,8 60 0,010562 0,6337 -0,1663 -0,1269
4 -10,0 1200 0,010562 12,6746 +2,6746 2,0417
Всего: 1,5430
Стоимость валютного свопа в момент его заключения, как правило, равна нулю. Если в этот момент обе основные суммы с учетом валютного курса абсолютно точно совпадают, стоимость валютного свопа сразу после первоначального обмена также равна нулю. Однако, как и в случае простого процентного свопа, это не
означает, что каждый форвардный контракт, лежащий в основе валютного свопа, имеет нулевую стоимость. Можно показан,, что если процентные ставки в двух валютах существенно различаются, плательщик более высокой процентной ставки занимает позицию, в которой форвардные контракты, соответствующие ранним обменам денежных потоков, имеют отрицательную стоимость, а форвардный контракт, соответствующий заключительному обмену, — положительную. (Именно такая ситуация описана в табл. 7.10.) В то же время плательщик более низкой процентной ставки занимает противоположную позицию: ранние обмены имеют положительную стоимость, а последний обмен — отрицательную.
Для плательщика более низкой процентной ставки своп большую часть своего срока имеет отрицательную стоимость. Форвардные контракты, соответствующие предшествующим обменам, имеют положительную стоимость, а оставшиеся форвардные контракты — отрицательную. Для плательщика более высокой процентной ставки справедливо обратное утверждение. Стоимость свопа с его точки зрения на протяжении всего срока действия имеет, в целом, положительную стоимость. Эти результаты очень важны для оценки кредитного риска.
7.10 Кредитный риск
Контракты, 1 акие как свопы, носят характер частных соглашений между двумя компаниями, что сопряжено с кредитными рисками. Представим себе финансовую организацию, заключившую два компенсационных контракта с двумя компаниями (см. рис. 7.4, 7.5 или 7.7). Если ни одна из сторон не объявляет дефолт, финансовая организация остается полностью хеджированной. Падение стоимости одного контракта влечет повышение стоимости другого. Однако существует ненулевая вероятность того, что одна из сторон, сославшись на финансовые трудности, объявит дефолт. В этом случае финансовая организация должна выполнить свои обязательства перед другой компанией.
Предположим, что через некоторое время после заключения контрактов, схемы которых изображены на рис. 7.4, стоимость контракта с компанией Microsoft для финансового учреждения стала положительной, а с компанией Intel — отрицательной. Если компания Microsoft объявит дефолт, финансовый посредник потеряет сумму, равную стоимости соответствующего контракта. Чтобы хеджировать риск, необходимо найти третью сторону, согласную занять позицию компании Microsoft. За согласие этой стороны финансовому посреднику придется заплатить сумму, примерно равную стоимости его контракта с компанией Microsoft до дефолта.
Финансовая организация, заключившая своп, подвергается кредитному риску только в том случае, когда стоимость свопа по отношению к ней является положительной. Что же произойдет, если стоимость контракта является отрицательной,
а контрпартнер испытывает финансовые затруднения? Теоретически, финансовый посредник может получить внезапную прибыль, поскольку дефолт освобождает его от обязательств. На практике же контрпартнер предпочитает продать контракт третьей стороне или предпринять действия, предотвращающие потерю положительной стоимости контракта. Наиболее реалистичным является следующее предположение. При банкротстве контрпартнера у финансовой организации возникают потери, только если по отношению к ней стоимость свопа является положительной. Если же стоимость свопа является отрицательной, ее позиция не изменяется. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 7.13.
Потенциальные потери от дефолта одного из участников свопа намного меньше, чем потенциальные потери от дефолта заемщика в займе с той же основной суммой. Это объясняется тем, что стоимость свопа обычно представляет собой только малую долю стоимости займа. Потенциальные потери от дефолта участников валютного свопа превышают потери от дефолта участников процентного свопа. Дело в том, что основные суммы в двух валютах обмениваются в конце валютного свопа, поэтому его стоимость выше, чем стоимость процентного свопа.
Необходимо отличать кредитный риск от рыночного, которому подвергается финансовое учреждение, заключая контракт. Как указывалось ранее, кредитный риск возникает из-за возможности дефолта контрпартнера в тот момент, когда его стоимость для финансового учреждения станет положительной. Рыночный риск возникает из-за возможности неблагоприятных изменений рыночных показателей, таких как процентная ставка или обменный курс, которые делают стоимость контракта для финансового учреждения отрицательной. Рыночные риски мож
но хеджировать, заключая компенсирующие контракты. Хеджировать кредитные риски намного сложнее.
Во врезке “Пример из деловой практики 7.2” описана одна из многих странных историй, приключившихся на рынке свопов. Она касается городка Хаммерсмит-и-Фулхэм, расположенного в Великобритании. Здесь показано, что, кроме рыночного и кредитного рисков, банки иногда подвергаются риску, связанному с нарушениями закона.
Пример из деловой практики 7.2. История городка Хаммерсмит-и-Фулхэм
В 1987-1989 гг. власти городка Хаммерсмит-и-Фулхэм заключили около 600 процентных свопов и связанных с ними сделок на общую сумму, превышающую 6 млрд фунтов стерлингов. Эти контракты заключались скорее для спекуляции, чем для хеджирования. Два сотрудника муниципалитета г. Хаммерсмит-и-Фул-хэм, заключавших сделки, имели весьма поверхностное представление о рисках, которым они подвергались, и о механизмах функционирования финансовых инструментов, которые они покупали и продавали.
К 1989 году из-за колебаний процентных ставок, измеряемых в фунтах стерлингов, муниципалитет г. Хаммерсмит-и-Фулхэм потерял несколько сотен миллионов фунтов стерлингов. Для банков, являвшихся контрпартнерами по сделкам, свопы стоили несколько сотен миллионов долларов. Банки беспокоились о кредитном риске. Они заключили компенсирующие свопы, стремясь хеджировать риски, связанные с колебаниями процентных ставок. Если бы муниципалитет г. Хаммерсмит-и-Фулхэм объявил дефолт, то банки должны были продолжать расплачиваться по облигациям, полученным в рамках компенсирующих свопов, неся огромные потери.
Однако произошло событие, которое мало отличается от дефолта. Аудитор муниципалитета г. Хаммерсмит-и-Фулхэм потребовал объявить заключенные сделки недействительными, поскольку власти городка не имели права подписывать такие контракты. Британский суд согласился с этим требованием. Приговор был обжалован, и дело дошло до Высшего суда Палаты лордов. Он пришел к выводу, что г. Хаммерсмит-и-Фулхэм не имел юридического права заключать свопы, но его следует наделить этим правом в будущем, чтобы они имели возможность управлять рисками. Нечего и говорить, что банки были взбешены тем, что их контракты были уничтожены решением суда.
7.11 Другие виды свопов
До сих пор мы рассматривали процентные свопы, в рамках которых ставка LIBOR обменивалась на фиксированную, а также валютные свопы, в которых фиксированная ставка, измеренная в одной валюте, обменивалась на процентную ставку, выраженную в другой валюте. Однако существует множество других видов
свопов. Более подробно они будут рассмотрены в главах 21, 26 и 30. На данном этапе ограничимся беглым обзором свопов, существующих на рынке.
Разновидности стандартного процентного свопа
В рамках процентных свопов, предусматривающих обмен фиксированной ставки на плавающую, в качестве плавающей, как правило, выбирается ставка LIBOR. В примерах, рассмотренных выше, частота начисления (tenor) ставки LIBOR была равной шести месяцам. В то же время на рынке постоянно заключаются свопы, в которых частота начисления ставки LIBOR равна одному, трем и двенадцати месяцам. Частота начисления плавающей ставки не обязана совпадать с частотой начисления фиксированной ставки. (Действительно, как показано ранее (см. сноску 3), стандартный процентный своп в США предусматривает ежеквартальные выплаты по ставке LIBOR и полугодовые выплаты по фиксированной ставке.) Ставка LIBOR представляет собой одну из наиболее распространенных ставок, однако иногда на рынке используются и другие ставки, например ставки по коммерческим векселям (СР — commerical paper). Иногда стороны заключаю! свопы по обмену одной плавающей ставки на другую плавающую ст авку. Например, трехмесячная ставка СР и 10 базисных пунктов могут обмениваться на трехмесячную ставку LIBOR, причем обе ставки применяются к одной и той же основной сумме. (Эта сделка позволяет компании хеджировать риски в ситуациях, когда активы и обязательства зависят от разных плавающих ставок.)
Основная сумма свопа со временем может изменяться, отражая желания контрпартнера. Например, в амортизационном свопе (amortizing swap) основная сумма уменьшается по заданному закону. (Этот закон может отражать амортизационный график займа.) В повышающем свопе (step-up swap) основная сумма растет по заранее определенному закону. (Этот закон может отражать отсрочки по займу.) Иногда стороны заключают отсроченные (deferred), или форвардные (forward), свопы, в которых выплаты не начинаются до наступления определенной даты. Иногда основные суммы свопа, соответствующие фиксированной и плавающей ставкам, не совпадают.
Своп CMS (constant maturity swap) — это процентный своп, в котором плавающая ставка равна ставке по свопу с определенным сроком действия. Например, плавающие выплаты по свопу CMS могут осуществляться каждые шесть месяцев по ставке, равной ставке пятилетнего свопа. Своп СМТ (constant maturity Treasury) аналогичен свопу CMS, за исключением того, что плавающая ставка равна доходности казначейской облигации с определенным сроком обращения (например, 10-летней казначейской ставке).
Еще одной разновидностью обычных свопов являются сложные свопы (compounding swaps), в которых предусмотрена только одна дата выплат по плавающей и фиксированной ставкам — в конце срока действия свопа, а вместо выплаты про
центной ставки до конца срока действия свопа начисляется сложный процент. В рамках свопа LIBOR-in-Arrear (LIBOR с отсрочкой) размер плавающей ставки в момент выплаты равен процентной ставке, наблюдаемой в этот момент. (Как указано в разделе 7.1, в стандартных контрактах размер выплаты зависит от ставки LIBOR, наблюдавшейся в предыдущий момент выплаты.) В накопительном свопе (accrual swap) процентный доход одной из сторон начисляется только в том случае, когда плавающая ставка попадает в заданный диапазон.
Другие валютные свопы
До сих пор рассматривались валютные свопы с фиксированным курсом. Альтернативой им являются валютные свопы, в которых плавающая ставка (как правило, LIBOR) в одной валюте обменивается на фиксированную ставку в другой валюте. Этот своп представляет собой сочетание процентного свопа с фиксированной и плавающей ставками (fixed-to-floating interest swap) и валютного свопа с фиксированными курсами (fixed-to-fixed currency swap). Этот своп называется кросс-валютным процентным свопом (cross-currency interest rate swap). Еще одним валютным свопом является валютный своп с плавающими курсами (floating-to-floating), в рамках которого плавающая ставка в одной валюте обменивается на плавающую ставку в другой валюте.
Иногда ставка в одной валюте применяется к основной сумме, выраженной в другой валюте. Например, трехмесячная ставка LIBOR, зарегистрированная в США, может обмениваться на трехмесячную ставку LIBOR, наблюдаемую в Великобритании, причем обе ставки могут применяться к основной сумме, равной 10 млн фунтов стерлингов. Такая разновидность свопов называется дифференциальным свопом (diff swap) или кванто (quanto).
Свопы обыкновенных акций
Своп обыкновенных акций (equity swap), или акционерный своп — это соглашение, в соответствии с которым одна из сторон берет на себя обязательство обменивать общий доход по фондовому индексу (дивиденды плюс прирост капитала) на процентный доход (начисленный по фиксированной или плавающей ставке). Например, общий доход от шестимесячного индекса S&P 500 можно обменять на процентный доход, исчисленный на основании ставки LIBOR, применив обе ставки к основной сумме. Акционерные свопы позволяют управляющим инвестиционными фондами конвертировать доходность инвестиций, сделанных под фиксированную или плавающую ставку, в доходность фондового индекса, и наоборот.
Опционы
Некоторые свопы содержат встроенные опционы. Например, в рамках пролонгированного свопа (extendable swap) срок действия может быть продлен по желанию одной из сторон контракта. Своп с правом досрочного завершения (puttable swap) дает одной из сторон право завершить его досрочно. Кроме того, существуют опционы на свопы, или свопционы (swaptions). Они дают одной из сторон право в будущем заключить своп, в котором заранее установленная фиксированная ставка обменивается на плавающую.
Товарные свопы, свопы волатильности и другие экзотические инструменты
Товарный своп (commodity swap), по существу, представляет собой ряд форвардных контрактов на поставку товара с разными сроками действия и одной и той же ценой поставки. В свопе волатильности (volatility swap) существует несколько периодов времени. В конце каждого из периодов одна из сторон выплачивает ставку, равную заранее оговоренной волатильности, а другая — ставку, равную фактической волатильности, вычисленной путем ежедневных наблюдений на протяжении предшествующего периода времени. При вычислении размера выплат обе ставки умножаются на одну и ту же основную сумму.
Разнообразие свопов ограничено только фантазией финансистов, а также их стремлением к изобретению новых экзотических инструментов. В главе 30 будет рассмотрен знаменитый своп 5/30, заключенный между компаниями Procter and Gamble и Bankers Trust, в которых размер выплат причудливым образом зависел от 30-дневной ставки по коммерческим векселям, цены 30-летней казначейской облигации и доходности пятилетней казначейской облигации.
Резюме
Наиболее распространенными являются процентные и валютные свопы. В процентном свопе одна из сторон берет на себя обязательство выплатить другой стороне процентный доход по фиксированной ставке, начисленный на номинальную сумму за несколько лет. В свою очередь, она получает процентный доход, начисленный по плавающей ставке, на ту же сумму за тот же период. В валютном свопе одна из сторон соглашается выплатить процентный доход, начисленный на основную сумму, в одной валюте. Взамен она получает процентный доход, начисленный на основную сумму, в другой валюте.
Основные суммы в процентном свопе, как правило, не обмениваются. В валютном свопе, наоборот, обмен основными суммами происходит как в начале, так и в конце свопа. Сторона, выплачивающая процентный доход в иностранной ва
люте, в начале свопа отдает основную сумму во внутренней валюте, а получает — в иностранной, а в конце свопа происходит обратный обмен.
С помощью процентного свопа можно трансформировать заем с плавающей ставкой в заем с фиксированной ставкой, и наоборот. Кроме того, он позволяет преобразовать инвестицию с плавающей ставкой в инвестицию с фиксированной ставкой, и наоборот. Валютный своп используют для превращения займа в одной валюте в заем в другой валюте. Помимо этого, с его помощью можно трансформировать инвестицию, измеренную в одной валюте, в инвестицию, выраженную в другой валюте.
Существует два способа оценки процентных и валютных свопов. Во-первых, своп можно представить как сочетание длинной позиции по одной облигации с короткой позицией по другой облигации. Во-вторых, своп можно интерпретировать как портфель форвардных контрактов.
Если финансовая организация заключает два компенсирующих свопа с разными контрпартнерами, она подвергается кредитному риску. Если один из контрпартнеров объявит дефолт в момент, когда стоимость его контракта будет положительной по отношению к финансовой организации, то она понесет потери, поскольку будет обязана выполнить обязательства перед другим контрпартнером.
Дополнительная литература
Baz J. and Pascutti М. Alternative Swap Contracts Analysis and Pricing // Journal of Derivatives, (Winter 1996). — P. 7-21.
Brown. K.C. and Smith D. J. Interest Rate and Currency Swaps: A Tutorial // Association for Investment Management and Research, 1996.
Cooper I. and Mello A. The Default Risk in Interest Rate Swaps // Journal of Finance, 46, 2 (1991). - P. 597-620.
Dattatreya R. E. and Hotta K. Advanced Interest Rate and Currency Swaps: State-of-the-Art Products, Strategies, and Risk Management Applications. — Irwin, 1993.
Flavell R. Swaps and Other Instruments. — Chichester: Wiley, 2002.
Gupta A. and Subrahmanyam M. G. An Empirical Examination of the Convexity Bias in the Pricing of Interest Rate Swaps // Journal of Financial Economics, 55, 2 (200). - P. 239-279.
Litzenberger R. H. Swaps: Plain and Fanciful // Journal of Finance, 47, 3 (1992). — P. 831-850.
Minton B. A. An Empirical Examination of the Basic Valuation Models for Interest Rate Swaps // Journal of Financial Economics, 44, 2 (1997). — P. 251-277.
Sun Т, S. Sundaresan and Wang С. Interest Rate Swaps: An Empirical Investigation // Journal of Financial Economics, 34, 1 (1993). — P. 77-99.
Titman S. Interest Rate Swaps and Corporate Financing Choices // Journal of Finance, 47, 4 (1992). - P. 1503-1516.
Вопросы и задачи
7.1. Компаниям А и В предложили следующие годовые ставки на пятилетний заем в сумме 20 млн долл.
Фиксированная ставка Плавающая ставка
Компания А 12,0% LIBOR+ 0,1%
Компания В 13,4% LIBOR + 0,6%
Компании А нужен заем с плавающей ставкой, а компании В — с фиксированной. Разработайте своп, приносящий банку, действующему как посредник, 0,1% годовых и одинаково выгодный для обеих компаний.
7.2. Компания X желает занять американские доллары по фиксированной ставке. Компания Y желает взять в долг японские иены по фиксированной ставке. Суммы, необходимые компаниям, с учетом текущего валютного курса приблизительно одинаковы. Процентные ставки по кредитам с учетом налогов приведены в следующей таблице.
Иена Доллары
Компания X 5,0% 9,6%
Компания V 6,5% 10,0%
Разработайте своп, приносящий банку, действующему как посредник, 50 базисных пунктов в год и одинаково выгодный для обеих компаний. Учтите риски, связанные с колебаниями валютного курса.
7.3. Процентный своп на 100 млн долл, будет действовать еще 10 месяцев. По условиям свопа шестимесячная ставка LIBOR обменивается на 12% годовых (начисляемых раз в полгода). Средняя ставка спроса-предложения, обмениваемая на шестимесячную ставку в рамках свопов со всевозможными сроками завершения, в настоящее время равна 10% годовых с непрерывным начислением. Два месяца тому назад шестимесячная ставка LIBOR была равна 9,6% годовых. Чему равна текущая стоимость свопа для стороны, выплачивающей плавающую ставку? Чему равна текущая стоимость свопа для стороны, выплачивающей фиксированную ставку?
7.4. Что такое ставка свопа? Как связаны между собой ставки свопов и номинальные процентные доходы?
7.5. Некий валютный своп будет продолжаться еще 15 месяцев. Он предусматривает обмен процентного дохода в размере 14% годовых, начисленного на 20 млн фунтов стерлингов, на процентный доход в размере 10% годовых, начисленный на 30 млн долл. В настоящее время временные структуры процентных ставок в Великобритании и США являются плоскими. Если бы своп был заключен сегодня, обмениваемые процентные ставки должны были бы быть равными 8% в долларах и 11% в фунтах стерлингов. Текущий валютный курс доллара к фунту стерлингов равен 1,6500. Чему равна стоимость свопа для стороны, выплачивающей фунты стерлингов? Чему равна стоимость свопа для стороны, выплачивающей доллары?
7.6. Объясните разницу между кредитным и рыночным рисками, возникающими в финансовых контрактах.
7.7. Представьте, что финансовый директор корпорации сообщил вам, что он только что договорился о пятилетием займе по конкурентной фиксированной ставке, равной 5,2%. Финансовый директор объяснил, что добился ставки, равной 5,2%, заняв деньги по шестимесячной ставке LIBOR плюс 150 базисных пунктов и обменяв ее на ставку LIBOR, равную 3,7%. Он считает, что это стало возможно благодаря сравнительным преимуществам, которыми обладает его компания на рынке плавающих ставок. Какой фактор не учел финансовый директор?
7.8. Почему банк, заключающий два компенсирующих свопа, подвергается кредитному риску?
7.9. Компаниям X и Y предложили следующие годовые ставки на десятилетние инвестиции в сумме 5 млн долл.
Фиксированная ставка Плавающая ставка
Компания X 8,0% LIBOR
Компания Y 8,8% LIBOR
Компании X нужна инвестиция с фиксированной ставкой, а компании Y — с плавающей. Разработайте своп, приносящий банку, действующему как посредник, 0,2% годовых и одинаково выгодный для обеих компаний.
7.10. Финансовая организация заключила процентный своп с компанией X. По его условиям она получает 10% годовых и выплачивает шестимесячную ставку LIBOR на основную сумму в размере 10 млн долл, в течение пяти лет. Выплаты осуществляются каждые шесть месяцев. Предположим, что в момент шестой выплаты (в конце третьего года) компания X объявила
дефолт. Допустим, что процентная ставка при полугодовом начислении по всевозможным срокам завершения свопов в этот момент была равной 8%. Чему равны потери финансовой организации? Будем считать, что шестимесячная ставка LIBOR в середине третьего года была равной 9% годовых.
7.11. Финансовая организация заключила 10-летний валютный своп с компанией Y. По условиям свопа она получает 3% годовых в швейцарских франках и выплачивает 8% годовых в долларах США. Обмен процентными доходами происходит раз в год. Основные суммы равны 7 млн долл, и 10 млн франков. Предположим, что компания Y в конце шестого года объявила себя банкротом. В этот момент валютный курс был равен 0,80 долл, за франк. Чему равна стоимость свопа для финансовой организации? Предположим, что в конце шестого года для всех сроков завершения свопов процентная ставка равна 3% годовых в швейцарских франках и 8% годовых в долларах. Все процентные ставки начисляются раз в полгода.
7.12. Компаниям А и В предложили следующие годовые ставки (с учетом налогов).
А В
Доллары США (плавающая ставка) LIBOR т 0,5% LIBOR+1,0%
Канадские доллары (фиксированная ставка) 5,0% 6,5%
Предположим, что компания А хочет взять в долг американские доллары по плавающей ставке, а компания В желает сделать заем в канадских долларах по фиксированной ставке. Финансовая организация планирует заключение свопа, требуя за свои услуги 50 базисных пунктов. Какие процентные ставки в итоге выплатят компании А и В, если своп одинаково выгоден им обеим?
7.13. Оцените вероятность того, что средний спрэд финансовой организации по свопу, изображенному на рис. 7.10, после хеджирования валютных рисков с помощью форвардных контрактов станет больше или меньше 20 базисных пунктов. Аргументируйте свой ответ.
7.14. “Большому финансовому риску подвергаются лишь компании, не имеющие непосредственного доступа к рынку фиксированных ставок. Именно эти компании чаще всего заключают свопы, в которых они выплачивают фиксированную ставку, а получают — плавающую.” Предположим, что это утверждение является правильным. Как это влияет на риск, которому подвергается портфель свопов, принадлежащий финансовой организации? Будем считать, что при высоких процентных ставках вероятность дефолта возрастает.
7.15. Почему при одинаковых основных суммах ожидаемые потери от дефолта участника свопа меньше ожидаемых потерь от дефолта заемщика?
7.16. Банк обнаружил, что объем его активов не соответствует объему долговых обязательств. Чтобы уравновесить их, он предоставил депозиты с плавающими ставками и сделал займы с фиксированными ставками. Как компенсировать риск с помощью свопов?
7.17. Как оценить своп, в рамках которого плавающая ставка в одной валюте обменивается на фиксированную ставку в другой?
7.18. На протяжении 1,5 лет нулевая кривая LIBOR проходит горизонтально на уровне 5% (начисляемых непрерывно). Ставки двух- и трехлетних свопов с выплатами раз в полгода равны 5,4% и 5,6% соответственно. Оцените нулевые ставки LIBOR на 2, 2,5 и 3 года вперед. (Будем считать, что ставка свопа на срок 2,5 года является средним арифметическим значением ставок двух- и трехлетних свопов.)
Упражнения
7.19. Однолетняя ставка LIBOR равна 10%. Банк заключил своп, в котором фиксированная ставка обменивается на 12-месячную ставку LIBOR, причем выплаты осуществляются раз в год. Ставки двух- и трехлетних свопов (при годовом начислении) равны 11% и 12% соответственно. Оцените двух-и трехлетние нулевые ставки LIBOR.
7.20. Компания А, расположенная в Великобритании, желает взять в долг американские доллары по фиксированной ставке. Компания В, расположенная в США, желает взять в долг фунты стерлингов по фиксированной ставке. Фонды предложили им следующие годовые ставки (с учетом налогов).
Фунты стерлингов Доллары США
Компания А 11,0% 7,0%
Компания В 10,6% 6,2%
Разработайте своп, приносящий финансовому посреднику 10 базисных пунктов в год, а компаниям А и В — по 15 базисных пунктов в год.
7.21. Заключив процентный своп, финансовый посредник согласился выплачивать 10% годовых и получать трехмесячную ставку LIBOR, начисленную на 100 млн долл. Обмен процентными доходами происходит каждые три месяца. Своп будет действовать еще 14 месяцев. Средняя фиксированная ставка спроса-предложения, обмениваемая на трехмесячную ставку LIBOR в рамках свопов со всевозможными сроками завершения, равна 12%. Трехмесячная ставка LIBOR месяц назад была равна 11,8% годовых. Все ставки начисляются раз в квартал. Чему равна стоимость свопа?
7.22. Предположим, что временная структура процентных ставок в США и Австралии является постоянной. Ставка в американских долларах равна 7% годовых, а в австралийских долларах — 9% годовых. Текущий курс австралийского доллара по отношению к американскому равен 0,62 долл. США. Основные суммы в двух валютах равны 12 млн долл. США и 20 млн австралийских долларов. Обмен выплатами происходит раз в год. Чему равна стоимость валютного свопа по отношению к финансовому посреднику? Будем считать, что все процентные ставки начисляются непрерывно.
7.23. Компания X, расположенная в Великобритании, желает взять в долг у американских фондов 50 млн долл, на пять лет по фиксированной ставке. Поскольку в США эта компания известна мало, фонды отказали ей в этом. Однако британские фонды предложили ей фунты стерлингов на пять лет по фиксированной ставке, равной 12%. Компания Y, расположенная в США, желает взять в долг фунты стерлингов в сумме, эквивалентной 50 млн долл. США, на пять лет по фиксированной ставке. Британские фонды отказали ей, но у нее есть возможность сделать займы в США под 10,5% годовых. Пятилетние правительственные облигации в настоящее время приносят 9,5% годовых в США и 10,5% — в Великобритании. Разработайте валютный своп, который принесет финансовому посреднику 0,5% годовых.
Механизм функционирования опционных рынков
Понятие опциона было введено в главе 1. В данной главе описывается способ организации биржевых опционных рынков, методы осуществления сделок, процедуры вычисления маржинальных требований и т.д. Торговые стратегии на основе опционов, методы оценки опционов и способы хеджирования портфелей опционов рассматриваются в последующих главах. В этой главе основное внимание уделяется фондовым опционам. Кроме того, в ней содержится краткое описание валютных, индексных и фьючерсных опционов. Более подробно эти финансовые инструменты рассматриваются в главе 14.
Опционы в корне отличаются от форвардных и фьючерсных контрактов. Опционы предоставляют их держателям право на осуществление определенных действий в будущем, однако держатель опциона не обязан реализовать свое право. Этим опцион отличается от форвардных и фьючерсных контрактов, в которых обе стороны обязываются выполнить определенные действия. Заключение форвардных и фьючерсных контрактов не стоит трейдеру ничего (за исключением маржинальных требований), в то же время покупка опциона связана с авансовыми выплатами.
8.1 Виды опционов
Как указывалось в главе 1, существует два основных вида опционов. Опцион покупателя, опцион на покупку, или опцион “колл ” (call option), дает его владельцу право купить базовый актив в определенный день по определенной цене. Опцион продавца, опцион на продажу, или опцион “пут ” (put option), даст его владельцу право продать базовый актив в определенный день по определенной цене. Дата, оговоренная в контракте, называется датой истечения контракта (expiration date), или сроком платежа (maturity). Цена актива, зафиксированная в контракте, называется ценой исполнения (execution price), или ценой страйк (strike price).
Опционы бывают американскими или европейскими. Эти названия не имеют ничего общего с географическим расположением бирж. Американский опцион (American option) можно исполнить в любой момент до истечения срока его
действия. Европейский опцион (European option) может быть исполнен только в момент его истечения. Большинство опционов, которыми торгуют на биржах, являются американскими. Однако анализировать европейские опционы проще, чем американские, причем некоторые свойства американских опционов были позаимствованы у европейских.
Опционы “колл”
Рассмотрим ситуацию, в которой инвестор приобретает европейский опцион “колл” на 100 акций компании eBay с ценой исполнения 100 долл. Предположим, что текущая цена акции равна 98 долл., срок платежа по опциону равен четырем месяцам, а цена опциона (его премия) на покупку одной акции равна пяти долларам. Сумма первоначальной инвестиции равна 500 долл. Поскольку опцион является европейским, инвестор может исполнить его только в момент истечения срока платежа. Если в этот день цена акции будет меньше 100 долл., инвестору не следует предъявлять опционный контракт к исполнению. (Нет смысла покупать акции за 100 долл., если на рынке они стоят меньше.) В таком случае инвестор потеряет всю первоначальную сумму инвестиций, т.е. 500 долл. Если в день истечения срока платежа по опциону цена акции будет больше 100 долл., то опцион будет выполнен. Предположим, для определенности, что цена акции равна 115 долл. Исполнив опцион, инвестор может купить 100 акций по цене 100 долл, за штуку. Немедленно продав эти акции, инвестор получит по 15 долл, прибыли на каждую акцию, т.е. 1 500 долл., если не учитывать стоимость транзакций. Если учесть первоначальную стоимость опциона, чистая прибыль инвестора составит 1 000 долл.
На рис. 8.1 показана зависимость чистой прибыли или убытков инвестора в расчете на одну акцию от ее цены на момент исполнения опциона. Необходимо понимать, что, исполняя опционы, инвестор иногда все же может оказаться в убытке. Предположим, что в предыдущем примере цена акции компании eBay в день истечения срока действия опциона равна 102 долл. Инвестор может выполнить опцион, чтобы получить прибыль, равную 100 х (102 — 100) = 200 долл. Однако в этом случае его убыток будет равен 300 долл., поскольку первоначальная стоимость опциона была равной 500 долл. На первый взгляд, инвестору не следует исполнять опцион в такой ситуации. Однако, не исполнив его, он потеряет не 300, а 500 долл. В общем, опцион “колл” следует исполнять всегда, если цена акции в момент истечения срока его действия превышает цену исполнения.
Опционы “пут”
В то время как держатель опциона “колл” надеется, что цена акции будет расти, держатель опциона “пут” рассчитывает, что цена будет падать. Рассмотрим ситуацию, в которой инвестор приобретает европейский опцион продавца на
Рис. 8.1. Прибыль от приобретения европейского опциона “колл” на акции компании eBay. Опционная премия равна пяти долларам, цена исполнения — 100 долл.
100 акций компании IBM с ценой исполнения, равной 70 долл. Предположим, что текущая цена акции равна 65 долл., срок действия опциона равен трем месяцам, а опционная премия за покупку одной акции равна семи долларам. Сумма первоначальной инвестиции равна 700 долл. Поскольку опцион является европейским, он будет исполнен в момент истечения срока его действия, только если в этот день цена акции будет меньше 70 долл. Предположим, для определенности, что цена акции в этот день равна 55 долл. Инвестор может купить 100 акций по цене 55 долл, за штуку и, по условиям опциона продавца, продать их по 70 долл., получив по 15 долл, прибыли на каждую акцию, т.е. 1 500 долл, (если не учитывать стоимость транзакций). Если принять во внимание первоначальную стоимость опциона, равную 700 долл., чистая прибыль инвестора составит 800 долл. Однако у инвестора нет никаких гарантий, что он получит прибыль. Если в момент истечения срока контракта цена акции превысит 90 долл., опцион продавца станет бессмысленным и инвестор потеряет 700 долл. На рис. 8.2 показана зависимость чистой прибыли или убытков инвестора на одну акцию от ее окончательной цены.
Досрочное исполнение
Как указывалось выше, американские опционы намного популярнее европейских, поскольку владелец американского опциона не обязан ждать окончания срока истечения опциона. В дальнейших главах мы увидим, что существуют ситуации, в которых целесообразно досрочно исполнить американский опцион.
Рис. 8.2. Прибыль от приобретения европейского опциона “пут” на акции компании IBM. Опционная премия равна семи долларам, цена исполнения — 70 долл.
8.2 Опционные позиции
В каждом опционном контракте существует две стороны. Одной из сторон опционного контракта является инвестор, занимающий длинную позицию (т.е. покупатель опциона). Другой стороной опционного контракта является инвестор, занимающий короткую позицию (т.е. продающий, или выписывающий опцион). Продавец опциона получает деньги, принимая на себя определенные обязательства. Его прибыли или убытки находятся в обратной зависимости от прибылей или убытков покупателя опциона. Зависимости прибылей или убытков продавцов опционов от окончательной цены акции, рассмотренных в предыдущих примерах, изображены на рис. 8.3 и 8.4.
Существует четыре варианта опционных позиций.
1. Длинная позиция в опционе “колл”.
2. Длинная позиция в опционе “пут”.
3. Короткая позиция в опционе “колл”.
4. Короткая позиция в опционе “пут”.
Позицию в европейском опционе часто удобно описывать, указывая размер выплаты инвестору в момент истечения срока действия опциона. Первоначальная стоимость опциона в расчетах не учитывается. Пусть К — цена исполнения, a St — окончательная цена базового актива. Тогда выплаты по длинной позиции в европейском опционе “колл” определяются следующей формулой.
max (Sy — К, 0).
Рис. 8.3. Прибыль от продажи европейского опциона “колл” на акции компании eBay. Опционная премия равна пяти долларам, цена исполнения — 100 долл.
> > Прибыль, долл.
-30
Окончательная цена акции, долл, л_________I________।______________>
80 90 100
Рис. 8.4. Прибыль от продажи европейского опциона “пут” на акции компании IBM. Опционная премия равна семи долларам, цена исполнения — 70 долл.
Эта формула отражает тот факт, что опцион будет исполнен, только если St > К. Выплаты держателю короткой позиции в европейском опционе “колл” вычисляются по формуле
— тах(5'т — К, 0) — min(K — St, 0).
Выплаты держателю длинной позиции в европейском опционе продавца определяются формулой
шах(К — St,0),
а выплаты держателю короткой позиции в этом опционе вычисляются по формуле — max(7< — St, 0) = min(Slr — К, 0).
Все эти варианты проиллюстрированы на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Выплаты держателям позиций в европейском опционе: 1) длинный опцион "колл”, 2) короткий опцион “колл”, 3) длинный опцион “пут”, 4) короткий опцион “пут”. Здесь К — цена исполнения, a Sk — цена актива в момент истечения срока опциона
8.3 Базовые активы
В этом разделе впервые рассматриваются фондовые, валютные, индексные и фьючерсные опционы.
Опционы на акции
Опционы на акции, или фондовые опционы (stock options), котируются в США на Чикагской опционной бирже (www. cboe. сот), Фондовой бирже Филадельфии (www. phlx. сот), Американской фондовой бирже (www. атех. сот), Тихоокеанской фондовой бирже (www.pacifex.com) и Международной бирже ценных бумаг (www. iseoptions. сот). Опционы заключаются на более чем 1000
разных акций. Один контракт дает его держателю право купить и продать 100 акций по определенной цене исполнения. Такой размер контракта тем более удобен, что сами акции, как правило, продаются лотами по 100 штук.
Валютные опционы
Большая часть опционов на иностранную валюту котируется на Фондовой бирже Филадельфии. На ней котируются европейские и американские опционы на покупку или продажу самых разных иностранных валют. Размер одного контракта зависит от вида валюты. Например, один контракт на британский фунт стерлингов предоставляет его держателю право на покупку или продажу 31 250 фунтов стерлингов. Один контракт на японские иены предоставляет его держателю право на покупку или продажу 6,25 млн иен. Опционы на иностранную валюту обсуждаются в главе 14.
Опционы на фондовые индексы
Во всем мире котируются разнообразные опционы на фондовые индексы, или индексные опционы (index option). В США наиболее популярными являются контракты на индексы S&P 500 (SPX), S&P 100 (ОЕХ), Nasdaq 100 (NDX) и Доу-Джонса (DJX). Все они котируются на Чикагской опционной бирже. Одни опционы на фондовые индексы являются европейскими, а другие — американскими. Например, контракт на индекс S&P 500 является европейским, а на индекс S&P 100 — американским. Один контракт дает его держателю право купить или продать 100-кратный индекс по заранее установленной цене исполнения. Расчеты всегда осуществляются наличными деньгами. Доставка портфеля, на основе которого рассчитывается индекс, не осуществляется. Рассмотрим, например, один опцион “колл” на индекс S&P 100 по цене исполнения, равной 980 долл. Если он исполняется в момент, когда индекс стоит 992 долл., продавец опциона выплатит его держателю (992 — 980) х 100 = 1200 долл. Наличный расчет основан на стоимости индекса, зафиксированной в конце дня, в течение которого было обнародовано уведомление о намерении держателя опциона использовать свое право на покупку или продажу. Нет ничего удивительного, что инвесторы обычно ждут конца дня, прежде чем опубликовать это уведомление. Опционы на фондовый индекс обсуждаются в главе 14.
Фьючерсные опционы
Во фьючерсном опционе (или опционе на фьючерс (futures option)) базовым активом является фьючерсный контракт, который, как правило, истекает вскоре после исполнения опциона. В настоящее время доступны фьючерсные опционы на большинство активов, лежащих в основе обычных фьючерсных контрактов.
Как правило, фьючерсные контракты и фьючерсные опционы котируются на одних и тех же биржах. При исполнении опциона “колл” его держатель приобретает у продавца опциона длинную позицию по базовому фьючерсному контракту плюс наличную сумму, на которую фьючерсная цена превышает цену исполнения. При исполнении опциона продавца его держатель приобретает короткую позицию в базовом фьючерсном контракте и наличную сумму, на которую цена исполнения превышает фьючерсную цену. Фьючерсные опционы обсуждаются в главе 14.
8.4 Характеристика фондовых опционов
В оставшейся части главы основное внимание будет уделено фондовым опционам, котируемым на биржах. Как указывалось ранее, в США котируются американские фондовые опционы на покупку или продажу 100 акций. Детали этих контрактов -- срок действия, цена исполнения, процедуры выплаты дивидендов, допустимая величина позиции и т.п. — определяются биржей.
Дата истечения
Одной из основных характеристик фондового опциона является месяц, в течение которого истекает его срок действия. Так, январский опцион “колл” представляет собой опцион покупателя, срок действия которого истекает в январе. Опцион завершается в субботу, непосредственно следующую за третьей пятницей месяца, в течение которого заканчивается его срок действия. Последние торги по опциону происходят в третью пятницу этого месяца. Инвестор, занимающий длинную позицию по опциону, имеет возможность отдавать своему брокеру инструкции по исполнению опциона вплоть до 16:30 этого дня. Получив приказ, брокер может подготавливать уведомление о намерении держателя опциона использовать свое право на покупку или продажу до 22:59 следующего дня.
Существуют январский, февральский и мартовский циклы опционов. В январский цикл входят январь, апрель, июль и октябрь. Февральский цикл образуют февраль, май, август и ноябрь. Мартовский цикл состоит из марта, июня, сентября и декабря. На протяжении текущего месяца заключаются сделки на опционы, сроки действия которых истекают в этом или следующем месяце либо в последующих месяцах цикла. Если месяц истек, сделки заключаются на опционы, сроки действия которых заканчиваются в следующем, последующем или следующих двух месяцах цикла.
Предположим, акции компании IBM относятся к январскому циклу. В начале января котируются опционы, сроки действия которых истекают в январе, феврале, апреле или июле. В конце января котируются опционы, сроки действия которых истекают в феврале, марте, апреле или июле. В начале мая котируются опционы, сроки действия которых истекают в мае, июне, июле или октябре и т.д. Как только
один из опционов истекает, начинаются торги по другому опциону. На некоторых биржах котируются также долговременные опционы (так называемые опционы LEAPS (long-term equity anticipation securities)). Их сроки действия простираются до трех лет, причем все они обязательно завершаются в январе.
Цены исполнения
Чикагская опционная биржа, как правило, устанавливает цены исполнения опционов с шагом 2,50, 5 или 10 долл. Если цена акции лежит в диапазоне от 5 до 25 долл., то шаг равен 2,5 долл., если цена акции колеблется от 25 до 200 долл., то шаг равен 5 долл., если же цена акции превышает 200 долл., то шаг равен 10 долл. Как мы вскоре покажем, дробление акций (stock splits) и выплата дивидендов могут порождать нестандартные цены исполнения.
При установлении нового срока действия опциона в качестве его цены исполнения биржа, как правило, выбирает величину, ближайшую к текущей. Если цена акции выходит за допустимые пределы, биржа устанавливает новую цену исполнения. Для иллюстрации этого правила, предположим, что в начале торгов по октябрьским опционам цена акции равна 84 долл. Допустим, что опционы “колл” и “пут” сначала предлагались по 80, 85 и 90 долл. Если цена акции превысит 90 долл., то, вероятнее всего, цена исполнения будет установлена на уровне 95 долл. Если цена акции упадет ниже 80 долл., скорее всего, цена исполнения будет установлена на уровне 75 долл, и т.д.
Терминология
В любое время и для любого актива существует огромное количество разных опционов. Предположим, что опционы на покупку или продажу некой акции могут иметь четыре срока действия и пять цен исполнения. Учитывая два вида опционов, четыре варианта срока действия и пять вариантов цены исполнения, мы получаем 40 разных контрактов. Все опционы одинакового типа (“колл” или “пут”) образуют класс опционов (option class). Например, опционы на покупку акций компании IBM образуют один класс, а опционы на продажу этих акций — другой. Серия опционов (option series) состоит из всех опционов данного класса с одинаковым сроком действия и ценой исполнения. Иначе говоря, серия опционов определяет конкретный вид контракта. Например, опционы “колл” IBM50 образуют серию опционов.
Различают опционы “с выигрышем ” (in the money), опционы ‘‘без выигрыша ” (at the money) и опционы “с проигрышем ” (out the money). Пусть S — цена акции, а К — цена исполнения. Тогда опцион “колл” является опционом “с выигрышем”, если S > К, “без выигрыша”, если S = К, и “с проигрышем”, если S < К. Опцион “пут” является опционом “с выигрышем”, если S < К, “без выигрыша”, если S = К, и “с проигрышем”, если S > К. Очевидно, что опцион следует испол
нять, только если он приносит выигрыш. При бесплатном выполнении операций опцион “с выигрышем” будет обязательно исполнен в момент истечения срока его действия, если он не был реализован раньше.
Действительная стоимость (intrinsic value) опциона равна максимальному из двух чисел: нуля и стоимости опциона при условии его немедленного исполнения. Действительная стоимость опциона “колл” равна max(Sl — К, 0). Соответственно, действительная стоимость опциона “пут” равна max(Jf — S, 0). Американский опцион “с выигрышем” не может стоить меньше его действительной стоимости, поскольку его держатель может получить прибыль, исполнив опцион в любой удобный момент. Как правило, держателю американского опциона “с выигрышем” выгоднее подождать, а не реализовывать его немедленно. В таком случае говорят, что опцион имеет временную стоимость (time value). Таким образом, общую стоимость опциона можно представить в виде суммы его действительной и временной стоимости.
Опционы FLEX
На Чикагской опционной бирже котируются опционы FLEX (сокращение от слова flexible — гибкий) на акции и фондовые индексы. Эти опционы представляют собой контракты с необычными условиями. В частности, они могут предусматривать нестандартную цену исполнения или срок действия. Кроме того, эти опционы могут быть европейскими, а не американскими. Опционы FLEX призваны отвлечь бизнес от внебиржевых рынков. Минимальная величина сделки по опционам FLEX устанавливается биржей (как правило, он равен 100 контрактам).
Дивиденды и дробление акций
Первые опционы, появившиеся на внебиржевом рынке, имели дивидендную защиту. Если компания объявляла о выплате денежных дивидендов, исполнительная цена опционов на акции этой компании снижалась на величину дивидендов. Однако цены опционов, котируемых на биржах, не всегда корректируются в зависимости от дивидендов. Иначе говоря, при объявлении о выплате денежных дивидендов условия опционных контрактов не пересматриваются. Однако для крупных денежных выплат иногда делаются исключения (см. врезку “Пример из деловой практики 8.1”).
Опционы, котируемые на биржах, защищены от дробления акций. Это явление возникает, когда существующие акции разделяются на более мелкие доли. Например, при дроблении акций в отношении “3 к 1” вместо одной существующей акции компания выпускает три новые. Поскольку дробление акций не отражается ни на активах компании, ни на ее доходах, оно не должно беспокоить ее акционеров. В идеальных условиях дробление акций в отношении “3 к 1” должно снизить их курс на одну треть. В целом, дробление акций в отношении “п к т” снижает
их первоначальную цену в т/п раз. Чтобы компенсировать этот эффект, условия контракта необходимо пересмотреть. Например, при дроблении акций в отношении “п к т” цена исполнения уменьшается в mln раз, а количество акций в одном контракте увеличивается в n/m раз. Если цена исполнения уменьшается ожидаемым образом, позиции продавца и покупателя остаются неизменными.
Пример из деловой практики 8.1. Крупные дивиденды, выплаченные компанией Gucci Group
Если компания выплачивает крупные денежные дивиденды (превышающие 10% цены акции), то комитет Опционной расчетной палаты (ОСС — Options Clearing Corporation) Чикагской опционной биржи может принять решение об изменении условий опционных контрактов, заключаемых на бирже.
28 мая 2003 года компания Gucci Group NV (GUC) объявила о выплате денежных дивидендов в размере 13,50 евро (т.е. примерно 15,88 долл.) на одну обыкновенную акцию. Это решение было одобрено на ежегодном собрании акционеров компании GUC, состоявшемся 16 июня 2003 года. Величина дивидендов составила около 16% от стоимости акции, зафиксированной на то время. Реагируя на этот факт, комитет ОСС решил изменить условия опционных контрактов. В результате исполнение опционного контракта стало предусматривать не только поставку 100 акций, но и выплату дополнительно 100 х 15,88 = 1558 долл, наличными. Таким образом, при исполнении контракта каждый держатель опциона “колл” выплачивал стократную стоимость акции, получая взамен 100 акций и 1 588 долл. В то же время каждый держатель опциона “пут” при исполнении контракта получал стократную стоимость акции и выплачивал дополнительно 1588 долл. Эти поправки снизили цену исполнения на 15,88 долл.
Выплаты крупных дивидендов не всегда приводят к внесению поправок в опционные контракты. Например, биржа Deutsche Terminborse решила не вносить изменения в контракты, узнав, что 10 марта 1998 года компания Daimler-Benz установила размер дивидендов равным примерно 12% цены ее акций.
Пример 8.1
Рассмотрим опцион на покупку 100 акций компании по 30 долл, за каждую. Предположим, что компания дробит акции в отношении “2 к 1”. В этом случае опционный контракт изменяется так, что его держатель получает право купить 200 акций по 15 долл, за штуку. □
Фондовые опционы корректируются по размеру дивидендов, оплаченных акциями. Выплата таких дивидендов осуществляется путем выпуска большего количества акций без изменения общего количества акционеров. Например, дивиденд, оплаченный акциями, в размере 20% означает, что инвестор получает одну новую акцию на каждые пять ранее приобретенных. Выплата дивидендов, оплаченных акциями, как и дробление акций, не влияет ни на активы, ни на прибыльность
компании. Однако это приводит к снижению цены акции. Выплата дивидендов, оплаченных акциями, в размере 20% эквивалентна дроблению акций в отношении “6 к 5”. При прочих равных условиях это приведет к снижению цены акции в 5/6 раз. Корректировки опционных контрактов при выплате дивидендов, оплаченных акциями, осуществляются точно так же, как и при дроблении акций.
Пример 8.2
Рассмотрим опцион на продажу 100 акций компании по 15 долл, за каждую. Предположим, что компания выплачивает дивиденды, оплаченные акциями, в размере 25%. Это эквивалентно дроблению акций в отношении “5 к 4”. В этом случае условия опционного контракта изменяются так, что его держатель получает право купить 125 акций по 12 долл, за штуку. □
Корректировка опционных контрактов необходима также при выпуске новых акций, предлагаемых акционерам компании. Для этого необходимо вычислить теоретическую цену новых акций и уменьшить цену исполнения на эту величину.
Позиционные лимиты и лимиты исполнения
Чикагская опционная биржа часто устанавливает позиционный лимит (position limit) по опционным контрактам, т.е. определяет максимальное количество опционных контрактов, в которых инвестор может занимать одинаковые позиции. С этой целью длинные опционы “колл” и короткие опционы “пут” считаются одинаковыми позициями. Короткие опционы “колл” и длинные опционы “пут” также считаются одинаковыми позициями. Лимит исполнения (exercise limit) уравновешивает позиционный лимит. Он представляет собой максимальное количество контрактов, которые могут быть исполнены одним лицом (или группой лиц) в любой период на протяжении пяти последовательных рабочих дней. Позиционные лимиты на опционы на покупку или продажу наиболее популярных акций крупнейших компаний равны 75 000 контрактов. Позиционные лимиты по акциям компаний с меньшей капитализацией равны 60000, 31500, 22 500 или 13 500 контрактов.
Позиционные лимиты и лимиты исполнения предназначены для защиты рынка от чрезмерного влияния отдельных инвесторов или групп инвесторов. Однако их реальная необходимость остается под вопросом.
8.5 Газетные котировки
Многие газеты регулярно публикуют котировки опционов. В табл. 8.1 приведена выписка из котировок, опубликованных в газете The Wall Street Journal в четверг 5 февраля 2004 года. Котировки относятся к сделкам, заключенным накануне (в среду, 4 февраля 2004 года).
Таблица 8.1. Котировки опционов, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 г.
MOST ACTIVE LISTED OPTIONS
Wednesday, February 4, 2004
Composite volume and close for actively traded equity and LEAPS, or long-term options, with results for the corresponding put or call contract Volume figures are unofficial Open interest is total outstanding for an exchanges and reflects previous trading day. Close when possible is shown for the underlying stock or primary market. XC-Composlte p-Put o-Strlke price adjusted for split
NET OPEN NET OPEN
OPTION/STRIKE VOL EXCH LAST CHG CLOSE INT OPTION/HRIKE VOL EXCH LAST CH6 CLOSE INT
NasdlOOTr Feb 37 79,072 XC 0.45 -0.30 36.33 179,411 Cisco Apr 25 16,786 XC 1.15 -1.40 24.08 35,860
NasdlOOTr Feb 37 P 77,716 XC 1.10 0.30 36.33 366,260 ATTWrls Feb 11 16,696 XC 0.35 11.13 19,457
Cisco Feb 25 P 65,470 XC 130 0.85 24.08 125,149 FordM Jan 05 20 16,006 XC 0.35 0.05 13.89 17,243
NasdlOOTr Mar 37 ₽ 50,099 XC 1.60 0.30 36.33 136,136 NasdlOOTr Feb 35 P 15424 XC 0.25 3633 80,784
Cisco Feb 25 45,922 XC 0.40 -160 24.08 53,363 ATTWrls Apr 11 14,865 XC 0.70 1113 4,849
NasdlOOTr Feb 33 P 45,379 XC 180 0.40 36.33 256,982 Pfizer Feb 70 14,847 XC 1 0.35 38.27 19,623
NasdlOOTr Mar 37 40,652 XC 1 -0.30 36.33 85,536 NasdlOOTr Feb 36 14,301 XC 0.95 -0.50 36.33 46,174
Cisco Apr 27.50 37,154 XC 0.50 -0.70 24.08 50,310 NasdlOOTr Jun 35 P 13,821 XC 170 025 36.33 70,112
NasdlOOTr Feb 36 P 32,848 XC 0.60 0.20 36.33 272,591 People soft Apr 20 P 12,605 XC 0.50 -0.35 22.70 7,767
NasdlOOTr Feb 38 32,650 XC 0.20 -020 36.33 210,587 Peoplesoft Mar 22.50 P 12,542 XC 105 -050 22.70 289
Cisco Feb 27.50 28,459 XC 0.10 -0.55 24.08 159.880 SemiHTr Feb 40 P 12,235 XC 0,95 0.45 40.58 34,513
NasdlOOTr Mar 36 P 23,642 XC 1.15 0.25 36.33 132,833 Pfizer Mar 40 12,164 XC 0.40 0.15 38.27 9,707
SemiHTr Feb 42.50 P 22,758 XC 2.30 0.70 40.58 55,469 Cisco Mar 25 11,453 XC 0.85 -145 24.08 7,877
JDS Uni Mar 5 21,315 XC 0.30 -0.15 4.76 47,388 ATTWrls Jul 12 50 11,056 XC 0.30 -0.05 11.13 65,795
ATTWrls Jan 05 10 P 20,942 XC 0.50 -0.05 1113 9,652 Conseco Jun 15 P 11,006 XC 0.45 0.30 21.86 547
Cisco Mar 27.50 20,475 XC 0.30 -0.70 24.08 26,565 NasdlOOTr Feb 39 P 10,906 XC 2.70 0.55 36.33 52,208
NasdlOOTr Jan 06 35 20,087 XC 6.40 -0.30 36.33 105,059 Pfizer Mar 70 10,676 XC 145 0.40 38.27 42,155
NasdlOOTr Mar 38 18,915 XC 0.60 -0.25 36.33 65,878 WalMart Feb 55 10,613 XC 110 0,15 55.39 47,678
Intel Feb 30 13,538 XC 0.95 -0.80 30.02 28,975 Dellinc Feb 3250 P 10,542 XC 0.95 0,50 3239 27,928
JohnJn Feb 55 17,424 XC 0.55 025 54.48 18,120 Cisco Feb 2750 P 10,526 XC 3.40 1.75 24.08 40,102
Volume & Open Interest Summaries
AMERICAN INTI SECURITIES PACIFIC
Call Vol: 507,923 Open Int: 45,122.029 Call Vol: 1006,254 Open Int: 51,961,968 CaH Vol: 234,706 Open Int 54,541910
Put Vol: 435,069 Open Int 34,155216 Put Vol: 704,231 Open Int; 41896.347 Put Vol: 159,733 Open Int: 43,234,469
CHICAGO BOARD PHILADELPHIA TOTAL
Call Vol: 803,225 Open Int: 59,856,094 Call Vol: 424,568 Open Int 43,397,779 Call Vol: 2,976,676
Put Vol: 647,213 Open Int: 49,257,435 Put Vol: 263,640 OpenInt 33,690,351 Put Vol: 2,209,886
LEAPS-LONG TERM OPTIONS
OPTION/STRIKE EXP -CALL-VOL LAST -PUT-VOL LAST OPTION/STRIKE EXP -CALLVOL LAST -PUT-VOL LAST OPTION/STRIKE EXP -CALL-VOL LAST -PUT-VOL LAST
ДШ 15 Jan 05 4450 0.80 47.97 15 Jan 06 3500 0.45 SwstAirl 15 Jan 06 S561 2.90 5151 2.90
19.14 17.50 Jan 05 315 2.80 3615 1.70 47.97 20 Jan 06 3690 0.75 SpmtFON 20 Jan 06 2620 4.40
19.14 20 Jan 05 898 1.65 1414 3.20 47.97 40 Jan 06 2040 9.70 105 4.40 SunMkro 5 Jan 06 1784 145 241 120
ATTWrls 10 Jan 05 430 17020942 0.50 47.97 55 Jan 06 2245 3.40 Tenetmt 7.50 Jan 06 2010 115
AMD 7.50 Jan 06 7520 0.95 Gillette 45 Jan 05 1450 0.40 TinwWam 15 Ian 05 185 3.30 3205 0.90
14.13 17.50 Jan 05 3109 2.05 r 30 Jan 05 ... 1500 145 17.19 15 Jan 06 24 4.10 5000 135
Amgen 70 Jan 05 1431 4,90 Intel 30 Jan 05 1127 4.10 2389 3.60 17.19 17.50 Jan 06 8 2.75 3649 2.40
ApIdMat 15 Jan 05 35 7.40 3040 0.85 JohnJns 55 Jan 05 107 3.60 1457 420 17.19 20 Jan 06 2581 170 ... ...
21.38 17.50 Jan 05 10 5.40 6290 145 LiByEH 65 Jan 05 52 10.50 1575 5.80 UltraPet 25 Jan 05 2000 4.10
Broadcom 40 Jan 05 2255 6.30 120 7.30 70.50 70 Jan 05 1862 8 1515 8 Verizon 30 Jan 06 2714 2.55
Cisco 22.50 Jan 05 804 4.30 2899 2.40 70.50 75 Jan 05 2445 5.80 WalMart 55 Jan 06 2033 6.80 2478 5.30
24.08 25 Jan 05 4397 3.10 633 3.60 Lucent 2.50 Jan 05 1885 190 20 020 WinnDh 2.50 Jan 05 ... 3080 0.40
24.08 25 Ian 06 3272 4.60 228 4.60 4.20 5 Jan 05 3845 0 70 703 L45 XMSat 5 Jan 06 2930 0.4C
24.08 30 Jan 05 5208 145 214 6.90 Lucent! 5 Jan 06 2023 1.10 260 175
2408 30 Jan 06 3147 2.75 40 7.20 Lyondell 12.50 Jan 05 5016 110
24.08 40 Jan 06 1988 0.95 Maxim 45 Jan 05 10 9.90 5000 5 Volume & Open interest
CompAsc 25 JanOS 1800 4.70 300 3.10 48.69 55 Jan 05 5075 5 60 1030
ContlAIr 10 Jan 06 1500 2.20 MkronI 22.50 Jan 06 5000 7.90
Coming 12.50 Jan 05 2622 1.90 160 220 Mkrosft 2250 Jan 05 22 5.80 1480 0.90 CHICAGO BOARD
11.99 12.50 Jan 06 3942 3.30 34 3.10 Microsoft 30 Jan 06 1912 2.85 Call Vol: 31142 Open Int 5,520,851
DJIA Nam 116 Jan 05 1500 1.85 NasdlOOTr 34 Jan 06 21 6.90 2510 3.40 Put Vol: 27.750 Open Int 6,222,730
Dell Inc 35 Jan 06 87 4.50 1623 5.90 36.33 35 Jan 05 1713 4.50 233 2.85 INTL SECURITIES
DukeEgy 22.50 Jan 06 3457 2.05 3633 35 Jan 06 20087 6.40 37 4 Cail Vol: 108,287 Open Int: 21,850,815
ElPasoCp 5 Jan 05 3500 0.50 36.33 38 Jan 06 1731 4.70 1956 5 30 PutVd: 75,548 Open Int 20,174,219
8.16 7.50 Jan 05 5302 1.85 1207 1.25 36.33 47 Jan 05 1510 0.55
FordM 12.50 Jan 05 2079 2.60 2 130 36.33 49 Jan 06 2500 135
13.89 12.50 Jan 06 2009 3.10 4011 1.90 NortcINw 750 Jan 05 1995 1.70 504 155 Call Vol: 41,886 Open Int 21,859,348
13.89 15 Jan 06 3527 2.10 20 3.20 7.50 ID Jan 05 1822 0.95 66 3.40 PutVoh 43,151 Open Int 20,109,861
13.89 20 Jan 05 16006 0.35 Pfizer 40 Jan 05 1766 2.15 24 4.10 TOTAL
FredMac 60 Jan 05 192 7.50 2550 5.30 RyKarb 15 Jan 06 2250 0.45 Call Vol: 181315
(jenMotrs 10 Jan 06 9100 0.20 SBC Com 20 Jan 06 47 620 1531 1.50 Put Vol; 146,449
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. и Copyright Clearance Center, Inc. © 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
В первом столбце перечислены 40 наиболее активно продаваемых опционных контрактов, расположенных в порядке убывания объема торгов. Наиболее активно продаваемым контрактом в феврале 2004 года был опцион на фондовый индекс Nasdaq 100. Из табл. 8.1 видно, что опционы “колл” на акции компании Cisco, истекающие в феврале 2004 года, с ценой исполнения 25 долл, продавались за 0,40 долл., т.е. на 1,60 долл, дешевле, чем накануне. Цена акций Cisco в момент закрытия биржи (closing price) была равной 24,08 долл. Аналогично легко видеть, что опционы “пут” на акции компании Peoplesoft, истекающие в апреле 2004 года, с ценой исполнения 20 долл, продавались по 0,50 долл., т.е. на 0,35 долл, дешевле, чем накануне. Цена акций Peoplesoft в момент закрытия биржи (closing price) была равной 22,70 долл. Вторая часть таблицы содержит котировки долгосрочных опционов (LEAPS). Например, опцион “колл” на акции компании Cisco, истекающий в январе 2006 года, с ценой исполнения 30 долл, продавался за 2,75 долл., а соответствующий опцион “пут” — за 7,20 долл.
Как указывалось ранее, один опционный контракт заключается на покупку или продажу 100 акций. Поскольку котировки большинства опционов не превышают 10 долл., а некоторые из них даже меньше одного доллара, для заключения сделок по опционам инвестору не обязательно быть очень богатым.
Газета The Wall Street Journal публикует общие объемы опционов “колл” и “пут”, а также количество открытых позиций по этим опционам. Объемом опционов называется общее количество контрактов, заключенных в течение дня. Количество открытых позиций равно количеству незавершенных контрактов.
8.6 Торговля
Традиционное назначение бирж — предоставлять людям возможности для встреч и совершения сделок. Со временем положение дел стало изменяться. Например, Eurex — крупнейшая европейская биржа производных ценных бумаг — является полностью электронной, поэтому ее трейдерам не обязательно встречаться лично.1 Международная биржа ценных бумаг (www.iseoptions.com) запустила первую электронную систему торгов в США в мае 2001 года. Чикагская опционная биржа (СВОЕ) организовала систему CBOEdirect, а Чикагская товарная биржа (СМЕ) — систему GLOBEX. Обе системы функционируют параллельно традиционным системам открытых торгов.
Маркет-мейкеры
Большинство опционных бирж для управления торгами используют маркетмейкеров (market makers) — лиц, котирующих цены покупателей и продавцов,
1 Биржа Eurex проводит торги с помощью полностью автоматизированной системы в Чикаго.
т.е. цены, по которым они готовы покупать или продавать опционы. В момент котировки цены маркет-мейкер еще не знает, собирается ли трейдер действительно покупать или продавать опцион. Цена продавца всегда выше цены покупателя. Разница между ними называется спрэдом опроса-предложения (bid-offer spread). Верхний лимит этого спрэда устанавливает биржа. Например, если стоимость опциона не превышает 0,5 долл., биржа может установить верхний лимит спрэда на уровне 0,25 долл. Если цена опциона лежит в диапазоне от 0,5 до 10 долл., спрэд не должен быть больше 0,5 долл., а если она больше 10 долл., но меньше 20 долл., верхний лимит устанавливается на уровне 0,75 долл. Если же цена опциона превышает 20 долл., разница между ценами продавца и покупателя не должна превышать одного доллара.
Наличие маркет-мейкеров гарантирует, что приказы на покупку и продажу всегда будут исполнены по определенной цене без каких-либо задержек. Таким образом, маркет-мейкеры повышают ликвидность рынка, извлекая прибыль из разницы между ценами продавца и покупателя. Процедуры хеджирования рисков маркет-мейкеров будут рассмотрены позднее.
Компенсирующие приказы
Инвестор, купивший опцион, может закрыть свою позицию, отдав компенсирующий приказ о продаже такого же опциона. Аналогично инвестор, продавший опцион, может закрыть свою позицию, отдав компенсирующий приказ купить такой же опцион. Если после заключения сделки ни один инвестор не компенсировал существующую позицию, количество открытых позиций увеличивается на один контракт. Если один инвестор компенсировал существующую позицию, а другой нет, количество открытых позиций остается тем же самым. Если оба инвестора компенсировали существующие позиции, количество открытых позиций уменьшается на один контракт.
8.7 Комиссионные вознаграждения
Виды приказов, которые инвестор может отдать своему брокеру во время опционных торгов, аналогичны приказам, отдаваемым при торговле фьючерсами (см. раздел 2.7). Рыночный приказ должен быть исполнен немедленно; лимитный приказ определяет наименьшую приемлемую цену, при которой приказ должен быть исполнен и т.д.
Комиссионные вознаграждения брокеров, работающих на мелкого инвестора, имеют большой разброс. Дисконтные брокеры (discount broker), как правило, берут меньшие суммы, чем универсальные (full-service broker) Обычно комиссионное вознаграждение состоит из фиксированной суммы и процента стоимости сделки. В табл. 8.2 приведены величины комиссионного вознаграждения, кото
рое может потребовать дисконтный брокер. Таким образом, при покупке восьми опционов стоимостью по три доллара инвестор должен выплатить комиссионное вознаграждение в размере 20 + (0,02 + 2 400) = 68 долл.
Таблица 8.2. Типичная величина комиссионного вознаграждения дисконтного брокера
Объем сделки, долл. Комиссионное вознаграждение, долл.*
меньше 2 500 20 + 0,02 х объем сделки
от 2500 до 10000 45 + 0,01 х объем сделки
больше 10000 120 + 0,0025 х объем сделки
* Максимальное комиссионное вознаграждение равно 30 долл, за каждый из первых пяти контрактов плюс 20 долл, за каждый дополнительный контракт. Минимальное комиссионное вознаграждение равно 30 долл, за первый контракт плюс два доллара за каждый дополнительный контракт.
Если опционная позиция закрывается путем заключения компенсирующей сделки, комиссионное вознаграждение должно выплачиваться снова. Если опцион исполнен, комиссионное вознаграждение выплачивается в таком же размере, как если бы инвестор отдал приказ о покупке или продаже соответствующей акции. Как правило, его величина колеблется от 1% до 2% стоимости акции.
Рассмотрим ситуацию, в которой инвестор купил один опцион “колл” при цене исполнения, равной 50 долл., в момент, когда цена акции была равна 49 долл. Предположим, что цена опциона равна 4,50 долл., так что стоимость контракта составила 450 долл. Используя данные из табл. 8.2, определяем, что покупка или продажа одного контракта стоит 30 долл, (и минимальное, и максимальное комиссионные вознаграждения при заключении первого контракта равны 30 долл.). Допустим, что опцион был исполнен, когда цена акции достигла 60 долл. Предположим, что инвестор в качестве комиссионного вознаграждения выплатил 1,5% объема сделки. Тогда комиссионные выплаты при исполнении опциона равны следующей величине.
0,015 х 60 х 100 = 90 долл.
Таким образом, общая сумма комиссионного вознаграждения достигает 120 долл., а чистая прибыль инвестора равна
1000 - 450 - 120 = 430 долл.
Следует подчеркнуть, что инвестор мог бы сэкономить на комиссионном вознаграждении 60 долл., если бы продал опцион по 10 долл., а не исполнял его. (В нашем примере размер комиссионного вознаграждения при продаже такого
опциона равен 30 долл.) В целом система комиссионных вознаграждений стимулирует инвесторов продавать опционы, а не исполнять их.
В торговле опционами (и акциями) существует скрытая стоимость — спрэд спроса-предложения, устанавливаемый маркет-мейкерами. Предположим, что в рассмотренном выше примере при покупке опциона цена продавца была равной 4,00 долл., а цена покупателя — 4,50 долл. Резонно предположить, что “справедливая” цена опциона лежит между ценами покупателя и продавца, т.е. равна 4,25 долл. Стоимость опциона для покупателя и продавца равна разности между справедливой ценой и ценами покупателя и продавца соответственно. В данном случае она равна 0,25 долл, за опцион, или 25 долл, за контракт.
8.8 Маржинальная торговля
В США при покупке акций инвестор может либо заплатить наличными, либо взять деньги в кредит с маржинального счета. (Это называется маржинальной покупкой (buying on margin).) Первоначальная маржа, как правило, равна 50% стоимости акций, а гарантийная маржа обычно равна 25% их стоимости. Управление маржинальным счетом при опционной торговле происходит точно так же, как и при торговле фьючерсными контрактами (см. главу 2).
При покупке опционов “колл” и “пут” их цена должна быть уплачена полностью. Инвесторам не разрешено заниматься маржинальной покупкой опционов, поскольку в самих опционах уже заключена значительная доля кредитного “рычага” (leverage). Покупка опциона с помощью маржи подняла бы эту долю до неприемлемого уровня. И брокер, и биржа должны быть уверены, что инвестор не объявит дефолт при исполнении опциона. В зависимости от степени этой уверенности и назначается размер требуемой маржи.
Продажа непокрытых опционов
Непокрытым (naked) называется опцион, который не сочетается с компенсирующей позицией по соответствующей акции. Первоначальная маржа для проданного непокрытого опциона “колл”, установленная биржей СВОЕ, равна максимальной среди следующих двух величин.
1. Вся сумма, вырученная от продажи, плюс 20% цены базовой акции минус сумма проигрыша, если опцион приносит убытки.
2. Вся сумма, вырученная от продажи, плюс 10% цены базовой акции.
Первоначальная маржа для проданного непокрытого опциона “пут” равна максимальной среди следующих двух величин.
1. Вся сумма, вырученная от продажи, плюс 20% цены базовой акции минус сумма проигрыша, если опцион приносит убытки.
2. Вся сумма, вырученная от продажи, плюс 10% цены исполнения.
При вычислении первоначальной маржи для опциона на фондовый индекс 20% заменяются на 15%, поскольку фондовый индекс, как правило, меньше подвержен колебаниям, чем цена отдельной акции.
Пример 8.3
Инвестор выписывает четыре непокрытых опциона “колл” на определенную акцию. Цена опциона равна 5 долл., цена исполнения равна 40 долл., а цена акции — 38 долл. Поскольку убытки по опциону равны 2 долл., вычисление первой величины приводит к следующему результату.
400 х (5 + 0,2 х 38 - 2) = 4 240 долл.
Вторая величина равна
400 х (5 + 0,1 х 38) = 3 520 долл.
Таким образом, первоначальная маржа равна 4240 долл. Для опциона “пут” выигрыш составил бы 2 долл., а первоначальная маржа была бы равной следующей величине.
400 х (5 + 0,2 х 38) = 5040 долл.
В обоих вариантах сумма выручки, равная 2000, частично используется для формирования маржинального счета. □
Аналогичные вычисления маржи производятся каждый день (только вместо суммы выручки используется текущая рыночная цена). Если эти вычисления показывают, что требуемая маржа меньше текущего баланса, инвестор может снять деньги с маржинального счета. Если же вычисления свидетельствуют об обратном, инвестор получает маржинальное требование.
Другие правила
В главе 10 рассматриваются стратегии опционной торговли, в частности, покрытые опционы (covered option), защитные опционы “пут” (protective puts), спрэды (spreads), комбинации (combinations), стрэддлы (straddles) и стрэнглы (strangles). На бирже СВОЕ установлены особые правила, регламентирующие определение маржевых требований для таких стратегий. Они описаны в документе СВОЕ Margin Manual, расположенном на Web-сайте www. cboe. сот.
В качестве примера рассмотрим правила, регламентирующие продажу покрытого опциона “колл” (covered call), т.е. опциона на покупку акции, которая уже принадлежит инвестору. Покрытые опционы намного надежнее, чем непокрытые, поскольку худшее, что может произойти в этом случае, — вынужденная продажа акции по цене, которая ниже ее рыночной стоимости. При продаже покрытого опциона “колл” маржа не нужна. Однако чтобы занять позицию, инвестор может занять сумму, равную 0,5 min(S, К), а не 0.5S.
8.9 Опционная расчетная палата
Опционная расчетная палата (Options Clearing Corporation — ОСС) выполняет на опционных рынках ту же функцию, что и расчетные палаты на фьючерсных рынках (см. главу 2). Она гарантирует, что продавцы опционов выполнят свои обязательства по опционным контрактам, и ведет учет всех длинных и коротких позиций. Опционная расчетная палата состоит из большого количества членов, через которых должны осуществляться все опционные сделки. Если брокерский дом не является членом биржевой опционной расчетной палаты, он должен обязательно вступить в контакт с одним из членов этой палаты. Члены расчетной палаты должны иметь установленный минимальный капитал и делать взносы в специальный фонд, который используется при банкротстве одного из членов.
Продавец опционов поддерживает маржинальный счет через брокера, как показано выше.2 Брокер поддерживает маржинальный счет через члена расчетной палаты, осуществляющего расчеты по сделкам. Член расчетной палаты, в свою очередь, ведет маржинальный счет с помощью опционной расчетной палаты, выставляющей своим членам маржинальные требования.
Исполнение опциона
Когда инвестор уведомляет брокера об исполнении опциона, брокер, в свою очередь, уведомляет об этом члена опционной расчетной палаты, ведущего расчеты по этой сделке. Этот член палаты отдает приказ об исполнении опциона. Опционная расчетная палата случайным образом выбирает члена, занимающего короткую позицию по такому же опциону. Это лицо, следуя заранее установленной процедуре, выбирает конкретного инвестора, подписавшего опцион. Если исполняется опцион “колл”, этот инвестор вынужден продать акцию по цене исполнения. Если исполняется опцион “пут”, этот инвестор вынужден купить акцию по цене исполнения. Такой инвестор называется назначенным (assigned). После исполнения опциона количество открытых позиций уменьшается на единицу.
По истечении срока действия опциона все опционы “с выигрышем” должны быть исполнены, если только стоимость транзакций не компенсирует прибыль. Некоторые брокерские фирмы автоматически исполняют опционы для своих клиентов, если это соответствует их интересам. Правила многих бирж также предусматривают исполнение опционов, которые в момент их исполнения приносят прибыль.
Маржинальные требования, описанные в предыдущем разделе, представляют собой минимальные требования, предъявляемые опционной расчетной палатой.
8.10 Регулирование
Существует большое количество способов регулирования рынка опционов. И биржи, и их опционные расчетные палаты устанавливают правила поведения трейдеров. Кроме того, существуют федеральные и местные регулирующие органы. В целом, опционный рынок характеризуется высокой степенью самоуправления. Среди членов опционных расчетных палат не отмечено крупных скандалов или банкротств. Рынок опционов пользуется у инвесторов большим доверием.
Регулированием рынков фондовых и валютных опционов, а также облигаций на федеральном уровне занимается комиссия по ценным бумагам и биржам (Securities and Exchange Commission). Урегулирование рынка фьючерсных опционов находится в компетенции комиссии по торговле товарными фьючерсами (Commodity Futures Trading Commission). Основные опционные рынки в США расположены в Иллинойсе и Нью-Йорке. Эти штаты активно пресекают любые попытки нарушить установившиеся правила торговли.
8.11 Налогообложение
Определить влияние налогов на опционные стратегии бывает довольно трудно, поэтому сомневающиеся инвесторы должны консультироваться у специалистов. В США действует общее правило: если налогоплательщик не является профессиональным трейдером, прибыль и убытки от торговли фондовыми опционами облагаются как капитальные прибыли и убытки. Налогообложение капитальных прибылей и убытков в США рассмотрено в разделе 2.9. Как покупатель, так и продавец фондового опциона получают прибыль или несут убытки в двух случаях: 1) если опцион остался неисполненным, несмотря на то что срок его действия истек, или 2) опционная позиция была закрыта. Если опцион был исполнен, прибыль или убытки переносятся на позицию, занятую по отношению к акции, и выясняются только при ее закрытии. Например, при исполнении опциона “колл” сторона, занимающая длинную позицию, рассчитывает купить акцию по цене исполнения плюс цена опциона. Прибыль или убытки от этого решения будут вычислены только, когда акция будет в конце-концов продана. Аналогично при исполнении опциона продавца сторона, занимающая короткую позицию, рассчитывает продать акцию по цене исполнения плюс цена опциона “колл”. Продавец рассчитывает купить акцию по цене исполнения, меньшей исходной цены опциона “пут”, а покупатель надеется продать акцию по этой цене.
Правило фиктивной сделки
Одним из основных правил налогообложения опционной торговли в США является правило фиктивной сделки (wash sale rule). Его суть заключается в следую
щем. Представьте себе инвестора, купившего акцию по 60 долл, и планирующего хранить ее долгое время. Если цена акции упадет до 40 долл., инвестор может решить продать ее и тут же купить снова, сообщив налоговым органам об убытке на уровне 20 долл. Чтобы предотвратить такие махинации, налоговые органы приняли правило, согласно которому убытки от продажи не подлежат вычету из налогооблагаемой суммы, если повторная покупка происходит не ранее, чем за 30 дней до продажи, и не позднее, чем через 30 дней после продажи. Это правило применяется также, если в течение этого периода налогоплательщик заключил такой же или аналогичный опционный контракт на покупку акции. Итак, убыточная продажа акции и приобретение опциона “колл” в течение 30-дневного периода не позволяют налогоплательщику снизить базу налогообложения. Правило фиктивной сделки не распространяется на ситуации, когда налогоплательщик является фондовым дилером и убытки являются рутинной особенностью его бизнеса.
Конструктивные продажи
До 1997 года, если налогоплательщик продавал ценную бумагу без покрытия, занимая длинную позицию по идентичным ценным бумагам, ни прибыль, ни убытки не фиксировались, пока короткая позиция не закрывалась. Это значит, что короткие позиции можно было использовать для отсрочки регистрации прибыли, подлежащей налогообложению. Ситуацию изменил закон Tax Relief Act, принятый в 1997 году. Сделка считается “конструктивной продажей”, если собственник сделал одно из следующих действий.
1. Продал без покрытия ту же или аналогичную ценную бумагу.
2. Заключил фьючерсный или форвардный контракт на поставку той же или аналогичной ценной бумаги.
3. Занял одну или несколько позиций, исключающих любые убытки и открывающих возможность для получения прибыли.
Следует подчеркнуть, что транзакции, снижающие риск убытков и повышающие вероятность получения прибыли, не обязательно являются результатом “конструктивных сделок”. Следовательно, инвестор, занимающий длинную позицию по определенной акции, может просто купить несколько опционов “пут с выигрышем”, не подстраховывая их конструктивной продажей.
Опытные налогоплательщики иногда используют опционы для минимизации налоговых выплат или максимизации налоговых льгот (см. врезку “Пример из деловой практики 8.2”). Налоговые органы во многих странах разработали много средств для борьбы с оптимизацией налогов с помощью производных ценных бумаг. Прежде чем заключать сделку, направленную на снижение налогов, финансовый директор компании должен детально проанализировать возможное развитие событий при изменении налогового законодательства.
Пример из деловой практики 8.2. Планирование налогообложения с помощью опционов
Предположим, что в стране А установлена низкая налоговая ставка на доходы и дивиденды и высокая налоговая ставка на капитальную прибыль, а в стране Б — высокая налоговая ставка на доходы и дивиденды и низкая налоговая ставка на капитальную прибыль. С одной стороны, компании было бы выгодно получать доход от ценных бумаг в стране А, а от капитала — в стране Б. С другой стороны, потери капитала было бы лучше нести в стране А, поскольку в этой стране есть возможности компенсировать эти потери. Для этого компания должна организовать в странах А и Б дочерние компании. Дочерняя компания в стране А должна владеть ценной бумагой, а дочерняя компания в стране Б должна приобрес ти опцион “колл” на ценную бумагу, принадлежащую упомянутой компании из страны А, с ценой исполнения, равной ее текущей стоимости. На протяжении срока действия этого опциона доход от ценной бумаги будет получать дочерняя компания, расположенная в стране А. Если стоимость ценной бумаги резко возрастет, то опцион следует исполнить, а полученную выручку инвестировать в стране Б. Если же стоимость ценной бумаги резко упадет, то опцион исполнять не следует, а потери капитала будет нести компания, расположенная в стране А.
8.12 Варранты, управленческие акционерные опционы и конвертируемые облигации
Как правило, при исполнении опциона на покупку акции, сторона, занимающая короткую позицию, приобретает акции, уже выпущенные ранее, и продает их стороне, занимающей длинную позицию, по цене исполнения. Компания, акции которой участвуют в этой сделке, никак не влияет на эту процедуру. Варранты и управленческие акционерные опционы работают немного иначе. Они выписываются компанией на собственные акции. При их исполнении компания выпускает дополнительное количество акций и продает их держателям опционов по цене исполнения. Следовательно, исполнение варранта или управленческого акционерного опциона приводит к увеличению количества неоплаченных акций.
Варрант (warrant) — это опцион “колл”, который часто сопряжен с выпуском облигаций. Варрант выпускается в дополнение к облигациям, чтобы сделать их более привлекательными для инвесторов. Как правило, варранты действуют много лет. Иногда они котируются отдельно от облигаций, к которым изначально прилагались.
Управленческий акционерный опцион (executive stock options) — это опцион “колл”, выпускаемый для стимулирования менеджеров компании (см. врезку “Пример из деловой практики 8.3”). В настоящее время идут' оживленные споры, следует ли включать управленческие акционерные опционы в декларацию
о доходах компании. Некоторые компании и их бухгалтеры считают, что оценить эти опционы весьма сложно. Эксперты по опционам, наоборот, полагают, что управленческие акционерные опционы можно оценить не менее точно, чем другие финансовые инструменты, указываемые в отчетах. Способы оценки варрантов и управленческих акционерных опционов обсуждаются в главе 13.
Пример из деловой практики 8.3. Управленческие акционерные опционы
В 1990-х и начале 2000-х годов фондовые опционы все чаще стали использоваться в качестве компенсации, выплачиваемой менеджерам и сотрудникам компаний. Как правило, менеджеру в виде подарка передается определенное количество опционов на покупку акций компании, в которой он работает. В момент подарка опционы являются опционами “без выигрыша” (at the money). Обычно они действуют 10 лет и даже дольше, а продолжительность периода вступления во владение (vesting period) может достигать пяти лет. На протяжении этого времени опцион исполнить нельзя, но после его окончания права держателя опциона ничем не ограничены. Если менеджер покидает компанию на протяжении периода вступления во владение опционом, то опцион конфискуется. Если же менеджер уходит из компании позднее, то опцион “с выигрышем” исполняется немедленно, а опцион “с проигрышем” — аннулируется. Менеджер не имеет права продавать управленческий акционерный опцион другим лицам.
Привлекательность управленческого акционерного опциона объясняется легкостью его учета. В США и других странах компенсации включаются в декларацию о доходах сотрудника и оцениваются по их действительной стоимости. Поскольку в момент выпуска большинство управленческих акционерных опционов являются опционами “без выигрыша”, стоимость компенсации, как правило, равна нулю. В 1995 году был опубликован стандарт бухгалтерского учета FAS 123. Он поощряет, но не требует, чтобы компании указывали в своих декларациях о доходах “справедливую цену” (“fair value”) опционов. (Если компания не включает в декларацию о доходах справедливую цену опциона, то она обязана указать ее в примечании.) На первых порах очень небольшое количество компаний совершенно добровольно указывали управленческие акционерные опционы в своих отчетах, однако в начале 2000-х годов эта практика стала более распространенной.
В настоящее время стандарты бухгалтерского учета изменились и требуют указывать в декларации о доходах “справедливую цену” управленческих акционерных опционов. В феврале 2004 года Комитет по стандартам бухгалтерского учета (International Accounting Standards Board) выпустил стандарт IAS 2, который обязывает компании указывать в декларации о доходах стоимость управленческих акционерных опционов начиная с 2005 года. В декабре 2004 года стандарт FAS 123 был пересмотрен. Теперь он также требует от американских компаний,
чтобы, начиная с 2005 года, они указывали в своих декларациях о доходах стоимость управленческих акционерных опционов.
Как правило, управленческие акционерные опционы исполняются раньше, чем аналогичные биржевые или внебиржевые опционы, поскольку их запрещено продавать. Если менеджер желает получить деньги за свой акционерный опцион, то он должен реализовать его и продать акции. По этой причине оценить управленческий акционерный опцион не так просто, как обычный опцион. Для этого необходима модель досрочного исполнения опциона.
Конвертируемая облигация (convertible bond) — это облигация, выпущенная компанией, которая в определенные моменты времени может обмениваться на акции в заранее оговоренном соотношении. Таким образом, конвертируемая облигация представляет собой опцион “колл”, прикрепленный к акции компании. Конвертируемые облигации похожи на варранты и управленческие акционерные опционы, поскольку их исполнение приводит к увеличению количества акций, выпущенных компанией. Более подробно конвертируемые облигации обсуждаются в главе 21.
8.13 Внебиржевой рынок
Основное внимание в этой главе уделено биржевому опционному рынку. Внебиржевой опционный рынок стал приобретать все возрастающее влияние начиная с 1980-х годов и в настоящее время по объему превзошел биржевой. Как указывалось в главе 1, на внебиржевом рынке финансовые организации, казначеи корпораций и фондовые менеджеры общаются по телефону. На внебиржевом рынке опционов котируется большое количество активов. Наиболее крупными стали внебиржевые рынки иностранных валют и процентных ставок. Основным недостатком внебиржевого рынка является вероятность дефолта продавца опциона. Следовательно, покупатель опциона подвергается определенному кредитному риску. Чтобы преодолеть это обстоятельство, участники внебиржевого опционного рынка разработали множество мер; например, они требуют, чтобы контрпартнеры предоставляли гарантии своей платежеспособности. Эти гарантии обсуждаются в разделе 2.4.
Финансовые организации, работающие на внебиржевом рынке, часто подбирают ценные бумаги так, чтобы наиболее полно удовлетворить требования клиентов. Для этого выбирают нестандартные даты исполнения, цены исполнения и размеры контрактов. В других ситуациях они предлагают опционы, структура которых отличается от обычной структуры опционов “колл”и “пут”. Такие опционы называются экзотическими (exotic options). Большое количество экзотических опционов рассматривается в главе 22.
Резюме
Существует два вида опционов: “колл” и “пут”. Опцион “колл” дает его держателю право купить базовый актив по заранее оговоренной цене в заранее установленное время. Опцион “пут” дает его держателю право продать базовый актив по заранее оговоренной цене в заранее установленное время. На опционных рынках существует четыре возможные позиции: длинная позиция в опционе “колл”, короткая позиция в опционе “колл”, длинная позиция в опционе “пут” и короткая позиция в опционе “пут”. Про трейдера, занимающего короткую позицию в опционе, говорят, что он “выписывает опцион”. Существуют фондовые опционы, опционы на фондовые индексы, валютные опционы, фьючерсные опционы и др.
Биржа обязана установить условия опционных контрактов, которыми она торгует. В частности, она должна определить их размеры, точный срок действия и цену исполнения. В США один опционный контракт дает его держателю право купить или продать 100 акций. Срок действия фондовых опционов истекает в 22:59 по центральному времени в субботу, непосредственно следующую за третьей пятницей месяца, в течение которого заканчивается их срок действия. Цены исполнения котируются с шагом 21 /г, 5 и 10 долл., в зависимости от ее величины. Цена исполнения, как правило, выбирается близкой к текущей цене исполнения, зафиксированной на начало торгов.
При объявлении о выплате денежных дивидендов условия опционных контрактов, как правило, не корректируются. Однако при объявлении дивидендов, оплаченных акциями, а также при дроблении и выпуске новых акций, условия опционов изменяются. Цель корректировок — сохранить неизменными позиции покупателя и продавца контракта.
Большинство опционных бирж использует маркет-мейкеров — лиц, котирующих цены покупателей и продавцов, т.е. цены, по которым они готовы покупать или продавать опционы. Участники рынка повышают его ликвидность и гарантируют незамедлительное исполнение рыночных приказов. Участники рынка извлекают прибыль из разницы между ценами продавца и покупателя, которая называется спрэдом спроса-предложения. Биржа устанавливает верхний лимит этого спрэда.
Продавцы опционов имеют потенциальные долговые обязательства и должны поддерживать баланс на своем маржинальном счете через брокера. Если брокер не входит в опционную расчетную палату, он должен обратиться к фирме, которая является ее членом. Эта фирма, в свою очередь, поддерживает баланс на маржинальном счете через опционную расчетную палату, которая учитывает все неоплаченные контракты, обрабатывает приказы на исполнение и т.п.
Не все опционы котируются на биржах. Сделки по многим опционам осуществляются по телефону на внебиржевом рынке. Преимуществом внебиржевых опционов является тот факт, что они разрабатываются финансовыми организа
циями специально для нужд клиентов, в роли которых выступают финансовые директора корпораций или менеджеры инвестиционных фондов.
Дополнительная литература
Arzac Е. R. PERCs, DECs, and Other Mandatory Convertibles // Journal of Applied Corporate Finance, 10, 1 (1997). — P. 54-63.
Core J. E. and Guay W. R. Stock Options Plans for Non-executive Employees // Journal of Financial Economics, 61, 2 (2001). — P. 253-287.
Cox J. C. and Rubinstein M. Options Markets. — Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1985.
Hull J. C. and White A. How to Value Employee Stock Options // Financial Analysis Journal, 60, 1 (January/February, 2004). — P. 114-119.
Rubinstein M. On the Accounting Valuation of Employee Stock Options // Journal of Derivatives, 3, 1 (Fall 1995). — P. 8-24.
Вопросы и задачи
8.1. Инвестор покупает европейский опцион “пут” на акцию за 3 долл. Цена акции равна 42 долл., а цена исполнения — 40 долл. При каких обстоятельствах инвестор получит прибыль? Нарисуйте график, демонстрирующий зависимость прибыли инвестора от цены акции в момент завершения опциона.
8.2. Инвестор продает европейский опцион “колл” на акцию за 4 долл. Цена акции равна 47 долл., а цена исполнения — 50 долл. При каких обстоятельствах инвестор получит прибыль? В какой ситуации следует исполнить опцион? Нарисуйте график, демонстрирующий зависимость прибыли инвестора от цены акции в момент завершения опциона.
8.3. Инвестор продает европейский опцион “колл” с ценой исполнения К и сроком истечения Т и покупает опцион “пут” с такой же ценой исполнения и сроком завершения. Опишите позицию инвестора.
8.4. Объясните, почему брокеры требуют маржу, когда клиенты продают опционы, а не когда он их покупают.
8.5. Различают февральский, майский, августовский и ноябрьский циклы фондовых опционов. Какие опционы могут быть предметом сделки 1)1 апреля и 2) 30 мая?
8.6. Компания объявила о дроблении акций в отношении “2 к 1”. Как изменить условия опциона на покупку этих акций, если цена исполнения равна 60 долл.?
8.7. Чем управленческий акционерный опцион отличается от обычных биржевых и внебиржевых фондовых опционов американского типа?
8.8. Финансовый директор корпорации разрабатывает программу хеджирования рисков с помощью валютных опционов. Какие аргументы за и против он должен рассмотреть, выбирая место для заключения контракта: фондовую биржу Филадельфии или внебиржевой рынок?
8.9. Предположим, что европейский опцион на покупку акций за 100 долл, стоит 5 долл. При каких обстоятельствах держатель опциона получает прибыль? В какой ситуации следует исполнить опцион? Нарисуйте график, демонстрирующий зависимость прибыли инвестора от цены акции в момент завершения опциона.
8.10. Предположим, что европейский опцион на продажу акций за 60 долл, стоит 8 долл. При каких обстоятельствах продавец опциона (т.е. сторона, занимающая короткую позицию) получает прибыль? В какой ситуации следует исполнить опцион? Нарисуйте график, демонстрирующий зависимость прибыли инвестора от цены акции в момент завершения опциона.
8.11. Укажите окончательную стоимость следующего портфеля: только что заключенный длинный форвардный контракт на актив и длинная позиция по европейскому опциону “пут” на актив с теми же сроком истечения и ценой исполнения. Докажите, что европейский опцион “пут” имеет ту же стоимость, что и европейский опцион “колл” с теми же ценой исполнения и сроком истечения контракта.
8.12. Трейдер покупает опцион “колл” с ценой исполнения, равной 45 долл., и опцион “пут” с ценой исполнения, равной 40 долл. Опцион “колл” стоит 3 долл., а опцион “пут” — 4 долл. Нарисуйте график, демонстрирующий зависимость прибыли трейдера от цены актива.
8.13. Объясните, почему американский опцион не может стоить меньше европейского опциона на тот же самый базовый актив с теми же ценой исполнения и сроком действия.
8.14. Объясните, почему стоимость американского опциона не может быть меньше его действительной стоимости.
8.15. Объясните разницу между продажей опциона “пут” и покупкой опциона “колл”.
8.16. Финансовый директор корпорации пытается сделать выбор между опционами и форвардными контрактами для хеджирования компании от валютных рисков. Обсудите относительные преимущества и недостатки каждого из вариантов.
8.17. Проанализируйте биржевой опцион на покупку 500 штук акции с исполнительной ценой, равной 40 долл., и сроком действия, истекающим через
четыре месяца. Объясните, как изменятся условия контракта при следующих обстоятельствах.
1) Компания объявила о выплате 10%-ных дивидендов, оплаченных акциями.
2) Компания объявила о выплате 10%-ных денежных дивидендов.
3) Компания объявила о дроблении акций в отношении “4 к 1”.
8.18. “Если большинство опционов на покупку акции приносят прибыль, вероятнее всего, что цена акции на протяжении последних нескольких месяцев резко выросла.” Обсудите это утверждение.
8.19. Как влияет неожиданное объявление о выплате денежных дивидендов на 1) цену опциона “колл” и 2) на цену опциона “пут”?
8.20. Опционы на акции компании General Motors относятся к мартовскому, июньскому, сентябрьскому и декабрьскому циклам. Какие опционы могут быть предметом торговли 1) 1 марта. 2) 30 июня и 3) 5 августа?
8.21. Объясните, почему спрэд спроса предложения представляет собой реальную стоимость опциона для инвестора.
8.22. Американский инвестор выписал пять опционов “колл” без покрытия. Цена опциона равна 3,50 долл., исполнительная цена — 60,00 долл., а цена акции — 57,00 долл. На какую сумму должно быть выставлено первоначальное маржинальное требование?
Упражнения
8.23. Цена акции равна 40 долл. Цена однолетнего европейского опциона на продажу этой акции с ценой исполнения, равной 30 долл., котируется на уровне 7 долл., а цена однолетнего европейского опциона на покупку этой акции с ценой исполнения, равной 50 долл., котируется на уровне 5 долл. Предположим, что инвестор покупает 100 штук акций, продает без покрытия 100 опционов “колл” и покупает 100 опционов “пут”. Постройте диаграмму, иллюстрирующую изменение прибыли или убытков инвестора в зависимости от цены исполнения. Как изменится ответ, если инвестор покупает 100 штук акций, продает без покрытия 200 опционов “колл” и покупает 200 опционов “пут”?
8.24. “Если компания не может победить конкурентов, но фондовый рынок тем не менее растет, то менеджеры извлекают слишком большую выгоду от своих управленческих акционерных опционов. Эта ситуация лишена смысла” Обсудите эту точку зрения. Можете ли вы предложить свой план управленческих акционерных опционов, чтобы учесть эту точку зрения?
8.25. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость американского опциона на продажу бездивидендной акции, если цена акции равна 30 долл., цена исполнения равна 32 долл., безрисковая ставка равна 5%, волатильность равна 30%, а срок действия истекает через 1,5 года. (Выберите в качестве параметра “option type” пункт Binomial American и 50 шагов по времени.)
1) Чему равна действительная стоимость опциона?
2) Чему равна временная стоимость опциона?
3) Что означает нулевая временная стоимость? Чему равна стоимость опциона с нулевой временной стоимостью?
4) Используя метод проб и ошибок, вычислите, насколько следует понизить цену акции, чтобы временная стоимость опциона была равной нулю.
8.26. 20 июля 2004 года компания Microsoft удивила рынок, объявив о выплате дивидендов в размере 3 долл. Бездивидендной датой (ex-dividend date) было назначено 17 ноября 2004 года, а выплата дивидендов состоялась 2 декабря 2004 года. Цена акции в этот момент была равна 28 долл. Кроме того, компания Microsoft изменила условия управленческих акционерных опционов и установила следующую формулу для подсчета их цены исполнения.
т цена закрытия — 3,00
Цена исполнения до выплаты дивидендов х--------------------долл.
цена закрытия
Количество акций, включаемых в каждый фондовый опцион, вычислялось по следующей формуле.
т, „ цена закрытия
Количество акции до выплаты дивидендов х-------------------долл.
цена закрытия -- 3,00
Под “ценой закрытия” подразумевается официальная цена акций компании Microsoft, зарегистрированная на момент закрытия торгов на бирже NASDAQ в последний торговый день перед бездивидендной датой (ex-dividend date). Вычислите поправки к опциону. Сравните их с правилами, установленными биржами для внесения изменений в опционные контракты при выплате экстраординарных дивидендов (см. врезку “Пример из деловой практики 8.1”).
Свойства фондовых опционов
В главе рассматриваются факторы, влияющие на стоимость фондовых опционов. Для исследования зависимостей между ценами европейских и американских опционов, с одной стороны, и ценами соответствующих акций, с другой, используется большое количество разнообразных арбитражных аргументов. Наиболее важной зависимостью является паритет опционов “колл” и “пут” (put-call parity), связывающий между собой цены европейских опционов “колл” и европейских опционов “пут”.
В главе исследуется вопрос: стоит ли досрочно исполнять американские опционы. Показано, что досрочная реализация американского опциона на покупку акций, не предусматривающих выплату дивидендов, не является оптимальным решением. В то же время досрочное исполнение американского опциона на продажу такой акции может быть выгодным.
9.1 Факторы, влияющие на цены опционов
Существует шесть факторов, влияющих на цену фондового опциона.
1. Текущая цена акции So.
2. Цена исполнения К.
3. Срок действия Т (время до истечения).
4. Волатильность цены акции <т.
5. Безрисковая процентная ставка г.
6. Дивиденды, ожидаемые в течение срока действия опциона.
В этом разделе мы покажем, как влияет на цены опционов изменение одного из этих факторов; при условии, что остальные параметры фиксированы. Результаты анализа приведены в табл. 9.1.
На рис. 9.1 и 9.2 показано, как цены европейских опционов “колл” и “пут” зависят от первых пяти факторов в ситуации, когда So = 50, К = 50, г = 5% годовых, ст = 30% в год, Т — 1 год и дивиденды не выплачиваются. В данной ситуации цена опциона “колл” равна 7,116, а опциона “пут” — 4,677.
Таблица 9.1. Изменение цены фондового опциона вследствие увеличения одной из переменных; при условии, что остальные факторы фиксированы*
Переменная Европейский опцион “колл” Европейский опцион “пут” Американский опцион “колл” Американский опцион “пут”
Текущая цена + — + —
акции
Цена исполнения — + — +
Срок действия ? ? + +
Волатильность + + + +
Безрисковая + — + —
процентная
ставка
Дивиденды — + — +
*Символ “+” означает, что увеличение переменной приводит к росту цены опциона; символ ” означает, что при увеличении переменной цена опциона падает; знак вопроса означает, что зависимость между ценой опциона и указанной переменной носит неопределенный характер.
Цена акции и цена исполнения
При исполнении опциона в определенный момент времени, выигрыш его владельца определяется величиной, на которую цена акции превышает цену исполнения. Следовательно, опционы “колл” более выгодны, когда цена акции растет, и менее выгодны, когда она падает. Прибыль владельца опциона “пут” равна величине, на которую цена исполнения превышает цену акции. Таким образом, опцион “пут” является зеркальным отражением опциона “колл”: при падении цены акции его выгодность увеличивается, а при росте — уменьшается. Зависимости цен опциона “колл”и “пут” от цены акции и цены исполнения приведены на рис. 9.1, а-г.
Срок действия
Оценим влияние срока действия на цену опциона. С увеличением срока действия стоимость американских опционов “колл” и “пут” увеличивается. Рассмотрим два опциона, различающиеся только сроками действия. Владелец долгосрочного опциона обладает теми же возможностями, что и владелец краткосрочного опциона, и даже более. Следовательно, стоимость долгосрочного опциона не может быть меньше стоимости краткосрочного опциона. Зависимости цен опционов “колл” и “пут” от срока их действия приведены на рис. 9.1, д-г.
С увеличением срока действия стоимость американских опционов “колл” и “пут”, как правило, увеличивается. Однако существуют исключения. Рассмотрим два европейских опциона на покупку акции; срок действия одного из них
Рис. 9.1. Зависимость цен опционов от изменения цены акции, цены исполнения и срока действия при So = 50, К = 50, г = 5%, а = 30% и Т = 1
истекает через месяц, а другого — через два месяца. Допустим, что через шесть недель ожидается выплата очень крупных дивидендов. Это приведет к падению цены акции, а значит, краткосрочный опцион становится выгоднее долгосрочного.
Рис. 9.2. Зависимость цен опционов от волатильности и величин безрисковой процентной ставки при So = 50, К = 50, г = 5%, а = 30% и Т = 1
Волатильность
Точное определение волатильности будет дано в главе 13. Грубо говоря, волатильность (volatility) цены акции — это величина, измеряющая неопределенность его будущих изменений. При увеличении волатильности возрастает вероятность, что цена акции будет как очень высокой, так и очень низкой. С точки зрения владельца акции, эти результаты компенсируют друг друга. Однако по отношению к владельцу опциона “колл” или “пут” это совсем не так. Владелец опциона на покупку акций получает выгоду от возрастания их цены и рискует понести убытки при ее падении. Аналогично владелец опциона на продажу акций выигрывает от падения цены акции, но подвергается риску проигрыша при ее росте. Итак, стоимость опционов “колл” и “пут” при увеличении волатильности возрастает (см. рис. 9.2, а, б).
Безрисковая процентная ставка
Влияние безрисковой процентной ставки на стоимость опциона не так очевидно. Если безрисковая ставка увеличивается, то доход, ожидаемый инвестором от владения акциями, возрастает. Кроме того, текущая стоимость любых будущих денежных сумм, предназначенных владельцу опциона, падает. Сочетание этих эффектов приводит к уменьшению стоимости опциона “пут” и увеличению стоимости опциона “колл” (см. рис. 9.2, в. г).
Следует подчеркнуть, что, изменяя величину безрисковой процентной ставки, мы считали, что остальные факторы остаются неизменными. В частности, мы полагали, что безрисковая ставка изменяется, даже если цена акции остается неизменным. На практике увеличение (уменьшение) безрисковой процентной ставки приводит к падению (росту) цены акции. В результате увеличения безрисковой процентной ставки и одновременного падения цены акции, стоимость опциона “колл” уменьшается, а стоимость опциона “пут” увеличивается. Аналогично, вследствие уменьшения безрисковой процентной ставки и одновременного роста цены акции, стоимость опциона “колл” увеличивается, а стоимость опциона “пут” уменьшается.
Размер будущих дивидендов
После выплаты дивидендов цена акции снижается. Это плохая новость для владельцев опционов “колл” и хорошая новость для владельцев опционов “пут”. Таким образом, размер ожидаемых дивидендов связан обратной зависимостью со стоимостью опциона “колл” и прямой зависимостью — со стоимостью опциона “пут”.
9.2 Предположения и обозначения
В данной главе мы придерживаемся тех же предположений, что и в главе 5 при анализе стоимости форвардных и фьючерсных контрактов. Допустим, что на рынке действуют участники, например крупные инвестиционные компании, выполняющие следующие условия.
1. Транзакции выполняются бесплатно.
2. Все прибыли (или убытки) от сделок облагаются по одной и той же ставке.
3. Существует возможность кредитования и заимствования по безрисковой ставке.
Предположим, что участники рынка немедленно используют возникающие арбитражные возможности. Как указывалось в главах 1 и 3, это значит, что любые арбитражные возможности очень быстро исчезают. Следовательно, резонно условиться, что никаких арбитражных возможностей на рынке не существует.
Введем следующие обозначения.
Sq: текущая цена акции;
К: цена исполнения опциона;
Т: срок действия опциона;
St- цена исполнения опциона в момент его завершения;
г: непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка по инвестициям, срок действия которых истекает в момент Т;
С\ стоимость одного американского опциона на покупку одной акции;
Р: стоимость одного американского опциона на продажу одной акции;
с: стоимость одного европейского опциона на покупку одной акции;
р: стоимость одного европейского опциона на продажу одной акции;
Следует подчеркнуть, что г — это номинальная, а не реальная процентная ставка. Можно предположить, что г > 0. В противном случае безрисковые инвестиции не имели бы никакого преимущества над наличными суммами. (Действительно, если г < 0, предпочтительнее иметь наличные деньги, а не делать безрисковые инвестиции.)
9.3 Предельные цены опционов
В этом разделе мы проанализируем верхнюю и нижнюю предельные цены опционов. Эти границы не зависят ни от каких предположений относительно указанных ранее факторов (за исключением условия г > 0). Если цена опциона превышает верхний предел или падает ниже нижнего предела, возникают выгодные арбитражные возможности.
Верхняя граница
Американский или европейский опционы “колл” дают их держателю право купить одну акцию по определенной цене. В любом случае опцион не может стоить больше, чем одна акция. Следовательно, верхним пределом его цены является цена акции.
с < Sq и С Sb-
Если бы эти неравенства не выполнялись, арбитражер мог бы легко и без всякого риска извлечь прибыль, купив акцию и продав опцион “колл”.
Американский или европейский опционы “пут” дают их владельцу право продать одну акцию по определенной цене. Независимо от цены акции, эти опционы не могут стоить больше, чем цена исполнения К. Следовательно,
р К и Р С К.
Европейский опцион в момент исполнения не может стоить больше цены исполнения К. Следовательно, его стоимость не может быть выше текущей стоимости цены исполнения К.
р С Ке .
Если бы эти неравенства не выполнялись, арбитражер мог бы легко и без всякого риска извлечь прибыль, выписав опцион и инвестировав выручку по безрисковой процентной ставке.
Нижняя граница для опционов на покупку бездивидендной акции
Нижняя граница цены европейского опциона на покупку бездивидендной акции равна
So - Ке~гТ.
Рассмотрим для начала конкретный пример, а затем более общую ситуацию. Допустим, что Sq = 20 долл., К = 18 долл., г = 10% годовых и Т — 1 год.
В таком случае,
So - Ке~гТ = 20 - 18е-0,1 = 3,71 долл.
Рассмотрим ситуацию, в которой европейский опцион “колл” стоит 3,00 долл., т.е. меньше теоретического минимума, равного 3,71 долл. Арбитражер может купить опцион “колл” и продать акцию без покрытия, получив 20,00 — 3,00 = = 17,00 долл. Если инвестировать эту сумму под 10% годовых, через год она вырастет до 17е0,1 = 18,79 долл. В это же время истечет срок действия опциона. Если цена акции будет выше 18,00 долл., арбитражер исполнит опцион на покупку акции по цене исполнения 18,00 долл., закроет короткую позицию и получит прибыль в размере
18,79 - 18,00 = 0,79 долл.
Если цена акции будет меньше 18,00 долл., арбитражер купит акцию на рынке и закроет короткую позицию. В этом случае он получит еще большую прибыль. Например, если цена акций достигнет уровня 17,00 долл, за штуку, прибыль арбитражера составит
18,79 - 17,00 = 1,79 долл.
Для более формального рассуждения рассмотрим два инвестиционных портфеля.
Портфель А: один европейский опцион “колл” плюс Ке~гТ долл, наличными.
Портфель Б: одна акция.
Если инвестировать наличную сумму, входящую в портфель А. под безрисковую процентную ставку, то за время Т она вырастет до величины К. Если St > К, опцион “колл” исполняется в момент истечения его срока действия, и стоимость портфеля А равна St- Если же St < К, исполнять опцион не следует, и стоимость портфеля А равна К. Следовательно, в момент Т стоимость портфеля А равна
max(Sr, К).
В момент Т портфель Б стоит St долл. Следовательно, портфель А всегда стоит не меньше, чем портфель Б. Отсюда следует, что при отсутствии арбитражных возможностей это соотношение выполняется и в настоящий момент. Таким образом,
c + Ke~rT ^So,
т.е.
с > So - Ке~тГ.
Поскольку в худшем случае опцион “колл” может просто стать бесполезным, его стоимость не может быть отрицательной. Это значит, что О 0 и, следовательно,
с > max(S0 — Ке 11,0).
(9.1)
Пример 9.1
Рассмотрим европейский опцион на покупку акции, не предусматривающей выплаты дивидендов, при условии, что цена акции равна 51 долл, за шгуку, цена исполнения равна 50 долл., срок действия опциона истекает через шесть месяцев, а безрисковая процентная ставка равна 12% годовых. В данной ситуации So = 51, К = 50, Т = 0,5 и г = 0,12. Из формулы (9.1) следует, что нижняя граница для цены опциона равна So — Ке~7'1, т.е.
51 - 50е“°’12хО’5 = 3.91 долл.
□
Нижняя граница для опционов на продажу бездивидендной акции
Нижняя граница цены европейского опциона на продажу акции, не предусматривающей выплату дивидендов, равна
Ke~rT - So-
Как и в предыдущем разделе, рассмотрим для начала конкретный пример, а затем перейдем к анализу более общей ситуации.
Допустим, что So = 37 долл., К = 40 долл., г = 5% годовых и Т — 0,5 год. В таком случае,
Ke rT - So = 40е-°’05х0’5 - 37 = 2,01 долл.
Рассмотрим ситуацию, в которой европейский опцион “пут” стоит 1,00 долл., т.е. меньше теоретического минимума, равного 2,01 долл. Арбитражер может взять в долг 38,00 долл, на шесть месяцев и купить акцию и опцион на ее продажу. Через шесть месяцев арбитражер получит 38е°’05х0’1> = 38.96 долл. Если цена акции будет выше 40,00 долл., арбитражер исполнит опцион на продажу по 40,00 долл., вернет кредит и получит прибыль в размере
40,00 - 38,96 - 1,04 долл.
Если цена акции будет больше 40,00 долл., арбитражер откажется от исполнения опциона, продаст акцию и вернет долг, оставшись с еще большей прибылью. Например, если цена акции достигнет уровня 42,00 долл, за штуку, прибыль арбитражера составит
42.00 - 38,96 = 3.04 долл.
Для более формального рассуждения рассмотрим два инвестиционных портфеля.
Портфель В: один европейский опцион “пут”.
Портфель Г: Ke~r l долл, наличными.
Если Sr < К, опцион в портфеле В исполняется в момент истечения его срока действия, а стоимость портфеля становится равной К. Если же St > К, исполнять опцион не следует, и стоимость портфеля В становится равной St-Следовательно, в момент Т стоимость портфеля В равна
тах(5т’, К').
Если наличная сумма была инвестирована по безрисковой процентной ставке, стоимость портфеля Г в момент Т равна К. Следовательно, портфель В в момент Т всегда стоит не меньше, чем портфель Г. Отсюда следует, что при отсутствии арбитражных возможностей это соотношение выполняется и в настоящий момент. Таким образом, р + So Ke~~rl,
т.е.
р > Ke~rT - So.
Поскольку в худшем случае опцион “пут” может просто стать бесполезным, его стоимость не может быть отрицательной. Это значит, что
р тах(К'е~г7 — 5о,О). (9.2)
Пример 9.2
Рассмотрим европейский опцион на продажу бездивидендной акции при условии, что цена акции равна 38 долл, за штуку, цена исполнения равна 40 долл., срок действия опциона истекает через три месяца, а безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. В данной ситуации So = 38, К = 40, 7’ = 0,25 и г = 0,10. Из формулы (9.2) следует, что нижняя граница для цены опциона равна Ke~r7 — So, т.е.
40е”°’1хО’25 - 38 = 1,01 долл. Q
9.4 Паритет опционов “колл” и “пут”
Выведем важную зависимость между параметрами р и с. Рассмотрим следующие два инвестиционных портфеля, уже использованных в предыдущем разделе. Портфель А: один европейский опцион “колл” плюс Ке~гТ долл, наличными.
Портфель В: один европейский опцион “пут” и одна акция.
Стоимость обоих портфелей в момент истечения срока их действия равна
max(Sly, К).
Поскольку оба опциона являются европейскими, их нельзя исполнить досрочно. Таким образом, в данный момент они имеют одинаковую стоимость. Отсюда следует, что
с+ Ke~rT =p + S0. (9.3)
Это соотношение называется паритетом опционов “колл ” и “пут ” (put-call parity). Оно показывает, что стоимость европейского опциона “колл”, имеющего определенную цену и дату исполнения, можно вычислить, зная стоимость европейского опциона “пут” с той же ценой и датой исполнения, и наоборот.
Если бы равенство (9.3) не выполнялось, возникли бы арбитражные возможности. Допустим, что цена акции равна 31 долл., цена исполнения — 30 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, цена трехмесячного европейского опциона “колл” — 3 долл., а цена трехмесячного европейского опциона “пут” — 2,25 долл. В данном случае
с + Ке~гТ = 3 + 30е“01х3/12 = 32,26 долл.,
р -Ь Sq — 2,25 -|- 31 — 33,25 долл.
Портфель В является переоцененным по сравнению с портфелем А. Правильная арбитражная стратегия заключается в следующем. Следует купить ценные бумаги, образующие портфель А, и продать без покрытия ценные бумаги из портфеля В.
Эта стратегия связана с приобретением опциона “колл” и продажей без покрытия как опциона “пут”, так и акции. В этой ситуации возникает положительный авансовый денежный поток.
—3 + 2,25 + 31 = 30,25 долл.
Инвестировав эту сумму по безрисковой процентной ставке, через три месяца инвестор получит 30,25е0,1х0,25 = 31,02 долл.
Если цена акции в момент истечения срока действия опционов будет больше 30 долл., следует исполнить опцион “колл”, в противном случае необходимо реализовать опцион “пут”. При любых условиях инвестор, реализовавший эту стратегию, покупает акцию за 30 долл. Эту акцию можно использовать для закрытия короткой позиции. Таким образом, чистая прибыль составляет
31,02 — 30,00 = 1,02 долл.
Рассмотрим альтернативную ситуацию, в которой цена опциона “колл” равна 3 долл., а опциона “пут” — 1 долл. В этом случае
с + Ке~гТ = 3 + 30е~0Дх3/12 = 32,26 долл., р + So = 1 + 31 = 32 долл.
Теперь портфель А является переоцененным по сравнению с портфелем В. Арбитражер может продать без покрытия ценные бумаги, образующие портфель А, и купить ценные бумаги из портфеля В. Эта стратегия связана с продажей без покрытия опциона “колл” и покупкой опциона “пут” и акции. Первоначальная инвестиция равна
31 + 1 — 3 = 29 долл.
Вложив эту сумму под безрисковую процентную ставку, через три месяца инвестор получит 29е0,1х0,25 = 29,73 долл. Как и в предыдущем варианте, необходимо выполнить либо опцион “колл”, либо опцион “пут”. Короткая позиция по опциону “колл” и длинная позиция по опциону “колл” приводят к покупке акции по цене 30 долл. Следовательно, чистая прибыль составляет
30,00 - 29,73 = 0,27 долл.
Эти примеры проиллюстрированы в табл. 9.2.
Таблица 9.2. Арбитражные возможности, возникающие при нарушении паритета опционов “колл” и “пут”. Цена акции = 31 долл., процентная ставка = 10%, цена опциона “колл” = 3 долл. Цена исполнения опционов “пут” и “колл” равна 30 долл., а срок действия — 3 месяца
Цена трехмесячного опциона “пут” = 2,25 долл. Цена трехмесячного опциона “пут” = 1 долл.
Немедленные действия'. Немедленные действия'.
Покупаем опцион “колл” за 3 долл. Занимаем 29 долл, на 3 месяца
Продаем без покрытия опцион “пут”, Продаем без покрытия опцион “колл”,
получая 2,25 долл. получая 3 долл.
Продаем без покрытия акцию, получая 31 долл. Покупаем опцион “пут” за 1 долл.
Инвестируем 30,25 долл, на 3 месяца Покупаем акцию за 31 долл.
Действия через 3 месяца, если St > 30: Действия через 3 месяца, если St > 30:
Получаем 31,02 долл., благодаря Опцион “колл” исполнен: продаем акцию
инвестиции за 30 долл.
Исполняем опцион “колл” на покупку Используем 29,73 долл, для выплаты
акции за 30 долл. долга
Чистая прибыль = 1,02 долл. Чистая прибыль = 0,27 долл.
Действия через 3 месяца, если Sq < 30: Действия через 3 месяца, если St < 30:
Получаем 31,02 долл., благодаря Исполняем опцион “пут” на продажу
инвестиции акции за 3 долл.
Опцион “пут” исполнен: покупаем акцию Используем 29,73 долл, для выплаты
за 30 долл. долга
Чистая прибыль = 1,02 долл. Чистая прибыль = 0,27 долл.
Пример из деловой практики 9.1. Паритет опционов “колл” и “пут” и структура капитала
Основоположниками теории оценки опционов были Фишер Блэк (Fisher Black), Майрон Шоулз (Myron Scholes) и Роберт Мертон (Robert Merton). В начале 1970-х годов они показали, что с помощью опционов можно охарактеризовать структуру капитала компании. В настоящее время эта модель широко используется финансовыми учреждениями для оценки кредитного риска, присущего компаниям.
Чтобы проиллюстрировать эту модель, рассмотрим компанию, актив которой финансируется за счет выпуска облигаций с нулевыми купонами и обыкновенных акций. Предположим, что срок обращения облигаций равен пяти годам, а их номинальная стоимость равна К. Дивиденды компания не выплачивает. Если через пять лет стоимость активов превысит К, владельцы акций выплатят держателям облигаций основную сумму. Если через пять лет стоимость активов
будет меньше К, владельцы акций объявят о банкротстве, и компания перейдет в распоряжение держателей облигаций.
Таким образом, стоимость акции через пять лет равна max(Aj— К, 0), где Ат — стоимость активов компании в этот момент. Это значит, что владельцы акций обладают пятилетним европейским опционом “колл” на активы компании с ценой исполнения К. А что можно сказать о держателях облигаций? Через пять лет они получат шш(А1, А) долл. Эта сумма равна К — шах(А' - Ат, 0). Держатели облигаций передают владельцам акций право продать им активы компании через пять лет за К долл. Следовательно, стоимость облигации равна текущей стоимости суммы К за вычетом стоимости пятилетнего европейского опциона “пут” на активы с ценой исполнения К.
Подводя итоги, отметим, что если сир — стоимости опционов “колл” и “пут” соответственно, то
стоимость акции = с, стоимость долга = PV (К) — р.
Обозначим текущую стоимость активов компании через Aq. Стоимость активов должна быть равной общей стоимости инструментов, используемых для финансирования активов. Это значит, что она должна быть равной сумме стоимости активов и стоимости долга, так что
А = с + [РС(А) - р].
Записывая это равенство иначе, получим следующее.
с + PV (А') = р + А-
Это равенство представляет собой паритет опционов “колл” и “пут” на активы компании. Оно совпадает с равенством (9.3).
Американские опционы
Паритет опционов “колл” и “пут” выполняется только для европейских опционов. Однако некоторые оценки можно получить и для американских опционов. Можно показать (см. задачу 9.18), что
So - К sC С - Р So - КеГгГ. (9.4)
Пример 9.3
Американский опцион на покупку бездивидендной акции с ценой исполнения 20,00 долл, и сроком действия, истекающим через пять месяцев, стоит 1,50 долл.
Предположим, что текущая цена акции равна 19,00 долл., а безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Из формулы (9.4) следует, что
19 - 20 С - Р 19 - 20е“°’1х5/12, т.е.
1 Р-С > 0,18.
Таким образом, величина Р — С лежит в интервале между 0,18 долл, и 1,00 долл. Если С = 1,50 долл., величина Р лежит в интервале от 1,68 долл, до 2,50 долл. Иначе говоря, нижняя и верхняя границы для цены американского опциона на продажу акции, срок действия которого и цена исполнения совпадают со сроком действия и ценой исполнения американского опциона на покупку этой же акции, равны 1,68 долл, и 2,50 долл. □
9.5 Досрочное исполнение: опционы на покупку бездивидендных акций
В разделе показано, что досрочное исполнение американского опциона на покупку бездивидендной акции не является оптимальным.
Чтобы проиллюстрировать универсальный характер этого утверждения, рассмотрим американский опцион на покупку бездивидендной акции, срок действия которого истекает через месяц, при условии, что цена акции равна 50 долл., а цена исполнения — 40 долл. Этот опцион приносит большую прибыль, и его держатель может испытывать большой соблазн немедленно его исполнить. Однако если инвестор планирует владеть акцией больше одного месяца, это — не лучшая стратегия. Намного лучше сохранить опцион и исполнить его в конце месяца. Тогда инвестор выплатит 40 долл, на месяц позже, чем при немедленном исполнении опциона. Поскольку акция не предусматривает выплату дивидендов, инвестор не несет при этом никаких потерь. Еще одно преимущество, которое стратегия ожидания имеет над немедленным исполнением опциона, заключается в том, что существует шанс (хотя и незначительный), что цена акции через месяц упадет ниже 40 долл. В этом случае инвестор не станет исполнять опцион и будет только рад, что не сделал этого досрочно!
Эти аргументы показывают, что досрочное исполнение опциона не приносит никаких выгод, если инвестор планирует владеть акцией на протяжении оставшегося срока действия опциона (в данном случае, на протяжении одного месяца). Что если инвестор считает, что акция в данный момент сильно переоценена, и раздумывает, не стоит ли исполнить опцион и продать ее? В этом случае инвестору выгоднее продать опцион, а не исполнять его.1 Опцион будет куплен другим ин
1 Существует альтернативная стратегия: инвестор может сохранить опцион и продать акцию без покрытия, зафиксировав прибыль, превышающую 10 долл.
вестором, желающим приобрести акцию. Такие инвесторы должны существовать, иначе цена акции не была бы равна 50 долл. Сумма, вырученная за опцион, будет превышать его действительную стоимость, равную 10 долл., по причинам, указанным выше.
Обобщим сказанное, применив неравенство (9.1).
c^SQ- Ке~гТ.
Поскольку владелец американского опциона “колл” имеет те же возможности, что и владелец европейского опциона “колл”, выполняется неравенство С с. Следовательно,
С So - Ке~гТ.
При условии, что г > 0, отсюда следует, что С > So — К. Если бы досрочное исполнение опциона было оптимальным, величина С должна была быть равной разности So — К. Отсюда следует, что досрочное исполнение опциона не может быть оптимальной стратегией.
На рис. 9.3 показано изменение цены американского и европейского опционов на покупку бездивидендных акций в зависимости от цены акции So- Анализ этого рисунка показывает, что цена опциона “колл” всегда превышает его действительную стоимость на величину max(,S'o - К, 0). Если безрисковая процентная ставка г, срок действия Т или волатильность возрастают, кривая зависимости цены опциона “колл” от цены соответствующей акции перемещается в направлении, указанном стрелками (т.е. удаляется от действительной стоимости).
Рис. 9.3. Изменение цены американского и европейского опционов на покупку бездивидендных акций в зависимости от цены акции So
Подводя итог, отметим, что существует две причины, по которым американский опцион на покупку бездивидендной акции не следует исполнять досрочно.
Первая причина заключается в том, что опцион страхует инвестора от рисков. Владение опционом на покупку акции, а не самой акцией, защищает инвестора от падения цены акции ниже цены исполнения. Как только опцион исполнен, а цена исполнения обменена на цена акции, эта страховка исчезает. Другая причина заключается во временной стоимости денег. С точки зрения владельца опциона, чем позднее выплачена цена исполнения, тем лучше.
9.6 Досрочное исполнение: опционы на продажу бездивидендных акций
Досрочное исполнение опциона на продажу бездивидендных акций может оказаться оптимальным решением. Действительно, опцион на продажу следует исполнять в гот момент, когда он приносит достаточно большую прибыль. Предположим, что цена исполнения равна 10 долл., а цена акции практически равна нулю. Немедленно исполнив опцион, инвестор получит 10 долл. Если же инвестор предпочтет подождать, он не сможет получить больше 10 долл., поскольку цена акции не может быть отрицательной. Более того, получить 10 долл, сразу предпочтительнее, чем в будущем. Следовательно, опцион необходимо исполнить немедленно.
Как и опцион “колл”, опцион “пут” можно рассматривать как разновидность страховки. Если инвестор владеет не только опционом на продажу акции, но и самой акцией, он защищен от падения цены ниже определенного уровня. Однако опцион “пут” отличается от опциона “колл” тем, что его досрочное исполнение может' оказаться наиболее выгодным решением. Вообще говоря, досрочное исполнение опциона “пут” становится более выгодным в трех ситуациях: если цена акции So падает, ставка г растет или волатильность уменьшается.
Из неравенства (9.2) следует, что
р Ke~rT - So.
Поскольку американский опцион на продажу акций можно исполнить в любой момент, для него справедливо более сильное условие.
Р > К - So.
Зависимость цены американского опциона на продажу акций от цены акции So показана на рис. 9.4. Если т > 0 и цена акции достаточно низкая, исполнение американского опциона “пут” является почти оптимальным. Если исполнение американского опциона на продажу акций является оптимальным, то его стоимость равна К — So- Следовательно, при достаточно низкой цене акции кривая стоимости опциона сливается с кривой действительной стоимости К — Sq. На
рис. 9.4 этому значению So соответствует точка А. При уменьшении безрисковой процентной ставки г, возрастании волатильности цены So или увеличении срока действия опциона о линия, связывающая цену опциона “пут” с ценой акции, перемещается в направлении, указанном стрелками.
Рис. 9.4. Изменение цены американского опциона на продажу акций в зависимости от цены акции So
Поскольку в некоторых ситуациях досрочное исполнение американского опциона на продажу акции становится желательным, он не может быть дешевле европейского. Следовательно, поскольку стоимость американского опциона “пут” иногда совпадает с его действительной стоимостью (см. рис. 9.4), стоимость европейского опциона иногда становится меньше его действительной стоимости. Зависимость цены европейского опциона на продажу акций от цены акции So показана на рис. 9.5. Обратите внимание на то, что на этом рисунке точка В, в которой цена опциона совпадает с его действительной стоимостью, соответствует более высокой цене акции, чем точка А на рис. 9.4. Точка Е на рис. 9.5 соответствует значению So = 0. Цена европейского опциона в этой точке равна Ке~тТ.
9.7 Влияние дивидендов
До сих пор мы рассматривали опционы на покупку и продажу акций, не предусматривающих выплату дивидендов. В этом разделе мы рассмотрим влияние дивидендов на стоимость опционов. В США срок действия биржевых опционов на покупку или продажу акций, как правило, не превышает восьми месяцев. Дивиденды, подлежащие выплате на протяжении срока действия опциона, обычно можно предсказать с достаточно высокой точностью. Обозначим теку-
Рис. 9.5. Изменение цены европейского опциона на продажу акций в зависимости от цены акции So
щую стоимость дивидендов символом D. При вычислении величины D будем предполагать, что дивиденд учитывается при наступлении даты “без дивиденда” (ex-dividend date — дата, когда стоимость акции понижается на сумму дивидендов, подлежащих выплате. — Примеч. ред.).
Нижняя граница стоимости опционов “колл” и “пут”
Рассмотрим следующие инвестиционные портфели.
Портфель А\ один европейский опцион “пут” и D + Ke~rl долл, наличными.
Портфель Б: одна акция.
Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве неравенства (9.1), получаем следующее соотношение.
с > SG - D - Ке~гТ. (9.5)
Рассмотрим еще два инвестиционных портфеля.
Портфель В: один европейский опцион и одна акция.
Портфель Г: D + Ке~гТ долл, наличными.
Повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве неравенства (9.2), получаем следующее соотношение.
р D + Ке~тТ - So. (9.6)
Досрочное исполнение
Если ожидаются дивиденды, больше нельзя утверждать, что американский опцион на покупку акции не следует исполнять досрочно. Иногда оптимальным решением является немедленное исполнение этого опциона непосредственно перед наступлением даты “без дивиденда”. В другие моменты времени максимальной выгоды достичь не удастся. Доказательство этого утверждения приводится в главе 13.
Паритет опционов “колл”и “пут”
Сравнивая стоимость инвестиционных портфелей А и В в момент истечения срока действия опциона, можно легко убедиться, что с учетом дивидендов паритет опционов “колл” и “пут” (9.3) выражается следующим равенством.
c + D + Ke~rT =p+S0.
(9.7)
Наличие дивидендов приводит к модификации неравенства (9.4) (см. задачу 9.19).
So - D - К С - Р So - Ке~гТ
(9.8)
Резюме
Существует шесть факторов, влияющих на стоимость фондового опциона: текущая цена акции, цена исполнения, срок действия, волатильность цены акции, уровень безрисковой процентной ставки и величина дивидендов, выплачиваемых на протяжении срока действия опциона. При увеличении текущей цены акции, срока действия, волатильности или величины безрисковой процентной ставки стоимость опциона на покупку акций возрастает. При увеличении цены исполнения или размера ожидаемых дивидендов стоимость опциона на покупку акций падает. При увеличении цены исполнения, срока действия, волатильности или размера ожидаемых дивидендов стоимость опциона на продажу акций, как правило, возрастает. При увеличении цены акции или величины безрисковой процентной ставки стоимость опциона на продажу акций падает.
Некоторые выводы о стоимости фондовых опционов можно сделать, не делая никаких предположений о волатильности цены акции. Например, цена опциона на покупку акции никогда не превышает цену самой акции. Аналогично цена опциона на продажу акции никогда не превышает цену его исполнения.
Стоимость европейского опциона на покупку бездивидендной акции не превышает
max(Sq — Ke. rT,0),
где So -- цена акции, К — цена исполнения, г — безрисковая процентная ставка, а Т — срок действия опциона. Стоимость европейского опциона на продажу бездивидендной акции не превышает
тах(Ле"гГ — Sq.O).
Если по акции выплачиваются дивиденды, текущая стоимость которых равна D, то нижняя теоретическая граница цены опциона “колл” становится равной
max(S(j — D — Ке~г2,0),
а нижняя теоретическая гранича цены опциона “пут” — max(Ke~rI + D — So, 0).
Паритет опционов “колл” и “пут” — это равенство между ценами европейского опциона “колл” с и европейского опциона “пут” р. Если акция является бездивидендной, то
с + Ke~rI = р F- So-
Для акции, по которой ожидаются выплаты дивидендов, паритет опционов “колл” и “пут” принимает следующий вид.
с + D + Ke rT = р + So-
Для американских опционов паритет опционов “колл” и “пут” не выполняется. Однако с помощью арбитражных рассуждений можно получить верхнюю и нижнюю границы разности между ценами американского опциона “колл” и американского опциона “пут”.
В главе 13 мы проведем дальнейший анализ опционов, сделав особые предположения о вероятностном поведении цены акции. Этот анализ позволит нам получить точные формулы для вычисления цен европейских фондовых опционов. Вычислительные процедуры, позволяющие найти цены американских фондовых опционов, рассматриваются в главах 11 и 17.
Дополнительная литература
Black Е and Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities H Journal of Political Economy, 81 (May/June 1973). — P. 637 659.
Broadie M. and Detemple J. American Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods // Review of Financial Studies, 9, 4 (1996). - P. 1211-1250.
Merton R. С. On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates // Journal of Finance, 29, 2 (1974). P. 449-470.
Merton R. C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973). — P. 141-183.
Merton R. C. The Relationship between Put and Call Prices: Comment // Journal of Finance, 28 (March 1973). — P. 183-184.
Stoll H. R. The Relationship between Put and Call Option Prices // Journal of Finance, 31 (May 1969). -P. 319-132.
Вопросы и задачи
9.1. Назовите шесть факторов, влияющих на цену фондового опциона.
9.2. Чему равна нижняя граница цены четырехмесячного опциона на покупку акции, не предусматривающей выплаты дивидендов, если цена акции равна 28 долл., цена исполнения равна 25 долл., а безрисковая процентная ставка равна 8% годовых?
9.3. Чему равна нижняя граница цены одномесячного опциона на покупку акции, не предусматривающей выплаты дивидендов, если цена акции равна 12 долл., цена исполнения равна 15 долл., а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых?
9.4. Назовите две причины, по которым исполнение американского опциона на покупку акции, не предусматривающей выплату дивидендов, не является оптимальным. Первая причина должна быть связанной с временной стоимостью денег. Вторая причина должна действовать даже в том случае, когда процентная ставка равна нулю.
9.5. “Досрочное исполнение американского опциона на продажу акций представляет собой компромисс между временной стоимостью денег и застрахованной стоимостью опциона.” Объясните это утверждение.
9.6. Объясните, почему американский опцион “колл” не может стоить меньше его действительной стоимости. Справедливо ли это утверждение для европейского опциона “колл”? Аргументируйте свой ответ.
9.7. Цена бездивидендной акции равна 19 долл., а цена трехмесячного европейского опциона “колл” на акцию с ценой исполнения 20 долл, равна 1 долл. Безрисковая процентная ставка равна 4% годовых. Чему равна цена трехмесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения 20 долл.?
9.8. Объясните, почему аргументы, обосновывающие паритет европейских опционов “колл” и “пут”, нельзя применять к американским опционам.
9.9. Чему равна нижняя граница цены шестимесячного опциона на покупку бездивидендной акции, если цена акции равна 80 долл., цена исполнения равна 75 долл., а безрисковая процентная ставка равна 10% годовых?
9.10. Чему равна нижняя граница цены двухмесячного опциона на покупку бездивидендной акции, если цена акции равна 58 долл., цена исполнения равна 65 долл., а безрисковая процентная ставка равна 5% годовых?
9.11. Четырехмесячный европейский опцион на покупку акции, приносящей дивиденды, в настоящий момент продается за 5 долл. Цена акции равна 64 долл., цена исполнения равна 64 долл., а дивиденды в размере 0,80 долл, будут выплачены через месяц. Какие возможности открываются перед арбитражером?
9.12. Одномесячный европейский опцион на продажу бездивидендной акции в настоящий момент продается за 2,50 долл. Цена акции равна 47 долл., цена исполнения равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Какие возможности открываются перед арбитражером?
9.13. Приведите интуитивные соображения, объясняющие, почему досрочное исполнение американского опциона “пут” становится более выгодным, когда безрисковая процентная ставка увеличивается, а волатильность уменьшается.
9.14. Европейский опцион “колл”, срок действия которого истекает через шесть месяцев, а цена исполнения равна 30 долл., продается за 2 долл. Цена базовой акции равна 29 долл. Дивиденды в размере 0,50 долл, будут выплачены через два и пять месяцев. Временная структура является плоской. Все безрисковые процентные ставки равны 10%. Чему равна цена европейского опциона “пут”, срок действия которого истекает через шесть месяцев, а цена исполнения равна 30 долл.?
9.15. Подробно опишите арбитражные возможности, возникающие в задаче 9.14, если цена европейского опциона “пут” равна 3 долл.
9.16. Цена американского опциона на покупку бездивидендной акции равна 4 долл. Цена акции равна 31 долл., цена исполнения — 30 долл., а срок действия истекает через три месяца. Безрисковая процентная ставка равна 8%. Укажите верхнюю и нижнюю границы цены американского опциона на продажу той же акции при тех же цене исполнения и сроке действия.
9.17. Подробно опишите арбитражные возможности, возникающие в задаче 9.16, если цена американского опциона “пут” выходит за верхнюю границу.
9.18. Докажите неравенства (9.4). {Подсказка-, для доказательства первого неравенства рассмотрите 1) инвестиционный портфель, состоящий из европейского опциона покупателя и К долл, наличными, и 2) инвестиционный портфель, состоящий из американского опциона “пут” и одной акции.)
9.19. Докажите неравенства (9.8). (Подсказка-, для доказательства первого неравенства рассмотрите 1) инвестиционный портфель, состоящий из европейского опциона “колл” и К + D долл, наличными, и 2) инвестиционный портфель, состоящий из американского опциона “пут” и одной акции.)
9.20. В отличие от обычных опционов “колл” на бездивидендные акции, управленческие акционерные опционы часто исполняются досрочно, даже если компания не выплачивает дивиденды (управленческие акционерные опционы обсуждаются во врезке “Пример из деловой практики 8.3”). Почему?
9.21. Используя программу DerivaGem, удостоверьтесь, что рис. 9.1 и 9.2 являются правильными.
Упражнения
9.22. Цена исполнения европейских опционов на покупку и продажу акции равна 20 долл., а сроки действия истекают через три месяца. Оба опциона продаются за 3 долл. Безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, текущая цена акции равна 19 долл. Дивиденды в размере 1 долл, будут выплачены через месяц. Какие арбитражные возможности имеет трейдер?
9.23. Предположим, что С], С2 и сз — цены европейских опционов “колл” с ценами исполнения К\, К2 и К% соответственно, причем > К2 > К\ и ?<з — К2 — К2 — К\. Все опционы имеют одинаковые сроки действия. Покажите, что
с2 < 0,5(ci + сз).
(Подсказка- рассмотрите инвестиционный портфель, состоящий из одной длинной позиции по опциону с ценой исполнения /<з и двух коротких позиций по опционам с ценой исполнения /<2-)
9.24. Как изменится результат решения задачи 9.23, если рассмотреть европейские опционы “пут”?
9.25. Поставьте себя на место менеджера, единолично владеющего компанией, сделавшей большие заимствования. Все кредиты должны быть погашены через год. Если в настоящий момент стоимость компании выше, чем номинальная стоимость кредитов, вы можете выплатить долг. Если же в настоящий момент стоимость компании меньше, чем номинальная стоимость кредитов, вы должны объявить себя банкротом и передать право на владение компанией вашим кредиторам.
1) Опишите вашу позицию с помощью опциона на стоимость компании.
2) Опишите позицию кредитора с помощью опциона на стоимость ком-
пании.
3) Как увеличить стоимость вашей позиции?
9.26. Рассмотрим фондовый опцион при условии, что цена акции равна 41 долл., цена исполнения — 40 долл., безрисковая процентная ставка равна 6%, а волатильность — 35%. Срок действия опциона истекает через год. Предположим, что через шесть месяцев будут выплачены дивиденды в размере 0,50 долл.
1) Примените программу DerivaGem и оцените европейский опцион “колл”.
2) Примените программу DerivaGem и оцените европейский опцион “пут”.
3) Проверьте выполнение паритета опционов “колл” и “пут”.
4) С помощью программы DerivaGem оцените, как повлияет на цену опционов большое увеличение их сроков действия. Предположим, что дивиденды по акциям не выплачиваются. Объясните полученные результаты.
Стратегии торговли акциями с использованием опционов
В главе 1 мы показали, как получить прибыль с помощью одного фондового опциона. Настало время рассмотреть способы извлечения прибыли на основе опционов более подробно. Будем предполагать, что базовым активом является акция, хотя аналогичный результат можно получить и для любого другого актива, например иностранной валюты, фондового индекса и фьючерсного контракта. Будем считать также, что все используемые опционы являются европейскими. Благодаря возможности досрочного исполнения, американские опционы могут привести к немного другим результатам.
В начале первого раздела рассматривается сочетание позиции по фондовому опциону с позицией по самой акции. Затем мы перейдем к описанию способов получения прибыли с помощью нескольких опционов на одну и ту же акцию. Привлекательной особенностью опционов является то, что они порождают большое количество разнообразных функций выигрыша. Если бы нам были доступны европейские опционы с произвольной ценой исполнения, мы могли бы построить все теоретически возможные функции выигрыша.
Для простоты изложения при вычислении прибыли, которую приносит торговая стратегия, мы будем игнорировать временную стоимость денег. Таким образом, мы будем называть прибылью разность между окончательным выигрышем и первоначальными затратами, а не текущую стоимость окончательного выигрыша минус первоначальные затраты.
10.1 Стратегии, использующие один опцион и акции одной компании
Существует огромное количество стратегий, использующих один опцион и акции одной компании. Зависимость прибыли, которую приносит эта стратегия, от цены акции изображена на рис. 10.1. На этом и других рисунках, приведенных в главе, пунктирная линия обозначает зависимость прибыли от цены отдельной
Рис. 10.1. Зависимость прибыли от а) длинной позиции по акции в сочетании с короткой позицией по опциону “колл”; б) короткой позиции по акции в сочетании с длинной позицией по опциону “колл”; в) длинной позиции по опциону “пут” и длинной позиции по акции; и г) короткой позиции по опциону “пут” в сочетании с короткой позицией по акции
акции, входящей в инвестиционный портфель, а сплошная линия — зависимость прибыли от цены всего инвестиционного портфеля.
На рис. 10.1, а изображена ситуация, когда инвестиционный портфель состоит из длинной позиции по акции и короткой позиции по опциону “колл”. Эта стратегия называется выписыванием покрытого опциона "колл ” (writing a covered call).
Длинная позиция по акции “покрывает”, или защищает, инвестора от выплаты, которая порождается короткой позицией по опциону “колл”. Эта защита становится необходимой, когда цена акции резко возрастает. На рис. 10.1, б проиллюстрирована стратегия, в которой инвестиционный портфель состоит из короткой позиции по акции и длинной позиции по опциону “колл”. Эта ситуация является обратной по отношению к выписыванию покрытого опциона “колл”. Инвестиционная стратегия, представленная на рис. 10.1, в, связана с покупкой опциона на продажу акции и самой акции. Этот подход иногда называют защитным опционом “пут ” (protective put). Рис. 10.1, г соответствует стратегии, в которой короткая позиция по опциону “пут” сочетается с короткой позицией по самой акции. Эта ситуация является обратной по отношению к защитному опциону “пут”.
Графики прибыли, изображенные на рис. 10.1, а-г, имеют ту же форму, что и графики прибыли, рассмотренные в главе 8 для короткого опциона “пут”, длинного опциона “пут”, длинного опциона “колл” и короткого опциона “колл” соответственно. В основе этого явления лежит паритет опционов “колл” и “пут”. В главе 9 указывалось, что паритет опционов “колл” и “пут” имеет следующий вид.
р + SQ = с + Ke~rT + D. (10.1)
Здесь р — цена европейского опциона “пут”, Sq — цена акции, с — цена европейского опциона “колл”, К — цена исполнения опционов “колл” и “пут”, г — безрисковая процентная ставка, Т — срок действия опционов “колл” и “пут”, a D — текущая стоимость дивидендов, ожидаемых на протяжении срока действия опциона.
Равенство (10.1) демонстрирует, что сочетание длинной позиции по опциону “пут” с длинной позицией по самой акции эквивалентно длинной позиции по опциону “колл” и определенной сумме наличных денег (= Ke~rT + D). Это объясняет, почему график прибыли на рис. 10.1, в совпадает с графиком прибыли, полученной благодаря длинной позиции по опциону “колл”. Стратегия, изображенная на рис. 10.1, г, является обратной по отношению к подходу, проиллюстрированному на рис. 10.1, в, и поэтому ее график прибыли совпадает с графиком прибыли, полученной благодаря короткой позиции по опциону “колл”.
Равенство (10.1) можно переписать в следующем виде.
So - с = Ke~rT + D — р.
Иначе говоря, длинная позиция по акции в сочетании с короткой позицией по опциону “колл” эквивалентна короткой позиции по опциону “пут” и определенной наличной сумме (= Ke~rT + D). Это равенство объясняет, почему график прибыли, изображенный на рис. 10.1, б, является обратным по отношению к графику, приведенному на рис. 10.1, а, и совпадает с графиком прибыли, полученной благодаря длинной позиции по опциону “пут”.
10.2 Спрэды
Стратегия, основанная на спрэде, связана с позицией по нескольким опционам одного и того же типа (например, несколько опционов “колл” или несколько опционов “пут”).
Бычьи спрэды
Одной из наиболее распространенных стратегий является бычий спрэд (bull spread). Он создается путем приобретения опциона на покупку акции с определенной ценой исполнения и продажи такого же опциона с более высокой ценой исполнения. Оба опциона должны иметь одинаковый срок действия. Эта стратегия изображена на рис. 10.2. Графики прибыли, полученной благодаря двум опционным позициям, взятым по отдельности, изображены пунктирной линией. Прибыль от всей стратегии представляет собой сумму отдельных прибылей, а ее график изображен сплошной линией. Поскольку при увеличении цены исполнения опцион “колл” дешевеет, стоимость проданного опциона всегда меньше стоимости купленного. Следовательно, бычий спрэд, созданный с помощью опционов “колл”, требует первоначальных затрат.
Рис. 10.2. Прибыль от бычьего спрэда, созданного с помощью опционов “колл”
Пусть К\ — цена исполнения купленного опциона “колл”, К? — цена исполнения проданного опциона “колл”, a St — цена акции в момент истечения срока действия обоих опционов. Прибыль, которую приносит бычий спрэд при разных условиях, приведена в табл. 10.1. Если цена акции превышает большую из цен исполнения, прибыль равна разности между двумя ценами исполнения, т.е. К? — — Ку. Если цена акции на момент истечения срока действия опциона лежит между двумя ценами исполнения, выигрыш равен St — Кт. Если на момент истечения срока действия опциона цена акции лежит ниже меньшей из цен исполнения, выигрыш равен нулю. График прибыли, изображенный на рис. 10.2, определяется путем вычитания из суммы выигрыша величины первоначальных затрат.
Таблица 10.1. Прибыль от бычьего спрэда
Диапазон цен исполнения Прибыль от длинной Прибыль от короткой Общая позиции по опциону позиции по опциону прибыль “колл” “колл”
St Аг Ai < ST < К2 St < A'j St — А] —(St — Аг) Аг — А] ST - A'i 0 ST - Кл 0 0 0
Стратегия бычьего спрэда ограничивает выигрыш, но снижает риск. Ее можно описать следующим образом. Некий инвестор, владеющий опционом “колл” с ценой исполнения К\, решает повысить потенциальную прибыль, продав опцион “колл” с ценой исполнения К2, где К2- К\. При этом повышение потенциального выигрыша инвестор оплачивает проданным опционом с ценой исполнения К2. Различают три варианта бычьего спрэда.
1. Оба опциона “колл” в первоначальный момент приносят убытки.
2. Один опцион “колл” приносит прибыль, а другой — убытки.
3. Оба опциона “колл” изначально являются прибыльными.
Наиболее агрессивным является бычий спрэд первого типа. Он очень недорог, но имеет небольшую вероятность высокой прибыли (= К2 — Ki). Остальные типы бычьего спрэда перечислены в порядке возрастания консервативности.
Пример 10.1
Инвестор покупает опцион “колл” за 3 долл, с ценой исполнения, равной 30 долл., и продает за 1 долл, опцион “колл” с ценой исполнения, равной 35 долл. Если цена акции превышает 35 долл., то выигрыш за счет стратегии бычьего спрэда равен 5 долл. Если цена акции больше 30, но меньше 35 долл., то выигрыш равен величине, на которую цена акции превышает 30 долл. Если же цена акции меньше 30 долл., то выигрыш равен нулю. Стоимость стратегии равна 3—1 = 2 долл. Следовательно, выигрыш определяется по следующей таблице.
Диапазон цен исполнения Прибыль
ST < 30 —2
30 < ST < 35 ST - 32
St > 35 3 Q
Бычьи спрэды можно создать также с помощью покупки опциона “пут” с низкой ценой исполнения и продажи опциона “пут” с высокой ценой исполнения. Эта стратегия изображена на рис. 10.3. В отличие от бычьего спрэда, созданного на основе опционов “колл”, бычьи спрэды, основанные на опционах “пут”, сопровождаются авансовыми платежами (без учета маржинальных требований), а результат может быть либо отрицательным, либо нулевым.
Рис. 10.3. Прибыль от бычьего спрэда, созданного с помощью опционов “колл”
Медвежьи спрэды
Инвестор, заключающий бычий спрэд, надеется, что цена акции в будущем вырастет. А инвестор, организовывающий медвежий спрэд (bear spread), рассчитывает, что цена акции снизится. Как и бычий, медвежий спрэд можно создать, купив опцион “пут” по одной цене исполнения и продав такой же опцион по другой цене исполнения. Цена исполнения приобретаемого опциона “пут” больше цены исполнения продаваемого опциона. (Этим медвежий спрэд отличается от бычьего спрэда, в котором цена исполнения приобретаемого опциона меньше цены исполнения проданного опциона.) График прибыли, получаемой благодаря медвежьему спрэду, изображен сплошной линией на рис. 10.4. Медвежий спрэд, созданный с помощью опционов “пут”, сопровождается получением первоначальной суммы, поскольку цена продаваемого опциона “пут” меньше цены приобретаемого опциона.
Пусть Ki и А'2 — цены исполнения, причем Ку < К?. Выигрыши, получаемые благодаря медвежьему спрэду при разных условиях, приведены в табл. 10.2. Если цена акции больше или равна величине К%, то выигрыш равен нулю. Если цена акции меньше или равна величине К\, то выигрыш стратегии равен К? — К\. Если цена акции лежит между величинами Ку и Къ, то выигрыш равен К% — St-Прибыль вычисляется путем вычитания из выигрыша первоначальной суммы.
Пример 10.2
Инвестор покупает опцион “пут” за 3 долл, с ценой исполнения, равной 35 долл., и продает за 1 долл, опцион “пут” с ценой исполнения, равной 30 долл. Если цена акции больше или равна 35 долл., то выигрыш от медвежьего спрэда равен нулю. Если цена акции меньше или равна 30 долл., то выигрыш равен 5 долл.. Если цена акции больше 30, но меньше до 35 долл., то выигрыш равен 35 — St- Стоимость
Рис. 10.4. Прибыль от медвежьего спрэда, созданного с помощью опционов “пут”
Таблица 10.2. Прибыль от медвежьего спрэда, созданного с помощью опционов “пут”
Диапазон цен акции Выигрыш от длинной позиции по опциону “пут” Выигрыш от короткой позиции по опциону “пут” Общий выигрыш
ST>K2 0 0 0
Ki < St < к2 А 2 — St 0 К2 - St
8т^Кг К2 - ST -(А-1 - St) К2 - Кг
стратегии равна 3 — 1 = 2 долл. Следовательно, величина прибыли определяется по следующей таблице.
Диапазон цен исполнения Прибыль
ST 30 +3
30 < St < 35 33 - ST
St > 35 —2
Как и бычьи, медвежьи спрэды ограничивают как выигрыш, так и риск. Медвежьи спрэды можно создать не только с помощью опционов “пут”, но и с помощью опционов “колл”. Эта стратегия проиллюстрирована на рис. 10.5. Для создания медвежьего спрэда инвестор покупает опцион “колл” с определенной ценой исполнения и продает опцион “колл” с более низкой ценой исполнения. При этом величина потенциального выигрыша уменьшается на цену проданного опциона (игнорируя маржинальные требования).
Спрэды “коробка”
Спрэд “коробка” представляет собой комбинацию бычьего спрэда “колл” с ценами исполнения Ki и К2 и медвежьего спрэда “пут” с такими же ценами ис-
Рис. 10.5. Прибыль от медвежьего спрэда, созданного с помощью опционов “колл”
полнения. Как показано в табл. 10.3, выигрыш от спрэда “коробка” всегда равен /<2 — К\. Следовательно, стоимость спрэда “коробка” всегда равна текущей стоимости выигрыша, т.е. (K2~K\)e~rl. Если это условие не выполняется, возникают арбитражные возможности. Если рыночная цена спрэда “коробка” является слишком низкой, его целесообразно купить. Для этого следует купить опцион “колл” с ценой исполнения Ki и опцион “пут” с ценой исполнения К2, продав опцион “колл” с ценой исполнения К2 и опцион “пут” с ценой К\. Если рыночная цена спрэда “коробка” является слишком высокой, его целесообразно продать. Для этого следует купить опцион “колл” с ценой исполнения АГ2 и опцион “пут” с ценой исполнения К\, продав опцион “колл” с ценой исполнения Кг и опцион “пут” с ценой К2.
Таблица 10.3. Прибыль от спрэда “коробка”
Диапазон цен исполнения Выигрыш от бычьего спрэда, созданного на основе опционов “колл” Выигрыш от медвежьего спрэда, созданного на основе опционов “пут” Общий выигрыш
St z? К2 К2 - К, 0 К2 - Кг
Al < St < А2 St — Ki К2 - ST К2 - А'1
St С Ki 0 А2 — Ai а2 - К.
Следует помнить, что стратегия, основанная на спрэде “коробка”, рассчитана на использование европейских опционов. В то же время большинство опционов, продаваемых на бирже, являются американскими. Как показано во врезке “Пример из деловой практики 10.1 ”, неопытные трейдеры, пытающиеся использовать американские опционы вместо европейских, часто несут убытки.
Пример из деловой практики 10.1. Убытки от неправильного использования спрэда “коробка”
Предположим, что цена акции равна 50 долл., а ее волатильность — 30%. Выплата дивидендов не предусмотрена, а безрисковая ставка равна 8%. Трейдер предоставляет вам шанс продать на бирже СВОЕ двухмесячный спрэд “коробка” с ценами исполнения 55 долл, и 60 долл, за 5,10 долл. Следует ли принять его предложение?
Сделка выглядит привлекательной. В данном случае К\ = 55, К2 = 60, а выигрыш через два месяца гарантированно будет равен 5 долл. Продав спрэд “коробка” за 5,10 долл, и вложив полученную выручку на два месяца, вы получите более чем достаточно средств для того, чтобы оплатить выигрыш, равный 5 долл. Текущая теоретическая стоимость опциона “коробка” равна 5 х е-о,О8х2/12 _ = 4,93 долл.
К сожалению, существует одна загвоздка. На бирже СВОЕ продаются американские опционы, а выигрыш от спрэда “коробка ”в размере 5 долл, вычислен на основе предположения, что опционы, образующие спрэд, являются европейскими. Цены опционов в описанном примере, вычисленные с помощью программы DerivaGem, приведены в табл. 10.4. Бычий спрэд с ценами исполнения, равными 55 и 60 долл., стоит 0,96 — 0,26 = 0,70 долл. (Это относится как к европейским, так и к американским опционам, поскольку, как показано в главе 9, для бездивидендных акций цена европейского опциона “колл” равна цене американского опциона “колл”.) Если опционы являются европейскими, то медвежий спрэд с теми же ценами исполнения стоит 9,46 — 5,23 = 4,23 долл. Если опционы являются американскими, то он стоит 10,00 — 5,44 = 4,56 долл. Если спрэды основаны на европейских опционах, то их суммарная стоимость равна 0,70+4,23 — 4,93 долл. Эта сумма совпадает с теоретической стоимостью спрэда “коробка”, вычисленной выше. Если же спрэды основаны на американских опционах, то их суммарная стоимость равна 0,70 + 4,56 = 5,26 долл. Продав спрэд “коробка”, основанный на американских опционах, за 5,10 долл., вы практически немедленно понесете убытки, поскольку сделка предусматривает продажу опциона “пут” с ценой исполнения 60 долл., который будет исполнен сразу же после продажи!
Спрэды “бабочка”
Спрэд “бабочка” (butterfly) образуется позициями по трем опционам с разными ценами исполнения. Его можно создать, купив опцион “колл” с относительно низкой ценой исполнения К\ и опцион “колл” с относительно высокой ценой исполнения К$, а также продав два опциона “колл” с ценой исполнения К2, представляющей собой арифметическое среднее цен К\ и К%. Как правило, цена исполнения К2 близка к текущей цене акции. График прибыли, которую приносит эта стратегия, показан на рис. 10.6. Спрэд “бабочка” позволяет получить прибыль,
Таблица 10.4. Стоимость двухмесячных европейских и американских опционов на бездивидендную акцию. Цена исполнения = 50 долл., процентная ставка = 8% годовых, волатильность = 30 % в год
Вид опциона Цена исполнения Цена европейского опциона Цена американского опциона
“Колл” 60 0,26 0,26
“Колл” 55 0,96 0,96
“Пут” 60 9,46 10,00
“Пут” 55 5,23 5,44
если цена акции остается близкой к величине К%, но приносит небольшой убыток, если цена акции значительно отклоняется от этой величины в любом направлении. Следовательно, эта стратегия является приемлемой для инвестора, считающего маловероятным крупные колебания цены акции. Величины прибыли (и убытков), которую приносит спрэд “бабочка”, приведены в табл. 10.5.
Рис. 10.6. Прибыль от спрэда “бабочка”, созданного с помощью опционов “колл”
Предположим, что акции определенной компании в настоящее время стоят 61 долл. Представим себе инвестора, считающего, что в ближайшие полгода цена акции изменится незначительно. Допустим, что рыночные цены шестимесячных опционов “колл” задаются следующей таблицей.
Цена исполнения, долл. Цена опциона “колл”, долл.
55 10
60 7
65 5
Инвестор может создать спрэд “бабочка”, приобретя один опцион “колл” с ценой исполнения, равной 55 долл., один опцион “колл” с ценой исполнения, равной
Таблица 10.5. Прибыль от спрэда “бабочка”
Диапазон цен акции Выигрыш за счет длинной позиции по первому опциону “колл” Выигрыш за счет длинной позиции по второму опциону “колл” Выигрыш за счет короткого опциона “колл” Общий выигрыш*
ST < Ki 0 0 0 0
Ку < St < К2 St — Al 0 0 St — Ку
К2 < St < A3 St — Ai 0 -2(АТ - А2) Кз - St
ST > К2 St ~ Ky St — A3 —2(5т — А2) 0
*Эти суммы вычислены с помощью отношения А2 = 0,5(К\ + К3).
65 долл., и продав два опциона “колл” с ценой исполнения, равной 60 долл. Создание спрэда стоит 10 — 5 — 2x7 = 1 долл. Если через шесть месяцев цена акции будет больше 65 или меньше 55 долл., общий выигрыш будет равен нулю, а инвестор потеряет один доллар. Если же цена акции будет колебаться от 56 до 64 долл., инвестор получит прибыль. Максимальная прибыль в сумме 54 долл, возникает, если через шесть месяцев цена акции будет равной 60 долл.
Спрэды “бабочка” можно создавать и на основе опционов “пут”. В этом случае инвестор покупает опцион “пут” с низкой ценой исполнения, опцион “пут” с высокой ценой исполнения и продает два опциона “пут” с промежуточной ценой исполнения, как показано на рис. 10.7. В только что рассмотренном примере опцион “бабочка” можно было бы создать, купив опционы “пут” с ценами исполнения, равными 55 и 65 долл, соответственно, и продав два опциона “пут” с ценой исполнения, равной 60 долл. Если все опционы являются европейскими, то применение опционов “пут” приводит к тем же последствиям, что и применение опционов “колл”. Для того чтобы доказать, что размеры первоначальных инвестиций в обоих вариантах совпадают, достаточно применить паритет опционов “колл” и “пут”.
Существует и обратная стратегия, основанная на спрэде “бабочка”. В рамках этого подхода продаются опционы с ценами исполнения Ку и Кз, а приобретаются два опциона со средней ценой исполнения К?. Эта стратегия приносит умеренную прибыль, если цена акции подвергается значительным изменениям.
Календарные спрэды
До сих пор мы предполагали, что все опционы имеют одинаковые сроки действия. Перейдем теперь к анализу календарных спрэдов (calendar spreads) — стра-
Рис. 10.7. Прибыль от спрэда “бабочка”, созданного с помощью опционов “пут”
тегий, использующих опционы с одинаковыми ценами исполнения и разными сроками действия.
Календарный спрэд можно создать, продав опцион “колл” с определенной ценой исполнения и купив более продолжительный опцион “колл” с той же ценой исполнения. Чем больший срок действия имеет опцион, тем он дороже. Следовательно, создание календарного спрэда, как правило, сопряжено с первоначальными затратами. Диаграммы прибыли, которую приносят календарные спрэды, разрабатываются так, чтобы выигрыш достигался в момент истечения срока краткосрочного опциона при условии одновременной продажи долгосрочного опциона. График прибыли, полученной благодаря календарному спрэду, образованному опционами “колл”, приведен на рис. 10.8. Этот график напоминает кривую прибыли, полученной в результате применения спрэда “бабочка”, изображенную на рис. 10.6. Инвестор получает прибыль, если цена акции в момент истечения срока действия краткосрочного опциона близка к его цене исполнения. Однако если цена акций значительно отличается от этой величины, инвестор несет потери.
Чтобы понять график прибыли, полученной благодаря календарному спрэду, сначала рассмотрим, что произойдет, если в момент истечения срока действия краткосрочного опциона цена акции Sq' будет слишком низкой. Краткосрочный опцион оказывается бесполезным, а стоимость долгосрочного опциона оказывается близкой к нулю. Следовательно, инвестор несет потери, величина которых близка к стоимости организации спрэда. Рассмотрим теперь, что произойдет, если цена акции St в момент истечения срока действия опциона будет слишком высокой. Краткосрочный опцион обходится инвестору в Sq' — К долл., а стоимость долгосрочного опциона (при условии, что его досрочное исполнение не является оптимальным) стоит ненамного больше St — К долл., где К — цена исполнения опционов. Как и раньше, в этом случае инвестор несет потери, размер которых
Рис. 10.8. Прибыль от календарного спрэда, созданного с помощью двух опционов “колл”
почти совпадает с первоначальными затратами на организацию спрэда. Если цена акции St близка к цене исполнения К, краткосрочный опцион стоит инвестору немного или совсем ничего. Однако долгосрочный опцион сохраняет достаточно высокую стоимость. В этом случае инвестор получает значительную прибыль.
В нейтральном календарном спрэде (neutral calendar spread) цена исполнения опциона выбирается близкой к текущей цене акции. В календарном спрэде на повышение (bullish calendar spread) выбирается более высокая цена исполнения, в календарном спрэде на понижение (bearish calendar spread) — более низкая.
Календарные спрэды можно создавать как с помощью опционов “колл”, так с помощью опционов “пут”. Как показано на рис. 10.9, график прибыли, полученной с помощью календарного спрэда, созданного с помощью двух опционов “пут”, похож на график прибыли, полученной с помощью календарного спрэда, созданного на основе двух опционов “пут”.
Обратный календарный спрэд (opposite calendar spread) противоположен стратегиям, продемонстрированным на рис. 10.8 и 10.9. В рамках этой стратегии инвестор покупает краткосрочный, а продает — долгосрочный опцион. Если цена акции в момент истечения срока действия краткосрочного опциона будет значительно отличаться от его цены исполнения, инвестор получает небольшую прибыль. Однако, если цена акции будет близкой к цене исполнения, инвестор несет значительные потери.
Рис. 10.9. Прибыль от календарного спрэда, созданного с помощью двух опционов “пут”
Диагональные спрэды
Бычий, медвежий и календарный спрэды создаются на основе длинной позиции по одному опциону “колл” и короткой позиции по другому опциону “колл”. В бычьем и медвежьем спрэдах опционы “колл” имеют разные цены исполнения, но одинаковые сроки действия. В календарном спрэде опционы “колл” имеют одинаковую цену исполнения, но разные сроки действия. В диагональных спрэдах (diagonal spreads) и цены исполнения, и сроки действия должны быть разными. Это увеличивает количество ситуаций, в которых инвестор получает прибыль.
10.3 Комбинации
Комбинация (combination) — это торговая стратегия, основанная на использовании опционов на покупку и продажу акций одной компании. Комбинации разделяются на четыре категории: стрэддл (straddle), стрип (strip), стрэп (strap) и стрэнгл (strangle).
Стрэддл
Стрэддл — это стратегия, в рамках которой инвестор приобретает опционы “колл” и “пут” с одинаковыми ценами исполнения и сроками действия. Схематичный график прибыли, которую приносит стратегия стрэддл, изображен на рис. 10.10. На этом рисунке цена исполнения, как всегда, обозначена буквой К. Если в момент истечения срока действия опциона цена акции мало отличается от его цены исполнения, стрэддл приносит убытки. Однако если цена акции сильно отклоняется от цены исполнения в любую сторону, инвестор получает значитель
ную прибыль. Величины выигрыша, полученного благодаря стратегии стрэддл в разных условиях, приведены в табл. 10.6.
Таблица 10.6. Прибыль от стрэддла
Диапазон цен исполнения Прибыль от Прибыль от Общая прибыль опциона “колл” опциона “пут”
оз ср V /Л 0 К - ST К- St St-К 0 ST - К
Стрэддл выгоден, когда инвестор ожидает большого изменения цены акции, но не знает, в каком направлении оно будет происходить. Представим себе инвестора, считающего, что цена акции определенной компании, рыночная цена которых в настоящий момент равна 69 долл., через три месяца значительно изменится. Инвестор может создать стрэддл, купив как опцион на продажу, так и опцион на покупку этих акций с исполнительной ценой 70 долл, и трехмесячным сроком действия. Допустим, что опцион “колл” стоит три доллара, а опцион “пут” — четыре доллара. Если цена акции остается неизменной, легко видеть, что эта стратегия стоит инвестору шесть долларов. (Требуются авансовые затраты в размере семи долларов, опцион “колл” оказывается бесполезным, а опцион “пут” в момент его исполнения приносит один доллар.) Если цена опциона поднимается до 70 долл., инвестор теряет семь долларов. (Это — худшее, что может с ним произойти.) Однако если цена акции подскакивает до 90 долл., инвестор получает 13 долл, прибыли. Если же цена акции падает до 55 долл., инвестор получит восемь долларов и т.д.
Казалось бы, если инвестор ожидает крупных изменений цены акции, то стрэддл — вполне естественная стратегия в ситуациях, когда компании грозит поглощение или в ближайшем будущем ожидается вынесение приговора по крупной судебной тяжбе, в которой она участвует. Однако это не так. Поскольку эта
информация доступна всем, опционы на покупку или продажу таких акций оказываются более дорогими, чем остальные. Чтобы стрэддл оказался эффективной стратегией, инвестор должен быть убежден в неизбежности крупного изменения цены акции вопреки общему убеждению маркет-мейкеров.
Стрэддл, изображенный на рис. 10.10, иногда называется нижним стрэддлом (bottom straddle) или покупкой стрэддла (straddle purchase). Противоположная стратегия называется верхним стрэддлом (top straddle) или продажей стрэддла (straddle write). Она образуется путем продажи опционов “колл” и “пут” с одинаковыми ценами исполнения и сроками действия. Это крайне рискованная стратегия. Если в момент исполнения опциона цена акций окажется близкой к цене исполнения, инвестор получит значительную прибыль. Однако при крупном изменении цены акции его убытки могут быть сколь угодно большими.
Пример из деловой практики 10.2. Как получить прибыль, торгуя стрэддлами
Предположим, что в будущем ожидается некое событие — поглощение компании или крупный судебный иск, — которое приведет к резкому изменению цены акции. Следует ли в этой ситуации торговать стрэддлами?
На первый взгляд, торговая стратегия, использующая стрэддлы, в этом случае выглядит вполне естественной. Однако если ваша оценка состояния компании совпадает с оценками большинства участников рынка, то этот факт отразится на ценах опционов. Опционы на акции этой компании станут намного дороже, чем опционы на акции аналогичных компаний, которым не грозит ни поглощение, ни судебная тяжба. V-образный график прибыли, характерный для стрэддла (см. рис. 10.10), сместится вниз, и для получения прибыли потребуется уж очень резкое изменение цены акции.
Для того чтобы стратегия, основанная на стрэддлах, оказалась эффективной, вы должны рассчитывать на то, что цена акции компании резко изменится, но при этом остальные участники рынка должны быть уверены в обратном. Рыночные цены отражают мнение участников рынка. Чтобы получить прибыль благодаря любой инвестиционной стратегии, вы должны угадать правильное развитие событий тогда, когда все остальные участники рынка думают иначе!
Стрип и стрэп
Стрип (strip) образуется длинной позицией по одному опциону “колл” и двум опционам “пут” с одинаковыми ценами исполнения и сроками действия. Стрэп (strap) состоит из длинной позиции по двум опционам “колл” и одному опциону “пут” с одинаковыми ценами исполнения и сроками действия. Схематические графики прибыли, которую приносят стратегии стрип и стрэп, показаны на рис. 10.11. Принимая стратегию стрип, инвестор заключает пари, что цена акции
изменится значительно, причем падение цены он считает более вероятным, чем его рост. Принимая стратегию стрэп, инвестор также заключает пари на большое изменение цены акции, но теперь он считает более вероятным рост цены, а не ее падение.
Рис. 10.11. Схематические графики прибыли от стратегий а) стрип и б) стрэп
Стрэнгл
Стрэнгл (strangle), или нижняя вертикальная комбинация (bottom vertical combination), — это стратегия, в которой инвестор покупает опционы “пут” и “колл” с одинаковыми сроками действия и разными пенами исполнения. Схематический график прибыли, которую приносит эта стратегия, изображен на рис. 10.12. Цена исполнения опциона “колл” должна быть больше цены исполнения опциона ТЭ ту-пут Л1-
Величины выигрыша, полученного благодаря стратегии стрэддл в разных условиях, приведены в табл. 10.5.
Таблица 10.7. Прибыль от стрэнгла
Диапазон цен акции Прибыль от Прибыль от Общая прибыль опциона “колл” опциона “пут”
л # W /Л £ А £ 0 Ri — St К\ — St 0 0 0 ST - К2 0 ST-K2
Стрэнгл похож на стрэддл. Инвестор заключает пари, что цена акции изменится значительно, причем направление изменения значения не имеет. Сравнение рис. 10.10 и 10.12 показывает следующее: для того чтобы принести инвестору прибыль, цена акции в стратегии стрэнгл должна измениться больше, чем в стратегии стрэддл. Однако стрэддл имеет более низкий риск потерь, возникающих, если цена акции окажется близкой к среднему значению.
Прибыль, которую приносит стрэнгл, зависит от того, насколько далеко от цены исполнения отклонится цена акции. Чем больше будет отклонение, тем меньше риск и больше прибыль.
Стрэнгл, основанный на опционах “пут”, иногда называют верхней вертикальной комбинацией (top vertical combination). Он приемлем, если отклонение цены акции от цены исполнения инвестор считает маловероятным. Однако, кив случае стрэддла, основанного на опционах “пут”, это — очень рискованная стратегия, грозящая инвестору неограниченными потерями.
10.4 Другие выигрыши
В главе описаны лишь некоторые из многочисленных способов игры на разнице между ценой акции и ценой исполнения. Если бы нам были доступны европейские опционы со сроком действия Т и всевозможными ценами исполнения, то можно было бы сконструировать любую функцию выигрыша. Проще всего проиллюстрировать это утверждение с помощью серии спрэдов “бабочка”. Напомним, что эти спрэды образуются путем покупки опционов с ценами исполнения Ki и Кз и продажи двух опционов с ценой исполнения К? при условии, что Ki < К-2 < Кз и Кз — К.% = К? — К\. Схематический график прибыли, которую приносит эта стратегия, приведен на рис. 10.13. По мере сближения цен К\ и К3, пик графика становится все меньше. С помощью достаточно большого количе
ства очень маленьких пиков можно было бы аппроксимировать любую функцию выигрыша.
-.Прибыль
/<1 Кг *з
St
Рис. 10.13. Прибыль, которую приносит спрэд “бабочка”
Резюме
Существует огромное количество стратегий, основанных на использовании одного опциона и одной соответствующей акции. Например, выписка покрытого опциона “колл” представляет собой покупку акции и продажу опциона “колл” на эту акцию. Защитный опцион “пут” образуется путем покупки опциона “пут” и соответствующей акции. Первая из этих стратегий похожа на продажу опциона “пут”, а вторая — на покупку опциона “колл”.
Спрэды состоят из нескольких позиций по опционам “колл” и “пут”. Бычий спрэд можно создать, купив опцион “колл” (“пут”) с низкой ценой исполнения и продав опцион “колл” (“пут”) с высокой ценой исполнения. Медвежий спрэд можно образовать, купив опцион “пут” (“колл”) с высокой ценой исполнения и продав опцион “пут” (“колл”) с низкой ценой исполнения. Спрэд “бабочка” состоит из покупки опционов “колл” (“пут”) с низкой и высокой ценами исполнения и продажи двух опционов “колл” (“пут”) с промежуточной ценой исполнения. Календарный спрэд образуется путем продажи краткосрочного опциона “колл” (“пут”) и покупки более долгосрочного опциона “колл” (“пут”). Диагональный спрэд создается на основе длинной позиции по одному опциону и короткой позиции по другому опциону, цены исполнения и сроки действия которых отличаются друг от друга.
Комбинация создается позициями по опционам на покупку и продажу акций одной компании. Комбинация стрэддл представляет собой сочетание длинных позиций по опционам “колл” и “пут”, имеющих одинаковые цены исполнения и срок действия. Комбинация стрип — это сочетание длинной позиции по двум опционам “колл” и одному опциону “пут”, имеющих одинаковые цены исполнения и срок действия. Комбинация стрэнгл — это сочетание длинных позиций по опционам “колл” и “пут”, имеющих разные цены исполнения и одинаковый срок действия. Существует множество способов, с помощью которых на основе опционов можно
сконструировать любую функцию выигрыша. Неудивительно, что торговля опционами становится все более популярной и продолжает привлекать инвесторов.
Дополнительная литература
Bharadwaj A. and Wiggings J. В. Box Spread and Put-Call Parity Tests for the S&P Index LEAPS Markets // Journal of Derivatives, 8,4 (Summer 2001). — P. 62-71.
Chaput J. S. and Ederington L. H. Option Spread and Combination Trading // Journal of Derivatives, 10, 4 (Summer 2003). — P. 70-88.
McMillan L. G. Options as a Strategic Investment. 4th edn. — Upper Saddle River: Prentice-Hall, 2001.
Rendlemann R. J. Covered Call Writing from an Expected Utility Perspective /7 Journal of Derivatives, 8, 3 (Spring 2001). — P. 63-75.
Ronn A. G. and Ronn E. I. The Box-Spread Arbitrage Conditions // Review of
Financial Studies, 2, 1 (1989). — P. 91-108.
Вопросы и задачи
10.1. Что такое защитный опцион “пут”? Какая позиция по опциону “колл” эквивалентна защитному опциону “пут”?
10.2. Назовите два способа организации медвежьего спрэда.
10.3. Когда инвестору выгодно организовать спрэд “бабочка”?
10.4. На рынке доступны трехмесячные опционы на покупку акций с ценами исполнения, равными 15, 171 /2 и 20 долл. Их цены равны 4, 2 и 1/з долл, соответственно. Покажите, как с их помощью образовать спрэд “бабочка”. Постройте таблицу, демонстрирующую зависимость величины выигрыша от цены акции.
10.5. Какая стратегия является противоположной к обратному календарному спрэду?
10.6. Чем отличаются комбинации стрэнгл и стрэддл?
10.7. Опцион “колл” с ценой исполнения, равной 50 долл., стоит 2 долл., а опцион “пут” с ценой исполнения, равной 45 долл., — 3 долл. Как организовать комбинацию стрэнгл из этих опционов? Постройте схематический график прибыли для этой стратегии.
10.8. Используя паритет опционов “колл” и “пут”, установите зависимость между первоначальными затратами в бычьем спрэде на основе опционов “колл” с первоначальными затратами в бычьем спрэде, созданном с помощью опционов “пут”.
10.9. Как создать агрессивный медвежий спрэд с помощью опционов “пут”?
10.10. Предположим, что опционы на продажу акции с ценами исполнения 30 и 35 долл, стоят 4 и 7 долл, соответственно. Как использовать опционы для создания 1) бычьего спрэда и 2) медвежьего спрэда? Постройте таблицу, демонстрирующую зависимость величины выигрыша от цены акции для обоих спрэдов.
10.11. Используя паритет опционов “колл” и “пут”, покажите, что стоимость комбинации “бабочка”, созданной на основе европейских опционов “пут”, эквивалентна стоимости комбинации “бабочка”, созданной на основе европейских опционов “колл”.
10.12. Опцион “колл” с ценой исполнения, равной 60 долл., стоит 6 долл., а опцион “пут” с теми же ценой исполнения и сроком действия — 4 долл. Постройте таблицу выигрышей, полученных благодаря комбинации стрэддл. При каких значениях цены исполнения стрэддл приносит убытки?
10.13. Постройте таблицу выигрышей, полученных благодаря бычьему спрэду, созданному на основе опционов “пут” с ценами исполнения К\ и А'г (где 1<2 > К,).
10.14. Инвестор считает, что цены акции определенной компании испытает скачок, однако не знает, в каком направлении. Укажите шесть разных стратегий, которые может использовать инвестор, и объясните разницу между ними.
10.15. Как из опционов создать форвардный контракт на акцию с конкретными ценой и датой поставки?
10.16. “Спрэд “коробка” состоит из четырех опционов. Два из них создают длинную форвардную позицию, а остальные — короткую.” Объясните смысл этого утверждения.
10.17. Каким является результат комбинации стрэнгл, если цена исполнения опциона “пут” выше, чем цена исполнения опциона “колл”?
10.18. Один австралийский доллар в настоящее время стоит 0,64 долл. Инвестор организовывает однолетний спрэд “бабочка”, используя европейские опционы с ценами исполнения 0,60, 0,65 и 0,70 долл. Безрисковые процентные ставки в США и Австралии равны 5% и 4% соответственно, а волагиль-ность валютного курса равна 15%. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость спрэда “бабочка”. Покажите, что эта стоимость не изменится, если вместо европейских опционов “пут” использовать европейские опционы “колл”.
Упражнения
10.19. Три опциона на продажу акций имеют одинаковые сроки действия и цены исполнения, равные 55, 60 и 65 долл. Их рыночная стоимость равна 3, 5 и 8 долл, соответственно. Объясните, как создать спрэд “бабочка”. Постройте таблицы выигрышей для этой стратегии. При каких значениях цены акции эта стратегия приносит убытки?
10.20. Диагональный спрэд создается с помощью покупки опциона “колл” с ценой исполнения К% и сроком действия Т%, а также продажи опциона “колл” с ценой исполнения К\ и сроком действия Т\ (где Т/ > Т\). Постройте диаграмму прибыли, если 1) > К\ и 2) < К\.
10.21. Постройте диаграмму, иллюстрирующую изменение прибыли и убытков владельцев следующих инвестиционных портфелей.
1) Одна акция и короткая позиция по одному опциону “колл”.
2) Две акции и короткая позиция по одному опциону “колл”.
3) Одна акция и короткая позиция по двум опционам “колл”.
4) Одна акция и короткая позиция по четырем опционам “колл”.
В каждом из вариантов предполагается, что цена исполнения опциона “колл” равна текущей цене акции.
10.22. Предположим, что цена бездивидендной акции равна 32 долл., ее волатильность равна 30%, а безрисковая процентная ставка по всем срокам погашения облигации установлена на уровне 5% годовых. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость следующих позиций и постройте таблицу выигрышей, демонстрирующую зависимость прибыли от цены акции в момент исполнения опционов.
1) Бычий спрэд, созданный с помощью шестимесячных европейских опционов “колл” с ценами исполнения, равными 25 и 30 долл.
2) Медвежий спрэд, созданный с помощью шестимесячных европейских опционов “пут” с ценами исполнения, равными 25 и 30 долл.
3) Спрэд “бабочка”, созданный с помощью однолетних европейских опционов “колл” с ценами исполнения, равными 25, 30 и 35 долл.
4) Спрэд “бабочка”, созданный с помощью однолетних европейских опционов “пут” с ценами исполнения, равными 25, 30 и 35 долл.
5) Стрэддл, созданный с помощью шестимесячных опционов с ценой исполнения, равной 30 долл.
6) Стрэнгл, созданный с помощью шестимесячных опционов с ценами исполнения, равными 30 и 35 долл.
Биномиальные деревья
Одним из наиболее распространенных и полезных методов оценки фондовых опционов является построение биномиального дерева (binomial tree), т.е. диаграммы, демонстрирующей разные варианты изменения цены акции в течение срока действия опциона. Этот метод основан на предположении, что цена акции подчиняется законам случайного блуждания (random walk). На каждом шаге по времени существует определенная вероятность того, что цена акции увеличится или уменьшится на некую относительную величину. Если величина временного шага стремится к нулю, это приводит к предположению, что цены акций имеют логнормальное распределение, лежащее в основе модели Блэка-Шоулза, которая будет рассмотрена в главе 13.
В главе изложены основы построения биномиальных деревьев и их связь с важным принципом риск-нейтральной оценки. В главе принят подход, изложенный в важной статье Кокса (Сох), Росса (Ross) и Рубинштейна (Rubinstein), опубликованной в 1979 году. Более детально вычислительные процедуры построения биномиальных и триномиальных деревьев рассматриваются в главе 17.
11.1 Одноступенчатая биномиальная модель
Рассмотрим очень простую ситуацию. Предположим, что текущая цена акции равна 20 долл., а через три месяца она будет равна либо 22 долл., либо 18 долл. Нас интересует оценка европейского опциона на покупку акции по цене 21 долл, через три месяца. Это значит, что через три месяца цена опциона примет одно из двух значений. Если цена акции будет равна 22 долл., стоимость опциона будет равна одному доллару. Если же цена акции будет равна 18 долл., стоимость опциона будет равна нулю. Эта ситуация продемонстрирована на рис. 11.1.
Оказывается, оценить стоимость опциона в этом примере относительно просто. Для этого достаточно предположить, что арбитражные возможности отсутствуют. Создадим инвестиционный портфель, состоящий из акции и опциона, так, чтобы стоимость портфеля через три месяца была точно определенной. Поскольку этот портфель не подвержен никакому риску, доходность, которую он принесет за три месяца, равна безрисковой процентной ставке. Это позволяет нам оценить стоимость портфеля, а значит, и стоимость опциона. Поскольку в нашу схему
Цена акции 22 ррт.
Стоимость опциона 1 долл.
Цена акции 20 долл.
Цена акции 18 долл.
Стоимость опциона 0 долл.
Рис. 11.1. Изменение цены акции в примере
входят две ценные бумаги (акция и фондовый опцион) и только два возможных исхода, возможность создания безрискового портфеля существует всегда.
Рассмотрим портфель, состоящий из длинной позиции по пакету, состоящему из Д акций, и короткой позиции по одному опциону “колл”. Вычислим величину Д, гарантирующую безрисковость портфеля. Если цена акции поднимется с 20 до 22 долл., стоимость пакета акций будет равна 22Д, а опцион будет стоить один доллар. Таким образом, общая стоимость портфеля равна 22Д — 1 долл. Если цена акции упадет с 20 до 18 долл., стоимость пакета акций будет равна 18Д, а опцион не будет стоить ничего. Таким образом, общая стоимость портфеля будет равна 18Д долл. Портфель является свободным от рисков, если величина Д выбрана так, что стоимость портфеля в обоих вариантах является одинаковой. Отсюда следует, что
22Д - 1 = 18Д,
Д = 0,25.
Таким образом, безрисковый портфель состоит из следующих ценных бумаг.
Длинная позиция: 0,25 акции.
Короткая позиция: один опцион.
Если цена акции поднимется до 22 долл., стоимость портфеля станет равной
22 х 0,25 -- 1 = 4.5 долл.
Если цена акции упадет до 18 долл., стоимость портфеля останется равной
18 х 0.25 —- 4,5 долл.
Итак, независимо от изменений цена акции, стоимость портфеля в момент исполнения опциона является постоянной.
При отсутствии арбитражных возможностей безрисковый портфель должен приносить доходность, равную безрисковой процентной ставке. Допустим, что в нашем примере безрисковая процентная ставка установлена на уровне 12% годовых. Следовательно, текущая стоимость портфеля должна быть равной текущей стоимости 4,5 долл., т.е.
4,5е-0’12х3/12 — 4,367 долл.
Текущая стоимость цены акции равна 20 долл. Обозначим цену опциона буквой /. Тогда текущую стоимость инвестиционного портфеля можно вычислить следующим образом.
20 х 0,25 - / = 5 - /.
Отсюда следует, что
5 - / = 4,367, т.е.
/ = 0,633 долл.
Следовательно, при отсутствии арбитражных возможностей текущая стоимость опциона должна быть равной 0,633 долл. Если бы стоимость опциона была больше 0,633 долл., то стоимость портфеля стала бы ниже 4,367, а его доходность — выше безрисковой ставки. Если бы стоимость опциона была меньше 0,633 долл., то, продав портфель без покрытия, инвестор сделал бы заем по ставке, ниже безрисковой.
Обобщение
Изложенную аргументацию можно обобщить на ситуацию, когда цена акции равна So и текущая стоимость фондового опциона — /. Предположим, что за время действия опциона Т цена акции может либо подняться до величины Squ, где и > 1, либо упасть до уровня Sod, где d < 1. Пропорциональное увеличение цены акции равно и—1, а пропорциональное уменьшение — d — 1. Если цена акции увеличивается до величины Squ, будем считать, что опцион приносит прибыль fu. Если же цена акции снижается до уровня Sod, будем считать, что опцион приносит прибыль fd- Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 11.2.
Как и прежде, представим себе инвестиционный портфель, состоящий из длинной позиции на пакет из Д акций и короткой позиции по одному опциону. Вычислим величину Д, при которой портфель становится свободным от риска. Если цена акции растет, стоимость портфеля в момент истечения срока действия опциона равна
ЗЬиД - fu-
Рис. 11.2. Цена акции и цена опциона в общем одноступенчатом дереве
Если цена акции падает, стоимость портфеля в момент истечения срока действия опциона равна
-SorfA - fd.
Приравнивая эти две величины, получим
SquA - fu = SodA - fd, т.е.
(111)
В этом случае портфель свободен от рисков и должен приносить безрисковую процентную ставку. Из формулы (11.1) следует, что величина А представляет собой отношение изменения цены опциона к изменению цены акции при перемещении из одного узла дерева в другой.
Обозначим безрисковую процентную ставку буквой г. В таком случае стоимость портфеля равна
(So«A - fu)e~rT.
Стоимость создания портфеля равна
SoA-/-
Отсюда следует, что
SoA - f = (Sb^A - fu)e~rT,
f = SOA(1 - «e-rT) + fue-rT.
Подставляя в эту формулу величину Л из формулы (11.1) и выполняя некоторые упрощения, получ; ем следующее выражение.
f = e~rT\pfu + ^-p)fd], (11.2)
где
(11.3)
егТ - d P=^d-
Формулы (11.2) и (11.3) позволяют оценить опцион, используя одноступенчатую биномиальную модель.
В рассмотренном выше примере (см. формулу (11.1)) и — 1,1, d — 0,9, г = 0,12, Т = 0,25, fu = 1 и f(i - 0. Применяя формулы (11.2) и (11.3), получаем следующие результаты.
0,12x3/12 _ л п р = ....л = 0,6523,
1,1 -0,9
-о,12хО,25(0 6523 х х + 0)3477 х 0) = 0,633.
Этот результат совпадает с ответом, полученным ранее.
Нерелевантность ожидаемой доходности акции
Формула (11.2) никак не связана с вероятностью изменения цены акции. Например, одну и ту же цену опциона можно получить, и когда вероятность увеличения цены акции равна 0,5, и когда она равна 0,9. Это довольно неожиданно и противоречит интуиции. Естественно было бы считать, что по мере увеличения вероятности роста цены, стоимость опциона “колл” должна возрастать, а стоимость опциона “пут” — падать. Однако это предположение не выполняется.
Основная причина этого заключается в том, что мы вычисляем не абсолютную, а относительную стоимость опциона. Вероятность будущего изменения уже учтена в текущей цене акции, поэтому нет необходимости учитывать ее снова.
11.2 Безрисковая оценка
Несмотря на то что при выводе формулы (11.2) мы не делали никаких предположений о вероятности изменения цены акции, величину р естественно интерпретировать как вероятность роста цены акции. В этом случае величину 1 — р можно считать вероятностью снижения цены, а выражение
Pfu + (1 - P)fd
представляет собой ожидаемый выигрыш, который приносит опцион. При такой интерпретации величины р формула (11.2) означает, что текущая стоимость опциона равна его ожидаемой будущей стоимости с учетом безрисковой процентной
ставки.
Оценим ожидаемую доходность акции при условии, что вероятность роста ее цены равна р. Ожидаемая цена акции E(St) в момент времени Т вычисляется по следующей формуле.
-E’(S'r) = pSou + (1 - p)Sod,
т.е.
E(ST) = pS^u - d) + Sod.
Подставляя в это выражение величину р из выражения (11.3), получаем
E(ST) - Soerr. (11.4)
Оно показывает, что в среднем цена акции возрастает на величину безрисковой процентной ставки.
В риск-нейтральном мире (risk-neutral world) все люди безразличны к риску, т.е. инвесторы не требуют компенсации за риск, а ожидаемая доходность всех ценных бумаг равна безрисковой процентной ставке. Формула (11.4) демонстрирует, что, предполагая, будто вероятность роста цены акции равна р, мы допускаем, что живем в риск-нейтральном мире. Из формулы (11.2) следует, что стоимость опциона равна ожидаемой прибыли в риск-нейтральном мире с учетом безрисковой процентной ставки.
Такой способ оценки опционов называется риск-нейтралъным. Принцип, на котором он основан, разрешает считать, что инвесторы не подвергаются никакому риску, а вычисленная цена опциона остается правильной не только в риск-нейтральном, но и в реальном мире.
Пример одноступенчатой биномиальной модели
Вернемся к примеру, изображенному на рис. 11.1, и покажем, что риск-ней-тральная оценка приводит к тем же результатам, что и рассуждения, основанные на предположении об отсутствии арбитражных возможностей. Будем считать, что текущая цена акции равна 20 долл., а через три месяца может стать равной либо 22 долл., либо 18 долл. Цена исполнения европейского опциона “колл” равна 21 долл., а срок его действия — три месяца. Кроме того, предположим, что безрисковая процентная ставка равна 12% годовых.
Обозначим через р вероятность роста цены акции в риск-нейтральном мире. Эту величину можно вычислить по формуле (11.3). Кроме того, мы можем предполагать, что ожидаемая доходность акции в риск-нейтральном мире должен быть равным безрисковой процентной ставке, т.е. 12%. Следовательно, переменная р должна удовлетворять следующему уравнению.
22р + 18(1 - р) = 20е°’12х3/12,
т.е.
4р = 20е°:’2х3/12 - 18.
Таким образом, величина р должна равняться 0,6523.
Вероятность того, что через три месяца опцион “колл” будет стоить один доллар, равна 0,6523, а вероятность того, что опцион станет бесполезным, — 0,3477. Следовательно, его ожидаемая стоимость равна
0,6523 х 1 + 0,3477 х 0 = 0,6523 долл.
В риск-нейтральном мире необходимо учесть безрисковую процентную ставку. Тогда стоимость опциона станет равной
0,6523е“°’12х3/12,
т.е. 0,633 долл. Этот ответ совпадает с результатом, полученным нами при демонстрации отсутствия арбитражных возможностей.
Реальный и риск-нейтральный мир
Следует подчеркнуть, что величина р — это вероятность роста цены акции в риск-нейтральном мире. Как правило, она не совпадает с вероятностью роста цены акции в реальном мире. В нашем примере р = 0,6523. Если вероятность увеличения цены акции равна 0,6523, ожидаемая доходность акции равна безрисковой процентной ставке, т.е. 12%. Допустим, что в реальном мире ожидаемая доходность акции равна 16%, ар* — это вероятность роста цены акции в реальном мире. В этом случае должно выполняться следующее равенство.
22р* + 18(1 -р*) = 20е°’16х3/12,
так что р* = 0,7041.
Следовательно, ожидаемый выигрыш, полученный благодаря опциону, равен
р* х 1 + (1-р*) хО.
Иначе говоря, он равен 0,7041. К сожалению, в реальном мире определить правильную ставку дисконта (discount rate) нелегко. Позиция по опциону “колл” более рискованна, чем позиция по опциону “пут”. Благодаря ставке дисконта выигрыш от опциона “колл” больше, чем 16%. Не зная стоимости опциона, мы не можем определить, на какую величину ожидаемый выигрыш превысит 16%.' Риск-нейтральная оценка решает эту проблему. В риск-нейтральном мире ожидаемая доходность всех активов равна безрисковой процентной ставке (это значит, что ко всем ожидаемым выигрышам применяется ставка дисконта).
'Поскольку истинная стоимость опциона равна 0,704ie"o’4S28x3'/12 = 0,633, правильная учетная ставка равна 42,58%.
11.3 Двухступенчатые биномиальные деревья
Распространим анализ на двухступенчатые биномиальные деревья, как показано на рис. 11.3. Допустим, что первоначальная цена акции равна 20 долл, и в каждый из двух моментов времени она либо увеличивается, либо уменьшается на 10%. Кроме того, предположим, что шаг по времени равен трем месяцам, а безрисковая процентная ставка равна 12% годовых. Как и прежде, будем полагать, что цена исполнения опциона равна 21 долл.
Рис. 11.3. Цена акции в двухступенчатом дереве
Цель анализа — вычислить цену опциона в корне дерева. Это можно сделать, повторно применяя принципы, описанные в предыдущем разделе. Дерево, изображенное на рис. 11.4, похоже на дерево, представленное на рис. 11.3, однако в последнем дереве, кроме цены акции, у каждого узла указана цена опциона. (Вверху указана цена акции, а внизу — цена опциона.) Цены опциона в конечных узлах вычисляются легко. Они равны выигрышам, которые приносят опционы. В узле D цена акции равна 24,2 долл., а цена опциона равна 24,2 — 21 = 3,2 долл. В узлах Е и F опцион приносит проигрыш, и его стоимость равна нулю.
В узле С цена опциона равна нулю, поскольку этот узел является предшественником как узла Е, так и узла F, а в обоих этих узлах стоимость опциона равна нулю. Чтобы вычислить цену опциона в узле В, сосредоточим наше внимание на части дерева, представленной на рис. 11.5. Учитывая, что и = 1,1, d = 0,9, г = 0,12 иТ = 0,25, получаем, что р = 0,6523. Из формулы (11.2) следует, что стоимость опциона в узле В равна
е-о,12x3/12(0 6523 х з,2 + о,3477 х 0) = 2,0257 долл.
Рис. 11.4. Цена акции и цена опциона в двухступенчатом дереве. У каждого узла вверху указана цена акции, а внизу — цена опциона
Рис. 11.5. Оценка опциона в узле В
Осталось вычислить стоимость опциона в корне дерева. Для этого обратим внимание на первую ступень дерева. Нам известно, что стоимость опциона в узле В равна 2,0257, а в узле С — нулю. Следовательно, по формуле (11.2) получаем, что в узле А стоимость опциона равна
е-о,12x3/12^0 б523 х 2,0257 + 0 3477 х 0) = 12823 долл.
Обратите внимание на то, что этот пример сконструирован так, чтобы величины und (пропорциональное увеличение или уменьшение цены) в каждом узле были одинаковыми, а шаги по времени имели одинаковую длину. В результате
риск-нейтральная вероятность р, вычисленная по формуле (11.3), в каждом узле принимает одно и то же значение.
Обобщение
Обобщим полученный результат на ситуацию, изображенную на рис. 11.6. Обозначим цену акции в первый момент времени через Sq. В каждый из выбранных моментов времени цена акции может либо увеличиться на число Sou, либо уменьшиться на число Sod. Цены опциона указаны рядом с узлами дерева. (Например, стоимость опциона через два шага по времени обозначена как fuu.) Допустим, что безрисковая процентная ставка равна г%, а длина шага по времени равна At лет.
Рис. 11.6. Цена акции и цена опциона в общем двухступенчатом дереве
Поскольку длина шага по времени теперь равна At, а не Т\ формулы (11.2) и (11.3) принимают следующий вид.
у = e~'rAf[p/u + (1 - p)/d], (11.5)
егЛ< - d
Р =
(И-6)
и — d
Повторное применение формулы (11.2) приводит к следующим результатам.
fu = e rAt\pfnu + (1 - P)fud], fd = e~rAt\j>fud + (1 - p)fdd], f = e-rAt\pfu + (l-pyd].
Подставляя выражения (11.7) и (11.8) в формулу (11.9), получаем
у = е 2rAt[p2/uu + 2р(1 - p)fud + (1 - pffdd]-
(П.7)
(П.8)
(H-9)
(11.10)
Этот результат полностью соответствует риск-нейтральным оценкам. Величины р2,2р(1 — р) и (1 — р)2 представляют собой вероятности попасть в верхний, средний и нижний узел соответственно. Цена опциона равна его ожидаемому выигрышу в риск-нейтральном мире с дисконтом на величину безрисковой процентной ставки.
Добавление в биномиальное дерево дополнительные уровни не нарушает принцип риск-нейтральной оценки. Цена опциона всегда равна ожидаемому выигрышу в риск-нейтральном мире, дисконтированному по безрисковой процентной ставке.
11.4 Пример оценки стоимости опциона “пут”
Описанные процедуры можно использовать для вычисления цены любой производной ценной бумаги, зависящей от акции, цена которой изменяется как биномиальная величина. Рассмотрим двухлетний европейский опцион с ценой исполнения, равной 52 долл., на покупку акции, текущая цена которой равна 50 долл. Допустим, что цена акции может изменяться на 20% два раза в год. Кроме того, будем считать, что безрисковая процентная ставка равна 5% годовых.
Дерево, соответствующее описанной ситуации, изображено на рис. 11.7. Величина риск-нейтральной вероятности р вычисляется по следующей формуле.
Вероятные цены опциона в конечных узлах равны 72, 48 и 32 долл. В данном случае = 0, fud = 4 и fdd = 20. Из формулы (11.8) следует, что стоимость опциона равна
/ = е-2хО,О5х1(0,65822 х 0 + 0,62822 х 0,3718 х 4 + 0,37182 х 20) = 4,1923 долл.
Этот результат можно было получить с помощью формулы (11.2), проходя дерево от конечных узлов к корневому. На рис. 11.7 показаны также промежуточные результаты вычислений.
Рис. 11.7. Цена акции и цена опциона в общем двухступенчатом дереве
11.5 Американские опционы
До сих пор мы рассматривали только европейские опционы. Посмотрим теперь, как с помощью биномиального дерева вычисляется цена американского опциона. Для этого необходимо обойти биномиальное дерево в направлении от листьев к корню, проверяя, является ли досрочное исполнение опциона оптимальным. Стоимость американского опциона в конечных узлах вычисляется точно так же, как и в случае европейского опциона. В узлах, расположенных ближе к корню, стоимость опциона равна максимальной из двух величин: 1) стоимости европейского опциона, вычисленной по формуле (11.5), и 2) выигрыша от досрочного исполнения. Рис. 11.8 демонстрирует, как изменяется рис. 11.7, если опцион является не европейским, а американским. Цена акции и вероятность его изменения остаются неизменными. Цены опционов в конечных узлах также остаются неизменными. Стоимость опциона в узле В, вычисленная по формуле (11.5), равна 1,4147, но досрочное исполнение является убыточным (проигрыш равен 8 долл.). Следовательно, стоимость американского опциона в этом узле равна 1,4147 долл. Очевидно, что в узле В досрочное исполнение опциона является неоптимальным. В узле С стоимость опциона, вычисленная по формуле (11.5), равна 9,4636, а выигрыш от досрочного исполнения равен 12 долл. Следовательно, стоимость американского опциона в этом узле равна 12 долл. В данном случае досрочное исполнение опциона является оптимальным. В корне А стоимость опциона, вы
численная по формуле (11.5), равна
е-о,О5х1(0 6282 х 14147 + 03718 х 12)0) = 5 0894 долл,
а выигрыш от досрочного опциона равен 2 долл. В этом случае досрочное исполнение опциона не является оптимальным, а стоимость американского опциона равна 5,0894 долл.
Рис. 11.8. Применение двухступенчатого дерева для вычисления стоимости американского опциона. В каждом узле верхний индекс представляет собой цену акции, а нижний — стоимость опциона
11.6 Коэффициент дельта
Настало время обсудить коэффициент дельта (delta), важный параметр, используемый при вычислении стоимости и хеджировании опционов.
Дельта фондового опциона — это отношение изменения стоимости фондового опциона к изменению цены соответствующей акции. Для того чтобы создать хедж, свободный от риска, для каждого опциона, проданного без покрытия, необходимо иметь крупный пакет акций. Этот параметр напоминает величину Д, введенную ранее. Создание хеджа, свободного от риска (riskless hedge), иногда называют дельта-хеджированием (delta hedging). Дельта опциона “колл” является положительной, а дельта опциона “пут” — отрицательной.
Из рис. 11.1 следует, что цена акции изменяется от 18 до 22 долл., а стоимость опциона — от 0 до 1 долл. Таким образом, величину дельта для опциона “колл”
можно вычислить так:
ZZ — 1о
На рис. 11.4 видно, что параметр дельта, соответствующий первому изменению цены акции, равен
2,0257 - 0
Параметр дельта, соответствующий второму изменению цены акции, равен
3,2-0
2Й^=0’7273’
если в первый момент цена акции увеличивалась, и
°-° =0.
19,8 - 16,2
если в первый момент цена акции уменьшалась.
На рис. 11.7 параметр дельта, соответствующий первому изменению цены акции, равен
1,1447-9,4636 „ Annj
----------= -0,4024, 60-40
а параметр дельта, соответствующий второму изменению цены, равен
0-4 4-20
——— = -0,1667 или ---— = -1,0000.
72 - 48 48 - 32
Двухэтапные примеры показывают, что дельта со временем изменяется. (На рис. 11.4 параметр дельта изменяется от 0,5064 до либо 0,7273, либо нуля, а на рис. 11.7 — от —0,4024 до либо —0,1667, либо —1,0000.) Итак, чтобы создать хедж, свободный от риска, с помощью опциона и соответствующей акции, необходимо периодически корректировать объем пакета акций, находящихся в собственности инвестора. К этой особенности опциона мы вернемся в главе 15.
11.7 Сопоставление волатильности с помощью параметров и и d
На практике, при построении биномиального дерева, отражающего изменение цены акции, для оценки ее волатильности используются параметры и и d. Чтобы понять, как это происходит, обозначим ожидаемую доходность акции (в реальном мире) через //, а ее волатильность - через а. На рис. 11.9, а продемонстрировано изменение цены акции в момент первого разветвления биномиального дерева. Длина шага по времени равна At. Цена акции либо увеличивается на величину,
пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом и, либо уменьшается на величину, пропорциональную первоначальной сумме с коэффициентом d. Вероятность изменения цены акции в реальном мире равна р*.
Рис. 11.9. Изменение цены акции в момент At а) в реальном мире и б) в риск-нейтральном
Цена акции, ожидаемая в конце первого расчетного интервала, равна На биномиальном дереве цена акции, ожидаемая в этот момент, равен
p*Sou+(l-p*)Sod.
Чтобы сопоставить цену акции, ожидаемую в конце первого расчетного интервала, и цену акции, вычисленную с помощью биномиального дерева, запишем следующее уравнение.
p*Sou + (1 - p*)Sod = Soe^.
Отсюда следует, что
, - d
р =--------
и — d
(11.11)
Как будет показано в главе 13, волатильность цены акции ст определяется так, что величина ст\/~Бл представляет собой стандартное отклонение доходности акции за короткий период времени At. Отсюда следует, что дисперсия доходности равна сг2Д/. Дисперсия доходности, определенная с помощью биномиального дерева, 2 равна
р*и2 + (1 - p*)d2 - [p*u + (1 - p*)d]2 .
2Мы используем тот факт, что дисперсия переменной Q равна E(Q2) — [F(Q)]2, где Е — символ математического ожидания.
Чтобы сопоставить волатильность цены акции с параметрами дерева, составим следующее уравнение.
p*iz2 + (1 - p*)d2 - \р*и + (1 - p*)d]2 = <т2Д/. (11.12)
Подставляя выражение (11.9) в формулу (11.10), получаем
е^(и + d)-ud- е2^ = ст2 At.
Отбрасывая слагаемые, содержащие множитель Д/2 и более высокие степени величины At, решение этого уравнения можно записать в следующем виде.3
lt = eaVAti (Ц.13)
d = e-cr^t (Ц.14)
Эти формулы для вычисления параметров и и d были предложены Коксом, Россом и Рубинштейном (1979).
Анализ, проведенный в этой главе, показывает, что при оценке опциона дерево, изображенное на рис. 11.9, а, можно заменить деревом, изображенным на рис. 11.9, б, в котором вероятность роста цены акции равна р, а затем выполнять вычисления в соответствии с риск-нейтральной моделью. Величина/), представляющая собой риск-нейтральную вероятность роста акций, вычисляется по формуле (11.3), т.е.
где
а = егМ. (11.16)
На рис. 11.9, б видно, что ожидаемая цена акции в конце расчетного интервала равна >S'oerAt, что соответствует формуле (11.4). Дисперсия цены акции равна
ри2 + (1 — p)d2 — \ри + (1 — p)d]2 = [егд*(it + d) — ud — e2rAt] .
Подставляя вместо и и v выражения (11.13) и (11.14) и отбрасывая члены, содержащие множитель At2 и более высокие степени величины At, получаем, что эта дисперсия равна er2 At.
Анализ показывает, что при переходе из риск-нейтрального мира в реальный ожидаемая доходность акции изменяется, однако ее волатильность остается прежней (по крайнем мере при величине At, стремящейся к нулю). Этот результат называется теоремой Гирсанова (Girsanov’s theorem). При переходе их мира с одним
3 Здесь мы воспользовались разложением
х X2 ХЯ
в ”1+а:+ 2f + ЗГ + '” '
набором рисковых предпочтений в мир с другими предпочтениями, ожидаемая скорость роста переменных также изменяется, но их волатильность по-прежнему остается неизменной. Более детально это явление исследуется в главе 25. Переход от одной системы рисковых предпочтений к другой иногда называется изменением меры (changing the measure). Мера, применяемая в реальном мире, иногда называется P-мерой (P-measure), а мера, используемая в риск-нейтральном мире, — Q-мерой (Q-measure).4
Вернемся к американскому опциону “пут”, оцененному с помощью дерева, изображенного на рис. 11.8. В этом варианте цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 52 долл., безрисковая процентная ставка — 5%, продолжительность опциона — 2 года. Кроме того, для построения биномиального дерева использовано два шага по времени. В данном случае At = 1. Предположим, что волатильность сг равна 30%. Тогда из формул (11.13)—(11.16) следует, что
u = е0,3х1 = 1,3499, d = = 0.7408, а = e°’05xl = 1,0513
1,3499
Р =
1,053 - 0,7408
1,3499 - 0.7408
= 0,5097.
Соответствующее дерево изображено на рис. 11.10. Стоимость опциона “пут” равна 7,43 долл. Эта сумма отличается от стоимости опциона, вычисленной с помощью дерева, представленного на рис. 11.8, поскольку ранее мы предполагали, что и = 1,2 и d — 0,8.
11.8 Увеличение количества шагов по времени
Описанные выше биномиальные модели являются нереально простыми. Очевидно, что, предполагая, будто на протяжении срока действия фондового опциона цена акции может изменяться только один или два раза, аналитик может получить лишь очень грубую оценку.
На практике продолжительность опциона делят на 30 и более интервалов длиной At. В каждый из этих моментов времени цена акции может измениться по биномиальному закону. Это значит, что аналитик должен рассмотреть 31 вариант цены акции в момент исполнения опциона и 230, т.е. около миллиарда, возможных путей обхода биномиального дерева.
Независимо от количества шагов по времени, биномиальное дерево полностью определяется формулами (11.13)—(11.16). Предположим, например, что в примере, рассмотренном на рис. 11.10, предусмотрено не два, а пять шагов по времени.
4Согласно обозначениям, принятым ранее, величина р представляет собой вероятность, вычисленную с помощью Q-меры, ар* — вероятность, вычисленную с помощью Р-меры.
Рис. 11.10. Двухступенчатое дерево для оценки двухлетнего американского опциона “пут” при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения равна 52 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность — 30%
В таком случае параметры принимают следующие значения: At = 2/5 = 0,4, г — 0,05 и ст = 0,3. Отсюда следует, что и — е°>3х-Л>Д = 1,2089, d = 1/1,2089 = = 0,8272, а = е°’05х0’4 = 1,0202 и р = (1,0202 - 0,8272)/(1,2089 - 0,8272) = = 0,5056.
Использование программы DerivaGem
Программа DerivaGem, сопровождающая эту книгу, представляет собой полезный инструмент, обеспечивающий удобную работу с биномиальными деревьями. После загрузки программы в соответствии с инструкциями, приведенными в конце книги, перейдите на лист Equity_FX_lndex_Futures_Options. Выберите в списке Underlying Туре пункт Equity, а в списке Option Туре — пункт Binomial American. Введите цену акции, волатильность, безрисковую процентную ставку, продолжительность опциона, цену исполнения и количество шагов по времени: 50, 30%, 5%, 2, 52 и 2 соответственно. Установите переключатель в положение Put, а затем щелкните на кнопке Calculate. Цена опциона выводится в окне под названием Price; она равна 7,428. Теперь, щелкнув на кнопке Display Tree, вы увидите рисунок, эквивалентный рис. 11.10. (Числа, выведенные красным шрифтом, соответствуют узлам, в которых исполнение опциона является целесообразным.)
Вернитесь на лист Equity_FX_lndex_Futures_Options и увеличьте количество временных шагов до пяти. Нажмите клавишу <Enter> и щелкните на кнопке Calculate. Вы увидите, что стоимость опциона увеличится до 7,671. Щелкните на кнопке Display Tree и выведите на экран пятиступенчатое дерево вместе с параметрами и, d, а и р, вычисленными выше.
Программа DerivaGem позволяет выводить на экран деревья, содержащие до 10 уровней, однако вычисления можно производить для деревьев, количество уровней в которых достигает 500. В нашем примере, сделав 500 шагов по времени, мы вычислили цену опциона, равную 7,47, с точностью до двух десятичных знаков. Выбрав в списке Option Туре пункт Binomial European, можно построить биномиальное дерево для оценки европейского опциона. При тех же параметрах стоимость европейского опциона равна 6,76. (Выбрав в списке Option Туре пункт Analytic European, вы можете вычислить стоимость европейского опциона по формулам Блэка-Шоулза, описанным в главе 13. Эта цена также равна 6,76.)
Изменив выбор пункта в списке Underlying Туре, мы можем оценить стоимость опционов не только на акции, но и на другие активы.
11.9 Опционы на другие активы
Опционы на индексные, валютные и фьючерсные контракты описаны в главе 8. Более подробно они будут проанализированы в главе 14. Оказывается, для их оценки точно так же можно применять биномиальные деревья, за исключением того, что формула для параметра р имеет другой вид. Как и для опционов на акции, для вычисления стоимости опционов на другие активы можно применять формулу (11.2), предполагающую, что до рассмотрения возможности досрочного исполнения опциона его стоимость в узле равна сумме р-кратной величины прироста и (1 — р)-кратной величины падения стоимости акции, дисконтированной по безрисковой процентной ставке.
Опционы на акции с непрерывно начисляемой дивидендной доходностью
Рассмотрим акцию с дивидендной доходностью д. Общая доходность за счет дивидендов и капитальной прибыли в риск-нейтральном мире равна г. Дивиденды обеспечивают доходность д. Следовательно, доходность за счет капитальной прибыли должна быть равной г-д. Если начальная цена акции равна So, то ее ожидаемая цена через один шаг по времени длиной At должна быть равной Soe(r~<№t. Это значит, что
pSou + (1 - p)Sod = S0e(r~9)At,
т.е.
e(r-q)At _ d и — d
Как и при оценке опционов на бездивидендные акции, мы учитываем волатильность, полагая и = и d = 1/и. Это значит, что мы можем использовать формулы (11.13)—(11.16), считая, что а =
Опционы на фондовые индексы
Вычисляя фьючерсную цену на фондовый индекс в главе 5, мы предполагали, что акции, на основе которых вычисляется индекс, имеют дивидендную доходность q. В этом разделе мы будем продолжать придерживаться этого предположения. Следовательно, оценка опциона на фондовый индекс очень похожа на оценку опциона на акцию, с известной дивидендной доходностью.
Пример 11.1
В текущий момент фондовый индекс равен 810, его волатильность равна 20%, а дивидендная доходность — 2%. Безрисковая процентная ставка равна 5%. На рис. 11.11 показано биномиальное дерево, построенное с помощью программы DerivaGem при оценке шестимесячного европейского опциона “колл” на фондовый индекс при условии, что цена исполнения равна 800. В данном случае
At = 0,25, и = е0'20*'^ = 1,1052, d = 1/и - 0,9048, а = е(о,о5-о,о2)хо,25 = ^0075, р = (1,0075 - 0,9048)/(1,1052 - 0,9048) = 0,5126.
Стоимость опциона равна 53,39 долл.
□
Валютные опционы
Как указано в разделе 5.10, иностранную валюту можно считать активом, обеспечивающим доходность на уровне внешней безрисковой процентной ставки гр По аналогии с фондовым индексом, для оценки валютного опциона можно построить биномиальное дерево, используя формулы (11.13)—(11.16), где а — e(r~rf№.
Пример 11.2
В текущий момент австралийский доллар стоит 0,6100 американских долларов, а волатильность его обменного курса равна 12%. Безрисковая процентная ставка в Австралии равна 7%, а в США — 5%. На рис. 11.12 показано трехступенчатое биномиальное дерево, построенное с помощью программы DerivaGem при оценке трехмесячного американского валютного опциона “колл” с ценой исполнения,
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 800
Discount factor per step = 0.9876
Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days
Growth factor per step, a = 1.0075
Probability of up move, p = 0.5126
Up step size, u = 1.1052
Down step size, d = 0.9048
Node Time:
0.0000 0.2500 0.5000
Рис. 11.11. Двухступенчатое дерево для оценки шестимесячного европейского опциона “колл” на фондовый индекс при условии, что величина индекса равна 810, цена исполнения — 800 долл., безрисковая процентная ставка — 5%, волатильность — 20%, а дивидендная доходность — 2%
равной 0,6000. В данном случае
At = 0,08333, и = е°-2Ох^0-08333 = 1,0352, d = 1/u = 0,9660, а = е(о,О5-о,07) хо,08333 = 09983 р = (0,9983 - 0,9660)/(1,0352 - 0,9660) = 0,4673.
Стоимость опциона равна 0,019 долл.
□
Фьючерсные опционы
Длинную или короткую позицию во фьючерсном контракте можно занять совершенно бесплатно. Отсюда следует, что в риск-нейтральном мире скорость роста фьючерсной цены должна быть равной нулю. (Более подробно мы обсудим эту тему в разделе 14.7.) Аналогично предыдущим расчетам, определим параметр
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 0.6
Discount factor per step = 0.9958
Time step, dt = 0.0833 years, 30.42 days
Growth factor per step, a = 0.9983
Probability of up move, p = 0.4673
0.0000 0.0833 0.1667 0.2500
Рис. 11.12. Двухступенчатое дерево для оценки шестимесячного европейского опциона “колл” на иностранную валюту при условии, что стоимость валюты равна 0,6100, цена исполнения — 0,6000, безрисковая процентная ставка — 5%, волатильность — 12%, а внешняя безрисковая процентная ставка — 7%
р как вероятность роста фьючерсной цены, параметр и — коэффициент пропорциональности при ее росте, а параметр d — коэффициент пропорциональности при ее падении. Если Fq — начальная фьючерсная цена, то ожидаемая фьючерсная цена в конце временного периода длины At также должна быть равной Fq. Это
значит, что
Таким образом,
pFou + (1 - p)Fod = Fq.
1 — d
P =-----л’
и — d
и для оценки валютного опциона можно использовать формулы (11.13)—(11.16) с параметром а = 1.
Пример 11.3
В текущий момент фьючерсная цена равна 31, а ее волатильность — 30%. Безрисковая процентная ставка равна 5%. На рис. 11.13 показано трехступенчатое биномиальное дерево, построенное с помощью программы DerivaGem при оценке девятимесячного американского фьючерсного опциона “пут” с ценой исполнения, равной 30. В данном случае
At = 0,25, и = е0-30^5^ = 1,1618,
d — 1/ц = 1,1618, а = 1,
р = (1 - 0,8607)/(1,1618 - 0,8607) = 0,4626.
Стоимость опциона равна 2,84 долл. □
Резюме
В главе содержатся предварительные сведения об оценке опционов на акции и другие активы. В простых ситуациях, когда изменение цены акции на протяжении срока действия опциона описывается одноуровневым биномиальным деревом, можно создать безрисковый инвестиционный портфель, состоящий из фондового опциона и одной акции. При отсутствии арбитражных возможностей инвестиционный портфель, свободный от риска, должен приносить безрисковую процентную ставку. Это позволяет оценить стоимость опциона с помощью цены акции. Интересно, что при этом никакие предположения о вероятности роста или падения цены не требуются.
Если изменение цены акции описывается многоуровневым биномиальным деревом, то при вычислении текущей стоимости опциона каждый уровень можно обрабатывать отдельно, перемещаясь от конца срока действия опциона к его началу. При этом по-прежнему используются только предположения об отсутствии арбитражных возможностей, а вероятность роста и падения цены акции никак не учитывается.
Очень важный принцип утверждает, что при оценке стоимости опциона на основе цен базовых акций мир можно считать риск-нейтральным. С помощью примеров и общих рассуждений в главе показано, что арбитражная аргументация и риск-нейтральная оценка эквивалентны и приводят к одним и тем же результатам.
Дельта фондового опциона, А, учитывает влияние малых изменений цен базовых акций на изменение цены опциона. Этот параметр представляет собой отношение изменения цены опциона к изменению цены акции. Для поддержания
At each node:
lipper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 30
Discount factor per step = 0.9876
Time step, dt = 0.2500 years, 91.25 days
Growth factor per step, a = 1.000
Probability of up move, p = 0.4626
Up step size, u= 1.1618
Node Time:
0.0000
0.5000
0.2500
0.7500
Рис. 11.13. Трехступенчатое дерево для оценки девятимесячного американского опциона “пут” на фьючерсный контракт при условии, что фьючерсная цена равна 31, цена исполнения — 30, безрисковая процентная ставка — 5%, а волатильность — 30%
безрисковой позиции продажу каждого опциона инвестор должен компенсировать покупкой Д акций. Анализ типичных биномиальных деревьев показывает, что параметр Д изменяется на протяжении срока действия опциона. Это значит, что для хеджирования конкретной опционной позиции необходимо периодически изменять объем пакета акций, находящихся в распоряжении инвестора.
Построение биномиальных деревьев для оценки опционов на фондовые индексы, валюты и фьючерсные контракты очень похоже на оценку опционов на акции. Более подробное описание реализации биномиальных деревьев содержится в главе 17.
Дополнительная литература
Coval J. Е. and Shumway Т Expected Option Returns // Journal of Finance, 56, 3 (2001). -P. 983-1009.
Cox J., Ross S. and Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics, 7 (October 1979). — P. 229-264.
Rendleman R. and Bartter B. Two State Option Pricing // Journal of Finance, 34 (1979). -P. 1092-1110.
Вопросы и задачи
11.1. Текущая цена акции равна 40 долл. Известно, что в конце месяца она станет равной либо 42 долл., либо 38 долл. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость одномесячного европейского опциона “колл” с ценой исполнения, равной 39 долл.?
11.2. Опишите арбитражную аргументацию и риск-нейтральную модель, используемые для оценки европейского опциона, используя одноступенчатое биномиальное дерево.
11.3. Что собой представляет дельта фондового опциона?
11.4. Текущая цена акции равна 50 долл. Известно, что через шесть месяцев она станет равной либо 45 долл., либо 55 долл. Безрисковая процентная ставка равна 10% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 50 долл.?
11.5. Текущая цена акции равна 100 долл. Известно, что в конце каждого из последующих полугодовых периодов она увеличивается или уменьшается на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость однолетнего европейского опциона “колл” с ценой исполнения, равной 100 долл.?
11.6. Проанализируйте ситуацию, описанную в задаче 11.5. Чему равна стоимость однолетнего европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 100 долл.? Докажите, что цены европейских опционов “колл” и “пут” удовлетворяют условию паритета опционов “колл” и “пут”.
11.7. Запишите формулы для вычисления параметров и и d в терминах волатильности.
11.8. Проанализируйте ситуацию, в которой изменения цены акции на протяжении срока действия европейского опциона описываются двухуровневой
биномиальной моделью. Объясните, почему нельзя создать позицию по акции и опциону, которая оставалась бы свободной от риска на протяжении всего срока действия опциона.
11.9. Текущая цена акции равна 50 долл. Известно, что через два месяца она станет равной либо 53 долл., либо 48 долл. Безрисковая процентная ставка равна 10% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость двухмесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 49 долл.? Используйте арбитражную аргументацию.
11.10. Текущая цена акции равна 80 долл. Известно, что через четыре месяца она станет равной либо 75 долл., либо 85 долл. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость четырехмесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 80 долл.? Используйте арбитражную аргументацию.
11.11. Текущая цена акции равна 40 долл. Известно, что через три месяца она станет равным либо 45 долл., либо 35 долл. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых при поквартальном начислении. Чему равна стоимость трехмесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 40 долл.? Убедитесь, что арбитражная аргументация и риск-нейтральная модель приводят к одинаковым результатам.
11.12. Текущая цена акции равна 50 долл. Известно, что через каждые три месяца в течение полугода она либо увеличивается на 6%, либо уменьшается на 5%. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “колл” с ценой исполнения, равной 51 долл.?
11.13. Проанализируйте ситуацию, описанную в задаче 11.12. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 51 долл.? Докажите, что цены европейских опционов “колл” и “пут” удовлетворяют условию паритета опционов “колл” и “пут”. Предположим, что опцион является американским. Следует ли исполнить опцион досрочно в каком-либо узле биномиального дерева?
11.14. Текущая цена акции равна 25 долл. Известно, что через два месяца она станет равным либо 23 долл., либо 27 долл. Безрисковая процентная ставка равна 10% годовых при непрерывном начислении. Предположим, что St — цена акции в конце двухмесячного периода. Чему равна стоимость производной ценной бумаги, которая за это время приносит долл.?
11.15. Вычислите параметры и, d и р при условии, что биномиальное дерево предназначено для оценки валютного опциона. Шаг по времени равен одному месяцу, внутренняя безрисковая процентная ставка равна 5% годе-
вых, внешняя безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а волатильность равна 12% в год.
Упражнения
11.16. Текущая цена акции равна 50 долл. Известно, что через шесть месяцев она станет равной либо 60 долл., либо 42 долл. Безрисковая процентная ставка равна 12% годовых при непрерывном начислении. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “колл” с ценой исполнения, равной 48 долл.? Убедитесь, что безарбитражная аргументация и риск-нейтральная оценка приводят к одному и тому' же ответу.
11.17. Текущая цена акции равна 40 долл. Через каждые три месяца она либо увеличивается, либо уменьшается на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 12% годовых при непрерывном начислении.
1) Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 42 долл.?
2) Чему равна стоимость шестимесячного американского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 42 долл.?
11.18. Используя метод проб и ошибок, оцените, насколько высокой должна быть цена исполнения в задаче 11.17, чтобы немедленное исполнение опциона стало оптимальным.
11.19. Текущая цена акции равна 30 долл. На протяжении следующих четырех месяцев через каждые два месяца она либо увеличивается на 8%, либо уменьшается на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых. Используя двухуровневое биномиальное дерево, вычислите стоимость производной ценной бумаги, приносящей тах[(30 — 5т), О]2 долл., где St — цена акции через четыре месяца. Следует ли досрочно исполнить опцион, если он является американским?
11.20. Рассмотрим европейский опцион на покупку бездивидендных акций. Текущая цена акции равна 40 долл., цена исполнения — 40 долл., безрисковая процентная ставка равна 4% годовых, волатильность равна 30% годовых, а срок действия опциона — шесть месяцев.
1) Вычислите параметры и, d и р для двухуровневого дерева.
2) Оцените стоимость опциона с помощью двухуровневого дерева.
3) Убедитесь, что программа DerivaGem дает тот же ответ.
4) Используя программу DerivaGem, оцените стоимость опциона с помощью 5-, 50-, 100- и 500-уровневого дерева.
11.21. Повторите решение задачи 11.20 для оценки американского опциона “пут” на фьючерсный контракт. Цена исполнения и фьючерсная цена равны 50 долл., безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, срок до завершения контракта — 6 месяцев, а волатильность — 40% в год.
11.22. В первой сноске сказано, что правильная ставка дисконта, которую следует применять при вычислении реального ожидаемого выигрыша от опциона “колл”, равна 42,6%. Покажите, что для опциона “пут” эта ставка равна —52,5%. Объясните, почему эти ставки отличаются друг от друга.
Винеровские процессы и лемма Ито
Если значения переменной непредсказуемо изменяются со временем, говорят, что она подчиняется стохастическому процессу (stochastic process). Различают стохастические процессы с дискретным и непрерывным временем. Стохастический процесс с дискретным временем возникает, когда значения переменной изменяются только в фиксированные моменты времени. Стохастический процесс с непрерывным временем описывает поведение переменной, значения которой могут изменяться в любой момент. Кроме того, стохастические процессы образуют две категории: непрерывные переменные (continuous variable) и дискретные переменные (discrete variable). В первом случае переменная может принимать любое значение из определенного диапазона, а во втором — только дискретные значения.
В главе рассматривается стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной, описывающий изменение цены акции. Чтобы научиться оценивать опционы и более сложные деривативы, необходимо хорошо понимать особенности этого процесса. Следует подчеркнуть, что на практике мы не можем интерпретировать изменение цены акции с помощью стохастического процесса с непрерывным временем и непрерывной переменной. Цена акции представляет собой дискретную величину (например, количество центов), а его изменения регистрируются только в момент открытия биржи. Несмотря на это стохастический процесс с непрерывным временем и непрерывной переменной представляет собой весьма полезную модель.
Многие считают, что теория стохастических процессов с непрерывным временем настолько сложна, что освоить ее могут лишь избранные. Это не так. Наиболее сложным аспектом этой теории являются используемые обозначения. Однако поэтапный подход, использованный в книге, поможет читателям преодолеть это препятствие. Кроме того, мы объясним смысл леммы Ито (Ito’s lemma) — центрального результата, на котором основана вся теория оценки деривативов.
12.1 Марковское свойство
Марковский процесс (Markov process) — это разновидность стохастического процесса, в котором будущее значение переменной зависит только от ее непосредственно предшествующего значения. Все остальные значения переменной игнорируются. Как правило, считается, что цена акции описывается марковским процессом. Предположим, что в настоящий момент цена акции компании IBM равна 100 долл. Тогда для предсказания ее будущего значения не используется цена, зафиксированная неделю, месяц или год назад. Единственным значением, которое влияет на будущее, является текущая цена, т.е. 100 долл.1 Прогнозы будущих значений не являются абсолютно точными и должны быть выражены в терминах распределения вероятностей. Марковское свойство означает, что распределение вероятностей цены акции в конкретный момент времени в будущем не зависит от пути, который эта цена прошла в прошлом.
Марковское свойство цены акции согласуется со слабой формой рыночной эффективности. Она утверждает, что текущая цена акции уже содержит в себе всю информацию о его предыдущих значениях. Если бы это условие не выполнялось, то, интерпретируя графики прошлых лет, специалисты по техническому анализу извлекли бы доходы, превышающие средний уровень. Однако на самом деле у нас нет почти никаких оснований утверждать, что это происходит на самом деле.
Именно конкуренция, царящая на рынке, гарантирует выполнение слабого принципа рыночной эффективности. Цену акции внимательно отслеживают тысячи инвесторов. Любая попытка извлечь прибыль создает ситуацию, в которой цена акции, измеренная в любой момент времени, отражает информацию о его прошлых значениях. Предположим, что, анализируя прошлые графики, инвесторы обнаружили конфигурацию, которая позволяет с вероятностью 65% предсказывать последующий рост цены акции. Следовательно, обнаружив такую конфигурацию, инвесторы поспешат покупать акции, и спрос на них немедленно вырастет. Это сразу повлечет за собой рост текущей цены акции, и наблюдаемый эффект, а с ним и возможность извлечь прибыль исчезнут.
'Статистические свойства ретроспективных значений курса акций компании IBM не являются совершенно бесполезными. С их помощью можно определить характеристики стохастического процесса, описывающего изменения курса акций (например, его волатильность). Мы лишь хотим подчеркнуть, что для предсказания следующего значения курса акций используется не вся его история, а только последнее по времени значение.
12.2 Стохастические процессы с непрерывным временем
Рассмотрим переменную, подчиняющуюся марковскому стохастическому процессу. Предположим, что ее текущее значение равно 10, а изменение в течение года описывается функцией 0(0, 1), где 0(/т, <т) — нормальное распределение вероятностей с математическим ожиданием // и стандартным отклонением <т. Какое распределение вероятностей описывает изменение этой переменной в течение двух лет?
Изменение переменной через два года описывается суммой двух нормальных распределений с нулевыми математическими ожиданиями и единичными стандартными отклонениями. Поскольку переменная является марковской, эти распределения не зависят друг от друга. Складывая два независимых нормальных распределения, мы получим нормальное распределение, математическое ожидание которого равно сумме математических ожиданий каждого из слагаемых, а дисперсия — сумме их дисперсий.2 Таким образом, математическое ожидание изменений рассматриваемой переменной на протяжении двух лет равно нулю, а дисперсия — 2,0. Следовательно, изменение значения переменной через два года является случайной величиной с распределением вероятностей 0(0, \/2).
Рассмотрим далее изменение переменной за шесть месяцев. Дисперсия изменений этой переменной в течение одного года равна сумме дисперсий этих изменений на протяжении первых и вторых шести месяцев. Предположим, что эти дисперсии одинаковы. Тогда дисперсия изменений переменной на протяжении шести месяцев равна 0,5, а стандартное отклонение — \/0,5. Следовательно, распределение вероятностей изменения переменной на протяжении шести месяцев равно 0(0, \ДК5).
Аналогичные рассуждения позволяют доказать, что изменение переменной на протяжении трех месяцев имеет распределение 0(0, ^/0,25). Вообще говоря, изменение переменной на протяжении временного периода, имеющего длину Т, описывается распределением вероятностей 0(0, у/Т). В частности, изменение переменной за очень короткий промежуток времени, имеющий длину ДТ, описывается распределением вероятностей 0(0, х/ДТ).
Квадратные корни в этих выражениях могут показаться странными. Они возникают из-за того, что при анализе марковского процесса дисперсии изменений переменной в последовательные моменты времени складываются, а стандартные отклонения — нет. В нашем примере дисперсия изменений переменной в течение одного года равна 1,0, поэтому дисперсия изменений этой переменной в течение двух лет равна 2,0, а через три года — 3,0. В то же время стандартные отклоне
2Дисперсия распределения вероятностей равна квадрату его стандартного отклонения. Следовательно, дисперсия изменений рассматриваемой переменной в течение года равна 1,0.
ния изменений переменных через два и три года равны \/2 и х/З соответственно. Строго говоря, мы не должны говорить, что стандартное отклонение изменений переменной за один год равно 1,0 в год. Следует говорить, что оно равно “корню квадратному из единицы в год”. Это объясняет, почему величину неопределенности часто считают пропорциональной квадратному корню из времени.
Винеровские процессы
Процесс, которому подчиняется рассмотренная выше переменная, называется винеровским (Wiener process). Он представляет собой частный случай марковского стохастического процесса, когда математическое ожидание изменений переменной равно нулю, а их дисперсия равна 1,0. Этот процесс широко используется в физике для описания движения частицы, участвующей в большом количестве столкновений с молекулами (это явление называется броуновским движением (Brownian motion)).
Говоря формально, переменная z подчиняется винеровскому процессу, если она имеет следующие свойства.
Свойство 1. Изменение Az на протяжении малого промежутка времени At удовлетворяет равенству
Az = eVAt, (12.1)
где е — случайная величина, подчиняющаяся стандартизованному нормальному распределению </>(0,1).
Свойство 2. Величины Az на двух малых промежутках времени At являются независимыми.
Из первого свойства следует, что величина Az имеет нормальное распределение, у которого математическое ожидание равно нулю, стандартное отклонение равно \/At, а дисперсия равна At. Второе свойство означает, что величина z подчиняется марковскому процессу.
Рассмотрим увеличение переменной z на протяжении относительно долгого периода времени Т. Это изменение можно обозначить как z(T) — z(0). Его можно представить в виде суммы увеличения переменной z на протяжении N относительно малых промежутков времени, имеющих длину At. Здесь
Следовательно, w
z(r)-z(0) = ^eiVAt, (12.2)
г=1
где Ei, i = 1,2,... ,N — случайные величины, имеющие распределение вероятностей </>(0,1). Из второго свойства винеровского процесса следует, что величины
Е; являются независимыми друг от друга. Из выражения (12.2) следует, что случайная величина z(T) — z(0) имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно нулю, дисперсия равна N&t = Т,а стандартное отклонение — у/Т. Эти выводы согласуются с результатами, указанными выше.
Пример 12.1
Предположим, что значение z случайной переменной, подчиняющейся винеров-скому процессу, в первоначальный момент времени равно 25, а время измеряется годами. В конце первого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным 1,0. В конце пятого года значение переменной имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 25, и стандартным отклонением, равным \/5, т.е. 2,236. Неопределенность значения переменной в определенный момент в будущем, измеренная его стандартным отклонением, возрастает как квадратный корень из длины прогнозируемого интервала. □
В математическом анализе широко используется переход к пределу, когда величина малых изменений стремится к нулю. Например, при At —> 0 величина Дж = aAt превращается в величину dx = adt. При анализе стохастических процессов используются аналогичные обозначения. Например, при At —» 0 описанный выше процесс Az стремится к винеровскому процессу dz.
На рис. 12.1 показано, как изменяется траектория переменной z при At —> 0. Обратите внимание на то, что этот график является “зазубренным”. Это объясняется тем, что изменение переменной z за время At пропорционально величине JKt, а когда величина At становится малой, число yfKt намного больше, чем At. Благодаря этому, винеровский процесс обладает двумя интригующими свойствами.
1. Ожидаемая длина траектории, которую проходит переменная z в течение любого промежутка времени, является бесконечной.
2. Ожидаемое количество совпадений переменной z с любым конкретным значением на любом промежутке времени является бесконечным.
Обобщенный винеровский процесс
Скоростью дрейфа (drift rate), или коэффициентом сноса, стохастического процесса называется средняя величина изменения переменной величины за единицу времени, а дисперсией (variance rate), или коэффициентом диффузии — величина колебаний за единицу времени. Скорость дрейфа основного винеровского процесса dz, рассмотренного выше, равна нулю, а дисперсия равна 1,0. Нулевой дрейф означает, что ожидаемое значение переменной z в любой момент времени равно ее текущему значению. Единичная дисперсия процесса означает, что дисперсия изменения переменной z на интервале времени Т равна его длине.
Рис. 12.1. Изменение цены акции в примере
Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process) для переменной х можно определить через величину dz следующим образом.
dx — a dt + b dz,
(12.3)
где а и b — константы.
Чтобы понять смысл уравнения (12.3), полезно рассмотреть два слагаемых в правой части по отдельности. Слагаемое a dt означает, что ожидаемая скорость дрейфа переменной х равна а единиц в единицу времени. Без второго члена уравнение (12.3) превращается в уравнение
dx = adt,
откуда следует, что
dx
—— = а.
dt
Интегрируя это уравнение по времени, получаем
х = гео + at,
где жо — значение переменной х в нулевой момент времени. Таким образом, за период времени Т переменная х увеличивается на величину at. Член Ь dz можно рассматривать как шум, или изменчивость траектории, которую проходит переменная х. Величина этого шума в Ъ раз больше значения винеровского процесса. Стандартное отклонение винеровского процесса равно 1,0. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины Ь dz равно Ь. На небольших промежутках времени At изменение Дж переменной х определяется уравнениями (12.1) и (12.3).
Дж = aAt + te\/At,
где е, как и прежде, — случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение. Итак, величина Дж имеет нормальное распределение, математическое ожидание которого равно aAt, стандартное отклонение — by/At, а дисперсия — Ь2Д1. Аналогичными рассуждениями можно показать, что изменение переменной ж в течение произвольного интервала времени Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием с.Т, стандартным отклонением Ьу/Т и дисперсией Ь2Т. Таким образом, ожидаемая скорость дрейфа обобщенного винеровского процесса (12.3) (т.е. среднее изменение дрейфа в единицу времени) равна а, а дисперсия (т.е. дисперсия переменной за единицу времени) — Ь2. Этот процесс изображен на рис. 12.2. Проиллюстрируем сказанное следующим примером.
Пример 12.2
Рассмотрим ситуацию, в которой доля активов компании, вложенных в краткосрочные денежные эквиваленты (cash position), измеренные тысячами долларов, подчиняется обобщенному винеровскому процессу со скоростью дрейфа, равной 20 тыс. долл, в год, и дисперсией, равной 900 тыс. долл, в год. В первый момент времени доля активов равна 50 тыс. долл. Через год эта доля активов будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 70 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным д/ООО, т.е. 30 долл. Через шесть месяцев она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 60 тыс. долл., и стандартным отклонением, равным 30у/0^5 = 21,21 долл. Неопределенность, связанная с долей активов, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности, измеренная с помощью стандартного отклонения увеличивается как корень квадратный из длины прогнозируемого интервала. Обратите внимание на то, что эта доля активов может стать отрицательной (когда компания делает займы). □
Процесс Ито
Стохастическим процессом Ито (Ito process) называется обобщенный вине-ровский процесс, в котором параметры а и b являются функциями, зависящими от переменной х и времени t. Процесс Ито можно выразить следующей формулой.
dx = а(х, t)dt + 6(ж, t)dz,
(12.4)
И ожидаемая скорость дрейфа, и дисперсия этого процесса со временем изменяются. За небольшой промежуток времени от t до At переменная изменяется от х до х + Дж, где
Дж = а(ж,£)Д£ + Ь(х,
Это отношение содержит небольшую натяжку. Она связана с тем, что мы считаем дрейф и дисперсию переменной х постоянными величинами, которые на интервале времени от t до Д/ равны а(ж, t) и b(x, t)2 соответственно.
12.3 Процесс, описывающий изменение цены акции
В этом разделе обсуждается стохастический процесс, описывающий изменение цены бездивидендной акции.
На первый взгляд, естественно предположить, что цена акции описывается обобщенным винеровским процессом, т.е. имеет постоянную скорость ожидаемого дрейфа и постоянную дисперсию. Однако этот процесс не учитывает очень важные особенности цены акции. Дело в том, что ожидаемая инвестором доходность акции не зависит от ее цены. Если инвестор хочет получить ожидаемую доходность на уровне 14% годовых, а цена акции равна 10 долл., то при прочих равных условиях (ceteris paribus) он захочет получить эти 14% годовых и при цене акции, равной 50 долл.
Несомненно, гипотеза о неизменной скорости ожидаемого дрейфа не приемлема и должна быть заменена предположением, что постоянным является ожидаемая доходность (т.е. ожидаемый дрейф, деленный на цену акции). Если S — это цена акции в момент времени t, то ожидаемая скорость дрейфа должна быть равной pS, ще р — некая константа.
Это значит, что через короткий промежуток времени At ожидаемое значение, до которого поднимется цена акции, равно pSAt. Параметр р — это ожидаемый уровень доходности акции, выраженный в десятичном виде.
Если волатильность цены акции всегда равна нулю, из этой модели следует, что
Д5 = pSkt.
Переходя к пределу при Дt —> 0, получаем, что
dS = pS dt, т.е.
dS
~S
Интегрируя это равенство от нуля до Т, приходим к выводу, что
ST = Soe!iT, (12.5)
где So и Sr — цена акции в нулевой момент времени и в момент Т. Из формулы (12.5) следует, что если дисперсия равна нулю, то цена акции за единицу времени увеличивается на величину процентной ставки /1.
Разумеется, на практике цена акции подвержен колебаниям. Резонно предположить, что изменчивость процентного дохода за короткий период времени At остается постоянной независимо от цены акции. Иначе говоря, инвестор не в состоянии точно предсказать доходность, какой бы ни была цена акции. Это значит, что стандартное отклонение изменений цены акции за короткий период времени At должно быть пропорциональным самой цене акции. Это приводит к следующей модели:
dS = fiS dt + aS dz,
или
,/C
— = fidt + adz. (12.6)
Формулы (12.6) наиболее широко используются для моделирования изменений цены акции. Переменная а представляет собой волатильность цены, а /у— ожидаемая доходность. Модель (12.6) можно интерпретировать как предельный вариант случайного блуждания, представленного биномиальными деревьями, когда величина At стремится к нулю (см. главу 11).
Пример 12.3
Проанализируем бездивидендную акцию. Допустим, что ее волатильность равна 30% годовых, а доходность — 15% годовых при непрерывном начислении. В данном случае [i — 0,15 и а = 0,30. Процесс, описывающий цену акции, имеет следующий вид.
= 0,15 dt + 0,30 dz.
Если S — цена акции в конкретный момент времени, a AS — увеличение цены акции на протяжении короткого интервала времени, то
AS /—
—- = 0,15At + 0,30ev At,
к)
где е — случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение. Рассмотрим интервал времени, равный одной неделе, т.е. 0,0192 года, и предположим, что первоначальная цена акции равна 100 долл. Тогда At = 0,0192, S = 100 и
AS - 100(0,00288 + 0,0461е),
или
AS = 0.288 + 4,16е.
Отсюда следует, что цена возрастает на случайную величину, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 0,288 долл., и стандартным отклонением, равным 4,16 долл. □
Модель с дискретным временем
Модель цены акции, описанная в предыдущем разделе, называется геометрическим броуновским движением (geometric Brownian motion). Версия этой модели с дискретным временем имеет следующий вид.
AS Т
= /г At + <те\/д7,
(12.7)
или
AS = juAt + <7е\/Д4. (12.8)
Здесь переменная AS — это изменение цены акции S за небольшой период времени At, аг- случайная величина, имеющая стандартизованное нормальное распределение (т.е. нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением). Параметр р представляет собой ожидаемую доходность акции за единицу времени, а параметр о — это волатильность цены акции. Оба эти параметра считаются постоянными.
Левая часть равенства (12.7) — это процентный доход, полученный благодаря акции за короткий период времени At. Слагаемое ^At представляет собой ожидаемое значение этого процентного дохода, а <те vCAt — стохастическую компоненту процентного дохода. Дисперсия этой компоненты (а значит, и всего процентного дохода) равна и2 At. Это соответствует определению волатильности <т, данному в разделе 11.7. Иначе говоря, параметр о выбирается так, что представляет собой стандартное отклонение процентного дохода за короткий период времени At.
Из равенства (12.7) следует, что величина AS/S имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным //At, и стандартным отклонением, равным од/Д?. Иначе говоря,
~ ф (pAt, .
(12.9)
Метод Монте-Карло
Моделирование стохастического процесса с помощью метода Монте-Карло — это процедура выбора случайных значений процесса. Мы применим ее для того, чтобы лучше разобраться в природе уравнения (12.6).
Допустим, что ожидаемая доходность акции равна 14% годовых, а стандартное отклонение доходности (т.е. волатильность) равно 20% годовых. Это значит, что fi = 0,14 и ст = 0,20. Предположим, что At = 0,01, т.е. мы рассматриваем изменения цены акции на интервалах времени, длина которых равна 0,01 года (или 3,65 дня). Из равенства (12.8) получаем, что
А5 = 0,14 х 0,015 + 0,2д/0Д15£,
или
А5 = 0,00145 + 0,025е. (12.10)
Траекторию цены акции можно смоделировать, повторно выбирая значения е из генеральной совокупности чисел, имеющих распределение ф(0,1), и подставляя их в равенство (12.10). Формула = СЛЧИС() в программе Excel возвращает случайное число из отрезка от нуля до единицы. Значения функции, обратной к стандартному интегральному нормальному распределению, вычисляются с помощью функции НОРМАСТРАСП. Таким образом, чтобы сгенерировать случайную выборку, состоящую из значений, принадлежащих генеральной совокупности чисел, имеющей стандартное нормальное распределение, необходимо выполнить формулу = НОРМСТРАСП (СЛЧИС () ). Конкретные результаты моделирования одной из возможных траекторий приведены в табл. 12.1.
Таблица 12.1. Моделирование цены акции при // = 0,14 и а = 0,20 на протяжении 0,01 года
Цена акции в начале расчетного периода Случайное значение е Изменение цены акции за расчетный период
20,000 0,52 0,236
20,236 1,44 0,611
20,847 -0,86 -0,329
20,518 1,46 0.628
21,146 -0,69 -0,262
20,883 -0,74 -0,280
20,603 0,21 0,115
20,719 -1,10 -0,427
20,292 0,73 0,325
20,617 1,16 0,507
21,124 2,56 1,111
Первоначальная цена акции считается равной 20 долл. Для первого периода из генеральной совокупности чисел со стандартизованным нормальным распределением извлечено число е — 0,52. Из формулы (12.10) следует, что изменение
цены акции на протяжении первого периода равно
AS = 0,0014 х 20 + 0,20 х 20 х 0,52 = 0,236 долл.
Следовательно, в начале второго периода времени цена акции равна 20,236 долл. Значение е, сгенерированное для этого периода, равно 1,44. Из формулы (12.10) следует, что изменение цены акции на протяжении второго периода равно
AS = 0,0014 х 20.236 + 0,20 х 20,236 х 0,52 = 0.611 долл.
Следовательно, в начале следующего периода времени цена акции равна 20,847 долл, и т.д. Обратите внимание на то, что значения е независимы друг .. з
от друга, поскольку мы моделируем марковский процесс.
В табл. 12.1 сделано предположение, что цена акции округляется до 0,001. Следует понимать, что в этой таблице продемонстрирован только один из многочисленных возможных вариантов изменения цены акции. Другие случайные выборки приведут к иным траекториям цены акции. Для моделирования можно использовать малый интервал времени при любом небольшом значении At. При At —► 0 получаем идеальное описание стохастического процесса. Окончательная цена акции в табл. 12.1, равный 21,124, можно интерпретировать как случайную величину, извлеченную из генеральной совокупности цен акций, которые могут быть зафиксированы в по истечении десяти расчетных интервалов времени (т.е. в конце одной десятой года). Повторяя вычисления, можно получить полное распределение вероятностей цены акции, которые могут быть зафиксированы в этот момент времени. Более подробно метод Монте-Карло обсуждается в главе 17.
12.4 Параметры
Процесс, моделирующий цену акции, содержит два параметра: // и <т. Параметр р представляет собой непрерывно начисляемую доходность, полученную инвестором за год. Большинство инвесторов стремятся к более высокой доходности, что подвергает их более высокому риску. Следовательно, значение р должно зависеть от величины риска.3 4 Кроме того, этот параметр должен зависеть от уровня процентных ставок, установленных в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше доходность, ожидаемая инвестором от акции.
К счастью, параметр р, не обязательно анализировать слишком тщательно, поскольку стоимость производных ценных бумаг, зависящих от акции, как правило, не зависит от /т. Параметр <т, представляющий собой волатильность цены акции,
3На практике, как указано в разделе 17.6, удобнее генерировать выборку значений In S, а не S.
4Точнее, величина р зависит от той части риска, которую невозможно диверсифицировать.
наоборот, имеет очень большую важность для оценки большинства деривативов. Процедуры оценки параметра ст рассматриваются в главе 13. Типичные значения параметра ст колеблются от 0,15 до 0,60 (т.е. от 15 до 60%).
Стандартное отклонение пропорционального изменения цены акции на небольшом промежутке времени Дг равно ст>/Д4. В первом приближении эта величина на относительно длительном промежутке времени Т равна стд/Т. Это значит, что волатильность можно интерпретировать как стандартное отклонение изменения цены акции за один год. В главе 13 мы покажем, что волатильность цены акции точно равна стандартному отклонению непрерывно начисляемой доходности акции на протяжении одного года.
12.5 Лемма Ито
Стоимость фондового опциона представляет собой функцию, зависящую от цены базовой акции и времени. Вообще говоря, стоимость любой производной ценной бумаги является функцией, зависящей от стохастических переменных и времени. Таким образом, необходимо обратить внимание на некоторые свойства функций, зависящих от стохастических аргументов. Важный результат в этой области был получен математиком Киёши Ито (Kiyosi Ito) в 1951 году.5 Он известен как лемма Ито.
Допустим, что значения переменной х подчиняются процессу Ито:
dx = а(х, t)dt + b(x, t)dz, (12.11)
где dz — винеровский процесс, а а и b — функции, зависящие от переменных х и t. Скорость дрейфа переменной х равна а, а дисперсия — Ь2. Лемма Ито утверждает, что существует некая функция G, зависящая от переменных х и t и подчиняющаяся стохастическому процессу
f dG dG ld2G.A dGtJ
dG = ( -x— a + — + I dt + —— bdz. (12.12)
\ dx dt 2 dx2 J dx
Здесь dz — винеровский процесс из уравнения (12.11). Таким образом, функция G подчиняется процессу Ито. Ее дрейф равен
dG dG ld2G^
dx dt 2 dx2
а дисперсия —
\dx )
sCm. Ito К. On Stochastic Differential Equations. - Memoirs, American Mathematical Society, 4 (1951).-P. 1-51.
Строгое доказательство леммы Ито выходит за рамки нашей книги. В приложении 12.1 показано, что эту лемму можно интерпретировать как расширение известных результатов из дифференциального исчисления.
Ранее мы утверждали, что модель
dS = p,S dt + crS dz,
(12.13)
где // иа — константы, хорошо описывает траекторию цены акции. Из леммы Ито следует, что функция G, зависящая от цены акции Sn времени t, подчиняется стохастическому процессу
(dG а dG ia2GL2o2\ и dG
dG “ \dSpS + dt + 2 dsib S )dt + dSaSdz'
(12-14)
Обратите внимание на то, что на значения S и G зависят от одного и того же источника неопределенности dz. Этот факт очень важен для доказательства результатов Блэка- Шоулза.
Применение к форвардным контрактам
Для иллюстрации леммы Ито рассмотрим форвардный контракт на бездивидендную акцию. Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и равна г для всех сроков погашения облигаций. Формула (5.1) утверждает, что
Fo = SoerT,
где Fo — форвардная цена в нулевой момент времени, So — цена спот в нулевой момент времени, а Т — срок действия контракта.
Нас интересует, что произойдет с форвардной ценой с течением времени. Пусть F и S — форвардная цена и цена акции в некий момент времени t соответственно (t < Т). Величины F и S связаны между собой следующим соотношением.
F = Ser(T~t\ (12.15)
Предполагая, что процесс, описывающий поведение переменной S, определяется уравнением (12.13), мы можем применить лемму Ито и определить процесс, описывающий поведение переменной F.
Из равенства (12.15) следует, что
9F = er(T-t) _ Q ^F = g т(Т-1)
as ’ &S2 °’ dt s
Используя уравнение (12.14), получаем, что процесс, описывающий поведение переменной F, имеет следующий вид.
dF = [er(-T~t}iiS - rSe^-^dt + e^^oSdz.
Заменяя выражение Se''^1 переменной F, получаем уравнение
dF = (// — r)F dt + ctF dz.
(12.16)
Как и цена акции S, форвардная цена F подчиняется законам геометрического броуновского движения. Ее скорость роста ожидаемой доходности равна // - г, а не //. Скорость роста функции F представляет собой дополнительную доходность за счет цены акции S при безрисковой процентной ставке.
12.6 Свойство логнормальности
Применим лемму Ито для вывода процесса, описывающего изменение величины In S, когда S подчиняется процессу (12.13). Введем функцию
G = lnS.
Поскольку
dG _ 1 d2G _ J. dG dS ~ S' dS^ ~ ~S^' ~dt
из равенства (12.14) следует, что процесс, описывающий поведение функции G, имеет следующий вид.
’ а2
dG =
dt + <т dz.
(12.17)
Поскольку параметры р и а являются постоянными, из этого уравнения следует, что функция G = In S подчиняется обобщенному винеровскому процессу. Он имеет постоянную скорость дрейфа р — и постоянную дисперсию а2. Следовательно, изменение функции In S на интервале времени от нуля до момента Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием (р — и дисперсией а2Т. Отсюда следует, что
In St — In Sq ~ ф
T, aVT
(12.18)
т.е.
In St ~ ф
In So + f p — ~ j T, crs/T
(12.19)
где St — цена акции в момент Т, So — цена акции в нулевой момент, а ф(тп, s) — нормальное распределение с математическим ожиданием т и стандартным отклонением s.
Уравнение (12.19) показывает, что функция In Sr является нормально распределенной. Говорят, что переменная имеет логнормальное распределение, если ее
натуральный логарифм имеет нормальное распределение. Итак, разработанная нами модель означает, что цена акции в момент Т имеет логнормальное распределение. Стандартное отклонение логарифма цены акции равно Как всегда, оно пропорционально квадратному корню из длины расчетного периода времени.
Резюме
Стохастические процессы описывают вероятностную эволюцию значений переменных во времени. В марковском процессе для предсказания будущего значения переменной используется только ее текущее значение. Вся предыдущая история переменной и ее траектория игнорируются.
Винеровский процесс dz описывает эволюцию нормально распределенной случайной величины. Дрейф этого процесса равен нулю, а дисперсия равна 1,0 за единицу времени. Это значит, что если в нулевой момент времени переменная имела значение xq, то в момент Т она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием xq и стандартным отклонением у/Т.
Обобщенный винеровский процесс описывает эволюцию нормально распределенной переменной. Его дрейф равен а за единицу времени, а дисперсия — Ь2 за единицу времени, где а и b — константы. Это, как и прежде, означает, что если в нулевой момент времени переменная имела значение xq, то в момент Т она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием xq + аТ и стандартным отклонением Ьу/Т.
Процесс Ито — это стохастический процесс, у которого скорость дрейфа и дисперсия переменной х может зависеть от самой переменной х и времени. Изменение переменной хза очень короткий период времени хорошо аппроксимируется нормальным распределением, однако на более продолжительных интервалах времени отличается от нормального.
Чтобы понять сущность стохастического процесса, можно применить моделирование случайной переменной. Для этого анализируемый интервал времени необходимо разбить на большое количество маленьких расчетных интервалов и сгенерировать случайные траектории. Это позволяет оценить будущее распределение вероятностей анализируемой переменной. Методы Монте-Карло рассматриваются в главе 17.
Лемма Ито позволяет вычислить стохастический процесс, зависящий от поведения функции, аргумент которой определяется стохастическим процессом, зависящего, в свою очередь, от самой переменной. Как будет показано в главе 13, лемма Ито играет огромную роль в теории оценки производных ценных бумаг. Ключевым в этой лемме является тот факт, что винеровский процесс dz, лежащий в основе стохастического процесса, определяющего поведение переменной, точно совпадает с винеровским процессом, от которого зависит стохастический
процесс, определяющий поведение функции. Оба эти процесса зависят от одного и того же источника неопределенности.
Обычно считают, что цена акции хорошо описывается геометрическим броуновским движением. В этом случае процентный доход инвестора, полученный от акции за короткий момент времени, имеет нормальное распределение, а процентные доходы, полученные в течение разных и непересекающихся интервалов времени, не зависят друг от друга. Цена акции, прогнозируемый на будущий момент времени, имеет логнормальное распределение. Модель Блэка-Шоулза, описываемая в следующей главе, основана на предположении, что цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения.
Дополнительная литература
Эффективные рынки и марковское свойство цен акций
Brealy R. Л. An Introduction to Risk and Return from Common Stock, 2nd edn. — MIT Press, Cambridge, MA, 1983.
Cootner P. H. (ed.) The Random Character of Stock Market Prices. — MIT Press, Cambridge, MA, 1964.
Стохастические процессы
Cox D. R. and Miller H. D. The Theory of Stochastic Processes. — Chapman & Hall, London, 1965.
Feller W. Probability Theory and Its Applications. —Wiley, New York, vols. 1 and 2. - 1950.
Karlin S. and Taylor H. M. A First Course in Stochastic Processes, 2nd edn. — Academic Press, New York, 1975.
Neftci S. Introduction to Mathematics of Financial Derivatives. — Academic Press, New York, 1996.
Вопросы и задачи
12.1. Какой смысл имеет утверждение, что в определенном месте изменение температуры описывается марковским процессом? Не считаете ли вы, что температура, действительно, подчиняется марковскому процессу?
12.2. Может ли торговая стратегия, основанная на анализе ретроспективных данных, принести процентный доход, превышающий средний? Аргументируйте свой ответ.
12.3. Предположим, что доля активов компании, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности (cash position), подчиняется обобщенному вине-ровскому процессу со скоростью дрейфа, равной 0,5 млн долл, за квартал, и дисперсией, равной 4,0 млн долл, за квартал. Какой долей активов, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности, должна владеть компания в первоначальный момент времени, чтобы вероятность получить отрицательную долю активов через год не превышала 5%?
12.4. Переменные Х± и X? подчиняются обобщенному винеровскому процессу со скоростями дрейфа /zj и //2 и дисперсиями ст^ и ст^. Какому процессу подчиняется случайная величина Xi + Х% при следующих условиях?
1) Изменения переменных Xi и X? за короткий промежуток времени не коррелируют друг с другом.
2) Между переменными Ху и Ху> за короткий промежуток времени существует корреляция.
12.5. Рассмотрим переменную S, подчиняющуюся следующему процессу:
dS = ju dt + <rdz.
Для первых трех лет jz = 2 и ст = 3, а для следующих трех лет jz = 3 и ст = 4. Какое распределение вероятностей будет иметь переменная через шесть лет, если ее начальное значение равно 5?
12.6. Предположим, что функция G зависит от цены акции S и времени. Допустим, что cts и сто — волатильность значений S и G. Покажите, что когда ожидаемый процентный доход от изменения цены акции S увеличивается на величину Acts, скорость роста функции G увеличивается на величину Actg, где А — константа.
12.7. Цена акции А и Б подчиняется законам геометрического броуновского движения. Изменения цены на любых двух непересекающихся интервалах времени не коррелируют друг с другом. Можно ли утверждать, что цена инвестиционного портфеля, состоящего из одной акции А и одной акции Б, подчиняется законам геометрического броуновского движения? Аргументируйте свой ответ.
12.8. Предположим, что цена акции в уравнении (12.8) описывается следующим процессом.
AS = ^SXt + crSEX^Xt,
где ди а — константы. Подробно объясните разницу между этой и следующими моделями.
AS = /эА/ + сг£\/А£, AS — p,SAt + <те\/а7, AS = //At + crSeV^d.
Почему модель (12.8) более точно описывает поведение цены акции, чем любая из трех альтернативных моделей?
12.9. Предположим, что краткосрочная процентная ставка г подчиняется следующему стохастическому процессу.
dr = a(b — r)dt + re dz,
где а, b и с — положительные константы, a dz — винеровский процесс. Опишите природу этого процесса.
12.10. Предположим, что цена акции S подчиняется законам геометрического броуновского движения с математическим ожиданием // и волатильностью <т.
dS — д>5' dt + aS dz.
Каким процессом описывается переменная 5П? Докажите, что случайная величина Sn также подчиняется законам геометрического броуновского движения.
12.11. Предположим, что х — доходность облигации с нулевым купоном, выплаты по которой при непрерывном начислении в момент Т равны одному доллару. Допустим, что переменная х описывается следующим стохастическим процессом.
dx — а(а?о — x)di + sx dz,
где a, xq и s — положительные константы, a dz — винеровский процесс. Какой процесс описывает цену облигации?
Упражнения
12.12. Допустим, что ожидаемая доходность цены акции равна 16% годовых, а его волатильность — 30% годовых. Вычислите следующие величины, считая, что цена акции в конце определенного дня равен 50 долл.
1) Ожидаемая цена акции в конце следующего дня.
2) Стандартное отклонение цены акции в конце следующего дня.
3) 95%-ные довеоительные границы для цены акции в конце следующего дня.
12.13. Доля активов компании, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности (млн долл.), описывается обобщенным винеровским процессом, скорость дрейфа которого равна 0,1 млн долл, в месяц, а дисперсия — 0,16 млн долл, в месяц. Первоначальная доля равна 2,0 млн долл.
1) Какое распределение вероятностей будет иметь эта доля активов компании через один, шесть или двенадцать месяцев?
2) Какова вероятность того, что через шесть месяцев и через год эта доля активов станет отрицательной?
3) В какой момент вероятность отрицательной доли актива будет наибольшей?
12.14. Предположим, что х — доходность бессрочной правительственной облигации, выплаты по которой равны одному доллару в год. Допустим, что процентный доход начисляется и выплачивается непрерывно, а доходность описывается следующим стохастическим процессом.
dx = q(xq — x)dt Т sx dz,
где a, xo и s — положительные константы, a dz — винеровский процесс. Какой процесс описывает цену облигации? Чему равен ожидаемый мгновенный доход владельца облигации (включая процентный доход и капитальную прибыль)?
12.15. Предположим, что величина S подчиняется законам геометрического броуновского движения (12.6). Какой процесс описывает поведение следующих случайных величин?
1) У = 2S.
2) у = S2.
3) у = es.
4) у — e^-V/S.
Выразите коэффициенты при членах dt и dz через величину у, а не S.
12.16. Текущая цена акции равна 50 долл. Его ожидаемая доходность и волатильность равны 12% и 30% соответственно. Какова вероятность того, что через два года цена акции будет больше 80 долл.? {Подсказка', если In St > In 80, то ST > 80.)
Приложение 12.1. Доказательство леммы Ито
Покажем, что лемму Ито можно интерпретировать как естественное обобщение более простых результатов. Рассмотрим непрерывную и дифференцируемую функцию G, зависящую от переменной х. Если величина Дж представляет собой малое изменение переменной х, а ДС — соответствующее малое изменение функции G, то, как известно из классического математического анализа,
ДС
dG А —Дж. ах
(12.1.1)
Иначе говоря, величина ДС приближенно равна скорости изменения функции G, умноженной на приращение переменной ж. Ошибка этого равенства пропорциональна величине Дж2. Для большей точности можно использовать ряд Тейлора.
dG ld2GA 2 ld3G з
де = — Дж + - —-у Дж2 + ^-Дж3
dx 2 8xz 6 8хл
Для непрерывной и дифференцируемой функции G, зависящей от двух переменных ж и у, можно аналогично получить приближенное равенство
ДС
dG А dG А
—Дж + -у-Ду, dx dy
(12.1.2)
и ряд Тейлора
8G л 8G л 18?G 2 82G л л 1 Л 2
ДС = —Дж + 7~Ду + --у-уДж2 + —-АхАу + 7тгуДу + • • • (12.1.3) 8х 8у 2 ож2 8х8у 2 ду2
Переходя в выражении (12.1.3) к пределу при Дж —» 0 и Ду 0, получим следующее уравнение.
8G 8G
dG = --dx + -^-dy. (12.1.4)
8х 8у
Обобщим это уравнение на функции, зависящие от случайных переменных, описываемых процессами Ито. Допустим, что переменная ж в уравнении (12.1.4) следует процессу Ито, т.е.
dx = а(ж, t)dt + Ь(ж, t)dz,
(12.1.5)
а функция G зависит от переменной ж и времени t. Аналогично выражению (12.1.3), можно записать следующее равенство.
А^ dG 8G А ld2G 2 &2G А А 1 82G А 2 „„,
ДС = —Дж + —Ду + --^Дх2 + —-ДжДг + + • • • (12.1.6)
8х 8у 2 8хг 8x8t 2 от/
Уравнение (12.1.5) можно дискретизировать следующим образом.
Дж = а(х, t) At + b(x,
или
Дж = aAt + bsV~At. (12.1.7)
Это уравнение выявляет важное различие между уравнениями (12.1.6) и (12.1.3). С одной стороны, при предельном переходе в уравнении (12.1.4) члены, зависящие от Дж2, можно было отбросить, поскольку они имели второй порядок. С другой стороны,
Дж2 = b2e2At + члены более высокого порядка по At. (12.1.8)
Таким образом, в уравнении (12.1.6) член, содержащий величину At2, отбросить нельзя, поскольку одновременно он содержит компонент первого порядка.
Дисперсия стандартизованного нормального распределения равна 1,0. Это значит, что
Е(г2) - [ВД]2 = 1,
где Е — символ математического ожидания. Поскольку Е'(е) = 0, отсюда следует, что Е(е2) = 1. Следовательно, математическое ожидание величины e2At равно At. Можно показать, что дисперсия величины e2At имеет порядок At2, а значит, величину e2At можно считать нестохастической и равной ее математическому ожиданию, когда At —»• 0. Из уравнения (12.8) следует, что при At —> 0 величина Дж2 становится нестохастической и равной b2 dt. Переходя в уравнении (12.1.6) к пределу при Аж —> 0 и At —» 0, получим следующее уравнение.
dG , dG , 152G,2,
dG — ——dx -|——dt + — ~ b dt. (12.1.9)
dx dt. 2 dx2
Именно это и утверждает лемма Ито. Если подставить в уравнение (12.1.9) величину dx из уравнения (12.1.5), получим следующее равенство.
f dG dG ld2G\2\ dGtJ
dG — I —— a + -y—• + - - „ b I dt + —~bdz.
\dx dt 2 dx2 J dx
Модель Блэка-Шоулза-Мертона
В начале 1970-х годов Фишер Блэк (Fisher Black), Майрон Шоулз (Myron Scholes) и Роберт Мертон (Robert Merton) сделали фундаментальное открытие в теории ценообразования фондовых опционов.1 Этот результат известен как модель Блэка-Шоулза (модель Блэка-Шоулза-Мертона). Эта модель оказала огромное влияние на способы, с помощью которых трейдеры устанавливают цены и хеджируют опционы. Кроме того, эта модель дала сильный толчок к развитию финансовой инженерии в течение последних 20 лет. В 1997 году за создание этой модели Роберт Мертон и Майрон Шоулз получили Нобелевскую премию в области экономики. К прискорбию. Фишер Блэк умер в 1995 году, иначе бы он, без сомнения, также оказался бы в числе лауреатов.
В главе описывается процесс создания модели Блэка-Шоулза, предназначенной для оценки европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций. В ней показано, как оценить волатильность на основе ретроспективных данных или цен опционов. Будет также продемонстрировано применение риск-нейтральной модели, описанной в главе 11. Мы покажем также, как применить модель Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов на покупку и продажу акций, предусматривающих выплату дивидендов, а также для оценки соответствующих американских опционов.
13.1 Логнормальное свойство цен акций
Модель поведения цены акции, использованная Блэком, Шоулзом и Мертоном, описана в главе 12. Она основана на предположении, что изменения цены акции в течение короткого периода имеют нормальное распределение. Введем следующие обозначения.
/г. ожидаемая годовая доходность акции;
<т: годовая волатильность цены акции.
*См. Black F. and Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy, 81, (May/June 1973). — P. 637-659; Merton R. C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973). - P. 141-183.
Математическое ожидание относительного изменения цены акции в течение времени At равно pAt, а ее стандартное отклонение — cryfKi. Следовательно,
~ ф (//At, crVAtj ,
(13.1)
где AS — изменение цены акции S за время At, а ф(т, s) — нормальное распределение с математическим ожиданием т и стандартным отклонением s.
Как показано в разделе 12.6, из этого следует, что
Таким образом,
In St — In Sq ~ ф
1п|^~</> (ц- T,ctVT «Ьо L\ 2 /
In St ~ Ф
lnS0 +
(13.2)
(13.3)
и
Здесь St — это цена акции в момент Т, a So — цена акции в нулевой момент времени. Из равенства (13.3) следует, что величина In St имеет нормальное распределение. Это значит, что цена акции St подчиняется логнормальному распределению. Математическое ожидание случайной величины In Sy равно In So + (// — а2/2)Т, а стандартное отклонение — а\/Т.
Пример 13.1
Рассмотрим акцию с первоначальной ценой, равной 40 долл., ожидаемой доходностью, равной 16% годовых, и волатильностью, равной 20% годовых. Из равенства (13.3) следует, что распределение цены акции St через шесть месяцев будет иметь следующий вид.
In ST ~ </>[1п40 + (0,16 - 0,22/2) х 0,5,0,2х/б^5], In ST ~ </>(3,759,0,141).
Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина лежит в окрестности математического ожидания на расстоянии, не превышающем 1,96 стандартных отклонений, равна 95%. Следовательно, с доверительной вероятностью, равной 95%, выполняется неравенство
3,759 - 1,96 х 0,141 < In ST < 3,759 + 1,96 х 0,141.
Следовательно,
е3,759-1,96x0,141 < < е3,759+1,96x0,141
32,55 < ST < 56,56.
Итак, с 95%-ной вероятностью цена акции через шесть месяцев будет лежать
в диапазоне от 32,55 до 56,56 долл.
Переменная, имеющая логнормальное распределение, принимает значения от нуля до бесконечности. Форма этого распределения показана на рис. 13.1. В отличие от нормального распределения, логнормальное распределение является асимметричным, поэтому его математическое ожидание, медиана и мода не совпадают друг с другом. Из равенства (13.3) и свойств логнормального распределения следует, что математическое ожидание цены акции E{St) равно2
E{ST) = SQe^T.
(13.4)
Это полностью соответствует определению ожидаемой доходности ц. Можно показать, что дисперсия цены акции определяется по формуле
var {St) — S^e2117
(13.5)
Рис. 13.1. Логнормальное распределение
Пример 13.2
Рассмотрим акцию с первоначальной ценой, равной 20 долл., ожидаемой доходностью, равной 20% годовых, и волатильностью, равной 40% годовых. Ожидаемая
Доказательство формул (13.4) и (13.5) приведено на Web-сайте автора в техническом замечании 2. Свойства логнормального распределения обсуждаются в работе Aitchison J. and Brown J. A. C. The Lognormal Distribution. — Cambridge University Press, Cambridge, 1966.
цена акции и ее дисперсия через год будут равны
E(ST) = 20e°’2xl = 24,43, var(ST) = 400e2xO’2xl(e°’42xl - 1) = 103,54.
Стандартное отклонение цены акции через год будет равно ^/103,54, т.е. 10.18. □
13.2 Распределение ставки доходности
Логнормальное распределение цены акции можно использовать для вычисления распределения непрерывно начисляемой ставки доходности акции в течение интервала времени от нуля до момента Т. Обозначим через х непрерывно начисляемую годовую норму прибыли за интервал времени от нуля до момента Т. С одной стороны, из равенства
ST = SoexT
следует, что
х=^1п^. (13.6)
т г>о
С другой стороны, из равенства (13.2) следует, что
х ~ ф
а2
(13.7)
Таким образом, непрерывно начисляемая годовая ставка доходности имеет нормальное распределение с математическим ожиданием ц — а2/2 и стандартным отклонением ст/\/Т. При увеличении параметра Т стандартное отклонение переменной х уменьшается. Чтобы понять причину этого явления, достаточно рассмотреть два варианта: Т = 1 и Т = 20. Средняя доходность за 20 лет определяется намного точнее, чем средняя доходность за один год.
Пример 13.3
Рассмотрим акцию с доходностью, равной 17% годовых, и волатильностью, равной 20% годовых. Распределение фактической нормы прибыли (начисляемой непрерывно) через три года имеет нормальное распределение с математическим ожиданием
0,17 - 0,22/2 = 0,15,
т.е. 15% годовых, и стандартным отклонением
0,2/\/3 = 0,1155,
т.е. 11,55% годовых. Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина лежит в окрестности ее математического ожидания на расстоянии не более 1,96 стандартных отклонений, равна 95%. Следовательно, можно с 95%-ной уверенностью утверждать, что фактическая ставка доходности за три года будет лежать в диапазоне от —7,6 до +37,6% годовых. □
13.3 Ожидаемая доходность
Доходность р, ожидаемая инвестором от акции, зависит от ее рискованности. Чем выше риск, тем выше ожидаемая доходность. Кроме того, доходность зависит от уровня процентных ставок в экономике. Чем выше уровень процентных ставок, тем выше ожидаемая доходность акций любой компании. К счастью, нет никакой необходимости тщательно определять величину р. Оказывается, что стоимость фондового опциона, выраженная через цену базовой акции, совершенно не зависит от величины р. Несмотря на это, существует один аспект, связанный с ожидаемой доходностью, который часто вызывает недоразумения и стоит отдельного изучения.
Из равенства (13.1) следует, что величина pAt представляет собой ожидаемое относительное изменение цены акции за очень короткий промежуток времени At. Это значит, что р — это ожидаемая доходность за очень короткий временной интервал At. Естественно предположить, что величина р также является ожидаемой непрерывной начисляемой доходностью акции за относительно долгий период времени. Однако это не так. Непрерывно начисляемая доходность акции за Т лет равна
1 St х = + !п+~-t оо
Из равенства (13.7) следует, что математическое ожидание Е'(ж) величины х равно р — сг2/2.
Причина различий между величинами р в равенстве (13.1) и р — <т2/2 в равенстве (13.7) является неочевидной, но очень существенной. Рассмотрим очень большое количество очень коротких периодов времени At. Обозначим через S) цену акции в конце z-го интервала, а через AS; — разность Si+\ — St. При сделанных предположениях средняя доходность акции на каждом интервале времени близка к величине р. Иначе говоря, значение р близко к арифметическому среднему величин &.Si/Si. Однако ожидаемая доходность на всем промежутке времени, состоящем из интервалов At, близка к величине р—<т2/2, а не к р.3 Одна из типичных ситуаций, связанных с расчетами доходности взаимных фондов, приведена во
3Итак, мы показали, что термин “ожидаемая доходность” является неоднозначным. Он может относиться как к величине д — <т2/2, так и к величине д. Если не указано иное, в дальнейшем на протяжении всей книги термин “ожидаемая доходность” будет относиться к величине д.
врезке “Пример из деловой практики 13.1”. Чтобы разобраться в математических аспектах этого явления, начнем анализ с равенства (13.4).
E(ST) = Soetir.
Логарифмируя это равенство, получим
ln[E(Sr)] = ln(So) + цТ.
Соблазнительно положить
ln[E(Sr)] = £[1п(5т)],
так чтобы выполнялось равенство — ln(Sb) = цТ, или E[ln(St/Sq}\ =
= //Г и E(R) — fi. Однако мы не имеем права это сделать, поскольку функция In является нелинейной. На самом деле 1п[Е'(5т)] > E[ln(Sr)], так что ^[Ii^St/So)] < fiT, т.е. Е(х) < fi (Как указывалось выше, Е(х) = ft — о2/2.)
Пример из деловой практики 13.1. Доходность взаимных фондов может вводить в заблуждение
Разница между параметрами fi и ц — сг2/2 часто проявляется в отчетах о доходности взаимных фондов. Предположим, что управляющий некоего взаимного фонда указал в отчете за пять лет следующие значения, представляющие собой показатели годовой доходности.
15% 20% 30% -20% 25%
Арифметическое среднее этих чисел, представляющее собой их сумму, деленную на пять, равно 14%. Однако инвестор, вложивший деньги на пять лет, на самом деле получит меньше 14% годовых. Стоимость 100 долл, через пять лет будет равной следующей величине.
100 х 1,15 х 1,20 х 1,30 х 0,80 х 1,25 = 179,40 долл.
В противоположность этому, 14% годовых при ежегодном начислении принесло бы
100 х 1,145 = 192,54 долл.
Фактическая средняя доходность к концу пятого года равна
100 х 1,1245 - 1 = 179,40 долл.
т.е. 12,4% годовых.
Какую же среднюю доходность должен был указать управляющий взаимным фондом? Ему было бы выгодно заявить: “Средняя годовая доходность, полученная нами за пять лет, равна 14%”. Несмотря на то что это правда, такое
утверждение является неоднозначным. Намного точнее сказать: “Средняя доходность, полученная вкладчиком нашего фонда за последние пять лет, равна 12,4% в год”. В некоторых странах регулирующие органы требуют, чтобы управляющие инвестиционными фондами отчитывались именно так.
Это явление хорошо известно математикам. Так, геометрическое среднее нескольких чисел, не совпадающих друг с другом, всегда меньше арифметического среднего. В нашем примере доходность вычисляется путем последовательного умножения чисел 1,15, 1,20, 1,30, 0,80 и 1,25. Арифметическое среднее этих чисел равно 1,140, а геометрическое среднее — только 1,124.
13.4 Волатильность
Волатильность цены акции с представляет собой меру неопределенности ее доходности. Как правило, волатильность колеблется от 15 до 60%.
Из равенства (13.7) следует, что волатильность цены акции можно определить как стандартное отклонение доходности акции за один год, когда доходность рассчитывается непрерывно.
Если величина Т невелика, из равенства (13.1) следует, что число ст\/Т приближенно равно стандартному отклонению относительного изменения цены акции за время Т. Допустим, что = 0,3, т.е. 30% годовых, а текущая цена акции равна 50 долл. Стандартное отклонение относительного изменения цены акции за одну неделю приближенно равно
Следовательно, изменение цены акции за неделю равно 50 х 0,0416 = 2,08 долл.
Равенство (13.1) означает, что неопределенность будущей цены акции, измеренная с помощью стандартного отклонения, возрастает как корень квадратный из длины прогнозируемого интервала. Например, стандартное отклонение цены акции за четыре недели приближенно равно двум стандартным отклонениям цены за одну неделю.
Оценка волатильности по ретроспективным данным
Чтобы получить эмпирическую оценку цены акции, как правило, собирают данные о ее значениях на фиксированном интервале времени (например, в течение дня, недели или месяца).
Введем следующие обозначения.
п+1: количество наблюдений;
Si', цена акции в конце г-го интервала (г = 0,1,2,..., п);
Глава 13. Модель Блэка-Шоулза-Мертона
г: длина интервала в годах.
Кроме того, пусть
щ = In
где г = 1,2,... ,п
Обычная оценка s стандартного отклонения величин щ выглядит следующим образом.
где й — среднее значение величин щ.
Из равенства (13.2) следует, что стандартная оценка величин и, равна ау/т. Таким образом, переменная s представляет собой оценку величины Оу/т. Итак, чтобы получись оценку о величины о можно воспользоваться следующим соотношением.
Стандартная ошибка этой оценки приближенно равна
Выбрать подходящее значение п нелегко. С одной стороны, чем больше данных, тем выше точность, но, с другой стороны, величина ст со временем изменяется, и ретроспективные данные могут оказаться непригодными для прогноза. Разумным компромиссом является выбор данных о колебаниях цены акции за последние 90-180 дней. На практике аналитики часто пользуются эмпирическим правилом, приравнивая число п к количеству дней, из которых состоит прогнозируемый период. Таким образом, если оцениваемая волатильность будет использована для прогноза цены акции на два года вперед, следует проанализировать данные, собранные за предшествующие два года. Более сложные подходы к оценке волатильности на основе моделей GARCH рассматриваются в главе 19.
Пример 13.4
В табл. 13.1 приведены возможные цены акции, зарегистрированные на протяжении 21 последовательного операционного дня. В этом случае
22 “i = 0,09531 и и1 = 0,00326.
Оценка стандартного отклонения дневной доходности равна
0,00326 0,095312
- T9 -°'°1Ж'
т.е. 1,216%. Предположим, что в году 252 операционных дня. Тогда т — 1/252, а оценка годовой волатильности равна 0,01216\/252 = 0,193, т.е. 19,3%. Стандартная ошибка этой оценки равна
0,193
V2 х 20
= 0,031,
т.е. 3,1% годовых.
□
Таблица 13.1. Вычисления волатильности
День Цена на момент закрытия, долл. Относител ьное изменение Si/Si-i Дневная доходность Ui = ln(Si/Si_i)
0 20,00
1 20,10 1,00500 0.00499
2 19,90 0,99005 -0,01000
3 20,00 1,00503 0,00501
4 20,50 1,02500 0,02469
5 20,25 0,98780 -0,01227
6 20,90 1,03210 0,03159
7 20,90 1,00000 0,00000
8 20,90 1,00000 0.00000
9 20,75 0,99282 -0,00720
10 20,75 1,00000 0,00000
11 21,00 1,01205 0.01198
12 21,10 1,00476 0,00475
13 20,90 0,99052 -0,00952
14 20,90 1,00000 0,00000
15 21,25 1,01675 0.01661
16 21,40 1,00706 0,00703
17 21,40 1,00000 0,00000
18 21,25 0,99299 -0,00703
19 21,75 1,02353 0.02326
20 22,00 1,01149 0,01143
Проведенный анализ относится к бездивидендной акции. Однако его можно применять и к акциям, по которым выплачиваются дивиденды. Доходность щ на протяжении интервала времени, включающего в себя даты “без дивиденда”, вычисляется по формуле
, S.t + D
щ = In—------,
где D — величина дивидендов. Доходность на остальных промежутках времени остается прежней.
щ = In -—.
*г-1
Однако при вычислении доходности для интервалов, содержащих даты “без дивидендов”, необходимо учитывать налоги. Поэтому, вероятно, при оценке волатильности цены акции лучше просто игнорировать такие интервалы.
Операционные и календарные дни
При оценке параметров волатильности важно правильно выбрать единицы измерения времени: календарные или операционные дни. Как показано во врезке “Пример из деловой практики 13.2”, волатильность цен акций намного выше, когда биржа открыта, чем когда она закрыта. В результате, при оценке волатильности цен акций на основе исторических данных и при вычислении сроков действий опционов практики предпочитают игнорировать дни, когда биржа была закрыта. Годовая волатильность вычисляется на основе волатильности, зарегистрированной в операционные дни, с помощью следующей формулы.
Годовая волатильность в /количество операционных
волатильность “ операционные дни х \ дней в году
Именно эта формула применяется в примере 13.4 при вычислении волатильности на основе данных, представленных в табл. 13.1. Как правило, при оценке волатильности цен акций считается, что год содержит 252 операционных дня.
Продолжительность действия опциона также обычно измеряется в операционных, а не календарных днях. Так, срок действия опциона Т вычисляется по следующей формуле.
количество операционных дней, оставшихся „ до истечения срока действия опциона
Пример из деловой практики 13.2. Какими причинами обусловлена волатильность?
Естественно предположить, что волатильность цены акции вызвана поступлением на рынок новой информации. Эта информация побуждает людей пересматривать свое мнение о цене акции. В результате она изменяется, что и приводит к появлению волатильности. Однако эта точка зрения на причины волатильности не подтверждается научными исследованиями. Имея данные о ежедневных изменениях цены акции, собранные за несколько лет, исследователь может вычислить следующие величины.
1. Изменение цены акции между моментом закрытия торгов в один из рабочих дней и моментом закрытия торгов на следующий день, если эти дни не отделены друг от друга выходными или праздниками, когда биржа закрыта.
2. Изменение цены акции между моментом закрытия торгов в пятницу и моментом закрытия торгов в понедельник.
Второе изменение представляет собой колебание цены в течение трех дней, а первое — за один день. Естественно предположить, что второе изменение окажется в три раза больше, чем первое. В работах Фама (Fama) (1965), Френча (French) (1980), а также Френча и Ролла (Roll) (1986) показано, что это предположение является неверным. В трех упомянутых исследованиях вторая величина на 22%, 19% и 10,7% соответственно превышала первую.
Пытаясь объяснить это противоречие, исследователи предположили, что, когда биржа работает, на рынок поступает больше информации. Однако исследование Ролла (1984) не подтвердило эту гипотезу. Ролл проанализировал цены фьючерсов на поставку апельсинового сока. Наиболее важной информацией, влияющей на фьючерсные цены апельсинового сока, является прогноз погоды, который может поступать в любое время. Когда Ролл попытался провести аналогичное исследование акций, он выяснил, что второе изменение (с пятницы на понедельник) только в 1,54 раза больше первого (между двумя соседними рабочими днями).
Единственно возможное объяснение этих фактов заключается в том, что волатильность цены в большей степени обусловлена самим ходом торгов. (Как правило, трейдеры охотно соглашаются с этим утверждением!)
13.5 Концепции, лежащие в основе дифференциального уравнения Блэка-Шоулза-Мертона
Дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза-Мертона должна удовлетворять цена любой производной ценной бумаги, основанной на бездивидендной акции. Само уравнение будет выведено в следующем разделе, а сейчас мы проанализируем лишь суть аргументов, на которых оно базируется.
Аргументация, используемая при выводе уравнения, напоминает арбитражные рассуждения, приведенные в главе 11 при оценке стоимости фондового опциона с помощью биномиальных деревьев. В основе модели лежит инвестиционный портфель, состоящий из позиции по деривативу и соответствующей акции. В отсутствие арбитражных возможностей доходность портфеля должна быть равной безрисковой процентной ставке г. Это предположение сразу приводит нас к уравнению Блэка-Шоулза-Мертона.
Поскольку колебания влияют не только на цену акций, но и на стоимость производных ценных бумаг, инвестиционный портфель, свободный от риска, вполне возможен. За любой короткий промежуток времени цена дериватива идеально коррелирует с ценой базовой акции. Создав подходящий инвестиционный портфель, можно компенсировать прибыли и убытки, обусловленные позицией по акции, убытками и прибылями, обусловленными позицией по деривативу, так что стоимость портфеля в конце короткого периода является вполне определенной величиной.
Предположим, например, что в конкретный момент времени небольшое изменение цены акции AS и результирующее небольшое приращение цены европейского опциона на покупку акции Ас связаны следующим соотношением.
Ас = 0,4AS.
Как показано на рис. 13.2, это значит, что угловой коэффициент линейной функции, связывающей величины с и S, равен 0,4. Портфель, свободный от риска, должен состоять из следующих ценных бумаг.
1. Длинной позиции по 0,4 акции.
2. Короткой позиции по одному опциону “‘колл”.
Рис. 13.2. Зависимость между величинами с и S
Между моделью Блэка-Шоулза и методом оценки опционов с помощью биномиальных деревьев существует принципиальное различие. В первой модели позиция по акции и деривативу является свободной от риска только на очень коротком промежутке времени. (С теоретической точки зрения, она является безрисковой только на бесконечно малом промежутке времени.) Чтобы оставаться безрисковой, эта позиция должна постоянно корректироваться, или балансироваться (rebalanced).4 Например, сегодня приращения Ас и AS могут быть связаны отношением Ас = 0,4AS, а через две недели — Ас = 0,5AS. Следовательно,
4Балансирование портфелей обсуждается в главе 15.
для того чтобы сохранить безрисковую позицию, инвестор должен был купить дополнительную 0,1 долю акции на каждый проданный опцион “колл”. Тем не менее, доходность портфеля, свободного от риска, за очень короткий промежуток времени действительно должна быть равной безрисковой процентной ставке. Это ключевой момент теории Блэка-Шоулза.
Предположения
При выводе дифференциального уравнения Блэка-Шоулза-Мертона используются следующие предположения.
1. Цена акции подчиняется стохастическому процессу, описанному в главе 12, где д и ст — константы.
2. Разрешается продавать ценные бумаги без покрытия и использовать вырученные суммы в полном объеме.
3. Транзакции выполняются бесплатно. Налоги не учитываются. Все ценные бумаги допускают неограниченное деление.
4. На протяжении срока действия дериватива дивиденды не выплачиваются.
5. Арбитражные возможности, свободные от риска, отсутствуют.
6. Торговля ценными бумагами происходит непрерывно.
7. Безрисковая процентная ставка г является постоянной для всех сроков погашения.
Как указывалось в предыдущих главах, некоторые из этих условий можно ослабить. Например, величины ст и г могут быть известными функциями, зависящими от t. Можно даже разрешить случайные изменения процентных ставок, при условии что цена акции в момент завершения опциона остается логнормальной.
13.6 Вывод дифференциального уравнения Блэка-Шоулза-Мертона
Будем считать, что цена акции описывается стохастическим процессом, выведенным в разделе 12.3.
dS — ftS dt 4- ctS dz. (13.8)
Пусть f — цена опциона “колл” или другой производной ценной бумаги, основанной на акции с ценой S. Они должны зависеть от переменных S и t. Итак, из уравнения (12.14) следует, что
df ydS^s + Qt + 2 as2° s J d + asaSd
(13.9)
Дискретные варианты уравнений (13.8) и (13.9) имеют следующий вид.
AS = fiS^t + aS/\z.
df df Id2f 2 2
AZ + dS
(13.10)
(13.11)
Здесь AS и А/ — изменения функций / и S на малом интервале времени At. Напомним, что функции / и S описываются одними и теми же винеровскими процессами. Иначе говоря, в уравнениях (13.10) и (13.11) величина Аг (= £\/At) принимает одно и то же значение. Отсюда следует, что винеровский процесс можно исключить, правильно подобрав состав инвестиционного портфеля, состоящего из акций и дериватива.
В частности, приемлемым является следующий портфель.
—1: дериватив, df
+—: акции. оЬ
Владелец такого портфеля занимает короткую позицию по одному деривативу и длинную позицию по акциям. Обозначим стоимость портфеля через П. По определению, df
n = -f + ^-S. (13.12)
(JtJ
Приращение АП стоимости портфеля на интервале времени At описывается следующей формулой.
д f
АП=-Д/ + -АД5. (13.13)
дЬ
Подставляя уравнения (13.10) и (13.11) в уравнение (13.13), получаем
АП =
а/
dt
ld2f
2dS2
(13.14)
Поскольку это выражение не содержит величину Аг, портфель на протяжении интервала времени At является безрисковым. Из предположений, перечисленных в начале раздела, следует, что этот инвестиционный портфель непрерывно обеспечивает доходность на уровне той же безрисковой процентной ставки, что и другие безрисковые краткосрочные ценные бумаги. Если бы инвестор мог получить больше, арбитражеры могли бы извлечь прибыль, свободную от риска, заняв деньги, чтобы купить этот портфель. Если же прибыль инвестора была бы меньше, арбитражеры извлекли бы прибыль, свободную от риска, продав портфель без покрытия и купив безрисковые ценные бумаги. Следовательно,
АП = rnAt,
(13.15)
где г — безрисковая процентная ставка. Подставляя в равенство (13.15) величины из уравнений (13.12) и (13.14), получаем
так что
dt + 2 8S2
= д*-
\ db )
а/ dt
df . 1 2о2^/
as 2 as2
(13.16)
Уравнение (13.16) называется дифференциальным уравнением Блэка-Шоулза Мертона. Оно имеет много решений, соответствующих всевозможным производным ценным бумагам, которые можно определить для цены акции S. Для выде
ления из этого множества конкретного дериватива используются краевые условия (boundary conditions) по переменным S и t. Например, для европейского опциона “колл” краевое условие имеет вид
f = max(S' — К, 0) при t = Т.
Для европейского опциона “пут” краевое условие имеет вид
f = max( A' — 5,0) при t — Т.
Следует подчеркнуть, что инвестиционный портфель, использованный при выводе уравнения (13.16), не всегда является свободным от риска. Он является безрисковым только на бесконечно малых промежутках времени. При изменении переменных S и t производная также изменяется. Чтобы сохранить портфель свободным от риска, необходимо постоянно изменять пропорции производных ценных бумаг и акций, входящих в него.
Пример 13.5
Одной из производных ценных бумаг, основанных на бездивидендных акциях, является форвардный контракт. Следовательно, его стоимость должна удовлетворять уравнению (13.16). Из уравнения (5.5) следует, что стоимость форвардного контракта f в момент t выражается через цену акции S следующим образом.
f = S- Ке~г(т~*\
где К — цена поставки. Отсюда следует, что
df as
= -гКе-г{т~1\
(Т1 as2
^ = 1. as ’
= 0.
Подставляя эти выражения в уравнение (13.16), получим
-гКе~г^т-^ + rS.
Эта величина равна rf, что подтверждает справедливость равенства (13.16). □
Цены котируемых деривативов
Любое решение дифференциального уравнения (13.16) является теоретической ценой некоего возможного дериватива. Если дериватив с такой ценой существует, арбитражные возможности создать невозможно. И наоборот, если функция f(S, /) не удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16), она не может быть ценой никакого дериватива без дополнительного создания арбитражных возможностей.
Чтобы проиллюстрировать это утверждение, рассмотрим функцию es. Она не является решением уравнения (13.16). Следовательно, ее нельзя считать ценой дериватива, зависящего от цены акции. Если на рынке постоянно существует производная ценная бумага с ценой es, могут возникнуть арбитражные возможности. В качестве второго примера рассмотрим функцию
g(cr2—2r)(7’—t)
S ’
Она удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16) и поэтому, теоретически, является ценой некоего дериватива. (Она представляет собой цену дериватива, доходность которого в момент Т равна 1/St-) Другие примеры котируемых деривативов перечислены в задачах 13.11, 13.12, 13.23 и 13.28.
13.7 Риск-нейтральная оценка
В главе 11 мы рассмотрели риск-нейтральную оценку деривативов с помощью биномиальной модели. Несомненно, она представляет собой один из наиболее важных методов оценки производных ценных бумаг. Риск-нейтральную оценку дериватива можно получить также, используя одно из основных свойств модели Блэка-Шоулза, выраженное уравнением (13.16). Его особенность заключается в том, что оно не содержит ни одной переменной, которая зависела бы от рисковых предпочтений инвесторов. В уравнение Блэка-Шоулза-Мертона входят текущая цена акции, время, волатильность цены акции и безрисковая процентная ставка. Все они не зависят от рисковых предпочтений.
Если бы в дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза-Мертона входила ожидаемая доходность акции //, оно оказалось бы зависящим от рисковых предпочтений инвесторов. Чем больше инвестор не любит рисковать, тем выше величина р для конкретной акции. К счастью, в выводе уравнения (13.16) величина // участия не принимает.
Поскольку дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза-Мертона не зависит от рисковых предпочтений инвесторов, можно воспользоваться остроумным приемом. Если рисковые предпочтения в уравнения не включаются, они не могут влиять на его решения. Следовательно, при оценке функции f можно использовать
любой набор рисковых предпочтений. В частности, можно просто предположить, что все инвесторы являются безразличными к риску.
В мире риск-нейтральных инвесторов ожидаемая доходность всех ценных бумаг равна безрисковой процентной ставке г. Причина этого явления заключается в том, что такие инвесторы не требуют дополнительной компенсации за риск. Кроме того, в риск-нейтральном мире текущую стоимость наличных сумм можно получить, учтя ожидаемую стоимость безрисковой процентной ставки. Следовательно, предположение о существовании риск-нейтральных условий значительно упрощает анализ производных ценных бумаг.
Рассмотрим дериватив, который приносит прибыль в определенный момент времени. Для его риск-нейтральной оценки можно выполнить следующую процедуру.
1. Предположим, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке г (т.е. ц = г).
2. Вычислим ожидаемую прибыль от дериватива.
3. Сделаем скидку на величину безрисковой процентной ставки.
Необходимо отдавать себе отчет, что риск-нейтральные оценки, т.е. оценки, основанные на предположении о том, что все инвесторы являются риск-нейтральными, являются просто искусственным способом решения дифференциального уравнения Блэка-Шоулза. Они справедливы не только для риск-нейтральных ситуаций, но и для всех остальных. При переходе из риск-нейтрального мира в реальный происходят две вещи: изменяется ожидаемая скорость изменения цены акции и из любой прибыли, полученной благодаря изменению стоимости дериватива, вычитается ставка дисконта. Оказывается, эти два изменения полностью компенсируют друг друга.
Применение модели Блэка-Шоулза для оценки форвардных контрактов на поставку акций
В разделе 5.7 мы оценили форвардный контракт на поставку бездивидендных акций. Рассматривая пример 13.5, мы убедились, что полученная формула для вычисления цены удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза. В этом разделе мы выведем риск-нейтральную формулу для вычисления цены. В дальнейшем будем считать, что процентная ставка г является постоянной. Это условие является немного более строгим, чем условие, использованное в главе 5.
Рассмотрим длинную позицию по форвардному контракту, срок действия которого равен Т, а цена поставки равна К. Как указано на рис. 1.2, стоимость этого контракта в момент истечения срока его действия равна
St ~ К,
где St — цена акции в момент Т. Применяя методы риск-нейтральной оценки, приходим к выводу, что стоимость этого форвардного контракта в нулевой момент времени равна его ожидаемой стоимости в момент Т, дисконтированной по безрисковой процентной ставке. Обозначим стоимость форвардного контракта в нулевой момент времени через /. Тогда
f = e~rTE(ST - К),
где Е — ожидаемая стоимость контракта в риск-нейтральном мире. Поскольку величина К является постоянной, эта формула принимает следующий вид.
f = e~rTE(ST) - Ке~гГ.
(13.17)
Ожидаемая скорость роста цены акции ц в риск-нейтральных условиях становится равной ставке г. Следовательно, из равенства (13.4) получаем, что
E(ST) = SoerT.
(13.18)
Подставляя выражение (13.18) в формулу (13.17), приходим к следующему выводу.
f = So - Ке~тТ. (13.19)
Этот результат совпадает с формулой (5.5).
13.8 Формулы Блэка-Шоулза
Формулы Блэка-Шоулза для вычисления первоначальных цен европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций имеют следуюший вид.
с = S07V((/i) - Ke~rTN(d2),
(13.20)
р = Ke~rTN(-d2) - SoNi-dr). (13.21)
Здесь
Функция Аг(.т) — это интегральная функция стандартизованного нормального распределения. Иначе говоря, она представляет собой вероятность того, что переменная со стандартным нормальным распределением </>(0,1) меньше величины х. Эта ситуация изображена на рис. 13.3. Остальные переменные были введены ранее.
Рис. 13.3. Закрашенная область представляет собой величину Л’(х)
Переменные сир — это цены европейских опционов на покупку и продажу акций соответственно, So — первоначальная цена акции, К — цена исполнения, г — непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка, а — волатильность цены акции, а Т — время, оставшееся до завершения срока действия опциона.
С одной стороны, формулы Блэка-Шоулза можно вывести, решив дифференциальное уравнение (13.16) при краевых условиях, указанных в разделе 13.6.5 С другой стороны, можно воспользоваться риск-нейтральным методом. Рассмотрим европейский опцион на покупку. В риск-нейтральных условиях ожидаемая стоимость опциона в момент его исполнения равна
Е [max (ST - К, 0)],
где символ Е, как и прежде, обозначает математическое ожидание случайной величины в риск-нейтральных условиях. Метод риск-нейтральных оценок приводит нас к выводу, что цена европейского опциона “колл” с представляет собой его ожидаемую стоимость за вычетом безрисковой процентной ставки:
С = e~rTE [max (ST ~ К, 0)]. (13.22)
Как показано в приложении 13.1, это уравнение приводит к формуле (13.20).
5Это дифференциальное уравнение позволяет вычислить цены опционов на покупку и продажу в момент времени t. Например, цена опциона “колл”, удовлетворяющая уравнению Блэка Шоулза, равна с — SN(di) — Ке/г''Г1}N(сЬ), где
j \n(S/K) + (r + a2/2)(T-t) ПЛ — -----------------------
и di = di — cry/T — t. Доказательство того, что эти функции удовлетворяют дифференциальному уравнению, см. в задаче 13.17.
Чтобы дать интерпретацию членов формулы (13.20), обратим внимание на то, что ее можно переписать в другом виде.
с = e~rT{So^(dl)erT -KN(<h)]. (13.23)
Выражение Nid?) представляет собой вероятность того, что опцион в риск-нейтральных условиях будет исполнен, так что величина KN^cIq) - это цена исполнения, умноженная на вероятность ее выплаты. Выражение SoN(d])erl является ожидаемым значением переменной, которая в риск-нейтральных условиях равна если St > К, и нулю — в противном случае.
Если акция является бездивидендной, то цена европейского опциона равна цене американского опциона (см. раздел 9.5). Следовательно, формула (13.20) позволяет вычислить также цену американского опциона на покупку бездивидендной акции. К сожалению, для цены американского опциона на покупку бездивидендной акции аналогичной аналитической формулы не существует. Вычислительные процедуры и аналитические аппроксимации цены американского опциона “колл” обсуждаются в главе 17.
При использовании формулы Блэка-Шоулза на практике процентную ставку г устанавливают равной безрисковой процентной ставке нулевого купона с погашением в момент Т. Как будет показано позднее, если величина г задается известной функцией, зависящей от времени, это предположение является корректным. Кроме того, оно является теоретически корректным, если цена акции в момент Т имеет логнормальное распределение, а параметр волатильности выбран соответствующим образом. Как указывалось ранее, время, как правило, измеряется количеством операционных дней, оставшихся до истечения срока действия опциона, деленным на количество операционных дней в году.
Свойства формул Блэка-Шоулза
Продемонстрируем свойства Блэка-Шоулза, рассмотрев некоторые экстремальные ситуации.
Если цена акции Sq становится слишком высокой, опцион “колл” обязательно будет исполнен. Этим он напоминает форвардный контракт с ценой поставки К. Из формулы (5.5) следует, что его цена равна
So - Ке~гТ.
Фактически, эта величина представляет собой цену опциона “колл”, вычисленную по формуле (13.20), поскольку, если величина So становится слишком большой, параметры di и d? также принимают очень большие значения, а числа Nidi) и Nfd?) стремятся к единице. Если цена акции становится очень большой, цена европейского опциона “пут” р стремится к нулю. Это соответствует формуле (13.21), поскольку величины 7V(—di) и Л(—близки к нулю.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда волатильность ст стремится к нулю. Поскольку акция является свободной от риска, ее цена в момент Т возрастает со скоростью SoerT, а прибыль от опциона “колл” равна
max(SoerT — К, 0).
Учитывая ставку дисконта г, получаем, что текущая стоимость опциона равна e~rT max(SoerT — К, 0) = max(So — Ке~г7,0).
Для того чтобы показать, что этот результат соответствует формуле (13.20), рассмотрим сначала случай, когда So > Ке~гТ. Отсюда следует, что ln(So//i) + +гТ > 0. Если ст —> 0, то d] —> +оо и dz —► +оо, так что N(d\) —> 1 и N(dz) -» 1, и формула (13.20) принимает следующий вид.
с = So - Ке~гТ.
Если Sq < Ке~гТ, то ln(So//<) + гТ <0. Если ст —> 0, то dj -> —оо и dz —> — оо, так что N(di) —> 0 и N(dz) —> 0, и из формулы (13.20) следует, что стоимость опциона “колл” равна нулю. Таким образом, при ст —> 0 стоимость опциона “колл” равна max (So — Ке~гТ,0). Аналогично можно показать, что при ст —> 0 стоимость опциона “пут” равна max (Ке~гТ — So, 0).
13.9 Интегральная функция нормального распределения
Единственная проблема, связанная с реализацией формул (13.20) и (13.21), — это вычисление интегральной функции нормального распределения N. Таблица ее значений приведена в конце книги. В качестве альтернативы, для ее вычисления можно использовать следующую аппроксимацию, обеспечивающую семь точных st ~ 6
знаков после десятичной запятой.
N(x) = <
1 — N'(x) (oifc + a<zk2 + a-ik3 + 0.4/c4 + a^k5},
1 - N(—x),
если ж > 0, если x < 0,
где
к = , -у = 0,2316419,
1+7Ж
Ст! = 0,319381530, а<2 = -0,356563782, ст3 = 1,781477937,
ст4 = -1,821255978, а5 = 1,330274429,
6См. Ahramowitz М. and Stegun I. Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications. — New York, 1972. В программе Excel для вычисления интегральной функции нормального распределения используется функция NORMSDIST (НОРМСТРАСП).
М(х) = -^=е-ж2/2.
/27Г
Пример 13.6
Цена акции за шесть месяцев от истечения срока опциона равна 42 долл., цена исполнения — 40 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а волатильность — 20% годовых. Это значит, что Sq = 42, К = 40, г = 0,1, а = 0,2, Т = 0,5.
In (42/40) + (0,1 + 0,22/2) х 0,5 0,2^0^
In (42/40) + (0,1 - 0,22/2) х 0,5 0,2^0^
= 0,7693,
= 0,6278,
Ке~гТ = 4Ое-0’05 = 38,049.
Следовательно, стоимость европейского опциона “колл” равна
с = 42^(0,7693) - 38,049Лг(0,6278).
Стоимость европейского опциона “пут” равна
р = 38,0497V(-0,6278) - 42Лг(-0,7693).
Используя полиномиальную аппроксимацию, получаем
Лг(0,7693) = 0,7791, А(-0,7693) = 0,2209,
Лг(0,6278) = 0,7349, Лг(-0,6278) = 0,2651.
Таким образом,
с = 4,76 и р = 0,81.
Игнорируя временную стоимость денег, приходим к выводу, что для обеспечения безубыточности по отношению к покупателю опциона на покупку акции, ее цена должна подняться на 2,76 долл. Аналогично для обеспечения безубыточности по отношению к покупателю опциона на продажу акции, ее цена должна упасть на 2,81 долл. □
13.10 Варранты и управленческие
акционерные опционы
Исполнение обычного опциона “колл” не влияет на количество неоплаченных акций компании. Если продавец, выписавший опцион, не является владельцем
акций, он должен купить их на рынке, как обычно, а затем продать их держателю опциона по цене исполнения. Как указано в главе 8, варранты и управленческие акционерные опционы отличаются от обычных опционов “колл” тем, что их исполнение сопровождается выпуском дополнительных акций с последующей их продажей держателю опциона по цене исполнения. Если цена исполнения опциона меньше рыночной, то это приводит к “размыванию” долей уже существующих акционеров.
Следует ли учитывать потенциальное “размывание” долей акционеров при оценке неоплаченных варрантов и управленческих акционерных опционов? Оказывается, этот эффект можно не учитывать! Если рынок является эффективным, то цена акции уже отражает потенциальное “размывание” долей акционеров, вызванное неоплаченными варрантами и управленческими акционерными опционами. Эта ситуация иллюстрируется во врезке “Пример из деловой практики 13.3”.7
Пример из деловой практики 13.3. Варранты, управленческие акционерные опционы и “размывание” акционерного капитала
Представим себе компанию, капитал которой состоит из 100000 акций по цене 50 долл. Эта компания заявляет, что подарила своим сотрудникам 100 000 опционов на акции с ценой исполнения 50 долл, и отсрочкой на три года. Если рынок увидит в этом слабую выгоду для акционеров в виде пониженной заработной плазы сотрудникам и более высокой мотивации менеджеров, то цена акции упадет сразу после объявления о дарении опционов. Если цена акции упадет до 45 долл., то стоимость “размывания” капитала по отношению к существующим акционерам составит 5 долл, на акцию, или 500 000 долл, в сумме.
Предположим, что в течение периода отсрочки дела компании шли успешно, так что через три года цена акции достигла 100 долл. Допустим также, что в этот момент сотрудники решили исполнить все подаренные опционы. Выигрыш каждого из них составит 50 долл. На первый взгляд, “размывание” акционерного капитала продолжилось, поскольку теперь, кроме оплаченных ранее 100000 акций по 50 долл., на рынок вышло 100000 акций стоимостью 100 долл, каждая. Таким образом, 1) цена акции снизится до 75 долл, и 2) выигрыш держателей опциона составит только 25 долл, на один опцион. Однако эти рассуждения являются ошибочными. Рынок ожидал исполнения опционов и уже отразил свою реакцию на это событие в цене акции. Следовательно, выигрыш по каждому опциону составит 50 долл.
’Аналитики иногда предполагают, что логнормальное распределение имеют не цены акций, а сумма цен варрантов и акций. В результате для оценки варрантов можно использовать уравнение Блэка-Шоулза. Описание этой модели размещено на Web-сайте автора в техническом замечании 3.
Этот пример иллюстрирует общую точку зрения на то, как эффективный рынок реагирует на “размывание” акций за счет выпуска варрантов и управленческих акционерных опционов путем изменения цен акций. Таким образом, учитывать этот эффект при оценке опционов нет никакой необходимости.
Представим себе, что некая компания обдумывает возможность нового выпуска варрантов (или управленческих акционерных опционов). Предположим, что компания желает вычислить стоимость выпуска, считая, что не существует никаких компенсирующих выгод. Пусть компания имеет N неоплаченных акций стоимостью Sq каждая и М новых опционов, предназначенных для продажи и дающих его держателю право купить одну акцию по цене К. Текущая стоимость компании равна NSq. Выпуск варрантов не повлияет на эту величину. Предположим, что при отказе от выпуска варрантов цена акции в конце срока действия потенциального варранта была бы равной St- Это значит, что (независимо от того, были выпущены варранты или нет) общая стоимость акций и варрантов в момент Т равна NSr- Исполнение варрантов порождает денежный приток, возникающий благодаря росту цены исполнения до величины NSt + МК. Эта сумма распределяется среди N + М акций, так что сразу после исполнения цена акции равна
NST + М К
N + M ’
Следовательно, прибыль держателя исполненного варранта равна
NST + М К
N + M ’
Таким образом, стоимость каждого опциона равна стоимости
N
N + M
обычных опционов “колл” на акции компании. Таким образом, общая стоимость опционов равна .
Пример 13.7
Представим себе компанию, капитал которой состоит из 1 млн акций по цене 40 долл. Компания обдумывает возможность выпуска 200 000 варрантов, дающих их держателям право купить через пять лет одну акцию по цене исполнения, равной 60 долл. Компания желает оценить стоимость выпуска варрантов. Процентная ставка равна 3% годовых, а волатильность — 30% в год. Дивиденды компанией не
выплачиваются. Из формулы (13.20) следует, что стоимость пятилетнего европейского опциона “колл” на акцию равна 7,04 долл. В данном случае N — 1 000 000 и М = 200000. Таким образом, стоимость каждого варранта равна
1000000
1000000 + 200000
х 7,04 = 5,87 долл.
Общая стоимость выпуска варрантов равна 200000 х 5,87 = 1,17 млн долл. Предполагая, что рынок не видит выгоды от выпуска варрантов, можно считать, что цена акции упадет на 1,17 долл, и составит 38,83 долл. □
13.11 Подразумеваемая волатильность
Один из параметров формулы Блэка-Шоулза невозможно измерить непосредственно — это волатильность цены акции. В разделе 13.4 показано, как оценить волатильность на основе ретроспективных данных. На практике трейдеры обычно работают с подразумеваемой волатильностью (implied volatility), т.е. волатильностью, величина которой обусловлена ценами акций, существующих на рынке.
Для иллюстрации вычисления подразумеваемой волатильности предположим, что стоимость опциона на покупку бездивидендной акции равна 1,875 долл, при условии, что Sq = 21, К = 20, г = 0,1 и Т — 0,25. Подразумеваемой волатильностью является величина ст, которая, будучи подставленной в формулу (13.20), обеспечивает равенство с = 1,875. К сожалению, формулу (13.20) невозможно преобразовать так, чтобы выразить величину ст как функцию, зависящую от Sq, К, г, Т и с, поэтому для ее вычисления необходимо применить итерационную процедуру. В качестве начального приближения возьмем значение ст = 0,20. Ему соответствует значение с = 1,76, которое намного меньше правильного. Поскольку величина с является возрастающей функцией, значение ст необходимо увеличить. Попробуем подставить значение ст — 0,30. Ему соответствует значение с = 2,10. Поскольку это значение слишком велико, параметр ст должен лежать в интервале от 0,20 до 0,30. Далее попробуем подставить значение ст = 0,25. Оно также слишком велико, поэтому диапазон его изменения необходимо сузить: от 0,20 до 0,25. Таким образом, диапазон изменения параметра ст на каждом шаге итерации уменьшается в два раза, и правильное значение можно вычислить с произвольной точностью.8 В данном примере подразумеваемая волатильность равна 0,235, т.е. 23,5%.
Подразумеваемая волатильность используется для отслеживания мнения рынка об изменчивости цены акции конкретной компании. Трейдеры предпочитают
8Этот метод описан только для иллюстрации. На практике такие уравнения решаются с помощью более мощных методов, например метода Ньютона-Рафсона (см. сноску 5 главы 4). Для вычисления подразумеваемой волатильности можно применять также программу DerivaGem.
вычислять подразумеваемую волатильность на основе активно котируемых активов, а затем интерполируют их для определения волатильности цены акций, пользующихся меньшей популярностью. Эта процедура подробно описывается в главе 15. Следует подчеркнуть, что цены очень выигрышных и очень проигрышных опционов относительно мало чувствительны к изменчивости цены акции. Таким образом, подразумеваемую волатильность, вычисленную по таким опционам, нельзя считать надежной.
13.12 Дивиденды
До сих пор мы полагали, что акции, на которые выписан опцион, являются бездивидендными. В этом разделе мы предложим модифицированные формулы Блэка-Шоулза для вычисления цены опционов на акции, по которым выплачиваются дивиденды. Будем считать, что величина и время выплаты дивидендов известны заранее. Как правило, для краткосрочных опционов величину дивидендов можно вычислить довольно точно. При оценке долгосрочных опционов обычно предполагают, что известна дивидендная доходность, а не величина наличных дивидендов (cash dividend payments). Способ оценки долгосрочных опционов изложен в следующей главе. Дата выплаты дивидендов называется датой “без дивиденда” (ex-dividend date). Именно в этот момент цена акции уменьшается на 9 величину дивиденда.
Европейские опционы
При анализе европейских опционов будем предполагать, что цена акции состоит из двух компонентов: безрискового и рискованного. Безрисковый компонент соответствует заранее известным выплатам дивидендов на протяжении срока действия опциона, а рискованный компонент в любой момент времени представляет собой текущую стоимость всех дивидендов, выплачиваемых на протяжении срока действия опциона, пересчитанную с момента наступления дат “без дивиденда” на настоящий момент по безрисковой процентной ставке. В момент окончания опциона все дивиденды будут выплачены и безрисковый компонент исчезнет. Таким образом, формула Блэка-Шоулза корректна, если величина So равна рискованному компоненту цены акции, а ст представляет собой волатильность процесса, описы-
9С учетом налогов цена акции может уменьшиться на величину, немного превышающую сумму наличного дивиденда. Чтобы учесть это явление, при оценке опционов слово “дивиденд” следует интерпретировать в зависимости от контекста. Например, если дивиденд равен одному доллару и цена акции в момент его выплаты снижается на 80% его размера, то для дальнейшего анализа следует предположить, что величина дивиденда равна 0,8 долл.
вающего рискованный компонент.10 С формальной точки зрения это означает, что формулу Блэка-Шоулза можно использовать при условии, что цена акции уменьшена на текущую стоимость всех дивидендов, выплачиваемых на протяжении срока действия опциона, пересчитанную с момента наступления даты “без дивиденда” по безрисковой процентной ставке. Дивиденд считается выплаченным, только если дата его выплаты наступает на протяжении срока действия опциона. Пример 13.8
Рассмотрим европейский опцион на покупку акции, сроки выплат дивидендов по которой наступают через два и пять месяцев. В каждый из этих моментов акционерам выплачивается по 0,5 долл, на каждую акцию. Текущая цена акции равна 40 долл., цена исполнения — 40 долл., волатильность цены акции — 30% годовых, безрисковая процентная ставка — 9% годовых, а до истечения срока действия опциона осталось шесть месяцев. Текущая стоимость дивидендов равна
О,5е-°’1667х0’09 + 0,5е-0’4167х0’09 - 0,9741.
Следовательно, цену опциона можно вычислить по формуле Блэка-Шоулза при So = 40 - 0,9741 = 39,0259, К = 40, г = 0,09, сг = 0,3 и Т = 0,5.
In (39,0259/40) + (0,09 + 0,32/2) х 0,5 _
dl = ~~ 0,3>/0Д ~ 0,2017,
л In (39,0259/40) + (0,09 - 0,32/2) х 0,5
di = —-—:-------— ---Ц=--------——-------— = -0,0104.
0,3^/03
Используя полиномиальное приближение, указанное в разделе 13.9, получаем
N(di) = 0,5800, JV(d2) = 0,4959.
Из формулы (13.20) следует, что цена опциона “колл” равна
39,0259 х 0,5800 - 40е~°’09х0’5 х 0,4959 = 3,67 долл. D
Американские опционы
Перейдем к анализу американского опциона. В разделе 9.5 показано, что при отсутствии дивидендов американский опцион никогда не следует исполнять досрочно. Если же дивиденды выплачиваются, то досрочное исполнение опциона
|0С теоретической точки зрения эта волатильность не эквивалентна изменчивости стохастического процесса, описывающего поведение цены акции. Волатильность рискованного компонента приближенно равна волатильности цены акции, умноженной на коэффициент Sb/(So — D), где D — текущая стоимость дивидендов. Однако поправка необходима лишь тогда, когда волатильность оценивается по ретроспективным данным. Изменчивость рискованного компонента эквивалентна подразумеваемой волатильности, которая вычисляется по данным, которые получены после вычета из цены акции текущей стоимости дивидендов.
является оптимальным только непосредственно перед наступлением даты “без дивиденда”. Предположим, что на протяжении срока действия опционов ожидаются п дат “без дивиденда”, a ti, <2,. - -, — моменты, непосредственно предшеству-
ющие этим датам, причем < 12 <•••< tn. Дивиденды, соответствующие этим датам, будем обозначать символами Z?i, D2,..., Dn соответственно.
Оценим вариант досрочного исполнения опциона непосредственно перед наступлением последней даты “без дивиденда” (т.е. в момент tn). Если инвестор исполняет опцион в этот момент, сумма, которую он получит, равна
Ж) - К.
Если опцион не исполняется, цена акции падает до величины <9(£п) — Dn. Как следует из формулы (9.5), в этом случае стоимость опциона больше чем
S(tn) - Dn - Ке~г^\
Отсюда следует, что если
S(tn) - Dn - Ке-<т~^ > S(tn) - К.
т.е.
Dn А'(1 - е“г(т“*")), (13.24)
то исполнение опциона не является оптимальным решением. Если же
Dn > А(1 - е_г(т-*">), (13.25)
то при любом достаточно естественном предположении о стохастическом процессе, описывающем поведение цены акции, можно показать, что досрочное исполнение опциона в момент tn является оптимальным, если величина 5(/„.) является достаточно большой. Неравенство (13.25), как правило, выполняется тогда, когда сроки выплат дивидендов очень близки к моменту завершения опциона (т.е. разница Т — tn мала), а сумма дивиденда велика.
Перейдем к варианту досрочного исполнения опциона непосредственно перед наступлением предпоследней даты “без дивиденда” (т.е. в момент tn-i). Если инвестор исполняет опцион в этот момент, сумма, которую он получит, равна
Ж-1) - К.
Если опцион не исполняется, цена акции падает до величины S(tn_i) — Д,-1, и ближайшая выплата дивидендов состоится в момент tn. Как следует из формулы (9.5), нижняя граница стоимости опциона, не исполняемого в момент tn,
равна
S(tn) - Dn -
Отсюда следует, что если
S(tn) - Dn_x - Ке~г^~^ Ж-t) - К,
Dn_i <С К(1-е-г^-*"-’)),
то исполнение опциона в момент tn_\ не является оптимальным решением. Аналогично для любого г < п, если
Di К(1 - e“r(t’+1 ~^)),
(13.26)
то исполнение опциона в момент ti нецелесообразно.
Неравенство (13.26) приближенно эквивалентно неравенству
Dj Kr(ti+i - ti).
Если величина К почти совпадает с текущей ценой акции, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы размер дивиденда либо почти совпадал, либо превышал безрисковую процентную ставку. Эта условие выполняется довольно редко.
Итак, анализ показал, что в большинстве ситуаций единственный момент времени, который подходит для досрочного исполнения американского опциона “колл”, — момент tn, предшествующий последней выплате дивидендов. Более того, если неравенства (13.26) для всех г = 1,2,..., п — 1 и (13.24) выполняются одновременно, то досрочное исполнение американского опциона “колл” никогда не является оптимальным.
Аппроксимация Блэка
Блэк предположил процедуру аппроксимации, позволяющую учесть досрочное исполнение опционов “колл”.11 На первом этапе этой вычислительной процедуры вычисляется стоимость двух европейских опционов, сроки действия которых истекают в моменты Т и tn. На втором этапе стоимость американского опциона приравнивается к стоимости более дорогого европейского опциона. Оказалось, что в большинстве случаев эта аппроксимация работает хорошо.12
пСм. Black F. Fact and Fantasy in the Use of Options // Financial Analysts Journal, 31 (July/August 1975).-P. 36-41, 61-72.
! Доказательство точной формулы для оценки опциона с одной датой “без дивидендов”, предложенной Роллом, Геске (Geske) и Уэйли (Whaley), изложено на Web-сайте автора в техническом замечании 4. Это доказательство использует свойства интегральной функции двухмерного нормального распределения. Процедура вычисления этой функции приведена в техническом замечании 5.
Пример 13.9
Рассмотрим ситуацию, описанную в примере 13.8, но теперь будем считать, что опцион является не европейским, а американским. Кроме того, предположим, что
= £>2 = 0,5, Sq = 40, К = 40, г = 0,09, ti = 2/12 и t2 = 5/12. Поскольку число
Л'(1 - e“r(t2'‘*1)) = 40(1 - е-°’09х0’25) = 0,89
больше 0,5, из неравенства (13.26) следует, что этот опцион никогда не следует исполнять непосредственно перед первой датой “без дивиденда”. Кроме того, поскольку число
Jf(l - е"г(т“*2)) = 40(1 - е-о-о9хо’«833) = о,30
меньше 0,5, то из неравенства (13.25) следует, что если этот опцион приносит большую прибыль, его следует исполнить непосредственно перед наступлением второй даты “без дивиденда”.
Применим для вычисления стоимости опциона аппроксимацию Блэка. Текущая стоимость первого дивиденда равна
О,5е-о’1667х0’09 = 0,4926,
поэтому стоимость опциона, исполняемого непосредственно перед наступлением даты его окончания, можно вычислить по формуле Блэка-Шоулза при So = 40 -—0,4926 = 39,5074, К — 40, г — 0,09, ст = 0,30 и Т = 0,4167. Она равна 3,52 долл. В соответствии с процедурой аппроксимации Блэка, мы должны сравнить стоимость этого опциона со стоимостью опциона, который исполняется только по истечении шести месяцев. Из примера 13.8 мы знаем, что она равна 3,67 долл. Выбирая большую из этих двух величин, получаем, что стоимость американского опциона “колл” равна 3,67 долл.
Стоимость этого опциона, вычисленная программой DerivaGem с помощью процедуры Binomial American, равна 3,72 долл. Различие между этими ответами, полученными в рамках биномиальной модели (ВМ) и с помощью аппроксимации Блэка (ВА), объясняется двумя причинами. Первая причина заключается в определении моментов досрочного исполнения опциона, а вторая связана с волатильностью. Определение моментов досрочного исполнения завышает оценку, полученную в рамках биномиальной модели, по сравнению с аппроксимацией Блэка. В аппроксимации ВА используется предположение, что владелец опциона сегодня решает, когда ему исполнить опцион: через пять или шесть месяцев. Биномиальная модель позволяет инвестору принять решение о досрочном исполнении опциона через пять месяцев, ориентируясь на цену акции. Способ оценки волатильности, принятый в биномиальной модели, завышает оценку опциона с помощью аппроксимации Блэка по сравнению с биномиальной моделью. Если мы предполагаем, что инвестор досрочно исполняет опцион через пять месяцев, то
в процедуре аппроксимации Блэка волатильность применяется к цене акции, из которой вычтена стоимость первого дивиденда. Если же мы предполагаем, что инвестор исполняет опцион через шесть месяцев, то волатильность применяется к цене акции, из которой вычтена сумма двух дивидендов. □
Резюме
В начале главы рассмотрены свойства стохастического процесса, описывающего поведение цены акции и впервые рассмотренного в главе 12. Этот процесс основан на предположении, что распределение возможных значений цены акции в некоторый будущий момент времени является логнормальной случайной величиной. Кроме того, при его выводе предполагалось, что непрерывно начисляемая доходность акции за расчетный период времени имеет нормальное распределение. При увеличении длины прогнозируемого периода неопределенность цены акции возрастает. Стандартное отклонение логарифма цены акции прямо пропорционально квадратному корню из длины прогнозируемого интервала времени.
Для того чтобы оценить волатильность цены акции ст, необходимо зарегистрировать значения цены акции за фиксированные интервалы времени (например, каждый день, неделю или месяц). Затем нужно вычислить значения натурального логарифма отношений цен акции, зафиксированных в конце каждого интервала разбиения, к ценам акции, зафиксированным в начале соответствующего периода. Волатильность представляет собой стандартное отклонение этих чисел, деленное на длину временного интервала в годах. Как правило, при оценке волатильности дни, в которые биржа не работала, игнорируются.
Дифференциальное уравнение, решением которого является стоимость любой производной ценной бумаги, зависящей от акций, можно вывести, заняв безрисковую позицию по опциону и соответствующей акции. Поскольку дериватив и цена акции зависят от одного и того же источника неопределенности, такой инвестиционный портфель существует всегда. Созданная позиция остается безрисковой только на протяжении очень короткого периода времени. Однако в отсутствие арбитражных возможностей доходность безрисковой позиции должна всегда равняться безрисковой процентной ставке.
Ожидаемая доходность акции не входит в уравнение Блэка-Шоулза. Это позволяет применить риск-нейтральную теорию, которая утверждает, что при оценке дериватива, зависящего от акций, условия можно считать риск-нейтральными. Следовательно, мы имеем право предполагать, что ожидаемая доходность акций равна безрисковой процентной ставке, а затем применить ее для дисконтирования ожидаемого выигрыша. Формулы Блэка-Шоулза для оценки европейских опционов “колл” и “пут” можно вывести, либо решив соответствующее дифференциальное уравнение, либо применив риск-нейтральный подход.
Подразумеваемой волатильностью называется изменчивость, которая в сочетании с формулами Блэка-Шоулза дает рыночную оценку опциона. Трейдеры, как правило, вычисляют подразумеваемую волатильность на основе активно котируемых опционов, а затем интерполируют полученные оценки на менее популярные опционы. Эмпирические исследования показывают, что волатильность акций в операционные дни значительно выше, чем в дни, когда биржа закрыта. Таким образом, можно предположить, что на волатильность цены акции в значительной мере влияют сами торги.
Результаты Блэка-Шоулза позволяют вычислить также стоимость европейских опционов на покупку и продажу акций, приносящих дивиденды. Для этого из всех значений цены акции вычитается текущая стоимость дивидендов, ожидаемых на протяжении срока действия опциона.
Теоретически американские опционы “колл” можно исполнить досрочно непосредственно перед любой датой “без дивидендов”. На практике же американские опционы обычно исполняют непосредственно перед последней выплатой дивидендов. Фишер Блэк предложил вычислительную процедуру (аппроксимацию Блэка), которая позволяет вычислить стоимость американского опциона “колл” как максимальную из двух цен европейских опционов “колл”. Первый из этих европейских опционов исполняется одновременно с американским, а второй — непосредственно перед последней выплатой дивидендов.
Дополнительная литература
Распределение изменений цены акции
Blattberg R. and Gonedes N. A Comparison of the Stable and Student Distributions as Statistical Models for Stock Prices // Journal of Business, 47 (April 1974). — P. 244-280.
Fama E. E The Behaviour of Stock Prices // Journal of Business, 38 (January 1965). — P. 34-105.
Kon S. J. Models of Stock Returns — A Comparison // Journal of Finance, 39 (March 1984). - P. 147-165.
Rishardson M. and Smith T. A Test for Multivariate Normality in Stock Returns // Journal of Business, 66 (1993). — P. 295-321.
Модель Блэка-Шоулза
Black E Fact and Fantasy in the Use of Options and Corporate Liabilities // Financial Analysis Journal, 31 (June/August 1975). — P. 36-41, 61-72.
Black F. How We Came Up with the Option Pricing Formula // Journal of Portfolio Management, 15, 2 (1989). — P. 4-8.
Black F. and Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy, 81 (May/June 1973). — P. 637-659.
Merton R. C. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973). — P. 141-183.
Риск-нейтральные оценки
Cox J. C. and Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Functional Economics, 3 (1976). — P. 145-166.
Smith C. W. Option Pricing: A Review // Journal of Financial Economics, 3 (1976). — P. 3-54.
О причинах волатильности
Fama E. E. The Behavior of Stock Market Prices — Journal of Business, 38 (January 1965). -P. 34-105.
French K. R. Stock Returns and the Weekend Effect // Journal of Financial Economics, 8 (March 1980). - P. 55-69.
French K. R. and Roll R. Stock Return Variances: The Arrival of Information and the Reaction of Traders // Journal of Financial Economics, 17 (September 1986). — P. 5-26.
Roll R. Orange Juice and Weather И American Economic Review, 74, 5 (december 1984). - P. 861-880.
Вопросы и задачи
13.1. Какие предположения о распределении возможных значений цены акции через один год приняты в модели оценки опционов Блэка-Шоулза? Какие предположения о распределении непрерывно начисляемой доходности акции на протяжении года?
13.2. Волатильность цены акции равна 30% годовых. Чему равно стандартное отклонение относительного изменения цены акции в течение одного операционного дня?
13.3. Объясните принцип риск-нейтральной оценки.
13.4. Вычислите цену трехмесячного европейского опциона на продажу бездивидендной акции с ценой исполнения, равной 50 долл., если текущая цена акции равна 50 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а волатильность — 30% в год.
13.5. Как изменятся вычисления при решении задачи 13.4, если через два месяца ожидается выплата дивидендов в размере 1,50 долл.?
13.6. Что такое подразумеваемая волатильность! Как она вычисляется?
13.7. Текущая цена акции равна 40 долл. Предположим, что ожидаемая доходность акций равна 15%, а волатильность цены акции — 25%. Какое распределение вероятностей имеет непрерывно начисляемая доходность за два года?
13.8. Цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения с ожидаемой доходностью, равной 16%, и волатильностью, равной 35%. Текущая цена акции равна 38 долл.
1) Какова вероятность того, что шестимесячный европейский опцион на покупку акций с ценой исполнения, равной 40 долл., будет исполнен?
2) Какова вероятность того, что будет исполнен европейский опцион на покупку акций с такой же ценой исполнения и таким же сроком действия?
13.9. Докажите, что цена акции St с 95%-ной вероятностью лежит в интервале
ОТ £^-^/2)7-1,96<п/7 и jSoe(p-0-2/2)T+l,960-VT_
13.10. Менеджер, управляющий инвестиционным портфелем, объявил, что средняя доходность, полученная в течение каждого года, на протяжении последних десяти лет была равна 20% годовых. В чем заключается ошибка в этом утверждении?
13.11. Допустим, что ожидаемая доходность бездивидендной акции равна р, а волатильность — <т. Некая финансовая организация объявила о выпуске ценных бумаг, которые за время Т приносят In St долл., где St — стоимость цены акции в момент Т.
1) Используя риск-нейтральный подход, выразите стоимость этой ценной бумаги в момент t через цену акции S в этот же момент.
2) Докажите, что полученная вами цена удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16).
13.12. Допустим, что ожидаемая доходность дериватива в момент Т равен S?, где St — цена акции в этот момент. Если цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения, можно показать, что в момент t < Т цена дериватива имеет вид
где S — цена акции в момент t, a h — функция, зависящая только от аргументов t и Т.
1) Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза, выведите обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция h(t,T).
2) Укажите краевые условия для дифференциального уравнения относительно функции h(t,T).
3) Докажите, что
h(t,T) = e[0>5o'2n(n~1)+r(zl- 1)КТ’“ *),
где г — безрисковая процентная ставка, а а — волатильность цены акции.
13.13. Чему равна цена трехмесячного европейского опциона на покупку бездивидендной акции, если ее цена равна 52 долл., цена исполнения — 50 долл., безрисковая процентная ставка — 12% годовых, а волатильность — 30% в год?
13.14. Чему равна цена шестимесячного европейского опциона на покупку бездивидендной акции, если ее цена равна 69 долл., цена исполнения — 70 долл., безрисковая процентная ставка — 5% годовых, а волатильность — 35% в год?
13.15. Рассмотрим американский опцион на покупку акции. Цена акции равна 70 долл., срок до завершения — восемь месяцев, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, цена исполнения — 65 долл., а волатильность — 32%. Через три и девять месяцев ожидается выплата дивидендов в размере одного доллара за акцию. Докажите, что исполнять опцион досрочно нецелесообразно ни для одной даты выплаты дивидендов. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость опциона.
13.16. Рыночная цена опциона на покупку бездивидендной акции равна 21/2 долл. Цена акции равна 15 долл., цена исполнения — 13 долл., срок до завершения — три месяца, а безрисковая процентная ставка — 5% годовых. Чему равна подразумеваемая волатильность?
13.17. Используя обозначения, введенные в главе, ответьте на следующие вопросы.
1) Что такое ТУДж)?
2) Покажите, что SN'fdi) = Ke~r^T~^N'(dQ), где S — цена акции в момент t и
ln(S/7<) + (г2+<т2/2) (T-t)
(fa —
di — ------- —
cy^T^t
In (S/К) + (r2 - <t2/2) (T - t) a\/T — t
3) Вычислите величины ddyJdS и dd^/dS.
4) Покажите, что если с = SN(d\) — Ke~r^T~^ N(d2),
= -rKe-<T-‘>A-(<fa) - SN'(d,)-^=,
где с — цена опциона на покупку бездивидендной акции.
5) Покажите, что dc/dS = N(di).
6) Покажите, что функция с удовлетворяет дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза.
7) Покажите, что функция с удовлетворяет краевым условиям для европейского опциона “колл”, т.е. что при t —> Т с = max (S - К', 0).
13.18. Докажите, что формулы Блэка-Шоулза для вычисления стоимости опционов “колл” и “пут” удовлетворяют условию их паритета.
13.19. Предположим, что текущая цена акции равна 50 долл., а безрисковая процентная ставка — 5%. Используя программу DerivaGem, преобразуйте следующую таблицу, содержащую стоимость европейских опционов на покупку акций, не приносящих дивиденды, в таблицу, содержащую значения подразумеваемой волатильности.
Цена исполнения, долл. Срок действия, месяцы
3 6 12
45 7,0 8,3 10,5
50 3,7 5,2 7,5
55 1,6 2,9 5,1
Соответствуют ли эти цены опционов модели Блэка-Шоулза?
13.20. Подробно объясните, почему подход, предложенный Блэком для оценки американского опциона на покупку акции, приносящей дивиденды, позволяет получить правильный результат, даже если акция предусматривает только одну выплату дивидендов. Как соотносится ответ, полученный с помощью аппроксимации Блэка, с истинной стоимостью: недооценивает или переоценивает ее? Аргументируйте свой ответ.
13.21. Рассмотрим американский опцион на покупку акции. Его цена акции равна 50 долл., срок до -завершения — 15 месяцев, безрисковая процентная ставка — 8% годовых, цена исполнения — 55 долл., а волатильность — 25%. Через четыре и десять месяцев ожидается выплата дивидендов в размере 1,5 долл, за акцию. Докажите, что исполнять опцион досрочно нецелесообразно ни для одной даты выплаты дивидендов. Вычислите стоимость опциона.
13.22. Докажите, что вероятность исполнения европейского опциона на покупку акции в риск-нейтральных условиях равна N(d,2). Чему равна стоимость дериватива, приносящего прибыль в размере 100 долл., если цена акции в момент Т больше цены исполнения К?
13.23. Покажите, что функция S~2r^2 может быть стоимостью ценных бумаг, продаваемых на бирже.
13.24. Некая компания выпустила неоплаченные управленческие акционерные опционы. Следует ли учитывать “размывание” акционерного капитала при оценке этих опционов? Аргументируйте свой ответ.
13.25. Цена акции некоей компании равна 50 долл. Компания выпустила 10 млн неоплаченных акций и в настоящее время раздумывает, следует ли подарить своим сотрудникам три миллиона пятилетних беспроигрышных (at-the-money) опционов “колл”. Волатильность цены акции равна 25%, пятилетняя безрисковая процентная ставка — 5%, выплата дивидендов не предусмотрена. Оцените стоимость выпуска управленческих акционерных опционов для этой компании.
Упражнения
13.26. Предположим, что текущая цена акции равна 50 долл., ее ожидаемая доходность равна 18%, а волатильность доходности — 30%. Какое распределение будет иметь цена акции через два года? Вычислите математическое ожидание и стандартное отклонение этого распределения. Постройте 95%-ные доверительные интервалы для этих параметров.
13.27. Ниже представлены значения цены акции (в долл.), зафиксированные в конце 15 последовательных недель.
30,2 32,0 31,1 30,1 30,2 30,3 30,6 33,0
32,9 33,0 33,5 33,5 33,7 33,5 33,2
Оцените волатильность цены акции. Чему равно стандартное отклонение вашей оценки?
13.28. Финансовая организация планирует выпустить ценную бумагу, которая за время Т должна принести инвестору S? долл.
1) Используя риск-нейтральный подход, вычислите стоимость ценной бумаги в момент t через цену акции S в этот же момент времени. {Подсказка-, математическое ожидание величины можно вычислить через математическое ожидание и дисперсию цены акции St, приведенные в разделе 13.1.)
2) Покажите, что полученный ответ удовлетворяет дифференциальному уравнению (13.16).
13.29. Рассмотрим четырехмесячный опцион на бездивидендную акцию, предполагая, что цена акции равна 30 долл., цена исполнения опциона — 29 долл., безрисковая процентная ставка — 5%, а волатильность — 25%.
1) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом “колл”?
2) Чему равна цена этого опциона, если он является американским опционом “колл”?
3) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом “пут”?
4) Проверьте выполнение паритета опционов “колл” и “пут”.
13.30. Предположим, что опцион, описанный в задаче 13.29, предусматривает выплату дивидендов через I1 /2 месяца в размере 50 центов.
1) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом “колл”?
2) Чему равна цена этого опциона, если он является европейским опционом “пут”?
3) Чему равна цена этого опциона, если он является американским опционом “колл”? Укажите, при каких условиях целесообразно его досрочное исполнение.
13.31. Рассмотрим шестимесячный американский опцион “колл”, предполагая, что цена акции равна 18 долл., цена исполнения опциона — 20 долл., безрисковая процентная ставка — 10%, а волатильность — 30%. Через два и пять месяцев ожидаются две выплаты дивидендов в размере 40 центов. Вычислите стоимость этого опциона, используя аппроксимацию Блэка и программу DerivaGem. Насколько высокими могли бы быть дивидендные выплаты, если бы американский опцион не стоил дороже европейского?
Приложение 13.1. Доказательство формулы
Блэка-Шоулза-Мертона
Для доказательства формулы Блэка-Шоулза-Мертона докажем сначала ключевой результат, который будет очень полезен в дальнейшем.
Ключевой результат
Если величина V имеет логнормальное распределение и стандартное отклонение In V равно w, то
£[max(V - К,0)] = B(V)N(di) - KN(d2), (13.1.1)
где
, In [E(V)/K] + w2/2 ttl - ,
w
t ln[E(V)/K]-w2/2 «2 = --------------,
W
a E — математическое ожидание.
Доказательство ключевого результата
Обозначим через g(V) плотность вероятности случайной величины V. Тогда
ОС
E[max(V -К,0)] = (V - K)g(V)dV. (13.1.2)
к
Переменная InV имеет нормальное распределение со стандартным отклонением w. Из свойств логнормального распределения следует, что математическое ожидание случайной величины In V равно т, где13
т = ln[E(V)] - w2/2. (13.1.3)
Введем новую переменную
Эта переменная имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением. Обозначим ее плотность вероятности через h{Q). Тогда
h(Q) =
\/ Z7T
13Доказательство этого факта изложено в техническом замечании 2 на Web-сайте автора.
Используя формулу (13.1.4), преобразуем выражение, стоящее в правой части уравнения (13.1.3), из интеграла по переменной Ив интеграл по переменной Q.
оо
E[max(V-K,0)] = (eQw+m - K)h (Q)
(In К—m)/w
ИЛИ
E [max (V — К, 0)] —
ОО оо
= eQw+mh(Q}dQ + K h{Q)dQ. (13.1.5)
(In К—ni)/w (In Д'—tn)/w
Теперь
eQw+mh(Q) =
1 c(-Q2+2Qw+2m)/2
_ 1 c(—(Q-w)2+2m+w2)/2
a/2tt „m+wa/2 ,
= £_____e(-(Q-w)2)/2 =
х/2тг
= e"2/2h(Q-w).
Таким образом, уравнение (13.1.5) можно записать в следующем виде.
Е [max (V — К, 0)] =
ОО оо
= emW/2 h(Q — w)dQ — К h(Q)dQ (13.1.6)
(ln/<-m)/w (1п7<—m}/w
Поскольку N(x) — вероятность того, что нормально распределенная переменная с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией меньше величины х, первый интеграл в уравнении (13.1.6) равен
1 — 7V[(ln/< — m)/w — w],
или
jV[(— In/Г + m)/w + w].
Подставляя вместо переменной т выражение (13.1.3), получаем, что ln[E(V)/JC] + w2/2 w
= W1).
Аналогично второй интеграл в уравнении (13.1.6) равен ЛЦс^)- Таким образом, уравнение (13.1.6) принимает следующий вид.
Е (max (V - К, 0)) = emW/2TV(di) - K7V(d2)
Подставляя в него выражение для т из формулы (13.1.3), получаем требуемый результат.
Результат Блэка-Шоулза-Мертона
Рассмотрим опцион на покупку бездивидендной акции со сроком действия Т. Цена исполнения опциона равна К, безрисковая процентная ставка — г, текущая цена акции — So, а волатильность — ст. Как следует из формулы (13.22), стоимость опциона с равна следующей величине.
с = е rTE [max (S? — К, 0)]
(13.1.7)
Здесь St — цена акции в момент Т, а Е — математическое ожидание в риск-нейтральных условиях. В стохастическом процессе Блэка-Шоулза величина St предполагается логнормальной. Кроме того, из равенств (13.3) и (13.4) следует, что Е (St) = SoerT, а стандартное отклонение величины In St равно <т\/Т.
Из ключевого результата, доказанного выше, и уравнения (13.1.7) следует, что
с = e~rT [SoerTN(dx) - KN(d2)\ ,
т.е.
с = S0N(dx) - Ke~rTN(d2),
где
In
(h = —
(e(St)/K^ + ст2772
1п(50/Я) + (г + <т2/2)Г cjVT
In (e(St)/K^ - a2T/2 _ ln (So/K) + (r - a2/2) T ctVt ~ ctVT
Опционы на фондовые индексы, валюту и фьючерсы
В главе рассматривается задача оценки опционов на фондовые индексы, валюту и фьючерсные контракты. В качестве первого шага излагаются методы оценки опционов на акции, имеющие известную дивидендную доходность. Показано, что фондовые индексы, иностранные валюты и фьючерсные цены аналогичны акциям, приносящим дивиденды, размер которых известен заранее. Это позволяет применить методы, разработанные для оценки опционов на такие акции, к опционам на другие виды активов.
14.1 Оценка опционов на акции с известной дивидендной доходностью
В разделе формулируется простое правило, позволяющее применить методы оценки европейских опционов на бездивидендные акции к европейским опционам на акции с известной дивидендной доходностью.
Выплата дивиденда приводит к снижению цены акции на его величину при наступлении даты “без дивиденда”. Следовательно, цена акции с дивидендной доходностью q растет медленнее, чем цена идентичной бездивидендной акции. Если цена акции, предусматривающей выплату дивидендов, растет с величины So в нулевой момент времени до St в момент Т, то цена идентичной бездивидендной акции увеличится с уровня So в нулевой момент времени до Зтед1 в момент Т. Иначе говоря, при отсутствии дивидендов цена акции могла бы вырасти с Soe~Qj в нулевой момент времени до St в момент Т.
Эти аргументы показывают, что цена акции в момент Т имеет одно и то же распределение в двух ситуациях.
1. Цена акции начинает рост с уровня So, и дивидендная доходность равна q.
2. Цена акции начинает рост с уровня Soe~gT, и дивиденды не выплачиваются.
Это позволяет сформулировать простое правило. При оценке европейского опциона, длительность которого равна Т, на акцию, дивидендная доходность которой равна q, текущую цену акции следует снизить с So до So(g/, а затем
вычислить стоимость опциона по правилам, предусмотренным для бездивидендных акций.
Нижние границы для цен опциона
В качестве первого применения этого правила рассмотрим задачу, в которой требуется определить границы изменения цен европейского опциона на акции с дивидендной доходностью q. Заменяя в неравенстве (9.1) величину So величиной Soe~qT, приходим к выводу, что нижняя граница цен европейского опциона “колл” с равна
с > max.(Soe~qT — Ке~гТ,0). (14.1)
Чтобы получить нижнюю оценку европейского опциона “пут”, в неравенстве (9.2) можно точно так же заменить величину So величиной Soe~qT и получить следующее неравенство.
р max(Ke~rT — Se-</T,0). (14.2)
Эти факты можно было бы доказать непосредственно, используя безарбитражные рассуждения (см. задачу 14.36).
Паритет опционов “колл” и “пут”
Заменяя в равенстве (9.3) величину So величиной Soe~qT, паритет опционов на покупку и продажу акций с дивидендной доходностью q, можно выразить следующим образом.
с + Ke~rT — р + Soe~gT (14.3)
Этот результат можно доказать непосредственно, используя безарбитражные рассуждения (см. задачу 14.36).
14.2 Формулы для вычисления цен опционов
Формулы для вычисления цен европейских опционов на покупку и продажу акций с дивидендной доходностью q можно получить, заменяя величину So величиной Soe_<?T в формулах Блэка-Шоулза (13.20) и (13.21).
с = Soe-^N(di) - Ke~rTN(d2l (14.4)
р = Ke~rTN(-d2) - Soe~qTN(-di). (14.5)
Поскольку
I /'soc’’T\
формулы для вычисления величин d] и с?2 принимают следующий вид.
in(So/fQ + (r-g + <T2/2)r ay/Т
\n(S0/K) + (r-q-a2/2)T оу/Т
Впервые эти результаты были получены Мертоном.1 Как показано в разделе 13.12, слово дивиденд следует интерпретировать как уменьшение цены акции в момент наступления даты “без дивиденда”. Если размер дивидендов не является постоянным на протяжении всего срока действия опциона, равенства (14.4) и (14.5) остаются корректными, если заменить величину q средним значением годовой дивидендной доходности, полученной до окончания опциона. Дивидендную доходность следует выражать, учитывая непрерывное начисление (см. раздел 5.6).
Дифференциальное уравнение и риск-нейтральные оценки
Чтобы доказать формулы (14.4) и (14.5) более строго, можно либо решить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет цена опциона, либо использовать риск-нейтральные оценки.
С учетом дивидендной доходности q дифференциальное уравнение (13.16) принимает следующий вид/
04.6)
Как и уравнение (13.16), оно не содержит никаких переменных, связанных с рисковыми предпочтениями инвесторов. Следовательно, к нему можно применять риск-нейтральную процедуру, описанную в разделе 13.7.
В риск-нейтральных условиях общая доходность акции должна быть равной г. Следовательно, ожидаемая скорость роста цены акции должна быть равной г — q. Риск-нейтральный стохастический процесс, описывающий поведение цены акции, имеет следующий вид.
dS = (г — q)Sdt + crS dz. (14.7)
Чтобы оценить дериватив, зависящий от акции с дивидендной доходностью q, установим скорость роста цены акции равной г — q и учтем ожидаемый выигрыш в размере г. Оценивая европейский опцион “колл”, необходимо иметь в виду, что
'См. Merton R. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973). — P. 141-183.
2См. техническое замечание 6 на Web-сайте автора.
ожидаемая цена акции в момент Т равна Soe^r~q^T. Применяя метод, изложенный в главе 13, приходим к выводу, что выигрыш, ожидаемый от европейского опциона “колл”, равен
e^-^SoNidi) - KTV(d2),
где величины d| и d2 определены выше. Учет дисконта, равного г в момент Т, приводит к равенству (14.4).
Биномиальные деревья
Для оценки опциона на акцию с известной дивидендной доходностью можно использовать биномиальное дерево, описанное в главе 11. Чтобы учесть волатильность цены акции, введем переменные
и = и d = e-<TV^,
где At — величина шага по времени. Риск-нейтральная вероятность роста цены акции выбирается так, чтобы ожидаемая доходность была равной г — q. Это значит, что
pSu + (1 - p)Sd =
т.е.
а — d
Р =-----р
и — d где
а = е(’-9)д‘.
Этот результат совпадает с формулой, выведенной в разделе 11.9.
14.3 Опционы на фондовые индексы
Как указывалось в главе 8, на нескольких биржах котируются опционы на фондовые индексы. Некоторые индексы отражают общее состояние всего рынка, а другие — ситуацию, сложившуюся в конкретном сегменте рынка (например, в области компьютерных технологий, в нефте- и газодобывающей отрасли, на транспорте или в сфере телекоммуникаций).
Котировки
В табл. 14.1 приведены котировки опционов на индексы Доу-Джонса (DJX — Dow Jones Industrial Average) и S&P 500 (SPX), опубликованные газетой The Wall Street Journal в четверг 5 февраля 2004 года в разделе Money and Investing. Кроме того, газета The Wall Street Journal публикует котировки опционов на большое количество других фондовых индексов, например NASDAQ 100 (NDX), Russel 2000
(RUT) и S&P 100 (ОЕХ). Все опционы, предлагаемые на Чикагской опционной бирже, являются европейскими, за исключением контракта на индекс S&P 100, который относится к американским опционам. Котировки включают в себя цену, на которой закончились предыдущие торги в среду 4 февраля 2004 года. Цены закрытия опционов на фондовые индексы DJX и NDX по состоянию на 4 февраля 2004 года были равны 104,7 и 1 126,52 соответственно.
Таблица 14.1. Котировки опционов на фондовые индексы, опубликованные газетой The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года
Wednesday, Feb. 4. 2004 Volume, last net change and open kiterest for all contracts. Volume figures are unofficial. Open interest reflects previous trading day. p-Put c-Cail. The totals for call and put volume are midday figures Mar 108 c 182 035 „ 11,472 Mar 108p 41 4 „ 614 Apr 108 p 40 5 020 88 Feb 112p 23 730 0.10 435 CaHVd 8251 Open Iftt .313,904 Put VoU~ 14/84 Open Int 370/73 S&P 500(SPX) Feb 850p 10 0.05 ... 1434 Mar 850p 430 0.40 0.10 29,388 Apr 850p 10 105 ... 311 Feb 875 p 5 0.05 ... 613 Apr 875 p 5 1.65 020 16 Mar 900 ₽ 5 030 ...37,089 Apr 900 p 85 1.90 -0.15 2 Feb 925 c 140199.50 2.50 690 Feb 925 p 4 010 -0.05 3,579 Mar 925p 96 105 0.05 14,592 Feb 950 p 200 0.40 030 17,129 Feb 975p 2,090 025 0.10 18301 Mar 975 c 10155 6.50 9,718 Mar 975p 360 2.05 0.05 40,001 Apr 975 p 26 520 120 2,027 Feb 995p 23 030 ...13,445 Mm 995p 2,004 2.70 0.10 27,317 Apr 995 p 4 5.70 ... 2,658 Feb 1005 p 256 035 0.05 36,093 Мм 1005 c 11125 -12.50 2,370 Mar 1005 p 1173 2.90 -0.10 25,947 Feb 1025 c 10100.50 -950 5,757 Feb 1025 p 6227 0.60 0.05 45,995 Mm 1025 p 515 4.60 0.50 55,930 Apr 1025 p 225 9 100 5,171 Feb 1035 p 306 0.70 ... 2,864 Feb 1040 p 10 1 0.25 4,270 Feb 1050 c 1789 7630-15.20 9,986 Feb 1050p 1929 110 ... 42,107 Мм 1050 c 10 84 -5.80 19,676 Mar 1050 p 36 6.90 0.90 48,190 Feb 1055p 130 140 0.10 3,134 Мм 1060 c 1 73 -650 3.391 Mar I960 p 2,305 810 130 7,272 Mar 1070 p 600 9 0.90 7,919 Feb 1075 c 27 57/0 -3.70 11,711 Feb 1075 p 11023 2.70 0.60 28,638 Mar 1075 c 16 64.50 -3.50 33,222 Мм 1075 p 519 10 40 180 38,840 Apr 1075 ₽ 185 16/0 130 1138 Feb 1085 c 4 4830-020 204 Feb 1085 p 583 3.70 1.00 6,492 Mar 1085 p 305 12 Z50 5,608
CHICAGO NET OPEN STRIKE VOL LASTCH6 INT
DJ INDUS AVG(DJX) Mar 90p 5 0.15 -0.05 5Ж Mm 92p 105 020 0.05 14,161 Apr 92p 1 0.55 0.05 40 Mm 96p 310 0.40 -Ц8М Feb 98p 40 0.10 -0.05 7,602 Mm 98p 775 0.60 0Л5 4,211 Feb 99 < Ц 5.90 0.10 328 Feb 99p 200 0.15 ... 2,190 Apr 99 p 3 135 0.05 606 Feb lOOp 179 020 ... 6,935 Mar lOOp 3 0.90 0.05 21,574 Apr lOOp 3 135 -0.05 2248 Mar 101c 10 4.80 -070 3,075 Mm lOlp 3 1 -0.10 4,772 Feb 102p 151 0.40 -0.10 2,925 Apr 102 p 1133 2 0.15 2206 Feb 104 c 40 1.75 -0.05 5,265 Feb 104p 422 105 015 7,282 Mar 104 c 378 2.50 -030 11255 Mm 104p 458 2.10 020 12,458 Apr 104 p 5 2.85 0.10 1799 Feb 105 c 2,068 1.05 -0.15 13/467 Feb 105 p 2335 150 020 15,555 Mar 105 c 646 190 -0.15 39,444 Mar 105p 122 2.35 0.05 21489 Apr 105 c 200 2.75 0.05 1,914 Apr 105p 102 3 „895 Feb 106c 1071 0.65 -0.10 4,647 Feb 106p 65 2.10 0J5 3/85 Мм 106p 30 3 025 5,426 Apr 106 p 5 3.80 020 1547 Feb 107c 118 0.35 -010 4,414 Mar 107p 2 3.50 ._ 125 Apr 107c 10 150 -0.75 617 Apr 107p 5 4.30 020 742 Feb 108c 6 020 -0.10 3,305 Feb 108p 2 3.90 0/0 2,585
Feb 1090 c 30 43.60 -5.40 319 Mar 1175 c 614 6 -2.00 26,761
Feb 1090p 85 4 0.70 5,371 Mar U75p 3 57.10 8.10 2,304
Feb 1100 c 447 3130 -8.10 21191 Apr 1175 c 558 1220-150 Z095
Feb llOOp 2,617 6.40 2.10 32,392 Feb 1180 c 420 0/0-0.55 1543
Mar 1100 c 33 40.50 -6.50 40/78 Feb 1185c 7 0/5 -02 5 731
Mar 1100 p 4203 15/0 180 44,776 Feb 1190c 86 0.50 -0.35 Z59?
Apr 1100 c 32 50 -450 462 Mar 1190 c 104 4.70
Apr UOOp 8/95 24 4.00 9,380 Feb 1200 c 1,259 0.35 -02 0 22,677
Feb LL05p 124 7.20 170 1734 Feb 1200 p 16 70.70 5.70 315
Feb 1110 ( 6 26.50 -5.50 13 Mar 1200 c 1,965 3 -050 23,307
Feb UlOp 3,828 8.50 220 6,048 Mar 1200 p 1 73.40 4.90 463
MarlUOc 11 34.40 -9/0 20,786 Apt 1200c 25 7 -0/0 3,481
Мм mop 688 18.10 Z10 18,829 Feb 1210 c 10 0.25-0.10 1424
Feb 1115c 4 20.60 -520 973 Feb 1215c 13 025 -0.15 963
Feb Ш5р 115 1030 3.10 9,530 Feb 1225 c 72 0.10-0.10 5,124
Feb 1120 c 93 IB -6.00 152 Mar 1225 c 1 120 -030 3,018
Feb 1120 p 255 12.10 3.50 6,774 Mar 1225 p 2 96.90 -4.60 11
Feb 1125 c 1/03 14 -7.00 19,486 Apr 1225 c 20 320 -0.50 2,845
Feb 1125 p 1,570 14.50 4.50 32,185 Feb 1250 c 55 0.05 -0.10 8,403
Mar 1125 c 4,980 24.70 -4.90 80,288 Mar 1250 c 14 0.55 -0.05 11,441
Mar 1125 p 4,764 25 4.00 78,162 Mac 1250 p 30120 0.50 515
Apr 1125 c 36 32.90 -4/0 2,641 Apr 1250 c 3 150 -0.40 410
Apr 1125 p 327 Feb ИЗО C 1156 Feb 1130 p 2,693 32 3.20 2,931 1130-520 <741 16/0 420 11,001 CaRVol. ...37,731 Open lr‘ ,003 Open Inti,976,864
PutVd.. ...Я5.5М
Мм 1130c 2,829 Mar 1130p 2864 2150 -5.00 12,667 27 3/0 13/75 LEAPS-LONG TERM
Feb 1135 c 322 9 -4.50 1262
Feb 1135p 396 19.90 5.60 2,600 DJ INDUS AVG - CB
Mar 1135 c 413 19.90-410 9,978 Dec 05 76 p 10 2
Mar 1135 p 851 30 5.00 9,651 Det 05 104 c 1 920 0.40 11,701
Feb 1140 c 1779 7 -5.00 6/01 DecOS 108 c 500 6.90 0.40 82
Feb 1140 p 948 22 5.50 8,040 Dec 05 108p 500 10 1.00 20
Mm 1140 c 1/01 13 -3.00 3,698 Cal! Vol.— 501 Open Int „13,617
Mm H40p 1 30 ZOO Z151 Put Vol .510 Open Int.. 12,357
Feb 1145c 52 6/0 -2.90 944 8 a? 500 - Cl
Feb 1145 p 47 26 5/0 1584 De<04 80c 60 33.10 ... 7/95
Feb 1150 c 3/79 4.20 -330 26,943 Dec 05 80p 10 1,75 0.05 12,238
Feb 1150 p 943 28.70 6.20 6,483 Dec04 90p 132 1.60 0 2 0 38/70
Mar 1150 c 520 13 -3.70 35,491 Dec 05 90 c 61 26 ... 24,696
Mm 1150 p 52 38 5.00 23,226 Dec 05 90p 3.50 0.50 18,418
Apr 1150 c 23 20/0 -3.40 2122 Dec 04 95p 10 220 0.05 5,595
Feb 1155 c 179 3/0 -ZOO 1557 Dec 04 100 p 87 3.10 0.15 25,728
Feb 1160 c 1,351 2.55-1/5 6,062 Dec 05 100 ₽ 10 5 0.30 28,972
Feb 1160 p 126 37 7.80 1,159 Dec 04 105₽ 8 4.30 0.10 2,324
Mm 1160c 402 10 -2.90 Z098 Dec 04 HOp 12 5/0 0.60 25,390
Mat 1160p 1 45 LOO 14 Dec 06 110 c 11 14.70 -1.00 4,328
Feb 1170 c 3,054 1.50 -0.90 6,733 Dec 06 110 p 10 9.10 0.70 33,811
Feb 1170 p 13 42/0 3.80 261 DpcO4 120c 4 3.40 -02 0 9,911
Feb 1175 c 1,617 115 -0/5 28,065 Call Vol .136 Open Int 480,710
Feb 1175 p 55 49 6.00 Z196 Put Vol .282 OpenJnt 435,054
Источник: воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. и Copyright Clearance Center, Inc. (c) 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
Один опционный контракт на фондовый индекс заключается на сумму, в 100 раз превышающую величину индекса. (Обратите внимание на то, что индекс
Доу-Джонса, применяемый в опционах на фондовые индексы, в 100 раз меньше обычного.) Расчеты по опционам на фондовые индексы выполняются в наличных суммах. Это значит, что, исполнив опцион на покупку индекса, его владелец получит наличными (S—К) х 100 долл., где S — стоимость опциона на момент закрытия торгов в день его исполнения, а К — цена исполнения. Со своей стороны, лицо, выписавшее опцион, должно выплатить эту сумму наличными. Аналогично владелец опциона на продажу индекса получает, а его продавец выплачивает наличными (К — S) х 100 долл.
Из табл. 14.1 следует, что, кроме относительно краткосрочных опционов, на биржах котируются и долгосрочные опционы LEAPS. Аббревиатура LEAPS означает Long-Term Equity Anticipation Securities (долгосрочные ценные бумаги без фиксированного дивиденда). Этот вид опционов был предложен на Чикагской опционной бирже. Срок действия опционов LEAPS достигает трех лет. (Обратите внимание на то, что в табл. 14.1 индекс S&P 500 при оценке контрактов LEAPS делится на десять.) Опционы LEAPS на фондовые индексы истекают в декабре. Как указывалось в главе 8, биржи СВОЕ и некоторые другие заключают контракты LEAPS и на отдельные акции. Сроки действия таких опционов истекают в январе.
На бирже СВОЕ котируются также гибкие опционы (flex options) на фондовые индексы — опционы, в которых трейдеры могут сами выбирать дату завершения опциона, его цену исполнения и тип (американский или европейский).
Оценка
При оценке индексных фьючерсов в главе 5 мы предполагали, что индекс можно интерпретировать как ценную бумагу с известной дивидендной доходностью. При оценке индексных опционов можно принять аналогичную гипотезу. Это значит, что нижнюю границу цен европейских индексных опционов можно вычислить по формулам (14.1) и (14.2), паритет европейских индексных опционов “колл” и “пут” выражается равенством (14.3), а цены европейских индексных опционов определяются по формулам (14.4) и (14.5). Во всех формулах символ Sq — величина индекса, о — волатильность индекса, q — средняя годовая дивидендная доходность (при непрерывном начислении) на протяжении всего срока действия опциона. Вычисление величины q должно учитывать только дивиденды, даты выплат которых наступают на протяжении срока действия опциона.
В США выплата дивидендов, как правило, осуществляется на протяжении последних недель февраля, мая, августа и ноября. Следовательно, в любой момент времени правильное значение q зависит от срока действия опциона. Особенно это касается валютных опционов. В Японии, например, все компании стараются устанавливать одинаковые даты выплат дивидендов.
Пример 14.1
Рассмотрим европейский опцион на покупку индекса S&P 500, срок действия которого истекает через два месяца. Текущая величина индекса равна 930, цена исполнения — 900 долл., безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а волатильность индекса — 20% годовых. Через один и два месяца ожидаются выплаты дивидендов в размере 0,2% и 0,3% соответственно. В данном случае So = 930 долл.,К = 900 долл., г — 0,08, а = 0.2 и Т = 2/12. Общая дивидендная доходность на протяжении всего срока действия опциона равна 0,2 + 0,3 = 0,5%, т.е. 3% годовых. Следовательно, q = 0,03 и
_ In (930/900) + (0,08 - 0,03 + 0,22/2) х 2/12 _
dl ~ 0,2^/2712 “ °’5444’
_ In (930/900) + (0,08 - 0,03 - 0,22/2) х 2/12 _
d2 ~ 0,2^/2712 ~ 0,4628,
IV(di) = 0,7069, N(d2) = 0,6782,
так что цена опциона “колл” с по формуле (14.4) равна
с = 930 х 0,7069е'-°’03х2/12 - 900 х 0,6782е-0’08х2/12 = 51,83 долл.
Следовательно, один контракт должен стоить 5 183 долл. □
Если заранее известен абсолютный размер дивидендов, выплачиваемых по акциям, лежащим в основе индекса, а не дивидендная доходность, можно использовать фундаментальную формулу Блэка-Шоулза, в которой первоначальная цена акции уменьшена на величину текущей стоимости дивидендов. Этот подход рекомендовался в главе 13 для вычисления стоимости опционов на покупку и продажу акций, приносящих заранее известные дивиденды. Однако этот подход довольно трудно реализовать для наиболее широко распространенных фондовых индексов, поскольку для этого необходимо знать размер дивидендов, выплачиваемых по каждой из акций, на которых они основаны.
Биномиальные деревья
В некоторых ситуациях целесообразно досрочно исполнить американский опцион на покупку или продажу индекса. Для оценки американских индексных опционов используются методы, описанные в разделе 11.9 (см. пример 11.1 ирис. 11.1.)
Страхование инвестиционного портфеля
С помощью опционов на фондовые индексы управляющий инвестиционным портфелем может ограничивать риск. Допустим, что текущее значение индекса равно So, инвестиционный портфель является хорошо диверсифицированным
и его коэффициент бета равен 1,0. Это значит, что доходность такого портфеля равна доходности за счет изменения индекса. В этом случае относительное изменение стоимости портфеля будет приближенно равно относительному изменению индекса. Каждый контракт на индекс S&P 500 заключается на сумму, в 100 раз превышающую величину индекса. Следовательно, если на каждые lOOSo долл, менеджер купит один опционный контракт с ценой исполнения К, то стоимость такого портфеля будет защищена от того, что индекс упадет ниже этого уровня. Допустим, что инвестиционный портфель стоит 500000 долл., а индекс равен 1 000. Таким образом, стоимость портфеля в 500 раз превышает величину индекса. Значит, чтобы застраховать портфель от того, что в течение следующих трех месяцев индекс упадет ниже 450 000 долл., менеджер должен купить пять опционов на покупку индекса с ценой исполнения, равной 900 долл. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 12%, дивидендная доходность индекса — 4%, а волатильность индекса — 22%. Опцион имеет следующие параметры.
So = 1000, К = 900, г = 0,12, а = 0,22, Т --= 0,25, q = 0,04.
Из формулы (14.5) следует, что стоимость опциона равна 6,48 долл. Следовательно, стоимость страховки равна 5 х 100 х 6,48 = 3 240 долл.
Чтобы понять, как это происходит, рассмотрим ситуацию, в которой индекс в течение трех месяцев падает до 880 долл. Стоимость инвестиционного портфеля в этом случае снизится до 440 000 долл. Выигрыш благодаря опциону равен 5 х (900 — 800) х 100 = 10000 долл. Итак, общая стоимость портфеля возвращается до уровня 450 000 долл, (или 446 760 долл, с учетом стоимости опционов).
Иногда утверждают, что доходность акций в долговременной перспективе превышает доходность облигаций. Если бы это было правдой, страховка долгосрочных инвестиционных портфелей, в которых цена исполнения равна будущей цене портфеля облигаций, стоила бы не очень много. Однако на самом деле, как показано во врезке “Пример из деловой практики 14.1”, ее стоимость бывает значительной.
Пример из деловой практики 14.1. Можно ли гарантировать, что в долговременной перспективе акция окажется выгоднее облигации?
Часто утверждают, что для долговременного инвестирования следует выбирать акции, а не облигации. Представим себе американского управляющего инвестиционным фондом, убеждающего инвесторов выбрать для долговременного инвестирования акции, отражающие индекс S&P 500. Управляющий может испытывать соблазн предложить покупателям гарантию, что на протяжении следующих 10 лет доходность акции не будет ниже доходности безрисковых облигаций. С исторической точки зрения акции оказываются выгоднее облигаций американского правительства на протяжении практически любого наугад выбранного десятилетнего периода. Однако управляющий инвестиционным фондом не должен слишком обольщаться.
На самом деле этот вид гарантии оказывается удивительно дорогим. Предположим, что фондовый индекс в настоящий момент равен 1 000, дивидендная доходность индекса равна 1% годовых, волатильность индекса равна 15% в год, а десятилетняя безрисковая процентная ставка равна 5% годовых. Чтобы доходность индекса оказалась выше доходности облигаций, акции, лежащие в основе индекса, должны приносить больше 5% в год. Дивидендная доходность обеспечит 1% в год. Следовательно, капитальная прибыль от акций должна достичь уровня, превышающего 4% годовых. Это значит, что через 10 лет индекс должен оказаться равным 1000ео,О4х1° = 1492.
Обещание, что через 10 лет доходность 1000 долл., инвестированных в фондовый индекс, окажется больше доходности 1000 долл., вложенных в облигации, эквивалентно праву на продажу индекса за 1492 долл, через 10 лет. Это право представляет собой европейский опцион на продажу индекса, который может быть оценен с помощью формулы (14.5), где Sq = 1000, К = 1492, г = 5%, <т = 15%, Т = 10 и q = 1%. Стоимость этого опциона “пут” равна 169,7 долл. Таким образом, стоимость гарантии, предоставляемой управляющим, составила бы 17% суммы всей инвестиции. Вряд ли можно было бы предложить более неудачное вложение!
Страхование инвестиционного портфеля, коэффициент бета которого не равен 1,0
Если доходность инвестиционного портфеля не равна доходности благодаря изменению фондового индекса, можно применить модель оценки капитальных активов. В соответствии с этой моделью ожидаемая дополнительная доходность инвестиционного портфеля по безрисковой процентной ставке равна дополнительной доходности, полученной благодаря изменению рыночного индекса сверх этой ставки, умноженному на коэффициент бета. Допустим, что коэффициент бета инвестиционного портфеля стоимостью 500 000 долл., рассмотренного выше,
равен не 1,0, а 2,0. Как и ранее, будем считать, что текущая безрисковая процентная ставка равна 12% годовых, доходность как портфеля, так и индекса равна 4% годовых, а индекс S&P 500 в данный момент равен 1 000. В табл. 14.2 продемонстрирована зависимость стоимости портфеля от возможной величины индекса через три месяца. Вычисления, лежащие в основе табл. 14.2, проиллюстрированы в табл. 14.3 для ситуации, когда величина индекса за три месяца достигает уровня 1040.
Таблица 14.2. Зависимость стоимости портфеля от возможной величины индекса через три месяца, если коэффициент бета равен 2,0
Величина индекса через три месяца Стоимость инвестиционного портфеля через три месяца, долл.
1080 570000
1040 530000
1000 400000
960 450000
920 410000
880 370000
Таблица 14.3. Вычисления, лежащие в основе табл. 14.2, если индекс через три месяца равен 1 040
Величина индекса через три месяца 1040
Доходность благодаря изменению индекса 40/1 000, т.е. 4% за три месяца
Дивиденды по индексу 0,25 х 4 = 1% за три месяца
Общая доходность индекса 4 + 1 = 5% за три месяца
Безрисковая процентная ставка 0,25 х 12 = 3% за три месяца
Дополнительная доходность индекса сверх безрисковой процентной ставки 5 — 3 = 2% за три месяца
Дополнительная доходность портфеля сверх безрисковой процентной ставки 2x2= 4% за три месяца
Доходность портфеля 3 + 4 = 7% за три месяца
Дивиденды по портфелю 0,25 х 4 = 1% за три месяца
Увеличение стоимости портфеля 7 — 1 = 6% за три месяца
Стоимость портфеля 500000 х 1,06 = 530000 долл.
Обозначим стоимость портфеля через Sq. Легко убедиться, что на каждые lOO.S’o долл., вложенных в инвестиционный портфель, необходимо купить в оп-
ционов на продажу индекса. Цена исполнения должна быть равной величине индекса, при которой стоимость портфеля достигает гарантированного уровня. Допустим, что гарантированная сумма равна 450000, а коэффициент бета равен 1,0. Из табл. 14.2 следует, что приемлемая цена исполнения опциона равна 960 долл. Опцион имеет следующие параметры.
Sq = 1000, К = 900, г = 0,12, а = 0,22, Т = 0.25, q = 0,04.
Из формулы (14.5) следует, что стоимость опциона равна 19,21 долл. В данном случае lOO.S’o = 100000 и коэффициент бета равен 2,0, так что на каждые 100000 долл., вложенных в инвестиционный портфель, необходимо заключить два опциона на покупку индекса. Поскольку стоимость портфеля равна 500 000, требуется приобрести 10 контрактов. Таким образом, общая стоимость страховки равна 10 х 100 х 19,21 = 19 210 долл.
Для того чтобы проиллюстрировать процедуру, приводящую к требуемому результату, посмотрим, что произойдет, если величина индекса упадет до 880. Как показано в табл. 14.2, стоимость портфеля при этом станет равной 370000 долл. Выигрыш благодаря опционам на продажу индекса равен (960 — 880) х 10 х 100 = = 80 000 долл. Именно на эту величину должна измениться стоимость инвестиционного портфеля, чтобы достичь гарантированной суммы, равной 450 000 долл. (С учетом стоимости опциона стоимость портфеля достигает 430 790 долл.).
Существует две причины повышения стоимости хеджирования при увеличении коэффициента /3: для этого требуется больше опционов “пут”, которые к тому же имеют более высокую цену исполнения.
14.4 Валютные опционы
Валютные опционы, в основном, котируются на внебиржевом рынке. Преимущество этого рынка заключается в большом объеме сделок; цены исполнения, сроки и другие условия полностью удовлетворяют требованиям финансовых директоров корпораций. В США европейские и американские валютные опционы продаются на Филадельфийской фондовой бирже. Однако биржевой рынок валютных опционов намного меньше внебиржевого.
Если некая корпорация желает хеджировать риски, связанные с колебаниями валютных курсов, вместо форвардных контрактов она может использовать валютные опционы. Компания, ожидающая поступления фунтов стерлингов в определенный момент в будущем, может хеджировать свой риск, купив опцион на продажу фунтов стерлингов, срок действия которого истекает в это время. Эта стратегия гарантирует, что стоимость фунтов стерлингов не будет меньше цены исполнения, позволяя компании получить выгоду от любого благоприятного изменения обменного курса. Аналогично компания, знающая, что в определенный момент
в будущем она должна выплатить некую сумму фунтов стерлингов, может хеджировать свой риск, купив опцион на покупку фунтов стерлингов, срок действия которого истекает в это время. Эта стратегия гарантирует, что стоимость фунтов стерлингов не будет больше определенного уровня, позволяя компании получить выгоду от любого благоприятного изменения обменного курса. В то время как форвардный контракт фиксирует будущий обменный курс будущей транзакции, опцион представляет собой разновидность страховки. Однако эта страховка не является бесплатной. Стоимость заключения форвардного контракта равна нулю, а для заключения опциона необходимо авансом заплатить опционную премию.
Оценка
Для того чтобы оценить стоимость валютного опциона, обозначим через So наличный валютный курс (стоимость одной единицы иностранной валюты, измеренной во внутренней валюте). Как указывалось в разделе 5.10, иностранную валюту можно интерпретировать по аналогии с акцией, имеющей известную дивидендную доходность. Владелец иностранной валюты получает “дивидендную доходность”, равную безрисковой процентной ставке гу в иностранной валюте. Формулы (14.1) и (14.2) остаются корректными, если величину q заменить величиной rf. Следовательно, нижние границы цен европейских валютных опционов “колл” с и “пут” р вычисляются по таким формулам.
с > Soe~rfT - Ке~гТ, р > Ke~rT - SQe-rfT,
Паритет европейских валютных опционов “колл” и “пут” выражается формулой (14.3), в которой величина q заменена величиной гу.
с + Ke-rT = р + Soe~rfT.
Цены европейских опционов “колл” с и “пут” р вычисляются по формулам (14.4) и (14.5), в которых величина q также заменена величиной гу
с = Soe~rfTN(di) - Ke~rTN(d2),
р = Ke~rTN{-d2) - Soe~rfTN(-di),
(14.8)
(14.9)
где
2/2) Т
di =
, In (So/K) + (» dr =----------
ст
\n(S0/K) + (r-rf-a*/2)T ------------у=----------= а\ — (tv 1 .
И внутренняя, и внешняя процентные ставки г и г/ относятся к моменту Т. Опционы на покупку и продажу валюты являются симметричными, т.е. опцион на продажу валюты А за валюту В с ценой исполнения К эквивалентен опциону на покупку В за валюту А с ценой исполнения 1/F.
Пример 14.2
Рассмотрим четырехмесячный европейский опцион на покупку британского фунта стерлингов. Допустим, что текущий валютный курс равен 1,6000, цена исполнения равна 1,6000, безрисковая процентная ставка в США — 8% годовых, безрисковая процентная ставка в Великобритании — 11% годовых, а цена опциона— 4,3 цента. В таком случае So — 1,6 долл., К — 1,6 долл., г = 0,08, г/ = 0,11, Т = 3/12 и с — 0,043. Подразумеваемую волатильность можно вычислить с помощью итерационной процедуры. Если волатильность равна 20%, цена опциона равна 0,0639 долл., если 10% — 0,0285 долл, и т.д. Подразумеваемая волатильность равна 14%. □
Формула (5.9) утверждает, что форвардный курс Fo в момент Т равен
Fo = Soe{r-r^T.
Это позволяет упростить формулы (14.8) и (14.9).
с = e~rT[F0N(dx) - KN^dz)], (14.10)
р = e~rT[KN(-d2) - F07V(-di)], (14.11)
где
di =
In (Fp/F) + ct2T/2 ay/T
ln(FQ/Ky-a2T/2 сту/Т
= — ay/T.
Обратите внимание на то, что применять формулы (14.10) и (14.11) можно только тогда, когда сроки окончания форвардного контракта и опциона являются одинаковыми.
Биномиальные деревья
Иногда оказывается целесообразным досрочно исполнить американский валютный опцион. Следовательно, стоимость американского опциона выше, чем его европейского аналога. В целом, наиболее вероятными претендентами на досрочное исполнение являются опционы на покупку наиболее доходных валют и опционы на продажу наименее доходных валют. Это объясняется тем, что курс валют с наиболее высокой процентной ставкой, скорее всего, будет падать по
отношению к доллару США, а курс валют с наиболее низкой процентной ставкой — расти. К сожалению, аналитических формул для вычисления стоимости американских валютных опционов не существует. Для оценки стоимости американских валютных опционов используются методы, изложенные в разделе 11.9 (см. пример 11.2 и рис. 11.12).
14.5 Фьючерсные опционы
Опционы на фьючерсные контракты, или фьючерсные опционы, продаются и покупаются на большинстве бирж. Они относятся к американскому типу опционов, а их исполнение предусматривает поставку соответствующего фьючерсного контракта. При исполнении фьючерсного опциона “колл" его владелец занимает длинную позицию в соответствующем фьючерсном контракте и получает наличную сумму, равную последней расчетной фьючерсной цене за вычетом цены исполнения. При исполнении фьючерсного опциона “пут” его владелец занимает короткую позицию в соответствующем фьючерсном контракте и получает наличную сумму, равную цене исполнения за вычетом последней расчетной фьючерсной цены. Как следует из приведенных ниже примеров, эффективный выигрыш за счет фьючерсного опциона “колл” равен фьючерсной цене в момент исполнения за вычетом цены исполнения, а эффективный выигрыш за счет фьючерсного опциона “пут” равен цене исполнения за вычетом фьючерсной цены, зафиксированной в этот момент.
Пример 14.3
Допустим, что сегодня — 15 августа и инвестор владеет одним сентябрьским фьючерсным контрактом на поставку меди с ценой исполнения, равной 70 центов за фунт. Один фьючерсный контракт заключается на поставку 25 000 фунтов. Допустим, что фьючерсная цена меди с поставкой в сентябре в настоящий момент равна 81 цент, в момент закрытия предыдущих торгов, состоявшихся 14 августа (последний расчет), она была равна 80 центов. Исполняя опцион, инвестор получает наличными
25 000 х (80 — 70) центов = 2 500 долл.
и занимает длинную позицию во фьючерсном контракте на покупку 25 000 фунтов меди с поставкой в сентябре При желании эту позицию можно немедленно закрыть. Это принесет инвестору, с учетом полученного выигрыша, еще
2500 х (81 — 80) центов = 250 долл.
Эта сумма отражает изменение фьючерсной цены по сравнению с последними расчетами. Общий выигрыш от исполнения опциона 15 августа равен 2 750 долл.
Он равен 25 000(F — К), где F — фьючерсная цена в момент исполнения опциона, а К — цена его исполнения. □
Пример 14.4
Допустим, что инвестор владеет одним декабрьским фьючерсным контрактом на поставку кукурузы с ценой исполнения, равной 200 центов за бушель. Один фьючерсный контракт заключается на поставку 5 000 бушелей кукурузы. Допустим, что текущая фьючерсная цена кукурузы с поставкой в декабре равна 180 центов, а последняя расчетная фьючерсная цена равна 179 центов. Исполняя опцион, инвестор получает наличными
5 000 х (200 — 179) центов — 1050 долл.
и занимает короткую позицию во фьючерсном контракте на продажу 5 000 бушелей кукурузы с поставкой в декабре. При желании эту позицию можно немедленно закрыть. Это принесет инвестору, с учетом полученного выигрыша, еще
5000 х (180 — 179)центов = 50 долл.
Эта сумма отражает изменение фьючерсной цены по сравнению с последними расчетами. Чистый выигрыш от исполнения опциона равен 1 000 долл. Он равен 5000(А' — F), где F — фьючерсная цена в момент исполнения опциона, а К — цена его исполнения. □
Котировки
Фьючерсные опционы классифицируют по месяцам поставки, предусмотренным в соответствующих фьючерсных контрактах, а не по датам окончания действия опционов. Как указывалось ранее, большинство фьючерсных опционов являются американскими. Срок действия фьючерсного опциона истекает, как правило, за несколько дней до окончания срока действия соответствующего фьючерсного контракта. Например, фьючерсный опцион на индекс S&P 500 истекает в тот же день, что и базовый фьючерсный контракт; фьючерсный валютный опцион биржи СМЕ истекает за два рабочих дня до срока окончания фьючерсного контракта; фьючерсный опцион на поставку казначейских обязательств, предлагаемый на бирже СВОТ, завершается в ближайшую пятницу, которая не менее чем на пять рабочих дней предшествует концу месяца, в течение которого истекает срок действия соответствующего фьючерсного контракта. Исключение составляет только контракт на евродоллары по среднегодовому курсу (mid-curve Eurodollar contract), который истекает через год или два после завершения базового фьючерсного контракта.
В табл. 14.4 приведены цены фьючерсных опционов, опубликованные в газете The Wall Street Journal 5 февраля 2004 года. Среди них наиболее часто упоминаются контракты на поставку кукурузы, сои, пшеницы, сахара, сырой нефти, мазута,
природного газа, золота, казначейских облигаций, казначейских билетов, пятилетних казначейских билетов, евродолларов, однолетних и двухлетних евродолларов по среднегодовому курсу, а также индексов Euribor, Eurobunds и S&P 500.
Опционы на процентные фьючерсы
Наиболее популярными в США являются опционы на фьючерсы на поставку казначейских облигаций, нот и евродолларов. В табл. 14.4 приведены цены закрытия на эти инструменты, зарегистрированные 4 февраля 2004 года.
Фьючерсный опцион на поставку казначейской облигации — это опцион на заключение фьючерсного контракта, предусматривающего поставку казначейских облигаций. Как указывалось в главе 6, один такой фьючерс рассчитан на поставку казначейских облигаций с номинальной стоимостью, равной 100000 долл. Цена опциона на фьючерсный контракт на поставку казначейских облигаций котируется в процентах от номинальной стоимости соответствующих казначейских облигаций с точностью до 1/64 процента. В табл. 14.4 показано, что цена апрельского фьючерсного опциона на покупку казначейских облигаций 4 февраля 2004 года была равна 2-06, т.е. 26/б4% основной суммы, а цена исполнения — ПО долл, (т.е. стоимость контракта равна 2 093,75 долл.). Котировки фьючерсных опционов на поставку казначейских нот подчиняются тем же правилам.
Фьючерсный опцион на поставку евродолларов — это опцион, дающий право заключения фьючерсного контракта на поставку евродолларов. Как указано в главе 6, если котировка фьючерса на поставку евродолларов изменяется на один базисный пункт, т.е. на 0,01%, прибыль или убыток по этому контракту изменяется на 25 долл. Аналогично один базисный пункт цены фьючерсного опциона на поставку евродолларов соответствует 25 долл. Чтобы получить котировку фьючерсных опционов на поставку евродолларов, заключенных на бирже СМЕ, цены, публикуемые в газете The Wall Street Journal, необходимо умножать на 10. Например, котировка 5,90, установленная для мартовского фьючерсного опциона “колл” на поставку евродолларов при цене исполнения, равной 98,25 долл., в табл. 14.4 означает, что соответствующая котировка биржи СМЕ равна 59,0 базисных пункта, а один такой контракт стоит 59,0 х 25 = 1475,00 долл.
Опционы на процентные фьючерсы ничем не отличаются от других фьючерсных контрактов. Например, выигрыш от опциона “колл” равен niax(F — К, 0), где F — фьючерсная цена в момент исполнения, а К — цена исполнения. Помимо выигрыша, владелец опциона занимает длинную позицию во фьючерсном контракте, а продавец опциона — соответствующую короткую позицию.
При увеличении цен облигации (т.е. когда процентные ставки падают) цены процентных фьючерсных опционов возрастают. При уменьшении цен облигации (т.е. когда процентные ставки растут) цены процентных фьючерсных опционов падают. Инвестор, рассчитывающий на рост краткосрочных процентных ставок,
Таблица 14.4. Цены фьючерсных опционов, зарегистрированные в момент закрытия торгов 4 февраля 2004 года
MMimrhy, February 4, 2004
Final or settlement prices of selected contracts. Volume and open interest are totals in all contract months.
STRIKE CALLS-SETTLE PUTS-SFTTLE
Food and Fiber
STRIKE CAUS-SETTLE PUTS-SETTH
Grain and Oilseed
Cotton csv©
50,000 lbs; cents per №.
89 .0330 .0348 .0275 .0333 .0661
90 .0290 .0314 .0248 .0393 0727
91 .0245 .0282 .0224 .0448 .0795
92 .0210 .0254 .0513 .0666
Est vol 815 Tu 800 calls 300 puts
Op int Tues 27,374 calls 19,492 puts
Gasoline-Unlead <шм)
як < НИ я1
Corn CCBT) 5,000 bu; cents per bo. STRIKE CALLS-SETTLE
Price 260 270 280 290 300
310 ....
Est vol 14,610 Tu 8,885 calls 6,364 puts Op int Tues 323,990 calls 227,010 puts
Soybeans ccbd
5,000 bu; cents per bu.
WTs-smiE
Mv May Ay Mv May Ay
11.875 20.250 26.750 1.625 5.250 8,500
5.500 14.750 21250 5250 9.500 13500
2250 10.500 17250 12.000 15.500 19.000
.750 7.375 14.000 20.500 22000 25.625
250 5.125 11.375 30.000 29.625 32.625
.125 3.500 9250
Price Mv May Ay Mv May АУ
67 2.44 535 7.13 J9 160 187
68 164 521 6.47 .39 195 220
69 .90 4.60 5.86 .65 2.34 2.58
70 .46 4b4 5.28 121 2.78 3.00
71 28 3.54 4.75 2.03 3.27 3.46
72 .15 3.07 425 2.90 3.80 3.95
Est vol 9,021 Tu 8,443 calls 5,904 puts Op int Tues 217,446 calls 113,615 puts
Orange Juice once)
15,000 lbs; cents per ft.
Price Mv Apr May Mv Apr May
97 .0462 .0932 .0305 0301 .0484
98 .0409 0842 .0877 .0352 0338 .0528
99 .0361 .8823 .0404 .0378 J0574
100 .0318 0725 .0773 .0461 .0421 .0623
101 .0279 .0671 .0724 .0522 .0466 .0674
102 .0243 Л619 .0680 .0586 .0514
Est vol 2,854 Tu 1,831 calls 1008 puts
Op int Tues 21,736 calls 17,368 puts
Natural Gas cnym>
10,000 MMBtu; $ per MMBtu.
Price Mv May «У Mv May Ay
760 47.500 58.500 60.000 1.875 13.000 28.500
780 31250 46.500 50250 5.500 20.750 38300
800 18.875 36.250 42.000 13.125 30.750 50.000
820 10250 23.500 35.000 24.500 42250 62.750
840 5.125 22.000 29.500 39.375 56 000 77.000
860 2.500 17.000 24.750 56.625 70.750 92.000
Ей vol EMS.' Га 14ЛИ Ulis ШЗ pats Op int Tues 153237 calls 125,007 puts
Soybean Meal «bd
100 tons; $ per ton
Price Mv May Ay Mv May Ay
50 11.65 14.45 17.10 .05 15 .25
55 6.75 9.75 12Л0 10 .40 .75
60 2.40 5.75 825 .75 1.35 1.40
65 .45 3.05 5.05 3.50 3.50 3.00
70 .15 135 2.95 8.35 7.05 5.90
75 .10 .80 170 13,35 11.40 9.55
Est vol 412 Tu 1547 calls 843 puts
Op tot Tues 42,351 calls 14,369 puts
Coffee (csce)
cents per ft
37,500
Price Mv Apr May Mv Apr May
67.5 5.40 8.17 9.06 0.30 0.98 L94
70 3.35 638 7.53 0.75 1.85 2.90
72.5 185 4.94 6.24 1.75 2.79 4.10
75 LOO 3.82 5.10 330 417 5.52
77.5 0.49 2.98 4.30 5.39 5.82 714
80 0.23 2.34 358 7.63 7Л8 8.91
Est vol 9Л2О Tu 4864 calls 2,718 puts
Op mt Tues 78,119 calls 38,500 puts
Sugar-World (ts<£)
112,000 lbs; cents per ft.
Price Mv Apr May Mv Apr
555 .382 276 278 .486
560 .358 260 238 .304 .519
565 334 244 .330 .553
570 313 230 210 359 .589
575 293 216 197 .389 .625
580 275 203 .185 .421 .662
Est vol 37,627 Tu 17,111 calls 19,795 puts
Op tot Tues 316,788 calls 386,608 puts
Brent Crude cipe)
MW Mt ЫК $ PH Ш.
Price Mar Apr May Mar Apr
Data not available from source.
May
May
Price Mv May Ay Mv May Ay
235
240 9.00 13.50 14.50 2.00 725 1175
245 — —
250 3.75 9.30 10.90 6.75 12.60 18.25
255 —
260 135 6.50 8.50 14.40 19.75 25.70
Est vol 2,445 Tu 2,767 calls 2,418 puts
Op int Tues 39,831 calls 36,748 puts
Soybean Oil cost)
60,000 lbs; cents per lb.
Price Mv Apr May Mv Apr May
450 L19 139 1.40 0.01 DOI 0.02
500 0.69 039 0.93 0.01 0.02 0.06
550 0.25 0.47 0.55 0.07 0,09 0.17
600 0.02 018 027 0.34 0.30 0.39
650 0,01 0.05 012 0-83 0.67 0.74
700 0.01 OJOI 0.06 L33 L13 1.17
Est vol 2,533 Tu 1814 calls 1889 puts Op int Tues 154,632 calls 112,414 puts
Cocoa (CSCE)
10 metric tons;$ per ton
Est vol Tu calls puts Op mt Tues calls puts
Livestock
Price Mv May Ay Mv May Ay
290 1.000 1.770 2.070 250 1.000 1620
295 .750 L545 1.870 .400 1.28G
300 .550 1.325 L700 .700 1570 2240
305
310 .250 1.000 1.410
315 — — .»
Cattle-Feeder (Cme> ад ж «ль ph a.
Est vol 6,036 Tu 2,484 caHs 2,045 puts Op int Tues 55,851 calls 44,819 puts
Wheat сип
5,000 to; cents per bu. Price 360 370 380 390 400 410
Est vol 4,768 Tu 2,369 calls 1615 puts Op int Tues 76,609 calls 56,869 puts
Wheat «о
5,000 bu; cents per bo.
Price - - “
360 370 380 390 400 410
Est vol 2,045 Tu 437 calls 315 puts Op tot Tues 21347 calls 19,365 puts
Price Mv Apr May Mv Apr May
1500 84 108 133 3 39 64
1550 42 78 105 11 59 86
1600 14 54 81 33 85 112
1650 4 36 61 73 117 142
1700 1 24 45 120 155 176
1750 1 15 34 170 196 214
Est vol 1,663 Tu 439 <aMs 341 puts
Op int Tues 18,472 tails 15,125 puts
Price Mv Apr Mv Apr May
8000 4.00 5.50 628 3.00 2.80 3.10
8100 —
8200 2.50 4.00 3.50 3.30 3.90
8300 2.10 ... 410
E400 160 3.10 4.00 4.60 4.40 4.80
8500 120 — 520 —
Est vol 534 Tu 183 calls 261 puts
Op int Tues 3,298 calls 5,427 puts
Cattle-Live <cme)
«,M0 lbs; «nb PH &
Mv 19.250 12.750 8.000 4.500 2.500 1375
May 32.375 26.500 21500 17.500 14.125 11-250
May
Mar
3250 10.000
6.750 14.000 _______
12.000 19.000 28.OOC
18.500 25.000
26.375 31.500
Ay 34.500 29.750 25250 21.500 18.250 15.500 35250 38.625
Mar May
22.500 30.625
15.000 24.875
9125 20.000 5250 16.125 2875 14.000 2.000 10.500
Uy 36.375 31250 26.625 22750 19.375 16.500
ЛУ 17250 22.500
34250
41000
48.000
Petroleum
Price Feb Mw Apr Feb Mv Apr
73 1.50 2.00 0.50 4.05
74 0.80 170 0.80 4.75
75 0.35 L50 1.35 5.55
76 0.18 125 2.18 — 628
77 0.08 1.05 3.08 7.08
78 0.03 — 0.85 4.03 7.8c
Crude Oil cnym)
1000 Uris; $ per bbl. Price 3200 3250 3300 3350 3400
3450 .... ... „ ..
Est vol 43,517 Tu 13,264 calls 17,244 puts
Op int Tues 341,383 calls 486,295 puts
Heating Oil No.2 даю
«,«0 як I per Hl.
Price "
87 88
Apr L37 1.63 1.94 226 2.62 3.80
Mar 0.43 0.60 031 1.06 1.39 1.73
Mv 153 1.20 091 0.66 0.49 0.33
Apr 136 1-12 0.93 0.75 0.61 0.50
May 139 1.18
1.00
0.84
070
0.00
May 2.07 2.36 2.67 3.01 337
Est vol 1,903 Tu 690 calls 855 puts Op int Tues 40.381 calls 42,076 puts
Hogs-Lean ccme)
40,000 lbs; cents per ft.
Price
57
58 59
60 61
62 ... ... _.. _
Est vol 243 Tu 207 calls 358 puts Op tot Tues 5,619 calls 6,176 puts
Ay 16.000
Mv May
2.000 10.250
14.500 20.750
19.500 26.125
25.625 32.125
32500 38.750
4.500
8.625
14.750
22.375
31.000
Apr May Mv Apr
---- .0240 .0540
.0284 .0600
Mar .0437 .0426 .0335 .0381 .0386 .0303
May
.0850
Feb 263 1.78 1.08 053 028 0J5
Apr 3.80 3.18 2.65 215 173 135
May
4.80
3.63
Feb 0.20 0.35 0.65 no
Apr 1.93 2.30 2.78 3.28
Шу
2.18
2.98
2.68
2.73
STRIKE CAHS-SETTLE PUTS-SETTLE
Metals
Copper «мх)
25,000 ftt; cents per lb.
Price Mar Apr May Mm Aw May
114 ’>.00 6.W ЛЬ 1.55 2.90 4,69
116 3.70 490 615 2.25 3.80 5.60
118 2.55 395 5.20 M0 4.85 6.65
I/O 1.75 3.J0 4.40 4.30 6.00 7.85
122 115 1.80 3.70 5.70 9.65 9.10
124 11/0 L00 3.05 7.25 13.90 10.50
Est vol 1,650 Tu 247 calls 23 puts
Op int Tues 12,848 calls 3,638 puts
Gold «мю
100 troy
ounce
Price Mar Дм Jun Mm Aw Jun
390 13.50 16.80 2180 198 5.10 9.20
395 10.00 13.70 19.00 3.30 7.00 1140
400 7.00 11.00 17.50 5.30 9.30 14.90
405 4.80 8.80 14.30 810 12.10 16.60
410 3.20 6.60 12.50 1150 14.90 19.70
415 2.10 5.50 10.80 15.40 18.80 23.00
Est vol 18,000 Tu 4,487 calls 5,463 puts Op int Tues 306,159 calls 227,854 puts
Silver (cmx)
5,000 troy ounces; ds per troy ounce
Price 610 Mar 70.30 Л May 38.40 Mar 15.50 74% May 32.20
620 15.90 26.30 34.30 2110 30.10 38.10
625 14.00 74.40 32.40 24.70 33.20 41.20
630 12.40 22.70 3070 77.60 3640 44.40
640 9.70 19.50 27.50 34.90 43.20 5170
658 7.60 16.80 24.70 42.70 50.50 58.40
Est vol 1800 Tu 1474 calls 1954 puts
Op tot Tues 66,669 caHs 26,556 puts
Interest Rate
T-Bonds (ten
$100,000; points and «ths of 1005
STRIKE CALLS-SETTLE PUTS-SETTLE
991250 .002 .002 .......
991875 ...................
Est vol 330 Tu 1,199 calls 1303 puts
Op tot Tues 128,420 calls 164873 puts
Eurodollar
Окончание табл. 14.4
STRIKE (AUS-SETTLE PUTS-SETTLE
7500 023 0.77 W 0.38 0.92
7550 0.10 0.57 0.75 1.72
7600 0.05 0.42 1.19 1.57
7650 0.02 0.31 167 196
$ million; pts, of 100%
Price Feb Mar Apr Feb Mm Aw
9825 5.90 0.00 0.00 0.12
9850 0.95 3.42 222 0.00 0.02 0.37
9875 102 0.45 0.05 0.12 110
9900 0.05 0.02 1.65
4.10
6.60
0.00
0.00
9925
9950
Est vol 288,753;
Tu vol 83303 calls 142,595 puts
Op int Tues 4,268,863 calls 4,408,535 puts
1 Yr. Mid-Curve Eurodlr «Mt)
$1000,000 contract units; pts. of 10W
Price Feb Mar AW Feb Мм
9725 4.02 4.65 2.75 0.17 0-80
9750 2.05 2.87 160 0.70 152
9775 0.70 155 0.82 185 2.70
9800 0.15 0.65 0.35 3.80 4.30
9825 0.02 0.20 015 6.35
9850 0.00 0.05
Aw 2.95
Est »ol 2МИ То H.SAS wiis puts""
Op mt Том 934,544 tills 932,0В puls
2 Yr. Mid-Curve Eurodlr <cme)
$1000,000 centrad units; pts. of 10OT
Price Mar Jun Sep Mac
9575 6.00 5.70 050
9600 4.00 4.10 405 1.00
9625 145 282 2.90 195
9650 127 L85 327
9675 0.60 112 510
9700 0.17 0.50 7.17
Jun 2.45 1.35 4.57 6.07
Est vol 800 Tu 8,400 calls 0 puts
Op tot Tues 158,035 calls 33,178 puts
Euribor (UFFE)
Eurо 1,000,000
Sep
5.40
ui
Est vol 419 Tu 219 calls 163 puts Op int Tues 12,761 calls 9,409 puts British Pound тою 62,500 pounds; cents per pound Price '* " r
1810 1820 1830 1840 1850 1860 ____ .... __ .
Est vol 755 Tu 242 calls 625 puts Op tot Tues 6,257 calls 5,097 puts
Swiss Franc (ото 125,000 francs; cents per franc
Feb Mar Aw Feb Mar
2.01 3.13 024 136
113 253 0.36 176
0.68 2.04 0.91 2.27
0.34 160 1.57 2.83
0.16 124 1.M
0.08 0.96 142 3.31
Apr
Price Feb Mm AW Feb Mar
7900 110 170 0.08 0.68
7950 0.69 1.39 0.17 0.87
8000 0.37 111 0.35 1.09
8050 0.18 0.89 0.66 1.37
8100 010 0.71 1.08 1.69
8150 0.05 0.55 1.53 2.03
Est vol 189 Tu 44 calls 384 puts Op tot Tues 1690 calls 2^56 puts
Euro Fx «me)
Aw
125ДХЮ euros; cents per euro
Price 12400 Feb 135 Mar 236 & Feb 0.15 Mm 116 Ж
12450 0.98 2.07 255 028 1.37 2.14
12500 0.66 L81 2.31 0.46 161 2.40
12550 0.42 156 2.08 0.72 186 2.67
12600 0.26 134 187 106 214 2.96
12650 0.15 114 168 1.45 2.44 3.27
Est vol 3,767 Tu 3,252 calls 2,088 puts
Op int Tues 39,137 calls 43,286 puts
Price Mm A₽> May Mm A« May
110 2-06 2-03 2-35 0-36 1-61 2-29
111 1-2Х 1-36 ... 0-58 2-30
112 0-58 1-11 1-42 1-24 3-04
113 0-34 0-54 ... 2-00 3-48
114 0-19 0-39 ... 2-49 4-32
115 u-w 0-27 0-49 3-40 5-20
Est vol 23,701
Tu vol 14,191 calls 17,000 puts
Op int Tues 412,644 cafe 444,891 puts
Т-Notes «bd
$100,000; points and 64ths of 1№
Price Mm AW May Aar Aw May
112 2-00 1-30 1-52 -20 1-25 1-46
113 1-1/ 1-W ... 0-59 37 1-58
114 0-44 0-41 -00
115 0-20 0-24 0-40 -40
116 0-08 0-14 0-26 -28
117 0-03 0-08 0-16
Est vol 150,806 Tu 61052 calls 65.301 puts Op int Tues l,W5,055 celts 1083,950 puts
5 Yr Treas Notes can) $100,000; points and 64ths of 1Ж
Price Mar Aw May fa AW May
11150 1-16 0-49 0-62 -15 1-08 1-21
11200 0-56 0-36 .. 22 1-27
11250 0-36 0-25 ... 34
11300 0-22 0-17 ... 52
11350 0-12 0-11 ... -10
11400 0-06 ... 36
Est vol 17.994 Tu 4,736 calls 25,086 puts
Op int Tues 125,023 calls 426,615 puts
30 Day Federal Funds «вт>
$5,000,000; 100 minus daily average
Price Feb Mm AW Feb Mm Aw
988750 .U7 .11/ .120 .002 .002 .005
989375 .065 06? .060 Ю2 .007 .007
990000 .007 .007 .007 .007 .017 .017
990625 - .002 .002
Price Feb Mm Aw Feb Mm Am
97750 018 019 0.17 0.00 0.02
97075 0.06 0.07 0.08 0j00 0.01 0.06
98000 0.01 0.03 0.03 0.07 0.09 0.13
98125 0.01 0.01 0.19 0.20 024
98250 — 0.00 0.00 0.31 0.32 035
98375 — 0.00 0.44 0.44 0.48
Vol Wd 327,805 calls 29,183 puts
Op int Tues 5,655,304 calls 1807,541 puts
Euro-BUND (EUREX)
100,000; pts. In 100%
Index
DJ Industrial Avg «вот)
$100 times premium
Price Feb Mm Apr Feb Mar An
102 28.50 37.00 4240 4.50 13.25 20.50
103 21.00 30.00 35.50 7.00 1625
IM 14.50 24.00 29.75 10.50 20.00
105 9.00 18.50 2425 15.00 2430
196 5.50 14.00 19.50 2L50 30.00
107 3.00 10.00 ... 29.00 .
Est vol 124 Tu Ill calls 72 puts
Op int Tues 5361 calls 5,480 puts
S&P 500 Stock Index (cme)
$250 times premium
Price Mar Apr May Mar Aw May
11350 L01 0.78 1.02 025 1.00 124
11400 0.68 0.56 0.78 0.42 128 150
11450 0.42 0.39 0.61 0.66 1.61 1.83
11500 0.22 0.26 0.46 0.96 1.98 2.18
11550 0.11 0.17 0.34 135 2.39 156
11600 0.06 0.10 1.80 2.82
Vol VW 35,857 calls 42,186 puts Op tot Tues 366,384 calls 479,188 puts
Currency
Japanese Yen «me)
12,500,000 yen; cents per 100 yen
Price Feb Mar Aw Feb Мм
94W 1.03 172 2.30 0.06 0.75
9450 0.60 144 2.03 013 0.97
9500 030 119 178 033 1.22
9550 0.13 0.98 156 0.66
9600 0.06 0.81 134 1.09 184
9650 0.04 0.67
w 1.52
Est vol 1352 Tu 1,271 calls 531 puts Op int Tues 23,459 calls 20,676 puls
Canadian Dollar (cme)
100,000 Can.$. cents per Gni
Price Feb Mar AW Feb Mm
7400 1.35 0.07 0.50
7450 0.51 104 016 0.69
AW
Price Feb Мм Aw Feb Mar AW
1115 19.70 29.90 37.80 10.80 2100 29.90
1120 16.60 26.90 34.90 1270 23.80 32.00
1125 E.80 24.00 32.00 14.90 25Д0 34.10
1130 1130 2140 2930 17.40 27.50 36.40
1135 9.10 19.00 26.80 2020 30.10
1140 728 16.70 24.30 23.30 32.80 4130
Est vol 14,455 Tu 4,759 calls 10,464 puts Op tot Tues 88,723 calls 228,763 puts
Other Options
Nasdaq 100 «me)
ЯИ tines NASDAQ 100 IM«
Price Feb Мм Aw Feb Мм
1460 _
Est vol 41 Tu 3 calls 2 puts
Op int Tues 2,185 calls 958 puts
NYSE Composite cnyfe)
$50 times premium
Price Feb Мм Aw Feb Мм
6500 7450 12100 16400 6500 11150
Est vol 0 Tu 3 calls 20 puis
Op int Tues 1 calls 9,514 puls
AW
1бЙ
Источник-, воспроизводится с разрешения компаний Dow Jones, Inc. и Copyright Clearance Center, Inc. © 2004 Dow Jones & Company, Inc. Все права зарезервированы.
может купить опционы на продажу фьючерсов на поставку евродолларов, а инвестор, полагающийся на падение краткосрочных процентных ставок, может купить опционы на покупку фьючерсов на поставку евродолларов. Инвестор, считающий, что долгосрочные процентные ставки будут расти, может купить опционы на продажу фьючерсов на поставку казначейских облигаций или билетов, а инвестор, думающий, что долгосрочные процентные ставки будут падать, может купить опционы на покупку фьючерсов на поставку этих ценных бумаг.
Пример 14.5
Допустим, что на дворе февраль и фьючерсная цена по июньскому контракту на поставку евродолларов равна 93,82 долл. (Это соответствует ситуации, в которой трехмесячная процентная ставка в евродолларах равна 6,18% годовых.) На бирже СМЕ котировка опциона на покупку этого контракта с ценой исполнения, равной 94,00 долл., равна 0,1 (т.е. 10 базисных пунктов). Соответствующая котировка, указанная в газете The Wall Street Journal, равна 1,00. Этот опцион может показаться выгодным инвестору, считающему, что процентные ставки в ближайшее время будут падать. Предположим, что краткосрочные процентные ставки в течение следующих трех месяцев действительно снизились на 100 базисных пунктов и инвестор решил исполнить опцион на покупку фьючерса, когда стоимость фьючерсов на поставку евродолларов была равной 94,78 долл. (Это соответствует ситуации, в которой трехмесячная процентная ставка в евродолларах равна 5,22% годовых.) Выигрыш равен 25 х 78 — 1950 долл. Стоимость контракта равна 10 х х 25 = 250 долл. Таким образом, прибыль инвестора составляет 1 700 долл. □
Пример 14.6
Предположим, что сейчас август и фьючерсная цена по декабрьскому контракту на поставку казначейских облигаций, заключенному на бирже СВОТ. равна 96-09 (т.е. 969/з2 = 96,28125 долл.) Доходность долгосрочных правительственных облигаций равна 6,4% годовых. Инвестор, считающий, что к декабрю эта доходность упадет, может купить декабрьские опционы “колл” с ценой исполнения, равной 98. Допустим, что цена этих опционов “колл” равна 1-04 (т.е. 14/б4 = 1,0625% основной суммы). Если долгосрочные процентные ставки упадут до 6% годовых, а фьючерсные цены казначейских облигаций вырастут до 100-00, инвестор может получить чистую прибыль на каждые 100 долл, стоимости фьючерса на поставку казначейских облигаций в сумме
100,00 — 98.00 — 1,0625 = 0,9375 долл.
Поскольку один опционный контракт рассчитан на покупку или продажу казначейских облигаций с номинальной стоимостью 100000 долл., прибыль от одного контракта может составить 937,50 долл. □
Причины популярности фьючерсных опционов
Естественно спросить, почему люди предпочитают заключать фьючерсные опционы, а не опционы на покупку или продажу соответствующих активов. Основная причина заключается в том, что фьючерсные контракты во многих ситуациях более ликвидны, чем базовые активы. Более того, фьючерсная цена известна сразу после закрытия торгов, а наличная цена базового актива определяется не так просто.
Рассмотрим казначейские облигации. Рынок фьючерсов на поставку казначейских облигаций намного более активен, чем рынок самих казначейских облигаций. Кроме того, фьючерсная цена казначейской облигации становится известной сразу после закрытия торгов на бирже СВОТ. Текущую рыночную цену облигации, наоборот, можно определить, только опросив одного или нескольких дилеров. Поэтому неудивительно, что инвесторы предпочитают получать фьючерсные контракты на поставку казначейских облигаций, а не сами облигации.
Сделки по товарным фьючерсам заключить легче, чем сделки по самим товарам. Например, намного легче и удобнее осуществить или принять поставку фьючерсного контракта на крупный рогатый скот, чем возиться с самими животными.
Важным моментом, касающимся фьючерсных опционов, является тот факт, что исполнение опциона, как правило, не сопровождается поставкой базового актива, поскольку в большинстве случаев соответствующий фьючерсный контракт закрывается досрочно. Следовательно, расчеты по фьючерсным опционам осуществляются наличными. Это привлекает многих инвесторов, особенно тех, кто имеет ограниченный капитал и считает затруднительным непосредственное приобретение базового актива при исполнении опциона.
Еще одним преимуществом фьючерсных опционов является то, что сделки по фьючерсам и фьючерсным опционам заключаются на бирже при непосредственном контакте между трейдерами. Это открывает возможности для хеджирования, арбитража и спекуляций. Кроме того, это обстоятельство способствует повышению эффективности рынка.
В заключение, фьючерсные опционы во многих случаях сопряжены с более низкой стоимостью транзакций, чем обычные опционы.
Паритет между опционами “колл” и “пут”
В главе 9 мы доказали паритет между европейскими фондовыми опционами “колл” и “пут”. Теперь мы приведем аналогичные аргументы для доказательства паритета между европейскими фьючерсными опционами “колл” и “пут”, предполагая, что между выигрышами по фьючерсному и форвардному контрактам нет никакой разницы.
Рассмотрим европейские фьючерсные опционы на покупку и продажу с ценой исполнения К и временем до истечения срока действия Т. Сформируем два инвестиционных портфеля.
Портфель А: европейский фьючерсный опцион “колл” и Ке~гТ долл, наличными.
Портфель Б: европейский фьючерсный опцион “пут”, длинная позиция по фьючерсному контракту и Foe~rT долл, наличными.
Наличные, включенные в инвестиционный портфель А, можно вложить под безрисковую процентную ставку г и получить в момент Т сумму К. Пусть Ft — фьючерсная цена в момент завершения опциона. Если Ft > К, инвестор исполняет опцион “колл”, входящий в портфель А, и его стоимость становится равной Ft- Если Ft С К, опцион не исполняется, и стоимость портфеля А равна К. Следовательно, стоимость портфеля А в момент Т равна
max(Fr, К).
Наличные, включенные в инвестиционный портфель Б, можно вложить под безрисковую процентную ставку г и получить в момент Т сумму Fo- Опцион “пут” приносиг выигрыш max(K — Ff,0). Фьючерсный контракт приносит прибыль в размере Ft — Fo. Таким образом, стоимость портфеля Б в момент Т равна
Fo + (Ft — Fo) + max(F — Fo, 0) = max(Fjr, K).
Поскольку оба портфеля в момент Т имеют одинаковые стоимости и возможностей для их досрочного исполнения нет, их текущие стоимости также совпадают. Текущая стоимость портфеля А равна
с + Ке~гТ,
где с — цена фьючерсного опциона “колл”. Рыночный процесс гарантирует, что текущая стоимость фьючерсного контракта в портфеле Б равна нулю. Следовательно, стоимость портфеля Б равна
р + Foe~rT.
где р — цена фьючерсного опциона “пут”. Следовательно,
с + Ke~rT =р + Foe~rT. (14.12)
Пример 14.7
Предположим, что стоимость европейского опциона на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку серебра через шесть месяцев, равна
0,56 долл, за унцию при цене исполнения, равной 8,50 долл. Допустим, что текущая фьючерсная цена серебра с доставкой через шесть месяцев равна 8,00 долл., а безрисковая процентная ставка шестимесячных инвестиций равна 10% годовых. Из равенства (14.12) следует, что цена европейского опциона “пут” на фьючерсный контракт на поставку серебра, срок действия которого и дата исполнения совпадают с соответствующими параметрами опциона “колл”, равна
0,56 + 8,5Ое““°’1х0’5 - 8.00е~°’1хО’5 = 1,04.
14.6 Оценка фьючерсных опционов с помощью биномиальных деревьев
Оценка фьючерсных опционов с помощью биномиальных деревьев напоминает методы, описанные в главе 11. Однако между фьючерсными и фондовыми опционами существует принципиальная разница: заключение фьючерсных контрактов не предусматривает никаких авансовых платежей.
Предположим, что текущая фьючерсная цена актива равна 30 долл, и в течение следующего месяца она может либо подняться до 33 долл., либо снизиться до 28 долл. Рассмотрим одномесячный опцион на покупку фьючерса с ценой исполнения 29 долл. Ежедневные расчеты будем игнорировать. Эта ситуация изображена на рис. 14.1. Если фьючерсная цена поднимется до 33 долл., выигрыш составит 4 долл., а стоимость фьючерсного контракта будет равна 3 долл. Если же фьючерсная цена упадет до 28 долл., выигрыша не будет, а стоимость фьючерсного контракта будет равна —2 долл.3
Рис. 14.1. Изменение фьючерсных цен в числовом примере
’Небольшая натяжка заключается в том, что выигрыш или потери от фьючерсного контракта не реализуются точно в момент Т. На самом леле они реализуются в произвольный момент от 0 до Т. Однако по мере уменьшения временного шага в биномиальном дереве, аппроксимация становится все точнее, и в пределе, когда шаг по времени стремится к нулю, мы получим точный ответ.
Чтобы организовать безопасное хеджирование, рассмотрим инвестиционный портфель, состоящий из короткой позиции в одном опционе и длинной позиции в А фьючерсных контрактах. Если фьючерсная цена поднимется до 33 долл., стоимость портфеля составит ЗА — 4 долл. Если же фьючерсная цена упадет до 28 долл., выигрыша не будет, стоимость портфеля будет равна —2А долл. Портфель свободен от риска, если эти величины совпадают, т.е. когда
ЗА - 4 = -2А,
т.е. А = 0,8.
При таком значении А стоимость портфеля через месяц будет равна 3 х 0,8 — - 4 = —1,6 долл. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 6%. Текущая стоимость портфеля должна быть равной
-1,6е-0’06х0-08333 -1,592 долл.
Портфель состоит из одной короткой позиции в опционном контракте и А фьючерсных контрактов. Поскольку текущая стоимость фьючерсного контракта равна нулю, текущая стоимость опциона должна быть равной 1,592 долл.
Обобщение
Обобщим этот пример и рассмотрим фьючерсную цену, которая начинается с уровня Fq и через определенное время Т может либо подняться до величины Fou, либо упасть до величины F$d. Рассмотрим дериватив, срок действия которого завершается в момент Т, и предположим, что его выигрыш равен fu, если фьючерсная цена поднимается, и f(j, если она снижается. Эта ситуация изображена на рис. 14.2.
Рис. 14.2. Изменение фьючерсных цен и стоимости опциона
В этом случае безрисковый инвестиционный портфель состоит из короткой позиции в одном опционе и длинной позиции в А фьючерсных контрактах, где
д __ fu — fd
Fou - Fod'
Стоимость портфеля в конце расчетного периода всегда равна
(Fou - F0)A - fu-
Обозначим безрисковую процентную ставку символом г. Тогда текущая стоимость портфеля равна
[(Fo« - F0)A - /и]е-гГ.
С другой стороны, текущая стоимость портфеля равна —где f — текущая стоимость опциона. Отсюда следует, что
-/ = [(Fo« - F0)A - fu]e~rT.
Подставляя в это равенство выражение для величины А и производя упрощения, получаем, что
/ = е-гТ[р/и + (1-р)/а], (14.13)
где
1 —d
р = ——. (14.14)
u — d
В вычислительном примере, представленном на рис. 14.1, и = 1,1, d = 0,9333, г = 0,06, Т = 0,08333, fu = 4 и fa — 0. Следовательно,
1 - 0,9333
Р ~ 1,1 - 0,9333 “ °’ ’
Итак, из равенства (14.13) мы получаем, что
/ = e-0,06x0,08333(0j4 X 4 + 0,6 х 0) = 1,592 долл.
Этот результат совпадает с ответом, полученным нами при анализе числового примера.
Многоуровневые деревья
На практике при оценке американских фьючерсных опционов биномиальные деревья применяются точно так же, как и при оценке опционов на акции. Эти методы изложены в разделе 11.9 (примеры 11.3 и рис. 11.13).
14.7 Дрейф фьючерсных цен в риск-нейтральном мире
Существует общий результат, позволяющий свести анализ фьючерсных опционов к анализу, описанному в разделе 14.1. Он заключается в том, что поведение фьючерсных цен ничем не отличается от поведения цены акции с известной дивидендной доходностью при внутренней безрисковой процентной ставке г.
С одной стороны, этот результат можно подтвердить, заметив, что формула для величины р в биномиальном дереве, предназначенном для вычисления фьючерсной цены, не отличается от аналогичной формулы, использованной при вычислении стоимости акции, дивидендная доходность которой равна q = г. С другой стороны, об этом свидетельствует паритет опционов “колл” и “пут” фьючерсных опционов, который представляет собой паритет “колл” и “пут” акций с известной дивидендной доходностью q, если цену акции заменить фьючерсной ценой и положить q = г.
Чтобы доказать этот факт более строго, необходимо вычислить дрейф фьючерсных цен в риск-нейтральном мире. Пусть Ft — величина фьючерсной цены в момент t. В момент заключения фьючерсного контракта его стоимость равна нулю. В момент Л/ (первый момент переоценки активов) фьючерсный контракт приносит выигрыш F^t — Fq. Предположим, что г — очень краткосрочная процентная ставка, установленная на период А/ в нулевой момент времени. Тогда риск-нейтральная оценка дает следующую стоимость фьючерсного контракта в нулевой момент времени.
e~rAtF[FAt-F0].
Здесь Е — математическое ожидание в риск-нейтральном мире. Следовательно, должно выполняться такое равенство.
e-rA‘F[FAf-Fo]=O.
Таким образом,
F[FAt] = F0.
Аналогично, Е [F2At] = FAt, Е [F3At] = F2At и т.д. Объединяя эти результаты, приходим к выводу, что
F[Fr] = F0
в любой момент времени Т.
Следовательно, дрейф фьючерсной цены в риск-нейтральных условиях равен нулю. Таким образом, из формулы (14.7) следует, что фьючерсная цена ведет себя, как акция с известной дивидендной доходностью q, равной величине г. Этот результат носит очень общий характер. Он относится ко всем фьючерсным
ценам и не зависит от каких-либо предположений о процентных ставках, величине 4
волатильности и пр.
Как правило, относительно процесса, которому подчиняется фьючерсная цена
F в риск-нейтральном мире, выдвигается предположение
dF — ctF dz,
(14.15)
где <т — константа.
Дифференциальное уравнение
Чтобы доказать, что фьючерсная цена эквивалентна акции с известной дивидендной доходностью q, можно вывести дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению для цены бездивидендной акции из раздела 13.6.4 5
После замены величины q величиной г это уравнение совпадает с уравнением (14.6). Этот факт подтверждает, что при оценке деривативов фьючерсную цену можно вычислять точно так же, как и цену акции с дивидендной доходностью г.
14.8 Модель Блэка для оценки фьючерсных опционов
Изложенные результаты можно применить для оценки европейских фьючерсных опционов. Фишер Блэк впервые доказал это в своей работе, опубликованной в 1976 году.6 Предположение, лежащее в основе этой работы, заключается в том, что фьючерсные цены, как и цены акций (см. главу 13), имеют логнормальное распределение. Цены европейских опционов на покупку и продажу фьючерсного опциона определяются по формулам (14.4) и (14.5), в которых величина So заменена величиной Fo и q = г.
с = e-rT[F0N(d1) - KN(dz)],
р = e-rT[ZCZV(—d2) - FoN^],
(14.17)
(14.18)
4Как будет показано в главе 25, более точным является следующее утверждение: “Фьючерсная
цена имеет нулевой дрейф в традиционном риск-нейтральном мире, в котором мерой масштаба (numeraire) является депозитный счет денежного рынка (money market account)”. Случайные процессы с нулевым дрейфом называются мартингалами. Таким образом, форвардная цена представляет собой мартингал в несколько ином риск-нейтральном мире, в котором мерой масштаба является нуль-купонная облигация, срок обращений которой истекает в момент Т.
’Доказательство приведено в техническом замечании 7 на Web-сайте автора.
6См. Black F. The Pricing of Commodity Contracts // Journal of Financial Ecinomics, 3 (March 1976). - P. 169-179.
= ri] — сгл/Т,
где
. ln(F0/K)+a2T/2
ai —---------7=-----
(Ту/т
, ln(FG/K)-a2T/2 (fo = --------------
aVT
а a — волатильность фьючерсной цены. Если затраты на поддержание инвестиционной позиции (cost of carry) и удобная доходность (convenient yield) зависят только от времени, можно показать, что волатильность фьючерсной цены равна волатильности базового актива. Обратите внимание на то, что в модели Блэка не требуется, чтобы опционный и фьючерсный контракты истекали в одно и то же время.
Пример 14.8
Рассмотрим европейский опцион на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку сырой нефти. Срок действия опциона — четыре месяца, текущая фьючерсная цена — 20 долл., цена исполнения — 20 долл., безрисковая процентная ставка — 9% годовых, волатильность фьючерсной цены — 25% в год. В данном случае FG = 20, К = 20, г = 0,09, Т = 4/12, a = 0,25 и ln(Fo/A') = 0. Следовательно,
di = = 0,07216,
£
d2 = = -0,07216,
7V(di) = 0,4712, ЛГ(—t^) = 0,5288,
и цена опциона на продажу равна
Р = е-о,09x4/12(20 х 0,5288 - 20 х 0,4712) = 1,12 долл.
14.9 Фьючерсные и реальные опционы
В этом разделе сравниваются фьючерсные и реальные опционы, имеющие одинаковые цены исполнения и сроки действия. Реальный опцион (option on а spot, or spot option) — это обычный опцион на покупку или продажу базового актива на рынке наличного товара.
Выигрыш от европейского реального опциона на покупку с ценой исполнения К равен
max (St — К, 0),
где St — наличная цена в момент завершения контракта. Выигрыш от европейского фьючерсного опциона на покупку с ценой исполнения К равен
max(Fr — К, 0),
где Ft — фьючерсная цена в момент завершения контракта. Если европейский реальный опцион и европейский фьючерсный опцион истекают одновременно, то Ft = St, и эти два опциона являются эквивалентными с теоретической точки зрения. Если европейский опцион “колл” истекает раньше фьючерсного контракта, то он дороже, чем соответствующий реальный опцион на нормальном рынке (где фьючерсные цены выше наличных), и дешевле — на инвертированном рынке (где фьючерсные цены ниже наличных).
Аналогично, если фьючерсный контракт истекает одновременно с европейским фьючерсным опционом “пут”, то стоимость этого опциона совпадает со стоимостью соответствующего реального опциона. Если же европейский фьючерсный опцион “пут” истекает раньше, чем фьючерсный контракт, то на нормальном рынке он дороже, а на инвертированном — дешевле, чем соответствующий реальный опцион.
Оценки американских опционов
На практике фьючерсные опционы, как правило, относятся к американскому типу. Если безрисковая процентная ставка г является положительной, то всегда существует определенный шанс, что в некоторый момент времени досрочное исполнение американского опциона станет оптимальным решением. Следовательно, стоимость американского опциона выше его европейского аналога.
Относительно американского фьючерсного опциона нельзя утверждать, что он стоит столько же, сколько соответствующий реальный опцион, если их цены исполнения и сроки действия совпадают. Допустим, существует нормальный рынок, на котором фьючерсные цены существенно выше наличных. Это вполне типично для многих фондовых индексов, золота, серебра, валют с низкой процентной ставкой и некоторых других товаров. В таком случае американский фьючерсный опцион “колл” должен стоить намного больше соответствующего реального американского опциона “колл”, поскольку в некоторых ситуациях досрочное исполнение фьючерсного опциона может принести его владельцу большую прибыль. Аналогично американский фьючерсный опцион “пут” должен стоить меньше своего реального прототипа. Если рынок является инвертированным и фьючерсные цены на нем меньше текущих, как это бывает на рынках высокодоходных валют и некоторых товаров, верными становятся обратные утверждения. На инвертированном рынке американские фьючерсные опционы “колл” дешевле, а американские фьючерсные опционы “пут” — дороже своих аналогов.
Отличия между описанными выше американскими фьючерсными и реальными опционами сохраняются, и когда фьючерсный контракт истекает позднее опционного, и когда оба контракта завершаются одновременно. Чем позднее истечет фьючерсный контракт, тем сильнее проявляются отличия между фьючерсным и реальным американскими опционами.
Резюме
Формулу Блэка-Шоулза для вычисления оценки европейских опционов на бездивидендные акции можно распространить на европейские опционы на акции с известной дивидендной доходностью. На практике акции не имеют известной дивидендной доходности. Однако большое количество других активов, на которые часто выписываются опционы, можно интерпретировать как акции с известной дивидендной доходностью.
1. Индекс является аналогом акции с известной дивидендной доходностью. Эта доходность равна средней годовой дивидендной доходности акций, на основе которых рассчитывается индекс.
2. Иностранные валюты являются аналогом акций с известной дивидендной доходностью, где в качестве дивидендной доходности выступает иностранная безрисковая процентная ставка.
3. Фьючерсная цена является аналогом акции с известной дивидендной доходностью, равной внутренней безрисковой процентной ставке.
Следовательно, формулы Блэка-Шоулза можно использовать для оценки европейских опционов на индексы, иностранные валюты и фьючерсные контракты.
Расчеты по опционам на фондовые индексы производятся в наличных суммах. Исполнив опцион на покупку индекса, его владелец получает сумму, на которую индекс превышает цену исполнения в момент закрытия торгов. Аналогично, исполнив опцион на продажу индекса, его владелец получает сумму, на которую цена исполнения превышает индекс в момент закрытия торгов. Индексные опционы можно использовать для страхования инвестиционных портфелей. Если коэффициент ft инвестиционного портфеля равен 1,0, то целесообразно на каждые JOO-S'o долл., включенных в портфель, где Sq — величина фондового индекса, купить один опцион “пут”. В противном случае необходимо купить ft опционов “пут”. Коэффициент бета вычисляется на основе модели оценки капитальных активов. Цена исполнения опциона “пут” должна отражать уровень требуемой страховки.
Валютные опционы котируются как на биржевом, так и на внебиржевом рынках. Финансовые директоры корпораций могут использовать их для хеджирования валютных рисков. Например, финансовый директор американской компании, знающий, что в определенный момент в будущем он получит определенную сумму
фунтов стерлингов, может хеджировать риски, купив опцион на продажу валюты, истекающий в это же время. Аналогично финансовый директор американской компании, знающий, что в определенный момент в будущем он должен заплатить определенную сумму фунтов стерлингов, может хеджировать риски, купив опцион на покупку валюты, истекающий одновременно со сроком выплаты.
Исполнение фьючерсного опциона предполагает поставку соответствующего фьючерсного контракта. Исполняя опцион “колл”, владелец занимает длинную позицию во фьючерсном контракте и получает сумму наличных денег, равную величине, на которую фьючерсная цена превышает цену исполнения. Аналогично, исполняя опцион “пут”, владелец занимает короткую позицию во фьючерсном контракте и получает сумму наличных денег, равную величине, на которую цена исполнения превышает фьючерсную. Как правило, доставленный фьючерсный контракт истекает немного позднее опциона. Если сроки действия опциона и фьючерсного контракта одинаковы, то европейский фьючерсный опцион стоит столько же, сколько его реальный аналог. Однако для американских опционов это утверждение неверно. Если фьючерсный рынок является нормальным, американский фьючерсный опцион “колл” стоит дороже соответствующего реального опциона, а американский фьючерсный опцион “пут” — дешевле своего реального прототипа. Если же фьючерсный рынок является инвертированным, верно обратное утверждение.
Дополнительная литература
Общие вопросы
Merton R. С. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science, 4 (Spring 1973). — P. 141-183.
Bodie Z. On the Risk of Stocks in the Long Run // Financial Analysts Journal, 51,3 (1995). - P. 18-22.
Валютные опционы
Amin К. and Jarrow R. A. Pricing Foreign Currency Oprions under Stochastic Interest Rates // Journal of International Money anf Finance, 10 (1991). — P. 310-329.
Biger N. and Hull J. The Valuation of Currency Options // Financial Management, 12 (Spring 1983). - P. 24-28.
Garman M. B. and Kohlhagen S. W Foreign Currency Option Values // Journal of International Money and Finance, 2 (December 1983). — P. 231-237.
Giddy I. H. and Dufey G. Uses and Abuses of Currency Options // Journal of Corporate Finance, 8, 3 (1995). - P. 49-57.
Grabbe, J. О. The Pricing of Call and Put Options on Foreign Exchange // Journal of International Money and Finance, 2 (December 1983). — P. 239-253.
Jorion P Predicting Volatility in the Foreign Exchange Market // Journal of Finance, 50, 2 (1995). - P. 507-528.
Фьючерсные опционы
Black F. The Pricing of Commodity Contracts // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). - P. 167-179.
Hilliard J. E. and Reis J. Valuation of Commodity Futures and Options under Stochastic Convenience Yields, Interest Rates, and Jump Diffusions in the Spot // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 33, no. 1 (March 1998). — P. 33-59.
Miltersen K. R. and Schwartz E. S. Pricing of Options on Commodity Futures with Stochastic Term Structures of Convenience Yields and Interest Rates // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 33, 1 (March 1998). — P. 33-59.
Вопросы и задачи
14.1. Текущая стоимость инвестиционного портфеля равна 10 млн долл., а коэффициент бета — 1,0. Текущее значение индекса S&P 100 равно 500. Как с помощью опциона на продажу индекса S&P 100 с ценой исполнения 480 долл, обеспечить страхование инвестиционного портфеля?
14.2. “Умея оценить опцион на акцию с известной дивидендной доходностью, мы сможем оценить опционы на фондовые индексы, валюты и фьючерсы.” Объясните смысл этого высказывания.
14.3. Фондовый индекс в настоящее время равен 300, доходность индекса равна 3% годовых, а безрисковая процентная ставка установлена на уровне 8% годовых. Чему равна нижняя граница стоимости шестимесячного европейского опциона на покупку индекса, если его цена исполнения равна 290 долл.?
14.4. Единица иностранной валюты в настоящий момент стоит 0,80 долл. Через два месяца ее курс либо возрастет, либо понизится на 2%. Внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 6 и 8% годовых. Чему равна стоимость европейского опциона на покупку валюты с ценой исполнения 0,80 долл.?
14.5. Объясните разницу между опционом на покупку иены и опционом на покупку фьючерса на поставку иены.
14.6. Объясните, как использовать валютные опционы для хеджирования.
14.7. Вычислите стоимость трехмесячного европейского опциона на покупку фондового индекса, если его значение равно 250, безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, волатильность индекса равна 18% в год, а доходность индекса — 3% годовых.
] 4.8. Проанализируйте американские опционы на покупку фьючерсов, в которых фьючерсный и опционный контракты истекают одновременно. При каких обстоятельствах фьючерсный опцион стоит дороже, чем соответствующий американский опцион на базовый актив?
14.9. Вычислите стоимость восьмимесячного европейского опциона на продажу фондового индекса, если валютный курс равен 0,52 долл., волатильность курса равна 12% в год, внутренняя безрисковая процентная ставка — 4% годовых, а внешняя безрисковая процентная ставка — 8% годовых.
14.10. Почему фьючерсные опционы на поставку казначейских обязательств котируются активнее, чем сами опционы на казначейские обязательства?
14.11. “Фьючерсная цена напоминает акцию с известной доходностью.” Чему равна эта доходность?
14.12. В настоящий момент фьючерсная цена равна 50 долл. Через шесть месяцев она будет равна либо 56 долл., либо 46 долл. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона “колл” с ценой исполнения 50 долл.?
14.13. Вычислите стоимость пятимесячного европейского опциона “пут”, если фьючерсная цена равна 19 долл., цена исполнения — 20 долл., безрисковая процентная ставка — 12% годовых, а волатильность фьючерсной цены — 20% годовых.
14.14. Общая доходность индекса отражает доходность определенного инвестиционного портфеля с учетом выплаты дивидендов. Объясните, как оценить 1) форвардный контракт и 2) европейский опцион на индекс.
14.15. Текущее значение индекса S&P 100 равно 696, а его волатильность равна 30% в год. Безрисковая процентная ставка равна 7% годовых, причем дивидендная доходность индекса равна 4% годовых. Вычислите стоимость трехмесячного европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 700 долл.
14.16. Что представляет собой паритет европейских валютных опционов “колл” и“пут”?
14.17. Курс иностранной валюты в настоящий момент равен 1,50 долл. Внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 5 и 9% годовых соответственно. Вычислите нижнюю границу стоимости шестимесячных европейского и американского опционов на покупку валюты с ценой исполнения 1,40 долл.?
14.18. Текущее значение индекса равно 250. Дивидендная доходность индекса равна 4% годовых, его волатильность — 30% в год, а безрисковая процентная ставка — 6% годовых. Трехмесячный европейский опцион на покупку индекса с ценой исполнения 245 долл, в настоящий момент стоит 10 долл. Чему равна стоимость трехмесячного европейского опциона на продажу индекса с ценой исполнения 245 долл.?
14.19. Следует ли ожидать, что волатильность фондового индекса будет отличаться от волатильности цены обычной акции? Аргументируйте свой ответ.
14.20. Как изменяется стоимость страховки инвестиционного портфеля при возрастании коэффициента Д? Аргументируйте свой ответ.
14.21. Предположим, что инвестиционный портфель стоит 60 млн долл., а индекс S&P 500 равен 1 200. Какой опцион необходимо купить, чтобы обеспечить защиту портфеля от падения его стоимости ниже 54 млн долл, через один год, если стоимость портфеля отражает стоимость индекса?
14.22. Вернемся к ситуации, описанной в задаче 14.21. Допустим, что коэффициент Д инвестиционного портфеля равен 2,0, безрисковая процентная ставка равна 5% годовых, а дивидендная доходность как портфеля, так и индекса равна 3% годовых. Какой опцион необходимо купить, чтобы обеспечить защиту портфеля от падения его стоимости ниже 54 млн долл, через один год?
14.23. Допустим, вы купили опцион на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку золота в октябре с ценой исполнения 400 долл, за унцию. Каждый контракт заключается на поставку 100 унций. Что произойдет, если вы исполните этот опцион в тот момент, когда октябрьская фьючерсная цена равна 377 долл., а последняя расчетная цена — 380 долл.?
14.24. Допустим, вы продали опцион на покупку фьючерсного контракта, предусматривающего поставку крупного рогатого скота в апреле с ценой исполнения 70 центов за фунт. Каждый контракт заключается на поставку 40000 унций живого веса. Что произойдет, если контракт будет исполнен в тот момент, когда фьючерсная цена равна 76 центов за фунт, а последняя расчетная цена равна 75 центов?
14.25. Рассмотрим двухмесячный опцион на покупку фьючерсов с ценой исполнения 40 долл., когда безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Текущая фьючерсная цена равна 47 долл. Чему равна нижняя граница стоимости фьючерсного опциона 1) европейского и 2) американского типа?
14.26. Рассмотрим четырехмесячный опцион на покупку фьючерсов с ценой исполнения 50 долл., когда безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Текущая фьючерсная цена равна 47 долл. Чему равна нижняя граница стоимости фьючерсного опциона 1) европейского и 2) американского типа?
14.27. Текущая фьючерсная цена равна 60 долл. Известно, что в каждый из следующих двух трехмесячных периодов она либо увеличится, либо уменьшится на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 60 долл.? Стоит ли исполнять опцион досрочно, если он относится к американскому типу?
14.28. Вернемся к задаче 14.27. Чему равна стоимость шестимесячного европейского опциона на продажу фьючерса с ценой исполнения 60 долл.? Стоит ли исполнять опцион досрочно, если он относится к американскому типу? Убедитесь, что цена опциона на покупку фьючерса, вычисленная при решении задачи 14.27, и цена опциона на продажу фьючерса, вычисленная при решении данной задачи, не нарушают паритета опционов “колл” и “пут”.
14.29. Текущая фьючерсная цена равна 25 долл., волатильность равна 30% в год, а безрисковая процентная цена равна 10% годовых. Чему равна стоимость девятимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 26 долл.?
14.30. Текущая фьючерсная цена равна 70 долл., волатильность равна 20% в год, а безрисковая процентная цена равна 6% годовых. Чему равна стоимость пятимесячного европейского опциона на покупку фьючерса с ценой исполнения 65 долл.?
14.31. Текущая фьючерсная цена равна 35 долл. Рыночная цена европейских опционов на покупку и продажу фьючерсов с ценой исполнения 34 долл, равна 2 долл. Безрисковая процентная цена равна 10% годовых. Выявите арбитражные возможности. Будем считать, что каждый опцион действует в течение одного года.
14.32. “Цена европейского опциона “без проигрыша’ на покупку фьючерса всегда равна цене аналогичного европейского опциона “без проигрыша” на продажу фьючерса.” Обоснуйте это утверждение.
14.33. Текущая фьючерсная цена равна 30 долл. Безрисковая процентная цена равна 5% годовых. Трехмесячный американский опцион на покупку фьючерса с ценой исполнения 28 долл, стоит 4 долл. Вычислите границы цены трехмесячного американского опциона на продажу фьючерса с ценой исполнения 28 долл.
14.34. Можно ли опцион на обменный курс иена-евро создать из двух опционов, один из которых заключается на обменный курс доллар-евро, а другой — на обменный курс доллар-иена? Аргументируйте свой ответ.
14.35. Некоей корпорации известно, что через три месяца она получит 5 млн долл., предназначенных для инвестирования на 90 дней под ставку LIBOR
минус 50 базисных пунктов. Корпорация желает гарантировать, что полученная ставка не будет меньше 6,5%. Какую позицию должна занять корпорация в опционе на биржевую процентную ставку?
14.36. Докажите равенства (14.1)-(14.3), используя следующие портфели.
Портфель А: один европейский опцион “колл” и денежная сумма Ке~гТ;
Портфель Б: акции стоимостью е~дТ, дивиденды по которым реинвестируются в дополнительные акции;
Портфель В: один европейский опцион “пут” и акции на сумму е~дТ, дивиденды по которым инвестируются в дополнительные акции;
Портфель Г: денежная сумма Ке~гТ.
14.37. Докажите, что если С — стоимость американского опциона с ценой исполнения К и сроком действия Т на покупку акции с дивидендной доходностью q,aP — цена американского опциона на продажу этих же акций с той же ценой исполнения и сроком действия, то
S0e“9T -K^C-P^SQ- Ke~rT,
где So — цена акции, г — безрисковая процентная ставка и г > 0. (Подсказка'. чтобы доказать левое неравенство, проанализируйте следующие инвестиционные портфели.
Портфель А', европейский опцион “колл” и сумма К, инвестированная под безрисковую процентную ставку;
Портфель Б: американский опцион “пут” и акция стоимостью е~дТ, дивиденды по которой реинвестируются в акции.
Чтобы доказать правое неравенство, рассмотрите следующие инвестиционные портфели.
Портфель В', американский опцион “колл” и сумма Ке~гТ, инвестированная под безрисковую процентную ставку;
Портфель Г: европейский опцион “пут” и акция, дивиденды по которой реинвестируются в акции.)
14.38. Докажите, что если С — стоимость американского опциона на покупку фьючерсного контракта с ценой исполнения К и сроком действия Т,ъ.Р — цена американского опциона на продажу фьючерсного контракта с той же ценой исполнения и сроком действия, то
Foe~rT -К ^С-Р^Ро- Ке~гТ,
где Fo — фьючерсная цена, г — безрисковая процентная ставка. Будем считать, что г > 0 и между форвардными и фьючерсными контрактами нет никакой разницы. (Подсказка-, воспользуйтесь подсказками к задаче 14.37.)
14.39. Предположим, что изменения курса валюты А описываются через курс валюты В с помощью следующего стохастического процесса.
dS = (rjg — гд)8 dt + aS dz,
где г a — безрисковая процентная ставка в валюте А, а г в — безрисковая процентная ставка в валюте В. Запишите стохастический процесс, описывающий изменения курса валюты В через курс валюты А.
Упражнения
14.40. Используя программу DerivaGem, вычислите подразумеваемую волатильность стоимости мартовских опционов “колл” и мартовских опционов “пут” на индекс Доу-Джонса, приведенных в табл. 14.1. Величина индекса Доу-Джонса 4 февраля 2004 года была равной 104,71 долл. Безрисковая процентная ставка равна 1,2% годовых, а дивидендная доходность — 3,5%. Срок опционов истекает 20 марта 2004 года. Удовлетворяют ли котировки этих опционов условию паритета между опционами “колл” и “пут”?
14.41. В настоящий момент фондовый индекс равен 300 долл. Известно, что в каждый из следующих двух трехмесячных периодов он либо увеличится, либо уменьшится на 10%. Безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а дивидендная доходность индекса — 3%. Чему равна стоимость шестимесячных европейского и американского опционов на покупку индекса с ценой исполнения 300 долл.?
14.42. Допустим, что текущий курс канадского доллара равен 0,75 долл. США, а волатильность обменного курса канадский доллар-доллар США равна 4% в год. Безрисковая процентная ставка в Канаде и США равна 9 и 7% годовых соответственно. Вычислите стоимость европейского опциона на покупку одного канадского доллара по 0,75 долл. США через девять месяцев. Используя паритет опционов “колл” и “пут”, вычислите цену европейского опциона на продажу одного канадского доллара за 0,75 долл. США через девять месяцев. Чему равна стоимость опциона на покупку 0,75 долл. США за один канадский доллар через девять месяцев?
14.43. Некий взаимный фонд заявил, что зарплаты его менеджеров будут зависеть от эффективности работы самого фонда. Если фонд несет убытки, зарплата менеджеров будет равна нулю. Если фонд получает прибыль, зарплата будет пропорциональна размеру прибыли. Опишите зарплату менеджера с помощью опциона. К чему побуждаег менеджера такое стимулирование его работы?
14.44. Текущая фьючерсная цена равна 40 долл. Известно, что через три месяца цена будет равной либо 35, либо 45 долл. Чему равна стоимость трехмесячного европейского опциона “колл” на фьючерсы с ценой исполнения 42 долл., если безрисковая процентная ставка равна 7% годовых?
14.45. Вычислите подразумеваемую волатильность фьючерсных цен на сою, используя следующую информацию, касающуюся европейских опционов на продажу соевых фьючерсов.
Текущая фьючерсная цена 525
Цена исполнения 525
Безрисковая процентная ставка 6% годовых
Срок до завершения 5 месяцев
Стоимость опциона “пут” 20
14.46. Используя программу DerivaGem, вычислите подразумеваемую волатильность стоимости июльских опционов на кукурузные фьючерсы, приведенной в табл. 14.4. Применим фьючерсные цены, указанные в табл. 2.2, предполагая, что безрисковая процентная ставка равна 1,1% годовых. Будем считать, что опцион относится к американскому типу, а временной период разбит на 100 интервалов. Срок опциона истекает 19 июля 2004 года. Какие выводы можно сделать о подразумеваемой волатильности стоимости майских опционов на кукурузные фьючерсы на основе указанной информации?
Управление риском: использование “греческих” коэффициентов
Перед финансовой организацией, продающей клиенту опцион на внебиржевом рынке, возникает проблема управления риском. Если опцион совпадает с одним из опционов, котируемых на бирже, финансовая организация может нейтрализовать риск, купив на бирже его аналог. Однако если опцион настроен исключительно на удовлетворение потребностей определенного клиента и не имеет стандартных прототипов, задача хеджирования намного усложняется.
В главе анализируется один из альтернативных подходов к решению этой проблемы. Мы рассмотрим величины, которые обычно называются “греческими буквами” (“Greek letters”). Каждая греческая буква обозначает коэффициент, выражающий одно из измерений риска, связанного с опционной позицией. Цель трейдера — управлять этими коэффициентами так, чтобы достичь приемлемого уровня всех рисков. Методы, изложенные в главе, можно применять как на биржевом, так и на внебиржевом рынках.
На протяжении всей главы мы будем применять синтетический подход к созданию опционов. Оказывается, он тесно связан с хеджированием опционов. Синтетическое создание опционной позиции по существу совпадает с задачей хеджирования противоположной опционной позиции. Например, синтетическое создание длинной позиции в опционе “колл” эквивалентно хеджированию короткой позиции в опционе “колл”.
15.1 Иллюстрация
В следующих нескольких главах в качестве примера рассматривается позиция финансовой организации, продавшей за 300 000 долл, европейский опцион на покупку 100000 бездивидендных акций. Предположим, что цена исполнения этого опциона равна 50 долл., цена акции — 49 долл., безрисковая процентная ставка — 5% годовых, волатильность цены акции — 20% в год, время до истечения срока
действия — 20 недель (0,3846 года), а ожидаемая доходность акций — 13% годовых.1 2 Используя обычную систему обозначений, запишем это в следующем виде.
So = 49, А'= 50, г = 0,05, ст = 0,20, Т = 0,3846, /1 = 0,13.
Цена опциона, вычисленная по методу Блэка-Шоулза, равна 240000 долл. Следовательно, финансовая организация продала опцион по цене, на 60000 долл, превышающей ее теоретическое значение. Однако она столкнулась с проблемой хеджирования рисков/
15.2 Непокрытые и покрытые позиции
Финансовая организация может выбрать одну из нескольких стратегий. Например, она может ничего не предпринимать. Иногда эту стратегию называют непокрытой позицией (naked position). Эта стратегия оправдана, если цена акции через 20 недель окажется ниже 50 долл. Тогда опцион для финансовой организации ничего не будет стоить и принесет ей прибыль в размере 300 000 долл. Если опцион исполняется, непокрытая позиция оказывается менее выгодной. Это объясняется тем. что для покрытия опциона финансовая организация должна будет через 20 недель купить 100 000 акций по рыночной цене. Стоимость этой покупки будет в 100 000 раз больше, чем величина, на которую цена акции превысит цену исполнения. Например, если через 20 недель цена акции будет равна 60 долл., то стоимость опциона для финансовой организации достигнет 1 000 000 долл. Эта сумма намного больше, чем 300 000 долл, полученного выигрыша.
Альтернативой непокрытой позиции является покрытая позиция (covered position). Чтобы занять эту позицию, финансовая организация, продавшая опцион на покупку 100000 акций, должна немедленно их купить. Если опцион будет исполнен, стратегия будет оправдана. Однако в противном случае она может принести значительные убытки. Например, если цена акции упадет до 40 долл., финансовая организация, занимающая покрытую позицию, потеряет 900 000 долл. Это намного больше, чем 300 000 долл., вырученных от продажи опциона.3
'Как показано в главах 11 и 13, ожидаемая доходность никак не связана с ценой опциона. Она приводится здесь только потому, что от нее может в некоторой степени зависеть эффективность схемы хеджирования.
2Опцион на покупку бездивидендной акции является хорошим примером, с помощью которого можно иллюстрировать основные идеи. Выводы, к которым мы придем, можно распространить и на другие опционы, и на другие виды производных ценных бумаг.
’Паритет между опционами “колл” и “пут” показывает, что риск, возникающий при продаже покрытого опциона “колл”, эквивалентен риску, возникающему при выписывании непокрытого опциона “пут”.
Ни непокрытая, ни покрытая позиция не обеспечивают удовлетворительного хеджирования. Если выполняются условия, лежащие в основе формулы Блэка-Шоулза, то средняя стоимость опциона для финансовой организации, занимающей обе позиции, должна быть равной 240000 долл.4 Однако в любом случае стоимость опциона колеблется от 0 до 1 000 000 долл. Идеальный хеджинговый контракт должен гарантировать, что эта величина будет равной 240000 долл., а стандартное отклонение стоимости продажи опциона и его хеджирования будет равным нулю.
15.3 Стратегия ограничения убытков
Одна из интересных схем хеджирования называется стратегией ограничения убытков (stop-loss strategy). Чтобы проиллюстрировать основную идею этого метода, представим себе организацию, выписавшую опцион на покупку акций с ценой исполнения К. Схема хеджирования, ограничивающая убытки, предусматривает покупку одной акции в тот момент, когда ее цена превысит величину К, и продажу, как только ее цена упадет ниже величины К. Цель этой схемы — удерживать непокрытую позицию, пока цена акции не превышает уровня К, и занимать покрытую позицию, если цена акции превышает уровень К. Эта схема разработана для того, чтобы гарантировать, что в момент Т организация владеет акцией, если опцион закрывается с выигрышем, и не имеет акции, если опцион закрывается с проигрышем. Эта стратегия позволяет получить такую же прибыль, как и от самого опциона. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 15.1. На нем показана покупка акции в момент Ц, продажа — в момент t?, покупка — в момент /з, продажа — в момент Ц, покупка — в момент /5 и поставка — в момент Т.
Как обычно, обозначим цену акции символом So- Стоимость организации хеджирования в первоначальный момент равна 5о, если Sq > К, и нулю в противном случае. Возникает предположение, что общая стоимость Q, включающая в себя стоимость продажи опциона и организации хеджирования, вычисляется по следующей формуле.
Q = max(S0 -К,0). (15.1)
Это объясняется тем, что все покупки и продажи в последующие моменты времени осуществляются по цене К. Если бы это было так, то при отсутствии платы за выполнение транзакций эта схема хеджирования была бы идеальной. Более того, стоимость хеджирования опциона всегда была бы меньше цены, вычисленной по формуле Блэка-Шоулза. Следовательно, выписав опцион и организовав его хеджирование, инвестор получил бы доход, свободный от риска.
4Точнее, если применить соответствующие ставки дисконта, учитывающие уровень риска, то текущая стоимость ожидаемой пены в обоих подходах окажется равной 240 000 долл.
Существует две причины, по которым равенство (15.1) не выполняется. Во-первых, денежные суммы поступают хеджеру в разное время и должны быть учтены с дисконтом. Во-вторых, покупки и продажи акций невозможно осуществить так, чтобы цена акции была равна в точности К. Второе замечание является принципиальным. Если предположить, что выполняются риск-нейтральные условия и процентные ставки равны нулю, то временной стоимостью денег можно пренебречь. Однако нельзя всерьез считать, что и покупки, и продажи можно осуществить по одной и той же цене. Если рынок является эффективным, хеджер не может знать заранее, будет ли цена акции больше или меньше цены исполнения К после того, как в определенный момент времени она стала равной этой величине.
Таким образом, на практике покупки должны осуществляться по цене К + е, а продажи — по цене К — е. Следовательно, каждая покупка и последующая продажа связаны со стоимостью 2е (помимо стоимости транзакций). Естественно, со своей стороны, хеджер должен внимательно следить за колебаниями цены акции, чтобы уменьшить величину е. Если цена акции изменяется непрерывно, то, выполняя постоянный мониторинг цены акции, величину е можно уменьшить до произвольно малого уровня. Однако чем меньше величина е, тем чаще необходимо заключать сделки. Таким образом, даже если удастся уменьшить стоимость заключения сделок, она будет компенсирована увеличением их количества. При е —> 0 ожидаемое количество сделок стремится к бесконечности.5
5Как указывалось в разделе 12.2, ожидаемое количество моментов, в которые винеровский процесс принимает конкретное значение на заданном промежутке времени, равно бесконечности.
Несмотря на то что, на первый взгляд, стратегия ограничения убытков является привлекательной, она не обеспечивает хорошего хеджирования. Рассмотрим ее применение к опциону “с проигрышем”. Если цена акции никогда не достигнет уровня К, схема хеджирования не стоит ничего. Если же траектория цены акции много раз пересекает уровень К, эта схема является довольно затратной. Для оценки эффективности этой стратегии можно использовать метод Монте-Карло. Он заключается в генерировании большого количества случайных траекторий и фиксировании результатов. Например, в табл. 15.1 приведены результаты моделирования для опциона, рассмотренного выше. В ходе моделирования цены акции регистрировались на концах временных интервалов длины At.6 Коэффициент чувствительности хеджирования представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона, вычисленной по формуле Блэка-Шоулза. Каждое число, приведенное в таблице, получено на основе 1 000 выборочных траекторий цены акции. Стандартное отклонение результатов равно 2%. Оказывается, независимо от величины At, невозможно снизить коэффициент чувствительности хеджирования ниже 0,70.
Таблица 15.1. Чувствительность стратегии ограничения убытков. (Коэффициент чувствительности представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона)
At, недели 5 4 2 1 0,5 0,25
Чувствительность хеджирования 1,02 0,93 0,82 0,77 0,76 0,76
15.4 Дельта-хеджирование
Большинство трейдеров используют более сложные схемы хеджирования, чем описанные выше. Эти схемы связаны с вычислением коэффициентов дельта, гамма и вега. В данном разделе мы рассмотрим роль, которую играет коэффициент дельта.
Коэффициент дельта (обозначается буквой А) был введен в главе 11. Он представлял собой скорость изменения цены опциона по отношению к изменению цены базового актива. С геометрической точки зрения, коэффициент дельта характеризует наклон кривой, отражающей зависимость между ценами опциона и базового актива. Допустим, что коэффициент дельта опциона на покупку акций
6Точное правило хеджирования в этом эксперименте имеет следующий вид. Если курс акций пересекает уровень К в определенной точке интервала длины At снизу вверх, акция покупается по цене, соответствующей концу этого интервала. Если курс акций пересекает уровень К в определенной точке интервала длины At сверху вниз, акция продается по цене, соответствующей концу этого интервала. В противном случае никакие действия не производятся.
равен 0,6. Это значит, что при изменении цены акции на небольшую величину цена опциона изменится на 60% этого приращения. Зависимость между ценой опциона на покупку акции и ценой этой акции изображена на рис. 15.2. Цене акции соответствует точка А, цене опциона — точка В, а коэффициент дельта равен угловому коэффициенту этой прямой. Общая формула для вычисления коэффициента дельта имеет следующий вид.
л дс
Л ~ as'
Здесь с — цена опциона “колл”, aS — цена акции.
Рис. 15.2. Вычисление коэффициента дельта
Допустим, что рис. 15.2 описывает ситуацию, в которой цена акции равна 100 долл., а цена опциона — 10 долл. Представим себе инвестора, продавшего 20 опционных контрактов “колл”, т.е. опционы на покупку 2 000 акций. Позицию инвестора можно хеджировать, купив 0,6 х 2 000 = 1200 акций. Прибыль (убытки) от этой опционной позиции можно компенсировать убытками (прибылью) от колебания цены акции. Например, если цена акции вырастет на один доллар (что принесет инвестору прибыль в размере 1 200 долл.), то цена опциона поднимется на 0,6 х 1 = 0.60 долл, (что принесет убытки в размере 1 200 долл.). Если же цена акции упадет на один доллар (что принесет инвестору убытки в размере 1 200 долл.), то цена опциона снизится на 0,6 х 1 - 0,60 долл, (что принесет прибыль в размере 1 200 долл.).
В данном примере коэффициент дельта опционной позиции инвестора равен 0,6 х (-2000) = -1200.
Иначе говоря, инвестор, занимающий короткую позицию, при увеличении цены акции на величину AS теряет 1 200AS долл. Коэффициент дельта этой акции равен 1,0, а коэффициент дельта длинной позиции по 1200 акциям равен +1200.
Таким образом, коэффициент дельта, характеризующий общую позицию инвестора, равен нулю. Коэффициент дельта позиции по акциям компенсируется коэффициентом дельта опционной позиции. Позиция, коэффициент дельта которой равен нулю, называется дельта-нейтральной (delta neutral).
Следует подчеркнуть, что коэффициент дельта со временем изменяется, поэтому позиция инвестора остается дельта-хеджированной (т.е. дельта-нейтральной) только на протяжении относительно короткого промежутка времени. Таким образом, хеджинговый контракт необходимо время от времени корректировать. Этот процесс называется балансированием (rebalancing). В нашем примере к концу третьего дня цена акции может вырасти до 110 долл. Как показано на рис. 15.2, рост цены акции приводит к увеличению коэффициента дельта. Допустим, что коэффициент дельта увеличился с 0,60 до 0,65. Тогда, для того чтобы сбалансировать хеджинговую сделку, необходимо дополнительно купить 0,05 х 2 000 = 100 акций. Такая схема называется динамическим хеджированием (dynamic-hedging scheme). Противоположная схема называется статическим хеджированием (static-hedging scheme). В рамках этой схемы условия хеджингового контракта устанавливаются раз и навсегда и впоследствии не корректируются. Схемы статического хеджирования иногда называются схемами "хеджируй и забудь ” (hedge-and-forget schemes).
Коэффициент дельта тесно связан с методом Блэка-Шоулза-Мертона. Как показано в главе 13, Блэк, Шоулз и Мертон доказали возможность создания инвестиционного портфеля, состоящего из опциона на акцию и позиции по самой акции. Через коэффициент дельта портфель Блэка-Шоулза описывается следующим образом.
— 1: опцион;
+Д: количество акций.
Используя новую терминологию, можно сказать, что Блэк и Шоулз оценивали опционы, создавая дельта-нейтральную позицию и учитывая, что доходность позиции должна быть равной безрисковой процентной ставке.
Коэффициенты дельта, характеризующие европейские фондовые опционы
Можно показать, что для европейских опционов на покупку бездивидендных акций
А = IV(di),
где величина d\ определена по формуле (13.20). Следовательно, в любой момент времени дельта-хеджирование короткой позиции по европейскому опциону “колл” сопряжено с длинной позицией по N(di) акциям. Аналогично дельта-хеджирова
ние длинной позиции по европейскому опциону “колл” в любой момент времени сопряжено с короткой позицией по N(di) акциям.
Для европейского опциона на покупку бездивидендных акций коэффициент А вычисляется по следующей формуле.
ApUt — N(di) 1.
Коэффициент дельта является отрицательным. Это значит, что длинная позиция в опционе “пут” должна быть хеджирована длинной позицией по соответствующим акциям, а короткая позиция в опционе “пут” — короткой позицией по базовым акциям. Изменение коэффициентов А опционов “колл” и “пут” в зависимости от цены акции приведено на рис. 15.3. Зависимость коэффициентов дельта опционов “с выигрышем”, “без выигрыша” и “с проигрышем” от времени, оставшегося до завершения, приведена на рис. 15.4.
Рис. 15.3. Изменение коэффициента дельта в зависимости от цены акции: 1) опцион на покупку и 2) опцион на продажу бездивидендных акций
Коэффициенты дельта, характеризующие другие европейские опционы
Коэффициент А европейского опциона на покупку актива с доходностью q вычисляется по формуле
Acall =
где величина di вычисляется по формуле (14.4). Коэффициент дельта европейского опциона на продажу актива с доходностью q вычисляется по формуле
Aput = e-^[N(dx) - 1].
Рис. 15.4. Типичные зависимости коэффициента дельта от времени, оставшегося до завершения опциона
Если активом является фондовый индекс, эти формулы остаются корректными, если величина q равна дивидендной доходности акций, на основе которых вычисляется индекс. Если активом является иностранная валюта, они остаются справедливыми, если величина q равна иностранной безрисковой процентной ставке г/. Если активом является фьючерс, формулы остаются правильными, если величина q равна внутренней безрисковой процентной ставке г.
Пример 15.1
Некий банк в США продал шестимесячные опционы на продажу одного миллиона фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,6000 долл, и желает создать дельта-нейтральный инвестиционный портфель. Допустим, что текущий курс фунта стерлингов равен 1,6200, безрисковая процентная ставка в Великобритании — 13% годовых, безрисковая процентная ставка в США — 10% годовых, а волатильность фунта стерлингов — 15%. В таком случае So = 1,6200, К = 1,6000, г = 0,10, гу = 0,13, ст = 0,15 и Г - 0,5. Коэффициент дельта опциона на продажу валюты равен
ТО - 1] e~rfT,
где величина di вычисляется по формуле (14.7). Легко видеть, что
di = 0,0287 и A(di) = 0,5115,
так что коэффициент дельта опциона “пут” равен —0,458. Эта величина представляет собой коэффициент дельта, характеризующий длинную позицию в одном
опционе “пут”. (Иначе говоря, если валютный курс вырастает на AS долл., цена опциона “пут” падает на 45,8% величины AS.) Коэффициент дельта, характеризующий короткую позицию банка, равен +458000. Чтобы сделать эту позицию дельта-нейтральной, необходимо в дополнение к позиции по опциону занять короткую позицию на 458 000 фунтов стерлингов. Ее коэффициент дельта равен —458000. Таким образом, этот коэффициент компенсирует коэффициент дельта опционной позиции. □
Коэффициенты дельта форвардных контрактов
Коэффициент дельта может характеризовать не только опционы, но и другие финансовые инструменты. Рассмотрим форвардный контракт на бездивидендные акции. Формула (5.5) утверждает, что стоимость форвардного контракта равна So — Ке~гТ, где К — цена поставки, а Т — время, оставшееся до завершения контракта. Если цена акции изменяется на AS, а остальные параметры остаются постоянными, то стоимость форвардного контракта на поставку акций изменится на эту же величину. Следовательно, коэффициент дельта форвардного контракта на поставку одной акции всегда равен 1,0. Это значит, что короткую позицию по форвардному контракту на поставку одной акции можно хеджировать, купив одну акцию, а длинную позицию по форвардному контракту на поставку одной акции можно хеджировать, продав одну акцию.7
Для актива, дивидендная доходность которого равна q, равенство (5.7) показывает, что дельта форвардного контракта равна e~qT. Для фондового индекса величина q равна его дивидендной доходности. Для валюты он равен иностранной безрисковой процентной ставке rf.
Коэффициенты дельта фьючерсных контрактов
Из формулы (5.1) следует, что стоимость фьючерсного контракта на поставку бездивидендных акций равна SoerT, где Т — время, оставшееся до завершения контракта. Если цена акции изменяется на AS, а остальные параметры остаются постоянными, то стоимость фьючерсного контракта на поставку акций изменится на &.SerT. Поскольку расчеты по фьючерсным контрактам осуществляются ежедневно, инвестор, занимающий длинную позицию во фьючерсном контракте, практически немедленно получает соответствующую прибыль. Следовательно, коэффициент дельта фьючерсного контракта равен егТ. Для фьючерсного контракта на актив, дивидендная доходность которого равна q, из формулы (5.3) следует, что коэффициент дельта равен e^r~q>>T. Интересно, что из-за постоянной переоценки активов коэффициенты дельта, характеризующие форвардные и фью
7Эти схемы относятся к схемам статического хеджирования. Поскольку дельта всегда равна единице, на протяжении всего срока действия контракта никаких изменений делать не требуется.
черсные контракты, немного отличаются друг от друга, даже если процентные ставки остаются неизменными, а форвардная и фьючерсная цены совпадают.
Иногда фьючерсные контракты используются для создания дельта-нейтраль-ной позиции. Введем следующие обозначения.
Т: срок действия фьючерсного контракта;
На- требуемая позиция по активу, подлежащему дельта-хеджированию;
HF: альтернативная позиция по фьючерсному контракту, с помощью которого осуществляется дельта-хеджирование.
Если базовым активом являются бездивидендные акции, проведенный выше анализ показывает, что
HF = е~гТНА. (15.2)
Если дивидендная доходность базового актива равна q, то
HF = е~(г-^тНА. (15.3)
Для фондового индекса величина q равна его дивидендной доходности. Для валюты она равна иностранной безрисковой процентной ставке rf. Таким образом,
HF = e-^r~r^T НА. (15.4)
Пример 15.2
Рассмотрим опцион из предыдущего примера в ситуации, когда для хеджирования валютных рисков необходимо занять короткую позицию на 458 000 фунтов стерлингов. Из формулы (15.4) следует, что для хеджирования с помощью девятимесячных валютных фьючерсов необходимо занять короткую фьючерсную позицию на
е-(о,ю-о,13)х9/г245gQQQ _ 468442 фунтов стерлингов.
Поскольку каждый фьючерсный контракт предусматривает покупку или продажу 62500 фунтов стерлингов, необходимо занять короткую позицию по семи фьючерсным контрактам (семь — это ближайшее целое число, получающееся после округления дроби 468 442/62 500). □
Динамические аспекты дельта-хеджирования
В табл. 15.2 и 15.3 приведены результаты дельта-хеджирования, описанного в примере 15.1. Предполагается, что балансирование выполняется каждую неделю. Первоначальное значение коэффициента дельта равно 0,522. Это значит, что при продаже опциона инвестор должен занять 2 557 800 долл, и купить 52 200 акций по цене 49 долл. Процентная ставка равна 5%. Следовательно, издержки на уплату процентов в конце первой недели равны 2 500 долл.
Таблица 15.2. Моделирование дельта-хеджирования (опцион закрывается “с выигры-
шем”; стоимость хеджирования равна 263 300 долл.)
Неделя Цена акции Дельта Количество купленных акций Стоимость купленных акций, тыс. долл. Накопленная стоимость, включая доход, тыс. долл. Издержки на уплату процентов
0 49,00 0,522 52 200 2557,8 2557,8 2,5
1 48,12 0,458 (6400) (308,0) 2 252,3 2,2
2 47,37 0,400 (5800) (274,7) 1979,8 1,9
3 50,25 0,596 19600 984,9 2 996,6 2,9
4 51,75 0,693 9700 502,0 3471,5 3,3
5 53.12 0,774 8100 430,3 3905,1 3,8
6 53,00 0.771 (300) (15,9) 3893,0 3,7
7 51,87 0,706 (6500) (337,2) 3559,5 3,4
8 51,38 0,674 (3200) (164,4) 3398,5 3,3
9 53,00 0,787 11300 598,9 4000,7 3,8
10 49,88 0,550 (23 700) (1182,2) 2822,3 2,7
11 48,50 0,413 (13700) (664,4) 2160,6 2,1
12 49,88 0,542 12900 643,5 2806,2 2,7
13 50,37 0,591 4900 246,8 3055,7 2,9
14 52,13 0,768 17700 922,7 3981,3 3,8
15 51,88 0,759 (900) (46,7) 3938,4 3,8
16 52,87 0,865 10600 560,4 4502,6 4,3
17 54,87 0,978 11300 620,0 5126,9 4,9
18 54,62 0,990 1200 65,5 5197,3 5,0
19 55,87 1,000 1000 55,9 5 258,2 5,1
20 57,25 1,000 0 0,0 5263,3
В табл. 15.2 цена акции к концу первой недели падает до 48,12 долл. Коэффициент дельта уменьшается до 0,458. Следовательно, для поддержки хеджирования необходимо продать 6 400 акций. Эта стратегия приносит 308 000 долл, наличными, а накопленный долг в конце первой недели равен 2 252,300 долл. На протяжении второй недели цена акции снижается до 47,37 долл., коэффициент дельта снова падает и т.д. К концу срока действия опциона становится очевидным, что опцион будет исполнен, а коэффициент дельта стремится к 1,0. Следовательно, в конце 20-й недели хеджер будет занимать полностью покрытую позицию. Хеджер получит 5 млн долл, за свои акции, так что стоимость опциона и затраты на хеджирование окажутся равными 256 600 долл.
Таблица 15.3. Моделирование дельта-хеджирования (опцион закрывается шем”; стоимость хеджирования равна 256 600 долл.) “с проигры-
Неделя Цена акции Дельта Количество купленных акций Стоимость купленных акций, тыс. долл. Накопленная стоимость, включая ДОХОД, тыс. долл. Издержки на уплату процентов
0 49,00 0,522 52 200 2 557,8 2 557,8 2,5
1 49,75 0,568 4 600 228,9 2 789,2 2,7
2 52,00 0,705 13700 712,4 3504,3 3,4
3 50,00 0,579 (12 600) (630,0) 2 877,7 2,8
4 48,38 0,459 (12000) (580,6) 2 299,9 2,2
5 48,25 0,443 (1600) (77,2) 2 224,9 2,1
6 48,75 0,475 3 200 156,0 2 383,0 2,3
7 49,63 0,540 6500 322,6 2 707,9 2,6
8 48,25 0,420 (12000) (579,0) 2131,5 2,1
9 48,25 0,410 (1000) (48,2) 2085,4 2,0
10 51,12 0,658 24800 1267,8 3355,2 3,2
11 51,50 0,692 3 400 175,1 3533,5 3,4
12 49,88 0,542 (15000) (748,2) 2 788,7 2,7
13 49,88 0,538 (400) (20,0) 2 771,4 2,7
14 48,75 0,400 (13800) (672,7) 2101,4 2,0
15 47,50 0,236 (16400) (779,0) 1324,4 1,3
16 48,00 0,261 2 500 120,0 1445,7 1,4
17 46,25 0,062 (19900) (920,4) 526,7 0,5
18 48,13 0,183 12100 582,4 1109,6 1,1
19 46,63 0,007 (17600) (820,7) 290,0 0,3
20 48,12 0,000 (700) (33,7) 256,6
В табл. 15.3 продемонстрировано альтернативное развитие событий, когда опцион закрывается “с проигрышем”. К концу срока действия опциона становится ясно, что его исполнение нецелесообразно, а коэффициент дельта стремится к нулю. В конце 20-й недели хеджер будет занимать непокрытую позицию и понесет убытки в размере 256 600 долл.
Стоимость хеджирования опциона, приведенная в табл. 15.2 и 15.3, уменьшенная на величину дисконта, близка, но не совпадает со стоимостью опциона, вычисленной по формуле Блэка-Шоулза и равной 240 000 долл. Если бы хеджирование было идеальным, стоимость хеджирования с учетом дисконта была бы равной цене, вычисленной по формуле Блэка-Шоулза на каждом расчетном интер
вале. Причина колебания стоимости дельта-хеджирования заключается в том, что балансирование осуществляется только один раз в неделю. Если бы балансирование выполнялось чаще, колебания стоимости хеджирования стали бы меньше. Разумеется, примеры, приведенные в табл. 15.2 и 15.3, являются идеализированными, поскольку волатильность считается постоянной, а транзакции предполагаются бесплатными.
Чувствительность дельта-хеджирования, вычисленная на основе моделирования 1000 случайных траекторий цены акции, приведена в табл. 15.4. Как и в табл. 15.1, коэффициент чувствительности представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона, вычисленной по формуле Блэка-Шоулза. Очевидно, что дельта-хеджирование намного эффективнее стратегии ограничения убытков. В отличие от последней, чувствительность дельта-хеджирования при учащении перерасчетов удается снизить намного меньше.
Таблица 15.4. Чувствительность дельта-хеджирования. (Коэффициент чувствительности представляет собой отношение стандартного отклонения стоимости продажи опциона и хеджирования к теоретической цене опциона)
Интервал хеджирования, недели 5 4 2 1 0,5 0,25
Эффективность хеджирования 0,43 0,39 0,26 0,19 0,14 0,09
Цель хеджирования — сохранить постоянство позиции финансовой организации, насколько это возможно. Изначальная стоимость проданного опциона равна 240000 долл. Как показано в табл. 15.2, через девять недель стоимость опциона может стать равной 414500 долл. Таким образом, финансовая организация из-за неудачной опционной позиции теряет 174 500 долл. С точки зрения накопленных наличных сумм, девятая неделя на 1 442 900 долл, хуже нулевой. Стоимость акций, находящихся в собственности инвестора, возрастает с 2 557 800 до 4 171 100 долл. В итоге, стоимость позиции финансовой организации за девять недель изменяется только на 4 100 долл.
За счет чего образуется стоимость
Дельта-хеджирование, описанное в табл. 15.2 и 15.3, позволяет синтетически создать длинную позицию по опциону. Она нейтрализует короткую позицию, возникшую из-за выписанного опциона. Эта схема сопряжена с продажей акций сразу после снижения цены и покупкой акций немедленно после ее повышения. Таким образом, ее можно охарактеризовать следующими словами: “покупай на повышении и продавай на понижении!” Стоимость, равная 240 000 долл., образуется за счет средней разности между ценой, выплаченной за акцию при покупке, и ценой, вырученной за счет ее продажи.
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля, состоящего из опционов или других производных ценных бумаг, зависящих от отдельного актива, цена которого равна S, вычисляется по формуле
ап as’
где П — стоимость портфеля.
Коэффициент дельта инвестиционного портфеля можно вычислить с помощью коэффициентов дельта отдельных опционов, входящих в него. Если портфель содержит Wi опционов (1 i п), коэффициент дельта портфеля вычисляется по формуле
А =
г=1
где Aj — коэффициент дельта z-го опциона. Эту формулу можно использовать для вычисления стоимости позиции по базовому активу или по фьючерсному контракту на поставку базового актива, необходимой для осуществления дельтахеджирования. Заняв эту позицию, инвестор может свести коэффициент дельта к нулю и сделать инвестиционный портфель дельта-нейтральным.
Допустим, что некая финансовая организация в США занимает следующие три позиции в опционах на австралийский доллар.
1. Длинная позиция в 100 000 опционах “колл” с ценой исполнения 0,55 долл, и сроком действия, истекающим через три месяца. Коэффициент дельта каждого из опционов равен 0,533.
2. Короткая позиция в 200 000 опционах “колл” с ценой исполнения 0,56 долл, и сроком действия, истекающим через пять месяцев. Коэффициент дельта каждого из опционов равен 0,468.
3. Короткая позиция в 50 000 опционах “пут” с ценой исполнения 0,56 долл, и сроком действия, истекающим через два месяца. Коэффициент дельта каждого из опционов равен —0,508.
Коэффициент всего портфеля равен
100000 X 0,533 - 200000 х 0,468 - 50000 х (-0,508) = -14900.
Это значит, что портфель можно сделать дельта-нейтральным, заняв длинную позицию на 14900 австралийских долларов.
В данном примере дельта-нейтральность портфеля можно обеспечить также с помощью шестимесячного форвардного контракта. Допустим, что в Австралии безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а в США — 5% (т.е. г = 0,05
и rf — 0,08). Коэффициент дельта форвардного контракта на поставку одного австралийского доллара, истекающего в момент Т, равен e~rfT, т.е. е-°>08х0>5 = = 0,9608 долл. Длинная позиция в форвардных контрактах на поставку австралийских долларов, обеспечивающая дельта-нейтральность инвестиционного портфеля, стоит 14900/0,9608 = 15508 долл.
Еще одной альтернативой является шестимесячный фьючерсный контракт. Из формулы (15.4) следует, что длинная позиция по фьючерсам на поставку австралийских долларов, обеспечивающая дельта-нейтральность портфеля, стоит
14900е_(0’05~°’08)х0’5 = 15125 долл.
Стоимость транзакций
Методы поддержки дельта-нейтральной позиции по отдельному опциону и базовому активу, описанные выше, могут оказаться чрезмерно затратными, поскольку каждая сделка сопровождается расходами на выполнение транзакций. Если портфель состоит из большого количества опционов, дельта-нейтральность становится реальнее, поскольку для сведения его коэффициента дельта к нулю требуется только одна сделка. Транзакции, связанные с хеджированием, снижают прибыли, полученные от заключения большого количества сделок.
15.5 Коэффициент тета
Коэффициент mema (обозначается буквой 0) портфеля опционов отражает скорость изменения стоимости портфеля с течением времени при условии, что остальные параметры остаются неизменными. Коэффициент 0 иногда называют коэффициентом снижения временной стоимости инвестиционного портфеля (time decay of the portfolio). Для европейского опциона на покупку бездивидендных акций с помощью формулы Блэка-Шоулза можно доказать, что
SoN'(di)a т'-гТлт/jx
©call =-n W2..... - rKe N №) ,
2v i
где величины di и d? вычисляются по формуле (13.20), и
N' (ж) = -^=е~х2/2. (15.5)
V 2%
Для европейского опциона на продажу бездивидендных акций (см. задачу 13.17)
_ SoN'^a K-rTN( .ч ©put — /= + rKe N ( «г) •
Для европейского опциона на покупку активов с дивидендной доходностью q
©call = -S°N'^)fe qT + qSvN (di) e~qT - rKe~rTN , 2у Г
где величины di и d2 вычисляются по формуле (14.4).
Для европейского опциона на продажу активов с дивидендной доходностью q
©put = qT _ qSoN (di) e~qT + rKe~rTN (~d2) .
2v J
Если активом является фондовый индекс, последние две формулы остаются справедливыми, если заменить величину q дивидендной доходностью индекса. Если активом является иностранная валюта, величину q следует заменить иностранной безрисковой процентной ставкой ту. Если же активом является фьючерсный контракт, следует положить So = Fq и q — г.
В этих формулах время измеряется годами. Как правило, при вычислении коэффициента тета время измеряется днями, так что его можно интерпретировать как изменение стоимости портфеля за прошедший календарный или операционный день при условии, что остальные параметры остаются неизменными. Чтобы вычислить коэффициент тета для календарных дней, его формулу следует разделить на 365. Чтобы вычислить коэффициент тета для операционных дней, эту формулу необходимо поделить на 252. (В протрамме DerivaGem коэффициент тета вычисляется по календарным дням.)
Пример 15.3
Рассмотрим четырехмесячный опцион на продажу фондового индекса. Текущее значение индекса равно 305, цена исполнения — 300 долл., дивидендная доходность акций равна 3% годовых, безрисковая процентная ставка — 8% годовых, а волатильность — 25% в год. В таком случае So = 305, К = 300, q = 0,03, г = 0,08 и Т = 0,3333. Коэффициент тета имеет следующий вид.
S0N' (di) ae^qT 2VT
- qS0N (di) e~qT + rKe~rTN (~d2) = -18,15.
В расчете на календарные дни коэффициент тета равен —18,15/365 = —0,0497, а в расчете на операционные дни он равен —18,15/252 = —0,0720. □
Коэффициент тета опциона, как правило, является отрицательным.8 Это объясняется тем, что время, оставшееся до истечения срока опциона, постоянно уменьшается, а остальные параметры остаются постоянными. Изменение коэффициента
Исключением является европейский опцион “с выигрышем” на продажу бездивидендных акций, а также европейский опцион “с выигрышем” на продажу иностранной валюты с очень высокой процентной ставкой.
G в зависимости от цены акции показано на рис. 15.5. Если цена акции слишком низкая, коэффициент тета близок к нулю. Для опциона “без выигрыша” коэффициент тета является большим и отрицательным. По мере роста цены акции, коэффициент тета стремится к значению -гКе~гТ. Зависимости коэффициента 0 от времени для опционов “с выигрышем”, “без выигрыша” и “с проигрышем” показаны на рис. 15.6.
Рис. 15.5. Изменение коэффициента тета, характеризующего европейский опцион “колл”, в зависимости от цены акции
Рис. 15.6. Типичные зависимости коэффициента тета от времени для европейских опционов “колл”
Коэффициент тета отличается от коэффициента дельта. С одной стороны, будущую цену акции точно предсказать невозможно, а течение времени является совершенно определенным. С другой стороны, вполне разумно хеджировать портфель от изменения цены актива, но бессмысленно хеджировать его от течения времени. Несмотря на это многие трейдеры считаю! коэффициент теза полезной статистикой, описывающей свойства инвестиционного портфеля, поскольку коэффициент тета дельта-нейтрального портфеля является хорошим приближением коэффициента гамма.
15.6 Коэффициент гамма
Коэффициент гамма портфеля опционов на базовый актив (обозначается буквой Г) представляет собой скорость изменения коэффициента дельта по отношению к цене базового актива. Иначе говоря, коэффициент Г является второй частной производной стоимости портфеля по цене актива.
д2П
Если коэффициент гамма слишком мал, коэффициент дельта изменяется медленно и операции по поддержанию дельта-нейтральной позиции требуется выполнять относительно редко. Однако при больших значениях коэффициента гамма коэффициент дельта является высокочувствительным к изменениям цены базового актива. Следовательно, оставлять дельта-нейтральный портфель без изменений в течение долгого времени довольно рискованно. Эта ситуация изображена на рис. 15.7. Если цена акции изменяется от S до S', дельта-хеджирование предполагает, что цена опциона изменяется от С до С', хотя на самом деле она изменяется от С до С". Разность между значениями С и С" порождает ошибку хеджирования. Эта ошибка зависит от кривизны графика, описывающего зависимость цены опциона от цены акции. Именно в этом заключается геометрический смысл коэффициента гамма.9
Допустим, что величина Д5 представляет собой изменение базового актива на протяжении короткого интервала времени Д/, а ДП — соответствующее изменение стоимости портфеля. Если отбросить высшие степени величины Д/, то изменение стоимости дельта-нейтрального портфеля можно записать следующим образом (см. приложение 14.1):
дп = ед/ + |гд52, (15.6)
’Действительно, коэффициент гамма многие практики называют кривизной опциона (curvature of an option).
Рис. 15.7. Ошибка хеджирования, обусловленная кривизной, т.е. коэффициентом гамма
где 0 — коэффициент тета портфеля. Зависимость величины ДП от изменения цены акции AS изображена на рис. 15.8. Если коэффициент гамма является положительным, коэффициент тета стремится к отрицательным значениям. Если цена акции не изменяется, стоимость портфеля уменьшается, но при больших положительных или отрицательных изменениях цены акции стоимость портфеля возрастает. Если коэффициент гамма является отрицательным, коэффициент тета стремится к положительным значениям, и справедливыми становятся обратные утверждения. Если цена акции не изменяется, стоимость портфеля растет, а при больших положительных или отрицательных изменениях цены акции стоимость портфеля уменьшается. Если абсолютное значение коэффициента гамма возрастает, чувствительность стоимости портфеля к колебаниям цены акции увеличивается.
Пример 15.4
Допустим, что коэффициент гамма дельта-нейтрального портфеля опционов на актив равен —10000. Из равенства (15.6) следует, что если за короткий период времени цена актива изменится на +2 или —2 долл., стоимость портфеля неожиданно изменится приблизительно на 0,5 х 10000 х 22 = 20 000 долл. □
Создание гамма-нейтрального портфеля
Коэффициенты гамма, характеризующие позицию по базовому активу и позицию по форвардному контракту на базовый актив, равны нулю. Как следует поступить, если стоимость позиции по инструменту, например по опциону, не линейно зависит от стоимости базового актива.
Допустим, что коэффициент гамма дельта-нейтрального портфеля равен Г, а коэффициент гамма опциона — Гу. Если в инвестиционный портфель дополни-
Рис. 15.8. Зависимости между величинами ДП и Д.5' для дельта-нейтрального портфеля: а) при небольшом положительном коэффициенте гамма; б) при большом положительном коэффициенте гамма; в) при небольшом отрицательном коэффициенте гамма; г) при большом отрицательном коэффициенте гамма
тельно включены ш? опционов, коэффициент гамма становится равным
Ш'гГт + Г.
Следовательно, для поддержания гамма-нейтральной позиции необходимо заключить опцион на сумму —Г/Гу долл. Включение в портфель новых опционов изменит его коэффициент дельта. Следовательно, чтобы обеспечить дельта-нейтральность портфеля, позицию по базовому активу необходимо скорректировать. Обратите внимание на то, что портфель является гамма-нейтральным только в течение короткого периода времени. С течением времени гамма-нейтральность портфеля можно сохранить только путем изменения позиции по базовому активу, так чтобы ее стоимость всегда была равна — Г/Гу.
Обеспечение гамма-нейтральности дельта-нейтрального портфеля можно рассматривать как первую корректировку того факта, что позицию по базовому акта-
ву в ходе дельта-хеджирования невозможно изменять непрерывно. С одной стороны, дельта-нейтральность гарантирует защиту от небольших колебаний цены акции между моментами балансирования. С другой стороны, гамма-нейтральность обеспечивает защиту от крупных изменений цены акции между этими моментами времени. Допустим, что инвестиционный портфель является дельта-нейтральным, а его коэффициент гамма равен —3 000. Коэффициенты дельта и гамма конкретного опциона “колл” равны 0,62 и 1,50 соответственно. Включив в портфель длинную позицию на сумму
3000
1,5
— 2 000 долл.,
мы обеспечиваем гамма-нейтральность портфеля. Однако это приведет к изменению коэффициента дельта портфеля от 0 до 2 000 х 0,62 = 1 240. Следовательно, для обеспечения дельта-нейгральности портфеля необходимо продать активы на сумму 1 240 долл.
Вычисление коэффициента гамма
Для европейских опционов на покупку и продажу акций, не приносящих дивиденды, коэффициент гамма вычисляется по формуле
г= 7Vz(^i) Soay/T'
где величина dj определяется по формуле (13.20), а распределение 7V'(x) задано выражением (15.5). Коэффициент гамма всегда положителен и изменяется в зависимости от цены акции So так, как показано на рис. 15.9. Зависимости коэффициента гамма от времени, оставшегося до завершения европейских опционов “с проигрышем”, “без выигрыша” и “с выигрышем”, приведены на рис. 15.10. Для опциона “с выигрышем” коэффициент гамма со временем уменьшается. Для краткосрочного опциона “без выигрыша” коэффициент гамма принимает очень большие значения. Это свидетельствует о высокой чувствительности позиции владельца этого опциона к изменениям цены акции.
Для европейских опционов на покупку или продажу активов с дивидендной доходностью q (при непрерывном начислении) коэффициент гамма вычисляется по формуле
r_^(d!)e-^ SoaVT ’
где величина di определяется по формуле (14.4). Если активом является фондовый индекс, величина д равна дивидендной доходности индекса. Если активом является иностранная валюта, величина д устанавливается равной иностранной
Рис. 15.9. Изменение коэффициента гамма в зависимости от цены акции
Рис. 15.10. Изменение коэффициента гамма в зависимости от времени, оставшегося до завершения опциона
безрисковой процентной ставке rf. Если активом является фьючерсный контракт, то Sq = Fo и q = г.
Пример 15.5
Рассмотрим четырехмесячный опцион на продажу фондового индекса. Текущая величина индекса равна 305, цена исполнения — 300 долл., дивидендная доходность — 3% годовых, безрисковая процентная ставка — F% годовых, а волатиль
ность индекса — 25% в год. В таком случае Sq — 305, К = 300, q = 0,03, г = 0,08 и Т = 4/12. Коэффициент гамма фондового индекса имеет следующий вид.
N' ---— = 0,00857. SoaVT
Итак, при увеличении индекса на единицу (от 305 до 306) коэффициент дельта опциона возрастает приблизительно на 0,00857. □
15.7 Зависимости между коэффициентами дельта, тета и гамма
Цена отдельного дериватива, зависящего от бездивидендной акции, должна удовлетворять уравнению (13.16). Следовательно, стоимость портфеля П, состоящего из таких деривативов, также удовлетворяет дифференциальному уравнению
сШ ап 1 2о2а2п
at + rS as + 2° s as2 ~/IL
Поскольку
ап ап а2п
at’ as’ as2’
выполняется равенство
© + г5А + i<T2S2r = гП.
(15.7)
Аналогичные результаты можно получить и для других базовых активов (см. задачу 15.19).
Если портфель является дельта-нейтральным, то А = 0 и
© + ^<т252Г = гП.
Следовательно, если коэффициент 0 принимает большие положительные значения, то коэффициент гамма принимает большие отрицательные значения, и наоборот. Это соответствует ситуации, изображенной на рис. 15.8, и объясняет, почему коэффициент тета можно интерпретировать как аппроксимацию коэффициента гамма для дельта-нейтрального портфеля.
15.8 Коэффициент вега
До сих пор мы неявно предполагали, что волатильность актива, лежащего в основе дериватива, является постоянной. На практике волатильность зависит
от времени. Это значит, что стоимость дериватива подвержена изменениям из-за непостоянства волатильности, изменения цены актива и течения времени.
Коэффициент вега (vega) портфеля деривативов (обозначается буквой р) — это скорость изменения стоимости портфеля по отношению к волатильности базового актива.10
ап
да'
Если абсолютное значение коэффициента вега велико, стоимость портфеля становится очень чувствительной к малым изменениям волатильности. Если абсолютное значение коэффициента вега мало, изменения волатильности слабо влияют на стоимость портфеля.
Позиция по базовому активу характеризуется нулевым коэффициентом вега. Однако коэффициент вега инвестиционного портфеля может изменяться за счет новых опционов. Если р — коэффициент вега портфеля, a а? — коэффициент вега опциона, то позиция по опциону, стоящая — долл., мгновенно обеспечивает вега-нейтральность. К сожалению, гамма-нейтральный портфель, как правило, не является вега-нейтральным, и наоборот. Если хеджер хочет добиться, чтобы инвестиционный портфель был одновременно и гамма-, и дельта-нейтральным, он должен использовать, как минимум, два дериватива, зависящих от базового актива.
Пример 15.6
Рассмотрим дельта-нейтральный портфель, коэффициент гамма которого равен -5000, а коэффициент вега-----8 000. Опцион, являющийся предметом сделки,
характеризуется следующими параметрами: гамма — 0,6, вега — 2,0, дельта — 0,6. Портфель можно сделать вега-нейтральным, включив в него длинную позицию по 4 000 указанным опционам. Это увеличит коэффициент дельта до 2 400. Следовательно, для поддержки дельта-нейтральности потребуется продать 2 400 единиц актива. В результате, коэффициент гамма инвестиционного портфеля изменится с -5000 до -3000.
Чтобы обеспечить гамма- и вега-нейтральность портфеля, предположим, что существует еще один вид опциона, у которого коэффициент гамма равен 0,8, коэффициент вега — 1,2, а коэффициент дельта — 0,5. Если гщ и — количество опционов первого и второго вида, включенных в портфель, то должна выполняться следующая система уравнений.
—5 000 + 0,5гщ + 0,8w2 = 0,
-8000 + 2,0^ + 1,2w2 = 0.
Решением этой системы являются числа w\ = 400 и ш2 — С 000. Следовательно, инвестиционный портфель можно сделать гамма- и вега-нейтральным, включив
10Символ вега не является греческой буквой. Как правило, его обозначают буквой р.
в него 400 опционов первого вида и 6000 опционов второго вида. После этого коэффициент дельта, характеризующий этот портфель, станет равным 400 х х 0,6 + 6 000 х 0,5 = 3 240. Следовательно, для поддержки дельта-нейтральности портфеля необходимо продать 3 240 единиц актива. □
Для европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций формула для вычисления коэффициента вега имеет следующий вид:
p = s0Vtn' (dj,
где величина di определяется по формуле (13.20), распределение 7V'(z) задается выражением (15.5). Для европейских опционов на покупку и продажу акций с дивидендной доходностью q формула для вычисления коэффициента вега имеет следующий вид:
Р = SoVTN' (di) e~qT,
где величина di определяется по формуле (14.4). Если активом является фондовый индекс, то величина q считается равной дивидендной доходности индекса. Если активом является иностранная валюта, величина q полагается равной иностранной безрисковой процентной ставке г/. Если же активом является фьючерсный контракт, то Sq = Fq и q = г.
Коэффициент вега обычных европейских и американских опционов всегда положителен. Типичные графики изменения коэффициента вега в зависимости от цены акции приведены на рис. 15.11.
Вега
К
Рис. 15.11. Изменение коэффициента вега в зависимости от цены акции
Пример 15.7
Рассмотрим четырехмесячный опцион на продажу фондового индекса. Текущая величина индекса равна 305, цена исполнения — 300 долл., дивидендная доходность — 3% годовых, безрисковая процентная ставка — 8% годовых, а волатильность индекса — 25% в год. В таком случае Sq = 305, К = 300, q = 0,03, г — 0,08
и Г = 4/12. Коэффициент вега фондового индекса имеет следующий вид.
и = SqJTN' (dx) e~qT = 66,44.
Таким образом, увеличение волатильности на 1% (с 25 до 26%) приводит к увеличению стоимости опциона приблизительно на 0,6644 долл. (= 0,01 х 66,44). □
Ссылки на модель Блэка-Шоулза при обсуждении коэффициента вега могут показаться странными, ведь одним из основных предположений в этой модели является условие постоянства волатильности. С теоретической точки зрения было бы правильнее вычислять коэффициент вега на основе модели, в которой волатильность описывается стохастическим процессом. Однако оказывается, что коэффициент вега, вычисленный по стохастической модели, и коэффициент вега, вычисленный по модели Блэка-Шоулза, мало отличаются друг от друга. По этой причине вычисление коэффициента вега по модели Блэка-Шоулза с практической точки зрения является оправданным.11
Гамма-нейтральность защищает инвестиционный портфель от крупных колебаний цены базового актива между моментами балансировки. Вега-нейтральность защищает его от изменения параметра <т. Выбор коэффициента, которым следует управлять, зависит от длины интервалов между моментами балансирования 12 и изменчивости волатильности.
15.9 Коэффициент ро
Коэффициент ро (обозначается буквой р) портфеля, состоящего из опционов, представляет собой скорость изменения стоимости портфеля по отношению к процентной ставке.
ап
Этот коэффициент измеряет чувствительность стоимости портфеля к изменению процентной ставки. Для европейского опциона на покупку бездивидендных акций коэффициент р вычисляется по формуле
р = KTe~rTN(d2),
где величина d2 определяется по формуле (13.20). Для европейского опциона на продажу бездивидендных акций коэффициент р вычисляется по формуле
р = —А'Те-гТЛД—d2).
"См. Hull J. С. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance, 42 (June 1987). — P. 281-300; Hull J. C. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research, 3 (1988). — P. 27-61.
,2О6суждение этого вопроса содержится в работе Hull J. С. and White A. Hedging the Risks from Writing Foreign Currency Options // Journal of International Money and Finance, 6 (June 1987). P. 131 -52.
Для европейских опционов на покупку или продажу акций с известной дивидендной доходностью коэффициент р вычисляется по тем же формулам, но величина <^2 определяется по формуле (14.4).
Пример 15.8
Рассмотрим четырехмесячный опцион на продажу фондового индекса. Текущая величина индекса равна 305, цена исполнения — 300 долл., доходность — 3% годовых, безрисковая процентная ставка — 8% годовых, а волатильность индекса — 25% в год. В таком случае Sb = 305, К = 300, q = 0,03, г = 0,08 и Т = 4/12. Коэффициент ро фондового индекса имеет следующий вид.
—КТе~'т N(—d2) = -42,6.
Таким образом, увеличение процентной ставки на 1% (с 8 до 9%) приводит к уменьшению стоимости опциона приблизительно на 0,426 долл. (= 0,01 х 42,6). □
Для валютных опционов существует два коэффициента ро, соответствующих двум разным процентным ставкам. Коэффициент ро, соответствующий внутренней процентной ставке, вычисляется по приведенным выше формулам, где величина d2 определяется по формуле (14.7). Для европейского опциона на покупку валюты коэффициент ро, соответствующий иностранной процентной ставке, вычисляется по формуле
Р - -Te~rfTS0Ar(^i),
а для европейского опциона на продажу валюты — по формуле
р = Te-rfTS0Ar("^i),
где величина d\ определяется по формуле (14.7).
Для европейского опциона на покупку фьючерса коэффициент ро равен —сТ, а для европейского опциона на продажу фьючерса--рТ, где сир — цены
европейских фьючерсных опционов “колл” и “пут”.
15.10 Практическое хеджирование
В идеальных условиях трейдеры, работающие на финансовые организации, могли бы сколько угодно часто осуществлять балансирование своих инвестиционных портфелей, чтобы удержать коэффициенты дельта, гамма, вега и другие на нулевом уровне. На практике это невозможно. Если портфель зависит только от одного вида актива, то трейдер, как правило, сводит коэффициент дельта к нулю как минимум один раз в день, заключая соответствующую сделку. К сожалению, свести к нулю коэффициент гамма и вега не так просто, поскольку трудно найти опционы и другие нелинейные активы, пригодные для заключения
достаточно крупных сделок по конкурентной цене. (Обсуждению динамического хеджирования посвящена врезка “Пример из деловой практики 15.1”.)
Пример из деловой практики 15.1. Практика динамического хеджирования В соответствии с порядком, установленным в финансовых организациях, ответственность за портфель деривативов, зависящих от конкретного базового актива, возлагается на одного трейдера или группу трейдеров, работающих вместе. Например, трейдер в компании Goldman Sachs может отвечать за все производные финансовые инструменты, зависящие от стоимости австралийского доллара. Компьютерная система вычисляет стоимость портфеля и греческие коэффициенты, характеризующие этот портфель. Для каждого греческого коэффициента устанавливается допустимый диапазон. Если в конце операционного дня трейдер пожелает превысить установленные лимиты, он должен попросить специальное разрешение.
Ограничение коэффициента дельта часто выражается в виде эквивалентной максимальной позиции по базовому активу. Например, предел коэффициента дельта, установленный корпорацией Goldman Sachs относительно компании Microsoft, может быть равным 10 млн долл. Если цена акции компании Microsoft равна 50 долл., то абсолютное значение вычисленного коэффициента дельта не должно превышать 200 000. Пределы изменения коэффициента вега обычно выражаются как максимальное допустимое денежное выражение (maximal dollar exposure) одного процента изменения волатильности.
Как правило, торговцы опционами стремятся сохранять дельта-нейтральную позицию в конце каждого операционного дня, т.е. закрывать торги, занимая дельта-нейтральную позицию. Они следят за изменениями коэффициентов гамма и вега, но не управляют ими ежедневно.
Большинство сделок многих финансовых организаций представляют собой продажу опционов. В результате, с течением времени коэффициенты гамма и вега, характеризующие инвестиционный портфель финансовой организации, принимают все большие отрицательные значения. По этой причине трейдеры, работающие на финансовые организации, постоянно ищут возможности купить опционы по конкурентной цене (чтобы сделать коэффициенты гамма и вега положительными).
Однако существует один аспект, в некоторой степени смягчающий эту проблему. В момент первой продажи опционы, как правило, почти не имеют выигрыша (close to the money). Следовательно, их значения коэффициентов гамма и вега относительно велики. Однако через некоторое время суммы выигрыша или проигрыша опционов увеличиваются. В результате их коэффициенты гамма и вега становятся очень маленькими и не причиняют вреда. В худшем случае выписанный опцион до своего завершения останется практически без выигрыша.
Торговать опционами очень выгодно. Как указывалось ранее, ежедневно поддерживать дельта-нейтральность отдельного опциона (скажем, на индекс S&P 500) может оказаться слишком дорогим занятием. Однако поддерживать дельта-нейтральность инвестиционного портфеля, состоящего из большого количества опционов на индекс S&P 500, вполне реально. Это объясняется тем, что стоимость ежедневного балансирования (путем купли-продажи фондового индекса или соответствующих индексных фьючерсов) компенсируется прибылью, полученной в результате заключения большого количества разных сделок.
15.11 Анализ сценариев
Кроме отслеживания коэффициентов дельта, гамма и вега, торговцы опционами осуществляют анализ сценариев. Этот анализ связан с вычислением прибыли или убытков, которые приносит инвестиционный портфель в течение указанного периода времени при реализации разных сценариев развития событий. Как правило, продолжительность анализируемого периода времени зависит от ликвидности инструмента. Сценарий развития событий либо выбирается менеджером, либо генерируется математической моделью.
Представим себе банк, управляющий инвестиционным портфелем, состоящим из опционов на иностранную валюту: Стоимость портфеля зависит, в основном, от двух переменных: валютного курса и его волатильности. Допустим, что текущий валютный курс равен 1,0000, а волатильность равна 10% годовых. Банк может вычислить прибыли и убытки за две недели при реализации разных сценариев и создать табл. 15.5. В этой таблице учтено семь разных возможных значений валютного курса и три значения его волатильности. Поскольку стандартное отклонение валютного курса за две недели равно приблизительно 0,02, для анализа сценариев были выбраны значения валютного курса, отличающиеся от текущего уровня на одно, два и три стандартных отклонения.
Таблица 15.5. Прибыли и убытки за две недели при реализации разных сценариев (млн долл.)
Валютный курс
Волатильность, % 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06
8 +102 +55 +25 +6 -10 -34 -80
10 +80 +40 +17 +2 -14 -38 -85
12 +60 +25 +9 -2 -18 -42 -90
Наибольшие убытки банк несет, если валютный курс равен 1,06, а волатильность — 12%. Как правило, величина максимального убытка оказывается запи
санной в одном из углов такой таблицы, хотя это не обязательно. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой инвестиционный портфель банка состоит из обратного спрэда “бабочка” (см. раздел 9.2). В этом случае банк несет наибольшие убытки, если валютный курс остается неизменным.
15.12 Страхование инвестиционного портфеля
Управляющий инвестиционным портфелем часто заинтересован в покупке опциона на продажу своего портфеля. Это гарантирует ему защиту от падения рынка и сохраняет потенциальную прибыль при благоприятном развитии событий. Одна из возможных стратегий менеджера (см. раздел 14.3) предусматривает покупку опционов на продажу фондового индекса, например, S&P 500. Другая стратегия состоит в синтетическом создании опциона.
При синтетическом создании опциона трейдер должен поддерживать такую позицию по базовому активу (или фьючерсу на базовый актив), чтобы коэффициент дельта, характеризующий его позицию, был равен коэффициенту дельта создаваемого опциона. Эта позиция является обратной по отношению к позиции, которую трейдер должен занять при хеджировании, поскольку процедура хеджирования опциона связана с синтетическим созданием противоположного опциона.
Существует две причины, по которым трейдеру может оказаться выгоднее создать опцион синтетически, а не покупать его на рынке. Первая причина заключается в том, что на рынке опционов может не хватить ликвидности, чтобы поглотить объем сделок, которые хотели бы осуществить менеджеры крупных инвестиционных фондов. Вторая причина состоит в том, что фондовым менеджерам часто требуются опционы с ценами исполнения и сроками завершения, которых нет на биржевых рынках.
Синтетический опцион можно создать с помощью купли-продажи либо портфеля, либо индексных фьючерсов. Сначала рассмотрим процесс создания опциона “пут” с помощью купли-продажи инвестиционного портфеля. Напомним, что коэффициент дельта европейского опциона на продажу портфеля равен
А = e-QT[^(di) - 1], (15.8)
где
J In (So/Ю + (r-q + ^/Z'jT ~----------------7^---------’
<ту/Т
So — стоимость портфеля, К — цена исполнения, г — безрисковая процентная ставка, q — доходность портфеля, а — волатильность портфеля и Т — продолжительность опциона. Обычно волатильность портфеля предполагается равной волатильности хорошо диверсифицированного рыночного индекса, умноженной на коэффициент бета.
Для синтетического создания опциона “пут” фондовый менеджер должен обеспечить продажу е-^[1 -ВД]
акций исходного портфеля, а выручку инвестировать в безрисковые активы. Если стоимость портфеля будет падать, то коэффициент дельта опциона “пут”, вычисленный по формуле (15.8), будет принимать все большие отрицательные значения. Следовательно, продаваемую долю исходного инвестиционного портфеля придется увеличить. Если стоимость портфеля будет расти, то коэффициент дельта будет принимать все меньшие отрицательные значения. Это значит, что продаваемую долю исходного инвестиционного портфеля придется уменьшить (т.е. выкупить часть ранее проданных ценных бумаг).
Эта стратегия означает, что в каждый момент времени денежные средства разделяются между портфелем акций, подлежащим страхованию, и безрисковыми активами. Если стоимость портфеля акций возрастает, трейдер должен продать безрисковые активы и увеличить позицию по акциям, включенным в портфель. Если стоимость портфеля акций падает, трейдер должен купить безрисковые активы и уменьшить позицию по акциям, включенным в портфель. Описанная стратегия связана с определенными потерями, поскольку менеджер всегда продает акции после падения рынка и покупает — после его роста.
Пример 15.9
Стоимость портфеля равна 90 млн долл. Чтобы защитить его от падения рынка, менеджер, управляющий портфелем, должен купить шестимесячный европейский опцион на продажу портфеля с ценой исполнения 87 млн долл. Безрисковая ставка равна 9% годовых, дивидендная доходность — 3% годовых, а волатильность стоимости портфеля — 25% годовых. Индекс S&P 500 равен 900. Предположим, что инвестиционный портфель отражает колебания индекса S&P 500. Тогда менеджер может либо купить 1 000 опционов на продажу индекса S&P 500 с ценой исполнения 870 долл., либо синтетически создать опцион. В таком случае So = 90 млн долл., К = 87 млн долл., г = 0,09, q — 0,03, а = 0,25 и Т = 0,5. Следовательно,
In (90/87) + (0,09 - 0,03 + 0,252/2) 0,5 0,25\/(Ц>
= 0,4499,
а коэффициент дельта требуемого опциона в первоначальный момент времени равен
r ^T[A'(rfi) - 1] = -0,3215.
Это значит, что для достижения требуемого значения коэффициента дельта в первоначальный момент времени необходимо продать 32,15% инвестиционного портфеля. Стоимость портфеля необходимо постоянно отслеживать. Например, если его стоимость упадет до 88 млн долл., коэффициент дельта требуемого опциона
станет равным —0,3679, а значит, придется дополнительно продать 4,64% портфеля. Если же его стоимость поднимется до 92 млн долл., коэффициент дельта требуемого опциона станет равным —0,2787, а значит, необходимо выкупить обратно 4,28% портфеля. □
Использование индексных фьючерсов
Поскольку стоимость транзакций, связанных со сделками по индексным фьючерсам, как правило, меньше стоимости транзакций, связанных с торгами по соответствующим акциям, при синтетическом создании опционов индексные фьючерсы могут оказаться предпочтительнее акций. Сумма, на которую необходимо продать фьючерсные контракты, определяется по формулам (15.3) и (15.8):
e-QTe-(r-Q)T‘ [х _ N = eQ(7*-T)e-r7‘ [х _ дГ ,
где Т* — срок действия фьючерсного контракта. Если стоимость портфеля превышает величину индекса в Ai раз, а размер каждого фьючерсного контракта больше этого значения в А-± раз, то количество проданных фьючерсных контрактов в произвольный момент времени равно
Пример 15.10
Допустим, что в предыдущем примере для синтетического создания опциона используются фьючерсные контракты на индекс S&P 500. В таком случае в начальный момент времени Т = 0,5, Т* — 0,75, Ai = 100000, А± = 250 и di = 0,4499. Следовательно, количество фьючерсных контрактов, которые необходимо продать без покрытия, равно
eQ(T*-T)e_rT* _ W1)] ф = 122,96,
712
т.е. 123. С течением времени позицию по фьючерсным контрактам необходимо будет уточнить, чтобы учесть изменение индекса. □
До сих пор мы предполагали, что инвестиционный портфель отражает поведение фондового индекса. Как указывалось в разделе 14.3, в других ситуациях схему хеджирования необходимо уточнить. В частности, когда стоимость портфеля достигает требуемого уровня, цена исполнения опциона должна быть равной ожидаемому значению фондового индекса. Количество используемых индексных опционов должно в /3 раз превышать количество опционов, которые потребовались бы, если бы коэффициент бета портфеля был равен 1,0, а волатильность стоимости портфеля должна быть в fi раз больше, чем волатильность хорошо диверсифицированного индекса.
Пример из деловой практики 15.2. Следует ли обвинять страхование портфеля в крахе 1987 года?
В понедельник 19 октября 1987 года индекс Доу-Джонса упал более чем на 20%. Многие считают, что основным фактором, приведшим биржи к краху, стало портфельное страхование, основанное на синтетических опционах “пут”, которое в октябре 1987 года охватывало активы на сумму от 60 до 90 млрд долл, (см. раздел 15.12). Со среды 14 октября 1987 года до пятницы 16 октября 1987 года рынок упал на 10%, причем основное падение произошло днем в пятницу. Инвесторы отреагировали на падение применением страховых схем, что стало причиной продаж акций и индексных фьючерсов на сумму около 12 млрд долл. Фактический объем продаж составил около 4 млрд долл. Это значит, что перед страховщиками портфелей на следующей неделе встала задача осуществить огромное количество сделок. По некоторым оценкам программы продаж трех страховщиков инвестиционных портфелей охватывали 10% всего объема продаж на Нью-Йоркской фондовой бирже и 21,3% объема всех продаж на рынках индексных фьючерсов. Таким образом, страхование инвестиционных портфелей оказывало давление на рынок и способствовало его падению.
Поскольку рынок упал очень быстро и системы биржевых торгов оказались перегруженными, многие страховщики инвестиционных портфелей не смогли совершить сделки, подсказанные их моделями, и были не в состоянии защитить свои активы. Нечего и говорить, что после октября 1987 года популярность динамических схем страхования инвестиционных портфелей существенно упала. Мораль этой истории заключается в следующем: опасно слепо следовать конкретной торговой стратегии — даже стратегии хеджирования, — если этой же стратегии придерживается большое количество других участников рынка.
15.13 Волатильность фондового рынка
В главе 13 рассмотрены ситуации, в которых волатильность фондового рынка объяснялась исключительно поступлением новой информации или ходом самих торгов. Схемы страхования инвестиционных портфелей, описанные выше, также могут способствовать повышению волатильности. Если рынок падает, эти схемы побуждают менеджеров продавать либо акции, либо фьючерсные контракты на поставку фондовых индексов. Каждое из этих действий, в свою очередь, усиливает падение (см. врезку “Пример из деловой практики 15.2”). Продажа акций способствует снижению фондовых индексов. Продажа фьючерсных контрактов на поставку индексов способствует падению фьючерсных цен. Все это создает давление на акции через механизм индексного арбитража (см. главу 5) и приводит к снижению фондовых индексов. Если же рынок растет, схемы страхования инвестиционных портфелей побуждают менеджеров покупать либо акции, либо
фьючерсные контракты на поставку фондовых индексов. Это еще более усиливает рост рынка.
Кроме формальных схем страхования инвестиционных портфелей, многие инвесторы изобретают собственные методы. Например, инвестор может выходить на рынок во время его роста и продавать активы во время его падения, чтобы минимизировать риск убытков.
Степень влияния формальных и неформальных схем страхования инвестиционных портфелей на волатильность зависит от легкости, с которой рынок поглощает сделки, генерируемые этими схемами. Если сделки, направленные на страхование инвестиционных портфелей, составляют очень незначительную часть всех сделок, эффект будет минимальным. Если же эти сделки образуют существенную часть торгов, они могут оказать дестабилизирующее влияние на рынок.
Резюме
Финансовые организации предлагают своим клиентам большое количество разнообразных опционов. Часто эти опционы не соответствуют стандартам, установленным биржами. В этом случае финансовые организации сталкиваются с проблемой хеджирования рисков. Непокрытые и покрытые позиции подвергают их слишком большому риску. Для ограничения риска можно воспользоваться стратегией ограничения убытков. В рамках этой стратегии инвестор занимает непокрытую позицию по опциону “с проигрышем” и конвертирует ее в покрытую позицию, как только опцион начинает приносить выигрыш. Несмотря на внешнюю привлекательность этой стратегии, она оказалась не очень удачной.
Дельта опциона, Д, — это скорость изменения его цены по отношению к цене базового актива. Дельта-хеджирование — это создание позиции, коэффициент дельта которой равен нулю (иногда такую позицию называют дельта-нейтральной). Поскольку дельта базового актива равна единице, для осуществления хеджирования необходимо, чтобы каждой длинной позиции по хеджируемому опциону соответствовала позиция по базовому активу, коэффициент дельта которой равен —Д. Дельта опциона со временем изменяется. Это значит, что позицию по базовому активу придется часто корректировать.
Как только позиция по опциону станет дельта-нейтральной, необходимо оптимизировать коэффициент гамма, Г, — скорость изменения коэффициента дельта по отношению к цене базового актива. Коэффициент гамма характеризует кривизну зависимости цены опциона от цены актива. Влияние этого коэффициента на эффективность дельта-хеджирования можно уменьшить, сделав опционную позицию гамма-нейтральной. Допустим, что коэффициент гамма хеджируемой позиции равен Г. Тогда уменьшение его влияния на эффективность хеджирования достигается за счет позиции по опциону, коэффициент которого равен —Г.
Дельта- и гамма-хеджирование основаны на предположении, что волатильность базового актива является постоянной. Коэффициент вега, и, характеризующий опцион или портфель опционов, измеряет скорость изменения их стоимости по отношению к волатильности. Трейдер, желающий хеджировать свою позицию от изменений волатильности, может занять вега-нейтральную позицию. Как и при гамма-хеджировании, это связано с компенсирующей позицией по опциону, являющемуся предметом купли-продажи. Для одновременного обеспечения гама-и вега-нейтральности, как правило, используют два разных опциона.
Остальными параметрами, характеризующими риск, связанный с опционной позицией, являются коэффициенты тета и ро. Коэффициент тета, ©, — это скорость изменения стоимости позиции во времени при условии, что все остальные параметры остаются неизменными. Коэффициент ро, р, — это скорость изменения стоимости опционной позиции по отношению к краткосрочной процентной ставке при условии, что все остальные параметры остаются постоянными.
На практике для обеспечения дельта-нейтральности торговцы опционами обычно балансируют свои портфели, как минимум, раз в день. Добиться одновременной и регулярной гамма- и вега-нейтральности практически невозможно. Обычно трейдеры просто следят за изменениями этих коэффициентов. Если они принимают слишком большие значения, трейдеры предпринимают меры или прекращают торги.
Менеджеры, управляющие инвестиционными портфелями, иногда заинтересованы в синтетическом создании опционов “пут” для страхования своих активов. Для этого они могут заключать сделки как по ценным бумагам, входящим в портфель, так и по индексным фьючерсам. Купля-продажа портфельных активов предполагает их разделение на акции и безрисковые ценные бумаги. При падении рынка большая часть средств инвестируется в безрисковые ценные бумаги, а во время экономического подъема — в акции. Торговля индексными фьючерсами предполагает, что акции портфеля остаются в неприкосновенности. Если рынок падает, количество продаваемых индексных фьючерсов увеличивается, а если рынок находится на подъеме — это количество снижается. Эта стратегия хорошо работает в нормальных рыночных условиях. Однако 19 октября 1987 года, когда индекс Доу-Джонса упал более чем на 500 пунктов, эта стратегия оказалась несостоятельной. Страховщики портфелей не смогли продать достаточно много акций или индексных фьючерсов, чтобы защитить свои позиции. Как результат, популярность этих схем страхования резко упала.
Дополнительная литература
Taleb N. N. Dynamic Hedging: Managing Vanilla and Exotic Options. — New York: Wiley, 1996.
Вопросы и задачи
15.1. Как реализовать стратегию ограничения убытков для андеррайтера опциона “колл” “с проигрышем”? В чем слабость этой стратегии?
15.2. Что означает утверждение, будто дельта опциона “колл” равна 0,7? Как сделать дельта-нейтральной короткую позиции по 1 000 опционам, если дельта равна 0,7?
15.3. Вычислите коэффициент дельта для шестимесячного европейского опциона на покупку бездивидендных акций, если безрисковая ставка равна 10% годовых, а волатильность цены акции равна 25% в год.
15.4. Что означает утверждение, будто тета опциона “колл” равна —0,1, если время измеряется годами? Какой вид опциона нужен трейдеру, считающему, что ни цена акции, ни подразумеваемая волатильность в будущем останутся неизменными?
15.5. Какой смысл имеет коэффициент гамма, характеризующий опционную позицию? Какая опасность таится в ситуации, когда коэффициент гамма принимает большие отрицательные значения, а коэффициент дельта равен нулю?
15.6. “Процедура синтетического создания опционной позиции противоположна процедуре хеджирования опциона.” Объясните смысл этого утверждения.
15.7. Почему 19 октября 1987 года схемы страхования инвестиционных портфелей оказались несостоятельными?
15.8. Теоретическая цена опциона “колл” “с проигрышем” равна 4 долл. Цена исполнения равна 40 долл. Трейдер, выписавший опцион, собирается реализовать стратегию ограничения убытков. Для этого он планирует покупать акции, когда их цена достигнет 40,10 долл., и продавать их, когда они будут стоить 39,90 долл. Сколько раз акции будут куплены или проданы?
15.9. Допустим, что текущая цена акции равна 20 долл., а опцион “колл” с ценой исполнения 25 долл, синтетически создается путем постоянного изменения позиции по этим акциям. Рассмотрите следующие сценарии.
1) На протяжении срока действия опциона цена акции постоянно возрастает от 20 до 35 долл.
2) Цена акции хаотически осциллирует, останавливаясь на уровне 35 долл.
Какой из этих сценариев требует больших затрат? Аргументируйте свой ответ.
15.10. Чему равен коэффициент дельта, характеризующий короткую позицию по 1000 европейских опционов на покупку фьючерсов, предусматривающих
поставку серебра? Срок действия опционов — восемь месяцев, а фьючерсных контрактов — девять месяцев. Текущая фьючерсная цена серебра с поставкой через девять месяцев равна 8 долл, за унцию, цена исполнения опциона — 8 долл., безрисковая процентная ставка — 12% годовых, а волатильность цены серебра — 18% в год.
15.11. Какую начальную позицию должен занять трейдер, осуществляющий дельта-хеджирование в задаче 15.10? Какую начальную позицию должен занять трейдер, если для хеджирования используются не опционы, а серебро? Будем считать, что затраты на хранение серебра отсутствуют.
15.12. Компания осуществляет дельта-хеджирование инвестиционного портфеля, состоящего из длинных позиций по опционам на покупку и продажу валюты. Какое из указанных выше условий обеспечивает более выгодный результат?
1) Наличный валютный курс практически постоянен.
2) Наличный валютный курс подвергается хаотическим колебаниям.
Аргументируйте свой ответ.
15.13. Повторите решение задачи 15.12, если инвестиционный портфель состоит из коротких позиций по опционам на покупку и продажу валюты.
15.14. Финансовая организация только что продала 1000 семимесячных европейских опционов на покупку японской иены. Допустим, что наличный валютный курс равен 0,80 цента на иену, цена исполнения — 0,81 цента за иену, безрисковая процентная ставка в США — 8% годовых, безрисковая процентная ставка в Японии — 5% годовых, а волатильность иены — 15% в год. Вычислите коэффициенты дельта, гамма, вега, тета и ро, характеризующие позицию финансовой организации. Интерпретируйте каждый коэффициент.
15.15. При каких обстоятельствах можно одновременно обеспечить гамма- и вега-нейтральность европейского опциона на фондовый индекс с помощью дополнительной позиции по другому европейскому опциону?
15.16. Фондовый менеджер управляет хорошо диверсифицированным инвестиционным портфелем, отражающим состав индекса S&P 500. Стоимость портфеля равна 360 млн долл. Индекс S&P 500 равен 1 200. Менеджер желает приобрести страховку от падения портфеля более чем на 5% в течение следующих шести месяцев. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Доходность портфеля и индекса S&P 500 равна 3%, а волатильность индекса — 30% в год.
1) Назовите стоимость страховки, если менеджер покупает европейские опционы “пут”.
2) Как осуществить страхование портфеля с помощью европейских опционов “колл”. Докажите, что они позволяют достичь того же результата.
3) Какую начальную позицию должен занять менеджер, если он хочет осуществить страхование путем перевода части инвестиционного портфеля в безрисковые ценные бумаги?
4) Какую начальную позицию должен занять менеджер, если он хочет осуществить страхование с помощью девятимесячных индексных фьючерсов?
15.17. Повторите решение задачи 15.16, если коэффициент бета, характеризующий инвестиционный портфель, равен 1,5, а доходность портфеля равна 4% годовых.
15.18. Подставляя в формулу (15.7) разные параметры, докажите ее справедливость для следующих ценных бумаг.
1) Отдельный европейский опцион на покупку бездивидендных акций.
2) Отдельный европейский опцион на продажу бездивидендных акций.
3) Инвестиционный портфель, состоящий из европейских опционов на покупку и продажу бездивидендных акций.
15.19. Запишите аналоги формулы (15.7) для 1) портфеля валютных деривативов и 2) портфеля деривативов, зависящих от фьючерсных контрактов.
15.20. Допустим, что предметом страхования являются акции на сумму 70 млрд долл., а схема страхования должна защитить стоимость активов от падения более чем на 5% за год. С помощью программы DerivaGem вычислите оценки, которые сочтете нужными, и найдите стоимость акций или фьючерсных контрактов, которые менеджер должен продать, если рынок в течение дня упадет на 23%.
15.21. Равны ли между собой коэффициенты дельта, характеризующие форвардный и фьючерсный контракты на поставку фондового индекса? Аргументируйте свой ответ.
15.22. Коэффициент дельта, характеризующий позицию банка по опционам на валютный курс доллар-евро, равен 30000, а коэффициент гамма-------80000.
Дайте интерпретацию этих коэффициентов. Валютный курс (доллар за евро) равен 0,90 долл. Какая позиция обеспечивает дельта-нейтральность? Через короткий промежуток времени валютный курс поднялся до 0,93 долл. Оцените новое значение коэффициента дельта. Какую дополнительную сделку необходимо заключить, чтобы сохранить дельта-нейтральную позицию? Предположим, что банк с самого начала занимал дельта-нейтральную позицию. Выиграет он или проиграет от изменения валютного курса?
15.23. Используя паритет между европейскими опционами на покупку и продажу бездивидендных акций, установите зависимости между следующими величинами.
1) Коэффициенты дельта европейских опционов “колл” и “пут”.
2) Коэффициенты гамма европейских опционов “колл” и “пут”.
3) Коэффициенты вега европейских опционов “колл” и “пут”.
4) Коэффициенты тета европейских опционов “колл” и “пут”.
Упражнения
15.24. Проанализируйте однолетний европейский опцион на покупку акции, цена которой равна 30 долл., цена исполнения — 30 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность — 25% в год. Используя программу DerivaGem, вычислите цену опциона, а также его коэффициенты дельта, гамма, вега, тета и ро. Проверьте правильность значения коэффициента дельта, изменив цену акции до 30,1 долл, и вычислив заново цену опциона. Проверьте правильность значения коэффициента гамма, вычислив коэффициент дельта для ситуации, в которой цена акции равна 30,1 долл. Вычислите аналогичные вычисления для верификации коэффициентов вега, тета и ро. Используя функции программы De^vaGem Applications Builder, постройте графики зависимостей цены опциона, а также коэффициентов дельта, гамма, вега, тета и ро от цены акции.
15.25. Финансовая организация владеет следующим портфелем внебиржевых опционов на фунты стерлингов.
Тип опциона Позиция Дельта опциона Гамма опциона Вега опциона
“Колл” -1000 0,50 2,2 1,8
“Колл” -500 0,80 0,6 0,2
“Пут” -2 000 -0,40 1,3 0,7
“Колл” -500 0,70 1,8 1,4
На рынке доступен опцион с коэффициентом дельта, равным 0,6, коэффициентом гамма, равным 1,5, и коэффициентом вега, равным 0,8.
1) Какие позиции по опциону и фунтам стерлингов обеспечивают гамма-и дельта-нейтральность инвестиционного портфеля?
2) Какие позиции по опциону и фунтам стерлингов обеспечивают вега-и дельта-нейтральность инвестиционного портфеля?
15.26. Вернемся к ситуации, описанной в задаче 15.25. Допустим, что коэффициент дельта второго опциона равен 0,1, коэффициент гамма — 0,5, а коэффициент вега — 0,6. Как обеспечить дельта-, гамма- и вега-нейтральность инвестиционного портфеля?
15.27. Депозитный сертификат, предлагаемый банком, гарантирует, что доход, полученный инвестором на протяжении шести месяцев, будет 1) больше нуля и 2) равен 40% дохода, полученного благодаря изменению фондового индекса. Инвестор планирует вложить в эти сертификаты 100000 долл. Опишите выигрыш инвестора, интерпретируя сертификат как опцион на фондовый индекс. Выгодна ли эта сделка для инвестора, если безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, дивидендная доходность индекса равна 3% годовых, а волатильность индекса равна 25% в год?
15.28. Формула для вычисления цены европейского фьючерсного опциона “колл” Fo из главы 14 имеет вид
с = e-rr[F07V(di) - KN(d2')],
где
ln(F0/K) + <72T/2 =
Й1 — ---------,=------, Й9 — Й1 — <7V 1 ,
oVr
а К, г, Т и ст — цена исполнения, процентная ставка, время, оставшееся до истечения срока действия опциона, и волатильность соответственно.
1) Докажите, что FoN'(d\) — KN'(d2}.
2) Докажите, что коэффициент дельта цены опциона по отношению к цене фьючерса равен e~rT N(d{).
3) Докажите, что коэффициент вега цены опциона равен
FoVTN' (di)e~rT.
4) Докажите формулу для вычисления коэффициента ро для фьючерсного опциона “колл”, приведенную в конце раздела 15.9. Коэффициенты дельта, гамма, тета и вега фьючерсного опциона “колл” совпадают с соответствующими коэффициентами опциона на покупку акции с доходностью д, где величина д заменяется величиной г, а величина Sq — величиной Fq. Объясните, почему это утверждение перестает быть верным для коэффициента ро, характеризующего фьючерсный опцион “колл”.
15.29. Используя программу DerivaGem, проверьте справедливость формулы (15.7) для опциона, рассмотренного в разделе 15.1. (Подсказка-, программа DerivaGem вычисляет величину коэффициента тета в расчете на календарные дни, а в формуле (15.7) коэффициент тета указан в расчете на год.)
15.30. Используя функции программы DerivaGem Application Builder, воспроизведите табл. 15.2. (Обратите внимание на то, что в табл. 15.2 позиция по акции округлена до сотни штук.) Вычислите еженедельные значения коэффициентов гамма и тета, характеризующих эту позицию. Вычислите еженедельное изменение стоимости портфеля и проверьте справедливость , формулы (15.6). (Подсказка', программа DerivaGem вычисляет величину i коэффициента тета в расчете на календарные дни, а в формуле (15.6) коэффициент тета указан в расчете на год.)
Приложение 15.1. Разложение Тейлора
и параметры хеджирования
Разложение стоимости портфеля за короткий период времени в ряд Тейлора выявляет роль, которую играют разные коэффициенты, обозначаемые греческими буквами. Если волатильность базового актива считается постоянной, стоимость портфеля П является функцией, зависящей от цены актива S и времени t. Разложение в ряд Тейлора имеет следующий вид.
Атт dll дП 1д2П , 1 d2II 2 Э2ПЛ^Л
дп~ asAS + ~dtM+ 2ds^s +2Э/2Л/ + dsatASAt + '"' (1511)
где символы ДП и Д5 обозначают изменения функций П и S за короткий промежуток времени Д#. Дельта-хеджирование исключает из разложения первый член правой части. Второй член носит неслучайный характер. Третий член (имеющий порядок Д/) можно сделать равным нулю, обеспечив гамма- и дельта-нейтральность. Порядок остальных членов выше, чем порядок величины Д/.
Для дельта-нейтрального портфеля первый член в правой части разложения (15.1.1) равен нулю, так что, проигнорировав члены, порядок которых выше порядка величины Д#, можно получить следующую формулу.
дп = ед# + ^ГД52.
Это и есть формула (15.6).
Если волатильность базового актива носит неопределенный характер, функция П зависит от величин а, 5и t. Тогда равенство (15.1.1) принимает вид
А „ ап А ап Л ап л i а2п л r,2 i а2п л 2
ДП = + ТГ~А<7 + + о AS + оТГУАбТ
dS да dt. 2 dSz 2 daz
где символ Дет обозначает изменение величины о за время Д#. В таком случае дельта-хеджирование исключает первый член в правой части разложения. Второй член разложения исключается за счет мер, направленных на обеспечение вега-нейтральности портфеля. Третий член является неслучайным. Четвертый член исключается за счет гарантий гамма-нейтральности пакета. Другие греческие символы можно определить с помощью членов разложения более высокого порядка.
“Улыбки волатильности”
Насколько близки теоретические цены опционов, вычисленные по формулам Блэка-Шоулза, к реальным? Действительно ли трейдеры используют формулы Блэка-Шоулза для определения цен опционов? Являются ли распределения цен активов на самом деле логнормальными? Какие исследования необходимо провести, чтобы убедиться в правильности формул Блэка-Шоулза? Ответы на эти вопросы изложены ниже. В главе показано, что на практике трейдеры используют формулы Блэка-Шоулза немного не так, как это предполагали их первооткрыватели, поскольку волатильность цен опционов может зависеть от цены акции и времени, оставшегося до истечения срока опциона.
График подразумеваемой волатильности стоимости опциона, зависящей от цены акции, называется улыбкой волатильности (volatility smile). В главе приведены примеры улыбок волатильности, которые используют трейдеры на фондовом и валютном рынках. Кроме того, в главе описываются взаимосвязь между “улыбкой волатильности” и распределением риск-нейтральных вероятностей, характерных для фьючерсных цен, а также причины, по которым трейдеры допускают зависимость волатильности от срока действия опционов. Затем показано, как с помощью матрицы волатильности можно вычислить цену опциона. В заключительной части главы приведен обзор научных работ, в которых исследовалась корректность формул Блэка-Шоулза.
16.1 Еще раз о паритете опционов “колл” и “пут”
Как указано в главе 8, паритет опционов “колл” и “пут” представляет собой удобный инструмент анализа улыбок волатильности. Напомним, что между ценами европейских опционов “колл” с и “пут” р существует следующая зависимость.
p+Soe-gT = с + Ке~гТ. (16.1)
Опционы “колл” и “пут” имеют одинаковые цены исполнения К и срок действия Т. Переменная Sq представляет собой текущую стоимость актива, г — безрисковая процентная ставка на период Т, a q — доходность актива.
Главной особенностью паритета опционов “колл” и “пут” является то, что он основан на относительно простом предположении об отсутствии арбитражных возможностей. При его доказательстве не использованы никакие предположения о будущем распределении цен актива. Иначе говоря, это соотношение остается истинным, и когда цены актива имеют логнормальное распределение, и когда они имеют другое распределение.
Обозначим через pbs и cbs цены европейских опционов “пут” и “колл”, вычисленные с помощью модели Блэка-Шоулза при конкретном значении волатильности, a pmkt и cmkt — рыночные цены этих опционов. Поскольку модель Блэка-Шоулза основана на паритете европейских опционов “колл” и “пут”, должно выполняться следующее равенство.
Pbs + Soe~qT = cbs + Ke~rT.
Поскольку это условие распространяется и на рыночные цены, имеем
Pmkt "Ь *5ое = Cmkt "Г
Вычитая второе равенство из первого, получаем, что
PBS ~ Pmkt — CBS ~ C-mkt- (16.2)
Отсюда следует, что ошибки модели Блэка-Шоулза при оценке европейских опционов “пут” и “колл”, имеющих одинаковые цены исполнения и срок действия, равны между собой.
Допустим, что подразумеваемая волатильность стоимости опциона “пут” равна 22%. Это значит, что если в модели Блэка-Шоулза используется волатильность, равная 22%, то pbs — Pmkt- Из равенства (16.2) следует, что при этих условиях cbs = Cmfct- Таким образом, подразумеваемая волатильность цены опциона “колл” также равна 22%. Этот аргумент показывает, что подразумеваемая волатильность европейского опциона “колл” всегда совпадает с подразумеваемой волатильностью европейского опциона “пут”, если их цены исполнения и сроки действия одинаковы. Существует и другой способ доказательства этого утверждения. Он использует тот факт, что при одинаковых ценах исполнения и сроках действия опционов правильное значение волатильности, которое необходимо в модели Блэка-Шоулза для оценки европейского опциона “колл”, всегда должно совпадать с волатильностью, на основе которой производится оценка европейского опциона “пут”.
Для американского опциона это утверждение носит приближенный характер. Таким образом, зависимости между подразумеваемой волатильностью и ценой исполнения, а также между подразумеваемой волатильностью и сроком действия одинаково справедливы как для опционов “колл”, так и для опционов “пут”.
Пример 16.1
Курс австралийского доллара равен 0,60 долл. США. Безрисковая процентная ставка в США равна 5%, а в Австралии — 10% годовых. Рыночная цена однолетнего европейского опциона на покупку австралийского доллара с ценой исполнения 0,59 долл. США равна 0,0236. Вычисления, выполненные с помощью программы DerivaGem, показывают, что подразумеваемая волатильность стоимости опциона “колл” равна 14,5%. Для того чтобы исключить арбитражные возможности, необходимо применить паритет (16.1), где параметр q равен иностранной безрисковой процентной ставке. Следовательно, стоимость однолетнего европейского опциона “пут” р с ценой исполнения 0,59 долл. США удовлетворяет следующему соотношению
р + 0,60е“°’1Ох1 = 0,0236 + 0,59е“°’05х1,
так что р — 0,0419. Вычисление цены опциона “пут”, выполненное с помощью программы DerivaGem, показывает, что его подразумеваемая волатильность также равна 14,5%. Этот результат полностью соответствует приведенным выше рассуждениям. □
16.2 Валютные опционы
Типичная “улыбка волатильности”, используемая трейдерами при вычислении цен валютных опционов, приведена на рис. 16.1. Волатильность валютных опционов “без выигрыша” относительно невелика. Однако чем больший выигрыш или проигрыш приносит опцион, тем большей становится волатильность.
Рис. 16.1. “Улыбка волатильности” для валютных опционов
В приложении 16.1 показано, как определить распределение риск-нейтраль-ных вероятностей цены актива в момент завершения опциона с помощью “улыбки волатильности”. Такое распределение называется подразумеваемым (implied distribution). “Улыбка волатильности”, приведенная на рис. 16.1, соответствует
распределению вероятностей, изображенному сплошной линией на рис. 16.2. Логнормальное распределение, математическое ожидание и стандартное отклонение которого совпадают с математическим ожиданием и стандартным отклонением подразумеваемого распределения, на рис. 16.2 показано пунктирной линией. Легко видеть, что хвосты подразумеваемого распределения тяжелее хвостов логнормального распределения.1
Рис. 16.2. Подразумеваемое и логнормальное распределения стоимости валютного опциона
Для того чтобы убедиться, что рис. 16.1 и 16.2 не противоречат друг другу, рассмотрим опцион “колл” с большим проигрышем (deep-out-of-the money call option) и ценой исполнения К?. Этот опцион окупается, только если валютный курс превышает уровень К?. Анализ рис. 16.2 показывает, что вероятность этого события для подразумеваемого распределения выше, чем для логнормального. Следовательно, можно ожидать, что подразумеваемое распределение характеризуется более высокими ценами опциона. Это, в свою очередь, означает более высокую волатильность, т.е. именно то, что мы наблюдаем на рис. 16.1. Таким образом, при высоких ценах эти рисунки не противоречат друг другу. Рассмотрим теперь валютный опцион с большим проигрышем и относительно низкой ценой исполнения К\. Этот опцион окупается, только если валютный курс падает ни-
1 Это явление называется эксцессом (kurtosis). Обратите внимание также на то, что, кроме более тяжелых хвостов, подразумеваемое распределение имеет более высокий пик. Следовательно, для валютного курса, характеризующегося подразумеваемым распределением, как малые, так и большие изменения более вероятны, чем соответствующие колебания валютного курса, имеющего логнормальное распределение, а умеренные изменения, наоборот, менее вероятны.
же уровня К\. Анализ рис. 16.2 показывает, что вероятность этого события для подразумеваемого распределения, как и прежде, выше, чем для логнормального. Следовательно, можно ожидать, что подразумеваемое распределение характеризуется более высокими ценами опциона, а значит, и более высокой волатильностью. Это в точности совпадает с тем, что мы наблюдаем на рис. 16.1.
Эмпирические результаты
Проведенный выше анализ показывает, что применение “улыбки волатильности” при оценке валютных опционов в сочетании с логнормальным распределением приводит к недооценке вероятности экстремальных изменений валютного курса. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим ежедневные колебания двенадцати валютных курсов в течение десятидневного периода. Для начала мы вычислили стандартное отклонение ежедневных относительных изменений каждого из валютных курсов. Затем мы отметили, как часто фактическое относительное изменение превышало одно стандартное отклонение, два стандартных отклонения и т.д. В заключение, мы определили, как часто относительные изменения имели нормальное распределение. (Из логнормальной модели следует, что относительные изменения на протяжении одного дня должны иметь распределение, очень близкое к нормальному.) Результаты приведены в табл. 16.1.2
Таблица 16.1. Процентное количество дней, в течение которых валютный курс отклонялся от среднего на одно, два,..., шесть стандартных отклонений (с.о.)
Реальные значения Логнормальная модель
> 1 c.o. 25,04 31,73
> 2 c.o. 5,27 4,55
> 3 c.o. 1,34 0,27
> 4 c.o. 0,29 0,01
> 5 c.o. 0,08 0,00
> 6 c.o. 0,03 0,00
Доля дней, в течение которых изменения валютного курса превышали три стандартных отклонения, равна 1,34%. В соответствии с логнормальной моделью, доля таких дней должна быть равной 0,27%. Доли дней, в течение которых
2Эта таблица приведена в работе Hull J. С. and White A. Value at Risk When Daily Changes in Market Variables Are Not Normally Distributed // Journal of Derivatives, 5, no. 3 (Spring 1998). — P. 9-19.
изменения валютного курса превышали четыре, пять и шесть стандартных отклонений, равны 0,29%, 0,08% и 0,03% соответственно. В соответствии с логнормальной моделью, таких дней вообще не должно быть. Таким образом, эта таблица является явным доказательством существования тяжелых хвостов распределения и “улыбки волатильности”.
Пример из деловой практики 16.1. Извлечение прибыли из валютных опционов
Предположим, что большинство участников рынка считают, что обменные курсы имеют логнормальное распределение. При оценке всех опционов на конкретный обменный курс им было бы удобно использовать одну и ту же волатильность. Только что мы провели анализ табл. 16.1 и выяснили, что предположение о логнормальном распределении валютных курсов выполняется далеко не всегда. Что же делать?
Ответ заключается в следующем. Необходимо купить опцион “колл” с большим проигрышем и опционы “пут” на разные валюты и ждать. Эти опционы относительно недороги, и часть опционов, которые будут закрыты почти без выигрыша, больше, чем предсказывает логнормальная модель. Текущая стоимость выигрыша в среднем будет намного больше стоимости опционов.
В середине 1980-х годов несколько трейдеров знали о тяжелых хвостах вероятностных распределений обменных курсов. Все остальные думали, что логнормальное распределение, принятое в модели Блэка-Шоулза, является вполне приемлемым. Информированные трейдеры следовали стратегии, описанной выше, — и заработали много денег. Однако в конце 1980-х годов все поняли, что при оценке валютных опционов необходимо учитывать “улыбку волатильности”, и возможность извлекать прибыль за счет тяжелых хвостов распределений обменных курсов исчезла.
Причины “улыбки волатильности” валютных опционов
Почему валютный курс не подчиняется логнормальному распределению? Для того чтобы цена актива имела логнормальное распределение, необходимо соблюдение двух условий.
1. Волатильность актива является постоянной.
2. Цена актива изменяется гладко, без скачков.
На практике валютный курс не соответствует ни одному из этих условий. Волатильность валютного курса далека от постоянной, сам он часто демонстрирует скачки.3 Все это приводит к тому, что экстремальные изменения курса проявляются чаще, чем ожидалось.
3Эти частые скачки являются реакцией на действия центральных банков.
Влияние непостоянства волатильности и скачков на цену опциона зависит от срока его действия. С одной стороны, при увеличении срока действия опциона относительное влияние переменной волатильности на его цену увеличивается, при этом выразительность “улыбки волатильности”, обусловленной ее изменчивостью, уменьшается. С другой стороны, по мере увеличения срока действия опциона относительное влияние скачков курса на цену и выразительность “улыбки волатильности” также уменьшается. Если проанализировать долгосрочные фондовые опционы, легко обнаружить, что скачки курса акций “сглаживаются”, т.е. распределение курса акций, испытывающего скачки, и распределение курса акций, изменяющегося гладко, практически совпадают.
16.3 Опционы на акции
“Улыбка волатильности”, которую трейдеры используют для вычисления стоимости опционов на акции (как на отдельные акции, так и на фондовые индексы), приведена на рис. 16.3. Иногда ее называют перекосом волатильности (volatility skew). При увеличении цены акции волатильность уменьшается. Волатильность, используемая для оценки опционов с низкой ценой исполнения (т.е. опционов “пут” с большим проигрышем (deep-out-of-the-money put) и опционов “колл” с большим выигрышем (deep-in-the-money call)), значительно выше волатильности, используемой для оценки опционов с высокой ценой исполнения (т.е. опционов “пут” с большим выигрышем (deep-in-the-money put) и опционов “колл” с большим проигрышем (deep-out-the-money call)).
“Улыбка волатильности” для опционов на акции соответствует подразумеваемому распределению вероятностей, изображенному на рис. 16.4 сплошной линией. Логнормальное распределение, математическое ожидание и стандартное отклонение которого совпадают с математическим ожиданием и стандартным отклонением подразумеваемого распределения, на рис. 16.2 показано пунктирной линией. Легко видеть, что левый хвост подразумеваемого распределения тяжелее левого хвоста логнормального распределения, а правый хвост — легче.
Для того чтобы убедиться, что рис. 16.3 и 16.4 не противоречат друг другу, рассмотрим опционы с большим проигрышем. Анализ рис. 16.4 показывает, что при использовании подразумеваемого распределения стоимость опциона с большим проигрышем и ценой исполнения К% меньше стоимости соответствующего опциона, цена которого вычислена на основе предположения о логнормальном распределении. Это объясняется тем, что такой опцион окупается, только если его цена превышает уровень К2, а вероятность этого события при подразумеваемом распределении меньше, чем при логнормальном. Следовательно, использование подразумеваемого распределения приводит к недооценке стоимости опциона. Это, в свою очередь, означает более низкую подразумеваемую волатильность,
Рис. 16.4. Подразумеваемое и логнормальное распределения стоимости опциона на акции
т.е. именно то, что мы наблюдаем на рис. 16.3. Рассмотрим теперь валютный опцион с большим проигрышем и ценой исполнения К±. Этот опцион окупается, только если цена акции падает ниже уровня К\. Анализ рис. 16.3 показывает, что вероятность этого события для подразумеваемого распределения выше, чем для логнормального. Следовательно, можно ожидать, что подразумеваемое распределение характеризуется более высокими ценами опциона, а значит, и более
высокой волатильностью. Это в точности совпадает с тем, что мы наблюдаем на рис. 16.3.
Объяснение “улыбки волатильности” опционов на акции
Одной из возможных причин “улыбки волатильности” опционов на акции является наличие левереджа. Если стоимость акций компании падает, левередж (доля заемных средств — Примеч. ред.) компании возрастает. В результате волатильность цены акции увеличивается, делая возможным еще более низкие цены. Если же стоимость акций растет, левередж падает. В результате волатильность уменьшается, делая более высокую цену менее вероятной. Эти аргументы показывают, что волатильность акций является убывающей функцией, зависящей от их стоимости, что соответствует рис. 16.3 и 16.4.
Пример из деловой практики 16.2. Крахофобия
Следует подчеркнуть, что зависимость, представленная на рис. 16.3, наблюдается только после краха в октябре 1987 года. До этого времени подразумеваемая волатильность намного меньше зависела от цены акции. Это позволило Марку Рубинштейну (Mark Runinstein) предположить, что одной из причин такой “улыбки волатильности” является “крахофобия”. Трейдеры боятся повторения (ноябрьских событий 1987 года и соответственно оценивают опционы.
Эта гипотеза подтверждается некоторыми эмпирическими данными. Например, падение индекса S&P 500 объясняется кручением “улыбки волатильности”. Как только рынок падает (растет), перекос на рис. 16.3 становится более (менее) ярко выраженным.
16.4 Временная структура волатильности и поверхности волатильности
Кроме “улыбки волатильности”, при оценке опционов трейдеры используют временную структуру волатильности. Это значит, что волатильность, используемая для оценки опциона “без выигрыша”, зависит от срока действия опциона. Если ретроспективные значения краткосрочной волатильности невелики, считается, что волатильность возрастает по мере увеличения срока действия опциона. Это объясняется тем, что в этой ситуации трейдеры ожидают увеличения волатильности. Если же ретроспективные значения краткосрочной волатильности велики, считается, что волатильность убывает по мере увеличения срока действия опциона. Это объясняется тем, что в этой ситуации трейдеры ожидают уменьшения волатильности.
Поверхности волатильности объединяют “улыбки волатильности” и ее временную структуру. Это позволяет табулировать волатильность и оценивать опци
он с учетом произвольной цены исполнения и любого срока действия. Пример поверхности волатильности, используемой при оценке валютных опционов, показан в табл. 16.2.
Таблица 16.2. Поверхность волатильности
Цена исполнения
0,90 0,95 1,00 1,05 1,10
1 месяц 14,2 13,0 12,0 13,1 14,5
3 месяца 14,0 13,0 12,0 13,1 14,2
6 месяцев 14,1 13,3 12,5 13,4 14,3
1 год 14,7 14,0 13,5 14,0 14,8
2 года 15,0 14,4 14,0 14,5 15,1
5 лет 14,8 14,6 14,4 14,7 15,0
Одним из измерений табл. 16.2 является цена исполнения, а другим — срок действия опциона. В ячейках таблицы записаны значения подразумеваемой волатильности, вычисленные по модели Блэка-Шоулза. Ячейки таблицы, соответствующие опционам, о которых существуют надежные данные, можно заполнить результатами непосредственных вычислений. Остальные значения вычисляются с помощью линейной интерполяции.
При оценке нового опциона финансисты ищут соответствующее значение в таблице волатильности. Например, при вычислении цены девятимесячного опциона с ценой исполнения 1,05 долл., финансист должен интерполировать волатильность между 13,4 и 14,0%. В результате, она оказывается равной 13,7%. Именно это значение следует подставить в формулу Блэка-Шоулза (или использовать в модели биномиального дерева, которая будет рассмотрена в главе 18).
Форма “улыбки волатильности” зависит от срока действия опциона. Как показано в табл. 16.2, при увеличении срока действия опциона выразительность “улыбки волатильности” падает. Пусть Т — время, оставшееся до завершения опциона, a Fo — форвардная цена актива. Некоторые финансисты утверждают, что подразумеваемая волатильность должна зависеть от величины
1 , к
—р= ' n \/Т Fo а не от цены исполнения К. В этом случае зависимость “улыбки волатильности” от времени, оставшегося до истечения срока действия опциона, становится намного слабее.4
4Обсуждение этого подхода см. в работе Natenberg S. Option pricing and Volatility: Advanced Trading Strategies and Techniques, 2nd edn. — McGraw-Hill, New York, 1994; Tompkins R. Options Analysis: A State of the Art Guide to Options Pricing. — Irwin, Burr Ridge, IL, 1994.
Влияние модели
Насколько велика роль модели ценообразования, если трейдеры готовы для каждого опциона использовать разные значения волатильности? Отвечая на этот вопрос, следует заметить, что модель Блэка-Шоулза представляет собой не более чем сложный инструмент интерполяции, гарантирующий правильное вычисление цены опциона по рыночным ценам других активно котируемых опционов. Если трейдеры прекратят использовать модель Блэка-Шоулза и переключатся на другую правдоподобную модель, то поверхность и форма “улыбки волатильности” изменятся. Однако ощутимого изменения рыночных цен вследствие этого ожидать, вероятно, не следует.
16.5 Греческие буквы
“Улыбка волатильности” усложняет вычисление коэффициентов, обозначаемых греческими буквами. В работе Дермана (Derman) описано большое количество режимов волатильности и эмпирических правил, которыми пользуются трейдеры.5 Простейшее правило называется правилом жесткого страйка (sticky strike rule). Оно предполагает, что подразумеваемая волатильность опциона остается постоянной на протяжении двух последовательных дней. Это значит, что правила вычисления коэффициентов на основе предположений Блэка-Шоулза остаются корректными, если в качестве волатильности используется текущая подразумеваемая волатильность.
Более сложное правило называется правилом жесткой дельты (sticky delta rule). Оно предполагает, что зависимость цены опциона от величины S/К, которую мы наблюдаем сегодня, будет выполняться и завтра. Изменение цены базового актива должно приводить к изменению подразумеваемой волатильности опциона, чтобы отразить изменение прибыльности или убыточности опциона (т.е. насколько большой выигрыш или проигрыш он приносит своему владельцу). Если принять правило жесткой дельты, формулы для вычисления коэффициентов из главы 15 перестают работать. Например, коэффициент дельта опциона “колл” должен вычисляться по формуле
9cpg &CBS 9&imp
dS doimp dS
где cbs — йена опциона, вычисленная по формуле Блэка-Шоулза и представляющая собой функцию от цены актива S и подразумеваемой волатильности <лгтг. Рассмотрим влияние этой формулы на коэффициент дельта, характеризующий опцион на покупку акций. Анализ рис. 16.3 показывает, что при увеличении цены
5См. Derman Е. Regimes of Volatility. — Risk, April, P. 54-59.
исполнения К волатильность убывает. Следовательно, при увеличении параметра S/К волатильность возрастает. Таким образом, в модели, основанной на правиле жесткой дельты, при увеличении цены актива волатильность возрастает, т.е.
&Gimp р
В результате коэффициент дельта оказывается больше соответствующего значения, вычисленного по модели Блэка-Шоулза.
Оказывается, правила жест кого страйка и жесткой дельты не позволяют разработать внутренне непротиворечивую модель (за исключением ситуаций, когда “улыбка волатильности” представляет собой горизонтальный график для всех сроков действия опционов). Модель, которая полностью соответствует “улыбке волатильности”, называется моделью подразумеваемой волатильности (implied volatility function model), или моделью подразумеваемого дерева (implied tree model). Он рассматриваются в главе 24.
На практике многие банки стремятся минимизировать риски, связанные с наблюдаемыми колебаниями поверхности волатильности. Для идентификации таких колебаний используется метод главных компонентов, рассматриваемый в главе 18.
16.6 Ситуация, в которой допускается один большой скачок
Допустим, что текущая цена акции равна 50 долл., а через некоторое время ожидается поступление важных новостей, в зависимости от которых цена акции либо увеличится, либо уменьшится на 8 долл. (Например, через определенное время должен быть объявлен результат переговоров о поглощении компании или приговор по крупному судебному иску.) В результате через три месяца распределение возможных значений цены акции может представлять собой смесь двух логнормальных распределений, первое из которых соответствует благоприятным новостям, а второе — неблагоприятным. Эта ситуация изображена на рис. 16.5. На нем сплошной линией изображена смесь двух логнормальных распределений, описывающих вероятность цены акции через три месяца, а пунктирной — логнормальное распределение с тем же математическим ожиданием и стандартным отклонением.
Истинное распределение вероятностей является бимодальным (и совершенно не логнормальным). Удобным способом исследовать влияние бимодального распределения цен акций на стоимость опционов является метод, основанный на предположении, что это распределение имеет экстремальный вид и является биномиальным. Для этого следует сделать следующее.
Рис. 16.5. Результат отдельного крупного скачка: сплошной линией изображено истинное распределение, а пунктирной — логнормальное
Цена акции
Предположим, что цена акции равна 50 долл, и через месяц может стать равной либо 42, либо 58 долл. Допустим также, что безрисковая процентная ставка равна 12%. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 16.6. Опционы можно оценить с помощью биномиальной модели, описанной в главе И. В данном случае и = 1,16, d = 1,0101 и р = 0,5314. Результаты оценки разных опционов приведены в табл. 16.3. В первом столбце приведены альтернативные цены исполнения, во втором — цены одномесячных европейских опционов “колл”, в третьем — цены одномесячных европейских опционов “пут”, а в четвертом — значения подразумеваемой волатильности. (Как показано в разделе 16.1, подразумеваемая волатильность европейского опциона “пут” совпадает с подразумеваемой волатильностью европейского опциона “колл”, если эти опционы имеют одинаковые цены исполнения и сроки действия.) “Улыбка волатильности” этих опционов приведена на рис. 16.7. Поскольку по мере увеличения проигрыша или выигрыша значения волатильности опционов уменьшаются, эта линия больше напоминает гримасу
Рис. 16.6. Изменение цены акции за один месяц
Рис. 16.7. “Улыбка волатильности” в ситуации, описанной в табл. 16.3
недовольства (“frown”), а не “улыбку”, характерную для валютных опционов. Волатильность, обусловленная опционом с ценой исполнения, равной 50 долл., завышает стоимость опциона с ценой исполнения 44 или 56 долл.
Таблица 16.3. Значения подразумеваемой волатильности для биномиального распределения
Цена исполнения, долл. Цена опциона “колл”, долл. Цена опциона “пут”, долл. Подразумеваемая волатильность, %
42 8,42 0,00 0,0
44 7,37 0,93 58,8
46 6,31 1,86 66,6
48 5,26 2,78 69,5
50 4,21 3,71 69,2
52 3,16 4,64 66,1
54 2,10 5,57 60,0
56 1,05 6,50 49,0
58 0,00 7,42 0,0
Резюме
Модель Блэка-Шоулза и ее модификации основаны на предположении, что распределение вероятных значений стоимости базового актива в будущий момент времени является логнормальным. Однако трейдеры не рассчитывают на это. Они предполагают, что распределение вероятных значений цены акций, по сравнению с логнормальным распределением, имеет более тяжелый левый хвост и более легкий правый. Кроме того, они считают, что распределение вероятных значений валютного курса имеет более тяжелые хвосты, чем логнормальное распределение.
Чтобы учесть отсутствие логнормальности, трейдеры используют “улыбки волатильности” — зависимости между подразумеваемой волатильностью и ценой исполнения. Для опционов на акции “улыбки волатильности”, как правило, имеют перекос вниз. Это значит, что проигрышные опционы на продажу и выигрышные опционы на покупку имеют высокую подразумеваемую волатильность, а проигрышные опционы “колл” и выигрышные опционы “пут” — низкую. Для валютных опционов “улыбка волатильности” является U-образной. Это значит, что опционы “колл” “с большим проигрышем” и опционы “пут” “с большим выигрышем” имеют более высокую подразумеваемую волатильность, чем опционы “без выигрыша”.
Кроме того, часто трейдеры используют временную структуру волатильности. Подразумеваемая волатильность опциона зависит от срока его действия. Сочетание “улыбки волатильности” и временной структуры волатильности образует поверхность волатильности. Она представляет собой функцию, зависящую от цены исполнения и времени, оставшегося до его завершения.
Дополнительная литература
Bakshi G., Cao С. and Chen Z. Empirical Performance of Qltemative Option Pricing Models I I Journal of Finance, 52, no. 5 (December 1997). — P. 2004-2049.
Bates D. C. Post-’87 Crash Fears in th S&P Futures Market // Journal of Econometrics, 94 (lanuaiy/February 2000). — P. 181-238.
Derman E. Regimes of Volatility // Risk, April 1999. — P. 54-59.
Ederington L. H. and Guan W. Why are Those Options Smiling // Journal of Derivatives, 10, 2 (2002). - P. 9-34.
Jackwerth J. C. and Rubinstein M. Recovering Probability Distributions from Option Prices // Journal of Finance, 51 (December 1996). — P. 1611-1631.
Lauterbach B. and Schultz P Pricing Warrants: An Empirical Study of the Black-Scholes Model and Its Altematives//Joumal of Finance, 4, no. 4 (September 1990). -P. 1181-1210.
Melick W. R. and Thomas С. Р Recovering an Asset’s Implied Probability Function from Option Prices: An Application to Crude Oil during the Gulf Crisis // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 32, no. 1 (March 1997). — P. 91-115.
Rubinstein M. Nonparametric Tests of Alternative Option Pricing Models Using All Reported Trades and Quotes on the 30 Most Active СВОЕ Option Classes from August 23,1976 through August 31,1978 // Journal of Finance, 40 (June 1985). — P. 455-480.
Rubinstein M. Implied Binomial Trees // Journal of Finance, 49, 3 (July 1994). — P. 771-818.
Xu X. and Taylor S. J. The Term Structure of Volatility Implied by Foreign Exchange Options // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 29 (1994). — P. 57-74.
Вопросы и задачи
16.1. Опишите поведение подразумеваемой волатильности в следующих условиях.
1) Оба хвоста распределения вероятных значений цены акции легче хвостов логнормального распределения.
2) Правый хвост тяжелее, а левый — легче, чем соответствующие хвосты логнормального распределения.
16.2. Опишите “улыбку волатильности” опционов на акции.
16.3. Какую “улыбку волатильности” обусловливают резкие изменения цен базового актива? Какая из “улыбок волатильности” имеет более выраженный характер: у двухлетнего или трехмесячного опциона?
16.4. Предположим, что европейские опционы “колл” и “пут” имеют одинаковые цены исполнения и сроки действия. Подразумеваемая волатильность опциона “колл” равна 30%, а подразумеваемая волатильность опциона “пут” — 25%. Какую сделку следует заключать?
16.5. Объясните подробно, почему распределение с более тяжелым левым хвостом и менее тяжелым правым хвостом, по сравнению с логнормальным распределением, обусловливает “улыбку волатильности”, направленную вниз.
16.6. Рыночная цена европейского опциона “колл” равна 3,00 долл., а его теоретическая цена, вычисленная по модели Блэка-Шоулза, — 3,50 долл. Цена европейского опциона “пут” с той же ценой исполнения и временем, оставшимся до завершения, равна 1,00 долл. Какой должна быть рыночная цена этого опциона? Аргументируйте свой ответ.
16.7. В чем проявляется “крахофобия”?
16.8. Текущая цена акции равна 20 долл. Завтра ожидаются новости, в зависимости от которых цена либо поднимется, либо упадет на 5 долл. Какие проблемы возникают в ходе применения модели Блэка-Шоулза для оценки одномесячных опционов на эти акции?
16.9. Какая “улыбка волатильности” характерна для шестимесячных опционов, если значения волатильности неизвестны, но при этом она положительно коррелирует с ценой акции?
16.10. Какие проблемы возникают при эмпирической проверке моделей ценообразования для фондовых опционов?
16.11. Допустим, что центральный банк допускает колебания валютного курса в диапазоне от 0,97 до 1,03 долл. Опишите поведение подразумеваемой волатильности валютного курса в этих условиях.
16.12. Опционные трейдеры иногда называют опционы “с большим проигрышем” опционами на волатильность (options on volatility). Почему они так называют эти опционы?
16.13. Цена исполнения европейского опциона на покупку акций определенной компании равна 30 долл., время, оставшееся до его завершения, — один год, а подразумеваемая волатильность — 30%. Цена исполнения европейского опциона на продажу акций этой компании равна 30 долл., время, оставшееся до его завершения, — один год, а подразумеваемая волатильность — 33%. Какие арбитражные возможности открываются перед трейдером? Правда ли, что арбитраж возможен только, если выполняется условие о логнормальности, лежащее в основе модели Блэка-Шоулза? Подробно аргументируйте свою точку зрения.
16.14. Допустим, что завтра будет оглашен приговор по важному иску к компании Microsoft. Текущая цена акции компании Microsoft равна 60 долл. Если решение будет принято в пользу компании Microsoft, цена акции резко вырастет до 75 долл. Если решение будет неблагоприятным, цена акции упадет до 50 долл. Чему равна риск-нейтральная вероятность благоприятного решения? Предположим, что волатильность акций компании Microsoft в течение шести месяцев после принятия благоприятного решения будет равна 25%, а после неблагоприятного решения — 40%. Используя программу DerivaGem, вычислите зависимость между подразумеваемой волатильностью и ценой исполнения шестимесячного европейского опциона на акции компании Microsoft в настоящий момент. Акции компании Microsoft не предусматривают выплату дивидендов. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 6%. Проанализируйте опционы “колл” с ценами исполнения, равными 30, 40, 50, 60, 70 и 80 долл.
16.15. Валютный курс в данный момент равен 0,8000 долл. Волатильность валютного курса равна 12%, а процентные ставки в обеих странах одинаковы. Используя предположение о логнормальном распределении вероятных значений валютного курса, оцените вероятность того, что валютный курс через три месяца будет 1) меньше 0,7000, 2) от 0,7000 до 0,75000, 3) от 0,7500 до 0,8000, 4) от 0,8000 до 0,8500, 5) от 0,8500 до 0,9000 и 6) больше 0,9000 долл. Используя “улыбку волатильности”, характерную для валютных рынков, определите слишком заниженную и слишком завышенную оценку.
16.16. Цена акции равна 40 долл. Подразумеваемая волатильность шестимесячного европейского опциона на покупку акций с ценой исполнения 30 долл, равна 35%. Подразумеваемая волатильность шестимесячного европейского опциона на продажу акций с ценой исполнения 50 долл, равна 28%. Шестимесячная безрисковая процентная ставка равна 5%. Выплаты дивидендов не ожидаются. Объясните, почему значения подразумеваемой волатильности цен обоих опционов отличаются друг от друга. Используя паритет опционов “колл” и “пут”, вычислите цены шестимесячного европейского опциона на продажу акций с ценами исполнения, равными 30 и 50 долл. Используя программу DerivaGem, вычислите подразумеваемую волатильность обоих опционов.
16.17. “Модель Блэка-Шоулза представляет собой инструмент для интерполяции цен.” Объясните смысл этого утверждения.
Упражнения
16.18. Акции компании продаются за четыре доллара. У компании нет неоплаченных долгов. Аналитик считает, что ликвидность компании равна не менее 300 000 долл. Неоплаченными остаются 100 000 акций. Какой вид имеет “улыбка волатильности”?
16.19. Через месяц компания ожидает решения по важному судебному иску. В данный момент цена акции равна 20 долл. Если решение будет благоприятным, цена акции через месяц вырастет до 24 долл. Если же решение будет неблагоприятным, цена акции через месяц упадет до 18 долл. Месячная безрисковая процентная ставка равна 8% годовых.
1) Чему равна риск-нейтральная вероятность благоприятного исхода?
2) Чему будет равна стоимость опциона на покупку акций через месяц, если цена исполнения равна 19, 20, 21, 22 и 23 долл.?
3) Используя программу DerivaGem, постройте “улыбку волатильности” для стоимости одномесячного опциона “колл”.
4) Убедитесь, что стоимость одномесячного опциона “пут” имеет такую же “улыбку волатильности”.
16.20. В настоящий момент фьючерсная цена равна 40 долл. Безрисковая процентная ставка равна 5%. Завтра должны поступить известия, в зависимости от которых волатильность цены за три месяца либо возрастет до 30%, либо упадет до 10%. Вероятность благоприятного исхода равна 60%, а неблагоприятного — 40%. Используя программу DerivaGem, вычислите “улыбку волатильности” для трехмесячного опциона.
16.21. На Web-сайте автора www. rotman. utoronto. ca/~hull хранятся данные о большом количестве валютных курсов. Выберите какую-нибудь валюту и постройте таблицу, аналогичную табл. 16.1.
16.22. На Web-сайте автора www. rotman. utoronto. ca/~hull хранятся данные о большом количестве фондовых индексов. Выберите какой-нибудь индекс и проверьте, что выброс фондового индекса от среднего значения на три стандартных отклонения вниз встречается чаще, чем выброс на три стандартных отклонения вверх.
16.23. Проанализируйте европейские опционы “колл” и “пут” с одной и той же ценой исполнения и временем, оставшимся до завершения. Покажите, что при увеличении волатильности от ai до за короткий период времени их стоимость изменяется на одну и ту же величину. (Подсказка-, используйте паритет опционов “колл” и “пут”.)
Приложение 16.1. Определение подразумеваемых риск-нейтральных распределений по “улыбкам волатильности”
Цена европейского опциона на покупку актива с ценой исполнения Ki и сроком действия Т равна
оо
c = e“rT j (ST — К) д (ST)dST, st=k
где г — безрисковая процентная ставка (считающаяся постоянной), St — цена актива в момент Т, а д — риск-нейтральная плотность вероятности цены актива St-Дифференцируя это выражение по переменной К, получаем
ос
^ = _е-т7 j g(ST)dST.
ST=K
Повторно дифференцируя его по переменной К, приходим к выводу, что
02с дК2
= е~гТд(К').
Отсюда следует, что плотность вероятности д вычисляется так.
д(К) = егТ
д2с дК2'
Этот результат, полученный Брееденом (Breeden) и Литценбергом (Litzenbergen) (1978)6, позволяет оценить риск-нейтральные распределения вероятностей на основе “улыбок волатильности”. Допустим, что q, С2 и сз — цены европейских опционов “колл” со сроком действия Т и ценами исполнения К — 3, К и К + 3 соответственно. Предполагая, что величина 3 мала, получаем следующую оценку плотности вероятности д.
rTci + сз - 2с2
е З2
6См. Breeden D. Т. and Litzenberger R.H. Prices of State-Contingent Claims Implicit in Option Prices // Journal of Business, 51 (1978) — P. 621-51.
Основные вычислительные
процедуры
В главе обсуждаются три вычислительные процедуры, которые можно использовать в ситуациях, когда точные формулы для определения цены дериватива неизвестны. В частности, рассматриваются биномиальные деревья, моделирование по методу Монте-Карло и конечно-разностные методы.
Моделирование по методу Монте-Карло обычно применяется для оценки производных ценных бумаг, когда размер выплат зависит от предыстории базовой переменной или от нескольких базовых переменных. Биномиальные деревья и конечно-разностные методы особенно полезны в ситуациях, когда владелец принимает решение о досрочном исполнении контракта. Кроме оценок деривативов, эти процедуры можно использовать при вычислении так называемых греков, т.е. коэффициентов дельта, гамма и вега.
Основные процедуры, рассматриваемые в главе, можно использовать для решения большинства практических задач, связанных с оценкой деривативов. Однако иногда их необходимо адаптировать к особым ситуациям, описанным в главе 24.
17.1 Биномиальные деревья
В главе 11 рассмотрено применение одно- и двухуровневых биномиальных деревьев для оценки европейских и американских опционов на бездивидендные акции. Кроме того, оценить европейские опционы можно с помощью формул Блэка-Шоулза и их модификаций, описанных в главах 13 и 14. Для американских опционов не существует аналитических методов вычисления цены.1 По этой причине для их оценки следует применять метод биномиальных деревьев.2
'Метод биномиальных деревьев и формулы Блэка-Шоулза основаны на одинаковых предположениях. Как и следовало ожидать, при увеличении количества временных шагов точность оценки европейского опциона по методу биномиальных деревьев сходится к ответу, полученному по формулам Блэка-Шоулза.
2Для оценки стоимости американских опционов были предложены приближенные аналитические формулы. Наиболее известной среди них является квадратичная аппроксимация. Описание этого подхода изложено на Web-сайте автора в техническом замечании 8.
Как указывалось в главе 11, для применения метода биномиальных деревьев срок действия опциона разбивается на большое количество маленьких временных интервалов длиной At. Допустим, что в начале каждого временного интервала цена акции равна S', а в конце — принимает одно из двух возможных значений: Su или Sd, где и > 1 и d < 1. Эта модель проиллюстрирована на рис. 17.1. Следовательно, изменение цены акции от S до Su означает рост, а от S до Sd — падение. Обозначим вероятность роста цены акции буквой р. Тогда вероятность падения цены акции равна 1 — р.
Рис. 17.1. Изменения цены акции за время At в биномиальной модели
Риск-нейтральная оценка
Принцип риск-нейтральной оценки, изложенный в главах 11 и 13, утверждает что опцион (или другой дериватив) можно оценить, основываясь на предположении, что мир является риск-нейтральным. Это значит, что при вычислении цены опциона можно принять следующие условия.
I. Ожидаемая доходность всех ценных бумаг, являющихся предметом сделок, зафиксирована на уровне безрисковой процентной ставки.
2. Будущие денежные потоки можно вычислить, применив к их ожидаемым величинам дисконтную ставку, равную безрисковой процентной ставке.
Считая, что эти условия выполняются, построим биномиальное дерево, описывающее изменения цены бездивидендной акции в риск-нейтральных условиях.
Определение параметров р, и и d
Параметры p,und должны правильно определять среднее значение и дисперсию изменения цены акции на протяжении временного интервала, длина которого равна At. Поскольку мы приняли предположение о риск-нейтральном мире, ожидаемая доходность актива равна безрисковой процентной ставке г. Предположим, что доходность актива равна q. В таком случае, ожидаемая капитальная прибыль
равна г - д. Следовательно, ожидаемое значение цены актива в конце временного интервала протяженностью At равно где S — цена акции в начале
интервала. Отсюда следует, что
5е(г-9)д* = pSu + ц _ p>)Sd, (17.])
т.е.
е(’"-9)Д* = рд + (1 — p)d. (17.2)
Если предположить, что цена акции описывается стохастическим процессом, введенным в разделе 13.4, то дисперсия относительного изменения цены акции за малый период времени протяженностью At равна <r2At. Поскольку дисперсия переменной Q равна E(Q2) — [E(Q)]2, а вероятности роста и падения цены акции с коэффициентами пропорциональности и и d равны р и 1 — р соответственно, имеет место следующее равенство.
ри2 + (1 — p)d2 — е2(г-9)д* = <72At.
Подставляя вместо параметра р формулу (17.2), сведем это равенство к такому виду.
e(r-9)4t(u _|_ _ ud _ e2(r-Q)At = ^2^ (17J)
Равенства (17.2) и (17.3) устанавливают два ограничения на параметры р, и и d. Третье условие, сформулированное Коксом, Россом и Рубинштейном, имеет сле-дующии вид?
1 и~ d'
Эти условия позволяют определить параметры р, и и d по формулам3 4
и = (17.5)
d = (17.6)
где
а = е(г-9)Д\ (17.7)
Параметр а иногда называется фактором роста (growth factor). Формулы (17.4)-(17.7) полностью соответствуют результатам, полученным в разделе 11.9.
3См. Сох J. С., Ross S. A. and Rubinstein М. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics, 7 (October 1979). — P. 229-263.
4Чтобы убедиться в этом, следует обратить внимание на то, что формулы (17.4) и (17.7) точно удовлетворяют условию (17.2). Экспоненциальную функцию ех можно разложить в ряд 1 + х + +х2/2+.... Отбрасывая члены, порядок которых превышает единицу, и применяя формулу (17.5), получаем, что и = 1 + ayfi 4- |<т2 At. Кроме того, из формулы (17.6) следует, что d = 1 — ay/t + + |cr2At. Следовательно, = 1 + 2(r — q)At. Подставляя это значение в равенство (17.3)
и отбоасывая члены, попядок котовых пвевышает елинипу. легко vfiennTRCH п его гппяпеппипостм
Дерево, описывающее изменения цены акции
Полное дерево, описывающее изменение цены акции в рамках биномиальной модели, изображено на рис. 17.2. В нулевой момент времени цена акции Sq известна. В момент Д< возможны два значения цены акции: Squ и Sod. В момент 2Д/ существуют три возможных значения цены акции: Sou2, So и Sod2 и т.д. Итак, в момент гД£ цена акции может принимать г + 1 возможных значений:
j — 0,1,..., г.
Рис. 17.2. Дерево, описывающее изменения цены акции
Обратите внимание на то, что соотношение и = 1/d используется при вычислении цены акции в каждом узле дерева, изображенного на рис. 17.2. Например, Sou2d = Sou. Кроме того, как увеличение цены акции с последующим падением, так и падение с последующим увеличением приводят к одному и тому же результату: возвращению цены акции к первоначальному значению.
Обратный обход дерева
Стоимость опционов вычисляется с помощью обратного обхода дерева, который начинается с одного из узлов дерева, соответствующих моменту Т. Стоимость опциона в момент Т известна. Например, цена опциона “пут” в этот момент равна
max (К — St, 0), а цена опциона “колл” — max(Sr — К, 0), где St — цена акции в момент Т, а К — цена исполнения. Поскольку мы приняли предположение о риск-нейтральном мире, стоимость опциона в каждом из узлов дерева, соответствующих моменту Т — At, представляет собой стоимость опциона, ожидаемую в момент Т, к которой применена ставка дисконта г, соответствующая интервалу времени продолжительностью At. Аналогично стоимость опциона в каждом из узлов дерева, соответствующих моменту Т — 2At, представляет собой стоимость опциона, ожидаемую в момент Г — At, к которой применена ставка дисконта г, соответствующая интервалу времени продолжительностью At. Если опцион является американским, в каждом из узлов необходимо проверить целесообразность дальнейшего владения опционом на протяжении времени At. Итак, пройдя все дерево от конца к началу, мы получим стоимость опциона в нулевой момент времени.
Пример 17.1
Рассмотрим пятимесячный американский опцион “пут” на бездивидендные акции при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, волатильность — 40% в год. Используя обычные обозначения, запишем эти условия в следующем виде: So = 50, К = 50, г = 0,10, а = 0,40 и Т — 0,4167. Разделим срок действия опциона на пять интервалов по месяцу каждый (= 0,0833 года) и построим биномиальное дерево. Тогда At = 0,0833, и по формулам (17.4)-(17.7) мы получим следующие результаты.
и = еал/Д4 = 1Д224, d = = 0,8909,
а = ег^ = 1.0084, р = —= 0,5073, и — d
1 - р = 0,4927.
Соответствующее биномиальное дерево показано на рис. 17.3. Каждому узлу этого дерева соответствуют два числа. Верхнее число означает цену акции, а нижнее — стоимость опциона. Вероятность роста цены акции всегда равна 0,5073, а вероятность его падения — 0,4927.
Цена акции в j-м узле (j = 0,1,... ,г), соответствующем моменту времени iAt (г = 0,1,..., 5), равна Sou3dl~3. Например, цена акции в узле А (г = 4, j — 1) (т.е. в узле, соответствующем росту цены акции в конце четвертого интервала времени) равна 50 х 1,1224 х 0,89093 = 39,69 долл.
Цены опционов в конечных узлах вычисляются по формуле max(K' — $г,0). Например, цена опциона в узле G равна 50,00 — 35,36 = 14,64. Цены опционов в предпоследних узлах вычисляются на основе цен опционов в конечных узлах. Мы предполагаем, что опционы в предпоследних узлах не были исполнены. Это значит, что цена опциона равна текущей стоимости цены опциона, ожидаемой на один шаг позже. Например, в узле Е цена опциона вычисляется
следующим образом
(0,5073 х 0 + 0,4927 х 5545)е-0,Юх0,0833 = 2;бб.
В то же время в узле А цена опциона вычисляется так:
(0,5073 х 5,45 + 0,4927 х 14)б4)е“°’10х0’0833 = 9,90.
Затем необходимо проверить, целесообразно ли досрочно исполнить опцион. В узле Е досрочное исполнение опциона сводит его стоимость к нулю, поскольку и цена акции, и цена исполнения равны 50 долл. Очевидно, лучше всего подождать. Таким образом, правильная стоимость опциона в узле Е равна 2,66 долл. В узле А ситуация выглядит иначе. Если опцион исполняется досрочно, его стоимость равна 50,00 — 39,69 = 10,31 долл. Эта величина больше 9,90 долл. Следовательно, в узле А опцион следует исполнить, а его правильная стоимость равна 10,31 долл.
Цены опциона в предыдущих узлах вычисляются аналогично. Следует подчеркнуть, что, даже если опцион оказывается “с выигрышем”, его досрочное исполнение целесообразно не всегда. Рассмотрим, например, узел В. Если бы опцион был исполнен досрочно, его стоимость составила бы 50,00 — 39,69 = = 10,31 долл. Однако если бы он не был исполнен, его цена оказалась бы равной
(0,5073 х 6,38 + 0,4927 х 14,64)е“°’10х0’0833 = 10,36 долл.
Таким образом, опцион в этом узле исполнять нецелесообразно, а его правильная цена равна 10,36 долл.
Выполнив обратный обход, приходим к выводу, что цена опциона в начальный момент времени равна 4,49 долл. Это и есть вычислительная оценка текущей стоимости опциона. На практике величина At должна быть меньше, а количество узлов — больше. Вычисления, выполненные с помощью программы DerivaGem для вариантов, в которых количество временных шагов равно 30, 50, 100 и 500, показывают, что цены опционов равны 4,263, 4,272, 4,278 и 4,283 долл. □
Алгебраическая интерпретация
Предположим, что срок действия американского опциона на продажу бездивидендных акций разделен на N подынтервалов длиной At. Будем обозначать j-й узел, соответствующий моменту zAt, следующим образом: (i, j), где 0 < г < N и 0 < j < г. Стоимость опциона в узле (z,;/) обозначим как fa j. Цена акции в узле (z,j) равна Поскольку стоимость американского опциона “пут”
в момент его завершения равна max(A" — St, 0), то
/zvj = шах(АГ — Sou^dN fa 0), j = 0,1,..., N.
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 50
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167
Рис. 17.3. Биномиальное дерево, построенное программой DerivaGem для американского опциона на продажу бездивидендных акций (пример 17.1)
Вероятность перехода из узла (z,J), соответствующего моменту времени ?'А/, в узел (г + 1, j + 1), соответствующий моменту времени (г + 1)Д/, равна р, а вероятность перехода из узла (г, у), соответствующего моменту времени гД£, в узел (г + 1, j), соответствующий моменту времени (г + 1)Д/, равна 1 - р. Если предположить, что досрочное исполнение исключено, риск-нейтральная оценка имеет следующий вид.
fij = е r^\pfi+l,j+i + (1 - p)/i+l,jL 0 < i N, 0 j < г.
Если учесть возможность досрочного исполнения опциона, стоимость /jj следует сравнивать с действительной стоимостью опциона. В этом случае оценка
выглядит так:
fi,j = шах К - S0u>(F~3, e~rAt[pfi+1J+1 + (1 -
Благодаря тому, что вычисления начинаются в момент Т и проводятся в обратном направлении, стоимость опциона в момент zAt учитывает возможность его досрочного исполнения не только в этот, но и во все предыдущие моменты.
Точная стоимость американского опциона “пут” вычисляется путем предельного перехода при At —> 0. На практике достаточно положить N = 30. Сходимость цены опциона в рассмотренном выше примере изображена на рис. 17.4. Этот график построен с помощью функции DerivaGem Application Builder.
5,00-
Цена опциона
4,80 -
3,80 -
3,60--
0
4,60-
4,40-
4,20 -
4,00-
Количество шагов
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Рис. 17.4. Сходимость цены опциона в примере 17.1, вычисленная с помощью функции DerivaGem Application Builder
Оценки греческих коэффициентов
Напомним, что коэффициент дельта, А, представляет собой скорость изменения его цены по отношению к изменению цены базового актива. Этот коэффициент можно вычислить как
А/
AS’
где AS — небольшое изменение цены акции, а А/ - соответствующее небольшое изменение цены опциона. Если цена акции в момент At равна Sou, то цена опциона равна fu, а если цена акции равна Sod, то цена опциона равна До. Это значит, что если At = Sou — Sod, то А/ = /ц — До- Следовательно, оценка коэффициента А в момент At равна
д = fn ~ f10
Sou — Sod
(17.8)
Чтобы определить коэффициент гамма, Г, отметим, что в нашем распоряжении есть две оценки коэффициента А в момент 2 At. Если S = ^(Squ2 + So) (на полпути между вторым и третьим узлами), то коэффициент дельта равен (/22- /2i)/(>Sow2 ~ So). Если S = ^(S'o + Sod2) (на полпути между первым и вторым узлами), то коэффициент дельта равен (/21 — До)/(«$Ь — Sod?). Разница между двумя значениями S равна h, где
h = O,5(Sou2 + SotZ2).
Коэффициент гамма представляет собой изменение коэффициента дельта, деленное на величину h.
г = ^22 - ~ М ~ 1^21 ~ ~ (17 9)
Эта процедура позволяет получить оценки коэффициента дельта в момент At и коэффициента гамма в момент 2At. На практике эта процедура используется и для вычисления оценок коэффициентов дельта и гамма в нулевой момент времени.5
Следующим параметром хеджирования, который можно вычислить непосредственно с помощью биномиального дерева, является коэффициент тета, 0. Он представляет собой скорость изменения цены опциона в зависимости от времени при условии, что все остальные параметры остаются неизменными. Если корень дерева соответствует нулевому моменту времени, оценка коэффициента 0 имеет следующий вид.
в= (17.10)
2At
Коэффициент вега, v, можно вычислить, сделав небольшое изменение волатильности Дет и построив новое дерево, позволяющее найти новую цену опциона. (Шаг по времени At следует оставить прежним.) В этом случае оценка коэффициента вега имеет вид
где / и f* — оценки стоимости опциона, вычисленные по исходному и новому дереву соответственно. Коэффициент ро вычисляется аналогично.
Пример 17.2
Вернемся к примеру 17.1. Из рис. 17.3 следует, что Дд = 6,96, а Дд = 2,16.
Формула (17.8) дает следующую оценку коэффициента дельта.
2'16-6'96 = -0.41.
56,12 - 44,55
5Если от оценок коэффициентов дельта и гамма не требуется большой точности, можно начать обход биномиального дерева в момент —2ДГ и предположить, что цена акции в этот момент равна So. В этом случае значение цены опциона вычисляется по трем разным значениям цены акции в нулевой момент времени.
Оценку коэффициента гамма можно получить по формуле (17.9), использовав значения в узлах В, С и F.
[(0,64 - 3,77)/(62,99 - 50,00)] - [(3,77 - 10,36)/(50,00 - 39,69)]
—————— _ 0,03.
Оценку коэффициента тета можно получить по формуле (17.10), использовав значения в узлах D и С.
3,77 - 4,49
-----------= —4,3 в год, 0,1667
или —0,012 в календарные сутки. Разумеется, эти оценки имеют лишь приближенный характер. По мере увеличения количества временных шагов их точность возрастает. При 50-ти шагах по времени программа DerivaGem дает следующие оценки коэффициентов дельта, гамма и тета соответственно: —0,415, 0,034 и —0,0117. Внося в параметры небольшие изменения и повторяя вычисления заново, можно получить оценки коэффициентов вега и ро: 0,123 и —0,072 соответственно. □
17.2 Использование биномиальных деревьев для оценки индексных, валютных и фьючерсных опционов
Как показано в главах 11 и 14, при оценке индексных, валютных и фьючерсных контрактов их можно считать активами с известной доходностью. В частности, доходность индексного опциона представляет собой дивидендную доходность портфеля акций, на основе которых вычисляется индекс, доходность иностранной валюты равна внешней безрисковой процентной ставке, а доходность фьючерсного контракта равна внутренней безрисковой процентной ставке. Следовательно, для оценки индексных, валютных и фьючерсных опционов с доходностью q можно применять метод биномиальных деревьев, соответствующим образом интерпретируя параметр q.
Пример 17.3
Рассмотрим четырехмесячный американский опцион на покупку индексного фьючерса при условии, что текущая фьючерсная цена равна 300 долл., безрисковая процентная ставка — 8% годовых, а волатильность индекса — 30% в год. Разделим срок действия опциона на четыре интервала по месяцу каждый и построим биномиальное дерево. Используя обычные обозначения, запишем эти условия в следующем виде: Fo = 50, К = 300, г = 0,08, о — 0,3 и Т = 0,3333 и At = 0,0833. Поскольку фьючерсный контракт эквивалентен акциям с доходностью г, в формуле (17.7) необходимо положить q = г. Следовательно, а = 1. Остальные пара-
метры имеют следующие значения.
и = = 10905,
р = ^—4 = 0,4784, и — а
d=- = 0,9170, и
1 - р = 0,5216.
Соответствующее биномиальное дерево, построенное с помощью программы DerivaGem, показано на рис. 17.5. (Верхний индекс означает фьючерсную цену, а нижний — цену опциона.) Оценочная стоимость опциона равна 19,16 долл. Для более точных вычислений необходимо уменьшить шаг по времени. При 50-ти шагах результат равен 20,18 долл., а при 100 шагах — 20,22. □
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 300
Discount factor per step = 0,9934
Time step, dt = 0,0833 years, 30,42 days
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333
Рис. 17.5. Биномиальное дерево, построенное программой DerivaGem для американского опциона на покупку индексного фьючерсного контракта (пример 17.3)
Пример 17.4
Рассмотрим однолетний американский опцион на покупку британского фунта стерлингов при условии, что текущий валютный курс равен 1,6000 долл., безрисковая процентная ставка в США — 8% годовых, безрисковая процентная ставка в Великобритании — 9% годовых, волатильность курса фунта стерлингов — 12% в год. Используя обычные обозначения, запишем эти условия в следующем виде: So = 1,61, К = 1,60, г = 0,08, rf = 0,09, а = 0,12, Т = 1,0. Разделим срок действия опциона на четыре интервала по три месяца каждый и построим биномиальное дерево с шагом At = 0,2500. В данном случае q = rf, и формула (17.7) приводит к следующему результату.
а = е(0,08-0,09)х0,25 = 09д75
Другие параметры, необходимые для построения биномиального дерева, прини-
мают следующие значения.
U = = 10б18;
р = ~—3 = 0,4642, и — а
d = - = 0,9418, и
1 - р = 0,5358.
Соответствующее биномиальное дерево, построенное с помощью программы DerivaGem, показано на рис. 17.6. (Верхний индекс обозначает курс валюты, а нижний индекс — стоимость опциона.) Оценочная стоимость опциона равна 0,0710 долл. (При 50-ти шагах по времени результат равен 0,0738 долл., а при 100 шагах — также 0,0738 долл.) □
17.3 Использование биномиальных деревьев для оценки акций, приносящих
дивиденды
Рассмотрим более сложную задачу — использование биномиальных деревьев для оценки акций, приносящих дивиденды. Как и в главе 13, слово дивиденд (dividend) в рамках нашего обсуждения будет обозначать уменьшение цены акции при наступлении даты выплаты дивидендов.
Известная дивидендная доходность
Если акция предусматривает однократную выплату дивидендов и ее дивидендная доходность (т.е. процентное отношение дивидендов к цене акции) известна, то биномиальное дерево примет форму, показанную на рис. 17.7. Анализ этого
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 1,6
Discount factor per step = 0,9802
Time step, dt = 0,2500 years, 91,25 days
Node Time:
0,0000 0,2500 0,5000 0,7500 1,0000
Рис. 17.6. Биномиальное дерево, построенное программой Deriva-
Gem для американского опциона на покупку валюты (пример 17.4)
дерева проводится, как показано выше. Если время At истекает до срока выплаты дивидендов, узлу приписывается стоимость акций
j = 0,1,... ,г,
где и и d — величины, определенные по формулам (17.5) и (17.6). Если время At истекает после срока выплаты дивидендов, узлу приписывается стоимость акций
S0(l - j=0,l,...,i,
где <5 — дивидендная доходность акций. Если уровень дивидендной доходности во время действия опционов несколько раз изменяется, анализ проводится аналогично. Если ёг — общая дивидендная доходность акций, соответствующая датам
выплаты дивидендов между нулевым моментом времени и моментом то узлы в момент ?'Д/. соответствуют значениям цены акции
S0(l - <5,
Sbu2(1-8)
Sb(1-8)
Sod2(1-6)
Рис. 17.7. Биномиальное дерево, построенное при вычислении стоимости опциона на акции, предусматривающие однократную выплату дивидендов с заранее известной доходностью
Sb</( 1-8)
Sod4(1 - 8)
Известный долларовый дивиденд
В некоторых ситуациях наиболее реалистичным является предположение, что заранее известен долларовый дивиденд по акции, а не ее дивидендная доходность. Если волатильность цены акции ст считается постоянной, дерево выглядит так, как показано на рис. 17.8. В этом случае слияние узлов не происходит, т.е. количество узлов, особенно при нескольких выплатах дивидендов, становится очень большим. Допустим, что акция предусматривает только одну выплату дивидендов, дата их выплаты т лежит между моментами fcAt и (к + 1)Д/,, а объем денежных выплат равен D. Если i к, то узлы дерева в момент ?'Д/ соответствуют значениям цены акции
Squ^-^ j = 0,
как и прежде. Если i = к+1, то узлы дерева соответствуют значениям цены акции
SouW-i-D, j = 0,1,... ,г.
Рис. 17.8. Биномиальное дерево, построенное при вычислении стоимости опциона на акции с заранее известной доходностью при условии, что волатильность является постоянной
Если i = к + 2, то узлы дерева соответствуют значениям цены акции
(Soujdi-1-j - D)u и - D)d,
где j = 0,1,..., i — 1, так что дерево состоит не из (г + 1)-го, а из 2г узлов. Если же i = к + т, то дерево состоит не из к + т + 2, а из т(к + 2) узлов.
Задачу можно упростить, предположив, как при анализе европейских опционов в разделе 13.12, что цена акции состоит из двух компонентов: неопределенной части и текущей стоимости всех будущих дивидендов, выплата которых осуществляется на протяжении срока действия опциона. Допустим, что, как и раньше, акция предусматривает только однократную выплату дивидендов в момент т и fcAt < т < (к + 1) At. Стоимость неопределенного компонента S* в момент At равна
S* — S, если iAt > т
и
S* = S - если iAt т,
где D — размер дивиденда. Обозначим через а* волатильность компонента S* и предположим, что величина ст* является постоянной.6 Параметры р, и и d можно вычислить по формулам (17.4)-(17.7), где величина а заменена волатильностью ст*. Биномиальное дерево для вычисления величины S* создается, как обычно. Добавляя к текущей цене акции, соответствующей каждому узлу дерева, текущую стоимость будущих дивидендов (если они предусмотрены), можно построить биномиальное дерево, позволяющее вычислить величину S. Допустим, что величина Sq представляет собой значение компонента S* в нулевой момент времени. В момент iAt узлы этого дерева соответствуют значениям цены акции
, j = 0,1,..., i,
если iAt < т, и
если iAt > т. Этот подход хорошо согласуется с методом оценки европейских опционов, изложенным в разделе 13.12. Кроме того, он допускает слияние узлов, так что в момент iAt дерево состоит из i + 1 узла. Этот метод можно легко обобщить на ситуацию, в которой акция предусматривает многократную выплату дивидендов.
Пример 17.5
Рассмотрим пятимесячный американский опцион на покупку акции, предусматривающей однократную выплату дивидендов в размере 2,06 долл, на протяжении срока действия этого опциона. Первоначальная цена акции равна 52 долл., цена исполнения — 50 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, волатильность цены — 40% в год, а срок выплаты дивидендов наступает через З1^ месяца.
Сначала построим дерево для вычисления компонента S*, т.е. цены акции, не превышающей текущей стоимости будущих дивидендов, выплата которых состоится на протяжении срока действия опциона. В начальный момент времени размер дивиденда равен
2,О6с”°’2917х0’1 = 2,00 долл.
Следовательно, первоначальное значение S* равно 50,00 долл. Предполагая, что 40%-ная волатильность относится к компоненту S*, приходим к выводу, что биномиальное дерево для его вычисления имеет вид, изображенный на рис. 17.3. (Это
6Как указывалось в разделе 12.13, с теоретической точки зрения величина ст* немного больше, чем ст — волатильность величины S. На практике использование подразумеваемой волатильности позволяет избежать необходимости различать параметры ст* и ст.
объясняется тем, что величина S* имеет то же первоначальное значение и ту же волатильность, что и цены акции, для которых построен рис. 17.3.) Добавление текущей стоимости дивидендов к каждому из узлов приводит к рис. 17.9, представляющему собой биномиальную модель для вычисления величины S. Как и на рис. 17.3, вероятность роста цены акции в каждом узле равна 0,5073, а вероятность ее падения — 0,4927. Осуществляя обратный обход биномиального дерева, получаем, что оценочная стоимость опциона равна 4,44 долл. (При 50-ти шагах по времени результат равен 4,202 долл., а при 100 шагах — 4,212 долл.) □
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167
Рис. 17.9. Биномиальное дерево, построенное программой DerivaGem для примера 17.5
Если опцион действует достаточно долгое время (скажем, три года и больше), более приемлемым является предположение, что известной является дивидендная, а не денежная доходность, поскольку последнюю нельзя считать одинаковой при любых ценах акций, которые могут быть зарегистрированы в будущем.7 Часто для удобства порядок начисления дивидендной доходности считают непрерывным. Следовательно, процедура оценки стоимости опциона на акцию с известной дивидендной доходностью совпадает с процедурой оценки опциона на фондовый индекс.
Метод контрольной величины
Для оценки американских опционов можно применить метод контрольной величины (control variate techniques).8 В этом методе для вычисления стоимости американского опциона /д и стоимости соответствующего европейского опциона /е создается одно и то же дерево, а затем вычисляется по формулам Блэка-Шоулза цена европейского опциона f^s- Ошибка, сделанная при оценке стоимости европейского опциона с помощью биномиальной модели, предполагается равной ошибке, сделанной при оценке стоимости американского опциона с помощью той же модели. Тогда цена американского опциона равна
fA + fuS - /е-
Чтобы проиллюстрировать этот подход, рассмотрим рис. 17.10. На нем продемонстрирован процесс вычисления стоимости опциона, представленного на рис. 17.3, в предположении, что он относится к европейскому типу. Вычисленная цена равна 4,32 долл. Из формулы Блэка-Шоулза следует, что истинная стоимость европейского опциона равна 4,08 долл. Оценка стоимости американского опциона, полученная с помощью рис. 17.3, равна 4,49 долл. Следовательно, контрольная цена американского опциона равна
4,49 + 4,08 - 4,32 = 4,25 долл.
Точная оценка цены американского опциона, вычисленная по 100 временным шагам, равна 4,278 долл. Таким образом, метод контрольной величины действительно позволяет достичь высокой точности при вычислении стоимости американского опциона.
Фактически, метод контрольной величины предполагает использование биномиального дерева для вычисления разности между ценами европейского и амери-
7Кроме того, для долгосрочных опционов значение S* значительно меньше величины So, и оценки волатильности оказываются очень высокими.
8См. Hull J. and White A. The Use of the Control Variate Technique in Option Pricing // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 23 (September 1988). — P. 237-51.
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 50
Node Time:
0,0000 0,0833 0,1667 0,2500 0,3333 0,4167
Рис. 17.10. Биномиальное дерево, построенное программой DerivaGem для европейской версии опциона, представленного на рис. 17.3. В каждом узле верхнее число представляет собой цену акции, а нижнее — цену опциона
канского опционов, а не для вычисления стоимости самого американского опциона. Дальнейшее использование этого метода будет продемонстрировано позднее при описании метода Монте-Карло.
17.4 Альтернативные методы построения деревьев
Подход Кокса, Росса и Рубинштейна не является единственным способом построения биномиального дерева. Вместо ограничения и = 1/d в уравнениях (17.2) и (17.3) можно просто ввести условие р — 0,5. Отбрасывая в уравнениях слагаемые, содержащие высшие порядки величины At, можно получить следующие решения.
и — e(i--<?-<72/2)At4-(zv/At
_ e(r-?-o'2/2)At-CTV/At
Такой подход позволяет построить биномиальные деревья с параметром р = 0,5 для вычисления цен индексных, валютных и фьючерсных опционов.
Эта процедура имеет преимущество над методом Кокса, Росса и Рубинштейна. Она заключается в том, что вероятность р всегда равна 0,5 независимо ни от величины ст, ни от количества временных шагов.9 Недостатком этого метода является более сложное вычисление коэффициентов дельта, гамма и ро, поскольку стоимость базового актива в центральном узле в момент 2At не совпадает со стоимостью в нулевой момент времени.
Пример 17.6
Рассмотрим девятимесячный американский опцион на покупку канадского доллара. Текущий валютный курс равен 0,7900, безрисковая процентная ставка в США — 6% годовых, безрисковая процентная ставка в Канаде — 10% годовых, а волатильность валютного курса — 4% в год. В таком случае So = 0,79, К — 0,795, г — 0,06, rf = 0,10 и Т = 0,75. Разделим срок действия опциона на трехмесячные периоды и пос троим дерево. Таким образом, At = 0,25. Вероятности, приписанные каждой ветви дерева, равны 0,5.
и = е(0,06-0,10-0,0016)0,25+0,04^0^5 _ gggg d = е(0,06-0,10-0,0016)0,25-0,04^/0^5 _ g gygg
Дерево изменений валютного курса показано на рис. 17.11. Оценочная стоимость опциона равна 0,0026 долл. □
9Если количество временных шагов настолько велико, что <т < |(г — q) \/д7|, модель Кокса, Росса и Рубинштейна порождает отрицательные вероятности. Альтернативная процедура, описанная выше, лишена этого недостатка.
At each node:
Upper value = Underlying Asset Price
Lower value = Option Price
Shading indicates where option is exercised
Strike price = 0,795
Discount factor per step = 0,9851
Time step, dt = 0,2500 years, 91,25 days
0,5000
0,7500
0,0000
0,2500
Рис. 17.11. Биномиальное дерево, построенное программой DerivaGem для вычисления цены американского опциона на покупку канадского доллара. В каждом узле верхнее число представляет собой обменный спот-курс, а нижнее — цену опциона. Все вероятности равны 0,5
Триномиальные деревья
Альтернативой биномиальным деревьям являются триномиальные. Общий вид триномиального дерева продемонстрирован на рис. 17.12. Предположим, что ри, РтИрй — вероятности того, что цена акции вырастет, останется неизменной или упадет на протяжении интервала длительностью Д/:. Для акции, не предусматривающей выплату дивидендов, математическое ожидание и стандартное отклонение изменения цены акции (если отбросить слагаемые, содержащие множители
А/ высоких порядков) имеют следующий вид.
и = ест^ЗЛ1, d = -. и
Кроме того,
Г At ( 1
1 2
f. -i Pm — „ 1
6 3
I At ( 1 1
p“ = Vi2^
Вычисления по триномиальным деревьям аналогичны вычислениям по биномиальной модели. Обход триномиального дерева начинается с конца дерева в направлении к началу. В каждом узле вычисляется стоимость исполнения и стоимость продолжения владения опционом. Стоимость продолжения равна
е“гД<(Р«/и + Pmfm+Pdfd),
где fu, fm и fa — стоимости опциона, соответствующие верхнему, среднему и нижнему узлам на следующем уровне. С вычислительной точки зрения триномиальная модель эквивалентна явному конечно-разностному методу, описанному в разделе 17.8.
Фиглевский и Гао предложили метод построения деревьев, при котором к дереву с высоким разрешением (high-resolution tree), т.е. с малым шагом At, прививается дерево с низким разрешением, т.е. с большим шагом At. Авторы назвали этот метод моделью адаптивной сетки (adaptive mesh model).10 Оказывается, при вычислении стоимости американского опциона в окрестности цены исполнения и момента истечения срока действия опциона необходимо построить дерево с высоким разрешением.
17.5 Параметры, зависящие от времени
До сих пор мы предполагали, что параметры г, q, гf и а являются постоянными. Однако на практике они обычно зависят от времени. Таким образом, следует считать, что между моментами времени t и t + At эти переменные равны их форвардным значениям.11
Параметры г и q (или rj) в биномиальном дереве Кокса-Росса-Рубинштейна можно представить в виде функций, зависящих от времени. Это условие можно учесть, представив параметр а в узлах, соответствующих моментам t, в следующем виде.
G = e[/(t)-s(t)]At. (17.11)
|0См. Figlewski S. and Gao В. The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option Pricing // Journal of Financial Economics, 53 (1999). — P. 313-351.
"Форвардная дивидендная доходность и форвардная дисперсия вычисляются так же, как и форвардная процентная ставка. (Дисперсия (variance rate) равна квадрату волатильности.)
Рис. 17.12. Триномиальное дерево, иллюстрирующее изменение цены акции
Здесь f(t) — форвардная ставка, установленная на период между моментами t и t + Д/:, a g(t) — форвардное значение дивидендной доходности q на этом промежутке времени. Это условие никак не влияет на геометрию биномиального дерева, поскольку величины и и d не зависят от параметра а. Вероятности перехода по ветвям дерева, исходящим из узла, соответствующего моменту t, равны12
u~ d u _ e[/(<)-s(t)]A*
(17.12)
Остальная часть анализа ничем не отличается от предыдущих примеров, за исключением того обстоятельства, что для вычисления дисконта на отрезке между моментами времени t и t + Д/: теперь используется функция /(/).
Зависимость параметра ст от времени в биномиальном дереве учесть намного сложнее. Например, для того чтобы решить эту задачу, можно сделать величину временных шагов обратно пропорциональной дисперсии (variance rate). В таком
12При достаточно большом количестве шагов эти вероятности всегда положительны.
случае величины и и d всегда остаются постоянными, а дерево рекомбинирует. Предположим, что a(t) — волатильность опциона в момент окончания его срока действия t, так что <т2(/)/ — интегральное изменение в момент I. Введем обозначения V = ст2(Т)7\ где Т — глубина дерева, и /,г — конец г-го временного интервала. Если общее количество шагов по времени равно N, то параметры t, удовлетворяют условию = iV/N. Следовательно, дисперсия между моментами
времени и ti при всех i равна V/N.
При работе с триномиальным деревом для учета процентных ставок и значений волатильности, зависящих от времени, можно использовать обобщенную процедуру построения дерева. (Описание этой процедуры изложено на Web-сайте автора в техническом замечании 9.)
17.6 Моделирование по методу Монте-Карло
Метод Монте-Карло представляет собой совершенно иной метод оценки деривативов. Идея метода Монте -Карло продемонстрирована во врезке “Пример из деловой практики 17.1”.
Пример из деловой практики 17.1. Вычисление числа “пи” с помощью метода Монте-Карло
Предположим, что длина сторон квадрата на рис. 17.13 равна единице. Представьте себе, что вы случайным образом бросаете дротик в этот квадрат и вычисляете долю попаданий. Что выясняется? Площадь квадрата равна 1,0, а радиус круга равен 0,5. Площадь круга равна произведению числа тг и квадрата радиуса круга, т.е. тг/4. Таким образом, число тг можно приближенно вычислить, умножив долю попаданий в круг на число 4.
Для моделирования случайного бросания дротика можно использовать программу Excel, как показано в табл. 17.1. Введем в ячейки А1 и В1 формулу =СЛЧИС (). Таким образом, в этих ячейках будут записаны случайные числа, лежащие в диапазоне от 0 до 1. Они будуз определять координаты точек попадания дротиков в квадрат, изображенный на рис. 17.13. В ячейку С1 введем формулу
=ЕСЛИ((А1 - 0,5)л2 + (В1 - 0,5)л2 < 0,5л2,4,0).
Это позволит записать в ячейку С1 число 4, если дротик попал в квадрат, и 0 — в противном случае.
Остальные 99 строк рабочего листа заполняются аналогично. (Для этого можно использовать операцию “выбрать и перетащить” (“select and drag”).) В ячейку С102 запишем формулу =СРЗНАЧ(С1:С100), а в ячейку С103 — формулу =СТАНДОТКЛОН (Cl: С10 0). Таким образом, ячейка С102 содержит оценку числа тг, вычисленную после 100 случайных испытаний (в табл. 17.1 эта оценка равна
3,04). Ячейка С103 содержит стандартное отклонение выборочных значений. Как показано в примере 17.1, эту величину можно использовать в качестве оценок точности приближенных вычислений. Увеличивая количество случайных испытаний, можно повысить точность, однако скорость сходимости к правильному значению 3,14162 невелика.
Рис. 17.13. Вычисление числа тг с помощью метания дротика
Таблица 17.1. Результаты вычислений, описанных во врезке “Пример из деловой практики 17.1”
А В С
1 0,207 0,690 4
2 0,271 0,520 4
3 0,007 0,221 0
100 0,198 0,403 4
101
102 Среднее: 3,04
103 Стандартное отклонение: 1,69
Метод Монте-Карло использует риск-нейтральные оценки. Размер ожидаемых выплат в риск-нейтральных условиях вычисляется с помощью метода выборочного исследования. После этого к нему применяется дисконтная ставка, равная безрисковой процентной ставке.
Рассмотрим дериватив, зависящий от единственного рыночного показателя S. Предположим, что выплаты по деривативу проводятся в момент Т. Предполагая,
что процентные ставки являются постоянными, вычислим цену дериватива следующим образом.13
1. Генерируем случайную траекторию величины S в риск-нейтральных условиях.
2. Вычисляем размер выплат по деривативу.
3. Повторяем шаги 1 и 2 многократно и получаем большое количество размеров выплат по деривативу в риск-нейтральных условиях.
4. Вычисляем среднее значение всех выборочных размеров выплат и оцениваем математическое ожидание размера выплат в риск-нейтральных условиях.
5. Применяем к вычисленной оценке математического ожидания выплат ставку дисконта на уровне безрисковой процентной ставки и получаем оценку стоимости дериватива.
Допустим, что в риск-нейтральных условиях базовый рыночный показатель подчиняется следующему стохастическому процессу.
dS = fiS dt + aS dz, (17.13)
где dz — винеровский процесс, Д — ожидаемая доходность в риск-нейтральных условиях, а а — волатильность.14 Чтобы оценить траекторию величины S, разделим срок действия дериватива на N коротких интервалов, длина которых равна At, и аппроксимируем уравнение (17.13) следующим образом.
S(t + At) - S'(t) = /z5(t)At + cr5(t)£y/At. (17.14)
Здесь S'(t) — значение показателя S в момент t, а £ — случайное число из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением. Это позволяет нам вычислить значение показателя S в момент At с помощью первоначального значения S, значение показателя S в момент 2At — с помощью значения S в момент At и т.д. Иллюстрация этой процедуры приведена в разделе 12.3. Один сеанс моделирования состоит из построения полной траектории величины S на основе N выборок из генеральной совокупности с нормальным распределением.
На практике, как правило, моделируют величину In S, а не сам показатель S. Из леммы Ито следует, что стохастический процесс, описывающий поведение величины In S, имеет следующий вид.
din S' = (fi — dt + adz, (17.15)
'’Применение метода Монте-Карло в сочетании со стохастическими процентными ставками рассматривается в разделе 25.4.
14Если S — цена бездивидендной акции, то д = г; если S — валютный курс, то fi = г — rj, и т.д. Как показано в разделе 11.7, волатильность в риск-нейтральных и реальных условиях одинакова.
так что
In S (t + At) — In S(t) — ( Д — j At + crex/At,
т.е.
S (t + At) = S(t) exp
At + crex/At
(17.16)
Это уравнение используется для моделирования траектории величины S.
Преимущество работы с величиной In S заключается в том, что она подчиняется обобщенному винеровскому процессу. Это значит, что формула
1п5(Т) - InS(O) = ( р - °- ) Т + veJT.
справедлива при всех значениях Г.15 Следовательно,
S (Т) = 5(0) ехр
T + cteVt
(17.17)
Эту формулу можно использовать для оценки деривативов, предусматривающих нестандартные выплаты в момент Т. Кроме того, как указано во врезке “Пример из деловой практики 17.2”, с ее помощью можно проверить формулы Блэка-Шоулза.
Пример из деловой практики 17.2. Проверка формул Блэка-Шоулза
Как известно, формулу Блэка-Шоулза для оценки европейского опциона “колл” можно доказать с помощью биномиального дерева с очень большим количеством шагов по времени. Кроме того, в качестве альтернативы с этой целью можно применить метод Монте-Карло. В табл. 17.2 приведен фрагмент рабочего листа, созданного для проверки формул Блэка-Шоулза. Ячейки С2, D2, Е2, F2 и G2 содержат значения параметров So, К, г, а и К соответственно. В ячейках D4, Е4 и F4 вычислены значения di, da и цена, вычисленная по формуле Блэка-Шоулза. (В данном примере цена опциона, определенная по формуле Блэка-Шоулза, равна 4,817.)
Для вычисления функции, обратной к стандартному нормальному распределению, используется функция НОРМСТОБР. Следовательно, вызов функции НОРМСТОБР (СЛЧИС ()) порождает случайное значение, принадлежащее генеральной совокупности чисел, имеющей стандартное нормальное распределение. В ячейку А1 записана формула
=$С2$*ЕХР(($E$2-$F$2*$F$2/2)*$G$2+$F$2*
НОРМСТОБР(СЛЧИС())*SQRT($G$2))
1SB противоположность этому, формула (17.14) является истинной, только когда величина Ai стремится к нулю.
Это число представляет собой выборочное значение, извлеченное из набора, содержащего все возможные цены акции в момент Т. В ячейке В1 записана формула
=EXP(-$E$2*$G$2)*MAKC(A1-$D$2,0)
Эта ячейка содержит текущую стоимость выплат по опциону “колл”, остальные 999 строк заполняются аналогично. (Для этого можно воспользоваться операцией “выбрать и перетащить”.) В ячейке В1002 записана формула =СРЗНАЧ(В1 :В1000), а в ячейке В1003 — формула =СТАНДОТКЛОН (Bl: В1000). Число, содержащееся в ячейке В1002, (в данном примере оно равно 4,98) представляет собой оценку стоимости опциона. Она не должна сильно отличаться от результата, полученного с помощью формулы Блэка-Шоулза. Как будет показано в примере 17.8, число, записанное в ячейке В1003, можно использовать для оценки точности вычисления стоимости опциона.
Таблица 17.2. Результаты моделирования по методу Монте-Карло при проверке формул Блэка-Шоулза
А В С D Е F G
1 45,95 0 So К Г (Т Т
2 54,49 4,38 50 50 0,05 0,3 0,5
3 50,09 0,09 di d2 Цена БШ
4 47,46 0 0,2239 0,0118 4,817
5 44,93 0
1000 68,27 17,82
1001
1002 Математическое ожидание 4,98
1003 Стандартное отклонение 7,68
Основное преимущество метода Монте-Карло заключается в том, что с его помощью можно оценить стоимость опциона, выплаты по которому зависят от траектории, которую прошла переменная S, а также от ее конечного значения. Например, этот метод можно применять для оценки стоимости опционов, выплаты по которым зависят от среднего значения переменной S. Отметим, что выигрыши могут неоднократно возникать на протяжении всего срока действия дериватива, а не только в момент его завершения. Переменная S может описываться любым стохастическим процессом. Как будет вскоре показано, эту процедуру можно также распространить на ситуации, в которых размер выигрыша
зависит от нескольких рыночных показателей. Недостатком метода Монте-Карло является его медлительность и сложность оценки целесообразности досрочного исполнения контрактов.16
Деривативы, зависящие от нескольких рыночных переменных
Рассмотрим ситуацию, в которой размер выигрыша по деривативу зависит от п переменных 1 С i п. Пусть — волатильность переменной тгц — ожидаемая скорость роста переменной 0г в риск-нейтральных условиях, a ptj — мгновенная корреляция между переменными (), и 0/.J7 Как и прежде, разделим срок действия дериватива на N коротких интервалов, длина которых равна At. Дискретная версия стохастического процесса, описывающего переменную имеет следующий вид.
07(t + At) — #j(t) = m70j(t)At + Sjfl^t^x/At. (17.18)
Здесь £7 — случайное число из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение. Коэффициент корреляции между случайными величинами е, и Ер- равен р^, где 1 < i, к С п. Один сеанс моделирования заключается в извлечении N выборочных значений чисел е,, 1 i < п, из генеральной совокупности, имеющей многомерное стандартизованное нормальное распределение. Подставив их в уравнение (17.18), можно смоделировать траекторию каждой из переменных Ор и вычислить выборочную стоимость дериватива.
Генерирование случайных нормально распределенных чисел
В большинстве языков программирования предусмотрены встроенные функции, генерирующие случайные числа, равномерно распределенные в интервале от нуля до единицы. Приближенное выборочное значение из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно вычислить по следующей формуле.
12
6 = ^2^-6. (17.19)
г=1
Здесь Ri, 1 г 12 — независимые случайные числа, лежащие в диапазоне от нуля до единицы, а е - требуемое выборочное значение из генеральной совокуп-
16Для оценки американских опционов существует большое количество модификаций метода Монте-Карло (см. раздел 20.9).
’’Обратите внимание на то, что величины si, т, и рг) не обязательно являются постоянными; они могут зависеть от переменной 0i.
ности с распределением </>(0,1). В большинстве случаев этой приближенной формулы вполне достаточно. Кроме того, для генерирования случайных нормально распределенных чисел можно использовать формулу =НОРМСТОБР(СЛЧИС()), упомянутую во врезке “Пример из деловой практики 17.2”.
Если необходимо сгенерировать два коррелированных выборочных значения е» и с2 из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, можно воспользоваться следующей процедурой. Сначала необходимо сгенерировать два выборочных значения xi и Х2 из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением, как показано выше. После этого искомые значения 6] и е% вычисляются по следующим формулам.
£1 = Ж1,
Е2 = РХ\ + Ж2\Л - Р2-
Здесь р — коэффициент корреляции.
Рассмотрим более общую ситуацию, в которой требуется сгенерировать п коррелированных выборочных значений из генеральной совокупности с нормальным распределением, так чтобы коэффициент корреляции между г-м и j-м выборочными значениями был равен pij. Сначала необходимо сгенерировать п выборочных значений xi, 1 i п, из одномерной генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением. После этого искомые значения £j, 1 i п, вычисляются по следующим формулам
Е] = <*11^1,
Е2 = <>2|Ж| + аузХЪ
£.3 = + <Х32-Т2 + «33X3
и т.д. Для того чтобы величины имели правильную дисперсию и корреляцию с переменными ej, при 1 < j < г необходимо выполнить пошаговую процедуру. Положим ап = 1 и выберем «21 так, чтобы выполнялось равенство O21O11 = Р21-Затем выберем параметр 022 из условия + а22 = 1- После этого выберем параметр 0.31, так чтобы выполнялось равенство 031П11 = psi. Затем выберем параметр 032 из условия <131^21 + 032^22 = Рз2- После этого параметр 033 определяется из условия «з] + «32 + азз = 1 и т.д.18 Описанная процедура называется разложением Холецкого (Cholesky decomposion).
|8Если уравнения относительно параметров а не имеют действительных решений, то предполагаемая структура корреляции является внутренне противоречивой. Более подробно эта проблема обсуждается в главе 19.
Количество испытаний
Количество проводимых испытаний зависит от требуемой точности. Проведя М независимых испытаний, можно вычислить математическое ожидание и стандартное отклонение дисконтированного выигрыша дериватива. Пусть д — математическое ожидание, а ш - стандартное отклонение. Переменная // представляет собой оценку стоимости дериватива. Стандартная ошибка этой оценки равна
Следовательно, 95%-ный доверительный интервал для цены / дериватива имеет следующий вид.
1,96и» 1,96а;
Л----< / < ^ + •
Vm Vm
Это значит, что неопределенность стоимости дериватива обратно пропорциональна квадратному корню из количества испытаний. Для удвоения точности моделирования необходимо увеличить количество испытаний в четыре раза, для десятикратного увеличения точности количество испытаний следует увеличить в 100 раз ИТ.Д.
Пример 17.7
В табл. 17.1 число тг было приближенно вычислено после 100 испытаний. Стандартное отклонение сгенерированных чисел равно 1,69. В данном случае а = 1,69 и М — 100. Следовательно, стандартная ошибка оценки равна 1,69/%/ЮО = 0,169. Таким образом, описанный рабочий лист позволяет построить следующий 95%-ный доверительный интервал, содержащий число тг: (3,04—1,96x0,169,3,04+ +1,96 х 0,169), т.е. (2,71,3,37). □
Пример 17.8
В табл. 17.2 стоимость опциона была приближенно вычислена после 1000 испытаний. Стандартное отклонение сгенерированных чисел равно 7,68. В данном случае w = 7,68 и М = 1000. Следовательно, стандартная ошибка оценки равна 7,68/VЮ00 = 0,24. Таким образом, описанный рабочий лист позволяет построить следующий 95%-ный доверительный интервал, содержащий стоимость опциона: (4,98 — 1,96 х 0,24,4,98 + 1,96 х 0,24), т.е. (4,51,5,45). □
Приложения
Если количество стохастических переменных больше трех, то, с вычислительной точки зрения, метод Монте Карло оказывается предпочтительнее других процедур. Это объясняется тем, что время, затрачиваемое на моделирование по методу Монте-Карло, зависит от количества переменных линейно, а время выполнения других процедур — экспоненциально. Кроме того, метод Монте-Карло
позволяет вычислить стандартное отклонение, а также учесть сложные выигрыши и сложные стохастические процессы. Его можно также использовать в ситуациях, когда размер выигрыша по деривативу зависит от всей траектории, которую проходит переменная, а не только от ее последнего значения. Однако, как указывалось выше, применение метода Монте-Карло для оценки неевропейских деривативов сопряжено с большими трудностями.
Вычисление греческих коэффициентов
Метод Монте-Карло позволяет вычислить греческие коэффициенты, описанные в главе 15. Предположим, что нас интересует частная производная функции f по переменной х, где f — стоимость дериватива, а х — величина базовой переменной или параметра. С помощью метода Монте-Карло можно вычислить оценку f. Затем необходимо изменить величину х на небольшую величину Дж и вычислить новую оценку f*. В этом случае параметр хеджирования вычисляется по формуле
r-f Ах
Чтобы минимизировать стандартную ошибку оценки, количество временных интервалов N, количество случайных чисел и количество испытаний М при вычислении оценок f и f* должны быть одинаковыми.
Случайное блуждание по дереву
Вместо генерирования случайных значений, подчиненных стохастическому процессу, можно генерировать 2W случайных траекторий случайной величины, используя Л'-уровневые биномиальные деревья. Допустим, что мы построили биномиальное дерево, в котором вероятность роста стоимости актива равна 0,6. Процедура случайного блуждания по дереву выглядит следующим образом. В каждом узле генерируется случайное число, лежащее в интервале от нуля до единицы. Если это число меньше 0,4, траектория обхода дерева поворачивает вниз, если больше 0,4 — вверх. Пройдя весь путь от начала до конца дерева, мы можем вычислить выигрыш. Повторяя эту процедуру много раз, можно вычислить средний выигрыш, применить к нему дисконтную ставку, равную безрисковой процентной 19 ставке, и оценить стоимость дериватива.
Пример 17.9
Предположим, что для оценки стоимости опциона, выплаты по которому равны max(S'ave — 50,0), где Save — средняя цена акции на протяжении пяти месяцев (с учетом первой и последней цены), используется дерево, изображенное на
'’Способы повышения эффективности случайного блуждания по дереву см. в работе Mintz D. Less is More // Risk, July 1997. — P. 42-45.
рис. 17.3. Этот опцион называется азиатским. В табл. 17.3 приведены результаты десяти испытаний.
Таблица 17.3. Результаты моделирования стоимости азиатского опциона по методу Монте-Карло (см. рис. 17.3). Размер выплат равен величине, на которую средняя цена акции превышает 50 долл. U — рост цены акции, D — падение цены акции
Испытание Путь Средняя цена акции Выплата по опциону
1 UUUUD 64,98 14,98
2 UUUDD 59,82 9,82
3 DDDUU 42,31 0,00
4 UUDDU 68,04 18,04
5 UUDDU 55,22 5,22
6 UDUUD 55,22 5,22
7 DDUDD 42,31 0,00
8 UUDDU 55,22 5,22
9 UUUDU 62,25 12,25
10 DDUUD 45,56 0,00
Среднее 7,08
Вычисленная стоимость опциона равна среднему размеру выплат, дисконтированных по безрисковой процентной ставке. В данном случае средний размер выплат равен 7,08, а безрисковая процентная ставка равна 10%. Следовательно, вычисленная стоимость опциона равна 7,08е-о’1х5/12 = 6,79. (Этот пример носит иллюстративный характер. На практике, чтобы добиться приемлемой точности, нам пришлось бы провести намного больше испытаний.) □
17.7 Процедуры уменьшения дисперсии
Если моделирование выполняется так, как показано выше, для достижения высокой точности оценки f необходимо провести очень большое количество испытаний М. Это занимает очень много времени. Рассмотрим несколько вычислительных процедур, позволяюших уменьшить дисперсию и значительно сэкономить время.
Метод антитетической переменной
В методе антитетической переменной в ходе одного испытания вычисляются две оценки производной. Первая оценка, /j, вычисляется, как обычно, а вторая
оценка, /2, вычисляется после замены знаков всех случайных чисел, извлеченных из генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением, на противоположный. (Например, если при вычислении оценки Д было сгенерировано число е, то при вычислении оценки Д используется число — е.) Выборочная стоимость дериватива, вычисленная в результате испытания, равна среднему арифметическому чисел Д и Д- Этот метод работает хорошо, поскольку если одна из оценок больше истинного значения, то другая будет меньше, и наоборот.
Обозначим среднее арифметическое чисел Д и Д через /.
7 _ fa + fa J ~ 2
Окончательная оценка стоимости дериватива представляет собой среднее значение оценок /, вычисленных в ходе многочисленных испытаний. Пусть w — стандартное отклонение оценок /, а М — количество испытаний (т.е. количество пар вычисленных значений). Тогда стандартное отклонение оценки равно Как правило, это число намного меньше стандартной ошибки, вычисленной в ходе 2М случайных испытаний.
Метод контрольной величины
Мы уже рассмотрели конкретный пример использования метода контрольной величины для оценки стоимости американского опциона (см. раздел 17.3). Кроме того, метод контрольной величины можно применять в ситуациях, когда существует два аналогичных дериватива А и В. Пусть А — ценная бумага, подлежащая оценке, дериватив В — аналогичный дериватив, стоимость которого можно вычислить аналитически. Для оценки дериватива можно параллельно выполнить два сеанса моделирования с помощью одних и те же потоков случайных чисел и одного того же параметра At. Первое испытание используется для вычисления оценки стоимости дериватива А, а второе — для вычисления оценки стоимости дериватива В. Для уточнения стоимости дериватива А используется формула
fA = Га - Гв + /в, (17.20)
где /в — известная истинная стоимость дериватива В. Халл (Hull) и Уайт (White) продемонстрировали использование метода контрольной величины для оценки влияния стохастической волатильности на цену европейского опциона “колл”.20 В этом случае величина fA представляет собой оцениваемую стоимость опциона в ситуации, когда волатильность является стохастической, а /в — та же величина, и в предположении, что волатильность является постоянной.
20См. Hull J. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance, 42 (June 1987). — P. 281-300.
Важность правильного выбора траекторий
Важность генерирования случайных чисел проще всего объяснить на примере. Предположим, что нам необходимо вычислить цену европейского опциона “колл” с очень большим проигрышем, ценой исполнения К и сроком действия Т. Если сгенерировать значения цены базового актива в момент Т, как обычно, большинство траекторий приведет к нулевому выигрышу. Это приведет лишь к потере времени, поскольку пути, приводящие к нулевому выигрышу, очень мало влияют на стоимость опциона. Следовательно, необходимо отслеживать лишь важные пути, т.е. траектории, следуя которым цена акции в последний момент превышает цену исполнения К.
Допустим, что F — функция распределения вероятных значений цены акции в момент Т, а вероятность q того, что в момент завершения опциона цена акции будет превышать цену исполнения К, можно вычислить аналитически. Тогда G = F/q — это распределение вероятных значений цены акции при условии, что она превышает цену исполнения К. Чтобы правильно выбрать траекторию, необходимо выбирать значение цены акции из генеральной совокупности с распределением G, а не F. Оценка стоимости опциона равна среднему дисконтированному выигрышу, умноженному на число q.
Стратифицированный выбор
Стратифицированный выбор — это способ выбора случайных чисел из генеральной совокупности значений рыночного показателя в будущий момент времени. Он предусматривает разделение распределения на диапазоны, или интервалы, и выбор значения из каждого интервала в соответствии с его вероятностью. Допустим, существует три равновероятных интервала. Применим схему выбора, гарантирующую, что 10% выборочных значений будут извлечены из первого интервала, 10% — из второго и т.д. Если количество интервалов велико, следует вычислить репрезентативные значения для каждого интервала: средние арифметические или медианы. В таком случае, выбирая числа из интервалов, мы будем выбирать их репрезентативные значения.
Для стандартизованного нормального распределения репрезентативное значение i-го интервала (1 С г п) вычисляется по формуле
\ п )
Где IV-1 — инверсия интегрального нормального распределения. Например, если п = 4, то репрезентативные значения, соответствующие четырем интервалам, равны N~} (0,125), TV-1 (0,375), 7V-1(0,625) и TV-1 (0,875). Функцию TV"1 можно вычислить с помощью функции НОРМСТОБР из программы Excel.
Сопоставление моментов
Сопоставление моментов (moment matching) подразумевает коррекцию выборочных значений, извлеченных из генеральной совокупности чисел, имеющей стандартизованное нормальное распределение, так, чтобы первый, второй и, возможно, моменты более высокого порядка совпадали. Допустим, для оценки изменения конкретной переменной за определенный период времени используются нормально распределенные выборочные значения £$, 1 г п. Чтобы сопоставить два первых момента, вычислим выборочное среднее т и выборочное стандартное отклонение s. Тогда скорректированные выборочные значения £*, 1 < i < п, вычисляются следующим образом.
Математическое ожидание скорректированных выборочных значений равно нулю, а стандартное отклонение — единице. В дальнейшем во всех вычислениях будем использовать именно скорректированные значения.
Метод сопоставления моментов экономит время вычислений, но может вызвать перерасход памяти, поскольку каждое сгенерированное число необходимо хранить вплоть до окончания моделирования. Иногда метод сопоставления моментов называют повторным квадратичным выбором (quadratic resampling). Он часто используется в сочетании с методом антитетических переменных. Поскольку второй метод автоматически гарантирует равенство всех моментов нечетного порядка, цель метода сопоставления моментов сводится к сопоставлению второго и, возможно, четвертого порядков.
Использование псевдослучайных последовательностей
Псевдослучайной (quasi-random) называется последовательность репрезентативных случайных значений, имеющих определенное распределение.21 Описание различных методов применения псевдослучайных последовательностей приведено в работе Бразерона-Рэтклиффа (Brotheron-Ratcliffe) и др.22 Псевдослучайные последовательности могут обладать искомыми свойствами, которые позволяют снизить величину стандартной ошибки оценки так, что она становится пропорциональной величине 1/М, а не 1/\/л7, где М — объем выборки.
Псевдослучайные последовательности можно интерпретировать как разновидность стратифицированного выбора. Их цель — извлечь репрезентативные величи
21 Термин “псевдослучайная” является некорректным. На самом деле “псевдослучайная” последовательность является полностью детерминированной.
22См. Brotheron-Ratcliffe R. Monte Carlo Motoring H Risk, December 1994. — P. 53-58; Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T. and Flannery В. P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd edn. — Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
ны для базовых переменных. В методе стратифицированного выбора предполагается, что количество генерируемых чисел известно заранее. Метод псевдослучайной последовательности более гибок. Числа генерируются так, чтобы заполнить “пробелы” между ранее извлеченными числами. На каждом этапе моделирования выборочные точки приблизительно равномерно распределяются по вероятностному пространству.
На рис. 17.14 показаны точки, сгенерированные на двухмерной плоскости с помощью процедуры Соболя (Sobol’)-23 Как видим, следующие точки заполняют просветы между точками, сгенерированными на предыдущих этапах.
Точкиот 1-й до 128-й Точки от 129-й до 512-й
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Точки от 513-й до 1024-й
Точки от 1-й до 1024-й
Рис. 17.14. Первые 1024 точки последовательности Соболя
2jCm. Sobol I. М. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 7, no. 4 (1967). — P. 86-112. Описание процедуры Соболя приведено в работе Press W. Н., Teukolsky S. A., Vetterling W. Т. and Flannery В. Р. Numerical Recipes in С: The Art of Scientific Computing, 2nd edn. — Cambridge University Press, Cambridge, 1992.
17.8 Конечно-разностные методы
Конечно-разностные методы оценки дериватива основаны на решении дифференциального уравнения, которому удовлетворяет цена дериватива. Для этого дифференциальное уравнение преобразуется в систему разностных уравнений, которая решается с помощью итерационного метода.
Для иллюстрации этого подхода рассмотрим метод оценки американского опциона на продажу бездивидендных акций. Дифференциальное уравнение, решением которого является цена опциона, является следствием формулы (14.6) и выглядит следующим образом.
(V . / „ , 1 2a2^f_ _ f Л77П
0t + ( SdS + 2° S dS2 rf' (17’21)
Допустим, что срок действия опциона равен Т. Разделим этот период времени на N равных интервалов, длина которых равна At = Т/N. Следовательно, на отрезке [О, Т] будут лежать N + 1 узлов.
О, At, 2At,..., Т.
Пусть Smax — цена акции, при достижении которой опцион обесценивается. Введем обозначение At = Sm&K/M и рассмотрим М + 1 значений цены акции
О, AS,2AS,... ,Smax.
Уровень Smax выбирается так, чтобы одно из этих значений совпало с текущей ценой.
Точки 0, At, 2At, ..., Т и О, AS, 2AS, ..., Smax образуют сетку, состоящую из (М + 1) х (N + 1). Эта сетка продемонстрирована на рис. 17.15. Точка (г,Д на этой сетке соответствует моменту времени г At и цене акции jAS. Стоимость опциона в точке (г, j) обозначается как
Неявный конечно-разностный метод
Во внутренней точке (г, j) производная df/dS аппроксимируется конечноразностными отношениями
или
df = - fi,j
dS AS
df _ fi,j ~ fi,j—l
dS AS
(17.22)
(17.23)
Рис. 17.15. Конечно-разностная сетка
Формула (17.22) называется правой разностной производной (forward difference approximation), а формула (17.23) — левой разностной производной (backward difference approximation). Усредняя эти производные, можно вычислить симметрич-
ную аппроксимацию.
9f _ fi,j+l ~ fi,j—l dS ~ 2AS
(17.24)
Для аппроксимации частной производной df /dt будем использовать правую раз-
ностную производную, так что значение цены в момент zAt зависит от ее значения
в момент (z + l)At.
df = Л,7+1 ~ fi,j dt At
(17.25)
Для аппроксимации частной производной df /dS в точке (г, j) используем формулу (17.23). Левая разностная производная в точке (г, j + 1) имеет вид
fi,j+l fi,j AS
Следовательно, конечно-разностная аппроксимация второй производной d2f/()2S в точке (г, J) имеет следующий вид.
или
d2f dS2
fi,j+l fi,j AS
AS
/AS,
d2/ Л,з+1 + Aj-i - 2Д,-
dS2 AS2
(17.26)
Подставляя выражения (17.24)-(17.26) в дифференциальное уравнение (17.21) и учитывая, что S = jAS, получаем следующую систему разностных уравнений.
At
+ fe-‘ +
, 1 2-2д cftAj+l + Aj~l 2Aj _ f. .
+ 2 J AS2 ~
где.7 = 1,2,..., M — 1, i = 0,1,..., N — 1. Упорядочивая члены уравнений, перепишем систему иначе.
djfijj—l "Ь “Ь CjAj’+l —
(17.27)
где
а? = |(г - q)jAt - ^a2j2At,
bj = 1 + cy2j2At + rAt,
Cj = -^(r- q)jAt - ^a2j2At. £ z
Стоимость опциона “пут” в момент Т равна max(/< — St, 0), где St — цена акции в момент Т. Следовательно,
//vj = max(A" — jAt, 0), j — 0,1,..., М.
(17.28)
Если цена акции равна нулю, стоимость опциона “пут” К. Следовательно,
(17.29)
Предположим, что, когда S = Smax, стоимость опциона равна нулю, так что
Ам = 0, i = 0,l,...,N.
(17.30)
Уравнения (17.28)—(17.30) задают стоимость опциона на трех сторонах сетки, изображенной на рис. 17.15, где S = 0, S = 5'тах и t = Т. Чтобы определить
стоимость опциона в остальных точках сетки, остается использовать уравнение (17.27). Первыми вычисляются значения в точках, соответствующих моменту времени Т - At. Из уравнений (17.27) при i = N — 1 следует, что
ajfN-ij-i + + Cj/jv-ij+i = (17.31)
где j = 1,2,..., M — 1. Правые части этих уравнений определяются по формулам (17.28). Далее, из уравнений (17.29) и (17.30) следует, что
fN-i,o = К, (17.32)
/n-i,m = 0. (17.33)
Следовательно, уравнения (17.31) образуют систему относительно М — 1 неизвестных: /w-ij, /n-i.2, • • •» /n-i,m-i-24 После этого каждое из значений /n-ij сравнивается с числом К — jAS. Если /jv-ij < К — jAS, досрочное исполнение опциона в момент Т — At является целесообразным, и переменной присва-
ивается значение К — jAS. Узлы, соответствующие моменту времени Т — 2At, обрабатываются аналогично. Продолжая эту процедуру, можно вычислить все значения /од» fo,2, • • •, fo,M-i- Одно из этих чисел является искомой стоимостью опциона.
Пример 17.10
В табл. 17.4 приведены результаты вычисления стоимости американского опциона “пут”, рассмотренного в примере 17.1, с помощью неявного конечно-разностного метода. Величины М, N и AS выбраны равными 20, 10 и 5 соответственно. Следовательно, стоимость опциона вычисляется для цен акции в диапазоне от 0 до 100 долл, с шагом 5 долл. Срок действия опциона разделен на интервалы продолжительностью полмесяца. Вычисленная стоимость опциона равна 4,07 долл. Стоимость соответствующего европейского опциона, вычисленная с помощью этой же сетки, равна 3,91 долл. Истинная стоимость европейского опциона, определенная по формуле Блэка-Шоулза, равна 4,08 долл. Следовательно, контрольная величина стоимости американского опциона равна
4,07 + 4,08 - 3,91 - 4,24 долл. „
24Для этого не обязательно вычислять обратную матрицу. Чтобы выразить значение /лг-1,2 через значение используется уравнение системы (17.29) при j = 1, чтобы выразить значение
/лг-1,з через значение /jv-1,2 — уравнение системы (17.29) при j = 2 и т.д. Последнее уравнение позволяет определить значение /дг-i.i, с помощью которого вычисляются другие значения /л' л j.
Таблица 17.4. Разностная сетка для вычисления стоимости опциона из примера 17.1 с помощью неявного конечно-разностного метода
Цена акции, Время до истечения срока
долл. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
95 0,02 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
90 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
85 0,09 0,07 0,05 0,03 0,02 0,01 0,01 0,00 0,00 0,00 0,00
80 0,16 0,12 0,09 0,07 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00 0,00
75 0,27 0,22 0,17 0,13 0,09 0,06 0,03 0,02 0,01 0,00 0,00
70 0,47 0,39 0,32 0,25 0,18 0,13 0,08 0,04 0,02 0,00 0,00
65 0,82 0,71 0,60 0,49 0,38 0,28 0,19 0,11 0,05 0,02 0,00
60 1,42 1,27 1,11 0,95 0,78 0,62 0,45 0.30 0,16 0,05 0,00
55 2,43 2,24 2,05 1,83 1,61 1,36 1,09 0,81 0,51 0,22 0,00
50 4,07 3,88 3,67 3,45 3,19 2,91 2,57 2,17 1,66 0,99 0,00
45 6,58 6,44 6,29 6,13 5,96 5,77 5,57 5,36 5,17 5,02 5,00
40 10,15 10,10 10,05 10,01 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00
35 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00
30 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00
25 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00
20 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00
15 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00
10 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00
5 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00
0 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00 50,00
Явный конечно-разностный метод
Неявный конечно-разностный метод очень устойчив. Он всегда сходится к решению дифференциального уравнения, когда величины AS и Ai стремятся к нулю.25 Однако, для того чтобы вычислить величины fiyj через значения fi+ij с помощью неявного конечно-разностного метода, приходится решать систему, состоящую из М — 1 линейных уравнений. Эту процедуру можно упростить, если предположить, что значения частных производных df /dS и d2f/dS7 в точке
25 В конечно-разностных методах принято выбирать величину A.S' пропорционально величине л/At, стремящейся к нулю.
(г, j) совпадают со значениями в точке (г + l,j). Тогда уравнения (17.24) и (17.26) примут следующий вид.
df _ A+1J+1 — d2f _ fi+lj+l + A+lj-1 ~ 2/t+lJ
dS ~ 2AS ’ dS2 ~ AS2
Теперь дифференциальное уравнение аппроксимируется следующим разностным уравнением.
/г+lj fi,j _ g) jAg-^+1’j+1 ।
At 2AS*
। 1 _2„-2 л с2/г+1,л+1 + 2fi+l,j
+ 2° 3 -----------AS*-----------
= rfi,V
или
fi,j — ajfi+ij-i + + c*fj+ij+i, (17.34)
где
“5 = П7д?(4(’-’ь'д‘+Г2/Д()’
Ч = г^<1-^2Д‘>-
4 = ГПд/ Q(r “ ?)jA' + 5^2д‘) '
Эти формулы описывают явный конечно-разностный метод (explicit finite difference method).26 Разница между явным и неявным разностными методами изображена на рис. 17.16. Неявный конечно-разностный метод сводится к уравнениям (17.25), связывающим между собой три разные величины стоимости опциона в момент iAt (т.е. fij-i, fi,j и /ij+i) и °ДИУ величину стоимости опциона в момент времени (г + l)At, (т.е. Явный конечно-разностный метод сводится к уравнениям (17.34), связывающим между собой одно значение стоимости опциона в момент iAt (т.е. Ду) и три разных значения стоимости опциона в момент времени (г 4- l)At, (т.е. Л+ij-i, fi+lj и fi+1j+1).
Пример 17.11
В табл. 17.5 приведены результаты вычисления стоимости американского опциона “пут”, рассмотренного в примере 17.10, с помощью явного конечно-разностного метода. Как и в примере 17.7, величины М, N и AS выбраны равными 20, 10 и 5 соответственно. Вычисленная стоимость опциона равна 4,26 долл.27 □
26Формулы явного конечно-разностного метода можно также получить, используя для аппроксимации производной df /dt левую, а не правую производную.
27Отрицательные числа и другие противоречия в левой верхней части таблицы будут прокомментированы позднее.
Неявный конечноразностный метод
Рис. 17.16. Разница между годами
и неявным разностными ме-
Замена переменной
С вычислительной точки зрения, конечно-разностные методы эффективнее работают, когда в качестве базовой переменной используется In S, а не сама величина S. Введем следующее обозначение: Z = \nS. Уравнение (17.21) примет следующий вид.
df , 2. , df 1 2 d2f .
-^ + (г - Q - Г /2) — + -г ^2 = Г/.
В этом случае конечно-разностная сетка позволяет оценить производную по равноотстоящим значениям Z, а не по равноотстоящим значениям S. Разностное
уравнение для неявного метода теперь выглядит так:
fi+l,j fi,j At
+ (г-q- а2/2)
2AZ
+ ----------------
= rfi j, J I,J1
или
где
“b (17.35)
_2 2AZ2<T ’
At _2 ~ 2AZ2<T ’
Д£ / 9
a> = 2AZ (г“'г’° /2>”
ft = 1 + ^2‘г2 + гД('
Д^ z О . X
Таблица 17.5. Разностная сетка для вычисления стоимости опциона из примера 17.1 с помощью явного конечно-разност ного метода
Цена акции, Время до истечения срока
долл. 5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0
100 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
95 0,06 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
90 -0,11 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
85 0,28 -0,05 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
80 -0,13 0,20 0,00 0,05 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
75 0,46 0,06 0,20 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
70 0,32 0,46 0,23 0,25 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
65 0,91 0,68 0,63 0,44 0,37 0,21 0,14 0,00 0,00 0,00 0,00
60 1,48 1,37 1,17 1,02 0,81 0,65 0,42 0,27 0,00 0,00 0,00
55 2,59 2,39 2,21 1,99 1,77 1,50 1,24 0,90 0,59 0,00 0,00
50 4,26 4,08 3,89 3,68 3,44 3,18 2,87 2,53 2,07 1,56 0,00
45 6,76 6,61 6,47 6,31 6,15 5,96 5,75 5,50 5,24 5,00 5,00
40 10,28 10,20 10,13 10,06 10,01 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00 10,00
35 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00 15,00
30 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20.00 20,00
25 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00 25,00
20 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00 30,00
15 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00 35,00
10 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40,00 40.00 40.00 40,00 40,00 40,00
5 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00 45,00
0 50,00 50,00 50,00 50,00 50.00 50,00 50,00 50,00 50,00 50.00 50,00
Конечно-разностное уравнение для явного метода также изменяет форму.
/wj., + (г - 1 - <72/2) ! +
ZAC LlA/j
, 1 _2-A+l,j+l + Л+lj'-l — 2/i+lJ_t
+ 2а “ ZZ2 “
+7;л+1 j+i = кз, (i 7.36)
где
* 1 7 2 /гЛ At 2^
= ТТТд! 2AZ (Г - 9 - ’ /2> + ) ’
гг = 1 А _ м
Рз 1 + гД£ V 2AZ2 ) '
* 1 / Ai z 2 /г.\ Ы
= ГГ,^7 ( 2Л7 <Г - " " /2< + 2Л/^ /
(17.37)
(17.38)
(17.39)
Замена переменных приводит к тому, что коэффициенты ctj, (3j и 7j, а также а*, /3* и 7* больше не зависят от индекса j. С вычислительной точки зрения, наиболее эффективной заменой переменной является подстановка AZ = a\/3At.
Связь с триномиальным деревом
Явный конечно-разностный метод эквивалентен подходу, основанному на триномиальном дереве.28 Слагаемые, входящие в формулы для вычисления коэффициентов ri*, b* и с* в уравнении (17.32), можно интерпретировать следующим образом.
— (г — q)j&t + |tr2j2Ai: Вероятность того, что цена акции за время At снизится с уровня JAS' до уровня (j — 1)А5.
1 — cr2j2At: Вероятность того, что цена акции за время At оста-
нется на уровне j&S.
| (г — q) j/\t + |cr2j2 At: Вероятность того, что цена акции за время At вырас-
тет с уровня j/\S до уровня (J + 1)Д5.
Интерпретация явного конечно-разностного метода продемонстрирована на рис. 17.17. Сумма всех трех вероятностей равна единице. Ожидаемое увеличение цены акции за время At в риск-нейтральных условиях равно (г — q)j&SAt = = (г — q)S&t. При малых значениях At эти выражения позволяют вычислить дисперсию изменений цены акции за время At по формуле cr2j2 AS2 At = cr252At. Это соответствует стохастическому процессу, описывающему поведение величины S. Значение f в момент ?’At представляет собой математическое ожидание величины f в момент (г + l)At в риск-нейтральных условиях, дисконтированное по безрисковой ставке.
2К Можно доказать, что неявный конечно-разностный метод эквивалентен подходу, основанному на мультиномиальном дереве, в котором из каждого узла исходят М + 1 ветвей.
Рис. 17.17. Интерпретация явного конечно-разностного метода с помощью триномиального дерева
Для того чтобы явный конечно-разностный метод был корректным, необходимо, чтобы “вероятности”
(г - q)j^t + |o-2j2At, 1 — cr2.72<5t,
- (г-q).7At-Да2/At
Аа
были положительными. В примере 17.11 величина 1 — cr2j2At при j 13 (т.е. когда S 65) является отрицательной. Вот почему в левом верхнем углу табл. 17.5 появились отрицательные цены и другие противоречия. Этот пример иллюстрирует основную проблему, связанную с применением явного конечно-разностного метода. Поскольку вероятности, ассоциированные с триномиальным деревом, могут быть отрицательными, явный конечно-разностный метод не всегда позволяет получить результат, сходящийся к решению дифференциального уравнения.29
При замене переменной (см. уравнения (17.36)-(17.39)) вероятности того, что переменная Z = In S уменьшится на величину AZ, останется неизменной или увеличится на величину Л^соответственно, вычисляются следующим образом.
At , 2 At 7
~2Д2<Г ~ /2) + •
29Решение этой проблемы изложено в работе Hull J. and White A. Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25 (March 1990). — P. 87-100. В частности, в описанной выше ситуации достаточно построить сетку относительно величины In S, а не относительно самой цены S.
Это соответствует падению цены акции от S до Se~&z, постоянству цены акции и росту от S до Se+&z соответственно. Если положить AZ — crx/3At, дерево и вероятности станут идентичными триномиальному дереву и вероятностям, описанным в разделе 17.4.
Другие конечно-разностные методы
Существует множество других конечно-разностных схем, сочетающих преимущества явного и неявного подходов. Одной из наиболее известных среди них является схема чередования (hopscotch method), в которой явный и неявный методы применяются поочередно. Этот подход проиллюстрирован на рис. 17.18. В каждый момент времени сначала выполняются все вычисления в “явных узлах”. Затем выполняются вычисления по “неявным узлам”, причем они не требуют решения системы уравнений, поскольку значения в смежных узлах уже известны.
.. Цена актива
Граница ------«------•--------«—
о I *Е •I •Е
оЕ • I *Е • I
о I »Е •I • Е
------•------•-------•—
Граница Время
Рис. 17.18. Схема чередования: буква 1 означает применение неявного метода, буква Е — явного метода
Схема Кранка-Николсона (Crank-Nicolson scheme) является усреднением явного и неявного методов. Для неявного метода уравнения (17.27) приводят к следующим формулам.
fi,j ~ “Г hjfi—1,.7 4" cjfi—
Для явного метода уравнения (17.34) записываются иначе.
4“ Ь-jfi.j 4“
Усредняя эти уравнения, получим схему Кранка-Николсона.
fi,j 4~ ~ 3” bjfi—l,j 4” cjfi—lj+l 3” 4" bjfi,j 4" cjfi,j+l-
Введем следующее обозначение.
9i.j = fi,j ~ ~—
Тогда схему Кранка-Николсона можно записать так.
9г,j = aj 4" 4" cjfi lj+1
Отсюда следует, что реализация схемы Кранка-Николсона эквивалентна реализации неявного конечно-разностного метода. Преимущество этой схемы заключается в том, что по скорости сходимости она превосходит как явный, так и неявный методы.
Применение конечно-разностных методов
Конечно-разностные методы можно применять для оценки любых деривативов, стоимость которых определяется с помощью биномиальных или триномиальных деревьев. Таким образом, конечно-разностные методы позволяют оценить как американские, так и европейские деривативы, но их трудно использовать в ситуациях, когда выигрыш зависит от всей предыстории базовой переменной. Если выигрыш зависит от нескольких базовых переменных, предпочтительнее выглядит явный метод, который выполняется быстрее других. В таком случае сетка, изображенная на рис. 17.15, становится многомерной.
Метод вычисления греческих коэффициентов с помощью конечно-разностных схем практически не отличается от их вычисления с помощью деревьев. Коэффициенты дельта, гамма и тета можно вычислить непосредственно по сеточным значениям fij. Для определения коэффициента вега необходимо немного изменить волатильность и повторно вычислить стоимость дериватива, используя ту же разностную сетку.
Резюме
В главе представлены три вычислительные процедуры для оценки стоимости дериватива, когда аналитическую формулу вывести невозможно. К этим процедурам относятся обработка деревьев, моделирование по методу Монте-Карло и конечно-разностные методы.
Метод, основанный на применении биномиальных деревьев, предполагает, что в течение каждого из коротких интервалов времени At цена акции либо возрастает на и процентов, либо падает на d процентов. Величина параметров и и d, а также их вероятности выбираются так, чтобы изменение цены акции имело требуемое математическое ожидание и стандартное отклонение в риск-нейтральных условиях. Цены деривативов вычисляются с помощью обратного обхода дерева. Если американский опцион в некотором узле исполняется досрочно, его стоимость равна большей из величин, в противном случае его цена равна дисконтированному ожидаемому значению.
Метод Монте-Карло предусматривает генерирование случайных чисел для создания большого количества разных траекторий, описывающих изменение базовой переменной в риск-нейтральных условиях. Затем для каждого пути вычисляется размер выигрыша, дисконтированный по безрисковой процентной ставке. Оценкой стоимости дериватива в этом случае является среднее арифметическое всех дисконтированных выигрышей.
Конечно-разностные методы предназначены для решения дифференциального уравнения путем аппроксимации его с помощью разностных схем. Эти методы аналогичны обработке деревьев, поскольку их вычисления так же выполняются в обратном порядке. Явный конечно-разностный метод с функциональной точки зрения равносилен обработке триномиального дерева. Неявный конечно-разностный метод более сложен, однако он всегда гарантирует сходимость дискретного решения к истинному.
На практике выбор метода зависит от характеристик дериватива и требуемой точности. С одной стороны, все вычисления по методу Монте-Карло выполняются в направлении от начала к концу срока действия дериватива. Следовательно, этот метод целесообразно использовать для определения цены европейских деривативов. С его помощью можно справиться с большим количеством сложностей, поскольку он позволяет оценивать полученный выигрыш. Его эффективность еще больше возрастает, если стоимость дериватива зависит от нескольких базовых переменных. С другой стороны, обработка деревьев и конечно-разностные вычисления выполняются в обратном направлении. Это позволяет применять их для оценки деривативов как европейского, так и американского типа. Однако их использование наталкивается на сложности, если выигрыш по деривативу зависит от всей предыстории базовых переменных. Кроме того, при увеличении количества базовых переменных скорость вычислений по этим методам резко падает.
Дополнительная литература
Общие темы
Clewlow L. and Strickland С. Implementing Derivatives Models. — Wiley, Chichester, 1998.
Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T. and Flannery В. P. Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, 2nd edn. — Cambridge University Press, 1992.
Обработка деревьев
Cox J., Ross S. and Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach // Journal of Financial Economics, 7 (October 1979). — P. 229-264.
Figlewski, S. and Gao B. The Adaptive Mesh Model: A New Approach to Efficient Option Pricing // Journal of Financial Economics, 53 (1999). — P. 313-351
Hull J. and White A. The Use of the Control Variate Technique in Option Pricing // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 23 (September 1988). — P. 237-251.
Rendleman R. and Bartter B. Two State Option Pricing // Journal of Finance, 34 (1979). - P. 1092-1110.
Метод Монте-Карло
Boyle P. P. Options: A Monte Carlo Approach // Journal of Financial Economics, 4 (1977). - P. 323-338.
Boyle P. P, BroadieM. and Glasserman P. Monte Carlo Methods for Security Pricing // Journal of Economic Dynamics and Control, 21 (1997). — P. 1267-1322.
BroadieM., Glasserman P. and Jain G. Enhances Monte Carlo Estimates for American Option Prices // Journal of Derivatives, 5 (Fall 1997). — P. 25-44.
Конечно-разностные методы
Hull J. and White A. Valuing Derivative Securities Usng the Explicit Finite Difference Method // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25 (March 1990). — P. 87-100.
Wilmott P. Derivatives: The Theory and Practice of Financial Engineering. — Wiley, Chichester, 1998.
Вопросы и задачи
17.1. Какой из следующих параметров американского опциона можно оценить с помощью отдельного биномиального дерева: дельта, гамма, вега, тета и ро?
17.2. Вычислите стоимость трехмесячного американского опциона на продажу бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 60 долл., цена исполнения — 60 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а волатильность — 45% в год. Постройте биномиальное дерево с временным интервалом продолжительностью один месяц.
17.3. Опишите применение метода контрольной величины для оценки американских опционов с помощью биномиальных деревьев.
17.4. Вычислите стоимость девятимесячного американского опциона на покупку кукурузного фьючерса при условии, что текущая фьючерсная цена равна 198 центов, цена исполнения — 200 центов, безрисковая процентная ставка — 8% годовых, а волатильность — 30% в год. Постройте биномиальное дерево с временным интервалом продолжительностью три месяца.
17.5. Рассмотрим опцион, выигрыш которого равен разнице между окончательной и средней ценами акции за весь период действия опциона. Можно ли вычислить его цену с помощью биномиального дерева? Аргументируйте свой ответ.
17.6. “Если акция предусматривает выплату дивидендов, биномиальное дерево не рекомбинирует. Однако, если цена этой акции не превышает текущую стоимость будущих дивидендов, узлы могут сливаться.” Объясните смысл этого утверждения.
17.7. Докажите, что, если выполняются условия, указанные в сноске 9, вероятности, приписанные узлам биномиального дерева Кокса, Росса и Рубинштейна, становятся отрицательными.
17.8. С помощью стратифицированного выбора и 100 случайных испытаний оцените число тг более точно, чем в табл. 17.1?
17.9. Объясните, почему метод Монте-Карло сложно применить для вычисления стоимости деривативов американского типа.
17.10. Цена исполнения девятимесячного американского опциона на продажу бездивидендных акций равна 49 долл. Цена акции равна 50 долл., безрисковая процентная ставка — 5% годовых, а волатильность — 30% в год. Вычислите стоимость опциона с помощью трехуровневого биномиального дерева.
17.11. Используя трехуровневое биномиальное дерево, вычислите стоимость девятимесячного американского опциона на покупку пшеничного фьючерса
при условии, что текущая фьючерсная цена равна 400 центов, цена исполнения — 420 центов, безрисковая процентная ставка — 6% годовых, а волатильность — 35% в год. Оцените коэффициент дельта.
17.12. Цена исполнения трехмесячного американского опциона на продажу акций равна 20 долл. Цена акции равна 20 долл., безрисковая процентная ставка — 3% годовых, а волатильность — 25% в год. Через 1,5 месяца ожидается выплата дивидендов в размере 2 долл, на одну акцию. Вычислите стоимость опциона с помощью трехуровневого биномиального дерева.
17.13. Цена исполнения однолетнего американского опциона на продажу бездивидендных акций равна 18 долл. Цена акции равна 20 долл., безрисковая процентная ставка — 15% годовых, а волатильность — 40% в год. Примените программу DerivaGem с четырьмя трехмесячнымн временными интервалами и вычислите стоимость опциона. Изобразите дерево и проверьте, что стоимость опциона в последнем и предпоследнем узлах вычислена правильно. Оцените стоимость европейского опциона с теми же параметрами. Уточните полученную оценку стоимости американского опциона с помощью метода контрольной величины.
17.14. Цена исполнения двухмесячного американского опциона на продажу фондового индекса равна 480 долл. Текущее значение индекса равно 484 пункта, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, доходность индекса равна 3% годовых, а волатильность — 25% в год. Разделите срок действия опциона на четыре полумесячных интервала и оцените его стоимость.
17.15. Как улучшить оценку коэффициента дельта для американского опциона с помощью метода контрольной величины?
17.16. Предположим, что для оценки европейского опциона на покупку бездивидендных акций при стохастической волатильности используется метод Монте-Карло. Как повысить эффективность вычислений с помощью методов контрольной величины и антитетических переменных? Объясните, почему в обоих методах на каждом этапе моделирования необходимо вычислять шесть значений стоимости опциона.
17.17. Как изменятся уравнения (17.27)-(17.30), если для вычисления стоимости американского опциона на покупку валюты используется неявный конечноразностный метод?
17.18. До истечения срока действия американского опциона на продажу бездивидендных акций осталось четыре месяца. Цена исполнения равна 21 долл., цена акции равна 20 долл., безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, а волатильность равна 30% в год. Вычислите стоимость опциона с помощью явного конечно-разностного метода. Будем считать, что цена
акции изменяется с шагом, равным 4 долл., а продолжительность временного интервала — один месяц.
17.19. Спот-цена меди равна 0,60 долл, за фунт. Фьючерсные цены (долл./фунт) приведены в таблице.
3 месяца 0,59
6 месяцев 0,57
9 месяцев 0,54
12 месяцев 0,50
Волатильность цены на медь равна 40% в год, а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Вычислите стоимость американского опциона на покупку меди с помощью биномиального дерева, если цена исполнения равна 0,60 долл., а до истечения его срока остался один год. Разделите срок действия опциона на четыре трехмесячных периода. (Подсказка', как указано в разделе 14.7, фьючерсная цена актива в риск-нейтральных условиях равна его ожидаемой цене.)
17.20. Используя биномиальное дерево, построенное при решении задачи 17.19, вычислите стоимость ценной бумаги, выигрыш по которой через год будет О
равен х , где х — цена на медь.
17.21. В каких ситуациях краевые условия S = 0 и S —> оо влияют на стоимость дериватива, вычисленную с помощью явного конечно-разностного метода?
17.22. Как с помощью явного конечно-разностного метода вычислить стоимость дериватива с известной доходностью?
17.23. Некая компания выпустила в оборот трехлетние конвертируемые облигации с номинальной стоимостью 25 долл., которые в любой момент можно обменять на две акции компании. Если стоимость акции становится больше или равной 18 долл., компания имеет право на принудительный обмен. Предположим, что компания собирается воспользоваться этим правом при первой же возможности. Как выглядят краевые условия для стоимости конвертируемой облигации? Как с помощью конечно-разностного метода вычислить стоимость конвертируемой облигации, если процентные ставки остаются неизменными? Будем считать, что вероятность дефолта компании равна нулю.
17.24. Запишите формулы для генерирования трех выборок чисел, извлеченных из генеральной совокупности, имеющей стандартизованное нормальное распределение, если коэффициент корреляции между г-й и j-й выборками равен pi^j.
Упражнения
17.25. Цена исполнения однолетнего американского опциона на продажу швейцарских франков равна 0,80 долл. Волатильность курса швейцарского франка равна 10%, процентная ставка в США равна 6%, процентная ставка в Швейцарии равна 3%, а текущий валютный курс равен 0,81 долл. Вычислите стоимость опциона с помощью трехуровневого биномиального дерева. Оцените коэффициент дельта.
17.26. Цена исполнения однолетнего американского опциона на покупку фьючерсного контракта на поставку серебра равна 9,00 долл. Текущая фьючерсная цена равна 8,50 долл., безрисковая процентная ставка — 12% годовых, а волатильность фьючерсной цены — 25% в год. Примените программу DerivaGem с четырьмя трехмесячными временными интервалами и вычислите стоимость опциона. Изобразите дерево и проверьте, что стоимость опциона в последнем и предпоследнем узлах вычислена правильно. Оцените стоимость европейского опциона с теми же параметрами. Уточните полученную оценку стоимости американского опциона с помощью метода контрольной величины.
17.27. Цена исполнения шестимесячного американского опциона на покупку акций, предусматривающих выплату дивидендов через два и пять месяцев в размере одного доллара на акцию, равна 34 долл. Текущая цена акции равна 30 долл., безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, а волатильность компонента цены акции, не влияющего на выплату дивидендов, равна 30% в год. Примените программу DerivaGem с шестью временными интервалами и вычислите стоимость опциона. Сравните ответ с результатом применения формулы Блэка-Шоулза (см. раздел 13.12).
17.28. Текущая стоимость британского фунта стерлингов равна 1,60 долл., а волатильность обменного курса доллар-фунт равна 15% в год. Цена исполнения американского опциона на покупку фунта стерлингов равна 1,62 долл., а до окончания срока действия опциона остался один год. Безрисковые процентные ставки в США и Великобритании равны 6 и 9% годовых соответственно. Оцените стоимость опциона с помощью явного конечноразностного метода. Постройте разностную сетку, считая, что валютный курс изменяется от 0,80 до 2,40 с шагом, равным 0,20, а длина временного интервала равна трем месяцам.
17.29. Ответьте на следующие вопросы, связанные с альтернативными процедурами построения деревьев.
1) Докажите, что биномиальная модель, описанная в разделе 17.4, согласована с математическим ожиданием и дисперсией изменения логарифма цены акции за время ДС
2) Докажите, что триномиальная модель, описанная в разделе 17.4, согласована с математическим ожиданием и дисперсией изменения логарифма цены акции за время Л/, при условии что в разложении Тейлора отбрасываются члены, содержащие величины (Д/)2 и степени величины Д£ более высокого порядка.
3) Опишите альтернативу триномиальной модели, описанной в разделе 17.4, так, чтобы вероятности перехода на верхнюю, среднюю и нижнюю ветви, исходящие из каждого узла, были равны 1/6. 2/3 и 1/6. Будем считать, что на каждой из ветвей цена акции изменяется от S до Su, Sm или Sd соответственно, где т2 = ud. Добейтесь точного совпадения с математическим ожиданием и дисперсией логарифма цены акции.
17.30. Функции программы DerivaGem Application Bukler позволяют исследовать сходимость оценок стоимости деривативов, вычисленных с помощью биномиальных деревьев, к точному решению при увеличении количества шагов по времени (см. рис. 17.4 и пример Sample Application А в программе DerivaGem). Проанализируйте опцион на продажу фондового индекса, если текущий уровень индекса равен 900 пунктам, цена исполнения равна 900 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, доходность индекса равна 2%, а до окончания срока действия осталось два года.
1) Постройте график, иллюстрирующий сходимость оценки к реальной стоимости, если опцион является европейским, а волатильность индекса равна 20%.
2) Постройте график, иллюстрирующий сходимость оценки к реальной стоимости, если опцион является американским, а волатильность индекса равна 20%.
3) Постройте график зависимости оценки американского опциона при 20%-ной волатильности от количества временных интервалов, считая, что для уточнения оценки используется метод контрольной величины.
4) Предположим, что рыночная цена американского опциона равна 85,0 долл. Постройте график зависимости подразумеваемой волатильности от количества временных интервалов.
<89Мк» ^Я® -' '•
Стоимость под риском
В главе 15 рассмотрены коэффициенты дельта, гамма и вега, описывающие разные аспекты риска, которому подвергается инвестиционный портфель, состоящий из опционов и других финансовых активов. Финансовые организации, как правило, ежедневно вычисляют эти коэффициенты для каждого из рыночных показателей, влияющих на эффективность их работы. Иногда количество таких показателей измеряется сотнями и даже тысячами. Следовательно, анализ дельтагамма-вега порождает огромное количество мер риска. Они представляют собой большое подспорье для трейдеров, управляющих инвестиционными портфелями, но мало практичны для использования топ-менеджерами.
С помощью создания показателя стоимость под риском (VaR — value at risk) предпринята попытка разработать такой показатель, который мог бы использоваться топ-менеджерами компаний для измерения суммарного риска портфеля финансовых активов. Он все чаще используется корпоративными казначеями и фондовыми менеджерами, а также финансовыми организациями. Центральные банки многих стран также используют показатель VaR для оценки достаточности капитала коммерческих банков с учетом их рыночных рисков.
В главе описываются смысл показателя VaR, а также два способа его вычисления: историческое моделирование (historical simulation approach) и построение моделей (model-building approach).
18.1 Показатель VaR
Используя показатель VaR, управляющий инвестиционным портфелем хочет доказать утверждение следующего вида.
“В течение следующих N дней с вероятностью X процентов мы не потеряем больше V долларов.”
Здесь переменная V и является показателем VaR, характеризующим инвестиционный портфель. Он зависит от двух параметров — горизонта времени N и доверительного уровня X — и представляет собой уровень убытков, который не будет превышен в течение N дней с вероятностью X процентов. Регулирующие органы обычно требуют, чтобы банки вычисляли показатель VaR с параметрами Л' = 10 и X = 99 (см. врезку “Пример из деловой практики 18.1”).
Пример из деловой практики 18.1. Как банковские регулирующие органы используют показатель VaR
Базельский комитет по надзору за банками (Basel Committee on Bank Supervision) — это комитет регулирующих органов мировых банков, регулярно собирающийся в Базеле (Швейцария). В 1988 году он опубликовал документ, получивший название The 1988 Trust Accord, или просто The Accord. Этот документ представляет собой соглашение между регулирующими органами о том, как определять капитал банка, чтобы правильно оценить кредитный риск. Несколько лет спустя Базельский комитет опубликовал документ The 1996 Ammendment, который вступил в силу в 1998 году и обязал банки оценивать не только кредитный, но и рыночный риск. В этом документе вводилось различие между книгой торговых сделок (trading book) и книгой банковских операций (banking book). В книге банковских операций, как правило, регистрируются займы, которые не переоцениваются в рамках бухгалтерского учета. В свою очередь, в книге торговых сделок регистрируется громадное количество разных инструментов, которыми распоряжается банк (акции, облигации, свопы, форвардные контракты, опционы и пр.). Содержание этой книги переоценивается ежедневно.
В соответствии с документом 1996 BIS Amendmend, капитал, учитывающийся в книге торговых сделок, должен вычисляться при N = 10 и X = 99. Это значит, что регулирующие органы сосредотачивают свое внимание на потерях, которые банк может понести в течение 10 дней, и полагают, что убытки превысят показатель VaR только в 1% случаев. Банк должен поддерживать размер капитала в к раз больше показателя VaR (с учетом специфических рисков). Коэффициент к устанавливается регуляторами для каждого банка отдельно и должен быть не меньше 3,0. Для банков, в которых существуют тщательно отработанные процедуры оценки показателя VaR, он устанавливается на минимальном уровне — 3,0. Для других банков он может оказаться выше.
Показатель VaR представляет собой уровень потерь, соответствующий (100 — Х)-му перцентилю распределения вероятных изменений стоимости портфеля на протяжении N дней. Например, если N = 5 и X = 97, он равен третьему перцентилю распределения вероятных изменений стоимости портфеля на протяжении 5дней. Вычисление показателя VaR в ситуации, когда распределение вероятных изменений стоимости портфеля аппроксимируется нормальным законом, продемонстрировано на рис. 18.1.
Показатель VaR является очень удобным, поскольку он поддается простой интерпретации. По существу, он отвечает на вопрос: насколько плохой может стать ситуация? Именно этот вопрос чаще всего задают топ-менеджеры. Им очень нравится идея сжать все коэффициенты, обозначаемые греческими буквами, характеризующие инвестиционный портфель, в один показатель.
Рис. 18.1. Вычисление показателя VaR с помощью распределения вероятных изменений стоимости портфеля; доверительный уровень равен Х%
Если принять эту точку зрения, то возникает естественный вопрос: нет ли показателя, который лучше характеризует риск, чем показатель VaR? Некоторые исследователи полагают, что показатель VaR может подталкивать менеджеров выбирать инвестиционные портфели, распределение вероятной доходности которых похоже на распределение, изображенное на рис. 18.2. Портфели, продемонстрированные на рис. 18.1 и 18.2, имеют одинаковые показатели VaR, но портфель, показанный на рис. 18.2, является намного более рискованным, поскольку его потенциальные убытки намного больше.
Рис. 18.2. Ситуация, альтернативная рис. 18.1; показатель VaR тот же, но потенциальные потери больше
Показатель, который позволяет решить эту задачу, называется условным VaR (Conditional VaR, С-VaR).1 В то время как показатель VaR отвечает на вопрос: насколько плохой может стать ситуация?, показатель С-VaR отвечает на вопрос: сколько мы потеряем, если ситуация станет плохой? Показатель С-VaR характеризует ожидаемые потери на протяжении периода в N дней при условии, что во
*Этот показатель был предложен в работе ArtznerP., Delbaen Е, EberJ.-M. And Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance, 9 (1999). - - P. 203-228. Авторы сформулировали свойства, которыми должна обладать хорошая мера риска, и показали, что стандартный показатель VaR имеет не все из этих свойств.
внимание принимается только левый “хвост” распределения, ограниченный значением (100 — Х)%. Например, если X = 99 и N = 10, то показатель С-VaR равен средней величине потерь за 10 дней при условии, что худшее событие происходит с вероятностью 1%.
Несмотря на этот недостаток, показатель VaR (а не С-VaR) остается наиболее популярной мерой риска в среде регулирующих органов и топ-менеджеров. По этой причине вся глава практически будет посвящена способам вычисления VaR.
Горизонт времени
Теоретически показатель VaR зависит от двух параметров: горизонта времени N (количество дней) и доверительного уровня X (проценты). На практике аналитики вынуждены устанавливать значение N — 1, поскольку у них довольно часто нет достаточного количества информации о рыночных показателях на протяжении более долгого периода времени. Как правило, аналитики используют следующее предположение.
Л'-дневный показатель VaR = однодневный показатель VaR х VN.
Эта формула является корректной, если изменения стоимости портфеля на протяжении последовательных дней имеют независимые идентичные нормальные распределения с нулевым математическим ожиданием. В других ситуациях она становится лишь приближенной.
Как указывалось во врезке “Пример из деловой практики 18.1”, регулирующие органы требуют, чтобы банковский капитал был, как минимум, в три раза больше 10-дневного показателя VaR с 99%-ным доверительным уровнем или в 3 х \/10 = = 9,49 раз больше однодневного показателя VaR с 99%-ным доверительным уровнем.
18.2 Историческое моделирование
Историческое моделирование является очень распространенным способом вычисления показателя VaR. Оно основано на очень простом предположении: “то, что было в прошлом, то будет и в будущем”. Допустим, нам требуется вычислить показатель VaR, характеризующий инвестиционный портфель, используя однодневный горизонт, 99%-ный доверительный интервал и данные, собранные в течение 500 дней. На первом этапе необходимо идентифицировать рыночные показатели, влияющие на стоимость портфеля. Как правило, к ним относятся валютные курсы, цены акций, процентные ставки и т.д. Затем следует собрать данные об изменениях этих показателей на протяжении последних 500 дней. Это позволит нам описать 500 альтернативных сценариев, которые могут произойти с сегодня на завтра. В первом сценарии относительные изменения значений
всех показателей принимаются равными изменениям этих показателей в течение первого дня. Во втором сценарии они принимаются равными изменениям этих показателей в течение второго дня и т.д. Затем для каждого сценария необходимо вычислить стоимость портфеля на сегодня и завтра. Это позволит нам построить распределение вероятных ежедневных изменений стоимости портфеля. Первым перцентилем этого распределения является пятое худшее дневное изменение стоимости портфеля. Показатель VaR представляет собой уровень потерь, соответствующий первому перцентилю. Допустим, что информации о прошедших 500 днях достаточно для предсказания событий на протяжении следующего дня. Тоща вероятность того, что потери превысят показатель VaR, равна 99%.
Метод исторического моделирования продемонстрирован в табл. 18.1 и 18.2. В табл. 18.1 приведены наблюдения рыночных показателей на протяжении последних 500 дней. Все они должны быть сделаны в один и тот же момент на протяжении дня (как правило, в момент закрытия торгов). Обозначим первый день наблюдения номером 0, второй — номером 1 и т.д. Сегодняшнему дню соответствует номер 500, а завтрашнему — 501.
Таблица 18.1. Данные для исторического моделирования
День Показатель 1 Показатель 2 . Показатель N
0 20,33 0,1132 65,37
1 20,78 0,1159 64,91
2 21,44 0,1162 65,02
3 20,97 0,1184 64,90
498 25,72 0,1312 62,22
499 25,75 0,1323 61,99
500 25,85 0,1343 62,10
В табл. 18.2 показаны вероятные значения рыночных показателей на завтра, при условии что относительные изменения показателей с сегодня на завтра совпадают с относительными изменениями между (г — 1)-м и г-м днями, где 1 i 500. Так, первая строка табл. 18.2 содержит значения рыночных показателей на завтра при условии, что относительные изменения показателей с сегодня на завтра совпадают с относительными изменениями между нулевым и первым днями, вторая строка содержит значения рыночных показателей на завтра при условии, что относительные изменения показателей с сегодня на завтра совпадают с относительными изменениями между первым и вторым днями и т.д. Итак, 500 строк табл. 18.2 представляют 500 разных сценариев.
Таблица 18.2. Возможные сценарии развития событий на завтра (501-й день)
Сценарий Показатель 1 Показатель 2____ Показатель W Стоимость Изменение
портфеля, млн долл. стоимости, млн долл.
1 26,42 0.1375 61,66 23,71 0,21
2 26,67 0,1346 62,21 23,12 -0,38
3 25,28 0,1368 61,99 22,94 -0,56
499 25,88 0,1354 61,87 23,63 0,13
500 25,95 0,1363 62,21 22,87 -0,63
Пусть Ti — значение рыночного показателя, измеренное в течение г-го дня. Предположим, что сегодня — т-й день. В соответствии с г-м сценарием завтра значение рыночного показателя будет равно
Vi Vm Vi-1
В нашем примере т = 500. Сегодняшнее значение первого показателя равно ^500 = 25,85. Кроме того, = 20,33 и v± = 20,78. Отсюда следует, что значение первого рыночного показателя в соответствии с первым сценарием равно
20 78
25,85 х —— = 26,42. ’ 20,33
Предпоследний столбец табл. 18.2 содержит завтрашнюю стоимость инвестиционного портфеля в соответствии с каждым из 500 сценариев. Сегодняшняя стоимость портфеля считается известной. Допустим, что она равна 23,50 млн долл. Используя эту информацию, мы можем вычислить изменение стоимости инвестиционного портфеля с сегодня на завтра при всех вариантах развития событий. В рамках первого сценария это изменение равно +210000 долл., во втором сценарии оно равно 380000 долл, и т.д.
Нас интересует точка первого перцентиля в распределении изменений стоимости портфеля. Поскольку в табл. 18.2 перечислены 500 сценариев, этой точке соответствует пятый по порядку уровень потерь, указанных в последнем столбце таблицы. Кроме того, мы можем воспользоваться теорией экстремального значения (extreme value theory) и сгладить числа в левом хвосте распределения, пытаясь получить более точную оценку точки, соответствующей 1% распределенной массы.2 Как указывалось в предыдущем разделе, TV-дневный показатель VaR
2См. Embrechts. Kluppelberg С. and Mikosch Т Modeling Events for Insurance and Finance. — New York: Springer, 1997; McNeil A. J. Extreme Value Theory for Risk Managers; in Internal Modeling and CAD II. — London, Risk Books, 1999 (www.math.ethz ,ch/~mcneil).
с 99%-ным доверительным уровнем в y/N раз больше однодневного показателя VaR с таким же доверительным уровнем.
Оценку показателя VaR можно уточнять ежедневно, используя для вычислений данные о последних 500 днях. Рассмотрим, например, ситуацию, которая может сложиться в течение 501-го дня. В этот день мы можем измерить новые значения всех рыночных показателей и вычислить новую стоимость инвестиционного портфеля. После этого можно переходить к вычислению нового показателя VaR.3 Для этого следует использовать данные о рыночных показателях, измеренных в течение периода от первого до 501-го дня. (В этом случае в нашем распоряжении по-прежнему будет 500 наблюдений об относительных изменениях рыночных показателей. Нулевой день нас больше не интересует.) Аналогично для вычисления показателя VaR для 502-го дня, нам потребуются данные, собранные в течение 2-го и 502-го дней и т.д.
18.3 Построение моделей
Основной альтернативой методу исторического моделирования является метод построения моделей (иногда его называют также методом дисперсий и ковариаций). Прежде чем перейти к подробному описанию метода построения моделей, напомним единицы измерения волатильности.
Суточная волатильность
При оценке опционов время обычно измеряется годами, а волатильность актива считается годовой (“волатильность за год”). При вычислении показателя VaR с помощью построения моделей время, как правило, измеряется днями, а волатильность считается суточной (“волатильность за сутки”).
Какая зависимость существует между годовой и суточной волатильностью? Обозначим годовую волатильность актива через ауг, а суточную — через oday-Предполагая, что год состоит из 252 операционных дней, и используя формулу (13.2), мы можем записать стандартное отклонение непрерывно начисляемой доходности актива либо как <туг, либо как Odayx/252. Отсюда следует, что
— ОДаух/2э2,
т.е.
°day —
Таким образом, суточная волатильность составляет примерно 6% годовой вола
тильности.
’Учтите, что состав портфеля между 500-м и 501-м днями может измениться.
Как показано в разделе 13.4, величина примерно равна стандартному отклонению относительного изменения цены актива в течение одного дня. При вычислении показателя VaR будем считать, что это равенство является точным. Итак, будем считать, что суточная волатильность цены актива (или другой переменной) равна стандартному отклонению ее процентного изменения в течение одного дня.
В следующих разделах будем предполагать, что значения суточной волатильности и коэффициенты корреляции нам известны. Способы их вычисления приведены в главе 19.
Инвестиционный портфель, состоящий из акций одной компании
Рассмотрим вычисление показателя VaR с помощью построения модели в очень простой ситуации, когда инвестиционный портфель состоит из акций только одной компании. Будем считать, что портфель содержит акции компании Microsoft на сумму 10 млн долл. Предположим, что N = 10 и X = 99, т.е. нас интересует уровень потерь, который с 99%-ной вероятностью не будет превзойден в течение десяти дней. Сначала рассмотрим однодневный горизонт времени.
Допустим, что волатильность цены акции компании Microsoft равна 2% в день (т.е. примерно 32% в год). Поскольку размер позиции равен 10 млн долл., стандартное отклонение ежедневных колебаний стоимости позиции равно 2% от 10 млн долл., т.е. 200 000 долл.
Создавая модель, удобно предположить, что математическое ожидание рыночного показателя за рассматриваемый период времени равно нулю. На самом деле, это не совсем точное, но вполне разумное предположение. Ожидаемое изменение рыночного показателя за короткий промежуток времени, как правило, мало по сравнению со стандартным отклонением этого изменения. Допустим, что ожидаемая доходность акций компании Microsoft равна 20% годовых. Следовательно, ожидаемая доходность этих акций за сутки равна 0,20/252, т.е. около 0,08%, в то время как стандартное отклонение доходности равно 2%. Ожидаемая доходность за десятидневный период равна 0,20/25,2, т.е. около 0,8%, а стандартное отклонение — 2у/10, т.е. около 6,3%.
Итак, стандартное отклонение ежедневных изменений стоимости портфеля, состоящего из акций компании Microsoft, равно 200 000 долл., а математическое ожидание равно нулю (хотя бы приблизительно). Предположим, что вероятное изменение стоимости портфеля имеет нормальное распределение.4 Из таблицы, приведенной в конце книги, мы видим, что N(—2,33) = 0,01. Итак, вероятность
4Чтобы не впасть . противоречие с предположениями, сделанными при оценке опционов в главе 11, мы должны были бы предположить, что вероятные значения курса акций компании Microsoft имеют логнормальное распределение. Поскольку один день — очень короткий промежуток време-
того, что нормально распределенная случайная переменная примет значение, которое более чем на 2,33 стандартных отклонения отличается от математического ожидания, равна 1%. Иначе говоря, нормально распределенная случайная переменная с вероятностью 99% лежит в окрестности математического ожидания на расстоянии, не большем 2,33 стандартного отклонения. Следовательно, однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем для портфеля, состоящего из акций компании Microsoft на сумму 10 млн долл., равен
2,33 х 200000 = 466000 долл.
Как указывалось ранее, tV-дневный показатель VaR в y/N раз больше, чем однодневный. Следовательно, десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем для портфеля, состоящего из акций компании Microsoft на сумму 10 млн долл., равен
466 000 х VI0 = 1 473621 долл.
Рассмотрим теперь портфель, состоящий из акций компании AT&T на сумму 5 млн долл. Допустим, что суточная волатильность цены акции компании AT&T равна 1% (т.е. приблизительно 16% в год). Вычисления, аналогичные предыдущим, показывают, что стандартное отклонение суточных изменений стоимости портфеля равно
5000000 х 0,01 = 50000 долл.
Предполагая, что вероятные значения изменений имеют нормальное распределение, приходим к выводу, что однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен
50000 х 2,33 = 116 500 долл.,
а десятидневный показатель VaR с тем же доверительным уровнем —
116500 х у/1б = 368 405 долл.
Портфель, состоящий из акций двух компаний
Рассмотрим теперь портфель, состоящий из пакета акций компании Microsoft на сумму 10 млн долл, и пакета акций компании AT&T на сумму 5 млн долл. Допустим, что доходность этих двух пакетов акций имеет двухмерное нормальное распределение, а коэффициент корреляции между их ценами равен 0,3. Стандартный результат из области математической статистики гласит, что если стандартные отклонения двух переменных X и Y равны ох и <ту соответственно, а коэффициент корреляции между ними равен р, то стандартное отклонение переменной ни, вероятные изменения курса акций компании Microsoft с сегодня на завтра имеют нормальное распределение. Таким образом, наши предположения практически не противоречат друг другу.
X 4- У равно
= \]°x + °y + 2раХ(Гу.
Обозначим через X изменение стоимости пакета акций компании Microsoft за одни сутки, а через У — изменение стоимости пакета акций компании AT&T за тот же период времени. В таком случае
ах — 200 000 долл, и cry = 50 000 долл.
Следовательно, стандартное отклонение изменения стоимости портфеля, состоящего из двух разных пакетов акций, за сутки равно
У200 0002 + 50 0002 + 2 х 0,3 х 200000 х 50000 = 200227 долл.
Математическое ожидание изменения предполагается равным нулю. Следовательно, однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен
220227 х 2,33 = 513129 долл.,
а десятидневный показатель VaR с тем же доверительным уровнем —
513129 х л/1б = 1622 657 долл.
Выгоды диверсификации
В рассмотренном выше примере мы установили следующие факты.
1. Для пакета акций компании Microsoft десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 1 473 621 долл.
2. Для пакета акций компании AT&T десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 368 405 долл.
3. Для пакетов акций компаний Microsoft и AT&T десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 1 622 657 долл.
Выгода от диверсификации равна
(1473 621 + 368 405) - 1622 657 = 219 369 долл.
Если бы между ценами акций компаний Microsoft и AT&T существовала идеальная корреляция, показатель VaR инвестиционного портфеля, состоящего из двух пакетов акций этих компаний, был бы равен сумме показателя VaR портфеля, состоящего исключительно из акций компании Microsoft, и показателя VaR портфеля, в который входят только акции компании AT&T. Более слабая корреляция приводит к тому, то диверсификация частично компенсирует риск.5
5 Одним из первых исследователей, доказавших преимущества диверсификации инвестиционных портфелей, был Гарри Марковитц (Напу Markowitz). В 1990 году он получил за свою работу Нобелевскую премию. См. Markowitz Н. Portfolio Selection // Journal of Finance, 7, no. 1 (March 1952). - P. 77-91.
18.4 Линейная модель
Рассмотренные примеры являются простыми иллюстрациями применения линейной модели для вычисления показателя VaR. Допустим, что портфель стоимостью Р состоит из п пакетов акций г-го вида на сумму сц долл, каждый (1 С г С п}. Обозначим ежедневную доходность г-го актива через Дж,. Тогда изменение стоимости инвестиций в г-й актив за один день равно at^xt и
= (18.1)
г=1
где ДР — изменение стоимости всего инвестиционного портфеля за один день.
В рассмотренном выше примере в акции компании Microsoft было вложено 10 млн долл., а в акции компании AT&T — 5 млн долл. Следовательно, cti = 10, а2 = 5 и ДР = 10Дж] + 5Дж2.
Если вероятные значения переменных Дж,; имеют многомерное нормальное распределение, то переменная ДР имеет нормальное распределение. Следовательно, чтобы вычислить показатель VaR, необходимо найти математическое ожидание и стандартное отклонение переменной ДР. Как указано в предыдущем разделе, можно предположить, что математическое ожидание каждой переменной Дж, равно нулю. Отсюда следует, что математическое ожидание переменной ДР также равно нулю.
Чтобы вычислить стандартное отклонение переменной ДР, обозначим через ffi суточную волатильность г-го актива, а через pij — коэффициент корреляции между значениями доходности г-го и j-ro активов. Следовательно, величина ст, представляет собой стандартное отклонение переменной Дж,, а — коэффициент корреляции между величинами Дж, и Дж^. Дисперсия <т2, переменной ДР вычисляется по следующей формуле.
п п
г=1 j=l
Это выражение можно переписать в следующем виде, п п п
Q-p = + 2 52 52 (18.2)
г=1 г—1 j<i
Стандартное отклонение изменения стоимости портфеля за N дней равно cjpyfN, а А-дневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 2,33<тр\^А.
В рассмотренном выше примере а\ = 0,02, сг2 = 0,01 и /ц2 = 0,3. Как было указано выше, ац = 10 и а2 = 5. Следовательно,
= 102 х 0,022 + 52 х 0,012 + 22 х 10 х 5 х 0,3 х 0,02 х 0,01 = 0,0485
и стр = 0,220. Эта величина представляет собой стандартное отклонение изменения стоимости портфеля за один день (млн долл.). Десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 2,33 х 0,220 х а/10 = 1,623 млн долл. Это согласуется с вычислениями, проведенными в предыдущей главе.
Учет процентных ставок
Определить рыночный показатель, влияющий на стоимость отдельной облигации или процентную ставку, — чрезвычайно сложная задача. Необходимо сделать несколько упрощений. Например, можно предположить, что кривая доходности допускает только параллельные сдвиги. В этом случае необходимо определить только один рыночный показатель: величину параллельного сдвига. Тогда изменение стоимости портфеля облигаций можно вычислить с помощью отношения, связывающего ее с дюрацией облигации:
ДР = —DPAy,
где Р — стоимость портфеля, ДР — изменение величины Р за сутки, D — модифицированная продолжительность портфеля, а Ду — параллельный сдвиг кривой доходности за один день.
Этот подход не гарантирует достаточной точности. В качестве основного рыночного показателя, как правило, выбираются цены облигаций с нулевым купоном и стандартными сроками погашения: один месяц, три месяца, шесть месяцев, год, два года, пять лет, семь лет, десять лет и тридцать лет. Для вычисления показателя VaR денежные поступления от ценных бумаг, включенных в портфель, отображаются в денежные поступления, поступающие в стандартные сроки погашения облигаций.
Рассмотрим позицию по казначейской облигации стоимостью 1 млн долл, и со сроком погашения через 1,2 года, если ее купонная доходность равна 6% и проценты выплачиваются раз в полгода. Купонные выплаты осуществляются через 0,2, 0,7 и 1,2 года, а выплата основной суммы — через 1,2 года. Следовательно, позицию по этой облигации можно разложить на позицию стоимостью 30 000 долл, по 0,2-летней облигации с нулевым купоном, позицию стоимостью 30 000 долл, по 0,7-летней облигации с нулевым купоном и позицию стоимостью 1,03 млн долл, по 1,2-летней облигации с нулевым купоном. Затем первая позиция заменяется эквивалентной позицией по одномесячной и трехмесячной облигациям с нулевым купоном, вторая позиция — эквивалентной позицией по шестимесячной и годовой облигациям с нулевым купоном, а третья позиция — эквивалентной позицией по однолетней и двухлетней облигациям с нулевым купоном. В результате позиция по 1,2-летней купонной облигации заменяется позициями по облигациям с нулевым купоном и сроком погашения через один, три и шесть месяцев, а также один и два года.
Эта процедура называется отображением денежных потоков (cash-flow mapping). Один из способов осуществления этой процедуры изложен в приложении к этой главе.
Приложения линейной модели
Простейший пример линейной модели — портфель, состоящий из акций, облигаций, иностранной валюты, товаров и не содержащий производных ценных бумаг. В таком случае изменение стоимости портфеля линейно зависит от относительных изменений цен активов, включенных в портфель. Обратите внимание на то, что для вычисления показателя VaR все цены активов измеряются во внутренней валюте. В число рыночных показателей, которые крупный банк в США, скорее всего, будет считать кандидатами для анализа, входит фондовый индекс Nikkei 225 в долларовом исчислении; цена 10-летней облигации с нулевым купоном, номинированной в фунтах стерлингов, стоимость которой измеряется в долларах; и др.
В качестве примера дериватива, который можно описать линейной моделью, можно рассматривать форвардный контракт на покупку иностранной валюты. Допустим, что контракт истекает через Т лет. Его можно интерпретировать как обмен облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью, выраженной в иностранной валюте, срок погашения которой наступает через Т лет, на облигацию с нулевым купоном и номинальной стоимостью, выраженной во внутренней валюте, срок погашения которой наступает через Т лет. Таким образом, для вычисления показателя VaR форвардный контракт можно трактовать как сочетание длинной позиции на валютную облигацию с короткой позицией на внутреннюю облигацию. К каждой облигации можно применить процедуру отображения денежных потоков.
Рассмотрим далее процентный своп. Как показано в главе 6, его можно интерпретировать как обмен облигации с плавающей ставкой на облигацию с фиксированной ставкой. Облигация с фиксированной ставкой — это обычная облигация с купонными выплатами. Стоимость облигации с плавающей ставкой сразу после очередной выплаты равна ее номиналу. Ее можно интерпретировать как облигацию с нулевым купоном и сроком погашения, наступающим в момент следующей выплаты. Следовательно, процентный своп можно интерпретировать как портфель, состоящий из длинных и коротких позиций по облигациям, и к нему можно применять процедуру отображения денежных потоков.
Линейная модель и опционы
Применим линейную модель к опционам. Для начала рассмотрим портфель, состоящий из опционов на отдельную акцию с текущей ценой S. Допустим, что коэффициент дельта этой позиции равен 6 (будем считать, что он вычислен так,
как описано в главе 15).6 Поскольку он представляет собой скорость изменения стоимости портфеля по сравнению с ценой акции S, справедливо следующее приближенное равенство.
AS’
или
АР = <5AS, (18.3)
где AS — изменение цены акции за один день, а ДР — изменение стоимости портфеля за один день. Обозначим через А® относительное изменение цены акции за один день.
Л A-S А® = ——-.
Отсюда следует, что приближенная зависимость между величинами АР и Дж имеет вид
ДР = S6&X.
Если позиция охватывает несколько опционов, можно вывести аналогичную приближенную линейную зависимость между величинами ДР и Да^. Эта зависимость имеет вид
ДР = 22 SiSi^Xi, (18.4)
i=l
где Sj — величина г-го рыночного показателя, а S{ — коэффициент дельта портфеля по отношению к г-й рыночной переменной. Это соответствует равенству (18.1)
AP = ^QiAxb (18.5)
i=l
в котором Qj = SiSi. Таким образом, формулу (18.2) можно использовать для вычисления стандартного отклонения переменной АР.
Пример 18.1
Портфель состоит из опционов на акции компаний Microsoft и AT&T. Коэффициенты дельта опционов на акции компаний Microsoft и AT&T равны 1000 и 20000 соответственно. Цена акции компании Microsoft равна 120 долл., а компании AT&T — 30 долл. Из равенства (18.4) следует, что справедливо следующее приближенное равенство.
АР = 120 х 1000 х Джх + 30 х 20000 х Дж2,
6Обычно коэффициенты дельта и гамма, характеризующие инвестиционный портфель, обозначаются как Д и Г. Однако, чтобы избежать перегрузки символа Д, в этом и следующем разделах мы будем использовать греческие буквы 6 и 7.
ДР = 120000Д®! + 600000Дж2,
где Д.Т] и Д®2 ” значения доходности акций компаний Microsoft и AT&T соответственно за один день, а ДР — результирующее изменение стоимости портфеля. (Предполагается, что портфель эквивалентен инвестициям в акции компаний Microsoft и AT&T на сумму 120000 и 600000 долл.) Предположим, что суточная волатильность цены акции компании Microsoft равна 2%, суточная волатильность цены акции компании AT&T — 1%, а коэффициент корреляции между их суточными изменениями равен 0,3. Тогда стандартное отклонение величины ДР равно
^/(120 х 0,02)2 + (600 х 0,01)2 + 2 х 120 х 0,02 х 600 х 0,01 х 0,3 =
= 7,099 тыс. долл.
Поскольку Л'(—1,65) = 0,05, пятидневный показатель VaR с 95%-ным доверительным уровнем равен
1,65 х -Уб х 7,099 = 26 193 долл.
18.5 Квадратичная модель
Если портфель содержит опционы, линейная модель становится приближенной. Она не учитывает коэффициент гамма инвестиционного портфеля. Как указывалось в главе 15, коэффициент дельта представляет собой скорость изменения стоимости портфеля по отношению к изменениям значений базового рыночного показателя, а коэффициент гамма — скорость изменения коэффициента дельта по отношению к изменениям значений базового рыночного показателя. Коэффициент гамма измеряет кривизну зависимости между стоимостью портфеля и базовым рыночным показателем.
На рис. 18.3 продемонстрировано влияние ненулевого коэффициента гамма на распределение вероятных значений стоимости портфеля. Если коэффициент гамма положителен, распределение вероятностей имеет положительную асимметрию. Если же коэффициент гамма является отрицательным, распределение гамма имеет отрицательную асимметрию. Причины этого явления показаны на рис. 18.4 и 18.5. На рис. 18.4 продемонстрирована зависимость между стоимостью длинной позиции по опциону “колл” и ценой базового актива. Длинная позиция по опциону “колл” — это пример опционной позиции с положительным коэффициентом гамма. Как показывает анализ рисунка, если стоимость базового актива в конце дня имеет нормальное распределение, то распределение вероятных значений стоимости
опциона имеет положительную асимметрию.7 На рис. 18.5 показана зависимость между стоимостью короткой позиции по опциону “колл” и ценой базового актива. Короткий опцион “колл” — это пример опционной позиции с отрицательным коэффициентом гамма. Как показывает анализ рисунка, если стоимость базового актива в конце дня имеет нормальное распределение, то распределение вероятных значений стоимости опциона имеет отрицательную асимметрию.
Рис. 18.3. Распределение вероятных значений стоимости портфеля: а) положительный коэффициент гамма; б) отрицательный коэффициент гамма
Рис. 18.4. Преобразование нормального распределения вероятных значений стоимости актива в распределение вероятных значений стоимости длинной позиции по опциону “колл” на актив
7Как указывалось в сноске 5, при вычислениях показателя VaR логнормальное распределение можно аппроксимировать логнормальным.
Рис. 18.5. Преобразование нормального распределения вероятных значений стоимости актива в распределение вероятных значений стоимости короткой позиции по опциону “колл” на актив
Показатель VaR инвестиционного портфеля чрезвычайно сильно зависит от левого хвоста распределения вероятных значений его стоимости. Например, если доверительный уровень равен 99%, показатель VaR равен значению, отсекающему от левого хвоста фигуру, площадь которой равна 1% всей площади, ограниченной плотностью вероятностей. Как показано на рис. 18.3, а и 18.4, распределение вероятных цен портфеля с положительным коэффициентом гамма имеет более легкий левый хвост, чем нормальное распределение. Если предположить, что распределение вероятных цен портфеля является нормальным, оценка показателя VaR окажется слишком завышенной. Аналогично, как показано на рис. 18.3, б и 18.5, распределение вероятных цен портфеля с отрицательным коэффициентом гамма имеет более тяжелый левый хвост, чем нормальное распределение. Если предположить, что распределение вероятных цен портфеля является нормальным, оценка показателя VaR окажется слишком заниженной.
Для того чтобы вычислить показатель VaR с точностью, большей, чем та, которую обеспечивает линейная модель, необходимо выявить зависимость между коэффициентами дельта и гамма, с одной стороны, и величинами ДР и Д.77, с другой. Рассмотрим портфель, содержащий единственный актив стоимостью S долл. Обозначим через <5 и 7 значения коэффициентов дельта и гамма. Как показано в приложении 15.1, формула
ДР - 5Д5 + ^7(Д5)2
является более точной, чем формула (18.3).8 Полагая
Л &S кх = —, о
приводим это выражение к следующему виду.
AF = SSAx + |б'27(Дж)2.
(18.6)
Если инвестиционный портфель зависит от п рыночных показателей, причем каждая из ценных бумаг, входящих в портфель, зависит только от одного рыночного показателя, равенство (18.6) принимает вид
п п 1
др = Е +Е
г=1 г=1 2
где Si — значение г-го рыночного показателя, а Si и — коэффициенты дельта и гамма портфеля по отношению к г-му рыночному показателю. Если ценные бумаги, включенные в портфель, могут зависеть от нескольких рыночных показателей, это равенство принимает более общий вид.
ДР = SiSiAxi + Е Е ^SiSj^ij^Xi^Xj. (18.7)
i=l i=l j=l
Здесь — это так называемый “перекрестный” коэффициент гамма, определяемый по формуле
д2Р
7ij ~ dSidSj ’
Работать с равенством (18.7) сложнее, чем с формулой (18.5). Однако с его помощью можно вычислить моменты случайной величины ДР. Оценить перцентили распределения вероятностей случайной величины ДР можно с помощью разложения Корниша-Фишера (Cornish-Fisher) и соответствующих моментов распре-о
деления/
Разложение величины ДР в ряд Тейлора имело в приложении 15.1 вид др = едг + 6&s + ^(дз)2,
а члены с более высоким порядком величины Д1 игнорировались. На практике слагаемое 0Д1 также очень мало и обычно игнорируется.
’Подробное описание процедуры вычисления моментов распределения изложено на Web-сай-те автора в техническом замечании 10. Для одной базовой переменной В (ДР) = 0,5.5'2Гст2, Е[(ДР)2] = §2Д2ст2 + 0,7554Гст4, Е[(ДР)3] = 4,554Д2Гст4 + 1,87556Г3сте. Здесь S - величина переменной, а ст — суточная волатильность. Вычисление разложения Корниша-Фишера можно осуществить с помощью процедуры Application Builder программы DerivaGem.
18.6 Метод Монте-Карло
В качестве альтернативы методам, изложенным выше, распределение случайной величины ДР можно моделировать с помощью метода Монте-Карло. Допустим, требуется вычислить однодневный показатель VaR инвестиционного портфеля. Соответствующая процедура имеет следующий вид.
1. Вычисляем текущую стоимость портфеля, как обычно, используя текущие значения рыночных показателей.
2. Извлекаем из генеральной совокупности случайных величин, имеющих многомерное нормальное распределение, величины Д.т,.10
3. Определяем с помощью выборочных величин Дж, значения каждого из рыночных показателей в конце операционного дня.
4. Переоцениваем стоимость портфеля в конце операционного дня, как обычно.
5. Вычитаем величину, вычисленную на шаге 1, из величины, вычисленной на шаге 4, и определяем выборочное значение ДР.
6. Повторяя шаги 2-5 много раз, получаем распределение случайной величины ДР.
Показатель VaR равен одному из перцентилей распределения случайной величины ДР. Допустим, мы вычислили 5 000 разных выборочных значений ДР с помощью описанной выше процедуры. Однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен значению величины ДР, соответствующей 50-му наименьшему исходу, однодневный показатель VaR с 95%-ным доверительным уровнем равен значению величины ДР, соответствующей 25 му наименьшему исходу и т.д.11 TV-дневный показатель VaR, как обычно, представляет собой однодневный показатель VaR, умноженный на \/7V,12
Если инвестиционный портфель содержит сотни тысяч разных ценных бумаг, метод Монте-Карло работает очень медленно, поскольку процедура его применения предусматривает многократную переоценку портфеля.13 Ускорить эту процедуру можно, предположив, что равенство (18.7) описывает зависимость между величинами ДР и Д.т,. Тогда мы сможем перепрыгнуть с шага 2 сразу на шаг 5, избежав необходимости полной переоценки портфеля. Иногда этот подход называют методом частичного моделирования (partial simulation approach).
10Один из таких способов описан в главе 17.
"Теория экстремальных значений позволяет “сгладить хвосты” и получить более точные оценки экстремальных перцентилей.
|2Если портфель содержит опционы, это правило становится неточным, однако оно применяется практически во всех методах вычисления показателя VaR.
13Метод, ограничивающий количество переоценок инвестиционного портфеля, изложен в работе Jamshidian F. and Zhu Y. Scenario Simulation Model: Theory and Methodology // Finance and Stochastics, 1 (1997). - P. 43-67.
18.7 Сравнение подходов
Мы рассмотрели два метода оценки показателя VaR: метод исторического моделирования и построения моделей. С одной стороны, метод исторического моделирования позволяет быстро получить результат. Кроме того, его можно сочетать с методами корректировки волатильности, изложенными в следующей главе. С другой стороны, в его основе лежит предположение, что рыночные показатели имеют многомерное нормальное распределение. Однако на практике распределения ежедневных изменений рыночных показателей часто отличаются от нормального (см., например, табл. 16.1).
Преимущество метода исторического моделирования заключается в том, что фактические данные за прошлый период времени определяют совместное распределение рыночных показателей. Кроме того, этот метод позволяет избежать отображения денежных потоков (см. задачу 18.2). Однако с вычислительной точки зрения этот метод работает слишком медленно и непросто сочетается с методами 14 корректировки волатильности.
Недостаток метода построения моделей заключается в том, что для портфелей с малым коэффициентом дельта он дает слишком неточные результаты (см. задачу 18.21).
18.8 Тестирование в предельных режимах и обратное тестирование
Кроме вычисления показателя VaR, многие компании осуществляют тестирование в предельных режимах (stress test). Этот метод связан с оценкой эффективности инвестиционного портфеля при резких изменениях состояния рынка, наблюдавшихся в течение последних 10-20 лет.
Например, для оценки влияния экстремальных изменений цен акций американских компаний аналитик может установить изменения всех рыночных показателей равными значениям, которые они принимали 19 октября 1987 года (когда индекс S&P 500 упал на 22,3 стандартных отклонений). Если этот сценарий покажется слишком невероятным, аналитик может выбрать изменения рыночных показателей, зафиксированные 8 января 1988 года (когда индекс S&P 500 упал на 6,8 стандартных отклонений). Чтобы оценить влияние экстремальных изменений рыночных показателей в Великобритании, компания может выбрать относительные изменения рыночных показателей, зарегистрированные 10 апреля 1992 года *
|4Способ адаптации метода исторического моделирования с учетом обновления волатильности описан в работе Hull J. and White A. Incorporating volatility updating into the historical simulation method for value-at-risk // Journal of Risk, 1, No. 1 (1998). — P. 5-19.
(когда доходность 10-летних казначейских обязательств изменилась на 7,7 стандартных отклонений).
Тестирование в предельных режимах можно рассматривать как попытку учесть возможные экстремальные события, которые иногда могут происходить, хотя их вероятность очень невелика. Например, крайне маловероятным является изменение рыночного показателя на пять стандартных отклонений за один день. Если предположить, что изменения рыночных показателей имеют нормальное распределение, окажется, что такое событие может произойти только раз за 7 000 лет. Однако на практике оказывается, что такие события происходят не реже одного-двух раз за 10 лет.
Еще одним важным методом оценки показателя VaR является обратное тестирование (bask testing). Его цель — проверить, насколько точными были оценки показателя VaR в прошлом. Допустим, что мы вычисляем однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем. Обратное тестирование может показать, как часто размер убытков за один день превышал величину этого показателя. Если окажется, что количество таких дней не превышает 1%, то применяемый метод следует признать удовлетворительным. Если же количество таких дней будет равно 7%, то у аналитика должны возникнуть сомнения в правильности применяемой методики оценки показателя VaR.
18.9 Анализ главных компонентов
Анализ главных компонентов является одним из методов оценки риска, обусловленного влиянием группы сильно коррелированных рыночных показателей. Цель этого метода — выявить набор компонентов или факторов, объясняющих изменения рыночных показателей в прошлом.
Проиллюстрируем этот метод на следующем примере. Рассмотрим изменения ставок по десяти казначейским облигациям со сроками погашения от 3 до 30 лет. В табл. 18.3 и 18.4 приведены данные, собранные Фраем (Frye) на основе 1543 ежедневных наблюдений за период с 1989 по 1995 гг.15 Первый столбец в табл. 18.3 содержит сроки погашения рассматриваемых облигаций. В оставшихся десяти столбцах записаны десять факторов (или главных компонентов), влияющих на изменение ставок. Первый фактор, обозначенный как РС1, примерно соответствует параллельному сдвигу кривой доходности. Если этот фактор изменяется на единицу, ставка по трехмесячной облигации увеличивается на 0,21 базисных пункта, по шестимесячной -- на 0,26 базисных пункта и т.д. Во втором столбце приведен фактор, обозначенный как РС2. Он соответствует “скручиванию” (“twist”, or “steepening”) кривой доходности. Например, ставки
15См. FryeJ. Principals of Risk: Finding VAR through Factor-Based Interest Rate Scenarios; in VAR: Understanding and Applying Value at Risk, Risk Publications, London, 1997, P. 257-288.
по облигациям со сроками погашения от двух месяцев до двух лет изменяются в одном направлении, а ставки по облигациям со сроками погашения от 3 до 30 лет — в другом. Третий фактор соответствует изгибанию кривой доходности. Ставки по краткосрочным и долгосрочным облигациям изменяются в одном направлении, а ставки по остальным облигациям — в другом. Изменение процентной ставки в зависимости от конкретного фактора называется факторной нагрузкой (factor loading). В нашем примере факторная нагрузка на трехмесячную ставку равна 0,21.16
Таблица 18.3. Факторные нагрузки на ставки по казначейских облигациям
РС1 РС2 РСЗ РС4 РС5 РС6 РС7 РС8 РС9 РС10
3 месяца 0,21 -0,57 0,50 0,47 -0,39 -0,02 0,01 0,00 0,01 0,00
6 месяцев 0,26 -0,49 0,23 -0,37 0,70 0,01 -0,04 -0,02 -0,01 0,00
1 год 0,32 -0,32 -0,37 -0,58 • -0,52 -0,23 -0,04 -0,05 0,00 0,01
2 года 0,35 -0,10 -0,38 0,17 0,04 0,59 0,56 0,12 -0,12 -0,05
3 года 0,36 0,02 -0,30 0,27 0,07 0,24 -0,79 0,00 -0,09 -0,09
4 года 0,36 0,14 -0,12 0,25 0,16 -0,63 0,15 0,55 -0,14 -0,08
5 лет 0,36 0,17 -0,04 0,14 0,08 -0,10 0,09 -0,26 0,71 0,48
7 лет 0,34 0,27 0,15 0,01 0,00 -0,12 0,13 -0,54 0,00 -0,68
10 лет 0,31 0,30 0.28 -0,10 -0,06 0,01 0.03 -0,23 -0,63 0,52
30 лет 0,25 0,33 0,46 -0,34 -0,18 0,33 -0,09 0,52 0,26 -0,13
Поскольку в нашем анализе задействованы десять ставок и десять факторов, изменения процентных ставок в любой выбранный день можно выразить в виде суммы факторов, решив систему, состоящую из десяти линейных уравнений. Вклад отдельного фактора в изменение процентных ставок в течение конкретного дня называется значением фактора (factor score).
Важность фактора изменяется стандартным отклонением его значения. Стандартные отклонения значений факторов, влияющих на ставки по казначейским облигациям, приведены в табл. 18.4. Факторы перечислены в порядке убывания их важности. Изменение первого фактора на одно стандартное отклонение соответствует изменению трехмесячной ставки на 0,21 х 17,49 = 3,67 базисных пунктов, изменению шестимесячной ставки на 0,26 х 17,49 = 4,55 базисных пунктов и т.д.
|6Сумма квадратов всех факторных нагрузок равна единице.
Таблица 18.4. Стандартные отклонения значений факторов (базисные пункты)
РС1 РС2 РСЗ РС4 РС5 РС6 РС7 РС8 РС9 РС10
17,49 6,05 3,10 2,17 1,97 1,69 1,27 1,24 0,80 0,79
Технические детали идентификации факторов выходят за рамки нашей книги. Достаточно сказать, что эти факторы следует выбирать так, чтобы их значения не коррелировали друг с другом. Так, в рассмотренном выше примере значения первого фактора (величина параллельного сдвига) на протяжении 1 543 дней не коррелировали со значениями второго фактора (величина скручивания).
Сумма всех дисперсий факторов (т.е. квадратов стандартного отклонения) равна общей дисперсии данных. Из табл. 18.3 следует, что общая дисперсия исходных данных (т.е. сумма дисперсий ставок по трехмесячным, шестимесячным и прочим облигациям) равна
17,492 + 6,052 + 3,102 + • + 0,792 = 367,9.
Легко видеть, что первый фактор объясняет 17,492/367,9 = 83,1% изменений исходных данных, два первых фактора объясняют (17,492 + 6,052)/367,9 = 93,1% изменений, а третий фактор -- остальные 2,8%. Таким образом, практически весь риск, связанный с колебаниями процентных ставок по облигациям, обусловлен первыми двумя или тремя факторами. Следовательно, для анализа риска, которому подвергается инвестиционный портфель, достаточно ограничиться тремя указанными факторами. Их факторные нагрузки продемонстрированы на рис. 18.6.
Вычисление показателя VaR с помощью анализа главных компонентов
Чтобы продемонстрировать вычисление показателя VaR с помощью анализа главных компонентов, предположим, что стоимость инвестиционного портфеля зависит от изменений процентных ставок, перечисленных в табл. 18.5. Изменение однолетней процентной ставки на один базисный пункт приводит к увеличению стоимости портфеля на 10 млн долл. Изменение двухлетней процентной ставки на один базисный пункт приводит к увеличению стоимости портфеля на 4 млн долл, и т.д. Попробуем объяснить изменение процентных ставок первыми двумя показателями. (Как указано в предыдущем разделе, они обусловливают 90% всех изменений процентных ставок.) Используя данные из табл. 18.3, приходим к выводу, что влияние первого фактора на стоимость портфеля равно
10 х 0,32 + 4 х 0,35 — 8 х 0,36 — 7 х 0,36 + 2 х 0,36 = —0,08 млн долл./баз. пункт.
Рис. 18.6. Три наиболее важных фактора, объясняемые поведением кривой доходности
Аналогичные вычисления показывают, что влияние второго фактора на стоимость портфеля равно
10х(—0,32)+4х(—0,10)—8x0,02—7x0,14+2x0,17 = —4,40 млн долл./баз. пункт.
Пусть /1 и /2 — значения первого и второго факторов, измеренные в базисных пунктах. Тогда изменение стоимости портфеля с достаточной точностью можно вычислить по формуле
ДР = -0,08/1 - 4,40/г.
Значения факторов не коррелируют друг с другом. Их стандартные отклонения приведены в табл. 18.4. Отсюда следует, что стандартное отклонение величины <5Р равно____________________________________
х/0,082 х 17,492 + 4,402 х 6,052 = 26,66.
Таким образом, однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен 26,66 х 2,33 = 62,12. Как следует из табл. 18.5, стоимость портфеля мало зависит от первого фактора и сильно — от второго. Однако использование только одного фактора приводит к сильной недооценке показателя VaR (см. задачу 18.13). Метод обработки процентных ставок, основанный на анализе продолжительности облигаций, также приводит к существенной недооценке показателя VaR, если при его вычислении используется только параллельный сдвиг кривой доходности.
Таблица 18.5. Изменения стоимости портфеля при изменении процентной ставки на один базисный пункт
Однолетняя ставка Двухлетняя ставка Трехлетняя ставка Четырехлетняя ставка Пятилетняя ставка
+10 +4 -8 —7 +2
Теоретически, анализ главных компонентов можно использовать для оценки рыночных показателей, не являющихся процентными ставками. Допустим, что финансовая организация подвергается риску, связанному с колебаниями разных фондовых индексов. С помощью анализа главных компонентов можно идентифицировать факторы, описывающие изменение фондовых индексов, выявить самые важные из них и заменить ими рыночные показатели, используемые при вычислении показателя VaR. Эффективность анализа главных компонентов зависит от величины корреляции между рыночными показателями, на основе которых проводится анализ.
Как указывалось ранее, показатель VaR обычно вычисляется путем сравнительного анализа изменений стоимости портфеля и относительных изменений рыночных показателей (т.е. величин Длг). Следовательно, анализ главных компонентов можно проводить на основе относительных, а не абсолютных изменений рыночных показателей.
Резюме
Вычисление показателя VaR позволяет утверждать, что в течение следующих N дней с вероятностью X процентов компания не потеряет больше V долларов. Здесь V — показатель VaR, X — доверительный уровень, a N — горизонт времени.
Одним из методов вычисления показателя VaR является метод исторического моделирования. Он связан с созданием базы данных, содержащей ежедневные изменения всех рыночных переменных за определенный период времени. На первом этапе моделирования принимается предположение, что относительные изменения рыночных показателей равны относительным изменениям рыночных показателей за первый день. На втором этапе моделирования принимается предположение, что относительные изменения рыночных показателей равны относительным изменениям рыночных показателей за второй день и так далее на каждом этапе исторического моделирования вычисляется изменение стоимости портфеля ДР. Показатель VaR равен соответствующему перцентилю распределения вероятных значений величины ДР.
Альтернативный подход основан на построении моделей и следующих предположениях.
1. Изменение стоимости портфеля ДР линейно зависит от относительных изменений рыночных показателей.
2. Относительные изменения рыночных показателей имеют многомерное нормальное распределение.
В этом случае величина ДР имеет нормальное распределение и существует аналитическая формула, связывающая стандартное отклонение величины ДР со значениями волатильности и коэффициентами корреляции между базовыми рыночными показателями. Показатель VaR можно вычислить, используя хорошо известные свойства нормального распределения.
Если инвестиционный портфель содержит опционы, зависимость величины ДР от относительных изменений рыночных показателей является нелинейной. Зная коэффициент гамма, можно установить приближенную квадратичную зависимость между величиной ДР и относительными изменениями рыночных показателей. Для оценки показателя VaR можно применить либо разложение Корниша-Фишера, либо метод Монте-Карло.
В следующей главе будут рассмотрены методы оценки волатильности и коэффициента корреляции при построении моделей.
Дополнительная литература
Artzner Р, Delbaen Е, Eber J.-M. and Heath D. Coherent Measures of Risk // Mathematical Finance, 9 (1999). — P. 203-228.
Basak S. and Shapiro A. Value-at-Risk-Based Risk Management: Optimal Policies and Asset Prices // Review of Financial Studies, 14, 2 (2001). — P. 371-405.
Beder T. VaR: Seductive bur Dangerous // Financial Analysts Journal, 51,5 (1995). -P. 12-24.
Boudoukh J., Richardson M. and Whitelaw R. The Best of Both Worlds // Risk, May 1998. - P. 64-67.
Dowd K. Beyond Value at Risk: The New Science of Risk Management. — Wiley, New York, 1998.
Duffie D. and Pan J. An Overview of Value at Risk // Journal of Derivatives, 4, no. 3 (Spring 1997). - P. 7-49.
Embrechts P, Kluppelberg C. and Mikosch T. Modeling Extremal Events for Insurance and Finance. — Springer, New York, 1997.
Frye J. Principals of Risk: Finding VAR through Factor-Based Interest Rate Scenarios; in VAR: Understanding and Applying Value at Risk. — Risk Publications, London, 1997, - P. 257-288.
Elendricks D. Evaluation of Value-at-Risk Models Using Historical Data. — Economic Policy Review, Federal reserve Bank of New York, 2 (April 1966). — P. 39-69.
Hopper G. Value at Risk: A New Methodology for Measuring Portfolio Risk. — Business Review, Federal Reserve bank of Philadelphia, July/August 1996. — P. 19-29.
Hua P. and Wilbnott P. Crash Courses // Risk, June 1997. — P. 64-67.
Hull J. C. and White A. Value at Risk When Daily Changes in Market Variables Are Not Normally Distrbuted // Journal of Derivatives, 5 (Spring 1998). — P. 9-19.
Hull! C. and White A. Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk И Journal of Risk, 1, no. 1 (1998). — P. 5-19.
Jackson P, Maude D. J. and Perraudin W. Bank Capital and Value at Risk // Journal of Derivatives, 4, no. 3 (Spring 1997). — P. 73-90.
Jamshidian F. and Zhu Y. Scenario Simulation Model: Theory and Methodology // Finance and Stochastics, 1 (1997). — P. 43-67.
Jorion P. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. — Irwin, Burr Ridge, IL, 1997.
Longing F. M. Beyond the VaR // Journal of Derivatives, 8, 4 (Summer 2001). — P. 36-48.
Marshall C. and Siegel M. Value at Risk: Implementing a Risk Measurement Standard // Journal of Derivatives, 4, 3 (Spring 1997). — P. 91-111.
McNeil A. J. Extreme Value Theory for Risk Managers; in Internal Modeling and CAD II, London: Risk Books, 1999 (www.math. ethz. ch/~mcneil).
Nefici S. N. Value at Risk Calculations, extreme Events and Tail Estimation // Journal of Derivatives, 7, 3 (Spring 2000). — P. 23-38.
Rich D. Second Generation VaR and Risk-Adjusted Return on Capital // Journal of Derivatives, 10, 4 (Summer 2003). — P. 51-61.
Вопросы и задачи
18.1. Портфель состоит из инвестиций на сумму 100000 долл., вложенных в актив А, и инвестиций на сумму 100000 долл., вложенных в актив В. Допустим, что суточная волатильность обоих активов равна 1%, а коэффициент корреляции между значениями их доходности равен 0,3. Чему равен пятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем?
18.2. Опишите три альтернативных способа оценки риска, которому подвергаются ценные бумаги, зависящие от процентной ставки, если для вычисления । показателя VaR используется построение модели. Как оценить этот риск, если для вычисления показателя VaR используется метод исторического моделирования?
18.3. Финансовая организация владеет портфелем опционов на обменный курс доллар-фунт стерлингов. Дельта портфеля равна 56,0. Текущий валютный курс равен 1,5000 долл. Установите приближенную линейную зависимость между изменением стоимости портфеля и относительным изменением валютного курса. Оцените десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем, если суточная волатильность валютного курса равна 0,7%.
18.4. Допустим, что коэффициент гамма, характеризующий инвестиционный портфель из предыдущей задачи, равен 16,2. Как это повлияет на зависимость между изменением стоимости портфеля и относительным изменением валютного курса. Вычислите заново десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем, используя два первых момента изменения стоимости портфеля.
18.5. Предположим, что ежедневные изменения стоимости портфеля хорошо аппроксимируются линейной моделью, в которую входят два фактора, вычисленных с помощью анализа главных компонентов. Коэффициент дельта по первому фактору равен 6, а по второму-------4. Стандартные отклоне-
ния каждого фактора равны 20 и 8 соответственно. Оцените пятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем.
18.6. Допустим, что некая компания владеет инвестиционным портфелем, в который входят акции, облигации, иностранные валюты и товары и не входит ни одного дериватива. При каких ограничениях для вычисления показателя VaR можно применить 1) линейную модель и 2) метод исторического моделирования?
18.7. Как отобразить процентный своп в портфель, состоящий из облигаций с нулевыми купонами и стандартными сроками погашения?
18.8. Объясните разницу между рисковой стоимостью и условной рисковой стоимостью.
18.9. Почему линейная модель позволяет получить только приближенные оценки показателя VaR для портфеля, содержащего опционы?
18.10. Докажите, что 0,3-летняя облигация с нулевым купоном, описанная в приложении 18.1, эквивалентна комбинации, состоящей из позиции по трехмесячной облигации стоимостью 37 397 долл, и позиции по шестимесячной облигации стоимостью 11 793 долл.
18.11. Допустим, что пятилетняя процентная ставка равна 6%, семилетняя процентная ставка равна 7% (при ежегодном начислении), суточная волатильность пятилетней облигации с нулевым купоном равна 0,5%, а суточная волатильность семилетней облигации с нулевым купоном равна 0,58%. Коэффициент корреляции между значениями ежедневной доходности обеих
облигаций равен 0,6. Отобразите денежный поток, равный 1 000 долл, и полученный через 6,5 лет, в комбинацию позиции по пятилегней облигации и позиции по семиле гней облигации. Какие денежные суммы, полученные через пять и семь лет, эквивалентны денежной сумме, полученной через 6,5 лет?
18.12. Некоторое время назад компания заключила шестимесячный форвардный контракт на покупку одного миллиона фунтов стерлингов за 1,5 млн долл. Суточная волатильность шестимесячной облигации с нулевым купоном, номинальная стоимость которой выражена в фунтах стерлингов, равна 0,06%, а суточная волатильность шестимесячной облигации с нулевым купоном, номинальная стоимость которой выражена в долларах, равна 0,05%. Коэффициент корреляции между значениями доходности обеих облигаций равен 0,8. Текущий валютный курс равен 1,53 долл. Вычислите стандартное отклонение изменения стоимости форвардного контракта в долларах за один день. Чему равен десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем? Будем считать, что шестимесячные процентные ставки по фунтам стерлингов и долларам равны 5% годовых каждая при непрерывном начислении.
18.13. Показатель VaR на основе данных из табл. 18.5 вычислен на основе двух факторов. Как изменится его оценка, если для вычисления используются 1) один фактор и 2) три фактора?
18.14. Банк владеет инвестиционным портфелем, состоящим из опционов на определенный актив. Дельта опционов равна —30, а гамма---5. Какой
смысл имеют эти коэффициенты? Стоимость актива равна 20 долл., а его суточная волатильность — 1%. Используя квадратичную модель, вычислите первые три момента изменения стоимости портфеля. Вычислите однодневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем, используя 1) первый и второй моменты и 2) первые три момента.
18.15. Допустим, что в задаче 18.14 коэффициент вега равен —2 на 1% изменения годовой волатильности. Постройте модель, связывающую ежедневное изменение стоимости портфеля с коэффициентами дельта, гамма и вега. Объясните, как с помощью этой модели вычислить оценку показателя VaR.
Упражнения
18.16. Компания занимает позицию по облигациям на сумму 6 млн долл. Модифицированная продолжительность портфеля равна 5,2 года. Предположим, что кривая доходности допускает только параллельный сдвиг, а стандартное отклонение ежедневного изменения доходности равно 0,09. Используя
модель, основанную на продолжительности облигации, оцените 20-дневный показатель VaR с 90%-ным доверительным уровнем.
18.17. Портфель состоит из инвестиций на сумму 300 000 долл., вложенных в золото, и инвестиций на сумму 500 000 долл., вложенных в серебро. Допустим, что суточная волатильность активов равна 1,8% и 1,2% соответственно, а коэффициент корреляции между значениями их доходности равен 0,6. Чему равен десятидневный показатель VaR с 95%-ным доверительным уровнем?
18.18. Рассмотрим портфель опционов на один и тот же актив. Предположим, что коэффициент дельта портфеля равен 12, стоимость актива равна 10 долл., а суточная волатильность актива — 2%. Оцените однодневный показатель VaR с 95%-ным доверительным уровнем.
18.19. Компания занимает длинную позицию по двух- и трехлегним облигациям, а также короткую позицию по пятилетней облигации. Номинальная стоимость облигации равна 100 долл., а купонная доходность — 5% годовых. Оцените риск компании по отношению к однолетней, двухлетней, трехлетней, четырехлетней и пятилетней процентным ставкам. Используя данные из табл. 18.3 и 18.4, вычислите 20-дневный показатель VaR с 95%-ным доверительным уровнем, предполагая, что изменения ставки обусловлены изменением 1) одного фактора, 2) двух факторов или 3) трех факторов. Будем считать, что кривая доходности нулевого купона является горизонтальной и проходит на уровне 5%.
18.20. Банк выписал опционы на покупку акций одной компании и продажу акций другой компании. Цена акции первой компании равна 50 долл., цена исполнения опциона “колл” равна 51 долл., волатильность равна 28% в год, а до истечения срока действия опциона осталось девять месяцев. Цена акций второй компании равна 50 долл., цена исполнения опциона “пут” равна 19 долл., волатильность равна 25% в год, а до истечения срока действия опциона остался один год. Ни одна акция не приносит дивидендов, безрисковая процентная ставка равна 6% годовых, а коэффициент корреляции между ценами акций равен 0,4. Вычислите десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем, используя следующие методы и коэффициенты.
1) Коэффициент дельта.
2) Коэффициенты дельта, гамма и первые два момента изменения стоимости портфеля.
3) Коэффициенты дельта, гамма и первые три момента изменения стоимости портфеля.
4) Метод частичного моделирования.
5) Метод полного моделирования.
18.21. Менеджеры, управляющие рисками, часто жалуются, что построение моделей (линейных или квадратичных) не дает достаточно точных оценок риска, если коэффициент дельта близок к нулю. Проверьте, что происходит, если коэффициент дельта равен нулю, используя функцию Sample Application Е из программы DerivaGem Application Builder. (Поэкспериментируйте с разными опционными позициями и постарайтесь свести коэффициент дельта к нулю.) Объясните полученные результаты.
Приложение 18.1. Отображение денежных потоков
В приложении описывается процедура отображения денежных потоков в стандартные сроки погашения. Для иллюстрации процедуры используется простой пример, в котором инвестиционный портфель состоит из длинной позиции по казначейской облигации с номинальной стоимостью 1 млн долл, и сроком погашения через 0,8 лет. Будем считать, что облигация предусматривает полугодовые купонные выплаты в размере 10% годовых. Это значит, что облигация предусматривает купонные выплаты в размере 50 000 долл, через 0,3 и 0,8 лет. Кроме того, через 0,8 лет, помимо купона, выплачивается вся номинальная сумма. Таким образом, казначейская облигация эквивалентна позиции по 0,3-летней облигации с нулевым купоном с номинальной стоимостью 50000 долл, и позиции по 0,8-летней облигации с нулевым купоном с номинальной стоимостью 1 050 000 долл.
Позиция по 0,3-летней облигации с нулевым купоном отображается в эквивалентную позицию по трехмесячной и шестимесячной облигациям с нулевыми купонами. Позиция по 0,8-летней облигации с нулевым купоном отображается в эквивалентную позицию по шестимесячной и однолетней облигациям с нулевыми купонами. Последнюю позицию можно разложить на позиции по трехмесячной, шестимесячной и однолетней облигациям.
Процедура отображения
Рассмотрим 1050000 долл., которые мы получим через 0,8 лет. В табл. 18.6 приведены нулевые ставки, суточные значения волатильности и коэффициенты корреляции между значениями доходности разных облигаций.
Таблица 18.6. Отображение денежных потоков
Срок погашения Три месяца Шесть месяцев Один год
Нулевая ставка (% при ежегодном начислении) 5,50 6,00 7,00
Волатильность цены облигации (% в день) 0,06 0,10 0,20
Коэффициенты корреляции Трехмесячная Шестимесячная Однолетняя
между значениями ежедневной доходности облигация облигация облигация
Трехмесячная облигация 1,0 0,9 0,6
Шестимесячная облигация 0,9 1,0 0,7
Однолетняя облигация 0,6 0,7 1,0
На первом этапе следует выполнить интерполяцию между шестимесячной процентной ставкой, равной 6,0%, и однолетней процентной ставкой, равной 7%. В результате получим, что 0,8-летняя процентная ставка равна 6,6%. (Предполагается, что все ставки начисляются ежегодно.) Текущая стоимость денежного потока, равного 1 050 000 долл., который будет получен через 0,8 года, равна
1050000
1,066°’8
= 997 662 долл.
Кроме того, в результате интерполяции между волатильностью шестимесячной облигации, равной 0,1%, и волатильностью однолетней облигации, равной 0,2%, получаем, что волатильность 0,8-летней облигации равна 0,16%.
Допустим, что инвестируем долю а текущей стоимости в шестимесячную облигацию, а долю 1 — а — в однолетнюю облигацию. Используя равенство (18.2) и сопоставляя значения дисперсии, получаем следующее уравнение.
0,00162 = 0,0012а2 + 0,0022(1 - а)2 + 2 х 0,7 х 0,001 х 0,002а(1 - а).
Решая это квадратное уравнение, получаем, что а = 0,320337. Это значит, что 32,0337% стоимости следует вложить в шестимесячные облигации с нулевым купоном и 67,9663% — в однолетние облигации с нулевым купоном. Следовательно, 0,8-летние облигации, стоящие 997 662 долл., можно заменить шестимесячными облигациями на сумму
997662 х 0,320337 = 319589 долл.
и однолетними облигациями на сумму
997662 х 0,679663 = 678074 долл.
Преимущество этой схемы отображения денежных потоков заключается в том, что она сохраняет и стоимость, и дисперсию потоков. Кроме того, можно показать, что веса, приписанные двум облигациям с нулевыми купонами, всегда являются положительными.
Для 50 000 долл., которые мы должны получить через 0,3 года, можно выполнить аналогичные вычисления (см. задачу 18.10). Оказывается, текущая стоимость этого денежного потока равна 49 189 долл. Его можно заменить комбинацией позиции на сумму 37 397 долл, по трехмесячным облигациям и позиции на сумму 11 793 долл, по шестимесячным облигациям.
Результаты вычислений приведены в табл. 18.7. Они свидетельствуют о том, что 0,8-летняя облигация с купонами отображается в комбинацию позиции по трехмесячным облигациям на сумму 37397 долл., позиции по шестимесячным облигациям на сумму 331382 долл, и позиции по однолетним облигациям на
сумму 678 074 долл. Используя значения волатильности и коэффициенты корреляции, приведенные в табл. 18.6, и уравнение (18.2), можно вычислить дисперсию изменений цены 0,8-летней облигации при п = 3, ац = 37 397, аъ = 331 382, аз = 678074, ctj = 0,0006, 02 = 0,001, 03 = 0,002 и pi2 = 0,9, />13 = 0,6 и р2з = = 0,7. Эта дисперсия равна 2 628 518. Следовательно, стандартное отклонение изменений цены облигации равно у/2628518 = 1612,3 долл. Поскольку портфель содержит только облигации, десятидневный показатель VaR с 99%-ным доверительным уровнем равен
1621,3 х -/10 х 2,33 = 11946 долл.
Таблица 18.7. Отображение денежных потоков
50 000 долл., полученные через 0,3 года 1050 000 долл., полученные через 0,8 лет Всего
Позиция по трехмесячной облигации, долл. 37397 37397
Позиция по шестимесячной облигации, долл. 11793 319589 331382
Позиция по однолетней облигации, долл. 678074 678 074
Оценки волатильности и корреляции
В главе излагается метод, позволяющий оценить текущие и будущие уровни волатильности и корреляции на основе ретроспективных данных. Это необходимо как при вычислении показателя VaR с помощью построения математических моделей, так и при оценке производных ценных бумаг. При вычислении рисковой стоимости, в основном, используются текущие уровни волатильности и корреляции, поскольку в этом случае оценка возможных изменений стоимости портфеля относится к очень короткому промежутку времени. При оценке производных ценных бумаг необходимо вычислить прогнозные значения волатильности и коэффициентов корреляции на весь период действия дериватива.
В главе рассматриваются модели экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA — exponentially weighted moving average), авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH — autoregressive conditional heteroscedas-ticity) и обобщенной авторегрессионной условной гетероскедастичности (GARCH — generalized autoregressive conditional heteroscedasticity). Отличительной чертой этих моделей является то, что все они основаны на предположении о непостоянстве волатильности и корреляции. На протяжении определенных интервалов времени волатильность конкретного показателя и корреляция между определенными показателями могут быть относительно слабыми, а в другие периоды — относительно сильными. Перечисленные выше модели позволяют отследить изменение значений волатильности и коэффициентов корреляции во времени.
19.1 Оценка волатильности
Пусть ап — волатильность рыночного показателя в п-й день, вычисленная в конце (п — 1)-го дня. Квадрат волатильности сг„ называется дисперсией (variance rate) в n-й день.
Стандартный метод оценки параметра <тп на основе ретроспективных данных приведен в разделе 13.4. Допустим, что значение рыночного показателя в конце г-го дня равно Si, а показатель щ представляет собой непрерывно начисляемую доходность на протяжении г-го дня (т.е. между концом (г — 1)-го дня и концом
г-го дня).
Ui = In-—.
Oi-l
Несмещенная оценка дисперсии <т* 2 на основе последних тп измерений показателя щ имеет вид
1 т
= —<191) т — 1 z—'
i=i
где й— математическое ожидание показателя щ.
При вычислении показателя VaR формулу (19.1), как правило, корректируют несколькими способами.
1. Величину щ определяют как относительное изменение рыночного показателя за период времени, прошедший между концом (г — 1)-го дня и концом г-го дня, так что1
2. Величину и полагают равной нулю.2
3. Знаменатель т — 1 заменяют числом гл.3
Эти модификации слабо влияют на оценки дисперсии, однако позволяют переписать формулу (19.1) в упрощенном виде:
п т2^и^
(19.3)
где значения щ вычисляются по формуле (19.2).4
'Это согласуется с замечанием о способе определения волатильности для вычисления показателя VaR, сделанным в разделе 18.3.
2Как указано в разделе 18.3, это предположение очень слабо влияет на оценку дисперсии, поскольку ожидаемое изменение переменной за один день очень мало по сравнению со стандартным отклонением всех изменений.
’Замена знаменателя т— 1 числом m приводит к замене несмещенной оценки дисперсии оценкой по методу максимального правдоподобия. Этот метод рассматривается далее.
4Переменная и в этой главе играет ту же роль, что и переменная Да- из главы 18. Обе переменные представляют собой относительные изменения рыночных показателей. Индексы, нумерующие значения переменной и, обозначают разные дни, в течение которых измеряется один и тот же рыночный показатель. Индексы, нумерующие значения переменной Да, обозначают разные рыночные показатели, измеренные в один и тот же день. Индексы, нумерующие значения дисперсии а в этих главах, также имеют разный смысл. В этой главе индексы обозначают дни, а в главе 18 — рыночные показатели.
Схемы взвешивания
В формуле (19.3) веса всех величин ..., одинаковы. Посколь-
ку наша цель — оценить текущий уровень волатильности <тп, имеет смысл придать более свежим данным больший вес и переписать формулу (19.3) иначе.
ТП
°1 = ^а1ип-г- (19.4)
г=1
Коэффициент представляет собой вес, приписанный наблюдению, сделанному i дней назад. Все коэффициенты о.-,- являются положительными числами. Если их выбрать таким образом, чтобы при i > j выполнялось условие ctj < a.j, то более старые наблюдения получили бы меньшие веса. Сумма всех весов должна быть равной единице.
ТП 52^ = L i=i
С учетом долговременной средней дисперсии (long-run average variance) формула (19.4) принимает следующий вид.
ТП
= 7)4 + 52 niun-i- (!9.5)
г=1
Здесь Vl — долговременная дисперсия, а 7 — ее вес. Поскольку сумма всех весов должна быть равной единице, должно выполняться следующее условие.
тп
^ + ^аг = 1. i=l
Эта формула лежит в основе так называемой модели ARCH(m), предложенной Энглом (Engle).5 Эта оценка дисперсии учитывает долговременную среднюю дисперсию и тп наблюдений, причем чем старее данные, тем меньше их вес. Введя обозначение ш — 'уУь, уравнение (19.5) можно переписать следующим образом.
= W + 52 aiUn-i- (19.6)
г=1
Именно эта модель используется для оценки параметров.
В следующих двух разделах мы обсудим два важных метода отслеживания волатильности, основанные на формулах (19.4) и (19.5).
5См. Engle R. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation // Econometrica, 50 (1982). — P. 987-1008.
19.2 Модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего
Модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) представляет собой частный случай модели (19.4), в которой веса с*; с течением времени убывают со скоростью степенной функции. Конкретнее говоря, = Лог, где Л — константа, лежащая в диапазоне от нуля до единицы.
Оказывается, взвешенная схема позволяет упростить формулу для вычисления волатильности.
<т2 = Аа^ + (1 - АХ-г (19.7)
Таким образом, в этой модели оценка <тп волатильности рыночного показателя в п-й день (измеренного в конце (п — 1)-го дня) вычисляется с помощью оценки <тп_1 волатильности рыночного показателя в (п — 1)-й день (измеренного в конце (п — 2)-го дня) и величины un-i (последнего относительного изменения рыночного показателя).
Для того чтобы продемонстрировать, почему формула (19.7) соответствует весам, убывающим со скоростью степенной функции с основанием А, подставим в нее величину cr^-i- Тогда
= А [А<т£_2 + (1 - A) u^_2] + (1 - А) гг^_1,
т.е.
= (1- A) (uLi + А^п-г) + А2(7„-2-
Аналогично, подставляя в формулу (19.7) выражение для параметра сг^_2, получим, что
= (1 - А) (и2_1 + А*4-2 + А2^2_з) + А3<т2_з-
Продолжая в том же духе, в итоге придем к следующей формуле.
т
(Tn = (1 - А) У At-1iz2_j + Хта^ • V ' ' / J tb V tV til
г=1
При больших значениях т член Хтсг^_т становится очень малым и может быть отброшен, а формула (19.7) совпадет с формулой (19.4) при а,; = (1 — А)Аг~]. Таким образом, с течением времени показатель и убывает со скоростью Л, т.е. каждый последующий вес в Л раз больше предыдущего.
Пример 19.1
Предположим, что параметр Л равен 0,90, волатильность рыночного показателя в (тг — 1)-й день равна 1% в день, а на протяжении (тг — 1)-го дня рыночный
показатель увеличился на 2%. Это значит, что <т^_1 = 0,012 = 0,0001 и u^-i = = 0,022 = 0,0004. Из формулы (19.7) следует, что
<т2 = 0,9 х 0,0001 + 0,1 х 0,0004 = 0,00013.
Таким образом, оценка волатильности <тп в течение n-го дня равна ^0,00013, т.е. 1,14% в день. Обратите внимание на то, что ожидаемое значение величины и2_г равно <т2_1, т.е. 0,0001. В нашем примере реальное значение величины и2_ | больше, чем ожидаемое, а оценка волатильности возрастает. Если бы реальное значение величины w2-i было бы меньше ожидаемого, оценка волатильности уменьшилась бы. □
Преимущество модели EWMA заключается в том, что для ее реализации не обязательно хранить большое количество данных. В любой момент времени достаточно помнить только текущую оценку дисперсии и самое последнее измеренное значение рыночного показателя. Измерив новое значение рыночного показателя, можно вычислить новое суточное относительное изменение и получить новую оценку дисперсии, применив формулу (19.7). Старую оценку дисперсии и старое значение рыночного показателя можно забыть.
Модель EWMA позволяет отслеживать изменения волатильности. Допустим, что в (п — 1)-й день рыночный показатель испытал скачок, т.е. величина гг2_г велика. В результате оценка текущей волатильности увеличится. Параметр Л определяет чувствительность оценки суточной волатильности к последним суточным изменениям. При малом значении Л основной вклад в оценку волатильности вносит величина n2„j. В таком случае оценка волатильности рыночного показателя на протяжении последовательных дней сама по себе характеризуется высокой волатильностью. При большом значении Л (близком к единице) оценки суточной волатильности мало чувствительны к новым суточным относительным изменениям рыночного показателя.
База данных RiskMetrics, созданная Дж. П. Морганом (L. Р. Morgan) в 1994 году для оценки суточной волатильности, использует модель EWMA с показателем А = 0,94. Оказалось, что при таком выборе параметра А предсказанные значения дисперсии широкого спектра рыночных показателей очень близки к реальным.6 В частности, реальное значение дисперсии в конкретный день было вычислено как среднее равновзвешенное значение величин измеренных на протяжении последовательных 25 дней (см. задачу 19.17.)
6См. Morgan J Р ReskMetrics Monitor. — Fourth Quarter, 1995. Альтернативный подход, основанный на методе максимального правдоподобия, описан ниже.
19.3 Модель GARCH(1,1)
Перейдем к анализу модели GARCH(1,1), предложенной Боллерслевом (Во1-lerslev) в 1986 году.7 Разница между моделями GARCH(1,1) и EWMA аналогична разнице между формулами (19.4) и (19.5). В модели GARCH(1,1) величина а2 вычисляется с учетом долговременной средней дисперсии Vl, а также значений <тп-1 и ггп-1. Формула, лежащая в основе модели GARCH(1,1), имеет вид
°п = 3'Vl + a«n-i + fcn-i, (19.8)
где 7, а и /3 — веса, приписанные величинам Vl, и an-i соответственно. Поскольку сумма всех весов должна быть равной единице,
7 + (3 + а = 1.
Модель EWMA является частным случаем модели GARCH(1,1), в которой 7 = 0, а — 1 — Хи (3 = X.
Цифры (1,1) в названии модели GARCH(1,1) означают, что при вычислении дисперсии а* учитываются самое последнее значение гг и самая последняя оцен-ка дисперсии. Более общая модель GARCH(p, q) основана на формуле, в которой величина определяется по последним р наблюдениям показателя и2 и последним q оценкам дисперсии.8 Однако следует подчеркнуть, что модель GARCH(1,1) получила намного более широкое признание, чем остальные разновидности.
Если положить ш = 7^2, модель GARCH(1,1) можно переписать как
= w + аи2п_х + (19.9)
Именно в таком виде эта модель используется для оценки параметров. Зная величины ш, а и /3, параметр 7 можно вычислить как 1 — а — /3. Долговременную дисперсию Vl можно вычислить как дробь w/7. Для устойчивости процесса GARCH(1,1) необходимо, чтобы выполнялось условие а + (3 < 1. В противном случае вес, приписанный долговременной дисперсии, является отрицательным.
7См. Bollerslev Т. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity // Journal of Econometrics, 31 (1986). - P. 307-327.
8Для учета асимметричных данных были предложены другие модели GARCH. В этих моделях величина <тп зависит от знака величины tzn~i. Вероятно, эти модели более точно описывают волатильность курсов акций, чем модель GARCH(1,1). Как указывалось в главе 16, волатильность курса акций, как правило, обратно пропорциональна его значениям, так что отрицательные значения un-i должны оказывать на волатильность <тп большее влияние, чем положительные изменения. Обсуждение моделей, учитывающих асимметричные данные, см. в работах Nelson D. Conditional Heteroscedasticity and Asset Returns: A New Approach // Econometrica, 59 (1990). — P. 347-370; Engle R. F. and Ng V. Measur eg and Testing the Impact of News on Volatility // Journal of Finance, 48 (1993). — P. 1749-1778.
Пример 19.2
Допустим, что модель GARCH(1,1) имеет следующий вид.
ст2 = 0,000002 + ОДЗи2^ + О^бСТп-!-
Следовательно, а = 0,13, (3 = 0,86 и ш = 0,000002. Из условия 7 = 1 — а — (3 следует, что 7 = 0,01. Кроме того, поскольку ш = ^Vl, то Vl = 0,0002. Иначе говоря, долговременная средняя суточная дисперсия, оцененная с помощью модели GARCH(1,1), равна 0,0002. Ей соответствует волатильность, равная ^/0,0002 = = 0,014, т.е. 1,4% в день.
Допустим, что оценка волатильности в (п — 1) й день равна 1,6%, так что — 0,0162 = 0,000256. Кроме того, предположим, что в этот день рыночный показатель уменьшился на 1%, так что = 0,012 = 0,0001. Тогда
<т2 = 0,000002 + 0,13 х 0,0001 + 0,86 х 0,000256 = 0,00023516.
Следовательно, новая оценка волатильности равна ^/0,00023516 — 0,0153, т.е. 1,53% в день. □
Веса
Подставляя выражение для вычисления величины сг2_1 в формулу (19.9), получаем следующее уравнение.
СТ2 = ш + аи2п_х + (3{ш + аи2п_2 + /Зсг2_2),
т.е.
= + (Зш + аи^-х + а/3^-2 +
Подставляя в это выражение формулу для вычисления величины <т2_2, получим равенство
СТ2 = w + (Зш + [32ш + аи2_1 + а/3и2_2 + afi2u2_3 + /З3сг2_3.
Продолжая в том же духе, придем к выводу, что вес величины и2^ равен Вес в этой формуле уменьшается со скоростью (3, которую можно интерпретировать как “скорость распада” (“decay rate”). Этот показатель аналогичен параметру А в модели EWMA. Он определяет относительную важность наблюдения показателя и при вычислении текущего значения дисперсии. Например, если [3 = 0,9, то значимость величины и2 9 составляет только 90% значимости величины и2 3. В свою очередь, значимость величины ад2_3 составляет только 81% значимости величины zz2_1 и т.д. Модель GARCH(1,1), в целом, аналогична модели EWMA, за исключением того факта, что веса в ней приписываются не только квадратам наблюдаемых значений, но и долговременной средней волатильности.
Возвращение к среднему значению
Модель GARCH(1,1) учитывает тот факт, что с течением времени дисперсия стремится вернуться к долговременному среднему уровню Vl- Вес, приписанный этой величине, равен 7 = 1 — а — /3. Модель GARCH(1,1) эквивалентна модели, в которой дисперсия V подчиняется стохастическому процессу
dV = a(VL-V)dt + £Vdz,
где время измеряется днями, а = 1—а—/3 и £ = ау/2 (см. задачу 19.14). Эта модель называется моделью возвращения к среднему значению. Дисперсия в ней имеет дрейф, который сносит ее назад к значению Vl со скоростью а. Если V > Vl, то дисперсия имеет отрицательный дрейф, а если V < Vl, то положительный. Наложенный дрейф равен волатильности £. Этот вид моделей обсуждается в главе 24.
19.4 Сравнительный анализ моделей
На практике значения дисперсии действительно стремятся вернуться к среднему значению. Модель GARCH(1,1) включает в себя этот эффект, а модель EWMA — нет. Следовательно, с теоретической точки зрения, модель GARCH(1,1) более привлекательна, чем модель EWMA.
В следующем разделе мы обсудим способы вычисления оптимальных параметров ш, а и /3 в модели GARCH(1,1). Если параметр ш равен нулю, модель GARCH(1,1) совпадает с моделью EWMA. Если же оптимальное значение ш оказывается отрицательным, то модель GARCH(1,1) становится неустойчивой, и в таких ситуациях необходимо переключаться на модель EWMA.
19.5 Метод максимального правдоподобия
Рассмотрим способ вычисления параметров моделей с помощью ретроспективных данных, основанный на методе максимального правдоподобия (maximum likelihood method). Он предусматривает выбор значений параметров, при которых отношение правдоподобности становится максимальным.
Для начала проанализируем простой пример. Допустим, что в нашем распоряжении есть выборка цен 10 случайно выбранных акций в конкретный день и цена одной из них в течение этого дня упала, а цены остальных акций остались прежними или выросли. Как получить оптимальную оценку доли всех акций, цены которых упали? Естественно предположить, что эта доля равна 0,1. Теперь посмотрим, какие результаты дает применение метода максимального правдоподобия.
Допустим, что доля акций, цены которых упали, равна р. Вероятность того, что цена акции конкретной компании упадет, а цены акций остальных компаний
останутся прежними или вырастут, равна р(1 — р)9. Метод максимального правдоподобия позволяет вычислить значение р, при котором выражение р( 1 — р)9 достигает максимума. Дифференцируя это выражение по переменной р и приравнивая результат к нулю, получим, что максимум достигается при р = 0,1. Таким образом, мы получили ожидаемый результат.
Оценка постоянной дисперсии
В качестве другого примера рассмотрим задачу оценки дисперсии с помощью т значений переменной X, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Обозначим эти значения как щ,и2,..., ит, а дисперсию — буквой V. Правдоподобие наблюдаемого значения и, равно значению плотности вероятности случайной переменной X при X = щ. Иначе говоря, оно равно
1= ехр ( — —-2лт \ 2г
Правдоподобие т наблюдаемых значений, перечисленных в порядке их измерения, равно
:---ехр — —-
2тгг \ 2г
(19.10)
Используя метод максимального правдоподобия, приходим к выводу, что наилучшей оценкой переменной г является значение, при котором это выражение достигает максимума.
Максимизация этого выражения эквивалентна максимизации логарифма этого выражения. Логарифмируя выражение (19.10) и отбрасывая постоянные множители, сведем задачу к максимизации функции
—mln(r) —
г=1
г
Дифференцируя это выражение по переменной г и приравнивая результат к нулю, получим, что оценка дисперсии по методу максимального правдоподобия равна9
’Это подтверждает замечание, сделанное в сноске 3.
Оценка параметров модели GARCH(1,1)
Применим метод максимального правдоподобия для оценки параметров модели GARCH(1,1) или другой схемы оценки волатильности. Обозначим дисперсию в течение г-го дня как V{ = erf. Предположим, что величины щ имеют нормальное распределение. Проводя вычисления, аналогичные описанным выше, сведем задачу вычисления оптимальных параметров к максимизации выражения
m Г 1 / „2\т
П 7------ехР ( ~ •
“ [\/27tvt \ 2vi J
Логарифмируя, сведем задачу к максимизации выражения
Оно совпадает с выражением (19.11), за исключением того, что в нем переменная v заменена значениями г?г. Оптимальные параметры, при которых выражение (19.12) достигает максимума, вычисляются с помощью итерационного метода.
Данные, приведенные в табл. 19.1, показывают, как следует организовывать данные для модели GARCH(1,1). Таблица содержит данные анализа валютного курса японской иены за период с 6 января 1988 года по 15 августа 1997 года. Числа, записанные в табл. 19.1, представляют собой пробные оценки трех параметров модели GARCH(1,1) — ш, а и /3. В первом столбце записаны даты, во втором — порядковые номера дней, в третьем — валютный курс Si в конце г-го дня. В четвертом столбце содержатся пропорциональные изменения валютного курса за период, прошедший с конца (г — 1)-го дня до конца г-го дня, т.е. числа щ = (Si — iSi-i)ISi-i- В пятом столбце записаны оценки дисперсии = о? для г-го дня, вычисленные по данным, относящимся к концу (г — 1)-го дня. Дисперсия показателя на третий день устанавливается равной В последующие дни для вычисления оценок дисперсии используется формула (19.9). Шестой столбец содержит меры правдоподобия — In (yi) — Значения в пятом и шестом столбцах вычислены на основе текущих пробных оценок параметров ш, а и fl. Эти параметры следует выбирать таким образом, чтобы сумма чисел, записанных в шестом столбце, достигала максимального значения. Для этого используется итерационная процедура.10
10Алгоритмы общего назначения, такие, например, как процедура Solver в программе Microsoft Excel, позволяют находить локальные, а не глобальные максимумы. В идеале для нахождения точки, в которой отношение правдоподобия достигает максимума, следует применять специальные алгоритмы, такие как метод Левенберга-Маркварта (Levenberg-Marquart). См. Press W. Н, Flannery В. Р, Teukolsky S. A. and Vetterling W. Т Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. — Cambridge University Press, 1988.
В нашем примере оптимальные значения параметров равны
w = 0,00000176, а = 0,0626, [3 = 0,8976,
а максимальное значение выражения (19.12) равно 22063,5763. Числа, указанные в табл. 19.1, представляют собой результаты, полученные на последней итерации при вычислении оптимальных параметров ш, аи /3.
Таблица 19.1. Оценки параметров модели GARCH(1,1)
Даты Номера дней Si Ui Vi = ^i it? - In (Vi) - Vi
6 января 1988 г. 1 0,007728
7 января 1988 г. 2 0,007779 0,006599
8 января 1988 г. 3 0.007746 -0,004242 0,00004355 9,6283
11 января 1988 г. 4 0,007816 0,009037 0,00004198 8,1329
12 января 1988 г. 5 0,007837 0,002687 0,00004455 9,8568
13 января 1988 г. 6 0,007924 0,011101 0,00004220 7,1529
13 августа 1988 г. 2421 0,008643 0,003374 0,00007626 9,3321
14 августа 1988 г. 2422 0,008493 -0,017309 0,00007092 5,3294
15 августа 1988 г. 2423 0,008495 0,000144 0,00008417 9,3824
22 063,5763
Пробные оценки параметров модели GARCH
а д
0,00000176 0,0626 0,8976
Долговременная дисперсия Vl в нашем примере равна
1 — а — (3
0,00000176 0,0398
= 0,00004422.
Долговременная волатильность равна ^/0,00004422, т.е. 0,665% в день.
График волатильности валютного курса японской иены за десятилетний период представлен на рис. 19.1. Как видим, большую часть времени волатильность колебалась в диапазоне от 0,4% до 0,8% в день, хотя иногда она выходила за пределы 1%.
Альтернативой модели GARCH(1,1) является метод дисперсионного таргетинга (variance targeting).11 В этом методе долговременная средняя дисперсия
11 См. Engle R. and Mezrich J. GARCH for Groups // Risk, August 1996. — P. 36-40.
1.4
0,2-
0 -------1-----1------1------Т------1-----Т------1------1------1-----1
Янв-88 Янв-89 Янв-90 Янв-91 Янв-92 Янв-93 Янв-94 Янв-95 Янв-96 Янв-97 Янв-98
Рис. 19.1. График суточной волатильности валютного курса японской иены за период с 1987 по 1997 г.
Vl приравнивается к выборочной дисперсии, вычисленной с помощью исходных данных, или другой разумно выбранной величине. Тогда параметр ш полагается равным V/(l — а — /3), и вычислять необходимо только оставшиеся два параметра. Из данных, приведенных в табл. 19.1, следует, что выборочная дисперсия равна 0,00004341, а суточная волатильность — 0,659%. Установив величину Vl равной выборочной дисперсии, приходим к выводу, что оптимальными значениями величин а и f3 являются числа 0,0607 и 0,8990 соответственно, а значение целевой функции равно 22 063,5274, т.е. чуть-чуть меньше, чем число 22 063,5763, вычисленное с помощью предыдущей процедуры.
Вычислительная процедура, основанная на модели EWMA, относительно проста. В ней параметры принимают следующие оптимальные значения: w = О, а = 1 — А и Д = А, а оценке подлежит только один параметр. Как следует из табл. 19.1, значение параметра А, при котором выражение (19.12) достигает максимального значения, равно 0,9686, а значение целевой функции равно 21 995,8377.
Для вычисления параметров, максимизирующих функцию правдоподобия, можно применить процедуру Solver программы Excel и реализовать модель GARCH(1,1) и метод EWMA. Эта процедура работает корректно, только если рабочий лист устроен так, что искомые параметры приблизительно совпадают. Например, в модели GARCH(l.l) ячейки Al, А2 и АЗ могут содержать числа w х 105, а и 0,1/3. Затем в ячейки Bl, В2 и ВЗ необходимо записать числа А1/100000, А2 и 10*АЗ соответственно. Для вычисления функции правдоподобия с помощью процедуры Solver следует использовать параметры, записанные
в ячейках Bl, В2 и ВЗ. Результаты вычислений будут записаны в ячейках Al, А2 и АЗ.
Насколько хороша модель?
В основе модели GARCH лежит предположение, что волатильность со временем изменяется. На протяжении одних периодов времени волатильность может быть высокой, а на протяжении других — низкой. Иначе говоря, если значения и? велики, то значения u?+l, и?+2, ... также, скорее всего, будут велики, а если значения и? малы, то значения и?+1, и?+2> также> скорее всего, будут малы. Проверить это утверждение можно с помощью исследования автокорреляционной структуры значении и+.
Допустим, что значения и? демонстрируют наличие автокорреляции. Для того чтобы модель GARCH работала хорошо, следует исключить автокорреляцию. Для этого необходимо проанализировать автокорреляционную структуру переменных u?/cr?. Если эта проверка выявит незначительную автокорреляцию, то модель для оценки дисперсии cri будет правильно оценивать автокорреляцию переменных и?.
В табл. 19.2 приведены результаты анализа автокорреляции значений валютного курса японской иены до и после применения модели GARCH. В первом столбце приведены шаги по времени, на которых вычислялась автокорреляция. Во втором столбце записаны значения автокорреляции для переменных uj, а в третьем — для переменных tz?/cr2.12 Анализ таблицы показывает, что для переменных и? автокорреляция при всех шагах по времени от 1 до 15 является положительной. Для переменных tz2/cr2 автокорреляция в некоторых случаях была положительной, а в некоторых — отрицательной. Однако по абсолютной величине автокорреляция переменных и?/ст? намного меньше, чем автокорреляция переменных и?.
Модель GARCH довольно точно объясняет поведение исходных данных. Для более глубокого анализа необходимо применить, например, хорошо известную статистику Льюнга Бокса (Ljung-Box statistics).13 Для последовательности, состоящей из т наблюдений, статистика Льюнга- Бокса имеет следующий вид.
к
k=l
где параметр % представляет собой автокорреляцию с шагом К, и
т + 2 wk = ------77'
т — К
12Для последовательности значений Xi автокорреляция с шагом к равна коэффициенту корреляции между значениями xt и xi+fe.
|3См. Ljung G. М. and Box G. Е. Р. On а Measure of Lack of Fit in Time Series Models // Biometrica, 65 (1978). - P. 297-303.
Таблица 19.2. Автокорреляция до и после применения модели GARCH
Шаг по времени Автокорреляция переменных и? Автокорреляция переменных и? /<т?
1 0,072 0,004
2 0,041 -0,005
3 0,057 0,008
4 0,107 0,003
5 0,075 0,016
6 0,066 0,008
7 0,019 -0,033
8 0,085 0,012
9 0,054 0,010
10 0,030 -0,023
11 0,038 -0,004
12 0,038 -0,021
13 0,057 -0,001
14 0,040 0,002
15 0,007 -0,028
Если К = 15 и статистика Льюнга-Бокса больше, чем 25, то гипотезу о том, что автокорреляция равна нулю, можно отклонить с доверительным уровнем, равным 95%.
Из табл. 19.2 следует, что статистика Льюнга-Бокса для последовательности значений и? приблизительно равна 123. Это явно свидетельствует о наличии автокорреляции. Статистика Льюнга-Бокса для последовательности значений и2/а? равна 8,2, т.е. после применения модели GARCH автокорреляция почти исчезла.
19.6 Применение модели GARCH(1,1) для прогнозирования волатильности
Дисперсия, вычисленная в конце (п — 1)-го дня и приписанная n-му дню на основе модели GARCH(1,1), равна
<?П = (1 - « - 0) Vl + аи2_х +
так что
- VL = а (и2_! - VL) + (3 (cr^i - VL).
Для (п + £)-го дня в будущем оценка выглядит следующим образом.
^+t -VL = a (и2^ -VL)+(3 (<72+t^ - VL).
Ожидаемое значение случайной величины равно cr2+t_1. Следовательно,
Е (^+t - VL) = (а + 0)Е - VL),
где £ — математическое ожидание. Используя это выражение повторно, приходим к выводу, что
Е (^+t - VL) = (« + /?)‘ Е - VL),
Е (^+t) = VL + (а + 0)1 Е (а2 - VL) . (19.13)
Эта формула позволяет прогнозировать волатильность на (п + t)-U день, используя информацию, полученную в конце (п — 1)-го дня. В модели EWMA условия а + 0 = 1 и формула (19.3) означают, что математическое ожидание дисперсии, относящейся к будущему моменту времени, равно текущему значению дисперсии. Если а + 0 < 1, то последний член формулы при увеличении параметра t становится все меньше и меньше. График дисперсии в ситуациях, когда текущее значение дисперсии отличается от Vl, продемонстрирован на рис. 19.2. Как указывалось ранее, дисперсия стремится к величине Vl со скоростью 1 — а — 0. По мере увеличения срока прогноза предсказанные значения дисперсии будут все ближе и ближе к величине долговременной дисперсии Vl- Следовательно, для того чтобы процесс GARCH(1,1) был устойчивым, должно выполняться условие а + 0 < 1. Если а + 0 > 1, то вес, приписанный долговременной дисперсии, станет отрицательным, и процесс скорее станет “убеганием”, а не “возвращением” к среднему.
Рис. 19.2. График дисперсии, когда а) текущее значение дисперсии больше Vl и б) текущее значение дисперсии меньше Vl
В рассмотренном выше примере о японской иене а + (3 = 0,9602 и V/, = = 0,00004422. Допустим, что оценка текущей дисперсии за день равна 0,00006. (Это соответствует суточной волатильности, равной 0,77% в день.) Через десять дней ожидаемая волатильность будет равна
0,00004422 + 0,96O210 (0,00006 - 0,00004422) = 0,00005473.
Таким образом, ожидаемая суточная волатильность равна 0,74%, т.е. суть меньше, чем текущая. Однако волатильность, ожидаемая через 100 дней, равна
0,00004422 + 0,96O2100 (0,00006 - 0,00004422) = 0,00004449.
Следовательно, ожидаемая волатильность равна 0,667% и очень близка к долговременной.
Временная структура волатильности
Предположим, что сегодня — n-й день. Введем обозначения V (i) = Е (a2+t)
и
, 1 а = In------,
а + (3
с учетом которых уравнение (19.13) принимает следующий вид.
V(0 = VL+c “'[V(0)-V(£)].
Здесь V(L) — оценка мгновенной дисперсии за t дней. Средняя суточная дисперсия за период с текущего дня до момента Т вычисляется по такой формуле.
1
T
т
1 - е~аТ
V (t) dt = VL +---—- [V (0) - VL].
al
о
Чем больше срок действия опциона, тем ближе эта оценка к значению Vl. Величина сг(71) представляет собой годовую волатильность, которую следует использовать для оценки '^’-дневного опциона по модели GARCH(1,1). Предполагая, что год состоит из 252 рабочих дней, приходим к выводу, что ст (Г)2 в 252 раза превышает среднюю суточную дисперсию, так что
а (Т)2 = 252
/ ] — £> dr \
(J4. + —^-[V(O)-Vd)-
(19.14)
19.6. Применение модели GARCH(1,1) для прогнозирования...
Как указывалось в главе 16, для вычисления временной структуры волатильности (volatility term structure) используются рыночные цены разных опционов на один и тот же актив. Эта структура представляет собой зависимость между подразумеваемой волатильностью опциона и его сроком действия. Для оценки временной структуры волатильности на основе модели GARCH(1,1) можно использовать формулу (19.14). Квадратный корень из выражения (19.14) представляет собой оценку волатильности, необходимой для определения цены N-диевного опциона. Вычисленная временная структура волатильности, как правило, не совпадает с реальной. Однако, как покажем ниже, ее часто используют для предсказания реакции временной структуры волатильности на ее изменения.
Если текущая волатильность превышает долговременную, модель GARCH(l.l) порождает убывающую временную структуру. Если текущая волатильность меньше долговременной, модель GARCH(1,1) порождает возрастающую временную структуру. В примере об обменном курсе иена-доллар а = 1п(1/0,9602) = 0,0406 и Vl = 0,00004422. Предположим, что оценка текущей дисперсии V(0) равна 0,00006 в день. Из формулы (19.14) следует, что
/ 1 _ „—0,04067 \
ст (Г)2 = 252 ( 0,00004422 + Q (0,00006 - 0,000044220) \ ,
где параметр Т измеряется днями. Годовая волатильность временной структуры обменного курса иена-доллар для разных значений параметров Т приведена в табл. 19.3.
Таблица 19.3. Временная структура волатильности обменного курса иена-доллар, предсказанная по модели GARCH(1,1)
Срок действия опциона, дни 10 30 50 100 500
Волатильность опциона, % в год 12,00 11,59 11,33 11,00 10,65
Влияние колебаний волатильности
Формулу (19.14) можно переписать в следующем виде.
ст (Т)2 = 252
VL +
1 - е~аТ аТ
Если величина ст(0) изменяется на Лст, то величина ст(Т) изменяется на
1 - е~аТ аТ
(19.15)
Влияние изменения волатильности на стоимость валютного опциона при заданном обменном курсе иена-доллар и переменных сроках действия опциона приведено в табл. 19.4. Как и ранее, предполагается, что У(0) = 0,00006, так что ст(0) = 12,30%. В таблице рассмотрены изменения суточной волатильности на 100 базисных пунктов от 12,30 до 13,30% в год. Это значит, что Дсг(О) = 0,01, или 1%.
Таблица 19.4. Влияние 1%-го изменения суточной волатильности, предсказанного моделью GARCH(1,1)
Срок действия опциона, дни 10 30 50 100 500
Увеличение волатильности опциона, % в год 0,84 0,61 0,46 0,27 0,06
Многие финансовые учреждения используют этот метод анализа для оценки риска, которому подвергаются их сделки в зависимости от изменения волатильности. При вычислении коэффициентов вега они в качестве переменного параметра используют не изменение подразумеваемой волатильности на 1%, а относительное приращение, зависящее от срока действия опциона. Например, в табл. 19.4 для 10-дневных опционов следует рассмотреть увеличение волатильности не на 1%, а на 0,84%, для 30-дневных — на 0,61%, для 50-дневных — на 0,46% и т.д.
19.7 Корреляция
До сих пор обсуждение концентрировалось на оценках и предсказании волатильности. Однако, как указано в главе 18, при оценке показателя VaR не менее важную роль играет коэффициент корреляции. Рассмотрим процесс вычисления оценки коэффициента корреляции.
Коэффициентом корреляции между случайными переменными X и Y называется величина
cov(X, У)
СГХСГу
где ох и оу — стандартные отклонения переменных X и У, a cov(X, У) — ковариация между ними. Ковариация между переменными X и У определяется по формуле
Е[(Х - Ы(У - /ху)],
где рх и р.у — средние значения переменных, а Е — математическое ожидание. Несмотря на то что коэффициент корреляции имеет более простую интерпрета
цию, чем ковариация, именно последняя величина будет играть ключевую роль в последующем анализе.14
Обозначим через Xi и уг относительные изменения переменных X и Y, зарегистрированные в промежутке между концом (г — 1)-го дня и концом г-го дня.
Здесь Xi и Yi — значения переменных X и Y, зафиксированные в конце г-го дня. Кроме того, введем следующие обозначения.
ахп: суточная волатильность переменной X, вычисленная для n-го дня;
суточная волатильность переменной Y, вычисленная для n-го дня;
covn: оценка ковариации между суточными изменениями переменных X и Y, вычисленная для n-го дня.
Оценка корреляции между переменными X и Y в n-й день имеет следующий
&х, п^у,п
Используя схему с одинаковыми весами, предполагая, что средние значения переменных Xi и yi равны нулю, и применяя формулу (19.3), можно получить следующие оценки дисперсии переменных X и Y на основе последних т наблюдений.
1 ™ 1 ™
2 1 V 2 2 1 \ 2
ах,п — т 2__, xn-ii °у,п ~ т / , Уп-г
г=1 г=1
Аналогичная оценка ковариации между переменными X и Y имеет следующий вид.
1 т
covn = — У хп^уп^. (19.16)
г=1
Альтернативную оценку можно получить, используя модель EWMA. В этом случае оценка ковариации вычисляется по такой формуле.
covn = Acovn-1 +(1 - X)xn-iyn-1.
Проводя анализ на основе модели EWMA, легко доказать, что веса, приписанные значениям xi и уi, с течением времени убывают. Чем меньше значение А, тем больше вес, приписанный недавним наблюдениям.
|4Это напоминает отношение между дисперсией и волатильностью в схемах EWMA и GARCH. Основную роль в этих моделях играет дисперсия, хотя понятие волатильности намного проще для
понимания.
Пример 19.3
Предположим, что параметр А равен 0,95, а оценка корреляции между переменными X и Y в (п — 1)-й день равна 0,6. Допустим также, что оценки волатильности переменных X и Y в (п — 1)-й день равны 1% и 2% соответственно. Из зависимости между корреляцией и ковариацией следует, что ковариация между переменными X и Y в (п — 1)-й день равна
0,6 х 0,01 х 0,02 = 0,00012.
Допустим, что относительные изменения переменных X и У в (п — 1)-й день равны 0,5% и 2,5% соответственно. Дисперсия и ковариация в п-й день равны следующим величинам.
сг2;П = 0,95 х 0,012 + 0,05 х 0,0052 = 0,00009625,
<т2 п = 0,95 х 0,022 + 0,05 х 0,0252 = 0,00041125,
covn = 0,95 х 0,00012 + 0,05 х 0,005 х 0,025 = 0,00012025.
Новые значения волатильности переменных X и У равны д/(),00009625 = 0,981% и х/0,00041125 = 2,028% соответственно. Новый коэффициент корреляции между переменными X и У равен
0.00012025
-----:-----------= 0,6044.
0,00981 х 0,02028 ’ □
Для уточнения оценок ковариации и предсказания ее будущих значений можно использовать также модель GARCH(1,1). Например, формула для вычисления ковариации по модели GARCH(1,1) имеет вид
covn = ш + ахп-гуг,^ + (3 cov„_i,
а долговременная средняя дисперсия равна ш/(1 - а — Д). Для предсказания будущих значений ковариации и вычисления средней ковариации на протяжении всего срока действия опционов можно вывести формулы, аналогичные формулам (19.13) и (19.14).15
Условие согласованности оценок ковариации
Вычислив все значения дисперсии и ковариации, можно сформировать матрицу дисперсий и ковариаций (variance-covariance matrix). При i j элемент матрицы, стоящий на пересечении г-й строки и у-го столбца, представляет собой
15 Развитие идей, изложенных в главе, воплотилось в многомерных моделях GARCH, в которых матрица дисперсий и ковариаций вычислялась непротиворечивым образом. Альтернат ивные методы описаны в работе Engle R. and Mezrich J. GARCH for Groups // Risk, August 1996. — P. 36-40.
ковариацию между г-й и j-й переменными. На диагонали матрицы стоят дисперсии переменных.
Не все матрицы дисперсий и ковариаций являются внутренне непротиворечивыми. Для того чтобы матрица дисперсий и ковариации fl обладала этим свойством, необходимо, чтобы выполнялось условие
wTS!w > О
(19.17)
для всех векторов w размерности N х 1, где wl — транспонированный вектор w. Такие матрицы называются неотрицательно определенными (positive semi-definite).
Чтобы понять необходимость условия (19.17), допустим, что вектор w имеет следующий вид.
wT = [wi,w2>- • •, ^nl-
Число wTflw представляет собой дисперсию портфеля, состоящего из значений Wi рыночных показателей (г — 1,2,..., п). Следовательно, это число должно быть неотрицательным.
Чтобы матрица дисперсий и ковариаций была неотрицательно определенной, необходимо, чтобы дисперсии и ковариации вычислялись согласованно. Например, если бы дисперсии вычислялись по модели, в которой всем последним т наблюдениям были бы приписаны одинаковые веса, то точно так же должны были бы вычисляться и значения ковариации. Если дисперсии вычисляются по модели EWMA с А = 0,94, то и ковариация должна вычисляться с таким же параметром.
Примером матрицы дисперсий и ковариаций, являющейся внутренне противоречивой, является матрица
' 1 0 0,9
0 1 0,9 .
0,9 0,9 1
Дисперсия каждой переменной равна 1,0. Следовательно, все ковариации должны быть равны коэффициенту корреляции. Первая и вторая переменные сильно коррелируют с третьей переменной. Однако между первой и второй переменными корреляции нет совсем. Это странно! Если выбрать вектор w в виде (1,1, —1), окажется, что условие (19.17) не выполняется и матрица не является неотрицательно определенной.16
|6Можно доказать, что условие внутренней непротиворечивости матрицы корреляции 3x3 имеет вид
Р12 + Р13 + Р23 - 2р12р13р23 С 1, где pij — коэффициент корреляции между г-й и j-й переменными.
Резюме
В основе наиболее популярных моделей оценки опционов, таких как модель Блэка-Шоулза, лежит предположение, что волатильность базового актива является постоянной. На практике же волатильность актива и его цена представляют собой стохастическую переменную. Кроме того, в отличие от цены актива, его волатильность невозможно измерить непосредственно. В главе рассмотрены схемы, позволяющие вычислить текущий уровень волатильности.
Обозначим через щ относительное изменение рыночного показателя, зафиксированное между концом (г — 1)-го дня и концом г-го дня. Тогда дисперсия рыночного показателя (т.е. квадрат его волатильности) вычисляется как взвешенное среднее значение величин и?. Главной особенностью рассмотренных схем является неравенство весов, приписанных значениям и?. Более свежие наблюдения имеют больший вес. В моделях EWMA и GARCH (1,1) веса, приписанные наблюдениям, убывают со скоростью степенной функции: чем старее наблюдение, тем меньше вес. Модель GARCH(1,1) отличается от модели EWMA тем, что в первой модели долговременной дисперсии также приписывается определенный вес. Структуры обеих моделей позволяют относительно легко предсказывать будущие уровни дисперсии.
Для оценки параметров модели GARCH (1,1) и аналогичных моделей обычно используются методы максимального правдоподобия. Эти методы предусматривают выполнение некоей итерационной процедуры, позволяющей вычислить параметры, при которых отношение правдоподобия ретроспективных наблюдений достигает максимума. Зная оптимальные параметры, можно оценить уровень автокорреляции в последовательности значении uf.
Для каждой модели, предназначенной для оценки дисперсии, можно создать соответствующую модель для вычисления ковариации. Следовательно, с помощью процедур, описанных в главе, можно заполнить матрицу дисперсий и ковариаций, используемую при оценке рисковой стоимости.
Дополнительная литература
Bollerslev Т. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity // Journal of Econometrics, 31 (1986). — P. 307-327.
Cumby R., Figlewsky S. and Hasbrook J. Forecasting Volatility and Correlations with EGARCH Models // Journal of Derivatives, 1, no. 2 (Winter 1993). — P. 51-63.
Engle R. E Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation // Econometrica, 50 (1982). — P. 987-1008.
Engle R. E and Mezrich J. Grappling with GARCH // RISK, September 1995. — P. 112-119.
Engle R. Е and Mezrich J. GARCH for Groups // RISK, August 1996. — P. 36-40.
Engle R. E and Ng V. Measuring and Testing the Impact of News on Volatility // Journal of Finance, 48 (1993). — P. 1749-1778.
Ljung G. M. and Box G. E. P Ona Measure of Lack of Fit in Time Series Models // Biometrica, 65 (1978). - P. 297-303.
Nelson D. Conditional Heteroscedasticity and Asset Returns: A New Approach // Econometrica, 59 (1990). — P. 347-370.
Noh J. R., Engle R. E and Kane A. Forecasting Volatility and Option Prices of the S&P 500 Index // Journal of Derivatives, 2 (1994). — P. 17-30.
Вопросы и задачи
19.1. Опишите модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (EWMA) для оценки волатильности ретроспективных данных.
19.2. В чем заключается разница между моделью экспоненциально взвешенного скользящего среднего и моделью GARCH(1,1) при оценке волатильности?
19.3. Предположим, что последняя оценка волатильности актива равна 1,5%, а цена актива на момент закрытия вчерашних торгов равна 30,00 долл. Параметр А в модели EWMA равен 0,94. Допустим, что цена актива в момент закрытия торгов сегодня оказалась равной 30,50 долл. Как это повлияет на волатильность, вычисленную по модели EWMA?
19.4. Для предсказания волатильности компания использует модель EWMA. Она решила изменить параметр А и установить его равным не 0,95, а 0,85. Как это повлияет на точность прогнозов?
19.5. Волатильность определенного рыночного показателя равна 30% в год. Постройте 99%-ный доверительный интервал для уровня относительных изменений этого показателя.
19.6. Для предсказания волатильности компания использует модель GARCH(1,1), в которую входят три параметра: ш, а и /3. Как повлияет на точность оценок небольшое изменение каждого из этих параметров при условии, что остальные параметры модели остаются неизменными?
19.7. Предположим, что последняя оценка волатильности обменного курса доллар США-фунт стерлингов равна 0,6%, а валютный курс по состоянию на 16:00 вчерашнего дня был равен 1,5000 долл. Параметр А в модели EWMA равен 0,9. Допустим, что сегодня валютный курс по состоянию на 16:00 был равен 1,4950 долл. Как это повлияет на волатильность, вычисленную по модели EWMA?
19.8. Предположим, что в момент закрытия вчерашних торгов фондовый индекс S&P 500 был равен 1 040, а суточная волатильность индекса равна 1%. Параметры модели GARCH(1,1) равны из = 0,000002, а = 0,06 и [3 = 0,92. Чему равна новая оценка волатильности, если в момент закрытия сегодняшних торгов фондовый индекс был равен 1 060.
19.9. Допустим, что текущие значения суточной волатильности активов А и В равны 1,6 и 2,5% соответственно. Цены этих активов, зафиксированные в момент закрытия вчерашних торгов, равны 20 и 40 долл. Оценка коэффициента корреляции между значениями доходности обоих активов равна 0,25. Параметр Л, используемый в модели EWMA, равен 0,95.
1) Вычислите текущую оценку ковариации между активами.
2) Предположим, что цены активов в момент закрытия сегодняшних торгов равны 20,5 и 40,5% соответственно. Вычислите новую оценку корреляции.
19.10. Параметры модели GARCH(1,1) равны = 0,000004, а = 0,05 и (3 = 0,92. Чему равна долговременная средняя волатильность и какое уравнение описывает возвращение дисперсии к долговременной средней дисперсии? Предположим, что текущее значение волатильности равно 20% в год. Чему равно значение волатильности, ожидаемое через 20 дней?
19.11. Допустим, что текущие значения суточной волатильности активов X и Y равны 1,0 и 1,2% соответственно. Цены этих активов, зафиксированные в момент закрытия вчерашних торгов, равны 30 и 50 долл. Оценка коэффициента корреляции между значениями доходности обоих активов равна 0,50. Корреляция и волатильность вычисляются по модели GARCH(1,1). Параметры модели равны а = 0,04 и (3 = 0,94. Для корреляции параметр w равен 0,000001, а для волатильности — 0,000003. Допустим, что цены обоих активов в момент закрытия сегодняшних торгов были равны 31 и 51 долл. Чему равна оценка корреляции?
19.12. Предположим, что последняя оценка суточной волатильности фондового индекса FTSE (измеренного в фунтах стерлингов) равна 1,8%, а суточная волатильность обменного курса доллар США-фунт стерлингов равна 0,9%. Допустим также, что коэффициент корреляции между индексом FTSE и обменным курсом доллар США-фунт стерлингов равен 0,4. Чему равна волатильность индекса FTSE 100 в переводе на доллары США? Будем считать, что обменный курс доллар США-фунт стерлингов измеряется количеством долларов США за один фунт стерлингов. (Подсказка-. если Z = XY, то относительное изменение величины Z приближенно равно сумме относительных изменений величин X и Y.)
19.13. Допустим, что в задаче 19.12 коэффициент корреляции между индексом S&P 500 (измеренным в долларах) и индексом FTSE 100 (измеренным в фунтах стерлингов) равен 0,7, между индексом S&P 500 и обменным курсом доллар-фунт стерлингов — 0,3, а суточная волатильность индекса S&P 500 равна 1,6%. Чему равен коэффициент корреляции между индексом S&P 500 и индексом FTSE 100 в переводе на доллары? {Подсказка', ковариация между переменными X + У и Z равна сумме ковариации между переменными X и Z и ковариации переменных У и Z.)
19.14. Докажите, что модель GARCH(1,1)
2 , 2 , о 2
СГП = W + СШП_1 + /Х,-1
в уравнении (19.9) эквивалентна модели стохастической волатильности dV — a{VL - V)dt + £Vdz,
где время измеряется сутками, V — диперсия цены актива и
а = 1 - а - Д, VL = - ——С = «V2-
1 — а — р
Как выглядит модель стохастической волатильности, если время измеряется годами? {Подсказка: переменная un_i представляет собой доходность актива за время Д/. Предположим, что она имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением о п-i- Отсюда следует, что математические ожидания величин и
равны <т2_1 и соответственно.)
Упражнения
19.15. Предположим, что текущая цена золота, зафиксированная вчера в момент закрытия торгов, равна 300 долл., а его волатильность равна 1,3% в день. Цена, зафиксированная сегодня в момент закрытия торгов, равна 298 долл. Вычислите оценку волатильности при следующих условиях.
1) Используется модель EWMA с параметром А = 0,94.
2) Используется модель GARCH(1,1) с параметрами ш = 0,000002, а = 0,04 и Д = 0,94.
19.16. Предположим, что в задаче 19.15 цена серебра в момент закрытия вчерашних торгов равна 8 долл., его волатильность равна 1,5% в год, а коэффициент корреляции с ценой серебра равен 0,8. Цена серебра в момент закрытия сегодняшних торгов равна 8 долл. Вычислите новое значение волатильности серебра и коэффициент корреляции между ценами серебра и золота,
используя обе модели, указанные в задаче 19.15. Одинаков ли параметра) при оценке серебра и золота?
19.17. На Web-сайте автора www.rotman.utoronto.ca/~hull находится электронная таблица Excel, содержащая данные о большом количестве валютных курсов и фондовых индексов, собранные на протяжении 500 дней. Выберите один валютный курс и один фондовый индекс. Оцените параметр А в модели EWMA, минимизирующий выражение
У - /З»)2,
i
где Vi — предсказанное значение дисперсии в конце (г — 1)-го дня, а Д -дисперсия, вычисленная по данным за период с г-го по (г + 25)-й день. Используйте надстройку Solver программы Excel. Для начала вычислений по модели EWMA положите прогнозируемую дисперсию, зафиксированную в конце первого дня, равной квадрату доходности, зарегистрированной в этот день.
19.18. Предположим, что параметры модели GARCH(1,1) равны а — 0,03, /3 = 0,95 и ш = 0,000002.
1) Чему равна долговременная средняя волатильность?
2) Чему равна волатильность на 20-й, 40-й и 60-й день, если текущая волатильность равна 1,5% в день?
3) Какую волатильность следует использовать при вычислении цены 20-, 40- и 60-дневных опционов?
4) Допустим, что произошло событие, повысившее текущую волатильность с 0,5 до 2% в день. Оцените влияние этого события на волатильность через 20, 40 и 60 дней.
5) Насколько это событие увеличило волатильность, используемую для вычисления 20-, 40- и 60-дневных опционов? Для оценки используйте формулы (19.14) и (19.15).
Кредитный риск
Показатель VaR, рассмотренный в главе 18, и греческие коэффициенты, изученные в главе 15, предназначены для оценки рыночного риска. В данной главе анализируется другой вид риска, которому подвергаются финансовые учреждения: кредитный риск. Большинство финансовых организаций уделяют большое внимание средствам измерения кредитного риска и управления им. Регулирующие органы многие годы требовали, чтобы банки поддерживали свой капитал на уровне, отражающем величину кредитного риска, которому они подвергаются. (Этот капитал представляет собой дополнительные средства, которые в сочетании с капиталом, описанным во врезке “Пример из деловой практики 18.1”, позволяют компенсировать рыночный риск.)
Кредитный риск является следствием потенциальной возможности дефолта заемщиков и контрагентов по деривативным транзакциям (derivative transactions). Предметом главы является количественная оценка кредитного риска. В начале главы рассматривается множество разнообразных способов оценки вероятности дефолта и разъясняется принципиальная разница между риск-нейтральными и реальными вероятностями дефолта. Исследуется природа кредитного риска, связанного с внебиржевыми деривативными транзакциями, и обсуждаются формулировки, которые торговцы деривативами включают в свои контракты для уменьшения кредитного риска. В конце главы описываются вопросы, связанные с корреляцией дефолтов, моделями гауссовых пакетов, а также способы оценки кредитной стоимости под риском (credit value at risk).
Материал, изложенный в этой главе, будет использован в главе 21, посвященной оценке кредитных деривативов.
20.1 Кредитные рейтинги
Рейтинги, описывающие кредитоспособность корпоративных облигаций, устанавливают специализированные агентства, такие как Moody’s или S&P. В системе агентства Moody’s высшим является рейтинг Ааа. Вероятность дефолта по облигациям, имеющим этот рейтинг, практически равна нулю. Следующим по величине является рейтинг Аа. За ним следуют рейтинги А, Ваа, Ва, В и Саа. В инвестиционную категорию (investment grade) включаются только облигации, рейтинг
которых превышает рейтинг Ваа или равен ему. Рейтинги агентства S&P, соответствующие рейтингам Ааа, Аа, А, Ваа, Ва, В и Саа агентства Moody’s, равны ААА, АА, А, ВВВ, ВВ, В и ССС. Для получения более точных оценок агентство Moody’s разделяет категорию Аа на подкатегории Аа1, Аа2 и АаЗ, категорию А — на подкатегории Al, А2 и АЗ и т.д. Аналогично агентство S&P подразделяет категорию АА на подкатегории АА+, АА и АА-, категорию А — на подкатегории А+, А и А- и т.д. (Единственными категориями, которые агентства Moody’s и S&P не делят на подкатегории, являются категории Ааа и ААА соответственно.)
20.2 Вероятности дефолтов
В табл. 20.1 приведены типичные данные, публикуемые рейтинговыми агентствами. В ней учтены дефолты, объявленные на протяжении заданного периода времени компаниями, имеющими определенные кредитные рейтинги. Например, как следует из табл. 20.1, вероятность того, что дефолт по облигациям с первоначальным кредитным рейтингом Ваа наступит до конца первого года, равна 0,20%, до конца второго года — 0,57% и т.д. Эта таблица позволяет вычислить вероятность дефолта по облигациям на протяжении заданного года. Например, вероятность того, что в течение второго года произойдет дефолт по облигациям с первоначальным рейтингом Ваа, равна 0,57 — 0,20 = 0,37%.
Таблица 20.1. Средние интегральные уровни дефолтов (%) в течение 1970-2003 гг. {Источник-, агентство Moody’s)
Срок, лет 1 2 3 4 5 7 10 15 20
Ааа 0,00 0,00 0,00 0,04 0.12 0,29 0,62 1,21 1,55
Аа 0,02 0,03 0,06 0,15 0,24 0,43 0,68 1,51 2,70
А 0,02 0,09 0,23 0,38 0,54 0,91 1,59 2,94 5,24
Ваа 0,20 0,57 1,03 1,62 2,16 3,24 5,10 9,12 12,59
Ва 1,26 3,48 6,00 8,59 11,17 15,44 21,01 30,88 38,56
В 6,21 13,76 20,65 26,66 31,99 40,79 50,02 59,21 60,73
Саа 23,65 37,20 48,02 55,56 60,83 69,36 77,91 80,23 80,23
Как показано в табл. 20.1, вероятность дефолта по облигациям инвестиционной категории в течение определенного года со временем возрастает (например, вероятности дефолта по облигациям с рейтингом А на протяжении первого, второго, третьего, четвертого и пятого годов равны 0,02%, 0,07%, 0,14%, 0,15% и 0,16% соответственно). Это объясняется тем, что эмитент облигации изначально считается кредитоспособным, однако со временем вероятность ухудшения его финансового состояния увеличивается. Для облигаций с плохим кредитным рейтингом
вероятность дефолта со временем часто возрастает (например, вероятности дефолта по облигациям с рейтингом Саа на протяжении первого, второго, третьего, четвертого и пятого годов равны 23,65%, 13,55%, 10,82%, 7,54% и 5,27% соответственно). Причина этого явления заключается в том, что для облигаций с плохим первоначальным кредитным рейтингом следующие два года являются критическими. Если эмитент успешно переживет этот период, вполне вероятно, что его финансовое положение со временем улучшится.
Интенсивность дефолтов
С помощью табл. 20.1 можно вычислить вероятность дефолта по облигации с рейтингом Саа на протяжении третьего года. Она равна 48,02 — 37,20 = 10,82%. Эта величина называется безусловной вероятностью дефолта (unconditional default probability) и представляет собой вероятность дефолта на протяжении третьего года, вычисленную в нулевой момент времени. Вероятность того, что эмитент облигации с рейтингом Саа не объявит дефолт до конца второго года, равна 100 — 37,20 = 62,80%. Следовательно, вероятность дефолта на протяжении третьего года зависит от вероятности отсутствия дефолта на протяжении двух предыдущих лет. Эта величина равна 0,1082/0,6280, т.е. 17,23%. Условная вероятность дефолта называется интенсивностью дефолта (default intensity) или уровнем риска (hazard rate).
Вероятность, равная 17,23%, относится к однолетнему периоду. Рассмотрим теперь короткий промежуток времени At. Тогда интенсивность дефолта A(t) в момент I определяется так, чтобы величина A(t)At представляла собой вероятность дефолта между моментами t и At. Обозначим через V(t) интегральную вероятность того, что до момента t компания не объявит дефолт. В таком случае
V(t + At) - V(t) = -A(t)V(t)At.
Переходя к пределу, получим уравнение
Отсюда следует, что
у (t) =
Обозначим через Q(t) вероятность дефолта в момент t. Следовательно,
Q(t) = i-e-foA(^,
или
Q(t) = l-eA(t)f, (20.1)
где A (t) — средняя интенсивность дефолтов между моментами Ont.
20.3 Степени возмещения
Если компания терпит банкротство, то субъекты, предоставившие ей займы, заявляют свои права на ее активы.1 Иногда кредиторы реструктурируют долг и соглашаются на частичные выплаты. В этих случаях активы продаются ликвидатору, который продает активы и стремится как можно полнее удовлетворить иски кредиторов. Некоторые иски кредиторов имеют более высокий приоритет, чем остальные, и удовлетворяются полнее.
Степень возмещения (recovery rate) — это рыночная стоимость облигации, установленная сразу после дефолта и выраженная в процентах к номинальной стоимости. В табл. 20.2 приведены исторические данные об объемах кредитов, возвращенных по разным категориям исков в США. Из этой таблицы следует, что привилегированные застрахованные кредиторы получили в среднем 51,6 цента за доллар номинальной цены, в то время как непривилегированные субординированные кредиторы — только 24,5 цента.
Таблица 20.2. Степени возмещения по корпоративным облигациям в процентах от их номинальной стоимости в 1982-2003 гг. (Источник: агентство Moody’s)
Класс инвесторов Средняя степень возмещения, %
Привилегированный застрахованный (senior secured) 51,6
Привилегированный незастрахованный (senior unsecured) 36,1
Привилегированный субординированный (senior subordinated) 32,5
Субординированный (subordinated) 31,1
Непривилегированный субординированный (junior subordinated) 24,5
Степени возмещения имеют сильную отрицательную корреляцию с уровнями дефолтов. Агентство Moody’s вычислило среднюю степень возмещения и средний уровень дефолтов для каждого года в интервале с 1982 по 2003 год. Выяснилось, что зависимость между ними хорошо аппроксимируется следующей зависимо-2 стью.
Средняя степень возмещения = 50,3 — 6,3 х Средний уровень дефолтов.
Здесь средняя степень возмещения и средний уровень дефолтов измеряются в процентах.
'В США эмитент облигации объявляет сумму номинальной стоимости облигации и накопленных процентов.
2См. Hamilton D. Т, Varma Р., Ou S. and Cantor R. Default and Recovery Rates of Corporate Bond Issuers. - Moody’s Investor’s Services, January 2004. Коэффициент J?2 у этой линейной регрессии равен 0,6. Корреляция между этими величинами вычислена в работе Altman Е. I., Brady В., Resti А. and Sironi A. The Link between Default and Recovery Rates: Implications for Credit Risk Models and Procyclicality. — Working Pape.-, New York University, 2003.
20.4 Оценка вероятностей дефолтов по ценам облигаций
Вероятность дефолта конкретной компании можно оценить по ценам выпущенных ею облигаций. Обычно при этом предполагается, что единственной причиной, по которой корпоративная облигация продается дешевле аналогичной безрисковой облигации, является вероятность дефолта.3
Рассмотрим сначала приближенные вычисления вероятности дефолта. Предположим, что облигация приносит на 200 базисных пунктов больше, чем аналогичная безрисковая облигация, а ожидаемая степень возмещения в случае дефолта равна 40%. При наступлении дефолта держатель корпоративной облигации должен быть готов потерять 200 базисных пунктов (т.е. 2% годовых). Это значит, что при степени возмещения, равной 40%, вероятность дефолта в течение года зависит от вероятности отсутствия дефолта в течение предыдущих лет и равна 0,02/(1 — 0,4), т.е. 3,33%. В целом, справедливо соотношение
h=z-----р, (20.2)
где h — интенсивность дефолта в год, s — спрэд между уровнями доходности корпоративной и безрисковой облигаций, a R — ожидаемая степень возмещения.
Более точные вычисления
Для более точного вычисления вероятности дефолта предположим, что рассматриваемая корпоративная облигация является пятилетней, приносит 6% купонных выплат в год (выплачиваемых раз в полгода), а ее доходность равна 7% годовых (при непрерывном начислении). Будем считать, что доходность аналогичной безрисковой облигации равна 5% годовых (при непрерывном начислении). При указанных уровнях доходности цена корпоративной облигации равна 95,34 долл., а цена безрисковой облигации — 104,09 долл. Следовательно, ожидаемые потери от дефолта, который может наступить в течение пяти лет, равны 104,09 — 94,34 = = 8,75 долл. Предположим, что вероятность дефолта в течение года постоянна и равна Q. В табл. 20.3 приведены результаты вычислений потерь от дефолта по облигации в зависимости от вероятности дефолта в течение года Q в предположении, что дефолт может наступить в моменты 0,5, 1,5, 2,5, 3,5 и 4,5 года (непосредственно перед датами купонных выплат). Безрисковые ставки по всем срокам погашения облигаций предполагаются равными 5% (при непрерывном начислении).
3Это предположение не совсем корректно. На практике цена корпоративной облигации зависит от ее ликвидности. Чем ниже ликвидность, тем ниже цена.
Таблица 20.3. Результаты вычислений потерь от дефолта по облигации в зависимости от вероятности дефолта в течение года Q. Номинальная стоимость = 100 долл.
Время, Вероят- Степень Безрисковая Потери от Дисконта- Текущая
лет ность возмеще- СТОИМОСТЬ, дефолта, рующий стоимость
дефолта НИЯ, долл. долл. множитель ожидаемых
долл. потерь,
ДОЛЛ.
0,5 Q 40 106,73 66,73 0,9753 65,08Q
1,5 Q 40 105,97 65,97 0,9277 61,20Q
2,5 Q 40 105,17 65,17 0,8825 57,52Q
3,5 Q 40 104,34 64,34 0,8395 54,01(2
4,5 Q 40 103,46 63,46 0,7985 50,67(2
Всего 288,48(2
Для иллюстрации вычислений рассмотрим строку, соответствующую времени наступления дефолта через 3,5 года. Ожидаемая стоимость безрисковой облигации через 3,5 года, вычисленная с помощью форвардных процентных ставок, равна
3 + Зе-°’05х0’5 + 3е-°,05x1,0 + 103е-о,О5х1,5 = 104;34 долл
Согласно определению степени возмещения, данному в предыдущем разделе, объем возвращенных средств при наступлении дефолта равен 40%, так что потери в этом случае составят 104,34 — 40 = 64,34 долл. Текущая стоимость этих потерь равна 54,01 долл. Следовательно, ожидаемые потери равны 54,01 Q.
Общий размер потерь равен 288,48Q. Приравнивая эту величину к 8,75 долл., приходим к выводу, что параметр Q равен 3,03%. Проделанные вычисления были основаны на предположении, что вероятность дефолта для каждого года остается постоянной, а сам дефолт может произойти только в один из дней года. Распространим наши вычисления на случай, когда дефолт может происходить в разные моменты на протяжении года. Кроме того, мы можем предположить, что постоянной остается не безусловная вероятность дефолта, а его интенсивность. В качестве альтернативы можно предположить, что зависимость вероятности дефолта от времени имеет определенный вид. С помощью нескольких облигаций мы можем определить несколько параметров, описывающих временную структуру вероятностей дефолта. Допустим, что сроки обращения облигаций равны 3, 5, 7 и 10 лет. С помощью первой облигации мы могли бы оценить вероятность дефолта в течение первых трех лет, вторая облигация позволила бы оценить вероятность дефолта в течение четвертого и пятого годов, третья облигация дает возможность оценить вероятность дефолта на протяжении шестого и седьмого годов, а четвертая — вероятность дефолта в течение восьмого, девятого и десято
го годов (см. задачи 20.15 и 20.27). Этот подход напоминает процедуру бутстрэп, описанную в разделе 4.5 при вычислении кривой нуль-купонной доходности.
Безрисковая процентная ставка
Ключевым моментом при вычислении вероятностей дефолтов с помощью цен облигаций является смысл терминов “безрисковая процентная ставка” и “безрисковая облигация”. В равенстве (20.2) спрэд .s равен величине, на которую доходность корпоративной облигации превышает доходность аналогичной безрисковой облигации. В табл. 20.3 безрисковая стоимость облигации должна вычисляться на основе безрисковой процентной ставки. Как правило, при вычислении доходности корпоративных облигаций в качестве безрисковой процентной ставки используется доходность аналогичных казначейских облигаций. (Например, торговец облигациями может в качестве котировки использовать спрэд между доходностью конкретной корпоративной облигации и доходностью казначейских облигаций, скажем 250 базисных пунктов.)
Как указывалось в разделе 4.1, при оценке деривативов в качестве безрисковых процентных ставок трейдеры обычно используют ставки LIBOR/своп. Помимо этого трейдеры часто используют эти ставки для вычисления вероятностей дефолтов. Например, при вычислении вероятности дефолта на основе цен облигаций спрэд s в равенстве (20.2) представляет собой спрэд между кривой доходности облигации и ставкой LIBOR/своп. Кроме того, безрисковые ставки дисконта, использованные в вычислениях, результаты которых представлены в табл. 20.3, представляют собой нулевые ставки LIBOR/своп.
С помощью свопов кредитных дефолтов (которые будут рассмотрены в следующей главе) можно оценить безрисковую процентную ставку, предполагаемую трейдерами. Эта ставка оказывается в среднем приближенно равной ставке LIBOR/своп за вычетом 10 базисных пунктов.4 Эта оценка является вполне правдоподобной. Как указывалось в разделе 7.5, кредитный риск, связанный со ставкой свопа, представляет собой кредитный риск, возникающий вследствие серии шестимесячных займов контрагентам, имеющим рейтинг АА, а 10 базисных пунктов представляют собой разумную премию за риск дефолта по шестимесячному финансовому инструменту с рейтингом АА.
Свопы активов
На практике, для того чтобы определить вероятности дефолтов на основе цен облигаций, трейдеры часто используют котировки свопов активов. Это объясняет
4См. Hull J., Predescu М. and White A. The Relationship between Credit Default Swap Spreads, Bond Yields, and Credit Rating Announcements // Journal of Banking and Finance, 28 (November 2004). — P. 2789-2811.
ся тем, что спрэды свопов активов представляют собой непосредственную оценку спрэда между доходностью облигаций и кривой LIBOR/своп.
Для демонстрации этого факта рассмотрим ситуацию, в которой спрэд свопа активов для конкретной облигации равен 150 базисным пунктам. Возможны три ситуации.
1. Облигация продается по ее номинальной стоимости, равной 100 долл. В таком случае в свопе участвуют сторона А, выплачивающая купон по облигации, и сторона Б, выплачивающая ставку LIBOR плюс 150 базисных пунктов.5
2. Облигация продается по цене, ниже номинальной стоимости, скажем за 95 долл. В этом случае своп организовывается так, что, кроме купонов, компания А выплачивает пять долларов на каждые 100 долл, номинальной стоимости облигации.
3. Облигация продается по цене, выше номинальной стоимости, скажем за 108 долл. В таком случае компания Б выплачивает 8 долл, на каждые 100 долл, номинальной стоимости.
Эффект всех этих выплат проявляется в том, что текущая стоимость спрэда свопа активов равна величине, на которую цена корпоративной облигации превышает цену аналогичной безрисковой облигации, причем безрисковая процентная ставка определяется с помощью кривой LIBOR/своп (см. задачу 20.24). Вернемся к примеру, описанному в табл. 20.3, в котором нулевая кривая LIBOR/своп проходит горизонтально на уровне 5%. Предположим, что нам известна не цена облигации, а спрэд свопа активов, равный 150 базисным пунктам. Это значит, что величина, на которую стоимость безрисковой облигации превышает стоимость корпоративной облигации, равна текущей стоимости 150 базисных пунктов за каждый год из пяти лет. Предполагая, что выплаты производятся раз в полгода, эта сумма равна 6,55 долл, на каждые 100 долл, номинальной стоимости.
Общий размер потерь, указанных в табл. 20.3, следует установить равным 6,55 долл. Это значит, что вероятность дефолта на протяжении года Q равна 6,55/288,48, т.е. 2,27%.
20.5 Сравнение оценок вероятностей дефолтов
Оценки вероятностей дефолтов, вычисленные по историческим данным, значительно меньше, чем оценки этих вероятностей, вычисленные на основе цен облигаций. Эта ситуация проиллюстрирована в табл. 20.4.6 В ней приведена сред
5 Обратите внимание на то, что в рамках свопа осуществляется обмен купонными выплатами. Этот обмен происходит независимо от дефолта по облигации.
6Табл. 20.4 и 20.5 взяты из статьи Hull J. and White A. Bond Prices, Default Probabilities, and Risk Premium // Journal of Credit Risk (в печати).
няя интенсивность годового дефолта в течение семи лет для компаний с разными кредитными рейтингами, вычисленная по 1) историческим данным и 2) ценам облигации.
Таблица 20.4. Средняя интенсивность дефолтов за семь лет, % в год
Рейтинг Интенсивность дефолта на основе исторических данных Интенсивность дефолта на основе цен облигаций Отношение Разность
Ааа 0,04 0,67 16,8 0,63
Аа 0,06 0,78 13,0 0,72
А 0,13 1,28 9.8 1,15
Ваа 0,47 2,38 5Д 1,91
Ва 2,47 5,07 2,1 2,67
В 7,69 9,02 1,2 1,53
С 16,90 21,30 1,3 4,40
Вычисление интенсивностей дефолтов на основе исторических данных осуществляется по формуле (20.1) и с помощью табл. 20.1. Из формулы (20.1) следует, что
А(7) = [1 - Q(7)],
где A(t) — средняя интенсивность дефолта (или уровень риска) в момент t, a Q(t) — интегральная вероятность дефолта к моменту t. Значения Q(7) извлекаются непосредственно из табл. 20.1. Рассмотрим, например, компанию с кредитным рейтингом А. Для нее значений Q(7) равно 0,0091. Следовательно, средняя семилетняя интенсивность дефолта равна
А (7) = In 0,9909 = 0,0013,
т.е. 0,13%.
Вычисления, основанные на ценах облигаций, используют формулу (20.2) и доходности облигаций, публикуемые агентством Merrill Lynch. Результаты, приведенные в табл. 20.4, представляют собой средние интенсивности дефолтов на протяжении периода между декабрем 1996 года и июлем 2004 года. Степень возмещения предполагается равной 40%, и по причинам, указанным в предыдущем разделе, безрисковая процентная ставка считается равной ставке по семилетнему свопу минус 10 базисных пунктов. Например, для облигаций с рейтингом А средняя доходность по оценкам агентства Merrill Lynch равна 6,274%. Средняя ставка свопа равна 5,605%, так что средняя безрисковая процентная ставка равна 5,505%.
Следовательно, средняя вероятность дефолта на протяжении семи лет равна 0,06274-0,05505 _
..i -си— = 0’0128-
т.е. 1,28%.
В табл. 20.4 показано, что отношение вероятностей дефолтов, вычисленных на основе цен облигаций, к вероятностям дефолтов, вычисленным по историческим данным, по мере убывания кредитного рейтинга уменьшается, причем для компаний инвестиционной категории это отношение остается очень высоким. Разница между двумя вероятностями дефолта при уменьшении кредитного рейтинга увеличивается.
В табл. 20.5 представлен другой способ вычисления этих результатов. В ней перечислены значения ожидаемой избыточной доходности, т.е. величины, на которые доходность облигаций с разными кредитными рейтингами превышает безрисковую ставку (которая по-прежнему считается равной ставке по семилетнему свопу минус 10 базисных пунктов). Вернемся к облигации с рейтингом А. Средний спрэд между уровнями доходности корпоративных и казначейских облигаций равен 120 базисных пунктов. Из них 43 базисных пункта обусловлены средним спрэдом между семилетними казначейскими ставками и безрисковой процентной ставкой. Спрэд, равный 8 пунктам, покрывает ожидаемый дефолт. (Он равен реальной вероятности дефолта, приведенной в табл. 20.4, за вычетом предполагаемой степени возмещения, равной 0,4.) Таким образом, ожидаемая избыточная доходность (с учетом ожидаемых дефолтов) равна 69 базисным пунктам.
Таблица 20.5. Ожидаемая избыточная доходность по облигациям (в базисных пунктах)
Рейтинг Спрэд между уровнями доходности корпоративной и казначейской облигаций Спрэд между безрисковой процентной ставкой и ставкой по казначейским облигациям Спрэд для вероятностей дефолтов, вычисленных на основе исторических данных Ожидаемая избыточная доходность
Ааа 83 43 2 38
Аа 90 43 4 43
А 120 43 8 69
Ваа 186 43 28 115
Ва 347 43 144 160
В 585 43 449 93
С 1321 43 1014 264
В табл. 20.4 и 20.5 показано, что большие разности между оценками вероятностей дефолта преобразуются в относительно малые (но все еще значительные) разности между значениями ожидаемой избыточной доходности облигации. Для облигаций с рейтингом Ааа отношение вероятностей дефолта равно 16,8, но ожидаемая избыточная доходность равна только 38 базисным пунктам. По мере убывания кредитного рейтинга компании ожидаемая доходность ее облигаций возрастает.7
Сравнение риск-нейтральных и реальных оценок
Вероятности дефолтов, вычисленные с помощью доходности облигаций, представляют собой риск-нейтральные оценки вероятностей дефолтов. Чтобы объяснить этот факт, рассмотрим вычисление вероятностей дефолтов, представленных в табл. 20.3. Они основаны на предположении, что ожидаемые потери от дефолта можно дисконтировать по безрисковой ставке. Согласно принципам риск-нейтральной оценки, эта процедура является вполне корректной, если ожидаемые потери вычисляются при риск-нейтральных условиях. Это значит, что вероятность дефолта Q в табл. 20.3 должна быть риск-нейтральной.
И наоборот, вероятности дефолтов, вычисленные на основе исторических данных, являются реальными (иногда их называют физическими (physical probabilities)). Значения ожидаемой избыточной доходности облигаций, приведенные в табл. 20.5, представляют собой разности между реальными и риск-нейтральны-ми вероятностями дефолта. Если ожидаемая избыточная доходность равна нулю, то риск-нейтральные и реальные вероятности должны совпадать, и наоборот.
Чем объясняются такие большие различия между риск-нейтральными и реальными вероятностями дефолтов? Как указано выше, этот вопрос можно свести к следующему: “Почему корпоративные облигации в среднем имеют большую доходность, чем казначейские?” У этого факта существует несколько возможных причин.
1. Корпоративные облигации имеют меньшую ликвидность, и поэтому торговцы облигациями требуют дополнительную доходность, чтобы компенсировать этот факт.
2. Субъективные оценки вероятности дефолта могут превышать значения, указанные в табл. 20.1. Торговцы облигациями могут рисовать в своем воображении еще более пессимистичные сценарии, чем какой бы то ни было сценарий, который был реализован на протяжении периода времени между 1970 и 2003 годами.8
Результаты для облигаций с кредитным рейтингом В, приведенные в табл. 20.4 и 20.5, противоречат общим закономерностям.
8Кроме табл. 20.1, основанной на данных 1970-2003 гг., агентство Moody’s построило аналогичную таблицу, содержащую данные о 1920-2003 гг. Вычисления, проведенные по этой таблице,
3. Дефолты по облигациям зависят друг от друга. Это наиболее важная причина, объясняющая результаты, приведенные в табл. 20.4 и 20.5. В течение одних периодов уровень дефолтов очень низок, а в течение других — очень высок.9 Это повышает уровень систематического риска (т.е. риска, который невозможно диверсифицировать), а торговцы облигациями требуют дополнительную доходность, компенсирующую риск. Колебания уровней дефолта от года к году могут объясняться как экономическими условиями, так и эффектом домино, который возникает в результате дефолта одной из компаний. (Исследователи называют этот эффект кредитной эпидемией (credit contagion).)
4. Доходность облигаций характеризуется сильной асимметрией и ограничена сверху. В результате диверсифицировать риски, которым подвергается портфель облигаций, значительно сложнее, чем риски, угрожающие портфелю акций.10 Для этого потребовалось бы включить в портфель очень большое количество облигаций. На практике многие портфели облигаций далеки от полной диверсификации. В результате торговцы облигациями требуют, кроме компенсации за систематический риск, дополнительную компенсацию за несистематический риск.
Возникает естественный вопрос: какую из оценок вероятности дефолта следует использовать при анализе кредитного риска — реальную или риск-нейтральную. Ответ зависит от цели анализа. При вычислении стоимости кредитных деривативов или оценке влияния риска дефолта на цену финансовых инструментов следует использовать риск-нейтральные вероятности дефолта. Это объясняется тем, что в ходе этого анализа мы явно или неявно используем методы риск-нейтральной оценки. В то же время при вычислении предполагаемых потерь от дефолта следует использовать реальные оценки вероятности дефолта.
приводят к более высоким значениям интенсивности дефолта по облигациям из инвестиционной категории, чем оценки из табл. 20.4. В частности, интенсивность дефолта по облигациям с рейтингом Ааа увеличивается с 4 до 6 базисных пунктов, с рейтингом Аа — с 6 до 22 базисных пунктов, с рейтингом А — с 13 до 29 базисных пунктов, а по облигациям с рейтингом Ваа — с 46 до 73 базисных пунктов.
’Чтобы убедиться в этом, достаточно взглянуть на уровни дефолтов в разные годы. Статистика, собранная агентством Moody’s, свидетельствует о том, что в течение 1970-2003 гг. уровень дефолтов колебался от 0,09% в 1979 г. до 3,81% в 2001 г.
10См. Amato J. D. and Remolona Е. М. The Credit Spread Puzzle // BIS Quarterly Review, 5, December 2003. - P. 51-63.
20.6 Оценки вероятности дефолта на основе цен акций
При использовании табл. 20.1 для оценки реальной вероятности дефолта мы использовали кредитный рейтинг компании. К сожалению, кредитные рейтинги пересматриваются относительно редко. По этой причине некоторые аналитики считают, что для вычисления вероятности дефолта следует использовать более свежую информацию, которую предоставляют цены акций.
В 1974 году Мертон предложил модель, в которой обыкновенная акция, выпущенная компанией, интерпретировалась как опцион на активы этой компании.11 Предположим для простоты, что некая фирма выпустила в обращение облигацию с нулевым купоном, срок действия которой истекает в момент Т. Введем следующие обозначения.
Vo: стоимость активов компании на сегодняшний день;
Ут', стоимость активов компании в момент Т;
Eq: стоимость акционерного капитала компании на сегодняшний день;
Ет'. стоимость акционерного капитала компании в момент Т;
D: объем процентных платежей по долгам и основная сумма, которая должна быть выплачена в момент Т;
(Ту: волатильность активов;
(Те'- волатильность акционерного капитала.
Если Vt < D, то (по крайней мере, теоретически) в момент Т для компании было бы разумным объявить дефолт. В таком случае величина акционерного капитала становится равной нулю. Если Vt > D, то компания должна погасить долг в момент Т, а величина ее акционерного капитала в этот момент составит Vt - D. Таким образом, модель Мертона позволяет вычислить размер акционерного капитала фирмы в момент Т по формуле
Ет = max(Vr — D, 0).
Это значит, что обыкновенная акция представляет собой опцион на покупку активов по цене исполнения, равной сумме долга. Стоимость акционерного капитала на сегодняшний день можно вычислить по формуле Блэка-Шоулза.
Ео = V0N(ch) - De-rTN(d2). (20.3)
нСм. Merton R. On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rate // Journal of Finance, 29 (1974). - P. 449-470.
Здесь
di =
\пУ0/Р+(т + <т1'/2)Т (TyVr
d‘2 = di — (TyVr.
Стоимость долга на сегодняшний день равна V — Eq.
Риск-нейтральная вероятность того, что компания объявит дефолт по долгу, равна 7V(—d^). Чтобы вычислить эту величину, необходимо знать параметры Vo и <ту. Ни один из них невозможно измерить путем непосредственных наблюдений. Однако если компания регулярно публикует сведения о своем финансовом состоянии, можно измерить величину Eq. Отсюда следует, что соотношение (20.3) представляет собой одно из условий, которым должны удовлетворять величины Vq и ay. Кроме того, мы можем оценить величину <Т£. По формуле Ито получаем, что
Г дЕ V
СТе^О —
т.е.
аЕЕо = Е^(туУо. (20.4)
Это уравнение является вторым ограничением, которому должны подчиняться величины Уо и <ту. Уравнения (20.3) и (20.4) образуют систему, которую можно решить относительно неизвестных Vq и ^у-12
Пример 20.1
Величина акционерного капитала компании равна 3 млн, а его волатильность равна 80%. Через год компания должна выплатить долг в размере 10 млн долл. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых. В таком случае Eq — 3, <тЕ = 0,80, г = 0,05, Т = 1 и D — 10. Решая уравнения (20.3) и (20.4), получаем, что Ц) = = 12,40 и оу = 0,2123. Параметр равен 1,1408, так что вероятность дефолта равна 7V(—с^) = 0,127, т.е. 12,7%. Рыночная стоимость долга равна Vq — Во, т.е. 9,40. Текущая стоимость обещанных выплат по долгу равна 10е-0,05х1 = 9.51. Следовательно, ожидаемые потери от наличия долга равны (9,51 — 9,40)/9,51, т.е. около 1,2% от его стоимости при условии, что вероятность дефолта равна нулю. Сравнивая эту величину с вероятностью дефолта, приходим к выводу, что ожидаемая степень возмещения в случае дефолта равна (12,7 — 1,2)/12,7, т.е. около 91%. □
Базовую модель Мертона можно модифицировать разными способами. Например, одна из разновидностей этой модели основана на предположении, что дефолт происходит, если стоимость активов падает ниже определенного уровня.
12Для того чтобы решить систему, состоящую из двух нелинейных уравнений вида F(x, у) = 0 и G(x, у) = 0, можно воспользоваться надстройкой Solver для программы Excel, которая определяет величины х и у, минимизирующие функцию [F(3:,t/)]2 + [G(a?,j/)]2.
Насколько близки вероятности дефолта, вычисленные по модели Мертона, к реальным частотам, наблюдаемым на практике? Оказывается, модель Мертона и ее модификации позволяют довольно точно оценивать вероятности дефолтов (как риск-нейтральных, так и реальных). Это значит, что для превращения вероятности дефолта, вычисленной по модели Мертона, в качественную риск-нейтраль-ную или реальную оценку вероятности дефолта можно применять монотонные преобразования13.
20.7 Кредитный риск, связанный с деривативными транзакциями
Кредитный риск, связанный с транзакциями по деривативам, имеет более сложную природу, чем кредитный риск, присущий займам. Это объясняется тем, что сумма иска, предъявляемого в случае дефолта по деривативам, является еще более непредсказуемой. Следует различать три возможные ситуации.
1. Контракт, который всегда является обязательством со стороны финансового учреждения.
2. Контракт, который всегда является активом финансового учреждения.
3. Контракт, который может быть либо обязательством, либо активом финансового учреждения.
Примером производного финансового инструмента первой категории является короткая позиция по опциону. Типичным представителем деривативов второй категории является длинная позиция по опциону. И, наконец, к третьей категории производных финансовых инструментов относится форвардный контракт.
Деривативы первой категории не имеют кредитного риска. В случае банкротства контрагента держатель дериватива не несет никаких потерь. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой компания выписывает опцион. Этот дериватив представляет собой разновидность активов контрагента. Вероятнее всего, при его банкротстве он будет удержан в счет долга, закрыт или продан третьей стороне. В любом из этих трех вариантов финансовое учреждение не несет никаких убытков, но и не получает никакой прибыли.
Деривативы второй категории всегда сопряжены с кредитным риском. Если контрагент терпит банкротство, то, скорее всего, возникнут убытки. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой компания покупает опцион. Он является обяза
13Калифорнийская компания KMV предложила для вычисления реальных вероятностей дефолта выполнять определенные преобразования над вероятностями, вычисленными по модели Мертона (так называемые преобразования EDF — expected default frequency). Кроме того, компания CreditGrades использует модель Мертона для оценки кредитных спрэдов, тесно связанных с риск-нейтральными вероятностями дефолтов.
тельством контрагента. В случае его банкротства финансовое учреждение заявляет иск и может получить определенную часть стоимости своего дериватива.
Деривативы третьей категории не всегда сопряжены с кредитным риском. Если контрагент объявляет о своем банкротстве в момент, когда стоимость дериватива является положительной, заявляется иск на активы разорившейся стороны, а истец, скорее всего, понесет убытки. Если же контрагент объявляет о своем банкротстве в момент, когда стоимость дериватива является отрицательной, финансовое учреждение никаких потерь не несет, поскольку дериватив будет удержан в счет 14 долга, закрыт или продан третьей стороне.
Уточнение оценок производных финансовых инструментов с учетом риска дефолта контрагента
Как учесть кредитный риск, характеризующий контрагента, при оценке произвольных финансовых инструментов? Рассмотрим дериватив, стоимость которого в настоящий момент равна /о при условии, что дефолт не объявлен. Теперь допустим, что дефолт может наступить в один из следующих моментов времени: ti, t?, ..., tn и что стоимость дериватива по отношению к финансовому учреждению (при отсутствии дефолта) в момент tj равна fi. Обозначим риск-нейтральную вероятность дефолта в момент ti через %, а ожидаемую степень возмещения — через R.15
В момент ti риск финансового учреждения равен величине потенциальных потерь, т.е. max(/i,0). Предположим, что ожидаемая степень возмещения в случае дефолта в R раз превышает сумму риска. Допустим также, что степень возмещения и вероятность дефолта не зависят от стоимости дериватива. Риск-нейтральная оценка ожидаемых потерь вследствие дефолта в момент ti равна
%(1 - Я)^[тах(/г,0)],
где символ Е обозначает математическое ожидание в риск-нейтральных условиях. Учет текущей стоимости потерь приводит к следующей оценке стоимости дефолта.
п
^UiVi- (20.5)
i=i
Здесь величина щ равна произведению %(1 — R), a Vi — текущая стоимость финансового инструмента, компенсирующего риск, связанный с деривативом в момент R
|4Обратите внимание на то, что компании, как правило, объявляют дефолт, ориентируясь на свои активы и обязательства, а не из-за стоимости каких-либо транзакций.
^Вероятность дефолта можно вычислить на основе цен облигаций (см. раздел 20.4).
Вернемся к трем категориям деривативов, рассмотренным выше. Первая категория деривативов (которые всегда являются обязательствами со стороны финансового учреждения) не представляет никаких сложностей. Величины всегда являются отрицательными, так что общий размер ожидаемых потерь от дефолта, вычисленный по формуле (20.5), всегда равен нулю. В этом случае финансовые учреждения могут не уточнять стоимость дефолта. (Разумеется, контрагент может пожелать учесть вероятность дефолта со стороны финансового учреждения, чтобы уточнить свои оценки.)
Для второй категории деривативов (которые всегда являются активами финансового учреждения) величины fi всегда являются положительными. Выражение max(/i, 0) всегда равно fi. Поскольку величины Vi представляют собой текущую стоимость дериватива fi, они всегда равны /о.16 Следовательно, ожидаемые потери от дефолта в /о раз больше общей вероятности дефолта на протяжении всего срока действия инструмента, умноженной на 1 — R.
Пример 20.2
Рассмотрим двухлетний внебиржевой опцион, который стоит 3 долл, (при отсутствии дефолтов). Предположим, что риск-нейтральная вероятность дефолта компании, продающей опцион, равна 4%, а степень возмещения при дефолте равна 25%. Ожидаемая стоимость дефолта равна 3 х 0,04 х (1—0,25), т.е. 0,09 долл. Следовательно, покупатель опциона должен быть готов заплатить только 2,91 долл.п
Для третьей категории деривативов знак величин fi не определен. Переменная Vi представляет собой стоимость опциона “колл” на сумму fi с ценой исполнения, равной нулю. Один из способов вычисления величины Vi состоит в моделировании базовых рыночных показателей, действующих на протяжении срока действия дериватива. Иногда эту сумму можно вычислить с помощью аналитических формул (см. задачи 20.17 и 20.18).
Описанный выше анализ был основан на предположении, что вероятность дефолта не зависит от стоимости дериватива. Это предположение вполне обоснованно, если дериватив образует небольшую часть инвестиционного портфеля контрагента или используется им для хеджирования рисков. Если же контрагент желает осуществить крупную транзакцию, связанную с деривативами, преследуя спекулятивные цели, то финансовое учреждение должно быть настороже. Если транзакция станет слишком убыточной для контрагента (и слишком прибыльной для финансовой организации), вероятность того, что контрагент объявит о банкротстве, намного увеличивается.
^Предполагается, что никаких выплат по деривативу до момента t, не было.
20.8 Уменьшение кредитного риска
Во многих рассмотренных выше примерах кредитный риск, связанный с транзакциями по деривативам, был преувеличен. Это объясняется тем, что существует множество условий, которые дилеры, торгующие деривативами, могут включать в контракты, чтобы уменьшить кредитный риск.
Взаимозачет
Одним из стандартных условий, включаемых во внебиржевые контракты, является взаимозачет (netting). Оно обязывает контрагента, объявившего дефолт по одному контракту с финансовым учреждением, объявить его и по всем остальным действующим контрактам с этим финансовым учреждением.
Взаимозачет успешно прошел испытания во многих судебных тяжбах. Он существенно снижает кредитный риск финансовых учреждений. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой некое финансовое учреждение имеет с конкретным контрагентом три действующих контракта, общая стоимость которых для финансовой организации равна +10 млн долл., +30 млн долл, и —25 млн долл. Предположим, что контрагент стал испытывать финансовые затруднения и объявил отказ от исполнения взятых на себя обязательств. По отношению к нему стоимость контрактов равна —10 млн долл., —30 млн долл, и +25 млн долл, соответственно. Если бы взаимозачет не производился, то контрагент мог бы объявить дефолт по первым двум контрактам, а с помощью третьего частично покрыл бы убытки финансового учреждения, которые достигли бы 40 млн долл. Однако взаимозачет вынуждает его объявить дефолт по всем трем контрактам, в результате чего потери финансового учреждения составят только 15 млн долл.17
Предположим, что финансовое учреждение владеет портфелем, состоящим из N производных контрактов, заключенных с определенным контрагентом. Допустим также, что стоимость г-го контракта при нулевой вероятности дефолта равна Vi, а объем возвращенных средств в случае дефолта равен Я-кратной стоимости контракта. Если взаимозачет не предусмотрен, то финансовое учреждение несет потери в размере
N
(1 — R) max (Vi, 0).
i=i
Если взаимозачет предусмотрен, то потери финансового учреждения составят
(N \
У2и,°) г=1 /
1’Обратите внимание на то, что если бы стоимость третьего контракта для финансового учреждения была равна —45 млн долл., а не -25 млн долл., то контрпартнер мог бы не объявлять дефолт, и финансовое учреждение не понесло бы потерь.
Если взаимозачет не предусмотрен, то потери финансового учреждения равны выигрышу по опционам на покупку стоимости контрактов при цене исполнения, равной нулю. Если взаимозачет предусмотрен, то потери финансового учреждения равны выигрышу по одному опциону на покупку стоимости всех контрактов, входящих в портфель, с нулевой ценой исполнения. Стоимость опциона на портфель контрактов не может быть больше, а на практике часто намного меньше, чем стоимость соответствующего портфеля опционов.
Анализ, проведенный в предыдущем разделе, можно обобщить так, чтобы формула (20.5) позволяла вычислить текущую стоимость ожидаемых потерь по всем контрактам, заключенным с контрагентом, при условии взаимозачета. Для этого величину в уравнении следует переопределить как текущую стоимость дериватива, компенсирующего риск, связанный в момент ti с портфелем, состоящим из всех контрактов, заключенных с данным контрагентом.
Намного сложнее вычислить увеличивающийся размер ожидаемых потерь при анализе нового деривативного контракта. Для этого можно использовать формулу (20.5), вычислив величину ожидаемых потерь в ситуациях, которые возникнут при заключении и отказе от заключения контракта. Интересно, что, благодаря взаимозачету, влияние нового контракта на ожидаемую величину потерь может оказаться отрицательным. Это происходит, когда стоимость нового контракта отрицательно коррелирует со стоимостью существующих контрактов.
Обеспечение
Еще одним условием, часто используемым для уменьшения кредитного риска, является обеспечение (collaterization). Предположим, что некая компания и финансовое учреждение заключили большое количество деривативных контрактов. Обычное соглашение об обеспечении предусматривает, что контракт должен периодически переоцениваться с помощью заранее согласованной формулы. Если общая стоимость контрактов по отношению к финансовому учреждению в конкретный день превышает определенный пороговый уровень, оно имеет право потребовать от контрагента внести дополнительный залог. Сумма, добавляемая к сумме залога, уже внесенного компанией, равна разности между стоимостью контракта по отношению к финансовому учреждению и пороговым уровнем. Если ситуация складывается благоприятно для компании, так что разность между стоимостью контракта по отношению к финансовому учреждению и пороговым уровнем меньше, чем сумма маржи, внесенной ранее, компания может потребовать возврата маржи. Если компания объявляет дефолт, то финансовое учреждение присваивает залог. Если компания не вносит требуемый залог, то финансовое учреждение может разорвать контракт.
Предположим, например, что пороговый уровень, установленный для компании, равен 10 млн долл., а контракт должен ежедневно переоцениваться с целью
вычисления суммы залога. Если в определенный день стоимость контракта для финансового учреждения окажется равной 10,5 млн долл., оно может потребовать, чтобы компания внесла залог в сумме 0,5 млн долл. Если на следующий день стоимость контракта снова поднимется до 11,4 млн долл., финансовое учреждение может потребовать от компании внести дополнительно еще 0,9 млн долл. Если на следующий день стоимость контракта снизится до 10,9 млн долл., компания может потребовать, чтобы финансовое учреждение вернуло ей 0,5 млн долл. Обратите внимание на то, что установленный пороговый уровень (10 млн долл.) можно рассматривать как кредитную линию, которую финансовое учреждение согласно предоставить компании.
Маржа должна быть депонирована компанией наличными или в другой приемлемой форме, например в виде облигаций. Ценные бумаги являются предметом дисконта, известного под названием стрижка (haircut). Этот дисконт применяется к рыночной цене дериватива и используется для вычисления величины маржи. Проценты, как правило, выплачиваются наличными.
Если соглашение об обеспечении является двусторонним, то пороговый уровень устанавливается и для финансового учреждения. Затем, если в какой-то момент заново переоцененная стоимость контракта превысит пороговый уровень, компания может потребовать от финансового учреждения внести соответствующий залог.
Соглашения об обеспечении являются мощным средством против дефолтов (аналогично тому, как маржинальные счета, описанные в главе 2, обеспечивают защиту биржевых трейдеров). Однако пороговый уровень не является средством защиты от дефолта. Более того, даже если пороговый уровень равен нулю, защита не является абсолютной. Если компания испытывает финансовые трудности, то она, скорее всего, не станет отвечать на требования внести залог. К тому времени, когда контрагент решит разорвать контракт, его стоимость может стать далекой от оптимальной.
Понижающие триггеры
Еще один способ снизить потенциальные потери в случае дефолта — использование понижающих триггеров (downgrade triggers), т.е. пунктов контракта, предусматривающих его прекращение и уплату наличными по рыночной цене, если кредитный рейтинг одной из сторон упадет ниже установленного уровня, например Ваа. (Как и в соглашениях об обеспечении, формула расчета рыночной стоимости контракта должна быть согласована заранее.)
Понижающие триггеры не защищают финансовое учреждение от крупных скачков кредитного рейтинга компании (например, от уровня А до дефолта). Кроме того, понижающие триггеры успешно функционируют только, если в силу вступает лишь относительно небольшая их часть. Если компания включила пони
жающие триггеры в большое количество контрактов, заключенных с контрагентами, уровень защиты контрагентов от дефолта относительно невысок (см. врезку “Пример из деловой практики 20.1”).
Пример из деловой практики 20.1. Понижающие триггеры и банкротство корпорации Enron
В декабре 2001 года корпорация Enron, одна из крупнейших компаний США, объявила о банкротстве. Вплоть до последних дней перед банкротством эта компания имела кредитный рейтинг, относящийся к инвестиционной категории. Непосредственно перед дефолтом агентство Moody’s присвоило компании кредитный рейтинг ВааЗ, а агентство S&P — ВВВ-. Однако на фондовом рынке дефолт компании Enron не стал сюрпризом, поскольку цены акций этой компании резко падали уже довольно долгое время. Вероятность дефолта, вычисленная по одной из моделей, описанных в разделе 20.6, на протяжении этого периода резко возрастала.
Компания Enron заключила огромное количество деривативных контрактов, содержащих понижающие триггеры. Эти условия предусматривали, что при падении кредитного рейтинга ниже инвестиционного уровня (т.е. ниже показателей ВааЗ/ВВВ-) контрагенты имеют право расторгнуть контракты. Предположим, что кредитный рейтинг компании Enron упал бы ниже инвестиционного уровня, скажем, в октябре 2001 года. Тогда контрагенты расторгли бы контракты, имеющие отрицательную стоимость для компании Enron (и положительную стоимость для них). Следовательно, компании Enron пришлось бы выплатить контрагентам значительную сумму наличных денег. Поскольку сделать это было бы невозможно, корпорация объявила бы о банкротстве.
Этот пример иллюстрирует, что понижающие триггеры защищают партнеров от дефолта только, если в действие вступает относительно малая часть триггеров. Если же компания заключает огромное количество контрактов, содержащих понижающие триггеры, они так же могут привести ее к преждевременному банкротству. Корпорация Enron разорилась бы так или иначе, поэтому ускорение событий на два месяца ничего не могло изменить. Фактически уже в октябре 2001 года компания Enron не имела шансов выжить. Руководство корпорации попыталось заключить сделку с другой энергетической компанией, Dynergy, поэтому инициировать банкротство в октябре 2001 года было не в интересах ни кредиторе®, ни акционеров.
Компании, устанавливающие кредитные рейтинги, оказались в затруднительном положении. Если бы они понизили кредитный рейтинг корпорации Enron, признавая ухудшение ее финансового состояния, они подписали бы ей смертный приговор. Если же они не сделали бы это, они давали компании шанс выжить.
20.9 Корреляция между дефолтами
Термин корреляция между дефолтами (default correlation) характеризует возможность одновременного дефолта двух компаний. Существует большое количество причин, объясняющих такую корреляцию. Две компании, работающие в одной и той же отрасли промышленности или в одном и том же географическом регионе, подвергаются одинаковым воздействиям внешних событий и могут одновременно испытывать финансовые затруднения. Кроме того, вследствие разных экономических условий, как правило, средняя вероятность дефолта в разные годы может быть разной. Дефолт одной компании может повлечь за собой дефолт другой — эффект смягчения кредитного риска описан в разделе 20.5. Корреляция между дефолтами означает, что кредитный риск невозможно полностью исключить за счет диверсификации и он является основной причиной, по которой риск-нейтральная вероятность дефолта превышает реальную (см. раздел 20.5).
Корреляция между дефолтами играет важную роль при определении распределения вероятностей потерь вследствие дефолта, которые может понести портфель, состоящий из контрактов с разными контрагентами. Существует два типа моделей, предложенных исследователями для оценки корреляции между дефолтами: модели редуцированных форм (reduced-form models) и структурные модели (structural models).
Модели редуцированных форм основаны на предположении, что уровни риска у разных компаний подчиняются стохастическим процессам и коррелируют с макроэкономическими показателями. Если уровень риска у компании А высок, то уровень риска у компании В также, вероятно, будет высок. Это порождает корреляцию между дефолтами компаний А и В.
Модели редуцированных форм весьма привлекательны с математической точки зрения и отражают тот факт, что экономические циклы порождают корреляцию между дефолтами. Их можно согласовать с вероятностями дефолтов, наблюдаемыми на практике, а также с риск-нейтральными вероятностями дефолтов, вычисленных по ценам облигаций. Их основной недостаток заключается в том, что получаемый диапазон коэффициентов корреляции между дефолтами является узким. Даже если между уровнями риска существует идеальная корреляция, соответствующая корреляция между дефолтами в любой выбранный период времени, как правило, является очень низкой. В некоторых ситуациях это может создать проблемы. Например, если две компании действуют в одной и той же отрасли промышленности или в одной и той же стране либо финансовое благополучие одной компании существенно зависит от благосостояния другой, то корреляция между дефолтами этих компаний должна быть высокой, а не низкой. Это противоречие можно снять, распространив модель на ситуации, в которых возможны крупные скачки уровней риска.
Структурные модели основаны на идее, аналог которой рассматривался в разделе 20.6. Если стоимость активов компании падает ниже определенного уровня, то она объявляет дефолт. Корреляция между дефолтами компаний А и В вводится на основе предположения, что стохастический процесс, описывающий поведение активов компании А, коррелирует со стохастическим процессом, описывающим поведение активов компании В. Преимущество структурных моделей над моделями редуцированных форм заключается в том, что корреляцию между дефолтами можно сделать сколь угодно высокой. Их основной недостаток состоит в том, что они связаны с большим объемом вычислений.
Модель гауссовых пакетов
Одной из моделей редуцированных форм, получивших широкое распространение, стала модель гауссовых пакетов (Gaussian copula model), позволяющая вычислить момент дефолта. С помощью этой модели можно вычислить корреляцию между моментами объявления дефолтов двумя разными компаниями. В основе этой модели лежит неявное предположение, что все компании рано или поздно объявят дефолт. Однако в любом приложении этой модели нас обычно интересует только вероятность дефолта в течение следующего года или следующих пяти и десяти лет. Таким образом, в центре нашего внимания находится только левый хвост распределения моментов объявления дефолта.
Эту модель можно использовать в сочетании как с реальной, так и риск-нейтральной вероятностью дефолта. Левый хвост распределения реальных вероятностей моментов объявления дефолтов можно оценить на основе данных, публикуемых рейтинговыми агентствами (примером такой информации является табл. 20.1). Левый хвост распределения риск-нейтральных вероятностей моментов объявления дефолтов можно оценить на основе цен облигаций, используя подход, изложенный в разделе 20.4.
Обозначим через t\ момент дефолта компании 1, а через t2 — момент дефолта компании 2. Если распределения вероятных значений ti и £2 являются нормальными, то можно предположить, что совместное распределение переменных ti и t2 также является нормальным. Оказывается, распределение вероятных моментов времени дефолта любой компании даже приближенно не является нормальным. Именно поэтому необходима модель гауссовых пакетов. Преобразуем переменные ti и <2 в новые переменные x'i и а?2, используя следующие функции.
Xi = N-1[Qi(ti)], х2 = N~\Q2(t2)].
Здесь Qi и Q2 — интегральные распределения вероятных значений моментов t] и t2 соответственно, a 7V-1 — функция, обратная к интегральному нормальному распределению (т.е. если v = N(u), то u = 7V-1(v)). Эти преобразования представляют собой отображения перцентилей. Точка, соответствующая пятому пер
центилю распределения переменной t\, преобразуется в точку х\ = —1,645, которая представляет собой точку, соответствующую пятому перцентилю стандартного нормального распределения. Аналогично точка, соответствующая десятому перцентилю распределения переменной t\, преобразуется в точку х\ = —1,282, которая представляет собой точку, соответствующую десятому перцентилю стандартного нормального распределения и т.д. Преобразование переменной в переменную Х2 осуществляется точно так же.
По построению переменные х± и а?2 имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением. Предположим, что совместное распределение переменных ху и х% является нормальным, а корреляция между ними равна pi2- Это предположение порождает так называемый гауссовый пакет (Gaussian copula). Оно является удобным, поскольку в этом случае совместное распределение случайных величин t\ и t% и единственный коэффициент корреляции pi2 полностью определяют интегральные распределения вероятностей дефолтов Qi и Q? в моменты ty и £2-
Привлекательность подхода, основанного на использовании гауссовых пакетов, заключается в том, что его легко распространить на несколько компаний. Предположим, что мы рассматриваем п компаний, а £, — момент дефолта i-й компании. Преобразуем каждую переменную £« в переменную xi, имеющую стандартное нормальное распределение. Это преобразование представляет собой отображение перцентилей, имеющее вид
где Qi — интегральное распределение вероятностей для переменной ti. Предположим теперь, что переменная ху имеет многомерное нормальное распределение. Корреляция между дефолтами в моменты ti и tj измеряется как корреляция между переменными Xi и x,j. Эту величину называют пакетной корреляцией (copula correlation).18
Модель гауссовых пакетов оказывается полезной при описании структуры корреляции между переменными, не имеющими нормального распределения. Она позволяет оценивать корреляционную структуру каждой переменной по отдельности на основе их маргинальных распределений. Несмотря на то что сами переменные не имеют многомерного нормального распределения, этот подход предполагает, что после преобразования каждой переменной они имеют многомерное нормальное распределение.
Пример 20.3
Предположим, что мы желаем смоделировать дефолты 10 компаний на протяжении следующих пяти лет. Пакетная корреляция между любыми парами компаний
18В качестве приближения пакетную корреляцию между моментами ti и tj часто считают равной корреляции между значениями доходности акций компаний г и j.
равна 0,2. Интегральная вероятность дефолта каждой компании на протяжении следующих одного, двух, трех, четырех и пяти лет равна 1%, 3%, 6%, 10% и 15% соответственно. Если для моделирования используются гауссовы пакеты, то из генеральной совокупности чисел, имеющих многомерное нормальное распределение, извлекаются величины x,t, где 1 г 10, корреляция между которыми равна 0,2. Затем переменные хг преобразуются в переменные ti, представляющие собой выборочные моменты дефолтов. Если выборочное значение, извлеченное из генеральной совокупности с нормальным распределением, меньше 7V-1(0,01) = = —2,33, то дефолт происходит на протяжении первого года; если эта величина лежит между числами —2,33 и 7V-1(0,03) = —1,88, то дефолт происходит на протяжении второго года; если эта величина лежит между числами —1,88 и W-1(0,06) = —1,55, то дефолт происходит на протяжении третьего года; если эта величина лежит между числами —1,55 и (0,10) = —1,28, то дефолт происходит на протяжении четвертого года; если эта величина лежит между числами -1,28 и ЛГ-1(0,15) = —1,04, то дефолт происходит на протяжении пятого года. Если же выборочное значение больше —1,04, дефолт вообще не происходит. □
Применение факторных моделей для описания корреляционной структуры
Чтобы избежать определения корреляции между переменными x-t и Xj для каждой пары компаний i и j в рамках модели гауссовых пакетов, часто используется однофакторная модель. В основе этой модели лежит предположение, что
Xi = щМ + yJl^a^Zi. (20.6)
Здесь М — общий фактор, влияющий на дефолты всех компаний, a Zi — фактор, характерный только для компании i. Переменные М и Zi не зависят друг от друга и имеют нормальное стандартное распределение. Параметры сц лежат в диапазоне от -1 до +1. Корреляция между переменными Xi и Xj равна «jo?.19
Пусть вероятность того, что компания i объявит дефолт в конкретный момент времени Т, равна Qi(T). В рамках модели гауссовых пакетов дефолт происходит, если N(xi) < Qi(T), т.е. Xi < N_1[Qj(T)]. Учитывая формулу (20.5), это условие можно переписать как
aiM + у[1~- ajZi < N-x[Qi(T)], или
TV"1 [Q, (Т)] - агМ yjx~a2i
’’Параметр а, иногда приближают коэффициентом корреляции между доходностью акций компании г и хорошо диверсифицированным фондовым индексом.
Следовательно, условную вероятность дефолта, зависящую от фактора М, можно выразить следующим образом.
Qi (T\M) = N
N-1 [Qipy-aiM \l^
(20.7)
Частным случаем однофакторной модели гауссовых пакетов является модель, в которой распределение вероятностей дефолта для всех i одинакова, а корреляция между переменными хг и Xj для любой пары i и j остается неизменной. Предположим, что Qi(T) = Q(T} для всех г, а общая корреляция равна р. Тогда щ = у/р при всех значениях i, а уравнение (20.7) принимает вид
Q(T\M) = N
N-^QilW-y/pM у/1~Р
(20.8)
Коэффициент биномиальной корреляции
Альтернативным средством измерения корреляции, используемым рейтинговыми агентствами, является коэффициент биномиальной корреляции (binomial correlation measure). Рассмотрим это понятие для компаний Ан В.
1. Переменная равна единице, если компания А объявляет дефолт между нулевым моментом времени и моментом Т, и нулю — в противном случае.
2. Переменная равна единице, если компания В объявляет дефолт между нулевым моментом времени и моментом Т, и нулю — в противном случае.
Эта величина равна
ffAB (Г) = ^В(Т)-9л(Г)Св(Т) (209)
J[Qa (Т) - Qa (Г)2] [<?в (Т) - <?В (Г)2]
где РАВ(Т) — совместная вероятность того, что компании А и В объявят дефолт на промежутке времени между нулевым моментом и моментом Т. Как и прежде, величина QB(T) представляет собой интегральную вероятность того, что компания А объявит дефолт в момент Т, a QB(T) является интегральной вероятностью того, что компания В объявит дефолт в момент Т. Величина /Здв(^) зависит от длины рассматриваемого промежутка времени Т. Как правило, при возрастании величины Т она возрастает.
Из определения модели гауссовых пакетов следует, что РАВ(Т) = = M[xA(t),xB(t);pAB], где хА(Т) = А-1 ((?Л(Т)) и хв(Т) = А-1 (QB(T)) -преобразованные моменты дефолтов компаний А и В, а рАВ — оценка корреляции дефолтов между переменными А и В в модели гауссовых пакетов. Здесь значения
функции М(а, Ь; р) представляют собой вероятность того, что первая переменная меньше числа а, а вторая переменная меньше числа Ъ, если коэффициент корреляции между этими переменными равен р, а сами переменные имеют двухмерное стандартное нормальное распределение.
Отсюда следует, что
М(Жд(Т),Жв(Т);рдв)-С?д(Т)(2в(Т)
Рав U , -------- == (20.10)
(Г) - Qa (Т)2] [<2в (г) - QB (Г)2]
Таким образом, если величины Qa(T) и Qb(T) известны, то коэффициент (Зав можно вычислить по величине рАв и наоборот. Как правило, величина рлв намного больше, чем /3Ав(Т). Это подчеркивает тот важный момент, что величина корреляции зависит от способа ее вычисления.
Пример 20.4
Предположим, что вероятности дефолтов компаний А и В на протяжении года равны 1%. В таком случае хд(1) = жв(1) = —2,326. Если рАв — 0,20, то М(хд(1),хв(1),Рав) — 0,000337, а из формулы (20.10) следует, что (3Ав(Т) = = 0,024, где Т = 1. о
20.10 Кредитная стоимость под риском
Понятие кредитной стоимости под риском определяется аналогично понятию стоимости под риском, введенному в главе 18. Например, кредитный показатель VaR с доверительным уровнем 99,9% и однолетним временным горизонтом представляет собой размер кредитных потерь, который с вероятностью 99,9% не будет превышен в течение года.
Представим себе банк, владеющий крупным портфелем одинаковых займов. Будем считать, что вероятности дефолта для каждого займа одинаковы, а корреляция между любыми парами займов остается неизменной. Если для оценки времени дефолта используется модель гауссовых пакетов, то правая часть уравнения (20.8) приблизительно равна проценту дефолтов, объявленных к моменту Т, в зависимости от величины М. Фактор М имеет стандартное нормальное распределение. С вероятностью Х% эта величина превышает число 7V-1(1 — X) = = —7V-1(X). Следовательно, с вероятностью Х% процент потерь крупного портфеля на протяжении Т лет будет меньше величины V(X, Т), где
= дан,
\ V1 - Р )
20Способ вычисления функции Л/(а, Ь; р) изложен в техническом замечании 5 на Web-сайте автора.
Впервые этот результат был получен Васичеком (Vasicek).21 Как и в формуле (20.8), величина Q(T) представляет собой вероятность дефолта до момента Т, ар — пакетную корреляцию между любыми парами займов.
Следовательно, приближенная оценка кредитной стоимости под риском с Х%-ным доверительным уровнем и временным горизонтом Т равна L (1 — 7?) V(X, Т), где L — величина кредитного портфеля, a R — степень возмещения. Вклад конкретного займа на сумму Li в кредитную стоимость под риском равен Li (1 — R) V(X, Т). Эта модель стала основой для формул, которые используют регулирующие органы для вычисления размера капитала, компенсирующего кредитный риск (см. врезку “Пример из деловой практики 20.2”).
Пример 20.5
Предположим, что некий банк рискует потерять 100 млн долл. Однолетняя вероятность дефолта в среднем равна 2%, а степень возмещения равна 60%. Коэффициент пакетной корреляции равен 0,1. В таком случае
И (0,999, D = V /^(0,02)+ (0.999)4 =
\ Vi - од )
Следовательно, в 99,9% случаев худший уровень дефолтов равен 12,8%. Таким образом, однолетний кредитный показатель VaR, соответствующий 99,9%-ному доверительному уровню, равен 100 х 0,128 х (1 — 0,6), т.е. 5,13 млн долл. □
Пример из деловой практики 20.2. Процедура Basel II
Базельский комитет по надзору за банками (Basel Committee on Bank Supervision) планирует пересмотреть свои процедуры вычисления банковских капиталов, которые должны компенсировать возникающие риски. Эта процедура называется Basel II. Для вычислений рыночного риска никаких изменений не планируется (см. врезку “Пример из деловой практики 18.1”). Основные изменения предусматриваются для процедуры вычисления капитальных требований, зависящих от операционного риска, а также для процедуры определения размера капитала, компенсирующего кредитный риск.
Для банков, принявших подход IRB (Internal Ratings Based), капитал, компенсирующий кредитный риск, вычисляется по формуле
UDR х LGD х EAD х MatAd.
Здесь показатель UDR (unexpected default rate) представляет собой уровень неожиданных дефолтов, т.е. величину, на которую уровень дефолтов в течение года в 99,9% случаев превышает уровень ожидаемых дефолтов. Он вычисляется на основе формулы (20.11) как разность V(X, Т) — Q(T), где X = 99,9% и Т = 1. Переменная LGD (loss given default) — это процент потерь вследствие дефолта
21 См. Vasichek Р. Probability of loss on a Loan Portfolio. — Working Paper, KMV, 1987.
(аналогично величине 1 — R), EAD (exposure at default) — риск дефолта, MatAd (maturity adjustment) — поправка на срок завершения контракта.
Правила вычисления этих показателей довольно сложны. Например, для вычисления показателя UDR необходимо знать вероятность дефолта в течение первого года Q(l) и коэффициент корреляции р. Вероятность дефолта в течение первого года оценивается банком, а правила определения корреляции зависят от вида риска (розничный, корпоративный, суверенный и т.п.). Например, для оценки розничного риска банки самостоятельно определяют показатели LGD и EAD. Для оценки корпоративных рисков банки, применяющие подход IRB, также самостоятельно вычисляют показатели LGD и EAD, а банки, принявшие подход “Foundation IRB”, применяют другие правила вычисления этих величин. Поправка на срок завершения контракта представляет собой возрастающую функцию, которая для инструмента, истекающего через один год, равна единице.
Метод CreditMetrics
Многие банки используют собственные процедуры вычислений кредитной стоимости под риском. Один из наиболее популярных методов вычисления этого показателя называется CreditMetrics. Он предусматривает оценку распределения вероятных кредитных потерь на основе моделирования изменений кредитных рейтингов каждого из контрагентов с помощью метода Монте-Карло. Предположим, что нас интересует распределение вероятных кредитных потерь на протяжении одного года. В каждом сеансе моделирования генерируются изменения кредитных рейтингов и возможные дефолты всех контрагентов в течение года. После этого действующие контракты переоцениваются и вычисляются общие кредитные потери вследствие дефолтов и изменений кредитных рейтингов.
Совершенно очевидно, что этот подход требует сложных вычислений. В то же время преимущество этого подхода заключается в возможности отслеживать изменения кредитных рейтингов и потерь вследствие дефолта. Влияние условий, понижающих кредитных риск, на оценку кредитной стоимости под риском, рассматривается в разделе 20.8.
В табл. 20.6 приведены типичные исторические данные об изменениях кредитных рейтингов, собранные рейтинговыми агентствами. Эти данные можно использовать для моделирования по методу Монте-Карло в рамках подхода CreditMetrics. В частности, табл. 20.6 содержит вероятности перехода из одной категории кредитных рейтингов в другую на протяжении года, выраженные в процентах. Например, облигация, первоначальный рейтинг которой был равен А, в течение года с вероятностью 91,84% останется в этой же категории, с вероятностью 0,02% перейдет в категорию дефолта, с вероятностью 0,13% упадет до уровня В и т.д.22
22Способ вычисления матрицы переходов для более долгих периодов описан в техническом замечании 11 на Web-сайте автора.
Таблица 20.6. Матрица рейтинговых переходов в течение года (вероятности выражены в процентах). Данные опубликованы агентством Moody’s в 2004 году с учетом категории WR
Рейтинг Ааа Аа А Ваа Ва В Саа Дефолт
Ааа 92,18 7,06 0,73 0,00 0,02 0,00 0,00 0,00
Аа 1,17 90,85 7.63 0,26 0,07 0,01 0,00 0,02
А 0,05 2,39 91,84 5,07 0,50 0,13 0,01 0,02
Ваа 0,05 0,24 5,20 88,48 4,88 0,80 0,16 0,18
Ва 0,01 0,05 0,50 5,45 85,13 7,05 0,55 1,27
В 0,01 0,03 0,13 0,43 6,52 83,21 3,04 6,64
Саа 0,00 0,00 0,00 0,58 1,74 4,18 67,99 25,50
Дефолт 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 100,00
При моделировании кредитных потерь на основе выборочных значений переходы из одной категории кредитных рейтингов в другую не обязательно считать независящими друг от друга. Для построения совместного распределения моментов дефолтов, как и в предыдущем разделе, можно использовать модель гауссовых пакетов. Для двух компаний пакетная корреляция между переходами из одной категории в другую обычно принимается равной корреляции между уровнями доходности их акций с учетом факторной модели, описанной в разделе 20.9.
Для иллюстрации подхода CreditMetrics смоделируем изменение рейтингов компаний, относящихся к категориям Ааа и Ваа, на протяжении одного года в соответствии с матрицей переходов, представленной в табл. 20.6. Предположим, что коэффициент корреляции между величинами их акционерных капиталов равен 0,2. В каждом сеансе моделирования сгенерируем две переменные, ха и хв, имеющие нормальное распределение, так, чтобы коэффициент корреляции между ними был равен 0,2. Переменная ха определяет новый рейтинг компании из категории Ааа, а переменная хв — новый рейтинг компании из категории Ваа. Принимая во внимание, что А-1 (0,9218) = 1,4173, А-1 (0,9218 + + 0,0706) = 2,4276, А-1 (0,9218 + 0,0706 + 0,0073) = 3,4319, компания из категории Ааа сохраняет свой рейтинг, если ха < 1,4173, переходит в категорию Аа, если 1,4173 ха < 2,4276, переходит в категорию А, если 2,4276 ха < 3,4319, и т.д. Аналогично, поскольку А“1(0,0005) = —3,2905, А-1(0,0005 + + 0,0024) = -2,7589, А-1 (0,0005 + 0,0024 + 0,0520) = -1,5991, компания из категории Ваа переходит в категорию Ааа, если хв < —3,2905, переходит в категорию Аа, если —3,2905 хв < —2,7589, переходит в категорию А, если —2,7589 хв < —1,5991, и т.д. Компания с рейтингом Ааа никогда не объявляет дефолт. Компания с рейтингом Ваа объявляет дефолт, если хв > А-1 (0,9982), т.е. если хв > 2,9113.
Резюме
Вероятность того, что компания обьявит дефолт на прот яжении определенного периода, можно вычислить с помощью исторических данных, цен облигаций или величины акционерного капитала. Оценки вероятности дефолта, вычисленные по ценам облигаций, являются риск-нейтральными. Оценки вероятности дефолта, вычисленные на основе исторических данных, являются реальными. Их можно использовать для анализа возможных сценариев развития событий и для вычисления кредитного показателя VaR. Риск-нейтральные оценки вероятности дефолта следует использовать при оценке финансовых инструментов, существенно зависящих от кредитов. В целом, риск-нейтральные оценки вероятности дефолта намного выше, чем реальные.
Размер ожидаемых потерь, возникающих вследствие дефолта контрагента, уменьшается с помощью взаимозачета. Это условие включается в большинство контрактов, подписанных финансовыми учреждениями. В соответствии с этим условием, если контрагент обьявляет дефолт по одному из контрактов, подписанных с финансовым учреждением, он должен обьявить его и по всем остальным действующим контрактам с этим учреждением. Кроме того, размер потерь можно уменьшить с помощью обеспечения и понижающих триггеров. Обеспечение требует от контрагента внесения залога, а понижающий триггер предусматривает разрыв контракта, если кредитный рейтинг контрагента падает ниже установленного уровня.
Кредитный показатель VaR представляет собой уровень кредитных потерь, который с определенной вероятностью не будет превышен за указанный период. Он может учитывать либо только потери, возникающие вследствие дефолта, либо потери, возникающие как из-за дефолта, так и вследствие изменений кредитных рейтингов.
Дополнительная литература
Altman Е. I. Measuring Corporate Bond Mortality and Performance // Journal of Finance, 44 (1989). - P. 902-922.
Duffle D. and Singleton K. Modeling Term Structure of Defaultable Bonds // Review of Financial Studies, 12 (1999). -P. 687- 720.
Finger C.C. A Comparison of Stochastic Default Rate Models // Risk Metrics Journal, 1 (November 2000). — P. 49-73.
Hull K. J. and White A. Valuing Credit Default Swaps I: No Counterparty Default Risk // Journal of Derivatives, 8, no. 1 (Spring 2000). — P. 29-40.
Kealhofer S. Quantifying Default Risk I: Default Prediction // Financial Analysis Journal, 59, 1 (2003a). - P. 30-44.
Kealhofer S. Quantifying Default Risk II: Debt Valuation // Financial Analysis Journal, 59, 3 (2003b). - P. 78-92.
Li D. X. On Default Correlation: A Copula Approach // Journal of Fixed Income, March 2000. - P. 43-54.
Litterman R. and Iben T Corporate Bond Valuation and the Term Structure of Credit Spreads // Journal of Portfolio Management, Spring 1991. — P. 52-64.
Merton R. C. On the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates I I Journal of Finance, 2 (1974). — P. 449-470.
Rodriguez R. J. Default Risk, Yield Spreads, and Time to Maturity // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 23 (1988). — P. 111-117.
Вопросы и задачи
20.1. Предположим, что спрэд между доходностью трехлетней корпоративной облигации и доходностью аналогичной безрисковой облигации равен 50 базисным пунктам. Будем считать, что степень возмещения равна 30%. Оцените среднюю интенсивность дефолтов на протяжении трех лет.
20.2. Предположим, что в задаче 20.1 спрэд между доходностью пятилетней корпоративной облигации и доходностью аналогичной безрисковой облигации равен 50 базисным пунктам. Будем считать, что степень возмещения равна 30%. Оцените среднюю интенсивность дефолтов на протяжении пяти лез. Что можно сказать о средней интенсивности дефолтов на протяжении четвертого и пятого годов?
20.3. Какую из вероятностей, реальную или риск-нейтральную, следует использовать при 1) оценке кредитной стоимости под риском и 2) при вычислении стоимости деривативов при дефолте?
20.4. Как обычно определяется степень возмещения?
20.5. Объясните разницу между плотностью безусловной вероятности дефолтов и интенсивностью дефолтов.
20.6. Докажите, 1) что числа во втором столбце табл. 20.4 согласованы с числами, приведенными в табл. 20.1, и 2) что числа в четвертом столбце табл. 20.5 согласованы с числами, приведенными в табл. 20.4, если степень возмещения равна 40%.
20.7. Опишите механизм действия взаимозачета. Предположим, что банк уже провел одну транзакцию с контрагентом по своим бухгалтерским книгам. Объясните, почему новая транзакция, проведенная банком с этим контрагентом, может увеличить или уменьшить кредитный риск, которому подвергается банк.
20.8. Предположим, что показатель 13ав(Т) в формуле (20.9) одинаков как в риск-нейтральном, так и в реальном мире. Можно ли утверждать это относительно показателя рав в модели гауссовых пакетов?
20.9. В чем заключается “стрижка” в соглашении об обеспечении? В качестве залога компания предлагает собственные акции. Что ей ответить?
20.10. В чем заключается разница между моделью гауссовых пакетов и методом CreditMetrics? Укажите, 1) как оценивается размер кредитных потерь и 2) как моделируется корреляция дефолтов.
20.11. Предположим, что вероятность дефолта компании, имеющей рейтинг А, на протяжении двух лет равна 0,2, а вероятность дефолта компании, имеющей рейтинг В, на протяжении двух лет равна 0,15. Чему равно значение биномиальной корреляции, если показатель корреляции дефолтов, основанный на использовании гауссовых пакетов, равен 0,3?
20.12. Предположим, что кривая L1BOR является горизонтальной и проходит на уровне 6% при непрерывном начислении, а трехлетняя облигация с 5%-ным купоном (выплачиваемым раз в полгода) продается за 90,00 долл. Как сконструировать своп активов на основе этой облигации? Чему равен спрэд свопа активов, который необходимо вычислить в этой ситуации?
20.13. Докажите, что стоимость корпоративной облигации с купонными выплатами равна сумме цен соответствующих облигаций с нулевым купоном, если исковая сумма равна стоимости этой облигации при нулевой вероятности дефолта, но это утверждение не верно, если исковая сумма равна сумме номинальной стоимости облигации и накопленных процентов.
20.14. Предположим, что четырехлетняя корпоративная облигация приносит купонные выплаты в размере 4% в год, выплачиваемых раз в полгода. Безрисковая кривая доходности проходит горизонтально на уровне 3% с непрерывным начислением. Предположим, что дефолт может происходить в конце каждого года (непосредственно перед осуществлением купонных или основных выплат), а степень возмещения равна 30%. Оцените риск-нейтральную вероятность дефолта, считая, что она постоянна для каждого года.
20.15. Некая компания выпустила трех- и пятилетние облигации с 4%-ным купоном, выплачиваемым раз в год. Уровни доходности этих облигаций (при непрерывном начислении) равны 4,5% и 4,75%. Безрисковые ставки равны 3,5% при непрерывном начислении для всех сроков завершения контрактов. Степень возмещения равна 40%. Дефолты могут происходить в середине каждого года. Обозначим через Q\ риск-нейтральную вероятность дефолтов для первых трех лет, а через Q% — для четвертого и пятого годов. Оцените величины Qi и Q2-
20.16. Предположим, что финансовое учреждение заключило с контрагентом X своп, зависящий от процентной ставки, выраженной в фунтах стерлингов, а с контрагентом Y — своп, полностью компенсирующий первый. Какое из приведенных ниже утверждений является истинным, а какое — ложным?
1) Общая текущая стоимость дефолтов равна сумме текущей стоимости дефолтов по контракту с контрагентом X и текущей стоимости дефолтов по контракту с контрагентом У.
2) Ожидаемый риск дефолта по обоим контрактам в течение первого года равен сумме ожидаемого риска по контракту с контрагентом X и ожидаемого риска по контракту с контрагентом У.
3) 95%-ный доверительный уровень для риска дефолта на протяжении первого года по обоим контрактам равен сумме 95%-ного доверительного уровня для риска дефолта на протяжении первого года по контракту с контрагентом X и 95%-ного доверительного уровня для риска дефолта на протяжении первого года по контракту с контрагентом У.
Аргументируйте свой ответ.
20.17. Компания заключила однолетний форвардный контракт на продажу 100 американских долларов за 150 австралийских долларов. Изначально контракт является выигрышным. Иначе говоря, форвардный обменный курс равен 1,50. Однолетняя безрисковая процентная ставка в США равна 5% годовых. Однолетняя процентная ставка, под которую заемщик может получить кредит, равна 6% годовых. Волатильность обменного курса равна 12%. Оцените текущую стоимость дефолта по контракту, считая, что дефолт может быть объявлен только в конце года.
20.18. Предположим, что в задаче 20.17 шестимесячный форвардный курс по-прежнему равна 1,50, а шестимесячная безрисковая процентная ставка в США равна 5% годовых. Допустим также, что шестимесячная процентная ставка, под которую заемщик может получить кредит в долларах, равен 5,5% годовых. Оцените текущую стоимость дефолта по контракту, считая, что дефолт может быть объявлен либо в середине, либо в конце года. (Если дефолт объявляется в середине года, то потенциальные потери компании равны рыночной стоимости контракта.)
20.19. “Длинная позиция по форвардному контракту, подвергающаяся кредитному риску, представляет собой комбинацию короткой позиции по опциону “пут” с нулевой вероятностью дефолта и длинной позиции по опциону “колл”, подвергающейся кредитному риску.” Объясните смысл этого утверждения.
20.20. Объясните, почему пара кредитных рисков по двум форвардным контрактам образует стрэддл.
20.21. Объясните, почему влияние кредитного риска, которому подвергается пара процентных свопов, меньше, чем влияние кредитного риска, которому подвергается пара валютных свопов.
20.22. “Если банк ведет переговоры по валютным свопам, то он должен получить меньшую процентную валютную ставку от компании, которая подвергается меньшему кредитному риску.” Объясните смысл этого утверждения.
20.23. Сохраняется ли паритет опционов “пут” и “колл” при наличии риска дефолта? Аргументируйте свой ответ.
20.24. Предположим, что в рамках свопа активов величина В представляет собой рыночную цену облигацию, В* — номинальная стоимость облигации в долларах при нулевой вероятности дефолта, а V — текущая стоимость спрэда свопа активов на каждый доллар номинальной стоимости. Докажите, что V = В - В*.
20.25. Докажите, что в рамках модели Мертона, описанной в разделе 20.6, кредитный спрэд по Т-летней облигации с нулевым купоном равен 1п[А^(^2) + + AT(-di)/L]/T, где L = De~rT/V0.
Упражнения
20.26. Предположим, что трехлетняя корпоративная облигация предусматривает купонные выплаты в размере 7% годовых, выплачиваемых раз в полгода, а доходность равна 5% (при полугодовом начислении). Значения доходности для всех сроков погашения безрисковых ставок равны 4% годовых (при полугодовом начислении). Предположим, что дефолт может происходить каждые шесть месяцев (непосредственно перед датой купонной выплаты), а степень возмещения равна 45%. Оцените вероятности дефолта, считая, что 1) безусловные вероятности дефолта для всех возможных дат дефолта остаются неизменными и 2) условные вероятности дефолта, зависящие от того, происходил ли дефолг ранее, остаются постоянными независимо от даты дефолта.
20.27. Компания выпустила одно- и двухлетние неоплаченные облигации, каждая из которых предусматривает купонные выплаты в размере 8% в год, выплачиваемых раз в год. Значения доходности по облигациям (при непрерывном начислении) равны 6,0% и 6,6% соответственно. Безрисковые процентные ставки для всех сроков завершения контрактов равны 4,5%. Степень возмещения равна 35%. Дефолт может происходить в середине каждого года. Оцените риск-нейтральный уровень дефолтов на протяжении каждого года.
20.28. Подробно объясните разницу между реальными и риск-нсйтральными вероятностями. Какая из них выше? Некий банк заключил кредитный дериватив, в рамках которого согласился выплатить в конце первого года 100 долл., если на протяжении года кредитный рейтинг компании упадет с уровня А до уровня Ваа или ниже. Однолетняя безрисковая процентная ставка равна 5%. Оцените стоимость дериватива, используя табл. 20.6. Какие предположения вы при этом делаете? Недооценивает или переоценивает ваша оценка истинную стоимость дериватива?
20.29. Стоимость акционерного капитала компании равна 4 млн долл., а его волатильность равна 60%. Долг, который компания должна выплатить через два года, равен 15 млн долл. Безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Используя модель Мертона, оцените ожидаемые потери вследствие дефолта, вероятность дефолта и степень возмещения в случае дефолта. Объясните, почему модель Мертона приводит к более высокой степени возмещения. (Подсказка: для решения этой задачи можно использовать функцию Solver программы Excel.)
20.30. Предположим, что банк может потерять 10 млн долл., подвергаясь риску определенного типа. Вероятность дефолта на протяжении года в среднем равна 1%, а степень возмещения равна 40%. Пакетная корреляция равна 0,2. Оцените однолетний кредитный показатель VaR с доверительным уровнем, равным 99,5%.
Кредитные деривативы
В конце 1990-х годов одним из наиболее бурно развивающихся сегментов деривативных рынков стали кредитные деривативы. В 2000 году общий объем выпущенных кредитных деривативов составлял около 800 млрд долл. К 2003 году эта сумма увеличилась до 3 трлн долл. Кредитные деривативы — это контракты, выплаты по которым зависят от кредитоспособности одной или нескольких компаний или стран. В главе объясняется механизм работы кредитных деривативов и обсуждаются способы их оценки.
Кредитные деривативы позволяют компаниям торговать кредитными рисками точно так же, как они торгуют рыночными рисками. Банки и другие финансовые учреждения привыкли, что с кредитными рисками ничего поделать нельзя и остается лишь пассивно ожидать развития события, надеясь на лучшее. Теперь они активно управляют своими портфелями кредитных рисков, покупая и продавая кредитные деривативы. Как указано во врезке “Пример из деловой практики 21.1”, банки стали крупнейшими покупателями кредитных инструментов, а страховые компании — их крупнейшими продавцами.
21.1 Свопы кредитных дефолтов
Наиболее распространенной разновидностью кредитных деривативов является своп кредитного дефолта (CDS — credit default swap). Это контракт, обеспечивающий страхование на случай дефолта конкретной компании. Эта компания называется базовой (reference entity), а ее дефолт — кредитным событием (credit event). При наступлении кредитного события покупатель страхового полиса имеет право продать конкретную облигацию, выпущенную базовой компанией, по ее номинальной стоимости.1 Эта облигация называется базовой облигацией (reference obligation), а ее номинальная стоимость — условной основной суммой кредитного обязательства в свопе (notional principal).
Покупатель свопа CDS осуществляет периодические выплаты продавцу до конца срока действия свопа или до наступления кредитного события. Эти выплаты, как правило, осуществляются каждый квартал, каждые полгода или каждый
'Номинальной стоимостью облигации (face value, or par value) называется основная сумма, которую эмитент выплатит в момент погашения облигации, если не объявит дефолт.
год. Объявление дефолта подразумевает либо физическую поставку облигаций, либо выплату наличных денег.
Рассмотрим типичную структуру такой сделки на следующем примере. Предположим, что 1 марта 2004 года две стороны заключили пятилетний своп кредитного дефолта. Допустим также, что условная основная сумма кредитных обязательств по свопу равна 100 млн долл, и для защиты от дефолта базовой компании покупатель согласен выплачивать 90 базисных пунктов ежегодно.
Иллюстрация этого примера представлена на рис. 21.1. Если базовая компания не объявит дефолт (т.е. кредитное событие не произойдет), покупатель не получит выигрыша и выплатит по 900 000 долл. 1 марта 2005, 2006, 2007, 2008 и 2009 годов. Если кредитное событие произойдет, то покупатель с большой вероятностью получит большой выигрыш. Предположим, что покупатель известил продавца о наступлении кредитного события 1 июня 2007 года (по истечении четверти четвертого года). Если контракт предусматривает физическую поставку активов, то покупатель имеет право продать облигацию базовой компании по ее номинальной стоимости, т.е. за 100 млн долл. Если в контракте предусмотрена оплата наличными деньгами, то посредник, занимающийся расчетами, должен выбрать дилера, который определит среднерыночную стоимость базовой облигации за определенное количество дней, прошедших после кредитного события. Если окажется, что стоимость этой облигации равна 35 долл, за каждые 100 долл, ее номинальной стоимости, то выигрыш покупателя составит 65 млн долл.
Рис. 21.1. Своп кредитного дефолта
При наступлении кредитного события регулярные выплаты, которые покупатель страховки осуществлял ее продавцу, прекращаются. Однако поскольку эти выплаты производятся с запаздыванием, покупатель, как правило, должен внести заключительный взнос. В нашем примере покупатель должен перечислить продавцу объем ежегодных выплат, накопленных за период с 1 марта 2007 года по 1 июня 2007 года (примерно 225 000 долл.), а все последующие выплаты аннулируются.
Общий объем страховых выплат в течение года, выраженный в процентах от номинальной стоимости, называется спрэдом свопа кредитного дефолта или спрэдом CDS (CDS spread). Основными участниками рынка свопов кредитных дефолтов являются несколько крупных банков. При котировке нового пятилетнего свопа кредитного дефолта компании Ford Motor Credit участник рынка может предложить в качестве цены покупателя 250 базисных пунктов, а в качестве цены
продавца — 260 базисных пунктов. Это значит, что участник рынка готов купить страховку по кредиту компании Ford, выплачивая 250 базисных пунктов в год (т.е. 2,5% основной суммы в год), и продать страховку по кредиту компании Ford, получая 260 базисных пунктов в год (т.е. 2,6% основной суммы в год).
Пример из деловой практики 21.1. Кто подвергается кредитному риску?
Традиционно кредитному риску подвергались банки, выдававшие займы своим клиентам, которые могли объявить дефолт. Однако теперь все изменилось. С некоторых пор банки с неохотой регистрируют займы в своих учетных книгах. Это объясняется тем, что после выполнения требований к размеру капитала, установленных регулирующими органами, средняя доходность, полученная благодаря займам, часто оказывается намного меньше доходности других активов. На протяжении 1990-х годов банки изобрели ценные бумаги, обеспеченные активами (например, ценные бумаги, обеспеченные закладными, описанные в главе 29), цель которых — переложить займы (и связанные с ними риски) на плечи инвесторов. В конце 1990-х и начале 2000-х годов банки интенсивно использовали кредитные деривативы для переадресации кредитного риска по своим займам другим сегментам финансовой системы.
Если банки стали покупателями кредитных страховок, то кто стал их продавцами? Ответ очевиден — страховые компании. Эти компании не подчиняются регулирующим правилам, установленным для банков, и в результате могут смелее идти на кредитный риск.
В итоге, кредитному риску часто подвергается совсем не то финансовое учреждение, которое выдало кредит. Благоприятно ли это сказывается на состоянии всей финансовой системы? Этот вопрос пока остается открытым.
Свопы кредитных дефолтов и доходность облигаций
С помощью свопов кредитных дефолтов можно хеджировать позицию по корпоративной облигации. Предположим, что инвестор покупает пятилетнюю корпоративную облигацию, приносящую 7% доходности от своего номинала в год, и в то же самое время заключает пятилетний своп кредитного дефолта, покупая страховку против дефолта эмитента облигации. Предположим, что спрэд CDS равен 2% годовых. Эффект, который оказывает спрэд CDS, проявляется в превращении корпоративной облигации в безрисковую (по крайней мере, приблизительно). Если эмитент облигации не объявит дефолт, то инвестор заработает 5% в год (при условии, что спрэд CDS рассчитывается на основе доходности корпоративной облигации). Если же эмитент облигации объявит дефолт, то инвестор будет получать 5% в год вплоть до момента дефолта. По условиям свопа кредитного дефолта в этом случае инвестор имеет право обменять облигацию на ее номи
нальную стоимость. Затем эта сумма инвестируется в безрисковую облигацию на время, оставшееся до истечения пяти лет.
Спрэд n-летнего свопа кредитного дефолта приблизительно равен величине, на которую номинальная доходность n-летней корпоративной облигации превышает номинальную доходность п-летней безрисковой облигации. Если первая доходность намного больше второй, то, покупая корпоративную облигацию и страховку, инвестор может получить процентную ставку, превышающую безрисковую. Если же первая доходность значительно меньше второй, то инвестор может сделать заем по ставке, не превышающей безрисковую, продав корпоративную облигацию без покрытия вместе со страховкой от дефолта. Эта арбитражная схема не является идеальной, но она хорошо иллюстрирует связь между спрэдом CDS и доходностью облигации. Спрэды CDS можно использовать для определения безрисковой ставки, используемой участниками рынка. Как показано в разделе 20.4, средняя подразумеваемая безрисковая процентная ставка приближенно равна ставке LIBOR/своп за вычетом 10 базисных пунктов.
Облигация, наиболее дешевая для поставки
Как указано в разделе 20.3, степень возмещения по облигации равна стоимости облигации сразу после дефолта, выраженной в виде процентов от номинальной стоимости. Эта значит, что выплаты по свопу кредитного дефолта равны L(1 - R), где L — условная основная сумма, a R — степень возмещения.
Как правило, своп кредитного дефолта предусматривает, что в случае дефолта должна быть выполнена поставка большого количества разных облигаций. Эти облигации должны иметь примерно одинаковые сроки обращения, но сразу после дефолта они могут продаваться по разным ценам.2 Это дает держателю свопа кредитного дефолта возможность выбрать облигацию, наиболее дешевую для поставки (cheapest-to-delivery bond). В момент дефолта покупатель страховки (или его агент, занимающийся наличными расчетами) может рассмотреть разные варианты поставки облигаций и выбрать наиболее выгодный.
21.2 Кредитные индексы
Для отслеживания величины спрэдов CDS участники рынков кредитных деривативов изобрели индексы. В 2004 году разные компании, вычисляющие кредит
2У этого явления есть много причин. Сумма иска, поданного сразу после дефолта, как правило, равна номинальной стоимости облигаций плюс накопленные проценты. Следовательно, облигации с большой суммой процентов, накопленных к моменту дефолта, сразу после дефолта оцениваются выше. Кроме того, рынок можег считать, что в случае реорганизации компании некоторые держатели облигаций метут выиграть больше других.
ные индексы, заключили между собой соглашение. В настоящее время используются следующие индексы.
1. Пятилетние и десятилетние индексы CDX NA IG, отслеживающие кредитные спрэды для 125 североамериканских компаний, входящих в инвестиционную категорию.
2. Пятилетние и десятилетние индексы iTraxx Europe, отслеживающие кредитные спрэды для 125 европейских компаний, входящих в инвестиционную категорию.
Кроме мониторинга кредитных спрэдов, индексы позволяют участникам рынка легко покупать и продавать портфели свопов кредитных дефолтов. Например, инвестиционный банк, действующий как участник рынка, может котировать пятилетний индекс CDX NA IG, покупая его за 65 базисных пунктов и продавая за 66 базисных пунктов. В таком случае инвестор может купить страховку пятилетнего свопа кредитного дефолта каждой из 125 компаний, включенных в индекс, за 660 000 долл, в год, в то время как ее полная стоимость равна 800 000 млн долл. Кроме того, инвестор может продать страховку пятилетнего свопа кредитного дефолта каждой из 125 компаний, включенных в индекс, за 650 000 долл, в год, в то время как ее полная стоимость равна 800 000 млн долл. Если компания объявит дефолт, ежегодная выплата сокращается на 660000/125 = 5280 долл.3
21.3 Оценка свопов кредитных дефолтов
Среднерыночные спрэды свопов кредитных дефолтов конкретных базовых компаний (т.е. средние спрэды между ценами продажи и покупки свопов кредитных дефолтов, котируемых брокерами) можно вычислить на основе оценок вероятностей дефолтов. Проиллюстрируем эту процедуру на простом примере.
Предположим, что вероятность дефолта базовой компании на протяжении года при условии, что раньше она дефолт не объявляла, равна 2%.4 В табл. 21.1 указаны безусловные вероятности дефолта (т.е. вероятность дефолта, оцененная в нулевой момент времени) и вероятности выживания для каждого из пяти годов. Вероятность дефолта на протяжении первого года равна 0,02, а вероятность того, что базовая компания благополучно просуществует до конца первого года, равна 0,98. Вероятность дефолта на протяжении второго года равна 0,02 х 0,98 = 0,0196,
3Этот индекс немного меньше среднего спрэда свопа кредитного дефолта для компаний, включенных в портфель. Чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим две компании, спрэд одной ИЗ которых равен 1 000 базисных пунктов, а спрэд другой — 10 базисных пунктов. Чтобы купить страховку от дефолта обеих компаний, придется заплатить немного меньше, чем 505 базисных пунктов для каждой компании. Это объясняется тем, что вероятность выплаты 1 000 базисных пунктов меньше, чем вероятность выплаты 10 базисных пунктов, и, следовательно, эта выплата должна иметь меньший вес.
4Как указано в разделе 20.2, условная вероятность дефолта называется интенсивностью дефолта.
а вероятность того, что базовая компания благополучно просуществует до конца второго года, равна 0,98 х 0,98 = 0,9604. Вероятность дефолта на протяжении третьего года равна 0,02 х 0,9604 = 0,0192 и т.д.
Таблица 21.1. Безусловные вероятности дефолта и вероятности выживания
Время, лет Вероятность дефолта Вероятность выживания
1 0,0200 0,9800
2 0,0196 0,9604
3 0,0192 0,9412
4 0,0188 0,9224
5 0,0184 0,9039
Предположим, что дефолты могут происходить только в середине года, а выплаты по свопу кредитного дефолта производятся только в конце каждого года. Допустим также, что безрисковая процентная ставка (LIBOR) равна 5% годовых при непрерывном начислении, а степень возмещения равна 40%. Вычисления производятся в три этапа, результаты которых приведены в табл. 21.2-21.4.
Таблица 21.2. Вычисление текущей стоимости ожидаемых выплат. Размер выплат равен s°/o в год
Время, лет Вероятность выживания Ожидаемые выплаты, долл. Дисконтирующий множитель Текущая стоимость ожидаемых выплат
1 0,9800 0,9800s 0,9512 0,9322s
2 0,9604 0,9604s 0,9048 0,8690s
3 0,9412 0,9412s 0,8607 0,8110s
4 0,9224 0,9224s 0,8187 0,7552s
5 0,9039 0,9039s 0,7788 0,7040s
Всего 4,0704s
В табл. 21.2 приведены результаты вычислений текущей стоимости ожидаемых выплат, сделанных в рамках свопа кредитного дефолта по ставке s% в год при номинальной стоимости, равной одному доллару. Например, вероятность того, что третья выплата ставки s будет произведена, равна 0,9412. Следовательно, размер ожидаемой выплаты равен 0,9412s, а ее текущая стоимость равна O,9412se-0,05x3 = 0,8101s. Общая текущая стоимость текущих выплат равна 4,0704s.
Таблица 21.3. Вычисление текущей стоимости ожидаемых выплат. Номинальная стоимость равна одному доллару
Время, лет Вероятность Степень Ожидаемые Дисконтирующий Текущая стоимость ожидаемого выигрыша, долл.
дефолта возмещения выплаты, долл. множитель
0,5 0,0200 0,4 0,0120 0,9753 0,0117
1,5 0,0196 0,4 0,0118 0,9277 0,0109
2,5 0,0192 0,4 0,0115 0,8825 0,0102
3,5 0,0188 0,4 0,0113 0,8395 0,0095
4,5 0,0184 0,4 0,0111 0,7985 0,0088
Всего 0,0511
В табл. 21.3 приведены результаты вычислений текущей стоимости ожидаемых выплат при номинальной стоимости, равной одному доллару. Как указывалось ранее, предполагается, что дефолт может происходить только в середине года. Например, вероятность того, что выплата будет произведена в середине третьего года, равна 0,0192. При степени возмещения, равной 40%, ожидаемый размер выплат в этот момент составит 0,0192 х 0,6 х 1 = 0,0115. Текущая стоимость ожидаемой выплаты равна 0,0115е~0,05х2’5 = 0,0102. Общая текущая стоимость ожидаемых выплат равна 0,0511 долл.
Таблица 21.4. Вычисление текущей стоимости накопленных выплат
Время, лет Вероятность выживания Ожидаемые накопленные выплаты Дисконтирующий множитель Текущая стоимость накопленных ожидаемых выплат
0,5 0,0200 0,0100s 0,9753 0,0097s
1,5 0,0196 0,0098s 0,9277 0,0091s
2,5 0,0192 0,0096s 0,8825 0,0085s
3,5 0,0188 0,0094s 0,8395 0,0079s
4,5 0,0184 0,0092s 0,7985 0,0074s
Всего 0,0456s
И наконец, в табл. 21.4 приведены результаты вычислений размера накопленных выплат, которые должны быть произведены в момент дефолта. Например, вероятность того, что последняя накопленная выплата в середине третьего года все же будет произведена, равна 0,0192. Размер накопленной выплаты равен 0,5s. Следовательно, ожидаемый размер накопленной выплаты равен 0,0192 х 0,5s =
= 0,0096s. Ее текущая стоимость равна 0,0096е~°’05х2’5 = 0,0085s. Совокупная текущая стоимость накопленных выплат равна 0,0426s.
Из результатов, приведенных в табл. 21.1 и 21.3, следует, что текущая стоимость ожидаемых выплат равна
4,0704s + 0,0426s = 4,1130s.
Как показывают данные из табл. 21.2, текущая стоимость ожидаемых выплат равна 0,0511. Приравнивая эти величины, приходим к выводу, что
4,1130s = 0,0511,
т.е. s = 0,0124. Таким образом, среднерыночный спрэд должен быть равен произведению основной суммы на 0,0124, т.е. 124 базисных пункта в год. Этот пример предназначен лишь для иллюстрации методологии вычислений. На практике эти вычисления более сложны, поскольку 1) выплаты производятся более часто и 2) дефолт может происходить в разные моменты времени.
Переоценка свопов кредитных дефолтов
В момент переговоров стоимость свопа кредитного дефолта, как и стоимость большинства других свопов, близка к нулю. Позднее его стоимость может оказаться как положительной, так и отрицательной. Предположим, например, что в момент заключения свопа кредитного дефолта, рассмотренного выше, спрэд был равен 150 базисным пунктам. Тогда текущая стоимость выплат для покупателя страховки должна быть равной 4,1130 х 0,0150 = 0,0617, а текущая стоимость выигрыша — 0,0511 или больше. Следовательно, стоимость свопа для продавца страховки должна быть равной 0,0617 — 0,0511, т.е. произведению основной суммы на 0,0106. Аналогично переоцененная стоимость свопа для покупателя страховки равна произведению основной суммы на —0,0106.
Оценка вероятностей дефолта
Вероятности дефолта, используемые при вычислении стоимости свопов кредитных дефолтов, должны быть риск-нейтральными, а не реальными (разница между этими понятиями обсуждается в разделе 20.5). Риск-нейтральные вероятности дефолтов можно оценить на основе цен облигаций или свопов активов с помощью методов, изложенных в главе 20. В качестве альтернативы можно использовать котировки свопов кредитных дефолтов. Этот подход основан на практике опционных рынков, которые используют подразумеваемые волатильности, оцениваемые с помощью активно продаваемых опционов.
Предположим, что в примере, связанном с табл. 21.2-21.4, нам не известны вероятности дефолтов. Вместо этого нам известно, что среднерыночный спрэд
вновь заключенного пятилетнего свопа кредитного дефолта равен 100 базисных пунктов. Повторяя вычисления, приходим к выводу, что подразумеваемая вероятность дефолта в течение года (при условии, что дефолт не был объявлен ранее) равна 1,61% в год.5
Бинарные свопы кредитных дефолтов
Бинарный своп кредитного дефолта похож на обычный своп кредитного дефолта, за исключением того, что сумма выигрыша в его рамках строго фиксирована. Предположим, что в рассмотренном выше примере выигрыш равен одном доллару, а не 1 — R долл., а спрэд свопа равен s. Содержание табл. 21.1, 21.2 и 21.4 остается прежним, а табл. 21.3 заменяется табл. 21.5. Спрэд кредитного свопа теперь определяется уравнением
4,1130s = 0,0852.
Таким образом, спрэд этого кредитного свопа равен 0,0207, т.е. 207 базисных пунктов.
Таблица 21.5. Вычисление текущей стоимости ожидаемых выплат по бинарному свопу кредитного свопа. Номинальная стоимость равна одному доллару
Время, лет Вероятность дефолта Ожидаемые выплаты, долл. Дисконтирующий множитель Текущая стоимость ожидаемого выигрыша, долл.
0,5 0,0200 0,0200 0,9753 0,0195
1,5 0,0196 0,0196 0,9277 0,0182
2,5 0,0192 0,0192 0,8825 0,0170
3,5 0,0188 0,0188 0,8395 0,0158
4,5 0,0184 0,0184 0,7985 0,0147
Всего 0,0852
Насколько важной является степень возмещения?
Какой бы показатель мы ни учитывали при вычислении вероятности дефолта— спрэды кредитных дефолтов или цены облигаций — необходимо знать степень возмещения. Однако если при оценке риск-нейтральных вероятностей дефолтов и кредитных свопов мы используем одну и ту же степень возмещения, то стоимость свопа оказывается слабо зависящей от ее величины. Это объясняется тем,
5В идеале нам следовало бы оценить вероятность дефолта для каждого года, а не просто интенсивность дефолта. Это можно сделать, если известны спрэды для одно-, двух-, трех-, четырех-и пятилетних свопов кредитных дефолтов или цена облигаций.
что подразумеваемые вероятности дефолта приближенно пропорциональны величине 1/ (1 — R), а выигрыши по свопам кредитных дефолтов пропорциональны величине 1 — R.
Этот аргумент не относится к оценке бинарного свопа кредитного дефолта. В этом случае подразумеваемые вероятности дефолта по-прежнему приближенно пропорциональны величине 1/ (1 — R). Однако для бинарных свопов кредитных дефолтов выигрыши не зависят от величины R. Зная спрэды для простых и бинарных свопов кредитных дефолтов, можно оценить степень возмещения и вероятность дефолта (см. задачу 21.25).
Пример из деловой практики 21.2. Является ли рынок свопов кредитных дефолтов справедливым?
Между свопами кредитных дефолтов и другими внебиржевыми деривативами существует принципиальная разница, которую необходимо рассмотреть. Все внебиржевые деривативы зависят от процентных ставок, обменных курсов, фондовых индексов, товарных цен и пр. Нет никаких причин предполагать, что какой-либо участник рынка имеет более точную информацию об этих показателях, чем любой из других участников.
В свою очередь, величина спрэда свопа кредитного дефолта зависит от вероятности того, что конкретная компания на протяжении заданного периода времени объявит дефолт. Вполне возможно, что некоторые участники рынка обладают более точной информацией, которая позволяет им точнее оценить вероятность дефолта, чем остальные. Финансовое учреждение, тесно сотрудничающее с конкретной компанией, давая ей советы, делая займы и организовывая новый выпуск ценных бумаг, обладает более точной информацией о ее кредитоспособности, чем другие организации. Экономисты называют это проблемой асимметричной информации (asymmetric information problem).
Может ли проблема асимметричной информации ограничить развитие рынка свопов кредитных дефолтов? Этот вопрос до сих пор остается открытым. Финансовые учреждения подчеркивают, что решение покупать страховку от дефолта компании обычно зависит от риск-менеджера и не основано на специальной информации о финансовом положении компании.
Будущее рынка свопов кредитных дефолтов
С конца 1990-х и начала 2000-х годов рынок свопов кредитных дефолтов бурно развивается. Свопы кредитных дефолтов составляют более 70% всех кредитных деривативов. Они стали весьма важным инструментом управления кредитным риском. Финансовое учреждение может уменьшить кредитный риск, связанный с конкретной компанией, покупая страховку от ее дефолта. Кроме того, с помощью свопов кредитных дефолтов можно диверсифицировать кредитный риск. Напри
мер, если финансовая организация подвергается слишком большому кредитному риску, связанному с конкретным сегментом рынка, она может купить страховку от дефолта компаний, действующих в этом секторе, и продать страховку от дефолта компаний из других сегментов рынка.
Некоторые участники рынка считают, что рост рынка свопов кредитных дефолтов будет продолжаться и к 2010 году достигнет размера рынка процентных свопов. Другие эксперты менее оптимистичны. На рынке свопов кредитных дефолтов существует проблема асимметричной информации, которая не характерна для других внебиржевых рынков кредитных деривативов (см. врезку “Пример из деловой практики 21.2”).
21.4 Форвардные контракты и опционы на свопы кредитных дефолтов
Поскольку рынок свопов кредитных деривативов хорошо организован, естественно, что дилеры торгуют не только деривативами, но и форвардными контрактами и опционами на свопы кредитных дефолтов.6
Форвардный контракт на своп кредитного дефолта представляет собой обязательство купить или продать конкретный своп кредитного дефолта конкретной базовой компании в конкретный момент Т в будущем. Если базовая компания объявит дефолт до момента Т, форвардный контракт будет прекращен. Следовательно, банк может заключить форвардный контракт на продажу пятилетней страховки от дефолта компании Ford Motor Credit за 280 базисных пунктов в год. Если компания Ford объявит дефолт в течение следующего года, то в соответствии с форвардным контрактом обязательства банка прекращаются.
Опцион на своп кредитного дефолта представляет собой опцион на покупку или продажу конкретного свопа кредитного дефолта конкретной базовой компании в конкретный момент Т в будущем. Например, инвестор может приобрести право купить пятилетнюю страховку от дефолта компании Ford Motor Credit через год за 280 базисных пунктов. Такой опцион называется опционом “колл”. Если пятилетний спрэд свопа кредитного дефолта компании Ford в течение года окажется больше 280 базисных пунктов, то опцион будет исполнен; в противном случае он не исполняется. Стоимость опциона должна оплачиваться заранее. Аналогично инвестор может продать пятилетнюю страховку от дефолта компании Ford Motor Credit через год за 280 базисных пунктов. Такой опцион называется опционом “пут”. Если пятилетний спрэд свопа кредитного дефолта компании Ford в течение года окажется меньше 280 базисных пунктов, то опцион будет исполнен;
6Методы оценки этих инструментов изложены в работе Hull J. С. and White A. The Valuation of Credit Default Swap Options // Journal of Derivatives, 10, 5 (Spring 2003). — P. 40-50.
в противном случае он не исполняется. Стоимость этого опциона также должна оплачиваться заранее. Как и форвардный контракт, опцион на своп кредитного дефолта обычно прекращает свое действие в случае дефолта.
Все большую популярность на рынке кредитных деривативов приобретает опцион “колл” на пакет базовых компаний. Если в корзину входит т базовых компаний, которые не объявляют дефолт вплоть до истечения срока действия опциона, то он дает держателю право купить портфель свопов кредитных дефолтов указанных компаний за тК базисных пунктов, где К — цена исполнения. Кроме того, держатель опциона обычно получает выигрыш по свопу кредитного дефолта любой из базовых компаний, объявившей дефолт на протяжении срока действия контракта.
21.5 Своп на совокупную доходность
Своп на совокупную доходность (total return swap) — это соглашение об обмене совокупной доходности, полученной по облигации или от другого базового актива, на ставку “LIBOR + спрэд”. В совокупную доходность включаются купоны, проценты, а также прибыли или убытки от актива на протяжении всего срока действия свопа.
Например, свопом на совокупную доходность является пятилетнее соглашение с условной основной суммой, равной 100 млн долл., об обмене совокупной доходности по облигации с 5%-ным купоном на ставку “LIBOR + 25 базисных пунктов”. Этот своп продемонстрирован на рис. 21.2. В момент выплаты по купонам плательщик выплачивает получателю совокупной доходности сумму, начисленную на 100 млн долл., вложенных в базовые облигации. Получатель выплачивает процентную ставку, начисленную на 100 млн долл, по ставке “LIBOR + 25 базисных пунктов”. (Как и в случае обычных процентных свопов, ставка LIBOR выплачивается в размере, установленном в предыдущий момент купонной выплаты.) Выплата в конце срока действия свопа отражает изменение стоимости облигации. Например, если на протяжении срока действия свопа стоимость облигации увеличивается на 10%, плательщик в конце пятого года должен выплатить получателю 10 млн долл. (т.е. 10% от 100 млн долл.). Аналогично, если на протяжении срока действия свопа стоимость облигации уменьшится на 15%, получатель в конце пятого года должен выплатить получателю 15 млн долл. Если по облигации объявлен дефолт, своп обычно прекращает действие и получатель осуществляет окончательную выплату, равную величине, на которую рыночная стоимость облигации меньше 100 млн долл.
Если в конце срока действия свопа учесть основную сумму, то своп на совокупную доходность можно описать следующим образом. Плательщик выплачивает получателю денежные потоки, возникшие благодаря инвестиции в корпора-
Рис. 21.2. Своп на совокупную доходность
тивные облигации на сумму 100 млн долл. Получатель выплачивает плательщику процентную ставку, начисленную на 100 млн долл., вложенных в облигации, по ставке “LIBOR плюс 25 базисных пунктов”. Если плательщик владеет корпоративными облигациями, то своп на совокупную доходность позволяет ему переадресовать кредитный риск по облигациям получателю. Если он не владеет облигациями, то своп на совокупную доходность позволяет ему занять короткую позицию по облигациям.
Своп на совокупную доходность часто используется в качестве финансового инструмента. Один из сценариев может привести к свопу, схема которого изображена на рис. 21.2. Получатель совокупной доходности желает вложить 100 млн долл, в базовые облигации. Для этого он вступает в контакт с плательщиком совокупной доходности (вероятнее всего, финансовым учреждением) и заключает соглашение о свопе. Затем плательщик вкладывает 100 млн долл, в облигации. В результате получатель остается в позиции, которую он мог занять, взяв кредит по ставке “LIBOR 4- 25 базисных пунктов”, чтобы купить облигации. Плательщик остается владельцем облигации на протяжении всего срока действия свопа. В этом случае риск, связанный с дефолтом получателя, намного ниже, чем риск, которому подвергался бы плательщик, просто одолжив деньги получателю для покупки облигаций, взяв их в залог. Если получатель объявит дефолт, то плательщик не будет иметь никаких юридических проблем с реализацией залога. Свопы на совокупную доходность похожи на соглашения репо (см. раздел 4.1), поскольку конструируются так, чтобы минимизировать кредитный риск при займе денег.
Спрэд над ставкой LIBOR, получаемый плательщиком, компенсирует риск, которому он подвергается в связи с возможным дефолтом получателя. Если получатель объявит дефолт в момент падения стоимости облигации, то плательщик потеряет деньги. Следовательно, спрэд зависит от ценности кредита для получателя, ценности кредита для эмитента облигации и коэффициента корреляции между их дефолтами.
Стандартные сделки, описанные выше, имеют много вариантов. Иногда вместо обмена стоимости облигации на денежную сумму осуществляется физическая поставка, в рамках которой плательщик в конце срока действия свопа отдает получателю активы на условную основную сумму кредитных обязательств. Иногда обмен стоимостью происходит периодически, а не в конце срока действия свопа.
21.6 Пакетные свопы кредитных дефолтов
В пакетный своп кредитных дефолтов (basket credit default swap) входит большое количество базовых компаний. Суммарный пакетный своп кредитных дефолтов (add-up basket credit default swap) приносит выигрыш, если хотя бы одна из компаний, входящих в пакет, объявляет дефолт. Пакетный своп первого кредитного дефолта (first-to-default basket credit default swap) приносит выигрыш, если дефолт объявляет первая из базовых компаний. Пакетный своп второго кредитного дефолта (second-to-default basket credit default swap) приносит выигрыш, если дефолт объявляет вторая из базовых компаний. Пакетный своп п-го кредитного дефолта (nth-to-default basket credit default swap) приносит выигрыш, если дефолт объявляет п-я из базовых компаний. Выигрыш выплачивается точно так же, как и по обычному свопу кредитных дефолтов. После объявления дефолтов осуществляются соответствующие расчеты, а после этого своп завершается, и все выплаты прекращаются.
21.7 Обеспеченные долговые обязательства
Обеспеченное долговое обязательство (CDO, collateralized debt obligation) — это способ создания ценных бумаг с разнообразными характеристиками риска на основе портфеля долговых инструментов. Типичная структура обеспеченного долгового обязательства представлена на рис. 21.3. В ней предусмотрено создание четырех классов ценных бумаг, так называемых траншей (tranches), из портфелей корпоративных облигаций или банковских займов. Размер первого транша равен 5% основной стоимости портфеля. Этот транш абсорбирует первые 5% потерь вследствие возможного дефолта. Размер второго транша равен 10% основной стоимости портфеля. Этот транш абсорбирует следующие 10% потерь вследствие возможного дефолта. Размер третьего транша равен 10% основной стоимости портфеля. Этот транш абсорбирует следующие 10% потерь вследствие возможного дефолта. И наконец, четвертый транш охватывает 75% основной суммы облигаций и абсорбирует остальную часть потерь. Доходности, продемонстрированные на рис. 21.3, представляют собой процентные ставки, выплачиваемые держателям транша. Эти ставки начисляются на основную сумму транша, оставшуюся после выплаты потерь. Рассмотрим первый транш. Сначала держателям первого транша выплачивается доходность в размере 35%. Однако после потерь по облигациям, равным 1% от общей основной суммы, держатели первого транша потеряют 20% своих инвестиций, и полученная ими доходность составит только 80% от первоначальной суммы инвестиций. Первый транш иногда называют “акционерным” (equity tranche). Если потери от дефолта по всему портфелю составляют 2,5%, то потери владельцев ценных бумаг из первого транша составят 50%. В противоположность этому, четвертый транш, как правило, состоит из об
лигаций с рейтингом Ааа. Держатели четвертого транша несут кредитные потери только в том случае, когда сумма потерь от дефолтов по облигациям, включенным в портфель, превышает 25% его стоимости.
Эмитенты обеспеченных долговых обязательств, как правило, сохраняют акционерный транш у себя, а остальные транши продают на рынке. Ценные бумаги CDO позволяют создавать высококачественные долговые обязательства на основе долговых обязательств среднего (и даже низкого) качества.
Рис. 21.3. Обеспеченное долговое обязательство
Синтетические обеспеченные долговые обязательства
Изображенные на рис. 21.3 обеспеченные долговые обязательства именуются наличными обеспеченными долговыми обязательствами (cash CDO). Альтернативой им являются синтетические обеспеченные долговые обязательства (synthetic CDO), создатели которых продают портфель свопов кредитных дефолтов третьей стороне. Тем самым они перекладывают риск дефолта на плечи держателей траншей в рамках синтетических обеспеченных долговых обязательств. Аналогично рис. 21.3, первый транш покрывает выигрыш по свопу кредитного дефолта, не превышающему 5% общей основной суммы. Второй транш покрывает выигрыш по свопу кредитного дефолта, составляющему от 10 до 15% общей основной суммы и т.д. Доход по свопам кредитных дефолтов распределяется между траншами пропорционально риску, которому они подвергаются. Например, первый транш может принести 3 000 базисных пунктов, второй транш — 1 000 базисных пунктов и т.д. Как и в случае наличных обеспеченных долговых обязательств, этот доход
начисляется на основную сумму, которая убывает при наступлении дефолта по облигациям, образующим транши.
Торговля отдельными траншами
В разделе 21.2 рассмотрены портфели, состоящие из облигаций 125 компаний, на основе которых рассчитываются индексы CDX и iTraxx. Эти портфели используются на рынке для конструирования траншей в рамках стандартных обеспеченных долговых обязательств. Сделки по этим стандартным траншам называются торговлей отдельными траншами (single tranche trading). Сделка по отдельному траншу представляет собой соглашение, в котором одна из сторон соглашается продать страховку от потерь по облигациям, образующим транш, а другая сторона — купить ее. Транш не является частью синтетического обеспеченного долгового обязательства, но денежные потоки вычисляются точно так же, как и для его синтетического аналога. Такой транш называется “неконсолидированным” (unfunded), поскольку он не является результатом продажи свопов кредитных дефолтов или покупки облигаций.
Для индекса CDX NA IG акционерный транш покрывает потери, составляющие от 0 до 3% основной суммы. Второй транш, называемый мезонинным (mezzanine tranche), покрывает потери, составляющие от 3 до 7% основной суммы. Остальные транши покрывают потери, составляющие от 7 до 10%, от 10 до 15% и от 15 до 30% основной суммы. В случае индекса iTraxx Europe акционерный транш покрывает потери, составляющие от 0 до 3% основной суммы. Мезонинный транш покрывает потери, составляющие от 3 до 6% основной суммы. Остальные транши покрывают потери, составляющие от 6 до 9%, от 9 до 12% и от 12 до 22% основной суммы.
В табл. 21.6 приведены среднерыночные котировки пятилетних траншей по индексам CDX IG NA и iTraxx Europe по состоянию на 4 августа 2004 года. В этот день величина индекса CDX была равна 63,25 базисного пункта, а индекс ITraxx Europe был равен 42 пункта. Например, среднерыночная котировка мезонинной страховки по индексу CDX IG NA была равна 347 базисным пунктам, а по индексу iTraxx — 168 базисным пунктам в год. Обратите внимание на то, что котировка акционерного транша вычисляется не так, как котировки остальных траншей. Рыночная котировка по индексу CDX, равная 41,75%, означает, что продавец страховки получает первоначальную стоимость, равную 41,75% основной стоимости плюс спрэд над 500 базисными пунктами в год. Аналогично рыночная котировка по индексу iTraxx, равная 27,6%, означает, что продавец страховки получает первоначальную стоимость, равную 27,6% основной стоимости плюс спрэд над 500 базисными пунктами в год.
Таблица 21.6. Пятилетние транши по индексам CDX IG NA и iTraxx Europe по состоянию на 4 августа 2004 года. Котировки указаны в базисных пунктах за исключением транша 0-3%. (Источник: GFI)
CDX IG NA
Транш 0-3% 3-7% 7-10% 10-15% 15-30%
Котировка 41,8% 347 135,5 47,5 14,5
iTraxx Europe
Транш 0-3% 3-6% 6-9% 9-12% 12-22%
Котировка 27,6% 168 70 43 20
21.8 Оценка пакетных свопов кредитных дефолтов и обеспеченных долговых обязательств
Спрэд свопа n-го кредитного дефолта и транш обеспеченного долгового обязательства существенно зависят от корреляции дефолтов. Предположим, что для организации пятилетнего свопа n-го кредитного дефолта используется пакет, состоящий из 100 базовых компаний, причем для каждой компании вероятность объявить дефолт на протяжении пяти лет равна 2%. Если корреляция между дефолтами базовых компаний равна нулю, то из свойств биномиального распределения следует, что вероятность одного или нескольких дефолтов в течение пяти лет равна 86,74%, а вероятность десяти и более дефолтов — 0,0034%. Следовательно, своп первого кредитного дефолта является довольно ценным, а стоимость свопа десятого кредитного дефолта практически равна нулю.
По мере увеличения корреляции между дефолтами вероятность одного или нескольких дефолтов уменьшается, а вероятность десяти и более дефолтов увеличивается. В пределе, когда корреляция между дефолтами базовых компаний становится прямолинейной (perfect correlation), вероятность одного или нескольких дефолтов и вероятность десяти и более дефолтов становятся одинаковыми и равными 2%. Это объясняется тем, что в экстремальной ситуации все базовые компании, по существу, ничем не отличаются друг от друга. Либо все они объявят дефолт одновременно (с вероятностью 2%), либо все выживут (с вероятностью 98%).
Оценка транша обеспеченного кредитного обязательства зависит от корреляции между дефолтами примерно так же. Если корреляция слаба, то младший акционерный транш становится рискованным, а более привилегированные транши остаются вполне безопасными. По мере усиления корреляции младшие транши
становятся менее рискованными, а безопасность старших траншей уменьшается. В пределе, когда корреляция между дефолтами становится прямолинейной, все транши становятся одинаково рискованными.
Использование модели гауссовых пакетов для определения времени дефолта
Однофакторная модель гауссовых пакетов для определения времени дефолта, описанная ранее, стала стандартным инструментом для оценки спрэда свопа п-го кредитного дефолта и транша обеспеченного долгового обязательства.
Рассмотрим портфель, состоящий из N базовых компаний. Из формулы (20.7) следует, что
Qt (Т | М) = N (N , (21.1)
\ /
где Qi(T | М) — зависящая от фактора М вероятность того, что г-я базовая компания объявит дефолт до момента Т. Обозначим через Р (к, Т) вероятность того, что к моменту Т дефолт объявят более к базовых компаний, а через Р (к, Т | М) — соответствующую вероятность, зависящую от фактора М. Если величина М является фиксированной, то дефолты не зависят друг от друга. Это позволяет нам вычислить величину Р (к, Т | М).
Стандартная рыночная модель основана на предположении, что распределения моментов дефолтов для всех базовых компаний, включенных в портфель, являются одинаковыми, а пакетная корреляция для всех пар базовых компаний остается постоянной.7 Это означает, что Qi (Т | М) = Q (Т | М) для всех значений г, а вместо формулы (20.7) можно использовать формулу (20.8). Следовательно,
Q(r|M) = wCT(£)L-^). (Ш)
Из свойств биномиального распределения следует, что
Р (к, Т 1 М) = (Г \М )к [1 - Q (Т I M)]N~k.
Вероятность того, что п-й дефолт произойдет между моментами Т) и Т%, зависящая от фактора М, равна Р (к, Т% | М) — Р (к, Т\ | М). Это позволяет построить распределение вероятных моментов n-го дефолта в зависимости от фактора М, имеющего стандартное нормальное распределение. Интегрируя распределение
7Более общая модель, не использующая указанных предположений, описана в работе Hull J. С. and White A. Valuation of a CDO and nth-to-Default Swap without Monte Carlo Simulation // Journal of Derivatives, 12, 2 (Winter 2004). — P. 8-23.
фактора М, получим распределение безусловных вероятностей моментов п-го дефолта.8 Имея это распределение, своп n-го кредитного дефолта можно оценить точно так же, как и обычный своп кредитного дефолта. Чтобы оценить транш обеспеченного долгового обязательства, необходимо вычислить размер ожидаемого выигрыша и выплат по траншам, зависящим от фактора М, а потом проинтегрировать их по М.
Дилеры, торгующие деривативами, вычисляют подразумеваемую пакетную корреляцию р в формуле (21.2) с помощью спрэдов свопов n-го кредитного дефолта и траншей обеспеченных долговых обязательств, котируемых на рынке. Дилеры предпочитают оценивать именно корреляцию между дефолтами, а не сами спрэды. Эта практика напоминает ситуацию, сложившуюся на рынке опционов, на котором дилеры котируют подразумеваемую волатильность Блэка-Шоулза, а не цены в долларах. Как указано во врезке “Пример из деловой практики 21.3”, на рынке обеспеченных долговых обязательств существует “улыбка корреляции”, напоминающая феномен “улыбки волатильности” на опционных рынках.
Пример из деловой практики 21.3. “Улыбки корреляции”
Дилеры, торгующие кредитными деривативами, вычисляют величину корреляции между дефолтами с помощью спрэдов по траншам. Если подразумеваемые коэффициенты корреляции для всех траншей оказываются одинаковыми, можно сделать вывод, что рыночные цены хорошо согласуются с однофакторной моделью гауссовых пакетов, используемой для определения моментов дефолтов. На практике коэффициенты подразумеваемой корреляции дефолтов среди младших (акционерных), а также среди более привилегированных траншей оказываются более высокими, чем среди траншей среднего уровня. Например, как следует из табл. 21.6, коэффициенты подразумеваемой корреляции среди пяти траншей индекса CDX IG NA (начиная с акционерного транша) равны 21,0, 4,2, 17,7, 19,0 и 27,4%. Аналогично коэффициенты подразумеваемой корреляции среди соответствующих траншей индекса iTraxx Europe равны 20,4, 5,5, 16,1, 23,3 и 31,1%.
Существование “улыбки волатильности” на опционных рынках означает, что модель Блэка-Шоулза (несмотря на ее широкую популярность) не отражает мнения участников рынка (см. главу 16). Аналогично наблюдаемый феномен “улыбки корреляции” на рынках обеспеченных долговых обязательств означает, что общепринятая однофакторная модель гауссовых пакетов также не отражает точку зрения участников рынка.
’Интегрирование распределения фактора М можно просто и эффективно выполнить с помощью квадратурных формул Гаусса.
21.9 Конвертируемые облигации
Конвертируемыми (convertible) являются корпоративные облигации, владелец которых владеет опционом на обмен облигаций на акции компании в определенные моменты в будущем. Коэффициент конверсии (conversion ratio) — это количество акций, которые можно получить за одну облигацию. Как правило, он является постоянным, но иногда зависит от времени. Облигации практически всегда являются отзывными (т.е. эмитент имеет право выкупить их обратно в определенные моменты времени по установленной заранее цене). В момент выкупа владелец облигации всегда имеет право обменять ее на акции. Таким образом, возможность выкупа представляет собой способ принуждения владельца облигации к ее обмену раньше, чем он собирался. Иногда опцион “колл”, которым владеет держатель облигации, зависит от того, превышает ли цена акции компании определенный уровень.
Кредитный риск играет важную роль в оценке конвертируемых облигаций. Если игнорировать кредитный риск, то вычисленные цены будут недостоверными, поскольку купоны и выплата основной суммы облигации, не конвертированной в акции, окажутся переоцененными.
Ингерсол (Ingersoll) показал, что оценить конвертируемые облигации можно с помощью модели, аналогичной модели Мертона (1974), изложенной в разделе 20.6.9 Он предположил, что общая стоимость активов компании подчиняется законам геометрического броуновского движения, а ее обыкновенные акции, конвертируемый долг и другие долговые обязательства представляют собой возможные будущие требования (claims contingent) на выплату стоимости активов. Необходимость учета кредитного риска объясняется тем, что кредиторы получают полное возмещение, только если стоимость активов превышает объем долговых обязательств.
На практике используется более простая модель, связанная с моделированием поведения цены акции. Она основана на предположении, что поведение цены акции подчиняется законам геометрического броуновского движения, а вероятность дефолта на протяжении интервала At равна AAt. В случае дефолта акция обесценивается, а средства, вложенные в облигации, возмещаются инвесторам. Переменная А представляет собой риск-нейтральную интенсивность дефолтов, введенную в разделе 20.2.
Процесс, описывающий поведение цены акции, можно изобразить в виде бинарного дерева, в каждом узле которого выполняются следующие условия.
1. Существует вероятность ри увеличения цены акции с коэффициентом пропорциональности и в течение следующего периода времени длины At.
9См. Ingersoll J. Е. A Contingent Claims Valuation of Convertible Securities // Journal of Financial Economics, 4 (May 1977). — P. 289-322.
2. Существует вероятность ра уменьшения цены акции с коэффициентом пропорциональности d в течение следующего периода времени длины At.
3. Существует вероятность AAt, точнее, 1 — е-АЛ\ что в течение следующего периода времени длины At будет объявлен дефолт и цена акции упадет до нуля.
Параметры, с помощью которых можно оценить первые два момента распределения цены акции, выбираются следующим образом.
а - de~x/xt ue~X£xt - a J(^-x^t j 1
= —------,Pd =------------и = е^^а х>л\ d=-.
и — d и — d и
Здесь а = e('r~q^/Xt, г — безрисковая процентная ставка, a q — дивидендная доходность акции.
Глубина дерева обычно считается равной продолжительности действия облигации. Стоимость конвертируемой облигации в конечных узлах дерева вычисляется на основе предположения, что владелец облигации может обменять ее в любое время. Затем выполняется обратный обход дерева. В узлах, где условия контракта позволяют конверсию, проверяется ее целесообразность. Кроме того, проверяется возможность улучшения позиции эмитента с помощью отзыва облигации. Если это возможно, то облигация выкупается эмитентом, а затем целесообразность конверсии проверяется снова. Эту процедуру можно представить с помощью следующего выражения для вычисления цены облигации в узле дерева:
max[min(Qj, Q2). <2з],
где Qi— цена, вычисленная при обратном обходе дерева (при условии, что облигация в данном узле не конвертируется и не отзывается), Qz — цена выкупа, a Qs — стоимость облигации при конверсии.
Пример 21.1
Рассмотрим девятимесячную облигацию с нулевым купоном, выпущенную компанией XYZ, номинальной стоимостью 100 млн долл. Допустим, что в любой момент на протяжении девяти месяцев ее можно обменять на две акции компании XYZ. Предположим также, что в любой момент ее можно выкупить обратно за 113 долл. Первоначальная цена акции равна 50 долл., волатильность равна 30% в год, а дивиденды не выплачиваются. Интенсивность дефолтов Л равна 1% в год, а безрисковые процентные ставки по всем срокам погашения равны 5%. Предположим, что стоимость дефолта по облигации равна 40 долл. (т.е. степень возмещения, как обычно, равна 40%).
На рис. 21.4 представлено дерево цен акции, на основе которого оценивается конвертируемая облигация, на трех временных интервалах (At — 0,25). Верхнее
число каждого узла представляет собой цену акции, а нижнее — цену конвертируемой облигации. Параметры дерева имеют следующий вид:
и = eX/(o,O9-o,oi)xo,25 = 1;151д5 d = !/и = о,8681,
а = е0,05x0,025 = 1;О216, Ри = 0,5167, pd = 0,4808.
Вероятность дефолта (т.е. вероятность перехода в самые нижние узлы дерева) равна 1 — е-°,01х0.°25 = 0,002497. В трех узлах дерева, соответствующих дефолту, цена акции равна нулю, а цена облигации — 40 долл.
Рис. 21.4. Дерево для оценки конвертируемой облигации
Рассмотрим сначала конечные узлы. В узлах G и Н облигацию следует конвертировать, а ее стоимость вдвое превышает цену акции. В узлах I и J облигацию конвертировать нецелесообразно, а ее стоимость равна 100 долл.
Обходя дерево в обратном направлении, вычислим стоимость облигации в предыдущих узлах. Рассмотрим, например, узел Е. Если облигация в этом узле будет конвертирована, то ее стоимость составит 2 х 50 = 100 долл. Если же она не будет конвертирована, то 1) вероятность перехода в узел Н, где облигация стоит 115,19 долл., равна 0,5167, 2) вероятность перехода в узел I, где облигация стоит 100 долл., равна 0,4808 и 3) вероятность дефолта, при котором облигация стоит 40 долл., равна 0,002497. Стоимость облигации при отказе от конверсии равна
(0,5167 х 115,19 + 0,4808 х 100 + 0,002497 х 40) х е-°<05><0-25 = Ю6,36.
Облигацию следует конвертировать, только если ее стоимость превышает 100 долл. Следовательно, конверсия в узле F нецелесообразна. В заключение, следует от
метить, что эмитент облигации не должен выкупать ее в узле F, поскольку в этом случае ему придется заплатить 113 долл, за облигацию, которая в этот момент стоит 106,36 долл.
В качестве другого примера проанализируем узел В. Если облигация конвертируется в этом узле, то ее стоимость равна 2 х 57,596 = 115,19. Если же она не конвертируется, то вычисления, аналогичные вычислениям, проведенным для узла Е, демонстрируют, что ее стоимость равна 118,31 долл. Следовательно, держателю конвертируемой облигации нецелесообразно ее конвертировать. Однако на этом этапе эмитент облигации может выкупить облигацию за 113 долл. В таком случае держателю облигации выгоднее конвертировать ее, чем продать эмитенту. Итак, стоимость облигации в узле В равна 115,19 долл. Аналогичными аргументами можно доказать, что при отказе от конверсии стоимость облигации в узле D равна 132,79 долл. Однако в этом узле облигация может быть выкуплена эмитентом. Это вынуждает держателя конвертировать облигацию, что сокращает ее стоимость до 132,69 долл.
Стоимость права на конверсию облигации равна ее стоимости в первоначальном узле А, т.е. 106,03 долл. □
Если бы на долг начислялись проценты, их следовало бы учесть. Для этого при оценке облигации в каждом узле, где конверсия не является целесообразной, следует учитывать текущую стоимость процентного дохода, который будет начислен на следующем этапе. Риск-нейтральную интенсивность дефолтов А можно оценить либо на основе цен облигаций, либо с помощью спрэдов свопов кредитных свопов. В более общем случае параметры А, <т и г зависят от времени. Чтобы учесть это обстоятельство, следует применять не биномиальное, а триномиальное дерево (см. раздел 17.4).
Недостатком описанной модели является то, что вероятность дефолта не зависит от цены акции. Это обстоятельство позволило некоторым исследователям предложить для реализации модели неявный разностный метод, в котором интенсивность дефолта А зависит от цены акции и времени.10
Резюме
Кредитные деривативы позволяют банкам и другим финансовым учреждениям активно управлять своими кредитными рисками. Их можно использовать для перекладывания кредитного риска с одной компании на другую, а также для диверсификации кредитного риска.
10См., например, работу Andersen L. and Buffum D. Calibration and Implementation of Convertible Bond Models // Journal of Computational Finance, 7, 1 (Winter 2003/04). — P. 1-34. Эти авторы предложили считать, что интенсивность дефолтов обратно пропорциональна величине Sa, где S — цена акции, а а — положительная константа.
Форвардный контракт на своп кредитного дефолта представляет собой обязательство в определенный момент времени заключить своп на дефолт конкретной компании. Опцион на своп кредитного дефолта дает право заключить в определенный момент времени своп на дефолт конкретной компании. Если компания объявит дефолт до указанной даты, оба контракта прекращаются.
Своп на совокупную доходность — это инструмент, в котором совокупная доходность портфеля активов, зависящих от кредитов, обменивается на ставку “LIBOR + спрэд”. Своп на совокупную доходность можно использовать для обмена корпоративной облигации на облигацию, доходность которой определяется ставкой LIBOR. Это исключает как рыночный, так и кредитный риски. Свопы на совокупную доходность часто используются как средство финансирования. Компания, желающая приобрести портфель облигаций, обращается в финансовое учреждение, которое купит облигации от ее имени. В свою очередь, финансовое учреждение заключает своп на совокупную доходность, в рамках которого выплачивает компании доходность облигаций, получая взамен ставку L1BOR. Преимущество таких соглашений заключается в том, что финансовое учреждение снижает риск дефолта компании.
Своп n-го кредитного дефолта представляет собой своп кредитного дефолта, выигрыш по которому выплачивается в случае дефолта n-й компании, включенной в портфель. Обеспеченное долговое обязательство создается из большого количества разных ценных бумаг, входящих в портфель корпоративных облигаций или коммерческих займов. Существуют правила, регламентирующие кредитные потери, распределенные по ценным бумагам. В результате применения этих правил в обеспеченное долговое обязательство включаются облигации как с высоким, так и низким кредитными рейтингами. Синтетическое обеспеченное долговое обязательство позволяет создать набор ценных бумаг с помощью свопов кредитных дефолтов. Стандартной рыночной моделью, используемой для оценки свопов тг-го кредитного дефолта и обеспеченных долговых обязательств, является однофакторная модель гауссовых пакетов для определения моментов дефолтов.
Конвертируемые облигации представляют собой облигации, которые можно обменять на акции эмитента в соответствии с заранее оговоренными условиями. Если облигации не обмениваются на акции, то обешанные выплаты подвергаются кредитному риску. Один из способов оценки конвертируемых облигаций связан с вычислением компонентов стоимости, обусловленных обменом на акции, и компонентов стоимости, обусловленных отсутствием обмена. В случае дефолта акция обесценивается, а величина долга падает до величины, отражающей степень воз
мещения.
Дополнительная литература
Andersen L., Sidenius J. and Basu S. All Your Hedges on One Basket // Risk, November 2003.
Das S. Credit Derivatives: Trading & Management of Credit & Default Risk. — Singapore: Wiley, 1998.
Hull J. C. and White A. Valuation of a CDO and nth-to-Default Swap without Monte Carlo Simulation // Journal of Derivatives, 12, 2 (Winter 2004). — P. 8-23
Tavakoli J. M. Credit Derivatives Pricing Models. — New York: Wiley, 1998.
Schonbucher P. J. Credit Derivatives Pricingg Models. — New York: Wiley, 2003.
Вопросы и задачи
21.1. Объясните разницу между обычным и бинарным свопами кредитного дефолта.
21.2. Премия по свопу кредитного дефолта равна 60 базисных пунктов в год и выплачивается раз в полгода. Основная сумма равна 300 млн долл., а расчеты осуществляются с помощью наличных денег. Дефолт произошел через четыре года и два месяца. Посредник, занимающийся расчетами, выяснил, что сразу после дефолта цена базовой облигации составляет 40% ее номинальной цены. Укажите денежные потоки покупателя свопа кредитного дефолта и моменты их возникновения.
21.3. Опишите два способа организации свопа кредитного дефолта.
21.4. Опишите способы создания обычного и синтетического обеспеченных долговых обязательств.
21.5. Что представляет собой своп первого кредитного дефолта? Увеличивается или уменьшается его стоимость при усилении корреляции между дефолтами компаний, образующих пакет?
21.6. Объясните разницу между риск-нейтральными и реальными вероятностями.
21.7. В каких ситуациях своп на совокупную доходность является эффективным финансовым инструментом?
21.8. Предположим, что безрисковая нулевая кривая является горизонтальной и проходит на уровне 7% в год, а дефолт по трехлетнему свопу кредитного дефолта может происходить через один, два или три года. Предположим, что степень возмещения равна 30%, а вероятности дефолта при условии, что дефолты ранее не объявлялись, равны 3%. Чему равен спрэд свопа кредитного дефолта? Будем считать, что выплаты осуществляются раз в год.
21.9. Чему равна стоимость свопа, описанного в задаче 21.8, в расчете на каждый доллар номинальной стоимости для покупателя страховки, если спрэд свопа кредитного свопа равен 150 базисных пунктов?
21.10. Чему равен спрэд свопа кредитного дефолта, описанного в задаче 21.8, если он является бинарным?
21.11. Опишите механизм функционирования свопа n-го кредитного дефолта. Рассмотрим пакет, состоящий из 100 базовых компаний, вероятность дефолта каждой из которых в течение года равна 1%. Как изменится стоимость свопа при усилении корреляции между дефолтами компаний, если 1) п = 1 и 2) п = 25? Аргументируйте свой ответ.
21.12. Как обычно определяется степень возмещения по облигации?
21.13. Докажите, что спрэд обычного свопа кредитного дефолта должен в 1 — R раз превышать спрэд аналогичного бинарного свопа кредитного дефолта, где R — степень возмещения.
21.14. Убедитесь, что спрэд свопа кредитного дефолта в табл. 21.1-21.4 равен 100 базисных пунктов, а вероятность дефолта в течение года (при условии, что ранее дефолты не объявлялись) должна быть равной 1,61%. Как изменится вероятность дефолта, если степень возмещения равна 20, а не 40%? Убедитесь, что подразумеваемая вероятность дефолта приблизительно пропорциональна величине 1/(1 — R), где R — степень возмещения.
21.15. Компания заключает своп на совокупную доходность и получает доходность корпоративной облигации, предусматривающей выплату купона в размере 5%, отдавая в замен ставку LIBOR. Объясните разницу между этим и обычным свопом, в рамках которого 5% обмениваются на ставку LIBOR.
21.16. Объясните способы организации форвардных контрактов и опционов на свопы кредитных дефолтов.
21.17. “Позиция покупателя свопа кредитного дефолта аналогична позиции трейдера, занимающего длинную позицию по безрисковой облигации и короткую позицию по корпоративной облигации.” Объясните смысл этого утверждения.
21.18. В чем заключаются причины проблемы асимметричной информации, связанной со свопами кредитных дефолтов?
21.19. Укажите, переоценивается или недооценивается стоимость свопа кредитного дефолта при использовании риск-нейтральной и реальной вероятностей дефолтов. Аргументируйте свой ответ.
21.20. Объясните разницу между свопом на совокупную доходность и свопом
активов.
21.21. Рассмотрим 18-месячную нуль-купонную облигацию с номинальной стоимостью 100 долл., которую в любой момент можно обменять на пять акций компании. Предположим, что текущая цена акции равна 20 долл., дивиденды не выплачиваются, безрисковая процентная ставка по всем срокам погашения равна 6% годовых при непрерывном начислении, а волатильность цены акции равна 25% в год. Будем считать, что доходность неконвертируемой облигации, выпущенной компанией, равна 10% годовых по всем срокам погашения. Стоимость выкупа облигации равна ПО долл. Используя трехуровневое дерево, вычислите стоимость облигации. Чему равна стоимость опциона на конверсию (чистая стоимость опциона “колл”, принадлежащего эмитенту)?
21.22. Предположим, что в однофакторной модели гауссовых пакетов пятилетняя вероятность дефолта для каждой из 125 базовых компаний равна 3%, а попарная пакетная корреляция равна 0,2%. Вычислите следующие величины, считая, что фактор равен —2, —1, 0, 1 и 2.
1) Вероятность дефолта при условии, что фактор принимает одно из указанных выше значений.
2) Вероятность десяти и более дефолтов при условии, что фактор принимает одно из указанных выше значений.
21.23. Что представляет собой обеспеченное долговое обязательство “в квадрате” и “в кубе”?
Упражнения
21.24. Предположим, что безрисковая нулевая кривая проходит горизонтально на уровне 6% годовых при непрерывном начислении, а дефолт в рамках простого двухлетнего свопа кредитного дефолта с полугодовыми выплатами может происходить через 0,25, 0,75, 1,25 и 1,75 года. Предположим, что степень возмещения равна 20%, а вероятность дефолта через 0,25 и 0,75 года равна 1%, а через 1,25 и 1,75 — 1,5%. Чему равен спрэд свопа кредитного дефолта? Чему был бы равен спрэд, если бы своп кредитного дефолта был бинарным?
21.25. Предположим, что вероятность дефолта компании в течение года при условии, что ранее дефолт не объявлялся, равна А, а степень возмещения — R. Безрисковая процентная ставка равна 5% в год. Дефолт может произойти только в середине года. Спрэд простого пятилетнего свопа кредитного дефолта, предусматривающего ежегодные выплаты, равен 120 базисным пунктам, а спрэд бинарного пятилетнего свопа кредитного дефолта, преду
сматривающего ежегодные выплаты, равен 160 базисным пунктам. Оцените параметры R и А.
21.26. Как изменится доходность траншей, образующих обеспеченное долговое обязательство, при усилении корреляции между облигациями, образующими портфель?
21.27. Предположим, что выполняются следующие условия.
1) Доходность пятилетней безрисковой облигации равна 7%.
2) Доходность пятилетней корпоративной облигации, выпущенной компанией X, равна 9,5%.
3) Пятилетний своп кредитного дефолта, предоставляющего страховку от дефолта компании X, стоит 150 базисных пунктов в год.
Какие арбитражные возможности возникают в этой ситуации? Какие арбитражные возможности возникают, если спрэд кредитного дефолта равен 300, а не 150 базисным пунктам? Приведите две причины, по которым указанные арбитражные возможности не являются идеальными.
21.28. Компания АВС выпустила трехлетнюю конвертируемую облигацию с номинальной стоимостью 100 долл. В конце каждого года она выплачивает по купонам 5 долл. В конце первого или второго года сразу после даты купонной выплаты эту облигацию можно обменять на 3,6 или 3,5 акции компании АВС соответственно. Текущая цена акции равна 25 долл., а ее волатильность равна 25%. Дивиденды по акциям не выплачиваются. Безрисковая процентная ставка равна 5% с непрерывным начислением. Доходность облигаций, выпущенных компанией АВС, равна 7% с непрерывным начислением. Степень возмещения равна 30%.
1) Используя трехуровневое дерево, вычислите стоимость облигации.
2) Сколько стоит опцион на конверсию?
3) Насколько отличаются друг от друга стоимости облигации и опциона на конверсию, если облигацию можно выкупить в любой момент на протяжении первых двух лет по цене 115 долл.?
4) Как изменится анализ стоимости облигации, если через каждые 6, 18 и 30 месяцев по акциям выплачиваются дивиденды в размере одного доллара?
{Подсказка', для оценки интенсивности дефолтов следует использовать формулу (20.2).)
Экзотические опционы
Производные инструменты, например европейские и американские опционы “колл” и “пут”, относятся к категории простых (plain vanilla products). Они обладают стандартными, подробно описанными свойствами и являются предметом активной торговли. Их цены или подразумеваемая волатильность регулярно котируются биржами или брокерами. В то же время одной из наиболее привлекательных особенностей внебиржевого рынка является наличие на нем большого количества необычных (или экзотических) инструментов, разработанных финансистами. Этими инструментами являются экзотические опционы (exotic options, or exotics). Несмотря на то что экзотические ценные бумаги, как правило, образуют относительно небольшую часть инвестиционного портфеля, они представляют большой интерес для инвестиционных банков, поскольку их прибыльность намного выше, чем у обычных инструментов.
Экзотические инструменты появились по многим причинам. Иногда они используются исключительно для хеджирования, иногда — для преодоления затруднений, вызванных налоговыми, бухгалтерскими, юридическими или управленческими проблемами. В одних ситуациях эти инструменты разрабатываются в соответствии с точкой зрения финансиста компании на будущее изменение определенного рыночного показателя, а в других — они изобретаются инвестиционными банками, стремящимися повысить свою привлекательность.
В главе описываются различные типы экзотических опционов и обсуждаются способы их оценки. Классификация экзотических опционов предложена в статьях Эрика Райнера (Erik Reiner) и Марка Рубинштейна (Mark Rubinstein), опубликованных в журнале Risk в 1991 и 1992 гг. В дальнейшем будем предполагать, что доходность актива равна q. Как указано в главе 14, для опциона на фондовый индекс величина q представляет собой доходность индекса, для валютного опциона она является иностранной безрисковой процентной ставкой, а для фьючерсного опциона — внутренней безрисковой процентной ставкой. Большинство опционов, рассмотренных в главе, можно оценить с помощью программы DerivaGem.
22.1 Пакеты
Пакет (packadge) — это инвестиционный портфель, состоящий из стандартных европейских опционов “колл” и “пут”, форвардных контрактов, денег и базового актива. Большое количество пакетов описано в главе 10. В частности, к ним относятся бычьи и медвежьи спрэды, спрэды “бабочка”, календарные спрэды, стрэддлы, стрэнглы и др.
Часто трейдеры формируют пакеты таким образом, чтобы их первоначальная стоимость была равной нулю. Примером такого пакета является диапазонный форвардный контракт (range forward contract).1 Форвардный контракт с узким диапазоном (short-range forward contract) состоит из длинной позиции в опционе “пут” с низкой ценой исполнения К\ и короткой позиции в опционе “колл” с высокой ценой исполнения К%. Этот контракт гарантирует, что в момент истечения опциона базовый актив можно будет продать по цене, большей К\ и меньшей К%. Форвардный контракт с широким диапазоном (long-range forward contract) состоит из короткой позиции в опционе “пут” с низкой ценой исполнения К\ и длинной позиции в опционе “колл” с высокой ценой исполнения К%. Этот контракт гарантирует, что в момент завершения опциона базовый актив можно будет купить по цене, большей К\ и меньшей К%. В момент заключения контракта цена опциона “колл” равна цене опциона “пут”. Графики выигрышей по форвардным контрактам с узким и широким диапазонами представлены на рис. 22.1. По мере сближения чисел К\ и К% выручка от продажи актива или плата за его покупку становятся все более определенными. В пределе, когда К\ = К%, диапазонный форвардный контракт становится обычным форвардным контрактом.
22.2 Нестандартные американские опционы
Стандартный американский опцион можно исполнить досрочно в любой момент на протяжении всего срока его действия. При этом цена исполнения опциона остается постоянной. На практике американские опционы, обращающиеся на внебиржевом рынке, имеют ряд необычных свойств. Перечислим некоторые из них.
1. Досрочное исполнение может быть ограничено определенными датами. Такой инструмент называется бермудским опционом (Bermudan option).
2. Досрочное исполнение может быть разрешено не на всем протяжении срока действия опциона, а только на определенном интервале времени. Например, в начале действия опциона на его досрочное исполнение может быть наложен запрет.
’Диапазонный форвардный контракт называется также опционом “рамки” с нулевой стоимостью, гибким форвардным контрактом, цилиндрическим опционом, огораживающим опционом, минимаксным опционом и интервальным форвардным контрактом.
Рис. 22.1. Выигрыши от а) короткой позиции и б) длинной позиции в диапазонном форвардном контракте
3. Цена исполнения опциона может изменяться на протяжении срока его действия.
Варранты, выпускаемые корпорациями на свои акции, также часто обладают этими свойствами. Например, семилетний варрант можно исполнить в определенные даты между третьим и седьмым годами, причем цена исполнения на протяжении третьего и четвертого годов может быть равной 30 долл., на протяжении следующих двух лет — 32 долл., а на протяжении последнего года — 33 долл.
Нестандартные американские опционы обычно оцениваются с помощью биномиального дерева. При этом в каждом узле дерева целесообразность их досрочного исполнения определяется с учетом особенностей опциона.
22.3 Форвардные опционы с отложенным
стартом
Форвардные опционы с отложенным стартом — это опционы, начало действия которых отсрочено на определенный период. Иногда их используют для стимулирования сотрудников корпораций. В условиях опциона обычно указывают, что он станет выигрышным через определенное время после начала.
Рассмотрим форвардный европейский опцион с отложенным стартом и “с выигрышем”, вступающий в действие в момент Т\ и завершающийся в момент Пусть So — цена ак гива в нулевой момент времени, a S\ — цена актива в момент 71. Чтобы оценить этот опцион, вспомним формулы для вычисления цены европейского опциона, приведенные в главах 12 и 13, и отметим, что стоимость европейского опциона “колл” “с выигрышем” пропорциональна цене актива. Следо
вательно, стоимость форвардного опциона с отложенным стартом в момент Ту равна eSy /So, где с — стоимость опциона “с выигрышем” в нулевой момент времени, срок действия которого равен Т2 — 7i Используя методы риск-нейтральной оценки, приходим к выводу, что стоимость форвардного опциона с отложенным стартом равна
е~гТ1Е (ЛЛ , \ Sq J
где Е — ожидаемая стоимость опциона в риск-нейтральных условиях. Поскольку величины с и So известны и Е (Si) = Soe^'~q^T1, стоимость форвардного опциона с отложенным стартом равна ce~qT1. Для бездивидендных акций выполняется условие q — 0 и стоимость форвардного опциона с отложенным стартом совпадает с ценой обычного опциона “с выигрышем”, имеющего тот же срок действия.
22.4 Сложные опционы
Сложный опцион представляет собой опцион на опционный контракт. Существует четыре основных типа сложных опционов: опцион на покупку опциона “колл”, опцион на продажу опциона “колл”, опцион на покупку опциона “пут” и опцион на продажу опциона “пут”. Сложные опционы имеют две цены исполнения и две даты завершения. Рассмотрим, например, опцион на покупку опциона “колл”. При наступлении первой даты исполнения Ту, владелец сложного опциона имеет право заплатить первую цену исполнения Ку и получить опцион “колл”, дающий ему право купить базовый актив по второй цене исполнения К2 во второй момент исполнения Т2. Сложный опцион следует исполнять только, если его стоимость в момент Ту превышает стоимость первой цены исполнения.
Если принять обычные предположения о том, что цена актива описывается геометрическим броуновским движением, то стоимость европейского сложного опциона можно вычислить аналитически, интегрируя двухмерное нормальное распределение.2 Используя обычные обозначения, стоимость европейского опциона на покупку опциона “колл” в нулевой момент времени можно вычислить по следующей формуле.
Soe~qT^M (ay, by, у/Ту/Т^ - K2e~rT2M (а2, by, у/Ту/Т^ - e~rT'KyN (а2),
где
ln(S0/S*) + (г — g +сг2/2) Г1
2См. Geske R. The Valuation of Compound Options // Journal of Financial Economics, 7 (1979). — P. 63-81; Rubinstein M. Double Trouble. — RISK, December 1991/Juanuary 1992. — P. 53-56.
In (5o/K2) + (r - Q + <T2/2) T2
b2 = bl - Оу/Т^.
Здесь функция AT (a, b; p) — это интегральная функция двухмерного нормального распределения, представляющая собой вероятность того, что первый аргумент а меньше второго аргумента b при условии, что коэффициент корреляции между ними равен р. Переменная S* — это цена актива в момент Ti, для которого цена опциона в момент 7] равна К\. Если фактическая цена актива в момент Ti больше величины S*, первый опцион должен быть выполнен, в противном случае его исполнение не имеет смысла.
Используя те же обозначения, запишем формулу для вычисления стоимости европейского опциона на продажу опциона “колл”.
K2e~rT2M (j-a2,b2--\/Tx/T^ - 80е~^2М (-а^-у/Тх/Т^ +
+ e-rriKiTV(-n2).
Стоимость европейского опциона на покупку опциона “пут” вычисляется по следующей формуле.
K2e~rT2M (~а2, -b?, у/Т^Т^ - (-щ, -bi; -у/^/Тг) -
-e-rT1KiTV(-a2).
Для вычисления стоимости европейского опциона на продажу опциона “пут” используется такая формула.
Soe-^Af (аь -bi; -y/Ti7Th) - K2e~rT2M (а21 -b2-, -у/1\/т£) -
-e-rriKiTV(a2).
22.5 Опционы Chooser
Опцион Chooser (известный так же под названием as you like it) предоставляет своему владельцу право через определенный период времени выбрать, какой опцион исполнить: “колл” или “пут”. Предположим, что этот выбор должен быть сделан в момент Т\. Стоимость опциона Chooser в этот момент равна
тах(с, р),
где с — стоимость опциона “колл”, ар — стоимость опциона “пут”.
3Процедура вычисления функции М описана в техническом замечании 5 на Web-сайте автора.
Если оба опциона, образующих опцион Chooser, являются европейскими и имеют одинаковые цены исполнения, для вычисления его цены можно использовать паритет опционов “колл” и “пут”. Пусть Si — цена актива в момент Ту, К — цена исполнения, Т2 — момент завершения опционов, а г — безрисковая процентная ставка. Тогда из паритета опционов “колл” и “пут” вытекает следующее равенство.
max(c,p) = max (с, с + — SiC-^72-7^) —
— с + e~q(T2~T1'> max (о, Ke~^r~g^T2~T1^ — Si) .
Это значит, что опцион Chooser представляет собой пакет, состоящий из перечисленных ниже опционов.
1. Опцион “колл” с ценой исполнения К и сроком действия Т.
2. e-5(r2-3i) опционов с ценой исполнения Ke~^T~q^2~T1^ и сроком действия Ti.
Таким образом, оценить стоимость опциона Chooser довольно легко.
Если опционы “колл” и “пут” имеют разные цены исполнения и сроки действия, опцион Chooser усложняется. В этом случае его нельзя интерпретировать как пакет. Некоторыми свойствами он напоминает сложный опцион.
22.6 Барьерные опционы
Барьерными называются опционы, выигрыш которых зависит от того, превысит ли цена актива за определенный период времени заранее установленный уровень. На внебиржевом рынке существует большое разнообразие барьерных опционов. Барьерные опционы дешевле обычных. Благодаря этой особенности они привлекают некоторых маркет-мейкеров. Барьерные опционы разделяются на включаемые (knock-in) и выключаемые (knock-out). Выключаемые барьерные опционы действуют, пока цена базового актива не достигнет определенного уровня. Включаемые барьерные опционы, наоборот, вступают в силу только тоща, когда цена актива достигнет определенного уровня.
Формулы (14.4) и (14.5) утверждают, что стоимость обычных опционов “колл” и “пут” в нулевой момент времени вычисляется так.
С = Soe~qTN(di) - Ke~rTN(d2), р = Ke-rTN(--d2) - Soe-qTN(-dil
где
di =
ln(S0/JC) + (г — g + сг2/2) Т aVT
ln(S0/K) + (r-Q-a2/2)T /-
Й2 — -----------------—— = и\ — (TV -I .
Опцион “колл" down-and-out (down-and-out call) — одна из разновидностей выключаемых барьерных опционов. Он представляет собой обычный опцион “колл”, прекращающий свое существование, как только цена актива упадет ниже определенного барьерного уровня Н. Этот барьерный уровень должен быть установлен ниже, чем первоначальная цена актива. Соответствующий включаемый барьерный опцион называется опционом “колл ” down-and-in (down-and in call).
Если уровень Н меньше или равен цене исполнения К, стоимость опциона входа на покупку актива вычисляется по следующей формуле.
cdi = Soe-«T(H/So)2A7V(y) - Ke-rT(H/S0)2X~2N(y - aVT),
где
г - q + (Т2/2
А- а1
_ In [H2/(S0K)]
+ XoVt.
Поскольку стоимость обычного опциона “колл” равна сумме стоимости опциона “колл” down-and-in и стоимости опциона “колл” down-and-out, стоимость второго опциона можно вычислить так.
cdo — С Cdi-
Если Н К, то
Qo = S0N(X1)e-4T - Ke-rTN(X1 - <tVT) - Soe~9T(tf/So)2AMyi)+ + Ke~rT(H/So)2X~2N(yi - aVf),
причем
Cdi — C Cdo,
где
ayT
Опцион “колл” up-and-out (up-and-out call) представляет собой обычный опцион “колл”, прекращающий свое существование, как только цена актива превысит
определенный барьерный уровень Н, который установлен выше, чем текущая цена актива. Опцион "колл ” up-and-in (up-and-in call) представляет собой обычный опцион “колл”, вступающий в силу, как только цена актива превысит определенный барьерный уровень Н. Если уровень Н меньше или равен цене исполнения К, стоимость опциона in-and-out Cjo равна нулю, а стоимость опциона up-and-in c<io равна с. Если же уровень Н выше цены исполнения К, применяются следующие формулы.
Cui = S07V(xi)e-«T - Ke~rTN(xi -
- Soe~gT (H/ Sq)2x[N (—у) - N(-yi)]+
+ Ke~rT(H/So)2X~2[N(—y + oVT) - N(-yi + aVf),
Сцо = C Cuj.
Барьерные опционы “пут” определяются аналогично барьерным опционам “колл”. Опцион "пут ’’ up-and-out (up-and-out put) представляет собой обычный опцион “пут”, прекращающий свое существование, как только текущая цена актива превысит определенный барьерный уровень Н. Опцион "пут" up-and-in (up-and-in put) представляет собой обычный опцион “пут”, вступающий в силу, как только цена актива превысит определенный барьерный уровень Н. Если уровень Н больше или равен цене исполнения К, стоимость опционов up-and-in рш и up-and-out Рио вычисляется по следующим формулам.
Pui = -5oe-«T(H/So)2A7V(-y) + Ke-rT(H/S0)2X~2N(-y + aVf),
Рио = Р Pui-
Если уровень Н больше или равен цене исполнения К, то
puo = -SoN^-x^e-^ + Ke~rTN(—xi + <tVt)+
+ Soe-(’T(H/So)2A^(-yi)+
+ Ке-гТ(Я/,5’о)2А~2Л'("Pi +
Pui = P"Puo-
Опцион “пут ” down-and-out (down-and-out put) представляет собой обычный опцион “пут”, прекращающий свое существование, как только текущая цена актива упадет ниже определенного барьерного уровня Н. Опцион “пут" down-and-in (down-and-in put) представляет собой обычный опцион “пут”, вступающий в силу, как только цена актива упадет ниже определенного барьерного уровня Н. Если уровень Н больше или равен цене исполнения К, то ра0 = 0 и рд = р. Если
барьерный уровень Н ниже цены исполнения К, то
М = -5ОДГ(-Ж1)е-^ + Ke~rTN(-X1 + aVT)+
+ S0c~(‘T(H/S0)2X[N(y) - N(yi)]~
+ Ke~rT(H/So)2X~2[N(y - aVT) - N(yi - aVf)],
Pdo = P - Pdi-
Все эти формулы основаны на предположении, что распределение вероятных значений цены актива в будущем является логнормальным. Важным показателем, влияющим на стоимость барьерных активов, является частота регистрации цены актива S и сравнений ее с установленным барьерным уровнем. При выводе аналитических формул, перечисленных выше, предполагалось, что эти измерения проводятся непрерывно. На самом деле это условие выполняется далеко не всегда.4 Часто контракт регламентирует периодичность регистрации цены S, например, один раз за 12 дней. Чтобы учесть дискретность измерений, Броуди (Broadie), Глассерман (Glasserman) и Коу (Кое) предложили свои поправки к формулам для вычисления стоимости барьерных опционов.5 * В частности, в формулах для вычисления стоимости опционов up-and-in и up-and-out они заменили барьерный уровень Н величиной Яг0,5826^7/'"', а в формулах для вычисления стоимости опционов down-and-in и down-and-out — величиной Яе-0,5826^7/'"', где т — количество измерений цены актива (т.е. Т/т — длина промежутка между двумя последовательными наблюдениями).
Барьерные опционы часто довольно сильно отличаются от обычных. Например, иногда их коэффициент вега становится отрицательным. Рассмотрим, в частности, опцион “колл” up-and-out в ситуации, когда цена актива близка к барьерному уровню. По мере увеличения волатильности вероятность преодоления барьера возрастает. Следовательно, увеличение волатильности приводит к уменьшению цены опциона.
22.7 Бинарные опционы
Бинарными (binary) называются опционы с дискретными выплатами. Простейшим примером бинарного опциона является опцион “колл” деньги или ничего (cash-or-nothing call). Если цена актива в момент завершения опциона Т падает ниже цены исполнения, выигрыш равен нулю, в противном случае владельцу выплачивается фиксированная сумма денег Q. Вероятность того, что в риск-
4Чтобы проверить, преодолен ли барьер, достаточно отправить на биржу лимитный приказ на продажу (покупку) актива и посмотреть, будет ли он выполнен.
5См. Broadie М„ Glasserman Р. and Кои S. G. A Continuity Correction for Discrete Barrier Options //
Mathematical Finance, 7, no. 4 (October 1997). — P. 325-349.
нейтральных условиях цена актива в момент завершения опциона превысит цену исполнения, равна Следовательно, стоимость опциона “колл” деньги или ничего равна Qe~rT N(d,2). Опцион "пут” деньги или ничего определяется аналогично. Если в момент завершения опциона цена актива упадет ниже цены исполнения, его выигрыш равен величине Q, а в противном случае он равен нулю. Стоимость опциона “пут” деньги или ничего равна Qe~rTN(—d^y
Иным типом бинарного опциона является опцион “колл” актив или ничего (asset-or-nothing call). Если в момент завершения опциона цена актива упадет ниже цены исполнения, его выигрыш равен нулю, в противном случае он равен стоимости актива. Следовательно, стоимость опциона “колл” актив или ничего равна Soe~gTN(di). В то же время, если в момент завершения опциона цена актива поднимется выше цены исполнения, выигрыш опциона “пут ” актив или ничего равен нулю, в противном случае он равен стоимости актива. Следовательно, стоимость опциона “пут” актив или ничего равна Soe~gTN(—di).
Обычный европейский опцион “колл” равносилен длинной позиции в опционе “колл” актив или ничего и короткой позиции в опционе “колл” деньги или ничего, при условии что выигрыш опциона “колл” деньги или ничего равен цене исполнения. Аналогично обычный европейский опцион “пут” равносилен длинной позиции в опционе “пут” деньги или ничего и короткой позиции в опционе “колл” актив или ничего, при условии что выигрыш опциона “пут” деньги или ничего равен цене исполнения.
22.8 Опционы “с оглядкой назад”
Выигрыш опциона “с оглядкой назад” зависит от максимальной или минимальной цены актива, достигнутой за весь период действия опциона. Выигрыш европейского опциона “колл” с оглядкой назад равен величине, на которую окончательная цена актива превышает минимальную цену актива, зарегистрированную на протяжении срока действия опциона. Выигрыш европейского опциона “пут” с оглядкой назад равен величине, на которую максимальная цена актива, зарегистрированная на протяжении срока действия опциона, превышает окончательную цену актива.
Для вычисления стоимости европейских опционов “с оглядкой назад” предложено несколько формул.6 Стоимость европейского опциона “колл” с оглядкой
6См. Goldman В., Sosin Н. and Gatto М. A. Path-Dependent Options: Buy at the Low, Sell at the High // Journal of Finance, 34 (December 1979). — P. Ill 1-1127; Garman M. Recollection in Tranquility // Risk, March 1989. - P. 16-19.
назад в нулевой момент времени равна
2
Soe-^N(ai) - Soe^T^—^N (-щ) -
Smme rT (N (а?) , eyiN( а3)\ , \ Q) /
где In (So/Smin) + (г - q + сг2/2) Т °1= ' сту/Т 02 = 01— СТу/Т, In (S0/Smin) + (-г + q + о-2/2) Т = г= , trvT 2 (r _ q _ cr2/2) In (S0/Smin) Ъ — 2 ’ crz
8 S'min — минимальная цена актива, достигнутая за период, прошедший до текущего момента. (Если оценка выполняется сразу после заключения контракта, ^min = S0.)
Стоимость европейского опциона “пут” с оглядкой назад равна
(2 \
N - ^T~^eY2N (-Ьз) ) +
2 (г - q) /
+ - Soe~qTN (fe2),
где к In (Smax/S0) + (-r + q + a2/2) T bi = , ay/T b2 = bi — (ту/Т, K ln(Smax/S0) + (r-Q-(72/2)T Ьз = /— , o-y/T 2(r-q- o-2/2) In(Smax/So) ^2 о ’ (7Z
a Smax — максимальная цена актива, достигнутая за период, прошедший до текущего момента. (Если оценка выполняется сразу после заключения контракта, Smax ~~ S0.)
Пример 22.1
Рассмотрим только что заключенный опцион “с оглядкой назад” на продажу бездивидендных акций при условии что цена исполнения равна 50 долл., волатильность — 40% в год, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а до завершения опциона осталось три месяца. В таком случае Smax = 50, So = 50, г = 0,1, q — 0, ст = 0,4 и Т = 0,25. По формулам, приведенным выше, получаем следующие параметры: by = —0,025, Ь-2 = —0,225, Ьз = 0,025 и Y-2 = 0. Следовательно, стоимость опциона “пут” с оглядкой назад равна 7,79 долл. Стоимость только что заключенного аналогичного опциона “колл” с оглядкой назад равна 8,04 долл. □
Опцион “колл” с оглядкой назад позволяет его владельцу купить актив по наименьшей цене, зарегистрированной на протяжении срока действия опциона. Аналогично опцион “пут” с оглядкой назад позволяет его владельцу продать актив по наибольшей цене, зарегистрированной на протяжении срока действия опциона. Как правило, базовым активом в таких опционах являются товары. Как и барьерные опционы, опционы “с оглядкой назад” очень чувствительны к частоте регистрации цены актива при определении ее максимального или минимального значения. Формулы, приведенные выше, основаны на предположении, что все измерения производятся непрерывно. Броуди, Глассерман и Коу предложили внести в эти формулы поправки, учитывающие дискретный характер таких измерений.7
22.9 Опционы Shout
Опцион Shout (shout option) — это европейский опцион, предоставляющий своему владельцу право один раз “выкрикнуть” на протяжении срока действия опциона (shout — выкрик. — Примеч. ред.). В момент выплаты владелец опциона получит либо выигрыш по европейскому опциону, либо его действительную стоимость в момент “выкрика”, в зависимости от того, какая из этих величина окажется большей. Допустим, что цена исполнения опциона “колл” равна 50 долл., а его владелец сделал “выкрик”, когда цена актива была равной 60 долл. Если окончательная цена актива окажется меньше 60 долл., владелец опциона получит выигрыш в размере 10 долл. Если же она окажется больше 60 долл., владелец опциона получит сумму, на которую цена актива превышает 50 долл.
Опцион Shout напоминает опцион “с оглядкой назад”, но его стоимость намного меньше. Его цену можно вычислить, обратив внимание на то, что если “выкрик” сделан в момент т, когда цена актива равнялась ST, то выигрыш по опциону равен
max(0, Sr - ST) + (ST - К),
1В roadie М., Glass^rman Р. and Кои S. G. Connecting Discrete and Continuous Path-Dependent Options // Finance and Stochastics, 2 (1998). — P. 128-
где, как обычно, К — цена исполнения, a St — цена актива в момент Т. Следовательно, стоимость опциона в момент т равна сумме текущей стоимости величины St - К и стоимости европейского опциона с ценой исполнения, равной ST. Последнюю стоимость можно вычислить по формулам Блэка-Шоулза.
Стоимость опциона Shout можно вычислить с помощью биномиального или триномиального дерева, отражающих изменение цены базового актива. Обходя это дерево в обратном направлении, мы можем вычислить стоимость опциона в каждом узле в двух ситуациях: когда “выкрик” сделан и когда “выкрика” не было. Стоимость опциона равна максимальной из этих двух величин. Как видим, процедура вычисления стоимости опциона Shout очень напоминает процедуру вычисления стоимости обычного американского опциона.
22.10 Азиатские опционы
Азиатскими (asian) называются опционы, выигрыш которых зависит от средней цены актива на протяжении, по крайней мере, нескольких периодов. Выигрыш опциона "колл ” по средней цене (average price call) равен max (0, Save — К), а выигрыш опциона “пут ” по средней цене (average price put) равен max (О, К — Save), где Save — средняя стоимость базового актива, вычисленная на протяжении нескольких заранее установленных периодов. Опционы по средней цене дешевле обычных и лучше удовлетворяют специфические потребности корпораций. Допустим, некая корпорация в США на протяжении следующего года ожидает получения денежной суммы в размере 100 млн австралийских долларов, равномерно распределенной на весь период. Естественно, финансист корпорации заинтересован в опционе, гарантирующем, что средняя величина валютного курса на протяжении этого года будет превышать определенный уровень. Опцион по средней цене в таких ситуациях может оказаться эффективнее обычного опциона.
Еще одним типом азиатского опциона является опцион по средней цене исполнения (average strike option). Выигрыш опциона “колл ” по средней цене исполнения равен шах (0, St — Save), а выигрыш опциона “пут ” по средней цене исполнения — max (0, Save — St)- Опционы по средней цене исполнения гарантируют, что средняя цена, выплаченная за активно продаваемый актив за указанный период времени, не превысит окончательной цены. И наоборот, они могут гарантировать, что средняя цена, полученная за активно продаваемый актив за указанный период, будет не меньше окончательной цены.
Если цена базового актива S имеет логнормальное распределение, a Save — среднее геометрическое значение этой цены, для вычисления стоимости европейских опционов по средней цене существуют аналитические формулы.8 Это
8См. Kemna A. and Vorst A. A Pricing Method for Options based on Average Asset Values // Journal of Banking and Finance, 14 (March 1990). — P. 113-129.
объясняется тем, что геометрическое среднее множество логнормально распределенных величин само имеет логнормальное распределение. Рассмотрим только что заключенный опцион, обеспечивающий в момент Т выигрыш, зависящий от геометрического среднего, вычисленного за период от нуля до момента Т. Если в риск-нейтральных условиях установить ожидаемую скорость роста стоимости актива равной (г — q — <т2/б) /2 (вместо г — q), а ее волатильность — а/\/3 (вместо ст), то распределение геометрического среднего цены базового актива за определенный период совпадет с распределением цены актива в момент завершения опциона. Следовательно, опцион по средней цене, вычисленной как геометрическое среднее, эквивалентен обычному опциону, в котором волатильность цены актива равна а/ х/З, а дивидендная доходность —
1
Г 2
1 ( ст2 2(Г + 'г+’б
Если, как это обычно бывает, азиатские опционы основаны на средних арифметических ценах, вывести точную аналитическую формулу для вычисления стоимости таких опционов не удастся. Это объясняется тем, что распределение средних арифметических значений множества логнормально распределенных значений не имеет аналитических свойств. Однако это распределение является приближенно логнормальным и может использоваться в качестве аппроксимации. При этом сначала точно вычисляются два первых момента распределения вероятных значений арифметического среднего цен актива в риск-нейтральных условиях, а затем 9 выдвигается предположение, что это распределение является логнормальным/
Рассмотрим только что заключенный азиатский опцион, обеспечивающий в момент Т выигрыш, зависящий от арифметического среднего цен актива за период действия опциона. Первый и второй моменты, М\ и М2, среднего арифметического цен актива в риск-нейтральных условиях вычисляются по формулам
Mi =
е(г-ч)т _ ! (г - q) Г
So
и
2e[2(^-<?)+^2]^g2
(г — q + ст2) (2г — 2q + ст2) Г2
, 2S2
(t-q)T2
1
2 (г — q) + а2
e(r-q)T г — q + а2
9См. Turnbull S. М. and Wakeman L. М. A Quick Algorithm for Pricing European Average Options // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 26 (September 1991). — P. 377-389.
Здесь q / г (вариант, когда q = г, рассматривается в задаче 22.23). Если предположить, что средняя цена актива имеет логнормальное распределение, опцион по средней цене можно интерпретировать как фьючерсный опцион и использовать формулы (14.16) и (14.17) с параметрами
Fo =
и
а2 = In Т
(22.1)
(22.2)
( М2\
Пример 22.2
Рассмотрим только что заключенный опцион по средней цене на покупку бездивидендных акций при условии что цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., волатильность цены акции равна 40% в год, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а до завершения опциона остался один год. В таком случае Sq = 50, К = 50, г = 0,1, q = 0, о = 0,4 и Т = 1. Если средняя цена актива вычисляется как среднее геометрическое значение, стоимость опциона можно вычислить по формулам для обычного опциона, положив волатильность равной 0,4/л/З, т.е. 23,09%, а доходность — равной (0,1 + 0,42/6)/2, т.е. 6,33%. Стоимость опциона равна 5,13 долл. Если средняя цена актива вычисляется как среднее арифметическое значение, сначала следует вычислить моменты Mi = 52,59 и М2 = 2922,76. Если средняя цена актива имеет логнормальное распределение, стоимость этого опциона совпадает со стоимостью фьючерсного опциона. Из формул (22.1) и (22.2) следует, что Fq = 52,59 и а = 23,54%. Вычисления по программе DerivaGem показывают, что стоимость оцениваемого опциона равна 5,62 долл. □
Формулы для вычисления моментов Mi и М2 основаны на предположении, что средняя цена вычислена по непрерывным измерениям. Формулы для вычисления моментов Mi и М2 на основе дискретных измерений приведены в приложении 22.1.
Если после заключения опциона прошло достаточно много времени и проведено несколько измерений цены для вычисления ее среднего значения, описанную выше процедуру можно модифицировать. Допустим, что период усреднения состоит из двух периодов. Первый из них имеет длину ti, и именно на его протяжении производятся наблюдения. Второй период имеет длину t2 (оставшаяся часть срока действия опциона). Допустим, что средняя цена актива на протяжении первого периода равна S. Выигрыш опциона “колл” по средней цене равен
max
Sti + Savet2 ti + ^2
-К,0
где Save — средняя цена актива на протяжении оставшегося срока действия опциона. Эта формула эквивалентна выражению
max (Save - К*, 0) .
Если К* > 0, то опцион можно оценить так же, как и только что заключенный азиатский опцион, при условии что цена исполнения К заменяется величиной К*, а результат умножается на П/(й + /2)- Если К* < 0, опцион необходимо исполнить. В этом случае он оценивается как форвардный контракт, а его стоимость равна
(Mie-rt2 - K*e~rt2} .
ti + t2 k 7
22.11 Опционы на обмен активов
Опционы на обмен активов (иногда называемые обменными опционами (exchange options)) применяются в разных ситуациях. Опцион на покупку иены за австралийские доллары, с точки зрения американского инвестора, представляет собой обмен одного валютного актива на другой. Предложение о скупке всех акций компании по цене, выше рыночной (stock tender offer), также является опционом на обмен одних акций на другие.
Рассмотрим европейский опцион на передачу актива стоимостью Ut в момент Т и получение взамен актива стоимостью Ут- Выигрыш опциона равен
тах(Ет’ — Ut, 0).
Формула для вычисления стоимости этого опциона впервые была предложена Маркграбом (Margrabe).10 Допустим, что цены активов U и V описываются законом геометрического броуновского движения с волатильностями 07/ и оу. Предположим далее, что коэффициент мгновенной корреляции между ценами U и V равен р, а доходность активов равна qu и qy соответственно. Стоимость опциона в нулевой момент времени равна
Voe~qvTN (dx) - Uoe~quTN (d2), (22.3)
10См. Margrabe W. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another // Journal of Finance, 33 (March 1978). - P. 177 186.
где
di =
In^o/L^ + ^-qv + a2^)?1
<^2 — dr -- ayT,
Vau + av ~ 2PWu,
a Uo и Vq — стоимости активов U и V в начальный момент.
Эти формулы будут показаны в главе 25. Интересно отметить, что формула (22.3) не зависит от безрисковой процентной ставки г. Это объясняется тем, что скорость роста цен обоих активов в риск-нейтральных условиях, возрастающая при росте ставки г, полностью компенсируется увеличением дисконтной ставки. Переменная а является волатильностью величины V/U. Сравнение с формулой (14.4) показывает, что стоимость опциона совпадает со стоимостью U® европейских опционов на покупку актива стоимостью V/U при цене исполнения 1,0, безрисковой процентной ставкой qu и дивидендной доходностью qy. Марк Рубинштейн доказал, что американский вариант этого опциона можно оценить подобным образом.11 Его можно интерпретировать как Uo американских опционов на покупку актива стоимостью V/M с ценой исполнения 1,0 при условии, что безрисковая процентная ставка равна qu, а дивидендная доходность — qy. Следовательно, этот опцион можно оценить с помощью биномиального дерева, как показано в главе 17.
Следует подчеркнуть, что опцион на получение более выгодного из двух активов можно трактовать как позицию по одному из активов в сочетании с опционом на обмен его на другой актив.
max(LAr, V?) = Vt — max(Vy — Ut-, 0), max(f7-r, Vt) = Ut + max(V^ — Ut, 0).
22.12 Пакетные опционы
Опционы на несколько рискованных активов иногда называются радугой (rainbow). Одним примером такого опциона является фьючерсный контракт на поставку облигации, заключенный на бирже СВОТ (см. главу 5). Сторона, занимающая короткую позицию в этом опционе, получает право выбрать в момент поставки большое количество разных облигаций. Другим примером является опцион FX, зависящий от ставки LIBOR. Он представляет собой опцион на иностранную валюту, выигрыш по которому выплачивается только при условии, что выбранная процентная ставка в момент завершения контракта лежит в заданном интервале.
нСм. Rubinstein М. One for Another // Risk, July/August 1991. — P. 30-32.
Вероятно, одним из наиболее популярных опционов “радуга” является пакетный опцион (basket option). Это опцион, выигрыш которого зависит от стоимости инвестиционного портфеля (или пакета). Активы, входящие в портфель, обычно являются либо акциями, либо фондовыми индексами, либо валютой. Европейский пакетный опцион можно оценить с помощью метода Монте-Карло, предполагая, что цены активов подчиняются законам геометрического броуновского движения. Более эффективной является процедура, в ходе которой сначала вычисляются два первых момента стоимости пакета активов в риск-нейтральных условиях, а затем выдвигается предположение, что стоимость пакета имеет логнормальное распределение. Таким образом, пакетный опцион можно интерпретировать как фьючерсный опцион с параметрами, которые вычисляются по формулам (22.1) и (22.2). Способ вычисления первых моментов стоимости пакета в будущий момент времени на основе волатильности и корреляции между ценами активов изложен в приложении 22.1.
22.13 Статическая репликация опционов
Хеджирование позиции по экзотическому опциону с помощью методов, описанных в главе 15, иногда оказывается легким, а иногда — сложным. Это объясняется наличием разрывов (см. врезку “Пример из деловой практики 22.1”). В особенно сложных ситуациях приходится прибегать к процедуре, которую иногда называют статической репликацией опционов (static options replication).12 Она сводится к поиску инвестиционного портфеля, состоящего из активно продаваемых опционов и являющегося приближенной копией хеджируемой опционной позиции. Хеджирование обеспечивается продажей этой позиции без покрытия. Основной принцип репликации статических опционов заключается в следующем. Если два инвестиционных портфеля имеют одинаковую стоимость в определенной точке на границе, то они совпадают и во всех внутренних точках границы.
Пример из деловой практики 22.1. Проще или сложнее хеджировать экзотические опционы?
Как указано в главе 15, хеджирование экзотических опционов можно обеспечить созданием дельта-нейтральной позиции и постоянного балансирования. В одних ситуациях хеджирование экзотических опционов оказывается проще хеджирования обычных опционов, а в других — сложнее.
Примером экзотического опциона, не создающего проблем при его хеджировании, является опцион по средней цене, у которого длина периода усреднения
|2См. Derman Е., Ergener D. and Kani I. Static Options Replication // Journal of Derivatives, 2, no. 4 (Summer 1995). - P. 78-95.
равна всему сроку действия опциона. Со временем количество цен активов, принимающих участие в усреднении, возрастает. Это значит, что неопределенность размера выигрыша с течением времени уменьшается. В результате, хеджирование опциона упрощается. В течение последних нескольких дней коэффициент дельта опциона всегда близок к нулю, поскольку изменение цены на протяжении этого времени очень слабо влияет на размер выплат.
С другой стороны, хеджирование барьерного опциона представляет собой довольно сложную задачу. Рассмотрим, например, валютный опцион входа (down-and-in) при условии, что обменный курс на 0,0005 пунктов превышает барьерный уровень. Если барьер преодолен, то опцион теряет стоимость. Если же барьер не преодолен, то стоимость опциона может быть довольно высокой. Коэффициент дельта барьерного опциона имеет разрыв на барьерном уровне, что и усложняет хеджирование.
Рассмотрим в качестве примера девятимесячный опцион up-and-out на покупку бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., барьерный уровень — 60 долл., безрисковая процентная ставка — 10% годовых, а волатильность — 30% в год. Пусть f (S, t) — стоимость опциона в момент t, когда цена акции равна S. Для создания репликации мы можем использовать любую границу на плоскости (S, t). Выберем, например, границу, изображенную на рис. 22.2. Она определена двумя значениями: S = 60 и t = 0,75. Стоимость опциона up-and-out на этой границе вычисляется по следующим формулам.
f(S, 0,75) = max(S - 50,0) при S < 60,
/(60,t) = 0 при 0 t 0,75.
Существует много способов приближенного воспроизведения этих граничных значений с помощью обычных опционов. Естественным инструментом для дублирования первого краевого условия является обычный девятимесячный европейский опцион “колл” с ценой исполнения, равной 50 долл. Следовательно, в инвестиционный портфель, дублирующий хеджируемую позицию, необходимо включить один такой опцион. (Обозначим этот опцион буквой А.) Затем можно поступить следующим образом. Разделим срок действия этого опциона на большое количество временных отрезков и выберем опционы, удовлетворяющие второму краевому условию на каждом временном шаге.
Предположим, что временной шаг равен трем месяцам. В таком случае второй инструмент в момент t = 0,5 должен удовлетворять второму краевому условию. Иначе говоря, если t = 0,5 и S = 60, второй инструмент должен обесценивать дублирующий инвестиционный портфель. Кроме того, на первой границе этот опцион также должен иметь нулевую стоимость, чтобы не нарушать первое краевое условие. Для этого можно приобрести обычный девятимесячный европейский
S
600 о----------о
50 -
t
0,25 0,50 0,75
Рис. 22.2. Граничные точки, используемые для статической репликации опционов
опцион “колл” с ценой исполнения, равной 60 долл. (Обозначим этот опцион буквой В.) Применяя формулы Блэка-Шоулза, приходим к выводу, что стоимость второго опциона через шесть месяцев будет равна 4,33 долл., при условии что S — 60 долл. Кроме того, из этих формул следует также, что позиция по опциону Л в этой точке равна 11,54 долл. Следовательно, размер позиции, которую мы должны занять по опциону В, равен —11,54/4.33 = —2,66.
Перейдем ко второму краевому условию в момент t = 0,25. Новый опцион должен иметь нулевую стоимость на всех границах, рассмотренных выше. Для этого подойдет обычный шестимесячный европейский опцион “колл” с ценой исполнения 60 долл. (Обозначим этот опцион буквой С.) Если через три месяца цена акции достигнет 60 долл., его стоимость будет равна 4,33 долл. В этой точке стоимость позиций по опционам А и В равна —4,21 долл. Следовательно, размер позиции, которую необходимо занять по опциону С, равен 4,21/4,33 = 0,97 долл.
В заключение, подберем опцион, удовлетворяющий второму краевому условию в момент t = 0. Для этого следует выбрать обычный трехмесячный европейский опцион “колл” с ценой исполнения, равной 60 долл. (Назовем этот опцион буквой D.) Вычисления, аналогичные предыдущим, показывают, что размер требуемой позиции по этому опциону равен 0,28.
Сформированный портфель представлен в табл. 22.1. В начальный момент времени (т.е. в нулевой момент времени при цене исполнения, равной 60 долл.) он стоит 0,73 долл. В то же время стоимость опциона “колл” up-and-out, вычисленная по аналитической формуле, приведенной ранее, равна 0,31 долл. Это объясняется
тем, что дублирующий портфель формировался с учетом всего трех точек на второй границе. Если на второй границе выбрать 18 точек (используя опционы, срок действия которых истекает каждые две недели), то стоимость дублирующего портфеля снизилась бы до 0,38 долл. Если же повысить количество точек до 100, стоимость портфеля упадет до 0,32 долл.
Таблица 22.1. Портфель европейских опционов “колл”, дублирующий опцион up-and-out
Опцион Цена исполнения Срок действия, лет Позиция Начальное значение
А 50 0,75 1,00 +6,99
В 60 0,75 -2,66 -8,21
С 60 0,50 0,97 +1,78
D 60 0,25 0,28 +0,17
Чтобы хеджировать дериватив, дублирующий инвестиционный портфель необходимо продать без покрытия. Эта схема имеет преимущество над дельта-хеджированием, поскольку не требует частого балансирования. Статическая репликация применяется к широкому спектру деривативов. Пользователь имеет большой выбор граничных точек и опционов, которые должны удовлетворять краевые условия, причем при достижении любой части границы портфель необходимо формировать заново.
Резюме
Правила вычисления выигрышей по экзотическим опционам намного сложнее, чем у стандартных опционов. Мы рассмотрели 12 разновидностей экзотических опционов: пакеты, нестандартные американские опционы, форвардные опционы “с отложенным стартом”, сложные опционы, опционы Chooser, барьерные опционы, бинарные опционы, опционы “с оглядкой назад”, опционы Shout, азиатские опционы, опционы на обмен активов и пакетные опционы. Мы обсудили способы вычисления цен этих опционов, используя те же предположения, которые были приняты при выводе формул Блэка-Шоулза в главе 13. Стоимость некоторых опционов можно вычислить аналитически, однако соответствующие формулы имеют намного более сложный вид, чем формулы для вычисления стоимости обычных европейских опционов “колл” и “пут”. Другие опционы допускают лишь приближенную аппроксимацию стоимости. Цену некоторых опционов можно вычислить только с помощью вычислительных процедур, описанных в главе 17. Еще несколько вычислительных процедур для определения стоимости экзотических опционов будет рассмотрено в главе 24.
Некоторые экзотические опционы допускают более простое хеджирование, чем их обычные аналоги, некоторые — более сложное. Азиатские опционы хеджировать легче, поскольку их выигрыш с течением времени становится все более определенным. Барьерные опционы хеджировать труднее, поскольку коэффициент дельта на барьере терпит разрыв. Одним из способов хеджирования экзотических опционов является статическая репликация опционов. Она сводится к формированию инвестиционного портфеля, состоящего из обычных опционов, стоимость которого совпадает со стоимостью экзотического опциона на определенных границах. Хеджирование экзотического опциона достигается путем продажи этого портфеля без покрытия.
Дополнительная литера1ура
Clewlow L. and Strickland С. Exotic Options: The State of the Art. — Thomson Business Press, London, 1997.
Derman E„ ErgenerD. and Kani I. Static Options Replication // Journal of Derivatives, 2, no. 4 (Summer 1995). - P. 78-95.
Derman E., Kani I. and Chriss N. Static Options Replication // Journal of Derivatives, 1, no. 4 (Summer 1994). — P. 6-14.
Geske R. The Valuation of Compound Options // Journal of Financial Economics, 7 (1979). -P. 63-81.
Goldman B., Sosin H. and Gatto M. A. Path-Dependent Options: Buy at the Low, Sell at the High // Journal of Finance, 34 (December 1979). — P. 1111-1127.
Margrabe W. The Value of an Option to Exchange One Asset for Another // Journal of Finance, 33 (March 1978). — P. 177-186.
Milevsky M. A. and Posner S. E. Asian Options: The Sum of Lognormals and the Reciprocal Gamma Distribution // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 33, no. 3 (September 1998). — P. 409-422.
Ritchken P, Sankarasunbaramian L. and Vijh A. M. The Valuation of Path Dependent Contracts on the Average // Management Science, 39 (1993). — P. 1202-1213.
Ritchken P On Pricing Barrier Options // Journal of Derivatives, 3, no. 2 (Winter 1995). - P. 19-28.
Rubinstein M. and Reiner E. Breaking Down the Barriers // Risk, September 1991. — P. 28-35.
Rubinstein M. Double Trouble // Risk, December 1991/Juanuary 1992. — P. 53-56.
Rubinstein M. One for Another // Risk, July/August 1991. — P. 30-32.
Rubinstein M. Options for the Undecided // Risk, April 1991. — P. 70-73.
Rubinstein М. Pay Now, Choose Later // Risk, February 1991. — P. 44-47.
Rubinstein M. Somewhere Over the Rainbow // Risk, November 1991. — P. 63-66.
Rubinstein M. Two in One // Risk, May 1991. — P. 49.
Rubinstein M. and Rainer E. Unscrambling the Binary Code // Risk, October 1991. — P. 75-83.
Stulz R. Options on the Minimum or Maximum of Two Assets // Journal of Financial Economics, 10 (1982). - P. 161-185.
Turnbull S. M. and Wakeman L. M. A Quick Algorithm for Pricing European Average Options И Journal of Financial and Quantitative Analysis, 26 (September 1991).— P. 377-389.
Zhang P. G. Exotic Options: A Guide to Second generation Options, 2nd end. — Singapore: World Scientific, 1998.
Вопросы и задачи
22.1. Объясните разницу между форвардным опционом “с отложенным стартом” и опционом Chooser.
22.2. Опишите выигрыш от портфеля, состоящего из опциона “колл” с оглядкой назад и опциона “пут” с оглядкой назад с одним и тем же сроком действия.
22.3. Рассмотрите опцион Chooser, владелец которого имеет право выбора между европейскими опционами “колл” и “пут” в любой момент на протяжении двух лет. Сроки действия и цены исполнения опционов “колл” и “пут” одинаковы независимо от того, в какой момент делается выбор. Всегда ли целесообразен выбор до окончания двухлетнего периода? Аргументируйте свой ответ.
22.4. Пусть ci и pi — стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по средней цене “пут” с ценой исполнения К и сроком исполнения Т, С2 и р2 — стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по средней цене исполнения со сроком исполнения Т, сз и рз — стоимости обычных европейских опционов “колл” и “пут” с ценой исполнения К и сроком исполнения Т. Докажите, что
С1 + С2 - Сз = Pi + Р2 - Рз-
22.5. В главе описан способ разложения конкретного опциона Chooser на опцион “колл” со сроком действия и опцион “пут” со сроком действия 7). Опишите аналогичное разложение опциона Chooser на опцион “колл” со сроком действия 7) и опцион “пут” со сроком действия 7^.
22.6. В разделе 22.6 приведены две формулы для вычисления стоимости опциона “колл” down-and-call. Первая формула применяется в ситуации, когда
барьерный уровень Н меньше или равен цене исполнения К. Вторая формула используется в ситуации, когда Н К. Докажите, что эти формулы совпадают, если Н = К.
22.7. Объясните, почему опцион “пут” put-and-out имеет нулевую стоимость, если барьерный уровень выше цены исполнения.
22.8. Допустим, что цена исполнения американского опциона на покупку бездивидендных акций растет со скоростью д. Докажите, что если скорость д меньше безрисковой процентной ставки г, досрочное исполнение опциона никогда не станет целесообразным.
22.9. Как оценить стоимость форвардного опциона “с отложенным стартом” на продажу бездивидендных акций, если в момент старта цена исполнения на 10% будет выше цены акции?
22.10. Предположим, что цена акции подчиняется законам геометрического броуновского движения. Какой процесс описывает изменение величины A(t), где A(t) — среднее арифметическое значений цены акции в интервале от нуля до момента t?
22.11. Объясните, почему дельта-хеджирование азиатских опционов легче, чем для обычных опционов.
22.12. Вычислите стоимость однолетнего европейского опциона на обмен 100 унций серебра на одну унцию золота. Текущая стоимость золота и серебра равна 380 и 4 долл, соответственно, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, волатильность каждого товара — 20%, а коэффициент корреляции между двумя ценами — 0,7. Затратами на хранение можно пренебречь.
22.13. Совпадают ли стоимости европейского опциона dow-and-out на актив и европейского опциона dow-and-out на фьючерсную цену актива по фьючерсному контракту, срок действия которого истекает одновременно с опционом?
22.14. Ответьте на следующие вопросы, касающиеся сложных опционов.
1) Опишите паритет между ценами европейского опциона на покупку опциона “колл” и европейского опциона на продажу опциона “колл”. Докажите, что формулы, приведенные в тексте, удовлетворяют этому отношению.
2) Опишите паритет между ценами европейского опциона на покупку опциона “пут” и европейского опциона на продажу опциона “пут”. Докажите, что формулы, приведенные в тексте, удовлетворяют этому отношению.
22.15. Как изменится стоимость опциона “с оглядкой назад” при увеличении количества измерений в ходе поиска минимальной цены актива?
22.16. Как изменится стоимость опциона “колл” down-and-out при увеличении количества измерений для поиска момента преодоления барьера? Справедлив ли этот ответ для опциона “колл” down-and-in?
22.17. Объясните, почему обычный европейский опцион “колл” представляет собой сочетание европейского опциона “колл” down-and-out и европейского опциона “колл” down-and-in. Выполняется ли это правило для американских опционов “колл”?
22.18. Чему равна стоимость дериватива, выигрыш по которому через шесть месяцев составит 100 долл., если индекс S&P 500 будет больше 1 000, и нуль в противном случае? Допустим, что текущий уровень индекса равен 960 пунктам, безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, дивидендная доходность индекса — 3% годовых, а волатильность индекса — 20% в год.
22.19. Рассмотрим трехмесячный опцион down-and-out на покупку фьючерсного контракта на поставку серебра с ценой исполнения 20 долл, за унцию и барьером, равным 18 долл. Текущая фьючерсная цена равна 19 долл., безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность фьючерсов на поставку серебра — 40% в год. Объясните механизм действия этого опциона и вычислите его стоимость. Чему равна стоимость обычного опциона на покупку фьючерса на поставку серебра с теми же параметрами? Чему равна стоимость опциона down-and-in на покупку фьючерса на поставку серебра с теми же параметрами?
22.20. Срок действия нового европейского опциона “с оглядкой назад” на покупку фондового индекса равен девяти месяцам. Текущий уровень индекса — 400 пунктов, безрисковая процентная ставка — 6% годовых, доходность индекса — 4% годовых, а волатильность —20% в год. Вычислите стоимость опциона, используя программу DerivaGem.
22.21. Оцените стоимость нового шестимесячного европейского опциона по средней цене на покупку бездивидендных акций. Начальная цена акции равна 30 долл., цена исполнения — 30 долл., безрисковая процентная ставка — 5%, а волатильность цены акции — 30%.
22.22. Вычислите стоимость следующих опционов, используя программу DerivaGem.
1) Обычный европейский опцион на покупку бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., безрисковая процентная ставка — 5% годовых, волатильность — 30%, а срок действия — один год.
2) Европейский опцион “колл” down-and-out в задаче 1 с барьером, равным 45 долл.
3) Европейский опцион “колл” down-and-in в задаче 1 с барьером, равным 45 долл.
Докажите, что стоимость опциона в задаче 1 равна сумме опционов в задаче 2 и 3.
22.23. Какие поправки следует сделать, при условии, что г = q, 1) при оценке опциона “колл” с оглядкой назад по формулам, приведенным в разделе 22.8, и 2) при вычислении значений Mi и М?.
Упражнения
22.24. Чему равна долларовая стоимость дериватива, выигрыш по которому через год будет равен 10 000 фунтов стерлингов при условии, что обменный курс доллар-фунт в этот момент будет больше 1,5000 долл.? Текущий валютный курс равен 1,4800 долл. Процентные ставки в долларах и фунтах стерлингов равны 4 и 8% соответственно. Волатильность валютного курса равна 12% в год.
22.25. Рассмотрим барьерный опцион up-and-down на покупку бездивидендных акций при условии, что цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., волатильность — 30%, безрисковая процентная ставка — 5%, срок действия опциона — один год, а барьерный уровень — 80 долл. Оцените стоимость опциона с помощью программы DerivaGem и постройте график зависимости между 1) ценой опциона и ценой акции, 2) коэффициентом дельта и ценой акции, 3) ценой опциона и сроком действия и 4) ценой опциона и волатильностью. Объясните полученные результаты на интуитивном уровне. Докажите, что коэффициенты дельта, гамма, тета и вега, характеризующие барьерный опцион “колл” up-and-out, могут быть как положительными, так и отрицательными.
22.26. В примере Sample Application F, описанном в программе DerivaGem Application Builder, рассматривается статическая репликация опционов, рассмотренная в разделе 22.13. Он демонстрирует способ хеджирования экзотического опциона с помощью четырех обычных опционов (как показано в разделе 22.13) и два способа построения хеджа из 16 опционов.
1) Объясните разницу между двумя способами хеджирования с помощью 16 опционов. Почему второй способ работает эффективнее?
2) Модифицируйте метод хеджирования с помощью четырех опционов, изменив параметр Tmat в третьем и четвертом опционах.
3) Сравните греческие коэффициенты портфеля, состоящего из 16 опционов, с коэффициентами дельта, гамма, тета и вега, характеризующими барьерный опцион.
22.27. Рассмотрим опцион выхода (down-and-out) на покупку валюты. Первоначальный валютный курс 0,90 долл., время, оставшееся до истечения срока опциона, — два года, цена исполнения — 1,00 долл., барьерный уровень — 0,80 долл., внутренняя безрисковая процентная ставка — 5%, внешняя безрисковая процентная ставка — 6%, а волатильность — 25% в год. Используя программу DerivaGem, разработайте стратегию статической репликации опционов с помощью пяти опционов.
22.28. Предположим, что в настоящий момент фондовый индекс равен 900 пунктам. Дивидендная доходность индекса равна 2%, безрисковая процентная ставка равна 5%, а волатильность — 40%. Используя результаты, изложенные в приложении 22.1, вычислите стоимость однолетнего опциона “колл” по средней цене при условии, что цена исполнения равна 900 долл., а для усреднения используются значения индексов, зарегистрированные в конце каждого квартала. Сравните эту стоимость с ценой однолетнего опциона по средней цене, вычисленной с помощью программы DerivaGem, если значения индекса регистрируются непрерывно. Дайте интуитивное объяснение разнице между этими ценами.
22.29. Используя программу DerivaGem Application Builder, сравните эффективность ежедневного дельта-хеджирования 1) для опциона, рассмотренного в табл. 15.2 и 15.3, а также 2) для опциона “колл” по средней цене с такими же параметрами. Воспользуйтесь примером Sample Application С. При оценке опциона по средней цене необходимо изменить формулы для вычисления цены опциона в ячейках С16, выигрышей — в ячейках Н15 и Н16, а также коэффициентов дельта — в ячейках G46-G186 и N46-N186. Проведите 20 сеансов моделирования по методу Монте-Карло для каждого опциона, многократно нажимая клавишу <F9>. В ходе каждого сеанса записывайте стоимость продажи и хеджирования опциона, объем торгов на протяжении 20 недель, а также объем торгов между 11-й и 20-й неделями. Прокомментируйте полученные результаты.
22.30. Измените содержание примера Sample Application D в программе DerivaGem Application Builder и оцените эффективность дельта- и гамма-хеджирования сложного опциона на покупку опциона на покупку 100 000 единиц иностранной валюты при условии, что обменный курс равен 0,67 долл., внутренняя безрисковая процентная ставка — 5%, иностранная безрисковая процентная ставка — 6%, а волатильность — 12%. До завершения первого опциона осталось 20 недель, а его цена исполнения — 0,015 долл. До завершения второго опциона осталось 40 недель, а его цена исполнения — 0,68 долл. Объясните, какие изменения требуется внести в ячейки. Оцените эффективность хеджирования.
748
Приложение 22.1. Вычисление моментов для оценки пакетных и азиатских опционов
Сначала рассмотрим вычисления первых двух моментов при оценке пакета активов в будущий момент времени Т в риск-нейтральных условиях. Предполагается, что цены каждого актива в пакете имеют логнормальное распределение.
п: количество активов;
Si', стоимость г-го актива в момент Т;
Fi'. форвардная цена13 г-го актива, лежащего в основе контракта, истекающего в момент Т;
Oi'. волатильность г-го актива в интервале от нулевого момента до момента Т; Pij: коэффициент корреляции между значениями доходности г-го и ;/-го активов;
Р: стоимость пакета в момент Т;
М-[: первый момент величины Р в риск-нейтральных условиях;
М2: второй момент величины Р в риск-нейтральных условиях.
Поскольку Р = Si, E(Si) = Е, = Ё(Р) и Мг = Ё(Р2), где Ё -
г=1
математическое ожидание в риск-нейтральных условиях, справедлива следующая формула.
J=1
Кроме того,
P2 = ttslSj.
i=l j=l
Из свойств логнормального распределения следует, что
= FiFjePi^T.
Следовательно,
М2 = ^^FiFje^^. г=1 j=l
Перейдем теперь к вычислению первых двух моментов среднеарифметической цены актива в будущий момент времени Т в риск-нейтральных условиях при условии, что среднее значение вычисляется по дискретным значениям. Предположим,
13 Строго говоря, величина Fi должна быть фьючерсной, а не форвардной ценой. Однако на практике при вычислении первых двух моментов аналитики обычно не различают фьючерсные и форвардные цены.
что цена актива регистрируется в моменты Ti, 1 С i т. Введем следующие обозначения.
S^. стоимость актива в момент 7^;
Ft: форвардная цена актива, лежащего в основе контракта, истекающего в момент Т^;
Ci', подразумеваемая волатильность актива в интервале от нулевого момента до момента 7};
ру: коэффициент корреляции между значениями доходности актива в моменты 2} и Т;
Р: среднеарифметическая цена;
Mi', первый момент величины Р в риск-нейтральных условиях;
М2: второй момент величины Р в риск-нейтральных условиях.
В данном случае
Кроме того,
Ё (SiSj) = .
Тогда
Легко показать, что при i < j
так что
E(SiSj) = FiFje^Ti
и
1 / т т j—1
м2 = ^2 F?ea'Ti+25252 FiF^Ti
\ 1=1 3=1 1=1
"W-;-Г
Страховые, погодные и энергетические деривативы
Чаще всего в качестве базовых показателей в деривативных контрактах используются цены акций, обменные курсы валют, процентные ставки и цены на товары. Фьючерсные, форвардные и опционные контракты, а также свопы на эти переменные получили чрезвычайно широкое распространение. Как указано в главе 21, в последние годы большую популярность завоевали кредитные деривативы. В главе 22 показано, что одним из возможных путей развития рынка производных финансовых инструментов являются нестандартные (или экзотические) ценные бумаги. В главе рассматриваются некоторые из новшеств, появившихся на рынках деривативов. Некоторые из этих рынков находятся еще на первой стадии своего развития.
23.1 Вопросы, связанные с определением цен
Основной результат теории риск-нейтральных оценок, изложенной в главах 11 и 13, заключается в том, что при оценке стоимости дериватива вычисленная цена оказывается правильной не только в риск-нейтральных, но и в любых других условиях. Чтобы правильно оценить стоимость дериватива, сначала необходимо вычислить его ожидаемый выигрыш в риск-нейтральном мире, а затем дисконтировать его по безрисковой процентной ставке.
В страховом деле часто используется альтернативный способ вычисления стоимости ценных бумаг, который иногда называют историческим подходом (historical data approach). В рамках этого подхода ожидаемый выигрыш дериватива вычисляется на основе исторических данных, а затем дисконтируется по безрисковой процентной ставке. Исторические данные позволяют получить реальную оценку ожидаемого выигрыша. Отсюда следует, что исторический подход является обоснованным только тогда, когда ожидаемый выигрыш дериватива одинаков как в реальном, так и в риск-нейтральном мире.
Как показано в разделе 11.7, при переходе от реального мира к риск-нейтраль-ному волатильности переменных остаются прежними, но ожидаемые скорости роста переменных изменяются. Например, ожидаемая скорость роста фондово
го индекса может увеличиться на 4-5%. Ожидаемые скорости роста переменной в реальном и риск-нейтральном мире можно вполне обоснованно считать одинаковыми, если переменная имеет нулевой систематический риск, т.е. ее относительные изменения не коррелируют с доходностью фондового рынка.1 Из этого можно сделать вывод, что исторический подход к оценке деривативов дает правильный ответ, если все базовые переменные имеют нулевой систематический риск. Общей чертой всех деривативов, которые будут рассмотрены в этой главе, является то, что их стоимость вычисляется с помощью актуарного подхода, а базовые переменные можно считать свободными от систематического риска.
23.2 Погодные деривативы
На эффективность работы многих компаний неблагоприятное воздействие оказывает погода.2 Этим компаниям следует попытаться хеджировать риск, связанный с погодой, точно так же как они хеджируют риски, связанные с колебаниями валютного курса или процентных ставок.
Первые внебиржевые погодные деривативы появились в 1997 году. Чтобы понять механизм их работы, рассмотрим две переменные.
HDD: градусо-день отопительного сезона.3
CDD: градусо-день прохладительного сезона.4
Показатель HDD вычисляется по формуле
HDD = max(0.65 - А),
а показатель CDD — по формуле
CDD = тах(0, А — 65).
Здесь А — среднее значение, вычисленное по наибольшей и наименьшей температурам на протяжении дня на указанной метеорологической станции, измеренным по шкале Фаренгейта. Например, если максимальная температура на протяжении дня (от полудня до полуночи) равна 68 °F, а минимальная — 44 °F, то А = 56. Таким образом, дневной показатель HDD равен 9, a CCD — 0.
Типичным внебиржевым финансовым инструментом является форвардный или опционный контракт, выигрыш по которому зависит от совокупного показателя HDD или CDD на протяжении определенного периода. Представим себе,
'.Эта тема будет рассмотрена в главе 31.
2По оценкам Министерства энергетики США одна седьмая часть экономики США подвержена риску, связанному с погодой.
’Отклонение температуры от заданного уровня за сутки при отключенной системе отопления (используется в США и Великобритании). — Примеч. ред.
Отклонение температуры от заданного уровня за сутки при отключенной системе охлаждения (используется в США и Великобритании). — Примеч. ред.
например, что инвестиционный дилер в январе 2004 года продает клиенту опцион “колл” на показатель HDD, измеренный на протяжении февраля 2005 года на метеорологической станции аэропорта Чикаго О’Хэйр (Chicago O’Hare Airport), с ценой исполнения 700 и выплатами по 10000 долл, в день. Если фактический совокупный показатель HDD равен 820, то выигрыш составит 1,2 млн долл. Часто в контрактах устанавливается верхний предел выплат. Если в нашем примере верхний предел выплат равен 1,5 млн долл., то контракт эквивалентен бычьему спрэду. Клиент занимает длинную позицию в опционе “колл” на совокупный показатель HDD с ценой исполнения 700 и короткую позицию в опционе “колл” с ценой исполнения 850.
Дневной показатель HDD представляет собой средство измерения количества энергии, требуемой для отопления на протяжении дня, а дневной показатель CDD — средство измерения количества энергии, требуемой для охлаждения на протяжении дня. На момент написания книги большинство погодных деривативов заключалось между производителями и потребителями электроэнергии. Однако потенциальными потребителями погодных деривативов являются также розничные торговцы, сети супермаркетов, производители продовольственных товаров и прохладительных напитков, компании, предоставляющие услуги в сфере здравоохранения, сельскохозяйственные компании и компании, работающие в области развлечений. Недавно для обслуживания интересов отраслей экономики, подвергающихся погодному риску, была создана Ассоциация погодного риск-ме-неджмента (Weather Risk Management Association — www. wrma. org).
В сентябре 1999 года Чикагская товарная биржа начала торговлю погодными фьючерсами и европейскими опционами на погодные фьючерсы. Эти контракты заключаются на совокупные показатели HDD и CDD, измеренные в течение месяца на определенной метеостанции.5 Расчеты по контрактам осуществляются наличными деньгами сразу после завершения месяца, когда становятся известными совокупные показатели HDD или CDD. Сумма фьючерсного контракта в 100 раз превышает значение совокупных показателей HDD или CDD, вычисляемых компанией Earth Sattelite Corporation с помощью оборудования для автоматического сбора данных.
Резонно предположить, что температура воздуха в определенной географической точке свободна от систематического риска. Из рассуждений, изложенных в разделе 23.1, следует, что погодные деривативы можно оценить на основе исторического подхода. Рассмотрим, например, опцион “колл” на показатель HDD, измеренный в феврале 2005 года на метеостанции аэропорта Чикаго О’Хэйр. Проанализируем данные, собранные в течение 50 лет, и оценим распределение веро
5В контрактах, заключаемых на бирже СМЕ, используются погодные показатели, измеренные на 10 разных метеостанциях (Атланта, Чикаго, Цинциннати, Даллас, Дес-Монес, Лас-Вегас, Нью-Йорк, Филадельфия, Портланд и Таксон).
ятностей для HDD. С помощью этих данных можно вычислить распределение вероятностей для выигрыша по опциону. Стоимость этого опциона равна математическому ожиданию распределения вероятностей для выигрыша по опциону, дисконтированному по безрисковой процентной ставке. Распределение вероятности иногда целесообразно скорректировать с учетом температурных трендов. Например, с помощью линейной регрессии можно показать, что кумулятивный показатель HDD, измеренный в течение февраля, в среднем уменьшается со скоростью 10 единиц в год. Этот вывод можно использовать для оценки скорректированного распределения вероятностей для показателя HDD, измеренного в феврале 2005 года.
23.3 Энергетические деривативы
Энергетические компании являются наиболее активными и квалифицированными пользователями деривативов. Многие энергетические финансовые инструменты покупаются и продаются как на внебиржевом, так и на биржевом рынках. В данном разделе рассматриваются деривативы, связанные с сырой нефтью, природным газом и электроэнергией.
Сырая нефть
Сырая нефть представляет собой один из наиболее важных товаров в мире. Объем глобального спроса на нефть составляет около 80 млн баррелей в день. Многие годы основное место на внебиржевом рынке занимали десятилетние контракты на поставку нефти по фиксированной цене. Они представляют собой свопы, в которых нефть по фиксированной цене обменивалась на нефть по плавающей цене.
В 1970-х годах цена нефти имела высокую волатильность. Война на Среднем Востоке, разразившаяся в 1973 году, привела к повышению цены нефти втрое. Падение шаха Ирана в конце 1970-х годов также способствовало росту цен на нефть. Эти события заставили производителей нефти и ее потребителей осознать необходимость в более сложных инструментах управления рисками, связанными с ценами на нефть. Для удовлетворения их потребностей в 1980-х годах на внебиржевом и биржевом рынках появились новые финансовые инструменты.
На внебиржевом рынке в настоящее время существуют практически любые виды деривативов, базовым активом в которых является нефть. Наиболее распространенными являются свопы, форвардные контракты и опционы. Иногда контракты предусматривают расчеты наличными деньгами, а иногда — физическую поставку (т.е. поставку нефти).
Не менее популярными являются биржевые контракты. Нью-Йоркская товарная биржа (NYMEX — New York Mercantile Exchange) и Международная нефтяная
биржа (IPE — International Petroleum Exchange) торгуют большим количеством нефтяных фьючерсов и фьючерсных опционов. Некоторые контракты предусматривают расчеты наличными деньгами, а другие — физическую поставку. Например, фьючерсные контракты на сырую нефть сорта Brent на бирже IPE предусматривают расчеты наличными деньгами на основе индекса цен Brent; фьючерсные контракты на сырую нефть светлых сортов на бирже NYMEX предусматривают физическую поставку. В обоих вариантах контракты заключаются на поставку 1000 баррелей нефти. Кроме того, на бирже NYMEX заключаются также контракты на поставку продуктов нефтепереработки: мазут и бензин. В этих случаях контракты заключаются на поставку 42 000 галлонов соответствующего товара.
Природный газ
Во всем мире газовая промышленность проходит период сокращения объема вмешательства государства в экономику и ликвидации государственных монополий. В настоящее время поставщик природного газа не обязательно является добывающей компанией. Кроме того, перед поставщиками стоят проблемы, связанные с удовлетворением возрастающих потребностей.
Типичный внебиржевой контракт представляет собой контракт на доставку определенного объема природного газа на примерно одинаковом уровне в течение одного месяца. В настоящее время на внебиржевом рынке существуют форвардные контракты, опционы и свопы. Продавец газа обычно берет на себя обязательство прокачать газ через газопровод до определенного места назначения.
На бирже NYMEX заключаются контракты на поставку 10 000 млн британских единиц теплоты природного газа. Незавершенный контракт обязывает контрпартнера осуществить в течение месяца почти равномерную поставку природного газа в определенный накопитель, расположенный в Луизиане. Аналогичные контракты заключаются на бирже IME, расположенной в Лондоне.
Электроэнергия
Электроэнергия представляет собой необычный товар, который сложно хранить.6 Максимальный уровень поставки электроэнергии в регион в любой момент времени определяется максимальной мощностью всех электростанций этого региона. В США существует 140 так называемых диспетчерских зон (control area), в которых сохраняется баланс спроса и поставки электроэнергии. Любые излишки электроэнергии продаются в другие диспетчерские зоны. Именно эти избыточные
‘Производители электроэнергии, обладающие запасными резервными мощностями, часто используют их для повышения уровня воды в своих водохранилищах, чтобы использовать ее впоследствии для производства электроэнергии. Это максимум того, что они могут сделать для хранения своего товара.
мощности образуют оптовый рынок электроэнергии. Возможность продажи электроэнергии из одной диспетчерской зоны в другую зависит от пропускной способности линий электропередачи, соединяющих эти регионы. Эта передача связана с транспортными затратами, которые несет владелец линии, а также с определенными потерями электроэнергии.
В США электроэнергия используется, в основном, для обеспечения работы систем кондиционирования. По этой причине объем спроса на электроэнергию, а значит, и ее цена в летние месяцы намного выше, чем в зимние. Невозможность запасать электроэнергию впрок приводит к очень большим колебаниям ее спот-цены. Например, известно, что в жаркую погоду спот-цена электроэнергии за короткий период времени может увеличиваться более чем на 1000%.
Как и газовая промышленность, на рынке электроэнергии в настоящее время проходит период сокращения объема вмешательства государства в экономику и ликвидации государственных монополий. Это явление сопровождается развитием рынка энергетических деривативов. На бирже NYMEX заключаются фьючерсные контракты на цену электроэнергии, а на внебиржевом рынке активно покупаются и продаются форвардные контракты, опционы и свопы. Обычный контракт (как биржевой, так и внебиржевой) позволяет одной из сторон в течение определенного месяца получать определенное количество мегаватт-часов по указанной цене в указанном месте. По контракту 5x8 его владелец в течение определенного месяца пять дней в неделю (с понедельника по пятницу) получает электроэнергию на протяжении периода малой нагрузки (с 11 часов вечера до 7 часов утра). По контракту 5 х 16 его владелец в течение определенного месяца пять дней в неделю (с понедельника по пятницу) получает электроэнергию на протяжении периода максимума нагрузки (с 7 часов утра до 11 часов вечера). По контракту 7 х 24 его владелец в течение определенного месяца получает электроэнергию ежедневно и круглосуточно. Опционные контракты исполняются по дням или месяцам. В первом варианте (daily exercise) держатель опциона может получить оговоренный объем электроэнергии по заранее установленной цене исполнения в любой выбранный им день месяца (после подачи соответствующего уведомления). Во втором варианте (monthly exercise) держатель опциона может в начале выбранного месяца принять решение, желает ли он целый месяц получать электроэнергию по заранее установленной цене исполнения.
Большой интерес на рынке электроэнергии и природного газа представляет опцион свинг (swing option), или опцион “бери-и-плати” (take-and-pay option). В этом опционе на каждый день месяца и на месяц в целом устанавливаются минимальный и максимальный объемы электроэнергии, которые должны быть куплены по определенной цене его держателем. Держатель опциона имеет право несколько раз изменить (to swing) объем электроэнергии, приобретаемой в течение месяца.
Моделирование цен на электроэнергию
Реалистичная модель для цен на электроэнергию и другие товары должна учитывать эффект возврата к среднему и волатильность. Примером вполне разумной модели является уравнение
din S = [#(£) — a In S]dt + ст dz. (23.1)
Здесь S — цена электроэнергии, а величины а и а — константы. Функция d(t) учитывает сезонные факторы и тренды. В главе 31 показано, как на основе фьючерсных цен строится триномиальное дерево для этой модели.
Изменения цен на электроэнергию и доходность рынка слабо коррелируют друг с другом. Следовательно, разумно предположить, что цены на электричество в реальном и риск-нейтральном мире ведут себя одинаково. Таким образом, параметры уравнения (23.1) можно оценить на основе исторических данных.
Разные источники электроэнергии характеризуются различными параметрами. Для сырой нефти параметр а, представляющий собой скорость возврата к среднему значению, равен приблизительно 0,5, а волатильность ст равна примерно 20%; для природного газа величина а колеблется около 0,1, а параметр ст — в окрестности 40%; для электричества параметр аварьируется от 10 до 20, а величина ст — от 100 до 200%. Кроме того, сезонный фактор для электроэнергии также имеет большее значение.7
Хеджирование рисков производителями электроэнергии
Риск, которому подвергается производитель электроэнергии, связан с колебаниями цены и объема производства. Несмотря на то что цены зависят от объема производства, между этими показателями не существует идеальной корреляции, поэтому производители электроэнергии при разработке стратегии хеджирования должны учитывать оба фактора. Риск, связанный с колебаниями цены, можно хеджировать с помощью энергетических деривативов. Риск, связанный с колебаниями объема производства, можно хеджировать с помощью погодных деривативов.
Введем следующие обозначения.
Y: прибыль за месяц;
Р: средняя цена электроэнергии за месяц;
Т: соответствующий месячный температурный показатель (HDD или CDD).
Используя исторические данные, производитель электроэнергии может построить линейную регрессию:
Y = а + ЬР + сТ + £,
7Более подробное обсуждение спот-цен на электроэнергию содержится в работе Philipovic D. Energy Risk. — McGraw-Hill, New York, 1997.
где £ — ошибка регрессии. Для того чтобы хеджировать риск на протяжении месяца, производитель электроэнергии может занять позицию в —Ь форвардных контрактах на поставку электроэнергии или аналогичных фьючерсах и позицию в —с погодных форвардных контрактах или фьючерсах. Построенную регрессионную модель можно использовать для анализа эффективности альтернативных опционных стратегий.
23.4 Страховые деривативы
Деривативы, применяемые для хеджирования, напоминают страховые полисы. Оба типа контрактов предназначены для обеспечения защиты от неблагоприятного развития событий. Не секрет, что многие страховые компании имеют дочерние предприятия, торгующие деривативами, а их деятельность напоминает функционирование инвестиционных банков.
Традиционно в индустрии страхования хеджирование рисков, связанных с катастрофами (CAT), например с ураганом или землетрясением, осуществляется с помощью вторичного страхования. Существует много разновидностей договоров о перестраховании. Допустим, что страховая компания в случае землетрясения в Калифорнии должна выплатить 100 млн долл, и желает ограничить свои выплаты суммой, составляющей 30 млн долл. Одна из возможных стратегий хеджирования заключается в следующем. Компания должна заключить годовой контракт страхования, покрывающий 70% стоимости риска. Если иски на страховое возмещение в результате землетрясения в Калифорнии достигнут 50 млн долл., то их стоимость для компании составит только 15 млн долл. Другая стратегия является более популярной. Она связана с установкой более низких страховых взносов путем покупки ряда договоров о перестраховании, покрывающих так называемые диапазоны чрезмерных расходов (excess cost layers). Первый диапазон должен обеспечить возмещение потерь в размере от 30 до 40 млн долл.; следующий диапазон должен покрывать потери на сумму от 40 до 50 млн долл, и т.д. Каждый контракт на перестрахование называется договором эксцендентного перестрахования (excess-of-loss reinsurance contract). Перестраховщик выписывает бычий спрэд на сумму, равную общим потерям. Он представляет собой сочетание длинной позиции в опционе “колл” с ценой исполнения, равной нижней границе диапазона, и короткой позиции в опционе “колл” с ценой исполнения, равной верхней границе диапазона.8
Основными игроками на рынке вторичного страхования являются перестраховщики и синдикаты, входящие в регистр Ллойда (Lloyd). (Членами этих синдикатов могут быть любые состоятельные лица.) В последние годы страховщики пришли к выводу, что объем перестрахования должен превышать объем страховых выплат из обычных традиционных источников, и стали искать способы
8 Перестрахование часто предлагается в форме единовременной выплаты определенной суммы, если потери достигнут определенного уровня.
использования рынков капитала. Одной из причин, заставивших страховщиков пересмотреть свои традиционные взгляды, стал ураган Эндрю, пронесшийся над США в 1992 году и нанесший страховым компаниям Флориды ущерб в размере 15 млрд долл. Эта сумма превысила объем всех страховых взносов за предыдущие семь лет. Если бы ураган Эндрю обрушился на Майами, объем потерь превысил бы 40 млрд долл. После этого урагана страховщики установили более высокие взносы по договорам страхования и перестрахования.
Впервые биржевые страховые контракты были разработаны на бирже СВОТ, но не получили большого успеха. Одновременно на внебиржевом рынке появилось множество разнообразных альтернатив традиционным договорам о вторичном страховании. Наиболее популярными стали облигации CAT (CAT bond). Эти облигации выпускались дочерними предприятиями крупных страховых компаний, выплачивающими повышенные процентные ставки. В обмен на повышенную процентную ставку владелец акции соглашался заключить договор эксцен-дентного перестрахования. В зависимости от условий облигации CAT, для оплаты использовались либо проценты, либо основная сумма, либо и то, и другое. В рассмотренном выше примере страховая компания стремилась уберечься от выплаты возмещения на сумму от 30 до 40 млн долл, вследствие возможного землетрясения в Калифорнии. Для этого она могла бы выпустить облигации CAT на общую основную сумму, равную 10 млн долл. Если бы потери страховой компании от землетрясения в Калифорнии составили 30 млн долл., то владельцы этих облигаций потеряли бы либо всю основную сумму, либо ее часть. В качестве альтернативы страховая компания могла бы покрыть диапазон чрезмерных расходов, выпустив большее количество облигаций и переложив весь риск на плечи их потенциальных владельцев.
Облигации CAT, как правило, обеспечивают более высокую вероятность выплаты повышенной процентной ставки и более низкую вероятность больших потерь. Почему же инвесторы так заинтересованы в таких финансовых инструментах? Ответ заключается в том, что между рисками, связанными с облигациями CAT, и доходностью рынка нет статистически значимой корреляции.9 Следовательно, облигации CAT являются привлекательным дополнением к инвестиционному портфелю. Они свободны от систематического риска, поэтому их полный риск можно полностью исключить за счет диверсификации. Если ожидаемая доходность облигаций CAT превышает безрисковую процентную ставку (как правило, так оно и есть), то эти облигации могут намного улучшить баланс между риском и доходностью.
9 См. Litzenberger R. Н., Beaglehole D. R. and Reynolds С. Е. Assessing Catastrophe Reinsurance-Linked Securities as a New Asset Class // Journal of Portfolio Management, Winter 1996. — P. 76-86.
Резюме
В главе показано, что на рынке деривативов существует множество новшеств, позволяющих участникам рынка управлять рисками.
Рынок погодных деривативов является относительно новым, однако он уже привлек к себе большое внимание. Для описания температуры воздуха в течение месяца были предложены два показателя: HDD и CDD. Они используются для определения выигрышей по внебиржевым и биржевым деривативам. Без сомнения, по мере развития рынка погодных деривативов появятся контракты на дождь, снег и другие погодные явления.
Ключевую роль в управлении рисками, которым подвергаются нефтяные производители и потребители, играют нефтяные деривативы, циркулирующие на энергетических рынках. Кроме того, в последнее время появились также деривативы, в которых базовым активом является природный газ и электричество. По мере ликвидации государственных монополий на этих рынках эти деривативы получают все большее распространение.
В качестве альтернативы традиционным договорам о вторичном страховании в настоящее время активно используются страховые деривативы. Они позволяют компаниям управлять рисками, связанными со стихийными бедствиями, такими как ураганы и землетрясения. Несомненно, со временем на рынке появятся и другие виды обеспечения страхования (например, страхования жизни и автомобилей).
Погодные, энергетические и страховые деривативы отличаются тем, что относительные изменения их базовых переменных и доходность рынка практически не коррелируют друг с другом. Это значит, что для их оценки можно использовать исторический подход, связанный с использованием исторических переменных и последующим дисконтированием ожидаемого выигрыша по дисконтной ставке.
Дополнительная литература
Погодные деривативы
Arditti Е, Cai L. and Cao М. Whether to Hedge // Risk, Supplement and Weather Risk, 1999. - P. 9-12.
Cao M. and Wei J. Weather Derivatives Valuation and the Market Price of Weather Derivatives // Journal of Futures Markets, 24, 11 (November 2004). — P. 1065-1089.
Hunter R. Managing Mother Nature. — Derivatives Strategy, February 1999.
Энергетические деривативы
Clewlow L. and Strickland C. Energy Derivatives: Pricing and Risk Management. — Lacima Group, 2000.
Eydeland A. and Genian Н. Pricing Power Derovatives // Risk, October 1998. — P. 71-73.
Joskow P. Electricity Sectors in Transition I I The Energy Journal, 19 (1998). — P. 25-52.
Kendall R. Crude Oil: Price Shocking // Risk, Supplement on Commodity Risk, May 1999.
Страховые деривативы
Canter M. S., Cole J. B. and Sandor R. L. Insurance Derivatives: A New Asset Class for the Capital Markets and a New Hedging Tool for the Insurance Industry H Journal of Applied Corporate Finance, Autumn 1997. — P. 69-83.
Froot K. A. The Market for Catastrophe Risk: A Clinical Examination // Journal of Financial Economics, 60 (2001). — P. 529-571.
Froot K. A. The Financing of Catastrophe Risk. — University of Chicago Press, 1999.
Geman H. CAT Calls // Risk, September 1994. — P. 86-89.
Hanley M. A Catastrophe Too Far // Risk, Supplement on Insurance, July 1998.
Litzenberger R. H., Beaglehole D. R. and Reynolds С. E. Assessing Catastrophe-linked Securities as a New Asset Class // Journal of Portfolio Management, Winter 1996. - P. 76-86.
Вопросы и задачи
23.1. Опишите смысл показателей HDD и CDD.
23.2. Является ли обычной структура форвардного контракта на поставку природного газа?
23.3. Опишите различия между историческим и риск-нейтральным подходами к оценке производного финансового инструмента. При каких условиях эти методы приводят к одинаковым оценкам?
23.4. Предположим, что на протяжении июля температура воздуха не опускалась ниже 68 °F и не поднималась выше 82 °F. Чему равен выигрыш опциона “колл” на совокупный показатель CDD, измеренный в течение июля, с ценой исполнения 250 долл, и выплатами по 5 000 долл, за градус в день?
23.5. Почему цена электричества имеет большую волатильность, чем цена любого другого энергоносителя?
23.6. Почему исторический подход является приемлемым методом оценки погодных деривативов и облигаций CAT?
23.7. “Показатели HDD и CDD можно рассматривать как выигрыш по опционам на температуру.” Объясните смысл этого утверждения.
23.8. Предположим, что в нашем распоряжении есть данные о температуре воздуха за последние 50 лет. Опишите анализ, который необходимо провести для оценки форвардного контракта на совокупный показатель CDD, измеренный в течение определенного месяца.
23.9. Следует ли ожидать, что волатильность однолетней форвардной цены на нефть будет меньше волатильности ее цены-спот? Аргументируйте свой ответ.
23.10. Какими характеристиками обладает источник энергии, у которого цена электроэнергии имеет высокую волатильность и высокую скорость возврата к среднему? Приведите пример такого источника.
23.11. Каким образом газодобывающая компания может хеджировать риски с помощью деривативов?
23.12. Объясните механизм работы опционного контракта 5 х 8 на поставку электроэнергии в мае 2006 года при исполнении по дням. Объясните механизм работы этого опционного контракта при исполнении по месяцам. Какой из этих контрактов дороже?
23.13. Объясните механизм работы облигаций CAT.
23.14. Рассмотрим две облигации с одинаковыми купонами, сроками обращения и ценами. Одну из них выпустила корпорация с кредитным рейтингом В. Другая облигация является облигацией CAT. Анализ исторических данных показывает, что ожидаемые потери по этим облигациям в течение каждого года их обращения на рынке одинаковы. Следует ли включать эти облигации в инвестиционный портфель и почему?
Упражнения
23.15. Предположим, что размер потерь некоей страховой компании имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным 150 млн долл., и стандартным отклонением, равным 50 млн долл. (Будем считать, что потери в реальном и риск-нейтральном мире одинаковы.) Однолетняя безрисковая процентная ставка равна 5%. Оцените стоимость следующих ценных бумаг.
1) Контракт, по которому страховая компания получит через год возмещение, пропорциональное 60% ее издержек.
2) Контракт, по которому компания получит через год 100 млн долл., если ее потери превысят 200 млн долл.
Еще раз о моделях
и вычислительных процедурах
Модели, рассмотренные нами до сих пор, были основаны на предположении Блэка-Шоулза, что цена актива подчиняется законам геометрического броуновского движения, а вычислительные процедуры были относительно простыми. В данной главе описывается большое количество новых моделей и объясняются способы адаптации вычислительных процедур к конкретным ситуациям.
В главе 16 показано, что недостатки модели геометрического броуновского движения можно преодолеть, используя поверхности волатильности. В частности, при оценке обычных опционов с помощью поверхности волатильности можно определить подходящую волатильность, которую следует подставить в формулы Блэка-Шоулза. К сожалению, при оценке экзотических опционов не существует простого способа вычисления волатильности, аналогичного показанному в главе 22. Иногда поведение волатильности противоречит интуитивным предположениям. Например, если поверхность волатильности показывает, что при оценке обычного однолетнего опциона с ценой исполнения 40 долл, следует использовать волатильность, равную 27%, то при оценке барьерного опциона (и некоторых других экзотических опционов) с тем же сроком действия и ценой исполнения это значение является совершенно неверным.
В начале главы для решения этой проблемы предложено множество моделей, представляющих собой альтернативу геометрическому броуновскому движению. Они позволяют успешно решить проблему оценки экзотических опционов с помощью методов оценки обычных опционов. Эти альтернативные процессы, описывающие цену актива, лучше аппроксимируют стоимость обычных опционов, чем модель геометрического броуновского движения, и, следовательно, повышают надежность оценки экзотических опционов.
В этой главе также освещены вычислительные процедуры. Показано, как с помощью деревьев оценивать деривативы, цена которых зависит от предыстории. Кроме того, рассматриваются специфические проблемы, связанные с численной оценкой барьерных опционов, и предлагаются способы их решения. Помимо этого, кратко излагаются альтернативные методы построения деревьев для двух
коррелирующих переменных. В заключение демонстрируется применение метода Монте-Карло для оценки деривативов, допускающих досрочное исполнение.
Как и в предыдущих главах, здесь рассматриваются деривативы, зависящие от актива с доходностью q. Для индексного опциона величина q равна доходности индекса, для валютного опциона — иностранной безрисковой процентной ставке, а для фьючерсного опциона — внутренней безрисковой процентной ставке.
24.1 Альтернативы модели Блэка-Шоулза
Модель Блэка-Шоулза основана на предположении, что цена актива непрерывно изменяется, а ее будущие значения имеют логнормальное распределение. Однако существует большое количество альтернативных процессов, которые могут заменить эту гипотезу. В частности, можно по-прежнему считать, что цена актива непрерывно изменяется, но не подчиняется законам геометрического броуновского движения. Кроме того, можно допустить, что в целом цена актива измеряется непрерывно, однако в некоторые моменты времени испытывает скачки. Еще одной альтернативой является гипотеза о том, что все изменения цены актива скачкообразны. В этом разделе рассматриваются примеры стохастических процессов всех трех перечисленных типов. Модель, в рамках которой цена актива изменяется непрерывно, называется диффузионной (diffusion model). Модель, в которой цена актива в целом изменяется непрерывно, но иногда испытывает скачки, называется смешанной моделью скачкообразной диффузии (mixed jump-diffusion model). Модель, в которой цены актива постоянно испытывают скачки, называется скачкообразной (pure jump model). Все эти процессы относятся к категории процессов Леви (Levy processes).1
Модель дисперсии с постоянной эластичностью
Модель дисперсии с постоянной эластичностью (CEV — constant elasticity of variance) основана на предположении, что риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены акции S, имеет вид
dS — (г — q)S dt + crSa dz,
где г — безрисковая процентная ставка, q — дивидендная доходность, dz — винеровский процесс, ст — параметр волатильности и а — положительная константа.2
'Грубо говоря, процесс Леви является стохастическим процессом с непрерывным временем и постоянным приращением.
2См. Сох J. С. and Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics. J (March 1976). — P. 145 -166.
Если а = 1, модель CEV совпадает с моделью геометрического броуновского движения. Если а < 1, то при уменьшении цены акции ее волатильность увеличивается. Это создает распределение вероятностей с тяжелым левым хвостом и менее тяжелым правым хвостом (см. рис. 15.4)3. Если же а > 1, то при увеличении цены акции ее волатильность растет, создавая распределение вероятностей с тяжелым правым хвостом и менее тяжелым левым хвостом. Это соответствует “улыбке волатильности”, в которой подразумеваемая волатильность является возрастающей функцией, зависящей от цены акции. Такой тип волатильности иногда наблюдается у фьючерсных опционов (см. упр. 14.46).
Формулы для вычисления стоимости европейских опционов “колл” и “пут” по модели CEV имеют следующий вид.
с = 1§ое~<7Г[1 — у2(а, Ь + 2, с)] — Ке~гТх2(с, Ь, а),
Р = Ke~r7 [1 — у2(с, Ъ, а)] — Soe~qTx2(a, b + 2, с),
если 0 < а < 1, и
с = Soe-9r[l — у2(с, —Ь, а)] — Ке~гТх2(а, 2 — Ь, с), р = Ке~гТ[1 - х2(а? 2 - Ь, с)] - Soe-<(Tx2(c, -Ь, а),
если а > 1, где
Г7Те_(г“^г12(1“а) 1
а = ——--------, Ъ =-------------------,
(1 — a)zv 1 — а
с2(1-а) гг2 г 1
(1 - а)2 v 2(г - q)(a - 1) L J
a х2(2> k, v) — интегральная вероятность того, что случайная переменная с нецентральным у2-распределением, параметром нецентральности v и к степенями свободы меньше числа z. Процедура вычисления функции у2(г, к, ?;) описана в техническом замечании 12, размещенном на Web-сайте автора.
Модель дисперсии с постоянной волатильностью особенно полезна для оценки экзотических опционов на обыкновенные акции. Минимизируя среднеквадратичное отклонение модельных цен от рыночных, можно найти параметры этой модели, которые позволяют максимально точно аппроксимировать стоимость обычных опционов.
’Причины этого явления заключаются в следующем. При уменьшении курса акций волатильность возрастает, поэтому вероятность еще более низких значений курса становится больше. В то же время при увеличении курса акций волатильность надает, поэтому вероятность еще более высоких значений курса становится больше.
Модель скачкообразной диффузии Мертона
Мертон (Merton) предложил модель, в которой цена актива изменялась непрерывно, но время от времени испытывала скачки.4 Введем следующие обозначения. А : среднее количество скачков в течение года;
к: средняя величина скачка, представленная в виде процентов от цены актива.
Предполагается, что величина скачка согласована с распределением вероятностей, принятым в модели.
Вероятность скачка в течение интервала длиной At равна A At. Следовательно, средняя скорость роста цены актива во время скачка равна Хк. Риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены актива, имеет вид
— (г — q — Хк) dt + adz + dp,
О
где dz — винеровский процесс, dp — пуассоновский процесс, порождающий скачки, а ст — волатильность геометрического броуновского движения. Процессы dz и dp предполагаются независимыми друг от друга.
Важным вариантом является модель Мертона, в которой логарифм величины скачка имеет нормальное распределение. Предположим, что стандартное отклонение нормального распределения равно s. Мертон доказал, что цену европейского опциона можно вычислить по формуле
п=0
е-А'Т (л/г)п
п! /п’
где X' = А(1 + к). Переменная fn представляет собой цену опциона, вычисленную по формуле Блэка-Шоулза, когда дивидендная доходность актива равна q, уровень изменчивости равен
2 о ns ° +^т-
а безрисковая процентная ставка равна
г — Хк+—,
где 7 = 1п(1 + к).
По сравнению с моделью Блэка-Шоулза, распределение вероятностей, порожденное этой моделью, имеет более тяжелые левый и правый хвосты распределения, что позволяет использовать ее для оценки валютных опционов. Как и в модели дисперсии с постоянной эластичностью, искомые параметры модели должны минимизировать среднеквадратичное отклонение модельных цен от рыночных.
4См. Merton R. С. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). - P. 125-144.
Другим вариантом модели Мертона является модель, описанная в разделе 21.9 и предназначенная для оценки конвертируемых облигаций. В этом случае все скачки происходят в направлении убывания, а их величина равна текущей цене акции (см. задачу 24.5).
Модель гамма-дисперсии
Примером модели, в которой цена актива изменяется только скачкообразно, является модель гамма-дисперсии (variance-gamma model).5 В этой модели вводится переменная д, представляющая собой величину, на которую за время Т изменяется переменная, подчиняющаяся гамма-процессу с единичным математическим ожиданием и дисперсией, равной v. Гамма-процесс является чисто скачкообразным процессом, в котором малые скачки происходят очень часто, а крупные — лишь иногда. Плотность вероятности переменной д имеет вид
grlv~xe~glv
= vTST (T/v) ’
где Г( ) — гамма-функция. Ее можно вычислить с помощью функции программы Excel ГАММАРАСП(-, •, •, •). Первым аргументом этой функции является переменная д, вторым — дробь T/v, третьим — параметр v, а четвертым — булева переменная, принимающая значение TRUE, если необходимо вычислить интегральную функцию распределения, и FALSE, если необходимо вычислить ее плотность.
Как обычно, введем следующие обозначения: St — цена актива в момент Т, Sq — текущая цена актива, г — безрисковая процентная ставка, a q — дивидендная доходность. В риск-нейтральном мире величина In St в рамках модели гамма-дисперсии имеет нормальное распределение относительно переменной д. Ее условное математическое ожидание равно
In So + (г - q)T + ш + вд,
а условное стандартное отклонение —
с-УР,
где
Т
ш = — In (1 — вт — <т2п/2).
Модель гамма-дисперсии имеет три параметра: v, а и 6.6 Параметр v представляет собой дисперсию гамма-процесса, <т — его волатильность, а в — параметр асим-
5См. Madan D. В., Carr Р. Р. and Chang Е. С. The Variance-Gamma Process and Option Pricing И European Finance Review, 2 (1998). — P. 7- 105.
6Обратите внимание на то, что значения всех этих трех параметров в риск-нейтральном и реальном мире отличаются. Этим модель гамма-дисперсии отличается от чисто диффузионной модели, в которой волатильность в риск-нейтральном и реальном мире остается неизменной.
метрии. При в = 0 функция In St является симметричной, при 6 < 0 она имеет отрицательную асимметрию, а при в > 0 — положительную.
Предположим, что нам необходимо получить с помощью программы Excel 10 ООО случайных выборок, содержащих изменения цены актива между моментами 0 и Т, используя модель гамма-дисперсии. Для начала запишем в ячейки Е1, Е2, ЕЗ, Е4, Е5, Е6 и Е7 величины Т, v, 0, cr, г, q и Sq соответственно. Кроме того, запишем в ячейку Е8 величину ш, вычислив ее по формуле
= $Е$1 + LN(1 - $Е$3 * $Е$2 - $Е$4 * $Е$4 * $Е$2//2)/$Е$2.
Затем необходимо выполнить следующие действия.
1. Вычислить значения д, используя функцию ГАММАОБР. Для этого в ячейки Al, А2, ..., А10000 следует записать формулу
= ГАММАОБР(СЛЧИС(), $Е$1 /$Е$2, $Е$2).
2. Для каждого значения д вычислить случайную величину, имеющую нормальное распределение с математическим ожиданием вд и стандартным отклонением сг^/д. Для этого в ячейку В1 следует записать формулу
= Al * SE$3 + SQRT(AJ) * SES4 * НОРМСТОБР(СЛЧИС()),
а в ячейки В2, ВЗ, ..., В10000 — аналогичные формулы.
3. Цена акции St вычисляется по следующей формуле.
ST = Soexp[(r - д)Т + ш + вд].
Вводя в ячейку С1 формулу
= $Е$7 * ЕХР(($Е$5 - $Е$6) * $Е$1 + В1 + $Е$8),
а в ячейки С2, СЗ, ..., С100000 — аналогичные формулы, мы получим случайные величины, распределение которых совпадает с распределением случайной величины St-
На рис. 24.1 приведены распределения вероятностей, полученные с помощью модели гамма-дисперсии для величины St, где Sq — 100, Т = 0,5, v — 0,5, 0 = 0,1, <т = 0,2 и г = q = 0. Для сравнения на рисунке продемонстрировано распределение, полученное для геометрического броуновского движения при о = 0,2 (т.е. 20%). Хотя на рис. 24.1 этого не видно, распределение в модели гамма-дисперсии имеет более тяжелые хвосты, чем распределение, полученное для геометрического броуновского движения.
Одна из возможных интерпретаций распределения гамма-дисперсии возникает, когда параметр д представляет собой скорость поступления информации
Рис. 24.1. Распределения, имитирующие гамма-процесс и геометрическое броуновское движение
в течение периода времени длиной Т. Если величина д велика, то в систему поступает большой объем информации, и выборка, которую мы получим на втором этапе алгоритма, будет иметь относительно большие математическое ожидание и дисперсию. Если величина д мала, то в систему поступает мало информации, и соответствующая выборка будет иметь относительно малые математическое ожидание и дисперсию. Параметр Т представляет собой единицу измерения времени, а величину д иногда называют единицей измерения экономического времени или времени, согласованного с потоком информации.
Для оценки европейских опционов, Мадан и соавторы (Madan et al., 1998) предложили полуаналитические формулы. Модель гамма-дисперсии порождает U-образную форму “улыбки волатильности”, причем эта “улыбка” не всегда является симметричной. Она имеет особенно яркую форму для коротких сроков погашения и “исчезает вдали” при долгих сроках. Эту модель можно использовать как для оценки опционов на обыкновенные акции, так и для оценки валютных опционов.
24.2 Модели стохастической волатильности
В основе модели Блэка-Шоулза лежит предположение, что волатильность является постоянной. Как показано в главе 19, на практике волатильность зависит от времени. Модель гамма-дисперсии учитывает эту особенность с помощью параметра д. Малые значения параметра д соответствуют низкой скорости посгуп-
ления информации и слабой волатильности, а большие значения параметра д — высокой скорости поступления информации и сильной волатильности.
Альтернативой модели гамма-дисперсии является модель, в которой процесс, описывающий поведение волатильности, задается явно. Предположим для начала, что волатильность в модели геометрического броуновского движения описывается известной функцией, зависящей от времени. Тогда риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены акции, имеет следующий вид.
dS — (г — q)S dt + cr(t)iS' dz. (24.1)
Таким образом, если дисперсия равна среднему уровню изменчивости на протяжении срока действия опциона (см. задачу 24.6), формулы Блэка-Шоулза оказываются корректными. Напомним, что дисперсия равна квадрату волатильности. Допустим, что в течение одного года волатильность на протяжении первых шести месяцев была равной 20%, а на протяжении вторых шести месяцев — 30%. Следовательно, средняя дисперсия равна
0,5 х 0,202 + 0,5 х 0,302 = 0,065.
Итак, формулы Блэка-Шоулза следует применять, считая дисперсию равной 0,065. Значит, волатильность равна х/0,065 = 0,255, т.е. 25,5%.
Формула (24.1) основана на предположении, что мгновенную волатильность актива можно точно предсказать. На практике волатильность описывается стохастическим процессом. Это побудило некоторых исследователей разработать несколько моделей, содержащих две стохастические переменные: цену акции и ее волатильность.
Одна из моделей стохастической волатильности при риск-нейтральном поведении цены актива выглядит следующим образом.
~ = (г — q)dt + y/V dzs, (24.2)
dV = a(VL - V)dt + £Vadzv, (24.3)
где a, Vl, £ и a — константы, a dzs и dzy — винеровские процессы. Переменная V в этой модели представляет собой дисперсию цены актива. Она имеет дрейф, сносящий ее к уровню Vl со скоростью а.
Халл и Уайт показали, что если волатильность имеет стохастический характер, но не коррелирует с ценой актива, цена европейского опциона равна цене Блэка-Шоулза, проинтегрированной по средней дисперсии на протяжении срока
действия опциона.7 Таким образом, цена европейского опциона равна
ОС
c(y)g(y)dV,
о
где V — средняя дисперсия, с — цена Блэка-Шоулза, представленная в виде функции, зависящей от V, а д — плотность вероятных значений V в риск-нейтральных условиях. С помощью этого результата можно доказать, что модель Блэка-Шоулза переоценивает опционы с выигрышем или близка к окупаемости, а также недооценивает опционы с проигрышем и большим проигрышем. Эта модель согласуется с поведением подразумеваемой волатильности, характерным для валютных опционов (см. раздел 16.2).
Ситуация, в которой цена актива и его волатильность коррелируют друг с другом, представляется более сложной. Цены опционов можно вычислить с помощью моделирования по методу Монте-Карло. В конкретном варианте, когда а = 0,5, Халл и Уайт предложили использовать разложение в ряд, а Хестон (Heston) получил аналитическую формулу.8 Поведение подразумеваемой волатильности, когда волатильность отрицательно коррелирует с ценой актива, напоминает поведение акций без фиксированного дивиденда (equities) (см. раздел 16.3).9
В главе 19 рассмотрены модели экспоненциального взвешенного скользящего среднего (EWMA — exponentially weighted moving average) и GARCH(1,1). Они представляют собой альтернативные подходы к описанию модели стохастической волатильности. Дуэйн (Duan) показал, что модель GARCH(1,1) можно использовать для создания внутренне непротиворечивой модели оценки опционов.10 (См. задачу 19.14, в которой доказана эквивалентность модели GARCH(1,1) и моделей стохастической волатильности.)
Модели стохастической волатильности можно использовать для оценки как обычных, так и экзотических опционов.11 Для опционов, срок действия которых меньше одного года, влияние стохастической волатильности на цену имеет относительно небольшую абсолютную величину (хотя в процентном выражении для
7См. Hull J. С. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance, 42 (Jine 1987). — P. 281-300. Этот результат не зависит от процесса, описывающего дисперсию.
8См. Hull J. С. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research, 3 (1988). — P. 27-61; Heston S. L. A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options H Review of Financial Studies, 6, no. 2 (1993). — P. 327-343.
’Причины указаны в сноске 3.
*°См. Duan J.-C. The GARCH Option Pricing Model // Mathematical Finance, 5 (1995). — P. 13-32; Duan J.-C. Cracking the Smile // Risk, December (1996). — P. 55-59.
“Например, см. Hull J. and Suo W. A Methodology for an Assessment of Model Risk and its Application to the Implied Volatility Function Model // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, 2 (June 2002). - P. 297-318.
опционов с большим проигрышем эта величина может стать довольно большой). По мере увеличения срока действия опциона эта величина возрастает. Стохастическая волатильность оказывает довольно большое влияние на эффективность дельта-хеджирования. Зная об этом, трейдеры следят не только за коэффициентами гамма и дельта, как показано в главе 15, но и за коэффициентом вега.
24.3 Модель подразумеваемой волатильности
Параметры рассмотренных выше моделей выбирались так, чтобы правильно аппроксимировать цены обычных опционов в любой заданный момент времени. Однако иногда финансовые организации предпочитают не ограничиваться этим и строят модели, дающие точные оценки простых опционов.12 В 1994 году Дерман (Derman), Кани (Kani), Дюпире (Dupire) и Рубинштейн (Rubinstein) разработали модель подразумеваемой волатильности (IVF — implied volatility function), или модель подразумеваемого дерева (implied tree model).13 Эта модель позволяет точно вычислить текущие цены всех европейских опционов независимо от формы поверхности волатильности.
Риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены актива в этой модели, имеет вид
dS = [r(f) — 9(#)]S dt + <j(S, t)S dz,
где r(t) — мгновенная форвардная процентная ставка по контракту, срок действия которого истекает в момент t, a q(t) — доходность актива, представленная в виде функции, зависящей от времени. Волатильность <r(S, t) зависит от цены S и времени t. Она выбирается так, чтобы цены всех европейских опционов, вычисленные с помощью этой модели, совпадали с наблюдаемыми. Как показали Дюпире, Андерсен (Andersen) и Бразертон-Рэтклифф (Brotherton-Ratcliffe), функцию a(S, t) можно вычислить по аналитической формуле:14
|<т(кг)| =2------------------' (24'4)
|2Это правило имеет разумное объяснение. Если банк выберет модель, не обладающую таким свойством, то возникнет опасность, что трейдеры, работающие с банком, будут стремиться воспользоваться открывшимися арбитражными возможностями.
13См. Dupire В. Pricing with a Smile // Risk, February, 1994. — P. 18-20; Derman E. and Kani I. Riding on a Smile // RISK, February 1994. — P. 32-39; Rubinstein M. Implied Binomial Trees // Journal of Finance, 49, no. 3, (July 1994). - P. 771-818.
i4Cm. Dupire B. Pricing with a Smile // Risk, February, 1994. — P. 18-20; Andersen L. B. G. and Brotherton-Ratcliffe R. The Equity Option Volatility Smile; An Implicit Finite Difference Approach // Journal of Computational Finance, 1, no. 2 (Winter 1997/98). — P. 5-37. Дюпире рассмотрел вариант, в котором величины rug равны нулю; Андерсен и Бразертон-Рэтклифф исследовали ситуации более общего характера.
где Cmkt(A', Т) — рыночная цена европейского опциона “колл” с ценой исполнения К и сроком действия Т. Если на рынке регистрируется достаточно большое количество цен европейских опционов, эта формула позволяет оценить функцию сг(5,0-15
Андерсен и Бразертон-Рэтклифф реализовали свою модель с помощью формулы (24.4) в сочетании с неявным конечно-разностным методом. Альтернативный подход, метод подразумеваемого дерева, был предложен Дерманом, Кани и Рубинштейном. Он предусматривает построение дерева, отражающего изменение цены актива и согласованного с рыночными ценами опционов.
На практике модель IVF ежедневно калибруется по ценам простых опционов. Напомним, что цель этой модели — оценка экзотических опционов, согласованная с простыми опционами. Как показано в главе 16, простые опционы задают риск-нейтральное распределение вероятных цен актива во все будущие моменты времени. Отсюда следует, что модель IVF должна порождать правильное риск-нейтральное распределение вероятных будущих цен актива, т.е. опционы, приносящие выигрыш только в один момент времени (например, “все или ничего” или “актив или ничего”), должны правильно оцениваться моделью IVF. Однако эта модель может неправильно оценивать совместное распределение вероятных цен актива в разные моменты времени. Это значит, что экзотические опционы, например сложные или барьерные, могут оцениваться неправильно.16
24.4 Деривативы, зависящие от предыстории
Рассмотрим модификации вычислительных процедур, описанных в главе 17, предназначенные для решения конкретных задач. Начнем с построения дерева для оценки деривативов, зависящих от предыстории.
Деривативы, зависящие от предыстории (path-dependent, or history dependent derivatives), — это производные финансовые инструменты, выигрыш которых зависит от всей траектории цены актива, а не только от ее последнего значения. Примерами деривативов, зависящих от предыстории, являются азиатские опционы и опционы “с оглядкой назад”. Как указано в главе 22, выигрыш азиатского опциона зависит от средней цены базового актива. В свою очередь, цена опциона “с оглядкой назад” зависит от минимальной или максимальной цены. Если ана
|5Как правило, при этом необходимо выполнить сглаживание наблюдаемой поверхности волатильности.
16Халл и Суо (Suo) (2001) проверили модель IVF, предполагая, что все цены деривативов описываются моделью стохастической волатильности. Они выяснили, что эта модель достаточно хорошо определяет цены сложных опционов, но при оценке барьерных опционов иногда приводит к серьезным ошибкам. См. Hull J. С. and Suo W. A Methodology for the Assessment of Model Risk and Its Application to the Implied Volatility Function Model // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, no. 2, (June 2002) - P. 297-318.
литические формулы не позволяют оценить стоимость опционов, зависящих от предыстории, можно применить метод Монте-Карло, описанный в главе 17. Выборочную стоимость дериватива можно вычислить, предварительно сгенерировав случайную траекторию цены актива в риск-нейтральных условиях, вычислив выигрыш и сделав дисконт с учетом безрисковой процентной ставки. Чтобы получить оценку стоимости дериватива, необходимо вычислить большое количество выборочных значений стоимости, а затем усреднить их.
Основная проблема, связанная с применением метода Монте-Карло, заключается в том, что для достижения требуемой точности необходимо затратить неприемлемо большое количество вычислительного времени. Кроме того, с помощью этого метода трудно оценивать американские деривативы, зависящие от предыстории (т.е. деривативы, допускающие досрочное исполнение). В данной главе будет показано, как применить метод биномиального дерева, описанный в главе 17, для вычисления стоимости некоторых деривативов, зависящих от предыстории.17 Эта процедура позволяет оценить американские деривативы, зависящие от предыстории, причем ее эффективность при оценке аналогичных европейских опционов выше эффективности метода Монте-Карло.
Для применения этой процедуры необходимо выполнение двух условий.
1. Выигрыш дериватива должен зависеть от единственной функции F, описывающей траекторию базового актива.
2. Должна существовать возможность вычислять значения функции F в момент г + At по значениям функции F в момент т и цене базового актива в момент т + At.
Иллюстрация на основе опциона “с оглядкой назад”
В качестве иллюстрации рассмотрим американский опцион “с оглядкой назад” на покупку акций, не приносящих дивидендов.18 Если опцион исполняется в момент т, то его выигрыш равен разнице между максимальной ценой актива на временном интервале от нуля до момента исполнения т и текущей ценой акции. Предположим, что текущая цена акции равна 50 долл., волатильность ее цены — 40% в год, безрисковая процентная ставка — 10% годовых, срок действия опциона — три месяца, а поведение цены акции описывается трехуровневым биномиальным деревом. Используя обычные обозначения, запишем эти данные в следующем виде: Sq = 50, а = 0,4, г = 0,10, At = 0,08333, и = 1,1224, d = 0,8909, а = 1,0084 и р = 0,5073.
17Этот подход был предложен в работе Hull J. and White A. Efficient Procedures for Valuing European and American Path-Dependent Options // Journal of Derivatives, 1, no. 1 (Fall 1993). — P. 21-31.
18 Этот пример является первой иллюстрацией общей процедуры оценки деривативов, зависящих от предыстории. Более эффективный метод оценки американских опционов “с оглядкой” изложен в техническом замечании 13, расположенном на Web-сайте автора.
Дерево изображено на рис. 24.2. Верхнее число возле каждого узла означает цену акции. Ниже указаны максимальные цены акции, которые могли быть достигнуты на пути, ведущем к данному узлу. В самом низу приведены значения стоимости дериватива, соответствующие возможной максимальной цене.
Рис. 24.2. Биномиальное дерево для оценки американского опциона “с оглядкой назад”
Стоимость дериватива в конечных узлах дерева равна разности между максимальной и фактической ценами акции. Чтобы проиллюстрировать процедуру обратного обхода, предположим, что мы находимся в узле А, в котором цена акции равна 50 долл. Максимальная цена акции, достигнутая до сих пор, равна 56,12 долл, или 50 долл. Рассмотрим сначала ситуацию, в которой максимальная цена акции равна 50 долл. Если в дальнейшем она будет расти, то цена достигнет максимума, равного 56,12 долл., а стоимость дериватива окажется равной нулю. Если же цена станет падать, то максимум останется равным 50 долл., а стоимость дериватива будет равной 5,45 долл. Если не исполнять опцион досрочно, то его стоимость в узле А при условии, что достигнутый максимум равен 50 долл., составит
(0 х 0,5073 + 5,45 х О,4927)е”°’1х0’08333 = 2,66 долл.
Очевидно, что досрочное исполнение опциона в узле А является нецелесообразным, поскольку выигрыш при этом равен нулю. Аналогичные вычисления в ситуации, когда достигнутый максимум равен 56,12 долл., при условии, что опцион не исполняется досрочно, приводят к следующему результату.
(О х 0,5073 + 11,57 х О.4927)е~°’1х0’08333 = 5,65 долл.
В данном случае досрочное исполнение принесет владельцу 6,12 долл, и представляется оптимальным решением. Обратный обход дерева показывает, что стоимость американского опциона “с оглядкой” равна 5,47 долл.
Обобщение
Если количество альтернативных значений функции F в каждом узле растет не так быстро, как количество временных шагов, то подход, описанный выше, оказывается неэффективным с вычислительной точки зрения. Рассмотренный выше пример не порождал таких проблем, поскольку количество альтернативных максимальных цен акции в узлах биномиального дерева, предусматривающего п шагов по времени, никогда не превышает числа п.
К счастью, этот подход допускает обобщение на ситуации, в которых в каждом узле существует большое количество альтернативных значений функции F. Основная идея заключается в следующем. В каждом узле выполняются вычисления лишь для небольшого количества репрезентативных значений функции F, а когда эти значения понадобятся для вычисления последующих величин, осуществляется интерполяция.
На первом этапе необходимо пройти все дерево и определить максимальное и минимальное значения функции F в каждом узле. Предположим, что значение функции F в момент времени т + At зависит только от ее значения в момент т и значения базовой переменной в момент т + At. Тогда максимум и минимум этой функции можно вычислить непосредственно по ее значениям в узлах, соответствующим момен ту т. На втором этапе необходимо выбрать репрезентативные значения функции F в каждом узле. Здесь возможно большое количество вариантов. Например, можно просто выбрать в качестве репрезентативных значений максимум и минимум функции, а также числа, лежащие между ними на одинаковом расстоянии друг от друга. При обратном обходе дерева стоимость дериватива в каждом узле вычисляется для каждого репрезентативного значения функции F.
Продемонстрируем эти вычисления на примере 22.2, в котором требуется найти цену опциона “колл” по средней цене. Рассмотрим вариант, в котором выигрыш зависит от средней арифметической цены акции. Начальная цена акции равна 50 долл., цена исполнения — 50 долл., безрисковая процентная ставка — 10%, волатильность цены акции — 40%, а время, оставшееся до конца срока действия опциона, — один год. Используем дерево, содержащее 20 временных шагов. Его
биномиальные параметры равны Д/ = 0,05, и = 1,0936, d = 0,9144, р = 0,5056 и 1 — р = 0,4944. Функция F представляет собой среднее арифметическое всех цен акций.
На рис. 24.3 показаны вычисления, выполненные для части этого дерева. Узел X является центральным узлом, соответствующим моменту времени, равному 0,2 года (конец четвертого временного интервала). Соседние узлы Y и Z соответствуют моменту времени, равному 0,25 года. Цена акции в узле X равна 50 долл. Прямая индукция показывает, что максимальная средняя цена акции, достигнутая ранее, равна 53,83 долл. Минимум равен 46,65. (При вычислении среднего значения учитывается как начальная, так и конечная цена акции.) Из узла X выходят две ветви: в узел Y и в узел Z. В узле Y цена акции равна 54,68 долл., а средняя цена колеблется от 47,99 до 57,39 долл. В узле Z цена акции равна 45,72 долл., а средняя цена колеблется от 43,88 до 52,48 долл.
5 = 54,68 Средняя цена Цена акции опциона
47,99 7,575
Рис. 24.3. Часть биномиального дерева для оценки опциона по средней цене
Предположим, что в качестве репрезентативных средних цен были выбраны четыре равноотстоящих числа. Это значит, что для узла X репрезентативными считаются значения 46,65, 49,04, 51,44 и 53,83. В узле Y следует рассмотреть значения среднего, равные 47,99, 51,12, 54,26 и 57,39. Соответственно, в узле Z следует рассмотреть значения среднего, равные 43,88, 46,75, 49,61 и 52,48. Допустим, что для вычисления стоимости опциона, соответствующей каждому из альтернативных значений, используется обратная индукция. Эти значения показаны на рис. 24.3. Например, в узле Y стоимость опциона, соответствующая среднему курсу 51,12 долл., равна 8,101 долл.
Рассмотрим вычисления в узле X, когда средняя цена равна 51,44 долл. Если цена акции растет, мы попадем узел Y. В этом случае новое среднее значение будет равно
5 x 51,44 + 54,68 -----------------= 51,98 долл.
6
Стоимость опциона, соответствующую этой средней цене, можно определить с помощью интерполяции соседних значений средней цены: 51,12 и 54,26 долл. Эта стоимость равна
(51,98 - 51,12) х 8,635 + (54,26 - 51,98) х 8,101 54,29-51,12
= 8,247 долл.
Аналогично, если цена акции падает, мы попадем в узел Z. В этом случае новое среднее значение будет равно
5 х 51,44 + 45,72
— 50,49 долл.
6
С помощью интерполяции приходим к выводу, что стоимость опциона, соответствующая этой средней цене, равна 4,182 долл.
Таким образом, стоимость дериватива в узле X, соответствующая средней цене, равной 51,44 долл., составляет
(0,5056 х 8,247 + 0,4944 х 4,182)е~°’1х0’05 = 6,206 долл.
Другие значения стоимости в узле X вычисляются аналогично. Вычислив значения стоимости во всех узлах, соответствующих 0,2 года, можно перейти к узлам, соответствующим 0,15 года.
Стоимость опциона, вычисленная с помощью всего дерева, равна 7,17 долл. При увеличении количества шагов по времени и количества средних значений стоимость опциона сходится к правильному ответу. Если при вычислении используется 60 временных шагов и 100 средних значений, стоимость опциона равна 5,58 долл. Аналитическая аппроксимация стоимости опциона, рассмотренного в примере 22.2, равна 5,62 долл.
Основное преимущество рассмотренного выше метода заключается в том, что он позволяет оценивать американские опционы. При этом вычисления совпадают с указанными, только к ним добавляется проверка целесообразности досрочного исполнения в каждом узле и при каждом альтернативном значении функции F. (На практике досрочное исполнение опциона часто зависит от обеих переменных: значения функции F и стоимости базового актива.) Рассмотрим американский вариант опциона “колл” по средней цене. Стоимость этого опциона, вычисленная с помощью биномиального дерева, содержащего 20 уровней и четыре альтернативных значения в каждом узле, равна 7,77 долл. Если количество шагов достигает 60, то стоимость равна 6,17 долл.
Описанный выше подход применяется в разнообразных ситуациях. Не следует, однако, забывать, что он корректен только, если выполняются два условия, указанные в начале раздела. Эффективность метода можно повысить, если вместо линейной интерполяции применять квадратичную.
24.5 Барьерные опционы
В главе 22 были приведены аналитические формулы для вычисления стоимости стандартных барьерных опционов. В данном разделе рассматриваются вычислительные процедуры оценки барьерных опционов в ситуациях, когда аналитические формулы вывести невозможно.
В принципе, стоимость барьерных опционов можно определить с помощью биномиальных и триномиальных моделей, изученных в главе 17. Рассмотрим опцион up-and-out. Его можно оценить так же, как и обычный опцион, за исключением того, что в узлах дерева, значения в которых превышают барьерный уровень, стоимость опциона необходимо аннулировать.
Несмотря на то что метод триномиальных деревьев эффективнее метода биномиальных деревьев, все же он обладает очень медленной сходимостью. Для получения достаточно высокой точности необходимо выполнить очень большое количество шагов по времени. Причина этого явления заключается в том, что барьер, установленный для узлов дерева, отличается от истинного барьера.19 Внутренним (inner barrier) называется барьер, образованный узлами, лежащими ниже истинного барьера (т.е. ближе к центру дерева), а внешним (outer barrier) — барьер, образованный узлами, лежащими выше истинного барьера (т.е. дальше от центра дерева). На рис. 24.4 показаны внутренний и внешний барьеры в триномиальном дереве при условии, что истинный барьер является горизонтальным. В основе всех вычислений с помощью деревьев лежит неявное предположение, что внешний барьер совпадает с истинным, поскольку барьерные условия впервые используются в узлах именно этого барьера. Если шаг по времени равен At, то вертикальное расстояние между узлами имеет порядок \/At. Это значит, что ошибка, обусловленная разностью между истинным барьером и внешним, также имеет порядок \/Л7.
Для решения этой проблемы можно сделать следующее.
1. Вычислить стоимость дериватива, считая, что истинным является внутренний барьер.
2. Вычислить стоимость дериватива, считая, что истинным является внешний барьер.
3. Интерполировать эти цены.
”См. Boyle Р. Р. and Lau S. Н. Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method // Journal of Derivatives, 1, no. 4 (Summer 1994). — P. 6-14.
Рис. 24.4. Барьеры в триномиальных деревьях
Цель другого подхода — гарантировать, что узлы лежат на барьере. Предположим, что первоначальная цена акции равна So, а барьерный уровень равен Н. В триномиальном дереве существуют три возможности: цена акции может увеличиться с коэффициентом пропорциональности и, остаться прежней или уменьшиться с коэффициентом пропорциональности d, где d = 1/и. Величину и всегда можно выбрать гак, что узлы будут лежать на барьере. Это гарантируется следу-
ющим условием.
Н = SouN,
или
In Н = In Sq + N In и.
Обсуждая триномиальные деревья в разделе 17.4, мы предложили установить коэффициент и равным Таким образом, In и = сгл/ЗДТ В рассматрива-
емой ситуации величину Inn следует выбирать как можно ближе к указанному значению. Это обеспечит выполнение условий, наложенных на горизонтальные барьеры. Итак,
, In Н — In Sq
111 и=—_—,
где
N = int
In Н -In So
+ 0,5
a intfa;] — это целая часть числа х.
Дерево, удовлетворяющее этим условиям, изображено на рис. 24.5. Вероятности ри,рт и Pd, приписанные верхней, средней и нижней ветвям дерева, исходящим из его узлов, выбираются с учетом двух первых моментов стохастического процесса, описывающего доход. Формулы для их вычисления имеюг следующий вид.
(г — q — ст2/2) At ст2At
Vd 2 in it + 2(lntt)2’
o2^t
Pm ~ 71
(In u)
(r — q — a2/2) At cr2At
Pu 2 In it + 2 (In u)2’
Рис. 24.5. Дерево с узлами, лежащими на барьере
Модель адаптивной сетки
Описанные выше методы хорошо работают только, если первоначальная цена актива далека от барьерного значения. В противном случае можно использовать модель адаптивной сетки, описанную в разделе 17.4.20 Идея, лежащая в основе этой модели, заключается в том, что вычислительную эффективность метода можно повысить, “прививая” густое дерево к более редкому. Это позволяет более точно моделировать цену актива в тех областях дерева, в которых это наиболее необходимо.
Чтобы оценить барьерный опцион, дерево вблизи барьера необходимо детализировать (рис. 24.6). Геометрия этого дерева выбирается так, чтобы его узлы лежали на барьерах. Вероятности, приписанные ветвям дерева, выбираются, как обычно, с учетом двух первых моментов стохастического процесса, описывающего поведение базового актива. Полужирные линии на рис. 24.6 изображают ветви грубого дерева. Тонкие сплошные линии образуют более детальное дерево. Первый обратный обход по грубому дереву выполняется как обычно. Затем цены дериватива в дополнительных узлах вычисляются с учетом ветвей, изображенных пунктирными линиями. В заключение выполняется обратный обход детализированного дерева.
24.6 Опционы на два коррелированных актива
Еще одной сложной вычислительной проблемой является оценка опционов, зависящих от двух активов, цены которых коррелируют друг с другом. (Иногда их называют опционами “радуга” (rainbow options).) Для решения этой задачи предложено много альтернативных методов. В данном разделе рассмагриваются только три из них.
Преобразование переменных
Для представления поведения двух некоррелированных переменных можно относительно легко построить трехмерное дерево: сначала для каждой переменной строится свое двухмерное дерево, а затем эти деревья объединяются в одно трехмерное. Вероятности, приписанные каждой ветви трехмерного дерева, равны произведению соответствующих вероятностей, приписанных ветвям двухмерных деревьев. Допустим, например, что исследуемыми переменными являются цены акций S\ и S%. Каждую из этих переменных можно описать с помощью двухмерного биномиального дерева Кокса, Росса и Рубинштейна. Допустим, то вероятность
20См. Figlewski S. and Cao В. The Adaptive Mesh Model; A New Approach to Efficient Option Pricing // Journal of Financial Economics, 53 (1999). — P. 313-351.
Рис. 24.6. Применение модели адаптивной сетки для оценки барьерных опционов
пропорционального роста цены S\ с коэффициентом щ равна pi, а вероятность снижения цены Si с коэффициентом di равна 1 — рг. Предположим далее, то вероятность пропорционального роста цены Sz с коэффициентом u-z равна р?, а вероятность снижения цены S? с коэффициентом dz равна 1 — р2- В трехмерном дереве из каждого узла исходят четыре ветви.
Р1Р2 цена S\ возрастает; цена Sz возрастает;
Р1(1 — Рг2.) : цена Si возрастает; цена S? падает;
(1 — pi)p2 : цена S] падает; цена S2 возрастает;
(l-pi)(l — Р2) : цена Si падает; цена S2 падает.
Рассмотрим ситуацию, в которой цены акций Si и S2 коррелируют друг с другом. Допустим, что в риск-нейтральных условиях их изменения описываются следующими стохастическими процессами.
dSi — (г — qi)Sidt + oiSidzi, dS2 = (г - qzjSzdt + ozSzdzz.
Предположим также, что мгновенная корреляция между винеровскими процессами dz\ и dz-2 равна р. Это значит, что
din51 = (г — Qi — crf/2) dt + (j\dz\, din 5г = (г — Q2 — fj/2) dt + (Tzdzz-
Введем две новые некоррелированные переменные:21
а?1 = <?2 In 5] + <Т1 In 52,
.7'2 = <Т2 In 5] - <71 In 52-
Эти переменные подчиняются следующим процессам:
dTl = [<72 (г - Q1 - <7^/2) + <71 (г - 92 - С^г/2)] dt + <7]<72 >/2(1 +p)dzx, dx2 = [<72 (г - 91 - CTj/2) - <71 (г - 92 - <Тг/2)] dt + <7i<72 V^(l -p)d2fi.
Здесь dzA и dzB — некоррелированные винеровские процессы.
Переменные х,\ и Х2 можно моделировать, используя два разных биномиальных дерева. В момент Af вероятность увеличения переменной х^ на число hi равна Pi, а вероятность уменьшения — 1 — Переменные hi и pi выбираются так, чтобы дерево позволяло правильно вычислить два первых момента распределений переменных .Г] и Х2- Поскольку эти переменные являются некоррелированными, два двухмерных дерева можно объединить в одно трехмерное. В каждом узле этого дерева величины 51 и 5г можно вычислить с помощью переменных х,\ и ж2, используя обратные соотношения:
/ Т] +жг\ „ (xi — х%\
51 = ехр —------- и 52 = ехр —--------- .
\ 2(72 ) \ 2а± )
Процедура обратного обхода трехмерного дерева для вычисления стоимости дериватива аналогична двухмерному алгоритму.
Применение непрямоугольных деревьев
Способ построения трехмерного дерева для двух коррелированных цен акций на основе непрямоугольной расстановки узлов предложил Рубинштейн.22 Вероятности перехода из узла (51,5г), где 51 — цена первой акции, а 5г — цена второй акции, равны
(51TZ!, 52Л), (51«1,52В), (5^1,52С), (ЗД, 52£>),
21 Эта идея была впервые предложена в работе Hull J. and White A. Valuing Derivative Securities Using the Explicit Finite Difference Method /7 Journal of Financial and Quantitative, 25 (1990). — P. 87-100.
22Cm. Rubinstein M. Return to Oz // Risk, November (1994). — P. 67-70.
где
Vi = exp di = exp
A — exp
В = exp
C = exp
D = exp
[(r -qi- CTi/2) At + одт/аТ] ,
2/2) At — ci] v'Atj
[(r - ?2 - о-г/2) + c^v/At (p + - P2)]
[(r - 92 - o-2/2) At + (T2v<At (p - \Л - p2)]
Когда корреляция равна нулю, этот метод становится эквивалентным процедуре построения отдельных деревьев для цен акций S| и S2 с помощью альтернативного подхода к построению биномиальных деревьев, описанного в разделе 17.4.
Уточнение вероятностей
Третий подход к построению трехмерных деревьев для описания цен акций Si и S2 заключается в следующем: сначала выдвигается предположение об отсутствии корреляции, а затем вычисленные вероятности в каждом узле уточняются так, чтобы учесть корреляцию.23 Для описания цен акций S\ и S2 применяется альтернативный подход к построению двухмерных биномиальных деревьев, описанный в разделе 17.4. Этот метод отличается тем, что в построенном дереве все вероятности равны 0,5. Если предположить, что корреляции между ценами нет, при объединении биномиальных деревьев вероятност и принимают значения, указанные в табл. 24.1. С учетом корреляции они принимают значения, приведенные в табл. 24.2.
Таблица 24.1. Объединение биномиальных деревьев при отсутствии корреляции между активами
Изменение цены S2 Изменение цены S\
Вниз Вверх
Вверх 0,25 0,25
Вниз 0,25 0,25
23Этот подход был описан в работе Hull J. and White A. Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II: Two-Factor Mpdels // Journal of Derivatives, Winter 1994. — P. 37-48.
Таблица 24.2. Объединение биномиальных деревьев при наличии корреляции р между активами
Изменение цены S-z Изменение цены Si
Вниз Вверх
Вверх 0,25(1 - р) 0,25(1 4- р)
Вниз 0,25(1 + р) 0,25(1 - р)
24.7 Метод Монте-Карло и американские опционы
С одной стороны, метод Монте-Карло очень удобен для оценки опционов, стоимость которых зависит от предыстории, а также опционов, в основе которых лежит много стохастических переменных. С другой стороны, при оценке американских опционов хорошо зарекомендовали себя деревья и конечно-разностные методы. А что делать, если стоимость американского опциона зависит от предыстории? И как поступать в ситуациях, когда цены американских опционов зависят от нескольких стохастических переменных? В разделе 24.4 был описан способ модификации биномиальных деревьев для оценки некоторых опционов, зависящих от предыстории. Многие исследователи предложили использовать для вычисления стоимости американских опционов метод Монте-Карло.24 В этом разделе мы рассмотрим два альтернативных подхода.
Метод наименьших квадратов
Для того чтобы оценить американский опцион, в каждый момент времени необходимо сделать выбор между досрочным исполнением и ожиданием. Вычислить стоимость исполнения, как правило, довольно просто. Большое количество исследователей, включая Лонгстаффа (Longstaff) и Шварца (Schwarz), предложили способ определения стоимости ожидания на основе метода Монте-Карло.25 В рамках этого подхода в каждый момент времени, допускающий досрочное исполнения опциона, для определения наилучшего приближения его стоимости применяется метод наименьших квадратов. Проанализируем этот метод, используя вычислительный пример из работы Лонгстаффа-Шварца.
24Первое решение этой проблемы опубликовано в работе Tilley J. A. Valuing American Oprions in a Path Simulation Model // Transactions of the Society of Actuaries, 45 (1993). — P. 83-104.
25Cm. Longstaff E A. and Schwartz E. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach // Review of Financial Studies, 14, no. 1 (Spring 2001). — P. 113-147.
Рассмотрим трехлетний американский опцион на продажу бездивидендной акции, который можно исполнить в конце первого, второго или третьего года. Безрисковая процентная ставка равна 6% в год (при непрерывном начислении). Текущая цена акции равна 1,00 долл., а цена исполнения — 1,10 долл. Предположим, что мы смоделировали восемь траекторий цены акции, показанных в табл. 24.3. (Этот пример носит исключительно иллюстративный характер. На практике для оценки опциона необходимо сгенерировать намного больше траекторий.) Если опцион исполняется только в конце третьего года, его выигрыш равен его действительной стоимости. Этот факт указан в последнем столбце табл. 24.4.
Таблица 24.3. Выборочные траектории цены акции, смоделированные при оценке опциона “пут”
Траектория t - 0 t = 1 t = 2 t = 3
1 1,00 1,09 1,08 1,34
2 1,00 1,16 1,26 1,54
3 1,00 1,22 1,07 1,03
4 1,00 0,93 0,97 0,92
5 1,00 1Д1 1,56 1,52
6 1,00 0,76 0,77 0,90
7 1,00 0,92 0,84 1,01
8 1,00 0,88 1,22 1,34
Таблица 24.4. Денежные потоки, возникающие при исполнении опциона только в конце третьего года
Траектория t = 1 t = 2 t = 3
1 0,00 0,00 0,00
2 0,00 0,00 0,00
3 0,00 0,00 0,07
4 0,00 0,00 0,18
5 0,00 0,00 0,00
6 0,00 0,00 0,20
7 0,00 0,00 0,09
8 0,00 0,00 0,00
Если в конце второго года опцион “пут” приносит выигрыш, владелец опциона должен решить, исполнять ли его досрочно. Из табл. 24.3 следует, что в конце второго года опцион приносит выигрыш, если цена акции проходит траекторию 1, 3, 4, 6 и 7. Для этих траекторий предлагается использовать приближенную
зависимость
V = a + bS + cS2,
где S — цена акции, зарегистрированная в конце второго года, а V — стоимость продолжения опциона с учетом дисконта на конец второго года. Первые пять наблюдений цены S таковы: 1,08, 1,07, 0,97, 0,77 и 0,84. Из табл. 24.4 следует, что соответствующие значения переменной V равны 0,00, 0,07e-0’06xl, 0,18е_°’06х1, 0,20е”°,06х1 и 0.09е-0’°6х1. Используя эти данные, для вычисления коэффициентов а, b и с необходимо минимизировать функцию
5
^2 (К - а - bS, - cS2)2 , ?=i
где Si и V — i-e наблюдения переменных S и V соответственно. Оказывается, а = —1,070, b = 2,983 и с = —1,813. Следовательно, зависимость, обеспечивающая наилучшую аппроксимацию данных, имеет следующий вид.
V = -1,070 + 2,9835 - 1,81352.
Итак, отказ от досрочного исполнения опциона в конце второго года, если цена акции прошла траектории 1, 3, 4, 6 и 7, приносит 0,0369, 0,0461, 0,1176, 0,1520 и 0,1565 долл, соответственно. Анализ табл. 24.3 показывает, что выигрыш от исполнения опциона в этот момент равен 0,02, 0,03, 0,13, 0,33 и 0,26 долл, соответственно. Это значит, что в конце второго года опцион целесообразно исполнить, если цена акции прошла траектории 4, 6 или 7. Денежные потоки по восьми путям, возникающие при досрочном исполнении опциона в конце второго или третьего года, приведены в табл. 24.5.
Таблица 24.5. Денежные потоки, возникающие при исполнении опциона в конце второго или третьего года
Траектория t = 1 t = 2 t = 3
1 0,00 0,00 0,00
2 0,00 0,00 0,00
3 0,00 0,00 0,00
4 0,00 0,13 0,00
5 0,00 0,00 0,00
6 0,00 0,33 0,00
7 0,00 0,26 0,00
8 0,00 0,00 0,00
Рассмотрим теперь траектории цены акции, при которых опцион в конце первого года оказывается в выигрыше. К ним относятся траектории 1, 4, 6, 7 и 8. Из табл. 24.3 следует, что цены акции S в конце каждой из траекторий равны 1,09, 0,93, 0,76, 0,92 и 0,88 долл, соответственно. Значения переменной V для этих траекторий определяются по табл. 24.5. Они равны 0,00, O,13e-0’06xl, О,33е-0,06х1, О,26е”0,06х1 и 0,00 соответственно. Зависимость, определенная по методу наименьших квадратов, имеет такой вид.
V = 2,038 - 3,3355 + 1,35652.
Таким образом, отказ от досрочного исполнения опциона в конце первого года, если цена акции прошла траектории 1,4,6, 7 или 8, приносит 0,0139, 0,1092, 0,2866, 0,1175 и 0,1533 долл, соответственно. Анализ табл. 24.3 показывает, что выигрыш от исполнения опциона в этот момент равен 0,01, 0,17, 0,34, 0,18 и 0,22 долл, соответственно. Это значит, что в конце первого года опцион целесообразно исполнить, если цеча акции прошла траектории 4, 6, 7 или 8. Денежные потоки, возникающие пр 1 досрочном исполнении опциона в конце первого, второго или третьего годов, приведены в табл. 24.6. Стоимость опциона в начальный момент времени определяется с помощью применения дисконта с безрисковой процентной ставкой к каждому из полученных результатов с последующим усреднением. Это приводит нас к следующему ответу.
| (0,07е“°’°6х3 + O,17e“°’o6xl + 0,34e~°’06xI + 0,18e’°’06xl + 0,22e"°’06xl) = = 0,1144 долл.
Поскольку эта величина больше 0,10, немедленно исполнять опцион нецелесообразно.
Таблица 24.6. Денежные потоки, возникающие при исполнении опциона
Траектория t = 1 t = 2 t = 3
1 0,00 0,00 0,00
2 0,00 0,00 0,00
3 0,00 0,00 0,07
4 0,17 0,00 0.00
5 0,00 0,00 0,00
6 0,34 0,00 0,00
7 0,18 0,00 0,00
8 0,22 0,00 0,00
Этот метод имеет много модификаций. Если опцион допускает досрочное исполнение в любой момент времени, то его стоимость можно аппроксимировать, рассмотрев большое количество точек исполнения (как это делается при построении биномиального дерева). Кроме того, зависимость между величинами V и S может быть более сложной. Например, она может быть не квадратичной, а кубической. Если досрочное исполнение опциона зависит от нескольких переменных состояния, следует поступать так, как описано выше. Затем следует сформулировать функциональную зависимость между переменными V и переменными состояния и определить ее неизвестные параметры с помощью метода наименьших квадратов.
Параметризация границы исполнения
Множество исследователей, в частности Андерсен (Andersen), предложили альтернативный подход, основанный на параметризации границы исполнения (exercise boundary) и итерационном определении оптимальных параметров, передвигаясь от конца действия опциона к его началу.26 Для иллюс трации вернемся к примеру, связанному с опционом на продажу акций, не приносящих дивидендов, и предположим теперь, что в ходе моделирования были снова сгенерированы восемь траекторий цены акции, представленные в табл. 24.3. В этом случае досрочное исполнение опциона в момент t можно параметризовать критической ценой акции Если цена акции в момент t меньше величины S*(t), опцион исполняется досрочно, если же цена акции больше значения опцион не исполняется. Значение S*(3) равно 1,10 долл. Если цена акции в этот момент (т.е. в конце срока действия опциона) больше 1,10 долл., то опцион не исполняется. Если же цена акции в конце третьего года меньше 1,10 долл., то опцион исполняется. Рассмотрим способ определения значения S*(2).
Предположим, что мы выбрали значение S'* (2) меньшим 0,77. В этом случае опцион в конце второго года не исполняется ни в одном из восьми вариантов. Стоимость опциона в конце второго года для каждой из восьми траекторий равна 0,00, 0,00, 0,07e~°’06xl, 0,18е“°’06х1, 0,00, 0,20е"°’06х1, 0,09е“°’°6х1 и 0,00 соответственно. Среднее значение этих величин равно 0,0636. Допустим теперь, что S*(2) = 0,77. Тогда стоимость опциона в конце второго года для каждой из восьми траекторий равна 0,00, 0,00, 0,07e-°’°6xl, 0,18е"°’06х1, 0,00, 0,33, 0,09e“°>°6xl и 0,00 соответственно. Среднее значение этих величин равно 0,0813. Аналогично, если значение S*(2) равно 0,84, 0,97, 1,07 и 1,08, стоимость опциона в конце второго года для каждой из соответствующих траекторий равна 0,1032, 0,0982,0,0938 и 0,0963 соответственно. Этот анализ показывает, что оптимальное значение S*(2) (т.е. такое, при котором достигается максимальная средняя стоимость) равно 0,84.
26См. Andersen L. A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model // Journal of Computational Finance, 3, no. 2 (Winter 2000). — P. 1-32.
(Точнее, значение S'* (2) следует выбирать в диапазоне 0,84 S*(2) < 0,97.) Если выбрать оптимальное значение S*(2), то стоимость опциона в конце второго года для каждой из восьми траекторий станет равной 0,00, 0,00, 0,0659, 0,1695, 0,00, 0,33, 0,26 и 0,00 соответственно. Средняя стоимость опциона равна 0,1032 долл.
Перейдем к вычислению величины S*(l). Если 5|*(1) < 0,76, то опцион в конце второго года не исполняется ни в одном из восьми вариантов, а его стоимость в конце второго года равна О,1О32е-о’°6х1 = 0,0972. Если S*(l) = 0,76, то стоимость опциона в конце второго года для каждой из восьми траекторий равна 0,00, 0,00, 0,0659e-°’°6xl, 0,1695е”°-О6х1, 0,00, 0,34, 0,26е-°’06х1 и 0,00 соответственно. Среднее значение этих величин равно 0,1008. Аналогично, если значение S*(l) равно 0,88, 0,92, 0,93 и 1,09, то средняя стоимость опциона в конце второго года для каждой из соответствующих траекторий равна 0,1283, 0,1202, 0,1215 и 0,1228 соответственно. Таким образом, анализ показывает, что оптимальное значение 5|*(1) равно 0,88. (Точнее, значение S*(l) следует выбирать в диапазоне 0,88 S*(l) < 0,92.) Стоимость опциона в нулевой момент времени при условии отказа от его досрочного исполнения равна О,1283е “°’о6х1 = 0,1208. Эта величина больше, чем 0,10 долл., которые можно получить, досрочно исполнив опцион в начальный момент времени.
На практике для определения границы исполнения опциона необходимо провести десятки тысяч сеансов моделирования. Получив границу досрочного исполнения, траектории цены акции следует отбросить и выполнить новый сеанс моделирования по методу Монте-Карло, используя вычисленную границу. Рассмотренный американский опцион на продажу акций является достаточно простым, поскольку границы исполнения опциона в любой момент времени можно определить по ценам акции. В более сложных ситуациях необходимо выполнить параметризацию границы досрочного исполнения.
Верхние границы
Оба описанных подхода недооценивают стоимость американских опционов, поскольку они используют субоптимальные границы досрочного исполнения. Это побудило Андерсена и Броуди (Broadie) предложить процедуру для уточнения верхней границы стоимости опциона.27 В сочетании с любым методом вычисления нижней границы стоимости опциона эта процедура позволяет уточнить истинную стоимость американского опциона.
27См. Andersen L. and Broadie М. A Primal-Dual Simulation Algorithm for Pricing Multi-Dimensional American Options. // Management Science, 50, 9 (2004). — P. 1222-1234.
Резюме
Для описания “улыбок волатильности”, возникающих на практике, предложено много разных моделей. Модель дисперсии с постоянной эластичностью приводит к “улыбке волатильности”, напоминающей “улыбку волатильности” обычных акций. Модель скачкообразной диффузии приводит к “улыбке волатильности”, характерной для валютных опционов. Модель стохастической волатильности является более гибкой и может порождать как “улыбку волатильности”, характерную для обыкновенных акций, так и “улыбку волатильности”, наблюдаемую у валютных опционов. Модель подразумеваемой волатильности обеспечивает еще большую степень гибкости. Она разработана для того, чтобы аппроксимировать любую траекторию цен европейских опционов, наблюдаемую на рынке.
Для оценки опционов, зависящих от предыстории, естественно применять метод Монте- Карло. Однако этот метод является слишком медленным и не позволяет легко оценивать американские опционы. К счастью, для оценки деривативов, зависящих от предыстории, можно использовать деревья. Для этого в каждом из узлов дерева следует выбрать репрезентативные значения базовой функции, описывающей траекторию цен, и вычислить стоимость дериватива для каждого из этих значений, выполняя обратный обход дерева. Этот прием позволяет оценивать опционы с “оглядкой”. Вместо денег в качестве единицы измерения стоимости опционов можно использовать цену актива.
Для оценки разнообразных барьерных опционов можно использовать деревья. Однако, чтобы достичь достаточно высокой точности в этом методе, необходимо провести вычисления для очень большого количества шагов по времени. Это значительно замедляет всю процедуру. Для повышения сходимости этого метода существуют три способа. Во-первых, можно изменить геометрию дерева так, чтобы узлы всегда лежали на барьере. Во-вторых, учитывая, что барьер, установленный на дереве, отличается от истинного, можно провести интерполяцию. В-третьих, для уточнения расчетов стоимости опциона, когда цена базового актива близка к барьерному уровню, можно использовать модель адаптивной сетки.
Для вычисления стоимости опциона на два коррелированных актива можно использовать метод преобразования переменных, позволяющий создать две новые некоррелированные переменные. Каждая из этих переменных моделируется с помощью отдельного дерева, которые затем объединяются в единое трехмерное. Для вычисления стоимости опциона в каждом узле необходимо выполнить обратное преобразование. Второй подход основан на уточнении размещения узлов трехмерного дерева с учетом корреляции. Третий подход предусматривает построение дерева, игнорируя корреляцию между переменными, а затем уточнение вероятностей с учетом корреляции.
Метод Монте- Карло не предназначен для непосредственной оценки американских опционов, однако его можно адаптировать, используя два метода. Первый ме
тод предусматривает проведение анализа зависимости между стоимостью отказа от досрочного исполнения опциона и значениями соответствующих переменных по методу наименьших квадратов. Второй метод использует параметризацию границы досрочного исполнения и ее итерационное уточнение на основе обратного обхода дерева.
Дополнительная литература
Andersen L. A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model // Journal of Computational Finance, 3, no. 2 (Winter 2000). - P. 1-32.
Andersen L. B. G. and Brotherton-Ratcliffe R. The Equity Option Volatility Smile: An Implicit Finite Difference Approach // Journal of Computational Finance, 1, no. 2 (Winter 1997/98). - P. 5-37.
Boyle P P and Lau S. H. Bumping Up Against the Barrier with the Binomial Method // Journal of Derivatives, 1, no. 4 (Summer 1994). — P. 6-14.
Conze A. and Viswanathan R. Path Dependent Options: The Case of Lookback Options H Journal of Finance, 46 (1991). — P. 1983-1907.
Cox J. C. and Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes //Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). — P. 145-166.
Derman E. and Kani 1. Riding on a Smile // Risk, February 1994. — P. 32-39.
Duan J.-C. The GARCH Option Pricing Model. — Mathematical Finance, 5 (1995). — P. 13-32.
Duan J.-C. Cracking the Smile // Risk, December 1996. — P. 55-59.
Dupire B. Pricing with a Smile // Risk, February, 1994. — P. 18-20;
Figlewski S. and Gao B. The Adaptive Mesh Model; A New Approach to Efficient Option Pricing // Journal of Financial Economics, 53 (1999). — P. 313-351.
Heston S. L. A Closed Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bonds and Currency Options // Review of Financial Studies, 6, 2 (1993). - P. 327-343.
Hull J. and White A. Efficient Procedures for Valuing European and American Path-Dependent Options /7 Journal of Derivatives, 1, no. 1 (Fall 1993). — P. 21-31.
Hull J. C. and White A. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities // Journal of Finance, 42 (June 1987). — P. 281-300.
Hull J. C. and White A. An Analysis of the Bias in Option Pricing Caused by a Stochastic Volatility // Advances in Futures and Options Research, 3 (1988). — P. 27-61.
Hull J. С. and Suo W. A Methodology for the Assessment of Model Risk and Its Application to the Implied Volatility Function Model // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 37, no. 2, (June 2002).
Longstaff F. A. and Schwartz E. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach // Review of Financial Studies, 14, no. 1 (Spring 2001).-P. 113-147.
Madan D.B., Carr P P and Chang E. C. The Variance-Gamma Process and Option Pricing // European Finance Review, 2 (1998). — P. 7-105.
Merton R.C. Option Pricing When Underlying Stock Returns Are Discontinuous // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). — P. 125-144.
Rebonato R. Volatility and Correlation: The Perfect Hedger and the Fox, 2nd edn. -Chichester: Wiley, 2004.
Ritchken P and Trevor R. Pricing Options Under Generalized GARCH and Stochastic Volatility Processes // Journal of Finance, 54, no. 1 (February 1999). — P. 377-402.
Rubinstein M. Implied Binomial Trees // Journal of Finance, 49, no. 3, (July 1994). -P. 771-818.
Rubinstein M. Return to Oz // Risk, November 1994. — P. 67-70.
Stutzer M. A Simple Nonparametric Approach to Derivative Security Valuation // Journal of Finance, 51 (December 1996). — P. 1633-1652.
Tilley J. A. Valuing American Options in a Path Simulation Model // Transactions of the Society of Actuaries, 45 (1993). — P. 83-104.
Вопросы и задачи
24.1. Докажите, что модель CEV не нарушает паритет опционов “колл” и “пут”.
24.2. Как с помощью метода Монте-Карло сгенерировать выборочные траектории, описывающие изменение цены актива, в рамках модели скачкообразной диффузии, предложенной Мертоном?
24.3. Докажите, что модель скачкообразной диффузии Мертона не нарушает паритет опционов “колл” и “пут, если величина скачка имеет логнормальное распределение.
24.4. Предположим, что волатильность цены актива между нулевым и шестым месяцами равна 20%, между шестым и двенадцатым месяцами — 22%, а между 12 и 24 месяцами — 24%. Какую волатильность следует использовать в модели Блэка-Шоулза для оценки двухлетнего опциона?
24.5. Рассмотрим модель скачкообразной диффузии, предложенную Мертоном, в которой скачки всегда сводят стоимость актива к нулю. Предположим, что в среднем за год происходит А скачков. Докажите, что стоимость европейского опциона “колл” совпадает с ценой, вычисленной по модели без скачков, в которой безрисковая процентная ставка равна г + А, а не г. Как влияет вероятность скачков на стоимость опциона “колл”? (Подсказка'. вычислите стоимость опциона по модели без скачков и по модели, предусматривающей один или несколько скачков. Вероятность отсутствия скачка в момент Т равна е- .)
24.6. В нулевой момент времени цена бездивидендной акции равна Sq. Допустим, что временной интервал от нуля до момента Т разделен на два подынтервала, длины которых равны tj и t-2 соответственно. На протяжении первого подынтервала безрисковая процентная ставка и волатильность равны Ti и <71, а на протяжении второго — г2 и <т2 соответственно. Условия предполагаются риск-нейтральными.
1) Используя результаты, изложенные в главе 13, определите распределение вероятных значений цены акции в момент Т по величинам г\, Г2, СГ1, <72, Н, t2 И Sq.
2) Предположим, что г — средняя процентная ставка на интервале от нуля до момента Т, а V — средняя диверсия на этом интервале. Опишите распределение вероятных значений цены акции в виде функции, зависящей от величин f, V, Т и So-
3) Как изменятся результаты, полученные при решении задач 1 и 2, если интервал разделен не на два, а на три подынтервала с разными уровнями процентных ставок и волатильности?
4) Докажите, что если безрисковая процентная ставка г и волатильность <7 представляют собой известные функции, зависящие от времени, то распределение вероятных значений цены акции в момент Т в риск-нейтральных условиях имеет следующий вид.
In ST ~ ф (in So + (г - T, Vvr) .
Здесь f — среднее значение величины r,V — среднее значение дисперсии <72, a So — текущая цена акции.
24.7. Запишите формулы для моделирования траектории, которую проходит цена актива в рамках модели стохастической волатильности в уравнениях (24.2) и (24.3).
24.8. “Модель IVF не обязательно правильно оценивает эволюцию поверхности волатильности.” Объясните смысл этого высказывания.
24.9. “Если процентные ставки постоянны, то модель IVF правильно оценивает стоимость дериватива, выигрыш которого зависит от цены базового актива, измеренной только в один из моментов времени.” Объясните смысл этого высказывания.
24.10. Постройте трехуровневое дерево для оценки американского опциона “с оглядкой” на покупку валюты, если начальный валютный курс равен 1,6 долл., внутренняя безрисковая процентная ставка равна 5% годовых, внешняя безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, волатильность валютного курса равна 15%, а срок действия равен 18 месяцев. Используйте подход, описанный в разделе 24.4.
24.11. Что произойдет с моделью гамма-дисперсии, если параметр v стремится к нулю?
24.12. Постройте трехуровневое дерево для оценки американского опциона на продажу бездивидендной акции по среднегеометрической цене при условии, что цена акции равна 40 долл., цена исполнения — 40 долл., безрисковая процентная ставка — 10% в год, волатильность — 35% в год, а до окончания срока действия опциона осталось три месяца. Геометрическое среднее измеряется, начиная с текущего момента и заканчивая моментом завершения опциона.
24.13. Можно ли применить метод оценки опционов, зависящих от предыстории, описанный в разделе 24.4, для вычисления цены американского опциона с выигрышем, равным max (Save ~ ^0), где Save — средняя цена актива на протяжении трех месяцев, предшествующих завершению опциона Аргументируйте свой ответ.
24.14. Проверьте, что число 6,492 на рис. 24.3 является правильным.
24.15. Оцените политику досрочного исполнения опциона для каждой из восьми траекторий, указанных в примере, рассмотренном в разделе 24.7. Чем отличаются друг от друга подход, основанный на методе наименьших квадратов, и метод параметризации границы исполнения? Какой из этих методов дает более высокую цену опциона для выборочных траекторий?
24.16. Рассмотрим европейский опцион на продажу бездивидендной акции при условии, что цена акции равна 100 долл., цена исполнения — НО долл., безрисковая процентная ставка — 5% в год, а до окончания срока действия опциона остался один год. Вероятность того, что на протяжении всего срока действия опциона средняя дисперсия принимает значения 0,06, 0,09 и 0,12, равна 0,2, 0,5 и 0,3 соответственно. Волатильность не коррелирует с ценой акции. Оцените стоимость опциона, используя программу DerivaGem.
24.17. Как построить биномиальное дерево с двумя барьерами так, чтобы узлы лежали на обоих барьерах?
Упражнения
24.18. Срок нового европейского опциона “с оглядкой” на покупку фондового индекса истекает через девять месяцев. Текущее значение индекса равно 400 пунктам, безрисковая процентная ставка равна 6% в год, дивидендная доходность равна 4% в год, а волатильность индекса равна 20%. Используя подход, описанный в разделе 24.4, вычислите стоимость опциона и сравните полученный ответ с результатом, выданным программой DerivaGem на основе аналитической формулы.
24.19. Предположим, что для оценки шестимесячного валютного опциона используется волатильность, приведенная в табл. 16.2. Кроме того, будем считать, что внутренняя и внешняя безрисковые процентные ставки равны 5% в год, а текущий валютный курс равен 1,00. Рассмотрим бычий спрэд, состоящий из длинной позиции по шестимесячному опциону “колл” с ценой исполнения 1,05 дозы, и короткой позиции по шестимесячному опциону “колл” с ценой исполнения 1,10 долл.
1) Чему равна стоимость такого спрэда?
2) Какая волатильность гарантирует правильную оценку стоимости обоих опционов в бычьем спрэде? (Воспользуйтесь программой DerivaGem Application Builder в сочетании с надстройками Goal Seek или Solver.)
3) Подтверждает ли полученный ответ утверждение, сделанное в начале главы, о том, что правильное значение волатильности, которое следует использовать при оценке экзотических опционов, иногда противоречит интуиции?
4) Правильно ли оценивает модель IVF указанный бычий спрэд?
24.20. Повторите анализ, описанный в разделе 24.7, для оценки опциона “пут”, считая, что цена исполнения равна 1,13 долл. Примените как метод наименьших квадратов, так и параметризацию границы исполнения.
24.21. Рассмотрим модель скачкообразной диффузии Мертона, в которой базовым активом является бездивидендная акция. В среднем за год происходит один скачок. Средняя величина скачка равна 2%, а стандартное отклонение логарифма величины скачка равно 20%. Цена акции равна 100, безрисковая процентная ставка равна 5%, волатильность <т, относящаяся к диффузионной части процесса, равна 15%, а до окончания срока действия опциона осталось шесть месяцев. Используя программу DerivaGem Application Builder, вычислите подразумеваемую волатильность при цене исполнения, равной 80, 90, 100, НО и 120 долл. Какое распределение вероятных значений цены акции подразумевает полученная “улыбка волатильности”?
Мартингалы и меры
До сих пор при оценке опционов предполагалось, что процентные ставки являются постоянными. В этой главе мы ослабим это условие и подготовим базу для оценки процентных деривативов (см. главы 26-30).
Принцип риск-нейтральной оценки, использованный нами в предыдущих главах, утверждает, что стоимость производных финансовых инструментов можно определить, 1) вычислив ожидаемый выигрыш в предположении, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке, и 2) дисконтируя ожидаемый выигрыш по безрисковой процентной ставке. Если процентные ставки являются постоянными, риск-нейтральные оценки оказываются довольно точными и однозначными. Если же процентные ставки подчиняются стохастическому процессу, ситуация усложняется. Какой смысл заключается в предположении, что ожидаемая доходность базового актива равна безрисковой процентной ставке? Значит ли это, что 1) каждый день ожидаемая доходность равна однодневной безрисковой процентной ставке, или 2) каждый год ожидаемая доходность равна годовой безрисковой процентной ставке, или 3) за пять лет ожидаемая доходность равна пятилетней безрисковой процентной ставке, установленной в начале периода? А как дисконтировать ожидаемый выигрыш по безрисковой процентной ставке? Можно ли, например, дисконтировать ожидаемую доходность, полученную за пять лет, по текущей безрисковой процентной ставке?
В главе излагаются теоретические основы риск-нейтральных оценок в ситуациях, когда процентные ставки являются стохастическими. В ней показано, что существует множество риск-нейтральных условий, которые можно выдвигать в любых ситуациях. В начале главы формулируется определение рыночной цены риска (market price of risk). Затем приводится доказательство того, что избыточная доходность (excess return) произвольного дериватива за короткий промежуток времени, превышающая уровень безрисковой процентной ставки, линейно зависит от рыночной цены риска, связанного с базовыми стохастическими переменными. Традиционные риск-нейтральные условия (traditional risk-neutral world) предполагают, что все рыночные цены риска равны нулю. Однако в некоторых ситуациях оказываются полезными другие предположения о рыночной цене риска.
Мартингалы (martingales) и меры (measures) являются принципиально важными понятиями, лежащими в основе риск-нейтральных оценок. Мартингал —
это стохастический процесс с нулевым дрейфом. Мера — это единицы измерения, в которых измеряется стоимость ценных бумаг. Основным результатом главы является теорема об эквивалентной мартингальной мере (equivalent martingale measure result). Она утверждает, что если в качестве единицы измерения используется стоимость ценных бумаг, то существует некая рыночная цена риска, для которой стоимости всех ценных бумаг описываются мартингалами.
Теорема об эквивалентной мартингальной мере используется для оценки фондовых опционов в ситуациях, когда процентная ставка описывается стохастическим процессом, а также для оценки опционов на обмен активов. Кроме того, в главе рассматриваются кванто (quantos) — деривативы, в которых процентные ставки, определенные в одной валюте, применяются к основной сумме, выраженной в другой валюте. В главе 26 этот результат используется при анализе стандартных рыночных моделей, предназначенных для оценки процентных деривативов, а в главе 27 он поможет нам описать модель рынка LIBOR.
25.1 Рыночная цена риска
Для начала рассмотрим свойства деривативов, зависящих от одной переменной в. Предположим, что процесс, описывающий переменную в, имеет следующий вид.
= mdt + sdz, (25.1)
3
где dz — винеровский процесс. Параметры тн s представляют собой ожидаемую скорость роста переменной в и ее волатильность соответственно. Предположим, что эти параметры зависят только от переменной в и времени t. Переменная 0 не обязана быть ценой некоего инвестиционного актива. Она может вообще не иметь отношения к финансовому рынку и представлять собой, например, температуру в центре Нового Орлеана.
Допустим, что /1 и /г - цены двух производных финансовых инструментов, зависящих только от переменных в и t. Эти деривативы могут быть опционами или другими ценными бумагами, приносящими выигрыш, равный значению некоторой функции, зависящей от переменной 0 в будущий момент времени. Будем считать, что на протяжении всего периода, на котором регистрируются значения функций /1 и /2> деривативы не приносят дохода.1
Предположим, что функции /1 и /2 подчиняются следующим стохастическим процессам:
— = pi dt + tri dz
Ji
’Этот анализ можно обобщить и на ситуации, в которых деривативы могут приносить доход (см. задачу 25.7).
— = /12 dt + СТ2 dz,
J2
где Д1, №,№ и <72 — функции, зависящие от переменных в и t. Символы dz обозначают винеровский процесс, указанный в уравнении (25.1), поскольку он является единственным источником неопределенности цен Д и Д. Дискретные аналоги этих процессов выглядят следующим образом.
ДД-^ДАЛ + ^ДДг, (25.2)
АД = №ДД< + о-2ДДг. (25.3)
Величину Дг можно исключить, сформировав мгновенно безрисковый инвестиционный портфель, состоящий из <72 Д единиц первого дериватива и —оу Д единиц второго дериватива. Обозначим стоимость этого портфеля буквой П. Тогда справедливо следующее соотношение:
П = (<т2Д)Д - (<Т1Д)Д- (25.4)
Отсюда следует, что
ДП = а2ДДД - стгДДД.
Подставляя в уравнение (25.4) выражения (25.2) и (25.3), получим
ДП = (/Т1О-2ДД - /т2(71ДД)Д«. (25.5)
Поскольку инвестиционный портфель является мгновенно безрисковым, его доходность должна быть равной безрисковой процентной ставке. Следовательно,
ДП = гПДС
Подставляя в это уравнение выражения (25.4) и (25.5), приходим к выводу, что
/11 № — №<71 = Г<72 ~ та\.
Обратите внимание на то что левая часть равенства (25.6) зависит только от параметров процесса, описывающего изменение цены Д, а правая часть этого равенства зависит только от параметров процесса, описывающего изменение цены Д. Обозначим левую и правую части равенства (25.6) буквой А.
№ - г _ № - г = д
<71 <72
Отбросив индексы, можно показать, что если функция f представляет собой цену дериватива, зависящего только от переменных в и t, и является решением уравнения
у- = pdt + ст dz, (25.7)
то
—- = А. (25.8)
о
Параметр А называется рыночной ценой риска, связанного с переменной 0 (market price of risk of 0). Он может зависеть от обеих переменных 0 и t, но не от природы дериватива /. В любой момент времени величина (// — г)/ст должна быть одинаковой для всех деривативов, зависящих только от переменных 0 и t.
Следует отметить, что величина ст, которую мы назвали волатильностью цены /, представляет собой коэффициент, стоящий перед dz в уравнении (25.7). Она может быть как положительной, так и отрицательной. Если волатильность з переменной 0 является положительной, а функция / является возрастающей по переменной 0 (т.е. производная df /д0 является положительной), то величина а является положительной. Если же функция f является убывающей по переменной О, то величина а является отрицательной. Традиционная волатильность функции / равна |сг|.
Рыночная цена риска, связанного с переменной 0, измеряет баланс между риском и доходностью ценных бумаг, зависящих от переменной 0. Равенство (25.8) можно переписать следующим образом.
р, — г = Ас. (25.9)
Чтобы дать интуитивно понятное описание этого равенства, отметим, что переменную ст можно приближенно интерпретировать как величину риска, связанного с функцией /, обусловленную влиянием переменной 0. Следовательно, в правой части равенства стоит величина риска, связанного с переменной 0, умноженная на его цену. Левая часть равенства представляет собой разность между ожидаемой доходностью и безрисковой процентной ставкой, которая должна компенсировать существующий риск. Равенство (25.9) является аналогом модели оценки капитальных активов, связывающей избыточную доходность акций с их риском.
В главе не рассматриваются вопросы, связанные с измерением рыночной цены риска. Они будут изучены в главе 31 при оценке реальных опционов.
В главе 5 были описаны различия между инвестиционными и потребительскими активами. Инвестиционными активами называются товары и ценные бумаги, которые покупаются и продаются исключительно с инвестиционными целями большим количеством инвесторов. Они используются в качестве элементов торговых стратегий при формировании безрисковых инвестиционных портфелей. Потребительские активы предназначены для потребления и не используются для
инвестиций. Если в — цена инвестиционного актива, то должно выполняться соотношение
т — г
----- — А.
S
Однако если в — цена потребительского актива, это соотношение не всегда является истинным.
Пример 25.1
Рассмотрим дериватив, цена которого положительно связана с ценой нефти и не зависит от других стохастических переменных. Допустим, что ожидаемая доходность этого дериватива равна 12% годовых, а волатильность — 20% в год. Предположим также, что безрисковая процентная ставка равна 8% годовых. Следовательно, рыночная цена риска, связанного с ценой нефти, равна
0,12 - 0,08 -------— = 0,2. 0,2
Отметим, что нефть является потребительским, а не инвестиционным активом. Следовательно, ее рыночную цену риска нельзя вычислить с помощью равенства (25.8), положив величину р равной ожидаемой доходности нефтяных инвестиций, а величину ст — равной волатильности цены на нефть. □
Пример 25.2
Рассмотрим две ценные бумаги, положительно связанные с 90-дневной процентной ставкой. Допустим, что ожидаемая доходность первой ценной бумаги равна 3% годовых, а ее волатильность — 20% в год. Предположим также, что волатильность второй ценной бумаги равна 30% годовых, а мгновенная безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Следовательно, рыночная цена риска, связанного с процентной ставкой, для первой ценной бумаги равна
0,03-0,06
0,2
Используя равенство (25.9), ожидаемую доходность второй ценной бумаги можно вычислить следующим образом.
0,06 - 0,15 х 0,3 = 0,015,
т.е. 1,5% годовых. □
Альтернативные условия
Цена дериватива f подчиняется следующему стохастическому процессу.
df = pf dt + of dz.
Величина р зависит от рисковых предпочтений инвесторов. Если рыночная цена риска равна нулю, то величина А равна нулю. Из равенства (25.9) следует, что /г = г, поэтому процесс, описывающий изменение функции /, имеет следующий вид.
df = rf dt + erf dz.
Эти ограничения мы будем называть традиционными риск-нейтралъными условиями (traditional risk-neutral world).
Другие предположения о рыночной цене риска порождают альтернативные внутренне непротиворечивые условия. В целом, если рыночная цена риска равна А, из равенства (25.9) следует, что
р = г + А<т,
так что
df = (г + Xoff dt + erf dz. (25.10)
Рыночная цена риска, связанного с определенной переменной, определяет скорость роста стоимости всех ценных бумаг, зависящих от этой переменной. При изменении рыночной цены риска ожидаемая скорость роста ценных бумаг изменяется, но их волатильность остается прежней. Это явление было проиллюстрировано в разделе 11.7. Выбор конкретной рыночной цены риска иногда называют определением вероятностной меры (probability measure). При некотором значении рыночной цены риска мы получим “реальные условия” и скорости роста стоимости ценных бумаг, наблюдаемые на практике.
25.2 Несколько переменных состояния
Предположим, что несколько переменных в\, 6%, ..., 6п описываются стохастическими процессами
= mi dt + Si dzi, г = 1,2, . ...п, (25.11)
где dzi — винеровские процессы. Параметры mi и Si представляют собой ожидаемую скорость роста и волатильность соответственно. Они могут зависеть от переменных 0i и времени. В приложении 25.1 приведен вариант леммы Ито для функций, зависящих от нескольких переменных. Из нее следует, что процесс, описывающий поведение стоимости ценной бумаги f, зависящей от переменных 6i, имеет следующий вид.
у = pdt + ^aidzi. (25.12)
’ i=l
В этом уравнении величина /г представляет собой ожидаемую доходность ценной бумаги, а величина ov dzi — компонент риска этой доходности, связанный с переменной ()г.
В приложении 25.1 показано, что
Ц - Г = У^Лг<7г. (25.13)
i=l
где А, — рыночная цена, риска, связанного с переменной 0Z. Это равенство связывает избыточную доходность, ожидаемую инвесторами, с величинами Аг и Равенство (25.9) представляет собой частный случай равенства (25.13) при п = 1. Член Xi<ji в правой части равенства определяет, насколько зависимость цены дериватива от переменной 0Z влияет на ожидаемую избыточную доходность. Если Ajffi = 0, то эффект отсутствует; если AjCTj > 0, то инвесторы ожидают более высокой компенсации за риск, связанный с переменной если Аг/тг < 0, то зависимость ценной бумаги от переменной 0$ вынуждает инвесторов смириться с более низкой доходностью, чем можно было бы ожидать. Ситуация, когда Аг<т; < 0, возникает, когда переменная снижает, а не увеличивает риск, которому подвергается инвестиционный портфель типичного инвестора.
Пример 25.3
Цена определенной акции зависит от трех переменных: цены на нефть, цены на золото и величины фондового индекса. Предположим, что рыночные цены риска, связанного с этими переменными, равны 0,2, —0,1 и —0,4 соответственно. Допустим также, что множители ст, в уравнении (25.12), связывающем эти три переменные, равны 0,05,0,1 и 0,15 соответственно. Избыточная доходность акций равна
0,2 х 0,05 - 0,1 х 0,1 + 0,4 х 0,15 = 0,06,
т.е. 6,0% годовых. Если на стоимость ценной бумаги влияют еще какие-либо переменные, то этот результат останется правильным при условии, что рыночная цена риска, связанного с каждой из дополнительных переменных, равна нулю. □
Равенство (25.13) тесно связано с арбитражной теорией расчетов (arbitrage pricing theory), разработанной Стивеном Россом (Stephen Ross) в 1976 году.2 Модель оценки капитальных активов с непрерывным временем (САРМ — capital asset pricing model) представляет собой частный случай модели, предложенной Россом. Модель САРМ утверждает, будто инвесторы требуют, чтобы избыточная доходность компенсировала любой риск, коррелирующий с риском, которому подвергается доходность фондового рынка, но не требуют компенсации других рисков. Риски, коррелирующие с риском, которому подвергается доходность фондового
2См. Ross S. A. The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing // Journal of Economic Theory, 13 (December 1976). - P. 342-362.
рынка, называются систематическими (systematic), а другие риски называются несистематическими (nonsystematic). Если модель САРМ верна, то величина А, прямо пропорциональна коэффициенту корреляции между изменениями переменной 0, и доходностью всего рынка. Если переменная 0{ не коррелирует с доходностью всего рынка, то величина А» равна нулю.
25.3 Мартингалы
Мартингал (martingale) — это стохастический процесс с нулевым дрейфом. Переменная в описывается мартингалом, если процесс, которому она подчиняется, имеет вид
d6 = cr dz,
где dz — винеровский процесс. Переменная ст, в свою очередь, также может быть стохастической. Она может зависеть как от переменной 0, так и от других стохастических переменных.
У мартингала есть удобное свойство: его математическое ожидание в любой будущий момент времени равно его текущему значению. Это значит, что
Е(0т) — 0о,
где 0о и вт — значения переменной 0 в нулевой момент и в момент Т соответственно. Чтобы понять смысл этого утверждения, следует обратить внимание на то, что на очень маленьком промежутке времени изменения переменной 0 имеют нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. Следовательно, математическое ожидание изменения переменной 0 на произвольном очень малом промежутке времени равно нулю. Изменение переменной 0 на временном интервале от 0 до Т представляет собой сумму всех изменений переменной 0 на большом количестве маленьких временных подынтервалов. Следовательно, математическое ожидание изменения переменной 0 на временном интервале от 0 до Т также равно нулю.
Теорема об эквивалентной мартингальной мере
Допустим, что fug- стоимости ценных бумаг, зависящих от одного источника неопределенности. Предположим, что на рассматриваемом промежутке времени эти ценные бумаги не приносят дохода.3 Введем следующее обозначение.
3В задаче 25.8 этот анализ обобщается на ситуацию, в которой ценные бумаги приносят доход.
Переменная ф представляет собой относительную стоимость ценной бумаги f по отношению к ценной бумаге д. Эту ситуацию можно интерпретировать так, будто стоимость ценной бумаги f измеряется в единицах стоимости ценной бумаги д, а не в долларах. Стоимость ценной бумаги д в этом случае называется масштабом цен (numeraire).
Теорема об эквивалентной мартингальной мере утверждает, что при отсутствии арбитражных возможностей переменная ф при определенном выборе рыночной цены риска является мартингалом. Кроме того, при заданном масштабе цен д выбор той же самой рыночной цены риска делает переменную ф мартингалом для всех ценных бумаг. Для этого рыночную цену риска следует выбрать равной волатильности ценной бумаги д. Иначе говоря, если рыночная цена риска равна волатильности ценной бумаги д, отношение f /д является мартингалом для всех ценных бумаг.
Для доказательства этого результата предположим, что волатильности цен / и д равны су и <тй. При условии, что рыночная цена риска равна сгд, из равенства (25.10) следует, что
df = (.г + 0g<Tf)f dt + aff dz, dg = (г + cr'g)g dt + agg dz.
Используя лемму Ито, получаем следующие равенства.
din f = (г + crgOf — cff/2)dt + cjffdz, ding = (г + (Jg /2)dt + agdz.
Таким образом,
d(ln/ - Ing) = (ergo; - crj/2 - Oy/2)d.t + (о/ - Ogjdz,
т.е.
dfln—'j
\ 9 J
---- a^-dt + (af — ag) dz.
Используя лемму Ито для определения процесса, описывающего отношение f /д с помощью процесса 1п(//д), получаем следующий результат.
(25.14)
Отсюда следует, что отношение f /д — мартингал. Что и требовалось доказать.
Условия, в которых рыночная цена риска равна волатильности <гд, называются форвардными риск-нейтральными условиями (forward risk-neutral world) относительно ценной бумаги д.
Поскольку в форвардных риск-нейтральных условиях относительно ценной бумаги д отношение f /д является мартингалом, справедливо следующее равенство.
/о _ Р (fr\
9о 9 \9т) ’
т.е.
/ fr\
fo = ЯоД, — , (25.15)
\9т J
где Ед — математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно ценной бумаги д.
25.4 Альтернативные варианты масштаба цен
Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение теоремы об эквивалентной мартингальной мере. В первом примере показано, что этот результат не противоречит традиционной риск-нейтральной теории расчетов, использованной ранее. В других примерах закладываются основы для вычисления стоимости опционов на облигации, процентных опционов “кэп” и свопционов, которые будут рассмотрены в главе 26.
Использование в качестве масштаба цен депозитного счета денежного рынка
Долларовый депозитный счет денежного рынка можно интерпретировать как ценную бумагу, стоимость которой в нулевой момент времени равна одному доллару, а доходность в любой момент времени равна мгновенной безрисковой процентной ставке г.4 Переменная г может быть стохастической. Если переменную д считать эквивалентом депозитного счета денежного рынка, то сумма на нем будет возрастать со скоростью г, т.е.
dg — rgdt. (25.16)
Дрейф переменной д носит стохастический характер, но ее волатильность равна нулю. Следовательно, форвардные риск-нейтральные условия относительно переменной д означают, что рыночная цена риска равна нулю. Эти риск-нейтральные
4Сумма на депозитном счете денежного рынка представляет собой предел стоимости описанной ниже ценной бумаги, когда At стремится к нулю. На первом коротком промежутке времени длины At эта сумма считается инвестицией по ставке, установленной на период At, а затем она реинвестируется на следующий период длиной At по новой ставке. В момент 2At она снова реинвестируется на следующий период длиной At по новой ставке и т.д. Суммы на депозитном счете денежного рынка, выраженные в других валютах, вычисляются аналогично.
условия называются традиционными. Из равенства (25.15) следует, что
(/т \
/о = 5о^ — , (25.17)
\дт /
где Е — математическое ожидание в традиционных риск-нейтральных условиях.
В данном случае до = 1 и
9т =
так что
fo = E(e~^rdtfTy (25.18)
т.е.
fo = Е (e~fTfT). (25.19)
Из этого равенства следует, что оценить процентный дериватив можно, моделируя краткосрочную процентную ставку г в традиционных риск-нейтральных условиях. При каждом испытании следует вычислить ожидаемый выигрыш, а затем дисконтировать его по средней краткосрочной ставке, вычисленной по выборочной траектории.
Если краткосрочная процентная ставка г считается постоянной, уравнение (25.19) сводится к следующему виду.
h = e~rTE{fT}.
Эта формула представляет собой риск-нейтральное соотношение, которое мы уже использовали в предыдущих главах.
Использование в качестве масштаба цен стоимости облигации с нулевым купоном
Пусть P(t,T} — цена облигации с нулевым купоном в момент t при условии, что в момент Т выплата равна одному доллару. Рассмотрим последствия, которые возникают, если положить функцию д равной Р (t, Т). Через Ет будем обозначать математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции P(t,T). Поскольку д? = Р (Т,Т) = 1 и до = Р(0, Т), из равенства (25.15) следует, что
fo = P(P,T)Et(Jt). (25.20)
Обратите внимание на разницу между равенствами (25.20) и (25.19). В равенстве (25.19) дисконтирование выполняется внутри оператора математического ожидания. В то же время в равенстве (25.20) дисконтирование, представленное
множителем Р(0,Т), выполняется вне этого оператора. Форвардные риск-нейтральные условия относительно функции P(t, Т) значительно упрощают расчеты для ценных бумаг, выплаты по которым осуществляются только в момент Т.
Рассмотрим переменную в, которая не является процентной ставкой.5 Форвардный контракт на переменную 0, истекающий в момент Т, представляет собой контракт, по которому в момент Т осуществляются выплаты в размере 0т — К, где 0т ~ величина переменной 0 в момент Т. Пусть f — стоимость этого форвардного контракта. Из формулы (25.20) следует, что
/о = Р(О,Т)[Вг(0г)-/Г].
Форвардная цена F переменной 0 равна величине К, при которой цена /о равна нулю. Следовательно,
Р(О,Т)[Ет(0т) - F] = 0,
т.е.
F = Ет(0Т)- (25.21)
Из формулы (25.21) следует, что форвардная цена любой переменной (за исключением процентной ставки) равна ее будущей цене спот в форвардных риск-нейтральных условиях относительно P(t,T). Рассуждения, изложенные в разделе 14.7, свидетельствуют о том, что фьючерсная цена переменной представляет собой ожидаемую в будущем цену спот в традиционном риск-нейтральном мире.
Из равенства (25.20) следует, что оценить стоимость любых ценных бумаг, выплаты по которым осуществляются в момент Т, можно, вычислив ожидаемый размер выплаты при форвардных риск-нейтральных условиях относительно цены облигации, подлежащей погашению в момент Т, с последующим дисконтированием по безрисковой процентной ставке, установленной на это время. Формула (25.21) подтверждает предположение о том, что при вычислении ожидаемого размера выплат ожидаемая стоимость базового актива равна его форвардной стоимости. Эти результаты являются принципиально важными для понимания стандартной модели рынка опционов на облигации, описанной в следующей главе.
Процентные ставки в моделях, использующих в качестве масштаба цен стоимость облигации
Пусть R(t, Т,Т*) — форвардная процентная ставка, установленная в момент t на временной промежуток между моментами Т и Т* при условии, что период начисления равен Т* — Т. (Это значит, что если Т* — Т = 0,5, то процентная ставка начисляется раз в полгода; если Т* - Т = 0,25, то раз в квартал и т.д.) В момент t
5 Как будет показано позднее, форвардные контракты на процентную ставку отличаются от фор-вардных контрактов на другие показатели.
1 + (Т* т.е.
R(t,T,T* или
R(t,T,T*) =
форвардная цена облигации с нулевым купоном, действующей в промежутке между моментами Т и Т*, равна
P(t,T*)
P(t,T) ’
Форвардная процентная ставка определяется не так, как форвардная величина большинства переменных. Поскольку форвардная процентная ставка представляет собой процентную ставку, обусловленную соответствующей форвардной ценой облигации, выполняется следующее равенство.
1 P(t, Т*)
-Т) R(t,T,T*) ~ P(t,T) ’
)
1 /P(t,T)-P(t,T*)
Т*-Т \ P(t,T*)
Если положить
/ = —1—(P(t,T)-P(t,T*)) 1 * — 1
и д = P(t, Т*), то по теореме об эквивалентной мартингальной мере функция R(t, Т, Т*) представляет собой мартингал в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции R(t, Т*). Это значит, что
Я(0, Т, Т*) = Ет* [Р (Т, Т, Т*)], (25.22)
тде Ет* — математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции R(t,T*).
Итак, мы показали, что форвардная процентная ставка эквивалентна ожидаемой будущей процентной ставке в форвардных риск-нейтральных условиях относительно цены облигации с нулевым купоном, выплаты по которой осуществляются в момент Т*. Этот результат в сочетании с равенством (25.20) имеет чрезвычайно большое значение для анализа стандартной модели рынка при оценке процентных опционов “кэп” в следующей главе.
Использование в качестве масштаба цен рентной ставки
В качестве следующего примера применения теоремы об эквивалентной мартингальной мере рассмотрим своп, вступающий в действие в будущий момент Т с моментами выплат Ti, Т2,..., 7дг. Положим То = Т. Предположим, что основная сумма свопа равна одному доллару. Допустим также, что форвардная ставка
свопа (т.е. фиксированная процентная ставка, обесценивающая своп) в момент t(t Т) равна s(t). Стоимость фиксированной позиции в свопе равна
где
7V-1
В главе 7 показано, что если в момент последней выплаты к ней добавляется основная сумма, стоимость плавающей позиции в свопе в момент вступления свопа в действие равна основной сумме. Отсюда следует, что если в момент к основной сумме добавить один доллар, то стоимость плавающей позиции в свопе в момент То будет равна одному доллару. Стоимость одного доллара, полученного в момент Tn, в момент t будет равна F(t, 7)v). Следовательно, стоимость одного доллара, полученного в момент То, в момент to будет равна P(t, То). Таким образом, стоимость плавающей позиции в момент t равна
F(t,T0) - P(t,TN).
Приравнивая стоимости фиксированной и плавающей позиций, получим равенство
s(t)A(t) = P(t,T0) - P(t,TN),
P(t,T0) - P(t,TN)
(25.23)
Чтобы применить теорему об эквивалентной мартингальной мере, определим функцию f как разность P(t,T0) — P(t,Tx), а функцию д будем считать равной A(t). Это приводит нас к следующей формуле.
S(t) = £a[s(T)].
(25.24)
Здесь Еа — математическое ожидание при форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции A(t). Следовательно, при этих условиях ожидаемая будущая ставка свопа равна текущей ставке свопа.
Для любой ценной бумаги f из равенства (25.15) следует, что
fo = A(O)EA
fa
А(Т)
(25.25)
Этот результат в сочетании с уравнением (25.24) имеет большое значение для понимания стандартной модели рынка европейских свопционов, рассмотренной в следующей главе.
25.5 Многочисленные независимые показатели
Результаты, изложенные в разделах 25.3 и 25.4, можно распространить на ситуации, в которых существует много независимых переменных.6 Предположим, что существует п независимых показателей, а стохастические процессы, описывающие поведение функций fugs традиционных риск-нейтральных условиях, имеют следующий вид.
df = rf dt + dzi,
i=l n
dg = rg dt + J7 ag.;g dzi. i=l
Из результатов, приведенных в разделе 25.2, следует, что существует возможность определить множество внутренне непротиворечивых условий, выбирая стохастические процессы так, как показано ниже.
(п \ п
Г + 57 I f dt + 5^ dzi, i=l / i=l
п \ п
г + 57 K^g,i I д dt + 57 ag,i9 dZi.
. 2=1 / 2=1
Здесь 1 < i < п, — п рыночных цен риска. Один из этих наборов условий совпадает с реальной ситуацией.
Назовем форвардные риск-нейтральные условия относительно функции д условиями, в которых Xi — ад^. Из леммы Ито и условия, что величины dz.t являются некоррелированными, следует, что процесс, описывающий отношение f/g, имеет нулевой дрейф (см. задачу 25.12). Таким образом, остальные результаты, изложенные в последних двух разделах (начиная с формулы (25.15)), также остаются в силе.
25.6 Приложения
В разделе рассматриваются два приложения теории форвардных риск-нейтральных расчетов. Остальные примеры будут проанализированы в главах 26, 27, 29 и 30.
6Условие независимости не является принципиально важным. Если показатели не являются независимыми, их можно сделать ортогональными.
Модель Блэка-Шоулза
Теорию форвардных риск-нейтральных расчетов можно применить для расширения модели Блэка-Шоулза на ситуации, в которых процентные ставки являются стохастическими. Рассмотрим европейский опцион на покупку бездивидендной акции, истекающий в момент Т. Из равенства (25.20) следует, что стоимость опциона “колл” вычисляется по следующей формуле.
с = Р(0,Т)£т[тах(5т - К,0)]. (25.26)
Здесь St — цена акции в момент Т,К — цена исполнения, а Ет — математическое ожидание при форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, выплаты по которой осуществляются в момент Т. Обозначим через R нулевую ставку в момент Т. Тогда
P(0,T) = e~RT
и равенство (25.26) принимает вид
с = e~RTET [max(ST - К, 0)]. (25.27)
Если предположить, что в форвардных риск-нейтральных условиях, рассматриваемых нами, величина St имеет логнормальное распределение, а стандартное отклонение 1п(£>т) равно s, то из фактов, изложенных в главе 13, следует, что
Бг[тах(5г - К, 0)] = Er(S'r)Ar(di) - KN(d2), (25.28)
где
1 In [Ет (ST)/K] + w2/2 «1 =---------------------»
w
, In [Ет (ST)/K] - w2/2 «2 =---------------------.
w
Из формулы (25.21) следует, что Et(St) является форвардной ценой акции по контракту, истекающему в момент Т. Следовательно,
Et(St) = Роедг. (25.29)
Уравнения (25.27)-(25.29) приводят к следующему результату.
с = S0N(di) - Ke~RTN(d2),
где
4 ln[S0/#] + PT + w2/2
«1 =----------------------,
w
, hi[S0/K] + RT-w2/2
«2 =----------------------.
w
Если волатильность цены акции а определена так, что суу/Т = w, то выражения для величин d\ и ^2 принимают следующий вид.
In [50/Д] + (Д + ст2/2) Т
1п[Д0/Д] + (Д-ст2/2)Т оу/Т
Отсюда следует, что цену опциона “колл” можно вычислять по формуле Блэка-Шоулза, заменив величину г переменной Д. Стоимость европейского опциона “пут” вычисляется аналогично.
Опционы на обмен активов
Рассмотрим опцион на обмен инвестиционного актива, стоимость которого равна U, на инвестиционный актив, стоимость которого равна V. Эта задача уже была рассмотрена в разделе 22.11. Предположим, что волатильности активов U и V равны оц и оу соответственно, а коэффициент корреляции между ними равен р.
Допустим сначала, что активы не приносят дохода. Выберем в качестве масштаба цен стоимость U ценной бумаги д. Полагая в равенстве (25.15) f = V, получим формулу
/VT\
Vo = UOEV -М , (25.30)
\ь'Т /
где Еи — математическое ожидание при форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции U.
Далее выберем функцию f в формуле (25.15) равной стоимости рассматриваемого опциона, так что fa = max(Vr — Ut, 0). Отсюда следует, что
, тт /max (VT - UT, 0)\
/о = U0Eu --------—-------I ,
\ ит /
т.е. / / VT \ \
/о = U0Eu max -1,0 . (25.31)
\ \ит / /
Волатильность отношения V/U равна ст (см. задачу 25.14), где
Ст2 = Оу + Оу — 2pO[jOy.
Из фактов, изложенных в главе 13, следует, что равенство (25.31) можно переписать в следующем виде.
/о = До Еи ( -£) N (di) - N (d2)
Здесь
di =
In [Уо/[/о] + ?2Т/2 aVT
d2 — d\ — ауТ.
Подставляя в эту формулу выражение (25.30), получим, что
/о = VWd!) - U0N(cb2).
(25.32)
В задаче 25.8 показано, что если доходность активов f и д равна qf и qg, то формула (25.15) принимает следующий вид.
fo = дое^~^ТЕд
fr\ 9т )
Это значит, что уравнения (25.30) и (25.31) можно переписать так.
Еу
= A4u-<iv)tYo и0
/о = e~^TU0Eu
max
В свою очередь, уравнение (25.32) теперь выглядит следующим образом, /о = e~4vTVoN - e~<*’Tu0N (d2) .
Величины di и d2 теперь определяются такими формулами.
In (Vo/Uo) + (qu - qv + <т2/2) Т
di =-------------——-----------------
ау/Т
d2 — di — (fVT.
Этот результат совпадает с формулой (22.3).
25.7 Изменение масштаба цен
Рассмотрим влияние, которое изменение масштаба цен оказывает на процесс, описывающий поведение рыночного показателя. В форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции д процесс, описывающий поведение стоимости ценной бумаги f, имеет следующий вид.
(п \ п
Г + 52 a9^f,i I fdt + '^2 dZi
г=1 / i=l
Аналогично в форвардных риск-нейтральных условиях относительно стоимости других ценных бумаг h процесс, описывающий поведение стоимости ценной бумаги /, имеет вид:
(п \ п
г + 52 ah,i(rf,i ] fdt + '^Г dzi-г=1 / г=1
Здесь Uh,i — i-й компонент волатильности стоимости ценной бумаги h.
Таким образом, изменение форвардных риск-нейтральных условий (т.е. изменение масштаба цен e g на Л) приводит к увеличению ожидаемой скорости роста стоимости любых ценных бумаг f на величину
п
5 &g,i)
i=l
Рассмотрим функцию v, зависящую от стоимости ценной бумаги. (Сама функция v не обязана быть стоимостью какой-либо ценной бумаги.) Пусть сг^ — «-й компонент волатильности переменной v. С помощью леммы Ито, приведенной в приложении 25.1, можно оценить изменение процесса, описывающего переменную v, возникающее вследствие изменения масштаба цен, которое, в свою очередь, влияет на ожидаемую скорость роста ценных бумаг. Оказывается, что ожидаемая скорость роста переменной v реагирует на изменение масштаба цен точно так же, как и ожидаемая скорость роста стоимости ценных бумаг (ситуация, в которой существует только одна стохастическая переменная, рассмотрена в задаче 12.6, а общий случай — в задаче 25.13). Этот параметр возрастает на величину
п
= 52 (25.33)
г=1
Пусть w = h/g, a crWjj — г-й компонент волатильности переменной w. Из леммы Ито (см. задачу 25.14) следует, что
&w,i ~~ &h,i ag,i-
Таким образом, равенство (25.33) можно переписать иначе.
п
(25.34) 1=1
Переменная w называется масштабным коэффициентом (numeraire ratio). Формула (25.34) эквивалентна следующему выражению.
OCV — p(JvCfw.
(25.35)
Здесь av — общая волатильность переменной v, aw — общая волатильность пере-w "7
меннои w, а р — мгновенная корреляция между переменными v и w.
Это удивительно простой результат. Оказывается, поправка ожидаемой скорости переменной v при изменении масштаба цен равна мгновенной ковариации между относительным изменением переменной v и относительным изменением масштабного коэффициента. Этот результат будет использован в главе 27 при оценке опционов кванто и при вычислении временных поправок.
Резюме
Рыночная цена риска, связанного с определенной переменной, представляет собой баланс между риском и доходностью ценных бумаг, зависящих от этой переменной. Если стоимость ценных бумаг зависит только от одной переменной, избыточная доходность дериватива, превышающая уровень безрисковой процентной ставки, равна рыночной цене риска, умноженной на волатильность переменной. Если стоимость дериватива зависит от многих переменных, избыточная доходность равна сумме рыночных цен риска, умноженных на волатильность каждой переменной.
Теория риск-нейтральных расчетов является мощным инструментом оценки деривативов. Она изложена в главах 11 и 13. Риск-нейтральные оценки стоимости деривативов справедливы не только в риск-нейтральных условиях, но и во всех других. В традиционных риск-нейтральных условиях рыночная цена риска, связанного со всеми переменными, равна нулю. Более того, ожидаемая стоимость любого актива в этих условиях равна его фьючерсной цене.
В главе изложена расширенная теория риск-нейтральных оценок. Мы показали, что в ситуациях, когда процентные ставки являются стохастическими, возникают многочисленные интересные альтернативы традиционным риск-нейтральным
7Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на то, что изменения Av и Aw переменных v hw соответственно за короткий промежуток времени Ai можно записать следующим образом.
Аг; = —|- Vat,
Aw =----1- <7Wilweiv/Ai.
Поскольку величины dzt являются некоррелированными, то E(e,Ej) = 0, если г j. Кроме того, из определения коэффициента р следует, что
pvavwaw = E’(AiiAw) — £(At')£’(Aw).
Отбрасывая члены, содержащие множители, степень которых выше At, приходим к выводу, что
условиям. Если в модель входи т только одна стохастическая переменная, а ры-вочная цена риска, связанного с ней, равна волатильности стоимости дериватива, такие условия называются форвардными риск-нейтральными условиями относительно стоимости ценных бумаг. Аналогичное определение возможно и в ситуациях, когда в модель входит несколько стохастических переменных. Мы показали, что в форвардных риск-нейтральных условиях относительно ценной бумаги д отношение f/g является мартингалом, описывающим поведение стоимости всех ценных бумаг. Март ингалом называется стохастический процесс с нулевым дрейфом. Любая переменная, поведение которой описывается мартингалом, обладает удобным свойством: ее математическое ожидание в любой будущий момент времени равно ее текущему математическому ожиданию. Оказывается, если соответствующим образом выбрать масштабную единицу д, то процедуру вычисления стоимости деривативов во многих случаях можно упростить.
В главе показано, что теорию риск-нейтральных расчетов можно применить для вычисления стоимости опционов кванто и опциона на обмен активов. В главах 26, 27, 29 и 30 эти оценки будут использованы для вычисления стоимости процентных деривативов.
Дополнительная литература
Baxter М. and Rennie A. Financial Calculus. — Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
Cox J. C., Ingersoll J. E. and Ross S. A. An Intertemporal General Equilibrium Model of Asset Prices H Econometrica, 53 (1985). — P. 363-384.
Duffle D. Dynamic Asset Pricing Theory. — Princeton University Press, Princeton, NJ, 1992.
Garman M. A General Theory of Asset Valuation under Diffusion State Process. — Working Paper 50, University of California, Berkeley, 1976.
Harrison J. M. and Kreps D. M. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets // Journal of Economic Theory, 20 (1979). — P. 381-408.
Harrison J. M. and Pliska S. R. Martingales and Stichastic Integrals in the Theory of Continuous Trading // Stochastic Processes and Their Applications, 11 (1981). — P. 215-260.
Вопросы и задачи
25.1. Как определяется рыночная цена риска, связанного с переменной, не являющейся стоимостью инвестиционного актива?
25.2. Предположим, что рыночная цена риска, связанного с золотом, равна нулю, стоимость хранения золота равна 1% в год, а безрисковая процентная ставка равна 6% годовых. Чему равна ожидаемая скорость роста стоимости золота, если золото не приносит дохода?
25.3. Рассмотрим две ценные бумаги, зависящие от одного и того же рыночного показателя. Ожидаемая доходность этих ценных бумаг равна 8 и 12% соответственно. Волатильность первой ценной бумаги равна 15%. Мгновенная безрисковая процентная ставка равна 4%. Чему равна волатильность второй ценной бумаги?
25.4. Единственной целью нефтяной компании является добыча нефти на небольшом месторождении в Техасе. Ее стоимость, в основном, зависит от двух стохастических переменных: цены на нефть и объема разведанных запасов нефти. Какой характер имеет зависимость рыночной цены риска от второй переменной: положительный, отрицательный или нейтральный?
25.5. Выведите дифференциальное уравнение для стоимости дериватива, зависящего от двух ценных бумаг, не приносящих дивидендов, сформировав инвестиционный портфель, свободный от риска, состоящий из дериватива и двух ценных бумаг.
25.6. Предположим, что процентная ставка ж описывается стохастическим процессом
dx — а(хо — x)dt + су/х dz,
где а, жо и с — положительные константы. Допустим также, что рыночная цена риска, связанного с переменной ж, равна А. Какой стохастический процесс описывает поведение переменной ж в традиционных риск-нейтральных условиях?
25.7. Докажите, что если доходность ценных бумаг / равна q, то равенство (25.9) принимает вид ц + д — г = Ха. {Подсказка', создайте новую ценную бумагу /*, не приносящую дохода, предполагая, что весь доход, полученный по ценной бумаге /, реинвестируется в нее же.)
25.8. Докажите, что если доходности ценных бумаг f и g равны qj и qg соответственно, то равенство (25.15) принимает вид
fQ^goe^f--^TE ('ll А
\9Т/
(Подсказка-, создайте две новые ценные бумаги /* и д*, не приносящие дохода, предполагая, что весь доход, полученный по ценным бумагам /и д, реинвестируется в них же.)
25.9. “Ожидаемая будущая величина процентной ставки в риск-нейтральных условиях больше, чем в действительности.” Какие выводы следуют из этого утверждения по отношению к рыночной цене риска, связанного 1) с процентной ставкой или 2) стоимостью облигации? Верно ли это высказывание? Аргументируйте свои выводы.
25.10. Переменная S представляет собой стоимость инвестиционного актива с доходностью q, номинированной в валюте А. Следовательно, процесс
dS — fisS dt + asS dz
описывает поведение переменной S в реальном мире. Опишите процесс, которому подчиняется переменная S в перечисленных ниже условиях (при необходимости можно ввести новые переменные).
1) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты А.
2) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты В.
3) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте А, срок обращения которой истекает в момент Т.
4) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте В, срок обращения которой истекает в момент Т.
25.11. Объясните разницу между определением форвардной процентной ставки и форвардных величин других переменных, таких как цена акции, цена товара или обменный курс.
25.12. Докажите результат, изложенный в разделе 25.5, если поведение переменных / и д описывается следующими стохастическими процессами.
п п
df = r + 52 fdt + ^a^ifdzi,
dg - г=1 n г + 52 t=l i=l n f dt + Gg,i9 dt'i j г=1
где величины dzt не коррелируют друг с другом, а отношение f /д является мартингалом, описывающим переменную Xi = Ogj.
25.13. Докажите равенство (25.33) из раздела 25.7.
25.14. Докажите, что если w = h/g, а переменные hug зависят от п вине-ровских процессов, то г-й компонент волатильности переменной w равен
разности между г-м компонентом волатильности переменной h и г-м компонентом волатильности переменной д. Используя этот результат, докажите, что если сту является волатильностью переменной U, а оу является волатильностью переменной V, то волатильность переменной U/V равна yjОу + ау — 2рар(Ту. (Подсказка', используйте результат, изложенный в сноске 7.)
Упражнения
25.15. Предположим, что стоимость ценной бумаги зависит от двух переменных: цены на медь и обменного курса иена-доллар. Допустим, что рыночная цена риска, связанного с этими переменными, равна 0,5 и 0,1 соответственно. Если цена на медь является фиксированной, то волатильность ценной бумаги равна 8% в год. Если обменный курс иена-доллар фиксирован, то волатильность ценной бумаги равна 12% в год. Безрисковая процентная ставка равна 7% годовых. Чему равна ожидаемая доходность ценной бумаги? Чему равна волатильность ценной бумаги, если две переменные не коррелируют друг с другом?
25.16. Предположим, что цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, описывается стохастическим процессом
dP(t, Г) = ppP(t, T)dt + apP(t, T)dz,
а цена дериватива, зависящего от этой облигации, подчиняется процессу
df = Pff dt + ffff dz.
Предположим, что стоимость дериватива зависит только от одного источника неопределенности, а сам дериватив не приносит дохода.
1) Чему равна форвардная цена F дериватива /, если контракт истекает в момент Т?
2) Какой процесс описывает форвардную цену F при форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции P(t, ТУ?
3) Какой процесс описывает форвардную цену F при традиционных риск-нейтральных условиях?
4) Какой процесс описывает цену дериватива f при форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации, срок обращения которой истекает в момент Т*, где Т* / 7'? Будем считать, что волатильность этой облигации равна сгр.
Упражнения 823
25.17. Рассмотрим переменную, не являющуюся процентной ставкой.
1) При каких условиях ее фьючерсная величина является мартингалом?
2) При каких условиях ее форвардная величина является мартингалом?
3) Определяя переменные соответствующим образом, выведите выражение для разности между дрейфом фьючерсной цены и дрейфом форвардной цены в риск-нейтральном мире.
4) Докажите, что ваш результат согласуется с выводами, сделанными в разделе 5.8, если фьючерсная цена больше форвардной.
Приложение 25.1. Обобщение леммы Ито на ситуацию с несколькими источниками неопределенности
В данном приложении доказываются лемма Ито и формула (25.13), связывающая избыточную доходность и рыночную стоимость риска в ситуации с несколькими источниками неопределенности.
Лемма Ито для функции, зависящей от нескольких переменных
Как показано в главе 12, лемма Ито описывает процесс, которому подчиняется функция, зависящая от одной стохастической переменной. В данном приложении формулируется обобщенный вариант леммы Ито для процесса, описывающего поведение функции, зависящей от нескольких стохастических переменных.
Предположим, что функция / зависит от п переменных a?i, х^, ..., хп и времени t. Допустим также, что переменные Xi подчиняются процессу Ито с мгновенным дрейфом щ и мгновенной дисперсией £>?, 1 i < п, т.е.
dxi = aidt + bi dzi, (25.1.1)
где dzi, 1 < i < n — винеровский процесс. Каждый коэффициент а, и bi может зависеть от всех переменных xi и времени t. Разложение функции / в ряд Тейлора имеет следующий вид.
-----ДЖгДж,+ oxidxj
1 п я2 г
г=1
Дискретный аналог уравнения (25.1.1) выглядит так.
Д.Тг = ai&t + bi€i\^t.
Здесь величина е, является выборочным значением, извлеченным из генеральной совокупности со стандартизованным нормальным распределением. Коэффициент корреляции pij между величинами dzt и dzj равен коэффициенту корреляции между величинами Ei и Sj. В главе 12 показано, что
lira Дж? = b? dt.
Ai—>0 1 г
Аналогично
lim Дж^Дж^ — bibiPjjdt.
6t->o J
При Д£ —► 0 первые три члена разложения величины Д/ в уравнении (25.1.2) имеют первый порядок по Д/. Все остальные члены содержат множители Д/ в более высокой степени. Следовательно,
Л, V- Д ^f 1 V- d2f , ь Л, " Е dxdXi 4- dt dt + 2 Е dXidtbibjPij d i=l i=l
Этот результат представляет собой обобщенный вариант леммы Ито. Подставляя в этой выражение формулу (25.1.1), приходим к следующему равенству.
Е + о Е Е \dt+Е dzi~ (25-1-3)
oxi dt 2 *-•! oxiox-j / oxi
г=1 г=1 3=1 J j 1=1
Рассмотрим альтернативное доказательство расширенной леммы Ито. Предположим, что функция f зависит от единственной переменной ж, поведение которой, в свою очередь, определяется несколькими винеровскими процессами.
тп
dx — adt + У bi dzi-
Z=1
В таком случае
^=^х+цм1^х21^х^+:
п
Д.Х = аД4 +
г=1
тп тп
"ЕЕ bib3pddt' i=i j=i
где pij — коэффициент корреляции между величинами dz^ и dzj. Отсюда следует, что
df df
~^~а + ^7 + О Е Е ЬгЬзРч
dx dt 2 dx2
i=l j=l
df rn
dt + = \2bi dzi dx t—*
(25.1.4)
В заключение, рассмотрим более общий вариант, в котором функция f зависит от переменных ж,, 1 < z < п, и
ш
dxj, — (1{ dt ^ik dzfc.
к=1
Аналогичный анализ показывает, что
а/ 1АА '-,2/ vv*.
df~ IE^“< + <«+
\l=l 1=1 j=l г 3 k=l 1=1 )
+ ^^.'fj)ikdzk- <25-L5> i=i ОХг k=i
Доходность ценной бумаги, зависящей от нескольких источников неопределенности
В разделе 25.1 доказана формула, связывающая избыточную доходность с риском при единственном источнике неопределенности. Перейдем к доказательству этой формулы для ситуации, в которой существует несколько источников неопределенности.
Рассмотрим п стохастических переменных, описываемых винеровскими процессами, и п + 1 ценных бумаг; стоимость которых зависит от нескольких или всех п стохастических переменных. Обозначим через fa стоимость j-й ценной бумаги, где 1 < j < п + 1. Предположим, что рассматриваемые ценные бумаги не приносят дивидендов или другого дохода.8 Отсюда следует, что ценная бумага описывается стохастическим процессом
46 = dt + &ijfj dzi. (25.1.6)
г=1
Поскольку количество ценных бумаг равно п + 1, а количество винеровских процессов равно п, можно сформировать инвестиционный портфель П, свободный от риска. Пусть kj — количество j-й ценной бумаги в портфеле. Отсюда следует, что
П+1
П = £М (25.1.7)
j=i
Величины kj необходимо выбрать так, чтобы стохастические компоненты доходности ценных бумаг были исключены. С учетом уравнения (25.1.6) это значит, что
п+1
кзачЛ = °> 1 < « п- (25.1.8)
3=1
8Это ограничение не слишком обременительно. Ценную бумагу, не приносящую дивидендов, всегда можно сформировать из ценной бумаги с определенной доходностью, реинвестировав дивиденды обратно.
Доходность портфеля выражается формулой
п+1
dll = ^2 kjpbjfj dt-
3=1
Стоимость создания портфеля равна
п+1
У?
3=1
Если арбитражные возможности отсутствуют, доходность портфеля должна быть равной безрисковой процентной ставке, так что
п+1 п+1
У^ kjtijfj ~ г У^ kjfji (25.1.9)
j=i j=i
т.е.
п+1
У^Л(^-г) = 0. (25.1.10)
з=1
Уравнения (25.1.8) и (25.1.10) можно рассматривать как систему, состоящую из п +1 линейных однородных уравнений относительно неизвестных величин kj, которые не могут одновременно равняться нулю. Из хорошо известной теоремы линейной алгебры следует, что уравнения (25.1.8) и (25.1.10) являются совместными тогда и только тогда, когда при всех значениях индекса j выполняется соотношение
71
fj ^3 ~ г) = (25.1.11)
г=1
ИЛИ п
т - Г = 5? (25.1.12)
г=1
для некоторых переменных Aj (1 г < п), зависящих только от переменных состояния и времени. Отбрасывая индекс j, приходим к выводу, что для любой ценной бумаги /, зависящей от п стохастических переменных, выполняется соотношение
df = nf dt + У ст*/(^,
г=1
где
71
Д " ?' = У XiCTj.
г=1
Это доказывает формулу (25.13).
Процентные деривативы: стандартные рыночные модели
Процентные деривативы — это финансовые инструменты, размер выплат по которым зависит от процентных ставок. В 1980-1990-х годах объем торговли процентными деривативами резко возрос как на биржевом, так и внебиржевом рынках. Появилось большое количество новых ценных бумаг, учитывающих специфические запросы потребителей. Таким образом, трейдеры столкнулись с серьезной проблемой — создать надежные процедуры, позволяющие оценить и хеджировать эти финансовые инструменты.
Оценивать процентные деривативы сложнее, чем фондовые или валютные производные ценные бумаги. Это объясняется следующими причинами.
1. Поведение конкретной процентной ставки сложнее, чем поведение цен акций или валютных курсов.
2. При оценке многих процентных деривативов необходимо разрабатывать модель, описывающую поведение всей кривой доходности нулевого купона.
3. Волатильность кривой доходности в разных точках имеет разную величину.
4. Процентные ставки используются не только для дисконтирования выплат, но и для определения их объема.
В главе рассматривается три процентных опциона, наиболее популярных на внебиржевом рынке: облигационные опционы (bond options), процентные опционы “кэп” и “фло” (interest rate caps/floor), а также свопционы (swap options). Для оценки этих финансовых инструментов используются стандартные рыночные модели. Внутренняя непротиворечивость этих моделей доказывается с помощью материала, изложенного в главе 25.
26.1 Модели Блэка
Модель Блэка-Шоулза впервые была опубликована в 1973 году и с тех пор завоевала широкую популярность. Как показано в главе 14, впоследствии эта модель была усовершенствована и позволила оценивать валютные, индексные
и фьючерсные опционы. Трейдерам стало очень удобно пользоваться предположением о логнормальном распределении, лежащем в основе этой модели, и мерами волатильности, описывающими неопределенность. Таким образом, нет ничего удивительного в том, что исследователи попытались применить эту модель для оценки процентных деривативов.
В следующих трех разделах рассматриваются три наиболее популярных процентных дериватива (облигационные опционы, процентные опционы “кэп” и “флор”, а также свопционы) и обсуждаются методы их оценки на основе предположения о логнормальности, принятого в модели Блэка-Шоулза. Модель, которую мы будем использовать, обычно называется моделью Блэка, поскольку она очень напоминает формулы, предложенные Фишером Блэком для оценки товарных фьючерсов (см. раздел 14.8). Если в рамках этой модели фьючерсный контракт и опцион имеют одинаковые сроки действия, то фьючерсная цена опциона равна его цене спот в момент погашения. Это значит, что модель Блэка позволяет оценить не только цену спот, но и фьючерсную цену опциона.
Использование модели Блэка для оценки европейских опционов
Рассмотрим европейский опцион на покупку актива стоимостью V. Введем следующие обозначения.
Т: время, оставшееся до истечения срока действия опциона;
F: форвардная цена актива V по контракту, срок действия которого истекает в момент Т;
Fq: форвардная цена актива V в нулевой момент;
К: цена исполнения опциона;
P(t, Т): цена облигации с нулевым купоном, выплата по которой в момент Т равна одному доллару, зарегистрированная в момент t;
Vt' цена актива V в момент Т;
а : волатильность форвардной цены актива F.
В основе модели Блэка лежит два предположения.
1. Переменная In Vt имеет логнормальное распределение с математическим ожиданием Fo и стандартным отклонением стх/Т.
2. Ожидаемый размер выплат по деривативу дисконтируется по Т-летней безрисковой процентной ставке путем его умножения на величину Р(0, Т).
Размер выплат по опциону в момент Т равен max(V/’ — А', 0). Как показано в приложении 13.1, из предположения о логнормальности переменной Vt следует, что ожидаемый размер выплаты равен
F(Vr)7V(di) - KN(d2),
где Е(Ут) — математическое ожидание переменной Vt и
, ln[F(VT)/A'] +(т2Т/2 d] =-------—т=--------
uVT
, \п{Е(ут)/К\-а2Т/2
d2 =
ctVT
Поскольку мы предположили, что E(Vr) = Fq, а дисконтирование осуществляется по безрисковой процентной ставке, стоимость опциона равна
с = P(0,T)[Fo^№) - KN(d2)\, (26.1)
где
In [Fo/A'] + сг2Т/2
«1 = --------7=-----
ctVT
ln[F0/Al-r2T/2
«2 = --------7=-----
Стоимость аналогичного опциона “пут” р равна
р = Р(0, T)[A'7V(—d2) - FoJV(-di)].
(26.2)
Описанная выше модель Блэка имеет важную особенность: она не использует предположения о том, что переменные V или F подчиняются законам геометрического броуновского движения. От переменной V требуется лишь, чтобы в момент Т она имела логнормальное распределение. Параметр а обычно называется волатильностью форвардной цены F или форвардной волатильностью стоимости актива V. Однако это предположение, в свою очередь, необходимо лишь для того, чтобы определить стандартное отклонение функции In Vt с помощью следующего соотношения.
Стандартное отклонение In V[ = crVT.
Параметр волатильности может ничего не говорить о стандартном отклонении функции In V в моменты, не совпадающие с моментом Т.
Отложенные выплаты
Модель Блэка можно распространить на ситуации, в которых размер выплаты зависит от значения переменной V в момент Т, но фактическая выплата денежных сумм осуществляется позднее в момент Т*. Ожидаемый размер выплаты в этом
случае дисконтируется в момент Т*, а не Т, поэтому формулы (26.1) и (26.2) принимают следующий вид.
с = P(0,T*)[FoN(di) - KN(d2)], (26.3)
р = P(0,T*)[KN(-d2) - F0N(-di)], (26.4)
где
di =
hi[F0/K]+(r2T/2 ау/Т
\n[F0/K\-a*T/2
d2 =----------------= <71 — cry i .
ау/Т
Корректность модели Блэка
Легко видеть, что модель Блэка является приемлемой, если процентные ставки являются постоянными или детерминированными. В таком случае, как показано в главе 5, форвардная цена актива совпадает с его фьючерсной ценой, а модель Блэка совпадает с моделью, описанной в разделе 14.7.
Если процентные ставки подчиняются стохастическому процессу, то при выводе формул (26.1)-(26.4) необходимо ответить на два вопроса.
1. Почему мы приравниваем математическое ожидание E(Vt) к форвардной цене актива Fq, хотя форвардная цена не совпадает с фьючерсной?
2. Почему при дисконтировании размера выплаты игнорируется тот факт, что процентные ставки описываются стохастическим процессом?
Оказывается, эти два предположения компенсируют друг друга. Применяя модель Блэка для оценки облигационных опционов, опционов “кэп” и “фло”, а также свопционов, мы будем использовать результаты, изложенные в разделе 25.4, и покажем, что, когда процентные ставки являются стохастическими, в формулах (26.1)-(26.4) нет никаких натяжек. Следовательно, модель Блэка имеет надежную теоретическую основу и может применяться более широко, чем принято считать.
26.2 Облигационные опционы
Облигационный опцион (bond option) — это опцион на покупку или продажу облигации в определенный день по установленной цене. Кроме внебиржевого рынка, облигационные опционы часто сопровождают выпуск облигаций, чтобы повысить их привлекательность для потенциальных покупателей (такие опционы называются внутренними (embedded)).
Внутренние облигационные опционы
Примером внутреннего облигационного опциона (embedded bond option) является отзывная облигация (callable bond). Это — облигация, содержащая условия, позволяющие эмитенту в будущем выкупить ее обратно по заранее установленной цене в определенный момент. Владелец такой облигации продает эмитенту опцион на ее покупку. Цена исполнения этого опциона представляет собой заранее установленную цену, по которой облигация должна быть продана эмитенту. Отзывные облигации, как правило, нельзя выкупать на протяжении первых нескольких лет после ее выпуска. (Этот интервал времени называется периодом блокировки (lock out period).) Затем стоимость опциона со временем обычно падает. Например, при выпуске 10-летней отзывной облигации на протяжении первых двух лет эмитент может не иметь привилегий. После этого эмитент может получить право выкупить облигацию: на третий и четвертый годы — за 110 долл., на пятый и шестой — за 107,5 долл., на седьмой и восьмой — за 106 долл., а на девятый и десятый — за 103 долл. Стоимость опциона на покупку облигации отражается на ее купонной доходности. Облигации, допускающие досрочный выкуп, обычно имеют более высокую доходность, чем остальные.
Еще одним примером внутреннего опциона является облигация с правом досрочного погашения (puttable bond). Такая облигация содержит условия, позволяющие владельцу требовать досрочного погашения облигации по заранее установленной цене в определенные моменты времени. Владелец такой облигации вместе с ней покупает опцион на ее продажу. Поскольку опцион на продажу облигации повышает ее стоимость, такие облигации имеют более низкую купонную доходность, чем остальные. Простым примером облигации с правом досрочного отзыва является 10-летняя облигация, владелец которой имеет право досрочно погасить ее в конце пятого года. (Такие облигации иногда называются сжимаемыми (retractable).)
Заемные и депозитные инструменты также часто содержат внутренние облигационные опционы. Например, пятилетний депозит с фиксированной ставкой, который в любой момент можно закрыть без штрафных санкций, содержит американский опцион на продажу облигации. (Депозит — это облигация, владелец которой имеет право вернуть ее финансовой организации в любой момент.) Авансовые привилегии по обычным и ипотечным займам также эквивалентны опционам на покупку облигаций.
В заключение отметим, что любое соглашение о выдаче денежной ссуды, заключенное банком или другой финансовой организацией, представляет собой опцион на продажу облигации. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой банк устанавливает для своих потенциальных заемщиков пятилетнюю процентную ставку на уровне 12% и утверждает, что эта ставка будет действовать в течение следующих двух месяцев. Фактически, клиент банка получает право в любой
момент на протяжении ближайших двух месяцев продать финансовой организации пятилетнюю облигацию с 12%-ным купоном по ее номинальной стоимости.
Европейские облигационные опционы
Многие внебиржевые облигационные опционы и некоторые опционы, сопровождающие выпуск облигаций, являются европейскими. Рассмотрим теперь стандартные рыночные модели, используемые при оценке европейских опционов.
Как правило, в основе таких моделей лежит предположение о том, что цена облигации в момент ее погашения имеет логнормальное распределение. В этом случае для вычисления цены опциона можно применять формулы (26.1) и (26.2), заменяя величину Fo форвардной ценой облигации Fg. Как указано в разделе 26.1, переменная erg выбирается так, чтобы величина ству/Т была стандартным отклонением логарифма цены облигации в момент завершения опциона. Таким образом, формулы для вычисления европейского облигационного опциона имеют следующий вид.
с = Р(0, T^FbN^ - KN(d2)], (26.5)
р = P(Q.T)[KN(—d2) - FBN(—d\)\, (26.6)
где
\n[FB/K] + a2BT/2 f-
di =-----------------и d2 = di — aByT.
ctbvT
Как указано в разделе 5.5, величину Fg можно вычислить по формуле
<26-7)
где Во — цена облигации в нулевой момент времени, al — текущая стоимость купонов, погашаемых на протяжении всего срока обращения облигации. В этой формуле как цена спот, так и форвардная цена облигации являются наличными ценами (cash prices), а не котировками. Разница между наличными ценами и котировками разъясняется в разделе 6.2.
Цена исполнения К в формулах (26.5) и (26.6) должна быть наличной. Таким образом, чтобы выбрать правильное значение К, необходимо точно учесть условия опциона. Если цена исполнения представляет собой денежную сумму, на которую обменивается облигация в момент ее погашения, то величину К следует установить равной этой цене исполнения. Если же цена исполнения представляет собой котировку, применяемую при исполнении опциона, величину К следует установить равной сумме цены исполнения и дохода, накопленного к моменту погашения. Трейдеры называют котировочную цену облигации “чистой”, а наличную цену — “грязной”.
Пример 26.1
Рассмотрим 10-месячный европейский опцион на покупку 9,75-летней облигации с номинальной стоимостью 1 000 долл. (В момент исполнения опциона до погашения облигации останется 8 лет и 11 месяцев.) Допустим, что текущая наличная цена облигации равна 960 долл., цена исполнения опциона равна 1 000 долл., 10-месячная безрисковая процентная ставка равна 10% годовых, а волатильность форвардной цены облигации за 10 месяцев равна 9% в год. Облигация предусматривает купонные выплаты: каждые полгода — 10%, а через три и девять месяцев — по 50 долл. (Это значит, что накопленный доход равен 25 долл., а котировочная цена облигации равна 935 долл.) Предположим, что трех- и девятимесячная безрисковые процентные ставки равны 9,0 и 9,5% соответственно. Следовательно, текущая стоимость купонных выплат равна
50е-0’25х0’09 + 50е~°’75х °’095 = 95,45%
т.е. 95,45 долл. Из формулы (26.7) следует, что форвардная цена облигации равна
FB = (960 - 95,45)е0Дх0’8333 = 939,68 долл.
1. Если цена исполнения равна наличной цене, которая выплачивается в момент погашения облигации, то параметры в формуле (26.5) устанавливаются следующим образом: FB = 939,68, А'= 1000, Р(0, Г) = 50е~ОДхД°/12) = = 0,9200, ст = 0,09 и Т — 10/12. Стоимость опциона “колл” равна 9,49 долл.
2. Если цена исполнения равна котировочной цене, которая выплачивается в момент погашения облигации, то к величине К следует добавить доход, накопленный за один месяц, поскольку исполнение опциона происходит через один месяц после купонной выплаты. Следовательно,
К = 1000 + 50 х 0.16667 = 1008,33.
Значения других параметров в формуле (26.5) остаются прежними (т.е. = 939,68, АГ = 1000, Р(0,Т) = 5Ое-°Дх(10/12) = 0,9200, ст = 0,09 и
Т = 0,8333). Цена опциона равна 7,97 долл. □
Как показано на рис. 26.1, стандартное отклонение логарифма цены облигации со временем изменяется. В текущий момент стандартное отклонение равно нулю, поскольку относительно сегодняшней цены облигации нет никакой неопределенности. В момент погашения облигации стандартное отклонение ее цены также равно нулю, поскольку нам известно, что в этот момент ее цена равна номинальной стоимости. Между текущим моментом и сроком погашения облигации стандартное отклонение сначала растет, а потом падает. Волатильность ст, которая используется при оценке европейского опциона на покупку или продажу
облигации, вычисляется по следующей формуле.
Стандартное отклонение логарифма цены облигации в момент погашения
^/Время, оставшееся до погашения опциона
Стандартное отклонение
логарифма цены облигации
Срок погашения облигации
Время
Рис. 26.1. Стандартное отклонение логарифма цены облигации как функция от времени
Типичная форма волатильности ст как функции от срока действия опциона представлена на рис. 26.2.
Срок действия опциона
Срок погашения облигации
Рис. 26.2. Вариация волатильности о цены облигации в зависимости от срока действия опциона
Волатильности доходности
В качестве волатильности, характеризующей изменчивость облигационного опциона, часто используется волатильность доходности, а не цены. Для преобра
зования волатильности котировочной доходности в волатильность цены используется понятие дюрации, изложенной в главе 4. Предположим, что D — модифицированная дюрация (modified duration). Зависимость между изменением форвардной цены облигации AFb и изменением ее форвардной доходности Дур имеет
следующий вид. ДГв FB ~ —D&yF,
или &FB Г, &Ур DyF
Fb VF
Волатильность — это мера стандартного отклонения относительных изменений величины переменной. Следовательно, это уравнение предполагает, что волатильность сгд форвардной цены облигации, используемую в модели Блэка, можно связать с волатильностью сгу форвардной доходности облигации с помощью следующего приближенного соотношения.
о в = Dy(](7y. (26.8)
Здесь уо — начальное значение переменной ур. При выборе волатильности доходности для облигационного опциона, как правило, используется неявное предположение, что ее можно преобразовать в волатильность цены, используя формулу (26.8), и что для вычисления цены облигации эту волатильность можно использовать совместно с формулами (26.5) и (26.6). Предположим, что модифицированная дюрация облигации, лежащей в основе опциона “колл”, в момент его исполнения равна пяти годам, форвардная доходность равна 8%, а волатильность форвардной доходности, установленная брокером, равна 20%. Это значит, что рыночная цена опциона, соответствующая котировке брокера, равна цене, вычисленной по формуле (26.5), в которой волатильность сг равна
5 х 0,08 х 0,2 = 0,08,
т.е. 8% годовых. Как следует из рис. 26.2, форвардная волатильность облигации зависит от рассматриваемого опциона. В то же форвардная волатильность доходности, определенная выше, является постоянной. По этой причине трейдеры предпочитают работать именно с ней.
Для вычисления цены европейского облигационного опциона с помощью модели Блэка можно использовать рабочий лист Bond Options в программе DerivaGem, выбрав пункт Black-European в раскрывающемся списке Pricing Model. Затем следует ввести волатильность доходности, вычисленную так, как показано выше. В качестве цены исполнения необходимо выбрать наличную или котировочную цену исполнения.
Пример 26.2
Рассмотрим европейский опцион на продажу десятилетней облигации с номинальной стоимостью, равной 100. Купонные выплаты осуществляются раз в полгода в размере 8%. Продолжительность опциона равна 2,25 года, а его цена исполнения равна 115. Волатильность форвардной доходности равна 20%. Кривая нулевой доходности является плоской и проходит на уровне 5% при непрерывном начислении. Применение программы DerivaGem показывает, что котировочная цена облигации равна 122,84. Если в качестве цены исполнения используется котировочная цена, то стоимость опциона равна 2,37. Если же в качестве цены исполнения используется наличная цена, стоимость опциона равна 1,74 долл. (Обратите внимание на то, что результаты вычисления с помощью программы DerivaGem могут не совпадать с результатами вычислений, выполненными вручную, поскольку в программе DerivaGem заложено предположение, что год состоит из 365 дней и она округляет время до ближайшего целого числа дней; см. задачу 26.16.) □
Теоретическое обоснование модели
В разделе 25.4 рассмотрены гипотезы, альтернативные обычным риск-ней-тральным предположениям, используемым при оценке деривативов. Одной из этих гипотез являются форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т. В частности, при указанных предположениях там были доказаны следующие утверждения.
1. Текущая стоимость любой ценной бумаги равна ее ожидаемой стоимости в момент Т, умноженной на цену облигации с нулевым купоном в этот момент.
2. Ожидаемая цена любой ценной бумаги в момент Т равна ее форвардной цене (формула (25.21)).
Первый из этих результатов означает, что цена опциона на покупку облигации, срок действия которого завершается в момент Т, равна
с = Р(0, Т)Ет [тах(Вг - К, 0)], (26.9)
где Вт — цена облигации в момент Т, а Ет — математическое ожидание переменной в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т. Из второго утверждения следует, что
Ет(Вт) = FB. (26.10)
Предполагая, что цена облигации имеет логнормальное распределение и стандартное отклонение логарифма цены облигации равно сгвх^Г, с учетом фактов,
изложенных в приложении 13.1, приведем формулу (26.9) к виду с = P(O,T)[ET(JBT)N(di) - KN(d2)],
где
]п[Ет(Вт)/К]+авТ/2 ову/Т
\п[Ет{Вт)/К}-а2вТ/2 (тву/Т
Учитывая формулу (26.10), приходим к усеченной формуле Блэка (26.5). Итак, мы показали, что если ожидаемая цена облигации установлена равной ее форвардной цене, то для дисконтирования размера выплаты следует использовать Т-летнюю текущую процентную ставку.
26.3 Процентные опционы “кэп” и “фло”
Одним из наиболее популярных процентных опционов, предлагаемых финансовыми организациями на внебиржевом рынке, является процентный опцион “кэп” (interest rate cap). Чтобы лучше понять его сущность, сначала следует рассмотреть вексель с плавающей ставкой (floating rate note), периодически устанавливаемой на уровне ставки LIBOR. Интервал времени между моментами установки процентной ставки называется расчетным (tenor). Предположим, что расчетный интервал равен трем месяцам. Процентная ставка по векселю на первые три месяца равна первоначальной трехмесячной ставке LIBOR, процентная ставка по векселю на следующие три месяца равна трехмесячной ставке LIBOR, доминирующей на рынке, и т.д.
Цель процентного опциона “кэп” (“шапка”. — Примеч. ред.) — застраховаться от того, что доходность по плавающей ставке превысит определенный уровень. Этот уровень называется предельным (cap rate). Допустим, что основная сумма равна 10 млн долл., расчетный интервал (tenor) векселя равен трем месяцам, продолжительность опциона равна пяти годам, а предельный уровень равен 4%. (Поскольку выплаты осуществляются поквартально, предельный уровень устанавливается с учетом поквартального начисления.) Опцион “кэп” представляет собой страховку от того, что плавающая процентная ставка поднимется выше 4%.
Пока мы будем игнорировать календарные поправки и предположим, что между моментами выплат проходит ровно 0,25 года. Календарные поправки будут рассмотрены в конце этого раздела. Предположим также, что в момент установки процентной ставки трехмесячная ставка LIBOR равна 5%. Таким образом, через три месяца размер выплаты по векселю с плавающей ставкой составит
0,25 х 0,05 х 10000000 = 125000 долл.
Если бы ставка LIBOR была равна 4%, размер выплаты был бы равен
0,25 х 0,04 х 10000000 = 100000 долл.
Таким образом, выигрыш по опциону “кэп” равен 25 000 долл.1 Обратите внимание, что выигрыш происходит не в день установки новой процентной ставки, а на три месяца позже. Это отражает существование обычного временного лага между наблюдаемой процентной ставкой и соответствующими выплатами.
В каждый момент установки новой процентной ставки на протяжении срока действия опциона регистрируется значение ставки LIBOR. Если ставка LIBOR меньше 4%, то через три месяца опцион “кэп” не принесет никакого выигрыша. Если же ставка LIBOR больше 4%, то через квартал выигрыш будет равен сумме, полученной путем применения четверти избыточной процентной ставки к основной сумме. Обратите внимание на то, что опцион “кэп”, как правило, организовывается так, чтобы первоначальная ставка LIBOR, даже если она превышает предельный уровень, не приносила немедленного выигрыша. В нашем примере опцион “кэп” длится пять лет. Следовательно, на протяжении срока его действия будет 19 моментов, в которых процентная ставка устанавливается заново (в моменты 0,25, 0,5, 0,75, ..., 4,75 лет), и 19 потенциальных выигрышей (в моменты 0,50, 0,75, 1,00, ..., 5,00 лет).
Опцион “кэп” как портфель, состоящий из процентных опционов
Рассмотрим опцион “кэп”, срок действия которого равен Т, основная сумма равна L, а предельный уровень равен Rk. Предположим, что новые процентные ставки устанавливаются в моменты ..., tn. Пусть fn+i = Т. Обозначим через Rk процентную ставку, установленную на промежуток времени между моментами tfc и и наблюдаемую в момент tk (1 к п). Выигрыш по опциону “кэп” в момент tk+i, к = 1,2,... ,п, равен
LSk max(Rk — Rk, 0), (26.11)
где ёк — tk+i — tk- (Величины Rk и Rk устанавливаются с учетом того, что частота начисления равна частоте изменения процентных ставок.)
Формула (26.11) описывает выигрыш по опциону “колл”, возникающий в момент tk+i, при ставке LIBOR, наблюдаемой в момент tk- Опцион “кэп” представляет собой портфель таких опционов. Ставки LIBOR регистрируются в моменты ti, t2, ..., tn, а соответствующие выигрыши возникают в моменты t%, .tn, tn+y. Компоненты опциона “кэп” называются кэплетами (caplets).
1В основе этих вычислений лежит предположение, что между моментами установки процентной ставки проходит ровно три месяца. На практике в вычислениях учитывается точное количество дней, прошедших между этими моментами, с учетом принятого календарного соглашения.
Опцион “кэп” как портфель облигационных опционов
Процентный опцион “кэп” можно представить в виде портфеля опционов на Продажу облигаций с нулевым купоном, выигрыши по которым возникают непосредственно в момент их подсчета. Выигрыш в формуле (26.11) в момент tk+i эквивалентен величине
i х max (Rk - RK, 0),
1 + RkOk
вычисленной в момент tk. Простыми алгебраическими преобразованиями это выражение можно свести к следующему.
/ L (1 + Rk6k) \
' max L------}---—4^, 0 ) . (26.12)
\ 1 + RkOk )
Дробь
к £ (1 + Rk$k)
1 + Rk5k
Представляет собой зарегистрированную в момент tk стоимость облигации с нулевым купоном, выплата по которой в момент tk+i равна £(1 + Следовательно, выражение в формуле (26.12) представляет собой выигрыш по опциону ia продажу облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает В момент а номинальная стоимость равна L(1 + П.к6к), при условии что срок действия опциона истекает в момент tk, а цена исполнения опциона равна L. Тйким образом, процентный опцион “кэп” можно интерпретировать как портфель европейских опционов на продажу облигаций с нулевым купоном.
Опционы “фло” и “коллар”
j. Процентные опционы “фло” и “коллар” (иногда их также называют рамочными соглашениями (floor-ceiling agreement)) аналогичны опциону “кэп”. Опцион >о” (“пол”. — Примеч. ред.) приносит выигрыш, когда процентная ставка по соответствующему векселю с плавающей ставкой падает ниже установленного уровня. Используя введенные ранее обозначения, можно выигрыш по опциону W в момент tk+i, где к = 1,2,..., п, вычислить по формуле
L8k max(7?/< — Rk, 0).
Аналогично процентному опциону “кэп”, процентный опцион “фло” можно представить в виде портфеля опционов на продажу процентных ставок либо в вида портфеля, содержащего опционы на покупку облигаций с нулевым купоном. Компоненты опциона “фло” называются флорлетами (floorlets). Опцион “коллар” (“ошейник”. — Примеч. ред.) представляет собой финансовый инструмент, цель
которого — гарантировать, что плавающая процентная ставка по соответствующему векселю всегда лежит в определенном диапазоне. Опцион “коллар” является комбинацией длинной позиции по опциону “кэп” и короткой позиции по опциону “фло”. Он часто конструируется так, чтобы цена опциона “кэп” в начальный момент времени была равна цене опциона “фло”. Таким образом, стоимость заключения опциона “коллар” равна нулю.
Как показано во врезке “Пример из деловой практики 26.1”, между ценами опционов “кэп” и “фло” существует паритет опционов “колл” и “пут”.
Пример из деловой практики 26.1. Паритет опционов “кэп” и “фло”
Между ценами опционов “кэп” и “фло” существует паритет опционов “колл” и “пут”. Это значит, что
цена опциона “кэп” = цена опциона “фло” + стоимость свопа.
В этом равенстве опционы “кэп” и “фло” имеют одинаковые цены исполнения Rk- Своп — это соглашение получить плавающую ставку и заплатить фиксированную ставку Rk, не обмениваясь выплатами в первый момент установки новой процентной ставки. Все три инструмента имеют одинаковую продолжительность и одну и ту же частоту выплат.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сочетание длинной позиции в опционе “кэп” с короткой позицией в опционе “фло”, создавая те же денежные потоки, что и своп. В течение периодов времени, на которых ставка LIBOR превышает величину Rk, опцион “кэп” порождает платежи в размере LIBOR - Rk- В течение периодов времени, на которых ставка LIBOR меньше величины Rk, короткая позиция по опциону “фло” порождает платежи в размере — (Rk — LIBOR) = = LIBOR — Rk- Следовательно, при любом развитии событий размер платежей равен LIBOR- Rk- Эти платежи представляют собой денежные потоки в рамках свопа. Таким образом, стоимость опциона “кэп” за вычетом стоимости опциона “фло” должна быть равной стоимости соответствующего свопа.
Обратите внимание на то, что свопы обычно конструируются так, чтобы выплаты в первый момент установки новой процентной ставки определялись ставкой LIBOR, зарегистрированной в нулевой момент времени. Опционы “кэп” и “фло” обычно конструируются так, чтобы они не приносили выигрыша в этот момент. Вот почему своп должен быть определен таким образом, чтобы в первый момент установки новой процентной ставки никакие выплаты не производились.
Оценка опционов “кэп” и “фло”
Как следует из формулы (26.11), кэплет, соответствующий процентной ставке, зарегистрированной в момент tk, приносит в момент выигрыш
L6kmax(RK - Rk,ty.
Если процентная ставка Rk имеет логнормальное распределение с волатильностью <Tfe, то из формулы (26.3) следует, что стоимость этого кэплета равна
L4P(0,tfe+1)[Ffe7V(di) - RKN(d2)], (26.13)
где
_ In [Fk/RK] + oj.tk/2 1 “ °kjrk
<k = = rfl _
a Fk — форвардная ставка, установленная на период между моментами tk и tk+\. Из формулы (26.4) следует, что стоимость соответствующего флорлета равна
L5kP(0, tk+1)[RkN(-d2) - FKN(-dx)]. (26.14)
Пример 26.3
Рассмотрим трехмесячный контракт, в котором предельный уровень процентной ставки по займу на 10000 долл, равен 8% годовых (при ежеквартальном начислении), а срок не выходит за пределы одного календарного года. Этот контракт представляет собой кэплет и может быть элементом опциона “кэп”. Предположим, что кривая доходности является плоской и проходит на уровне 7% годовых при ежеквартальном начислении, а однолетняя волатильность трехмесячной процентной ставки, лежащей в основе кэплета, равна 20% в год. Нулевая процентная ставка с непрерывным начислением для всех сроков погашения равна 6,9394%. Таким образом, параметры в формуле (26.13) имеют следующие значения: Fk = 0,07, 6к — 0,25, L = 10000, Rk — 0,08, tk — 1,0, tki i = 1,25, P(O,tfc+i) = e-°-069394x1’25 = 0,9169 и o-fc = 0,20. Кроме того,
In (0,07/0,08) + 0,22 x 1/2 cti = ----------—-------------= —0,5677,
0,20 x 1
d2 = di - 0,20 = - 0,7677.
Таким образом, стоимость кэплета равна
0,25 х 10000 х 0,9169[0,077V(—0,5677) - 0,08JV(-0,7677)] = 5,162 долл.
(Обратите внимание на то, что стоимость кэплета, вычисленная с помощью программы DerivaGem, равна 5,146 долл. Это объясняется тем, что в программе DerivaGem заложено предположение, что год состоит из 365 дней и она округляет время до ближайшего целого числа дней.) □
Каждый кэплет в опционе “кэп” должен оцениваться по формуле (26.13) отдельно от других. С одной стороны, для каждого кэплета можно установить отдельную волатильность — так называемую реальную волатильность (spot volatility). С другой стороны, для всех кэплетов, образующих опцион “кэп”, можно установить одну и ту же волатильность, но варьировать ее в зависимости от срока действия опциона. Такая волатильность называется слабой, или плоской (flat volatility).2 На рынке, как правило, используются слабые волатильности. Однако многие трейдеры предпочитают работать с реальной волатильностью, поскольку она позволяет выявлять недооцененные и переоцененные кэплеты. Опционы на продажу или покупку фьючерсов на евродоллары очень напоминают кэплеты, а реальные волатильности, используемые для оценки кэплетов с трехмесячной ставкой LIBOR, часто сравнивают с волатильностями, вычисленными по ценам фьючерсных опционов на поставку евродолларов.
Реальная и слабая волатильности
Типичная зависимость реальной и слабой волатильности от срока действия соответствующего опциона продемонстрирована на рис. 26.3. (Для реальной волатильности этим сроком действия считается срок действия кэплета, а для слабой волатильности он совпадает со сроком действия опциона “кэп”.) Слабая волатильность сродни среднему значению реальных волатильностей и поэтому имеет меньшую изменчивость. Как показано на рис. 26.3, график волатильности, как правило, имеет “горб”. Вершина этого горба приходится на второй или третий год. Этот “горб” характерен как для волатильности, подразумеваемой при оценке опциона, так и для волатильности, вычисленной по ретроспективным данным. Относительно причин его существования единой точки зрения не существует. Одно из возможных объяснений этого явления заключается в следующем. Процентные ставки, соответствующие краткосрочным кривым доходности, контролируются центральными банками. И наоборот, двухлетние и трехлетние процентные ставки определяются, в основном, торговой деятельностью трейдеров. Эти трейдеры могут излишне резко реагировать на изменения на колебания краткосрочных ставок, что приводит к относительному повышению волатильности двухлетних и трехлетних ставок. Если срок действия опциона превышает два или три года, то процесс возвращения процентных ставок к среднему значению, объясняемый в главе 28, приводит к уменьшению их волатильности.
Брокеры пользуются таблицами, содержащими значения подразумеваемой волатильности для опционов “кэп” и “фло”. Инструменты, на основе которых рассчитываются эти котировки, как правило, приносят выигрыш. Это значит, что процентные ставки по опционам “кэп” и “фло” эквивалентны процентной ставке по свопу, сроки выплат по которому совпадают со сроками выплат по опциону
2Слабую волатильность можно вычислить по реальной и наоборот. (См. задачу 26.20.)
Рис. 26.3. “Горб волатильности”
“кэп”. В табл. 26.1 приведены брокерские котировки, типичные для денежного рынка США. Срок действия процентных ставок по опционам “кэп” равен трем месяцам, а их продолжительность варьируется от одного до десяти лет. Эти данные подтверждают существование “горба”, изображенного на рис. 26.3.
Таблица 26.1. Типичные брокерские котировки слабой волатильности опционов “кэп” и “фло”, номинированных в долларах США, количество процентов в год
Срок действия, лет Цена спроса для опциона “кэп” Цена предложения для опциона “кэп” Цена спроса для опциона “фло” Цена предложения для опциона “фло”
1 18,00 20,00 18,00 20,00
2 23,25 24,25 23,75 24,75
3 24,00 25,00 24,50 25,50
4 23,75 24,75 24,25 25,25
5 23,50 24,50 24,00 25,00
7 21,75 22,75 22,00 23,00
10 20,00 21,00 20,25 21,25
Теоретическое обоснование модели
Докажем внутреннюю непротиворечивость модели Блэка для оценки кэплетов, рассмотрев форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации
с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент tk+i. Анализ фактов, изложенных в разделе 25.4, приводит к следующим выводам, справедливым для этих условий.
1. Текущая стоимость любой ценной бумаги равна ее стоимости, ожидаемой в момент t,k+i, умноженной на ее стоимость в этот момент (см. равенство (25.20)).
2. Ожидаемое значение процентной ставки, установленной на период времени между моментами tk и tk+i, равно форвардной процентной ставке (см. равенство (25.22)).
Первый из этих результатов означает, что цена кэплета, приносящего выигрыш в момент равна
L6kP(0, tk+1)Ek+1 [max(7?fc - RK, 0)],
где Ek+i — математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент ffc+i- С учетом фактов, изложенных в главе 13, эту стоимость можно записать следующим образом.
L4P(0,tfe+i)[£fe+i(/?K)W(di) - RkN(d2)],
где
In [Ек+1 (Rk)/Rk\ + (T^tfc/2
«1 =--------------TT---------
, __ In [Efc+i (Rk)/Rk] ~ <^ktk/2 °kVtk
Из второго утверждения следует, что
Ek+i(Rk) = Ek-
Сочетание этих результатов приводит к модели для оценки опциона “кэп” с помощью равенства (26.13). Они означают, что выигрыш следует дисконтировать на величину tk-летней процентной ставки, зарегистрированной на рынке в текущий момент при условии, что ожидаемая процентная ставка установлена на уровне форвардной.
Использование программы DerivaGem
Для вычисления стоимости процентных опционов “кэп” и “фло” с помощью модели Блэка можно использовать программу DerivaGem. Для этого на рабочем
листе CapandSwapOption в раскрывающихся списках Underlying Туре и Pricing Model следует выбрать пункты Cap/Floor и Black-European. Кривая нулевой доходности вводится с учетом непрерывных начисляемых процентных ставок. К входной информации относятся начальная и конечная даты действия опциона “кэп”, а также частота установок процентной ставки (т.е. длина расчетного интервала). Вычисления в программе выполняются в направлении от конца срока действия опциона “кэп” к его началу. Считается, что первоначальные кэплеты и флорлеты охватывают период, длина которого колеблется от 0,5 до 1,5 длины регулярного периода. Предположим, например, что период действия опциона “кэп” колеблется от 1,2 до 2,8 лет, а процентные ставки устанавливаются ежеквартально. Существует шесть кэплетов, покрывающих периоды от 2,55 до 2,80 лет, от 2,30 до 2,55 лет, от 2,05 до 2,30 лет, от 1,80 до 2,05 лет, от 1,55 до 1,80 лет и от 1,20 до 1,55 лет.
Влияние календарных поправок
Формулы, приведенные выше, не учитывают календарных поправок (описание календарных поправок содержится в разделе 6.1). Предположим, что верхний предельный уровень Rk установлен с учетом коэффициента “длина расчетного периода/360” (как это принято в США). Это значит, что длину временного интервала 6к следует заменить величиной а^, представляющей собой период накопления (accrual fraction) на интервале времени от до tk+i- Предположим,
например, что момент приходится на 1 мая, а момент f^+i — на 1 августа. Применение коэффициента “длина расчетного периода/360” означает, что между этими моментами выплат проходит 92 дня. Следовательно, = 92/360 = 0,2521. Форвардную ставку также следует вычислять с учетом коэффициента “длина расчетного периода/360”. Это значит, что для ее вычисления необходимо применять
формулу
1 +
Р(0,4)
Р (0,4+1)’
Результат этих расчетов эквивалентен преобразованию величины R^, вычисленной с учетом коэффициента “длина расчетного периода/360”, в величину R^, вычисленную с учетом коэффициента “длина расчетного периода/длина расчетного периода”. Кроме того, величина должна вычисляться с учетом коэффициента “длина расчетного периода/длина расчетного периода”. Иначе говоря, это эквивалентно вычислению коэффициента R^ путем умножения котировочной стоимости опциона “кэп” на коэффициент 365/360 или 366/360 и определению величины по формуле
1 + № =
P(0,tk^
26.4 Европейские свопционы
Еще одной разновидностью процентных опционов, популярность которых постоянно возрастает, являются свопционы (swap options, or swaptions) — опционы на свопы процентных ставок. Они дают владельцу право в определенный момент в будущем заключить соглашение об обмене процентной ставки. (При этом, разумеется, владелец свопциона не обязан его исполнять.) Многие крупные финансовые организации, предлагающие своим корпоративным клиентам соглашения об обмене процентных ставок, наряду с ними готовы продавать и покупать свопционы. Как показано во врезке “Пример из деловой практики 26.2”, свопцион можно интерпретировать как разновидность облигационного опциона. Для иллюстрации рассмотрим ситуацию, в которой некая компания планирует через шесть месяцев заключить договор о ссуде по плавающей ставке и превратить этот договор в заем по фиксированной ставке (применение свопов для обмена выплат по плавающей ставке на выплаты по фиксированной ставке обсуждается в главе 7). В таком случае компания могла бы купить свопцион, дающий ей право в течение пятилетнего периода, начинающегося по истечении шести месяцев, получать шестимесячную ставку LIBOR и выплачивать определенную фиксированную процентную ставку, скажем 8% годовых. Если фиксированная ставка, которая в рамках обычного пятилетнего свопа обменивается на плавающую, через шесть месяцев окажется меньше 8% годовых, компания откажется исполнять свопцион и заключит обычный своп. Однако если эта ставка превысит 8% годовых, компания предпочтет исполнить свопцион и получить своп на более выгодных условиях.
Свопционы, используемые так, как описано выше, предоставляют компаниям гарантию, что фиксированная процентная ставка, которую они должны выплатить в рамках займа в определенный момент в будущем, не превысит определенный уровень. Свопционы представляют собой альтернативу форвардным свопам (которые иногда называются отсроченными свопами (deferred options)). С одной стороны, форвардные свопы не требуют авансовых затрат, но, с другой стороны, они обязывают компанию заключить своп. Свопционы, напротив, позволяют компании извлечь выгоду из благоприятных колебаний процентных ставок, страхуя ее от убытков. Разница между свопционом и форвардным свопом аналогична разнице между валютным опционом и форвардным контрактом на иностранную валюту.
Пример из деловой практики 26.2. Свопционы и облигационные опционы Как указано в главе 7, процентный своп можно интерпретировать как соглашение, в рамках которого облигация с фиксированной ставкой обменивается на облигацию с плавающей ставкой. В начальный момент стоимость облигации с плавающей ставкой всегда равна условной основной сумме кредитного обязательства в процентном свопе (notional principal). Следовательно, свопцион можно рассматривать как опцион, позволяющий владельцу обменять облигации с фиксированной ставкой на основную сумму по свопу, т.е. как облигационный опцион.
Если свопцион дает его владельцу право на выплату фиксированной и получение плавающей ставки, то он представляет собой опцион на продажу облигации с фиксированной ставкой по цене исполнения, равной ее номинальной стоимости. Если свопцион дает его владельцу право на выплату плавающей и получение фиксированной ставки, то он представляет собой опцион на покупку облигации с фиксированной ставкой по цене исполнения, равной ее номинальной стоимости.
Оценка европейских свопционов
Как указано в главе 7, в любой заданный момент времени ставка свопа с определенной датой завершения равна фиксированной ставке, которую можно обменять на ставку LIBOR в рамках вновь заключенного свопа с той же датой платежа. Модель, обычно используемая для оценки европейских свопционов, основана на предположении, что соответствующая ставка свопа в момент его завершения имеет логнормальное распределение. Рассмотрим свопцион, дающий его владельцу право выплачивать ставку «к и получать ставку LIBOR в рамках свопа, действующего на протяжении п лет, отсчет которых начинается через Т лет. Допустим, что в рамках свопа в течение года осуществляются m выплат, а его основная сумма равна L.
В главе 7 показано, что учет календарных поправок приводит к тому, что в каждый момент выплат по свопу их размер слегка изменяется. На первых порах мы будем игнорировать календарные поправки и считать, что каждая фиксированная выплата по свопу выплачивается в одинаковых размерах L/m раз.
Предположим, что ставка n-летнего свопа в момент завершения анализируемого свопа равна st- Сравнивая денежные потоки по свопу, в котором фиксированная ставка равна st, с денежными потоками по свопу, в котором фиксированная ставка равна вк, легко убедиться, что выплата по свопциону состоит из ряда денежных потоков, равных
L
— max (st — sk, 0).
m
На протяжении п лет действия свопа его владелец получает деньги m раз в год. Пусть 71, Тг, ..., Ттп — сроки выплат, измеренные в годах, отсчитывая от сего
дняшнего дня (т.е. приблизительно Ti = Т + i/m лет). Объем каждого денежного потока равен выигрышу по опциону “колл” на фиксированную ставку st с ценой исполнения sr.
Используя равенство (26.3), приходим к выводу, что стоимость денежного потока, полученного в момент 7}, равна
-Р (0, [s0N (di) - sKN (d2)],
где
di =
ln[s0/sK] +a2T/2 aVr
d2 = ln[So/SK]-^r/2 =di_<7x/f,
so — форвардная процентная ставка, вычисленная в нулевой момент времени по формуле (25.23), ст — волатильность форвардной ставки по свопу (т.е. величина <т\/Т представляет собой стандартное отклонение переменной Insr).
Общая стоимость свопциона равна
тп ,
-Р (0, Ti) [s0N (di) - sKN (d2)].
i=i
Обозначим буквой А стоимость контракта, выплаты по которому в моменты Ti, 1 i < тп, равны 1 /т. Тогда стоимость свопциона равна
LA[s0N(d1) - sKN(d2)],
(26.15)
где
1 тп
1=1
Если свопцион дает держателю право получать, а не платить процентную ставку s^, его выигрыш равен
— max (sk — st, 0). т
Он представляет собой опцион “пут” на фиксированную ставку st- Как и прежде, выплаты осуществляются в моменты Ti, 1 < г тп. Из равенства (26.4) следует, что стоимость свопциона равна
LA[sKN(-d2) - soN^-d^].
(26.16)
Пример 26.4
Предположим, что кривая доходности LIBOR является плоской и проходит на уровне 6% годовых с учетом непрерывного начисления. Рассмотрим свопцион, дающий его держателю право выплачивать 6,2% по трехлетнему свопу через пять лет. Волатильность ставки по свопу равна 20%. Выплаты осуществляются раз в полгода, а основная сумма равна 100 долл. В таком случае,
0,06x5,0,06х6_|_^—0,06x6,0,06x7 0,06x7,5 0,06x8j 2 0035
Шесть процентов годовых при непрерывном начислении превращаются в 6,09% при полугодовом начислении. Отсюда следует, что sq = 0,0609, ьк = 0,062, Т = 2 и ст = 0,2. Следовательно,
, In (0,0609/0,062) + 0,22 х 5/2 п 1 оое di =--------------------------~ ОДоЗо,
0,2^5
d2 = - 0,2л/5 = -0,2636.
Из формулы (26.15) следует, что стоимость опциона равна
100 х 2,0035 х (0,0609 х 7V(0,1836) - 0,062 х 7V(-0,2636)) = 2,07 долл.
(Это согласуется с результатом, полученным с помощью программы DerivaGem.)o
Брокерские котировки
Брокеры используют таблицы подразумеваемой волатильности европейских свопционов. Финансовые инструменты, лежащие в основе этих котировок, как правило, являются прибыльными. Это значит, что ставка исполнения по свопу (strike swap rate) равна форвардной ставке свопа. В табл. 26.2 приведены типичные брокерские котировки волатильности европейских свопопционов на денежном рынке США. Сроки действия свопционов приведены в первом столбце. Они варьируются от одного месяца до пяти лет. Сроки действия базовых свопов в момент завершения опциона указаны во второй строке. Они изменяются от одного года до десяти лет. Волатильности, приведенные в столбце, соответствующем однолетней продолжительности свопа, характерны для финансовых инструментов, напоминающих опционы “кэп”. Они образуют “горб”, рассмотренный выше. По мере увеличения сроков действия свопов этот “горб” становится менее выраженным.
Таблица 26.2. Типичные брокерские котировки европейских свопопционов (среднерыночная волатильность в процентах за год)
Срок Продолжительность свопа
действия 1 год 2 года 3 года 4 года 5 лет 7 лет 10 лет
1 месяц 17,75 17,75 17,75 17,50 17,00 17,00 16,00
3 месяца 19,50 19,00 19,00 18,00 17,50 17,00 16,00
6 месяцев 20,00 20,00 19,25 18,50 18,75 17,75 16,75
1 год 22,50 21,75 20,50 20,00 19,50 18,25 16,75
2 года 22,00 22,00 20,75 19,50 19,75 18,25 16,75
3 года 21,50 21,00 20,00 19.25 19,00 17,75 16,50
4 года 20,75 20,25 19,25 18,50 18,25 17,50 16,00
5 лет 20,00 19,50 18,50 17,75 17,50 17,00 15,50
Теоретическое обоснование модели свопционов
Для того чтобы показать, что модель Блэка для свопционов является внутренне непротиворечивой, рассмотрим форвардные риск-нейтральные условия относительно аннуитета А. Анализ, проведенный в разделе 25.4, приводит к следующим выводам.
1. Текущая стоимость любой ценной бумаги равна текущей стоимости аннуитета, умноженной на ожидаемую стоимость суммы, равной
стоимость ценной бумаги в момент Т стоимость аннуитета в момент Т
(см. равенство (25.25)).
2. Ожидаемая величина ставки по свопу в момент Т равна форвардной ставке по свопу (см. равенство (25.24)).
Из первого результата следует, что стоимость свопциона равна
£ЛЕ’д[пшх(вт — 8к, 0)].
С учетом фактов, изложенных в главе 13, получаем, что эта стоимость равна
LA[EA(sT)N(di) - sKN(d2)], где
In + cr2T/2
dj —-----------—---------,
dx/T
In [Ea(st)/sr] - cr2T/2 a2 — ----------7=--------= di — ст \ 1.
aVT
Второй результат означает, что математическое ожидание Ea(st) равно «о- Вместе взятые, эти результаты приводят к оценке свопциона по формуле (26.15). Из этого следует, что если ожидаемая ставка свопа установлена равной форвардной ставке свопа, то при дисконтировании процентные ставки должны считаться постоянными.
Влияние календарных поправок
Уточним приведенные выше формулы с помощью календарных поправок. Фиксированная ставка по свопу, лежащему в основе свопциона, выражается с помощью календарных поправок “длина расчетного периода/360” или “30/360”. Предположим, что То = Т и с учетом принятой календарной поправки длина периода накопления на интервале между моментами времени Ti-i и 7) равна <ц. (Например, если моменту 7}~i соответствует 1 марта, моменту 7} — 1 сентября, а в качестве календарной поправки используется коэффициент “длина расчетного периода/365”, то аг = 184/365 — 0,5041.) В таком случае для вычисления стоимости аннуитета используется формула
ТИП
Л = 22^Р(О,Т-).
г=1
Как следует из формулы (25.23), форвардная ставка свопа sq представляет собой решение уравнения
яол = р(о,т)-р(о,т;гт).
26.5 Обобщения
В предыдущих разделах рассмотрены три варианта модели Блэка: для облигационных опционов, для опционов “кэп” и свопционов. Каждая из этих моделей является внутренне непротиворечивой, но они не согласуются друг с другом. Например, если фьючерсные цены облигаций имеют логнормальное распределение, то фьючерсные нуль-купонные ставки и ставки свопов не имеют такого распределения. Если же распределение фьючерсных нуль-купонных ставок является логнормальным, то распределения фьючерсных цен облигаций и ставок свопа таковыми не являются.
Эти результаты можно обобщить.
1. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, размер выплаты по которому в момент Т зависит от стоимости некоей ценной бумаги в этот момент. Если математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая стоимость базовой ценной бумаги равна ее форвардной цене, то текущая стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплат, умноженному на Р(0,Т).
2. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, размер выплаты по которому в момент Т* зависит от Г*-летней процентной ставки, наблюдаемой в момент Т. Если математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая стоимость базовой процентной ставки равна форвардной процентной ставке, то текущая стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплат, умноженному на Р(0,Т*).
3. Рассмотрим произвольный финансовый инструмент, предусматривающий выплаты в форме аннуитета. Предположим, что размер аннуитета в момент Т представляет собой функцию, зависящую от ставки свопа для п-лент-него свопа, вступающего в действие в момент Т. Кроме того, допустим, что аннуитет действует в течение п лет, а даты выплат по аннуитету и по свопу совпадают. Стоимость финансового инструмента равна ожидаемому размеру выплаты за год, умноженной на величину А, если выполняются два условия: 1) величина А равна текущей стоимости аннуитета, если выплаты осуществляются на уровне одного доллара в год, и 2) математическое ожидание вычисляется при условии, что ожидаемая фьючерсная ставка свопа равна форвардной ставке свопа.
Первый из этих результатов является обобщением модели для оценки европейских облигационных опционов, второй представляет собой обобщение модели для оценки опционов “кэп”/“фло”, а третий является обобщением модели для оценки свопциона.
26.6 Хеджинговые процентные деривативы
В разделе обсуждается “греческий” подход (см. главу 15) к оценке риска, связанного с процентными деривативами. В контексте процентных деривативов дельта-риск представляет собой риск, связанный со сдвигом нулевой кривой. Поскольку существует множество возможных сдвигов нулевой кривой, возникает большое количество разных вариантов вычисления альтернативных коэффициентов дельта. Перечислим некоторые из них.
1. Оценка влияния параллельного сдвига нулевой кривой на один базисный пункт. Эту величину иногда обозначают как DV01.
2. Оценка влияния небольших изменений котировок каждого финансового инструмента, используемого при построении нулевой кривой.
3. Разделение нулевой кривой (или форвардной кривой) на большое количество сегментов с последующей оценкой влияния сдвигов процентных ставок на каждом из сегментов на один базисный пункт, при условии что первоначальная временная структура остается неизменной. (См. врезку “Пример из деловой практики 26.3”.)
4. Применение метода главных компонентов, описанного в разделе 18.9. Вычисление коэффициентов дельта с учетом изменений каждого из первых нескольких факторов. Первый коэффициент дельта оценивает влияние небольших, практически параллельных сдвигов нулевой кривой, второй коэффициент оценивает влияние небольшого кручения нулевой кривой и т.д.
На практике трейдеры отдают предпочтение второму подходу. Они объясняют это тем, что нулевая кривая изменяется только тогда, когда изменяется котировка хотя бы одного из финансовых инструментов, использованных при ее построении. По этой причине трейдеры считают целесообразным сосредоточить внимание на рисках, связанных с изменениями цен этих финансовых инструментов.
Если вычисляется несколько коэффициентов дельта, то возникает несколько способов вычисления коэффициентов гамма. Допустим, что нулевая кривая построена на основе десяти финансовых инструментов, а коэффициент дельта вычисляется в зависимости от изменений цен каждой из этих ценных бумаг. Коэффициент гамма представляет собой вторую частную производную , где П — стоимость портфеля. В таком случае возникает 10 разных значений Xi, 10 разных значений Xj и 55 разных коэффициентов гамма. Это количество намного превышает возможности трейдеров. В качестве одного из вариантов решения проблемы можно игнорировать перекрестные коэффициенты гамма и сосредоточить внимание на коэффициентах при г — j. Другой метод заключается в вычислении единственного коэффициента гамма, представляющего собой вторую частную производную стоимости портфеля по величине параллельного сдвига нулевой кривой. Третий вариант предусматривает вычисление коэффициента гамма по первым двум факторам в методе главных компонентов.
Коэффициент вега, характеризующий портфель, состоящий из процентных деривативов, отражает влияние изменений волатильности. Один из методов вычисления коэффициента вега предусматривает оценку влияния на стоимость портфеля небольших одинаковых изменений волатильностей Блэка по всем опционам “кэп” и европейским свопционам. Следовательно, один фактор влияет на все волатильности. Это слишком большое упрощение. Намного более точную оценку можно получить с помощью метода главных компонентов, анализируя волатильности опционов “кэп” и свопционов и вычисляя коэффициенты вега по первым двум или трем факторам.
Резюме
Модель Блэка представляет собой широко распространенный подход к оценке европейских процентных опционов. Модель Блэка основана на предположении, что переменная, лежащая в основе опциона, в момент завершения опциона имеет логнормальное распределение. В случае европейских облигационных опционов
модель Блэка предполагает, что пена базовой облигации в момент завершения опциона имеет логнормальное распределение. Для опциона “кэп” модель предполагает, что процентная ставка каждого из составляющего кэплета имеет логнормальное распределение. Для свопциона модель использует предположение, что соответствующая ставка свопа имеет логнормальное распределение. Каждая из этих моделей является внутренне непротиворечивой, но они противоречат друг другу.
Модель Блэка связана с вычислением размера ожидаемой выплаты в предположении, что ожидаемая стоимость переменной равна ее форвардной цене, с последующим дисконтированием ожидаемой выплаты по нулевой ставке, наблюдаемой на рынке в текущий момент. Если размер выплаты не учитывает естественное запаздывание, необходимо вычислять поправки на выпуклость и временные поправки форвардной стоимости. Например, если процентная ставка или ставка свопа наблюдаются в момент Т и влияют на размер выплат в момент Т, необходимо учитывать поправку на выпуклость. Если стоимость инвестиционного актива наблюдается в момент Т, а сама выплата осуществляется позднее, необходимо вычислять временные поправки.
Дополнительная литература
Black Е The Pricing of Commodity Contracts // Journal of Financial Economics, 3 (March 1976). - P. 167-179.
Вопросы и задачи
26.1. Компания организовала опцион “кэп” на трехмесячную ставку LIBOR, равную 10% годовых. Основная сумма равна 20 млн долл. В момент новой установки процентной ставки трехмесячная ставка LIBOR оказалась равной 12% годовых. Какой размер выплаты возникает в рамках этого опциона? Когда эта выплата должна быть осуществлена?
26.2. Объясните, почему свопцион можно считать разновидностью облигационного опциона.
26.3. Используя модель Блэка, оцените однолетний европейский опцион “пут” на десятилетнюю облигацию. Предположим, что приведенная стоимость облигации равна 125 долл., цена исполнения опциона равна 125 долл., однолетняя процентная ставка равна 10% годовых, волатильность цены облигации равна 8% в год, а текущая стоимость купонных выплат, осуществляемых на протяжении срока действия опциона, равна 10 долл.
26.4. Подробно объясните, как использовать 1) реальную волатильность и 2) слабую волатильность для оценки пятилетнего опциона “кэп”.
26.5. Вычислите цену опциона, в котором через 15 месяцев в качестве верхней предельной ставки устанавливается трехмесячная процентная ставка на уровне 13% (при ежеквартальном начислении), применяемая к основной сумме, равной 1 000 долл. Форвардная процентная ставка на исследуемый период равна 12% годовых (при ежеквартальном начислении), 18-месячная безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) равна 11,5% годовых, а волатильность форвардной ставки равна 12% годовых.
26.6. Для оценки европейских облигационных опционов банк использует модель Блэка. Предположим, что для оценки девятилетнего облигационного опциона используется подразумеваемая волатильность цены пятилетнего опциона на облигацию, срок обращения которой истекает через 10 лет. Насколько точной будет вычисленная стоимость? Будет ли она слишком высокой или слишком низкой? Аргументируйте свой ответ.
26.7. Вычислите стоимость четырехлетнего европейского опциона на покупку пятилетней облигации, используя модель Блэка. Наличная цена пятилетней облигации равна 105 долл., наличная цена четырехлетней облигации с тем же купоном равна 102 долл., цена исполнения равна 100 долл., четырехлетняя безрисковая процентная ставка равна 10% годовых при непрерывном начислении, а волатильность цены облигации в течение четырех лет равна 2% в год.
26.8. Как оценить опцион, если волатильность доходности по пятилетнему опциону на продажу облигации, срок обращения которой истекает через 10 лет, равна 22%? Будем считать, что с учетом сегодняшних процентных ставок модифицированная дюрация облигации в момент завершения опциона будет равна 4,2 долл., а форвардная доходность облигации равна 7%.
26.9. Какие финансовые инструменты эквивалентны пятилетнему опциону ‘‘коллар” с нулевой стоимостью, если цена исполнения опциона “кэп” равна цене исполнения опциона “фло”? Чему равна их общая цена исполнения?
26.10. Докажите паритет опционов “колл” и “пут” для европейских облигационных опционов.
26.11. Докажите паритет опционов “колл” и “пут” для европейских свопцонов.
26.12. Объясните, из-за чего возникают арбитражные возможности, если подразумеваемая волатильность опциона “кэп” в модели Блэка (слабая) отличается от подразумеваемой волатильности опциона “фло”. Создают ли котировки брокеров, приведенные в табл. 26.1, какие-либо арбитражные возможности?
26.13. Может ли доходность облигации быть отрицательной, если цена облигации имеет логнормальное распределение? Аргументируйте свой ответ.
26.14. Чему равна стоимость европейского свопциона, дающего его держателю право заключить через четыре года трехлетний своп с ежегодными выплатами, если держатель выплачивает фиксированную ставку, равную 5%, а получает — ставку LIBOR? Основная сумма свопа равна 10 млн долл. Будем считать, что кривая доходности проходит горизонтально на уровне 5% годовых с ежегодным начислением, а волатильность ставки свопа равна 20%. Сравните ответ с результатами вычисления, полученными с помощью программы DerivaGem.
26.15. Предположим, что доходность R облигации с нулевым купоном подчиняется стохастическому процессу
dR = /л dt: -1- ст dt,
где д и ст — функции, зависящие от величин R и t, a dz — винеровский процесс. Используя лемму Ито, докажите, что цена облигации с нулевым купоном по мере приближения срока ее погашения ст ремится к нулю.
26.16. Выполните вручную вычисления, подтверждающие правильность цены, полученной в примере 26.2.
26.17. Допустим, что однолетние, двухлетние, трехлетние, четырехлетние и пятилетние нуль-купонные ставки равны 6, 6,4, 6,7, 6,9 и 7%. Пятилетний опцион “кэп”, расчетный интервал которого равен полугоду, основная сумма равна 100 долл., а предельный уровень равен 8%. стоит 3 долл. Используя программу DerivaGem, вычислите следующие величины.
1) Пятилетнюю слабую волатильность опционов “кэп” и “фло”.
2) Нижний предельный уровень в пятилетием опционе “рамки” с нулевой стоимостью, если его верхний предельный уровень равен 8%.
26.18. Докажите, что Ц + f = V2, где Vy — стоимость свопциона, позволяющего держателю выплачивать фиксированную ставку йд- и получать ставку LIBOR, установленную на период между моментами Ту и Т2, f — стоимость форвардного свопа, позволяющего держателю получать фиксированную ставку sk и выплачивать ставку LIBOR, установленную на период между моментами Ту и Т2, a V2 — стоимость свопа, позволяющего держателю получать фиксированную ставку sr, установленную на период между моментами Ту и Т2. Докажите, что Vy — V2, если s# — текущая форвардная ставка свопа.
26.19. Предположим, что нуль-купонные ставки установлены на уровне, указанном в задаче 26.17. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость опциона, позволяющего держателю выплачивать фиксированную ставку, равную 6%, и получать ставку LIBOR по пятилетнему свопу, срок действия которого начинается через год. Будем считать, что основная сумма
равна 100 млн долл., выплаты осуществляются раз в полгода, а волатильность ставки свопа равна 21%.
26.20. Опишите, как вычислить 1) слабую волатильность опциона “кэп” и 2) реальную волатильность опциона “кэп”, используя его слабую волатильность.
Упражнения
26.21. Рассмотрим восьмимесячный европейский опцион на продажу казначейской облигации, срок обращения которой истекает через 14,25 лет. Текущая наличная цена облигации равна 910 долл., цена исполнения — 900 долл., а волатильность цены облигации — 10% в год. Купонные выплаты в размере 35 долл, выплачиваются каждые три месяца. Безрисковая процентная ставка по всем срокам погашения, не превышающим одного года, равна 8%. Используя модель Блэка, определите цену опциона. Рассмотрите варианты, в которых цена исполнения равна наличной цене облигации или ее котировочной цене.
26.22. Вычислите стоимость опциона “кэп” на 90-дневную ставку LIBOR с шагом девять месяцев при условии, что основная сумма равна 1000 долл. Используйте модель Блэка и следующую информацию.
1) Котировочная цена девятимесячного фьючерса на поставку евродолларов равна 92 (при условии, что разница между фьючерсными и форвардными ставками игнорируется).
2) Волатильность процентной ставки, обусловленной девятимесячным опционом на евродоллары, равна 15% в год.
3) Текущая 12-месячная процентная ставка с непрерывным начислением равна 7,5% годовых.
4) Верхний предельный уровень равен 8% годовых (с учетом календарной поправки, равной фактическому количеству дней, деленному на 360).
26.23. Предположим, что кривая доходности LIBOR проходит горизонтально на уровне 8% с ежегодным начислением. Свопцион дает его держателю право получать 7,6% в рамках пятилетнего свопа, вступающего в силу через четыре года. Выплаты осуществляются ежегодно. Волатильность ставки свопа равна 25% годовых, а основная сумма равна одному миллиону долларов. Используя модель Блэка, оцените стоимость свопциона. Сравните ответ с результатом, полученным с помощью программы DerivaGem.
26.24. Используя программу DerivaGem, оцените пятилетний опцион “рамки”, гарантирующий, что максимальная и минимальная процентные ставки займа по ставке LIBOR (устанавливаемой ежеквартально) равны 5 и 7% соответственно при условии, что нулевая кривая LIBOR (при непрерывном начислении) в настоящий момент является плоской и проходит на уровне 6%, слабая волатильность равна 20%, а основная сумма равна 100 долл.
26.25. Используя программу DerivaGem, оцените европейский свопцион, дающий его держателю право через два года заключить пятилетний своп, в рамках которого он будет выплачивать фиксированную ставку, равную 6%, и получать плавающую ставку. Обмен денежными потоками осуществляется раз в полгода. Однолетняя, двухлетняя, пятилетняя и десятилетняя нуль-купонные процентные ставки (с непрерывным начислением) равны 5,6,6,5 и 7% соответственно. Предположим, что основная сумма равна 100 долл., а волатильность равна 15% в год. Как корпорация могла бы использовать свопцион? Какой облигационный свопцион эквивалентен свопциону?
Поправки на выпуклость, временные поправки и кванто
Для оценки деривативов европейского типа, как правило, используется следующая двухэтапная процедура.
1. Вычисляется ожидаемый размер выплат при условии, что ожидаемое значение каждой из переменных равно ее форвардной величине.
2. Ожидаемый размер выплат дисконтируется по безрисковой процентной ставке, установленной на период между датой оценки и датой выплаты.
Впервые мы применили эту процедуру в главе 4 при оценке сшлашения о форвардной процентной ставке (FRA). Выяснилось, что такое соглашение можно оценить, вычислив размер выплат при условии, что форвардная процентная ставка будет действительно реализована, а затем дисконтировав эту сумму по безрисковой процентной ставке. Аналогично в главе 7 мы показали, что свопы можно оценить, вычислив размеры денежных потоков при условии, что форвардные ставки действительно реализованы, а затем дисконтировав эти суммы по безрисковым процентным ставкам. В главе 26 мы выяснили, что модель Блэка можно применять для оценки широкого спектра европейских опционов. Кроме того, оказалось, что модель Блэка, как показано в разделе 26.1, представляет собой реализацию описанной выше двухэтапной процедуры. Модели для оценки облигационных опционов, опционов “кэп” и “фло”, а также свопционов, описанные в главе 26, также являются примерами реализации указанной двухэтапной процедуры.
Возникает вопрос: всегда ли можно правильно оценить европейские процентные деривативы с помощью этой двухэтапной процедуры? Оказывается, нет! При оценке нестандартных процентных деривативов иногда необходимо модифицировать этот алгоритм и учитывать поправки форвардного значения переменной на первом этапе. В главе рассматриваются три типа поправок: на выпуклость, временные и кванто.
27.1 Поправки на выпуклость
Рассмотрим финансовый инструмент, предусматривающий в момент Т выплату, размер которой зависит от доходности облигации, наблюдаемой в этот момент.
Как правило, форвардная величина переменной S вычисляется по форвардному контракту, размер выплаты по которому в момент Т равен St — К. Именно величина К гарантирует, что стоимость контракта равна нулю. Как указано в разделе 25.4, форвардные процентные ставки и форвардная доходность определяются по-разному. Форвардная процентная ставка — это ставка, обусловленная форвардной стоимостью нуль-купонной облигации. Иначе говоря, форвардная доходность облигации представляет собой доходность, обусловленную форвардной стоимостью облигации.
Пусть Вт — цена облигации в момент Т, ут — ее доходность и величины Вт и ут связаны между собой отношением
Вт = С(ут)-
Обозначим через Fo форвардную цену облигации в нулевой момент времени в рамках контракта, срок действия которого истекает в момент Т, а через уо — форвардную доходность облигации в нулевой момент времени. Из определения форвардной доходности облигации следует, что
Fo = G(y0).
Функция G является нелинейной. Это значит, что в ситуации, когда ожидаемая будущая цена облигации равна ее форвардной цене (т.е. в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой завершается в момент Т), ожидаемая будущая доходность облигации не равна ее форвардной доходности.
Это утверждение проиллюстрировано на рис. 27.1, демонстрирующем зависимость между ценой облигации и ее доходностью в момент Т. Для простоты предположим, что цена может принимать только три значения — В\, В-z и Вз — причем все эти значения в форвардных риск-нейтральных условиях относительно F(t, У) являются равновероятными. Предположим, что значения цены облигации являются равноотстоящими, т.е. В? — В\ = Вз - В2. Ожидаемая цена облигации равна В2 и совпадает с ее форвардной ценой. Значения цены облигации соответствуют трем значениям ее доходности — у\, у? и уз. которые не являются равноотстоящими. Переменная у? представляет собой форвардную доходность облигации, поскольку она соответствует форвардной цене облигации. Ожидаемая доходность облигации равна среднему арифметическому значению чисел гц, у? и уз. Очевидно, что эта доходность больше, чем ут
Рассмотрим теперь дериватив, размер выплаты по которому зависит от доходности облигации в момент Т. Из равенства (25.20) следует, что стоимость этого
27.1. Поправки на выпуклость
дериватива можно определить, 1) вычислив ожидаемый выигрыш в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой завершается в момент Т, и 2) сделав дисконт по текущей безрисковой процентной ставке, установленной на момент Т. Как известно, при таких условиях ожидаемая цена облигации равна ее форвардной цене. Следовательно, нам необходимо определить значение ожидаемой доходности облигации, при котором ожидаемая цена облигации равна ее форвардной цене. Анализ, проведенный в приложении 27.1, показывает, что приближенное выражение для искомой ожидаемой доходности облигации имеет следующий вид.
г ( \ 1 2
(27.1)
Здесь G' и G" — первая и вторая производные функции G, Е? — математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно P(t, Т), асгу — волатильность форвардной доходности. Следовательно, ожидаемый выигрыш можно дисконтировать по текущей безрисковой процентной ставке, установленной на момент Т при условии, что ожидаемая доходность облигации равна
1 2 2т
Уо -
G" Ы G'{yoy
а не уо. Разность между ожидаемой доходностью облигации и ее форвардной
доходностью равна
Эта величина называется поправкой на выпуклость (convexity adjustment). Она соответствует разности между величиной у2 и ожидаемой доходностью, изображенной на рис. 27.1. (Поправка на выпуклость является положительной, поскольку G'(y0) < 0 и G"(y0) > 0.)
Приложение 1: процентные ставки
В качестве первого приложения формулы (27.1) рассмотрим финансовый инструмент, создающий в момент Т денежный поток, величина которого определяется путем применения к основной сумме L процентной ставки, установленной на промежуток времени между моментами Г и Г*. (Этот пример окажется полезным при анализе свопов по ставке LIBOR (LIBOR-in-Arrears) в главе 30.) Следует подчеркнуть, что процентная ставка, установленная на промежуток времени между моментами Т и Т*, как правило, выплачивается в момент Т*, однако здесь мы будем считать, что она выплачивается раньше — в момент Т.
Денежный поток в момент Т, создаваемый анализируемым нами финансовым инструментом, равен LRtt, где т = Т* — Т, a R? — нуль-купонная процентная ставка, установленная на промежуток времени между моментами Т и Т* и выраженная с учетом периода начисления г.1 Переменную Rt можно интерпретировать как доходность облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т*. Зависимость между ценой этой облигации и ее доходностью имеет следующий вид.
Из формулы (27.1) следует, что
1В2„2т<3"(ед Ет М - До - jWpjjy.
или
ET(RT) = Ro+~^T, (27.2)
1 + /Тот
где Ro — форвардная ставка, установленная на период времени между моментами Т и Т*, а сгц — волатильность форвардной ставки.
Следовательно, стоимость изучаемого финансового инструмента равна
Р(О,Т)£т(до + ^^|). \ 1 + /ц)Т /
'Как обычно, для простоты изложения мы предполагаем, что в наших примерах используется календарная поправка “длина расчетного интервала/длина расчетного интервала”.
Пример 27.1
Рассмотрим дериватив, предусматривающий через три года выплату, размер которой равен сумме, полученной после умножения 1000 долл, на однолетнюю нуль-купонную ставку (начисляемую ежегодно), установленную на этот момент. Предположим, что нулевая ставка по всем срокам погашения равна 10% годовых с ежегодным начислением, а волатильность форвардной ставки, установленной на период времени между третьим и четвертым годами, равна 20%. В таком случае Ro — 0,10, ац = 0,20, Т = 3 и Р(0,3) = 1/1,103 = 0,7513. Стоимость дериватива
равна
0,7513 х 1000 х 1
0,10 +
0,102 х 0,202 х 1 х 3
1 + 0,10 х 1
т.е. 75,95 долл. (Эта величина сравнима с ценой, равной 75,13 долл., вычисленной без поправки на выпуклость.) □
Приложение 2: ставки свопа
Рассмотрим дериватив, предусматривающий в момент Т выплату, размер которой равен ставке свопа, установленной на этот момент. Ставка свопа равна номинальной доходности. Для вычисления поправки на выпуклость воспользуемся аппроксимацией и предположим, что TV-летняя ставка свопа в момент Т равна соответствующей доходности N-летней облигации с купоном, который равен сегодняшней форвардной ставке свопа. Это позволит нам использовать формулу (27.1).
Пример 27.2
Рассмотрим финансовый инструмент, предусматривающий через три года выплату, размер которой равен трехлетней ставке свопа, умноженной на 100 долл. Предположим, что выплаты по свопу осуществляются раз в год, нулевая ставка по всем срокам погашения равна 12% годовых при непрерывном начислении, волатильность трехлетней форвардной ставки (обусловленной ценами свопционов) через три года будет равна 22%. Ставка свопа аппроксимируется доходностью 12%-ной облигации, поэтому в качестве релевантной функции G(y) следует выбрать следующую зависимость.
. 0,12 0,12 1,12
, 0,12 0,24 3,36
Т{У)~ (1 + у)2 (1 + у)3 (1 + у)4’
с 0,24 0,72 13,44
(1 + у)3 (1 + у)4 (1 + у)5’
В таком случае форвардная доходность уо равна 0,12, так что G'{yo) = —2,4018 и G"(yo) = 8,2546. По формуле (27.1) получаем, что
Ет(ут) = 0,12 + | х 0,122 х 0,222 х 3 х = 0,1236.
Таким образом, при оценке финансового инструмента форвардную ставку свопа следует считать равной 0,1236 (= 12,36%), а не 0,12. Стоимость анализируемой ценной бумаги равна
100 х 0,1236 „
—— = 8’80 долл-
(Эта величина сравнима с ценой, равной 8,54 долл., вычисленной без поправки на выпуклость.) □
27.2 Временные поправки
Рассмотрим ситуацию, в которой рыночный показатель V, измеренный в момент Т, влияет на размер выплат в более поздний момент времени Т*. Введем следующие обозначения.
Vt'. величина V в момент Т;
Ет(УтУ- ожидаемая величина переменной Vt в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции P(t, Т);
Ет* {VtY ожидаемая величина переменной Vt в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции F(t, 71*).
При замене форвардных риск-нейтральных относительно P(t, Т) условий на форвардные риск-нейтральные условия относительно F(t,T*), масштабный коэффициент равен
Эта величина представляет собой форвардную стоимость нуль-купонной облигации, период действия которой начинается в момент Т и завершается в момент Т*. Введем дополнительные обозначения.
оу: волатильность величины V;
(Tiv: волатильность величины W;
Pvw' коэффициент корреляции между величинами V и IV.
Из формулы (25.35) следует, что изменение масштаба цен приводит к увеличению переменной V на величину ау, где
Этот результат можно представить с помощью форвардной процентной ставки, установленной на период между моментами Т и Т*. Воспользуемся следующими обозначениями.
R: форвардная процентная ставка, установленная на период между моментами Т и Т* с частотой начисления тп;
or-, волатильность величины R.
Зависимость между величинами W и R выражается формулой
W =------------------
(1 + R/m)m(T*~T)
Кроме того, зависимость между волатильностью величины W и волатильностью величины R можно вычислить по лемме Ито2.
<тдД(Т*-Т)
1711 1 + Rfm
В таком случае формула (27.3) принимает следующий вид.
_ PvrgvgrR (Г* — Т) av ~ 1 + R/m
Здесь рун — —pvw — коэффициент мгновенной корреляции между величинами V и R. Для упрощения вычислений предположим, что ставка R остается постоянной и фиксируется на уровне Rq. Тогда
Ет> (VT) = Ет (VT) ехр (- ~Z--~• (27.4)
\ 1 + R/m )
Пример 27.3
Рассмотрим дериватив, предусматривающий через шесть лет выплату, размер которой равен фондовому индексу, наблюдаемому через пять лет. Предположим, что форвардная стоимость фондового индекса по контракту, истекающему через пять лет, равна 1 200. Допустим также, что волатильность форвардной стоимости индекса равна 20%, волатильность форвардной процентной ставки, установленной на период между пятым и шестым годами, равна 18%, а коэффициент корреляции между ними равен —0,4. Кроме того, будем считать, что нулевая кривая является плоской и проходит на уровне 8% годовых с ежегодным начислением. Применяя результаты, полученные выше, получаем, что в ситуации, когда переменная v равна стоимости индекса, Т — 5, Т* = 6, m = 1, R® = 0,08, pvr = —0,4, crv = 0,20 и сгц = 0,18, так что
/тг ч г-, /тг х ( —0,4 x 0,20 x 0,18 x 0,08 x 1 \
(Пт) = Ет ут) ехр------'--------------------- х 5 ,
у 1 । и,ио у
2Вместо леммы Ито можно использовать результат о дюрации, доказанный в разделе 26.2.
т.е. Ет* Ут) = 1,00535ЕтУт)- Из аргументации, основанной на форвардных риск-нейтральных условиях, изложенной в главе 25, следует, что
Ет. (VT) = 1200 х 1,00535 = 1206,42 долл.
Повторяя рассуждения, проведенные в главе 25, и формулу (25.20), приходим к выводу, что стоимость дериватива равна 1,206,42 х Р(0,6). В данном случае Р(0,6) = 1/1,086 = 0,6302, так что дериватив стоит 760,25 долл. □
Уточнения к приложению 1
Только что проведенный анализ открыл другой способ получения результатов, полученных в приложении 1 из раздела 27.1. Используя ранее установленные соглашения, обозначим через Rt процентную ставку, установленную на период времени между моментами Т и Т*, а через Rq — форвардную ставку, установленную на этот период. Из формулы (25.22) следует, что
Ет* (Rt) = Ro-
Применяя формулу (27.4), в которой вместо переменной V подставлена величина R, получаем следующую зависимость.
Ет* (Rt) = ЕТ (Rt)exp \ 1 + ЛОТ
где т = Т* — Т (обратите внимание на то, что тп = 1/т). Следовательно,
Rq = Et (Rt) exp ( - (E--— 1 , \ 1 + JttQT J
или
Et (Rt) = Ro exp ( -77-—- I •
Аппроксимируя экспоненциальную функцию, получаем, что
Et(Rt) = Ro + ^^-1 + Лот
Этот результат совпадает с результатом, полученным по формуле (27.2).
27.3 Кванто
Кванто (quanto), или кросс-валютный дериватив (cross-currency derivative), — это финансовый инструмент, в котором задействованы две валюты. Выплата по
кросс-валютному деривативу, зависящая от переменной, номинированной в одной валюте, выплачивается в другой. Примером кванто является фьючерсный контракт на фондовый индекс Nikkei, заключаемый на бирже СМЕ (см. врезку “Пример из деловой практики 5.3”). В основе этого контракта лежит фондовый индекс Nikkei 225, измеряемый в иенах, однако сам контракт номинируется в долларах США.
Рассмотрим кванто, обеспечивающий выплату в валюте X в момент времени Т. Предположим, что размер этой выплаты зависит от величины переменной V, номинированной в валюте Y, в момент Т. Введем следующие обозначения.
Px(t,T): стоимость в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Т равен одной единице в валюте X, номинированная в валюте X;
Py(t, Т): стоимость в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Т равен одной единице в валюте Y, номинированная в валюте X;
Vp. величина переменной V в момент Т;
Ех(УтУ математическое ожидание переменной в нулевой момент в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции Px(t, ТУ,
Еу(УтУ математическое ожидание переменной в нулевой момент в форвардных риск-нейтральных условиях относительно функции Py(t,T).
При замене форвардных риск-нейтральных относительно Py(t,T) условий на форвардные риск-нейтральные условия относительно Px(t,T), масштабный коэффициент равен
и'">=|й5(‘)'
ще S(t) — обменный спот-курс (количество единиц в валюте Y, выплачиваемых на единицу валюты X) в момент t. Отсюда следует, что масштабный коэффициент W(t) представляет собой форвардный обменный курс (количество единиц в валюте Y, выплачиваемых на единицу валюты X) по контракту, истекающему в момент Т. Введем следующие обозначения.
aw- волатильность величины W;
сгу: волатильность величины V;
Pvw'- мгновенная корреляция между величинами V и W.
Из формулы (25.35) следует, что изменение масштаба цен приводит к увеличению переменной V на величину ау, где
Qv = pvwuyow-
(27.5)
Предполагая, что волатильности и корреляция являются постоянными, приходим к выводу, что
Ex (Vr) = Еу (Ут) epavawT, аппроксимация которого выглядит следующим образом:
Ex(VT) = Ey(VT)(l + pavawT). (27.6)
Эта формула будет использована в главе 30 при оценке дифференциального свопа.
Пример 27.4
Предположим, что текущее значение индекса Nikkei в рамках однолетнего контракта равно 15 000 иен, однолетняя безрисковая процентная ставка в долларах равна 5%, однолетняя безрисковая процентная ставка в иенах равна 2%, а доходность индекса в иенах равна 1%. Форвардную стоимость индекса Nikkei в контракте, номинированном в иенах, можно вычислить как обычно, используя равенство (5.8).
15000e(o’02“°’ol)xl = 15150,75.
Предположим, что волатильность однолетней форвардной стоимости индекса равна 20%, волатильность однолетнего форвардного обменного курса иена-доллар равна 12%, а коэффициент корреляции между однолетней форвардной стоимостью индекса Nikkei и однолетним форвардным обменным курсом иена-доллар равен 0,3. В таком случае Еу (Vr) = 15150,75, сгу = 0,20, а\у = 0,12 и р = 0,3. Из формулы (27.6) следует, что ожидаемая стоимость индекса Nikkei в форвардных риск-нейтральных условиях относительно однолетней долларовой облигации равна
15150,75е°’3х0’2х0’12х1 = 15260,23.
Эта величина представляет собой форвардную стоимость индекса Nikkei в рамках контракта, выплаты по которому осуществляются в долларах, а не в иенах. (С определенной натяжкой ее можно также считать фьючерсной ценой такого контракта.) □
Использование традиционных риск-нейтральных мер
Форвардная риск-нейтральная мера, использованная нами ранее, хорошо работает только, если выплата осуществляется один раз. В других ситуациях иногда более удобными оказываются традиционные риск-нейтральные меры. Предположим, что нам известен стохастический процесс, описывающий поведение переменной V в традиционных условиях, риск-нейтральных относительно валюты Y, и требуется оценить процесс, описывающий поведение этой переменной в традиционных условиях, риск-нейтральных относительно валюты X. Введем следующие обозначения.
St валютный спот-курс (количество единиц валюты Y за одну единицу валюты X);
as- волатильность переменной S;
ау'. волатильность переменной V;
р : мгновенная корреляция между переменными S и V.
В данном случае изменение масштаба цен происходит при замене счета денежного рынка в валюте Y счетом денежного рынка в валюте X (при этом оба счета денежного рынка номинируются в валюте X). Пусть дх — стоимость депозитного счета денежного рынка, номинированная в валюте X, а ду — стоимость депозитного счета денежного рынка, номинированная в валюте Y. Масштабный коэффициент равен
“s.
BY
Как показано в разделе 25.4, переменные дх и ду имеют стохастический дрейф и нулевую волатильность. Кроме того, по лемме Ито волатильность масштабного коэффициента равна сг$. Таким образом, изменение масштаба приводит к увеличению ожидаемой скорости роста переменной V на величину
рсгу<Т£. (27.7)
При этом рыночная цена риска изменяется от нуля до pas-
Одним из применений этого результата является парадокс Сигела (Siegel’s paradox), описанный во врезке “Пример из деловой практики 27.1”.
Пример 27.5
Предположим, что двухлетний американский опцион приносит выигрыш в размере S - К фунтов стерлингов, где S — значение фондового индекса S&P 500 в момент исполнения опциона, а К — цена исполнения. Текущий уровень индекса S&P 500 равен 1 200 пунктам. Безрисковые процентные ставки в фунтах стерлингов и долларах равны 5 и 3% соответственно, коэффициент корреляции между обменным курсом доллар-фунт стерлингов и индексом S&P 500 равен 0,2, волатильность индекса S&P 500 равна 25%, а волатильность обменного курса — 12%. Доходность индекса S&P 500 равна 1,5%.
Чтобы оценить этот опцион, построим биномиальное дерево, описывающее поведение индекса S&P 500, используя в качестве масштаба счет денежного рынка в Великобритании (т.е. используя традиционные риск-нейтральные условия с точки зрения инвестора из Великобритании). Как показано выше, изменение масштаба цен приводит к увеличению ожидаемой скорости роста на величину
0,2 х 0,25 х 0,12 = 0,006,
т.е. на 0,6%. Скорость роста индекса S&P 500 в долларовом масштабе равна 3 - 1,5 = 1,5%. Следовательно, скорость роста индекса S&P 500 в масштабе фун-
та стерлингов равна 2,1%. Безрисковая процентная ставка в фунтах стерлингов равна 5%. Значит, поведение индекса S&P 500 аналогично активу, доходность которого в масштабе фунтов стерлингов равна 5 — 2,1 = 2,9%. Введя в программу DerivaGem параметры S = 1200, К = 1200, г = 0,05, q = 0,029, сг = 0,25, Т = 2 и выполнив 100 шагов по времени, приходим к выводу, что стоимость анализируемого опциона равна 179,83 фунтов стерлингов. □
Пример из деловой практики 27.1. Парадокс Сигела
Рассмотрим две валюты, X и Y. Предположим, что процентные ставки, номинированные в этих валютах, равны тх и ту и являются постоянными. Пусть S — количество единиц валюты Y, выплачиваемых за единицу валюты X. Как показано в главе 5, поведение обменного курса совпадает с поведением актива, доходность которого равна иностранной безрисковой процентной ставке. Следовательно, традиционный риск-нейтральный стохастический процесс, описывающий поведение переменной S, имеет следующий вид.
dS = (ту — Tx)S dt + crgS1 dz.
Из леммы Ито следует, что стохастический процесс, описывающий переменную 1/S, выглядит так.
d(l/S) = (гх - ту +<т|) (l/S)dt-as(l/S)dz.
Это приводит к парадоксу Сигела, который заключается в следующем. Поскольку ожидаемая скорость роста переменной Sb риск-нейтральном мире равна ту — гх, из условия симметрии следует, что ожидаемая скорость роста переменной 1/S должна быть равной гх — гу, а гх — гу + сг|.
Чтобы понять сущность парадокса Сигела, необходимо вспомнить, что стохастический процесс, описывающий поведение переменной S при условии, что в качестве масштаба цен выбран депозитный счет денежного рынка в валюте Y, является риск-нейтральным. Этот процесс описывает поведение случайной величины 1/S, поскольку он является следствием процесса, описывающего поведение величины S. Следовательно, эта переменная также является единицей масштаба цен. Поскольку переменная 1/S представляет собой количество единиц валюты X, выплачиваемой за единицу валюты Y, то для обеспечения симметрии мы должны измерять процесс при условии, что в качестве масштаба цен выбран счет денежного рынка в валюте X. Из формулы (27.7) следует, что при изменении масштаба цен путем замены депозитного счета денежного рынка в валюте X депозитным счетом денежного рынка в валюте Y скорость роста переменной 1/S увеличивается на pcy&s, гДе V = 1 /S, ар — коэффициент корреляции между
переменными S и 1/S. В данном случае р = — 1 и сгу = сг§. Отсюда следует, что изменение масштаба цен приводит к изменению скорости роста переменной S на величину —<т|. Таким образом, скорость роста переменной 1/S при условии, Что в качестве масштаба цен выбран счет денежного рынка в валюте X, а не в валюте Y, описывается следующим процессом.
d(l/S) = (гх - ry)(l/S)dt - crs(l/S)dz.
Этот процесс симметричен по отношению к стохастическому процессу, описывающему поведение переменной S. Таким образом, парадокс разрешен!
Резюме
При оценке дериватива, гарантирующего выплату в конкретный момент времени в будущем, естественно предположить, что базовые переменные дериватива принимают свои форвардные значения, а размер выплаты дисконтируется по процентной ставке, установленной на период времени между датой оценки и датой выплаты. В главе показано, что это предположение не всегда корректно.
Если размер выплаты зависит от доходности облигации у, наблюдаемой в момент Т, то, как следует из формулы (27.1), ожидаемый размер выплаты должен быть выше, чем форвардная доходность. Этот результат можно адаптировать к ситуациям, в которых размер выплаты зависит от ставки свопа. Если переменная измеряется в момент Т, а выплата осуществляется в момент Т*, то форвардное значение переменной следует скорректировать в соответствии с формулой (27.4). Если переменная измеряется в одной валюте, а выплата осуществляется в другой, то форвардное значение этой переменной также следует скорректировать по формуле (27.6).
Эти результаты будут использованы в главе 30 при оценке нестандартных свопов.
Дополнительная литература
Brotherton-Ratcliffe R. and Iben В. Yield Curve Applications of Swap Products; in Advanced Strategies in Financial Risk Management, ed. R. Schwartz and C. Smith, New York Institute of Finance, New York, 1993.
Jwnshidian F. Coralling Quantis // Risk, March (1994). — P. 71-75.
Reiner E. Quanto Mechanics // Risk, March (1992). — P. 59-63.
Вопросы и задачи
27.1. Объясните, как оценить дериватив, размер выплаты по которому через пять лет будет равен 1007?., где R — однолетняя процентная ставка (при ежегодном начислении), наблюдаемая через четыре года. Как изменится размер выплаты, если она будет осуществлена через четыре года? Как изменится размер выплаты, если она будет осуществлена через шесть лет?
1) Объясните, требуется ли учитывать поправки на выпуклость и временные поправки в следующих ситуациях.
2) При оценке спрэда, в рамках которого держателю каждый квартал выплачивается сумма, на которую пятилетняя ставка свопа превышает трехмесячную ставку LIBOR, умноженная на основную сумму, равную 100 долл. Выплата осуществляется через 90 дней после регистрации ставки.
27.2. При оценке дериватива, в рамках которого держателю каждый квартал выплачивается сумма, начисленная по ставке, равной разности между трехмесячной ставкой LIBOR и трехмесячной ставкой по казначейскому векселю. Выплата осуществляется через 90 дней после регистрации ставки.
27.3. Предположим, что в примере 26.3 из раздела 26.3 выплата осуществляется через один год (например, при регистрации процентной ставки), а не через 15 месяцев. Как изменятся входные данные модели Блэка?
27.4. Кривая доходности является плоской и проходит на уровне 10% годовых при ежегодном начислении. Вычислите стоимость финансового инструмента, в котором через пять лет держатель выплачивает двухлетнюю ставку свопа (с ежегодным начислением), а получает фиксированную ставку, равную 10% годовых. Обе ставки применяются к основной сумме, равной 100 долл. Предположим, что волатильность ставки свопа равна 20% годовых. Объясните, почему стоимость этого инструмента не равна нулю.
27.5. Как изменится результат решения задачи 27.4, если ставка свопа наблюдается через пять лет, но обмен выплатами осуществляется через 1) шесть лет и 2) семь лет? Будем считать, что корреляция между форвардной ставкой свопа, установленной на период между пятым и седьмым годами, и форвардной ставкой свопа, установленной на период между пятым и шестым годами, равна 0,8, а корреляция между форвардной ставкой свопа, установленной на период между пятым и седьмым годами, и форвардной процентной ставкой, установленной на период между пятым и седьмым годами, равна 0,95.
27.6. Цена облигации в момент Т, измеренная с помощью ее доходности, равна G(yr)- Предположим, что форвардная доходность облигации у в форвард
ных риск-нейтральных условиях относительно облигации, срок обращения которой истекает в момент Т, подчиняется законам геометрического броуновского движения. Будем считать, что скорость роста форвардной доходности облигации равна а, а ее волатильность равна ау.
1) Используя лемму Ито, вычислите процесс, описывающий поведение форвардной цены облигации в зависимости от параметров а, ау, у и G(y).
2) Форвардная цена облигации в описываемых условиях должна описываться мартингалом. Используйте этот факт для вывода выражения, позволяющего вычислить величину а.
3) Докажите, что выражение для вычисления параметра а в первом приближении не противоречит формуле (27.1).
27.7. Переменная S представляет собой стоимость инвестиционного актива с доходностью q, номинированной в валюте А. Следовательно, процесс
dS = figS dt + a§S dz
описывает поведение переменной S в реальном мире. Опишите процесс, которому подчиняется переменная S в перечисленных ниже условиях (при необходимости можно ввести новые переменные).
1) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты А.
2) Традиционные риск-нейтральные условия относительно валюты В.
3) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте А, срок обращения которой истекает в момент Т.
4) Форвардные риск-нейтральные условия относительно облигации с нулевым купоном, номинированной в валюте В, срок обращения которой истекает в момент Т.
27.8. Выигрыш опциона “колл” в момент Т равен тах^т — К, 0) иен, где St — цена золота в момент Т, номинированная в долларах, а К — цена исполнения. Вычислите стоимость контракта, предполагая, что стоимость хранения золота равна нулю, вводя при необходимости новые переменные.
27.9. Допустим, что текущее значение фондового индекса акций канадских компаний равно 400 пунктам. Канадский доллар в настоящий момент равен 0,7 долл. США. Безрисковые процентные ставки в Канаде и США равны 6 и 4% соответственно. Дивидендная доходность индекса равна 3%. Пусть Q — количество канадских долларов, выплачиваемых за доллар США, a S — величина индекса. Волатильность переменной S равна 20%, волатильность переменной Q — 6%, а коэффициент корреляции между переменными S
и Q равен 0,4. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость двухлетнего опциона на покупку индекса в следующих условиях.
1) Размер выплаты в канадских долларах равен величине, на которую индекс превышает число 400.
2) Размер выплаты в долларах США равен величине, на которую индекс превышает число 400.
Упражнения
27.10. Рассмотрим финансовый инструмент, выплата по которому через два года будет равна S долл., где S — величина индекса Nikkei. В настоящее время она равна 20 000 пунктов. Обменный курс доллар-иена (количество иен, выплачиваемых за один доллар) равен 100 иен. Коэффициент корреляции между валютным курсом и фондовым индексом равен 0,3, а доходность индекса равна 1% годовых. Волатильность индекса Nikkei равна 20%, а волатильность обменного курса иена-доллар — 12%. Процентные ставки (считающиеся постоянными) в США и Японии равны 4 и 2% соответственно.
1) Чему равна стоимость описанного финансового инструмента?
2) Предположим, что валютный курс в некоторый момент на протяжении срока действия финансового инструмента равен Q, а величина индекса равна S. Докажите, что американский инвестор может сформировать инвестиционный портфель, стоимость которого изменяется приблизительно на AS долл., если при инвестировании S долл, в индекс Nikkei и продаже без покрытия SQ иен величина индекса изменяется на AS иен.
3) Подтвердите правильность высказанного выше утверждения, если величина индекса изменяется от 20 000 до 20 050 иен, а валютный курс варьируется от 100 до 99,7 иен.
4) Как организовать дельта-хеджирование рассматриваемого инструмента?
27.11. Предположим, что кривая доходности LIBOR проходит горизонтально на уровне 8% (с непрерывным начислением). Выплата по деривативу осуществляется через четыре года. Ее размер равен сумме, полученной путем применения пятилетней процентной ставки за вычетом двухлетней ставки, зарегистрированной на этот момент, к основной сумме, равной 100 долл, при условии, что обе ставки начисляются непрерывно. Предположим, что
волатильность всех ставок равна 25%. Как изменится ответ, если выплата по деривативу будет осуществлена не через четыре, а через пять лет? Будем считать, что все ставки идеально коррелируют друг с другом.
27.12. Предположим, что выплата по деривативу будет осуществлена через десять лет, а ее размер будет равен сумме, полученной путем применения к основной сумме трехлетней ставки по свопу, выраженной в долларах США и зарегистрированной в этот момент. Предположим, что кривая доходности является горизонтальной и проходит на уровне 8% годовых (при полугодовом начислении) в долларах и 3% (при полугодовом начислении) в иенах. Волатильность форвардной ставки свопа равна 18%, волатильность десятилетнего валютного курса иена-доллар равна 12%, а коэффициент корреляции между обменным курсом и долларовой процентной ставкой равен 0,25.
1) Чему равна стоимость дериватива, если к основной сумме, равной 100 млн долл., применяется ставка свопа так, что выплаты осуществляются в долларах?
2) Чему равна стоимость дериватива, если к основной сумме, равной 100 млн долл., применяется ставка свопа так, что выплаты осуществляются в иенах?
27.13. Выплата по деривативу осуществляется через восемь лет. Ее размер равен средней ставке, вычисленной по значениям однолетних процентных ставок, зарегистрированных в течение пятого, шестого, седьмого и восьмого годов, и примененной к основной сумме. Кривая доходности проходит горизонтально на уровне 6% с ежегодным начислением, а волатильности все ставок равны 16%. Будем считать, что все ставки идеально коррелируют друг с другом. Чему равна стоимость этого дериватива?
Приложение 27.1. Формула для вычисления поправки на выпуклость
В приложении изложен вывод формулы для вычисления поправки на выпуклость. Предполагается, что выплата по деривативу в момент Т зависит от доходности облигации, наблюдаемой в это время. Введем следующие обозначения.
у0; форвардная доходность облигации, наблюдаемая сегодня, по форвардному контракту, срок действия которого истекает через Т лет;
Ут- доходность облигации в момент Т;
Вт' цена облигации в момент Г;
ст у', волатильность форвардной доходности облигации.
Предположим, что
Вт = С(ут)-
Раскладывая функцию С(ут) в ряд Тейлора в окрестности точки у = уо, получим следующую приближенную формулу.
Вт = G(yo) + (.Ут - yo)G'(yo) + 0,5(г/т — Уо)2С"(уо)-
Здесь G' и G" — первая и вторая производные функции G. Вычисляя математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, получаем следующий результат.
Ет{В'г) = G(yo) + Ет(ут ~ yo)G'(yo) + 0,5Ет[(ут - Уо)2]С"(уо)-
Здесь Ет — математическое ожидание в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном. Выражение G(yo), по определению, равно форвардной цене облигации. Кроме того, учитывая условия, в которых выполняются вычисления, величина Ет(Вт) равна форвардной цене облигации. Поскольку Ет(Вт) = G{yo), получаем, что
Ег{ут - Уо)С'(уо) + 0,5Ет[(ут - Уо)2]С"(уо) = 0.
Выражение Ет\(ут — Уо)2] приближенно равно су^у^Т. Следовательно, справедлива следующая приближенная формула.
р / \ 1 2 2ггЕ"
Следовательно, для того чтобы вычислить ожидаемую доходность облигации в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым
купоном, срок обращения которой истекает в момент Т, к форвардной доходности облигации необходимо добавить величину
2Уо * G'(yo)’
Этот результат полностью соответствует формуле (27.1). Его альтернативное доказательство кратко описано в задаче 27.6.
Процентные деривативы: модели краткосрочных ставок
Модели для оценок процентных деривативов, описанные в предыдущих главах, использовали предположение, что распределение вероятных значений процентной ставки, цены облигации или других переменных в будущий момент времени является логнормальным. Эти модели широко используются для оценки таких финансовых инструментов, как опционы “кэп”, европейские облигационные опционы и европейские свопционы. Однако эти модели связаны с определенными ограничениями. Они не учитывают изменения процентных ставок во времени. Следовательно, их нельзя использовать для оценки таких процентных деривативов, как американские свопционы, отзывные облигации и структурированные ноты.
В этой и следующей главах обсуждаются альтернативные подходы, позволяющие преодолеть упомянутые ограничения. Они связаны с построением модели временной структуры (term structure model), описывающей эволюцию всех нуль-купонных процентных ставок.1 Основное внимание в главе уделяется моделям временной структуры, описывающим поведение краткосрочной процентной ставки г.
28.1 Основы
Краткосрочная ставка г в момент t представляет собой процентную ставку, устанавливаемую на бесконечно малый период времени, начинающийся в момент t. По этой причине ее иногда называют мгновенной краткосрочной ставкой (instantaneous short rate). Реального процесса, адекватно описывающего поведение краткосрочной ставки, не существует. Цены облигаций, опционов и других деривативов зависят только от теоретического процесса, описывающего поведение краткосрочной ставки г в риск-нейтральных условиях. Эти условия описывают традиционный риск-нейтральный мир, в котором на очень коротком промежутке
'Обратите внимание, что при использовании модели временной структуры нет необходимости учитывать поправки на выпуклость, временные поправки и поправки кванто, описанные в предыдущей главе.
времени между моментами t и t + At инвесторы в среднем зарабатывают сумму, равную r(t)At. Все стохастические процессы, описывающие поведение ставки г, рассмотренные в главе, относятся именно к риск-нейтральному миру.
Из формулы (25.19) следует, что в момент Стоимость процентного дериватива, приносящего в момент Т выигрыш в размере /р, равна
Е , (28.1)
где г — среднее значение ставки г на интервале времени между моментами t и Т, а символВ обозначает математическое ожидание в традиционном риск-нейтральном мире.
Как обычно, обозначим через P(t, 7) цену в момент t облигации с нулевым купоном, размер выплаты по которой в момент Т равен одному доллару. Из формулы (28.1) следует, что
P(t, 7) = Ё . (28.2)
Если R(t, Т) — непрерывно начисляемая сложная процентная ставка в момент t, установленная на срок 7 — t, то
P(t, 7) = е-«(‘7)(г-‘); (28.3)
так что
ЩТ) = -±1пРкТ). (28.4)
В свою очередь, из формулы (28.2) следует, что
P(t,T) = - In 7 . (28.5)
Эта формула позволяет в любой момент времени определить временную структуру процентной ставки по ее значению г, установленному на этот момент, и риск-нейтральному процессу, описывающему поведение величины г. Итак, полностью определив процесс, описывающий поведение ставки г, мы получаем полную информацию о первоначальной нулевой кривой и ее эволюции во времени.
28.2 Модели равновесия
Построение модели равновесия, как правило, начинается с предположения о поведении экономических показателей и описания процесса, которому подчиняется краткосрочная процентная ставка г. Затем исследователи выясняют, как процесс, описывающий поведение ставки г, влияет на цены облигаций и опцио
нов.
В однофакторной модели равновесия процесс г связан только с одним источником неопределенности. Как правило, риск-нейтральный процесс, описывающий поведение краткосрочной процентной ставки, является разновидностью процесса Ито, имеющего вид
dr = m(r)dt + s(r)dz.
Мгновенный дрейф т и мгновенное стандартное отклонение s считаются функциями, зависящими от ставки г, но не зависящими от времени. Предположение о существовании единственного фактора не является серьезным ограничением, как это может показаться на первый взгляд. Однофакторная модель означает, что все ставки в течение короткого интервала времени изменяются в одном и том же направлении, но не на одну и ту же величину. Следовательно, форма нулевой кривой с течением времени может изменяться.
В следующих трех разделах изучаются три однофакторные модели равновесия.
m(r) = fj,r, s(r) = err (модель Рендлемана-Барттера (Rendleman and Bartter))
m(r) = a(b — r), s(r) — а (модель Васичека (Vasicek))
m(r) = a(b — r), s(r) = (Ту/r (модель Кокса, Ингерсолла и Росса (Сох, Ingersoll and Ross))
Модель Рендлемана-Барттера
В этой модели риск-нейтральный процесс, описывающий поведение ставки г, w 2
имеет следующий вид:
dt — pr dt + ar dz.
где р и <т — константы. Это значит, что ставка г подчиняется законам геометрического броуновского движения. Процесс, описывающий поведение ставки г, относится к тому же типу, что и процесс, описывающий поведение цены акции из главы 13. Его можно представить с помощью биномиального дерева, аналогичного описанному в главе 11?
Предположение, что краткосрочная процентная ставка ведет себя аналогично цене акции, является вполне естественным, но не совсем удачным. Между процентными ставками и ценами акций существует важное различие: с течением времени процентные ставки возвращаются к долговременному среднему значению. Это явление называется возвращением к среднему (mean reversion). Если ставка г установлена на высоком уровне, возвращение к среднему порождает отрицательный дрейф. Если ставка г установлена на низком уровне, возвращение
2См. Rendleman R. and В. Bartter The Pricing of Options on Debt Securities // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 15 (March 1980). — P. 11-24.
’Способ построения дерева, описывающего поведение процентной ставки, будет объяснен позд
нее.
к среднему порождает положительный дрейф. Явление возвращения к среднему проиллюстрировано на рис. 28.1. Модель Рендлемана-Барттера не учитывает явления возвращения к среднему.
Процентная ставка
Высокая процентная ставка имеет отрицательный тренд
Уровень возврата
Низкая процентная ставка имеет положительный тренд
Время
Рис. 28.1. Возвращение к среднему
В пользу возвращения к среднему свидетельствуют ясные экономические аргументы. Если ставки высоки, экономическое развитие замедляется, а заемщики предъявляют мало заявок на кредиты. В результате ставки падают. Если ставки низки, заемщики подают много заявок на кредиты, и ставки возрастают.
Модель Васичека
В рассматриваемой модели риск-нейтральный процесс, описывающий поведение ставки г, имеет вид
dr = a(b — r)dt + a dz,
где а, b и ст являются константами.4 Эта модель учитывает явление возвращения к среднему. Краткосрочная ставка возвращается к уровню b со скоростью а. На это дополнительно накладывается условие, что стохастическое слагаемое ст dz имеет нормальное распределение.
Васичек доказал, что формула (28.2) позволяет вывести следующее выражение для вычисления цены облигации с нулевым купоном в момент t, размер выплаты
4См. Vasicek О. A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics, 5 (1977). - P. 177-188.
по которой в момент Т равен одному доллару.
P(t, Т) = A(t, T)e~B{-t:r>r^. (28.6)
В этом равенстве функция r(t) представляет собой уровень процентной ставки г в момент t.
1 _ e~a.(T-t)
в (t, Т) =------------ (28.7)
а
и
А ((, Г) = ехр ( \ а2 4а /
Если а = 0, то B(t, Т) = Т — t и А (£, Т) = ехр ^<т2(Т — t)3/6j. Используя формулу (28.4), получаем, что
В (t'Т) = -Y~t1п А & Г) + Y~tB Т) Г (0 ’ (28’9)
Отсюда следует, что временную структуру процентной ставки можно определить в виде функции r(t), правильно выбрав параметры а, b и <т. Эта функция может быть убывающей, возрастающей или иметь слабо выраженный “горб” (рис. 28.2).
Модель Кокса, Ингерсолла и Росса
В модели Васичека краткосрочная процентная ставка г могла принимать отрицательные значения. Для того чтобы устранить этот недостаток, Кокс, Ингерсолл и Росс предложили альтернативную модель, в которой краткосрочная процентная ставка всегда принимает только неотрицательные значения.5 В этой модели риск-нейтральный процесс, описывающий поведение величины г, имеет следующий вид.
dr = a(b — r)dt + oyfrdz.
Этот процесс имеет такой же дрейф с возвращением к среднему, что и процесс, лежащий в основе модели Васичека, но стандартное отклонение изменений краткосрочной процентной ставки за короткий период времени пропорционально у/г. Это значит, что при возрастании краткосрочной процентной ставки ее стандартное отклонение также возрастает.
Кокс, Ингерсолл и Росс показали, что в их модели формулы для вычисления цены облигации имеют такой же общий вид, как и в модели Васичека, т.е.
P(t,T) = A(t,T)e~B{t’T'>r,
5См. Сох J. С., Ingersoll J. Е. and Ross S. A. A Theory of the Term Structure of Interest Rate // Econometrica, 53 (1985). — P. 385-407.
Рис. 28.2. Возможные формы временной структуры краткосрочной процентной ставки в модели Васичека
но функции B(t, Т) и A(t, Т) отличаются от их прототипов:
2 (е^т~» - 1)
(7 + a) — 1) + 27’
Д(4,Т) =
27е(а+э')(?1-*)/2
(7 + а) — 1) 4- 27
2аЬ/<т2
где 7 = -/а2 + 2<т2. В этом случае также возможны возрастающие и убывающие кривые, а также кривые с небольшим “горбом”. Как и в модели Васичека, долгосрочная процентная ставка R(t, Т) линейно зависит от краткосрочной процентной ставки г. Это значит, что величина r(t) определяет уровень временной структуры в момент t. Общая форма временной структуры в момент t не зависит от величины r(t), но зависит от времени t.
Двухфакторные модели равновесия
Двухфакторные модели равновесия являются предметом многочисленных исследований. Например, Бреннан (Brennan) и Шварц (Schwartz) разработали мо
дель, в которой стохастические процессы, описывающие поведение краткосрочной и долгосрочной процентных ставок, являются взаимно обратными.6 В качестве долгосрочной процентной ставки выбирается доходность бессрочной облигации, по которой выплачивается один доллар в год. Доходность этой облигации является обратной величиной по отношению к ее стоимости. Следовательно, для вычисления стохастического процесса, описывающего поведение доходности облигации, с помощью процесса, описывающего поведение ее цены, можно использовать лемму Ито. Облигация представляет собой ценную бумагу, являющуюся предметом купли-продажи. Это упрощает анализ, поскольку ожидаемая доходность облигации в риск-нейтральном мире должна быть равной безрисковой процентной ставке.
Еще одна двухфакторная модель, предложенная Лонгстаффом (Longstaff) и Шварцем, использует общую модель равновесия в экономике и выводит модель временной структуры, учитывающую стохастическую волатильность.7 Эта модель основана на довольно удобных аналитических формулах.
28.3 Безарбитражные модели
Недостаток моделей равновесия, описанных в предыдущих разделах, заключается в том, что они не могут автоматически учесть сегодняшнюю временную структуру. При правильном выборе параметров они могут аппроксимировать многие временные структуры, встречающиеся на практике. Однако эти аппроксимации не всегда оказываются точными, а в некоторых случаях характеризуются значительными ошибками. Большинство грейдеров этим недовольны. Они считают, что если модель не позволяет правильно оценить облигацию, то и оценкам стоимости облигационного опциона доверять не стоит. Один процент ошибки при оценке стоимости облигации может привести к 25%-ной ошибке при вычислении цены опциона.
Безарбитражная модель (non-arbitrage model) точно учитывает сегодняшнюю временную структуру процентных ставок. Таким образом, существенная разница между моделями равновесия и безарбитражными моделями заключается в следующем. В моделях равновесия сегодняшняя временная структура процентных ставок является результатом, а в безарбитражных моделях они представляют собой часть входной информации.
6См. Brennan М. J. and Schwartz Е. S. A Continuous Time Approach to Pricing Bonds // Journal of Banking and Finance, 3 (July 1979). — P. 133-155; Brennan M. J. and Schwartz E. S. An Equilibrium Model of Bond Pricing and a Test of Market Efficiency // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 21, no. 3 (September 1982). - P. 301-329.
7Cm. Longstaff F A. and Schwartz E. S. Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two Factor General Equilibrium Model // Journal of Finance, 47, no. 4 (September 1992). — P. 1259-1282.
В моделях равновесия дрейф краткосрочной ставки (т.е. коэффициент при величине dt), как правило, не является функцией от времени. В безарбитражных моделях этот дрейф обычно зависит от времени. Это объясняется тем, что в безарбитражных моделях форма первоначальной нулевой кривой определяет среднюю траекторию краткосрочной процентной ставки, которую она пройдет в будущем. Если нулевая кривая на отрезке от момента до (2 круто возрастает, краткосрочная процентная ставка г на этом промежутке времени имеет положительный дрейф. Если же нулевая кривая на отрезке от момента 11 до t? круто убывает, краткосрочная процентная ставка г на этом промежутке времени имеет отрицательный дрейф.
Оказывается, некоторые модели равновесия можно преобразовать в безарбитражные модели, описав дрейф краткосрочной процентной ставки с помощью функции, зависящей от времени.
Модель Хо-Ли
Первую безарбитражную модель временной структуры в 1986 году предложили Хо (Но) и Ли (Lee).8 Их модель представляла собой биномиальное дерево цен облигации с двумя параметрами: стандартным отклонением краткосрочной процентной ставки и рыночной стоимостью риска, связанной с краткосрочной процентной ставкой. Авторы показали, что в рамках модели для непрерывного времени стохастический процесс, описывающий поведение краткосрочной процентной ставки, имеет вид
dr = 6(t)dt + adz, (28.10)
где а — постоянное мгновенное стандартное отклонение краткосрочной процентной ставки, a 0(f) — функция от времени, гарантирующая согласование модели с первоначальной временной структурой. Функция 0(f) определяет среднюю траекторию, которую прошла краткосрочная процентная ставка г к моменту t. Она не зависит от уровня ставки г. Интересно, что параметр Хо и Ли, оценивающий рыночную стоимость риска, связанного с колебаниями краткосрочной процентной ставки, оказывается непригодным для оценки процентных деривативов. Этот факт аналогичен тому, что рисковые предпочтения непригодны для оценки фондовых опционов.
Функцию 0(f) можно вычислить аналитически по формуле
0(t) = Ft(0,t) + a2t, (28.11)
где F(0, t) — мгновенная форвардная ставка в момент погашения облигации t, оцениваемая в нулевой момент, а индекс t означает частную производную по
8См. Но Т. S. Y. and Lee S.-B. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Claims // Journal of Finance, 41 (December 1986). — P. 1011-1029.
переменной t. Функция 6(t) приближенно равна F((), t). Это значит, что среднее направление, в котором в будущем будет изменяться краткосрочная процентная ставка, приближенно равно наклону мгновенной форвардной кривой. Модель Хо-Ли продемонстрирована на рис. 28.3. Наклон форвардной кривой определяет среднее направление, в котором краткосрочная процентная ставка изменяется в любой заданный момент времени. Кроме того, предполагается, что наклон является нормально распределенной случайной величиной.
С помощью модели Хо-Ли стоимость облигаций с нулевым купоном и европейских опционов на облигации с нулевым купоном можно вычислить по аналитическим формулам. Выражение для вычисления цены облигации с нулевым купоном в момент t по величине краткосрочной процентной ставки г имеет вид
P(t,T) = А^,Т)е~г^т-^, (28.12)
где
In A (t, Т) = In + (Т - t) F (0, t) - pf (Т - t)2 .
В этом равенстве нулевым моментом времени является сегодняшний день. Моменты Т и t относятся к будущему, причем Т t. Таким образом, эти формулы определяют цену облигации с нулевым купоном в будущий момент времени t по величине краткосрочной процентной ставки г и сегодняшним ценам облигаций. Последнюю величину можно вычислить с помощью сегодняшней временной структуры.
Однофакторная модель Халла-Уайта
В работе, опубликованной в 1990 году, Халл и Уайт исследовали модификации модели Васичека, позволяющие точно учесть первоначальную временную структуру.9 Одна из модификаций модели Васичека имеет вид
dr — [#(£) — ar]dt + adz, (28.13)
или
(д (t} \
-------г ) dt + adz, а------)
где а и а — константы. Эта модель известна как модель Халла-Уайта. С одной стороны, ее можно считать разновидностью модели Хо-Ли с возвращением к среднему со скоростью а. С другой стороны, ее можно рассматривать как модель Васичека, в которой уровень возвращения зависит от времени. В момент t краткосрочная ставка возвращается к величине O(t)/a. Модель Хо-Ли является частным вариантом модели Халла-Уайта при а = 0.
По сложности эта модель сравнима с моделью Хо-Ли. Функцию 0(t) можно вычислить по первоначальной временной структуре (см. задачу 28.14):
2
0(t) = Ft(0,t)+aF(0,t) + £-(1 - еГ2а1). (28.14)
Последнее слагаемое в этой формуле, как правило, очень мало. Если отбросить его, то легко доказать, что дрейф процесса, описывающего поведение краткосрочной процентной ставки г в момент t, равен Ft(0, £) + n[F(0, £) — г]. Отсюда следует, что в среднем величина г представляет собой наклон первоначальной кривой мгновенной форвардной ставки. Если она отклоняется от этой кривой, то с течением времени возвращается назад со скоростью а. Эта модель изображена на рис. 28.4.
Цены облигаций в момент £, вычисленные по модели Халла-Уайта, определяются по формуле
Р(£, Т) = A(t, т)е-в&г>г®, (28.15)
где
1 _ e-«(7’-t)
B(t,T) =------------- (28.16)
а
и
In А (£, Т) = In + В (t, Т) F (0, £) -
- --^а2 (е~аТ - e~at} (e2at - 1) . (28.17) 4аз \ > >
9См. Hull J. and White A. Pricing Interest Rate Derivative Securities // Review of Financial Studies, 3, no. 4 (1990). - P. 573-592.
Формулы (28.15)-(28.17) определяют цену облигации с нулевым купоном в будущий момент t по краткосрочной процентной ставке в момент t и сегодняшним ценам облигаций. Последний показатель можно вычислить, используя сегодняшнюю временную структуру.
Модель Блэка-Карасински
Недостаток моделей Хо-Ли и Халла-Уайта заключается в том, что краткосрочная процентная ставка г может стать отрицательной. Модель, в которой процентная ставка может принимать только положительные значения, предложили Блэк и Карасински (Karasinski)10:
din г = [0(f) — a(t) In r]dt + crfydz. (28.18)
Поведения величины In г в этой модели и величины г в модели Халла-Уайта описываются одним и тем же процессом. В то же время в моделях Хо-Ли и Халла-Уайта процентная ставка г в будущем имеет нормальное распределение, а в модели Блэка-Карасниски — логнормальное.
Модель Блэка-Карасински не так удобна с аналитической точки зрения, как модель Хо-Ли или Халла-Уайта. Например, с ее помощью невозможно вывести формулы для оценки облигаций на основе процентной ставки г.
|0См. Black Е and Karasinski Р Bond and Option Pricing with Short Rates Are Lognormal // Financial Analysis Journal, July/August 1991. — P. 52-59.
Двухфакторная модель Халла-Уайта
Бреннан и Шварц предложили безарбитражную модель, основанную на той же идее, что и двухфакторная модель равновесия.11
df(r) = [0(f) Т и — <z/(r)]dt + <71 dzi, (28.19)
где величина и в начальный момент времени равна нулю и подчиняется стохастическому процессу
du = —bu dt Т <72 dz2-
Как и в рассмотренных однофакторных моделях, параметр 0(f) выбирается так, чтобы модель была согласована с первоначальной временной структурой. Стохастическая переменная и является компонентом уровня возврата (reversion level) переменной г и сама возвращается к нулю со скоростью Ь. Параметры а, Ь, щ и <72 являются постоянными, a dzi и dz2 — винеровские процессы с мгновенной корреляцией р.
Эта модель предоставляет больше возможностей выбора временной структуры и волатильности, чем однофакторная. Более подробно эта модель описана в техническом замечании 14 на Web-сайте автора.
28.4 Опционы на облигации
Некоторые модели, описанные выше, допускают аналитическое вычисление стоимости нуль-купонных облигаций. В моделях Васичека, Хо-Ли и Халла-Уайта цена опциона, имеющего срок действия Т, на облигации с нулевым купоном со сроком погашения sb первоначальный момент времени равна
LF(0, s)7V(/t) - КР(0, T)N(h - оР),
(28.20)
где L — номинальная стоимость облигации, К — цена исполнения и
h --
1 LF(0, s) оР op P(0,T)K 2 ’
Цена опциона на покупку облигации равна
КР(0, s)N(—h + <7Р) - LF(0, T)N(-ti).
В моделях Васичека и Халла-Уайта
<7р = — (1 — е~“' а \
1 — е.—^аТ
2а
11 См. Hull J. and White A. Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models II: Two-Factor Models /7 Journal of Derivatives, 2, 2 (Winter 1994). — P. 37-48.
В модели Хо- Ли
<тр = a(s — T)VT.
Формула (28.20) практически совпадает с моделью Блэка для оценки опционов на облигации, описанных в разделе 26.2. Волатильность цены облигации равна ар)\[Т, а стандартное отклонение логарифма цены облигации в момент Т равно ар. Как указано в разделе 26.3, процентные опционы “кэп” или “фло” можно представить в виде портфелей опционов на облигации с нулевым купоном. Следовательно, их можно оценить аналитически, используя указанные формулы.
Кроме того, существуют формулы для оценки облигаций с нулевым купоном в рамках модели Кокса, Ингерсолла и Росса, описанной в разделе 28.2. Эти вычисления связаны с интегрированием функции нецентрального распределения хи-квадрат.
Опционы на облигации с купонными выплатами
В однофакторной модели краткосрочной процентной ставки г цены всех нуль-купонных облигаций растут, если ставка уменьшается, и падают, если ставка увеличивается. Благодаря этому однофакторная модель позволяет выразить стоимость европейского опциона на облигацию с купонными выплатами, представив его в виде суммы европейских опционов на облигации с нулевыми купонами. Эта процедура выглядит следующим образом.
1. Вычисляем величину г* — критическую величину ставки г, при которой цена облигации с нулевым купоном равна цене исполнения опциона на облигацию с таким же сроком погашения.
2. Вычисляем цены опционов на облигации с нулевыми купонами, на которые раскладывается облигация с купонными выплатами. Устанавливаем цену исполнения для каждого опциона и оцениваем соответствующую облигацию с нулевым купоном при условии, что в момент Т выполняется равенство г = г*.
3. Устанавливаем цену опциона на облигацию с купонными выплатами равной сумме цен опционов с нулевыми купонами, вычисленных на этапе 2.
Это позволяет оценить опционы на облигации с купонными выплатами с помощью моделей Васичека, Кокса, Ингерсолла и Росса, Хо-Ли и Халла-Уайта. Как указано во врезке “Пример из деловой практики 26.2”, европейский свопцион можно рассматривать как опцион на облигацию с купонными выплатами. Следовательно, его можно оценить с помощью описанной выше процедуры. Более подробно этот алгоритм описан в техническом замечании 15, размещенном на Web-сайте автора.
28.5 Структуры волатильности
Модели, рассмотренные выше, связаны с разными видами волатильности. На рис. 28.5 волатильность трехмесячной форвардной процентной ставки представлена в виде функции, зависящей от срока выплат в модели Хо-Ли, а также одно-и двухфакторной моделях Халла-Уайта. Временная структура процентных ставок предполагается плоской.
Волатильность
Срок погашения
а)
Рис. 28.5. Возвращение к среднему
В модели Хо-Ли волатильность трехмесячной форвардной процентной ставки одинакова для всех сроков выплат. В однофакторной модели Халла-Уайта учитывается эффект возвращения к среднему, из-за которого трехмесячная форвардная процентная ставка является убывающей функцией, зависящей от срока выплат. При соответствующем выборе параметров двухфакторной модели Халла-Уайта функция трехмесячной форвардной процентной ставки имеет “горб”. Это соответствует эмпирическим наблюдениям и графику подразумеваемой предельной волатильности (cap volatility), рассмотренным в разделе 26.3.
28.6 Деревья процентных ставок
Дерево процентных ставок представляет собой дискретное описание стохастического процесса, описывающего поведение краткосрочной процентной ставки. Аналогичная конструкция уже рассматривалась нами при изучении биноми
альных или триномиальных деревьев, описывающих поведение цен акций. Если временной шаг дерева равен At, то процентные ставки, для которых построено дерево, представляют собой непрерывно начисляемые At-ставки. Как правило, при построении таких деревьев предполагается, что At-ставка R описывается тем же стохастическим процессом, что и мгновенная ставка г в соответствующей модели с непрерывным временем. Основная разница между деревьями процентных ставок и деревьями цен акций заключается в способе дисконтирования. В последнем случае ставка дисконта в каждом узле дерева считается одинаковой. Однако в дереве процентных ставок ставка дисконта изменяется от узла к узлу.
Для описания поведения процентных ставок часто удобнее пользоваться триномиальными, а не биномиальными деревьями. Основное преимущество триномиального дерева заключается в том, что оно предоставляет дополнительную ступень свободы, облегчая описание таких свойств процентных ставок, как возвращение к среднему. Как указывалось в разделе 17.8, применение триномиального дерева эквивалентно использованию явного конечно-разностного метода.
Иллюстрация использования триномиальных деревьев
Для того чтобы проиллюстрировать триномиальные деревья процентных ставок, рассмотрим простой пример, изображенный на рис. 28.6. Это — двухуровневое дерево, в котором каждый шаг по времени равен одному году, так что At = 1. Предположим, что вероятности перехода из каждого узла в соседний верхний, средний и нижний узлы равны 0,25, 0,50 и 0,25 соответственно. Кроме того, будем считать, что верхнее число, приписанное каждому узлу, представляет собой ставку, установленную на период At.12
Это дерево позволяет вычислить стоимость дериватива, выигрыш по которому в конце второго этапа равен
шах[100(7? — 0,11), 0],
где R — ставка, установленная на период At. Вычисленные цены этого дериватива при разных условиях равны нижним числам, указанным возле каждого узла. В финальном узле стоимость дериватива равна его выигрышу. Например, в узле Е стоимость дериватива равна 100 х (0,14 — 0,11) — 3. В предшествующих узлах стоимость дериватива вычисляется с помощью процедуры обратного обхода, описанной в главах 10 и 18. В узле В однолетняя процентная ставка равна 12%. Она используется для дисконтирования стоимости дериватива в узле В с учетом его цен в узлах Е, F и G.
(0,25 х 3 + 0,5 х 1 + 0.25 х 0)е-ОД2х1 = 1,11.
|2Способы вычисления вероятностей и процентных ставок будут описаны позднее.
Рис. 28.6. Пример использования триномиального дерева; верхнее число в каждом узле представляет собой процентную ставку, а нижнее — стоимость финансового инструмента
В узле С однолетняя процентная ставка равна 10%. Она используется для дисконтирования стоимости дериватива в узле С.
(0,25 х 1 + 0,5 х 1 + 0,25 х 0)е~°’1х1 = 0,23.
В начальном узле А однолетняя процентная ставка также равна 10%, а стоимость дериватива равна
(0,25 х 1,11 + 0,5 х 0,23 + 0,25 х 0)е”°’1х1 = 0,35.
Нестандартное ветвление
Иногда удобнее модифицировать стандартный способ ветвления, представленный на рис. 28.6. Для этого существует три альтернативных способа, изображенных на рис. 28.7. Стандартный способ ветвления показан на рис. 28.7, а. Он называется “вверх-прямо-вниз”. Альтернатива этому способу изображена на рис. 28.7, б. Она называется “вверх-вверх-прямо” и используется для учета возвращения к среднему в ситуациях, когда процентные ставки установлены на очень низком уровне. Третий способ ветвления, представленный на рис. 28.7, в, называется “прямо-вниз-вниз”. Он используется для учета возвращения к среднему в ситуациях, когда процентные ставки установлены на очень высоком уровне. Применение этих вариантов ветвления будет продемонстрировано ниже.
а) б) в)
Рис. 28.7. Альтернативное ветвление триномиального дерева
28.7 Общая процедура построения дерева
Халл и Уайт предложили устойчивую двухэтапную процедуру построения триномиальных деревьев, описывающих широкий спектр однофакторных моделей.13 Сначала в этом разделе описывается использование этой процедуры в модели Халла-Уайта (формула 28.13)), а затем она обобщается на другие модели.
Первый этап
Модель Халла-Уайта для мгновенной краткосрочной процентной ставки г имеет следующий вид.
dr = [0(t) — ar]dt + ст dz.
Для упрощения изложения в дальнейшем будем считать, что шаг по времени является постоянным и равен At.14
Предположим, что ставка R, установленная на период At, описывается тем же стохастическим процессом, что и ставка г.
dR = [0(t) — aR]dt + ст dz.
Очевидно, это выражение представляет собой предел, к которому стремится процесс, когда At стремится к нулю. На первом этапе построения дерева для модели Халла-Уайта необходимо построить дерево, отражающее возможные изменения величины R* (в дальнейшем — Я*-дерево. — Примеч. ред.), которая в начальный момент времени равна нулю и описывается стохастическим процессом
dR* = —aR*dt + ст dz.
13См. Hull J. and White A. Numerical Procedures for Implementing Term Structure Models I: Single-Factor Models // Journal of Derivatives, 2, no. 1 (1994). — P. 7-16: Hull J. and White A. Using Hull White Interest Rate Trees // Journal of Derivatives, Spring 1996. — P. 26-36.
^Использование непостоянных шагов по времени описано в техническом замечании 16, размещенном на Web-сайте автора.
Этот процесс симметричен относительно значения R* = 0. Переменная R*(t + + At) — R*(t) имеет нормальное распределение. Если отбросить слагаемые, содержащие второй и более высокие порядки величины At, то математическое ожидание переменной R*(t + At) — R*(t) равно —aR*At, а дисперсия равна o-2At.
Обозначим через А/? разность между процентными ставками, представленными на дереве, и положим ее равной
АТ? = trV^Af.
Это позволяет минимизировать ошибку аппроксимации.
Цель первого этапа — построить дерево, похожее на Я*-дерево, изображенное на рис. 28.8. Для этого необходимо решить, какую из схем ветвления, показанных на рис. 28.7, следует применить в каждом из узлов. Это определяет геометрию всего дерева. После этого следует вычислить вероятности, приписанные каждой из ветвей.
Узел: А В С D Е F G н 1
Я, % 0,000 1,732 0,000 -1,732 3,464 1,732 0,000 -1.732 -3,464
ри 0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0,1217 0,1667 0.2217 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0,6666 0.6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 28.8. /?*-дерево в модели Халла-Уайта (первый этап)
Обозначим через (?',//') узел, в котором t = г At и R* = jAR. (Переменная i — это положительное целое число, a j — положительное или отрицательное целое число.) Метод ветвления, использованный в узле, должен гарантировать, что вероятности перехода по каждой из трех ветвей, исходящих из узла, являются положительными. В большинстве случаев наиболее удобной оказывается схема
ветвления, изображенная на рис. 28.7, а. Если а > 0, то при достаточно большом значении j эту схему ветвления следует заменить схемой, представленной на рис. 28.7, в. Аналогично, если число j отрицательно и достаточно велико, схему, показанную на рис. 28.7, а, необходимо заменить схемой, изображенной на рис. 28.7, б. Обозначим через jmax значение параметра j, при котором следует схему ветвления, показанную на рис. 28.7, а, заменить схемой, приведенной на рис. 28.7, в, а через jmin — значение параметра, при котором следует выполнить замену схемы ветвления с рис. 28.7, а на схему с рис. 28.7, б. Халл и Уайт показали, что вероятности всегда остаются положительными, если установить величину jmax равной наименьшему целому числу, превышающему значение 0,184/(aAt), а в качестве .'/„„п выбрать значение —Утях-15 Обозначим через ри, рт и вероятности перехода из узла по каждой из трех ветвей. Вероятности выбираются в соответствии с ожидаемым изменением величины R* и дисперсией этого изменения на следующем временном интервале. Сумма вероятностей должна быть равной единице. Это приводит к трем уравнениям относительно трех вероятностей.
Как указывалось ранее, среднее изменение величины R* за время At равно —aR*At, а дисперсия изменений равна <r2At. В узле (г, j)R* = j^R- Если ветвление имеет вид, представленный на рис. 28.7, а, то величины ри, рт ир({Ъ узле (г, j) должны удовлетворять трем уравнениям.
puAR ~ Pd^R = —oj AT?At, puAR2 + p(i^R2 = er2 At + a2/2 AT?2 At2, Pu + Pm + Pd = 1-
Используя значение AT? = crVSAt, приходим к выводу, что решением системы уравнений являются следующие числа.
1 a2//2 At2 — aj&t
Ри=в + 2 ’
Рт = | - о2/2 At2,
1 а2/2 At2 + ajAt
Pd ~ 6 + 2 ’
Аналогично, если схема ветвления имеет вид, представленный на рис. 28.7, б, вероятности будут равны следующим числам.
1 а2 7 2 At2 + aj&t
Ри ~ 6 + 2 ’
’’Вероятности являются положительными для всех целых чисел jm!UC в диапазоне от 0,184/(aAt) до 0,816/(aAt) и для всех целых чисел jmin в диапазоне от —0,184/(пЛ/.) до —0,816/(aAt). Изменение схемы ветвления в первом возможном узле обеспечивает максимальную эффективность вычислений.
Рт = ~ j ~ a2'/2 At2 - 2а/At, 7 a2ji2At2 + SajAt Pd = 6 +---------2-------'
В заключение приведем вероятности, соответствующие схеме ветвления, изображенной на рис. 28.7, в.
7 а2/2 А/2 — Sa/'At
Ри ~ 6 + 2 ’
Рт =- а2/2 At2 + 2ajAt,
1 a2/2At2 — a/iAt
Pd=6 +-----------2^~-
Для иллюстрации первого этапа построения дерева предположим, что ст = 0,01, а = 0,1 и At = 1 год. В таком случае Д7? = 0,01\/3 = 0,0173, величина jmax равна наименьшему целому числу, превышающему 0,184/0,1 и jmjn = Это значит, что ,'/П)ах = 2 и Jmin = —2, а дерево изображено на рис. 28.8. Вероятности перехода по ветвям, исходящим из каждого узла, указаны в таблице, приведенной на рис. 28.8. Они вычислены с помощью решения системы уравнения относительно величин ри, Рт и pa-
Обратите внимание на то, что вероятности, приписанные каждому из узлов на рис. 28.8, зависят только от индекса j. Например, вероятности, приписанные узлу В, совпадают с вероятностями, приписанными узлу F. Более того, дерево является симметричным. Вероятности, приписанные узлу D, являются зеркальным отражением вероятностей, приписанных узлу В.
Второй этап
Второй этап построения дерева заключается в преобразовании /?*-дерева в R-дерево. Для этого необходимо разместить узлы R*-дерева так, чтобы первоначальные временные структуры процентных ставок совпали. Введем следующее обозначение.
a(t) - fl(t) - 7?*(t).
Величину а можно вычислить с помощью итерационной процедуры так, чтобы она точно соответствовала первоначальной временной структуре.16 Для этого обозначим величину а, через a(?At). Она представляет собой разность между
16Поскольку
dR = [0(t) — aR]dt + adz
и
dR* — —aR* dt + adz,
величиной ставки R на В-дереве в момент гД/ и соответствующей величиной ставки R* на R*-дереве в момент ?'Д/. Кроме того, обозначим через Qij текущую стоимость ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория ставки проходит через узел (г, j), и нулю в противном случае. Величины ац и Qij можно вычислить с помощью форвардной индукции так, чтобы полностью воспроизвести первоначальную временную структуру.
Иллюстрация второго этапа
В табл. 28.1 приведены гипотетические нуль-купонные непрерывно начисляемые ставки из рис. 28.8. Величина Qo,o равна 1,0. Величина «о выбирается так, чтобы соответствовать правильной цене облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент Д/. Иначе говоря, величина «о устанавливается равной первоначальной процентной ставке, установленной на период Д/. Поскольку в нашем примере Д/ = 1, то ао = 0,03824. Таким образом, позиция начального узла на В-дереве определена (рис. 28.9). На следующем этапе вычисляются величины Qij, Qi,o и Qi.-i- Вероятность того, что траектория пройдет через узел (1,1), равна 0,1667, а дисконтная ставка на первом шаге по времени равна 3,82%. Следовательно, величина Qij равна 0,1667е~'0,0382 = 0,1604. Аналогично Qi;o = 0,6417 и Qi,-i = 0,1604.
Таблица 28.1. Нулевые ставки на рис. 28.8 и 28.9
Срок действия Ставка, %
0,5 3,430
1,0 3,824
1,5 4,183
2,0 4,512
2,5 4,812
3,0 5,086
справедливо соотношение
da = [0(t) — aa(t)]dt.
Если проигнорировать разницу между ставками г и R, то решение этого уравнения выглядит так.
ZT2 9
aa) = F(0,/.) + -- (!- е "') .
Однако эти величины являются мгновенными и не полностью соответствуют временной структуре процентных ставок.
Узел: А В С D Е F G Н I
R,% 3,824 6,937 5,205 3,473 9,716 7,984 6,252 4,520 2,788
Ри 0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0,1217 0,1667 0,2217 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0267 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 28.9. R-дерево в модели Халла-Уайта (второй этап)
Вычислив величины Qij, Qifi и Qi-i, можно приступать к вычислению величины од. Она выбирается так, чтобы соответствовать правильной цене облигации с нулевым купоном, срок обращения которой завершается в момент 2Д/. Поскольку ДВ = 0,01732 и Д/ = 1, цена этой облигации в узле В равна e-(ai+o,oi732). Аналогично в узле С эта цена равна e ~QI, а в узле D — e-(f>i -o,°i732) уаким образом, цена этой облигации в начальном узле А равна
Que“(Q1+0’01732) + QiiOe_f>' + _1e-(Q1-°’01732\ (28.21)
Из первоначальной временной структуры следует, что цена облигации должна быть равной е-о,04512x2 _ Q 9137 Подставляя величины Q в формулу (28.21), получаем следующее.
0,1604e“(Q1+0’°1732) +0,6417e-Q1 + 0,1604e_(Q1~0’01732) = 0,9137.
Иначе говоря,
eQ1 (О,16О4е~0-01732 + 0.6417 + О,16О4е0’01732) = 0,9137,
т.е.
<ТХ = In
О,16О4е~0’01732 + 0,6417 + О,16О4е°’01732
0,9137
= 0,05205.
Это значит, что центральный узел Д-дерева в момент Д/ соответствует процентной ставке 5,205% (см. рис. 28.9).
На следующем этапе вычисляются величины Q2,2, Q2,i, Ог,о, Ch.-i и Q2-2-Эти вычисления можно упростить, используя значения Q, вычисленные ранее. Рассмотрим, например, процедуру вычисления величины С?2,1- Она равна стоимости ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория проходит через узел F, и нулю в противном случае. В узел F можно попасть только из узлов В и С. Процентные ставки в этих узлах равны 6,937 и 5,205% соответственно. Вероятности, связанные с ветвями В — F и С — F, равны 0,6566 и 0,1667. Следовательно, стоимость ценной бумаги, выигрыш по которой равен одному доллару, если траектория проходит через узел F, равна О,6566е-0,06937. Стоимость этой ценной бумаги в узле С равна 0,6566с-0’05205. Величина 6^2,1 равна сумме текущей стоимости одного доллара, полученного в узле В, умноженной на О,6566е-0,06937, и текущей стоимости одного доллара, полученного в узле С, умноженной на О,6566е-0’05205. Иначе говоря,
<Э2,1 = О,6566е-0’06937 х 0,1604 + О,1667е-0’05205 х 0,6417 = 0,1998.
Аналогично $2,2 = 0,0182, СДо = 0,4736, Qj.-i = 0,2033 и Q2-2 = 0,0189.
Наследующем этапе построения Д-дерева, представленного на рис. 28.9, необходимо вычислить величину После этого вычисляются величины Qs,j- Затем определяется значение 0-3 и т.д.
Формулы для вычисления параметров а и Q
Чтобы описать этот метод более формально, предположим, что величины Qij определены для всех г С т (т 0). На следующем этапе необходимо вычислить параметры ат, так чтобы дерево правильно оценивало облигацию с нулевым купоном, срок обращения которой заканчивается в момент (m + 1 )Д/. Процентная ставка в узле (m, j) равна ат + jAR. Следовательно, цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой заканчивается в момент (m + l)At, выражается следующей формулой.
Рт+1 = У" Qm,j ехр [- (ат + jAR) Де]. (28.22)
flm
Здесь пт — количество узлов с каждой стороны от центрального узла в момент mAt. Решение этого уравнения имеет следующий вид.
In Е Qm,je ?ДЯД/ - In Рт+1
3= ^7П
ат= дё
Определив значение ат, можно вычислить величины Qij для i — т + 1.
Qm+I,j = ^2 exp [- (am + fcAt?) At].
к
Здесь q(k,j) — вероятность перехода из узла (т, к) в узел (т + 1, к), а суммирование проводится по всем ненулевым значениям индекса к.
Распространение метода на другие модели
Процедуру, описанную выше, можно применить к более общим моделям, имеющим вид
df(r) — [0(f) — af(r)]dt + adz. (28.23)
Это семейство моделей позволяет воспроизвести любую временную структуру.17 Как и прежде, будем предполагать, что ставка R, установленная на период At, описывается тем же процессом, что и ставка г.
df(R) = [0(t) - a./(B)]dt + ст dz.
Введем обозначение х — f(R). Тогда процесс примет следующий вид.
dx = [0(f) — ax]dt + ст dz.
На первом этапе строится дерево для величины х*, подчиняющейся тому же стохастическому процессу, за исключением того, что 0(t) = 0 и первоначальное значение х также равно нулю. Эта процедура идентична процедуре, описанной на примере дерева, изображенного на рис. 28.8.
Затем, как показано на рис. 28.9, следует сместить узлы в момент ?'At на величину аг, обеспечивая точное воспроизведение первоначальной временной структуры. Уравнения для индуктивного определения параметров аг и Qij немного отличаются от уравнений для определения аналогичных параметров, если f(R) = R. Величина Q в первом узле Qo,o полагается равной единице. Предположим, что величины Qij уже определены для индексов i < т (т 0). На следующем шаге вычисляются величины ат, гарантирующие, что дерево правильно оценивает цены облигации с нулевым купоном в момент (m + 1) At. Пусть
17 Не все безарбитражные модели обладают таким свойством. Например, модифицированная модель CIR, рассмотренная Коксом, Ингерсоллом и Россом (1985), а также Халлом и Уайтом (1990), имеющая вид
dr = [(?(/) — ar]dt + oy/rdz,
не позволяет воспроизвести кривые доходности, если форвардная ставка резко падает. Это объясняется тем, что этот стохастический процесс плохо определен, если функция (l(t') принимает отрицательные значения.
д — функция, обратная к функции f. Тогда процентная ставка, установленная на период At в j-м узле в момент mAt, равна
т + .7 Аж).
Цена облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент (т + l)At, вычисляется следующим образом.
Р-т+1 = 52 J ехР l~9 Л/1 • (28.24)
j= -пт
Это уравнение можно решить с помощью одной из вычислительных процедур, например, метода Ньютона-Рафсона. Если т = 0, то сщ — /(jR(O)).
Определив параметр ат, можно вычислить величины Q^j для индекса i = т + 1, используя формулу
Qm+I,j = 52 Qrn,kq (k,j) exp \-g (am + A; Ax) At], k
где q(k, j) — вероятность перехода из узла (т, к) в узел (m+1, j), а суммирование производится по всем ненулевым значениям индекса к.
На рис. 28.10 показаны результаты применения этой процедуры к модели dln(r) = [0(t) -- ain(r)]dt + adz
при a = 0,22, a = 0,25, At = 0,5 и нуль-купонных ставках, приведенных в табл. 28.1.
Выбор функции /(г)
Основными альтернативами при выборе модели краткосрочной процентной ставки являются /(г) = г (модель Халла-Уайта) и /(г) = 1и(г) (модель Блэка-Карасински). В большинстве случаев эти модели используются для описания одних и тех же рыночных данных об активно продаваемых и покупаемых финансовых инструментах, таких как опционы “кэп” и европейские свопционы. Основное преимущество модели /(г) = г является ее аналитическое удобство, а главный ее недостаток заключается в том, что она допускаег отрицательные значения процентных ставок. В большинстве ситуаций вероятность отрицательных процентных ставок, возникающих в модели, очень мала, но некоторые аналитики предпочитают иметь дело с моделями, в которых эта вероятность равна нулю. Модель /(г) = 1п(г) не содержит аналитических формул, но зато она гарантирует, что все процентные ставки являются положительными. Другое преимущество этой модели состоит в том, что трейдеры, как правило, интересуются волатильностью ст, возникающей в логнормальной, а не нормальной модели.
Узел: A В C D E F G H I
X -3,373 -2,875 - -3,181 -3,487 - -2,430 -2,736 -3,042 - -3,349 - -3,655
R,% 3,430 5,642 4,154 3,058 8,803 6,481 4,772 3,513 2,587
pu 0,1667 0,1117 0,1667 0,2217 0,8609 0,1177 0,1667 0,2277 0,0809
Pm 0,6666 0,6546 0,6666 0,6546 0,0582 0,6546 0,6666 0,6546 0,0582
Pd 0,1667 0,2277 0,1667 0,1177 0,0809 0,2277 0,1667 0.1177 0,8609
Рис. 28.10. Дерево для логнормальной модели
Выбрать удовлетворительную модель для стран, в которых установлены низкие процентные ставки, довольно трудно. (В момент написания книги к числу таких стран относилась, например, Япония.) С одной стороны, нормальная модель не подходит, поскольку, если первоначальная процентная ставка является низкой, то вероятность отрицательных нормальных ставок в будущем становится заметной. С другой стороны, логнормальная модель также не решаег проблему, поскольку волатильность ставок (т.е. параметр а в логнормальной модели) обычно намного больше, если ставки установлены на низком, а не высоком уровне. (Например, если ставка установлена на уровне 1%, даже волатильность, равная 100%, может оказаться вполне приемлемой. Однако если ставка установлена на уровне 4% или выше, максимальная приемлемая волатильность снижается до 20%.) Модель считается приемлемой, если значение /(г) выбрано так, что при ставке г, меньшей 1%, процентные ставки имеют логнормальное распределение, а если ставка г больше 1%, процентные ставки имеют нормальное распределение.18
|8См. Hull J. and White A. Taking Rates to the Limit // Risk, December (1997). — R 168-169.
Применение деревьев в сочетании с аналитическими формулами
Если дерево построено по варианту модели Халл Уайта, в которой /(?) = г, для описания полной временной структуры и оценки европейских опционов в каждом узле можно воспользоваться аналитическими формулами, изложенными в разделе 28.3. Следует подчеркнуть, что процентная ставка, поведение которой описывается этим деревом, представляет собой ставку R, установленную на период Она не совпадает с мгновенной процентной ставкой г.
С помощью формул (28.15)-(28.17) можно доказать, что (см. задачу 28.21)
Р (t, Т) = А (/, Г) e~S^R, (28.25)
где
1 7/.^ , р(°^) , Р(0,/ + Д«)
11 ) 1пР(о,т) B(t,t + &t) п F(CU)
~ (1 ~ e~2at) в (Л г) [В (t, Т) - В (t,t + ДО] (28.26)
и
в (t, Т) = --f ;-Де (28.27)
' ’ В (t, t + Д/)
(В модели Хо-Ли в этих формулах следует положить В (t, Т) = Т — t.)
Таким образом, стоимость облигаций следует вычислять по формуле (28.25), а не (28.15).
Пример 28.1
Как и в рассмотренном выше примере, используем нуль-купонные ставки, приведенные в табл. 28.2. Ставки для сроков действия, лежащих между указанными пределами, вычисляются методом линейной интерполяции.
Оценим трехлетний (= 3 х 365 дней) европейский опцион на продажу облигации с нулевым купоном, срок действия которого равен девяти годам (= 9 х 365 дней). Предполагается, что процентные ставки описываются моделью Халла-Уайта (при условии, что /(г) — г). Цена исполнения равна 63, а, = 0,1 и ст = 0,01. Построение трехлетнего дерева и вычисление цен облигации с нулевым купоном в финальных узлах вычисляются по аналитическим формулам, приведенным выше. Как показано в табл. 28.3, результаты, вычисленные с помощью дерева, близки к результатам, полученным по аналитическим формулам.
Этот пример представляет собой хороший тест для реализации модели, поскольку градиент нулевой кривой резко изменяется сразу после истечения срока действия опциона. В этой ситуации небольшие ошибки в построении и использовании дерева при вычислении стоимости опциона могут привести к большим
ошибкам. (Этот пример реализован в пункте Sample Application G программы
DerivaGem Application Builder.) □
Таблица 28.2. Нуль-купонные ставки при непрерывном начислении Таблица 28.3. Стоимость трехлетнего опциона на продажу девятилетней облигации с нулевым купоном при условии, что
Срок действия Дни Ставка, %
3 дня 3 5,01772 цена исполнения равна 63 долл.,
1 месяц 31 4,98284 а = 0,1 и ст = 0,01 (нулевая кри-
2 месяца 62 4,97234 вая описана в табл. 28.2)
3 месяца 94 4,96157 Шаги Дерево Формулы
6 месяцев 185 4,99058 10 1,8658 1,8093
1 год 367 5,09389 30 1,8234 1,8093
2 года 731 5,79733 50 1,8093 1,8093
3 года 1096 6,30595 100 1,8144 1,8093
4 года 1461 6,73464 200 1,8097 1,8093
5 лет 1826 6,94816 500 1,8093 1,8093
6 лет 2194 7,08807
7 лет 2 558 7,27527
8 лет 2922 7,20852
9 лет 3 287 7,39790
10 лет 3 653 7,49015
Дерево для оценки американских облигационных опционов
В программе DerivaGem, сопровождающей книгу, реализованы нормальная и логнормальная модели, а также модель Блэка, позволяющие оценить европейские облигационные опционы, опционы “кэп” и “фло” и европейские свопционы. Кроме того, с помощью этой программы можно вычислить стоимость американских облигационных опционов. На рис. 28.11 показано дерево, построенное программой DerivaGem для оценки 1,5-летнего американского опциона на покупку 10-летней облигации с помощью четырех временных шагов и логнормальной модели, в которой а = 5% и ст = 20%. Срок обращения базовой облигации равен 10 годам, номинальная стоимость равна 100 долл., а купонные выплаты в размере 5% годовых вычисляются раз в полгода. Кривая доходности является плоской и проходит на уровне 5% годовых. Цена исполнения равна 105 долл. Как показано в разделе 26.2, цена исполнения может быть равной либо наличной, либо котировочной цене исполнения. В данном случае в качестве цены исполнения ис
пользуется котировочная цена. Цена облигации, показанная на дереве, равна наличной цене облигации. Накопленный доход в каждом узле показан ниже дерева. Наличная цена исполнения равна сумме котировочной цены исполнения и накопленного дохода. Котировочная цена облигации равна разности между денежной ценой исполнения и накопленным доходом. Выигрыш по опциону равен разности между наличной ценой облигации и наличной ценой исполнения либо, что эквивалентно, разности между котировочной ценой облигации и котировочной ценой исполнения.
Стоимость опциона, вычисленного с помощью дерева, равна 0,668. Цена облигации, вычисленная с помощью намного более подробного дерева, построенного по 100 временным шагам, равна 0,699. По поводу рис. 28.11 следует сделать два замечания.
1. Время, оставшееся до истечения срока действия опциона, измеряется днями. Если ввести в программу срок действия опциона, равный 1,5 годам, то длительность опциона будет считаться равной 1,5014 лет (т.е. один год и 183 дня).
2. В рамках логнормальной модели цену десятилетней облигации невозможно вычислить с помощью аналитических формул. По этой причине она определяется численно на основе обратного обхода дерева, размер которого намного больше, чем показано на рис. 28.11.
28.8 Калибровка
До сих пор мы предполагали, что параметры а и о — неважно, постоянные или нет — были известны. Обсудим теперь, как их можно определить. Эта процедура называется калибровкой модели.
Параметры волатильности определяются на основе рыночных данных об опционах, являющихся предметами активной торговли (например, котировок брокеров, приведенных в табл. 26.1 и 26.2). Такие опционы называются калибрующими инструментами (calibration instruments). На первом этапе необходимо выбрать меру, с помощью которой оценивается согласованность данных. Допустим, что для калибровки используются п финансовых инструментов. Широко распространенной мерой оценки согласованности является функция
i=i
где Ui — рыночная цена г-го калибровочного инструмента, а Ц — цена этого инструмента, вычисленная по модели. Целью калибровки является выбор параметров модели, минимизирующих меру отклонения данных.
At each node:
Upper value = Cash Bond Price
Middle value = Option Price
Lower value = dt-period Rate
Shaded v alues are as a result of early exercise
Strike price = 105
Time step, dt = 0,3753 years, 137,00 days
71,11253
________0
11,3831%
87,06608
94,69285
79,18324
79,12653
_______g
9,2064%
86,65519
_______0
7,4460%
\ 93,60735
•2________g
/ 6,0221%
99,51661
0,668455
5,0000%
0,468616
0,271031
0,097281
Node T ime:
4,9633%
107,693
2,154657
4,0142%
Э 1,763692
3,9870%
112,4091
6,124957
3,2246%
1052271
2,5917%
99,93444
_______0
4,8706%
105,622
0,59451E
3,9392%
110,6815
5,654051
3,1860%
115,1428
3 10,11837
2,5767%
119,048
14Д2О55
2,0840%
Pu: 14,0101%
Pm: 66,3497%
Pd: 19,6402%
Pu: 14,8604%
Pm: 66,5258%
Pd: 18.6138%
Pu: 15,7459%
Pm: 66,6314%
Pd: 17,6226%
Pu: 16,6667%
Pm: 66,6667%
Pd: 16,6667%
Pu: 17,6226%
Pm: 66,6314%
Pd: 15,7459%
Pu: 18,6138%
Pm: 66,5258%
Pd: 14,8604%
Pu: 19,6402%
Pm: 66,3497%
Pd: 14,0101%
0.0000 0.3753 0,7507 1,1260 1,5014
Accrual: 0,0000 1,9028 1,2842 0,6557 0,0275
Рис. 28.11. Дерево для оценки американских опционов, построенной с помощью программы DerivaGem
Если параметры аист являются постоянными, то в модели существует только два параметра волатильности. Если параметры аист зависят от времени, то для их описания удобно использовать ступенчатые функции. Допустим, что параметр а является постоянным, а параметр ст зависит от времени. Выберем моменты времени t\, ..., tn и предположим, что ст(£) = ctq для t < ti, a(t) = &i для
ti < t ti+\ (1 i < n — 1) и ст(£) = an для t > tn. В таком случае модель содержит п + 2 параметра волатильности: а, сто, от,..., стп. Количество параметров волатильности всегда должно быть меньше количества калибрующих инструментов.
Минимизацию меры согласованности можно осуществить с помощью процедуры Левенберга-Маркварта (Levenberg-Marquart).19 20 Если параметры а или ст (или оба) являются функциями от времени, к мере согласованности данных часто добавляется штрафная функция, обеспечивающая регулярность минимизируемой функции. В рассмотренном выше примере, в котором параметр ст представляет собой ступенчатую функцию, целевую функцию следует выбрать следующим образом.
п п 71—1
52 - г»)2 + 52 +^-1)2+52 +ai+i ~2a^2-
2=1 2=1 2=1
Второе слагаемое представляет собой штраф за большие изменения параметра ст между двумя последовательными моментами времени. Третье слагаемое является штрафом за высокую кривизну. Параметры wij и Ш2,г: выбираются эмпирически. Они должны гарантировать гладкость функции, описывающей поведение параметра ст.
Выбранные калибрующие инструменты должны быть как можно более похожими на оцениваемую ценную бумагу. Предположим, например, что нам необходимо оценить бермудский свопцион, срок действия которого равен десяти годам. Этот свопцион можно досрочно исполнить между пятым и девятым годами, считая, что срок действия опциона отсчитывается начиная с сегодняшнего дня. Наиболее подходящими инструментами являются европейские свопционы 5x5, 6x4, 7x3, 8 х 2 и 9 х 1. (Запись п х m означает n-летний опцион на заключение свопа, срок действия которого на m лет превышает срок действия опциона.)
Преимущество моделей, в которых параметры а и ст зависят от времени, заключается в том, что с их помощью можно гораздо точнее оценить финансовые инструменты, являющиеся предметом активной торговли на рынке. К недостаткам этих моделей следует отнести нестационарность структуры волатильности. Предсказанная структура волатильности в этих моделях часто довольно сильно отличается от реальной/1
Иногда для оценки оптимальных постоянных параметров ст и ст используются все доступные инструменты калибровки. Затем параметр ^фиксируется на оптимальном уровне. После этого модель используется точно так же, как и модель
'’Хорошее описание этой процедуры содержится в работе Press IV. Н., Flannery В. Р., Teukolsky S. A. and Vetterling W. Т Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing. — Cambridge University Press. Cambridge, 1988.
20Проблемы, связанные с реализацией моделей, в которых параметры о и <т зависят от времени, описаны в техническом замечании 16 на Web-сайте автора.
Блэка-Шоулза. Между ценами опциона и параметром ст существует взаимнооднозначное соответствие. Следовательно, эту модель можно использовать для преобразования таблиц, таких как табл. 26.1 и 26.2, в таблицы подразумеваемых волатильностей ст.21 Иногда эти таблицы оказываются более удобным способом оценки параметра ст.
28.9 Хеджирование с помощью однофакторной модели
Общие подходы к хеджированию портфеля, состоящего из процентных деривативов, рассмотрены в разделе 26.6. Эти подходы можно применять и к моделям временной структуры, обсуждаемым в данной главе. Вычисления коэффициентов дельта, гамма и вега связаны с небольшими изменениями либо нулевой кривой, либо волатильности с последующей повторной оценкой портфеля.
Обратите внимание на то, что при оценке процентных деривативов мы, как правило, допускали существование только одного параметра. Однако при хеджировании мы этого предположения не делали. Например, при вычислении коэффициента дельта кривая доходности может изменяться совсем не так, как предполагается в модели. Процедура учета изменений, которые не могут возникать в рамках используемой модели, называется внешним хеджированием (outside model hedging) и входит в стандартный образ действий трейдеров.22 На практике, тщательно выбранные однофакторные модели позволяют получить достаточно точные оценки финансовых инструментов, но хорошие схемы хеджирования должны явно или неявно учитывать несколько факторов.
Резюме
Традиционными моделями временной структуры в финансовой инженерии являются модели равновесия. Они позволяют выявить потенциальные зависимости между рыночными переменными, но, к сожалению, первоначальная временная структура является не входной информацией, а результатом применения этих моделей. При оценке деривативов важно, чтобы модель была согласована с пер-
2'Обратите внимание на то, что временная структура подразумеваемой волатильности а не совпадает с временной структурой подразумеваемой волатильности, полученной в рамках модели Блэка по табл. 26.1 и 26.2. Процедура вычисления подразумеваемой волатильности сг выглядит следующим образом. Волатильности Блэка преобразуются в цены, вычисленные по модели Блэка, а затем для определения временной структуры подразумеваемой волатильности по вычисленным ценам используется итерационная процедура.
22Простым примером внешнего хеджирования является хеджирование с помощью Блэка-Шоулза. Несмотря на то что в модели Блэка-Шоулза волатильность считается постоянной, трейдеры регулярно вычисляют коэффициент вега и выполняют хеджирование изменений волатильности.
воначальной временной структурой, наблюдаемой на рынке. Для решения этой проблемы были предложены безарбитражные модели, описывающие эволюцию первоначальной временной структуры, поступающей на их вход.
В главе рассмотрено несколько однофакторных безарбитражных моделей процентных ставок. Они очень устойчивы и могут быть использованы в сочетании с любым количеством первоначальных процентных ставок. Простейшим примером таких моделей является модель Хо-Ли. Их преимуществом является возможность использования аналитических формул. Главный недостаток этой модели заключается в том, что все ставки во все моменты времени являются одинаково изменчивыми. Модель Халла-Уайта представляет собой вариант модели Хо-Ли, в которую включен эффект возвращения к среднему. Она позволяет охватить более разнообразные варианты волатильности, сохраняя возможность использования аналитических формул. Преимущество логнормальной однофакторной модели заключается в том, что она позволяет исключить возможность появления отрицательных процентных ставок, но, к сожалению, она не описывается аналитическими формулами.
Дополнительная литература
Модели равновесия
Сох J. С., Ingersoll J. Е. and Ross S. A. A Theory of the Term Structure of Interest Rate // Econometrica, 53 (1985). — P. 385-407.
Longstaff E A. and Schwartz E. S. Interest Rate Volatility and the Term Structure: A Two Factor General Equilibrium Model // Journal of Finance, 47, no. 4 (September 1992). - P. 1259-1282.
Vasicek O. A. An Equilibrium Characterization of the Term Structure // Journal of Financial Economics, 5 (1977). — P. 177-188.
Безарбитражные модели
Black F. and Karasinski P Bond and Option Pricing with Short Rates Are Lognormal // Financial Analysis Journal, July/August 1991. — P. 52-59.
HoT.S.Y. and Lee S.-B. Term Structure Movements and Pricing Interest Rate Claims // Journal of Finance, 41 (December 1986). — P. 1011-1029.
Hull J. and White A. Bond Option Pricing on a Model for the Evolution of Bond Prices // Advances in Futures and Options Research, 6 (1993). — P. 1-13.
Hull J. and White A. Pricing Interest Rate Derivative Securities // The Review of Financial Studies, 3, no. 4 (1990). — P. 573-592.
Hull J. and White A. Using Hull-White Interest Rate Trees // Journal of Derivatives, Spring 1996. — P. 26-36.
Kijima M. and Nagayama I. Efficient Numerical Procedures for the Hull-White Extended Vasicek Model // Journal of Financial Engineering, 3 (September/Decem-ber 1994). - P. 275-292.
Kijima M. and Nagayama I. A Numerical Procedure for the General One-Factor Interest Rate Model // Journal of Financial Engineering, 5 (December 1996). — P. 317-337.
Li A., Ritchken P and Sankarasuhramanian L. Lattice Models for Pricing American Interest Rate Claims // Journal of Finance, 50, no. 2, June 1995. — P. 719-737.
Rehonato R. Interest rate Option Models. — Wiley, Chichester, 1996.
Вопросы и задачи
28.1. В чем заключается разница между моделями равновесия и безарбитраж-ными моделями?
28.2. Предположим, что текущий уровень краткосрочной процентной ставки равен 4%, а ее стандартное отклонение равно 1% в год. Как изменится стандартное отклонение, если краткосрочная ставка увеличится на 8% 1) в модели Васичека; 2) в модели Рендлемана-Барттера; и 3) в модели Кокса-Ингерсолл а-Росса?
28.3. Если цена акции имеет тенденцию возвращения к среднему или зависит от предыстории, то, возможно, она является несостоятельной. Почему этот эффект не возникает, если краткосрочная процентная ставка подчиняется тому же стохастическому процессу?
28.4. Объясните разницу между однофакторной и двухфакторной моделями процентных ставок.
28.5. Можно ли подход, описанный в разделе 28.4 для декомпозиции опциона на облигацию с купонными выплатами на портфель опционов на нулевые купоны, использовать в сочетании с двухфакторной моделью? Аргументируйте свой ответ.
28.6. Предположим, что в моделях Васичека и Коска-Ингерсолла-Росса а = 0,1, Ь = 0,1. В обеих моделях начальная процентная ставка равна 10%, а начальное стандартное отклонение изменения краткосрочной процентной ставки за короткий промежуток времени At равно 0,02д/А/. Сравните цены десятилетней облигации с нулевым купоном, вычисленные по обеим моделям.
28.7. Предположим, что в модели Васичека а = 0,1, b = 0,08 и ст = 0,015, а начальная процентная ставка равна 5%. Вычислите цену однолетнего европейского опциона на покупку облигации с нулевым купоном при условии,
что ее номинальная стоимость равна 100 долл., срок обращения равен трем годам, а цена исполнения опциона равна 87 долл.
28.8. Повторите решение задачи 28.7 и оцените стоимость европейского опциона “пут” с ценой исполнения, равной 87 долл. В чем заключается смысл паритета цен опционов “колл” и “пут”? Докажите, что цены опционов на покупку и продажу облигации с нулевым купоном, упомянутой в задаче, не нарушают паритет.
28.9. Предположим, что в модели Васичека а = 0,05, Ь = 0,08 и о = 0,015, а начальная процентная ставка равна 6%. Вычислите цену 2,1-летнего европейского опциона на покупку трехлетней облигации. Предположим, что купонные выплаты по облигации в размере 5% выплачиваются раз в полгода. Номинальная стоимость облигации равна 100 долл., а цена исполнения опциона равна 99 долл. Цена исполнения, выплачиваемая за облигацию, равна ее наличной цене (а не котировочной).
28.10. Используя ответ, полученный при решении задачи 28.9, и паритет опционов “колл” и “пут”, вычислите цену опциона “пут”, условия которого совпадают с условиями опциона “колл” в задаче 28.9.
28.11. Предположим, что в модели Халла-Уайта а = 0,08 и а = 0,01. Вычислите цену однолетнего европейского опциона на покупку облигации с нулевым купоном при условии, что ее номинальная стоимость равна 100 долл., временная структура является горизонтальной, срок обращения равен пяти годам, а цена исполнения опциона равна 68 долл.
28.12. Предположим, что в модели Халла-Уайта а = 0,05, а = 0,015, а начальная временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 6% при полугодовом начислении. Вычислите цену 2,1-летнего европейского опциона на покупку трехлетней облигации. Предположим, что купонные выплаты по облигации равны 5% и осуществляются раз в полгода. Номинальная стоимость облигации равна 100, а цена исполнения опциона равна 99. Цена исполнения, выплачиваемая за облигацию, равна ее наличной цене (а не котировочной).
28.13. Используя аргументацию, основанную на изменении масштаба цен, докажите, что зависимость между фьючерсной и форвардной процентными ставками в модели Хо-Ли имеет вид, показанный в разделе 6.4. Используя эту зависимость, проверьте справедливость выражения (28.11) для функции 0(f) в модели Хо-Ли. (Подсказка', если рыночная цена риска равна нулю, то фьючерсная цена является мартингалом. Если рыночная цена риска равна стоимости нуль-купонной облигации, срок погашения которой равен сроку действия контракта, то форвардная цена является мартингалом.)
28.14. Используя подход, примененный для решения задачи 28.13, установите зависимость между фьючерсной и форвардной ставками в модели Халла-Уайта. Используя эту зависимость, проверьте справедливость выражения (28.14) для функции 0(f) в модели Халла-Уайта.
28.15. Предположим, что а — 0,05 и а = 0,015, а временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 10%. Постройте триномиальное дерево по модели Халла-Уайта, в которой используется два шага по времени, по одному году каждый.
28.16. Вычислите цену двухлетней облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.6.
28.17. Вычислите цену двухлетней облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.9, и проверьте, согласуется ли она с начальной временной структурой.
28.18. Вычислите цену 18-месячной облигации с нулевым купоном, используя дерево, изображенное на рис. 28.9, и проверьте, согласуется ли она с начальной временной структурой.
28.19. С какими вычислениями связана калибровка однофакторной модели временной структуры?
28.20. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость европейских свопционов 1x4,2x3,3 х 2 и4 х 1, дающих право получать фиксированную ставку и получать плавающую. Предположим, что однолетняя, двухлетняя, трехлетняя, четырехлетняя и пятилетняя процентные ставки равны 6, 5,5, 6, 6,5 и 7% соответственно. Выплаты по свопу осуществляются раз в полгода, а фиксированная ставка равна 6% в год при полугодовом начислении. Используйте модель Халла-Уайта с параметрами а = 3% и а = 1%. Вычислите волатильность каждого опциона, подразумеваемую в модели Блэка.
28.21. Докажите формулы (28.25)-(28.27).
Упражнения
28.22. Постройте триномиальное дерево по модели Хо-Ли, в которой а = 0,02. Предположим, что начальная нуль-купонная процентная ставка для сроков погашения через 0,5, 1,0 и 1,5 года равна 7,5, 8 и 8,5%. Используйте два шага по времени, длиной по шесть месяцев каждый. Вычислите стоимость облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью 100 долл, при условии, что после достижения финального узла дерева до погашения облигации остается шесть месяцев. Используя дерево, оцените стоимость
однолетнего европейского опциона на покупку облигации с ценой исполнения 95. Сравните цену, вычисленную с помощью дерева, с ценой, вычисленной по программе DerivaGem.
28.23. Некий трейдер желает вычислить цену однолетнего американского опциона на покупку пятилетней облигации с номинальной стоимостью 100 долл. Купонные выплаты по облигации равны 6% и осуществляются раз в полгода. Котировочная цена исполнения опциона равна 100. Непрерывно начисляемые нуль-купонные ставки для сроков погашения через шесть месяцев, один год, два года, три года, четыре года и пять лет равны 4,5, 5, 5,5, 5,8, 6,1 и 6,3%. Оптимальная скорость возвращения к среднему в рамках как нормальной, так и логнормальной модели равна 5%.
Однолетний европейский опцион на покупку облигации с котировочной ценой исполнения, равной 100, является предметом активной купли-продажи. Его рыночная цена равна 0,50 долл. Трейдер решил использовать этот опцион для калибровки модели. Используя программу DerivaGem и десять шагов по времени, ответьте на следующие вопросы.
1) Используя нормальную модель, укажите подразумеваемое значение ст для цены европейского опциона.
2) Используя параметр ст, вычислите стоимость американского опциона.
3) Повторите пп. 1 и 2 для логнормальной модели. Докажите, что используемая модель незначительно влияет на вычисленную цену при условии, что модель калибруется с помощью европейского опциона.
4) Постройте дерево для логнормальной модели и вычислите вероятность появления отрицательных процентных ставок.
5) Постройте дерево для логнормальной модели и докажите, что цена опциона в узле г = 0 и j = — 1 вычислена правильно.
28.24. Используя программу DerivaGem, вычислите стоимость европейских свопционов 1x4, 2x3, 3x2 и 4 х 1, дающих право получать плавающую ставку и выплачивать фиксированную. Предположим, что однолетняя, двухлетняя, трехлетняя, четырехлетняя и пятилетняя процентные ставки равны 3, 3,5, 3,8, 4,0 и 4,1% соответственно. Выплаты по свопу осуществляются раз в полгода, а фиксированная ставка равна 4% в год при полугодовом начислении. Используйте логнормальную модель с параметрами а = 5% и ст = 1%, а также 50 шагов по времени. Вычислите волатильность каждого опциона, подразумеваемую в модели Блэка.
28.25. Убедитесь, что программа DerivaGem действительно строит дерево, изображенное на рис. 28.11. Используя эту программу, вычислите цену американского облигационного опциона в логнормальной и нормальной моделях, если цена исполнения равна 95, 100 и 105 долл. Для нормальной модели
предполагается, что а = 5% и а = 1%. Обсудите результаты, учитывая эффект тяжести хвостов, упомянутый в главе 16.
28.26. Модифицируйте пример Sample Application G в надстройке DerivaGem Application Builder и убедитесь, что цены, вычисленные по триномиальному дереву, сходятся к цене двухлетнего опциона на покупку пятилетней облигации с номинальной стоимостью 100 долл. Предположим, что нулевая кривая представлена в табл. 28.2. Сравните решения следующих задач.
1) Европейский опцион; нормальная модель с параметрами а — 0,05 и ст = 0,01.
2) Европейский опцион; логнормальная модель с параметрами а = 0,05 и о = 0,15.
3) Американский опцион; нормальная модель с параметрами а = 0,05 и ст = 0,01.
4) Американский опцион; логнормальная модель с параметрами а = 0,05 и о = 0,15.
Процентные деривативы: модели HJM и LMM
Простые модели, рассмотренные в главе 26, считаются непригодными для оценки процентных деривативов. В то же время модели, описанные в главе 28, благодаря легкости реализации, получили заслуженное признание и широко используются для оценки большинства нестандартных процентных деривативов, обеспечивая согласованность с ценами финансовых инструментов, являющихся предметом активной купли-продажи. К таким ценным бумагам относятся процентные опционы “кэп”, европейские свопционы и европейские облигационные опционы. Однако эти модели связаны с двумя ограничениями.
1. Они допускают существование только одного фактора (т.е. источника неопределенности).
2. Они не предоставляют пользователю полной свободы при выборе структуры волатильности.
Учитывая зависимость параметров а и а от времени, аналитик может с успехом использовать модели, удовлетворительно аппроксимирующие сегодняшнюю структуру волатильности, наблюдаемую на рынке, но, как указано в разделе 28.8, при этом структура волатильности становится нестационарной. Следует отметить, что структура волатильности в будущем может существенно отличаться от текущей.
В главе рассматриваются общие принципы построения моделей временной структуры, позволяющие достичь большей гибкости в определении структуры волатильности и учесть дополнительные факторы. Эти модели требуют больших вычислительных затрат, чем модели, описанные в главе 28. В результате они чаще используются в исследовательской практике, чем в повседневных расчетах.
В главе описан рынок ценных бумаг, обеспеченных закладными (mortgage-backed security market), и показано, как с помощью моделей можно оценить стоимость финансовых инструментов, существующих на этом рынке.
29.1 Модель Хита, Джэрроу и Мортона
В 1990 году Дэвид Хит (David Heath), Боб Джэроу (Bob Jarrow) и Энди Мортон (Andy Morton) опубликовали важную работу, описывающую безарбитражные условия, которым должна удовлетворять модель кривой доходности.1 Чтобы описать модель HJM, введем следующие обозначения.
P(t, Т): цена в момент t облигации с нулевым купоном и номинальной стоимостью, равной одному доллару, срок обращения которой истекает в момент Т;
вектор прошлых и будущих значений процентных ставок и цен облигаций в момент t, влияющих на волатильность цены облигации в данный момент;
v(t, Т, Qt): волатильность цены P(t, Т);
f(t, Ti, 7’2): форвардная ставка, зарегистрированная в момент t и установленная на период между моментами 7) и 7^;
F(t,71): мгновенная форвардная ставка, зарегистрированная в момент t, в рамках контракта, истекающего в момент Т;
г(£): краткосрочная безрисковая ставка в момент t;
dz(ty. винеровский процесс, описывающий изменение временной структуры.
Процессы, описывающие изменение цен облигаций с нулевыми купонами и форвардных ставок
Если в модели предполагается существование только одного фактора, риск-нейтральный процесс Р(£, Т) имеет следующий вид.
dP(t,T) = r(t)P(t,T)dt + v(t,T,^t)P(t,T)dz(t). (29.1)
Как следует из свойств вектора Qf, в самом общем варианте модели волатильность цены нуль-купонной облигации v может представлять собой любую гладкую функцию, зависящую от прошлых и текущих процентных ставок и цен облигаций. Поскольку волатильность цен облигаций по мере приближения к сроку их погашения стремится к нулю, сформулируем такое условие.2
v(t, t, Qf) = 0.
*См. Heath D., Jarrow R. and Morton A. Bond Pricing and The Term Structure of Interest Rates: A New Methodology // Econometrica, 60, no. 1 (1992). — P. 77-105.
2Условие v(t, = 0 эквивалентно предположению, что все облигации с дисконтом во все моменты времени имеют конечный дрейф. Если волатильность облигации по мере приближения к сроку ее погашения не стремится к нулю, то, для того чтобы в момент погашения цена облигации оказалась равной ее номинальной стоимости, может оказаться необходимым предположить, что дрейф является бесконечным.
Из формулы (4.5) следует, что форвардную ставку f(t, Т\,Т-2) можно связать с ценой облигации с нулевым купоном следующей зависимостью.
/ (*, 71,7г) =--V A7 V 2< (29.2)
12 ~ 11
Из формулы (29.1) и леммы Ито следует, что
dinР (t, Л) = ( г - [ dt + v (t, Л, Qt) dz (t)
\ I
и
din P (t, T2) = ( r - riykElL j dt + V (t, T2, Qt) dz (t).
Таким образом,
df(t,Ti,T2) =
v(t,T2A)2-v(tM)2 2(T2-Ti)
dt~\~
rn rp az \*)
12 — 11
(29.3)
Формула (29.3) означает, что риск-нейтральный процесс, описывающий изменение функции /, зависит исключительно от функции v. Иначе говоря, он зависит от величин г и Р только потому, что сама функция v зависит от этих переменных.
Положим в формуле (29.3) Ti = Т и Т2 = Т + At и перейдем к пределу при величине At, стремящейся к нулю. Тогда функция /(t, Т), Т2) превратится в функцию F(t,T), коэффициент при dz(t) станет равным vr(t,T, Qt), а коэффициент при dt примет вид
2 дТ
= v (t, T,£tt)vT (t,T,^lt),
где индекс функции v означает частную производную. Отсюда следует, что
dF(t, Т) — v(t, Т, QJi’xXt, Т, il^dt — ?T(t, Т, £lt)dz(t). (29.4)
После определения функции v(t, Т, Sit) риск-нейтральный процесс, описывающий изменение функции F(t, Т), становится полностью известным.
Формула (29.4) означает, что между дрейфом и стандартным отклонением мгновенной форвардной ставки существует связь. Этот факт является ключевым моментом в модели Хита-Джэроу-Мертона (ШМ). Интегрируя функцию vT(t, Т, Qt) на отрезке от т = t и т — Т, получаем следующее равенство.
т
v (t, Т, Qt) - v (t, t, Qt) = j vT (t, T, Qt)dr. t
Поскольку ?’(/, Т, Qt) = 0, это равенство превращается в следующее соотношение.
Т v(t,T,Qt)= vr{t,T^t)dr.
t
Если m(t, Т, Qt) и s(t, Т, £lt) являются мгновенным дрейфом и стандартным отклонением функции F(t, Т) соответственно, то
dF(t, Т) = m(t, Т, i'ltjdt + s(t, Т, Slt)dz.
Таким образом, из формулы (29.4) следует, что
т
m (f, Т, Slt) = s (t, T, Q() j s (t, T, tV)dT. (29.5)
t
Эта формула является основным результатом модели ШМ.
Процесс, описывающий поведение краткосрочной процентной ставки г в общей модели ШМ, не является марковским. Чтобы разъяснить смысл этого утверждения, предположим, что мы находимся в начальной точке, и вычислим процесс, описывающий поведение величины г в будущий момент времени Т. Выясняется, что этот процесс зависит от конкретной траектории винеровского процесса z(t), входящего в формулу (29.1), между нулевым моментом и моментом t.3
Этот факт представляет собой основную проблему, связанную с моделью ШМ. Для ее разрешения необходимо применять моделирование по методу Монте-Карло. В свою очередь, деревья порождают проблемы. Дерево, представляющее временную структуру, обычно не рекомбинирует. Если модель содержит один фактор, а дерево является биномиальным (рис. 29.1), то после п временных шагов возникают 2П узлов. Если модель содержит два фактора, дерево должно быть трехмерным, и после п шагов по времени оно будет содержать 4" узлов. Если п = 30, то количество терминальных узлов в однофакторной модели равно 109. В двухфакторной модели это количество равно 1018.
Расширение модели для нескольких факторов
Модель ШМ можно распространить на ситуации, в которых существует несколько независимых факторов. Предположим, что
dF (t, Т) = m (t, Т, fit) dt + У Sfc (t, T, f2t) dzk. к
3Более подробное изложение этой темы содержится в техническом замечании 17, размещенном на Web-сайте автора.
Рис. 29.1. Дерево, порожденное моделью HJM, в котором отсутствует рекомбинация
Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают (см. задачу 29.2), что
т
m (t, Т, Q<) = Sk (t, Т, QJ (t, T, Sit) dr. (29.6)
k t
29.2 Модель рынка LIBOR
Один из недостатков модели ШМ заключается в том, что она основана на мгновенных форвардных ставках, которые не поддаются непосредственному наблюдению на рынке. Кроме того, эту модель сложно калибровать с помощью финансовых инструментов, являющихся предметами активной торговли. Альтернатива была предложена в работах Брейса (Brace), Гатарека (Gatarek) и Музиелы (Musiela), Джамшидяна (Jamshidian) и Милтерсена (Miltersen), а также Сэндмана (Sandmann) и Зондермана (Sondermann).4 Она называется моделью рынка LIBOR (LMM — LIBOR market model) или моделью BGM (BGM — Brace-Gatarek-Musiela model) и основана на применении форвардных ставок, привычных для трейдеров.
4См. Braced., Gatarek D. and Musiela M. The Market Model of Interest Rate Dynamics // Mathematical Finance, 7, no. 2 (1997), 127-155; Jamshidian F. LIBOR and Swap Market Models and Measures // Finance and Stochastics,! (1997). — P. 293-330; Miltersen K., Sandmann S. and Sondermann D. Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with LogNormal Interest Rate /•' Journal of Finance, 52, no. 1 (March 1997). - P. 409-130.
Модель
Пусть to = 0, а й, <2, • • • — моменты установки новых процентных ставок для опционов “кэп”, являющихся предметом торговли в настоящее время. В наиболее популярных опционах “кэп”, заключаемых в США, процентные ставки устанавливаются раз в квартал, поэтому не будет большой ошибкой считать, что tj = 0,25, t2 = 0,50, is = 0,75 и т.д. Пусть А*. = tk+i — tk- Введем следующие обозначения. Ffc(t): форвардная ставка, установленная на период между моментами tk и tk+i
и наблюдаемая в момент t при условии, что период начисления равен Ад,; m(t): индекс следующей даты установки процентной ставки по отношению к моменту t, т.е. наименьшее целое число, такое, что t tm(ty,
Ck(t)- волатильность форвардной ставки Fk(t) в момент t;
i’fc(t): волатильность цены облигации с нулевым купоном P(t, tj.) в момент t.
Для начала предположим, что в модели предусмотрен только один фактор. Как показано в разделе 25.4, в форвардных риск-нейтральных условиях относительно F(t,tfc+i) стохастический процесс Ffc(t) является мартингалом, а его изменение подчиняется следующему закону:
dFk(t) = Ck(t)Fk(t)dz, (29.7)
где dz — винеровский процесс.
На практике процентные деривативы удобнее всего оценивать в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации, срок обращения которой истекает в момент следующей установки процентной ставки. Эти условия создают скользящий форвардный риск-нейтральный мир (rolling forward risk-neutral world).5 В этом случае дисконтирование от момента t^+i к моменту tk можно осуществлять по нуль-купонной ставке, наблюдаемой в момент tk для облигаций, срок обращения которых истекает в момент tk+i, и не интересоваться, как изменятся процентные ставки на промежутке времени между этими моментами.
В момент Скользящий форвардный риск-нейтральный мир обеспечивает форвардные риск-нейтральные условия относительно цены облигации P(t, tm^). Уравнение (29.7) представляет собой процесс, которому подчиняется форвардная ставка Ffc(t) в форвардных риск-нейтральных условиях относительно величины
5В соответствии с терминологией, принятой в разделе 25.4, этот мир возникает, если в качестве масштаба цен используется “скользящий депозитный сертификат” (“rolling CD”). Скользящий депозитный сертификат возникает следующим образом: в начальный момент времени у нас есть один доллар, затем мы покупаем облигацию, срок обращения которой заканчивается в момент ti, реинвестируем доход, полученный в момент ti, в покупку облигации, срок обращения которой заканчивается в момент '.2, реинвестируем доход, полученный в момент t2, в покупку облигации, срок обращения которой заканчивается в момент ti, и т.д. Строго говоря, деревья процентных ставок, построенные в главе 28, относятся к скользящему форвардному, а не традиционному риск-ней-тральному миру. В качестве масштаба цен в этом мире принят скользящий депозитный сертификат, “раскрутка” которого завершается в конце каждого шага по времени.
P(i,iTO(t)). Из раздела 25.7 следует, что процесс, описывающий поведение форвардной ставки Fk(t) в скользящем форвардном риск-нейтральном мире, имеет следующий вид.
dFk(t) = Ck(t)[vmW(t) - vk+\(t)]Fk(t)di + Ck(t)Fk(t)dz. (29.8)
Зависимость между форвардной ставкой и ценой облигации выражается соотношением
]nP(t,ti) - lnP(t.fi+1) = ln[l + ^P(t)].
Используя лемму Ито, можно вычислить процесс, описывающий изменение левой и правой частей этого соотношения. Приравнивая коэффициенты при dz, получим следующее равенство.
/.\ /___ d{F{ (t) (£)
Vi (t) - ri+i (t) - —(29.9)
Таким образом, из формулы (29.8) следует, что процесс, описывающий изменение форвардной ставки Fk(t) в скользящем форвардном риск-нейтральном мире, выглядит так.
dFt(t) _ Л ад (0 <<(«)»(«) с ....
ТШ” X 1 + ад((—+ (29.10)
г=тп(£)
Модель HJM является частным случаем формулы (29.4). Она получается путем предельного перехода, когда величина стремится к нулю (см. задачу 29.7).
Волатильность форвардной ставки
Упростим модель, предположив, что G(t) ~ функция, зависящая только от общего количества периодов накопления, лежащих между следующей датой установки процентной ставки и моментом tk. Обозначим через Л,-, значение функции Ck(t), если в этом промежутке насчитывается i периодов накопления. Это значит, что Cfc(t) = Afc_является ступенчатой функцией.
Величину Л, можно (по крайней мере, теоретически) оценить с помощью волатильности, использованной для оценки кэплетов по модели Блэка (т.е. по значениям спот-волатильности, изображенным на рис. 26.3).6 Пусть стк — волатильность кэплета по Блэку, относящаяся к промежутку времени между моментами tk
6На практике величины Л вычисляются с помощью калибровки по методу наименьших квадратов, которая будет рассмотрена позднее.
и ifc+i- Приравнивая дисперсии, получаем уравнение
к
^ = £0-1- (29.11)
г=1
Чтобы найти величину Л, достаточно решить это уравнение с помощью итерационного метода.
Пример 29.1
Предположим, что все величины 6г равны между собой, а спот-волатильности первых трех кэплетов по Блэку равны 24, 22 и 20%. Это значит, что Ао = 24%. Поскольку
Aq + Aj = 2 х 0,222,
приходим к выводу, что А1 — 19,80%. Кроме того,
Ар + А2 + А2 = 3 х 0,202.
Таким образом, Аг = 15,23%. □
Пример 29.2
Проанализируем данные о волатильности кэплета, приведенные в табл. 29.1. Они демонстрируют “горб”, упомянутый в разделе 26.3. Величины А указаны во второй строке. Обратите внимание на то, что “горб”, характерный для величин А, выражен более ярко, чем “горб” в распределении величин ст. □
Таблица 29.1. Данные о волатильности; период накопления равен одному году
Годы, к
__________ 1 2 3456789 10
<Tfc, % 15,50 18,25 17,91 17,74 17,27 16,79 16,30 16,01 15,76 15,54
Afc 1,% 15,50 20,64 17,21 17,22 15,25 14,15 12,98 13,81 13,60 13,40
Реализация модели
Модель рынка LIBOR можно реализовать с помощью метода Монте-Карло. Перепишем уравнение (29.10) относительно величин А,.
Кю = ----FTW)---------Л + <2912>
Иначе говоря,
dlnFfc (t) =
(f.)
1 + 8iFi (t)
+ Afc_rn(fjdz. (29.13)
Если при вычислении дрейфа процесса InFfc(f) предположить, что при tj < t < tj+i выполняется условие F,(t) = F(fj), то
Ffc(tj+i) = Ffc(tj)exp
^iFj (tj)
1 + &iFi (tj)
+ Afc_J_1£4/^ • (29.14)
Здесь e — случайное число, извлеченное из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением.
Распространение модели на ситуации с несколькими факторами
Модель рынка LIBOR можно распространить на ситуации с несколькими независимыми факторами. Пусть р — количество факторов, а фц — компонент волатильности форвардной ставки Ffc(t), связанный с q-м фактором. В этом случае уравнение (29.10) примет иной вид (см. задачу 29.11).
rfFfc(t) Лл <5iFj (t) ^=i (/) (<) у-
-FM Л„--------------TTW)------------Л + S (t) (29'’
j=m(t) <7=1
Обозначим через Лг>(7 д-й компонент волатильности при условии, что в промежутке между датой следующей установки процентной ставки и датой прекращения форвардного контракта помещается i периодов накопления. Тогда уравнение (29.14) можно переписать следующим образом.
2
р
9=1
(29.16)
Здесь Eq — выборочные значения, извлеченные из генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичным стандартным отклонением.
Предположение, что на протяжении каждого периода накопления дрейф форвардной ставки остается постоянным, позволяет нам в процессе моделирования “перепрыгивать” от одной даты установки процентной ставки к другой. Это удобно, поскольку, как указывалось ранее, в скользящем форвардном риск-нейтральном мире можно осуществлять дисконтирование одной даты установки процентной ставки к другой. Предположим, нам необходимо смоделировать нулевую кривую для N накопительных периодов. Каждая попытка начинается с форвардных ставок, установленных в нулевой момент времени. Они равны Fo(O), F(0), ..., FjV-i(O) и вычисляются по начальной нулевой кривой. Затем с помощью уравнения (29.16) вычисляются значения Fi(ti), ..., Fv_. [((J. После этого на основе уравнения (29.16) вычисляются значения F2(ta), F^t?), • • •, Fx-ilfa). Выполнение этой процедуры продолжается до тех пор, пока не будет вычислено значение Fjv-i(i/v-i). Обратите внимание на то, что с течением времени нулевая кривая становится короче. Например, предположим, что продолжительность каждого периода накопления равна трем месяцам, a N = 40. Начнем вычисления с десятилетней нулевой кривой. В точке, соответствующей шести годам (т.е. £24), моделирование дает нам информацию о четырехлетней нулевой кривой.
Предположение о дрейфе можно проверить, оценив кэплеты на основе уравнения (29.16) и сравнив эти цены с результатами, полученными с помощью модели Блэка. Величина Ffc(tfc) представляет собой реализованную ставку, установленную на период времени между моментами £* и tk+i- Она позволяет вычислить выигрыш по кэплету в момент tk+i- Этот выигрыш пересчитывается на нулевой момент времени путем поочередного перебора периодов накопления. Стоимость кэплета равна среднему значению всех дисконтированных выигрышей. Таким образом, оценка опционов “кэп” с помощью метода Монте-Карло незначительно отличается от цены, определенной по модели Блэка. Это утверждение остается справедливым даже в том случае, когда период накопления достигает одного года, а для вычисления используется очень большое количество попыток.7 Это значит, что предположение о постоянности дрейфа в большинстве ситуаций является вполне безопасным.
Опционы “храповой кэп”, “жесткий кэп” и “гибкий кэп”
Модель рынка LIBOR можно использовать для оценки некоторых типов нестандартных опционов. Рассмотрим, в частности, опционы “храповой кэп” (ratchet
7См. HullJ. С. and White A. Forward Rate Volatilities, Swap Rate Volatilities, and the Implementation of the LIBOR Market Model // Journal of Fixed Income, 10, no. 2 (September 2000). — P. 46-62. Исключением являются ситуации, в которых волатильность опциона “кэп” слишком высока.
cap) и “жесткий кэп” (sticky cap). Это позволит нам продемонстрировать правила вычисления предельного уровня для каждого кэплета. В опционе “храповой кэп” этот уровень равен сумме ставки L1BOR и спрэда. В опционе “жесткий кэп” он равен сумме предыдущего предельного уровня и спрэда. Предположим, что предельная ставка в момент tj равна Kj, ставка LIBOR в момент tj равна Rj, а спрэд равен s. В опционе “храповой кэп” Kj+i = Rj + s. В опционе “жесткий кэп” Kj+i — min(7?j, Kj) + s.
В табл. 29.2 и 29.3 приведены результаты вычислений волатильности опционов “храповой кэп” и “жесткий кэп” модели рынка LIBOR с одним, двумя и тремя факторами. Основная сумма равна 100 долл. Предполагается, что временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 5% годовых, а волатильности кэплетов приведены в табл. 29.1. Процентная ставка устанавливается ежегодно. Спрэд равен 25 базисным пунктам. В табл. 29.2 и 29.3 демонстрируется расщепление волатильности на компоненты в двух- и трехфакторных моделях. Приведенные результаты получены путем 100000 попыток моделирования по методу Монте-Карло с помощью метода антитетической переменной, описанного в разделе 18.7. Стандартная ошибка каждой цены равна приблизительно 0,001.
Таблица 29.2. Волатильность опциона “храповой кэп”
Начало действия кэплета, годы Один фактор Два фактора Три фактора
1 0,196 0,194 0,195
2 0,207 0,207 0,209
3 0,201 0,205 0,210
4 0,194 0,198 0,205
5 0,187 0,193 0,201
6 0,180 0,189 0,193
7 0,172 0,180 0,188
8 0,167 0,174 0,182
9 0,160 0,168 0,175
10 0,153 0,162 0,169
Еще одним типом нестандартных опционов является опцион “гибкий кэп” (flexi cap). Он похож на обычный опцион “кэп”, за исключением того, что в нем существует ограничение на общее количество исполняемых кэплетов. Рассмотрим опцион “гибкий кэп” с ежегодными выплатами, если основная сумма равна 100 долл., временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 5%, а волатильности кэплетов приведены в табл. 29.1, 29.4 и 29.5. Предположим,
Таблица 29.3. Волатильность опциона “жесткий кэп”
Начало действия кэплета, годы Один фактор Два фактора Три фактора
1 0,196 0,194 0,195
2 0,336 0,334 0,336
3 0,412 0,413 0,418
4 0,458 0,462 0,472
5 0,484 0,492 0,506
6 0,498 0,512 0,524
7 0,502 0,520 0,533
8 0,501 0,523 0,537
9 0,497 0,523 0,537
10 0,488 0,519 0,534
опцион “гибкий кэп” содержит не более пяти кэплетов “с выигрышем”. В ситуациях с одним, двумя и тремя факторами цены опциона “гибкий кэп”, вычисленные по модели рынка LIBOR, равны 3,43, 3,58 и 3,61. (Другие разновидности опциона “гибкий кэп” рассмотрены в задаче 24.17.)
Таблица 29.4. Компоненты волатильности в двухфакторной модели
Годы, к 123456789 10
Afc-i,i, % Afc-1,2, % 14,10 19,52 16,78 17,11 15,25 14,06 12,65 13,06 12,36 11,63 -6,45 -6,70 -3,84 -1,96 0,00 1,61 2,89 4,48 5,56 6,65
Общая волатильность, % 15,50 20,64 17,21 17,22 15,25 14,15 12,98 13,81 13,60 13,40
Таблица 29.5. Компоненты волатильности в трехфакторной модели
Годы, к
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
13,65 19,28 16,72 16,98 14,85 13,95 12,61 12,90 11,97 10,97
Afc-1,2, % -6,62 -7,02 -4,06 -2,06 0,00 1,69 3,06 4,70 5,81 6,66
Afc-1,3, % 3,19 2,25 0,00 -1,98 -3,47 -1,63 0,00 1,51 -2,80 3,84
Общая волатильность % 15,50 20,64 17,21 17,22 15,25 14,15 12,98 13,81 13,60 13,40
Оценка стоимости обычных опционов “кэп” зависит только от общей волатильности и не зависит от количества факторов. Это объясняется тем, что на цену обычного кэплета влияет только поведение форвардной ставки. Цены кэплетов в нестандартных финансовых инструментах, проанализированных нами, отличаются тем, что они зависят от совместного распределения вероятных значений нескольких форвардных ставок. В результате оказывается, что цены таких опционов определяются количеством учтенных факторов.
Оценка европейских свопционов
Как показано в работе Халла и Уайта, существуют аналитические формулы, позволяющие приближенно вычислить стоимость европейских свопционов с помощью модели рынка LIBOR.8 Пусть То — срок действия свопциона, а выплаты по свопу осуществляются в моменты Ti, Т2, ..., Тдг. Введем обозначение: т = = Ti+i - Ti. Из уравнения (25.23) следует, что ставка свопа в момент t равна
P(t,Tb)-P(t,T)y)
Кроме того, если 1 С г С N, то
Р^/ц 1
P(t, То) ^1 + ^(0-
Здесь Gj(t) — форвардная ставка в момент t, установленная на период времени между моментами Tj и 7}-i. Эти два уравнения определяют зависимость между функциями s(t) и G'j(t). Применяя лемму Ито (см. задачу 29.12), приходим к выводу, что дисперсия V(t) ставки свопа s(i) равна
тг / .4 _ (Q Gk (t) (£) \
v w - 2^ I 2^ 1 + TkGk (t) / ’
<7=1 \ fc=0 i к к \ ) у
где
= rfc1 [1 + TjGj (t)J _ [1 + r/?, (t)|
71 1[1 + 5-Gj W] - 1 Ей1 T, II"-;, |1 + t,G, (t)l ’
a /3j,Q(t) — q-й компонент волатильности функции Gj(t). При вычислении функции V(t) для всех значений j и t можно положить Gj (t) = Gj(0). Волатильность свопа,
8См. Hall J. С. and White A. Forward Rate Volatilities, Swap Rate Volatilities, and the Implementation of the LIBOR Market Model // Journal of Fixed Income, 10, no. 2 (September 2000) — P. 46 62.
подставляемая в стандартную модель для оценки свопциона, равна
1 г°
То. о
V (i)dt,
или
I 1 Т° Tkflk,q (0 Gk (0) 7fc (0) \ 2 ,,
V^b.o \^fc=o l + TjtGfc(O) J
(29.18)
Если длина периода накопления в рамках свопа, лежащего в основе свопциона, равна длине периода накопления в рамках опциона “кэп”, то Z?j,q(t) представляет собой g-й компонент волатильности форвардной ставки в опционе “кэп”, срок действия которого истекает в момент Tk — t. Этот факт легко обнаружить, анализируя табл. 29.5.
Длины периодов накопления в рамках свопов, на основе которых брокеры устанавливают котировочные цены европейских свопционов, не всегда совпадают с длинами периодов накопления в рамках опционов “кэп” и “фло”, лежащих в основе соответствующих брокерских котировок. Например, в США процентные ставки по опционам “кэп” и “фло” устанавливаются ежеквартально, а по европейским свопционам соответствующие ставки устанавливаются только раз в полгода. К счастью, методы оценки европейских свопционов можно распространить на ситуации, в которых каждый период накопления в рамках свопа содержит М подынтервалов, которые могут быть периодами накопления в рамках обычных опционов “кэп”. Обозначим через продолжительность zn-ro подынтервала в j-м периоде накопления, т.е.
м
Т3 — Tj,m-
ТП~1
Пусть — форвардная ставка, наблюдаемая в момент t для периода накоп-
ления продолжительностью TJiTra. Поскольку
м
1 + TjGj (/) = PJ [1 + (£)],
772“ 1
можно модифицировать анализ, проведенный при выводе уравнения (29.18), так, чтобы волатильность ставки свопа s(t) выражалась через волатильность форвардной ставки Gj<m(t), а не через волатильность форвардной ставки Gj(f). Волатильность свопа, подставляемая в стандартную модель рынка при оценке свопциона, должна иметь следующий вид (см. задачу 29.13).
/ 1 Т° Tk,m0k,m,q (t) Gk,m (0) 7fc (0) \2 , OQ 1Q1
VroJo i + n,mGfe.m(0) J • ’ • }
Здесь /3j>m>q(t) — q-й компонент волатильности форвардной ставки Gy,m(f). Одновременно он является q-м компонентом волатильности форвардной ставки в опционе “кэп”, если срок действия этого опциона истекает в промежутке между моментом t и началом т-го подынтервала на протяжении периода накопления по свопу (Tj,Tj+1).
Выражения для волатильности свопа в формулах (29.19) и (29.19) основаны на предположении, что Gj(t) ~ G3(fi) и GJim(t) = GJim(0). Халл и Уайт сравнили цены европейских свопционов, вычисленные по формулам (29.19) и (29.19), с ценами, определенными с помощью моделирования по методу Монте -Карло, и выяснили, что они очень близки. Следовательно, проведя калибровку модели рынка LIBOR, с помощью формул (29.19) и (29.19) можно легко и просто вычислить стоимость европейских свопционов. На основании этих расчетов аналитики могут определить, не являются ли европейские свопционы недооцененными или переоцененными по сравнению с опционами “кэп”. Как будет показано ниже, эти результаты можно также использовать при калибровке модели, предназначенной для вычисления рыночных цен свопционов.
Калибровка модели
Для калибровки модели рынка LIBOR необходимо определить величины Ау-и выяснить, как они раскладываются на компоненты АУ1(?. Для этого обычно используется метод главных компонентов, описанный в разделе 18.9. Соответствующая модель имеет вид м
/\.Fj = ^2 aj,qXqi
q=l
1де М — общее количество факторов, AFy — изменение форвардной ставки в рамках форвардного контракта, истекающего через j периодов накопления, — факторная нагрузка q-ro фактора (factor loading) при j-й форвардной ставке, хд — значение q-ro фактора (factor score), и
м ^^aj,qia3,q2 = э=1
если Qi = дг, если 91 7^ 92-
Обозначим через sg стандартное отклонение значения 9-го фактора. Если количество факторов в модели рынка LIBOR, р, равно общему количеству факторов М, то выполняется равенство
^j,q = aj,qsqi
где 1 С J, g С М. Если р < М, то величину необходимо масштабировать так, чтобы выполнялось равенство
р
4=1
Следовательно, величину AJi(? необходимо выбрать следующим образом.
^3,4
^3S4a3,4
(29.20)
Для определения величины Л, согласованной с ценами кэплетов, можно использовать формулу (29.11). Однако на практике она обычно не применяется, поскольку часто приводит к сильным колебаниям значений Л.9 Кроме того, хотя модель рынка LIBOR по определению согласована с ценами кэплетов, аналитики иногда предпочитают калибровать ее с помощью европейских свопционов.
Наиболее распространенная процедура калибровки модели рынка LIBOR напоминает процедуру, описанную в разделе 28.8 при описании калибровки однофакторной модели. Пусть U-t — рыночная цена г-го калибровочного инструмента, a Vi — его цена, вычисленная по модели. Выберем параметры Л так, чтобы они минимизировали функцию
52 - ^)2+р>
i
где Р — штрафная функция, обеспечивающая “хорошее поведение” параметров Л. Как и в разделе 28.8, представим функцию Р в следующем виде.
Р — 5 wl,i (Af+1 - Aj)2 + 5 , w2,i (Aj^-i + Aj-j — 2Aj)2. г г
Если в качестве калибровочных инструментов выбраны европейские свопционы, то для минимизации целевой функции на основе формул (29.18) и (29.19) можно использовать процедуру Левенберга-Маркварта. Для определения параметров А через параметры Л используется формула (29.20).
Асимметрия волатильности
Брокеры устанавливают котировочные цены как для опционов “без проигрыша”, так и для остальных. На некоторых рынках наблюдается асимметрия волатильности, т.е. котируемая волатильность (по Блэку) опционов “кэп” и “фло”
’Иногда значения Л оказываются несогласованными с набором котировочных цен опционов “кэп”.
является убывающей функцией от цены исполнения. Для отражения этого факта используется модель CEV (см. раздел 20.1), имеющая следующий вид.
р
dFi(t) = --- + ^^(t)Fi(t)a dzq. (29.21)
<z=i
Здесь а — константа (0 < а < 1). Оказывается, эта модель мало отличается от логнормальной, а опционы “кэп” и “фло” можно оценить с помощью аналитических формул, используя интегральное нецентральное ^-распределение. Это напоми-- ю
нает аналитические подходы к вычислению цен европейских свопционов.
Бермудские свопционы
Одними из популярных процентных деривативов являются бермудские свопционы (Bermudan swap options), допускающие досрочное исполнение в заранее определенные даты выплат по базовому свопу. Бермудские свопционы трудно оценивать, используя модель рынка LIBOR, поскольку она опирается на моделирование по методу Монте-Карло, что затрудняет определение целесообразности их досрочного исполнения. К счастью, эту проблему можно решить с помощью процедуры, описанной в разделе 24.7. Лонгстафф (Longstaff) и Шварц предложили для оценки бермудских свопционов с большим количеством факторов применять метод наименьших квадратов. Эта модель основана на предположении, что стоимость отказа от досрочного исполнения свопциона в определенную дату выплаты представляет собой полином, зависящий от значений факторов.11 Андерсен показал, что для реализации этой модели можно применить метод определения оптимальных границ досрочного исполнения (optimal early exercise boundary approach). Он провел большое количество экспериментов, в которых предполагалось, что решение о досрочном исполнении зависит только от действительной стоимости опциона.12 Большинство трейдеров оценивают бермудские опционы с помощью однофакторной безарбитражной модели, описанной в главе 28. Точность этой модели до сих пор остается под вопросом.13
10См. Andersen L. and Andreasen J. Volatility Skews and Extensions of the LIBOR Market Model. — Applied Mathematical Finance, 7, no. 1 (2000). - P. 1- 32; Hull J. C. and White A. Forward Rate Volatilities, Swap Rate Volatilities, and the Implementation of the LIBOR Market Model // Journal of Fixed Income, 10, no. 2 (September 2000). — P. 46 62.
11 Cm. Longstaff F. A. and Schwartz E. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least Squares Approaches // Review of Financial Studies, 14, no. 1 (2001). — P. 113-147.
nAndersen L. A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaptions in the Multifactor LIBOR Market Model // Journal of Computational Finance, 3, no. 2 (Winter 2000). — P. 1-32.
’’Противоположные точки зрения на этот вопрос изложены в работах Andersen L. and Andreasen J. Factor Dependence of Bermudan Swaptions: Fact or Fiction; и Ljmgstaff, Santa-Clara P. and Schwartz E. S. Throwing Away a Billion Dollars: The Cost of Suboptimal Exercise Strategies in the Swaption Market. Обе работы опубликованы в журнале Journal of Financial Economics, 62, no. 1 (October 2001).
29.3 Ценные бумаги, обеспеченные закладными
С помощью модели, описанной в главе, можно вычислять стоимость ценных бумаг, обеспеченных закладными (MBS — mortgage-backed securities) в США. Эти инструменты создаются финансовыми учреждениями, решившими продать инвесторам часть своего ипотечного портфеля. Продаваемые закладные образуют пул, а инвесторы приобретают закладные, входящие в этот пул, покупая его отдельные единицы. Эти единицы называются ценными бумагами, обеспеченными закладными. Как правило, они образуют вторичный рынок, т.е. при желании инвесторы могут продавать их другим инвесторам. Считается, что инвестор, владеющий ценными бумагами, образующими X процентов пула, владеет X процентами основной суммы и денежным доходом от ипотеки, входящей в этот пул.
Закладные, входящие в пул, обычно гарантируются правительственными агентствами, например Правительственной национальной ипотечной ассоциацией (GNMA — Government National Mortgage Association) или Федеральной национальной ипотечной ассоциацией (FNMA — Federal National Mortgage Association), поэтому инвесторы защищены от дефолта. Таким образом, ценные бумаги MBS похожи на ценные бумаги с фиксированной доходностью, выпушенные правительством. Однако между ценными бумагами, обеспеченными закладными, и обычными инвестициями с фиксированной доходностью существует принципиальное различие. Оно заключается в том, что закладные в пуле ценных бумаг MBS дают их держателям право предоплаты (prepayment privileges). В США закладные, как правило, действуют 25 лет и могут быть оплачены в любое время. Это значит, что домовладелец обладает 25-летним американским опционом на продажу ипотеки кредитору по номинальной цене.
На практике предоплата закладных осуществляется по множеству причин. Иногда процентные ставки падают, и владелец дома решает рефинансировать средства по более низкой процентной ставке. В других ситуациях закладная оплачивается просто потому, что владелец продал дом. Главное при оценке MBS — определить так называемую функцию предоплаты (prepayment function), описывающую ожидаемые размеры предоплаты по базовому пулу закладных в момент t с помощью кривой доходности в момент t и других релевантных переменных.
Функция предоплаты является очень ненадежным средством прогнозирования фактических размеров предоплаты по отдельной закладной. Если пул образован большим количеством одинаковых закладных, то возникает “эффект больших чисел”, позволяющий более точно прогнозировать размер предоплаты на основе ретроспекгивных данных. Как указывалось выше, предоплата закладной не всегда обусловлена уровнем процентных ставок. Несмотря на это, предоплата при низких процентных ставках более вероятна, чем при высоких. Это значит, что ин
весторы ожидают от ценных бумаг, обеспеченных закладными, большего дохода, чем от других финансовых инструментов с фиксированной доходностью, чтобы компенсировать риск их досрочного выкупа.
Обеспеченные ипотечные обязательства
Ценные бумаги, обеспеченные закладными, иногда называются гарантированными (path-throughs). Все инвесторы получают одинаковый доход и подвергаются одинаковому риску предоплаты. Однако не все ценные бумаги, обеспеченные закладными, функционируют таким образом. Например, инвесторы, владеющие обеспеченными ипотечными обязательствами (СМО — collateralized mortgage obligation), разделяются на классы, в каждом из которых действуют разные правила осуществления предварительных выплат.
В качестве примера обеспеченного ипотечного обязательства рассмотрим ценную бумагу MBS, предусматривающую разделение инвесторов на три класса: А, В и С. Инвесторы, входящие в класс А, получают все выплаты по ипотечному обязательству (как очередные, так и внеочередные), пока выплату не получат все инвесторы этого класса. После этого очередные выплаты направляются инвесторам, входящим в класс В. Инвесторы, входящие в класс С, получают очередные выплаты по ипотечному обязательству в последнюю очередь. В этой ситуации наибольшему риску предоплаты подвергаются инвесторы из класса А. Ценные бумаги класса А могут быть погашены раньше, чем ценные бумаги класса В, а те, в свою очередь, могут быть оплачены раньше, чем ценные бумаги класса С.
Цель такой классификации — привлечь инвесторов, предоставив им больше привилегий, чем владельцам обычных гарантированных ценных бумаг MBS. Риски, связанные с возможностью предоплаты, зависят от номинальной стоимости ценной бумаги в каждом классе. Например, класс С подвергается наименьшему риску предоплаты, если номинальные стоимости ценных бумаг в классах А, В и С равны 400, 300 и 100 долл, соответственно. Однако если стоимости ценных бумаг в этих классах равны 100, 200 и 500 соответственно, ценные бумаги из класса Сподвергаются большему риску предоплаты.
Изобретатели ценных бумаг, обеспеченных закладными, разработали большое количество еще более экзотичных деривативов, чем описанные выше. Две из таких разновидностей ценных бумаг описаны во врезке “Пример из деловой практики 29.1”.
Пример из деловой практики 29.1. Ценные бумаги Ю и РО
В купонных ценных бумагах MBS (stripped MBS) основные выплаты отделены от процентных выплат. Все основные выплаты направляются на ценные бумаги, получившие название только из основной суммы (РО — principal only). Все процентные выплаты направляются на ценные бумаги с устойчивым процентом (IO — interest only). Ценные бумаги 10 и РО являются рискованными. При
увеличении предварительных выплат, стоимость ценных бумаг РО возрастает, а ценных бумаг 10 — убывает. При уменьшении предварительных выплат, стоимость ценных бумаг РО падает, а ценных бумаг 10 — возрастает. Владельцам ценных бумаг РО возвращается фиксированная основная сумма, но моменты выплат не определены. Высокий уровень предварительных взносов по базовому пулу ипотечных обязательств приближает момент выплаты основной суммы (что, несомненно, должно радовать владельцев ценных бумаг РО). Низкий уровень предварительных взносов по базовому пулу ипотечных обязательств отдаляет момент выплаты основной суммы и сокращает доходы владельцев ценных бумаг РО. Объем денежных потоков, направляемых владельцам ценных бумаг Ю, является неопределенным. Чем выше уровень предварительных выплат, тем ниже объем денежных потоков, получаемых инвесторами, и наоборот.
Вычисление стоимости ценных бумаг, обеспеченных закладными
Стоимость ценных бумаг, обеспеченных закладными, вычисляется с помощью метода Монте-Карло. Для моделирования поведения процентных ставок на протяжении срока действия ценных бумаг MBS месяц за месяцем используется модель HJM или модель рынка LIBOR. Рассмотрим один из этапов моделирования. Объем ожидаемых предварительных выплат за каждый месяц вычисляется с помощью текущей кривой доходности и ее предыдущих изменений. Эти выплаты определяют объем ожидаемых денежных потоков, направляемых владельцу ценной бумаги MBS, которые для вычисления выборочной оценки ее стоимости подвергаются пересчету на начальный момент времени. Оценкой стоимости ценной бумаги MBS является среднее арифметическое значение всех выборочных оценок, полученных в ходе многочисленных сеансов моделирования.
Спрэд с учетом опциона
Помимо теоретической стоимости ценных бумаг, обеспеченных закладными, и других облигаций с встроенными опционами, трейдерам часто требуется оценивать спрэд с учетом опциона (OAS — option-adjusted spread). Для этого вычисляется спрэд между значениями доходности казначейских облигаций, обеспеченной финансовым инструментом с учетом всех опционов.
Чтобы вычислить спрэд OAS, характеризующий финансовый инструмент, сначала используется кривая доходности казначейской облигации с нулевым купоном. Затем цена инструмента, вычисленная по этой модели, сравнивается с рыночной. После этого осуществляется ряд итерационных вычислений, цель которых — определить параллельный сдвиг исходной казначейской кривой, при которой вы
численная цена равна рыночной. Величина этого параллельного сдвига и является спрэдом OAS.
Чтобы проиллюстрировать характер этих вычислений, предположим, что рыночная цена равна 102,00 долл., а цена, вычисленная на основе казначейской кривой, равна 103,27 долл. На первом этапе казначейская нулевая кривая параллельно сдвигается на 60 базисных пунктов. Предположим, что в результате цена финансового инструмента окажется равной 101,20 долл. Она меньше рыночной. Следовательно, величина параллельного сдвига, при котором вычисленная цена равна рыночной, колеблется от нуля до 60 базисных пунктов. На втором этапе величина параллельного сдвига вычисляется с помощью линейной интерполяции.
103,27 - 102,00
60 х --------------= 36.81 базисного пункта.
103,27 - 191,20
Предположим, этому сдвигу соответствует цена, равная 101,95 долл. Это значит, что спрэд OAS немного меньше, чем 36,81 базисного пункта. На третьем этапе величина параллельного сдвига снова вычисляется с помощью линейной интерполяции.
103,27- 102,00 ог
36,81 х---------------= 35,41 базисного пункта.
103,27-101,95 J
Выполнение этой процедуры выполняется до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.
Резюме
Модели HJM и LMM предоставляют исследователю полную свободу при выборе временной структуры волатильности. Модель LMM имеет два ключевых преимущества над моделью HJM. Во-первых, она основана на форвардных ставках, влияющих на цены опционов “кэп”, а не на мгновенных форвардных ставках. Во-вторых, она допускает намного более простую калибровку на основе цен опционов “кэп” или европейских свопционов. Как модель HJM, так и модель LMM имеют серьезный недостаток — их невозможно описать с помощью рекомбинирующих деревьев. На практике это означает, что для их реализации необходимо использовать моделирование с помощью метода Монте-Карло.
Американский рынок ценных бумаг, обеспеченных закладными, породил множество экзотических процентных опционов: СМО, 10, РО и др. Эти финансовые инструменты создают денежные потоки, объем которых зависит от размера предварительных выплат по пулу ипотечных закладных. Размер этих выплат зависит, помимо прочего, от уровня процентных ставок. Поскольку они существенно зависят от предыстории, для вычисления стоимости ценных бумаг, обеспеченных закладными, используется метод Монте-Карло. Следовательно, они образуют перспективное поле для приложения модели HJM или модели рынка LIBOR.
Дополнительная литература
Amin К. and Morton A. Implied Volatility Functions in Arbitrage-Free Term Structure Models // Journal of Financial Economics,35 (1994). — P. 141-180.
Andersen L. A Simple Approach to the Pricing of Bermudan Swaption in the MultiFactor LIBOR Market Model // Journal of Computational Finance, 3, 2 (2000). — P. 5-32.
Andersen L. and Andreasen J. Volatility Skews and Extension of the LIBOR Market Model // Applied Mathematical Finance, 7, 1 (March 2000). — P. 1-32.
Brace A., Gatarek D. and Musiela M. The Market Model of Interest Rate Dynamics // Mathematical Finance, 7, no. 2 (1997). — P. 127-155.
Buhler W., Ulrig-Homberg M., Walter U. and Weber T. An Empirical Comparison of Forward and Spot-Rate Models for Valuing Interest Rate Options // Journal of Finance, 54, no. 1 (February 1999). — P. 269-305.
Carverhill A. When Is the Short Rate Markovian // Mathematical Finance, 4 (1994). — P. 305-312.
Cheyette O. Term Structure Dynamics and Mortgage Valuation // Journal of Fixed Income, March 1992. — P. 28-41.
Duffle D. and Kan R. A Yield-Factor Model of Interest Rates // Mathematical Finance, 6, no. 4 (1996). - P. 379-406.
Heath D., Jarrow R. and Morton A. Bond Pricing and The Term Structure of Interest Rates: A Discrete Time Approximation // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 25, no. 4 (December 1990). — P. 419-440.
Heath D., Jarrow R. and Morton A. Bond Pricing and The Term Structure of Interest Rates: A New Methodology // Econometrica, 60, no. 1 (1992). — P. 77-105.
Hull J. and White A. Forward Rate Volatilities, Swap Rate Volatilities, and the Implementation of the LIBOR Market Model // Journal of Fixed Income, 10, no. 2 (September 2000). — P. 46-62.
Inui K. and Kijima M. A Markovian Framework in Multifactor Heath, Jarrow, and Morton Models // Journal of Financial and Quantitative Analysis, 33, no. 3 (September 1998). - P. 423-440.
Jamshidian E LIBOR and Swap Market Models and Measures // Finance and Stochastics,! (1997). - P. 293-330.
Jarrow R. A. Modeling Fixed Income Securities and Interest Rate Options. — McGraw-Hill, New York, 1995.
Jarrow R. A. and Turnbull S. M. Delta, Gamma, and Bucket Hedging of Interest Rate Derivatives // Applied Mathematical Finance, 1 (1994). — P. 21-48.
Jeffrey A. Single Factor Heath-Jarrow-Morton Term Structure Models on Markov Spot Interest Rate Dynamics И Journal of Financial and Quantitative Analysis, 30 (1995). - P. 619-642.
Longstaff F. A. and Schwartz E. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least Squares Approaches 11 Review of Financial Studies, 14, no. 1 (2001). — P. 113-147.
Miltersen K., Sandmann S. and Sondermann D. Closed Form Solutions for Term Structure Derivatives with LogNormal Interest Rate // Journal of Finance, 52, no. 1 (March 1997). - P. 409-430.
Rebonato R. Interest Rate Option Models. — 2nd edn., Wiley, Chichester, 1998.
Ritchken P and Sankarasubramanian L. Volatility Structures of Forward Rates and the Dynamics of the Term Structure // Mathematical Finance, 5 (1995). — P. 55-72.
Вопросы и задачи
29.1. Объясните разницу между марковской и немарковской моделями краткосрочной процентной ставки.
29.2. Докажите зависимость между дрейфом и волатильностью форвардной ставки в многофакторной модели HJM в формуле (29.6).
29.3. “Если волатильность форвардной ставки s(t,T) является постоянной, то модель LMM совпадает с моделью Хо-Ли.” Докажите это утверждение, показав, что модель LMM порождает стохастический процесс, описывающий поведение цен облигаций и согласованный с моделью Хо-Ли из главы 28.
29.4. “Если волатильность форвардной ставки s(t, Т) равна то модель
LMM совпадает с моделью Халла-Уайта.” Докажите это утверждение, показав, что модель LMM порождает стохастический процесс, описывающий поведение цен облигаций и согласованный с моделью Хо-Ли из главы 28.
29.5. В чем заключается преимущество модели LMM над моделью BGM?
29.6. Приведите интуитивные доказательства того, что при увеличении количества факторов стоимость опциона “храповой кэп” возрастает.
29.7. Докажите, что уравнение (29.10) сводится к уравнению (29.4), если величина стремится к нулю.
29.8. Почему опцион “жесткий кэп” имеет большую стоимость, чем аналогичный опцион “храповой кэп”?
29.9. Почему опционы на ценные бумаги Ю и РО противоположным образом реагируют на изменение уровня предоплаты?
29.10. “Спрэд с учетом опциона аналогичен доходности облигации.” Объясните смысл этого утверждения.
29.11. Докажите справедливость формулы (29.15).
29.12. Выведите формулу для вычисления функции V(t) в формуле (29.17).
29.13. Докажите справедливость формулы (29.19).
Упражнения
29.14. В опционе “кэп” с ежегодными выплатами волатильности кэплетов, срок действия которых заканчивается через 1, 2, 3 года и 5 лет, равны 18, 20, 22 и 20% соответственно. Оцените волатильность однолетней форвардной ставки в модели рынка LIBOR, если до окончания срока действия опциона осталось 1) не больше одного года; 2) от одного года до двух лет; 3) от двух до трех лет или 4) от трех до пяти лет. Будем считать, что нулевая кривая проходит горизонтально на уровне 5% годовых (при ежегодном начислении). Используя программу DerivaGem, оцените слабую волатильность 2-, 3-, 4-, 5- и 6-летних опционов “кэп”.
29.15. Держатель опциона “гибкий кэп”, описанного в разделе 29.2, обязан исполнить первые N выигрышных кэплетов. После этого ни один кэплет не исполняется (например, N = 5). Существует еще две разновидности опциона “гибкий кэп”.
1) Держатель может выбрать, какой из кэплетов следует исполнить, но общее количество исполняемых кэплетов не должно превышать N.
2) Решив исполнить кэплет, держатель должен исполнить все последующие выигрышные кэплеты, количество которых не должно превышать N.
Обсудите проблемы, связанные с этими разновидностями опционов “гибкий кэп”. Какой из указанных трех опционов “гибкий кэп” является самым дорогим? Какой из указанных трех опционов “гибкий кэп” является самым дешевым?
Еще раз о свопах
На протяжении 1980-1990-х годов свопы стали основной причиной успеха внебиржевых рынков деривативов. Они оказались весьма гибким инструментом управления рисками. Свопы основаны на широком спектре разных контрактов и сделок, заключаемых на рынках. Благодаря этому они вполне заслуженно являются наиболее удачным финансовым изобретением.
В главе 7 рассмотрены способы оценки простых процентных свопов. Суть стандартного подхода можно выразить одной фразой: “Предположим, что форвардные ставки будут реализованы”. Оценка обычного свопа осуществляется следующим образом.
1. Вычисляем чистый денежный поток по свопу, предполагая, что будущие ставки LIBOR будут равны сегодняшним форвардным ставкам LIBOR.
2. Устанавливаем стоимость свопа равной текущей стоимости чистых денежных потоков, используя для дисконтирования сегодняшнюю нулевую кривую L1BOR.
В главе рассмотрено большое количество нестандартных свопов. Некоторые из них можно оценить, используя принцип реализации форвардных ставок. Вычисление стоимости других свопов требует учета выпуклости, временных поправок и деривативов кванто, описанных в главе 27. Существуют также свопы, содержащие встроенные опционы. Методы оценки этих опционов изложены в главах 26, 28 и 29.
30.1 Разновидности простых сделок
Многие процентные свопы представляют собой варианты простого свопа, приведенного в главе 7. В некоторых свопах основная сумма со временем изменяется по заданному закону. Свопы, в которых основная сумма со временем возрастает, называются повышающими (step-up swap). Свопы, в которых основная сумма со временем уменьшается, называются амортизационными (amortizing swap). Повышающие свопы могут оказаться полезными для компаний, желающих занять возрастающую сумму денег по плавающей ставке, чтобы профинансировать конкретный проект, а затем обменять ее на фиксированную ставку. Амортизационные
свопы привлекательны для компаний, сделавших займы по фиксированной ставке с определенным расписанием выплат и желающих обменять их на займы по плавающей ставке.
Обе стороны свопа могут иметь разные основные суммы и частоту выплат. Этот факт продемонстрирован во врезке “Пример из деловой практики 30.1”, иллюстрирующей гипотетический своп между компаниями Microsoft и Goldman Sachs. Предполагается, что в этом свопе основная сумма на стороне плавающей ставки равна 120 млн долл., а на стороне фиксированной ставки — 100 млн долл. Выплаты по плавающей ставке осуществляются каждый месяц, а по фиксированной — каждые шесть месяцев. Эти варианты основной структуры не влияют на метод оценки свопа. Следовательно, для вычисления его стоимости можно по-прежнему использовать принцип “предположим, что форвардные ставки будут реализованы”.
Пример из деловой практики 30.1. Выписка из подтверждения гипотетического свопа, стороны которого имеют разные основные суммы и частоту
выплат Дата сделки Дата вступления в силу Соглашение о рабочих днях (распространяется на все даты) Календарь праздников Дата завершения контракта Выплаты по фиксированной ставке Плательщик фиксированной ставки Номинальная сумма по фиксированной ставке Фиксированная ставка Календарная поправка к фиксированной ставке Даты выплаты фиксированной ставки 5 января 2004 года 11 января 2004 года Начиная со следующего рабочего дня США 11 января 2009 года Компания Microsoft 100 млн долл. США 6% годовых Длина периода/365 Каждый год 11 июля и 11 января, начиная с 11 июля 2001 года и включая 11 января 2009 года
Выплаты по плавающей ставке Плательщик плавающей ставки Номинальная сумма по плавающей Компания Goldman Sachs 120 млн долл. США
ставке
Плавающая ставка Одномесячная ставка LIBOR, долл.
США
Календарная поправка к плавающей Длина периода/360 ставке
Даты выплаты плавающей ставки 11 июля 2004 года и 11 -го числа каждого месяца, начиная с указанной даты и включая 11 января 2009 года
Эталонная плавающая ставка не всегда является ставкой LIBOR. Например, в некоторых свопах используется ставка по трехмесячной казначейской облигации. Базисный своп (basis swap) предусматривает обмен денежных потоков, вычисленных с помощью одной плавающей ставки, на денежные потоки, вычисленные по другой плавающей ставке. Примером базисного свопа является соглашение, в котором ставка по трехмесячной казначейской облигации, к которой добавлены 60 базисных пунктов, обменивается на трехмесячную ставку LIBOR, и при этом предполагается, что обе эти ставки применяются к основной сумме, равной 100 млн долл. Если активы и обязательства финансового учреждения зависят от разных плавающих ставок, оно может использовать базисный своп для управления рисками.
Свопы, в которых плавающая ставка не является ставкой LIBOR, можно оценивать на основе принципа реализации форвардных ставок. В этом случае для вычисления чистых денежных потоков необходимо вычислять нулевые кривые, не являющиеся кривыми LIBOR. Однако вычисленные денежные потоки можно всегда дисконтировать по ставке LIBOR.
30.2 Сложные свопы
Еще одной разновидностью обычных свопов являются сложные свопы (compounding swaps). Один из таких свопов описан во врезке “Пример из деловой практики 30.2”. В этом свопе предусмотрена только одна дата выплат по плавающей и фиксированной ставкам — в конце срока действия свопа. Плавающая процентная ставка является ставкой LIBOR, к которой добавлены 20 базисных пунктов. Вместо выплаты процентной ставки до конца срока действия свопа начисляется сложный процент по ставке LIBOR плюс 10 базисных пунктов. Фиксированная процентная ставка равна 6%, но доход по ней не выплачивается, а вместо этого вплоть до конца срока действия свопа заблаговременно начисляется сложный процент по фиксированной ставке, равной 6,3%.
Пример из деловой практики 30.2. Выписка из подтверждения гипотетического сложного свопа
Дата сделки Дата вступления в силу Календарь праздников Соглашение о рабочих днях (распространяется на все даты) Дата завершения контракта Выплаты по фиксированной ставке Плательщик фиксированной ставки Номинальная сумма по фиксированной ставке Фиксированная ставка Календарная поправка к фиксированной ставке Дата выплаты фиксированной ставки Начисление сложного процента по фиксированной ставке Даты начислений сложного процента по фиксированной ставке Выплаты по плавающей ставке Плательщик плавающей ставки Номинальная сумма по плавающей ставке Плавающая ставка Календарная поправка к плавающей ставке Дата выплаты плавающей ставки Начисление сложного процента по плавающей ставке Даты начисления сложного процента по плавающей ставке 5 января 2004 года 11 января 2004 года США Начиная со следующего рабочего дня 11 января 2009 года Компания Microsoft 100 млн долл. США 6% годовых Длина периода/365 11 января 2009 года По 6,3% Каждый год 11 июля и 11 января, начиная с 11 июля 2004 года и включая 11 января 2008 года Компания Goldman Sachs 100 млн долл. США Шестимесячная ставка LIBOR плюс 20 базисных пунктов Длина периода/360 11 января 2009 года По ставке “LIBOR плюс 10 базисных пунктов” 11 июля 2004 года и 11-го числа каждого месяца, начиная с указанной даты и включая 11 января 2008 года
Для оценки сложных опционов можно применять принцип реализации форвардных ставок, как показано во врезке “Пример из деловой практики 30.2”. Расчет сделки со стороны фиксированной ставки не представляет сложностей, поскольку выплаты, которые должны быть осуществлены в момент завершения контракта, известны заранее. Принцип “предположим, что форвардные ставки будут реализованы” применим также и для расчета сделки со стороны плавающей ставки, поскольку эту сделку можно представить в виде набора соглашений о форвардных ставках (FRA — forward rate agreement), в которых денежные потоки, начисленные по плавающей ставке, обмениваются на их стоимости при условии, что плавающая ставка равна соответствующей фиксированной ставке.1
Пример 30.1
Продолжительность сложного свопа с ежегодной установкой ставок равна трем годам. Держатель свопа выплачивает фиксированную ставку, а получает — плавающую. Фиксированная процентная ставка равна 4%, а плавающая процентная ставка равна 12-месячной ставке LIBOR. Сложный процент для стороны, занимающей фиксированную позицию, начисляется по ставке, равной 3,9%, а сложный процент для стороны, занимающей плавающую позицию, начисляется по 12-месячной ставке LIBOR за вычетом 20 базисных пунктов. Нулевая кривая LIBOR является горизонтальной и проходит на уровне 5% при ежегодном начислении. Основная сумма равна 100 млн долл.
Сторона, занимающая фиксированную позицию, в конце первого года заработает 4 млн долл. К концу второго года этот доход увеличится до 4 х 1,039 = = 4,156 млн долл. В конце второго года к этой сумме добавится вторая выплата в размере 4 млн долл. Следовательно, общая сумма дохода в этот момент составит 8,156 млн долл. К концу третьего года этот доход увеличится до 8 х 1,039 — = 8,474 млн долл. В конце третьего года к этой сумме добавится третья выплата в размере 4 млн долл. Таким образом, объем денежного потока стороны, занимающей фиксированную позицию, в конце третьего года будет равен 12,474 млн долл.
При вычислении дохода стороны, занимающей плавающую позицию, предполагается, что все будущие процентные ставки равны соответствующим ставкам LIBOR. При заданной нулевой кривой LIBOR это значит, что все будущие процентные ставки равны 5% при ежегодном начислении. Доход, начисленный к концу первого года, равен 5 млн долл. Применяя к нему форвардную ставку LIBOR за вычетом 20 базисных пунктов, приходим к выводу, что в конце второго года эта сумма увеличится на 4,8% и составит 5 х 1,048 = 5,24 млн долл. Суммируя ее с доходом, начисленным за второй год, получаем 10,24 млн долл. Применяя к этой сумме форвардную ставку LIBOR за вычетом 20 базисных пунктов, приходим к выводу, что в конце третьего года эта сумма составит
’Технические детали вычислений описаны в техническом замечании 18, размещенном на Web-сайте автора.
10,24 х 1,048 = 10,731 млн долл. Суммируя ее с последней выплатой, получаем 15,731 млн долл.
Чтобы вычислить стоимость свопа, можно предположить, что он обеспечивает приток средств в размере 15,731 млн долл, и отток средств в размере 12,474 млн долл. Следовательно, стоимость свопа равна
15,731 - 12,474
1,053
= 2,814 млн долл.
(В этом анализе проигнорированы календарные поправки.)
□
30.3 Валютные свопы
Валютные свопы рассматривались в главе 7. Они позволяют обменивать процентные ставки, установленные в одной валюте, на процентные ставки, выраженные в другой валюте. Как правило, в свопе участвуют две стороны: по одной для каждой валюты. Как указано в разделе 7.8, стороны свопа обмениваются основными суммами в начале и в конце соглашения.
Предположим, что предметом свопа являются доллары США и британские фунты стерлингов. В валютном свопе, стороны которого обмениваются фиксированными ставками, каждая ставка выражается в собственной валюте. Выплаты одной из сторон определяются путем применения фиксированной процентной ставки, выраженной в долларах, к основной сумме, выраженной также в долларах. Выплаты другой стороне определяются путем применения фиксированной процентной ставки, выраженной в фунтах стерлингов, к основной сумме, выраженной также в фунтах стерлингов. Способы оценки валютных опционов такого типа рассматривались в разделе 7.9.
Еще одной популярной разновидностью являются валютные свопы, стороны которых обмениваются плавающими ставками. В таком случае выплаты одной из сторон определяются путем применения к основной сумме, выраженной в долларах, процентной ставки LIBOR, выраженной в долларах (возможно, с добавлением спрэда). Выплаты другой стороне определяются путем применения к основной сумме, выраженной в фунтах стерлингов, процентной ставки LIBOR, выраженной в фунтах стерлингов (возможно, с добавлением спрэда). Кроме того, существует кросс-валютный процентный своп, в котором плавающая ставка в одной валюте обменивается на фиксированную ставку в другой валюте.
Свопы двух плавающих ставок и кросс-валютные свопы можно оценить на основе предположения о реализации форвардных ставок. При этом будущие ставки LIBOR в каждой из валют предполагаются равными сегодняшним форвардным ставкам. Это позволяет оценить размер денежных потоков для каждой из валют. Денежный поток долларов США дисконтируется по нуль-купонной ставке LIBOR, выраженной в долларах. Денежный поток фунтов стерлингов дисконтируется по
нуль-купонной ставке LIBOR, выраженной в этой валюте. Затем к вычисленным величинам применяется текущий обменный курс.
Чтобы отразить реалии рынка, эту процедуру иногда уточняют. С теоретической точки зрения, новый своп, предусматривающий обмен двух плавающих ставок, должен сопровождаться обменом ставки LIBOR, выраженной в одной валюте, на ставку LIBOR, выраженную в другой валюте (без добавления спрэда). На практике макроэкономические эффекты заставляют учитывать величину спрэда. Для этого финансовые учреждения часто корректируют дисконтные ставки. Для примера, предположим, что на рынке сложилась ситуация, в которой в новых свопах, предусматривающих обмен двух плавающих ставок со всевозможными сроками действия, ставка LIBOR, выраженная в долларах США, обменивается на ставку LIBOR, выраженную в японских иенах, за вычетом 20 базисных пунктов. В таком случае американское финансовое учреждение должно дисконтировать денежные потоки в американской валюте по американской ставке LIBOR, а денежные потоки в японской валюте — по японской ставке LIBOR.2 Эта процедура необходима при оценке всех свопов, в которых возникают денежные потоки в американской и япон ской валютах.
30.4 Более сложные свопы
Рассмотрим несколько примеров свопов, в которых принцип реализации форвардных ставок не срабатывает. В каждом из этих примеров необходимо делать поправки на форвардные ставки.
Своп по ставке LIBOR
Простой процентный своп создается так, чтобы плавающая процентная ставка, наблюдаемая в один момент выплаты, выплачивалась в другой момент выплаты. Альтернативой простому свопу является своп по ставке LIBOR (LIBOR-in-arrears). В этом свопе размер плавающей ставки в момент выплаты равен процентной ставке, наблюдаемой в этот момент.
Предположим, что ставки в свопе устанавливаются в моменты ti, i = 0,1,..., п и Ti — tj+i — ti. Пусть Ri — ставка LIBOR, установленная на период времени между моментами ti и /;г+1, Fj — форвардная ставка 7?,, а ст, — волатильность этой форвардной ставки. (Величина <7j, как правило, обусловлена ценами кэплетов.) В свопе по ставке LIBOR выплаты стороне, занимающей плавающую позицию, в момент ti зависят от величины Ri, а не от К,-]. Как указано в разделе 27.1, при
2Эти поправки носят эмпирический характер, но если их не делать, то при заключении очередного свопа на обмен двух плавающих ставок в американской и японской валютах трейдеры будут немедленно получать прибыль или терпеть убытки.
вычислении размера выплат необходимо делать поправку на выпуклость. В процессе вычислений форвардную ставку следует считать равной
F^O^T't •
п/?- (30Л)
а не Fi.
Пример 30.2
Предположим, что основная сумма в свопе по ставке LIBOR равна 100 млн долл. Держатель свопа ежегодно получает 5%-ную фиксированную ставку, выплачивая ставку LIBOR. Обмен выплатами осуществляется в конце 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го годов. Кривая доходности является горизонтальной и проходит на уровне 5% годовых (при ежегодном начислении). Волатильность всех кэплетов равна 22% в год.
Форвардная ставка для каждой из выплат по плавающей ставке равна 5%. Если бы мы оценивали обычный своп, а не своп по ставке LIBOR, его стоимость (без учета календарных и других поправок) была бы равной нулю. Однако поскольку мы оцениваем своп по ставке LIBOR, необходимо учесть поправку на выпуклость. В формуле (30.1) Fi = 0,05, сц = 0,22 и т, = 1 для всех i. С учетом поправки на выпуклость ставка станет равной не 0,05, а
0,052 х 0,222 х 1 х ti °'№+ 1 + 0,05x1
= 0.05 + 0,000115^.
Следовательно, плавающие ставки для выплат в конце 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го годов следует установить равными 5,0115, 5,0230, 5,0345, 5,0460 и 5,0575% соответственно. Обмен выплатами в первый день выплат эквивалентен денежному оттоку на уровне 0,0115%, т.е. 11500 долл. Эквивалентный чистый денежный поток для других обменов вычисляется аналогично. Таким образом, стоимость свопа равна
11500 23000 34500 46000 57500
L05 1,052 ” 1,053 ~ 1,054 ~ 1,055 ’
т.е.—144514 долл. □
Свопы CMS и СМТ
Своп CMS (CMS — constant maturity swap) — это процентный своп, в котором плавающая ставка равна ставке по свопу с определенным сроком действия. Например, плавающие выплаты по свопу CMS могут осуществляться каждые шесть месяцев по ставке, равной ставке пятилетнего свопа. Однако, как правило, существует временная задержка, в результате которой выплаты, осуществляемые в конкретный момент, равны ставке свопа, наблюдаемой в предыдущий
момент выплаты. Предположим, что ставки устанавливаю гея в моменты to, ty, ti, ..., а выплаты осуществляются в моменты t], ti. t^, .... Текущая выплата в момент равна
TiLSi,
где Ti — ti+i — ti, a Si — ставка свопа в момент tj.
Пусть yi — форвардная ставка свопа Si. Оказывается, чтобы оценить размер выплаты, в момент tj+j, необходимо применить к форвардной ставке свопа поправку на выпуклость. Таким образом, форвардная процентная ставка должна
быть равной
1 2_2 j. (t/г) ViTi^iPi^y^F У*~2У^1С^ 1 + Fin
(30.2)
а не Уг. В этой формуле ayj — волатильность форвардной ставки свопа, Ft — текущая форвардная ставка, установленная на период времени между ti и ti+i, ар,г — волатильность текущей форвардной ставки свопа, установленной на период времени между tj и tj+i, a pi — коэффициент корреляции между форвардной процентной ставкой свопа и текущей форвардной процентной ставкой, установленной на период времени между ti и tj+i. Функция Gi(x) представляет собой цену облигации с доходностью х в момент tj. Купонные выплаты по облигации равны yi. Срок обращения облигации и частота выплат совпадают с соответствую
щими характеристиками свопа, на основе которого вычисляется стоимость свопа CMS. Функции Gj(as) и G"(x) являются первой и второй производными функций С,(ж) по переменной х. Волатильности ay-t могут быть обусловлены свопционами, волатильности apti могут объясняться ценами кэплетов, а коэффициент pi
можно оценить по ретроспективным данным.
Формула (30.2) учитывает как поправку на выпуклость, так и временные по
правки. Слагаемое
G' (Уг)
аналогично поправке, вычисленной в примере 27.2 из раздела 27.1. Его вычисление основано на предположении, что ставка свопа Si приводит только одну выплату в момент f j. Слагаемое
Уг^г Fipiayia piti
1 + FiTi
аналогично поправке, вычисленной в разделе 27.2. Это позволяет учесть тот факт, что выплата по ставке Si осуществляется в момент fj+i, а не tj.
Пример 30.3
Держатель шестилетнего свопа CMS получает ставку пятилетнего свопа и платит фиксированную ставку, равную 5% от основной суммы, равной 100 млн долл.
Обмен выплатами осуществляется раз в полгода (как по пятилетнему свопу, так и по свопу CMS). Величина обмена в момент выплаты определяется по ставке свопа, зарегистрированной в предыдущий момент выплаты. Временная структура является горизонтальной и проходит на уровне 5% годовых при полугодовом начислении. Подразумеваемая волатильность всех опционов на пятилетние свопы равна 15%, а подразумеваемая волатильность всех кэплетов с шестимесячным расчетным интервалом — 20%. Коэффициент корреляции между ставками по опционам “кэп” и ставками свопа равен 0,7.
В данном случае у, = 0,05, cryj = 0,15, г,: = 0,5, Fi = 0,05, оуу = 0,20 и pi = 0,7 для всех г. Кроме того,
„ , . 2,5 ЮО
Qri (х) — / ------г -j-------Yp-
£t(l+x/2)- (1+I/2)10’
так что Gj (yi) = —437,603 и G" («/») = 2261,23. Суммарная поправка на выпуклость и время, вычисленная по формуле (30.2), равна 0,00011977;, т.е. 1,197 базисного пункта в год на всем протяжении наблюдений ставки свопа. Например, при оценке свопа CMS ставка пятилетнего свопа через четыре года должна быть равной 5,0479%, а не 5%. Кроме того, объем чистого денежного потока, полученный через 4,5 года, предполагается равным 0,5 х 0,000479 х 100 000 000 = 23 940 долл. Объемы других денежных потоков вычисляются аналогично. Учитывая их текущую стоимость, приходим к выводу, что стоимость свопа равна 159 811 долл. □
Своп СМТ (СМТ — constant maturity Treasury) аналогичен свопу CMS, за исключением того, что плавающая ставка равна доходности казначейской облигации с определенным сроком обращения. Анализ свопа СМТ мало отличается от анализа свопа CMS, в котором ставка Si равна номинальной доходности казначейской облигации с определенным сроком обращения.
Дифференциальные свопы
Дифференциальный своп (differential swap) — это процентный своп, в котором плавающая ставка начисляется в одной валюте, но применяется к основной сумме, выраженной в другой валюте. Предположим, что мы наблюдаем ставку LIBOR, установленную на период времени между моментами С и t,:+i в валюте Y, и применяем ее в момент выплаты tj+i к основной сумме, выраженной в валюте X. Пусть Vi — форвардная процентная ставка, установленная на период времени между моментами tj и ij+i в валюте Y, а И7,- — форвардный обменный курс по контракту, истекающему в момент tj+j. (Этот курс представляет собой количество единиц валюты Y, эквивалентное одной единице валюты А\) Если ставка LIBOR, установленная в валюте Y, применяется к основной сумме, выраженной в валюте У, то объем денежного потока вычисляется на основе предположения, что
ставка LIBOR эквивалентна ставке Ц. Из анализа, проведенного в разделе 27.3, следует, что к основной сумме, выраженной в валюте X, необходимо применить поправку кванто. Для вычисления правильного объема денежного потока следует предположить, что ставка LIBOR равна
(30.3)
где сгуд — волатильность ставки Vt, а\у,г — волатильность курса Wi, a pi — коэффициент корреляции между ставкой Ц и курсом W;.
Пример 30.4
Нуль-купонные ставки в США и Великобритании равны 5% годовых при ежегодном начислении. Держатель трехлетнего дифференциального свопа с ежегодными выплатами получает 12-месячную ставку LIBOR в долларах США, отдавая 12-месячную ставку LIBOR в фунтах стерлингов. Обе ставки применяются к основной сумме, равной 10 млн фунтов стерлингов. Волатильность всех однолетних форвардных ставок в США равна 20%, волатильность обменного курса доллар-фунт стерлингов равна 12% для всех сроков действия контрактов, а коэффициент корреляции между ними равен 0,4.
В таком случае Vi = 0,05, pi — 0,4, <тщ-г — 0,12 и сгу^ = 0,2. Следовательно, объемы денежных потоков по плавающей ставке, зависящие от однолетней ставки, выраженной в долларах и наблюдаемой в момент ti, должны вычисляться в предположении, что процентная ставка равна
0,05 + 0,05 х 0,4 х 0,12 х 0,2 х t{ = 0,05 + 0,00048/,.
Это значит, что при оценке свопа следует предположить, что объемы чистых денежных потоков через один, два и три года будут равны 0, 4 800 и 9 600 фунтов стерлингов. Следовательно, стоимость свопа равна
0 4800 9600
1Д5 + 1,052 + 1,053 “
т.е. 12647 фунтов стерлингов.
□
30.5 Свопы обыкновенных акций
В свопе обыкновенных акций одна сторона берет на себя обязательство выплачивать доход по фондовому индексу, начисленный на основную сумму, в то время как другая сторона обещает выплатить доход, начисленный на основную сумму по фиксированной или плавающей ставке. Свопы обыкновенных акций позволяют управляющим инвестиционными фондами увеличивать или уменьшать риск, связанный с колебаниями фондового индекса, без непосредственной покупки или
продажи акций. Эти свопы являются удобным инструментом для создания пакетов форвардных контрактов на фондовый индекс, удовлетворяющих потребности рынка.
Фондовый индекс обычно представляет собой индекс совокупного дохода по акциям, дивиденды которых реинвестируются в них же. Своп обыкновенных акций описан во врезке “Пример из деловой практики 30.3”. В рамках этого свопа шестимесячная доходность фондового индекса S&P 500 обменивается на ставку LIBOR. Основная сумма с каждой стороны свопа равна 100 млн долл., а выплаты осуществляются каждые шесть месяцев.
Пример из деловой практики 30.3. Выписка из подтверждения гипотетического свопа обыкновенных акций
Дата сделки Дата вступления в силу Соглашение о рабочих днях (распространяется на все даты) Календарь праздников Дата завершения контракта Выплаты по акциям Плательщик выплат по акциям Фондовый индекс Выплаты по акциям Дата выплаты по акциям Выплаты по плавающей ставке Плательщик плавающей ставки Номинальная сумма по плавающей ставке Плавающая ставка 5 января 2004 года 11 января 2004 года Начиная со следующего рабочего дня США 11 января 2009 года Компания Microsoft Совокупный доход индекса S&P 500 100(Д — где Ii — величина ин- декса в момент выплаты, a Iq — величина индекса в момент предыдущей выплаты. В момент первой выплаты величина Iq представляет собой индекс S&P 500, зарегистрированный 11 января 2004 года Каждый год 11 июля и 11 января, начиная с 11 июля 2004 года и включая 11 января 2009 года Компания Goldman Sachs 100 млн долл. США Шестимесячная ставка LIBOR в долларах США
Календарная поправка к плавающей Длина периода/360 ставке
Начисление плавающей ставки По ставке LIBOR плюс 10 базисных пунктов
Даты выплаты плавающей ставки Каждый год 11 июля и 11 января, начиная с 11 июля 2004 года и включая 11 января 2009 года
Рассмотрим своп на обмен обыкновенных акций на плавающую ставку, представленный во врезке “Пример из деловой практики 30.3”. Вначале стоимость свопа равна нулю. Это объясняется тем, что финансовое учреждение может бесплатно воспроизвести денежные потоки, получаемые одной из сторон, занимая деньги до каждой даты выплаты по ставке LIBOR и инвестируя их в фондовый индекс до следующей даты выплаты, постоянно реинвестируя все полученные дивиденды на покупку индекса. Аналогичные рассуждения показывают, что сразу после очередной выплаты стоимость свопа равна нулю.
Чтобы оценить своп, мы должны вычислить размеры денежных потоков по обыкновенной облигации и по ставке LIBOR между датами выплат. Денежный поток по ставке LIBOR фиксируется в предыдущий день установки ставки и поэтому оценивается просто. Размер денежного потока по обыкновенной акции равен LE/Eq, где L — основная сумма, Е — текущая величина фондового индекса, а Ео — его величина в предыдущий день установки ставки.3
30.6 Свопы с внутренними опционами
Некоторые свопы содержат внутренние опционы. В данном разделе рассматриваются наиболее широко распространенные примеры.
Накопительные свопы
Накопительным (accrual) называется своп, в рамках которого доход одной из сторон начисляется только в том случае, когда плавающая ставка попадает в заданный диапазон. Иногда этот диапазон остается фиксированным на протяжении всего срока действия свопа, а иногда он периодически изменяется.
В качестве простого примера рассмотрим накопительный своп, в котором фиксированная ставка Q каждый квартал обменивается на трехмесячную ставку LIBOR. Предположим, что фиксированная ставка начисляется только в те дни, когда трехмесячная ставка LIBOR не превышает 8% годовых. Допустим, что основная
’Подробное обсуждение этой темы содержится в техническом замечании 19, размещенном на Web-сайте автора.
сумма равна L. В обычном свопе плательщик фиксированной ставки в каждый момент выплаты должен был бы заплатить QLny/n^ долл., где гц — количество дней в предыдущем квартале, а — количество дней в году. (Это значит, что применяется календарная поправка длина расчетного периода/длина расчетного периода.) В накопительном свопе плательщик фиксированной ставки выплачивает QLn^/n^ долл., где п.з — количество дней в предыдущем квартале, в течение которых ставка LIBOR была ниже 8%. Каждый день, когда ставка LIBOR превышает 8%, сторона, выплачивающая фиксированную ставку, экономит QL/n^ долл.4 Следовательно, позицию плательщика фиксированной ставки можно считать эквивалентной обычному свопу в сочетании с набором бинарных опционов, по одному на каждый день существования свопа. Если трехмесячная ставка LIBOR выше 8%, то выигрыш по бинарным опционам равен QL/n^.
Обобщим сказанное. Предположим, что уровень отсечения ставки LIBOR (в рассмотренном примере — 8%) равен Rk, а обмен выплатами осуществляется каждые т лет. Рассмотрим г-й день действия свопа и предположим, что L — время, прошедшее до г-го дня. Предположим, что т-летняя ставка LIBOR, зарегистрированная в г-й день, равна Ri, т.е. доход начисляется только при условии R, < Rk- Пусть Fi — форвардное значение ставки Ri, a &i — волатильность величины Fi- (Последний параметр определяется на основе спот-волатильности кэплетов.) Используя обычное предположение о логнормальном распределении, приходим к выводу, что вероятность того, что ставка LIBOR превысит уровень Rk в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент ti + т, равна A’(<F), где
ln(Fi/RK) -(Jiti/2 “2 =--------------------•
Выигрыш бинарного опциона реализуется в момент выплаты по свопу, следующий за г-м днем. Обозначим этот момент через Sj. Вероятность того, что ставка LIBOR больше Rk, в форвардных риск-нейтральных условиях относительно облигации с нулевым купоном, срок обращения которой истекает в момент si, равна N (с^)- Параметр d% вычисляется так же, как и число d^, но к величине F, применяется небольшая временная поправка, отражающая разность между моментами ti + Т и Si-
Стоимость бинарного опциона, соответствующего г-му дню, равна
^-F(0,Si)7V(^).
п2
4Обычно, если день является праздничным, то используется ставка, зарегистрированная в течение предыдущего рабе зего дня.
Общая стоимость бинарных опционов равна сумме всех этих величин, вычисленных для каждого дня на протяжении срока действия свопа. Временная поправка при вычислении параметра очень мала и на практике часто игнорируется.
Аннулируемые свопы
Аннулируемым (cancellable) называется обычный процентный своп, в котором одна из сторон имеет право прекратить своп в один или несколько моментов выплат. Прерывание свопа эквивалентно заключению компенсирующего (противоположного) свопа. Рассмотрим своп между компаниями Microsoft и Goldman Sachs. Если компания Microsoft имеет право аннулировать своп, то этот своп можно интерпретировать как сочетание обычного свопа и длинной позиции в опционе на заключение противоположного свопа. Если право аннулировать своп принадлежит компании Goldman Sachs, то с точки зрения компании Microsoft соглашение представляет собой сочетание обычного свопа и короткой позиции в опционе на заключение свопа.
Если своп можно аннулировать только в одну из дат выплат, он эквивалентен сочетанию обычного свопа и позиции в европейском свопционе. Рассмотрим, например, десятилетний своп, в рамках которого компания Microsoft получает 6% и выплачивает ставку LIBOR. Предположим, что компания Microsoft имеет право прекратить действие свопа в конце шестого года. Следовательно, анализируемый своп можно интерпретировать как сочетание обычного десятилетнего свопа на получение 6% и выплату ставки LIBOR и длинной позиции по шестилетнему европейскому опциону на заключение четырехлетнего свопа, в рамках которого его держатель выплачивает 6%, получая взамен ставку LIBOR (последний опцион называется европейским опционом 6 х 4). Стандартная модель рынка для оценки европейских свопционов описана в главе 26.
Если своп можно прекратить в разные моменты выплат, то он представляет собой комбинацию обычного и бермудского свопционов. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой компания Microsoft заключает пятилетний своп с полугодовыми выплатами, держатель которого получает 6%, отдавая ставку LIBOR. Предположим, что другая сторона свопа имеет право прекратить его действие в любой из моментов выплат между вторым и пятым годами. Этот своп является сочетанием обычного свопа и короткой позиции в бермудском свопционе. Этот бермудский свопцион, в свою очередь, представляет собой опцион на заключение пятилетнего свопа, держатель которого получает фиксированную ставку, равную 6%, и выплачивает ставку LIBOR. Этот своп можно исполнить в любой момент выплаты между вторым и пятым годами. Методы оценки бермудских свопционов изложены в главах 28 и 29.
Аннулируемые сложные свопы
Иногда сложные свопы можно прекращать в заранее установленные даты выплат. В момент прекращения свопа стороны обмениваются суммами, начисленными к этому времени по плавающей и фиксированной ставкам соответственно.
Для оценки аннулируемых сложных свопов можно воспользоваться несложным трюком. Предположим сначала, что плавающая ставка является ставкой LIBOR и начисление сумм также осуществляется по ставке LIBOR. Допустим также, что основная сумма свопа выплачивается обеим сторонам в конце его действия. Это напоминает переход от табл. 7.1 к табл. 7.2 при оценке простого свопа. Этот переход не изменяет стоимости свопа. Он лишь гарантирует, что стоимость позиции плавающей стороны в момент выплаты эквивалентна основной сумме. Чтобы принять решение о прекращении свопа, достаточно проанализировать действия только фиксированной стороны. Построим дерево процентных ставок, описанное в главе 28. Обходя это дерево в обратном порядке, мы можем оценить стоимость позиции фиксированной стороны. В каждом узле дерева, в котором действие свопа можно прекратить, следует проверить, целесообразно ли это. В момент прекращения свопа стоимость позиции фиксированной стороны равна его номинальной сумме. Если мы выплачиваем фиксированную ставку, получая плавающую, то наша цель — минимизировать стоимость позиции фиксированной стороны. Если мы выплачиваем плавающую ставку, получая фиксированную, то наша цель — максимизировать стоимость фиксированной стороны.
Если стоимость позиции плавающей стороны равна ставке LIBOR плюс спрэд, вычисленный по ставке LIBOR, то денежные потоки, соответствующие спрэду процентной ставки, можно вычесть из стоимости позиции фиксированной стороны, а не добавлять к стоимости позиции плавающей стороны. В таком случае стоимость опциона можно вычислить, считая, что никакого спрэда нет.
Если сложный процент равен ставке LIBOR плюс спрэд, можно воспользоваться приближенным методом.5
1. Вычисляем стоимость позиции плавающей стороны свопа в каждый момент прекращения свопа, предполагая реализацию форвардных ставок.
2. Вычисляем стоимость позиции плавающей стороны свопа в каждый момент прекращения свопа, предполагая, что плавающая ставка является ставкой LIBOR, а сложный процент также начисляется по ставке LIBOR.
3. Определяем, насколько первая стоимость превышает вторую в момент прекращения свопа, т.е. вычисляем стоимость спрэда.
5 Неточность этого подхода заключается в предположении, что на решение прекратить действие опциона не влияет размер будущих выплат, начисляемых по ставке, не являющейся ставкой LIBOR.
4. Оцениваем опцион, как описано выше. Оценивая целесообразность прекращения свопа, вычитаем из вычисленной стоимости позиции фиксированной стороны стоимость спрэда.
30.7 Другие свопы
В главе рассмотрено только несколько разновидностей свопов, заключаемых на рынках. На практике количество финансовых инструментов, являющихся предметами сделок, ограничено только фантазией финансистов и жаждой финансовых директоров к изобретению новых средств риск-менеджмента.
Например, в середине 1990-х годов в США стал очень популярным амортизационный индексный своп (index amortizing rate swap), который иногда называют также свопом индексированных основных сумм (indexed principal swap). В этом свопе основная сумма уменьшается по закону, зависящему от уровня процентных ставок. Чем ниже процентная ставка, тем больше сокращается основная сумма. Фиксированная сторона в амортизационном индексном свопе, по идее, должна быть зеркальным отражением, хотя бы приблизительным, дохода, полученного инвестором по ценным бумагам, обеспеченным закладными, после учета предоплаты. Следовательно, в этом свопе доходность ценных бумаг, обеспеченных закладными, обменивается на плавающую ставку.
В настоящее время все большую популярность завоевывает товарный своп (commodity swap). Компания, потребляющая 100000 баррелей нефти в год, может согласиться выплачивать 2 млн долл, ежегодно в течение следующих десяти лет и получать в обмен доход, равный 100000S, где S — рыночная цена барреля нефти. Это соглашение может зафиксировать стоимость нефти для компании на уровне 20 долл, за баррель. Компания, добывающая нефть, может согласиться на противоположную сделку, зафиксировав цену, полученную за нефть, на уровне 20 долл, за баррель. Энергетические деривативы обсуждаются в главе 23.
Последним изобретением на рынках свопов стал своп волатильности (volatility swap). В этом свопе выплаты зависят от волатильности акции (или другого актива). Предположим, что основная сумма равна L. В каждый момент выплаты одна сторона выплачивает сумму La, где а — ретроспективная волатильность, вычисленная путем ежедневных наблюдений за колебанием цены акции на протяжении предшествующего периода накопления, а другая сторона выплачивает сумму LK, где К — постоянный уровень волатильности, заданный заранее. Свопы дисперсии, корреляции и ковариации определяются аналогично.
В оставшейся части книги будет рассмотрено большое количество иных разновидностей свопа. Свопы активов описываются в главе 20, а свопы кредитных дефолтов и свопы совокупного дохода — в главе 21.
Нестандартные сделки
Некоторые свопы предусматривают обмен выплатами, размер которых вычисляется причудливым образом. В качестве примера рассмотрим своп, заключенный между компаниями Bunkers Trust (ВТ) и Procter and Gamble (P&G) в 1993 году (см. врезку “Пример из деловой практики 30.4”).
Детали этого свопа известны, поскольку впоследствии он стал предметом судебного разбирательства.6
Пример из деловой практики 30.4. Странная сделка между компаниями Bunkers Trust и Procter and Gamble
2 ноября 1993 года компании Bunkers Trust и Procter and Gamble заключили особенно странный своп, получивший название “5/30”. Это соглашение представляло собой пятилетний своп с обменом выплатами раз в полгода. Основная сумма равна 200 млн долл. Компания ВТ выплачивала компании P&G 5,30% годовых. В свою очередь, компания P&G выплачивала компании ВТ средний процент по 30-дневным векселям за вычетом 75 базисных пунктов плюс спрэд. Средний процент по векселям вычислялся на основе ежедневных наблюдений процента по 30-дневным векселям (commercial paper rate) на протяжении предшествующего периода накопления.
При расчетах в конце первого дня выплат (2 мая 1994 года) спрэд равен нулю. В остальные девять моментов выплат он равен
max
/ / Проценты по 5-летнему свопу СМТ\ „ \
98,5 х ( -i------------5 7g^ —------—— 1 - Цена TSY за 30 лет
0, _
\ /
В этой формуле проценты по пятилетнему свопу СМТ равны казначейской доходности за пять лет (т.е. доходности пятилетней казначейской ноты по отчетам Федерального резервного банка). Цена TSY за 30 лет представляет собой среднее значение наличных цен покупки и продажи облигаций по казначейской облигации с доходностью 6,25%, срок обращения которой истекает в августе 2003 года.
Компания P&G надеялась, что спрэд будет равным нулю и сделка позволит ей обменять фиксированную ставку, равную 5,30%, на ставку, которая на 75 базисных пунктов меньше ставки кредита (СР rate). В начале 1994 года процентные ставки резко выросли, и своп оказался чрезвычайно дорогим (см. задачу 30.10).
6См. Smith D. J. Aggressive Corporate Finance: A Close Look at the Procter and Gamble-Bankers Trust Leveraged Swap // Journal of Derivatives, 4, no. 4 (Summer 1997). — P. 67-79.
Резюме
Свопы оказались универсальными финансовыми инструментами. Многие свопы можно оценивать с помощью простого предположения, что ставка LIBOR (или другая плавающая ставка) будет равна своей форвардной величине. К таким свопам относятся простые процентные свопы, многие разновидности валютных свопов, свопы, в которых основная сумма изменяется по заранее заданному закону, свопы, в которых выплаты сторон производятся не одновременно, а также сложные свопы.
При оценке некоторых свопов необходимо корректировать форвардные ставки, учитывая поправки на выпуклость, временные поправки и поправки кванто. Такими свопами являются свопы по ставке LIBOR, CMS/CMT и дифференциальные свопы.
Свопы обыкновенных облигаций предусматривают обмен фондового индекса на фиксированную или плавающую процентную ставку. Они, как правило, конструируются так, чтобы сразу после момента выплат их стоимость была равной нулю. Однако при их оценке в промежутке времени между выплатами следует проявлять определенную осторожность.
Некоторые свопы содержат встроенные опционы. Например, накопительный своп представляет собой комбинацию обычного свопа и крупного портфеля бинарных опционов (по одному на каждый день действия свопа), а аннулируемый своп является сочетанием обычного свопа и бермудского свопциона.
Дополнительная литература
Chance D. and Rich D. The Pricing of Equity Swap and Swaptions // Journal of Derivatives, 5, no. 4 (Summer 1998). — P. 19-31.
Demeterfi K., Derman, Kamal M. and Zou J. A Guide to Volatility and Variance Swaps // Journal of Derivatives, 6, no. 4 (Summer 1999). — P. 9-32.
Smith D. J. Aggressive Corporate Finance: A Close Look at the Procter and Gamble-Bankers Trust Leveraged Swap // Journal of Derivatives, 4, no. 4 (Summer 1997). - P. 67-79.
Вопросы и задачи
30.1. Вычислите все фиксированные денежные потоки и моменты их выплат по свопу, описанному во врезке “Пример из деловой практики 30.1”. Предполагается, что календарные поправки применяются к оговоренным, а не фактическим датам.
30.2. Предположим, что в рамках свопа фиксированная ставка обменивается на двойную ставку LIBOR. Можно ли вычислить стоимость этого свопа на основе принципа реализации форвардной ставки?
30.3. Чему равна стоимость двухлетнего сложного свопа, в котором фиксированная ставка обменивается на плавающую, основная цена равна 100 млн долл., а выплаты осуществляются раз в полгода? Фиксированная ставка равна 8%, а сложный процент начисляется по ставке 8,3%. Обе ставки начисляются раз в полгода. Плавающая ставка равна ставке LIBOR плюс 10 базисных пунктов, а сложный процент начисляется по ставке LIBOR плюс 20 базисных пунктов. Нулевая кривая LIBOR является плоской и проходит на уровне 8% при полугодовом начислении.
30.4. Чему равна стоимость пятилетнего свопа, в котором держатель выплачивает ставку LIBOR, как обычно, получая взамен сложный процент, начисленный по ставке LIBOR, полученной другой стороной? Основная сумма обеих сторон равна 100 млн долл. Выплаты и начисления сложных процентов осуществляются каждые шесть месяцев, а кривая доходности является горизонтальной и проходит на уровне 5% при полугодовом начислении.
30.5. Объясните, почему банк может дисконтировать денежные потоки в рамках валютного свопа по ставке, немного отличающейся от ставки LIBOR.
30.6. Вычислите сумму поправки на выпуклость и временной поправки в примере 30.3 раздела 30.4; волатильность опционов “кэп” равна 18%, а не 20%, а волатильность всех пятилетних свопов равна 13%, а не 15%. Какой должна быть ставка пятилетнего свопа через три года при вычислении его стоимости? Чему равна стоимость этого свопа?
30.7. Объясните, почему простой процентный своп и сложный своп из раздела 30.2 можно оценить, используя предположение о реализации форвардных ставок, а своп по ставке LIBOR из раздела 30.4 — нет.
30.8. В накопительном свопе, рассмотренном в тексте, доход фиксированной стороны начисляется только, если плавающая ставка не превышает определенный уровень. Как распространить этот анализ на ситуацию, в которой доход фиксированной ставки начисляется только, если плавающая ставка больше одного уровня и меньше другого?
Упражнения
30.9. Нулевые ставки LIBOR постоянны, равны 5% в США и 10% в Австралии и начисляются раз в год. Держатель четырехлетнего свопа получает ставку
LIBOR, выплачивая 9%, причем обе ставки применяются к основной сумме, равной 10 млн долл. Обмен выплатами осуществляется раз в год. Волатильность всех однолетних форвардных ставок в Австралии равна 25%, волатильность форвардного обменного курса доллар США-австралийский доллар (количество австралийских долларов, эквивалентных одному доллару США) равна 15% для всех сроков выплат, а коэффициент корреляции между ними равен 0,3. Чему равна стоимость свопа?
30.10. Оцените процентную ставку, выплаченную компанией P&G в рамках свопа 5/30, описанного в разделе 30.7, если 1) ставка по кредиту равна 6,5%, а кривая казначейской доходности является плоской и проходит на уровне 6% или 2) ставка по кредиту равна 7,5%, а кривая казначейской доходности является плоской и проходит на уровне 7% при полугодовом начислении.
30.11. Предположим, что вы заключаете своп по ставке LIBOR с неискушенным партнером, который не учел поправок на выпуклость. Следует ли вам выплачивать или получать фиксированную ставку, чтобы извлечь выгоду из этой ситуации? Какую структуру должен иметь своп с учетом его продолжительности и частоты выплат?
Рассмотрите ситуацию, в которой кривая доходности является плоской и проходит на уровне 10% годовых при ежегодном начислении. Волатильность всех опционов “кэп” равна 18%. Оцените разницу между способами оценки свопа по ставке LIBOR, которые используют искушенный и наивный трейдеры, если его продолжительность равна 1) 5 лет; 2) 10 лет; и 3) 20 лет. Будем считать, что основная сумма равна одному миллиону долларов.
30.12. Предположим, что нулевая ставка LIBOR является постоянной и равна 5% при ежегодном начислении. В пятилетием свопе компания X выплачивает фиксированную ставку, равную 6%, раз в год, получая взамен ставку LIBOR. Волатильность ставки двухлетнего свопа через три года равна 20%, основная сумма равна 100 долл.
1) Чему равна стоимость свопа?
2) Применяя программу DerivaGem, вычислите стоимость этого свопа, если компания X имеет право через три года прекратить действие свопа.
3) Применяя программу DerivaGem, вычислите стоимость этого свопа, если партнер компании X имеет право через три года прекратить действие свопа.
4) Чему равна стоимость свопа, если каждая из сторон имеет право через три года прекратить действие свопа.
Реальные опционы
До сих пор мы рассматривали исключительно деривативы, зависящие от финансовых активов. В этой главе показано, как изложенные идеи можно использовать для оценки эффективности инвестиций в землю, строения, заводы и т.д. Инвестиционные возможности часто связаны с вложенными опционами (например, опционом на расширение инвестиций, опционом на отказ от инвестиций, опционом на отсрочку инвестиций и т.п.). Эти опционы очень трудно оценить с помощью традиционных методов, поэтому для вычисления их стоимости была разработана отдельная теория оценки реальных опционов (real options).
Глава начинается с изложения традиционного подхода к оценке инвестиций в реальные активы и анализа его недостатков. Затем рассматриваются способы применения принципов риск-нейтральной оценки для вычисления стоимости реальных активов. После этого изучаются опционы, встроенные в реальные активы, и большое количество примеров использования методов оценки реальных опционов в разнообразных ситуациях.
31.1 Оценка капиталовложений
Традиционный подход к оценке потенциального капиталовложения использует понятие “чистой текущей стоимости” (NPV — net present value). Чистая текущая стоимость проекта представляет собой текущую стоимость ожидаемых в будущем притоков и оттоков капитала. Чтобы учесть риск, сопряженный с проектом, в качестве дисконтной ставки при вычислении текущей стоимости используется “рисковая” ставка (“risk-adjusted” discount rate). Если рискованность проекта растет, то дисконтная ставка увеличивается.
Для примера рассмотрим пятилетнюю инвестицию на сумму 100 млн долл. Предполагается, что ожидаемый приток капитала в течение каждого года составит 25 млн долл. Если “рисковая” дисконтная ставка равна 12%, то чистая текущая стоимость инвестиции равна
- 100 + 25г°’12>'1 + 25е~°’12х2 + 25е“°’12х3 + 25е-0’12х4 + 25е“°’12х5 =
= —11,53 млн долл.
Отрицательная чистая текущая стоимость проекта означает, что он снизит ценность компании в глазах ее акционеров и, следовательно, должен быть отклонен. Положительная чистая текущая стоимость проекта означает, что он повысит стоимость компании в глазах ее акционеров и, следовательно, должен быть принят.
В качестве “рисковой” дисконтной ставки следует выбирать доходность инвестиции, требуемую компанией или ее акционерами. Ее можно вычислять по-разному. В качестве одного из возможных подходов часто рекомендуется модель вычисления стоимости основного капитала (capital asset pricing model). Этот подход сводится к выполнению следующих шагов.
1. Выбирается ряд компаний, аналогичных той, которая предложила проект.
2. Вычисляются их коэффициенты бета. Среднее значение этих коэффициентов представляет собой приблизительный коэффициент бета предложенного проекта.
3. В качестве требуемой доходности устанавливается сумма безрисковой ставки и величины, на которую доходность рыночного портфеля превышает безрисковую процентную ставку, умноженную на приблизительный коэффициент бета проекта.
Проблема, связанная с оценками NPV, заключается в том, что многие проекты содержат вложенные опционы. Рассмотрим, например, ситуацию, в которой компания анализирует целесообразность строительства завода для производства новой продукции. Часто компании имеют возможность прекратить выполнение проекта, если события станут развиваться неблагоприятным образом. Кроме того, компания может расширить завод, если спрос окажется выше ожидаемого. Эти опционы, как правило, имеют разные характеристики риска, и к ним следует применять разные дисконтные ставки.
Чтобы понять сущность этой проблемы, вернемся к примеру, описанному в начале главы 11. В нем упоминается акция, текущая цена которой равна 20 долл. Через три месяца цена акции может стать равной либо 22 долл., либо 18 долл. Риск-нейтральная оценка показывает, что стоимость трехмесячного опциона на покупку этой акции с ценой исполнения, равной 21 долл., составляет 0,633 долл. В сноске 1 главы 11 сказано, что если в реальном мире инвесторы ожидают от акции доходности, равной 16%, то ожидаемая доходность, которая требуется от опциона “колл”, равна 42,6%. Аналогичный анализ показывает, что если бы компании принадлежал опцион “пут”, а не “колл”, то ожидаемая доходность опциона, требуемая инвесторами, должна была быть равной - 52,5%. На практике очень трудно непосредственно оценить ожидаемую доходность, необходимую при вычислении стоимости опциона. (Мы знаем ее величину только потому, что можем вычислить стоимость опциона с помощью других методов.) То же относится и к реальным опционам. Не существует простого способа вычислить “рисковую” дисконтную ставку, которую можно было бы применить к денежным потокам,
возникающим в случае исполнения опциона на прекращение или расширение проекта, а также других подобных опционов. Именно по этой причине возникла необходимость исследования риск-нейтральных принципов оценки, которые можно было бы применить к реальным опционам по аналогии с опционами на финансовые активы.
Еще одна проблема, связанная с традиционным подходом, основанным на концепции чистой текущей стоимости, связана с оценкой соответствующей “рисковой” дисконтной ставки для базового проекта (т.е. для проекта без вложенных опционов). Компании, на основе которых вычисляются оценки приблизительного коэффициента бета, характеризующего предложенный проект, с помощью описанной выше трехэтапной процедуры, сами обладают опционами на прекращение или расширение своих проектов. Их коэффициенты бета отражают наличие этих опционов и не могут быть использованы для оценки коэффициента бета, характеризующего базовый проект.
31.2 Расширение сферы применения риск-нейтральных оценок
В разделе 25.1 рыночная цена риска, связанного с рыночным показателем в, была введена следующим образом
и — г
Х=“-----, (31.1)
а
где г — безрисковая процентная ставка, /т — доходность ценной бумаги, зависящей только от показателя в, а а — ее волатильность. Как показано в разделе 25.1, какую бы ценную бумагу мы ни выбрали, рыночная цена риска Л остается неизменной.
Предположим, что реальный актив зависит от нескольких переменных 6i, i — 1,2,.... Пусть гп{ и Si — ожидаемая скорость роста и волатильность показателя 6i соответственно, так что
dfy
— =mi at + Si dzi, di
где Zi — винеровский процесс. Обозначим через А, рыночную цену риска, связанного с переменной #<. Риск-нейтральный метод оценки можно модифицировать так, что цену любого актива, цена которого зависит от показателя ()г, можно вычислить с помощью следующей процедуры.1
‘Для того чтобы убедиться, что эта процедура хорошо согласована с риск-нейтральными оценками, предположим, что 0, — это цена бездивидендной акции. Поскольку эта величина является стоимостью ценной бумаги, являющейся предметом сделки, из формулы (31.1) следует, что (ш, — г)/st = А,, т.е. rrii — A»st = г. Следовательно, поправка не ожидаемую скорость роста эквивалентна условию, что доходность акции равна безрисковой ставке. Доказательство более общего результата изложено в техническом замечании 20 на Web-сайте автора.
1. Вычитаем из величины т ожидаемую скорость роста переменных т.е. вычисляем величину т — As.
2. Дисконтируем денежные потоки по безрисковой процентной ставке.
Пример 31.1
Котировочная стоимость аренды офиса в некоем городе равна сумме, которую следует заплатить за квадратный фут в год по новому пятилетнему договору об аренде. Текущая стоимость равна 30 долл, за квадратный фут. Ожидаемая скорость роста стоимости аренды равна 12% в год, ее волатильность равна 20% в год, а рыночная цена риска равна 0,3. Компания имеет возможность заплатить один миллион долларов за опцион на аренду 100 000 кв. футов по 35 долл, за квадратный фут в течение пяти лет, начиная со второго года. Безрисковая процентная ставка является постоянной и равна 5% годовых. Пусть V — котировочная цена аренды офиса за квадратный фут в течение двух лет. Для простоты будем считать, что стоимость аренды оплачивается авансом один раз в год. Выигрыш от опциона равен
100 000А max(V - 35,0),
где А — рентный коэффициент:
А = 1 + 1 х е”0,05х1 + 1 х е~0-05х2 + 1 х е“°’05х3 4-1 х е-°-05х4 = 4,5355.
Следовательно, ожидаемый выигрыш в риск-нейтральном мире равен
100000 х 4,5355 х E[max(V - 35,0)] = 453500 х Е[тах(У - 35,0)],
где Е — математическое ожидание в риск-нейтральном мире. Используя формулу (12.1.1), это выражение можно переписать в следующем виде:
453550[E(V)7V(di) - 357V(d2)],
где
In (У)/Зб] — 0,22 х 2/2 d2 _ ___ •
Ожидаемая скорость роста стоимости офиса в риск-нейтральном мире равна т — Xs, где т — скорость роста стоимости в реальном мире, s — волатильность и А — рыночная цена риска. В данном случае т = 0,12, s — 0,2 и А = 0,3, так что ожидаемая риск-нейтральная скорость роста равна 0,06, т.е. 6% в год. Отсюда
следует, что E(V) = 30еО О6х2 = 33,82. Подставляя это значение в предыдущее выражение, приходим к выводу, что ожидаемый выигрыш в риск-нейтральном мире равен 1,5015 млн долл. Дисконтируя эту величину по безрисковой ставке, получаем, что стоимость опциона равна 1,5015е~0,05x2 = 1,3586 млн долл. Таким образом, покупка опциона за один миллион долларов является целесообразной. □
31.3 Оценка рыночной цены риска
Риск-нейтральный подход к оценке инвестиций не требует вычисления “рисковых” дисконтных ставок, упоминавшихся в разделе 31.2. Однако его применение сопряжено с оценкой рыночной цены параметров риска для всех стохастических переменных. Если аналитику доступны исторические данные о значениях конкретной переменной, то ее рыночную цену риска можно вычислить с помощью модели вычисления стоимости основного капитала. Чтобы продемонстрировать эту процедуру, рассмотрим инвестиционный актив, зависящий исключительно от переменной, и введем следующие обозначения.
//: ожидаемая доходность инвестиционного актива;
а : волатильность доходности инвестиционного актива;
А : рыночная цена риска, связанного с переменной;
р: коэффициент мгновенной корреляции между относительными изменениями переменной и значениями доходности одного из основных фондовых индексов (broad index of stock market prices);
pm: ожидаемая доходность выбранного фондового индекса;
ат: волатильность доходности выбранного фондового индекса;
г: краткосрочная безрисковая процентная ставка.
Поскольку инвестиционный актив зависит исключительно от рыночной переменной, коэффициент мгновенной корреляции между его доходностью и фондовым индексом также равен р. Из модели вычисления стоимости основного капитала с непрерывным временем следует, что
Р - г = — (рт - г).
Из уравнения (31.1) можно вывести другое выражение для величины р —г:
р — г = Ха.
Отсюда следует, что
Х=-!-(рт-г). (31.2)
Эту формулу можно использовать для оценки параметра А.
Пример 31.2
Ретроспективный анализ квартальных объемов продаж некоей компании показывает, что коэффициент корреляции между относительными изменениями объема продаж и доходностью индекса S&P 500 равен 0,3. Волатильность индекса S&P 500 равна 20% в год. Кроме того, из анализа исторических данных следует, что ожидаемое превышение доходности индекса S&P 500 над безрисковой процентной ставкой равно 5%. Рыночную цену риска, связанного с продажами компании, можно оценить по формуле (31.2).
0 3
— х 0,05 = 0,075.
0,2 □
Если исторические данные о конкретной переменной недоступны, можно воспользоваться информацией об аналогичных показателях. Например, при анализе целесообразности строительства завода, предназначенного для выпуска новой продукции, можно использовать данные о продажах аналогичного товара, а затем оценить коэффициент корреляции между объемами продаж этого товара и фондовым индексом, считая полученную оценку приближенной. В некоторых случаях коэффициент р в формуле (31.2) устанавливается с помощью экспертных оценок. Если аналитик убежден, что конкретная переменная не связана с фондовым индексом, то ее рыночная цена риска должна быть приравнена к нулю.
Для некоторых переменных нет необходимости вычислять рыночную цену риска, поскольку стохастический процесс, описывающий их поведение, можно оценить непосредственно. Например, если переменная представляет собой цену инвестиционного актива, то ее совокупная доходность в риск-нейтральном мире равна безрисковой процентной ставке. Если же переменная является краткосрочной процентной ставкой г, то, как показано в главе 28, риск-нейтральный процесс можно оценить по первоначальной временной структуре процентных ставок. Позднее в этой главе мы покажем, как оценить риск-нейтральный процесс, описывающий поведение цены товара, на основе его фьючерсных цен.
31.4 Оценка нового бизнеса
Традиционные методы оценки эффективности бизнеса, например умножение коэфициента “цена/прибыль” на текущие доходы, для новых видов деловой активности не подходят. Как правило, при попытках увеличить свою долю на рынке и установить связи с потребителями компания на протяжении первых лет терпит убытки. Следовательно, для того чтобы определить эффективность нового бизнеса, необходимо оценить будущую прибыль и денежные потоки в рамках других сценариев.
Будущие денежные потоки компании, как правило, зависят от большого количества переменных, например от объемов продаж, переменных издержек, вы
раженных в процентах от объемов продаж, фиксированных расходов и др. Для некоторых из этих переменных достаточно получить отдельные оценки. Однако ключевые переменные, определяющие риск-нейтральный стохастический процесс, необходимо оценивать так, как показано в двух предыдущих разделах. Для генерирования альтернативных сценариев изменения чистой стоимости денежных потоков в риск-нейтральном мире можно использовать метод Монте-Карло. Вполне вероятно, что в некоторых из этих сценариев компания будет функционировать весьма успешно, а других — терпеть банкротство и прекращать свое существование. (В процедуре моделирования необходимо предусмотреть отдельное правило для определения момента банкротства.) Стоимость компании представляет собой текущую стоимость ожидаемого денежного потока в течение каждого года при условии, что в качестве дисконтной используется безрисковая ставка. Рассмотрим врезку “Пример из деловой практики 31.1”.
Пример из деловой практики 31.1. Оценка компании Aniazon.com
Одна из первых попыток оценить компанию с помощью реальных опционов описана в работе Шварца и Муна (2000) (Schwartz and Moon (2000)), применивших этот подход для оценки перспектив компании Amazon.com, вышедшей на рынок в конце 1999 года. Они предположили, что доход от продаж R и скорость роста дохода д являются стохастическими переменными. Их модель имела следующий вид.
d/? , , , ,
— = fidt + a (t) dzi, ft
dfi = к (Ji — dt +(t) dz-2.
Шварц и Мун предположили, что винеровские процессы dz\ и dz% не коррелируют друг с другом, и сделали разумные предположения о функциях cr(t), T](t), а также о величинах к и Ji, основываясь на доступных данных.
Шварц и Мун предположили, что стоимость проданных товаров в рамках их модели составила бы 75% от объема продаж, другие переменные издержки были бы равны 19% от объема продаж, а фиксированные расходы достигли бы 75 млн долл, в квартал. Начальный объем продаж предполагался равным 356 млн долл., первоначальная отсрочка уплаты налогов под предлогом компенсации убытков — 559 млн долл., а ставка налога — 35%. Рыночная цена риска Ад, связанного с переменной R, оценивалась по историческим данным с помощью метода, описанного в предыдущем разделе. Рыночная цена риска, связанного с переменной //, предполагалась равной нулю.
Временной горизонт анализа был равен 25 годам, а окончательная стоимость компании предполагалась в десять раз большей, чем операционная прибыль (operational profit). Доля активов компании, вложенных в краткосрочные эквиваленты наличности (cash position), в начальный момент времени составила
906 млн долл., и компания считалась банкротом, если ее кассовый остаток (cash balance) становился отрицательным.
С помощью метода Монте-Карло было сгенерировано несколько разных сценариев развития событий. При оценке сценариев учитывалась возможная конверсия конвертируемых облигаций и возможное исполнение фондовых опционов служащими компании. Стоимость компании для акционеров вычислялась как текущая стоимость наличных денежных потоков (net cash flows) по безрисковой процентной ставке.
Цена акции, вычисленная Шварцем и Муном с помощью метода Монте-Карло при сделанных предположениях, составила 12,42 долл. Рыночная цена акции компании Amazon.com в конце 1999 года была равна 76,125 долл, (в 2000 году она резко упала). Одним из основных преимуществ метода реальных опционов является то, что он явно идентифицирует основные предположения. Однако Шварц и Мун выяснили, что небольшие изменения предположений о функции 7/(t) приводят к большому изменению цены акции. Это является важным источником неопределенности. Небольшое увеличение функции r)(t) порождает дополнительную неопределенность и сильно увеличивает цену акций компании Amazon.com.
31.5 Товарные цены
Источником неопределенности при оценке многих инвестиций являются будущие товарные цены. Часто для непосредственной оценки стохастического процесса, описывающего изменение товарной цены, используются фьючерсные цены. Следовательно, товарные цены, как и инвестиционные активы, не требуют непосредственной оценки рыночной цены риска.
Из формулы (14.7) следует, что ожидаемая будущая цена товара в риск-нейтральном мире равна его фьючерсной цене. Если предположить, что скорость роста товарной цены зависит исключительно от времени, а ее волатильность является постоянной, то риск-нейтральный процесс, описывающий изменение товарной цены S, имеет вид
dS
— = p,(t) dt + a dz. (31.3)
О
Тогда
F (t) = Ё [S (t)] = S (0) efo^dT.
Здесь F(t) — фьючерсная цена контракта, истекающего в момент t, а Е — математическое ожидание в риск-нейтральном мире. Отсюда следует, что
i
In F (t) = In S (0) + д (t) dr.
31.5 . Товарные цены
973
Дифференцируя обе части этого равенства по времени, получаем следующую формулу.
Пример 31.3
В таблице перечислены гипотетические фьючерсные цены (в центах за фунт) на крупный рогатый скот в конце июля 2005 года.
Август 2005 г.
Октябрь 2005 г.
Декабрь 2005 г.
Февраль 2006 г.
Апрель 2006 г.
Июнь 2006 г.
62,20
60,60
62,70
63,37
64,42
64,40
С помощью этих значений можно оценить ожидаемую скорость роста цен на крупный рогатый скот в риск-нейтральном мире. Например, если для оценки используется формула (31.3), то ожидаемая скорость роста цен на крупный рогатый скот в риск-нейтральном мире между октябрем и декабрем 2005 года равна
т.е. 3,4% при непрерывном начислении. В пересчете на год эта величина составляет 20,4% годовых. □
Пример 31.4
Предположим, что фьючерсные цены на крупный рогатый скот совпадают с приведенными в примере 31.3. Допустим, что для разведения крупного рогатого скота необходимо вложить 100000 долл, сейчас и потратить 20000 долл, через три, шесть и девять месяцев. В результате в конце года инвестор получит дополнительный прирост поголовья для продажи. В этой ситуации есть два источника неопределенности: количество дополнительного живого веса на продажу и цена фунта мяса. Ожидаемое количество живого веса составит 300000 фунтов. Как следует из примера 31.3, ожидаемая цена фунта живого веса крупного рогатого скота через год в риск-нейтральном мире равна 64,40 центов за фунт. Предположим, что безрисковая процентная ставка равна 10% годовых. Тотда стоимость инвестиций равна
-100—20е”0,1х0’25 — 20е-0,1х0’50 — 20е~0,1х0’75-|-300x0,644е-0,1х1 = 17,729 долл.
Это означает, что любая неопределенность относительно дополнительного количества крупного рогатого скота, которое можно выставить на продажу, имеет
нулевой систематический риск, и корреляция между этим количеством и ценой равна нулю. □
Процесс с возвращением к среднему
Стохастический процесс в формуле (31.3), описывающий изменение товарных цен, является слишком упрощенным. На практике большинство товарных цен подчиняется стохастическим процессам с возвращением к среднему. Они подталкивают цены к среднему уровню. Более реалистичным процессом, описывающим поведение товарной цены S, является риск-нейтральный стохастический процесс
din S’ = [6(t) — aAnS]dt — adz. (31.4)
Этот процесс учитывает возвращение к среднему значению и напоминает логнормальный процесс, предложенный для описания краткосрочной процентной ставки в главе 28. Адаптируя метод триномиального дерева, изложенный в разделе 28.7, можно построить дерево, отражающее возможные изменения товарной цены S, и определить величину 0(f), так что F (£) = Е [S (£)].
Для иллюстрации построим трехуровневое дерево для описания цен на нефть. Предположим, что спот-цена нефти равна 20 долл, за баррель, а однолетняя, двухлетняя и трехлетняя фьючерсные цены равны 22, 23 и 24 долл, соответственно. Допустим также, что в формуле (31.4) а = 0,1 и а = 0,2. Сначала определим переменную X, которая в начальный момент времени равна нулю и подчиняется стохастическому процессу
dX = —adt 4- adz. (31.5)
Триномиальное дерево для переменной X можно построить, используя процедуру, описанную в разделе 28.7. Это дерево изображено на рис. 31.1.
Переменная In S подчиняется тому же стохастическому процессу, что и переменная X, за исключением дрейфа, зависящего от времени. Аналогично процедуре, описанной в разделе 28.7, дерево для переменной X можно преобразовать в дерево для переменной In S, изменяя метки узлов. Это дерево изображено на рис. 31.2. В начальном узле цена нефти равна 20, поэтому смещение этого узла равно In 20. Предположим, что смещение узлов через один год равно сц. Значения переменной X в трех узлах, соответствующих одному году, равны +0,3464,0 и —0,3464. Соответствующие значения In S равны 0,3464 + ад, ат и —0,3464 + сц. Следовательно, значения S равны e°-3464+ai, eQ1 и e-o,3464+ai. Это значит; что
0,1667e°’3464+Q1 + 0,6666eQ1 + 0,1667e-0’3464+ai = 22.
Итак, ai = 3,071. Следовательно, возможные значения переменной S через год равны 30,49, 21,56 и 15,25.
Е J
Узел: А В С D Е F G Н I
Ри 0,1667 0,1217 0.1667 0,2217 0,8867 0,1217 0,1667 0,2277 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 31.1. Триномиальное дерево для переменной X. Построение этого дерева представляет собой первый этап построения дерева для спот-цены S. Здесь ри, рт и ра — вероятности роста, постоянства и падения цен при выходе из узла
Для вычисления возможных цен через два года необходимо вычислить вероятности Е, F, G, Н и I, в которые можно перейти из узлов В, С и D. Вероятность перехода в узел F равна сумме вероятности достичь узел В, умноженной на вероятность перехода из узла В в узел F, и вероятности достичь узел С, умноженной на вероятность перехода из узла С в узел F. Иначе говоря,
0,1667 х 0,6566 + 0,6666 х 0,1667 = 0,2206.
Вероятности достичь узлы Е, F, G, Н и I равны 0,0203, 0,2206, 0,5183, 0,2206 и 0,0203 соответственно. Величина аг, на которую следует сместить узлы, соответствующие второму году, должна удовлетворять следующему соотношению.
0,0203e°’6928+Q2 + 0,2206e°’3464+Q2 + 0,5183eQ2 +
+ 0,2206e“°’3464+Q2 + 0,0203е~°’6928+“2 = 23.
Решением этого уравнения является значение аг = 3,099. Это значит, что возможные значения переменной S через два года равны 44,35, 31,37, 22,18, 15,69 и 11,10 соответственно.
Е J
Узел: А В С D Е F G Н I
Ри 0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0.1217 0,1667 0,2277 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0.1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 31.2. Триномиальное дерево для спот-цены на нефть. Здесь р„, рт и — вероятности роста, постоянства и падения цен при выходе из узла
Аналогичные вычисления можно выполнить для третьего года. Результирующее дерево для цены S приведено на рис. 31.2. В следующем разделе будет показано, как это дерево можно использовать для оценки реального опциона.
31.6 Оценка инвестиционных опционов
Многие инвестиционные проекты связаны с опционами. Эти опционы могут значительно увеличивать стоимость проекта и не должны игнорироваться. Перечислим некоторые из опционов, вложенных в инвестиционные проекты.
1. Опцион на отказ от проекта. Это — опцион на продажу или закрытие проекта. По существу, он представляет собой американский опцион на продажу стоимости проекта. Цена исполнения этого опциона равна стоимости ликвидации (или перепродажи) проекта за вычетом всех издержек, связанных с закрытием проекта. Если стоимость ликвидации низка, то цена исполнения может быть отрицательной. Опцион на отказ от проекта смягчает последствия неудачных инвестиций и повышает начальную стоимость проекта.
2. Опцион на расширение проекта. Это — опцион на внесение дальнейших инвестиций и увеличение объема производства при благоприятном развитии событий. Он представляет собой американский опцион на стоимость
дополнительных производственных мощностей. Цена исполнения опциона “колл” равна затратам на создание дополнительных производственных мощностей, пересчитанным на момент исполнения опциона. Цена исполнения этого опциона часто зависит от объема начальных инвестиций. Если менеджмент изначально решил строить производственные мощности, превышающие ожидаемый уровень производства, то цена исполнения может быть относительно малой.
3. Опцион на сокращение проекта. Это — опцион на уменьшение масштаба операций в рамках инвестиционного проекта. Он представляет собой американский опцион на стоимость потерянных производственных мощностей. Цена исполнения этого опциона равна текущей стоимости сэкономленных будущих затрат в момент исполнения опциона.
4. Опцион на отсрочку. Одним из наиболее важных опционов, доступных менеджеру, является опцион на отсрочку реализации проекта. Он представляет собой американский опцион на покупку стоимости проекта.
5. Опцион на продление проекта. Иногда менеджер может продлевать срок действия актива на фиксированную величину. Этот опцион является европейским опционом на покупку будущей стоимости актива.
Для иллюстрации процедуры оценки инвестиции с вложенным опционом, рассмотрим ситуацию, в которой компания решает, стоит ли инвестировать 15 млн долл, в добычу 6 млн баррелей из одного месторождения с производительностью 2 млн долл, в год в течение трех лет. Фиксированные затраты на работу оборудования составляют 6 млн долл, в год, а переменные издержки равны 17 долл, за баррель. Предположим, что безрисковая процентная стагка для всех сроков действия равна 10% годовых, спот-цена нефти равна 20 долл, за баррель, а однолетняя, двухлетняя и трехлетняя фьючерсные цены равны 22, 23 и 24 долл, за баррель соответственно. Предположим, что стохастический процесс, описывающий поведение цен на нефть, вычислен по формуле (31.4) при а = 0,1 и <т = 0.2. Это значит, что поведение цен на нефть в риск-нейтральном мире описывается деревом, изображенным на рис. 31.2.
Сначала предположим, что проект не имеет вложенных опционов. В риск-нейтральном мире ожидаемые цены на нефть через один, два и три года равны 22, 23 и 24 долл. С учетом издержек можно вычислить размеры выигрыша от проекта через один, два и три года, которые равны 4,0, 6,0 и 8,0 млн долл, соответственно. Следовательно, стоимость проекта равна
-15,0 + 4,0с~ 0,1x1 + 6,0е"°’1х2 + 8,0е°’1х3 = -0,54.
Этот анализ показывает, что данный проект следует отклонить, поскольку он уменьшает стоимость компании на 0,54 млн долл.
На рис. 31.3 показаны стоимости проекта в каждом узле дерева, построенного на рис. 31.2. Они вычислены на основе рис. 31.2. Рассмотрим, например, узел Н. Вероятность того, что нефть в конце третьего года будет стоить 22,85 долл, за баррель, равна 0,2217, так что прибыль через три года будет равна 2 х 22,85 - 2 х х 17 — 6 = 5,70. Аналогично вероятность того, что нефть в конце третьего года будет стоить 16,16 долл, за баррель, равна 0,6566, так что убыток через три года будет равен —7,68. И наконец, вероятность того, что нефть в конце третьего года будет стоить 11,43 долл, за баррель, равна 0,1217, так что убыток через три года будет равен —17,14. Следовательно, как показано на рис. 31.3, стоимость проекта в узле Н равна
[0,2217 х 5,70 + 0,6566 х (-7,68) + 0,1217 х (-17,14)]е~°’1х1 = -5,31.
Узел: А В С D Е F G Н I
Ри 0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0,1217 0,1667 0,2277 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 31.3. Оценка базового проекта, не имеющего вложенных опционов. Здесь ри, рт и ра — вероятности роста, постоянства и падения цен при выходе из узла
В качестве иного примера рассмотрим узел С. Вероятность достичь узел F, в котором цена нефти равна 31,37 долл, за баррель, равна 0,1667. Следовательно, денежный поток через два года равен 2 х 31,37 — 2 х 17 — 6 = 22,74. Таким образом, стоимость денежных потоков в узле F равна 21,42. Если мы попадем в узел F, то стоимость проекта достигнет 21,42 + 22,74 = 44,16. Аналогично, если мы попадем в узлы F или Н, то общая стоимость проекта достигнет величин 10,35
или -13,93 соответственно. Таким образом, стоимость проекта в узле С равна
[0,1667 х 44,16 + 0,6666 х 10,35 + 0,1667 х (-13,93)]е~0Лх1 = 10,80.
Как показано на рис. 31.3, стоимость проекта в начальном узле А равна 14,46. Следовательно, с учетом начальной инвестиции стоимость проекта становится равной -0,54. Это полностью согласуется с нашими предыдущими вычислениями.
Предположим теперь, что компания имеет опцион на отказ от проекта в любой момент времени. Допустим также, что при отказе от проекта никакие компенсации не предусмотрены и никакие выплаты больше не осуществляются. Отказ представляет собой американский опцион “пут” с нулевой ценой исполнения. Его стоимость представлена на рис. 31.4. Опцион “пут” не следует исполнять в узлах Е, F и G, поскольку стоимость проекта в этих узлах положительна. Однако опцион следует исполнить в узлах Н и I. Стоимость опциона “пут” в этих узлах равна 5,31 и 13,49 соответственно. Выполняя обратный обход дерева, легко видеть, что если опцион “пут” на отказ от проекта в узле D не исполняется, то его стоимость равна
[0,1217 х 13,49 + 0,6566 х 5,31 + 0,2217 х 0]е“°’1х1 = 4,64.
Стоимость исполнения опциона “пут” в узле D равна 9,65. Эта величина больше, чем 4,64, поэтому опцион “пут” в узле D следует исполнить. Стоимость опциона в узле С равна
[0,1667 х 0 + 0,6666 х 0 + 0,1667 х 5,31]е~°’1х1 = 0,80.
Стоимость опциона в узле А равна
[0,1667 х 0 + 0,6666 х 0,80 + 0,1667 х 9,65]е~°’1х1 = 1,94.
Следовательно, опцион на отказ от проекта стоит 1,94 млн долл. Он увеличивает стоимость проекта с —0,54 млн долл, до +1,40 млн долл.
Допустим теперь, что компания не обладает опционом на отказ от проекта, зато имеет право в любой момент увеличить масштаб проекта на 20%. Стоимость этого решения равна 2 млн долл. При этом объем добычи нефти увеличивается с 2 до 2,4 млн баррелей. Переменные издержки остаются равными 17 долл, на баррель, а фиксированные затраты увеличиваются на 20% с 6,0 до 7,2 млн долл. Таким образом, компания имеет американский опцион на покупку 20% базового проекта, представленного на рис. 31.3, за 2 млн долл. Стоимость этого опциона представлена на рис. 31.5. В узлах Е и F опцион следует исполнить. При этом выигрыши составят 0,2 х 42,24 — 2 = 6,45 млн долл, и 0,2 х 21,42 — 2 = 2,28 млн долл, соответственно. В узлах G, Н и I опцион исполнять не следует. В узле В исполнение опциона стоит больше, чем ожидание, а стоимость самого опциона
Е J
Узел: А В С D Е F G Н I
0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0.1217 0,1667 0,2277 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266
pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 31.4. Оценка опциона на отказ от проекта. Здесь ри, рт и — вероятности роста, постоянства и падения цен при выходе из узла
равна 0,2 х 38,32 — 2 = 5,66 млн долл. Если в узле С опцион не исполняется, его стоимость равна
[0,1667 х 2,28 + 0,6666 х 0,00 + 0,1667 х 0,00]е~°’1х1 = 0,34.
Если бы опцион был исполнен, его стоимость составила бы 0,2 х 10,80 — 2 = 0,16. Стоимость опциона в узле А равна
[0,1667 х 5,66 + 0,6666 х 0,34 + 0,1667 х 0,00]е-°’1х1 = 1,06.
Если бы опцион был исполнен, его стоимость была бы равной 0,2 х 14,46 - 2 = = 0,89. Таким образом, досрочное исполнение опциона в узле А нецелесообразно. В данном случае опцион увеличивает стоимость проекта с —0,54 до +0,52 млн долл. И снова, как мы видим, опцион делает изначально убыточный проект прибыльным.
Вычисление стоимости опциона на расширение проекта, представленного на рис. 31.5, является относительно простым, поскольку, если опцион исполнен, все последующие денежные потоки увеличиваются на 20%. Если же фиксированные издержки остаются неизменными или увеличиваются меньше, чем на 20%, для вычисления стоимости опциона необходима дополнительная информация. В частности, на рис. 31.3 следует записывать следующие показатели.
Е J
Узел: А В С D Е F G Н I
Ри 0,1667 0,1217 0,1667 0,2217 0,8867 0,1217 0,1667 0,2277 0,0867
Рт 0,6666 0,6566 0,6666 0,6566 0,0266 0,6566 0.6666 0,6566 0,0266
Pd 0,1667 0,2217 0,1667 0,1217 0,0867 0,2217 0,1667 0,1217 0,8867
Рис. 31.5. Оценка опциона на расширение проекта. Здесь ри, рт и p,i — вероятности роста, постоянства и падения цен при выходе из узла
1. Текущую стоимость последующих фиксированных издержек.
2. Текущую стоимость последующих сальдо прибыли фиксированных издержек (revenues net of variable costs).
Имея эту информацию, можно вычислить стоимость опциона.
Опционы, вложенные в проект, как правило, зависят друг от друга. Стоимость владения опционами А и В обычно не равна сумме стоимостей каждого из опционов по отдельности. Для иллюстрации предположим, что рассмотренная выше компания обладает опционами на прекращение и расширение. Если проект прекращен, его невозможно расширить. Более того, стоимость опциона “пут” на прекращение проекта зависит от того, был ли проект ранее расширен.2
Взаимосвязь между опционами в нашем примере можно учесть, фиксируя одно из четырех состояний в каждом узле.
1. Проект еще не прекращен и не расширен.
2. Проект еще не прекращен, но уже расширен.
3. Проект прекращен, но не был расширен.
2На рис. 31.4 и 31.5 взаимосвязь опционов друг с другом не проявляется. Однако если построить большее дерево, используя более мелкие шаги по времени, взаимосвязь между опционами может создать проблемы.
4. Проект прекращен и был расширен.
Затем, выполняя обратный обход дерева, можно вычислить комбинированную стоимость опционов в каждом узле для каждого из четырех состояний. Этот подход к оценке опционов, стоимость которых зависит от предыстории, более подробно рассматривался в разделе 24.4.
Если проект зависит от нескольких стохастических переменных, то стоимость базового проекта обычно вычисляется с помощью метода Монте-Карло. Оценка опционов, вложенных в проект, в этой ситуации усложняется, поскольку метод Монте-Карло работает от начала до конца проекта. Когда мы достигаем определенной точки, не имеем информации о текущей стоимости будущих денежных потоков в рамках проекта. В этом случае можно использовать метод, описанный в разделе 24.7 и предназначенный для оценки американских опционов с помощью метода Монте-Карло.
Для иллюстрации посмотрим, как Шварц и Мун (2000) аргументировали возможность модификации анализа прибыльности компании Amazon.com, описанного во врезке “Пример из деловой практики 31.1”, для учета опциона на отказ от проекта (т.е. опцион на объявление банкротства), если стоимость будущих денежных потоков станет отрицательной.3 На каждом шаге по времени предполагалось, что между стоимостью опциона на отказ от проекта и переменными, такими как текущий доход, скорость роста дохода, волатильность, размер кассовой наличности и величина переходящего остатка (loss carry forwards), существует полиномиальная зависимость. На каждом этапе моделирования эта зависимость уточнялась на основе наблюдений. По существу, эта процедура совпадает с методом Лонгстаффа и Шварца, изложенным в разделе 24.7.4
Резюме
В главе рассмотрены вопросы, связанные с применением идей, изложенных в предыдущих разделах книги, к оценке реальных активов и опционов на реальные активы. Показано, как на основе риск-нейтральных принципов оценить реальный актив, зависящий от большого количества переменных, подчиняющихся диффузионным процессам. Скорость дрейфа каждой переменной корректируется с учетом рыночной стоимости риска. Стоимость актива представляет собой текущую стоимость ожидаемых денежных потоков, дисконтированных по безрисковой ставке.
3 Анализ, проведенный в разделе 31.4, был основан на предположении, что банкротство происходит в момент, когда кассовый остаток становится меньше нуля. Однако для компании Amazon.com это правило не всегда является оптимальным.
4См. Longstaff Е A. and Schwartz Е. S. Valuing American Options by Simulation: A Simple Least-Squares Approach. — Review of Financial Studies, 14, 1 (Spring 2001). — P. 113-147.
Риск-нейтральная оценка капиталовложений представляет собой внутренне непротиворечивый метод. Этот метод позволяет оценить стоимость опционов, вложенных в инвестиционные проекты. Он проиллюстрирован примерами, связанными с оценками компании Amazon.com в конце 1999 года и нефтяного проекта соответственно.
Дополнительная литература
Amran М. and Kulatilaka N. Real Options. — Harvard Business School Press, Boston, MA, 1999.
Copeland T, Koller T. and Murrin J. Valuation: Measuring and Managing the Value of Companies — Wiley, New York, 2000.
Copeland T. and Antikarov V.Real Options: A Practitioners Guide. — Texere, New York, 2001.
Schwarz E. S. and Moon M. Rational Pricing of Interest Companies // Financial Analysts Journal, May/June 2000. — P. 62-75.
Trigeorgis L. Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. — MIT Press, Cambridge, MA, 1996.
Вопросы и задачи
31.1. Объясните разницу между подходом, связанным с концепцией чистой текущей стоимости, и риск-нейтральным подходом к оценке новых капиталовложений. Какие преимущества риск-нейтральный подход имеет над концепцией чистой текущей стоимости?
31.2. Рыночная цена риска, связанного с ценами на уголь, равна 0,5, волатильность цен на уголь равна 20% в год, цена спот равна 80 центов за фунт, а шестимесячная фьючерсная цена равна 75 центов за фунт. Чему равна скорость относительного роста цен на уголь в течение шести месяцев?
31.3. Рассмотрим товар с постоянной волатильностью <т, ожидаемая скорость роста цен которого является функцией, зависящей только от времени. Покажите, что в традиционном риск-нейтральном мире справедлива оценка
In ST ~ Ф (in F (t) - у Т, <г\/Т^ ,
где St — стоимость товара в момент Т, a F(t) — фьючерсная цена товара в нулевой момент времени по контракту, срок действия которого истекает в момент t.
31.4. Выведите соотношение между удобной доходностью товара и его рыночной ценой риска.
31.5. Корреляция между валовым доходом компании и рыночным индексом равна 0,2. Величина, на которую доходность рынка превышает безрисковую процентную ставку, равна 6%, а волатильность рыночного индекса равна 18%. Чему равна рыночная цена риска, связанного с валовым доходом компании?
31.6. Компания может купить опцион на поставку одного миллиона баррелей нефти в течение трех лет по цене 25 долл, за баррель. Трехлетняя фьючерсная цена нефти равна 24 долл, за баррель. Безрисковая процентная ставка равна 5% годовых при непрерывном начислении, а волатильность фьючерсных цен равна 20% в год. Сколько стоит этот опцион?
31.7. Водитель, заключающий договор об аренде автомобиля, приобретает право купить этот автомобиль через четыре года по цене 10000 долл. Текущая стоимость автомобиля равна 30 000 долл. Стоимость автомобиля S подчиняется стохастическому процессу
dS = [iS dt + aS dz,
где // = -0,25, <т — 0,15, a dz — винеровский процесс. Рыночная цена риска, связанного с ценой автомобиля, равна -0,1. Чему равна стоимость опциона? Будем считать, что безрисковая процентная ставка по всем срокам погашения равна 6%.
Упражнения
31.8. Предположим, что цена спот, а также 6- и 12-месячные фьючерсные цены на пшеницу равны 250, 260 и 270 центов за бушель соответственно. Предположим, что цена пшеницы описывается стохастическим процессом, заданным формулой (31.4) при а = 0,05 и <г = 0,15. Постройте двухуровневое дерево для цены на пшеницу в риск-нейтральном мире.
Предположим, что фермер пытается оценить проект, связанный с вложением 10 000 долл, сразу и 90 000 долл, в течение следующих шести месяцев. Это проект увеличит количество собранной и проданной пшеницы до 40 000 бушелей в год. Чему равна стоимость этого проекта? Предположим, что фермер может отказаться от проекта в течение шести месяцев и не платить 90 000 долл. Чему равна стоимость опциона на отказ от проекта? Будем считать, что безрисковая процентная ставка равна 5% при непрерывном начислении.
31.9. Вернемся к примеру, связанному с нефтяной компаний, рассмотренному в разделе 31.6.
1) Сколько стоит опцион на отказ от проекта, если стоимость проекта равна трем миллионам долларов, а не нулю?
2) Сколько стоит опцион на расширение проекта, если стоимость проекта равна пять миллионов долларов, а не три?
Провалы и уроки
За время, прошедшее с середины 1980-х годов, рынок деривативов испытал несколько крупных провалов. Некоторые просчеты финансовых и нефинансовых учреждений продемонстрированы во врезках “Пример из деловой практики 32.1” и “Пример из деловой практики 32.2”. Обращает на себя внимание количество ситуаций, в которых крупные потери были нанесены действиями отдельных сотрудников. Так, в 1995 году Ник Лисон (Nick Leeson) поставил на колени британский банк Barings, имевший 200-летнюю историю, а в 1994 году действия Роберта Цитрона (Robert Citron) нанесли муниципалитету города Оранж Каунти (шт. Калифорния) двухмиллиардный ущерб. Сделки, заключенные Джозефом Джеттом (Josef Jett), оказались убыточными, и его компания Kidder Peabody потеряла 350 млн долл. В 2002 году из-за Джона Руснака (John Rusnak) потери банка Allied Irish Bank составили 700 млн долл. Крупные убытки компаний Daiwa, Shell и Sumimoto также объясняются действиями их отдельных сотрудников.
Эти потери нельзя ставить в вину всему гигантскому многотриллионному рынку деривативов. Ведь в большинстве случаев он функционирует вполне успешно и целиком удовлетворяет нужды пользователей. Указанные события составляют ничтожную часть общего объема сделок (как по количеству, так и по суммам). Несмотря на это необходимо внимательно рассмотреть перечисленные события и извлечь из них полезные уроки. Именно этой теме посвящена последняя глава книги.
32.1 Уроки для пользователей деривативов
Сначала рассмотрим уроки, которые должны учесть все пользователи деривативов — как финансовые, так и нефинансовые учреждения.
Пример из деловой практики 32.1. Крупные потери финансовых учреждений
Allied Irish Bank. Этот банк потерял около 700 млн долл, в результате многолетних спекулятивных действий одного из его трейдеров, Джона Руснака, работавшего на валютной бирже.
Barings. Британский банк с 200-летней историей был уничтожен в 1995 году действиями одного из его трейдеров, Ника Лисона, работавшего в Сингапуре. Этот трейдер имел право вести арбитражные игры на разнице между значениями индекса Nikkei 225 на биржах Сингапура и Осаки. Вместо этого он сделал крупные ставки на будущие изменения индекса Nikkei 225, используя фьючерсы и опционы. Общие потери составили около одного миллиарда долларов.
Daiwa Bank. В 1990-х годах убытки трейдера, работавшего на этот японский банк в Нью-Йорке, превысили один миллиард долларов.
Kidder Pibody. Деятельность одного из трейдеров, Джозефа Джетта, привела к тому, что этот инвестиционный дилер, действующий в Нью-Йорке, потерял на торговле казначейскими ценными бумагами и их купонами 350 млн долл. (Торговля купонами основана на продаже денежных потоков по каждой из облигаций в виде отдельных ценных бумаг.)
Long-Term Capital Management. Этот хеджинговый фонд потерял в 1998 году четыре миллиарда долларов. Фонд осуществлял арбитраж конвергенции. В рамках этой стратегии фонд пытался найти две практически идентичные ценные бумаги, цены которых временно не совпадали. Компания стремилась купить более дешевую ценную бумагу и продать без покрытия более дорогую, хеджируя любые остаточные риски (residual risks). В середине 1998 года компания сильно пострадала от дефолта по российским облигациям. Поскольку фонд был слишком крупным, его банкротство было признано нецелесообразным. Для спасения фонда Нью-йоркское отделение Федерального резервного банка выдало 14 банкам 3,5 млрд долл, для инвестирования фонда.
Midland Bank. Этот британский банк в начале 1990-х годов потерял 500 млн долл, из-за неправильной ставки на будущие изменения процентных ставок. Позднее этот банк был куплен Гонконгско-Шанхайским банком (Hong Kong and Shanghai Bank).
National Westminster Bank. В 1997 году этот британский банк потерял около 130 млн долл, из-за использования неправильной модели для оценки свопционов.
Пример из деловой практики 32.2. Крупные потери нефинансовых учреждений
Allied Lions. В 1991 году финансовый отдел этой компании, производящей налитки и продовольственные товары, потерял 150 млн долл., продав опционы “колл” на обменный курс доллар-фунт стерлингов.
Gibson Greetings. В 1994 году финансовый отдел этой компании, производящей поздравительные открытки в г. Цинциннати, потерял около 20 млн долл., занимаясь торговлей весьма экзотическими процентными деривативными контрактами с банком Bankers Trust. Позднее эта компания возбудила против банка иск и урегулировала спор без судебного вмешательства.
Hammersmith and Fulham. В 1988 году эта британская локальная компания потеряла около 600 млн долл, на опционах и свопах процентных ставок, деноминированных в фунтах стерлингов. Впоследствии, к досаде контрпартнеров, британские суды объявили все ее контракты недействительными.
Metallgesellschaft. Эта немецкая компания заключила долговременные контракты на поставку нефти и бензина, хеджировав их путем пролонгации краткосрочных фьючерсных контрактов. В результате она потеряла 1,8 млрд долл, и была вынуждена свернуть свою деятельность.
Orange County. В 1994 году деятельность Роберта Цитрона, финансового менеджера этого калифорнийского муниципалитета, привела к потере двух миллиардов долларов. Менеджер использовал деривативы, рассчитывая на то, что процентные ставки не поднимутся.
Procter and Gamble. В 1994 году финансовый отдел этой крупной американской компании потерял около 90 млн долл., торгуя весьма экзотическими процентными деривативными контрактами с банком Bankers Trust. Позднее эта компания возбудила против банка иск и урегулировала спор без судебного вмешательства.
Shell. Один из сотрудников этой компании, работавший в ее японском отделении, потерял около одного миллиарда долларов, занимаясь несанкционированной торговлей валютными фьючерсами.
Sumimoto. В 1990-х годах один из трейдеров, работавших на этот японский банк, потерял на наличном, фьючерсном и опционном рынках меди около двух миллиардов долларов.
Установите пределы допустимого риска
Необходимо, чтобы все компании точно и однозначно определили пределы допустимых финансовых рисков, с которыми они согласны. Они должны также выработать процедуры, обеспечивающие строгое отслеживание этих пределов. В идеале, эти пределы должны устанавливаться коллегиально, а затем доводиться до сведения отдельных сотрудников. Кроме того, компании должны ежедневно регистрировать размеры прибылей и потерь вследствие колебаний рыночных показателей. Это позволило бы им предотвратить реальные потери и гарантировать, что оценки текущей ситуации являются обоснованными.
Особенно важно, чтобы компании тщательно отслеживали риски, связанные с использованием деривативов. Это объясняется тем, что, как показано в главе 1, деривативы можно использовать для хеджирования, спекуляции и арбитража. Без постоянного мониторинга невозможно определить, не превратился ли трейдер из хеджера или арбитражера в спекулянта. Классический пример неправильных действий продемонстрировал банк Barings. Ник Лисон имел полномочия осуществлять арбитраж на основе разницы между значениями индекса Nikkei 225, регистрировавшимися на биржах Сингапура и Осаки. Этот арбитраж был связан с небольшим риском. Однако без ведома своих руководителей в Лондоне Лисон вместо проведения арбитражных операций сделал крупные ставки на будущие изменения индекса Nikkei 225. Системы контроля в банке Barings были настолько неадекватны, что вовремя об этом никто не узнал.
Из этого не следует, что нужно избегать любого риска. Финансовый менеджер, работающий в корпорации, или трейдер финансового учреждения либо управляющий инвестиционного фонда должны иметь возможность делать ставки на будущие изменения рыночных показателей. Следует просто ограничивать размер этих ставок и тщательно отслеживать риски.
К пределам допустимого риска следует относиться серьезно
Что произойдет, если сотрудник превысит установленные пределы допустимого риска и, благодаря этому, компания получит прибыль? Это трудный вопрос для верхнего эшелона управления компаний. В таких ситуациях у руководства возникает соблазн закрыть глаза на нарушение. Однако это — близорукая политика, которая вырабатывает у сотрудников несерьезное отношение к риску и ведет к катастрофе. Во многих ситуациях, упомянутых во врезках “Пример из деловой практики 32.1” и “Пример из деловой практики 32.2”, компании благодушно относились к риску, которому они подвергались, поскольку в предыдущие годы он тоже существовал, а компаниям удавалось извлечь из этого прибыль.
Классическим примером такого подхода является катастрофа муниципалитета в г. Оранж Каунти (Orange County). Деятельность Роберта Цитрона, развернутая им в 1991-93 годах, была очень выгодной для муниципалитета. Из-за этого муниципалитет целиком полагался на Цитрона, стремясь получить дополнительные средства. Пока это приносило прибыль, руководство муниципалитета не обращало внимания на риск. Однако убытки, которые муниципалитет понес в 1994 году, намного превысили всю прибыль, полученную за предыдущие годы.
Штрафные санкции за нарушение установленных пределов допустимого риска должны быть одинаково большими как при убытках, так и при получении прибыли. В противном случае трейдеры, понесшие потери, будут стремиться по
высить ставки в надежде отыграться, чтобы в конце концов получить прибыль, компенсирующую предыдущие убытки.
Не пытайтесь перехитрить рынок
Некоторые трейдеры более талантливы, чем другие. Однако не существует трейдеров, не совершающих ошибок. Хорошим считается трейдер, который в 60% случаев правильно предсказывает тенденцию изменения рыночных показателей. Если же трейдеру удается поставить рекорд по угадыванию тенденции (как это удалось Роберту Цитрону в начале 1990-х годов), то это все же следует считать результатом удачного стечения обстоятельств, а не выдающихся способностей.
Предположим, что некое финансовое учреждение нанимает на работу 16 трейдеров, и одному из них каждый квартал в течение года удается получать прибыль. Следует ли выдать премию этому трейдеру? Не следует ли повысить предел допустимого риска для этого трейдера? Ответ на первый вопрос — да, трейдеру обязательно следует выплатить премию. Ответ на второй вопрос — нет, и еще раз нет. Вероятность получить прибыль на протяжении четырех кварталов подряд равна 0,54, т.е. шансы равны 1 к 16. Это значит, что теоретически один из 16 трейдеров обязательно сделает правильный прогноз на конкретный квартал. Однако не следует считать, что удача будет сопутствовать этому трейдеру постоянно, а значит, повышать предел допустимого риска нельзя.
Не следует недооценивать выгоды диверсификации
Если трейдеру удается правильно предсказать поведение конкретного рыночного показателя, возникает соблазн повысить предел допустимого риска. Выше мы уже объяснили, что это — плохая идея и что трейдер, скорее всего, не столько умен, сколько удачлив. Однако предположим все же, что трейдер действительно обладает особым талантом предугадывать события. Возможно, следует уменьшить степень диверсификации активов и воспользоваться арбитражными возможностями, которые открываются благодаря выдающимся способностям нашего трейдера? Нет! Выгоды от диверсификации огромны, и вряд ли на свете существует трейдер, заслуживающий такого доверия и способный оправдать риск с помощью спекуляций на одном-единственном рыночном показателе.
Проиллюстрируем сказанное следующим примером. Предположим, существует 20 акций разных компаний, у которых ожидаемая доходность составляет 10% годовых, а стандартное отклонение равно 30%. Коэффициент корреляции между уровнями доходности любых двух акций из этого набора равен 0,2. Равномерно вкладывая свои средства в акции каждой компании, инвестор ожидает, что доходность составит 10% годовых, а ее стандартное отклонение окажется равным 14,7%. Таким образом, диверсификация позволяет инвестору уменьшить риски в два раза. Иначе говоря, инвестор может удвоить ожидаемую доходность на еди
ницу риска, которому он подвергается. Инвестор должен быть очень везучим, чтобы добиться такого же результата, инвестируя все средства в акции только одной компании.
Анализируйте сценарии и проводите испытания
Анализ сценариев и проведение испытаний, как правило, сопровождаются вычислением показателей риска, например, коэффициента VaR. Это позволяет выяснить причины ошибок. Методы проведения такого анализа описаны в главе 18. Это очень важно. К сожалению, люди имеют вредную привычку сосредоточиваться только на одном или двух сценариях развития событий. Например, в 1993 и 1994 годах компании Procter and Gamble и Gibson Greetings были настолько убеждены, что процентные ставки останутся низкими, что в своих сценариях проигнорировали вероятность их повышения на 100 базисных пунктов.
При разработке сценариев необходимо проявлять творческие способности. Например, можно рассмотреть данные, собранные на протяжении 10 или 20 лет, и выбрать в качестве рабочего сценария наиболее экстремальные события. Иногда аналитики испытывают дефицит данных о ключевом рыночном показателе. В таких ситуациях следует выбрать аналогичный показатель, позволяющий проанализировать намного больше информации о его ежедневных относительных изменениях. Например, если у аналитика недостаточно информации о колебаниях цен облигаций, выпущенных правительством конкретной страны, он может проанализировать данные о ценах облигаций, выпущенных правительствами похожих стран, и построить примерный сценарий развития событий.
32.2 Уроки для финансовых учреждений
Рассмотрим теперь уроки, которые должны извлечь финансовые учреждения.
Постоянно контролируйте трейдеров
В торговых домах высокоэффективных трейдеров часто считают “неприкасаемыми” и не контролируют их деятельность так же тщательно, как работу других трейдеров. Очевидно, Джозеф Джетт был звездой компании Kidder Peabody и ему было недосуг отвечать на вопросы и согласовывать свои действия с менеджерами, управляющими рисками.
Очень важно, чтобы все трейдеры — и особенно трейдеры, обеспечивающие высокую прибыль, — находились под полным контролем. Финансовые учреждения должны понимать, благодаря чему появились высокие прибыли и не было ли это связано с неприемлемо высоким риском. Кроме того, важно, чтобы финансовое
учреждение использовало корректную модель для оценки активов, а компьютерная система не допускала несанкционированного манипулирования.
Следует разделить дилерское подразделение, среднее звено и вспомогательный офис
Дилерское подразделение (front office) финансового учреждения состоит из трейдеров, заключающих сделки, занимающие рыночные позиции и т.д. Среднее звено управления (middle office) состоит из менеджеров, отслеживающих риски. Вспомогательный офис (back office) занимается регистрацией данных и ведением бухгалтерских записей. Некоторые из наиболее крупных провалов на рынке деривативов произошли из-за того, что эти функции в компаниях не были разделены. Например, Ник Лисон контролировал как дилеров, так и вспомогательный офис в Сингапуре и благодаря этому мог определенное время скрывать от своих руководителей в Лондоне опасный характер заключаемых им сделок. Несмотря на то что нам неизвестны все детали дела, связанного с банком Sumamoto, можно утверждать, что одной из причин катастрофы стала возможность одновременно контролировать как дилерское подразделение, так и вспомогательный офис.
Не следует слепо доверять математическим моделям
Некоторые из финансовых катастроф возникли из-за слепого доверия трейдеров математическим моделям и компьютерным системам. Возможно, одной из наиболее известных неудач, связанных с использованием компьютерных систем, стал провал компании Kidder Peabody, описанный в главе 5. Другой пример использования неправильных компьютерных моделей с тяжелыми последствиями продемонстрировал банк National Westmister Bank, применивший некорректную модель для оценки свопционов.
Если относительно простые стратегии торговли позволяют получать большие прибыли, то существуют высокие шансы, что модель, лежащая в основе расчетов, некорректна. Аналогично, если определенная часть сделок, совершенных финансовой организацией, оказалась особенно успешной, то существует большая вероятность, что другие участники рынка используют иные модели, и в этом следует тщательно разобраться. Руководство торгового дома должны одинаково беспокоить как чрезмерная активность, так и чрезмерная пассивность при совершении сделок определенного типа.
Придерживайтесь консервативных оценок первоначальной прибыли
Когда финансовое учреждение продает нефинансовой корпорации весьма экзотические ценные бумаги, их оценка сильно зависит от используемой математической модели. Например, финансовые инструменты с встроенными долгосрочными процентными опционами могут существенно зависеть от используемой модели, описывающей поведение процентных ставок. В этих ситуациях ежедневная переоценка сделки называется поправкой на модель (marking to model). Это объясняется тем, что на рынке не существует аналогичных сделок, которые можно было бы использовать в качестве эталона.
Допустим, что финансовое учреждение собирается продать своему клиенту финансовый инструмент на 10 млн долл, дороже его истинной стоимости или, по крайней мере, на 10 млн долл, дороже, чем его математическая оценка. В таком случае 10 млн долл, называются первоначальной прибылью (inception profit). Когда следует фиксировать наличие этой прибыли? Банки расходятся во мнениях на этот счет. Некоторые из них считают, что первоначальная прибыль возникает немедленно, а другие более консервативны и полагают, что эта прибыль образуется в течение всего срока действия сделки.
Немедленная фиксация первоначальной прибыли весьма опасна. Это поощряет трейдеров использовать агрессивные модели, получать премии и лишь затем подвергать их тщательной проверке. Намного безопаснее растягивать регистрацию первоначальной прибыли на весь срок действия сделки, чтобы вынуждать трейдеров, прежде чем заключать сделку, исследовать разные модели и анализировать разные предположения.
Не продавайте клиентам некачественные финансовые инструменты
Весьма соблазнительно продавать корпоративным клиентам некачественные финансовые инструменты, особенно если они любят рисковать. Однако это очень недальновидно. Наиболее драматичным примером такого развития событий является деятельность банка Bank Trust (ВТ) до весны 1994 года. Этот банк убедил многих из своих клиентов купить очень рискованные и совершенно негодные ценные бумаги. Типичный финансовый инструмент (например, своп 5/30, рассмотренный в главе 30) давал клиенту хорошие шансы сохранить несколько базисных пунктов по кредитной ставке и небольшие шансы выплатить большую сумму денег. В 1992 и 1993 годах эти механизмы работали хорошо, однако в 1994 году резкий рост процентных ставок взорвал ситуацию. Огласка нанесла банку ВТ большой ущерб. Этот банк годами завоевывал доверие своих корпоративных клиентов, заслужил прекрасную репутацию новатора в области деривативов, и вдруг
из-за действий нескольких, слишком агрессивных трейдеров он все потерял. Стремясь сохранить лицо и предотвратить судебные разбирательства, банк ВТ был вынужден вернуть крупные суммы денег своим клиентам. В 1999 году он был поглощен банком Deutsche Bank.
Не игнорируйте риск ликвидности
В качестве основы для оценки экзотических и редких ценных бумаг финансовые аналитики обычно используют цены активно продаваемых инструментов. Перечислим несколько примеров.
1. Финансовые аналитики часто вычисляют нулевую кривую для активно продаваемых правительственных облигаций (известных под названием ликвидные облигации (on-the-run bonds)), а затем используют ее для оценки редко продаваемых облигаций (так называемых неликвидных облигации (off-the-run bonds)).
2. Финансовые аналитики часто определяют волатильность актива по активно продаваемым опционам, используя их затем для оценки опционов, которые продаются реже.
3. Финансовые аналитики часто определяют параметры стохастического процесса, описывающего поведение процентных ставок на основе активно продаваемых процентных опционов “кэп” и свопционов, используя их в дальнейшем для оценки финансовых инструментов, имеющих сложную структуру.
Эта практика неразумна. Однако было бы опасно предполагать, что финансовые инструменты, являющиеся предметом менее активной купли-продажи, всегда продаются и покупаются по цене, близкой к теоретической. Когда финансовые рынки подвергаются шоковому воздействию, у инвесторов возникает стремление к переводу средств в первоклассные активы (“flight to quality”). Главным фактором, по мнению инвесторов, становится ликвидность, а неликвидные инструменты часто продаются с большой скидкой по отношению к теоретической цене. Стратегии торговли, основанные на предположении, что большое количество неликвидных ценных бумаг за короткий срок можно продать по цене, близкой к теоретической, являются опасными.
Пример кризиса ликвидности продемонстрировал фонд Long-Term Capital Management (LTCM). Этот хеджинговый фонд следовал стратегии, известной под названием арбитраж конвергенции (convergence arbitrage). Он пытался найти две ценные бумаги (или портфель ценных бумаг), которые теоретически можно было бы продать по одной и той же цене. Если рыночная цена одной из ценных бумаг была меньше другой, то фонд пытался купить более дешевую ценную бумаги, а продать — более дорогую. В основе этой стратегии лежит предположение, что
если две ценные бумаги имеют одинаковые теоретические цены, то их рыночные цены в конце концов совпадут.
Летом 1998 года фонд LTCM понес крупные потери. Основной причиной стремления к переводу средств в первоклассные активы, возникшего у инвесторов, стал дефолт, объявленный Россией. Фонд LTCM не понес прямых потерь от дефолта по российским правительственным облигациям, но он, как правило, занимал длинную позицию по неликвидным инструментам, и короткую позицию по ликвидным инструментам (например, он занимал длинную позицию по ликвидным облигациям и короткую позицию по неликвидным). После дефолта, объявленного Россией, спрэды между ценами неликвидных и соответствующих ликвидных инструментов резко увеличились. Кредитные спрэды также увеличились. Фонд LTCM имел высокий левередж. Он понес огромные потери и получил требование внести залог, которое не смог удовлетворить.
История фонда LTCM свидетельствует о важности анализа разных сценариев развития событий и проведения испытаний, позволяющих предсказать, что произойдет в худшем случае. Фонд LTCM мог бы проанализировать ситуации, возникавшие в прошлом, когда у инвесторов возникало чрезвычайно сильное стремление перевести средства в первоклассные активы, и оценить соответствующие риски.
Берегитесь, если кто-то еще придерживается такой же стратегии торговли
Иногда несколько участников рынка придерживаются одной и той же стратегии торговли. Это создает опасную ситуацию, в которой рыночные показатели могут испытывать сильные колебания, рынки могут дестабилизироваться, а участники рынков могут понести крупные потери.
Пример такой ситуации описан в главе 15 при обсуждении страхования портфелей и рыночного краха в октябре 1987 года. В течение месяцев, предшествовавших краху, все возрастающее количество управляющих инвестиционными портфелями пытались застраховать свой портфель, создавая синтетические опционы “пут”. В момент подъема рынка они покупали фьючерсы на поставку акций или фондовых индексов, а в момент падения — продавали. Это привело рынок в неустойчивое состояние. Относительно небольшое падение цен акций могло породить волну продаж и другие последствия. Нет почти никаких сомнений, что без страхования портфелей последствия краха в октябре 1987 года были бы намного слабее.
Другим примером является ситуация вокруг фонда LTCM, сложившаяся в 1998 году. Его позиция сильно осложнилась из-за того, что многие другие хеджинговые фонды придерживались аналогичной стратегии арбитража конвергенции. После дефолта, объявленного Россией, и стремления вложить средства
в первоклассные активы, возникшего у инвесторов, фонд LTCM попробовал сбыть часть своего портфеля ценных бумаг, чтобы удовлетворить запросы на наличные деньги. К сожалению, другие хеджинговые фонды столкнулись с аналогичными трудностями и пытались сделать то же самое. Это обострило ситуацию, вызвало появление завышенных спрэдов ликвидности, еще больше усилило стремление инвесторов вложить средства в первоклассные активы. Рассмотрим, например, позицию фонда LCTM по американским казначейским облигациям. Фонд занимал длинную позицию по неликвидным облигациям и короткую позицию по ликвидным. Когда стремление инвесторов вложить средства в первоклассные активы вызвало появление спрэдов между уровнями доходности двух типов облигаций, фонд LTCM должен был закрыть свои позиции, продав неликвидные облигации и купив ликвидные. Другие фонды должны были сделать то же самое. В результате цены ликвидных облигаций выросли по сравнению с ценами неликвидных облигаций и спрэды между двумя уровнями доходности стали еще больше.
Рассмотрим еще один пример, связанный с действиями британских страховых компаний в конце 1990-х годов. Они заключили большое количество контрактов, обещая, что процентная ставка аннуитета, получаемого отдельными людьми, будет больше, чем рыночная процентная ставка и гарантированная ставка. Примерно в то же время все страховые компании решили хеджировать часть своих рисков, связанных с этими контрактами, купив у других финансовых учреждений долгосрочные свопы. Эти финансовые учреждения хеджировали риски страховых компаний, покупая долгосрочные облигации, деноминированные в фунтах стерлингов. В результате цены облигаций выросли, а долгосрочные процентные ставки, деноминированные в фунтах стерлингов, упали. Для обеспечения динамичного хеджинга финансовые учреждения стали покупать еще больше облигаций, а это, в свою очередь, привело к очередному снижению долгосрочных процентных ставок, деноминированных в фунтах стерлингов, и т.д. Финансовые учреждения понесли убытки, и, поскольку долгосрочные ставки, деноминированные в фунтах стерлингов, упали, позиции страховых компаний ухудшились, а хеджирование рисков оказалось неэффективным.
Основной урок, который мы должны усвоить из этих историй, заключается в том, что аналитики должны видеть всю панораму событий, происходящих на финансовых рынках, и понимать риски, присущие ситуациям, в которых многие участники рынка придерживаются одной и той же стратегии торговли.
32.3 Уроки для нефинансовых корпораций
Рассмотрим уроки, которые должны извлечь нефинансовые корпорации.
Убедитесь, что правильно понимаете смысл сделки
Корпорации никогда не должны заключать сделки и придерживаться торговых стратегий, смысл которых не понимают до конца. Как это ни удивительно, но трейдеры, работающие на нефинансовые корпорации, часто не в состоянии объяснить, что происходит и почему возникли крупные убытки. Вместо этого они утверждают, что были введены инвестиционными банками в заблуждение. Например, Роберт Цитрон, финансовый менеджер муниципалитета г. Оранж-Ка-унти, поступил именно так. В качестве другого поучительного примера следует упомянуть трейдеров, работавших на корпорацию Hammersmith and Fulham, которые, несмотря на огромные размеры заключенных сделок, не знали механизма работы свопов и других процентных деривативов.
Если старший менеджер корпорации не понимает смысла сделки, предложенной его подчиненными, то он не должен ее одобрять. Запомните простое правило: если сама сделка и ее обоснование настолько сложны, что менеджер не в состоянии их понять, то, скорее всего, она неприемлема для корпорации. Сделки, заключенные компаниями Procter and Gamble и Gibson Greetings, не соответствовали этим критериям и должны были быть отвергнуты.
Для того чтобы убедиться, что вы понимаете смысл сделки, попробуйте ее оценить. Если корпорация не может правильно самостоятельно оценить финансовый инструмент, то его не следует приобретать. На практике при оценке сделки корпорации часто полагаются на советы инвестиционных банков. Опасность такой стратегии компании Procter and Gamble и Gibson Greetings обнаружили, только когда попытались закрыть свои позиции. Как оказалось, цены, вычисленные по моделям банка Bankers Trust, не соответствовали действительности.
Убедитесь, что хеджер не превратился в спекулянта
К сожалению, хеджирование является относительно скучным занятием, а спекуляции возбуждают азарт. Когда компания нанимает трейдера для управления рисками, связанными с колебаниями валютного курса или процентных ставок, возникает следующая опасность. Трейдер старательно выполняет свою работу и завоевывает доверие высшего руководства. Затем он оценивает риски, которым подвергается компания, и хеджирует их. Со временем трейдер убеждается, что он способен успешно предугадывать поведение рынка и постепенно превращается в спекулянта. Вначале все идет хорошо, но затем трейдер начинает нести потери. Чтобы компенсировать их, трейдер удваивает свои ставки. Проигрыш увеличивается, ставки растут, и возникает замкнутый круг. В результате происходит катастрофа.
Как указывалось ранее, верхний эшелон руководства должен установить точные пределы допустимого риска и строго их контролировать. Сначала корпорация должна провести анализ рисков, связанных с колебаниями валютных курсов, про
центных ставок, товарных рынков и т.п. После этого следует принять решение, направленное на снижение рисков до приемлемого уровня. Если торговая стратегия корпорации никак не учитывает риски, следует ждать убытков.
Будьте осторожны, превращая финансовый отдел в прибыльное подразделение
В течение последних 20 лет возникла тенденция превращать финансовые отделы корпораций в структурные подразделения, результаты деятельности которых измеряются полученной прибылью (profit centers). Руководителей финансовых отделов побуждали сокращать затраты и управлять рисками, чтобы получить как можно более высокую прибыль. Проблема заключается в том, что у руководителя финансового отдела существуют ограниченные возможности для получения прибыли. Увеличивая резервы и инвестируя избыточную наличность, руководитель финансового отдела сталкивается с эффективным рынком. Как правило, чтобы поднять уровень прибыли, он вынужден соглашаться на дополнительный риск. Программа хеджирования, принятая компанией, оставляет финансовому директору определенную свободу действий, позволяющих увеличить доходы. Однако следует помнить, что цель хеджирования — не увеличение ожидаемой прибыли, а сокращение рисков. Как указано в главе 3, решение хеджировать риски примерно в 50% случаев снижает прибыль. Опасность, связанная с ориентацией финансового отдела на получение прибыли, заключается в том, что его руководителя заставляют стать спекулянтом. Примеры такого развития событий продемонстрировали компании Procter and Gamble и Gibson Greetings, а также муниципалитет г. Оранж Каунти.
Резюме
Огромные потери, понесенные на рынке деривативов, насторожили многих финансовых директоров. Учитывая половодье банкротств, происшедших в 1994 и 1995 годах, некоторые нефинансовые корпорации объявили о планах сократить и даже вообще отказаться от использования деривативов. Это было неверным решением, поскольку деривативы представляют собой эффективный инструмент управления рисками.
Истории банкротств подтвердили хорошо известную истину (см. главу 1), что деривативы можно использовать как для хеджирования, так и для спекуляций. Иначе говоря, с их помошью можно как понижать, так и повышать риск. Большинство банкротств, описанных выше, связано с неправильным использованием деривативов. Сотрудники, имевшие явное или неявное право хеджировать риски компании, вместо этого занимались спекуляциями.
Основной урок, который следует вынести из понесенных потерь, заключается в необходимости внутреннего контроля (internal controls). Старшее руководство компании должно ясно и однозначно сформулировать принципы использования деривативов и установить правила принятия решений при изменении рыночных показателей. Менеджмент должен создать систему контроля за выполнением установленных правил. Дать отдельным сотрудникам право бесконтрольно торговать деривативами — верный путь к банкротству.
Дополнительная литература
Dunbar N. Inventing Money: The Story of Long-Term Capital Management and the Legends Behind It. — Wiley, Chichester, 2000.
Jorion R Big Bets Gone Bad: Derivatives and Bankruptcy in Orange County. — Academic Press, New York, 1995.
Jorion P How Long-Term Lost Its Capital // Risk, September 1999.
Ju X. and Pearson N. Using Value at Risk to Control Risk Taking: How Wrong Can You Be? I I Journal of Risk, 1, no. 2 (Winter 1998/9). — P. 5-36.
Thomson R. Apocalypse Roulette: The Lethal World of Derivatives. — Macmillan, London, 1998.
Zhang P. G. Barings Bankruptcy and Financial Derivatives. — World Scientific, Singapore, 1995.
Глоссарий
LDS-последовательность (low discrepancy sequence). См. Псевдослучайная последовательность.
P-мера (P-measure). Реальная мера.
Q-мера (Q-measure). Риск-нейтральная мера.
Азиатский опцион (asian option). Опцион с вознаграждением, зависящим от средней цены основных активов на протяжении указанного периода.
Алгоритм CreditMetrics (CreditMetrics). Процедура вычисления кредитной стоимости по рискам.
Американский опцион (american option). Опцион, который можно исполнить в любое время на протяжении всего срока его действия.
Амортизационный индексный своп (index amortizing swap). См. Своп индексированных основных сумм.
Амортизационный своп (amortizing swap). Своп, при котором условная основная сумма кредитного обязательства уменьшается со временем по заданному закону.
Анализ главных компонентов (principal component analysis). Анализ, целью которого является выявление небольшого количества факторов, описывающий вариацию большого количества переменных. (Аналогичен факторному анализу.)
Анализ сценариев (scenario analysis). Анализ влияния, которое оказывают альтернативные изменения рыночных показателей на стоимость инвестиционного портфеля.
Аналитический результат (analytic result). Ответ, данный в форме уравнения.
Аннулируемый своп (cancellable swap). Своп, который одна из сторон может аннулировать в заранее установленные сроки.
Аппроксимация Блэка (Black’s approximation). Процедура аппроксимации, разработанная Фишером Блэком (Fisher Black) для оценки опциона покупателя на акцию, приносящую дивиденды.
Арбитраж (arbitrage). Торговая стратегия, основанная на относительной недооценке двух или нескольких ценных бумаг.
Арбитражер (arbitrageur). Лицо, занимающееся арбитражными операциями.
Базель II (Basel II). Новые международные правила расчетов банковского капитала, вступающие в силу в 2007 году.
Базис (basis). Разность между спот-ценой товара (spot price) и его ценой при фьючерсной сделке.
Базисный пункт (basis point). При описании процентной ставки исходная точка равна одной сотой части процента (те. 0,01 процента).
Базисный риск (basis risk). Риск хеджера, возникающий вследствие неопределенности базиса.
Базовая переменная (underlying variable). Переменная, от которой зависит цена опциона или другого дериватива.
Барьерный опцион (barrier option). Опцион, выплата по которому зависит от того, преодолела ли стоимость базового актива определенный барьер (например, превысила ли некий заранее установленный уровень).
Безрисковая процентная ставка (risk-free rate). Процентная ставка, которую можно получить без какого бы то ни было риска.
Безрисковое оценивание (risk-neutral valuation). Оценивание опциона или другого дериватива в предположении, что ситуация является риск-нейтральной. Риск- нейтральное оценивание позволяет вычислить правильную цену дериватива во всех ситуациях, а не только в риск-нейтральных.
Безрисковый форвардный мир (forward risk-neutral world). Будущее является риск-нейтральным по отношению к определенному активу, если рыночная цена риска равна волатильности этого актива.
Бермудский опцион (bermudan option). Опцион, который можно исполнить на протяжении всего срока действия только в заранее оговоренные моменты.
Бескупонная процентная ставка (zero-coupon interest rate). Процентная ставка, которую можно было бы получить по облигации, не предусматривающей купонов.
Бинарный кредитный своп на дефолт (binary credit default swap). Инструмент, в котором при наступлении дефолта конкретной компании предусмотрена фиксированная выплата в долларах.
Бинарный опцион (binary option). Опцион с дискретными выплатами; например, опционы “наличные или ничего” (cash-or-nothing option) или “актив или ничего” (asset-or-nothing option).
Биномиальная модель (binomial model). Модель, в которой цена актива отслеживается на протяжении нескольких последовательных коротких периодов. Предполагается, что в каждом из этих периодов цена может принимать только два возможных значения.
Биномиальное дерево (binomial tree). Дерево, представляющее эволюцию цены активы в биномиальной модели.
Биржевой брокер (board broker). Лицо, имеющее ограниченный заказ на выполнение определенных обменов. Биржевой брокер распространяет информацию о невыполненных заказах среди других трейдеров.
Бостонский опцион (Boston option). См. Опцион с отсроченным платежом.
Брейк-форвард (break-forward). Gw. Опцион с отсроченным платежом.
Брокер-комиссионер (commission broker). Лицо, выполняющее торговые операции в интересах других лиц и взимающее за это комиссионную плату.
Брокер-трейдер (local). Член биржи, осуществляющий биржевые сделки за собственный счет.
Броуновское движение (Brownian motion). Gw. Винеровский процесс (случайное блуждание. — Примеч. ред.).
Бычий спрэд (bull spread). Комбинация длинной позиции в опционе покупателя с ценой исполнения и короткой позиции в опционе покупателя с ценой исполнения К?, где К? > К\. (Бычий спрэд можно создать и в опционе продавца.)
Валютный опцион (foreighn currency option). Опцион на курс иностранной валюты.
Валютный своп (currency swap). Своп, в котором процентная ставка и основная сумма, измеренные в одной валюте, обмениваются на процентную ставку и основную сумму, измеренные в одной валюте.
Вариационная маржа (variation margin). Дополнительная маржа, которую необходимо внести на маржевый счет, чтобы восстановить его баланс до первоначального уровня при получении маржевого требования.
Варрант (warrant). Опцион, выпущенный компанией или финансовым институтом. Варранты часто выпускаются компаниями для привлечения покупателей своих акций.
Вега-нейтральный портфель (vega-neutral portfolio). Инвестиционный портфель, коэффициент вега которого равен нулю.
Величина EWMA . Экспоненциально взвешенное скользящее среднее.
Взаимозачет (netting). Возможность взаимной компенсации контрактов с положительной и отрицательной стоимостью в случае дефолта контрагента (неттинг. — Примеч. ред.).
Винеровский процесс (Wiener process). Стохастический процесс, в котором изменение случайной величины на протяжении короткого промежутка времени длины At имеет нормальное распределение с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной At.
Вложенный опцион (embedded option). Опцион, являющийся неотъемлемой частью другого финансового инструмента.
Внебиржевой рынок (over-the-counter market). Рынок, на котором трейдеры контактируют по телефону. В роли трейдеров на внебиржевом рынке могут выступать финансовые институты, корпорации и фондовые менеджеры.
Возврат к номиналу (pull-to-par). Ситуация, при которой цена облигации к моменту погашения возвращается к номинальной стоимости.
Возвращение к среднему (mean reversion). Тенденция рыночного показателя (например, процентной ставки) возвращаться к среднему уровню в долгосрочной перспективе.
Волатильность (volatility). Мера неопределенности дохода от реализации актива. Временная корректировка (timing agreement). Корректировка прогнозируемого значения переменной для определения правильного момента выплат по деривативу.
Временная стоимость опциона (time value). Величина, на которую изменится стоимость опциона за время, оставшееся до истечения срока его действия (равна цене опциона минус его действительная стоимость).
Временная структура волатильности (volatility term structure). Вариация волатильности, обусловленной сроками погашения.
Временная структура процентных ставок (term structure of interest rates). Зависимость между величинами процентных ставок и временем их выплаты.
Временной спрэд (calendar spread). Комбинация длинной позиции в опционе покупателя, который оплачивается единовременно, и короткой позиции в аналогичном опционе покупателя, который оплачивается в другой момент времени. (Временной спрэд можно создать и в опционе продавца.)
Выписывание опциона (writing an option). Продажа опциона.
Выплата (payoff). Наличная сумма, полученная держателем опциона или другого дериватива в момент его погашения (выигрыш. — Примеч. ред.).
Выпуклость (convexity). Мера кривизны отношения цены и доходности облигации.
Вычислительная процедура (numerical procedure). Метод оценки опциона, когда нет формулы.
Гамма-нейтральный инвестиционный портфель (gamma-neutral portfolio). Портфель активов, коэффициент гамма которого равен нулю.
Гарантийная маржа (maintenance margin). Если сумма на маржевом счете трейдера снижается ниже уровня гарантийной маржи, он получает требование о внесении дополнительного обеспечения для восстановления маржевого счета до уровня первоначальной маржи.
Геометрическое броуновское движение (geometric brownian motion). Стохастический процесс, описывающий поведение цен актива, в котором логарифм базовой переменной подчиняется обобщенному винеровскому процессу.
Гибкий опцион (flex option). Опцион, котируемый на бирже, сроки действия которого отличаются от сроков действия стандартных опционов, котируемых на этой бирже.
Гипотеза эффективного рынка (efficient market hypothesis). Гипотеза, согласно которой вся существенная информация отражается на цене актива.
Греческие буквы (greeks). Параметры хеджирования, например коэффициенты дельта, гамма, вега, тета и ро.
“Грязная” цена облигации (dirty price of bond). Наличная цена облигации.
Дата “без дивиденда” (ex-dividend date). Устанавливается при объявлении дивидендов. В этом случае право на ближайшие дивиденды принадлежит только инвесторам, купившим акции до указанной даты (дата регистрации, бездивидендная дата. — Примеч. ред.).
Дата истечения срока опциона (expiration date). Последний день для исполнения опциона.
Дата погашения (maturity date). Конец срока действия контракта.
Дата установления (reset date). Дата установки плавающей ставки на следующий период в свопе, а также опционах “кэп” и “фло”.
Двухмерное нормальное распределение (bivariate normal distribution). Распределение двух коррелированных случайных величин, каждая из которых является нормально распределенной.
Действительная стоимость (intrinsic value). Для опциона покупателя эта величина является максимумом из двух чисел: нуля и превышения цены актива над ценой исполнения. Для опциона продавца эта величина является максимумом из двух чисел: нуля и превышения цены исполнения над ценой актива.
Дельта-нейтральный инвестиционный портфель (delta-neutral portfolio). Инвестиционный портфель, коэффициент дельта которого равен нулю, т.е. совершенно нечувствительный к малым изменениям цены базового актива.
Депозитный счет денежного рынка (money market account). Инвестиция, величина которой в первоначальный момент времени равна одному доллару, а в момент t возрастает на величину краткосрочной устойчивой процентной ставки, превалирующей на рынке.
Дерево (tree). Представление эволюции величины рыночного показателя для оценки стоимости опциона или другого дериватива.
Держатель лимитной книги (order book official). См. Биржевой брокер.
Дериватив (derivative). Инструмент, цена которого зависит или является производной от цены другого актива.
Детерминированная переменная (deterministic variable). Переменная, позволяющая точно предсказать ее будущее значение.
Диагональный спрэд (diagonal spread). Позиция в двух опционах покупателя, имеющих разные цены исполнения и сроки погашения. (Диагональный спрэд можно создать и с помощью опционов продавца.)
Диапазонный форвардный опцион (range-forward option). Комбинация длинного опциона покупателя и короткого опциона продавца или короткого опциона покупателя и длинного опциона продавца (опцион “рендж-форвард”. — Примеч. ред.).
Дивиденд (dividend). Денежная выплата владельцу акции.
Дивиденд в виде акций (stock dividend). Дивиденд, выплаченный акциями.
Дивидендная доходность (dividend yield). Дивиденд, выраженный в виде процентов от курса акции.
Динамическое хеджирование (dynamic hedging). Процедура хеджирования опционной позиции путем периодического изменения позиции по базовым активам. Целью обычно является поддержание дельта-нейтральной позиции.
Дисконтная облигация (discount bond). См. Облигация с нулевым купоном.
Дисконтный инструмент (discount instrument). Инструмент, не предусматривающий купонов (например, казначейский вексель).
Дисперсия (variance rate). Квадрат волатильности.
Дифференциальный своп (differential swap). Своп, плавающая процентная ставка которого, измеренная в одной валюте, обменивается на плавающую процентную ставку, измеренную в другой валюте, причем обе ставки применяются к одной и той же основной сумме.
Диффузионная модель со скачками (jump diffusion model). Модель, в которой поведение цены актива описывается скачкообразным диффузионным процессом, например геометрическим броуновским движением со скачками.
Диффузионный процесс (diffusion process). Модель, в которой стоимость актива изменяется непрерывно (без скачков).
Длинная позиция (long position). Позиция, предполагающая продажу актива.
Длинное хеджирование (long hedge). Хеджинговая сделка, предполагающая длинную фьючерсную позицию (хедж производителя. — Примеч. ред.)
Дневная сделка (day trade). Открытие и закрытие позиции в течение одного дня.
Договор “репо” (repo). Договор о выкупе. Процедура заимствования денег путем продажи контрагенту ценных бумаг с правом выкупа их позднее по более высокой цене.
Досрочное исполнение (early exercise). Исполнение контракта до истечения срока погашения.
Доходность (yield). Доход, который приносит ценная бумага.
Доходность облигации (yield bond). Учетная ставка, применение которой ко всем потокам наличности, связанным с данной облигацией, обеспечивает равенство текущей стоимости наличных потоков и рыночной цены облигации.
Дробление акций (stock split). Разделение каждой доли акционерного капитала на более мелкие части.
Дюрация (duration). Величина, характеризующая среднее время существования облигации. Она также аппроксимирует отношение пропорционального изменения цены облигации к абсолютному изменению ее доходности (дюрация Маколея. — Примеч. ред.)
Евровалюта (eurocurrency). Валюта, находящаяся за пределами формального контроля со стороны финансовых органов страны-эмитента.
Евродоллар (eurodollar). Доллар, хранящийся в банках, находящихся за пределами США.
Европейский опцион (european option). Опцион, исполняемый только в конце своего существования.
Единообразная волатильность (flat volatility). Волатильность опциона с максимальным процентным уровнем, совпадающая с волатильностью каждого из его компонентов.
Запрашиваемая цена (asked price). См. Цена предложения.
Защитный опцион “пут” (protective put). Комбинация опциона продавца с длинной позицией по основному активу.
Изменение баланса (rebalancing). Процесс периодического уточнения трейдерской позиции, как правило, с целью поддержания ее дельта-нейтральности.
Иммунизация портфеля (portfolio immunization). Процедура, в результате которой инвестиционный портфель становится нечувствительным к величине процентных ставок.
Инвертированный рынок (inverted market). Рынок фьючерсных сделок, на котором стоимость более краткосрочных сделок выше.
Инвестиционный актив (investment asset). Актив, принадлежащий нескольким лицам и предназначенный для инвестиций.
Индекс CDD (CDD — Cooling degree days). Максимальное из двух чисел — нуля и величины, на которую среднесуточная температура воздуха превышает 65° F. Среднесуточная температура равна среднему арифметическому между наибольшим и наименьшим значениями температуры, измеренными в течение суток (от полуночи до полуночи).
Индекс HDD (HDD — heating degree days). Максимальное из двух чисел — нуля и величины, на которую среднесуточная температура воздуха ниже 65° Е Среднесуточная температура равна среднему арифметическому между наибольшим и наименьшим значениями температуры, измеренными в течение суток (от полуночи до полуночи).
Индексный арбитраж (index arbitrage). Арбитраж, включающий в себя позицию по акциям, влияющим на фондовый индекс, и позицию по фьючерсному контракту на фондовый индекс.
Индексный опцион (index option). Опционный контракт на фондовый или другой индекс.
Индексный фьючерс (index futures). Фьючерсный контракт на фондовый или другой индекс.
Интегральная функция распределения (cumulative distribution function). Вероятность того, что случайная величина меньше числа х, выраженная как функция, зависящая от переменной х.
Казначейская нота (treasury note). См. Казначеская облигация. (Срок погашения казначейских билетов не превышает 10 лет.)
Казначейская облигация (treasury bond). Долгосрочное долговое обязательство с выплатой процентов по купонам.
Казначейский вексель (treasury bill). Краткосрочное бескупонное долговое обязательство правительства.
Календарная поправка (day count). Коэффициент, используемый при вычислении процентной ставки.
Калибровка (calibration). Метод определения параметров модели на основе цен интенсивно продаваемых опционов.
Квадратный спрэд (box spread). Комбинация бычьего спрэда, созданного на основе опционов “колл”, и бычьего спрэда, созданного на основе опционов “пут”.
Кванто (quanto). Дериватив, проценты по которому начисляются в одной валюте, а выплачиваются — в другой.
Класс опционов (class of options). Все опционы определенного типа (покупателя или продавца) на конкретную акцию.
Класс опционов (option class). Все опционы определенного типа (покупателя или продавца) на конкретную акцию.
Клиринговая маржа (clearing margin). Маржа, объявленная членом расчетной палаты.
Ковариация (covariance). Мера линейной зависимости между двумя переменными (равна коэффициенту корреляции между переменными, умноженному на произведение их стандартных отклонений).
Количество открытых позиций (open interest). Общее количество не закрытых длинных позиций по фьючерсным контрактам (равно общему количеству коротких позиций).
Комбинация (combination). Торговая стратегия, предполагающая одновременную покупку или продажу опционов покупателя и продавца с одинаковой ценой исполнения и датой исполнения.
Комиссия SEC (Securities and Exchange Commission — SEC). Комиссия по ценным бумагам и биржам.
Комиссия по торговле товарными фьючерсами (Commodity Futures Trading Commission). Агентство, регулирующее торговлю товарными фьючерсами в США.
Конвертируемая облигация (convetible bond). Корпоративная облигация, которую в определенные моменты до истечения срока ее погашения можно обменять на заранее установленное количество обыкновенных акций.
Контанго (contango). Ситуация, в которой цена фьючерса превышает ожидаемую в будущем наличную цену.
Контрагент (counterparty). Противоположная сторона финансовой сделки.
Контрпартнер (counterparty). Противоположная сторона в финансовой сделке.
Короткая позиция (short position). Позиция трейдера, продающего акции, которые ему не принадлежат.
Короткое хеджирование (short hedge). Хеджинговая сделка, в которой трейдер занимает короткую фьючерсную позицию.
Корреляция между дефолтами (default correlation). Величина, характеризующая возможность одновременного дефолта двух компаний.
Коэффициент бета (beta). Мера систематического риска, с которым связано владение активом.
Коэффициент вега (vega). Скорость изменения цены опциона или другого дериватива по отношению к волатильности.
Коэффициент гамма (gamma). Скорость изменения коэффициента дельта по отношению к цене актива.
Коэффициент дельта (delta). Уровень изменения цены дериватива по сравнению с ценой базового актива.
Коэффициент каппа (kappa). См. Коэффициент вега.
Коэффициент ро (rho). Скорость изменения цены дериватива по отношению к процентной ставке.
Коэффициент сигма (sigma). См. Коэффициент вега.
Коэффициент течения времени (time decay). См. Коэффициент тэта.
Коэффициент тэта (theta). Скорость изменения цены опциона или другого дериватива во времени.
Коэффициент хеджирования (hedge ratio). Отношение размера позиции в инструменте хеджирования к размеру хеджируемой позиции.
Краткосрочная безрисковая процентная ставка (short term risk-free rate). См. Краткосрочная процентная ставка.
Краткосрочная процентная ставка (short rate). Процентная ставка, применяемая на очень короткий промежуток времени.
Кредитная стоимость под риском (credit value at risk). Кредитные потери, не выходящие за пределы установленного доверительного интервала.
Кредитный дериватив (credit derivative). Дериватив, выплата по которому зависит от кредитоспособности одной или нескольких организаций.
Кредитный рейтинг (credit rating). Мера кредитоспособности эмитента облигации.
Кредитный риск (credit risk). Риск потерь в результате отказа контрагента по сделке с производными ценными бумагами от выполнения своих обязательств.
Кредитный своп с правом досрочного завершения (puttable swap). Своп, который одна из сторон имеет право завершить досрочно.
Кривая LIBOR (LIBOR curve). Дисконтная ставка LIBOR, представленная как функция, зависящая от срока погашения.
Кривая волатильности (volatility skew). Термин, используемый для описания несимметричной “улыбки волатильности”.
Кривая доходности нулевого купона (zero-coupon yield curve). График зависимости бескупонной процентной ставки от срока погашения облигации.
Купон (coupon). Выплата процентов по облигации.
Курс свопа (swap rate). Фиксированный курс процентного свопа, при котором стоимость свопа равна нулю.
“Кэп” (Сар). См. Процентный опцион “кэп”.
Кэплет (caplet). Один из компонентов опциона “кэп”.
Лемма Ито (Ito’s lemma). Результат, позволяющий вычислить стохастический процесс относительно функции, зависящей от переменной, с помощью стохастического процесса относительно самой переменной.
Лимит исполнения (exercise limit). Максимальное количество опционных контрактов, исполняемых в течение пятидневного периода.
Лимитный приказ (limit order). Приказ биржевому брокеру, исполняемый либо по оговоренной предельной цене исполнения, либо по более выгодной цене.
Логнормальное распределение (lognormal distribution). Случайная величина имеет логнормальное распределение, если ее логарифм имеет нормальное распределение.
Маржа (margin). Гарантийное обеспечение денежными средствами (или ценными бумагами), которое должен предоставить трейдер, торгующий фьючерсами или опционами.
Маржинальное требование (margin call). Требование о дополнительном обеспечении, предъявляемое трейдеру, маржевой баланс которого снизился ниже уровня гарантийной маржи.
Маркет-мейкер (market maker). Трейдер, осуществляющий котировки курсов покупки и продажи активов.
Марковский процесс (markov process). Стохастический процесс, в котором поведение случайной величины на коротком промежутке времени зависит только от ее поведения в начале этого периода, а не от всей предыстории.
Мартингал (martingale). Стохастический процесс с нулевым дрейфом.
Масштаб цен (numeraire). Масштаб, определяющий единицы измерения стоимости ценных бумаг. Например, если единицей масштаба является стоимость акций компании IBM, то стоимость всех ценных бумаг вычисляется относительно акций этой компании. Если цена акции компании IBM равна 80 долл., а некая ценная бумага стоит 50 долл., то отношение ее цены к цене акции компании IBM равно 0,625.
Математическое ожидание случайной величины (expected value of a variable). Среднее значение переменной, равное сумме произведений ее альтернативных значений на их вероятности.
Матрица волатильности (volatility matrix). Таблица, содержащая значения волатильности, обусловленной ценой исполнения и сроком погашения.
Матрица переходов кредитных рейтингов (credit ratings transition matrix). Таблица, содержащая вероятности изменения кредитных рейтингов компании на протяжении заданного временного периода.
Мгновенный форвардный курс (instantaneous forward rate). Форвардный курс на очень коротком промежутке времени.
Медвежий спрэд (bear spread). Комбинация короткой позиции в опционе продавца с ценой исполнения Ki и длинной позиции в опционе продавца с ценой исполнения К-2, где /<2 > ^1- (Медвежий спрэд можно создать и в опционе покупателя.)
Мелкий спекулянт (scalper). Трейдер, заключающий краткосрочные сделки (скальпер. — Примеч. ред.).
Мера (measure). Величина, определяющая рыночную цену риска (вероятностная мера. — Примеч. ред.).
Метод бутстрэп (bootstrap method). Процедура вычисления кривой доходности нулевого купона по данным наблюдений.
Метод конечных разностей (finite difference method). Метод решения дифференциальных уравнений.
Метод контролируемой случайной величины (control variate method). Метод, который иногда используется для повышения точности вычислений.
Метод максимального правдоподобия (maximum likelihood method). Метод выбора параметров с помощью максимизации вероятности правдоподобия наблюдений.
Метод Монте-Карло (Monte Carlo simulation). Процедура случайного изменения рыночных показателей для оценки стоимости дериватива.
Метод неявных разностных схем (implicit finite difference method). Метод оценки дериватива с помощью решения дифференциального уравнения. Стоимость дериватива в момент времени t + At зависит от значений трех переменных в момент времени t.
Метод Ньютона-Рафсона (Newton-Raphson method). Итерационная процедура решения нелинейных уравнений.
Метод явных конечно-разностных схем (explicit finite difference method). Метод оценки дериватива с помощью решения соответствующего дифференциального уравнения. Стоимость дериватива в момент t зависит от значений трех переменных в момент t + dt. По существу, это метод триномиального дерева.
Минимальный уровень (floor rate). Процентная ставка в опционе “фло”.
Моделирование (simulation). См. Метод Монте-Карло.
Модель GARCH (GARCH model). Модель для прогнозирования волатильности, в которой поведение дисперсии описывается стохастическим процессом с тяготением к среднему (mean-reverting process).
Модель адаптивных сеток (adaptive mesh model). Модель, предложенная Фиг-левским (Figlewski) и Гао (Gao), позволяет привить дерево высокого разрешения к дереву низкого разрешения для более точного моделирования стоимости активов в критических областях.
Модель Блэка (Black’s model). Усовершенствованная модель Блэка-Шоулза (Black-Scholes model) для оценки европейских опционов при заключении фьючерсных контрактов. Как показано в главе 22, она широко применяется на практике для вычисления стоимости европейских опционов при условии, что распределение цены актива в момент наступления срока исполнения опциона является логнормальным.
Модель Блэка-Шоулза (Black-Scholes model). Модель для вычисления стоимости европейских опционов на акции, разработанная Фишером Блэком, Майроном Шоулзом (Myron Scholes) и Робертом Мертоном (Robert Merton).
Модель вычисления стоимости основного капитала (capital asset pricing model). Модель, связывающая ожидаемую доходность капитала с его коэффициентом бета.
Модель процентной ставки на безарбитражном рынке (no-arbitrage interest rate model). Модель, описывающая поведение процентных ставок, точно согласованных с первоначальной временной структурой процентных ставок.
Модель равновесия (equilibrium model). Модель поведения процентных ставок, порожденная моделью экономики.
Модель рынка (market model). Модель, наиболее часто используемая трейдерами (модель с единым индексом. — Примеч. ред.)
Модель функции подразумеваемой волатильности (implied volatility function (IVF) model). Модель, разработанная для описания рыночных цен на все европейские опционы.
Модель экспоненциально взвешенного скользящего среднего (exponentially weighted moving average method). Модель, в которой для предсказания значения переменной по ретроспективным данным используется экспоненциальное взвешивание. Иногда этот метод применяется для оценки дисперсии при вычислении рисковой стоимости.
Модифицированная дюрация (modified duration). Изменение дюрации с целью более точного описания зависимости между относительными изменениями цены облигации и абсолютными изменениями ее доходности. Модификация учитывает частоту составляющих периодов года, по которым определяется доходность.
Накопительный своп (accrual swap). Процентный своп, при котором проценты одной стороны выплачиваются только при определенных условиях.
Начисленные проценты (accrued interest). Накопленные проценты, которые принесла облигация с момента последней по времени оплаты купона.
Непокрытая позиция (naked position). Короткая позиция в опционе покупателя, которая не сочетается с длинной позицией по отношению к базовому активу.
Непредсказуемая игра (wild card play). Право поставить фьючерсный конзракт по цене закрытия после закрытия торгов.
Непрерывное начисление (continuous compounding). Способ квотирования процентных ставок. Если интервал начисления непрерывно убывает, существует предельная процентная ставка.
Несистематический риск (nonsystematic risk). Риск, которого можно избежать.
Нестационарная модель (nonstationary model). Модель, в которой параметры волатильности зависят от времени.
Номинальная доходность (par yield). Выплата по облигации, при которой ее цена равна основной сумме.
Номинальная стоимость (par value). Основная сумма облигации.
Нормальное распределение (normal distribution). Стандартное колоколообразное распределение, применяемое в статистике.
Нормальный депорт (normal backwardation). Ситуация, в которой фьючерсная цена меньше ожидаемой наличной цены.
Нормальный рынок (normal market). Ситуация, когда цены фьючерсов на более далекие сроки выше, чем на более близкие.
Нулевая кривая (zero curve). См. Кривая доходности нулевого купона.
Нулевая ставка (zero rate). См. Бескупонная процентная ставка.
Обеспеченное долговое обязательство (collateralized debt obligation — CDO). Способ группировки кредитных рисков. Ценные бумаги, включенные в инвестиционный портфель, разделяются на несколько классов, каждому из которых приписывается вероятность дефолта.
Обеспеченное долговое обязательство “в квадрате” (CDO Squared). См. Инструмент, в котором риски дефолтов, связанные с портфелем траншей обеспеченных долговых обязательств, переложены на другие ценные бумаги.
Обеспеченное ипотечное обязательство (collateralized mortgage obligation — СМО). Ценная бумага, обеспеченная закладными (mortgage-backed security). Пул закладных разделен на классы с разными правилами погашения.
Облигационный опцион (bond option). Опцион, в котором базисным активом является облигация.
Облигация CAT (CAT Bond). Облигация, проценты по которой, а также, возможно, основная сумма в случае стихийного бедствия выплачиваются в сокращенном размере.
Облигация с наиболее дешевой поставкой (cheapest-to-deliver bond). Облигация с самой дешевой поставкой по фьючерсным контрактам, заключенным на Чикагской фондовой бирже.
Облигация с нулевым купоном (zero-coupon bond). Облигация, не предусматривающая купонов.
Облигация с правом досрочного погашения (puttable bond). Облигация, держатель которой имеет право продать ее эмитенту в оговоренные моменты времени по установленной цене.
Обобщенный винеровский процесс (generalized Wiener process). Стохастический процесс, в котором изменение случайной величины в момент t имеет нормальное распределение с математическим ожиданием и дисперсией, пропорциональными значению t.
Обратное тестирование (back testing). Тестирование модели стоимости под риском (value-at-risk model) или любой другой модели с помощью ретроспективных данных.
Обратный обход (backward induction). Процедура обхода дерева от конца к началу в порядке возрастания стоимости опциона.
Ограниченные потери (tail loss). См. Условная стоимость под риском.
Ожидаемый дефицит (expected shortfall). См. Условная стоимость под риском.
Окончательная стоимость (terminal value). Стоимость ценной бумаги в момент ее погашения.
Опцион (option). Право купить или продать актив.
Опцион “бери и плати” (take-and-pay option). См. Опцион “свинг”.
Опцион “колл” (call option). Опцион на покупку актива по определенной цене в определенный момент времени (опцион покупателя. — Примеч. ред.).
Опцион “колл” по средней цене (average price call option). Опцион, выплата по которому больше нуля и равна величине, на которую средняя цена превышает цену исполнения.
Опцион “пут” (put option). Опцион на продажу актива по определенной цене в определенное время (опцион продавца, опцион на продажу. — Примеч. ред.)
Опцион “пут” по средней цене (average price put option). Опцион, выплата по которому больше нуля и равна величине, на которую цена исполнения превышает среднюю цену.
Опцион “радуга” (rainbow option). Опцион, выплаты по которому зависят от нескольких переменных.
Опцион “с выигрышем” (in-the-money option). Либо 1) опцион покупателя, в котором цена актива больше цены исполнения, либо 2) опцион продавца, в котором цена актива меньше цены исполнения.
Опцион “с оглядкой назад” (lookback option). Опцион, выплаты по которому зависят от максимальной или минимальной цены актива, достигнутой за определенный период.
Опцион “с проигрышем” (out-of-the-money option). Либо 1) опцион покупателя, в котором цена актива меньше цены исполнения, либо 2) опцион продавца, в котором цена актива больше цены исполнения.
Опцион “свинг” (swing option). Опцион энергетического рынка, в котором предполагается, что уровень потребления энергии должен находиться между минимальным и максимальным установленными уровнями. Как правило, держатель такого опциона имеет право ограниченное количество раз изменять уровень потребления энергии.
Опцион “спрэд” (spread option). Опцион, выплаты которого зависят от разности между двумя рыночными показателями.
Опцион “фло” (floor). См. Процентный опцион “фло”.
Опцион “храповой кэп” (ratchet cap). Процентный опцион “кэп”, в котором верхняя предельная ставка, примененная к периоду начисления, равна ставке, установленной на предыдущий период начисления, плюс спрэд.
Опцион “шаут” (shout option). Опцион, держатель которого имеет право один раз зафиксировать минимальную величину выплаты в любой момент до даты исполнения опциона, “выкрикнув” новую цену исполнения (опцион “выкрик”. — Примеч. ред.).
Опцион As-You-Like-It (as-you-like-it option). См. Опцион Chooser.
Опцион Chooser (chooser option). Опцион, держатель которого имеет право в будущем выбрать момент и исполнить либо опцион покупателя, либо опцион продавца.
Опцион Up-and-in (up-and-in option). Опцион, который вступает в силу, когда цена базового актива превышает установленный уровень.
Опцион Up-and-out (up-and-out option). Опцион, который прекращает свое действие, когда цена базового актива становится ниже установленного уровня.
Опцион без выигрыша (at-the-money option). Опцион, у которого цена исполнения равна цене базового актива (опцион с нулевой действительной стоимостью. — Примеч. ред.).
Опцион входа (down-and-in option). Опцион, начинающий свое существование, только когда цена базового актива снизится до заранее установленного уровня.
Опцион выхода (down-and-out option). Опцион, срок действия которого истекает в тот момент, когда цена базового актива снизится до заранее установленного уровня.
Опцион кредитного спрэда (credit spread option). Опцион, выплаты по которому зависят от разницы между доходностью двух активов.
Опцион на обмен (exchange option). Опцион на обмен одного актива на другой.
Опцион на фондовый индекс (stock index option). Опционный контракт на основе фондового индекса.
Опцион по средней цене исполнения (average strike option). Опцион, выплата по которому зависит от разницы между окончательной ценой актива и его средней ценой.
Опцион покупателя “активы или ничего” (asset-or-nothing call option). Опцион “колл”, вознаграждение по которому равно стоимости активов, если она превышает цену исполнения (strike price), или нулю в противном случае.
Опцион покупателя “деньги или ничего” (cash-or-nothing call option). Опцион, держатель которого получает заранее фиксированную выплату, если окончательная цена актива превышает цену исполнения, и не получает ничего в противном случае.
Опцион продавца “активы или ничего” (asset-or-nothing put option). Опцион “пут”, выплата по которому равна стоимости активов, если эта стоимость не превышает цену исполнения, или нулю в противном случае.
Опцион продавца “деньги или ничего” (cash-or-nothing put option). Опцион, держатель которого получает заранее фиксированную выплату, если цена исполнения превышает окончательную цена актива, и не получает ничего в противном случае.
Опцион с отложенным стартом (forward start option). Опцион, который в определенный момент становится опционом без выигрыша.
Опцион, зависящий от предыстории (path-dependent option). Опцион, выигрыш которого зависит от всех предыдущих значений базовой переменной, а не только от ее последнего значения.
Опционная расчетная палата (Options Clearing Corporation — ОСС). См. Расчетная палата.
Опционы LEAPS (Long-term equity anticipation securities — LEAPS). Долговременные опционы на конкретные акции или фондовые индексы.
Основная сумма (principal). Номинальная сумма долгового обязательства.
Отзывная облигация (callable bond). Облигация, которая может быть выкуплена или погашена эмитентом по заранее установленной цене в определенное время до окончания срока ее действия.
Откат (roll back). См. Обратный обход.
Открытый торг (open outcry). Способ биржевой торговли, при котором продавец и покупатель открыто контактируют на бирже.
Отложенный своп (deferred swap). Соглашение совершить своп в некоторый момент времени в будущем. Эта сделка называется также форвардным свопом.
Отображение денежного потока (cash-flow mapping). Процедура представления инструмента в виде портфеля дисконтных облигаций с целью вычисления величины риска.
Пакет (package). Дериватив, представляющий собой портфель стандартных опционов покупателя и продавца, возможно в сочетании с позицией по форвардным контрактам и самому активу.
Пакетный опцион (basket option). Опцион, выплата по которому зависит от величины портфельных активов.
Пакетный подход (copula). Метод определения корреляции между случайными переменными, имеющими известные распределения.
Пакетный своп на дефолт (basket credit default swap). Своп на дефолт (дефолтный своп. — Примеч. ред.), в который входит несколько активов.
Параллельный сдвиг (parallel shift). Движение кривой доходности, при котором все точки кривой изменяются на одну и ту же величину.
Паритет опционов “пут” и “колл” (put-call parity). Зависимость между ценой европейского опциона “колл” и ценой европейского опциона “пут”, имеющих одинаковую цену исполнения и срок действия.
Первоначальная маржа (initial margin). Денежная сумма, которую торговец фьючерсами должен уплатить в момент заключения сделки.
Первоначальная прибыль (inception profit). Прибыль, возникшая в результате продажи дериватива по цене, превышающей его теоретическую стоимость.
Переводной коэффициент (conversion factor). Коэффициент, который используется для того, чтобы установить количество облигаций, которые необходимо поставить по фьючерсным облигационным контрактам, заключенным на Чикагской продуктовой бирже.
Перекрестное хеджирование (cross hedging). Хеджирование риска, связанного с колебаниями цены актива, с помощью контракта на другой актив.
Переоценка активов (marking to market). Корректировка цен активов на основе текущих рыночных показателей.
Плотность вероятности дефолта (default probability density). Функция, характеризующая вероятность дефолта на протяжении короткого периода времени в будущем.
Поверхность волатильности (volatility surface). Таблица, содержащая вариацию подразумеваемой волатильности в зависимости от цены исполнения и срока действия опциона.
Повышающий своп (step-up swap). Своп, в котором капитал со временем возрастает по заранее определенному закону.
Погодные деривативы (weather derivatives). Деривативы, выплаты по которым зависят от погоды.
Подразумеваемая волатильность (implied volatility). Волатильность, обусловленная ценой опциона, вычисленной на основе модели Блэка-Шоулза или аналогичной модели.
Подразумеваемая ставка репо (implied repo rate). Ставка репо, обусловленная ценой казначейской облигации и ценой фьючерса на казначейские облигации.
Подразумеваемое дерево (implied tree). Дерево, описывающее поведение цены актива и построенное по наблюдаемым ценам опционов.
Подразумеваемое распределение (implied distribution). Распределение будущих цен актива, обусловленное ценами опционов.
Подтверждение (confirmation). Контракт, подтверждающий устное соглашение между двумя сторонами о торговле на общенациональном рынке.
Подъем (uptick). Повышение цены.
Позиционный лимит (position limit). Максимальная позиция, которую разрешается занять трейдеру (или группе трейдеров, взаимодействующих друг с другом).
Покрытая позиция (covered call). Комбинация короткой позиции в опционе покупателя некоего актива и длинной позиции по этому активу.
Понижающий триггер (downgrade trigger). Пункт контракта, предусматривающий его прекращение и уплату наличными, если кредитный рейтинг одной из сторон упадет ниже установленного уровня.
Поправка на выпуклость (convexity adjustment). Многозначный термин. Например, он может означать коррекцию, которую необходимо выполнить, чтобы конвертировать фьючерсную процентную ставку на форвардную. Кроме того, он может означать коррекцию процентной ставки форвардного контракта, которая иногда необходима для применения модели Блэка.
Потери (exposure). Максимальные потери в результате дефолта контрагента.
Потребляемый актив (consumption asset). Актив, предназначенный для потребления, а не для инвестиций.
Права (rights issue). Выпуск ценных бумаг, дающих уже существующим акционерам право купить новые акции по фиксированной цене.
Праздничный календарь (holiday calendar). Календарь, устанавливающий праздничные дни и дни выплат по свопу.
Предположение о невозможности арбитража (no-arbitrage assumption). Предположение о невозможности арбитражных операций по рыночным ценам.
Премия (premium). Цена опциона.
Премия за ликвидность (liquidity premium). Величина, на которую форвардный курс превышает текущую процентную ставку, ожидаемую в будущем.
Программа DerivaGem. Программное обеспечение, прилагаемое к этой книге.
Программная торговля (program trading). Процедура, в рамках которой сделки автоматически генерируются компьютерами и передаются в торговый зал биржи.
Продажа без покрытия, короткая продажа (short selling). Продажа ценных бумаг, заимствованных у другого инвестора.
Пролонгируемая облигация (extendable bond). Облигация, срок погашения которой может быть продлен по желанию ее держателя.
Пролонгируемый своп (extendable swap). Своп, срок действия которого может быть продлен по желанию одной из сторон контракта.
Простая сделка (plain vanilla). Термин, обозначающий стандартную сделку (“простая ваниль”. — Примеч. ред.).
Процедура уменьшения дисперсии (variance reduction procedures). Процедура уменьшения ошибок в методе Монте-Карло.
Процентная ставка евродоллара (eurodollar interest rate). Процентная ставка на евродолларовый депозит.
Процентный дериватив (interest rate derivative). Дериватив, выплаты по которому зависят от будущих процентных ставок.
Процентный опцион (interest rate option). Опцион, размер выплат по которому зависит от уровня процентных ставок.
Процентный опцион “кэп” (interest rate cap). Опцион, обеспечивающий выплату, если процентная ставка превысит определенный уровень. Процентная ставка является плавающей и периодически изменяется.
Процентный опцион “рамки” (interest rate collar). Комбинация опционов “кэп” и “фло”.
Процентный опцион “фло” (interest rate floor). Опцион, обеспечивающий выплату, если процентная ставка не превысит определенный уровень. Процентная ставка является плавающей и периодически изменяется.
Процентный своп (interest rate swap). Обмен фиксированной процентной ставки, установленной на определенную поминальную сумму, на плавающую процентную ставку, установленную на ту же сумму.
Процесс Ито (Ito’s process). Стохастический процесс, в котором изменение переменной на протяжении каждого короткого промежутка времени длиной At имеет нормальное распределение, математическое ожидание и дисперсия которого пропорциональны величине At и не обязаны быть постоянными.
Псевдослучайная последовательность (quasi-random sequence). Последовательность чисел в методе Монте-Карло, элементы которой являются разными, но не случайными.
Пуассоновский процесс (Poisson process). Процесс, описывающий ситуацию, в которой события происходят случайно, причем вероятность события в момент At равна AAt, где Л — интенсивность процесса.
Разложение Корниша-Фишера (Cornish-Fisher expansion). Приближенная зависимость между квантилями распределения вероятностей и его моментами.
Разложение Холецкого (Cholesky decomposition). Метод выбора элементов из генеральной совокупности, имеющей многомерное нормальное распределение.
Рамки (collar). См. Процентные рамки.
Рамочное соглашение (floor-ceiling agreement). См. Рамки.
Расчет деньгами (cash settlement). Процедура расчета по фьючерсному контракту, предусматривающая выплату наличных вместо поставки базового актива.
Расчетная палата (clearinghouse). Фирма, гарантирующая выполнение операций обмена производных инструментов. (Эта организация часто называется также клиринговой корпорацией.)
Расчетная цена (settlement price). Средняя цена фьючерсных контрактов, зарегистрированная непосредственно перед закрытием торговой сессии на бирже. Используется для переоценки активов.
Реальные факторы волатильности (spot volatilities). Факторы волатильности, используемые для вычисления цены опциона “кэп”, когда каждый кэплет
имеет свою волатильность.
Реальный опцион (real option). Опцион, связанный с материальными, а не финансовыми активами. К материальным активам относятся земля, здания и оборудование.
Репликация статических рисков (static options replication). Процедура хеджирования инвестиционного портфеля, предусматривающая поиск другого портфеля ценных бумаг, имеющего приблизительно такую же стоимость.
Ретроспективная волатильность (historic volatility). Волатильность, оцененная по ретроспективным данным.
Ретроспективное моделирование (historical simulation). Моделирование, основанное на ретроспективных данных.
Риск ликвидности (liquidity risk). Риск потерь из-за невозможности продать актив по его теоретической цене.
Риск-нейтральный мир (risk-neutral world). Ситуация, в которой инвесторы не стремятся к дополнительному доходу в качестве компенсации за риск.
Рыночная цена риска (market price of risk). Величина дополнительного дохода, которую инвестор требует за риск.
Своп (swap). Соглашение об обмене будущих денежных потоков по заранее установленной формуле.
Своп активов (asset swap). Обмен купона облигации на процентную ставку LIBOR и спрэд.
Своп волатильности (volatility swap). Своп, в котором волатильность, реализованная в течение периода начисления процентов, обменивается на фиксированную волатильность. Обе процентные волатильности применяются к условной основной сумме.
Своп индексированных основных сумм (indexed principal swap). Своп, в котором основная сумма со временем уменьшается. Величина, до которой уменьшится основная сумма до срока выплаты, зависит от уровня процентных ставок.
Своп казначейских облигаций с постоянным сроком погашения (constant maturity treasury swap). Своп, в котором доходность казначейской облигации в каждый момент выплаты обменивается на фиксированный либо плавающий процент.
Своп на кредитный дефолт (credit default swap). Инструмент, дающий держателю право в случае дефолта эмитента продать акцию по номинальной цене.
Своп на совокупную доходность (total return swap). Своп, в котором доход на актив, например на облигацию, обменивается на ставку LIBOR плюс спрэд. Доход на актив включает в себя прибыль, в частности, выплаты, а также
изменение стоимости самого актива.
Своп обыкновенных акций (equity swap). Своп, в котором доход портфельных акций обменивается на фиксированную или плавающую процентную ставку.
Своп по ставке LIBOR (LIBOR-in-Arrears swap). Своп, по которому величина выплаты определяется процентной ставкой в данный день выплаты (а не процентной ставкой в предыдущий день выплаты).
Своп с постоянным сроком погашения (constant maturity swap). Своп, курс которого в каждый момент выплаты обменивается либо на фиксированный либо на плавающий процент.
Свопцион (swaption). Опцион на своп процентных ставок, в котором определенная фиксированная ставка меняется на плавающую.
Сдвиг лимита (limit move). Превышение разрешенного лимита цены, допускаемое на бирже в рамках отдельной торговой сессии.
Сделка спрэд (spread transaction). Позиция в нескольких опционах одинакового типа.
Серия опционов (option series). Все опционы определенного класса, имеющие одинаковую цену исполнения и срок действия.
Синтетический опцион (synthetic option). Опцион, созданный на основе сделок с базовым активом.
Синтетическое обеспеченное долговое обязательство (synthetic CDO). Обеспеченное долговое обязательство, созданное путем продажи свопов на дефолт.
Систематический риск (systematic risk). Риск, которого невозможно избежать путем диверсификации инвестиций.
Скорость дрейфа (drift rate). Среднее значение, на которое увеличивается случайная переменная за единицу времени.
Сложный опцион (compound option). Опцион на опционный контракт.
Сложный своп (compounding swap). Своп, в котором сложные проценты начисляются, но не выплачиваются.
Случайная величина (stochastic variable). Непредсказуемая переменная.
Совет FASB (Financial Accounting Standards Board). Совет по стандартам финансового учета.
Согласование дюрации (duration matching). Процедура согласования сроков действия активов и долговых обязательств.
Соглашение о процентной ставке (forward rate agreement — FRA). Соглашение о том, что в определенный момент к определенной основной сумме будет применена определенная процентная ставка.
Спекулянт (speculator). Лицо, занимающее определенную позицию на рынке ценных бумаг. Как правило, спекулянт заключает пари на то, что цена некоего актива поднимется или упадет.
Специалист (specialist). Лицо, ответственное за управление лимитными приказами на некоторых биржах. Специалист не распространяет информацию о невыполненных лимитных приказах среди других трейдеров.
Спрэд “бабочка” (butterfly spread). Комбинация длинной позиции в опционе покупателя с ценой исполнения Ki, длинной позиции в опционе покупателя с ценой исполнения Кз и короткой позиции в двух опционах покупателя с ценой исполнения Кз, где Кз > К? > К\ и К% = 0,5(А\ + Кз). (Спрэд “бабочка” можно создать и в опционе продавца.)
Спрэд с учетом опциона (option-adjusted spread). Спрэд по отношению к кривой доходности казначейских облигаций, при котором теоретическая цена процентного дериватива равна рыночной.
Спрэд цен продажи и покупки (bid-ask spread). См. Спрэд купли-продажи.
Среднее геометрическое (geometric average). Корень п-й степени из произведения п чисел.
Ставка “репо” (repo rate). Процентная ставка по сделке “репо”.
Ставка LIBID (London interbank bid rate — LIBID). Лондонская межбанковская ставка покупателя. Средняя процентная ставка крупнейших лондонских банков на покупку депозитов в европейской валюте (т.е. средняя процентная ставка при покупке межбанковских кредитов).
Ставка LIBOR (London interbank offer rate — LIBOR). Лондонская межбанковская ставка продавца. Средняя процентная ставка крупнейших лондонских банков на продажу депозитов в европейской валюте (т.е. средняя процентная ставка при продаже межбанковских кредитов).
Ставка дисконтирования (discount rate). Годовой доход по казначейскому векселю, измеренный в долларах, или аналогичный инструмент, доходность которого выражена с помощью процентов от его окончательной номинальной стоимости.
Ставка капитализации (cap rate). Процентная ставка, определяющая выплаты по опциону “кэп”.
Статическое хеджирование (static hedge). Хеджинговая сделка, не изменяющаяся после своего заключения.
Степень возмещения (recovery rate). Сумма взыскания в случае дефолта, выраженная в виде процентов.
Стоимость под риском (value at risk). Потери, не превышающие заданный доверительный уровень.
Стоимость транзакций (transactions costs). Стоимость осуществления сделок (комиссионные плюс разница между полученной ценой и средней точкой спрэда спроса-предложения).
Стоимость хранения (storage cost). Стоимость хранения товара.
Стохастический процесс (stochastic process). Уравнение, описывающее вероятностное изменение случайной величины.
Страхование инвестиционного портфеля (portfolio insurance). Заключение сделок, которые гарантируют, что цена инвестиционного портфеля не упадет ниже определенного уровня.
Стрижка (haircut). Дисконт, применяемый к стоимости актива с целью обеспечения долговых обязательств.
Стрип (strip). Комбинация длинных позиций в одном опционе покупателя и двух опционах продавца, имеющих одинаковую цену исполнения.
Стрэддл (straddle). Комбинация длинных позиций в опционах покупателя и продавца с одинаковой ценой исполнения (двойной опцион. — Примеч. ред.)
Стрэнгл (strangle). Комбинация длинных позиций в опционах покупателя и продавца с разными ценами исполнения.
Стрэп (strap). Комбинация длинных позиций в двух опционах покупателя и одном опционе продавца с одинаковой ценой исполнения.
Текущая процентная ставка (spot interest rate). См. Бескупонная процентная ставка.
Теория ожидания (expectations theory). Теория, предполагающая, что форвардные процентные ставки равны ожидаемым фьючерсным текущим процентным ставкам.
Теория предпочтения ликвидности (liquidity preference theory). Теория, утверждающая, что форвардные курсы предпочтительнее текущих процентных ставок, ожидаемых в будущем.
Теория сегментации рынка (market segmentation theory). Теория, в которой величина краткосрочных процентных ставок не зависит от величины долговременных процентных ставок на рынке (теория предпочитаемой среды. — Примеч. ред.)
Тестирование в предельных режимах, стресс-тестирование (stress testing). Моделирование граничных рыночных ситуаций для определения их влияния на стоимость инвестиционного портфеля.
Товарный своп (commodity swap). Своп, в котором потоки наличности зависят
от цены товара.
Транш (tranche). Одна из нескольких ценных бумаг, имеющих разные рисковые свойства. Примерами являются транши обеспеченных долговых обязательств или ценных бумаг, обеспеченных закладными.
Триномиальное дерево (trinomial tree). Дерево, в котором из каждого узла исходят три ветви. Как и биномиальное дерево, триномиальное дерево используется для оценки деривативов.
Тройной волшебный час (triple witching hour). Час, когда одновременно истекают сроки действия фьючерсных контрактов на фондовый индекс, опционных контрактов на фондовый индекс, а также опционных контрактов на фьючерсы по фондовым индексам.
Удобная доходность (convenience yield). Выгоды, которые компания получает от владения активом, а не долговременным фьючерсным контрактом на него.
“Улыбка волатильности” (volatility smile). Кривая, описывающая вариацию волатильности, обусловленной ценой исполнения.
Управленческий акционерный опцион (executive stock option). Фондовый опцион, эмитируемый компанией на свои собственные акции и предназначенный для ее руководителей в качестве вознаграждения.
Уровень возврата (reversion level). Уровень, к которому тяготеет рыночный показатель (например, процентная ставка).
Уровень риска (hazard rate). Вероятность дефолта в течение короткого промежутка времени при условии отсутствия предыдущих дефолтов.
Условная основная сумма кредитного обязательства (notional principal). Основная сумма, используемая при вычислении выплат по процентному свопу. Эта сумма является условной (notional), поскольку она и не выплачивается, и не вносится.
Условная стоимость под риском (conditional value at risk — С-VaR). Ожидаемые потери на протяжении N дней, обусловленные (100 — А")%-ным хвостом распределения прибылей/убытков. Переменная N задает время, а переменная X — доверительный уровень, %.
Фактор (factor). Источник неопределенности.
Факторный анализ (factor analysis). Анализ, целью которого является выявление небольшого количества факторов, определяющих изменчивость большого количества коррелированных переменных. (Аналогичен анализу главных компонентов.)
Финансовый посредник (financial intermediary). Банк или другая финансовая организация, управляющая финансовыми потоками между субъектами эконо-
мики.
Флорлет (floorlet). Один из компонентов процентного опциона “фло”.
Фондовый индекс (stock index). Индекс, характеризующий курс акций, включенных в инвестиционный портфель.
Фондовый опцион, опцион на акции (stock option). Опцион на акцию.
Форвардная процентная ставка (forward interest rate). Процентная ставка на будущий период времени, зависящая от текущих процентных ставок, превалирующих на рынке.
Форвардная ставка (forward rate). Процентная ставка на будущий период времени, определяемая по текущим нулевым ставкам.
Форвардная цена (forward price). Цена поставки по форвардному контракту, при которой контракт обесценивается.
Форвардный контракт (forward contract). Контракт, обязывающий держателя продать или купить актив по заранее установленной цене в заранее оговоренное время.
Форвардный курс валюты (forward exchange rate). Курс, по которому можно купить или продать валюту в будущем.
Форвардный своп (forward swap). См. Отложенный своп.
Функция досрочных платежей (prepayment function). Функция, выражающая величину досрочных выплат основной суммы по портфельным закладным через другие переменные.
Фьючерс на казначейскую ноту (treasure note futures). Фьючерсный контракт на казначейскую ноту.
Фьючерс на казначейскую облигацию (treasury bond futures). Фьючерсный контракт на казначейскую облигацию.
Фьючерс на фондовый индекс (stock index futures). Фьючерсный контракт на основе фондовых индексов.
Фьючерсная цена (futures price). Цена поставки, установленная во фьючерсном контракте.
Фьючерсные контракты на евродоллары (eurodollar futures contract). Фьючерсные контракты на депозиты, выраженные в евродолларах.
Фьючерсный контракт (futures contract). Контракт, обязывающий держателя купить или продать актив по заранее установленной цене поставки на протяжении оговоренного периода времени. Такой контракт котируется ежедневно.
Фьючерсный опцион (futures option). Опцион на фьючерсный контракт.
Хеджер (hedger). Лицо, заключающее сделки хеджирования.
Хеджинговая сделка (hedge). Сделка, предназначенная для снижения риска.
Хеджирование коэффициента дельта (delta hedging). Схема хеджирования, предназначенная для того, чтобы сделать цену портфельных деривативов нечувствительной к малым изменениям цены базового актива.
Цена исполнения (exercise price). Цена, по которой можно купить или продать базовый актив по опционному контракту. (Эта величина называется также ценой страйк.)
Цена исполнения (strike price). Цена покупки или продажи актива по опционному контракту (цена страйк. — Примеч. ред.).
Цена покупки (bid price). Цена, которую дилер готов заплатить за актив.
Цена поставки (delivery price). Цена, предусмотренная форвардным контрактом.
Цена предложения (offer price). Цена, по которой дилер продает актив.
Цена продавца (ask price). См. Цена предложения (offer price).
Цена спот (spot price). Цена немедленной поставки.
Ценная бумага с устойчивым процентом (Ю -- interest only). Ценные бумаги, обеспеченные закладными, держатель которых получает только денежные выплаты по установленным процентным ставкам на базовую ипотеку.
Ценная бумага, обеспеченная закладными (mortgaged-backed security). Ценная бумага, предоставляющая ее владельцу право на денежную наличность, полученную в результате реализации пула ипотечных закладных.
Ценные бумаги “только из основной суммы” (principal only). Ценная бумага, обеспеченная закладными, держатель которой получает только основные потоки наличности по пулу ипотек, лежащему в основе этой бумаги.
Частота начисления (compounding frequency). Число составляющих периодов года, определяющее правило выплаты процентов.
Чистая стоимость финансирования (cost of сапу). Затраты на хранение плюс стоимость финансирования актива минус доход.
Чистая цена облигации (clean price of bond). Котировочная цена облигации (твердая цена. — Примеч. ред.), полученная путем вычета начисленных процентов из наличной цены облигации (или полной цены).
Экзотический опцион (exotic option). Нестандартный опцион.
Экспоненциальное взвешивание (exponential weighting). Схема усреднения, в которой вес, приписанный данному наблюдению, зависит от его удаленности от текущего момента. Вес, приписанный наблюдению, полученному t временных периодов тому назад, представляет собой произведение коэффициента Л на вес, приписанный наблюдению, полученному t — 1 временных периодов тому назад, где Л < 1.
Эксцесс (kurtosis). Мера “тяжести” хвостов распределения.
Электронные торги (electronic trading). Система торговли, в которой для связи между покупателем и продавцом используется компьютер.
Эмпирическое исследование (empirical reasearch). Исследования, основанные на ретроспективных данных о состоянии рынка.
г
Программа DerivaGem
Книгу сопровождает надстройка DerivaGem для программы Excel версии 1.51. Для ее корректной работы необходима версия Excel 7.0 и выше. Программное обеспечение DerivaGem состоит из трех файлов: dgl51 .dll, DG151 .xls и DG151functions.xls. Для того чтобы инсталлировать программу, необходимо создать каталог с именем DerivaGem (или другим по вашему выбору) и записать в него файлы DG151 .xls и DG151 functions .xls. Файл dgl51.dll следует записать в каталог Windows\System (при работе под управлением операционной системы Windows 95 или Windows 98) или в каталог WINNT\System 32 (при работе под управлением операционной системы Windows 2000 или Windows NT).1
Пользователи программы Excel 2000 должны установить средний или низкий уровень безопасности макросов. Для этого следует выполнить команду Сер-висФМакросФБезопасность. .., а затем щелкнуть на закладке Уровень безопасности и установить переключатель Средняя или Низкая. При запуске программы может появиться диагностическое окно с предложением отключить макросы. Щелкните на кнопке Не отключать макросы.
Новые версии программы можно загрузить с Web-сайта авторов: www.rotman.utoronto.са/-hull.
Программа состоит из двух частей: Options Calculator (DG151.xls) и Application Builder (DG151functions.xls). Для работы обеих частей программы необходимо, чтобы в каталогах Windows\System (при работе под управлением операционной системы Windows 95 или Windows 98) или WINNT\System 32 (при работе под управлением операционной системы Windows 2000 или Windows NT) был записан файл dgl51.dll. Пользователям, впервые использующим эту программу, рекомендуется начинать с модуля Option Calculator.
'Обратите внимание на то, что программа Windows Explorer часто настраивается так, что файлы *. dll на экране не отображаются. Для того чтобы изменить настройки и увидеть файлы с расширением *. dll, следует выполнить следующие действия. При работе под управлением операционной системы Windows 95 выберите команду Вид, затем — команду Свойства, а затем — команду Показать все файлы. При работе под управлением операционной системы Windows 98 выберите команду Вид, затем — команду Свойства папки..., а затем — команду Показать все файлы. После этого, находясь в окне Свойства папки, щелкните на закладке Вид и установите переключатель Показать все файлы. При работе под управлением операционной системы Windows 2000 выполните команду Инструменты, затем — команду Свойства папки..., а после этого установите переключатель Показать скрытые файлы и папки.
Модуль Option Calculator
Модуль Option Calculator реализован в виде файла DG151 .xls. Он состоит из трех рабочих листов. Первый рабочий лист предназначен для вычислений цен фондовых, валютных, индексных и фьючерсных опционов, второй — для оценки стоимости европейских и американских облигационных опционов, а третий — для оценки опционов “кэп” и “фло”, а также европейских свопционов.
Программа DerivaGem позволяет вычислить цены, греческие коэффициенты и подразумеваемую волатильность широкого спектра различных инструментов. Она также строит диаграммы, демонстрирующие зависимость цен опционов и греческих коэффициентов от входных данных. Кроме того, с помощью программы DerivaGem можно построить биномиальные и триномиальные деревья, демонстрируя ход вычислений.
Общие операции
Для работы с калькулятором необходимо выбрать рабочий лист и щелкнуть на соответствующих кнопках, чтобы выбрать элементы списков Option Type, Underlying Туре и т.д. Затем следует ввести данные о рассматриваемом опционе, нажать клавишу <Enter> и щелкнуть на кнопке Calculate. После этого программа DerivaGem выведет на экран цену, величину подразумеваемой волатильности и греческие коэффициенты, характеризующие анализируемый опцион. Если цена вычисляется с помощью построения дерева, то, работая со вторым рабочим листом, следует щелкнуть на кнопке Display Tree. Примеры деревьев, построенных с помощью программы DerivaGem, приведены в главах 11 и 17. Рабочие листы позволяют построить большое количество разных диаграмм. Для этого сначала необходимо выбрать переменные, значения которых откладываются на горизонтальной и вертикальной осях, а также диапазон изменения переменной, значения которой откладываются на горизонтальной оси, а затем нажать клавишу <Enter> или щелкнуть на кнопке Draw Graph. Не забудьте: для того чтобы значения ячеек изменились, необходимо нажать клавишу <Enter> и лишь потом щелкать на кнопках.
Во время работы с программой Excel версии 7.0 и старше при первом запуске новой версии программы DerivaGem пользователю будет выведено предложение обновить старую версию. В таком случае следует щелкнуть на кнопке Yes.
Опционы на акции, валюту, индексы и фьючерсы
Стоимости опционов на акции, валюту, индексы и фьючерсы вычисляются с помощью рабочего листа Equity_FX_lndex_Futures. Для этого сначала необходимо выбрать базовый актив, указав элемент списка Underlying Type (Equity, Index или Futures). Затем следует выбрать вид опциона, щелкнув на элементе
списка Option Type (Analytic European, Binomial European, Binomial American, Asian, Barrier Up and In, Barrier Up and Out, Barrier Down and In, Barrier Down and Out, Binary Cash or Nothing, Binary Asset or Nothing, Chooser, Compound Option on Call, Compound Option on Put или Lookback). В заключение, введите данные о базовом активе и опционе. Обратите внимание на то, что процентные ставки начисляются непрерывно.
При вычислении цены европейского и американского опционов на покупку или продажу акций на экране появляется таблица, в которую необходимо ввести размер дивидендов. Введите в первый столбец даты выплаты дивидендов (в годах), а во второй — размер дивидендов. Дивиденды следует перечислять в хронологическом порядке.
Затем следует установить переключатель Put или Call и указать, желаете ли вы вычислить подразумеваемую волатильность, установив или сбросив флажок Implied Volatility. Если вы желаете вычислить подразумеваемую волатильность, в ячейку Price следует ввести цену опциона.
После ввода всех данных следует нажать клавишу <Enter> и щелкнуть на кнопке Calculate. Если флажок Implied Volatility установлен, то программа DerivaGem выведет вычисленную подразумеваемую волатильность в ячейке Volatility (% per year). Если же флажок Implied Volatility сброшен, то пользователь должен сам ввести волатильность в эту ячейку, а цена опциона будет выведена в ячейке Price.
После завершения вычислений можно проанализировать дерево и диаграммы.
Если в списке опционов Option Туре выбран элемент Analytic European, то для вычисления цен программа DerivaGem использует формулы, приведенные в главе 13 и 14, а для вычисления греческих коэффициентов — формулы из главы 15. Если же выбраны типы Binomial European или Binomial American, то программа строит биномиальное дерево, используя алгоритм, описанный в главе 17. В этом случае при построении дерева можно использовать до 500 шагов по времени.
Входные данные не требуют дополнительных разъяснений. При вычислении цены опционов типа Asian, ячейка Current Average содержит среднюю цену, вычисленную за период, прошедший после нулевого момента времени. Если опцион типа Asian является новым (т.е. ячейка Time since Inception содержит нуль), то ячейку Current Average заполнять не требуется. Если опцион имеет тип Lookback, то при оценке опциона “колл” используется ячейка Minimum to Date, а при оценке опциона “пут” — ячейка Maximum to Date. При оценке новой сделки эти ячейки следует заполнить текущей ценой базового актива.
Облигационные опционы
Рабочий лист Bond_Options предназначен для вычисления цен европейских и американских облигационных опционов. Сначала пользователь должен выбрать
модель расчетов (Black-European, Normal-Analytic European, Normal-Tree European, Lognormal European или Lognormal American). Затем необходимо ввести данные в окне редактирования на панелях Bond Data и Option Data. Купон облигации определяется процентной ставкой, выплачиваемой за год, и частотой выплат (Quarterly, Semi-Annual или Annual). Координаты точек кривой нуль-купонной доходности вводятся в таблице Term Structure. В первом столбце этой таблицы необходимо ввести сроки погашения облигаций (в годах), в во второй — непрерывно начисляемые процентные ставки. Сроки погашения облигаций должны вводиться в хронологическом порядке. Программа DerivaGem использует предположение, что нулевая кривая является кусочно-линейной (см. рис. 4.1). Обратите внимание на то, что при оценке процентных деривативов программа DerivaGem округляет данные, касающиеся времени, до ближайшего целого количества дней.
Введя данные, следует нажать клавишу <Enter>. После выполнения вычислений на экране появится цена облигации в расчете на каждые 100 долл, основной суммы, введенной в окне редактирования Principal. Тип опциона выбирается с помощью установки переключателей Call и Put. Кроме того, пользователь должен указать вид цены исполнения: котировочная (чистая) или наличная (грязная). (Различие между этими ценами обсуждается в разделе 26.2.) Обратите внимание на то, что цена исполнения вводится из расчета на каждые 100 долл, основной суммы. После этого необходимо установить один из переключателей Call или Put, а также указать, следует ли вычислять подразумеваемую волатильность. Если пользователь решил вычислить подразумеваемую волатильность и использовать нормальную или логнормальную модель, то программа DerivaGem рассчитает волатильность краткосрочной процентной ставки с постоянной скоростью возвращения.
Введя все данные, следует нажать клавишу <Enter> и щелкнуть на кнопке Calculate. После завершения пользователь может проанализировать построенное дерево и вывести на экран диаграммы. Обратите внимание на то, что выведенное на экране дерево рассчитывается вплоть до завершения срока действия опциона. На самом деле программа DerivaGem при оценке соответствующей облигации использует намного более крупные деревья.
Следует иметь в виду, что при выборе модели Блэка программа DerivaGem использует формулы из раздела 26.2. Кроме того, для конвертирования входной волатильности доходности в волатильность цены используется процедура, описанная в разделе 26.2.
Опционы Сар и свопционы
Рабочий лист Caps_and_Swap_Options предназначен для вычисления цен опционов Сар и свопционов. Сначала пользователь должен выбрать тип опциона, указав соответствующий элемент списка Option Туре (пункты Swap Option
или Cap/Floor), а также модель расчета, щелкнув на одном из элементов списка Pricing Model (Black-European, Normal-European или Lognormal-European). Затем необходимо ввести данные об анализируемом опционе. Пункты списка Settlement Frequency означают частоту выплат: Annual, Semi-Annual, Quarterly или Monthly. Программа вычисляет даты выплат, выполняя расчеты от конца срока действия опциона к началу. Первоначальный период накопления может иметь нестандартную продолжительность и лежать в диапазоне от половины до полутора продолжительности стандартного периода накопления. Программа позволяет определить по цене облигации как ее волатильность, так и процентные ставки опционов. Если пользователь решил использовать нормальную или логнормальную модель, то программа DerivaGem рассчитает волатильность краткосрочной процентной ставки с постоянной скоростью возвращения. Координаты точек кривой нуль-купонной доходности вводятся в таблице Term Structure. В первом столбце этой таблицы необходимо ввести сроки погашения облигаций (в годах), в во второй — непрерывно начисляемые процентные ставки. Сроки погашения облигаций должны вводиться в хронологическом порядке. Программа DerivaGem использует предположение, что нулевая кривая является кусочно-линейной (см. рис. 4.1).
Введя все данные, следует нажать клавишу <Enter> и щелкнуть на кнопке Calculate. После завершения пользователь может проанализировать построенные диаграммы. Следует иметь в виду, что при выборе модели Блэка программа DerivaGem использует формулы из разделов 26.3 и 26.4.
Греческие коэффициенты
На рабочем листе Equity_FX_lndex_Futures греческие коэффициенты вычисляются следующим образом.
Дельта: изменение цены опциона при увеличении цены базового актива на один доллар.
Гамма: изменение коэффициента дельта при увеличении цены базового актива на один доллар.
Вега: изменение цены опциона при увеличении волатильности на 1% (например, когда волатильность увеличивается с 20 до 21%).
Ро: изменение цены опциона при увеличении процентной ставки на 1% (например, когда процентная ставка увеличивается с 5 до 6%).
Тэта: изменение цены опциона за один календарный день.
На рабочих листах Bond_Options и Caps_and_Swap_Options греческие коэффициенты вычисляются следующим образом.
DV01: изменение цены опциона при параллельном сдвиге нулевой кривой на один базисный пункт вверх.
GammaOl: изменение коэффициента DV01 при параллельном сдвиге нулевой кривой на один базисный пункт вверх, умноженное на 100.
Вега: изменение цены опциона при увеличении волатильности на 1% (например, когда волатильность увеличивается с 20 до 21%).
Модуль Applications Builder
Модуль Applications Builder реализован в виде файла DG151functions. xls. Он содержит набор из 21 функции и 7 шаблонных приложений, на основе которых пользователи могут создавать свои программы.
Функции
Рассмотрим список из 21 функции, включенной в модуль Applications Builder. Детальное описание этих функций приведено на рабочем листе FunctionSpecs.
1. Функция Black_Scholes выполняет вычисления цены европейских опционов на акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты, используя формулы Блэка-Шоулза.
2. Функция TreeEquityOpt строит биномиальные деревья для вычисления цен европейских или американских опционов на акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
3. Функция BinaryOptions выполняет вычисление стоимости бинарных опционов на акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
4. Функция BarrierOption выполняет вычисление стоимости барьерных опционов на бездивидендные акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
5. Функция AverageOption выполняет вычисление стоимости азиатских опционов на бездивидендные акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
6. Функция ChooserOption выполняет вычисление стоимости опционов Chooser на бездивидендные акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
7. Функция CompoundOption выполняет вычисление стоимости сложных опционов на бездивидендные акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
8. Функция LookbackOption выполняет вычисление стоимости опционов “с оглядкой назад” на бездивидендные акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
9. Функция EPortfolio выполняет вычисление стоимости портфеля опционов на акции, фондовые индексы, валюту или фьючерсные контракты.
10. Функция BlackCap выполняет вычисление стоимости опционов Сар и Floor с помощью модели Блэка.
11. Функция HullWhiteCap выполняет вычисление стоимости опционов Сар и Floor с помощью модели Халла-Уайта.
12. Функция ТгееСар выполняет вычисление стоимости опционов Сар и Floor с помощью триномиального дерева.
13. Функция BlackSwapOption выполняет вычисление стоимости свопционов с помощью модели Блэка.
14. Функция HullWhiteSwap выполняет вычисление стоимости свопционов с помощью модели Халла-Уайта.
15. Функция TreeSwapOption выполняет вычисление стоимости свопционов с помощью триномиального дерева.
16. Функция BlackBondOption выполняет вычисление стоимости облигационных опционов с помощью модели Блэка.
17. Функция HullWhiteBondOption выполняет вычисление стоимости облигационных опционов с помощью модели Халла-Уайта.
18. Функция Tree BondOption выполняет вычисление стоимости облигационных опционов с помощью триномиального дерева.
19. Функция BondPrice выполняет вычисление стоимости облигаций.
20. Функция SwapPrice выполняет вычисление стоимости простых процентных свопов. Обратите внимание на то. что она игнорирует денежные потоки, возникающие в результате установки ставок до начального момента времени.
21. Функция IPortfolio выполняет вычисление стоимости портфелей процентных деривативов.
Примеры приложений
Файл DG151functions . xls содержит семь рабочих листов.
1. CRR Convergence. С помощью этого рабочего листа можно исследовать сходимость биномиальной модели, описанной в главах 11 и 17.
2. Greek Letters. С помощью этого рабочего листа можно строить диаграммы, демонстрирующие греческие коэффициенты из главы 15.
3. Delta Hedge. С помощью этого рабочего листа можно оценить эффективность дельта-хеджирования, описанного в табл. 15.2 и 15.3.
4. Delta and Gamma Hedge. С помощью этого рабочего листа можно оценить эффективность дельта- и гамма-хеджирования позиции по бинарному опциону.
5. Value and Risk. С помощью этого рабочего листа можно оценить риск, которому подвергается портфель, состоящий из трех опционов на отдельную акцию, используя три разных подхода.
6. Barrier Replication. С помощью этого рабочего листа можно осуществить вычисления, связанные с динамической репликацией опционов, рассмотренной в разделе 22.13.
7. Trinomial Convergence. С помощью этого рабочего листа можно исследовать сходимость триномиальной модели, описанной в главе 28.
Главные биржи, на которых осуществляется торговля фьючерсами и опционами
American Stock Exchange AMEX www.amex.com
Australian Stock Exchange ASX www.asx.com.au
Bolsa de Mercadorias у Futures, Brazil BM&F www.bmf.com.br
Chicago Board of Trade CBOT www.cbot.com
Chicago Board Options Exchange СВОЕ www.cboe.com
Chicago Merchantile Exchange CME www. cme. com
Coffee, Sugar & Cocoa Exchange, New York CSCE www.csce.com
Commodity Exchange, New York COMEX www.nymex.com
Copenhagen Stock Exchange FUTOP www.xese.dk
Deutsche Termin Borse, Germany DTB www.exchange.de
Eurex EUREX www.eurexchange.com
Euronext EURONEXT www.euronext.com
Hong Kong Futures Exchange HKFE www.hkfe.com
International Petroleum Exchange, London IPE www.ipe.uk.com
International Securities Exchange ISE www.iseoptions.com
Kansas City Board of Trade KCBT www.kebt.com
London International Financial Futures & Options Exchanges LIFFE www.liffe.com
London Metal Exchange LME www.Ime.co.uk
Malaysian Derivatives Exchanges MDEX www.mdex.com.my
Marche a Terme International de France MATIF www.matif.fr
Marche des Negociables de Paris MONEP www.monep.fr
MEFF Renta Fija and Variable, Spain MEFF www.meff.es
Mexican Derivatives Exchange MEXDER www.mexder.com
Minneapolis Grain Exchange MGE www.mgex.com
1040
Главные биржи, на которых осуществляется торговля...
Montreal Exchange ME www.me.org
New York Board of Trade NYBOT www.nybot.com
New York Cotton Exchange NYCE www.nyce.com
New York Futures Exchange NYFE www.nyfe.com
New York Mercantile Exchange NYMEX www.nymex.com
New York Stock Exchange NZFOE www.nyse.com
OMHEX MHEX www.omhex.com
Osaka Securities Exchange OSA www.ose.or.jp
Pacific Exchange PXS www.pacificex.com
Philadelphia Stock Exchange PHLX www.phlx.com
Singapore International Monetary Exchange SIMEX www.simex.org.sg
Sydney Futures Exchange SFE www.sfe.com.au
Swiss Exchange SWX www.swx.com
Tokyo Grain Exchange TGE www.tge.or.jp
Tokyo International Financial Futures Exchange TIFFE www.tiffe.or.jp
Winnipeg Commodity Exchange WCE www.wee.ca
Большое количество бирж были поглощены или образовали альянсы. Например, биржа Eurex представляет собой альянс бирж DTB и SWX, а также компания Euronext владеет биржами LIFFE, MATIF и MONEP.
Таблица значений функции N(x)
при х С О
В этой таблице приведены значения функции 7V(rc) при ж < 0. С ее помощью можно осуществлять интерполяцию данных. Например,
7V(—0,1234) = W(-0,12) - 0,34[7V(—0,12) - JV(—0,13)] = = 0,4522 - 0,34 x (0,4522 - 0,4483) = 0,4509.
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
-0,0 0,5000 0,4690 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,4 0.3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3516 0,3121
-0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0.2483 0,2451
-0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,8 0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-2,1 0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
Окончание табл.
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
-2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
—2,9 0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-3,0 0,0014 0,0013 0,0013 0,0012 0,0012 0,0011 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010
-3,1 0,0010 0,0009 0,0009 0,0009 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007
-3,2 0,0007 0,0007 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005
-3,3 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003
—3,4 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002
-3,5 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
-3,6 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,7 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,8 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001
-3,9 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
-4,0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Таблица значений функции N(x)
при х О
В этой таблице приведены значения функции N (х) при х 0. С ее помощью можно осуществлять интерполяцию данных. Например,
7V(0,6278) = 7V(0,62) + 0,78^(0,63) - ЛГ(0.62)] =
= 0,7324 + 0,78 х (0,7357 - 0,7324) = 0,7350.
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5560 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
од 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0.5557 0,5596 0.5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0.3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0.6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0.6879
0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0.7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0.7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549
0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0.7673 0.7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852
0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133
0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0.8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621
1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0.8749 0,8770 0,8790 0.8810 0,8830
1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015
1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177
1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441
1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545
1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633
1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706
1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0.9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817
2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857
2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890
2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916
2,4 0,9918 0,9020 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936
2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952
2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964
0 кончани е табл.
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974
2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981
2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
3,0 0,9986 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990
3,1 0,9990 0,9991 0,9991 0,9991 0,9992 0,9992 0,9992 0,9992 0,9993 0,9993
3,2 0,9993 0,9993 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9994 0,9995 0,9995 0,9995
3,3 0,9995 0,9995 0,9995 0,9996 0,9996 0.9996 0,9996 0,9996 0,9996 0,9997
3,4 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9997 0,9998
3,5 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998 0,9998
3,6 0,9998 0,9998 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,7 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0.9999 0,9999 0,9999
3,8 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999 0,9999
3,9 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
4,0 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000 1,0000 1,0000 1,0000