Познакомьтесь с математическим моделированием - Горстко А.Б.

Автор: Горстко А.Б.

Теги: высшая математика математика математический анализ математическое моделирование издательство знание

ISBN: 5-07-000658-4

Год: 1991

Похожие

Математическое моделирование

Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры

Математическое моделирование

Текст

А.Б.Горстко
ПОЗНАКОМЬТЕСЬ
С МАТЕМАТИЧЕСКИМ
Издательство .Знание"
НАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
естественнонаучный факультет
Издается с 1961 г.
Й.Б.Горстко
доктор физико-математических наук
ПОЗНАКОМЬТЕСЬ
С МАТЕМАТИЧЕСКИМ
МОДЕЛИРОВАНИЕМ

Издательство „Знание”
Москва
1991
ГОРСТКО Александр Борисович — лауреат Государственной
премии СССР, доктор физико-математических наук, профес-
сор, заведующий кафедрой прикладной математики и про-
граммирования Ростовского государственного университета.
Является автором более 130 научных и научно-популярных
работ в области математического моделирования экономиче-
ских и экологических систем.
Редактор — ФЕОКТИСТОВА И. И
Горстко А. Б.
Познакомьтесь с математическим моделирова-
нием. — М.: Знание, 1991. — 160 с. — (Нар. ун-т.
Естественнонаучный фак.).
ISBN 5-07-000658-4.
1 р 50 000 экз
Сейчас, когда в нашей стране происходит чуть ли не всеобщая
компьютеризация, от специалистов различных профессий приходится
слышать высказывания: «Вот внедрим у себи ЭВМ, тогда все задачи
сразу же будут решены;». Эта точка зрения совершенно не верна, сами
по себе ЭВМ без математических моделей тех или ииых процессов
ничего сделать не смогут.
Откуда берутся модели? Какова простейшая модель эпидемии5
Как выпускать товары? Можно ли ликвидировать очередь? На эти
и другие вопросы помогут ответить математические модели, об ис-
пользовании которых и рассказывается в книге.
Книга может быть полезна слушателям народных университетов
'стестпенноиаучных знаний, студентам и преподавателям вузов, всем
кому интересны принципы моделирования
1602110000 -101
073(02) —91
ISBN 5-07-000658-4
ББК 22.11
Горстко А Б, 1991 г
ПРЕДИСЛОВИЕ
Слова «модель», «математическая модель» все
более входят в жизнь современного общества.
И это не чья-либо прихоть, не дань моде. Стало
понятно, что без математических моделей раз-
личных процессов, явлений о всеобщей компыо
теризации можно только мечтать
В этой связи представляется очень полезным,
чтобы широкие круги читателей познакомились
с тем, как строятся, как используются матема-
тические модели. Автор книги «Познакомьтесь с
математическим моделированием» знаком с пред-
метом не понаслышке, что позволило ему доста-
точно просто и ясно рассказать о различных ти-
пах математических моделей, о трудностях, воз
никающих при их построении, о том, какой прок
может быть получен от их использования Не-
сомненно, этот рассказ окажется и интересным, п
полезным для тех, кто впервые знакомится с
этой областью знания
Нельзя не отметить еще одну особенность кни
ги — глава 7 написана профессором Вальбургой
Реддинг из Дортмундского университета. Этот
университет связан партнерскими отношениями с
Ростовским университетом, и можно только при-
ветствовать тот факт, что совместная научная
работа этих ученых из двух университетов по-
зволила им объединить своп усилия и для ус
пешного выступления перед читательской ауди
торией
А. В. БЕЛОКОНЬ,
ректор Ростовского госуниверситета,
профессор
Глава 1
ОТ КОНКРЕТНОГО К АБСТРАКТНОМУ
§ 1. НЕСКОЛЬКО ОБЩИХ СООБРАЖЕНИИ
Прежде чем говорить о математических моделях, полез-
но оглянуться назад и, хотя бы грубо, проследить путь,
по которому шло развитие математики. Начнем изда-
лека.
Едва ли можно указать точно время рождения этой
науки. По-видимому, им можно считать тот день и час,
когда наш далекий предок, недавно спустившийся с де-
ревьев на землю, сообразил, что орех и еще один орех—
это два ореха, одна палка и еще одна палка — это две
палки и т. п. Вообще один предмет и еще один такой же
предмет— это два предмета. Шаг этот по своей значи-
тельности колоссален. Действительно, вместо того чтобы
говорить о конкретном орехе, он отвлекся от его специфи-
ческих черт и ввел абстрактное понятие — один орех.
Сразу же после этого могло возникнуть и первое правило
сложения: один плюс один равно два. Конечно, введен-
ная в те далекие времена операция сложения была дале-
ка от совершенства с нашей сегодняшней точки зрения.
Ведь какие числа были? Один, два и «много». Значит,
результаты сложения выглядели так:
один + один два
4
один-рдва = «много»
два + «много» = «много»
Безусловно, долго люди не могли обходиться столь
бедным набором чисел. Наверняка он приводил ко мно-
гим нелепым ситуациям. Скажем, просит один человек
у другого «много» орехов, а тот ему дает один и еще
два — ведь по правилам сложения это и будет «много».
Просивший же, быть может, хотел куда больше. Нали-
цо неоднозначность числа «много», а от этого неудобства
Неизвестно, сколько времени заняла борьба с этими не-
удобствами, но, конечно же, математика откликнулась
на практические нужды общества — множество чисел бы-
ло расширено, и в конце концов появилось столь знако-
мое нам множество чисел
1, 2, 3, 4,...
Казалось бы, уже хорошо, но нет. Снова неприятно-
сти. Оказывается, мало одной операции сложения — оре-
хи не только дают, иногда их отнимают. Пришлось вво-
дить вычитание. Если что-то отнимаешь, то орехов, ко-
нечно, делается меньше. А если ничего не отнимать, ко-
личество орехов ведь не изменится? Потребовалось вве-
сти еще одно число, которое хоть прибавляй, хоть отни-
май— ничего при этом не меняется. Так появился нуль.
А если мы хотим отнять пять орехов у человека, имеюще-
го только два? Всякий раз писать, что трех орехов не
хватило, — неудобно. Понадобились новые числа, и ма-
тематика охотно ввела их в жизнь — это отрицательные
числа.
Но потребность общества не знает границ. Людям, ви-
дите ли, захотелось сравнить, во сколько раз одно стадо
больше другого (сколько раз одно содержится в другом).
Хорошо, когда в одном стаде 100 голов, а в другом — 50.
Всякому ясно, что первое в два раз больше. А если чис-
ленности равны соответственно 100 и 75? Опять не хва-
тает чисел. Чтобы выйти из положения, пришлось ввести
рациональные числа, каждое из которых равно отноше-
нию двух целых чисел. Эту потребность общества мате-
матика удовлетворила, но... появились новые и т. д.
К чему вся эта история, тем более что нельзя дать
гарантии, что все происходило именно так? Да просто
после нее, может быть, более ясным покажется даль-
5
нейшее, меньше недоумений вызовет «устройство» сегод-
няшней математики.
Итак, что же такое математика? Есть множество оп-
ределений этой науки. Пожалуй, наиболее удачное, хотя
и наименее полезное, звучит так: «Математика — это то,
чем занимаются математики». Более содержательно, хо-
тя и все равно туманно, звучит такое определение: «Ма-
тематика есть наука, занимающаяся построением и изу-
чением абстрактных количественных моделей». Попыта-
емся разъяснить это определение.
Человеческая деятельность чрезвычайно многообраз-
на, самым тесным образом с ней связана необходимость
познания окружающего мира. Познание это идет в самых
различных направлениях — тут и строение вещества, и
законы движения, и законы передачи наследственной ин-
формации, и многое-многое другое. Каждая наука, а они
выделены, конечно, для удобства, чтобы не увязнуть
в бездне приобретенной информации да и чтобы удобнее
было совершенствовать и разрабатывать методы, при-
годные для изучения определенного круга явлений, веда-
ет определенной областью знания. Таким образом, ока-
зывается, что окружающий мир нами искусственно раз-
бит на «грядки» (рис. 1).
(«В грядку» Terra Incognita входят все науки, которые
до сегодняшнего дня еще не образовались. Безусловно
такие есть! Из уже сформированных приведены лишь не-
сколько.)
Что значит познать? Это значит суметь понять зако-
номерности тех или иных явлений, процессов, изучаемых
Рис. 1. Научные «грядки»
(>
определенной наукой. Понять настолько, чтобы можно
было бы создать модель изученного явления. (О том, что
такое модель, будет сказано дальше). Но модель моде-
ли рознь! Например, если мы хотим изучить закон дви-
жения стрелы, выпущенной из лука, то моделью, в част
ности, может служить и картина, изображающая летя
щую стрелу. Другой вопрос, много ли от этой модели
пользы?
Если мы хотим иметь возможность вычислять ско
рость стрелы, путь, пройденный ею, и другие количествен-
ные характеристики, то картина нам мало поможет
А вот количественная модель, обобщающая опыт, накоп-
ленный в наблюдениях над полетами многих стрел, поз-
воляющая по некоторым заданным параметрам рассчи-
тать все необходимые характеристики, это то, что
может нас удовлетворить.
Так вот, именно построением таких абстрактных ко-
личественных моделей реальных объектов разной приро-
ды и занимается математика. Причем, чем более совер-
шенна та или иная наука, чем больше в ней накоплено
фактического материала, тем более ценными оказыва-
ются создаваемые для нее математические модели.
Можно сказать и так. Математические модели для
каждой науки растут и развиваются вместе с самой этой
наукой. На первых порах они весьма простые, в дальней-
шем же могут оказаться весьма сложными, так как этого
будет требовать глубина изученных вопросов, многооб-
разие явлений и т. п. (Сравните с рассказанной ранее
историей об орехах, множестве чисел и введении опера-
ций над ними.)
Но было бы совершенно неправильно думать, что та-
кими моделями математика и заканчивается. Если по-
зволить себе весьма вольную, но полезную аналогию, то
математику можно представить в виде многоэтажного
здания. Первый этаж его как раз и образуют математи-
ческие модели реальных явлений и процессов. Но ведь
и сами модели могут служить объектом изучения! Так
вот, во втором этаже здания «Математика» уже нет речи
о реальных объектах, здесь изучаются абстрактные мо-
дели. Для подобного изучения нередко оказывается по-
лезным введение новых понятий, разработка целых тео-
рий. Возникает специальный язык, на котором говорят
люди, исследующие модели (во время работы, конечно),
и на котором они формулируют свои результаты.
Так как введены новые понятия и появились теории, то
* необходимо провести их дальнейшее исследование, уста-
новить связи между ними. Этим и занимаются на следую-
щем этаже, а так как при этом изучении могут опять воз-
никнуть новые этажи этого здания, то оно все время
строится.
Здесь необходимо отметить несколько очень важных
моментов. Прежде всего разбиение верхних этажей «Ма-
тематики» на отдельные «грядки» отнюдь не соответству-
ет разбиению нижнего. Оно осуществляется на основа-
нии общности видов моделей и методов, применяемых для
их исследования, хотя модели могут описывать явления
совсем различной природы. Да и существующее разбие-
ние не является чем-то окончательным, вечным. Так как
создаваемые методы и теории влияют друг на друга, не-
редко в основе их оказываются сходные идеи, то не уди-
вительно, что демаркационные линии часто передвигают-
ся, — сегодня, например, имеем две отдельные «грядки»
второго этажа, а завтра, глядишь, они обе уже стали
частью одной большой «грядки» третьего этажа. Теперь
относительно критерия правильности результатов. На
первом этаже все обстоит совершенно понятно. Если
модель хорошо соответствует оригиналу, то естественно
ее считать хорошей, правильной. В противном случае мо-
дель нуждается в совершенствовании. А как быть на
верхних этажах, где практика уже не может (непосред-
ственно!) послужить критерием истинности? Там на по-
мощь приходят косвенные соображения — логическая
непротиворечивость результата, аналогии в других обла-
стях, правдоподобность следствий результата и т. п.
Может возникнуть совершенно справедливый вопрос:
«А нужны ли все эти абстрактные результаты, если труд-
но даже выяснить, правильны они или нет?» Оказывается,
что нужны. И мало сказать нужны — необходимы. Ведь
для того чтобы построить модель некоторого процесса,
сформулировать новый закон и т. п., нужен определенный
арсенал понятий. Без них ничего и не сформулируете.
Возьмем, например, хорошо известный второй закон Нью-
тона. (Для тех, кто его подзабыл, напомним: сила равна
произведению массы тела на ускорение, вызываемое этой
силой.)
Могли бы мы сформулировать этот закон, не зная, что
такое ускорение? Нет, конечно. Установление же более
8
тонких законов требует и введения соответствующих по
нятий. Таким образом, оказывается, что разрабатываемый
в верхних этажах «Математики» язык необходим для
создания новых, более глубоких моделей. Благодаря тому
что он создается, происходит сокращение «Terra Incogni-
ta» (см. рис. 1), создаются новые уточненные модели.
Пользуясь аналогией, можно сказать, что в верхних эта-
жах создаются орудия, позволяющие как обрабатывать
целину (Terra Incognita), так и вести более качественную
обработку уже используемых угодий (существующие на-
уки).
До сих пор мы говорили, что математические модели
создаются в результате изучения тех или иных реальных
явлений, процессов. Однако это не единственный путь.
Великий математик Д. Гильберт считал, что математика
должна быть «свободной», что «...ее понятия связаны
только требованиями быть непротиворечивыми и соответ-
ствовать понятиям, введенным ранее посредством точных
определений». Таким образом, оказывается, что можно
строить модели, не заботясь о существовании для них ре-
альных прообразов, —- исходные понятия вводятся совер-
шенно произвольно, а дальше действуют правила логиче-
ского вывода. Казалось бы, что при таком подходе ни о
какой практической ценности полученных результатов не
может быть и речи, ведь все построения есть типичная
гимнастика ума, далекая от жизни. Но не забывайте, что
хотя исходные понятия и вводятся совершенно произволь-
но, но вводящий их не может, как правило, отрешиться
от имеющегося у него опыта, знания других разделов
математики и т. п. Благодаря этому и оказывается, что
совершенно абстрактные модели, если они действительно
хороши, в конце концов оказываются полезными и для
нужд практики — незримые нити, идущие через опыт их
авторов, прочно связывают эти умозрительные выдумки
с реальной действительностью.
Мы уже говорили, что на разных «грядках», на разных
«этажах» изучаются различные проблемы. Разница в про-
блематике приводит и к разнице в языках, на которых
говорят разные участки. Чем ближе к первому этажу, тем
более этот язык близок к общепринятому, чем дальше,
тем он более не похож на русский язык. Эта книга ориен-
тирована на читателя неспециалиста, и мы не можем
пользоваться языком верхних этажей. Нецелесообразной
вводить его. Поэтому мы ограничимся тем, что пройдемся
9
ио нескольким «грядкам» первого этажа, поговорим о
вполне конкретных моделях, о возможностях их исполь-
зования.
§ 2. ЗАЧЕМ НУЖНЫ МОДЕЛИ)
Чтобы ответить на вопрос, вынесенный в название этого
параграфа, следовало бы прежде всего дать определение
модели. Однако это не так просто, т. к. различных опре-
делений имеется довольно много. Поэтому мы пойдем дру-
гим путем. Сначала приведем несколько примеров, пояс-
няющих, что такое модель, а уж потом, когда некоторое
интуитивное представление о понятии «модель» сформи-
руется, дадим одно-два определения.
Архитектор готовится построить здание невиданного
доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружа-
ет это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть,
как оно будет выглядеть. Это модель.
Для того, чтобы объяснить, как функционирует систе
ма кровообращения, лектор демонстрирует плакат, на ко-
тором стрелочками изображены направления движения
крови. Это модель.
Перед тем как запустить в производство новый само-
лет, его помещают в аэродинамическую трубу и с по-
мощью соответствующих датчиков определяют величины
напряжений, возникающих в различных местах конструк-
ции. Это модель.
На стене висит картина, изображающая бушующее
море. Это модель.
Перечислять примеры моделей можно сколь угодно
долго, не будем этого делать, а попытаемся понять, какова
роль их в уже приведенных примерах.
Конечно, архитектор мог бы построить здание без пред-
варительных экспериментов с кубиками. Но... он не уве-
рен, что здание будет выглядеть достаточно хорошо. Ес-
ли оно окажется некрасивым, то многие годы потом оно
будет немым укором своему создателю, лучше уж поэк-
спериментировать с кубиками.
Конечно, лектор мог бы для демонстрации воспользо
ваться подробным анатомическим атласом. Но ... эта под-
робность ему совершенно не нужна при изучении системы
кровообращения. Более того, она мешает изучению, т. к.
ю
мешает вниманию сосредоточиться на главном. Лучше
уж воспользоваться плакатом.
Конечно, можно запустить самолет в производство и
не зная, какие напряжения возникают, скажем, в крыль-
ях. Но... эти напряжения, если они окажутся достаточно
большими, вполне могут привести к разрушению самоле-
та. Лучше уж сначала исследовать самолет в трубе.
Конечно, богатейшие эмоциональные впечатления
можно получить стоя на берегу бушующего моря. Но ...
если вы вдали от моря или на море штиль, или речь идет
о передаче этих впечатлений человеку, который вообще
даже не видел моря. Лучше уж посмотреть на картину,
изображающую море.
Во всех перечисленных примерах имеет место сопостав-
ление некоторого объекта с другим, его заменяющим: ре-
альное здание — здание из кубиков; серийный самолет—
единичный самолет в трубе; система кровообращения —
схема на плакате; бушующее море — картина, его изо-
бражающая. Причем во всех случаях предполагается, что
какое-то свойство (свойства) сохраняется при переходе
от исходного объекта к заменяющему или по крайней ме-
ре позволяет судить об исходном свойстве.
Хоть здание из кубиков и много меньше настоящего,
но оно позволяет судить о внешнем виде его.
Хоть плакат и не имеет ничего общего с тканями и
системами живого организма, но он позволяет судить о
том, откуда и куда течет кровь.
Хоть самолет, находящийся в аэродинамической тру-
бе, и не летит, но напряжения, возникающие в его корпу-
се, соответствуют условиям полета.
Хоть картина и море с физической точки зрения не
имеют, казалось бы, ничего общего, но эмоции они могут
вызвать сходные.
После всего сказанного становится понятным такое
определение.
Модель — это такой материальный или мысленно
представляемый объект, который в процессе познания
(изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некото-
рые важные для данного исследования типичные его
черты.
С незапамятных времен при изучении сложных про-
цессов, явлений, конструировании новых сооружений и
т. п. человек применяет модели. Хорошо построенная мо-
11
дель, как правило, доступнее для исследования, нежели
реальный объект. Более того, некоторые объекты вообще
не могут быть изучены непосредственным образом: недо-
пустимы, например, эксперименты с экономикой страны в
познавательных целях; принципиально неосуществимы
эксперименты с прошлым или, скажем, с планетами Сол-
нечной системы и т. п.
Другое не менее важное назначение модели состоит в
том, что с ее помощью выявляются наиболее существен-
ные факторы, формирующие те или иные свойства объек-
та, поскольку сама модель отражает лишь некоторые
основные характеристики исходного объекта.
Модель позволяет также научиться правильно управ-
лять объектом, апробируя различные варианты управле-
ния на модели этого объекта. Экспериментировать в этих
целях с реальным объектом в лучшем случае бывает не-
удобно, а зачастую просто вредно или вообще невозможно
в силу ряда причин (большой продолжительности экспе-
римента во времени, риска привести объект в нежелатель-
ное и необратимое состояние и т. п.).
Если объект исследования обладает динамическими
характеристиками, т. е. характеристиками, зависящими от
времени, особое значение приобретает задача прогнози-
рования динамики состояния такого объекта под дейст-
вием различных факторов. При ее решении использова-
ние моделей также может оказать неоценимую помощь.
Итак, резюмируя, можно сказать, что модель нужна:
1) для того чтобы понять, как устроен конкретный
объект: какова его структура, основные свойства, законы
развития и взаимодействия с окружающим миром;
2) для того чтобы научиться управлять объектом (или
процессом) и определить наилучшие способы управления
при заданных целях и критериях;
3) для того чтобы прогнозировать прямые и косвенные
последствия реализации заданных способов и форм воз-
действия на объект.
Хорошо построенная модель, как правило, обладает
удивительным свойством: ее изучение дает некоторые но-
вые знания об объекте — оригинале. Это, безусловно,
очень важное свойство, играющее притягательную роль
для тиц, занимающихся изучением моделей
12
Процесс построения модели называется моделирова
нием. Существует несколько приемов моделирования, ко-
торые можно условно объединить в две большие груп-
пы: материальное (предметное) и идеальное моделиро-
вание.
К материальным относятся такие способы моделиро-
вания, при которых исследование ведется на основе мо-
дели, воспроизводящей основные геометрические, физи-
ческие, динамические и функциональные характеристики
изучаемого объекта. Основными разновидностями мате-
риального моделирования являются физические и анало-
говые моделирования.
Физическим принято называть моделирование, при
котором реальному объекту противопоставляется его уве-
личенная или уменьшенная копия, допускающая иссле-
дование (как правило, в лабораторных условиях) с по-
мощью последующего перенесения свойств изучаемых
процессов и явлений с модели на объект на основе теории
подобия. Вот несколько примеров физических моделей:
в астрономии — планетарий, в гидротехнике — лотки с
водой, моделирующие реки и водоемы, в архитектуре —
макеты зданий, в самолетостроении — модели летатель-
ных аппаратов и т. п.
Аналоговое моделирование основано на аналогии про-
цессов и явлений, имеющих различную физическую при-
роду, но одинаково описываемых формально (одними и
теми же математическими уравнениями, логическими схе-
мами и т. п.). Наиболее простой пример — изучение
механических колебаний с помощью электрической
схемы, описываемой теми же дифференциальными урав-
нениями.
Заметим, что в обоих типах материального моделиро-
вания модели являлись материальным отражением исход-
ного объекта и были связаны с ним своими геометричес-
кими, физическими и другими характеристиками, причем
процесс исследования был тесно связан с материальным
воздействием на модель, т. е. состоял в натурном экспе-
риментете с ней. Таким образом, предметное моделиро-
вание по своей природе является экспери ентальным
МОТОДОМ.
От предметного моделирования принципиально огли-
пается идеальное моделирование, которое основано не на
материальной аналогии объекта и модели, а на анало-
ги идеальной, мыслимой.
13
Идеальное моделирование носит теоретический харак-
тер. Различают два типа идеального моделирования: ин-
туитивное и знаковое.
Под интуитивным понимаем моделирование, осно-
ванное на интуитивном представлении об объекте иссле-
дования, не поддающемся формализации либо не нужда-
ющемся в ней. В этом смысле, например, жизненный опыт
каждого человека может считаться его интуитивной мо-
делью окружающего мира.
Знаковым называется моделирование, использующее в
качестве моделей знаковые преобразования какого-либо
вида: схемы, графики, чертежи, формулы, наборы симво-
лов и т. д., а также включающее совокупность законов, по
которым можно оперировать с выбранными знаковыми
образованиями и их элементами.
Важнейшим видом знакового моделирования является
математическое моделирование, при котором исследова-
ние объекта осуществляется посредством модели, сфор-
мулированной на языке математики, и использованием
тех или иных математических методов. Классическим
примером математического моделирования является опи-
сание и исследование основных законов механики И. Нью-
тона средствами математики.
§ 3. ОТКУДА БЕРУТСЯ МОДЕЛИ)
Конечно, однозначного ответа на этот вопрос нет. Здесь
мы остановимся на двух источниках, регулярно питаю-
щих науку и практику моделями.
Представим себе на минутку, что мы не знаем ничего
о свойствах равномерного прямолинейного движения. Все
формулы, относящиеся к этому разделу физики, забыты.
И вот в этих сложных условиях возникла необходимость
решить такую задачу.
Из пункта А в пункт Б, удаленный от него на 100 км,
вышел пешеход. Скорость пешехода 5 км/ч. Через
сколько часов он придет в пункт Б, если пешеход движет-
ся равномерно и прямолинейно?
Еще раз напоминаем тем, кому очень хочется разде-
лить 100 км на 5 км/ч и получить результат,— этого
делать нельзя. В силу нашего условия.
14
Приступим к решению. Будем рассуждать так. Несом-
ненно, что пройденный путь S зависит от скорости движе-
ния v и времени t, в течение которого движение продол-
жается. Значит, можно утверждать, что есть связь
S = f(u, /).Если бы нам удалось определить вид функции
f, то это была бы математическая модель, описывающая
важные свойства равномерного прямолинейного движе-
ния. Как же это сделать?
Не вызывает сомнения, что чем больше значение v,
тем больше S (при фиксированном t). И чем больше зна-
чение t, тем больше S (при фиксированном и). Легко со-
образить, что перечисленным условиям удовлетворяет
функция f вида:
f (v, t) =-= vmfn, tn > 0, п > 0. (I)
Величины тип нужно подобрать так, чтобы они соответ-
ствовали результатам наблюдения за пешеходом. Зада-
дим, например, т=\ и п=3. Это вместе с формулой (1)
гипотеза, которую мы высказываем. Будем наблюдать за
пешеходом в течение некоторого времени. Пусть наблю-
дения ведутся в течение 10 минут от /=0 до t= 10, на гра-
фике с интервалом в одну минуту изображаются величи-
ны пути — фактическая и расчетная. Сравним результаты
(рис. 2). Понятно, что расчетная кривая слишком круто
уходит вверх и плохо соответствует результатам наблюде-
ний. Это означает, что принятая гипотеза плоха. Чтобы
ее улучшить, нужно либо увеличить tn, либо уменьшить п.
Возьмем, скажем, п = 2 и повторим сравнение расчетных и
фактических данных (рис. 3). Снова плохое соответствие.
Можно продолжать подбирать тип, пользуясь таким
методом проб и ошибок, а можно свести поиск этих вели-
чин к решению некоторой математической задачи.
Обозначим через 5 путь, пройденный пешеходом за
t минут. Тогда, если решить задачу
min (S -
т,п
т. е. найти минимум выражения в фигурных скобках и
взять в качестве значений т и п те величины, на которых
этот минимум достигается, будет найдена искомая функ-
15
Рис 2 Фактические (х) и рас-
четные (о) величины пути,
соответствующие различным
значениям t. s = vt3
Рис. 3. Фактические (х) и рас
четные (о) величины пути, со
ответствующие различным зна
чениям /, s = vf2
Ж
1b
ция. Сейчас не имеет смысла останавливаться на методах
решения этой задачи, так как это увело бы в сторону
от изучаемого вопроса. Отметим только, что решение не
слишком сложно, и результат его таков: /и=1, п=1.
Теперь можно сказать, что нами построена математи-
ческая модель S = vt, описывающая свойства равномер-
ного прямолинейного движения. Пользуясь ею, можно без
труда вычислить, что пешеход попадет в пункт Б через
20 часов после выхода из пункта А.
Итак, констатируем, что математическая модель воз-
никла в результате принятия определенной научной гипо-
тезы, <S = um£n, и последующей оцифровки ее выражения
на основе результатов наблюдений (а возможно, и резуль-
татов специально проведенных экспериментов).
Вот один источник появления математических моделей.
Что касается второго, то с ним дело обстоит совсем про-
сто. Если некоторая гипотеза уже проверена и понятны
условия, когда она верна, то при выполнении этих усло-
вий гипотеза приобретает характер закона и соответст-
вующая математическая модель может применяться. Ма-
тематические модели могут возникать и иными путями, о
чем будет сказано ниже
§ 4. КАК ВЕДУТСЯ МОДЕЛЬНЫЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
Исходным пунктом исследования, его отправной точкой
служит некоторая задача из той или иной предметной
области (физики, экономики, химии и др.). Для этой
задачи строится математическая модель (В § 1 гл. 6 про-
цесс построения математической модели обсуждается до-
статочно подробно.)
Итак, модель построена. Что делать дальше?
На следующем этапе разрабатывается или использу-
ется созданный ранее алгоритм для анализа этой модели.
Если модель и алгоритм не слишком сложны, то может
оказаться возможным аналитическое исследование мо-
дели. В противном случае составляется программа, реа-
лизующая этот алгоритм на ЭВМ. После выполнения рас-
четов по модели на ЭВМ их результаты обязательно срав-
2 А Б Горстко 'Д’ 1"
ниваются с фактической информацией из соответствую-
щей предметной области. Это сравнение необходимо для
того, чтобы убедиться в адекватности модели, в том, что
модельным расчетам можно верить, их можно использо-
вать.
Если окажется, что результаты расчетов не имеют ни-
чего общего с реальной действительностью, то следует
вернуться к построенной модели — быть может, она нуж-
дается в усовершенствовании. Возможны также ошибки
в алгоритме и (или) в программе для ЭВМ. Такие по-
вторные просмотры продолжаются до тех пор, пока ре-
зультаты расчетов не удовлетворят исследователя. Те-
перь модель готова к использованию.
Итак, ни ЭВМ, ни математическая модель, ни алго-
ритм для ее исследования порознь не могут решить до-
статочно сложную исходную задачу. Но вместе они пред-
ставляют ту силу, которая позволяет познавать окру-
жающий мир, управлять им в интересах человека.
Глава 2
ДЕСКРИПТИВНЫЕ МОДЕЛИ
Слово «дескриптивный» происходит от английского сло-
ва description, что означает «описание». Математические
модели, относящиеся к этому классу, как показывает его
название, предназначены для описания различных про-
цессов. Очень важно отметить, что процессы могут отно-
ситься к разнообразным отраслям знания, как было ска-
зано выше, к разным «грядкам», а математическое опи-
сание их принадлежит к одному классу. Поэтому здесь
и в последующих главах приводятся примеры из разных
областей знания.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
Выше было сказано, что уровень «математизации» в
различных науках различен. Это объясняется многими
причинами — спецификой науки, тем, когда в ней нача-
ли применять математические методы и т. п. Одной из
наиболее продвинутых в этом смысле наук является тео-
ретическая механика, где математика с успехом исполь
зуется уже не одну сотню лет. Отдавая дань уважения
этой науке, начнем с рассмотрения несложной механиче-
ской задачи.
На гладком столе (считаем, что трением можно пре-
2*
19
небречь) лежит небольшой металлический шарик, при
крепленный к пружине. В начальный момент пружина
не напряжена (рис. 4). Сожмем пружину, но так, чтобы
она не потеряла своих упругих свойств. Тогда в соответ-
ствии с законом Гука на шарик действует упругая сила,
равная kx, где k — коэффициент упругости, а х— вели-
чина деформации пружины. Отпустим шарик, и он нач-
нет двигаться под действием этой силы. Обозначив мас-
су шарика через т, можно записать для него второй
закон Ньютона:
tnx— —kx.
(2)
Это уравнение и представляет собой математическую мо-
дель упругих колебаний шарика. Исследуя ее, можно
прогнозировать, в какой момент времени, где будет на-
ходиться шарик. Пусть в начальный момент времени ша-
рик находится в точке х0, т. е. х(О)=Хо, и отпускается
без начальной скорости, т. е. х(0)=0. Уравнение (2)
без труда может быть решено, так как это обыкновен-
ное дифференциальное уравнение с постоянными коэф-
фициентами. Решение имеет вид:
х (/) - A sin |/~ / В cos |
где А и В — постоянные, которые должны быть выбраны
так, чтобы удовлетворялись начальные условия
Имеем:
Рис. 4. Простейшие упругие колебания
20
Следовательно,
x(t) -- х0cos у ~t.
Пользуясь найденным выражением, можно прогнозиро-
вать, в какой точке оси ОХ будет находиться шарик в
любой момент времени. Для этого нужно задать значе-
ние /, а также величины k и т.
Может возникнуть вопрос: а почему эти колебания
названы простейшими? Ответ на него очень прост. Толь-
ко в случае достаточно малых деформаций пружины
сила упругости пропорциональна величине деформа-
ции, приведенное уравнение описывает именно этот слу-
чай
§ 2. ДИНАМИКА ПОПУЛЯЦИЙ
Один из вопросов, который очень часто возникает в со-
временной экологии, состоит в следующем: как опреде-
лить численность той или иной популяции через опреде-
ленное время? Ответ на него представляет не только
теоретический интерес, но и имеет большое практическое
значение. Действительно, не зная этого, нельзя правиль-
но планировать эксплуатацию различных возобновимых
природных ресурсов—промысловых рыб, охотничьих
угодий и т. п. Может ли в решении этого вопроса помочь
математика? Оказывается, да. Мы рассмотрим здесь две
простейшие модели, на которых проиллюстрируем под-
ходы к вопросу.
Пусть некоторая популяция (сообщество особей од-
ного вида) имеет в момент t0 биомассу Хо. Предположим,
что в каждый момент времени скорость увеличения био-
массы пропорциональна уже имеющейся биомассе, а
возникающие явления самоотравления снижают биомас-
су пропорционально квадрату наличной биомассы. Если
обозначить биомассу в момент t через х(/), а изменение
ее за время Xt через Дх, то можно записать следующее
приближенное равенство:
Дх« (kx—ах2) Д/,
где а и k — постоянные.
В дифференциальной форме это же соотношение име-
ет вид:
— = kx — ах2.
dt
(3)
21
Оно и представляет собой математическую модель про-
цесса изменения биомассы популяций.
Если поставить теперь вопрос о том, какова же будет
биомасса в момент Т, то для отыскания ответа на него
можно указать два пути: либо дождаться этого момента
и непосредственным измерением определить биомассу
(может статься, что эта задача физически неосуществи-
ма, например, как измерить биомассу популяции китов
в океане?), либо воспользоваться математической мо-
делью. Естественно, мы изберем последний путь.
Разделяя переменные в уравнении (3) и интегрируя
его при условии x(t0)=x0, находим следующее решение:
=.
k — а х0 (1 — ekt)
Отсюда уже можно определить биомассу в момент Г:
k — axQ (1 — ekT)
На рис. 5 приведен график зависимости биомассы от
времени. Представим себе, что мы задались целью со-
бирать «урожай» с рассматриваемой популяции, т. е.
изымать часть биомассы из экосистемы. Возникает во-
прос: когда и сколько собирать урожая, чтобы суммар-
ный урожай за время (/0, Т) был бы максимален? Это
более сложный вопрос, чем предыдущий. Не будем оста-
навливаться на его точном решении, а отметим только,
что математическая модель также дает возможность на
него ответить. Качественно результат таков: пока био-
масса меньше некоторого критического значения, сбор
урожая не производится вовсе, в дальнейшем же для до-
стижения максимального суммарного урожая необходи-
мо вести непрерывный сбор его.
Мы рассмотрели весьма упрощенную ситуацию, так
как предполагалось, что популяция не взаимодействует
ни с какими другими популяциями, учет же этого об-
стоятельства, конечно, значительно усложняет модель.
Рассмотрим одну из таких моделей.
Будем обозначать биомассы двух популяций через х
и у соответственно. Предположим, что обе популяции
потребляют один и тот же корм, которого имеется огра-
22
Рис. 5. Зависимость биомассы от
времени при различных начальных
значениях х0
Рис. 7. Популяция х стабилизиру-
ется, популяция у вымирает; вы-
К1
полняется условие х0 <
23
ниченное количество, и из-за этого находятся в конку-
ретной борьбе друг с другом.
Французский математик Вольтерра показал, что при
таком предположении динамика популяций достаточно
хорошо описывается следующей системой дифференци-
альных уравнений:
at
e2 (>4JC ф Z2y) y,
at
где klt k2, ei, 62, Ai, A2—действительные положитель-
ные числа. Первые члены правых частей характеризуют
скорости роста популяций, если бы не было ограничи-
вающих факторов. Вторые же члены учитывают те из-
менения в скоростях, которые вызываются ограничен-
ностью корма.
Разработанные в теории дифференциальных уравне-
ний методы позволяют изобразить графики, выражаю-
щие связь между величинами х и у в зависимости от кон-
кретных значений коэффициентов k\, ei, 62, Ai, A2
(рис. 6, 7).
Из этих рисунков можно сделать некоторые выводы.
Понятно, что в конце концов численность одной из по-
пуляций становится равной нулю, а численность другой
стабилизируется. Какой? Та популяция, у которой от-
ношение k/e меньше, вымирает, другая же выживает и
стабилизируется.
§ 3. ПРОСТЕЙШАЯ МОДЕЛЬ ЭПИДЕМИИ
За многие годы существования человечества огромное
число людей погибло от различных эпидемий. Чума, хо-
лера, грипп и некоторые другие болезни нередко пора-
жали значительные массы людей. Для того чтобы иметь
примеЖН°СТЬ боРоться с эпидемиями, т. е. своевременно
рантиныТЬ Те ИЛИ иные медицинские мероприятия (ка-
нивать эффемивноА11 И т' п )> необх°Димо Уметь сРав‘
их можно только вtoJ™ меР™[>ия™й. Сравнить же
ТОМ случае, если есть возможность
24
предсказать, как при том или ином мероприятии будет
меняться ход эпидемии, т. е. как будет меняться число
заболевших.
Отсюда возникает необходимость в построении моде-
ли, которая могла бы служить целям прогноза.
Для простоты мы будет рассматривать последствия
самого простого мероприятия — ничегонеделания, т. е.
будем прогнозировать естественный ход эпидемии.
Понятно, что модель эпидемии может включать в
себя влияние факторов самых различных уровней. Так,
можно было бы учесть законы, управляющие деятель-
ностью бактериальных клеток, степень восприимчивос-
ти к инфекции отдельных людей, когда заболевший ста-
новится источником инфекции, вероятности встречи но-
сителей инфекции с еще здоровыми людьми и многие
другие факторы. Иными словами, более или менее пол-
ная модель эпидемии должна затронуть области, изу-
чаемые по меньшей мере тремя науками: микробиоло-
гией, медициной и социальной йсихологией.
Так как нашей целью является лишь создание иллю-
стративной модели, то здесь мы абстрагируемся от
очень многих факторов. Тем не менее даже в такой гру-
бой модели удается воспроизвести обычно наблюдаемое
в эпидемиях явление — сначала число заболевших
растет, а начиная с некоторого момента, оно умень-
шается.
Итак, пусть имеется N здоровых людей, и в момент
времени t==0 в эту группу попадает один заболевший
человек (источник инфекции). Будем предполагать, что
никакого удаления заболевших из группы не происхо-
дит (нет ни выздоровления, ни гибели, ни изоляции).
Считаем также, что человек становится источником ин-
фекции сразу же после того, как он сам заразится.
Обозначим число источников инфекции в момент вре-
мени t через х(0, а число могущих заболеть — через y(t)
(очевидно, что x(t) +*/(0 =N+ 1 в любой момент вре-
мени) .
При / = 0 выполняется условие х(0) = 1.
Рассмотрим интервал времени t, /-рА/, где А/ — ма-
лая величина. Сколько новых больных появится за этот
промежуток времени? Можно предположить, что их чис-
ленность будет пропорциональна величине А/, а также
25
числу встреч здоровых и заболевших людей, т. е. произ-
ведению величин х(/), y(t), т. е. Дх«ax(t) • y(t) • Д/, где
а — коэффициент пропорциональности.
Последнее соотношение можно переписать так: Дх«
ax(t) [ЛЖ-х(0] АЛ
Устремляя Д/ к нулю, получим в пределе
— = ах [IT 4 1 -х].
dt
Полученное дифференциальное уравнение вместе с
условием х(0) = 1 определяет функцию х(/), т. е. чис-
ленность заболевших в момент времени t.
Решим это уравнение. Прежде всего для этого вве-
дем новую неизвестную функцию u(t), связанную с
функцией х(/) соотношением —(Уравнение
для этой новой функции окажется проще, а, решив его,
мы сумеем найти и х(/).)
Так как —то, дифференцируя это тожде-
I dx du т,
ство, получаем ---- — -= —. Используя последние
л-2(0 dt dt
два соотношения, преобразуем дифференциальное урав-
нение к виду
- --а (Д'4 - а.
Как известно, общее решение этого уравнения может
быть представлено в виде суммы общего решения одно-
родного уравнения и частного решения неоднородного,
т. е.
u(t)^Ce +
где С— произвольная постоянная.
Отсюда
xt_____У -L1
Хе ',<N + n( д- 1
26
Так как при / = 0 значение x(t) — 1, то для опреде-
ления величины С имеем уравнение
откуда
Окончательно
X ------ __________________________________________—_________________-
Итак, мы знаем число заболевших как функцию вре-
мени. Проанализируем полученную формулу.
Полагая /=0, как и следовало ожидать, получаем
х(0) = 1.
При возрастании t знаменатель дроби убывает, т. е.
х(/) увеличивается. Это соответствует нашим представ-
лениям, так как, согласно им, число заболевших может
только увеличиваться.
Интересно выяснить, как меняется скорость увеличе-
ния числа больных. Для решения этого вопроса нужно
d^x
изучить величину
Дифференцируя, получаем
d^x (N -+ [ATg-2a(N-i)t_g-»(N-H)tj
dft (дг^ ~a(N r 1 Н_|_ j)3
Числитель дроби обращается в нуль при t - - 1п .
1 (N + I)
1аким образом, когда ге О, --------- , величина---л О,
[ т. (N 4- 1) j dt%
а когда t е
1пЛГ
a (N + 1)’
Следовательно, функция
“ Л - л
величина----< U.
dtz
dx
— —скорость возрастания
dt
числа заболевших — растет вплоть до момента
2 in Л' А
с = ---------, а затем убывает.
а (У 4 1)
Эю1 резулыат, несмо1ря на грубость модели, согла-
суется с экспериментальными данными, так как извест-
но, что в начале эпидемии число заболевших резко воз-
растает, а впоследствии скорость распространения ип
фекции снижается
§ 4. МЕЖОТРАСЛЕВОЙ БАЛАНС
Идея сбалансированности лежит в основе всякого ра-
ционально функционирующего хозяйства. Суть ее в
юм, что все затраты должны компенсироваться дохо
дами хозяйства Если угодно, это некоторый социальный
аналог известных законов сохранения. Посмотрим, к ка-
ким результатам может привести формализованное вы-
ражение баланса всего народного хозяйства
Прежде всего понятно, что без значительных предпо-
ложений об агрегировании не обойтись. Будем считать,
что хозяйство состоит из п отраслей, производящих каж-
дая свой продукт. (В используемых на практике межот-
раслевых балансах п имеет порядок сотен.) Вот дея-
тельность этих отраслей мы и постараемся сбалансиро-
вать. Схематически это сделано в табл. 1.
Для того чтобы лучше разъяснить принципы построе-
ния межотраслевого баланса, ограничимся условно толь-
ко четырьмя отраслями производства: 1 — производство
электроэнергии, 2 — топливная промышленность, 3 —
черная металлургия и 4 — легкая промышленность.
Величина выражает объем продукции i-й отрасли,
затрачиваемой при функционировании /-й отрасли. На-
пример, хн — количество электроэнергии, затрачивае-
мое при производстве электроэнергии, Х12 — количество
электроэнергии, затрачиваемое в топливной промышлен-
ности. Электроэнергия расходуется и в черной металлур-
гии, и в легкой промышленности, и эти потребности оп-
ределят соответственно величины Xj3 и хн. Однако элек-
троэнергию потребляют не только перечисленные отрас-
ли производства. Потребителями являются население,
транспорт, культурные учреждения и др.
Обозначим объем конечного продукта /-й отрасли
через Uj Он складывается из непроизводственного пот-
ребления ctj (включая и вложения в непроизводственные
фонды) и накопления производственных фондов Ес-
ли общий объем производства /-й отрасли обозначить Wj,
то приходим к следующим соотношениям:
2Я
Таблица I
uj,. / — 1, 2, 3, 4.
где
4
«г:4>,к И -vj — aj + H-
Л=1
Эти уравнения получаются в результате суммирования
по строкам и указывают, как используется и распреде-
ляется произведенная продукция. Например, первое из
них (/==1) означает, что вся произведенная электро-
энергия Wi распределяется между четырьмя отраслями
производства (Ui = xii4-x12 + xi34-xi4) непроизводствен-
ным потреблением и накоплением (ui = ai+Pi).
Матрица межотраслевого баланса может строиться
как в натуральной (тонны металла и т. п.), так и в стои-
мостной форме (в каких-то базовых неизменных ценах).
В дальнейшем будем иметь в виду именно последнюю
форму баланса.
Однако отрасль можно анализировать не с точки зре-
ния распределения ее продукции, а с точки зрения зат-
рат на производство в данной отрасли. Так, для получе-
ния продукции черной металлургии требуются и элек-
29
троэнергия, и топливо, и изделия легкой промышлен-
ности (спецодежда и т. п.).
Помимо этого, в t-й отрасли имеются затраты на за-
работную плату, равные zi, а также доход возникаю-
щий при реализации продукта отрасли.
Таким образом, для затрат на производство продук-
ции i-й отрасли можно записать следующее равенство:
4
OJj = £xkl 4- Zi -н 8j, i —1,2, 3,4. (4)
Например, последнее из них (£=4) означает, что стои-
мость продукции легкой промышленности равна стои-
мости затраченных в ней продуктов всех четырех отрас-
лей плюс заработная плата работников легкой промыш-
ленности и доход, полученный от реализации продуктов
легкой промышленности.
Совокупность величин щ, vn представляет собой
национальный доход в его отраслевой структуре, а v —
= v14-v2+ — +^п — суммарный национальный доход.
Рассмотренные нами балансовые соотношения пред-
ставляют собой большую ценность, так как на их основе
могут рассчитываться многие важные экономические ха-
рактеристики— коэффициенты прямых и полных затрат
и др. Действительно, из уравнений связи затрат и вы-
пуска продукции можно подсчитать затраты продукта
ьй отрасли на выпуск единицы продукта k-и отрасли.
Эти числа aik и являются коэффициентами прямых зат-
рат.
Так, например, коэффициент прямых затрат электро-
энергии на продукцию металлургии составляет я]3 ==—
Однако расход электроэнергии на металл не исчер-
пывается непосредственными затратами ее. На металл
расходуется топливо, в производстве которого тоже ис-
пользуется электроэнергия, и эти затраты электроэнер-
гии должны быть учтены как связанные с производст-
вом металла.
Если произвести аналогичным образом подсчет всех
затрат, приходящихся на единицу конечного продукта,
то будут определены коэффициенты полных затрат. От-
метим, что полные затраты могут существенно отличать-
ся от прямых.
Вычисление экономических показателей все же не
главное, для чего используются модели межотраслево-
го
го баланса. С помощью этих моделей можно произвести
увязку потребностей и ресурсов в рамках всего народ-
ного хозяйства. Действительно, с помощью коэффици-
ентов прямых затрат выразим величины xjk через объ-
емы производства соответствующих отраслей (xjk =
==ajk^k) и подставим их в соотношение (4). Получаем
4
W, - -Ь /-=1,2, 3,4.
fe=i
Понятно, что для случая п отраслей нужно просто 4
заменить на п, т. е.
Vi, j =1, 2 . . . , ti. (5)
*=i
С математической точки зрения соотношения (5) пред-
ставляют собой систему из п линейных алгебраических
уравнений с 2п неизвестными — объемами производства
Wj и объемами конечного продукта Vj. Однозначно опре-
делить 2л неизвестных из л уравнений невозможно, но,
к счастью, это и не нужно. Дело в том, что перед тем как
определить производственные планы всех отраслей, а
именно это мы и хотим сделать, ведется большая пред-
плановая работа, связанная с разного рода экономиче-
скими прогнозами. Эти прогнозы касаются всех сущест-
венных сторон жизни общества — политические и демо-
графические прогнозы, прогнозы ресурсов, прогнозы по-
требностей населения в различных видах продукции и
многие, многие другие. На основании этих прогнозов
с той или иной степенью точности могут быть заданы
объемы конечного продукта Uj. Тогда в системе п урав-
нений (5) окажется ровно п неизвестных —объемы
производства,— которые и могут быть найдены путем
решения системы уравнений.
Замечание. Иногда оказывается целесообразным
лишь частично задавать величины а частично — ве-
личины о/j. Это не меняет дела. Важно то, что должно
быть задано л величин, а остальные л могут быть най-
дены аналитически.
Рассмотренная нами модель получила название ста-
тистической модели межотраслевого баланса. Основной
ее недостаток состоит в том, что она не позволяет уста-
новить связи между планами производства отраслей и
планами капитальных вложений, обеспечивающих раз-
витие этих отраслей, т. е. модель не учитывает динами-
31
ку самой экономики. Для того чтобы учесть ее, было
предложено некоторое обобщение описанной модели, по-
лучившее название динамической модели межотраслево-
го баланса. Основное ее отличие от статической состоит
в том, что объемы капитальных вложений в каждый год
здесь не предполагаются известными, а находятся из мо-
дели. Прежде чем познакомиться с динамической мо-
делью межотраслевого баланса, введем ряд обозначений.
Пусть:
X[t — объем продукции i-й отрасли в t-м году плано-
вого периода;
Т — продолжительность планового периода (в годах);
Ьц — капитальные затраты продукции i-й отрасли в
t-м году, обеспечивающие увеличение продукции /-й от-
расли на единицу;
krtj— доля капитальных вложений продукции i-й
отрасли для увеличения продукции /-й отрасли за г лет
до завершения строительства от всего объема капиталь-
ных вложений продукции i-й отрасли в увеличение про-
дукции j-й отрасли;
т — период от начала капиталовложений до получе-
ния за их счет дополнительной продукции;
—конечная продукция i-й отрасли в t-м году за
вычетом капиталовложений, связанных с расширением
производства;
AXj — изменение объема продукции /-й отрасли.
Используя введенные обозначения, динамическую
модель межотраслевого баланса можно описать сле-
дующей системой уравнений:
п п -
X, (/) = Sa, j (t)xj (/) 4- S S (^2i + r) + Vi (0.
______. .^=1 r==1______________.
объем продук- затраты на про- затраты на ка- конечная Про-
нин i-й отрасли изводство питальные вло- дукция без за-
жения трат и кап-
вложений
(f= 1, 2,...,п; i=l, 2,..., Г).
Из этой модели аналогично предыдущему находятся
объемы продукции отраслей в каждый год планируемо-
го периода, а также затраты на капитальные вложения
в отраслевой и временной структуре.
Мы не будем останавливаться на других балансовых
моделях, так как две, нами рассмотренные, дают ясное
32
представление об идеях, лежащих в их основе. Отметим
только, что на практике находят применение многие
модификации этих моделей. В частности, широко ис-
пользуются модели топливно-энергетического баланса,
межрайонные, межотраслевые модели, позволяющие
сбалансировать и отраслевую, и территориальную струк-
туру народного хозяйства, а также многие другие.
§ 5. НА КОНЧИКЕ ПЕРА
Так же, как в книге первоклассного мастера, многие за-
частую воспринимают тщательно выписанные образы
чуть ли не как портреты своих знакомых, так и в исто-
рии науки нередко встречаются случаи, столь типичные,
что аналогию с ними можно без труда усмотреть и в
современной науке.
Один из таких случаев можно считать классическим
по той роли, какую в нем сыграл модельный подход к
изучению явлений. Для знакомства с ним нам придется
перенестись в XVII век.
В 1601 году умер известный астроном Тихо Браге,
который в течение двадцати лет регулярно вел записи
положения планет. Свои труды он доверил одному из
своих учеников — Иоганну Кеплеру.
Задача, которую поставил перед собой Кеплер, была
колоссальна — на основе наблюдений Тихо он хотел по-
строить модель, математическую модель, которая опи-
сывала бы закономерности движения планет. Иными
словами, он хотел найти такие законы движения планет,
которые, во-первых, подтвердились бы всеми предшест-
вующими наблюдениями и, во-вторых, позволили бы до-
статочно точно предсказать положения планет в буду-
щем.
Годы ушли на эту титаническую работу. Кажущийся
успех (найденный закон) сменялся разочарованием (за-
кон не выдерживал испытания практикой, планета ока-
зывалась не там, где ей следовало быть по этому зако-
ну). Но в конце концов талант ученого победил — им
были сформулированы знаменитые законы Кеплера:
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из
фокусов которого находится Солнце.
2. Отрезок, соединяющий Солнце и планету, описы-
вает за равные промежутки времени равные площади.
3. А. Б. Горстхо
33
3. Квадраты периодов обращения планет пропорцио-
нальны кубам их средних расстояний от Солнца.
Все эти законы отлично соответствовали результатам
фактических наблюдений.
Зададим себе, однако, такой вопрос: «Какие силы
заставляют планеты двигаться так, что выполняются
эти законы?» Во времена Кеплера это известно еще не
было, лишь позднее Ньютон, сформулировавший закон
всемирного тяготения, установил, что движение обус-
ловлено притяжением Солнца, а также силами (хотя и
гораздо меньшими) взаимодействия между планетами.
Можно сказать, что основное движение вызывается
Солнцем, а малые искажения в орбите планеты порож-
даются другими планетами.
В 1820 году, когда производилось тщательное изуче-
ние орбиты Урана, было установлено, что она не пол-
ностью следует кеплеровским законам. Если даже до-
пустить влияние ближних планет — Сатурна и Юпитера,
то и тогда обнаружилось отклонение от расчетной тра-
ектории в 1/100°. Для наведения порядка имелись две
возможности: признать, что законы Кеплера не верны и
пытаться сформулировать новые, либо допустить, что
имеется еще какое-то неизвестное ранее небесное тело,
которое и вызывает это отклонение. По этому второму
пути и пошел французский астроном Лаверье. Произве-
дя необходимые расчеты, он вычислил местоположение
гипотетической планеты и указал директору Берлинской
обсерватории, куда следует направить телескоп. В этом
месте и была обнаружена новая планета, получившая
название Нептун. Открытие, сделанное «на кончике пе-
ра», являет собой блестящий пример того, какой эффект
может дать правильный подход к изучению модели.
Глава 3
ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ
Рассмотренные в предыдущей главе дескриптивные мо-
дели нужны для того, чтобы описывать происходящие
процессы, в тех же случаях, когда нужно управлять про-
цессом (принимать те или иные решения), этих моделей
оказывается недостаточно. Здесь на помощь приходят
оптимизационные модели. Сначала познакомимся с об-
щей структурой этих моделей, а уж потом перейдем к
конкретным реализациям.
Будем предполагать, что при целенаправленном уп-
равлении каким-либо процессом или явлением, а имен-
но на таком классе задач сейчас будет сосредоточено
наше внимание, имеется возможность сравнить: какое
действие ведет к лучшим результатам, а какое — к худ-
шим. Более того, предположим, что можно не только
сказать, что лучше, а что хуже, но и количественно оце-
нить результат каждого действия.
Изучаемый процесс описывается математической мо-
делью М, т. е. имеется совокупность соотношений, свя-
зывающих некоторые параметры, определяющие ход про-
цесса. Из множества всех этих параметров X будем вы-
делять множество переменных управления U (в даль-
з*
35
нейшем — управления), т. е. значения этих переменных
во власти лица, управляющего процессом.
Раз можно количественно оценить результат каждо-
го действия, каждого управления, то это значит, что из-
вестна функция Ф (целевая функция), сопоставляющая
каждому возможному в данной модели управлению u^U
(эта запись означает, что и принадлежит множеству U)
число Ф(м).
Целенаправленная деятельность, как правило, пред-
полагает наилучшее ее использование, т. е. в зависимос-
ти от целей управления нас будет интересовать такое до-
пустимое управление u^U, на котором достигается либо
максимальное значение Ф(и)
( max Ф (и) = Ф (а)),
ueU
либо минимальное значение Ф(и)
(min Ф (и) = Ф («)).
ut.U
Задачи такого типа носят название экстремальных или
оптимизационных задач.
В зависимости от вида модели М и функции Ф(и)
используются различные методы для решения соответ-
ствующих оптимизационных задач. Познакомимся с эти-
ми методами на конкретных примерах, которые возьмем
из «грядки» экономики (см. рис. 1).
$ 1. МАТЕМАТИКА И ЭКОНОМИКА
Говоря о моделях межотраслевого баланса (см. гл. 2),
мы уже обращались к экономике. Однако сейчас в на-
шей стране столь большое внимание уделяется решению
экономических задач, совершенствованию хозяйственно-
го механизма, что просто необходимо хоть пару слов
сказать о самой экономике, о способах применения ма-
тематических методов в экономических исследованиях.
Характеризуя какой-нибудь объект, часто бывает по-
лезно провести то или иное сравнение. Попробуем срав-
нить, например, экономику с физикой или химией. Что
между ними общего, в чем разница? Общее: физика изу-
чает различные физические законы и явления, химия —
химические законы и процессы, соответственно эконо-
мика изучает экономические законы и различные эконо-
мические процессы. Различие: и физические, и химиче-
36
ские законы — суть закономерности, присущие природе.
Познавая их, мы узнаем, как устроен окружающий нас
мир. Разумеется, в той мере, в которой человек являет-
ся частью природы, он также подчиняется этим законам.
Иное дело — экономические законы. Они не свойствен-
ны природе, а присущи человеческому обществу. Изучая
их, мы устанавливаем закономерности, присущие опре-
деленному, например социалистическому, обществу,
частью которого мы сами являемся. Трудность, стало
быть, в том, что мы не можем изучать экономику со сто-
роны, так как мы сами являемся ее частью — каждый
человек выступает даже в двух ролях: и как потреби-
тель, и как участник какого-либо экономического про-
цесса.
Еще древним было известно, сколь трудно познать
самого себя. Понятно поэтому, что экономика может
быть по праву отнесена к одной из труднейших (и ин-
тереснейших) наук, так как, изучая ее, в идеальном слу-
чае исследователь, помимо всего прочего, должен по-
нять, как функционирует каждая ее часть, т. е. познать
самого себя. Здесь экономика переплетается с социоло-
гией. Не нужно думать, впрочем, что если человек пока
не научился полностью познавать себя, то и экономика
непознаваема. Уже имеющиеся результаты в экономиче-
ской науке говорят об обратном. А успехи в других на-
уках, в частности в социологии, служат залогом и даль-
нейших больших продвижений в экономике.
Так же, как всякая наука, экономика должна уметь
давать ответы на некоторые основные вопросы, ставя-
щиеся перед ней: что производить? Где производить?
Какова цена продукции? Какова зарплата лиц, занятых
в производстве? Как соизмерить настоящие и будущие
издержки? и т. п.
Чтобы представить себе, как изучают экономические
проблемы, обратимся к такой задаче. Мы хотим решить,
как лучше всего организовать деятельность определен-
ного совхоза — какие культуры и на каких площадях вы-
ращивать, в какой мере следует заниматься животновод-
ством и птицеводством, какой план должен быть уста-
новлен для совхоза по разным видам продукции. С чего
начинать исследование?
Прежде всего нужно четко выделить факторы, кото-
рые существенно влияют на принимаемые решения. В
нашем случае к ним относятся: количество земли, имею-
37
щейся в распоряжении совхоза, урожайности культур,
которые можно возделывать, а также потребности в них,
потребности в мясе, молоке, яйцах, а также возможнос-
ти для создания животноводческой и птицеводческой
продукции (помещения, корм и т. п.) и многие, многие
другие факторы. Их очень много. Как же выделить наи-
более существенные? Здесь уместна такая аналогия.
Вообразите, что мы решили исследовать, как будут
распространяться волны в Черном море, вызванные тем,
что у берега, скажем возле Дюрсо, брошен в воду боль-
шой (даже очень большой) камень. Теоретически паде-
ние камня вызовет колебания всей поверхности моря,
однако совершенно ясно, что уже за несколько десят-
ков метров от места его падения волновое движение во-
ды будет пренебрежимо малым. Таким образом, для
практических целей вполне достаточно ограничиться
изучением не всей водной поверхности, а лишь малой ее
части.
Аналогично обстоит дело и в экономике. Выбрав оп-
ределенную программу деятельности совхоза, теорети-
чески мы воздействуем на всю экономическую систему
(«все в мире взаимосвязано»), практически же — лишь
на очень малую часть ее. Соответственно при выделении
факторов, влияющих на принимаемые решения, нужно
учитывать те из них, влияние которых ощутимо.
Таким образом, понятно, что существенных факто-
ров, которые необходимо учитывать, не так уж много.
Однако поскольку ни о каком факторе заранее не извест-
но, только опыт и своего рода искусство позволяют вы-
делить именно существенные факторы.
Понятно также, что чем обширнее изучаемая проб-
лема, чем большую часть экономической системы она
охватывает, тем больше число существенных факторов,
которые должны быть учтены.
Вернемся, однако, к нашей задаче. Допустим, что так
или иначе мы выделим для нее существенные факторы.
Что делать дальше? Теперь следует описать, каким же
образом сказывается влияние этих факторов. Например,
расширение помещений для скота позволяет увеличить
численность стада. Чем выше урожайность какой-либо
культуры, тем больше дохода может быть получено от
ее возделывания и т. п. Иными словами, дается качест-
венная оценка факторов.
На протяжении длительного времени для экономики
38
было типично ограничиваться именно качественными
оценками или простейшими количественными оценками,
характеризующими эффект от изменения одного-двух
факторов, в предположении, что другие зафиксированы.
Этого было достаточно для изучения задач с малым чис-
лом существенных факторов. В XX веке положение рез-
ко изменилось. Современное высокоразвитое и с каж-
дым днем все более развивающееся хозяйство требует
и более точных экономических рекомендаций. Уже мало
сказать, например, что изменение фактора А на 1 % даст
прирост дохода совхоза на 1000 руб., если остальные фак-
торы останутся неизменными. А если они все изменят-
ся, что будет тогда? Может быть, эффект будет еще
больше?
Чтобы ответить на эти вопросы, и создается матема-
тическая модель, выражающая количественные соотно-
шения между существенными факторами и, если снова
вернуться к совхозу, количественное выражение для
оценки его деятельности — целевая функция.
Итак, в основе изучения экономики должен лежать
модельный подход. Однако неясно, с чего начать. Моде-
ли каких объектов строить? Обратимся к упоминавшей-
ся уже аналогии. Представим себе, что мы решили изу-
чить ... море и все в нем живущее. Что моделировать?
По-видимому, едва ли кому-нибудь и придет в голову
мысль описать все явления (химические, физические,
биологические и др.), происходящие в море, с помощью
одной модели. «Нельзя объять необъятное»,— как гово-
рил Козьма Прутков. Только целая система взаимосвя-
занных моделей, каждая из которых моделирует лишь
какие-то свойства и явления, может хоть в какой-то ме-
ре осветить изучаемый вопрос.
Аналогично дело обстоит и с экономикой. Сейчас
уже понятно, что, принимая модельный подход в изуче-
нии экономики (а с этим согласны почти все ученые),
мы тем самым должны принять и необходимость систем-
ного подхода. Только система моделей, описывающая
экономику на разных уровнях (народное хозяйство, от-
расль, район, предприятие и др.), может достаточно хо-
рошо описать все многообразие экономических явлений,
позволит найти наилучшие пути управления различны-
ми звеньями народного хозяйства. Итак, система моде-
лей — вот что составляет основу изучения экономики. И
не просто каких-нибудь моделей, а взаимосвязанных.
39
Ведь если мы хотим использовать их в практических це-
лях, то нужно позаботиться, чтобы они были «пригнаны»
друг к другу, информация, получаемая из одних, могла
использоваться в других и т. п.
Мы рассмотрим далее несколько типичных моделей
экономических ситуаций. Конечно, по мере возможнос-
ти не будем довольствоваться описанием моделей, но и
будем уделять большое внимание решению соответст-
вующих им задач. (Как вы понимаете, задачи без ре-
шений не многого стоят.) К счастью, окажется, что мно-
гим моделям, возникающим в различных ситуациях, от-
вечают задачи одного и того же типа.
«Какой прок от всех этих моделей?» — может возра-
зить иной читатель. «Достаточно взглянуть на полки ма-
газинов, чтобы убедиться в никчемности научных дости-
жений в экономике». Ответ на подобные возражения
можно найти в § 2 гл. 4.
§ 2. КАКИЕ ПРОДУКТЫ ВЫПУСКАТЬ!
Очень часто из различных видов сырья можно изготав-
ливать продукты различной ценности. Допустим, что нас
интересует получение наибольшей ценности, и исследу-
ем в связи с этим следующую экономическую ситуацию.
Пусть из различных видов сырья, имеющегося в ко-
личествах, равных соответственно b\, b2,...,bm (всего т
видов сырья), может быть изготовлено п видов продук-
тов. Цена единицы /-го вида продукта равна Cj. Для по-
лучения единицы /-го продукта необходимо затратить
i-й вид сырья в количестве ац единиц. Какие виды про-
дуктов выгоднее всего изготавливать?
Прежде всего нужно выяснить, в каком смысле пони-
маются слова «выгоднее всего». Так как речь идет об
очень узко очерченной ситуации, то естественно пытать-
ся добиться наибольшей ценности произведенных про-
дуктов с учетом ограничений на имеющееся сырье. Обо-
значим через Xj производимое количество /-го продукта.
Тогда целевую функцию, максимум которой мы будем
искать, можно задать так:
(суммарная ценность произведенных продуктов).
40
Перейдем теперь к учету ограничений. Прежде всего
понятно, что производимые количества продуктов не
могут быть отрицательными, т. е. должны выполняться
условия
*1^0, *2^0, ..., Хп^О.
Далее, так как для получения единицы /-го продукта
необходимо затратить ац единиц i-го сырья, то понят-
но, что для Xj единиц этого продукта потребуется aijXj
единиц i-ro сырья. Поскольку один вид сырья может ис-
пользоваться для производства различных продуктов, то
суммарные затраты сырья каждого вида не должны пре-
вышать имеющиеся ресурсы, т. е.
п
bh Z==l, 2,. . . ,т.
Окончательно пришли к следующей экстремальной за-
даче: найти
п
шах 2 cixi
{Xj)
при условиях
1. Xj > 0, / = 1, 2, . . .
2. 2 аi \хbj, i = 1, 2, . . . ,m.
Всякий набор значений Xi, x2, ..., xn, удовлетворяющий
условиям 1—2, будем называть допустимым планом
(стратегией, управлением). Тот допустимый план, кото-
рый доставляет максимум целевой функции, будем на-
зывать оптимальным планом (стратегией, управлением).
Приведенная задача имеет весьма простую структуру —
и целевая функция, и все ограничения в ней линейны,
т. е. задаются функциями простейшего вида. Такая спе-
цифика имеет как свои достоинства, так и недостатки.
Конечно, она значительно упрощает процесс решения, но,
с другой стороны, далеко не всегда реальная ситуация
хорошо описывается линейными функциями, она может
быть много сложнее.
Тем не менее класс ситуаций, достаточно хорошо опи-
сываемых линейными моделями, весьма широк. Соот-
ветствующие экстремальные задачи получили название
задач линейного программирования. (Не следует смеши-
41
вать с термином «программирование», означающим со-
ставление программы для электронной вычислительной
машины.)
В силу сделанных выше предположений рассматри-
ваемая нами ситуация как раз обладает свойствами ли-
нейности, так что недостатков модели мы на ней не по-
чувствуем. Поэтому приступим к обсуждению вопроса:
как же решать задачи линейного программирования?
Здесь нам весьма пригодится геометрическая интерпре-
тация, которую мы проведем для случая двух продуктов.
На плоскости построим декартову систему координат
Х\ОХ%. Выясним, что представляет собой геометриче-
ски множество допустимых планов. Из неравенств (1)
следует, что точка, изображающая допустимый план,
обязательно находится в первом квадранте. Каждое из
неравенств (2), например i-e, геометрически определяет
множество точек, лежащих по одну сторону от прямой
Таким образом, множество допустимых планов геомет-
рически изображается точками, расположенными внутри
и на границе многоугольника (рис. 8). Среди всех этих
точек нам предстоит теперь найти ту, которая соответ-
ствует оптимальному плану. Сделаем это так. Зададим-
ся каким-нибудь числом так, чтобы прямая XiCi+x2C2==
= а пересекала многоугольник допустимых планов.
(Безусловно, это всегда можно сделать.) Общие точки
этой прямой и многоугольника допустимых планов соот-
ветствуют планам с одинаковой экономической эффек-
тивностью— цена произведенных продуктов для каждо-
го из них в точности равна а. Начнем теперь перемещать
прямую АВ параллельно самой себе в сторону возрас-
тания а. Чем больше значение а, тем более выгоден
план. В конце концов прямая совпадает с одной из вер-
шин многоугольника либо с одной из его сторон, если
имеется сторона, параллельная прямой XiC1A-X2C2=a.
Тогда либо имеется единственный оптимальный план,
который изображается вершиной многоугольника, либо
есть множество равноэффективных оптимальных планов,
которым соответствует сторона многоугольника.
Из приведенной геометрической интерпретации сразу
следует такой путь решения задачи линейного програм-
42
Рис. 8. Многоугольник допусти-
мых планов, целевая функция
достигает максимума в его
крайней точке Р
мирования. Так как максимум обязательно достигается
в одной или нескольких вершинах многоугольника до-
пустимых планов, то нужно просто вычислить значения
целевой функции во всех вершинах и выбрать ту из них,
которой соответствует наибольшее значение. Казалось
бы, никаких трудностей на этом пути встретиться не мо-
жет, однако это преждевременное заключение. Посмот-
рим, что произойдет, если нам придется решать задачу
не с двумя, а с п продуктами. В этом случае многоуголь-
ник превратится в многогранник допустимых планов, а
прямая Л1В1 — в гиперплоскость, проходящую через од-
ну или несколько его вершин. Можно ли по-прежнему и
в этом случае вычислять значения целевой функции в
вершинах многогранника и сравнивать их между собой?
Да, но без всякой надежды на успех. Дело в том, что
когда пит имеют порядок десятков, количество вершин
многогранника столь велико, что вычислить в каждой из
них значение целевой функции не под силу самой совре-
менной электронно-вычислительной машине (ЭВМ). Ко-
личество перешло в качество! То, что казалось совершен-
но простым и естественным при п=2, оказывается не-
приемлемым для больших значений п. Нужно, следова-
тельно, искать какой-то другой путь решения, не связан-
ный с вычислением значений функции во всех вершинах
многогранника допустимых планов и сравнением их меж-
ду собой. Именно такой метод, позволяющий для каж-
дого допустимого плана сразу сказать, оптимален он
или нет, был предложен в 1939 году советским матема-
тиком академиком Л. В. Канторовичем. В основе его
лежит введение чрезвычайно важного понятия — объек-
43
тивно обусловленной оценки (для сокращения мы будем
называть ее о. о. оценкой или просто оценкой).
Поясним идею этого метода. Всякий план можно
представить себе состоящим из отдельных элементарных
способов, характеризуемых как определенными затра-
тами, так и определенными эффектами. Например, за-
трачивая Лц единиц 1-го сырья, a2i единиц 2-го сырья
и т. д. вплоть до аП11 единиц m-го сырья, можно полу-
чить одну единицу 1-го продукта, аналогично и для
других продуктов. Вклад каждого вида сырья в полу-
чение единицы 1-го продукта может быть совершенно
различен — одного сырья требуется больше, другого
меньше. Введем оценки для каждого вида затрачивае-
мого сырья и для каждого производимого продукта. Эти
оценки объективно обусловлены условиями рассматри-
ваемой задачи, и хотя они не имеют ничего общего с ре-
альными ценами, по ним может быть оценена полезность
каждого ресурса именно в условиях данной задачи.
Значение этих оценок чрезвычайно велико. С их по-
мощью можно сформулировать критерий оптимальности
плана для задачи линейного программирования. Эко-
номическая суть этого критерия такова: для оптималь-
ного плана всегда имеются такие оценки, что скальку-
лированная по ним результативная эффективность спо-
соба равна нулю для используемых спосрбов (оценка
затраченного сырья равна оценке полученного продукта)
и не более нуля для неиспользуемых (оценка затрачен-
ного сырья не меньше, чем оценка полученного продук-
та). Иными словами, все используемые способы рента-
бельны.
Опишем теперь одну из возможных схем решения за-
дачи линейного программирования, основанную на вве-
денных выше оценках. Сначала строится какой-нибудь
допустимый план. Как правило, это бывает нетрудно
сделать из экономических соображений. Далее, план про-
веряется на оптимальность. При этом могут предста-
виться две возможности — либо существуют оценки,
удовлетворяющие критерию оптимальности, тогда план
оптимален и задача решена, либо не существует таких
оценок. Тогда устанавливается, что план не оптимален.
В последнем случае выясняется, какой из невключенных
в план способов более рентабелен, чем неиспользуемые.
Этот способ вводится в план, что ведет к его улучшению.
44
Далее снова следует проверка и, если нужно, улучшение.
Доказано, что за конечное число таких проверок и улуч-
шений мы обязательно придем к оптимальному плану.
Более того, не просто конечное (ведь и число вершин мно-
гогранника конечно), а разумное, практически реализуе-
мое число итераций (приближений) достаточно для на-
хождения на ЭВМ в считанные минуты оптимального
плана в задаче линейного программирования с сотнями
и тысячами переменных.
Существуют и другие подходы к решению задач ли-
нейного программирования, однако в основе наиболее
совершенных лежит использование оценок, предложен-
ных Л. В. Канторовичем. Интересной особенностью оце-
нок оптимального плана является то, что они также яв-
ляются решением некоторой задачи линейного програм-
мирования, т. е. двойственной задачи. Построим, напри-
мер, двойственную задачу к рассмотренной нами ранее.
Для этого нам придется взглянуть на проблему с не-
сколько иной точки зрения — мы будем заботиться не о
том, чтобы получить побольше, а о том, чтобы затра-
тить поменьше.
Введем оценки ylt у2, ..., ут для всех видов сырья.
Каким условиям они должны удовлетворять? Как их вы-
брать? Так как естественно хотеть, чтобы оценка затра-
ченного сырья была поменьше, то понятно, что наша цель
будет состоять в минимизации такой целевой функции
(оценка сырья)
Величины yi должны удовлетворять и некоторым огра-
ничениям. Они, во-первых, неотрицательны:
1. 0, у2 > О, . . . , ут>0,
во-вторых, оценка затрачиваемого сырья для получения
единицы каждого вида продукта не должна быть мень-
ше, чем оценка единицы этого продукта, т. е.
2. Для i= 1, 2, ..., п.
i=\
Окончательно пришли к следующей формулировке, двой-
ственной к исходной задаче:
найти
45
min 2 УД.
z—1
при условиях:
1. > О, I =- 1, 2, . . . , т.
2. (ij j c}, j — 1, 2, . . . , it,
/=i
Геометрическая интерпретация этой задачи аналогична
интерпретации исходной с некоторыми, однако, видоиз-
менениями:
а) многогранник допустимых планов расположен не
в л-мерном пространстве, а в т-мерном;
б) этот многогранник неограничен.
Исходная и двойственная задачи линейного програм-
мирования обладают рядом интересных свойств, связы-
вающих их между собой и делающих целесообразным их
совместное рассмотрение. Именно эти математические
свойства лежат в основе сформулированного ранее кри-
терия оптимальности. Мы приведем здесь одно из них,
носящее название теоремы двойственности.
Если одна из пары двойственных задач имеет реше-
ние, то другая задача также разрешима. При этом для
любых оптимальных планов этих задач справедливо со-
отношение
п т
j=-i i—i
Содержательно это означает, что оптимальный план
производства существует, если может быть определен
оптимальный план оценок. Особенность оптимального
плана производства состоит в том, что для него совпа-
дают оценки затрат и оценки результатов производства.
Замечание. Обсудим теперь такой вопрос: хоро-
шо ли в практической деятельности составлять план
производства, руководствуясь только ценностью произ-
веденных продуктов? По-видимому, далеко не всегда.
Это может, в частности, привести к тому, что менее цен-
ные продукты не будут вообще выпускаться, нарушатся
правильные пропорции между производимыми продук-
тами. Некоторое усложнение модели, не выводящее за
рамки линейного программирования, позволяет устра-
нить эти недостатки и делает ее более ценной для нужд
46
практики. Читателю предлагается самому подумать над
видоизменением модели, которое позволило бы осу-
ществлять выпуск продуктов в заданной пропорции.
§ 3. РАЦИОНАЛЬНЫЙ РАСКРОЙ
Модели и методы линейного программирования столь
часто применяются сейчас в экономических, инженерных
и других исследованиях, что было бы просто непрости-
тельно, если бы мы ограничились здесь описанием лишь
одной модели. Поэтому приведем и другие примеры.
На предприятии из листов металла размером 5X10 м
требуется выкраивать заготовки типа 4 и В, имеющих
размеры соответственно 4X1 м и 2Х 3 м. Известны по-
требности в этих заготовках — нужно выкроить по 1600
заготовок каждого типа. Необходимо предложить такой
план раскроя, который позволит выполнить плановое за-
дание с минимальными затратами материала.
Прежде всего постараемся понять, что означают сло-
ва «план раскроя». Каждый лист может быть раскроен
по-разному. Например, из листа можно выкроить одну
заготовку А, а оставшуюся часть листа отправить в от-
ходы. Сразу ясно, что такой способ раскроя очень плох,
так как в отходы идет материал, из которого еще можно
выкраивать заготовки. Поэтому с самого начала сосре-
доточим внимание на «разумных» способах раскроя,
т. е. на таких, где в отходы идет материал, из которого
уже нельзя выкроить ни одной заготовки. Такие спосо-
бы можно без особого труда найти с помощью деревян-
ных шаблонов, вырезанных по форме заготовок, уклады-
вая их по-всякому на листе металла. На рис. 9 приведе-
ны такие «разумные» способы раскроя.
Будем обозначать через Xi (t=l, 2, 3, 4) количество
листов металла, которые раскраиваются i-м способом.
Теперь уже понятно, что такое «план раскроя» — это на-
бор чисел %1, х2, *3, Х4, которые показывают, сколько лис-
тов раскраиваются каждым способом. Так как мы хо-
тим, чтобы план удовлетворял некоторым условиям, эти
числа нельзя выбирать произвольно, а они должны быть
найдены. Построим модель, которая позволит опреде-
лить их выбор.
Поскольку мы хотим выполнить план с минимальны-
ми затратами материала, целевая функция имеет вид:
min {xi4-%24- *з+*4} •
47
1 способ /раскрой М/
12 заготовок типа А
О заготовок типа В
2 способ /раскрой М/
О заготовок типа А
8 заготовок типа В
Рис. 9. Способы раскроя
Если один лист раскраивается первым способом, то из
него получается 12 заготовок типа А. Если же этот спо-
соб применен к Х\ листам, то заготовок типа А получит-
ся 12%1. Рассуждая аналогично по отношению к другим
способам раскроя, можно записать условие выполнения
плана по заготовкам типа Л:
12х14-0х24-8хз4-6х4^ 1600.
И точно так же по заготовкам типа В:
0 • Х14-8х24-Зх34-4х4> 1600.
Кроме того, понятно, что величины xt (i=l, 2, 3, 4) не
должны быть отрицательными, так как нельзя раскро-
ить отрицательное число листов материала.
Окончательно пришли к такой задаче. Найти
т1п{х14-х24-Хз4-Х4)
дри условиях:
1. 12х14-8х34-6х4^> 1600, 2. х^О, х2^0,
8x2-f-3x3-f-4x4^ 1600. х3^0, х4^>0.
Как и было обещано, мы пришли к задаче линейного
программирования. Для ее решения может быть приме-
нен один из общих методов, упоминавшихся в предыду-
48
щем параграфе. Можно применить и довольно простой
геометрический метод решения. Здесь мы изберем вто*
рой путь.
Начертим прямоугольную систему координат ХОУ и
каждому возможному раскрою поставим в соответствие
точку, у которой координата х равна числу заготовок
типа А, получаемых при этом раскрое, а координата
у — числу заготовок типа В.
Мы будем обозначать эти точки буквой М с индек-
сом, равным номеру раскроя. Например, первому рас-
крою соответствует точка Mj с координатами Xi== 12,
У\—0 (см. рис. 10).
Легко видеть, что точки на отрезке М3М2 указывают
своими координатами количество заготовок типа А и
типа В, приходящихся в среднем на один лист матери-
ала в различных планах раскроя, которые представляют
собой сочетания раскроев М3 и М2. Можно доказать,
что множество всевозможных планов раскроя, предста-
вимых в виде комбинаций Mi, М2, М3 и М4, если их ха-
рактеризовать выходом заготовок, приходящихся на
один лист, изображается совокупностью точек выпукло-
го многоугольника М3, М2, М4, получившего назва-
ние многоугольника осуществимых планов.
Обычно, однако, для удобства в число вершин много-
угольника осуществимых планов включают и начало
координат, так что многоугольником осуществимых пла-
нов будет OM2M3Mi. (Экономически это соответствует
тому, что осуществимым считается также план, в кото-
ром часть полученных заготовок остается неиспользован-
ной.)
Из всех осуществимых планов нас интересуют лишь
те, для которых выполнено условие комплектности, т. е.
4 А Б Горстко
Рис. 10. Многоугольник осуще-
ствимых планов OM2M3Mi
49
отношение числа заготовок типа А к числу заготовок
типа В соответствует заданному и равняется 1 (т. е.
1600: 1600). Ясно, что геометрически эти планы изобра-
жаются точками, лежащими на луче N. Такие планы на-
зываются ассортиментными. Ассортиментному выпуску
соответствует допустимый план (для которого выполне-
ны все ограничения 1 и 2).
Наиболее экономным, оптимальным планом раскроя
будет тот, которому соответствует точка, принадлежащая
одновременно многоугольнику и лучу и имеющая наи-
большие координаты, т. е. соответствующая плану, даю-
щему наибольший выход заготовок в данной пропорции
на один лист. Такой является точка Р\— точка пересе-
чения луча с границей многоугольника ОМ2МзМх. Так
как точка Pi принадлежит отрезку Af2Af3, можно сделать
заключение, что оптимальный план представляется ком-
бинацией раскроев М2 и ЛГ3. Обозначим через z ту долю
материала, которая кроится по раскрою М2‘, остальная
часть 1— z кроится по ЛГ3. Из условия комплектности
следует, что
0 г + 8(1 — г) = j
8г + 3(1-г)
5
откуда z = —. Этот результат можно было получить
графически, заметив из чертежа (см. рис. 10), что
М2РХ 5
Л12Л13 13'
Искомое минимальное число листов материала L нахо-
дится, например, из условия получения нужного числа
заготовок типа А:
_Lz.0 + —£-8- 1600.
13 13
5
(Первый раскрой применяется к — листа, при этом
из каждого листа получается 0 заготовок типа А. Вто-
8
рои раскрои применяется к — листа, при этом из
13
каждого листа получается 8 заготовок типа А. Общее
число заготовок типа А должно соответствовать плано-
вому заданию, т. е. равняться 1600.)
50
Решая уравнение, получаем, что необходимое (мини-
мальное) число листов материала L 325.
64
Оптимальный план раскроя состоит в том, что 125
листов кроятся по второму раскрою (х2=125), а 200
листов — по третьему раскрою (х3 = 200).
Понятно, что такой геометрический путь решения
оказался применимым потому, что в задаче фигуриру-
ют лишь две заготовки. Если бы их было, например, 10,
то рисунок из двухмерного, плоского, стал бы 10-мерным
и ни о какой геометрической наглядности не было бы и
речи.
Несмотря на то что задача уже решена, вернемся к
ней снова, чтобы еще раз проиллюстрировать смысл оце-
нок и возможности их использования. Обозначим оценки
для одного листа раскраиваемого материала и для каж-
дой из заготовок соответственно через и, v и w. С их по-
мощью в рамках данной задачи может быть соизмерена
ценность как продукции, так и затрачиваемого материа-
ла. Еще раз подчеркнем — в рамках данной задачи. Мы
ничего не говорим об истинной цене на заготовки или
материал, а только сравниваем их относительную цен-
ность с точки зрения введенной целевой функции.
Как было сказано ранее, с помощью оценок можно
убедиться в том, что найденный план действительно оп-
тимален. Именно, если удастся найти такие оценки, что
скалькулированная по ним эффективность используемых
способов равна нулю (способы рентабельны), а неис-
пользуемых— не больше нуля, то план оптимален. Усло-
вия рентабельности способов запишутся так:
—u4-0-n4-8tt>=0,
—u4-8u-f-3tt> = 0.
Поясним, например, второе из них. Оно означает, что
затраты одного листа материала с оценкой и должны
компенсироваться результатами, получаемыми при рас-
крое этого листа по третьему способу — восемью заго-
товками типа А с оценкой v каждая и тремя заготовка-
ми типа В с оценкой w каждая.
Так как уравнения содержат три неизвестных, то од-
но из них может быть выбрано произвольно. (Это рав-
носильно выбору масштаба оценок.) Пусть и = 64. Тог-
да легко видеть, что v = 5, а ш—8. Сумма оценок заго-
4*
51
товок, получаемых из одного листа материала, в каж-
дом из двух применяемых раскроев одинакова и равна
64.
Оценим теперь эффективность способов раскроя, не
вошедших в план.
Имеем:
12-5-f-0-8 = 60<64,
6.54-4-8 = 62<64,
т. е. оценка продукции ниже оценки затрат.
Согласно высказанному ранее общему признаку оп-
тимальности ясно, что план (0,125, 200,0) оптимален,
более экономного плана не существует.
Для того чтобы наш анализ был уж совсем полным,
обсудим еще и вопросы, связанные с двойственной за-
дачей. Прежде всего покажем, как естественно возни-
кает эта экономическая задача. Ситуация, которую мы
рассмотрим, хотя и весьма условна, но хорошо отражает
суть дела.
Пусть имеется экономическая система, состоящая из
двух частей: завод и заготовительный цех. Завод для
производственных целей заказывает цеху произвести из
листового материала заготовки типа А и В в нужном
ассортименте. При этом завод, естественно, заинтере-
сован, чтобы затраты материала были наименьшими. Вы-
бор способов раскроя, которые обеспечат требуемое ко-
личество заготовок при наименьших затратах материа-
ла, производится на основе решения уже рассмотренной
задачи линейного программирования (будем называть
ее прямой задачей).
Предположим, что осуществлен внутризаводской хоз-
расчет и во взаимоотношениях между заводом и цехом
используется «рыночный механизм цен». Поэтому цех
стремится оценить свою продукцию как можно дороже,
но так, чтобы ее покупка была заводу выгодна, цены
были обоснованы. Задача отыскания таких выгодных и
оправданных цен и есть двойственная задача линейного
программирования.
Напомним, что оценки заготовок первого и второго
типов обозначались соответственно через v и w, а оцен-
ку исходного листа можно считать равной единице (так
выбирается масштаб цен). При использовании первой
карты раскроя выкраивается он заготовок типа А и Ь]
52
заготовок типа В. Чтобы цены были оправданными, сум-
марная оценка продукции не должна превышать оценку
исходного листа материала, т. е. должно выполняться
неравенство

(иначе заводу было бы выгоднее не передавать раскрой
цеху). Аналогичные неравенства должны выполняться и
для всех остальных способов. Естественным представля-
ется и другое, уже упоминавшееся требование: оценки
следует выбирать так, чтобы оцененная по ним вся про-
изведенная продукция имела максимальную стоимость.
Используя конкретные числовые значения, приходим к
следующей задаче.
Найти оценки v и w так, чтобы
тах{1600и4-1600т>}
оценка заказанной продукции
при условиях:
12-0-|-О-10:^1
О-1
8-о4- Зш^1
6u-j- 4w1
и>0, w^0
(при любом способе раскроя оцен-
ка полученных из листа заготовок
не превосходит оценки самого листа;
покупать заготовки выгодно)
(оценки неотрицательны)
Очевидно, что решениями этой задачи являются величи-
5 8
ны -и = — и w = —, т. е. прежние оценки, отнесенные
64 64
к оценке листа материала. Значения целевых функций
прямой и двойственной задач на оптимальных планах
совпадают и равны 325.
Итак, если цены равны приведенным выше величи-
нам, цеху выгодно выполнять задание, и в то же время
он не получает несправедливого дохода. Отметим, одна-
ко, что одни цены не могут обеспечить выполнение до-
говора между заводом и цехом. Они служат важным
дополнением к нему.
Рассмотренная нами задача о рациональном раскрое,
помимо теоретического, представляет огромный прак-
тический интерес. Ведь каждый день на сотнях и тыся-
чах предприятий на самом деле, а не в теории осуществ-
ляется раскрой промышленных материалов. От того, на-
сколько близки планы раскроя, выбираемые на практи-
53
ке, к оптимальным, существенно зависит объем потерь,
которые в масштабах народного хозяйства могут пред-
ставлять весьма значительную величину. Понятно поэто-
му, сколь важно внедрение теоретических математиче-
ских результатов в практику, повсеместное их использо-
вание.
§ 4. КАК ПРИКРЕПИТЬ ПОТРЕБИТЕЛЕЙ
К ПОСТАВЩИКАМ!
Обратимся к ситуации, в которой речь пойдет уже о не-
скольких предприятиях, так что необходимым окажется
учет территориального фактора. К счастью, мы увидим
много общего с рассмотренными ранее моделями — пре-
лесть математики в том, что она говорит универсальным
языком и далекие на первый взгляд ситуации для нее
иногда бывают вообще неразличимы.
Начнем, как всегда, с самого простого.
Имеется т предприятий Ah А2, ..., Ат, производящих
один и тот же продукт (одного качества!) в количествах,
равных соответственно ait а2, ..., ат. Есть и п потребите-
л£й этого продукта, находящихся в пунктах В2,
Вп, причем потребности их известны и равны blf b2, ...,
Ьп. Предполагается, что суммарный объем потребления
равен суммарному объему выпуска всех предприятий.
Перевозка продукта от г-го предприятия к /-му потреби-
телю ведет к затратам и составляет сц. Все величины Сц
считаются заданными. В этих условиях требуется опре-
делить наилучший план перевозок.
Мы сознательно отвлекаемся от множества факторов
(затраты на производство, разное качество продукта
и т. п.), чтобы иметь возможность в чистом виде изучить
роль территориального фактора, учитываемого посред-
ством транспортных затрат.
Построим математическую модель этой ситуации. Че-
рез Xij обозначим количество продукта, перевозимого с
i-ro предприятия к /-му потребителю. Выпишем ограниче-
ния, которым должны удовлетворять эти величины.
Прежде всего каждый потребитель должен получить ров-
но столько, сколько ему требуется, т. е.
т
- b}, J - 1, 2,
/=1
, п.
54
Так как производится столько же, сколько и потреб-
ляется, с каждого предприятия продукт должен выво-
зиться полностью, т. е.
Z- 1, . . . , /и.
j=i
Понятно также, что перевозимые количества продукта
не могут быть отрицательными:
i = l, 2, ..., m; j= 1, 2,
В качестве целевой функции, подлежащей миними-
зации, выступают суммарные затраты на перевозку, оп-
ределяемые формулой
т п
i=l J=1
Окончательно приходим к следующей задаче.
Найти
min2
i=X j=l
при условиях:
1. j = 1, 2, . . . ,л
/=i
2. i = 1, 2, . . . ,m.
j=i
3. i==l, 2, ..., m; /=1, 2, ..., n.
Полученная задача, как уже, конечно, догадался вни-
мательный читатель, является задачей линейного про-
граммирования. Требуется найти минимум линейной
функции при линейных ограничениях. Однако ограниче-
ния 1 и 2 весьма специфичны, и поэтому оказалось целе-
сообразным выделить из всего множества задач линей-
ного программирования те, у которых ограничения имен-
но такого вида. Задачи этого типа получили название
транспортных задач. Зачем нужно такое выделение? Да
просто потому, что, как правило, для частных задач уда-
ется находить специальные методы решения, использую-
щие их специфику, и потому гораздо более эффектив-
ные, чем общие приемы решения.
55
Выше мы упоминали признак оптимальности плана
задачи линейного программирования. Так как он верен
для любой задачи линейного программирования, то, в
частности, верен и для транспортной задачи. Посмотрим,
каким будет в этом случае экономическое содержание
признака оптимальности.
Обозначим через щ оценку единицы продукта на i-м
предприятии, а через Vj — оценку единицы продукции у
/-го потребителя.
Пользуясь терминологией задачи, мы можем пони-
мать под ними локальные или поясные цены (для дан-
ной конкретной задачи, так как в другой задаче и цены
будут другими) на единицу продукта.
Тогда признак оптимальности плана представляет
собой точное выражение истины, очевидной для каждо-
го: если какая-то перевозка осуществляется, то цена в
пункте потребления равна цене в пункте производства
плюс транспортные затраты; в любом пункте потребле-
ния оценки Vj не может быть больше^ чем Ui-j-Cij, так как
по такой цене можно было бы получить в /-м пункте по-
требления продукт, привезя его из i-ro пункта производ-
ства, с затратами Cij.
Следовательно, всегда в оптимальном плане Vj^Ui-j-
-j-Cij, т. е. разность цен не превышает затрат по транс-
портировке.
На основании признака оптимальности можно не
только проверить любой допустимый план на оптималь-
ность, но и, если нужно, перейти к лучшему. Покажем,
как проводятся такие расчеты на конкретном числовом
примере.
Пусть объемы выпуска предприятий равны следую-
щим величинам: ai=145 т, а2=125 т, а3 = 220 т, а4 =
= 135 т. Объемы потребления таковы: &!=120 т, Ь2=
= 125 т, 63=130 т, b4 = 110 т, &5=140 т. Легко видеть,
что задача сбалансирована — объем выпуска равен объ-
ему потребления. Затраты на перевозку единицы продук-
та заданы таблицей-матрицей.
Решение начнем с того, что попробуем на глазок по-
добрать хороший план перевозок. Будем рассуждать так.
Самую дешевую перевозку, по 14 руб. за 1 т продукта,
можно осуществить от второго предприятия к третьему
потребителю. Поэтому включим ее в план с наибольшей
возможной интенсивностью, т. е. планируем перевозку
125 т продукта от второго предприятия к третьему по-
56
Таблица 2
(120) ^2 (125) Вз (130) в, (И0) в5 (140)
А, (145) 18 24 23 27 32
А2 (125) 19 20 14 16 26
Аз (220) 21 20 17 15 28
А4 (135) 15 21 22 19 22
требителю. Следующая по дороговизне перевозка мо-
жет быть осуществлена от третьего предприятия к чет-
вертому потребителю. Следовательно, планируем пере-
везти от третьего предприятия к четвертому потребите-
лю 110 т продукта. Больше ему просто не нужно. Рас-
суждая аналогично, придем к следующему плану пере-
возки:
*12 = 5, Х15=140, х23= 125, х35= 105,
Хз4=110, x4i = 120, х42=15.
Легко видеть, что план этот допустим, так как он
позволяет полностью удовлетворить потребности и обес-
печивает вывоз продукта с предприятий. Суммарные за-
траты на его реализацию составляют: 5-24-4-140-324-
4-125-144-105-204-5-17 4- ИО-15 4- 120-15 4- 15-21 =
= 12 300.
На практике, к сожалению, нередко еще наилучший
план перевозок отыскивают именно таким способом. По-
чему «к сожалению», станет ясно из последующего.
Для того чтобы проверить найденный план на опти-
мальность, следует прежде всего вычислить потенциалы-
оценки единицы продукта в каждом пункте производства
и потребления. Поскольку потенциалы определяются с
точностью до постоянного слагаемого, один из них мож-
но выбрать произвольно. Это соответствует выбору на-
чала отсчета.
Пусть, например, «1 = 0 (будем обозначать буквами
«ь «2, «з, и4 потенциалы пунктов производства, а буква-
ми Vi, v2, v3, v4, v5 — потенциалы потребителей). Тогда,
используя тот факт, что разности потенциалов между
предприятиями, связанными в плане, равны соответст-
вующим транспортным затратам, без труда один за дру-
гим находим все остальные потенциалы:
«1 = 0 и2=21-14= 7
115=32+ 0 = 32 о4=15+ 4=19
и2=24+ 0=24 «4=24—21= 3
из=24—20= 4 «, = 15+ 3=18
«з=17+ 4 = 21
Проверим, выполнено ли условие оптимальности. Для
этого нужно, согласно сказанному выше, подсчитать ве-
личины Uj—Ui—Cij. Если все они меньше или равны ну-
лю, то план оптимален. В противном случае его можно
улучшить.
Вычислим:
Ui—Ui—Сц = 18—0—-18 = 0
о2—«1—с!2=24—0—24 = 0
о3—Hi—С1з = 21 — 0—23= — 2
о4—«1— <714 = 19—0—27= — 8
^5—«1—^15 = 32—0—32=0
Di—«з—Сз1= 18—4—21 = —7
о2—«3—с32 = 24—4—20=0
о3—«з—Сзз = 21— 4—17=0
«4—«3—с34= 19—4—15=0
«5—«3—^35 = 32—4—28=0
Di—«2—^21= 18—7—19=— 8
о 2—«2—С22==24—7—20 = —3
Оз—«2—023 = 21—7—14 = 0
о4—«2—024 = 19—7—16=—4
os—«2—о25 = 32—7—26= — 1
01—«4—o4i= 18—3—15=0
о2—«4—c4i = 24—3—21 = 0
Оз—«4—с43 = 21—3— 22 = —4
о4—«4—с44 = 19—3—19=—3
о5—u4—c45 = 32—3—22=7
Так как среди найденных величин есть положитель-
ная (05—u4—C45 = 7), то в силу признака оптимальнос-
ти план не оптимален. Для того чтобы его улучшить,
введем в него перевозку в объеме 0 между четвертым
предприятием и пятым потребителем. (Если бы разнос-
ти Vj—Ui—Cij были положительны для нескольких пар
пунктов, то в план естественно ввести такую перевозку,
58
которая соответствует максимальной величине разнос-
ти.) I
Введение дополнительной перевозки нарушает сба-
лансированность плана, поэтому приходится изменить
объемы перевозок и между некоторыми другими пунк-
тами. В результате всех этих изменений получаем такой
уже сбалансированный план:
Величину 0 выгоднее брать как можно большей, так
как легко убедиться в том, что затраты по реализации
нового плана перевозок меньше затрат по реализации ис-
ходного плана на величину (и5—u4—с45)-0 = 7-0. Ясно
также, что объемы перевозок не могут быть отрицатель-
ными. Отсюда сразу следует, что лучше всего выбрать
0=15. При этом получаем такой новый план перевозок:
На этом закончен первый этап улучшения плана —
первая итерация, как говорят математики. Далее следу-
ет вновь вычислить потенциалы и с их помощью прове-
рить план на оптимальность. При этом либо план ока-
жется оптимальным, либо можно будет осуществить
дальнейшее его улучшение.
59
Мы доведем сейчас до конца численное решение за-
дачи, но уже не будем сопровождать его подобными по-
яснениями. Читателю рекомендуется самому проделать
все выкладки, а лишь потом сравнить их с приведенны-
ми в книге.
Имеем: Ui = 0 v4— 44-15=19
v5 = 32 v5= 4+17=21
u2 = 24 u2=21 —14= 7
u4 = 32—22=10
vi= 15+10=25
u3 = 24-20= 4
Далее находим:
Ui—Ui— Ci i = 25—0—18=7
v2—ui—Cn = 24-0—24=0
Уз—«i —С1з = 21— 0—23= — 2
v4—U\ —Cm= 19—0-27=—8
П5—«1-^15=32—0—32=0
«1—«2—^21 = 25—7—19= — 1
v%—u2—£22 = 24— 7— 20= —3
«3—«2—^23=21— 7—14=0
u4—«2—£24 = 19—7—16=—4
У5—«2—^25=32—7—26= — 1
D1—U3—C31 = 25—4—21 = 0
«2—u3—C32=24—4—20=0
Уз—«з—Сзз = 21—4—17=0
u4—«3—c34= 19—4—15=0
«5—«3—^35 = 32— 4— 28 =0
V1—U4—c4i = 25—10—15=0
«2—«4—c42 = 24—10— 21 =—7
«з—«4—£43 = 21 — 10—22 = —11
v4—«4—£44= 19—10—19= —10
«5—«4—£45 = 32—10—22 = 0
Наибольшей из разностей оказалась Vi—и\—Сц = 7.
Поэтому включаем в план перевозку от первого пред-
приятия к первому потребителю:
60
Таблица 5
Предприятия Потребители в, (120) В2 (125) В3 (130) В4 (НО) Вэ (140)
А, (145) А2 (125) 0 20 125 125-0
Аз (220) А4 (135) 120-0 105 5 ПО 15+0
Выберем 0=120. Тогда придем к такому улучшенно-
му плану:
Таблица 6
Предприятия Потребители В! (120) в2 (125) В3 (130) в, (НО) В5 (140)
А] (145) 120 20 5
А2 (125) 125
Аз (220) 105 5 НО
А4 (135) 153
Снова вычисляем потенциалы:
Ul= 0 н4 = 32—22=10 «2 = 21 — 14=7
ui=18 и3 = 24-20= 4
и2 = 24 о4=15+ 4=19
и5 = 32 и3=17 +4 = 21
Проверим план на оптимальность.
Вычисляем:
01—«1—оц = 18—0—18=0
о2—«1—С12 = 24—0—24=0
Оз—С1з = 21— 0—23= — 2
о4—«1—Ci4= 19—0—27=—8
о5—П1—С15=32—0—32=0
У1—«2—Cai = 18—7—19=—8
па—«2—^22=24—7—20 = —3
03—^2—^23 = 21—7—14=0
о4—и2—^24= 19—7—16=—4
О5—U2—с25==32—7—26= — 1
61
vx—u3—C3\= 18—10—21 = —7
02—«3—^32 = 24—4—20=0
Оз—из—Сзз = 21—4—17=0
o4—u3—0з4= 19—4—15=0
о5—«з—Оз5 = 32—4—28=0
oj—«4—с41= 18—10—15=—7
02—«4—042 = 24—10—21 = — 7
оз—«4—043 = 21 — 10—22= — ! 1
О4 — «4 — 044= 19—10—19= —10
05—«4—о45 = 32—10—22=0
Так как все разности оказались неположительными,
в силу признака оптимальности можно заключить, что
последний план является оптимальным. Затраты, необ-
ходимые для его реализации, составляют 120-18-4-20-
-24-4-5-32-4-125-14-4-105-204-5-17 Н- 110-15 + 135-22 =
= 11 355 руб. Теперь видно, что по сравнению с перво-
начальным, казавшимся «хорошим» планом, оптималь-
ный план позволяет сократить затраты более чем на 7%.
Понятен и смысл слова «к сожалению», так как можно
лишь сожалеть, если на практике для отыскания опти-
мального плана используется метод, подобный тому, ко-
торый был использован для нахождения начального «ра-
зумного» плана.
При решении больших практических задач почти ни-
когда не удается получить оптимальный план с помощью
всего лишь двух итераций. Обычно это гораздо более
трудоемкий процесс, но поскольку он без особого труда
реализуется на ЭВМ, важно, что он приводит к опти-
мальному плану за конечное и даже не слишком боль-
шое число итераций.
§ 5. РАЗМЕЩЕНИЕ ПРЕДПРИЯТИЙ
Одним из чрезвычайно важных вопросов, относящихся
как к отраслевому, так и к территориальному плани-
рованию, является вопрос размещения предприятий.
Где строить предприятие? Если поблизости от сырьевой
базы, то велики могут быть затраты на транспортиров-
ку готовой продукции. Если поблизости от потребителя
продукции, то дорого транспортировать сырье. А ведь
еще нужно учитывать и обеспеченность трудовыми ре-
сурсами, и многие другие факторы. Совершенно понят-
но, что при решении столь сложной проблемы без точ-
62
ного математического исследования не обойтись. Понят-
но также, что если попробовать учесть много факторов,
то едва ли такая сложная модель будет уместна на стра-
ницах этой книги. Поэтому учтем только самое главное.
Пусть в нескольких пунктах Ль Л2, .... Ат расположе-
ны предприятия, производящие некоторый продукт. В
пунктах В2......Вп заданы потребности в этом продук-
те, которые равны соответственно bit b2, ...,Ьп. Затраты
по производству единицы продукта в пункте Ai равны
Ci, возможный объем производства в этом пункте равен
а затраты по транспортировке единицы продукта из
I в / равны di}. Проблема состоит в выборе мест распо-
ложения новых предприятий, объемов их производства,
а также планов перевозок готового продукта, причем все
это должно быть выбрано так, чтобы суммарные затра-
ты по производству и транспортировке всего необходи-
мого объема продукта были минимальны.
Сейчас станет понятно, что модель описанной ситуа-
ции совпадает с рассматривавшейся ранее транспортной
задачей. Сначала применим, однако, одну небольшую
хитрость.
К пунктам потребления добавим фиктивный пункт
Вп+1 с такими характеристиками: потребность в нем рав-
на разности между возможным объемом производства
продукта и суммарной потребностью, т. е. в него свозят-
ся все излишки, а затраты на перевозку в него из всех
пунктов производства равны нулю.
Теперь построим модель. Целевая функция, которую
хотим минимизировать, имеет вид:
min {c(x, 4- 2
z==i j=i
затраты на про- затраты на
изводство транспортировку
Ограничения модели:
1. (перевозятся неотрицательные количества
продукта);
п
2. = (выпускаемое количество продукта не
/=1
больше возможного объема производства и равно выво-
зимому количеству продукта);
3. j — blt j = 1, ,/i,
f=i
63
m т ti
z=l t-l j=l
(каждый пункт потребления получает столько, сколько
ему требуется).
Получилась транспортная задача с той только разни-
цей, что в элементах матрицы затрат к затратам на
транспортировку добавлены затраты на производство в
пункте отправления. Решая ее, можно найти оптималь-
ные объемы производства как суммы потоков из каждо-
го пункта производства в реальные пункты потребления.
Если где-либо объем производства окажется равным ну-
лю, то это значит, что в данном пункте строить пред-
приятие не следует, а если оно уже имеется, то, может
быть, выгоднее его закрыть.
На основе приведенной модели проведено большое
число практических расчетов по размещению производ-
ства как по стране в целом, так и по крупным экономи-
ческим районам. Как правило, все они давали возмож-
ность существенно снизить объемы капиталовложений
по сравнению с «безмодельными» расчетами.
Следующий шаг на пути приближения модели к ре-
альности состоит в том, что производственные затраты
не предполагаются пропорциональными объему выпус-
ка, а зависят от него нелинейно, т. е. целевая функция
принимает вид:
т т л;1
min t
/=1 i=\ j=i
затраты на затраты на
производство транспортировку
а ограничения остаются прежними.
Экстремальные задачи, в которых либо ограничения,
либо целевая функция, либо и то и другое нелинейны,
получили название задач нелинейного программирова-
ния. Для них, к сожалению, нет столь хорошо разрабо-
танных методов решения, как это наблюдается в линей-
ном программировании. Поэтому решение удается отыс-
кивать далеко не всегда.
Для того чтобы понять, с чем это связано, прежде
всего выясним, на чем может отразиться нелинейность
задачи. Если нелинейны ограничения, то область (7
(область допустимых планов) может оказаться невы-
пуклой. (Напомним, что область называется выпуклой,
64
если вместе с каждыми двумя точками области ей при-
надлежит и весь отрезок, их соединяющий (рис 11 и
12).
В задачах линейного программирования такого яв-
ления быть не могло, так как многогранник ограничений
всегда выпуклый с конечным числом крайних точек. А
сохраняется ли в нелинейных задачах второе из этих
свойств — конечность числа крайних точек?
Оказывается, что тоже нет. На рис. 13 приведен
пример невыпуклой области с бесчисленным множеством
крайних точек (каждая точка дуги ASB крайняя).
Не меньше неприятностей доставляет и нелинейность
в целевой функции. Именно из-за нее функция может
достигать экстремума не в крайней точке области U,
а где-нибудь внутри, может иметь несколько локальных
(местных) экстремумов, например, в точках и — и\ и
w = u2 (рис. 14). (Напомним, что точка А называется
точкой локального экстремума, если в ней значение функ-
ции больше (меньше, чем значение этой функции в до-
статочно малой окрестности точки А.)
Обратимся к напрашивающейся и очень уместной
здесь аналогии. Перед нами горная цепь, в которой мы
хотим найти самую высокую вершину и измерить ее вы-
соту (горы представляют собой график целевой функ-
ции). По сравнению с альпинизмом, где такие задачи не
редкость, у математиков имеются дополнительные ослож-
нения.
Альпинист может чаще всего окинуть взглядом всю
горную цепь и оценить, где пики, где долины, и в соот-
ветствии с этим избрать путь к вершине. Математик ли-
шен этой возможности. Без специального исследования
целевой функции (а это может быть практически неосу-
ществимым) он не знает, как выглядит его горная цепь.
Это альпинист, ищущий вершину с завязанными глаза-
ми. Можно ли считать, что поиски его обречены на не-
успех? К счастью, не всегда
Если известно, что горная цепь имеет одну вершину,
то задача упрощается. Как бы вел себя в этом случае
человек с завязанными глазами? Стоя в любой точке
горы, он ногой попробовал бы, в какую сторону подъем,
и сделал бы туда шаг. В новой точке повторил бы эту
процедуру и т. д. Подъем окончился бы, т. е. вершина
была достигнута, если в какой-то точке ни в одну сто-
рону не окажется подъема,— эта точка и является вер-
А Ь Гори
Ь5
Рис II Вып\ктая область (лю
бои отрезок вместе с крайними
точками цетиком принадлежит
области)
Рис. 12 Невыпхклая обтасп
(отрезок АВ не принадлежит
целиком области)
Рис 13. Невып\ктая область с
бесчисленным множеством край-
них точек — каждая точка ду-
ги ASB крайняя
Рис 14. Нелинейная целевая
функция может иметь несколь-
ко экстремумов внутри области
U. Здесь при u = U| и и = иг
(обе точки внутренние) функ-
ция имеет локальные максимумы
66
Рис. 15. Случай, когда у целе
вой функции один экстремум
---—— пик пропущен
о • о о « глобальный экстремум найден
Рис. 16. Случаи, когд.1 ценная
функция имеет нескотько
ремумов
шиной. Совершенно аналогично поступают и при реше-
нии задачи математики. Методы, основанные на поша-
говом приближении к точке экстремума, двигаясь от
меньших значений функции к большим, получили назва-
ние градиентных (градиент — вектор, характеризующий
направление скорейшего возрастания функции).
Если горная цепь имеет больше чем одну вершину, то
дело обстоит много хуже, так как на этот раз пошаго-
вый поиск может прекратиться не в самой высокой, а в
какой-нибудь вершине. В этом случае приходится начи-
нать пошаговый поиск, отправляясь поочередно из раз-
ных точек. Выйдя из какой-нибудь точки, движемся до
точки экстремума. Затем, выбрав случайным образом
следующую начальную точку, вновь ведем поиск экст-
ремума и т. д. Чем больше точек допустимой области
будет испытано в качестве начальных, тем более пол-
ные представления будут о виде всей поверхности. Наи-
больший из экстремумов может быть приближенно при-
нят за значение максимума целевой функции. Прибли-
женно, так как нет и не может быть гарантии, что при
таком подходе не окажется пропущенной самая высокая
вершина. Посмотреть же все точки практически невоз-
можно.
Следующие ниже рис. 15 и рис. 16 иллюстрируют
возможности, которые могут представиться при описан-
ном методе поиска экстремума
5*
67
Приведенные две модели — транспортная задача и
ее нелинейное обобщение, конечно, не исчерпывают все-
го разнообразия моделей, пригодных в различных случа-
ях для решения задачи о размещении производства.
К некоторым из этих моделей мы еще будем обра-
щаться.
§ 6. БОЛЬШОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ ИЛИ МАЛЕНЬКОЕ!
Одна из важных тенденций современного развитого про-
изводства состоит в постоянном укрупнении размеров
предприятий. Объясняется это тем, что с увеличением
объема выпускаемой продукции повышается специали-
зация производства и благодаря этому удается добиться
снижения удельных затрат — затрат, приходящихся на
единицу продукции. Тем не менее точное количественное
исследование вопроса о степени концентрации производ-
ства в зависимости от местоположения, отрасли и дру-
гих факторов представляется чрезвычайно важным, так
как она в значительной степени влияет на темпы раз-
вития общественного производства.
Прежде всего такой принципиальный вопрос: а мож-
но ли укрупнять предприятие неограниченно? По-види-
мому, при данном уровне технической оснащенности, при
существующей системе планирования и управления нель-
зя. Да это было бы и нецелесообразно, так как укруп-
нять—это не значит просто механически соединять ма-
ленькие предприятия в большие. Однако по мере исполь-
зования новейших достижений науки и техники создают-
ся условия для новых производственных возможностей—
увеличение объема доменных печей и мартенов, колос-
сальный рост мощности тепловых электростанций, ис-
пользование ЭВМ для нужд управления и др.,— и на ба-
зе этих новых возможностей дальнейшее укрупнение не
только возможно, но иногда и целесообразно.
Для того чтобы на каждом этапе определить необхо-
димый уровень концентрации производства, следует об-
ратиться к анализу показателей деятельности предприя-
тия— себестоимости продукции, трудоемкости, разме-
рам капиталовложений, приходящихся на единицу про-
дукции, и др. Общеизвестно, что затраты на выпуск про-
дукции могут быть разделены на две части — постоянные
затраты, не зависящие от объема производства, и пе-
ременные затраты, которые грубо можно считать про-
бе
порциональными количеству выпускаемой продукции.
Введем обозначения: пусть Ф — суммарные затраты по
выпуску продукции, и — постоянные затраты и ф — пе-
ременные затраты, отнесенные к единице продукции.
Тогда справедлива формула
Ф (х) = и -- f f (/) dt,
Q
где X — объем выпускаемой продукции. Понятно, что
если концентрация производства происходит просто пу-
тем слияния предприятий, то величина и при этом не
изменяется, и с ростом X, Ф(Х) также возрастает. При-
влечение же новых технологий хотя и может увеличить
и, снижает величину (р. Так что вполне понятно то, что
было сказано выше: иногда целесообразна концентра-
ция производства, учитывающая новые достижения нау-
ки и техники.
Наряду с факторами, способствующими концентра-
ции производства, существуют и другие, которые умень-
шают эффективность концентрации производства. Сре-
ди них необходимо отметить уже сложившееся размеще-
ние производства, наличие природных ресурсов, транс-
портировку сырья и готовой продукции и ряд других.
Если учесть и эти факторы и вновь вернуться к ха-
рактеристике затрат предприятия, то можно сказать, что
для предприятия имеется много более сложная, чем рань-
ше, но все же, будем считать, известная функция Ф(Х),
выражающая затраты в зависимости от объема выпус-
каемой продукции X. Теперь уместно рассмотреть такую
ситуацию.
В отрасли, выпускающей определенный вид продук-
ции, имеется т предприятий Дь ..., Ат. (Для простоты
мы считаем, что отрасль выпускает единственный вид
продукции.) Каждое предприятие Д, характеризуется
известной функцией qpi(xi), выражающей затраты в за-
висимости от его объема выпуска х,. Суммарная потреб-
ность в продукции равна X. Какими следует выбрать
объемы производства каждого предприятия, чтобы и
потребности удовлетворить, и затраты суммарные сде-
лать как можно меньше.
Математическая модель этой ситуации исключитель-
но проста. Вот она.
Найти
69
minSTt^i)
i -i
суммарные затраты предприятий
при условиях:
1. Хг>0, i= 1, 2, ..., т
(объемы выпуска предприятий не могут быть отрицатель-
ными) ;
т
2. Хх, --Х.
«=1
(потребность в продукции должна быть удовлетворена).
Обсудим теперь, каким путем может быть решена воз-
никшая математическая задача. Так как функции <pt (xt)
обычно нелинейны, то они относятся к задачам нели-
нейного программирования, и для решения, следователь-
но, могут быть применены существующие методы нели-
нейного программирования (см. § 5). Но не только они.
Мы покажем сейчас, как может быть проведено решение
с помощью метода динамического программирования,
предложенного в начале пятидесятых годов американ-
ским математиком Р. Веллманом.
Будем сначала рассматривать выпуск продукции
только первым предприятием. Тогда минимальные за-
траты на выпуск определяются так: Ф1 (X) =min(pi (xi),
при условии, что Х\ — Х, т. е. ф, (X) =ф] (X). Итак, мы
знаем, чему равны минимальные затраты на выпуск про-
дукции, если вся она выпускается только первым пред-
приятием. Теперь допустим, что выпуск осуществляется
первым и вторым предприятиями. Минимальные затраты
в этом случае обозначим через Ф2(Х). Вообще, если в
выпуске участвуют k предприятий, то минимальные за-
траты будем обозначать через Фи(Х).
Если второе предприятие выпускает количество про-
дукции у, то на долю первого остается выпустить коли-
чество X—у, причем минимальные затраты для него бу-
дут составлять Ф1(Х—у). Понятно, что общие затраты
для первого и второго предприятий составляют <р2(!/) +
4-Ф1(Х—у). Остается определить у. Ясно, что величи-
на Ф2(Х)—минимальные затраты на выпуск всей про-
дукции первым и вторым предприятиями — определяет-
ся как минимум для всех вариантов выбора у формулой
Ф2(Х) = тШ{ср2(у) + Ф1(Х-у)).
О^у«Х
70
Продолжая аналогично, т. е. всякий раз к уже рассмот-
ренным предприятиям добавляя еще одно, через т ша-
гов придем к такому соотношению:
Фт (X) - min {<рт (у) + Фт_, (X - у)}.
минимальные
затраты на вы-
пуск всей про-
дукции т пред-
приятиями
минимальные
затраты на вы-
пуск продукции
первыми (т—1)
предприятиями
Из полученных рекуррентных (возвратных) соотно-
шений без особого труда могут быть найдены одна за
другой функции Ф1(Х), Фг(Х), ..., фт(Х), а вместе с ними
и численное решение поставленной задачи.
§ 7. ЗАДАЧА О БЛИЖАЙШЕМ СОСЕДЕ
При размещении предприятий, помимо учета их сырье-
вых возможностей, спроса на продукцию, учета трудо-
вых ресурсов, транспортных возможностей и т. п., иног-
да приходится учитывать и эффект от взаимного их рас-
положения. Скажем, близость предприятия одной от-
расли к предприятию другой отрасли крайне нежела-
тельна или, наоборот, очень желательна. Как учитывать
фактор взаимодействия? Для того чтобы продемонстри-
ровать роль этого фактора в «чистом» виде, отвлечемся
от всех прочих факторов и сделаем еще одно упрощаю-
щее предположение — пусть предприятия можно разме-
щать только вдоль линии, так что взаимодействие про-
исходит только между соседними предприятиями. (Кста-
ти, именно в связи с таким упрощением подобные зада-
чи получили название «задачи о ближайшем соседе».)
Итак, в точках х0—а и xN+\ — b расположены предприя-
тия, а на отрезке прямой, соединяющей эти точки, тре-
буется разместить еще несколько предприятий. «Полез-
ность» от взаимодействия двух соседних предприятий,
расположенных в точках х, и хг+1, определяется извест-
ной функцией q и равна q(Xi, Xf+i). Сколько и где нуж-
но разместить предприятий, чтобы суммарная «полез-
ность» от их взаимодействия была бы наибольшей?
Построим модель. Сразу понятно, что мы хотим най-
ти число
71
Л- max {g(x0, xt)-r Л2)Ч • • H(xN, JCn i )}.
{*1.-M
выражающее эффект от взаимодействия при условиях
Хо=а и XN+i = b — предприятия уже есть в крайних точ-
ках;
Xk—Xfe-iX) - расстояния между предприятиями неот-
рицательны.
Для решения полученной задачи может быть приме-
нен упоминавшийся уже метод динамического програм-
мирования.
Введем обозначение
N
/ (я)— max { V g(xt, х(^[}/хп = и-, xN+1 = b},
п 0, 1, . . . ,N.
(Максимальный эффект от взаимодействия предприятий
от п-го до (W-H)-ro при условии, что м-е расположено
в точке и, а (Л/-Н)-е в точке Ь,)- Функции fn(u) связаны
такими возвратными соотношениями:
fx(u)^g(u, b),
fn_ J (z) - max {g (z, и) -i- fn (zz)},
n==l, 2, .... N.
Очевидно, что величина А может быть найдена из усло-
вия: fo(a) =А.
Вычисляя последовательно одну за другой функции
fn (и), можно найти решение задачи. Рассмотрим, напри-
мер, такой числовой пример. Пусть мы хотим найти
4
max 2g(x„ ^1ч)
z=o
при условиях:
хо=О, х5=20;
0^Xi^x2^ ... ^х5;
Xi —целые, i— 1, 2, 3, 4, a g(x, у) = (у—х)х2у.
Для этого примера возвратные соотношения имеют вид:
72
fi (м (#» 20) -- (20 w) и2 -20,
, |z) max {g(z. м) - /„(«)}.
II
n=4, 3, 2, 1.
Провести вычисления предлагается читателю самостоя-
тельно. Здесь же приведем лишь результаты: А — 34662,
а оптимальное решение имеет вид:
Xi = 8; х2=12; х3=15; х4=18.
Замечание. С точки зрения практики самое труд-
ное— определить вид функций, характеризующих эф-
фект от взаимодействия. На сегодняшний день задачи
такого сорта представляют лишь теоретический интерес.
Однако, кто знает, что будет завтра!
§ 8. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
В последние годы в планировании и управлении раз-
личными экономическими объектами все более часто
употребляются сетевые методы, или, как их иногда на-
зывают, сетевые графики. Конечно, методы эти далеко
не универсальны, очень многие вопросы не могут быть
решены с их помощью, однако на своем месте, там, где
их применение целесообразно, они весьма эффектив-
ны. Мы познакомимся с методами сетевого планирова-
ния, изучая некоторую ситуацию, рассмотрим числовой
пример.
Предстоит построить большой завод. Организация,
ведущая строительство, заинтересована в том, чтобы
заранее знать более или менее точно срок завершения
всех работ, какие работы следует выполнять с наиболь-
шей интенсивностью, а где можно и не слишком торо-
питься (понятно, что в этом случае снизятся затраты на
осуществление соответствующей работы и тем самым
затраты на все строительство). Как быть, каким обра-
зом можно получить необходимую информацию?
Оказывается, что именно сетевое планирование как
нельзя более кстати при решении подобных вопросов.
Первое, что надлежит сделать, — это составить список
всех работ, которые нужно совершить с начала строи-
тельства и вплоть до его завершения. Что считать ра-
ботой? Ведь и забить гвоздь, и построить заводской кор-
73
пус — это все работы. Здесь существенную роль играет
продолжительность выполнения. Обычно подразделение
на работы осуществляется так, что продолжительности
их достаточно близки, с той степенью детализации, ко-
торая достаточна для желаемой точности.
Итак, представим себе, что такой список готов. Вот
для образца несколько работ из него.
1. Подвоз необходимых материалов к строительной
площадке.
2. Подведение электричества.
3. Подведение воды.
4. Закладка фундамента первого цеха.
5. Прокладка труб теплоцентрали и т. д.
В целом такой список может содержать многие сот-
ни работ. Понятно, что все работы, которые вошли в
этот список, могут быть естественным образом упоря-
дочены — мы можем сказать, какая работа чему пред-
шествует (фундамент закладывается раньше, чем на
нем возводятся стены), либо указать, что некоторые
работы могут выполняться одновременно (можно од-
новременно закладывать фундаменты нескольких це-
хов). Процесс упорядочения списка работ является наи-
более существенной и трудоемкой частью всего иссле-
дования.
Теперь уже можно перейти к построению сетевой мо-
дели строительства. Будем изображать результат вы-
полнения каждой работы кружочком с соответствующим
номером внутри. Если работа i предшествует работе /,
то мы это будем изображать так (рис. 17).
Величина ti} означает, что работа / может быть завер-
шена через время после окончания i-й работы. Пред-
полагается, что более или менее точно величины ti3 для
всего списка работ нам известны.
Сетевой график списка работ схематически может
быть представлен в следующем виде (рис. 18). Поясним
хотя бы часть этого графика, так как остальное легко
можно понять по аналогии. Работы 6 и 8 могуг начать-
ся только после того, как закончится работа 3. Если их
начать сразу же после работы 3, то они закончатся че-
рез время, соответственно равное /зв и /зв- Работы 2, 3,
4 и 5 могут выполняться одновременно, лишь бы толь-
ко завершилась работа 1—первая работа во всем ком-
плексе. Работа 9 представляет собой последнюю работу
74
Рис. 17.
Работа i предшествует
работе /
комплекса, ее завершение равносильно завершению все-
го строительства.
Итак, сетевая модель построена. Какую пользу из
нее можно извлечь? Прежде всего с ее помощью не-
трудно ответить на такой важный вопрос: за какое наи-
меньшее время может быть завершено строительство?
Для этого из всего комплекса работ выделим две особо
значимые: первую, с которой начинается строительство,
и последнюю, которой оно заканчивается. Понятно, что
время завершения строительства не может быть меньше,
чем сумма длительности всех операций, взятая вдоль
самого неблагоприятного, самого длинного пути, сое-
диняющего первую и последнюю работы на сетевом гра-
фике. Такой путь, на котором достигается наибольшее
возможное время окончания строительства, носит назва-
75
ние критического пути. Те работы, через которые про
ходит критический путь, также называются критически-
ми. Эти работы нужно начинать выполнять, как только
это оказывается возможным. Если задержаться с вы-
полнением критической работы, то заведомо отодвинет-
ся момент окончания строительства. Для каждой некри-
тической работы имеется некоторый интервал свободы,
в течение которого она может быть выполнена без ущер-
ба для срока завершения всего строительства.
Итак, вывод. Если руководитель строительства ви-
дит, что срывается выполнение какой-либо критической
работы, то для устранения прорыва он может исполь-
зовать часть трудовых и материальных ресурсов, пере-
бросив их с некритической работы, но так, чтобы все же
не выйти в дальнейшем за ее интервал свободы, конечно,
если это возможно. В противном случае срок окончания
строительства отодвигается. Если же критические рабо-
ты не срываются, то может иметь смысл снизить интен-
сивность выполнения некритических работ, так как сни-
жение интенсивности обычно ведет и к снижению стои-
мости этих работ, т. е. снизится стоимость всего строи-
тельства. Эти простые правила оказываются очень по-
лезными для применения на практике. Чтобы их приме-
нять, достаточно уметь находить критический путь в се-
тевом графике и интервалы свободы для отдельных ра-
бот. В простейшем случае это удается сделать на глаз,
для более сложных разработаны специальные алго-
ритмы.
Мы рассмотрим сейчас один из таких алгоритмов,
предложенный американскими математиками Р. Веллма-
ном и С. Калабой, а потом проиллюстрируем его на кон-
кретном числовом примере. Прежде всего введем ряд
дополнительных условий. Если сетевой график не со-
держит отрезка, соединяющего работы i и /, то будем
считать, что /^=оо. Кроме того, положим, /„ = 0. Тогда с
математической точки зрения задача состоит в следую-
щем. Найти такой путь р- [Е\, Е'ц, Е^, . . . £п],
где Еп — работы, п — число работ, что величина
• • • +^ikn- достигает максимума.
В основе метода решений этой задачи лежит рассмот-
ренный выше метод динамического программирования.
Обозначим через 2, ..., п—1) величину макси-
мального пути от вершины i до конечной вершины.
76
(Предполагается, что вершины занумерованы так, что
начальная имеет номер один, а последняя, завершаю-
щая,— номер п.)
Поиск критического пути осуществим в несколько эта-
пов. На первом этапе определим величины
v^=tin, 1=1, 2, ... п—1.
1>п(1)=0. 1=1, 2, ..., п— 1,
Понятно, что они выражают продолжительности времени,
необходимые, чтобы «добраться» от t-й вершины до л-й
за один шаг.
Далее, переходим к вычислению величин
п,2 = max (it j 4- z>j(1)), Z=l,2, . . . ,n— 1.
J
z>n<2> = 0, j =1,2,. . ,л,
выражающих величины максимальных путей, соединяю-
щих вершины с вершиной л и состоящих из двух звеньев:
Рассуждая аналогично, последовательно шаг за ша-
гом вычисляем
-u1(k) = max (Zt j -г- ):
7
i— 1, 2, ..., л—1
/=1, 2, ..., л
ип(к)=0
до тех пор, пока не окажется, что выполнены условия
i— 1, 2, ..., л.
Найденное значение будет выражать величину кри-
тического пути, соединяющего первую и л-ю вершины, а
число k укажет, из скольких звеньев этот путь состоит.
Можно доказать, что если сетевой график состоит из л
вершин, то для нахождения критического пути достаточ-
но л—2 этапа последовательных вычислений.
Проиллюстрируем теперь описанный алгоритм на чис-
ловом примере. Пусть имеется такой сетевой график (см.
рис. 19). Для удобства проведения последующих выкла-
док составим матрицу, указывающую, между какими
вершинами графика возможны переходы. Там, где пере-
ходы не разрешены (нет стрелок), ставим символ —оо.
77
7
Рис.
19. Сетевой график
Таблица 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 2 2 — го СХ5 —СЮ — оо — оо 10 00
2 — оо 0 — со 6 —со —со — оо — оо —оо 00
3 — оо " со — со 4 1 — со — оо — оо —оо — оо
4 —со *"» со — со —со —со 1 2 00 9 — оо
5 — оо —оо —со —со — со —со —-00 00 4 — 00
6 — оо —со — со —со —со — со — оо —оо 4 7
7 —со — со —со —со —со —оо 00 2 — оо —оо
8 OJ —со — со — со —со — оо — оо —оо 4 9
9 CXJ — со — со ’—со — со —оо — оо 00 — оо 8
10 — со — со со CV —со — оо — со 00 — сю 0
78
Начнем вычисления. Результаты их будут приведены в
виде таблиц, чтобы читатель имел возможность прове-
рить собственные выкладки.
Из табл. 7 имеем
Теперь ищем пути из двух звеньев
(Мы использовали тот факт, что любое число в сумме
с —оо дает снова —оо.)
Результаты остальных вычислений сведены в таблицу
Таблица 8
12 3456789 10
J
2
3
4
5
18
18
25
25
23 21
23 21
23 21
17 12
17 12
17 12
17 12
12 Н
12 14
8 0
8 О
8 О
8 О
8 О
Последние две строки таблицы полностью совпали.
Отсюда можно сделать вывод, что критический путь
найден — он состоит из четырех звеньев, соединяющих
вершины 1, 2, 4, 9 10. Величина критического пути равна
25. Это означает, что комплекс работ, изображаемый
данным сетевым графиком, не может быть выполнен
быстрее, чем за 25 единиц времени, начиная с момента
завершения первой работы. На рис. 19 критический путь
изображен жирной линией.
Выясним, каков интервал свободы, скажем, у рабо-
ты 3. Обязательно ли ее начинать сразу после заверше-
ния работы 1? Нет. Есть резерв в 2 единицы времени,
так как для того чтобы не задерживать выполнение ра-
бот, лежащих на критическом пути, продолжительность
выполнения работ 1, 3, 4 должна быть не более продол-
жительности работ 1, 2, 4. Разность между этими про-
должительностями составляет две единицы времени.
Значит, либо работу 3 можно начинать на 2 единицы
позже, либо выполнять с половинной интенсивностью,
используя ресурсы для выполнения критических работ.
Ни в том, ни в другом случае общая продолжительность
выполнения всех работ не изменится.
Описанная нами модель сетевого графика предпола-
гает точно известными все продолжительности выполне-
ния работ, не касается вопроса о стоимости их проведе-
79
ния. В действительности же очень часто продолжитель-
ности выполнения работ являются случайными величи-
нами, да и стоимостный фактор играет большую роль. К
настоящему времени разработаны многочисленные моди-
фикации этой модели, позволяющие учесть как эти, так
и ряд других аспектов. Многие из них с успехом исполь-
зовались и используются на практике.
§ 9. МОЖНО ЛИ УМЕНЬШИТЬ ОЧЕРЕДЬ!
С проблемой образования очередей приходится сталки-
ваться в очень многих ситуациях. И в дамской парик-
махерской у опытного мастера, и у станка, обрабатываю-
щего различные детали (очередь деталей), и на стоянке
такси, когда имеется много машин и лишь один клиент
(очередь из машин), и во многих других случаях. Все
эти, а также не перечисленные случаи имеют много об-
щего— чем длиннее очередь, тем больше потери от пре-
бывания в ней клиентов (деталей, машин и т. п.). С дру-
гой стороны, чем больше обслуживающих устройств —
мастеров в парикмахерской, станков на предприятии,
тем дороже их содержание, но в то же время тем короче
очередь. Таким образом, задача состоит в том, чтобы
«уравновесить» два фактора, действующих, если можно
так сказать, в противоположных направлениях, — затра-
ты на содержание обслуживающих устройств и затраты
на пребывание в очереди.
Для изучения проблем, связанных с формированием
очередей, разработана специальная теория, получившая
название теории массового обслуживания. В ее основе
лежит описание случайного процесса образования очере-
ди с помощью весьма сложных систем дифференциаль-
ных уравнений и последующее их исследование. Мы не
будем приводить здесь этого описания, так как не рас-
считываем на основательное знакомство читателя с тео-
рией дифференциальных уравнений и случайных процес-
сов. Есть, однако, и еще один путь изучения таких воп-
росов, связанных с имитацией их на ЭВМ. На нем мы
остановимся подробнее, рассматривая конкретную си-
туацию.
На предприятие по ремонту автомобилей в течение
года поступают заказы на выполнение тех или иных ра-
бот. Заранее неизвестно, когда и в каком количестве по-
80
ступят заказы, какой парк станков следует иметь на
предприятии.
Понятно, что, поскольку количество заказов случайно,
не имеет смысла минимизировать затраты, так как эта
величина случайная. На практике обычно минимизиру-
ется среднее значение затрат.
Очевидно, что если иметь много станков, то большую
часть времени они будут бездействовать, а приобретение
и содержание их связаны с большими затратами. С дру-
гой стороны, если станков так мало, что клиенты вынуж-
дены ждать, то это может их не устроить и они вполне
могут обратиться за услугами на другое предприятие,
где ждать не нужно. Убытки в этом случае естественно
измерять величиной недополученной прибыли. Хотелось
бы иметь такой ассортимент станков, который обеспечи-
вал бы наименьшие средние суммарные убытки предприя-
тию.
Идея метода имитирования состоит в том, чтобы тем
или иным способом (чаще на ЭВМ) воспроизвести те
ситуации, в которых в будущем окажется предприятие,
как говорят, «проиграть их на машине».
Действительно, по отчетным материалам можно за-
частую получить сведения о таких случайных данных:
количество и виды заказов в один день, количество за-
казов, выполненное на каждом станке, убытки за день.
Если отчетные данные достаточно полны, то, изучив их
за большой промежуток времени, можно установить за-
кономерности, которым подчиняются эти случайные ве-
личины, или, как говорят математики, найти законы их
распределения.
Далее, с помощью генераторов случайных чисел, ко-
торые имеются на всех современных ЭВМ, формируются
необходимые случайные числа — и количество заказов
за день, и количество заказов, выполненных на каждом
станке, т. е. ЭВМ имитирует ситуацию, которая сложит-
ся на предприятии в очередной день, причем эта имита-
ция основана на всей предыдущей истории предприя-
тия (или истории аналогичных предприятий). Теперь за-
фиксируем произвольное, но желательно разумное чис-
ло станков и подсчитаем убытки за один день, считая и
затраты на содержание станков и затраты от потери
клиентов. Теперь уже ясно, что делать дальше. Нужно
провести аналогичные подсчеты для разных станочных
парков на большое число дней. Тот парк, которому соот-
6. А Б. Горстко
81
ветствуют наименьшие затраты, и является более пред-
почтительным. Разумеется, результаты будут тем точнее
при прочих равных условиях, чем для большего числа
дней делается прогноз. Используя современные ЭВМ,
это можно сделать без особого труда.
Описанный вероятностный метод получил название
«метод Монте-Карло» в честь столицы княжества Мона-
ко Монте-Карло, широко известной своими многочислен-
ными игорными домами, благосостояние которых держит-
ся на хорошем знании и умелом использовании законов
распределения случайных величин
§ 10. УПРАВЛЕНИЕ ЗАПАСАМИ
К задачам теории очередей очень близко примыкают за-
дачи, связанные с проблемами научного управления за-
пасами. Хотя на первый взгляд и кажется, что они весь-
ма непохожи друг на друга, однако возможность прове-
сти аналогию между величиной запаса и длиной очере-
ди, между спросом на запасаемый продукт и режимом
обслуживания клиентов делает эту непохожесть весьма
незначительной.
Перед лицом, принимающим решения в области запа-
сания, возникают следующие основные вопросы: в какие
моменты и в каком объеме следует делать заказы? Как
всегда, принятие решения сопряжено с определенными
затратами. Отметим основные из них: затраты на хране-
ние продукции на складе, затраты из-за невозможности
удовлетворить спрос, затраты из-за возможной порчи
продукции. Естественно, наилучшим оптимальным спо-
собом управления будет тот, которому соответствуют наи-
меньшие суммарные затраты.
Понятно, что задачи теории запасания очень многооб-
разны,— это следует из того, что многообразны возмож-
ности для учитываемых в них факторов. Например, спрос
может быть известным или случайным, постоянным или
переменным; заказ может выполняться немедленно или
через определенный промежуток времени; решение об
объеме заказа может приниматься лишь один раз (ста-
тическая задача) либо в определенные промежутки вре-
мени (динамическая задача) и т. п.
Многообразны и методы решения этих задач — здесь
и различные отделы математического программирования,
и аппарат дифференциальных уравнений, и могучий ме-
82
тод имитации. В зависимости от специфики изучаемой
проблемы предпочтение отдается одному из них.
Не имея возможности рассмотреть здесь множество
задач, мы ограничимся хотя бы одной.
Для сложного агрегата целесообразно иметь в запасе
несколько экземпляров часто ломающейся детали. Из-
вестно, что вероятность поломки k штук этих деталей
равна f(k). Стоимость одной детали равна аь потери в
случае поломки и отсутствия готовой детали в запасе
равны а2. Требуется определить то количество деталей
N, которое следует держать в запасе для того, чтобы
суммарные затраты на приобретение деталей и средние
затраты из-за нехватки запаса при поломках были бы
минимальными.
Приступим к построению модели. Через S(/V) обо-
значим суммарные средние затраты, соответствующие за-
пасу в N деталей. Для этой величины можно записать
такое выражение:
N со
S (ЛО == «j S/ (W - k) + а2 У f (k)(k - NY (6)
суммарные средние затра-
средние ты из-за нали-
затраты чия лишних де-
талей
средние затра-
ты из-за не-
хватки деталей
S(/V) есть целевая функция задачи. Так как мы хотим
ее минимизировать, то понятно, что речь идет об отыска-
нии такого целого неотрицательного числа N, которое
доставляет этой функции минимум. Легко указать усло-
вия, которым должно удовлетворять число N. Так как
этой величине запаса соответствуют наименьшие сред-
ние затраты S(/V), то это значит, что если к Af прибавить
или отнять единицу, соответствующие средние затраты
могут только увеличиться, т. е.
S(W± 1) —S(7V)>0,
(П
Перейдем к определению величины N. В выражении
(6) заменим Af на После элементарных преобра-
зований получим
6*
83
.S'(.V+ l) = a,NS(W+ 1 + !)/(*)=
k==0 fe=N+ 2
N N oo
~ a, 2 (N - k) f (k) + a2 2 f (k) + a2 2 (k - N)f (*) -
fe=0 A==0 A=N4-l
oo
-a2S/W. (8)
A=N + 1
Используя соотношение (6) и тот факт, что
с-э N
S/(*W-S/(*),
k=N+1 Л=0
можно равенство (8) переписать в таком виде:
N
S(/V+ l) = S(A/)-r(a1 +а2)2/(*)-вг. (9)
й=0
Если в формуле (9) заменить /V на /V—1, то будем
иметь
N-1
S(/V- 1) - S (/V) - (at -г a2)Sf (Л) + a2.
fe=0
Подставляя в неравенства (7) найденные значения
S(W-|-1) и S(W—1), приходим к следующим двум нера-
венствам:
__ __ N
S (W 1) - S (W) = (^ + а2) £ / (*) - а2 > 0. (10)
fe=0
_ „ N-1
S(2V~ l)-S(/V)^-(al+a2)S/(jfe)4-a2>0. (11)
Итак, условия (10) и (11) выражают тот факт, что
запасу в N деталей соответствуют наименьшие средние
затраты, в более удобной для использования форме эти
условия выглядят так:
N-1 jV
"2>
A=Q k^Q
84
Вычисляя последовательно при различных У левую и
правую части неравенства (12), можно без особого тру-
да найти то N, при котором величина отношения ———
(I ।
окажется заключенной между ними. Это значение и яв-
ляется решением задачи.
Гораздо более часто, чем статические, на практике
возникают динамические задачи управления запасами,
т. е. такие задачи, в которых требуется многократное
принятие решений об объеме заказов, о моментах по-
ставки заказов или о том и о другом вместе. Задачам
такого рода уделяется серьезное внимание в теоретиче-
ских исследованиях, особенно в последнее десятилетие.
Получено уже много интересных и важных результатов,
однако и до настоящего времени далеко не для всех та-
ких задач найдены методы решения.
В связи со сложностью динамических задач теории
запасания нередко приходится поступаться строгостью и
точностью ради простоты и достаточно быстрого получе-
ния результата. Действительно, представим себе на ми-
нутку, что мы столкнулись с такой практической проб-
лемой: в какие моменты времени следует пополнять за-
пас сахара в гастрономе и в каком количестве его достав-
лять? Если в результате решения мы установим, что по-
полнение должно происходить через каждые 3 минуты и
объем партии должен равняться yf е кг, то можно ска-
зать с уверенностью, что на практике такая стратегия
использована не будет, даже несмотря на то что она оп-
тимальна. Слишком она сложна. Поэтому в практиче-
ских задачах нередко поступают так: сначала из раз-
личных косвенных соображений выбирают те или иные
сравнительно простые и кажущиеся неплохими страте-
гии поставок. Затем сравнивают соответствующие этим
стратегиям затраты и выбирают ту стратегию, для ко-
торой затраты минимальны. Разумеется, такое решение
не доставит удовольствия математику, но нередко оказы-
вается вполне достаточным для практика. Немалую роль
при таких испытаниях стратегий играет метод Монте-
Карло, описанный в предыдущем параграфе.
Прежде чем закончить этот раздел, отметим один
весьма любопытный факт. Оказалось, что для многих
динамических задач теории запасания оптимальная стра-
тегия имеет одинаковую и притом очень простую струк-
85
туру - до тех пор, пока количество запасаемой продук-
ции не станет меньше определенной критической вели-
чины, заказы не делаются вовсе, когда же уровень за-
пасов достигает этой критической величины, заказывает-
ся максимально возможное (но не противоречащее раз-
личным ограничениям) количество продукции. Пока не
удалось описать класс всех таких задач, для которых
оптимальная стратегия поставок имеет именно такую
структуру. Однако, к сожалению, можно легко привести
примеры, когда такого рода стратегия оказывается очень
далекой от оптимальной.
§ 11. ЧТО РАНЬШЕ ДЕЛАТЫ
В очень многих практически важных случаях бывает не-
обходимо установить, в каком порядке выполнять те или
иные работы. Действительно, если в цехе имеется много
станков, на которых обрабатываются различные детали,
то в зависимости от того, в каком порядке их обраба-
тывать, какое установить расписание работы для каж-
дого станка, на обработку потребуется различное вре-
мя. Если расписание составлено плохо, то станки будут
загружены неравномерно — одни будут чрезмерно загру-
жены, в то время как другие будут простаивать.
С математической точки зрения задачи, возникающие
при составлении расписаний, очень трудны. На сегодняш-
ний день не существует столь общих методов, которые
позволяли бы строить наилучшее расписание в любом
случае. Основные результаты относятся к различным
частным случаям, два из которых мы рассмотрим здесь.
Пусть требуется обработать п различных деталей на
двух станках. Для простоты будем считать, что каждая
деталь требует одной и той же последовательности опе-
раций (сначала она обрабатывается на станке 1, а потом
на станке 2) и, кроме того, очередность обработки ее
одинакова для обоих станков (деталь, которая обраба-
тывается первой на станке 1, должна первой обрабаты-
ваться и на станке 2 и т. д.). Обозначим через ai— время,
необходимое для обработки i-й детали на станке 1,, а че-
рез bi— время, необходимое для ее обработки на стан-
ке 2. Примем также, что величина Т обозначает время,
необходимое для обработки всех деталей (с учетом про-
стоев), а величина Х\ обозначает время простоя станка
86
2 между окончанием обработки детали («— 1) и началом
обработки Лй детали.
Проблема состоит в том, чтобы выбрать такой поря-
док обработки деталей, которому соответствует наимень-
шее значение Т. Так как 1 станок не простаивает, дета-
ли на нем обрабатываются одна за другой, то понятно,
что наименьшему значению Т соответствует минималь-
ное суммарное время простоев станка 2. Следовательно,
можно решать задачу на минимум суммарного времени
простоев станка 2.
Можно ли решить эту задачу простым перебором раз-
личных возможностей? Допустим, что всего обрабаты-
вается 100 деталей. Тогда имеется 100! = 1-2-3-4-5-6-7-
•8-9-10-...• 100 возможных очередностей обработки де-
талей. Число это столь велико, что потребуется не один
год непрерывной работы, чтобы перепробовать, все воз-
можные значения и выбрать из них наименьшее. Понят-
но, что приемлемый метод решения не должен содержать
столь большого перебора. К счастью, для рассматривае-
мой задачи такой метод существует. Мы не будем здесь
приводить его обоснование и подробное аналитическое
описание, а довольствуемся словесной формулировкой и
иллюстрацией применения метода к конкретному число-
вому примеру.
Пусть п=10, а время обработки деталей на станках
приведено в следующей таблице.
Способ отыскания наилучшей последовательности об-
работки деталей состоит в следующем. Сначала в столб-
цах и bi отыскиваем минимальную величину. Если она
стоит в первом столбце, то соответствующая деталь об-
рабатывается первой, если во втором, то она обрабаты-
вается последней. В случае двух одинаковых значений
любая из двух соответствующих деталей может обраба-
тываться первой, другая же обрабатывается последней.
Та деталь (или детали), относительно которой извест-
87
но, когда ее обрабатывать, вычеркивается из списка де-
талей, и вся процедура с поиском минимума повторяет-
ся снова.
Доказано, что получающаяся при этом последова-
тельность обработки деталей является оптимальной —
ей соответствует наименьшее время обработки всех де-
талей. Приведенное правило дает, очевидно, в рассмат-
риваемом нами числовом примере такую последователь-
ность обработки деталей: 10, 2, 5, 6, 9, 1, 8, 3, 4, 7. Сум-
марное время обработки деталей составляет 56, а время
простоя станка 2 равно Хю=1. Графики загруженности
станков изображены на рис. 20.
u_j___। । ।
012 346 8
J______I______
9 6 5 8
ЧЦ *" .-.—I- - I— I ...... i —4 । । I и сганоь
027 5 9 8 10 7421
Рис. 20. Графики загрузки станков
Понятно, что такой простотой решения мы обязаны
простоте ситуации. Если бы рассматривались произволь-
ное число деталей и произвольное число станков, то от
нее не осталось бы и следа.
§ 12. СНОВА ПОГОВОРИМ О РАЗМЕЩЕНИИ
ПРОИЗВОДСТВА
Оказывается, если сделать небольшую модификацию уже
рассматривавшейся нами задачи, возникают серьезные
трудности при ее решении. Преодоление этих трудно-
стей привело к созданию специальных математических
методов.
Пусть имеется п пунктов Д2, ..., Дп, в которых мо-
гут быть размещены предприятия, выпускающие опре-
деленный продукт. Производственные мощности этих
предприятий Х[ могут принимать лишь конечное множе-
ство значений, например 1, 2, 3 конвейерные линии, 5,
7, 8 однотипных агрегатов (печей, котлов) и т. п. Соб-
ственно, число этих мощностей не только конечно, но
оно не может быть дробным. Иначе говоря, производст-
ве
венные мощности принимают определенные целочислен-
ные значения (точнее, кратные некоторой единице). Для
каждого пункта известна зависимость производственных
затрат от выпуска, т. е. функция fi(xi). В целях упроще-
ния будем считать ее линейной, т. е. fi(xi) =CjXi. Кроме
того, заданы т пунктов потребления этого продукта с
объемами потребления, равными соответственно Вь В2,
Вт, а также матрица транспортных затрат с элемен-
тами Сц. Задача, как и раньше, состоит в размещении
предприятий, определении их производственных мощно-
стей и организации перевозок таким образом, чтобы сум-
марные затраты по производству и транспортировке были
минимальными.
Обозначая через Xi объем продукта, производимого в
i-m пункте, а хц — количество продукта, перевозимого из
Ai в Вр приходим к следующей задаче.
Найти
min {2Cfxf +
t=i tj
(суммарные затра
ты по производст-
ву и транспорти-
ровке) ;
при условиях:
(переводятся неотрицатель-
ные количества продукта);
(1) х„>0
т (2) Xj == 2 -£|j- /=i (произведенное количество продукта полностью достав- ляется потребителям);
(3) S
(каждый пункт потребления
получает продукт в объеме,
не меньшем заданного);
(4) (принимает заданные целочис-
ленные значения ’)•
1 При решении практических вопросов особенно часто возника-
ют такие задачи целочисленного программирования, в которых пе-
ременные принимают лишь два значения: нуль и единица. Эконо-
мически это означает, что то или иное возможное решение прини-
мается или отвергается. Например, строить или не строить домну,
приобретать или не приобретать машину и т. п.
89
Задачи, в которых имеются ограничения типа (4) или
сводящиеся к ним, получили название задач целочис-
ленного программирования Их отличает от линейно-
программных моделей, казалось бы, сущий пустяк —
добавление условия (4). Но из-за такого пустяка при
решении подобных задач возникают большие трудно-
сти. Дело в том, что оптимальное решение в этом слу-
чае не обязательно находится в одной из вершин много-
гранника, задаваемого условиями (1) — (3), и обычные
методы линейного программирования, использующие
это обстоятельство, оказываются бессильными при ре-
шении задач целочисленного программирования.
Разработан, однако, ряд специальных методов, при-
годных именно для такого класса задач. Простейший и
наименее точный из них состоит в решении линейной за-
дачи с ограничениями (1) — (3) и последующим округ-
лением результатов так, чтобы они удовлетворяли и ус-
ловию (4). Точный метод, дающий оптимальное решение
целочисленной задачи, впервые был предложен амери-
канским математиком Р. Гомори.
Мы ограничимся здесь подробным изложением идеи
метода Гомори, не останавливаясь на формальном опи-
сании алгоритмов.
Так как задача целочисленного программирования
отличается от обычной задачи линейного программиро-
вания только условием (4), то естественно попытаться
хоть как-нибудь использовать для ее решения хорошо
разработанный аппарат линейного программирования.
Так и поступим. Решим задачу линейного программиро-
вания без условия (4). Если окажется, что в оптималь-
ном плане величины хг принимают целочисленные зна-
чения, то исходная задача решена — условие (4) выпол-
нилось автоматически.
Однако столь приятное событие происходит крайне
редко — обычно величины Xi не принимают целочислен-
ных значений. Чтобы лучше понять суть дела, обратим-
ся к наглядной иллюстрации. Для простоты будем гово-
рить о плоском случае (две переменные), хотя все рас-
суждения сохраняют силу и для любого числа перемен-
ных. Ограничения (1) — (3) определяют на плоскости не-
который многоугольник, Q, в вершине Р которого, если
нет условия (4), достигается минимум целевой функции.
Внутри этого многоугольника и на его границе имеется
конечное множество точек R (на рис. 21 они обозначены
90
кружочками), которым соответствуют планы с целочис-
ленными значениями переменных.
Для дальнейшего нам потребуется ввести несколько
определений. Множество R' является выпуклой оболоч-
кой множества R, если оно состоит из всевозможных вы-
пуклых линейных комбинаций точек множества R. Опор-
ным планом задачи линейного программирования на-
зывается такой план, который геометрически изобра-
жается крайней точкой многогранника допустимых пла-
нов. Те способы, которые используются в опорном плане
с ненулевой интенсивностью, образуют базис опорного
плана, а соответствующие переменные (координаты пла-
на) называются базисными переменными. Естественно,
остальные переменные называются небазисными.
Сравнительно легко показать, что всякий оптималь-
ный опорный план задачи линейного программирования,
рассматриваемой на множестве R', является также оп-
тимальным опорным планом той же задачи, но рассмат-
риваемой на дискретном множестве R. Исходя из этого
утверждения вроде бы можно предложить такой способ
решения задачи целочисленного программирования:
а) определить множество R целых точек многоугольни-
ка ограничений Q; б) образовать его линейную выпук-
лую оболочку R'\ в) на множестве R' решить задачу ли-
нейного программирования без условия целочисленности.
Полученное решение и будет являться решением постав-
ленной задачи.
Предложенный способ хорош всем, кроме одного —
неизвестны эффективные алгоритмы построения множе-
ства R'. И этот единственный факт лишает практиче-
ской ценности весь способ, поскольку описать множество
R' не менее трудно, чем решить исходную целочислен-
ную задачу. Следовательно, надо искать иной путь ре-
шения задачи. Непригодный способ состоял в том, что
мы пытались сразу отбросить много ненужных точек из
многоугольника Q (все, которые не входят в R'). Попро-
буем теперь сделать то же самое, но постепенно.
Заменим решение исходной целочисленной задачи
линейного программирования на многоугольнике Q ре-
шением ряда задач линейного программирования на
многоугольниках Qi, Qz, Q3, ... Здесь Qi = Q. Многоуголь-
ники эти таковы, что множество целых точек в них одно
и то же. Таким образом, понятно, что если оптимальный
план задачи линейного программирования на многоуголь-
91
Рис. 21. Область допустимых
планов. Правильное отсечение
нике Qs удовлетворяет условию целочисленности, то он
является и оптимальным целочисленным планом исход-
ной задачи. Процесс решения на этом заканчивается.
Если же на многоугольнике Qs оптимальный план не
удовлетворяет условию целочисленности, то происходит
переход к Qs+i путем добавления одного правильного от-
сечения (на рис. 21 прямая АВ). Это вновь добавленное
неравенство гарантирует, что оптимальный план, в ко-
тором не выполнялось условие целочисленности, заведо-
мо не будет даже допустимым планом в последующих
задачах. Ну а множества целых точек это неравенство
не сужает. Иными словами, правильные отсечения позво-
ляют выбрасывать заведомо ненужные точки многоуголь-
ника ограничений, не теряя при этом нужных точек. Та-
кая идея и лежит в основе метода Гомори. Ему удалось
предложить алгоритмический процесс построения пра-
вильных отсечений, не использующий ни рисунка, ни ка-
ких-либо других интуитивных соображений, что сделало
бы его непригодным для решения многомерных задач.
Кратко опишем этот алгоритм.
Пусть требуется найти максимум величины
7=1
при условиях:
7=1
Xj>0, %j — целое число
92
Обозначим через х оптимальный опорный план этой
задачи. Целевую функцию х0 и все переменные хь х2,
х3, хп можно выразить через небазисные переменные
Xj(jeAl), которые соответствуют этому оптимальному
плану:
xi - х)0-< /“-0,1. л.
Введем обозначение {х}=х—[х], где [х] — целая
часть числа х. Понятно, что {х} представляет собой
дробную часть числа х.
Это понятие используется для построения правильных
отсечений на основе следующего утверждения: если план
не удовлетворяет условию целочисленности, то условие
{х,0} t £( {хн})(- Xj) >0
jsM
определяет правильное отсечение. Последовательное до-
бавление правильных отсечений к исходной задаче по
зволяет построить упоминавшиеся ранее многоугольники
Qi, Qs, Q3, ••• Р. Гомори доказал конечность такого ал
горитма.
Несмотря на всю свою точность, рассмотренный ме-
тод имеет довольно ограниченную практическую цен-
ность. Число переходов так велико, что с его помощью,
даже используя самую современную вычислительную
технику, удается решать только те задачи, которые име-
ют сравнительно небольшой объем.
Поэтому для решения задач целочисленного програм-
мирования нередко применяются методы комбинаторно-
го анализа. Остановимся здесь на одном из них — мето-
де ветвей и границ. Изложим его применительно к об-
щей задаче дискретного программирования.
Найти
max f(x)
при условии:
хеб,
где G — некоторое конечное множество.
Для того чтобы понять идею метода в чистом виде,
на минутку отвлечемся от всякой математики и рассмот-
рим такую ситуацию. Известно, что в мешке с монетами
одинакового достоинства имеется одна фальшивая мо-
нета, отличающаяся большим весом. Как отыскать фаль-
шивую монету? Можно, конечно, взвешивать одну за
93
другой все монеты. Но это очень долгое дело. Лучше
сделать так. Разделим содержимое мешка на две равные
части и каждую взвесим, затем более тяжелую часть
снова разделим пополам и будем действовать аналогич-
ным образом, пока не доберемся до фальшивой монеты.
Таков, по сути, принцип метода ветвей и границ: деле-
ние мешка — ветвление, взвешивание каждой части — оп-
ределение соответствующих границ.
Перейдем к формальному изложению этого метода.
Во многих задачах оказывается возможным определить
точную верхнюю границу функции f(x) на множестве
всех планов G. Обозначим ее а(<?), т. е. f (х) ^a(G) на
G. Произведем разбиение G на несколько непересекаю-
щихся подмножеств G\, G2, ...» GK — ветвление. На каж-
дом из этих подмножеств оценим сверху функцию, т. е.
определим числа a(G(), a(Gi), ..., a(Gk). Если при этом
удается найти некоторый план x^Gr, для которого вы-
полняются условия /(х) =a(Gr) ^a(Gj), t=l, 2, ..., kt
то, как-явствует из смысла оценок, х — оптимальный
план исходной задачи. Если такой план не обнаружен,
продолжаем процесс разбиения, начиная его с подмно-
жества с самой высокой оценкой, и т. д. Поскольку мно-
жество всех планов конечно, то в конце концов опти-
мальный план будет найден.
Покажем применение этого метода к решению кон-
кретных задач. Как всегда, рассмотрим очень простой
пример.
Найти
max {8xi+6x2}
при условиях:
(1) Зх^бхг^П,
(2) 4xi+x2^8,
(3) Х)>0, х2>0,
(4) Xi — целое.
Найдем оценку сверху целевой функции на множест-
ве планов, определяемом условиями (1) — (4). Это лег-
ко сделать, отказавшись временно от условия (4). Мно-
гоугольник, заданый условиями (1) — (3), на рис. 22 за-
штрихован.
Как уже говорилось, максимум линейной функции
достигается в одной из вершин многоугольника ограниче-
ний. Координаты их находятся путем решения совмест-
но соответствующих уравнений прямых. Сравнивая зна-
94
чения целевой функции в вершинах многоугольника ог-
раничений, устанавливаем, что максимум достигается в
точке (29/i7, 2О/17) и, стало быть, a(G) ^8- 29/i7+6- 20/i7 =
= 352/17 = 20 12/п.
Понятно, что не существует плана, удовлетворяюще-
го условию (4), на котором бы эта оценка достигалась.
Поэтому разбиваем множество допустимых планов G
на две части: одна из них — G]— содержит те допусти-
мые планы, у которых Xi^l, во вторую — G2 — входят
допустимые планы с %i^2. Важно отметить, что при
этом не потеряно ни одного допустимого плана.
Определим оценки целевой функции на таких мно-
жествах. Для этого придется решить две задачи линей
ного программирования.
Рис. 22. Область допустимых планов Значения целевой функции
в вершинах
95
Задача 1
Найти
max{8xi4-6x2}
при условиях:
3x14-5x2^ 11,
4X14- х2^ 8,
xi^O, х2^0;
Xj<l.
Задача 2
Найти
max {8Х]4-6х2}
при условиях:
ЗХ14~5х2^ 11,
4xi4- х2^ 8,
xi^O, х2^0,
Xi^2.
Многоугольник допустимых планов задачи 1 изображен
на рис 23. Максимум достигается в точке (I; 8/5), и сле-
довательно.
- 8- I I 6-8/5 — 17-1-
5
Рис. 23. «Ветвление» области
допустимых планов
Для задачи 2 многоугольник допустимых планов вы-
рождается в единственную точку (2,0), и очевидно,
a(G2) =8-2= 16.
Окончательно пришли к такому результату. Имеется
допустимый план (1; 8/5), для которого выполняются
условия {8х14-6х2}(1,8/^—a(Gi) >a(G3).
По сказанному выше, план (1; 8/5) является оптималь-
ным. Задача решена.
96
Глава 4
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ
Рассмотренные в предыдущей главе ситуации имели
очень важное общее свойство — каждой из них сопостав-
лялась единственная целевая функция. Именно единст-
венность этой функции обеспечила возможность созда-
ния эффективных методов решения оптимизационных
задач. Однако, естественно, возникает вопрос: а хорошо
ли такие оптимизационные модели описывают реальную
действительность? Ответ на него неоднозначен.
Да, эти модели могут достаточно хорошо описывать
сравнительно простые ситуации, скажем, такие, как об-
суждавшиеся выше. Нет, если приходится иметь дело с
таким очень часто встречающимся фактом, когда целе-
направленная человеческая деятельность преследует
сразу несколько целей. В качестве иллюстрации вспом-
ним очень популярный одно время и не утративший сво-
ей актуальности лозунг «Дадим больше обуви лучшего
качества по более низкой цене». Этот лозунг в точности
характеризует те цели, которые стояли и стоят перед
специалистами обувной промышленности. Целей этих
три, они противоречивы, и с этим приходится считаться.
Действительно, хорош ли будет тот план, который по-
зволяет выпустить в два раза больше обуви, чем выпус-
калось раньше, но такой, которая разваливается через
7. А Б Горстко
97
неделю? Нет, ясно, что он никого не устраивает. А если
выпустить мало обуви, но великолепного качества и по
очень высокой цене? Тоже не годится. Понятно, что вся-
кий план производства обуви должен оцениваться сразу
по нескольким критериям. Такие задачи, в которых име-
ется не одна, а несколько целевых функций, получили
название многокритериальных задач. Методы решения
их проиллюстрируем на примере, рассмотренном в § 2
гл. 3, лишь чуть усложнив его.
§ 1. КАК РЕШАЮТ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
Напомним, что речь идет об изготовлении п видов про-
дуктов из т видов сырья, причем требуется максимизи-
ровать суммарную ценность произведенных продуктов.
Кроме этой цели, добавим еще одну. Допустим, что нам
нужно максимизировать выпуск продукта первого типа.
Таким образом, теперь модель выглядит так:
max^CjXj. (А)
{Xj} /=1
maxXj. (В)
при условиях:
1. х, >0, /= 1,2, . . ,п.
п
2. г = Ь2, • . • ,т.
Прежде чем приступить к решению, обсудим задачу,
чтобы лучше почувствовать ее специфику. Потом и ме-
тоды решения будут более понятны.
Итак, забудем на минутку о целевой функции (А).
Тогда не составляет труда найти максимальное значение
Xj = X], которое удовлетворяет условиям 1 и 2. Однако
нет никакой уверенности, что при Xi==xi целевая функ-
ция (А) достигнет максимума. Более того, она может
быть от него очень далека. Совершенно аналогично об-
стояло бы дело, если бы мы забыли о функции (В) и ис-
кали максимум функции (А).
98
В многокритериальной задаче претерпевает измене-
ние и такое важное понятие, как оптимальный план.
Действительно, можно сказать, что допустимый план
(xi1, Х21, хп‘) хуже, чем допустимый план (xj2, Х22, ...,
хп2), если выполняются неравенства
< 2>jXj2,
;=.i /==1
X]1 < Xj2.
А вот сказать, какой план называется оптимальным, уже
в такой простой задаче оказывается невозможным. Так
как, вообще говоря, не существует такого плана (xj*,
х2*, ...» хп*), который доставлял бы одновременно макси-
мум двум функциям—(А) и (В). Это обстоятельство
и является причиной того, что методы решения многокри-
териальных задач предусматривают в том или ином ви-
де учет мнения лица, принимающего решение (ЛПР).
Поясним роль ЛПР, обсуждая два часто употребляю-
щихся метода решения этих задач.
I. Сведение двух критериев к одному
Идея метода состоит в том, чтобы свести несколько (в
нашем случае два) критериев в один. Для реализации
этого ЛПР должен «взвесить» относительную важность
для себя каждого критерия, т. е. он должен выбрать из
внемодельных соображений число a (O^a^l), а затем
построить единую целевую функцию:
a(S^j) + (l -а)хР (С)
Если а=1, то в расчет принимается только целевая
функция (А), а функция (В) вообще исключается из
рассмотрения. Если а=0, то картина обратная. Глубокое
знание реальной проблемы, накопленный опыт могут по-
зволить ЛПР выбрать 0<а<1 так, чтобы, решив оп-
тимизационную задачу с единственной целевой функци-
ей (С), он получил бы удовлетворяющее его решение
для исходной постановки задачи с двумя целевыми функ-
циями.
По сути, встретив трудности при решении двухкрите-
риальной задачи, мы заменяем ее однокритериальной,
решать которую умеем.
7*
99
II. Метод последовательных уступок
Будем решать задачу с единственной целевой функ-
цией (В). Пусть max Xj = X]. Теперь, понимая, что при
Xj = Xi до максимума целевой функции (А) может быть
весьма далеко, ЛПР делает уступку. Он согласен, что-
бы Xi не равнялось хь а отличалось бы от нее не более
чем на 10% этой величины. Естественно возникает сле-
дующая задача:
Найти
п
max
/=i
xj>0, у—1,2, л,
п
Ьц £=1,2, ,т,
/=1
0,9%! < %! < xv
Эта задача с единственной целевой функцией может
быть решена известными методами. Величина Xi примет
теперь значение Хь А что если ЛПР готов сделать еще
большую уступку? Скажем, он согласен, чтобы Х\ отли-
чалось от Xi не более чем на 20% Х\. В этом случае не-
равенство (*) заменится на такое: O,8xi<xv<xi, и сно-
ва задача может быть решена. Процесс уступок может
быть продолжен.
Быть может, кому-нибудь и покажется странным, что
при поиске плана, кроме формализованного алгоритма,
фигурируют такие понятия, как иыт». «предпочтение».
Однако странность эта кажущаяся, включение «чело-
веческого фактора» здее-, вполне уместно и естественно.
Если читатель обратитсг к своему жизненному опы-
ту, то он, несомненно, согласится с тем, что, если чело-
век преследует несколько целей, в какой-то момент поч-
ти всегда перед ним возникает вопрос, чем и в какой
степени пожертвовать? Мы вернемся еще к этому воп-
росу в главе, посвященной имитационному моделирова-
нию.
100
$ i. ЕСЛИ ВСЕ ТАК ХОРОШО, ТО ПОЧЕМУ ЖЕ
ТАК ПЛОХО1
Рассмотренные выше оптимизационные многокритериаль-
ные модели, а также разработанные и программно реа-
лизованные на ЭВМ алгоритмы поиска оптимальных в
том или ином смысле решений вселяют уверенность, что
с их помощью все возникающие в экономике проблемы
могут быть успешно решены. Именно такая уверенность
владела очень многими специалистами в 60-е годы — вре-
мя наиболее активного распространения экономико-ма-
тематических моделей и методов в СССР. В разных на-
учных учреждениях создавались модели—модели пред-
приятий, отраслевые, региональные, планирования народ-
ного хозяйства, функционирования экономики в целом
и т. п. Казалось, еще чуть-чуть... и каждое предприятие
получит научно обоснованный план, каждая Отрасль,
каждый регион будут функционировать наилучшим обра-
зом. Планируемая экономика докажет свои неоспори-
мые преимущества перед рыночной. Не скрою, что по-
добные иллюзии были и у автора этих строк. Но... в
одном случае не хватало памяти ЭВМ, в другом —дан-
ных, чтобы занести в память, в третьем — быстродей-
ствия ЭВМ. Конечно, были и успехи, но они не носили
революционного характера, хотя и приносили несомнен-
ные экономические выгоды. Время шло. В сотни раз вы-
росли быстродействие и память ЭВМ. Стало понятно,
что не только они сдерживали успехи в практической реа-
лизации моделей и методов. Причины оказались совсем
в другом.
Никакие модели не могут сами внедриться в народ-
ное хозяйство. Они — инструмент в руках людей, кото-
рые с его помощью могут принимать правильные реше-
ния. Но вот нужны ли людям эти правильные решения
в условиях командно-административной системы, управ-
ляющей страной, в условиях, когда человек отделен от
результатов своего труда, и принятие правильного реше-
ния никак не отражается на его личном благосостоянии?
Жизнь дала убедительный ответ на этот вопрос дефици-
том мыла, сахара и других продуктов, полупустыми и
пустыми полками в магазинах.
101
Происходящая в стране перестройка экономики, как
предполагается, должна сделать человека заинтересо-
ванным в результатах своего труда, а раз так, то неиз-
бежно повысится интерес к использованию математиче-
ских моделей. Мало того, планируемое введение рыноч-
ных отношений в экономике должно заставить обра-
титься к математическим моделям, так как над теми,
кто не обратится, нависнет угроза разорения (см. гл. 7).
Есть все основания считать, что перестройка даст но-
вую жизнь применению экономико-математических мо-
делей в нашей стране.
Глава 5
ИГРОВЫЕ МОДЕЛИ
Все рассмотренные нами до сих пор модели относились
к тем ситуациям, когда нет сил, противодействующих
лицу, которое принимает решение. Между тем гораздо
более многочисленны так называемые конфликтные си-
туации, в которых различные участники имеют не совпа-
дающие между собой интересы. Математические моде-
ли, математический аппарат, пригодный для их иссле-
дования и получивший название теории игр, существен-
но отличаются от рассмотренного ранее. Здесь будут при-
ведены лишь простейшие результаты этой теории, заин-
тересовавшемуся читателю рекомендуем обратиться к
специальной литературе.
§ 1. ИГРЫ С НУЛЕВОЙ СУММОЙ
Под словом «игра» мы будем понимать совокупность
правил, руководствуясь которыми участники-игроки при-
нимают решения. Предполагается, что результатом иг-
ры является плата, которую в соответствии с правилами
проигравший платит выигравшему. Ради простоты ог-
раничимся рассмотрением одноходовых игр, в которых
участвуют два игрока А и В, причем проигрыш одного,
например В, равен выигрышу другого, т. е. А. Обычно
103
их называют «играми двух лиц с нулевой суммой». Для
того чтобы полностью определить такую игру, нужно
задать таблицу платежей — платежную матрицу. Пояс-
ним это на примере.
Пусть задана матрица
В
12 3 4
1 Г 5 4 8 9
А 2 0 —2 5 7
3 1-13 6
Игрок А должен выбрать одну из строк матрицы.
Игрок В, не зная результата его выбора, должен вы-
брать один из столбцов. Число, стоящее на пересечении
выбранных строки и столбца, определяет выигрыш иг-
рока А. (Выигрыш игрока В равен этому же числу с
обратным знаком.) Например, если А выбрал вторую
строку (будем говорить вторую стратегию), а В — тре-
тий столбец (третью стратегию), то А выигрывает, а В
проигрывает 5 единиц.
Будем считать, что игроки осторожны и целью каж-
дого из них является максимизация наименьшего воз-
можного (гарантированного) выигрыша.
Основной вопрос, который возникает в теории игр,
состоит в следующем: существует ли наилучший способ
игры для каждого из игроков, т. е. имеются ли у них
оптимальные стратегии? Прежде чем сформулировать
окончательный результат, обратимся к нашему примеру.
Сразу видно, что игроку А выгоднее всего выбирать
первую стратегию, так как элементы первой строки соот-
ветственно больше элементов второй и третьей строк.
Точно так же игроку В выгоднее всего выбирать вторую
стратегию, так как элементы второго столбца соответ-
ственно меньше элементов остальных столбцов.
Следовательно, благодаря специфическому свойству
данной платежной матрицы найдены оптимальные стра-
тегии игроков: Л — первая стратегия, В — вторая стра-
тегия. Число 4 (стоящее на пересечении первой строки
и второго столбца) в этом случае носит название цены
игры. Смысл этого термина такой: цена игры — это та
плата, которую получает оптимально играющий игрок,
играя с другим оптимально играющим игроком. Ясно.
104
что первая стратегия игрока А обеспечивает ему выиг-
рыш не менее 4, а вторая стратегия игрока В гарантиру-
ет ему проигрыш не более 4.
Имеется и другое свойство, встречающееся гораздо
чаще и облегчающее поиск оптимальных стратегий. Сно-
ва рассмотрим пример.
Пусть платежная матрица имеет вид
В
15 3 12
6 5 4 6
-2-318
Если игрок А выберет первую стратегию, то как бы
ни действовал игрок В, уж одну единицу-то он выигры-
вает. Если игрок выбирает вторую стратегию, то гаран-
тированный выигрыш составляет 4. В третьей же
стратегии гарантируется проигрыш не более трех. Ясно,
что предпочтительнее всего для игрока А именно вторая
стратегия. Подобные же рассуждения показывают, что
для игрока В наилучшей является третья стратегия, так
как она обеспечивает наименьший из возможных макси-
мальных проигрышей.
Если оказывается, что наибольший из минимальных
выигрышей в точности равен наименьшему из возмож-
ных максимальных проигрышей, т. е. если минимум в ка-
кой-нибудь строке совпадает с максимумом в соответст-
ствующем столбце, то эти строка и столбец являются оп-
тимальными стратегиями игроков. Точка их пересечения
называется седловой точкой платежной матрицы. В по-
следнем примере седловой точкой является число 4, ко-
торое и будет ценой игры.
Но далеко не каждая матрица имеет седловую точ-
ку. Например, матрица
Г 1 - I 1
[ - 1 I ]
седловой точки не имеет. Как же находить оптимальные
стратегии игрокам, если платежные матрицы не обла-
дают приведенными выше свойствами?
Оказывается, что залог успеха при многократной иг-
ре с одной и той же матрицей состоит в выборе своих
стратегий с определенными частотами. В отличие от
105
обычной, так называемой чистой, стратегии, эти страте-
гии называются смешанными. Доказано, что для всякой
игры с нулевой суммой всегда существуют оптимальные
смешанные стратегии. Если игра проводится один раз,
то лучше всего для игроков избрать стратегии, пользу-
ясь каким-либо подходящим правилом случайного вы-
бора, который каждой чистой стратегии сопоставляет
вероятность выбора, пропорциональную соответствую-
щей частоте.
Чтобы сделать все эти рассуждения до конца понят-
ными, обратимся к задаче.
Задача о встрече.
Саша и Лиза условились встретиться зимой возле
кинотеатра. Если он придет раньше назначенного вре-
мени, то ее еще не будет и ему придется мерзнуть. По-
тери свои в этом случае Саша оценивает числом —1.
Если раньше придет Лиза, то ему будет еще хуже: по-
тери равны —4. В том случае, когда оба приходят од-
новременно, потерь нет ни у кого.
Как быть Саше и Лизе? Считая, что перед нами игра
двух лиц с нулевой суммой, прежде всего составим пла-
тежную матрицу:
Лиза
Саша
прийти
рано
прийти
поздно
прийти прийти
рано поздно
О — 1 "
— 4 О
Будем искать оптимальные стратегии участников. Сна-
чала проверим, нет ли у матрицы седловых точек. Ока-
зывается, что нет. (Минимум в каждой строке отрица-
телен, а максимумы в столбцах равны 0.) Значит,
наверняка существуют оптимальные смешанные страте-
гии для каждого из них. Пусть Саша выбирает свою
первую стратегию с частотой х, а вторую — с частотой
1—х. Аналогично для стратегий Лизы обозначим час-
тоты через у и 1—у. Средний выигрыш, который получит
Саша, составляет Е(х, у)=—4г/(1—х)—х(1—у)=5ху—
—х—4у
106
Величины х и у нужно выбирать так, чтобы величина
Е(х, у) достигла максимума. Вычисляя производную
этой функции и приравнивая ее нулю, имеем
Полученный результат объясняется так: Саша должен
приходить к кинотеатру в четырех случаях из пяти рань-
ше назначенного времени. Лиза же, наоборот, в четырех
случаях из пяти должна опаздывать.
Оптимальные стратегии найдены. Тот факт, что в
реальной действительности Лизы обычно опаздывают, а
Саши приходят раньше, не свидетельствует ли о возмож-
ности экспериментального определения оптимальных
стратегий?
§ 2. ИГРЫ С ПРИРОДОЙ
В § 9 гл. 3 уже были рассмотрены вопросы принятия ре-
шений в условиях неопределенности. Кроме метода Мон-
те-Карло, здесь применим и другой подход — считать, что
человек, принимающий решение, ведет игру с... природой,
состояние которой ему полностью не известно. Игры с
природой представляют собой специфический раздел те-
ории игр. В то же время они могут быть отнесены и к ма-
тематической статистике, изучающей вопросы принятия
решений в условиях неопределенности. Такие разнооб-
разные связи позволяют использовать в играх с приро-
дой все многообразие идей, относящихся и к математиче-
ской статистике, и к теории игр.
Общая схема этих задач такова. Лицо, принимающее
решение, имеет возможность сделать выбор из п возмож-
ных действий. Определена полезность каждого действия
в зависимости от некоторых условий, о которых известно,
что одно из них наверняка выполняется. А вот какое —
не известно. В дальнейшем эти условия мы будем назы-
вать состояниями природы. Представляется возможным
провести какой-либо эксперимент, который с некоторой
вероятностью дает информацию о том, в каком состоянии
находится природа. Проведение такого эксперимента мо-
жет, вообще говоря, вести к дополнительным затратам.
В этих условиях следует решить, какое действие лучше
всего предпринимать.
107
Здесь полезно более подробно остановиться на вопро-
се, что значит «лучше всего». Конечно, читатель, внима-
тельно прочитавший предыдущие разделы, сразу же от-
ветит, что наилучшее решение то, на котором достигается
экстремум целевой функции. Ну, а целевая функция, от-
куда она берется? Оказывается, что это чрезвычайно тон-
кий и трудный вопрос: для данной конкретной ситуации
построить отвечающую ей целевую функцию. Решение
его выходит за рамки теории игр и относится уже к тео-
рии полезности.
Во многих экономических задачах подходящими по
смыслу целевыми функциями являются прибыль и убы-
ток. В других же случаях найти такие показатели нелегко.
Например, как уже отмечалось, в реальной жизни может
существовать операция, состоящая в достижении сразу
двух целей. Экстремальная же задача должна иметь
одну целевую функцию. Объединение двух целей в одном
показателе связано с очень трудной задачей соизмерения
полезностей. К примеру, если мы хотим добиться макси-
мальной численности стада, состоящего из овец и коров,
то как соизмерить полезности овец и коров? Это можно
сделать многими способами (по весу, по количеству мо-
лока и др ), и поэтому непонятно, как именно проводить
соизмерение. Вернее, понятно, что в каждом случае этот
вопрос нужно специально исследовать.
Упомянем некоторые целевые функции, используемые
в задачах принятия решений в условиях неопределенно-
сти, Наиболее простой — это отыскание максимального
среднего дохода (или минимального среднего убытка).
Напомним, что средний доход или математическое ожи-
дание дохода определяется как сумма величин дохода,
умноженных на вероятности появления тех состояний
природы, которые этим доходам соответствуют. Крите-
рий этот употребляется далеко не всегда, так как достав-
ляемая им информация слишком усреднена.
Гораздо чаще каждое действие оценивается по наихуд-
шему для него состоянию природы. Оптимальным дейст-
вием считается то, которое приводит к наилучшему из на-
ихудших состояний. Такой критерий качества управления
носит название максиминного критерия (для отрицатель-
ных полезностей он называется минимаксным). Ясно, что
максиминная стратегия обеспечивает наилучший ответ
на наихудшее состояние природы, т. е., по сути, это стра-
тегия осторожного, пессимистичного игрока.
108
Вместо того чтобы рассматривать платежную матрицу
при выборе решения в условиях неопределенности, часто
ей сопоставляют разумно построенную матрицу риска
(см. задачу ниже). Тогда к матрице риска может приме-
няться тот же минимаксный критерий, т. е. выбирается
то действие, которое делает наименьшим максимальный
риск. Тоже осторожная стратегия!
Другие критерии учитывают не обязательно наихуд-
шее состояние природы, а могут учитывать ее наилучшее
состояние, комбинации наилучшего и наихудшего, отсут-
ствие информации о том, в каком состоянии находится
природа, и т. п. Какой из них выбирать, зависит от конк-
ретной задачи, а также от человека, который ее решает.
Целевая функция зачастую находится в сильной зависи-
мости и от искусства решающего, и от некоторых черт его
характера (например, пессимист он или оптимист).
После этих общих рассуждений перейдем к задаче, на
которой и продемонстрируем применение различных це-
левых функций.
Эта развлекательная задача заимствована из извест-
ной книги Чернова и Мозеса (см. список литературы).
Имеются два возможных состояния природы:
0! — хорошая погода;
02 — дождливая шогода.
Некто имеет возможность предпринимать одно из трех
действий:
Oj — надеть костюм для хорошей погоды;
а2 — надеть легкий плащ;
а3 — надеть плащ, галоши и шляпу.
Как должен поступить Некто?
Прежде всего, будучи знаком со всем прочитанным
материалом, он должен составить свою платежную матри-
цу. Вот она:
109
Числа в таблице характеризуют его потери в том слу-
чае, если одежда не соответствует погоде. Определить их,
конечно, трудно, и можно это сделать разными путями.
Например, они могут выражать средние потери в зарпла-
те из-за болезни, которая может быть вызвана несоответ-
ствием одежды и погоды.
Естественно, что до выбора одного из действий этот
некто хочет получить какие-нибудь сведения о погоде и
звонит в бюро погоды. Для простоты будем считать, что
этот эксперимент (а это действительно эксперимент!) не
ведет ни к каким затратам. Результатом может быть
один из нижеследующих ответов:
xt — ожидается ясная погода;
х2 — ожидается облачность;
х3 — ожидается дождь.
На основании многолетней истории предполагается
известным вероятностное соответствие между результа-
тами эксперимента в зависимости от состояния природы.
Это соответствие отражено в таблице.
Таблица И
Будем называть стратегией ту совокупность действий,
которая ставится в соответствие результатам эксперимен-
та. Например, отметим такие стратегии: (хь х2, х3)
(аь аь ai), т. е., что бы ему ни ответили, он наденет кос-
тюм для хорошей погоды — стратегия крайне легкомыс-
ленная; (хь х2, х3) —* (а3, а3, а3), т. е., что бы ему ни от-
ветили, он наденет плащ, галоши и шляпу — стратегия
крайне пессимистичная, принадлежит «человеку в футля-
ре»; (хь Хц, х3)—”(аь аъ а3), т. е. полная вера в прогноз.
Легко подсчитать, что всего Некто имеет 33=27 раз-
личных стратегий. Какую же из них выбрать? Естествен-
но вычислить средние потери для каждой стратегии и
сравнить их между собой. Так как каждой стратегии со-
поставляются два числа — потерн при каждом из двух
но
Рис. 24. Геометрическое изо
бражение всевозможных стра
тегий
потери при в
Рис. 25. Из множества всевоз
можных стратегий выброшены
заведомо плохие стратегии
возможных состояний природы, то их легко изобразить
геометрически точками, у которых абсциссы — потери
при первом состоянии природы, а ординаты — при втором
(рис. 24)
111
Из рисунка видно, что стратегия тем лучше, чем ле-
вее и ниже расположена изображающая ее точка. Понят-
но также, что если абсцисса и ордината какой-нибудь
точки соответственно меньше, чем абсцисса и ордината
другой точки, то стратегия, соответствующая первой точ-
ке, всегда лучше стратегии, соответствующей второй точ-
ке. Последнюю просто можно выбросить из дальнейшего
рассмотрения.
Применив это рассуждение, установим, что на рисун-
ке количество точек можно существенно уменьшить (рис.
25).
Точно так же, как и в обычной теории игр, в игре с
природой могут применяться стратегии не только в том
смысле, как было определено здесь, но и смешанные
стратегии. Можно доказать,что множество всех смешан-
ных стратегий в нашей задаче имеет вид, изображенный
на рис. 26, т. е. это выпуклое множество.
Прежде всего выпишем все возможные стратегии.
Таблица 12
Перечень стратегий
112
Теперь уже можно привести средние потери для каж-
дой стратегии.
Покажем теперь, как выбрать стратегию, пользуясь
минимаксным критерием (рис. 27). Стратегия, изобра-
женная точкой Р, обеспечивает минимум максимальных
потерь. Чтобы ее реализовать, Некто должен использовать
вероятностный механизм, с помощью которого он осу-
ществит выбор между стратегиями Sie и «27- Вероятности
выбора Sie и S27 должны быть пропорциональны расстоя-
ниям от точки Р до вершин, отвечающих этим страте-
гиям.
В рассматриваемой задаче, а также в ситуациях, ей
подобных, может оказаться, что имеется некоторая до-
полнительная информация о состоянии природы. Ска-
жем, заранее известно, что 01 имеет место с вероят-
ностью *4, а 02 — с вероятностью 3Д. В этом случае для
каждой
Средние потери
Таблица 13
. Стратегия
х-* "****^^-—-
Состояние ^^***^^^ у
природы .
*10 *Н *12 *13
*14 *15 *16
©1
©2
1,200,600,75
2,60 4,60 3,60
1,00 1,30 1,35
3,002,503,70
0! ............ 2,552,703,00
e3 ............ 3,502,502,00
8 А Б. Горстке
113
стратегии можно вычислить соответствующие ей сред-
ние потери. Та стратегия, на которой достигается мини-
мум средних потерь, называется байесовой стратегией,
соответствующей заранее известным вероятностям */4 и
3/4 (Байес — известный английский математик XVIII в.).
Не будем приводить стратегии, наилучшие по другим
критериям. Читателю, по всей вероятности, уже ясен
принцип их построения.
Выше было указано, что наряду с платежной матри-
цей для принятия решений может использоваться и мат-
рица риска. Покажем, как построить такую матрицу для
рассмотренной задачи. Напомним, что вид платежной
матрицы был такой:
Если природа находится, например, в состоянии 02.
ю чем рискует некто? Что бы он ни делал, уж две еди-
ницы-то он потеряет по меньшей мере. Если выберет
действие а2, то рискует потерять еще одну единицу, а
если di — то еще три единицы.
Иными словами, риск определяется по платежной
матрице путем вычитания из нее элементов соответст-
венно минимальных проигрышей при каждом состоянии
природы. Таким образом, матрица риска выглядит так:
114
Рис. 26. Любая смешанная стра
тегия изображается точкой,
лежащей внутри многоуголь
ника
Рис. 27. Стратегия, изображен-
ная точкой Р, обеспечивает ми-
нимум максимальных потерь
8*
115
Внимательный читатель, безусловно, заметил, что
рассмотренные в этой главе примеры носят развлека-
тельный характер. Это объясняется тремя причинами.
Во-первых, традиция. Еще Дж. фон Нейман и О. Мор-
генштерн в своей классической книге «Теория игр и эко-
номическое поведение» отправлялись от моделирования
салонных игр.
Во-вторых, желание дать возможность читателю не-
много отдохнуть
И наконец, 1ретья, самая серьезная причина. Одни и
те же модели могут описывать как серьезные, так и не-
серьезные проблемы. Что если вы попробуете сами при-
думать реальную, скажем производственную, ситуацию,
которую можно описать с помощью игровых моделей?
Это небольшое домашнее задание
Глава 6
ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Все рассмотренные до сих пор модели имели очень важ-
ные общие черты. Для каждой моделируемой ситуации
была известна цель (или несколько целей), достижение
которой (которых) считалось желательным. Однако да-
леко не все ситуации таковы. В особенности ими изоби-
лует современный этап прикладных исследований, когда
приходится иметь дело со сложными системами, в кото-
рых (не только наличествует множество целевых функций,
но далеко не все ясно с количественным выражением
этих функций. Здесь речь вообще может идти не столь-
ко о решении тех или иных оптимизационных задач (хо-
тя и это тоже есть), сколько об исследовании сложных
систем, о прогнозировании их будущих состояний в за-
висимости от избираемых стратегий управления.
Коль скоро практика настоятельно потребовала метод
для исследования сложных систем, он появился. Этот ме-
тод получил название «имитационное моделирование»,
что представляет собой дословный перевод английского
выражения «Simulation modeling». Как легко убедиться,
перевод сделан не слишком хорошо, так как в нем со-
держится тавтология. Однако термин «имитационное мо-
делирование» так широко уже распространился, что, хоть
117
он и неудачен, маловероятно, что он претерпит измене-
ние. Попытаемся сейчас получше понять, что стоит за
этим термином.
§ 1. ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Суть метода имитационного моделирования состоит в
том, что процесс функционирования сложной системы
представляется в виде определенного алгоритма, кото-
рый и реализуется на ЭВМ. По результатам реализации
могут быть сделаны те или иные выводы относительно
исходного процесса.
Прежде чем переходить к описанию метода имитаци-
онного моделирования, попробуем вкратце резюмировать
основные принципы, лежащие в основе построения мате-
матических моделей, достоинства и недостатки матема-
тического моделирования.
Начнем с двух замечаний общего порядка. Всякая
сложная система, модель которой мы создаем, при сво-
ем функционировании подчиняется определенным зако-
нам — физическим, химическим, биологическим и др.
Причем вполне возможно, и это очень важно отметить,
что далеко не все эти законы нам на сегодняшний день
уже известны. В дальнейшем рассматриваются такие си-
стемы, для которых знание законов предполагает извест-
ными количественные соотношения, связывающие те или
иные характеристики моделируемой системы.
Всякая модель создается для определенной цели —
для ответа на некоторое множество вопросов о модели-
руемом объекте. Иными словами, интересуясь некото-
рым набором вопросов относительно функционирующей
системы, мы должны взглянуть на нее под вполне опре-
деленным «углом зрения». Выбранный «угол зрения» в
значительной степени и определяет выбор Модели.
После этих весьма общих замечаний перейдем к опи-
санию процесса построения математической модели
сложной системы. Его можно представить себе состоя-
щим из следующих этапов:
1. Формируются основные вопросы о поведении си-
стемы, ответы на которые мы хотим получить с помощью
модели.
2. Из множества законов, управляющих поведением
системы, учитываются те, влияние которых существенно
118
при поиске ответов на поставленные вопросы (здесь про-
является искусство модельера).
3. В дополнение к этим законам, если необходимо,
для системы в целом или отдельных ее частей формули-
руются определенные гипотезы о функционировании. Как
правило, эти гипотезы правдоподобны в том смысле, что
могут быть приведены некоторые теоретические доводы
в пользу их принятия. (Здесь проявляется как искусство
модельера, так и специалиста по функционированию мо-
делируемой системы.)
4. Гипотезы так же, как и законы^ выражаются в
форме определенных математических соотношений, ко-
торые объединяются в некоторое формальное описание
модели.
На этом, собственно, и оканчивается процесс построе-
ния математической модели. Дальше следует процесс ис
следования этих соотношений с помощью аналитических
или вычислительных методов, приводящий в конце кон-
цов к отысканию ответов на предъявляемые модели во
просы. Если модель хороша, то ответы, найденные с ее
помощью, как правило, бывают весьма близки к ответам
на те же вопросы о моделируемой системе. Более того, в
этом случае зачастую с помощью модели удается отве-
тить и на некоторые ранее не ставившиеся вопросы,
расширить круг представлений о реальной системе. Если
же модель плоха, т. е. недостаточно адекватно описыва-
ет систему с точки зрения задаваемых ей вопросов, то она
подлежит дальнейшему улучшению или замене. Крите-
рием адекватности служит практика, которая и опреде-
ляет, когда может закончиться процесс улучшения мо-
дели. Нет надобности говорить, что критерий этот не
формализован и в каждом конкретном случае требует
специального исследования.
В чем же достоинства и недостатки такого метода?
Безусловно, к достоинствам следует отнести тот факт, что
модель представляет собой формализованную запись тех
или иных законов природы, управляющих функциониро-
ванием системы, а также гипотез, правдоподобность ко-
торых во всяком случае может быть предметом отдель-
ного рассмотрения. Есть немалое изящество в строгом
математическом выводе содержательных высказываний
об объекте, если вывод этот сделан из очень ограничен-
ного числа формализованных безусловных утвержде-
ний (аксиом). Именно таким изяществом обладают тео-
119
ремы эвклидовой геометрии, модели теоретической меха-
ники и многие другие, ставшие уже классическими.
Однако, несмотря на всю привлекательность, описан-
ный метод в применении к изучаемым в настоящее вре-
мя сложным системам обладает определенными недос-
татками, к перечислению которых мы и переходим.
Прежде всего определенные трудности могут возник-
нуть при попытке построить математическую модель
очень сложной системы, содержащей много связей меж-
ду элементами, разнообразные нелинейные ограничения,
большое число параметров и т. п. Вернее, выписать со-
отношения модели удается и в этом случае, когда отсут-
ствие в настоящее время математического аппарата, при-
годного для исследования, делает ее совершенно беспо-
лезной. Может статься, что для моделируемой системы
еще не разработана стройная теория, объясняющая все
аспекты ее функционирования, в связи с чем затрудни-
тельно формулировать те или иные правдоподобные ги-
потезы. Далее, реальные системы зачастую подвержены
влиянию различных случайных факторов. Учет этих фак-
торов аналитическим путем представляет весьма боль-
шие трудности, зачастую непреодолимые при большом их
числе. Наконец, возможность сопоставления модели и
оригинала при таком подходе имеется лишь вначале
(проверка принятых решений) и после применения соот-
ветствующего математического аппарата, так как ре-
зультаты промежуточных расчетов могут даже не иметь
соответствующих аналогов в реальной системе. Такое об-
стоятельство чрезвычайно затрудняет верификацию мо-
дели.
Все перечисленные трудности, в особенности две пер-
вые, систематически возникающие при изучении сложных
систем, заставили искать и найти более гибкий метод мо-
делирования—имитационное моделирование. В основе
этого метода лежит вполне понятная идея — максималь-
но использовать всю имеющуюся в распоряжении иссле-
дователя информацию о системе с тем, чтобы получить
возможность преодолеть аналитические трудности и най-
ти ответ на поставленные вопросы о поведении системы.
Круг приложений имитационного моделирования оп-
ределяется, с одной стороны, спецификой изучаемого объ-
екта — это должна быть сложная система. С другой
стороны, спецификой интересующих нас вопросов об этом
объекте. Если вопросы относятся не к выяснению фунда-
120
ментальных законов и причин, определяющих динамику
реальной системы, а к анализу поведения системы, как
правило, выполняемому в сугубо практических целях, то
его применение более чем уместно. Проследим по эта-
пам, как реализуется этот новый метод с тем, чтобы
лучше понять отличие его от описанного выше классиче-
ского математического моделирования.
1. Как и ранее, формируются основные вопросы о по-
ведении сложной системы, ответы на которые мы хотим
получить. Множество этих вопросов позволяет задать
множество параметров, характеризующих состояние си-
стемы — вектор состояния (здесь, кроме искусства мо-
дельера, требуется глубокое знание реальной системы).
2. Осуществляется декомпозиция системы на более
простые части — блоки. В один блок объединяются «род-
ственные», т. е. преобразующиеся по близким правилам,
компоненты вектора состояния и процессы, их преобра-
зующие (требуется знание реальной системы).
3. Формулируются законы и «правдоподобные» гипо-
тезы относительно поведения как системы в целом, так и
отдельных ее частей. При этом очень важно отметить,
что в каждом блоке для их описания может использо-
ваться свой математический аппарат (алгебраические и
дифференциальные уравнения, математическое програм-
мирование и др.), наиболее удобный для соответствую-
щего блока. Именно блочный принцип дает возможность
при построении имитационной модели устанавливать не-
обходимые пропорции между точностью описания каж-
дого блока, обеспеченностью его информацией и необхо-
димостью достижения цели моделирования.
4. В зависимости от поставленных перед исследова-
телем вопросов вводится так называемое системное вре-
мя, моделирующее ход времени в реальной системе.
5. Формализованным образом задаются необходимые
феноменологические свойства системы и отдельных ее
частей. Нередко эти свойства вообще не могут быть
обоснованы при современном уровне знаний, а опирают-
ся на длительное наблюдение над системой. Иногда же с
точки зрения получения ответов на интересующие нас
вопросы одно феноменологическое свойство оказывается
эквивалентным множеству сложных математических со-
отношений и с успехом их заменяет. (В этом пункте тре-
буется глубочайшее знание моделируемой системы, ко-
121
нечно, если мы хотим добиться высокой степени адекват-
ности модели реальному объекту).
6. Случайным параметрам, фигурирующим в моде-
ли, сопоставляются некоторые их реализации, сохраняю-
щиеся в течение одного или нескольких тактов системно-
го времени. Далее отыскиваются новые реализации.
Поскольку осуществление пятого и шестого из пере-
численных выше этапов наиболее просто в ЭВМ, под
имитационной моделью системы (имитационной систе-
мой) обычно понимают комплекс программ для ЭВМ,
описывающий функционирование отдельных блоков сис-
темы и правил взаимодействия между ними. Использо-
вание реализаций случайных величин делает необходи-
мым многократное проведение экспериментов с имитаци-
онной системой (счет на ЭВМ по соответствующим про-
граммам) и последующий статистический анализ полу-
ченных результатов.
Нельзя не сказать и вот о чем. Как известно, в насто-
ящее время слова «математическая модель» стали почти
синонимом известного выражения: «Сезам, откройся».
Создаются модели самых разнообразных систем, про-
цессов, явлений. Если траектория математической моде-
ли хотя бы отдаленно похожа на траекторию реальной
системы, то у многих недостаточно искушенных в мате-
матике специалистов - прикладников возникает желание
немедленно использовать модель в практических целях
(такое стремление не менее опасно, чем игнорирование
моделирования вообще). Очень важно поэтому, чтобы
модель была не только качественно, но и количественно
близка к реальной системе. При достаточно глубоком
знании поведения реальной системы и правильном пред-
ставлении феноменологической информации в модели
имитационные системы характеризуются, вообще говоря,
большей близостью к реальной системе, чем математиче-
ские модели. В значительной степени такая близость обу-
словлена тем, что блочный принцип построения имитаци-
онной модели (принцип расщепления) дает возможность
верифицировать каждый блок до его включения в об-
щую модель, а также благодаря тому, что она может
включать зависимости более сложного характера, не опи-
сываемые простыми математическими соотношениями.
Работа с имитационной системой представляет собой
эксперимент, осуществляемый на ЭВМ, во многом она
сродни физическому эксперименту. В ходе эксперимента
122
варьируются экзогенные переменные, параметры моде-
ли, совершенствуются ее структура, принятые гипотезы о
поведении отдельных частей системы. В связи с такой
спецификой работы имитационная система обычно дает
ответы на вопросы лишь в статистическом смысле, что
следует признать неизбежным при работе со сложной си-
стемой и более соответствующим существу дела.
Перечисленные достоинства имитационного моделиро-
вания во многом определяют и его недостатки. Как пра-
вило, построить имитационную систему во много раз
дольше, труднее и дороже, чем математическую модель.
Эти минусы имитационного моделирования усугубля-
ются тем, что для работы с имитационной системой не-
обходимым условием является наличие подходящей по
классу ЭВМ, так как получение результатов чисто ана-
литическим путем не представляется возможным.
Может, естественно, возникнуть вопрос: а не заменяет
ли имитационное моделирование методы оптимизации?
Ответ совершенно однозначный — нет, не заменяет, но
очень удачно дополняет. Поясним, каким образом осу-
ществляется этот синтез.
Мы уже говорили, что имитационную модель можно
представить себе как программу, реализующую некото-
рый алгоритм на ЭВМ. На некоторых тактах его работы
используются параметры, выбираемые ЛПР, так называ-
емые управляющие воздействия. Выбор управляющих
воздействий осуществляется из некоторого множества и
обычно имеет критерий качества этого выбора, т. е. функ-
цию, которую следует оптимизировать. Тогда перед тем
как вводить управляющие воздействия в имитационную
модель, решается оптимизационная задача по их отыска-
нию,и лишь после этого найденные оптимизационные зна-
чения вводятся в имитационную модель. В этом случае
имитация позволяет моделировать отклик системы на оп-
тимальные в каком-то смысле управления ею. Может
быть и иная связь между оптимизацией и имитацией.
Если множество управляющих воздействий не слишком
богато, то все они, быть может, с какой-то степенью
точности могут быть перепробованы в имитационной си-
стеме. Результат имитаций в таком случае позволяет
провести оценку управляющих воздействий — отбросить
заведомо плохие, упорядочить по качеству оставшиеся и
т. п. На этот раз имитационная система выступает в ро-
ли лаборатории, в которой анализируются некоторые
123
технологии — часть бракуется, часть остается для даль-
нейшего использования.
§ 2. КАК УПРАВЛЯТЬ ВОДОХРАНИЛИЩЕМ!
Рассмотренные выше общие свойства имитационного
моделирования проиллюстрируем на конкретном при-
мере.
Представим себе, что для различных хозяйственных
нужд требуется образовать определенный запас пресной
воды и управлять этим запасом так, чтобы в течение пяти
лет наилучшим образом удовлетворять возникающие по-
требности в пресной воде. Пусть таким запасом является
вода в водохранилище.
Возникает вопрос: что нужно знать для того, чтобы
правильно выбрать политику удовлетворения потребно-
стей в пресной воде? Очевидно, для этого нужно знать,
каким запасом воды в водохранилище мы располагаем
в данный момент и как этот запас будет изменяться в
рассматриваемый период, т. е. на протяжении 5 лет, под
влиянием различных факторов.
Итак, нас будет интересовать величина X1— запас
воды в водохранилище в момент t и ее изменение с изме-
нением t. Попытаемся выделить те факторы, которые
оказывают влияние на величину запаса воды (для
простоты изложения будем считать, что водохранилище
расположено в зоне с положительными средними зимних
температур и процессы формирования снежного покрова
и снеготаяния можно не учитывать). К ним относятся
прежде всего природные факторы:
1) приток по реке, на которой построено водохрани-
лище (обозначим через PR*);
2) пополнение запаса воды за счет боковой приточ-
ности РВЬ,
3) выпадение осадков на поверхности водохранилища
РО*;
4) испарение воды с поверхности водохранилища
PU*;
5) фильтрация воды в нижнем створе водохранили-
ща РФ1.
Помимо этого, есть и факторы антропогенного происхож-
дения:
а) вода расходуется на нужды нескольких потреби-
телей (для простоты положим, что их два — сельское хо-
124
зяйство£гс/х и коммунальное водоснабжение Zk/в);
б) часть воды пропускается через плотину дальше по
реке PEV.
Предполагается, что запас воды в водохранилище не
должен становиться меньше некоторой минимальной ве-
личины— Xmin, а также не должен превышать объема
водохранилища V. Кроме того, будем считать, что рас-
пределение воды между потребителями осуществляется
пропорционально их запросам, т. е. пропорционально
заданным величинам и st/в
Схематично динамику запаса воды в водохранилище
можно представить так (рис. 28).
Следующий вопрос, который необходимо решить, ка-
сается величин этих факторов, их изменений во времени.
Пусть известны ряды наблюдений среднедекадных
величин стока (выше водохранилища), осадков в районе
водохранилища и боковой приточности за предыдущие
20 лет. Можно представить себе, что есть таблица, в ко-
торую они сведены.
Естественно предположить, что изменение этих ве-
личин (РО\ PR[ и РЕР соответственно) в ближайшие
5 лет будет происходить примерно так же, как и в пред-
шествующие 20 лет. Что значит «примерно так же»? Это
не такой простой вопрос, как кажется на первый взгляд.
1. Можно считать, что в каждый момент времени t
на протяжении всех 5 лет значения величин РО\ PR1
и РЕР равны среднему значению этих величин за 20 лет
в соответствующие моменты времени, т. е.
20
т= I
20
РВ'(Т) = РВ'=-±
т= 1
20
РО'(П = РО1 = ^У ро*(4
т= I
Г=21, 22, 23, 24, 25.
Другими словами, можно считать величины PR1, PEP
и РСР детерминированными и законы их изменения в те-
чение года определить по имеющимся данным за 20 лет.
125
Рис. 28. Схема процессов определяющих запас воды в водохранилище
Стрелки \называют направление потоков
2. Однако разумнее было бы предположить, что про-
цессы формирования речного стока, боковой приточности
и осадков носят случайный характер. Тогда для их иссле-
дования необходимо применить статистические методы.
В качестве иллюстрации упомянем два из них.
По известным рядам наблюдений построить функции
распределения случайных величин PR*, PEP, РСР, а за-
тем по найденным законам распределения в течение 5 лет
задавать случайным образом значения соответствующих
величин (здесь решается задача генерирования случай-
ных чисел, о которой уже было сказано). А можно дей-
ствовать и иначе — по известным рядам наблюдений по-
строить функции
W(T)=ftR(/) + (/Rt>
РВ»(Т)=^в(/) + (/вь
POi(T)=/t0(/) + ^ot>
где f\, /%, — детерминированные или систематиче-
ские составляющие речного стока, боковой приточности
и осадков, зависящие от времени Т, а Ubi, Uot —
случайные составляющие, не зависящие от времени Т.
Здесь детерминированные составляющие — это нормы
стоков, боковой приточности и климатическая норма
осадков, которые можно считать либо средними за 20 лет
126
значениями, либо определять, решая задачу минимиза
ции функционала
F- (х))2,
где /Дт) фактическая траектория изменений соответ-
ствующей величины за прошедший период времени.
Решение этой оптимизационной задачи /1(т) будет
задавать последовательность значений детерминирован-
ной составляющей в течение года.
Для переменных PR1, РВ1 и РО1 можно предполо-
жить, что величины Um, Ubi, Uot распределены равно-
мерно Прогнозные значения этих величин, таким обра-
зом, будут получаться генерированием равномерно рас-
пределенных случайных чисел на заданном отрезке.
Итак, было рассмотрено два варианта представле-
ния величин PR1, РВ\ РО{ и прогнозирования их значе-
ний на 5 лет—детерминированный и стохастический.
Перейдем к рассмотрению процессов расходования во-
ды Один из них — испарение.
В отличие от величин PR1, РВ{ и РСР испарение воды
с поверхности водохранилища не измеряется, и динами-
ку этой величины нельзя определить описанными мето-
дами, поскольку отсутствуют ряды наблюдений. Одна-
ко известно, что величина испарения воды с зеркала во-
дохранилища PU1 зависит от некоторых факторов: тем-
пературы воды и воздуха, дефицита влажности воздуха,
скорости ветра и т. п. А уж для этих факторов имеются
20-летние ряды наблюдений. Очевидно, что для опреде-
ления величины PU1 достаточно выявить эту зависи-
мость Для простоты, памятуя о том, что рассматривае-
мая задача играет чисто иллюстративную роль, выде-
лим один наиболее существенный фактор — дефицит
влажности воздуха D{ и будем считать, что величина
RU1 прямо пропорциональна дефициту влажности воз-
духа, т. е.
RU' — aD', (*)
где а — эмпирический коэффициент пропорциональнос-
ти. Величину D1, так же, как и осадки, можно моделиро-
вать с помощью описанных выше методов. Используя
соотношение (*), по найденным величинам D* можно вы-
числять величины RU[.
Величина объема воды, профильтровавшейся в ниж-
нем створе водохранилища в момент времени t—/?Ф\
127
ч
также не измеряется. Предположим, что величина /?Ф*
пропорциональна объему воды в водохранилище и за-
висит от типа грунтов, его подстилающих, т. е. /?Фг=
=ЛХ‘, где k — коэффициент пропорциональности, соот-
ветствующий определенному типу грунта.
Расход через плотину /?/7‘ — величина регулируемая,
т. е. она задается в каждый момент времени, в зависи-
мости от запаса воды в водохранилище. Для простоты
потребуем, чтобы она удовлетворяла условиям
/?11 ‘ - V
для Х{ V
для Xх > V’
Величины потребления 2с/х и Zk/в также являются
управляемыми величинами и формируются в зависимос-
ти от объема воды в водохранилище и запросов на воду
со стороны потребителей — Sj/X, Sь/в
Итак, рассмотрены все процессы формирования за-
паса воды в водохранилище, причем известно, что со-
храняется баланс, т. е. запас в каждый интервал вре-
мени увеличивается на величину «прихода» и уменьша-
ется на величину «расхода». Запишем этот закон сохра-
нения массы воды-
х1- ГТ-у1,
где
[Т - PR' х РВХ х РО\
у‘_ ru'+ дчт-г1,
Z' - Zc/x t Zi,B.
В итоге получено уравнение изменения запаса воды
в водохранилище в зависимости от природных условий и
стратегии распределения этого запаса между потребите-
лями. Это уравнение называют уравнением водного ба-
ланса. Таким образом, задавая условия пополнения и
расходования запаса воды и решая уравнение водного
баланса, можно получить ответ на поставленную задачу:
чему равен запас воды в водохранилище в каждый мо-
мент времени t.
12b
Разумеется, делать «вручную» это можно лишь для
очень малого числа вариантов поступления и расходова-
ния воды, а также для малого числа моментов времени
Если же иметь в виду анализ большого числа вариантов
в течение большого промежутка времени, то необходим
программный комплекс, который позволит проводить
расчеты на ЭВМ в автоматическом режиме. Этот комп-
лекс и будет представлять собой имитационную модель
водохранилища. Не имея возможности привести здесь
текст программы, ограничимся тем, что прокомментиру-
ем назначение отдельных фрагментов программы, бло-
ков (рис. 29).
Рис. 29. Блок схема имитацион
ной модели водохранилища
9 А Б Горстко
129
Впрочем, как легко видеть, первые три блока в спе-
циальных комментариях не нуждаются —их назначение
понятно из надписей в соответствующих прямоугольни-
ках на рис. 29. Блок «Внешние факторы» с шагом в один
месяц, используя один из указанных выше методов, осу-
ществляет прогноз значений внешних факторов по за-
данным временным рядам. Пятый блок, используя прог-
нозные значения внешних факторов, осуществляет вы-
числение количества воды, испарившейся и профильтро-
вавшейся из водохранилища. Блок «Водный баланс 1»
вычисляет тот запас воды, который был бы в водохра-
нилище, если бы не было антропогенных процессов ис-
пользования воды. Седьмой блок, «Допустимые страте-
гии», генерирует количества воды, потребляемые в дан-
ном месяце сельским хозяйством и коммунальным водо-
снабжением. Эти величины могут быть найдены то ли из
решения некоторой оптимизационный задачи, то ли по-
лучены с помощью экспертных оценок. В блоке «Вод-
ный баланс 2» осуществляется коррекция результатов
работы шестого блока, обусловленная наличием антро-
погенных процессов. Наконец, блок «Печать» выдает зна-
чения всех приходов и расходов воды за месяц, а также
запас воды в водохранилище в данном месяце. После
этого происходит переход к следующему месяцу, и рабо-
та всех блоков повторяется в том же порядке. Отметим,
что расчеты на ЭВМ месячных изменений в состоянии
водохранилища занимают очень мало времени и не оно
является лимитирующим при выполнении прогнозных
расчетов. Поэтому не представляет труда выполнить та-
кие расчеты на сотни и даже тысячи месяцев.
Таким образом, варьируя количества воды, потреб-
ляемые водопользователями и проводя всякий раз рас-
четы на перспективу, мы имеем возможность как бы за-
глянуть в будущее и увидеть, к чему приводит та или
иная стратегия. В зависимости от результатов этих вы-
числительных экспериментов осуществляется уже выбор
стратегии на практике.
130
$ 3. Q ПРАКТИЧЕСКОМ ИСПОЛЬЗОВАНИИ
ИМИТАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ
Как уже говорилось, имитационная модель обычно со-
здается для решения той или иной практической проб-
лемы. Однако от момента возникновения проблемы до
момента завершения имитационной модели проходит
немало времени, в течение которого нередко значитель-
ное количество людей (обычно специалистов — не мате-
матиков) занимаются той же самой проблемой, пытаясь
решить ее традиционными, не использующими имитаци-
онное моделирование способами. Нередко им удается
получить определенные результаты, иногда даже значи-
тельные, и уж во всяком случае они приобретают твер-
дую уверенность, что разбираются в сути проблемы мно-
го лучше, чем математики, занимающиеся созданием
имитационной модели. Таким образом, если не принять
определенные меры, может возникнуть такая ситуация —
модель готова, ее можно использовать в практической
деятельности, но это использование должны осуществ-
лять люди, которые профессионально не могут оценить
достоинства и недостатки модели, с сомнением относятся
к тому, что математикам удалось с необходимой точ-
ностью отразить в ней все те черты реальности, которые
необходимы для решения проблемы. Неизбежно это вы-
зывает скептицизм (иногда весьма сильный) к продук-
ту деятельности математиков, к имитационной модели,
который в конечном счете приводит к тому, что имита-
ционная модель оказывается бесполезной, так как в прак-
тической деятельности она не используется.
Для того чтобы этого не произошло, следует прини-
мать определенные, выработанные опытом многих мо-
дельеров меры. Разумеется, они не носят характер до-
статочных условий, гарантирующих практическое исполь-
зование имитационной модели.
1. Участие в создании модели лиц, которые впослед-
ствии должны ее использовать.
Эти лица должны выступать в роли консультантов
даже в том случае, если польза от их деятельности не
очень велика. Волей-неволей у них складывается впе-
чатление (к сожалению, иногда это иллюзия), что они
«на равных» участвуют в процессе создания имитацион-
ной модели, что модель — в равной степени и их детище,
а это существенно уменьшает психологические труднос-
9* 131
ти, связанные с последующим использованием такого не*
привычного инструмента, как имитационная модель.
2. Поэтапность внедрения.
Безусловно, в практической деятельности могут най-
ти применение отдельные части имитационной модели,
если и не для решения исходной проблемы, то по край-
ней мере для исследования вопросов, с проблемой свя-
занных. Использование на практике таких частей по ме-
ре их завершения, с одной стороны, экономически целе-
сообразно, с другой же — оно формирует опыт для ис-
пользования модели целиком. Возможность получения
«правдоподобных» результатов при работе отдельных
блоков значительно повышает доверие к модели в целом
ее будущих пользователей, а стало быть, и увеличивает
желание модель использовать.
3. Доступность.
С самого начала проектирования имитационной мо-
дели должно быть предусмотрено, чтобы пользователь
получал результаты вычислительного эксперимента в
привычной для него форме — в виде таблиц, графиков,
гистограмм. Очень важно, чтобы взаимодействие пользо-
вателя и имитационной модели (интерфейс) было не
слишком сложным, удобным и обязательно хорошо из-
вестным пользователю.
Глава 7
ПРОБЛЕМЫ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
В ОБЛАСТИ ЭКОНОМИКИ
И В ОБЩЕСТВЕННЫХ НАУКАХ2
Читатель, который дошел до этого места книги, уже зна-
ет, что означают слова «математическое моделирова-
ние». Он понял, каким мощным инструментом является
этот метод во всех тех областях, о которых шла речь, в
частности в централизованной плановой экономике. Впро-
чем, я не считаю себя достаточно компетентной в вопро-
сах плановой экономики, поскольку никогда не имела с
ней дела ни на практике, ни как с объектом научной ра-
боты. Поэтому я прошу у читателя снисхождения и бла-
госклонности и приглашаю его следовать вместе со мной
непосредственно в сферу рыночной экономики.
Коснувшись проблем математического моделирова-
ния, здесь мы увидим запутанный клубок проблем. Преж-
де чем начать его постепенно распутывать, хотелось бы
предварительно сказать несколько слов об основных
принципах рыночной экономики.
В центре рыночной организации экономики стоит
принцип конкуренции. Когда два производителя пред-
лагают для продажи один и тот же товар, произведенный
2 Эта глава написана профессором Вальбургой Реддинг, заве-
дующей кафедрой регионального планирования и теории систем
Дортмундского университета
133
ими на основе самостоятельного планирования, да к то-
му же и в равных условиях, по разной цене, то потреби-
тели при рациональном поведении будут покупать у того
производителя, который запросит более низкую цену (ра-
зумеется, при условии, что им будет известно о наличии
такого товара.). Более «дорогой» конкурент вынужден
тогда снижать стоимость своей продукции, т. е. повы-
шать эффективность процесса производства и/ или улуч-
шать в интересующем потребителя смысле качество
своей продукции. Он должен больше стараться — застав-
ляет конкуренция.
Если учесть, насколько фундаментален принцип кон-
куренции для рыночной организации экономики, то мож-
но было бы предположить, что многочисленные экономи-
сты западного мира должны сконцентрировать свои уси-
лия на том, чтобы посредством математических конст-
рукций отобразить этот принцип и способ функциониро-
вания экономики3. Реальность, однако, выглядит по-дру-
гому. Все экономисты, вероятно, согласятся со мной, ес-
ли я скажу, что таких экономистов, которые бы интере-
совались математическим моделированием принципа кон-
куренции, было не слишком много. С моей точки зрения,
это были лучшие экономисты.
Своей книгой «Теория игр и экономическое поведе-
ние» (Принстон, 1944) математик Джон фон Нейман и
экономист Оскар Моргенштерн в значительной степени
заложили основы математической теории «конфликта ин-
тересов». Прочитать хотя бы введение к этой книге —
это и сегодня огромное удовольствие для искушенного*
читателя. Он станет свидетелем встречи неподкупной на-
учной добросовестности и точности с чрезвычайно комп-
лексной темой.
Исходя из предположения о том, что человеческие
действия в экономической сфере — это целенаправленные
действия, они начали с введения понятия «полезность»,
необходимого для измерения результатов действий. При-
чем нужно отметить, что определено это понятие в мате-
матике точностью и строгостью. Мало того, оказалось,
э Во избежание недоразумений отмечу, что рыночная органи-
зация экономики ни в коей мере не исключает собственность работ-
ника на средства производства.
134
что введенный Д. Нейманом и О. Моргенштерном набор
аксиом единственным образом определяет привычное в
обыденной жизни слово «полезность».
Обсудим здесь такой вопрос: каза измерять полез-
ность»? Конечно, мы привыкли к высказываниям типа:
«полезность действия а больше, чем полезность дейст-
вия в», однако, задавшись вопросом «на сколько боль-
ше?», мы далеко не всегда сможем на него ответить. Ко-
личественное определение «полезность» возможно лишь
в одном благоприятном случае, а потому никак не мо-
жет претендовать на всеобщность. Из этого прежде всего
следует, что не удается количественно сравнить полез-
ность, которую получит лицо А от действия а с полез-
ностью, которую получит лицо В от того же действия.
Экономисты называют это обстоятельство «невозмож-
ностью межличностного сравнения полезностей». В этом
заключена одна из многих трудностей, которые встреча-
ют экономиста, размышляющего об экономическом бла-
гополучии всего общества.
Разумеется, подобные трудности — это не аргументы
против аксиом фон Неймана и Моргенштерна. Последний
из них, с которым я имела честь быть лично знакома,
не уставал подчеркивать, что физике понадобилось 500
лет, чтобы дорасти до безупречно обоснованной науки.
Почему же у сравнительно юной экономической науки
этот путь должен быть легче? Ничто не свидетельствует
о такой возможности.
Не вызывает поэтому удивления тот факт, что мате-
матическое моделирование конфликта интересов, которое
хорошо удается в ряде простых случаев, до настоящего
времени существенно мало продвинулось. И это при том,
что в развитие книги фон Неймана и Моргенштерна на-
писаны тысячи научных работ!
В соответствии с доброй традицией эта книга, поло-
жившая начало всемирно известной теории игр, отправ-
ляется от простейшей ситуации (см. гл. 5).
Два игрока играют в некоторую игру, в которой один
проигрывает ровно столько, сколько второй выигрыва-
ет. Интересы игроков, таким образом, полностью про-
тивоположны. Каждый из игроков знает свои возможные
стратегии, а также стратегии противника. Поведение иг-
рока осторожно и надежно — он не стремится ни к чему
большему, чем минимизировать максимально возможный
выигрыш противника.
135
При этих условиях задача выбора наилучших страте-
гий каждым из игроков решается безукоризненно. В ре-
альной экономической практике не так-то легко найти
пример подобного конфликта интересов. Я предлагаю
читателю в качестве домашнего задания придумать ситу-
ацию, когда два производителя одного и того же товара,
не имеющих других конкурентов, борются за свою долю
на рынке сбыта.
Не только игру двух игроков с нулевой суммой, но и
более сложные игры нередко удается удовлетворительно
решать. Например, игру трех игроков с ненулевой сум-
мой. Однако уже при этом небольшом усложнении ясно,
какие последствия вызывает увеличение числа игроков —
становятся возможными коалиции, причем чрезвычайно
большое их количество уже при относительно небольшом
числе игроков. Полагаю, что читателю совсем не сложно
представить себе это. На пути увеличения числа игроков
возникает ситуация, которую математики называют «ком-
бинаторный взрыв», и надо сказать, что для такого на-
звания есть все основания. Скажем, отыскание оптималь-
ных стратегий в игре лиц с ненулевой суммой на сего-
дняшний день остается все еще неразрешимой пробле-
мой.
Вернемся еще раз к условиям игры двух игроков с
нулевой суммой. Было сказано, что каждый игрок знает
возможные действия другого (условие так называемой
полной информированности) и преследует относительно
скромную цель — минимизировать максимальный выиг-
рыш противника, что можно оценить, иначе говоря, как
условие пессимистической установки. Если же мы будем
пытаться отразить в математической картине динамику
игры, действия любящих рисковать игроков и т. п., то
открытие и роль теории игр становятся все более ясны-
ми и достойными восхищения.
В течение более чем четырех десятилетий предпри-
нимались огромные усилия, чтобы ослабить ограничения
модели Неймана — Моргенштерна, статическое описание
игры заменить динамической теорией игр. Лишь относи-
тельно небольшая часть теоретиков-экономистов посвяти-
ла себя дальнейшему развитию этой теории. Разуме-
ется, никто не может сказать, что они следуют неверным
путем, так как в их распоряжении есть веский аргу-
мент — предметом их исследования является единствен-
ный «мотор» рыночной экономики — конкуренция.
136
С другой стороны, имеется немало ученых, которые
не хотят ждать, пока в далеком будущем будут найдены
научно обоснованные решения современных актуальных
проблем. Не располагая, как правило, удовлетворитель-
ными объяснениями, они овладевают большим количест-
вом эмпирических знаний о том, что постоянно происхо-
дит в экономической политике рыночно организованно-
го общества. Эти знания находят немедленное примене-
ние в различных политико-экономических учреждениях.
В ФРГ, например, можно назвать федеральное антитре-
стовское ведомство — учреждение, задачей которого яв-
ляется забота о сохранении конкуренции. Конкретно
это означает, что это ведомство должно препятствовать
соглашениям предпринимателей о ценах, что является
преградой для возникновения монополий. Конечно, рабо-
та этого ведомства осуществляется на основе четкого
соблюдения прав предпринимателей и ясного определе-
ния компетенций сторон.
Важно отметить — такие учреждения (как и все эко-
номические министерства) сами не занимаются хозяйст-
венной деятельностью. Единственно для чего они суще-
ствуют, так это для того, чтобы не позволить ни одному
предпринимателю ускользнуть из-под обременительного
пресса конкуренции.
Другим учреждением, играющим важную роль в эко-
номике страны, является германский федеральный банк.
Его задача — сохранять стабильность национальной ва-
люты — немецкой марки. Согласно конституции феде-
ральный банк полностью независим, никто в государстве
не имеет права давать ему указания, никто, в том числе
и правительство! Такая независимость позволяет феде-
ральному банку повышать процентную ставку на креди-
ты, когда спрос со стороны государства и/или потреби-
теля на предоставление кредитов больше, чем это кажет-
ся необходимым для обеспечения стабильного денежного
курса. Повышение процентных ставок означает более
высокую цену на ссужаемые деньги, возрастает цена и,
следовательно, снижается спрос.
Оба упомянутых учреждения не являются подходя-
щими объектами для математического моделирования, по
крайней мере так кажется на первый взгляд. Их следует
отнести к области, которую часто характеризуют как
«саморегулирующие силы рынка». К этим силам отно-
сится и упоминавшаяся уже конкуренция.
137
Механизм рыночного саморегулирования — это только
один из множества примеров, когда в зависимости от
состояния объекта (организма) мобилизуются силы, на-
правленные на изменение этого состояния. Как правило,
саморегулирование — а это чаще всего и желательно —
действует в направлении равновесного стабильного со-
стояния, которое не содержит в себе никаких тенденций к
изменению. Значительно реже — и это по большей части
нежелательно — оно уводит от равновесия.
Мир полон примеров саморегулирования, природа по-
ставляет бесчисленные примеры движений в направле-
нии, противоположном равновесному состоянию. В по-
давляющем большинстве случаев это происходит там, где
человек переоценил способность природы компенсиро-
вать внешние воздействия. Можно сказать, что мировые
экономические проблемы порождены несоответствием
антропогенных нагрузок их допустимым границам.
Исходя из концепции саморегулирования, вновь вер-
немся к вопросу моделирования, позволяющего произ-
водить количественные измерения, т. е. к математическо-
му моделированию. Пионерская роль здесь принадлежит
инженерам, сформулировавшим модель контура регули-
рования, отразившим принцип обратной связи.
Система, построенная по принципу обратной связи,
развивается благодаря внутренним силам, которые ком-
пенсируют внешнее воздействие. Открытие этой способ-
ности, имеющей место в технических, биологических, со-
циальных и других системах, составило основу для на-
уки кибернетики. Обратная связь может быть отрица-
тельной — действие внешних сил сглаживается и поло-
жительной — действие внешних сил усиливается.
Обратная связь — это основной принцип функциони-
рования так называемых управляемых систем. Напом-
ним, что система называется управляемой, если она мо-
жет поддерживать «штатные» (желательные) значения
параметров состояния в значительной степени в неза-
висимости от внешних воздействий.
Принцип действия такой системы состоит в том, что
отклонение от «штатного» значения становится возврат-
рой силой по его восстановлению тогда, когда система
находится в постоянном обмене с окружающим миром.
«Штатное» состояние — это так называемое текущее
(динамическое) равновесие, а возвратная сила — это ре-
акция на отклонение от этого равновесия.
13«
Системы с такими свойствами повсеместно распрост-
ранены в технике, экономике, природе и имеют большое
значение. До последнего времени подобным системам
удавалось постоянно поддерживать в живой природе тер-
пимые для жизни человека условия. Перегрузки этих си-
стем приводят к тому, что в тех случаях, когда воздейст-
вие либо «слишком» велико, либо «слишком» продолжи-
тельно, они теряют работоспособность.
Читателю рекомендуется придумать примеры из раз-
личных областей повседневной жизни («прыжки» от од-
ного примера к другому, возможно, существенно отлич-
ного, имеют целью представить множество таких само-
регулирующихся систем, которые следует искать по их
внутренней организации, а не по материальной реализа-
ции). Кажущийся «беспорядок» — лучшее доказательство
того, что здесь речь идет об одном из всеобщих принци-
пов организации мира.
Для придания большей ясности рекомендуется пред-
ставлять графически отдельные функции, те части систе-
мы, которыми управляют, и выделять те, которые управ-
ляют. Наглядно можно представить эти связи на извест-
ном примере (в дальнейшем мы вернемся к нему еще
раз) отопления и регулирования комнатной температуры
с помощью термостата. В этом случае можно легко пред-
ставить себе термостат в качестве важной управляющей
части, хотя во многих случаях практически невозможно
материально разделить регулятор и собственно управля-
емую систему (объект управления). Например, нельзя
разделить человеческое тело на регулятор и объект ре-
гулирования, кроме как чисто мысленно. Только тогда
вполне удается произвести такое теоретическое разбие-
ние. Чтобы дать наглядную картину функционирования,
представим следующую блок-схему (см. рис. 30).
Обозначения блок-схемы:
— объект управления — вся управляемая система, за ис-
ключением части, которая осуществляет управление;
— регулятор — та часть системы, которая служит
для управления;
— X— текущее значение управляемой переменной со-
стояния, т. е. то фактическое значение, которое
получено регулятором от объекта управления;
— W — «штатное» (желательное) значение переменной
состояния;
/39
Рис. 30. Блок-схема системы с обратной связью
— Y — сигнал, посылаемый регулятором к объекту уп-
равления для подавления отклонения факти-
ческого значения переменной состояния от тре-
буемого (X—W).
Для понимания работы контуров управления необхо-
димо представить себе, что управляемая система, таким
образом, реагирует на отклонение от своего равновесно-
го состояния, чтобы оно было вновь восстановлено.
Способ, по которому управляемая система реагирует
на окружающую среду, можно назвать активным приспо-
соблением. Причем система как не вынуждена к вырав-
ниванию с внешними условиями (как вода различной
температуры при смешивании), так и не восприимчива к
внешним воздействиям. Скорее наоборот, она использу-
ет свою внутреннюю организацию, чтобы вопреки внеш-
нему влиянию сохранить внутреннюю независимость.
Потребность быть до конца точными заставляет при-
знать, что мы до сих пор не ввели еще одно понятие, ко-
торое играет большую роль в менеджменте и вопросах те-
ории систем, — это понятие стабильности.
Для этого понятия не существует общепринятого оп-
ределения, что было бы желательно с позиций здравого
смысла. Имеется целый ряд различных видов стабильно-
сти и соответствующих им понятий стабильности. Так,
140
имеются системы, которые после воздействия возвраща-
ются к своему первоначальному состоянию текущего
равновесия,— они возглавляют шкалу стабильности, од-
нако отличаются друг от друга скоростью, с которой про-
исходит возвращение в старое состояние.
Понятно, что то регулирование считают «лучшим»,
которое быстрее, чем другие, восстанавливает старое со-
стояние (управляемый светофор для предотвращения и
соответственно устранения дорожных заторов).
Однако может быть так, что система вообще не мо-
жет вернуться к своему старому равновесному состоя-
нию. Вполне может образоваться новое равновесное со-
стояние, которое, хотя и отличается от старого, все-таки
принимает характер динамического равновесия (напри-
мер, новое биологическое равновесие при необратимых
изменениях). Такие системы также не противоречат по-
нятию стабильности и также дополнительно дифферен-
цируются по скорости достижения состояния равнове-
сия.
Может оказаться, что некоторые системные органи-
зации не настраиваются на новое равновесие, однако
значения их параметров состояния могут колебаться в
определенных ограниченных интервалах. В этом случае
нет общего критерия для классификации систем по прин-
ципу «стабильность — нестабильность». Чем меньше ин-
тервалы, тем скорее достигается стабильность.
Блок-схема контура управления (регулирования) (см.
выше) представляет собой примитивный пример науч-
ной привычки воспроизводить теоретические иллюстра-
ции действительности. Эти иллюстрации, также называ-
емые моделями, хотя и уступают в сложности реально-
сти, весьма полезны: ученый создает модель, когда он
хочет ограничиться существенным и изучать его взаимо-
связи. Что является «существенным», зависит от поста-
новки проблемы: экономист и специалист по управлению
уличным движением будут рисовать различные иллюст-
рации одной и той же реальности, если они как экспер-
ты должны будут высказаться по одному вопросу.
Ясно, что модель только тогда имеет ценность, когда
она действительно «существенно» отображает конкрет-
ную постановку вопроса. (Это, кстати, нелегко опреде-
лить в реальных обстоятельствах.) Всегда следует обра-
щать внимание на то, чтобы в модели при абстрагирова-
141
нии не терялось действительно существенное для данной
проблемы.
Едва ли найдется наука, среди методических средств
которой не было бы моделей, создаваемых на основе ма-
тематики и информатики. В зависимости от предмета
исследования значение моделей более или менее велико.
Общая для всех последовательность процесса моделиро-
вания представлена на рис. 31.
Экспериментальное подтверждение интерпретирован*
ных математических выводов представляет собой вид ве-
рификации модели. Все использованные здесь понятия
могут быть тем лучше определены, чем ближе данная
наука к точным естественным наукам.
Однако это ни в коем случае не означает, что неце-
лесообразны постоянные усилия использовать методы
математики, математической логики и информатики так-
же и в общественных науках.
Какую же пользу можно извлечь из всех этих рас-
суждений, которые имеют столь обобщенное значение,
что у читателя могло сложиться впечатление, что эконо-
мика здесь уже предана забвению?
Прежде всего я должен еще раз принести извинения
читателю за то, что все сказанное относится только к сфе-
ре рыночно организованной экономики. Тот кто рассмат-
ривает такую экономику, с течением времени делает ряд
Рис. 31. Схема процесса моделирования
142
наблюдений, чаще или реже повторяющихся как во вре-
мени в рамках одного хозяйства, так и в сравнении раз-
личных хозяйств. Активность различных национальных
экономик колеблется, представляя собой своеобранзые
волновые (циклические) процессы. В случае особо про-
изводительных экономик может быть так, что только
советы развития определяют активность циклических
движений, однако спокойствия в смысле медленного, дол-
госрочного, стабильного развития здесь все равно нет.
Эти наблюдения не новы, и они не раз уже давали мно-
гим экономистам повод как для теорий, так и для спе-
куляций. Имеющийся фактический материал подтверж-
дает многие предположения: от долгосрочных циклов
длиной в десятилетия до краткосрочных, сравнимых с
межвыборным периодом, — все это действует в условиях
многообразных долго- и краткосрочных законов.
В качестве меры активности экономики было и оста-
ется суммирование результатов в так называемый вало-
вой национальный продукт (ВНП). Кстати, ВНП —
также отнюдь не беспроблемная категория, так как она
не удовлетворяет многим пожеланиям ученых. Во вся-
ком случае, другой научной, действительно удовлетвори-
тельной меры для множества всех товаров и услуг, со-
зданных в течение данного временного интервала, до
сих пор не найдено.
Признано желательным смягчить циклические коле-
бания экономической активности рыночной экономики
(особенно в тех случаях, когда она, подобно западногер-
манской, является «социально-рыночной), так как, го-
воря упрощенно, в периоды искусственного оживления
и спада может развиваться безработица. Искусственное
оживление характеризуется тем, что спрос превышает
предложение (с такими последствиями, как рост цен и
дефицит рабочих мест), а спад — тем, что спрос отстает
от предложения (с такими последствиями, как снижение
цен и избыток рабочих мест). Возникает вопрос: нельзя
ли создать такое учреждение, которое, исходя из реаль-
ной ситуации, повышало бы или снижало спрос для до-
стижения желанного равновесного состояния рыночной
экономики?
Читатель мог заметить, что до сих пор почти не было
речи о государстве, помимо упоминания регулирования
предпринимательского права, за соблюдением которого,
143
естественно, должно следить государство. Сейчас вновь
поразмышляем о функциях государства: ему можно пе-
редать задачу противодействия отдельным колебаниям
экономической активности посредством варьирования
спроса в сфере государственных инвестиций (например,
в транспортную инфраструктуру) и др.
То, что в этом случае государство действует «анти-
циклически» как один большой потребитель, установле-
но из опыта. Проблема математического моделирования
здесь возникает тогда, когда желательно количественно
определить размеры изменения спроса. Именно для это-
го необходима математическая модель колебаний эконо-
мической активности. Несмотря на веские контраргумен-
ты, к которым мы вернемся ниже, я буду исходить из
того, что ее уже удалось построить в рамках большой
эконометрической модели.
Тогда остается только лишь вопрос математической
теории управления: в какой мере государство может
расширять свою роль потребителя для создания стабиль-
ности? Однако на этом пути от практических экономиче-
ских проблем рыночной экономики к проблеме стабиль-
ности теоретико-управленческой модели мы перешагнули
допустимые границы: теория и практика до сегодняшне-
го дня разделены. Никакое государство не рассчитывает
в действительности свое потребление из математических
теорем, и до сегодняшнего дня имеется слишком мало
предпосылок для этого, так как модели в масштабах всей
экономики оперируют сильно агрегированными величина-
ми (например, сумма всех доходов), в которых уже от-
сутствует принцип конкуренции. Можно ли вообще рас-
считывать на практический успех таких моделей?
Никто не в состоянии дать бесспорный ответ на этот во-
прос.
Выше было справедливо замечено, что рыночная ор-
ганизация экономики в известной мере аналогична био-
логическому организму, поведение которого есть резуль-
тирующая большого числа взаимодействий многих кон-
туров управления. Стремление каждого такого контура
к стабильности (каждый рынок в условиях отсутствия
воздействий устанавливает цены таким образом, чтобы
уравнять спрос и предложения) может быть той «неви-
димой рукой» Адама Смита, которая реализует экономи-
ческое благополучие всех, когда каждый стремится лишь
144
к своему индивидуальному благополучию*. Экономиче-
ская политика по большей части состоит из объединен-
ных воздействий различных управляющих контуров.
Итак, мы подошли к проблеме математического мо-
делирования в экономике с двух сторон: с микроэконо-
мической (предприятие, фирма и т. п.)—из соображе-
ний теории игр и макроэкономической (перспективы эко-
номики в целом) — из соображений теории регулирова-
ния. Надо сказать, однако, что имеющимся модельным
подходам присущ следующий недостаток — нет удовлет-
ворительного мостика между микро- и макроэкономикой.
Эта сложная задача «соединения» не решается простым
суммированием индивидуальных величин и является не-
разрешенной пока теоретической проблемой агрегирова-
ния.
Читатель, знакомый с централизованной плановой
экономикой, знающий о существовании математических
оптимизационных методов, может подумать, что я с лег-
костью прохожу мимо охраняемых сокровищ искусства
математического моделирования. Поэтому я поспешу
наверстать это упущение.
Наконец и это важно подчеркнуть, рынчоная эконо-
мика как целое не планируется. Не существует такого
государственного учреждения, которое должно было бы
планировать объемы производства.
Этот род «беспорядка» (децентрализованная органи-
зация всего «экономического развития») категорически
определяет — методам оптимизации нечего делать на
макроуровне национальной экономики. И это не бес-
смысленное противопоставление. Действительно, на мак-
роуровне в условиях рыночной экономики нет области
для их осмысленного применения. Вместе с тем рыноч-
4 На самом деле, как известно, это лишь отчасти верно, на что
указывает уже добавление прилагательного «социальный» к по-
нятию «рыночная экономика». Причина очевидна: некоторые люди,
безусловно, слабее других, а при известных обстоятельствах и вов-
се не в состоянии заботиться о поддержании собственной жизни.
Основная идея «социального рыночного хозяйства» — для оказа-
ния необходимой помощи нуждающимся членам общества оио по-
средством действенных стимулов побуждает работоспособных зна-
чительно больше работать, чем это требовалось бы для их собст-
венных нужд. Этот избыток лишь отчасти изымается посредством
налогов (в противном случае пропали бы стимулы к работе), и
собранные налоги используются для поддержания жизни нерабо-
тоспособных (естественно, это лишь очень грубое представление ос-
новой идеи, детальное рассмотрение которой здесь неуместно).
Ю А Б Горстко
145
ная экономика также широко использует эти методы,
однако только на микроуровне отдельных предприятий,
фирм. Здесь они используются при оптимальном рас-
пределении ресурсов, оптимальном управлении склад-
скими запасами, при организации эффективного стати-
стического контроля за качеством продукции и т. д. В
этих областях планирования имеются такие сложные
проблемы, как, например, стохастический характер спро-
са, и следовательно, все известные математические ме-
тоды находят здесь свое место.
Исключением является сфера предпринимательства,
где управляют спрос и предложение, определяющие в ко-
нечном счете цены.
Следует отметить еще один случай, когда экономику
рассматривают как целое — речь идет об учете техни-
ческого прогресса. Макроэкономические модели, кроме
того, что они не отражают принцип конкуренции, обла-
дают еще одним недостатком — технический прогресс
в них учитывается весьма поверхностно. Уже беглого
взгляда на реалии достаточно, чтобы осознать, что его
внутреннюю динамику нельзя понять, если рассматри-
вать технический прогресс только как повышение произ-
водительности неизвестного происхождения. (Что, кста-
ти, принято в макроэкономическом моделировании.)
Здесь, вероятно, кроется еще одна очень сложная
проблема математического моделирования в экономике.
Мне кажется спорной надежда на единый, простираю-
щийся над всеми «целинными» границами рыночной эко-
номики темп прогресса, когда уже при первом взгляде
очевидно, что есть секторы экономики, выполняющие
передовые функции и вызывающие переворот в народ-
ном хозяйстве (например, микроэлектроника), а есть
такие, которые идут в хвосте прогресса и претерпевают
разве что только количественные изменения.
Методическая позиция, которую мы занимали до сих
пор, была бескомпромиссной: если уже математическое
моделирование в области рыночной экономики, то во
всяком случае такое, которое отражало бы принцип кон-
куренции и (или) саморегулирующие силы рынка в со-
ответствующих контурах управления.
Эти требования настолько полны противоречий, что
при современном состоянии экономической науки их не
удается удовлетворить. Экономисты должны и будут еще
долго довольствоваться имеющимися знаниями, пол-
146
ностью осознавая, что наука будет требоваться им во
всевозрастающем объеме, понимая, что модели — даже
с ошибками и Недостатками — до тех пор, пока их поль-
зователи действуют сознательно, все-таки лучше, чем
ничего. Так было всегда и будет впредь: люди не смогут
регулировать экономику, пока для этого не будут созда-
ны верные теории.
В этом месте читатель должен вспомнить сделанное
ранее замечание о том, что экономическое действие — это
всегда целенаправленное дейстие и последующее заме-
чание о понятии «полезность». Уже делался вывод о
том, что человеческое поведение имеет в экономике ре-
шающее значение и оно не всегда такое прозрачное и
строгое, как это предусмотрено в теории игр. Это, оче-
видно, нужно иметь в виду, когда выступаешь против
математически обоснованных результатов.
Выделяя какие-то из их множества, мы совершенно
не интересуемся взаимосвязями хозяйственных индиви-
дов, а только каждым в отдельности. С точки зрения
качества моделирования это определенная потеря, так
как при этом, конечно же, упрощается реальная ситуа-
ция. Все экономические субъекты разделяются на два
класса: производителей и потребителей. Будем предпо-
лагать, что каждый потребитель хочет максимизировать
свой — только для него одного определенный — выигрыш,
а каждый производитель — свой, равный доходу за вы-
четом издержек. К радости, от такой простой организа-
ции мира немедленно должна примешаться капля горе-
чи, вызванная тем, что в действительности все произво-
дители выступают в роли потребителей (кто усомнится
в этом?), что ведет к определенному логическому проти-
воречию. Но даже если опустить этот раздражающий
факт, то все равно нельзя быть полностью удовлетворен-
ным сделанным предположением. Из определения «полез-
ность» мы уже знаем, что ее количественная оценка
представляет большие трудности, а относительно гипо
тезы «максимизации выигрыша» следует признать, что
она даже в упрощенной форме не способна выдержать
эмпирических проверок. Последние показывают, что
предприниматель ранжирует свои цели подобно тому,
как лексика систематизирует слова (отсюда, кстати, и
термин «лексико-графический порядок»). Первейшая из
них — выжить (т. е. избежать конкуренции), очень часто
следующая по важности — это доля на рынке сбыта и
ю*
147
т. д. Конечно, о выигрыше можно говорить, но только
тогда, когда его максимизация соответствует заранее
ранжированным целям.
Делая выводы из микроэкономической теории, исходя
из предпосылки максимизации прибыли и выгоды, всег-
да следует иметь в виду, сколь большие упрощения
лежат в основе таких рассуждений.
Существующие многообразные способы поведения
людей, особенно в сфере потребления, ставят науку пе-
ред серьезной эмпирической проблемой. Если метод аг-
регирования различных способов поведения можно
считать известным, то давняя теоретическая проблема
анализа отношений обмена между потребителями оста-
ется практически вне рассмотрений. Хотя средства тео-
рии автоматов в сочетании с возможностями мощных вы-
числительных машин и позволяют осуществить имита-
цию, здесь еще только открываются совершенно новые
пути научно-технических исследований. Именно они,
возможно, позволят моделировать деятельность упомя-
нутых выше учреждений. Конечно, «фикцию» о произ-
вольной делимости созданных благ и непрерывности
функции полезности, принимаемую всегда, придется за-
менить на концепции, в большей степени приближенные
к действительности.
Математическое моделирование в предприниматель-
ской сфере сталкивается с меньшими трудностями, так
как множество мотиваций здесь уже, а их объяснимость
выше. Системы поддержки принятия решений облегча-
ют процесс принятия решений в этой сфере, экспертные
системы («интеллектуальные» компьютерные программы
с базой знаний из конкретной предметной области) под-
держивают эффективность в области производства и уп-
равления вплоть до сбыта. Известные алгоритмы допол-
няются методами обработки эвристических знаний. Мож~
но ожидать, что будущее принадлежит фабрике методов
«компьютерно-интегрированного производства», т. е. вы-
полнению под управлением компьютера всего цикла от
получения некоторого знания и,его развития вплоть до
расчетов и получения результатов. Инициативные хозя-
ева предприятий и инженеры, особенно при наличии хо-
роших междисциплинарных знаний, находят здесь прак-
тически безграничное поле для деятельности и при до-
статочно широко трактуемом понятии «математиче-
ское моделирование» — обширные области для практи-
ке
ческого применения знаний математики, логики и инфор-
матики.
Конечно, при этом возникают очень сложные пробле-
мы, над которыми работают во всем мире5.
Математическое моделирование в экономике в послед-
ние годы оказалось перед новой задачей — интеграци-
ей экономики с проблемой защиты окружающей среды,
проблемой, важность которой, безусловно, стала всемир-
ной. Я полагала, что централизованная плановая эконо-
мика, по крайней мере исходя из теоретической модели,
в меньшей степени сталкивается с этой проблемой, так
как охрана окружающей среды проявляется «только
лишь» в виде дополнительных ограничений в известной
оптимизационной задаче. Однако оказалось, что и там
речь идет о первых шагах в решении этой проблемы.
Задачи моделирования экологических последствий
экономической активности не зависят от вида обществен-
но-политической системы, они интернациональны и,
вероятно, являются областью применения имитационно-
го моделирования.
Во всех рыночно организованных экономиках — с не-
большими различиями — развивается механизм регу-
лирования с сетевой структурой (частично уже име-
ющийся), который законодательным образом определя-
ет дозволенные с точки зрения экологии рамки для раз-
вития экономики.
5 Я не знаю, ожидает ли от меня читатель, что я отклонюсь от
поставленной темы и займусь обсуждением вопроса сокращения
рабочих мест, вызванного этими новыми технологиями. Без претен-
зии на научное обоснование позволю себе высказать собственное
мнение по этому вопросу: на мой взгляд, производственная сфера
должна функционировать настолько эффективно, насколько это
ей позволяет техника. Рабочие места, которые при этом высвобож-
даются, должны перемещаться из сферы производства в внепро-
изводствениую сферу, где по части обслуживания стариков и де-
тей, больных и отсталых имеется достаточно работы. Я придержи-
ваюсь той точки зрения, что жизненное предназначение должно
состоять не только в производстве товаров, которые постоянно пре-
доставляет технический прогресс, но следует таким образом увели-
чивать богатство общества, чтобы и его слабейшим членам созда
вались благоприятные условия жизни.
149
С точки зрения моделирования это будет широкая
область для использования технологии экспертных сис-
тем. Интеграция обоих методов моделирования, по край-
ней мере в охране окружающей среды, неминуема (эк-
стремистская идея рыночного решения проблемы — пред-
ложить предпринимателям покупать «сертификаты на
загрязнение» и из года в год сокращать их предложе-
ние — остается только научно-дискуссионной, но не
сможет быть реализована, пожалуй, потому, что это
плохо сочеталось бы с уже имеющимся экологическим
правом).
На этом позволю себе закончить изложение проблем
математического моделирования в экономических науках,
которое почти во всех случаях было эскизным и которым
будут заниматься еще многие ученые.
Экономические науки являются частью обществен-
ных наук. Возможно, верно и противоположное, а, может
быть, истина лежит где-то посередине — я не хочу здесь
обсуждать это. Имеется единое мнение, что к обществен-
ным наукам, во всяком случае, относят все те, в которых
учитывается роль отношения индивида к обществу, и
наоборот.
Могут ли они вообще быть объектом моделирования?
Без сомнения, да, что можно легко подтвердить приме-
ром. Вернемся для этой цели еще раз к проблеме агре-
гирования.
Агрегировать — значит объединять. К агрегированию
обращаются тогда, когда хотят сделать заключение не
о единичном, а о группе, не об отдельном феномене, а о
массовом явлении. Случаи такого рода весьма много-
численны. Поэтому удивительно, что наука до сегодняш-
него дня может предложить мало убедительных спосо-
бов решения проблем агрегирования.
Бросающиеся в глаза примеры — это микро- и макро-
экономика. Первая занимается экономикой на индивиду-
альном уровне, последняя — национальной экономикой
в целом. Убедительный и теоретически удовлетворитель-
ный «мостик» между ними не найден по сей день.
Традиционный путь: просто просуммировать индиви-
дуальные величины в коллективные (как в случае с
ВНП). Он ведет к большим потерям информации (так
как рассматривается сумма, а не слагаемые) и не прини-
мает во внимание взаимодействие, что является особым
150
недостатком в системах, основанных на принципе кон-
куренции.
Хорошо обоснованный с научной точки зрения путь,
который начинается с введения точного определения по-
нятия «полезность» и с точностью исследующий агре-
гаты сначала из двух, затем трех и т. д. индивидов вмес-
те с их взаимодействием, т. е подход, основанный на
теории игр (см. выше), удовлетворяющий всем требова-
ниям науки, однако сразу же капитулирующий перед
чрезвычайной сложностью задачи.
Прогресс информатики, вероятно, когда-нибудь при-
несет больше ясности в эту предметную область, не-
удовлетворительное научное состояние которой ощуща-
ется в повседневной экономической политике.
То, что проблема агрегирования, т. е. обобщения
индивидуальных признаков, далека от полного решения,
легко проиллюстрировать. Если мы рассмотрим обще-
признанный механизм голосования для достижения кол-
лективного выбора на основе индивидуальных предпочте-
ний, вскоре обнаружится, что в кажущихся безобидны-
ми ситуациях могут проявляться неустранимые проти-
воречия.
Рассмотрим простой случай: три индивида должны
установить свои приоритеты из трех альтернатив Al, А2,
АЗ посредством голосования.
Итоговая ситуация может оказаться следующей: ин-
дивид 1 придерживается точки зрения, что альтернатива
1 лучше, чем альтернатива 2, а последняя лучше, чем
альтернатива 3, что графически можно представить та-
ким образом:
А1
А2
АЗ
Индивид 2 в тех же обозначениях и с тем же способом
представления расположил альтернативы следующим
образом:
151
АЗ
Al
А2
Индивид 3, наконец, расставил свои приоритеты так:
А2
АЗ
А1
Этот коллектив из трех человек может поставить
только следующие вопросы (ответы на которые немед-
ленно следуют из схематических рисунков):
1. Сколько индивидов считают А1 лучше, чем А2?
Ответ: 2 индивида (а именно 1-й и 2-й).
2. Сколько индивидов считают А2 лучше, чем АЗ?
Ответ: 2 индивида (а именно 1-й и 3-й).
3. Сколько индивидов считают АЗ лучше, чем А1?
Ответ: 2 индивида (а именно 2-й и 3-й).
Ответ на каждый из наших вопросов определяется
двумя из трех голосов. Объединяя ответы, мы получим
такое графическое представление ответов на вопросы
1, 2 и 3:
А1
А2
АЗ
А1
Этот результат, очевидно, содержит противоречие: А1
одновременно должна быть и лучше, и хуже, чем две дру-
гие возможные альтернативы. Группа из трех индиви-
дов в нашем примере оказалась не способна к выбору.
Ясно, что функционирование механизма «голосова-
ния» не такое тривиальное, как это принято полагать.
Вышеназванное противоречие было давно известно и
исследовалось математиком Кондорсетом, а позднее
152
под названием «парадокса Эрроу» побудило Кеннета
Эрроу (лауреата Нобелевской премии в области эконо-
мики) в 1951 году заняться детальным изучением осно-
ваний этого противоречия в его диссертации «Коллектив-
ный выбор и индивидуальные предпочтения». Он получил
следующие результаты.
Пусть известны ранжирования множества альтерна-
тив, выполненные каждым членом группы. Можно ли
что-нибудь сказать о групповом ранжировании этих аль-
тернатив? Эрроу сформулировал ряд аксиом, описыва-
ющих агрегирование индивидуальных предпочтений. В
основе аксиоматики лежит предположение о демокра-
тичности поведения индивидов, однако оказалось, что это
предложение несовместимо с существованием проце-
дуры, позволяющей объединить индивидуальные пред-
почтения в итоговое групповое.
Этот результат привлек необычное внимание и заста-
вил задуматься над тем, что же означает такой факт,
когда государство осуществляет то или иное меропри-
ятие, исходя из так называемого блага общества.
Были предприняты многочисленные попытки посред-
ством изменения аксиом Эрроу избежать такого ре-
зультата. Это удается, но всякий раз вводимые новые ак-
сиомы характеризовались «меньшей демократичностью»,
чем у Эрроу.
Поскольку общественные науки в целом мне менее
близки, чем экономика, я хотела бы заключить свои за-
метки, изобилующие многочисленными ссылками, тем,
что упомяну о перспективном, на мой взгляд, использова-
нии теории автоматов и теории графов. Возможно, имен-
но с их помощью моделирование в общественных нау-
ках придет к действительному успеху.
В заключение хочу сказать, что буду благодарна каж-
дому читателю, который сообщит мне о своих, возмож-
но, иных взглядах на рыночную экономику.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, мы обсудили роль математического моделирова-
ния в современной науке, познакомились с конкретными
моделями типов У читателя мог возникнуть вполне ес-
тественный вопрос: почему рассматривались именно эти,
а не другие модели? Ответ на него таков. Все эти модели
достаточно просты, а моделируемые ситуации хорошо по-
нятны на уровне здравого смысла и человеку, не имеюще-
му специальной подготовки. На мой взгляд, они вполне
подходят для первоначального изучения.
Если вы заинтересовались вопросами математическо-
го моделирования настолько, что хотите узнать о нем
побольше, хотите, быть может, использовать его впослед-
ствии в своей профессиональной деятельности, то поз-
вольте порекомендовать вам познакомиться уже с бо-
лее специальной литературой:
ЛИТЕРАТУРА
1. Канторович Л. В., ГорсткоА. Б. Опти-
мальные решения в экономике. —М.: Наука, 1972^
2. В а г н е р Г. Основы исследования операций. —
Т. I—III. — М.: Мир, 1973.
3. Таха X. Введение в исследование операций. —
Т. I—II. — М.: Мир, 1985.
4. Ч е р н о в Г., Мозес Л. Элементарная теория
статистических решений. —М.: Сов. радио, 1962-
Безусловно, при изучении этой литературы вам ветре*
тится уже больше трудностей. Преодолевая их, помните,
что «дорогу осилит удущий>.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................................... 3
Глава 1. От конкретного к абстрактному..................... 4
§ 1. Несколько общих соображений...................... 4
§ 2. Зачем нужны модели?............................. 10
§ 3. Откуда берутся модели?........................... 14
§ 4. Как ведутся модельные исследования.............. 17
Глава 2. Дескриптивные модели.............................. 19
§ 1. Простейшие упругие колебания.................... 19
§ 2. Динамика популяций...........................21
§ 3. Простейшая модель эпидемии...................24
§ 4. Межотраслевой баланс ........................28
§ 5. На кончике пера ... 33
Глава 3. Оптимизационные модели.......................35
§ 1. Математика и экономика.......................36
§ 2. Какие продукты выпускать? ...................40
§ 3. Рациональный раскрой.........................47
§ 4. Как прикрепить потребителей к поставщикам? ... 54
§ 5. Размещение предприятий.......................62
§ 6. Большое предприятие или маленькое?...............68
§ 7. Задача о ближайшем соседе........................71
§ 8. Сетевое планирование.........................73
§ 9. Можно ли уменьшить очередь?......................80
§ 10. Управление запасами.............................82
§ 11. Что раньше делать?..............................86
§ 12. Снова поговорим о размещении производства ... 88
Глава 4. Многокритериальные модели......................97
§ 1. Как решают многокритериальные задачи .... 98
§ 2. Если все так хорошо, то почему же так плохо? . . 101
156
Глава 5. Игровые модели ....................................ЮЗ
§ 1. Игры с нулевой суммой...........................103
§ 2. Игры с природой ................................107
Глава 6. Имитационное моделирование .... ... 117
§ 1. Общие свойства ... 118
§ 2. Как управлять водохранилищем? ..................124
§ 3. О практическом использовании имитационных мо-
делей ................................................131
Глава 7. Проблемы математического моделирования в об*
ласти экономики и в общественных науках . . . 133
Заключение .............................................. .154
Литература .... ...............................155
Научно-популярное издание
0
ПОЗНАКОМЬТЕСЬ С МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ
Главный отраслевой редактор А. Нелюбов
Редактор Я. Феоктистова
Мл. редактор Н. Карячкина
Художник А. Григорьев
Худож. редактор М. Бабичева
Техн, редактор Н. Клецкая
Корректор В. Капочкина
ИБ № 10614
Сдано в набор 05.04.90. Подписано к нечатн 12.12.90,
Формат бумаги 84X108'/),. Бумага ни.-журнальная.
Гарнитура «Литературная». Печать офсетная.
Усл. неч. л. 8.40. Усл. кр.-отт. 8,72. Уч.-нэд. л. 7,68.
Тираж 50 000 »кз. Заказ 6050. Цена 1 р.
Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва,
Центр, проезд Серова, д. 4. Индекс заказа 916701
Типография издательства «Коммунист»,
410002, г. Саратов, ул. Волжская. 28
ДОРОГИЕ ЧИТАТЕЛИ!
В 1991 году в брошюрах серии «Науки о Зем-
ле» будут публиковаться карты движения пла-
нет по знакам зодиака (каждый знак имеет
свою управляющую планету). По ним вы уз-
наете, каким будет для вас 1991 год и 1992
год. 12 астрополей (число знаков зодиака) от-
ражают важнейшие сферы жизнедеятельнос-
ти человека, события и явления в этих сферах.
Мы надеемся, что эти материалы помогут
вам расширить представления о культуре и
преодолеть ту неосведомленность, которой
питается нездоровый интерес к оккультизму.
Раздел будет постоянно вести
доктор химических наук,
лауреат Государственной премии СССР
Феликс Казимирович ВЕЛИЧКО
Подписывайтесь на серию «Науки о Земле» I
Брошюры этой серии в розничную продажу
не поступают
Подписка на брошюры ежеквартальная,
принимается в любом отделении
«Союзпечати».
Подписной индекс 70076
Все мы хотим побольше узнать об ог-
ромном космическом доме, в котором
живем, — о нашей прекрасной голубой
планете Земля. Вместе с авторами серии
«Науки о Земле» читатели будут подни-
маться на заоблачные горные хребты и
опускаться в океанские глубины, узнают
об эволюции зарождения полезных иско-
паемых, о природных катастрофах, о
встречах с неведомыми до недавнего
времени животными. Наши авторы ярко
и доступно расскажут о сложных и мно-
гообразных проблемах сегодняшней гео-
графии, геологии, океанологии, физики
Земли.
Брошюры серии — Ваш надежный лоц-
ман в безбрежном океане знаний!
Особое внимание будет уделено тому,
как сохранить богатства родной приро-
ды, чистоту нашей Земли.
В ближайшее время выйдут следую-
щие брошюры:
СИМВОЛ БОГОВ, БОГАТСТВА И ВЛАСТИ
(О ЗОЛОТЕ)
В МОРСКИХ ГЛУБИНАХ (ОБ ИССЛЕДО-
ВАНИЯХ НА ГЛУБОКОВОДНЫХ ПОД-
ВОДНЫХ АППАРАТАХ)
МИФИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЮВЕЛИРНЫХ
КАМНЕЙ
ДВИЖУТСЯ ЛИ МАТЕРИКИ? (ОБ ИСТО-
РИИ ДИСКУССИИ «ФИКСИЗМ-МОБИ-
ЛИЗМ»)
ГЛОБАЛЬНЫЕ ЭКОЛОГИЧЕСКИЕ ПРО-
БЛЕМЫ
ЗЕМЛЯ ВО ВЛАСТИ КОСМОСА
ПОИСКИ ЗОЛОТА — ЦЕЛЬ МОЕЙ ЖИЗ-
НИ
S"'3 ’
•гл