Автор: Рябушко А.П.  

Теги: математика   высшая математика  

ISBN: 5-339-00328-0

Год: 1991

Текст
                    СБОРНИК
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ
ЗАДАНИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
В трех частях
Под общей редакцией
доктора физико-математических наук,
профессора А. П. Рябушко
Часть 3
Допущено Министерством
народного образования БССР
в качестве учебного пособия
для студентов инженерно-технических
специальностей вузов
Минск
«Вышэйшая школа»
1991


ББК 22.11я73 С23 УДК 51 @76.1) @75.8) Авторы: А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть Рецензенты: кафедра высшей математики Московского энерге- энергетического института; зав. кафедрой высшей математики Минского радио- радиотехнического института, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас Сборник индивидуальных заданий по высшей С23 математике: Учеб. пособие. В 3 ч. Ч.З/ А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть; Под общ. ред. А. П. Рябушко.— Мн.: Выш. шк., 1991.—288 с: ил. 15ВЫ 5-339-00328-0. Книга является составной частью комплекса учебных посо- пособий по курсу высшей математики, направленных на развитие и активизацию самостоятельной работы студентов вузов. Содер- Содержатся теоретические сведения и наборы задач для аудиторных и индивидуальных заданий по рядам, кратным и криволинейным интегралам и элементам теории поля. Для студентов инженерно-технических специальностей вузов. 1602010000—041 С 9-91 ББК 22.11я73 М304@3)—91 I8ВN 5-339-00328-0 (ч. 3) I8ВN 5-339-00483-Х © Коллектив авторов, 1991
ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга является третьей частью комплекса учебных пособий под общим названием «Сборник индивидуальных за- заданий по высшей математике», написанно- написанного в соответствии с действующими про- программами курса высшей математики в объеме 380—450 часов для инженерно-тех- инженерно-технических специальностей вузов. Этот комп- комплекс также может быть использован в ву- вузах других профилей, в которых количест- количество часов, отведенное на изучение высшей математики, значительно меньше. (Для этого из предлагаемого материала следует сделать необходимую выборку.) Кроме того, он вполне доступен для студентов вечерних и заочных отделений вузов. Настоящий комплекс пособий адресо- адресован преподавателям и студентам и пред- предназначен для проведения практических занятий, самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи индивидуаль- индивидуальных домашних заданий по всем разделам курса высшей математики. В третьей части «Сборника индиви- индивидуальных заданий по высшей математике» содержится материал по рядам, кратным и криволинейным интегралам и элементам теории поля. Ее структура .аналогична
структуре предыдущих частей, а нумера- нумерация глав, параграфов и рисунков продол- продолжает соответствующую нумерацию. Авторы выражают искреннюю благо- благодарность рецензентам — коллективу ка- кафедры высшей математики Московского энергетического института, возглавляемой членом-корреспондентом АН СССР, докто- доктором физико-математических наук, профес- профессором С. И. Похожаевым, и заведующему кафедрой высшей математики Минского радиотехнического института, доктору физико-математических наук, профессору Л. А. Черкасу, а также сотрудникам этих кафедр кандидатам физико-математиче- физико-математических наук, доцентам Л. А. Кузнецову, П. А. Шмелеву, А. А. Карпуку — за ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению книги. Все отзывы и пожелания просьба при- присылать по адресу: 220048, Минск, проспект Машерова, 11, издательство «Вышэйшая школа». Авторы
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Охарактеризуем структуру пособия, методику его ис- использования, организацию проверки и оценки знаний, навыков и умений студентов. Весь практический материал по курсу высшей мате- математики разделен на главы, в каждой из которых даются необходимые теоретические сведения (основные опреде- определения, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач и выполнении упражнений. Изложение этих сведений иллюстрируется решенными примерами. (Начало решения примеров обозначается символом ►, а конец— •<[.) Затем даются подборки задач с ответами для всех практических аудиторных занятий (АЗ) и для само- самостоятельных (миниконтрольных) работ на 10—15 минут во время этих занятий. И, наконец, приводятся недель- недельные индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и сопровождается решением типового варианта. Часть задач из ИДЗ снаб- снабжена ответами. В конце каждой главы предлагаются дополнительные задачи повышенной трудности. В приложении приведены двухчасовые контрольные работы (каждая — по 30 вариантов) по важнейшим те- темам курса. Нумерация АЗ сквозная и состоит из двух чисел: первое из них указывает на главу, а второе — на поряд- порядковый номер АЗ в этой главе. Например, шифр АЗ-12.1 означает, что АЗ относится к двенадцатой главе и явля- является первым по счету. В третьей части пособия содер- содержится 21 АЗ и 10 ИДЗ. Для ИДЗ также принята нумерация по главам. На- Например, шифр ИДЗ-12.2 означает, что ИДЗ осносится к двенадцатой главе и является вторым. Внутри каждого ИДЗ принята следующая нумерация: первое число озна- означает номер задачи в данном задании, а второе — номер варианта. Таким образом, шифр ИДЗ-12.2:16 означает, что студент должен выполнять 16-й вариант из ИДЗ-12.2,
который содержит задачи 1.16, 2.16, 3.16 и т. д. При вы- выдаче ИДЗ студентам номера выполняемых вариантов можно менять от задания к заданию по какой-либо си- системе или случайным образом. Более того, можно при выдаче ИДЗ любому студенту составить его вариант, ком- комбинируя однотипные задачи из разных вариантов. На- Например, шифр ИДЗ-12.2:1.2; 2.4; 3.6; 4.1; 5.15 означает, что студенту следует решать в ИДЗ-12.2 первую задачу из варияита 2, вторую — из варианта 4, третью — из варианта 6, четвертую — из варианта 1 и пятую — из варианта 15. Такой комбинированный метод выдачи ИДЗ позволяет из 30 вариантов получить большое количество новых вариантов. ; Внедрение ИДЗ в учебный процесс некоторых втузов (Белорусский институт механизации сельского хозяйства, Белорусский политехнический институт, Дальневосточный политехнический институт и др.) показало, что целесо- целесообразнее выдавать ИДЗ не после каждого АЗ (которых, как правило, два в неделю), а одно недельное ИДЗ, включающее в себя основной материал двух АЗ данной недели. Дадим некоторые общие рекомендации по организа- организации работы студентов в соответствии с настоящим по- пособием. 1. В вузе студенческие группы по 25 человек, прово- проводятся два АЗ в неделю, планируются еженедельные не- необязательные для посещения студентами консультации, выдаются недельные ИДЗ. При этих условиях для систе- систематического контроля с выставлением оценок, указанием ошибок и путей их исправления могут быть использованы выдаваемые каждому преподавателю матрицы ответов и банк листов решений, которые кафедра заготавливает для ИДЗ (студентам они не выдаются). Если матрицы ответов составляются для всех задач из ИДЗ, то листы решений разрабатываются только для тех задач и ва- вариантов, где важно проверить правильность выбора ме- метода, последовательности действий, навыков и умений при вычислениях. Кафедра определяет, для каких ИДЗ нужны листы решений. Листы решений (один вариант располагается на одном листе) используются при само- самоконтроле правильности выполнения заданий студентами, при взаимном студенческом контроле, а чаще при комби- комбинированном контроле: преподаватель проверяет лишь правильность выбора метода, а студент по листу реше- решений — свои вычисления. Эти методы позволяют проверить
ИДЗ 25 студентов за 15—20 минут с выставлением оце- оценок в журнал. 2. Студенческие группы в вузе по 15 человек, прово- проводятся два АЗ в неделю, в расписание для каждой группы включены обязательные два часа в неделю самоподго- самоподготовки под контролем преподавателя. При этих условиях (которые созданы, например, в Белорусском институте механизации сельского хозяйства) организация индиви- индивидуальной, самостоятельной, творческой работы студентов, оперативного контроля за качеством этой работы значи- значительно улучшается. Рекомендованные выше методы при- пригодны и в данном случае, однако появляются новые воз- возможности. На АЗ быстрее проверяются и оцениваются ИДЗ, во время обязательной самоподготовки можно проконтролировать проработку теории и решение ИДЗ, выставить оценки части студентов, принять задолжен- задолженности по ИДЗ у отстающих. Накапливание большого количества оценок за ИДЗ, самостоятельные и контрольные работы в аудитории позволяет контролировать учебный процесс, управлять им, оценивать качество усвоения изучаемого мате- материала. Все это дает возможность отказаться от традицион- традиционного итогового семестрового (годового) экзамена по ма- материалу всего семестра (учебного года) и ввести так называемый блочно-цикловой (модульно-цикловой) метод оценки знаний и навыков студентов, состоящий в следую- следующем. Материал семестра (учебного года) разбивается на блоки (модули), по каждому из которых выполняются АЗ, ИДЗ и в конце каждого цикла двухчасовая письмен- письменная коллоквиум-контрольная работа, в которую входят 2—3 теоретических вопроса и 5—6 задач. Учет оценок по АЗ, ИДЗ и коллоквиуму-контрольной позволяет вывести объективную общую оценку за каждый блок (модуль) и итоговую оценку по всем блокам (модулям) семестра (учебного года). Подобный метод внедряется, например, в Белорусском институте механизации сельского хозяй- хозяйства. В заключение отметим, что пособие в основном ориен- ориентировано на студента средних способностей, и усвоение содержащегося в нем материала гарантирует удовлетво- удовлетворительные и хорошие знания по курсу высшей математики. Для одаренных и отлично успевающих студентов необхо- необходима подготовка заданий повышенной сложности (инди- (индивидуальный подход в обучении!) с перспективными по-
ощрительными мерами. Например, можно разработать для таких студентов специальные задания на весь семестр, включающие задачи настоящего пособия и дополнитель- дополнительные более сложные задачи и теоретические упражнения (для этой цели, в частности, предназначены дополнитель- дополнительные задачи в конце каждой главы). Преподаватель может выдать эти задания в начале семестра, установить график их выполнения под своим контролем, разрешить свобод- свободное посещение лекционных или практических занятий по высшей математике и в случае успешной работы выста- выставить отличную оценку до экзаменационной сессии.
12. РЯДЫ 12.1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. ПРИЗНАКИ СХОДИМО ТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ Выражение вида . щ + и2 + ... + ип + ...= 2 и„, ^ A2.1) п= I где и„ Е К, называется числовым рядом. Числа щ, иг, ..., и„, ... назы- называются членами ряда, число и„ — общим_членом ряда. Сум-мы 51 = щ, 52 = Щ + и2, .... 8„ = и, + и2 + ... + и„ называются частичными суммами, а 5„ — п-й частичной суммой ряда A2.1). Если Пт 5„ существует и авен числу 5, т. е. 5 = Пт 5„, то ряд A2.1) называется сходящимся, а 5 — его суммой. Если Нт 5„ не существует (в частности, бесконечен), то ряд A2.1) называется расходящимся. Сумма и„+к называется п-м остатком ряда A2.1) Если ряд A2.1) сходится то Пт г„= Пт E — 5„) = 0. Пример 1. Дан ряд > —; -г-. Установить сходимость этого /_, п(п + 1) ряда и найти его сумму ► Запишем п-ю частичную сумму данного ряда и преобразуем ее: 1 I ' I I ' 1-2 "*" 2-3 "г-"г „(„+ 1) 1оскольку 5 = Пт 5„ = Пт ( 1 ) = 1, то данный ряд сходится и его сумма 5 = 1. ^ Ряд вида а + а<? + а<?2 + ... -\-адп~1 + ... A2.2) 9
представляет собой сумму членов геометрической прогрессии со знаме- знаменателем </■ Известно, что при |</| < 1 ряд A2.2) сходится и его сумма 5 = а/A —</). Если |</| > 1, то ряд A2.2) расходится. Теорема 1 (необходимый признак сходимости ряда). Если числовой ряд A2.1) сходится, то ||ты„ = 0. Обратное утверждение неверно. Например, в гармонически }яде 11 = I общий член стремится к нулю, однако ряд расходится. Теорема 2 (достаточный признак расходимости ряда). Если 1нп и„ = а Ф 0. то ряд A2.1) расходится. ^^ Сходимость или расходимость числового ряда не нарушается, если в ием отбросить любое конечное число членов Но его сумма, если она существует, при этом изменяется. Пример 2. Исследовать на сходимость [>я у ► Запишем общий член данного Тогда 1|гп«-= Нт = — ф 0. т. е. ряд расходится. <4 Рассмотрим некоторые достаточные признаки сходимости число- числовых рядов с положительными членами. Теорема 3 п изнаки сравнения). Если даны два ряда «1 -г-«а+ ... + «„ + ..., A2.3) V^+V■^ + ...+ V„ + ... A2.4) и для всех п 3> Пц выполняются неравенства 0 < и„ ^ и„, то: 1) из сходимости ряда A2.4) следует сходимость ряда A2.3); 2) из расходимости ряда A2.3) следует расходимость ряда A2.4). В качестве рядов для сравнения целесообразно выбирать ряд, оедставляющнй сумму членов геометрической прогрессии 5] ад", ^1 также гармонический (расходящийся) ряд. Пример 3. Доказать сходимость ряда I и • 3" 1 • 3 2 • 3- и ■ 3" ' ^' 10
► Для установления сходимости ряда A) воспользуемся нера венством ",< = < (п > 2) п ■ 3" 3" оо Г I 1 и сравним данный ряд со сходящимся рядом > —, ц = — < 1. / ' О О 11=1 ). РЯД A) 1-* 11=1 Согласно признаку сравнения (см. теорему 3, п. 1), ряд A) сходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд Ь Так как —==^= > — для любого /; ^э 2, то члены данного I ■• _ | п ряда больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда. Значит, исходный ряд расходится. ^ Теорема 4 (признак Д'Аламбера). Пусть для ряда A2.1) и„ > О (начиная с некоторого п = пй) и существует предел 1П1 я «-►оо "л Тогда: 1) яры д < 1 данный ряд сходится; 2) при д > 1 ряс) расходится. При 9=1 признак Д'Аламбера не дает ответа на вопрос о схо- сходимости млн расходимости ряда: он может м сходиться, и расходиться. В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков. Пример 5. Исследовать на сходимость ряд у я1' Ь 2-' /1= I ^ Поскольку п., = _ , и„ | ] = , 1]гп ; гГ-2" •= -!- Пш () + —) = — <1 2«^оо\ «/ 2 Следовательно, данный ряд сходится. ^ Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если, начиная с некото- некоторого п = по, и„ > 0 и \'\т ~у«0 = ц, то при ц < 1 ряд A2.1) сходитс.ч, а при ц > 1 расходится. При д=1 радикальный признак Кошн неприменим. Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ) [ ; 1 /-г V 8л - 1 ) 11= I ► Воспользуемся радикальным признаком Коши: ,. л // н + 1 \" ,. и + ] ,. 1 + 1//1 1 Следовательно, данный ряд сходится. ^ 11
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть члены ряда A2.1) монотонно убывают и функция # = /(х), непрерывная при х^а^\, такова, что /(п) = ип. Тогда ряд A2.1) и интеграл ) }(х)ёх одновремен- а но сходятся или расходятся. Например, поскольку \—ёх (а Е К) сходится при »>1 и расхо- 1 дится при а ^ 1, то ряд Дирихле ) — сходится при а> 1 и расхо- 1—1 П дится при а. ^ 1. Сходимость многих рядов можно исследовать путем сравнения их с соответствующим рядом Дирихле. Пример 7. Исследовать на сходимость ряд у —- 7~- 1-1 (П +\) «1=1 2х ^ Положим, что /(х) = —^ 5-. Эта функция удовлетворяет (х ~Ь ') всем требованиям интегрального признака Коши. Тогда несобственный интеграл в 1 I I т. е. сходится, а значит, данный ряд также сходится. ^ Числовой ряд A2.1), члены ип которого после любого номера N (п > /V) имеют разные знаки, называется знакопеременным. Если ряд |и.1 + \иг\ +... + |и„1 + ... A2.5) сходится, то ряд A2.1) также сходится (это легко доказывается) и на- называется абсолютно сходящимся. Если ряд A2.5) расходится, а ряд A2.1) сходится, то ряд A2.1) называется условно (неабсолютно) схо- сходящимся. При исследовании ряда на абсолютную сходимость используются признаки сходимости с положительными членами рядов. Пример 8. Исследовать на сходимость ряд > —(а (| Р). /—• п1 и= I ^ Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, т. е. ряд ) ——^— (а 6 К). Так как |зт па\ < 1, то 1—1 И п=| члены исходного ряда не больше членов ряда Дирихле N — (а = 2), 1-1 п- 12
который, как известно, сходится. Следовательно, на основании при- признака сравнениям (см. теорему 3, п. 1) данный ряд сходится абсо- абсолютно. ^ Ряд вида м, — м2 + из — ...+(- 1)"-'и„ + ..., A2.6) где и„ ^ 0, называется знакочередующимся рядом. Теорема 7 (признак Лейбница). Если для знакочередующегося ряда A2.6) и\ > иг > ... > и„ >. ... и Пт и„ = 0, го ряд A2.6) сходится и его сумма 8 удовлетворяет условию 0 < 5 < и>. Следствие. Остаток г„ ряда A2.6) всегда удовлетворяет условию \г„\ < и„ + |. Например, ряд сходится, так как выполнены условия признака Лейбница. Он сходится условно, так как ряд 1 + — -|—— -(- ■■■ + — + — расходится. 2. о И Абсолютно сходящиеся ряды (в отличие от условно сходящихся) обладают свойствами сумм конечного числа слагаемых (например, от перемены мест слагаемых сумма не меняется). Верна следующая Теорема 8. Если числовой ряд сходится условно, то, задав любое число а, можно так переставить члены ряда, что его сумма окажется равной а. Более того, можно так переставить члены условно сходяще- сходящегося ряда, что ряд, полученный после перестановки, будет расходя- расходящимся. Проиллюстрируем теорему 8 на примере. Рассмотрим условно схо- сходящийся ряд Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного члена стояли два отрицательных. Получим 1 2 1 4 ^ 1 . 1 *~ 3 1 1 6 1 8 1 1 1 5 1 10 1 1 12 '26-1 46-2 46 ' - Сложим теперь каждый положительный член с последующим отри- отрицательным: _!__± , _!___!_ , ±_±_ , ._! Л. = 2 4 "*" 6 8 "*" 10 12 "•" '■■"'" 46 — 2 46 "*" "" ""6—1 26 "•" '") 2 ' Очевидно, что сумма исходного ряда уменьшилась вдвое! 13
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд и= I ^ Так как члены данного знакочередующегося ряда монотонно убывают и Нт = 0, то, согласно признаку Лейбница, ряд л^оо я(я + 1) A) сходится. Рассмотрим теперь ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда A), т. е. ряд п(п+ 1)' B) общий член которого задается функцией /(*)=— при х = п. х(х -\- I) Найдем [ 2х+ 1 ,•{/•, I \. \ ;—-г-ах= Нт \( ]с1х = ) х(х+ 1) в^ооЗ\х х+1/ I = Пт Aп|х| + 1п|х+ II) |*= Нт AпВ(б+ 1)-1п2)= оо. Следовательно, ряд B) расходится, и поэтому ряд A) сходится условно. ^ Пример 10. Вычислить сумму ряда- ) Т+ гг(т) +зг(т с точностью 6 = 0,001. ► Всякая л-я частичная сумма сходящегося ряда является при- приближением к его сумме с точностью, не превосходящей абсолютной величины остатка этого ряда. Выясним, при каком количестве членов л-й частичной суммы выполняется неравенство 1л,| ^ б. Для данного ряда Так как (п + 1)! < Bл + 2)! < Bл + 3)! < ..., то ( () У+(у) +-)= (п+1), (у)' Путем подбора легко найти, что г„ < ———гг-< 0,001 при л = 4. Сле- 120 • \Ь довательно, Сумма данного ряда (с точностью 6 = 0,001) 14
Пример П. Вычислить сумму ряда п2 ■ 2" п — 1 с точностью 6 = 0,001. ^ Так как данный ряд — знакочередующийся, сходящийся, то величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также является знакочередующимся рядом, не превосходит первого отбро- отброшенного члена (на основании следствия из признака Лейбница). Нуж- Нужное число членов п найдем путем подбора из неравенства —-—— ^ ^ 0,001. При я = 6 последнее неравенство выполняется, значит, если отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая точность будет обеспечена. Следовательно, АЗ-12.1 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму: а) V ! —; б) V 5" + 2". [_, (Зи —2)(Зя+1) /_, 10" и = I я = I {Ответ: а) 1/3; Ь) 5/4.) 2. Исследовать на сходимость следующие ряды: а> И — I в) У 3" ; г) V ±(±±1\'' Ь 2"(я + 2) ' {_, 2" V я + 1 / и — I н — 1 3. Доказать, что: а) Пт —=0; б) Пт Щ- = 0 при а > 1. 4. С помощью интегрального признака Коши иссле- исследовать на сходимость следующие ряды: 15
п 1п2 п = 2 Самостоятельная работа оо 1. 1. Доказать сходимость ряда V ——п— и найти / 2 15 п= I его сумму. (Ответ: 3/4) оо 2. Исследовать на сходимость ряд ) -^—^—. и | 1^ 2. 1. Доказать сходимость ряда V _ ' найти его сумму. (Ответ: 1/2.) оо 2. Исследовать на сходимость ряд V —^—-. п = 1 оо 3. 1. Доказать сходимость ряда V — —-——— и / , [дП — I) [оП -\- 1) п= 1 кайти его сумму. (Ответ: 1/6.) оо 2. Исследовать на сходимость ряд ) ——. / , 3"п! АЗ-12.2 1. Исследовать на условную и абсолютную сходимо- сходимости следующие ряды: б> / 6п + 5 П — 9 {__, ЬП -\- О 16
у со5Bпа) У п2+ 1 ' /-, л-1пл 2. Составить разность двух расходящихся рядов V — и V — и исследовать на сходимость получен- п= I ный ряд. 3. Найти сумму ряда V -^-т с точностью 6 = 0,01. п = \ (Ответ. 0,58.) 4. Сколько первых членов ряда нужно взять, чтобы их сумма отличалась от суммы ряда на величину, мень- меньшую, чем 10~6: а) у(_1)"-'^; б) У(-1)"-'±? 1 « 1 П п = I и = I 3; б) п = 106 {Ответ: а) п = Ю3; б) п = 106.) Самостоятельная работа 1. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходи- мости ряд У(—1)"—Л—• 2. Найти сумму ряда ) (—1) -у '—, ограни- 1—1 я + I 11= I чившись тремя его членами. Оценить абсолютную погреш- погрешность вычислений. (Ответ: 5 = 0,266, 6 = 0,01.) 2. 1. Исследовать на условную и абсолютную сходи- мости ряд У(-1)"-^1-- оо 2. Найти сумму ряда V (— 1)"~' ^ '7^ , ограни- 1—1 \п ')■ п = 1 чившись тремя его первыми членами. Оценить абсолют- абсолютную погрешность вычислений. (Ответ: 5 = 0,56, 6 = 0,1.) 17
для всех *€ А то ряд A2.7) называется равномерно сходящимся в Г). В случае равномерной сходимости функционального ряда его я-я ча- частичная сумма является приближением суммы ряда с одной и той же точностью для всех х ^ О. Функциональный ряд A2.7) называется мажорируемым в некоторой области О, если существует сходящийся числовой ряд оо ^Ш 2 о„ (а„>0), 0 1 A2.9) такой, что для всех х^й справедливы неравенства: Ряд A2.9) называется мажорантным (мажо^ируюш|им }ядом. Например, функциональный ряд сов х . сов 2х соз Зх мажорируется рядом 1 -| -\ ^ -+ ... -|—- + .. , так как |со& пх\ ^ 1. Данный функциональный ряд равномерно сходится на всей оси Ох, поскольку он мажорируется при любом х. Равномерно сходящиеся ря ы обла'ают некоторыми обшими свой- свойствами: 1) если члены равномерно сходящегося ряда непрерывны на не- некотором отрезке, то его сумма также непрерывна на этом отрезке; 2) если члены ряда A2.7) непрерывны на отрезке [а; Ь] и ряд равномерно сходится на этом отрезк то в случае, когда [а; р}сг|а; Ь], Р ~ Р \5(х)ах= 2 \ и„(х)йх, а 1 —-1 а где 5(х) — сумма ряда A2.7); 3) если ряд A2.7), составленный из функций, имеющих непре- непрерывные производные на отрезке [а; Ь], сходится на этом отрезке к сумме 5(х) и ряд и'(х)-\- и1(х)-\- ... + и'„{х) + ... равномерно сходится на том же отрезке, то и[{х + иЦх) + ... + и'„(х) + ... = 5'(х). Степенным рядом_называется функциональный ряд вида оо 2 ап(х - хо)\ где по, п], а2, ..., а„, ... — постоянные числа, называемые коэффициен- коэффициентами ряда, хи — фиксированное число. При хо = 0 получаем степенной ряд вида оо 2 а„х". A2.10) Теорема 1 (Абеля). 1. Если степенной ряд A2.10) сходится при некотором значении х = Х\ =^= 0, то он абсолютно сходится при всяком значении х, удовлетворяющем условию \х\ < \х\\. 19
2. Если степенной ряд A2.10) расходится при некотором значении х = хг, то он расходится при любых х, для которых \х\ >» |хг1. Неотрицательное число Я, такое, что при всех \х\ <К степенной ряд A2.10) сходится, а при всех |х| >К — расходится, называется радиусом сходимости ряда. Интервал (— Я; Я) называется интервалом сходимости ряда A2.10). Радиус сходимости степенного ряда A2.10) определяется формулой = Пт Оп+1 = Нт —■——, A2.11) если, начиная с некоторого п ^ «о. все с =^= 0. (Предполагается, что указанные пределы существуют или бесконечны.) Формулы A2.11) легко получить, воспользовавшись соответственно признаком Д'Алам- бера или радикальным признаком Коши. °° 2" • х" Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда 2 —• = Нт Значит, степенной ряд сходится в интервале (— 3/2; 3/2). На концах этого интервала ряд может сходиться или расходиться. В нашем при- примере при х= —3/2 данный ряд принимает вид \ (—1)"——. Он оо сходится по признаку Лейбница. При х = 3/2 получаем ряд > ——, „г, V" члены которого больше соответствующих членов расходящегося гармо- гармонического ряда. Значит, при х = 3/2 степенной ряд расходится. Следо- Следовательно, областью сходимости исходного степенного ряда является полуинтервал [ — 3/2; 3/2). <4 Если дан ряд вида Е а„(х — хо)", то его радиус сходимости К 11=0 определяется также по формуле A2.11), а интервалом сходимости будет интервал с центром в точке х=хо: (хо — К; хо -(- Я)- Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда 20
Найдем радиус сходимости данного ряда: '2л+1л/л~ Я = Пт ( т. е. ряд сходится в интервале @; 4). При х = 0 получаем ряд оо . который расходится, так как его члены больше членов V 1 расходящегося гармонического ряда, а при х = 4— ряд } (—1)"— ^ Л/п+1 гс =0 VI где Нгп— = 0, сходящийся по признаку Лейбница. Область "^°° л[п + 1 сходимости данного ряда @; 4]. ^ оо Пример 4. Найти область сходимости ряда } —-. ,1=0 ^ Находим радиус сходимости ряда: Я= Нт (—г: -——г-^-^= 1т (и + 1)= оо. Следовательно, данный ряд сходится на всей числовой прямой. Отсюда, в частности, с учетом необходимого признака сходимости ряда (см. х" § 12.1, теорему 1) получаем, что Мгп —- =0 для любого конечного х. <4 п~+ оо П ■ На всяком отрезке [а; C], лежащем внутри интервала сходимости, степенной ряд сходится равномерно, поэтому его сумма в интервале сходимости является непрерывной функцией. Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать в их интервалах сходи- сходимости. Радиус сходимости при этом не изменяется. Пример 5. Найти сумму ряда х3 х'' х2" ^ При |х| < 1 данный ряд сходится (так как #= 1), значит, его можно почленно дифференцировать в интервале сходимости. Обозначив сумму ряда через 5(х), имеем Так как |х| < 1, полученный ряд есть сумма членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем д = х2 и его сумма З'(х) = = 5"- Проинтегрировав ряд из производных, найдем сумму дан- 1 —х ного ряда: 5(х)=[ 1-—ах=— 1п Х + ^ 1 х 2. х— 1 21
АЗ-12.3 1. Найти область сходимости каждого из следующих рядов— ~ а) ) - ; б) ) -Л—(±\ ; ' I—, (п + 1) • 2" ' /—, п + 1 V 2) (п + 1) • 2" ' и п + п=0 п=] 4"х" (Ответ: а) —2<а<2;6) —1<х<1;в) — < 1/2; г) -3/2<х<3/2; д) -8<х<2;е) 2. Найти область равномерной сходимости следующих рядов: оо " &±Л±: б) 2" н=0 п-1 3. Применив почленное интегрирование и дифференци- дифференцирование, найти суммы указанных рядов: а) Х^; б) ('Отвег: а) -1п A — *) (- 1 <х< 1); б) (*—1)" Самостоятельная работа 1. 1. Найти область сходимости ряда 5"-\Дг2— 1 11—2 У (Ответ-: —-1^*<± 2. Найти сумму ряда 1- -^ + -—1-...+ — + ■•• х х- х х" 1 х х- (Ответ: — \ (х - 22
^—1 2п(х 3)" 2. 1. Найти интервал сходимости ряда \ —~=^ '-' 5" У/г' — 0 5 11=1 У и исследовать сходимость на концах этого интервала. (От- (Ответ: A/2; 11/2), ряд сходится при л=1/2 и л=11/2.) 2. Найти область сходимости ряда 3. 1. Найти интервал сходимости ряда \ 10"л" ' и исследовать сходимость на концах этого интервала. (От- (Ответ: (—1/10; 1/10), ряд расходится ри л=±1/Ю.) V I 2. Найти область сходимости ряда > ——. «=о 12.3. ФОРМУЛЫ И РЯДЫ ТЕЙЛОРА И МАКЛОРЕНА. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Если функция у = [(х) имеет производные в окрестности точки х до (и + 1)-го порядка включительно, то существует точка с = + в(х — х0) @ < 0 < I). такая, что ^ Г&. (х - хоу +... + ^ х х0 -Ь -^р^ (х - л»)" + Кй(х\ A2.12) где /?„(х) = [п+\)х (*-хоТ+>. Формула A2.12) называется формулой Тейлора функции у = ((х) для точки хо. Нп(х)—остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа Многочлен для оч о. Нп() Лагранжа. Многочлен называется многочленом Тейлора функции у = [(х). П и Хо = 0 приходим к частному случаю формулы A2.12): ), A2.13) Ц(с) где «„(*) = -^ ^-х"; с = Од- @ < 6 < I). (л + I)! Формула A2.13) называется формулой Маклорена функции 23
Пример 1. Разложить по степеням разности х—1 функцию у = = х4 - Зл-2 + 2х + 2. ^ Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при л'о = 1, найдем: у(\) = 2, ;/(!) = D*3 - Ьх2 + 2)|,_, = О, 2 1 =0, у"'A) = B4х- ,,.,= 12, и т. д. Следовательно, а-4 — Зх2 + 2л-+ 2 = 2 + 2(х— IK + (л-— IL. 4 Пример 2. Записать многочлен Тейлора функции у= — в точке Хо= 1 ■ Находим производные данной функции и их значения в точке = 2, ;/"(!) = 1 -2-3 = -6, 1 -2-3-4 п\ = 24, .... г/")A) = (-1)" -^т Следовательно, Я„(х)=1--^ + (~ Х)"^\ (Х~ 1)" = ' ~(Х~ 1) + {Х~ 1?-{х~ 'K +■■■+(- !)"(•»■- I)"- Остаточный член формулы Тейлора для данной функции имеет вид й,(Л) = (-1)»+' ( ,_ „+г @<0<1). 4 Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора. Если функция /(х) дифференцируема в окрестности точки Хо любое число раз и в некоторой окрестности этой точки Нт #„(л-) = 0 или -л-„Г + ... A2.15) В частности, при л'о = 0 х+ Х +...+ ^ Ряд A2.15) называется рядом Тейлора, а ряд A2.16) —рядом Маклорена. 24
Условие A2.14) является необходимым и достаточным для того, чтобы ряд, построенный по схеме A2.15) или A2.16), сходился к функции /(х) в некоторой окрестности точки х = х«. В каждом конк- конкретном случае необходимо находить область сходимости ряда к данной функции. Пример 3. Разложить в ряд Маклорема функцию сЬ х и найти об- область, в которой ряд сходится к данной функции. ► Находим производные функции /(х) = с11л', /'(х)=511л', 1"(х) = = сИ х, /'" (х) = зН х, ... Таким образом, ({"'(х) = сЬ х, если п — четное. и 1'"\х) = 511 х, если п — нечетное. Полагая лго = 0, получаем: /@)=1, /'@) = 0, /"@)= 1, /'"@)=0, ..., /("'@)= 1 при п четном и /("'@) = 0 при п нечетном. Подставим найденные производные в ряд A2.16). Имеем Воспользовавшись условием A2.14), определим интервал, в котором ряд A) сходится к данной функции. Если п — нечеткое, то х"+| К„(х)= — сН Ох, (« + •)! если же п — четное, то Так как 0<0<1, то | сН 0х| = (е°Л + е-"")/2 < е '"' и |5Н0х1<е'л|. Значит, 1Л„()|<е. (/1+1)! х Но, как было установлено в примере 4 из 12.2, Нт = 0 при У Н Н и^оо A1+ 1)! ^ любом х. Следовательно, при любом х Нт К„(х) = 0 и ряд A) сходит- ся к функции сЬ х. ^ Аналогично можно получить разложения в степенные ряды многих других функций: П1Г5 ). A2-17) со5 х= 1 - -^ + -Ц- -... + (- 1)" ^у +... (- оо <д< оо), A2.18) (— оо < л-< оо), A2.19) (—1<л-<1), A2.20) т т(т — 1) (I+ *)'»=! + — х+ —^ - 25
,,ц,,> — ч у,, ,. -г .; С199П И ' Для каждого случая в скобках указана область, в которой сте- степенной ряд сходится к соответствующей функции. Последний ряд, на- называемый биномиальным, иа концах интервала сходимости ведет себя по-разному в зависимости от т 6 К: при т^О абсолютно сходится в точках х = ± 1; при — 1 < т < 0 расходится в точке 1= -1 и услов- условно сходится в точке *= I; при т ^ —1 расходится в точках х='±\. В общем случае разложение в степенные ряды основано на использо- использовании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды A2.17) — A2.21) или формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Иногда при разложении полезно пользоваться почленным дифференциро- дифференцированием или интегрированием рядов. В интервале сходимости ряды схо- сходятся к соответствующим функциям. Например, при разложении в степенной ряд функции соз ■ух в фор- формулу A2.18) вместо х подставляем ух. Тогда с 05 ух = 1 1 ... + (— 1)" 1- ... У 2! 4! и Bм)! Полученный ряд сходится при любых х 6 К, но следует помнить, что функция соз ух не определена при х < 0. Поэтому найденный ряд схо- сходится к функции соз ух только в полуинтервале 0 ^ х < оо. Аналогично можно записать степенные ряды функций /(л')=е~2* г х 51и х и /(лг)= : х 3! 5! ^^ ' Bп —I)! Пример 4. Разложить в ряд Мак.гюрсна функцию / (х) = 3 A — х) A + 2л-) ' ^ Разложим данную функцию на сумму простейших рациональ- рациональных дробей: 3 ' , 2 A — х)A +2х) 1-х """ I +2л- " Поскольку оо I г—1 '" (|л| < 1), A) 1 — х = У (-\)"Тх« (|2г|< 1), B) 2лг п —() 26
Я = 0 /1 = 0 Так как ряд A) сходится при |л'|< 1, а ряд B) — при |*|< 1/2, то ряд C) сходится к данной функции при |л'|<1/2. <4 Пример 5. Разложить в степенной ряд функцию /(*)= агс(§ х. ^ Очевидно, что Полученный ряд сходится внутри отрезка |—1; 1], значит, его можно почленно интегрировать на любом отрезке |0; лг] с= (— 1; 1). Следовател ьпо, агс(8л-= > (-1)" 2/1 — 1 ' я = I т. е. получили ряд, сходящийся к данной функции при |л|< 1. ^ АЗ-12.4 1. Разложить по степеням х -)- 1 многочлен /(х) = = х5 — 4х4 + 2х3 + 2х + 1. 2. Разложить в ряд по степеням х функцию у = , непосредственно используя ряд Маклорена. 3. Разложить в ряд по степеням х указанную функцию и найти область сходимости полученного ряда: а) е~Л>; б) хсоз 2х\ г) агсзш х\ д) ■ , Ъх + 5 ; е) соз2 х. 4. Разложить в ряд по степеням х-\- 2 функцию /(х) = _ 1 ~ х2 + Ах + 7 ' 5. Записать разложение функции у=\п{2-\-х) в ряд по степеням 1 -)- х. 27
6. Найти первые три члена разложения в степенной ряд функции, заданной уравнением ху -(- е* = у, если известно, чтоу=1 при л = 0. ( Ответ: 1 + 2л:+-5-лг2+ ..Л Самостоятельная работа 1. 1. Найти первые три члена разложения функции }(х)=-ух в ряд по степеням х— 4. 2. Разложить в степенной ряд функцию /(*) = ^= 1п A —Зл) и найти область сходимости этого ряда. (Ответ: — 1/3<л< 1/3.) 2. 1. Найти разложение в степенной ряд функции /(л-) = х 31П 2л\ 2. Разложить в степенной ряд функцию /(*) = 3 - = — и найти область сходимости этого ряда. A+*)A-2лг) (Ответ: |л|<1/2.) 3. 1. Разложить по степеням суммы х-\- 1 многочлен 1(х) = л-4 + Зл-3 - 6л-2 + 3. 2. Разложить в степенной ряд функцию /(л) = = 1пA-|-2л') и найти область сходимости этого ряда. (Ответ: -|<л< 12.4. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ Вычисление значений функции. Пусть дан степенной ряд функции у = {(л). Задача вычисления значения этой функции заключается в оты- отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точ- точностью, которую можно устанавливать путем оценивания остатка число- числового ряда либо остаточного члена Кп(х) формул Тейлора или Маклореиа. Пример 1. Вычислить 1п 2 с точностью 6 = 0,0001 ^ Известно, что степенной ряд 1пA + л-) = л--^- + ^-...+ (-1)-'^+ A) при х=\ сходится условно (см. § 12.1, пример 8). Для того чтобы вычислить 1п 2 с помощью ряда A) с точностью 6 = 0,0001, необходимо взять не менее 10 000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом, который получается в результате вычитания степенных рядов функ- функций 1п A -+- х) и 1п A — л'): 1п 1 — х 28
При \х\ < 1 ряд B) сходится абсолютно, так как его радиус сходимости /?= 1, что легко устанавливается с помощью признака Д'Аламбера. 1 -г- х Поскольку — = 2 при х= 1/3, то, подставив это значение х I — х в ряд, получим Для вычисления 1п 2 с заданной точностью необходимо найти такое число п членов частичной суммы 5„, при котором сумма остатка |г„|< < б. В нашем случае + + Поскольку числа 2п -\- 3, 2п -\- 5, ... больше, чем 2п -\- 1, то, заменив их на 2п -\- 1, мы увеличим каждую дробь в формуле C). Поэтому г , 2п+\ Bп+ 1).32"+1 (' + Т + 8Г +- 2 1 1 Bп + 1)-32" + | 1 — 1/9 Путем подбора значений п находим, что для п = 3 л„< 0,00015, при этом 1п 2 = 0,6931. 4 Пример 2. Вычислить д/е с точностью 6 = 0,001. ► Воспользуемся разложением в степенной ряд функции е" (см. формулу 12.17), в котором примем д:=1/2. Тогда получим 1 2 2! • 2г п\ ■ 2" ' Остаток этого ряда 1 1 \Г 1 1 г„ = (п-\-к)\-2" + к («+!)!• 2" /_, 2* (/г+1)[-2' так как (п + 1)! <(« +2)!<... При п = 4 /■„ < <0,001. Следовательно, Для определения числа членов ряда, обеспечивающих заданную точность вычисления, можно воспользоваться остаточным членом форму- формулы Маклорена где 0< 6< 1; х = 1/2. Тогда при п = 4 29
■ш Пример 3. Вычислить зт — с точностью 6=10~3. ► Подставим в формулу A2.19) значение д- = 1 /2. Тогда !^■ ■ ■ ■ , ,г-1 ' 8)п,г ,2 2 3!-23 + 5! + 2г> -~И ; Bя-1)! ■ 22"-' +"" Так как остаток знакочередующегося ряда \г„\ ^ и„^\ (см. ряд A2.6) и следствие из признака Лейбница), то достаточно найти первый член ий + ], для которого ип+1 < б. Тогда 5„ даст значение функции тре- требуемой точности. Очевидно, что уже третий член ряда ———г < 10~3, поэтому с точностью 6= 10~3 Пример 4. Вычислить "\/34 с точностью б = 10 3. ^ Очевидно, что '\/5Г= V32 + 2 = 2A + 1/16I/г\ Воспользуемся биномиальным рядом (см. формулу A2.21) при т = 1/5, А'=1/16: 1A)A) 1 ^ 1_ = 3! 16' "*" ■■ 80 3200 " = 1 +0,0125-0,0003 + ...» 1,012, поскольку уже третий член можно отбросить в силу того, что он меньше 6= 10~3 (см. следствие из призмака Лейбница). Следовательно, ^/34~=2A + 1/16) '/■"'» 2,024. -4 Вычисление интегралов. Так как степенные ряды сходятся равно- равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы. I Пример 5. Вычислить \$'[п(х2)Aх с точностью 6= 10~3. о ► Воспользуемся формулой A2.19). Заменив в ней х на х2, полу- получим ряд 5т(,) = ,_ +_...+ (,) Т1^+... Он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно, 30
(л-3 с" х" ' хА"~' \ I1 3 7-3! "*" 11-5! "' "* ' Dп - 1) B«- 1)! "*" ) |„ 1 1,1 3 7-3! т 11-5! ' 1 ' D/1 — 1)B/г — 1)! 1 1 3 7-3! = 0,3333 — 0,0381 = 0,295, поскольку уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше б = 10~'\ ^ Пример 6. Найти интеграл \ их в виде степенного ряда и указать область его сходимости. ► Воспользовавшись формулой A2.19), получим ряд для подын- подынтегральной функции Он сходится на всей числовой прямой, и, следовательно, его можно почленно интегрировать: Bп — 1)B« — 1)! Так как при интегрировании степенного ряда его интервал схо- сходимости не изменяется, то полученный ряд сходится также на всей числовой прямой. ^ Приближенное решение дифференциальных уравнений. В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например ряда Тейлора или Маклорена. При решении задачи Коши У — / ( ' У)' У{ ®) — У^, [14.46) используется ряд Тейлора У(х)= ^Г ~^-(.^-^)", A2.23) /!=() где У(Ч) = Уо, у'{*о) = 1D, Уо), а остальные производные ^"\х0) (п =2, 3, ...) находятся путем последовательного дифференцирования уравне- уравнения A2.22) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных. Пример 7. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у1 = х'г -\- у2, если у(\)= 1 31
^ Из данного уравнения находим, что у'(\) = 1 -+- 1 = 2. Дифферен- Дифференцируем исходное уравнение: у" = 2х + 2уу', (/"(') = 6: у'" = 2 + 2</2 + 2да", ;/" A) = 22; 1У г/'"A)= Мб и т. д. Подставляя найденные значения производных в ряд A2.23), по- получаем у(х)=1+2(х-1) + ^(х1)+^(х1)+...= I I 9е) = 1 + 2(х- 1) + 3(х- 1J + -^-(х- 1K + ^-(х- 1L+... <4 Пример 8. Найти шесть первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у" — A -{- х2)у = 0, удов- удовлетворяющего начальным условиям 1/@) = —2, ;/(()) = 2. )> Подставив в уравнение начальные условия, получим у"@)= Ь(-2)= -2. Дифференцируя исходное уравнение, последовательно находим: у"' = 2ху + A+х2)уг, </"@) = 2; у'у = 2у + 2х!/ + 2ху' + A + х2)у", у'*@) = -6; уу = б1/ +6ху" + A +х2)у'", уу@)= 14, Подставляя найденные значения производных в ряд Маклорена, получаем у(х) = -2 + 2х _ х2 + у х3 - ^-х4 + -^-х6 + ... -< Решение задачи Коши у= ф(х) для дифференциального уравнения можно также искать в виде разложения в степенной ряд у=ф(х) = ао + а,(х-хо)+а2(*-х0J + ... + а,!(х-х0)" + ... A2.24) с неопределенными коэффициентами о,- (/ = 0, 1 п, ...). Пример 9. Использовав ряд A2.24), записать четыре первых не- ненулевых члена разложения решения задачи Коши у1 = х -+- у1 — 1, 1/A) = 2. ^ В ряде A2.24) хо=1. Поэтому, положив л' = 1, с учетом на- начального условия находим, что о0 = 2. Продифференцируем ряд A2.24) и подставим полученную производную у1, а также у в виде ряда A2.24) в данное дифференциальное уравнение. Тогда у' = о, +2о2(х — х0) -+- Зоз(а- — хоJ-Ь..=: Теперь в правой и левой частях последнего равенства приравняем коэффициенты при одинаковых степенях разности х—1 (т. е. при (х — 1)°, (х— II и (х — IJ). Получаем простые уравнения: О| = а2,, 2о2 = 1 -+- 2о0О1, 3о3 = о? -{- 2оо02, из которых, учитывая, что Оо = 2, находим: О| = 4, а2 = 17/2, о3 = 50/3. 32
Следовательно, искомое разложение решения имеет вид АЗ-12.5 1. С помощью степенных рядов вычислить приближен- приближенно с точностью 6 = 0,001 указанные величины: а) л[е~; б) л[ТО; в) соз 10°; г) л/1027; д) 1п 3/2. (Ответ: а) 1,396; б) 2,154; в) 0,985; г) 2,001; д) 0,405.) 2. С помощью степенных рядов вычислить с точностью 6 = 0,001 следующие определенные интегралы: 1 б) $ ее о 1/4 в) ^ ех/*йх; г) $ е~*их. о (Ответ: а) 0,508; б) 0,764; в) 2,835; г) 0,245.) 3. Найти неопределенный интеграл в виде степенного ряда и указать область сходимости этого ряда: б) \ — йх. 4. Записать пять первых членов разложения в сте- степенной ряд решения дифференциального уравнения, удов- удовлетворяющего заданным начальным условиям: а) у' = еу + ху, у@) = 0; б) {/ = 1+х + х2-2у2, «/A)=1; в) у" = х2у-у', 1/@)= 1, «/40) = 0; г) у" = х + у2, у@) = 0, «/40) =1. Самостоятельная работа 1. 1. С помощью степенного ряда вычислить зт 1 с точностью 6 = 0,001. (Ответ: 0,841.) 2. Найти три первых члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения у' = х2 — у, если уA)= 1. 2. 1. С помощью степенного ряда вычислить -у70 с точностью 6 = 0,001. (Ответ: 4,125.) 2. Найти четыре первых члена разложения в сте- 2—357 ^3
пенной ряд решения дифференциального уравнения у" = = х2 — у, если у@) = 1, у'@)= 1. 3. 1. С помощью степенного ряда вычислить 0.5 "^ (^1х с точностью 6 = 0,001. (Ответ: 0,946.), о числить^ -2. Найти три первые члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения I' = х2у + у3, если у@)= 1. 12.5. РЯДЫ ФУРЬЕ Функциональный ряд вида (а„ сов пх -+- Ь„ 51П ях),^^^ A2.25) я=1 где коэффициенты ап, Ьг1 (п = О, I, 2 .) определяются по формулам: л I г а„ =— \ /(х)со5«хйх, A2.26) I Г , ч Ь„ = \ /^х) 51П «ХЙХ, 31 3 называется рядом Фурье функции /(х). Отметим, что всегда Ьо = 0. Функция /(х) называется кусочно-монотонной на отрезке [о; 6], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов п (о; х\), (Х]- хг), ..., (хь й Ь~\ таким образом, чтобы в каждом из них функция была монотонна. Теорема 1. Если функция /(х) периодическая (период ш = 2л), ку- кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке [ — л; я], то ее ряд Фурье сходится в любой точке х ^ Р и его сумма Из теоремы следует, что 5(х) = /(х) в точках непрерывности функ- функции /(х) и сумма 5(лг) равна среднему арифметическому пределов слева и справа функции /(х) в точках разрыва первого рода. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом 2л): ««И-: ► Так как данная функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она разлагается в ряд Фурье. Находим коэффициенты ряда: 34
ао= — 2 ' '.„= \ X С05 ПХйХ = и = х, (IV = соз пхс1х, <1и = йх, V = — 51П я* я ( 81П ПХ — X 5111 ЯАТ/л: I п\п о 3 п ) 1 1 — = г((-1)"-1), о пя , I Г . , 1 / х Ь„= \ X 5111 ПХйх = I I Л ) П. \ П -\ -5111 ПХ О IX - СО5 И = -^ >- (/1 л • я я Подставляя найденные коэффициенты в ряд A2.25), получаем Этот ряд сходится к заданной периодической функции с периодом 2я при всех х Ф Bп — 1)л. В точках лг = Bя — 1)л сумма ряда равна (л+0)/2 = л/2 (рис. 12.1). -4 Уь У~ТУ Л/1 -б/г -Лг -4гг -Згт -2п -гт О л 2л Зя ^п 5я бтг х Рис. 12.1 Если функция у = 1(х) имеет период 21, то ее ряд Фурье записы- записывается в виде 1 A2.27) где A2.28) п=\ I а« = — \ -I 6.= | 35
Теорема 2. Если периодическая функция с периодом 2/ кусочно- монотонная и ограниченная на отрезке [ —/; /], то ее ряд Фурье A2.28) сходится для любого х Е Р к сумме (ср. с теоремой 1). Пример 2. Найти разложение в ряд Фурье периодической функции с периодом 4; Г —1 при — 2 <х<0, 2 при 0<х<2 (рис. 12.2). -4 О Рис. 12.2 ► Находим коэффициенты ряда: — 2 -2 О = -1(-2 + 4)=1, а„ ~ Ц -2 1 / 2 2\ пп 2 Ьп= — -2 1/2 (
Подставив найденные коэффициенты в ряд A2.28), получим оо РГ.Л- ' 6 V !_ • /Bл-1)л Если периодическая функция 1(х) четная, то она разлагается в ряд Фурье только ио косинусам, при этом I 2 Г / пп \ , а„ = —X Цх) соз ( —- хых; если же периодическая функция 1(х) нечетная, то она разлагается в ряд Фурье только по синусам и I Ь„ = — \ !(Х) 81П (—- Так как для всякой периодической функции }(х) периода 2/ и лю- любого ХЕК справедливо равенство / 1+1 [ 1(х)с1х= [ 1(х)ёх, -I 1-1 то коэффициенты ряда Фурье можно вычислять по формулам: 21 21 - _1 Г кх) о (— Л а - — [ - х т ( ЛП '3 V'/" '3 V' где п = 0, 1, 2, ... Пусть функция [(х) кусочно-монотонна и ограничена на отрезке [а; Ь\ <= (— /; /). Чтобы разложить эту функцию в ряд Фурье, продол- продолжим ее произвольным образом на интервал (— /; /) так, чтобы она оставалась кусочно-монотонной и ограниченной в (— /; /). Найденную функцию разложим в ряд Фурье, который сходится к заданной функ- функции на отрезке [а; Ь\. Если заданную функцию продолжить на (— /; /) четным образом, то получим ее разложение только по косинусам, если же продолжить ее нечетным образом, получим разложение только по синусам. Например, функция [(х), определенная на [а; &]<=( — /; /) и про- продолженная в (— /; /) в соответствии с равенствами 0 0 0 при при при при при — / — Ь — а а Ь < < < < < х ■ X X X X < < < < < — о, ь, 1, ь. -а, 37
разлагается только по сннуса-м. Сумма 5(л) ряда Фурье такой функ- функции равна 1(х) внутри отрезка \а; 6], а 5(а)=/(а)/2, 5(Ь)— ЦЬ)/2 согласно теореме 2 (рис. 12.3). У з/Ы 51а) -/ -Ь -а 0 у с ь Рис. 12.3 Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию /(*)= \х\ (— 2^ < х < 2). ► Так как данная функция четная, то она разлагается в ряд Фурье только по косинусам, т. е. Ь„ = 0. Далее находим: а„ = Ц /(х) СО5 (^- Отсюда следует, что а„ = 0 при п четном, а,, Искомый ряд Фурье данной функции = — 8/(п2«2) при п нечетном. Bп— 1)л Bп- IJ Его сумма равна заданной функции на отрезке \ — 2; 2], а на всей числовой прямой эта сумма определяет периодическую функцию с пе- периодом я> = 4 (рис. 12.4). <4 38
Пример 4. Разложить в ряд по синусам функцию /(*) = 2 — х на отрезке [0; 2|. ► Продолжим данную функцию на отрезок ]—2; 0] нечетным образом (рис. 12.5), т. с. положим — 2-х при — 2 < х<0, 2-х при 0 < х < 2. -4 ч \ \ ч \ \ У 2 \/ -.Г \ \ 2\ 4- \ \ ч \ \ \ \ Л' Р и с. 12.5 Тогда а„ = 0 при /; = (), 1, 2 а и = 2 — л", Й» = —</л', т" х)с1х =\B~А) мп ("Т"А)л'= 1) Й» = —</л', . / лн \ 2 / л/; \ 5111 I ——- Д- )(/д', I' = СОЯ I -т— А' I V 2 ) л« V, 2 / 2B- а-) / л// \ - Г -2 ( л« \ = соя ( -—- а 1 — \ со> ( —— д- 1, л// \ 2 / , ) ли \ 2 / о 4 4 /лн \|- 4 = 7-т51П(—д-1 =—. ли п~п~ \ 2 /I" л/1 Подставляя найденные коэффициенты в ряд Фурье, получаем с, , 4 1х = Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию, график которой изобра- изображен на рис. 12.6 в виде сплошной линии. > Продолжим данную функцию ни отрезок [ — 2; 0] четным обра- образом и разложим функцию/(д-)= .V, х ^ @; 2], но косинусам, т. е. ас, 39
2 Г х'2 = 2, 2л: . 2 2 [ . /и \, 4 / пя \ \ 51П ( -—- х ]с1х = —т—г сов I х I пп ) \ 2 ) „V \ 2 / = -^((-О»-»- -Л и -4-2 0 2 4. Рис. 12.6 Искомый ряд Фурье имеет вид с, , , 8 V 1 /Bл Их) = 1 ) — сок ( ^ Bл- 1)л 8 х На отрезке [0; 2] он представляет собой заданную функцию, а на всей числовой оси — периодическую функцию с периодом ю = 4 (см. рис. 12.6, штриховая и сплошная линии). ^ Поскольку ряд Фурье сходится к значению соответствующей функ- функции в точках, где функция непрерывна, то ряды Фурье часто использу- используются для суммирования числовых рядов. Так, например, если в ряде Фурье функции, определенной в примере 5, положить х = 2, то получим: п- (_, B/1 — 1 J п=\ /_, Bл — IJ 8 Пример 6. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию у = х2 на отрезке [0; л] и с помощью полученного ряда вычислить суммы числовых рядов 40
У \ и > Разложим данную функцию в ряд по косинусам, продолжив ее на интервал (—л; 0) четным образом и на всю числовую прямую периоди- периодически, с периодом 2л. Тогда: 2 . 2 х3 х'йх = — 2 Г а0 = — \ п ) о 2 Г 2 , 2 / х2 . а„= — \ х соз пхс{х = — I — зш л ^ л \ п 3 ' пп\ п = СО5 ПХ 2 Получили ряд Фурье Так как продолженная функция непрерывна, то ее ряд Фурье схо- сходится к заданной функции при любом значении х. Поэтому для х = 0 имеем 0 = При х— п 12 4. У Л = -. п2 /_, п2 6 л = I я = I 41
АЗ-12.6 1. Разложить в ряд Фурье функцию г/ ч Г х при —я < х ^ О, '^ ' \2х при 0 < х < л, имеющую период 2л. (Ответ: 4- У " ~ , + 3 ) ( — 1)"" V 4 л /_, B«-1J 1^У 2. Разложить в ряд Фурье функцию + 2х при —л < х ^ О, Ответ: — — +2 У ( гсо?,Bп—\)х зш пх). 2 Т 1,1 пB» - IJ ^ ; и ' 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию (с периодом со = 4), если 1 + х при —2 < х ^ О, — 1 при 0 < х^ 2. лBд— I) _ . . 2 (Ответ: — — + — V (^ ? _со8 4. Найти разложение в ряд Фурье функции у = х2 на отрезке [ — л; л]. Построить графики функции и суммы ря- Самостоятельная работа 1. Найти разложение в ряд Фурье функции [(х)= —х. на отрезке [ — 2; 2]. Построить графики данной функции и суммы ряда. (Ответ: 2 V ^~'^ аш пх.\ 42
2. Найти разложение в ряд Фурье функции Г/„л_/— 2 при —л<х<0, п >~{ 1 при 0<х<л. Построить графики данной функции и суммы ряда. (Ответ: -1 + | V ~^~у 8'п Bп ~ ')*•) и — ! 3. Разложить в ряд Фурье функцию и ч 1~х ПРИ —л < х ^ О, 1(Х> — \ 0 при 0<л;<л. Построить графики данной функции и суммы ряда. ее (Ответ: — + V (М~')"~1 соз пх + -Ь^- йш пх).\ \ 4 /-, \ ли-' и / / 1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию [(х)= х2 в интервале @; л). Построить графики данной функции оо и суммы ряда. (Ответ: -| V (-1)"- ](-~ + -^г((-})"~ /1=1 — 1)\зт пх\ 2. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг Ответ: 1- , V соз 2пх \ + ]_, 1 - BпТ 7 п— I 3. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию 1(х)=\ — х/2 на отрезке [0; 2]. (Ответ: 43
4. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг нкцию }(х)= 1 - 8 V созлBл-1)* функцию [(х)=\—2х на отрезке [0; 1]. (Ответ: 2 Ь Bп1J Bп-1J -) 5. Пользуясь разложением в ряд Фурье по синусам кратных дуг функции \{х) = 1 на отрезке [0; л], найти сумму ряда 1-4. + 4--|+... + (-1Г1-5НгТ+- <07" вет: л/4.) Самостоятельная работа 1. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию /(х) = 1 —х на отрезке [0; 2]. (Ответ: ' 2 Х) С B«-1J С 2. Разложить в ряд Фурье по синусам кратных дуг функцию I (х) = л — л: на отрезке [0; л]. (Ответ: п \ 51П ПХ 3. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию [(х) = -^- на отрезке [0; л]. (Ответ: Ах \ о у со8(Bп— \)х) \ л /_, Bп — 1 J / 11=1 12.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 12 ИД 3-12.1 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 1.1. V !-—. (Ответ: 5=— —Л 4 / 44
1.3. V ' . (Ответ: 5= ±- Ь B + 5)B + 7) V Ю 1.4. V 2" + 5" .(Ответ: 3 = ±. [^ 10" V, 4 1.5. У ! . (Ответ: 5 = 4~ ^ (+ 5) (я+ 6) V 5 (я+ 5) (я /1 = 0 1.6. Л 10" V 4 / 1.8. V *-у .(Ответ: 5 = ±Л Л 12" \ 6 / п = 1 оо 1.9. У _ ! . (Ответ: 5=-Л 1. 12. V 5"~3". Согвег: 5=-!-Л Л 15" V 4 / мз- 46
1.14. > " + ' . (Ответ: 5 = -^- 14" \ 6 116 > ■ ^21. (Ответ.- 5 = |-.) /1=0 1.19. У / I лА , Кч • (Ответ: 5- ±Л 11=0 оо 1.22. У г + 3", (Ответ: 5=4 I-' 21" \ 3 . . т" 3" / 1 1.24. > . [Ответ: 5=—. 21" V 3 и=1 *-25- У 7ч ,'» , .^ • (Ответ: 5= -1- /_, (Зп—1)(Зп + 2) \ 6
,.26. .(Овет: 5 24" V, 14 /1=1 оо 1.28. V 8" ~ 3" . (Ответ: 5=—Л Л 24" \ 14 ) /1 = 1 и=1 . (Ответ: 3 ' (Зп + 2)C«+5) V 15 1.29. V ! . (Ответ: 3= ' Ь З 2K5) V 15 ^. ( 1.30. ^^. (Ответ: $=\ /1=1 Исследовать на сходимость указанные ряды с положи- положительными членами. 2 оо 2.1. У 3"("+2)! . (Ответ: расходится.) /1 = 1 2.2. У —-——. (Ответ: сходится.) Ь 5"^+1)! ^ ; V™1 / 7 \ / 1 V 2.3. ) ( —) (—). (Ответ: сходится.) /1=1 2.4. У Bп-\-\) \%-^-. (Ответ: сходится.) /, з" /1=1 ОО 2.5. \ ——. (Ответ: расходится.) /1=1 ОО /1= I 47
о* 2.7. V (——\ п7. {Ответ: сходится.) п=\ 2-8- У 'о7^1!'"!6",".? • (Ответ: расходится.) 2.9. V 3"(" + ") . (Огв«?г: сходится.) п=\ ОО 2.10. У ("+д2)' . (Ответ: сходится.) п-1 2.11. У Л81П—2-. (Ответ: сходится.) ОО 2.12. У ("+ [)"/2 (Ответ: сходится.) гг = 1 ОО 2.13. V — . (Ответ: сходится.) /-, 5> + 3)! V п — \ 2.14. У !16;''"^")' ■ (Ответ: расходится.) / , о • 7 • 11 '"Dл — 1) ОО 2-15- У (д!3)! • (Ответ: Расходится.) 2.16. у лМ§%. (Ответ: сходится.) ОО 2.17. У (*2 ^).. (Ответ: сходится.) о* 2-18. У " ,,,, . (Ответ: сходится.)
г-^ (п 4- 1)" 2.19. \ ■ —-. (Ответ: расходится.) ' ' оо 2.21. V (Зя— 1)8!п^-. [Ответ: сходится.) ОО 2.22. V " + 2 . (Ответ: сходится.) 2.23. V 3"~' . (Ответ: сходится.) гг=1 2.25. > —. (Ответ: сходится.) / 4п! ' ОО 2.27. V "" . (Ответ: расходится.) оо 2.28. У {2п~I1K . (Ответ: сходится.) п = \ оо \—' 2П 2.29. ) . (Ответ: сходится.) 1_, 5"Bя—1) V ' п=\ оо 2.30. V 2п +' . (Ответ: сходится.) 49
3.1. ) • (Ответ: расходится.) 3.2. У ( 5,7 ' )" • (Ответ: сходится.) п.- 1 оо 3.3. V (агс1§ р"\ . (Ответ: сходится.) оо 3.4. > . (Ответ: сходится.) ^ (\п(п+2))" я — 1 °° 3 3.5. V (агсзш-^Л . (Ответ: сходится.) 11= 1 3.6. V /»2 + 5и+8\" (О7-ве7-; СХОДИТСЯ.) ^1 Зл!-2 / ' 3.7. V (агс^-^ . (Ответ: сходится.) /1= 1 ОО 3.8. у (»/(" + '))"', (Ответ: сходится.) 11=1 ОО 3.9. V . (Ответ: сходится.) Ь (Щ(п + 1)J" 11=1 ОО V—' / \ ^" 3.10. > A§-^г) • (Ответ: сходится.) /1= 1 оо 3.11. V . (Ответ: сходится.) Ь Aп(п+3)Г 11=1 оо 2 3.12. У ( + 4п+5У. (Ответ: сходится.) /_ V, бп2 - Зп - 1 / 50
3.13. у (— 1 . (Ответ: сходится.) 3.14. У (зт-^Л . (Ответ: сходится.) п= 1 3.15. V (* +' ) . (Ответ: сходится.) 3.16. > г. (Ответ: расходится.) Ь ((я+ !)/«)"" V ^ ' 1 3.17. > г-. (Ответ: сходится.) Ь Aп(« + 1))' ^ ; /1 = 1 3.18. V ( Зп~ ' V . (Ответ: сходится.) /1=1 оо 3.19. V ^агсзш^-Л . (Ответ: сходится.) 11 = 1 3.20. у Л^±-!_\п. (Огвег: сходится.) п=1 оо 3.21. V ( 3-"-' \". (Огвег: сходится.) п = 1 оо 3.22. V (т-^-—) • (Ответ: сходится.) п= I °° 2/1 3.23. V ^агс81п-^-\ . (Ответ: сходится.) 11=1 ОО 3.24. у ("+ ' ) ". (Ответ: сходится.) Ы
со 3.25. V (("+5])/")"Д. (Ответ: сходится.) оо 3.26. V Л§ 2 Л ) ) • (Ответ: сходится.) гг = 1 оо 3.27. \ E1п " ) . (Ответ: сходится.) 11=1 °° 9 3.28. \ (агс1§- -\ . (Ответ: сходится.) 11=1 3.29. V ——-. (Ответ: сходится.) / Aп( + 5)J ^ п=\ 3.30. V (агсаш 2п^+ъ) ' (°твет: сходится.) 4 1 V ( 2п + х \ 42 V ■ п + 2) 1п (Зп + 2) ОО ОО У к • 4-4- У - /_, Bп + \)\плBп + 1) /_, \> \. 4.6. У ' (Зп + 4) 1п2 (Зп + 4) ^ ? 4.5. У Ц . 4.6. /_, (Зп ' ^ '/г 4.7. > ( 7ЛПЯ- 4.8. (Зп— П= 1 11= 1 49 V ' 1п " + ' 4 10 ' п — 1 4.Ц. ) "-»-" . 4.12. /_ 36 + «2 п=1 п=1
4.13. 4.15. оо V ! к ^^ 4.14. (п + 2) 1п (п + 2) к . 4.16. оо V ' /_, «/^7+зГ7 4.17. 1 п=\ 5 + п 25 + п2 4.18. ! п=1 4.,9. 4.21. (и + 3Iп (я+3Iп Aп (я . 4.20. C + 2лIп5C 1 п = 1 (9« — 4) 1п2 (9л — 4) -. 4.22. 3 + я 9 + п — 2п п=\ 4.23. У ! . 4.24. У [_, [Ъп +8) 1п'E« +8) /_, п=\ п= 1 4.25. п=1 оо 4.26. I 1 + 4) 1п (п + 4) 1п Aп (п + 4)) . 4.27. /1=1 4.28. 4.30. I 1 !_, (п A0«+3Iп2A0«+3) 1 . 4.29 •I 2 + я 4 + пг — п /1 = 1 + 5Iп (п + 5) 1п Aп (я+5)) 5.1. У — . (Ответ: сходится.) 11= 1 53
5.2. } —ргзг. (Ответ: сходится.) л/«5 \—' 1 5.3. ) -г——. {Ответ: расходится.) 5.4. \ — . (Ответ: расходится.) ос 5.5. V —, (Ответ: расходится.) 5-6- У ,, . (Ответ: расходится.) / , 'Л \Я ~Г *-) п— I 5.7. V ——. (Ответ: расходится.) ое 5.8. ) — -. (Ответ: расходится.) / , о п. — I у- оо 5.9. V 1&-77-. (Ответ: сходится.) оо 5.10. V "+ 3. . (Ответ: расходится.) ,1= 1 оо 5.11. > "~—. (Ответ: расходится.) 1_, п2 + 1 5.12. > . (Ответ: расходится.) / \п(п + Щ у р оо 5.13. У — . (Ответ: расходится.) / , Зп -(- 5 п- I 54
5.14. > . (Ответ: сходится.) [_, Ъп1 — п + 1 II —I оо 5.15. V 5|'п д"[ . (Ответ: сходится.) 5'16' У п"(п*+4) " (°твет: Расходится.) 11 = I 5.17. V 5|'п—^-. (Ответ: сходится.) л -_ I 5-18- I ^птйт^- (Огвет; сходится-) 11 ^- 1 ОО 5.19. \ —. (Ответ: сходится.) / > и • о и -, I 5.20. > . (Ответ: сходится.) Г и B« + 1)-3" в— I оо 5.21. V " ^" . (Ответ: расходится.) я = 1 * 5.22. V $1п л . {Ответ: расходится.) оо 5.23. V —-—. (Ответ: расходится.) /__, п' + 2 5.24. V 51п-^-. (Ответ: расходится.) ОО 5.25. V —^—. (Ответ: сходится.) 55
5.26. У —- . (Ответ: сходится.) с» 5.27. V— . (Ответ: сходится.) / ' п -\- 4 п~ 1 5.28. у 2 "*"—. (Ответ: расходится,) /1= 1 оо 5.29. У —; . (Ответ: сходится.) / , Ъп -\- 3 п= 1 оо 5.30. У . (Ответ: сходится.) / , (п + 1)(я + 6) б 6.1. V —п-—-. 6.2. 6.9 6.3. У 2п~1 . 6.4. 6.5. у 2", . 6.6. у —V- Л 1+22" /_ «1п7« /г = 1 п = 2 со оо 6.7. У —^—. 6.8. У - Аа (п+ 1)! /_ л + 3 /1- 1 . У л1 б.ю. У — ^ 72 Ь E« 6.11. У-р1=-. 6.12. V -Ц-Л-\ " 0 » ^ 1 56
6.13. »*■ IФ- 6.14. 6.15. 6.17. 6.19. V Л ' /-, 2л + 1 2я + 5 3.21. V — 1—1 л" 6.25. 6.27. 3«4 + 5п — 2 6.16. \ ~. 6.18. 6.20. 6.22. 6.23. у ' . 6.24. /_, (Зл-2)Gл- 1) 6.26. 6.28. IШ"- I « = 1 оо I 11= 1 •О п= 1 I п= 1 •О /1= 1 оо I и— 1 оо V 2П- 1 п\ 1 Bп)! 1 /п 2" V, п(п + 9" Dл — 6" | 1 + 3) + 1 \"г 1) 1 1)Dп + 5) Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. 7.1. У(—1)" + ' —. (Ответ: абсолютно сходится.) 7.2. :. (Ответ: условно сходится.) 57
7.3. у { . (Ответ: условно сходится.) п ™ 2 ОО 7.4. V (— 1)"+1 .. ", , ■ (Ответ: расходится.) /1 =1 оо 7.5. V (—1)" . (Ответ: абсолютно сходится.) оо 7.6. V (—1)"+|——. (Ответ: условно сходится.) *—' Л/« ОС 7.7. V (—I)"—. (Ответ: абсолютно сходится.) И = I 7.8. V (—1)"+1-?;—г-т^—• (Ответ: абсолютно схо- 1_, Bп + 1)« ч дится.) оо 7.9. V (—1)я+|— . (Ответ: условно сходится.) V» +' оо 7.10. у ±—' . (Ответ: абсолютно сходится.) и = I у 7.11. V (—1)" + |—. . . (Ответ: условно сходится.) /_, п(п+ \) у ^ ' 7.12. У (— 1)" ~-+п 5 ■ (Ответ: абсолютно сходится.) й- 1 7.13. V (—1)"+| " (Ответ: расходится.) н --^- I оо 7-' / 2 ' — I ' (Ответ: условно сходится.) 58
7.15. У —- Ь—. (Ответ: абсолютно сходится.) /1=1 ОО Г—1 / I у* — 1 7.16. \ -—-^ . (Ответ: условно сходится.) /1- 1 7.17. у (—1)"+| 2" + ' . (Ответ: расходится.) п- 1 ОО Г—1 / 1 \" 7.18. ) -Ц—'-—. (Ответ: абсолютно сходится.) / . З/г -|- 1 ,1= 1 ОО 7.19. У ~ ' . (Ответ: абсолютно сходится.) 7.20. У (~ ^ (Ответ: абсолютно сходится.) / , п ■ 5" со 7.21. у '-—. (Ответ: абсолютно сходится.) 7.22. У (— 1)"-;—-—ту- (Ответ: условно сходится.) и = 1 7.23. > (—1)" + | г " "*" . . (Ответ: условно сходится.) / , ч 5п(п -\- 1) ОО 7.24. У 1~ , ■ (Ответ: условно сходится.) 11=1 7.25. \ >- ^—. (Ответ: абсолютно сходится.) ,1=1 г—1 / I у' — I 7.26. у { ' (Ответ: условно сходится.) 7.27. У (—1)" п+пЪ ■ (Ответ: абсолютно сходится.) 59
7.28. V (— |)" + 'Bп\ 7 )"■ {Ответ: абсолютно схо- A = 1 дится.) оо 7.29. У \ ' . (Ответ- абсолютно сходится.) A = 1 оо 7.30. у (— \)пп \п(\ -\ г\. (Ответ: условно схо- п — I дится.) 8 3.1. У ^—^-. 8.2. , /_, Bл — IK /_, Bл + 1)! A=1 A=1 ОО ОО (-дц. 8.4. у (-1г' ■ + I /-, 1п (п + I) A=1 A=1 у 111 8.5. оо оо 8.7. У (-!)" + ' 2"-' . 8.8. У (-1)" "' + ' . 8.9. V 1^-. 8.10. 8.Ц. У -Ь^-. 8.12. У (-^ A = 2 A = 1 8.13. V 1^Я^_. 8.14. / 1 1) _1. (п + I)! A=2 A=1 8.15. > (— 1)"_2_. 8.16. П=\ A = 1 60
8.,7. 1(- 8.18. 8.19. I 11=1 (-1)" + 1)" 8.21. У п = 1 ' п(п+\) п= 1 оо 8.20. V (—\)п1И±. /1=1 ОО 8.22. У (-1)« + '-^1т. /_г /1+1 8.23. ^(-1Г + 18т^-. 8.24. 8.25. У — (п + 1) (п + 4) оо 8.26. У (-1)" 81п"—. 8-27- 8.29. - 8-28- Решение типового варианта 1. Доказать сходимость ряда ) „" —- и найти /_, п'{п + IJ п= 1 его сумму. Ь- Общий член ап= 2 " + ' 2 данного ряда предста- представим в виде суммы простейших дробей: = 0, С = 0.
поэтому ап = — -. п1 (п+ I)" Найдем сумму первых п членов ряда: , 1 1,1 - I - _^_ л_ + л__ Далее вычислим сумму ряда: 5= Игл 5„= \\т(\ Я —оо н^оо \ (П + 1) т. е. ряд сходится и его сумма 5= 1. -4 Исследовать на сходимость указанные ряды с положи- положительными членами. 2. у ± Воспользуемся признаком Д'Аламбера. Имеем: 1)" « + 1 т «^оо (I + 1/п)" е т. е. данный ряд сходится. -4 /_, п "' • 3" ' Согласно радикальному признаку Коши, имеем: т. е. исходный ряд сходится. -4 62
4. ,1 = 1 ^ Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл: Р С 1Ё± = Пт (*.2-<!^=Мт С Ц 2~*2й{-х2)\ = 1 р-оо V. 2 1 п 2 - 2р ' 4/п 2 / 4 1п 2 Поскольку данный интеграл сходится, то сходится и иссле- исследуемый ряд. 4 оо ^ Исследуем данный ряд с помощью предельного признака сравнения, который состоит в следующем. Если Пт — = к, к (Е К, к Ф О, то ряды с такими общими чле- П-*оо Ьп нами ведут себя одинаково в смысле сходимости: или оба сходятся, или оба расходятся. Имеем ап = 1§2 л . В ка- качестве ряда, с которым будем сравнивать исходный ряд, возьмем гармонический расходящийся ряд с общим чле- членом Ьп = \/п. Тогда / Л2 \ 16 V. Ш« /' л2 = Л1 = к Ф о. 16 16 16 (Здесь мы использовали первый замечательный предел.) Итак, исследуемый ряд расходится. 4 ^ Для этого ряда необходимый признак сходимости рядов (Пт ап = 0) не выполняется. Действительно, «-*- оо 63
Пт ап = Пт A — зт —\ = 1 Ф О, Н-+М гс-«- оо \ Я/ т. е. исходный ряд расходится. -4 Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. оо V- (-!)"+' Ь п.Т ■ 11=1 ^ Воспользуемся признаком Лейбница. Имеем: ^, Пт —±— =0, 7" а„, Пт п • 7" ич-оо п • 7" т. е. данный ряд сходится. Исследуем ряд, составленный из абсолютных величин членов исходного ряда: оо У —• (•) п— 1 Применим признак Д'Аламбера: Пт ^+1- = Пт п'г = ± Пт _1_ = ± < 1, гс-»оо а„ п-»ос (я + 1)-7"+ 7 п-»оо п + 1 7 т. е. ряд A) сходится. Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится. -4 ► Для ряда \ — выполняется признак Лейб- оо ница. Ряд у гармонический (расходящийся). То- 11 = 1 ОО гда ряд ) -^ '— сходится условно. Сумма сходящегося п= 1 и расходящегося рядов представляет собой расходящийся ряд. Значит, исследуемый ряд расходится. 4 64
ИДЗ-12.2 Найти область сходимости ряда. ^-(Огвег; (~6; 1.3. ^ .|1. (Ответ; (-2; 2).) 1.4. V -*—. (Ответ: [-2; 2).) /_, л • 2" сю 1.5. V -?-. (Ответ: [—1; 1).) 1.8. V Aшс)п. (Ответ; (-1-; е\.\ лг = 1 1.9. У —-—. (Ответ: [—1; 11.) •{Ответ: [-2; 2» п= I 1.11. V (п(п+\)хп. (Ответ: (-1; 1).) 3—357 65
1.12. У Х"^4Г' п= 1 1.14. V ^-. [Ответ: (-е, е).) 1—1 К ^г-{Ответ: [~5; 5) 1.16. У ~. (Ответ: [—1; 1].) 1.18. ^ A8*)п. (Ответ: (±; 10).) оо 1.19. ^ ^. (Ответ: (-5; 5).) 1.20. V __^Ц_ (Огвег; Г_^; А ^ ^ V I 5 5 1.21. У -^г-. (Ответ; [-1; 1].) 1.23. У ( х)"+] . (Ответ: [—1; 1].) 66
1.25. 1.26. 1.27. I 2"л/3п — (Ответ; [ — 2; 2).) оо \—' *2.пхп (" ■ {Ответ: (-2; 2).) 1.29. оо 2.1. 2.3. 2.5. I п\ у; 1п". 1 (*-3)" ■ [-1; !)•) {Ответ: ( —5е; Ъе) 2 1^ {п + 1) оо 2.4. V {пх)п. оо 2.6. > -И + 1)! 2.7. V (—1)"+| оо \—' • х ' ' {_, 2" ' 2.9. ОО 67
2.10. 2.12. V — • 2.14. 2.16. I 2.18. У _!_. Ь (пх)п ОО 2 20 V 5'п Bп — ')* / , у1п — 1У п= 1 2.22. V -^1. п=\ оо 2.24. ^„!Г. оо 2.26. У 5|п"\ ОО 2.28. У ~. 2.30. V СО5 ПХ 2.11. V —. п= 1 2.13. 2.15. 2.17. 1 хпп\пп л=2 ]—• "X" •■+ 1 2.19. У ^. оо 2.21. У 2пзт—. Ь 3" оо 2.23. У —^—. оо 2.25. V *-. 2.27. оо I п= 1 2.29. У —. п= 1 I 68
3.2. У п (*-2)" . (Ответ: 1<л:<3.) п— I 3.3. У (*~2)" . (Ответ: 0<х<4.) о» 3.4. у (*~ 1}" . (Ответ; 0<х<2.) оо 3.5. у (*+Д\ {Ответ: — 9 < л: < — 7.) оо 3.6. у B + *)\ (Ответ; — 3<х<— 1.) оо 3.7. у я(*~ !)" . (Ответ: — 1<л:<3.) 3.8. V (х + ^_—. (Ответ: —6<х<—4.) 3.9. У 2(х + 2). (Ответ: — 2,5 < х < — 1,5.) 3.10. У —^—11—. (Ответ: — 1<л:<3.) п— 1 3.11. У "!(*+ЮГ . (Ответ: -е- 10 < х < е- 10.) оо 3.12. У (х + 5)" . (Ответ; — 6 < л: < — 4.) 3.13. У 11^1-11 (х+1)". (Ответ; 0<х<2.) 11 = 0 69
3.14. V B -х)" 51П -^-. (Ответ; 0<л:<4.) оо 3.15. V C~у _ (Огвег; к-с ^2.) /_, л — 1п2 л оо 3.17. V (*~2)" . (Ответ: ЗЛ8- л=| 3.19. 1)"-^_^(х_2)«. (Ответ: 1<х 3-20- X (Х^}Г'- (Огвег; -7<*<-з.) П = I оо 3.21. У Bя-')"(*+'У . (Ответ: — 2<х<0 оо 3.22. У (*+ 3)" . (Ответ; -4<д;<-2.) ™=' оо 3.23. V (*+п2>" . (Ответ: — 3<х<— 1.) п= 1 оо 3 24 > ^ 1V (Ответ ■ 1 <С х <Г 3 л=1 3.25. У 12—и—. (Ответ: 2<д;<4.) / * л -У й= 1 70
3-26- Ё(-'>"+|(п+(Г)мГ+.г {Ответ: п=1 оо 3.27. V (х~3)" . (Ответ: -2<х<8.) <*<?■) 3.29. V {х~ 3J" . (Ответ: 2<л:<4.) /_, (п+\)\п(п + \) к ' 3.30. V (-1)"-' (х~5)" . (Ответ: 2<х<8.) / , л • з Разложить в ряд Маклорена функцию \(х). Указать область сходимости полученного ряда к этой функции. оо 4.1. /(*) = соз 5х. (Ответ: V (-1У-Ь2п*2" _ \х\<оо\ /-г Bя)! / ( \ /-г Bя)! ОО 4.2. /(х) = х3 агс1§ х. (Ответ: V 4.3. ^) = $тЛ (Ответ: V ( ,Ц_Х" , к|< ооЛ оо 4.4. 1(Х)=-^—. (Ответ: V (-1)"хп + 2, |х|<1Л 1 + х \ I—, ) ОО 4.5. \(х) = соз ——. ( Ответ: ) ■ ~, ' '——, | л:| <Г оо.) п = 0 71
4.6. 1(х)= -Агт- (Ответ: 2 V Зпх2п, \х\<-±-.) 1 — оХ \ /__а ~\!$ ' оо 4.7. ((х)=е3х. (Ответ: V ^1, |х|<оо.) оо 4-8- /(*)= ттг- (Огвег: X (-'У1*"- ми< 1.) оо 4.9. ((х) = сЬBх3). (Ответ: V ~-, \х\< ооЛ я = 0 оо 4.10. /(*)=• ('Огвег: V ^'^ , |*|< ооЛ • п — о оо 4.11. [(х) = $Ъх. (Ответ: V ^'| | , |х|< ооЛ п= 1 оо 4.12. /(л:) = е-л:<. ^Огвег: V (~^"л:<" , \х\ < ооЛ п = 0 оо 4.13. }(х) = 2-*\ (Ответ: V (-1)^п"-2 х2", |х|< ооЛ гг=О оо 4.14. /(*) = 5*. (Ответ: V *"'"[' 5 , \х\ < ооЛ п = 0 оо 4.15. /(лг) = хсо8Л/^- (Ответ: V (~')^+' , 0<л:< ооЛ 4.16. /(х)= 72
Разложить функцию {(х) в ряд Тейлора в окрест- окрестности указанной точки х0. Найти область сходимости полученного ряда к этой функции. 4 17 Их\— ' х — 9 (Птпрт- ' V (* + 2)" 11=0 -4<х<0.) 4.18. /(дс) =_!_., *0=-2. (Огвег; V (- 1 )\х + 2)п, —1<:х<- -1 ^ ОО 4.19. /(д;) = едг, хо=1. (Ответ: еУ (л:~[)" , |х|<ооЛ п=0 4.20. /(*) = 4.21. Пх)=-^г, хо=\. (Ответ: \ К х < 3. 4.22. /(дг) = 4.23. Дх)= 73
4.24. Кд) = |„_1_, Хо=1. (Ответ: -IJ", 4.25. /(*)=—!=, *0=-3. У (Ответ: 1+У (-')"B«-1)! {х + 3)п< _4<х<_2\ /1=1 4.26. !(х) = со&х, хо= -5.. с08 /Л , „ . Л 4.27. /(*)= — ■ (Ответ: 1+У (~'Г(!" \ 1—1 2 л! /1=0 *т(а+) 4.29. /(х) = 5шх, хо = а. (Ответ: У —Ь И. (х — л=0 а)\ 4.30. /(*) = 1п E* + 3), хо= I. (Ответ: 1п 8 + 5. Вычислить указанную величину приближенно с за- заданной степенью точности а, воспользовавшись разложе- 74
нием в степенной ряд соответствующим образом подобран- подобранной функции. 5.1. е, а = 0,0001. (Ответ: 2,7183.) 5.2. ^250, а = 0,01. (Ответ: 3.017.) 5.3. зш 1, а = 0.00001. (Ответ: 0,84147.) 5.4. Уп, а = 0,001. (Ответ: 1,140.) 5.5. агс*е-^. а = 0,001. (Ответ: 0,304.) 5.6. 1пЗ, а = 0,0001. (Ответ: 1,0986.) 5.7. сп 2, а = 0,0001. (Ответ: 3.7622.) 5.8. \%е, а = 0,0001. (Ответ: 0,4343.) 5.9. л, а = 0,00001. (Ответ: 3,14159.) 5.10. е2, а = 0,001. (Ответ: 7,389.) 5.11. соз2°, а = 0,001. (Ответ: 0,999.) 5.12. ^80, а = 0,001. (Ответ: 4,309.) 5.13. 1п5, а = 0.001. (Ответ: 1,609.) 5.14. агс4§-1-, а = 0,001. (Ответ: 0,464.) 5.15. У738~, а = 0,001. (Ответ: 3,006.) 5.16. Уе~, а = 0,00001. (Ответ: 1,3956.) 5.17. эй 1°, а = 0,0001. (Ответ: 0,0175.) 5.18. -Ув^Зб. а = 0,001. (Ответ: 2,030.) 5.19. 1п 10, а = 0,0001. (Ответ: 2,3026.) 5.20. агсзту, а = 0,001. (Ответ: 0,340.) 5.21. 1^7, а = 0,001. (Ответ: 0,8451.) 5.22. Уё, а = 0,0001. (Ответ: 1,6487.) 5.23. соз 10°, а = 0,0001. (Ответ: 0,9848.) 5.24. -4=, а = 0,001. (Ответ: 0,302.) /30 10 5.25. У1080, а =0,001. (Ответ: 2,031.) 5.26. у, а = 0,0001. (Ответ: 0,3679.) 5.27. зт-^, а = 0,0001. (Ответ: 0,0314.) 5.28. У90, а = 0,001. (Ответ: 3,079.) 5.29. —к=, а = 0,00,1. (Ответ: 0,496.) 75
5.30. -!-, а = 0,001. (Ответ: 0,716.) Ме 6. Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001. 0,25 6.1. 5 1п (I +^[х)ах. (Ответ: 0,070.) о 1 6.2. ^агс*ё(^-)^. (Ответ: 0,162.) о 0.2 6.3. $ -^хе'Чх. (Ответ: 0,054.) о 0.5 6.4. С агс^х их. (Ответ: 0,48/.) о 0.2 6.5. $ У* сок хйх. (Ответ: 0,059.) о 0,5 х*) 6.6. 1 1п (I-{-х3)ёх. (Ответ: 0,015.) о 1 6.7. $ х2 зН1 хйх. (Ответ: 0,223.) о 1 6.8. $ е~х'/2Aх. (Ответ: 0,855.) о 0.5 6.9. $ дЛ -{-х2йх. (Ответ: 0,480.) о 0.5 6.10. ( йх я . (Ответ; 0,484.) о 6.11. \-у1 +х2/4с1х. (Ответ: 1,027.) о 0.5 6.12. (-^1^. (Ответ: 0,493.) о 76
0.1 6.13. ( ** ~ ' их. {Ответ: 0,103.) ) х о 0,5 6.14. $ х2 соз Ъхйх. {Ответ: 0,018.) о 0,5 6.15. $ \п(\+х2)йх. {Ответ: 0,385.) о 0.4 6.16. $ -фсе~х/4с1х. {Ответ: 0,159.) о 0.5 6.17. С ' + с°5 * их. {Ответ: 2,568.) 0.3 0.5 6.18. С агс^?*2 с1х. {Ответ: 0,498.) о 0.8 6.19. С ' ~^05 * их. {Ответ: 0,156.) о 1 6.20. \ъ\пхЧх. {Ответ: 0,310.) о 0,1 6.21. С ('^+*) их. {Ответ: 0,098.) о 6.22. \со&\[хйх. {Ответ: 0,718.) о 6.23. \-\[х ?,\п хйх. {Ответ: 0,364.) о 25 6.24. \±^-йх. {Ответ: 0,976.) 1 6.25. Ссоз — их. {Ответ: 0,994.) о 77
6.26. [атс1цР^-\ах. (Ответ: 0,318.) о 0.5 6.27. ( *-агс!е* йх (Ответ: 0,039.) о 0.4 6.28. $ ^1—хЧх. (Ответ: 0,397.) о 0.5 6.29. $ е~х'йх. (Ответ: 0,461.) о 0,5 6.30. 5 л/1+хЧх. (Ответ: 0,508.) о . 7. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения). 7.1. у' = ху + е\ у @) = 0. (Ответ: у = х + \ х2 + 7.2. у' = х2у2+ I, 1/@}= I. (Ответ: у = I - х + 7.3. о' = х2 - у2. у(Щ = 1. {Ответ: у = ±-±.х- 7.4. у' = х3 + У2. У@) = 4"- (Ответ: у= —-\-—. 2 \ 2 4 7.5. у' = х + у2, У@)= -I. (Ответ: у = -1 + х + 7.6. У' = лг + Х2 + У2, У@)= I. (Ответ: у = 1 + * + + **■+...) 78
7.7. I/ = 2 с05 х — ху2, г/@) = I. ( Ответ: у = 1 + 2х 7.8. у' = ех — у2, уф) = 0. (Ответ: у = х+ ух2 7.9. у' = х + у + у\ у@)= I. (Ответ: у = I + 2х + ( 7.10. у' = х2 + у2, у@) = I. (Ответ: у = I + х + х2 +...) 7.11. у' = х2у2 + у 81П х, у@) = ^-. (Ответ: У = у + 7.12. у' = 2у2 + уех, у@) = |. (Ответ: у = ± + |х+ +!''+•■■) 7.13. у' = е3л; + 2ху2, у@)=1. (Ответ: у=1+х 7.14. у' = л: + е!', у@) = 0. (Ответ: у = х + х2 ) 7.15. и' =у сов х-|- 2созу, у@) = 0. (Ответ: у = 2х-{- 4-х2-/+...) 7.16. у' = х2 + 2у2,у@}=0,2. (Ответ: у = 0,2 +0,08х+ + 0,032х;Г+...) 7.17. у' = х2 + ху + у2, #@) = 0,5. (Ответ: у = 0,5 + + 0,25*+ 0,375** + ...) 7.18. у' = е?ы* + х, «/@) = 0. (Ответ: у = х + х2 + 4 !*» + 7.19. / = ху — у2,0@)= 0,2. (Ответ: у = 0,2 — 0,04х + +0,108**+...) 7.20. у* = 2х + у2 + <?*, 0@) = I. (Ответ: у = I + 2х + + 3,5х2 + ...) 79
7.21. у' = лг8Ш х — у2, у@)=1. (Ответ: у = 1 — х-{- 7.22. у' = 2х2 - ху, у@) = 0. ( Ответ: У=~ —!|^ + ?! ■■; 7.23. у' = х — 2у2, у@) = 0,5. (Ответ: у = 0,5 — 0,5л: + х2 + ...) 7.24. у = хё*+ 2у2, у @) = 0. (Ответ: у = ±-х2 + 7.25. у' = ху + х2 + у\ «/@)= I. (Ответ: у = I + $*+■-) 7.26. у' = ху + е*, уф) = 0. (Ответ: у = х+± 7.27. у' = уех, у@)=1. (Ответ: у = I + * + х2 + •••) 7.28. у' = 2 5Ш х + ху, у@) = 0. [Ответ: у = л:2+ ± л:4 4- -Я- х6 4- 6 + 360 х +" 7.29. у' = л:2 + е», 1/@) = 0. (Ответ: у = л:+у 7.30. у' = х2 + У, У@)= I.(Ответ: у = 1+х+ ^ +•••) в. Методом последовательного дифференцирования найти первые к членов разложения в степенной ряд реше- решения диффереициальиого уравнения при указанных началь- начальных условиях. 8.1. у'= агсзт у + х, у@)= 1-,к = 4. (Ответ: у = -1-+ 80
8.2. у' = ху + 1п (у + *), 1/A) = 0, к = 5. (^Ответ: у = {х-\? , (*-1K , 2 ^ 6^ 8.3. у' = х + у\у(О)= 1,к = 3.(Ответ:у = х+ -^ 8.4. у' = х+-!-, 1/@)= I, Л = 5. (Ответ: у= I +х + + У ~ У +  8.5. у" =ху-\7у'х\ у(О) = у'(О) = у"(О)= \, у'"@)= I, Огв,г.-У=1+х+|г + |г + |г + ^ + ...) 8.6. у' = 2х-0,1у2, 1/@)= I, Л = 3. (Ответ: у=\- 1 2 ) 8.7. у"' = у" + у'2 + у3 + х, «/(О) = I, у'@) = 2, у"@) = = 0,5, Л = 6. (Ответ: у = I + 2х + Х1 + |1х3 + |х4 + 8.8. у' = х2-ху, у@) = 0,1, Л = 3. (Ответ: /у = О,I 0,05л:2 +0,333л:3+ ...) 8.9. у" = 8.10. у' = 2х + со&у, у@) = 0, к = 5. (Ответ: у = х2 — 6 4 ^ 8.П. у'" = уех - ху'\ 1/@)= I, у'@) = у"@) = I, Л = 6. (Ответ: у= 1+х+|1 + |1 + |1 + 0-х5 + ...) 8.12. у' = 3лг — у2, у@) = 2, к = 3. (Ответ: у = 2 — 4х — 81
8.13. у" = хуу', у(О) = у'(О)=\,к = е.( Ответ: у=\ 4- х 4- ** 4- 2*- 4- г*Г> 4- "Г х -1- "зГ + 4! +Г+ 8.14. у' = х2-2у,у@)=1,& = 3. (Ответ: у = 1-2x4- 2х2 + ...) 8.15. у"= ^ 1-, 1/A)= 1, у'@ = 0, Л = 4. о™ у = 1 (^01-^1 + ^1I + ( 8.16. у' = х2 + 0,2у2,у@) = 0,1,Л = 3. (Ответ:у = 0,1 + + 0,002л: + 0,00004л:2+ ...) 8.17. у" = у'*+ху, 1/@) = 4, у'@)=-2, Л = 5. (Ответ: у = 4-2х + 2х2-2лл+ ^х4 + .. 8.18. у' = хуЛ-у\ 1/@) = 0,1, Л = 3. (Ответ: у = 0,1 + + 0,01х+0,051х2 + ...) 8.19. у" = ^зшу', у(л)=1, /(п) = у, Л = 3. 8.20. у' = 0,2л: + у2, у@) = 1, к = 3. (Ответ: у = 1 + х + + 1,1х2 + ...) 8.21. у" = х2 + у2, у(-1) = 2, у'(-1) = 0,5, Л = 4. (Ответ: у = 2 + |(х+1)+|(х+1J+1|(ж+ 1L+-) 8.22. у' = х2 + ху + е~\ у@) = 0, к = 3. (Ответ: у = х — + + 8.23, у'=-1^^1 + 1, 1/@)= 1, к = Ъ. (Ответ: у=1 8.24. х + 31 5! ^ 8.25. у" = усо5у' + х, 1/@)= 1, ^@)=-|, * = 3. {Ответ: у=1 + |-х+| 82
8.26. у' = соах + х2, у@) = О, к = 3. (Ответ: у = х + - + - ~Л 3! ' 5! ) 8.27. у' — \у + 2лгу2 — е3х, у@) = 2, к = 4. ( Ответ: у = 8.28. A - х) у" + у = 0, у@) = у' @) = 1, Л = 3. (Ответ: у= 8.29. (Ответ: у=1 8.30. у' = Решение типового варианта Найти область сходимости ряда. = |, * = 3. 1/A) = 1, 3, УA)=1. * = 3. (Ответ: у=1 / ■I ► Воспользуемся признаком Д'Аламбера: (п + 1J+1 11ГП = Ит ■п И- = л/^ Нт -л/ Интервал схрдимости определяется иеравеиством-\/х < < 1, откуда 0 <х< 1. Исследуем граничные точки этого интервала. При х = 0 получим числовой ряд, членами кото- которого являются нули. Этот ряд сходится, точка х = 0 входит 83
в его область сходимости. При х= 1 получим числовой ряд V . Воспользовавшись предельным признаком сравнения рядов с положительными членами, сравним этот ряд с гармоническим расходящимся рядом, общий член кото- которого уп = 1 /п: Пт — = Пт — " = 1 = к Ф 0. Следовательно, числовой рядУ" ! расходится и ^_I -,/„2 ■ Г" /1=1 точка х= 1 не входит в область сходимости. Таким образом, область сходимости исследуемого ря- ряда — 0<*<1. < 2. ► По признаку Д'Аламбера имеем: п2 + 2п + 2 Пт х1 - Зх + 2 л:2 + Зл: + 2 л:2 — Зх + 2 + Зх + 2 л:2 — 3* + 2 *2 + Зх + 2 Пт д:2 — Зх + 2 *2 + 3* + 2 1, -1 < х2 — Зх + 2 + Зх+2 Решаем полученные неравенства: I >0, * - Зх + 2 х2 - 3* + 2 х2 + Зх + 2 ' х2 + Зх + 2 Отсюда Далее, х2-Зх + 2 ^ + Зх + 2 , хе(-со; —2)У(—1; оо). 0 . х2 - Зх + 2 х2 + Зх + 2 "~~ ' х2 + Зх + 2 -КО, -6х х2 + Зх + 2 84
*2 + 3* + 2 Следовательно, х^( — 2; —\){]@; оо). При х = 0 по- V п2+ 1 лучим числовой ряд у —'-—, для которого п=1 Игл ип= Игл -51±1 = 1 -2 т. е. необходимый признак сходимости не выполняется, следовательно, этот числовой ряд расходится. Область сходимости исследуемого ряда: 0<лс< оо. <4 3. 2 (З-л:2)". Л = | ^ Воспользуемся радикальным признаком Коши. На- Находим: «п = C-л:2)л, Игл У|3-*2Г=|3-л:2|<1, П—*- оо - 1< 3 - х2 < 1. Решаем полученные неравенства: 3-х2>-1, ^-4<0, *6( —2; 2); 3-л:2<1, л:2-2>0, лгб(-оо; -^/2)[}(-у/2; оо). Пересечение найденных решений дает интервалы схо- сходимости исследуемого ряда х 6 ( — 2; — у2) II (у2; 2)- Исследуем сходимость ряда на концах этих интерва- интервалов. При лс=±2 получим числовой ряд 2 (—1)"- Этот /1=1 знакочередующийся числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости числового ряда (Пгпы„ = 0). При х= ±-у2 получаем числовой ряд П—*' ОО оо 2 1", который расходится, поскольку необходимый при- п= 1 знак сходимости также не выполняется. Значит, об- 85
ласть сходимости исследуемого ряда: (— 2; — 11G2; 2). « 4. Разложить функцию у = соз2лг в ряд Тейлора в окрестности точки лго = л/3. Найти область сходимости полученного ряда к этой функции. ► Преобразуем данную функцию: у = со&2 х= -1- + у Разложим полученную функцию в ряд Тейлора. Для этого найдем значения данной функции и ее-лроизводиых до л-го порядка включительно в точке х0 = л/3: /(*) = у + у сов 2х, /(*„) = /(|) = | + |соз | = р/ /у\ о /'"(*) = 4 51! \П 2Х, 1 соз 2х, }' л 2х, \" _ 1 ~~ У :'(т) = -51 "(у) = -2 '(^\ = 4 51Г 1 т соз ,| _ 1 . 4 * = -#; | = 1; = 2^/3; =-2-'зш(|+(«-!)-=■). Полученные числовые значения производных подставляем в ряд Тейлора при лго = л/3: п я\\/„ л\л , 1 86
Для нахождения области сходимости полученного ряда необходимо выяснить, при каких значениях х остаточный член ряда Тейлора стремится к нулю. Он имеет вид где Е;6(*; *о). Поскольку 5тB^ +'гу)| =** 1. достаточно найти область сходимости ряда с общим членом —(х— ^\ . Согласно признаку Д'Аламбера, 1)! Нт 2)\-2"(х — л/ = нт *\*-*1*\ =о<1. л-оо П +2 Полученный ряд сходится при любом х. Значит, область его сходимости к функции /(лс) = сО52л: такова: —оо < <х< оо. 4 5. Вычислить \/л[е приближенно с точностью а = = 0,0001, воспользовавшись разложением функции у = е* в степенной ряд. ^ Воспользуемся рядом A2.17). Так как 1/-\/е = ^ в ' , ТО е-ич=\ I _| ! ! |_ ' 4|Н 2 4-2! 8-3! 16-4! 32-5! Получили знакочередующийся числовой ряд. Для того чтобы вычислить значения функции с точностью а = = 0,0001, необходимо, чтобы первый отбрасываемый член был меньше 0,0001 (по следствию из признака Лейб- Лейбница). Имеем а-, — ' — ' — ' 7 — 64-6! 64-720 46080 С заданной степенью точности: 2 ' 8 48 ' 384 3840 * -4= » 1 - 0,5 + 0,125 - 0,02083 + 0,00260 - 0,00026: «0,6065. А
6. Используя разложение подынтегральной функции в степеииой ряд, вычислить определенный интеграл \ — х с точностью до 0,001. ^ А/я_л-з ^ Воспользуемся биномиальным рядом (см. формулу A2.21)). Тогда ■ _ '/,_/л3\-'/3 Получили бином вида A-\-г)т, где т=—1/3, а г = = —(х/2K. Имеем: 7 2 \ "*" 3 V 2 ) "•" 9 2! V 2 У т 27 3! V 2У "*"  _ 1 /. ■ л:3 ^е , 2 V 24 + 288 ' 7л:9 18176 I 288 + 18176 Х^ 4-24 ^ 7-288 ^ 10-18176 = ±Л Ь _| 2 V 96 ' +-ЛГ = ! 2016 181760 1 < 0,001. 2016 С точностью до 0,001 о у - тк ~ °-5 ~ °'0052 ~ °-495- 7. Найти разложение в степеииой ряд по степеиям х — 1 решения дифференциального уравнения у' = 2х + у3, уA)== 1 (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения.) ^ Точка х=\ не является особой для данного уравнения, поэтому его решеиие можио искать в виде ряда: 88
Имеем: /A)= 1. /'A) = 2 + 13 = 3, /"(*) = 2 + 3у2у', /"A) = 2 + 3 • I2 • 3= 11. Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем решение данного уравнения: 8. Методом последовательного дифференцирования найти первые 5 членов разложения в степенной ряд реше- решения дифференциального уравнения 4х2у" -\- у = 0 при сле- следующих условиях: уA)= 1, У'@= 1/2- ► Ищем решение данного уравнения в виде ряда: 4! Р"М- У**'-2*» ГЧП- A/2)-1-2-1 _ 3 . [1У(х) = — ((у"х2 + 2ху' — 2у — 2ху')х4 — 4х3(у'х2 — -2ху))/Dх»);ГA)=-Щ. Подставляя найденные значения производных в ряд, получаем искомое решение дифференциального урав- уравнения: У= 1 + \{х- 1)- ~ 15 16-4! (х-\У+..., 16 128 ИДЗ-12.3 1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом = 2л) функцию /(л:), заданную на отрезке [ — л; л]. 89
11 нх) — 1.1. Г[Х) — _ 2_ у сов (B6-1)*) , л-2 у &\п(Bк-1)х) у <ЦпBкх) \ л !_, Bк-\)г л Л, 26-1 ]_, 2к ) «о г/\ Г2х — 1, —л ^ х ^ 0, /,-. г/ч 1.2. /М = {0> 0<х<л. @твет: ^ = = л+ ' 1 0^) I J ' 2 1 А Bй— IJ , 2(л+ I) у 81п(Bй-1)л:) _„Г &\п Bкх) \ ' л /^ 2* - 1 А 2й 7 сов (Bй — 1)*) BЙ- IJ + , л + 4 у В1п(Bй— \)х) у зт Bкх) \ ' л 2^, 2* - 1 /^ 2к / 1-4. /(*)-( 0 0<х< л. л+ 1 у &'т({2к — 1)х) _■_ у я Л, Bй— 1)- л Л) 2й — 1 51П Bкх) 7 сов (Bй — 1)л:) _ц л— 4 \"" вт {Bк Bк-\J 2л /_, 26-1 эе
1.6. № = (Ответ: 4- — V к=\ B6-IJ I 2<л~3) я А, 26-1 к-\ 31П Bкх) 26 ) , ^_ у сов (B6- 1)л:) , 6-л у 5|п (B6- 1)л:) , п 1 B6 IJ л / 2й1 81п B6л:) 26 B6 - IJ \ 7 к-\ 2 V сов (B6- 1)лс) л ]_, B6-IJ 4 + л у в!п (B6-1)л-) л ]_, 26-1 к — \ у 51П B6л:) \ ~" ]_, 26 7 /м- 2л —3 сов (B6— \)х) 2 п Л, B6- IJ 2Bл — 3) у 51п.(B6 — \)х) _. у 81п B6л-) \ л ]_, 26 - 1 Л 26 7 91
л+10 у вм (B6— \)х) B6-IJ л {_, 26-1 _ _?_ у соз (B6— \)х) _ л+10 у ~* 1-, B6- IJ л {_, + 1 А=1 з!п Bкх) .11. /(х) =1оу _ ! 0<х<л @гвег; /(Х) : ОО ОО Зл-2 _ _6_ V соз (B6 - \)х) , Зл-2 V ът(Bк—\)х) - I) 2 1.12. Кх) = _ 4_ у соз (B6- 1)*) _ 2(я + 3) у вт (B6 — 1)*) , я ^ B6-IJ я {_, 26-1 *1 А1 А—1 ,пГ З1пB6^) \ "•" Л, 26 7 Л 1 B6 - IJ '2 /_, к к = 1 / А = 1 7 2 —5* , 10 у соз (B6— B6- IJ 5я — 2 V Вт (B6 — — 2 у зт (B6 — 1)*) _гГ Вт B6л:) \ я ]_, 26-1 /_, 26 7 92
— 4лг 0 "^ х "^ л. (Ответ: }(х)= 1=*?- + А V со8(B*-1)д0 •V П ' 2 ^ л /_, B*-1J вт (Bк— \)х) , ,Г вт Bкх) \ 2к-\ + [_, Тк 7 ГЗх + 2, -; 2 —4л л *=1 1 16 !(х)- 1.1Ь. ПХ)- //а г/ \ 4-Зи , 6 Г со${Bк— {Ответ: }(х)= —^ + - ^ Д , Зл-4 Г &т(Bк— \)х) _»Г вт Bкх) \ "" ^~~ А 2*^1 Д ^ 2* 7 , 2D —л) у вт (Bк— \)х) . „ Г вт Bкх) + л [_, 2к-\ ~^~ ]_, 2к 1.18. /(лг) = {2 + л/2> ~^< *<°' (Ответ: л /-. Bк— IJ 1_! 2к ) 1.19. /(*) = С05 «2^ ~ V 'V ' 2 л {_, {2к-1J 2 5|'П ?й — л 1 2Cл —5) у вт {{2к— \)х) _лГ вт Bкх) л /_, 2к-\. /_, 2к 7 93
120 Г(х) — Зл + 14 (Ответ: /(*) = - ± V Bк-\)г 14 + Зл V 31П (Bй - л 6 = 1 1.21. Нх) = . 7 .21. /(х)= ^ V. 4 . (Ответ: }(х) = сов (Bй— 1 Bк - IJ . _1_ ~2~ вт {2кх) 2(Зл В1п(Bй —1)*) 2к *=| 1.23. Д*)-D _9Х> о : л. . 8 — 9л V Вт {{2к — \)х) , Л л ]_, 2к=\ Г к=\ вт Bкх) 2к=\ Г У ^ 2к *=1 (Ответ: }(х) = - ^±^ + ±- У сО8«2*'-^ V '*■ ' 12 ' Зл 1_, {2к— VI 18+л у В1п(Bй — 1)лг) 1_ V вт B6*) \ 9 {_, 2к ') 9л /_, 2к-\ к = \ к=\
1 ок !(г) — ( 1.25. /(*) —{юх —3, (Ответ: }(х)= ^ \ 1Ч ' 2 л 1_, Bк- IJ шу Вт B6*) \ 1.26. Нх) = 11~х/4' ~Л: 2Eл — 3) V 51П (B*— \)х) _ я ^ 2А-1 й Л. (Ответ: 1(х)=-Ш- -^У ^^к-^) \ 1К ' 16 2л ^ BА-1J л+8 V &\п (Bк — \)х) ,1 V 31П , _1_ V 51П B*х) \ ' Т /^ 2* 7 4л /^ 2к- 1 *—1 *=1 127 ЯГгЛ (Ответ: /(х)= *=™- + ^ V ссв«2*-1)х) V М ; 20 ^ 5я 1_, {2к-\)г , я —20 V 5|п (B*— \)х) 1_ V 5Ш Bкх) \ ' 5я [_, 2к-\ 5 ]_, 2к 7 2(л+ 11) V 81п(Bй— 1)л:) _ о V 5»п &кх) \ "•" л ^ 2* - 1 ^ 2* 7 (Ответ: /(х)=-^1л- + - # V К ' 2 ^ л 1_, BЙ - IJ *=1 95
2C-4л) V &т(Bк—1)х) л 2 ^ 7я + 2 у &т(Bк — 2к-\ 7 2. Разложить в ряд Фурье функцию }(х), заданную в интервале @; л), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каждогв продолжения. 2.1. !(х)=ех. (Ответ: е" = У-1)сО8/»с ^ еХ= 2_ 1 + л2 ' л 2.2. /(*) = *2. Г Ответ: х2= »1 +4 V \ 3 ^_< 2= А у -^ я 1_, {2к- А 2.3. /(дг) = 2*. (Ответ: 2^ = я 2.4. /(х) = сЬх. (Ответ: сЪх= 96
■2 ) (— 1) -Л, сЬ Х= — У ^ >— П 51П ПХ. ) (_, 1+л / л {_, 1 + п2 / п=1 п=1 2.5. }(х) = е-х. (Ответ: е~х = ' * " + 2 V 1 — (— \)"е' — > -—(—!±, созллг, л е-.=.± л 1_, \+п< п=1 2.6. /(*) = (*- IJ. (Ответ: (х-1J= ± у 2-я з(B^_1)х) + ^ л /^ BА — IJ ^ 4 B* ,2_ л2-: *=! 2.7. /(х) = 3-^2. (Ответ: , 4 1п 3 у 1 —(—!)"• 3~"/2 'л {_, 4я2 + Aп ЗJ ' л = 1 3-х/» = А V |-(-|)"-372 Я 5Ш ПХ.) л /^ 4п2 + Aп3J ) 2.8. }(х) = &Ъ 2х. (Ответ: зК 2х = -л сЬ2я •(—!)" 4 + п2 4-357 97
П 51П ПХ] 2.9. /(*) = е2х. (Ответ: е2х = л 1_, 4 + я2 о** _ 2 V ' -(-О"^2" Л 51П ПЛ\ л /_, 4 +л2 я=1 2.10. /(х)=(х-2J. (Ответ: (х-2J= -6л+12 оо оо 4D — л) У со$Bк— \)х п соз 2йд: *=1 • *=! 2.11. /(х) = 4^3. (Ответ/ 4^ = 3D"/3-'> \ л + ^Е±у ':У:4:/3-|со5пх, л ^ + Aп 4J •) 3}П 9п2 + Aп4J 2.12. }(х) = с\\±. (Ответ: сК ± = 2 5Ь^л/ 4 8ш(л/2) у (—1усо5/цс л А, 1+4п2 ' п=1 сК^=всЬ(л/2) у ■-(-■)" да;пяЛ 2 ^ 1+42 / 1+4п2 .2.13. 1{х) = е*х. (Ответ: е4х =-^~ = е*х. ( + - • л л ^_, п2+16 1 93
4, 2 V 1 —С— П"е4л е" = — > г-—-— п 31 л 1__, л2+ 16 31П ПХ. 2.14. /(*) = (*+IJ- (Ответ: (х+1)г= "' + ^ + 3 соз (B6-1)*) B6-IJ С 05 B6*) IJ - = 1 V л !_, B-«2)+(-1Г((я-1)У-2) ) 2.15. 1(х) = Ъ'х. (Ответ: Ъ~х = ' ~5/ 'ч ' \ л 1п 5 21п5 п=1 '-5"Ч-1Г п2 + Aп5J соз пх, 5-* = А V '-/-'Г-ГязтдхЛ л /_, п2 + Aп 5J / 2.16. /(х) = зК Зх. (Ответ: зК Зх= сН 3" ~ ' (—1)"сН Зл— 1 соз пх. п2+9 2.17. Дх) = е-'/4. (Ответ: е~х/4= 4A 16л2+1 соз лх, п=1 л /^ 16л2 +1 •Л 31П ПХ.
2.18. !(х) = Bх-1J. (Ответ: Bх- IJ = 4л2~6л+3 А V (-1ГB«г1У+| соа<ц> л=1 B*- IJ = А 2.19. Длг) = 6*/4. (Ответ: 6^4 = 4F"/4-') \ л 1п 6 п=1 я 1_1 16п2 + Aп6J л=1 2.20. /(лг) = сК4лг. (Ответ: сп4л:=-^ 1X1 \ 4л (-1)" п2+ 16 11Ь4л_у (-1) соз ^ п / п2+ 16 сп 4х = А V я /^ п2+ 16 2.21. 1(х) = е-3х. (Ответ: оя л л=1 2.22. /(х) = х2 + I. (Ответ: х2 + I \ СО5 , 100 )
2.23. !(х) = 7~^. (Ответ: 7-" = 7<»-/Г* 4 ' \ л 1п 7 49л2+Aп7J 7~х/7 = У ~\ ' —- П 31П ПХ.\ л 1_, 49п^ + Aп7)^ / 5(сЬт-') 2.24. 1(х) = зК 4- (Ответ: зК 4 = — + 'у 5 \ 5 л 00 I— 1У"сЬ4 — ' О 25п2 + 1 ■ С 05 ПХ, 5 п 1_, 25п2 + 1 2 25 ?Сх^ — р~2х/3 (Отйрт- р~2х/3 — Ж!_И! Л. ■ сок пх, 9п2 + 4 2.26. !<х) = (х-лJ. (Ответ: (х - пJ = ^- + ч / ( А у(ПУ + 2)(-1Г-11 п=1 2.27. Дх)= 10~*. (Ответ: 10~х = '~п'°~Я + п2 + 1п2 10 л /_< п2 + 1п2 10 п = \ 101
2.28. Нх) = с\\ —. (Ответ: сЬ — = зЬ 1 л \ л + 2 зК 1 У I + л V соз 1 + л=1 1У-оЬ I яя1пях\ л V / 2.29. ((х) = еАх/3. (Ответ: е4*/3 = -^—-^ !- СОЗ ПХ, 9л2+16 9л2 +16 л = 1 2.30. /(ж) = (х ~ 5J. (Ответ: (ж - бJ = л2 ± V ("-^71)" + 5соз^, (х-5J = л=1 3. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале периодическую функцию [(х) с периодом «о = 21. 3.1. }(х)=\х\, —1 <лг< 1, 1=1. (Ответ: \х[= \ - 4^ Г соз(Bп + 1)лл:) \ л2 Ь Bп+1J 7 3.2. }(х) = 2х, —1<х<1, /=1. (Ответ: 2х= 1 — 2 V зт Bлп^) \ п {_, п ') 102
3.3. /(*) = е", -2 < х < 2, / = 2. ( Ответ: е* = ппх . ппх 2 СОЗ — ПП 31П —г— 3.4. /(*)= |*|—5, -2<х<2. С Ответ: |*| -5 = = -4- А. 2 л2 Л Bя+1J 2 л = 1 3.5. /(*) = {'; "Л^?; /=!• (Ответ: }(*)={- + 3; пBп- IJ 3.6. }(х) = х, 1<х<3, /=1. (Ответ: х = 2 -+- ш (ппх) \ 3.7. }(х) =\ х, 0<лг<1,/ = 2. у СР5(Bп — \)пх) 2 л2 А. Bп-1J 1 (— 1Г 5Ш(B>г+ 3.8. 1(х)=10 — х, 5<х< 15, 1 = Ъ. (Ответ: 10 — х = _10_ V / ,\п 51п (ппх/5) \ л /^ * п 7 Г I, -1<х<0, 3.9. /(*)={ I /2, х = 0, / = I. (Ответ: /(*) = I, д;, 0<х<1, ч 00 Ов 1_ Г4 51П(Л№С) \ 2 V СО6(BК — 1)ПХ) "л* А 103
3.10. /(лг) = 5лг-1, -5<*<5, 1 = 5. (Ответ: Ъх 1 1 -Ь-^- У (-1)я+'-!-зт-™Л п {_, х ' п 5 / 3.11. /(дг) = {2: "о5х5з; ' = 3.(/()§ ±_У сО8(B/.-1)як/3) _1Г (-1)" з(п «и \ я2 /_, Bл- IJ п /^ п 3 7 3.12. /(х) = 3 — х, — 2<лг<2,/ = г.^Огвег: 3 — х = 3.13. /(*) = {_}; ?<х<2! /= '• (Ответ: 81п(Bп+ 1)Д«) \ 2п + I 7 3.14. № = {% ~0<^<2,>/ = 2- {Ответ: ^х) = лBп- 1) л=1 (X, V 5 3.15. {(х)=1 I, 1<х<2, / = 3. (Ответ: }(х) _2 9_ у сов Bлпл:/3) , ^ у соз BлА:;»:) \ Т ~ъг Ь п* + 2л2 1_, к2 7 п=1 к=\ 3.16. }(х) = 2х — 3, —3<х<3, 1 = 3. {Ответ: 2х 51П л п=1 104
3.17. /(*) = (_',' з/2<*<3 / = 3- (Ответ: /(*) = ± У ( 1)" со5(Bп+1)л*/3) \ л /_, 2л + I / 11 = 0 3.18. /(х) = 3—|х|, —5<х<5, / = 5. (Ответ: 3 — ±42° + '-*, -4<х<0, 3.19. /(*) = { 1, х = 0, 1 = 4. (Ответ: }(х) = с оз (Bп — 1)лд:/4) . у (— 1)" в 1п (пл*/4) Bл - IJ *~ ]_, п п=1 х у 5Ш(BА!- »)яд;/4) л /^ 2* - I •) 3.20. /(*)= I +х, —I <х< I, /= {.(Ответ: I +х = = I 4- — V (— [)"+' 5ШПЛЛГ \ "~ ' Л /^ П 7 11=1 Г-1, -2<лг<6, 3.21. /(х) = < —1/2, л: = 0, / = 2. (Ответ: }(х) = К х/2, 0<х<2, ч I 2_ у соз(Bп— 1)ж/2) _|_ _3_ у зш (Bп — 1)ях/2) _ ~Т~^" 2-. Bп-1J п 1а 2п-[ 11=1 ««=1 I у 51п (кпх) \ И ]_, 2* 7 3.22. /(х) = 2х + 2, _1<л:<з, 1 = 2. (Ответ: 2х = 2—-^- У 11=1 105
3, -3<л:<0, 3.23. !(х) = { 3/2, х = 0, 1 = 3. ( Ответ: ?(х) = — х, 0<лг<3, \ СР8(Bп-1)л*/3) _ _9_ у в|п(Bп—1)ял/3) _■_ Bл—IJ л 1_, 2л — I 7 3.24. /(*)= I — |*|, —3<*<3, / = 3. [Ответ: I -2, -4<х<0, 3.25. { Г -2, -4<х<0, = { - 1/2, х = 0, / = 4. (Ответ: }(х) {1+х, 0<х<4, ч _1_ . _32_ у СР8(Bя — 1)л*/4) , _[0_ у аш (Bп — 1)лх/4) _ 2 л2 Л. Bп — IJ д А 2п — 1 д=1 п=1 2к 3.26. /(х) = 4х —3, -5<х<5, / = 5. СОгвег: 4л:- П 5 .27. /(*)={ I, -1<*< I, 1 = 2. {2-х, 1<л:<2, '•■ /{х)=т + ^ СО8BB*— 1)ллг/2) \ »? {_, BB* - I)J 7 А=1
3.28. /<*)= А л=1 3.29. 1(х) =\ 2, х = 0, / = 2. (Ответ: {(х) 4, 0<лг<2, ^ 8 у1 соз(Bп-1)я*/2) , 4 V I • плх 3.30. }(х)=\х\-г, -4<х<4, / = 4. 4У 2 я2 /__, Bп-1J _8_ у1 81П { п=1 = 31П B* — *=1 4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную гра- графически. 4.1. -5 -4 -3 -2 0/23 4 5\ /6 7 л 4.2. у. 1/2 ■ х -6 '-5 -4\-3 -2 -1 0 • \ 2 3 44 5" „ 6 X 107
4.3. ■6. -5 -4 -3 -2 -1 О 4.4. Тб7х 7,51 -7 -6 -4, -5 5 -4 -3 -2 5 -1 У 0 1 2 ■ 4 1 4 5 6 7 5 X -1 4.5. ~? 1 ? '? V ? I 41 41 К / ,2 ,5 .4 ,5 4.6. -6 -5 -4 -3 -2 -1 О 1 6 х 4.7. У, \ -6 -5 -2ч -5 -2 -1 0 -1 \ , 2 3 -ГЧ р" 6 * 108
4.8. -5 -4 ~5 -1 О 1 У^^ 4.9. -5-4-3-2-1012345- 4.10. N У / -5 -4 -3 -2 -1 4.11. У \. \ 0 1 2 3 4 5 х V. -5-4-3-2-1 0 12 3 4 5 х 4.12. У, / \ -6 -5 -4 3\^ \ -2 -/ 0 /Ч \ 2 3 4 5\6^ X
4.13. А И И И И -3 -2 -/ 0 / ? 5 4.14. -3 5 4 .Г х 4.15. N N N N N -6-5-4-3-2-1 О / 2 3 4 5- б х 4.16. У1 -5 4.17. У. / 1 / , / I 2 1 7 1 1 / , / / , / -6-5-4-3-2-1 О 1 2 3 Ь 5 6 х ПО
4.18. ■4 У 2 ■3 -2 УЧ / 0 1 / 2 3 4 /5 6 7 . 4.19. -6 -5 4.20. -3 -2 -1 01 2 1 4 5 6 / 2 3\ 4 '5 х 4.21. ТТч -6-5-4-3-2-1 0 12 4.22. 6* /-7 -6 -5 '4 -3 У) I 1 0 12 3 1 1 6 7 х 11)
4.23. У, 2 -6 -5 \^ \ 1 3 -2\^ ^ 4.24. У 1 \ 0 1 \ I I 2 3 «Д|5^ 6 л -7 -6 -5 -4 -3 -2 -/ 0 1 2 7 <+ 5 6 х 4.25. -6-5-4-3-2-10 12 3^56 х 4.26. 4.27. ч/ \ / V X \ / V X/ -ь -5 -ь -ъ -г -1 о 1 г з ь 5 б 7 112
4.28. -б /5 -* '-3 -2 ЛГ О 1 2/345 6 /7 Я -1 4.29. У. 1 -6-5-4-3-2-10 12 4.30. А -7 -б -5 -4 -3 -2 1 -1 -1 А 0 -2 1 2 3 5 х 5. Воспользовавшись разложением функции [(х) в ряд Фурье в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда. = \х\, (-л; л), 5.2. }(х)= I, ( —л; л), V —^ . (Ответ: и=1 5.3. Дх) = х2, [-л; л], 113
оо 5.4. 1(х) = х, [0; л], по косинусам, V -. (От- 1_, Bл — I) \ и=1 и=| 5.6. (Ответ: -^-. (-'Г' /. 2Я-| 0, Ж= — Л, Х = 0, Х = Л, п 5.8. «,) = [0; | /1=1 5.9. !(х) = х, @; л), ) /о ^ . (Ответ: ^- 5.10. Дх) = х2, ( — л; л), 5.11. 1(х) = х(я — х), @; л), по синусам, V (Ответ: -^-) 5.12. /(*) = -|зи1*|, (-л; л), (Ответ: ^~^ 114
и=| 5.14. Д*)- 5.15. Д*)= 1*1, (-1; О, 1 (Ответ- - Л 8 и=| /1=0 5.16. 1{х) = х\ (-л; л), и=1 .17. ЦХ)=\ 1/2, V л, = 0, ■5 18 Нх\— 5.18. Д*)— 5.19. 1(х) = /1=1 2, 5.20. /и={_!; з/1^1; и=1 Г —1, -2<х<0, 5.21. !(х) = \ -1/2, I /2 5.22. /(ж) = -2Ж, -2<х<0, Ж, 2<х<0, 2, ж = 0, V 4, 0<х<2, „е, B" <0, = 0, V ■—!—г. <2 ^ Bп~1) 116
х-\, (Ответ: 4 524 Нх\-{~2х' ~^ 5.24. Дх)-{ -(-О") 5.25. 1{х) = п2-х\ (-л; л), 5.26. 1(х) = [-л; л], = 97 Г(у\- 5.27. Дх)- 5.29. !(х)=\со&х\, [-л; л], Ответ:-2 5.30. К*)=|со8-1|, [-л; л], Ответ; и=1 Решение типового варианта 1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом со = 2л) функцию 116
л. ^ Вычислим коэффициенты Фурье: ао= — я 2 2 ' аи = — \ (л + х) соз /гхс?х = _ |и = л + х, 1 = соз пхйх, V = — зш /гх, х) Г - ± /1-я п 51П = СО5 ПХ о яп2 -я ля2 ч ч ' ' лBп— IJ о Ьп= — \ (Л + X) 51П ЛХС?Х = _ |и = л + х, йи = йх, (IV = 51п /гхс?х, и = соз пх Ряд Фурье для данной функции запишется в виде оо оо Г/,Л— п Л- 2 V сО5(Bп- \)пх) _ V4 8Ш (пя*) д^ - т+ 1 ^ггтM / • * и=1 2. Разложить в ряд Фурье функцию \{х) = 8*/2, за- заданную в интервале @; л), продолжив (доопределив) ее четным и нечетным образом. Построить графики для каж- каждого продолжения. Н7
► Продолжим данную функцию четным образом (рис. 12.7). Тогда: Л а0 = ± С 8х/2йх= А . 2 . 21. " = —1— (8Л/2- 1), я ] я 1п 8 о я 1п 8 ч ' ап = — [ 8Х/2 соз пхйх. о Г -Зп -2п -ПОл Рис. 12.7 2ж Зж л Найдем неопределенный интеграл 5 8Х/2 соз пхйх, вы- выполнив дважды интегрирование по частям: 8Х/2 соз пхйх = = - 8Х/2 и = = -1- • 8х'21п 8йх, = СОЗ ПХйХ, V = — 51П ПХ п = - 8Х/2 з1п пх- 8Х/2 з1п пхйх = и = йи=\. 8х'21п 1 = 31П пхйх, и = соз пх, 31П ПХ + 2п2 соз лж - 4п2 4п2 пхйх = — . 8 X 8*/2 соз пх, 8'/2 СО8 пхйх, X С 8^2 соз пхйх = 34"' . С- 8Х/2 з1п лл: } 4«2 + 1п2 8 V п 1п8 118
■ Вычислим коэффициенты а„: _ 4 1п 8(8л/2(—1)" — ~~ яDя2 + Aп 8J) Следовательно, разложение данной функции по коси- косинусам имеет вид л!п8 1]п8_у ^;(-')---1с08ЯХ. л 1_, 4п2 + Aп8J Теперь продолжим данную функцию нечетным обра- образом (рис. 12.8). Тогда: -Т/г -2п О К 2л ЗП X -1 Рис. 12.8 8*/2 51п пхйх = и = 8Х/2, йи = у • 8*/2 'л 8^, 1 аи = 51п пхйх, V = — — соз лд; = _ .!_ 8*/2 соз лд; + -!^-\ 8Х/2 соз лх^д; = (IV =» СОЗ , У = — 81П ПХ п
= _1 . 8х'2 С05 ПХ + Щ- .8*/25ЮПХ- п 2п2 4л2 Aп8J 2п2 лDя2+Aп8J) Следовательно, разложение данной функции по сину- синусам имеет вид у>+1 П 81П ПХ. -4 3. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом = 2) функцию ( 1, - I < х < О, /(*)={ 0,5, х=0, К х, 0 < х < 1. Вычисляем коэффициенты Фурье: в I „ -10 в 1 ап= \ соз (ппх) их + \ х соз (ппх) их = -1 0 и = х, йи = их, ^ = сов (ппх) их, V= &'т^лх) = — 51П (ППХ) -\ — X 81П (ППХ) лп I _ _!_ Г 5ш (ппх)йх= -1т С08 о л2Bп-1J 12»
Ь„ = 5 5Ш (ппх) йх + 5 х 51п (ппх) йх = -1 в = 51П (ПЛЛГ) С?Х, У = — С05 («ЛХ) I 1° = !—соз(ллх) соз (пях) ЯЯ 1—1 ПЛ -(-I)") -(-1У- гт 8'П (ппх) о пп В итоге получаем следующий ряд Фурье: 32 у сО5(Bп— 1)лл:) _ 1 V*1 вт (ппх) л' /^, Bп— IJ и= 1 п=1 4. Разложить в ряд Фурье функцию, заданную гра- графически (рис. 12.9). -6-5-4-3-2-/0 1 2 3 Рис, 12.9 5 6 л ^ Запишем аналитическое выражение данной функции: Вычислим коэффициенты Фурье: -2 121
-2 О _ и = х/2+1, йи = {\/2)йх, о -2 2 ЯЛ 2 О -2 О п'я' -2 л2Bя — IJ 2 1, йи = (\/2)йх, -йх, V=-1 соз «лл: -2 ' 2пп ^ 2 -2 СО5- пл 51П плх пл 2 — 2 пл 9 ял ял ял ч Следовательно, искомый ряд Фурье 5 , 2 V сов (Bя — 1)л*/2) ([+2(-1 128
5. Разложить в ряд Фурье по косинусам функцию на отрезке [0; 2] (рис. 12.10) и найти сумму ряда оо V ! Ь Bп+1J /!=0 Ж/К -4-3-2-10 1 2 3 4 х Рис. 12.10 ► Продолжим функцию четным образом и вычислим коэффициенты Фурье: и = х, йи = их, (IV = СО5 • пл 2 ы = 2 — х, йи= —их, 2 пл 2 2 |о пл 2B-л) „■;„ плх 2 * I ЛЯ О 8п+4т пя 2 ' «V 8|п «я 2 123
ял Следовательно, и=0 л2Bп + IJ B„+1J Полагая х = 0, получаем: о=±--±- V —' ^ ' 2 п2 1^ Bл Bл + I) 1__, Bл + 0 8 и=0 и=9 Таким образом, с помощью ряда Фурье мы нашли сум- сумму числового ряда. -4 12.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 12 1. Найти сумму ряда 1 (Ответ: 1/90.) 2. Исследовать на сходимость ряд (Ответ: сходится.) оо 3. Показать, что если ряд 2 а„ абсолютно сходится, л = ! то ряд V -^— ап также абсолютно сходится. и=1 4. Исследовать на сходимость и абсолютную схо^и- •о г-1 / , | \" + 1 , О" мость ряд > -^—' . (Ответ: абсолютно сходится.) Ь Bл + 1)" 124
5. Показать, что ряд, полученный при перемножении двух расходящихся рядов: 1 — V (-^А и 1 + оо + У1 (|Л" B" + 2-(и+1)), абсолютно сходится. п= 1 6. Сколько членов ряда У(—1)"+1—- нужно взять, 1_, п • 2 чтобы абсолютная погрешность при замене суммы 5 этого ряда его п-й частичной суммой 5„ не превышала а = = 10~3, т. е. чтобы |5 —5„| = \г„\ <а? (Ответ: га>7.) 7. Сколько членов ряда ) (—1)и+1—^—^— нужно {_, п взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? (Ответ: « = 200.) 8. С помощью почленного дифференцирования и инте- интегрирования найти сумму ряда 1 — Зх2 + 5л:4 + ... + -1у-'Bп- ^х2"-2. (Ответ: 5(х)= 1~х', \х\<\.) 9. Доказать, что V ^~ПИ- = з^-&«дг + 2я» > 0 ^ 12, и=! 10. Подобрать два таких ряда, чтобы их сумма была сходящимся рядом, а разность — расходящимся. 11. Доказать равномерную сходимость функциональ- ного ряда У (— \)"~{ Л— на отрезке [0; 1]. 12. Исследовать на сходимость ряд с общим членом 1/я Г- «я = \ -2Х - ■ (Ответ: сходится, ип <—^ в 13. 3. Показать, что функция у= > —-п— является ре- шением дифференциального уравнения у1 — ху = 0. 125
13. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13.1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ На плоскости Оку рассмотрим, некоторую замкнутую область О. ограниченную замкнутой линией /.. Пусть в С задана функция г = = /(■*• У)- Произвольными линиями разобьем О на п элементарных областей 5/, площади которых Д5< («=1,я) (рис. 13.1). В каждой области 5; выберем произвольную точку Р,-(*/. у,). Диаметром с1/ области 5/ называется длина наибольшей из хорд, соединяющих граничные точки 5/. Выражение вида /„ = ^ /(*. №)Д5/^^ A3.1) называется п-й интегральной суммой для функции г = /(*, у) в области О. Вследствие произвольного разбиения области С на элементарные области 5, и случайного выбора в них точек Р, можно составить бесчисленное множество указанных сумм. Однако, согласно теореме существования и единственности, если функция г = /(*, у), например, непрерывна в О и линия /. — кусочно-гладкая, то предел всех этих сумм, найденных при условии й<-»-0, всегда существует и единствен. Двойным интегралом функции г = /(*, у) по области О называется предел Пт /„, обозначаемый )) /(х, у)й$. Таким образом, по опреде- А--0 о лению и $$/(*. уH8 = Нт 2/(*, №)Д&. A3.2) й0 Здесь и далее будем предполагать, что функция 2 = /(х, у) не- непрерывна в области С и линия /. — кусочно-гладкая, поэтому указан- указанный в формуле A3.2) предел всегда существует. Укажем основные свойства двойного интеграла и его геометри- геометрический и физический смыслы. 1. $$й5 = 5о где 5О — площадь области интегрирования О. О 2. Если подынтегральная функция г = [(х, у) = [>.{х, у)—поверх- у)—поверхностная плотность материальной пластины, занимающей область О, то масса этой пластины определяется по формуле В этом заключается физический смысл двойного интеграла. 3. Если 1{х, 1/)>0 в области О, то двойной интеграл A3.2) чис- численно равея объему » цилиндрического тела, находящегося над 126
плоскостью Оху, нижним основанием которого является область О, верх- верхним — часть поверхности г = /(х, у), проектирующаяся в О, а боковая поверхность — цилиндрическая, причем ее прямолинейные образующие параллельны оси Ог и проходят через границу /. области О (рис. 13.2). Если 1(х, </)<0 в области О, то двойной интеграл численно равен 6(,у)>0 Рис. 13.1 Рис. 13.2 объему цилиндрического тела, находящегося под плоскостью Оху (рис. 13.3), взятому со знаком « —» (— и). Если же функция Дх, у) в области С меняет знак, то двойной интеграл числеи'но равен разности объемов цилиндрических тел, находящихся над плоскостью Оху и под ней, т. е. $ Ц Х. A3.4) (рис. 13.4). Это свойство выражает геометрический смысл двойного интеграла. 127
4. Если функции г = /,(*, у) (/= 1, к) непрерывны в области О, то верна формула к к О /=1 /=1 О 5. Постоянный множитель С подынтегральной функции можно вы- выносить за знак двойного интеграла: \\сцх, У)а8 = с\\!(х, У)а8. 6. Если область О разбить на конечное число областей О], Ог, .... О*, не имеющих общих внутренних точек, то интеграл по области О равен сумме интегралов по областям О4: \\!(х, у)аз= $$/(*, у)аз+ \\п*. у№+-+ й/(*. »)<«. О О, О2 О* 7 (теорема о с р ед н ем). Для непрерывной функции г = {(х, у) в области О, площадь которой 50, всегда найдется хотя бы одна точка РE, л)€О, такая, что \\!(х, у)аз = {A, ЛM0. о Число /E, ц) называется средним значением функции г = /(*, у) в области О. 8. Если в области О для непрерывных функций ((х, у), {,(х, у), {2(х, у) выполнены неравенства (>(х, у)^.1(х, у)^.}2{х, у), то й/,(*. у)а-5< \\{(х, у)а5< \\Ь(х, у)аЗ. 0 0 0 9. Если функция г = 1(х, у)ф сопз! и непрерывна в области О, М= тах Нх, у), т= тт /(*, у), то (х. у}€0 (х. )€п ш50< \\{(х, у)с15<М30. о Замечание. Так как предел п-й интегральной суммы /„ (см. фор- формулы A3.1), A3.2)) не зависит от способа разбиения области О на элементарные области 5; (теорема существования и единственности), то в декартовой системе координат область О удобно разбивать на эле- элементарные области 5, прямыми, параллельными осям координат. Полу- Полученные при таком разбиении элементарные области 5,, принадлежащие области О, являются прямоугольниками. Следовательно, ^5 = йхйу и \\{(х, у)а-5 = \\{(х, у)йхйу. в о Область интегрирования О называется правильной в направлении оси Ох (оси Оу), если любая прямая, параллельная оси Ох (оси Оу), пересекает границу Ь области О не более двух раз (рис. 13.5, а). Область О считается также правильной, если часть ее границы или вся граница I* состоит из отрезков прямых, параллельных осям координат (рис. 13.5,6). 126
Рассмотрим методы вычисления двойного интеграла по областям, правильным в направлении координатных осей; так как практически любую область можно представить в виде объединения правильных областей (рис. 13.5, в), то, согласно свойству 6 двойных интегралов, эти методы пригоаны для их вычисления по любым областям. х О Рис. 13.5 Для вычисления двойного интеграла нужно проинтегрировать по- подынтегральную функцию г = /(.*:, у) по одной из переменных (в пределах ее изменения в правильной области О) при любом постоянном значении другой переменной. Полученный результат проинтегрировать по второй переменной в максимальном диапазоне ее изменения в О. Тогда все произведения /(*, у)йхйу в двойном интеграле (предел суммы A3.2)) будут учтены при суммировании точно по одному разу, и мы избавимся от лишних, не принадлежащих области О, произведений. Если область О, правильная в направлении оси Оу, проектиру- проектируется на ось Ох в отрезок [а; Ь], то ее граница Ь разбивается на две лнннн: АтВ, задаваемую уравнением У — Ч\(х), и АпВ, зада- задаваемую уравнением у — ^ч(х) (рис. 13.6). Тогда область О опреде- определяется системой неравенств: О: а< и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегрироваиие ведется по переменной у, а внешнее — по переменной х) ((X, у)йу. A3.5) , (х) Если область О, правильная в направлении оси Ох, проектируется на ось Оу в отрезок [с; й], то ее граница Ь разбивается на две линии: Срй*, задаваемую уравнением х = 1${(у), и Сдп*, задаваемую урав- уравнением х = ^ч(у) (рис. 13.7). В этом случае область О определяется системой неравенств: О: и двойной интеграл вычисляется по правилу (внутреннее интегриро- интегрирование ведется по переменной *, а внешаее — по переменной у) =. \йу *, у)ах. 1 Су) 5-357 A3.6) 129
Выражения, стоящие в правых частях равенств (!3.5), (!3.6), называются повторными (или двукратными) интегралами. Из равенств (!3.5) и A3.6) следует, что \ах \ !(х,у)ау=\ау \ Цх, У)ах. A3.7) Переход от левой части равенства (!3.7) к правой его части и обрат- обратно называется изменением порядка интегрирования в повтор-ном ин- интеграле. Рис. 13.6 Рис. 13.7 Пример I. На плоскости Оху построить область интегрирования О по заданным пределам изменения переменных в повторном интеграле 4 Зу'х /=}<!* ) йу. Изменить порядок интегрирования и вычислить ин- 6 :ь-'/8 теграл при заданном и измененном порядках интегрирования. ^ Область интегрирования О расположена между прямыми х = 0 и х=4, ограничена снизу параболой у = Зх'2/8, сверху параболой у = (рис. 13.8). Следовательно, 4 4 /= о С другой стороны, область интегрирования О расположена между прямыми г/ = 0иг/ = 6, а переменная х изменяется в данной области при каждом фиксированном значении у от точек параболы х = ///9 до точек параболы х— ~\8у/3, т. е., согласно формуле A3.7), имеем V V/ ц'/9 (/о 9 I 130
Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном' ин- интеграле. 1 2 — .V 5 ах \ х, у)ау. ► Область интегрирования О ограничена линиями х = 0, х= 1, у = х! и у = 2 — х (рис. 13.9). Так как правый участок границы об- области О задан двумя линиями, то прямая у = ! разбивает ее \\л области О,: Ог^у^!, О г^ х В результате получаем -\[у и О,: ! 2, 0 г^ л: г^ 2 - у. Рис. 13.8 2 Р и с. 13.9 2 —а: о о 2 2 — 1 у)ах+ \йу \ х, у) ах. I о Пример 3. Вычислить двойной интеграл если область О ограничена линиями х -\- у = = 2. х = 0, у = 0. ► Область интегрирования О ограничена прямой у = 2 — л: и осями координат (рис. 13.10). Следовательно, 2-х О 2\ х Рис. 13.10 :=-1^B5-(* + зJ; о Пример 4. Найти среднее значение функции г = х + 6у в треуголь- треугольнике, ограниченном прямыми у = х, у = Зх, х — 2. 131
► Средним значением функции г = \(х, у) в области О является число (см. свойство 7 двойных интегралов) 7 = ^-^/К у)а*ау. о Вычислим сначала площадь области О: 2 3* 2 50 = \\ахау= \ах \ ау= \Cх-х) Аналогично получаем СС )) Х У 0 2 = тИ(A9д О Таким образом, 1. Вычислить 2 1 а) \йх\{х2-\ 0 0 8 5 б) $ «**/ 5 -3 «" — 4 2 Г О СJ-G 7 Зх 2 Г Г 1 Х ) У ~ )~№ х 0 2 \2\ 'С 2 12 3 0 3 2 208 о~ 3 • 1 208 52 4 3 3 ' * ЛЗ-/3./ следующие повторные -2у)й (* + X, 2 .1 2у)^х; в) \йх\ 1 1/.г 2 а. X 2 — 26\ л:2йд: = 0 интегралы: хЧу и2 У (От-вет-: а) 14/3; б) 50,4; в) 2,25.) 2. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле для двойного интеграла \\(х, у)йхйу, если из- о вестно, что область интегрирования О: а) ограничена прямыми х = 1, х = 4, Зх — 2у + 4 = 0, Зх — 2у — 1 = 0; б) ограничена линией х1 -\-у'1 — 4х = 0; в) является треугольной областью с вершинами в точ- точках О@, 0), /1A, 3), 5A, 5); 132
г) ограничена линиями у = х3 + 1, х = 0, х + у = 4 3. Изменить порядок интегрирования в данных повтор- повторных интегралах: 2 л/4-х1 1 5лг а) \ их \ 1{х, у)йу, б) \йх\ !(х, у)йу; — 20 0 2лг 1 1-!/ в) 5 йу \ Цх, у) их. 0 -лД^Р 4. Вычислить Ц (х2 + у)йхйу, если область О ограни- о чена линиями у = х2 и у2 = х. (Ответ: 33/140.) 5. Вычислить 55 х3у2йхйу, если область О ограничена о линией х2+у2 = 9. (Ответ: 0.) 6. Вычислить 55 х соз (х + у) йхйу, если область О огра- о ничена линиями у = 0, х^л, у = х. (Ответ: —л/2.) 7. Вычислить 55 уйхйу, если область О ограничена о первой аркой циклоиды х = аA — &т1), у = а(\—со&1) и осью Ох. (Ответ: —-па3А Самостоятельная работа 1. 1. Представить двойной интеграл 55 !(х, у) йхйу в ви- о де повторного интеграла при разных порядках интегриро- интегрирования по х и по у, если известно, что область О огра- ограничена линиями у = 2х, х = 0, у + х = 3. 2. Вычислить 55 хйхйу, если область О ограничена о линиями у = х2, у = 2х. (Ответ: 4/3,) 2. I. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле 5<*х  К*. У)йУ- о *2/2-з 2. Вычислить 55 хйхйу, если область О ограничена
3. I. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле | йу \ ((х, у) их. 2. Вычислить у х йхйу, если область п ограничена о линиями у = х, у = \/х, х = 2. (Ответ: 2.) 13.2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Пусть переменные х, у связаны с переменными и, и соотношениями х=^ц>(и, и), г/ = г|)(ы, и), где <р(ы, и), $(и, и)—непрерывные и диф- дифференцируемые функции, взаимно однозначно отображающие область Ь плоскости Оху на область О' плоскости О'их), при этом якобиан = }(х. у) = дх дх ди дь ду ду ди ди сохраняет постоянный знак в О. Тогда верна формула замены пере- переменных в двойном интеграле. \\}(х, о и, и), A3.8) Пределы в новом интеграле расставляются по рассмотренному ранее правилу с учетом вида области О'. Пример I. Вычислить двойной интеграл Г (х + у) йхйу по области С плоскости Охи, ограниченной линиями у = х — \,у = х -{-2, у= —х — 2, у= — * + 3.г ► ОЛОЖ 1 и=у — х, A) Тогда прямые у = х— 1 и у = х-\-2 перейдут соответственно в прямые и = — ], ы = 2 плоскости О'иV, а прямые г/= — х — 2, г/= — х + 3 — в прямые и = —2 ио = 3 этой же плоскости. При этом область О отобра- отобразится в прямоугольник С плоскости О'ии, для которою —1 < и ^ 2, — 2<у <3. Из системы A) находим: 134
Следовательно, дх ди дх ди ду ди ду_ ди 1 ~ 2 1 2 1 2 1 2 а |/| = 1/2. Поэтому, согласно формуле A3.8), 55 (х + у) йхйу = \\ и • — йиа-о Известно, что прямоугольные декартовы (х, у) и полярные (р, ср) координаты связаны между собой следующими соотношениями: х = р соз <р, у = р зт <р, (р ^ 0, О <С ф < 2л). Если в двойном интеграле перейти от декартовых к полярным ко- координатам, то получим формулу (так как якобиан / = р) й/(л-, у) йхйу = \\ [(р соз Ф, р зт Ф) рйрйф. A3.9) О О' В обобщенных полярных координатах, для которых х=арсозф, у = Ьр З1п ф (р ^ 0, 0 ^ ф < 2л), A3.10) имеем (так как якобиан / =аЬр): \\/{х, у)йхйх = аЬ ^ /(ар соз <р, Ьр з1п ф) рйрйф. A3.11) о О' Представление двойных интегралов в виде повторных в правых частях формул A3.9), A3.11) приводит к разным пределам в зави- зависимости от того, где находится полюс О полярной системы координат- вне, внутри или на границе области О. 1. Если полюс О полярной системы координат находится вне области О, ограниченной лучами ф = а, <р = Р (а < Р) и линиями АтВ, АпВ (их уравнения соответственно Р = р[(ф), р = Ра(ф). где р|(ф), Рг(ф) (Р1(ф) ^ Рг(ф)) — функции, заданные на отрезке {а; р]), то двойной интеграл в полярных координатах сводится к повторному интегралу по правилу (рис. 13.11) (р) \ ?(рсозф, р зт A3.12) 2. Если полюс О находится внутри области О и уравнение гра- границы области О в полярной системе координат имеет вид р = р(ф), то в формуле A3.12) а = 0. р = 2л, р,(ф) = 0, р2(ф) = р(ф) (рис. 13.12). 3. Если полюс О находится на границе области О и уравнение ее границы в полярной системе координат имеет вид р = р(ф), то в фор- формуле A3.12) р{(ф) = 0, р2(ф) = р(ф), а а и р могут принимать различные значения (рис. 13.13, 13.14). 135
Рис. 13.13 Рис. 13.12 р=рМ Рис. 13.14 Аналогичные формулы имеют место и для случая обобщенных полярных координат. Пример 2. Вычислить Ц у(Л-2 + У2K^хйу, если область О — крут ра- о диусом /? с центром в начале координат. ► Если область О — круг или его часть, то многие интегралы проще вычислять в полярных координатах. Согласно формулам A3.9) и A3.12) (случай 2), имеем: 51'п2 <р +Р2 2л /г - а2 136 О 0 0 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
^ В интеграле Ц йхйу, выражающем площадь эллипса в декарто- о вой системе координат, перейдем к обобщенным полярным координа- координатам с помощью равенств A3.10). Уравнение эллипса в обобщенных полярных координатах имеет вид р=1. Следовательно, согласно формуле A3.11), получаем 2л I )) йхйу = )) аЬрс!рс1<$ = аЬ \ й<$ \ рйр = лаЬ. 4 ВО' 0 0 АЗ-13.2 1. Вычислить 55(а: + у)йхйу, если область й ограни- о чена прямыми 2х + у=1, 2х + у^3, х — у=—1, х — -у = 2. {Ответ: 2,5.) 2. Использовав полярные координаты, вычислить двойной интеграл §(х2-\-у2)йхйу, если область п огра- о ничена окружностью х2 + у2 = 4л\ (Ответ: 24л.) 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями х2 + у2 = 4х, х'1 + у2 = 6х, у = -^-=х, у=-\/Зх. (Ответ: Уз 5л/6.) 4. Вычислить 55агс1§ — йхйу, где О — часть кольца, о х ограниченного линиями х2 + у2= 1, х2 + у2 = 9, у =—— х, у = л[3х. (Ответ: л2/6.) 5. Найти §хуйхйу, если область й ограничена эллип- о 2 2 сом х,2 + ^ = 1 и прямыми х = 0, у = 0. (Ответ: а'2Ь2/8.) оо 6. Вычислить несобственный интеграл 5 ^~кЛх, ис- использовав значение интеграла §е~х'~у йхйу, взятого по о области п, ограниченной окружностью х2 + у2 = Я2 (Ответ: -ул.) Самостоятельная работа 1. Вычислить 55A2 — х — у)йхйу, если область О огра- о ничена окружностью х2 + у2 = 9. (Ответ: 108л.) 137
2. Вычислить55F — 2х— Ъу)йхйу, если область /) огра- ничена окружностью х2 + у2 = 4. (Ответ: 24л.) 3. Вычислить 5|D — х — у)йхйу, если область /) огра- ничена окружностью х2 + у2=2л\ (Ответ: Зл.; 13.3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим несколько при- примеров. Пример I. Вычислить площадь фигуры, ограиичеииой линиями у = х' — 2х, у — х. ► По уравнениям границы области О строим данную фигуру (рис. 13.15). Так как линии, ограничивающие ее, пересекаются в точках О@, 0) и Л?оC, 3), то в О справедливы неравенства: 0 < х < 3. х' — — 2л:<г/<х Следовательно, на осищаиии • йств 1 двойных ин- интегралов искомая площадь иоваиии • 1 \ С х- — 2х Пример 2. Вычислить пло а ь фигуры, ограниченной линией (х' + у2у' = а2(х2-у2), а>0. ^ Перейдем к полярной системе координат, в которой уравнение данной кривой примет вид: Последнее уравнение задает кривую, которая называется лемнискатой Бернулли (рис. 13.16). Рис. 13.16 Как видно из полученного уравнения и рис. 13.16, кривая сим- симметрична относительно координатных осей, и площадь 5 фигуры, ог- ограниченной этой кривой, выражается двойным интегралом 5 = 148
= 4Дрйрйф. Здесь п—фигура (область), лежащая в первом квад- о ранте, для которого О <С ф ^ л/4, 0 = л/4 Ол/со5 2ф а -\/со$ 2<р 0 5 = 4 ^ с1<р } рйр = 4 ^ -^- о о о л/4 = 2а2 5 соз 2фйф = а2 зт 2ф |5/4 = а2. ^ о Вычисление объемов тел. Рассмотрим следующие примеры. Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями г = х2 + у\ х + у = !, х = 0, у = 0, г = 0. ► Данное тело ограничено координатными плоскостями, плоско- плоскостью х-\-у= !, параллельной оси Ог, и параболоидом вращения г = = А'2 -+- у2 (рис. 13.17). На основании геометрического смысла двойного / У A,11 х+у-Г.г-0 Рис. 13.17 интеграла (см. § 13.1, свойство 3) искомый объем V можно вычислить по формуле где область О ограничена треугольником, лежащим в плоскости Оху, для которого 0<Сх5^ !, 0^(/<С ! — х. Следовательно, I 1-х 1 V = [ах о о Пример 4. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями \+х2 + г\ «/=5. 139
^ Рассматриваемое тело ограничено параболоидом вращения с осью Оу и плоскостью у = 5, перпендикулярной к оси Оу (рис. 13.18). Его проекция на плоскость Охг — крут, определяемый уравнениями у = 0, хг + г2 < 4. Искомый объем у = \\E - 1 - х2 - г2)Л«*г = $$D - х2 - г2 о о Рис. 13.18 Перейдем в полученном интеграле к полярным координатам с по- помощью равенств х = р соз <р, г = р зт <р. Тогда йхйг = рйрйф н 2л 2 "= ЙD- О 0 0 Вычисление площадей поверхностей. Пусть в области пг плоско- плоскости Оху задана непрерывная функция г = 1(х, у), имеющая непрерыв- непрерывные частные производные. Поверхность, определяемая такой функ- функцией, называется гладкой. Очевидно, что область йг есть проекция рассматриваемой поверхности на плоскость Оху. Площадь С}, поверх- поверхности г = ((х, у), (х, у)^Ог, вычисляется по формуле 1)"+(!)*"»■ A3.13) о. В случае, когда гладкая поверхность задана функцией х=((у, г) (в области пх) или функцией у = ((х, г) (в области пу), площадь этой поверхности вычисляется по формуле «■- о. A3.14) A3.15) о» 140
Пример 5. Вычислить площадь части конуса у = 2"у*2 + г2, распо- расположенной внутри цилиндра х2 + г2 = 4х. ^ Так как поверхность задана функцией вида у = ((х, г), то ее площадь <$у следует вычислять по формуле A3.15), где область пу — проекция данной поверхности на плоскость Охг (рис. 13.19). Эта проек- У, Рис. 13,19 ция представляет собой круг, оргаииченный окружностью (х — 2J Так как ду 2х ду 2г дх то искомая площадь о, ~Т' дг л1хг + г2 х- -4- г' г = р соз <р, Х= р 31П ф, р = 4 31П ф 0 0 л Вычисление массы материальной пластинки. Покажем, как это делается, иа примере. 141
Пример 6. Вычислить массу материальной пластинки, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями х = (у— I) , у = х— !, если ее. поверхностная плотность ц = у. ► Найдем координаты точек пересечения линий, ограничивающих область п: /1A, 0), йD, 3) (рис. 13.20). Тогда из физического смысла двойною интеграла (см. § 13.1, свойство 2) следует, что искомая масса 3 у + I т = )\ уйхйу = \ йу \ уйх = О 0 (.</—И5 = \у(у + I -(«/- Вычисление статических моментов и координат центра масс мате- материальной пластинки. Если на плоскости Оху лама материальная плас- пластинка п непрерывной поверхностной плотностью ц(х, у), то координаты ее центра масс С(хс, ус) определяются по формулам: \\хц(х, у)йхйу _и $ц(*, у)йхйу \ц(х, у)Aхс1у A3.16) Величины , у)йхйу, М„= х, у)с1хйу A3.17) называются статическими моментами пластинки О относительно осей Ох и Оу соответственно. Пример 7. Найти координаты центра масс пластинки п, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями у = х, у = 2х, х = 2 (рис. 13.21), если ее плотность ц(х, у) = ху. У I 1 0 У-Х-1 в/ X Рис. 13.20 Рис. 13.2! Вначале определим массу пластинки О: 2 2х 2 щ = \ \ хуйхйу = X хйх X г/й(/ = X х ■ О 0 Л' 0 142
о о Согласно формулам A3.16), координаты центра масе: 2 2х с=— \\х2у<1хау = "^ \ Ус== ~т О V = "б" \ ХС1Х\ У'ау = 112 Вычисление моментов инерции материальной пластинки. Моменты инерции относительно начала координат и осей координат Ох, Оу ма- материальной пластинки О непрерывно распределенной поверхностной плотностью ц(х, у), которая лежит в плоскости Оху, вычисляются со- соответственно по формулам: /о = \\(х2 + у1) \1(х, у)йхйу, о \у'^(х, у)йхйу, 1у=\\ о о х, у)йхйу. A3.18) Пример 8. Вычислить моменты инерции относительно точки гра- границы однородного круга и его диаметра, если радиус круга /?, а вес Р. ^ Поместим начало координат в точке, лежащей на границе круга, а центр круга — в точке С(/?; 0) (рис. 13.22). Тогда задача сведется У, Рис. 13.22 к нахождению моментов инсрпии круга относительно начала координат и оси Ох. 143
Так как круг однороден, то его плотность ц постоянна и ц = = Р/(^л/?2). Уравнение окружности в декартовой системе координат имеет вид (х—/?J + у2 = /? , а в полярной — р = 2/? соз ф. Для дан- данного круга выполняются соотношения —я/2 ^ ф ^ л/2, 0 ^ р ^ <; 2 /? соз ф. Следовательно, на основании формул A3.18) имеем: л/2 2/?соз< ) йф ) — л/2 0 л/2 — л/2 л/2 = (л • 4/?4 ) соз4 —л/2 ( + 2 соз 2Ф о уф + узш л/2 2/?созф —л/2 О л/2 л/2 зш2 -1 з1п2 2Ф • О л/2 зта 2ф соз -1- A _ СО8 ч/1 1. Вычислить площади фигур, ограниченных следую- следующими линиями: а) У= б) у2= Юх + 25,у2= —6л:+ 9; в) р = азш2ф, а > 0. (Ответ: а) -^; б) -^"^ в) | ла2.) 2. Вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхностями: 144
а) плоскостями х = 0, у = 0„ 2 = 0, х = 4, у = 4 и параболоидом г = I + х2 + У2\ б) цилиндрами х2 -|- у2 = /?2, л:2 + г2 = /?2; в) параболоидом г = х2 -\- у2 и плоскостями 2 = 0. у = I, у = 2х, у = 6 — х; г) цилиндром л:2 + у2 = 4 и плоскостями 2 = 0, г = = *+«/+10; д) эллиптическим цилиндром — -|- ^- = I и плоско- плоскостями 2= 12 — Злг — 4у, 2= {.(Ответ: а) 186^-; б) -^/?3; у о о в) 78 Ц; г) 40л; д) 22л.) 3. Вычислить площадь части плоскости 6х -\- Зу + + 2г= 12, которая расположена в первом октанте. (От- (Ответ: 14.) 4. Вычислить площадь части конуса 2 = ~\/х2-|-у2 расположенной внутри цилиндра х2 -{- у2 = 4х. (Ответ- [ ) 5. Вычислить площадь части поверхности параболоида 22 = х2 -|- у2, лежащей внутри цилиндра х1 -|- у2 = 1 (Ответ: -|л(У8-1).) 6. Вычислить массу квадратной пластины со сторо- стороной а, если ее плотность в любой точке М пропорциональна квадрату расстояния от этой точки до точки пересечения диагоналей, а в угловых точках квадрата равна единице. (Ответ: а'2/3.) Самостоятельная работа 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями У = 2 — х, у2 = 4х + 4. (Ответ: 64/3.) 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- поверхностями л:2 + у2=1, 2 = 0, х + у + г = 4. (Ответ: 4л.) 3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндром г = у2/2 и плоскостями 2лг + 3у=12, лг = О, у = 0, 2 = 0. (Ответ: 16.) 145
АЗ-13.4 1. Вычислить координаты центра масс однородной плоской фигуры лежащей в плоскости Оху и ограничен- ограниченной линиями у=4х-\-4, у2 =—2л:+ 4. (Ответ: хс = = 2/5, ус = 0.) 2. Вычислить координаты центра масс фигуры, огра- ограниченной линиями у = х2, у2 = х, если плотность фигуры ц(*. у) = ху. (Ответ: ^с = 9/14, г/с = 3/56.) 3. Найти координаты центра масс однородной плоской фигуры, ограниченной кардиоидой р = аA+созф). (От- (Ответ: хс = -| а, ус = 0.) 4. Вычислить момент инерции относительно начала координат фигуры, ограниченной линией х2 + у2 — 2х = 0, если ее плотность ц(х, у) = 2>, 5. (Ответ: 21л/4.) 5. Вычислить моменты инерции относительно начала координат и осей координат пластины плотностью ц(л:, у) = х2у, лежащей в плоскости Оху и ограниченной ли- линиями у = х'\ у = 1. (Ответ: /0 = 104/495, 1Х = 4/33, 1У = = 4/45.) 6. Вычислить момент инерции относительно полюса пластины, ограниченной кардиоидой р = аA—сое ф), если ее плотность ц= 1,6. (Ответ: 7ла4/2.) 7. Вычислить момент инерции относительно центра (р(х, у)= 1) эллиптической пластины с полуосями а и Ь. (Ответ: лаЬ(а'2 + Ь2)/4.) Самостоятельная работа 1. Вычислить момент инерции относительно начала координат фигуры плотностью р,(х, у)=\, ограниченной линиями лг-(-у = 2, х = 2, у = 2. (Ответ: 4.) 2. Вычислить координаты центра масс однородной фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линия- линиями у =—х2 + 2х, у = 0. (Ответ: хс=1, г/с=1/4.) 3. Вычислить момент инерции относительно точки пе- пересечения диагоналей прямоугольной пластинки со сто- сторонами 4 и 6, если ее плотность ц.(х, у) = 2. (Ответ: 208.) 13.4. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ВЫЧИСЛЕНИЕ Пусть функция и = [(х, у, г) непрерывна в замкнутой области Кб К', ограниченной некоторой замкнутой кусочно-гладкой поверхно- поверхностью 5. С помощью произвольных гладких поверхностей разобьем 146
область V на п элементарных областей V, (I = 1, п), объемы которых обозначим через Ао,. В каждой элементарной области V, выберем произвольно точку М, (х,, у,, г,) и постооим сумму я /»= 2 !(х„ (/,-, 2,)До,. A3.19) / = I Через й, обозначим максимальный диаметр элементарной области 1Л. Сумма A3.19) называется п-й интегральной суммой функции 1(х, у, г) в области V. Предел сумм A3.19), найденный при условии, что А->-0, назы- называется тройным интегралом функции [(х, у, г) по области V и обозна- обозначается )\I(х, у, 2)е^V. Таким образом, по определению V . п \\\Цх, у, г)йо = 1нп 2 1(х,, у,, г,-)Л1'«. A3.20) V А->-0 1= 1 Если подынтегральная функция [(х, у, г) непрерывна в области V, то интеграл A3.20) существует и не зависит от способа разбиения V на элементарные области V, и выбора точек УН,-. Многие отмеченные в § 13.1 свойства двойных интегралов спра- справедливы и для тройных интегралов, поэтому приведем только те их свойства, которые несколько отличаются от свойств двойных интегралов. 1. Если в области V [(х, у, г) = 1, то \\\аV = V, A3.21) V где V — объем области V. 2. В случае, когда подынтегральная функция [(х, у, г) задает плотность 6(л:, у, г) тела, занимающего область V, тройной интеграл выражает массу этого тела: т= $6(*. у, г)йу. A3.22) V Следует подчеркнуть, что в декартовой системе координат область V удобно разбивать на элементарные области плоскостями, параллель- параллельными координатным плоскостям; при этом элемент объема йи=йхйуАг. Считаем область V правильной (т. е. такой, что прямые, парал- параллельные осям координат, пересекают границу области V не более, чем в двух точках). Для правильной области V справедливы неравенства (рис. 13.23): а<х<6, ф|(лг)< у < цч(х), ЦЛ(х, (/)< г < Ц2(х, у) и следующая формула для вычисления тройного интеграла Ь 1|12(д.-) чч'(лг, у) \\\[(х, у, г)йхйуйг= \йх \ йу \ \{х, у, г)йг. М3.23) V а (A,(.г) Ч;,(х, у) Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае про- простейшей правильной области V вначале интегрируют функцию [(х, (/, г) по одной из переменных (например, г) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной (например, у) при любом постоянном значении третьей пере,менной в К и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (на- (например, л:) в максимальном диапазоне ее изменения в V Более сложные области интегрирования разбиваются на конечное 147
число правильных областей, и результаты вычисления по этим областям суммируются. В частности, если область интегрирования — прямоуголь- прямоугольный параллелепипед, задаваемый неравенствами К = |а<х<6, с^ < у < и, р < г < д), то §\[(х, у, г)йхйуйг= \йх\йу\\{х, у, г)йг. A3.24) Пример 1. Вычислить тройной интеграл / = )\)Bх + у)йхйуйг, где V V ограничена поверхностями: у = х, у = 0, х = 1, г = 1, г = 1 + х1 + у1. 2 у=х Рис. 13.24 ► По заданным поверхностям строим область интегрирования (рис. 13.24). В области V справедливы неравенства: 0<х<1, О < у < х, 1 < г < 1 + х2 + у2. Тогда 148
' * о о 0 0 о о Bх3 + у3 + 2ху* + х2у) ау 41 Пусть функции X = ф(«, V, I»), (/ = !))(«, О, I»), г = х(и, о, ш). A3.25) непрерывны, имеют непрерывные частные производные, якобиан дх дх дх_ ди дх> дш ду ду ду ди дх) дни дг дг дг ди ду дш и сохраняет знак в области V изменения переменных и, V, а>. Функции A3.25) отображают взаимно однозначно область V в область V Тогда верна формула х, у, ". V, ш), ф(«, V, ш), Х(и, V, V V В цилиндрических координатах р, ф, г (рис. 13.25) имеем: X = р СО5 ф, у = р 31П ф, 2 = г, 0 < ф < 2л, 0<р<оо, — оо<г<оо / = р, йхйуйг = ййй ■} A3.26) В сфернческих координатах г, ф, 8 (г — радиус-вектор, ф — долго- долгота, 8 — широта или склонение) (рис. 13.26) получаем: х = г йа 8 сое ф, у = г ып 8 зш ф, г = г сое 8, 0<г<оо,0<ф<2я, 0<8<л, / = г'г з|"п 8. йхауйг = г2 зш вйгйфйв. В обобщенных сферических координатах х = аг з|'п в сов ф, у=Ьг з|"п в з|'п ф, г = сг сов в, 2 Ш 6, 2 A3.27) A3'28) 149
Соотношения A3.26) — A3.28) позволяют осуществлять в тройных интегралах переход от декартовых к цилиндрическим, сферическим или обобщенным сферическим координатам. Формула A3,23) для вы- вычисления тройных интегралов в декартовых координатах справедлива также в цилиндрических и сферических координатах. мЫ,у,г) Рис. 13.25 Р и с. 13.26 Пример 2. Вычислить / = %\х:! + у2 йхйуйг, если область инте- V грирования V ограничена поверхностями х'2 + у2 = 4, 2=1, 2 = 2 + + X2 + У2. ^ По заданным поверхностям построим область V (рис. 13.27). Перейдем в заданном интеграле к цилиндрической системе координат: 0 0 г-2+х +у Рис. 13.27 150
Пример 3. Вычислить /= $л/(*2 + У* + гУ йхйуйг, если область I интегрирования V ограничена сферой хг -\- у'2 -\- г'2 = 4 и плоскостью (/ = 0((/>0). ^ Область К представляет собой полушар, расположенный пра- правее плоскости Охг (у > 0), т. е. сферические координаты г, (р, в изме- изменяются в V следующим образом: 0 ^ г ^ 2, 0 ^ <р ^ л, 0 ^ в ^ п. Это означает, что = V й?ф V 51П 6й?в 1 Г'йг = ф о.(-С08в) О О ЛЗ-/3.5 1. Вычислить ^ х2у22с(хс1ус12, если область I/ опре- V деляется неравенствами 0^л:^1,0^г/^л:, О^г^лгу. (Ответ: 1/110.) 2. Вычислить \\\ *■■ у г—-, если область V огра- Ш A+х + (/ + г)' к ничена плоскостями л: = 0, у = 0, 2 = 0, 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно- поверхностями у = х2, у-\-г = 4, 2 = 0. (Ответ: 256/15.) 4. Вычислить \\\х2у2с1хс1ус1г, если область V ограни- V чена поверхностями х'2-\-у2=\, 2 = 0, 2 = л-2 + гД (Огвег: л/32.) 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно- поверхностями х2-\-у2 =Л0х, х2 + у2 = 1 Зл:, г = ух2-\-у2, 2 = 0, «/>0. (Огвег; 266.) 6. Вычислить если область V — внутренность эллипсоида —2-\-~-\- + ^т = I. [Ответ: —лаЬсЛ с V Ъ ) 151
7. Вычислить объем части шара х2 + у2 + г2 = 1, рас- расположенной внутри конуса г2 = х2 -\-у2. ( Ответ: — п( I — Самостоятельная работа 1.1. Расставить пределы интегрирования интеграле \\\}(х, у, г)йхйуйг, если область V ограничена плоско- V стями х = 0, у = 0, г = 0, 2х + Зу + 4г = 12. ф 2. Вычислить Щ-у х2 + у2 йхйуйг, если область V V ограничена поверхностями г = х2-\-12, 2=1. (Ответ: 4л/15.) ^^ 2. 1. Расставить пределы интегрирования в интеграле %((х, у, г)йхйуйг, если область V ограничена поверхно- V стями у = х, у = 2х, 2 = 1 2. Вычислить Щ-^х2 + г2йхйуйг, если область V V' ограничена поверхностями у = хг-\-гг, 2=1. (Ответ: 4л/15.) 3. 1. Расставить пределы нтегрирования в интеграле \\\1(х, у, г)йхйуйг, если область V ограничена поверхно- V стями у = х2 г = 0, у + г = 4. 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверх- поверхностями х2 у2 = 9, 2=1, *+«/ + 2=11. (Ответ: 90л.) 13.5. ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ Вычисление объемов тел. Объем у области V (объем тела) обычно вычисляют по формуле A3.21), в которой в тройном интеграле можно переходить (если это удобно) к различным координатам (цилиндри- (цилиндрическим, сферическим и др.). Пример I. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 2=1, 2 = 5 - X2 - у2. ► По заданным уравнениям поверхностей в декартовых коорди- координатах строим область V (рис. 13.28). Тогда в цилиндрической системе коо динат искомый объем V = 55 рфйфйг, V где V: @ ^ ф ^ 2л, 0^р^2, 1^г<5 — р2}. Следовательно, 152
2л 5 -1 1 = 2л^ рE - р2 - = 8я. 4 Пример 2. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом а2 ' б2 ' с2 ^ В обобщенных сфернческих координатах верны формулы A3.26), и поэтому искомый объем где V — область, в которую отображается внутренность эллипсоида при переходе к обобщенным сферическим координатам. Уравнение поверхности, ограничивающей область V, в обобщенных сферических координатах получается путем подстановки в уравнение эллипсоида значений х, у, г из формул A3.28): Г 51П2 8 СО52 ф + Л2 5Ш2 8 51П2 ф + Г СО5 2 0 = 1, т. е. г=\. Следовательно, 2.- V =аЬс ^ ■ о о ^л л ■ Ы«р \ 51п2 (Ш \ г2 йг = -г- паЬс. О Вычисление массы тела. Масса т тела вычисляется по формуле A3.22). Пример 3. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностью конуса (г—2)"' = х2 -\- у2 и плоскостью 2 = 0, если плотность тела 8(х, у, г) = г. ► Вершина конуса находится в точке О|A, 0, 2), и в сечении ко- конуса плоскостью 2 = 0 получается окружность х2 + (/2 = 4, 2 = 0 (рис. 13.29). На поверхности рассматриваемого тела 2 = 2 — ~\х'2-\-у2 Тогда масса 2 У Рис. 13.28 Рис. 13.29 153
2л 2 2 — р 0 0 0 Вычисление координат центра масс тела. Пусть в пространстве К' задано некоторое тело V непрерывно распределенной объемной плотностью 6 = 6(лт, у, г). Тогда координаты центра масс этого тела определяются по формулам:. \х6(х, у, й$в(дг, у, г) аи ' Ус = \\\у6(х, у, V г6(х, у, , у, Й6(дг. у, г) аи ' Величины Мх= %х6(х, у, г)йо, Му= \\\уЬ{х, у, г) (IV, Мг= $г6(х, у, г) а а V V V называются статическими моментами тела относительно координатных плоскостей Оуг, Охг и Оху соответственно. Если 6(х, у, г)=сопз(, координаты центра масс не зависят от плотности тела V. Пример 4. Вычислить координаты центра масс однородного тела V, ограниченного поверхностями х = у2 -\- г2, х = 4. ^ Строим тело, ограниченное данными поверхностями (рис. 13.30). Область V ограничена поверхностью параболоида, отсеченного плос- Рис. 13.30 костью х = 4. Его проекция на плоскость Оуг представляет собой круг, ограниченный окружностью у1 + г2 = 4 радиусом 2. Вычислим вначале массу тела в цилиндрических координатах, считая, что его плотность 6 = 1: V = 2л\рD-| о = 8я. 154
Тогда 2л 2 = "^г \а* \рар \хах = 2 0 -' 0 2 0 0 пA РС 16 5 Аналогично определяются у,. и гс, но так как тело — однородное и симметричное относительно оси Ох, то можно сразу записать, что Ус=О и гс=0. 4 Вычисление моментов инерции тел. Момент инерции относительно начала координат тела К € К'' плотностью 6(х, у, г) определяется по формуле /„= $(*-' +<Г + г2N(*, у, г)с1хауЛг; V моменты инерции относительно координатных осей Ох, Оу, Ог соответственно: ''= Ж(Г + г-N(х, у, г)йхс1ус1г, V '»= й$(*'2 + г2N(*. у- V /г= \\\(х2 + у2N(х, у, г .V моменты инерции относительно координатных плоскостей Оху, Оуг, Охг соответственно: 1,у= %^Ь{х, у, г V 1у2= \\\х26(х, у, 2 V /«= \\\у-&(х, у, г)йхйуйг. V Пример 5. Вычислить моменты инерции однородного шара радиу- радиусом Я и весом Р относительно его центра и диаметра. 4 ^ Так как объем шара у= — я/^3, то его постоянная плотность . • о 8 = ЗЯ/D^л/?3). Поместим центр шара в начале координат, тогда его поверхность будет определяться уравнением х~ + у~ + г'1 = К2. Мо- Момент инерции относительно центра шара удобно вычислять в сфери- сферических координатах: /„ = 6 \\\(х'2 + у2 + г2)йхауйг = б $ г' &\а вйгйфйв = V V 2л л К = б \а<$ \ 51п МО { гАйг = б • 2я • 2 %- = 4- — Я2. ] ] 3 5 о § 0 0 0 155
Так как вследствие однородности и симметрии шара его моменты инерции относительно любого диаметра равны, вычислим момент инер- инерции относительно диаметра, лежащего, например, иа оси Ог: V = б $ г2 51п2 бг2 5 V 2л л « = б \Лу \ 5шя вав \ г4 а г = 0 0 0 я — 62л^-\A — сое2 8)<*(со5 8) = о АЗ-13.6 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- поверхностями г = ^х2 + у2, 2 — г = х2 + у2. (Ответ: 4л/3.) 2. Вычислить массу тела, ограниченного плоскостями х-\- у + 2=1, х = 0, у = 0, г = 0, если плотность телг 6(*. у, 2)=1/(х + у + 2+1)\ (Ответ: 1/48.) 3. Вычислить объем тела, ограниченного цилиндро\ х = у2 и плоскостями # + 2=1, 2 = 0. (Ответ: 8/15.) 4. Вычислить объем тела, ограниченного сферами х2 + у2 + 22 = 1, х2 + у2 + г2 = 16 и конусом г2 = х2 + г/2 (тела, лежащего внутри конуса). (Ответ: —^-(\ —"Т~У) 5. Найти координаты центра масс части однородного шара радиусом /? с центром в начале координат, распо- расположенной выше плоскости Оху. (Ответ: С@, 0, — /Л.) 6. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного плоскостями х-\- у -\-2 = а, х = 0, у = 0, 2 = 0. (Ответ: (\а,\а,\а)) 7. Вычислить момент инерции относительно оси одно- однородного круглого прямого конуса весом Р, высотой Н и радиусом основания Я.. (Ответ: — — / 156
Самостоятельная работа 1. Вычислить объем тела, ограниченного поверхно- поверхностями г = х2, Зх + 2у=\2, у = 0, 2 = 0. (Ответ: 32.) 2. Вычислить момент инерции относительно плоскости Оуг тела, ограниченного плоскостями х-\-2у— 2 = 2, х=0, у = 0, 2 = 0, если его плотность б(л:, у, г) = х. (Ответ: 4/15.) 3. Вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями 22 = 4—х2— у2, г = = 0. (Ответ: @, 0, 2/3).) 13.6. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 13 ИДЗ-13.1 1. Представить двойной интеграл \\}(х, у)йхйу в виде о повторного интеграла с внешним интегрированием по х и внешним интегрированием по у, если область И задана указанными линиями. у=л/4—х2, у=л[зх~, х^0. 2 = 2у, 5х-2у-6 = 0. 0, у = х. 1, у=\пх. 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. 1.7. 1.8. Б: 1.9. Б: 1.10. Б: 1.11. й: 1.12. Б: 1.13. й: у^ 1.14. й: х < 0, у 1.15. Б: у = 0, 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. у=-\/2 — у = х2 — 2, у = х. х^0, у~>\, у < 3, у = х. у2 = 2х, х2 = 2у, х , у^х, у = д/э — х2. у у 2у—\2=0, у= 1, г/ < 3, у=—х. 157
1.21. Д г/>0, у< 1, у = х, х= —д/4 — I/2 • 1.22. Д л;<0, у=\, у = 4, у= —х. 1.23. Д у = 3— х2, у= — х. ' 1.24. Д х = О, х = 2, и > 0, м = х2-|-4. 1.25. Д * = о!_у_=О, у=С(* —3J + у2=1- 1.26. Я: х=-\/9 — у2, у = х, у^О. 1.27. Я: л; + 2(/ —6 = 0, (/ = *, у > 0. 1.28. Я: (/ =—х, Зх + у = 3, у = 3. 1.29. Б: х^О, у=\, у=—\, у = Ь^/2х. 1.30. Б: х^О, у^О, у=\, х=л1^ — у2- 2. Вычислить двойной интеграл по области Д ограни- ограниченной указанными линиями. 2.1. \\(х2 + у)с1хс1у, Б: у = х2, х = у''. и 2.2. 55 ху2йхйу, Д у = х1, у = 2х. о 2.3. \\(х + у)AхAу, й: у2 = х, у = х. о 2.4. \х2уйхйу, й: у = 2 — х, у = х, х^О. 2.5. \\(х3 — 2у)с1хс1у, Д ,у = х2 — 1, 0, 0. 2.6. 55О/-. у = х, у = х2. 2.7. 55A +у)ЛхЛу, О: у2 = х, 5у = х. 2.8. 2.9. 55 х(у — 2.10. \\(х — 2)ус1хс1у; у = х2-\, у= -х2+ 1. у = 5х, у = х, х = 3. : у = х, У = ^-х, х = 2. : у = х2, уъ=1. 2.12. 55к'гуйхйу, й: у = 2х\ у = 0, х=\. о 2.13. \\{х2 + уг)с1хйу, Я: х = у2, х = 1. о 2.14. \\хус1хAу, й: у = х3, у = 0, х < 2. 2.15. = х3, у = 8, у = 0, х-=3. 158
2.16. \\хBх + у)с1хс(у, Б: у=\—х2, у>0. о 2.17. \\ у([ — х)с1хс1у, п: у3 = х, у = х. о 2.18. $| хуЧхйу, й: у2 = 1 — х, х > 0. о 2.19. У х(у + Ъ)йхйу, п: у = х + 5, х + у + Ъ = о 2.20. $ (х — у)йхйу, И: у = х1—\, у = 3. о 2.21. $ (х+ \)уЧхйу, Д: у=3х2, у=3. п 2.22. ^ху-йхйу, .О: у = х, у = 0, х=\. о 2.23. $ (г3 + у)йхйу, й: х + у = 1, х + у = 2, л;< 1, х>0. [> 2.24. ^ хуЫхйу, О: у = х\ у^О, у = Лх. о 2.25. 55 (х3 + Зу)йхс1у, Я: х + у= 1, у = х2 — 1, 2.26. 55 хуйхйу, И: у = л[х, у = 0, х + у = 2. о 2.27. СС ^1 ^л:^, п:у = х,ху=\,у = 2. о 2.28. 55 </A +х2)йхс1у, Б: у = х3, у = 3х. о 2.29. \\у2([ +2х)с1хс1у, Б: х = 2 — у2, х = 0. о 2.30. 55 еЧхйу, й: у=1пх, у = 0, х = 2. о 3. Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты. 3.1. [их [ /1-^-^ й 3 3 V I+*- + </ ^ о о о V 3.2. ( их — уз о 159
3.4. \с1х 3.5. $ йу \ -2 -7"- — х2-у2йх 3.7. 3.8. О т/^ -« о « У«'-х2 5 их \ { -к о « У«'-х2 у2с1у. 3.9. $й* ] со5(л;2 -« У? -У У^ узр о уГ-Г?- 3.10. З.И. 3.12. $ ^х ] (\+х2 + у2)с1у. -У2 -У2-х2 з.1з. 3.14. о о к о 3.15. [ ах -к 3.16. 160
3.17. \ ах 3.18. о о +</ ■ ау. 3.19. [ ах { - -к о 3 О з.го. (ах [ - г—' о о 3.21. ^ с?х ] со$(х'2 -к -7«'-^2 о 3.22. 7 3.23. \ их \ V1 I 3.24. -2 О з V9^? 3.25. $о!л; $ о о 3.26. \ их \ I "V1 — * 3.27. [ах[- 3.28. 3.29. о о « 7^ ау. + у'2 0—357 161
4. Вычислить площадь плоской области И, ограни- ограниченной заданными линиями. 4.1. Я: у2 = 4х, х + у = 3, у > 0. (Ответ: 10/3.) 4.2. И: у = 6х2, х + у = 2, х>0. (Ответ: 5/8.) 4.3. И: у'2 = х + 2, х = 2. (Ответ: 32/3.) 4.4. И: х=—2у2, х=1—3у2, х < 0, у > 0. (Ответ: 16/3.) 4.5. Я: (/ = 8/(х2 + 4), х2 = 4у. (Ответ: 2л —4/3.) 4.6. И: у = х2+\, х + у = 3. (Ответ: 9/2.) 4.7. Я: у' = 4х, х'2 = 4у. (Ответ: 16/3.) 4.8. И: у = со&х, у^х+1, у^О. (Ответ: 3/2.) О. (Ответ: 2л — = 2, г/ = х. (Ответ: 14/3.) 2. (От-в^т-; 20^/3.) 4.12. /): у = х\ у= —х. (Ответ: 1/6.) 4.13. /): х = у2, х = ±(/2+1. (От-вег: 8/3.) 4.14. /): у=^/2 — х2, у = х2. (Ответ: л/2+1/3.) й у = х2 + 4х, у = х + 4. (Ответ: 125/6.) 2у=л[х, х+у = Ь, х > 0. (Ответ-: 28/3.) г/= 2*, у = 2х —х2, х = 2, х = 0. (Ответ: 3 1п 4. 4. 4. 2 4 4 15. 16. 17. 4 3 .18. .19. : (/=—2х'2 + 2, у > —6. (Ответ: 64/3.) : у'2 = 4х, х = 8/(у2 + 4). (Ответ: 2л —4/3.) 4.20. .О: у = 4 — х'2, у = х2 — 2х. (Ответ: 9.) 4.21. Я: х = у2+1, х + у = 3. (Ответ: 9/2.) 4.22. Б: х2 = 3у, у2 = 3х. (Ответ: 3.) 4.23. п: х = созу, х<(/+1, х > 0. (Ответ: 1/2.) 4.24. /): х = 4—у2, х —(/ + 2 = 0. (Ответ: 125/6.) 4.25. /): х = у2, х=^/2 — у2. (Ответ: л/2+1/3.) 4.26. /): ^ + у = 1, У<4Х' у^°- ( 4.27. /): у2 = 4 — х, у = х + 2, у = 2, у = —2. (Ответ: 56/3.) 162
4.28. Я: у = х2, у = ± х2 + \. (Ответ: 8/3.) 4.29. Я: х = у\ у2 = 4—х. (Ответ: ^/) 4.30. Я: ху=\, х2 = у, у = 2, х = 0. (Ответ: 2/3 + + 1п2.) 5. С помощью двойных интегралов вычислить в по- полярных координатах площадь плоской фигуры, ограни- ограниченной указанными линиями. 5.1. (х2 + уу = а2D/ + уг). 5.2. (х2+уУ = а2х2у2. 5.3. (х] + уу = ауDх* + зу). 5.4. (х2+у2J = а2Cх +2у2). 5.5. х4 — у4 = (х2 + у2)л 5.6. р = а5ш22ф. 5.7. р=азт2ф. 5.8. р = аA^созф). 5.9. (х2+у2); = а2Bх2 + 3у2) 5.10. (х2 + у2J = а-Eх2 + 3у2). 5.П. (х* + уу = а\7х2 + 5у*). 5.12. {х'2+у2J = 2а2ху. 5.13. (х2 + 'у2/ = Ах2ц\ 5.14. (х2 + ^у2K = а4у2. 5.15. (х2 + уУ = а4х*. 5.16. р = а соз2 ф. ■ 5.17. р2 = а2A +51п2ф). 5.18. (х2 + уУ = а2х4. 5.19. (х1+у1J=4(Зх\+4^). 5.20. (*2 + «/2)' = а*У. 5.21. (х2 + ^ = а2(/ + У4)- 5.22. (х2 + у2у = 2аи\ 5.23. (х2 + у2)' = Аа1ху{х2 — у2). 5.24. р = азт2ф. 5.25. р = асоз5ф. 5.26. р = 4A+созф). 5.27. р = 2аB + соз ф). 5.28. р2 = а2соз3ф. 5.29. р2 = а2соз2ф. 5.30. р = аз1пЗф. 6. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями. 6.1. г = х2 + у2, х + у=\, х>0, (/>0, г>0. (От- (Ответ: 1/6.) 6.2. г = 2 — (х2 + у2), х + 2у= 1, х > 0, у > 0, г > 0. (Огвег 53/96.) 6.3. г = х\ х — 2у + 2 = 0, х + у — 7 = 0, г>0. (От- (Ответ-: 32.) 6.4. г = 2х2 + Зу2, у = х2, у = х, г > 0. (Ответ: 29/140.) 6.5. г = 2х2 + у , (/<х, (/ = 3лг, л; = 2, г > 0. (Ответ: 152/3.) 163
6.6. г = х, у = 4, х (Ответ: 118/3.) 6.7.у=л/х, у — х, 11/60.) у > 0, 2>О. ^О. (Ответ: = 4, л- = 4, х О, 0, О, (Ответ-: 0. (От- (От0. (От- (От0, 0, = 6, у = 2х, х > 0, 6.8. (/=1—х2, 104/30.) 6.9. г = 2х'2+у2, вет1.' 64,) 6.10. 2 = 4 —х2, вет: Зл.) 6.11. 2х + 3у— 12 = 0, 2г = (Д (Ответ: 16.) 6.12. г= Ю + *2 + 2(Д у = лг, х (Ответ: 65/12.) 6.13. г = х2, (Ответ: 4.) 6.14. г = Эх2 + 2 вет: 264У2/35.) 6.15. Зу=л/х, 'Ответ: 303/20.) 6.16. у2= 1 —х, 49/60.) 6.17. у = х2, х = у2 11/4.) 6.18. х-= 1 — у, х 52/15.) 6.19. х = у2, х=1 68/15.) 6.20. 2 = 2лг2 + (Д х + у= 1, вет: 1/4.) 6.21. (/ = х2, у = 4, 704/3.) 6.22. у = 2лг, л:+ (/ 6.23. (/ = 1 — 22, у = х,'у= —х, 8/15.) 6.24. х2+у2 = 4у, г2 = 4 —у, 2>0. (Ответ: 256/15.) 0, г > 0. >0. (От- (Отг=\0, у=\, 2 = 0. х = 0, 2 = 0. (Ответ: у + 6, 2 = 0. (Ответ: у>0, г>0. (Ответ: = 4, 2 = 0. (Ответ: >0, у>0, 2 > 0. (От- (От= 2х + 5у+ 10, 2 > 0. (Ответ: = 2, х>0, 2>0. (Ответ: 4/9.) 2>0. (Ответ: 6.25. = 1, 2 = 2-х2-;у2, 2>0. (Ответ: А пЛ 6.26. г/ = л-2, 2 = 0, 6.27. 22 = 4 —х, = 2. ('Ответ: Ц 2 = 4х, 2>0. (Ответ: 256/15.) /«4
6.28. г = х2 + 2у2, у = х, 7/12.) 6.29. г = у2, х + у = \, х , у=\, Ответ: 6.30. у2 = х, * = 3, 2 = *, г>0. (Ответ: 1/12.) 0. (Ответ: 36-\/з/5.) Решение типового варианте 1. Представить двойной интеграл Ц (х, у)йхйу в виде о повторного интеграла с внешним интегрированием по х и внешним интегрированием по у, если область /) огра- ■ — -\1и г \/ 9 -\- и х — 0 г — ? ничена линиями ► Область /) изображена на рис. 13.31 и ограничена дугами парабол х2 = у + 2, х2 = I и прямыми л: = 0, л: = 2. Следовательно, ^^ = \йх \ }(х, у)йу = 0 2 О х2-2 2. Вычислить двойной интеграл ЭД (х — 2у)йхйу по об- о ласти п, ограниченной линиями х = 0, у = 7 — х, у = ► Область Б изображена на рис. 13.32. Если выбрать внутреннее интегри ование по у, а внешнее — по х, то У' и 2 р 0 -г 1 Рис. 13.31 У! ^~2 0 г? \ 4 7\-х Рис. 13. 32 «65
двойной интеграл по этой области выразится одним по- повторным интегралом: 4 1-х \\{х-2У)с1хс1у = \с1х \ {х-2у)с1у = 4 4 = \(ху — у2) 7~" с1х = [Gх - х2 - 49 + 14х - х2- 3. Вычислить двойной интеграл ■ йу. -к используя полярные координаты. Найти его численное значение при Я = 1. ► Область интегрирования О представляет собой чет- четверть круга, расположенного во втором квадранте (рис. 13.33). м -К О х Р и с. 13.33 Перейдем к полярным координатам * = р соз ф, у — р51пФ,*2 + У2 = Р, где 0<р</?;л/2<Ф<л- Тогда / = я к И я/2 О _ ы = 1пA +Р). аи = ар/{\ +Р). = 166
= р о/ При /? = 1 получаем 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 — Зх и За- + у — 4 = 0. ^ Данная плоская фигура ограничена снизу парабо- параболой (/ = л:2 — За, сверху прямой Зх-\-у— 4 = 0 (рис. 13.34). Следовательно, 2 4-:>,х 2 5 = ^ йхйу = \ их \ йу = \ D — За — хг + Зх)^а = -2 д---3.г 5. С помощью двойного интеграла вычислить в поляр- полярных координатах площадь фигуры, ограниченной линией (х> + 1//=2у\ ^ Уравнение линии в полярных координатах имеет вид р = 2з!П3ф. Она изображена вместе с ограниченной ею областью В на рис. 13.35. Полюс О лежит на границе Рис. 13.34 Рис. 13.35 167
области Д и поэтому, согласно формуле A3.12) (случай 3; см. также пример 2 из § 13.2) имеем: 5 2 61 п'ц О 0 0 = 2[ 51П6 о ф = -1- [A — о = _1 С A — 3 соз 2ф + 3 соз2 2ф — со53 л 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностя- поверхностями г = V' — У* У = х> У = —х> 2 = 0. Рис. 13.36 ^ Данное тело ограничено сверху параболическим цилиндром 2 = д/1—у (рис. 13.36), поэтому V — — г/ а!ха(у = 2 —ух — у их = —уЛу= IV1 —У = <> 168
у = 1 — I2, йу = —2Ыг, (= 1 при у = 0 и / = 0 I О при у=[\ = 2\([ -B)((-21Ш)= -4\(B-(')сИ = ИДЗ13.2 1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин- интеграле $/(*, у, г)йхйуйг, если область V ограничена V указанными поверхностями. Начертить область интегри- интегрирования. 1.1. V: х=2, у = 4х, у = 3^х; г > 0, 2 = 4. 1.2. V: х=[; у = 3х, у^О, г > 0, г = 2(х2 + у2). 1.3. V: х= 1, у = 4х, г > 0, г=~^[3у. 1.4. К: х = 3, у = лг, у > 0, г > 0, г = Зл2 2 1.5. V: у = 2х, у = 2, г > 0, г = 2л!х. 1.6. V: х=0, у = х, у = 5, г > 0, 2 = 2 1.7. I/: х^О, у = 2х, у=1, г > 0, лг+ 1.8. К: х > 0, у = Злг, у = 3, г > 0, х = ^ 1.9. V: х = 5, у = х/5, у^О, г > 0, г = л:2 + 5у2. 1.10. 1.11. 1.12. 1.13. 1.14. 1.15. 1.16. 1.17. 1.18. 1.19. 1.20. 1.21. 1.22. 1.23. 1.24. V: V: V: V: V: V: V: V: V: V: V: V: V: У- V: х = х = X = X ^ у = х = У = х^ х^ X ^ х^ X ^ 2, у 3, у 4, У 0, У х, У 1, у •■ х, у 0, у 0, у 0, у; 0, у; 0, у 0, г = 4х, г 1 = — Х,1 = х/4, г = 4х, у = 5х, у = 2х, у = = —2х, >о, о >0, г> >0, 2> >0, г; >0, (/ = >0, у = 2^ г. />0, г>0, ^ 0, г = 4(/2. = 3, г>0, ; = 8, г>0, , = 10, г>0, (у =2, г>0, у=\, г>0 . 0, х + у = 1 : 0, Зх-\-2у = 0 х 4- и — 2 0, х + У = 3, ^ 0, Зх + 4у = х, у = 3, г г = 2(х2 г = Зх2 г = х2 х2 + у2). XV. г = 32(х2-{-у2). г = х , 2 = ЗЛ = 6, г = г = 4 — 2 = 9- = 12, = 18 — ■2 + 2(у2! х2 + у2. х2 - ^. ■х2-у\ 2 = 6- X2 - /. 169
1.25. V: х = 2, у>0, г > 0, у = 3х, г = 4(х2 + ц'г). 1.26. V: х^О, у = 2х, у = 4, г > 0, г = 10 — хг — у2. 1.27. V: х = 3, у>0, г > 0, у = 2х, г = А~\[у. 1.28. К: х> 0, у>0, г > 0, 2л: + 3(/ = 6, г = 3 + 2 г — л:2 — 1.29. К: х > 0, у>0, г>0, л: + У = 4, г=16 — 1.30. V: х^О, г/>0, г>0, 5лт + у = 5, г = х2 + г/1'. 2. Вычислить данные тройные интегралы. 2.1. \\\Bх2 + Зу + г)Лхс1ус1г, V: 2 <^х <^ 3, — V 2.2. 59 х2угйхйуйг, V: — 1 < л: < 2, 0 < у < 3, 2.3. 555(^ + У + 4г2)йхйуйг, V: — — 1 <г< 1. 2.4. 555 (*2 + У2 + г2)йхйуйг\ V: 0 < х < 3, - 1 < у < 2, 2.5. §\х2у2гс1хс1ус1г, V: —\<^х<^3, 0^(/<2, — 2< 1 5^2 5$ 2. 2.7. 555 Bх — / — г)йхйуйг, V. 1^X5 -1 <г<0. 2.8. 555 2ху2гйхйуйг, КгО^лг^З, — 2 5$ у < 0, 1< V <2<2. 2.9. 55^' Ъхуг2йхйуйг, К:-1^х<0, г" <25$2. 2.10. 555(*'2 + 2г/2 — г)с1хс1ус1г, 1/:0^х<1 — 1 ^2^2. 2.П. 555(^ + 2(/2)^л:^^2, К: — 2 < х < 0, 0^25^2. 170
2.12. Ц(х V \\\( , V: — 1<л:<1, 0<(/<1, V г<2. 2.14. \\\ (ху — г2) Лхс1уЛг, V. О ^ х ^ 2, 0 ^ у ^ I, — 1< V 2<3. 2.15. $ (х* + (/г) йхйуйг, V. — 1 < л: < 2, 0 ^ у < 1, 2< 1. 2.16. Й5 (л:3 + У2 — г) оГлгаГ^аГг, V. О < х < 2, —1 <г/<0, 2< 1. 2.17. $Ц {2хг + у — г*)AхAус1г, V. О < л: < 1, —2<у< 1, 2< 1. 2.18. \\\х'2уг2с1хс1ус1г, V. 0<л:^2, 1<(/<2, —1< V 2<0. 2.19. Щ (х + у — г) йхйуйг, V. 0^лг<4, 1<(/<3, 2.20. Щ {х + 2у + Зг^йхйуйг, V. — 1<л:<2, 0 V 2.21. \\\Cх2 + 2у + г)йхйуйг, V. О < х <^ 1, 0 < у < 1, 1 <г<3. 2.22. $ (лгу — 23) йхйуйг, V. 0<х<1, — 1 < у ^ 2, 2.23. V 2.24. \\\ху2гс1хс1ус1г, V. — 2<л:<1, 0<у^2, 0< 2.25. Щ хуг2йхйуйг, у:0<лг^2, — 1 < (/< О, 0< <2<4. 171
2.26. \\\ (х + уг) йхйуйг, V. 0<лг< 1, —1 V <2<2. 2 г2 2.27. $ (х + у2 — г2)йхйуйг, V. — 2<лг<0, 1 <(/<2, V 2.28. 5У (х + у + г'2)йхйуйг, V. — 1 <х<0, 0<у< 1, V 2.29. 555 (х + у2 — 2г) йхйуйг, у: 1 < л: < 2, — 2 < у ^ 3, V г< 1. 555 , у:0$$а-<3, 0<(/<1, 3. Вычислить тройной интеграл с помощью цилиндри- цилиндрических или сферических координат. 3.1. 555 (*2 + У2 + г2) с(хс(ус(г, V. х2 + у1 + 22 = 4, х > 0, г: 16л/5.) 3.2. 555 Ул/х2 + у2 йхйуйг, V. г^О, г = 2, у ^ ±х, г2 = V = 4 (л:2 + (Д ( Ответ-: 3.3. 555 г2йхйуйг, V: 1 < х2 + у2 < 36, (у > л:, л: > 0, 2>0. (Ответ: 1555л/12.) 3.4. 555 уйхйуйг, V. х'2 + у2 + г2 = 32, у2 = х2 +г2, у^О. V (Ответ: 128л.) 3.5. 555 хйхйуйг, V. х2 + у2 + г2 = 8, л:2 = у2 + 22, л: > 0. V (Ответ: 8л.) 3.6. 555^^^, V. 4<л:2 + (/2 + 22< 16, V 2>0. (Ответ-: 15л/2.) 3.7. Щуйхйуйг, V. г = д/8 — х2 — у2, г=-\/х2 + у2, V О. (Ответ: 8(л/2 — 1).) 172
3.8. , V. + с/ + г2 < 36. ( Ответ: § Bл + Зд/з) •) 2=3. (Ответ: 3Dл - 3^/20.) З.Ю. {Ответ: 16л/3.) 3.11. 2= 18. (Ответ: 81.) 3.12. (Ответ: 4/3.) З.|3. (Ответ-: 1472/45.) 3.|4. . (Ответ: 4/5.) (Ответ: 2048/5.) . (Ответ: 128/45.) 3.17. $ хУс1хс1ус1г, V. г > 0. г = 4. = 4, г > 0. г = 2, (Ответ: 31D-^/2— 5)/15.) 173
3.18. , V. г>0, 2 = 6. (Ответ: 24.) 3.19.Щд/л:2 + у- + гЧхйуйг, V. х2 + у2 + г2 = 36, у ■■>0, 2>, (/< —л:. (Огаег 81л.) 3.20. 3.21. х. (Ответ: 0, —х, 2>0. (Ответ-: 13л/8.) 3.24 , V. х1 — 2х + у2 = О, у^О, = 2. (Ответ: 64/45.) г, V. 1<гЧ/ + г2<16, у > О, = 4, г > 0. , г>0. (Ответ-: 341 (л + 2)/20.) , V. (Ответ: 64/3.) 3.25. . У>0, г>0. (Ответ: 7л/3.) 3.26. Щ гл]х2 + у2йхйуйг, V. х2 + / = 2лг, у > 0, г > 0, = 3. (Ответ: 8.) у < л:, г/ > О, г > 0. ( Ответ: 7У2~л/24.) 174
3.28. Щ хйхйуйг, V: х2 = 2(у2 + г2), х = 4, х > 0. V (Ответ: 32л.) 0, г > 0. ( Ответ: I Зл/2л/2.) 3.30. ])} хйхйуйг, и: г = -\[\8 — х2 — у2, г = ^х2 + у2, 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем те- тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертеж. 4.1. 22 = 4 — х, х2 + у'2 = 4х. (Ответ: 512/15.) 4.2. 2 = 4 —у2, х'2 + у2 = 4, г>0. (Ответ: 12л.) 4.3. л:2 + у2 = 1, г = 2 — х — у, г > 0. (Ответ: 2л.) 4.4. г = (Д л: > 0, 2 > 0, л: + у = 2. (Ответ-: 4/3.) 4.5. у > 0, 2>0, 2 = лг, х (Ответ: 98/3.) 4.6. л:2 + / = 4, 2 = 4 — л:— у, г > 0. (Ответ: 16л.) 4.7. 2 > 0, 2 = лг2, л; —2у + 2 = 0, лг4-у = 7. (От- (Ответ: 32.) 4.8. лг>0, 2>0, 2 = у, л: = 4, у=^2Ъ — х2. (Ответ: 118/3.) 4.9. г>0, 2 = 4 — л:, лг= 2д/у, у = 2-ух. (Ответ: 176/15.) 4.10. у>0, 2>0, 2х — у = 0, х + у = 9, г = х2. (От- (Ответ: 1053/2.) 4.П. у>0, 2>0, л: = 4, у = 2х, г = х2. (Ответ: 128.) 4.12. лг>0, 2>0, у = 2лг, у = 3, г = л[у. (Ответ: ) 4.13. у>0, 2>0, лг = 3, у = 2х, г = у2, (Ответ: 54.) 4.14. г^0, у2 = 2 — х, г = Зх. ( Ответ: 32-^2/5.) 4.15. 2>0, у=л/9 — х2, г = 2у. (Ответ: 36.) 4.16. я: > 0, (/>0, 2>0, лг + (/=2, г = л:2+(/2. (Ответ: 8/3.) 175
4.17. 2^0, х2 4- у2 = 9, 2 = 5 — х — у (Ответ: 45л.) 4.18. 2>0, г = х, х=^4 — у2. (Ответ: 16/3.) 4.19. у > 0, 2>0, х + у = 2, г = х2. (Ответ: 4/3.) 4 0П /7 ^> Г) ?* ^> 0 /7 4  у у •— -\ / О К /7 ^ От&РТ ' 118/3.) ■ 4.21. 2>0, х2 + (/2 = 9, г = у2. (Ответ: 81/8л.) 4.22. х > 0, 2>0, г/>л-, 2=1— х2 — у2. (Ответ: л/16.) 4.23. 2 > 0, л-2 + у2 = 4, 2 = х2 4- (Д (Огвег 8л.) 4.24. 2>0, у = 2, г/ = л-, 2 = лА (Ответ: 4/3.) 4.25. 2 > 0, у 4- 2 = 2, л-2 4- у2 = 4. (Ответ: 8л.) 4.26. (/> 0, 2>0, х-у = 0, 2х + у = 2, 4г = у2. (Ответ: 1/162.) 4.27. л->0, г/>0, 2>0, 2л- 4- у = 2, х = у2. (Ответ: 2/3.) 4.28. 2 > 0, х = у2, х = 2у2+[, 2=1— г/2. (Огвет: 8/5.) 4.29. л->0, у>0, 2>0, (/ = 3 —л-, 2 = 9 — л:2. (Ог- вет: 135/4.) 4.30. л- > 0, 2 > 0, л- 4- у = 4, 2 = 4л[у. (Ответ-: 512/15.) Решение типового варианта 1. Расставить пределы интегрирования в тройном ин- интеграле 555 /(х, у, г)йхс1уйг, если область V ограничена по- V верхностями х = 1, у = х, г = 0, г = у2. Начертить область интегрирования. ► Согласно формуле A3.23), имеем: I х у* 555 /(л-, у, г)йхйуйг = \йх\йу\ \{х, у, г)а"г. V 0 0 0 Область интегрирования изображена на рис. 13.37. ^ 2. Вычислить555(Зл-4-2у — г^а'ха'уа'г, если V: 0<л-<1, ► Для данной области V (рис. 13.38) на основании формулы A3.24) получаем I 2 3 (Зх + 2у- г^йхЛуйг = \ йх\ йу \ (Зх + 2у - г3)йг = » 9 1 % \ \ \ V » 9 1 176
о о 2= У К 3 ~~\\йу={ с1х[ Fх + 4у-20)с(у = о о 1 у2-20у)\1с(х= \ A2х-32)с1х = о = Fх2-32х)\'0 = -26. 4 ^Л ч- У /2 у Рис. 13.37 Рис. 13.38 5. Вычислить тройной интеграл Щ хгЛхЛуйг ^ по об ласти, расположенной в первом октанте и ограниченной плоскостями х = 0, (/ = 0, г = /г и конусом г2 = -^- (х2 + г/2), с помощью цилиндрических координат. ^ На рис. 13.39 изображена область интегрирования V и ее проекция О на плоскость Оху. Перейдя к цилиндрическим координатам р, ф, г по формулам A3.26), в которых для данной облает:! О^г</г, 0<ф5^л/2, 0<р<#, получим: г2 =/г2р2//?2, г = йр/К, хгйхйуйг л/2 р2 соз Ц>гс1ц>с1(>с1г О л/2 = ^ соз 92-^ 2 с1р = 177
л/2 О л/2 К С05 О О о ф л/2 р3 Я Рис. 13.39 Рис. 13.40 4. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного указанными поверхностями: х = 0, У = 0, 2 = 0, х + у = 2, 2г = х2 + у2. ^ Уравнение 2г = х2-\-у2 определяет параболоид вращения, остальные поверхности — плоскости. Искомое тело изображено на рис. 13.40. Его объем и вычисляем в соответствии с формулами A3.21) и A3.23): 2 2-х (х- + у*}/2 и = 555 йхйуйг = \ их \ йу \ йг = V 0 0 0 2 2-х ,. ;_ 2 1-х 3 \ I 2-х 0 0 2 12 1/8
ИДЗ 13.3 1. Вычислить массу неоднородной пластины В, ограни- ограниченной заданными линиями, если поверхностная плотность в каждой ее точке \а = \к{х, у). 1.1. В: у'2 = х, х = 3, \а = х. (Ответ: 36^/5.) 1.2' В: а = 0, у = 0, х + у= 1, [х = а2. (Ответ: 1/12.) 1.3. В: а = 0, у = 0, 2х + Зу = 6, \х = у'2/2. (Ответ: 1.) 1.4. В: а2 + (/2 = 4а, |л = 4 — х. (Ответ: 8л.) 1.5. /): лг = О,г/= 1, у = х, [х = а2 + 2/. (Ответ: 7/12.) 1.6. /): л:2 + 1/= 1, [х = 2 — х — у. (Ответ: 2л.) 1.7. /): лг'2 + (/2 = 4(/, A=^4 —у. (Ответ-; 256/15.) 1.8. /):(/ = х, у =—х, у=\, [х="\/1 — г/. (Ответ: 8/15.) 1.9. .0: лг = О, у = 2х,х + у = 2, [х = 2 — л: — у. (Ответ: 4/9.) 1.10. /): а-=1,лг = (/2, [х = 4 — а — у. (Ответ: 68/15.) 1.11. .0: у = 0, х2=1—у, [1 = 3 — х — у. (Ответ: 14/5.) 1.12. /): у = х'2,х = у\ р = Зх + 2у + 6. (Ответ: 11/4.) 1.13. /): у = х2,у = 4, [х = 2л: + 5(/+ 10. (Ответ: 752/3.) 1.14. /): лг = О, (/ = 0, лг + (/=1, (х = 2л:2 + у2. (От- (Ответ: 1/4.) 1.15. /): х = 0, у'2=[—х, \к = 2—х — у. (Ответ: 32/15.) 1.16. О: у=л[х, у = х,у, = 2 — х — у. (Ответ: 51/60.) 1.17. В: у = х'2 — 1, у=1, [х = За-2 + 2у2 + 1. (От- (Ответ: 264^/35.) 1.18. В: х= 1, у = 0, у = х, [х = а-2 + 2у2 + 10. (От- (Ответ: 65/12.) 1.19. -О: у = 0, у = 2х, х + у = 6,у. = х2. (Ответ: 104.) 1.20. -О: аг>0, у>0, а-2 + у2 = 4, [х = 4 — а2. (От- (Ответ: Зл.) 1.21. О: у = х2, у = 2, \а = 2 — у. (Ответ: 32-^2/15.) 1.22. В: а = 0, (/ = 0, х + у=\, [1 = х2+у'2. (Ответ: 1/6.) 1.23. В: у = х2 + 1, а + у = 3, (х = 4а + 5у + 2. (От- (Ответ: 351/6.) 1.24. В: у = х2— 1, х + у= 1, [х = 2а + 5(/ + 8. (От- (Ответ: 45.) 179
1.25. й: х = 0, у = 0, у = 4, х = ^25-у2, (х=х. (Ответ: 118/3.) 1.26. й: х = 2, у = х, у = 3х, [х = 2х2 + у2. (Ответ: 152/3.) 1.27. й: у = х, у = х2, р. = 2х + 3у. (Ответ: 11/30.) 1.28. й: х = 0, х + 2у + 2 = 0, х + у=1, ц = х2. (Ответ: 32/3.) 1.29. /): х = О, у = О, х + 2у = 1, |л = 2 — (х2 + у2)- (Ответ: 43/96.) 1.30. В: х = 0, (/ = 0, х + у = 2, [1 = х2 + у2. (Ответ: 8/3.) 2. Вычислить статический момент однородной пластины Д ограниченной данными линиями, относительно указан- указанной оси, использовав полярные координаты. 2.1. /): х1 2.2. /): х2 2.3. й: х2 2.4. Б: х2 2.5. Я: х2 2.6. Б: х2 2.7. 0: х2 2.8. Б: х2 2.9. /): х2 2.10. Я: х; 2.П. /):х5 2.12. /): х5 2.13. й: х 2.14. Я: х 2.15. /): х 2.16. -0: х 2.17. /): х 2.18. Б: х 2.19. У>. х 2.20. /): х 2.21. В: х 2.22. У>. х' 2.23. Б: х' 2.24. /): х: + у7 + У2 + у2 +У1 + у2 + у2 1 2 + </2 - + у2 1 + у2 4/ 2+^ 2+у' 2+у; '' Л-у' 2 -\-у' - -\-у'' 2 -\-у 2 Л-у' 1+у; ] + У 2 + у 2.25. Я: х2 + у 2.26. Б: х! 2.27. Я: л 2.28. Б: х Чу'' ■2 + у ■2 + у - 2ау = 0, — 2ах = 0, + 2ау = 0, + 2ах = 0, 4 2ах ^ 0, - 2ау > 0, — 2ау < 0, — 2ах < 0, — 2ах > 0, + 2ах < 0, - 2ау < 0, -2ау>0, + 2ау = 0, 2 — 2ах = 0, 2 + 2ау = 0, ■ — 2ау ^ 0, ' — 2ау = 0, '- + 2ах = 0, г — 2ах = 0, 1 + 2ах = 0, ! 4 2ау = 0, ■ — 2ау ^ 0, 2 + 2ах = 0, '-2ау = 0, 2 + 2ах = 0 ' —2ах = 0, 2 — 2ах = 0 '2 - 2ау = 0 х —у<0, Ох. х + у« х —у; Х2+У} х2|у2 Х2 + У2 х2 + у2 Х\+У[ Хх2+УУ2 х +У х- + у! х2 -\-у' х2 4 Ч' х -\- У х -\- у х2 -\-у' х2 -\- у' х2 + у' у —х: У — х\ Х + У] , х + у у — х = , у—х , у—х %0, Оу. »0, Ох. >0, Ох. + 2ау ^ + 2ах^ + 2ау ^ 4 2ау ^ 4 2ау ^ + 2ах^ — 2ах< ] + ау = \ — ау = ' -\- ах = > 1 -\-ах = ^0, х> >0, х> >0, у< ^ 0, х< <0,у5 ^0,у> :<0, х ■ ^ 0, х :о, х< -0,у> = 0,х> :0,у< :о,х> 0, у < :0, Х< :о, у> 0, х< о, у> 0, х ^ 0, х> 0, х< 0, у> 0,' у< 0, Ох. 0, Ох. 0, Оу. : о, Ох. :о, о, о, :о, ^о, о, :о, о, о, о, о, о, о, о, о о! г0, Оу. 0, Ох. -|-у ^ 4 у 7^ 0, 0, Ох Оу Ох Оу Ох Оу Ох Оу Ох Оу Ох Ох Ох Оу Ох Оу Оу Ох 180
2.29. У>. х2 + у2 + 2ах = 0, л- + у < 0, у — х > 0, 0(/. 2.30. В: х2 + у2 + 2ау = 0, у — х < 0, лг + у<0, Ох. 3. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную указанными поверхностями. 3.1. V: х = 6(у'2 + г2), у2 + г2 = 3, л: = 0. (Ответ: F, 0, 0).) 3.2. V: у = 3л/х2 + г2, х2 + г2 = 36, у = 0. (Ответ: @, 27/4, 0).) 3.3. V: х = 7(у2 + г2), л: = 28. (Ответ: E6/3, 0, 0).) 3.4. V: г = 2л/х'2 + у2, г = 8. (Ответ: @, 0, 6).) 3.5. V: г = 5(х'2 + у2), х2 + у2 = 2, г = 0. (Ответ: @, 0, 10/3).) 3.6. V: х = 6л/у2 + г2, у2 + г2 = 9,х=0. (Ответ: B7/4, 3.7. V: г = 8(х'2 + у2), г = 32. (Ответ: @, 0, 64/3).) 3.8. V: у = Зл/х2 + г2, у = 9. (Ответ: @, 27/4, 0).) 3.9. V: 9у = х'2 + г2, х2 + г2 = 4, (/ = 0. (Ответ: @, 4/27, 0).) 3.10. К: Зг = д/^+ <Л ^2 + г/2 = 4, г = 0. (Ответ: @, 0, 1/4).) 3.11. К: х'2 + г2 = 6у, у = 8. (Ответ: @, 16/3, 0).) 3.12. V: 8х = л]у'2 + г2, л: =1/2. (Ответ: C/8, 0, 0.) 3.13. V: 2х = у2 + г'2, у2 + г2 = 4, х = 0. (Ответ: B/3, 0, 0).) 3.14. V: 4у=л/х2 + г2, х2 + г2 = \6, у = 0. (Ответ: @, 3/8, 0).) 3.15. V: у'2 + г2 = 8х,х = 2. (Ответ: D/3,0,0).) 3.16. V: г = 9л]х2 + у'\ г = 36. (Ответ: @, 0, 27).) 3.17. V: г = 3(х'2 + у2), х'2 + у2 = 9, г = 0. (Ответ: @, 0, 9).) 3.18. V: х = 2л/у2 + г2, у2 + г2 = 4, х = 0. (Ответ; C/2,0,0).) 3.19. К: л-2 + г2 = 4(/, (/ = 9. (Ответ: @, 6, 0).) 3.20. V: х = 5л]'у2 + г2, л: = 20. (Ответ: A5, 0, 0).) 3.21. V: у = х'2 + г2, л-2 + 22=10, у = 0. (Ответ: @, Ю/3, 0).) 181
3.22. V: у = ЗУ л2 + г2, х2 = г2=16, у = 0. {Ответ: @,9/2, 0).) 3.23. V: у2 + г2 = Зх, х = 9. (Ответ: F, 0, 0).) 3.24. V: у=л/х2 + г2, у = 4. (Ответ: @, 3, 0).) 3.25. V: х = у2 + г2, у2 + 22 = 9, х = 0. (Ответ: C, 0, 0).) 3.26. V: х=0, у = 0, 2 = 0, л; + у + 2 = 3. (Ответ: C/4, 3/4, 3/4).) 3.27. V: г = 2л/х2 + у2, х'2 + у2 = 9, г = 0. (Ответ: @, 0, 9/4).) 3.28. I/: х2 + у2 = 2г, 2 = 3. (От-вет: @, 0, 2).) 3.29. V: г=л/х'2 + у2, 2 = 4. (Ответ: (О, О, 3).) 3.30. V: г = х'2 + у2, х2 + у2 = 4, 2 = 0. (Ответ-: (О, О, 4/3).) 4. Вычислить момент инерции относительно указанной оси координат однородного тела, занимающего область V, ограниченную данными поверхностями. Плотность тела 6 принять равной 1. 4.1. V: у'2 = х2 + г2, у = 4, Оу. (Ответ: 512л/5.) 4.2. V: х = у2 + г2, х = 2. Ох. (Ответ: 4л/3.) 4.3. V: у'2 = х2 + г2, у = 2, Оу. (Ответ: 16л/5.) 4.4. V: х = у2 + г2, х = 9. Ох. (Ответ: 243л/2.) 4.5. V: х2 = у2 + г2, х=2, Ох. (Ответ: 16л/5.) 4.6. V: у = х'2 + г2, у =2, Оу. (Ответ: 4л/3.) 4.7. V: х2 = у2 + г2, х = 3, Ох. (Ответ: 243л/10.) 4.8. V: х = у2 + 22, х = 3, Ох. (Ответ: 9л/2.) 4.9. К: у = 2^/х2 + 22, (/ = 2, Оу. (Ответ-; л/5.) 4.10. V: у = х'2 + г2, у = 3, Оу. (Ответ: 9л/2.) 4.11. I/: х2 = (/2 + 22, у2 + г2=\, х=0, Ох. (Ответ: 2л/5.) 4.12. V: х = у2 + г2, у2 + 22----1, х=0, Ох. (Ответ: л/3.) 4.13. I/: г2 = х2 + у2, 2 = 3, Ог. (Ответ: 243л/10.) 4.14. V: г = х'2 + у2, 2 = 3, Ог. (Ответ: 9л/2.) 4.15. I/: у2 = л:2 + 22, х2 + 22 = 4, у = 0, Оу. (Ответ: 64л/5.) 4.16. I/: 2у = л:2 + 22, у = 2, Оу. (Ответ: 16л/3.) 4.17. V: х2 = у2 + г2, х = 2, Ох. (Ответ: 16л/5.) 4.18. V: 2г = х'2 + у2, 2 = 2, Ог. (Ответ: 16л/3.) 182
4.19. V: х2 = у' + г\ у2-\-г2 = 4, х = 0, Ох. (Ответ: 64л/5.) 4.20. V: 2г = х2 + у'2, х2 + у2 = 4, 2 = 0, Ог. (Ответ: 32л/3.) 4.21. V: г = 2(х2 + у\ 2 = 2, Ог. (Ответ: л/3.) 4.22. V: х= 1 — у2 — г2, х = 0, Ох. (Ответ: л/6.) 4.23. V: у = 4 — х'2 — г2, у = 0, Оу. (Ответ: 32л/3.) 4.24. V: х = 3(у'2 + г% х = 3, Ох. (Ответ: л/2.) 4.25. V: г = 9 — х'2 — у2, 2 = 0, Ог. (Ответ: 243л/2.) 4.26. V: г = 4^х2 + у'2, 2 = 2, Ог (Ответ: л/80.) 4.27. V: г = 3(х'2 + у% 2 = 3, Ог. (Ответ: л/2.) 4.28. V: х = 2л]у2 + г2, х = 2, Ох. (Ответ: л/5.) 4.29. V: у = 3(х'2 + г2), у = 3, Оу. (Ответ: л/2.) 4.30. V: г = 3 — х2 — у2, 2 = 0, Ог. (Ответ: 9л/2.) Решение типового варианта 1. Вычислить массу пг неоднородной пластины /), огра- ограниченной линиями у = 2х — х2, у = х, если поверхностная плотность в каждой ее точке (х = х2 -\- 2ху. ^ Для вычисления массы пг плоской пластины за- заданной поверхностной плотностью ц воспользуемся фи- физическим смыслом двойного интеграла (см. § 13.1, свойст- свойство 2) и формулой пг =\\ (х2 + 2ху)йхйу, где область о интегрирования й изображена на рис. 13.41. Это позволит легко представить записанный двойной интеграл в виде повторного: 1 2л —А"' I 2г х' пг = \йх \ (х2 + 2ху) йу = \ (х2у + ху2 их = О I $ Bх — х* — х3 + 4х3 — 4х* + хп — х3) и = $ Bхл — х* — х3 + 4х3 — 4х* + хп — х3) их = х* + 4х')с1х=(^Г -л:5 + л:4)[=-!-. 2. Вычислить статический момент относительно оси Оу однородной пластины О, ограниченной линиями х2 -\- у2 — — 2ах = 0, х2 + у2 — ах = 0, у — х = 0, у + х = 0 (рис. 13.42), использовав полярные координаты. Поверхност- Поверхностная плотность пластины [х = 2. 183
р-асо$Я с. 13.41 Рис. 13.42 ^ Статический момент относительно оси Оу данной пластины определяется по формуле A3.17). В полярной системе координат область б преобразуется в область О'\ а соз ф <: р <: 2а соз ц>, — л/4 ^ ф ^ л/4. Тогда л/4 2а сО5 Му = 55 2р СОЗ ф я/4 = 2 \ соз ф • ^ 2 —л/4 -л/4 л/4 о 1аъ Г ^ , | = 2- \ соз фйф = 3 3 — л/4 л/4 A+СО5 л/4 з1п 2Ф) л/4 соз 3. Вычислить координаты центра масс однородного тела, занимающего область V, ограниченную поверх- ^ Данное тело симметрично относительно оси Оу (рис. 13.43), поэтому хс■ = гс = 0, а Ус = с1хс1ус1г. 184
г и Рис. 13.43 Переходим к цилиндрическим координатам по форму- формулам, аналогичным формулам A3.26): лг = рсозф, 2 = = р 5Ш ф, у = у. Тогда 2л 4 2 $ уйхйуйг = $ урйрйуйу =\йц\рйр\ уйу = V V' 0 0 р/2 0 0 = 16л, 2л 4 йхйуйг = Щ рйуйрйу = \ с1ц> \ рс1р \ с1у = V' О О р/2 Следовательно, 16 32 16л -3 _ 3 2 32л и центр масс С@, 3/2, 0). 4 4. Вычислить момент инерции относительно оси Оу однородного тела (плотность 6 = сопз1), занимающего область V, ограниченную поверхностью у = 5 — х2 — г2 и плоскостью у = 1. ^ Согласно формулам A3.18), искомый момент инерции 185
1У = $ 8(х, у, г) (х2 -\- г2)с1хйус1г (Область V изображена на рис. 13.44.) '5 У Ри с. 13.44 Переходим к цилиндрическим координатам по форму- формулам х = р соз ф, г = р 5ш ср, у = у. Тогда и = б 333 Р V ■ б з йц> \ у о о 2л 2 5-(г = б з с1ц> 3 р'3^/р з ^У = О О I 2л 2 13.7. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 13 I. Доказать равенства; х2с1хс1у = Ц уЧхйу = Щ {х2 + у2) йхйу. если область О определяется неравенствами х > 0, у > О, л:2 + у2 < а2. 2. Использовав полярные координаты, вычислить о7^хТ^~72 с1хс1у, 186
где область О — лепесток лемнискаты (х2 + у2J = а2(х2 — -у2), х>0. {Ответ. (т -—Ь )-.) 3. Построить область, площадь которой выражается интегралом Л/2 ЦA +СО5 С^) 5 с!ц> \ рс!р. — л/2 а 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 2 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми {х2 + у2-ахJ = а2{х2 + у2) и х2 + у2 = ш/д/з. (Ответ: За2д/з/2.) 6. В каком отношении гиперболоид х2-\-у2 — г2 = а2 делит объем шара х2 -\- у2 -\- г2 ^ За2? (Ответ: Зд/3 — -2/2.) 7. Доказать, что объем тела, ограниченного поверх- поверхностями 2 = 0 и г = е~х'~у1, равен л. 8. Вычислить координаты центра масс однородной пластины, ограниченной кардиоидой р = аA + соз ф). (Ответ: (-^а, (Л.) 9. Вычислить момент инерции относительно оси Ох однородной пластины, ограниченной кривой х4 -\- у4 = = х2 + у2. (Ответ: Ъп/Bгу[2).) 10. Вычислить 2 -\/2х — х2 а \ йх \ с1у\ 0 0 0 преобразовав его предварительно к цилиндрическим коор- координатам. (Ответ: 8а2/9.) П. Вычислить \ их \ с1у преобразовав его предварительно к сферическим коорди- координатам. (Ответ: 4л/?5/15.) 187
12. Вычислить массу тела, ограниченного прямым круглым цилиндром радиусом /? и высотой Я, если его плотность в любой точке численно равна квадрату рас- расстояния от этой точки до центра основания цилиндра. (Ответ: Л 13. Вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями у=^/х, у = 2 = 0 и х + г = 6. (Ответ: A4/15, 26/15, 8/3).) 14. Вычислить координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями х2-\-у2 = г и х-\-у-\- + 2 = 0. (Ответ: (—1/2, —1/2, 5/6).) 15. Найти момент инерции относительно начала коор- координат однородного тела, ограниченного конусом г2 = = х2 — у2 и сферой х2 + у2 + г2 = /?2 (Ответ: 2лB — 16. Найти момент инерции относительно диаметра основания круглого конуса, высота которого Я, радиус основания /? и плотность у = сопзт. (Ответ: луЯ/?2BЯ2+ + 3/?2)/б0.) 17. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. 18. Дано однородное тело, ограниченное двумя кон- концентрическими сферами. Доказать, что сила притяжения данным сферическим слоем точки, находящейся во вну- внутренней полости тела, равна нулю. 19. Вычислить массу полушара радиусом /?, если плот- плотность распределения массы в каждой его точке пропор- пропорциональна (к — коэффициент пропорциональности) рас- расстоянию от нее до некоторой точки О на границе основа- основания полушара. (Ответ: 4клК4/5.) 20. Вычислить объем V общей части шара радиусом /? и кругового цилиндра радиусом Я/2 при условии, что центр шара лежит на поверхности цилиндра. (Ответ: 21. Вычислить площадь части сферической поверхности радиусом /?, которая высекается круговой цилиндриче- цилиндрической поверхностью радиусом /?/2 при условии, что центр сферы лежнт па цилиндрической поверхности. (Ответ: 2#2(л-2).)
14. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 14.1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ВЫЧИСЛЕНИЕ Криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги). Пусть в пространстве К3 задана гладкая дуга 1и,\в кривой /., во всех точках которой определена непрерывная функция и = }(х, у, г). Дугу 1иАВ про- произвольным образом разобьем на п частей /, длиной Д/, (<= I, п). В каж- каждой элементарной части /, выберем ПРОИЗВОЛЬНУЮ ТОЧКу М,(ЛГ;, (/,-, 2,) (рис. 14.1 и составим интегральную СУ& 'У п /„ = 2 /(*,, (/,-, г,) А/,. 1=1 Тогда предел 1пп /„ всегда суще- дл-*о ствует, называется криволинейным интегралом первого рода или кри- криволинейным интегралом по длине дуги ЬЛВ от функции }(х, у, г) и обо- обозначается 5 {(х, у, г)сИ. 1-ЛВ Рис. 14.1 Таким образом, по определению х, у г)А1= тахД/,-,0 ,- \(х„ у„ Если кривая I. лежит в плоскости Оху и вдоль этой кривой задана непрерывная функция ((х, у), то тах Д/,~»-0 1=1 2 [(х„ A4-1) В случае, когда гладкая кривая 1и задана в пространстве К3 па- параметрическими уравнениями х = х{1), у = уA\ г = г{1) и параметр I изменяется монотонно на отрезке [а; р] (а < р) при перемещении но кривой I из точки А в точку В, верна формула для вычисления криволинейного интеграла 5 [(х, у, г) 41 = 1-АВ (ОJ '(. A4.2) 189
В случае плоской кривой формула A4.2) упрощается. $ [(х, у) A1= ^ 1-М1 Если уравнение плоской кривой р = р(ф) задано в полярных ко- координатах (>. ф, функция р(<р) и ее производная р' = ёр/с1<р непрерывны, то имеет место частный случай формулы A4.3), где в качестве пара- параметра / взят полярный угол ф: 5 ((х,у)Ш= \ 1-АВ ЧА A4.4) (ф/1 и фо — значения <р, определяющие на кривой точки А и В). Если плоская кривая задана непрерывной и непрерывно диффе- дифференцируемой на |о; Ь\ функцией у — у (х), где а и Ь —обсциссы точек А и В, то 1-Аи /(*. у) A1= \ 1(х, у(х))л1\ +(у\х))'йх. A4.5) Итак, во всех случаях вычисление криволинейных интегралов пер- первого рода сводится к вычислению определенного интеграла (см. гл. 9 во второй части настоящего пособия) Пример 1. Вычислить /= 5 Bг — д/х2 + у'л) 41, где /. — первый виток конической винтовой линии х = I сок I, 4 = 1 5Ш I, г = I, 0 ^ /: < 2л. — — ► Находим = л/(со5 I -^Ып (У + E1П I + I СО5 П2 + 1 (К = Тогда 2л \ О 2л \ О I2 Ш = = - B + е-у* 1 1 Пример 2. Вычислить / = \ 3 , где Ь — отрезок прямой = 2х—2, заключенный между точками Л@, —2). 5A, О). ^ Находим 190
Следовательно, ~Ф>ёх _ г-г ■2Bх-2) + 5 -Vй ^ их 5х+ 1 ■1п |5х+ 1| 1п 6. Так как, согласно формулам A4.2) — A4.5), криволинейный инте- интеграл первого рода выражается через определенный интеграл, то укажем только те его свойства, которые обобщают свойства определенного интеграла. 1. ^ ("='.!в. гДе 'ля — длина дуги АВ (геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода). 2. Если /(х, у, г)=6(х, у, г)—линейная плотность материальной дуги Ьлв, то ее масса т вычисляется по формуле пг = \ Ь(х, у, г) й1 1-ЛВ A4.6) (механический смысл криволинейного интеграла первого рода). 3. Координаты центра масс материальной дуги /.дя, имеющей линей- линейную плотность б = б(х, у, г), определяются по формулам: = "^ \ У' ~т \ У' где т — масса дуги 1дВ- 4. Моменты инерции относительно начала координат О, осей коор- координат Ох, Оу, Ог и координатных плоскостей Оху, Охг, Оуг мате- материальной дуги /.,|я, имеющей линейную плотность б = б(х, у, г), вы- вычисляются соответственно по формулам: /0= ^ (х2 + у2 + г2) 6A1, 1Х= \ (у' + г2) 6A1, ' 1-лв 1у= \ (х' + г 1-лв , /г = ^ (^ + '•ЛЯ , /«= \ уЧс11, 1уг = (Н.8) Моменты инерции связаны следующими соотношениями: 2/о = 1* + 1У + 1» /о = 1хУ + 1хг + V- Если дуга 1^АВ лежит в плоскости Оху, то рассматриваются только мо- моменты /о, 1х, 1Я (при условии, что 2 = 0). 191
5 Пусть функция 2=/(х, у) имеет размерность длины и /*(х, у) > О во всех точках плоской дуги ЬАК, лежащей в плоскости Оху. Тогда 5 /(х, у)с!1 = 3, где 5 — площадь части цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Ог и проходящими через точки дуги ЬАВ, огра- ограниченной снизу дугой 1/|в, сверху — линией пересечения цилиндрической поверхности с поверхностью 2=/(х, у), а с боков — прямыми, прохо- гх Л в Р и с. 14.2 Рис. 14.3 дящими через точки А к В параллельно оси Ог. На рис. 14.2 изображена описанная часть цилиндрической поверхности АВВ'А'. Если ((х, у)<0 во всех точках плоской дуги ЬДв, то $/(*, у)сЧ=-3 1-ЛЬ (рис. 14.3). И, наконец, в некоторых точках плоской дуги Ьлв функция }{х, у) меняет знак, тогда интеграл ) /(х, у) й\ выражает разность площадей частей описанной цилиндрической поверхности, находящихся над плоскостью Оху и под ней (рис. 14.4): 1-лв Пример 3. Вычислить массу т и координаты центра масс х( , ус 2 плоской материальной дуги у = — х5/-, ~ О V 1, линейная плотность которой б(х, у) = у V1 + х. ^ Согласно формулам A4.5) и A4.6), для случая плоскол дуги имеем. = ^\х3/^\+х^\+хс1х = 198
Рис. 14.4 •'V- Й- По формулам A4.7) находим: I 35 Г , , *<- = Те" 1А" ' у г. = 35 35 {х + х 21 Пример 4. Вычислить площадь части цилиндрической поверхности л'2 -|- 1Г = 4, заключенном между плоскостью О*(/ и поверхностью г = = 2 + .г/^ (Ри^- 14Г>)- I»- Искомая площадь 5 цилиндрической поверхности выражается интегралом 5= \ {2+х-/2I11, I. где /. — окружность в плоскости Оху: х1 -\- у1 = 4, г = 0, уравнение которой в параметрическом виде х = 2 соз I, у = 2 зш I. Тогда A1 = = 2а!/ и ^ 7 = \ B + у • 4 соз- /^ 2а!Г = =4*50 = 4 [ Л + -у Ч- -усов 2/^ Л = 12л. 7—357 193
Р и с. 14.5 Криволинейные интегралы второго рода (по координатам). Пусть в пространстве К' задан вектор а = Р(х, у,г)] + (?(х, у, г) ') + /?(х, у, г) к, координаты которого — непрерывные функции в точках ориентированной кривой ЬАв- Кривую Ьав разобьем в направлении от А к В на п эле- элементарных дуг /, и построим векторы Д/, = \х,\ + Ау,') + Дг,к, где Дх/, Д(/,, Дг, — проекции векторов Д/; на оси координат. Начала этих век- векторов совпадают с началами элементарных дуг /,, а концы — с нх кон- концами (рис. 14.6). На каждой элементарной части /, выберем произ- произвольную точку М,(х,, у,, г,) и составим интегральную сумму /,, = 2 Р(х„ у„ 1— 1 „ у„ х„ у„ г.) Дг, = = 2 а (*,, у,, г,) ■ Д/,. 1 1 = 1 A4.9) Предел суммы A4.9), найденный при условии, что все называется криволинейным интегралом второго рода или криволинейным интегралом по координатам от вектор-функции а (х, у, г) по кривой 1Ав и обозначается 5 а(х, у, г)- A1= \ Р (х, у, 1-ЛВ 1-АВ = _Пт 2 а(х,, (/,, г,) • А/,. д/,-*0 1= 1 с, у, г)йг = A4.10) Если функции Р (х, у, г), С)(х, у, г), /? (х, у, г) непрерывны в точ- точках гладкой кривой 1.Ав, то предел суммы A4.8) существует, т. е. сущест- существует криволинейный интеграл второго рода A4.10). Криволинейные интегралы второго рода обладают основными свой- свойствами определенных интегралов (линейность, аддитивность). Непо- Непосредственно из определения криволинейного интеграла второго рода следует, например, что он зависит от направления интегрирования вдоль кривой, т е. меняет знак при изменении ориентации кривой: а • A1 = 1-ЛВ - \ а . «II. 1-АВ 194
Если кривая интегрирования Ь замкнута, криволинейные интегралы второго рода обозначаются фа • A1. В этом случае через кривую Ь I. проводится ориентированная поверхность и за положительное направле- направление обхода по I. принимается такое направление, при котором об- область поверхности, ограниченная кривой Ь, находится слева, если дви- двигаться вдоль I. по выбранной стороне указанной поверхности (т. ё. обход контура I. совершается против хода часовой стрелки). Если плоскую область /), ограниченную кривой Ь, разбить «а части, не имеющие общих внутренних точек и ограниченные з мкнутыми кривыми Ь\ и 1.2, то фа A1= фа- A1+ фа-Л, I- и и где направления обхода по контурам Ь, Ы и Ы—всюду либо поло- положительные, либо отрицательные. Если гладкая кривая 1\в задана параметрическими уравнениями х = х{1), у = уA), г — гA), где хA), у{1), г{1) — непрерывно дифферен- дифференцируемые функции, А(х(<х), у(а.), г(а)) и В(х(Р), 1/(Р), г(р)) — соответ- соответственно начальная и конечная точки этой кривой, то верна следующая формула для вычисления криволинейного интеграла второго рода: ^ Р (х, у, г)йх+ «? (х, у, г)йу + К (х, у, г) йг = 1-АВ В = \(Р(хA), 1/@, г@)*Ч0+<?(*(<). У((\ г@)/@+*(*@<14.11) (К У(I). 2@J40) Л. Если кривая Ьав лежит в плоскости Оху, а = Р(х, у)! + (? (х, у)}, то К(х, у, г) = 0, гA) = 0 и формула A4.11) упрощается: Р 5 Р (х, у)Лх + С}(х, у)йу= \ (Р (хA), у(())х'{() + 1-АВ а A4.12) Если кривая 1*ав лежит в плоскости Оху и задана уравнением У ~ Кх). производная ['(х) непрерывна на отрезке [а; Ь\, а = Р (х, у) \ + + <? (х, у) I то ь \ Р(х, у)йх+С1{х, у)йу= \ (Р(х, [(х)) + 1-АВ а . . . +<?(*■ М)}'(х))с1х. A4.13) Пример 5. Вычислить /= 5 ус1х + (х + г)с1у + {х-у)с1г, 1-АВ где 1ав — отрезок прямой, соединяющий точки А A, — 1, 1) и ВB, 3, 4). 195
^ Запишем параметрические уравнения прямой АВ: х=1+<, у =—1+41, 2=1+3*. На отрезке \АВ\ паоаметр 0</<1 По- Поэтому, согласно (ЬоомУле A4.11), 1 / = $ ((- I + 4<) + B + 4<) • 4 + B - 30 • 3) й1 = о 1 = $A3+ \ЩсИ= 18,5. 4 о Пример 6. Вычислить /= <$></<** — х*йу + (х + у) йг, если 1^ — кри- вая пересечения цилиндра х2 + у1 = 4 с плоскостью х + </— 2 = 0, «пробегаемая» в положительном направлении относительно выбранной верхней стороны данной плоскости. ^ Найдем параметрические уравнения кривой Ь. Так как проекция кривой Ь на плоскость Оху есть окружность х2 + </2 = 4, г = 0, то можно записать, что х = 2 сов <, </ = 2 вш <. Тогда из уравнения плоскости находим, что г = 2 (сов I + вш 0- Таким образом, х = 2 сов I Л ( их = — 2 вш <<*/ (/ = 2 Вт ( ? => 1 й(/ = 2 сов Ш 2 = 2 (сов ( + 81П I), I 6 [0; 2л], ) I ^2 = 2( —81П ( + сов I) й1 Отсюда по формуле A4.11) имеем: 2л / = \ ( — 4 8Ш2 / — 8 сов3 I + 4 (сов2 I - вш2 0) <И = 2л = \ ( — 2 + 2 сов 21 — 8 сов ( + 8вт2 I сов I + 4 сов 20 <^ = — 4л. ■« о Пример 7. Вычислить /= \ хуйх + (х2 + (/) ^(/, если линия ^-ла — дуга параболы у = х2, расположенная между точками А @, 0) и В B, 4). ^ Так как в данном случае /(х) = х2, /'(*) = 2х, х ^ [0; 2], то, со- согласно формуле A4.13), получаем 2 2 $Г 5 (хх2 + (х2 + х2) • 2х) их = \ 5Лх = — х4 = 20. ■« ЛЗ-/4./ 1. Вычислить \ , если Ь — отрезок прямой у = = —-х — 2, заключенный между точками Л@, —2) и 5D, 0). (Ответ: д/5 1п 2.) 2. ВычислитьфхусИ, если /. — контур прямоугольника 196
с вершинами в точках Л@, 0), 5D, 0), СD, 2), .0@, 2). {Ответ: 24.) 3. Вычислить \у2ус11, если /. — первая арка циклоиды х = аA — 51П I), у = а(\ — соз I) {а > 0). (Ответ: 4лагу а.) 4. Вычислить 5 хугсИ, если Ь — отрезок прямой между /. точками ЛA, 0, 1) и 5B, 2, 3). {Ответ: 12.) 5. Вычислить площадь боковой поверхности цилиндра х2 + у2 = Их, заключенной внутри сферы х2 + у2 + г2 = к2- {Ответ: 4/?2.) 6. Вычислить 5 (х2 — 2ху) их + Bху + у2)йу, где ЬдВ — дуга параболы у = х2 от точки ЛA, 1) до точки ВB, 4). 7. Вычислить 5 -*и?* + Уйу + {х + У— \) с1г, где /.Лв — отрезок прямой, соединяющей точки ЛA, 1, 1) и ВB, 3, 4). (Ответ-: 13.) 8. Вычислить 5 угйх + гхйу-\- хуйг, где /. — дуга вин- ТОВОЙ ЛИНИИ X = /? СО5 /, «/ = /? 51П /, 2 = Ш/Bл) ОТ ТОЧКИ пересечения линии с плоскостью 2 = 0 до точки ее пере- пересечения с плоскостью г — а. {Ответ: 0.) 9. Вычислить 5 хуйх-\-(у — х)йу, если линия ЬАВ, со- 1-ан единяющая точки Л @, 0) и 5A, 1), задана уравнением: а) у — х; б) г/ = л-2; в) у = х; г) г/ = х!. {Ответ: а) 1/3; б) 1/12; в) 17/30: г) -1/20.) 10. Найти координаты центра масс первой полуарки циклоиды х = а(( — §т (), у = а{\—соз /), I 6 [0; л]. {Ответ: 4а/3, 4а/3.) Самостоятельная работа 1. Вычислить: а) \хс11, если /. — отрезок прямой, соединяющей точ- ки Л@, 0) и 5A, 2); б) $ (^ + у) й?х + (х — у) йу, если Ьав — дуга параболы 1-ЛВ 197
у = х2, лежащая между точками А(—1, 1) и ВA, 1). (Ответ: а) -ф/2; б) 2.) 2. Вычислить: а) $ х2уй1, если Ь — часть окружности х2 + у2 = \ ь жащая в первом квадранте; б) ^ (х — у) их + (х + у) йу, если Ьав — отрезок пря- 1-АВ мой, соединяющий точки ЛB, 3) и 5C, 5). (Ответ: а) 27; б) 23/2.) 3. Вычислить: V , если /, -^ отрезок прямой у^^х -\- 2, соеди- соединяющий точки Л B, 4), 5A, 3); б) \ {у + х2Lх + {2х — у)й1, если ЬАв — Дуга парабо- параболы у = 2х — х2, расположенная между точками ЛA, 1) и 5C. -3). (Ответ: а) (Уг 2) 1п 2; б) 12.) 14.2. ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ С помощью криволинейных интегралов первого рода можно вычи- вычислять длину дуги кривой, массу материальной дуги, ее центр масс, площади цилиндрических поверхиостей и другие величины. Пример 1. Вычислить массу /п дуги кривой Ь, заданной урав- уравнениями х = <2/2> {/=='> 2 = /э/3, 0^/^2, если плотность в каждой ее точке 6 = 1 + 4х* + у2. ^ Согласно формуле 14.6), искомая масса пг выражается инте- интегралом * 2 т = $ лА I. О 2 = 5A+ <2 + {4)Ш= 116/15. -4 О Пример 2. Вычислить координаты центра масс однородной дуги окружности х2 + у2 = /?2, расположеиной в первом квадранте, и моменты инерции /о, 1г, 1у ^ Так как прямая у = х является осью симметрии дуги окруж- окружности, то хс = ус. Для нахождения хс используем первую из формул A4.7): хс — \ хЫ1/ \ Ы1 = ^ хШ/ \ Ш, 1.1. 1.1 198
поскольку 6 = сопв1. Интеграл Г _ 1 определяет длину четверти рассматриваемой окружности. Вычислим 5 х<И, где х = 9. соз с; у = /? вт I; 0 < I < л/2; ' й1 = Я<Н. Следовательно, Л/2 »/2 ) Х<11 = ) /? СО8 Щй1 = /?2 81П ( = I О Окончательно имеем: К2 2/? 0 с ^с я/?/2 я " При вычислении /о, /«. Л/ воспользуемся формулами A4.8) и A4.3) для случая плоской дуги (г = 0) и учтем, что /»= /»: л/2 10 = 5 (х2 + у2) 8сИ = 8 \ Ц2Цс1( = /?3бя/2, ^ о л/2 л/2 /* = \ (/26^/= б \ /?2 8Ш2 (Ш( = ——- \ A — соз 21) й1 = я/?56/4. 4 Криволинейный интеграл второго рода A4.9) в случае, когда а = = Р — сила, под действием которой перемещается тело, определяет работу силы Р иа пути /мя- В этом заключается физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Пример 3. Вычислить работу А силы Р = уг\ + хг\ + хук вдоль отрезка прямой ВС, если В(\, 1, 1) и СB, 3, 4). ^ Запишем параметрические уравнения прямой ВС: х = \ -\-1, у= 1 + 11, г = 1 + Ъ1, где 0 ^ I ^ 1. Тогда работа А силы Р на пути ВС вычисляется по формуле А = \ угйх + хгйу + хуЛг, = 1 ■= 5A +20A+30^+ A + 0A о Теорема (Грина). Если функции Р(х, у) и <3(х, у) непрерывны и неют непрерывные частные производные в замкнутой односвязной 199
области й, лежащей в плоскости Оху и ограниченной кусочно-гладкой кривой /., то где интегрирование по контуру /. выполняется в положительном на- направлении. Формула A4.14) называется формулой Грина. Если в некоторой области О выполнены условия теоремы Грина, то равносильны следующие утверждения. I фр^х + С?с1у = 0, если I* — любой замкнутый контур /., располо- I женный в области О. 2. Интеграл \ Рйх + С^йу не зависит от пути интегрирования, 1-АВ соединяющего точки А и В, где 1*Лв 6 О- 3. Рйх-\- <3с1у = с!и(х, у), где йи(х, у) — полный дифференциал функции и(х, у). 4. Во всех точках области О справедливо равенство дС? дР дх A4.15) Из формулы Грина следует, что площадь 5 области О можно также вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода: 5о = где интегрирование цо контуру Ь производится в положительном направ- направлении. Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной петлей кривой г1 + х5-</5 = 0 (рис. 14.7). Рис. 14.7 200
^ Из уравнения кривой получим, что у = ±х~ух + 1, т. е. кривая симметрична относительно оси Ох и пересекает ее в точках х=0 и х =— 1; обе функции у = ±х~\/х-|- 1 определены при х ^ —1, а </-»- + оо при х-*-оо. Перейдем к параметрическим уравнениям данной кривой, положив у = х1. Подставив и = х1 в уравнение х3 + х2— — </2 = 0, получим х3 ~\- х2 = х2B, х=( — 1, у = 1 —I, где для петли Следовательно, искомая площадь 1 5 =- \ \-(г3-гJ1 + A2- \)(Ы2- \)]<И = -1 1 = ((<«_2<2+1)<И = -^. 4 15' о Пример 5. Вычислить / = ф 1/A — х2)^х + A + у где контур к — окружность х2 + у'1 = 4, «пробегаемая» в положительном направлении обхода. ^ Для вычисления интеграла воспользуемся формулой Грина A4.14): I — й (' + Уг ~ ' + х2) ^Х^У = й (х2 + У2) ^^^у, в о где О — круг, определяемый неравенством х2 + у2 ^ 4. Имеем /= \\(х2 + у2)йхйу= * = РС(«Ф. ^ * ' У У = Р 51П ф, 2л 2 О' О О С помощью теории криволинейных интегралов второго рода можно решить следующую задачу. Известно дифференциальное выражение Р(х, у)йх + (?(х, </)^(/, которое является полным дифференциалом не- некоторой функции и(х, у). Требуется найти эту функцию. Решение данной задачи определяется формулой х у и(х, у) = $ Р(х, г/о)^х+ $<2(х, у)ёу + С A4.16) х У и(х, у)= \ Р(х, уLх+ \<3(х0, у)йу+С, A4.17) Хо Уо где точки Мо(хо, (/о) и М(х, у) принадлежат области О, в которой Р(х, у), <2(*. у) и их частные производные являются непрерывными функциями; С — произвольная постоянная. 201
Пример 6. Показать, что дифференциальное выражение 1 + \ ау + Aт + \п у \ 1 + хг х будет полным дифференциалом некоторой функции и(х, у), и найти эту функцию. ► Так как Р (х, у) = —Ц- - — + 1п у, 0 (х, у) = -. 1 + х2 х у дР I Л? 1 _ то —:— = — и —г— = —. Значит, во всех точках плоскости Охи, ис- ду у дх у ключая точки, лежащие на осях координат, данное дифференциальное выражение в силу равенства A4.14) будет полным дифференциалом некоторой функции и(х, у). Теперь воспользуемся общей формулой A4.16) или A4.17), где можно взять Л1оA, 1)- По формуле A4.16) имеем х ц = (агс18х-1п |х|)|* + х1п \у\\у1 + С = = агс18х-1п |*| +х1п \у\ + С, где С — произвольная постоянная. Ц АЗ-14.2 1. Вычислить массу дуги кривой у=\пх плотностью б^л2, если концы дуги определяются следующими зна- значениями х: х{ =д/3, х2=д/о- (Ответ: 19/3.) 2. Вычислить площадь поверхности, которую вырезает из круглого цилиндра радиусом /? такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом. (Ответ: 8/?2.) 3. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь фигуры, ограниченной: а) линией х — асо53{, у = а&\п3( (астроида); б) первой аркой циклоиды х — а(( — зш /), у = а{\ — — сов /) и осью 0x1 (Ответ: а) Зла2/8; б) Зла2.) 4. Найти функции и(х, у) по их полным дифферен- дифференциалам: а) Ли = 4(х2 — у2) (хйх — уйу); б) йи = Bх сов у — у1 51П х)йх + Bу соз х — х2 зш у)йу\ в) а'и = Cу-х)а'х + (у-3х)а'у/(х + K
5. Вычислить работу силы Г = (х2-\-у2-\-\}\-\-2ху) вдоль дуги параболы у = х3, заключенной между точ- точками Л@, 0) и 5A, 1). (Ответ: 196/105.) 6. Применив формулу Грина, вычислить где Ь — контур треугольника ЛВС с вершинами в точках ЛC, 0), 5C, 3) и С@, 3). {Ответ: 18.) 7. Найти общий интеграл дифференциального уравне- уравнения Dх3у3-у2)с1х + {Зх*у2-2ху)с1у = 0. {Ответ: х4у3 — 2 С Самостоятельная работа 1. 1. С помощью криволинейного интеграла второго рода вычислить площадь области Д ограниченной ли- линиями у = х2 и у=^х. (Ответ: 1/3.) 2. Найти функцию и(х, у), если д. и (х, у) = Bху + х3 — 5) их + (х2 — у3+ 5) Лу. 2. 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осями координат и дугой эллипса х2/а -|- У2/Ь2 = 1, располо- расположенной в первом квадранте. (Ответ: паЬ/А.) 2. Найти функцию и(х, у), если с1и (х, у) = (х2 + 2ху - у2) их + (х2 - 2ху + у2) йу. 3. 1. Вычислить работу силы Р(х, у) ^ 2хг/1 + х2), со- совершаемую на пути, соединяющем точки Л@, 0) н 6B, 1). (Ответ: 4.) 2. Найти функцию и{х, у), если 14.3. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 14 ЯДЗ-/4./ Вычислить данные криволинейные интегралы. 1.1. \ (х2 — 2ху)с1х + (у2 — 2ху) йу, где Ьлв — Дуга па- 1-АВ 203
раболы у = х2 от точки Л(—1, 1) до точки 5A, 1). (От- (Ответ: — 6.) $2 , 2,./ х у — у ^ рде ^ — Дура асТрОИДЫ х __. = 2соз3/, «/ = 2зш3/ от точки Л B, 0) до точки 5@, 2). (Ответ: Зд/2л/8.) 1.3. 5 (х2 + у2) их + 2хуйу, где /,Ол—дуга кубиче- ^оА ской параболы у — х3 от точки О@, 0) до точки /4A, 1). (Ответ: 4/3.) 1.4. ф (х + 2у) с^х + (х — у) йу, где /. — окружность х = = 2 сов/, г/ = 2з1п/ при положительном направлении обхода. (Ответ: —4л.) 1.5. ф (х2у — х) их + (у2х — 2у) с1у, где Ь — дуга эллип- эллипса х = 3 сов /, у = 2 51П / при положительном направлении обхода. (Ответ: —7,5л.) 1.6. ф (ху—1) их + х2ус1у, где ЬАв—дуга эллипса 1-АЯ лг = со5/, у = 2 5!п / от точки /4A, 0) до точки 5@, 2). (Ответ: 5/6.) 1.7. ^ 2хуйх — х2йу, где Ьовл—ломаная ОБА; О@, 0); 5B, 0); ЛB, 1). (Ответ: —4.) 1.8. 5 (х2 — у2) их + хуйу, где ЬАВ — отрезок прямой АВ; /4A, 1); 5C, 4). (Ответ: 11 -|-Л 1.9. \ со§ уйх — 51П хс^г/, где А.зв—отрезок прямой 1-ЛВ АВ, ЛBл, —2л); 5( —2л, 2л). (Ответ: 0.) 1.10. I у х + *7-^-, где ^д—отрезок прямой Л5; ^ х- + у- /4A, 2); 5C, 6). /Ответ: -11п 3. 1.11. 5 хуйх + (у — х)д,у, где ЬАВ — дуга кубической 1-АВ параболы у = х3 от точки /4@, 0) до точки 5A, 1). (Ответ: 1/4.) 204
1.12. 5 (х2 + у2) их + (х -\- у2) йу, где 1АВС — ломаная 1 5 1-АВС ЛВС; ЛA, 2); 5C, 2); СC, 5). (^Ответ-: 64-1-) 1.13. ^ ху2йх -{- уггс1у — х22С?2, где /,Ов — отрезок пря- прямое мой ОВ\ О@, 0, 0); В( — 2, 4, 5). (Ответ: 91.) 1.14. ^ уйх-{-хйу, где /,Ол—дуга окружности х = 1-ОА = /? СО5 /, у = /? 51п /; О(/?, 0); Л@, /?). (Ответ: 0.) 1.15. ^ хус1х-\-(у — х)с1у, где /.Ол—дуга параболы ^ОА у2 = х от точки О@, 0) до точки ЛA, 1). (Ответ: 17/30.) 1.16. ^ хйх-{■ уйу-{■ (х — у-{- \)йг, где 1АВ — отрезок 1-АВ прямой АВ\ А{\, 1, 1); ВB, 3, 4). (Ответ-: 7.) 1.17. ^ (хг/ — 1) их 4- х2ус1у, где /^в—дуга параболы у2 = 4 — Ах от точки ЛA, 0) до точки В@, 2). (Ответ: 17/15). 1.18. ^ хг/с?х + (у — х)йу, где ЬОв—дуга параболы оя у = х2 от точки О@, 0) до точки ВA, 1). (Ответ: 1/12.) 1.19. ^ (ху — у'2)с1х -\- хйу, где /.Ов —дуга параболы ^-оя г/ = л:2 от точки О@, 0) до точки ВA, 1). (Ответ: 43/60.) 1.20. 5 хйу — уйх, где /.Лв—дуга астроиды х = 1-АВ = 2со53/, г/ = 2 51п3/ от точки ЛB, 0) до точки В@, 2). (Ответ: Зл/4.) 1.21. \ (лгу — х) с?х + — х2с?г/, где /.Лв—дуга параболы ^Ав у2 = 4х от точки Л@, 0) до точки ВA, 2). (Ответ:0,5.) 1.22. ^ (ху— \)йх + х2ус1у, где Ьав — отрезок прямой 1-АВ АВ; А{\, 0); В@, 2). (Ответ: 1.) 1.23. ^ 2хуйх-\-у2йу-\-г2йг, где /^в—дуга одного 1-АВ витка винтовой линии х = соз/, у = зт(, г = 21; , 0, 0); В{1, 0, 4л). (Ответ: 64л3/3.) 205
1.24. V — йх-\-хйу, где ЬАВ—дуга линии у = \п х от 1-АВ точки ЛA, 0) до точки В(е, 1). (Ответ: е— 1/2.) 1.25. ф уйх — хйу, где Ь — дуга эллипса х = 3соз/, у = 2 51п /, «пробегаемая» в положительном направлении обхода. (Ответ: —12л.) 1.26. $ 2хуйх — х2йу, где Ьоа—Дуга параболы у = 1-0 А = х2/4 от точки О@, 0) до точки ЛB, 1). (Ответ: 0.) 1.27. \ {х2-\-у2)йх-\-(х2— у2)йу, где 1АВ — ломаная 1-АЪ линия у = \х\ от точки Л(— 1, 1) до точки ВB, 2). (Ог- вет: 6.) 1.28. | 2хуйх — х2с(у -\- гйг, где ЬоА—отрезок пря- 1-0А мой, соединяющий точки О@, 0, 0) и ЛB, 1, —1). (От- (Ответ: 11/6.) 1.29. ф хйу — ус1х, где Ь — контур треугольника с вер- ^ шинами А(—1, 0), 5A, 0), С@, 1) при положительном на- направлении обхода. (Ответ: 2.) 1.30. $ (а:2 + у)их + (х + у2)йу, где ЬАсв — ломаная 1-АСВ АСВ; ЛB, 0); СE, 0); 5E, 3). (Ответ: 63.) 2.1. $ -у/2 — г2Bг —-^/х2 + у2) д.1, где /. — дуга кривой х = 1со5(, у = Eш(, 2 = 1, 0</<2л. (Ответ: 4лаA ■+ + л2).) 2.2. ф (лг2 + у2) й1, где /. — окружность х2-\-у2 = 4. (Ответ: 16л.) 2.3. \ -, где ЬОв — отрезок прямой, соеди- 3 -л/8 - X2 - у2 1-ОВ няющий точки О@, 0) и 5B, 2). (Ответ: я/2.) 206
2.4. ^ D ух — Зд/у) й1, где /.,,8 — отрезок прямой АВ\ А{—1, 0); 5@, 1). (Ответ-; - 2.5. I , где Ьав — отрезок прямой, заключен- ный между точками Л@, 4) и В(А, 0). {Ответ: 0.) 2.6. \ у <И, где /. — дуга кардиоиды р = 2A + + со5ф), 0<ф<л/2. {Ответ: 16/3.) 2.7. | у^/, 1дв — дуга астроиды х = соз3 /, у = зт3 /, заключенная между точками ЛA, 0) и В@, 1). {Ответ: 0,6.) 2.8. ^ #^> гДе ^ов —Дуга параболы у2 = ^-х между точками О@, 0) и в(-\/35/6, л/35/3)- (Ответ: 7^Л 2.9. ^ (х2 -|- у2 -|- г2) с?/, где Ь — дуга кривой х = соз /, у = ьт 1,г=ф>1, 0 < / < 2л. (Ответ: 4лA +4л2).) 2.10. \агс1д-^-^/, где /. — дуга кардиоиды р = A-|- + соз ф), 0 < ф < п/2. (Огв«г: (л + 2)-\/2 — 8.) 2.11. \-\2ус11, где/. — первая арка циклоиды л: = 2(/ — — зт /),«/ = 2A — соз <)• (Ответ: 8 2.12. V -, где Ьоа — отрезок прямой, со- единяющий точки О@, 0) и ЛA, 2). (Ответ: \п 2.13. ^ ^Гх2J? <И. гДе ^ — ДУга кривой р = 9 зт 2<р, 0<ф<л/4. (Огвег: —9/8.) 2.14. ^ хуй1, где ^двс — контур прямоугольника с [-ОАВС вершинами О@, 0), АD, 0), ВD, 2), С@, 2). (Огвег: 24.) 207
2.15. 5 (х-\-у)сИ, где ЬАво — контур треугольника с 1-АВО вершинами ЛA, 0), В@, 1), О@, 0). (Ответ: — л[2.) 2.16, \ —^—-, где Ь — первый виток винтовой линии 3 х'+у2 л; = 2со5/, у = 2$\п1, 2 = 2/. (Ответ: ^ 2.17. ^ (х-\-у)<И, где 1^Оав — контур треугольника {■ОАВ с вершинами О@; 0), Л(—1, 0), Я (О, 1). (Ответ: 0.) 2.18. $(лг+«/)^Л где /.—дуга лемнискаты Бернулли ф, — л/4<ф<л/4. (Ответ: 2.19. фУ*2 + г/2 ^/, где /. — окружность х2 + у2 = 2у. (Ответ: 8.) 2.20. ^ *«/с^, где ^-смвс — контур прямоугольника с 1-ОАВ(: вершинами О@, 0), ЛE, 0), ВE, 3), С@, 3). (Ответ: — 15.) 2.21. ф (х2 -|- у2)(И, где /. — окружность х'2 -\- у2 = 4а\ (Ответ: 32л.) 2.22. 5 Dд/лг —Зд/у) с?/, где /.лв — дуга астроиды 1-АВ х = со5! I, у = 51П3 / между точками А(\, 0) и В@, 1). (Ог- еег: 1.) 2.23. ^ хусИ, где /. — контур квадрата со сторонами х= ± 1, «/= ± 1. (Ответ: 0.) 2.24. \ у2с11, где /. — первая арка циклоиды х = / — — 51п/, г/=1—соз I. (Ответ: 17—.) \ 10 / 2.25. ^ хусИ, где ^лвсо — контур прямоугольника с вершинами АB, 0), ВD, 0), СD, 3), ДB, 3). (Ответ: 45.) 2.26. ^ г/с?/, где Ь — дуга параболы у2 = 2х, отсечен- ная параболой х2 = 2у. (Ответ: Eд/5— 1)/3.) 208
2.27. \ , где Ьав—отрезок прямой, заключен- ный между точками ЛD, 0) и ВF, 1). (Ответ: д/Ь~ 1п E/4).) 2.28. ^ С*2 + У2J <Н, где /. — первая четверть окруж- ности р = 2. (Ответ: 16л.) 2.29. \ :^, где /.лв — отрезок прямой, соеди- А няющий точки ЛA, 1, 1) и ВB, 2, 2). (Ответ: 1п 2.) 2.30. ф(*— у)й1, где /. — окружность х2 + у2 г. (Ответ: 2л.) 3.1. ф д/2г/2 + 22с?/, где Ь — окружность х2 + у2 -\- г2 = г. а2, х = у. (Ответ: 2ла2.) 3.2. \ хугс11, где /. — четверть окружности х2 -\- у2 -\- 2" =/?2, х2 + у2 = /?2/4. лежащая в первом октанте. 3.3. \ агс{§-^- а7, где Ь — часть дуги спирали Архи- Архимеда р = 2ф, заключенная внутри круга радиусом /? с центром в полюсе. (Ответ: ((/?2 + 4)!:' — 8)/12.) 3.4. ^ (х2 + у2 + г'2)<И, где I — дуга кривой х = а соз (, у = аию1, г = Ы, 0 < I < 2л. (Огвег; 2лд/а" + Ь2 (За2 + + 4л262)/3.) 3.5. 5B2—д/х2 + у'2) с11, где /. — первый виток кони- конической ВИНТОВОЙ ЛИНИИ Х = /СО5/, «/ = / 5111 I, 2 = 1. (Ответ: 2д/2(A + 2л2K/2 - 1)/3.) 3.6. \(х-\-г)й1, где /. — дуга кривой х = /, г/= =C/У2)/2, 2 = /3, 0</<1. (Ответ: Eбд/7 — 1)/54.) 209
3.7. ^ х~\\хг — у2 й1, где Ь — кривая (х2 -\- у2J = а\х2 — — у2), х^О. (Ответ: 2а3д/2/3.) 3.8. ^ (х + у)<И, где Ь — первый виток лемнискаты р2 = = а2 сов 2ф. (Ответ: а2у2.) 3.9. ^ худ.1, где Ь — первая четверть эллипса х'2/а2 -\- г. + у2/Ь2=\. (Ответ: аЬ(а2 + аЬ + О/C(а + *))•) 3.10. ^(л: + г/)^/, где Ь — четверть окружности х2 -\- 4- г/2 + г2 = У?2, г/ = х, лежащая в первом октанте. (От- (Ответ: # 3.11. V -~—, где /.Лв—отрезок прямой г = х/ — 2, 1-лв у = 0, соединяющий точки Л@, 0, —2) и ВD, 0, 0). (Ответ: У51п2.) 3.12. \-у2усИ, где /. — первая арка циклоиды л: = = а(/ — 51П I), у = а{\ — соз /). (Ответ: 4па-\[а.) 3.13. ф (дс — у) й1, где /. — окружность х2-\-у2 = ах. г. (Ответ: па2/2.) 3.14. \ — -, где Ь — первый виток винтовой } х' + У +гг ^ линии х = а сов I, у = а зт I, г = Ы. (Ответ: ——^—агс{д .) \ аЬ 6 а ) 3.15. 3 —^—г- где ^ — первый виток винтовой ли- ь х +у нии х = асо5(, у = а51П /, г = а/. (Ответ: 8ал3-у2/3.) 3.16. ^ \х2-\-у2сИ, где /. — развертка окружности г. л: = а(соз I + / зш /), г/ = аE1п I — I соз /), 0 ^ I ^ 2л. (Ответ: а2({\ +4я73/2- 1)/3.) 210
3.17. V а -, где ЬАВ—отрезок прямой, соеди- соединяющий точки Л (О, — 2)иВD,0). (Ответ: 1п(C"т/5 —7)/2).) 3.18. \ —5 5 -, где Ь — первый виток винтовой 1 л/Г" = 5со5/, у = 55т/, г = /. ( Ответ: 1— о 3.19. 5 г/2С?/, где Ьоавс — контур прямоугольника с 1-ОАВС вершинами в точках О@, 0, 0), Л@, 4, 0), В@, 4, 2), С@, 0, 2). (Ответ: 24.) 3.20. 5 х2с11, где /. — дуга верхней половины окруж- ности х2 -\- у2 = а2. (Ответ: па3/2.) 3.21. \(х2-{-у2-{- г2)й1, где /. — первый виток винтовой линии х=4со5/, у = 4 51п/, 2 = 31. (Ответ: 10лD8 4- 4-36л2)/3.) 3.22. | усИ, где Ь — дуга параболы у2 = 6х, отсечен- ная параболой х'2 = 6у. (Ответ: 3E^/5— 1).) 3.23. $ хсИ, где ЬАВ — дуга параболы у = х2 от точки 1-АВ АB, 4) до точки В(\, 1). (Ответ: (\1^[\1 — ъф)/\2.) 3.24. ^ (х 4- у)<И, где Ь — первый виток лемнискаты р2 = 7соз2ф. (Ответ: 1л[2) 3.25. фB2 4- У2)с11, где Ь — окружность г2 -\- у2 = 4. (Ответ: 256л.) 3.26. ^ у2й1, где Ь — первая арка циклоиды х = 3(/ — — 51П /)_, «/ = 3A — сов /). (Огвег: 458 -1.) 3.27. \л/х2 4- У2с?/, где Ь — развертка окружности х = = 6(СО5 / + / 51П /), у = 6EШ / — / СО5 (), 0 ^ / ^ 2л. ( Ог- вет: 12(A 4-4л2)з;2- 1).) 211
3.28. \ —-— где /, —первый виток винтовой линии Э^+У л; = 9со5/; у = 9$т1, 2 = 9/. (Ответ: 24л3д/2.) 3.29. ф(х2 + у2J<И, где /. — окружность х = 3 соз /, г. «/ = 351П/. (Огвеп 486л.) 3^30. 5 усИ, где /. —дуга параболы у1 = 12х, отсечен- г. ная параболой л:2=12г/. (Ответ: 12Eу5—1).) 4.1. 5 (ху — у2)с1х -\- хйу, где /,Ол — дуга параболы у = 2х2 от точки О@, 0) до точки ЛA, 2). (Ответ: 31/30.) 4.2. 5 2угйу — у2йг, где /<>вл—ломаная ОВЛ; О@, О, 0); В @, 2, 0); Л @, 2, 1). (Огвег: -4.) — Лс + йц, где /. — дуга циклоиды х — У У —а = аA — ъ\п1), у = аA — сов, (), л/6 < ( < л/3. (Ответ: 4.4. ^ угс^л: + г-\/к2 — г/2с?у + хг/с^г, где Ь — дуга кривой х = /? сов I, у = К 51П I, г = а(/Bл), «пробегаемая» от точки пересечения ее с плоскостью г = 0 до точки пересечения ее с плоскостью г = а. (Ответ: 0.) 4.5. ^ 2хгйу — у2с?г, где /,Ол — дуга параболы г = = лг2/4 от точки О@, 0, 0) до точки ЛB, 0, 1). (Ответ: 0.) 4.6. \ (х — \ /у)йу, где ЬАВ — дуга параболы у = х2 от точки А{\, 1) до точки ВB, 4). (Ответ: 14/3 — 1п 4.) 4.7. ^ сов гйх — зт хйг, где ЬАв — отрезок прямой, соединяющий точки ЛB, 0, —2) и В( — 2, 0, 2). (Ответ: — 2 51П2.) 4.8. \уйх — хйу, где Ь — четверть дуги окружности л:=/?со5/, у = /? 51П (, лежащая в первом квадранте и «пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: 0.) 212
4.9. \ (ху — х)йх -\ йу, где ЬОл — Дуга параболы ^ у 1-0 А у = 2~\1~х от точки О@, 0) до точки ЛA, 2). (Ответ: 1/2.) 4.10. § ус1х — хйу, где Ь — дуга эллипса л: = асо5/, г/= 6 51П/, «пробегаемая» против хода часовой стрелки. (Ответ: — 2паЬ.) 4.11. <§>хйу, где Ь — контур треугольника, образован- ного прямыми у = х, х — 2, //= О при положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.) 4.12. 5 хйу, где Ь — дуга синусоиды у = &\пх от точки (л, 0) до точки @, 0). (Ответ: 2.) 4.13. \ у2их-\-х2йу, где Ь — верхняя половина эллипса /. х = а сов (, у = Ь 51п I, «пробегаемая» по ходу часовой стрелки. (Ответ: 4аЬ2/3.) 4.14. 5 (ху — у~)йх + хйу, где Ьоп — ДУга параболы 1-ои // = 2^от точки О@, 0) до точки В{\, 2). (Ответ: —8/15.) 4.15. ^ хйх -\- хуйу, где Ь — дуга верхней половины окружности х'2 -\- у2 = 2х при положительном направлении обхода контура. (Ответ: —4/3.) 4.16. \(х — у)йх-\-йу, где I — дуга верхней половины /. окружности х2 -\- у2 = /?", «пробегаемая» в положительном направлении обхода контура. (Ответ: л/?2/2.) 4.17. ф(х2 — у)йх, где Ь — контур прямоугольника, /. образованного прямыми х = 0, (/ = 0, х=\, у = 2 при положительном направлении обхода контура. (Ответ: 2.) 4.18. ^ Ахъ'пл2уйх -\- у соз 2хйу, где 1^он — отрезок пря- мой, соединяющий точки О@, 0) и В(Ъ, 6). (Ответ: 18.) 4.19. \уйх — хйу, где /. — дуга эллипса х = 6соз/, г. у = 4 5ш I при положительном направлении обхода кон- контура. (Ответ: —48л.) 213
4.20. ^ 2хуйх — х2йу, где ЬОа — дуга параболы х = 1-ОА = 2у от точки О@, 0) до точки Л B, 1). {Ответ: 2, 4.) 4.21. ^ хуехс1х-\г{х—\)ехйу, где Ьдв—любая линия, 1-ав соединяющая точки Л@, 2) и 5A, 2). (Ответ: 2.) 4.22. ф (х2 + г/2)Ле + (х2 — у2)с1у, где /. — контур тре- треугольника с вершинами Л@, 0), 5A, 0), С@, 1) при поло- положительном направлении обхода контура. (Ответ: —1/3.) $2 [ху — х)йх-\- — йу, где ЬАво—ломаная АВО 1-АВО (О@, 0); ЛA, 2); 5A/2, 3)) при положительном направле- направлении обхода контура. (Ответ: —1/2.) 4.24. ^ (ху—у2)йх 4- хйу, где Ьоа — отрезок прямой '•ОА от точки О@, 0) до точки А(\, 2). (Ответ: 1/3.) 4.25. ^ хйу—уйх, где ЬОа—дуга кубической пара- болы у = х3 от точки О@, 0) до точки ЛB, 8). (Ответ: 8.) 4.26. ^ 2у 5Ш 2хйх— соз 2хйу, где ЬАВ — любая линия 1-АЯ от точки Л (л/4, 2) до точки 5(л/6, 1). (Ответ: —1/2.) 5 2 (ху — х)йх + — йу, где ЬОв—Дуга Параболы у = 4х2 от точки О@, 0) до точки 5A, 4). (Ответ: 3/2.) 4.28. \ {х + у)йх-\-(х — у)с1у, где ЬАВ — дуга пара- 1-АВ болы у = х от точки Л(— 1, 1) до точки 5A, 1) (Ответ: 2.) 4.29. ^ хйу, где ^в — дуга правой полуокружности 1АВ х2-\-у2 = а2 от точки Л@, —а) до точки 5@, а). (Ответ: яа2/2.) 4.30. ^ у2йх 4- х2йу, где I* — дуга верхней половины эллипса х = 5со5/, у = 2 зш /, «пробегаемая» по ходу часовой стрелки. (Ответ: 80/3.) 214
Решение типового варианта Вычислить данные криволинейные интегралы. /. ф(х2 4- у2У<Н, где Ь — окружность х2 4- у2 = а2 I. ► Запишем уравнение окружности х2-\-у2 = а2 в па- параметрическом виде: х = а соз /, у = а&'т(, 0 ^ I ^ 2л.1 Тогда = —а 51п /, у/ = а сов /, с?/ =^ «И =Уа25Ш2/+а2со52/Л = ай1. Следовательно, ■у2)п^/ = а2"+15^ = 2ла2'1+1 ^ 2. \ хб.1, где ЬОв — отрезок п ямой от точки О@, 0) 1-ОВ до точки ВЦ, 2). ► Находим уравнен е прямой ОВ по двум точкам: у = 2х. Далее имеем: =д/1 +{У*Jс1х, Ш= 1-ОВ О 3. I = §2х(у — 1 йх + х2йу, где /. — контур фигуры, ограниченной параболой у = х2 и прямой у = 9 при по- положительном направлении обхода. ► В соответствии со свойствами криволинейных ин- интегралов второго рода имеем ' / = 5 2х{у - \)Лх 4- хЧу + \ 2х(у - \)йх + хЧу, Г, 1.2 где Ь\—дуга параболы у = х~\ 1.2 — отрезок прямой у = 9. Так как парабола и прямая пересекаются в точках ( — 3, 9) и C, 9), то з -з ^ ;3 / = ^ Dл;3 - 2х)йх + 16 5 хйх = 0. -3 3 215
4. I =\{л(х + у)с1х—(л(у+ х)йу, где /. — верхняя 1^ дуга астроиды х = 8 соз31, у — Ъ зт3 / от точки (8, 0) до точки (— 8, 0). У Находим: Ах = 24 сов2 К — 51п 1)с11, йу = 24 зш2 / соз Ш, 0 < / < л. Тогда л / = $ B СО5 / + 8 51П3 /) ( — 24 51П / СО52 1)(И — о — B 51П / + 8 СО53 I) ■ 24 51П2 / СО5 Ш = л = $ ( — 48 51П / СО53 / — 192 51П4 / СО52 / — 48 51П3 / СО5 / — о л — 192 51п2 / сов41)сИ = \ (— 48 51П / соз / — о л — 192 5Ш2 / сов21)с11 = \ (— 24 зш 11 — 48 51П2 21)<Н = о = 12 со5 2/|о — 24$ A — соз 4()Ш = ИДЗ-14.2 1. Показать, что данное выражение является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у). 1.1. Bх — Зу2+ \)йх+B — 6ху)с1у. (Ответ: х2 + х + + 2у-Зху2 + С.) 1.2. -5)аУ. \ +У / V +У (Ответ: 1п A + х2у2) — Зх — 5у+С.) 1.3. — (-1 СО5 2у + у 51П 2^ их + (X 51П 2«/ + СО52 X + + Л йу. (Ответ: у соз2 дс — — соз 2у + у + СЛ 1.4. («/2е^2 + 3)Лс + B*«/е*"! — 1)й«/. (Огвег: Зх + еху'— -у+с.) 216
1.5. (—— + сов х сов у — Зх2)йх + (—— — зш х зш у 4- \х+у г * ' г\х + у у ^ 4у\йу. (Ответ: 1п (х + у) + зш л; соз у — л;3 + 2у2 + С.) 1.6. (у/л; + 1п г/ + 2л;) Лс + Aп л; + х/у + 1)й«/. (Ответ- 1 1 С) +у + у+у + ) 1.7. (е*-» - сов х) их + (^+^ + зш у) йу. (Ответ: ех+у- — СО5 у — 51П X -\- С.) 1.8. (у/л/1 ~х2у2 + 2х) их +(х/Л/\-х2у1 + 6у) йу. (Ответ: агс51п ху + х2 -\- Зу2 -\- С.) 1.9. (еХ!< + хуеху + 2)с(х + (х2еХ!< + 1)с(у. (Ответ: хе** + С ) 1.10. (уе** + у2) их + (хеху + 2ху)с1у. (Ответ: е?»+ + ху2 + С.) 1.11. (у сов (ху) + 2х — Щ их + (х соз (ху) — Зх + 4«/)йу. (Ответ: 51п (л;г/) + х2 — Ъху + 2г/2 + С.) 1.12. (у 51П (х + у) + ху соз(л: + г/)~9л:2)йл:-|-(л:51п (л: + + у)+хусо$(х + у)+2у)с1у. (Ответ: хуып(х + у) — З32 С) Зх+у + .) 1.13. Eу + со 5 л; + бх»2) ^л: + Eл; + 6х2у) йу. (Ответ: 51п х + 5ху + ЗлтУ + С.) 1.14. (у2еху —3)йх + еху A + ху) йу. (Ответ: уеху — ~Зх + С.) 1.15. A + со$(ху))уйх + A + со$(ху))хйу. (Ответ: () С ) 1.16. (г/ — 51п х) их -\-(х — 2у соз у2) йу. (Ответ: соз л: ху — 51П г/2 + С.) 1.17. (&т 2х-~\йх--^йу. (Ответ: ^у ( ху1 •' \ ху - ± со5 2л: + С.) 1.18. ±±Л- их + Я^±. йу. (Ответ: 1п (ху) + х/у + С.) 1.19. B0л;3 - 21 х2у + 2г/)Лс + C + 2л; - 7л;3) ^. (Огвег: 5л-4 — 7х3у + 2л;г/ + Зу + С.) 1.20. (уе*" — 2 51 п х) их + (*е*" + соз у) йу. (Ответ: еху + 2 соз л; + ып у + С.) 1.21. «/ (е^ + 5) с^л; + х {еху + 5) йу. (Ответ: еху + С 1.22. ) (х- -т^ V х2 — у!) — у- 217
1.23. ±Щ±± их + У'"**-* йу. {Ответ: у \п х + \пу + С.) 1.24. е*~*A + * + г/)Лс + едг-*A -х-у)йу. {Ответ: ех~у(х + у) + С.) 1.25. (Зх2 - 2хг/ + г/) Ас + (* - х2 - Зу2 - 4у) йу. {Ответ: х3 - х2у - у3 + ху - 2у2 + С.) 1.26. [2х ех'-»' — зт х)йх + (зт г/ — 2уех'-у')йу. {Ответ: ех ~и' + соз л: — соз у + С.) 1.27. (у/V1 - х2у2 + х2) ах+(х/-^\- х2у2 : л:3/3 + агсзт (ху) + г/2/2 + С.) 1.28. ±=*- ^х+ '~22х ^. ('Огвег: 2х-' + 1 + С.) хгу ху' \ ху х / 1.29. у-1 (х-\? ) -\ (у - IJ йу. [Ответ: -М— + _^_ - 2х + у2 + С.) 1.30. (За:2 - 2хг/ +у2)йх + Bху - х2 - Зу2) йу. {Ответ: х3 — х2у + ху1 + у3 + С.) 2. Решить следующие задачи. 2.1. Вычислить длину дуги цепной линии у = (е" + + е~х)/2, хв[0; 1]. (Огвег: (е2 — 1)/Bе).) 2.2. Вычислить моменты инерции относительно осей координат отрезка однородной прямой 2х + г/= 1, лежа- лежащего между этими осями. (Ответ: 1Х =-у5/б, 1У ^д/5/24.) 2.3. Найти координаты центра масс четверти одно- однородной окружности х2 + у2 = а2, лежащей в первом квад- квадранте. (Ответ: Bа/п, 2а/л).) 2.4. Вычислить массу дуги кривой у = 1п х, заключен- заключенной между точками с абсциссами л:=уЗ и х=у8, если плотность дуги в каждой точке равна квадрату абсциссы этой точки. (Ответ: 19/3.) 2.5. Вычислить момент инерции относительно оси Оу дуги полукубической параболы у2 = х3, заключенной меж- между точками с абсциссами л: = 0 и х = 4/3. (Ответ: 1У = = 107.2'°/A05-36)« 1,13.) 2.6. Вычислить момент инерции относительно начала координат контура квадрата со сторонами х = ±а, у = = ±а. Плотность квадрата считать постоянной. (Ответ: /о = 32/3.) 218
2.7. Вычислить длину дуги кривой х = 2 — A/4, у = = /6/б, ограниченной точками пересечения ее с осями координат. (Ответ: 13/3.) 2.8. Вычислить координаты центра масс однородной полуокружности х2 + уI = 4, симметричной относительно оси Ох. (Ответ: D/л, 0).) 2.9. Вычислить координаты центра масс однородной дуги одной арки циклоиды х = I — вт /, у = 1 — соа I. (Ответ: (л, 4/3).) 2.10. Вычислить момент инерции относительно начала координат отрезка прямой, заключенного между точками АB, 0) и В@, 1), если линейная плотность в каждой его точке равна 1. (Ответ: /о — 5-у5/3.) 2.11. Вычислить координаты центра масс однородного контура сферического треугольника х2 + у2 + г2 = 1, х^О, у^О, 2^0. (Ответ: D/Зл, 4/Зл, 4/Зл).) 2.12. Вычислить статические моменты относительно координатных осей дуги астроиды х = 2 соз3 /, у = = 2зт3/, расположенной в первом квадранте. (Ответ: Мх = 2, 4,МУ = 2, 4.) 2.13. Вычислить массу отрезка прямой у = 2 — х, заключенного между координатными осями, если линей- линейная плотность в каждой его точке пропорциональна квад- квадрату абсциссы в этой точке, а в точке B, 0) равна 4. (Ответ: %-ф./2>.) 2.14. Найти статический момент относительно оси Оу однородной дуги первого витка лемнискаты Бериулли р2 = а2 соз 2ф. (Ответ: Му = а2^/2.) 2.15. Найти работу силы Р = л1 -\-(х-\-у)\ при пере- перемещении точечной массы т по дуге эллипса дс2/16 + + «/2/9=1. (Ответ: \2пт.) 2.16. Вычислить момент инерции относительно оси Ог однородной дуги первого витка винтовой линии х = = 2 соз /, у = 2 51п I, г = I. (Ответ: /г = %-\[§п.) 2.17. Вычислить массу дуги кривой р = 3з}пф, ц>в €[0; л/4], если плотность в каждой ее точке пропор- пропорциональна расстоянию до полюса и при ц> = л/4 равна 3. (Ответ: 9B—л/2~)/2.) 2.18. Вычислить координаты центра масс однородной дуги первого витка винтовой линии х = соз I, у = зш /, г = 21. (Ответ: @, 0, 2л).) 219
2.19. Вычислить моменты инерции относительно коор- координатных осей дуги четверти окружности х = 2 соз (, у = = 2 31п I, лежащей в первом квадранте. (Ответ: 1х = 2л, 1У = 2л.) 2.20. Вычислить координаты центра масс дуги первого витка винтовой линии х = 2 соз (, у = 2 зш (, г = I, если линейная плотность в каждой ее точке пропорциональна аппликате точки и в точке ( = л равна 1. (Ответ: @, —2/л, 4 л/3» 2.21. Вычислить массу дуги четверти эллипса х /4 -\- + г/2=1, лежащей в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна произведению коорди- координат этой точки. (Ответ: 14/9.) 2.22. Вычислить работу силы Р = ху\ + (х + у) \ при перемещении материальной точки по прямой у = х от точки @, 0) до точки A, 1). (Ответ: 4/3.) 2.23. Вычислить статический момент относительно оси Ох однородной дуги цепной линии у = (ех -\-е~х)/2, х^ 6[0; 1/2]. (Ответ: (е - 1/е + 2)/8.) 2.24. Вычислить работу силы Р = (х — у)\-\-х\ при пе- перемещении материальной точки вдоль контура квадрата, образованного прямыми *=±1, г/=±1. (Ответ: 8.) 2.25. Вычислить статический момент относительно оси Ох однородной дуги кардиоиды р = аA +созф). (Ответ: 32а2/5.) 2.26. Вычислить длину дуги одной арки циклоиды х = 3(/-5т/), у = 3A —соз /). (Ответ: 24.) 2.27. Вычислить работу силы Г = (х-\-у)\ — х\ при пе- перемещении материальной точки вдоль окружности х = = 2 соз I, у = 2 51п I по ходу часовой стрелки. (Ответ: 8л.) 2.28. Вычислить работу силы Р = у\ -\-(х -\-у)'] при пе- перемещении материальной точки из начала координат в точку A, 1) по параболе у = х2. (Ответ: 17/12.) 2.29. Вычислить работу силы Р = (х — у)\-\-2у\ при перемещении материальной точки из начала координат в точку A, —3) по параболе у =—Зх2. (Ответ: 10,5.) 2.30. Вычислить моменты инерции относительно осей координат однородного отрезка прямой у = 2х, заключен- заключенного между точками A, 2) и B, 4). (Ответ: 1Х = 28-у5/3, I» = 775/3.) 220
Решение типового варианта \» Показать, что выражение ( у-т- - \\йх+( '-г-? - \ 1+хУ ) Ч 1+хУ является полным дифференциалом функции и(х, у). Найти функцию и(х, у). ► Проверим, выполняется ли условие полного диффе- дифференциала (— = —) для функции и(х, у). Имеем: \ ду дх ) дР_ — д ( У _ Л _ 1 + *У - У ■ 2*2У _ 1 - х2у2 ду ду\\+хУ ) A+*УJ A+хУJ' дО_ _ д / х _ ш\ _ 1+ГУ-Х-2.О/2 _ 1 - х2у2 дх дх\1+х2у2 ) A+хУJ A+хуJ- Данное выражение является полным дифференциа- дифференциалом функции и(х, у). Положив Хо = 0, у о = 0, по формуле A4.16) найдем и(х, у): и(х, ^)=|(- о - Юу + С. !ультат вычислений верен, если =Р(х. у), *0*Ж =A(х, у). Сделаем проверку: (х + агс12ху\0у + СI+ 22, дх 1 + х у ^-(-х + агс^ху- Юу + С) = _^_-10. Итак, и(х, у) = агс1§ ху — х — Юу + С. <4 2. Вычислить моменты инерции относительно осей координат однородного отрезка прямой 4х + 2у = 3, лежа- лежащего между точками @, 3/2) и B, —5/2). 221
► Используя общие формулы для вычисления момен- моментов инерции, последовательно находим: где I: 4лг + 2г/ = 3, у=2х+±, 2 125 27 \ _ 49-\/Г _ у* / 12Ь 27 ч _ ~24~' 14.4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 14 1. Найти длину дуги конической винтовой линии х = аё соз (, у = ае1 зт I, г = ае1 от точки О@, 0, 0) до точки А(а, 0, а). (Ответ: а-^/з.) 2. Найти массу участка цепной линии у = а сп (х/а) между точками с абсциссами Х{ =0 и Хч = а, если плот- плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке @, а) равна у. (Ответ: уа.) 3. Определить массу эллипса х2/9 -\- у2/А = 1, если линейная плотность в каждой его точке равна \у\. (Ответ: 4. Найти координаты центра масс первого полузитка винтовой линии х = а соз I, у = а &\п (, г = Ь(, считая плот- плотность в каждой ее точке постоянной. (Ответ: @,.2а/л, Ьл/2).) 5. Вычислить моменты инерции относительно коорди- координатных осей и начала координат четверти однородной окружности у = 2 соз I, 2 = 2 31П (, лежащей в первом квадранте плоскости Оуг. (Ответ: /*=7^ = 2л, /о = 4л.) 222
6. Найти момент инерции относительно оси Ох первого витка винтовой линии х = а соз I, у = а &\п I, г = /г//Bд). (Ответ: (а2/2 + /г2/3)Л/4л2а2 + /г2.) 7. Проверить выполнимость формулы Грина для инте- интеграла ф (х + у) их — 2хйу, А если Ь — контур треугольника со сторонами х = О, у = О, 8. Применив формулу Грина, вычислить интеграл ф у2ах + (х + уJйу 1-АВС по контуру треугольника ЛВС с вершинами АB, 0), ВB, 2) и С@, 2). (Огвег: 16/3.) 9. Доказать, что 5 (ух3 + еу) их + (ху3 + хеу — 2у) йу = 0, если /, — замкнутая линия, симметричная относительно начала координат. 10. Доказать, что численное значение интеграла где /, — замкнутый контур, равно площади области, огра- ограниченной этим контуром. 11. Доказать, что интеграл ф- где /. — любой замкнутый коитур, «пробегаемый» в поло- положительном направлении и охватывающий начало коорди- координат, равен 2л. 12. Найти функцию по данному полному дифферен- дифференциалу йи = еу/гйх + С^— еу/г + геу/г) йу + {уеуг / (Х+\)У (Ответ: ау/г{х-{- \) + еуг — е~г.)
15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 15.1. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ И ГРАДИЕНТ Отображение, которое каждому числу / ^ Т 6 К ставит в соответ- соответствие по некоторому правилу единственный вектор г, называется век- векторной функцией или вектор-функцией скалярного аргумента I. Ее принято обозначать г = г(/). Множество Т называется областью опре- определения функции гA). В качестве Т обычно берут некоторый отре- отрезок \а; Ь\ или интервал (а; Ь) числовой оси Число / также называют параметром. Как и Любой постоянный вектор, вектор-функцию скалярного аргумента г(/) при любом фиксирован ом значении / можно одно- однозначно разложить по базису I, ]", к: "^^ г I к. A5.1) Очевидно, что координаты х, у, г вектор-функции г = г(/) в этом базисе являются функциями- хA), уA), гA), область определения ко- которых совпадает с Т. Поэтому имеют место три скалярных равенства: = Х(( I =УA), * = *(/). A5.2) Если вектор г откладывать из одной точки О при различных значениях 1^Т, то его конец МA) опишет в пространстве, вообще говоря, линию, которая называется годографом вектор-функции г = = г(/). Точка О называется полюсом годографа. Равенство A5.1) назы- называют в этом случае векторно-параметрическим уравнением годографа, а равенства A5.2) — его параметрическими уравнениями (рис. 15.1). Приведем нескольку примеров. ^^ И. Годографом, задаваемым векторно-параметрическим уравне- уравнением вида г = г@ = Гс + к/, где Го — радиус-вектор точки М0(хо, г/о, г0), 5 — некоторый заданный вектор, является прямая в пространстве, проходящая через точку Мо, с на- направляющим вектором 5 (см. урав- уравнение C.6) и рис. 3.1 в первой части настоящего пособия). 2. Годограф, задаваемый пара- параметрическими уравнениями к = = а сое /. у = а&\п1, г = Ы (I ^ (—оо; оо), а, Ь — постоянные), является винтовой линией, распо- расположенной на круговом цилиндре Рис. 15.1 радиусом а с осью Ог (см. также § 4.3 в первой части пособия ). В случае, когда / — время, а хA), уA), г(/) имеют размерность длины, равенства A5.1) и A5.2) называются соответственно век- 224 У
торно-параметрическим и параметрическими уравнениями движения точки, а соответствующий им годограф — траекторией ее движения. Если Пт х{1) = хи, Пт уA) = /»/.• /—/„ то вектор го = Хо! + уо\ + гик называется пределом вскто )-4 г(/) в точке I — 10. В этом случае пишут: Пт г{1) = г0. /-./„ Если Пт г(П = г((о), то векторная функция гA) называется непзе* рывной в точке I = 1о- Если Д/ ф 0 — произвольное приращение параметра, тй \г(<) = = г(< + Л<) — г(') называется приращением вектор-функции гA) Если существует предел ^ Игл — = Пш — |1П1 м-*о Л1 то он называется производной всктор-функцш г I) в точке I и обозна- обозначается г'@, или г((), или AгA)/A1. Вектор г'A) всегда направлен по касательном к годографу функции г(/) в сторону возрастания параметра /. С механической точки зрения г'(/) есть вектор мгновенной скорости движения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции г = гA), в момент вре- времени I в точке МA) (см. рис. 15. |). Если существуют произво ные к { у'(I) и г'(I), то существует г'@ " г'@ -х'AУ1 + у'A)\ + г'(Пк. A5.3) Так как вектор г'(<о) направлен по касательной к кривой в точке МвAо), определяемой уравнениями A5.2), то уравнения касательной к этой кривой в точке М, запишутся следующим образом: х'Aо) у (Ц г'(I») Плоскость, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания Л[й((о). называется нормальной плоскостью к кривой в этой точке а ее уравнение имеет вид х\1, 1А-л-(<„)) У'A»)(у-у(Ц) + г'Aв)(г-гAо)) = 0. A5.5) Для векторных функций скалярного аргумента справедливы следую- следующие правила дифференцирования: 1) (г1@+г.@)' = г'1@ + гНО: 2) (СгA)У = Сг'(/), С==сопя1; •5) (г.@ • г-Д/))' = гиО' г2(<) + 4) (г,(<) X г2(<))' = т\A) X г2(<) Пример 1. Найти производную вектор-функции г(/) = (сое I— I)'~Ь 51П2 1\ + 1й 'к в точке 10 = л/4. > Из формулы A5.3) следует, что г'@ = — 5ш /1 + 2 5ш ( сое 1\ А ;— к. СО5 ( В- 357 225
Поэтому г' (-- ) = — \ + \ + 2к. Пример 2. Составить канонические уравнения касательной и урав- уравнение нормальной плоскости к кривой, заданной параметрическими уравнениями х — V + ; — 1, у = 2Г + 3/ -)- 2, г = I2 + I, в точке Л4о, определяемой значением параметра 1а — I. >• Находим вектор г'(/0) = (*'A), (/'('), г'A)) = D, 7. 2). Пара- Параметру 1а = 1 на кривой соответствует точка Мо{х(\), 1/A), гA))( т. е. Л1(|{1,--.7, 2). Согласно формулам (|5.4), A5.5), уравнения касательной имеют вид х — I у — 7 г — 2 а уравнение нормальной плоскости 4(л-— |) + 7(у — 7)+ 2B — 2) =0. -4 Переходя к понятию производной функции по направлению, отме- отметим, что направление в пространстве можно задавать единичным век- вектором х° = (соз а, соз р, соз V). где а, р, V — углы, образованные вектором х° и осями Ох, Оу, Ог соответственно. Если дана функция и = [(х, у, г), определенная в некоторой окрест- окрестности точки Мо(х», уо, 2г>), радиус-вектор которой г0 = (х0, уо, 20), то /(Г0 + 8"/) — /(Го) /^0 { если он существует, называется производной функции и = }(х, у, г) в точке Ми(хо, уо, го) по направлению вектора &" и обозначается ди(М0) —-т—-, т. е. по определению ди(Мь) .. /(го + Л)-/(го) Справедлива следующая формула: — -сова-) ^ ^-созрН з—^созу- A5-6) дз дх " ' ду м ' дг В случае функции двух переменных г = /(.*■, (/) формула A5.6) упрощается: ■ соз а-| ^ сое р, ('5.7) д.ч дх ду где 8° = (соз а, соз E); р = л/2 — а. Частные производные функции и = /(лг, г/, г) являются производ- производными этой функции по направлениям координатных осей. С физической точки зрения ди/да можно трактовать как скорость изменения функции и в данной точке в заданном направлении. Производной вдоль кривой /. называют производную по направлению ориентированной касательной к кривой I, вычисленную в точке касания. Всякой дифференцируемой функции и = 1(х, у, г) соответствует вектор с координатами ди(М)/дх, ди(М)/ду, ди(М)/дг, который назы- называется градиентом функции и в точке М и обозначается ^гай и. Та- Таким образом, по определению 226
ди ди ди —, —, — ди — , — ди _ к. A5.8) Если 5"=(со&а. соз E, еО5 у), то из формул A5.0) и A5.8) имеем ди{М) (/5 = пр 5 и(М). Из этой связи между производной по направлению и градиентом функ- функции н=/(х, у, г) (или г = 1(х. у)) следует, что: 1) градиент функции и (или г) направлен в сторону максималь- максимального возрастания ее значений, т. е. ди/дз (или дг/д$) имеет наибольшее значение в направлении градиента (рис. 15.2); 2) если единичный вектор 5° перпендикулярен к ^глй и (или цгайг), то ди/дз = 0 (или дг/д$ = &) (см. рис. 15.2); 3) тектор-^ггас! <*{М) (или %г&<1 г(М)) имеет направление нормали в точке М поверхности (или линии) уровня функция о (или г) (рис. 15.3. а. б). А Рис. 15.3 Градиент любой дифференцируемой функции обладает следующими свойствами: 1) ^гад (и\ -\- и>) = ^гад и\ -)- ^гао и->', 2) дгад Си = С дгад и, С = сопз1; 3) дгад (ища) = «2 дгад «| + «I дгай «2. Пример 3. Найти производную функции и = -\Д2 -)- у1 + г2 в точке (—2, 3, 6) по направлению к точке Мг{~ 1, 1, 4). > Частные производные функции н в точке М,: дх ^2 + г/2 + 7 ' 227
ди(МС) Ог 6 т -Фг + уг + Единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором М\Мч, равен 1 з- 1 Тогда по формуле A5.6) получаем ди(М,) 2 I 3 й = ~ Т Т + Т 21 ' Пример 4, Вычислить производную функции г = агс[%(ху) в точке МоA, I), принадлежащей параболе у = х\ по направлению этой кривой (в направлении возрастания абсциссы). ► За направление 8° параболы у = х~ в точке ЛГ(,A, I) берем направление касательной к параболе в этой точке, задаваемое углом а, который касательная составляет с осью Ох. Тогда имеем: у'(х) = 2х, 18 а =(/'(!) = 2; СО5 а = ^ Д/1 + {%2 а V5 V + (82 а "V5 Находим частные производные функции г в точке Мо: дг(М$ _ у __ 2 ' -х'у Подставив полученные значения в формулу A5.7), имеем ди(М0) _ I 1,1 2 _ 3 да ~ТТ+Т1г" ЛЗ-/5.7 1. Найти значение производной вектор-функции г = = 4(/2+ /I + агс1§ /] + 1п A +/2)к при /=1. {Ответ: 2. Дано векторно-параметрическое уравнение движе- движения точки М: г = г(/) = B/2 + 3I — 3B} +DB — 5) к. Вы- Вычислить скорость |■V| и ускорение |\у| движения точки в момент времени / = 0,5. (Ответ: |у|=-у29, |\у| = 228
3. Дано уравнение движения материальной точки: г = 2 соз п + 2 51п /] + 3/к. Определить траекторию дви- движения, вычислить скорость |у| и ускорение |\у| движения этой точки в любой момент времени /. (Ответ: х = 2 соз /, у = 2 51п /,2 = 3/ (винтовая линия); |у| =д/13, |\у| =2.) 4. Записать канонические уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к кривой г = И + /2| + + /Зк в точке / = 3. (Ответ: ^- = ^- =^~, х + + 6^ + 272 = 786.) 5. Записать канонические уравнения касательной пря- прямой и нормальной плоскости к кривой, заданной урав- уравнениями 2 = х2+#2, у = х в точке МоA, 1, 2). (Ответ: 6. Доказать, что вектор г перпендикулярен к вектору г', если |г| = сопз1. 7. Вычислить производную функции и = 1п C — х2) + + ху2г в точке М|A, 3, 2) по направлению к точке Мг@, 5, 0). (Ответ: —11/3.) 8. Вычислить производную функции г =л]х2 + у2 в точ- точке М0C, 4) по направлению: а) вектора а = A, 1); б) ра- радиуса-вектора точки Мо; в) вектора 8 =D, 3). (Ответ: а) 7д/2/2; б) 1; в) 0.) 9. Вычислить производную функции г = агс1§ (у/х) в точке МоB, —2) окружности х2 + у2 = 4х вдоль дуги этой окружности. (Ответ: ±1/4.) 10. Вычислить производную функции и = 1п (х# + хг + + У2) в точке ЛЦО, 1, 1) по направлению окружности х = соз /, у = 51п /, 2 = 1. (Ответ: ±2.) 11. Вычислить координаты единичного вектора, направ- направленного по нормали к поверхности (г2 — х2)хуг — уп = 5 в точке МоA, 1, 2). (Ответ: ±(—^=., —{-= 4 ^ ^ з \[\а з т/и 12. Найти дгас! и в точке МоA, 1,1), если и — х'2уг — — ху2г + хуг2. (Ответ: дгас! и = 2\ — 2\ + 2к.) 13. Найти угол ф между градиентами функций и = = ^-х2 + Зу2 — 2г2 и у = х2г/2 в точке МоB, 1/3, л/^/2)- (Ответ: ф = я/2.) 229
14. Найти наибольшую крутизну подъема ц> поверх- поверхности г = 2х'2/ул в точке Мо{2, 1, 8). (Ответ: 1§ ф = = 8л[к>, ф«87°40'.) Самостоятельная работа ■- 1. 1. Вычислить производную функции и = х-\- 1п (у2 + + 22) в точке МоB, 1, 1) в направлении вектора 5 = = —21 + ] —к. (Ответ: — ^6/3.) 2. Вычислить координаты единичного вектора, перпендикулярного к поверхности ху -\- хг -\- уг = 3 в точ- точке МоA, 1, 1). (Ответ: ±A/Уз, 1/Уз, 1/л/3)-) 2. 1. Вычислить производную функции г = агс1д (х2у) в точке МоA, 4) параболы у = х~ в направлении этой кривой. (Ответ: ± 2-у 5/17.) 2. Найти наибольшую крутизну ф подъема поверх- поверхности г = 5х2—2ху-|-1/2 в точке МоA, 1, 4). (Ответ: 1ёф = 8, ф«83°.) 3. 1. Записать канонические уравнения касательной ррямой и нормальной плоскости к линии, заданной век- торно-параметрическим уравнением г = соз2 1\ -\- 51п2 /] + + 1§/к в точке I = л/4. (Ответ: х~"'5 = -у ~ °'5 = 2. Найти наибольшую крутизну ф подъема поверх- поверхности г = х3у -\- ху2 в точке МоA, 3, 12). (Ответ: 1§ф = 15.2 СлАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ Если в каждой точке М(х, у, г) пространства К3 (или его части V) определена скалярная величина ;/ =/(*, у, г), то говорят, что в К3 (или V) задано скалярное поле и = и(М). Это значит, что всякая числовая функция и(М) = )(х. у, г), заданная в некоторой области V пространства К , определяет в этой области скалярное поле. Функция двух переменных г =/"(•*. У) задает в некоторой области О плоскости Оху скалярное поле, называемое плоским. Графически скалярное поле можно изображать с помощью по- поверхностей уровня )(х, у, г)=С или линий уровня [(х, у) = С (см. рис. 15.3). Для всякой функции и = [(х, у, г), дифференцируемой в точке М0(х0, Уо, го), число ди(Ма)/дз определяет скорость изменения ска- скалярного поля в направлении 5° = (сов а, со& р, со& V) (см- формулу A5.6)). 230
Если в каждой точке М(х, у, г) пространства К! (или его части V) определен вектор а = (Р, <Э. /?), где Р = Р(х, у, г). <3 = <3(х, у. г). /?=/?(х, у, г) — скалярные функции, то говорят, что в этом простран- пространстве (или в I') задано векторное поле а = а(М). Если функции Р{х, у, г), <Э(х, у, г), /?(л\ у. г) непрерывны, то поле вектора а называется непрерывным. Примерами векторных полей являются поле скоростей текущей жидкости, поле скоростей точек твердого тела, вращающегося с угло- угловой скоростью ш вокруг данной оси, поле электрической или магнитной напряженности и др. Линия, в каждой точке М которой вектор аШ) векторного поля а = а(М) направлен по касательной к линии, называется векторной (силовой) линией этого поля. Примерами векторных линий могут служить линии тока жидкости, силовые линии магнитного поля, траектор 1и точек вращающегося пространства. Область пространства, целиком состоящая из векторных линий, иазывается векторной тру&кой. В каждой точке М поверхности вектор- векторной трубки вектор а лежит в касательн н плоскости в точке М к этой трубке. Векторное (или скалярное) поле, координаты которого не зависят от времени, называется установившимся или стационарным. Если г(/) — радиус-вектор векторной линии векторного поля а = л(М). то уравнения векторных лит " определяются из системы дифференциальных уравнений: йх_ = йу_ = йг_ ^5ду Пример 1. Найти векторную линию векторного поля а(М) = = —у\ -\- х\ -\- Ьк, проходящую через точку МоA, 0, 0). ► На основании формулы A5.9) получаем систему дифференци- дифференциальных уравнений ^^^ ^Ж их йу йг Решаем ее: ^^^^^ Ах йи , , , , , _, = -*-, хйх + уйу = 0, х2 + у2 = С] У К или, в параметрическом виде, х = С] сое /, у = С\ 5Ш /; йу йг йг С, сое Ш . —— = , —г- = —■= —, йг = ЬсН, г = Ы + С2- о С | соз I Так как векторная линия должна проходить через точку МоA, 0, 0), то легко находим, что постоянные интегрирования С| = I, С% = 0. Уравнения векторной линии векторного поля а = л(М) имеют вид х = = сов I, у — 51П I, г = Ы (винтовая линия). -^ Векторное поле, порожденное градиентом скалярного поля и(М) = = !(х, у, г) (или г(М) = 1(х, у)), называется полем градиента. Со- Согласно свойству 3 градиента, векторные линии цгай и(М) (или цтя.й г(М)) —это кривые, вдоль которых функция и=—{(х, у, г) (или г = /(х, у)) максимально возрастает (убывает) Эти линии всегда орто- 231
гональны к поверхностям (или линиям) уровня скалярного поля и(М) (или г(М)). Дифференциальные уравнения для определения векторных ли- линий цгад и(М) имеют вид и'х и'у и'. Пример 2. Найти векторные линии поля дгад ы, если и = (х2 + + у- + г'2)/2. ► Согласно определению A5.8), ^гад и = х\ -\~ у] -\~ гк, а из формул A5.10) следует, что векторные линии этого поля удовлетворяют си- системе дифференциальных уравнений с!х йу йг х у г Находим решения этой системы: —- = —-, 1п \у\ = 1п \х\ + 1п С, у = С,х, х у — = —, |П |г| = 1п \х\ + 1п С2, г = С2*. г лг Полученные решения у = С]Х, г = С-2Х можно представить в виде х и х — = тг = тг» т- е- векторные линии заданного поля дгадиШ) пред- 1 С-1 Сг ставляют собой совокупность прямых, проходящих через начало ко- координат и ортогональных множеству поверхностей уровня х2 -\- у2 -\- -\~г2 = 2С (сферы) данной функции. -^ АЗ-15.2 1. Записать уравнения и построить поверхности уровня скалярных полей, определяемых следующими функциями: а) ц = агссо5 г ; б) и = 1п(х2 + у2 + г2); -ух2 -\~ у'2 в) и = г/(х2 + у2). 2. Построить линии уровня плоского скалярного поля 2 = ХУ. 3. Найти градиент скалярного поля и = с • г, где с — постоянный вектор; г — радиус-вектор точки М(х, у, г). Записать уравнение поверхностей уровня этого поля и выяснить их расположение относительно вектора с. 4. Найти производную скалярного поля и = х -{-у2 — — ух2-\-г2 в точке М( — 3, 0, 4) в направлении нормали к поверхности 2л:2 + 12х -\- Ъу2 -\- г2 — Зг — 58 = 0, обра- образующей острый угол с осью Ог. (Ответ: —4/5.) 232
5. Найти векторные линии векторного поля а(Л4) = = он/1 + ыхЬ гДе ю 6 К, <аФ0. (Ответ: х2 — у2 = С\, 2=С2.) 6. Найти векторные линии векторного поля, если: а) а(М) = 5х1+10у1 б) а(М) = Аг\ — 9г/к. (Ответ: а) х2=С]у, г=Сч\ б) 9у2 + 4г2 = С2, лг=С2.) 7. Найти векторные линии поля §гад и, если и = = л:2 — 2у + 22. (От-вег: л: = С\е~у, 2 = Сге"^.) Самостоятельная работа 1. 1. Найти векторные линии векторного поля а(Ж) = = (х-{-у)\—х)—хк. (Ответ: х2-{-у2 \-г2 = С\, у—2 = = С,.) 2. Вычислить координаты единичного вектора, перпендикулярного к поверхности г = х2 + у2 в точке Мо(— 1, 1, 2) и образующего с осью Оу острый угол. (От- (Ответ: (-2/3, 2/3, -1/3).) 2. 1. Найти векторные линии поля дгай и, если « = = л: + 1/2. (Ответ: х = -^1пу+С]> г= С2Л 2. Вычислить координаты единичного вектора п°, перпендикулярного к поверхностям уровня скалярного поля и = 2х — Зу + 6г — 5 и образующего с осью Ог тупой угол. (Ответ: п° = ( —2/3, 3/7, —6/7).) 3. 1. Найти векторные линии векторного поля а(М) = = 2лг1 + 82к. (Ответ: г=С\х\ у=С2.) 2. Записать единичный вектор п°, ортогональный к поверхностям уровня скалярного поля и = х2-\-у2-\- + 22 + 4. (Ответ: п° =(х/л/х2 + у2 + г2, у/л/х2 + у2 + г2, 15.3. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть 1(х, у, г)— непрерывная функция в точках некоторой гладкой поверхности 5 Е К . С помощью кусочно-гладких линий разобьем по- поверхность 5 на л элементарных площадок 5,, площади которых обозна- обозначим через А5, A=1, п), а диаметры — через 0 5,. На каждой площадке 5, выберем произвольную точку Л);(*„ ;/,, г,), вычислим /(*,, у„ г,) и со- составим интегральную сумму п I ^^ 51 \{хш ц~ ^) Д5 233
Тогда сущестБует предел этой интегральной суммы, который называется поверхностным интегралом первого роба от функции [(х, у, г) по поверх- поверхности 5 и обозначается \\((х, у, 5 = \,т 1:[(х„ у,. г,)А5,. A5.11) Е5.—0/=1 Поверхностные интегралы первого рода обладают свойствами ли- линейности, аддитивности, для иих справедлива теорема о среднем, их величина не зависит от выбора стороны поверхности. Очевидно, что интеграл \\с1§ равен площади поверхности, а \\&{х, 5 5 у, г)A5. где 6(лг, у, г) — поверхностная плотность поверхности 5, — массе поверхности 5. . Если проекция О поверхности 5 на плоскость Оху однозначна, т. е. всякая прямая, параллельная оси Ог,"пересекает поверхность 5 лишь в одной точке, то поверхность можно задать уравнением г = = Р(х, у) и справедливо равенство, с помощью которого вычисление поверхиостиого интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла: ^^^ $$/(*. у. = В/(х. у). Р(х, и О A5.12) Пример 1. Вычислить Ц-ух2 у'A8, где 5 — часть конической 5 поверхности х~ -\- у2 = г2, расположенная между плоскостями г = 0 и г = 2. ► Из уравнения данной поверхности находим, что для рассматри- рассматриваемой ее части г= дмг + 12 и проек ией ее иа плоскость Оху является круг х2 -|- у'1 ^ 4. Так как Р'х — х/-\[^! + у1, Ру — у/^х2 + у2, то из формулы A5.12) получим 8 _ 16-\^ о о Сторона гладкой поверхности 5, из каждой точки которой вос- восставлен вектор нормали п, называется положительной, а другая ее сторона (если она существует) — отрицательной. Если, в частности, поверхность 5 является замкнутой и ограничивает некоторую область пространства V, то положительной или внешней стороной поверхности 234
называется та ее сторона, нормальные векторы которой направлены от области V, а отрицательной или внутренней — сторона, нормальные векторы которой направлены в область V. Поверхность, у которой су- существуют положительная (внешняя) и отрицательная (внутренняя) стороны, называется двухсторонней. Двухсторонние поверхности харак- характеризуются следующим свойством: если основание вектора нормали п Рис. 15.4 Рис. 15.5 непрерывно перемещать по любому замкнутому контуру /., лежащую па такой поверхности, то при возвращении в исходную точку направление п совпадет с исходным (рис. 15.4). Двухсторонними поверхностями являются плоскости, все поверхности второго порядка, тор и многие другие. Для односторонних поверхностей указанное перемещение нормали п при возвращении в исходную точку приводит к «антннормали», т е. к вектору —п. Классическим примером односторонней поверхности является лист Мёбиуса (рис. 15.5). Поверхность 5 с выбранной стороной называется ориентированной. Если поверхность 5 задана уравнением г = 1(х, у), то нормальный вектор п, образующий с осью Ог острый угол 7, определяется следующим образом: п = ( — \'х, —/,',, I), а координаты единичного вектора нормали п° равны его направляющим косинусам, т. е. ,-(- | = (С05 а, СОВ р, СО5 >'), ]п|=У1 Если поверхность 5 задана уравнением Р(хг у, г) = 0, /\- =р 0, то „О __ 1 .-1 С/1 Л Г") ■где знак « + » берется в случае, когда угол 7— острый, а знак с — » в случае, когда у — тупой. Пусть в области V Е К' определена векторная функция а = Р\ -\- + С1) + Як, где Я = Р(х, у, г), Ц = (}(х, у, г), К- = /?(*, у, г) — функции, непрерывные в области V- Далее, пусть 5 — некоторая гладкая поверх- поверхность, лежащая в области V, с выбранной положительной стороной, т. е. выбранным направлением вектора п°. Разобьем поверхность 5 при- принадлежащими ей кусочно-гладкими линиями на элементарные площадки 5,, площади которых Д5, (( = I, п), и выберем в каждой из них произволь- произвольную точку М,(х1, уч г,). Тогда существует предел 235
1(гп 2] а(лг,-, у,, г,)-п°(х1, у,, г,)А5«, A5.13) 0Л5,->-О (=1 который называется поверхностным интегралом второго рода от функции а по поверхности 5 и обозначается ЭДа-п°й5. Таким образом, по опре- 5 делению $$с-п°<*5 = 55(Ясоза + <3 соз р + К со» у)с15. A5.14) Л 5 Поверхностные интегралы второго рода обладают свойствами ли- линейности и аддитивности. При изменении стороны поверхности на про- противоположную, т. е. при замене п° на —п°, интеграл A5.14) изменяет знак. Так как со» а<15 = йуйг, соз р^5 = йгйх, сое уй§ = йхйу, то ин- интеграл A5.14) можно записать и в виде \\а ■ п°с13 = \\Рйуйг + §йхйг + Яйхйу, A5.15) 5 5 Справедлива следующая формула, сводящая вычисление интеграла A5.14) к вычислению двойного интеграла: $$а-п°<*5= \\и(х, у, г)-п{х, у, г)йхйу, A5.16) 5 о, где область Ог является проекцией поверхности 5 на плоскость Оху; п = ±&гад(г — }3(х, у)); поверхность 5 задается функцией г = }з(х, у). В двойном интеграле переменную г следует заменить на }з{х, у). При- Приведем еще две формулы, которые можно применять для вычисления поверхностного интеграла второго рода: \\а ■ п°с13 = \\а.(х, у, г)-п(х, у, г)йуйг = 5 О. = \\а.(х, у, г)-п(х, у, г)йгйх, A5.17) о, где области йх и Оу — соответственно проекции поверхности 5 па плоскости Огу и Охг; поверхность 5 задается функциями х = 1\(у, г) и у = /2(*, г). В двойном интеграле по области Ок следует в подынтеграль- подынтегральном выражении заменить х функцией \\(у, г) и принять п = ±дгад(* — — }{(у, г)), а в двойном интеграле по О^ — заменить у функцией }сг(х} г) и взять п = ±&гад(;/ — }2(х, г)). Отметим, что в выражениях для п знак « + » или « —» ставится в зависимости от выбранной ориентации (сто- (стороны) поверхности 5. Интегралы в правых частях формул A5.14) и A5.15) рассматри- рассматривают как сумму трех интегралов, для вычисления каждого из которых можно применить одну из формул A5.16) или A5.17). Пример 2. Вычислить / = Ц гйуйг — Ауйгйх -4- %х2йхйу, 5 где 5 — часть поверхности г — х2 -4- у2 -4- I, отсеченной плоскостью г = 2, если нормаль п к поверхности 5 составляет с осью Ог тупой угол у- 236
> С помощью градиента находим вектор нормали к выбранной стороне данной поверхности: п = Bх, 2у, — I), так как сов у < 0. По условию а = (г, —4у, 8лт), поэтому, согласно формулам A5.15), A5.16), имеем (рис. 15.6): / = 55 а • пйхйу — 55B*2 — 8// — 8х:)с1хау = Ь, в, = 55Bх(х2 + ,/ + I) - Цх~ + у-))с1хс1у = х = р соз (|, 0 ^ ((. ^ 2л, у = р 51п <(., О <: р <: I, = 55Bр соз <| (р2 о, 1 2л 5р^р 5 Bр соз <р(р2+ I)— I) - 8р2)|>й|></ср = = — 5 16лр3йр = —4л. Рис. 15.6 Пример 3. Вычислить / = 55 хЛуЛг -\- йхйг + хггйхйу, 5 где 5 — внешняя сторона части сферы х2 -\- у2 -}- гг = I, расположенной в первом октанте. > Если обозначить проекции поверхности 5 на координатные пло- плоскости Оуг, Охг и Оху через йх, Д,, и Лг соответственно, а данный интеграл / рассматривать как сумму трех интегралов: /| = \)хс1уAг, 1-2= \\с1хс1г, /л = 55хг'ЛхЛу, 5 5 6 для первого из которых Р — х, С) = /? = 0, для второго ф = I, Р = /? = = 0 и для третьего Р = <3 = 0, /? = хг2, то, применив к каждому из них формулу A5.16) или A5.17), получим 55 V' - У2 - ^Aус1г, 1-2 = 55 , /3 = - хг - уг)йхйу. о, 237
Области ОЛ, О„ и Ог являются четвертями кругов единичного ра- радиуса, расположенными в соответствующих координатных плоскостях, поэтому интеграл /г = 5О, = л/4 (площадь четверти круга). Для вы- вычисления интегралов Л и Л> перейдем к полярным координатам, положив у — р соз ф, г = р 31П ф, гЛ/йг = рйрйф для Л, л' = р соз ф, у = р ят ф, с1хс1у = рйрйф для /з. В обоих случаях 0 ^ ц> ^ л/2, 0 ^ р <; I. Тогда -,.-)'/-.^-й(| -р?) = = -т т(|-р л 1Г' л/2 О «• , Следовательно, Если 5 — замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая об- область V, и Р = Р(х, у, г), С) = С)(х, у, г), /? =/?(х, (/, г) — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого по- порядка в замкнутой области V, то справедлива формула Остроград- Остроградского — Гаусса Ц Рйуйг -|- Цйкйг + Ыхёу = или в другом виде 55(Р сов а + (? соз Р + /? соз 5 A5.19.) где сов а, соз р, сов у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности 5. Формула Остроградского — Гаусса позволяет упростить вычисление многих поверхностных интегралов. Пример 4. Вычислить 1 = \\(х 5 (г если 5 — внешняя сторона поверхности тела, ограниченного плоско- плоскостями х = 0, у = 0, г = 0, х -(- 21/ -(- Зг = 6. 238
Из формулы A5.18) следует, что / = \\\( I + | + \)йхйуЛг = 3 \\\с!хс!ус!г = 18, так как последний тройной интеграл равен объему тетраэдра (рис. 15.7). -4 1. Вычислить поверхностный интеграл первого рода )\\Х2-\-у2сE, если 5 — часть поверхности конуса 5 х2 ц1 г2 — "г" "^ = тг > расположенная между плоскостями 2 = 0 и 2 = 3. (Ответ: 160л/3.) 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода Ц хугй&, где 5 — часть плоскости х -\- у + г = 1, лежащая 5 в первом октанте. {Ответ: -у3/120.) 3. Вычислить массу полусферы 2=-у 4—х2 — у2, если поверхностная плотность в каждой ее точке б = = хгу2, (Ответ: 128л/15.) 4. Вычислить массу полусферы 2=-уа2 — х1 — у2, если поверхностная плотность в каждой ее точке б = = х2 + У2- (Ответ; 4ла4/3.) 5. Вычислить поверхностный интеграл второго ро,га. Ц хйуйх + уйхйг + гйхйу, если 5 — верхняя часть поверхности х + 2у+2 — 6 =- 0, расположенная в первом октанте. (Ответ: 54.) 6. Вычислить й (х + (У — -\-(г — 2) с1хйу, 239
если 5 — часть поверхности конуса х2 -\- у2 — г2 = 0, от- отсекаемая плоскостями 2 = 0 и 2=1, нормаль к которой образует тупой угол с осью Ог, (Ответ: 8л/3.) 7. Вычислить ЭД хйуйг + гАйхйу, 'если 5 — внешняя сторона сферы х2 -\- у'2 -\- г2 = 1. (Ответ: 32л/15.) 8. Вычислить Ц хйуйг + уйхйг + гйхйу, если 5 — внешняя сторона цилиндра х'2 -\-у'2 = К2 с осно- основаниями 2 = 0 и 2-Й, (Ответ: Зл/?2#.) 9. Доказать, что объем тела, ограниченного поверх- поверхностью 5, V = — \\ хйуйг -\- уйхйг -\- гйхйу, где 5 — внешняя сторона поверхности 5. 10. Вычислить Ц у гйхйу -\- хгйуйг -\- хуйхйг, 5 если 5 — внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и состоящей из цилиндра х2 + у2 =/?" и плоскостей х = 0, у = 0, г = 0, г = Н, ( Ответ; #2 + т» 11. Вычислить Ц у гйхйу + хгйуйг + хуйхйг, л1 если 5 — внешняя сторона пирамиды, гранями которой являются плоскости х = 0, у = 0, 2 = 0, х -\- у -\- г = \, (Ответ: 1/8.) Самостоятельная работа I. Вычислить Ц (у -)- 2г)йхйу, если 5 — верхняя часть 5 плоскости 6х + Зу + 2г = 6, расположенная в первом октанте. (Ответ: 8/3.) 240
2. Вычислить у хугйЗ, если 5 — часть поверхности 5 параболоида г = х'г-\-у2, отсекаемая плоскостью 2=1. {Ответ: 0.) 3. Вычислить $ гйуйг + (Зу — х)йхйг — гйхйу, 5 если 5 — внешняя часть поверхности тела, ограничен- ограниченного поверхностями 2 = 0. хг-\-у2=\, г = х -\-12-\-2. (Ответ: 5л.) 15.4. ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ. ДИВЕРГЕНЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Потоком векторного поля а(/И), М(х, у, 2)^5 через поверхность 5 в сторону единичного вектора нормали п° = (сов а, сов р, сов у) поверх- поверхности 5 называется поверхностный интеграл второго рода A5.14). Если вектор а = (Р, (,), /?) определяет векторное поле скоростей текущей несжимаемой жидкости, то интеграл A5.14) равен объему П жидкости, протекающей через поверхность 5 в направлении нормали пс за единицу времени (в этом заключается физический смысл ин- интеграла A5,14)), т. е. Я= \\я{М) ■ п°аЗ. A5.20) Из формулы A5.2И) ясно, ч П — скаляр, и если угол 1]) = = (а, пс)<л/2, то П > 0, слан же ф > л/2, то П<0, если ^ = л/2, то /7 = 0. При изменении ориентации поверхности знак П меняется на про- противоположный (вследствие свойств поверхностных интегралов второ;о рода). Пусть 5 замкнутая кусочно-гладкая поверхность, единичшш вектор внешней нормали к которой п°. Тогда поток П вектора а = = (Р, С, /?) через поверхность 5 можно вычислить с помощью формулы Остроградского—Гаусса A5.18): Пусть а(М) — поле скоростей несжимаемой жидкости. Если П > 0, то из формулы A5.21) следует, что из области V вытекает больше жидкости, чем втекает. Это означает, что внутри области V имеются источники, т. е. точки, из которых жидкость вытекает. Если II < 0, го из области V вытекает меньше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри области V имеются стоки, т. е. точки, в которые жидкость втекает. При П = 0 в область V втекает столько же жидкости, сколько вытекает. Пусть в области V задано векторное поле а(/И) = (Р, У, /?), где функции Р(х, у, г), (}(х, у, г), /?(х, у, г) имеют частные производные 241
в точке М(х, у, г) 6 V по х, у, г соответственно. Тогда дивенгенцией пли расходимостью векторного поля Л(М) в точке М, обозначаемой <Лу а(/И), называется величина, равная сумме указанных частных произ- производных, вычисленных в точке М, т. е. по определению С.физической точки зрении сПу и(М) характеризует плотность источ- источников или стоков векторного поля а.(М) в точке М. Если й'\\ л(М)> О, то точка М является источником, если (Ну л(М) < 0 — стоком. В случае, когда (Нуа(Л1)=0, в точке М нет ни источников, ни стоков. . Перечислим основные свойства днвенгепцпп векторного поля: 1) <Лу(а + Ь) = сНу а + (Ну Ь; 2) (Ну с = 0, если с — постоянный вектор; 3) (Иу(/а) = / (Ну а + а ■ дгас1 /, где ( = ((х, у, г)—скалярная функция. Из формул A5.21) и A5.22) следует, что П = Й а ■ п°^5 = ЭДсНу л(М)Лхс1уаг, A5.23) т. е. поток П векторного поля л(М) через замкнутую поверхность 3 во внешнюю ев сторону численно равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по области V, ограниченной поверхностью 3. Пример 1. Вычислить дивергенцию векторного поля а(/И) = (х2 + + У)* + (у-+г)) + (г'2 + х)к в точке Мо(\, -2, 3). > Согласно формуле A5.22), В точке Мо имеем сНу а(Л1о) = 4 > 0, т. е. точка Ма является источ- источником поля. ^ Пример 2. Вычислить поток векторного моля а = х\— 2у) + гк через верхнюю часть плоскости х + 2у + Зг — 6 = 0, расположенной в первом октанте. > Из уравнения плоскости находим г = 2 — х г- у. Нормаль- ным вектором к этой плоскости, составляющим острый угол с осью О?, является п = A/3, 2/3, I). тогда из формул A5.20) и A5.16) следует, что П= §а-п°с18= \\&-пс1хс1у = 5 О, йF ~6у)с1хс1у = о, о, 3 (> - 2;/ 3 = 2\йу \ A-у)с1х=2\(\-у)F-2у)с1у = 0 0 О о 242
Пример 3. Вычислить поток векторного ноля &(М) = хг~\-\-ух1]-\- -\-гу\ через поверхность шара х1 -\-у-\-г'= а~ во внешнюю его сто- сторону. ^ Так как данная поверхность — замкнутая, то поток Я вектор- векторного поля а(М) через поверхность шара во внешнюю сторону находим по формуле A5.23): Для вычисления полученного тройного интеграла перейдем к сфе- сферическим координатам по формулам: К — р 8111 О СОЗ ф, у = р 3111 О 31П (р. 2 = р СОЗ в; АхАуйг = (I2 51П ЫрйуйЪ, 0 < р < а, 0 < ц, < 2л. О < 0 < я. Тогда п = ц\ п' 51п Мраыо = \ «'(/о \ 81п о<уо Пример 4. Найти поток Я электростатической) поля точечного заряда <7, помещенного в центр сферы лЛ' + у: + г' = /?-'. ^ Известно, что поле точечного заряда задается вектором напря- напряженности Е = <7г/| г|'\ где г == х\ -\- у] -\- гк. Находим направляющие косинусы вектора нормали к сфере х -{- у' + г1 = /?г: п° = п/|п|, п =Bл-, 2</, 2г), |п| = ~4\х1 + 4уг + 4г2 = 2/?, п" = (л-//?, у//?, г//?), т. е. соз а = *//?, соз р = у//?, соз 7 = г//?. Поэтому на сфере г- а г) Ч \ / х и 2 Е . п = (<7/ г| ') (г • п ) = —Ц- (х\ Л- о] + гк) • ( I + -^— ] А /?' V Я Я Я = _^_ л-'' + уг + г; = _д__ _^_ = д_ = соп^ Следовательно, Пример 5. Найти поток векторного поля а(М) = х\ -\- у\ + гк через поверхность прямого цилиндра 5 радиусом /? и высотой И, ось которого совпадает с осью Ог, а нижнее основание находится в плоскости Оху. Нормаль направлена во внешнюю сторону цилиндра. ^ Как видно из рис. 15.8, для боковой поверхности цилиндра 5| справедливо равенство а • п? = нр,,; а = /?. На верхнем основании цилиндра 5г имеем а • п§ = пр„■: а = Я, а на нижнем его основании 5з — а • п1 = 0. Поэтому 243
Я = 55 а 5 55 а • п?й5 + 55 а • п5^5 + 55 а • п^5 = 5, .9. а., + \\ паз + 55 оаз = /? • 2л/?// + //л/?' Вычисления можно значительно сократить, воспользовавшись фор- формулой Остроградского — Гаусса A5.18). Так как объем цилиндра г = л/?2//, имеем П = $ V Р и с. 15.8 ЛЗ-/5.4 1. Вычислить дивергенцию векторного поля а(Ж) = = (ху + 22)\ + (уг + х2)\ -\-(гх + у2)к в точке ЖA, 3, —5). (Ответ: — 1.) 2. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х — — Зг) I -)- (х -\- 2у -\- г) \ + (Ах -\- у) к через верхнюю часть плоскости х + у + 2 = 2, лежащую в первом октанте. (От- (Ответ: 26/3.) 3. Вычислить поток векторного поля а(Ж) = 2х\ -\- у'\ -\- х2 у2' + Згк через часть поверхности эллипсоида — + ^- + -|-|^ = 1; лежащую в первом октанте, в направлении внешней нормали. (Ответ: 24л.) 4. Вычислить поток векторного поля а(М) = (х — — у) \ -\- (х -)- у)) + 22к через поверхность цилиндрического тела, ограниченного поверхностями х'2-\-у2=[, г = 0 и 2 = 2, в направлении внешней нормали. (Ответ: —4л.) 5. Доказать, что поток П радиуса-вектора г = х\ + у] + -\-гк через внешнюю сторону поверхности, ограничиваю- ограничивающей тело V объемом V, равен Зу. 6. Вычислить дивергенцию вектора напряженности магнитного поля Н = B.1/г) (— у\ -)- х\), создаваемого то- 244
ком /, проходящим по бесконечно длинному проводу. (Ответ: й\\ Н =0.) 7. Найти поток Я векторного поля а(М) = хл\ + ул] + + г3 к через поверхность шара хг + у2 + 22 = Я2 в направ- направлении внешней нормали. (Ответ: 12л/?1'/5.) 8. Вычислить поток Я векторного поля а(Ж) = = 8x1+11^ + 17гк через часть плоскости х + 2у + Зг = = 1, расположенной в первом октанте. Нормаль состав- составляет острый угол с осью Ог. (Ответ: 1.) 9. Найти поток Я вектора а = х\ — 2у\ — гк через замк- замкнутую поверхность 5, ограниченную поверхностями 1 — — г = л'2-|-г/2, 2 = 0, в направлении внешней нормали. (Ответ: —л.) 10. Найти поток Я вектора а = х2\ + г2] через часть поверхности г2 = 4 — х — у, лежащую в первом октанте, и части координатных плоскостей, отсекаемых этой поверх- поверхностью, в направлении внешней нормали. (Ответ: 19——Л \ 105 у Самостоятельная работа 1. 1. Найти дивергенцию поля дгай и, если и = 1п (х2-\- + у2 + Л 2, Вычислить поток Я векторного поля а(М) = = х\ -\- Зу] -\- 2гк через верхнюю часть плоскости х -\- у -\- + 2=1, расположенную в первом октанте. (Ответ: 1.) 2. 1, Найти дивергенцию векторного поля а(Ж) = = хуН + х2у] + 23к в точке М( 1, — 1, 3), 2. Вычислить поток векторного поля а(М) = Зх\ — — у\ — гк через поверхности 9 — г = х2 + у2, х = 0, у = 0, 2 = 0, ограничивающие некоторое тело, в направлении внешней нормали. (Ответ: 81 л/8.) 3. 1. Найти &м(ёгадл]х2 + г/2 + 22), 2, Найти поток векторного поля а(М) = 2л:1 + 2к в направлении внешней нормали к поверхности тела, ограни- ограниченного поверхностями г = Зх2 + 2у~, х2 + у1 = 4, 2 = 0, (Ответ: 20.) 15,5, ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ Пусть Г — замкнутая кусочно-гладкая кривая в пространстве К3 и 5 — гладкая поверхность, краем которой служит кривая Г За положительное направление обхода кривой Г принимается такое на- 245
правление, при котором область, ограниченная этой кривой, будет оставаться слева на положительной стороне поверхности 5, т. с. на стороне, из точек которой восставлен единичный вектор иормалн п° = = (соз а, соз р, соз ■у) поверхности 5. Пусть, далее, в окрестности по- поверхности 5 задан вектор а = (Я, С), /?), координаты которого Я, <?, /? Рис. 15.9 Рис. 15.10 являются непрерывными функциями от х, у, г вместе со своими пер- первыми частными производными, Тогда имеет место формула Стокси, связывающая криволинейный и поверхностный интегралы (рис. 15.9): Рйх + + /№ = Мдв дЯ \ ( дР д/? \ _____^совв+(____^СО5р + 5 -4^-^ соз -Л<«, С5 24) дУ ) ) дх где направление обхода по замкнутой кривой Г выбирается положи- положительным. Формула Грина A4.14) является частным случаем формулы Сток- са, когда кривая Г и поверхность 5 лежат в плоскости Оху. Отметим, что формула Стокса A5.24) справедлива для любой поверхности 5, если ее можно разбить на части, уравнения которых имеют вид г = [(х, у). Пример 1. Вычислить I = ф (г2 - х-) их + (х- - у2) ау + (у2 - г2) йг г по контуру х2 + у1 -\- г2 = 8, х~ -\- у~ = г2, г > 0, «пробегаемому* по ходу часовой стрелки с точки зрения наблюдателя, находящегося в начале координат О. ► Контур интегрирования I' — окружность х2 + у2 = 4, лежащая в плоскости г = 2, полученная в результате пересечения сферы х2-\- -\-у2-\-г2 = 8 с конусом х2 + у2 = г2 (рис. 15.10). В качестве поверх- 246
ности 5 возьмем круг с краем 1': х2 -\- у2 ^ 4, г = 2. Далее, Р = гт— -х\ <Э = А-2 - у2, /? = у2 - г2, <« Й<Э _ ар __^_„ ао др ду дг дг дк ах ау Тогда в соответствии с формулой Стокса и условием задачи возьмем п" = @, 0, 1) (этим обеспечивается положительное направление движе- движения по I' (см. рис. 15.10)). Имеем , _ ГГ 9НН. х = Р со3 = р з1п ф, 0 ^ ф ^ 2л, 0 < р < 2 о 2л 2 = 2 ^ СО5 фйф ^ р2йр = 0. ^ 0 0 Если задано векторное поле а(М) = (Р, ф, /?) и некоторая за-мкну- тая кусочно-гладкая кривая Г в пространстве К'1, то криволинейный интеграл С = ф а • х"й1 = ф Рид- + до!(/ + ЯЛг A5.25) I' Г называется циркуляцией векторного поля а(М) вдоль контура 1'. Здесь т° — единичный вектор, направленный по касательной к кривой Г и указывающий направление обхода по контуру. Если а — вектор силы, то циркуляция A5.25) равна работе этой силы вдоль замкнутой кривой Г. Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = х\ — 2г2\ -1- ук вдоль линии Г пересечения цилиндра х1/\%-\-у /9 = = 1 с плоскостью г==л+2у + 2 в положительном направлении обхода относительно нормального вектора плоскости п = ( — 1, —2, 1). ► Параметрические уравнения цилиндра лса/16 + у2/9 = 1 имеют вид х = 4 сов Л у = 3 51П /. Тогда параметрическими уравнениями кри- кривой Г (эллипса в плоскости сечения) будут х = 4 сов /, у = 3 зш I, г = 4 соз I -\-6 &\п I -\-2. Поэтому циркуляция векторного поля вдоль эл- эллипса в положительном направлении обхода вычисляется по формуле 2л С = ф Ых — 2г2Лу + уЛг = \ D сов /( — 4 вш Ш) — г г о — 2D соз / + 6зт I + 2J Зсоз Ш + 3 зш /( — 4 зш / + 6соз I) с11) = 2л = 5 (— 16 сов /5Ш / —96со53 / — 216 зш2 / сов / — 24 сов I — о — 288 сок2 /В1п / — 96 сов2/— 144 соз / зш I— 12з1п2/ + 2л + 18 соз / 81П 1)сИ—— \ (96 соз2 / + 12 зт2 /) сЫ = о 2л 2л = — 5 48A + сов 2/) о!/ — 6 \ A — соз 21) = —48-2л —6-2л = о о = —108л. 4 247
Ротором или вихрем векторного поля а(/И) = (Р, ф, /?) называется вектор \Л/ <3г/ \йг дх ) \дх ду) к ' дх ду Используя понятия ротора и циркуляции, формулу Стокса A5.24) можно записать в векторной форме: С = ф а • т°Л = 55 го! а • пой5, Г 5 A5.27) т. е. циркуляция векторного поля а(/И) вдоль замкнутого контура Г равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность 3, краем которой является Г, Направление обхода по Г и сторона поверхности 5 одновременно или положительные, нли отрицательные. Число С(/И)=пр„ го1а(Л1) называется плотностью циркуляции векторного поля а(/И) в точке М в направлении вектора п". Плотность достигает максимума в направле- направлении го! а(/И) и равна тах С(М) = 1го1 а(/И)|. Отметим некоторые свойства ротора векторного поля: 1) го! (а 4 Ь) = го! а + го! Ь; 2) го! с = 0, если с— постоянный вектор; 3) го! (фа)= ф го! а + дгас1 ф • а, где ф(х, у, г) — скалярная функция. Если го! а Ф 0, то это свидетельствует о вращении векторного поля а (/И). Пример 3. Найти ротор вектора линейной скорости V = ш • г (г = (х, у, г), и = (и,, Шу, мг)) любой точки М(х, у, г) пространства. ^ Имеем к 4 (г/Шл — к. у г По определению ротора находим го! V = B@,, 2ш,, 2мг) = 2м. 4 Пример 4. Вычислить циркуляцию векторного поля а(/И)=(/1 + + х'\ — гк по окружности Г: х2-\-у1 = ^, г = 3 в положительном на- направлении обхода относительно единичного вектора к двумя способами: I) исходя из определения циркуляции A5.25); 2) с помощью поверх- поверхностного интеграла, использовав формулу Стокса A5.27). ^ 1. Так как при возрастании параметра / от 0 до 2л движе- движение по окружности происходит против хода часовой Стрелки относитель- относительно единичного вектора к = (О, О, 1), то параметрические уравнения ориентированной кривой Г имеют вид х = 2со5/, у = 2$\п1, г = 3 (/е[0; 2п\), Тогда С = ф уйх 4- х2с1у — гйг = г 2л = 5 2 51П / ( — 2 51П Ш) + 4 СО52 / • 2 СОВ Ш — 3 • 0 = о У48
2л 2л 2л = 8 5 соз3 1й1 — 4 5 з]'гг Ш = 8 5A— зш2 ооо 2л — 2 5 A —соз 21N,1= —4л. о 2. В качестве поверхности 5, краем которой является кривая Г, возьмем круг х2 + у2 < 4, г = 3 (рис. 15.11). Тогда п° = к. Далее, го!а = Bл: — — 1)к и С = 55 го* а - п"^5 = 55 B* — 1) с1хйу = 5 О = 55 Bр сов ф — О 2л 2 = \ с1ц \ Bр соз ф — о о 2 {) а (зш <) — г м -- — 2л • = -4л. Рис. 15.11 АЗ-15.5 1. Найти ротор векторного поля а(М) = хуг\ + (х + У + г)]+(л:2 + 1/2 + 22)к в точке УИA, —1,2). (О го1а(М)= —31 — 3] -к.) 2. С помощью формулы Стокса преобразовать интеграл ф (у2 + г2) ах + (х2 + г2) йу + (х2 + у2) йг, где Г — замкнутый контур, в интеграл по поверхности, «натянутой» на этот контур. 3. Найти циркуляцию векторного поля а(Л4) = г/1 — — 2г)-\Гхк вдоль эллипса, образованного сечением одно- полостного гиперболоида 2х —у2 + г2 = Я2 плоскостью у = х. Результат проверить с помощью формулы Стокса. {Ответ: ±3я/?2.) 4. Вычислить циркуляцию векторного поля а(Л4) = = 21 + х\ + ук вдоль контура Г: х2-)-/=4,2 = 0в поло- положительном направлении обхода относительно орта п° = к непосредственно и с помощью формулы Стокса. (Ответ: 4л.) 5. Найти циркуляцию векторного поля а(М) = 221 + -\гх2']-\-у2к по сечению сферы х2 + у2 + ^2 = Н2 плос- плоскостью лг + у + 2 = /? в положительном направлении об- обхода относительно вектора п —A, 1, 1). (Ответ: Зл/?4/2). 249
6. Найти циркуляцию векторного поля а(М) = г/21-[- 4- ху] -(- (х2 -(- уIк по контуру, вырезаемому в первом октанте из параболоида х2 -\- у1 = /?2 плоскостями х = О, у = О, г = /? в положительном направлении обхода отно- относительно внешней нормали поверхности параболоида. (От- (Ответ: /?3А) 7. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = гуЧ-\-Х22]-\-ух2к по контуру пересечения параболоида л: = г/2 + г2 с плоскостью х = 9 в положительном направле- направлении обхода относительно орта п° = и (Ответ: 729л.) 8. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = —ул -+■ 2\ -(- к по линии Г пересечения конуса л: -\- -\-у2 — г2 = 0 с плоскостью 2=1 в положительном на- направлении обхода относительно орта п" = к. (Ответ: л.) Самостоятельная работа 1. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = у\ — х) -(- г к вдоль линии Г пересечения сферы х2 ~\- у + 4- г2 = 4 с конусом -ух2 4- У"' = гв положительном направ- направлении обхода относительно орта п° = к. 2. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = уг\-\-2x2}-\-у2к по линии Г пересечения полусферы г = -у25 — х2 — у'2 с цилиндром х2 + у2 = 1 б в положитель- положительном направлении обхода относительно орта п° = к. 3. Вычислить циркуляцию векторного поля а(М) = = (х — у) \ + х) — гк вдоль линии Г пересечения цилиндра х2 -\-у2 = I с плоскостью 2 = 2, если п° = к. 15.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА. КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ Дифференциальные операции. Введенные выше основные понятия векторного анализа: градиент, дивергенция, ротор — удобно описывать с помощью дифференциального оператора, который обозначается символом V (читается «набла»): и называется оператором Гамильтона. Выразим основные дифференциальные операции с помощью опера- оператора V: 250
V Ох V Ха(,М) = д ~дх Р Оу \ д Оу Я к О Иг Я = (Ну а(М), = го! а(.М). Операции нахождении градиента, дивергенции, ротора называются дифференциальными операциями первого порядка. Перечислим основные свойства дифференциальных операций второго порядка: и(М)= д2и — дх~ д'и г Оу д2н г дг' = Аи(М), где Д = = V ■ V = V'2 называется оператором Лапласа; го! йгас1 «(Л1) = ( V • V)«(Л1)= О, с1]у го! &(М) = V • ( V X а(Л1)) = О, дгас1 <И\ я(М) = V (V ■ а(Л1))> го! го! а(Л1) = V XIV X а(М)) = дгас1 сИу а(Л1) — Да(Л1). Соленоидальное векторное поле. Векторное поле а(А1) называется Соленоидальным илн трубчатым в области пространства V, если в каждой точке этой области с1Гу а(М) = 0. Так как с)IV го! а (М) = 0, то поле ротора любого векторного поля а(/И) является соленоидальным. Поток соленоидального векторного поля я(М) в направлении его векторных линий через каждое сечение векторной трубки, согласно формуле Остроградского— Гаусса, один и тот же. Трубчатое поле не имеет источников и стоков. Для каждого соленоидалыюго поля а(М) существует векторное поле Ь(М), такое, что а(М) = го\Ъ(М). Вектор Ь(/И) называется век- вектором-потенциалом данного поля я(М). Потенциальное векторное поле. Векторное поле а(М) = (Р, Я, /?) называется потенциальным или безвихревым в односвязной области пространства V, если в каждой точке этой области го! а(А1) = 0. Согласно опреденшо ротора, необходимыми и достаточными условиями потенциальности поля а{Л/) = (Р, (,), /?) являются равенства: ду дг ' дг дх ' дх дО_^дР_ (]528) дх ду ду Так как го! ^гас1 и(М) = 0, то поле градиента любого скалярного поля и = и(х, у, г) — потенциальное. Для того чтобы поле а(Л1) было по- потенциальным в области V, необходимо и достаточно, чтобы существо- существовала дважды непрерывно диференцируемая скалярная фунция и = и(х, у, г), такая, что а = ^гас1 и(М), которая называется потенциальной функ- функцией (потенциалом) поля &(М). 251
Так как при выполнении условий A5.28) криволинейный интеграл второго рода не зависит от линии, соединяющей точки Ма и М,, то для потенциального поля а(Л1) = Р\ + ()\ + /?к справедлива формула для нахождения потенциальной функции: и (х, у, г) = ^ Рйх М„Л1 0>с1у С, A5.29) где Мо(хо, У», ^о) — некоторая фиксированная точка области V, М(х, у, г) — любая точка области V; С — произвольная постоянная. Из формулы A5.29) следует формула для вычисления криволиней- криволинейного интеграла второго рода, не зависящего от пути интегрирования: С>с1у = и(В)— и {А), A5.30) где и (Л) и и(В)— значения потенциала и в начальной А и конечной В точках пути. Гармоническое векторное поле. Векторное поле а(М), удовлетво- удовлетворяющее двум условиям: олу а(<М) = 0 и го(а(Л1) = 0, называется гармо- гармоническим. Потенциал и гармонического поля является решением уравнения Лапласа Аи : д2и дх1 ду2 дг2 A5.31) Функция и = и(х, у, г), удовлетворяющая уравнению Лапласа A5.31), иызывается гармонической. Пример 1. Показать, что поле а(М) = {2ху + г) I + (х2 — 2у) \ + -\-XV. является потенциальным, но не соленоидальным. Найти потен- потенциал и данного поля. > Имеем: Р = 2ху + г, С} = х2 — 2у, /? = х. Тогда го! а(М) = д д д дх ду дг 2ху + г х2 — 2у х — 2х) к = 0, т. е. поле а(М) — потенциальное. Далее имеем дх ду дг поэтому поле а(М) не является соленоидальным. Согласно формуле A5.29), " (х. У, г)= \ Bху + г)с1х + (х2 — 2у) Лу + хЛг + С Так как функции Р(х, у, г), С)(х, у, г), /?(*, у, г) непрерывны и имеют непрерывные частные производные во всех точках пространства К3, то в качество точки Мо(хо, у а, га) можно взять начало координат О@, 0, 0), а в качестве М(х, у, г) — произвольную точку пространства. Как отмечалось ранее, криволинейный интеграл второго рода не зависит 252
от пути интегрирования, поэтому его можно вычислить по ломаной ОАВМ (рис. 15.12): и(Х, У, 2)= ^ +С= ^ + \ + ^ +С = ОМ 0,1 АВ ВМ \0А: у = 0, г = О, Л/ = 0, йг = 0, 0 < а < А, ИВ: а = А, г = О, Л* = 0, сГг = 0. О < у < Г, ВМ: л- = А, у = У, с1х = 0, а у = 0, 0 < г < 2 А У 2 = | 0 • Aх + ^ (Л"' — 2у) с1у + 5 А^г = А2У. — К2 + Х2. А, Рис. 15.12 Заменив в последнем равенстве X, V, X на х, у, г, запишем выраже- выражение для потенциала поля: и (х, у, г) = х2у — у- + хг + С. 4 Пример 2. Проверить, является ли потенциальным поле а = ((/г — — лг(/) I + (хг — х2/2 + г/г2) \ + (лг(/ + у2г) к, найти его потенциал и вычис- вычислить соответствующий криволинейный интеграл второго рода по линии, соединяющей точки А(\, I, I) и йB, —2, 3). ^. Учитывая, что Р = уг — ху. С) = хг — х'/2 -\- уг2, /? = ху + у'г, находим го! а(Л1) = а а а дх ду дг уг — ху хг — х2/2 + уг" ху -}- у2 = (а- + 2уг — а- — 2уг) I + (у — у) ] + (г — х ~ г + х) к = 0. Следовательно, поле а — потенциальное и существует потенциал (см. формулу A5.29) и пример I) и(Х, У, 2)= \ РЛх + С?с!у + Яс1г + С — = [оч1х+[(- ~\ Лу +[(ху + у2г) йг + С = 0 0 О = - А2 Г/2 + XV 2 + Г222/2 + С. 253
Заменив X, V, 2. па х, а, г, окончательно получим и = хуг — х-у/2 + у2 г2/2 + С. Так как в потенциальном поле криволинейный интеграл второго рода не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки А и В, то, согласно формуле A5.30), имеем 5 (уг — ху) их + (л-г — хг/2 + у г1) с! у + (ху + у2г) а г = АН = и(В) — и(Л) = 9. ^ Пример 3. Доказать, что функция и = \/г, где г = \х2 -\-у--}-г~, является гармонической и векторное ноле а(Л/1) = ^гас1 и(М) — гармо- гармоническое. > Прежде всего следует проверить, справедливо ли- для данной функций ур-авменне Ландаса A5.31). Вычисляем д^а/дх2, д2и/ду?, д а/дг" и Аи: ди дх Аи X г' ди дг 3 г' ди ' дх1 д2и ду2 г г.\ + 3-- 1 г" г-1 + д2и ' дг2 ■2+Уг + г2 г ' Ах2 г" ■Лу2 г11 1 л1 ди ' ду г ' 3 3 " г, + г1 У г1 П Следовательно, уравнение Лапласа Аи = 0 удовлетворяется и дан- данная функция и = 1/г — гармоническая. Далее находим я(М) = дгас1 ц(Л1) = — гэ(л:| + у'\ + гк). Как известно, го! а(М) = го! дгас1 ы(М) = 0 для любой функции и, т е. одно нз условий в определении гармонического поля а(М) выполнено. Другое условие ё1у а(М) = 0 также выполняется, поскольку. с1(V а = <Л\ дгас! и(М) = Аи{М) = 0. ^ АЗ-15.6 1. Доказать с помощью формулы Стокса, что ф угйх + хгйу + -^у^г =■ 0, г где 1' — любой замкнутый контур. Результат проверить путем вычисления интеграла по контуру треугольника ЛВС с вершинами А@, 0, 0), /3A, 1, 0), СA, 1, 1). 2. Найти дгай сПуа(М), если а(М) = х3! + у3] + г3к. 3. Среда вращается как твердое тело вокруг оси Ог с 254
угловой скоростью ~ы = «к. Найти ротор поля линейных скоростей у = иХ1", где г—радиус-вектор движущейся точки М{х, у, г). (Ответ: 2<ок.) 4. Найти циркуляцию поля скоростей V, описанного в предыдущем задании, по окружности х~ + У1 = Я2,, г = О в положительном направлении обхода относительно орта к. (Ответ: 2лЯ2.) 5. Доказать, что сНу го1 а(М) = 0 для любого поля а (Л*). 6. Установить потенциальность поля л(М) и найти его потенциал и, если: а) л(М) = 2ху\ + {х2 — 2уг) ] — у2 к; б) а(М) = (Зх2у - у3) I + (х3 - Зху2) шу, в) а(М) = (у + 2)\ +(х + г) ] +(у + х)к. (Ответ: а) и =х2у — у~г + С; б) ы = х3г/ — хг/3 + С; в) и = = ху -\- уг + хг ~{- С.) 7. Проверить, является ли гармонической функция и = 1п г, если г = -ух2 + у2- 8. Установить потенциальность поля а{М) и найти его потенциал и: а) (^ ) к; б) а (/И) = г/2соз(хг/)| + Х2соз(хг/)] + $\п{ху)к. (Ответ: а) ы = е"/г (х + 1) + е»' — е~г + С; б) ы = =: 2 51П (XI/) + С.) 9. Доказать, что векторное поле а(М)= ^ г, где г = х\ + У] + гк, которое описывает гравитационное поле, создаваемое точечной массой т, помещенной в начало координат (у—ньютоновская постоянная тяготения), является гармоническим (потенциальным и безвихревым), найти его потенциал и и убедиться, что потенциал и удовлетворяет уравнению Лапласа. (Ответ: и = угп/\г\.) 10. Доказать, что гоХ §гай и{М) = 0. 11. Найти потенциал и поля а(М) = (уг-\- \)\ ~\- хг] -{- -{-хук и вычислить B. 3. 2) $ (у г 4- 1) их 4- хгЛ/ 4- -П/й^г. A. '. О (Ответ: и = х ~{-хуг-\-С; 12.) 255
Самостоятельная работа Проверить потенциальность векторного поля а(/И), найти его потенциал и вычислить значение соответствую- соответствующего криволинейного интеграла второго рода по дуге ли- линии, соединяющей точки А и В (А — начало дуги, В — ее конец). 1. ЦМ) = 2хуг\ + х2г\ + х2ук, А{\, — 1, 2), В{ — 2, 4, 2). (Ответ: 34.) 2. а(М) = (х2 - 2уг) \ + [у2 - 2хг) \ + (г2 - 2ху) к, А[\, — 1, 1), б( — 2, 2, 3). (Ответ: 92/3.) 3. а(М) = {2ху + г2) \ + Bху + а-2) ] + Bхг + у2) к, Л а), 1, —2), 6B, 3, 1). (Ответ: 25.) 15.7. ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ДОМАШНИЕ ЗАДАНИЯ К ГЛ. 15 ИД 3-15.1 1. Дана функция и(М) = ы(х, у, г) и точки М\, /И2- Вы- Вычислить: 1) производную этой функции в точке М\ по на- направлению вектора М\Мч\ 2) дгай и(М\). . и(М) = х2у + у22 + 22х, М,A, — 1,2), АЦЗ, 4, — 1). 1.2. ы(М) = 5хг/32:;, М,B, 1, —1), М2D, —3, 0). 1.3. и(М) = \п (х2 + у2 + г2), М^{— 1, 2, 1), М2C, 1, —1). 1.4. и{М) = ге*1+у* + *г, М,@, 0, 0), М,C, —4, 2). 1.5. ы(М)= 1п (ху + уг + хг), М\{ — 2; 3, —1), М2B, 1- -3). 1.6. ы(М)=д/1 +^2 + У2 + 22. ^|('. 1.1). ^-'C, 2, 1). 1.7. ы(М) = х2г/+ хг2 — 2, М,A, I, — 1), А/2B, —1,3). 1.8. ы(М) = хб'!' + г/е1: —г2, /И,C, 0, 2), М2D, 1, 3). 1.9. и{М) = Зху'2+22 — хуг, М^(\, 1, 2), М2C, — 1, 4). 1.10. ы(М) = 5х2г/2 —хг/'22 + г/22, А?, A, 1, 1), М2(У, — 3, 9). 1.11. ы(М) = х/(.г2 + У2 + 22), А/|{1, 2, 2), ЛЬ(-3. 2, -1). 1.12. ы(М) = г/22 —2хг/2 + г2, М,C, 1, —1), М2( —2, 1. 4). 1.13. и(М) = х2 + у2 + г2 — 2хуг, М^{\, — 1, 2), ЛЬE, -1.4). 256
1.14. ы(М)=1п A + х + у2 + г2), М,A, 1, 1), АЬC, 1.15. ы(М) = х2 + 2г/2-422-5, М,A, 2, 1), М2(-3, -2, 6). 1.16. «(Л?)=1п(х3 + г/:з + 2+ 1), М,{\, 3, 0), М2(-4, 1, 3). 1.17. и{М) = х — 2у + е\ Л?,( —4, —5, 0), М2{2, 3, 4). 1.18. и{М) = ху — Зхуг, М\{2, 2, —4), М2{1, 0, — 3). 1.19. и{М) = 2х2уг\ М,(-2, -3, 1), Л?2E, -2, 0). 1.20. «(Л?) = б>"' + г\ М,( —5, 0, 2), М2B, 4, —3). 1.21. и(М) = х'", М,C, 1, 4), М2{\, — 1, —1). 1.22. ы(М) = (х2 + г/2 + 22K,М|A, 2, - 1), Л*2@, -1, 3). 1.23. и{М) = {х~ у)\ М\(\, 5, 0), АЬC, 7, —2). 1.24. ы(/И) = х2г/ + у22 —32, М,@, —2, —1), М2A2, — 5, 0). 1.25. и{М)= 10/(х2+ у2 + г2 + 1), М,(—1, 2- — 2), Л12B, О, 1). 1.26. ы(/И)=1п A +х2 — у'2 + г2), М,A, 1, 1), АЬE, -4, 8). 1.27. и(Л1)=- + у -~, Л1,(—1, 1, 1), Л?,B, 3, 4). 1.28. и(М) = хл+ху2~ бхуг, УИ,A, 3, —5), 2, —2). 1.29. м(М) = — — У- ~ —, АЫ2, 2, 2), /И2( — 3, 4, 1). 1.30. «(М)^^-^, М,A, 0, 3), ЛЫ2, —4, 5). 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности 5, где 5 — часть плоскости (/)), отсеченная координатными плоскостями. 2.1. \\Bх + 3у + 2г)с15, [р): х + Зу + г = 3. (От- 5 ест: 15д/ТТ/2.) 2.2. 55 B + у — 7а- + 92) йГ5, (/9): 2л- — у — 2г = — 2. 5 {Ответ: 12.) 2.3. 55 Fх + г/ + 42)с?5, (р): Зх + Ъу + 2 = 3. (Ответ: 5 9-ЗГ-7 257
2.4. ЭД (х + 2у + 32) с?5, (р): х + у + г = 2. ( Ответ: 5 2.5. 9Cх —2у + б2)^5, (р): 2л- + г/ + 2г = 2. (Огаег 5/2.) 2.6. й Bх + оу — г)с15, {р): ^=к2у + г = 2. ( Огаег; 7Л/6/3.) 2.7. й Eлг — 8у — 2) ^/5, (р): 2х — Зу + г = 6. (Огаег; 2.8. ^ (Зг/ — х — 2) </5, (р): х — у + г = 2. ( Огает: 2.9. У (Зг/ — 2л- - 12)й$, (р): 2х — у — 2г= —2. (От- .V в ет: 3.) 2.10. \\{2х — Зу + г)({5, (р): х + 2у + г = 2. (Ответ: Л' 2.11. ^E.г + у-2)^5, (р): х + 2у + 22 = 2. (Огаег; 5.) 2.12. У (За- + 2у + 2г)й5, (р): Зх + Чу + 2г = 6. ( От- ; 9д/17.) 2.13. \\Bх + 3у — 2)с15, (р): 2х + у + г = 2. (Ответ: а 2л/б.) 2.14. 55(9х + 2г/ + 2)с?5, (р): 2х + у + г = 4. ( 258
2.15. й^ + 8«/ + 8ги/5, (;л: л + 4у + 2г = 8. (От- а вет: 96л/2Т) 2.16. 55 D«/ — х + 4г) с13, (р): х — 2у + 2г = 2. {Ответ: и -1.) 2.17. \\Gх + у + 2г)с15, (р): Зл — 2у + 2г = 6. (От- л вет: 17л/Т7/2.) 2.18. 55 Bл + Зу + г) с?5, (/;): 2л + Зу + 2 = 6. ( Ог- вег: 18д/Т4.) 2.19. 55 Dа- — // + г) A3, (/?): х — ;/ + а' = 2. ( Огест: 8Л/3-) 2.20. 55 Fл — у + Нг) A3, (/;): л + г/ + 2г = 2. ( Ответ: 6л/б.) 2.21. 55 Dл — 4// — г) ^5, (р): х + 2ц -\- 2г = 4. (Ог- вет: 44.) 2.22. 55 Bл + 5у + 2) ^5, (р): х + у + 2г = 2. ( О7вет-; 5л/б.) 2.23. 55 Dл — у + 4г) с/5, (/?): 2л + 2у + г = 4. (Ог- вег; 44.) 2.24. 55 Eл + 2у + 2г) с13, (р): х + 2у + г = 2. { От- вег: 2.25. 55 Bл + 5;/ + Юг) с?5, (/)): 2л + у + Зг = 6. ( Ог- бег: 56л/14.) 2.26. 55Bл-+ 1Ьу + г)с15, (р): х+ 2у+ 2г = 2. {От- вет: 10.) 259
2.27. йCх+ \0у— г)с13, (р): х + Зу + 2г = 6. (От- 5 вет: 35-у74.) 2.28. §Bх + 3у+г)а5, (р): 2х + 2у + г = 2. (От- 5 вет: 7/6.) ■2.29. \\Eх — у + 5г)с13, (р): Зх + 2у + г = 6. (Ответ: 5 2.30. ЭД (х + Зу + 2г) из, (р): 2х + у+2г = 2. (Ответ: 9/2.) 3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода. 3.1.зз (у2 + 22)йуйг, где 5 — часть поверхности парабо- 5 лоида х = 9 — у2 — г2 (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом \), отсеченная плоскостью х=0. {Ответ: 81 л/2.) 3.2. 1|5 г2йхйу, где 5 — внешняя сторона поверхности я эллипсоида х2 + У~ + 2г2 = 2. (Ответ: 0.) 3.3. |5 гйхау + у^хйг -\- хд.уйг, где 5 — внешняя сто- рона поверхности куба, ограниченного плоскостями х — 0, у = 0, 2 = 0, х=\, у=\, 2=1. (Ответ: 3.) 3.4. ЭД (г 4- \)с1хйу, где 5 — внешняя сторона поверх- ности сферы х2 ~\-у2 ~\-г2 = 16. (Ответ: 256л/3.) 3.5. 55 угйуйг 4- хгйхйг 4- хуйхйц, где 5 — верхняя сто- "^ рона плоскости х 4- у + 2 = 4, отсеченной координатными плоскостями. (Ответ: 32.) 3.6. 55 х2ауаг 4- у2ахаг 4- г2ахау, где 5 — внешняя сто- 5 рона сферы х2 4- У2 4- ^ — '6, лежащая в первом октанте. (Ответ: 96л.) 3.7. 55 хйуйг 4- уйхйг 4- гйхйу, где 5 — внешняя сто- рона сферы х'1 ~\-у2 ~\-г2 = 1. (Ответ: 4л.) 3.8. 55 хгйхйу 4- хуйуйг -^угйхйг, где 5 —верхняя часть 260
плоскости х -\- у + г = 1, отсеченной координатными пло- плоскостями. (Ответ: 1/8.) 3.9. 55 угйхйу + хгйуйг + хуйхйг, где 5 — наружная 5 поверхность цилиндра х2 -\- у2 = 1, отсеченная плоскостя- плоскостями 2 = 0, 2 = 5. (Ответ: 25л.) 3.10. $ у2гйхйу + хгйуйг-\- х2уйхйг, где 5 — часть по- 5 верхности параболоида г = х2 -4- у2 (нормальный вектор п которой образует тупой угол с ортом к), вырезаемая цилиндром х~ -\-у1 = 1. (Ответ: л/8.) 3.11. Ц (а-2 -(- У") гйхйу, где 5 — внешняя сторона ниж- ней половины сферы х2 -)- у2 + 22 = 9. (Ответ: 324л/5.) 3.12. 55 хгйуйг -\- г2с1хс1у, где 5 — часть поверхности 5 конуса г2 = х2 + у'2 (нормальный вектор п которой обра- образует тупой угол с ортом к), лежащая между плоскостями 2 = 0, 2=1. (Ответ: —л/2.) 3.13. 55 Bу2 — г)йхс1у, где 5 — часть поверхности па- 5 раболоида г = х2-\-у2 (нормальный вектор п которой об- образует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2 = 2. (Ответ: 0.) 3.14. \\ хсу —. где 5 — часть поверхности гипер- •У V*2 + у2 -' болоида х1 -\- у2 = 22 -(- 1 (нормальный вектор п которой образует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостями 2 = 0, г = ^/з. (Ответ: —2-л/Зл.) 3.15. 55 хуйуйг -^угйхйг + хгйхс!у, где 5 — внешняя 5 сторона сферы х~ + У~ + г2 = 1, лежащая в первом ок- октанте. (Ответ: Зл/16.) 3.16. 55 хгйуйг -\- гйхйу, где 5 — часть поверхности 5 параболоида г = х2~\-у2 (нормальный вектор п которой образует тупой угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2 = 4. (Ответ: 8л.) 3.17. 55 х'йуйг -4- у2йхйг — гйхйу, где 5 — часть поверх- 5 ности конуса 22 = х2 + у2 (нормальный вектор п которой 261
образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостями 2 = 0 и 2 = 3, (Ответ: —18л.) 3.18. ^ х2йуйг — г2йхйг -\- гйхйу, где 5 — часть поверх- 5 ности параболоида 2 = 3 — х2 — у'~ (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2=0, (Ответ: 9л/2.) 3.19. ^ угйуйг — х2с1хйг — у2йхйу, где 5 — часть по- .V верхности конуса х2 + 2" = у2 (нормальный вектор п кото- которой образует тупой угол с ортом ]'), отсекаемая плоскостя- плоскостями у = 0, у=\. (Ответ: л/4.) 3.20. }5 х'йуйг + 2у2йхйг — гйхйу, где 5 — часть по- 5 верхности параболоида г = х~ -\-у2 (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2=1. (Ответ: —л/2.) 3.21. 55 2хйуйг +A — г)йхйу, где 5 — внутренняя сто- рона цилиндра х~ + у2 = 4, отсекаемая плоскостями 2 = = 0 и 2=1. (Ответ: —8л.) 3.22. 55 2хйуйг — уйхйг + гйхйу, где 5 — внешняя сто- рона замкнутой поверхности, образованной параболои- параболоидом Зг = х'2 -\-у2 и полусферой г=у4 — х1—у2. (От- (Ответ: 19л/3.) 3.23. 55 4:Хс1ус(г + 2ус1хс1г — гйхйу, где 5 — внешняя сто- рона сферы х2 + у1 + г2 = 4, (Ответ; 160л/3.) 3.24. 55 (х + г) йуйг -\- (г -\- у) йхйу, где 5 — внешняя 5 сторона цилиндра х2 + г/"=1, отсекаемая плоскостями 2 = 0 и 2 = 2, (Ответ: 2л.) 3.25. 55 Ъхйуйг — уйхйг — гйхс1у, где 5 — часть поверх- ности параболоида 9 — г = х1 + у2 (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2 = 0. (Ответ: 243л/2.) 3.26. 55 {у — х)йус1г + B — у) йхйг + (х — г) йхйу, где 5 5 — внутренняя сторона замкнутой поверхности, образо- 262
ванной конусом х2 = у'2 + г2 и плоскостью х—\. (От- (Ответ: л.) 3.27. ^ Зх2с1ус1г — у2с1хс1г — гс1хс1у, где 5 — часть по- верхности параболоида 1 —г = х\-\- у2 (нормальный век- вектор п которой образует острый угол с ортом к). (От- (Ответ; — л/2.) 3.28. ЭД A + 2х'2) Aус1г + у'1йхйг + гйхйу, где 5 -- часть поверхности конуса х2 + г/2=22 (нормальный вектор п которой образует тупой угол с ортом к), отсекаемая пло- плоскостями 2 = 0 и 2 = 4. (Ответ: 128л/3.) 3.29. ^ х2йуйг + г2йхйг + уйхйу, где 5 — часть поверх- ностн параболоида х" -(- У2 = 4 — г (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом к), отсекаемая плоскостью 2 = 0. (Ответ: 0.) 3.30. $ (у2 + 2а) йуйг — у2йхйг + 2уг2йхйу, где 5 — часть поверхности конуса х2 + г2 = у1 (нормальный вектор п которой образует тупой угол с ортом ]'), отсекаемая плоскостями у = 0 и у=\. (Ответ: л/2.) 4. Вычислить поток векторного поля а(/И) через вне- внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (р) и координатными плоскостями, двумя способами: а) ис- использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского — Гаусса. 4.1. а(М) = Зх1 + (у + 2)) + (х-2)к, (р): х + Зу + + 2 = 3. (Ответ: 9/2.) 4.2. а(М) = (Зх—\)\+(у — х + 2)] + 42к, (р): 2х— — у —2г = 2. (Ответ: 8/3.) 4.3. а(М) = х1 + (х + 2)} + (у + 2)к, (р): Зх + Зу + + 2 = 3. (Ответ: 1.) 4.4. а(М) = (х + 2I + (г-х)) + (х + 2у + 2)к, (р): х + + у + 2 = 2. (Ответ: 8/3.) 4.5. а(М) = (у + 22) I + (х + 2г)} + (х - 2у) к, (р): 2х + + г/ + 2г = 2. (Ответ: 0.) 4.6. а(Л1) = (х + 2) I + 2у\ + (х + у - г) к, (р): х + 2у + + 2 = 2. (Ответ: 4/3.) 4.7. а(М) = (Зх - у) I + Bу + 2) ] + Bг - х) к, (р): 2х - — Зу + 2 = 6. (Ответ: 42.) 4.8. а(М) = Bу + 2I + (х-уI-22к, (р): х-у + + 2 = 2. (Ответ: —4.) 263
4.9. а(М) = (х + у) 1 + Зу] + (у ■ — 22= —2. (Ответ: — 1.) 4.10. а(М) = (х + у— 2I — 2у\ + 2у + г = 2. (Ответ: 2/3.) 4.11. а(М) = (у — 2) 1 + Bх + у) + 2 = 2. (Ответ:'4/3.) 4.12. а(М) = XI + (у — 2г) \ + B +-2г/ + 22 = 2. (Ответ: 4/3.) 4.13. а(М) = (х + 2г) 1 + {у — 3. + 22 = 6. (Ответ: 9.) 4.14. а(М) = 4х1 + (х — у — г)') + у + г = 4. (Ответ: 80/3.) 4.15. а(М) = B2 —хI + (х + 2г + 22 = 8. (Ответ: 128/3.) 4.16. а(М) = 421 + (х — у —г)] — 2у + 22 = 2. (Ответ: 0.) 4.17. а(М) = (х + у) 1 + (у + 2) ]" — 2у + 22 = 6. (Ответ: 12.) 4* 18. э.(Л'!) — (х 1 у | ^) 1 | 2^1 + Зу + 2 = 6. (Ответ: —36.) 4.19. а(М) = {2х — 2)\ + {у — х) — у + 2 = 2. (Ответ: 20/3.) 4.20. а(М) = Bу — 2)\ + (х + у) + 22 = 4. (Ответ: 8/3.) 4.21. а(М) = B2 —х)'\ + (х— у) + у + 22 = 2. (Ответ: —2/3.) 4.22. а(М) = (х + 2) 1 + (х + Зу) + 22 = 2. (Ответ: 8/3.) 4.23. а(М) = (х + 2) 1 + 2} + Bл + 2 = 4. (Ответ: 8/3.) 4 ?4 я /Л4 ^ — /^ у 1 /7^1 1 / у | 7^ + 2 = 2. (Ответ: 2.) 4.25. а(М) = (у + г) \ + Bх — г) + у + 3г = 6. (Ответ: 18.) 4.26. а(М) = (у + 2) 1 + (х + 6у) + 22 = 2. (Ответ: 2.) 4.27. а(М) = Bг/ — 2) 1 + (х + 2г + 22 = 6. (Ответ: 12.) 4.28. а(М) = (у + 2I + .г] + (у + 2 = 2. (Ответ: —2/3.) 4.29. а (/И) = (х + 2) 1 + г\ + Bх + 2 = 6. (Ответ: 6.) 4.30. а{М) = 2\ + (х + у)'} + ук. (Ответ: 1/3.) — 2) к, + (х + 2 } + 2к, \х — у + + (Зу + + (Зу + + 2B + + (у — 7 >}+(х + *}+хк, ] + (Зх- ■}+ук, ■ — у) к, 1] + ук, \+{у + 1 + ук, /) ] + ук, - 22) к, ■ — у) к, , (РУ 2 (рУ г) к, (рУ 2г) к, (рУ 2г) к, . (рУ 2) к, х) к, 2) к, 22) к (РУ (- 2) к (Р): (Р): Зг) к (Р): (Р): (Р): (Р)-' !х + г 2х- (Р): 2хН (Р)-' Зх + (Р): х- + (Р): (Р): (Р): . (Р): х + . (рУ -У— X + х + 2у + 2х + *У + х — Зх — 2х + х — 2у + х + Х + У + 2х + х + . (Р)-' X + х + 2х + Зх + 2у + 2у + 2х + 2у + Зу + 2у + 2у + 1=2 264
Решение типового варианта 1. Дана функция и(М) = л]х/г — л]у/х -\- 2хуг и точки М\([, 1, —1), Мг( — 2, —1, 1). Вычислить: 1) производную этой функции в точке М\ по направлению вектора М\М2\ 2) дгас! и(М\). ► 1. Вычислим производную функции ы(М) = ы(х, у, г) в точке М\ по направлению вектора М1ЛЬ = ( — 3, -2, 2): ди(М) Ъх~~ соз а ди(М) ди(М) дг ду ■ соз у, СОЗ /VI, ди(М) дх ди(М) ■ 2X2, ди(М) ду ди(М) 5 дг соз а = — ——, соз Р = = 1, , соз у = дМ,М2 2. Согласно определению, 23 2л/17 ~дх * ди к = 2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода 55 (Зх — у-\-г)йЗ по поверхности 5, где 5 — часть пло- 5 скости (р): х -\- г — 2у = 2, отсеченная координатными пло- плоскостями. ► Из уравнения плоскости находим: г = 2 — х + 2у, г'х = — 1, г'у = 2, 265
Сводим вычисление поверхностного интеграла к вычисле- вычислению двойного интеграла по области /), где О — треуголь- треугольник АОВ, являющийся проекцией поверхности 5 на пло- плоскость Оху (рис. 15.13). Тогда 55" (Зх — у + г) й5 = 55 (За- — у + 2 — х + 2у) л/&йхйу = = 55 Bл- + г/ + 2)УбЛсЛ/=Уб 5 йу \ {2х + у + 2)йх = (у + 2)лг) D = V6 8) ф = 5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода 55 (х2 -4- г2) йхйг -\- х2с1ус1г — 2г2йхс1у, где 5 — часть поверхности параболоида 4—у = х2 + г~ (нормальный вектор п которой образует острый угол с ортом ')), отсекаемая плоскостью у = 0. ► Представим данный поверхностный интеграл по ко- координатам в виде суммы трех интегралов и, используя уравнение параболоида, преобразуем каждый из них в двойной интеграл по области йу (у = 1, 2, 3) (рис. 15.14): / = Ц (х2 + г2) йхйг + х'йуйг — 2г2йхйу = /, + /2 + /;*, где /, = 55 (х2 + г2) йхйг; /2 = $5 х2йуйг; /3 = й (— 2г2) й? Вычислим последовательно интегралы Л, /2, /з: /| = 55 (-К2 + 2") йхйг = \Х = р СО5 ф, 2 = р 51П ф, о, = рйрйц>\ = [ йц>[ = Ч> (> = 8л, 266
где область О| —круг х2 -\- г2 = 4, у = 0, являющийся проекцией поверхности параболоида на плоскость Охг. Пе- Перед интегралом Л ставится знак « + », так как нормаль п к поверхности образует острый угол C с осью Оу. Рп с. 15.13 Р и с. 15.14 Далее, /., = ^ х2с(ус1г = \\ (д/Ч — у — г:Jс!ус!г — - \\ (- V4 - У - г-уйуйг = \\ D - у - г2) йуйг - О! I): — \\D—у — г-) йуйг = 0. Координатная плоскость Оуг разбивает поверхность па- параболоида на две части х = ^4 — у — г2 и х = = —"д/4 — у — г2, проекция каждой из которых на пло- плоскость Оуг есть область О<±. Поэтому интеграл /г можно представить в виде суммы двух интегралов, перед первым из которых надо взять знак « + », так как нормаль п к этой части поверхности параболоида образует острый угол с осью Ох, а перед вторым интегралом — знак « — », поскольку нормаль п образует с осью Ох тупой угол. Аналогично /з = $5 - 2г2с1хс1у = -2 ^ (д/4 - у - х'J Ахйу + = 0. 267
Итак, 55 (х2 + г2) йхйг + х2йуйг — 2г2йхйу = 8л. ^ 4. Вычислить поток векторного поля &(М) = {х-{-г)\-{- -\-Bу—х)\-\-гк через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (/?): х — 2у -\- 2г = 4 и координат- координатными плоскостями, двумя способами: 1) использовав определение потока; 2) с помощью формулы Остроград- Остроградского — Гаусса. ^ 1. Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла П= \\ а-п"с15, где 5 — внешняя сторона поверхности пирамиды АВСО (рис. 15.15). Вначале вычислим поток через каждую из четырех граней пирамиды. Грань АОС лежит в плоскости у = О, Рис. 15.15 нормаль к этой грани п° = '}, с15 = йхйг. Тогда поток век- векторного поля а(М) через грань АОС 4 2 — х/Ч /7, = — ^ хй5 = — 55 хйхёг = — 5 хйх \ йг ■=-- АЛОС ЛАОС О О Г 3 268
Грань АОВ лежит в плоскости 2 = 0, нормаль к этой грани пB = —к, с!5 = йхйу, Пг= \\ 0 • йхйу = 0. д лов Грань ВОС лежит в плоскости х=0, нормаль к данной грани пз = —I, й5 = йуйг, 2 0 Я3 = — 55 гйуйг = - \ гйг % йу = АВиС о г—2 И, наконец, грань АВС лежит в плоскости х — 2у -\- 2г — 4^0, нормаль к этой грани V' +4 + 4 =л1\ +г'х2 + 2'у йхйу, г= — ± 2 Поэтому ± + 1 йхйу = ^ 4 длй<; (х + г — 4у + 2х + 2г)йхйу = АЛИС 4- ^^ (Зх-4у + 3х)йхйу АМН. АЛОВ АЛОВ О 2(/ -I- 4 =т 5йу \ -2 0 269
2 О т ^ ( (т{2у +4J +F ~ у) Bу + 4) с1у 4) + 12у + 24 - 2//2 - 4у -1 ^ (у2 + 20у + 36) йу = ± D^ + Далее находим поток через полную поверхность пи- пирамиды АВСО: Я = Я, + Я, + Я» + Я4 = -*!. 2. Вычислить поток через поверхность пирамиды АВСО по формуле Остроградского— Гаусса: Находим ()Р и\х~^-г) | иу и\лц — х) __ ,-, ох дх ду ду с г с) г Так как интеграл \^с1хс1ус1г равен объему нрямоуголь- V ной пирамиды АВСО, то П--=[[{([+2+\)с1хс1ус1г = 4((( >■■'■■•- 32 V I' ИДЗ-15.2 1. Вычислить циркуляцию векторного поля &{М) по контуру треугольника, полученного в результате пересече- пересечения плоскости (/?): Ах-\-Ву-\-Сг = Ь с координатными 270
плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора п = (Л, В, С) этой плоскости двумя способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса A5.27). 1.1. а(М) = 2\ + (х + у)]+ук, (р): 2х + у + 2г = 2. (Ответ: 5/2.) 1.2. а(М) = (х+г)\ + г] + Bх~у)к, (р): Зх + 2у + + 2 = 6 (Ответ: —24.) 1.3. а(М) = (у + г)\ + х]+(у- 2г) к, (р): 2х + 2у + + 2 = 2. (Ответ: 2.) 1.4. а(М) = Bу~г)\ + (х + 2у)]+ук, (р): х + Зу + + 2г = 6. (Ответ: —12.) 1.5. а(М) = (У + г)\+(х + 6у)}+ук, (р): х + 2у + + 2г = 2. (Ответ: 3/2.) 1.6. а(М) = (у + г) \ + Bх - 2) ] + (у + Зг) к, (р): 2х + + у + 32=6. (Ответ: 24.) 1.7. а< + 2 = 2. 1.8. а| + 2 = 4. 1.9. а [М) = Cх + уI + (х + г)} + у (Ответ: 0.) (/И) = (X + 2) 1 + 2} + Bх — У) (Ответ: — 12.) (М) = (х + г) 1 + (х + Зг/)) + У = 2. (Ответ: 4.) 1.10. ; + 22 = 4. 111 1.11. ■ 1.12. 2 — У + 2 = 1.13. 2 + Зг/ + 2 1.14. 2 1(М) = Bу — г)\ + (л: + У) \ + - (Ответ: — 12.) = 2. (Ответ: 1.) 1{/И) = Bх — 2) 1 + (у — X) \ + = 2. (Ответ: 2.) \(М) = (х + г/ + г) 1 + 22} + (г/ = 6. (Ответ: 0.) 1(ЛТ) = (X + у) 1 + (у + 2) } + 2 — 2у + 22 = 6. (Ответ: —3/2.) 1.15. 2 — 2у + 2. 1.16. 2 + 22 = 8. 1.17. 2 + у + 2 = 1.18. 2 + 22 = 6. 1.19. 2 + 2у + 2. 1.20. + 2 = 2. 1(М) = 421 + (х — г/ — г)} + C г = 2. (Ответ: — 1.) 1(М) = B2 — X) 1 + (X + 2у) '} -{" . (Ответ: 40.) 1(М) = 4x1 + (X — у — 2) ] + C = 4. (Ответ: 36.) 1(М) = (X + 22) 1 + (у — 32) ] -4- . (Ответ: 39/2.) 1(М) = XI + (г/ — 2 г)) + Bх — г = 2. (Ответ: —3/2.) а(М) = (у — г) I + Bх + у)) -4 (Ответ.-Ъ.) к- (Р): к, (р): к, (р): х Н ^к, (р): (Зх+2)к (х + 2г) к — 7г) к, (х + г) к, г/ + 2) к, -Згк, (р): у + 2г) к, -гк, (р): г/ + 2г) к, - гк, (р): х + 2х + V У + х + , (Р): (Р): (Р): (Р): х + (Р): Зх + (Р): 2хН 2г/ + 2у + 22 = 2у + х — 2х + За' — х — 4у + 2х + 2у + х + |- у + 271
1.21. а(М) = (х + у-гI-2у1+(х + 2г)к, (р): х + + 2г/ + 2 = 2. (Ответ: — 5.) 1.22. а(М) = (х + уI + Зу1+(у-2)к, (р): 2х - у - — 2г= —2. (Ответ: —2.) 1.23. а(М) = Bу + 2)\ + (х-уI-22к, (р): х-у + + 2 = 2. (Ответ: — 4.) 1.24. а(Л1) = (Зх -у)\ + Bу + г)\ + Bг - х) к, (р): 2х — Зу + 2 = 6. (Ответ: 12.) 1.25. а(М) = (х + 2) \ + 2у] + (х + у - 2) к, (/?): л- + + 2г/ + 2 = 2. (Ответ: 1.) 1.26. а(М) = (у + 2г)|+(х + 2г)]-+(;г-21/)к, (/9): 2л-+ У+ 2г =2. (Огеег: —7/2.) 1.27. а(М) = (л- + г)! + (г -х)}+ (х + 2у + г) к, (р): ,у+ 2 = 2. (Ответ: 0.) 1.28. а(М) = х! + (х т^)) + (!/ + г) к, (р): Зх + Зу + + 2 — 3. (Ответ: 3/2.) 1.29. а(Л?) = (Зх- 1I + (у - х + г)] + 4гк, (р): 2х- — у— 22= —2. (Ответ: 0.) 1.30. а(М) = Зх! + (у + г) ] + (х - г) к, (/?): х + Зу + + 2 = 3. (Ответ: —6.) 2. Найти величину и направление наибольшего изме- изменения функции и(М)= и(х, у, г) в точке Л1о(хо, г/о, г0). 2.1. «(М) = х»2, Л'ЦО, 1, —2). (Огерг: 2.) 2.2. и(М) = х1уг, ЛЦ2, 0, 2). (Ответ: 12.) 2.3. м(Л?) = хг/22, МоA, —2, 0). (Ответ: 4.) 2.4. и(М) = ху22, М(,C, 0, 1). (Ответ: 3.) 2.5. м(Л?) = х^гГ2, Мо(—1, 0, 3). (Ответ: 0.) 2.6. и(М) = х-уг2, М0B, 1, —1). (Ответ: 4у/6.) 2.7. м(Л?) = хгт22, Л1о( —2, 1, 1). ( Огвгг: УЗЗ.) 2.8. и(М) = у2г-~ х1, Л1„@, 1, 1). {Ответ: д/й.) 2.9. м(Л?) = х2г/ + гг2, Л'Ь@, —2, 1). (Ответ: 4/2.) 2.10. «(Л1) = х(.(/ + 2), Л1ц0, 1, 2]. (Ответ: 3.) 2.11. и(М) = ху-~ хг, МA{— 1, 2, 1). ( Огвег: д/з.) 2.12. «(/М) = х2у2, /М„A, — 1, 1). (Ответ: ^б".) 2.13. «(Л/) = хг/2, А*оB, 1, 0). (Ответ: 2.) 2.14. «(М) = хг/22, М0D, 0, 1). (Ответ: 4.) 2.15. и{М)=2х2у2, Мо( — 3, 0, 2). (Ответ: 36.) 2.16. и(М) = х2у2, Мо(\, 0, 4). (Ответ: 4.) 272
2.17. и(М) = (х + у)г\ М0{0, — 1, 4). (Ответ: 24.) 2.18. и(М) = (х-\-г)у\ М0B, 2, 2). (Ответ: 12^2.) 2.19. и(М) = х2(у2+ г), М0D, 1, —3). (Ответ: 1бУб.) 2.20. «(М) = (х2 + 2)у2, ЛЦ —4, 1, 0). (Ответ: У 33.) 2.21. м(Л?)=х''(г/ + 22), А*оC, 0, 1). (Огаег: 21.) 2.22. и(М) = (х2— у)г\ Мо{\, 3, 0). (Ответ: 0.) 2.23. м(Л?)=х(г/2 + 22), АЦ1, —2, 1). (Ответ: л/Тъ.) 2.24. м(Л?) = х2 + Зг/2 — г2, /М0@, 0, 1). (Ответ: 2.) 2.25. м(Л?) = х22 — г/, ЛЦ1, 1, —2). (Ответ: У ТТ.) 2.26. м(Л?) = х22 + г/, М0B, 2, 1). (Ответ: 2>л[2.) 2.27. ы(М) = х2у — г, Мо( — 2, 2, 1). (Ответ: 9.) 2.28. и(М)=ху2 — г, Мо{—\, 2, 1). (Ответ: ^33.) 2.29. ы(М) = у(х + г), Мо(О, 2, —2). {Ответ: 2.30. и(М) = 2(лг + У). МоA> —'. 0)- (Ответ: 2.) 5. Найти наибольшую плотность циркуляции векторно- векторного поля а(/И) = (х, г/, г) в точке Л?о(хо, г/о. го)- 3.1. а(М) = х2| — хг/2] + г'к, Ми@, 1, —2). 3.2. а(М) = ху1 + уг} + х2} + хгк, М0B, 0, 3). (От- (Ответ: ^13.) 3.3. а(М) = хуЧ + г/22] — х\, Л10A, —2, 0.) (Ответ: 3.4. а(М) = лг21 + ^ + г/гк, МоC, 0, 1). (Ответ: _3.) 3.5. а(М) = хг/! + А-г/2] —хк,Мо(— 1, 0,3.) (Ответ:-^'2.) 3.6. а{М) = уг\-~ г'2} +хугк, М0B, 1, —1). (Ответ: ) 3.7. а(М)=г/21 —х^+ 22к, Мо( —2, 1, 1). (Ответ: 1.) 3.8. а(Л1) = л-г| — хг/г] -\-х"гк, М(,@, 1, 1). (Ответ: \.) 3.9. а(М) = хг/1 — г/22| — хгк, /И„@, —2, 1). (Ответ: 3.10. аШ) = д-21— ^ — гг/к, М0@, 1, 2). (Ответ: 2.) 3.11. а(Л?)=гл — ху2\ + г% Мо{— 1, 2, 1). (Ответ: 8.) 3.12. а(М) = хг/1 —хг/*^ — хг/^+ г-'к, ЛЦ1, —1, 1). (Ответ: 2.) 3.13. а(М) = (х+г/)| + г/^+ хгк, Л?<>B, 1, 0). (Ог- : У2.) 273
3.14. а(М) = ху\ — (у+ ?)) +хгк, М0D, О, 1). (От- (Ответ: 3.15. а(М) = лг1 — гу]-\-х2гк, Мо( — 3, 0, 2). (Ответ: 12.) 3.16. а(Л7) = (х + У2)| + У2| — х2к, МоA, О, 4). (Ог- вет: 2.) 3.17. а(М) = хг\ — у] + угк, МО(О, — 1, 4). (Огвег: 4.) 3.18. а(М)=--*1/Г —лг] + г/2к, М0B, 2, 2). ( Ответ: -у/Тз.) 3.19. а(М) = (д: + г/)Г + лгг/2] —лгк, М0D, 1, —3). (От- (Ответ: ф) 3.20. а{М) = {х — уI + уг] — ук, М0(~4, 1, 0). (От- (Ответ: у5.) 3.21. а(М) = (г/ — г) I — г^ + лгг/гк, МоC, 0, 1). (От- (Ответ: 3~уЗ.) 3.22. а(М) = уг1 — 221+(х + у)гк, Мо{\, 3, 0). (Ог- вет: 3.) 3.23. а(М) = 221 —хг} + 22к, МоA, —2, 1). (Ог- 3.24. а{М) = ху\ + (х—г)] + (у—х)к, М0@,0, 1). ( Ог- ; у 6.) 3.25. а(М) = лт21 + (А- — г/)] + х"гк, МоA, 1, —2). (Ог- вег: V26-) 3.26. а(М) = (х — гI + ху} + у2гк, М0B, 2, 1). (От- (Ответ: "у 21.) 3.27. а(М) = (лг — г) I + хг/г] + хк, Жо( —2, 2, 1). (От- (Ответ: У 21) 3.28. а(М) = (г/ — 2)\-[-у\ — г2к, Мо(— 1, 2, 1). (Ответ: 3.29. а(М) = (лг — у)\ — х} + хгк, М0@, 2, —2). (От- (Ответ: 2.) 3.30. а(М) = (лг — г)\— у'] + хук, МAA, —1, 0). (От- (Ответ: 0.) 4 Выяснить, является ли векторное поле а(/И) = (х, у, г) соленой дал ьным. 4.1. а(М) = (а — Р)х! + G - а)/] + (Р — т)гк. 4.2. а(М) = х'у\ — 2ху'г] -\- 2хугк. 274
4.3. а(М) = {уг — 2х)\ 4- (хг + 2у)} + хук. 4.4. а(М) = (л-2 — г~)\ — Зху] -\- {у2 -\- г'-)к. 4.5. а(М) = 2хуг'\ — у{уг 4- 1 ^ + гк. 4.6. а{М) = 2а- — 3^1 + 2ху\ — г2к. 4.7. а(М) = (х" — у)\ 4- (у~ — г)] 4- (г"' — а2)к. 4.8. а(М) = угл -\- {х — у)]-\-г~к. 4.9. а(М) = (у 4; гI 4- (*■ г+ г)] 4- (х + у)к. 4.10. а(М) = За1'г/1 — 2л/"] — 2хугк. 4.11. а(М) = (х'4 у)| — 2(г/ 4- г)] 4- (•? — х)к. Выяснить, является ли векторное поле а(М) = {х, у, г) потенциальным. 4.12. а(М) = {уг — 2х)\ + (хг + гу)} + хук. 4.13. а(/И) = уг\ + хг\ -\- хук. 4.14. а(М)=Ьху\ + {Зх2 — 2у)\ + гк. 4.15. а(М) = Bа — уг)\ + Bх — ху)\ -\- угк. 4.16. а(М) = {у — 2I + Зхг/2] + (г — А)к. 4.17. а(М) = (у - г)! + (л- 4- г)} + (х2 - у')к. 4.18. а(М) = (х 4- У)' — 2л-г] — Цу 4- г)к. 4.19. а(М) = 2--1" + {хг 4- г/)] 4- А'-'г/к. 4.20. а(М) = л;г/(ЗА- — Щ\ + а-2(д- — 4/у)] 4- Зг2к. () / Щ + ( у)] 4 4.21. а(М) = 6л-'|/4- Зсо8(Зл-4- 2г)\ 4-сок (Зг/4-2г)к. 4.22. а(Л1) = (л- 4- У)\ + {? ~ У)} + 2(х + г)к. 4.23. &{М) = 3(х — 2)\ 4- (л-- — г/1')] + З.гк. 4.24. а{М) = Bл; — цх)\ 4- (л'2 — 2у)\ 4- 2А-г/гк. 4.25. а(/И) = Зач 4-" 4(л- — у)] + (а — г)к. Выяснить, является ли векторное поле а{М) = (х, у, г) гармоническим. 4.26. а(М) =- х2г\ 4- у2] — л-г"к. 4.27. &{М) = (л- 4- У)\ 4- [У + г)] + (л- 4- г)к. 4.28. а{М) = — \ 4- — ] 4- — к. 4.29. а(/И) = уг\ 4- лг2] 4- л'ук- 4.30. &{М) = (у-г)\ +(г- х)\ 4- (-V - у) к. Решение типового варианта 1. Вычислить циркуляцию векторного поля а{М) = = (х — 2г)\ ~{-{х-\-Зу-\-г)]-\-Eх ~{-у)к по контуру тре- треугольника, полученного в результате пересечения пло- плоскости (/?): х 4- У 4- 2 = 1 с координатными плоскостями, при положительном направлении обхода относительно нормального вектора п = A, 1, 1) этой плоскости двумя 275
способами: 1) использовав определение циркуляции; 2) с помощью формулы Стокса A5.27). ► В результате пересечения плоскости (р) с коорди- координатными плоскостями получим треугольник АВС Рис. 15.16 (рис. 15.16) и укажем на нем положительное направление обхода контура АВСА в соответствии с условием задачи. 1. Вычислим циркуляцию С данного поля по формуле A5.25), в которой обозначим сП = т.V/: С = ф & ■ &\ = \ & ■ й\ -\- \ & • &\ -\- \ а. ■ й\. л не а ли ас ил На отрезке АВ имеем: 2 = 0, х-\-у=1, у=\ —х, йу=— с!х, а = л-! 4- {х 4- Зг/М + Eх 4- У)к, й\ = с1х\ 4- йу\, а • й\ = хйх 4- [х 4 \ аё\= \ хйх + (-V + = \ (х — х — 3A — х))йх = На отрезке ВС верпы соотношения: х=0, у-\-г= 2=1 — у, с1г= — Л/, а = — 221 4- (Зг/ + 2)] 4- ук, ё\ = а • с!I = (Зг/ 4- 2)^У + У^г с1гк, а • с!1 = _ (</+|;2 276
На отрезке СА имеем: у = О, * + г=1, с1г =—с1х, \ а • ё\ = \ {х — 2г)с1х + Ъхйг = СА СА 2 1 = 5 (х — 2 + 2х — Ъх)йх = \( — 2х — г)их = о х22х)\1 = (х2-2х)\1>=-3. Следовательно, 2. Вычислим циркуляцию данного поля с помощью формулы Стокса A5.27). Для этого определим го{а(М) = \ ] к д_ д_ д_ дх ду дг х — 2г х -(- Ъу -(- г 5х + У В качестве поверхности 5 в формуле Стокса возьмем боковую поверхность пирамиды ОАВС: •5 = 5осл -(- 5оав -\- 5овс- По формуле Стокса имеем С = \\ го* а ■ п° с?5 = 55 го* а • д 8, 5 5 где с!§ = йуйг\ + сШг\ + йхйук, (го* а • с!§) = = —Тйхйг + йхйу. Следовательно, С =\\ —Чйхйг + йхйу = — 7 \\ йхйг + $ йхйу = — 3. 4 2. Найти величину и направление наибольшего изме- изменения функции и(М) = Ьх'''уг — 7ху2г 4- Ьхуг2 в точке МоA, 1, 1). ► Находим частные производные функции и(М) в любой точке Л4(л:, у, г) и в точке /Ио: 277 10л:г/27г/22 4-5г/22,
ди{М) = ду ди(М0) = ду - 7ху2 + Юхуг, =5-7+10=8. Тогда в точке Мо([, 1, 1) имеем дгас! и(Мо) = 8\ — Ц + 8к. Наибольшая скорость изменения поля в точке Мо дости- достигается в направлении §гаё и(Мп) и численно равна = шах и(М0)\ = 3. Найти наибольшую плотность циркуляции вектор- векторного поля а(/И) = ху121\ + х2уг2\ + хугк в точке Л1„B, -1, О- ► Наибольшая плотность циркуляции векторного поля а(/И) в данной точке /ИA достигается в направлении ротора и численно равна |го1а(Л4о)|. Находим: ■ ] к о о о Ох ду дг ху2г2 х2уг2 хуг = \{хг — 2х-уг) — } (у г — 2ху2г), го1а(М1))= У], |гои(Л1(,)| =У> = 5д/5. 4. Выяснить, является ли векторное поле а(/И) = = (у + 2I + ху] — хгк солепоидальным. ^ Векторное поле а(М) — соленоидальное, если в каждой его точке ё'м а(М) = 0. Находим дх 15.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ К ГЛ. 15 1. Найти площадь части поверхности шара х" + у~ + + г2 = а~', расположенной вне цилиндров х2 + у2 = ±ал\ (Ответ: 8а".) 278
2. Вычислить массу поверхности куба О^х^ 1, 0 ^ ^ у ^ 1,0^2^ 1, если поверхностная плотность в точке М{х, у, г) равна хуг. (Ответ: 3/4.) 3. Вычислить координаты центра масс конической по- поверхности г2 = х2 4- у2, 0^2^ 1, если ее плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию от этой точки до оси конуса. (Ответ: @, 0, 3/4).) 4. В каких точках пространства градиент скалярного поля и(М) = хл 4- ул 4- 2'3 ~ Ъхуг: а) перпендикулярен к оси Ог; б) равен нулю? (Ответ: а) г2 = ху\ б) л: = г/ = 2.) 5. Вычислить наибольшую скорость возрастания ска- скалярного поля и(М) = х2у 4- у'2г 4- г2х в точке /ИоB, 1; 2). (Ответ: ->/209) 6. Показать, что в точке ЛD, — 12) производная функ- функции 2 = хл 4- Зх2 4" 6*1/ 4- У по любому направлению равна нулю. 7. Уравнения движения материальной точки: х=/, у=/2, 2=/° С какой скоростью увеличивается расстоя- расстояние от этой точки до начала координат? (Ответ: 8. Два парохода, вышедшие одновременно из пункта А, движутся один на север, другой — на северо-восток. Скорость движения пароходов 20 км/ч н 40 км/ч. С какой скоростью увеличивается расстояние между ними? (Ответ: 20л/й — 2д/2 км/ч.) 9. Записать уравнения силовых линий векторного поля а(М) = х\-\-у]-\-2гк. (Ответ: у = С\х, г=С2х~.) 10. Векторное поле определяется силой, модуль кото- которой обратно пропорционален расстоянию от точки ее при- приложения до плоскости Оху. Сила направлена к началу координат. Найти дивергенцию этого поля. (Ответ: — к/(гл]хг 4-у2 -(- г'г), где к — коэффициент пропорцио- пропорциональности.) 11. Твердое тело вращается вокруг оси Ог с угловой скоростью со. Вектор линейной скорости V имеет проекции на оси координат: Vx= —шу, ьу = шх, уг = 0. Найти: а) ротор вектора у; б) циркуляцию вектора V по окруж- окружности х ~\-у2 = а2 в положительном направлении обхода относительно орта к. (Ответ: а) @, 0, 2ш); б) 2яа2ш.) 279
ПРИЛОЖЕНИЕ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» B ЧАСА) /. Изменить порядок интегрирования. 1.1. 1.3. 1.5. 1.7. 1.9. 1.11. 1.13. 1.15. 2 '1 х \ах \ ь (х, у) ау. 0 4 — 2л:-' 4 V25—у* \ау \ ь (х, у) ах. 0 3-у'///2 \ау \ ь (х, у) ах. 0 1//4 + 1 2 2\/х \ах ] ь(х, у)ау. 0 л-74 1 4 ) ау \ Ь(х, у)с1х. — 2 у' 2 х7^+2 \ах \ ь(х, у)ау. 0 2-е л/4 л/2-» 5 г/1/ 5 ь(х, у) ах. ч и 1 ' - // 1.2. 1.4. 1.6. 1.8. 1.10. 1.12. 1.14. 1.16. 3 -\ \ах 0 1 4 \<*У 4 1 0 4 — 2 2 5^У 0 1 \ах 0 2 \ах 0 1 /25 - х2 5 ь(х, у)ау. у'9 - хг 5 6(ЛГ, 1/)ЙЛГ. 5 6(ЛГ, 1/)Й1/. 0 * + 4 / 5 б(лг, у) ах. !/!/2 1 ) ь{х, у) ах. у' •2-х \ ь(х, у)ау. х5 12х ■ \ь(х, у)ау. Лх1 х- + 1 ^ Ь(х, У)Aу. ■2 х + 2 1 х2 1.17. 5 ах \ Ь(х, у)йу. 1.18. \а.х \ Ь(х, у)Лу. ~ ' х2 О ~х 1 ;) — ц п \ +у 1.19. \с!у \ Ь(х, у) ах. 1.20. $ ау \ Ь{х, у) ах. I) 2у* —1—1—1/ I [—у 1 3-х 1.21. \ау \ Ь(х, у)ах. 1.22. \ах \ Ь(х, у)ау. 0 _ч/п7Р 0 2х2 1 2 —2у 4 :!м/2+4 1.23. \ау \ Ь(х, у)ах. 1.24. \Aу \ Ь(х, у)ах. 0 1-1/ 0 1//2+1 280
О 1 + х 4/5 З — Зу/2 1.25. 5 ах \ ь(х, у)ау. 1.26. \ ау \ ь{х, у) ах. -1 -ч'1+х 0 1+у 1 у 1 д/1 — (г- IJ 1.27. \ау \ Ь{х, у)ах. 1.28. \йх \ Ь(х, у)ау. о -75 о -х О 2(/+1 3 У<1-х 1.29. ^ ^ ^ 6(л:, 1/)^х 1.30. 5 ^* $ Ь(х, у)Лу. -1 -2-у О О 2. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной за- заданными поверхностями. 2.1. Щг^/х2 + у2 ахауйг; V: у = 0, г = 0, г = 2, *2 + I/2 = 2л-. V 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 555 уАхЛуйг; V V: (/ = 2, л-2 + г2 = 2у. V: г = д/х2 + г/2, г = 2. V: 1/ = 4 (л:'- + г2), у = 4. V: у2 = г + г2, 1/ = 2. 2.6. 555D — х — у)ЛхЛуЛг, V: х2 + у2 = 4, г~0, г=1. V ■ 2.7. 555 AхЛуЛг, V: г = Д ^ + Г = Зг. 2.8. 555 Л/'^'" + !Г + г" 2.9. 2.Ю. \\\уахауаг, V 2.1 I. V: х- + у- + г2 > а2, л-2 + / + г2 < 4а2. 0. V: г = I — (л-2 + I/2), г > 0. 2.12. 555 ЪAхAус1г, к1 2.13. 555 (л2 + \)Лхауаг, V 2.14. 555(г" + \)а.и1уаг, V: г = 2 — (л-2 + /), г = л:2 + у2. V: х2 + у* = \, г = х2 + у2, г > 0. V: г2 = х2+у\ г > 0, г<|. 2.15. \Ц — т ахауаг, V: у2 + г2 = I, х- = у2 + г2, х^ 0. V 2.16. 555(^2 +У~ + г)ахауаг, V: х2+у2 = 9, г ^ 0, г < 3. V 281
ГГГ 2<?^ + * 2.17. \\\ —г1*Лш17, V: к1 + у- + г" = I, г > 0. 2.18. $ г/гЛ«:Л/с(,г, I': л"'+У=1, Г--=х- + у\ г > 0. I' ,, У + Г + г2 2.20. 5^5 ЛхйуЛг, V: х~ -4- у- = 4, г = 5 — (лг + (/-'), 2^0. V гйхйуЛг 2.21. \\\ -1 , К: ? = д/1 - ;г - Г, г >0. •Му V1 — х*~ — г/"' 2.22. 555(л- — 2)сГл-^1/с?г, V: х = Ь(у2 + г"), (у; + г1 = 3, л-= 0. V 2.23. 5M(у+ \)Aхс1ус1г, V: у = 3У-г + г?, л-1'+ г2 = 36, (/ = 0. I' 2.24. 555 гйхЛуйг, V: г = 5(.г + Г). -V2 + у2 = 2, г = 0. I' 2.25. 51\(А'+ ЩйхАуйг, V: 2л- = (уа + г2, г/'2 + г2 = 4, л-= 0. I- 2.26. 555(л-" + г2)(/лч/г/с(г, V: у-= х~ + г~, у = 4. I' 2.27. ^(!/'' + г2)йхA1]йг, V: х =-- у- + г2, л- = 9. V 2.28. 5Й(*" + Уг)Лхс1уйг, V: 2г = л2 + у'\ л" + у2 = 4, г = 0. I' 2.29. 555 (л + 4)AхауAг, \': 2л' = у'- + г", у1 + г° = 4, л- = 0. V 2.30. \\\(у — '6)ахаус1г, V- Ау = Vх2 + г2. *2 + г~ = |й. г/ = 0- V 3. Проверить, является ли данное выражение полным дифферен- дифференциалом функции и = и(х, у). Найти функцию и = и(х, у), 3.1. Eш! у — у зш 2х -4- I /2)йх -\- (х $'т 2у + сов2 л" - 3.2. (у/х + 1п у + 2х)Лх + Aп л + х/(/ - 3.3. (х2 — 2ху)йх + (!/-' — 2ху)с1у. 3,6. ( У—-г - I") ^-^ + Г ^т— - 10)е!у. 3.7. (у2е1"' + 3)^л- + Bл-1/?'":— \)йу. 3.8. EИ1 ЛГ + СО8 X СОВ (//йМТ Л") Ах -\- (81П 1//5111 Х — СОЗ У) Лу, 282
з.9.1^У.Aх + 1^-ау. х'у ху 3.10. (—^-г ~ ~\ ^ + (-^-т + ~\ Чу. \ [х + УГ х ) \ (х + цу у) з. 11. (Зх-у - у') ах + (.г + Ъху2) ау. у х~} \х у- 3.13. (—— Л ах— —г-—, ау. \ х- + у ) х- + у 3.14. (Зх2 — 2ху + у7)ах + Bху — х' — Зу')ау. 3.15. (Я1п2лр — 2 5П1 Айгп I/— I '2 х~у) ах -\- (кш 2у-\- 2со$хсо$у — 4х^ 3.16. A2х'у + I /(/-')</л- + ('1-1р> — 2х/уЛйу. 3.17. Bx1/ — I /л-2)*/* + (X2 — 2/ул)ау. 3.18. ^е ' —^ их + ^з1п Зу !-Л с1у. \ х'у / \ х'у / 3.19. {'2/х' -г со^- ун1х + ((/ — х ят 2у)с1у. 3.20. (сох х — '2ху)Aх -|- ( —3 51П у — х")с1у. 3.21. Bл-у — 1-1-е" 51п х сок х)(/х -}- (лг- + 7е" сол2 л)(.'//. 3.22. A /соя1' х + (/')</х + -Лху\1у. 3.23. (I /х 4-ми у)^х 4- х сок цйу. 3.24. A/л-'4- \/у)Aх = {(\ ~х)/у2)ау. 3.25. IX 4- у 51'п2 </)^х 4- 0 4- л' 5' У + А'У я'п -У}'1у- 3.26. 1ех" '' 4- У соз лр1/ — 6х)(/х 4- (х соз ху — ех ~ ")с/и. 3.27. ( — г- - 12.гУ 4- ;Л Aх + ( — \1 + х--гу- •' ) ^3 4-х-'4Г 3.28. ;сой у 4-.'/ с о з х — 6лт/?)(/х 4- 'л'п х — х 5т у — Их2 у) и у. 3.29. A)е''' — 2х 51п(х-' — у'~))Aх -\- (хе'" 4- 2у ь1п(х2 — У~))<1у. 3.30. (лУЛ/1 4- х2 + У2 + 6л"//1 - 3)</л- 4- II'/V1 + ** + •/ + 4-6А-у 4-«;/)</!/• 4. Вычислить крпволипснпый интеграл вдоль заданной дуги /,. 4.1. \хAу — уAх, ^: л- = осоз''(, 1/ = азш''/ @-^ < < 2п). 4.2. | (л-' 4- 1/-)йх 4-(х- — 1/")^1/, Л.>«: У=Чл) от точки Л(— 1, 1) до точки ВB, 2). 4.3. | (х2 — 2x1/)</л' + (//- — 2ху)с1у, Ь иг. у = х2 от точки /1 ( — 1, 1) до точки й(,1, 1). 4.4. ^ з1п //(/х — 51П хйу, ^,^/,: отрезок прямой, заключенной между I- 1« точками /1@, л) и й(л, 0). 4.5. ] хЛу — [!<-(х, 1^]ц: х = аA — 5ш (), у = а(\ —соз /) от точки 1-.ЛВ ЛBпа, 0) до точки й@, 0). 283
4.6. ^ хйу + уйх, Ьлвс—контур треугольника с вершинами 1-лис А(— I, 0), В(\, 0), С@, 1). 4.7. | — йх + хйу, ^/|в: у = 1п х от точки /1A, 0) до точки В(е, 1). 1*АВ х 4.8. ) хе"'йу -\- уйх, /_(Л1: у = х'1 от точки О@, 0) до точки /1A, 1). 4.9. ) (А'2 + (/) о**-}- (х -|- У') йу, ^лв — отрезок прямой, заключенный 1-лв между точками /4A, 2) и ВC, 5). 4.10. \ (ху — 1)йх + х2уйу, 1/|в — отрезок прямой, заключенный ^АВ между точками /4A, 0) и й@, 2). 4.11. ) со & уйх—81п хйу, /.да—отрезок прямой, заключенный 1-лв между точками /1B, — 2) и В( — 2, 2). 4.12. ) хйу + уйх, Ьоав — контур треугольника с вершинами '•0/18 0@, 0), /1C, 0), В @, 2). 4.13. ) (х + у)Л1, 1одв — контур треугольника с вершинами ^ОАВ 0@, 0), /1B, 0), В @, 2). 4.14. \{х-\-у)А1, /. — первый лепесток лемнискаты Бернулли р2 = = а2 со» 2ф. 4.15. ф ух2 + (/■ Л, ^ — окружность х2 + г/2 = ах. 4.16. ) (/"Л, /- — первая арка циклоиды х = а(^ — 51п (), у = = оA — соз <). 4.17. 5 хуйх -\- (у — х)йу, /,од: у ~ х'! от точки 0@, 0) до точки '•ов ВA, 1). 4.18. \ 3 [~ отрезок прямо!!, соединяющий точки '■О А 0@, 0) и /1A, 2). 4.19. 5 2хAу + уйх, ЬЛя: х=у2 от точки /1A, 1) до точки ВD, 2). 4.20. \— Г, /. — первый виток винтовой линии х = 4ео^, 3 х2 + ^2 + г- /. у ~ А 5Ш I, г = 3/. 4.21. §уекй1, /- — окружность г + г/2 = 3. /. 284
4.22. фB* + у2)A1, Ь — окружность х2 + // = 1. 4.23. ф(лл' -}- у') (II, ^ — окружность х = 2 соз I, у = 2 ант I. I. 4.24. \ —1 ^ — эллипс х = 4 соз I, у = зт I. [ л/х2+16Г' 4.25. | (л2 -}- у')Aх + (х2 — у~)Aу, Ьолв — контур треугольника с вершинами О@, 0), /1A, 0), й@, 1). 4.26. |(агс51П(/ — х')<11, 1* — дуга окружности х = соз (, ^ = /. = ьт ( @^ I ^ л/4). 4.27. ^ х'уйх + уех + 7с1у, Ьлв—отрезок прямой, заключенный между точками /1A, 1) и йB, 3). 4.28. \ уйх -\- —йу, Ь,.\в - дуга кривой у = е~ " от точки /1@, 1) до точки йA, 2). 4.29. ^ 2ху<1х + хг<1у, Ьпу. у = хг от точки О@, 0) до точки /1A, 1). /■О/1 4.30. | (ху 4- х~)(Н, I* \п — отрезок прямой, заключенный между /-,1В точками /1A, 1) и В C, 3).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Учебники и учебные пособия 1. Бугров Я. С, Никольский С. Л/. Дифференциальные уравнении. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменною,- М.: Наука, 1981. - 448 с. 2. Жсвняк Р. М,, Карпук А. А. Высшая математика: В 5 ч.— Ми.: Выш. гик., 1984 -1988,- ч". 3.-- 19«5. -2A8 с; Ч. 4.— 1987. - 240 с. 3. Ильин В. А., Пазник 3, /'. Основ:.! математическою анализа: В 2 ч,- М.: Наука, 1971 197:5. — Ч. 2,— 1973. — .Им е. 4. Кудрявцев Л. Д. Куре математического анализ;): В 2 т.- М.: Высш. 1пк., 1081.-- Т. 2.—570 с. 5. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисле- исчисления: В 2 т.-- М : Паука, 1967-1970. Т. 2,— 1070. -071 с. 6. Пискунов Н. С. Дифференциальное н интегральное исчисления: В 2 т.— М.:' Наука, 1985,— 1. 2,— 570 с. Сборники задач и упражнений 7. Бсрман Г. /I. Сборник задач по курсу математического анали- анализа.—М.: Наука. 1985. — 410 с. 8. Данко П. П., Попов А. Г., Кожгкникооа Т. И. Высшая матема- математика в упражнениях и задачах: В 2 ч. — М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 2.— 464 с. 9. Кузнецов Л. А. Сборник задании по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 198.5.— 170 с. 1A. Лихолотов И. П., Мицкевич И. П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностен п математической статистике,— Мн.: Выш. шк., 1970.— 450 с. 11. Сборник задач по курсу высшей математики / Г. И. Кручковпч, Н. И. Гутарина, II. К. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковпча,— М.: Высш. шк., 1973.— 570 с. 12. Сборник задач но математике для втузов: В 2 ч. / В. А. Бол- гов, Б. П. Демидоопч, В. Л. Ефнмепко н др.; Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Домпдовича,- - М.: Паука, 1981. - Ч. 2,— 5(й с.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . 3 Методические рекомендации . . 5 12. Ряды 12.1. Числовые ряды. Признаки схотимостн числовых ряд-в . . 9 12.2. Функциональные н степенные ряды 18 12.3. Формулы и ряды Тейлора н Маклорепа. Разложение функции в «тененные ряды . . 23 12.4. Степенные ряды в приближенных вычислениях . . .28 12.5. Ряды Фурье .34 12.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 12 . 44 12.7. Допо-шн гельные задачи к гл. 12 .... . . 124 13. Кратные интегралы 13.1. Двойные интегралы и их вычисление 126 13.2. Замена переменных в двойном интеграле. Двойные интегралы в полярных координатах . 134 13.3. Приложения двойных интегралов . . 138 134. Тройной интеграл и его вычисление 146 13.5. Приложения тройных интегралов . . ... ... 152 13.6. Индивидуальные домашние задания к гл. 13. ... . . 157 13.7. Дополнительные задачи к гл. 13 . . . . . 186 14. Криволинейные интегралы 14.1. Криволинейные интегралы и их вычисление . . .... 189 14.2. Приложения криволинейных интегралов 198 14.3. Индивидуальные домашние задания к гл. 14 .... . 203 14.4. Дополнительные задачи к гл. 14 . . . 222 15. Элементы теории поля 15.1. Векторная функция скалярного аргумента. Производная по направлению и градиент ... . . . 224 15.2. Скалярные и векторные ноли . . . . 230 15.3. Поверхностные интегралы . 233 15.4. Поток векторного ноля через поверхность. Дивергенция век- векторного поля 241 15.5. Циркуляция векторного поля. Ротор векторного поля . . . 245 287
15.6. Дифференциальные операции второго порядка. Классифика- Классификация векторных полей 250 15.7. Индивидуальные домашние задания к гл. 15 256 15.8. Дополнительные задачи к гл. 15 278 Приложение ... . 280 Рекомендуемая литература. . . . . . 286 Учебное издание Рябушко Антон Петрович, Бархатов Виктор Владимирович. Державен Вера Владимировна, Юруть Иван Ефимович СБОРНИК ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ В трех частях Ч а с т ь 3 Заведующий редакцией Л. Д. Духвалов. Редактор М. С. Молча- Молчанова. Младший редактор В. М. К У ш и л е в и ч. Художник переплета и художественный редактор Ю. С. С е р г а ч е в. Технический редактор Г М. Р о м а и ч у к. Корректор Т. К- Хваль И Б № 289.3 Слано в набо|) 18 04.90. Подписано а печать 11.04 91. Формат 84 X 108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ л. 15.12. Усл. кр.-отт. 15.12. Уч.-изд. л. 17,59. Тираж 15 700 экз. Заказ 357. Цона 2 р. 40 к. Издательство «Вьгшчипшя школа» Государственною комиютн 13ССР по печати. 220048. Мшп-к. проспект Д\ан1с|>ои<|, I I Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинат МППО им. Я. Коласа 220005. Минск, ул. Красная, 23.