Автор: Сорокин П.И.
Теги: математика математический анализ математическая физика задачи задачи по математике
Год: 1971
Текст
ПИСОРОКки I СБОРНИК ПРАКТЙЧЬС/Ж ЗЙДДЧ ПОМДТЕМкГИКЕ
П.И.СОРОКИН
оооо •••
П. И. СОРОКИН
СБОРНИК
ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ
ИЗДАНИЕ 3-е, ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 1971
51(07)
С 65
Пособие рекомендовано
Учебно-методическим советом
Министерства просвещения РСФСР
Петр Иванович Сорокин
СБОРНИК ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
Редактор А. А. Свечников Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор М. И. Смирнова Корректор Г. Л. Нестерова
Подписано к печати с матриц 20/VII 1971 г, 84Х1О8'/м. Тип. Xs 3. Печ. л. 8,5.
Услови. л. 14,28. Уч.-изд. л. 13,58. Тираж 300 000 экз. Заказ 1187. (Пл. 1970 г. №59).
Издательство «Просвещение» Комитета по печати при Совете Министров
РСФСР. Москва, 3-и проезд Марьиной рощи, 41
Главполиграфпром Комитета по печати при Совете Министров СССР. Отпеча
таио в ордена Трудового Красного Знамени Ленинградской типографии №2
им. Евг. Соколовой, г. Ленинград. Измайловский пр., 29. с матриц типографии
№2 Росглавполиграфпрома, г. Рыбинск, ул. Чкалова, 8.
Цена без переплета 37 к., переплет 10 к.
6-5
59-71
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий «Сборник практических задач по мате-
матике» ставит своей целью помочь учителям начальных
классов (особенно учителям, начинающим работу) в
подборе для каждого класса по каждой теме задач с
практическим содержанием (помимо тех, какие имеются
в принятых учебниках по математике) и дать полезные
советы по методике решения таких задач.
Задачи, помещенные в настоящем «Сборнике», за-
ставят ученика действовать: рисовать, чертить, выре-
зывать, измерять отрезки, находить площади, добывать
необходимые для решения задач сведения, составлять
планы, сметы, диаграммы, производить денежные рас-
четы и т. п. В этом смысле приведенные задачи и назва-
ны практическими.
При решении таких задач ученики развивают иници-
ативу, самостоятельность, конструктивные способности,
находчивость и смекалку, т. е. все те качества, какие им
нужны будут в дальнейшей практической деятельности.
Задачи, предлагаемые нами, с первых же шагов школь-
ной жизни ребенка вырабатывают в нем умение вла-
деть карандашом, линейкой, ножницами и постепенно
вводят в круг вопросов, связанных или со школьной
жизнью, или с жизнью общества.
Чтобы облегчить работу с задачами практического
характера, в «Сборнике» отведено значительное место
методическим указаниям.
В основном «Сборник» предназначен для использо-
вания задач на уроке п для заданий на дом. Однако за-
дачи повышенной трудности мы рекомендуем решать на
занятиях кружка.
1*
3
Пользоваться задачами «Сборника» можно не толь-
ко в порядке последовательного расположения, их, но и
выборочно в соответствии с тем, какие из них нужны
учителю при изучении определенного раздела про-
граммы.
В задачах, требующих измерения отрезков и площа-
дей, уделено немало места измерениям в классной об-
становке, т. е. таким измерениям, которые служат выра-
ботке важных практических навыков.
Многие задачи и упражнения, помещенные в «Сбор-
нике», можно использовать как проверочные, трениро-
вочные или контрольные работы. Приведенные в «Сбор-
нике» практические задачи помогут учителю, работаю-
щему с двумя классами, а также учителю, желающему
организовать в классе дифференцированные занятия
детей с учетом их индивидуальных способностей.
В основу настоящего 3-го издания этого пособия по-
ложен материал, помещенный ранее в «Сборнике прак-
тических задач по арифметике» (изд. 2. М., Учпедгиз,
1963). Однако содержание книги радикально перерабо-
тано в соответствии с новой программой, а материал
для IV класса исключен. Переработке подверглись не
только задачи, но и методические указания.
Пользуюсь случаем, чтобы выразить свою глубокую
благодарность членам секции начальной школы Учебно-
методического совета Министерства просвещения
РСФСР рецензентам товарищам Н. И. Игнатьеву,
М. С. Нахимовой, М. И. Федогко, Е. И. Шамис, способ-
ствовавшим своими высококвалифицированными заме-
чаниями улучшению качества настоящего «Сборника
практических задач по математике».
Автор.
J класс
ЧИСЛО И СЧЕТ В ПРЕДЕЛАХ ПЕРВОГО
ДЕСЯТКА
Перед началом учебного года очень важно, чтобы
учитель I класса познакомился со своими будущими
воспитанниками и их родителями. В беседе с ними надо
сказать, что необходимо приобрести для первоклассни-
ка: в частности, для обучения математике потребуется
учебник, тетради, линейка длиной 30 см с делениями,
небольшие ножницы, нож для затачивания карандашей
и разрезания бумаги, циркульная ножка для вставки
карандаша, резинки мягкие, несколько пакетиков из
твердой бумаги или небольшие сумочки для хранения
дидактического материала и рисунков. Следует реко-
мендовать родителям первое время ежедневно прове-
рять, все ли необходимые для уроков предметы у
ребенка уложены в сумку.
Так как дети, поступающие в I класс, имеют весьма
различные познания (некоторые умеют уже читать и ре-
шать простые задачи, а другие не знают букв и цифр),
то учителю полезно заблаговременно ознакомиться, с
каким «багажом» пришел в класс каждый из них.
Для этого до начала занятий в школе надо побесе-
довать наедине с каждым ребенком, поступающим в I
класс.
Предварительно необходимо заранее хорошо проду-
мать и составить вопросы (не более 10—12), подгото-
вить пособия (палочки, набор цифр, наборы кружков
разного цвета и т. п.). Вопросы для такой беседы мож-
но взять из статьи Я. Ф. Чекмарева или из статьи М. И.
Моро («Известия АПН РСФСР». «Вопросы обучения де-
тей в I классе», 1959, № 107, стр. 77):
5
1. Умеешь ли ты считать? Посчитай.
2. Я тебе назову какое-нибудь число, а ты считай
дальше.
Например, я скажу два, а ты считай дальше:
3, 4, 5, ...; 3, считай дальше ...; 6, считай дальше ... .
3. Теперь попробуй в обратную сторону посчитать:
от 5 назад, от 10..., от 7... .
4. Сколько здесь лежит палочек? (Перед учеником
9 палочек.)
5. Слушай внимательно: «Мама сорвала с одной
грядки 3 огурца, с другой 2. Сколько всего огурцов со-
рвала мама?»
6. «У мальчика было 5 тетрадей, он отдал 2 тетради
сестре. Сколько тетрадей осталось у мальчика?»
7. Если к 4 прибавить 3, сколько получится?
8. Если от 6 отнять 3, сколько останется?
9. Узнай, синих кружков столько же, сколько и
красных, или больше: а) предлагается для сравнения
две кучки кружков одинакового размера, но разного
цвета — 5 синих и 5 красных; б) предлагается для срав-
нения 6 синих кружков и 7 красных.
10. Что больше: 2 или 3? 7 или 8? 6 или 4?
Чтобы полученные по такой схеме данные могли быть
использованы в работе учителя с классом наилучшим
образом, надо придумать форму записи ответов детей.
Такие формы имеются в указанной нами книге («Из-
вестия АПН РСФСР», 1959, № 107) на страницах78 и 79.
Занятия с детьми в I классе в первые дни учебного
года — дело нелегкое и очень ответственное, так как
обычно приходится начинать работу с детьми, имеющи-
ми разное развитие, а их всех необходимо занять и за-
интересовать. В эти дни учителю надо готовиться к уро-
кам особенно тщательно, чтобы суметь привлечь к ра-
боте всех учеников класса.'
Если учитель заранее выяснил знания детей по ма-
тематике и разбил их по степени знании на группы, то
ему надо готовить материал для каждой группы отдель-
но, чтобы во время урока все дети не только были заня-
ты, но увлечены работой. С этой целью детям следует
давать различные практические работы, изготовление
наглядных пособий, например: вырезать из бумаги гео-
метрические фигуры (квадраты и круги), изготовить по
десять палочек и др.
6
На первых трех уроках учитель попутно с такими
занятиями решает практические задачи, данные в учеб-
нике и в настоящем «Сборнике», привлекая сначала бо-
лее подготовленных учеников и постепенно вовлекая в
работу всех детей.
Уроки по математике должны быть оборудованы не-
обходимыми наглядными пособиями и измерительными
инструментами: счетами, линейками (метровыми, 60- и
30-сантиметровыми), треугольниками, рулетками, сан-
тиметровыми (портновскими) лентами, классными и
ученическими циркулями, ножницами, запасом белой и
цветной бумаги, различным раздаточным материалом
(геометрическими фигурами, одинаковыми картинками
или игрушками, палочками, пуговицами, камешками,
орехами, желудями, шнурами разной длины и т. п.). Все
это должно храниться в классном шкафу.
Обычно в первые дни занятий учитель выявляет
представления и понятия детей, такие, как: «направо —
налево», «больше — меньше», «длиннее — короче», «ши-
ре— уже», «толще — тоньше», «глубже — мельче». Выяс-
нение этих понятий надо проводить непременно на кон-
кретном материале, причем когда, например, учитель
хочет выяснить понятие «длиннее — короче», он берет в
руки две линейки, одинаковые но ширине, но разные по
длине, а когда речь идет о понятии «шире — уже», тона-
до взять две линейки (или ленты), одинаковые по дли-
не, но разные по ширине. Для выяснения понятия «тол-
ще— тоньше» можно взять две различные по толщине
веревки, или два шнура, или две палки, и во всех случа-
ях эти предметы лучше брать одинаковые по длине. По-
нятие «глубже — мельче» желательно показать на двух
стеклянных сосудах с водой, например: налить водой до
краев две равные по высоте банки и проверить глубину
их палочкой.
Для выяснения понятия «дороже — дешевле» надо
спросить детей о стоимости известных им предметов, на-
пример: сколько стоит ученическая тетрадь? (1 коп.,
2 коп.) Сколько стоит линейка? (4 коп., 6 коп.) Что до-
роже? Что дешевле?
Дальше проверяются и расширяются познания детей
в свете каких-нибудь однородных предметов: окон в
классе, парт в одном ряду, домиков или птичек на кар-
тинке, цветков и т. п., а также познания детей в отвле-
7
ченном прямом и обратном счете в пределах первого
десятка.
На одном из уроков в первую неделю занятий не-
обходимо изготовить из картона или цветной бумаги по
10 квадратов (со стороной 2—3 см). Для этой цели
лучше всего каждому ученику (или хотя бы на каждую
парту) дать для образца картонный квадрат, предло-
жить детям на листе плотной бумаги или картона,из ко-
торого они будут изготовлять фигуры, карандашом
очертить стороны квадрата и вырезать его ножницами
(или ножичком). Лучше очертить сразу все 10 квадра-
тов, а затем уже их вырезать. Объясняя задание, учи-
тель сначала на доске, а потом на бумаге показывает,
как очерчивать и как вырезать квадрат, и следит, как
это делают дети.
Изготовленные квадраты будут служить детям ди-
дактическим материалом для прямого и обратного сче-
та, изучения арифметических действий, составления чи-
словых множеств, решения задач. (Если в приложении
к учебнику имеются готовые квадраты или другие фигу-
ры для вырезывания, то самодельные надо делать таких
же размеров и такого же цвета, как и готовые, чтобы они
могли служить заменой в случае утери или порчи гото-
вых фигур.)
Подобным же образом (с помощью образчиков, дан-
ных учителем) ученики могут изготовить из картона или
цветной бумаги круги диаметром 2 см (величиной в 15-
копеечную монету). Изготовленные квадраты желатель-
но хранить в одном пакете, а круги — в другом.
В первые дни занятий можно ограничиться изготов-
лением только этих двух фигур, а во время второй учеб-
ной декады таким же путем следует изготовить равно-
сторонние треугольники (со стороной 2—3 см) и прямо-
угольники (со сторонами 2 см и 3 см). Для этих фигур
потребуются еще два пакетика.
При счете различных предметов надо соблюдать сле-
дующий порядок: при прямом счете дети откладывают
их налево (аналогично тому, как при прямом счете от-
кладываются косточки на счетах), при обратном же
счете — направо.
На первых порах при помощи изготовленных фигур
можно решать, например, такие задачи (в дополнение к
задачам стабильного учебника).
8
1. Положите на парту 7 квадратов и на каждый из
них положите по кружку. Подсчитайте, сколько круж-
ков вы положили.
2. Положите на парту 10 палочек и к каждой палоч-
ке снизу приложите по одному кружку. Сколько круж-
ков вы приложили?
3. Закройте глаза и положите на парту 8 кружков, а
под ними внизу положите квадраты, так чтобы квадра-
тов было на один больше, чем кружков. Сколько квад-
ратов вы положили? Откройте глаза и проверьте.
4. С закрытыми глазами положите на парту 6 пало-
чек, а во втором ряду положите квадраты, так чтобы
квадратов было на один меньше, чем палочек. Сколько
квадратов вы положили?
Указание *. При выполнении заданий № 3 и 4
дети используют осязание. Таких задач желательно про-
делать несколько.
5. Положите 5 палочек. Что нужно еще сделать, что-
бы на парте лежало 6 палочек? А что нужно сделать,
чтобы на парте осталось 4 палочки?
Указание. От учащихся требуется ответ: «Чтобы
стало 6 палочек, надо добавить одну палочку, а чтобы
стало 4 палочки, надо убавить (или отнять) одну палоч-
ку». Второй вопрос задается тогда, когда учащиеся, от-
ветят на первый.
6. Положите на парту столько палочек, сколько раз
я стукну (учитель стучит, например, 4 раза).
Указание. Перед стуком следует предупредить
детей, чтобы они молча считали. Проходя по рядам,
следует проверить, все ли правильно положили палоч-
ки. Таких упражнений надо сделать несколько, увели-
чивая число ударов.
7. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на
парту кружочков на один больше (учитель стучит 5 раз).
8. Сосчитайте, сколько раз я стукну, и положите на
парту квадратов на один меньше (учитель стучит6 раз).
Будьте внимательны! Еще раз сосчитайте, сколько раз
я стукну (учитель стучит 4 раза, затем делает паузу в
2 сек и еще стучит 3 раза). Сколько всего стуков? Подряд
ли я стучал? А как?
* Все указания в «Сборнике» даются для учителя, указания
же для учащихся, если они необходимы, даны в текстах задач.
9
Игра. 1) Назовите быстро 4 различных цвета, 4 пти-
цы, 4 имени мальчиков.
2) Назовите быстро 5 различных имен девочек, 5 до-
машних животных, 5 кушаний, 5 ученических принадлеж-
ностей.
3) Придумайте сами такие игры. Можно брать не 4
вида различных предметов, а 3.
Игра. Кто больше составит фигур из 1) 3 палочек?
2) 4 палочек? 3) 5 палочек?
Указание. Дети, раскладывая палочки различным
образом, получают разные фигуры, например из трех
палочек:
ш
Чтобы выполнить эту игру, надо, чтобы у каждого
ученика было по нескольку десятков палочек. В против-
ном случае можно игру вести «на карандаше», но в этот
период учащиеся едва ли смогут сделать много фигур
карандашом.
9. Обведите карандашом в тетради столько квадрати-
ков, сколько окон в классе.
10. Нарисуйте столько кружков, сколько поставлено
картинок на планке доски (учитель ставит, например, 4
одинаковые картинки).
11. На планке поставлены картинки (учитель ставит 6
одинаковых картинок), а вы нарисуйте в тетради палоч-
ки, так чтобы палочек получилось на одну больше, чем
картинок.
12. На планке кубики (учитель ставит 7 кубиков), а
вы нарисуйте палочек на одну меньше, чем кубиков.
Указание. Понятие числа (в данном случае мно-
жества каких-либо предметов) с помощью различных
анализаторов — зрения, слуха, осязания, движения — яв-
ляется важным фактором освоения числа.
13. Положите на парту в одном ряду несколько па-
лочек, а в другом ряду — несколько кружочков. Чего
10
больше — палочек или кружочков вы положили или па-
лочек столько же, сколько кружков?
14. Положите в один ряд по линейке 6 квадратов, а в
другой ряд — столько же кружков. Сосчитайте квадраты#
сосчитайте кружки. Можно ли сказать, что квадратов и
кружков лежит поровну?
15. Положите на парту столько палочек, сколько на
одной руке пальцев. Сколько пальцев на одной руке?
Сколько палочек вы положили? Сколько нужно положить
палочек, чтобы их было столько, сколько пальцев на
двух руках? Сделайте это.
16. Положите на парту в верхнем ряду 4 квадрата, а
в нижнем ряду — 5 таких же квадратов. Кладите один
квадрат под другим. В каком ряду больше квадратов —
в верхнем или в нижнем? Какое число больше — 4 или 5?
На сколько больше? Какое число меньше — 4 или 5? На
сколько меньше?
Указание. Предварительно такая задача решается
у доски с помощью каких-либо предметов: учитель кла-
дет на планку, например, 3 картинки, а вызванному уче-
нику дает в руки 4 такие же картинки и предлагает по-
ложить их ниже под каждой картинкой. Ученик положит
3 картинки, а четвертую вынужден будет положить даль-
ше. После этого учитель задает вопросы.
17. Положите на парту в одном ряду 6 квадратов, а
во втором ряду под ним 5 таких же квадратов. В каком
ряду квадратов меньше — в верхнем или нижнем? А в ка-
ком ряду больше? Какое число больше — 5 или 6? А ка-
кое из них меньше? На сколько 6 больше 5? На сколько
5 меньше 6?
У к а з а н и е. Учитель должен добиться от учеников,
чтобы они уяснили понятия «столько же», «больше» и
«меньше» не только на предметах, но и на числах. Уяс-
нение этих понятий имеет важное значение для созна-
тельного изучения детьми натурального ряда чисел, уст-
ной и письменной нумерации. С этой же целью можно и
нужно спрашивать учащихся, «на сколько больше или
меньше» какое-нибудь число соседнего с ним в натураль-
ном ряду числа. Спрашивать же, каким действием узна-
ют об этом учащиеся, на данном этапе, конечно, не сле-
дует, так как это будет выясняться лишь при решении
задач на разностное сравнение.
11
18. Сложите на парте из палочек домик, подсчитайте,
сколько палочек потребовалось на это, и положите столь-
ко же квадратов.
19. Сложите из палочек пароход, подсчитайте, сколь^
ко на это потребовалось палочек, и положите на парту
столько же кружков.
20. Положите квадраты перед собой направо, считай-
те их по одному, откладывая налево. Сколько всех квад-
ратов?
21. Теперь берите в руку по одному квадрату, откла-
дывайте направо и говорите, сколько квадратов остается
слева.
Указание. Предложить детям такой же прямой и
обратный счет при помощи кругов.
При прямом и обратном счете учащиеся уже должны
понимать, что каждое число натурального ряда представ-
ляет собой множество каких-либо предметов (единиц),
количество которых равно тому последнему числу, кото-
рое названо при счете.
Кроме того, при изучении прямого и обратного счета
каждый учащийся должен понимать, как образуется лю-
бое число натурального ряда: при прямом счете для об-
разования следующего числа прибавляется единица, а
при обратном — вычитается единица. Этому способству-
ют те упражнения, которые выполняют учащиеся, решая
задачи «Сборника», а также прямой и обратный счет ка-
ких-либо предметов: палочек, геометрических фигур, кос-
точек счетов, предметов окружающей обстановки, карти-
нок и г. п.
При изучении места числа среди других натуральных
чисел в пределах 10 полезно проводить следующие 4 ви-
да упражнений: 1) Какое число следует, скажем, после
7? 2) Какое число находится перед 7? 3) Какое число на-
ходится между 6 и 8? 4) Среди каких чисел находится
число 7? Или: назовите числа, соседние с числом 7.
Наряду с изучением количественных числительных
(один, два, три и т. д.) надо научить детей и порядковым
числительным (первый, второй, ..., десятый). Для этого
полезно проделать ряд упражнений.
1) Вызвать к столу 5 учеников и предложить им сле-
ва направо пересчитаться: первый, второй, третий, чет-
вертый, пятый (учитель спрашивает: «Каким по счету от
окна в нашем ряду будет Коля? (Первым.) А Миша?
12
(Вторым.) Считайте дальше!» Когда каждый из
учеников будет иметь свой номер, можно предложить по-
меняться местами первому со вторым, первому с третьим
и т. д. После такой перестановки предложить детям
встать так, как они встали вначале, и подобную же пере-
становку предложить сделать другим учащимся. После
каждого обмена один из учеников подсчитывает количе-
ство всех учащихся. Затем можно вызвать пять-шесть
учениц, которые будут считать: первая, вторая, третья и
т. д. Они проделывают тоже ряд перестановок.
2) Затем можно предложить детям зарисовать в тет-
радях, например, по 4 квадрата (через две клетки). Пер-
вый квадрат можно оставить белым, второй затушевать
обыкновенным карандашом, третий — красным, четвер-
тый— синим. Надо спросить учащихся, какого цвета
каждый квадрат (1-й—белый, 2-й—черный и т.д.).Пос-
ле того как все приготовления будут окончены, жела-
тельно задать следующие вопросы: сколько всех квадра-
тов вы нарисовали? Замените синий квадрат белым. Те-
перь белый стал каким по счету квадратом? А сколько
всех квадратов? Словом, надо чтобы дети правильно от-
вечали на вопросы «который» и «сколько».
3) Полезно 1 акже провести упражнение на пальцах.
Если назвать большой палец праной руки первым паль-
цем, указательный вторым, средний третьим, безымян-
ный четвертым и мизинец пятым, то можно задать вопро-
сы: мизинец какой по счету? (5-й), средний какой? (3-й)
и т. д. Или: при прямом счете учащиеся называют: 1-й
палец большой, 2-й — указательный, 3-й —средний ит. д.,
а при обратном счете; 5-й — мизинец, 4-й — безымян-
ный, 3-й — средний и т. д. Это упражнение полезно еще
и тем, что учащиеся изучают (или повторяют) названия
пальцев *.
В результате всех упражнений учащиеся должны
знать в пределах 10 прямой и обратный счет как количе-
ственных, так и порядковых чисел.
22. Сколько детей сидит за одной партой? Положите
на парту столько квадратов, сколько детей сидит за од-
ной партой.
* При изучении порядковых числительных использован метод,
изложенный в книге: А. М. Л еушипа. Обучение' счету в дет-
ском саду. М., Учпедгиз, 1961, стр. 105—109.
13
23. Сколько детей сидит за двумя партами? Положи-
те на парту столько кружков, сколько детей сидит за
двумя партами.
Указание. Такие же задания можно дать и о 3, 4,
5 партах.
24. Сколько окон в вашем классе? Положите на пар-
ты столько квадратов, сколько окон в вашем классе.
25. Подсчитайте какие-нибудь другие одинаковые
предметы, находящиеся в классе, и положите на парту
столько же квадратов или кружков.
Указание. Можно вызвать несколько человек и
поставить их к доске справа, слева и к столу, а осталь-
ным учащимся предложить положить на парты столько
же кружков или квадратов. Можно на планку положить
несколько каких-нибудь одинаковых предметов (куби-
ков, картинок и т. п.), а ученикам предложить такое же
количество фигурок положить на парты.
26. Откройте свои тетради по математике и посмот-
рите, как они разлинованы. На что похожа каждая клет-
ка тетради? Возьмите карандаш, поставьте точку в ка-
кой-нибудь клетке в левой стороне строки и отсчитайте
направо 10 клеток. В каждой клетке ставьте точку. Со-
считайте потом эти клетки по точкам справа налево.
27. Отсчитайте теперь 10 клеток сверху вниз. В каж-
дой клетке ставьте также точку. Затем по точкам сосчи-
тайте эти клетки снизу вверх.
28. Разложите 4 кружочка так:
Как еще можно разложить 4 кружочка в два места?
29. Девочка купила листок цветной бумаги за 4 коп.
Какими монетами девочка могла заплатить за этот лис-
ток? Покажите на монетах,
30. Разложите 5 треугольников так:
Покажите, как еще можно разложить 5 треугольни-
ков в два места.
14
31. Разложите 5 кружков в две группы различными
способами.
32. Билет за проезд в автобусе стоит 5 коп. Покажи-
те, какими монетами можно заплатить в кассу за билет.
33. Проделайте на треугольниках прибавление по од-
ному и затем запишите это цифрами.
Указание. Учащиеся на имеющихся у них картон-
ных фигурах должны показать прибавление по одному в
пределах 5:
34. Покажите на треугольниках, что 1+2 = 3; 2 + 2=4;
3 + 2 = 5.
35. Покажите на квадратах и треугольниках, что
2—1 = 1, 3—1=2; 4—1=3; 5—1=4; 5—2 = 3; 5—3 = 2;
4—2 = 2; 3—2=1.
36. Разложите б треугольников так:
Покажите, как еще можно разложить 6 треугольни-
ков на две группы.
37. Ученик купил булку за 6 коп. Покажите, какими
монетами можно заплатить за эту булку.
38. Коля положил 6 книг в шкаф на две полки. Пока-
жите на квадратах или кружках, как мог Коля положить
книги.
39. Разложите 7 треугольников так:
15
Покажите, как еще можно разложить 7 треугольни-
ков на две группы.
40. Мать дала сыну 7 коп. Покажите, какими моне-
тами можно дать 7 коп.
41. Покажите на кружках, как можно 7 книг поло-
жить на две полки.
42. У Вити в коробке было 7 перьев. Он вынимал из
коробки по одному перу и говорил, сколько перьев оста-
лось в коробке. Проделайте и вы то же самое при помо-
щи кружков.
43. Катя разложила 8 квадратов так:
Покажите, как еще можно разложить 8 квадратов на
две группы.
44. Покажите, как к 7 треугольникам можно приба-
вить 1 треугольник.
Указание. Дети кладут 7 треугольников и придви-
гают к ним еще один треугольник.
45. Аня за 8 коп. купила книжку. Какими монетами
Аня могла уплатить 8 коп.?
46. Покажите с помощью прямоугольников, как мож-
но 8 книг разложить на две полки.
47. Разложите 9 тре-
_ угольников на две груп-
пы различными способа-
~ ми.
48. Покажите при по-
_ мощи прямоугольников
или квадратов, как мож-
но разложить 10 книг на
- две полки.
49. Разложите 5 квад-
ратов на две группы все-
ми способами. Запишите
цифрами, сколько квад-
- ратов в каждой группе.
- Например, так: 4 и 1, 3
и 2 и т. д.
(6
Указание. Дети должны на партах получить такие
же пары множеств квадратов.
После выполнения этого задания можно задать воп-
росы;
1) Сколько квадратов в каждой строке?
2) Как можно составить число 5 (4 и 1, 3 и 2, 2 и 3,
1 и 4)?
Такую же работу полезно проделать для каждого
числа в пределах 10 на разнообразном дидактическом
материале (палочки, кружки, квадраты, треугольники
и пр.).
Например, для числа 8 дети получат следующее раз-
ложение (и запись):
Такая работа поможет детям сделать очень важное
обобщение о приемах разложения числа конкретных
предметов на два слагаемых, а именно: в одну группу
класть 1 предмет, а в другую—остальные предметы, за-
тем в одну — 2, а в другую — остальные предметы и т. д.
Полезно разложение числа проделать и таким обра-
зом: поставить у доски несколько учеников, например 9,
предложить ученику поставить их в два ряда: в одном
ряду — 5, в другом — 4 человека. Надо спросить учени-
ка, в каком ряду больше детей, а в каком — меньше,
сколько их в двух рядах. Другому ученику учитель
17 ’
предлагает расставить вызванных учеников иначе и за-
дает ему такие же вопросы. Такую перестановку детей
в два ряда надо сделать всеми возможными способами.
Затем вновь вызванным ученикам полезно предло-
жить все 8 расстановок сделать по порядку: 1 и 8, 2 и 7,
и т. д.
50. Положите на стол один кружок, а справа — циф-
ру 1, во втором ряду — два кружка, а справа — цифру 2
и т. д. до 5 или 10, слева кладите кружки, а справа —
цифры, которые показывают, сколько кружков вы поло-
жили.
Указание. У детей на партах должно получить-
ся так:
® ® ® ® «
® ®®®®5
® 1
Вместо кружков можно
взять квадраты, палочки или
другой какой-либо дидакти-
ческий материал.
После проверки выполне-
ния задания учитель может
то же самое зарисовать на
доске и задать учащимся при-
мерно следующие допросы.
1) Сколько'кружков у вас
обозначает цифра 1? цифра
2? цифра 5? И т. д.
2) Посмотрите на разло-
женные кружки и цифры и
скажите, что меньше: 2 или 3; 1 или 3.
3) Какие цифры находятся рядом с цифрой 2? (1 и 3.)
Отсюда число 2 больше какого числа и меньше какого
числа?
4) Покажите цифру, обозначающую число 4, число 5,
число 8.
5) Покажите столько палочек, сколько обозначает
цифра 4, цифра 5, цифра 8 и т. д.
Все это можно сделать не на одном, а на нескольких
уроках. Эти упражнения способствуют выработке следу-
ющих понятий: 1) соответствие цифры определенному ко-
личеству предметов (определенному числу единиц);
2) каждое число натурального ряда больше любого из
предыдущих, но меньше последующего, например, циф-
ра 4 обозначает число, большее 3; 2 и 1, но мень-
шее 5.
18
Вслед за тренировкой желательно провести контроль-
ные работы: одну — в пределах счета до 5, другую — в
пределах счета от 6 до 10. Контрольная работа должна
состоять из двух частей: 1) учитель пишет цифру, а уче-
ник рисует какие-либо предметы в количестве, соответ-
ствующем этой цифре; 2) учитель рисует несколько мно-
жеств предметов, а ученик записывает цифрой число их
в каждом множестве. Например (в пределах 5):
Рамки для контрольной работы заготавливаются за-
благовременно. Во время контрольной работы учитель
чертит рамки на доске и вписывает в них свое задание,
учащиеся списывают эти задания и в своей графе запи-
сывают ответы.
Одновременно с использованием геометрических фи-
гур при изучении первого и второго десятков можно ис-
пользовать классные счеты. Но счеты должны быть лишь
подсобным (главным образом демонстрационным) посо-
бием. Основными же пособиями в этот период должны
быть геометрические фигуры, палочки, желуди и пр.
При работе со счетами надо следить, чтобы дети
пользовались ими правильно, а именно: присчитывание
(прибавление) единиц производилось справа налево, а
отсчитывание (вычитание)—слева направо. Это правило
нарушается, например, тогда, когда ученик считает на
счетах, повернувшись лицом к счетам и к классу. Во из-
бежание этой ошибки надо, чтобы ученик, работающий
на счетах, был всегда в такой же позиции, как и другие
учащиеся.
19
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ВЕЛИЧИНЫ
Общие замечания
По программе ученики начальных классов знакомят-
ся с плоскостными фигурами, именуемыми вообще мно-
гоугольниками; в частности с различного вида треуголь-
никами, прямоугольниками и другими видами четырех-
угольников, фигурами с большим числом сторон: пяти-
угольниками, шестиугольниками, которые легко можно
разбить на треугольники и четырехугольники.
При ознакомлении с указанными фигурами необхо-
димо с самых первых шагов (когда дети пользуются
различными фигурами как дидактическим материалом)
дать практически понятие детям о том, что треугольник,
четырехугольник, прямоугольник, квадрат и вообще мно-
гоугольник— это часть плоскости (поверхность бумаги,
картона, фанеры, ткани), ограниченная сторонами — от-
резками прямых линий, как в прямоугольнике или тре-
угольнике, или кривой линией, как в круге, или кривой и
прямой, как в полукруге. Надо избегать обычной, повто-
ряющейся и в пособиях, и в учебниках ошибки, заключа-
ющейся в том, что вместо понятия о треугольнике, четы-
рехугольнике и вообще о всяком многоугольнике детям
внедряется понятие о контуре этой фигуры. Например,
ученика спрашивают, сколько нужно взять палочек, что-
бы сложить квадрат (вместо того чтобы спросить, сколь-
ко надо взять палочек, чтобы составить контур, границы
квадрата). После таких вопросов ученик начинает ду-
мать, что квадрат, треугольник, прямоугольник можно
сделать из палочек.
Чтобы избежать этих ошибок, мы предлагаем зна-
комство с треугольником, прямоугольником и любым
многоугольником начинать путем вырезывания этой фигу-
ры из бумаги (контур фигуры очерчивается по линейке
карандашом, а затем по начерченному контуру ножница-
ми или ножичком вырезывается фигура). Вторым этапом
ознакомления с такими фигурами являются чертежи на
бумаге с обязательной затушевкой. Пусть ученик знает,
что когда он начертил только стороны треугольника или
квадрата, то это только контур (границы) фигуры, а
когда он сделает затушевку, то будет видеть всю фигуру.
20
Если же учитель желает провести с учениками прак-
тическую работу с палочками, то им можно предложить
примерно такие вопросы:
1) Сколько надо взять палочек и каких, чтобы из них
сложить все стороны (или границы) квадрата? треуголь-
ника с равными сторонами?
2) Какая получится линия из сторон квадрата, если
убрать одну сторону квадрата, т. е. одну палочку? (По-
лучится ломаная линия из трех равных отрезков.)
И т. п.
При изучении сотни ученики I класса знакомятся с
мерами длины — сантиметром, дециметром и метром,
а также с мерой масср! — килограммом и с мерой емкос-
ти— литром. С мерой длины сантиметром желательно
познакомить детей раньше, лучше в самом начале за-
нятий, так как знакомство с этой мерой даст возмож-
ность разнообразить занятия различными задачами
практического характера.
Прямая линия и ее отрезок
Назовите, какие из этих десяти линий прямые и ка-
кие— кривые. Посмотрите внимательно, чем отличаются
кривые линии за номерами 3 и 9 от остальных кривых
линий.
Указание. Перед уроком ознакомления учеников с
линиями учитель заготавливает такой (или подобный
ему) плакат или делает чертеж на доске. Кривые 3 и 9
замкнутые, остальные кривые незамкнутые. На данном
этапе обучения дети не могут дать этим кривым назва-
21
ния, но интересно проследить, заметят ли они между
множествами кривых 4, 7, 8, 10 и 3, 9 какое-либо разли-
чие. Основной же задачей в данном случае является
выделение прямых из множества различных линий.
Пусть дети называют линии так! 1-я — прямая, 2-я—
прямая, 3-я —кривая и т. д.
52. Начертите три прямые линии: одну —слева на-
право (по строке), другую — снизу вверх, третью — на-
искось. Подумайте и скажите, можно ли каждую из этих
линий продолжить в обе стороны. Чертите хорошо отто-,'
ченным карандашом по линейке слева направо. Линейку
придерживайте левой рукой, а карандаш — наклонно.
Указание. Надо показать,
Z/j как правильно проводить пря-
/у мую линию. Для этого можно
/Xf листок клетчатой бумаги при-
/X крепить кнопками к доске и по-
казать, как держать линейку и
Xf вести карандаш. После этого не-
________г _______ обходимо проследить, как каж-
дый из учеников выполняет это
задание, и тем, кто делает неправильно, показать в
тетради, как надо держать линейку и карандаш. Если
этого не сделать вначале, то потом уйдет больше време-
ни на поправки и указания.
53. Отметьте в тетради точку и проведите через нее
две прямые линии. Подумайте, можно ли через эту же
точку провести еще прямые линии. Проведите еще две
прямые через эту точку и скажите, сколько еще можно
провести прямых линий через ту же точку.
Указание. Дети должны сделать вывод, что через
одну точку можно провести сколько угодно прямых.
54. Отметьте две точки и проведите через них пря-
мую линию. Можно ли через эти две точки провести
еще прямую линию, чтобы она не слилась с первой? Те-
перь попробуйте провести кривую линию, чтобы она про-
шла через те же две точки. Можно ли еще через те же
две точки провести кривую линию? А сколько кривых
линий можно провести через две точки?
Указание. Точки можно поставить где угодна, но.
лучше на расстоянии 6—8 клеток одну от другой, по
строке. При решении этой задачи может получиться при-
мерно такой чертеж:
22
Вывод, который должны
сделать ученики: через две
точки можно провести толь-
ко одну прямую линию, а
кривых линий сколько угодно.
55. На чертеже 6 пар прямых линий. Всмотритесь в
них внимательно и скажите, чем отличаются друг от
1
4
J
друга 1, 3 и 6-я пары линий от 2, 4 и 5-й пар.
Найдите у себя в тетрадях и в классе такие пары
прямых линий, как 1, 3, 6-я. Такие линии не пересекают-
ся друг с другом. Их много в окружающей нас обста-
новке (две противоположных стороны тетради, окна, две-
ри и т. п.).
Найдите теперь такие две пары линий, которые пере-
секаются, как 2, 4, 5-я. Их тоже можно найти в тетра-
дях и в классе.
56. Начертите пару непересекающихся прямых и па-
ру пересекающихся прямых.
Все прямые линии на бумаге или иа доске чертятся
не полностью, они могут быть продолжены в обе стороны
сколько угодно.
57. На этом чертеже даны две пря-
мые линии. Какие они — пересекаю-
щиеся или непересекающиеся? Как
это узнать? Как найти точку их пере-
сечения?
Указание. Ученики должны догадаться, что обе
эти прямые надо продолжить вправо.
58. Начертите две такие прямые линии, которые на
чертеже не пересекаются, но должны пересечься при
продолжении, и найдите точку их пересечения.
59. Начертите прямую линию и пересеките ее в двух
местах черточками (штрихами). Этими черточ-
ками мы ограничиваем (отрезаем) кусочек прямой лн-
23
—|:--------------1— нии, и эта часть прямой линии
от одной черточки до дру-
гой называется отрезком прямой линии или просто от-
резком. Вокруг вас много отрезков: ребра (стороны)
тетради, стекла, доски, двери — все это части прямых
линий, которые ограничены с двух концов, значит, они
являются отрезками.
60. Отметьте на бумаге две точки и проведите через
них прямую линию. Как можно назвать ту часть линии,
которая находится между точками? Можно ли провести
другой отрезок между теми же точками, который не сов-
пал бы с первым отрезком?
61. Отметьте три точки так: соедините прямыми
2
• 3
/ •
первую точку со второй, а вторую с третьей. Сколько от-'
резков получилось у вас? Линия, которую образовали
эти два отрезка, называется ломаной. Она состоит из
двух отрезков. Что надо сделать, чтобы ломаная линия
состояла из трех отрезков? из четырех отрезков? Сде-
лайте это.
Указание. Дети должны получить примерно та-
кой чертеж:
62. Отметьте точки 1, 2, 3, как на чертеже к задаче
61, и соедините первую точку со второй, вторуюстреть-
ей, третью с первой. Вы получите замкнутую ломаную
линию из трех отрезков. Эта замкнутая ломаная линия
служит сторонами треугольника. Сколько сторон у тре-
угольника?
Четырехугольники
63. Соедините точки первую со второй, вторую с
третьей, третью с четвертой, четвертую с первой:
24
Проделайте то же и на втором чертеже. Затушуйте
обе фигуры. Вы получите два четырехугольника. Про-
верьте с помощью линейки, есть ли равные стороны в
I фигуре и во II фигуре.
64. Начертите четырехугольник, у которого в длину и
ширину по 4 клетки. Затушуйте его и проверьте, какие у
него стороны (равные или неравные).
Указание. Учитель скажет учащимся, что такой
четырехугольник называется квадратом (дети уже виде-
ли квадрат, а теперь они его сами построили).
65. На отдельном листке клетчатой бумаги будем на-
мечать вершины фигур и затем ножницами вырезывать
эти фигуры.
Наметьте вершины квадрата так, чтобы они были
друг от друга на расстоянии 6 клеток, проведите стороны
квадрата и по этим сторонам ножницами вырежьте
квадрат, постарайтесь построить и вырезать поточнее.
Сколько квадрат имеет вершин? сколько углов?
сколько сторон? Равны ли все стороны вырезанного
квадрата? Как это можно проверить?
Указание. Когда квадрат будет вырезан, надо
сказать учащимся, что точки, в которых сходятся сторо-
ны, называются вершинами фигуры. Проверить, равны
ли стороны квадрата, можно по клеткам.
66. Вырежьте четырехугольник так, чтобы по длине
его было 6 клеток, а по ширине 4 клетки. Наметьте снача-
ла вершины четырехугольника, а затем проведите сторо-
25
ны и по сторонам вырежьте. Сколько вершин, сколько
> углов, сколько сторон у четырехугольника? Все ли сторо-
ны этой фигуры одинаковые (равные)? Затушуйте слег-
ка этот четырехугольник.
67. Вырежьте треугольник. Предварительно наметь-
те вершины его.
Указание. Можно сначала предложить по основа-
нию треугольника отметить, скажем, 6 клеток, а по вы-
соте 4 клетки, а для вырезывания другого треугольника
не делать никаких указаний, предоставив учащимся пол-
ную свободу. Пусть дети затушуют его и ответят на воп-
росы о количестве в нем вершин, углов и сторон. Необ-
ходимо им сказать, что треугольником называется часть
(затушеванная) плоскости, ограниченная тремя сторона-
ми. Заучивать эти определения не надо.
68. Положите монету в 3 коп. на бумагу и обведите
ее поаккуратнее хорошо отточенным карандашом. У вас
получится кривая замкнутая линия, которая называется
окружностью. Затушуйте клеточки, которые оказались
внутри окружности, и вырежьте эту бумажную монету —
у вас получится круг. Сообразите, как получить круг
побольше и как поменьше того, какой получился у вас.
Какие монеты надо взять, чтобы получить круг больше, и
какую монету, чтобы получить круг поменьше?
Указание. С кругом детей приходится знакомить
в этом периоде, так как они употребляют его как дидак-
тический материал.
69. Наметьте три точки на гладкой (нелинованной)
бумаге, проведите стороны треугольника, затушуйте
треугольник и вырежьте его.
Указание. Пусть дети наметят точки по своему
усмотрению.
ЗНАКОМСТВО С МЕРОЙ «САНТИМЕТР»
70. Отрезки можно измерять. Для этого применяют
меры длины. Сейчас мы познакомимся с мерой, которая
называется сантиметром. В тетради длина двух клеток
составляет приблизительно сантиметр. Более точно сан-
тиметры откладывают, пользуясь линейкой. Посмотрите,
на линейке стоят большие черточки и против них цифры:
0, 1, 2, 3 и т. д. Они указывают отсчет сантиметров. Ес-
ли мы хотим измерить длину какого-либо отрезка, то
кладем линейку так, чтобы 0 находился как раз против
26
начала измеряемого отрезка, тогда цифра, стоящая про-
тив конца отрезка, покажет его длину.
Слово сантиметр при числах можно записывать со-
кращенно см, например: 1 см, 2 см, 4 см, 5 см.
Начертите на трех строках тетради один под другим
три отрезка: на первой строке наметьте концы отрезка
на расстоянии двух клеток, на второй — на расстоянии
четырех клеток и на третьей — на расстоянии шести
йлеток. Измерьте с помощью линейки длины этих от-
резков и справа запишите длину каждого отрезка в
сантиметрах (сокращенно).
а - ।
б ---------------------
в । <
71. На чертеже три отрезка. Определите на глаз, ка-
кой из них самый длинный, какой самый короткий. За-
тем измерьте их и проверьте, правильно ли вы опреде-
лили на глаз. Запишите с помощью знаков < и > то,
что вы узнали.
Указание. Учащиеся могут записать так:
а<б, а>в, б>а, б>в.
72. На чертеже два отрезка. Вы видите, что отрезок
1 больше или длиннее отрезка 2. Это можно кратко за-
писать так: отр. />отр. 2.
/ >...........— ........................................................<
Про эти же два отрезка можно сказать, что отрезок
2 меньше или короче отрезка 1. Это можно записать так:
отр. 2<отр. 1. Запишите так у себя в тетрадях и проч-
тите так: отрезок 1 больше или длиннее отрезка 2; от-
резок 2 меньше или короче отрезка 1.
Если измерить эти отрезки сантиметрами и записать
их длины справа от отрезков, то мы узнаем, что длина
1-го отрезка 6 см, а 2-го — 4 см. Теперь мы еще раз
убеждаемся, что 1-й отрезок длиннее 2-го, а 2-й короче
1-го, так как 6 см>4 см к 4 см<6 см. Запишите так у
себя в тетрадях и прочтите: 6 см больше 4 см, а 4 см
меньше 6 см.
27
73. Когда отрезки по длине мало отличаются друг от
друга, а линейки нет, то можно сравнить их с помощью
полоски бумаги. Определите с помощью полоски, какой
из этих двух отрезков больше, какой — меньше, а затем
проверьте измерением по линейке и запишите.
Указание. Запись а<б или б>а. При измерении
отрезков дети увидят, что отрезок а равен 5 см, а отре-
зок б более 5 см.
При сравнении отрезков с помощью полоски бумаги
надо следить, чтобы дети начало полоски правильно сов-
мещали с одним концом отрезка, а другой конец отрез-
ка отмечали на полоске слегка карандашом (когда по-
лоска загрязнится, ее надо сменить).
2
75. Подсчитайте,
74. На чертеже два отрезка. Ка-
кой из них кажется больше? Про-
верьте наложением полоски бума-
ги, а затем измерьте каждый из
них. Что можно сказать про такие
два отрезка? Можно сказать, что
Э1и отрезки одинаковые или рав-
ные, хотя и кажется, что отрезок /
больше отрезка 2. О них можно
записать, что отр. / = отр. 2, так как
3 см = 3 см (длина отрезка 1 равна
длине отрезка 2).
сколько треугольников и четырех-
угольников в этих фигурах:
Ответ: а) 8 треугольников, 1 четырехугольник;
б) 4 треугольника и 5 четырехугольников.
28
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 10
76. Положите на парты треугольники. Возьмите
один из них и отложите его налево, а к нему рядом при-
ложите еще один треугольник. Сколько треугольников
стало слева? Как записать то, что вы проделали? Теперь
положите налево к двум треугольникам еще один тре-
угольник и запишите то, что вы проделали. И так да-
лее. Сколько раз можно добавлять по одному треуголь-
нику, чтобы получилось не более 10 треугольников?
(9 раз.)
77. От 10 треугольников, которые лежат слева, бери-
те по одному и записывайте: 10—1=9, 9—1 и т. д.
Сколько раз можно взять по одному треугольнику,
чтобы слева не осталось ни одного треугольника?
(10 раз.)
78. Прибавляйте по два квадрата: 1+2 = 3; 2 + 2 = 4
и т. д. Сколько раз можно прибавлять по два квад-
рата, чтобы получилось не более 10 квадратов?
(8 раз.)
79. Отнимайте по два квадрата: 10—2=8; 9—2=7 и
т. д. Сколько раз можно отнимать по два квадрата?
(9 раз.)
Указание. При решении задач 78 и 79 полезно
спросить учеников, как можно прибавить или отнять 2.
80. Как можно к двум палоч-
кам прибавить три палочки? Про-
делайте это и запишите (см. рис.). п n fl п п
Указание. Ученики на пар- ] j yfl |
тах должны показать:
2+3=5 W=5 III II
2+1+2=5 2+1 + 1-ь1==5 „„ Пп
Н II I
При сложении чисел первого
десятка надо объяснить детям, что в п п п л
числа в этом действии имеют свои I I II и
названия: числа, которые склады-
ваются, называются слагаемыми
(1-е слагаемое, 2-е слагаемое), а результат сложения
называется суммой. Для лучшего запоминания жела
29
тельно повесить виде! на стену таблицу, например, в таком
Первое слагаемое Второе слагаемое Сумма
5 + 2 = 7
3 + 6 9
В дальнейшем необходимо употреблять термины, так
чтобы дети вполне с ними освоились.
Работая с конкретными множествами (палочками,
геометрическими фигурами и пр.), необходимо, чтобы
ученики поняли, как можно прибавить к числу сумму
чисел (чтобы прибавить к числу сумму чисел, можно
прибавить сначала первое слагаемое, затем второе,
третье, если оно есть, и т. д.).
81. Проверьте, правильно ли вычислены суммы двух
чисел в следующих примерах:
7+3=10 2 + 7=9 4+3=7
3+7 = 10 7+2 = 9 3+4 = 7
Указание. Желательно, чтобы дети сделали про-
верку сначала на каком-нибудь дидактическом материа-
ле, а затем отвлеченно.
82. Найдите суммы указанных слагаемых и запиши-
те их в тетрадь:
Указание. При нахождении суммы дети пусть
применяют геометрические фигуры как дидактический
материал.
83. Покажите на палочках и затем запишите, как
можно к трем палочкам прибавить четыре палочки.
Сколько всех примеров получится при таком сложении?
Одинаковы ли суммы во всех примерах?
Указание. Учащиеся должны получить следую-
щие примеры:
30
3+1+1+1+1=7
3+2+2=7
3+2+1+1=7
3+14-2 + 1 = 7
3+1+1+2=7
3+3+1=7
3+1+3=7
3 + 4 = 7
Ш 09 99
099 Л 9 О
ООО 0 09 О
090 9 9 99
909 090 О
990 О 909
999 0909
или хотя бы некоторые из этих примеров. Дети, здесь
убеждаются, что, как бы они ни прибавили к 3 палочкам
(или к 3 единицам) 4 палочки (4 единицы), сумма по-
лучается одна и та же — 7 палочек (7 единиц).
84. Придумайте 8 таких примеров на сложение, что-
бы сумма каждых двух чисел составляла не более 1OJ
Сосчитайте сначала с помощью палочек или геометриче-
ских фигур, а затем записывайте.
85. Придумайте 10 таких примеров на сложение, что-
бы сумма каждых двух чисел равнялась 10. Запишите
примеры с помощью рамки, как в задаче 82.
86. Покажите, как можно к 6 треугольникам приба-
вить 4 треугольника. Сделайте запись всех случаев
прибавления.
Указание. 6 + 4 = 10; 6 + 3+1 = 10; 6+1+3=10;
6+2+2= 10; 6 + 1 + 1 +2 = 10; 6 + 2 + 1 + 1 = 10; 6+1+2 +
+ 1 = 10; 6 + 1.+Д+1+.1 = 10.
31
87. Покажите, как можно от 5 прямоугольников от-
нять 3 прямоугольника. Запишите это.
Указание. Учащиеся должны записать: 5—3 = 2;
5—2—1=2; 5—1-2 = 2; 5—1-1 —1=2.
88. Запишите, как можно от 10 отнять 4.
89. Числа при вычитании имеют свои названия:
1) число, из которого вычитают, называется уменьшае-
мое (мы его уменьшаем); 2) число, которое вычита-
ют,— вычитаемое-, 3) результат вычитания — разность.
Запишите, уменьшаемое вычитаемое разность
10 - 3=7
Придумайте и напишите еще 2 таких примера.
Указание. Необходимо сделать таблицу и повесить
ее рядом (или одну под другой) с таблицей на сложе-
ние.
90. Проверьте, правильно ли вычислены разности в
следующих примерах:
9—4 = 5 7—2 = 5 8-3 = 5
9-5=4 7—5 = 2 8—5 = 3
91. Найдите разность и запишите в третью графу:
Уменьшаемое 6 5 8 9 10 9 8 10
Вычитаемое 5 4 3 4 7 6 4 5
Разность
Указание. Желательно, чтобы дети вычисляли
разность сначала на дидактическом материале таким
образом. Кладут на парту, например, 6 палочек, отодви-
гают от них 5 палочек и говорят шепотом: «6 без 5, бу-
дет 1», или «6 минус 5, будет 1», или «от 6 отнять 5, бу-
дет 1». После этого разность записывают в третью гра-
фу.
92. Придумайте 6 таких примеров на вычитание,
чтобы разность каждого из них была равна 3.
Указание. Дети могут применить рамку, как в
задаче 91.
93. У Вани было 5 коп. Мама дала ему три монеты, и
у него стало 10 коп. Какие монеты мама дала Ване?
Проделайте это на монетах или на кружках и запишите.
Ответ. 1) 3 коп., 1 коп., 1 коп.; 2) 2 коп., 2 коп.,
1 коп.
32
94. Гриша положил на парту 4 треугольника, а затем
прибавил еще 3 раза по равному числу треугольников, на
парте стало 10 треугольников. По скольку треугольников
клал 3 раза мальчик? Сделайте и вы так же. После это-
го решите на треугольниках: по какому числу треуголь-
ников надо прибавить два раза к 4 треугольникам, чтобы
получилось 10 треугольников?
95. Запишите примеры, в которых надо: 1) от 9 отнять
6 двумя равными числами; 2) от 8 отнять 6 тремя равны-
ми числами. Покажите решение на палочках или фи-
гурах.
96. Придумайте примеры: 1) к 1 прибавить 7 двумя
числами; 2) от 10 отпять 7 двумя числами. Покажите
решение на пособиях.
97. Придумайте задачу, чтобы в ней нужно было к 2
прибавить 8 четырьмя равными числами.
98. Придумайте задачу, чтобы нужно было 8 вычесть
двумя одинаковыми числами.
99. Какое число и сколько раз надо прибавить к 1,
чтобы получить 10? Сделайте это на квадратах и запи-
шите решение.
Ответ. 1 девять раз, или 3 три раза, или 9 один раз.
100. Какие два числа надо отнять от 10, чтобы оста-
лось 1? Сделайте это на треугольниках.
Ответ. 1) 1 и 8; 2) 2 и 7; 3) 3 и 6; 4) 4 и 5.
101. Решите примеры:
1) 7 + 3 2) 8+1 3) 5+3 4) 6 + 4
7—3 8—1 5-3 6—4
Что вы находили в первом примере каждой пары и что
во втором примере? Составьте сами еще две пары таких
примеров.
Указание. Необходимо добиться того, чтобы дети
увидели в этих примерах противоположную зависимость:
в первом примере каждой пары они прибавляют столько-
то единиц, находя сумму конкретных множеств (скажем,
квадратиков или треугольников) или отвлеченных еди-
ниц, а во втором примере вычитают столько же единиц,
находя разность конкретных множеств или единиц.
102. На чертеже две группы (два множества) квадра-
тов. Какими способами можно все эти квадраты перело-
жить в одно место (в одно множество)? Как можно это
2 Заказ 1187 33
сделать быстрее? Сделайте это на своих квадратиках и
запишите, как вы сделали.
Указание. Ученики должны догадаться, что мож-
но левую группу квадратов (левое множество) перело-
жить направо, т. е. к 3 кв.4-6 кв., в правой группе полу-
чится 9 квадратов, но можно правую группу квадратов
(правое множество) совместить с левой, тогда будет
6 кв. + З кв. = 9 кв., получится столько же, но сделать это
можно быстрее, так как в этом случае приходится пере-
мещать меньшее число квадратов.
Главный вывод, который должны сделать учащиеся
на основании этой практической работы, — это то, что и
в том и в другом случае результат получается одинако-
вый: 3 + 6 = 9 или 6 + 3 = 9, значит, 3 + 6 = 6 + 3. Здесь уме-
стно сказать детям (если эго не выяснилось ранее), что
в данном случае мы имеем дело с переместительным
свойством суммы, которое остается верным для любых
множеств предметов и чисел, когда они складываются.
Желательно, чтобы это свойство суммы было проверено
на ряде конкретных примеров (с треугольниками, круга-
ми, палочками, на отвлеченных числах). В результате
работы ученики должны получить вывод, что от переста-
новки слагаемых сумма не изменяется.
103. В одной кучке лежало 3 полена, в другой 7. Ка-
кими способами можно переложить все поленья в одну
кучку? Сделайте это с помощью палочек и скажите, в ка-
кую кучку можно переложить поленья быстрее. Запиши-
те оба способа решения этой задачи. Каким свойством
суммы вы воспользовались для решения этой задачи?
Указание. Ученики должны сделать вывод, что
меньшее число предметов (поленьев, палочек) можно
—5— ------ быстрее и удобнее передвинуть
* * или перенести к большему
числу предметов и меньшее
———J ------------ число единиц удобнее и легче
прибавить к большему, чем
»“У| большее к меньшему.
, , 104. 1) Начертите два одина-
, , ковых квадрата, например, оба
I" — 1 по 4 клетки. Вот так:
34
Отметьте в левом квадрате множество точек, скажем 8,
а правый квадрат пусть будет пустой. Сколько точек бу«
дет в двух квадратах? Как это записать?
2) А если наоборот: левый квадрат будет пустой, а в
правом будет 8 точек, тогда сколько точек будет, в двух
квадратах? Как это записать? ... .
Указание. 1) Учащиеся должны рассуждать при*
мерно так: в левом квадрате 8 точек, а в правом ни од-
ной, т. е. О точек, значит, в обоих квадратах будет
8 + 0 = 8 (т.); 2) во втором случае: 0 + 8=8 (т.).
Здесь уместно спросить, на основании какого свойст*.
ва суммы получились эти два ответа.
105. Сделайте перестановки слагаемых в следующих
примерах и решите их:
5 + 0; 0 + 9; 1+0; 6 + 0; 0+.10; 0+2.
Указание. Желательно, чтобы решение дети запи-
сывали попарно:
5+0=5 0+9=9
0+5 = 5 9+0=9 и т. д.
106. Составьте шесть таких примеров, чтобы в каж-
дом примере оба слагаемых были равные, а сумма не
превышала бы число 10.
Указание. Имеются в виду следующие примеры:
0 + 0; 1 + 1; 2 + 2; 3 + 3; 4+4; 5 + 5.
107. Начертите таблицу и заполните клетки:
1-е слагаемое 3 5 9 0 10 0
2-е слагаемое 7 7 0 8 6 0
Сумма 9 9 10 6
108. Чему равен х?
1-е слагаемое 5 X 9 ,5- 0 , х
2-е слагаемое 0 0 X X 0 0
Сумма X 7 10 10 X 4
После нахождения х составьте задачи на эти при-
меры.
2» 35
Указание. Необходимо приучать детей решать
примеры в упражнениях 107 и 108 на основе зависимо-
стей между членами действий. Например, решая пример
2 в № 107, ученик рассуждает: чтобы найти 2-е слагае-
мое, надо вычесть 5 из 9, получится 4; проверим: 5 и 4
будет 9.
Выяснив предварительно, что такое уравнение (ра-
венство, в котором имеется неизвестное), можно начать
запись таких примеров в виде уравнений: 1) 5 + 0=х;
2) х + 0 = 7; 3) 9 + х=10; 4) 5 + х= 10 и т. д. — и решение
их на основе правила нахождения суммы или слагаемого.
Здесь же уместно (если не для всего класса, то хотя
бы для хорошо успевающих детей) показать способ ре-
шения задачи с помощью составления уравнения. Для
примера 4 можно составить такую задачу. У Коли было
5 тетрадей. Он купил еще несколько тетрадей, и у него
стало 10 тетрадей. Сколько тетрадей купил Коля? Если
дети уже знают, что неизвестное число обозначается бук-
вой х, то им нетрудно записать уравнение 5 + х= 10 и
найти второе слагаемое х=10—5; х = 5, т. е. узнать, что
Коля купил еще 5 тетрадей.
Для примера 2 (№ 108) можно составить такую, на-
пример, задачу: у Тани в кошельке было несколько ко-
пеек. Зная, что у Тани есть деньги, мама ей сегодня
не дала денег. Когда Таня пересчитала свои деньги, то
у нее оказалось 7 коп. Сколько денег было у Тани? Как
это записать в виде уравнения?
Дети должны записать: х+0 = 7 —и решить, что
х = 7—0 = 7, т. е. что у Тани и было 7 коп.
109. Найдите в этой фигуре 8 квадратов:
ПО. Сколько в этой фигуре
треугольников и сколько че-
тырехугольников? (Для диф-
ференцированного обучения.)
Ответ. Треугольников 10,
четырехугольников 14.
за
ПОВТОРЕНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 10
111. Игра «Разменяй монету». Разменяйте всеми спо-
собами монету стоимостью в 5 коп.
Указание. Ученики должны иметь наборы бумаж-
ных или настоящих монет достоинством в 1 коп., 2 коп.,
3 коп., 5 коп. Играют по двое. Сначала один дает друго-
му разменять монету, а затем меняются ролями.
Каждый играющий раскладывает у себя на парте в
ряд монеты, которые в сумме дают заданную для разме-
на монету. Кто сделает больше правильных способов раз-
мена монеты, тот на сегодня будет считаться лучшим
кассиром.
112. Игра «Разменяй монету». Разменяйте монету в
10 коп. на более мелкие монеты различными способами.
Указание. Учащиеся к монетам в 1 коп., 2 коп.;
3 коп., 5 коп. должны добавить еще гривенники (монеты
в 10 коп.). Учитель должен иметь в виду, что разменять
монету в 10 коп. можно многими' способами (20 спо-
собов).
Вместо игры на размен монет можно составить зада-
чу, например, такого содержания: Игорь разменял 10 коп.
на 5 коп., 3 коп. и 2 коп. Как можно разменять еще
10 коп.?
Работа с монетами представляет богатый материал
для развития сообразительности и инициативы учащихся.
Такая работа должна проводиться и дальше.
113. Ученица купила линейку за 6 коп. и уплатила за
нее четыре монеты. Какие это были монеты? Решите за-
дачу при помощи монет и запишите цифрами.
114. Ученик купил линейку за 4 коп. и в уплату дал
гривенник (монету в 10 коп.). Сдачи он получил три мо-
неты. Какие монеты получил мальчик? Задачу решите
при помощи монет и запишите цифрами.
115. Ученик составил два столбика примеров:
1) 3+5 2) 7—4
8-6 3+6
2+8 9—4
10—5 5+4
5-2 9—2
Решите эти примеры и укажите их особенности. Такие
примеры называются круговыми. Составьте самостоя-
тельно один столбик круговых примеров и решите их.
37
Указание, В круговых примерах результат перво-
го примера служит началом второго, результат второго —
началом третьего и т. д., результат последнего примера
(а их может быть сколько угодно) должен составлять
первое число первого примера. Таким образом, результат
последнего примера является проверкой правильности
решения столбца круговых примеров.
116. Начертите по линейке полоску длиной в 9 клеток,
а шириной в одну клетку. Отделите черточкой слева 5
клеток. Сколько клеток останется справа от черточки?
Запишите это цифрами.
Указание. Учащиеся должны получить прямо-
угольник такого вида:
и записать: 9—5 = 4.
117. Проведите в тетрадях по линейке 3 отрезка раз-
ной длины, измерьте их сантиметрами и справа запишите
их длины. Концы каждого из них отметьте поперечными
черточками.
Указание. Все пояснения учитель делает на доске.
В результате у детей в тетрадях должны быть 3 отрезка,
(на рисунке длина уменьшена).
Если отрезки проводились произвольные, то их изме-
рение будет приближенное. Пусть дети запишут то число
сантиметров, которое будет ближе к концу отрезка. Луч-
ше, если для первого раза дети проведут линии по клет-
кам, прочертив каждый отрезок через четное число,
клеток.
S3
118. Проведите один под другим 3 отрезка: один —
длиной 3 см, другой — 6 см, а третий — такой, чтобы его
длина была равна длине 1-го и 2-го отрезков вместе.
119. Проведите одну черту длиной 4 см, другую —
6 см, а третью — такую, чтобы ее длина была равна дли-
не первых двух.
120. Положите на парту один кружок. Четыре раза
добавьте к нему по равному числу кружков, чтобы ста-
ло 9 кружков. Сделайте это на кружках. По скольку
кружков прибавляли за один раз?
121. Положите на парту 7 кружков. Два раза отло-
жите от них по равному числу кружков, чтобы на пар*
те остался 1 кружок. По скольку кружков вы брали за
один раз?
122. Составьте задачи на следующие примеры:
1) 4 + 5= 2) 10—7 =
123. Митя загадал число, прибавил к нему 3 и ста-
ло 9. Какое число загадал Митя? ‘Проверьте решение
задачи на палочках.
124. Витя загадал число, отнял от него 7, осталось
2. Какое число загадал Витя?
Проверьте решение задач на
квадратах.
125. Можно ли сказать без 1
подсчета, какая сумма квад-
ратов—1-я или 2-я — больше,
на сколько квадратов больше
и почему? Проверьте свой от-
вет подсчетом и решением
примеров.
Указание. Дети должны
догадаться, что 2-я сумма квадратов больше 1-й суммы
на 1 квадрат, так как во 2-й сумме первое слагаемое
больше первого слагаемого 1-й суммы на 1 квадрат.
Свой ответ они могут проверить, во-первых, подсчетом,
а во-вторых, решением.
7 + 2 = 9
8 + 2=10
10 больше 9 на 1 или 9 меньше 10 на 1.
Задача эта важна в том отношении, что она с по-
мощью сложения конкретных множеств подготавливает
учащихся к уяснению зависимости суммы от изменения
слагаемых.
39
126. Скажите без подсчета и вы-
числения, на сколько кружков сумма
больше разности. Проверьте свой от-
вет подсчетом и вычислением.
127. Решите примеры в два дей-
ствия:
7 + 3—5 8 + 2—6 5+2—0
7—5+3 8-6+2 5—0+2
Что вы заметили при решении этих примеров? Со-
ставьте сами две пары таких примеров.
СОТНЯ
ЗАПИСЬ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ ДВУХ ДЕСЯТКОВ.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ БЕЗ ПЕРЕХОДА
ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК
Число геометрических фигур в каждой сумочке (кар-
машке) должно быть увеличено до 30, число палочек —
тоже до 30. Желательно иметь резинки для связывания
палочек по десятку.
128. Поставьте в одной строке 10 точек и сверху
1 точку, в другой строке — 10 точек и сверху 5 точек, в
третьей строке—10 точек и сверху 9 точек. Сколько по-
лучится в первом случае? во втором? в третьем?
Указание. В тетрадях учащихся должно полу-
читься:
Желательно, чтобы учащиеся сделали в тетради таблич-
ки для записи двузначных чисел, в которых (после пред-
варительного объяснения и тренировки на доске) под
диктовку учителя они могли бы записывать числа от
1 до 20.
40
129. Проведите по Линейке на одной строке прямую
черту длиной в 11 клеток, на другой — длиной в 18 кле-
ток. Справа против каждой черты запишите, сколько
клеток занимает каждая из них.
130. Валя проверяла пшеницу на всхожесть. Она по-
сеяла в горшок с землей 20 семян, а взошло только 18
семян. Сколько семян пшеницы не взошло? Поставьте
на одной строке тетради столько точек, сколько семян
посеяла Валя, а на другой строке — столько точек,
сколько семян взошло.
131. Положите направо 20 палочек и, откладывая их
по одной налево, считайте от 1 до 20, а затем кладите
обратно направо и говорите, сколько палочек остается
в левой стороне, т. е. считайте их в обратном порядке от
20 до 1.
132. .Проделайте то же самое, что и в предыдущей
задаче, но считайте палочки так: первая, вторая, третья,
..., двадцатая, а затем обратно: двадцатая, девятнадца-
тая, ..., первая.
Указание. Желательно поставить в ряд 20 учени-
ков и предложить им рассчитаться по порядку номеров.
133. Таня купила порцию мороженого и дала продав-
щице две монеты: гривенник и пятачок. Сколько Таня
заплатила за мороженое? Решите эту задачу на моне-
тах и скажите, какой одной монетой могла бы Таня за-
платить за мороженое?
134. Ученик за купленную книгу дал кассиру двугри-
венный и получил сдачи пятачок. Сколько стоила кни-
га? Проверьте решение на монетах.
135. Положите на парту по линейке в одном ряду 12
кружков, а в другом ряду столько же квадратов. Можно
ли сказать, что в обоих рядах лежит одинаковое число
фигур?
136. Положите в одном ряду 10 треугольников, а в
другом—на 2 треугольника больше. Сколько треуголь-
ников получится во втором ряду? Как об этом узнать,
не считая фигур?
137. Обведите в тетради в одной строке 6 клеток, а в
другой — на 4 клетки больше. Сколько клеток во вто-
рой строке? Как об этом узнать, не считая клеток?
138. Положите на парту в одном ряду 14 кружков, а
в другом — на 4 кружка меньше. Сколько кружков во
втором ряду? Как об этом узнать, не считая кружков?
41
139. Обведите в тетради в одной строке 9 квадратов,
а в другой — на 4 квадрата меньше. Сколько квадратов
будет обведено во втором ряду? Как об этом узнать, не
считая квадратов?
140. Одна книга стоит 20 коп., а другая — на 6 коп.
дешевле. Сколько копеек стоит другая книга? Сеня ку-
пил эту вторую книгу и дал кассиру 4 монеты. Какими
монетами Сеня заплатил за книгу? Покажите их.
Указание. Дети могут дать один из таких от-
ветов:
1) 10, 2, 1, 1 3) 5, 5, 3, 1
2) 5, 5, 2, 2 4) 5, 3, 3, 3
141. Проведите прямую черту длиной 5 см, а под
ней — другую, на 3 см длиннее первой.
142. Проведите прямую черту длиной 10 см, а под
ней — другую, на 5 см короче.
143. Назовите число, на 3 большее каждого из сле-
дующих чисел: 2, 4, 7, 5, 6, 1, 10; 16; 11; 14; 13; 12; 15; 17.
144. Назовите число, на 4 большее следующих чисел:
5, 2, 6, 1, 3, 4, 12, 10, 15, 14, 13, 11, 16.
145. Назовите число, на 5 большее следующих чи-
сел: 4, 1, 3, 5, 2, 14, 11, 10, 12, 13, 15.
146. Назовите число, на 3 меньшее следующих чи-
сел: 6, 5, 7, 4, 8, 9, 10; 3; 14; 15; 13; 16; 18; 17; 19; 20.
147. Уменьшите на 4 каждое из следующих чисел:
8, 10, 9, 6, 5, 4, 7, 14, 17, 19, 16, 15, 18, 20.
148. Уменьшите на 5 каждое из следующих чисел:
20, 15, 10, 5, 19, 18, 9, 8, 17, 6, 16, 7.
149. 12 увеличить на 6, уменьшить на 4, увеличить
на 6, уменьшить на 9.
150. 15 уменьшить на 4, увеличить на 9, уменьшить
на 8, увеличить на 3.
Указание. В упражнениях 143—150 порядок ра-
боты такой: после уяснения условия один ученик назы-
вает число, а другой дает ответ. Например, в упражне-
нии 143, где требуется прибавлять 3, отвечающий дол-
жен называть только числа: 5, 7, 10 и т. д., а другие
ученики следят за ответами. Для удобства условие лучше
записать на доске (хотя бы только числа).
Полезно предложить самим учащимся составлять та-
кие примеры и задавать их друг другу: получается игра
на соревнование, кто сделает меньше ошибок.
42
151. Дециметр; Отрезок длиной Юс.и—это деци-
метр.
Начертите по ширине тетради отрезок, равный деци-
метру, а по длине тетради — отрезок длиной 2 дм.
Слово дециметр записывается при числе сокращен-
но дм (без точки): 1 дм, 2 дм, 3 дм и т. д.
Сделайте бумажную полоску длиной 1 дм — это
будет модель дециметра. С помощью дециметра или
длинной линейки заготовьте веревочки длиной 2 дм,
3 дм, 5 дм, с их помощью измерьте длину и ширину
учебника математики, парты, классной доски и т. д.
152. Прочертите в тетради отрезок длиной 14 см и
запишите справа, сколько сантиметров в нем содержит-
ся сверх 1 дм. Это записывается так: 1 дм 4 см.
153. Сколько сантиметров в отрезках длиной;
I) 2 дм; 2) 1 дм 8 см; 3) 1 дм 5 см; 4) 1 дм 7 см?
154. Сколько дециметров и сантиметров в отрезках:
1) И см; 2) 16 см; 3) 19 см; 4) 20 см?
Указание. В случае затруднения при решении
задач 153 и 154 дети предварительно выясняют ответы
с помощью линейки.
155. Сравни числа: 1) 12 см и 1 дм 2 см; 2) 15 см и
1 дм 5 см; 3) 1 дм 8 см и 18 см. Что можно сказать об
этих числах? Как записать ответы?
РАБОТА ПРИ ОЗНАКОМЛЕНИИ С МЕТРОМ
При ознакомлении с метром дети не только должны
увидеть метровую линейку и посмотреть, как измеряют
этой линейкой, но каждый из них должен научиться из-
мерять сам длину и ширину класса, доски, двери, окна и
т. п. А для этого необходимо, чтобы каждый из учеников
имел метровую линейку, приготовленную своими рука-
ми, например, из бумаги*.
Упражнений с метром надо сделать 5—6, а затем вы-
звать ученика и предложить ему встать от какого-нибудь
* Бумажный метр можно изготовить на уроке труда, причем де-
ления на дециметры надо наметить по готовому метру (в классе
желательно иметь несколько метровых линеек). Бумажные метры,
сложенные впятеро, должны быть всегда в ученической тетради,
чтобы в случае надобности можно было> произвести необходимые
измерения.
43
предмета, например от стола, доски, угла комнаты, на
определенное число метров: на 1 м, 2 м, 3 м и т. д. Пос-
ле того как учащийся выполнит требование, двое дру-
гих измеряют это расстояние.
То же самое можно проделать в коридоре, зале или
во дворе (в пределах 10 м). В некоторых случаях,полез-
но ставить вопросы иначе:
— Скажите, дети, больше или меньше метра длина
нашей доски. Больше двух метров или меньше двух
метров высота шкафа? Больше пяти или меньше пяти
метров расстояние от доски до противоположной
стены?
Полезно предложить ученикам определить, напри-
мер, ширину класса в шагах на глаз, а затем, вызвав
двух учеников, попросить их измерить это расстояние
шагами, а всем остальным ученикам предложить про-
вести такое измерение после уроков.
Или, например, учитель вызывает четырех учащихся,
дает им две верейки и предлагает натянуть обе веревки,
держа их за концы. Затем все учащиеся на глаз опреде-
ляют общую длину этих двух веревок.
Сумма длин этих веревок не должна быть более 1О.м.
Учитель разъясняет, что надо сначала внимательно
«смерить глазами» :одну веревку, затем другую, после
чего сложить Два числа и запомнить полученный ре-
зультат.
156. Сколько метров материи потребуется, чтобы
сшить две рубашки для ученика I класса?
157. Сколько метров материи потребуется, чтобы
сшить два платья для ученицы I класса?
Указание. Дети должны сами догадаться (или
спросить у родителей), что им нужно знать для решения
задач 156; 157.
Упражнения в измерении метром необходимо прово-
дить в течение всего учебного года. Следует почаще да-
вать задачи, в которых требовалось бы применять изме-
рение веревок, шнуров, лент, высоту, ширину, длину
различных предметов классной и внеклассной обстанов-
ки. Кроме того, все задачи из стабильного учебника, в
которых участвуют отрезки, следует иллюстрировать из-
мерениями на полу классной комнаты.
Можно составить новые задание применением изме-
рений, например: В квартире было 2 электрошнура:
44
один длиной в 5 м, а другой на 3 м длиннее. Какой
длины другой шнур? Покажите на веревке длины обоих
шнуров.
158. Пользуясь метром, изготовьте шнуры (веревоч-
ки) или ленты длиной 2 м, 3 м и 5 м.
Проверьте их по рулетке и разметьте чернилами на
метры.
159. Сравните с метром: 1) свой рост; 2) обхват
груди (больше или меньше метра); 3) отмерьте метр
от концов пальцев вытянутой руки.
Указание. Для сравнения роста учащихся с мет-
ром надо у двери или стены сделать метку, и каждый
ученик, подходя к этой метке, увидит, на сколько он
больше метра.
160. Измерьте высоту двери в классе.
Элементарные глазомерные измерения хорошо про-
вести по следующему плану.
Учитель объявляет, что дети сейчас будут измерять
расстояние на глаз и проверять потом метрами, мерны-
ми веревками или рулетками.
— Каждый из вас, дети, — говорит учитель, — дол-
жен сейчас определить, т. е. узнать, расстояние между
двумя предметами, которые я укажу, сначала на глаз,
т. е. отгадать это расстояние, а затем измерить метром
или веревкой и узнать, правильно ли оно было угадано
вами. Прежде чем определить расстояние на глаз, надо
сравнить его мысленно с метром, как говорят, «прики-
нуть», а затем уже в уме держать . задуманное число
метров. . , .
Учитель отмечает некоторое расстояние от какой-ли-
бо стены (заранее им измеренное) и предлагает детям
определить (догадаться), на каком расстоянии эта мет-
ка находится от стены.
ЗАДАЧИ В ДВА ДЕЙСТВИЯ
161. Ваня сделал две лески для удочек: одну — дли-
ной 10 м, а другую — на 2 м короче. Какой длины обе
лески? Покажите на веревках в коридоре, каковы были
по длине лески первая, вторая и обе вместе.
'45
Указание. В этой задаче измерения можно пору-
чить шести учащимся, а остальным — провести глазо-
мерные измерения.
162. Проведите в своих тетрадях три прямые черты:
одну — длиной 6 см, другую — на 4 см длиннее, а тре-
тью— равную по длине первой и второй вместе. Какова
длина третьей черты? Запишите решение этой задачи.
163. Зарисуйте в тетрадях три полоски одинаковой
длины, а шириной первую в 8 клеток, вторую на 6 кле-
ток уже, а третью такой ширины, как первые две. Какой
ширины третья полоска? Запишите решение задачи.
164. Проведите прямую черту длиной 3 см, другую —
на 2 см длиннее, а третью — такую, чтобы ее длина была
равна первой и второй чертам вместе. Запишите реше-
ние этой задачи.
165. Проведите прямую черту длиной 6 см, другую —
на 2 см короче, а третью — такую, чтобы ее длина была
равна длине первых двух вместе.
166. Придумайте задачу, в которой нужно к 12 при-
бавить 8, а затем вычесть 6.
167. Придумайте задачу, в которой нужно от 17 от-
нять 5, а затем прибавить 8.
168. Составьте задачу по следующим данным: в
трамвае было 16 пассажиров, на остановке вошло еще 4
человека, на следующей сошло 9 человек.
169. Составьте задачу по следующим данным: в ав-
тобусе ехало 12 пассажиров, на остановке вошло 7 пас-
сажиров, а на следующей остановке сошло 10 пасса-
жиров.
170. Составьте задачу по следующим данным: из га-
ража в первый раз вышло 12 машин, во второй — 6 ма-
шин, в гараже было всего 20 машин.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ С ПЕРЕХОДОМ
ЧЕРЕЗ ДЕСЯТОК. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
При сложении с переходом через десяток желатель-
но как прием использовать прибавление к числу суммы
двух чисел и к сумме числа. Так, например, чтобы при-
бавить 7 к 8, ученик должен уметь разложить число 7 на
сумму таких двух слагаемых (2 + 5), из которых одно
(2) дополняло бы число 8 до 10. Тогда правило сложе-
46
ния сведется к следующему: 8 + 7=8+(2+5) = (8+2) +
+ 5=10 + 5=15, т. е. чтобы к числу прибавить сумму
двух чисел, надо прибавить сначала одно слагаемое, а
затем другое; При сложении тех же чисел можно
первое число (8) представить в виде суммы
(5 + 3) так, чтобы одно из слагаемых (3) дополняло чис-
ло 7 до 10. Тогда получится прибавление к сумме чис-
ла: 8 + 7= (5 + 3)+7=5+(3+.7) =5+10= 15 (чтобы к
сумме прибавить число, надо это число прибавить к од-
ному из слагаемых и затем сложить с другим слагае-
мым).
При вычитании можно использовать вычитание из
числа суммы двух чисел или из суммы числа. Напри-
мер: 1) 15—7=15—(5 + 2) = (15—5)—2=10—2 = 8 (что-
бы вычесть из числа сумму, надо вычесть сначала одно
слагаемое, а затем другое); 2) 15—7=(8 + 7)—7 = 8+]
+ (7—7) =8 + 0 = 8 или 15—7= (10 + 5)—7= (10—7)+;
+ 5 = 3+5 = 8 (чтобы вычесть из суммы число, можно
вычесть его от одного слагаемого и разность прибавить
к другому слагаемому).
Описанные приемы желательно практиковать при
изучении всех случаев сложения и вычитания в преде-
лах 100. Если дети научатся применять эти четыре
приема, то сложение и вычитание в пределах 100 будет
закончено в более короткий срок, чем оно проходилось
ранее во II классе.
171. Ученики рассаживали в ящики зерна кукурузы.
Надя посадила в ящик 8 зерен, а Маша — 7 зерен. На-
рисуйте зерна в виде кружков и скажите, сколько полу-
чилось всего кружков. Сколько зерен посадили обе уче-
ницы в два ящика?
172. У Коли было в правом кармане 8 коп., а в ле-
вом — 5 коп. Сколько всего денег было у Коли? Реши-
те задачу при помощи монет.
173. У Мити было три монеты: 3 коп., 3 коп. и 2 коп.
Какими монетами ему можно добавить до 15 коп.? Ука-
жите 2—3 способа.
174. У Миши было две монеты по 3 коп. Мама дала
ему еще три монеты и у него стало 15 коп. Какими мо-
нетами она могла сделать это?
Указание. Как и в предыдущей задаче, учащийся
сначала раскладывает на парте монеты, а затем после
проверки производит запись в тетради.
47
175. Сережа за 9 коп. купил книгу и в уплату за нее
дал монету, в 15 коп. Ему дали сдачу двумя монетами.
Какими монетами он получил сдачу?
176. Вера купила книгу за 8 коп. и дала кассиру
монету в 15 коп. Ей дали сдачу, тремя монетами. Каки-
ми монетами она могла получить сдачу?
177. Ваня купил булку за 6 коп. Какими монетами
он мог получить сдачу с 15 коп., если кассир дал ему
четыре монеты?
Указание. Задачи 173—177 лучше использовать
для самостоятельных заданий.
178. Нина и Катя посеяли горох в горшочках. Нина
посеяла 9 горошин, а Катя —8 горошин. Сколько горо-
шин посеяли Нина и Катя вместе? Изобразите гороши-
ны кружками и под рисунком запишите решение за-
дачи.
179. Женя посеяла в горшок 12 зерен пшеницы, а
взошло 10 зерен. Сколько зерен не взошло? Сделайте
рисунок к задаче и под рисунком запишите решение за-
дачи.
180. Проведите в тетради три полоски,шириной в од-
ну клетку, а длиной первую в 9 клеток, вторую на 2
клетки длиннее, а третью такой длины, как первые две
вместе. Сколько клеток будет содержать третья полос-
ка? Как об этом узнать без подсчета клеток?
181. Сделайте три полоски шириной в одну клетку,
а длиной первую в 12 клеток, вторую на 4 клегки коро-
че, а третью такой длины, как первые две вместе. Сколь-
ко клеток будет содержать третья полоска? Запишите
решение задачи.
182. Составьте задачу по следующим данным:
1-й мальчик поймал:
2-й мальчик поймал на 5 рыбок больше.
Поставьте вопрос и решите задачу в два действия.
183. В вазе было 12 яблок. Коля взял 3 яблока, а
Наташа — 2 яблока. Сколько яблок осталось в вазе?
Решите задачу двумя способами.
48
184. Ученица купила две линейки; одну — за 4 коп.,
а другую — за 6 коп. — и дала в уплату монету в 15
коп. Сделайте рисунок и ответьте на два вопроса:
1) Сколько копеек она получила сдачи? 2) Какими мо-
нетами могла она получить сдачу?
185. Проведите одну черту длиной 3 см, другую —
на 8 см длиннее, а третью — такую, чтобы ее длина бы-
ла равна длине первых двух.
186. Проведите один отрезок длиной 12 см, второй —
на 8 см короче, а третий — такой, чтобы его длина была
равна длине первых двух отрезков вместе.
187. Увеличьте: 7 на 5, 9 на 3, 8 на 4, 6 на 5,
4 на 7, 5 на 6, 2 на 9, 3 на 9, 7 на 8, 8 на 7, 8 на 8; 9
на 9.
188. Уменьшите: И на 2, 12 на 3, 13 на 4, 14 на 5, 15
на 6, 12 на 4, 15 на 7, 16 на 8, 16 на 7, 17 на 9, 18 на 9,
14 на 7, 12 на 6.
189. Назовите число, большее 6 на 5, 7 на 6, 8 на 7,
9 на 8, 9 на 9, 8 на 4, 4 на 8, 9 на 5.
190. Назовите число, меньшее 15 на 7, 11 на 4, 12 на
7, 18 на 9, 14 на 7, 12 на 6, 16 на 7, 16 на 8.
191. 17-8 + 9, 13—6 + 9, 14—5 + 7, 18—9 + 7, 4 + 8—3,
3 + 8—5.
192. Составьте задачу, в которой надо от 13 отнять
6, а затем прибавить 9.
193. Составьте задачу, в которой надо к 8 прибавить
7, а затем отнять 4.
194. Составьте задачу, в которой надо к 12 коп. при-
бавить 8 коп., а затем вычесть 15 коп. Какими тремя и
какими пятью монетами можно вычесть 15 коп.?
195. Составьте задачу, в которой надо от 12 коп.
вычесть 4 коп., а затем прибавить 12 коп. Какими тре-
мя и какими четырьмя монетами можно прибавить
12 коп.?
196. 1) Сложите числа в квад-
ратах по строкам, по столбиками
с угла на угол. • -
2) Поставьте по клеткам квад-
4 9 2
3 5 1
8 1 6
3 3 1
2 ч
7 0 5
рата недостающие числа, если
при сложении по строкам, столб-
цам и с угла на угол должно по-
лучиться число 18.
49
НУМЕРАЦИЯ, СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
В ПРЕДЕЛАХ 100
При изучении нумерации в пределах первой сотни,
помимо пучков и палочек, которые обычно употребляют-
ся в школе, очень хорошо воспользоваться монетами, в
1 коп., 2 коп., 3 коп., 5 коп., 10 коп., 20 коп., а также
метром, разделенным на сантиметры.
197. Считайте монеты по 10 коп. (гривенники) до
100 коп. (до 1 руб.): 10 коп., 20 коп., 30 коп., ..., 100 коп.
или 1 руб., затем отсчитывайте по гривеннику и считай-
те, сколько остается: 100 коп., или 1 руб., 90 коп.,
80 коп. и т. д.
Указание. Можно организовать дело так, что
учащиеся будут проводить прямой и обратный счет на
гривенниках и записывать в тетради: 10, 20, 30, .... 100 и
затем 100, 90, 80, ..., 10 коп. Конечно, учащиеся должны
знать, что если копейки принять за единицы, то гривен-
ники будут десятками, а рубли — сотнями этих единиц.
198. На свои бумажные метры наклейте полоски не-
графленой бумаги и разметьте метры на сантиметры.
Через каждые 10 см поставьте черточку. Примем санти-
метры за единицы, 10 см (1 дм)—за десятки, 100 см —
(1 м) —за одну сотню.
Указание. Разметку сантиметров желательно
делать по фабричным линейкам, клетки тетради для это-
го непригодны.
199. Покажите половину метра. Как еще называют по-
ловину метра? Сколько сантиметров в половине метра?
200. Сколько всего сантиметров получится:
1) если отсчитать 4 десятка сантиметров и еще 5 см;
2) 5 десятков сантиметров и еще 7 см;
3) 7 десятков сантиметров и еще 9 см;
4) 9 десятков сантиметров и еще 2 см;
5) 10 десятков сантиметров?
201. Проведите на неграфленой бумаге на глаз отрез-
ки длиной: 1) 1 см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 8 см; 5) 10 см.
Указание. Дети могут проводить отрезки сна-
чала по линейке (линейку надо класть вверх стороной
без делений), а затем от руки. После проверки прове-
денных отрезков линейкой надо провести внизу (парал-
лельно) отрезок, точно соответствующий заданной дли-
не (для сравнения).
50
202. Измерьте сначала на глаз, а затем линейкой:
1) длину и ширину листа учебника арифметики; 2) дли-
ну карандаша; 3) длину ручки; 4) длину счетной палоч-
ки; 5) длину, ширину и высоту парты.
Полученные результаты запишите в тетрадь по ма-
тематике так: 1) длина меньше 27 см, или 2 дм 7 см,
ширина больше 17 см.
203. Проведите на неграфленой бумаге на глаз два
одинаковых отрезка (один под другим) длиной 8 см и
проверьте длину их по линейке.
204. Измерьте бумажной лентой обхват головы на
уровне лба и найдите длину этой ленты, так измеряют
голову при подборе размера шапки. Запишите резуль-
тат в сантиметрах.
205. Измерьте в сантиметрах длину указательного и
длину среднего пальцев. Запишите результат измерения
в тетради.
206. Начертите на неграфленой бумаге на глаз отре-
зок длиной 7 см, а под ним отрезок, на 3 см больший.
Проверьте длину их.
207. Проведите на глаз черту в 11 см, а под пей—
черту на 5 см короче. Проверьте длину их по линейке.
Указан ие. При ознакомлении с. сантиметром
основная работа по измерению отрезков проходит за
партой. Очень важно измерения в сантиметрах связы-
вать с глазомерными определениями длины различных
отрезков в классе, на доске, на отдельных листках
пеграфленой бумаги. Например, учитель предлагает
ученику провести на доске по линейке какую-нибудь не-
большую черту и ограничить ее с обоих концов черточка-
ми. Затем учитель предлагает ученикам сделать «при-
кидку» длины этой черты (отрезка прямой), после чего
этот отрезок измеряется в сантиметрах и длина его над-
писывается справа. Учителю следует поинтересоваться,
кто ошибся при определении длины отрезка прямой на
глаз и кто определил точно.
Можно предложить определить на глаз длину и ши-
рину рамки портрета, ширину стекла в оконной раме и
т. п. Очень важно, чтобы дети научились на глаз чер-
тить от руки или по линейке отрезки в 1, 5, 10 см и во-
обще отрезки заданной длины в сантиметрах, а также
отрезок заданной длины и другой (ниже его), на не-
сколько сантиметров больший или меньший первого.
51
208. Возьмите лист чистой (нелинованной) бумаги и
проведите по его длине какой-нибудь длины отрезок.
Измерьте этот отрезок сначала сантиметрами и число
сантиметров запишите сверху отрезка, а затем децимет-
рами и сантиметрами и полученное число запишите сни-
зу отрезка. Полученные при измерении числа, понятно,
будут равны. Как это записать?
Указание. У ученика при измерении отрезка
сантиметрами получилось, например, 24 см, а при изме-
рении того же отрезка дециметрами и сантиметрами
2 дм 4 см. Тогда ему нужно записать: 24 см = 2 дм 4 см,
или 2 дм 4 с.и = 24 см.
Таким образом, он одновременно будет изучать раз-
дробление и превращение именованных чисел.
209. Начертите теперь два отрезка — один побольше
другого и проделайте то же, что в задаче 208, т. е. из-
мерьте оба отрезка двумя способами и запищите два
равенства.
210. Данные числа замените равными им числами,
как показано в 1-й строке каждого столбца.
95 см —9 дм 5 см 88 см —8 дм 8 см
99 см= 48 см —
100 см= 50 см —
51 см= 100 см =
Запишите вместо точек знак >, •< или =:
99 см ... 9 дм 9 см
85 см ... 8 дм 2 см
48 см ... 5 дм
1 м ...98 см
4 дм 4 см ... 44 см
8 дм 8 см ... 7 дм
9 дм ... 92 см
75 см ... 1 м
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Углы
211. Поставьте в тетради точку и от нее проведите
две прямые линии: одну, например, по линии строки, а
другую наклонно. Какая фигура по-
' лучилась?
Указание. Учитель следит за
работой учащихся, затем чертит
угол на доске и показывает вершину
и стороны.
52
212. Вырежьте точно по линейке из картона две по-
лоски или возьмите две планки, закрепите их с одного
конца (см. рисунок).
Это модель угла, который можно увеличивать, раз-
двигая полоски — стороны угла, — и уменьшать, сбли-
жая их.
213. Проведите из одной точки два луча, получите
угол,
Вырежьте ножницами йз,.бумаги этот угол, затем
нарисуйте и вырежьте угол больше и угол меньше пер-
вого.
На рисунке показано (заштриховано) несколько
Чтобы усвоить это понятие, учитель чертит на доске
циркулем окружность, прикладывает циркуль к доске
шарниром в центр окружности. Придерживая одну из
ножек на месте, другую начинает вращать против часо-
вой стрелки. Учитель при этом предлагает детям внима-
тельно посмотреть, как изменяется от этого движения
угол, и решить вопрос, от чего зависит величина угла.
Останавливая вращающуюся ножку в различных по-
ложениях, учитель спрашивает учащихся, больше или
меньше получаем угол. Дети видят, что по мере раздви-
жения ножек циркуля угол делается все больше и боль-
ше. Делается вывод, что изменение величины угла зави-
сит от направления движущихся ножек — сторон угла.
После этого легко перейти к сравнению двух углов
по величине. Чтобы в этом деле участвовали все учени-
ки, надо предложить им начертить на отдельных лист-
ках, а затем вырезать модели нескольких углов нз бума-
ги или воспользоваться уже вырезанными и сравнить их
путем наложения. При этом лучше модели углов вырезать
из разноцветной бумаги или один за-
тушевать, а другой оставить незату-
шеванным. Самому учителю надо
показать, как накладывать один
угол на другой угол (см. рис.).
53
При сравнении углов по величине естественно раз-
бить все углы на прямые, острые и тупые. Для этого на-
до предварительно познакомить детей с прямым углом.
Выделение прямого угла из ряда других углов можно
провести по следующему плану.
Учитель предлагает учащимся положить на стол тег-,
ради и спрашивает, есть ли у тетради углы и сколько
их, а затем говорит, что такие углы, как у тетради, бу-
дем называть прямыми углами. Дети находят вершины
и стороны этих углов.
Затем учитель предлагает найти прямые углы в ок-
ружающей обстановке. После чего показывает на доске,
как можно начертить прямой угол при помощи угольни-
ка, и предлагает учащимся начертить такие же углы в
тетрадях, расположив их в разных направлениях — вер-
шинами вверх, вниз, вправо, влево и т. п.
Далее учитель берет в руки листок неграфленой бу-
маги, складывает его пополам, а затем еще раз пополам
(перпендикулярно к первому сгибу). Разогнув листок и
очертив сгибы карандашом, он показывает рисунок де-
тям и спрашивает, какие при этом получились углы (и
сколько углов). По предложению учителя дети проделы-
вают на заготовленных заранее листках то же самое:
разрезают листки по сгибам и проверяют равенство по-
лученных прямых углов наложением. Предложив затем
оборвать стороны некоторых прямых углов так, чтобы
эти стороны получились различными по длине, учитель
вторично предлагает проверить наложением, равны ли
углы.
Дав таким образом понятие о прямом угле, его пост-
роении, выяснив, что все прямые углы равны, учитель
54
сообщает, что все углы меньше прямого называются ост-
рыми, а углы больше прямого—тупыми.
По предложению учителя дети вырезают различные
углы и путем наложения сравнивают их с прямым углом.
214. Проверьте с помощью модели прямого угла все
углы на этом чертеже и запишите, какими цифрами
обозначены здесь прямые углы.
215. .На чертеже найдите острые и тупые углы.
Запишите, какими цифрами обозначены острые углы и
какими — тупые углы.
Указание. Дети накладывают модель прямого
угла на данный угол так, чтобы одна из сторон модели
совпала с одной из сторон данного угла, и смотрят, как
проходит другая сторона угла (снаружи или Biiyipti
прямого угла). Отсюда они делают заключение о том,
больше или меньше прямого угла данный угол. Полез-
но, если такое заключение они сделают предварительно
на глаз.
216. Начертите 3 острых и 3 тупых угла и проверьте
их моделью прямого угла.
217. Отметьте точку в одной из вершин клетки ва-
шей тетради и проведите через нее две прямые линии:
одну слева направо, а другую сверху z
вниз (по линиям клеток). Вы получите 4 X. /
угла. Проверьте, какие это углы. /
218. Через точку, поставленную в вер- ух.
шине клетки, проведите две прямые линии / >.
с угла на угол (через вершины других /
клеток) (см. рис.).
55
Вы получите 4 угла. Какие это углы?
219. Отметьте три точки так, как на чертеже.,
2
1 •
•3
Проведите прямую через точки 1 и 2 и через точки / и
3 и продолжите эти прямые за точку 1.
Вы получите 4 угла. Проверьте, какие это углы. По-
лучатся ли здесь прямые углы?
Указание. 1) Дети получат такой чертеж:
Здесь 2 острых и 2 тупых угла. 2) Задачи 215—219
предназначены для индивидуальных самостоятельных
занятий.
Прямоугольник
220. Вырежьте круг, перегните его пополам и поло-
вину еще раз пополам. Прочертите карандашом по ли-
ниям сгибов и разрежьте круг на четыре части — у вас
получатся, четыре модели прямого угла. Найдите пря-
мые углы у себя в тетрадях. Проверьте их. с помощь^
модели. Где еще вы видите прямые углы?
Поставьте две точки по вершинам клеток на рассто-
янии 4 см друг от друга, от этих точек поставьте точки,
вверх по линии клеток на расстоянии 3 см. У вас полу-
чатся четыре точки. Соедините их прямыми. Какая фигу-
ра получилась внутри этих прямых? Затушуйте ее слег-
ка. С помощью модели прямого угла проверьте, какие
углы получились у этой фигуры. Пользуясь линейкой
56
(или полоской, или циркулем) , определите, Сеть ли здесь
равные стороны.
Указание. Дети найдут, что в этой фигуре все 4
угла прямые, и полосками установят равенство противо-
положных сторон. После этого можно сообщить детям,
что фигуру II можно назвать прямоугольником и что у
прямоугольника длинная сторона называется длиной, а
короткая — шириной прямоугольника-
221. Постройте в тетрадях прямоугольник, у которо-
го: 1) длина 6 см, а ширина 3 см; 2) длина 5 см и шири-
на 1 см.
222. Постройте прямоугольник, у которого длиИа
равна ширине. Как называется такой прямоугольник?
Указание. Дети должны усвоить, что прямоуголь-
ником называется четырехугольник, у которого углы
прямые и противоположные стороны равны, й квадра-
том называется прямоугольник, у которого все стороны
равны, т. е. такой прямоугольник, у которого длина рав-
на ширине.
Уместно и полезно задать детям такие вопросы:
1) можно ли квадрат назвать прямоугольником и поче-
му? 2) Можно ли прямоугольник назвать квадратом?
Почему нельзя?
223. Постройте такой квадрат, у которого сторона
равна: 1) 5 см; 2) 10 см.
Указание. Можно меныпий квадрат построить в
большем.
224. Найдите в классе прямоугольники и квадраты.
225. Начертите квадрат, занимающий 4 клетки.
Сосчитайте: 1) сколько в нем всех квадратов;
2) сколько всех прямоугольников.
Ответ. 1) 5; 2) 9.
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 100
226. Найдите разность двух чисел:
1) 36 см и 3 дм 5 см; 2) I м и 65 см; 3) 1 м и 6 дм.
Указание. Если в этой задаче ученики встретят
затруднения, то надо порекомендовать прибегнуть к ли-
нейке или метровой рулетке.
227. Ученица начертила в тетради отрезок длиной
9 см, а затем удлинила его на какой-то отрезок, и у нее
57
получился отрезок длиной 15 см- На сколько сантимет-
ров ученица удлинила свой отрезок? Что неизвестно в
этой задаче — слагаемое или сумма? Как найти это не-
известное? Поставьте вместо неизвестного букву к, за-
пишите задачу и затем решите ее.
Указание. Ученики должны догадаться, что в этой
задаче неизвестно 2-е слагаемое. Обозначив его через х,
они, вспомнив, что складываемые числа называются
слагаемыми, а результат сложения — суммой, смогут
записать: 9 см+_ х = 15 см. Далее они должны вспом-
нить, что для нахождения неизвестного слагаемого надо
из суммы вычесть известное слагаемое. Отсюда реше-
ние: 15 см — 9 см = 6 см, т. е. х = 6 см — отрезок такой
длины ученица добавила к первому отрезку. Таким об-
разом дети решат задачу способом составления уравне-
ния.
228. Найдите неизвестное слагаемое в следующих ра-
венствах:
1) 1 <?л«+л:=19 см 3) 70 с.и+л-=1 м
2) х-|-8 см = 1 дм 5 см 4) л-|-5 дм— \ м
Указание. В случае затруднений дети используют
в качестве пособий линейку или рулетку.
229. Ученик отрезал от листа бумаги узкую полоску
и отрезал от нее справа часть длиной 3 см. Оставшаяся
полоска оказалась длиной 8 см. Какой длины полоску
ученик сделал вначале? Как это узнать? Что неизвестно в
этой задаче — уменьшаемое, вычитаемое или разность?
Обозначьте неизвестное через х, запишите задачу и най-
дите неизвестное.
Указание. Если неизвестное уменьшаемое обозна-
чить через х, то ученики догадаются, что отрезанный ку-
сок полоски 3 см — вычитаемое, а 8 см — разность. От-
сюда запись: х—3 см~8 см, а решение этого уравнения:
х = 8 см -р 3 см — 11 см.
В случае затруднений надо порекомендовать учащим-
ся сделать все в обратном порядке: полоска длиной
8 см осталась после того, как ученик отрезал, т. е. отнял
кусочек ее в 3 см. Значит, надо приставить к 8 см (при-
бавить) 3 см и тогда можно будет узнать первоначаль-
ную длину полоски.
5»
230. Найдите с помощью линейки или рулетки неиз-
вестное уменьшаемое в следующих равенствах:
х— 7 см =15 см
л—12 см— 3 см
х—16 1 см
х— 8 с4и = 2 дм
х— 2 дм—8 дм
х—10 дм = \ м
Указание. В результате упражнений учащиеся
должны усвоить правило нахождения уменьшаемого:
чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к вычитае-
мому прибавить разность. Учащиеся должны ясно пред-
ставлять себе, что уменьшаемое — это сумма вычитае-
мого и разности.
231. Знаете ли вы, для чего нужны скобки? Возьмем
пример: 8—5—2. Если здесь выполнить действия по по-
рядку 8—5 = 3, 3—2 = 1, то получится 1. Если же снача-
ла от 5 вычесть 2, получится 3, и от 8 вычесть 3, то полу-
чится 5, т. е. получится другое число, хотя вычитали
одни и те же числа. Если же ввести скобки, то ответ
будет только один. Вот смотрите: 8—(5 + 2). Теперь в
скобках сумма чисел 5 и 2, найдем сумму 5+2 = 7 и выч-
тем ее из 8, получится 1.
Если стоят скобки, то сначала надо выполнить дейст-
вие с числами в скобках, а затем уже другие действия
по порядку.
Решите примеры со скобками:
4-Н6+3)
2+(9 + 3)
20—(74-8)
(14+5)_10
( 8-49)4-3
14—(74 5)
16-4(12—8)
13-( 7—5)
16—( 6+5)
Перед решением каждого примера прочтите его. На-
пример, 1-й пример надо прочитать так: к числу 4 надо
прибавить сумму чисел 6 и 3; 3-й пример: от числа 20
отнять сумму чисел 7 и 8. 4-й пример: от суммы чисел
14 и 5 отнять число 10; 7-й пример: к числу 16 приба-
вить разность чисел 12 и 8.
Указание. Чтобы дети усвоили, как правильно чи-
тать, надо их заставлять это делать на тех уроках, когда
решаются примеры со скобками.
232. Как можно от суммы отнять число? Возьмем
пример: (12 + 5)—2. Этот пример можно сделать тремя
способами:
59
1) 12+5=17 17—2 = 15
2) 12-2=10 10+5=15
3) 5—2=3 12+3 = 15
Как видите, получается одно и то же. Посмотрите
внимательно и разъясните, как мы делали. Объяснение:
1) сначала мы нашли сумму чисел 12 и 5, затем от 5той
суммы отняли число 2; 2) мы вычли от 12 (от 1-го сла-
гаемого) 2 и разность прибавили к другому числу (к
другому слагаемому), к 5; 3) мы вычли 2 от 2-го слага-
емого и разность прибавили к 1-му слагаемому.
233. Сделайте тремя способами следующие примеры:
1) (14+6)—4; 2) (70+30)—20; 3) (24 + 6)—4;
4) (40 см + 30 см}—30 см-, 5) (36 см+ 4 см)—4 см.
234. Можно к сумме прибавлять число не обязатель-
но тремя способами, а только одним, наиболее удобный
способом. Например, чтобы к сумме чисел 80+4 приба-
вить число 6, прибавим 6 к 4, получим 10, а затем 10 к
80, получим 90.
Решите наиболее удобным способом:
1) (30+7) +3; 2) (80+3)4-7; .3) (90+3)47.
235. Чтобы прибавить к двузначному числу одно-
значное, удобно двузначное число представить в виде
суммы двух чисел, из которых одно круглое, а другое од-
нозначное. Например, 72 + 8= (70 + 2) + 8. Скажите те-
перь, как надо дальше делать, и докончите по правилу.
Решите таким способом следующие примеры:
41 + 9 63+7 27+2 14+6
52+8 54+6 36+3 12+6
236. Решите наиболее удобным способом:
16+20 37 + 40 47 + 40 33+30
24+40 72 + 20 55+40 25+70
Указание. От учащихся требуется, чтобы в дан-
ном случае они пользовались так же, как и в предыду-
щей задаче, прибавлением числа к сумме: 16 + 20= (10 +
+ 6) +20= (10+20) +6 = 30 + 6 = 36; 37 + 40= (30 + 7) +
+40= (30+40)+7 = 77.
60
237. Пример (5 + 4)—2 можно решить тремя способа-
ми (как и прибавление числа к сумме).
1) (5 + 4)—2 = 9—2 = 7, т. е. найти сумму и затем вы-
честь из нее число (вычитаемое);
2) (5 + 4)—2= (5—2)+4 = 3 + 4 = 7, т. е. вычесть вычи-
таемое 2 из 1-го слагаемого и разность прибавить ко
2-му слагаемому;
3) (5 + 4)—2= (4—2)+5=2 + 5 = 7, т. е. отнять вычи-
таемое из 2-го слагаемого и полученный результат при-
бавить к 1-му слагаемому.
Решите тремя способами следующие примеры:
1) (12 + 8)—2; 2) (16 + 4)—3; 3) (13 + 7)—7.
При решении используйте кружки или квадраты, или
палочки.
238. С помощью кружков или палочек решите сле-
дующие примеры тремя способами:
1) (27+3)—2; 2) (44+6)—4; 3) (85 + 5)—5.
239. Решите
(38+4)—2
(45+9)—5
(56+9)—5
как удобнее:
(21+20)—1
(36 + 30)—6
(48+40)—8
одним способом,
(29+9)—8
(34+ 7)-6
(44 + 8)—2
240. В следующих примерах уменьшаемое представь-
те в виде суммы двух слагаемых и затем вычитайте, как
удобнее:
57—7 49—5 99—7 45—20
28—8 68—6 88—6 64—40
39—9 78—6 77—5 82—30
Указание. В первых трех столбцах дети должны
уменьшаемое разложить на круглое двузначное и на од-
нозначное числа: 57—7= (50 + 7)—7; в четвертом столб-
це—так: 45—20= (20+ 25)—20; 64—40= (40 + 24)—40;
82—30= (30 + 52)—30. Если учащиеся сделают так: 45—
—20 = (40+5) —20 = (40—20) + 5 = 20 + 5 = 25 — это тоже
неплохо.
241. У Васи было 12 орехов. Когда он дал несколь-
ко орехов товарищу, то у него осталось 7 орехов. Сколь-
ко орехов Вася дал товарищу? Как записать эту задачу
с помощью неизвестного х и как решить? Что здесь не-
&1
известно — уменьшаемое или вычитаемое? Решить зада-
чу с помощью составления уравнения.
Указание. Для составления уравнения дети могут
применить дидактический материал. Вместо орехов они
положат, например, 12 кружочков (уменьшаемое), вмес-
то неизвестного вычитаемого — букву х, вместо разнос-
ти— 7 кружочков и получат уравнение 12—х = 7, из ко-
торого х найдут как вычитаемое: х=12—7 = 5, т. е. Вася
дал товарищу 5 орехов.
242. Придумайте задачи к примерам: 1) 100—х = 6;
2) 36 коп. — х коп. = 16 коп.
243. Коля при решении задачи начертил в тетради
отрезок длиной 14 см и справа отделил черточкой часть
этого отрезка, тогда налево от черточки получился от-
резок длиной 9 см. Какой длины отрезок Коля отде-
лил черточкой справа? Сделайте так, как сделал Коля,
и решите задачу с помощью х, т. е. составьте урав-
нение.
Указание. Дети сделают чертеж и запишут урав-
нение 14—х = 9, откуда найдут: х=14—9; х = 5 (см).
244. У Маши была лента длиной 1 м, она отрезала
от нее кусок для подруги, и у нее остался кусок длиной
60 см. Какой длины кусок ленты Маша дала подруге?
Что здесь неизвестно — уменьшаемое или вычитаемое?
Решите задачу с помощью х и проверьте на метровой
линейке или с помощью сантиметровой (портновской)
ленты.
245. Составьте задачу по следующему примеру:
95 см — а = 75 см.
Справка. В этом примере буква а означает неиз-
вестное.
246. 1) В примере 46 + 4 первое слагаемое представь-
те в виде суммы двух слагаемых и разъясните, как к
сумме прибавить число 4.
2) В примере 50—4 первое число (уменьшаемое)
представьте в виде суммы двух слагаемых и разъясните,
как из суммы отнять число 4.
Указание. 1) 46 + 4= (40 + 6) + 4 = 40+ (6 + 4) =40+’
+ 10 = 50; 2) 50—4= (.40+10)—4=40+(10—4) =40 + 6 =
= 46.
Требуется, чтобы дети умели этот способ сложения и
вычитания применять с объяснением.
62
Килограмм
247. Сделайте мешочки с песком в 1 кг, 2 кг, 3 кг и
научитесь с закрытыми глазами узнавать, сколько в ме-
шочке килограммов.
Указание. Такие мешочки с песком могут служить
учащимся гирями, и им надо дать возможность на
школьных весах взвесить самые различные предметы.
248. На приготовление квашеной капусты для столо-
вой в первый раз затратили 5 килограммовых пачек со-
ли, а в другой — на 3 пачки больше. Сколько всего кило-
граммов соли пошло на приготовление капусты? Решение
задачи проверьте на весах.
Указание. Так как здесь указана масса пачки со-
ли, то ученики могут решить эту задачу так:
1) 5 кг + 3 кг — 8 кг; 2) 5 кг +. 8 кг = 13 кг и это
решение проверить на весах.
249. Взвесьте на весах 2 пачки пиленого сахара.
Сколько килограммов будет в 4, 6, 8, 10 таких пачках?
250. Одна семья за месяц израсходовала на питание
6 пачек пиденого сахара,, а другая — на 4 пачки больше.
Сколько килограммов пиленого сахара израсходовала
вторая семья? Решение задачи проверьте на весах.
Указание. В задачах 249 и 250 имеются в виду
пачки по 1 кг. Полезно после работы по взвешиванию со-
ставить (с помощью старших, учащихся) плакаты с вы-
водами: «В пачке соли 1 кг». «В 2-х пачках пиленого
сахара I кг» и т. п.
Литр
251. Кто знает, что измеряют литром?
Указание. Ученики могут назвать молоко, керо-
син, квас, ситро, масло и др.
252. На столе стоят различные банки. Покажите ли-
тровые банки. Наименование литр около числа пишут со-
кращенно: 1 л, 3 л, 4 л и т. д.
Указание. Учитель ставит на стол литровую бан-
ку, литровую бутылку, кружку для разлива керосина или
молока и т. д. Надо показать детям литр в виде кубиче-
ского дециметра и в виде кружки.
253. Возьмите литровую кружку, заполните ее водой и
эту воду перелейте в литровую стеклянную банку. От-
метьте черточкой или полоской бумаги, какой объем в
63
этой банке займет 1 л воды. Разлейте потом литр в ста-
каны и запомните, сколько тонких и сколько граненых
стаканов можно наполнить I л воды.
Указание. Знание емкости общеупотребительных
сосудов (банок, бутылок) в практике очень важно, и по-
этому переливание воды надо организовать так, чтобы
дети не только видели, но и сами непосредственно участ-
вовали в этом деле. Для этого можно разбить их на груп-
пы и каждой группе дать определенное задание, которое
дети выполнят во внеурочное время под руководством
учеников старших классов или студентов-практикантов.
В результате этой работы первоклассники должны ус-
воить, что в 1 л содержится 4 тонких или 5 граненых ста-
канов и что литровую банку 1 л воды заполняет не до са-
мого верха.
254. а) Хозяйка принесла в бидоне 2 л молока. Гл она
должна отдать соседке. Как это сделать, если в доме нет
ни литровой кружки, пи бутылки, нн литровых или полу-
литровых банок?
Ответ. Надо отлить 4 тонких стакана или 5 гране-
ных стаканов, или разлить в два одинаковых сосуда по-
ровну.
б) Мать принесла 1 л молока и 2 гонких стакана от-
лила для каши. Сколько молока осталось?
Ответ. Осталось пол-литра молока.
255. Взвесьте 1 л воды. Вычислите, сколько кило-
граммов воды будет в чайнике, если в него влить 3 л, и
воды в объеме обыкновенного ведра (приблизительно
12 л).
Указание. 1) Взвешивание 1 л воды надо проде-
лать в классе. Необходимо, чтобы ученики с первого зна-
комства с литром знали, что в 1 л воды 1 кг, ведро (ста-
рая единица объема) воды — приблизительно 12 кг, хотя
ведра, находящиеся в употреблении, имеют различный
объем.
Результаты работы (задачи 254 и 255) хорошо запи-
сать на плакате (это могут сделать учащиеся старших
классов) и вывесить в классе.
Полезно упражнять детей в определении емкости и
других сосудов (банок, кастрюль). Учитель показывает,
например, кастрюлю и спрашивает, сколько приблизи-
тельно она содержит литров, а затем, наливая в нее во-
ду литровыми кружками, проверяет емкость.
64
2) Как известно, масса и вес одного и того же тела —
это не одно и то же, это физически различные величины.
Масса тела есть мера его инертности, т. е. способности
тела сохранять состояние покоя или равномерного и пря-
молинейного движения. Иначе сказать, масса — это коли-
чество вещества в теле. Кроме того, от массы тел зависит
сила притяжения их друг к другу согласно закону Нью-
тона ( все тела в мире притягиваются друг к другу прямо
пропорционально их массам и обратно пропорцио-
нально квадрату расстояний между ними). Та
сила, с которой данное тело притягивается Землей, на-
зывается весом этого тела. Вес тела пропорционален его
массе (во сколько раз масса одного тела больше массы
другого, во столько раз и вес первого тела больше дру-
гого), но не равен ему. В быту, говоря о весе хлеба, са-
хара и т. д., мы имеем в виду массу.
Масса тела есть величина постоянная, она не зависит
от положения тела в пространстве: в любых точках Зем-
ли, в недрах ее и на какой угодно высоте от нее (напри-
мер, на Луне, на Венере и даже в состоянии невесомости
на спутниках Земли) масса данного тела будет одна и
та же.
Вес одного и того же тела (сила, с которой тело при-
тягивается к центру Земли) в различных точках земной
поверхности различен: больше всего весит тело на полю-
сах, так как там оно ближе к центру Земли: меньше ве-
сит это же тело на экваторе, еще меньше при поднятии
над поверхностью Земли, а в кабине корабля-спутника во
время его полета вокруг Земли тело совсем теряет вес.
За единицу массы принимается масса платино-иридиево-
го цилиндра, хранящегося в Международном бюро мер и
весов в г. Севре (близ Парижа). В физике принято обо-
значать 1 килограмм массы— 1 кг, 1 грамм массы — 1 г,
1 центнер массы — 1 ц, 1 тонну массы — 1 т.
За международную единицу силы, в том числе и веса,
принят ньютон. Ньютон — это сила, которая, действуя
на тело массой в 1 кг, сообщает ему ускорение в 1-^-
(1 метр в секунду за секунду).
Учащиеся с понятиями единиц массы и единиц веса и
их обозначениями знакомятся на уроках физики. Но как
в быту, так и на уроках математики в начальных классах
дети для обозначения единиц веса пользуются теми же
наименованиями, какие приняты для единиц массы: 1 г.
3 Запав 1187
65
1 кг, 1 /{, 1 т, Эти наименования по распоряжению Про-
граммно-методического управления Министерства про-
свещения РСФСР печатаются и на обложках учениче-
ских тетрадей в клетку.
256. Сложение числа с суммой. Прибавить, например,
к 2 сумму чисел 3 и 4 можно тремя способами: 1) 2+(3+
+ 4) =2 + 7=9, т. е. слагаемые 3 и 4 мы сложили и затем
сумму 7 прибавили к числу 2; 2) 2+ (3+4) — (2+3) +4 =
= 5 + 4 = 9 — теперь мы 1-е слагаемое суммы прибавили к
числу 2, получилось 5 и затем к 5 прибавили 2-е слагае-
мое 4, получили тот же ответ — 9; 3) 2+ (3 + 4) = (2+4) +)
+3 — прибавили к 2 второе слагаемое 4, получили 6 и за-
тем прибавили 1-е слагаемое, получили тот же ответ — 9.
257. С помощью палочек или геометрических фигур
решите тремя способами каждый из следующих приме-
ров: 1) 8+(2+5); 2) 12+(3 + 5).
258. Решите, как удобнее, следующие примеры:
1) 24+ (30+6); 2) 17+(20+.3); 3) 47+(60 + 3).
259. В следующих примерах 2-е слагаемое надо пред-
ставить в виде суммы двух таких слагаемых, чтобы одно
из них дополняло 1-е слагаемое до круглого числа, и за-
тем прибавлять к числу сумму:
19+11 48+52 17+7 23 + 27
27+13 57 + 23 16+6 28+22
38+ 12 66+ 14 15+8 32+38
Указание. Учитель должен дать ряд примеров вы-
числений по этому правилу: 19+11 = 19 + (1 + 10) = (19+'
+ 1) + 10 = 30; 48 + 52 = 48 + (2 + 50) = (48 + 2) +50= 100;
17 + 7= 17+(3 + 4) = ( 17 + 3)+4 = 24 и т. п.
260. Решите так же, как в предыдущей задаче:
12+29 28+9 36+7 44+49
18+7 27 + 8 36+17 37+37
16 + 9 26+9 36 + 27 55+37
Первый пример в каждом столбце при решении объ-
яснить.
261. Вычитание суммы из числа. Возьмем пример:
9—(3 + 4) —здесь из числа 9 надо отнять сумму чисел 3
и 4. Это можно сделать тремя способами:
1) 9—(3+4) =9—7 = 2 — мы нашли сумму чисел 3 и 4,
число 7, и вычли его из 9;
66
2) 9—(3+4) = (9—3)—4=6—4 = 2 — мы вычли из чи-
сла 9 сначала 1-е слагаемое суммы, а от полученного ре-
зультата— 2-е слагаемое, получили тот же результат—2;
3) 9—(3 + 4) = (9—4)—3 = 5—3 = 2 —теперь мы выч-
ли сначала 2-е слагаемое, а потом 1-е.
Надо эти три способа хорошо усвоить.
Решите тремя способами следующие примерь!:
1) 10—(4 + 5); 2) 12—(2 + 5).
262. С помощью палочек или геометрических фигур
решите тремя способами следующие примеры: 1) 15—
— (3 + 5); 2) 16—(2 + 6); 3) 17—(3 + 6).
263. Решите, каким удобнее способом, следующие при-
меры: 1) 23—(3 + 5); 2) 25—(5 + 8); 3) 36—(6+10);
4) 48—(20 + 8); 5) 65—(5+10); 6) 75—(30+15).
264. В следующих примерах сначала вычитаемое
представьте в виде суммы двух слагаемых, а затем из
числа вычитайте сумму:
14—7 26—9 21—9 48—28
23—8 42—7 72—7 75-35
31—7 55—7 65-8 99—39
Указание. Необходимо сначала показать на не-
скольких примерах, как это делается: 14—7=14—(4 +
+ 3) = (14—4)— 3= 10—3 = 7; 26—9 = 26—(6 + 3) = (26—
—6)—3 = 20—3= 17; 48—28 = 48—(20 + 8) = (48—8)—20 =
= 40—20 = 20. Полезно, чтобы ученик, вызванный решать
такой пример, делал вслух пояснения, как он решает.
265. а) Представьте 2-е слагаемое в виде суммы и при-
бавляйте сумму к числу: 1) 23+ 19 = 23+ (7+.12) = (23 +
+ 7) + 12 = 30+12 = 42; 2) 59 + 27 = 59+(1+26) = (59 +
'4-1) +26 = 60 + 26 = 86; сделайте так же:
3) 36 + 36; 5) 48 + 48;
4) 44 + 37; 6) 66 + 26.
б) Представьте 2-е слагаемое в виде суммы и вычи-
тайте сумму из числа:
1) 72—35 = 72—(30 + 5) = (72—30)-5 = 42—5 = 42—
—2—3 = 37;
2) 63—24 = 63—(20 + 4)= (63—20)—4 = 43—4 = 43—
g__] = 39.
3) 31 — 15; 4) 42—18; 5) 55—18; 6) 65—27.
3*
67
266. Находите неизвестное (устно) и говорите, что
вы находите — слагаемое или уменьшаемое, или вычи-
таемое:
15 = 60 х—20 = 65 25фх=50
65-|- х = 100 75—х =30 45—х=25
267. В следующей таблице подставляйте вместо буквы
а число, которое стоит в той же графе в 1-й строке:
а 5 15 25 35 45 55 65 75 85
а+ 10
В этой таблице а —слагаемое, а+.Ю — сумма. Как
изменяется всякий раз сумма?
268. Как можно записать иначе следующие числа:
1) 1 дм 5 см, 1 дм 9 см, 1 дм 7 см; 2) 80 см, 15 см, 19 см,
17 см?
Указание. В случае затруднений учащиеся могут
решить эти вопросы с помощью линейки.
269. Вместо точек поставьте знак >, или <, или =
в следующих примерах:
\ дм ... 9 см
1 дм 5 см ... 1 дм 1 см
2 дм ... 20 см
13 см ... 1 дм 4 см
15 см ... 1 дм 5 см-
19 см ... 1 дм 1 см
270. Начертите в тетради полоску шириной 1 см, а
длиной 1 дм 2 см. На сколько сантиметров эта полоска
меньше другой полоски длиной 1 дм 6 см такой же ши-
рины? Как записать это решение?
Указание. Дети могут записать так: 16 см— \2см =
— 4 см.
271. Начертите два отрезка: один — длиной 1 дм 2 см,
другой — 4 см. Начертите такой третий отрезок, который
равен сумме этих отрезков, и такой четвертый отрезок,
который составляет разность данных отрезков. После это-
го запишите сумму и разность данных отрезков цифрами.
68
Указание. Дети должны записать:
12 см, *+' 4 см = 16 см.
12 см — 4 см = 8 см.
272. Уменьшаемое 2 дм, вычитаемое 12 см. Найдите
разность этих чисел. Какое действие надо сделать, чтобы
найти разность двух чисел? Проверьте решение по ли-
нейке.
273. Заполните таблицу}
Уменьшаемое 1 дм 1 см 20 см 1 дм 6 см 13 см 19 см
Вычитаемое 5 см 1 дм 5 см 16 см 1 дм2 см 1 дм 9 см
Разность
274. Начертите два отрезка: один—длиной 15 см, а
другой — длиной 12 см, наложите посредством полоски
меньший отрезок на больший и отметьте черточкой конец
меньшего отрезка. Что вы узнаете с помощью такого на-
ложения отрезков друг на друга? Вы узнаете, на сколько
меньший отрезок меньше большего или на сколько боль-
ший отрезок больше меньшего. Часть отрезка от черточ-
ки до конца большего отрезка и покажет разность длин
этих отрезков. Эту разность в числах вы уже умеете уз-
навать. Как это сделать?
Указание. Необходимо показать на доске, как на-
кладывать меньший отрезок на больший, и затем прове-
рить в тетрадях.
. 15 см
|--------------------------------------1
4 12 см
Разность
4-------1
3 см
15 см — 12 см = 3 см.
1
,XOt
69
275. Начертите один отрезок длиной 14 см, а другой —
1 cLw 1 см и определите с помощью линейки и вычислени-
ем' на сколько сантиметров 1-й отрезок больше 2-го.
276. Начертите один отрезок 9 см, а другой 1 дм 3 см
и определите с помощью линейки и вычислением, на
сколько сантиметров 1-й отрезок короче 2-го.
Примечание. Для индивидуальных заданий в I классе при
дифференцированном обучении рекомендуются следующие задачи:
173—175, 177, 180, 184, 196 (2), 208, 209, 210, 215, 216, 217, 219, 225,
227, 241, 244—245.
Кроме помеченных здесь задач, учитель по своему усмотрению
может использовать ряд задач на одну и ту же тему, но разной
трудности, для самостоятельных индивидуальных занятий.
И класс
ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО
В I КЛАССЕ
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 100
Во II классе необходимо не только вспомнить прой-
денное в прошлом учебном году, но и всемерно развивать
полученные знания и навыки на материале программы II
класса. В первую очередь необходимо закрепить навыки,
полученные в I классе, по измерению отрезков, массы
различных предметов, емкости сосудов и стоимости об-
щеизвестных вещей.
Для развития навыков измерения надо давать зада-
ния ученикам для самостоятельных измерений при вся-
ком удобном случае и не только на уроках математики,
но и на уроках рисования, ручного труда, физкультуры,
причем полезно проводить определение на глаз разме-
ров тел и измерения небольших расстояний в шагах. При
повторении следует использовать фигуры квадратов, тре-
угольников и т. д. Повторение и закрепление проводить
при решении практических задач.
Желательно, чтобы дети еще раз убедились, что пря-
мую линию можно начертить, можно получить ее путем
сгибания листа бумаги. Полезно показать, как можно
получить образ прямой при помощи натянутого шнура
или отбить ее шнуром, натертым мелом. Отбивку прямой
шнуром надо показать на доске и на полу.
Приведем задачи.
1. Сделайте бумажный метр, разделите его на 10 рав-
ных частей, а каждую полученную часть — еще на 10
равных частей. Получатся сантиметры.
71
2. Сделайте бумажную линейку длиной 20 см.
У к а з а н и е. Бумажную линейку учащиеся должны
постоянно держать в тетради по математике. Пусть она
будет запасной линейкой.
3. Измерьте метром длину и ширину класса, длину и
ширину классной доски, высоту и ширину двери. Резуль-
таты измерений запишите в тетради.
Указание. Работу по измерению отрезков в классе
или коридоре лучше поручать двум ученикам. Перед на-
чалом работы разъяснить учащимся, что записывать в те-
традь будут приближенные результаты. Например, длина
класса меньше 8 м или около 8 м.
4. Измерьте линейкой длину и ширину тетради, кни-
ги, длину карандаша, ручки, ширину парты.
5. Начертите по линейке на отдельном листке неграф-
леной бумаги один под другим отрезки следующей дли-
ны: 4 см, 8 см, 10 см, 12 см, 14 см, 16 см, 20 см.
6. Проведите на глаз от руки отрезки длиной: 4 см,
6 см, 8 см, 12 см, 15 см.
Указание. Учитель предварительно разъясняет,
как выполнить эту работу. Например, нужно начертить
от руки отрезок в 16 см. Ученик, вызванный к доске, чер-
тит мелом прямую линию и отмечает на ней отрезок, рав-
ный, по его мнению, 16 см, затем измеряет этот отрезок
по линейке и пишет справа действительную длину его.
Если была сделана ошибка, то внизу (под этим отрез-
ком) проводится по линейке отрезок в 16 см. Надо обра-
тить внимание учащихся на то, что при отсчете деление
линейки должно находиться прямо перед глазами, а не
сбоку, чтобы устранить, насколько возможно, погреш-
ность измерения. Когда учитель убедится, что все дети
поняли, как надо работать, он предлагает проделать та-
кую же работу самостоятельно.
7. Начертите на глаз (по линейке без делений) на не-
графленой бумаге один отрезок длиной 8 см, а другой
(под ним) длиннее на 4 см.
8. Начертите на глаз (по линейке без делений)
один отрезок длиной 13 см, а другой (под ним) на 5 см
короче.
9. Обведите карандашом по линейке полоску длиной в
18 клеток (шириной в 1 клетку) и разделите ее пополам.
Сколько клеток в каждой половине полоски?
72
Указание. При освоении единицы дециметр надо
проделать подобные упражнения, при этом надо иметь в
виду, что на развернутом листке обыкновенной писчей
бумаги можно че.ртить (по линейке или от руки) отрез-
ки длиной до 3—4 дм.
10. Начертите в тетради отрезок длиной 1 дм и разде-
лите его на сантиметры, как на фабричной линейке. Вни-
зу поставьте цифры: 0,1, 2, ..., 10 см.
11. Измерьте дециметрами длину тетради и длину раз-
вернутого листа тетради (ширину двух страниц) и ре-
зультаты измерения запишите в тетрадь.
Указан н е. Записать можно в такой форме: «Дли-
на тетради около 2 дм»; «Длина развернутого листа тет-
ради более 3 дм».
Для повторения понятий килограмм, литр и монета
можно проделать следующие упражнения:
1) взвешивание на весах 1 кг, 2 кг, 3 кг картофеля, лу-
ка, свеклы, моркови или других овощей с предваритель-
ной прикидкой на руке (всеми учащимися), взвешивание
наиболее употребительных «штучных» товаров, масса ко-
торых 1 кг (пачка соли, буханка хлеба и т. п.), а также
групп однородных «штучных» товаров, масса которых
вместе составляет 1 кг (2 пачки пиленого сахара, 4 пач-
ки «хрустящих хлебцев», банка, в которую влито 4 тон-
ких или 5 граненых стаканов воды, и г. п.); все это, ко-
нечно, надо проделывать не в один раз, а на нескольких
уроках, в связи с решением задач или в связи с разре-
шением практических вопросов; если такая работа бы-
ла проведена в I классе, то теперь она повторяется и уг-
лубляется, если же нет, то во II классе она особенно
будет важна для практического освоения единиц изме-
рения;
2) переливание воды из сосуда, имеющего форму ку-
бического дециметра, в литровую банку и в литровую
кружку, переливание литра воды в стаканы;
3) размен монет.
12. Ученик купил 30-сантиметровую линейку стои-
мостью в 4 коп. и в уплату дал 15 коп. Какими монетами
мог он получить сдачу?
13. Таня купила порцию мороженого и заплатила за
нее 15 коп. четырьмя монетами. Какими монетами зап-
латила Таня за мороженое и как еще она могла запла-
тить?
73
14. 1) Сколько копеек будут составлять вместе следу-
ющие монеты: 20 коп., 10 коп., 5 коп., 2 коп.? Сосчитайте
на монетах.
2) Положите на парту 3 двугривенных, 3 гривенника,
пятак и копейку. Сколько копеек получится?
У Казани е. Здесь и в дальнейшем имеются в виду
бумажные или картонные модели монет.
15. Положите на парту монету в 10 коп. и прибавляй-
те к ней по 10 коп. до 100 коп., а затем отнимайте по
10 коп. от 100 коп. до 10 коп.
16. Присчитайте к 10 см по 10 см до 100 см, а затем
от 100 см отсчитайте по 10 см.
17. Присчитайте к 20 коп. 20-копеечные монеты до
100 коп., а затем отсчитайте по 20 коп.
18. Присчитайте также по 20 см до 100 см, а затем от-
считывайте по 20 см.
Указание. Упражнения 14, 15, 17 желательно про-
водить на монетах, а 16, 18 — на метре, разделенном на
сантиметры.
УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ
НА НЕСКОЛЬКО ЕДИНИЦ
19. Начертите одну полоску длиной 11 см, другую —
на 9 см короче, а третью — равную двум первым вместе.
Каждую полоску возьмите шириной в одну клетку.
20. Нарисуйте на одной строке тетради 3 треуголь-
ника, на другой — на 4 треугольника больше, а на
третьей — столько, сколько на первых двух строках
вместе.
21. Длина двух отрезков прямых линий составляет
вместе 27 см. Один из них 15 см. Какова длина второго
отрезка? Начертите полученный отрезок в тетради.
22. Я задумал число, увеличил его на 36 и получил 100.
Какое число я задумал? Составьте две такие задачи.
23. Я задумал число, уменьшил его на 24, получилось
46. Какое число я задумал?
24. Задуманное число я увеличил на 12, а затем умень-
шил на 30 и получил 30. Какое число было задумано?
25. Задуманное число я уменьшил на 25, а затем уве-
личил на 38 и получилось 59. Какое число было заду-
мано?
Ответ. 46.
74
26. Увеличьте на 12 следующие числа: 6, 8, 18, 24, 30
48, 50, 56, 64, 72, 84, 88.
27. Уменьшите на 16 следующие числа: 20, 36, 40, 48,
56, 60, 68, 78, 80, 86, 96, 100.
Указание. Учитель записывает на доске числа,
которые надо увеличить или уменьшить. Затем ученик,
вызванный отвечать, называет только ответы, а все ос-
тальные ученики следят за ответами. Такие упражне-
ния надо практиковать довольно часто, при этом состав-
ление задач полезно предложить самим учащимся при-
мерно в такой форме.
28. Придумайте числа, которые надо увеличивать на
14 так, чтобы при сложении единиц не получалось боль-
ше 10.
29. Придумайте числа, которые надо уменьшать на
13 так, чтобы число единиц в них не было меньше 3.
30. Мальчик для изготовления игрушки выстрогал 3
палочки: одну — длиной 6 см, другую — на 3 см длиннее
первой, а третью на 6 см длиннее второй. Какой длины
была третья палочка? Сделайте иллюстрацию к этой
задаче. Покажите длину третьей палочки на линейке.
Указание. Целесообразно после того, как будет
прочитан текст задачи, сделать на доске (а учащимся в
тетрадях) схематическую запись условия, например, в
следующем виде:
Иллюстрация условия задачи 30.
Решение.
1) Какова длина второй палочки? 6 см + 3 см =9 см.
2) Какова длина третьей палочки? 9 сл + 6 см=15см.
Ответ. Длина третьей палочки 15 см, или 1 дм 5 см.
75
СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
(НА сколько ОДНО ЧИСЛО
БОЛЬШЕ ИЛИ МЕНЬШЕ ДРУГОГО)
31. По календарю погоды своего класса подсчитайте
число солнечных и число пасмурных дней в сентябре и
узнайте, каких и на сколько дней было в этом месяце
больше.
32. В одной классной комнате 6 окон, а в другой —
5. На сколько окон в первой комнате больше, чем во
второй? Изобразите число окон в каждой комнате в ви-
де квадратов, расположенных в двух рядах (один под
другим).
33. Начертите два отрезка прямых линий: один отре-
зок 16 см и под ним отрезок 12 см. Определите, на сколь-
ко один отрезок короче другого. Л как узнать, на сколь-
ко первый длиннее второго?
34. Начертите по линейке один под другим два не-
равных отрезка и определите на глаз, какой из них
больше и на сколько сантиметров (и какой меньше и на
сколько).
35. Начертите от руки один под другим два равных
отрезка и проверьте, равны ли они. Длину каждого на-
пишите справа.
36. Начертите от руки в разных направлениях два
равных отрезка, проверьте линейкой и длину запишите.
37. Одна лента длиной 1 м, а другая 100 см. Какая
из этих лент длиннее? Можно ли сказать, что длины
этих лент равны? Какие отрезки мы называем равными?
38. На сколько 10 больше 1? 100 больше 1? 1 мень-
ше 50? 69 меньше 70? 1 коп. меньше рубля? Два двугри-
венных меньше полтинника (монеты в 50 коп.)? Двугри-
венный больше пятака? Рубль больше гривенника? Пя-
тачок меньше рубля?
сотня
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
39. В двух вазах лежат конфеты: несколько в одной
вазе и столько же в другой вазе. Сколько конфет лежит
в двух вазах? Каким действием можно решить эту зада-
чу? Вместо конфет положите налево несколько палочек
и направо сколько-нибудь палочек (можно поровну, а
76
можно и не поровну). Подсчитайте по правилу, какое вы
знаете, сколько будет всего палочек, и запишите сумму.
Пусть число конфет в первой вазе было а, а во второй
вазе Ь, а их сумма а + b. Подбирайте для а и b любые
числа (кладите по скольку-нибудь палочек) и находите
сумму. Удобно это делать при помощи такой таблицы:
а 9
ь 3
а + Ь 12
Указание. Необходимо, чтобы ученики вспомни-
ли, что два слагаемых составляют сумму. Пусть деги
придумывают различные слагаемые, производят запись
решения, например: 9+3 = 9+ (1 +2) = (9 + 1) +2 = 10-Н
+ 2 = 12, затем вписывают этот пример в таблицу. Надо
сообщить учащимся, что буквы, которыми обозначаются
числа, латинские: а читается так же как русское а, а b
читается бэ, сумма а + b читается: а плюс бэ. Вместо па-
лочек, конечно, можно использовать геометрические фи-
гуры или какой-нибудь другой дидактический материал,
какой имеется под руками.
40. Заполните таблицу:
а 17 23 44 72 43
ь 13 27 56 18 47
а + Ь
и запишите, как вы решали каждый пример.
Образец:
17 +13 = 17+(3 + 10) = (17 + 3) + 10 = 20+10 = 30 (здесь
мы к числу 17 прибавили сумму чисел 3 и 10); или 17-Н
+13= (10 + 7)+13 = 10+(7+13) = 10+20 = 30 (здесь мы
к сумме чисел 10 и 7 прибавили число 13).
77
41, Если три числа обозначить буквами а, b (бэ), с
(цэ), то как можно с помощью этих букв записать:
1) сумму чисел а й Ь;
2) сумму чисел b и с;
3) сумму чисел а и с;
4) сумму трех чисел а, Ь, с?
42. Запишите с помощью букв а, Ь, с, как можно к
сумме чисел а и b прибавить число с.
Указание. Дети должны записать так: (а + b) +с =
«= (а + с) +&= (£> + с) + а— и сказать, что вычисление
можно сделать тремя способами: 1) можно первые два
числа (а и Ь) сложить и к сумме прибавить третье
число (с); 2) можно третье число (с) прибавить
к одному из слагаемых суммы, например к 1-му (а + с),
а эту сумму прибавить ко 2-му слагаемому (Ь); 3) или
третье число (с) можно прибавить ко 2-му слагаемому—
(сД-й) или (& + с) и полученную сумму прибавить к
1-му слагаемому (а).
Об этом говорилось в I классе, но без букв; теперь
дети приучаются делать запись правил с помощью
букв.
43. Заполните таблицу:
а .8 11 24 30 15 18
ь 12 13 26 34 25 20 .
с 16 15 28 36 40 24
। а .Ь
а-\-с
Ь + с
а + Ь + с
Объясните, как вы находили сумму двух и сумму
трех чисел.
44. В шкафу на верхней полке лежит стопка тетра-
дей— 20 штук, а на нижней полке 16 тетрадей, на сто-
ле же лежат 24 тетради. Какими способами можно пе-
реложить стопки тетрадей из шкафа в одну стопку на
•78
столе и подсчитать, сколько было всех тетрадей? Реши-
те эту задачу с помощью тетрадей или палочек.
Указание. От детей требуется, чтобы они догада-
лись, что здесь надо к числу 24 (24 тетради в стопке на
столе) прибавить сумму двух чисел 20 и 16 (число тет-
радей в шкафу), т. е. 24+(20+J6), и что это можно вы-
полнить тремя способами:
1) 20+16 = 36
2) 24+20 = 44
3) 24+16=40
36+ 24 = 60
44+16 = 60
40+20=60
Дети должны разъяснить каждый из этих способов.
Лучше всего эту задачу решись практически: показать
на тетрадях, а всем проделать с помощью пучков и па-
лочек.
45. Если данные числа обозначить буквами а, Ь, с,
то как можно записать, что к числу а прибавляется сум-
ма чисел b и с. Сделайте запись и разъясните, какими
способами можно прибавить к числу а сумму чисел b и ct
Указание. Ученики могут записать так:
1) а+ (Ь + с) — можно числа бис сложить и приба-
вить к числу а;
2) а+ (Ь + с) = (а+Ь) +с—можно первое слагаемое
суммы (б) прибавить к числу а, а затем прибавить вто-
рое слагаемое;
3) а+(б+'с) = (а+с)+б — можно второе слагаемое
(с) прибавить к а, а затем эту сумму сложить с первым
слагаемым (б).
46. В следующих примерах представьте второе слага-
емое в виде суммы двух чисел, так чтобы удобно было
сложить данные числа:
1) 24+16 4) 64+36 7) 18 + 17
2) 37+13 5) 39+21 8) 25+ 31
3) 48+ 12 6) 72+ 18 9) 36+36
Образец записи: 1) 24+16 = 24+'(6+10) =
= (24+6)+ 10=40;
7) 18+17= 18 +(2+15) = (18 + 2) +15=35.
Каким правилом вы здесь пользуетесь? Объясните
решение примеров.
Указание. В случае затруднений желательно ис-
пользовать пучки и палочки или счеты.
79
47. В следующих примерах используйте или правило
прибавления к числу суммы, или к сумме числа, где как
удобнее:
1) 22+29 3) 48+43 5) 69+17 7) 34+44
2) 34+37 4) 75+18 6) 38+39 8) 25+67.,,.
Объясните, как решать каждый пример. Запись де-
лайте полностью.
Образец записи: 1) 22+29= (21 +1)+29=21 +
+ (1+29) =21+30 = 51 (к сумме чисел 21 + 1 прибавили
число 29); 5) 69+17 = 69+(1 + 16) = (69 +1) + 16=86—к
числу 69 прибавили сумму (1+.16).
48. В трех аквариумах были рыбки: в I — 12, во II —
18, в III — 20. Чтобы узнать, сколько рыбок во всехтрех
аквариумах, Коля подсчитал результат по формуле х=
= а+(b-f-c), Петя — по формуле х= (а + Ь) +с, а Ваня —
по формуле х = а+.6 + с. У всех получился один и тот же
результат. Сделайте и вы подсчет тремя способами и ска-
жите, какое правило применили.
Указание. Пусть дети решают по возможности без
наглядных пособий.
49. Найдите наиболее удобным способом результат
сложения трех чисел a + b + с при условии: 1) а=8, 6=9,
с=36; 2) а = 24, 6 = 36, с = 25; 3) а=7, Ь = 8, с=85.
50. На письменном столе в двух коробочках лежали
перья: в одной коробочке—16, в другой — 14 перьев.
Отец подозвал к столу сына и сказал: «Я даю тебе 12
перьев, постарайся, чтобы их хватило на первую четверть
учебного года». Узнайте, сколько перьев осталось в двух
коробочках, и решите эту задачу несколькими способа-
ми. Вместо перьев положите в коробочку (или на листоч-
ки) какие-нибудь геометрические фигуры.
Указание. Учащиеся должны догадаться, что
здесь из суммы двух чисел (16 + 14) надо отнять число
12, что они могут сделать тремя способами: 1) (16+)
+14) —12 = 30—12= 18, т. е. найти сумму и отнять от нее
число 12; 2) (16+14) —12= (16—12)+ 14 = 4+14 = 18, т. е.
отнять 12 от 1-го слагаемого и разность прибавить ко
2-му слагаемому; 3) (16+14) —12 = 16+(14—12) = 16 +
+2=18, т. е. отнять 12 от 2-го слагаемого.
80
51. Если буквами а, Ь, с обозначить числа предыду-
щей задачи, то как можно записать решение ее с по-
мощью букв тремя способами.
Указание. Если а=16, 6=14, с=12, то: 1) (а +
+ 6)—с (здесь находится сумма чисел а и Ь, от суммы
вычитается число с); 2) (а + Ь)—с=(а—с)+Ь\ 3) (аф-
+.6)—с=а+ (Ь—с).
52. В следующих примерах найдите результаты по
правилу вычитания числа из суммы (а + Ь)—с:
1) 39—9 3) 48—6 5) 72 м—12 м 7) 35 см—30см
2) 37—5 4) 48—18 6) 32 см—22 см 8) 46 см—26gm
Образцы вычисления: 2) 37—5=(30 + 7)—5 =
= 30+(7—5) =30 + 2 = 32; 4) 48—18= (30+18) —18 = 30+;
+ (18—18) =30+0 = 30; 8) 46 см — 26 см = (20 см +]
+ 26 см)—26 см = 20 см + (26 см—26 см) =20 см.
Указание. В случае затруднений в вычитании от*
влеченных чисел можно использовать пучки и палочки, а
в именованных числах — сантиметровые ленты.
53. Прочитайте словами следующие равенства и при-
думайте для них подходящие числа:
1) а + Ь = Ь + а.
2) (а + Ь)— с— (а—с) + Ь = (6—с) + а.
3) а+ (Ь + с) = (а + Ь) + с = (а + с) + 6.
4) (а+Ь) +с= (а + с) + Ь = (6 + с) + а.
Указание. В этой и подобных задачах необходимо
добиваться, чтобы ответ был правилен по существу, а не
по форме. Например, если равенство 1-е (переместитель-
ное свойство суммы) ученик прочтет так: «Получится
одинаково, еслик1-му числу прибавить2-е илико2-му—
1-е», то надо считать ответ правильным.
54. В вазе лежало 12 яблок. Мать дала дочери 2 яб-
лока и сыну 3 яблока. Сколько яблок осталось в вазе?
Решите и запишите решение задачи тремя способами.
Вместо яблок положите в кучку 12 квадратов или пало-
чек и решите задачу с помощью этих пособий.
Указание. Имеется в виду, что вычитание из числа
(12) суммы чисел (2 и 3) дети могут сделать следующи-
ми тремя способами:
1) 12—(2+3) = 12-5 = 7.
2) 12—(2 + 3) = 12—2—3 = 10—3 = 7.
3) 12—(2 + 3) = 12—3—2 = 9—2 = 7.
81
55. Подумайте, как в предыдущей задаче записать три
способа решения с помощью букв, если уменьшаемое
обозначить буквой а, а сумму вычитаемых чисел буквами
b и с.
Указание. Учащиеся должны получить следующие
три равенства:
1) а—(Ь + с)—здесь находится сумма чисел b и с и
вычитается из числа а;
2) а—(Ь + с) = (а—Ь)—с — из числа а вычитается
первое слагаемое (&), а затем второе.
3) а—(Ь+с) = (а—с)—b — вычитается сначала вто-
рое слагаемое (с), а затем первое.
56. По правилу вычитания из числа суммы решите,
следующие примеры:
1) 15—(5+2) 4) 100—(20+5) 7) 32 см—( 2сл+Юсл)
2) 17—(7+2) 5) 50—(10 + 5) 8) 75 см-(20см+ 5 см)
3) 28-(8+5) 6) 32—( 7+5) 9) 9 дм-( 5 дм+ 2 дм)
57. Прочитайте словами следующие равенства и при-
думайте для них подходящие числа:
1) а— (& + с) = (а—Ь) — с = (а—с)—Ь.
2) (а + Ь)—с=(а—с) + b=(b—c) +а.
58. В следующих примерах примените наиболее удоб-
ные правила:
1) 36—18 2) 37 + 38
42—27 44+46
72—18 64 + 36
3) 4 дм 5 см—15 см
65 см—3 дм 5 см
16 см— 1 дм 4 см
59. Вместо точек поставьте знак (равенство, больше,
или меньше):
(30+7)+63 ... (40-5)+55
(40+5)+5 ... (30+5)+10
100—(60—30) ... 100—(60—40)
80—(30+40) .. . (90+ 10)—90
60. Вместо точек поставьте нужный знак (=, >, <):
1) 75 см ... 7 дм 5 см
2) 3 дм-}-5 см ... 2 дм 15 см
3) 2 м 40 см ... 100 см
4) 4 дм ... 41 см
82
61. Длина классной комнаты 9 м, длина физкультур-
ного зала на 14 м больше, а длина коридора на 29 .«
больше длины зала. Какова длина коридора?
Составьте похожую задачу о длине комнат в своей
школе, а для этого сначала сделайте необходимые изме-
рения.
62. Длину школьного коридора решили измерить так:
с обоих концов коридора навстречу друг другу измеряли
расстояние рулетками до встречи друг с другом. Как уз-
нать, какой длины был коридор? Измерьте так же и цы
длину коридора или забора.
63. Положите на парту двугривенный, пятачок и три
монеты по 3 коп. Сколько копеек получилось? Запишите
решение.
64. Ученица купила за 14 коп. книгу и дала в уплату
полтинник. Кассир сдал ей два гривенника, пять монет по
3 коп. и 1 коп. Правильно ли ученица получила сдачу?
Проверьте на монетах.
65. Наташе нужно было за продукты питания запла-
тить 41 коп. Она дала кассиру двугривенный, гривенник,
пятачок и две монеты по 3 коп. Правильно ли Наташа
набрала 41 коп.? Проверьте на монетах и запишите ре-
шение.
66. Миша измерял палку своей 35-сантиметровой ли-
нейкой. Линейка уложилась вдоль палки два раза, и ос-
тавшаяся часть палки составила 15 см. Какой длины бы-
ла палка у Миши? Проделайте подобное измерение при
помощи своих линеек и запишите решение.
67. Отмерьте на метровых линейках 28 см, от конца
28-го сантиметра — еще 27 см и затем — еще 17 см. Ка-
кой длины получится отрезок? Запишите решение.
68. Какой длины получится отрезок, если отложить на
метровой линейке сначала 37 см, а от конца 37-го сан-
тиметра еще 38 см? Проверьте на метре и запишите ре-
шение.
69. 1) Сложите числа в квадратах по строкам, по
столбцам, с угла на угол (по диагоналям):
6 16 2
4 а 12
/4 0 10
12 32 4
8 16 24
28 0 20
3 17 7
13 9 5
11 1 15
16 36 а
12 20 28
32 Ц 24
83
2) Поставьте по клеткам квадрата недостающие чис*
ла, если при сложении по строкам, столбцам и с угла на
70. а) Прибавляйте к 8 по 8 до 64, а затем вычитай-
те по 9 от 64 до 1;
б) прибавляйте к 7 по 7 до 70, а затем от 70 отнимай-
те по 8 до 6;
в) отнимайте от 99 по 11 до 0, а затем к 0 прибавляй-
те по 9 до 99.
71. а) Лида к 17 прибавила 18 и затем еще двузнач-
ное число, и у нее получилось 50. Какое число прибавила
Лида во второй раз?
б) Катя от 100 отняла 27, затем 18 и еще одно дву-
значное число, после чего осталось 39. Какое последнее
число отняла Катя?
72. а) Составьте задачу, в которой нужно к 38 приба-
вить 45, а затем вычесть 34;
б) составьте задачу, в которой нужно от 85 отнять 46,
а затем прибавить 22. .
73. а) Прибавляйте к 2 по 2 до 20, к 3 по 3 до 30, к 4
по 4 до 40 и т. д. к 10 по 10 до 100;
б) отнимайте от 20 по 2, от 30 по 3, от 40 по 4 и т. д. ...,
от 100 до 10.
Указание. Упражнения 70 и 73 служат главным
образом подготовкой к умножению и делению.
УМНОЖЕНИЕ
74. Положите на парты свои квадраты и сосчитайте и.х
по два. Сосчитайте также по два треугольники, прямо-
угольники и кружки.
75. Положите на парту 6 раз по два треугольника. Как
подсчитать, сколько положено всего треугольников?
76. Положите 9 раз по два квадрата, а затем подсчи-
тайте, сколько положено всего квадратов, и запишите
двумя способами (сложением и умножением).
84
77. Положите 10 монет по 2 коп. Подсчитайте й запи-
шите двумя способами, сколько копеек составляют эти 10
монет.
78. Сделайте по линейке следующий чертеж:
Указание. Если две клетки (по высоте) взять за
множимое, а число в нижнем ряду за множитель, то чис-
ло клеток во всех столбиках от начала (слева) и до
столбика, где стоит множитель, будет произведением.
(Названия членов действия — множимое, множитель,
произведение — надо сообщить учащимся.) Например:
2-3 = 6 (в трех столбиках слева 6 клеток), 2-6=12 (в ше-
сти столбиках 12 клеток) и т. д. Учащийся всегда может
сосчитать произведение по клеткам, вернее, по парам
клеток. Таким образом можно повторить таблицу умно-
жения по постоянному множимому.
Порядок работы по этому наглядному пособию та-
ков: чистой бумагой ученик закрывает все столбики
правее того, где стоит выбранный множитель, и произ-
носит, например: «По 2 взять 6 раз, будет 12».
79. Варя положила на тарелку 6 раз по 2 яблока.
Сколько всего яблок положила Варя? Вместо яблок
положите на парты кружочки и сделайте подсчет кру-
жочков. Как лучше решить эту задачу?
80. За обеденный стол сядут 7 человек. Каждому надо
поставить две тарелки. Сколько всего
ставить на стол? Вместо тарелок по-
ложите на парту 7 раз по два кру-
жочка. Подсчитайте, сколько всего
тарелок надо поставить, и запишите
двумя способами.
81. Положите на парты 5 рядов тре-
угольников, по три в каждом ряду.
’ Как можно подсчитать эти тре-
угольники? Запишите, как вы подсчи-
таете.
85
Указание. Полезно было бы, чтобы учащиеся под-
считали эти треугольники четырьмя способами^
1) 3+34-3+3+3= 15 3) 5+5+5 = 15
2)3-5 = 15 4)5-3=15
. и затем сделали вывод о наилучших способах
подсчета.
82. Положите 6 рядов квадратов, по 3 в каждом ря-
ду. Подсчитайте эти квадраты четырь-
мя способами.
83. Нина раздала 4 своим куклам
по 3 кедровых ореха, и у нее остался
- еще один орех. Сколько орехов было
у Нины? Вместо орехов разложите
кружочки и запишите решение этой за-
дачи наиболее коротким способом.
84. Сделайте чертеж (см, рисунок
слева).
Повторите по нему таблицу умно-
жения 3 (по 3 взять 1 раз, будет 3; по
3 взять 2 раза, будет 6 и т. д.).
85. Положите на парты 3 ряда тре-
угольников, по 4 в каждом ряду
(см. рис.).
Подсчитайте эти треугольники че-
тырьмя способами.
86. Положите па парты 4 ряда ква-
дратов, по 4 в каждом ряду, и подсчи-
тайте их четырьмя способами.
87. Лена раздала дв,ум своим млад-
шим братьям по 4 конфеты, и у нее ос-
талось 3 конфеты. Сколько конфет бы-
ло у Лены? Разложите вместо конфег
кружочки и решите эту задачу самым
коротким способом.
88. Сделайте чертеж (см. 2-й сни-
зу). Повторите по нему таблицу умно-
жения 4 (по 4 взять 1 раз, будет 4; по
4 взять 2 раза, будет 8 и т. д.)..
89. Положите на парты 3 ряда квад-
ратов, по 5 в каждом ряду (см. рис.
слева). Подсчитайте эти квадраты
четырьмя способами.
86
90. Сделайте сами чертеж для повторения таблицы
умножения 5 (пяти).
Указание. Чертеж должен иметь в высоту 5 кле-
ток, в длину 4 клетки.
91. Положите на парты 3 ряда треугольников, по 6 в
каждом ряду, и подсчитайте их четырьмя способами.
92. Положите на парты 3 ряда квадратов, по 6 в каж-
дом ряду, затем сделайте такой же чертеж в тетрадях и
подсчитайте умножением, сколько всего квадратов (дву-
мя способами).
93. Положите на парты 2 ряда квадратов, по 7 в каж-
дом ряду, и подсчитайте их четырьмя способами.
94. Составьте самостоятельно такие же задачи для
умножения чисел 8, 9 и 10.
95. Заполните таблицу:
ДЕЛЕНИЕ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ
Деление на две равные части
96. Положите на парты 8 треугольников и разложите
их в 2 коробки поровну. По скольку треугольников будет
в каждой коробке? Как записать решение этой задачи?
97. Разложите в 2 коробки поровну сначала 10 квад*
ратов, затем 12 кружков, 14 прямоугольников, 16 пало-
чек. По скольку квадратов, кружков, прямоугольников
и палочек будет в каждой коробке? Запишите решение.
98. Положите на парту 8 одинаковых треугольников,
разделите их на 2 равные части. По скольку треугольни-
ков будет в каждой части?
99. Начертите отрезки длиной 8 см, затем 12 см и
16 см и разделите каждый из них черточкой на 2 равные
части, а затем запишите деление.
Указание. Надо сообщить учащимся названия
членов действия деления: делимое, делитель, частное.
87
Деление на три равные части
100. Положите на парты 6 монет по 1 коп. и разложи-
те их поровну в 3 коробки. По скольку копеек будет в
каждой коробке?
Указание. Можно взять спичечные коробки.
101. Разложите 9 двухкопеечных монет в 3 коробки
поровну. По скольку копеек будет в каждой коробке?
102. Разложите в 3 коробки поровну: 1) 12 треуголь-
ников; 2) 15 квадратов; 3) 18 кружков. По скольку тре-
угольников, квадратов и кружков будет в каждой ко-
робке?
103. Начертите отрезки длиной 9 см, 12 см, 15 см, раз-
делите каждый из них на 3 равные части и затем запи-
шите деление.
Деление на четыре равные части
104. Разложите в 4 коробки поровну: 1) 12 треуголь-
ников; 2) 16 квадратов; 3) 20 прямоугольников. По
скольку треугольников, квадратов и прямоугольников бу-
дет в каждой коробке?
105. Катя разложила 8 котлет на 4 тарелки поровну.
По скольку котлет положила Катя на каждую тарелку?
Вместо котлет разложите кружочки на 4 кучки.
Указание. Деление на 5, 6, 7, 8, 9, 10 равных ча-
стей также полезно проделать на геометрических фигу-
рах и монетах. Дети должны проявить инициативу в са-
мостоятельном составлении задач на деление и их реше-
нии при помощи дидактического материала.
106. Начертите отрезки длиной 8 см, 12 см, 16 см и
разделите каждый из них на 4 равные части, а затем за-
пишите деление.
107. Назовите в пределах 20 все числа, делящиеся:
1) на 2; 2) на 3; 3) на 4; 4) на 5; 5) на 6; 6) на 7; 7) на
8; 8) на 9; 9) на 10.
108. Раздели на 3 следующие числа: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
109. Раздели на 4 следующие числа: 4, 8, 12, 16, 20.
ПО. Раздели
на 5 — 5, 10, 15, 20; , на 8 — 8, 16;
на 6 — 6, 12, 18; на 9 — 9, 18;
на 7 — 7, 14; на 10— 10, 20.
Указание. В выполнении упражнений 108—ПО
участвуют трое учеников: один называет число — дели-
88
мое, другой сразу должен говорить ответ — частное, тре-
тий подсчитывает ошибки того и другого. Затем учащие-
ся меняются ролями, так чтобы каждый из них проде-
лал одно и то же, после чего выявляется «победитель»
соревнования. Такую игру-упражнение можно использо-
вать для самостоятельной работы. По окончании игры
каждая тройка играющих сообщает учителю о результа-
тах соревнования.
111. Решите на монетах следующие примеры;
1) 2 коп.-9:3 3) 20 коп.: 5-3
2) 5 коп.-4 : 2 4) 18 коп.: 6-5
112. Если литр воды разлить в стаканы, то сколько
стаканов потребуется для этого. Проверьте и скажите,
на сколько же частей вы разделили лигр, разлив воду в
стаканы.
Указание. Эту задачу лучше задать на дом. Надо
иметь в виду, что тонких стаканов в литре 4, а гране-
ных — 5.
113. Заполните таблицу:
Делимое 12 18 15 20 20 18 18 14 14 16 16 20 50
Делитель 2 2 3 4 5 3 6 2 7 2 8 2 5
Частное
ДЕЛЕНИЕ ПО СОДЕРЖАНИЮ
114. Сколько потребуется тарелок, чтобы разложить в
них 20 яблок, по 5 яблок в каждую? Решите эту задачу с
помощью кружков.
Указание. Ученик, решающий эту задачу, должен
брать по 5 кружков столько раз, сколько можно (значит,
он отнимает от 20 кружков по 5 кружков и подсчитывает,
сколько раз он отнял).
Запись решения задачи. 20 ябл.: 5 ябл. =4.
Ответ: 4 тарелки.
Дети должны уяснить, что смысл деления по содер-
жанию иной по сравнению с делением на равные части.
89
В самом деле,'ведь при делении по содержанию мы всег-
да находим (по отношению к прямому действию — умно-
: жению) множитель, а множитель есть всегда число от-
влеченное, при делении же на равные части мы всегда
находим множимое, вот почему частное в этом случае
всегда имеет то наименование, какое имеет множимое.
Для учащихся II класса различение этих смыслов
деления — дело нелегкое, но к нему учитель должен ве-
сти-своих учеников путем упражнений на конкретном ма-
териале в продолжение всех лет начального обучения.
Таким образом, и деление на равные части, и деление
по содержанию — это два вида деления, только в первом
случае — это нахождение неизвестного множимого, а во
втором — неизвестного множителя. С точки же зрения
формы эти два вида деления записываются одинаково:
20:5 = 4.
Читать эти виды деления во II классе желательно
различно: для деления на равные части: «20 яблок раз-
делить на 5 равных частей (или просто на 5), получится
по 4 яблока» (или просто 4), а для деления по содержа-
нию: «20 яблок разделить по 5 яблок, получится 4» (под-
разумевается 4 раза).
А затем, когда оба вида деления будут обобщены, то
при чтении не следует делать различия, а читать в обоих
случаях одинаково: «20 разделить на 5, будет 4».
115. В классе два ряда парт. За каждой партой сидят
подвое: в первом ряду — 18, во втором — 16 человек.
Сколько парт в первом и во втором ряду в отдельности?
Сделайте рисунок к задаче. Составьте такую задачу.
Указание. В тетрадях учащихся получатся при-
мерно такие иллюстрации:
, . ,• • • • » » •
1-и ряд
• ••••••
• •
• с
• • о
2-й ряд e в
о • • • •
• • • е •
116. Положите на парты маленькие линейки и при по-
мощи их ответьте на следующие вопросы:' 1) сколько раз
в 20 см содержится по 1 см, по 2 см, по 4 см, по 5 см?
Сколько раз в 15 см содержится по 1 см, по 3 см, по
&0
5 см? Запишите правильно решение этих вопросов.
Указание. Ученик считает по линейке или лучше
без линейки, а затем проверяет по линейке. В тетради
должна быть такая запись: 1) 20 см: 1 сл! = 20;
2) 20 см\2 см— 10 и т. д.
117. Положите на парты монеты и подсчитайте, сколь-
ко в рубле содержится монет по 10 коп., по 20 коп. Как
записать решение этих вопросов?
118. Сколько раз в метре содержится отрезок длиной
10 см, 20 см? Проверьте решение, пользуясь метром.
119. Для работы в саду вышли 24 девочки и 16 маль-
чиков. Для удобства их распределили по бригадам, по 10
человек в каждой. Сколько получилось бригад?
Составьте подобную задачу из своей школьной жизни.
120.
Делимое 18 см 15 дм 12 кг 16 л 1 руб-
Делитель 6 см 3 дм 3 кг 4 л 20 кои.
Частное
Заполните таблицу, на каждый пример составьте за-
дачу и решите ее.
121.
Делимое 14 см 20 дм 18 кг 12 л 80 if
Делитель 2 5 3 4 20
Частное
Заполните таблицу, на каждый пример составьте за-
дачу и решите ее.
122.
Делимое 16 см 40 см 15 кг 50 коп. 18 л 12 руб.
Делитель 4 20 см 5 10 коп. 2 4 руб.
Частное
91
Заполните таблицу, составьте задачу на каждый при-
мер и решите ее.
Указание. Задачи 120—122 удобны для с а мостом-
тельных работ учащихся. Желательно разъяснить им,
как должна происходить работа с каждой таблицей, и
обратить их внимание на то, что правильно записанное
частное с наименованием или без наименования будете
служить указанием, как они понимают оба вида деле-
ния. Если учащиеся составляют задачи не очень быстро,
то можно каждую таблицу использовать для двух зада-
ний или выборочно.
ТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
123. В классе в каждом ряду по 6 парт. За каждой
партой сидят двое учеников. Подсчитайте четырьмя спо-
собами, сколько учеников в одном ряду.
Указание. Надо порекомендовать учащимся, что-
бы они положили на парты (или нарисовали) 6 пар
кружков (одну пару под другой). Четыре способа подсче-
та, которые имеются в виду, следующие: 1) 2+2+2+
+ 2 + 2 + 2 = 12; 2) 2-6=12; 3) 6 + 6=12; 4) 6-2 = 12.
124. Начертите прямоугольник длиной 8 клеток, ши-
риной 2 клетки. Подсчитайте
четырьмя способами, сколько
клеток будет занимать такой
прямоугольник.
Указание. В случае затруднений можно задать
такие вопросы: Сколько клеток в одном столбике? (2.)
А сколько таких столбиков по длине прямоугольника?
(8.) Значит, сколько раз надо взять 2 клетки слагаемым,
чтобы найти результат сложением? (2 + 2 + 2... 8 раз,
получим 16). А как найти этот результат умножением?
(2-8=16.) А сколько клеток по длине прямоугольника?
(8) и сколько таких рядов? (2.) Значит, как же можно
решить сложением, сколько клеток занимает прямоуголь-
ник? (8 + 8=16.) А умножением? (8-2=16.)
125. Как называется то свойство произведения, на ос-
новании которого 2-6 = 6-2; 2-8 = 8-2; a-b = b-a?
Указание. Учащиеся должны практически (на ря-
де примеров) усвоить, что произведение не изменяется,
если сомножители переставить, местами.
92
126. Вычислите произведение чисел а-b при условии,
если множимое а будет всегда равно 2, а множитель b
будет принимать значения от 1 до 10 по порядку. Ре-
зультат вычислений можно записать в виде такой таб-
лицы:
Множимое а 2 2 2 • 2
Множитель ь 1 2 3 10
Произведение а-Ь
127. Сделайте такую же таблицу, как в предыдущей
задаче, и вычислите произведение чисела-& при условии,
что множитель (Ь) будет постоянно равен 2, а множимое
будет принимать значения от 1 до 10 по порядку:
Множимое а 1 2 3 • 10
Множитель ь 2 2 2 • • •
Произведение а • Ь
Какой вывод можете вы сделать при решении задач
126 и 127?
Указание. Хорошо, если дети скажут, что: 1) как
в задаче 126, так и в задаче 127 произведения а-b оди-
наковы, хотя в 1-й задаче изменяется множитель, а во
2-й — множимое; 2) в том и другом случае первое произ-
ведение (2) увеличивается во столько раз, во сколько
раз увеличивается один из сомножителей.
128. Начертите вновь таблицу предыдущей задачи:
Множимое а 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101
Множитель ь 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I
Произведение а-Ь 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1
Возьмите теперь любой столбик этой таблицы, разде-
лите произведение на множимое, вы получите множитель,
а если произведение разделите на множитель, то получи-
93
те множимое, например, возьмем 4-й столбик: 8:4 = 2;
8:2 = 4. Проверьте это и сделайте вывод.
Указание. Учащиеся должны сделать вывод, что
для нахождения множимого надо произведение разде-
лить на множитель, а для нахождения множителя — про-
изведение разделить на множимое, словом, чтобы найти
любой из сомножителей, надо произведение разделить на
другой сомножитель.
129. а) Надя купила 9 тетрадей, по 2 коп. за каждую.
Сколько заплатила она за тетради?
Решение этой задачи вам известно: 2 коп.-9= 18 коп.
Здесь число 2 коп. — множимое, число 9 — множи-
тель (он показывает, сколько раз множимое берется сла-
гаемым, поэтому множитель всегда число отвлеченное),
число 18 коп. — произведение (оно всегда имеет то же
наименование, какое имеет множимое).
К задаче на умножение всегда можно составить две
обратные задачи: в одной задаче можно найти множи-
тель, эта задача будет на деление по содержанию, в дру-
гой — множимое, когда задача решается делением на
равные части.
Например, 1-я обратная задача (на деление по
содержанию). На 18 коп. Надя купила тетради, по 2 коп.
за каждую. Сколько тетрадей купила Надя?
Решение. 18 коп.:2коп. = 9 (тетр.). 18 коп. разде-
лили по 2 коп., частное получили отвлеченное число 9,
поэтому наименование «тетр.» записали в скобках.
2-я обратная задача (на деление на равные
части). Надя купила на 18 коп. 9 тетрадей. По какой це-
не она купила тетради?
Решение. 18 коп. : 9 = 2 коп. (в частном получили
2 коп.— число такого же наименования, как и в дели-
мом, так как здесь мы нашли множимое прямой задачи.
б) Задача прямая (на умножение). Коля купил
8 перьев для авторучки, по 2 коп. за каждое перо. Сколь-
ко копеек заплатил Коля за перья?
Решите эту задачу и составьте к ней две обратные:
одну — на деление по содержанию, другую — на деление
на равные части.
Указание. Полезно вывесить плакаты с названия-
ми членов действий умножения и деления, чтобы дети
всякий раз могли проверить себя,
94
130. Дано решение прямой задачи: 2-10 = 20. Приду-
майте условие этой задачи и составьте к ней две обрат-
ные (по примеру задачи 129а).
131. Составьте такую таблицу, чтобы в первом ряду
было десять чисел по порядку, начиная с 1, а во втором
ряду под ними подряд десять четных чисел, начиная с 2:
1 2 3 4 '5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Посмотрите внимательно на эту таблицу и скажите,
как по ней можно повторить таблицу умножения числа
2 и на 2, а так же таблицу деления по 2 и на 2.
Указание. 1) Таблица умножения по постоянному
множимому 2 читается так: по 2 взять 1 раз, будет 2;
взять 2 раза, будет 4; взять 3 раза — 6 и т. д. (в первой
строке множители, во второй — произведения): 2) табли-
ца умножения по постоянному множителю читается так:
дважды один — 2; дважды 2 — 4; дважды 3 — 6 и т. д.
(в первой строке множимое, которое берется 2 раза, т. е.
дважды, произведение также во второй строке); 3) деле-
ние по содержанию (читаем нижнюю строку): 2 разде-
лить по 2, будет 1; 4 разделить по 2, будет 2; 6 разделить
по 2 — 3 и т. д. (частное в первой строке); 4) деление на,,
равные части (читаем также нижнюю строку): 2 разде-
лить на 2 равные части (или просто на 2), будет 1;
4 разделить на 2 равные части, будет 2 и т. д. (частные
в первой строке).
Примечание. При изучении табличного умножения в
«Сборнике» даются дне таблицы умножения — по постоянному мно-
жимому и постоянному множителю. С точки зрения понимания
-смысла умножения учащимся полезно составить и записать их обе.
Учить же наизусть следует лишь одну из них. В соответствии с
таблицами умножения даются и две таблицы деления — по содер-
жанию и на равные части. Различное чтение этих таблиц для поль-
зы дела советуем практиковать до тех пор, пока не будет сделано
обобщения обоих видов деления, после чего чтение деления по со-
держанию и на равные части надо будет читать одинаково, напри-
мер: «24 разделить на 6, будет 4».
Изучение табличного умножения и деления в пособии
изложено для дифференцированного занятия с детьми.
95
132. Начертите один под другим 3 кружочка, а через
строчку направо еще 3 кружочка и так 10 раз. У вас по-
лучится такая фигура из кружочков.
Подсчитайте четырьмя способами (сложением и ум-
ножением) количество всех кружков.
Указание.
1) 3 + 3 + 3... 10 раз = 30 4) 10-3 = 30
2) 3-10 = 30 3) I0+10+_10=30
133. а) Отряд пионеров построился в 8 рядов, по 3
пионера в ряду. Сколько всех пионеров было в отряде?
Это прямая задача.
Решив ее, составим две обратные задачи: одну—на
деление по содержанию (находится множитель) и дру-
гую—на деление на равные части (находится множимое).
1-я обратная задача. Отряд построился в ряды
по 3 человека в каждом. Сколько было рядов в отряде,
если в нем 24 пионера? 24 пион.: 3 пион. = 8 (рядов).
2-я обратная задача. В отряде было 24 пионе-
ра. Они построились в 8 одинаковых рядов. Сколько пио-
неров было в каждом ряду? 24 пион. : 8 = 3 пион.
б) Мать положила на 6 тарелок пирожки, по 2 пи-
рожка на каждую тарелку. Сколько всего пирожков
разложила мать на тарелки?
Решите эту задачу и составьте к ней две обратные
задачи по данному выше примеру.
134. Дана прямая задача, которая решается так:
3-9 = 27. Придумайте к ней условие и две обратные зада-
чи и решите их (см. задачу 133 а).
135. Начертите таблицу:
Множимое а 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Множитель ь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Произведение а-b
а) Заполните эту таблицу, составляя сначала произ-
ведение а-b, а затем b-а. Какую таблицу надо соста-
96
вить для произведения b -а> Сделайте ее. На основании
какого свойства произведения а-Ь — Ь-а^
б) Когда вы составите таблицы, то в нижней строке у
вас будут произведения. Если теперь в любом столбце лю-
бой таблицы вы произведение разделите на множимое, то
что получите? Какое деление для этого нужно сделать
(по содержанию или на равные части)? А если произве-
дение разделите на множитель, то что получите? Какое
деление для этого надо сделать?
Указание. Дети должны вспомнить, что если де-
лением находится множитель, то это всегда будет деле-
ние по содержанию (множитель — число отвлеченное), а
если находится множимое, то это деление на равные ча-
сти (множимое и произведение всегда имеют наименова-
ния одинаковые).
136. Рассмотрим внимательно следующую таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
В этих двух строках заключены две таблицы умноже-
ния (числа 3 и на 3) и две таблицы деления (деления по
3 и на 3), как в таблице задачи 131. Например, по 3
взять 7 раз — 21 (ответ под 7); трижды 8 (т. е. три ра
за 8) —24 (ответ под 8); 18 разделить по 3 или на 3, бу-
дет 6 (ответ над 18).
137. Начертите прямоугольник длиной 10 клеток, а
щириной 4 клетки и подсчитайте четырьмя способами,
сколько клеток занимает этот прямоугольник.
Указание. Имеются в виду следующие 4 способа
подсчета:
1) 4 + 4 + 4 + ... 10 слагаемых, получим 40
2) 4-10 = 40
3) 10 + 10+10+10 = 40
4) 10-4 = 40.
138. а) Для класса куплено 10 линеек, по 4 коп. за
каждую. Сколько денег заплачено за линейки?
Решив эту задачу, составим две обратные к ней за-
дачи.
1-я обратная задача. На 40 коп. куплены ли-
нейки, по 4 коп. за каждую. Сколько куплено линеек?
2-я обратная задача. На 40 коп. куплено 10
одинаковых линеек. По какой цене покупались линейки?
‘ 4 Заказ ТТ87
97
Решение: 40 коп. s 10=4 коп.
б) Куплено 8 двойных тетрадей, по 4 коп. за каждую.
Сколько денег заплатили за все тетради?
Решите эту задачу и составьте к ней две обратные за-
дачи, как показано в пункте а) этой задачи.
139. Дана прямая задача, которая решается так:
4-6 = 24. Придумайте к ней условие и две обратные зада-
чи и решите их.
140. Начертите таблицу:
Множимое а 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
Множитель ь 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Произведение а-Ь
Заполните эту таблицу, составляя сначала произведе-
ние а-b, а затем b-а. Таблицу для произведения b-а сде-
лайте отдельно и сравните с первой. Вспомните, на осно-
вании какого свойства произведения а-Ь = Ь -а.
Разъясните, как по любой из этих таблиц можно изу-
чать таблицу умножения 4 и на 4 и таблицу деления по
4 и на 4.
141. Рассмотрим внимательно следующую таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 Р 16 20 24 28 32 36 40
Л
В этих двух строках заключены 2 таблицы умноже- i
ния (числа 4 и на 4) и 2 таблицы деления (деления по 4
и на 4). Например: по 4 взять 7 раз, будет 28 (ответ под 7); ,
четырежды 6 (т. е. 4 раза по 6), будет 24 (ответ под 6); >
36 разделить по 4, будет 9 (ответ над 36); 32 разде-
лить на 4, будет 8 (ответ над 32).
Составьте 12 примеров по данному образцу (по 3
примера на каждый вид умножения и на каждый вид
деления).
142. Билет за проезд в автобусе в один конец стоит
5 коп. Сколько нужно заплатить за 10 билетов? Как это
подсчитать четырьмя способами?
98
Указание. Имеются в виду следующие способы
вычисления:
1) 5 + 5 + 5+ ... 10 слагаемых, получим 50
2) 5-10 = 50
3) 10+10+10+10+10=50
4) 10-5 = 50 .
143. а)Ученица для тренировки решала ежедневно в
течение 9 дней по 5 примеров на умножение й деление,
дополнительно к домашнему заданию. Сколько всех при-
меров решила она дополнительно за 9 дней?
Решив эту задачу, 5 прим.-9 = 45 прим., составим к
ней две обратные задачи на деление.
1-я обратная задача. Ученица решила 45 при-
меров, решая ежедневно по 5 примеров. Во сколько дней
она решила все примеры?
Решение. 45 прим. :5 прим. =9 (дней)
2-я обратная задача. Ученица за 9 дней реши-
ла 45 примеров. По скольку примеров она решала еже-
дневно, если каждый день она решала примеров по-
ровну?
Решение. 45 прим. :9=5 прим.
б) Девочка для угощения своих кукол разложила
на 6 игрушечных тарелок по 5 подсолнечных семечек.
Сколько всех семечек разложила девочка?
Решите эту задачу и составьте к ней по данному об-
разцу две обратные задачи на деление.
144. Дана задача, которая решается так: 5-8 = 40.
Придумайте к ней условие и две обратные задачи на де-
ление и решите их.
Начертите таблицу:
Множимое а 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Множитель ъ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Произведение а-Ь
Заполните эту таблицу, составляя сначала произве-
дение а-b, а затем b-а. Для произведения b-а сделайте
Другую таблицу и сравните эти таблицы.
Разъясните, как по любой из этих таблиц можно изу-
чать таблицу умножения 5 и на 5 и таблицы деления по
5 и на 5.
4
99
145. Рассмотрите внимательно следующую таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
В этих двух строках заключены две таблицы умно-
жения (числа 5 и на 5) и две таблицы деления (по 5 и
на 5). Например: по 5 взять 7 раз, будет 35 (ответ под 7);
пятью 9 (т. е. пять раз 9), будет 45 (ответ под 9);
30 разделить по 5 или на 5, будет 6 (ответ над 30).
Составьте 12 примеров по данному образцу (по 3
примера на каждый вид умножения и на каждый вид
деления).
146. На демонстрацию в честь праздника Великого
Октября учащиеся построились в колонну по 6 человек
в ряду. Сколько человек в 10 рядах этой колонны?
Решите эту задачу умножением и составьте к ней две
обратные задачи на деление.
147. Начертите таблицу;
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Посмотрите внимательно, как составлена эта табли-
ца, и объясните, как по ней можно проверить умноже-
ние (6 и на 6) и деление (по 6 и на 6).
Составьте 12 примеров — по 3 на каждый вид умно-
жения и деления.
148. С начала учебного года (с 1 сентября) до на-
чала 2-й четверти учебного года (до 10 ноября) ровно
10 недель. Подсчитайте умножением, сколько дней в 1-й
четверти, считая и осенние каникулы. Составьте две об-
ратные задачи на деление.
Указание. 1) Задача на деление по содержанию
может быть такая: В 1-й четверти учебного года 70
дней, а в каждой неделе 7 дней. Сколько недель в 1-й
четверти? (70 дн.:7 дн. = 10.) 2) Задача на деление на
равные части; В 1-й четверти 70 дней, это составляет 10
недель. Сколько дней в каждой неделе? (70 дн.:10 =
= 7 дн.)
100
149. Начертите таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
Разъясните, как по этой таблице можно проверить
умножение (7 и на 7) и деление (по 7 и на 7).
Составьте 12 примеров—по 3 на каждый вид умно-
жения и на каждый вид деления.
150. Начертите прямоугольник длиной 10 и шириной
8 клеток и подсчитайте умножением двумя способами,
сколько он занимает клеток. На основании какого свой-
ства произведения можно подсчитать результат двумя
способами? Как с помощью букв записать это свойство?
Указание. К этой задаче не рекомендуем состав-
лять обратные задачи.
151. Школьники посадили 10 рядов тополей, по 8 в
каждом ряду. Сколько всех тополей высадили школь-
ники?
Решите эту задачу умножением и составьте две об-
ратные задачи на деление.
152. Составьте задачу, которая решается так: 8-9=
= 72.
Придумайте условие этой задачи и составьте две об-
ратные к ней задачи на деление.
Начертите таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
Разъясните, как по этой таблице можно изучать
таблицу умножения 8 и на 8 и таблицу деления по 8 и
на 8.
Составьте 12 примеров — по 3 на каждый вид умно-
жения и на каждый вид деления.
153. В магазине в первой половине дня продали 10
детских костюмов, по 9 руб. за каждый. Сколько денег
выручил магазин от продажи 10 костюмов?
Решите эту задачу умножением и составьте к ней
две обратные задачи на деление.
101
154. Задача решается так: 9-8 = 72. Придумайте к
ней условие и составьте две обратные задачи на деление.
155. Начертите таблицу:-
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 18 27 36 45 54 63 72 81 90
Разъясните, как по этой таблице можно изучать и
повторять таблицу умножения 9 и на 9 и таблицу деле-
ния по 9 и на 9.
Составьте 12 примеров — по 3 на каждый вид умно-
жения и на каждый вид деления.
156. В десяти коробочках лежало по 10 перьев в каж-
дой. Сколько всего перьев было в 10 коробочках?
Решите эту задачу умножением и составьте к ней две
обратные задачи на деление.
157. Задача решается так: 10-8=80, Придумайте к
ней условие и две обратные задачи.
158. Начертите таблицу:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ю
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Разъясните, как по этой таблице можно изучать таб-
лицу умножения 10 и на 10 и таблицу деления по 10 и
на 10.
Составьте 12 примеров — по 3 на каждый вид умно-
жения и на каждый вид деления.
ДОЛИ ЕДИНИЦЫ. НАХОЖДЕНИЕ ДОЛИ ЧИСЛА
159. Вырежьте 4 круга. Один из них оставьте целым,
второй перегните пополам, третий разделите на 4 рав-
ные части, четвертый — на 8 равных частей. По переги-
бам прочертите карандашом линии.
На какие части разделился второй круг? Сколько по-
ловин в круге? На какие части разделился третий круг?
Сколько четвертей круга получилось? Сколько восьмых
частей круга получилось? .
102
Указание. У детей получатся такие круги:
Такие же круги в большем масштабе надо сделать
для класса и приколоть их кнопками к доске.
Пользуясь таким пособием, надо провести беседу и
выяснить, что на первом рисунке изображен целый круг,
на втором—круг разделен на две равные доли (пополам),
что половин в круге две, что они равны между собой;
третий круг разделен на 4 равные доли, которые назы-
ваются четвертями круга, что эти четверти круга равны
между собой и т. д. По окончании беседы ученики накле-
ивают круги в свои тетради.
160. Начертите карандашом квадрат длиной и ши-
риной 4 клетки. Сосчитайте число клеток в этом квад-
рате. Разделите этот квадрат на четыре равные доли
(части). Как можно назвать полученные части квадра-
та? Сколько клеток в целом квадрате и сколько в каж-
дой четвертой части квадрата? Как узнать это, не считая
клеток?
161. Начертите полоску длиной 10 клеток и шириной
3 клетки. Сосчитайте число клеток в этой полоске. Раз-
делите ее на 5 равных частей (долей). Какую часть це-
лой полоски составляет каждая полученная доля?
Сколько клеток в каждой пятой части (полоски)? Как
узнать об этом без подсчета клеток?
Указание. Эту полоску (или другую) можно
предложить учащимся разделить на 10 равных частей и
ответить на такие же вопросы.
162. Начертите полоску длиной 12 клеток и шириной
2 клетки. Подсчитайте число клеток в ней. Разделите
ее на 3 равные доли. Какую часть целой полоски со-
ставляет каждая полученная доля? Сколько клеток в
одной трети этой полоски? Как узнать это, не считая
клеток?
Указание. Эту полоску (или другую) кожно
предложить учащимся разделить на 6 равных частей.
Для этого потребуется каждую треть полоски разделить
пополам и ответить па такие же вопросы.
d03
163. У мальчика было 90 коп. Одну треть этих де-
нег он одолжил товарищу. Сколько денег осталось у
мальчика? Проверьте решение на монетах.
164. Сколько обыкновенных (тонких, неграненых)
стаканов воды содержит литр? Сколько стаканов воды
будет составлять половина литра? четверть литра? Про-
верьте это путем переливания воды из литровой кружки
в стаканы.
Указание. Литр жидкости (или какого-либо дру-
гого вещества) содержит 4 обыкновенных стакана.
165. Знаете ли вы такие предметы, которые состав-
ляют ровно половину килограмма? Назовите их.
166. Мать купила литр молока и налила стакан мо-
лока сыну. Какую часть литра молока получил сын?
167. Перед началом занятий Коля купил 27 тетрадей.
За сентябрь и октябрь он истратил одну треть куплен-
ных им тетрадей. Сколько тетрадей осталось у Коли
после двух месяцев учебы?
Составьте задачи о своих расходах тетрадей.
168. Сколько будет составлять: 1) третья часть 18
вместе с четвертой частью 24; 2) третья часть 27 вместе
с половиной 100; 3) половина 80 с четвертой частью 28?
169. Я задумал число, взял третью часть его, приба-
вил 14, получилось 20. Какое число я задумал?
170. Третью часть задуманного числа я умножил на
5, получилось 30. Какое число я задумал?
О т в е т: 18.
Дециметр
171. Какую часть метра составляет 1 дм? Сколько
раз дециметр уложится по длине вашей тетради? Уло-
жится ли дециметр 2 раза по ширине тетради? Проверь-
те, сколько раз дециметр уложится по двум страницам
тетради.
172. Сколько дециметров в метре? в половине мет-
ра? в пятой части метра? в десятой части метра? Сколь-
ко сантиметров в пятой части метра? в половине метра?
173. Определите на глаз в дециметрах:
1) ширину и длину крышки своей парты и высоту
парты; 2) длину и ширину доски.
Указание. Проверку глазомерных измерений
Ложно предложить сделать с помощью тетради (с по-
следующей проверкой инструментами), длину которой
104
приближенно надо принять за 2 дм. При таком способе
измерения учащиеся практически убедятся в возможно-
сти довольно точного измерения отрезков без инстру-
ментов.
174. Поучитесь проводить на глаз (на классной дос-
ке или на больших листах неграфленой бумаги) отрезки
в 1 дм и 2 дм. Длину проведенных отрезков проверяйте
по линейке: внизу отрезка, проведенного от руки, начер-
тите по линейке точный отрезок и сравните с ним прове-
денный от руки отрезок.
Указание. Это упражнение (по развитию глазо-
мера) должны выполнить все учащиеся. На обычном
листе бумаги (для пишущей машинки) можно проводить
отрезки до трех дециметров, а на развернутом (двой-
ном) листе — до четырех дециметров.
175. Поучитесь проводить в разных направлениях
равные отрезки длиной 1 дм и 2 дм. Длину проведенных
отрезков проверяйте по линейке.
Указание. Особенно важно научить детей прово-
дить равные отрезки перпендикулярно друг другу, поль-
зуясь прямоугольным треугольником. Надо показать,
как это делается с помощью одной линейки или с по-
мощью линейки и чертежного треугольника.
176. Возьмите веревку или нитку длиной 80 см. От-
режьте от нее четвертую часть. Сообразите, а потом
проверьте, сколько дециметров составляет остаток ве-
ревки.
177. Отрезок длиной в несколько дециметров увели-
чили на 4 дм и разделили на 5, получился отрезок в
2 дм. Какой длины был первоначальный отрезок? Реши-
те задачу с помощью составления уравнения.
178. Придумайте задачу, чтобы к отрезку в 7 дм
нужно было прибавить 2 дм, а затем отнять 4 дм.
УВЕЛИЧЕНИЕ И УМЕНЬШЕНИЕ ЧИСЛА
В НЕСКОЛЬКО РАЗ
179. Достаньте монеты. Положите в одну кучку 20
коп., в другую — в два раза больше, а в третью — в три
раза больше. Сколько копеек будет в каждой кучке?
180. Положите в одну кучку 80 коп., в другую —
вдвое меньше, а в третью — вчетверо меньше. Сколько
копеек будет в каждой кучке?
105
Указание. В
181. Положите в один ряд 6 тре-
угольников (кружков, палочек), в
другой—вдвое больше, а в тре-
тий — в четверо больше. Сколько
треугольников будет в каждом
ряду?
182. Ученикам II класса старше-
классники подарили сделанный ими
ящик для хранения чернильниц.
Его длина была 4 дм, ширина на
I дм меньше, а высота вдвое мень-
ше длины. Покажите длину, шири-
ну и высоту ящика на метре.
183. Три вторых класса А, Б и
В собирали плоды шиповника.
Класс А сдал 9 кг плодов шиповни-
ка, класс Б — на 4 кг больше, а
класс В — вдвое больше, чем класс
А. Сколько плодов шиповника сдал
каждый класс? Изобразите сданное
каждым классом количество кило-
граммов плодов шиповника в виде
столбиков, приняв одну клетку за
1 кг. Запишите решение задачи,
тетрадях должна получиться при-
мерно следующая диаграмма (см. черт.).
Можно диаграмму сделать и в виде полосок, распо-
ложенных вдоль строк.
184. Для кролика купили 6 кг капусты, свеклы на
3 кг больше, а моркови — вдвое больше, чем капусты.
Сколько килограммов свеклы и моркови в отдельности
купили для кролика? Изобразите купленное число кило-
граммов капусты, свеклы и моркови в виде столбиков,
приняв одну клетку за 1 кг. Запишите решение задачи.
КРАТНОЕ СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ
185. Нарисуйте 12 одинаковых треугольников (вплот-
ную друг к другу) и затушуйте или раскрасьте каждые
3 треугольника различными способами. Нарисуйте ниже
(через строчку) 3 таких7 же треугольника. Сколько
раз эти 3 треугольника уложатся в верхнем ряду
треугольников? Значит, во сколько раз 12 треугольников
больше, чем 3 треугольника? Как записать решение?
Ю6
Р е ш е н и е. 12 треуг. :3 треуг. =4.
186. Сколько обыкновенных (тонких) стаканов мо-
лока составят один литр молока? Во сколько раз ста-
кан молока меньше литра молока? Во сколько раз литр
молока больше одного стакана молока?
Указание. Решение можно записать так:
4 ст. :1 ст. =4.
187. Во сколько раз:
1 л больше половины
литра?
1 кг больше половины
килограмма?
1 м больше дециметра?
1 м больше сантиметра?
1 м больше половины
метра?
1 м больше 20 слт?
1 руб. больше копейки?
Во сколько раз:
половина литра меньше
1 л?
половина килограмма
меньше 1 кг?
дециметр меньше 1 м?
сантиметр меньше 1 м?
половина метра меньше
1 м?
20 см меньше 1 м?
копейка меньше 1 руб?
Указание. На все эти вопросы требуется получить
только устный ответ, причем ответы должны основы-
ваться на практике учащихся.
188. От электрического шнура длиной 28 дм отре-
зали четвертую часть. Во сколько раз и на сколько де-
циметров оставшаяся часть шнура больше отрезан-
ной? Сделайте иллюстрацию к задаче при помощи от-
резков.
Указание. Учащиеся могут, например, оставшую-
ся и отрезанную часть шнура изобразить так:
107
Решение задачи запишем четырьмя действиями:
1) 28 Ли:4 = 7 дм
2) 28 дм —7 дм = 21 дм
3) 21 дм :7 дм =3
4) 21 дм—7 дм=14 дм.
189. Ира нарисовала в тетради дорожку в виде пря-
моугольника длиной 12 см и шириной 3 см. Сделайте
чертеж этой дорожки. Во сколько раз ширина ее мень-
ше длины?
190. Начертите два отрезка: один большой, другой
маленький — и определите на глаз, во сколько прибли-
зительно раз первый больше второго или второй меньше
первого. Как можно проверить ответ?
Указание. Выбор способов сравнения отрезков
надо предоставить сначала самим ученикам, а затем
разъяснить, что сравнить эти отрезки удобнее путем от-
кладывания циркулем меньшего отрезка на большем.
Ответ может быть дан примерно в такой форме: «Пер-
вый отрезок больше второго в 3 с лишним раза» или
«без малого в три раза».
191. Начертите от руки небольшой отрезок, а под
ним на глаз отрезок в 4 раза больший, затем проверьте,
как вы это сделали.
Указание. Если окажется, что второй отрезок
будет содержать менее четырех меньших отрезков, то
ронкой линией ученик дополнит его до четырехкратного,
а если больше, то черточкой отсечет лишнюю часть
отрезка.
При таком способе проверки учитель сможет хоро-
шо и быстро контролировать работу всех учащихся.
192. Положите на парты свои линейки. Отвечайте на
следующие вопросы и проверяйте по линейке: во сколь-
ко раз и на сколько сантиметров 20 см больше 1 см?
больше 2 см? больше 4 см? больше 5 см? больше
10 см? Как записать решение этих вопросов?
' Указание. Молено записать условие на доске и
предложить детям самостоятельно записать решение.1
Такие же задачи можно составить в пределах, напри-
мер, 30 см или 50 см, или 1 м (в последних двух по мет-
ровой линейке).
108’
ПОВТОРЕНИЕ ТАБЛИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ
И ДЕЛЕНИЯ
193. Для повторения таблиц умножения и деления
составьте таблицу Пифагора, как показано ниже.
Таблица Пифагора
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
3 6 9 12 15 18 21 24 27 30
4 8 12 16 20 24 28 32 26 40
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70
8 16 24 32 40 48 56 64 72 80
9 18 27 36 45 5< 63 72 81 90
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Сообразите (без подсчета), сколько всех чисел будет
в этой таблице. Как по ней можно повторить таблицу
умножения? Как повторить таблицу деления?
Указание. Таблица Пифагора может служить не
только для повторения табличного умножения и деления
(см. ниже упражнения 1, 2), ио и для упражнений в сло-
жении и вычитании. Само построение таблицы и поль-
зование ею представляет для второклассников интерес
и приносит большую пользу при изучении действий в
пределе 100. Приведем некоторые упражнения.
1) Табличное умножение: в первом слева вертикаль-
ном столбце—множимое (например, 6), в первой верх-
ней строчке — множитель (например, 7), на перекрест-
ке— произведение (42).
2) Если число на перекрестке (42) принять за дели-
мое, то числа 7 и 6 соответственно могут служить дели-
109
телем и частным. Следовательно, по этой таблице мож-
но повторять и таблицу деления.
3) Можно составить упражнения на сложение (и вы-
читание) чисел любой строки или столбца с числами
любой другой строки или столбца.
4) Можно, например, дополнять числа любой строки
или столбца до какого-нибудь заданного числа. Напри-
мер, числа 4-й строки дополнять до 80 (80—4 = 76, 80—
—8 = 72; 80—12 = 68 и т. д.).
5) К числам любой строки или столбца прибавлять
или от чисел какой-нибудь строки или столбца отнимать
заданное число, например: к числам 8-й строки прибав-
лять число 18 (26, 34, 42, 50 и т. д.) или из чисел 9-й
строки вычитать число 9 (0, 9, 18, 27, 36 и т. д.).
6) Увеличивать или уменьшать на несколько единиц
числа какого-нибудь столбца или строки.
7) Увеличивать или уменьшать в несколько раз чис-
ла какого-нибудь столбца или строки (в пределах изу-
ченного).
8) Находить четные или нечетные числа какого-ни-
будь столбца или строки.
Можно составить и многие другие упражнения. Целе-
сообразно упражнения проводить в следующем порядке:
учитель дает задание, ученик, глядя на таблицу, на-
зывает только ответы; в это время все другие ученики
проверяют правильность ответов, следя по таким же
таблицам у себя в тетрадях. Конечно, учитель предла-
гает вопросы не одному, а многим ученикам.
Примечание. Если учащиеся изучали отдельные таблицы
по нашим таблицам в две строки, то при составлении таблицы Пи-
фагора они догадаются, что эта таблица состоит из вторых строк
таблиц в две строки, а сверху пишется та строка (1, 2, 3. 10),
которая является первой в каждой отдельной таблице.
ВНЕТАБЛИЧНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
194, Куплено 6 м ткани по 5 руб., а потом еще 4 м
по той же цепе. Сколько рублей уплачено за всю ткань?
Эту задачу можно решить двумя способами:
I способ
1) 6 л 4-4 м= 10 м — куплено всего;
2) 5 руб. -10 = 50 руб. — уплачено за всю ткань.
110;
II способ
1) 5 руб.-6=30 руб. — уплачено за 6 м;
2) 5 руб. -4 = 20 руб. — уплачено за 4 лг;
3) 30 руб.+20 руб. =50 руб. — уплачено за всю
ткань.
И тот и другой способы правильные. Такие способы
решения можно применять в тех случаях, когда прихо-
дится сумму двух чисел умножать на число или число на
сумму двух чисел, как в данной задаче: 5-(6 + 4). В та-
ких случаях можно:
1) или сначала найти сумму чисел 6+4=10 й затем
число 5 умножить на эту сумму 5-10=50, 2) или число
5 умножить на каждое слагаемое суммы в отдельности
5-6=30 и 5-4 = 20 и результаты умножения сложить:
30 + 20 = 50.
Если обозначить слагаемые буквами а и Ь, а множи-,
тель буквой с (цэ), то произведение суммы на число
можно записать так: (а + &) • с=а-с+&• с, т. е. чтобы сум-
му двух чисел умножить на число, надо каждое слагав-,
мое умножить на это число и результаты сложить. Если
число с будет множимым (как в данной задаче), то'
с- (а +&) =с-а+'С‘Ь, т. е. чтобы число умножить на
сумму двух чисел, надо это число умножить на каждое
слагаемое и результаты сложить.
195. Решите двумя способами каждый из следующих
примеров:
1) (2+7)-9 2) 7-(5+3)
Указание. Имеются в виду следующие способы:
1) 24-7=9; 9-9 = 81 и 2-9 + 7-9 = 18 + 63 = 81
2) 5 + 3 = 8; 7-8 = 56 и 7-5 + 7-3 = 35 + 21=56
196. Во многих случаях умножение одного числа на
другое удобнее представить как умножение суммы двух
чисел на число, например:
12-2= (10 + 2) -2 = 10-2 + 2-2=20 + 4 = 24
15-3= (10+5)-3=10-3 + 5-3 = 30+15=45
25-4= (20 + 5) -4 = 20-4 + 5-4 = 80 + 20 = 100
Разъясните, на какие два слагаемых мы здесь раз-
лагаем множимое, и скажите это правило.
ill
197. Сделайте по этому же правилу следующие при-
меры:
1) 16-2 3) 12-4 5) 3-14
2) 24-3 4) 15-5 6) 6-12
Чем отличаются примеры 5 и 6 от остальных?
Указание. Все промежуточные вычисления при
внетабличном умножении пишутся только в первое, вре-
мя, а потом надо приучать делать их в уме.
198. В воскресенье отец дал Мише 60 коп., а мать 40
коп. Десятую часть этих денег Миша истратил на покуп-
ку тетрадей. Сколько копеек Миша израсходовал на по-
купку тетрадей?
Решим эту задачу двумя способами:
I. 60 коп.+40 коп. =100 коп.
100 коп. :10=10 коп. — Миша заплатил за тет-
ради.
II. 60 коп. : 10 = 6 коп.
40 коп. : 10=4 коп.
6 коп.+ 4 коп.= 10 коп.
Оба эти способа правильны, но первый из них коро-
че. Однако иногда удобнее делать вторым способом.
В этой задаче приходится сумму двух чисел (60 коп. и
40 коп.) делить на число (10). Если обозначить слагае-
мые через а и Ь, а делитель через с (цэ), то второй спо-
соб можно записать гак: (а + b) :с = а:с + Ь:с, т. е. чтобы
разделить сумму чисел на число, надо каждое слагае-
мое разделить на это число и результаты сложить.
Решим по этому правилу следующие примеры:
1) (40 + 8) :2 = 40:2 + 8:2 = 20 + 4 = 24
2) (80+4) .-4 = 80:4+4:4 = 20 + 1 = 21
3) 46:2=(40 + 6) :2 = 40:2 + 6:2 = 20 + 3 = 23
4) 36:2= (20+16) :2 = 20:2+16:2= 10+8= 18
5) 72:4 = (40 + 32) :4 = 40:4 + 32:4= 10 + 8= 18
199. Решите по этому правилу следующие примеры:
68:2 88 : 4 32 : 2 42 : 3 96 : 4
28 : 2 96 : 3 38 : 2 56 : 4 78 : 3
Указание. При решении примеров на внетаблич-
ное деление промежуточные вычисления рекомендуем
записывать только на первых порах, а затем надо при-
112
учать все их делать в уме и записывать только ре-
зультат,
200. Для кролика (в живом уголке) учащиеся реши-
ли в течение февраля приносить ежедневно по две мор-
ковки и по одной свекле. Сколько штук корнеплодов по-
лучит кролик в феврале простого года? Решите задачу
двумя способами. Подумайте, как кратко записать усло-
вие задачи. Составьте похожую задачу.
Указание. Примерная запись условия:
1 день — 2 морковки и одна свекла.
28 дней— ? ?
Запись делается на доске учителем. Ученики условие-
могут не записывать.
201. В швейной мастерской из 63 м сатина сшили 18
рубашек для мальчиков и платья для девочек. Сколько
было сшито платьев?
Указание. Желательно, чтобы ученики сами дога-
дались, что им надо знать для решения задачи и где до-
быть необходимые сведения-.
202. У Иры было мелких денег на 1 руб.: 6 монет по
3 коп., 12 монет по 5 коп., остальные монеты по 2 коп.
Сколько двухкопеечных монет было у Иры? Подумайте,
как записать условие задачи. Решение проверить на мо-
нетах.
Указание. Один из вариантов записи условия:
Всего 1 руб.
6 монет по 3 коп.
12 » » 5 коп.
Остальные по 2 коп.
Сколько было монет по 2 коп.?
203. Во II А классе было 37 человек, а во II Б — 35
человек. На совместных занятиях по физкультуре всех
учеников двух классов поставили в ряды по 6 человек.
Сколько получилось рядов? Как записать условие? Сос-
тавьте и вы похожую задачу.
Указание. Краткая запись условия:
it и' 37человек 1 п0 g человек в ряду
II Б —35 человек). г
Сколько рядов?
Формула решения задачи: х= (37 + 35) :6.
204. Для проращивания в горшочках семян пшеницы
Ваня отобрал 58 семян да Миша 38. В каждый горшо-
113
чек они посеяли по 12 семян. Сколько потребовалось для
этого горшочков?
Составьте формулу решения задачи, а затем решите
ее. Составьте похожую задачу о своей работе по прора-
щиванию семян.
Указание. Краткая запись условия:
Миша —38 семян |по ]2 семян в горшочек
Ваня — 58 семян /
Сколько горшочков?
Формула решения: х= (58+38) :12.
205. Отложите на своем бумажном мегре 4 раза по
12 см и затем 4 раза по 13 см, от полученного отрезка
отсчитайте по 25 см столько раз, сколько можно. После
этого запишите действиями то, что вы проделали, и сос-
тавьте задачу на эти действия.
206. Умножайте все числа подряд от 10 до 20 снача-
ла на 2, потом на 3, на 4, на 5.
207. Увеличивайте в 3 раза все числа подряд от 10 до
30.
208. Увеличивайте вчетверо все числа подряд от 10
до 25.
209. Делите на 2 четные числа подряд от 70 до 100.
210. Уменьшайте втрое те числа, которые делятся на-
цело на 3, от 60 до 99.
211. Уменьшайте в четыре раза те числа, которые де-
лятся нацело, от 60 до 100.
212. Сколько раз в 100 содержится: 1, 2, 4, 5, 10, 20,
50, 100?
213. Сколько раз в 72 содержится: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,
12, 18, 24, 36, 72?
214. 48-2 : 16 11-9 : 99 12-3+5-12
18-5:6 14-5:35 17-2+4-12
24-3: 18 15-6 : 45 16-3+4-13
12-7 : 42 16-6: 24 72: 18+48: 16
13-7 : 13 18-4 : 36 63:21+96:48
Указание. В упражнениях 206—214 учитель запи-
сывает условие на доске. Вызванные ученики называют
(или пишут, если упражнения даются для самостоятель-
ной работы) только ответы.
114
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ
215. Решите примеры и скажите, что в них особен-
ного:
1-1 24-1 72-1 25 коп. • 1
8-1 45-1 96-1 18л - 1
12-1 64-1 100-1 Зл2дл-1
216. При решении следующих примеров тоже найди-
те особенное:
1:1 25: 1 36 коп.: 1 2дм 6см : 1
9:1 40; 1 7 м : 1 1л 25 см : 1
15:1 75 : 1 4 кг.: 1 4л 4дм : 1
217. Что особенного в следующих примерах:
1-0 8.0 5 л-0 а-0 1-2.0
0-1 0-8 13 кг-0 0-а 15-0-5
0:1 0:8 0: 100 0: а 0: х
Указание. При решении примеров 215—217 дети
должны сделать следующие выводы:
1) от умножения и деления любого числа на 1 это
число не изменяется;
2) если один из сомножителей равен нулю, то и про-
изведение равно нулю;
3) при делении нуля на любое число (если оно не
равно нулю) получается в частном нуль.
Если у детей возникает вопрос, что получится, если
разделить число на нуль, то надо сказать, что на нуль
делить нельзя, так как это не имеет смысла.
Сравнение выражений
21 8.Чему равен х в следующих равенствах: 1) х-5 =
= 45; 2) 5-х = 45?
Почему и в первом и во втором равенстве х обознача-
ет одно и то же число?
219. Не решая следующих примеров, нельзя ли ска-
зать, какое из произведений будет больше и на сколько
больше: 6-7 и 6-8? Проверьте свой ответ решением.
220. Решите примеры: 1) 10-5 + 7-5; 2) 17-5 — и ска-
жите, почему в этих примерах результаты одинако-
вые. Как можно при помощи скобок записать 1-й при-
мер, чтобы получилось умножение суммы двух чисел на
число?
115
Указание. Если дети решали задачу 194, то они
догадаются, что 10-5 + 7-5=(10 + 7)-5, а это есть то,
что записано во 2-м примере 17-5 = 85.
221. Все ли равно, что 16-0 и 16 + 0? Разъясните, по-
чему здесь получаются различные результаты.
Указание. Из упражнений 217 дети знают уже,
что умножение на нуль дает всегда нуль, а что прибав-
ление нуля не изменяет результата, им известно было
раньше (в I классе).
222. Все ли равно, что: 1) 12-1 и 12? 2) 16:1 и 16?
Придумайте задачи на пример 12-1 и 16:1.
Указание. Необходимо добиться того, чтобы де-
ти поняли, что смысл выражений 12-1 и 12; 16:1 и 16
различен, что при решении какой-то задачи приходится
12 взять 1 раз или 16 разделить на 1.
Деление с остатком
223. Можно ли 3, 5, 11, 13, 17 нацело разделить на 2
равные части (или, как говорят, пополам)? Какие остат-
ки получаются при делении этих чисел на 2? Может ли
при делении на 2 получиться иной остаток, кроме 1?
Почему не может? Как называются ге числа, которые
не делятся на 2?
Указание. Учащимся необходимо вспомнить, что
числа, которые не делятся на 2, называются нечетными,
в отличие от четных чисел, которые делятся на 2.
224. Назовите числа, начиная с 3 и кончая 30, кото-
рые делятся на 3. Обратите внимание, какие остатки по-
лучаются от деления на 3 тех чисел, которые не делятся
нацело на 3. Может ли при делении числа на 3 полу-
читься в остатке число 3? Почему не может?
• Указание. Желательно, чтобы дети записали де-
ление на 3 в виде таблицы:
3: 3=1 10 : 3 = 3, ост. 1
4:3 = 1, ост. 1 11:3 = 3, ост. 2
5:3=1, ост. 2 12: 3 = 4
6:3 = 2 13 : 3 = 4, ост. 1
7:3 = 2, ост. 1 14 : 3 = 4, ост. 2
8:3 = 2, ост. 2 ит. д. до 30
9:3 = 3
Такая таблица даст возможность детям скорее по-
нять, почему при делении на 3 не может быть иных ос-
116
татков, кроме 1 и 2. В таком же плане полезно проде-
лать и деление на 4, на 5 и затем сделать вывод, что в
случае деления с остатком остаток всегда должен быть
менее делителя.
225. Не производя деления, скажите, какие остатки
могут быть при делении: 1) на 6: 2) на 10.
226. а) Если 7:2 = 3, остаток 1, то это можно запи-
сать так: 7:2>3 или 7:2<4. Эти два неравенства мож-
но записать еще и так: 4>7:2>3. Такое неравенство
можно прочитать так: 7:2 меньше 4, но больше 3.
б) Решите примеры: 1) 17:2; 2) 21:2; 3) 25 сл/:2 — и
запишите результаты в виде неравенств по образцу, ко-
торый дан в 1-й части этой задачи (а).
Указание. Если ученики не сумеют записать ко-
нечные результаты в виде неравенств: 1) 9>17:2>8;
2) 11 >21:2> 10; 3) 13 см>25 см- :2> 12 см, то жела-
тельно, чтобы они записали каждый из этих результатов
двумя неравенствами, например 17:2>8 и 17:2<9.
227. Решите примеры на деление с остатком:
1) 16:3; 2) 20 ка:3; 3) 37 см’.З; 4) 14 л:3, запишите ре-
зультаты решений в виде неравенств.
Указание. Ученики должны получить следующие
неравенства: 1) 6> 16:3>5; 2) 7 кг>20 кг:3>6 кг;
3) 13 ши >37 см : 3> 12 см\ 4) 5 л> 14 л:3>4 л.
228. Ученик начертил по линейке отрезок длиной
16 см и стал откладывать от левого конца его отрезки
по 5 см. Покажите на чертеже, сколько у него получи-
лось отрезков по 5 см и какой длины отрезок остался
справа. После этого запишите решение задачи.
Указание. 1) Графическое решение задачи:
5 см 5 см 5 см 1см
1 1 ' 11
2) 15 сл:5 см=3, 16 см—15 см = 1 см (ост. 1 см).
229. Отрезок длиной 13 см ученица хотела разделить
на 3 равные части, но у нее не получилось по равному
числу сантиметров. Покажите на чертеже, по скольку
сантиметров получится в каждой части и какой будет
остаток, если 13 см:3, и запишите решение.
Указание. 1) Графическое решение задачи:
4 см 4см 4 см 1см
1 1 1 1 ' ।
2) 13 ши: 3=4 см (ост. 1 см).
117
Фигуры и величины
230. Начертите в тетрадях 6 отрезков прямых линий:
первый отрезок длиной 4 см, под ним второй — длиной
6 см и т. д. (каждый следующий отрезок на 2 см длиннее
предыдущего). Справа против каждого запишите длину
отрезка.
Когда все отрезки будут начерчены, ответьте на сле-
дующие вопросы: 1) Какой из этих отрезков вдвое длин-
нее другого (и какого)? 2) Какой из отрезков вдвое ко-
роче другого (и какого)? 3) На сколько сантиметров
первый отрезок короче последнего (самого длинного)?
4) На сколько сантиметров шестой отрезок длиннее пер-
вого? 5) Какие из этих отрезков при сложении их по два
дадут одинаковую общую (и какую именно) длину?
Начертите сами другие 4 отрезка, один больше дру-
го на одно и то же число, и ответьте на такие же воп-
росы.
Указание. Сумма длин 1-го и 6-го, 2-го и 5-го,
3-го и 4-го отрезков одинакова —18 см. Если взять лю-
бое четное число отрезков (или чисел), отличающихся
друг от друга на одну и ту же величину, то сумма длин
отрезков (или сумма чисел), равностоящих от концов,
как известно, будет всегда одинакова.
231. По дороге в школу Сережа проходит по одной
улице 44 м, а по другой — на 12 м больше, чем по пер-
вой. Подсчитайте, сколько метров от дома Сережи до
школы.
232. Начертите по клеткам прямоугольник длиной
5 см и шириной 3 см и рядом или внизу квадрат, каж-
дая сторона которого 3 см. Подсчитайте, какая из этих
фигур занимает больше клеток и на сколько больше.
Ответ. Прямоугольник занимает на 24 клетки
больше квадрата.
Указание. Длину двух клеток можно принять за
один сантиметр.
233. Проведите по линейке небольшой отрезок на не-
графленой бумаге и затем ниже его проведите отрезок
на глаз, вдвое больший, и еще ниже — втрое больший.
Затем проверьте длины отрезков по линейке.
234. Поучитесь измерять отрезки на глаз, а для это-
го сделайте в тетради запись для учета работы пример-
но в таком виде.
118
Учет работы по глазомерному измерению
Наименование отрезка Измерено
на глаз рулеткой или веревкой ошибка
АБ 10 дм 9 дм 1 дм
ВГ 65 см 72 см 7 см
Расстояния от края доски до стены 2 м 50 см 2 м 80 ем 30 см
Указание. Эту работу лучше проводить так: учи-
тель предлагает учащимся оценить на глаз длину на-
черченного на доске, или отбитого шнуром на полу, или
указанного учителем на каком-либо предмете отрезка и
записать в графу «на глаз», а затем двое учеников
(каждый раз разные) измеряют этот отрезок линейкой
или рулеткой. Результат измерения записывается на
доске, а дети вписывают его в следующую графу и вы-
числяют ошибку.
235. Поучитесь проводить отрезки прямых линий (на
неграфленой бумаге) от руки. Например, проведите на
глаз отрезки в 5 см, 8 см и 11 см. Проверку отрезков
делайте по линейке.
236. а) Начертите на неграфленой бумаге три раз-
ных треугольника, определите на глаз сумму длин всех
сторон (периметр) каждой фигуры и затем проверьте
по линейке.
Результаты измерений запишите.
б) Сложите из одинаковых палочек модель ломаной
линии. Определите длину этой ломаной линии на глаз и
затем проверьте линейкой.
Указание. Палочек можно взять сначала штук
5—6, а затем больше. Хорошо, если дети догадаются,
что подсчет общей длины здесь можно делать умноже-
нием.
237. Поучитесь делить
отрезок на 2, 4, 8 равных ча-
стей на глаз. Отрезки чер-
тите на неграфленой бумаге.
119
Указание. Сначала надо показать деление отрез-
ка на равные части на доске: начертить произвольной
длины отрезок, вызвать ученика и предложить ему по-
ставить посередине отрезка черточку, а затем проверить
деление полоской бумаги или линейкой, другому учени-
ку можно предложить разделить тот же (или другой),
отрезок на 4 равные части и т. д. После освоения мето-
дики деления отрезка на доске надо предложить уча-
щимся то же самое проделать в тетрадях и дать такую
же работу на дом.
238. Поучитесь делить отрезок на 3 равные части.
239. Построить прямоугольник, у которого одна сто-
рона 6 см, а другая 4 см. Как можно построить прямо-
угольник при помощи линейки и угольника?
Указание. Надо объяснить и показать учащимся,
что этот прямоугольник можно построить, взяв за осно-
вание 6 см, а за высоту 4 см, и наоборот, взяв за основа-
ние 4 см, а за высоту 6 см.
Объяснение ученикам можно провести примерно в
следующем плане.
Проведем прямую МН и отложим на ней отрезок АБ
длиной 6 см. Затем к концам этого отрезка (к точкам А
и Б) приложим угольник и проведем прямые, на кото-
рых отложим отрезки АС и БД, равные 4 см. Точки С и
Д соединим.
Таким же, образом строится прямоугольник, за осно-
вание которого принимается 4 см, а за высоту 6 см.
240. Поучитесь строить квадрат на неграфленой бу-
маге. Постройте, например, квадраты: 1) со стороной
3 см, 2) 5 см.
Указание. Построение такое же, как указано
в предыдущей задаче, только отрезки откладываются
равные.
120
241. Толя сделал рису-
нок из шести прямоугольни-
ков, прилегающих друг к
другу (см. рис.). Нижние
стороны каждого из этих
прямоугольников имели дли-
ну 1 см и лежали на одной
прямоугольника была равна 5 мм, а высота каждого сле-
дующего была больше предыдущего на 5 льи.
Сделайте чертеж фигуры, которую нарисовал Толя.
Раскрасьте ее разноцветными карандашами, а квадрат,
имеющийся в фигуре, затушуйте черным карандашом.
Какой высоты будет крайний справа прямоугольник?
242. Гена сделал рисунок из прямоугольников, но у
него самый длинный прямоугольник, длиной 30 мм, был
внизу, а каждый из выше лежащих был на 5 мм
короче соседнего нижнего. По высоте эти прямоугольни-
ки были одинаковые — в 1 см, и левые их края лежали
на одной прямой, проведенной сверху вниз. Сделайте
чертеж фигуры, которую нарисовал Гена. Раскрасьте
ее разноцветными карандашами, а квадрат, который
имеется в фигуре, затушуйте черным карандашом.
243. а) Коля сделал из картона для детского сада 3
игрушечные коробки с квадратными основаниями, при-
чем основания этих коробок были окантованы красным
шнуром. Сколько потребовалось шнура для окантовки
основания этих коробок, если сторона квадратного ос-
нования большой коробки составила 16 см, средней —
вдвое меньше, а меньшей — еще вдвое меньше? Сделай-
те чертеж оснований этих коробок.
Решение: 1) Найдем стороны среднего и меньше-
го квадратов: 16 см : 2 = 8 см; 8 см : 2=4 см.
2)Найдем периметры квадратов-
16 cjh-4 = 64 см; 8 см -4 = 32 см; 4 с.и-4 = 16 см.
3) Найдем общую длину шнура:
64 см + 32 см + 16 см = 112 см.
б) Сиденье табуретки имеет вид квадрата со сторо-
ной 38 см. Во время перерыва в работе на пришкольном
участке дети поставили рядом 3 такие табуретки и на-
крыли их сиденья газетами. Получился «походный» стол
для завтрака. Какую фигуру представляет собой крыш-
ка полученного стола? Какова длина и ширина этой
121
крышки? Какова сумма
длин всех сторон крышки
стола?
Ответ: Прямоугольник;
длина 114 см, ширина 38 см;
периметр 304 см.
244. У Гали было не-
сколько кусочков ленты ши-
риной 2 см и длиной по
6 см. Она приложила их
друг к другу и получился
квадрат. 1) Покажите на
Галя. 2) Сколько кусочков
лент у Гали? 3) Какой длины сторона полученного
квадрата? Какова сумма длин сторон квадрата?
Указание. 1) См. чертеж полученного квадрата;
2) у Гали было 3 куска ленты; 3) сторона полученного
квадрата 6 см; 4) длина всех сторон этого квадрата
равна 6 см 4 = 24 см.
245. Скорняку (специалисту по подборке мехов)
нужно было на меховом воротнике заменить поношен-
ное место, имеющее форму квадрата, новым мехом. Для
этого он подобрал и соединил швами (с тыловой сто-
роны) три кусочка меха: 1) квадратный со стороной
3 см; 2) прямоугольный со сторонами 2 см и 3 см и
3) прямоугольный со сторонами 2 см и 5 см. Покажите
на чертеже, как соединил скорняк свои кусочки меха.
Какова сторона и сумма длин всех сторон полученного
квадратного куска заплатки?
Указание. Вырезать из клетчатой бумаги указан-
ные лоскутки и сложить из них квадрат. Полученный
квадрат имеет сторону длиной 5 см; длина всех сторон
его 5 слг-4 = 20 см; кусочки меха скорняк сложил сле-
дующим образом (см. черт, слева).
122
246. Вырежьте из бумаги три квадрата со сторона-
ми 4 см, 2 см и 2 см. Составьте из этих грех квадратов
один прямоугольник. Покажите на чертеже и определи-
те периметр этого прямоугольника.
Указание. См. чертеж полученного прямоуголь-
ника. Длина полученного прямоугольника 6 см, ширина
4 см, периметр его 20 см.
247. Измерьте в миллиметрах длину и ширину поч-
тового конверта обычного формата и запишите полу-
ченные данные в свои тетради. Форму какой геометри-
ческой фигуры представляет собой конверт?
Окружность и круг. Доли единицы
248. Разведите ножки циркуля по линейке на 2 см,
поставьте одну ножку циркуля в какую-нибудь точку О,
а другой ножкой очертите кривую замкнутую линию.
Получится окружность радиуса ОА,
равного 2 см. Диаметр этой окружно- __________
сти ВС равен двум радиусам по 2 см,
т. е. 4 см. Что же такое радиус ок- /
ружности и диаметр? Подумайте и / 0 / | д
объясните. I у' I
Указание. После того как дети К/ J
своими словами объяснят определения £\.
окружности, радиуса и диаметра, же-
лательно вывесить на стену плакат с
определениями этих элементов: 1) окружностью назы-
вается кривая замкнутая линия, все точки которой на-
ходятся на равном расстоянии от одной точки (О). Эта
точка О называется центром окружности; 2) радиусом
окружности называется отрезок {ОА), соединяющий
центр с какой-нибудь точкой окружности; 3) диаметром
называется отрезок {ВС), соединяющий две точки ок-
ружности и проходящий через ее центр; 4) кругом назы-
вается часть плоскости, которая ограничивается окруж-
ностью.
На плакатах должны быть сделаны черной тушью
четкие чертежи. На том чертеже, где показан круг, он
должен быть затушеван.
249. Начертите три окружности: одну — с радиусом
1 см, другую — 2 см, третью — 3 см. Какая из этих ок-
ружностей наименьшая? Какая наибольшая? Какая
средняя? От чего зависит длина окружности? Какой из
123
полученных кругов наименьший? Какой наибольший?
Какой средний по величине? Ог чего зависит величина >
круга?
250. Как найти радиус (и диаметр) окружности, ес-
ли известен ее центр?
Указание. Надо показать, что длину радиуса (и
диаметра) можно найти или непосредственно линейкой,
или циркулем (положив раствор циркуля, равный ради-
усу или диаметру, на линейку).
251. Отметьте точку, примите ее за центр и произ-
вольным небольшим радиусом проведите окружность.
Затем не отнимая ножку циркуля от центра, раздвиньте
ножки и проведите еще окружность большим радиусом
(см. черт.). Измерьте теперь радиус
каждой окружности и результаты из-
вмерения запишите так: О А —...см;
ОВ = ...см. Можно ли теперь, не изме-
ряя диаметров этих окружностей, уз-
нать их длины? Сделайте это. Что
можно сказать о величине кругов, за-
ключенных в полученных окружно-
стях?
Можно ли сказать, что величина кру-
гов зависит от их радиусов или диа-
метров?
252. а) Чтобы начертить окружность (или круг) ди-
аметром в 4 см, на какое расстояние надо раздвинуть
ножки циркуля? Проверьте это практически.
б) Циркулем, ножки которого раздвинуты на 3 см,
начерчена окружность. Какова будет длина диаметра
этой окружности?
253. а) Начертите окружность с произвольным ради-
усом. Проведите в ней диаметр (слева направо). На ка-
кие доли разделились окружность и круг? Теперь про-
ведите в этом же круге диаметр под прямым углом к
первому, т. е. сверху вниз. На какие доли теперь разде-
Ф лились окружность и круг? Чему рав-
на стала каждая часть круга и каж-
дая часть окружности?
б) Мы разделили окружность и
круг на 4 равные части. Как теперь
надо провести еще 2 диаметра, чтобы
разделить окружность и круг на 8 рав-
ных частей?
12*;
254. Начертите одним и тем же радиусом 4 круга:
1-й оставьте целым, 2-й разделите пополам, г. е. на 2
равные части, 3-й разделите на 4 и 4-й на 8 равных час-
тей. Обозначьте доли круга цифрами у, у-, -g- и
затушуйте каждую долю особо.
Можно ли сказать, что при делении круга на две
равные части и окружность разделилась на две равные
части (на две дуги или на две полуокружности); что при
делении круга на 4 равные части и окружность разде-
лилась на 4 равные части (на 4 равные дуги или на 4
четверти окружности); что при делении круга на 8 рав-
ных частей и окружность разделилась на 8 равных час-
тей (8 равных дуг или 8 восьмых окружности)?
255. Начертите один под другим 4 отрезка по 8 см
каждый: 1-й отрезок оставьте целым и надпишите над
ним 1. 2-й отрезок разделите пополам и надпишите, ка-
кие получились доли, 3-й на 4 равные части, 4-й разде-
лите на 8 равных частей и надпишите доли.
Пользуясь этим чертежом, напишите:
1) сколько в целой единице половин, четвертей и
восьмых долей;
2) сколько в половине четвертей и восьмых долей;
3) сколько в одной четверти восьмых долей.
9 4 12
Образец записи: 1 =-у; 1 = -у-; — = -у- .
Указание. У детей в
кой чертеж:
Чтобы разделить отре-
зок на 4 равные части,
удобнее всего сначала
разделить его пополам и
каждую половину отрез-
ка разделить еще раз по-
полам. А чтобы разделить
отрезок на 8 равных ча-
стей, нужно будет еще и
тетрадях должен быть та-
125
каждую четверть отрезка разделить пополам. По этому
чертежу ясно видно, что единица содержит 2 половины,
4 четверти, 8 восьмых долей, т. е. 1= — = -у- = ; что
1 п Л 12 4.
-^-содержит 2 четверти и 4 восьмых, т. е. “у »
1 . 12
что -j- содержит 2 восьмых доли единицы, т. e.-y~ = -g- .
Необходимо добиться, чтобы дети сделали эти выводы
самостоятельно, хотя бы словесно.
256. Начертите один под другим 4 отрезка по 10 см
каждый: 1-й отрезок оставьте целым, 2-й разделите по-
полам, 3-й на 5 равных частей, 4-й на 10 равных частей.
Надпишите доли, какие получатся при делении отрез-
ка, и сравните эти доли с целым отрезком и между со-
бой. У вас должен получиться такой чертеж:
Пользуясь этим чертежом, скажите и запишите,
сколько: I) в единице (в одном целом отрезке) половин,
пятых и десятых долей; 2) в половине десятых долей;
3) в одной пятой десятых долей.
Г, , 12
Образец записи: -5-=]^ •
257. Начертите прямоугольник длиной 10 см, шири-
ной 3 см и разделите его вертикальными (сверху вниз)
отрезками на 10 равных частей. Определите по чертежу,
сколько: I) клеток в целом прямоугольнике; 2) в поло-
вине прямоугольника; 3) в -g- прямоугольника; 4) в
прямоугольника. Сделайте запись решения этих вопро-
сов и проверьте подсчетом.
Указание. Для проверки подсчетом, сколько кле-
ток заключается в целом прямоугольнике или какой-ли-
бо его части, учащиеся должны воспользоваться умно-
жением (например, в целом 20 кл.-6 = 120 кл., или
126
6 кл.-20 = 120 кл.), где, кстати, повторят еще раз пере-
местительное свойство произведения.
258. Начертите прямоугольник длиной 5 см и шири-
ной 4 см. Определите, сколько клеток занимает: 1) це-
лый прямоугольник, 2) -^-всего прямоугольника; 3) -g- ;
4) прямоугольника. Ответы проверяйте с помощью
обратного действия — умножения двумя способами, ис-
пользуя переместительное свойство произведения.
~ , 1
Образец з а п и с и: — всего прямоугольника за-
нимает 80 кл,:5— 16 кл.; проверка: I) 2 кл.-8=16 кл.?
2) 8 кл.-2= 16 кл.
Указание. При определении числа клеток в ка-
кой-нибудь части прямоугольника, например в-g-, уча-
щиеся предварительно путем проведения вертикальной
черты (можно пунктиром) отделяют-^- прямоугольника,,
а затем уже подсчитывают количество клеток, как ука-
зано в образце.
259. Ученик начертил отрезок длиной 16 см и разде-
лил его на 8 равных частей. Определите, какой длины
-|-и -у доли этого отрезка. Начертите такой же от-
резок и проверьте, правильно ли вы определили длину
каждой доли. Каким действием мы находим часть (до-
лю) целого?
260. Какой длины целый отрезок, если-j- часть его
составляет 3 см? Как это узнать? Начертите целый от-
резок, найдите от него ~ часть и сравните с тем, что
было дано в задаче.
Примечание, В этой задаче известна была — доля всего
4
отрезка, она равнялась 3 см. Чтобы найтн целый отрезок по его
части (доли), вы 3 см умножили на 4 и получили 12 см (3 см%4=>
= 12 см). Значит, целый отрезок по данной его части (доле) нахо-
дится умножением. Запомните это!
Две задачи — нахождение какой-нибудь доли числа и числа по
данной его доле — взаимно обратные: 1-я решается делением, 2-я—
умножением.
127
261. а) Длина отрезка 14 см. Какова длина -у- части
этого отрезка?
б) Длина -у- части отрезка 2 см. Какова длина всего
отрезка?
Решите эти две взаимно обратные задачи и проверь-
те их по чертежу.
262. а) Длина отрезка 1 дм 5 см. Какова длина -у-
части этого отрезка?
б) Длина -g- части отрезка 3 см. Какова длина все-
го отрезка?
Как можно назвать эти две задачи по отношению од-
на к другой? Решите их и проверьте по чертежу.
Указание. Для нахождения -у-длины отрезка де-
ти 1 дм 5 см раздробляют в сантиметры: 1 дм 5 см =
= 15 см — и от 15 см находят у- .
263. а) Найдите: 1) от 2 дм 4 см; 2) от
1 м 8 дм; 3) -у от 7 м 2 дм; 4) -у от 96 кг; 5) jy от 80 кг.-
б) Какой длины весь отрезок, если: 1) половина его
-^составляет 1 дм 2 см? 2) -у- его составляет
2 дм 3 см? 3) Сколько стоит 1 кг конфет, если^у кг
стоит 10 коп.? если -у кг (полкилограмма) стоит
50 коп.?
264. Что больше: 1) или ~~ какого-нибудь отрез-
ка или числа? 2) -^-или Д-этого же отрезка или числа?
3) Т ’ ~ИЛИ'У ? 4) ^~или ту? 5) -у илиДо" ? Д°кажн'
те с помощью отрезка или числа правильность своих
ответов.
Указание. Учащиеся при записи могут использо-
вать знаки >, <, =.
265. 1) На сколько сантиметров и во сколько раз:
1) 1 дм больше 1 см? 2) 1 м больше 1 дм? 3) 1 м боль-
ше 1 см?
128
запишите решение каждого из трех вопросов.
Указание. Имеются в виду следующие записи:
1) 1 длг=1О см; 10 см—1 см = 9 см; 1 дм больше 1 см
на 9 см. . .
10 смЛ сл<=10; 1 дм больше 1 см в 10 раз. Такие же
записи желательно сделать и при решении остальных
вопросов.
266. Начертите прямоугольник, длина которого 3 см
и ширина 2 см; разделите его на 6 квадратов. Сколько
в этой фигуре только квадратов? Сколько прямоуголь-
ников?
Ответ. 8 квадратов, 18 прямоугольников.
ВРЕМЯ И ЕГО ИЗМЕРЕНИЕ:
МИНУТА, ЧАС, СУТКИ, МЕСЯЦ, ГОД
Изучение мер времени во II классе естественно начи-
нать с таких единиц, которые дети могут легко осознать,
познать практически, лучше всего с минут, из которых
затем составляются часы, а затем изучать часы, из кото-
рых составляются сутки, и т. д.
С минутой можно ознакомить различными способами.
Можно предложить промолчать всем одну минуту («ми-
нута молчания» — рассказать, когда это делается). В те-
чение минуты посчитать вслух, начиная с единицы (луч-
ше под метроном или по часам с секундной стрелкой при
дирижировании рукой, так чтобы в каждую секунду вы-
говаривалось одно число). Вслед за таким счетом вслух
можно предложить детям в таком же темпе посчитать
молча, про себя, при самостоятельном дирижировании
рукой. В таком случае учитель дает сигнал начала и кон-
ца минуты, и каждый из считающих может проверить се-
бя, на сколько он отстал, если сосчитал меньше 60, или
на сколько опередил темп счета, если сосчитал больше
60. Можно предложить посчитать (также от единицы)
шепотом в более быстром темпе, кто до какого числа су-
меет досчитать в минуту (при сигнале конца каждый за-
пишет число, до которого он досчитал по порядку). Мож-
но предложить почитать вслух что-нибудь из книги для
чтения (в прозе и затем стихотворение). При этом полез-
но отметить, сколько будет прочитано слов в течение ми-
нуты и за сколько минут прочитан весь рассказ или все
стихотворение. Хорошо также проверить, кто сколько
успеет в минуту решить примеров, написанных учителем
5 Заказ 1187
129
на доске (учащиеся решают примеры устно и записыва-
ют только ответы). Далее, во дворе или в аллее ближай-
шего парка хорошо было бы проверить, кто сколько сде-
лает в минуту шагов при ритмичной ходьбе и при беге
(сигналы начала и конца минуты можно делать ударом
о звонкий предмет).
Такое освоение минуты нужно проводить в течение
довольно длительного времени, и оно должно быть есте-
ственно связано с учебным процессом. Если учащиеся
практически познакомятся с периодом времени в одну
минуту, то они более сознательно будут понимать и пе-
риод времени в один час.
При первом знакомстве с часом можно в начале пер-
вого урока сказать детям, что в течение одного часа про-
ходит весь урок, перемена и 5 мин следующего урока.
Для освоения меры времени «час» можно предложить
детям дома заметить по часам, сколько страниц печатно-
го текста каждый из них прочтет за 20 мин, и вычислить,
сколько страниц он сможет прочитать за один час. А в
классе предложить подсчитать, сколько каждый из уче-
ников решит, скажем, за 15 мин каких-либо упражнений
по арифметике, а затем вычислить, сколько таких же уп-
ражнений он сделал бы приблизительно в течение часа.
Здесь могут быть двоякого рода упражнения — с полной
записью решения или с записью только ответов. Лучше
всего выполнить и то и другое.
При ознакомлении с сутками надо непременно объяс-
нить, что середину ночи называют полночью, середину
;дня — полднем и что счет суток начинают с полуночи.
Объяснить надо также (на макете циферблата или на
настоящих часах), что за время суток часовая стрелка
делает два полных оборота, и поэтому счет часов ведется
от полуночи до полудня и от полудня до полуночи, и по-
этому каждая цифра на циферблате обозначает и днев-
ные и ночные часы, например: единица обозначает час
ночи и час дня, два —два часа ночи и два часа дня и т. д.
Надо сказать также, что начало суток (полночь) взято
произвольно (по соглашению между людьми), можно
было бы и другой момент суток взять за начало суток.
Пояснить также, что часто слово «сутки» заменяют сло-
вом «день» и говорят, например, что в неделе 7 дней
(вместо 7 суток), в январе 31 день (вместо 31 суток), в
году 365 дней (вместо 365 суток) и т. д.
130
Надо объяснить учащимся, что все названия месяцев
даны в древности, когда еще не было нашего государст-
ва, что поэтому эти названия нерусские (даны они древ-
ними римлянами), число дней в каждом месяце было
также определено в древности, название года с лишним
днем в феврале (високосный) также нерусское.
Во II классе необходимо научить детей определять
время по часам. Этому надо научить с помощью цифер-
блатов, которые должны быть у каждого ученика, и при
помощи настоящих часов, например будильников. С по-
мощью циферблатов необходимо провести ряд упражне-
ний для решения трех видов задач на определение вре-
мени, например: 1) Ученица пришла в школу в 8 ч утра,
а ушла из школы в 1 ч дня. Сколько времени она была в
школе? 2) Ученица пришла в школу в 8 ч утра и пробы-
ла в ней 6 ч. Когда ученица ушла из школы? 3) Ученик
ушел из школы в 1 ч дня, а пришел в школу 5 ч тому на-
зад. Когда он пришел в школу?
Неплохо провести ряд работ, связанных с отрывным
календарем или с табелем-календарем. Например, дома
ученики могут проследить по отрывному календарю, как
изменяется долгота дня, скажем, в данном месяце (когда
дается задание), и подсчитать, на сколько минут убавит-
ся или прибавится в этом месяце день (надо иметь в ви-
ду, что в календаре даются сведения о восходе, заходе и
долготе дня для Москвы и московской параллели). По
табелю-календарю можно, например, предложить детям
проследить, сколько в данном месяце воскресений, поне-
дельников, сколько учебных дней в 1-й четверти, во 2-й
четверти учебного года и т. д. Можно придумать и ряд'
других задач. Все задачи, связанные с календарем, вы-
полняются учащимися с удовольствием,'они имеют боль-
шое жизненно практическое значение.
267. Сережа готовил домашние задания и вел учет
своих занятий: на чтение он затратил 14 мин, на пись-
мо— 19 мин и на арифметику — 27 мин. Сколько времени
затратил Сережа в этот день на подготовку уроков? Про-
верьте решение по циферблату.
Сделайте и вы учет времени, которое затрачиваете на
подготовку уроков; запись в тетради по арифметике ве-
дите в течение недели (с понедельника до субботы).
268. Определите время, поставив на циферблате
стрелки:
5* 131
, 1) часовую — на середине между цифрами 1 и 2, а
минутную — наб;
2) часовую — на середине между цифрами 6 и 7, а
минутную — на 6;
3) часовую — между И и 12, ближе к 12, а минут-
ную — на 9.
269. Уроки в школе начинаются в 9 ч. Когда ученик
должен выйти из дома, если на дорогу он тратит 10 мин
и в школу он должен прийти за 10 мин до начала заня-
тий? Решение проверьте по циферблату.
270. Уроки в школе начинаются в 8 ч, а кончаются в
12 ч. Сколько времени продолжаются занятия в школе,
считая перемены? Проверьте решение по циферблату.
271. а) Мальчик пришел на каток в 4 ч и катался
1 ч 30 мин. Когда он закончил катание на коньках?
б) Ученица пришла в школу в 8 ч 15 мин и пробыла
в ней 5 ч. Когда она ушла из школы? Поставьте (при-
близительно) стрелки циферблата так, чтобы они пока-
зывали время ухода ученицы из школы.
272. Сколько времени пройдет от 8 ч утра понедельни-
ка до 8 ч утра вторника? Сколько полных оборотов за это
время сделает часовая стрелка по циферблату? Проверь-
те по часам.
273. Сколько суток пройдет:
1) от 12 ч дня воскресенья до 12 ч дня следующего
воскресенья;
2) от 9 ч утра понедельника до 9 ч вторника следую-
щей недели;
3) от 12 ч. дня понедельника до 12 ч дня среды сле-
дующей недели?
274. Сколько суток в трех месяцах: 1) сентябре, ок-
тябре и ноябре, 2) октябре, ноябре и декабре; 3) январе,
феврале и марте текущего года?
275, Сколько полных недель в каждом месяце года?
Есть ли такой месяц в году, в котором 5 полных недель?
Есть ли такой месяц, в котором ровно 4 недели?
276. Дети шли и считали шаги: девочка в одну минуту
насчитала 84 шага, а мальчик — 75 шагов. На сколько
шагов меньше сделает мальчик, чем девочка, за 2 мин?
Проверьте сколько шагов в минуту сделаете вы.
277. Считайте устно, начиная с 1 сентября и кон-
чая 31 декабря, называя число конца каждой недели и
месяц: 7 сентября, 14 сентября и т. д.
132
Указание. Надо обратить внимание на переходы
от месяца к месяцу (28 сентября — 5 октября... 26 октяб-
ря— 2 ноября и т. д.). Надо научить, чтобы дети не вы-
считывали дату следующего месяца по пальцам. Методи-
ка подсчета такова: 28 ди. (сентября)+7 ди. = 35 дн.;
35 дн.—30 дн. = 5 дн. (октября); 26 дн. (октября) 4-
+ 7 дн. = 33 дн.; 33 дн.—31 дн. (в октябре 31 день) =
= 2 дн. (ноября).
278. Считайте устно, начиная с января и кончая ию-
нем, называя число конца каждой недели месяца: 7 ян-
варя, 14 января и т. д.
279. Назовите месяцы по временам года: весенние, лет-
ние и т. д., подсчитайте, сколько дней в каждом времени
года, н запишите решение.
Указание. Желательно разъяснить детям, что в
данном случае речь идет о календарных (условных) вре-
менах года, каждое из которых равно трем месяцам, но
что на самом деле в природе времена года не равны меж-
ду собой (па севере, например, лето очень короткое, коро-
че трех месяцев, а на юге лето длинное, до 4—6 месяцев).
280. С какого месяца и числа начинается новый год?
Сколько времени проходит от начала какого-нибудь года
до начала следующего года? А когда начинается учебный
год? Сколько времени проходит от начала учебного го-
да до начала следующего учебного года? Сколько време-
ни проходит от начала весны до начала весны следующе-
го года? От.начала лета, осени, зимы до начала лета,
осени, зимы следующего года?
281. Можно ли сказать, что от начала до конца учеб-
ного года прошел целый год? Когда начинается и когда
кончается ваш учебный год? Подсчитайте, сколько меся-
цев продолжается ваш учебный год и сколько месяцев
продолжаются летние каникулы.
282. Сколько времени показывают часы: 1) если ча-
совая стрелка стоит на 5, а минутная на 12; 2) часовая
стрелка между 8 и 9, а минутная на 6; 3) часовая между
1 и 2, а минутная на 3; 4) часовая между 11 и 12, а ми-
нутная на 9?
Ответ. 1) 5ч утра или 5 ч дня;
2) 8 ч 30 мин утра или 8 ч 30 мин вечера;
3) 1 ч 15 мин ночи или 1 ч 15 мин дня;
4) 11 ч 45 мин дня или 11 ч 45 мин ночи.
133
Указание. При определении времени по часам на-
до обратить внимание учащихся на то, что одно и то же
расположение стрелок может показывать время от полу-
ночи до полудня и от полудня до полуночи, и поэтому
следует давать двоякий ответ на вопрос, сколько времени
показывают часы.
283. Возьмите часовой циферблат и поставьте на нем
часовую и минутную стрелки так, чтобы они составляли
прямой угол и чтобы стрелки показывали целое число ча-
сов. Сколько времени будут показывать тогда часы?
Сделайте для решения этой задачи чертежи.
Решение. Часы должны показывать 3, 15, 9, 21 ч.
284. Поставьте на циферблате стрелки так, чтобы они
составляли острый угол и показывали целое число часов.
Сколько времени будут показывать тогда часы? Сделай-
те чертежи.
Решение. Часы должны показывать 1, 13, 2, 14, 10,
22, 11, 23 ч.
285. Поставьте на циферблате
©стрелки так, чтобы они образовывали
тупой угол и показывали целое число
часов. Сколько времени будут показы-
вать тогда часы? Сделайте чертежи.
Решение. Часы должны показы-
вать 4, 16, 5, 17, 7, 19, 8, 20 ч.
Указание. В приведенных трех
задачах подразумевается, конечно,
абсолютная величина угла (независи-
мо от того, как этот угол откладывается — по движению
или против движения часовой стрелки).
На рисунках к задачам 284, 285 показано несколько
углов.
Понятно, что сначала надо показать один угол, за-
тем другой и т. д.
134
286. Какие углы (острый, прямой или тупой) будет
составлять часовая стрелка с минутной, если часы будут
показывать: 1) 2 ч; 2) 3 ч; 3) 5 ч?
Решение. Углы будут: 1) острый; 2) прямой; 3) ту-
пой (см. черт.).
287. Какой угол будет составлять часовая стрелка с
минетной, если часы будут показывать: 1) 7 ч; 2) 9 ч;
3) 10 ч?
Решение. Углы будут: 1) тупой; 2) прямой; 3) ост-
рый.
288. Составьте сами такие же задачи и решите их при
помощи чертежей.
Указание. Проверять, какие углы образуют стрел-
ки, можно угольником или углом листка тетради, т. е.
сравнивая полученные углы с прямым углом (или на
глаз).
ЗАДАЧИ-РАСЧЕТЫ
Краткие записи условий и иллюстрации задач-расче-
тов делаются под руководством учителя и им самим за-
писываются на доске, кроме тех, относительно которых
имеется специальное указание. Некоторые из этих запи-
сей, если есть время, учитель предлагает скопировать
учащимся, а другие внимательно рассмотреть. С по-
мощью краткой записи условия или иллюстрации задачи
учащиеся тщательно изучают условие задачи и намеча-
ют ход ее решения.
289. Сережа ежемесячно исписывает 2 карандаша и
3 пера. Подсчитайте, сколько карандашей и сколько
перьев истратит Сережа в течение учебного года (с сен-
тября по май). Подсчитайте, сколько вы истратите перь-
ев и карандашей в течение учебного года. Сделайте, ил-
люстрацию к задаче.
135
Указание. Иллюстрацию можно сделать примерно
так:
290. Юра ежемесячно тратит на письмо в классе и до-
ма 2 тетради, а на арифметику и чистописание — по од-
ной тетради. Подсчитайте, сколько всего тетрадей рас-
ходует Юра в течение учебного года (9 мес.).
Указание. Иллюстрацию можно сделать, напри-
мер, так:
291. Коля ежедневно съедает в школе по одному бу-
терброду. Подсчитайте, сколько денег он истратит на бу-
терброды в течение одной учебной недели, если на каж-
дый из бутербродов берется хлеба на 2 коп. и масла на
6 коп. Подсчитайте также стоимость одного бутерброда
в вашем буфете.
Указание. Кратко записать условие можно так:
Ежедневно За шесть дней
Хлеба на 2 коп.
Масла на 6 коп. ?
292. Ученики II класса по предложению учительницы
решили в 7 мдлых горшках высадить по четыре, а в 8
136
больших горшках — по семь отборных зерен кукурузы.
Подсчитайте, сколько всего отборных зерен кукурузы
потребуется для высадки во все горшки. Сделайте иллю-
страцию к задаче. Составьте задачу на такую же тему.
293. За завтраком в школе Маша ежедневно съедает
булку и выпивает стакан сладкого чая. Подсчитайте,
сколько денег истратит Маша на свои завтраки в течение
двух недель. Сделайте самостоятельно иллюстрацию. Со-
ставьте такую же задачу о своих завтраках.
294. От дома до школы и обратно Витя ездит на трам-
вае. Подсчитайте, сколько денег истратит Витя за 2 не-
дели на проезд в школу и обратно.
От в ет. 72 коп.
295. Коля ежемесячно посылает своей тете в другой
город два простых письма. Подсчитайте, сколько денег
истратит Коля в течение всего учебного года на марки и
конверты. Сделайте иллюстрацию.
Указание. Конверт с маркой стоит 5 коп.
296. Подсчитайте, сколько денег истратил бы Коля
(с начала учебного года до января), если бы письма, о
которых говорится в предыдущей задаче, он посылал
авиапочтой.
Указание. Цена конверта с маркой для авиапись-
ма 7 коп.
297. В воскресенье шесть учеников II класса выезжа-
ли за город. Для поездки они воспользовались трамваем
(туда и обратно), а на завтрак купили по небольшой бул-
ке. Подсчитайте, сколько стоила прогулка учащихся.
Указание. Плата за проезд в трамвае туда и об-
ратно составит 6 коп. с человека. Стоимость одной бул-
ки-сайки тоже 6 коп. Следовательно, весь расход для
6 человек составит
(6 коп.4-6 коп.)-6 = 72 коп.
Желательно предложить детям решить задачу двумя
способами.
298. После выполнения домашних заданий и прогул-
ки Маша ежедневно читает книги, которые берет из
школьной библиотеки. Так, за последнюю неделю она за-
тратила на чтение н понедельник, вторник, среду, чет-
верг и пятницу по 1 ч, а в субботу и воскресенье — по
2 ч. Подсчитайте, сколько времени затратила Маша на
чтение книг за неделю. Сделайте иллюстрацию.
137
Подсчитайте, сколько времени уходит у вас на чтение
книг за неделю. Проведите учет затраченного времени на
чтение книг в течение следующего месяца.
299. Начиная с 16 апреля Зина и Катя ежедневно, кро-
ме воскресений, в течение 1 ч проводили на пришкольном
участке, выполняя различные поручения учительницы.
Подсчитайте, сколько рабочих часов затратили обе по-
други с 16 апреля по 31 мая.
Проведите и вы учет своей работы на пришкольном
участке.
У Казание. Решение сводится к подсчету по табелю-
календарю учебных дней за период с 16 апреля по 31 мая
(включительно) данного года и умножению двух рабочих
часов на число учебных дней.
300. Люба и Надя в первый день учебного года дого-
ворились между собой (и сообщили об этом учительни-
це), что каждая из них по 2 ч в неделю будет заниматься
с отстающими по чтению и арифметике. Подсчитайте,
сколько рабочих часов затратят на эти занятия обе по-
други, если они будут выполнять свои обязательства в
течение первой и второй четверти учебного года.
О т в е т. 68 ч.
301. Когда Ваню 7 ноября спросили товарищи, сколь-
ко у него имеется денег, он ответил: «Каждое воскре-
сенье, начиная с сентября, я получал от матери по гри-
веннику, которые я не тратил, а копил. Перед праздни-
ком Октября я купил две книги: одну — за 36 коп., а дру-
гую— за 27 коп. Остальные деньги у меня налицо. Теперь
сами скажите, сколько у меня денег». Подсчитайте,
сколько денег осталось у Ваии.
302. Когда Веру спросили, сколько у нее денег, она
ответила: «У меня столько пятачков, сколько чисел от
1 до 48 делится на 3». Подсчитайте, сколько копеек у
Веры.
Ответ. 80 коп.
303. Яша сказал своим товарищам: «Сейчас я в чи-
тальном зале прочитал одну интересную книгу».—
«Сколько же страниц в этой книге?» — спросили товари-
щи. «В ней столько страниц, сколько получится, если наи-
большее двузначное число разделить на 33 и к результа-
ту прибавить наибольшее однозначное число». Подсчи-
тайте, сколько страниц в книге.
Ответ. 12 стр.
138 .
ТЫСЯЧА
НУМЕРАЦИЯ
304. Изготовьте ручной ученический абак.
При изучении устной и письменной нумерации одним
из эффектных по удобству, доступности и интересу для
учащихся пособий является ручной абак (при условии,
если такой абак будет у каждого из учеников).
Для изготовления абака можно взять из середины
клетчатой тетради один полный лист. Одну половину это-
го листа надо затушевать карандашом (можно покрыть
чернилами или тушью). Затушеванная половина листа
будет служить тыловой (нижней) частью абака, на кото-
рую накладывается вторая половина листа (лицевая).
Лицевую сторону надо разграфить, как указано на ри-
сунке (см. стр. 140), и вырезать отверстия. Верхнюю сто-
рону абака, а также левую и правую его стороны можно
заклеить. По линейкам лучше прошить нитками (от руки
или на машинке). Низ абака остается свободным. Между
верхним и нижним листками абака вкладываются движ-
ки (из картона или плотной бумаги), которые могут сво-
бодно передвигаться, открывать или закрывать отвер-
стия. Если движок идет вниз, то он открывает отверстия
и показывает, сколько отложено единиц или десятков,
или сотен.
Чтобы на абаке положить, например, число 234
(см. рис.), надо движок сотен выдвинуть на 2 отверстия,
движок десятков — на 3, движок единиц — на 4 отвер-
стия. Тогда на фоне тылового листка получится изобра-
жение' числа 234 (в условных, конечно, единицах, как и
на счетах).
Работу на абаке лучше всего связать с работой на
счетах: вызванный ученик кладет названное учителем
число на классных счетах, а другие ученики то же число
кладут на своих абаках. Учитель, проходя между рядами,
сразу видит работу всего класса. Это же самое число
можно записать на доске и в тетрадях (если учитель при-
ступил уже к письменной нумерации).
В качестве демонстрационного абака можно изгото-
вить еще абак системы Г. Б. Поляка, устройство которо-
го описано в журнале «Начальная школа», № 10 за
139
1953 г. («Предметный абак—класс единиц») и в книге
Г. Б. Поляка «Преподавание арифметики в начальной
школе» (Учпедгиз, 1959, стр. 207—210).
305. Положите на абаках числа:
127, 236, 451, 752, 825, 405; 999.
306. Положите на абаках числа:
108, 309, 905, 750, 610, 900; 1000.
Объясните, почему при изображении этих чисел вы
выдвигали не все движки.
307. Положите на абаках следующие числа и затем
записывайте их цифрами в тетрадях: триста, семьсот,
двадцать цосемь, семьсот четыре, восемьсот сорок, шесть-
сот. Положите на абаках свои числа и прочитайте их.
140
МЕРЫ ДЛИНЫ:
КИЛОМЕТР, МЕТР, ДЕЦИМЕТР, САНТИМЕТР
При Изучении нумерации в пределах 1000 следует
практически познакомить учащихся с километром. Для
этого лучше всего вывести детей на экскурсию-прогулку
за населенный пункт и дать им возможность пройти рас-
стояние в один километр.
На этой экскурсии, помимо первого знакомства с
расстоянием в один километр, можно поучить детей
ритмично ходить и считать свои шаги. Считать до 1000
шагов не обязательно. Надо заметить время по часам в
начале ходьбы и затем отметить момент, когда будет
пройдена сотня шагов. На следующие девять сотен ша-
гов потребуется время, приблизительно в девять раз
большее затраченного на путь в сто шагов. Таким спо-
собом можно определить скорость пешего движения в
строю. (Тысяча ребячьих шагов составит около 600 м.)
Затем надо определить время прохождения расстояния
в один километр.
Для ознакомления с местностью учитель должен
предварительно сам сходить на прогулку и промерить
шагами расстояние в один километр. Если на дороге
имеются телеграфные столбы или какие-либо другие
пункты, между которыми расстояние известно, можно
воспользоваться ими. Однако надо иметь в виду, что ес-
ли между двумя конечными точками километра будут
находиться какие-либо предметы (например, телеграф-
ные столбы), то зрительное впечатление о километре бу-
дет несколько иное — расстояние в один километр будет
казаться более длинным, чем расстояние без промежу-
точных предметов. Ввиду этого лучше всего пройти сна-
чала 1 км по чистому месту, а вторично пройти 1 км
(или даже только посмотреть) вдоль столбов.
После того как будет пройден километр пути, полез-
но предложить детям самим на глаз определить, до ка-
кого пункта приблизительно будет километр или полки-
лометра. Пусть дети «прикинут», а учитель сделает поп-
равки (учитель должен знать действительные расстоя-
ния до нескольких пунктов).
В больших городах (в крайнем случае) можно пока-
зать километр и полкилометра на длинных улицах, И в
141
чтом случае нужно предоставить возможность ученикам
пройти в одиночку и группами расстояние в 1 км.
В заключительной беседе учитель говорит о том, что
ученики узнали действительную величину расстояния в
1 км и определили, сколько потребовалось времени, что-
бы пройти его шагом. Для проверки того, как дети оце-
нивают длину километра, учитель может предложить
указать приблизительно расстояние между известными
ученикам пунктами.
Для закрепления зрительных впечатлений о мерах
(метре и километре) необходимо проделать ряд измери-
тельных работ на местности. Приведем примеры таких
задач и упражнений.
308. Измерьте рулеткой или мерной веревкой длину
всех сторон школьного участка. Полученную длину всех
сторон (периметр) отложите на прямой при помощи ве-
ревки или рулетки. На концах полученного отрезка по-
ставьте двух учеников.
Указание. Измеренную длину всех сторон можно
округлить до десятков метров.
309. Измерьте длину всех сторон (периметр) кварта-
ла, в котором расположена школа.
310. Измерьте длину ограды ближайшего сада.
311. Сколько метров в километре? Какую часть кило-
метра составляет метр? Сколько метров в половине ки-
лометра? в четверти километра? в десятой, сотой и ты-
сячной части километра? До какого пункта от школы
будет приблизительно километр? Сколько минут по-
требуется вам, чтобы пройти один километр? Сделай-
те еще раз проверку, во сколько минут вы проходите
1 км.
312. С помощью часов (зная, во сколько минут вы
проходите 1 км) определите периметр (сумму длин всех
сторон) ближайшего сада, парка или квартала.
313. На сколько частей надо разделить 1 м, чтобы по-
лучить 1 дм? Какую часть метра составляет 1 дм?
Сколько дециметров в половине метра? в пятой, в деся-
той части метра? Сколько раз уложится 1 дм в ленте
длиной 75 см? (7 раз и останется 5 см.)
Сколько дециметров в 10, в 100, в 1000 м?
Сколько раз уложится в .1 м длина ученической тет-
ради?
142
314. Начертите отрезок в 1 дм на неграфлеиой бума-
ге и по линейке сделайте разметку на еантиметры. Срав-
ните этот отрезок с длиной, которую занимают 20 клеток
тетради. Сколько приблизительно клеток (по длине) бу-
дет занимать 1 дм? Можно ли сказать, что длина двух
клеток тетради составляет 1 см?
Указание. Длину двух клеток тетради можно
лишь приблизительно принимать за 1 см, поэтому при из-
мерении значительного по длине отрезка нецелесообраз-
но пользоваться длиной клетки, принимая ее за 0,5 см.
315. На сколько частей надо разделить 1 м, чтобы
получить 1 см? Какую часть метра составляет 1 см?
Сколько сантиметров в полуметре? в четверти метра? в
пятой, в десятой, в сотой части метра? Сколько санти-
метров в 100 дм? в 10, 100, 1000 м?
316. Измерьте в сантиметрах расстояние между пле-
чами (через грудь и через спину), длину пояса, рост.
Указание. Измерения производят соседи по пар-
те друг у друга. Если такие измерения производились
раньше, то результаты измерения сравнить с прежними
и узнать, как они изменились.
317. Какой приблизительно длины получится полоса,
если каждый учащийся вашего класса положит в ряд
по одной тетради (по длине ее)? Уложится ли эта поло-
са по длине вашего класса?
318. Определите на глаз в сантиметрах длину окон-
ного стекла в вашем классе, рамки портрета, плаката
или картины в классе.
Миллиметр
Миллиметр является важной мерой длины. Все раз-
меры машин, их деталей на чертежах обычно выража-
ются в' миллиметрах.
Для ознакомления с миллиметром можно воспользо-
ваться обыкновенной линейкой, на которой нанесены
миллиметровые деления. Следует предложить детям сос-
читать число делений, на которые разделен каждый сан-
тиметр, а затем начертить в тетрадях сантиметр и разде-
лить его (пользуясь линейкой и тонко отточенным ка-
рандашом) на миллиметры.
319. Начертите в тетрадях по линейке отрезки дли-
ной 2 мм, 4 мм, 5 мм, 8 мм, 10 мм, 15 мм, 25 мм;
3 см 4 мм; 4 см 4 мм; 5 см 5 мм.
143
Указание. Все чертежи в тетрадях дети должны
делать карандашом. Желательно приучать учащихся от-
кладывать или проверять начерченные отрезки цирку-
лем. Все отрезки надо чертить один под другим так, что-
бы начало всех отрезков приходилось на одной вертика-
ли. Тогда будет удобнее сравнивать эти отрезки между
собой.
320. Начертите в тетрадях 6 отрезков разной длины.
Измерьте их в миллиметрах или в сантиметрах и милли-
метрах.
321. Начертите какой-нибудь прямоугольник, измерь-
те его длину и ширину в миллиметрах сначала на глаз,
потом по линейке и запишите в тетради:
Длина прямоугольника ... мм
Ширина прямоугольника ... мм
322. Начертите какой-нибудь (разносторонний) тре-
угольник, определите его стороны в миллиметрах снача-
ла на глаз, а потом по линейке и запишите в тетради:
Сторона треугольника АБ = ... мм
Сторона треугольника БВ = ... мм
Сторона треугольника АВ = ... мм
323. Определите в миллиметрах на глаз, а затем по
линейке длины небольших предметов и результаты из-
мерения запишите в тетрадь.
324. Определите в миллиметрах на глаз размеры ка-
кой-нибудь коробки, затем измерьте их линейкой или
циркулем и запишите результаты измерения в тетрадь.
Указание. При измерении отрезков в миллимет-
рах по линейке надо детально объяснить (с примерами
на доске), как класть линейку, где должно быть нуле-
вое деление линейки и как отсчитывать показания линей-
ки в миллиметрах. Желательно затем проследить, как
каждый ученик усвоил объяснения учителя.
Если у детей имеются циркули, то надо объяснить (а
затем проследить), как надо брать на циркуль отрезок
и переносить его на линейку.
При измерении отрезков часто возникает необходи-
мость в округлении результатов измерения и, следова-
тельно, в выражении этого результата приближенным
числом. Это тоже надо пояснить на примерах.
144
325. Измерьте в миллиметрах длину и толщину спич-
ки, толщину тетради, линейки, листа картона, фанеры,
резинки, учебника математики и других небольших
предметов и результаты измерений запишите в тетрадь.
326. Какую часть сантиметра, дециметра, метра сос-
тавляет миллиметр? Сколько миллиметров в -^“Ж? в-j-
м? в м? в м? в ж? в pjqq ж? Длина дощеч-
ки 300 мм. Сколько это составляет сантиметров? деци-
метров? Длина электрошнура составляет 2 ж 5 дм.
Сколько это дециметров? сантиметров? миллиметров?
Указание. Дети держат на столе свои бумажные
метры и 30-сантиметровые линейки, с помощью которых
и дают ответы. Шнур (или веревку) в 2 ж 5 дм надо на-
тянуть на двух гвоздях или положить по плинтусу пола,
чтобы каждый из учеников смог в случае надобности
промерить его метром.
МЕРЫ ВЕСА*: КИЛОГРАММ, ГРАММ
С единицей меры «грамм» детей надо познакомить
практически. Необходимо, чтобы гирьки в 1 г, 2 г, 3 г,
5 г, 10 г каждый из учеников подержал на ладони. Но и
этого недостаточно. Надо взвесить на чувствительных
весах каждому ученику несколько раз различные пред-
меты.
327. Взвесьте на весах одну конфету, кусочек пиле-
ного сахара, пряник.
328. Взвесьте на весах монеты в 1 коп., 2 коп., 3 коп.,
5 коп., 10 коп., 15 коп., 20 коп. и запишите в тетрадях
табличку: 1 коп. — 1 г, и т. д.
329. Выньте из середины тетради один полный (раз-
вернутый) листок, взвесьте его на весах и результат
взвешивания запишите в свои тетради. Взвесьте также:
1) один листок из тетради и один конверт для письма;
2) 4 листка из тетради и конверт; 3) всю тетрадь (6 пол-
ных листков и обложка).
* В действительности это меры массы, но в быту до сих пор
сохранилось название этой меры — «вес». В программе также ска-
зано «меры веса», поэтому и здесь сохранен этот термин (см.
стр. 65).
145'
Указание. Один полный листок из тетради весит
немного более 4 г (точнее, 4,3 — 4,4 г), один лист вмес-
те с конвертом — около 7 г, 4 листа с одним конвертом
обычного формата весят 20 г. А 20 г — это предельный
вес для письма, оплачиваемого 4-копеечной маркой, или
заказного, оплачиваемого 10-копеечной маркой. Через
каждые 20 г веса письма изменяется стоимость марки.
330. Положите на весы столько листков тетрадочной
бумаги, чтобы они весили около: 1) 20 г; 2) 40 г; 3) 60 г.
То же проделайте с обыкновенной почтовой бумагой.
331. Взвесьте батон, половину батона, кусочек бато-
на такого размера, на какие обычно режут батон для
бутерброда. Взвесьте одну булку, 10 кусочков пиленого
сахара и т. п.
332. Взвесьте обыкновенный (тонкий) стакан: 1) греч-
невой крупы; 2) пшена; 3) риса.
333. Взвесьте: 1) одну пачку пиленого сахара; 2) две
пачки пиленого сахара; 3) одну пачку соли; 4) две пач-
ки соли; 5) один кусок хозяйственного мыла.
Указание. Если взвешиваемые предметы несколь-
ко больше или меньше круглого числа граммов, то мож-
но записать их вес приближенно, с пометкой «около», на-
пример: «Около 200 г».
334. Назовите такой предмет, который весит 1 г, 2 г,
3 г, 5 г.
Указание. Дети назовут монеты в 1 коп., 2 коп.,
3 коп., 5 коп., если они их взвешивали.
335. Сколько монет по 1 коп. надо положить на весы,
чтобы они составили 1 кг? Какую часть 1 кг составляет
вес монеты в 1 коп.? Какую часть 1 кг составляет 1 г?
Во сколько раз 1 кг больше 100 г? Во сколько раз
100 г меньше 1 кг? Какую часть килограмма составляют
100 г? Во сколько раз 1 кг больше 200 г? Какую часть
килограмма составляют 200 г? Во сколько раз 500 г
меньше 1 кг? Какую часть килограмма составляют
500 г?
336. Сколько граммов составляют кг? Назовите
1
предметы, которые весят -%- кг.
Указание. Дети должны назвать общеизвестные
предметы: пачка пиленого сахара, полулитровая банка
или бутылка воды и т. п.
146
337. Сколько граммов составляет кг? Сколько
граммов составляет -jy- кг? Назовите предметы, кото-
1
рые весят — кг.
Указание. Ученики могут назвать 1 пачку кофе
или какао, порцию мороженого и т. п.
338. Знаете ли вы такие предметы, которые весят
1 кг? Назовите их.
339. Сколько будет весить вода, налитая в литровую
банку? Сколько будет весить 1 л воды?
Указание. Если дети раньше занимались взвеши-
ванием воды в объеме литровой или полулитровой бан-
ки, то эти вопросы для них будут повторением, и в этом
случае, взвешивая, следует выяснить, больше или мень-
ше 1 кг жидкости содержит литровая банка, если ее на-
лить не водой, а молоком, маслом, керосином. Конечно,
здесь речь идет о чистом весе жидкости (без тары).
340. Если 1 л воды весит 1 кг, то сколько килограм-
мов будет в 100 л воды? в 1000 л воды?
341. Если 100 л воды весят 100 кг, или 1 ц, то сколь-
ко будет килограммов в 50 л такой же воды?
342. Сколько килограммов в полном мешке карто-
феля?
' Указание. Приблизительно 50 кг.
343. Если в 1 л холодной воды 1 кг, то сколько ки-
лограммов будет:
1) в 500 л воды? Сколько это составит центнеров?
2) в 200 л воды? Сколько это составит центнеров?
3) Сколько литров воды помещается в ведре?
4) Сколько килограммов приблизительно в ведре
воды? в 2 ведрах? в 5 ведрах воды?
344. Будет ли в 1000 л керосина 1 т? Больше или
меньше тонны будет содержаться в 1000 л керосина?
Указание. 1 л керосина содержит около 800 г.
Для того чтобы дети имели представление о способах
взвешивания тяжелых предметов и о весах, которые упо-
требляются для этой цели, необходимо с ними совершить
экскурсию на пристань речного или морского порта, то-
варный склад и т. п.
345. Во сколько раз 1 ц больше 1 кг? Какую часть
центнера составляет 1 кг? Сколько килограммов в -у if?
147
Какая часть центнера 50 кг? 10 кг? 25 кг?
Какую часть центнера приблизительно будет состав-
лять по весу один мешок картофеля?
346, Во сколько раз 1 т больше 1 ц? Какую часть тон-
ны составляет 1 ц? Сколько центнеров груза можно по-
ложить на автомашину трехтонку? Сколько мешков кар-
тофеля можно положить на трехтонку?
347. Во сколько раз 1 т больше 500 кг? Какую часть
тонны составляют 500 кг? Какую часть тонны составляют
5 ц?
348. При простом помоле из 1 т пшеницы получается
800 кг муки. Сколько мешков потребуется, чтобы собрать
эту муку, если в 1 мешок насыпать 80 кг? Сколько такой
же муки получится из 1 ц пшеницы?
349. В мешок вмещается сахарного песку 1 ц. Сколько
мешков сахарного песку составляет 1 т песку? Прикинь-
те, до какого приблизительно места от угла нашей клас-
сной комнаты уместятся вдоль стены все эти мешки с
сахарным песком, если их поставить вплотную один к
другому.
Указание. Очевидно, учащимся придется выяснить,
какую приблизительно длину будет занимать наполнен-
ный сахаром мешок. (Эту длину можно принять за 50 см.)
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
350. Найдите устно сумму двух слагаемых а + Ь. Ре-
зультат каждого примера впишите в таблицу:
а 120 360 160 540 830 250 350 450 102 206 410 703
ь 240 640 140 450 170 250 350 450 204 303 408 207
т+Ь
Указание. Образцы вычислений: 1) 120 + 240 =
= 12 десятков + 24 десятка = 36 десятков, или 360; 2) 640+
+ 360 = 64 десятка + 36 десятков=100 десятков, или 1000;
3) 204 + 305= (200 + 4)+305= (200 + 305)+4 = 509, или
(200+ 4)+ (300 +5) = (200+ 300)+ (4 + 5) =509. Все эти
вычисления делаются устно, а записываются только ре-
зультаты в таблицу.
148
Э51. Найдите устно сумму двух слагаемых:
а 406 708 309 420 150 460 123 241 375 416
ь .506 207 301 420 150 540 123 324 225 216
а-\-Ь
Образцы решения.
241 +324 = 241 + (300+20 + 4);
241+300 = 541; 541+20 = 561; 561+4 = 565, или
241+324= (200 + 40+ 1) + (300 + 20 + 4) = (200+300) +
+ (40 + 20) + (I +4) =500 + 60 + 5 = 565.
352. В следующей таблице сумму двух чисел а и b в
каждом примере находите письменно (столбиком):
а 275 178 309 437 286 348 293 490 415 385
ь 446 218 428 437 273 371 , 397 387 395 385
а-\-Ь -
353. Найдите устно разность двух чисел а—b и запи-
шите разность каждого примера в таблицу:
а 250 360 470 560 630 706 708 127 363 375
ь 130 140 240 240 420 506 205 25 33 300
а—Ь
Образцы решения.
250—130 = 250—(100 + 30) = (250—100)—30= 150 —
—30=120.
375—300= (300 + 75)—300= (300—300) +75 = 75.
354. В следующей таблице разность а—Ь в каждом
примере находите письменно (столбиком):
а 236 241 325 328 452 513 625 703 620 920
ь 117 136 218 135 261 322 445 504 325 746
а—b -
149
355. В этой таблице имеются Неизвестные слагаемые.
Найдите их устно и впишите в таблицу, а затем каждый
пример проверьте:
а 60 125 39 660 164
ь 109 400 45 990 75
а+Ь гео 225 215 850 149 275 800 1000 165 75
356. В этой таблице имеются неизвестные уменьшае-
мые. Найдите их устно и впишите в таблицу, а затем
каждый пример проверьте:
а
ь 50 85 101 136 275 440 128 520 880 0
а—Ь 150 200 101 24 25 560 128 180 0 500
357. В этой таблице неизвестным является вычитае-
мое. Найдите его устно и впишите в таблицу, а затем
проверьте каждый пример:
а 100 128 102 160 250 360 425 780 1000 120'
ь
а—Ь 36 28 56 70 220 240 405 600 10G0 0
358. Заполните таблицу. Решайте устно:
а 1 дм 1 дм 2 см 1 м 20 см 1 1 дм 5 мм 8 мм 750г
ь 5 см 8 см 4 м 50 см 800г
а-[-Ь 2 м 5 м 2 дм 1 дм 2мм 1 кг 1 кг
359. Заполните таблицу. Решайте устно:
й 1 дм 1 м 1 дм 1 см 200 г
Ь 1 дм 2 см 1 м 40 см $ММ
а—Ь 8 см 3 см 60 см 50 см 1 см 1 мм 8 мм 50 г
150
360. Заполните таблицу:
a 80 90 100
ПО 120 130
140
150
а+20
Как увеличивается слагаемое а и как увеличивается
сумма «4-20? Придумайте сами такие примеры и сде-
лайте вывод о том, как увеличивается сумма.
361. Заполните таблицу:
b 110 130 150
6—10
170 190 210 230
250
Как увеличивается уменьшаемое b и как увеличива-
ется разность b—10? Придумайте сами такие примеры
и сделайте вывод о том, как увеличивается разность.
Указание. Ученики на основании задачи 360 дол-
жны сделать вывод о том, что сумма увеличивается на
столько единиц, сколько прибавляется к слагаемому, а
на основании задачи 361 — что разность увеличивается на
столько единиц, сколько прибавляется к уменьшаемому.
362. Если а + 10<20, то кйкие числа можно подразу-
мевать под буквой «? Чем является число а в выраже-
нии «4-10? Запишите все числа, которые может обозна-
чать буква а в этом неравенстве.
Указание. Пусть дети подставят вместо числа а чи-
сла, начиная с 1, и проверят, получается ли сумма а +
+10<20. Таким образом они найдут все 9 чисел: 1, 2, 3,
..., 9. Можно спросить, какой знак вместо < надо будет
поставить, когда вместо а будет поставлено число 10.
363. При каких значениях буквы b разность b—3> 10?
Много ли вместо буквы b можно подставить чисел, чтобы
разность b—3 была больше 10? Какое самое меньшее из
этих чисел?
Указание. Дети должны испытать числа, подстав-
ляя вместо уменьшаемого b различные числа, начиная
с 3 или 4 и все увеличивая, когда, наконец, при значе-
нии Ь = 14 они получат, что разность 14—3=11, т. е.
больше 10.
151
364. При каких значениях буквы k сумма 27+&<35?
При каком значении буквы k эта сумма будет равна 35?
Ответ. При k=\, 2, 3, 4, 5, 6, 7 меньше 35, при k — 8
равна 35.
365. При каких значениях буквы а сумма
а + 497<500? При каком значении буквы а эта сумма
равна 500?
Ответ. Сумма меньше 500, если а<3; при а=3 сум-
ма а 4-497 = 500.
366. При каких значениях буквы а разность
а—395<5? При каком значении а эта разность равна 5?
Ответ. Разность а—395<5 при а = 395, 396, 397,
398, 399; при а = 400 разность а—395 = 5.
367. При каких значениях разность 128—а>125?
При каком значении а разность равна 125?
Ответ. При а = 0, 1, 2 разность 128—а>125; при
а = 3 разность 128—а = 125.
368. При каком значении буквы а разность
725—а = 725?
Ответ. При а = 0, так как 725—0 = 725.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
369. а) Найдите множимое;
Множимое •
Множитель 10 20 40 30 2 3 4 50
Произведе- ние 100 200 800 900 200 900 ' 800 1000
б) Найдите множитель:
Множимое 20 40 80 100 10 20 30 200
Множитель
Произведе- ние 100 200 400 500 зсо 600 900 80 )
370. Заполните таблицу:
Множимое 10 80 69 50 9 8
Множитель 3 4 7 70
Произведение 400 600 160 240 300 280 350 490 810 560
371. а) Найдите делимое:
Делимое 1
Делитель 5 1 । 3 4 2 1 60 60 60 8
Частное 80 80 100 200 500 300 4 3 6 60
б) Найдите делитель:
Делимое 160 150 480 600 420 520 720 720 960 960
Делитель
Частное 8) 50 80 100 7 4 8 90 8 80
372. Заполните таблицу:
Делимое 120 420 700 750 900
Делитель 30 13 15 18 7
Частное 20 2Э 60 50 50 50 30 50 60 130
Указание. При решении задач 369—372 ученики
могут, решив пример устно, вписывать результат в сво-
бодную клетку (таблица должна быть в тетради) или
каждый пример могут записать отдельно, обозначив
буквой искомое число. Кроме того, полезно предложить
для каждого примера (или только для некоторых) со-
ставить задачи. Эти задачи удобны для самостоятельной
или дополнительной работы.
373. В произведении а 100 вместо буквы а подстав-
ляйте числа 1,2, 3, 4 и т. д„ кончая 10, и записывайте
так:
1-100 = 100
2-100 = 200 и т. д.
Какой вывод можно сделать?
153
Указание. Дети заметят, что когда множимое
увеличивается вдвое, втрое и т. д., то и произведение
200, 300 и т. д. увеличивается во столько же раз.
374. В частном ЬА вместо буквы & подставляйте чис-
ла 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200 и записывай-
те так:
1) 20:4 = 5
2) 40:4=10
3) 60:4 = 15 и т. д.
Какой вывод можно сделать?
Указание. Дети должны заметить, что когда де-
лимое увеличивается в два, в три и т. д. раз, то и част-
ное 10, 15 и т. д. увеличивается во столько же раз.
Нужно постепенно приучать детей, что выражение
вида а-Ь — это тоже произведение, а выражение вида
Ь:4 или Ь:а— это тоже частное.
375. а) Найдите произведение а-b, подставляя вмес-
то буквы а числа 2, 4, 6, 8, 10, вместо буквы Ь числа 20,
40, 60, 80, 100.
б) Заполните таблицу:
Указание. Полезно предложить детям для двух
рядом стоящих примеров составить задачи.
376. а) Для того чтобы умножить, например, 160-2,
множимое разлагают на два слагаемых 100 и 60, затем
каждое из них умножают на 2 и произведения складыва-
ют: 100-2 = 200; 60‘2 = 120; 200 + 120 = 320. Это свойство
произведения, которое вы использовали при внетаблич-
ном умножении в пределах 100, называется распредели-
тельным и записывается в общем виде (на буквах) так:
(а + Ь) -с = а- с + Ь- с. Им мы пользуемся при умножении
двузначного, трехзначного'и вообще многозначного чис-
ла на однозначное и, наоборот, однозначного на дву-
значное.
154
б^Используйте это свойство умножения в следующих
примержхг
1) 120-3 3) 140-3 5) 250-4 7) 5-120
2) 180-2 4) 150-3 6) 240-4 8) 6-120
в) По каждому из этих примеров можно составить
задачу.
Пример задачи для случая 120-3. Рыбаки ло-
вили за первые три дня недели по 100 ц рыбы в день, а
за следующие три дня по 20 ц в день. Сколько рыбы
поймали рыбаки за 6 дней?
Эту задачу, как вы знаете, можно решить двумя спо-
собами:
1 способ. 100 zp3 = 300; 20 zp3 = 60; 300 ч+60 ц =
= 360 ц.
II способ. 100 ц 4- 20 ц = 120 ц; 120 ц-3 = 360 ц.
Оба способа решения правильные. 2-й способ хо-
тя и короче, ио также похож на 1-й способ, так как при
умножении 120 ц-3 нам приходится разбивать 120 на
сумму 100 + 20 и умножать, как в первом способе.
г) Придумайте задачи на 2-й и на 7-й примеры и ре-
шите их.
377. Запишите выражение (а—Ь)-с. Здесь тоже про-
изведение, но только не суммы, а разности двух чисел а
и & на третье число с. Запишите сами, подставьте вместо
букв числа и сделайте вычисление двумя способами.
Указание. Учащиеся на примере предыдущей за-
дачи умножат сначала уменьшаемое на число с, затем
вычитаемое и'из первого произведения вычтут второе.
На числах же можно сначала из числа а вычесть чис-
ло Ь и затем разность умножить на с. Например,
(20—8)-5= 12'5 = 60 — один способ, (20—8)-5 = 20-5—
—8-5 = 60 — другой способ решения.
378. а) При изучении внетабличного деления вы
пользовались такой формулой: (а + Ь) :с = а:с + Ь:с (что-
бы разделить сумму двух чисел на третье число, доста-
точно разделить на это число первое слагаемое, потом
второе слагаемое и результаты сложить). Например,
чтобы 72 разделить на 4, вы разлагаете делимое 72 на
два таких слагаемых (40 и 32), из которых одно —
круглые десятки, а другое — табличное число. Получа-
ется (40 + 32): 4 = 40:4 + 32 : 4 = 18.
155
б) Решите по этому образцу следующие примеры:
1) 96:4; 2) 51:3; 3) 75:5; 4) 91:7; 5) 360:3; 6) 420:3;
7) 840:4; 8) 280:2.
Образец; 78:6= (60Д-18) :€ = 60:6 +18:6 = 13.
в) Составьте задачу на 1-й пример: 96:4.
379. Как прочитать формулу (а—Ь):с—а:с—Ь:с. Ре-
шите по этой формуле примеры; 1) (360—60) :3;
2) (540—140) :4; 3) (720—320) :4; 4) (600—100): 5.
Все эти примеры можно решать двумя способами.
Решите их двумя способами.
Указание. Имеются в виду: 1) способ, основан-
ный на приведенной формуле, и 2) способ последова-
тельного подсчета: (360—60) :3 = 300:3= 100.
380. Решите следующие примеры.
1) 20+12-5 2) 84—42 : 3 3) 100+64:4
4) 90- 75:5' 5) 120—150:3+150 6) 400-15-6+390
Указание. Если дети еще не знакомы с правилом
порядка действий, то надо им разъяснить это правило
на примерах.
381. Родители купили для своих сыновей два школь-
ных костюма по 15 руб. и для дочерей два пальто по 18
руб. Сколько стоит вся покупка?
Обозначив стоимость покупки через х, составьте фор-
мулу для решения этой задачи и затем делайте вычисле-
ние по этой формуле.
Указание. Дети должны записать: х= 15-2+ 18-2,
или х= (15 + 18) -2.
382. Если от задуманного числа отнять 4 раза по 100,
то получится 500. Какое число было задумано? Обоз-
начьте неизвестное число буквой и составьте уравнение
для решения этой задачи.
Указание. Дети запишут: х—100-4 = 500, а затем
найдут уменьшаемое по вычитаемому (400) и разности
(500); х = 500 + 400 = 900.
383. Если к утроенному неизвестному числу приба-
вить 50, то получится 200. Чему равно неизвестное чис-
ло? Обозначьте неизвестное число буквой и составьте
уравнение.
Указание. Предварительно надо убедиться в том,
понимают ли дети выражения «удвоенное», «утроенное»,
«учетверенное» число. Когда они поймут, что утроенное
156
число — число, умноженное на 3, то они получат урав-
нение:
х-3 + 50 = 200, или 3-х4-50 = 200, и найдут Зх как сла-
гаемое: Зх = 200—50=150, а отсюда х как сомножитель
равен 150:3 = 50.
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ДЕЛЕНИЕ ФИГУРЫ
НА ЧАСТИ И СОСТАВЛЕНИЕ СЛОЖНОЙ ФИГУРЫ
ИЗ ДАННЫХ ЧАСТЕЙ
384. На чертеже 3 различных треугольника: 1) в од-
ном из них имеется прямой угол, такой треугольник назы-
вается прямоугольным-, 2) в другом имеется тупой угол,
треугольник с тупым углом называется тупоугольным-,
3) в третьем треугольнике все углы острые, такой тре-
угольник называется остроугольным. С помощью модели
прямого угла или чертежного треугольника установите,
где какой треугольник.
385. Из начерченных 6 треугольников установите и
запишите по номерам, какие из этих треугольников пря-
моугольные, тупоугольные и остроугольные.
Указание. После обследования углов учащиеся
должны записать: треугольники 2 и 4 прямоугольные;
3 и 5 тупоугольные, 1 и 6 остроугольные.
157
386. HaqeprHfe по одному треугольнику каждого ви-
да и с помощью модели прямого угла проверьте в них
углы.
387. Как провести 2 отрезка в прямоугольнике, чтобы
в нем образовалось 4 прямоугольных треугольника?
В
Указание. Если провести
диагонали, то треугольники АВД
и АСД, а также ВАС и СДВ бу-
дут прямоугольными.
388. Треугольники можно на-
зывать не только по их углам, но
и по сторонам: 1) если все три
равны, то такой треугольник мож-
С'
стороны треугольника
но назвать равносторонним; 2) если только две сторо-
ны равны, а третья им не равна, то треугольник назы-
вают равнобедренным; 3) если в треугольнике все сто-
роны имеют различную длину, то треугольник называют
разносторонним.
На чертеже 3 треугольника. С помощью циркуля и
линейки измерьте стороны этих треугольников в милли-
метрах и запишите, какой из них разносторонний, какой
равнобедренный и какой равносторонний.
389. Начертите 3 треугольника: один — равносторон-
ний, другой — равнобедренный, третий — разносторон-
ний.
Указание. Детям надо сделать разъяснение, как
с помощью циркуля' и линейки можно построить такие
треугольники. Чтобы построить (начертить) равносто-
ронний треугольник, нужно начертить какой-нибудь от-
резок и затем раствором циркуля, равным этому отрез-
ку, из обоих концов начерченного отрезка провести дуги
(см. рис. к задаче 388), полученную точку пересечения
дуг (засечку) соединить с обоими концами отрезка. Для
равнобедренного треугольника отрезок в основании на-
до взять меньше или больше, чем в первом случае.
158
390. Начертите квадрат и проведите в нем диагона-
ли, как показано на чертеже. Найдите теперь в этом
квадрате равнобедренные треугольники и проверьте, нет
ли в каждом из них прямого угла. Такие треугольники, в
которых стороны, составляющие прямой угол, равны, на-
зываются равнобедренными прямоугольными треуголь-
никами. Подсчитайте, сколько здесь таких
треугольников.
Указание. Таких треугольников в
квадрате 8: четыре с катетами, равными
сторонам квадрата, и четыре с катетами,
равными половине диагонали.
391. Начертите четырехугольник, как показано, про-
ведите в нем три отрезка так, чтобы четырехугольник
этот разделился на 4 прямоугольных треугольника.
392. Начертите 3 прямоугольника: один длиной 4 см,
шириной 3 см и два равных прямоугольника длиной 2 см
и шириной 1 см. Сложите из них один квадрат, подсчи-
тайте, сколько клеточек занимает этот квадрат, и про-
верьте, столько ли он занимает клеток, сколько их зани-
мают все три данных прямоугольника вместе.
393. Проведите прямую линию АВ. Из некоторой точ-
ки Е опустите на нее прямую ЕС под прямым углом и
проведите еще 4 наклонные прямые, как показано на
чертеже.
Внимательно подсчитайте, сколько здесь образовалось
треугольников: 1) прямоуголь-
ных; 2) тупоугольных.
Указание. Прямоугольных
4 (ЕСД, ЕСК, ЕСВ, ЕСА), тупо-
угольных 6 (ЕДК ЕДВ, ЕДА,
ЕКА, ЕВА, ЕВК).
394. Если длина стороны тре-
угольника а см, другой b см, тре-
тьей с см, то как можно записать
формулу для вычисления пери-
метра этого треугольника.
159
Вычислите периметр треугольника, если длины его
сторон будут: 1) 3 см 2 мм; 2) 4 см 3 мм; 3) 5 см 5 мм.
Как можно назвать такой треугольник?
395. 1) Обозначив сторону квадрата буквой а, со-
ставьте формулу для вычисления его периметра. Начер-
тите квадрат со стороной а = 3 см и вычислите периметр
квадрата.
2) Начертите прямоугольник, длина которого 4 см, а
ширина 3 см, и вычислите его периметр.
3) Составьте формулу для вычисления периметра
прямоугольника, обозначив его длину буквой а, ширину
буквой Ь, и вычислите по формуле периметр прямоуголь-
ника, длина которого а = 2 см 5 мм, а ширина b — 1 см 4 мм.
Указание. Дети могут формулу периметра квад-
рата составить по-разному; 1) х = а + а +а+а = 4а;
2) х-а-4=4а; для периметра прямоугольника:
1) x — a + b + a+b, или 2) х — а + а + Ь + Ь, 3) х=а-2+.
,+Ь-2, или 4) х = 2-а + 2-Ь, или 5) х= (а + Ь) - 2.
Примечание. Для индивидуальных заданий во II классе
при дифференцированном обучении рекомендуются следующие зада-
чи: 35, 47, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 69, 126, 127, 130, 131, 139,
144, 151, 154, 157, 184, 203, 205, 226 (б), 227, 229, 234, 238, 242,
243, 245, 257, 258, 259, 293, 301, 348, 349, 372, 375, 377, 378 (в), 380,
381, 382, 383, 386, 387, 389 , 390, 391, 392, 395. Такие задачи, как 381,
382, 383, рекомендуются для решения способом составления урав-
нения.
Ill класс
ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО
ВО II КЛАССЕ
В первые дни занятий с третьеклассниками необхо-
димо повторить изученные меры: метр, дециметр, санти-
метр, миллиметр, килограмм, грамм, литр, год, месяц,
сутки, час, минута, а также монеты и денежные знаки.
А1еры лучше всего усваиваются и закрепляются при вы-
полнении практических работ.
Приведем примеры таких упражнений.
1. Начертите в тетради по линейке на глаз отрезки
прямых линий длиной 5 см, 8 см, \0см, 15 см и затем
проверьте длину их.
Указание. Ученики кладут линейки так, чтобы
шкала с делениями лежала на бумаге, и проводят от-
резок заданной длины, затем линейки переворачивают и
проверяют правильность выполнения. Если длина отрез-
ка оказалась меньше заданной, то проводится дополни-
тельный отрезок более тонкий, если же больше действи-
тельной, то излишек отсекается черточкой. Таким обра-
зом, по чертежу видна допущенная ошибка.
Чтобы ученики поняли, как это сделать, надо пока-
зать на доске, вызвав для этого ученика.
2. Начертите на доске два отрезка разной длины и
определите на глаз, на сколько сантиметров один из них
больше другого.
6 Заказ 1187
161
-------г—---- Указание. Сначала надо взять от-
резки разной длины, а затем такие, кото-
рые мало отличаются один от другого, и,
наконец, равные. При этом отрезки надо
чертить не один под другим, а в разных
направлениях. Полезно обратить внима-
ние на отрезки, начерченные перпенди-
кулярно друг к другу: один горизонталь-
но, а другой вертикально. В таком случае вертикальный
отрезок кажется гораздо длиннее горизонтального, хотя
отрезки равны (см. черт.).
3. Определите на глаз:1) на сколько сантиметров дли-
на учебника математики больше ширины, длина тетради
больше ее ширины; 2) на сколько дециметров ширина
стола меньше его длины, длина доски больше ее ширины;
3) на сколько метров ширина класса меньше его длины.
Глазомерные определения проверяйте приборами.
Указание. Удобнее такую работу проводить со-
вместно двум ученикам (соседям по парте). У всех уче-
ников должны быть линейки и желательно циркульные
ножки, к уроку приготовить заранее несколько метро-
вых линеек с делениями и рулетку. Дети должны рабо-
тать самостоятельно под руководством учителя.
4. Начертите на неграфленой бумаге небольшой
(в несколько сантиметров) отрезок, затем удлините его
на глаз вдвое, втрое. Начертите удвоенные и утроенные
отрезки, а затем проверьте с помощью инструментов.
5. Определите на глаз ширину улицы, на которой сто-
ит школа, а затем проверьте измерением (рулеткой или
веревкой).
Указание. Для глазомерного определения шири-
ны улицы ученик должен стать на тротуаре у стены зда-
ния и сделать прикидку до степы дома, находящегося на
противоположной стороне. Можно также предложить
оценить на глаз ширину улицы от
тротуара до тротуара (ширину
мостовой).
6. Рисунок для вышивания со-
стоит из четырех квадратов, рас-
положенных так, как показано на
, чертеже. Стороны этих квадра-
тов 2 см, 4 см, 6 см, 8 см. Сде-
лайте чертеж и затушуйте- или
раскрасьте его по своему вкусу.
162
7. На уроках труда Ваня сделал из фанеры коробку
(для подарка детскому саду). Дно коробки имело фор-
му прямоугольника длиной 16 см и шириной 10 см. За-
тем Ваня провел прямые линии так, как показано на ри-
сунке. Подсчитайте, сколько получилось всех треуголь-
ников. Назовите и запишите их с помощью букв.
У к а з а н и ё. Лучше, если ученики сделают этот чер-
теж в масштабе 1:2 (1 см на чертеже принять за 2 см
действительной величины). Здесь получилось всего
8 треугольников: 1) АОВ-, 2) СОД\ 3) ВОС; 4) АОД\
5) АВС\ 6) АВД\ 7) ДСВ\ 8) ДСА. Из них треугольник 1
равен треугольнику 2, 3-й — 4-му, 5, 6, 7, 8-й треуголь-
ники прямоугольные и равные. Желательно, чтобы эта
задача была задана как самостоятельная работа, а за-
тем разобрана на доске. Она пригодна также для диф-
ференцированных занятий. Надо развивать глазомер
детей постоянно — в классе, во дворе, на улице, в саду.
Пользуясь хорошей погодой, следует проводить сле-
дующие практические упражнения (задачи № 8—11
сформулированы для учителя).
8. Послать из исходного пункта одного ученика на
50 шагов в одну сторону, а второго — на 80 шагов в дру-
гом направлении. Предложить остальным учащимся
оценить эти расстояния на глаз в метрах, а затем прове-
рить шагами или мерными веревками (в проверке долж-
ны участвовать все дети).
9. Предложить ученику отбежать от исходного пунк-
та на заданное число шагов, не считая шаги (например,
отбежать на 40, 60, 75 шагов), а возвращаясь обратно,
проверить, на сколько шагов он удалился.
10. Та же задача, но задается число метров, а не ша-
гов (проверяется мерными веревками).
6* 163
11. Оценить на глаз расстояние между двумя предме-
тами, например: между двумя деревьями, или между де-
ревом и углом здания, или между двумя вехами, постав-
ленными на некотором расстоянии друг ог друга, и за-
тем проверить.
Указание. Работу по измерению расстояний ве-
ревками или рулетками ученики проводят парами само-
стоятельно. Учитель следит за работой и в случае необ-
ходимости дает консультации.
12. Начертите, пользуясь разграфленной на клетки бу-
магой, два прямоугольника одинаковой ширины (напри-
мер, по 2 см), а длиной один 5 см, другой на 3 см боль-
ше. Сравните эти прямоугольники и подсчитайте, на
сколько клеток больше будет занимать второй прямо-
угольник. Считать длину двух клеток за 1 см.
Ответ. Второй прямоугольник займет на 24 клет-
ки больше первого.
Указание. Сравнение числа клеток в этих прямо-
угольниках дети могут сделать различными способами:
1) подсчитать число клеток в каждом прямоугольнике и
найти их разность, 2) подметив, что второй прямоуголь-
ник отличается от первого лишь по длине., подсчитать
число клеток только в той части прямоугольника, на ко-
торую он больше первого.
Интересен второй способ, и надо добиться того, что-
бы дети его нашли. Желательно, чтобы подсчет был сде-
лан не только непосредственно, но и косвенным путем
(умножением). .
13. Начертите по клеткам два квадрата так, чтобы у
меньшего квадрата каждая сторона составляла 4 клет-
ки, а у второго — вдвое больше. Подсчитайте, во сколько
раз в большем квадрате клеток будет больше, чем в
меньшем.
Ответ. В 4 раза.
Указание. Подсчет числа клеток в квадратах уче-
ники должны сделать путем вычисления, а проверить
результат непосредственным подсчетом клеток.
14. На сколько дециметров высота классной двери
больше ее ширины?
Указание. Сделанные измерения надо округлить
до целых дециметров.
15. На сколько шагов длина вашего класса больше
ширины?
1Б4
Указание. Желательно, чтобы каждый ученик
проделал это упражнение (хотя бы во внеурочное время).
16. Кого больше в вашем классе; мальчиков или де-
вочек? На сколько больше?
Указание. При решении этой задачи требуется
обратить внимание на постановку наименований при
числах. Например, если в классе 23 девочки и 18 маль-
чиков, то следует записать: 23 человека — 18 человек —
= 5 человек.
Ответ. Девочек на 5 больше, чем мальчиков. Вмес-
то слова «человек» можно употребить слово «учеников».
17. На сколько дней и во сколько раз одна неделя
февраля простого года короче всего февраля?
18. Сколько времени пройдет, пока часовая стрелка
сделает два полных оборота по кругу? Во сколько раз
один час меньше этого времени? Ответ проверьте, поль-
зуясь циферблатом. '
19. Сколько времени пройдет, пока минутная стрел-
ка сделает один оборот по кругу? Во сколько раз одна
минута меньше этою времени? Ответ проверьте, поль-
зуясь циферблатом.
20. Сколько обыкновенных (тонких) стаканов воды
входит в литровую кружку или банку? Какую часть лиг-
ра составляет стакан? Во сколько раз стакан моло-
ка меньше литра молока? Проверьте это переливанием
воды,
ТЫСЯЧА
РАБОТА НА СЧЕТАХ
При работе на счетах необходимо, чтобы счеты были
у каждого ученика на парте, а у учителя — счеты боль-
шого размера, которые можно повесить на доску. На
ученических счетах 12 проволок. На каждой проволоке
но 10 косточек, кроме 4-й внизу, на которой только
4 косточки (для откладывания четвертых долей). При
изучении нумерации в пределах 1000 или 1000000 5-ю
проволоку можно принимать за 1-ю и откладывать на
ней единицы, на 6-й проволоке снизу будут десятки
и т. д. Начало нового класса (тысяч и миллионов) отме-
чено черной косточкой слева. Две средние косточки на
каждой проволоке черные — это для того, чтобы косточ-
165
ки можно было брать не считая (этому детей надо по-
учить).
Когда все косточки на всех проволоках сдвинуты
вправо, то на счетах ничего «не положено». Когда же
хотят на счетах положить какое-нибудь число, то кос-
точки передвигаются налево, при сбрасывании же, т. е.
при вычитании, косточки передвигаются слева напра-
во. При изучении нумерации третьеклассники должны
усвоить, что на счетах соблюдается та же позиционная
система, что и при письменной нумерации с помощью
9 значащих цифр и нуля, только при письме число изобра-
жается слева направо, а на счетах — сверху вниз: если
на 3-й проволоке, считая снизу, положено 5 косточек, на
2-й — 3 косточки и на 1-й — 8, то число читается 538; ес-
ли же единицы разряда отсутствуют, то на соответствую-
щей этому разряду проволоке косточки не отклады-
ваются (на это надо обратить особое внимание детей).
При изучении составных именованных чисел в мерах
веса на нижних трех проволоках (которые расположены
ниже четверки) следует откладывать граммы, на следу-
ющих трех — килограммы, на следующих — тонны. При
изучении мер длины на трех нижних откладывают мил-
лиметры, на следующих трех — метры, на следующих —
километры.
При изучении нумерации на счетах ученик должен
усвоить, во-первых, как положить число на счетах и, во-
иторых, как его прочитать. При этом желательно придер-
живаться общепринятой рациональной техники работы
со счетами: а) откладывание числа лучше делать сред-
ним пальцем и класть сразу все необходимое число кос-
точек (а не присчитывать их по одной или частями), сбра-
сывание косточек производить большим пальцем, б) для
удобства работы счеты лучше класть к себе углом (как
кладется тетрадь при письме); в) когда результаты вы-
числения получены и записаны, надо приподнять левую
сторону рамки счетов и сразу сбросить все косточки,
чтобы счеты были приготовлены к новому вычислению.
При обучении сложению чисел на счетах полезно со-
блюдать следующие этапы: 1) подыскать такие числа,
чтобы сумма единиц в каждом разряде была менее 10;
2) взять числа, у которых сумма единиц в каком-нибудь
разряде равнялась бы 10, например: к 8 косточкам ка-
кого-нибудь разряда надо прибавить 2 косточки того же
166
разряда, тогда на этой проволоке получится 10 косточек,
которые тотчас же надо заменить одной косточкой на
соседней, расположенной выше проволоке, а 10 косточек
сбросить, еще лучше сразу положить на следующей
верхней проволоке одну косточку, а на данной проволоке
сбросить 8 косточек; 3) сложить такие числа, у которых
сумма косточек превышает 10, например: к 7 косточкам
надо прибавить 6, в таком случае надо не прибавлять6
к 7, а положить на следующей верхней проволоке одну
косточку, а на данной проволоке сбросить 4 косточки —
дополнение 6 до 10.
При обучении вычитанию на счетах также надо иметь
в виду три основных случая: 1) когда вычитание делает-
ся без занимания единицы высшего разряда (этот слу-
чай самый легкий); 2) когда в каком-нибудь разряде
цифра вычитаемого показывает число большее, чем циф-
ра уменьшаемого (тогда надо сбросить одну единицу со
следующей верхней проволоки, а на данной проволоке
положить дополнение к вычитаемому до 10); 3) когда
некоторые цифры уменьшаемого нули, т. е. на проволоке
нет косточек, например 504—231; в таком случае сбра-
сываем не 2 сотни, а сразу 3, но на второй проволоке
кладем 7 десятков — дополнение 3 до 10, а потом от 4
отнимаем 1, получится 273.
Упражнения на счетах надо начинать с двузначных
чисел, а затем переходить к трехзначным.
Для учителя, желающего более углубленно ознако-
миться с работой на счетах, рекомендуем пособие
М. И. Иванова «Русские- счеты и их использование в
школе» (Учпедгиз, 1953).
Для упражнений в сложении и вычитании можно
использовать различные счета и таблицы.
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
ПИСЬМЕННЫХ ПРИЕМОВ АРИФМЕТИЧЕСКИХ
ДЕЙСТВИЙ
Как известно, в I и II классах все вычисления дети
производят на основе приемов устных вычислений и
только в пределах 1000 начинают осваивать письменные
приемы, причем в III классе устным вычислениям учите-
ля обычно отводят 5 мин в начале каждого урока ариф-
метики, остальные 40 мин урока дети производят вычис-
JF57
ления при решении примеров и задач только письменно,
хотя иногда нужно было бы воспользоваться уже полу-
ченными навыками устных вычислений и тем ускорить
решение задач и примеров, а также лишний раз попрак-
тиковаться в применении приемов устного счета.
Проиллюстрируем примерами, как можно использо-
вать устные вычислительные приемы.
21. Решите устно и затем проверьте письменно следу-
ющие примеры:
1) 356+248+ 151 3) 700—(511 -395)
2) 912—(702—436) 4) 705—(814—696)
Указание. Желательно, чтобы учащиеся примени-
ли при устном решении следующие приемы:
I) 356 + 248+151,
300 + 200+100 = 600, (56+51) +48= 107+48= 155,
600+155 = 755.
2) 912—(702—436).
702—436 = 700—436 + 2 = 264 + 2 = 266 (для упроще-
ния вычисления временно отбрасываем 2 от 702, а после
вычитания 436 прибавляем 2). Так же поступаем и в
дальнейшем: 912—266 = 900—266+ 12 = 634 + 12=646.
3) 700—(511—395).
511 —395 = 511—400 + 5= 111 +5=116 (из 511 вычли боль-
ше, чем надо, на 5, поэтому к результату прибавили
5); теперь 700—116 = 700 — 100—16 = 584 (вычитаем по
частям).
4) 705—(814—696),
814—696 = 814 — 700 + 4=114+4 = 118,
705—118 = 700— 100—18 + 5 = 587.
В первом примере применены переместигельный и
сочетательный законы сложения, во втором, третьем и
четвертом примерах—округление чисел. Если ученики
не знакомы с термином «округление», го можно и не
употреблять это слово при объяснении решения, а посту-
пать так, как указано.
Если эти (и последующие) упражнения окажутся
трудными для фронтальной работы, то учитель может
их использовать выборочно или целиком для дифферен-
цированных занятий.
168
22. Решите устно с помощью перестановки и группи-
ровки слагаемых следующие примеры:
1) 429+127 + 271 3) 196+197+104
2) 195+ 88+412 4) 555+107 + 245.
Проверьте результаты на счетах.
23. Решите с помощью округления:
1) 751+ (216—98 ) 3 ) 3 1 7+(127—91)
2) 544—(712—696) 4) 406—(388—280).
24. Умножьте устно на 2 следующие числа: 123, 244,
333,424,308,312,414,215, 316, 425, 336, 217, 319, 352,
452. Проверьте результаты на счетах. Для умножения
на 2 множимое кладется на счеты два раза, например:
123-2=123 + 123.
25. Умножьте устно на 3: 123, 222, 333, 112, 206, 309,
214, 125, 133, 316, 224, 127, 228, 115, 217. Проверьте ре-
зультаты на счетах. При умножении на 3 множимое
кладется 3 раза.
26. Умножьте устно на 4: 111, 125, 225, 212, 224, 250,
209, 240, 213, 142. 151, 162, 163, 175, 185. Проверьте ре-
зультаты на счетах. При умножении на 4 множимое кла-
дется на счеты 2 раза и полученный результат удваива-
ется, т. е. кладется еще столько же.
27. Умножьте на 5 устно: 20, 35, 75, 85, 111, 125, 150,
109, 118, 190, 195, 199, 163, 200.
Указание. Надо приучать учеников умножать на
2, 3, 4, 5 всегда устно. Начинать упражнения можно
так: ученик пишет, например, на доске или в тетради
326-2, вычисляет произведение в уме и результат 652
записывает. При вычислении учащиеся пользуются или
общими приемами устного счета (300-2 = 600; 26-2 = 52;
600 + 52 = 652), или приемом округления, где это выгод-
но (199-2 = 200-2—2 = 398; 297-3 = 300-3—3-3 = 900—9=
= 891).
28. Делайте деление с сокращенной записью (подпи-
сывайте под чертой только остаток и сносите следую-
щую цифру):
1) 536:2 = 268 2) 894:3 = 298 3) 724:4 = 181
13 29 32
16 24 4
0 О U
169
Решите так же: 712:2; 930:2; 388:2; 548:2; 231:3;
255:3; 726:3; 924:4; 500:4; 624:4; 872:4.
29. Разделите сокращенно на 5 следующие числа:
175, 615, 745, 895, 990, 195, 485; 265 ; 770; 810.
30. Придумайте по 4 примера на деление на 2, на 3,
на 4, на 5 и деление делайте сокращенной записью, как
показано в упражнении 28. /
31. Запишите примеры в тетрадь, решите устно и за-
пишите ответы.
1) (195+ 105) (48:24). 3) (415—299) (64:16)
2) (117 + 207)-(45:15). 4) (712—595) • (75; 15).
При решении первой скобки во всех примерах при-
меняйте округление.
Указание. В первом примере ученик решает:
195+105 = 200+100 (к первому слагаемому прибав-
ляет, а от второго отнимает 5), во втором примере:
117 + 207 = 117+200 + 7, в третьем: 415—299 = 415—300+)
+ 1, в четвертом: 712—595 = 712—600 + 5.
ОСОБЫЕ СЛУЧАИ:
НУЛЬ В АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯХ
32. Объясните, как понимать равенства: 1) а + 0 = а;
2) 0 + « = а; 3) а—0 = а. Какие числа можно подразуме-
вать здесь под буквой а? Как прочитать эти равенства?
Придумайте числовые примеры.
Указание. Приведенные равенства являются обоб-
щающими, следовательно, они должны читаться как
правила: 1) если к какому-нибудь числу прибавить
нуль, то получится то же число (или число не изменит-
ся); 2) если к нулю прибавить какое-нибудь число, то
получится число, которое прибавили; 3) если от какого-
нибудь числа отнять нуль, то уменьшаемое не изменится.
33. Решите примеры с нулем: 1) 200 + 0; 2) 0+900;
3) 275—275; 4) 0+0; 5) 0—0; 6) 810 + 190+0; 7) 1 +0+1
;+1; 8) 122—22—0; 9) 145—0—100; 10) 0 + 0 + 0.
34. В магазин привезли 800 кг пшена и в течение не-
дели все его распродали. Сколько пшена осталось в ма-
газине?
35. Как понимать равенства: 1) а-0 = 0; 2) 0-а=0;
3) 0:а = 0; 4) а:й=1?
170
Прочитайте эти равенства в ваде правил. Придумай-
те для них числовые примеры.
36. Решите примеры: 1) 75-0; 2) 36-2-0; 3) 0-2-50;
4) 102-0-4; 5) 0:44; 6) 0:25; 7) 125:125; 8) 5-5:25.
37. Что больше: 1+2+3+4+5 или 1-2-3-4-0?
38. Во сколько раз: 1 кг~> 1 г? 1 м> 1 мм? 1 км> 1 л?
1 ч>1 мин?
39. 1) (36—36):25; 2) (728—728) :40;
3) (1 м— 1 м) :100.
Объясните, почему при решении этих примеров полу-
чается один и тот же результат.
ИЗМЕНЕНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ
40. В следующей таблице, давая различные значения
слагаемым, а и Ь, обращайте внимание на то, как изме-
няется первоначальная сумма « + Z> = 100, когда увели-
чивается или уменьшается на сколько-нибудь единиц од-
но слагаемое или оба слагаемых, и при каких условиях
сумма « + 6=100 не изменяется:
41. В следующей таблице проследите, как изменяется
разность чисел и когда она остается без изменения:
42. В трамвае ехало 50 человек. На остановке 5 че-
ловек сошли и 5 человек вошли. Сколько стало пасса-
жиров в трамвае? Почему число пассажиров не измени-
лось?
43. В одной бочке было 30 ведер воды, в другой
20 ведер. На сколько ведер воды в первой бочке было боль-
171
шё, чем во второй? На сколько ведер воды будет боль-
ше в первой бочке, чем во второй, если в каждую бочку
влить еще по 10 ведер или вылить из каждой бочки по
10 ведер? Составьте свои задачи на измененные суммы и
разности.
Указание. При решении задач 42 и 43 полезно
применить дидактический материал или счеты.
В результате решения примеров и задач на измене-
ние суммы и разности учащиеся должны усвоить, отчего
изменяется сумма или разность и при каких условиях
сумма или разность остаются без изменения.
ИЗМЕНЕНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО
44. Как прочитать равенство а-Ь —с? Будем давать
различные значения сомножителям и проследим, как
изменяется произведение. Пусть а = 20, & = 4, тогда про-
изведение а -6 = 20 -4 = 80.
Заполните теперь таблицу и сделайте вывод (все
примеры сравнивайте с первым):
Указание. Ученики должны сделать следующие
выводы: 1) произведение увеличивается во столько раз,
во сколько раз увеличивается один из сомножителей;
2) произведение уменьшается во столько раз, во сколько
раз уменьшается один из сомножителей; 3) произведение
не изменяется, если один из сомножителей увеличить во
сколько-нибудь раз, а другой уменьшить во столько же
раз.
Если дети будут затрудняться при выполнений уп-
ражнений данной таблицы, то необходимо проделать по-
добные примеры на меньших числах, например, в пре-
делах 20, с применением дидактического материала.
45. Ответьте устно: 1) что сделается с произведени-
ем, если множимое увеличить в 3 раза? 2) если множи-
тель уменьшить в 3 раза?
172
46. Как прочитать равенство а:5 = с? Дадим различ-
ные значения делимому и делителю и проследим, как
будет изменяться частное (все примеры сравнивайте с
первым):
а 16 32 8 16 16 32 48 64 8 4 80
ь 4 1 4 8 ! 2 8 ' 12 16 2 1 20
а ; Ь 4
47. Что сделается с частным, если: 1) делимое увели-
чить вдвое, втрое, вчетверо? 2) делитель увеличить
вдвое, втрое, вчетверо? 3) делимое уменьшить в 5 раз?
4) делитель уменьшить в 10 раз? 5) делимое и делитель
увеличить или уменьшить в одинаковое число раз?
48. 60 тетрадей надо раздать 30 учащимся поровну.
По скольку тетрадей получит каждый? Каким действи-
ем решается эта задача? Назовите делимое, делитель и
частное.
А по скольку тетрадей пришлось бы каждому, если
бы тетрадей раздали не 60, а 120? не 60, а 30? Как это
можно узнать, не решая задачи снова? Составьте фор-
мулу решения.
Указание. Формула решения: х = п:30.
49. Нужно положить 160 книг в шкаф. По скольку
книг надо класть на каждую полку поровну, если полок
в шкафу: 1) 2; 2) 4; 3) 8?
Что интересного вы заметили при решении этой задат
чи? Составьте формулу решения.
Указание. Ученики должны заметить, что число
книг на каждой полке уменьшается во столько раз, во
сколько раз увеличивается число полок.
Формула решения: х=160:«.
50. За сколько часов можно проехать на катере рас-
стояние в 120 км, если катер идет со средней скоростью
20 км в час, и за сколько часов можно проехать то же
расстояние на скоростном судне «Ракета», которое идет
60 км в час? Во сколько раз быстрее идет «Ракета» и во
сколько раз скорее можно проехать на ней это расстоя-
ние? Составьте формулу решения.
Указание. Формула решения:
х= (120:20) : (120:60) =3.
173
51. а) Сколько килограммов конфет можно купить на
6 руб. по цене 1 руб. за килограмм? Сколько — по цене
2 руб.? Сколько—по цене 3 руб.? Если цена конфет уве-
лииивается в несколько раз, то на одну и ту же сумму
денег можно купить конфет больше или меньше? Поче-
му? Что здесь является делимым? Что делителем? Что
частным? Составьте формулу решения задачи.
Указание. Формула решения: х = 6:а.
б) В швейной мастерской из 200 м материи по плану
должны были сшить детские рубашки, но вместо них
сшили мужские. Во сколько раз мужских рубашек вы-
шло меньше, чем детских, если на каждую детскую ру-
башку планировалось затратить по 2 м, а на мужскую
по 4 м материи? Решите эту задачу двумя способами.
Указание. Имеются в виду такие два способа:
1) 200 м:2 л< = 100 (рубашек); 200 м:4 .и = 50 (руба-
шек); 100 рубашек:50 рубашек=2 (в 2 раза).
Формула решения: х— (200:2): (200:4) =2.
2) 4 м:2 м = 2 (в 2 раза), т. е. мужских рубашек вый-
дет во столько раз меньше, во сколько раз 4 м больше
2 м.
МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА
Для успешного изучения нумерации многозначных
чисел полезно сделать абак, устройство которого описа-
но выше (см. стр. 139). Абак для чисел в пределах трех,
а лучше четырех классов (до сотен миллиардов), каж-
дый ученик должен изготовить на уроках труда забла-
говременно и иметь его наряду со счетами на уроках при
изучении устной и письменной нумерации.
В результате упражнений в письменной нумерации
ученики должны хорошо знать, что числа только тогда
могут называться многозначными (а точно так же — од-
нозначными, двузначными, трехзначными и т. д.), ког-
да они записаны цифрами: если число записано только
одной цифрой — знаком, то его называют однозначным;
если двумя цифрами — двузначным; тремя и более циф-
рами— многозначным. Учитель, однако, должен знать,
что число'(множество каких-либо предметов или отвле-
ченное) существует и независимо от того, записано ли
оно цифрами или выражено только словесно (устно или
174
письменно), но тогда оно не будет иметь никакой знач-
ности, т. е. не будет ни однозначным, ни двузначным, ни
трехзначным и т. д. Одно и то же число в различных сис-
темах нумерации может быть либо однозначным, либо
двузначным, либо трехзначным и т. д. Например, число
5 в общепринятой десятеричной системе, как известно,
однозначное, в пятеричной же системе, в которой за ос-
нову принимается число 5, это число будет уже двузнач-
ным и запишется как 10, а в двоичной системе, которая
принята в электронно-счетных машинах, оно будет трех-
значным и запишется как 111, т. е. 5щ = 10s= 111г.
В результате изучения письменной нумерации уча-
щиеся должны твердо знать, сколько всех единиц, десят-
ков, сотен и т. д. в данном числе, например, каждый из
них должен сказать, что в числе 12 758 всех единиц
12 758, десятков 1275, сотен 127, тысяч 12, десятков ты-
сяч 1. Такие знания помогут учащимся, в частности, ос-
воить некоторые приемы вычислений. Приведем приме-
ры.
52. Сложить устно по частям следующие числа: 7346
и 1452. Складывайте 46 и 52, получите 98, затем сотни
первого числа 73 с сотнями второго 14, получите 87 со-
тен. Сумма 8798.
Указание. Слагаемые ученик пишет, как обычно,
одно под другим:
, 7346
1432
а сумму подписывает двузначными числами, как
указано выше. Особенно удобен такой прием, когда сум-
ма чисел, изображаемых единицами и десятками, мень-
ше сотни (как в этом примере).
53. Решите таким способом (и проверьте-на счетах):
5263+4427; 1075 + 2435; 7195+1038.
Указание. Во втором и третьем примерах при сло-
жении чисел, изображаемых единицами и десятками, по-
лучается переход через сотню, но это не представляет
затруднений: ученик складывает 75 и 35 и вписывает в
результат 10, а одну сотню прибавляет к сотням и полу-
чает И сотен + 24 сотни = 35 сотен, всего 3510.
54. Решите тем же способом и проверьте на счетах:
56070 + 3624; 3726+12288; 10270+40560.
175
Указание. Подписав под единицами и десятками
94 (сумму чисел 70 и 24), ученик складывает 560 сотен
и 36 сотен и сумму 596 пишет левее 94. В тетради (или
на доске) получается запись:
59 694
Перед решением примеров полезно проверить, знают
ли ученики, сколько всех сотен в том или другом из дан-
ных слагаемых.
55. Решите устно:
225 620+113 245. Проверьте на счетах.
Указание. Здесь надо спросить, сколько всех ты-
сяч в каждом из данных слагаемых, а затем ученики
сложат устно 620 и 245, подпишут 865, сложат тысячи
225 и 113, получат всего 338 тысяч 865.
56. Сделайте вычитание по частям полуписьменно:
8756—4128. Проверьте на счетах.
Указание. Ученик подписывает столбиком
8756
""4123
4Ь28
и вычитает 28 из 56, результат 28 записывает,
затем из 87 сотен вычитает 41 сотню и записывает 46
сотен.
57. Решите таким же способом (и проверьте на сче-
тах) :
14 561 — 10 557 36 042—32 522
11250—5625 16 172—236
Указание. Подписав первый пример столбиком,
ученик вычитает 57 из 61 и подписывает под чертой 04,
затем из 145 сотен вычитает 105 сотен, результат 40 со-
тен пишет под чертой левее 04, получает окончательно
4004. Так же решаются и другие примеры. Полуписьмен-
ное решение не нарушает правил письменных вычисле-
ний, так как форма записи остается та же, но сокраща-
ется время вычислений.
58. Решите полуписьменно (и проверьте на счетах):
4421+3319+2208 1035+2035 + 3035 + 4035
1233+1344 + 1422 1612+1624 + 1636 + 1628
176
59. Решите полуписьменно (и проверьте на счетах):
2536 + 5036 + 2022 7788—2233+5445
1144 + 4444—2255 9977—7755 + 7778
Указание. Решение примеров 52—59 учитель мо-
жет использовать выборочно.
ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ДВУМ
РАЗНОСТЯМ
60. Дом отдыха получил в августе 7 ящиков груш, а
в сентябре 9 таких же ящиков. В сентябре получено на
СО кг груш больше, чем в августе. Сколько килограммов
груш получил дом отдыха в августе и сколько в сен-
тябре?
Указание. Для иллюстрации этой задачи изобра-
зите ящик груш в виде квадрата. Тогда получим такую
иллюстрацию.
лучено в августе.
61. Ученикам III А и 111 Б классов в конце прошлого
учебного года было дано задание: собрать и сдать на
пункт цветы липы. Сколько килограммов липового цве-
та сдал каждый класс в отдельности, если известно, что
в 11Г А классе было 36, а в III Б — 40 учащихся и что
111 Б класс сдал на 8 кг больше, чем III А? Норма сбо-
ра на каждого ученика была одна- и та же. Составьте
формулу решения задачи.
Ответ. 111 А сдал липовою цвета 72 кг, 111 Б —
80 кг.
62. В гараже было два автомобиля марки «Москвич».
Один из них за месяц сделал пробег в 600 км, другой —
в 900 км. Сколько литров бензина израсходовал каждый
автомобиль, если второй израсходовал на 27 л больше,
чем первый?
177
Указание. При разборе задачи необходимо выяс-
нить, что норма расхода горючего рассчитывается на
100 км пути и что для автомобилей одной марки эта
норма одна и та же.
Если^ЮО км пути принять за сантиметр (за длину
двух клеток), то расстояния, пройденные автомобилями,
можно изобразить отрезками в 6 и 9 см.
600 км
1-й atjmoi'ioCiu/ib
900<м
2-й автомобиль '---------»---•
. .На этом участ-
ке израсходовано
27/7 бензина
По этой иллюстрации видно, что 2-й автомобиль про-
шел на 300 км больше 1-го и на этом участке израсхо-
довано 27 л бензина.
Запись решения.
1) На сколько километров 2-й автомобиль прошел
больше 1-го?
900 км—600 кэи = 300 км = 3 сотни км.
2) Какова норма расхода горючего на 100 км пути?
27 л:3=-9 л.
3) Сколько литров бензина расходовал 1-й автомо-
биль?
9 л-6 = 54 л.
4) Сколько литров бензина израсходовал 2-й авто-
мобиль?
9 л-9=81 л.
Проверка. 81 л—54 л = 27 л — разность в расходе
горючего соответствует условию задачи.
Ответ. 1-й автомобиль израсходовал 54 л, 2-й —
81 л бензина.
63. Один из автомобилей «Победа» за месяц прошел
900 км, а другой— 1200 км. Определите, сколько лит-
ров бензина за это время израсходовал каждый из них,
если известно, что 2-й автомобиль израсходовал больше
1-го на 39 л.
178
Если 100 км пути принять за 2 клетки, то иллюстра-
ция задачи будет такой.
Формула решения: х=39:(12—9)-9=117 (л)—из-
расходовал 1-й автомобиль.
64. Два автомобиля марки «Волга» совершали меж-
дугородний пробег. Первый из них прошел 1400 км, вто-
рой— 900 км и израсходовал бензина на 60 л меньше
первого. Сколько денег истратил первый автомобиль на
горючее в этом пробеге, если цена бензина 6 коп. за 1 л?
65. Школа запланировала на первое полугодие для
учеников III А класса на 144 тетради больше, чем для
учеников III Б класса. Сколько тетрадей запланировано
для каждого класса, если в III А классе было 38, а в
III Б — 32 ученика несли норма расхода на каждого
ученика была одинаковая?
Сделайте иллюстрацию условия задачи. Запишите
формулу решения.
Ответ. 912 тетрадей; 768 тетрадей.
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ
УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ МНОГОЗНАЧНЫХ
ЧИСЕЛ
При письменном умножении многозначных чисел на
однозначное число надо приучать учащихся умножать
устно на 2, а трехзначные числа — на 3, 4, 5. Кроме того,
числа с нулями в середине (405-6; 3004-7; 4006-9
и т. п.) надо также множить устно.
Любые числа, безусловно, надо множить устно на
10, 100, 1000, на 20, 200, 2000. Очень легко учащиеся ус-
ваивают также умножение на 9, И, 15, например:
179
234-9 = 2340—234 = 2106 (умножаем на 10 и вычитаем
множимое); 234-11=2340 + 234 = 2574 (умножаем на 10
и прибавляем множимое); 234-15 = 2340+1170 = 3510
(умножаем на 10 и прибавляем половину полученного
числа).
Умножать многозначные числа на 9, 11, 15 можно по-
луписьменно или при помощи счетов:
234 ’ 9 234 ’ 11 , 2340 + 234 2574 234 ' 15 , 2340 + 1170 3510
-2340 ~ 234 2106
66. Умножайте устно:
124-2 222-3 1 12-4 111-5
325-2 333-3 1 25-4 120-5
260-2 124-3 2 25-4 118-5
370-2 225-3 2 50-4 220-5
67. 1124-2 12 123-2 10 045-2
2145-2 43 234-2 35 125-2
3244-2 24 244-2 24 245-2
7 183-2. 21 342-2 20105-2
68. 4106-3 4002-5 3004-7
2308-3 1207-5 5006-8
43G9-4 9009-5 2004•9
1 207-4 12008-6 7070-7
69. 124-9 1 42-11 224-15
248-9 2 14-11 336- 15
136-9 315-11 . 148-15
141-9 4 125-И 190-15
70. 1236-10 37220 222-200
2040-100 124-20 333-2000
1136-1000 140-200 404-20
40 136-10 150-2000 868-200
Указание. Примеры 66—70 ученики решают полу-
письменно: написав пример в строку или столбиком,
ученик, начиная с единиц, молча пишет результат. После
соответствующих разъяснений такие примеры лучше за-
давать для самостоятельной работы в классе. Наиболее
180
трудные упражнения можно использовать выборочно
при дифференцированном обучении.
71. Следующие числа i умножайне на 4 последова-
тельно — сначала на 2, а потом еще раз на 2:
124- 4 = 124 -2-2 = 248-2 = 496
216-4 123-4 1204-4 2008-4
325-4 234-4 2141-4 3011-4
' 408-4 345-4 3333-4 4012-4
248-4. 454-4 5555-4 5060-4
72. Следующие числа умножайте на 6 последователь
но — сначала на 3, а потом на 2:
216-6 = 216- 3-2 = 648-2 = 1296
112-6 108-6 802-6 1120-6
225-6 209 • 6 703 • 6 2220-6
248-6 311-6 604-6 3300-6 '
316-6 424-6 505 - 6 4400-6
73. Следующие числа умножайте на 8 последователь-
но — на 2, на 2 и на 2:
124-8=124-2-2 2; 124-2 = 248; 248-2 = 496; 496-2 = 992.
108-8 111-8 50 Ь 8 1 111--8
204-8 222-8 602 • 8 2222-8
402-8 333-8 144-8 30С8-8
212-8 444-8 228-8 4007-8
У к а з а и и е. Эти примеры решаются учащимися так-
же полуписьменно, на первых порах так, как показано в
примере 73. По мере же приобретения практики вычис-
лений и в более легких случаях ученик пишет только
множимое, затем молча последовательно выполняет ум-
ножение, называя промежуточные результаты, и записы-
вает лишь ответ. Например, при умножении 224 на 4
ученик говорит: «224 умножаю па 2, будет 448, умножаю
еще раз на 2, получится 896». На доске (или в тетради)
получается запись: 224-4 = 896.
При использовании переместительного и сочетатель-
ного законов сложения и умножения надо вначале да-
вать такие примеры, которые были бы убедительными
для учащихся. Применяя эти законы, дети приучаются
искать наиболее рациональное решение.
181
74. Решите устно, используя, где можно, перестанов-
ку или группировку слагаемых:
1) 1284-366+72
3) 212+ 104+375+ 88+96
5) 545+279 + 355+121
7) 1215+879+2285+1021
2) 402+129+48+271
4) 174+ 189+264-211
6) 701 + 905+ 95+99
8) 3344+75+225+256
Проверяйте решение примеров на счетах.
75. Придумайте сами такие примеры на сложение
нескольких слагаемых и решите их устно и на счетах.
76. Решите устно, используя перестановку или груп-
пировку сомножителей:
36-4-25 25-14-4 14-15-5-4
125-15-4 125-38-8 18-75-4-3
8-29-3-125 17-25-3-4 120-125-4-5
8-29-2 - 125
77. Составьте примеры на умножение трех или четы-
рех сомножителей, при решении которых перестановка
данных поможет быстрее и проще вычислить результат.
Указание. Переместительным и сочетательным
свойствами произведения и суммы надо пользоваться
при всяком удобном случае.
78. Делите, не записывая произведения частного на
делитель, пишите только остаток:
Делите так же:
10 356: 6
2 856: 4
1475:5
5396:4=1349
13
19
36
О
4096:8 7889:7
3708: 3 14 892 :6
8037:9 100 881:9
Указание. К таким приемам следует переходить
только в тех случаях, когда закончено изучение правил.
Учащихся надо приучать предварительно определять
число цифр в частном, что особенно важно при делении
на двузначное и на многозначное число, а также тогда,
когда в середине частного или на конце его должен быть
один или несколько нулей, о которых дети часто забы-
вают.
182
Как при делении на двузначное число (и на много-
значное) находить число цифр частного, можно пока-
зать на таком примере: 597 090:39. Здесь для получения
первой цифры частного надо взять двузначное число 59
(поставим в частном точку), но 59 в делимом выражает
число десятков тысяч, т. е. 5-й разряд, значит, частное
начинается с 5-го разряда и запишется пятью цифрами
(ставим еще 4 точки). Над каждой точкой учащийся по-
ставит цифру частного, в случае ошибки (пропуска, на-
пример, нуля) справа остается лишняя точка. В таких
примерах, как 14784:16, когда для получения первой
цифры частного приходится брать 3 цифры, число цифр
частного будет на одну меньше (в данном случае 3 циф-
ры, так как 147 при делении на 16 даег одну цифру и за-
тем еще получится две цифры).
Умение округлять числа и тренировка в устных вы-
числениях помогут детям определить первую цифру и
число последующих цифр частного. Так, при делении
12 350 на 19 ученик для получения первой цифры частно-
го берет число 123. Чтобы быстро сообразить, какова
должна быть первая цифра в частном, надо округлить
делитель и делимое до десятков, тогда легко будет уз-
нать, что в 12 десятках 2 десятка содержится 6 раз. Для
проверки учащийся 6 умножит на 20 и из произведения
отнимет 6, т. е. умножение произведет опять-таки с по-
мощью округления.
79. Не производя деления, определите, сколько цифр
будет в частном, а затем разделите с сокращенной за-
писью:
4071 : 3
7035 : 5
11 124:4
19 000 :8
10 422 :9
12 625 :5
8638 : 7
113 008:8
7122:6
7200: 4
21 497:7
112 203 :9
1722:6
2700:4
91 000:8
33 000:3
80. Не производя деления, определите, сколько цифр
будет в частном, а затем разделите:
2244 : 11 11 132 : 11 30 360 : 15
12 199: 11 18 675:15 33 330: 15
Указание. Желательно, чтобы проверку частного
учащиеся делали с помощью особых приемов умноже-
ния на 11 и 15.
183
ЗАДАЧИ НА ДВИЖЕНИЕ
Как известно, все задачи на движение можно разде-
лить на три основных вида в зависимости от того, что в
них требуется определить: путь, пройденный движущим-
ся телом, скорость или время ’движения. Для каждого
вида задач на движение существуют определенные- спо-
собы решения их. Все это ученики должны уяснить в
процессе решения достаточного количества задач и со-
ставления их, особенно таких, в которых сами дети яв-
ляются движущимися телами.
Задачи на движение речных судов имеют ту особен-
ность, что в них, помимо перемещения самих судов, надо
учитывать течение воды в реке, которое ускоряет или
замедляет движение судна. Возьмем для примера зада-
чу на встречу двух судов, совершающих рейсы по тече-
нию и против течения. При решении такой задачи было
бы целесообразно заблаговременно достать расписание
движения судов по одной из рек. Основываясь на дан-
ных расписания, ученики могут узнать, как рассчитыва-
ется скорость парохода с учетом скорости течения реки,
составить свои задачи на движение судов с данными из
того же расписания, а учитель разъяснит о способах со-
ставления расписания движения речных судов.
Полезно, чтобы дети знали, что пароход (или тепло-
ход) идет не все время с одинаковой скоростью: у прис-
тани он стоит (и тогда у него нет никакой скорости), от-
ходя от пристани, он наращивает свою скорость, подхо-
дя к пристани, замедляет ее. Отсюда ясно, что скорость
судна, которую можно вычислить по расписанию, явля-
ется средней скоростью (такие скорости называются
эксплуатационными). Ознакомление с расписанием дви-
жения судов даст учащимся важные практические навы-
ки для их будущей деятельности.
Если населенный пункт, в котором расположена
школа, находится у линии железной дороги или вблизи
пассажирской автобусной станции, то весьма полезно
будет познакомить детей с расписанием движения поез-
дов или автобусов, научить их пользоваться этими рас-
писаниями и на основе его составить ряд задач на дви-
жение, используя эксплуатационные скорости движения
поездов или автобусов. При этом надо помнить, что эти
скорости являются средними.
.184
При решении задач на прямолинейное и равномер-
ное движение необходимо, чтобы ученики практически
уяснили: 1) при любых скоростях движущиеся тела при
одновременном начале движения до встречи затрачива-
ют одно и то же время (хотя бы одно тело двигалось
очень быстро, а другое очень медленно); 2) одинаковое
расстояние проходят движущиеся тела только в том слу-
чае, если они имеют одинаковые скорости и находятся в
пути одно и то же время; 3) если скорости движущихся
навстречу тел различные, то встреча происходит ближе
к тому пункту, от которого тело движется с меньшей
скоростью; 4) чем с большей скоростью движется тело,
тем меньше оно затратит времени для передвижения
между двумя данными пунктами.
С целью уяснения этих понятий желательно (если
имеется возможность) составить задачи, в которых
участвовали бы сами дети. Приведем примеры таких
задач.
81. Посгавьтена расстоянии 100—200 лдруг от друга
две вехи и предложите каждому из учеников пройти это
расстояние обычным шагом и бегом, заметив по часам
время движения (в секундах).
Указание. Детей лучше всего разбить на группы
по росту и проверять скорость движения их шагом и бе-
гом группами, имеющими приблизительно одинаковую
скорость движения.
82. Задача на встречу двух пешеходов, имеющих оди-
наковую скорость движения. От двух вех, расположен-
ных на расстоянии около 240 м друг от друга, одновре-
менно выходят навстречу два пешехода, имеющие при-
близительно одинаковые скорости движения. Требуется
проследить, когда и где они встретятся, т. е. через сколь-
ко минут и секунд после начала движения, и на каком
расстоянии от исходных пунктов.
Указание. Можно движение пешеходов ограни-
чить встречей, чтобы показать, что до встречи оба пеше-
хода шли одинаковое время. Но можно движение пеше-
ходов продолжать до конечного пункта и тем самым по-
казать, что и к конечному пункту каждый из них при-
дет за одно и то же время (при условии равенства ско-
ростей) .
При составлении этой задачи лучше всего, зная ско-
рости пешеходов, подобрать такое расстояние между ве-
185
хами, чтобы пешеходы встретились и прошли все рас-
стояние в целое число минут. В дальнейшем, впрочем,
это делать не обязательно.
Пункт наблюдения
На этой иллюстрации расстояние между вехами
240 м, скорость пешеходов 60 м в минуту, встреча про-
изошла через 2 мин от начала движения, каждый пеше-
ход прошел все расстояние за 4 мин. Формулы решения:
1) число минут равно 240:(60-2); 2) расстояние места
встречи от исходных пунктов равно 60 м-2.
83. Задача на встречу двух пешеходов, имеющих раз-
личные скорости движения. От двух вех, поставленных
на расстоянии 240 м, одновременно выходят навстречу
ДРуг другу два пешехода: один — со скоростью 50 м в
минуту, а другой — 70 м в минуту. Требуется узнать, че-
рез сколько минут они встретятся, на каком расстоянии
от исходных пунктов и сколько времени каждый из них
затратит на прохождение всего расстояния.
Иллюстрация к задаче.
Формула решения: число минут равно 240: (а+Ь),
где а и b — скорости движения пешеходов в минуту.
186
Указание. Дети должны убедиться, что в случае
движения с различными скоростями встреча произой-
дет через одно и то же число минут после начала движе-
ния (через 2 мин), но путь до встречи каждый пешеход
пройдет неодинаковый (пешеход с меньшей скоростью —
100 м, а с большей—140 м) и время для прохождения
всего пути (240 м) каждый затратит различное (пеше-
ход с меньшей скоростью — 4 мин 48 сек, а с большей
приблизительно — 3 мин 26 сек).
84. Задача на движение двух пешеходов навстречу
друг другу. Из двух пунктов навстречу друг другу одно-
временно вышли два пешехода. Один из них проходил
54 м в минуту, а другой — 60 м в минуту. Встретились
они через 3 мин. Какое расстояние между пунктами?
Ответ. Расстояние между двумя вехами 360 м.
Формула решения: х= (544-66)-3 = 360 (м).
В результате решения практических задач учащиеся
убеждаются в том, что встречное движение — это движе-
ние в противоположных направлениях: один движется
направо, другой — налево, один — на север, другой — на
юг и т. д. (а при встрече пароходов на реке: один —по
течению, другой—против течения). Здесь они видели,
что при движении в противоположных направлениях
встреча движущихся тел всегда осуществлялась. Но
всегда ли это бывает? Надо показать на практике, что
при движении в противоположных направлениях ветре- '
чй может и не быть, если движение начнется из одно-
го пункта (а также и из двух пунктов). Приведем за-
дачу.
85. Два пешехода одновременно отправились от од-
ной вехи в прямо противоположных направлениях
(один — на север, другой — на юг), причем один из них
шел со скоростью 60 м в минуту, а другой — со ско-
ростью 70 м в минуту. Требуется узнать, на каком рас-
стоянии они будут друг от друга через 1 мин, 2 мин,
3 мин. Сделайте иллюстрацию к задаче.
Приведем задачи, составленные на основе действую-
щих расписаний поездов, судов и т. д.
86. Между городами Горьким и Астраханью совер-
шают рейсы теплоходы. Через сколько часов и на каком
расстоянии от Горького и Астрахани встретятся два
теплохода, если они выйдут навстречу друг другу одно-
187
временно и если скорость теплохода, идущего из Горь-
кого, 19 км в час, а из Астрахани— 16 км в час? Сделай-
те краткую запись условия с помощью иллюстрации.
Справка. Расстояние от Горького до Астрахани по Волге
около 2240 км.
Указание. Данные о скоростях и расстоянии явля-
ются числами округленными (для упрощения вычисле-
ний); скорости указаны эксплуатационные, т. е. с учетом
замедлении и остановок.
Ответ. Теплоходы встретятся через 64 ч, от Горь-
кого— иа расстоянии 1216 км, от Астрахани—1024 км.
87. На участке от Астрахани до села Никольского
теплоход идет без остановок против течения реки. Ско-
рому теплоходу по расписанию планируется 14 ч хода.
Какая скорость запланирована теплоходу на этом участ-
ке (против течения реки), если расстояние от Астрахани
до Никольского 239 /см? Сделайте запись условия.
Ответ. Около 17 км в час.
88. Теплоход, идущий из Москвы в Астрахань, прохо-
дит в сутки в среднем по 400 км, а теплоход, идущий из
Астрахани в Москву,— по 375 км. Через сколько суток
и на каком расстоянии от Москвы и Астрахани эти теп-
лоходы встретятся, если они выйдут от конечных при-
станей одновременно? Сделайте запись условия.
Справка Расстояние от Москвы до Астрахани по Волге и
каналу около 3100 км.
89. Если теплоходы, совершающие рейсы между
Москвой и Астраханью, отойдут от конечных пристаней
в одно время, то они встретятся через четверо сугок.
С какой скоростью в сутки идет теплоход из Астрахани,
если теплоход из Москвы проходит 400 км в сутки?
(Расстояние между Москвой и Астраханью по Волге и
каналу дано в предыдущей задаче.) Сделайте запись
условия.
Указание. Иллюстрацию можно выполнить, на-
пример, так.
2
400 км
О (л/ткц
At.. ।... 1=
3100 км
М
188
Формула решения: скорость астраханскою теплохо-
да в сутки равна (3100—400-4) :4 = 375 (км). -
90. Судно, идущее из Москвы в Ростов-на-Дону, про-
ходит в среднем 325 км в сутки, а судно, идущее из
Ростова-на-Дону в Москву, — 308 км в сутки.
Определите: 1) на каком расстоянии друг от друга
будут эти суда через трое суток; 2) через сколько суток
они встретятся и 3) на каком расстоянии от Москвы,
при условии, если оба судна одновременно отойдут от
конечных пунктов, Сделайте запись условия (иллюст-
рацию).
Справка. Расстояние от Москвы до .Ростова-па-Допу по
Волге, каналам и Дону — 3165 км.
91. В 9 ч из Москвы отправляется скорый поезд,
средняя скорость которого составляет 47 км в час. В 12ч
того же дня навстречу ему из Астрахани выходит пасса-
жирский поезд, средняя скорость которого 40 км в час.
Через 12 ч после отправления поезда из Астрахани рас-
стояние между поездами сократилось до 365 км. Каково
расстояние от Москвы до Астрахани по железной до-
роге?
Указание. Иллюстрацию можно выполнить, на-
пример, так.
Через 15 ч Через 12 ч В 12ч
г
Ответ. 1550 км. Формула решения;
х=47-154-40-Г2 + 365=1550.
92. В 9 ч угра из Москвы вышел скорый поезд, а в
12 ч того же дня навстречу ему вышел из Астрахани
пассажирский поезд. На каком расстоянии друг от дру-
га будут эти поезда через 9 ч после отправления поезда
из Астрахани? Сделайте запись условия.
Справка. Расстояние от Москвы до Астрахани по железной
дороге вычислено в предыдущей задаче. Там же даны и скорости по-
ездов.
Ответ. 626 км. Формула решения:
х== 1550—(47-12 + 40-9) =626.
189
93. Когда пассажирский поезд, идущий из Астрахани
в Москву, прошел 700 км, то скорый, вышедший 12 ч
тому назад из Москвы в Астрахань, был от него на рас-
стоянии 286 км. С какой скоростью шел скорый поезд?
О т в е т. М км в час.
Подобные задачи можно составить, как говорилось
выше, на основе расписания движения автобусов на
междугородных маршрутах.
Чтобы убедиться, насколько сознательно и прочно
дети усвоили задачи на движение, целесообразно про-
делать такие упражнения.
94. Рассмотрите таблицу, спишите ее в тетради, в
четвертом столбце запишите решение с постановкой на-
именований. Составьте задачи по данным этой таблицы.
Скорость Время \ Путь Решение
4 км в час 3 ч ?
15 км в час •? 75 км
? 8 ч 360 км
54 км в час 9 ч ? -
5 км в час ? 20 км
? 4 ч 48 км
а ь X
X а ь
а X ь
Указание. Из 9 задач этой таблицы учитель может
использовать на уроке лишь некоторые, а остальные за-
дать на дом. Желательно предложить каждому учаще<
муся самостоятельно составить несколько подобных за
дач на следующем уроке.
19б
ЗАДАЧИ НА ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ
95. Двум третьим классам поручено высадить на при-
школьном участке 210 деревьев. В III А классе 32 чело-
века, а в III Б — 38 человек. Сколько деревьев должен
посадить каждый класс, если каждый ученик посадит
одно и то же число деревьев? Запишите кратко условие
задачи.
III
III
А — 32 человека
Б — 38 человек
210 деревьев
Сколько деревьев должен посадить каждый класс?
Скажите, не решая задачи, какой класс должен поса-
дить деревьев больше и почему.
Указание. При разборе первой задачи на пропор-
циональное деление необходимо выяснить, что 210 де-
ревьев требуется разделить между двумя классами, но
не поровну.
Формулы решения.
1) ученики III А класса высадили
210: (32 + 38) -32 = 96 (дер.);
2) ученики III Б
210: (32 + 38) -38=114 (дер.).
96. Учительница принесла в класс 32 тетради и раз-
дала их учащимся по одной на каждого. Сколько тетра-
дей учительница раздала в первом и сколько во втором
ряду, если в первом ряду стояло 7, а во втором —
9 парт, на каждой парте сидело по 2 ученика? Сделайте
краткую запись — иллюстрацию условия задачи.
97. Всего в III А и III Б классах 70 учеников. Каж-
дый из них посадил на пришкольном участке одинаковое
число деревьев. Ученики III А класса высадили 96 де-
ревьев, а ученики III Б —114 деревьев. Сколько было
учеников в каждом из этих классов? Запишите кратко
условие.
Указание. Данная задача обратная задаче 95. Ус-
ловие ее можно записать, например, в следующем виде:
III А
III Б
70 учеников
96 деревьев
114 деревьев
Сколько учеников было в каждом классе?
Ответ. III А —32 уч., III Б —38 уч.
191
98. Для практической работы на местности все уче-
ники III А и III Б классов были разбиты на звенья, при-
чем в Ш А было организовано 4 звена, а в III Б —
5 звеньев. Каждому звену было поручено заготовить по
равному числу ве.х. Всего было сделано 45 вех. Сколько
всех вех заготовил III А класс и сколько III Б класс?
Сделайте краткую запись условия.
Ответ. Ill А — 20 вех, Ill Б — 25 вех.
99. Составьте задачу, обратную предыдущей, и по-
ставьте к ней вопрос: сколько звеньев было в 111 А и в
III Б классах?
Указание. Можно составить такую задачу:
Все ученики ill А и III Б классов были разбиты на
звенья, всего в двух классах было 9 звеньев. Каждому
звену было поручено заготовить по равному числу вех.
20 вех было сделано учениками III А, а 25 вех — учени-
ками III Б класса-. Сколько звеньев было в III А и 111 Б
классах?
100. Для устройства на пришкольном участке ограды
ученикам 111 А и III Б классов было поручено поставить
столбы в вырытые ямы. Всех столбов нужно было по-
ставить 35. По скольку столбов пришлось на каждый
класс, если в 111 А было 32, а в III Б — 38 учеников? За-
пишите кратко условие задачи.
Ответ. 111 А — 16 столбов, III Б — 19 столбов.
101. Составьте задачу, обратную предыдущей, с воп-
росом: сколько учеников было в каждом классе?
Указание. Желательно, чтобы ученики научились
самостоятельно составлять подобные задачи про свою
школу или класс.
102. За помощь в колхозном саду по сбору яблок
школьная бригада в составе 8 мальчиков и 16 девочек
получила 72 кг яблок. Сколько килограммов из этого
количества получили мальчики и сколько девочки, если
все ученики получили поровну? Сделайте краткую за-
пись условия этой задачи.
Указание. Когда задача будет решена, полезно
задать учащимся следующие вопросы: I) Кто получил
яблок больше и во сколько раз? 2) Почему девочки по-
лучили яблок вдвое больше мальчиков?
Такие вопросы будут подготавливать детей к реше-
нию задач на нахождение чисел по их сумме и отно-
шению.
192
103. Составьте другую задачу и поставьте вопрос:
сколько в бригаде было мальчиков и сколько девочек?
Сделайте краткую запись условия задачи.
104. За билеты в кинотеатр по одной и той же цене
для учеников двух третьих классов уплачено 14 руб.
Как распределяется этот расход по классам, если в III А
классе 37, а в III Б — 33 ученика? Сделайте краткую за-
пись условия.
Составьте похожую задачу и задачу, обратную дан-
ной.
105. По счету за воду нужно уплатить 65 коп. Как
надо распределить этот расход по квартирам, если в
квартире № 1 живут 3 человека, в квартире №2 — 4 че-
ловека и в квартире № 3 — 6 человек?
Указание. Необходимо разъяснить, что расходы за
пользование водой из водопровода распределяются в за-
висимости от числа человек, проживающих в этих квар-
тирах. Полезно при решении такой задачи принести в
класс счет водопроводной конторы и показать его детям
(копию счета написать на классной доске). Для лучшего
понимания смысла задачи хорошо бы записать краткое
условие ее, например, в следующем виде:
№ кварти- ры Число человек Общая сумма счета Сколько платит каждая квартира
1 3 ?
2 4 65 коп. ?
3 6 ?
Ответ. Квартира № 1 — 15 коп., № 2 — 20 коп.,
№ 3 — 30 коп.
106. Узнайте, какие счета за воду присылают в дом,
где вы живете. Запишите, сколько человек в каждой
квартире вашего дома, и подсчитайте, какой расход за
пользование водой из водопровода падает на каждую
квартиру.
Указание. Таким образом, каждый ученик вашего
класса составит самостоятельно задачу, подобную той,
какую он решал в классе.
7 Заказ 1187
193
107. По водомерному счетчику за воду в октябре сле-
дует уплатить 62 коп. Сколько должна уплатить каж-
дая квартира, если в квартире № 1 — 6 человек, в квар-
тире № 2 — 4, в квартире № 3 — 3, в квартире № 4 —
5 человек и в квартире № 5 — 3 человека.
Указание. Надо выяснить, что такое водомерный
счетчик и как он считает (и что считает). При вычисле-
нии расхода, приходящегося на каждого человека, в
этой задаче получится приближенное число (около
3 коп.). Надо принять эго число за 3 коп., и пояснить
детям, что при измерении получаются приближенные
числа.
108. За неделю холодильник употребил 4 квт-ч
электроэнергии, электроплитка — 6 квт-ч и лампочка —
2 квт-ч. Какой расход денег падает на каждый из при-
боров в отдельности, если общая сумма расхода в сут-
ки составила 48 коп.?
109. Три ученические бригады за работу в колхозном
саду получили 153 кг абрикосов. Как распределить эти
абрикосы между бригадами, если в первой бригаде было
12, во второй—18 и в третьей — 21 человек? Сделайте
краткую запись условия и решения этой задачи. Со-
ставьте такую же задачу по данным, имеющимся в шко-
ле, о совместной оплате труда учащихся.
, ПО. За посещение кинотеатра учениками трех треть-
их классов заплатили 13 руб. 40 коп. Какой расход па-
дает на каждый класс, если для учеников III А класса
было куплено 25 билетов, для учеников III Б—19 би-
летов и для учеников III В — 23 билета по одинаковой
цене? Сделайте краткую запись условия и решения за-
дачи. Составьте такую же задачу о совместном посеще-
нии кино, цирка, зоопарка и т. п.
ДРОБИ
РАЗДРОБЛЕНИЕ И ПРЕВРАЩЕНИЕ ДОЛЕЙ
111. а) Начертите прямоугольник длиной 16 клеток,
а шириной 2 клетки и определите, сколько клеток со-
1 1 1
держится: во всем прямоугольнике, в части
этого прямоугольника. Как об этом узнать без подсчета
клеток?
194
б) Пользуясь этим прямоугольником, запишите:
1) сколько в целом прямоугольнике содержится поло-
вин, четвертей, восьмых долей прямоугольника;
2) сколько в половине четвертей, в четверти восьмых
долей; 3) сколько в половине восьмых долей.
2 4 8
в) Подсчитайте:!) сколько клеток содержат-у, f’g-
прямоуголышка—и скажите, какой можно сделать отсю-
1 2 4
да вывод; 2) сколько клеток содержат -р -g- прямо-
угольника и какой можно сделать вывод; 3) сколько
з 6
клеток содержат -у и — прямоугольника—и скажите,
какой можно сделать вывод.
Указание. В результате практического подсчета
клеток или вычислений дети должны усвоить,
п 1 - 2 4 8 • 91 1 -А АА - “
О 1 — 2 “ 4 = 8 ’ 2 4 “ 8 и 8
3 6 6 3
3) у -у И *8 ~Г •
112. а) Начертите прямоугольник длиной
шириной 2 клетки и определите, сколько клеток
111
жится: в целом прямоугольнике, в -у части этого
что:
1
2 ’
_2
4
6
клеток,
содер-
прямоугольника.
б) Запишите, сколько в целом прямоугольнике поло-
вин, третьих, шестых долей; сколько в половине шестых
долей.
з
в) Подсчитайте: 1) сколько клеток содержится в уи
6
-у прямоугольника— и скажите, какой из этого можно
о. 1 3
сделать вывод; 2) сколько клеток содержится в-уИу
прямоугольнпка и какой можно сделать вывод;
ох 1224
3) сколько клеток содержится в-g- и -у ; в-у и-g-прямо-
угольника и какой можно сделать вывод.
Указание. В результате решения этой задачи де-
<4 1 3 6 о. 1 2
ти должны уяснить, что: 1) 1= -у = -у ; 2) -у = — и
2 __1_, о _2___£ 4 2
6 3 ’ 3 ~ 6 И 6 =’3 ‘
113. а) Начертите прямоугольник длиной 10 клеток,
шириной 2 клетки и найдите, сколько клеток содержится
7*
195
1 1 1
в целом прямоугольнике, в-у, -g- и -yg-часчи прямоуголь-
ника.
б) Запишите, сколько в целом прямоугольнике поло-
вин, пятых и десятых долей; сколько в половине десятых
1
долей; в -g— десятых.
5
в) Подсчитайте: 1) сколько клеток содержится в-g- ,
10
yg прямоугольника — и скажите, какой вывод можно
1 2
сделать из этого; 2) сколько клеток содержится в-g- и—
прямоугольника — и скажите, какой вывод можно сде-
2 4
лать из этого; 3) сколько клеток содержится в -g и yg-;
3 6 4 8
-g- и -jQ- и-j-gпрямоугольника и сделайте вывод.
Указание. В результате решения этой задачи дети
1 5 10 1 2 2
должны уяснить, что: 1) 1 = -у=-^; 2) -g- = [g-H yg- =
1 . 2 _ 4 , 4 2.3 6 6 3
5 ’ 3) 5 10 И 10 ~ 5 ’ 5 “ 10 И 10 “ 5 ’ И Т' А‘
114. Расположите по порядку от самой малой к са-
„ л „ ,11111
мои большой следующие дроби: -г-, 77-, -д-,
4 2 О 1U о
1111
3 ’ 6 ’ 9 ’ 7 •
115. Какими более мелкими долями можно заменить
дроби: 1) 2) -g-, 3) ?
Указание. От учащихся требуется запись: 1)-ув
__2___4____5_. 1 _2_. 3___6_
~ 4 ~ 8 ~10 ’ 5 =10 ’ 4 “ 8 '
116. Какими более крупными долями можно заме-
, ..2 4 5 3 . 2 3 э
нить дроби: 1) т, -g-, jg-, т, 2) -g-, -g- ?
„ 2 14 15
Если учащиеся запишут, что — = -g-, -у_ = _2', То'==
1 3 1
=—, -=- = -75- , то желательно, чтобы они записали
Z О х
.4 2 5 3
и так. 8 — 4 > iq — 6 •
196
117. Как можно записать иначе такие дроби!
2 345 6 789 10 ?
2 ’ 3’ 4 ’ 5’ 6’ 7 ’ 8’ 9’ 1(Г
Указание. Здесь тоже желательно, чтобы учащие-
2 3 4
ся записали не только, что — — 1 ,-3" = 1» -у “ 1 и т-Д-,
но и так:
2 3 4
т=т=т и т- А-
НАХОЖДЕНИЕ ЧАСТИ ЦЕЛОГО ЧИСЛА
И ЦЕЛОГО ПО ЕГО
ЧАСТИ
118. Начертите отрезок длиной 12 см и
, 112 3
какой длины будет -у, —, ,
резка. Доли находите действиями
чертеже.
Указание. Ученики решают:
определите,
2 3
з ’ з от'
4 1
4’3’
и показывайте на
1) 12 CAt:2 = 6 см;
2) 12 см:4 = 3см;3) 12 см :4-2 = 6 ем; 4) 12сл/:4-3 = 9с,и;
5) 12 см:4-4 = 12 см; 6) 12 см;3=4 см, 7) 12 си:3-2 =
= 8 см; 8) 12 см:3-3—12 ем—и все полученные резуль-
таты показывают на чертеже.
119. Начертите отрезок длиной 1 дм 2 см и определи-
1 о q 4 5 6
т- этого
о
действиями и по-
2 3 ___ _
6 ’ 6 > 6 ’ 6 ’
также
й 1
те, какой длины будет
отрезка. Части находите
называйте на чертеже.
120. Начертите отрезок длиной 1 дм 6 см и определи-
те, какой длины будут его отрезки:
1 2 2 4 3 6 ., 1 2 4.
]) -4- и 8 : 2) 4 И 8 ; 3) 4 и 8 ; 4) 2 ’ 4 и 8 ’
5)1 1 1
2 ’ 4 ’ 8
- Скажите, что вы подметили при решении этой задачи.
Указание. Дети должны подме)ить, что для одного
1 2 2 4 3 6 1 2
и того же отрезка — =~8“'> Т=='8-> V”'»’’ ~2 ~ Т ~
_4_. _2
“ 8 ’ 2~ 4 ~ 8 '
197
121. В следующих примерах вместо точек поставьте,
где нужно, знаки >, <, =:
') т
2)Т
2
8
£
8
3> т-
4>т-
2
4
3
3
5) —- ' —
°) 3 ... б
1 1
6) - • • Т
122. Начертите отрезок длиной 1 дм и определите,
, 12 3 4
какой длины будут его отрезки: -г-, -т-,
О О 0 о
5 1 2 4 6 8 10 ~
—> То-’ То"» То-’ ЙГ> ЙГ’ Io"' Сравните отрезки его,
1 '2 о. 2 4 3 6 4 8
равные: 1) - и 2) — и 3) - и и
5
-5-И
10
10 ’
Какие выводы можно сделать?
Указание. Учащиеся должны сделать вывод, что
2 4 3 6
5 “ 10 ’ 5 10 и т- д-
123. В следующих примерах вместо точек поставьте
необходимые знаки:
'>4-•••го- 3)
2>Т---'Т) О
3 3
10 • • • 5
8 _4
10 ’ • ' 5
5)4...4
б)4---4-
124. Какой отрезок длиннее и на сколько: 1)4 От
1 3 3
10 см или-g- от 20 см? 2) -у-от 20 см или—от4Ли?
1 1 4 10
3) -v-от 6 дм или ттг-от I м? 4)-j- от 4 дм илит^-от 1я?
О 1U • IU
5 3 1
5) -з-от 16 см или у-;- от 3 дм? 6) от 14 км или
4-от 12 км?
О
125. Какова длина целого отрезка, если:
1) 4- его составляет 2 см 5 мм?
' 4
2)4- его составляет 1 см 8 мм?
' о
198
3) у- его составляет 1 см 5 мм1
4)его составляет 1 см 5 мм3
Начертите полученные целые отрезки. Как прове-
рить, правильно ли вы решили эти задачи?
126. Каково расстояние между двумя пристанями на
реке, если—этого расстояния составляет 6 км 500 м2
Проверьте полученный ответ путем составления обрат-
ной задачи.
Указание. Учащиеся должны составить задачу на
1
нахождение у всего расстояния.
ЧИСЛОВЫЕ ЗНАЧЕНИЯ БУКВЕННЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ
127. Заполните таблицу:
а 0 1 10 5 0 5 20 200
ь 0 2 20 10 6 0 30 100
8а+12Ь
Ответьте на вопросы: 1) почему получаются разные
результаты, хотя буквы остаются одни и те же? 2) чем
интересны те примеры, в которых буквам о и & или толь-
ко одной из них дается значение 0? 3) сколько различ-
ных значений можно получить при решении 8о+12&?
128. Проверьте равенства; 1) 75-х=х-75; 2) а-125 =
= 125-fl.
129. При каких значениях букв верны будут следую-
щие равенства:
1) 16-^ = 240;
2) а:35 = 35;
3) 164-& = 0;
4) с:25=1;
5) 124-6=124?
199
ЧЕТЫРЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЯ
НАД ЧИСЛАМИ В ПРЕДЕЛАХ 1000000
УСТНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ (С ПОСЛЕДУЮЩЕЙ
ПРОВЕРКОЙ НА СЧЕТАХ)
Сложение и вычитание
130. Сколько всех единиц, десятков, сотен, тысяч, де-
сятков тысяч и сотен тысяч в числе 253 728?
131. 3248 + 3829. Решайте полуписьменно: 48 + 29 =
= 77, запишите 3248+3829 = ...77, затем 32 с. +38 с.=
= 70 с., запишите сотни впереди 77, получите 3248+)
+ 3829 = 7077.
Решайте так же (с записью двузначных чисел):
2118+1842 7082+2118 4488 + 5502
3943 + 6058 4534 + 5565 2917 + 3648
1875 + 8218 2636+8236 9925+1275
Указание. Если учащимся будет трудно решать с
записью условия в строку, то на первых порах можно
записывать столбиком. Решения всех примеров как
здесь, так и в последующих задачах на сложение и вы-
читание проверяются на счетах, которые должны быть у
каждого.
132. Складывайте отдельно числа 2-го класса (ты-
сячи) с записью в строку или столбиком.
63 308 + 20 402 87 111+ 12 889 207 375 + 307 125
13 415+ 18 210 105 640+115 250 290 775+109 325
133. 217 800—16 740. Вычитайте по частям — сначала
числа 1-го класса (800—740 = 60), потом числа 2-го
класса (217 т,—16 т. = 201 т.), запишите разность:
217800—16740 = 201 060.
Решите так же:
400 264—256 132 116 210-108 110 800 914—199'015
325 340-125 116 409 778—205 608 909 888-707 777
Указание. Надо приучать к записи в строку, но
можно на первых порах записывать и столбиком.
200
134. Воспользуйтесь перестановкой и группировкой
слагаемых, решайте устно или полуписьменно:
3974-487+103 7095+1117+905 11 205 + 20 400+1795
103 + 2984- 97 2117 + 3540+883 20 444 + 10 700+ 556
363+268+ 37 4499+2222 + 501 40 909+20500+ 91
575+139+125 3075+ 4666+925 50 600+10 777+1400
709+ 96+101 5555+1878+445 30 750 + 20 890+ 250
135. Решите
слагаемых:
с помощью перестановки и группировки
387+164+ 13+136
429+387+ 171 + 13
697 + 129+103+171
357 + 385+243+ 115
575 +269 + 125+ 131
1285+ 2095+ 715+1905
1122 + 8908+ 878+ 92
3388+1297+ 412+ 703
991+2349+1009+ 151
387 + 4090+1113+ 910
136. Решите с помощью округления слагаемых:
397+ 427 4193+ 1250 12 525+ 999
485+ 198 5985+ 1625 25 640+ 298
363+ 295 3106+ 997 1199+ 1260
896+117 2545-) 499 4089+ Ю27
137. Решите с помощью округления уменьшаемого:
399-249 = 400—249—1 = 151 — 1 = 150
498—259 1299—1070 10 998—9800
795—306 2198-1125 12 995—3900
890-556 2998—1175 15 994-5900
138. Решите с помощью округления вычитаемого:
525-397 = 525-400+3=125+3 = 128
217-97 3015—1999 10006—1999
321 — 199 4025-2998 30 100-3997
433-195 5075—3997 20 007- 2998
139. Решите, применяя известные вам способы:
(725—599>+ (801-698)
(595-425) +(499—375)
(1295+127+ 105)—(802+ 127 + 98)
Указание. Все примеры решаются полуписьмешто
(с записью на доске или в те|ради). Надо всемерно по-
ощрять детей к самостоятельному составлению таких
же примеров, которые им задаются для решения.
201
Умножение и деление
140. Указанные действия выполняйте полуписьменно
с записью в строку. 1) Следующие числа умножьте на 2:
1243,2234, 4341, 12 234, 41422, 1245, 2425, 2435, 4215,
3445, 2248, 3236, 1427, 4428, 2438, 1635; 2745; 3648; 2726.
2) Умножьте на 3:
2323, 1323, 3233, 1333, 2334, 2512, 3521, 7531, 6439, 4836.
3) Умножьте на 4:
1222, 1224, 2131, 3525, 1728, 4125, 5625, 3114, 6125, 7112.
4) Умножьте на 5:
625, 750, 450, 728, 843, 1148, 2124, 3541, 3215, 4821.
Указание. Надо приучать детей пользоваться сче-
тами при устном и полуписьменном умножении. Умноже-
ние на счетах делается с помощью сложения. Чтобы ум-
ножить на 2, кладется на счеты два раза множимое, если
удвоенное множимое еще раз удвоить, г. е. положить на
счеты то, что получилось от умножения на 2, то получится
умножение на 4; если же еще раз положить на счеты
число, полученное от умножения на 4, то первоначаль-
ное множимое умножится на 8. Чтобы умножить число
на 3, оно кладется 3 раза. Если утроенное число удвоить,
то первоначальное множимое умножится на 6. При ум-
ножении на 5 к числу, умноженному на 4, прибавляется
множимое.
141. Решите полуписьменно:
236-6 4444-2 2125-6
731 -8 7124-3 1122-9
224-7 3116-4 3344-8
442-9 2345-5 4128-7
142.
3607-3 7006-9 12 071-2
1206-4 8004-4 10 053-2'
4008-5 9003-6 20 409-4
5009-6 8007-6 30 507 8
Указание. При умножении числа с нулем в середи-
не надо приучать детей записывать в произведении сра-
зу по две цифры (не держа в уме десятки). Возьмем
пример; 3607-3.
202
Умножив 7 на 3, ученик сразу записывает единицы и
десятки (21) и затем приступает к умножению 36 сотен,
как обычно, и окончательно получает 10 821,
143. Решите с помощью счетов:
436- 9 1240-9 10 112-9
504-9 2424-9 20 405-9
824-9 2502-9 40 823-9
728-9 3500-9 50 150-9
Указание. Умножение на
удобно производить так (возьмем первый пример):
счеты кладется число, в десять раз большее множимого
(4360), и сбрасывается (вычитается)
144. Решите с помощью счетов:
10 257-И
12150-11
20 600-11
36180-11
40 124-11
Указание. Умножение на
удобно производить так (возьмем первый пример): на
счеты кладется число, в десять раз большее множимого
(2830), и прибавляется множимое, т. е. 283.
145. Решите с помощью счетов:
1245-15
2040-15
2836-15
3600-15
4200-15
Указание. Умножение на
удобно делать так (возьмем первый пример 2-го столб-
ца): на счеты кладется число, в десять раз большее мно-
жимого (12450), и прибавляется к нему половина поло-
женного числа, т. е. 6225 (учащиеся должны уметь де-
лить число на 2 без записи —на основании предыдущей
практики, если же ее не было, то надо предварительно
поупражняться в этом или же отложить умножение на
15 на более поздний срок).
146. Делите на 2 с записью только делимого, делителя
и частного следующие числа: 452, 838, 596, 1248, 2072,
3106, 3204, 4634, 5422, 6070, 7554, 8004, 9098, 10 724,
12 376, 44 044, 208 442, 102 728, 330 550, 109 008.
9 с помощью счетов
на
множимое, т. е, 436.
283-11
312-11
448-11
537- Н
525-11
116-15
280-15
364 -15
476-15
512-15
11
80029-11
50 107-11
60 280-11
35 100-11
45 800-11
с помощью счетов
10250-15
20 500- 15
30 750-15
40 600-15
50 725-15
15 с помощью счетов
203
147. Делите на 3 так же: 405, 726, 207, 222, 1236,
4122, 3012, 5001, 6021, 7002, 11001, 40 404, 50 001,60 006,
71 103.
148. Делите на 4: 200, 1020, 2052, 1300, 7000, 3224,
3084, 11 200, 22 200, 30 300, 40 804, 51 148.
149. Делите на 5: 625, 795, 880, ЗОЮ, 2125, 5050, 6065,
7120, 14 250, 16 705, 28 805, 50 555.
150.
6024:6
3030: 6
7020: 6
4050:6
77 021 : 7
56 084 : 7
35 035 : 7
91 028 : 7
13 000:8
15 000: 8
12 008:8
14 096:8
504 :9
1206:9
4401 : 9
22 122:9
Указание. При выработке техники деления на од-
нозначное число необходимо добиваться, чтобы учащие-
ся записывали сразу частное.
Умножение на 4, 6, 8 для проверки частного ученик
делает на счетах с помощью последовательного умноже-
ния на 2 и на 3. Вообще при всякой возможности надо
использовать счеты, которые во время упражнений
должны быть всегда на партах.
151. Делите на 12 так:
42048:12 = 3504, т. е. с записью только остатков.
~60~
___48
О
Делите так же:
2607:11 15 652 : 13 1021: 16
22 341 : 11 18 270: 14 4096: 16
50 400 : 12 31 005 : 15 2232: 18
63 504 : 12 71 205: 15 14 004 : 18
152. Умножайте на 5 гак:
236-5 = 236:2-10-1180
240-5 1236-5 12272-5 11 360-5
40524-5 24064-5 36040-5 13 128-5
153. Если умножается на 5 число нечетное, то при де-
лении на 2 (по этому правилу) оно даст в остатке 1.
В таком случае при умножении на 10 надо к произведе-
нию прибавить 5 (гак как 1-5 = 5) и вместо нуля па кон-
це произведения будет 5,
204
Например: 4053-5, 4053:2 = 2026 (ост. 1); 4053-5 =
= 20265; 40525-5; 40525:2 = 20262 (ост. 1), 40525-5 =
= 202 625.
Умножьте по этому правилу:
231-5 405-5 217-5 427-5
1481-5 2083-5 12 561-5 14 275-5
,20 425-5 41117-5 37 119-5 50503-5
Произведения проверяйте умножением на счетах или
полуписьменно.
154. Умножайте на 50 так:
2548-50 = 2548:2-100=127 400
Умножьте на 50 по этому правилу следующие числа:
224, 336, 504, 802, 926, 7024, 1148, 3072, 7706, 20 036,
41012, 85 256.
Если умножается на 50 нечетное число, то вместо
двух нулей в произведении ставится число 50:
7025-50; 7025:2 = 3512 (ост. 1); 7025-50 = 351 250.
Умножьте по этому правилу на 50 следующие числа:
121, 333, 453,825, 1073, 1025,4277; 3037; 5055; 7579; 9009;
8005.
Произведения проверяйте умножением полупись-
менно.
155. Умножайте на 25 так:
72-25=72:4-100=1800
Умножьте на 25 поэтому правилу следующие числа:
16, 28, 36, 48, 60, 64, 76, 84, 88, 92, 96, 104, 240, 248, 272,
408,1012,1024,8088,6416.
Если множимое не делится на 4 и в остатке получит-
ся 1, то к произведению прибавляется 25, если в остатке
2, то—50, если в остатке 3, то—75 (и тогда полученное про-
изведение будет оканчиваться не двумя нулями, а 25 или
50, или 75). Например: 1) 361-25; 361:4=90 (ост. 1),
следовательно, 361-25 = 9000 + 25 = 9025; 2) 422-25;
422:4 = 105 (ост. 2); 422-25= 10 550; 3) 243-25; 243:4 =
= 60 (ост. 3); 243-25 = 6075.
Умножьте на 25 по этому правилу: 37, 62, 75, 81, 94,
95, 201, 403, 725, 882, 991, 1025, 1017, 1049, 2122.
Произведения проверяйте с помощью последователь-
ного умножения (на 5-5).
Указание. Учащимся надо разъяснить правила ум-
ножения на 5, 50, 25, чтобы они сознательно употребля-
205
ли эти правила и понимали, что деление числа на 2 и
умножение на 10 —это все равно, что умножение на 5,
а деление числа на 4 и умножение на 100 — это все рав-
но, что умножение на 25. Чтобы показать, почему при
умножении нечетных чисел на 5 приходится к произве-
дению прибавлять 5, ученики должны знагь, что этот
прием основан на умножении суммы на число, напри-
мер: 361-5= (360 +1)-5 = 360-5 + 5= 1805. На этом же
распределительном законе основано и умножение на 25
чисел, не делящихся на 4, например:
73-25= (72+1) -25 = 72-25 + 25= 1825
74-25= (72 + 2)-25= 1800 + 50 и т. д.
Чтобы учащиеся получили необходимые навыки в
сокращенном умножении на 5, 50, 25, как, впрочем, и на-
выки во всех прочих приемах, необходимо при всяком
удобном случае использовать изученные правила и при-
емы.
156. Следующие числа умножайте
последовательно
полуписьменно и на счетах:
425-4 72-8 124-6 24-9
364-4 96-8 302-6 12-9
512-4 136-8 408-6 402-9
396-4 405-8 525-6 304-9
Указание. 425-4 = 425-2-2=850-2 = 1700; 72-8 =
= 72-2-2-2= 144-2 .2 = 288-2 = 576; 124-6= 124 • 3 • 2 =
= 372-2 = 744; 24- 9 = 24-3-3 = 72-3 = 216. Можно запись
делать и так: 425 •2 = 850, 850-2=1700.
Проверку результатов делайте с помощью полупись-
менного умножения.
157. Применяйте последовательное деление:
2164 :4 1024 :8 3630:6 7002:9
3076:4 2000: 8 2802:6 4005 :9
5000:4 4088 : 8 4050 :6 6012 :9
2872:4 5696:8 2232 :6 5202 :9
Проверку деления делайте последовательным умно-
жением.
158. При делении на однозначное, двузначное и мно-
гозначное число во избежание ошибок предварительно
определяйте число цифр частного, а для нахождения
каждой цифры частного округляйте взятое число до де-
206
сятков или сотен, например: 8988:28. Здесь в частном
будут три цифры (нахождение числа цифр частного
объяснялось в разделе устных вычислений — см. указа-’
ние к задаче 78). Чтобы найти первую цифру частного,
делитель 28 округляем до десятков: 2 десятка и 8 еди-,
ниц округляется как 3 десятка. В делимом число 89, взя-
тое для получения первой цифры частного, округляется
как 9 десятков. Теперь легче сообразить, что первая
цифра частного будет 3(9:3=3). Умножив устно 28 на 3
и вычтя (устно) 84 из 89, получим в остатке 5 (сотен),
первой цифрой частного покрываем первую точку, к ос-,
татку сносим 8 (десятков). Чтобы найти следующую
цифру частного, решаем, сколько раз в 6 десятках (чис-
ло 58, округленное до десятков, дает 6 десятков) содер-
жится 3 десятка (округленное число 28). Умножив 28 на
2, вычтя произведение из 58, получим в остатке 2. Второй
цифрой частного покрываем вторую точку и т. д. В ре-
зультате получаем частное 321.
При делении 65 254:79 (в частном 3 цифры) для полу-
чения первой цифры 652 и 79 удобнее округлить тоже до
десятков и делить 65 на 8. В примере 447 480:132 для
получения первой цифры частного оба числа 447 и 132
также удобнее округлить до десятков и делить 45 десят-
ков на 13 десятков. Но в примере 428 340:605 для полу-
чения первой цифры частного удобнее 4283 и 605 округ-
лить до сотен и решить, сколько раз 6 сотен содержится
в 43 сотнях делимого. Для получения следующих цифр
частного во всех примерах берется то же округление,
как и для первой цифры.
Решите примеры: 65 254:79; 447 480:132; 428 340:605;
771840:192 с предварительным определением числа
цифр частного, для нахождения цифр частного приме-
няйте округление делителя и делимого, результаты деле-
ния проверяйте.
159. Решите так же, как указано в № 158, следующие
примеры: 126828:542; 766506:951; 96064:158; 355 180:
:826; 617900:835.
Указание. Необходимо добиваться от детей, что-
бы они при решении всех примеров стабильного учебни-
ка на деление многозначных чисел применяли указанные
в № 158 требования: 1) предварительно определять чис-
ло цифр частного; 2) округлять делимое и делитель при
нахождении цифр частного; 3) проверять результаты.
207
Необходимо пояснить учащимся, что при нахождении
цифр частного приходится в делимом и делителе отбра-
сывать по равному числу цифр (по одной, когда округ-
ляем до десятков, по две, когда —до сотен, и т. д.), что
равносильно уменьшению делимого и делителя в одина-
ковое число (в 10, 100 и т. д.) раз, отчего частное не из-
меняется. Надо добиться, чтобы этот вывод был подме-
чен и сделан самими учениками.
Правила округления чисел необходимо выяснить
(или повторить) до того, как дети начнут изучение деле-
ния многозначных чисел. При всяком удобном случае
надо использовать счеты, особенно при изучении сложе-
ния, вычитания и умножения на однозначное число.
Четыре действия
160. Когда мы считаем какие-либо предметы по по-
рядку, то получаем целые числа. Эги числа называются
натуральными. Какое первое (наименьшее) число в на-
туральном ряду чисел? Как получается каждое число в
натуральном ряду? Имеется ли наибольшее число в на-
туральном ряду чисел? Назовите наименьшее и наи-
большее однозначное число, наименьшее и наибольшее
двузначное число и т. д., кончая семизначными числами.
161. Сколько единиц надо сосчитать по порядку, на-
чиная с 9 и кончая 99? начиная с 11 и кончая 111? на-
чиная с 21 и кончая 1020? начиная с 99 и кончая 9999?
начиная с 81 и кончая 1 000080?
Ответ. 91, 101, 1000, 9901, 1000000.
162. Подсчитайте полуписьменно с проверкой на сче-
тах, пользуясь переместительным свойством суммы:
2017+ 3975+983
306+289ф 694
487+169+ 113
999+475+ 101
975+363+125
36007+ 15 900+993
14 555+ 2780+445
19 909+ 4466+91
163. Подсчитайте полуписьмепно с проверкой на сче-
тах, используя группировку слагаемых:
318+ 432+727+ 173 10875+125+ 390+310
1029+2021 + 544+ 156 40 1794 821 + 6754 425
3085+1015+ 624 + 376 60 225+ 775+289+ 711
208
164. Подсчитайте полуписьменно с проверкой на сче-
тах, используя перестановку и группировку слагаемых:
405+169+731 +845
708+275+225+192
1111+499+401+889
1240+1360+71 +82 + 47
2817+2183+69 + 29+102
1380+2620+75+75-r 1 50
Указание. В первых трех примерах удобно группи-
ровать попарно (первое число с четвертым, второе с
третьим), а в остальных — два слагаемых и три слагае-
мых.
165. Подсчитайте полуписьменно с проверкой на сче-
тах, используя округление данных:
1298+269 2299—228 1111-499
3395+1017 4897—478 2275—598
12 698+2029 7291-169 3325—697
166. Используйте последовательное умножение, про-»
веряйте обычным умножением и умножением на счетах:
1024- 4 3002-6 15004-4
1016- 8 4008•8 16002-8
1012- 6 12 102-4 40020-6
640-12 1202-6 10008-12
Умножьте сокращенно:
604-5 501-5 124-50 720-25 73-25
718-5 603-5 225•50 440 - 25 82-25
1020-5 617-5 305-50 180-25 95-25
2040-5 723-5 403-50 276-25 45-25
167. Умножьте полуписьменно и на счетах:
4044-11 2075-9 840-15
3072 -11 8116-9 1260-15
5555-11 4 455•9 48 400-15
25640-П 30 680-9 80 200-15
168. Пишите только ответ (проверяйте на счетах):
9120-2 24128-2 2024-3 2222-4
6311-2 36140-2 3018-3 1218-4
4812-2 64136-2 3315-3 2025•4
8 Заказ
209
169. Пишите только ответ:
48 072: 2 30 366: 3 50 505 : 5
36 096: 2 67 203 : 3 30 605 : 5
64 036:2 ' 43 005:3 45 005:5
56078: 2 55 002:3 29 100:5
/
170. Примените последовательное деление (пишите
только ответ):
1800 : 4 512:8 8400:6 2400:1 2 8000 : 16
2800:4 1000:8 7200:6 9600 : 12 2100:14
2880 : 4 2000 : 8 5004 : 6 2400 : 15 3000 ; 24
3240:4 2072 :8 1008:6 9600 : 15 8400 : 21
171. Делите с предварительным определением числа
цифр частного и с Сокращенной записью:
72024:12 750050: 25 480 640:16
60 036: 12 125 625:25 960080:16
96048 : 12 1 17 000:25 720 032 :16
У казак ие. Дети пишут так:
72 024 1 12 = 6002 750 050 s 25 = 30 002
. . °24.. 0 050
0 ----А
172. Делите с предварительным определением в част-
ном числа цифр и с сокращенной записью’
500 625 : 125 960 480 : 120 264 396 : 132
750 375: 125 405 270: 135 852000: 213
1250 875:125 350 525:175 946 000: 473
173. Запишите число с нулями на конце, например,
4000. Зачеркните один нуль справа — что сделалось с
числом? (Вместо 4000 стало 400, число уменьшилось в
10 раз.) Зачеркните еще один нуль — что сделалось с
данным числом? (Вместо 4000 стало 40 — данное число
уменьшилось в 100 раз.) И т. д.
Что случится с частным, если делимое и делитель
уменьшить (или увеличить) в одинаковое число раз?
(Частное останется без изменения.) Вот на этом свойст-
ве частного и основано сокращенное деление чисел, ког-
да делимое и делитель оканчиваются нулем или нуля-
ми: в делимом и делителе зачеркивают или отбрасывают
210
по равному числу нулей и затем производят деление.
Это правило пригодно при делении чисел без остатка.
В случае деления с остатком лучше действие произво-
дить обычным способом.
Делите по этому правилу, предварительно выяснив,
делятся ли числа без остатка:
480: 60 6000 : 150 120 000: 6000
960: 240 8400: 120 240 000: 40000
3600: 40 7200:800 380 000: 19 000
5600: 400 9100: 1300 1 000 000: 125 000
Указание. Если учащимся смысл такого деления
хорошо известен, то предварительные вопросы могут
служить напоминанием правила. В противном случае
надо подробно остановиться на выяснении смысла та-
кого деления.
174. Определяйте предварительно число цифр част-
ного, округляйте делитель и делимое до десятков, или
сотен, или тысяч при нахождении цифр частного:
3750875 : 125 9814 000 :1402 9 135000 : 3045
2500500:125 13 015 000: 260 3 14 072 000:70 36
7 640 764 : 382 12 105 000: 4035 24 171000:8047
Указание. Для нахождения первой цифры частно-
го удобно округлить взятое в делимом число (и соответ-
ственно делитель) в примерах 1 и 2 до десятков или со-
тен, в примерах 3, 4, 5 — до сотен, а в примерах 6, 7, 8,
9 — до тысяч. Надо объяснить учащимся, почему дела-
ется в данном случае именно то, а не иное округление.
Необходимо добиться, чтобы все ученики усвоили тех-
нику округления делителя и делимого. В этом отношении
хорошо помогает предварительная практика в делении,
когда делимое и делитель оканчиваются нулями (см.
предыдущую задачу).
175. Числа, изображаемые цифрами с нулями на кон-
це, умножайте сокращенно:
204 500-40 300. Отбросим временно по 2 нуля в обоих
сомножителях и перемножим 2045-403.
2045.
403
6135
8180
824135
8»
211
Так как вследствие отбрасывания в сомножителях
четырех нулей произведение уменьшилось в 10 000 раз,
то действительное произведение должно быть в 10 000
раз больше, а поэтому 204 500-40 300 = 8 241 350 000.
Решите так же:
303 600-50 400
109 000-62 000
500 400-70 500
Все произведения проверьте делением.
176. Не забывайте ставить в частном нули, когда взя-
тое в делимом число (остаток вместе с приписанной к
нему следующей цифрой) меньше делителя, например:
875 042 000:125.
Разберем этот случай деления подробно. Так как пер-
вая цифра частного получится от деления 875 на 125 и
после 875 находится еще 6 цифр, то в частном должно
быть всего 7 цифр. Запомним об этом или поставим пос-
ле знака равенства 7 точек и начнем деление:
875 042 000:125.
Снося какую-нибудь цифру делимого под черту, бу-
дем в делимом ставить сверху черточку, чтобы не за-
быть, какую цифру мы снесли:
875 042 000:125 = 7 000 336
— 875
0420
— 375
450
“ 375
750
— 750
О
а) Проверьте частное умножением.
Решайте так же:
608 152 456:-152
204816612: 102
430 645 000:215
б) Найдите частное и остаток, сделайте проверку:
43 371 : 825 800 : 30 65 000 : 1200
36 215:902 900: 130 72 000:15 00
50 002 : 487 3000 : 900 ' 43 000 : 14 000
212
Указание. Учитель может объяснить, что при сок-
ращенном делении (когда зачеркивается или отбрасы-
вается в делимом и делителе по равному числу нулей)
после деления к остатку сносится зачеркнутое число ну-
лей, например:
1) 8000:300 = 80 • 3 = 26 (ост. 200),
20
2
частное 26, остаток 200, так как в остатке не 2 единицы,
а 2 сотни.
2) 65 000:1200 = 650:12 = 54, ост. 2 сотни, т. е. 200,
3) 72 000:15 000 = 72:15=4, ост. 12 тысяч, т. е. 12 000.
Чтобы ученики хорошо усвоили это, надо примеры, в
которых делимое и делитель оканчиваются нулями и де-
ление производится сокращенно, проверять по правилу
полного деления.
177. Сколько всех десятков в числе 360? (36.) Сколь-
ко пятков в одном десятке? (2.) Значит, в 36 десятках
сколько пятков? (2-36 = 72.) Проверьте это! (360:5 = 72.)
Что же мы сделали? (Сделали деление 360 на 5, получи-
ли частное 72.) А каким путем разделили 360 на 5? (За-
менили деление на 5 умножением 2 на число десятков
делимого: 360:5 = 2-36 = 72.) Проверим по правилу со-
кращенного умножения на 5: 72-5 = 72:2-10 = 360.
Разделите на 5 по этому правилу следующие числа:
240, 380, 420, 480, 540, 570, 620, 640, 720, 780, 840, 900, 920,
960; 980; 880; 1260, 4080, 5600.
Проверку делайте по правилу сокращенного умноже-
ния на 5 и на счетах.
Указание. На первых порах учащиеся рассуждают
так: в 240 содержится 24 десятка, в каждом десятке —
2 пятка, значит, всех пятков в 240 будет в 24 раза боль-
ше, т. е. 2-24 = 48; 240:5 = 2-24 = 48.
Когда правило будет усвоено, учащиеся, произво-
дя умножение устно, записывают только результат деле-
ния. Проверка на счетах делается просто: число десят-
ков кладется на счеты дважды. А как разделить по это-
му правилу число, в котором имеются единицы,
например 365:5? Так же 2 умножим на 36 (на число
213
всех десятков), получим 72, а затем единицы делимого
5 разделим на 5, получим 1; эту единицу прибавим к 72
и получим окончательно 73. Записать кратко это деле-
ние можно так: 365:5=2-36 + 5:5 = 73. Проверим по пра-
вилу сокращенного умножения на 5 (73:2 = 36, ост. 1;
365). Если единицы делимого не делятся на 5, то полу-
чим деление с остатком, например: 1243:5 = 2-124, ост. 3,
т. е. 248, ост. 3.
178. По этому правилу делите на 5 следующие числа:
185, 205, 245, 275, 325, 345, 395; 405; 475; 825 ; 895; 1205;
2045, 3075, 3095, 4125, 5535, 6015, 8055, 9045, 763, 822, 544,
618, 727,
Проверку делайте на счетах.
Указание. Проверку на счетах ученик может де-
лать так: число десятков делимого кладет дважды и при-
бавляет 1, если делимое оканчивается на 5. Если число
единиц делимого менее 5, т. е. 1, 2, 3, 4, то эти единицы
будут остатками. Если же число единиц делимого боль-
ше 5, т. е. 6, 7, 8, 9, то на счеты прикладывается 1 (част-
ное от деления 6, 7, 8, 9), а в остатке будет 6—5 или
7—5 и т. д.
179. Сколько сотен в числе 800? А сколько раз 25 со-
держится в 100? (4).Значит,и в 8сотнях 25 будет содер-
жаться в 8 раз больше, т. е. 4-8 = 32 раза. Так можно
деление на 25 заменить умножением числа 4 на число
всех сотен делимого: 800:25=4-8 = 32. Проверим частное
умножением 32 на 25 по правилу сокращенного умноже-
' ния: 32-25 = 32:4-100 = 800.
По этому правилу разделите на 25 следующие числа:
200, 300, 400, 900, 1000, 1200, 1400, 1600, 1700, 2 000,
5000, 7000, 8000, 2400, 3600, 4700, 6400, 7100, 8200,
12 000, 22 200, 45 000, 17 700, 25200, 22 200.
180. А как будем делить на 25 число, в котором есть
единицы и десятки, например 1225? Очевидно, придется
число, составленное единицами и десятками (в данном
случае 25), отдельно разделить на 25 и полученное част-
ное прибавить к произведению, словом, сделать деление
по следующей формуле: 1225:25=4-12+25:25=48+1 =
= 49. Возьмем еще пример: 2150:25=4-21+50:25 = 84+’
+ 2 = 86. Если число, составленное единицами и десятка-
ми, не делится на 25, то получится деление с остатком,
например: 840:25 = 4-8 + 40:25 = 32 + 1 (ост, 15) =
= 33 (ост. 15).
214
Разделите на 25 по этому правилу следующие числа:
625, 750, 875, 1050, 2025, 3075, 4050, 5175, 6225, И 125,
12 350, 15 075, 24 025, 36 075, 13 350, 40 225, 20 375, 11 825,
120 025, 240, 1075, 823, 930, 760, 690, 1140.
181. Сколько всех тысяч в числе 4000? (4.) А сколь-
ко раз в тысяче содержится-число 125? (8.) Значит, в 4
тысячах 125 будет содержаться 8-4 = 32. Таким образом,
можно разделить 4000 на 125, заменив деление на 125
умножением числа 8 на число тысяч делимого:
4000:125 = 8-4 = 32.
Разделите на 125 по этому правилу следующие чис-
ла: 2000, 3000, 5000, 6000, 7000, 8000, 9000, 10 000,
15 000, 24 000, 35 000, 40000, 45000, 36 000, 122 000,
141 000, 124 000, 420 000, 602 000, 808000.
182. Если записанное число оканчивается не тремя
нулями, а другими цифрами, то его деление на 125 мож-
но делать по следующей формуле: 12 375:125 = 8-12+]
+ 375:125=96 + 3 = 99, где число 8 умножается на число
тысяч делимого, а число, составленное сотнями, десятка-
ми и единицами, делится на 125, и частное прибавляется
к произведению.
Разделите на 125 по этому правилу следующие чис-
ла: 4125, 4500, 4625, 4250, 4375, 4750, 4875, 5750, 5625,
6250, 7375, 8125, 9875, 11 500, 15 750, 20 125, 10 200, 12 300,
15 040, 16025.
Указание. Хорошо, если бы ученики записали себе
в записную книжку, или на обложке тетради, или на осо-
бом листке все числа в пределах 1000, делящиеся на 125
(их, как известно, всего семь, если не считать самой
1000: 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875). Во время упраж-
нений эти числа запоминаются.
183. Используйте изученные правила деления:
2240: 5 4600: 25 30000: 125
8060 : 5 2700: 25 42 000: 125
5125:5 2025:25 124 000: 125
3245 :5 3150:25 4750: 125
9025: 5 6175:25 8500: 125
184. Найдите от 64 и результат умножьте на 100:
64:4-3-100=4800. Теперь 64 умножьте на 75. Получится
тот же результат 4800. Так можно множить на 75, на-
пример, 72-75 = 72:4-3-100 = 5400.
215
Умножьте на 75 по этому правилу следующие числа:
28, 32, 36, 44, 48, 56, 64, 68, 72, 76, 84, 88, 92, 124; 140; 160;
180, 200, 240.
185. Разделите 1200 на 100 и затем от полученного
4
частного найдитеу; 1200:100:3-4 = 16. Теперь разделите
1200 на 75, получится тоже 16. Значит, чтобы разделить
число на 75, достаточно его разделить на 100 и на 3, а
полученное частное умножить на 4, например: 7200:75 =
= 7200:100:3-4 = 96. Проверяем: 96-75 = 96:4-3-100 =
= 7200. При делении на 75 приходится делить на произ-
ведение чисел 25-3, например: 1200:75= 1200: (25-3) =
= 1200:100-4:3=16.
Разделите на 75 по этому правилу следующие числа:
5400, 6000, 2700, 12 000, 3600, 48 000, 15000, 124 000,
3900, 18 000, 45 000, 33 300, 40 500, 63 000, 9600.
186. Применяйте изученные правила:
42-5 420 :5 36-25 38- 25 975: 25
106- 5 840:5 44-25 43- 25 2000: 125
364-5 1020:5 88-25 500: 25 8500: 125
37-5 745:5 104-25 925: 25 3250: 125
73-5 1245 : 5 224-25 2150:25 4375: 125
187. Применяйте изученные правила:
16-75 1200 : 75 24-15 208-9 381-11
28-75 1500: 75 28-15 309-9 208-11
360-75 1800 : 75 104-15 164-9 405-11
440-75 2700 : 75 165-15 260-9 840-11
Указание. Очень важно, чтобы ученики выработа-
ли привычку искать наиболее рациональные и легкие
способы и приемы устных и письменных вычислений,
чтобы они проявляли в этом отношении инициативу. Это
даже гораздо важнее самого навыка.
ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕГО
АРИФМЕТИЧЕСКОГО
Выяснение среднего значения величины
Чтобы научить детей практически определяй сред-
нюю массу тела, в класс надо принести весы с разнове-
сами и какую-нибудь крупу, например пшено. Учитель
предлагает ученикам выполнить следующие задания.
216
188. Взвесьте на весах 200 г крупы и высыпьте взве-
шенное в кулек или банку (можно в стеклянную банку).
Взвесьте затем 400 г такой же крупы и высыпьте взве-
шенное в другой кулек или банку. Сколько граммов
крупы взвешено за два раза?
Указание. В связи с таким заданием учитель про-
водит беседу.
— Вот видите, дети, в двух кульках оказалось 600 г
крупы. А если бы мы сделали эти два кулька одинако-
выми, то по скольку граммов крупы было бы в каждом
кульке?
— Тогда было бы по 300 г крупы в каждом кульке.
— Как вы узнали?
— Мы 600 г разделили на две равные части и полу-
чили по 300 г.
— Как это можно проверить?
— 300 г-2 = 600 г, или 300 г + 300 г = 600 г.
— Правильно. Вот эти 300 г и называют средним
арифметическим двух кульков в 200 г и 400 г.
Число 300 г в данном случае указывает, сколько кру-
пы было бы в каждом кульке, если бы кульки были на-
полнены одинаково.
189. В первом кульке — 200 г, во втором — 300 г, в
третьем—400 г крупы. Сколько крупы будет в каждом
кульке, если ее распределить поровну?
190. В первом кульке крупы 200 г, во втором —300 г,
в третьем — 400 г, в четвертом — 700 г. Найти, сколько
крупы будет в каждом из четырех кульков, если ее рас-
пределить поровну.
191. За последние три дня цена картофеля на рынке
была 15 коп., 14 коп. и 13 коп. за килограмм. Сколько
стоил 1 кг картофеля в среднем?
192. Вычислите среднюю скорость катера, если катер
в первый час прошел 12 км, во второй — 13 км, в тре-
тий—15 км и в четвертый—12 км.
Указание. Выясняется, что средняя скорость кате-
ра— это постоянная скорость, при которой катер 3-а 4 ч
прошел бы то же самое расстояние в 52 км (13 кл-4 =
= 52 км).
193. Вычислите среднюю температуру за сутки, если
в 12 ч ночи она была 2°, в 6 ч утра 3°, в 12 ч дня 12°, в
6 ч вечера 7° тепла.
217
Указание. После вычисления и проверки среднесу-
точной температуры воздуха (6°) дети упражняются в
составлении задач на вычисление среднего арифметиче-
ского, затем учитель проводит беседу по обобщению изу-
ченного. В этой беседе учитель выясняет, что во всех рас-
смотренных примерах находилось среднее арифметиче-
ское (число), и формулирует общее правило для его на-
хождения. Для вывода правила учитель напоминает
учащимся те задачи, в которых они определяли средние
величины массы, цены, температуры, скорости, и предла-
гает подметить в этих задачах то, что является общим,
одинаковым для всех задач.
Общее в решении таких задач то, что числа склады-
ваются и найденная сумма делится на число слагаемых.
Повторив по вопросам названия компонентов, учитель
окончательно формулирует полученный вывод о нахож-
дении средней величины: чтобы получить среднее значе-
ние величины, надо сумму всех слагаемых разделить на
число слагаемых, полученное частное называется сред-
ним арифметическим (подразумевают числом).
194. Определите среднюю длину своего шага и запи-
шите в тетрадь по арифметике дату определения длины
шага, свой возраст (число лет и месяцев) и данные, по-
лученные в результате измерения.
Указание. Необходимо подробно разъяснить де-
тям способ определения средней длины шага, если это
не делалось раньше.
195. Теплоход идет по Волге из Горького до Астра-
хани ровно 5 суток. Определите среднюю скорость теп-
лохода, идущего по течению реки, если расстояние меж-
ду Горьким и Астраханью 2240 км.
Указание. В этой, а также и в других подобных
задачах говорится о так называемой эксплуатационной
скорости, т. е. скорости с учетом остановок у пристаней.
Необходимо выяснить, понимают ли дети, что значит
скорость по течению и скорость против течения. В дан-
ном случае скорость теплохода по течению приблизи-
тельно равна 19 км в час.
196. Определите среднюю скорость скорого теплохо-
да по линии Астрахань—Горький, идущего против тече-
ния реки, если по расписанию он проходит это расстоя-
ние за 139 ч (см. задачу 195).
218
Ответ. Средняя (эксплуатационная) скорость теп-
лохода на линии Астрахань—Горький (против течения)
составляет приблизительно 16 км в час.
197. Расстояние от Москвы до Астрахани в 1550 км
скорый поезд проходит за 32 ч 47 мин. Определите сред-
нюю скорость этого поезда.
Указание. Можно предложить учащимся решить
эту задачу двумя способами: 1) округлить 32 ч М мин
до 33 ч и вычислить приближенную скорость (это наибо-
лее короткий путь); 2) определить сначала скорость в
минуту, а затем в час. И в том и другом случае полу-
чится, что средняя скорость поезда при движении от
Москвы до Астрахани составляет около 47 км в час.
198. Пассажирский поезд от Москвы до Астрахани
идет 39 ч 14 мин. Определите среднюю скорость этого
поезда.
Указание. Округлив 39 ч 14 мин до 39 ч и разде-
лив 1550 км на 39, получим приблизительно 40 км в час.
Среднее арифметическое отрезков прямой
199. Начертите в тетради два отрезка длиной 8 см и
12 см, найдите вычислением среднюю арифметическую
длину отрезка и начертите его. Для проверки решения
этой задачи постройте отрезок, равный удвоенной длине
среднего арифметического отрезка, и сравните его с
суммой данных отрезков.
Указание. Очевидно, средняя арифметическая дли-
на двух отрезков равна (8 см+ 12 см) :2 —10 см. Провер-
ка с помощью чертежа может быть выполнена так:
219
200. Начертите в тетради три отрезка длиной 6 см,
7 см, 11 см. Найдите вычислением средний арифметиче-
ский отрезок и начертите его. Сравните полученный от-
резок с суммой трех данных.
201. Пришкольный участок земли, имеющий вид пря-
моугольника длиной 40 м и шириной 10 м, обнесен забо-
ром. Какой длины должна быть сторона квадратного
участка земли, если его обнести забором, равным по
длине забору первого участка?
Указание. Необходимо на чертежах, сделанных на
доске, разъяснить ученикам смысл задачи. Сторона ис-
комого квадрата есть среднее арифметическое сторон
данного прямоугольника: (40 л + 10 л + 40 л/+Ю м):4 =
= 25 м, так как 25 л*-4 = Ю0 м.
202. Начертите в тетради от руки два отрезка раз-
личной длины. Начертите на глаз отрезок, длина которо-
го будет средним арифметическим данных отрезков, а
затем проверьте измерением и вычислением.
203. Начертите от руки три отрезка различной длины.
Определите на глаз длину отрезка, который будет сред-
ним арифметическим данных отрезков, и начертите его
от руки, а затем проверьте измерением и вычислением.
Указание. Для проверки решения этой и предыду-
щей задач каждый из учеников после выполнения чер-
тежа от руки должен измерить линейкой начерченные
отрезки и надписать сверху их длины, затем вычислить
длину среднего арифметического отрезка и начертить
его.
Для двух отрезков длину среднего арифметического
проще найти графически. Для этого надо разность дан-
ных отрезков разделить пополам и прибавить к мень-
шему или вычесть из большего отрезка. Например, для
отрезков в 4 см и 6 см средним арифметическим отрез-
ком будет отрезок в 5 см (см. на чертеже, как он нахо-
дится).
220
Более сложные задачи
204. Сеня ежедневно тренировался в беге и быстрой
ходьбе. Сегодня он бежал по аллее парка 2 мин со ско-
ростью 200 м в минуту, а затем шел 3 мин со скоростью
70 м в минуту. С какой средней скоростью Сеня пере-
двигался по аллее парка? Сделайте краткую запись ус-
ловия задачи.
Указание. Желательно приучать детей к краткой
записи решения.
Записьусловия.
Бегом 200 м в минуту — 2 мин.
Шагом 70 л в минуту — 3 мин.
Средняя скорость за 5 мин?
3 апись р ешения,
1) 200 л-2 = 400 м—Сеня пробежал за 2 мин.
2) 70 л-3 = 210 м — Сеня прошел за 3 мин.
3) 400 л + 210 м = 610 м — длина всего пути.
4) 2 мин + 3 мин=5 мин — всего затрачено времени.
5) 610 лт:5= 122 м в минуту — средняя скорость на
всем пути.
Ответ. Сеня передвигался по аллее парка со сред-
ней скоростью 122 л в минуту.
205. Алеша любил заниматься математикой и всегда
просил учительницу давать ему побольше примеров и
задач по арифметике. За прошлую неделю он за первые
3 дня недели решил по 11 примеров в день, а за следую-
щие 3 дня — по 13 примеров в день. Сколько в среднем
примеров в день решил Алеша за прошлую неделю?
Сделайте краткую запись условия и решения по приме-
ру предыдущей задачи.
Ответ. Алеша решал в среднем по 12 примеров в
день.
206. Подсчитайте, сколько арифметических задач и
примеров решил ваш класс во время уроков за прошед-
шую неделю, и определите, по скольку в среднем задач
и примеров решалось в день.
207. Катер шел 2 ч со скоростью 14 км в час, 2 ч по
16 км в час и 3 ч по 15 км в час. С какой средней ско-
ростью шел катер на данном пути? Сделайте краткую
запись условия и решения задачи.
Ответ. 15 км в час.
221
208. Автомобиль шел по грунтовой дороге со ско-
ростью в первую минуту 300 м, во вторую — 500 м,
11 мин — по 800 м в минуту, одну минуту — 400 м и од-
ну минуту — 200 м. Какова средняя скорость автомоби-
ля в метрах в минуту на данном участке пути? Сделайте
краткую запись условия и решения.
Ответ. 680 м в минуту.
МЕРЫ ВРЕМЕНИ
В III классе необходимо познакомить учеников прак-
тически с такими единицами времени, как секунда, ми-
нута и час, причем во время упражнений желательно от-
мечать сигналами начало и конец отсчета единицы вре-
мени.
Чтобы указанные единицы времени были хорошо
детьми поняты и усвоены, необходимо их интерпретиро-
вать с помощью отвлеченного или конкретного счета
(например, счета букв в книге, счета шагов и т. п.), чте-
ния вслух или про себя какой-нибудь книги, списывания
с печатного текста, выполнения упражнений по грамма-
тике или математике (технического характера) или оди-
наковых упражнений по гимнастике и т. п.
Полезно, как было указано в задачах на движение,
определить скорость движения, вычислить пройденный
путь в полминуты, в четверть минуты, в 5—10 мин. На
уроках физкультуры полезно будет определить скорость
бега каждого ученика.
Период времени в одну секунду небольшой, но в на-
шей жизни он играет немалую роль. Частицы воздуха
при сильном ветре летят со скоростью около 11 м в се-
кунду, при штормовом ветре — от 20 до 29 м в секунду,
а при урагане — свыше 29 м (а иногда и до 100 м и бо-
лее) в секунду. Любая точка экватора Земли перемеща-
ется вокруг оси в секунду больше 460 м, а Земля вокруг
Солнца пролетает в секунду 30 км.
При соревновании физкультурников в беге большую
роль играют не только секунды, но и десятые доли се-
кунды. При киносъемках и фотографировании считают
сотые доли секунды, а во многих других случаях — ты-
сячные и даже миллионные доли секунды.
Приведем примеры практических задач, которые по-
могут освоению мер времени.
222
209. Поучитесь считать так, чтобы каждое число вы
произносили в одну секунду: один, два, три, ... .
1) Сосчитайте до 10 так, чтобы слово «десять» было
сказано в десятую секунду времени от начала счета.
Сколько времени вам потребуется для такого счета
до 100?
2) Сосчитайте до 20, чтобы слово «двадцать» было
сказано в двадцатую секунду от начала счета. Сколько
времени вам потребуется при таком счете до 100?
3) Вычислите, сколько времени при таком счете по-
требуется вам для счета до 1000.
Ответ. 3) При счете от 1 до 1000, если в каждую се-
кунду называть одно число, потребуется 16 мин 40 сек
Указание. Практические упражнения по ритмич-
ному счету натуральных чисел с интервалом в одну секун-
ду лучше всего начинать в классе хором под метроном,
но можно и при помощи часов с секундной стрелкой под
взмах руки. Потом каждый может провести такую рабо-
ту самостоятельно, произнося слова шепотом и отсчиты-
вая такт рукой, как это делали во II классе при знаком-
стве с минутой. Научить детей ритмично считать, произ-
нося в секунду одно число, очень важно: дети смогут
тогда без часов определять время в пределах коротких
интервалов, что им поможет в организации некоторых
практических упражнений, связанных с временем, а
главное — утвердит их в понимании таких единиц време-
ни, как секунда и минута.
210. а) Определите, сколько секунд пройдет от сигна-
ла до сигнала.
Указание. Учитель «засекает» время стуком на
период в 10 сек, затем 20 сек, 30 сек. Дети должны оп-
ределить, сколько времени проходит от стука до стука.
Таких упражнений надо сделать побольше.
б) Поучитесь ходить, делая один шаг в секунду.
Указание. В коридоре или во дворе ученики сна-
чала группами, а затем в одиночку ходят ритмично, ‘ де-
лая один шаг в секунду.
211. Если пешеход в среднем проходит 4 км в час, то
больше или меньше метра он проходит в I сек? Как это
узнать?
Указание. Так как при делении 4000 на 3600
(1 ч = 3600 сек) сразу видно, что получается более 1 м,
то задача решается без вычисления частного.
223
212. Какое расстояние в секунду приблизительно
проходит теплоход, который идет со скоростью 22 км в
час?
Ответ. Несколько более 6 м в секунду.
213. При сильном ветре (6 баллов) частица воздуха
пролетает в секунду около 11 м. Какое расстояние эта
частица пролетает в | ч?
Решение. I способ.
1) 11 л<-60 = 660 м в минуту;
2) 660 м- 60=39 600 м в час.
II способ.
1) 60-60 = 3600 (сек)=1 ч;
2) 11 м• 3600 = 39 600 м в час.
. .Ответ. 39 600 м, или около 40 км в час.
V 214. Через 10 сек после молнии послышался гром. На
каком расстоянии от наблюдателя произошел грозовой
разряд, если скорость звука в воздухе равна 330 м в се-
кунду?
Указание. Так как молнию мы видим в тот же мо-
мент, когда она сверкнула, а разряд электричества
(гром) слышим только тогда, когда звук дойдет до на-
шего уха, а он идет в воздухе со скоростью около 330 м
в секунду, то для определения расстояния от нас до гро-
зового разряда надо 330 м умножить на число секунд,
прошедших от момента молнии до момента начала гро-
ма. В данном случае это расстояние равно 330 м-10 =
= 3300 м.
Желательно во время грозы практически с учащими-
ся определить расстояние грозового разряда облака от
наблюдателя, что можно сделать прямо в классе (с по-
мощью секундомера или часов с секундной стрелкой).
215. Откройте книгу «Родная речь», найдите в ней
страницу без картинок и прочитайте эту страницу молча
от начала до конца. Заметьте по часам время начала и
конца чтения, продолжительность чтения (в минутах и
секундах), запишите в тетрадь. Подсчитайте, сколько в
среднем слов вы прочитали в одну секунду.
Указание. Необходимо добиться того, чтобы эта
работа была проведена строго индивидуально, так как
у каждого человека своя скорость чтения. При проведе-
нии этой работы в классе надо поставить на стол часы.
.224
216. Подсчитай, сколько шагов ты делаешь в 1 мин,
и на основании полученных данных вычисли, сколько
шагов ты сможешь сделать в полминуты, в четверть ми-
нуты, в пятую, в десятую часть минуты, в 2 мин, 3 мин,
10 мин. Запиши полученные данные в тетрадь или запис-
ную книжку.
217. а) Сосчитай, сколько шагов ты делаешь от дома
до школы, и вычисли, сколько времени затрачиваешь на
этот путь.
Указание. Необходимо, чтобы ученик проделал та-
кую работу несколько раз, прежде чем записать резуль-
тат в свою тетрадь.
б) Если ты знаешь, сколько шагов делаешь в 1 мин,
то, определив по часам точно время, которое затрачи-
ваешь на путь от дома до школы, узнай, сколько сделал
шагов на этом пути.
218. Два мальчика вышли одновременно друг другу
навстречу; один шагал со скоростью 60 м в минуту, дру-
гой 70 м в минуту. Через сколько минут они встретились,
если первоначальное расстояние между ними было
910 м.
Предварительно составьте формулу решения задачи.
Указание. Формула решения: х=910: (60 + 70).
Ответ. Мальчики встретились через 7 мин.
219. Решите ту же задачу на буквах. Пусть первый
мальчик проходил а м в минуту, а второй b м в минуту,
а все расстояние между ними было р м. Вопрос задачи
тот же. Составьте формулу решения.
Указание. х=р:(а + Ь).
Примечание. В физике принято расстояние обозначать
буквой s, скорость буквой п, время t. Если ученики знакомы с ла-
тинским алфавитом, то формулу можно записать так: t=s: (ni + na)»
220. Определи по часам время, которое ты затрачи-
ваешь на подготовку уроков по каждому предмету, и за-
писывай в записной книжке (или в тетради) в течение
недели.
Понедельник: на чтение затрачено . . . . . .мин;
на математику затрачено . . . мин.
Такую же запись сделай для последующих дней не-
дели, а в субботу подсчитай, сколько времени ты за-
тратил на подготовку уроков за неделю по каждому
предмету.
225'
Указание. Хорошо, чтобы все ученики в классе та-
кие записи делали систематически в течение четверти
или полугодия. Записи не только приучат детей к учету
своей работы, но и помогут учителю регулировать в пре-
делах нормы домашние задания.
221. Узнайте по календарю:
1) Когда бывает самый короткий день в году (в ка-
ком месяце и какого числа) и сколько часов он продол-
жается в Москве? Сколько часов продолжается ночь в
эти сутки?
2) Когда бывает самый длинный день в году и сколь-
ко времени он продолжается в Москве? Сколько време-
ни продолжается ночь в эти сутки?
3) Когда бывает день равен ночи и сколько раз в го-
ду это бывает? Сколько часов длится тогда день и
сколько часов — ночь?
Все задачи, связанные с календарем, следует с соот-
ветствующими разъяснениями давать ученикам на дом,
чтобы каждый из них смог ознакомиться с отрывным
календарем (численником) и найти в нем самостоятель-
но необходимые сведения. Возможно,, что при таком оз-
накомлении с календарем у школьника возникнет еще
ряд вопросов, которые он потом разрешит с учителем.
222. Подсчитайте, сколько дней и сколько недель в
первом полугодии учебного года — с 1 сентября по 31 де-
кабря, и результаты запишите в тетрадь.
Указание. Рекомендуем эту задачу дать детям ре-
шить самостоятельно.
Наиболее рациональным надо будет признать следу-
ющее решение:
1) Число дней с 1/IX по 31/XII:
30 дн.+31 дн. +30 дн.+31 дн.= 122 дн.
2) Число недель:
122 дн.:7 дн. —17 (недель) и 3 (дн.).
223. Приготовьте в тетради или на отдельном листке
свой табель-календарь на каждый месяц данного года.
Указание. После краткого разъяснения надо пред-
ложить ученикам сделать табель-календарь самостоя-
тельно, а затем сверить его с печатным.
224. -Подсчитайте, сколько из 122 дней первого полу-
годия учебных дней и сколько неучебных, включая воск-
ресенья, праздники, осенние каникулы и 2 дня (30 и
226
31/ХП) зимних каникул. Результаты запишите в тет-
радь.
Указание. Эту работу учащиеся могут проводить
по табелю-календарю, в котором обозначены все воск-
ресенья и праздники.
225. Подсчитайте, сколько дней во втором учебном
полугодии — с 1 января по 31 мая. Выразите это число
в неделях и днях.
Указание. Надо предоставить детям возможность
самостоятельно решить эту задачу.
Ответ. 21 неделя и 4 дня (или 5 дней—в високосном
году).
226. Одинаковое ли число дней в I квартале и во II
квартале простого года?
Подсчитайте и запишите ответ в виде равенства или
неравенства. Как записать ответ для високосного года?
Указание. Ответ требуется записать так:
31+284-31 <30+314-30 — для простого года;
31+29 + 31 =30 + 31+30— для високосного года.
227. Подсчитайте, сколько учебных дней в учебном
году, начиная с 1 сентября и кончая 31 мая.
228. В каком веке мы живем? Когда (с какого года,
месяца, числа и часа) начался наш век и когда наступит
его конец? Что такое век?
Ответ. Начался XX век в 0 ч 1 января 1901 г., а за-
кончится в 24 ч 31 декабря 2000 г.
229. Сколько лет в половине века? в четверти века?
Когда закончится третья четверть нашего века? Когда
закончится четвертая четверть нашего века?
Ответ. Вторая половина XX века началась в 0 ч
1 января 1951 г. Третья четверть века закончится в
24 ч 31 декабря 1975 г. Четвертая четверть закончится в
24 ч 31 декабря 2000 г.
230. В какой четверти нашего века свершилась Ве-
ликая Октябрьская социалистическая революция? В ка-
кой четверти века и когда именно исполнилось 50 лет со
дня начала этой революции?
Ответ. 50 лет исполнилось в третьей четверти ве-
ка— 7 ноября 1967 г.
Указание. Полезно предложить учащимся само-
стоятельно по каким-нибудь данным путем преобразо-
вания получить 3 вида задач на время. Например:
227
Задача 1. Занятия в школе начались в 8 ч 30 мин,
а закончились в 1 ч 30 мин дня. Сколько времени про-
должались занятия?
Задача 2. Занятия в школе начались в 8 ч 30 мин
утра и закончились через 4 ч 40 мин. Когда они закон-
чились?
Задача 3. Занятия в школе закончились в 1 ч
30 мин, а начались они 5 ч тому назад. Когда начались
занятия?
Если эту работу принять как проверочную, то пред-
варительно надо решить две такие задачи в классе и од-
ну задачу дома.
В наш век, век спутников Земли и космических поле-
тов человека, нельзя держать десятилетних детей в со-
вершенном неведении о строении Вселенной.
Учащимся надо рассказать (а может быть, даже при-
гласить для этого рассказа преподавателя астрономии
или другого специалиста) о том, что в мире существует
бесчисленное множество звезд, одной из которых явля-
ется Солнце. Вокруг Солнца движется 9 больших (в том
числе и наша Земля) и много малых планет, т. е. тем-
ных несветящихся небесных тел. Во Вселенной нет по-
коя. Все небесные тела находятся в постоянном движе-
нии. Земля движется вокруг своей оси и вокруг Солнца.
Это движение и позволяет вести счет времени.
Существуют три не зависимые друг от друга единицы
времени. Время, в течение которого Земля делает пол-
ный оборот вокруг своей оси, называется сутками. Вре-
мя, в течение которого Земля делает полный оборот во-
круг Солнца, называется годом. Время, в течение кото-
рого Луна делает полный оборот вокруг Земли, назы-
вается месяцем.
Каждая из этих единиц делится на более мелкие, на-
пример: сутки делятся на часы, минуты, секунды. Это
деление основной единицы на более мелкие сделано в
глубокой древности. Точно так же год делится на сутки,
но в году не целое число суток, а 365^-. Вот почему че-
рез каждые 4 года набегают целые сутки, которые и
прибавляют к февралю. Такой год, с лишним днем в
феврале, римляне назвали високосным.
Названия месяцев — январь, февраль, март и т. д.—
тоже даны римлянами.
228
Такой рассказ дается для того, чтобы дети более со-
знательно относились к изучаемому материалу об изме-
рении времени. Интерес, возбуждаемый такого рода
разъяснениями, незамедлительно приносит свои плоды,
так как ученики начинают внимательнее относиться к
мерам времени и задают потом много дополнительных
вопросов, просят рассказать' более подробно о том, что
их интересует, просят указать доступную им литературу
по этому вопросу. В связи с этим можно почитать детям
(во внеурочное время) популярную брошюру И. Ф. Пол-
лака «Время и календарь». Полезно рассказать и о ка-
лендарном стиле и сообщить учащимся, что новый ка-
лендарный стиль был введен в СССР 26 января 1918 г.
по инициативе В. И. Ленина.
Необходимо научить детей безошибочно решать
устно все три вида задач на время в пределах суток, а
письменно — в пределах года и столетий. Почаще надо
привлекать учеников к работе с табелем-календарем и
отрывным календарем. Полезно, например, используя
старые листки отрывного календаря, предложить им ре-
шить ряд задач на определение продолжительности
(долготы) дня для московской параллели по восходу и
заходу Солнца.
По табелю-календарю (и отрывному) можно проде-
лать и много других задач, например подсчет учебных
дней по четвертям учебного года, продолжительности
каникул, количества недель в простом и високосном го-
ду и т. п.
Все три вида задач на время весьма полезно провес-
ти на основе расписаний движения пароходов, теплохо-
дов, катеров, поездов, междугородных автобусов (конеч-
но, для этого нужно достать расписание): продолжи-
тельность движения, время отхода и время прихода.
231. Подсчитайте, сколько дней продолжаются все ка-
никулы (осенние, зимние, весенние, летние), вместе взя-
тые. Запись произведите следующим образом;
Каникулы продолжаются:
осенние 5 дней;
зимние . . . дней;
весенние . . . дней;
летние . . . дней;
все вместе . . . дней.
229
Указание. Эти задачи ученики могут решить дома
самостоятельно. В классе нужно будет только сделать
разъяснение, как работать с табелем-календарем, кото-
рый, вероятно, найдется в каждой семье (а если не най-
дется, то учащиеся сделают его сами).
232. Подсчитайте, сколько недель и дней в простом и
сколько в високосном году.
Указание. Желательно, чтобы ученики записали в
свои записные книжки, что в простом году 52 недели и
один день, а в високосном — 52 недели и 2 дня.
233. Из Москвы в Астрахань, расстояние между ко-
торыми 1550 км, ежедневно отправляются два поезда:
скорый — в 9 ч, а пассажирский — в 1 ч 20 мин дня. Оп-
ределите: 1) сколько времени бывает в пути каждый из
этих поездов, если скорый проходит в среднем по 47, а
пассажирский по 40 км в час; 2) на сколько скорее пас-
сажирского поезда проходит этот путь скорый поезд.
Ответ. 1) Скорый — 32 ч 59 мин, пассажирский —
38 ч 45 мин-, 2) на 5 ч 46 мин.
234. Теплоход отошел от пристани в городе Астраха-
ни 7 июня в 17 ч и через 6 сут 13 ч подошел к пристани
города Горького. Когда он пришел в Горький?
Решение:
। 6 сут. 17 ч
6 сут. 13 ч
12 сут. 30 ч
13 сут. 6 ч
14 июня в 6 ч
Ответ. 14 июня в 6 ч (в 6 ч утра по московскому
времени).
235. Первая четверть учебного года начинается 1 сен-
тября, а заканчивается 4 ноября. Сколько времени про-
ходит от начала года до начала и до конца первой чет-
верти и сколько дней продолжается эта четверть?
Ответ. 1) 8 месяцев; 2) 10 месяцев 4 дня; 3) 65
дней.
236. Поезд отходит от станции в 4 ч 20 мин дня.
Сколько времени до этого момента проходит от начала
суток? Как это узнать?
Указание. Ученики должны знать, что за начало
суток принято считать полночь, поэтому до 4 ч 20 мин
230
по обычным часам (с 12-часовым циферблатом) прохо-
дит до полудня 12 ч + 4 ч 20 мин, т. е. 16 ч 20 мин.
237. Часы показывают: 1) 0 ч 25 мин ночи; 2) 8 ч
утра; 3) 11 ч 55 мин дня; 4) 3 ч 45 мин дня; 5) 7 ч
30 мин вечера; 6) 11 ч 30 мин ночи.
Сколько времени будет в эти моменты на часах с 24-
часовым циферблатом? Будут ли ваши ответы отвечать
на вопрос: сколько времени от начала суток пройдет до
указанных моментов? Нужно ли ко времени, указанному
по 24-часовому циферблату, добавлять слова: ночи, дня,
утра, вечера?
Ответ. 1) 0 ч 25 мин; 2) 8 ч; 3) И ч 55 мин; 4) 15 ч
45 мин; 5) 19 ч 30 мин; 6) 23 ч 30 мин.
Никаких слов добавлять не надо.
238. Часы с 24-часовым циферблатом показывают
время; 1) 0 ч 40 мин; 2) 7 ч 10 мин-, 3) 11 ч 15 мин;
4) 12 ч; 5) 13 ч 30 мин; 6) 14 ч; 7) 16 ч 5 мин; 8) 20 ч
30 мин; 9) 23 ч 45 мин; 10) 24 ч. Укажите это время по
часам с 12-часовым циферблатом.
Ответ. 1) 40 мин 1-го часа ночи; 2) 7 ч 10 мин ут-
ра; 3) И ч 15 мин или 15 мин 12-го (дня); 4) 12 ч дня,
или полдень; 5) 1 ч 30 мин дня, или 30 мин 2-го (дня);
6) 2 ч дня;' 7) 4 ч 5 мин дня, или 5 мин 5-го; 8) 8 ч
30 мин. вечера, или 30 мин 9-го; 9) 11 ч 45 мин ночи, или
без 12 ч ночи; 10) 12 ч ночи.
239. 1) Занятия в школе начались в 8 ч 30 мин утра
и закончились в 1 ч 20 мин дня. Сколько времени про-
должались занятия?
2) Занятия в школе начались в 2 ч 30 мин дня и за-
кончились через 4 ч 40 мин. Когда они закончились (по
12-часовому циферблату)?
3) Занятия в школе закончились в 1 ч 20 мин дня, а
начались 4 ч 40 мин тому назад. Когда они начались?
240. Преобразуйте задачу 239 по 24-часовому ци-
ферблату и решите ее.
241. Сколько полных месяцев и дней проходит от на-
чала года до: 1) праздника Международного женского
дня? 2) до Первомайского праздника? 3) до годовщины
Великой Октябрьской социалистической революции?
4) до Дня Конституции?
Ответ. 1) 2 мес. 7 дней; 2) 4 мес.; 3) 10 мес. 6 дней;
4) 11 мес. 4 дня.
231'
242. Сколько полных месяцев и дней проходит от на-
чала года до: 1) начала учебного года? 2) до конца
учебного года? 3) до начала 1, 2, 3 и 4-й четвертей учеб-
ного года?
Указание. Дети сами должны узнать необходимые
для решения задачи даты.
243. Сколько полных лет, месяцев и дней прошло от
начала нашей эры до начала Великой Октябрьской со-
циалистической революции?
Ответ. 1916 лет 10 мес. 6 дней.
244. Сколько в простом году: 1) недель? 2) часов?
3) минут? 4) секунд?
245. Сколько в веке: 1) дней? 2) часов? 3) минут?
4) секунд?
246. Частица воздуха проходит в среднем: при уме-
ренном ветре (4 балла) 7 м в секунду, при свежем
(5 баллов) 9 м в секунду, при сильном (6 баллов) 11 м
в секунду, при крепком (7 баллов) и очень крепком
(8 баллов) от 13 до 18 л в секунду, при штормовых вет-
рах (9, 10, 11) баллов от 18 до 29 л в секунду. Вычисли-
те, какое расстояние в час проходит частица воздуха
при каждом из названных ветров.
Указание. Название ветров приведено морское,
баллы по шкале Бофорта.
247. Земля в своем движении вокруг Солнца прохо-
дит 30 км в секунду. Какое расстояние проходит Земля
за одни сутки? за месяц (считая в месяце 30 дней)?
за год (считая простой год)?
Ответ. 1) 2 592 000 км в сутки; 2) 77 760 000 км в
месяц; 3) 946 080 000 км в год.
248. Подсчитайте, сколько рабочего времени потеря-
ют все ученики вашего класса вместе, если по вине не-
которых учеников урок начнется после звонка через
3 мин.
249. Сколько рабочего времени будет потеряно на
фабрике, имеющей 2000 рабочих, если каждый из рабо-
чих потратит на разговоры хотя бы 1 лшн?
Указание. При решении таких задач, как 248 и
249, полезно с учащимися провести краткую воспита-
тельную беседу о производительности труда, о допусти-
мых и недопустимых потерях времени в процессе труда
И учебы.
232
250. Первый полет вокруг Земли совершил на косми-
ческом корабле «Восток-1» советский летчик-космонавт
Юрий Гагарин 12 апреля 1961 г. Он начал полет в 9 ч
07 мин по московскому времени, сделал один оборот
вокруг Земли и закончил полет в тот же день, призем-
лившись в заданном районе, в 10 ч 55 мин. За сколько
часов и минут Ю. Гагарин облетел вокруг Земли?
251. Первый полет вокруг Земли Ю. Гагарин совер-
шил 12 апреля 1961 г., второй полет Г. Титов совершил
6 августа 1961 г., в третий полет А. Николаев отправил-
ся 11 августа 1962 г. и в четвертый полет П. Попович от-
правился 12 августа 1962 г. Вычислите, сколько времени
прошло: 1) от начала 1-го полета до начала 2-го; 2) от
начала 2-го до начала 3-го; 3) от начала 3-го до начала
4-го и 4) от начала 1-го до начала 4-го полета.
252. А. Николаев на космическом корабле «Восток-3»
отправился в полет 11 августа 1962 г. в 11 ч 30 мин и к
14 ч 12 августа 1962 г. сделал 18 оборотов вокруг Зем-
ли, пролетев около 740 000 км. За сколько времени сде-
лал он 18 оборотов вокруг Земли и сколько километров
приблизительно составлял в среднем 1 оборот?
ЗАДАЧИ-РАСЧЕТЫ
253. В Ш классе 37 учеников. При посещении театра
для 24 учеников были закуплены билеты по 20 коп., а
для остальных учеников — по 30 коп. Подсчитайте,
сколько денег было уплачено за все билеты. Предвари-
тельно составьте формулу решения задачи.
Составьте задачу о посещении театра вашим клас-
сом.
Указание. Весь подсчет можно производить в ко-
пейках, а окончательный результат (870 коп.) превра-
тить в рубли и копейки. Формула решения: х = 20-24+;
+ 30(37—24).
254. При коллективном посещении драматического
театра были закуплены билеты: в амфитеатр 19 билетов
по цене..., остальные — в партер по цене... . Подсчитай-
те, сколько денег было уплачено за 37 билетов.
255. Экскурсию за городученики Ш класса соверши-
ли на автобусе, а обратно возвращались на трамвае.
Подсчитайте общий расход на транспорт, если в экскур-
сии участвовало 35 учеников и учительница, цена билета
233
за проезд на автобусе составляла 5 коп., а в трамвае
3 коп. Предварительно составьте формулу решения.
256. Отец Миши сказал, что сегодня завтрак обошел-
ся по 30 коп. на человека, и попросил Мишу подсчи-
тать, сколько денег надо затратить, чтобы иметь завтра-
ки по такой цене в течение всей недели. Миша подсчи-
тал устно. Подсчитайте и вы. Составьте формулу ре-
шения.
СеМья Миши состоит из 4 человек.
Указание. Вычисления дети должны производить,
как и в предыдущей задаче, в копейках, а конечный ре-
зультат (840 коп.) превратить в рубли и копейки. Фор-
мула решения: х=30-4-7 (коп.).
1 257. Школьная столовая для стирки белья пользует-
ся механической прачечной, которая за стирку, сушку и
глажение берет по 20 коп. за 1 иг сдаваемого белья.
Столовая сдала в стирку в октябре 8 кг, в ноябре 9 кг,
в декабре 12 кг белья. Подсчитайте, сколько стоила
стирка белья за эти три месяца. Составьте формулу ре-
шения.
258. Для уборки класса куплено 20 веников по
55 коп. и 3 щетки по 1 руб. 65 коп. Подсчитайте стои-
мость покупки.
259. Сделайте расчет стоимости одного бутерброда со
сливочным маслом, который продается в вашем буфете.
Указание. Необходимо узнать цену 1 кг хлеба, на
сколько частей разрезается этот хлеб и сколько грам-
мов масла и какой цены кладется на каждый кусок,
260. При ремонте школы в классной комнате нужно
было сменить все плинтуса. Дети по предложению учи-
тельницы сделали необходимые измерения; длина ком-
наты оказалась равной 8 м, а ширина 6 м. Затем дети
подсчитали общую длину всех плинтусов комнаты, при-
чем подсчет был сделан тремя способами. Какова об-
щая длина плинтусов этой комнаты и как дети подсчи-
тали ее?
Подсчитайте общую длину плинтусов вашей класс-
ной комнаты и результат запишите в свои тетради.
261. Длина пришкольного опытного участка 80 я,
ширина 60 м. Через каждые 5 м ограды поставлены
столбы. Подсчитайте стоимость всех столбов, ограды,
если каждый столб обошелся в 40 коп. Составьте фор-
мулу решения.
234
Указание. Для иллюстрации задачи и проверки
подсчета числа столбов можно предложить детям сде-
лать чертеж (план) ограды, приняв 1 см за 10 м, и по-
ставить на плане точки вместо столбов. Формула реше-
ния: х=40-(80+60)-2:5 = 22 руб. 40 коп.
262. Сережа в школу и из школы ездит на трамвае.
Подсчитайте, сколько денег истратил Сережа на проезд
туда и обратно в течение сентября.
263. Каждую субботу вечером, начиная с мая, Юра
вместе с сестрой и родителями совершает прогулку по
реке на пассажирском катере. Стоимость билета за про-
езд одного человека на катере туда и обратно 24 коп.
Подсчитайте, сколько денег затратит семья Юры в тече-
ние мая, июня, июля и августа на прогулки по реке.
264. Школьная библиотека выписывает следующие
газеты: «Правду», «Комсомольскую правду», «Пионер-
скую правду», «Известия». Подсчитайте, сколько денег
истратила библиотека на выписку этих газет, если под-
писка каждой газеты сделана на год.
Указание. Желательно, чтобы ученики сами уз-
нали стоимость подписки на каждую газету.
265. Ученики III класса в начале каждого месяца по-
сылают письмо своим друзьям из III класса школы дру-
гого города. Рассчитайте, сколько будут стоить все
письма, которые класс пошлет в течение учебного года,
кончая маем, если письма будут посылаться: 1) прос-
тыми; 2) заказными; 3) авиапочтой.
Указание. При подсчете стоимости письма надо
принять во внимание стоимость конверта и марки.
Составление и решение задач, связанных с расхода-
ми по пересылке писем, можно соединить с обучением
школьников составлению доступных данному возрасту
писем, например письма пионерам III класса другой
школы, письма родственникам и т. п. Если ученики ва-
шего класса еще *не ведут переписки с учащимися дру-
гой школы, то хорошо бы ее начать, причем первое пись-
мо лучше всего составить коллективно.
Надо иметь также в виду, что авиапочтой можно по-
сылать письма простыми и заказными и что стоимость
марки установлена для любого письма весом до 20 г, а
более тяжелые письма оплачиваются дороже (таблицу
оплаты писем в зависимости от их веса мы приводим
ниже).
235
266. Школа отправила в сентябре в Москву 6 авиа-
писем: два простых весом менее 20 г каждое, одно прос-
тое весом в 30 г и три заказных весом менее 20 г каж-
дое. Сколько стоила пересылка всех этих писем?
Указание. Пересылка двух простых авиаписем
стоит 6 коп.-2= 12 коп., простого авиаписьма весом в
30 г — 9 коп. и трех заказных авиаписем весом до 20 г
каждое—12 коп-3 = 3б коп. Пересылка всех шести пи-
сем стоила, следовательно, 57 коп. Здесь, как видно из
подсчета, не принята во внимание стоимость конвертов
и бумаги. Введением в задачу таких данных можно не-
сколько усложнить ее. Желательно, чтобы эти данные
дети находили самостоятельно.
267. Сын посылает матери, находящейся в другом го-
роде, ежемесячно по 20 руб. переводами по почте. Под-
считайте, сколько он истратил денег на пересылку пере-
водов в течение года.
Указание. В беседе с учениками необходимо вы-
яснить, что при пересылке денег по почте отправитель
заполняет сопроводительный бланк к денежному пере-
воду. Такие бланки следует заготовить (по одному на
каждого) и научить учащихся их заполнять. Это можно
сделать на уроке русского языка. Об оплате почтовых
денежных переводов дети могут узнать в ближайшем
почтовом отделении.
268. Назовите сумму перевода по почте, заполните
самостоятельно сопроводительный бланк и подсчитайте
стоимость перевода.
Примечание. В приведенных задачах на денежные перево-
ды по почте не учитывалась стоимость почтового сопроводительно-
го бланка, так как он выдается бесплатно.
269. Подсчитайте стоимость 650 г сыру, если 1 кг его
стоит 3 руб. 20 коп.
Указание. Подсчет надо вести по способу крат-
ных частей (так, как подсчитывает продавец магазина):
Цена 1 кг — 320 коп.
500 г— 160 коп.
100 г — 32 коп.
50 г — 16 коп.__
650 г — 208 коп. = 2 руб. 8 коп.
23Й
Ученик должен рассуждать так: 500 г меньше 1 кг
вдвое, значит, и стоят 500 г вдвое меньше, т. е.
320 коп.:2=160 коп.; 100 г в 10 раз меньше 1 кг, значит,
и стоят 100 г в 10 раз дешевле, т. е. 320 коп.: 10 = 32 коп.;
50 г вдвое меньше 100 г и стоят 16 коп.
270. Подсчитайте стоимость 2 кг 200 г сливочного
масла ценой по 3 руб. 50 коп. за килограмм.
Указание. Подсчет и запись можно сделать так:
Цена 1 кг — 350 коп.
2 кг — 7С0 коп.
200 г — 70 коп.
2 кг 200 г —770 коп.= 7 руб. 70 коп.
Стоимость 200 г ученик может подсчитать двумя спосо-
бами: 1) как удвоенную стоимость 100 г (35 коп.-2);
2) как пятую часть стоимости 1 кг (350 коп.:5).
271. Подсчитайте стоимость супа (для семьи в 5 че-
ловек), на приготовление которого пошло 750 г говяди-
ны по цене 2 руб. за 1 кг, 500 г картофеля по цене
16 коп. за 1 кг, рису на 7 коп., луку на 2 коп., соли и
специй (лавровый лист, перец) на 2 коп., керосина ист-
рачено на 6 коп., рабочая сила своя. Определите, какой
расход падает на каждого члена семьи.
Ответ. 35 коп. на человека.
272. Подсчитайте, сколько стоит 1кг 250 г пиленого
сахара по 88 коп. * и 750 г хлеба по 16 коп. за 1 кг.
Указание. Подсчет можно записать так:
Сахар 1 кг 88 коп. 250 г есть — кг, стоимость 250 г
+ 250 г - 22 коп. t 4
1 кг 250 г - НО коп. ₽ав11а 4" °Т 88 К°П'
Хлеб I кг —16 коп.
250 г, или —L кг — 4 коп. (16 коп. :4)
75U г—16—4= 12 (коп.)
Всего ПО коп.+ 12 коп.= 122 коп. = 1 руб. 22 коп.
Можно подсчитать стоимость 250 г как стоимость
100 г-2 + стоимость 50 г. Это тоже правильно, но более
сложно.,
* По цепе юго-востока Европейской части СССР.
237
Составьте свои задачи на подсчет стоимости куплен-
ных продуктов питания.
273. Подсчитайте стоимость 2 кг 350 г сахара по це-
не 88 коп. и 550 г конфет по цене 1 руб. 85 коп. за 1 кг.
Подсчет суммы произведите устно и проверьте на сче-
тах.
Указание, Подсчет надо делать похспособу крат-
ных частей (как подсчитывает продавец):
Цена I кг сахарного песка — 88 коп.
1) 2 кг в в — 176 коп.
V 300 г » — 27 коп. (100 г — приблизительно
9 коп.)
W 50 г в в — 5 коп.
в 2 кг 350 г„ в — 208 коп.
Цена I кг конфет — 185 коп.
В 500 г В — 93 коп.
в 50 г п — 9 коп, (в Ю раз меньше)
в 550 г в — 102 коп.
Стоимость сахара и конфет вместе 208 коп.-)-'
.+.102 коп. = 310 коп., или 3 руб. 10 коп.
274. Подсчитайте стоимость купленных в магазине
з
420 г сыру по цене 2 руб. 90 коп. за килограмм- и-^-кг
сливочного масла по цене 3 руб. 20 коп. Подсчет сделать
полуписьменно с проверкой на счетах.
Указание. По способу кратных частей запишем:
1) 1 кг сыру —2 руб. 90 коп.
109 г „ — 29 коп.
10 г „ — Оз коп.
Следовательно, 400 г— 29 коп. -4=1 руб. 16 коп.
20 г — 3 коп. 2 в»06 коп.
420 г — 1 руб. 22 коп.
2) Цена 1 кг сливочного масла —3 руб. 20 коп.
„ -у- кг , , * 1 руб. 60 коп.
, -у- кг , , 80 коп.
3
» 4 кг „ «
— 2 руб. 40 коп.
238
3) Общая стоимость сыра и масла 1 руб. 22 коп.'-Е
4-2 руб. 40 коп. = 3 руб. 62 коп.
275. Подсчитайте стоимость купленных в магазине
продуктов: говядины 1 кг 450 г по 1 руб. 90 коп. и риса
1 кг 600 г по 72 коп. за килограмм. Подсчет производить
полуписьменно с проверкой на счетах.
Указание. Подсчет можно записать так:
1) Цена 1 кг говядины 1 руб. 90 коп.
» 400 г , (19 коп.-4)—76 коп.
, 50 г___„ (19 коп. : 2)— 10 коп,-_
Стоимость 1 кг 450 г— 2 руб. 76 коп.
2) Цена 1 кг риса —72 коп.
„ 500 г „ — 36 коп. (72 коп. : 2 = 36 коп.)
„ 100 г „ — 7 коп. (36 коп. : 5 = 7 коп.)
Стоимость I кг 600 г— 115 коп. = 1 руб. 15 коп.
3) Общая стоимость говядины и риса — 2 руб. 76 коп.-f-
-f- 1 руб. 15 коп.= 3 руб. 91 коп.
276. Подсчитайте стоимость покупки:
1) 360 г сметаны по 1 руб. 70 коп.;
2) 800 г творога по 85 коп.;
3) 250 г сливочного масла по 3 руб. 50 коп.
Все цены — за килограмм.
Указание. Запись подсчета можно сделать так:
1) Цена 1 кг сметаны — 170 коп.
, 300 г (17 коп. • 3) — 51 коп.
, 50 г (17 коп. : 2) — 9 коп.
,10 г (17 коп. : 10)— 2 коп.
360 г — 62 коп.
2) Цена 1 кг творога — 85 коп.
, 800 г , —68 коп. (до 1 кг не хватает 200 г-**
это — кг, значит, 200 г, стоят 85 коп.:5=17 коп.,
О 1 2 3
85 коп.—17 коп.=68 коп.).
3) Цена 1 кг сливочного масла — 3 руб. 50 коп.
239
Так как 250 г — это кг, то стоимость 250 г равна
-^-стоимости 1 кг, т. е. 350 коп.:4 = 88 коп. (приблизи-
тельно).
Общая стоимость сметаны, творога и масла 62 коп.+]
Я-68 коп.+ 88 коп. = 218 коп., или 2 руб. 18 коп.
277. По следующим кратким записям прочтите зада-
чи полностью и решите их:
1) 2 кг керосина — 13 коп.
16 № „ — ?
2) 200 г подсолнечного масла —31 коп.
10 кг , » — ?
3) 2С0 г сливочного масла —70 коп.
3 кг „ - ?
(Эту задачу решите двумя способами.)
278. Таблица весового сбора за письма:
Вес письма Размер оплаты в копейках
простые заказные авиаписьма
простые заказные
До 20-г включительно 4 10 6 12
От 21 до 40 г 6 . 12 9 15
От 41 до 60 г 8 ’ 14 12 18
От 61 до 80 г 10 16 15 21
От 81 до 100 г 12 18 18 24
и т. д., прибавляя за каж- дые 20 г по 2 2 3 3
Пользуясь этой таблицей, ученики сначала под ру-
ководством учителя, а затем самостоятельно смогут со-
ставить различные задачи, связанные с посылкой писем.
Приведем примеры.
279. Ученики IV класса г. Астрахани переписываются
с учениками IV класса одной из школ г. Горького. Они
посылают в Горький по одному письму в месяц, начиная
с сентября и кончая маем. Подсчитайте расход на по-
сылку писем в течение учебного года при условии, что
240
вес каждого письма не будет превышать 20 г и что три
раза в год (к празднику Великого Октября, к Новому
году и к 1 Мая) письма будут посылаться заказные
(с вложением рисунков).
Указание. Формула решения: х = (4-6+40-3) коп,
(без стоимости конвертов и бумаги).
280. Ученики IV класса одной из школ г. Астрахани
переписываются со школьниками города-героя Севасто-
поля и посылают им по одному письму в месяц в тече-
ние всего учебного года с сентября по май. Определите
расход на посылку писем в течение учебного года, если
из всех писем 4 письма (к дню Великого Октября, к Но-
вому году, к Международному женскому дню и к
1 Мая) будут посланы заказными (с подарками—ри-
сунками учащихся). Эти письма будут весить от 21 до
40 г каждое, а конверты будут покупаться художествен-
ные (с марками). Составьте формулу решения.
У к а з а н и е. Надо обратить внимание детей на то,
что письма, весящие более 20 г, оплачиваются дороже
(см. таблицу тарифов). Формула решения: х=(5-5 +
+13-4) коп.
281. Подсчитайте расход на посылку простых авиа-
писем: трех писем весом до 20 г, двух — до 40 г, двух —
до 60 г, двух — до 80 г. Конверты для всех этих писем
будут закуплены с марками ценой по 7 коп. (цена кон-
верта 1 коп., цена марки 6 коп.). Составьте формулу
решения.
Указание. Формула решения: х — (7-3+ 10-2-1-
+ 13-2+16-2) коп.
282. Подсчитайте расход на посылку заказных авиа-
писем: трех весом до 20 г, двух — до 40 г, д.вух — до
60 г, двух — до 80 г. Конверты с марками для всех этих
писем будут закуплены ценой по 7 коп.
Ответ. Общая сумма сметы расходов на посылку
девяти заказных авиаписем 1 руб. 44 коп.
У к а з а н и е. Желательно, чтобы учащиеся выполни-
ли подсчет двумя способами — или по формуле:
12-3+15-2+18-2+21-2= 144, или по формуле:
х = (7-3+5-3) + (7-2+8-2) + (7 • 2+11 • 2) + (7 • 2 +14 - 2) «
= 144 (коп.).
Как известно, телеграммы обыкновенные . и срочные
оплачиваются различно. Оплата за обыкновенную теле-
грамму исчисляется по следующей формуле: стоимость
9 Заказ П87 241
телеграммы равна 3 коп., умноженным на число слов
телеграммы, плюс 10 коп., или
С=3-х+10,
где стоимость телеграммы обозначена буквой С, число
слов — буквой х, 3 (коп. — цена одного слова,
10 (коп.)—подепешная плата, которая остается одина-
ковой для любой телеграммы.
Предложите ученикам по этой формуле вычислить,
например, стоимость телеграммы, извещающей о при-
езде: «Москва 3-й Нижний Лихоборский проезд дом 11
квартира 4 Красновой
Буду Москве двенадцатого вагон 6
Синицын»
Эта телеграмма (вместе с подписью и адресом) со-
держит 16 слов. Чтобы вычислить ее стоимость, подста-
вим в формулу вместо х число 16 и произведем указан-
ные в ней действия: 3 коп.-16+10 коп. = 58 коп. Следо-
вательно, пересылка телеграммы в 16 слов стоит 58 коп.
283. Вычислите по указанной формуле стоимость те-
леграммы в 12, 15, 20 и 25 слов.
Решение. С]2 = 3 коп.-12+10 коп. = 46 коп.
Таким же образом Cis = 55 коп., С2о=7О коп.;
Сгб = 85 коп.
284. Вычислите по той же формуле стоимость теле-
граммы в 18, 36, 40, 45 слов.
285. Определите расход на посылку трех телеграмм.
Число слов для телеграмм подберите сами.
Указание. Желательно, чтобы дети самостоятель-
но составили тексты, адреса и подписи для телеграмм.
Полезно достать бланки для телеграмм и научить детей
заполнять их.
Стоимость срочной телеграммы вычисляется по сле-
дующей формуле: стоимость телеграммы равна 10 коп.,
умноженным на число слов телеграммы, плюс 10 кои.,
ИЛ и с 1 л । 1 л
С = 10-х-F 10 коп.
За телеграмму, приведенную выше (в 16 слов), если
ее послать как срочную, придется заплатить:
= 10 коп.-16+10 коп. = 170 коп.= 1 руб. 70 коп.
286. Вычислите по приведенной формуле стоимость
срочных телеграмм в 12, 15, 20, 25 слов.
Решение. Cis=10-15+10 коп.= 160 коп. и т. д.
242
287. Вычислите по той же формуле стоимость сроч-
ных телеграмм в 18, 36, 40, 45 слов.
288. Вычислите стоимость расходов на посылку трех
телеграмм, обыкновенной и двух срочных. Число слов
для телеграмм подберите сами.
289. Сын прислал матери денежный перевод на
25 руб. Подсчитайте стоимость пересылки денег по теле-
графу, если за каждый рубль пересылаемой суммы на-
до заплатить 2 коп. и за телеграмму 1 руб.
Указание. Стоимость телеграфного перевода вы-
числяется по формуле: 2 коп.-zi+l руб., где п—сумма
пересылаемых денег в рублях, если эта сумма менее
30 руб.; если посылается от 30 до 50 руб., то подепеш-
ная плата берется в размере 1 руб. 50 коп.; если 50 руб.
и выше, то 2 руб.
В данном случае 2 коп.-25+100 коп. = 150 коп.=
= 1 руб. 50 коп. Надо научить детей заполнять бланк
телеграфного перевода и пояснить им, что деньги не пе-
ресылаются, а посылают только телеграфное распоря-
жение почтовому отделению, куда переводят деньги, по-
следнее извещает адресата о поступлении на его имя
денежного телеграфного перевода.
290. Подсчитайте стоимость пересылки денежных те-
леграфных переводов на следующие суммы; 1) на
35 руб.; 2) на 50 руб.; 3) на 100 руб.; 4) на 275 руб. На
один перевод (по выбору) по всем правилам заполните
бланк телеграфного перевода.
Ответ. 1) 2 коп.-35 + 150 коп. = 220 коп.;
2) 2 коп.-50 + 200 коп. = 300 коп.;
3) 2 коп.-100 + 200 коп. = 400 коп.;
4) 2 коп.-275+ 200 коп. = 750 коп.
Указание. Чтобы решить эту задачу в классе, учи-
тель накануне предлагает учащимся после уроков зайти в
ближайшее почтовое отделение и взять там бланки для
телеграфного перевода. На уроке после объяснения
учитель предлагает каждому из учеников самостоятель-
но заполнить бланк (или дает такую работу на дом).
Аналогичную работу можно организовать по заполне-
нию бланков для перевода денег по почте и составить
ряд задач на эту тему.
291. Ученики выращивают двух кроликов и заготав-
ливают для них на зиму корм. На- период с 1 сентября
9* 243
до 1 мая заготовлены следующие продукты из расчета
на каждого кролика в сутки: 1) корнеплодов (морковь,
свекла) —по 75 а; 2) кукурузных зерен — по 25 а; 3) ов-
са— по 20 г; 4) сена — по 200 г. Подсчитайте, сколько
заготовлено каждого продукта в отдельности. Составьте
формулу решения.
292. В бригаде колхоза запланированы под посевы
зерновых культур следующие участки: под яровую
пшеницу — 24 га, под озимую рожь—15 га, под овес —
8 га, под кукурузу—14 га. Подсчитайте, сколько кило-
граммов зерна потребуется на каждый участок в отдель-
ности, если средняя норма высева на 1 га составляет
для яровой пшеницы 230 кг, для озимой ржи—180 кг,
для овса — 200 кг, для кукурузы — 45 кг.
293. В колхозной бригаде запланировано отвести
участки: под картофель—15 га, под свеклу — 8 га, под
морковь — 3 га. Подсчитайте, сколько потребуется по-
севного материала для каждой культуры в отдельности,
если средние нормы высева на 1 га составляют для
картофеля — 30 ц, для свеклы—16 кг, для моркови —
5 кг.
294. Для учеников III класса запланирована экскур-
сия. В связи с этой экскурсией потребуются следующие
расходы: 1) оплата билетов за проезд на трамвае от
школы до автобусной остановки и обратно — от речной
пристани до школы; 2) оплата проезда на автобусе по
15 коп. с человека; 3) оплата обратного проезда на ка-
тере по 12 коп. с человека. Подсчитайте расходы на эту
экскурсию, если в ней будут принимать участие 28 уче-
ников и учительница. Найдите наиболее короткое реше-
ние этой задачи.
Указание. Задачу можно решить двумя действи-
ями:
1) 15 коп.+ 12 коп.+ 6 коп.=33 коп. — столько дол-
жен израсходовать каждый участник экскурсии (туда
и обратно);
2) 33 коп.-29 = 957 коп.=9 руб. 57 коп.
295. 28 учеников IV класса сельской школы и учи-
тельница совершают однодневную экскурсию в город.
Подсчитайте стоимость этой экскурсии, если билет по-
ездом в один конец стоит 24 коп., на питание каждому
нужно по 45 коп. и на проезды на трамвае— по 12 коп.
Ответ. Стоимость экскурсии 29 руб. 40 коп.
244
296. Жители одного дома получают ежемесячно счет
за пользование водой: с мая по сентябрь по 1 руб.
24 коп. в месяц и с октября по апрель по 96 коп. в ме-
сяц. Подсчитайте, какую сумму денег в год платят жи-
тели этого дома за воду.
Ответ. 12 руб. 92 коп.
297. Квартирный электросчетчик 1 сентября показы-
вал 4237 квт-ч, а 30 сентября 4326 квт-ч. Подсчитайте,
на какую сумму в этой квартире израсходовано электро-
энергии в сентябре согласно показаниям счетчика, если
цена 1 квт-ч составляет 4 коп.
Ответ. На 3 руб. 56 коп.
Указание. Желательно показать детям электро-
счетчик и объяснить, как он работает (считает квт-ч).
298. Заметьте по школьному электросчетчику на пер-
вое и последнее числа какого-нибудь месяца число ки-
ловатт-часов. По этим данным определите расход элект-
роэнергии в школе в этом месяце. По своему домашне-
му счетчику, если он имеется в квартире, поучитесь оп-
ределять расход электроэнергии в сутки, в неделю, в
месяц.
299. Подсчитайте, сколько будет стоить 28 бутербро-
дов (по одному на каждого ученика в классе), если для
одного бутерброда берется -g- часть булки стоимостью в
6 коп. и 20 г сливочного масла по цене 3 руб. 20 коп.
за 1 кг.
Ответ. 1 руб. 96 коп.
300. Подсчитайте, сколько стоит 1 кг варенья, если
на его приготовление пошло сливы 2 кг по 40 коп. за
килограмм, 2 кг 500 г сахарного песка по 78 коп. за ки-
лограмм и при варке сожжено керосина на 8 коп. Ва-
ренья получилось 3 кг. Составьте формулу решения.
Указание. Формула решения: х~ (40-2 + 78-2 +
+ 78:2+.8):3=94 (коп.).
ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
301. Подсчитайте, сколько клеток тетрадочной бума-
ги будет занимать прямоугольник, длина которого 4 см,
а ширина на 1 см меньше. Постройте такой прямо-
угольник.
Ответ. 48 клеток.
302. Какой будет периметр прямоугольника, если его
245
составить из трех квадратов: сторона одного из них
6 см, а стороны двух других по 3 сл? Постройте такой
прямоугольник.
Ответ. Периметр 30 см.
303. Какая фигура получится, если приложить одну
к другой 3 ленты длиной по 40 см, а шириной по 3 см
каждая, причем, прикладывая, соединять длинные сто-
роны лент? Каков, будет периметр этой фигуры? Пост-
ройте эту фигуру.
Ответ. 1) Прямоугольник. 2) Периметр его 98 см.
304. Ученик вышел из дома в школу. Пройдя 250 м,
он возвратился домой за оставленной тетрадью и за-
тем пришел в школу. Когда он пошел из школы обрат-
но домой, то, пройдя 50 м, возвратился в школу, так
как вспомнил, что ему нужно было остаться на занятия
кружка. Какое расстояние ученик прошел в школу и
обратно, если школа находится от его дома в 600 м?
На сколько метров ученик прошел больше, чем нужно
было, из-за своей забывчивости? Сделайте иллюстрацию
условия этой задачи.
Ответ. 1800 м, на 600 м больше.
305. Когда на новогодней елке Деда Мороза спроси-
ли, сколько ему исполнилось лет, он сказал: «Если
взять наименьшее четырехзначное число и прибавить к
нему 97 десятков и одну единицу, то получится ответ на
заданный вопрос». Сколько же лет исполнилось Деду
Морозу?
Ответ. 1971 г.
306. Когда в школьную библиотеку вошла группа
учеников, библиотекарь сказал: «Мы сделали 12 полок,
ла каждой полке 12 отделений и в каждом отделении
положено по 12 книг. Кто из вас решит устно, сколько
на этих полках книг, тому первому я выдам книгу».
Сколько же книг было на 12 полках?
307, В ящике лежало 64 кубика. Пятеро мальчиков
договорились вынимать из ящика по очереди по поло-
вине имеющихся в ящике кубиков. Первый взял полови-
ну от 64 кубиков, второй вынул половину оставшихся
там кубиков и т. д. Сколько кубиков' пришлось вынуть
пятому мальчику?
Ответ. 2 кубика.
308. Известно, что космонавт Андриян Николаев па
космическом корабле «Восток-3» пробыл в космическом
246
пространстве 95 ч,-сделав за это время 64 оборота (вит-
ка) вокруг Земли и пролетев 2 600 000 км. Составьте
самостоятельно задачи по этим данным.
Указание. Учащиеся могут, например, вычислить
скорость космического корабля (2 600 000 /см: 95, около
27 400 км в час), могут узнать длину 1 витка (оборота
вокруг Земли, 2 600 000 км:64 = 40625 км) и т. п.
309. Нужно сложить десять слагаемых:
100 021 + 100022 '+' 100023 +) 100024 + 100025 +
1С0 026 + 100 027 + 100 028+100 029 + 100 030.
Сумму этих десяти слагаемых можно найти очень
быстро при помощи устных вычислений. Для этого до-
статочно сложить только два данных числа и сумму их
умножить на некоторое однозначное число. Догадай-
тесь, какие из этих чисел надо сложить и на сколько
умножить, чтобы получить сумму всех десяти чисел.
Проверку решения сделайте на счетах.
Указание. Так как в данном ряду слагаемых сум-
ма крайних чисел и сумма чисел, равноудаленных от
концов ряда, одинаковы (100021 + 100030=100022+
100029 =100023+100028=100024+100027=100025 +'
+ 100 026) и таких сумм всего 5, то достаточно одну из
этих сумм, т. е. 200 051, умножить на 5, чтобы получить
сумму всех десяти слагаемых 1 000 255.
310. Решите таким же путем:
10102 + 10104 + 10 106 + 10 108 + 10 110+10112+]
+.10 114+ 10 116+10 118+10 120+10 122+10 124.
Решение проверьте на счетах.
Указание. Для решения этого примера достаточ-
но вычислить (10 102+10 124)-6, т. е. 20226-6, что так-
же можно сделать устно.
311. Составьте сами несколько примеров на сложе-
ние, подобных предыдущим упражнениям, решите их
указанным способом. Решение проверьте на счетах.
Указание. В приведенных примерах для решения
указанным способом предлагались такие слагаемые, из
которых каждое следующее больше предыдущего на
постоянное число (на 1, на 2, на 3 и т. д.), т. е. требова-
лось найти суммы арифметических прогрессий. Таких
сумм можно составить сколько угодно, и все их можно
находить указанным способом.
247
312. Бюджет (приходно-расходная смета) СССР вы-
ражается в десятках миллиардов рублей. А знаете ли
вы, как велико число миллиард? Может ли один чело-
век сосчитать по порядку до миллиарда? Подсчитайте,
сколько вам потребуется времени, чтобы сосчитать по
порядку до миллиарда, если вы будете в каждую се-
кунду называть одно число и считать по 6 ч в день.
Указание. Для решения этой задачи ученику по-
требуется 1 000000 000 сек превратить в часы. Разде-
лив затем полученное число на 6 ч, получим число су-
ток, необходимое для счета до 1 миллиарда.
313. Если миллиард человек станут плечом к плечу,
то какой длины получится ряд? Уместятся ли все эти
люди в одном ряду по экватору Земли?
Указание. Экватор надо показать на глобусе,
г Если считать, что каждый человек займет полметра,
то все вместе займут 500 000 000 м, или 500 000 км. Если
растянуть такой ряд по экватору, то этот ряд опояшет
нашу Землю более 12 раз (500 000 км: 40000 км).
314. Численность населения СССР на 1 января
1968 г. составляла 237 000 000 человек. Если столько
людей поставить плечом к плечу в один ряд и считать,
что по длине одного метра установится два человека,
то какой длины получится этот ряд? Хватит ли для него
расстояния от западной до восточной границы СССР?
Указание. Этот ряд получится длиной
237 000000 м:2 = 118 500 000 м или 118 500 км. Ряд такой
длины больше, чем в 10 раз превышает расстояние от
западной до восточной границы СССР и приблизитель-
но в 3 раза превышает длину экватора земного шара.
315. Как известно, сердце человека бьется непрерыв-
но. Подсчитайте, сколько ударов сделает сердце чело-
века с момента его рождения до 72 лет жизни, если в
среднем оно делает один удар в секунду.
Указание. Как подсчитывать количество високос-
ных лет в числе 72, подсказывать не надо. Все решение
сводится к раздроблению годов в секунды. Так как в 72
годах 4 года содержится 18 раз, то, следовательно, число
Дней в 72 годах можно подсчитать так: 365 дн.Х72 +
4-18 дн.=26298 дней. Далее 24 «-26298 = 631 152 «;
3 600 сек-631 152 = 2 272 147 200 сек. Следовательно, за
72 года сердце сделало 2 272 147 200 ударов.
248
316. Ученик составил из 64 клеток листа тетради че-
тырехугольник, длина и ширина которого одинаковы:
Какая это фигура? Определите ее площадь в квадрат-
ных сантиметрах и периметр (принимая длину двух
клеток равной 1 см). Преобразуйте эту фигуру в пря-
моугольник так, чтобы длина его была вдвое больше
ширины, и определите его площадь и периметр. Сделай-
те чертежи этих фигур.
Указание. Эту задачу лучше задать на дом. Мож-
но порекомендовать решить эту задачу на квадратах,
вырезанных из тетради, при этом намекнуть, что лучше
взять квадраты не в одну клетку, а больше. Некоторые
ученики вырежут квадраты в 4 клетки, т. е. квадратные
сантиметры, и тогда они будут располагать только 16
квадратами, с помощью которых легко решить задачу
сначала непосредственным накладыванием квадратов, а
зат^м сделать чертеж и дать арифметическое решение.
317. Ученику дано задание сделать из досок квад-
ратное сиденье табуретки так, чтобы периметр квадра-
та составлял 196 см. Для приготовления этого сиденья
ученик 196 см разделил на 4, получил 49 см. Затем он
отпилил и обтесал 7 досок длиной по 49 см и шириной
по 7 см. Сбив эти доски на 2 планки, он получил си-
денье. Требуется: 1) проверить, отвечало ли это сиденье
заданному условию; 2) определить площадь каждой
доски, из которых сбито сиденье, и площадь всего си-
денья; 3) найти площадь сиденья по стороне квадрата;
4) составить задачу, похожую на эту.
318. Я задумал число. Если к нему прибавить наи-
большее четырехзначное число и затем умножить на 100,
то получится наименьшее семизначное число. Какое чис-
ло я задумал? Когда решите, придумайте сами такую
же задачу и решите ее.
Указание. Как известно, задачи такого вида ре-
шаются с конца, в обратном порядке: наименьшее семи-
значное число 1 000000; 1 000 000:100=10 000; 10000—
—9999=1. Значит, задумана 1.
319. Если задуманное число умножить на четверть
наименьшего четырехзначного числа, а затем разделить
на 125 и прибавить 9996, то получится наименьшее пя-
тизначное число. Какое число задумано? (отв.: 2).
После решения составьте сами такую же задачу и
решите ее.
249
320. Самыми легкими из всех строительных мате-
риалов являются так называемые пенопласты, приме-
няющиеся в авиации, автомобиле- и судостроении.
Сколько килограммов будет в кубическом метре пено-
пласта, если пенопласт в 100 раз легче воды?
321. Один тонкий стакан вмещает четверть литра хо-
лодной воды, вес которой равен 250 г. Сколько стака-
нов будет в 25 л воды и сколько килограммов в 25 л
воды? Как это проверить?
322. В у^-сек. Земля в своем движении вокруг Солн-
ца пролетает в пространстве 3 км. Сколько километров
пролетит она в 1 сек? в 1 мин? в 1 ч? в 1 сут,?
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО ИЗУЧЕНИЮ МЕР
В III классе все изученные меры надо привести в
систему. В доступной для детей форме разъяснить, по-
чему сама система мер называется метрической, какие
в этой системе установлены правила для полных и со-
кращенных (стандартных) наименований.
Необходимо добиться, чтобы ученики при решении
задач и примеров правильно ставили наименования
метрических мер. Сокращенные наименования ставятся
только при числах, если же в плане решения задачи
имеются, например, вопросы: «Сколько-километров про-
шли оба поезда?» или «Сколько литров в ведре?» — то
в таких случаях наименования метрических мер надо
писать полностью.
Значительную часть работ по измерению отрезков
в III классе надо вынести за стены классной комнаты.
В этом случае ученики, объединенные в звенья, могут
самостоятельно проделать ряд практических работ:
1) определение средней длины своего шага (каждый
ученик после определения записывает длину шага в
тетрадь или в записную книжку); 2) глазомерные изме-
рения расстояний между двумя пунктами (с проверкой
шагами, рулетками, мерными веревками, с помощью
часов); 3) провешивание прямой; 4) построение прямо-
угольников и квадратов.
Каждое звено должно иметь все необходимые ин-
струменты и измерительные приборы (вехи, колышки,
деревянные молотки для забивки колышков, веревку
260
или рулетку, полевой циркуль), большинство из которых
делают сами ученики. Всем звеньям задается одинако-
вая программа работ.
При повторении мер не только желательно, но и не-
обходимо вновь провести ряд практических упражнений
по взвешиванию, причем предварительно надо ознако-
мить детей с различными видами весов (пружинными,
чашечными, десятичными). Проводить взвешивание
следует в связи с решением задач и примеров на дей-
ствия с составными именованными числами. Выполняется,
скажем, упражнение: 3 кг 750 г + 2 кг 450 г = 6 кг 200 г,
и оно же проверяется затем на весах, при этом взвеши-
вать можно картофель, пшеницу, ячмень, овес и т. п.
Порядок работы такой: пример пишется на доске, весы
стоят на столе, один из учеников решает пример на до-
ске, все остальные у себя в тетрадях, а затем двое уче-
ников, вызванных учителем, производят взвешивание.
Аналогично решаются и несколько примеров на сло-
жение или вычитание составных именованных чисел, вы-
раженных в единице объема (2л + -^л). В течение ряда
уроков, на которых решаются такие примеры или зада-
чи, все ученики класса проходят практику.
Очень полезно решение примеров на сложение и вы-
читание составных именованных чисел соединить с рабо-
той на счетах. В этом случае хорошо бы достать насто-
ящие счета или копии этих счетов на отправленные то-
вары, в которых требуется сделать проверку правильно-
сти итога.
ПОНЯТИЕ О СИММЕТРИИ ФИГУР
323. Начертите на отдельном листке бумаги тре-
угольники:
1) равнобедренный, основание и высота которого по
4 см (см. чертеж слева);
251
2) равносторонний, длина каждой стороны которого
4 см (см. чертеж справа), и проведите в нем высоту.
Вырежьте эти треугольники, перегните их по высоте
и посмотрите, совмещаются ли боковые стороны и части
оснований этих треугольников.
Если вы правильно начертили и правильно вырезали
эти фигуры^ то боковые стороны и половины оснований
должны непременно совместиться при перегибе по вы-
соте. Такие; фигуры называются симметричными отно-
сительно своей оси, а осью симметрии здесь будет высо-
та треугольника, по которой сделан перегиб.
Фигуры, у которых одна половина при перегибе по
оси совмещается с другой, называются симметричными
относительно оси, а прямая, по которой эти половины
перегибаются, называется осью симметрии,
324. Начертите в тетрадях два треугольника: один —
равнобедренный, другой — равносторонний (размеры
подберите по своему усмотрению) —и проведите на них
оси симметрии.
1) Можно ли сказать, что левая вершина каждого
треугольника находится на таком же расстоянии от оси
симметрии, как и правая?
2) Можно ли сказать, что каждая точка левой сторо-
ны находится на таком же расстоянии от оси симмет-
рии, как и соответствующая ей точка правой стороны
треугольника? Как найти эти соответствующие или
симметричные точки?
Указание. Дети должны догадаться, что для на-
хождения симметричных точек относительно оси надо
провести прямую под прямым углом к оси (перпенди-
кулярно оси); точки пересечения этой прямой с боковы-
ми сторонами треугольника и будут симметричными
(см. чертеж,
В
на
С
котором показано, что в треугольнике
АВС отрезок ВД — ось симметрии,
а точки п, п симметричны отно-
сительно этой оси, так как они ле-
жат на перпендикуляре к оси и на
равном расстоянии от оси).
325. а) Начертите прямоуголь-
ник и квадрат на отдельном листке
тетради. Размеры их можно взять
любые. Пусть, например, стороны
прямоугольника будут 4 см и 3 см,
252
сторона квадрата 3 см. Вырезав эти фигуры и пере'
гнув пополам, как показано на чертеже, мы заме*
тим, что линии сгиба в этих фигурах являются ося-
ми симметрии, так как правая половина каждой фи-
гуры полностью совмещается с левой половиной: точка
В совместится с точкой А, точка С — с точкой Д, отре-
зок МВ — с отрезком МА, отрезок НС — с отрезком НД
и весь правый прямоугольник (МВСН) совместится с
левым (МАДН). Значит, МН, проведенная в прямо-
угольнике и квадрате через срединные точки М и Н,
является осью симметрии прямоугольника и квадрата.
б) Через середины каких сторон можно еще провес-
ти прямые в прямоугольнике и квадрате, чтобы полу-
чить симметричные половины фигур? Начертите на от-
дельном листке снова такие же (или произвольных раз-
меров) фигуры, вырежьте их, перегните пополам, най-
дите оси симметрии, сделайте чертежи и обозначьте на
них новые оси симметрии. Какие половины фигур теперь
будут симметричными?
Указание. Дети должны догадаться, что надо про-
вести оси симметрии параллельно длине (слева напра-
во), и тогда верхние половины фигур будут симметрич-
ны нижним половинам.
326. Нельзя ли найти в квадрате еще третью и чет-
вертую оси симметрии? Вырежьте еще два квадрата и
перегните их иначе, чем перегибали в предыдущей зада-
че, и покажите затем на чертеже третью и четвертую
оси симметрии квадрата. Практически докажите, что в
прямоугольнике не будет таких осей симметрии.
.253
Указание, Ученики проведут в квадратах диаго-
нали (см. черт.), каждая из которых является осью сим-
метрии квадрата,
327. Начертите на отдельном листке любым ради-
усом окружность, вырежьте круг и найдите в нем ось
симметрии. Будет ли полученная ось одновременно осью
симметрии круга и окружности? Начертите в тетрадях
три окружности разными радиусами, проведите в них
оси симметрии в разных направлениях.
Указание. В любом круге диаметр, проведенный
в каком угодно направлении, является осью симметрии
круга и окружности. Пусть дети убедятся в этом путем
перегибания круга в разных направлениях.
Симметрия часто наблюдается в окружающих нас
растениях и животных, в теле человека, в строительстве.
Предложите ученикам самим найти примеры сим-
метрии.
ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДИ. ЗАДАЧИ
Необходимо, чтобы модели единиц квадратных мер
ученики сделали сами из бумаги, картона или фанеры.
Начать изучение квадратных мер лучше с квадрат-
ного дециметра, чертеж которого хорошо помещается в
тетради. В левом нижнем углу квадратного дециметра
надо сделать чертеж квадратного сантиметра, в нем —
чертеж квадратного миллиметра (чертежи делаются ка-
рандашом). Все эти чертежи надо затушевать штриха-
ми различной плотности. Затем модели квадратного де-
циметра и сантиметра изготовляются детьми из плотной
бумаги, картона или фанеры. Тонкими линиями квад-
ратные дециметры должны быть разделены на квадрат-
ные сантиметры. Работу эту дети могут выполнять до-
ма. Если имеется возможность достать миллиметровую
бумагу, то еще лучше все эти единицы измерения — и
линейные и квадратные — показать на миллиметровой
бумаге, начертив на ней квадратный дециметр с деле-
ниями на квадратные сантиметры. Затем желательно
поручить группе учеников в 4—5 человек изготовить мо-
дель квадратного метра.'
Квадратный метр должен быть разделен на квад-
ратные дециметры, а в одном из углов сделан квадрат-
ный сантиметр и в нем квадратный миллиметр (для
сравнения мер),
254
Для лучшего освоения таких мер, как квадратные
миллиметр, сантиметр и дециметр, полезно решать прак-
тические задачи, в которых ученики будут непосредст-
венно иметь дело с этими мерами.
Приведем примеры задач.
328. Постройте в тетради при помощи линейки квад-
ратный сантиметр. Подсчитайте и запомните, сколько
клеток содержит один квадратный сантиметр. Ответь-
те устно, сколько клеток будут содержать 2 кв. см,
5 кв. см, 10 кв. см, 25 кв. см, 100 кв. см.
329. Постройте в тетради при помощи линейки квад-
рат со стороной 12 см 5 мм. Определите его площадь пу-
тем подсчета клеток и вычислением.
Указание. На стороне такого квадрата уложится
25 раз длина клетки тетради, следовательно, всех клеток
квадрат будет содержать 25-25 = 625. А так как каждые
4 клетки по площади равны одному квадратному санти-
метру, то, значит, площадь этого квадрата равна
625 кл.:4 кл.= 156-^- (кв. см), или 156 кв. см 25 кв. мм.
Так же примерно будут подсчитывать и ученики, только
при делении они получат одну клетку в остатке и сооб-
разят, что она составляет одну четверть квадратного
сантиметра.
Затем дети проверят свои подсчеты вычислением:
125 кв. мм • 125 = 15 625 кв. лш=156 кв. см 25 кв. мм.
Надо иметь в виду, что длина двух клеток только
приблизительно равна одному сантиметру.
330. Периметр квадратного листа бумаги 36 см.
Сколько квадратных сантиметров содержит площадь
этого квадрата? Сначала вычислите, а затем разрежьте
этот квадрат на квадратные сантиметры и разложите их
в один ряд. Какая получится фигура? Какова ее пло-
щадь? Каков периметр?
Указание. Так как у квадрата все стороны равны;
то каждая из них равна 36 ел: 4 = 9 см. Следовательно,
площадь этого квадрата равна 9 кв. сл-9 = 81 кв. см.
Построив этот квадрат на клетчатой бумаге (не в
тетради, а на отдельном листке), ученики разрежут его
на 9 полосок по 9 кв. см и приложат их одну к другой в
одну линию. Получится прямоугольник длиной 81 см и
шириной 1 см, площадь которого равна 81 кв. см. Пери-
метр же его равен 81 сл-2 + 1 см• 2 = 164 см.
255
Надо обратить внимание учащихся на то, что данный
квадрат и полученный прямоугольник имеют равные пло-
щади (они равновелики), периметры же их намного от-
личаются друг от друга. Вследствие этого, в случае уст-
ройства изгороди, на квадратную площадь потребова-
лось бу материала гораздо меньше, чем на такую же пло-
щадь в виде прямоугольника, не являющегося квадратом.
331. Вырежьте из клетчатой бумаги 16 кв. см и со-
ставьте из них квадрат. Каковы будут площадь и длина
стороны полученного квадрата?
Указание. В этой задаче задана площадь искомо-
го квадрата, она равна 16 кв. см. Найти длину его сто-
роны дети могут практически путем подсчета сантимет-
ров или рассуждая примерно так: сторона квадрата
должна быть равна 4 см, так как
4 кв. слы4 = 16 кв. см.
332. На клетчатой бумаге начертите квадрат, пло-
щадь которого содержит 49 кв. см. Каковы стороны й
периметр этого квадрата?
Ответ. Сторона 7 см\ периметр 28 см.
333. Начертите квадрат, площадь которого 1 кв. см.
Определив длину его
4 см Зсм
стороны и периметр.
Ответ. 1 см\ 4 см.
334. Составьте прямоугольник
из двух квадратных сантиметров,
определите его площадь и пери-
метр.
Ответ. 2 кв. см~, 6 см.
335. Начертите фигуру из двух
квадратов, примыкающих друг к
другу так, чтобы их стороны в
4 см и 3 см лежали на одной
прямой (см. черт.). Найдите
площадь и периметр полученной
фигуры.
Ответ. Площадь фигуры ра-
вна 25 кв. см, а периметр 22 см.
336. Измерьте площадь шах-
матной доски и площадь каждо-
го квадрата на ней. Проверьте
вычислением.
337. Вырежьте из бумаги ква-
дратный дециметр, отрежьте от
S56
него квадрат со стороной 5 см, вычислите площадь ос-
тавшейся части и проверьте подсчетом квадратных сан»
тиметров.
Указание. Если от квадратного дециметра отре-
зать квадрат со стороной 5 см, то останется 75 кв. см.
На чертеже размеры уменьшены.
338. Начертите квадрат со стороной см. Какую часть
квадратного сантиметра составляет этот квадрат? Сколь-
ко квадратных миллиметров содержит этот квадрат?
Указание. На чертеже видно, что квад- -
рат со стороной -~-см (затушеванный) со-
1
ставляет -г кв. см. _____
4 -
Так как один квадратный сантиметр содержит
100 кв. мм, то квадрат со стороной см содержит
100 кв. мм : 4 = 25 кв. мм.
339. Начертите прямоугольник, периметр которого
20 см, а длина 7 см. Какова площадь этого прямоуголь-
ника?
340. Определите, какую площадь занимают все 24
страницы ученической тетради.
Указание. При измерении длины и ширины тетра-
ди у школьников могут получиться различные результа-
ты. Учитель это должен учесть и установить средние
(приблизительные) величины длины и ширины тетради.
Задачи 341—345 на нахождение двух чисел по их
сумме и отношению можно использовать для дифферен-
цированного обучения.
341. Ученик сделал чертеж прямоугольника, в кото-
ром длина втрое больше ширины, а сумма длины и ши-
рины составляла вместе 12 см. Постройте этот прямо-
угольник и определите его площадь.
Указание. Способы решения задачи
I. Способ частей.
1) Сколько частей составляют 12 см?
1 ч.+З ч.~4 ч.
2) Сколько сантиметров приходится на 1 часть?
12 с.ч:4 = 3 см — ширина прямоугольника.
3) Какова длина прямоугольника?
3 см-3 = 9 см — длина.
257
4) Какова площадь прямоугольника?
9-3=27 (кв. см).
Ответ. Площадь прямоугольника 27 кв. см.
Построение прямоугольника. Проведем прямую, от-
ложим на ней отрезок длиной 9 см и на его концах с по-
мощью угольников построим прямые углы. Отложив на
сторонах этих углов, как показано на чертеже, отрезки,
равные 3 см, соединим их концы. Полученный прямо-
угольник будет искомым.
II. Способ составления уравнения:
Обозначения
Ш—х
Д — Зх
ш + д = 12сл
Площадь— ?
Если обозначить ширину прямоуголь-
ника буквой х, то длину его надо обоз-
начить через Зх, так как она больше ши-
рины втрое. По условию задачи сумма
ширины и длины составляет 12 см. На
этом основании мы можем записать та-
кое уравнение: х + 3х=12.
Решая это уравнение, мы замечаем, что в левой его
части х + Зх (один х и 3 х) составляют 4х. Тогда урав-
нение запишем короче: 4х = 12, отсюда один х, или про-
сто х (как множитель), х= 12:4=3.
Итак, мы нашли, что х = 3 см, но х — это ширина пря-
моугольника (см. обозначения), следовательно, длина
его будет 3 сж-3=9 см, а площадь = 9-3=27 (кв. см).
Проверка решения задачи.
1) 9 cxi-ЬЗ см= 12 см — сумма длины и ширины, т. е.
полупериметр прямоугольника;
2) 9 см:3 см = 3 (раза) —длина больше ширины;
3) 27:9 = 3 (см)—ширина прямоугольника;
4) 27:3 = 9 (см)—его длина.
342. Совхоз заложил сад, имеющий вид прямоуголь-
ника, длина и ширина которого вместе- составляют
1440 м, причем ширина вдвое меньше длины. Сад обне-
258
Обозначения
Ш— ?
Д-?
Д + Ш= 1440
Площадь—?
Длина—?
сен изгородью. Определите: 1) площадь сада в гектарах;
2) длину всей изгороди.
Указание. Можно решить зада-
чу несколькими способами.
Для определения длины и ширины
сада можно применить способ частей,
способ проверяемого допущения и спо-
соб составления уравнения.
Способ составления уравнения.
Обозначения.
Д—2х
Ш-х
Уравнение. 2х+х=1440.
Решение уравнения. Зх=1440;
х— 1440:3=480 (xi)—ширина;
480 х«-2=960 м— длина сада.
Проверка длины и ширины.
1) 480 Л1 + 960 ai=1440 м (сумма длины и ширины,
или полупериметр).
2) 960 л«:480 м~2 (раза) —отношение длины к ши-
рине.
Переходим ко второй части задачи.
1) Площадь с ада = 960-480 = 460 800 (кв. м) =
. =46 га 800 кв. м.
2) Длину всей изгороди сада (его периметр) можно
определить различными способами, например:
1) /> = 2-960 + 2-480= 1920+960=2880 (м).
Если буквами а, Ъ обозначить длину и ширину сада
(прямоугольника), то эго решение сделано по формуле:
Р = 2а + 2Ь.
2) Можно определить длину изгороди (периметра
прямоугольника) но такой формуле:
Р=(а + Ь) -2= (960 + 480) -2=1440-2 = 2880 (ж).
3) Можно определить длину изгороди и по такой фор-
муле:
Р = а + Ь + а + 6 = 960 + 480 + 960 + 480 = 2880 (м).
4) Самое короткое определение периметра: 1440-2=
= 2880 (м), так как полупериметр прямоугольника в за-
даче дан.
: Необходимо, чтобы ученики умели рассказать о смыс-
ле каждой из этих формул.
259
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA