ЛИ-Маркушевич
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
В АРИФМЕТИКЕ И АЛГЕБРЕ
АКАДЕМИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
ИНСТИТУТ ПЕДАГОГИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА УЧИТЕЛЯ
А. И. МАРКУШЕВИЧ
ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
В АРИФМЕТИКЕ И АЛГЕБРЕ
Пособие для учителей, математики
средней школы
и студентов педагогических вузов
ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ НАУК РСФСР
Москва 1949. Ленинград
Редактор Д. А. Попов	Техн, редактор П. Г. Ислентьева
А10793. Сдано в произв. 25/VIII 1948 г. Подписано к печ. 23/ХП 1948 г.
Уч.-изд. 12,51. В 1 п. л. 38523 зн.	Тираж 10 000. Формат 60Х92у1в.
________________Цена 5 р. 65 к.________Заказ 1094_____________
Набрано в 13-й тип. треста .Полиграфкнига* ОГИЗа при Совете Министров
СССР. Москва, Денисовский, 30. Отпечатано в тип. Изд, АПН РСФСР,
Москва, Лобковский пер., 5/16.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта небольшая книга написана в качестве пособия для са-
мообразования учителя математики средней школы. Взяв
тему из курса средней школы (деление с остатком встре-
чается там в курсе арифметики, в «разделе о целых числах,
и в курсе алгебры, в разделе об операциях над многочле-
нами), автор поставил своей ближайшей целью — раскрыть
перед учителем математическое содержание относящихся
сюда вопросов.
Хорошо известно, что школьный курс алгебры > не яв-
ляется систематическим курсом основ какой-либо определен-
ной математической дисциплины и, в частности, не являет-
ся курсом основ науки алгебры. В его настоящем виде'
курс этот представляет своеобразный сплав первоначальных
сведений из алгебры (понймаемой как наука об алгебраи-
ческих операциях и их объектах) и анализа (понимаемого
как наука о функциях). Разумеется, школьный учебник не
может, да и не должен давать эти сведения в общем и раз-
витом виде. Рассчитываемый на ученика, он исходит из
предположения, что сам учитель обладает необходимыми
сведениями из других специальных источников. Но где они
эти источники? Подразумевается, что ими служат матема-
тические курсы, которые учитель прослушал в свое время,
в качестве студента педагогического, института или уни-
верситета. Действительно, курсы анализа и алгебры, входя-
щие в учебные планы этих высших учебных заведений, до-
ставляют, в сущности, все необходимое для углубленного
понимания школьного курса. Беда только в том, что от-
дельные темы школьного курса предстают перед студента-
ми как бы разъятыми на части; научное содержание одной
из них изучается в одном курсе, другой — в другом, треть-
ей — в третьем, а на столь необходимый синтез у сту-
дентов— будущих учителей—нехватает ни времени, ни сил..
Такой синтез должен был бы оставаться за специальным;
курсом элементарной математики, фигурирующим в учеб-
ных планах педагогических институтов; Однако постановка
з
преподавания этого предмета в педагогических вузах от-
нюдь не такова, чтобы за ним можно было спокойно оста-
вить решение важной задачи, которая здесь указана.
Вместе с тем автору хотелось бы думать, что настоя-
щая книжка может служить пособием к одному из разде-
лов серьезно поставленного курса элементарной математи-
ки в педагогическом вузе. Выбор темы для этой книги,
такой узкой на первый взгляд, произведен нами не случай-
но. Положение этой темы в преподавании служит хорошей
иллюстрацией к сказанному выше. Для овладения ею, в той
мере, которую мы вправе требовать от учителя полной сред-
ней школы, нужны сведения, содержащиеся (а порой толь-
ко подразумевающиеся) в программах следующих педву-
зовских курсов: анализа, высшей алгебры (включая сюда
небольшой курс так называемой современной алгебры, чи-
тавшейся до последнего года на старшем курсе), теории
чисел и теории функций комплексного переменного (кото-
рая в» 1947/48 учебном году была переведена в разряд
факультативных дисциплин).
Все необходимые сведения мы и сосредоточили в систе-
матическом виде в нашей книжке. Желая сделать ее воз-
можно более доступной и независимой от других изложе-
ний, мы обработали весь материал так, что от читателя
фактически требуется подготовка по математике, не выхо-
дящая за пределы курса средней школы. Этим мы стара-
лись достигнуть и другой цели — сделать нашу книгу до-
ступной и, по возможности, интересной для учеников стар-
ших классов школы — любителей математики.
Вся книга в целом или отдельные ее главы и пункты
могут быть использованы учителем для работы в школьных
математических кружках (VIII—X классы). Наконец, мы по-
лагаем, что учитель найдет в нашей книге немало матери-
ала ‘ для освежения стандартного школьного набора тем ал-
гебраических задач и упражнений.
Сделав из нашей книги маленькую монографию о деле-
нии с остатком, мы обращаем внимание читателя на то,
что предмет нами далеко не исчерпан. Достаточно указать
лишь на то, что, например, для целых чисел деление с
остатком и связанный с ним алгорифм Евклида, охватыва-
ет собой значительный раздел классической теории чисел.
Сюда же примыкают и непрерывные (цепные) дроби как
числовые, так и функциональные.
В связи с рекуррентными последовательностями, к кото-
рым приводит деление многочленов, появляются рекуррент-
ные уравнения, изучение которых, по существу, относится
к исчислению конечных разностей, представляющему само-
стоятельную математическую дисциплину. Мы старались во
всех указанных и других подобных им случаях ограничи-
вать себя, что бы, по возможности, достигать цельности и
единства в изложении. Читатель, который пожелает углу-
бить свои знания в каком-либо из направлений, лишь слегка
затронутых в этой книжке, найдет некоторые литературные
указания в конце ее.
Автор
Глава первая
КОЛЬЦА И ПОЛЯ. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ
1. Понятие кольца
Рациональные операции над многочленами (сложение,
умножение и обратные им: вычитание и деление) обнару-
живают большое сходство с операциями над целыми числа-
ми (к целым числам мы относим, наряду с положительны-
ми и отрицательными числами, также и число нуль). Сход-
ство это проявляется в том, что сложение, вычитание и
умножение многочленов и целых чисел выполняются во всех
случаях безотказно, подчиняясь одинаково формулируемым
правилам (так называемым законам ассоциативности и ком-
мутативности сложения и умножения - и закону дистрибу-
тивности), тогда как операция деления, вообще говоря, не
выполняется и приводит к делению с остатком.
Последняя операция обладает многим^ замечательными
'свойствами. На них основаны теории делимости и для це-
лых чисел и для многочленов, также весьма похожие одна
на другую. Так, например, два любых целых числа или два
многочлена всегда имеют наибольший общий делитель, ко-
торый можно находить посредством алгорифма Евклида;
каждое целое число или каждый многочлен могут быть
разложены на простые множители и притом одним только
способом и т. д. и т. п.
Все эти факты наводят на мысль, что должна суще-
ствовать единая теория, охватывающая теорию целых чисел
и теорию многочленов, как частные случаи. Такая теория,
составляющая одну из глав алгебры, действительно суще-
ствует. Ее изложению мы и посвящаем настоящую главу.
. Чтобы подчеркнуть общее в операциях и над целыми
числами и над многочленами, мы будем говорить сейчас
о рациональных операциях над элементами, принадлежа-
щими некоторому множеству элементов. Этими элементами
могут быть целые числа, многочлены или, быть может, еще
какие-либо математические объекты.
v Нас будут интересовать одни только законы операций.
Сложение мы будем обозначать знаком-}-, умножение зна-
ком-. Элементы, над которыми производятся операции,—бу-
квами латинского или греческого алфавита.
Итак, мы исходим из того, что в нашей совокупности
элементов для каждой пары элементов а и b определены
единственным образом их сумма а + b и произведение а ♦ Ь.
Как сумма, так и произведение являются также элементами
совокупности, йричем выполняются следующие законы дей-
ствий.
1.	Ассоциативный закон сложения:
а-Н*-Н) = («+*)-Н-
Этот закон избавляет нас от необходимости писать скоб-
ки, когда выполняется сложение более чем двух слагаемых.
Под а4-6-|-с мы можем с одинаковым правом подразуме-
вать и	и (а4-Ь)-}-с.
2.	Коммутативный закон сложения:
а-\- b = b-\-a.
3.	Существование решения х для уравнения
/	a-\-x—bt
при любых заданных элементах а и Ь.
Этот закон позволяет вычесть из любого элемента b лю-
бой элемент а, т. е. по сумме b и одному слагаемому а
определить другое слагаемое х.
4.	Ассоциативный закон умножения:
а • (Ь • с) = (а • Ь) • с,
позволяющий опускать скобки в произведении более чем
двух сомножителей; а • b • с рассматривается тогда с оди-
наковым правом и как а • (Ь • с) и как (а • Ь) • с. !
5.	Коммутативный закон умножения
а  b = b • а.
6.	Дистрибутивный закон
(а4-6) • с = а • с-|-6 • с.
Можно сказать, что для формулировки этих законов мы
приняли за образец законы действий над целыми числами
или законы действий над многочленами.
Совокупность элементов, для которых оп-
ределены операции сложения и умножения,
•	'	7
удовлетворяющие перечисленным законам, на-
зывается кольцом. Мы можем сказать, что как целые
числа, так и многочлены представляют собой кольца.
Из других примеров колец мы укажем кольцо комплекс-
ных чисел, кольцо действительных чисел, кольцо рацио-
нальных чисел.
Совокупность всех натуральных чисел не образует коль-
ца, так как здесь не выполняется закон 3. В самом деле,
уравнение 2 -|- х = 1 не удовлетворяется никаким натуральным
числом.
Возвращаясь к кольцу многочленов, мы внесем сейчас
некоторые уточнения.
Многочлены мы будем записывать, располагая их по убы-
вающим или возрастающим степеням буквы х, т. е. в виде
аяхл4-ал_1Хл-14-;---|-ав,	(1.1)
или
a0 + ajX-\--[-апхп.	(1.2)
При этом мы будем, по желанию, вводить или опускать
члены с коэффициентами, равными нулю. Впрочем, в том
случае, когда коэффициенты всех членов без исключения
равны нулю, мы не будем опускать их полностью в записи
многочлена, но оставим член а9 = 0. Соответствующий мно-
гочлен мы будем называть тождественным нулем. Два
многочлена, представленные в виде (1.1) или (1.2), будут
рассматриваться как тождественные или равные, т. е. как
один и тот же многочлен тогда и только тогда, когда в них
попарно• равны коэффициенты при одинаковых степенях х
(для степеней х, отсутствующих в записи многочлена, ко-
эффициенты принимаются равными нулю).
Равенство двух многочленов будем выражать знаком =.
Так, например,
14-х2«=0-х8-{-х«+0-х + 1, 0-1+0-х’ = 0.
Среди тех членов многочлена, которые имеют отличные от
нуля коэффициенты, мы будем различать член с-наивысшим
показателем степени—старший член многочлена и член
с наинизшим показателем степени—младший член много-
члена. Показатель степени старшего члена мы будем назы-
вать степенью многочлена. Так, в многочлене
0-|-0 • х+х2+х8+0 • л4
младший член есть х2, старший — х® и степень многочлена
равна 3.
Многочлены нулевой степени могут быть записаны в ви-
де: а0, где коэффициент а9 0. Для них а0 одновременно
является и старшим и младшим членом. Многочлены нуле-
8
<
вой степени мы будем называть иногда константами. То-
ждественный нуль, согласно с нашим определением, не имеет
ни старшего, ни младшего члена, так как у него, вообще,
нет ни одного члена с отличным от нуля коэффициентом.
Поэтому к нему неприменимо непосредственно определе-
ние степени многочлена (где речь идет о старшем члене).
Мы условимся говорить, что тождественный нуль есть мно-
гочлен степени — 1. Здесь выбор ч'исла — 1 сделан лишь
потому, что это ближайшее к 0 меньшее число, и мы хотим
подчеркнуть, что степень тождественного нуля еще ниже,
чем степень многочлена нулевой степени.
Операции над многочленами мы будем считать извест-
ными из алгебры. Отметим здесь только, что степень сум-
мы или разности двух многочленов не превосходит наи-
большей из степеней этих многочленов и что младший и
старший члены произведения получаются, соответственно,
путем умножения младших и старших членов множителей,
откуда вытекает, что степень произведения равна сумме
степеней множителей. Последнее, впрочем, верно лишь в
той мере, в какой можно говорить о старших членах множи-
телей, т. е. в случае, когда ни один из множителей не ра-
вен тождественному нулю. Тогда и произведение получает-
ся, не равное тождественному нулю, так как его степень,
равная сумме неотрицательных чисел, будет также неотри-
цательной. Если же один из множителей есть тождественный
нуль, то тогда, как известно, и произведение есть тожде-
ственный нуль.
Говоря в дальнейшем о кольце многочленов, мы будем
.в нашей книге иметь в виду один из следующих трех слу-
чаев:
1)	Коэффициенты многочленов—произвольные комплекс-
ные числа (в частности, действительные). Мы будем гово-
рить тогда о кольце многочленов с комплексными коэффи-
циентами.
2)	Коэффициенты многочленов произвольные действитель-
ные числа (в частности, рациональные). Мы будем говорить
тогда о кольце многочленов с действительными коэффици-
ентами.
3)	Коэффициенты многочленов произвольные рациональ-
ные числа (в частности, целые). Мы будем говорить тогда
о кольце многочленов с рациональными коэффициентами.
Все эти кольца являются различными, однако, между ни-
ми имеется простое соотношение, выражающееся в том,
что третье из них содержится во втором, а второе—в пер-
вом. Это следует из того, что каждый элемент третьего
кольца, т. е. многочлен с рациональными коэффициентами,
является также и элементом второго и первого кольца.
Точно так же каждый элемент второго кольца, т. е. мно-
9

гочлен с действительными коэффициентами является также
и элементом первого кольца.
Конечно, возможны и другие кольца многочленов, на-
пример, кольцо многочленов с целыми коэффициентами, коль-
цо многочленов с четными целыми коэффициентами и т. п.
Однако в дальнейшем изложении мы не будем ими зани-
маться по причине, которая выяснится в связи с рассмо-
трением операции деления.
2.	Основные свойства кольца
Из перечисленных законов кольца вытекает ряд важных
следствий, которые мы сейчас разберем по порядку.
Следствие 1 (существование нуля). Вовсяком коль*
це существует единственный элемёнт, назы-
ваемый нулем кольца, сумма которого с любым
элементом а равна я.
В самом деле, пусть а какой-нибудь элемент. Рассмотрим
уравнение я-(-х=а. В силу закона 3 существует некото-
рый элемент х = м, удовлетворяющий этому уравнению:
а-\-п=а. Покажем, что и для любого другого элемента а'
будет выполняться соотношение: а' -\-п = а'. Действитель-
но, в силу закона 5 существует элемент у такой, что
a-j-y=a'. Следовательно,
ях -J- п = (а -|- у) -|- п — (у—[-я) ~j~u=y -J- (я -|-/i) = jj-j- а —
= афу—а'.
Итак, я'-(-п = я'. Покажем, наконец, что найденный
нами элемент п является единственным элементом кольца,
обладающим указанными свойствами. Рассуждая от против-
ного, допустим, что существует еще один элемент ti такой,’
что а-\-п—а, для любого а. Тогда, в частности, «-|-п'=
=п. Но, с другой стороны, ri -\-n=ti (это получается из
соотношения а-\-п = а, при я = п'). Следовательно, л = л-f-
-\-п' =п'-\-п = п', что и требовалось доказать. Мы убеди-
лись, таким образом, что в любом кольце существует един-
ственный нуль п. В случае кольца целых чисел нулем
является число 0:и = 0. В случае кольца многочленов нулем
является многочлен, все коэффициенты которого равны нулю,
т. е. тождественный нуль.
Необходимо хорошо усвоить, что нуль в кольце чисел
(число нуль) и нуль в кольце многдчленов (тождественный
нуль) — это различные понятия. Первый есть число, вто-
рой—многочлен. Если хотя бы один из коэффициентов много-
члена отличен от нуля, то многочлен уже не является нулем
в кольце многочленов, ибо, складывая его с произвольным
многочленом а, мы получим в сумме многочлен ci фа (раз-
личие будет, по крайней мере, в одном коэффициенте). Однако, ч
при специальных значениях х, наш, не являющийся нулем,
ю
многочлен, .может принимать нулевое значение (например,
х2—1, при х = ±1).
Следствие 2(существование противоположного элемента).
Для каждого элемента а существует противо-
положный ему элемент (—а) такой, что а+(—а)=
= п (п — нуль кольца).
Существование противоположного элемента немедленно
вытекает из применения закона 3 к уравнению а-|-х = п.
Следствие 3 (однозначность вычитания). Для каждой
пары элементов а и b существует только один
элемент х, удовлетворяющий соотношению:
а-[-х — Ь.
Из закона 3 вытекает, что существует, по крайней ме-
ре, один элемент х — с, удовлетворяющий этому соотноше-
нию. Нам нужно доказать, что такой элемент единственный.
Пусть, в самом деле, наряду с а-\-с = Ь, имеет место еще
и соотношение a-j-c' —b. Тогда а-\-с = а-\-с' и, прибав-
ляя к обеим частям один и тот же элемент (—а) — про-
тивоположный а, получаем: (—а)-|-(а-]-с)=(—a)-j-(a-[-c'),T. е.
((—a)-f-a)4-6r=((— а) + а)+с'» илип-\~с = п-{-с', или, нако-
нец, с = с'-
С помощью этого следствия мы можем утверждать,
что разность двух элементов а и b единственным образом
определена по уменьшаемому b и по вычитаемому а.
В частности, элемент (-^а)—противоположный а—так-
же является единственным для заданного а. Конечно, един-
ственным "будет и элемент, противоположный — а, т. е. —
— (—а). Так как (—а)-|-а=и, то этим противоположным
элементом является а, т. е. — (— а) = а. Прибавляя к обеим
частям равенства а 4- х — Ь элемент (— а), получаем следую-
щее выражение для разности Ь и а:
(— а)-]-а+х —	<*)+&,
или	п 4- х = b (— а).
или, наконец,	х = Ь-\-(—а).
Можно условиться, как это обычно и-делают, записывать
разность более коротко: вместо b 4- (— а) писать b — а.
- Следствие 4 (дистрибутивный закон для разности):
(а — Ь)-с = а-с—Ь-с.
В силу определения разности это равенство выражает,
что (a— b)-c-\~b-c=a-c. Но левая часть, на основании за-
кона 6, равна [(а —6)4-т. е. равна а-с, ибо (a-b)-\-b
есть а (снова, на основании самого определения разности).
Требуемое соотношение, таким образом, установлено,
11
Следствие 5 (правило почленного умножения для сумм)
(fll 4" Ла 4“ • • • 4“ 0» ) * (Р1 4“ ^2 4“ • • • 4“ Ьт) —
= ЛА+a-fii +... +а„ &х+
4“ «А 4“ 02^2 4“---4“ «А 4"
4“ Ох^да 4* Ла&т 4- • • • 4“ ^<п-
Это соотношение доказывается путем индукции на осно-
вании дистрибутивного, ассоциативного и коммутативного
законов. В самом деле, оно очевидно, при л=1 и т=1,
а при п—2 и т=1 сводится к закону 5. Допустим сначала,
что это свойство доказано для некоторого п и для т = 1.
Тогда оно будет справедливо и для того случая, когда п
увеличивается на 1, а т остается равным 1. В самом деле,
если (а14"аа4_-• -\-an).b = aib-]-a2b-\-...-\-апЬ,
то для (ax-f-Oj-l-.. .4-а„4-ая+1)-& получаем:
(Л14-«2 4----4-Ля4-л« +i),^=[(ai4"a2 4- • • •4-®»)4-
4“ а„+1] • b = (ах 4- аа 4-... 4- ап) • b 4- an+lb = arb+... -f-
4~ лп b 4~ On+ib.
Итак, правило доказано для любого п и т= 1. Допустим
теперь, что оно справедливо для некоторых п и т и до-
кажем, что тогда оно справедливо для п и для
В самом деле, пусть:
(014-024- • • • 4~ а«) • А4А 4~ • • • 4“ ьт) = о А 4- ®2^t 4- • • -4“
4“ 0ц bi 4“ aibt 4“ 02^2 4“ * • • 4“ 0» ьЛ 4* • • • 4~ ®i bm 4- ^bm 4“ •. • 4~
4~ о» Ьщ
Тогда полагая c^-j-.. .4~0n = A и bi-[-...-j-bm=B, полу-
чаем:
(0i 4“ °2 4~ •• • 4-0»)-A4A4-- • •4-^'п4“^»»+1)=
= А -(В 4" bm + 1) e (B-}~ bm+1)-A = В' A -j-bm+i‘A =
= A‘B-j~A' bm+i — a^bi 4-... 4“ 0» bi 4~ 0i^2 4“ • • • 4“
4-0Л ^2 4“ • • • 4~Oi^m4~ • • • 4-0»  bm ~{~aibm+i 4“ • • • 4”0« 'bm+1-
Правило почленного умножения сумм обосновано полно-
стью.
Следствие 6. Если хотя бы один измножите-
лей есть нуль кольца, то и произведение есть
нуль кольца.
12

Рассмотрим произведение а~п. Заменяя здесь п через
а-|-(—а)=а—а, будем по следствию 4 иметь:
а~п — п-а — (а — а)-а = а-а — а-а = а-а	(а-а)] = п,
что и требовалось доказать. .
Если множителей более двух и один из них есть нуль,
то, обозначая произведение всех остальных множителей
через А, находим, что данное произведение есть А-п=п.
3.	Понятие области целостности
Возникает существенный вопрос: справедливо ли пред-
ложение, обратное только что доказанному, т. е., вытекает
ли из равенства нулю произведения, что, по крайней мере,
один из сомножителей также равен нулю? Попытки вывести
этот результат из законов 1—6 осуждены оставаться бес-
плодными, ибо существуют такие кольца, в которых про-
изведение элементов, отличных от нуля, может равняться
нулю. В качестве первого примера такого кольца рассмот-
рим совокупность всех классов вычетов по модулю 4. Во-
обще классом вычетов по модулю, равному какому-либо
целому числу, называется множество всех целых чисел,
дающих один и тот же остаток при делении на данное
числе. Так как при делении на 4 возможны только четыре
(неотрицательных) остатка: 0, 1, 2 и 3, то и классов выче-
тов по модулю 4 будет только 4:
1)	0>	±4,	rfc	8,	+	12,+ 16,	.	.	•	(остаток	0);
2)	1,	—3,	5,	—	7,	9,-11,	.	.	.	(остаток	1);
3)	2,	— 2,	6,	—	6,	10,-10,	•	•	.	(остаток	2);
4)	3,	— 1,	7,	—	5,	11,— 9,	•	•	.	(остаток	3).
Мы будем обозначать каждый из этих классов знаком,
указывающим величину остатка, заключенного в круглые
скобки. Таким образом имеем классы: (0), (1), (2) и (3).
Заметим, что числа класса (0) имеют вид 4к, класса (1)—
— 4к-]-1, класса (2) — 4« + 2 и класса (3) — 4к-|-3, где
к обозначает произвольное целое число.
Возьмем теперь два класса (г) и (s), различные или одина-
ковые и убедимся прежде всего, что, складывая два любые
числа, взятые по одному из данных классов, мы будем по-
лучать числа, принадлежащие одному и тому же опреде-
ленному классу, зависящему только от того, из каких двух
классов мы исходим. В самом деле, каждое число класса (г)
имеет вид 4к? г, каждое число класса ($)—вид 4к"~|-$
и, следовательно, сумма двух таких чисел — вид 4(Л'-|-Л")4-
+г-|-а.
Если r-J-s-СЗ, то наша сумма принадлежит классу
(r-f-s); если же r-f-s>-4, то так как r<i3 и s<;3, мы
13
будем иметь, что 0<>4-s — 4-<34-3 — 4=2 и, записывая
4(k! + ^")+г+s в виДе: 4{£'-|-£"-l-l)4-(r4-s — 4), най-
дем, что сумма чисел 4k' г и 4ft"-|-s принадлежит клас-
су (r-f-s —4). Назовем во всех случаях тот единственный
класс, которому принадлежит сумма двух любых чисел,
взятых по одному из (г) и из (s), суммой классов (г) и (з)
и будем обозначать этот класс через (r)+(s). Итак:
(г)4-(5) = (r-f-s), если r-|-s<3
и О') + (s)=(г+s—4), если r-J-s>4.
Например:
(1)+(2) = (3), (1)4~(3) = (0), (3) + (3) = (2) и т. д.
Легко видеть, что законы 1, 2, и 3 будут выполнены при
таком определении суммы. Так, если мы для проверки зако-
на 3, захотим решить уравнение
(г)+(х) = (а),
то для s^r будем иметь x=(s — r) (действительно,
(г)—|—(s — r) = (r-\-s — г) = (s), так как r-|-(s—rh=s<3),
а при s<^r — x =(s-J-4 — г) (действительно, здесь 0<s4—
— г<3 и (r)+(s+4<—r) = (r-|-s+4 —г—4>=(з),так как
r-J-s-]-4 — r=s+4>4). Пусть попрежнему (г) и (s) два
класса вычетов по модулю 4, тождественных или различных.
Беря по одному числу из каждого из этих классов и со-
ставляя произведение чисел, убедимся, что произведение
это будет принадлежать определенному классу, зависящему
только от классов (г) и (з). В самом деле, перемножаемые
числа имеют вид: 4k'-{~r и 4k"-j-s и, следовательно, про-
изведение их равно:
16 k'k" + 4k's+4k" r -f- rs=4 (4k! k" + k’s+k"r) + rs =
= 4k-[-rs.
Если r-s<3, то мы сразу же видПм, что произведение,
независимо от того, каковы числа k' и k", принадлежит
классу (г-s). Если же r-s>4, то следует различать два
случая: 1) 4<>-з<;7 и 2) 8-<г-з<;9. Очевидно, что этими
случаями исчерпываются все возможности, ибо г-s не может
превзойти 9. Заметим при этом, что не во всех указанных
нами соотношениях возможен знак равенства (r-s^7
ни при каких целых г и з, так как 0<г-<3 и 0<<з-<3).
Как бы то ни было, в случае 1) число 4fe-f-r-s может
быть записано в виде: 4(ft-(-l)-|-r-s — 4, где 0<г-з—4<3
и, следовательно, это число принадлежит классу (r-s — 4);
в случае же (2), записывая 4^-J-r-s в виде 4 (k4-2)4-г-з — 8,
где 0< ns - 8 < 1, убеждаемся, что это число принадлежит
классу (r-s—8). Установив, что произьедения двух любых
14
чисел, взятых по одному из класса (г) и из класса (s), при-
надлежат одному и тому же классу, мы назовем этот по-
следний произведением классов (г) и (s) и будем обозна-
чать его через (г)-(s). Итак,
• (r)-(s) = (r-s), если r-s<3;
(r).(s)=(r-s — 4), если 4<г$<7;
(r)-(s)=(r-s —-8), если
Например:
(1).(2)=(2), (2>(3) = (2), (3)-(3) = (1) и т. д.
Легко убедиться, что законы 4, 5 и 6 также справедливы
ири введенных определениях сложения и умножения клас-
сов. Следовательно, совокупность классов вычетов по мо-
дулю 4 представляет собой кольцо Нулем этого кольца
служит класс (0), так как по определению сложения.
(г)+(0) = (г),
для любого класса (г).
Вместе с тем существуют классы, отличные от нуля,
произведение которых дает нуль:
(2)-(2)=(0).
Мы видим, что в рассмотренном примере произведение
элементов кольца может давать нуль кольца без того, что-
бы хотя бы один из сомножителей обращался в нуль.
Приведем в качестве второго примера совокупность
всех функций, определенных в интервале (0,1).
Суммой двух элементов f(x) и g(x) этой совокупности
мы назовем функцию, значения которой получаются для
каждого х путем сложения соответствующих значений f(x)
и g (•*); аналогично определяется и произведение двух функ-
ций. Разумеется, сумма и произведение также будут функ-
циями, оцределенными в интервале (0,1). Не трудно проверить,
что все 6 законов операций здесь выполняются так, что
совокупность функций образует кольцо. Роль нуля играет
функция, тождественно равная нулю. Если мы составим
15
произведение двух функций /(х) и g(x), графики которых
изображены на черт. 1 (а) и (б), то в произведении получим,
очевидно, тождественный нуль, хотя ни один из множите-
лей не равен тождественно нулю. Итак, в рассмотренном
примере кольца произведение может равняться нулю без
того, чтобы хотя один из сомножителей был равен нулю.
Важно заметить, что в кольце целых чисел, так же как
и в кольце многочленов имеет место известная теорема:
Если произведение двух элементов равно
нулю, то, по крайней мере, один из сомножите-
лей также равен нулю;
Мы видим таким образом, что среди колец существуют
такие, для которых произведение элементов, отличных от
нуля, может давать нуль (элементы такого рода называются
делителями нуля), а также такие кольца, для которых
произведение элементов, отличных от нуля, не может рав-
няться нулю. Кольца, в которых отсутствуют делители нуля,
имеют специальное наименование — области целостности.
Итак, мы можем утверждать, что и совокупность целых
чисел и совокупность многочленов представляют области
целостности.
4. Понятие поля
Для наших колец—кольца целых чисел и кольца много-
членов существенно еще одно свойство: они обладают
единицей.
Вообще, элемент е кольца называется единицей, если
для любого элемента а справедливо соотношение:
а-е = а.
Не каждое кольцо и даже не каждая область целостно-
сти обладает единицей. В виде примера рассмотрим совокуп-
ность всех четных целых чисел: 0, ±2, ±4, ±6 • • • Она
представляет собой кольцо и притом область целостности.
Однако единица здесь отсутствует, ибо нет элемента е, для
которого, например, 2-е = 2.
Покажем, что если в кольце существует единица, то
она является единственной. В самом деле, если а-е—а для 1
любого а и если е' также единица, то е-е'«=»е, ас другой
стороны, полагая а = е' в равенстве ае—а, получаем
е'-е = е'. Сравнивая равенства е-е' = е и е'•е—е', обнару-
живаем, что е = е'.
В случае кольца целых чисел е=1, в кольце полино-
мов— е есть полином нулевой степени, т. е. тождественно
равный постоянной полином, причем эта постоянная равна 1.
Наличие единицы в кольце еще не влечет за собой
существования обратного элемента для каждого а Ф п, т. е.
такого элемента, обозначаемого через а~1 или через ~, что
16
а-а~х = е. В самом деле, в кольце целых чисел ни один
из элементов, отличных от + 1, не имеет обратного, так
как равенство а-аг' = 1, при а и а~х целых, предполагает,
что либо а = а~х = 1, либо а=а~1 = — 1. Точно так же
в кольце многочленов не имеет обратных ни'один много-
член степени не ниже первой, ибо из P-Q=l, где
Р—Ро + ---+рА хп(рп^0) и Q=?o+... + 4'mx'n(^m/O),
вытекает, что старший член pnqmxn+m должен быть нулевой
степени относительно х, т. е. что т=п=0 и, следователь-
но, Р и Q многочлены нулевой степени.
Если в кольце каждый элемент, отличный от нуля, имеет
себе обратный, то этот обратный элемент является однозна-
чно определенным, ибо йз а-аг^—е и из a-а! — е вытекает
агх-а-а!— а~х-е, е-а' = а~х, а' — а~х.
Кольца такого рода называются полями. . В них всегда
выполнима, операция деления на элемент, отличный от
нуля. Иными словами, уравнение а-х = Ь имеет решение
и притом единственное при любом b и любом афп. Чтобы
получить это решение, помножаем обе части равенства на
элемент а~', обратный а. Получим:
а~х-(а>х)=а-х'Ь
или (а-х-а)-х==Ь-а~х, ех = Ь-а~х, х = Ь-а~х.
Здесь частное х выражено в виде произведения дели-
мого b на элемент, обратный делителю а. Частное обыч-
но записывается также ввиде:о-а ’ = —.
Примерами полей являются: совокупность рациональных
чисел, совокупность всех действительных чисел, совокуп-
ность всех комплексных чисел, совокупность всех рациональ-
ных функций, т. е. функций вида:^^, где Р и Q суть по-
линомы. Каждое поле, конечно, является в то же время
и кольцом. Но мы уже заметили, что обратное вообще не
верно и что, например, кольцо целых чисел и кольцо
многочленов не являются полями.
Отметим, что поле можно определить как кольцо, в ко-
тором наряду с основными шестью законами имеет место
также закон:
7. Существование решения уравнения а-х=Ь
для любых двух элементов кольца b и афп.
В самом, деле, мы видели, что в любом поле этот закон
выполнен. Обратно, если мы имеем кольцо, в котором вы-
полнен закон 7, то мы обнаружим сначала, что такое коль-
цо имеет единицу и, наконец, что каждый элемент имеет
2 А. И. Маркушевич	''	17
себе обратный. Это и будет обозначать, что данное кольцо
является полем. Существование единицы выводится ’ из
закона 7 совершенно так же, как и существование нуля
кольца было выведено нами ранее из закона 3. Пусть,-
в самом деле,	Тогда существует элемент е такой,
что а^=а. Если а! теперь произвольный элемент кольца,
то в силу закона 7 существует такой элементу, что а-у = а!.
Тогда
а'-е~ а'-у-е = а-е-у = а-у=а'.
Итак, е есть единица. Выше было показано, что единица
кольца, если она существует, является единственной. Пусть,
теперь снова а произвольный, отличный от нуля кольца,,
элемент. В силу закона 7 должен существовать элемент х
такой, что а-х = е. Но это и есть обратный элемент. Итак,
наше кольцо является полем.
Заметим, что каждое поле является областью целост-
ности. В самом деле, пусть а-Ь—п, где п нуль поля (коль-
ца). Если элемент Ь фп, то, помножая обе части равенства
на 6-’, получаем:
а-е—п-Ь-1, т. е. а=п.
Итак, в поле не существует делителей нуля, т. е. вся-
кое поле является областью целостности.
5. Деление с остатком. Основной постулат
Обратимся к'изучений колец, являющихся областями
целостности, но не полями. К ним относятся, например,
кольцо целых чисел и кольцо многочленов (с комплексны-
ми, действительными или рациональными коэффициентами).
В таких кольцах уравнение а-х — Ь (афп) имеет решение
для некоторых пар элементов а и Ь, а для других не имеет.
Если решение этого уравнения для данных а и b су-
ществует, то мы, как и в случае поля, говорим, что b де-
лится на а или что а есть делитель, b делимое и х част-
ное от деления b на а. Говорят также, что b есть кратное
а, и а есть множитель Ь. Легко видеть, что если реше-
ние уравнения а • х = b (а ф п) существует, то оно являет-
ся единственным, т. е. частное однозначно определяет-
ся по данным делимому и делителю. В самом деле, до-
пустим, что для некотррого х' имеем также: а • х' = Ь. Вы-
. читая почленно, получаем: а (х — х') = п и так как афп,
то мы должны иметь х—х'= п, т. е. х=х'.
Мы видим, что наше заключение существенно опирается
на то, что рассматриваемое кольцо есть область целост-
ности. Для обозначения частного от деления b на а мы
можем пользоваться символом -у-. Отметим некоторые
простые свойства делителей:
18
1)	Если а есть делитель Ь, то а есть делитель и произ-
ведения b • с. В самом деле, если Ъ = а-а', то b-с = (а-а')-с=
= а (а'-с), откуда и следует, что а есть делитель Ъ. Най-
денное соотношение можно переписать в виде:
ь-с , b
---------------------= а -с = —с .
а	а
Отсюда следует, что для деления произведения на не-
который элемент достаточно разделить на этот элемент
один из сомножителей и полученное частное умножить на
другой сомножитель. Правило это немедленно распростра-
няется на случай произвольного количества множителей.
2)	Если а есть делитель и b и с (общий делитель
b и с), то а является также делителем В самом де-
ле, если Ь=*а-а' и с = а-а", то b + с = а-а'+ а-а" =
= а (а' ± а" ), откуда и следует наше утверждение.'
Найденное соотношение можно переписать в виде:
=аЧ-а" =~ -4-— .
а — а — а
Отсюда следует, что для деления суммы или разности
на некоторый элемент а, достаточно разделить каждый из
данных элементов на а и полученные частные сложить
или, соответственно, вычесть.. Правило это немедленно рас-
пространяется на случай суммы произвольного количества .
слагаемых.
3)	Если в соотношении А = В-\- С какие-либо два эле-
мента имеют делителем а, то и третий элемент имеет де-
лителем а. В самом деле любой из элементов А, В к С
выражается через два других в виде суммы или разности.'
Так как наше кольцо не является полем, то в нем всегда
существуют пары элементов афп. и b такие, что для них
уравнение а-х = Ь не имеет ни одного решения. Иными
словами, здесь всегда можно найти элементы a фп и b та- '
кие, что b не делится на а. При известных условиях в этих
кольцах можно ставить вопрос о делении с остатком,
В самом общем виде вопрос этот можно понимать, как задачу
решения уравнения с двумя неизвестными: Ь = а-х-}-у
(вспомним: делимое (Ь) равно делителю (а), умножен-
ному на частное (х) плюс остаток (у)). Однако без вве-
дения дополнительных ограничений на х ну уравнение это
является неопределенным. Именно, в качестве х в этом
уравнении можно брать произвольный элемент кольца; для
у тогда получаем выражение у = Ь — а-х. Заметим, что у
здесь не может быть произвольным элементом кольца.'
В самом деле из b—у=а-х следует, что разность b — у
должна делиться на а, чего может и не быть при случайно'
взятом у. Итак, каждому х из данного кольца соответ-
ствует вполне определенный элементу—Ь — а-х.
2*	&
/

Покажем, что различным элементам х будут соответ-
ствовать различные элементы у. В самом деле, из равенств:
b — а-х' — Ь-а-х"
мы выводим, что а-х' — а-х" — Ь-— Ь = п (п—нуль кольца)
и далее:
а-(х'— х") = п,
«о афп (по предположению), следовательно, х' — х” = п.
Остается заметить, что соотношение л/ — х" = и озна-
чает, что х'=х". Итак, различным х должны соответство-
вать я различные у<=Ь — а-х.
В дальнейшем мы будем налагать на решения уравне-
ния а-х-\-у = Ь некоторые дополнительные ограничения,
образцом для которых будут служить свойства операции
деления с остатком в кольце целых чисел или многочле-
нов.
Для этой цели мы предположим, что каждому элементу
<а нашего кольца, отличному от нуля кольца, поставлено
'.в соответствие некоторое целое неотрицательное число,
^которое мы будем называть порядком, элемента а и обо-
значать так: пор а. Очевидно, что для нескольких элемен-
тов порядок будет иметь наименьшее значение, которое
jmh обозначим через v. Итак, v есть целое неотрицатель-
ное число, такое, что для любого элемента а {афп\.
шор a^-v, причем существует, по крайней мере, один эле-
мент а' {а' ф п), для которого пор а'=>. Мы примем далее,
то (определению, что порядок нуля кольца есть v—1:
пор п — ч» — 1. При этих условиях каждый элемент кольца
будет обладать определенным порядком, причем нуль коль-
ца будет полностью характеризоваться тем, что его поря-
док v — 1 меньше, чем порядок всякого другого элемента.
Описанное только что понятие порядка элемента не мо-
жет иметь пока иного значения, кроме того, что оно поз-
воляет отличать нуль кольца от всех прочих элементов.
Чтобы сделать это понятие плодотворным, мы подчиним
его существенному ограничению, которое, как увидим ни-
зке, может быть выполнено во многих важных кольцах,
•однако, не во всех. Ограничение формулируем в виде сле-
дующего постулата.
Постул-ат А. Для любых двух элементов b и
л кольца таких, что афп и пор пор а су-
ществует некоторый элемент $ (по крайней ме-
ре, о д и н) т а к о й, что
пор (Ь — а-£)<пор Ь.
Можно формулировать этот постулат несколько вырази-
тгелъаее, хотя и менее полно: если пор 6>пор а, иа/п,
2®
то всегда можно понизить порядок b путей вычитания- и»
него некоторого кратного a.	s
Прежде чем применить понятие порядка к построению
общей теории деления с остатком, мы иллюстрируем его
на простейших и вместе с тем наиболее важных Примерах.
а)	Кольцо целых чисел. Здесь в качестве порядка
элемента а проще всего принять абсолютную величину а.
пор а = |а|. Очевидно, что среди элементов, отличных
от нуля, наинизшим порядком v=l обладают только два эле-
мента 1 и — 1: |1| = | —1|=1. Нуль, в соответствии с на-
шими требованиями, имеет порядок v—1=0. Проверим,
, что постулат А выполняется при таком определении. В са-
мом деле, еСли а^О и | Z? | > | а |, то и b0. В.случае,
когда а и b имеют одинаковые знаки, положим 5=1. Тог-
да получим |& — д$)=р — а\<|b|. Если же а и b имеют
противоположные знаки, то положим $= —1. Тогда бу-
дем иметь:- |& — а5| = |Ь-|-а|<|6|. Итак, во всех случаях
существует элемент S (£ = + 1) такой, что
пор (Ь — о£) = | b — at К пор b = | b |.
б)	Кольцо многочленов. Пусть, сначала а^п.
Тогда а имеет вид: a — a0-\-...-\-akxk, где можно считать,
что коэффициент старшего члена отличен от нуля: алф 0.
Мы примем в качестве порядка а число к, т. е. степень
многочлена: пор а = к. Наинизшим порядком среди элементов,
отличных от нуля кольца, будут обладать тогда многочлены
нулевой степени, имеющие вид а = а0 (а9 ф 0). Следователь-
но, здесь v=0. В соответствии с общим условием мы по-
ложим далее, что порядок нуля кольца, т. е. многочлена
тождественно равного нулю, есть v—1= — 1. Проверим,
наконец, постулат А. Пусть, а ф п и пор b >• пор а. Тогда,
если fl = a0-f-... + aAx* (aft^0) и b = bQ-\- ...-\-bjX1
то мы должны иметь:
Положим $= & • х1~к, т. е. примем 5, равным частному
старших членов Ьгх* и а^ск наших многочленов. Рассмат-
риваем ли мы кольцо многочленов с комплексными, дей-
ствительными или рациональными коэффициентами, во всех
случаях, частное от деления bt на ak будет, соответственно!
комплексным, действительным или рациональным числом и,
следовательно, 5 есть многочлен того же самого кольца.
Тогда будем иметь:	.
пор (b — а~) = пор [btxf 4-... + b0 — (а^ 4-... а0)	xl~k\—
ь	к
=пор [(bi-i — at- 1	+ ••• ]sSZ— 1 <1 =пор
Итак, постулат А здесь выполняется. Заметим, что в слу-
чае, когда Г>к, мы могли бы в качестве £ брать любой мно-
гочлен со старшим членом	и какими угодно- чле-
21
нами более > низкой степени. Мы попрежнему имели бы
тогда: пор.(d—aS)<Z—1 <4=пор Ь.
Заключение этого пункта, однако, не применимо к коль-
цу многочленов, например, с целыми коэффициентами, так
как, если bt и ак целые числа, то — может и не быть це-
I
лым и, следовательно, $ = & х1~к может не принадлежать
нашему кольцу.
Читатель может, убедиться, что, беря Ь = 3х и а=2,
мы не сумеем найти в кольце многочленов с целыми коэф-
фициентами ни одного многочлена такого, чтобы выпол-
нялось условие: пор (Ь^ а$)<пор Ь.
. Причина такого различия между кольцами многочленов
с теми илц иными коэффициентами очень проста. Для тех
случаев, которые мы с самого начала выделили (п. 1), ко-
эффициенты многочленов образуют собой поле (поле комп-
лексных, действительных, рациональных чисел) так, что част-
ное двух коэффициентов (при условии, что делитель отли-
чен от нуля) можно рассматривать’так же, как коэффици-
ент некоторого многочлена нашего кольца. В случае же
кольца многочленов с целыми коэффициентами частное
двух коэффициентов может и не быть целым числом, и-тогда
не может фигурировать в качестве коэффициента какого
бы то ни было многочлена кольца.
в)	Целые комплексные (гауссовы) числа. В ка-
честве последнего примера мы рассмотрим так называемое
кольцо целых комплексных или гауссовых чисел. Так называ-
ются комплексные числа a = x-\-iy, для которых х и у— целые
числа. Операции над4гауссовыми числами производятся по
обычным правилам арифметических операций над компле-
ксными числами. Легко видеть, что таким образом действи-
тельно получается кольцо, в котором нулем является число
нуль:	х
га = 04-04 = 0.
Кольцо гауссовых чисел обладает единицей е — 1 и яв-
ляется областью целостности. Мы предоставляем читателю
проверку всех этих утверждений, а здесь остановимся толь-
ко на понятии порядка э^ментов рассматриваемого кольца.
Примем, по определению, что пор а= пор (x-J-(у) = ха-|~
-]-у» = | а |8. Очевидно, что порядком будет тогда целое не-
отрицательное число и что среди всех афп наименьший
порядок v = 1 имеют элементы: 1-|-0 -i— 1, — 1 4-04 = — 1,
O-|-l.-z = z и 0—14 = — i. Наконец, и = 0-|-04 обладает
порядком > — 1=0.
Перейдем к проверке постулата А и для этого восполь-
зуемся геометрическим представлением комплексных чисел.
Пусть, а / 0 и b гауссовы числа, причем пор b пор а.
22
Так как пор b = | b |2 и пор а = | a i2, то условие пор b пор а
означает, что |&|>|а|,.т. е., что вектор, изображающий
комплексное число а, не длиннее вектора, изображающего Ь.
Рассмотрим наряду с а еще три вектора: — 1 • a, i-a
и — Вместе с а они образуют „крест", изображенный на
нашем чертеже. Очевидно, что вектор b будет лежать в
одном из четырех
квадрантов, обра-
зованных продол-
женными сторона-
ми креста и, сле-
довательно, будет
составлять, по
крайней мере, с
одной из сторон
соответствующе-
го квадранта угол
ф, не больший -4.
т>	4
{На нашем черте-
же такой квадрант
определяется век-
торами — а и —ia,
а угол об-
разован b и—i-а).
Соединяя концы
вектора b и того из
треугольник OPQ. Его
Черт. 2
векторов а, —a, i-a, -i-a, с кото-
рым b составляет угол <р, прямолинейным отрезком, получим
стороны изображают собой следую-
щие комплексные числа: OQ = b, ОР — аЛ, 5=1,
— 1, i, — i (на нашем чертеже ОР= — i-a и $ = —'i), PQ—
Так как против угла Р лежит вектор OQ, а против
Q — вектор ОР и OQ = | b | >• ОР = | а |, то угол Р не мень-
ше угла Q:P>-Q. С другой стороны, P-J-Q = « —	—
— и’ следовательно, 2P>P-4-Q>^, откуда Р>
^>-^-><р.',Но это означает, что сторона PQ, лежащая про-
тив угла <р, короче стороны OQ, лежащей против угла Р,
т. е.
|& —а-£|<1И
или
пор (Ь — а-5) ;= | b — а-£ I2 <?пор b = |dj2.
Мы убедились в том, что элемент $, о котором идет
речь в постулате А,.существует в нашем случае и, кроме
23
того, что всегда в качестве $ можно брать один из эле-
ментов: 1,— 1, i, — i.
6. Деление с остатком в узком смысле слова
После этих примеров, разъясняющих понятие порядка
элемента, вернемся к общей теории. Докажем следующую
основную теорему:
Теорема I. Если афп и порй>пор а, то су-
ществует по крайней мере один такой эле-
мент что пор (Ь— а-£')<пор а
В этой теореме мы исходим из тех же данных, как
и в постулате Див случае, когда пор b = пор а, эта
теорема не дает ничего нового йо сравнению с постулатом.
Но при условии, что пор &>пор а постулат утверждает
только существование элемента $ такого, что пор —
— а-£)<Спор Ь, а теорема утверждает существование
элемента £', такого, что пор (& —а•;')<пор а<пор Ь.
Обратимся к доказательству. В силу постулата А сущест-
вует элемент $ = 50, такой, что пор (Ь — а-Ц<пор Ь.
Если пор (Ь— окажется при этом меньше чем пор а,
то мы можем положить V — и считать доказательства
законченным. В противном случае полагаем bi — b—а-^
и так как, по сделанному сейчас предположению,,
пор fcj^-nop а, то к элементам Ь} и а можно будет снова
применить наш постулат. Найдем элемент такой, чта
пор (Ьг — а-£,)<пор Ьг. Но	= —
= Ь — а (% -1-^)“ Ь2 и так как пор bt, по крайней мере, на
единицу меньше, чем пор Ь, а пор Ь2, по крайней мере,
на единицу меньше пор Ь„ то пор Ь2, по крайней мере, на
два меньше, чем пор Ь. Если пор Ь2 < пор а, то достаточна
принять £' = £о4-Л, чтобы считать доказательство закончен-
ным. Если же пор й2>-пор а, то мы снова применяем
к Ь2 и а постулат А и получаем новый элемент $2, такой,
что пор (62 — а-52)<пор Ь2.
При этом
Ь2 - <й2 = b - а • (|0 + ?г)—а • 5г = b - a & + 5, + ?2) = Ъ3.
Так как порядки элементов Ь2, Ь2, Ь3)... понижаются
каждый раз, по крайней мере, на единицу, а порядок а есть-
определенное целое число, то мы получим, наконец, после
некоторого числа шагов, элементbk—b —	+ + -.-Hft-i),
такой, что пор &й<пор а. Полагая $' = Se-|-
мы и получим вместе с тем утверждение теоремы.
Заметим, что это доказательство дает не только сущест-
вование элемента но и способ его отыскания, в виде
суммы элементов Sq+Sjнаходимых друг за
другом с помощью постулата А.
24
Иллюстрируем этот способ в кольце -многочленов, при-
чем для простоты ограничимся примером:
Ь=х*— x3-j-7x-j-2, а = 3х24-2х4“1-
Теорема I утверждает, что существует элемент (много-
член) такой, что пор (Ь— a-V)<nop а.
Обозначая b-a-V через if и замечая, что порядок
многочлена есть его степень, видим, что теорема утвер-
ждает существование таких многочленов и if, что b —
—сА'=^г\, или &=o-'4“V> причем степень if меньше чем
степень а. Чтобы найти многочлены (и if) по способу»
изложенному в доказательстве, ищем сначала многочлен ^,
такой, что пор (Ь—а-?0)<пор Ь. Как мы видели в при-
мере б), такой многочлен можно получить путем деле-
ния старшего члена b на старший член а: 20=-|-ха. Полу-
чаем :.
b -	= л* - xs -J- 7x4-2-х2 (Зх24-2x4-1) =
-----|-х3-^-х24-7х4-2 = 61.
Так как пор &х = 3>пор а = 2, то мы делаем даль-
нейший шаг и ищем многочлен такой, что
пор (Ь— a-$i)<nop bt.
Полагая равным частному старших членов Ьг и а,.
получаем:
$1=—|-х и bt — «.$! = (— 5/3х3 — ‘/зХ24-7x4-2)4-
4- 5/9 х (Зх2 4- 2х 4-1)= 7/9х2 4- «8/9х 4- 2 = bt.
Здесь пор 62 = пор а=2 и нужен еще один шаг. Ищем
полином Sj, такой, что пор (Z>9 —а-£2)<пор Ьъ. Полагая
В2 — Чгъ получаем:
/,2-а.52 = С/9х24-в8/9х-|-2)-2/2,(Зх24-2х+1) =
Так как пор b3 = 1 < пор а = 2, то операция закончена..
Мы имеем:
?'“5о+е14-е8-1/,х’-’/9х+’/«
и
V = b — а • S' = b, =1901 „X 4- «/27-
Читатель легко узнает в проделанных выкладках обыч-
ную операцию деления многочленов, расположенных па
убывающим степеням. При этом b есть делимое, а—дели-
тель, — частное и if—остаток.
Естественно, что мы в общем случае принимаем следу-
ющее определение:
25-
Определение. Пусть каждому элементу не-
которого кольца приписан порядок, представ-
ляющий целое число, причем выполнены
условия:
1) для элементов, отличных от нуля кольца, *
ire ря до к н е от р ицат е л ен; '
2) порядок нуля на единицу ниже наиниз-
шего из порядков элементов, отличных от
нуля;
3)если афп и пор &>-пор а, то существует
элемент $, такой, что пор (Ь— а-£)<пор Ь.
При этих условиях операцией деления
с остатком (в узком смысле слова) произволь-
ного элемента b на элемент а^п мы называем
операцию решения уравнения:
Ь =
при дополнительном условии: пор 7)'<пор а.
Элементы Ь, а, и V носят наименование с о о т-
ветств'енно делимого, делителя, частного
и остатка.
Убедимся сначала, что операция деления с остатком
(мы будем подразумевать в дальнейшем слова: „в узком
смысле") выполнима, при высказанных условиях. В самом
деле, если пор &<пор а, то мы можем принять \'=п
и т]' — Ь. Тогда будем иметь:
Ь—п-а-\-Ь
и пор т;' = пор &<пор а. Если же пор &>пор а, то по
теореме I существует элемент такой, что
пор (£ —a-S'Xnop а.
Полагая Ь—аЛ' = ц', будем иметь:
причем пор т)' = пор (b — а-$')<пор а. Выполнять опера-
цию деления (при условии пор й^>пор а) можно по
способу теоремы I, т. е. посредством последовательного
использования постулата А.
Заметим, что мы нигде не утверждаем, что частное
>и остаток 7)' определяются единственным образом по за-
данным b и а.	♦
Мы увидим ниже, что единственность действительно не
всегда имеет место.
"'7. Наибольший общий делитель. Алгорифм Евклида.
Неопределенные линейные уравнения
Докажем теперь следующую важную теорему об общих
делителях двух произвольных элементов а и Ь.
26
Теорема II. Среди общих делителей элемен-
тов а и Ь, отличных от нуля, существует, по
крайней мере, один делитель d, делящийся
на любой общи# делитель а и Ь.
Общий делитель d, обладающий указанным свойством,
называется наибольшим, общим делителем а и b и обозна-
чается так:.	(
d = н*о-д*(Д» Ь).
Доказательство. Допустим, для определенности,
что пор пор а и разделим b на а (вообще, с остатком),
получим:
b =а-х'-\-у', * пору'С пор а.
Если у' ф пу то делим а на у':
а=±у'-х"Ц-у", пору"Спор у'.
%
Если у" ф п, то делим у' на у".
у'=У'.х"'4-у"', пору'"<пор у"
и продолжаем процесс последовательного деления до тех
пор, пока не получив остатка, равного нулю. Так как
порядки остатков у', у", у'",... последовательно убывают,
каждый раз, по крайней мере, на единицу, то через неко-
торое число шагов (число, не превосходящее пор а) мы
должны получить наинизший в кольце порядок: v—1>—1,
которым обладает единственный элемент — нуль кольца.
Пустц у(*+У первый равный нулю из последовательных
остатков. Тогда имеем следующие соотношения:
1) Ь — а<х'-]-у',	пор у'<пор	а,
2) а =у'-х"+у",	пор у" С пор	у',
3) у'—у"-х"'ф-у№Г,	пор у'" С пор	у",
..................................................С
т) укт~2)=у(®-0 . д;(®)_|_^(т), пор У(я1>С ПОР у(т-1\
k) у(*-1 2 3 *)=у(*“1).д;(*)-|-у(й), ПОР У*5 С ПОР У*-1),
А 4-1)	=у*)•	y6+i)=y*).x^+i)( у*+1)=П-
Убедимся в том, что у<*> — последний, отличный от нуля,
остаток и есть искомый н. о. д. (а, Ь). Проверим сначала,
что это общий делитель а и Ь. Для этого будем рас-
сматривать равенства (7.1) от последнего к первому. Резуль-
таты сведем в следующую таблицу:
27
№N°	Из рассмотренных равенств следует, что у^ есть общий:
равенств	делитель следующих элементов:
*4-1 k	у*-’) у(*-0	у*-2)
т	ул-1), .	. . . ,Ут-2)
3 2 1	1)*	2), • • • , у,г, уг у^~~^\ у№	, у"9 уг, а у{Ь"“^у . . . , упу't а9 Ь
Для получения каждого из перечисленных заключений,
мы констатируем прежде всего, что правая часть соответ-
ствующего равенства делится на ут и выводим отсюда,
что и левая часть делится на Последнее из заключе-
ний, полученное из равенства (1), показывает, что есть-
общий делитель а и Ь. Остается показать, что у<*> делится
на любой общий делитель 8 элементов а и Ь. Чтобы убе-
диться в этом, будем рассматривать равенства (7.Г) одно
за другим от первого к последнему.
Результаты сведем в следующую таблицу:
№№	Из рассмотренных равенств следует, что 8 есть общий
равенств	делитель элементов:
1) 2) 3)	о о» а ъ а * * м ччч ”• М О ч ч
«)	л, у, у',. . .,
Л)	Ь, а, У, у", . . . ,
♦	г	i '
Уже равенство k) убеждает нас в том, что делится
на 8. Этим и заканчивается доказательство. Итак,
= н-О"Д*(а, Ь).
Проведенное доказательство не только устанавливает
существование н. о. д. элементов а и Ь, но и дает способ
для его нахождения. Способ этот состоит в последова-
тельном проведении операций деления с остатком, указан-
28
ных в соотношениях (7.1). Он называется способом по-
следовательного деления или алгорифмом Евклида.
Последнее название объясняется тем, что в „Началах“
Евклида аналогичный способ применяется для отыскания
общей меры двух (соизмеримых) отрезков а и Ь. Для
этого Евклид предлагает меньший отрезок а отложить на
-большем отрезке b несколько раз, пока не получится
остаток — отрезок у', меньший а. Далее у' откладывается
на а, до получения второго остатка у" меньшего у'. Ука-
занные операции продолжаются Евклидом до тех пор, пока
не получится остаток у*’, который укладывается в преды-
дущем остатке у*-’> целое число раз, так что новый оста-
ток будет нулем Тогда у<к> и будет общей мерой
отрезков а и Ь. Очевидно, что общая мера играет здесь
ту же роль, что и наибольший оСщий делитель в интере-
сующей нас теории, и что способ Евклида тождественен
со способом, примененным в доказательстве теоремы II.
Во всем дальнейшем будем предполагать, что изучаемое
нами кольцо является не только областью целостности, но-
еще и обладает единицей е. Делители единичного эле-
мента будем называть тривиальными делителями (мно-
жителями), или делителями единицы. Очевидно, что каж-
дый тривиальный делитель е является делителем любого
элемента, так как из того, что е делит е, а е делит Ь,
следует, что е делит b (см. п. 5, 1). Обратно, элемент,
являющийся делителем любого элемента кольца, должен
быть, в частности, делителем единицы, т. е. тривиальным
делителем.
Относительно двух элементов а и Ь, таких, что Ь = а-е,
где е делитель единицы в частности, е = е), будем говорить,
что они различаются тривиальным множителем. Убедимся,
что определение симметрично относительно b и а в том
смысле, что из b=a-s. следует, что и а = Ь-т\, где ч не-
который делитель единицы. В самом деле, если s делитель
единицы, то это значит, что e = s-ij, где ч также некоторый
делитель единицы. Поэтому а = е-а=(&--Т1)а = ц-(а-г) = ^Ь.
Теорема III. Два различныхн. о. д. элементов а
и b могут различаться друг от друга только
тривиальным множителем.
Доказательство. Пусть d = n. о. д. (а, Ь) и 8 =
= н. о. д. (а, Ь).
Независимо от того, получены ли d и 8 посредством
алгорифма Евклида или каким-либо. иным путем, мы на
основании определения н. о. д. можем утверждзть, что d
делится на 8 (так как 8 есть общий делитель а и Ь) и 8
делится на d (так как d есть общий делитель а и Ь). Итак,
rf = s-8 и 8 = ч*</,
29
откуда:
d = s • (4 • d) s= (e • ij) • d,
или
d — (eri)-d=e-d— (e.ri)‘d = (e -Z‘n)-d = n.
Ho d±w, следовательно, e — е*ч = п(мы предположили,
что рассматриваемые нами кольца суть области целостности).
Итак, е = е-ц, т. е. е и ц суть делители единицы, и, следо-
вательно, d = e-Z и 8 = •»]•(/ отличаются друг от друга только
тривиальными множителями. Теор ма доказана.
Теорема IV. Если d — н. о. д. (а, Ь), то в кольце
существует, по крайней мере, одна пара таких
элементов £,и ц, что
d = аЛ-\-Ь-^.	„ '
Иными словами, складывая кратное а с кратным Ь, можно*
получить н. о. д. (а, &).	'
Доказательство. Докажем сначала нашу теорему
для н. о. д. .(а, &), находимого при помощи алгорифма
Евклида. Для этой цели, воспользуемся равенствами (7.1},
полученными при доказательстве теоремы П. Из равенства
1) заключаем: ,
у' =— а-х' -\-b — a-(—x')-\-b-e,
или, полагая — х' = е =	'
y = a.£14-&.Til.
Подставляя найденное выражение в равенство 2), находим:
у" = — у'-х" 4-а=у.(— х") +	—
-\-а-е = а-{—х" «ЕД-(-&(— л"^а)-|-й*е = а(г — х"-^)-}-
+ &.(-хЧ),
или, полагая е — х" •?! = §» и —	=
у"
Таким образом уже установлено, что остатки у' и у"-
выражаются в виде сумм некоторых кратных от а и Ь.
Допустим, что мы доказали, вообще, что остатки Уш-2>
и у»-1) (m^k) имеют вид:
ym-2i _ а.	2_|_ b.	_2,
ут-1) = а.	b. т)т_,
Тогда из равенства т) из числа соотношений (7.1) вы-
водим:
у(щ) = —у т-1). х(т) _|_ ут—2) — ут-1). (_ %т) _|_ут-2) __
. = (^'Sm—1 -}~Ь-Т1т _.,)•(— Х^)	2~Н&‘Чт—2) =
= а (£т_2 — Х<т> • 5т_! ) + Ь • (7]т_2 — х<т* • Чт -1).
30
Обозначая -т-2—через и ч^-.2—х(т) •»)»»-’>
через чт, получаем:
у0 = о.£я+Ця.
Следовательно, из того, что остатки у®—2).и ym-i) выра-
жаются в виде кратных а и Ь, вытекает, что следующий
за ними остаток У*) также выражается в виде суммы крат-
ных а и Ь. Отсюда следует, наконец, что
н. о. д. (a,
Остается заметить, что d по теореме III может отли-
чаться от только тривиальным множителем: t/=e.y*).
Поэтому:
что и требовалось доказать.
Введем следующее определение: два элемента а и Ь-
называются взаимно простыми, если они не имеют других
общих делителей, кроме тривиальных. Очевидно, что и. о. д.
взаимно простых элементов а и b можно считать равным
единичному элементу е, ибо е есть общий делитель а и b-t
с другой стороны, е делится' на любой общий делитель а и Ь.
Отсюда, по теореме IV, следует, что в случае, когда а.
и b взаимно простые элементы, должны существовать эле-
менты х и у, такие, что
а-х-\-Ь-у = е.
Покажем, что, если а и b произвольные, не равные нулю,
элементы и rf — н. о. д. (а, Ь), то-у’и — взаимно про-
стые элементы. В самом деле, по теореме IV, существуют
элементы х и у, такие, что
a-x-\-b-y=zd,
откуда:
а-х А-Ь-у	а '	. b
---—— = е, или -г- • х 4- -j- • у = е.
а	а 1 а
Следовательно, каждый общий делитель -j- и дол-
жен быть делителем единицы. Но это и значит, что -у-
ь
и взаимно простые.
Докажем следующую важную теорему, принадлежащую .
Евклиду..
Теорема V. Если b ис взаимно простые эле-
менты и а • Ь~делится на с, то а делится на с.
Доказательство. По условию н. о. ~д. (Ь, с) — е.
31
Следовательно, по теореме IV,
е —
Умножая это равенство почленно на а, находим:
Здесь (а-Ь)Л делится на с, так как а-b делится на с,
(а*с)ч также делится на с. Следовательно, и а делится
на с, что и требовалось доказать.
Изложенные теоремы можно применить к неопределен-
ным линейным уравнениям. Речь идет об отыскании всех
решений уравнения вида:
ax-j-by — c,	(7.2)
где а, b и с заданные элементы кольца (а фп, b=f=n, сфп).
Для того чтобы это уравнение имело, по крайней мере,
одно решение, необходимо, чтобы свободный член уравне-
ния с делился бы на наибольший общий делитель а и Ь.
В самом деле, если х0, у0—решение этого уравнения, то
а-х0 4- Ьуъ = с и, следовательно, с должно делиться на любой
общий делитель а и Ь, в частности, должно делиться на
d = н. о. д. (а, Ь). Покажем, что это условие является
и достаточным для существования решения уравнения (7.2).
В самом деле, рассмотрим уравнение:
а . b с
_.х+_.?=—
_	a t b 1 г с г
Полагая	— = У, —=с, получим:
а’ • х + Ь' -у » с'.
По сделанному выше замечанию, а' и Ъ' взаимно простые
элементы. Поэтому существуют элементы $ и ч, такие, что
b'-ti = е,	(7.3)
или, помножая все члены на с':
«'•(«•с')+Ь' (ч • с') = с’.
Умножим, наконец, члены последнего равенства на d.
Тогда найдем:
(а! • d) • (i •с') 4- (&'-d) •($•<?) = с' -d,
или
= с-
Итак, существуют элементы х0 = $ • с' и у® = Ч •с'> удовлет-
воряющие предложенному уравнению. Допустим вообще,
что х0, у0 — какое-нибудь решение уравнения (7.2), а х1( у у—
другое решение того же уравнения.
Тогда:
a-x0-\-b-y0 = с,	(7.2')
и
a-xl-j-b-y1 = с.
Вычитая почленно из второго равенства первое, находим:
а (хг — ха)+b (уг — j0) = п,
или
a(xt-x0) = &(j0—
и, наконец, деля обе части на d=n. о. д. (а, Ь), получаем:
<»"(•*! — х0) = Ь'(уа — уг).	(7.4)
Так как а' и Ь' взаимно простые элементы иа'-^—х0)
делится на Ь', то, до теореме V, хх—х0 делится на Ь':
хг — x0=b' -t.	(7.5)
Подставляя это выражение в равенство (7.4), находим
a'-b'-t = b'(y6 — уд,
ИЛИ	I
а'4=уй—у1.	(7.6)
Из соотношений (7.5) и (7.6) следует, что:
*1 = х^ b'-t и Уг=Уй — a'-t.	(7.7)
Итак, если х0, уй — одно какое-либо решение уравне-
ния (7.2), то любое другое решение того же уравнения
имеет вид (7.7), где t некоторый элемент кольца. Покажем,
что формулы (7.7) дают решение уравнения (7.2), каков бы
ни был в них элемент t. Убедиться в этом можно посред-
ством подстановки выражений (7.7) в левую часть уравне-
ния (7.2). Получим:
а (хо + b't) + (Jo — a't) = ахо + by0 (ab' — a'b) t.
Но ахй Ьу0 = с, в силу (7.2') и далее:
ab' — a'b—(a'-d)-b'— a' (b'-d) = п,
поэтому
а (х0 + b't) + b (у0 — a't) = с.
Мы видим, что выражения (7.7) действительно удовлет-
воряют уравнению (7.2) при любом t.
Резюмируем установленные факты:
Для того чтобы неопределенное уравне-
ние (7.2) имело, по крайней мере, одно решение,
необходимо и достаточно, чтобы d=m. о. д. (а, Ь)
былО'Делителемс. Если это условие выпол-
нено и х0, уа есть какое-либо решение урав-
нения, то любое другоерешение представится
3 А. И. Маркушевич	33
по формулам:
x = xe + ^ = x04—j-f, у=уй — a't=y0 — ~-t, (7.7')
где t произвольный элемент кольца.
К этому остается добавить, что частное решение х^у^
можно получить в виде:
х0 = $-с'=£.-^- и _y0 = 7j.c' = ii--^,
где $ и т] удовлетворяют условию:
а,-$+^,-7) = е= н. о. д.(a', if')
и, следовательно, могут быть найдены по способу, употреб-
ленному при доказательстве теоремы IV, т. е. при помощи
алгорифма Евклида.
Пример 1. Решить в целых числах уравнение:
7х-4~5у = 92.
В этом случае а —7, b = 5,c — 92, d=n. о..д. (7,5) = 1
и, следовательно, условие существования решения выполнено.
Одно из частных решений этого уравнения непосред-
ственно очевидно:
X# == 6,	= 10;
Общее решение представляется по формулам (7.7):
x = Xo-\-±-t = Q + 5t, y=ya-^t=\0-7t,
где t — произвольное целое число. Если нас интересует
только целые положительные решения, то следует потребо-
вать еще, чтобы выполнялись неравенства:
6+5£>0, 10—7*>0,
или
___6_
5 ’	7 ’
т. е. t нужно придавать значения: tx =— 1, £2 = 0 и = 1.
Получаем соответствующие решения в целых положитель-
ных числах:
Xj = 6—5=1, У! = 10-)—7 = 17; х2 = 6, _у2 = 10;
х3 = 6 + 5=11, у8 = 10—7 = 3.
Пример 2. Найти многочлены X и Y с рациональными
коэффициентами, удовлетворяющие уравнению:
(х2+2х-|-2)Х-)-(х8 + 1) Y=x*.
Здесь а = х2-)-2х-|-2, b = х3—|—1 и с=х2. Отыщем наи-
больший общий делитель (а,Ь) посредством алгорифма
34
-.4
Евклида. Производя последовательное деление^ будем иметь:
b = а-х. где х, — х — 2 и у, — 2х 4-5;
.	1.1	13	(7.8)
а=Я’-*»+л, где х2 =	х—— и ь = -4-.	v '
На этом и заканчивается нахождение наибольшего об-
щего делителя, так как, очевидно, что _ух разделится на у2.
Итак, наибольший общий делитель (а, Ь) = и так как
13	,
тривиальный элемент кольца многочленов, то а и b
взаимно простые многочлены. Поэтому" их наибольшим об-
щим делителем будет также многочлен е = 1: н. о. д. (а, &)=1.
Во всяком случае, условие разрешимости уравнения здесь
выполнено..
Чтобы получить частное решение, рассмотрим вспомо-
гательное уравнение (7.3):
a'-S-f- b'fi = е,
или (так как в нашем случае а' —	=а, b' =
(x2+2x+2H+(*’ + 1)4 = 1.	,
Его решение прлучаем по способу теоремы IV.
А именно, из равенств (7.8) выводим, что:
Ь =	—	yt = b-a-Xi
и, следовательно:	ч
13
—а — (Ь — a-Xi)'X2 = а — bxi-Jraxlx2 = а(1 +ххха) —Ьх2-
Отсюда:
Таким образом можно принять:
Чтобы получить х0 и уй, остается умножить £ и q на:
, с	.
с' = — = с = х*.
а
Найдем:
Хо = £ • X2 = X* Xs 4- х\
Л=7].Х2=-^-Х8+-^Х\	.i;;;
3*	35
,&
i
Наконец, из формулы (7.7) получаем общее решение
предложенного уравнения с двумя неизвестными многочле-
нами:
У = у0—xs-]-^ х2 -(x2-\-2x-{-2)t,
где t — произвольный многочлен с рациональными коэффи-
циентами. Легко подобрать здесь t так, чтобы получить
частное решение хй', у0', образованное многочленами бо-
лее низких степеней, чем хй й уй. Именно, положим
2.5-
=—г» х 4- -То ; тогда будем иметь:
1о 1о
13 — Тз Л'*_Ьтз x2-Hx3 +	13	13) —
= ±(6х2 — 2x4-5),
х3+-п%2-(х,+2х+2)(-1з х+4) =
= -4(Зх+5).
Если мы будем исходить из этого частного решения, то
те же формулы (7.7) приведут нас к более простому виду
общего решения:
^=4 (6%2-2x+5)+^8+1>f’
Г = — -1 (Зх 4- 5) - (х2 4- 2х 4- 2) Г,
где f произвольный полином. Из этих формул видно, что
при любом f, отличном от нуля, решение выражается много-
членами, из которых X имеет степень не ниже 3, а К—
степень не ниже 2. Поэтому решение х/, у/, образованное
многочленами, соответственно, второй и первой степени, j
является единственным решением' состоящим из много-
членов наиболее низких, возможных степеней.
'	8. Дальнейшее построение теории делимости
Для дальнейшего развития теории делимости нам пона-
добится, кроме постулата А, еще один постулат:
Постулат Б. Если два элемента а и Ъ отли-
чаются только тривиальным множителем, то ;
пор а = пор Ь.
Этот постулат выполняется во всех рассмотренных вы-
ше примерах. Так, в кольце целых'чисел делителями еди-
ницы, т. е. тривиальными множителями, являются+ 1.
36
Следовательно, элемент b, отличающийся от а тривиальным
множителем, имеет вид:
Ь — + а,
откуда пор b = i&| = I + а\ = |а| = пор а.
В кольце многочленов делителями единицы являются
все многочлены нулевой степени (отличные от нуля) и толь-
ко они одни. Следоватёльно, элемент Ь, отличающийся от
а тривиальным множителем е, получается из а путем умно-
жения на число, не равное нулю. Но отсюда следует, чта
степени многочленов b и а одинаковы, т. е. пор b = пор а.
Наконец, в кольце гауссовых чисел делителями едини-
цы служат числа: +1, и только они одни. В самом де-
ле, если l=e-7j, то Г=|е|-|т][ и 1 = le^2-|т],а. Но &2— поря-
док числа е — есть целое число и притом положительное..
Поэтому |е|2 = 1. Полагая е"=а-|-ф, имеем: 1 = а2-|-р2,
откуда, либо а2 = 1 и р2=0, т. е. а = + 1, Р = 0 и е = + 1,
либо а2=0, Р2 = 1, т. е. а = 0, р = + 1 и e = + Z.
Если теперь b — s-а, где е имеет одно из четырех ука-
занных значений: ±1, то |d| = |e|-|a| и так как |®|=1,
то |&| ==(«| и пор d = |&|2=|a|2 = пор а.
Легко, однако, указать пример, где постулат А выполнен,
хотя постулат Б не выполняется. Возьмем, например, коль-
цо целых чисел и положим для a 3^0: пор a = a, а для
а<0: пор а = 21 а |, т. е. порядок отрицательного числа
равен удвоенной его абсолютной величине. Очевидно,
что постулат Б здесь не выполнен, так как при а>0
пор ( — а) =21 а|=2 пор а =/= пор а. Но постулат А выпол-
няется. Действительно, пусть а и b два целые числа, отлич-
ные от нуля. Произведем деление с остатком числа b на
число а, считая сначала, что порядок любого числа опреде-
ляется по обычным правилам, как абсолютная величина числа.
Получим:
.	b = а-х'^у',
где |У К|я|• Если у'з^О, то это равенство будет доста-
точным для нашей цели. Если же У < 0, то ух = | а | -j-y'
удовлетворяет неравенствам: Q<Cyi<Z\a\. Перепишем тог-
да соотношение b — a-к'-j-y' в виде:
Ь — а-х' — \а | + (|а| -[-у') = а-х+а+у1 = а(х'±1)~1-у1 =
= a-xt-j-y1.
Мы видим, что во всех случаях существует число х
(равное х' или Xj), такое, что
Q^b-a-x—y<Z\a\.
Обратимся теперь к предлагаемому вновь определению
порядка числа.
37
Пусть пор пор а. Мы только что видели, что суще-
ствует число х, такое, что
0-^6 — а-х=у<^\а\.
Так как b -а-х неотрицательное число, то пор (Ь—а-х)=
= | Ъ — ах |. С другой стороны, каково бы ни было число
а, всегда |а|<пор а. Следовательно,
пор (Ь—а-х) = \Ь — а-х|<|а|<пор а<пор Ь.
Итак, существует такое число х, что
пор (Ь — а-х)<пор Ь.
(при новом определении порядка числа). А это и значит,
что постулат А выполнен.
Мы уже видели выше, какие следствия вытекают из
одного лишь постулата А. Переходя к следствиям из двух
постулатов А и Б, важно отметить, что хотя Б и не вы-
текает из А, однако, если постулат А выполнен, а посту-
лат Б не выполняется, то можно так изменить определение >
порядка элементов, что в том же кольце будут выполняться
оба постулата. Таким образом существенным и решающим
для построения всей теории делимости является, именно,
постулат А. Чтобы убедиться в этом, предположим, что
в некотором кольце определены порядки элементов так,
что постулат А выполнен, а постулат Б не выполнен.
. Будем рассматривать наряду с произвольным элемен-
том афп все другие элементы, отличающиеся от а три-
виальными множителями. Вообще говоря, порядки их могут
быть не равными между собой, так как постулат Б, по
предположению, не выполняется. Сравняем их, заменив каж-
дый наименьшим из них. Новый порядок элемента а для
отличия от первоначального обозначим через пор' а. Оче-
видно, что пор' а пор а, причем среди элементов, отли-
чающихся от а тривиальными множителями, существует, по'
крайней мере, один элемент а^ — а-е., такой, что пор'а =
=пора!.
Вновь определенный порядок элементов, по самому
построению, удовлетворяет постулату Б, ибо мы присвоили
каждой совокупности элементов кольца, отличающихся друг
от друга тривиальными множителями, один и тот же по-
рядок.
Покажем, что постулат А попрежнему остается в силе.
В самом деле, пусть b и а два элемента кольца, причем
афп и пор' bпор' а. Тогда, как мы знаем, существуют
такие тривиальные множители виц, что пор' &=пор (е-6) =
= пор&1 и пор'а = пор (ц-а)=пор аи где = и ах =
= тра.
38
Так как для первоначальных порядков элементов посту-
лат А выполняется, то из того, что пор = пор'	пор' а =
— пор «х, заключаем, что существует такой элемент х1г что
пор (&! — Л1«^)<пор Ъ*
Но
Ьх—а1-х1=г-Ь — 'ц-а-х1 = е-Ь—е-г)-а-х1 = г-Ь—ец'-тга-х1 =
= е (b —	(Ь — а-х), где x = v;"•x1 = »j'ijx1.
Имеем:
пор' (Ь — а-х) = пор' [е (Ь — ах)] = пор' (&х— <hxi) <
< пор (&! —	*1)<пор Ьг = пор' Ь.
Итак, существует элемент х, такой, что
пор' (Ь—ах) < пор' Ь.
Но это и означает, что постулат А выполнен.
Из, изложенного следует, что мы вправе требовать вы-
полнения постулата Б всюду, где выполнен постулат А.
В случае необходимости мы предварительно изменяем
порядки элементов, заменяя, как это было только что ука-
зано, пор а через пор'а, равный наименьшему из чисел:
пор (е-а), где е всевозможные делители единицы.
Докажем теперь следующее предложение.
Теорема VI. При условии выполнения посту-
латов А и Б делители единицы и только они
одни обладают наинизшим порядком v, среди
всех отличных от нуля элементов.
Доказательство. Пусть ъфп элемент кольца, обла-
дающий наинизшим (среди отличных от нуля элементов)
порядком V. Так как порядок единицы е не меньше v, то,
по теореме 1, существует элемент х', такой, что
пор (е—х'-еХпор е=».
Но единственным элементом кольца, имеющим порядок
меньший v, является нуль кольца: пор n = v — 1. Следо-
вательно,
е — х'-е=п, e=xf-s,
т. е. е есть делитель единицы.
Всякий другой делитель единицы q (e = x№-ti) можно
представить в виде: ц =е-ц = (х'-е)-7]= (х'••»!)• е и так как
х'-т) также есть делитель единицы (именно, е=е-е —
= (х'-е)-(х"-т))=(х'(х"-е)), то, согласно постулату Б,
получаем: пор J)  пор е = v.
Итак, каждый элемент порядка v есть делитель единицы
и обратно: каждый делитель единицы обладает порядком >.
Теорема доказана.
3»
Введем следующее определение: если а = а-р, где ни
а, ни Р не являются тривиальными делителями, то а и £
называются собственными, делителями а.
Теорема VII. Порядок собственного делителя
элемента а ниже порядка а.
Доказательство. Пусть а = а-р, причём а собствен-
ный делитель а. Допустим, рассуждая от противного, что-
пор а пор а. Тогда, деля а на а(с остатком), получим
а. = а-х' ф-у', пор у'< пор а.
Здесь у' ф п, так как в противном случае мы имели бы:
а = а-х, = (а-Р)-х/ = а-(Р-х'), а —-а(р-х/) = П,
а-е — а-(Р-х') = а(е — ₽-х')=п, т. е. е— р-х' = л,
так как афп.
Но это означает, что е = р-х', т. е. р есть тривиальный
делитель, что противоречит определению собственного де-
лителя. Итак, у' фп, и мы можем, продолжая процесс по-
следовательного деления (а делим на у' т. д.), получить
н. о. д. (а, а)=у (*), где £>1. Но, по определению деления:
пор у<*)<пор у <*-’)пор у'<пор а-Спор а, т. е.
пор у <*> < пор а.
С другой стороны, а также является н. о. д. (а, а), ибо
а есть общий делитель а и а = а-р и каждый общий де-
литель а и а есть делитель а. Но а и у <*>, будучи наиболь-
шими общими делителями а и а, могут, по теореме Ш„
различаться только тривиальным множителем: а = е-у<*>.
Отсюда, в силу постулата Б, заключаем, что пор у<*> =
= пор а.
Таким образом, исходя из предположения: пор а^пор а,
мы пришли к двум противоречивым заключениям:
пор у<Z пор а и пор у = пор а.
Отсюда и следует справедливость нашей теоремы:
пор а<пор а.
Теорема VIII. Совокупность всех наибольших
общих делителей а и b совпадает с совокуп-
ностью общих делителей а и Ь, обладающих
наивысшим порядком (среди , всех общих делите-
лей а и Ь\
Доказательство. Пусть с какой-либо общий дели-
тель а и b и d=n. о. д. (а, Ь); тогда d = c-c'. Если с соб-
ственный делитель d, то, по теореме VII, пор rf>nop с.
В противном случае, либо с' есть тривиальный делитель,
и тогда, по постулату Б: пор с?=пор с, либо с есть три-
виальный делитель, и тогда по теореме VI пор ds^nop с.
49
Итак, во всех случаях пор rfs^nop с, т. е. н. о. д. обла-
дает наивысшим порядком р. среди всех общих делителей
а и Ь.	.	,
Покажем, что каждый общий делитель 8, обладающий
наивысшим порядком р, есть н. о. д. (а, Ь).
В самом деле, пор 8 = пор </=пор н. о. д. (а, &)=р.
Если p=v (наинизшему порядку среди элементов кольца,
отличных от нуля),' то, по теореме VI, заключаем отсюда,
что d и 8 являются делителями единицы. Это означает, что
а и b взаимно простые элементы и их н. о. д. является
любой делитель единицы, в частности 8. Пусть, теперь р >
рассмотрим соотношение: rf = 8-8'. Здесь 8 не может быть
собственным делителем d, так как в противном случае мы
имели бы, что пор rf>nop 8 ~ р, что невозможно. Следо-
вательно, либо 8, либо 8' должны быть делителем единицы;
но 8 не есть делитель единицы, ибо пор 8	р > у; поэто-
му 8' есть делитель единицы: е = 8'-8". Отсюда заключаем,
наконец, что 8 = е8 = 8' 8" 8 = 8" (8'-8) = Z"-d, т. е. 8 делит- >
ся на </; но </=н. о. д. (а, Ь), поэтому и 8=н. о. д. (а, Ь).
Доказательство закончено.
Назовем элемент кольца р, не являющийся делителем
единицы, простым, если он не имеет собственных дели-
телей.
В силу этого определения делитель р либо отличается от
р только тривиальным множителем (в частности, совпадает
с р), либо является тривиальным элементом кольца.
Теорема IX. Каждый не тривиальный, отлич-
ный от нуля элемент а кольца, можно пред-
ставить в виде произведения простых элемен-
тов:
а=РгРз ---Рь (k SM).
Если а простой элемент, то предложение очевидно.
Пусть а не есть простой элемент. Тогда должен существо-
вать собственный делитель а элемента а: а = а-а'. Если
а простой элемент, то мы уже обнаружили простой дели-
тель а. Если а не есть простой элемент, то ищем собствен-
ный делитель а. Так как порядки собственных делителей
делаются все ниже и ниже, оставаясь больше, чем поря-
док v тривиальных элементов, то после конечного числа
шагов мы должны будем получить таким путем простой
делитель а. Обозначим его через pt. Тогда a=pl-q1, где
П0Р ?i<nop л, так как qt (вместе с pj) есть собственный
делитель а. Если qt простой элемент, то доказательство
закончено. В противном случае, мы, рассуждая по преды-
дущему, получаем простой делитель qt, пусть р2: Qi=pt-qv
Тогда a	где пор ^2<пор ^<пор а. Продолжая
это рассуждение, мы после конечного числа шагов придем
41
к такому qk, которое само должно быть простым: qk=pk.
Иначе, мы получили бы бесконечное множество элементов
^i> Чъ Чз>-- • с понижающимися порядками, что, очевидно,
невозможно.
Итак,
а = pj)s.. .pk-\qk - pJh.. -Pk-'Pk,
где все множители простые. Теорема доказана.
Докажем следующее вспомогательное предложение,
которое будет использовано в дальнейшем.
Лемма.
Если произведение а^.. .ап делится на простой элемент
р, то, по крайней мере, один из сомножителей а^, аа,...ап
делйтся на р.
Для доказательства заметим сначала, что если какой-
либо элемент а не делится на простой элемент р, то он дол-
жен быть взаимно простым с р. В самом деле, </=н. о. д. (а, р)
является делителем р и так как р не имеет собственных
делителей, то d либо отличается от р лишь тривиальным
множителем (и, в частности, совпадает с р), либо яв-
ляется тривиальным элементом кольца (в частности, d=e).
Но первое невозможно, так как а не делится на р-, по-
этому справедливо второе, т. е. а и р взаимно простые
элементы.
Допустим теперь, что лемма не верна. Тогда ни один
из элементов аг, аа, ..., ап не делится на р и, следова-
тельно, все они являются взаимно простыми с р. Из того,
что ах(аа...ал) делится на р и аг является взаимно про-
стым с р следует, по теореме V, что аа...ап делится на р.
Применяя к произведению а2 (а3...ая) снова теорему V,
заключаем, что и а3...ап делится на р. Повторяя то же
рассуждение, мы получим, наконец, что а„ делится на р,
вопреки допущению.
Из полученного противоречия и следует справедливость
леммы.
Теорема X. Разложение каждого элемента на
произведение простых множителей является
единственным (с точностью до тривиальных
множителей).
Доказательство. Пусть a=pipa.. .рк и a=q1qa...ql
два разложения одного и того же элемента а на простые
множители.
Предположим, для определенности, что k I и покажем,
что для любого элемента qt(i = 1,2,найдется один
из элементов рира, ... рк, от которого qt отличается толь-
ко тривиальным множителем. В самом деле, из равенства:
ЛА-..А =	ft
42
следует, что произведение р^р2.. .pk делится на qt, откуда,
в силу леммы, заключаем, что некоторый элемент p}(j =
= 1, 2,’.. .,k) делится на qt. Но qt не является тривиальным
элементом, поэтому qt отличается от р} только тривиаль-
ным множителем Pj = ^qt-
Если е = е«е', то это соотношение можно переписать
также в виде:
^ = е^ = (е.е') qt = z'Pj-
Итак, для элемента qv например, мы можем отыскать
среди элементов рг...рк некоторый элемент р', такой, что
4,i==si-/,/> гДе 8i тривиальный множитель. Обозначая про-
изведение всех элементов р1г... ,pk, за исключением р’,
через (pi.. .pk)' (здесь подразумевается, следовательно,
k— 1 множителей!), получим:
/’'•(А •••£*)' =	• 02-•• Л,
откуда
>	(Pi-’-Pk)' =
Применяя то же рассуждение, мы отыщем среди остаю-
щихся множителей правой части множитель р", от которо-
го q2 может отличаться только тривиальным множителем:
q2=e2-p". Обозначая произведение всех множителей
Pi>-"Pk> за исключением р' и р", через (/>х.. ./>*)", (k — 2
множителей), найдем:
После I — 1 шагов мы придем к соотношению
(/’1---/’й)(г_1) = 8182---е -i-qt
и среди множителей левой части снова найдем такой мно-
житель рю, что 7г = гг-р^, где ег тривиальный элемент. Мы
утверждаем, что произведение (/?,.. .p*)<z-1), которое должно
содержать k — (I—1) множителей, состоит из этого одного
элемента р Ю (т. е. k — (I—1) = 1, или k = l). В самом деле,
если бы здесь содержались еще некоторые простые множи-
тели (по крайней мере, один), то, обозначая произведение
последних через (р...р^Ю, мы получили бы:
P(Z)-(Pi-. .pk)^ = eisa-. .8z-ierp(0,
или
(Pi-’-Pk^ =e18a...8z.
Но произведение тривиальных делителей гхг2.. .ez должно
делить любой элемент кольца (ибо b = егЬ' —	= ... =
= exs2.. .ez-&(0) и, следовательно, само является тривиаль-
ным делителем. Обозначим его через е:
(рх...рй)« = е.
Получается, что простые элементу, входящие в произ-
ведение- (рх.. .рк)Ю, служат делителями тривиального эле-
мента 8 и, следовательно, сами являются тривиальными
4	43
элементами, что противоречит определению простого эле-
мента. Итак, k — l, т. е. числа множителей ., рк
и <7i> • • • ->4i одинаковы, причем каждому множителю qt
соответствует множитель от которого qt может отли-
чаться только тривиальным множителем и этими множите-
лями—рю исчерпывается все произведение рк..-рк. Доказа-
тельство закончено.
Следствие. Ес л и р^р^.. .рк разложение элемен-
та а на простые множители, то любой дели-
тель а может быть 'получен (с точностью до
тривиальных множителей) путем перемноже-
ния всех или некоторых множителей произве-
дения Pt...pk.
Доказательство. Пусть а! некоторый делитель а и
пусть qr.. .qt разложение а' на простые множители. Если далее:
а	а
-^г = г\.. .гт есть разложение элемента на простые мно-
1 жители, то а. = а'•-£- = qx.. .qlrl.. .гт дает- разложение а
на простые множители. В силу доказанной теоремы множи-
тели qlt... ,qt могут отличаться лишь тривиальными множи-
телями от некоторых множителей произведения рг.. .рк. Пусть.
4j=^jPj'- Тогда получим:	..^-р^-р^.. .р/=Ърк.. м',
где е тривиальный множитель, a Pi-.-Pi, некоторая группа
сомножителей из произведения рк.. .рк. Но это и есть наше
утверждение.
9. Пример кольца, к которому теория делимости
неприменима
После того как мы развернули теорию делимости для
тех колец, в которых можно ввести понятие порядка- эле-
ментов, удовлетворяющее постулату А (и Б), естественно
спросить себя: существует ли среди колец, являющихся
областями целостности и обладающих единицей, такие, к ко-
торым эта теория вообще не применима и для которых, сле-
довательно, невозможно ввести понятие порядка элементов,
так, чтобы выполнялся постулат Д? Простой пример подоб-
ного кольца_дает совокупность комплексных чисел вида г
a=x4-iy|/5, где х и у произвольные целые числа, и опера-
ции сложения, вычитания и умножения производятся по
обычным правилам операции над комплексными числами.
Это кольцо обладает единицей е = 1-Ьг-0-]/5 = 1. Кроме
того, оно является областью целостности, ибо, допуская,
что а-Ь=п=0, мы должны иметь: |а|-|6|=0 и |а|2-|6|2 = 0.
Но | а |2 == %8 4“ 5у2 и | b |2 = x's + 5/2 — целые числа, поэтому,
по крайней мере, одно из них должно быть нулем, а это-
возможно лишь тогда, когда х=у = 0 или х' ==у' = О, т. ё.
а = 0 или 6 = 0.
44
Мы покажем сейчас, что элемент кольца 6 допускает
.два существенно различных разложения на простые множи-
тели, откуда и будет следовать, что не выполнена теорема
X предыдущего пункта. А это, в свою очередь, будет
обозначать, что в нашем кольце невозможно ввести поня-
тие порядка так, чтобы выполнялся постулат А (и Б).
В самом деле, теорема X является следствием из указан-
ных постулатов.
Заметим сначала, что делители единицы в нашем кольце
сводятся к двум элементам: ±1. В самом деле, из того,
что а-Ь= е — 1, заключаем, что |а|-|д| = 1, |а|2-|&|2 = 1,
т. е. (х24~5у2)>(л:'2-|-5у'2) = 1. Но тогда каждый из множи-
телей левой части, являющихся целыми неотрицательными
числами, должен быть равен 1: х24-5у2=х'2-|-5у'2= 1.
Так как х, у, -х' у' целые числа, то отсюда следует,
что х = ±1, у = Ои х' = ±1, у' =0, т. е. а=± 1 и й=±1-
Очевидно, что справедливы соотношения:
6 = 2-3 = (1 -]- г ]/5) -(1 - i/5).
Покажем, что элементы 2, 3,1 i ]/5 и 1 — i ]/~5 являются
простыми элементами.
Проверим это сначала для элемента 2. Рассуждая от
противного, допустим, что 2 имеет собственных делителей
« и Ь; 2 = а-Ь. Тогда 4 = |a|2-|Z>j2 и так как |a|az£l и
|&|2=#1 (иначе получилось бы, что а = ±1, либо
т. е. а и b не были бы собственными делителями), то
остается допустить, что | а |2 = |&|2 = 2. Но уравнение
x2-j-5y2 = 2 не имеет решений в целых числах, ибо при
y — Q имеем: л® = 2, а прид/^О имеем:^ха-|-5у2>-5>2.
Отсюда заключаем, что 2 не может иметь собственных
делителей, т. е. 2 есть простой элемент .кольца. Проверим
еще, что 14~/]/5 есть простой элемент. Допуская против-
ное, будем иметь разложение	-на _ собственные
множители: 1 -[-/)/5 = а-b, откуда |1Чг-г’У5|а =1а|2-|£>|2,
т. е. 6 = |а|2-|6|2 и так как |а|2ф 1 и | 6|2#= 1, то одно из
чисел |а|2, |£|2 должно равняться 2, а другое 3. Но мы
только что видели, что не существует элемента кольца, для
которого выполнялось бы условие л2 -J- 5у2 = 2 (точно так
же можно было бы проверить, что не существует элемента
кольца, для которого ха-|-5у2 = 3). Следовательно, мы
пришЛи к противоречию, откуда следует, что
простой элемент кольца. Читатель проверит без всяких
затруднений, что 3- и 1—также простые элементы
кольца.	4
45
Итак, в нашем кольце существует, по крайней мере,
два разложения элемента 6 на простые множители:
6 = 2-3 = (1.-Н/5).(1 —ij/5).
Остается заметить, что различие между элементами
левой и правой части не сводится к различию в тривиаль-
ных множителях. В самом деле, последние в нашем кольце
суть +1 и, очевидно, что 1±г’И5^:±2и 1 + i Иб3.
Итак, в рассматриваемом кольце не выполняется теоре-
ма X, а поэтому не могут быть выполнены и те постулаты,
следствием которых является эта теорема.
10. Деление с остатком для целых чисел. Малая теорема
Ферма. Квадратичные вычеты
Мы обратимся далее к применению общей теории ‘ к
кольцам целых чисел и многочленов. Начнем с кольца це-
лых чисел. В п. 5 и п. 8 было показано, что постулаты А и
Б выполняются в этом кольце, если принять пор а = | а |.
Отсюда следует, что и все теоремы пп. 5 и 8 справедливы
в кольце целых чисел.
Заметим, что если b не делится на а, то существуют
два различные числа b — ах и b — а-х, порядки которых,,
т. е. абсолютные величины, меньше порядка а. В самом
деле, одно такое число должно существовать в силу тео-
ремы I. Пусть у = Ъ—ах удовлетворяет условию: |_у] <|а|..
Так как b не делится на а, то у ^'0; пусть, например, _у<0.. •
Тогда мы рассмотрим^ =_у~Ь|а| = Ь—а-х-|-|а1 = Ь — а (х±1)
(знак минус берется при а > 0, знак плюс — при а<0). Оче-
видно, что 0<у=_у-|-|а|<;|а|, так как —а<у<0. Итак, мы:
получили два различные числа вида b — ах, удовлетворяющие
соотношению: \Ь — а-х\ < |а|, причем оба имеют разные знаки..
Очевидно, что третьего числа, удовлетворяющего тому же-
соотношению, не может существовать.
Г*»	~	Г-»
Допустим противное, и пусть наряду с у и у: — |а| < у <0,
0<_у < |а| существует еще число у = &- ах, такое, что, на-
пример,— |а| <_у<0. Тогда, |_у—,у| = |(&—а-х) — (Ь— а-х)1 —
= |(х—х)-а\. Но, с одной стороны, |_у—у| меньше, чем
|а|, как абсолютная величина разности двух чисел одного-
знака, меньших чем |а] (по абсолютной величине). С другой
стороны, [у— j| = |x—х|-|а|>|а|, так как разность двух
различных целых чисел х и х, по меньшей мере, есть.
46

единица. Из полученного противоречия следует, что
третьего числа.у=6—ах, такого, что <|а|, не сущест-
вует.’ Итак, если b не делится на а, то существуют два и
только два числа вида Ь — ах, имеющие противоположные
знаки и меньшие по абсолютной величине, чем |а|.
Любое из них могло бы фигурировать в качестве остат-
ка при делении b на а. Обычно, вводят дополнительное
условие, считая остаток неотрицательным числом. Тогда
результаты деления с остатком: остаток и частное опреде-
ляются единственным образом. Однако, для отыскания
н. о. д. путем алгорифма Евклида, было бы удобнее брать
в качестве остатка, то из двух чисел Ъ — а-х и Ь — а-х,
абсолютная величина которого меньше (или любое из них,
когда их абсолютные величины одинаковы). Мы имели бы
тогда операцию деления с остатком (в узком смысле),
несколько отличающуюся от той, которую обычно рассма-
тривают в арифметике, но полностью удовлетворяющую
всем рассмотренным выше условиям. Заметим, что для та-
кой операции остаток при делении b на а удовлетворяет
усиленному неравенству:
И = 1* — а-х|<-Ц^.
В самом деле, если-Цг<Г& — а-х|<Ja| и, для опре-
деленности, числа Ь — а-х и а имеют противоположные
знаки, то Ь — а-х-\-а—Ь — (х— 1)а удовлетворяет соотно-
шению:
|& — ах-|-а| = |а| — \Ь — а-х|< |а|‘—L|L=_L£L.
Итак, меньший по абсолютной величине из двух воз-
I а I
можных остатков, не превосходит ++•
Поясним на примере отыскания н. о. д. преимущество
применения видоизмененного, указанным образом, процесса
деления с остатком. Пусть нужно найти н. о. д. чисел 987
и 610. Пользуемся сначала делением с положительными
остатками.
Получаем последовательно:
987=610+377,
610=377+233,
.	377=233+144,
233=144+ 89,
144= 89+ 55,
/ 47
I
h
й
89=55+34,
55=34+21,
34=21+13,
21=134- 8,
' 13= 8+ 5,
8= .5+ 3,
5= 34- 2,
3= 2+ 1.
Итак, здесь нам понадобились 13 операций для полу-
чения н. о. д. (равного 1).
Воспользуемся теперь делением с наименьшими по абсо-
лютной величине остатками. (Оно производится, как и обыч-
ное; но в случае, когда остаток превышает половину дели-
теля, мы увеличиваем частное на единицу, но зато вычи-
таем из остатка делитель).
Получим:
987=2-610—233,
610=3-233- 89,
233=3 - 89— 34,
89=3- 34— 13,
34=3- 13- 5,
13=3- 5— 2,
5=3- 2- 1.
Здесь имеется только 7 операций. Заметим, что мы,
выполняя алгорифм Евклида, ,брали делители всегда поло-
жительными, 1 т. е. делили, например, 610 на 233, а не
на —233. Это не влияет на результат, так как при этом мы
отбрасывали только тривиальный делитель — 1.
В качестве приложений теории делимости мы приведем
здесь несколько теорем из теории чисел.
Теорема Лагранжа. Пусть р>2 простое число
п Р (х) = атхт-\-ат-1хт~1-\-.. .-\-ай (т<р—1) много-
член с целыми коэффициентами. Если среди
р— 1 различных целых чисел:
<10л>
существует /»+1 различных чисел:	х2,...,
хт, xm+i, таких, что числа Р^), Р (х4), • • •, Р(*т)>
Р (xOT+t) делятся на р, то все коэффициенты
многочлена Р(х) также делятся на р.
Доказательство. Будем доказывать это предложе-
ние по индукции. ПусН сначала т—1 и Р(х) = Ojх + ад.
48	I
— х2) делится на р. Но
—Р — 1 <Zp> поэтому хх —	4
Если хх и х2 два различные целые числа из системы (10-1),
такие, чтоР(хх) и Р(х2) дёлятсй на р, то и Р(*х) —Р(х») =
= («1х+«о) — («1 ха 4- а0)=а, (х
1*1—*зК l*il +1*81 < Р~^г+Р~^
— х2 не . делится на р. Следовательно, в силу леммы п. 8, at	|
делится на р. Далее из того, что аг хх 4~ делится на р и	|
ах делится на р следует, что а2 также делится на р. Итак, ;
оба коэффициента ах и а0 многочлена«Р(х) делятся на |
р, т. е. теорема доказана для случая т=1. Допустим те- ।
пёрь, что теорема -справедлива для многочленов степени • ?
ниже /п(/п>1) и покажем, что тогда она будет справедли- . ;
ва и для многочлена степени т. Отсюда и будет следо-
вать справедливость нашего предложения для любого т. , ,
Итак, пусть для многочлена Р(х) степени т<Р—1	
выполнены условия теоремы. >	'
Тогда, деля Р(х) на многочлен степени /и:	1
Q(x) = (x—хх> .. . (х — xm)=xm+ . . .	;
. получаем, в частном многочлен нулевой степени, т. е. кон- I
станту (очевидно, равную ат), а в остатке многочлен Р(х) >
степени не выше т — 1:	i
P(x)-Q(x)'aa+R(x).	(10.2) j
, Очевидно, что все коэффициенты многочлена Р(х) = Р(х)-—	"
— «mQ(*) =(««*'”4-J
" — хот) целые числа. Полагая в найденном равенстве х = х{,	•
х—х2,". ., х = хт, найдем:	?
R (Xi) = Р (хх), R (х2) =Р,(х2),(xj = Р (хт),	j
откуда следует, в силу условия теоремы, что значения	;
R(xJ ,..., R(xm) в.се делятся на р. Так как их число есть '
т, а степень Р(х) не' выше т—1, то, в силу сделанного
предположения, все коэффициенты Р(х) делятся на р.
Положим теперь в равенстве (10.2) х = Хт^- Получим,
Р{хт-^-\) Q (*т-|'О ’	4” R (*л*+0 ==^m(*m4-l	*1) ••• («^m-pl ““
Здесь, по условию," Р(хт+4 делится на р и, кроме того,
Р(хот4-4 делится на р, так как все коэффициенты мно,гочле- ’
на R (х) делятся на р. Отсюда вытекает, что и произведение
ат (xot+i — хх).. . (X/n-1-i — хт) делится на р, т. е. по лемме	:
п. 8, по. крайней мере, один из множителей делится на р.	•
Ho|x^i-xj<|xw|-l-|xy|<^=-?	— 1</> (J— • ?
=»1,2,... т), следовательно, ни один из множителей вида	'
хт — Xj рё может делиться на р. Поэтому ат делится на р,	?
4 А. И. Маркушевич	49	,
her	’ 'ь	- V. .
откуда вытекает, что и все коэффициенты многочлена'
amQ(x) делятся .на р. Итак, в равенстве (10. 2) все коэф-
фициенты многочленов правой части (amQ(x) и R(x)) де-
лятся на/?; поэтому делятся на р и все коэффициенты Р(х),
чем и заканчивается доказательство.
Обратимся теперь к доказательству следующей класси-
ческой теоремы теории чисел.
Малая теорема Ферма. Если р лростоечисло
и а произвольное целое число, то ар—а делит-
ся и а р.
Для доказательства будем исходить из равенства:
(а+ 1)₽ = аР + С'р аР~' +	(Ю.З)
где	0- = i>2,. .. , р-1)-	(10.4)
биноминальные коэффициенты. Эти коэффициенты являют-
ся натуральными числами, кратными р. Чтобы убедиться в
последнем, перепишем соотношение (10.4) в виде:
1-2.. .j.CJp=p(p-l)...(p-j+l).
Из него вытекает, что произведение 1-2.. ./Ср делится ва
р и, следовательно, по лемме п. 8, по крайней мере, один
из множителей этого произведения делится на р. Но каж-
дое из чисел 1, 2, ... , j меньше р и поэтому не может
делиться на р. Следовательно, Ср делится на р.
Переписывая равенство (10.3) в виде:
[(а +1 )р—(а -|-1)] — [аР—а]« С>^1 -|- С2Р аР~* -|-
+ ..4-С^“’а,	(10.5)
заключаем, по доказанному, что левая. часть последнего
равенства должна делиться на р при любом целом а.
Если будет установлено, что аР — а при некотором а
делится на р, то отсюда будет следовать, что и (a.-j-l)1’ —
— (а-|-1) делится на р. Но при а=1 получаем: 1₽—1 =
=0 делится на р. Следовательно, по индукции, 2Р —2,
Зр—3 и, вообще, аР—а, при любом натуральном о, делит-
ся на р. Заменяя в легой части (10.5) а-\-1 через Ьи а через
b—1, мы получим, что [&₽ — 6] — [(6—iy — (b — 1)] делит-
ся на р при любом целом Ь. Следовательно, из того, что
bp — b делится на/>, вытекает, чти и (Ь— 1)р—(Ь — 1) делит-
ся на р. Полагая последовательно & = 1, 0, — 1,—2, ...,
заключаем, что 0р — 0, (— IX — ( — 1), (— 2)р — (— 2),
(— 3/ — (— 3), ... делится на р. Итак, аР — а делится на р„
при любом целом а положительном, равном нулю или от-
рицательном, чем и заканчивается все доказательство.
50

ной
ные
В виде иллюстрации положим а=2 и р=7.
Получим: а1 — а = 27 — 2=126—число, кратное 7.
Следствие: Если целое число а не делится на простое
число р, то a₽-1 — 1 делится на р.
В самом деле, аР — а = а(а?~г— 1) должно делиться на
р и, следовательно, по лемме п. 8 один из сомножителей
должен делиться на р\ но а не делится на р, поэтому
а₽-1 — 1 делится на р.
Рассмотрим теперь какое-нибудь нечетное простое
число р(р^3). При делении на р любого целого числа а,
с наименьшим по абсолютной величине остатком, возможны
следующие остатки:
/> —1  Р-Ъ _i а 1	Р —1
2	»	2	’ • • • » Ь v, I, ... ,	2	..
Если а не является кратным р, то 0 не может служить
остатком, и мы получаем всего р—1 возможных остатков:
-^, ... ,-1,1 ... , ^.	(10.1)
- Так, например, при делении на 7, для чисел, не кратных
7, возможны следующие 6 остатков:
-3, —2,-1, 1,2,3.
Будем теперь рассматривать остатки при делении на р
только таких чисел а (не делящихся на р), которые явля-
ются точными квадратами.Такого рода остатки называются
квадратичными вычетами (по модулю/?). Простые примеры
показывают, что лишь часть чисел (10.1), а именно, поло-
вина этих чисел, являются квадратичными вычетами. Рас-
смотрим, например, р ~ 7 и соответствующие полные квад-
раты (не кратные 7):
1»=1, 22=4, 32=9, 4’= 16, 5»=25,
[6’= 36, 82 = 64, 92=81,... .
Выполняя деление (с остатком наименьшим >пр абсолют-
величине) получаем, по порядку следующие квадратич-
вычеты по модулю 7:
1,-3, 2, 2,-3, 1, 1,’-3, ...
видим, что, здесь встречаются только числа— 3, 1 и 2
Мы
и не встречаются числа — 2, — 1 и 3.
Те из чисел (10.1), которые не являются квадратичными
вычетами, т. е. не могут служить остатками, при делении
точного квадрата, называются квадратичными вычетами.
Докажем, что квадратичных вычетов (по данному модулю
р) всегда столько же, сколько и квадратичных невычетов.
Убедимся сначала, что если два целые числа аир отляча-
4*	51
ются между собою на число, кратное />;P=a-f- пр, то ?4
и а* дают одинаковые остатки, при делении на р. В самом
деле, если '	,
а2=тр-\-с, где
то х 
Р» = (а + пр)* = а8 -|- 2а пр -}-л8/>8 = тр -|- с4~2 а пр + п*р* ==
= (т -|-2ап-\-п*р)р -{-с,
т. е. р* дает при делении на р тот же остаток, что и а2.
Отсюда следует, что для отыскания всех квадратичных
вычетов достаточно рассмотреть остатки при делении на р
только квадратов чисел (10.1):
......
(-И)’, (1)*, 2>, ... ,(£=!)*.	(10.6)
Действительно, любое число р при делении на р дает в
остатке некоторое число р., находящихся среди чисел (10.1)
Р«=л/>4~а-
Следовательно, £8 должно дать при делении на р тот же
остаток, что и число а8. Но среди р — 1 чисел (10.6) каж-
дое встречается по два раза так, что различных среди них
будет только ^-5 :
х I8, 28, ... ,	X10-7)
Поэтому и различных квадратичных вычетов по модулю р
может быть не более чем • Покажем, что их ровно
. Для этого достаточно проверить, что никакие два
числа из системы (10.7) не дают одинаковых остатков при
делении на р.
Допустим противное и пусть
k* = тр +а, (1 < к, |'а| <
И
Вычитая почленно эти равенства, получим:
'	k* — 12 = (т—п) р,	. .
т. е.	(k— I) (£-|-/) = (пг — п)-р.
52
Отсюда следует, что произведение (k—	должно
делиться на р, т. е. (см. лемму п, 8) k—I или;Л-|-/делит-
- ся на р. Но ни то, ни другое не возможно, так как
+ 1*|<Р-1<Р.
Итак, существует всего различных квадратичных вы-
четов по модулю р и все их можно получить, рассматри-
вая остатки от деления чисел (10.7) на р.
Квадратичные вычеты составляют лишь половину всех
чисел (10.1). Следовательно, прочие^р из этих чисел яв-
ляются квадратичными невычетами.
Возвращаясь к нашему примеру (р=7\ заключаем, что для
получения всех квадратичных вычетов достаточно было
рассмотреть остатки, при делении'на 7, следующих трех
квадратов:,
Г = 1, 2» = 4, 3«=9.
Получаем, как и выше: 1,—-.3, 2/ Числа—2,-г-1 и 3;
являются квадратичными невычетами по модулю 7.
Как отличить в общем случае вычеты от невы'четов среди
чисел (10.1)? Ответ- на этом вопрос получается с помощью
малой теоремы Ферма и выражается в следующей теореме:
число а является квадратичным вычетом по
модулю р, тогда и только тогда, когда число
р-1
а 2 — 1 делится на р. Прежде чем доказывать это предло- -
жение, поясним его на примере р = 7. Здесь в 3,
и мы получаем для вычетов 1, — 3 и 2: Is — 1 = 0, (— 3)’—1=
= — 28, 23 —1 = 7 = числа, делящиеся на 7, тогда как для
невычетов — 2,—1 и 3 числа:
(_2)8_1—_9, ( — 1)» — 1 = —2, З5 —1 = 26 ,
не делятся на 7.	ч
Обращаясь к доказательству теоремы, предположим/
что а есть квадратичный вычет. Тогда существует не де-
лящееся на р число k, квадрат которого дает при деле-
нии на р в остатке а:
k*=p-n-f-a.
Возводя обе части этого равенства в степень с показате-
п — 1	«»
лем , найдем,
53
kP-i = (p-n + d) 2 = (/>•«) 2 +<?’! -(p-n) 2 "’•« +
2
n_i ^=1-1
4-..-+СД •(/>«)•*2	+*2 .
2
ИЛИ	. P-1	P~1	P_r! _1
£p-J —a 2 = (pn) 2 +CJ_i(p-«) 2	<*+ ••• 4~
p=i _i	-t
+ СД1 (p-n)-a2	(Ю.8)
2
Правая часть этого равенства, очевидно, делится на р;
р—i	р-i
следовательно, и Ар-1 — а 2 = (£р-1 — 1) — (a 2 —1) делит-
ся на р. Но по следствию из' малой теоремы Ферма kp~l — 1
р—1
делится на р; поэтому и a 2 — 1 должно делиться на р.
Рассмотрим теперь многочлен х 2 — 1 степени '
При заменех значениями квадратичных вычетов: х1} х2,..,,
Xp-i он получает значения, делящиеся на р. Если бы для
v
одного из квадратичных невычетов р мы также имели бы,
р-i
что 0 2 — 1 делится на р, то тогда, всего получилось бы
^-тр + 1 различных чисел -из системы (10.1): xlf
Xp-i, р для которых соответствующие значения многочле-
~2~
на х 2 — 1 делятся на р. В силу предложения, доказанно-
го нами на стр. 48, отсюда должно следовать, , что и все
коэффициенты этого многочлена делятся на р, что, очевидно,
неверно. Итак, для каждого квадратичного вычета л: = а:
р—1
х 2 —1 делится нар и нет ни одного квадратичного не-
вычета, который удовлетворял бы тому же условию.
Следствие. Для всякого простого числа вида р =
= 4n-f-1 существуют такие целые числа а, что a2-}-1 делит-
ся на р. В самом деле, если р = 4п-\-1, то для числа — 1
р—1
имеем: (— 1) 2 — 1 = (— 1)2п — 1=0 делится на р и, сле-
довательно, по предыдущей теореме, — 1 есть квадратич-
ный вычет по модулю р. Но это означает, что существует
число а, для которого а2 при делении на р дает в остат-
ке—1. Итак, а2 = тр — 1, т. е. а24-1=щр делится на р.
В виде примера возьмем />=17. Здесь достаточно взять
а = 4, чтобы получить число а2 -|-1, делящееся на р. В слу-
чае />=13, берем а =5; здесь снова аа-{-1 делится на р.
54

Мы еще вернемся к последнему следствию,- выража-
ющему общее свойство простых чисел вида 4п -f-1, когда
будем говорить о целых комплексных числах (п. 14).
11. Деление с остатком для многочленов, расположен-
ных по убывающим степеням
В кольце многочленов в качестве порядка эле-
мента примем степень многочлена» Таким образом элемент
кольца, имеющий порядок п, может быть записан в виде:
ao + «ix+ ••• + а„хп, где а„#-0.
Мы видели выше, что постулаты А и В при этом выполнены.
Пусть b и а два многочлена, причем а не есть тожде-
ственный нуль.
В силу теоремы I найдется элемент £, такой, что поря-
док b — а-$ будет ниже порядка а, т. е. степень многочле-
на т) = b — а. ? будет ниже степени многочлена а. Пока-
жем, что $ и т) — единственные многочлены, удовлетворяю-
щие этому условию. В самом деле, допустим, что г/ =& —
— a-z' также имеет степень ниже степенна. Тогда 4 — 4'=
= а ($'— ?) и так как	(иначе tj — ч{—п, т. е. т) =
= 7]'), то степень а •(£' — £) не ниже степени а. С другой
стороны, степень т] — т)' ниже степени а, ибо каждый
из многочленов т] и ц' имеет степень ниже а. Мы получи-
ли противоречие, из которого вытекает, что существует
лишь один многочлен т|я»й - а1?, имеющий степень мень-
шую, чем степень а. Этот многочлен и принимается за ос-
таток, при делении & на а; $ дает соответствующее частное.
Таким образом здесь деление сводится к последователь-
ному понижению степени Ь, посредством вычитания различ-
ных кратных а, как это и было описано в общем виде при
выводе теоремы I. Операция заканчивается, когда мы полу-
чаем остаток степени, меньшей чем степень а.
Рассмотренная здесь операция деления многочленов есть
обычная операция деления многочленов, расположенных по
убывающим степеням х. Читатель немедленно убедится в
этом, если проанализирует известный алгорифм деления,
по его обычной схеме:
ьп^т+ Ьт-]Хт~' -|- ...	\д"х 4- ая_1 х"-1 -J-... +,а0
If vm _1_ Дя—ym—I I	^тхт—п / ^я,~1 _°я—1 ^2" \ v
п [ «п___________~	ап	ап а\ ) ' 1
(h 1___Дя--2^”
(h л	ап—^т V-m-l I
\ап /
Здесь каждый этап деления сводится к вычитанию из де-
лимого различных кратных делителя, подобранных с таким
55
расчетом, чтобы в результате вычитания получился много-
член более низкой . степени. Деление заканчивается, когда
получается остаток со степенью, меньшей чем степень де-
лителя.
Рассмотрим, в виде иллюстрации к предыдущей теории,
отыскание и. о. д. двух многочленов: £ = х12-|-х94-х64“
4-х34-1 и а — X10 4- х6 -4-1.
Выполняем последовательные деления с остатком:
1) х12-|-х941х64-х34-1	|х19 4-хБ-4-1
х12 4-х14~ х2	х2
X9 — X1 4-х6 4-Х3 — X2 4- 1
2) х10 4- х5 4-1	|х9 —• х7 4-х6 -|- х8 — х2 -|-1
X10 — X8 4~ X1 4- X4 — X8 —|— X	х	:	~
» X8 — X7 4- X5 — X* 4- X3 — X 4- 1
3)'х9—х14-х64-х8 — х24~ 1	|х8 — х74-х6—х44-х3 — х4-1
х9 — х84~-^6 — х54~х4—х2-|-х	х-|- 1	’
х8 — х14- х5 — х*4-х8 — х 4-1
X8 — X7 —|—X5 — X* 4- X9 — x-j-1
»»»»»»»
Так как здесь деление выполняется без остатка, то по-
следний делитель d = x8— х74~х5 — х‘4-х8—х-(-1 и бу-
дет н. о. д. многочленов &=х124~х94-хв4-х84-1 и « = х16-|-
4-х5 4-1. Выполняя деления b на d и а на d (что мы пре-
доставляем читателю), получаем:
х12-}-х9 4-х® 4-х8 4~ 1 =
= (х8 — Х74-Х5 — Х44~Х3 — X-j- 1) (x*4-x84-x24-x4-l)
И '
х104- х64-1 =(х8 — х74-х5—х44"Х3 — х4-1)(х24-х4-1).
Многочлены х44-х34-х2-|-х4"1 и х2-]-х4-1 должны
являться взаимнопростыми, что можно также подтвердить,
применяя к ним алгорифм Евклида.
Л2. Разложение многочленов на множители.
Теорема Эйзенштейна
Выясним, какие многочлены следует считать простыми
в кольце многочленов (в том смысле, как это было разъ-
яснено в п. 8)х.
Заметим, что ответ на этот вопрос существенно зави-
сит от того, какие значения мы допускаем для коэффициен-
тов наших многочленов. Чтобы уяснить себе это, вспом-
1 Простые многочлены принято называть неприводимыми. Од-
нако в этой книжке мы в целях единообразия терминологии сохраним
за ними название простых.
56
ним основную теорему высшей алгебры, из которой выте-
кает, что всякий многочлен степени-и, не ниже'первой,
может быть представлен в виде произведения:
а = ап(х — xj, (х — хв).
Здесь а„ коэффициент при х" в данном многочлене, а
х1(... ,х„—нули этого многочлена (действительные или мни-
мые), т. е. корни уравнения а = 0.
Если мы в качестве коэффициентов многочлена в нашем
кольце допускаем любые комплексные числа, то х—*хг,
х—х2,..., х — х„ являются также элементами кольца
(многочлены первой степени). Они являются собственными
делителями а (при?п>1), т. е. многочлен а, степени выше
первой, не может быть здесь простым. Напротив, всякий
многочлен первой степени, т. ё. вида ax-f-JJ, где а^-0, яв-
ляется простым, ибо такой многочлен не имеет собственных
делителей; Действительно, допуская противное, мы имели бы
ах.Ц- £=pq, где р и q многочлены степени це ниже первой.
Но это невозможно, ибо произведение их является много-
членом степени не ниже второй. Итак,‘в кольце много-
членов, коэффициентами которых служат лю-
бые комплексные числа, простыми элементами
являются все многочлены первой степени и
только они одни.
Для иллюстрации рассмотрим разложение многочлена
х*4-1 на простые множители.
Имеем:
_х* -|-1 =£ха — /) (х* -|- Z) —	_
= (х — ]Л)(х + yt) (х—V ^7) (х + /— i).
.Из курса элементарной алгебры известны формулы:
У^+й = + (у +
+ *	~д) ’ ПРИ
И	___________
y-^+bi = + (р/ У^+^+а .
_ i рЛ .//+»» - <) f при Ь < 0.
Следовательно:
57
и
Х4+1 = ^Х —|/-g i(x + ]^"2' + * V4") X
x(x— рЛ'^- + грЛ-2") (•*+ ~2 дКт)-
Это и есть искомое разложение х44~1 на простые мно-
жители.
Обратимся теперь к кольцу многочленов, в котором ,
коэффициентами могут быть только действительные и при-
том любые действительные числа. Попрежнему простыми *
многочленами здесь будут являться все многочлены пер-
вой степени, но не только онц одни. А, именно, простым
здесь будет также дюбой многочлен второй степени с от-
рицательным дискриминантом. В самом деле, рассмотрим
многочлен ала-]-{Ьс-]-т, для которого р2 — 4а-[<0. Если
и ха корни уравнения ax24~[bc -|~Т fo и х2—мнимые со- •
пряженные числа), то многочлен ах2-]-[be-]-7 имеет сле-
дующее разложение на множители: ax24-^x-j-f = а(х —
—Xj)(x — х2). Однако многочлены х —хх и х — х2 не при- •
надлежат к кольцу, которое мы сейчас рассматриваем, .
ибо хх и х2—мнимые числа. Если допустить, что многочлен
ах2 + Рх-[-7 не является простым в нашем кольце, то долж- ;
но существовать разложение: ах2 4-Рх-)-•[=a-ft, где а и •
Ь многочлены не ниже первой степени, имеющие действи-
тельные коэффициенты. Очевидно, что степень' каждого из
них точно равна единице, ибо иначе степень их произведе-
ния была бы выше двух. Пусть, а = Лхх-|-/1, b = k2x-\-l2,
где klt k2, и /2—действительные числа тогда
а • b = fox -f- 4) (k2x -[- Z2) = ktk2 (x + -£-) (x 4-	.	*
Итак, мы имеем два разложения многочлена ах2 4- 4“ 7:
а(х—хх)(х—х2) и М»(*4“-^-)(*4--^-) •
Так как любой многочлен первой степени является про-
стым многочленом, то, в силу теоремы о единственности
разложения на простые множители (примененной к кольцу 1
многочленов с комплексными коэффициентами), мы заклю-
чаем, что х — х2 может отличаться» от одного из многочле-
нов х4-"^' или x4_^~ только тривиальным множителем. 
Пусть, например, х—хх= 5^x4--^-), где 8 некоторое
.комплексное число. Тогда, х —х1.= 8х-|-^- и, следова-
тельно: 5=1,—•*! = 8--4-=	•
•58	ч	' 1
Мы пришли к выводу, что мнимое число — хг равно дей-
ствительному -£>, что невозможно. Отсюда следует, что
наш многочлен ах2-]-рх-|-у не может иметь собственных
делителей в кольце многочленов с действительными коэф-
фициентами и поэтому является простым. Покажем, что
в рассматриваемом кольце все прочие многочлены, т. е.
либо многочлены второй степени с неотрицательным ди-
скриминантом, либо многочлены степени выше второй, не
могут быть простыми. В самом деле, пусть а такой много-
член. Обозначим через х^, х2...,хт его действительные ну-
ли. Известно, что мнимые нули многочлена с действитель-
ными коэффициентами являются попарно сопряженными, т. е.
их должно быть четное число, причем для каждого из них
существует другой нуль, сопряженный с данным. Чтобы
подчеркнуть это, запишем мнимые нули в виде; ух, у\, у2,
у'ъ ...» ук, y'k, где числа с одним и тем же нижним ин-
дексом являются сопряженными. Многочлен а имеет раз-
ложение:
а = ап(х — х^...{х—хт)(х-у1)(х-у\).:. (х—ук) (х—у'к).
Многочлены х—xlt...,x—xm принадлежат к нашему
кольцу (и являются простыми в нем), тогда как x—yt,
х—у'и..., х—ук, х — не принадлежат к кольцу много-
членов с действительными коэффициентами. Умножим х-ух
на х— у\, х—у2 на х—у'2 и т. д., х— ук на х—у'к. Если
положим, вообще, +	то получим:
(л - у]) (х —у') = [(х - ау) - ?/] [(х — a,) + р/] =
= (х — а/ + 02 = х’ — 2ау х -|- a’ -j-
Очевидно, что это многочлен второй степени с действи-
тельными коэффициентами и с отрицательным дискрими-
нантом
(- 2а/ - 4 (а2+р))=4 а) - 4а) - 4₽» = - 4$ < О,
ибо Ру ф 0 (так как у} = <Ху ₽/ по гипотезе мнимое число).
Итак, произведение двух множителей вида х— у} т х—у'f
дает простой многочлен нашего кольца. Окончательно полу-
чаем разложение а на простые множители:
а—а„ (х — Xi)... (х - хЛ) (х2 — 2axx-|-a2pj)... (х2 —.
— За^х + аЦ-р2).
В частном случае могут отсутствовать множители либо
того, либо другого типа, но во всяком случае разложение
не может сводиться к одному единственному множителю
59
ч какого-либо из этих типов, ибо мы заранее предположили, '
что а не является^ ни многочленом первой- степени, ни t
многочленом второй степени с отрицательным дискрими-
нантом.
Итак, мы доказали, что в кольце,многочленов с действи-
тельными коэффициентами простыми являются либо много-
члены первой степени, либо многочлены второй степени,,
с отрицательным дискриминантам и только эти многочлены.
Отсюда и из общей теоремы о существовании разложе-
- ния на простые множители вытекает, что любой многочлен
с действительными коэффициентами степени не ниже первой
можно разложить на множители первой и второй степени
с действительными коэффициентами.
Вернемся, с этой точки зрения, к многочлену х4-]--!.
Полученное выше разложение этого многочлена на множи-
тели не удовлетворяет теперь нас, так как каждый из мно-
жителей имеет мнимые коэффициенты (свободные члены).
Мы можем, однако, перемножить попарно множители
с сопряженными' комплексными коэффициентами — первый -
с третьим и второй с четвертым.
Найдем:
Мы получили здесь два многочлена второй степени
с отрицательными дискриминантами. Следовательно, найден-4
ная формула дает разложение х44-1 на простые множи-
тели в кольце многочленов с действительными'коэффициен-
тами. Заметим, что это разложение легко получить и
непосредственно:
х4-}-1 = (х4-|-2х2-]-1)-2х2=(хг+1)2— (/2-х)’ = -
=(Х2 —/2-X-1- 1)-(х2-)~У2-Х-{- 1).
- Любопытно, что знаменитый математик Лейбниц, кото- ;
рому в одной задаче нужно было получить разложение
х‘ -(-1 на множители, не заметил, что существует такое
разложение нК множители с действительными коэффи-
циентами и так и остался в убеждении, что все множители
х* +1 степени ниже четвёртой должны иметь мнимые коэф-
фициенты. Конечно, подобное заблуждение было возможно j
только в ту пору (первые годы XVIII столетия), когда 1
общая теория многочленов еще отсутствовала.
Перейдем, наконец, к случаю кольца многочленов, в ко- f
тором коэффициентами являются любые рациональные
(действительные) числа. Здесь простыми будут все много-
60
члены с рациональными коэффициентами, являвшиеся
простыми в только что рассмотренном кольце, но не только
они одни. Покажем, например, что многочлен четвертой
степени х*-Н является простый в этом кольце. В самом
деле, мы толькд что нашли его разложение на простые
множители в кольце многочленов с действительными коэф-
фициентами: ,
^+1=(х2-/2-х+1)-(х2+/2-хН-1).
Каждый делитель х4 в кольце многочленов с действи-
тельными коэффициентами, в частности^ каждый делитель
с рациональными коэффициентами, в силу следствия из
теоремы X, может быть получен с точностью до тривиаль-
ного множителя, в виде произведения всех или некоторых
простых множителей этого многочлена. Следовательно,
каждый собственный делитель многочлену х4-]-1, степень
которого должна быть ниже степени x4-j-l (в силу теоремы
VII),, имеет вид:
3(х2 —/’2-Хт{-1), или 8'(х*-f--/2’-X'4-l),
где 8 и 8'—действительные числа (тривиальные множители
нашего кольца суть константы, представляющие действитель-
ные числа). Может ли какой-нибудь из этих многочленов
иметь рациональные коэффициенты? Очевидно, что нет, ибо
если, например, 8—рациональное число, то коффициент при
х. 8 /"2 будет иррациональным числомг а если 8—иррацио-
нальное, то иррациональным будет коэффициент прй х2 и
свободный член. Отсюда следует, что многочлен х4-{-1 не
имеет собственных делителей в кольце многочленов с ра-
циональными коэффициентами. Поэтому этот многочлен
является простым в указанном кольце.
Изучение общих условий, при которых многочлен с ра-
циональными коэффициентами является простым в кольце
многочленов с рациональными' коэффициентами — задача
далеко не легкая..
Мы ограничимся лишь несколькими предложениями,
относящимися к этой теории. Прежде всего докажем, что
если многочлен Р(х) = хл-^-ап—ixn-1-|-...-J-a0 с целыми
коэффициентами является сбставным, то его можно пред-
ставить в виде произведения двух многочленов также
с целыми коэффициентами. В самом деле, пусть Р(х =
=	+ .+ хт- + . ..-Но),
где р^,. •., Ро, Тя« • • •» То — рациональные числа и 1	« < п,
После перемножения многочленов в правой части мы
полууим, очевидно, многочлен со старшим членом Мя>д;4+'в-
Этот старший член должен совпадать со старшим членом
многочлена Р(х):х“. Отсюда следует, что ₽4-Ти=1 (и ^+
4- т—п).
61
Перепишем разложение Р(х) в виде:
р (х) =	• (х* + х*- ’+ • •+ А) X
X (хт 4--7?T.L хт - 1 + . . . + _1®Л
откуда, замечая, что = 1 и полагая:
_ h Jo - А • Т” — 1  -	То _г
выводим:
' P(x) = (x*-f-fo_iX*-'+- • • + b0)-(xm-^-cm^lxm-1 +•. .-Но).
Покажем, что все рациональные числа &*_i,...,Z>9,
стс0 являются целыми числами. Допустим, что это
не так, тогда среди них, например, среди bk—i,...,b0 долж-
ны иметься числа, имеющие вид несократимых дробей,
с натуральными, отличными от единицы знаменателями.
Пусть, один из таких знаменателей делится на простое
число q, причем	наивысшая степень q, входящая
в разложения на множители знаменателей чисел bk-i,..., bt.
Обозначим через Ь{ тот из коэффициентов, знаме-
натель которого содержит множитель qs (если коэффи-
циентов такого рода будет несколько, то через bf обозна-
чим тот из нцх, указатель которого является наибольшим).
Пусть далее q*(t >-0) наивысшая степень q, входящая
в разложения на множители знаменателей чисел: ст = 1,
cm—i...,c0 и с} тот из коэффициентов, знаменатель кото-
рого содержит множитель q*. Если таких коэффициентов
несколько, то через с} снова обозначим тот из них, указа-
тель которого наибольший. В частности, может случиться,
что ни один нз знаменателей этих чисел не делится на 9;
тогда £=0,^=1 и Cj=cm=l. Перемножая многочлены
(х*+ • • • + М*'+ • • • + Ьй) и (хт4-.	4-... ф- с0), под-
считаем коэффициент при л'+;'в произведении. Получим, .
очевидно:
bi'Cj-\- b^ 'Cj~.i 4“^J— ity-H +• • •	(12.1) :
В этой сумме первое слагаемое есть дробь, содержащая
в знаменателе множитель qs-^t(s-\~t'^-1), тогда как числи- ’
тель дроби не делится на q (так как числители bt и с} не
делятся на q\ Прочие слагаемые также имеют вид дробей, <
но q входит в их знаменатели в степени, с показателем
меньшим $4-#. Так, например, знаменатель bi+i содержит
q множителем в степени с показателем меньшим s, тогда
как q входит в знаме атель c7~i с показателем не боль- ,
шим, чем t\ отсюда и следует, что q входит в знаменатель i
произведения 6,+ i-c,--! с показателем меньшим, чем s-j-Л
Если все дроби bi-Cj, bi + i-Cj_i, bi — х*с/+ъ . . . привести 4
62	;
к общему знаменателю (являющемуся наименьшим общим
кратным их знаменателей) и сложить их, то числители всех
слагаемых, начиная со второго, получат в составе дополни-
тельных множителей некоторые степени q (с не нулевым
показателем), тогда как дополнительный множитель числи-
теля первой дроби bfj не будет делиться на q. Отсюда
следует, что и весь числитель суммы (12.1) не будет де-
литься на q\ но общий знаменатель делится на q (и именно,
на ^ + *)- Поэтому сумма (12.1) не может быть целым чис-
лом, что невозможно, так как она должна давать коэффи-
циент мнЛ'очлейа Р(х), при х?+*, равный + / и, по усло-
вию, являющийся целым числом. Мы получили противоречие,
откуда следует, что все коэффициенты bk-i,-., b0, cm—i,...,
с0 суть числа целые, т. е. наш многочлен Р (х) допускает
разложение на множители вида:
Р (х) = (х*+Ьк - 1Х* - ’+... + b0) (хт -f- ст „ ixm - ’+...+c0)
(1<Л<п)
с целыми коэффициентами.
Установив это, докажем следующую теорему, дающую
условия достаточные (но не необходимые) для того, чтобы
многочлен
Р(х) = хя4-а„_1Х"-14-.. .а0
с целыми коэффициентами был простым.
Теорема Эйзенштейна1: Если коэффициенты
многочлена Р (х) удовлетворяют условиям:
’ 1) an—i,..., а0 делятся на некоторое простое
число р,
2) ав не делится на р*,
то Р (х) является простым в кольце многочле-
нов с рациональными коэффициентами.
Доказательство. Допустим, что теорема неверна.
Тогда многочлен Р (х) является составным и, следовательно,
по предыдущему, допускает разложение на множители
с целыми коэффициентами
P(x)=(xft4-&ft_1xft-1+.-+6.)(A:'n+pm-iX«-1+. . .-Но),
(1 <£<«,
Перемножим многочлены в правой части. Свободный
член произведения &осо должен равняться а0 и, следова-
тельно, по условию 1) должен ^делиться на р. Отсюда, по
лемме п. 8, заключаем, что Ьо или с0 должны делиться на р.
Если положим, для определенности, что bt делится на р,
то отсюда, по условию 2) будет следовать, что с0 не де-
1 Ф. Эйзенштей^ (1823—1852) — немецкий математик.
63
г
лится на р (иначе, Ь0с0 = а0 делилось бы на />*). Очевидно, *
что не все коэффициенты .многочлена хк-|-bk—ъ хк — *-{-... -j-b#
делятся на />.(на р не делится, йапример, коэффициент bk=\).
Пусть bf тот из коэффициентов, не делящихся на р, указа- ’J
тель которого наименьший (0<г<£).	/1
Коэффициент при x*i в произведении наших многочле- J
нов имеет вид:	,	Ч
(12*2) 1
Коэффициент этот должен равняться коэффициенту при х1
в многочлене Р (х), т. е. аг. Но, i^.k<^n й, следовательно,
в силу условия 1), at делится на р. Итак, сумма (12.2) де-
лится на р. С другой стороны, b0,..., bi-\ также делятся
на р. Поэтому и первое слагаемое суммы: bt с0 должно
-делиться на р, т. е. в силу леммы п. 8, bt или с0 должно
делиться на р. Но ни то, ни другое не имеет места. Мы
пришли к противоречию откуда и следует, что предполо-
жение о том, что многочлен Р(х) является составным
неверно.
Из теоремы Эйзенштейна вытекает, как следствие, что
для любого натурального га >-2 существуют простыё-'много-
члены степени п с целыми коэффициентами. Достаточно,
в виде примера, взять многочлен:
- хя-|-2хл“1+2хл-2-4-.. .-f-2x-|-2.
Все его коэффициенты, начиная с коэффициента, при хп~\ 
"делятся на простое число 2, тогда как свободный член не ,1
делится на 22. Отсюда и следует, что это простой много- .1
 член (в кольце многочленов с рациональными коэффй- >
циентами).
,	' В некоторых случаях, прежде чем опереться на теорему • ,.|
Эйзенштейна, приходится производить вспомогательные
' преобразования. Докажем, например, что многочлен
xp-i-Lxp-2_l.. .-J-x-4-1
(так называемый многочлен «деления круга») являетсй
, , простым в "кольце многочленов с рациональными коэффи-
циентами, если только р простое число. К нему теорема J
Эйзенштейна непосредственно неприменима. Рассуждая от tw
противного и допуская, что это составной многочлен, -
Представим его в виде произведения двух многочленов а
с целыми коэффициентами:
х?'-14-х*_2-|-...-|-х-|-1 =(х*4-Д>-1Х*~1-|-.«.+ £о)(х'п-|_ .1
+ ся_.1Хя‘-1+...с0)-	1
Заменим здесь х через x'-j-l. Тогда получим:	Л
(Г+1)р-’+(х' + 1)р-2+...+(х' + 1)4-1 = [(х' + 1Г+ В
+ &ft_1(x'4-i)ft-1+..-+M Кх'4-1)'л-|г...+^]
64	: <
!	-	'	. ХЗ
Произведение многочленов, фигурирующих э квадратных
скобках в правой части, после выполнения соответствующих |
операций в каждом сомножителе, может быть записано |
в виде:	-	’
(х'к + Вк _ jx'* -*+••. + во) (х'п + Ст _ ,х"»	+ е0),	?
где Вк_ъ.. .-,Ва,Ст-\,.. .,С0 также целые числа.	;
С другой стороны, многочлен в левой части имеет вид	;
1 _ (х'р + С^х'р -1 + С*х'Р- 2 + ... + СР - >х' +1) - 1	?
(V-hl) —1	х'	~
=x^-,+c;x^-2+qx'p-3+...+cp-1,	:
где -	;
ь2:й’Г;+1) </-»?.....Р-0	' i
— биномиальные коэффициенты. Каждый из них представ-
ляет собой целое число, кратное р (см.п. 10), а свободный
член СР~1=р не делится на р2. В силу теоремы Эйзен-
штейна многочлен х’р-’4-С'рх'р-2-J-Cjjx'*—3 4- ... +	“1	;
должен являться простым, тогда как из нашего допущения, .
сделанного выше относительно хр —1 хр ~ 24-... -f- 1, выте-
кает существование разложения:
^₽“,4-сХ/’~2+- •	. .+вв)Х	;
X(x"B+cw-1x"»-l+. ..Ч-С0)(1<Л<р-1, 1<т<р- 1),	:
т. е. тот же многочлен оказывается составным. Из этого	-
противоречия вытекает справедливость доказываемого	(
предложения.
Полагая, в частности, р = 2, р = 3, р = 5, р — 7, получаем j
простые (в кольце многочленов с- целыми коэффициен- ' f
тами) многочлены:
х-f-l, х2-J-x-j-1, х* —f-х8х2х-J—1, хвЦ-х5-|-х44_
4-x’4-xa+x-f-l.	:
В качестве полезного упражнения мы рекомендуем
читателю подробно разобрать вопррс zo разложении на	'<
простые множители многочлена х1?—1. Читатель должен	
будет обнаружить пятнадцать множителей в кольце много-
членов с комплексными коэффициентами, восемь, множите- ;
лей в кольце многочленов с действительными _коэффициен-
тами: x*‘-l-(x-l) (%Ч-л+1) (х"+Ц!^-х + 1)х
х(<+Ц£5.+ 1)	+	,
+ ! )'	_ . + /з-/3у..-2/Гх+ j) х	.
5 А. И. Маркушевич	'
и, наконец, четыре множителя в кольце многочленов
с рациональными коэффициентами:	•
х15 — 1= (х— 1) (х84~л 4-1) (х4-|~ 4- х84-х4-1)-(а^ — х74~
4-х6—х44-х3 — х4-1).
13. Деление с остатком для многочленов, располо-
женных по возрастающим степеням
Наряду с описанной операцией деления многочленов
читатель знает из курса алгебры другую операцию — деле-
ние многочленов, расположенных по возрастающим
степеням х. Пусть b = b0-[-b1x~\~Ьтхт иа=а04
4-о1х4~- • .-}-апхп, где ао=|=О. Тогда деление многочлена
b на а производится по следующей схеме:
| а04-а1х4-...4-аяхв
^о + М+---+М'”
Здесь каждый этап деления сводится к вычитанию из
делимого кратных делителя, подобранных с таким расче-
том, чтобы в результате вычитания получился многочлен,
младший член которого имел бы более высокую степень.
Деление здесь никогда не заканчивается, если только мно-
гочлен b не является кратным многочлена а. Степени
остатков при этом неограниченно возрастают.
Если мы прервем операцию на некотором этапе и обо-
значим соответствующие частное и остаток через $ и %
то будет выполняться соотношение:
b =
Таким образом то, что обычно называют операцией
деления многочленов, расположенных по возрастающим
степеням, дает решения того же уравнения
& = a-?4-iq,
как и операция деления с остатком (в узком смысле слова).
Но, в отличие от операции деления с остатком, делитель л
66
не может здесь быть произвольным отличным от нуля
многочленом. От него требуется еще, чтобы и свободный-
член его бул отличен от нуля. Кроме того, даже и в том
случае, когда выполнено указанное требование, операция
эта не имеет цели получения определенных частного и
остатка: и частных и-остатков здесь бесконечно, много.
Особенность, по сравнению с тем случаем, когда на ре-
шения уравнения 6 = а$4"71 не накладывается никаких
ограничений (деление с остатком в широком смысле), заклю-
чается здесь в том, что в качестве S мы уже не можем
брать любой элемент кольца многочленов. Более того, если
мы фиксируем одну только степень частного k, то $ стано-
вится однозначно определенным. Чтобы лучше разобраться
в этом, проанализируем подробнее всю операцию. Мы ви-
дели выше, что она расчленяется на этапы, каждый из
которых дает по одному новому члену частного и вместе
с тем повышает степень младшего члена остатка, по край-
ней мере, на единицу. Если поэтому мы остановимся на
первом, втором,,.., Л + 1-ом этапе операции, то получим
в частном соответственно многочлены нулевой, первой,...
/с-ой степени (не выше), а в остатке многочлены с нуле-
выми коэффициентами при нулевой, нулевой и первой,...,
от нулевой до А-ой включительно степенях х.
Итак, операция деления многочленов, распо-
ложенных по возрастающим степеням х, поз-
воляет находить для каждого целого неотри-
цательного числа k многочлены 5 и т), такие,
что степень $ не выше k, •») не содержит членов
степеней ниже Л+1, причем:
6 = а-£-|-Ч.
Покажем, что формулированным требованиям не может
удовлетворять (при заданном k) никакая другая пара мно-
гочленов $ и »], кроме той, которую мы получили при
помощи нашей операции.
Допустим противное. Тогда
где степень $ не выше, чем к, "»] не содержит степеней х
с показателями меньшими причем Вычитая по-
членно оба равенства, найдем:	‘
а (£—1) +’1—1 = 0,
5*	'	$
или
a(S —£)=q —-q.
Здесь, как, и во всех остальных случаях, равенство мно-
гочленов должно означать попарное равенство коэффи-
циентов при одинаковых степенях х. Но слева степень
младшего члена не превосходит к, так как свободный член
а отличен от нуля, а в выражении £ —$ существуют члены
степени не выше к с коэффициентами, отличными от нуля
(£ — п). Справа же степень младшего члена выше k,
ибо q — 7) ф п и оба многочлена q и q не содержат членов
со степенями, меньшими k-\-1. Мы пришли к противоре-
чию, откуда и следует справедливость нашего утвержде-
ния.
Резюмируем установленные факты.
Деление многочленов, расположенных по убывающим
степеням х, является делением с остатком, в узком смысле
слова, в кольце многочленов. Эта операция позволяет по
заданным многочленам b и афп находить единственным
образом два многочлена $ и ч из соотношения
& = a>;-|-q,
при дополнительном условии, что степень q ниже сте-
пени а. (Если степень а равна нулю, то это условие надо
понимать так, что q = п).
Деление многочленов, расположенных но возрастающим
степеням х, не является делением с осатком в узком
смысле слова в кольце многочленов. Эта операция позво-
ляет по заданным многочленам b и а, при условии, что
свободный член а не равен нулю, находить для любого
целого неотрицательного к единственным образол два мно-
гочлена: -'—степени не выше k и qft—не содержащий чле-
нов Степени ниже k -{-1 такие, что:
. 14. Целые комплексные числа
Мы отмечали уже, что в кольце целых комплексных чи-
сел (числа Гаусса) выполняются постулаты А и Б. Поэтому .
все выводы общей теории делимости здесь применимы.
В частаости, любое целое комплексное число допускает един-
ственное, х точностью до тривиальных множителей, разло-
жение на простые множители. Чтобы правильно применять
это утверждение, необходимо заметить, что натуральные чис-
ла,.являющиеся простыми в кольце целых чисел, могут ине
быть простыми в кольце чисел Гаусса. »ак, например, числа
68
2 и 5 оказываются здесь составными:
2 = (l-f-i)(l— Z) = i(t-Z)2, 5 = (2 + 0(2 —i).
Поэтому наличие для числа 10 таких двух разложений:
Ю = 2-5 = (3-0(3 + 0
отнюдь не противоречит теореме о единственности разло-
жения. Все дело в том, что числа 2 и 5 не являются про-
стыми в кольце чисел Гаусса,, так же как не являются про-
стыми здесь и числа 3 — i и З + i. В са'мом деле:
3 - i = (1 — 0 (2 + 0, 3 + i = (1 + 0 (2 — 0 = i (1 — 0 (2 - 0-
Если подставить выражения для 2, 5, 3—Z и 3 + i в выпи-
санные выше разложения числа 10, то два разложения
сведутся' к одному:
10 = /(1 — О2 (2-0(2 + 0-
Фигурирующие здесь множители 1 — i, 2 — i, 2 + i являют-
ся уже простыми (/ — тривиальный множитель). Убедимся
в этом на примере числа 2 — i. В самом* деле,' если допу-
стить, чтд 2 — i имеет собственных делителей:
2 — i — ар, -
то пор а = | а | *> h ПОР ?=l₽l2^>l>a с другой стороны:
пор(2 — 0 = 12 — i|2 = 5 = |а|2-|₽|*. Мы пришли к за-
ключению, что простое число 5 разлагается в произведение
двух натуральных чисел, больших единицы, что, очевидно,
невозможно. Итак, число 2 — i является простым в кольце
целых комплексных чисел.
Возникает вопрос: какие, именно, гауссовы числа явля-
ются простыми? Чтобы ответить на него, сделаем сначала
следующее замечание: если целые действительные числа
а и b взаимно простые в кольце целых действительных
чисел, то они остаются взаимно простыми и в кольце целых
комплексных чисел. В самом деле, в качестве-н. о. д. (Ь, а)
в кольце целых действительных чисел можно принять 1.
Тогда, по теореме 4, будем иметь:
1 =
где 5 и т]—целые действительные числа. Но отсюда следует,
что н. о. д. (Ь, а) в кольце целых комплексных чисел дол-
жен быть делителем единицы, т. е. b и а и здесь являют-
ся. взаимно простыми. Покажем теперь, что любое простое
гауссово число а является делителем некоторого простого
натурального числа (и, быть может, совпадает с последним).
В самом деле, если a=x^-iy, то (х + iy) (х — iy) = х2 +
-|~_у2 = а, где а—натуральное число. Следовательно, а = х +
+ iy есть делитель натурального числа а. Разложим а на
простые (натуральные) множители: а=рур2.. .рт.
69
Так как а делится на простое число а, то по лемме п. 8,
по крайней мере, одно из чисел ръ---,рт должно делиться
на а.
Мы доказали, следовательно, что простые числа кольца
гауссовых чисел следует искать среди делителей простых
натуральных чисел! Возьмем теперь какое-либо гауссово
простое число $ и пусть р—натуральное простое число,
делителем которого является а+ р/. Тогда р={а +
+ ₽О(Т + М, откуда р2==|р|2 = |а4-^|2-|у-|-8г|« = (а3-|-
+ ₽2)(i +82). Следовательно, натуральное число а2 + р2
является дёлителем р2. Так как оно отлично от единицы
(a-f-рг не является делителем единицы), то имеются лишь
две возможности:
1) а2 4- р2 = р2 и 2) а2 + р2 = р.
В первом случае из равенства р2 = (a2 + Р2) (у2 + 82)
заключаем, что у2 + §2= 1, т. е. число	есть дели-
тель единицы и поэтому имеет одно из следующих четы-
рех значений: ±l,*±z. Следовательно, a + р/ имеет одно
из значений: ±р, +ip, т. е. отличается лишь тривиальным
множителем от натурального простого числа р. Итак, в этом
случае простое число кольца Гаусса либо совпадает с на-
туральным простым числом р, либо отличается от него толь-
ко тривиальным множителем.
Во втором случае:
Р = «2 + f2 — (a + ?0(a —
и мы наряду с простым гауссовым комплексным числом
а + р/ -получаем геще одно простое, сопряженное с ним
a — pi. Этот случай, как мы видим, возможен лишь тогда,
когда р представляется в виде суммы квадратов двух це-
лых чисел а и р. Остается выяснить, каким должно быть
натуральное простое число р для того, чтобы имел место
первый или второй случай. Заметим, что оба случая взаим-
но исключают друг друга, так как в первом из них р являет-
ся простым, а во втором — составным (в кольце чисел Га-
усса).
Пусть, сначала, р = 2. Тогда
р = 12 + 1« = (1 +0(1 - /),
н мы получаем знакомые уже нам простые гауссовы числа:
1 — i и 1 + i = i (1 — 0- Итак, при р = 2 имеет место вто-
рой случай. Положим далее, что р > 2. Тогда, при делении
на 4, р может давать в остатке 1 или 3, в соответствии
с чем р имеет вид: 4^ + 1 или 4А + 3. Докажем, что вто-
рой случай имеет место тогда и только тогда, когда р —
= 4^+1 (и следовательно, первый случай тогда и только
70
тогда, когда р = 4£ -|- 3). В самом деле, допустим,
что имеет место второй случай, т. е.
Р =
Так как р нечетное число, то одно из чисел а2 и Р2 долж-
но быть четным, а другое нечетным. Положим, для опре-
деленности, что а четное: а = 2т, a ₽ — нечетное: р = 2п — 1.
Тогда р = а» Р2 = 4/п2 4- (2п — I)2 = 4 (гаг2 4~ п* — га) 4~ 1,
т. е. число р должно иметь вид 4k -f-1. Покажем, что спра-
ведливо и обратное предложение: если простое натуральное
число р имеет вид 4га 4-1, то р может быть представлено
в виде суммы двух квадратов: р =аг 4- Р2.
Для доказательства достаточно установить, что р не
может быть простым в кольце целых комплексных чисел;
отсюда уже будет следовать, по предыдущему, что должен
«меть место второй случай, т. е., что р = а2 -f- р2. Доказа-
тельство проведем от противного. Предположим, что р
является простым в кольце целых комплексных чисел.
В конце п. 10 мы установили, что всякое простое натуральное
число р, имеющее вид 4ra-j-l, есть делитель некоторого
числа вида аг 4~ 1. Последнее может быть разложено в коль-
це целых комплексных чисел на множители: а2 1 =
= (а 4- I) (а — I).
Из того, что это произведение делится на число р,
которое мы считаем простым в кольце целых комплексных
чисел, следует, по лемме п. 8, что, по крайней мере, один
из множителей должен делиться на р.
Допустим, для определенности, что а — i делится на р;
тогда а — i = р (f + 8Z), где у 4- Ы некоторое комплексное
целое число. Сравнивая в левой и правой части коэффициен-
ты при I, находим: —1 = р-5, т. е., что простое число р
есть делитель единицы. Полученное противоречие убеж-
дает нас в том, что р не может быть простым в кольце це-
лых комплексных чисел и, следовательно, по доказанному
выше, имеет вид:
р = а2 4~ Р2.
Приведем несколько примеров:
13 = 22 4- З2, 17 «= I2 4- 42, 97 = 42 4- Э2, 277 = 92 4- 14’,...
Все эти числа являются составными в кольце целых ком-
плексных чисел. Вот их разложения на простые множители:
13=(2 + 3i)(2 —3i), 17 = (1 4-40(1-4Z), 97 = (44-90 X
X (4 — 90, 277 = (9 4- 140 (9 — 140,...
Глава вторая
ДРОБИ И ИХ БЕСКОНЕЧНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
1. Дроби и операции над ними
Как мы уже отмечали, вопрос об операции деления с
остатком возникает лишь для тех колец, которые не явля-
ются, полями, т. е. в которых уравнение Ь=а-х(а =|= л^_не
всегда имеет решение. Стоит нам только расширить кольцо,
присоединив к нему новые элементы — дроби, с таким рас-
четом, чтобы йовые элементы вместе со старыми образовы-
вали поле, как надобность в операции деления с остатком
исчезнет, так как всякое деление будет выполняться теперь;
без остатка..
Читатель знает, как вводятся дроби в случае чисел или
многочленов. Постараемся проанализировать введение дро-
бей в возможно более общем случае.
Пусть мы имеем некоторое кольцо, являющееся об-
ластью целостности, т. е. не обладающее делителями нуля.
Если b и а два любые элемента кольца, причем а ф п,
то уравнение Ь=а-х иногда имеет решение среди элемен-
тов кольца, и тогда это решение будет единственным
(если b = а-х и, кроме того, b — а.х', то, вычитая, получили
бы: п = а-(х — х'), откуда в силу отсутствия делителей
нуля:
х'—х=п, т. е. х' = х);
иногда же уравнение Ь=а-х не имеет ни одного решения.
Будем во всех случаях говорить, что уравнение Ь—а-х
определяетдробь, которую будем обозначать через •
Элемент b будем называть, числителем, элемент а—знаме-
нателем Дроби ~ .
В случае, когда b делится на а, мы будем отождест-
влять дробь с частным b: а, в случае же, когда b не де-
лится на а, то дробь будет нами рассматриваться как
новый элемент, не встречающийся среди первоначальных
элементов кольца.
Л
72
Присоединим все 'дроби к нашему кольцу. Заметим
сразу же, что две дроби -у и мы не будем рассматри-
вать как различные на одном только том основании, что
Ь' ф Ь" или а' ф а". Допустим сначала, что Ь' делится на й'.
_	‘	ь'
Тогда как мы сказали, отождествляется с решением х^.
(единственным) уравнения Ь'-=а'-хй. Посмотрим, какой1
должна быть пара элементов Ь" и а" для того, чтобы уравне-
ние Ь”=а"’Х определяло тот же самый элемент х0/ф л. Для
этого перемножим почленно равенства &'=а'-х0 и а"-хй=Ь".
Получим: Ь'-а"-х0—Ь''-а'-хй, или Ь'-а"-х0— Ь"-а'-хй = п,
или (Ь'-а" — Ь"'а')-хп = л.
Отсюда, b'-а''г- Ь"-а' = л, т. е. b'-tf' = b"-a'.
Это условие, таким образом’ необходимо для того, что-
бы дроби у и ^77 определяли один и тот же элемент пер-
воначального кольца. Но это же условие и достаточно,
ибо, если b'-а" — Ь"-а' и Ъ'—а'-х0, то а'•хй-а"=Ь"-а',
а'-а"-хй — а'-Ь"=п, а'(а"-х0 —Ь'') = п,’ а"х0 — Ь" = п и
Ь" = а№-х0
Итак, для того чтобы две дробии опре-
деляли один и тот же элемент х0 первона-
чального кольца, необходимо и достаточно,
чтобы Ь'-а"=*Ь"-а'.
АТ	Ь' Ъ" .
Условимся, вообще, считать две дробили
(независимо от того, делится ли Ъ' на а' или не делится}
равными между собой, тогда и только тогда,
когда Ь>'-а"	Ь"-а'.
Из условия равенс ва дробей вытекает непосредствен-
ным следствием правило сокращения дробей: если числи-
тель и знаменатель дроби имеют общего делителя, то на
него можно сократить дробь, не изменяя ее. Иными ело-
вами, если b=b -а и а=а-а. тъ — = —г.
В самом деле ba' = b'qa'=^b’a'q и ab' = a'qb' = b'a'q,
т.' е. ba' — ab'.
Заметим, что каждый - элемент первоначального кольца
можно представить в виде некоторой дроби. Действительно,
пусть х0 данный элемент и а какой-либо элемент, отлич-
ный от нуля кольца. Если положим ах0 = Ь, то очевидно,
что дробь -j- будет представлять как раз элемент х0. Та-
ким образом, мы можем рассматривать как дроби в^е как
вновь присоединенные, так и старые элементы.
Покажем теперь, что над дробями можно производить
операции сложения и умножения по таким правилам, что
73.
совокупность всех дробей представит собой тоже кольцо
и даже поле, причем, в том частном случае, когда мы вы-
полняем операции над дробями, представляющими элементы
первоначального кольца, результат этих операций будет
тем же, каким он был для соответствующих операций
в первоначальном кольце.
Мы легко найдем правила таких операций, допустив
& b d
сначала, что две дроби — и — представляют два элемента
первоначального кольца.
„	• Ь  d	ь . d
Пусть — — х0 и — = у0, тогда сумма — + — должна
равняться х0 + j/0-
Представим х6 -|-у0 также в виде дроби, которую и назо-
вем суммой дробей ~~ и -у- . Для этого заметим, что и
d	b-c a-d
— можно переписать в виде и , так как условия
равенства дробей: Ь-ас = а-bc тл d-ac = c-ad выполнены.
Итак, х0 = и	, т. е. хй-ас — Ьс и уй-ас = ad.
Складывая почленно эти равенства, найдем: х^-ас у0-ас —
— bc-\-ad, или (xt-{-y0)-ac — bc-\-ad, откуда x0-j-j0 =
= —— . Мы нашли, таким образом, что в нашем случае
сумму дробей -у и можно представить в виде дроби
—• Условимся и в самом общем случае двух произ-
вольных дробей и назвать суммой этих дробей дробь
bc + ad
ас ’
Чтобы окончательно принять это определение, нам
нужно будет убедиться в однозначности сложения,
т. е. проверить, что все дроби, получаемые путем сложе-
ния Двух данных дробей, равны между собой. Пусть в са-
мом деле -Д- = — и Д— = —, это означает, что Ь' • а =
а а с с
— b-a' nd'-c = b-c. Сумму -j- + -7- мы, по определению,
сможем тогда записать в виде двух дробей:
b-c + a-d b'-c' Ц- af-d*
а-с	И а'.с'
Проверим, что они равны между собой. Для этого срав-
ним произведения (bc-\-ad)-a'c' = ba'-сс' ~{-dc'-aa' и (b'c'-j-
-jra'-d')-ac = b'a-cc'-j-d'e-aa'. Очевидно, что они равны
между собой, так как b'a — Ьа' и d'e = de’. Итак, сумма
двух дробей однозначно определяется слагаемыми.
74
Умножение определим путем аналогичных рассуждений.
Пусть сначала -^- и -у- Представляют элементы первона-
ь	d '
чального кольца=хв и — = _у0. Мы должны опреде-
b d	.	
лить произведение — • —, подыскав дробь, представляю-
гт	ь
ющую элемент х0-уй. Для этого перепишем равенства— =
d	и	.
= х0 и — =_у0 в виде: о — а-хй и а — с-уй и перемножим
их почленно. Получим: Ь-й — ас-х^Уь, откуда следует, что
элемент х0-_у0 представляется дробьюЕе мы и должны
выбрать в качестве произведения дробей и -у- в нашем
случае (т. е в случае, когда b делится на а и d делится
на с).
Обращаясь к общему случаю двух произвольных дробей
— и -£ (теперь мы уже не предполагаем, что b делится
на а и d делится на с), назовем, по определению, произве-
дением двух данных дробей—дробь	.
.Покажем, что введенная таким образом операция умно-
жения однозначна.
Пусть -Д-=-4- и -Д- = -Д, т. е. b'-a=ba' и d’‘f = dcr.
J а а с с ’ •	г
т>	- b-d b'-d'	,,
Для произведения получаем две дроби:	и . Что-
бы убедиться в их равенстве, следует сравнивать между
собой два произведения: bd-a'c'—ba'-de' и ac-b'd' =b'a-d'c.
Они равны в силу того, что b'a=ba' и d'c — dc'. Следова-
b*d b -d ,
тельно, равны и . Итак, операция умножения
однозначна. Остается проверить, что для определенных
нами операций сложения и умножения выполняются все
основные законы кольца и, более того, законы поля. Нач-
нем с законов кольца.
1.	Ассоциативный закон сложения:
 а-Н&-Н) = (<*+*)+*•
Пусть	с = -^7.
Тогда
и g + (b + c)!SS^ +	=
'	be	। \	।	/ а" 1 Ь с
_ а'Ь''с” + а."	Ь"с')  а'Ь'*с'9 + а"Ь'с” +
a,9b,'c,t	*
75
Но точно так же:
„ । h а' । b' а'Ъ" + а"Ь? ,	. ,ч .
«+	И (<* + *)+С =
_а'Ь'' + а"Ь’ . с'   (а'Ь" + a."b')c" + а"Ъ'’е
~ а"Ь" '	> с" ~~	а"Ь"с"	~
\	_ a'V’c" + a”b'c" + а'^'с*
“	a"b"b"
Очевидно, что оба результата одинаковы.
2.	Коммутативный закон сложёния:
л “I- b = b л.
п	а> . V
Пусть а = и b = -р- .
Тогда:
z,J а а‘ , b' a’b" + a"b' „ h „ b' , а'
_ Ь'а"-\-а'Ь"
. Ь"а"
Оба результата совпадают.
3.	Существование решения х для урав-нёния:
а-\-х = Ь.
Пусть а = и b = —.
Тогда, полагая
'	. Ь'а" — а'Ь" ,
х = —, будем иметь:
।	_ а* . b'a” — afb"_a'a,'b" + (b,a'f — а'Ь") а" _
а~Гх — ^'-1	а'^Ь"	~
__a’-a"‘b" + a"W — a’a"b"_а"*Ь'
—	а"*-Ъ"	~ а"Ч" *
Но последняя дробь равняется 6 = -^-, ибо а"2Ь'Ь" —
= а''*Ь"-Ь'.
> Итак, решение уравнения а-\-х — Ь действительно су-
ществует и имеет вид
Ь'а" — а'Ь" '
х — •
<4	л ь* а*
Это — разность двух дробей и -,г :
___ Ы а* _____b'd" — а’Ь"
х~ьг' ~	•
4.	Ассоциативный закон умножения:
a-(b-c) = (a-b)-c.
76
/
гт	а' , l b'
Пусть а= ^тг, Ь= рг,
с = -pi-. Имеем:
. Ь9 с9 Ь'*с‘
b-с — ь„ • с„ ”*ь„,е
».	\	а* , Ъ?•с  
и а-(Ь-с)<=	„ =
х	'	а	b с
, а* Ь9	а.9 *Ь9
же:
с9 а9*Ь9»с9
& t, C ,г • Точно так
z » ч __ CL *Ь'
и (а-Ь)-с=-^
Оба результата одинаковы.
5.	Коммутативный закон умножения:
a-b==b-a.
w ।	CL	ib	< Л Ь
Пусть а = -77 и b = -7jr ; имеем а-Ь = — • .,/ =
'	а	о	а о
ч cf'b9 t b9 а9 Ь**а9 а'Ъ'
= и	= ~Ь^ = a"W -,оба результата
одинаковы.
6- Дистрибутивный закон
(а-\-Ь)-с = а-с-\-Ь'С.
Пусть а'= ^7, Ь = ~, с = ~‘~- Тогда
Л I » а' . b9 a'b9' + a'9b9 z .
+	------roz~, (а+ЬУс =
_ a9-b" + a'9-b9 f с9 _ (а9Ь" + а9'Ь')-с9
а"*Ь"	* с"	а"*Ьп*сг'
Точно так же:
а-с —
а'
с"
Ь'-с9 ____ a9-b'9*c9-c9f + а99*Ь'-с9*с'9
bf9-cn	a^b9'^
(а9Ь99с9 + а'^с9)?9
а'9Ь99с9^
Итак (а-\-Ь)-с <= а-с-\-Ь-с, т. е. ,диетрибутивный закон
для дробей имеет место.
Мы видим, что, расширив исходное кольцо посредством
дробей и определив указанным выше образом операции
над ними, мы приходим к кольцу дробей (содержащему в
себе как часть исходное кольцо „целых" элементов).
Покажем, наконец,, что кольцо дробей является полем.
Для этого достаточно доказать, что здесь выполнен закон 7’.
ур авнение Ь=а-х (где а ф п) всегда имеет реше-
ние.
77
Л'	и
В самом деле, пусть а = и Ь =-ут • Из того, что
а ф п, следует, что и а! ф «. (В самом деле -”=«).
bf • а"
Положим тогда х «=	• Очевидно, что
__ а9 Ь”а" __ а'а"Ь' ___ Ь9
а'х — а" ‘ Ь"а' — а'а"Ь" ~ Ь” *
Z
Итак, мы убедились, что решение уравнения Ъ = а-х су-
Ь' • а"
ществует и притом равно х ==  ь„ аг- -
Мы получили, следовательно, правило для вычисления
, Ь'	а9
частного х двух дробей	и а=—
_ Ь' # _а' _ Ь'-а"
~~ If' ' а'* ~ а' -V
Итак, мы доказали, что кольцо дробей является полем.
В случае, когда исходное кольцо было кольцом целых
чисел, соответствующие элементы поля дробей называются
рациональными числами, а само поле дробей — полем раци-
ональных чисел. В случае, когда исходное кольцо было
кольцом многочленов, соответствующие элементы поля
дробей называются рациональными функциями, а само поле
дробей — полем рациональных функций.
Читатель, конечно, уже заметил, что все правила дей-
ствий над дробями, к которым нас неизбежно привели за-
коны, царящие во всех кольцах, полностью соглгсуктся
с правилами действий над дробями, известными из элемен-
тарной арифметики и алгебры..
2. Выделение целой части дроби*
Мы доказали, что всякая область целостности может быть
обращена в поле, если к ее элеме> там присоединить всевоз-
можные дроби и соответствующим образом определить
основные операции над дробями
В этом поле элементы исходного кольца могут быть
названы „целыми" элементами поля. Мы будем пользо аться
этим термином в дальнейшем. Кроме т го, мы будем пред-
полагать далее, что в исходном кольце была введена опе-
рация деления с остатком в узком смысле. Пусть — какая-
либо дробь. Если х частное, а у сстаток при делении Ь на
а (имеется в виду операция деления с остатком в узком
.	.	~	~	b a-x-t-y а-х , у
смысле), то Ь — а-х-\-у и —= а —
1 > г
В самом деле, по правилам операций над дробями
а.х . у	а?*х-\-а»у
а ' а	а*	’
и так как произведения
(a*x-|-.j)’a2 = a’‘X-]-a27 и (а?-х-{-а-у)-а = а3-х-{-а*-у
f»	r-f г*»
равны, то и дробь аХ равна + -у-. Но далее дробь.
л>*
— представляет собой целый элемента, так как а-х —
= а-х. Поэтому:
b , у
~а~Х + ~а ’
где х и у «целые» элементы, причем порядок у меньше-
г*»
порядка а (или же у = п и тогда -^- = -у=п). Мы резюми-
руем это, говоря, что операция деления Ь на а с
остатком позволяет выделить из дроби — «цег
лую часть» хи «дробную часть» . Эта операция
выделения Ъелой части из дроби вообще неоднозначна, как
вообще неоднозначна и сама операция деления с остатком
(в узком смысле). В случае обыкновенных числовых дро-
бей, т. е. рациональных чисел, мы можем сделать ее од-
нозначной, потребовав, либо чтобы .у было неотрицательным
числом, либо чтобы |у К */2 | а |. В первом случае частное
х представит собой целую часть числа -^-(обозначает-
ся -j или Е - Это есть наибольшее целое число,,
не превосходящее , Во втором случае соответствующее
частное даст целое число, ближайшее к . Так, для дро-
би имеем в первом случае разложение:
Z/D
801	_о t 251
275	—	275	9
во втором случае разложение:
801	_ о	24
275	~ °	275	’
79s
Итак:
ГЛ01 1=2
[ 275 ]
тогда как 3 дает целое число, ' ближайшее к Л2! .
410
Для многочленов операция деления с остатком {имеется
в виду деление в узком смысле, т. е. деление многочле-
нов, расположенных по убывающим степеням) однозначна.
Поэтому там и выделение целой части из дроби произво-
дится однозначным образом.
Так, например;
_ 1
х* +1 _ 1 • v ।	2 х	-
~2х» 4- 1 “ 2 Х “г 2лЗ 1-1 "
Здесь «целая часть» дроби	есть */8 х (разу-
меется, это целый элемент рассматриваемого здесь поля
дробей вида —, где b и а многочлены), а «дробна^
— Их	'
часть» есть ~2Xs + l •
3 Приближения дроби в поле рациональных чисел
В предыдущем пункте мы видели, что операция деления
*шсел с остатком позволяет отыскивать наибольшее целое
число , заключающееся в данной дроби ~. А именно
этим наибольшим целым числом является частное х при де-
лении b на а (остаток берется неотрицательным).
Если мы запишем посредством неравенства свойство,
| ъ 1 ~
которым обладает число I — -	х, то получим;
'	х<4<х+1.
Это неравенство как раз и выражает, что х наибольшее
из целых чисел, не превосходящих . Можно еще ска-
- зать, что частное х при делении b на а дает приближение
дроби с недостатком, с точностью до единицы. Легко
использовать one ацию деления с остатком так, чтобы по-
лучать приближение -у-, также с недостатком, но с точ-
ностью до ~^,где W произвольное натуральное число.
В самом деле, поставим задачу отыскать наибольшую из
дробей вида , не превосходящих . Если искомая
so
дробь есть , то для нее должно выполняться неравен-
ство:
х0	b	JCb+1
TV	л	ЛГ. "
Иными, словами, дает приближение к дроби ~ с не-
достатком, с точностью до -fl-. Из последнего неравенства
выводим, что
•*0 а	х0 “F 1 • *
Отсюда следует что хв есть наибольшее целое число,
л bN
заключающееся в дроби — и, следовательно, равно част-
ному при делении bN на а (с положительным остатком); .
Мы приходим к следующему правилу.
Приближение к дробис точностью до
(с не достатком) равно дроби, числителъ кото-
рой есть частное при делении произведения
bN на а, а знаменатель равен N.
Это правило особенно удобно в случае, когда N имеет
вид N==10", ибо тогда умножение числа b на N сводится .
к тому, чтобы приписать к b п нулей. Найдем, например,
приближение -у- с точностью до Vio7-	-
Деля WV= 1 • 107 = 10 000 Q00 на 7, получаем:
'10000000 1 7
7	1428571
30 -
28
20	.
14
60
56
40
35
50 '
49
10
____7
3
Итак, числитель искомой дроби есть х0= 1428571, зна-
менатель N= 10000000 и, следовательно, искомое прибли-
жение есть 0,1428571. Имеем:
0,1428571 < — <0,1428572.
6 А. И. Маркушевич	81
В только что проделанной выкладке читатель легко уз-
нает известный прием обращения простой д;роби в де- “
сятичную. Только обычно не приписывают сразу же всех
нулей к числителю, а присоединяют их по одному к соот-
ветствующим остаткам. При этом в частном вместо целого
числа Хр сразу записывают десятичную дробь , простав-
ляя на надлежащем месте запятую.
Это обычное расположение действий имеет то важное
достоинство, что позволяет путем дальнейшего продолже-
ния начатой операции неограниченно повышать качество
приближения. Снося к полученным остаткам все новые/и
новые нули, мы будем получать, все новые и новые знаки i
частного, обеспечивающие точность до 1, 1/t0, -Vio",
1/io"+' и т- Д- Таким образом в частном последовательно
развертывается бесконечная десятичная дробь, представляю-
щая данную дробь -j- в том смысле, что, обрывая деся-
тичное разложение на все более и более далеких местах
после запятой, мы получаем приближения к -у- со все боль- )
шей и большей, неограниченно возрастающей точностью.
Если мы обозначим цифры частного, стоящие перед запя-
той, буквами: а0, а^, ат (по порядку от запятой справа
налево), а после запятой—буквами аъ а2,...,ая... (по поряд-
ку слева направо), то получающееся разложение может
быть записано в виде.
ат • • • а0г Я1Д» •••%•••
Обращаем внимание читателя на то, что здесь запись
цифр рядом друг с другом отнюдь не обозначает умноже-
ния; наша запись в буквенном виде воспроизводит обыкно-
венный способ представления десятичных дробей цифрами.
Если мы оборвем это разложение, на каком-либо месте,
например, на л-ом месте после запятой, то по предыдуще-
му получим приближение дроби -у- с точностью до 1/10":
—1 • • • «о» ®i • • • ая.
Число, представленное здесь по десятичной системе
счисления, можно записать подробно, посредством указания >
действий, которые нужно произвести над ат, ат^ ,..., а6,
“1, й2, аз • • •, ал> чтобы получить это число.
Именно:
ат am-i.. .а0^1а2- •	+	10т-1 + ...
+ а0 • 10° + «1 • 10-’+ а2 • IO"2 +... + а„ • 10-”.
Здесь результат имеет вид многочлена, расположенного,
однако, не по степеням буквы х, но по степеням фиксиро-
82
ванного числа 10. Другой особенностью последнего выра-
жения является то, что в нем фигурируют, наряду с неот-
рицательными, также и отрицательные степени 10.
Если тот же способ записи применить и ко всему бес-
конечному десятичному разложению, получающемуся в ча-
стном, то мы будем иметь: .
Цда ^т—-1 Цда—2 • . • &Q, ct2... ixn 0Сл^.1... —-
= am-10”4-am_1 • 10”-’+...+««• 10°-l-otr IQ-1+
а2-10—2 -р?. •+%• Ю~я -|-a„+i . 10-*-’	..
Мы можем при этом оставаться на "формальной точке
зрения, согласно которой слева и справа находятся два рав-
ноправных бесконечных символа, представляющие как бы
«склад» для бесконечного множества различных приближе-
ний дроби . В этом «складе» царит полный порядок:
приближение с точностью до ~^п получается, если сохра-
нить все цифры до ая включительно (в левой части равен-
ства), или все слагаемые до включительно (в правой
части равенства), а все следующие цифры или слагаемые
отбросить.
Соотношение между дробью и каждым из этих сим-
волов можно тогда записывать посредством знака соот-
ветствия —:
-у	. .ом.. .аяа„+1...	(3.1)
. ь
выражающего, что дроби — поставлено в соответствие
определенное бесконечное десятичное разложение. Однако
мы'можем также понимать это соответствие более содер-
жательно. Именно, мы уже говорили, что конечное де-
сятичное разложение, получаемое из данного путем отбра-
сывания всех знаков, стоящих на п4~1> и-|-2,..‘. местах,
дает приближение] с недостатком с точностью до и,
следовательно,
Л . Ь	. 1
v -С	ат ат—х • • • а$, ах а2 а3... ая<, ,
а это означает, что при п неограниченно возрастающем
последовательность чисел ат йт—у ... ай, ах... ая (n= 1,2,3,...),
из которых каждое следующее получается из предыдущего
путем приписывания некоторой новой цифры ая+), стремитсй
к пределу, равному . Иными словами:
4- = lim.. .а0, аг а2.. .ая.	(3.2)
а «-►со
6*	83
Условимся в этой записи опускать знак 11m (начальные
буквы латинского слова limes—предел), а также указание
на то, что п неограниченно возрастает, но зато после ая
писать многоточие. При сделанном условии запись
—=am am—i •. • «х и8.. • ®п • • •	(3.3)
будет выражать то же, что и предыдущая запись со знака-
ми lim и и-»-оо.
Таким образом, мы заменили знак соответствия в (3.1)
на знак равенства -в (3.3). Это оказалось целесообразным
ввиду наличия предельного соотношения (3.2), которое мы
решили записывать более просто.
Совершенно также можно условиться писать, что
4-аа-10-2+...-|-ая.10-л + ...,	(3.4)
понимая это лишь как другую форму записи:
— 11m (am 10m +	4~.. .4- a0 4-
(	** П_>оо
4- ar io-’ 4-.. .4- ая-10“” ),
которая лишь внешним образом отличается от (3.2).
Полезно отметить важную закономерность, обнаруживаю-
щуюся в последовательности цифр: ax, а2,..., ая,... Законо-
мерность эта есть периодичность. Чтобы выяснить ее,
заметим, что остатки при обращении b[a в десятичную
дробь являются неотрицательными целыми числами, мень-
щими чем а. Следовательно, возможными остатками могу'г
быть только следующие числа: 0, 1, 2,..., а — 1. Отсюда
вытекает, что они не могут быть все различны между собой.
Рассмотрим только те остатки, к которым мы приписы-
вали (сносили) н)ли; они соответствуют, последовательно,
первой, бторой и т. д. цифрам частного, идущим после
' запятой.
Пусть г обозначает первый из этих остатков, встретив-
шихся дважды; один раз — соответственно Л-ой цифре ча-
стного после запятой, а второй раз — соответственно /-ой
(/>£) цифре частного после запятой. Тогда мы должны
иметь, по предыдущему:
6-10ft = a-ama„l__1 .. .a0 ax.. .aft4-r	(3.5)
и
f>-10z=a-aOTam_i.. .a0 ax.. .aft.. .az-|-r.	(3j6)
Здесь, как и выше ат ат_<..	. .a.k .обозначает не
произведение, . но запись числа (на этот раз целого), с
помощью его цифр, по десятичной системе счисления.
Положим, для краткости, I — k — d; тогда, помножив обе
части равенства (3.5) на КУ1, получйм:
Ь-\(У=а-ат ат-\.. .а0 e^.. .aft0.. .O-J-rdO4. (3.7)
'«/нулей
С другой стороны (равенство (3.6)):
b-\Ql—a-am am~t.. .а0 а1.. .сц afe+]. .a^-J-r.
d цифр
Следовательно:	, ,
а-ат а.т_л .. .а0 ax.. .а* 0.. .О+г-104 =
dнулей
= d • d^ dm—i.. .dq&i... aft ...ctz - j- т,
d цифр
откуда:	,	'	.	-
r.lO‘/ = a-aJfe+i.. .a,-|-r.	(3.8)
Умножим, наконец, обе части равенства (3.6) также на 10d.
Получим:	’
ZblOz^=6UO*+2d = a-am...aoa1..aft«*4.1...az 0...0 -j-r-KX.
d цифр «/нулей
'	i
Но мы только что получили выражение для цифр г. 10
Следовательно:
&.10’+rf = 6-10*+2d = d-dmam—i.. .a0 ax.. .ak a*4-i.. .a; 0.. .0-f-
,	'	“«/цифр- dнулей
' ' +а-д^+1---а1 + ^=
.	f «/цифр
// ’ d^mdm—A • • • //4 ®i • • • cc* aA4-i •.. cc*4“l • • •®i ”f” •	(3.9)
dцифр dцифр
Это соотношение обозначает, что десятичное приближе-
ь	- 1	1
ние к — , с точностью до —— 10*4.м •••> имеет вид:
О-т йт-Х • • • «о» а1 • • • аЛ ай+1‘ • afe4-l • »• Чр
d цифр d цифр
причем соответствующий этому частному остаток снова ра-
вен г. Если мы применим то же самбе рассуждение еще
один раз, то Найдем, что десятичное приближение it , с
1 1
точностью до ~0i+2j= 10*4-м •> должно иметь вид:
' d^ am_i... d0, ax... ak «*4.1 ...«f a*4-t.. .at a*4-i. • .«t
d цифр d цифр d цифр ’
причем соответствующий остаток будет равен тому же
самому г.
85
Так как это рассуждение можно повторять сколько угод-
но раз в одних и тех же условиях, то мы заключаем, что
бесконечное десятичное разложение, получающееся при
обращении в бесконечную десятичную дробь, имеет
период a*+i...az длины, равной d, т. е. состоящий из d
цифр. Так как d=l—k означает разность между номерами
первой пары равных между собой остатков г, всех же
возможных, различных по величине остатков не может
быть больше, чем а, тои(/<а.
4.	Приближения дроби в поле рациональных функций
Предыдущий пункт был посвящен напоминанию вещей,
относящихся к делению чисел и хорошо известных из ариф-
метики. Постараемся найти для них аналогию в делении
многочленов.
Исходным пунктом для нас послужит правило, сформу-
лированное на стр. 81. При этом нас будет интересовать
частный случай этого правила, когда ^/=10". Тогда оно
,	Л ъ	1
гласит: приближение к дроби — , с точностью до , рав-
но дроби, числитель которой есть ‘частное при делении
произведения ft-lO" на а, а знаменатель равен 10я. По ана-
логии с этим мы для многочленов введем следующее опре-
деление (определение, а не правило):
Пусть b и а многочлены, причем а не есть
нуль в кольце многочленов. Тогда приближе-
ниемкдроби—, с.точностью до членов, со-
1 ,
держащих , мы назовем дробь, числитель
которой есть частное от деления произведе-
ния Ьхп на а, а знаменатель равен х”.
В случае, когда п = 0, наше приближение, в силу этого
определения, равно частному от деления (с остатком) b на
а, т. е. целой части дроби . При «>0, приближение
определяется из следующего условия:
b-xn=q-a-\-r, где степ г<степ а.
Таким образом,
ь _ д . г
а хп"г а-хл »
или, если положить:
b = Ь^+bs-\xs~x -|-... 4- Ьа,
а = atx* 4- «/-1 х*~х -}- • • • 4~ ао. («/ ф 0)>
q = свлв4-св_1Л“-14-.. .4-св,
г = dt-\ х1-х 4- dt—2 а/-24- ... 4- <А>
86
(dt-x может равняться нулю), то для соотношения между
дробью — и ее приближением с точностью до > будем
иметь:
 М*+---+»0__ С»Л“ + С«-1	+---+CQ
atxf+...+ao	х"	’’’
. dt-x х,
4—----—----1--------------sss С	—1— /»	« yU—*/2—1 I	I -
Xя (atx‘ + ... +«0) с«л -Г₽«-1 х -|-> • --Г
Л	-f—л—1 L L A „—П
Здесь наше приближение представлено в виде «об-
общенного», т. е. содержащего также и отрицательные
степени х — многочлена:
х» уН—'Л I г»	уЛ—Л—1 , I	I z>
р	• • • j
(по существу, это не многочлен, а дробь); разность между
-у- и этим приближением имеет вид дроби, в числителе
которой стоит «обобщенный» многочлен:
dt-x л'-"-1	. .-]~dox~",
а в знаменателе — многочлен а. Разница по- сравнению с
обычным делением, при котором выделяется целая часть
дроби состоит в том, что, во-первых, здесь вме-
сто целых многочленов в частном и остатке
фигурируют соответствующие "обобщенные
многочлены и, во-вторых, в том, что степень де-
лителя а не просто превосходит степень
«остатка» dt-x х1-”-'...-^-d^x-"-, она превосходит
последнюю более, чем на п единиц, так что, ес-
ли остаток помножить на хп, то и тогда степень
полученного многочлена будет меньше степе-
ни делителя а.	/
Все эти факты находят полную аналогию в обращении
простых дробей в десятичные. Именно, отыскивая десятич-
ное приближение к числовой дроби -у- с точностью до
1
, мы получаем его в виде:
ат а^х.. .а0, «4 а2.. .ая = ая,-10'»-}-аЯ1_1 •10т~1	. . + а0 +
+ агЮ“’ 4-аа-10~'2-|-.. .4-а„.10-л
(аналог обобщенного многочлена). Связь между и этим
приближением определяется из равенства:
Ь-Юп = а-атат^х.. .а0 ах.. .а„-|-г (г<а),
87
откуда
b _ am am—l ••-аоа1-•-“ni г __
a ~ КУ1	"Г 10".a ~
, r:10»
— am am—\ • • • #o, ai • • • «„ 4	~	•
ЗдеСь разность между дробью и ее десятичным при-
ближением изображается дробью (частным), числитель ко-
торой не просто меньше делителя а; последнее число пре-
восходит этот числитель, по крайней мере, в 10я раз, так
что, если помножить его на 10я, то и тогда поручим число
(г), меньшее, чем а.
Поясним примером операцию нахождения приближения
ь
частного двух многочленов, — с точностью до членов,
содержащих -Л-. Пусть нужно найти приближение дроби
х«—1	1 п
"х* —х+'Г с точностью Д° Для 9Т0Г0> по определе-
нию, нужно прежде всего найти частное от деления (с остат-
ком) многочлена (х3—1)-х4 = х7 — х* на xz — x-j-1.
Получаем:
х7	f х8 —х+1_______________
х7 —х«4-хВ	х5 + х* — 2х» — 2х 
„ х6 — X5 — X*
хб — X5 + X4
»	» _2х4
’ — 2Х4 4-2х3 — 2Х8
» — 2x8
— 2x8-i-2x2— 2х
т. е. искомое частное есть х5 -|- х4 — 2х2 -v 2х, откуда при-
,	х8 — 1	1
ближение	с точностью до имеет вид:
X5 + А4 — 2ха — 2х
' X4
= х +1 — 2х~2 — 2х~8.
^3_1
Разность между —.—, . и этим приближением должна
иметь вид дроби, в числителе которой находится обобщен-
ный многочлен
^=2х~з.
Мы видим, что степень делителя а=х2—д:-|-1 прево-
сходит более чем на четыре единицы степень этого обоб-
щенного многочлена. Окончательно, соотношение между
дробью —х+1 и наиДенным ее приближением имеет
88
вид:
л: 4-1—2х~2— 2x~s -I-
Чтобы получить нужное приближение, мы помножали
в этом примере делимое на надлежащую степень х. Но
можно и не делать этого, подобно тому, как при обращении
простых дробей в десятичные мы не помножаем предвари-
тельно делимое (числитель дроби) на ту или иную степень .
10, но приписываем к получающимся остаткам все новые
и новые нули, не^забывая поставить в частном, в нужный
момент, запятую, после которой и располагаются цифры
частного, характеризующие десятые, сотые, тысячные и т. д.
доли. В случае многочленов различие будет проявляться
в том, что здесь не понадобятся ни нули, ни запятые. И те
и другие, при записи чисел по десятичной системе счисле-
ния, служат для указания какой, именно, степени 40 соот-
ветствует данная цифра. Числа .мы записываем на основе
позиционного (поместного) принципа. Для записи же мно-
гочленов поместный принцип не употребляется: здесь ря-
дом с каждым коэффициентом (представляющим аналог
цифры, п|5и записи числа) записывается и соответствующая
степень х (тогда как при записи чисел соответствующая
степень 10 только подразумевается).
Обращаясь к нашему примеру, будем находить прибли-*
жения к дроби —3	, располагай выкладки в следую^
щем порядке:
хЗ—1	|х8 — л?+1	_______
хз —X 4- 1 — 2х~2 — 2х—3 + 2х~ 5+2х-6 -
. Xs — X— 1	L
—Х + 1
, »—2.
-24- 2х~~*—2х~2
\	' „ — 2х-14-2х—2
— 2x~]4-2x-2 —2<~3
» в 2х 3
2х~3 — 2х~~4 4- 2х~5
.	'2х~4 — 2х""8
'	2х~~4—2х~5 4- 2х~&
'	“	—	2х~6
Операцию эту можно продолжать неограниченно. При
этом в частном будет постепенно развертываться бесконеч-
ный обобщенный многочлен, или, как говорят, обобщенный
степенной ряд*
х-$-1 — 2х~2—2х~3-}-2х-5-\-2х~6—...
Он обнаруживает здесь полную аналогию с бесконечной
десятичной дробью, при обращении обыкновенной дроби
8»
в десятичную. Мы снова можем смотреть на этот .резуль-
тат, как на своего рода склад для различных приближений
Дроби
Чтобы получить приближение с точностью до , нам
достаточно остановиться на члене „частного", содержащем
отбросив все следующие за ним. Так, например,
х 4-1 —2х~2— 2х~3 4~ 2х~5 -|- 2х-6
х»_1	1
дает приближение - -2—  < с точностью до
X X 1	X
Если
СтХт +	+ • • • + СQ +	•. • • ~Н4х“л+ • • •
есть обобщенный степенной ряд, получаемый при делении
многочлена b на многочлен а, то соотношение между дробью,
— и этим рядом мы будем записывать посредством знака
соответствия:
а степенной ряд этот будем называть разложением дроби
(по убывающим степеням х). Так, например, разложение
ДР°би	есть:
~ё+1— х+1 — 2х~2—2х~3 4-2Х-5 4- 2х~6—...
Резюмируем то, что нам удалось до сих пор установить
операция деления С остатком для многочленов, располо-
женных по убывающим степеням какой-либо буквы, анало-
гична операции деления с остатком целых чисел. Пользуясь
отрицательными степенями, деление двух произвольных
многочленов можно продолжать неограниченно. Получаю-
щийся обобщенный степенной ряд — разложение дроби —
аналогичен бесконечному разложению, получающемуся при
обращении простой дроби в десятичную. И тот и другой ре-
зультаты доставляют приближения дроби с произвольно
большой степенью точности в случае многочленов с точ-
ностью до членов, содержащих (п = 0, 1, 2,...), в слу-
чае же чисел —с точностью до («“О, 1, 2,...).
«о
5. Рекуррентность, как обобщение периодичности
Мы видели в п. 3, что десятичное разложение обыкновен-
ной дроби -у необходимо периодично, т. е. цифры деся-
тичного разложения, начиная с некоторой из них, правильно
повторяются.
Обладают ли аналогичным свойством обобщенные сте-
пенные’ряды, получающиеся при неограниченном делении
многочленов? Заметим, что у нас нет оснований ожидать
чего-либо подобного, В самом деле, в случае обращения
ь
дроби — в десятичную, остатки определяются целыми
неотрицательными числами, меньшими а. Таких чисел ко-
нечное число, а именно, а, почему мы и должны ожидать
повторения остатков. В случае же многочленов остатки
определяются многочленами степеней ниже, чем степень а
и так как коэффициенты , наших многочленов могут быть
вообще любыми числами (положительными и отрицатель-
ными, целыми и дробными), то и многочленов, которые
a priori,. могут служить остатками, будет бесконечно много,
и у нас нет основания ожидать, что они (или значения их
коэффициентов) будут повторяться. И действительно, даже
в самых простых случаях деления многочленов мы обна-
руживаем бесконечное разнообразие коэффициентов в остат-
ках. Вот пример:
х |х — 2___________________
1	2х~14- 4х~2 4- 8<-3- • •
2 — 4х-1
.	4х-1
4х~~1—8х~2
8л~2
8х~2— 16х~3
16х-3
Очевидно, что периодичности здесь нет. Однако опре-
деленная правильность в чередовании коэффициентов част-
ного все же имеет место и при делении многочленов. Мы
приступим сейчас к выявлению этой правильности:
Пусть в частном при делении многочлена b=bsxs-j-
—	...+bjX -f- bQ на многочлен a = ape* -|- a^x^-l-
-f-.. .-j-ajX-l-aQ (bs ф 0, at ф 0) получается обобщенный сте-
пенной ряд:
хт~' + • • • + С0 + ^ХГ* -ф d^xr2	. . .
Возьмем произвольное натуральное число и, ббльшее
чем t-.	v>l. Если отбросить в степенном ряде
все члены, следующие за d„x~n, то, как мы знаем, полу-
91
чится приближение дроби
+ + ••• + »<>
а/Л< -+• at_ix‘~i +... + а0
с точностью до Следовательно:
G’X+k-i***"1 +• • • 4A)*n = (aX+a<-ix<“’+- • -+а»)Х
X (СтХт+п + Ст-1 Х“+я-14- ... 4- С0Хп 4- rfjX"-1 4- - • • 4- <*» к* 4“
' • Л	4-.. .4-^)4-г(х),
где г(х) многочлен степени ниже чем степень а, т. е. сте-
пени ниже t. Так как в многочлене, стоящем в левой
части, все коэффициенты при хп~\ хп~2равны нулю, то
то же должно иметь место и для многочлена, стоящего в
правой части.
В частности, так как t<Zn, то коэффициент при х*, в
многочлене, стоящем в правой части, равен нулю. Заметим,
что при его подсчете можно не принимать во внимание
остатка г(х), ибо степень г (х) ниже, чем t.
Искомый коэффициент получим, перемножая почленно
многочлены в правой части равенства и приводя подобные
члены, содержащие х*. Но х* можно получить, умножая
а0 на <4 х', затем агх на dv+}x‘~~l , а2х2 на гАн-гх'-2,..., dfX1
на dn —d^t- Следовательно, коэффициент при х‘ в правой
части есть
4~ ^i^’+i4_,‘,4~
• Итак, получаем:
+ <4^4-14“ ^2^+2 4~ •••4*	=о.
Так как п любое натуральное число, большее чем t, то
натуральное число v=/i—t может быть выбрано произ-
вольно (v — 1, 2, 3,...) и мы, меняя ч, получаем бесконечное
множество соотношений, связывающих <-]-1 ряДом стоящих
коэффициентов обобщенного степенного' ряда
стхт-\- -4-со 4-	4- d2XT2...-\-d, х-”4-...
с коэффициентами делителя арс‘4- at-tx*—-\-а0.
Вот эти соотношения, выписанные для v=l, 2, 3,..., А,...:
4~ #1^2 + а2^з +• • •+	=
Мг + Мз +	+•	-	+	=	°’
4” ^1^4 4“ ^2^5 4- ’ • * 4""	=	о,
a^k 4-	4” 2^м-2 4” • • • 4“ atdk+t—о,
92
Соотношения такого рода называются рекуррентными,
или возвратными уравнениями, а последовательность коэф- .
фициентов '
dg, ds,.. •, dn,...,
удовлетворяющая им, называется рекуррентной последова-
тельностью. Таким образом, рекуррентными назы-
ваются уравнения бесконечной системы спе-
циального вида линейных однородных алгеб-
раических уравнений с бесконечным множест-
вом неизвестных. Характерной особенностью
рекуррентных уравнений является то, что при
переходе от 'Предыдущего к последующему
уравнению индексы неизвестных все возра-
стают на единицу, при неизменных коэффи-
циентах.
Пользуясь введенной терминологией, мы можем утверж-
дать, что последовательность коэффициентов
юбобщенногостепенногоряда, получающегося -
при неограниченном делении многочлена на
многочлен, является рекуррентной последова-
тельностью.
Иллюстрируем обнаруженные закономерности на при-
мере.
х3_1
Возьмем дробь л2_д._(_р Здесь / — степень знамена-
теля — равна 2, а2=1, aj — -1 и а0 = 1- Следовательно,2
рекуррентные уравнения, связывающие коэффициенты обоб-
щенного степенного ряда, получающегося в частном, таковы:
1 • <4 — 1 ‘dn^-l +1 -</*+2 = 0,
или
d^^-i d/g (k 1,2,3,...).
Словами: каждый коэффициент d^2 при отрицательной
степени х, начиная с dg, равен разности двух предыдущих
коэффициентов. Мы видели выше, что первые'Члены част-
ного в этом случае имеют вид:
х-}-1— 2х~2— 2x~3-|-2a7"5-|-2x_s—...
Следрвательно d1—0, da=—2, tZ3=—2, rf4=0, 4/g = 2,
dg = 2,... Эти значения действительно удовлетворяют на-
шим уравнениям.
Именно:.
d3-—2=—2—0 = 44 — 44,
di— 0 = — 2— (—2) = 4/3 — dv
d5= 2= 0— (—2) = di — d3,
d6= 2= 2—0 = 4/6—d4:
93
Рекуррентные уравнения позволяют определить и сле-
дующие коэффициенты, один за другим:
^7 —	^58=10, i/g — d<-t — t/g —— 2, d^ d& dr ~~ —2,.. .
В рассматриваемом частном случае последовательность-
коэффициентов ‘оказалась периодической с длиной периода,
равной 6.
В самом деле коэффициенты по порядку таковы:
О, —2, —2, 0, 2. 2, 0, —2, —2,...
Поскольку di—^.H ds=dt, то и d9^*d6 — d4=d9—d^—
^io—d^ — d3 d3—d^ и т. д., вообще dk-^—~ d^.
(k= 1, 2...).
Возьмем еще пример дроби	Здесь t=l, ai=l,
а0 = 2 и рекуррентные уравнения имеют вид:
— 2 • dk -f-1 • d^i — О,
т. е. dk+y = 2dk (Аь=1, 2...).
Таким образом коэффициенты обобщенного степенного
ряда, получающегося в частном, образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем 2. Мы видели, в согласии с
этим, что первые члены этого ряда таковы:
1-\-2х~г-^-4хг^+8хг^+1бхг-*-1-...
Здесь последовательность коэффициентов, будучи, как
всегда, рекуррентной, не является периодической.
В заключение этого пункта выясним соотношение между
понятиями периодической и рекуррентной последователь-
ности. Это для нас важно потому, что мы до сих пор сле-
дили за аналогией между делением чисел и делением мно-
гочленов и обнаружили, что вместо периодических после-
довательностей, которыми являются последовательности
цифр бесконечных десятичных разложений рациональных
чисел -у, мы, при обращении частного двух многочленов,
в обобщенный степенной ряд встречаемся с рекуррентными
последовательностями коэффициентов этих рядов. Итак,
как связаны между собой понятия периодичности и рекур-
рентности? Ответ на это заключается в том, что в классе
рекуррентных последовательностей класс всех периодиче-
ских последовательностей содержится как частный случай.
В самом деле, пусть
^2»	• • • > ^л—1 > ^п> ^л-Н > • • •
периодическая (как говорят в арифметике, вообще, смешан-
ная периодическая) .последовательность каких-либо чисел.
Это значит, что имеют место соотношения вида:
dt-f-t = dk
94
для всех индексов k, начиная с некоторого k = k$. Очевид-
но, что, t обозначает здесь длину периода, а член dka пред-
ставляет начальный член первого периода. Но соотношения
можно рассматривать как рекуррентные уравнения
весьма частного вида. Чтобы видеть это, перепишем их
следующим образом:
O-rfj-J-* • .-J-O-t/fta-i 4-	..— 1 ‘dii^t — O,
0-*44“- • •+0-Ло4-1	• •—1 •	=о>
1~|-1	—ld*.p=0,
Здесь- число членов, входящих в каждое уравнение,
считая также и члены с нулевыми коэффициентами, есть
Итак, каждая периодическая последовательность есть
в то же время и рекуррентная и притом весьма частного
вида.
Заметим, что подобно тому, как все члены периодиче-
ской последовательности определяются заданием конечного
числа членов этой последовательности, а именно членов
предшествующих первому периоду (если таковые имеются)
и членов, входящих в состав одного периода, так и все
члены рекуррентной последовательности, подчиненной урав-
нениям:
a0rfft4-a1<fft+i+...-|-az£4+< = O(a/=|= 0; k=\, 2,...)'
полностью определяются заданием t начальных членов этой
последовательности:
dp
В самом деле, тогда dt+\ определяется из соотношения:
4- axda 4-.... 4- at-л dt 4- atdt+\ =0,
откуда
dt+i=±— —d^ — —d^ —.. ,-^-dt.
at 1 at 2	at *
Зная d2, da,...,dt и dt + ъ мы находим rf/4-2 из рекур-
рентного уравнения, соответствующего k=2. Получаем:
Знание членов: rf3, dit..., dt+% дает теперь возможность
определить из рекуррентного уравнения для А=3 очередной
член dt-p 3 и т. д. Различие, по сравнению с частным слу-
чаем периодической последовательности, заключается в том,
95
что в общем случае формула:
dt+* = “	“ 5? dk+1 - • • • “	dk + f -1 •
по которой вычисляется произвольный член рекуррентной
последовательности с номером, превышающим t, выглядит
несколько более громоздко, чем простейшая формула:
dk +1
управляющая структурой периодической последовательности.
6. Связь между операциями деления многочленов, распо-
ложенных по убывающим и по возрастающим (степеням
/ В этом пункте мы остановимся на связи между опера-
циями деления многочленов, расположенных по возрастаю-
щим и убывающим степеням. Пусть В и Л два многочлена,
расположённые по возрастающим степеням:
В = Во -|- BiX -|- В2х2 -f-... -f- В„хп,
Л=Л0+Л1х-|-Л2х24-... + Ля,хЯ1. '
Тогда производя деление В на Л до тех пор, пока в
частном не получим все члены! частного степеней не выше
какого-либо к~^п—пг, найдем:
Be+B^-f-...4-B„x" =(Л0-(-Л1л: + ...-|-Ля,х’»)-(Р0+ -
+£>рс+...+£>*%*)+
'	+(r* + iX* + 14-...-|-r*+mXft+m)	(6-1)
(см. п, 13, гл. 1).
Разделим обе части этого равенства на х* + т; получим':
Положим, наконец,
k-\-m — n=s(Q^,s^k-\-m).
Тогда будем иметь:
В^у11 + т Вгук'+ т —1 -|-... -|- Btlyk=
=(Лоу« + Л^"’ +. •. + Лот).(Поу*	+ +	+
+ (rk +1Ут -1 -4- . . . + Гк + т)
у 1ВоУ* 4- В^ -1 +... + Вп) = (Лоу + А1Ут - Ч- • • -+Лт) X
Х(ОУ + Djy* - Ч- ... + Dk) + (гк + хут -1 +... + гк + т). (6.2)
96
Последнее равенство показывает, что +...-\-Ок
есть частное, а г*+'Ут ~~14~... -J- r* -j. т — остаток, получае-
мые при делении многочлена у5 (Вяуп -J- В^у” -1 -|-... 4~ВЛ) на
многсялен Аоут А1Ут ~т -|-... -|- Аот. Сравнивая (6.2) и (6.1),
заключаем, что частное Do-f-DjX-]-. . .-|-£>ftx* и остаток
гь+'Хк +	+ г*+тхк + т от деления, расположенного по воз-
растающем степеням, многочлена ВоН-В^+ Влхл на
многочлен Ао + Ax+ — + Атхт> могут быть получены также
путем деления, расположенного по убывающим степеням
многочлена
V т~п+к (Воу" +В1у"-’ +... +Ва)
на многочлен АоутA tym—Ат. А именно, коэффи-
циенты найденных при этом частного Doyk -f-... 4" Dk и ос-
татка Гь + >ут~' +.. .-{-Гй+т, расположенные в надлежа-
щем порядке, будут коэффициентами частного и остатка
при первой Операции.
Поясним это на примере. Пусть,. В==2 —Зх*-|-7х8 и
А = 14-х2-|-2х4; возьмем k=*3. Тогда, деля В на А как
многочлены, расположенные по возрастающим степеням,
получим:
+	|1-|-х2 4-2х*
2 4- 2х2 4- 4х4	’————
- 2х®	3x3—4д4 -4-7x5 2 — 2х® —Зх
— 2х®	— 2х* — 4x6
— Зх® — 2х* 4- 7х6 + 4х«
— ЭХ» —3x5 бх?
— 2л4 4- 10х6 + 4x® + бх7
Мы видим, что частное есть: 2 — 2х2 — Зх8 и остаток:
— 2х4-|-10хБ-{-4х6-)-6х7. Получим теперь тот же резуль-
тат^ иным путем.
Здесь s=k-\-m — n = 3-f-4 — 5 = 2;умножив2у — Зу8+
-f-7 на_/=_у2 и затем разделив на _у4+,042 как много-
члены, расположенные по убывающим Степеням, получим:
20 — 30 -ь 70 |0 + 0Ч-2
2у7 4- 20 + 40	20 — 2у — 3
2у5 — 30 — 4уЗ 7у‘
2 у6___— 20 — 4у
- 30 -20 + 70 + 4у
— 30	-30-6
—• 0 4-100 + 4у + 6
Чтобы перейти от найденного здесь частного 2у8—2у — 3
к предыдущему, достаточно написать на месте у8, у и
1 степени х:1, хг и х8; получим:2 — 2х2— Зх8. В остатке
— 2у8-}- 10y2-|-4y-f-6 нужно заменить у8 через 1, у2 через
х, у через х2 и 1 через х8 и затем помножить найденный
многочлен на х*+' = х4. Окончательно получим:
— 2х4+10х6 + 4х64-6х7.
7 А. И. Маркушевич
97
Возвращаясь' к общему случаю, вспомним, что деление
произведения ys (Воул-f-• •• 4~5Л) на Aoym-j-
-f- Д ут -1 +... -J- Ат равносильно отысканию обобщенного
многочлена, представляющего дробь \йУт~^В,'У т + • • • +
Аоут + А1ут 1 + ...+Ат
с точностью до . Именно, при наших обозначениях,
искомое приближение есть: 

= D,yn - т +... -Ь Dky " - “ -Л = у" - т (D6 +... +	- *).
Если мы вернемся от у к х, заменив у~1 на х, то дробь
Воуп + ...+Вя = т Во + ...:+в0у-я
АоУ”+ Аи у	Аа + ... + Ату-т
/
перейдет в х~^п~т'>-	"	; ^перейдетвxft~^n~m>
Ао 4“ • • • 4“ Атх , У ч
Мы, в полном согласии с предыдущим, будем говорить, что
х-(П—т) . (Do-{-,-\-D^>ck) есть приближение к дроби
х~ <л“ т)—0	с точностью до членов, содержа-
Ао+. ..+Атхт
щих д*—(«-«) или (умножая каждое из этих выражений на
хп~т), что Do-}-. ..есть приближение к дроби
р I I В лгя
°~г‘' ~Ап т > с точностью д;о членов^ содержащих %*.
+ • • • + Атх
Итак, деление расположенных по возрастающим степеням
многочлена Во +... + В#хп на многочлен Ло + • • •+ Атхтг
продолженное до тех пор, пока в частном не получатся все
члены степеней не выше k, приводит к приближению дроби
—2-----J—2-— с точностью до хк. Соответствующее част-
но +••• + Атх
ное и дает нужное приближение.
Если, не останавливаясь на полученном частном, мы бу-
дем продолжать операцию деления все дальше и дальше,
получая члены со все более и более высокими степенями х,
то перец нами будет развертываться бесконечное разложе-
ние дроби + + оно будет иметь вид:
Ао 4" • • • 4“ Ащх

Пока мы будем его воспринимать чисто формально, как
,склад* всевозможных приближений дроби в«+-+	,
Ао 4- • • • 4- Апх
с точностью до членов, содержащих 1 (Do), х (Do-J-D.x),
..., xk{D9-\-D1x-}-...-\-DfiXk) и т. д.
98	'
Итак, мы имеем уже два, вообще говоря, различных
бесконечных разложения для дроби .в»	• ~t_B»-y- Одно
А0 + ... + Атхт
получается, путем неограниченно продолжаемого деления
числителя на знаменателя, рассматриваемых как многочлены,
расположенные по убывающим степеням х, и представляет
склад приближений с точностью до J-,	-^,... . Дру-
гое получается путем деления числителя на знаменатель,
рассматриваемых как многочлены, расположенные по возра-
стающим степеням, и представляет склад приближений с
точностью до 1, х, х2,... Чтобы различать их на словах, мы
будем называть первое—разложением по убывающим, а вто-
рое — по возрастающим степеням х. Какой смысл имеют те
и другие разложения, — это мы рассмотрим подробно в
главе IV. Сейчас же отметим пока, что последовательность
коэффициентов разложения
Do+DiX+DjX’H-... -f-jD^x* -j-...
будет рекуррентной последовательностью, как и в случае
рассмотренного выше, обобщенного степенного ряда. Проще
всего убедиться в этом, заметив, что та же самая после-
довательна сть коэффициентов будет получаться (как мы
обнаружили в этом пункте), если мы будем отыскивать
Воу" + ...4-Д«
^йУт + • • • + Ат *
приближения дроби
деля числитель на зна-
менатель, как многочлены, расположенные по убывающим
степеням:
D»yn ~ т +А Уп ~ ~1+ЯъУп "*т
Но такая последовательность, как мы знаем, рркуррентна
(п. 5, гл. II). Итак, последовательность коэффициентов част-
ного, получающегося от деления многочленов, располо-
женных по возрастающим степеням, есть также рекуррент-
ная последовательность. Чтобы написать соответствующие
рекуррентные уравнения, необходимо учесть, что в данном
случае коэффициенты знаменателя, если читать их в порядке
возрастающих степеней у, будут:
,	\	“ Ь • • • 9
тогда как в п. 5, коэффициенты знаменателя,. читаемые в та-
ком же порядке, суть:
«о, Л1, . .., ат.
Иными словами, в данном случае следует положить:
Яц := Ат,	'•— Ат — !>•••»	^0’
тогда уравнения (5.1) примут вид:
AmDi -j- Ат —	4-1 -f- Am — 2A + 2-f- . . . -f- A0D v4-m = 0.«
99
7*
При этом нужно помнить, что уравнения эти относились
лишь к коэффициентам частного при степенях х с отрица-
тельными показателями. Так как при обозначениях этого
пункта D, есть коэффициент при у"-’?1'-1’, то в рекуррент-
ных уравнениях следует* брать п — т—v < 0, т. е. v > п — т.
Отсюда вытекает, что в случае, когда п—т<0, рекур-
рентные уравнения можно писать для всех значений v=0,
1, 2, ..., а прип —т>0—для всех значений v, начиная
с v = п — т-\-1.
Поясним на примере наличие двух различных разложе-
ний по возрастающим и по убывающим степеням для одной
и той же дроби. Пусть эта дробь есть
2-3^ + 7х®
1+х«+2х4 •
Тогда, деля числитель на знаменатель как многочлены,
расположенные по возрастающим степеням, получим:
2 — 3x3+7x5 | 1 + х« -1-2x4
2 -1- 2х« 4- 4х< 2-2x2—3x3 — 2x4+10x8 + ...
— 2x2 —3*з— 4x4+ 7x8
— 2х*____—2x4_______—4Х6
— Зх8 — 2x4 + 7хв + 4хб
— Зх» — Зх® —6x7
— 2x4 + 10x8 + 4x6 + 6x7
— 2х*_____— 2х*___—4x8
10x8 + 6x6 4- 6x7	4x8
В данном случае п = 5, т — 4, Ао=1, А1 = 0, А2=1,
As=0, At = 2 и, следовательно, рекуррентные уравнения
имеют вид:
A4D, А 3/2,414~ A2D,+2 AtD,43 AoD,44 = 0,
или:	2D, -|- /7,42	D,_|_4=; 0.
Эти уравнения должны выполняться для всех —
-m=l, т. е. для v = 2, 3, 4,... Отсюда D,+4= — /7,42 — 2D,
(v = 2, 3, 4,...). В частности, D6 =— D4 — 2D2=—(—2) —
— 2(— 2) = 6, D,= —D5 —2D3 = —10-2(—3) = —4ит.д.
Аналогично, деля числитель на знаменатель как много-
члены, расположенные по убывающим степеням, получим;
7x8— Зх« +2 I 2x* + x2+l
7х® 4-31/2x8+31/2х	,	_1_	3
— 61/2хЗ — 31/2х + 2	*78*—^/4*	— 8 х + *	+ •••
— 61/2хЗ — 31/4Х — ЗУ4 х~*
-у4х +2	+зу4х-'. t
— V4*	--8~х~'----В-*"3
2+3 -g- х-1 + -g- х—3
100
Если обозначить коэффициенты частного при х~’ через
(у = 1, 2,...), то будем иметь следующее рекуррентное
соотношение:
Ай4,ч -f- A jdi+t	А 2^4-2 Ч- Agdt^.3 -f- Atdv+4=О,
т. е.
dt -|- d,^.2 ~Ь 2rf,+4=О,
откуда
d4+4 ~~	2~ d^2	0 ~~ 1» 2, 3, • • • )•
В частности,
^ = — 4- (	g~) —г(~31/*) = 1 Й" и т-д-
7. Бесконечное разложение дроби -—5-^-
Рассмотрим подробнее случаи деления многочлена
b = 1 на многочлен а — (1 — х)?, где q натуральное число.
Пусть, сначала q—\. Тогда из тождества
1 —хя+’ =(1 —х)(1 +%4" • • • 4"x”)»
которое можно переписать в виде:
1 = (1 —х)(1 +•«+.. .4~хя)4-хя+1,
заключаем, что частное (степени п) при делении 1 на (1—х)
равно
1	• .-j-x”,
так что все коэффициенты частного равны единице, и мы
получаем разложение:
-I-х-|-х2-j-х3.хп.
Не имея возможности сразу же найти частное от деле-
ния 1 на (1 — х)9, при любом q, сравним между собой
коэффициенты частных при делении 1 на (1 — х)? и 1 на
(1 — х)9+\
Имеем:
1 =(1 -х)?(Д04-Д1х-|-Д2х2+. . .+Дпх«) + Кх»+’+..., (7.1)
1 =(1 -х)«+’(Во + 51х4-52х1+’... + Вяхл) + Ься+14-. .. (7.2)
В этих тождествах мы выписали лишь младшие члены
остатков: Ххл+1 и Lxn+X. Остальные чалены показаны точ-
ками. Перепишем тождество (7.2) в виде:
1 =(1 -хУ [(1 -х)(В0+Вхх4-... +B„x»)]4-£x»+’ + ... =
= (1 -х)9[В9 + (В1_В0)Х + ... (Вя- Вя_0 Xя-ВХ+’] +
+ £х“+1+.. “ (1 - х)9 [ВО+(ВХ - В0)х4-...+
+(В„ - B„_i) хп] - В„х»+’ (1 - х)?+£х"+'+...
101
Так как многочлен, стоящий здесь в квадратных скобках,
имеет степень не выше п, а многочлен —	—xi®4~
+£хл+1-|-... не содержит членов со степенями ниже
«4-1, то последнее тождество можно рассматривать как
результат деления 1 на (1 — х)9, и, следовательно [сравни-
вая- с (7.1)]:
В0 = Д0,	Во = Alt. ., Вп Вп^ = Ап.
Складывая почленно полученные равенства, получим:
Я„ = До+^14-* •-+Д,»	(7-3)
т. е. коэффициент при х” в частном от деления 1 на (1 —х)?+’
равен сумме коэффициентов при1, х, хъ,.хп в частном
от деления 1 на (1 — х)9.
Мы видели выше, что при делении 1 на 1 — х все
коэффициенты оказывается равными 1. Отсюда, по только
что доказанному, коэффициент при хп в частном от деле-
ния 1 на (1 — х)3 должен равняться:
l-j-l-J-l-]-..	(л=0, 1, 2,...),
т. е. искомое разложение имеет вид:
7Г±-Я-_ 1+2х+Зх»+...+(«+1)х»+-. •
Отсюда следует далее, что коэффициент при х" в частном
от деления 1 на (1 — х)3 равняется сумме:
1+2+3+.. .(«+1) =
(n=0, 1, 2...) и, следовательно, разложение таково:
-тпкг-1 + 3*+6х’ +. • .+	х»-Ь..
Докажем, вообще, что коэффициент при хп в частном
от деления 1 на (1 — х}9 равен
<J+J -<“+Jr,2>-(я +-СД-,<»=0. 1. 2...) (7.4)
Для q = l левая часть этой- формулы теряет смысл.
Однако правая часть принимает вид С° — это коэффициент
при нулевой степени х в разложении (1-|~х)л, т. е. еди-
ница. В соответствии с этим, при q = 1 все коэффициенты
разложения "12.* равны единице. Для^ = 2 фор-
мула (7.4) дает ^^- = «4-1, что снова согласуется с по-
лученными выше значениями коэффициентов разложения
(1 ZZgjT • Чтобы доказать наше утверждение полностью,
воспользуемся методом индукции и, предположив, что на-
102
ше утверждение верно для некоторого q 1 (для
всех я), докажем, что оно верно также и для q-^Л.
В самом деле, коэффициент Вп при хп в частном отде-
ления Г на (1 4_х)'7+1 должен равняться твгда, по формуле
(7.3), сумме
ед+с?-’+с’+н...+ ед1_1.	(7.5)
Но ее слагаемые представляют собой коэффициенты
при хч—1 в разложениях следующих степеней биномов:
(1 4-х)9-1, (1 4-х)9, (1 -Нх)9+’,...(1 4-х)»+9“*.
Поэтому сумма (7.5) равна коэффициенту при х9-1
в многочлене:
(14- х)«-’ 4- (14- х)9 4- (14- х)9+'4-... 4- (14- х)»+9-1 =
=	= 4- К1 +*)л+? - (1 +*)9~Ч.
или, что сводится к тому же, равна коэффициенту при х9
в многочлене
(14-х)п+9— (14-х)9-1. '
Но в последней разности лишь разложение (14-х)п+9
содержит х9 и притом с коэффициентом C9|g. Итак,
вп = СГ1+• • • + С9^-! = С9+?,	(7.6)
т. е. для коэффициента Вп частного при делении 1 на
(1—х)9+’ мы получаем выражение требуемого вида. Наше
утверждение полностью доказано, так как оно верно п0и
0=1 (и 0=2 и 3).
Следовательно, для разложения	вообще полу-
чаем:
(1..1:,т~1 + с;->+с;;|х-+...+сГн_,->:"+-- Г-?)
Для запоминания. этЬй формулы существует простое
правило.
Запишем	'
Гд-1 _(» + ?-1)(«+у-2)...(П+1)_
1.2...(?-1)	— С„+9_1 =
(п±д—1)(п4-у — 2)...д
~	1.2...л
в виде:
С9^ = (-1)”
— <?(—<? — 1)-•(—<? —п4-1)
nt
Тогда общий член разложения (7.7) можно представить
ед+1 Xя = -чЛ-ч-Ъ.^-ч-п + Ъ . (_Х)Л. (7.8)
103
Но левая часть соотношения (7.7) имеет вид:	=
= (1 — х)“?, и если бы мы стали формально применять
к ней биноминальную формулу (мы говорим „формально",
потому что формула эта выводится в элементарной алгебре
лишь для целого положительного показателя, а здесь
показатель отрицательный), то получили бы:
1+++-*) +
"1	’	Г++4	*
т. е. как раз найденное выше разложение.
Итак, разложение для	можно получить, приме-
няя формально к (1—х)-» биноминальную формулу.
Пусть, например, мы хотим найти разложение (1—х)-5.
Пользуясь указанным правилом, получаем:
= (1 - х)~Б ~ 1 + =* (- х) +(- ХУ +
+ 15х2 + 35х3+..,
Напомним читателю, что в этом пункте, как и во всей
этой главе, бесконечные степенные разложения понимаются
нами только как условный способ. записи членов частного,
которые можно получать один за другим, если достаточно
далеко продолжать деление. Так, выписанные члены можно
получить, деля 1 на (1—х)Б до тех пор, пока в остатке,
не исчезнут все члены, содержащие х в степени ниже
четвертой.
Действительно, замечая, что (1 — х)Б= 1 — бх-^Юх’—
— 10х*+ 5х‘ — х6, находим:
1	| 1 —5х + 10^—10x3 + 5^ —
1 + 5х + 15х* + 35х»
1—5x4 Юх»-10x8 + 5x4 — *6	
5х—10х2+1"х8— 5х*+ х5	;
5х —25x2 + 50x8 —50х* +25x5 —5х«	?
15х« — 40х8 4-45x4 —24x5 +5х«	£
15x2 —75х« 4-160x4—150x6 + 75х«— 15x2	'
35x8 — 105x4 + 126x5— 70х« + 15х’	1
35ха — 175x4 + 350x6 —350х« + 175x2 — 35x8	?
70x4 _ 224x5 + 280x6 — 160x2 + 35x8
Мы видим, что соответствующий остаток есть:	. -
70х4 — 224хБ + 280х® — 160х7 + Збх8.
104

Отсюда видно также, что следующим по порядку чле- |
ном частного должен быть 70х4. Это вполне согласуется |
с выведенным нами правилом,	по которому следующий	।
член частного равен:	j
~5-Т.2.з747,~8	j
Сделанное замечание относится, в частности, и к про-
стейшему разложению:
Мы знаем, однако, из курса элементарной алгебры, что-
при | х|<1 в этом соотношении можно писать знак ра-
венства
понимаемый в том смысле, что
——11m (1 +*+• • •+x"), где | х | < 1.
* X л_».со
Можно ли писать знак равенства в других бесконечных
разложениях, получаемых путем деления, и при каких
условиях?
К этому вопросу мы вернемся в последней (четвертой)
главе.
1 Формула для суммы членов бесконечной геометрической про-
грессии.
Глава третья
•ТЕОРЕМА БЕЗУ И ЕЕ ОБОБЩЕНИЯ. ФОРМУЛЫ ЛАГРАНЖА
И ТЕЙЛОРА. РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ НА ПРОСТЕЙШИЕ ДРОБИ
1. Многочлен, рассматриваемый как функция
Во всем изложенном выше, мы, говоря о многочленах, '
стояли на точке зрения, котор ю можно назвать формальной.
Именно, до сих пор х являлся про».то символом, буквой,
которую не предполагалось заменять числом. Особенность
такого подхода к многочленам становится совершенно отчет-
ливой, если условиться 1 записывать многочлены, пользуясь
поместным (позиционным) принципом, совсем не употре-
бляя буквы х и ее степеней. Тогда многочлен
алхя4-ая_-хл-1 + . . . 4-а0
•будет выглядеть, например, так:
(ап, а„_,,..., а0),
а правила сложения и умножения выразятся следующими со-
отношениями:
(^я,	9 • • • ,^о)+ (Ьт, Ьщ^\9 ••• 9 &о) —
= (ап> ап—1> • • •	1	—Ъ • • • , ^0
И
(&я9	— Ъ • • • ,	— Ь • • •	Ьт — Ъ • • • >
+ an~mbmi ап-\ b^an~2.bx-\-... +#я—т-\Ьт,...а0&0).
Так, например, равенство
(х8 — х 4- 1)*(х—1) = х8-|-1
запишется теперь в виде:
(1,-1,!)•(!,1) = (1,6,0,1). .
' Формальный подход к многочленам вполне уместен, пока'*
речь идет об операциях над ними. Но многочлены в мате-
матике рассматриваются не только как элементы определен-
ие
ного кольца, над которыми можно производить операции
сложения и умножения, по известным правилам. Они явля-
ются также и функциями х, определенными, например, на
множестве всех действительных или всех комплексных чи-
сел. При каждом фиксированном значении х — значении ар-
гумента — многочлен обращается в некоторое число f(x) —
значение многочлена, получаемое путем выполнения опера-
ций, указываемых в выражении многочлена:
/(х) == а0-^-агх+a2xs +... + апхп.
Таким образом, каждый многочлен, представляющий со-
бой с точки зрения чисто алгебраической лишь элемент не-
которого кольца, с другой точки зрения, свойственной ма-
тематическому анализу, представляет собой лишь опреде-
ленный способ соотнесения каждому действительному или
комплексному числу х некоторого действительного или ком-
плексного числа /(х).'
Исторически, ‘ обе эти точки зрения на многочлен нераз-
дельно сливались. Их не стоит различать и теперь—при изу-
чении курса алгебры в средней школе. Но развитие науки
уже давно привело к обособлению алгебраических понятий
от аналитических. Такое обособление необходимо и для бо-
лее глубокого проникновения в природу общих колец и по-
лей (что относится к области алгебры) и для общего изуче-
ния функций (что относится к области математического
анализа). Оно вызывается самым существом дела, ибо по-
нятие многочлена как элемента некоторого кольца, вообще
говоря, не совпадает с понятием многочлена как функции,
определенной на некотором множестве. В самом деле, когда
речь идет о многочлене (с коэффициентами, принадлежащими
некоторому полю) как об элементе кольца, то он здесь мы-
слится только как выражение вида:
ae4-«iX-f-...-|-a„xn,
и тождество двух многочленов а0-|-а1х-|-.. .-j-a„x" и b0-f-
-j-bjX-[-Ьтхт имеет место, по определению, тогда и
только тогда, когда т =п и at = b0, а^—Ь^,..., ап=Ьп.
Когда же речь идет о многочлене (с коэффициентами,
принадлежащими некоторому полю Р) как о функции, опре-
деленной на множестве элементов Р, то здесь мыслится со-
отнесение каждому элементу xtP некоторого элемента f(x)&P
посредством операций вида:
/(х)=а0 + aix + .•.*+ апхп-
Однако нигде не предполагается, что то же самое соот-
несение не может быть осуществлено каким-нибудь другим
способом, например, посредством каких-либо иных операций
над элементамихполя Р, помимо сложения и умножения, или
107
же, быть может, посредством многочлена иной степени и с
иными коэффициентами:
/(х)=»0 + М + - • • + Ьтхт.
Во всех случаях речь будет итти об одной и той же- .
функции; важно лишь, чтобы при любом из этих способов,
осуществления соответствия одному и тому же значению х '
соотносилось бы одно и т.о же значение /(х).	'
Простые примеры убеждают нас в том, что в случае про-
извольного поля Р, одна и та же функция /<х), определен-
ная на множестве Р может представляться различными мно-
гочленами с коэффициентами из Р.
Рассмотрим, например, совокупность Е классов вычетов
по модулю 2. Она состоит из двух элементов (0) и (1), из ‘1
которых первый изображает множество всех четных целых
чисел, а второй—множество всех нечетных чисел. Операции
над ними определяются формулами:
(0)+(0)=(0), (0)+(1)=(1)+(0)=(1), (1)+(.1)=(0)и
(0)-(0)=(0), (0).(1)=(1).(0) = (0), (i)-(i) = (i). i
Формулы эти выражают, соответственно, что сумма двух !
четных чисел есть число четное, сумма четного и нечетного* *
есть число нечетное, сумма двух нечетных—четное, произ-
ведение двух четных — четное и т. п.	£
Читатель легко проверит, что множество Е представляет <:
собой не только кольцо (кольцо классов вычетов по моду- '
лю 2), но и поле. Мы убедимся здесь лишь в справедливости
закона 7,-утверждающего существование решения уравнения •
ax=bt	’
для любых а и b при афп.
В данном случае нуль кольца и есть элемент (0) (класс
четных чисел). Поэтому утверждение, что афп означает,,
что а —класс нечетных чисел, т. е. что а = (1). Но эле-
мент (1) есть единица кольца и для любого х из нашего-
кольца (1) ‘X = х: Следовательно,-для того чтобы удовле-
творить уравнению (1)-х = &, достаточно взять х = Ь. Этим
и заканчивается проверка того, что кольцо вычетов по мо-
дулю 2 есть поле. Обозначим его через Р.
Рассмотрим теперь кольцо многочленов с коэффициен-
тами из Л. Очевидно, что многочлены: (1) + (1)*х и (1)-}-
-|-(1)-х2 различны, ибо коэффициенты при х у них различны.
Однако они выражают одну и ту же функцию /(х), харак-
теризуемую значениями: /((0)) =(1) и /((1))= (0). В самом де-
ле: (1) + (1)-(0) = (1) + (0)=(1)и(1)-|-(1)-(0)2«=(1Н-(1).(0)=
«(1)+(0)==(1); (1)4-(1) (1) = (1)+(1)=(0)и(1)+(1)-(1)’=
= (!)+ (1)=(0). Итак, различие двух многочленов, рассмат-
риваемых как элементы кольца многочленЪв, не означает
108

•еще различия функций, изображаемых этими многочленами,
что иллюстрирует несовпадение двух концепций: многочле-
на, трактуемого формально, чисто алгебраически, и много-
члена, трактуемого как функция — аналитически.
-2. Сравнение операций над многочленами с операциями
над значениями многочленов
В приведенном выше примере поле Р, которому принад-
лежали коэффициенты многочленов и откуда черпались
значения и функции аргумента, имело' специальный харак-
тер. В анализе, а вместе с тем и в элементарной алгебре,
где основную роль играет поле всех действительных или
всех комплексных чисел, подобное обстоятельство уже не
может иметь места.
Именно здесь из совпадения значений двух функций f(x)
и g(x), изображаемых мнбгочленами
/(х) = а0 + <11х + ..-+^яхя и g(x)= &0+М+.• • • +
всегда вытекает и совпадение самих многочленов, т. е. ра-
венства вида:
«о—Ьй, (Н=ЬЪ ...,ап=Ьп (т = п).
Доказательство этого предл< жения мы дадим ниже. Пока
же заметим, что различие в алгебраической и аналитической
точке зрения на многочлен проявляется достаточно ярко
даже и в этом наиболее элементарном и вместе с тем наи-
более важном случае, где рассматриваются функции, опре-
деленные на множестве дейстьительнцх или комплексных
чисел. С этим различием мы сталкиваемся, когда рассмат-
риваем, с одной стороны, операш и над многочленами как
над элементами кольца многочленов, а с другой стороны,
операции над значениями функций, изображаемых многочле-
нами, т. е. над соответствующими действительными или ком-
плексными числами.
Пусть
/(х) = аях"+... + ап и g(x)=bmxm +... -f- b0 (n > m)
два какие-либо многочлена. Если мы придадим х определен-
ное числовое значение х = х0 и затем выполним соответ-
ствующие умножения й сложения, то получим числа /(х0)
и g(хо' — значения функций. Можно ли утверждать, что, вы-
полняя операции слежения, вычитания, умножения' и деле-
ния (вообще, с ос1атком) над f(x} и g(x) как над элемен-
тами соответствующего кольца многочленов и после этого
полагая х = х0, мы получим та'ой же результат, как если бы
мы с самого начала выполнили одноименные операции над
значениями функций f х0) и g (х0), рассматриваемыми как
элементы поля действительных или комплексных чисел?
Простое рассужден е показывает, что так и будет, в слу-
109
чае, когда речь идет об операциях сложения, вычитания и
умножения; однако, ответ становится, вообще, отрицатель-
ным, когда речь идет о делении.
Рассмотрим сначала операцию сложения. Имеем:
/ (-^о) =: ап^ 4“ Ял — 1-«0 1 4“ ’ • •
ё (хв)=ЬтХо + Xq ~ ’ + • • • + Ъй
и пусть, для определенности, n>z«. Имеем:
/(Ло) 4" ё (Х0> =( апХо 4" dn — 1 Хо 1 4~ .-|- а0) -I-
4" {ьтхо 4~ Ьт—1 х.0 1 4-... 4~ ь0) >
что, в силу ассоциативного и коммутативного законов сло-
жения чисел, может быть представлено в виде:
/(хо)4~Я(Л'о)==яяхо4~ an-ixo"^...-!-
4~(атхо 4-ьтх»)4-• • • 4-(«о4-^о)
и далее, на основании дистрибутивногр закона для чисел:
/ (*о)»4-ё (хо) =а„хо 4-а„ _ 1 хо~ 14~••• 4~
4~ (ат 4- Ьт) х™ -J- (aOT_i4-	i)x” 14-... 4- (Ge4~M-
Если же мы сначала сложим f(x) и g(x) как элементы
кольца многочленов, то получим многочлен:
й(х)=алл:'’ + ап_1хл-14-...4-(аЯ14-&Я1)л:'в-|-
4“ (От—1 4“ Ьт — 1)	1 4"’ • -4-(«О 4- Ьо).
Полагая здесь х=ха, найдем:
h (х0) = айхо 4* Ял -1 х$Г14-... 4- (а„ 4- Ьт) хо 4~
4-(ая,-14-&я,-1)хо ’4- • • • 4-(я» 4* ь<>)-	'
Мы видим, что оба пути привели нас к одному и тому
же результату. Совершенно так же можно убедиться и Bt том,
что произведение значений функций /(х0) й g(x0) совпадает
со значением, при том же х=х0, многочлена, полученного
путем умножения многочленов /(х). и g(x), выполненного
по правилам операций в кольце многочленов.
Перейдем теперь к операции деления, причем допустим,
что, нацример, многочлен g(x) не есть нуль кольца много-
членов. Тогда, выполняя деление с остатком (в узком смыс-
ле), будем иметь:
f (х) = ё (Х)Р <х) 4- г (х),
где р(х)—частное двух многочленов, а г (х) — остаток. На
основании сказанного выше о сложении и умножении мно-
гочленов, мы должны получить один и тот же результат,
как тогда, когда сначала выполним операции в правой части
ПО
равенства над многочленами g(x), р(х) и г(х) как над эле-
ментами кольца многочленов и затем, получив многочлен/(я),
положим х = х0, так и тогда, когда сначала возьмем х=х0,
получим числа g(x0), р (х0) и г (х0) и затем выполним над
этими числами операции умножения и сложения Итак,
f (.*<>) = g (•*«) Р (*о)+г (хй\
т. е. значения многочленов f(x), g{x), р(х} и г(х) играю-
щих роль соответственно делимого, делителя, частного и
остатка, связаны соотношением, по своему виду напомина-
ющим связь между числами—делимым, делителем, частным
и остатком. Но можно ли на основании этого утверждать,
что f(x0) есть делимое, g(x0) — делитель, р(х0)— частное
и г(xq)- остаток? Вообще говоря, нет, и вот какие обстоя-
тельства здесь мопт встретиться:
I.	Число g(xQ) равно нулю и в этом случае, следователь-
но, нельзя'говорить о делении /(х0) на g(x0) (хотя бы с
остатком), в то время как операция деления многочлена /(х)
на g(x) (с остатком или, в частном случае, без остатка)
всегда имеет смысл, коль скоро не все коэффициенты g(x)
равны нулю (т. е. g(x)-/«).
Пример 1. /(х)=х® — 1, g(x) = x—1. Здесь: z
х8— 1=(х — 1) (х* -f-x-f* I),
т.	е. р(х)=х*+х4-1 иг(х) = и.
При х=х0 = 1, многочлен р х), представляющий частное
двух многочленов/tx) и g(x\, имеет значение р(х0) =р(1)=
-|-1 =3, а многочлен г(х), пред, тавляюший остаток,
имеет значение 0: г(х0)*= г(1) = 0. Но значение делимого
есть /(х0)=/(1) = I8 — 1 = 0, значение делителя есть g(x0)=
= g(l) =1 —1=0, и так как последнее равно нулю, то опе-
рация деления чисел /|х0) и g(x^ лишена смысла.
Пример 2: Пусть/(х) =х81 и g(x) х —1. Здесь:
х8-Ь 1 = (х — 1) (х«+х + 1) + 2,
т. е. частное многочленов f(x) П g(x) есть р(х)=’х2-|-х4-1,
а остаток есть г(х) = 2. При х = х0 = 1 значение частного
есть р(х0) = 3, значение остатка есть г(х0) = 2, тогда как
говорить о частном и остатке от деления числа /(х0) = 2 на
число g(x0) нельзя, ибо _g(x0) = O.
II. Число g (хв) не равно нулю. В этом случае частное
чисел f(x0) и g(x0) имеет смысл и выражается числом
/(хо)	(•*<>)•
Следовательно, ни о каком остатке при делении f(x0) на
g(x0) не может быть и речи Ведь эти числа рассматрива-
ются нами как элементы поля (действительных или комплекс-
ных чисел), где деление всегда возможно, если делитель
111
отличен от нуля. Между тем многочлен /(х) попрежнему
может делиться на g(x) либо с остатком, либо без него.
В случае, когда деление совершается с остатком г(х) и
число г(хо)^О, мы из соотношения
/(х0)=ё (х0) -Р (*о)+г (х0)
ВЫВОДИМ, что
gU) р	^(4) ± р {Хо)>
т. е. частное значений /(х0) и g(x0) не совпадает со значе-
нием частного р(х0), полученного при делении многочлена
/(х) на g-(x).
В случае, когда деление многочленов происходит с остат-
ком г(х), но г(х0) = О, или же деление выполняется без
остатка, мы имеем:
/(xo)=g(xo)-p(xo)
7W
и
т. е. частное значений /(х0) и g(x0) совпадает со значением
частного р(х0) многочленов /(х) и g(x). Однако и в этом
случае, где на первый взгляд видна согласованность между
результатами деления значений многочленов и делением мно-
гочленов, при внимательном рассмотрении возникает неко-
торое сомнение в равноправности двух результатов. Дело
заключается в том, что простое совпадение чисел и
р(х0), при заданном х = х0, не позволяет сделать никаких
заключений о том, нацело ли разделился многочлен /(х) на
многочлен g(x), или же с определенным остатком г(х), зна-
> чение которого, при х = х0, оказалось равным нулю.
. Пример 3./(х) =х3+1, g(x)=x—1.
Здесь х84~1 =(х— 1)(х*4~x-j-1)4-2, т. е. р(х)=х24~
, 4--*4~1 и г(х) =2.
При x = x0 = 2j имеем:/(х0) = 9, g(x0)=l, т. е. частное
f(x0):g(x0)=9. Однако значение частного р (х), полученного
путем деления многочлена /(х) на g(x), есть
д(х0)=224-2 + 1 = 7^ ^-9.
Пример 4. /(х) = х3 — 1, g(x) = Зх — 3. Здесь х3—
- 1 = (Зх — 3) (4-х2 4-4“ х 4--0, т. е. р(х) = 4-х2-+-
4- 4" х 4- 4" и г (х) = 0. При х = х0 = 2, имеем: /(х0) = 7,
g(x0) = 3 и /(x0):g(x0) = 4s- Вместе с тем и р(х0) =
=4-2!+4'2+1 ='/•
112
Пример 5./(х) = х3 +1, g(x) = х24-1. Здесь: х3-|-
4.1 = (х34~ 1)-х4~(—*4" О. т. е. р(х) = х и г(х) =
= — л-|-1. При х=х0 = 1 имеем: /(х0) = 2,. g'(x0) = 2 и
/(х0) :g(x0) = 1. Вместе с тем и р(х0)=1.
В каждом из Двух последних примеров частное значений
многочленов (/(х0) :g(x0)) и значение частного (р (х0)) сов-
падают между собой. Однако, если рассматривать одни .
лишь числа /(х0), g(xo), р (х0) и г(хй), то ниоткуда не вид-
но, что в первом примере деление многочленов произво-
дится нацело, а во втором дает остаток —х-\- 1.
Резюмируя все изложенное в этом пункте, мы можем
сказать, что операции, сложения, вычитания и умножения,
выполняемые над 'значениями многочленов или над самими
многочленами, всегда приводят к согласованным между со-
бой результатам, тогда как операция деления, выполняемая
над значениями многочленов, может либо вовсе не иметь
смысла (если g (хв) = 0), либо приводить к результату, не
совпадающему со значением частного р (х0) (если g (х0) ф 0 х
и г (х0) ф 0), либо, наконец, приводить к одному и тому же
результату (если g(x0) ^0 и г (х0) = 0). В последнем слу-
чае, однако, рассмотрение чисел f (Хо), g (х0), р (х0) и г (хв)
не дает само по себе никаких сведений о том, делится ли
многочлен f (х) на многочлен g(x), нацело или с остатком.
3. Теорема Безу. Критерий равенства многочленов
Предостерегая читателя от смешения операции деления
числовых значений многочленов с операцией деления самих
многочленов, мы, с другой сторонй/ хотим обратить его
внимание на то, что рассмотрение числовых значений мно-
гочленов оказывает большие услуги, именно, при изучении -
операции деления многочленов. Нашей целью здесь и в даль-
нейшем будет детальное изучение операций деления много-
членов и вопросов, связанных с этой операцией, причем мы
будем рассматривать многочлены не только как элементы
кольца, т. е. алгебраически,- но и как функции, т. е. анали-
итески. Для того чтобы раскрыть природу деления с
остатком, нам понадобилось сначала*выделить чисто алгебраи-
ческую сторону дела и рассматривать многочлены только
как элементы кольца многочленов. Теперь настала пора
сочетания алгебраических и аналитических методов й поня-
тий. Только такое сочетание и позволит продвинуться в ин-
тересующей нас теории.
Начнем с известного из школьного курса предложения^
Теорема / (Безу). Остаток г(х) от деления ,
многочлена f (х) на многочлен g(x)~x — a ра-
вен f.(a).	'
Доказательство. Так как степень делителя g(x) =
~х — а равна 1, то степень остатка должна быть меньше
8 А. И. Ма^кушевич	'	113
1, т. е. г(х) должен быть либо многочленом нулевой сте-
пени, либо нулем кольца многочленов, т. е. тождественным
нулем. Во всех случаях г(х) сохраняет одно и то же значение
С, при всех значениях х. Мы должны найти это значение.
Имеем: У (%) = g(x)-p(x) -j- г(х), причем это равенство
между многочленами /(х), g(x), р(х) и г (х) может рассмат-
риваться так же, как мы видели в предыдущем пункте, как
равенство между значениями наших многочленов, справед-
ливое при любом х (тождество). Положим, в частности,
х=а. Получим:
/(«) = g(a)-p(a) + г(а) = (а-а)-р(а) + С = С;
т. е. С = f (а). Итак, г (х) = f(a), и деление происходит нацело
или с остатком, в зависимости от того будет ли /(а) =? О,
или f(a) ф Q.	.	I
Распространенное среди учащихся сомнение в заковвости
этого доказательства основано на смешении операции деле-
ния над числами и над многочленами. Так как в данном
случае речь идет о делении многочлена /(х) на многочлен
g(x), то единственный запрет, который мы должны здесь
помнить, заключается в том, что многочлен g (х) (делитель)
не должен быть нулем кольца многочленов, т. е. не все
его коэффициенты должны равняться нулю. Этот запрет
здесь не нарушен, так как делитель есть х—а и, по край-
ней мере, один коэффициент (при х) отличен от нуля. Что
касается значений многочлена g(x), то они, при некото-
рых значениях х, могут равняться нулю, в данном слу-
чае при х = а. Исключать такого рода значения х мы
должны были бы только в том случае, когда хотели, бы
получить частное числовых значений /(х) и g (x), при каком-
либо значении х. В данном случае частное f(a) и g(a), ко-
нечно, лишено смысла, ибоg (а) = 0. Но о частном число-
вых значений /(х) и g(x) совсем не говорится ни в по-
становке, ни в доказательстве теоремы Безу.
Заметим, что именно в этой теореме проявляется весьма
выпукло роль концепции многочлена как функции. В самом
деле, мы нашли остаток при делении /(х) на g(x) = x — а,
не производя деления фактически, но пользуясь рассмотре-
нием значений функций: /(х) и g(x), при х — а.
С помощью теоремы Безу можно доказать, что никакой
многочлен /(х) степени п > 1 не может принимать значение
равное 0 более, чем при п различных Значениях х. Именно, ,
докажем следующее предложение:
Теорема 2. Если уравнение /(х) =0,где/(х) есть ;
многочлен, имеет	различных корней: хь
х2,...,хл (действительных или мнимых), то либо
степень /(х) не меньше, чем п, либо/(х) есть
нуль кольца многочленов.
114
Доказательство. Так как /(Xj) = 0, то, по теореме 1,
/(х) делится на х — хх:
/(х) = (х —x^.^fx).
Положим теперь х = х2. Получим: /(х2) = (х, — Xj)><:
Ха(х2)=0, и так как хгфхи то а(х2) = 0, т. е. много-
член />1 (х) делится на х — х2:
1	рЛх)=(х- хг).р^х),
откуда:
/(х) = (х — Xi)-(X — х2)-/>2 (х),
т. е./(х) делится на (х — хх) • (х — Х2).
Пусть, повторяя это рассуждение, мы уже доказали, что
/(х) делится на (х — xj (х — х2).. .(х — хт) (т < л). Тогда
/(х) = (х - хх) (х — ха)... (х - хт) рт (х)
И
/(xm+i) == (хт+1 — XjXXm+i — _У2).. . (Хот+1 — xm)-pm(xm + i).
Но Xm+i — Xi ф 0, xm+i — х2 ф 0,... ,х«+1 — хт ф 0. Следо-
вательно, />m(xm+i) = 0, т. е. />я(х) делится на х — xm+i.
рт{х) = (х — Хт+1)-Рт+1 (х), Откуда
/(х) = (х — Х1)...(х — хт)-(х — Хт+1)Рт+1(х).’ Итак,
/(х) = (X - Xi). . .(х — хт).. .(х—х„)-рп(х).
Здесь />я(х) некоторый многочлен. Если он отличен от
нуля кольца многочленов, то его степень не ниже нуля и
степень многочлена /(х) == (х — xj.. .(х — х^-рп(х) не ни-
же п. Если же рп(х) есть нуль кольца многочленов, то и
/(х) есть нуль кольца многочленов. Теорема доказана.
Следствие. Если/(х) многочлен степени не выше п
и уравнение /(х) = 0 имеет более п различных корней, то
/(х) есть нуль кольца многочленов.
В самом деле, предположим, что
Xj, х2,^., xN(N>n)
различные корни уравнения/(х) = 0. Так как Степень /(х)
меньше N, то по теореме 2 многочлен / (х) должен быть
нулем кольца многочленов.
Теорема 3. Если значения двух многочленов
/(х) и g(x), степени не выше	совпадают
при более чем п различных значениях х:хх,
х2,.. •,xN(N'^>n), то многочлены'эти идентичны,
т. е. их степени равны ц коэффициенты при
одинаковых степенях х> попарно равны
Доказательство. Положим А(х)—/(х)—-g(x). В'си-
лу условия теоремы это многочлен степени не выше п,
8*	<115
обращающийся в нуль при /V > п различных: значениях х: хь :
х2,..., х^. По следствию из предыдущей теоремы f(x) -*
— g(x) есть нуль кольца многочленов, т. е. многочлены .
f(x) и g(x) идентичны.
Следствие. Из теоремы 3 вытекает, что каждый
- многочлен, степени не выше п:
/(х) = а0 + atx +•..+ апхп .
вполне определяется значениями /(х0),/(хД.. .,/(хя), кото-
рые он принимает при п + 1 различных значениях х. В са-
мом деле,- если существует еще один многочлен g (х) ==60-|-
Ь^хт степени не выше д, принимающий те же зна-
чения: ^(х0) =/(х0),...,я(хя) = /(х„),'то по предыдущей
теореме он должен быть идентичен с/(х): т = п, а0 — bt,
/
4. Интерполяционная формула Лагранжа. Остаток от
деления многочлена на многочлен вида с (х—х0)(х—хД..
...(х —хл)
Поставим задачу разыскания‘многочлена /(х) степени не
выше п, по его значениям, заданным при n-j- 1 различных
значениях х:х0, Xxlt...,хп.
Пусть сначала эти значения будут:
/oW =	= О"
' Из того, что наш многочлен обращается в нуль при х =
=Xi, х2,... ,хя, вытекает, согласно с рассуждениями теоремы 1,
4TQ
/о(•*) = (X — Х2). . .(X — Х„) рп(х).
Но степень f (х) не выше п, поэтому и степень р„(х)
не может быть выше нулевой, т. е. ря(х) = С, при всех
значениях х. Чтобы найти число С, положим х = х0. Будем
иметы
f (х0) — А& — (х0 — xt).. .(х0 — хя)С, откуда (	'
с= ———у и ЛС*)=
X Х0) •• • (Xq , , Jfa)
. _д	(* — Х1)(х — х8)--.(•* — -*»)	.. п
0(ло — 'Х1)(Хо —	— хп) '	’
По следствию из Теоремы 3 не существует другого мно-
гочлена степени не выше п, который бы удовлетворял тем ,
же условиям. Совершенно так же мы найдем, что многочлен ‘‘
степени не выше п, принимающий значение Aj, при х = х,
й обращающийся в нуль, при остальных значениях х (из чи-
сла значений х0, х^...^,,), может быть представлен в виде:
• <4-2> ,
(j^= 1, 2, 3,...,n).	 	'
ив	z	-	;
Теперь уже легко показать, что Для совершенно произ-
вольных чисел Ло,. А1г А2,...,А„ существует многочлен
f(x) степени не выше п, принимающий значения Ло, Аи...,
Ап, при х = х0, х = xlt... ,х = х„, соответственно.
• Таким многочленом является
^)=/0(х)+...+Л(х) + ...+/п(х)=	’ ,
_	(Х-Х])...(Х — Х„)
—	° (х0 —Xj).. -(Хо~хп) *•••“'	.	;
	. (х —ха)...(х —Xj_,)(x —Ху+1)...(х —хп)
'А(х} — Хо). • • .(Ху — Ху_1)(ху — Ху+1).. .(х — Хп) ' :
/ >
(хл-х0)...(хл-х^) •	-
Действительно, полагая х = х}-, будем иметь:
f(x}) = /о (Xj) + • • • +/у (*/) + • • • +/(*„)•
Но все слагаемые в правой части равны нулю, кроме
одного /у(Ху), равного А}. Следовательно: /(х}) — А}.
Итак, требуемое свойство выполняется. Так' как каждый
из многочленов /а(х), 	(х) имеет, степень не выше п
(а именно, степень п, если соответствующее число А} £ 0 или
же равен тождественно нулю, если Лу 0), то и сумма
этих многочленов /(х) имеет степень не выше п.
Мы знаем из предыдущего пункта, что другого много-
члена степени не выше п, принимающего те же значения,
при заданных п,- не существует.
Формула (4.3), решающая задачу отыскания такого мно-
гочлена, называется интерполяционной формулой Лагран-
жа. Очевидно, что она позволяет Доходить значения много-
члена не только для х, заключающегося между заданными
числами jc0, хъ...,хя (интерполяция), но и для х, лежащий
вне интервала, заключающего эти числа (экстраполяция).
Отметим ее частные случаи:
1) п = 1
f(x) = л0
J ' 7	° Хр — Х1 1	1 Х1 — х0
Эта формула дает линейную функцию, принимающую
значения Ао и Лъ при х = х0 и х = х,.
2) п = 2
f(x\.= A (x~xi)(x~x2)	। д (х —х0)(х—х2)
' '	0 (хо — Х1) (х0 — Хг) '	1 (Xi —x0)(xj—Хг)
_1_Д • (х-х0)(х —xt)
2 (х2 — Хр) (Х2 — Х1) •
117
Эта формула определяет многочлен степени не выше
второй, (квадратный трехчлен), принимающий значения А»,
. и А4, при х = х0, х — хг и х = х2.
В качестве одного из применений формулы Лагранжа
займемся решением задачи, которую в частном случае раз-
решает теорема Безу. Речь будет итти об отыскании остат-
ка г(х), при делении многочлена /(х) на многочлен zi-f-1
степени
£ 0*0 в *о)	^1)’ ••(•*'	(*о ф Xi ф хг ф.. .^Хд),
причем Остаток этот нужно суметь найти, не выполняя
фактически операции деления. Очевидно, что при п = 0 и
с= 1 g(x) = х — х0, и тогда ответ на задачу даётся теоре-
' мой Безу: г (х) = /(х0). Обратимся к общему случаю. Пусть
/(•*)=£ (*)•/’(*) +г (х),
где степень остатка г(х) меньше степени g(x), т. е. не пре-
вышает п. Мы могли бы построить г(х) по интерполяцион-
ной формуле Лагранжа, если бы знали значения г(х), при
п -|- 1 различных значениях х. Но если соотношение йежду
f(x), S\x)> р(х) и г(х) записать подробнее в виде:
/(х) = с (х - хй) (х - Xi)... (х - х„) -р (х) + г (х),
то станет ясным, что при х, равном любому из п -f-1 раз-
личных чисел х0, xt,...,х„, будем иметь:
/(*/) = г(ху) (j =0, 1, 2,.. .,«),
т. е. значения r(xe), г(хх),.. .,г(х„) следует считать известны-
ми: они совпадают с соответствующими значениями /(х).
Следовательно, г(х) можно записать по формуле Лагранжа,
где числа Ао, Ам,.. .,А„ равны:/(х0), /(хД.. -,/(хл). Получим:
_ f(x \ (Х — Х})...(х — Хп) I 4
г(Х) 7(хо) (^_Xi)...(xe-xn) +•••+
 ,, х (х — Х1)...(Х — Ху^Нх — x7+i)...(x — х„)
"1_7 VеV (Xj — Xi)... (Xj - Ху_!) (Xj — ху+1)... (X — хп)
-t-JW(x„-x0)...(x„-x^1) •
Это и есть ответ на поставленную задачу, обобщающий
теорему Безу. Заметим, что, хотя г(х) и /(х) принимают
одни и те же значения при х = х0,... ,х = х„, они вообще
различны. Действительно, в общем случае степень делимого
/(х) не ниже степени делителя g(x), т. е. не ниже п -j-1,
тогда как степень г(х) не выше п. В частном же случае
степень /(х) может быть также не выше п\ тогда, в силу
теоремы-3, многочлен /(х) должен совпадать с г(х). Так и
должно быть, ибо в этом случае частное р(х) есть тожде-
ственный нулы
/(•«) = g(x)-S) + г(х) = г(х).
118


Поясним полученный результат примерами:
Пример!. Пусть f(x) = х4+ 1 Hg(x) == (х — 2)(х—3) =
==х8 — 5х + 6. Здесь n = 1, хв = 2, хх = 3 и /(х0) = /(2)=
= 17,/(х1) = /(3) = 82.
Поэтому
г(х) = 17-у£^ + 82- 4^=65х— ИЗ.
Пример 2. Пусть /(х)=х8—6х® Ц-Их — 6 и g(x)=
= (х — 2)(х — 3). Здесь п = 1, /(х0) = /(2) = 0 и /(хх) =
—/(3) =0- Поэтому и г(х) =0 2Z-3 + 0= О- В дан-
ном случае деление выполняется без остатка.
Пример 3. /(х) = х100 + х50 — 2 и g(x)==x*-]-xa +
-{-х-}-1. Здесь фактическое выполнение деления приводит
к чрезвычайно громоздким выкладкам. Достаточно заметить,
что частное р(х) ectb многочлен девяносто седьмой степе-
ни! Чтобы найти остаток, не производя деления, разлагаем
делитель g(x) на множители. Получаем: •
g(x) = (х2 + 1)-(х +1) = (х + 1)(х — 0 (х + 0.
Итак, в данном случае, п =± 2 и xe = —1, xt = i, x2 = — i.
Имеем /(х0> = (—1)1Оо+(—I)60 — 2 = 0, /(0 = i100 + i50 —
— 2 = 1 — 1 - 2 = - 2, /(-0 = (— 0100 + (— 060 — 2 =
= —2.
Поэтому
(*~0 (*+0 _ 9 W) W) _9 (*+П (-*~0 _
А	(-!_/) (-1+/)	(/+i).(Z+Z)	(—Z-|-l) (-/-Z)
_	(х+1) (Х4-0 . (хЦ-1) (х-0 _
~ i (н-1) "f I (1-0 ~
Во всех приведенных примерах мы использовали фор-
мулу Лагранжа для того, чтобы избежать выполнения опе-
раций деления. Однако возможны случаи, когда проще фак-
тически выполнить деление, чем прибегать к формуле Ла-
гранжа.
В таких случаях мы можем использовать деление для
того, чтобы избежать вычислений по формуле Лагранжа.
При этом мы опираемся на установленный выше результат,
который можно формулировать следующим образом: оста-
ток г (х) при делении многочлена/(х) на многочлен g(x) =
==с(х—хо).. .(х—хп) есть многочлен степени не выше», зна-
чения которого совпадают со значениями f(x), при х = х0,
X=±Xj,..., х — хп.
Отсюда следует, что для того чтобы найти многочлен
г(х) степени не выше п, который совпадает с данным много-
членом / (х), при х =ха, х = Хр... ,х= хп, можно, не прибегая
ни к вычислению значений /(х0), /(хх),... ,/(хя), ни к фор-
муле Лагранжа, разделить /(х) на g(x) = (x—хй)...(х—х^-,
119
остаток, полученный при делении, и даст искомый много-
член г(х).
Пример. Найти многочлен г(х) степени не выше чет-
вертой, значения которого совпадают со значениями f(x)=
= х®, при х0-= 1, Xi= — 1, х2 = г и х3 =— I.
Для решения задачи составляем многочлен:
g(x)=(x — 1) (х + 1) (х—- I) (х+ 0 = (х«—1) (х»+ 1) = X* —1.
По предыдущему, г(х) есть остаток от деления х« на
х4—4. Выполняя деление, получаем:
х« |х*-1
'	хI 2
х*
Отсюда г(х)=х2. Для сравнения рекомендуем читателю i
решить ту же задачу при помощи интерполяционной фор-
мулы Лагранжа.
Укажем еще одно приложение интерполяционной форму-
лы Лагранжа к доказательству предложения, которое мы
выше получили иным путем (гл. 1, п. 10).
Теорема Лагранжа. Пусть р£> 2 нечетное простое число
и Р (х) = атхт-\-а m_iXOT-/ 4-j- ай (где т<^р — 1) многочлен
с целыми коэффициентами. Если среди р—1 различных це-
р—1	р—3	- -	р—I
лых чисел — -^2—,—Ар-, ..ч , —1,1 .существуют
ти-j-l различных чисел хъ х2, ..., хт, хт^\ таких, что зна-
чения многочленаТухД Р(ха),.. .,P(xmJ, P(xm+i) делятся на
р, то все коэффициенты Р(х) делятся на р.
Для доказательства представим Р(х) по формуле Ла-
гранжа:
р/ v\  Pt V Ч (Х Х^' *'(х —Хт-Ь-1) I .
Р(Х) - Р(хх) (T1-x4)...(x1-xm+l) +
I ГЧу\ (x~xi> (х—х3) ... (х—xm-ц)	.	.
•’	' 2' (х2—хх) (х2—х3)... (ха—х/п4-1) “г ’ • • “г
I Р1 .4	у (х—Xi) (х— г3)... (х - хт)
т	Xi)(Xm+l—X2)...(Xm+1— Хт) ’
Рассмотрим какое-либо из слагаемых правой части. Для
определенности возьмем первое: Р(хх)	она
представляет многочлен степени т с рациональными коэф-
фициентами. Для него коэффициент при каждой, степени х
имеет вид дроби, числйтель которой делится на р (так
как содержит множителем целое число Р(хх), делящееся
на р), тогда как знаменатель (хх — х2)... (хх — х	) не мо-
жет .делиться на р', так как представляет произведение целых
чисел, каждое из которых, по абсолютной величине, мень-
ше р (например, | хх— х2| < |хх| +1 х21	= Р — 1 < р
12»

и т. д.). Рассматривая коэффициенты, при определенной сте-
иени хк в каждом из слагаемых правой части равенства (4.5>
и складывая их, получим сумму дробей, числители кото-
рых все делятся на р, а знаменатели не делятся-на р.
Приводя эти дроби к общему знаменателю, являюще-
муся наименьшим общим кратным их знаменателей, запи-
шем результат в виде одной дроби, числитель которой де-
лится на р, тогда как знаменатели не делятся на р.
Представим ее в виде , где А и В целые числа
(В не делится на р); и заметим, .что она должна совпадать с
целым числом ай,— коэффициентом при хь в многочлене Р(х).
Итак, ак = или B-ak=A'p. Так как В не делится на р, то
отсюда следует, что ak делится на р. Мы нашли таким
образом, что любой из коэффициентов аь многочлена Р (х)
должен делиться на р. Этим и заканчивается доказатель-
ство теоремы.
5.	Производные и формула Тейлора
Мы уже указывали,что с точки зрения анализа каждый
многочлен f(x) есть некоторая функция х, форма йли вид
которой представляется чем-то внешним и даже случайным.
Среди бесконечного множества различных форм, в которых
можно представить один и тот же многочлен /(х) = аяхп4~
ап~-1хп~х -----1~ао, некоторые специальные формы имеют
особо важное значение и’Применяются чаще других. К такого
рода формам или способам представления многочленов от-
носится и формула Лагранжа, которую мы перепишем здесь
для многочлена /(х) степени не выше п в' виде:
/(х)=/(Л>	-+•••+ <
A_f(x\ (х —х0)-.-(х-4^) —	—X*) '|	i
I •£( у \ (х Хр) (Х Xj) ..  (х Хп—j)	" /К'
{ п) (хл-х0)(хв-х1>...(хя-хя-1) •
Одним из важнейших преобразований вида многочлена
Является преобразование^ связанное со сдвигом начала
отсчета аргумента. Пусть х какое-либо действительное чис-
ло, вообще отличное от нуля. Желая выделить другое дей-
ствительное число хь мы можем принять за начало отсчета
не нуль, а именно данное число х и . тогда представить хх
в виде: хх = х-|-(х4 — х) = х-|-h.
Очевидно, чт;о А обращается в нуль тогда и только тог-
да, когда х1 совпадает с х-, оно будет положительным
или отрицательным в зависимости от того, будет ли хг
больше или меньше,'чем х; оно мало или велико по абсо-
121
&
лютной величине, в зависимости от того, близко лихх к х,
или далеко от него. Разумеется, h есть не что иное, как
разность, между хг и х, чем и объясняются, перечисленные
свойства h. В той роли, которую А будет играть в дальней-
шем, а именно, в качестве разности двух значений аргу-
мента xt и х, одно из которых х фиксировано, А=хх—х
называется обычно приращением х. Оно заступает ме-
сто аргумента в тех случаях, когда желательно сравни-
вать значения функции, соответствующие значениям ар-
гумента хх, вообще отличным от х, со значением /(х). В част-
ном случае, когда /(х) = х*(А>-1), соответствующее пре-
образование вида функции выполняется с помощью бинома
Ньютона. Именно:
/(хх)= %*= (х4~ А)*=х* -J-# Ах*-1 +	А*х*“3 -|--ЬА*;
заменяя здесь биноминальные коэффициенты их обычными
обознач ениями:
/
и полагая, кроме того, С°к=С*-=\, получаем:
(х-|-Л)*=С^4 С1 Ах*-1 -]- C^A*x*-8+.. .-J-C*-^*-^ 4- C'h*.
Обратимся теперь к общему случаю многочлена:
Дх) = алхп.4	+... -J- fl^x+а0.
Будем иметь:
/(хх) — /<х+А) = ап (х 4- А)"+a„_x (х 4- А)’-14" • • • +
4- ах (х4-А) 4- а0 = ап (С°х« 4- С' hx»~' 4- Су^х^ ’4----4-
4-СГ’А«-1х4С»А»)4-а^х(С«_^хя-14С^1 Ах”-24~ • • • 4“
4- ОДА»-2х4 ОДА»-1)4-... 4-fli (С? х4-С}А)4-а0 с®
или, группируя члены, содержащие одинаковые степени А
и располагая их ло возрастающим степеням А:
/(х4-Л) = (апС«хл4-ая_пСо_1х»-14 • • • +^х + а^) 4
4(«Л	c;_tx-24-. • .4-aiC})A4-
4-(аяС^х»-24-а^1С^_1хл-’4- • • • 4-а,С2)А»4- • • • 4“
(5-2)
4-(аяС2-1х4-ая_1 С”-1) А»-1 4-^А».
Закон составления коэффициентов при различных сте-
пенях А бросается в глаза. Очевидно, что коэффициентом
при А*(А = 0,1,2.. .,л) является многочлен.
aeC*x»-*4-a„_i С^ X”-*-14-... 4а%с*-	(5-3)
122
При k = 0 имеем: С°п = C®_i= • • • == С°=1, и, следовательно,
соответствующий многочлен есть:
а„хп-j~ а^х”—1 + .. .+а1х+<г0 =/(х).
При k = 1 имеем
С\ = п,С'=п— 1, ••,6 = 1,
откуда получаем многочлен:
ла**”-’+(л — 1) an-ix"-2 ---Н
Сравнивая его с исходным многочленом /(х), приходим к
простому мнемоническому правилу: чтобы получить
коэффициент при h, в разложении f(x-\-h) по степеням h,
нужно каждый из коэффициентов f(x) умножить на число,
равное показателю степени х в соответствующем члене, и
все показатели степеней х понизить на единицу. Получа-
емый таким образом из данной функции /(х) многочлен на-
зывается производной. (подразумевается — производной
функцией) от /(х) и обозначается через f (х). Итак, '•
/(х) = папх,п~1-}-(п — l)an_i Xя-2 4--(-Яр (5-4)
Обратимся к следующему коэффициенту в разложении
/(x-j-ft) —к коэффициенту при Л*. Так как	(
Л? «(« —1) л2 (Л—1)(л— 2)	г»2_ 3-2 ^,2	2-1
Ся—	J.2 ’ Ся-1 1-2 . Сз 1-2’ С2“1.2’
то коэффициент этот может быть записан в виде:	\
~[п(п — \)a„xa~2 -f- (п — 1) (п — 2)an-i xn~34-... 4-
—|- 3 • 2га3х 4” 2-1 га2].
Если читатель Присмотрится к многочлену, находящему-
ся в скобках, и сравнит его с f(x), то он обнаружит, что
первый может быть получен из f'(x) по тому же правилу,
по которому f'(x) получается из /(х), а именно путем ум-
ножения каждого коэффициента /'(х) на соответствующий
показатель степени при х и понижения всех показателей
степени на единицу. Отсюда следует, что этот многочлен
есть производная от f'(x):
п(п — 1) апх"~2 -4-(га — 1) (га — 2)йп-гх”-3 4~ • • • 4“
4-3.2-а3х’4-2.1а2 = (/(х))'.
Желая отметить, что ((/(х))' получается" из исходного
многочлена /(х) путем двукратного применения описанного
выше процесса взятия производной, говорят, что (f'(x))'
есть вторая производная от /(х) (или производная второго
порядка) и пишут: (f (x))' — f"(x).
V
Итак^ «коэффициент при Л8 в разложении/(х-]-й) по сте-
пеням Л- есть
Читатель может, таким же образом убедиться, что коэф-
фициент при Л8 в той же разложении имеет вид:
тк(Г«у,
где через (/"(х))' обозначена производная' от /"(х). Так как
она получается из f(x) путе^ троекратного применения
процесса взятия производной, то ее называют третьей
производной от /(х) и обозначают через f"'(x). Итак, коэф-
фициент при Л8 есть:
тк-Г»
Вместо того, чтобы проверять это специальное утверж-
дение, мы применим способ математической индукции и по-
кажем, что если коэффициент при hk в разложении f(x-\- h)
имеет вид:
' <5'5>
где fw(x) есть производная порядка k от /(х), т. е. по-
лучается из /(х) путем 6-кратного применения процесса
взятия производной, то коэффициент при Лй+* имеет вид:
1-2... 6 (6 4-1)
и, следовательно, может быть лредставлен в виде:
,	та^Ь+Т)/(,+" «
где /<*+” (х) производная порядка А —|— 1 от /(х), т. е. полу-
чается из/(х) путем k -|-1 - кратного применения процес-”
са взятия производной.
В самом деле, коэффициент при hk есть (смотрите фор-
мулу (5.3)):	'
ая Сп Xя-*	С£_1 Xя-*-1 + .. . -|- ак Спк=
_	я(п-1)...(n-64-l) п_к .
— «л	А!	х -f
+ + ... + а, 1^1 =
- -jr [«V(“ "	• • (» - к + 1)х"-‘ +
+ ал_1 (л—1)...(« —А)хя-*-1+...	..1},	(5.6}
124
а коэффициент при й*+’ —
а„	+a„_t Cjffi х'Н^ + ... + СЦ? = -
д (fe-1-i)|ta"n(”— • •• (n-^+D(« —A)xn-fe-’ +
4-ая_1 (п — 1) (л— 2)... (га — k — l)xn~ft-2-|-
ч	+...4-аА+1.(Л4-1)А!...1].	(5.7)
Очевидно, что многочлен в квадратных скобках (5.7)
представляет производную от многочлена, содержащегося
в квадратных скобках формулы (5.6). Но по сделанному
нами предположению выражение (5.6) равно
/<*> (*), т. е. апп (п - 1).. .(га —га-}- l)jx»-* Н-.-- +
-Н^Л...1=/<*)(х).
Следовательно:	•
аяп(п — 1). .\(га—&) х"-*-1-]-...	(Л+1)Л.. .1 =
= (/W(x))'=/^+D(x).
Додставляя найденные нами выражения для коэффициен-.
тов при hk(k — 0, 1, 2,...) в правую часть (5.2), окрнча-
тельно получаем формулу:
f(x-M)=/(x) +	+фА«+ • • •+
'+~2^rLAft+- • • + -^п~ hn- (М)
Формула эта называется формулой Тейлора (для много-
члена).	ч
Пусть, например, /(х) = х6 — Зх + 7. ,
Применяя правило вычисления производных, получаем:
/'(х) = бх4 - 3, f" (х)=5 -4-х8 = 20х8, /'"(х) = 20-3-х»=60х»,
/iv (х) = 60-2-х= 120х, /v(x)=120.
Следовательно, по формуле Тейлора:
/(х'+А) = (х+Л)*-3 (х+Л)+.7 =/(х h +
+ Аа+А3 + - Z-V4!X) А4+~ 3**Н) +
4- (5х4 — 3) h + 10х8 • Л»4- 10х*-й8 + 5хЛ4 + А6.
Обычно формулой Тейлора пользуются, фиксировав 'оп-
ределенное значение х — а. Тогда эта формула приобре-
тает вид:,
7(«+Л) =/(а)+Ягh+фл«+.. .+-^2. Л», '
125
или, меняя обозначения и полагая a-j-A = x и, следова-
тельно, h = х — at
f(x) =/(а)+-^г- (х - а) +	(х - а)®+.. • +
+ /^_(х_а)я> (59>
В нашем примере (f(x)—x5—Зх-{-7) получаем:
f(x) = (а8 — За 4-7) +(5а* — 3) (х—а) + 10а8(х - а)1 4-
+ 10а2 (х — а)8 -]- 5а (х—а)4 4- (х—а)8.
В частности, при а=1:
/(х)=54-2(х—1)4-10(х-1)24-10(х-1)84-
4-5(х-1)‘+(х-1)8
и т. п.
Формула Тейлора (5.9) позволяет представить много-
член /(х), для любого а, в виде:
/(х) = Ло + Лх(х - а)4-Л2(х—а)8-}-... + Л„(х - а)п, (5.10)
т. е. расположить многочлен по степеням х — а.
При этом коэффициенты Ло, Лх, Л2).. .,Л„ выражаются через
значения самой функции и ее производных при х = at
Л0=т	a, = J^L.
Мы покажем сейчас, что те же коэффициенты можно
получить, не прибегая к отысканию производных: f'(x),...,
f(n\x). Для этого перепишем формулу
/(х)=Ло + Лх (х — а) + Л2(х — а)8 4-.. -4- Л„(х—а)”
в виде:
/(х)=(х — а) [Лх4- Л2(х — а) 4- ... 4- Л„(х - а)»-’] 4- Ло.
Отсюда видно, что Ло есть остаток, от деления /(х) на
(х—а) и, следовательно, (по теореме Безу или непосред-
ственно из последнего равенства): Л0=/(а).
Многочлен Лх 4- Л2 (х—а) 4- Л„ (х — а)"-1 = /х (х)
является частным от деления/(х) на х—а. Записывая его
в виде:
/х (х) = (х - а) [Л2 4- Л8 (х — а) 4-... 4- Ап (х — а)”-2] 4- Лх,
заключаем, что коэффициент Лх есть остаток от деления
/Х(х) на (х — а), т. е. Л1=/Х(а), а многочлен Л24-Л8(х—
— a)-V-•-4~Л„(х —а)я"“2=/2(х) является частным от деле-
ния/Х(х) на х — а. Записывая /2(х) в виде:
/8 (х) = (х - а) [Л8 4- Л4 (х — а) 4-...4- Ап (х - а)'”-2] 4- Л2,
заключаем, что Л2 есть остаток от деления/2(х) на (х — а),
т. е. Л2=/2(а) и Л84-Л<(х-а)4-...4-Ля(х-а)»-2 —
=/s(xj— частное от деления /а(х) на х — а. Продолжая
эти рассуждения, приходим к выводу, что формула Тейлора
(5.10) может быть представлена в виде:
/(*) =/(«)+А(«)(х — а)+...+/»(«)(х — аУ*> (5.П)
где /(а), А (а), /2 (а),	(а) значения многочленов/(х),
/Лх)>- • -,/n(x) при х — а. Многочлены эти получают-
ся один за другим, причем каждый последующий есть част-
ное от деления предыдущего многочлена на х—а. Значе-
ния многочленов при х = а определяются, так сказать, ав-
томатически: по теореме Безу fK+i (а) есть остаток от деле-
ния fk(x) на х—а.
Вычисление коэффициентов формулы Тейлора, в конеч-
ном счете, требует приблизительно одинаковой затраты
труда как в том случае, когда мы пользуемся производ-
ными, так и в том случае, когда мы прибегаем к повтор-
ному делению на х — а. Нужно иметь в виду, однако, что,
отыскав, один раз производные f (х), /" (х),.. .,/<п)(х) (что,
не составляет никаких затруднений для вычисления), мы
можем потом определять через значения найденных мно-
гочленов коэффициенты формулы Тейлора при любых а.
Если 5ке мы прибегаем ' к делению, то многочлены А (х),
/в (х),...,/я(х), соответствующие одному какому-нибудь
значению а, будут не совпадать с многочленами, получае-
мыми для какого-нибудь другого значения а. Иными сло-
вами, сами по себе многочлены А (х), /2 (х),..., fn (х), оты-
скиваемые друг за другом посредством деления на х — а
будут зависеть от а. Поясним способ деления на примере.
Пусть /(х)=х5 -Зх + 7 и а=2. Тогда, деля /(х) на х—2,
нолучаем:
/(х) = (х - 2) (х4 4- 2х» 4-4x2 4- 8х 4- 13) 4~ 33,
откуда
А (х) = х* + 2х3 4~ 4х« 4- 8х 4- 13 и Да — f(2) = 33.
Продолжая деление, т. е. деля многочлен Л(х) на х—.2,
полученный в частном многочлен /2 (х) снова на х — 2^н
т. д., получаем последовательно:
fi (*) = (х — 2) (х8 4~ 4х» 4- 12х 4- 32) 4“ 77,
fa (х) = х8 Н- 4х* 4й 12х 4- 32,
Л=А(2)=77;
ft (х) = (х — 2) (х« 4- 6Х 4- 24) 4- 80,	/з(х) = х2 4~ 6х 4- 24,
Л=Л(2)=80;
А (х) = (х—2) (х 4- 8) 4-40, Д (х) = х 4- 8, Д = А (2)=40;
Л(х) = (л-2)14-10> Д(х)=1, Д (2) = 10;
127
наконец, Аъ = Д(1) = 1 (так как /5(х)	1, при любом зна-
чении х). Итак,
/(х) = ЛФ +4 (х - 2) + Л2 (х - 2)‘4- Л3(х - 2)* 4-
4- Д4 (х — 2)1 + Л5 (х — 2)5 = 33 4- 77 (х - 2) 4-
4-80(х — 2)2 4- 40 (х — 2)3 4- 10(х - 2)* 4- (х — 2)6.
Если мы захотим разложить ту же функцию по степе-
ням х—1 (а=1), то нам придется -повторить весь процесс
заново; многочлены (х), г2 (х),..., получающиеся теперь
в качестве частных, будут отличаться от только что най-
денных многочленов /х(х), /2(х),..' . В самом деле, деля
f (х) на х — 1, получаем: /(х) = (х — 1)(х*+х34~х24-х —
, — 2)	5, откуда частное
Р.1 (х) = х4 4" 4~ 4~ х — 2 и Ло — f (1) = 5.
Продолжая деление, т. е. деля многочлен Fx(x) на
, х — 1, полученный в частном многочлен F2 (х) — снова на
х — 1 и т. д., получаем последовательно:
Fx (х)=(х — 1) (х3 4~ 2х> 4- Зх 4- 4) 4-2,
F2(x) = x84-2x»4-3x4-4, Л1'= Fx(l) = 2; 1
F?(x) = (х — 1)(х24-Зх 4-6)4-10,	-
’ F3(x) = х«4-3х4-6, Лг = Л(1) = 10;
F3 (х) — (х — 1) (х 4-4)4“ Ю, F4(x) = x-|-4,
Лз = Г8(1) = 10;
' F4 (х) = (х — 1)1 4-5, Fe(x) =1, Л4=^(1)-5 и, нако-
нец, Л5 = F6 (1) = 1,
_ Итак,
/(х) = Ло4-Л'1(х — 1)4-Л2(х—1)«4-Лз(х —I)3 4-
4-Л;(х-1)» + Лд(х - 1)6 = 54-2(х—1)4-10(х-1)*-|-
4-10 (х — I)3 4-5(х — 1)* 4г (х - 1 )5.
На практике разложение многочлена ,по степеням h =
= х — а, как правило, удобнее всего получать, заменяя х
в выражении многочлена через a-\-h, возвышая (а-\-К) в
различные степени с помощью бинома Ньютона и, наконец,
; приводя подобные члены (т. е. члены, содержащие одну
и ту же степень А). Такой способ сводится, в" сущности,
к тому, что мы в каждом отдельном случае повторяем
шаг за шагом все выкладки, приведшие нас к формуле
Тейлора.
Поясним сказанное примером. Возьмем снова многочлен
/(х) = х5 —Зх4~7 и расположим его по степеням А = х— 2.
128
Заменяя х через 2-f-A, будем иметь:
/(х) = (2 + Л)5 — 3 (2 4-Л) + 7 = 2S + 5-2‘.Л + 10-2М»-Ь
10-2»-А8 + 5-2-А4 + А5 — 3-2 — 3-А + 7 = 32 + 80А +
+ 80А« + 40А8 + ЮЛ4 + А5 - 6,- ЗА + 7 = 33 + 77А +
4-80А« + 40А’8+ 10А4 + А5 = 33 4~ 77 (х —2) 4~ 80 (х - 2)84~
+ 40 (х - 2)8 4- 10 (х - 2)4 4- (х - 2)6.
Очевидно, что здесь мы пришли к цели кратчайшим
путем.
6. Остаток от деления многочлена на многочлен
вида (х—а)*. Кратные нули многочлена
Остановимся на некоторых применениях формулы
Тейлора.
Пусть f (х) = а0 4“ 4~’ • •+ апхП многочлен степени
п (ая Ф 0, п > 1) и а какое-либо число. Тогда, по форму-
ле Тейлора (5.9), будем иметь:
/(^)=/(«)4-ZTr- (x-a)4-...4-Z^rL (х- а)».
Фиксируя произвольное натуральное число k < п, пере-
пишем последнюю формулу в виде:
/«=[/ w+- «>*-”]+
+ [(х _ ау+... +	(х _ау] =
=<*--у [4^+••+<--«>-*]+
+ [/(o) + J4r (*-»)+---+44?<x~ а)4-
Отсюда следует, что при делении многочлена /(х) на
(х—а)6 в остатке получается многочлен
.	/(а)+ХИ.(х_а)+...+ 7^(х_^,
Этот результат представляет обобщение теоремы Безу
на случай, когда делитель имеет вид (х<—а)*.
В частном случае, при А=1, мы получаем в остатке
только/(а)—результат, известный из теоремы Безу.
Для k=2 будем иметь в остатке:
/(л)+/(л)(х—а),
для А = 3
/(а) -|-/'(а) (х -а) 4-	(х - а)«
и т. д.
9 А. И. Маркушевич	129
Так, напри'мер, при делении /(х) = х’ — Зх+7 соответ-; л
ственнона (х — 2), (х — 2)2 и (х—2)3, получаем остатки:
/?1=/(2) = 33, .	’ . , ’		,
Rt =/(2) +/'(2) (х - 2) = 33 + 77 (х — 2) = 77 х —121,
R3 =/(2)+/1 (2) (х-2)+^- (х — 2)2 = 33+77 (х - 2) + 1	‘
+ 80 (х - 2)2 « 80 х’— 243 х +199,
что легко проверить, выполняя деление непосредственно.
Возвращаясь к общему случай), замечаем, что /Отделит-
ся, на х—а без остатка тогда и только тогда, когда
у7 (а)в 0 (это следует и из теоремы Безу).
Если мы предположим, что /(а)=0, то отсюда будет,
вытекать, чтб//(х) делится на (х — а) без остатка, а при
делении на- (х—а)1 ,дает в'остатке /(а)+/'(а)(х—а)==.
=/'(а)(х—а). Для того чтобы и этот остаток был тожде-
ственным нулем, достаточно,--чтобы/'(а)=(Х Но последнее
условие также необходимо, ибо
/'(а)-(х —а)=»/'(а)-х—a-f(ay,
последний Многочлен; не- может быть нулем кольца >много-
членов, если коэффициент при х, равный f'(a), отличен, от
нуля.	’ ' .	.	'	' ,
Итак, /(х) делится на (х — а)2 без остатка тогда и только
тогда, когда/(а)=0 и/'(а) —0.
Допуская, что эти услония выполнены, будем делить •
/(х) на (х — а)8. 'Получим цо предыдущему в остатке:
/(а)+/',(а). (х-а)+^- (ха)2_ А (х-а/ =
*	'	' =Т ^-/"(а/х+^ф-.а2.
Очевидно, что этот последний многочлен тождественно
равен нулю тогда и только тогда, когда
ZW =0, т. е. f(a) = 0.
'.zv Отсюда следует, что /(х) делится на (х—а)8 без остатка
z тогда и, только тогда, когда f(a) = 0, f (а) = 0 и/"(«)=0.
' Общий результат формулируется следующим образом:
, для того чтобы многочлен /(х) делился на
(x+a)*(k—натуральное число), необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялись (условия: /(а)—0,
/л(а)=0,...,
В самом деле, если эти условия выполнены, то остаток
при делении /(х) на (х — а)* есть	..
Л«)+/(«)(х-а)+...+-^1 (х-в)»->0, л,
130>	,	,	>
Обратно, если указанный остаток есть нуль кольца
многочленов, то после раскрытия скобок и приведения
подобных мы должны обнаружить, что все коэффициенты
его равны, нулю. Но член со старшей степецые х; х*-*1
может получиться только из последнего слагаемого
Л* _ jj-2- (х — а) где он имеет коэффициентом
у(Лг-1)/дх
Отсюда -Ат—nt* “О, т. е. (а) = 0. Поэтому член ср
степенью х*~2 может входить только в предпоследнее
слагаемое	(х—а)*—2 и иритом с коэффициентом
Отсюда	= т. е. /<*-*> (а)=0.
Продолжая это рассуждение, убеждаемся, что если
остаток /(a) +f (а) (х—а) -]----рЛ (* — «) *
есть нуль кольца многочленов, то 1)(а)=/(*~2)(а) =
= ••’=/(«) =0.	, . :	.	.
Мы дадим теперь следующее оцределенре: число ;а
называется, нулем многочлена /(х) (или корнем
алгебраического уравнения f(x) — О), если f(a) = 0.. Если
а есть нуль/(х), то по предыдущему/(х) делится нах —а
без остатка. Обратно, если /(.х) делится на х —а без; остат-,
ка, то а есть,нуль /(х). Поэтому предыдущее определение
можно формулировать и тёк: число а называется
нулем многочлена/(х), если /(х) делится на х—я
без остатка.
' Мы будем различать нули, многочлена/(х) в зависимости
от того, на какую наивысшую степень х — а делится Дх)
без остатка. Если/(х) делится на (х—а), но не делится'
без остатка на (х—а)2, то а называется простым или одно-
кратным нулем. По  предыдущему а будет простым нулем
тогда й только тогда, когда/(а) = 0, но /-(а)44О. Если Дх)
делится не только ла (х—а), но и, на (х—а)*, то а назы-
вается кратным, нулем. По предыдущему а буДет,кратным
нулем тогда и только тогда, когда /(а) = 0 и Д(а) = 0.
Каждому кратному нулю приписывается определенный
порядок кратности. Именно,’ если /(х) делитср на (х—а)*,
но не делится (без остатка), на (х —а)*+’, тр говорят, что
а есть нуль порядка^ функции/(х), или нуль 'кратности k. .
По предыдущему а будет 6-кратным нулем тогда и толь-
ко тогда, когда f(a)=0, f{ а) = 0,... ,f <k—’)(а) = 0 (отсюда
- уже следует,- что /(х) делится, без. остатка на (х—а)Ъ) и
/*)(а)^-0 (откуда следует, что остаток при делении/(х) на
(х—«)*+’ не есть нуль кольца многочленов; остаток этот
оапеп —*^g)  fx дУЦ
9*	.	- г	'	131
Условимся приписывать простым нулям f(x) порядок, ,
равный единице. Тогда можно будет сказать, что порядок
нуля а многочлена/(л) совпадает с показателем k степени
при (х —«) в разложении /(х) на линейные множители.
В самом деле, будем опираться на известную теорему,
согласно которой всякий многочлен степени не ниже пер-
вой с действительными или мнимыми коэффициентами
имеет, по крайней мере, один нуль, действительный или
мнимый.
Пусть один из нулей /(х) и kt порядок кратности
этого нуля. Тогда /(х)=(х—ai)Kl/(x), где /j (х), многочлен
степени п — klt который уже не может делиться без остатка
на (х — ах). Следовательно, ах не является нулем (х).
Если п — Ах>-1, то многочлен/Х(х) должен иметь, по край-
ней мере, один нуль а2У^. Обозначая порядок кратно- •,
сти а, через kit получим:
У1(х)=(х-а2)*».У2(х),	;
где степень многочлена /2 (х) есть п — *- kti причем а2
уже не является нулем /2(х). 'Сопоставляя формулы для/(х)
Я ft(•*), ВЫВОДИМ, ЧТО /(х)±=(х — aj)*»-(X — *2)^/2(х).
Если степень многочлена /2(х) не меньше 1, т. е. если
то /2(х) Обладает, по крайней мере, одним
нулем «8(а3^а2, as^aj), кратности Л2. Поэтому
У(х) = (х —	-(х—а2)**-(х — «8)*/2’(х),
где степень /8(х) есть: n — kr—k2— k3. Продолжая Зто
рассуждение, мы после конечного числа шагов т-^п доЛж-
йы прнтти к разложению вида:
/(л) = (х--а1)«Чл:“а,)*’...ч(х-аЯ1)*л./Я1(х),	\
где стбпейь многочлена /т(х), равная п—Ах — k2----Лт=0.
В самом деле, степени многочленов /Х(х), /2(х), /И4-.
равные it — ku п—kt — ki, n^-ki — k* — kv..., каждый раз;
понижаются, по крайней мере, на единицу. Если бы, напри-'
мер.мы не получили многочлена нулевой степени, сделав;
менее п шагов, то на »-ом шаге имели бы: fn—\(x) —
— (х—a„)Knfn (х), где /„(х) ф 0 (так как f„_i (х) f 0), причем,,
степень /в(х)
п — — kt—•••—kn^n—1—I — • • • — 1 ±=Q.
a
Отсюда степень f„(x) равна нулю. Итак, мы можем счи- '
тать, что	причем т^п. Следовательно: ;
/(х) = с(х -	• • • (х — am)«m,
где
®1 ®8» ®1 -f «3» ’ ’ ’ ,	— 1 -f~ ^fn
132
и
п— kx — k2-------km = 0, т. e.	----=
Коэффициент с, очевидно, должен равняться коэффициенту
ап при хп в выражении /(х). Действительно1, перемножая
старшие члены многочленов в правой части равенства, мы
найдем, что старший член произведения есть с-хк‘+к’+”'+Кт =
= с-хп. Окончательно:
/(х) = а„(х - «О»-- - -(х—
Это разложение выявляет все нули многочлена /(«): Oj, 04,
• • •, ат, причем кратностями нулей служат соответственно
числа:	k2,---km. Что полученное нами разложение яв-
ляется единственным, следует уже из результатов главы II
(вспомним, что линейные многочлены всегда являются
простыми элементами в кольце многочленов).
7. Отделение кратных нулей
Перепишем разложение /(х) в следующем виде:
/(х) = ап [(j^— ах)• • • (х - ат)] • [(х- а^.-1 •••(* — ат)
Многочлен Р(х) степени т, выделенный в первой паре
квадратных скобок, имеет одни только простые нули:
ai, а8,...» «т. Зная их, мы будем знать все нули много-
члена /(х), но без учета порядков их кратностей. Много-
член Q(x) степени п — т, выделенный во второй паре
квадратных скобок, имеет своими нулями только кратные
нули /(х) и притом с порядками кратности, пониженными
на единицу. В самом деле, если a.s есть простой нуль /(х),
то ^=1 и, следовательно, (х — aj**-1 = 1, т. е. as це являет-
ся нулем многочлена Q(x) = (x —	• .(х — «S)K'S~1 . . .
(х — Хд)*»—1. Если же as есть кратный нуль /(х), то поря-
док кратности ks~^-2, следовательно, ks—1>1 и о, яв-
ляется нулем многочлена Q(x), с порядком кратности —1,
Очевидно, что Р(х) и Q (х) являются делителями много-
члена /(х). Всякий раз, когда мы найдем такие делители
Р(х) и Q(x) многочлена /(х), что каждый нуль /(х) является
простым нулем Р(х) и каждый кратный нуль /(х) является
нулем кратности на единицу меньшей, чем для многочлена
Q(x) (так что простые нули /(х) не служат нулями Q(x)),
мы будем говорить, что отделили кратные нули
многочлена /(х) (или кратные корни уравнения
/(х) = 0.
Разумеется, если нули заранее известны, то отделение
кратных нулей совершается без всякого труда. Так, если
/(х)=(* + !)« (х —2) (х —4)8,
133
ч
то мы полагаем: Р(х) = (х-|-1) (х—2) (х —4) и Q(x)=
=^(х—|—1) (х — 4)2и отделение закончено.
4 Замечательно, что, для любого многочлена отделение
нулей можно производить,' не зная самих нулей. Чтобы
выяснить, как это делается, докажем сначала следующую
лемму:	'	 . ' 
. Каждый А-кратный нуль многочлена /(х)
является k— 1-кратным нулем его производ-
ной f(x).
В самом деле, пусть а есть k-кратный нуль /(х)(А>-2).
Тогда f(a)=	’)(а) -= 0, а/^(а) /0.
Заметим, что для производной f'(x) имеем соотношения:
	(Г(х)У=Г(х), (f(x)y=(r(x)Y=f"(x),...,
т. е. Производная любого порядка от f'(x) совпадает с про-
изводной от /(х) порядка на единицу более высокого.
В частности числа/"(а),/'"(а),..	f(K\a) представ-
ляют значения производных от /'(х), порядков соответ-
ственно первого, второго,k — 2-го, k — 1-7ГО, при х=а.
Поэтому соотношения
Ла)=0, /"(а) = 0,..., /(?-т»(а) = О, /«fa)#-О
обозначают,' во-первых, что а есть нуль многочлена f'(x)
(ибо /'(а)==0), а, во-вторых, что. порядок,этого нуля,для
, f(x) равен А — 1 (ибо производные от /'(х), до йорядка
k—2 включительно, обращаются в нуль при х = а, а прд-
изводная от/'(х) порядка k—1 отлична от нуля при х='а).
Отсюда и следует справедливость нашего утверждения
для любого кратного нуля /(х) (£:>!). Но это утверждение
верно и для простых, нулей /(х) (k — 1), если его понимать
в том смысле, что ни  один простой нуль /(х) не может
быть нулем f (х). В самом деле, сказать, что а есть про-.
стой нуль/(х), это все равно, что сказать: /(а) = 0,/'(а)^'О,
т. е. а есть такой нуль /(х), который не служит нулем
/'(х). Но как раз это мы и утверждали.
Рассмотрим теперь разложение f (х) на линейные множи-
тели. Если многочлен f (хУ обладал кратными нулями, то, по
доказанному, многочлен /'(х) будет иметь те же нули,( с
кратностями на единицу ниже.
Полагая попрежнему
f (х) = ап (х —	... (х — am)km— апр (х) • Q (х), (7 • 1)
мы можем произведение всех множителей /'(х), соответ-
ствующих кратным нулям /(х), представить в виде:
(х - ах) “1 •.. (х — aj %, -1 = Q (х)
. (множители, соответствующие простым нулям /(х), присут-
ствуют здесь лишь кажущимся образом: показатели степе-
134	4
Ни при них равны 0).Но, кроме того, f (х) может иметь не-
- которые множители, соответствующие нулдм/' (х), отличным
от нулей /(х). Пусть это будут множители:
&	• • • (х (Pi ф • • • ,Pi =£ ат, •• • Р/ ф а1> • • • Ф ат)-
Тогда	. ,	.
1 /'(x)=c'{x-?iy..,.(x-₽z)'/.Q(x),	-(7*2)
где с'.есть коэффициент-при старшей степени х в выраже-
нии f(x) (т. е. c'=n-an).
Сравнивая разложения /(х) и /'(х) (7-1) и (7.2), мы ви-
дим, что Q(x) есть общйй делитель/(х) и/'(х). Покажем/
W Q(x) есть н. о. д. /(х) и f (х). В самом деле, пусть rf(x)
какой-либо общий делитель /(х) и /'(х).' Так как а(х) есть ,
делитель /'(х), то разложение d (х) на простые множители
должно состоять из простых множителей разложения f (х).
<(всех или некоторых). Посереди них не должно быть ни од-
ного множителя вида х х—р2,... х — $t. Действитель-
но, в противном случае, мы* заключили бы, что многочлен
/(х), делящийся на rf(x), делится также й на.х—fy, т. е._ р7-
есть нуль /(х). Но это невозможно, так как p,^ax,
Итак, в разложение Ха(х) могут входить только множи-. -
тели разложения- /'fx), отличные от X—ру(/»1,2,.../))
,т. е. множит,ели из Q(x), откуда, следует, что а(х) есть де-
литель Q (х). Мы нашли таким образом, что каждый общий
делитель /(х) nf(x) есть делитель Q(x), и так как много-
член Q(x) сам является общим делителем /(х) infix), то
<2(х)=н. о. д. (/(х)у Л(х)).	' Ф
 Найдя Q(x) с помощью алгорифма Евклида (см. главу I),
Мы найдем с помощью деления й многочлен Р(х). В самом
деле, \
/(x)=a„P(x)-Q(x)
я, следовательно: .
Р(Х)= - ч.
Мы действительно доказали теперь, что отделение крат-
ных нулей многочлена можно произвести, не зная наперед
,£амих. нулей. Знание этого приема значительно облегчает
решение алгебраических уравнений,', имеющих кратныё кор-
ни. Поясним все изложенное на примере. Пусть дано ал-
' гебраическое уравнение:	-
х’—12х5й-45х‘ — 30 х8—'120 х» 4-96x4-128 = 0.	.
ЗдесьДх) = хв — 12 х6 4- 45 х* - ЗОх3 — 120 ха 4~ 96 х-}-128.
Для того чтобы отделить кратные нули, находим сначала
ф\х)=Ъх*— 60х*4-180х8- 90Xs — 240 x 4-96,~а затем оты-
скиваем н. о. д^(/(х), fix)}. Для этого применяем алгорифм
'	'	135
Евклида. При его выполнении мы будем помножать или
делить коэффициенты встречающихся нам многочленов на
одно и то же число, всякий раз, когда это может привести
к упрощению коэффициентов. Такого рода преобразования
отзовутся на конечном результате—н. о. д. (/(х), f (х))
только в виде числового, т. е. тривиального множителя,
который не играет никакой роли в интересующем нас воп-
росе. На первом этапе деления возьмем вместо f (х) мно-
гочлен
-|-7(х) = х5 —10 х4+30 х» - 15 х2	40 х +16.
Полупим при делении /(х) на -^-/(х) остаток:—5x*-f-
4~45х8— 110х2-|-160, или, деля все коэффициенты на —5,
будем иметь: х*—9х822х2 — 32. Деля далее х6—Юх4-}-
+30 х8 — 15 х2—40 х 4-16 на х4—9 х8 4- 22 х2—32, получим
в остатке многочлен: — х84~7х*«— 8х—16, или, умножая'
на —1 все коэффициенты: х8 — 7х2-|- 8 х-|-16. Делим теперь-
х4 — 9х8 + 22х2 — 32 на х8 — 7 х2 4- 8х -|-16. Так как
деление выполняется без остатка, то заключаем отсюда,
что многочлен х8 —7х24-8х-|-16 есть н. о. д. /(х)
Мы видели выше, что
Н. О. Д. (/’(x),/'(x)l = Q(x)=(x —«,)«*“‘...(х—
Так как два н. о. д./(х) wf'(x) могут отличаться только
тривиальным, т. е. в данном случае числовым множителем
(теорема Ш, гл. 1), то
х8—7х2-[-8х-|- 16 =»с Q(x) =
= С (X — dj) ~1. . . (х — %) кт - ’.
Но коэффициент при старшем члене в левой части есть 1,
а в "правой части с; следовательно,, с = 1, и мы видим, что
Q(x) = x8 — 7x2 4-8x4-16.
Чтобы завершить отделение кратных нулей, остается
разделить /(х) на Q(x). Получим:
^=Р (х)=х8-5х2 4- 2х 4- 8.
Мы свели решение, первоначального уравнения/(х)=О
шестой степени к решению двух кубических уравнений:
Р(х) = х8— 5х24~2х4- 8 = 0,
Q(x) = x8 — 7x2 4-8x4-16 = 0.
Каждый корень уравнения /(х)=0 является простым кор-
нем уравнения Р(х)=0; каждый кратный корень уравнения
f(x)=i) является корнем уравнения Q(x)=0 с порядком
кратности на единицу меньшим, чем для уравнения /(х)=0.
136
Уравнение Q(x), в свою очередь, может иметь кратные кор-
ни. Чтобы отделить их, находим Q'(x)=3x2 — 14x-f-8 и ищем
затем и. о. д. (Q(x), Q'(x)). Применяя алгорифм Евклида,
делим Q (г) на Q'(x), причем, для удобства помножаем сна-ч
чала все коэффициенты Q (х) на 9 (чтобы избежать дробных
коэффициентов при делении).
Получаем в остатке многочлен: — 50х*|-200, или, деля
все коэффициенты на — 50, получим: х — 4. Так как Зх2 —
— 14х-|-8 делится на х — 4 без остатка, то х — 4 и есть
н. о. д. (Q(x), Q'(x)).
Для многочлена Q (х) найденный нами многочлен х — 4
играет ту же роль, что и многочлен Q(x) для /(х). Пола-
гая х — 4 = Q1(x), находим':
«^ = P1W = x<-3x-4.
Мы произвели, таким образом, отделение кратных корней
и для уравнения Q (х)=0, в результате чего оно распалось
на два уравнения:
Р1(х) = х2-3х — 4=0
и
Qx (х) = х— 4=0.
Каждый корень уравнения Q(x) = 0 является простым
корнем уравнения Р1(х)=0; каждый кратный корень урав-
нения Q(x)'=0 является корнем уравнения Qj(x) = 0 с по-
казателем кратности на единицу меныцим. Так как Qi(x)=
= 0 имеет только один и притом простой корень х=4, то
уравнение Q(x) = 0 имеет только один кратный, а именно,
двукратный корень х=4. Но каждый корень Q(x) = 0 яв-
ляется вто же время корнем	(простым); следова-
тельно, многочлен Pj (х) должен делиться на х — 4. Выпол-
нив деление, получаем ^^-=x-j-l. Следовательно, РДх)=
=(х-|-1)(х—4)=0, и уравнение это имеет еще один ко-
рень: х— — 1. Так как он не является корнем для Qi(x)=0,
то он не может быть кратным для Q (х) = 0; это единствен-
ный простой корень уравнения Q(x)=0.
Итак, мы нашли уже, что Q(x)=0 имеет один простой
корень х = — 1 и один двукратный: х = 4. Ими и исчерпы-
ваются все корни уравнения Q(x)=0. Вместе с тем, най-
денными корнями исчерпываются все кратные корни урав-
нения /(х)=0. Так как их кратности должны быть здесь
на единицу большими, -чем для уравнения Q(x)—0, то х=
= — 1 является двукратным, а х=4 трехкратным корнем
уравнения /(х) = 0. Остается найти еще один (простой) ко-
рень этого уравнения шестой степени. Для этого вспоми-
наем, что каждый корень уравнения /(х)^=0 является про-
стЫм корнем уравнения Р(х) = х3 — 5хг+2х -J- 8 = 0. Номы
уже знаем, что х=~—1 и х = 4 корни /(х)=0, следова-
тельно, знаем два корня уравнения Р(х) = 0. Чтобы йайтв
третий'корень, делим Р(х) на произведение (х-|-1) (х —4);
получаем: Р (х): [(х -j-1) • (х — 4)] — (х3 — 5х2 + 2х + 8): (х2 — •
— Зх — 4)=х —2. Отсюда Р(х)=(х-|-1) (х—4)(х—2) ь тре-
тий корень равен 2. Это и есть единственный простой, ко-
рень уравнения /(x)=Q. Окончательно мы получили, что
это уравнение шестой степени имеет один простой корень
х=*2, один двукратный х=—1 и один трехкратный х = 4.
Поэтому: ‘	.
/(х) = х* — 12х® + 45л4 — 30х3 — 120ха + 96х +128=
= (х—2)(х+1Кх-4)3.
Изложенный здесь прием позволяет определить все4 кор-
ни /(х)=0 далеко не во всех случаях. Прежде всего он
> дает эффект лишь тогда, когда уравнение /(х) = 0 действи-
тельно имеет кратные корни. Но и в этом случае он по-
зволяет лишь заменить данное уравнение высокой степени
двумя или более уравнениями низших степеней. Конечно,
это значительно облегчает задачу дальнейшего разыскания
корней.
Чтобы,, яснее видеть, как, именно, следует' поступать
в самом общем случае (однако, все же при наличии крат-
ных корней), рассмотрим снова разложения многочленов
J(x), Р(х) и Q(x)=h. о. д. f (х)). Имеем:
/(х) = (х —..(х —Р(х) = (х—aj.. .(х—ат),
Q (х)==(х - ах)*1"1... (х — атТт~' .
Если обнаружится, что Q (х) уже не имеет кратных ну-
лей (это будет тогда- и только тогда, когда Q, (х)=н. о. д. .
<Q (х), Q '(•*)) есть многочлен нулевой степени, например,
7	Qi(x)=l), т0 это будет обозначать, что все нулиф(х) про-
стые, т. е. числа k—1 либо равны 0, либо'1 и, следова-
тельно Р(х) делится на Q(x). Так как нулями Р(х) явля-
ются все нули /(х) как простые, так и кратные, а нулями
Q(x) только кратные нули /(х), то в частном останутся
лишь множители, соответствующие простым нулям /(х).
' .% Полагая P(x):Q (х)=р(х), мы будем иметь Р(х)=/? (х)  Q (х)
u’/(x) = P(x)-Q(x)=/>(x)-[Q(x)]2. В этом случае уравнение
У(х)=0 заменится дьумя: />(х)==0 и Q(x)=?0, каждое из ко-
торых имеет лишь простые корни: первое из них дает все
'простые корни /(х)=0, второе — все кратные (двукратные)
корни /(х)=0. Для решения уравнений р (х) = 0 и Q (х) - 0
соображения, развитые нами выше,- ничем не' смогут по-
мочь.
i Предположим теперь, что Q(x) имеет кратные нули, '
т. е. Qx(x)=h. о, д. (Q(x), Q'(x)) имеет степень не ниже
138
первой. Тогда примейяем к Q(x), Qx(x) и Рг (х)= те i
же'рассуждения, которые мы только что применяли к /(х), ‘
Q(x) и Р(х). Если окажется, что Qi(x) уже не имеет крат- ;
ных нулей, то, по доказанному, Pi(x) должно делиться на ;
т. е. Pi(x)=p1(x)Q1(x) и Q(x)=P1(x)Q1(x)=/>1WX
XJQi (x)]2- Здесь нулями (х) будут только простые нули .
• Q(x), а нулями Qj(x)—только - кратные (двукратные) нули
Q (х). Иными словами, нулями А (х) (простыми) являются ,
все двукратные нули /(х), а нулями Qj(x) (также просты-
ми)—все трехкратные нули /(х). Так как каждый нуль /(х).
есть в-то же время нуль Р(х), то мйогочлен Р(х) должен
делиться на произведение Pi(x) Q^x). Если Р(х): [Pi(x)X '
XQi (х)]=р (х), то Р(х)=р(х)-Д(х) QJx) и уравнениеР(х)=
1 =0 распадается на три уравнения с простыми корням'и:
Р W == о, Pl (х) = 0 и Qi (х)=0.
Корнями первого служат все простые корни /(х)=0,
корнями второго —все двукратные и корнями третьего—все
трехкратные корни. Для /(х), соответственно этому, полу-
чаем разложение: . ,	•
(х)-Q(x)=p (х) л (х)• Qi (х) • (pt (х)• [Qi (х)]«} = .
=PW-|>i.(x)P-[Q1(x)r.
Подобным же образом поступаем в том случае» когда
многочлен Qi-(x) имеет кратные нули. Если при этом Qs (х) = \
=н. о. д. (Qi(x), Qi (х)) уже не имеет кратных нулей, то
для /(х) .получается -разложение:	\
f(x)=P (х) [pi (х)]2 • [а (х)]3 • [Q2 (х)] *
и уравнение /(х)==0 распадается на следующие:
/>(х)=0, р!(х)=0, рг(*) —°, Qs(x)=0.
Каждое из этих уравнений имеет одни только простые
корни, при этом первое дает все простые корни /(х)=0,
второе — все двукратные, третье— трехкратные и четвер-
тое — четырехкратные корни. «
В общем случае, когда уравнение /(х)=0 имеет корни
еще более высокой кратности, рассуждения совершенно
аналогичны тем, которые изложены здесь.
8. Разложение рациональных функций на
простейшие дроби
Мы применим формулы Лагранжа и Тейлора к разложе-
нию рациональных функций на простейшие дроби.
Задача представляет собой до некоторой степени обрат-
ную задачу по отношению к сложению дробей. Пусть, на-
' 139
пример, мы имеем сумму:
з 2	1,
х + 1 х — 3 +х + 5 ’
приводя слагаемые к общему знаменателю, получим:
3(х —З)(х-Ь 5) — 2<х-1- 1)(хЦ-5)-Кх + 1)(х—3)
(х+1) (х-3) (х + 5)
_	2х« — 8х-58
“ (х+1).(х-3).(х + 5) ’
Спрашивается, можно ли, исходя из этой последней дро-
би и преобразуя надлежащим образом, выразить ее.в виде
(3	2
в данном сдучае -^q—[—+
4~ ХЦ- 5 ) ? Начнем с наиболее простого случая, когда дан-
ная дробь — рациональная функция — имеет вид:
р(х> -_________________________________
W— Q(x) ~ a9^-ay)...(x-aq) •
где аь аъ...ло различные между собой числа (нули Q(x}f
и степень Р(х) не выше q— 1. Вычислим значения Р(х)^
при x = a,, x = a2,х = ад и выразим многочлен Р(х)
через эти значения при помощи интерполяционной формулы
Лагранжа. Будем иметь:
Р(х)=Р(а1У	~а^ 4-.„4-P(aJ /•У~а1) " -у-~ "«-О-
'	' v (“1 - »2)--.(«1 ~aq) п Г ' 9> («7 - а1) • • • (aq - «,-t)
откуда, деля каждый член на Q(x) = ae(x—ax)...(x— ae)>
находим:
f(x>=P^)_:	Р(а,)___________1— ,	.
' }	Q(.X)	«7(01 —«2> •••(«*!—«7) Х — «1 '
+________________ PM__________________________J__l_ I
aq(ak~ ®1)--•(“* — «*_! )(«* — «Л4-1)...(“Л — «9) Л —	'
. ____________Р(«?)________________1__.
aq (aq «1) • • • («7 * «7—2) (a7	“7—1) х aq
Полагая:
_______________________________________л fb—1 о /7)
"7 (аи — “!)•••(“* - “ft_i)(afc —«*4-1) • • • («*— о?)
получаем окончательно:
fir}-- Р	I I	I I ^7
Q(X) — X-at +•••+ x-afc +•••+•
Это и есть искомое разложение функции /(х) на про-
стейшие дроби,
по
Пусть, например, ,
f(x) ________________5х*-4л-+7	,
J 1 ’	(х— 1) (х - 2) (х — 3) •
Здесь Р(х)=5х8 —4x4-7 и 04=1, a2 —2, a3=3.
Имеем: Р(1)=8, Р(2) = 19, Р(3)=40 и, по формуле Ла-
гранжа:
5х*-4л + 7=8 (("Г 2)0-") + 19 «11)р-2?) +
+40	=4(х-2)(х-3)-
— 19(х —1) (х —3)4-20(х- 1)(х —2fy
Следовательно,
f ( Ч _4(х —2)(х — 3) — 19(х— 1)(х—3)4-20(х-И)С*-2) _
(х— 1)(х —2)(х —3)
4	19	.	20
х—1 х—2	X—*-3  ’
ч то и дает разложение /(х) на простейшие дроби.
Есл” .,и-  )<Г-^...(л-ЧУ и степень Р(х)>
— 1, то мы цредварительно выделяем из нашей дроби
целую часть. Обозначая знаменатель через Q(x), находим:
P(x)=Q(x)S(x) 4- Г(х),
где Т(х) многочлен степени не выше <7 — 1. Отсюда:
Т (х)
здесь S(x) некоторый многочлен, a рациональ-
ная функция, которую Можно разложить на простейшие
.дроби с помощью предыдущего приема. Получим:
/(х) = 5(х)4--^-4-...+-^—.
J	' 5 X — aj 1	1 X — aq
Так, например, если /(х) == (х _	л3)~ •т0 р(х)=
= x«,Q(x) = (x—1).(х - 2)-(х—3)=х»—6х24-11х—6, х5 =
=(х8—6х24-1.1х - 6)-(х24-6х4-25)-|-90х2 - 239x4-150, т. е.
(х)=х2 4- 6х+25 и Т(х)=90хг — 239х 4-150. Здесь at = 1,
a2=2, a3=3 и 7(1 )=1, Т(2)=32, Т(3)=43. Следовательно,
Т(х}-1 С*-2)'** 3) 1-49 <х ~ 1>-'х 3) i а*. (х—~2) -
-'W-1 (1-2).(1-3)+д212^П)(2^3ГТ'4д (3-г1)-(3-2) ~
= |(х—2)(х-3) — 32(х-1 (х-3)4-^ (х — 1)(х —2)
141
' И '	' - , "	'	*	'
<(x)=S(xH7^|=x>+6x+25+|.Jt-^ +
,	.	+43._L_	 .
~2 x— 3 ’	'
Обращаясь к случаю кратных нулей знаменателя, нач-.
нем с простейшей возможности, где знаменатель Q(x) име-
ет вид:
Q(x)=(x-a)9(^>l).	’	'	,
Расположим числитель Р(х) по степеням х-й=Л. Бу-
дем иметь, по формуле Тейлора:	ч
' P(x)=P(a) + P'Xa)A+^A2 + ...+ jP^AB(n<^).
Следовательно,	.	.
р"(а\	P^<at
Р(х) Р(в).+ ВДЛ+-^ГА2+’-.- + _^! Л"_
<?(х) =	:	ИГ ~
' =ь2Н । >р,(д) I р"<аУ2! ।	Р{ПЧа)/п\ _ 'Р (а)
4 л?	.'л?-2 Т” Л?—” , (х^а}9-Т
. Р'Ю ....... ,	Р(в>(а)/п!	.	;
,	(х—а)я~*	(х — а)я~п* 
ч	, Числители полученных дробей суть постоянные (много-
' члены нулевой степени), а знаменатели имеют вид степеней
х — а. Дроби такого вида мы также отнесем к простейшим.
Заметим, что если бы степень числителя была не ниже
степени знаменателя (п >• q), то, записывая в виде:
Q_(^ = A«[₽(a)+p'(a)A-t-
. + ₽!1й>й"] =
+ (д — i)i . т «1 т - т J
_ Р(а) Р'(а)	,	. (рЮм
' ~~кя +	~а V-
,, ₽(»)(«) Лп_<Д _РИ_ ;	- Р<«-A\a}Kq-1)1 1&яЧа)
+ “ЙГ *	Л=(л-а)’ + * У	--7-4-^ +
+...+£^(Л_„)—)•/ .
мы, наряду' с простейшими дробями, получим еще и целую-
часть:	-
142
Пусть, например, z	!	!
/ f(r\— 14-х4-х*4-л» + х4 + х5
JW-----------(х —2)«	•
Тогда, полагая х —,2 = Л, “получаем:	'Л
Р(х) = 14- х+х2 + Xs + х* 4- хБ = 1 + (2 -{г й) 4;(2Н- Л)2+
4-(24-й)84-(24-ау4-(2 4-Л}5=14-(24-й)4-(44-'4Л4-й2)4-
4- (8 4-124 4- 6Л2 4- А8) 4- (16 -4- 32А 4- 24А2 4- 8А8 4- Л<) 4- (324- ,
4-80А4-80Л24- 40Лг4-10Лв4-й8) = 634- 129Л4- 111й24-49Л84~
. 4-11А44-й8
(мы не опирались здесь непосредственно на формулу Тей-
лора; но воспроизвели все выкладки, при помощи которых
Сна выводится).	'	j
. Следовательно, ’
_ Р(х) _ 634-129Л +111Ла4-49Л84-11Л4 +Л6_
7W — Q(x)~	#	' ~	, х :
63 , 129 , Ш ,49 . .. । ,	63'	,
~~ h* + Л« + Л8 + Л +11+Л'5= (х—2)4 + .
,129	.	111__ , 49- q ,
+ (х—2)3 + (х —2)« + х- 2+у4-х-
4то и есть искомое разложение. *
Рассмотрим,’наконец, общий случай рациональной функ-
ции /(х)=-^^,'где многочлен Q(x), стоящий в знамена-
теле, может обладать кратными нулями. Если степень чис-
лителя не меньше степени знаменателя, то начинаем с выде-
ления целой части дроби, для чего делим Р(х) на Q(x):
^(x)=Q(x)-S(x)4-T(x),
где степень Т(х) ниже степени Q(x). Следовательно,
f(r\- <?(•*) S(x) + Tixy _	. Т(х)
Q(X) ~°W ь Q(х) ’
z	T (xY 1
та вопрос сводится к разложению на простейшие дроби .
Пусть а один из кратных нулей Q(x), причем кратность а
равна k (k >-2). Представим многочлены Т(х) и Q(x) по- .•
степеням (х — а)~ с помощью формулы Тейлора:
Г(х)=^04-с1 (х — а)-}-.. .-f-сДх— а)\ (t<Cq — 1)
Q (х) = (х — a)ft4-... 4-а9(х—а)« = (х — aft [ак-J-... 4-
4- а9 (х — a)’-*	ф 0)
и, обозначив х—а через Л, будем делить сй-]-Сук-\-
на ak-j- a^ik-f-... 4-а^й®-^ как многочлены, jiaq-
положенные по возрастающим степеням Л.. При этом, как мы
знаем, можно добиться того, чтобы остаток не содержал 
143,
степеней h с показателями ниже п (см. главу 1, п. 13).
Пусть:
с» + eft +...+eft = (afc+... 4- aftfl-k у (до_|_ Aft-\-... -j-
+	+dftk 4- d^ftW	djiu.
Степень • а. многочлена, получившегося в остатке, не
превосходит q— 1. В самом деле:	,
dkhk-\- .. .-\-duhu=c^-\-cft-\- ...-\-cft—
- (ак+... 4-	)(A0 4- АЛ4-... 4- д^л*-’).
И так как степень первого многочлена в правой части не
превосходит q —	1), а степень произведения двух
многочленов не превосходит (q — k)-\-(k— 1) = <7—1, то
и степень остатка не превосходит q— —1. Пред-
Т(х)
ставим теперь в виде:
7*(х) _____Ср + eft Ц- ... Ц- eft__
Л*(ак + ай+1Л + ... + М*-1) ~
(gft +... + aft~k) (Ар 4- Aift + ... + A^ft-^+idth^+d,^) =
Л* («л +	. • • + a<ft~k)
_ Ao+Aift+.^.+A^ft*^1	dk + dk_Ah+ A-dBha^k _
h*	e*+ejH-ift4-...4-aflft?_* “
_ A 4_ _A_ J_ , л*-> . d*+W + "--+rf°*“~fc
Л* A*-1	ft
_ Ap	ai______. ' A-i I
(x — aft~^ (x — a)k~l +'‘’	* — a '
<*ft + <ffe+i(x —a)+ ... + dg(x —
а1, + ак+1 (x — a)4- ...+«,(x — af~k'
Мы получим здесь простейшие дроби:
Ар	Ai	^fe—1
(x-a)*’ (X_ejfe-i	x-a
и, кроме них, еще дробь:
Т,(х) e dk + db±i (х—fl) 4- • • • 4- (X — q)a~k
Qi(x) ak + ak+l(x — e)4-...-(-a?(x — a)’-* *
Число а уже не является нулем многочлена Qifx), так
как Qi (а) = ак =/= 0. Степень Qj (х), равная q — k, ниже сте-
пени Q(x), по крайней мере, на две единицы (ибо k >2);
нулями Qi (х) являются все нули Q (х), за исключением а.
Степень числителя Тг(х) есть и — k-^(q — 1) — k, т. е. она
ниже степени знаменателя.
144
Если Qx(x) не имеет кратных нулей, т. е. если а един- i
ственный кратный нуль Q (х), то дробь раскладывает-
ся на простейшие посредством интерполяционной формулы
Лагранжа, кзк было показано выше. Если же Q(x) имеет
еще другой кратный нуль b кратности /(/>2), то & яв-
ляется нулем той же кратности для Qx(x). Применяя к
дроби q^- тот же прием, который был применен уже
к (с заменой а через b и k черй I) получим:
т\(х) в0 ,	,	, Г2(х)
Qi (•*) (х — ьу • • • “Г х — Ь	Q2 (x) •
где степень Q, (х) есть q — k—I, т. е., по крайней мере,
на 4 единицы меньше, чем степень Q (х), причем нулями
Q2 (х) являются все нули Q (х), за исключением а и Ь; сте-
пень Г2 (х) ниже степени Q2 (X)'.
Повторяя тот же прием, мы или придем к случаю про-
стых нулей знаменателя, и тогда решение доводится до
*. конца с помощью формулы Лагранжа, или придем к случаю
7* (л)
дроби: -q - ", где знаменатель имеет лишь один един-
ственный нуль с (вообще, кратный). Но тогда
QP(x) = a(x—с)т
и разлагая — Тр (х) (многочлен степени ниже т) по сте-
пеням х — с получим:
4- Тр (х) = С. -|- Сх (х - с) 4-...+Сот_1 (х — с)”-1 .
,/п—1
Следовательно,
Тр (х)   Q+Cj (х—с)4-...	Ст_х (х-
(?,(х) — *	(Г-=су*
_	____,	- Сх I I С/
(Х — С)т	Т •••“Г х.
Итак, исходную дробь всегда можно представить
. I Л&-1 I	<?(ЧЛ 1	^0	I А*-1 I
' х — а Qi (л)	\ ‘ (х — а)к	‘ х — а
.	____।	_1_	~_1	-4-
. (х — b)1 + ’ ‘ * ^х— b + Q}(x)	И*9-+
‘ л — a ‘ (x + b)1
^0 I
(х — аУ
(х-с)т + ••
A . И. М'аркушевич
145
4
где S (х) многочлен (быть может, тождественно равный ну-
лю) числа а; Ь,.с — нули Q (х), a k, I,..т кратности
этих нулей. Заметим, что указанная формула охватывает и
случай простых нулей, если положить, что соответствую-
щая кратность равна единице. Так, например, если т=Л,
то группа слагаемых	с^т + ... + сведется к од-
ному слагаемому: -~j-c. Поясним изложенный метод на при-
мере.
Пусть дробь/(х) =	ijg нужно разложить
на простейшие; Начинаем с нуля знаменателя наивысшей
кратности: а = 1, k=3. Разлагая числитель Р(х)—х6 по
степеням х — 1 = h, можем вместо общей формулы Тейлора
непосредственно использовать формулу бинома Ньютона:
р (х)=х® = (14- tif = Г-f- 5А + 10А2 + ЮЛ8 + 5А‘ + А5.
Далее разлагаем знаменатель Q (х) по степеням А. Полу-
чаем:
Q (х)=(х-3)(х — 2)2(х —1)8 =
= [(1 + А) — 3] [14- А) 2]«А« = (А - 2) (А - 1)2А3 =
= А3 ( - 2 4- 5А - 4А2 4- А8).
Мы обошлись и здесь без использования общей фор-
мулы Тейлора. Разделим теперь 1 -р5А-[-10Л2 +10А8 +
4- 5А* 4~ А5 на — 2 4~ 5А — 4А2 4- А8, сохраняя расположение
многочленов по возрастающим степеням А. При этом будем
продолжать деление до тех пор, пока в остатке ре исчез-
нут члены со степенями А, меньшими А = 3-
Получим:
1+	5ft +	10ft2	+10*8	+5Л4	+*5	|—2 + 5ft —4ft2 + ft8
1	5 _L	9M	JLM	____1___
1 —	2 ft	2ft2	— 2 *8	___________ 2	4	ft	8	ft
y-* +	8ft2	+-^-ft«	+5*4	+ft«
___Z*L1.2 I 1R1.3	*5 M
107	- 535	. 107 „	107 „
4 **	8 *8 + 2 ft4— 8 **
499““	I79~	П5“
-g- ft»-Л<+у *s
146
ft
Следовательно,
1 + 5Л 4- 1 Ой» + 10Л3 + 5А* + Л5 = ( - 2 + 5й —
-4й»4-й8)(—|—Ц-й —Л2)фй4-ф й6
f(Y\— р(х> - 14-5Л + 10Л»+ЮЛ» + 5Л4 + Лв	i
и /W— 0(л>	_
= ^(_.2 + 5й-4й* + й3) (-4-4 А-1ГА’) +
+	А8— ф й*+А8]: [й8 (- 2 + 5й - 4й« + А8)] =
1	15 , Ю7	499	179 л 115,,
. — 2	Г h~ 8 А	Т А 4 *4+“8"л5_
“	Л« ,	* Л8( — 2 + 5Л — 4Л2-+-Л8) —
499 179	115 .
8 А + Т А*
— 24-5Л — 4Л24-Л»	’
1	15	107
2ЛЗ	^Л2	8Л
Здесь й = х — 1; очевидно, что мы уже выделили три про-
стейшие дроби:
1	1	15	15	107 _	107
2ЛЗ “ 2(х —1)»’	4Л2 — 4(х—1)2 и 8Л “ 8(х— 1) *
Остальные получаются путем разложения на простейшие
499 179 , , 115 ,
,	8	4 А + 8 А
дроби выражения _	> в котором знаменатель
является многочленом третьей степени относительно й,
а, следовательно, и относительно х. Нам нет нужды возвра-
щаться здесь к х: это потребовало бы лишних выкладок.
Обозначая новый знаменатель через (К), вспоминаем, что
он был получен путем умножения Л — 2 на (й — 1)»:
— 2+5й - 4й»+й8 = (й - 2) (й - 1)».
Следовательно, Qj (й) имеет один простой нуль: й = 2 и
другой двукратный: й = 1. Полагая А—1=4^ разложим
числитель и знаменатель новой дроби по степеням йг
Получим:
Л(А) = -8- 4 h+-8h	---г(* 1+/г1) + т(1+Л^ =
= 32—16 йх	Й2 и Qt (й) = (1+Й1 - 2) й? = й» (— 1 + Ах).
Делим теперь 32—16Ax+-g- й^на—1	до тех пор, пока
в остатке не исчезнут члены со степенями ниже второй,
ip*	147
Найдем:
32 —16ft1 + -g-*?|_i + A1
32-32*!—32— 16Л1
16*x + л|
16*j - 16*f
243~I
Т А? '
Следовательно, Рх(Л) = (— 1 -f- Лх) (— 32— 16AJ + А? и
p1(h) _32—16ft!+-g- *?
С1(Л)“ (-14-Л0Л?
(-14-*i).(-32 —16*х) + ^*?
'	“ •	(-‘i+лол? ;	=
243 .2
32—16*х	8 Д1 ______32____16 	243	’
*?	Л2(_1 + А1) “ Л2
Здесь Й£ = Л — 1 = (л — 1) — 1 = х — 2. Мы получилй еще
_	-	32	32	16	16
три простейшие дроби:и
243	243	*
§(А— ц = 8(х_з) > причем разложение доведено до конца.
Подставляя разложение в формулу для , най-
дем:
f _ Р(х) _	х*_______________1___15___107_
J Q(X) ~ (х—3) (х—2)« (X—1)8—	2*3	4*2	8* "г
. Р. (*) _	1	15	107	32	16 ,	243
"* Qi(*)“	2*з	4*2	8*	А2	*j + 8 (*! — !)“
_	1	- 15	107	32	16	243
— 2(х—1)»—4(х— 1)«~8(х— 1)	(х—2)«	х — 2 + 8(х — 3) ’
Это и есть окончательный результат.
Глава четвертая
•СТРУКТУРА КОЭФФИЦИЕНТОВ ЧАСТНОГО ОТ ДЕЛЕНИЯ
МНОГОЧЛЕНОВ. СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ
РАЗЛОЖЕНИЙ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. Теорема о коэффициентах разложения рациональной
функции, представленной в виде суммы дробей в
В предыдущей главе мы рассмотрели вопрос о разло-
жении рациональной функции на сумму простейших дробей.
Желая применить эти сведения к задаче о делении много-
членов, расположенных по возрастающим стёпеням, дока-
жем следующее предложение:
Если
Р(х) _ А(х) Ла(х)	/. п
<?(х)“ В1(х)+ Вг(х)>
где Р (х), Ах (х), Л2 (х), Q (х), Вх (х) и В2 (Я) какие-либо
многочлены, причем свободные члены Q (х), Вх (х) и Ва (х)
отличны от нуля, то любой из коэффициентов частного
от деления Р (х) на Q (х) равен сумме коэффициентов (при
той же степени х) в частных от деления Лх (х) на Вг (х) и
А2 (х) на Bt (х).
Доказательство. Будем производить деление много-
членов, расположенных по возрастающим степеням, л остано-
вимся на членах, содержащих произвольно фиксированную
степень х:х\ Получим:
Р (х) = Q (х) М (х) 4- 2V (х),
Аа (х) = В2 (х) М2 (х) + М (х),
где частные М (х),	(х) и Afa (х) суть многочлены степе-
ни не выше п, а остатки (х),	(х) и Nt (х) — много-
члены, младшие члены которых имеют степень не ниже
.	149
«4-1. Подставляя выражения для Р(х), Л, (х) и Д2(х) в
соотношение (1.1), связывающее дроби
РМ Л,(х) „ АИх)
QW ’ в^х) и В2(х)
получим:
Q(x)M(x) + N(x) _ B^xjM^xy + N^x)	Ba(x)Mt(x)+Na(x)
Q(x)	, Bi(x)	Ba(x)
ИЛИ
м‘ <*>+-£$+ <* +x£h
откуда
Л4(х) — Afj(x) — Afa(x)=-в^4--д^у—
и, наконец:	‘	’
[M (x) - Ma (x) - >WS (x)] Bx (x) B8 (x) Q (x) =
.	=N, (x) B2 (x) Q (x)+JV2 (x) Bx (x) Q(x)-
— N(x)B1(x)Ba(x).	(1.2)
Убедимся, что отсюда вытекает тождество:
М (х) = Мг (х) -J- Ма (х).	(
Допустим противное, т. е., что это тождество неспра-
ведливо. Тогда многочлен в левой части равенства не равен
тождественно нулю, поэтому и многочлен в правой части
равенства (1.2) не есть тождественный нуль. Его младший
член имеет степень не ниже, чем «4-1, так как степени
младших членов А^(х), Nz(x) и N(x) не ниже, чем «4~1-
Следовательно, младший член многочлена в левой части
равенства (1.2) также имеет степень не ниже п 4-1. Но это
невозможно, так как многочлен М (х)—Afx(x)— Ма(х)
степени не выше п, а младшие члены Вх (х), В2 (х) и Q (х) —
нулевой степени. Из найденного противоречия следует, что
М (х) = Л1х (х) + Ж2 (х), т. е. что каждый коэффициент М(х)
есть сумма соответствующих коэффициентов Мг (х) и Af2 (х).
В этом и заключалось утверждение рассмотренного предло-
жения.
Это предложение, установленное здесь для операции
деления многочленов, расположенных по возрастающим
степеням, справедливо и для операции деления многочле-
нов, расположенных по убывающим степеням х. В самом
деле, пусть снова
Р(х)_А1(х)| Л2(х)	пп
Q(x) — Bi(x) h Ва(х) •	U '
Произведем деление многочленов Р(х), Ах(х) и Д2(х)
на многочлены Q (х), Вг (х) и Ва (х) соответственно, с точ-
150

ностью до членов, содержащих х~п. Как известно (п. 4, гл. II),
для этого достаточно помножить делимые на х” и после этого
выполнить операцию по обычным правилам деления много-
членов, расположенных по убывающим степеням. Получим:
хпР (x) = Q (x)-S(x) +Т (х),
Xя-Al (x) = Bx (x)-Si (x)+ Tx (x),
xn • A2 (x) = B2 (x) • S2 (x) + Г2 (x),
где S (x), Sx(x), S2(x)—частные, а T(x), Л(х), Г2(х)—
остатки, так что степени Т (х), 7\ (х), Т2 (х) соответственно
ниже степеней Q (х), Вх (х) и В2 (х). Умножая обе части
тождества (1.1) на хя и заменяя после этого Xя Р (х),
хлАх(х) и хлД2(х) найденными выражениями, получим:
5 «+W) =	+ s’(Л)+Kw 
откуда:
[S (х) - Sj (x)-S2 (х)] Q (х)Вх (x) B2 (x) =
= 7\ (х) В2 (х) Q (х)+ Г2 (х) Вх (х) Q(x) —
-T(x)Bi(x)B2(x).	(1.3)
Покажем, что отсюда следуёт тождество:
S(x) = Si(x)+S2(x).
Если допустить противное, то получается, что степень
многочлена, стоящего в левой части, не ниже степени про-
изведения
Q (х) Вх (х) В2 (х).
Но каждое из произведений, фигурирующих в правой
части (1.3), имеет степень ниже, чем степень
4	Q(x)Bj(x)B3(x).
В самом деле, например, степень Гх(х) ниже степени
Bi (х), а потому и степень произведения Т, (х) В2 (х) Q (х)
ниже степени Вх (х)В2 (x)Q (х). Отсюда получается, что
степень левой части (1.3) выше степени правой части того
же равенства, что невозможно.
Из обнаруженного противоречия вытекает, что
S(x) = Si(x)+S2(x),
откуда и следует, что каждый коэффициент частного от
деления Р (х) на Q (х) равен сумме соответствующих коэф-
фициентов частных, полученных от дёления Ах (х) на Вх (х)
и Аа(х).на В2(х).
Пользуясь индукцией, легко распространить утвержде-
ние предложения (все равно, идет ли речь о делении много-
151
членов, расположенных по возрастающим, или по убываю-
щим степеням) на случай произвольного числа дробей.
Пусть,
	_ Ai W .	.	<*> .
Q (х) Bi (х)	+	(х) Bfe(x) •
Докажем, что коэффициент при любой степени~х в част-
ном от деления Р (х) на Q (х) равен сумме соответствую-
щих коэффициентов в частных от деления Аг (х) на (х),...,
Ak-i (х) на Bk-i (х) и Ак (х) на Вк (х).
Если эти частные обозначить через .М (х), Л1х (х),...,
Мк (х), то вам предстоит доказать, что
Л1(х) = Ж1(х)-Ь...-]-Л1й(х).
Для случая k = 2 это соотношение уже доказано.
Допустим, что оно установлено для некоторого значе-
ния k, и докажем его справедливость и для Итак,
пусть
р (*) _ А (*) ,	, Ak (х\ , -А-н (*)
Q(x) ~ ;Bi(x) ‘ ‘ ₽fe(x) B^i (х) ’
причем частные от деления числителей этих дробей на зна-
менатели соответственно, таковы:
М (х), Мк (х),..., Мк (х) и Мж (х)
(деление каждый раз доводится до членов одной и той же
степени). Полагая '
Рр(х) = -41 (^) ।	 Ак(х)
Qo(x) В!(х)^-’ - Вк(х)>
имеем, согласно с высказанной гипотезой:
Л10(х) = ^1(х) + ...+ЛТй(х),	’
где Af0(x) частное от деления Р0(х) на Qo(*)-
Но очевидно, что:
р (х)	А (х)	А(*)	-А-н (х)	Р0(х) .	А-н
Q(x)	ZJ1 (х)	Вй(х)	В*+! Цс)	Q0(x) ‘	\
и, следовательно, по доказанной выше теореме:
М(х) = М0(х)-\-М+i(x),
откуда
М (х) =	(х)+...+Мк (х) + Mk+, (х).
Итак, соотношение, верное для k, оказывается верным
и для А-|-1, и так как для случая двух слагаемых оно до-
казано, то оно справедливо и для любого числа слагаемых.
152
2. Коэффициенты разложения для случая, когда
знаменатель не имеет кратных нулей
Пусть Р(х) и Q(x) два многочлена, причем степень
Р(х) ниже степени Q (х) и Q(x) имеет только простые
(т. е. не кратные) нули. Мы предположим еще, что сво-
бодный член.отличен от нуля:
, Q (х) = а0 4- х+...+х«-’ + адх^ (aQ	0).
Обозначим через а, Ь,..., с —нули Q(x). По предполо-
жению они являются q различными между собой числами,
ни одно из которых не равно 0 (если • допустить, напри-
мер, что с=0, то будем иметь Q(c)= Q(O) = a0=O, что
противоречит условию а0^О).
Имеем:
Q (х) = aq(х — а) (х — Ь).. .(х — с)
'	Р (х) 1
и, следовательно, по«п. 8, гл. III, разложение на про-
стейшие дроби должно иметь вид:
Р(х) =’Г • • • • 7>(х) • • • = 'Д' + ’ в Г 1 _с_
Q(x) , , aq (х — а) (х— 6)...(х—с) х—-а"1" х — I) ' ‘ J х — с’
Перепишем его1 следующим образом:
Р(х) __ -А!а	-в/ь	, — С/с =
Q(X)	х	х"г‘"-г х
1_—	1—г	1—-
По предыдущему коэффициенты частного от деления
Р (х) на Q (х) можно получить, складывая соответствующие
коэффициенты частных от деления а на 1 —f-» Р на
I	14
, X ’	, X
1---Т на 1---------Г • /
Л	с
Мы видели в начале п. 7, гл. II, что при делении 1 на
1—х в-частном получается 14-x-f-x8.. .-\~хп, а в остатке
—1
1М1->0(1+х+х« + ...+хл)+хл+1.
Заменяя в этом тождестве х через и помножая все
члены на а, найдем:
153
Отсюда заключаем, что при делении а на 1 — — в ча- . ]
стном получается	|
а + а4 х + а^х±+---'	1
а в остатке	J
I
Итак, имеем разложение:	:|
---х------а+аА	1
1	1	‘I
а	я
, Коэффициенты его являются	членами	геометрической про- I
грессии с первым членом а и со знаменателем . Анало-	, |
гично имеем:	|
—^~?+?4х+₽-5>^+--	+ ?4»^+"-	I
1— &	I
—~т + 'Г-7'х+	+ 'г4лх“+--- I
л*	ь*	v»	w	зде
1 т- —	•	1
Сопоставляя эти разложения, мы заключаем, что коэф- |
фициент при хп в частном от деления Р(х) на Q(x) дол- 1
жен равняться сумме:	1
1	а 1 .	. 1	I
р(х)	1
т. е. для разложение имеет вид:	Я
(“+?+• ••+'Г)-»-(а4'+Лт+’--4'	|
х+(а~^+ $-w+ ••• + т-?-)х’+ ••• +
(2Л> t
где	<
а = — А/а, 0 = — Bib,..7 = —С/с.
Обозначая коэффициент частного при хя через dn,	,~. J
получаем:	S
Этот результат можно формулировать в виде следующей
теоремы.
154
I	‘
к	i
Пусть степень многочлена Р (х) ниже степени q много-
члена Q(x), причем свободный член Q(x) не равен 0 и все
нули Q(x) различны между собой. Тогда коэффициент dn
в частном от деления Р(х) на Q(x) (многочлены распола-
гаются по возрастающим степеням х) представляется в виде
суммы q членов различных геометрических прогрессий.
Члены эти занимают в каждой из прогрессий п-{-2 место.
Первые члены прогрессий противоположны числителям
дробей в разложении на простейшие дроби, а знаме-
натели прогрессии суть обратные величины нулей Q(x).
Поясним изложенное примером. Пусть
Р(х)=3+х2 и Q (х) = (х-|-1)(х—1) (х—2)=
= 2 —X —2х24~х3;
здесь а = — 1, й = 1 и с —2. Чтобы получить разложение
на простейшие дроби, применяем, как было указано
в п. 8, гл. III, к многочлену Р(х) формулу Лагранжа
(п. 4, гл. III), при
xQ = a=— 1, х1=&=1 и х2 — с1=2.
Находим:
Р(*о) = Р(-1) = 4, Р(х1)==Р(1) = 4, Р (х2) = Р(2) £= 7
и, следовательно,
р(у\_л (х-1)(х-2)	. . (х 4-Л) (х — 2) . 
"Г* (1 + 1)(1-2) “Г
+ 7 етщйу=4 (X-1) (X - 2) - 2 (х+1) (х - 2) 4-
Отсюда получаем:
2	7	*
р(X) Т - о <х- 2) - 2 <* + о <х- 2) + Т <х +О (*-1)
(х+1)(х--1)(х-2)
2	L
+ 1	х-1 х —2	-
Р(х)
Это и есть разложение —— на простейшие дроби.
В данном случае В = — 2 и С = -1.
О	«5
Отсюда, по доказанной теореме, заключаем, что коэффи-
циент^ в Частном от деления Р(х) на Q(x) есть:
d ~___—______1____ио- * ____Z_...1 _ о 17___1У1 .2__
3	р + 1	3 2Л + 1 ""	4 3
7	1
3 2Л “Ь 1 ’
155
Так находим:
*>=2+4-4=4> ^1=2-4
. ^=2+4-4-4>-.
_7____3
12 “ 4 ’
Для контроля найдем первые члены разложения путем
непосредственного выполнения операции деления. Получим
3	+х*	'	|2 — х-2х*4-х3
' з—— з*2+44+4 *+4 •*+• • •
~2"-«i4xs----------^-х3
3	3 ,	3 л . з	
2 х 4 х	2 х3 + 4
19 .
Т*2
что вполне согласуется с нашими результатами.
Возьмем еще пример, в котором среди нулей Q(x) бу-
дут встречаться мнимые числа. Пусть, попрежнему, Р(х)=
= 34-х2, a Q(x) = (x—14-/) (х—1 — i) (х —2)=—4 4-6х—
—4х24-х8.
Здесь а = 1 — />, & = 1 -|-i и с = 2.
Применяя к Р(х) формулу Лагранжа, при х0 = 1— /х
х1 = 14“^ и х2=2, находим:
р (х)—р л__а (х 1 О <х 2>	_|_
I р /1 [ а (•*— 1 4-Q (х — 2)_,
4-Р(14-г)	(1 + /_2) +
। р (п\ (х —~ 1 0 (х — 1 ~ь о
.	(2—1 — 0(2-14-/) :
Но Р(1—0 = 34-(1—Z? = 3 —2z, P(14-z)=34-(14-z)2 =
= 34-2/, Р(2) = 34-22 = 7. .
Следовательно,
Р(х) = (3 - 20	4- (3 4-2/)	+
+ 7(x-14-/Xx-l-/)==^=i(x_ ! _Z)(А._2) +
4-=4^(х-1-Н)(*-2)4-4(х-14-0 (х-1-0
и	—5-^1
Р(х) _________ Р(х)____________ 4
<?(х)’= (х—l-f-i) (х—1 —/) (х —2) “х-П-О^
— 54-*	7
 | 2 .
~ х—(1-|-/) ~х — 2
156
Итак, в данном случае:
’ А =	В=Ц±1 и С=^-.
Следовательно, для коэффициента dn имеем:
d _ 5 + ^	1 __ 5—г 1	7	1
”	4 \1_/)Л + 1	4	2*2п+1*
Преобразуем это выражение, для чего займемся сначала
множителем---* . ,.
(1 — if +1
Найдем
1	_/ 1 \n + 1 /1+«у + 1_
(1-i	“С2—)	~
[I (	• । • 1 Л YI”+1
-^(cos^ + rsln^-)] =
= -4+i [cos(п +1)d-isin (л + lj.-г] •
2 2
{Здесь мы воспользовались ф ормулой Моавра). Анало-
гично:
- 1	/ 1 yi+1 /1 — /у + 1 Г I / „ «
(14-0п+1 — U + »/	_ С 2 7	[/2 \	4
— i sin -0]” * 1 = —jVrfcQS	—isln(/»d-l)-J-]. -
2 2
Поэтому
-^ГТ [cos (Л d-1) - +/• Sin (л +1) -^-1 ч-
2 2
+	• -Ап[cos(и +ЧТ'tisin(n + J) т]“
2 2
7	1	5	1	/	। 1 \
2“* 2” + 1== ~2~* ” + 1 cos(^4~ 1)"4
2 я
1	1 а ✓ I	7	1
~й~+1‘	1) “J"	2 *2Л+ р
2	2
Отсюда, в частности, получаем:
<	5	1	с	1	1	4	«	7	1
I• ,	^9—	2	*	2‘/2 COS	4	2	’	2*/.Sln	4	2	’	Т
_5____1_______7_3	’
~ 4	4	4 ~	4 »
А	5	1	я	1	1	о,„	я	7	1	_
2	’	2 C0S	2 — 2	’	2	Sln	2	2	’	2’	— •
17	9
157
.5	1 „„„ 31C	1	1.3*	7 1
— 2 * 28/»’COS 4	2 ’ 2’/«Sln 4	2 * 2» “
___5______1_____7____19
'	~	8	8	16 ”	16 ’ • ’ •
Путем непосредственного выполнения деления, конечно,
находим тот же самый результат:
34- X*	I—4 4-6х-4х24-х» .
3-4 х + 3х2
9	3
yx-2x2 + —X»
9	27	9 _	9 ,
T x -	4- -j- X» —g- x*
19 .	15 . , 9 ,
-Гх2--гх«4-дГх«
Разобранные примеры показывают, что при вычислении
коэффициентов-частного от деления Р(х) на Q(x) значи-
Р (х)
тельная часть усилий падает на разложение дроби на
простейшие, а именно, на определение числителей простей-
ших дробей. Эту часть работы можно несколько сократить,
пользуясь готовыми формулами для указанных числителей.
Они имеют вид (см. п. 8, гл. III).,
А - Р(а}	В - P(b)	С -
“ ~ aq(a—b). ..(а — с) ’	D~ —	—
~ P(i)
aq(c — а) (с — b)...
Их можно записать. в более компактном виде, если
воспользоваться значениями производной от Q(x) в точках
а, Ь,...с. В самом деле, рассмотрим, например, произведе-
ние aq(a — b)...(a — c). Его можно рассматривать как зна-
чение многочлена aq (х — Ь)... (х — с) при х=а. Но много-
член этот, очевидно, есть частное от деления Q(x) на
х — а, и его можно представить в следующем виде:
aq(x — b).. .(х - с)=-^ = [Q(а) + ^(х-а) +
+ (х “ «)’+••• + (х -	]: (х- а)=Q'(a)+
4-^1 (х - а)+... +^(х - а)^
(мы воспользовались формулой Тейлора (п. 5, гл. Ill), а
также тем, что Q(a) = 0), откуда заключаем, полагая х —
158
— а, что
a9(a — 6)... (а—с) = Q'(a)*.
Следовательно,
л_ Р(д)__________________________/>(*).
aq(a — b)...(a — c) Q^a)
Аналогично получаем:
R_J^__________________	Р(с)
Q'(b),‘"> G~ Q'(c) ’
С помощью этих формул общее выражение для коэф-
фициента частного, найденное на стр. 154, может быть
записано в виде:
я —_ р — р(ь) -2__	рЮ —
х « —	Q'(a)‘ aB+1 Q'(b) ‘ bn+1	Q'(c) * cn+1
Применим эту формулу для того, чтобы вновь разо-
брать примеры этого пункта. Пусть Р(х) = 3+х2 и .
Q (х) = (х+1) (х — 1) (х — 2) = 2 — х— 2х24~х8.
Здесь а = — 1, Ь = \, с = 2. Замечая, что Q'(x) = — 1 —
— 4x-f-3x2, находим:
Q,(a)=Q'(—1) = 6, Q'(*)=Q'(l) = -2, Q'(c)=Q'(2) = 3
и далее:
Р(а)=4, P(b) = 4 и Р(с) = 7.
Следовательно:
+ 2 —д- • —	— прежний результат.
Точно так же, если
Р(х) = 3+х2 и Q (х)=(х— 1 4-0 (х— 1 —i) (х — 2) = — 4 +
4-6х—4х8+х3,
то
a=l — i, b — l-j-x, с = 2 и Q'(x) = 6 — 8х-|-Зх4.
Следовательно:
Q'(a) = 6. - 8 (1 - 0+3 (1 — /)а = - 2 + 2г, Q\b) =6 -8 (1 +
+ 04-3(1+0* = — 2 — 2г,
Q'(c)-6—8-2 + 3-22 = 2
и далее
Р(а) = 3-2г, Р(£) = 3 + 2г, Р(с) = 7.
* Нас не должно смущать то обстоятельство, что делитель х — л
обращается в нуль при х=*а. Ведь мы делим не на числа, а на много-
члены (см. п. 3, гл. Ill).
159
Поэтому
. _	3-2/	1______34-2/ b __
^п~	—2 + 2/	+ 1	—2—2/ ‘+1
7	1 _5+/	1.	5— /	1	_7	1
’ 2 ’2" + 1	4 *(1 —/) +1 + 4 ’(! + /)	1	2 ’ 2л + г
Дальнейшие преобразования те же, что и выше.
Ак—1 Вй
х — а ^(х—by
(3.1)
3.	Коэффициенты разложения в общем случае
Рассмотрим теперь общий случай двух произвольных
многочленов Р(х} степени р и Q(x) степени q, причем
относительно последнего допустим, что его свободный член
отличен от нуля. В п. 8, гл. III мы доказали, что дробь
может быть разложена на простейшие дроби следую-
щим образом:
ёЬ) “	(х—%* .-|
-т- Х-b + (х — С)т+ + х — с'
где 5 (х) — многочлен степени p — q — целая часть, дроби
(он отличен от нуля только тогда, когда степень Р (х)
не меньше степени Q(x)), числа: а, Ъ,.. .,с-— нули много-
члена Q(x) a k, I,т — кратности этих нулей.
Р (х\
Заметив, что дробь представлена здесь в виде сум-
мы дробей (многочлен S (х) можно рассматривать как дробь
применим теорему п. 1 этой главы. Получим, что
любой коэффициент частного от деления Р(х) на Q(x) ра-
вен сумме соответствующих коэффициентов частных от
деления числителей дробей, стоящих справа, на их знаме-
натели. Для первой дроби частное совпадает с S(x);
поэтому достаточно заняться остальными дробями. Все они
имеют один и тот же вид:
другой только значениями
д
жения ------- вспомним,
х — а)4
1 на (1—х)? (многочлены
степеням х) в частном получался многочлен вида
1+с?-’х+едх«-ь.	•
Соответствующий остаток Гл(х) должен быть многочле-,
ном, не содержащим членов степени н»же n-j-I. Запись/-
16»
л
(х-а)? И отличаются °Дна от
А, а и q. Для получения разло-
что в п. 7, гл. II при делении .
располагались по возрастающим
вая соотношение между делимым, делителем, частным и
остаткам, получим:
1 =(1	.(1 +C’-1X+C№2+-• •+
(3.2)
Чтобы использовать это тождество для деления А на
(х — сСу>, заменим в нем х через—. Найдем:
1-аТ"	+ (ix4-...+
или, умножая обе части равенства на Л:
А = (*-«)’|Д(—а)“’ + А (-«)“’ Ср1
+Л (- а)-«С«-;_,	х"]+ ЛТ, (i).	(3.3)
Выражение, в квадратных скобка^ есть многочлен сте-
пени п, а АТ„ — также многочлен, младший’ член ко-
торого имеет степень не ниже л-f-l (это следует из того,
что ТЛх) обладает указанным свойством). Поэтому равен-
ство (3.3) является соотношением, связывающим делимое А,
делитель (х — а)4, частной
,	Л(—а)-?4-А(—ау-’С’--1 4"*+-^+
"	+А(-ау-^^_’1
и остаток АТп и, следовательно, разложений дроби
----——’ по возрастающим степеням х имеет вид:
(•* — «)	}
~ Л (- ау- > + А (- ат'С' -	. +
+Л(^а)-«С!-1_!	(3.4)
В частности, для дробей в правой части (3.1) получаем
разложения:
-Л-р- ~ А. (- а)- > + А,(- аг	-> ± х +•.. +
11 А. И. Маркушевич *	161
(x - i ~ Л, (- °)- » * +A(- а)- ‘ +1 с*:; 4 * + j
+ ...+А(-о)-**’с*-;_ 1^+-.	1
(-»)- 4Х + ---+	1
Л, • И	Ы>«	'
+ Л*_1(-аГ’±-х"+...	J
р (х\	‘ И
Чтобы получить разложение остается лишь сложить 1
соответствующие коэффициенты этих разложений. Среди Л
слагаемых будут встречаться также коэффициенты много- -1
члена S(x), которому мы, для единообразия записи, также |
отнесем его разложение:	'
^~So+six+s2X2+...+s„xn+..-;
здесь числа sft равны коэффициентам S(x) и, следователь-
но, равны нулю для всех значений п, превышающих сте-
пень s этого многочлена. Сопоставляя все сказанное.
Р (х\
получаем следующее разложение для
Р<х)—Ь Г Гл	Л /	„\-й+1_1
+ Ак-j(- аГ-Э]+...+[Со(— с)~*+...+ Ст—г(-с)-’]}Н-
+ {*4- [Ло(- a)"6 C^-^ + A^-ay^
+•. • + Дй_1(— а)-1] —
4-c1(-cr»’-b’C”-2+...+cet_i(-C)-4-L}x+:..+
+ Дй-1(-а)-1]-Аг+...+ [С0(-с)г'»С»-1 +
+ Ci(- с)— + ’С» - ?+... + Ст _ х (- с)-1].-^} х"+. • - (3.5>
Если мы, для краткости, введем следующие обозначения:
Ац(—аук = а.й, A1(-ayk + ^a1,...,Ak~i(-ay1=\
= aft_i,	,
= Ymj|— 1,
и далее положим:
aoCft + ^_i + ai^72_24-ak-iC°n = а(п)
162

то коэффициент d„ при хп в разложении (3.5) примет вид:
dn = sn+a(n)± + ••• + Y(«)-^(« = 0,l,2,...).(3.8)
Чтобы уяснить себе смысл этой формулы, заметим, что
а(п),...,т(л) суть многочлены относительно п, степеней
соответственно не выше k— —1. Например,
r>k — I	№~1~я — 1) (&Ц-П— 2)...(п-|-1)	_2
* + «-1	(к — 1)!	>сл + я-2!=а
_(fe + n —2)...(п4-1)	го_ .
:	(А —2)!	,...,	— 1
и, следовательно:
Л(п\-а (*+«-D(*+«-2>—(i»+l)
а W — “о	--------+
(й+я-2) (й + п-3)...(П+1) ,	zQQ4
+ ®i----------(А-2)!---------F •••+<**_ 1.	(3.9)
Очевидно, что это выражение есть многочлен относи-
тельно п степени не выше k — 1. Аналогичнб получаем:
(« + « —1)(«+л—2)...(л-+-1)
TW—То = (т —1)!	*
+	(3.10)
— многочлен относительно п, степени не выше т — 1.
Таким образом, мы получили следующую теорему: коэф-
фициент dn при хп в разложении по возрастающим сте-
пеням х равен числу s„ (s„ — коэффициент при хп в много-
члене S(x), сложенному с суммой произведений из неко-
торых многочленов относительно п на обратные величины
n-ых степеней различных нулей Q(x). Степень каждого из
этих многочленов на единицу меньше кратности соответ-
ствующего нуля, ,а коэффициенты их выражаются известным
ос разом через эту кратность, данный нуль и через числи-
тели той группы простейших дробей в разложении
Р (х)
которая соответствует тому же "нулю [см. формулы
(3.9), (3.10), а также (3.6)].
Для того чтобы применять эту теорему к фактическому
вычислению коэффициентов разложения, нужно знать:
1) нули Q(х) и кратности этих нулей (нули: а, Ь,...,с,
кратности k, I...т);
2) разложение дроби p-'-j на простейшие (т. е. целую
часть 5(л) этой дроби и числители простейших дробей:
'* 0> А, • • • Aft — 1, • • • > Со, • • • > Ст — 1 )•
С помощью этих данных мы можем определить коэффи-
циенты а0, аь ..., а*_1. •, То >• - •» Tm-i по формулам (3. 6),
1Р	163

а затем и многочлены а (и), 0 (п),	(п) по формулам
(3. 7).
Заметим, что на практике бывает удобно преобразовать
-Р (х)
разложение дроби на простейшие следующим обра-
зом:	, .
Sh=S« + 7^h)‘ + "- +^+-	+
+ r”~i=5W+	+    +	+   • +
~Д/	1 “ /Г
1	Q/(с)т ।	। Ст-Л / с
МГ *-?
(Мы разделили здесь числитель и знаменатель каждой ;«
простейшей дроби на одно и то же число с таким расче-
том, чтобы свободный член знаменателя привелся к едини-
ще). В результате, в числителях простейших дробей появи- J
лись нужные нам числа: а0, ах,... , аА_1 ,...»	, <;
i {сравните формулы (3.6)], так что полученную форму-
лу можно записать в виде:	:
tP(X)^Ci~\ I	“О	I	I »*-’	,	I
+•••+ !_х +••• +
I ТО I I Тт-1	(3.11)
0-г)"	;
; Если теперь читатель возьмет на себя труд запомнить
разложение
Z+ (3.12)
(оно получается, если левую часть формулы (3.4) сначала
записать в виде:	,	 у/д , а затем заменить и f
’ (?-£)
слева и справа Д/(—а)’	через	а, а	через	г), то, приме-	|
ияя его к	каждой из дробей в	правой	части	(3.11) и скла-	..
дывая соответствующие коэффициенты, он и найдет коэффи- - i
Р(х)	1
циенты и	вместе с тем	искомое разложение	для	}
Поясним изложенное на примере. Пусть	, ж
, Р(х)=1 х-|-х8 и Q(х) = (1 — x)2(2-f--v) = 2 — 3x-|-x3. ж
164	I
/
Р (х}
Выделим целую часть из дроби для чего будем де-
лить числитель на знаменатель, расположив их по убываю-
щим степеням х:
х^ — х + 1	1x8 —3x4-2
х8 — Зх Ч- 2 "J-------,
2х—1
Отсюда следует, что .,
1—х-Ьх8 ' - , — 1+2х
2— ЗхЧ-х»= 1	— 3x4-хз '
Займемся . теперь разложением дроби	=
—	(2 х) на простейшие- Для этого воспользуемся
приемами п. 8, гл. III. Начнем с нуля а=Л знаменателя наи-
высшей кратности k = 2 и разложим числитель и знамена-
тель дроби по «степеням h = х — 1. Получим, заменяя х
через 1+А: — 1-|-2х = — 1 -|-2(1 +h) =1 4-2А и (1 —
— х? (2-{-х)=ЛЗ (З-^А). Будем теперь делить 1-{-2л на
3—|-Л до тех пор, пока в остатке не исчезнут члены с h в
степени меньшей k=2.«Найдем:	 . .
14- 2ft	|3 4- ft
1+ 3 й	т+ тА
/  lf 1" ' ‘
5	5	-
g-ft+g-ft*
Следовательно,
"14-2ft' 1 , 5 ,	Т h* 4
34-Л ” 3	9 Я 3 + Л ’
откуда, деля .«обе части этого тождества на h2, получаем:
-14-2х	14-2ft	i/3 . */9	»/>		6/9
(1—х)» (24-Х) “ Л»(34-ft)-ft* “г ft 3-|-ft	(X — l)sTx-1
“Пу4-2 •
Итак,
Р(х) l-x-f-хз	- 14-2х	. . У» .
Q(x)“ (1-х)* (24-х) ~ ^(l-x)» (2 + х)— 1-г(х-1)*т
165
Разложение дроби на простейшие найдено.
Преобразуем его к виду (3.11):
PM 1 , V» , ~В/9 ,	— В/18
Q(x)	т1-хт1-х/-2'
Теперь записываем бесконечное • разложение для каж-
дого члена в правой части равенства:
1-^1+0-х+0-л:«4----+0-х» + ... ,
-6/» - 6/^-6/9х‘—.. -6/9х»-... ,
—~~л1ъ	__5/' '5/	___в/ х* ________6/ ,	_
1—	х/ — 2	'18 <	—2 /,8( —2)* '*	/18 (—2)" "*
Наконец, складывая коэффициенты, при одинаковых
степенях, получаем:
4.=7,	('+D-7.+
+(-1)Ч4-7м-1/,,=7.»-7,+М)*,-7.-^р
(л-1,2,...).
В частности:
, i 1 J.A 1-L // _J_ 9—2—А ±_ 3
“1~3”9 + 9'4	4 « а«— з 9	9'8“ 8“'
„	1—X-kJC®
Следовательно, для	имеем разложение:
1-х+лв , 1_ + £  з	+Г1 _2.
2—Зх-|-х8 2	4 % ' 8 Л	+[з” 9 +
+ (-1г+14-^ухч-..-
Для контроля начнем производить операцию деления
числителя на знаменатель, сохраняя их расположение по
возрастающим степеням 'х. Получим:
1—х -f- Jt8 |2—3x-i~jfi
< 3	.	1 Л 1 . 1 >з ,
1-'2х+	-2^ 2’ + тх + '8^+ •••
4 х +
^х~х*	+4<
т?+1х3~т*4
166
Мы получили те же самые члены, что и выше. Читатель,
конечно, видит, что фактическое выполнение операции де-
ления гораздо быстрее и проще приводит к цели, когда
нам нужно получить определенное и притом небольшое
количество начальных членов разложения. Кроме того, здесь
сам собою получается и соответствующий остаток. Однако
-структура коэффициентов частного остается при этом
скрытой, тогда как предыдущая, более сложная, выкладка
обнаруживает эту структуру. Именно, мы нашли, что коэф-
фициент при х" в частном равен
(’»!)
Так, например:
_310-2	5 _ 28-2048 — 5 _6371
aio~ 9 ‘	9-2и“	9-2048	~2048 '
4. Обратная задача: отыскание рациональной функции
по заданному,разложению
Рассмотрим, a priori, заданную последовательность чисел:
8о> 81> •••»&«>
которые при и, большем некоторого целого числа s, опреде-
ляются равенствами:
8я = Л(й)4 + В(«)4+---+С(«)4>	(4.1)
где А(х), В (х),.. .,С(х) какие-либо многочлены и а, Ь,...,с—
заданные числа. Мы покажем сейчас, что существуют та-
кие два многочлена Р(х) и Q (х),что коэффициенты част-
ного от деления Р(х) на Q(x) совпадают с числами 8Л для
всех значений п:
4,=8„ (« = 0, 1, 2, ...).	(4.2)
Иными словами, мы утверждаем, что теорема п. 3 этой
главы дает не только необходимые, но и достаточные,
условия для того, чтобы некоторая последовательность чи-‘
-сел являлась последовательностью коэффициентов частно-
го, полученного от деления двух многочленов.
Для доказательства рассмотрим какой-либо из многочле-
нов А(х), В (к), ...,С(х), например, Л(х): если его степень
равна нулю, то полагаем А(х) = а0. Если же его степень
больше нуля, то, обозначая ее через k—1 (А>1), пред-
ставим А(х) в виде:
А(х\-а (* + 1) ••• (* + * —1) , „ (х + 1) ... (x + fe-2)
Л{Х) — а0	(ft —1)!	(А —2)!	ф
.	4- а	(х-4-1) • • • (х4-У—1) .
।	(х + 1) (х + 2) , _	х+1	,л оч
| • % • Т —3	gj	F 2 ||	• *&/>—].	(4.3}
167
Покажем, что всегда возможно подобрать одно за дру-
гим числа a-k-z, “s-з,	—, «х, а0 так, чтобы вы-
полнялась это соотношение. Выберем а*_г так, чтобы ра-
венство (4.3) выполнялось при х~ — 1. Так как при х =
= — 1 все члены правой части (4.3), кроме последнего,
обращаются в нуль, то мы должны иметь:
'А (— l) = aft_i , откуда аА_1=Л(—1).	(4.4)
При таком выборе a*_i равенство (4.3)'будет удовлет-
воряться для х= — 1, каковы бы ни были значения осталь-
ных коэффициентов , аА_з, ... , а0. Потребуем теперь,
чтобы (4.3) удовлетворялись и при х= — 2. Так как при
х= — 2 все члены правой части, кроме двух последних* об-
ращаются нуль, то для этого нужно, чтобы выполнялось
соотношение:
А (— 2) = — aft_2 -f- aft_i, откуда	= «fe-t — А (—2). (4.5>
Сделав выбор чисел и «л-—2, мы можем утверждать
уже, что равенство (4.3) будет удовлетворяться при х =
==—1их== — 2, каковы бы ни были значения прочих коэф-
фициентов. Пусть мы уже подобрали значения j — 1 коэф-
фициентов 1 , а4_2 ,...', а*-у+’, где (k —	1 >0), так что-
равенство (4.3) удовлетворяется при х=—1, х=—2 ....
х=—(/— 1), каковы бы ни были значения прочих коэффи-
циентов. Положим, тогда х=— /. При этом в первой части
(4.3) обратятся в нуль все члены, кроме последних j чле-
нов, и мы получим:
М Л—ak~j	(Z —1)!	(J—-2)Ь
+ • .. -j- a*_i —+ a*_t = (— 1/-1 aj_7- rj-
+ (-D >-^+1	(- iy-4^2 v - 1)2i(/-2)-+...'
+ ( —1) aJt—2 Ц]*- +	1 •
Это уравнение имеет решение относительно «*—;'
ak—j-------j ал—/ч-i
_(У—!)(/—2)
2!
(- 1У-1 ^T-1 a^-2 + (~	+( -1/+’ A (-J).	(4.6>
Если мы припишем ak-j в соотношении (4.3) х именно
это значение, то (4.3) будет удовлетворяться не4 только
при х— — 1, х— —2, ... х = — (/ — 1), но и при х= — J.
Это рассуждение показывает, что, начав с а^_х, мы затем
последовательно определим числа a*_2, aft_3, au
168
так, что соотношение (4.3) будет удовлетворяться при
х =— 1, х——2, ...,х«—(А—1), x——k. Но тогда в
левой и правой частях (4.3) мы будем иметь два много-
члена степени не выше k—1, совпадающие при k различ-
ных значениях х. По теореме 3 п. 2 гл. I, они должны
быть, тождественно равны между собой. Мы, следователь-
но, доказали, что многочлен А (х) можно представить в
требуемом виде (4.3). Конечно, такой же вывод приме-
ним и к многочленам В(х), ... , С(х).
Обозначая их степени через I— 1, ... , tn— 1, запишем
их в виде:
В(х)-Л (x+1)(7_(f)il~'~1) 4-...+Мт + в-., I (47)
с(х)'=^л+^+"-1>+:.7+^^+^1
Возвращаясь к равенствам (4.1), напомним, что они, по
условию,'верны при и >s. Если s отрицательное, то мы
можем придавать п все значения: 0, 1, 2,.... но если s
неотрицательное число (целое), то равенствами (4.1) мож-
но пользоваться, только начиная cn = s-}-l.
Легко представить соотношения (4.1) в такой форме,
чтобы ими можно было пользоваться при всех значениях п —
=0, 1, 2, ..; . Для этого введем числа
+ С(п)рг](п=0,1,2,...).	(4.8)
При все .эти числа равны нулю; при s^>0 они
равны нулю, если	\
Из равенств (4.8) заключаем, что
8п = 5„ + Л(п)^+В(л)А-+..' +С(п) J-, ' (4.9)
при п = 0, 1, 2,... Это и есть нужная форма равенств
(4.1). Обозначая через S (х) многочлен, коэффициенты ко-
торого по порядку суть
«о» $1» Sg, ..., s„, ...
• (S-(x)=0 при s<0; при 52г0 это многочлен степени s),
16»
составим сумму рациональных функций:
+	(4.10)
z ’	1““г
Здесь коэффициенты ао,..., аЛ—1 > • • • ,	?z—!>•••>
То,---» 1т—1 подобраны нами выше так, чтобы выполнялись
тождества (4.3) и (4.7), а числа k,	представляют
увеличенные на 1 степени многочленов А (х), В(х),...,
С (х), и числа а, Ь,...,с взяты непосредственно из равенств
(4.1).
Приводя дроби к общему знаменателю и выполняя сло-
жение, мы представим сумму (4.10) в виде:где
Q(x) — общий знаменатель дробей имеет вид:
Следовательно, выражение (4.10) можно рассматривать
как разложение -^j-у на простейшие дроби. По п. 3 этой
главы коэффициенты d„ частного от деления Р(х) на Q(x)
должны выражаться так*.
где
р (п) = ?,<п +~11 +  +>-.,
V х/‘
„Гя4___(« -И)...(п-Ьж — 1) , I
Y v1) То	_i)|	“г* • • •“г* Y®—1»
что в силу (4.3) и (4.8) совпадает, соответственно, с А(п),
В (и),.... С (д). Итак,
4„=sn4-A(n)-^-t-B(«) .^-h...4-C(n).i(n = 0, 1,2,...),
откуда, сравнивая с (4.9), заключаем окончательно:
in = d„(n = 0, 1, 2,...).
170
Наше утверждение доказано.
Рассмотрим в виде примера последовательность:
&0=1, 51 = 1, 5Я=И«.2Л — (5«+1)^-(л=2,3,.. J
Чтобы найти многочлены Р(х) и Q (х), дающие в част-
ном коэффициенты, равные числам 8„, воспроизведем вновь
рассуждения этого пункта.
Здесь s=l>0, A(n) = n2, k = 3, В(п)=—(5«Н-1),
7 = 2, а—~гг и Ь—3. Сначала следует представить много-
члены А(п) и В(п) в виде (4.3) и (4.7). Мы должны иметь:
А (п) = ns = «tt (п + 1И”+2Х -]- Oj ”	-|- а2. Полагая здесь
л= —1, получим: 1 = аа. Положим далее п — — 2. Тогда
найдем: 4 = —т. е. a1 = at — 4= — 3. Наконец,
положим п = — 3. Будем иметь: 9 = а0 —2^	а2, а0 = 2аг —
—а2-{-9 = 2. Итак, во = 2, 04 = —3, а2=1 и
я.=2.1г±Ш1±а_3.1+± + 1.
Аналогична, для В (я) получаем: В(п) — г-5п — 1 =
= ?о + Pi- Отсюда В (—1)=4=^, т. е. р! = 4 и В (—2)=
= 9=— ₽o-Hi, т. е. &> = & — 9=-5. Итак, &> = —5, ^=4
и — 5п — 1 = — 5	4- 4.
Далее, по предыдущему, определяем числа
«.=8л— [«‘2“ — (5л+1) -Lj(n = O, 1, 2,...).
При л=2, 3.... все они, в силу условия, равны нулю.
При в=0 и 1 получаем]
so = 3o4-l=2, s1 = 81-(2-6-1/8)=1.
Поэтому многочлен S(x) в данном случае равен: 2-j-x
и сумма рациональных функций (4.10) принимает вид;
2 + + (1—2х)8 “ (1—2х)2 + 1—2х	+
+—Ц?=[(2+х) (1 -2х)3 О - -г)*+2 О - 4 У -
1— 3
— 3 (1 — 2х) (1 — -уУ + (1 - 2х)«(1 f-)2 - 5 (1 — 2х)8 +
171
- +4(1-2х)в(1--р] :(l-2x)s(l=
1 -5.-|- * + 24-|- »«'—27 -j-x» +7 V +4-Гл:6 ~4X®
=	g 74	§	2	«	'
1 — 6-3- X + 16-g-x2 — 16 -3-X8 + 6-3-X» —-g-Л*
Следовательно, именно при делении Многочлена шестой
степени Р (х) = 1 — 5 */3х 4- 24 */9х2 — 27 2/3х3 -f- 7 7/9 х4 -|-
-|-48/9х5— 8/9х« на многочлен пятой степени Q(x)=l—
— 6’/8х +	— 162/8х3 + 62/3х4 — 8/9х5 в частном,,
в качестве коэффициентов будут получаться заданные
числа: 80 = 1, Л1= 1,
8л = иа.2"-(5п + 1).А-	(п=2,3,...).
5. Структура членов произвольной рекуррентной
последовательности
В п. 6 главы II было доказано, что последовательность
коэффициентов частного от деления многочленов, располо-
женных по возрастающим степеням х, является рекур-
рентной. Именно, если многочлен ^в+^х-1-.. .-\-ЬрХр
делится на многочлен	.-\-а^с9	0), то в.
частном получается разложение:
причем члены последовательности d0, d^, dit..., dn—
связаны рекуррентными уравнениями:
=0.	(5.1)
Рассмотрим теперь какую-либо, a priori, заданную последо-
вательность
«0,	(5.2)
члены которой связаны рекуррентцыми уравнениями вида:
iK«-H 4“ • • • 4“ ^окл+? = 0.	(5.3)
Мы будем считать, что коэффициент Ао в этих уравне-
ниях отличен от нуля, так как, если бы он равнялся нулю,
мы могли Т5ы вовсе его не писать и оперировать с урав-
нением, связывающим не как в данном случае, сосед-
них1 членов последовательности, а меньшее их число.
Далее мы предположим, что уравнения (5.3) выполняются,
вообще, лишь начиная с некоторого значения л = п0>0.
Если п0 = 0, то это означает, что все члены последова-
тельности удовлетворяют уравнению (5.3); если же п0>0,
то начальные члены последовательности «0,.. i могут
172
I
я не удовлетворять уравнению (5.3). Покажем, что во всех '
случаях, последовательность (5.2), которую можно рассмат-
ривать как наиболее общую рекуррентную последователь-
ность, совпадает с последовательностью коэффициентов
некоторого разложения, получаемого при делении надле-
жащим образом выбранных многочленов. Одного сравнения
соотношений (5.3) и (5.1) достаточно, чтобы в качестве
делителя Q(x) выбрать многочлен
(5.4)
Свободный член его Ао^О (по условию) и, следова-
тельно, Q(x) можно рассматривать как делитель при делении
многочленов, расположенных по возрастающим степеням х.
Чтобы найти соответствующее делимое, возьмем произ-
вольное натуральное число n~^q-\-n0 и умножим предпо-
лагаемый делитель Q(x) на предполагаемое частное*
ив + игх 4- и2хг 4-...+uq+nax^+•..+и„хп,
Мы получим тогда следующий результат:
(Лв-|- Агх-}-А2х*-}-.. .4- Лух®)(«04-«1х4-И2-"С24_- • •+
4- «По+гхл<>+« 4-... 4- ипхп)—[Ао«о 4- (Аги0 4- Ао«1)х 4-
4-(А?ив4-А1И14- А0и2)хг4--•.•14_[И9ило4_-• '“Ь ‘ *
4- А0иЛо+г)хл»+«4-.. .4-(A(Zwn_?4-...4-A0«„)x',]4-	, ;
4~ [(^9w»-«+i +• • -4“	хЯ+1 4* (А^Ил—9+2.4~« • -4-
4- а2«я) х"* 24-.. .4- а9иях«+л ].
Мы* представили всё" произведение в виде суммы трех
•слагаемых, заключенных каждое в квадратные скобки.
В первую из них входят только степени х с показателями
* меньшими п0 4-^. Это многочлен степени не выше «п +
4-^ — 1, не зависящий от выбора числа п (л>п04~9')-
Мы обозначим его через Р(х). Далее идет скобка, заклю-
чающая в себе члены с коэффициентами, равными нулю,
в силу уравнений (5.3). Наконец, последняя скобка со-
держит многочлен, младший член которого имеет степень
не ниже «4-1. Обозначим этот многочлен через—Тп(х\.
Тогда наше тождество перепишется в следующем виде:
4- Агх 4- А2х2 4-... 4- АдХ9) («0 4- «1Х 4~ и2л2 4* •• • Ч- ипхП}—
= Р(х)-~Тп(х),
откуда
Р(х) = (А04-А1х4-А2х'!4-.. ,4-А9х?)(и04-а1х4-'
+ игхг 4-... 4- ипхп 14- Тп (х).
Так как степень многочлена «0 4* «г* 4-• • • 4" “л*” не
выше п, а степень младшего члена Г„(х) не ниже n-f-'l,
173
то из этого тождества видно, что Р(х) есть делимое,
Q (х) = Ао -|-... + АдХ" — делитель, «0 -f- «Хх 4- •.. 4" и„хя—
частное й Т„(х)—остаток. Э.то заключение справедливо-
при любом п^п04_<7> и, следовательно, наша задача ре-
шена. Мы построили многочлены Р(х) и Q(x) такие, чта
при делении Р(х) йа Q(x) получается разложение:
«о + «1х+.. .4-«лхп4~-. .,
коэффициенты которого суть члены заранее данной рекур-
рентной последовательности (5.2).
Поясним сказанное примером. Рассмотрим последова-
тельность:
«0=1, »!=1, «2=1, «3 = 2, «4 = 0, «5 = 2, «в = 0, «7 = 2,
«8 = 0,...,
члены которой удовлетворяют рекуррентным уравнениям
— «„-+ «„+2 = о (л > 3).
В этом случае Ао=1, Ах = 0, А2=—1, д = 2 и л0 = 3.
Для искомого делиТеля получаем:
, Q(x) = l —х2.
» Чтобы найти делимое Р(х), достаточно, как мы показа-
ли, составить произведение Q(x) на многочлен «04-«1Х +
-Р«2х2+-. .Ч-«ях”, беря «;>0-|-гао = 5 и в этом произве-
дении отобрать все члены степени не выше ^+п0 —1=4.
Проще всего, конечно, взять для п наименьшее воз-
можное значение п = 5. Получим:
(1 — X2) («о + «Iх + И2Х2 + «3Х8 4- И4Х4 4- «6Х5) =
= (1 —х2)(14- х 4- х2 4~ 2х8 4~2х5) =1 4-х4-х8 — х4 — 2Х’.
Отбирая здесь члены степени не выше четвертой,
найдем:
Р(х)= 14-х4-х8 — х4.
Таким образом, мы нашли делимое Р(х) и делитель-
Q (х), соответствующие разложению
«0 4- «1X4- «ах2 4-... 4-«я*п+ • • •»
т. е:
14-х 4-х2 4~ 2х8 4~ 2х6 4~ 2Х14~ • • • •
А именно:
1 "|~	х3 ~ х4 - 1 4-	+ 2х8 4- 2х5 4- 2х7 4-...
Рекуррентные последовательности встречаются в самых
различных задачах математики, которые по своей форму-
лировке не имеют ничего общего с делением многочле-
174

нов. Предыдущие результаты позволяют рассматривать
каждую такую последовательность как последовательность
коэффициентов частного от деления двух многочленов.
Поэтому к членам любой рекуррентной последовательно-
сти применимо все сказанное в п. п. 2—3 этой главы о
структуре коэффициентов частного.
Остановимся на этом вопросе, чтобы затем перейти к
различным применениям.
Пусть
«о, иъ ия>...	(5.2)
рекуррентная последовательность, члены которой удовле-
творяют уравнениям
АдИп Ч~	ЮЛ+’ 4“- • • +	= 0-	(5-3}
Тогда, как мы показали, данная последовательность совпа-
дает с последовательностью коэффициентов частного от
деления некоторого многочлена Р(х) на многочлен
Q (х) = Ло -|- Ах 4- •. • +АдХ<г
Мы можем считать здесь Aq ф 0, так как при Ад=0 мы
опустили бы соответствующий член в рекуррентных урав-
нениях (5.3) й начали бы писать эти уравнения с первого
члена, имеющего отличный от нуля коэффициент. Если а,
Ь,..., с—пулъ Q(x), a k,	их кратности, то &4_
+ /+•. .-\-m=q, т к как общее число нулей Q(x) долж-
но равняться q.
Не занимаясь отысканием делимого Р(х), мы можем ска-
зать, на основании предыдущего пункта, что его степень р
не превышает n9-\-q—1.
Обозначая р—q через s и замечая, что $-<я0— 1, вос-
пользуемся результатами п. 3 этой главы, где была уста-
новлена структура коэффициентов частного. Получим, что
числа (5.2) при ra>-s4-l представляются по формуле вида:
»в = «(я)-ЗЯ-+?(») -рг+---(5.5)
где а, Ь,..., с — нули Q (х), а а (и), ₽(га),..., -[(я) некоторые
многочлены степеней k- 1, Z—1,.. , т—1 соответственно.
Формулы (5.5) во всяком случае справедливы при га^>п0,
так как они верны при ra>s-4-l, a.ra0>s-j-l-
Мы и будем в дальнейшем употреблять формулы (5.5)
для вычисления членов последовательности (5.2) при п~фпй.
Пока остаются неизвестными коэффициенты многочленов
а (га), 3(га) к (га) Для их вычисления можно было бы ра-
зыскать многочлен Р(х), как это указано выше, а затем,
разложив ' на простейшие дроби, получить и коэффи-
175
циенты наших многочленов а (л), Р(п),.у:(/г) (см. п. 3
этой главы). Однако проще заметить, что а (я) имеет к не-
известных коэффициентов, р(и)—I коэффициентов,.. .^(п)—
т коэффициентов, а всего, следовательно, k-j-1-j-... -f-
неизвестных коэффициентов. Чтобы найти эти q не-
известных, понадобится, по крайней мере, столько же урав-
нений. Их можно получить, выписывая уравнения (5.5)
для значений Л — пй, л0-|-1, ... пй-\-д—1. Мы не будем
останавливаться здесь на доказательстве того, что получае-
мая таким образом система уравнений будет достаточной
для отыскания всех неизвестных коэффициентов, а обра-
тимся к некоторым применениям изложенной теории.
6. Числа Фибоначчи
Одна из любопытных задач, в которых встречаются ре-
куррентные последовательности, это задача Фибоначчи1 * о
кроликах. В ней требуется определить, сколько кроликов
родится от одной пары через год, если известно, что каждая
Зрелая пара ежемесячно рождает новую пару, причем ново-
рождённые достигают полной зрелости в течение месяца.
В этой задаче интересен отнюдь не результат—получить
его совсем не трудно, и для этого достаточно знать ариф-
метику целых чисел—но последовательность, члены которой
выражают общее число зрелых пар кроликов в начальный
момент («0), через месяц (a^, через два месяца (и2) и, вообще,
через п месяцев (»„).
Очевидно, что и0 = 1. Через месяц прибавится пара но-
ворожденных, но число зрелых пар будет прежнее: их = 1.
Через два месяца прибавится еще одна пара новорожден-
ных, но число зрелых пар теперь будет равно двум: а2 = 2.
Пусть мы вычислили уже число зрелых пар через п меся-
цев— ип и через n-f-1 месяцев — ия+1. Так как к этому
времени ип ранее имевшихся зрелых пар дадут еще и„ пар
приплода, то через n-J-2 месяца общее число зрелых пар
будет
ив+«„+1 = ал+2.
Отсюда
«з = «1+иг = 3, и4 = и24-«з = 5, «5 = «3-|-я4 = 8,
и6=.«4-]-и5 — 13...
Таким образом, в задаче Фибоначчи мы сталкиваемся с
последовательностью, называемой последовательностью Фи-
1 Фибоначчи, или Леонардо Пизанский,— итальянский средневековый
Математик (около 1200 г.),’1 оставил после себя книгу об абаке (Liber
abaci), содержащую обширные арифметические и алгебраические сведе-
ния, заимствованные у арабов и византийцев и теоретически им пере-
работанные и развитые. Подробнее о нем см. у Це й т е н а, История ма-
тематики в древности и средние века. Государственное технико-тео-
ретическое издательство, 1932, стр. 213—219.
176
боиаччи
Uq -— 1, /^1 — 1, U>2 — ^3 —	«Б	^6 ' 13, • . • (6.1)
члены которой (числа Фибоначчи) связаны рекуррентными
’уравнениями:
«я + «„+1«— и„+2 = 0,	(6.2)
справедливыми для:всех значений «>-0.
Чтобы представить ал через п по общей формуле (5.5),
найдем сначала многочлен Q(x). Здесь До=— 1, ^=1,
Д2 = 1, а следовательно, Q(x)= — l-j-x+x8 и q = 2.
Решая уравнение
'	— 14-х+х» = 0,
мы получим далее '	\
а==-1.+ «
Здесь оба нуля простые, так что k — I— 1.» Следова-
тельно, общ.ая формула (5.5) принимает теперь вид:
где а и р константы, подлежащие определению. Прежде
чем отыскивать их, заметим, что произведение a-b = — 1,
так что	..
' 1 _ . «,-14-1/5-_____1-/5"
а ~	0	^~2	• b ~ а— 2
Следовательно, z
(„=0,1,2,...).
Чтобы ндйти два неизвестных коэффициента аир, положим
здесь и=0 и п = 1. Получим:
а0 = 1 = а + р
и		_
„	«	-Л4-/5~А « 0/1-/5? \
И1 — I —	2	) • Р\	2	) ‘
Этд система двух уравнений с двумя неизвестными мо-
жет быть записана в виде:
.«+2=1,	л
(a+P)_|_j/-5(a_	-2,
откуда a—1
Следовательно,
a
12 А. И. Маркушевич
177
Окончательно мы получаем:
/1—/5 \я+г
(	2 J
1-J-/5 V+1
2	)
(л = 0, 1, 2,...).	(6.3)
Эта формула позволяет вычислить любое из чисел Фи-
боначчи.
Раскрывая скобки по биноминальной формуле и произ-
водя сокращения, получаем:
ы — 1 T2L_1_ «(» — !)(” —2)
я — 2«-i L 1	31
П(п—1)(п —2)(п —3)(я —4) 5а_|_
Однако формула (6.3) удобнее для получения различ-
ных свойств чисел Фибоначчи. Докажем в виде примера, что
4+1 = U2„+2,	(6.4)
т. е. что сумма квадратов двух соседних чисел Фибо-
наччи есть также некоторое число Фибоначчи.
В самом деле:
Следовательно,
110	2 ( - >«] к
A + „;+l = -L{(i±^T)“+2 [1+ (1±^)1+
_ if А 4-/б У"+25 + 1<5 , / 1— Vs Vn+2 5 — Уб 1
— 5 (V-2 /	2 + \ 2 )	2
_1_(/1 + /5-\2я+3 /1-/5-у"+3|
“ /5 Ц 2	)	\	2	) J «2л+г.(
В частности, при л = 5 получаем: «i-|-«6=8 -f-13* =
= 233=«18.
Это и есть ответ на задачу Фибоначчи. Впрочем, как
мы уже указывали, ответ этот легко получается непосред-
ственно, путем нахождения чисел Фибоначчи одного за
другим по формуле
Ил4-2 == Ид -J- Ил4-1.
178


Предлагаем читателю доказать, что вообще:
ипит ил+1ит+1 = нл+т4-2.
Предыдущее соотношение получается отсюда прип=/п.
7. Теорема Ламэ о количестве операций
в алгорифме Евклида
В качестве одного из применений формулы (6.3) дадим
здесь оценку количества операций, производимых при оты-
скании наибольшего общего делителя двух чисел посред-
ством алгорифма Евклида.
Пусть b й а два натуральных числа, наибольший общий
делитель которых мы должны найти, и пусть Ь>а.
Применяя алгорифм , Евклида, получаем цепь равенств
(см. п.,7 гл. 1):
1)	&=ах'-|-у,
2)	а—у'х"-\-у",
3)	у' = у"х'" +у"',
к4-1)
В последнем из них остаток равен нулю. Следователь-
но, предыдущий остаток у*> и есть н. о. д. b и а. Поэто-
му k означает число операций, потребных для отыскания
н. о. д. Наша задача, как мы уже сказали, заключается
в оценке числа k. Для этой цели заметим, что
(через и, со значками внизу мы в этом пункте обозначаем
числа Фибоначчи). Но предыдущий остаток у*-’) заведомо
больше	Следовательно, у*-’) > 2=^s. Далее, заметив, что
частное	мы заключаем из равенства к), что
у*-2)=у*-1)х(»)4-у‘)>ул-1)4^у*)>и24-и1 = «8.
Итак,
Уй) > их, У4"1) > и2, У*~2) > и8.
Допустим, что мы уже доказали неравенства:
yfe) > «1, У*-1) > «2, У*~2)> «з, • • • >Ут)> И*-т+Ь '
ym-1)	u4_m+2.
Тогда из равенства: у*”—2)=ут—1) х^-^-у^ заключа-
ем, что:	, , . , . .
у(т-2)	_|_у(т)	‘
Итак, продолжая наши рассуждения, мы дойдем ДО неи
равенств
У'>и^ь. У>ИА
12*	179
»
и дал^е из соотношения 2) выведем, что
а = у'х" 4- у"	ик-х tt* = «*fi •
Но «ft+i по формуле (6.3) имеет следующий вид:
Здесь
откуда
и, сле-
довательно,
илй	v	-	_
'Отсюда заключаем, что
, (12Чп-)*<а-н-	<7-о
Заметим, что
; “.=5=Я(^И^Я]<
1 Г/1 + /Т у. | ,
/5 [Д 2 / ~
и, следовательно:	\	,
(1±р-)8 > 5/5 -1 > 10.
Возвышая ббе части неравенства (7.1) в пятую степень,
мы можем заменить в'левой части	через 10,
отчего неравенство усилится:	»
10*<(а4-1)6.	. (7.2)
Если число а по десятичной системе, счисления записы-
вается • с помощью п цифр (я — значное число), то очевид-
но, что	'
10»-1 < а < 10»,
откуда * <
«4-1 <10".
180
Заменяя в правой части неравенства (7.2) й-|-1 через
10",' мы не ослабим этого неравенства. Поэтому
106<105Л,_	!
или	।	:
А<5п.	-	(7.3) ;
Это и есть искомый результат: число операций, '
нужных для отыскания наибольшего общего
делителя двух чисел b и а (а<д), посред-
ством алгорифма Евклида, меньше упятерен- •
к ного числа цифр наименьшего из двух дан-
ных чисел, записанного по десятичной систе- '
. м е. Предложение это было впервые установлено Ламэ1 <
и носит имя теоремы Ламэ. Из приведенного здесь дока-
зательства можно усмотреть, что наиболее невыгодный слу- '
чай для применение алгорифма Евклида (в смысле наиболь-
шего, близкого к устанавливаемому в теореме Ламэ преде-
лу,- количества операций) \будет тогда, когда b и а являют-
ся соседними числами Фибоначчи. Для ’подтверждения этого
возьмем, например,, £=«19 = 6765 и а = а18 = 4181. Здесь
а — четырехзначное число и, следовательно, по теореме
Ламэ, количество операций в алгорифме Евклида не-долж-
Э но превышать 4-5 = 20.	ч
В действительности мы получаем здесь k = 17 опера-
ций. В самом деле:	,
1) 6765=4181 • l-j-2584	10) 89 = 55-14-34
' 2) 4181=2584-14-15?7	11) 55 = 34 44-21
3) 2584=1597-14- 987,	12)34 = 21-14-13
4) 1597= 987-14- 610,	13)21 = 13-14-8
5) 987= 610-14- 377, >	14) 13= 8-1+5 .
б) , 610= 377-1-4 233,	15) 8= 5-14- 3
7) 377= 233-1-j- 144,	16) 5= 3-14- 2
 8) 233= 144-1-j- 89,	17) 3= 2-1-F 1
9) 144= 89-14- 55,	18) 2= 1-2
В качестве остатков здесь получаются одно за другим
• числа Фибоначчи в убывающем порядке. Все частные (кроме
последнего) равны единице, чем и объясняется наличие
большого числа операций. Наибольший общий делитель
оказался равным единице, что для чисел Фибоначчи можно
было предвидеть с самого начала. В самом деле, из равен-
ства пл_р=««.pi + ип следует, что наибольший дбщий де-
литель пары чисел ия+2 и «„+i совпадает с наибольшим
общим делителем пары «я+1 и ип. Следовательно, для
Габриель Ламэ — известный французский математик (1795 —
1870).	.	\
;	..	181
каждой пары соседних чисел Фибоначчи наибольший общий
делитель один и тот же. Чтобы найти его, достаточно рас-
смотреть первую парл u0=Uj=\. Так как здесь он равен
единице, то и для любой пары соседних чисел Фибоначчи
наибольший делитель должен равняться 1.
8. Другие примеры рекуррентных последовательностей
Рассмотрим рекуррентную последовательность
«о, «1» «2.-,	(8.1)
члены которой связаны уравнением:
..	« „ ,i ?(? — !) ..	।
ил---|~ип+1~[---pg—ttn+2—•••г
I Z о/ *(« — !)•••(?— 7-4-1) „	. I I Z	_А
-f-(—I) ------j.2..;у-----“»+; + ••• “г (—D*un+q —О,
(л=0, 1, 2...),	(8.2)
коэффициенты которого суть биноминальные коэффициенты
порядка q, взятые с чередующимися знаками. Следуя рас-
суждениям п. 5 этой главы, найдем сначала многочлен
Q(x), соответствующий последовательности (8.1).
Так как Д9=1, 4^= —f-, 4?_2=Ц=^-,...,
4W=(~D'	4,=(-1)’,
Q (х)=х? - -j- х«-’ +	х«-Ч-...+ (—1)«=(х-1)«.
Здесь а=1 нуль многочлена Q(x), причем кратность его
k=q. Следовательно, формула (5.5) получает вид:
ля=а(л)-^„=а(л),	(8.3)
где а (л) — многочлен степени не выше k—l=q—1. Чтобы
найти этот многочлен а (л), напишем уравнения (8:3) для
значений л = 0, 1, 2,..., q— 1.
Получим:
ио = а(О), И1=а(1),..., Uq-i —a.(q — 1).	(8.4)
Иными словами, мы можем считать известными значения
многочлена а (л) для q различных значений независимого
переменного л. Но этого, как мы знаем (п. 4, гл. III),
вполне достаточно для определения многочлена степени не
выше q — 1. Искомый многочлен следующим образом пред-
ставится по формуле Лагранжа:
“W — «0 (о —1)...[о—(? —1)] +
,	(л —0) (л —2)... [л —(у—1)] ,
-I~«i (1-0)(1-2)...(1-(?-1)1Л
,	. „	(л — 0)(л — 1)... [л —-(д —2)]
182
Подставляя в формулу (8.3), получаем для любого члена
последовательности (8.1) формулу:
_	(n-l)...[n-(g-l)l ,	(д —0)(я—-2). ..[п—(у — 1)] ,
(0_1)...[0-(а-1)] -Г»1 Ц --0)(1 - 2).. .[1 - (q- 1)1 +
I	_______(л —0)(л —1)...[д —(? —2))____ ,sca
[to-i)-ojK<7-i)-ij... [(?-1)-(?-2)] • 1 '
Таким образом, общий член рекуррентной последователь-
ности, удовлетворяющей уравнению (8.2), выражается мно-
гочленом относительно п степени не выше q—1.
Покажем, что и обратно всякая последовательность
(8.6)
общий член которой выражается многочленом относитель-
но п степени не выше q— 1,есть рекуррентная последова-
тельность, удовлетворяющая уравнению (8.1).
В самом деле, пусть
= ав + а1л+- • •+«<г-1П‘7~'(и = 0, 1,2,...).	(8.7)
Очевидно, что эта формула является частным случаем
формулы (3.8) этой главы.
В самом деле, мы можем считать, что в данном случае
правая часть формулы (3.8) свелась лишь к одному первому
члену:
причем а = 1, так что здесь остается только один много-
член а (и) степени Л—1, который и следует отождествить
с правой частью (8.7). Но в п. 4 было показано, что всякая
последовательность, удовлетворяющая уравнениям вида (3.8),
является последовательностью коэффициентов частного от
деления некоторых многочленов, т. е. рекуррентной после-
довательностью. Следовательно, последовательность (8.6),
удовлетворяющая уравнениям (8.7), представляющим част-
ный случай (3.8), также рекуррентная последовательность.
Чтобы написать для нее рекуррентное уравнение, достаточно
найти тот многочлен Q(x), при делении на который неко-
торого многочлена Р(х) получаются в частном в качестве
коэффициентов члены данной последовательности. Много-
член Q (х\ соответствующий общему уравнению (3.8), имеет
вид:
В нашем случае (уравнение (8.7)) а = 1 и число k,
представляющее увеличенную на единицу степень а(«),
равно q.
Поэтому:	•
Q(x) = (l—х)« = 1- Л-	(-1)9x9
18
и, следовательно, рекуррентное уравнение имеет вид:
s	+ •••. •“Н Юп+q — 0. , .	>(8.8)
Но это значит, что члены последовательности (8.6) удов-
летворяют уравнению (8.2).
В частности, если -pn=n’“’, получаем:
®я+1 = (п + 1)’-1, ‘V«+2=(»4-2)«'-1..., ^^(л-Н)*-4,
‘ откуда
^(« + 1)^-1 +?fcll(«-]-2)«-I-...+
,	+(-!>’+	= 0 (n=0, 1, 2,...).
Так, в левой части равенства стоит многочлен относи-
тельно п степени не выше д — I, а мы доказали, что он
обращается в нуль при всех целых неотрицательных п, то
многочлен этот должен тождественно равняться нулю.
Заменяя п через х, будем иметь тождество:
1	1’л
+(-W + ^’E0.
Например, при д = 4 получаем:
Xs — 4(х+1)8 + 6(х + 2)’ — 4(х-|-3)24-(х,+4)8=0. •
Читатель может, раскрывая скобки, непосредственно
убедиться в справедливости этого тождества.
Поясним все сказанное на примерах. Пусть q = 3, так
что уравнение (8.2) принимает вид:
ип — Зив+1 + Зиа+2 — ил+з = 0 (и = 0, 1, 2,...).	(8.9)
Тогда, по доказанному выше (формула 8.5):
_ (я —1)(п —2) ,	(я-0)(я-2) , (я —0)(я —1) _
«П —“в (0— 1) (0 — 2) ' i (1—0)(1 —2) “Г" 2 (2 —0)(2—1) ~
= -g- в0(п —1) (п —2) —«!«(» —2) + -i- иап( п— 1).
Пусть, например, начальные члены последовательности
таковы:
и01, uY ±= 0, и2 = 2. „
Тогда
и„=-1-(п—1 п — 2)-|-л(га —	=*-н-п2—(8.10)
Значения членов а8, «4, и5, ив,... могут вычисляться при
помощи формулы’(8.9) или (8Д0).
184
Так, для иа получаем из (8.9) при п=.О:
и3 =3«2 —3«i-|-«0 = 6-f-l =7.
Точно так же из формулы (8.10) имеем:
«3= 4-9^4-3 + i=7.
Вычисления по формуле (8.10) имеют то преимущество,
что здесь мы можем находить любой член, не вычисляя
'предварительно предыдущих. Для использования же фор-
мулы’(8.9) необходимо всегда знать три члена, непосред-
ственно предшествующие искомому члену.
Рассмотрим теперь другую последовательность
' “По, 1*1, ®2,...„ -пя)...,
общий член которой выражается некоторым многочленом
относительно п не выше второй степени:
®„ = а04-а1л-|-а2л2.
Выше мы показали, что это рекуррентная последова-
тельность, удовлетворяющая уравнению (8.2), при
-f-l ₽ 3, т. е. уравнению (8.9). В данном случае легко про-
верить это утверждение непосредственно. Именно, замечая,
что	I
v«+i = а0 4- Oj («4-1) 4- а2 (я -J-1)2,
^+2 = «о + ai (« + 2) + a2 (п + 2А
*я+з = а0 4- at (п 4- 3) -h «з (п+З)2
и подставляя выражения для v„, фп+ъ ^п+2 и “Оя+з через п
в левую часть уравнения (8.9), получаем:
т»я — 3»я+14“ З'Пя+г — ®я+з = (1 —3-}-3—1) 4“ ai Iя—3 (/i-f-l Н"'
.	4-3(n4-2)-(n4-3))4-a2[n«-3(«4-l)24-3(n4-2)2-
-(«4-3)2]=o,	.
что и требовалось.	'
Рассмотрим еще пример последовательности цифр беско-
нечного десятичного разложения рациональной дроби
-^- = 0,57132132132....
Здесь U-Q = 5, Kj - 7, п2 1, й2« 3,	— 2, иа —- 1,	—
=3... и рекуррентное соотношение имеет вид:
«„ — и„+з = 0, при л > 2 (п0 = 2).
Так как Л,= 1, Д2 = 0, 4j = 0 и До=—1, то многочлен
Q (х) равен х8 — 1 = (х — 1) (х2 + х4~ D-
Нули его таковы:	,	х
а=1, £=_-1-4-/Cz=—и так -как'все
185
они являются простыми, то формула (5.5) получает вид:
где a, [J и 7 постоянные, которые требуется определить.
Упростим предварительно последнюю формулу. Для этого
заметим, что
1	1 /Г / я . . я\
- 1	\ 7Г- = ~ т-1 ~2~ =- < cos Т +1 sin Т)
2 + 1 2
И.	>
Поэтому формула для «„ принимает вид:
= « + (—1 )я [? (cos -J-+г sin -J)" +
+ 7 (cos -J- — i sin -0"j = a + (-1)" [(₽ 4-7) cos n +
-4-/(0— 7)sin n -|-j —a4"(—1)” (1СО8Я -y -I-J* Sin Л-у-'),
(n >2).
Мы заменили здесь 04“T через 1,	— через н а
перед этим воспользовались формулой Моавра для возвы-
шения cos -у + / sin -у- и cos — i sin в степень п. Мы
будем теперь искать значения трех неизвестных коэффици-
ентов a, X и (х. С этой целью выпишем найденное соотно-
шение для трех соседних значений п: п = 2, п = 3 и п = 4.
Получим три уравнения с тремя неизвестными:
и2 = a-f-kcos-у-ч-ц sin-у ,
ъ Зя .Зя
«3 = а — k cos -5---g sin-к- ,
о	О
. . 4тс ,	, 4я
н4 = a-f-Xcos-j-4-p. sin-g-,
или, заменяя здесь к,, и,, uit cos sin cos sin -о- ,
“	о	О	О	□
186

cos-5- и sin-x- их значениями:
о	о
Вычитая почленно первое уравнение из третьего, полу-
чаем:
—/3 -и = 1,
откуда
и=—yV
Складывая все три уравнения, находим: Зя = 6, откуда
а =2.
Наконец, из второго уравнения получаем
X = 3 — а = 1.
Итак,
«л=2+( —1)" (cosn^—* sin«j) = 2-|-
+ (- 1)«-1-Alsin(n - 1)| (л>2).
А
9. Ряды. Разложение функций вида х_ -
Здесь и в дальнейшем, до конца книги, мы займемся
вопросом о том, можно ли знак соответствия между дробью
и ее степенным разложением заменить знаком равенства,
понимаемым в смысле предельного перехода (ср. п. 3,
главы II, где указано, что для десятичных разложений чи-
сел подобный вопрос всегда решается положительно). Пред-
варительно мы введем несколько.понятий, которые хотя и не
входят явным образом в курс математики средней школы,
однако, фактически в нем используются (например, в слу-
чае бесконечной геометрической прогрессии).
Пусть «0,	какая-либо последовательность
чисел (действительных или комплексных). Говорят, что ряд
«о+“1 + и2 + -•• + “«+•••>	(9.1)
членами которого являются числа «0,..., «л,..., сходится,
если существует предел:
lira («о + И1 + • • • + «»)•	(9-2)
187
z Обозначая этот предел буквой s, пишут вместо равен-
ства 	. j
lira («(, + «! + •••+«„) =s	(9.3)
л—>оо
следующее соотношение:
'	'	«о+и1 + -	+	(9-4)
рассматривая его как эквивалентное' предыдущему. Иными
> словами, в записи (9.3) условливаются опускать4 знаки 11m >
и л—>оо, но зато после ип пишут знак + и далее простав-
ляют многоточие. Число s называют суммой ряда (9.1).
Если предел (9.2) йе существует, то ряд (9.1) называется
расходящимся. В этом случае ему не приписывают никакой
суммы. В силу самого определения предела соотношение
9.3) обозначает, что абсолютная величина разности
;	I* - («о-Hi+•.•+«„)!
может быть сделана сколь угодно малой, если только п
достаточно велико. Иными словами, для любого положитель-
ного числа s, неравенство
|s-(«o + «i'-J---.+«п)1<8	(9-5)
• будет выполнено, если только п йревосходит некоторое
число, величина которого зависит от'е:л>У(4 Исходя из
этого, можно указать важное необходимое условие для схо-
димости ряда. Условие это заключается в следующем: если
ряд (9.1) сходится, то	*	’
11тпя=0.	(9.6)
Л—>ОО
Действительно, если ряд сходится, то для произволь-
ного положительного числа е будет выполняться неравен-
ство :
1«—(«о 4-И1+
при п достаточно большом: n~^>N. Возьмем
тогда ил-1>У, и мы сможем одновременно -написать
два неравенства:	'	' •
, 1«~(«о + «1 + -
И
Отсюда следует, что
I ия l=i [s — (Ho + «i + ---4-Hn-i)]-[s — (ao+«1-{-...+
+ «„)]|<|s-(ue4-... + «n-i)H-|s-(«0+14 + ... +«„)!< ,
,	е । е _
2 "Г 2 “ е> *	<
188
яри1> а 9Т0 означает, что
, linrw^=O..
п >оо
Предложение доказано. Отсюда следует, что если для
данного ряда 11m ип не существует, или существует, но
п-+со	' -	z
не равен нулю, то ряд не может быть сходящимся, т. е.
’расходится. В частности, если всё члены ряда, начиная
-с некоторого, удовлетворяют неравенствам:
"Г	,	(9.7)
то lim ия не можег равняться нулю (и, может быть, не
Л—юо
существует), откуда следует, что ряд расходится.
Рассмотрим в виде примера ряд, известный нам из курса
элементарной4 алгебры, а имерно, бесконечную геометри-
ческую прогрессию с первым членом а и со знаменателем г:
а-]- аг-f-az2-)-. Л-|-а£я + ••.>	‘	(9.8)
тде а и z произвольные комплексные числа. Если а=0, то
все члены ряда обращаются в нуль. В этом случае ряд,
очевидно, сходится (каково бы ни было г), причем сумма
его также равна нулю. Пусть теперь а^-0. Покажем, что
ряд (9.8) расходится, если |z|>-l. В самом деле, тогда для
всех членов ряда будут выполняться неравенства:
|azn|>|a|>0 (п=0, 1, 2,...),
откуда, по только что доказанной теореме, следует, что ряд
этот расходится.
Покажем, что он сходится при |z|<l. Действительно,
сумма первых n-f-,1 его членов есть:
a-f-az-|-az*-f-.. • 4~агл = а(1 -j-z-j-... -f-z") =
'	'	1—2^+l _ a <X2®+1
—a 1 — z ~ 1—z	1—>z ’
Ho lim z"+1 =0, при n->oo, так как |z|< 1. Поэтому
Л—>OO	'	'
существует предел:
Um(a + az4-az«+...H-az«) = lim(-1— -------r—o-) = -j-^V
Л —> CO	П —>OO
♦
т. e. ряд (9.8) Сходится. Мы видим, кроме того, что его
, сумма есть
a-f-az.4-... + az»4-...=T^j (|z|<l).	(9.9)
189
Итак, ряд (9.8) .сходится для любого г, модуль которого
меньше единицы, и расходится для любого z, модуль кото-
рого не меньше единицы (последнее справедливо только
при а/0).	;
Применим эти результаты к вопросу о сходимости бес-
конечных разложений, получаемых путем деления для дро-
би вида (л^О, А-/0). Путем непосредственного выпол-
нения операций деления многочленов, расположенных по
возрастающим или убывающим степеням, получаем разло-
жения:
х — а
И ,
‘9-10>
х— а	1	1	11	1\/
(смотрите формулу (3.4) этой главы).
Первое из них есть геометрическая прогрессия с первым
А	х
членом — — й знаменателем прогрессии —. Следовательно,
ряд (9.10) сходится, если <1, т. е. |х|-<|а|, и расхо-
дится, если j — j > 1, т. е. | х | > | а |.
Полагая |х|<|а|, имеем по формуле (8.9):
А	А у А	А V4	— А!Л — А
a	а* а3	аГ
,тп—1
J__ л X — а
а
Итак, в разложении (9.10) знак соответствия мо?кно за-
менить знаком равенства, если |х |<| а|:
-Ах- — х2 —	X*— .... (9.12)
х — a	a cfi cfi	а”"*"1
При |х|>-|а| знак равенства теряет смысл (если, как.мы
и предположили, А =# 0), потому что ряд, стоящий в пра-
вой части, расходится.
Разложение (9.11) также представляет собой геометри-
ческую прогрессию с первым членом Ах-1 и со зраменате-
лем-у. Следовательно, оно сходится, если |у-|<1, т. е.
|х|>|а|, и расходится, если1> 1, т. е. |х|<|а|. Пола-
гая, что | х| >| а|, имеем по формуле (9.9):
Ахг-1 Аах-2 + Аап~1 х~п -{-...= Ах д = - А- .
1—-
190
Итак, в разложении (9.11) знак соответствия можно за*
менить знаком равенства, если |х|>|а|:
^-=Лх-1 + Лах-24-...-Аал-1	+	(9ЛЗ) •
При | х |	| а | знак равенства теряет смысл, потому что
ряд, стоящий в правой части, расходится.
Мы видим, что для дроби х^_а два разложения, полу-
чаемые путем деления, замечательным образом дополняют
друг друга: где расходится одно, там сходится другое.
10. Разложения рациональной функции в случае
простых нулей знаменателя
р (х}
Займемся теперь разложением дроби Q^xy , предполагая
сначала, что степень р числителя меньше степени q зна-
менателя и что все q нулей знаменателя Q(x) простые:
а, Ь„.., с, причем ни один из них не есть 0 (т. е. свобод-
ный член Q (х) не равен 0). Так как обозначение их теми
или иными буквами зависит от нас, то мы выберем эти
обозначения так, чтобы выполнялись неравенства:
0<|a|<|ft|<...<|c|.
Иными словами, а наименьший (или один из наименьших),
а с наибольший (или один из наибольших) по модулю из
всех нулей Q (х). Разложение по возрастающем сте-
пеням х имеет вид (см. формулу (2.1) этой главы):
~(« + р + ... + т)+(а± + ?4+... + 4)х +
+  -- + (a^V+—Н” + 1 J.) jc"+ ..(10.1).
где
« = -А, ₽ =	..., =
а ’ r b ’	’ 1 с
Р (х)
и А, В,. ..С — числители дробей в разложении на про-
стейшие дроби:
_++-С-
Q (х) х — а х — Ь ’* ’ хс *
(Ю.2)
В правой части соотношения (10.1) находится степенной
ряд, который, очевидно, получается путем почленного
1»

Сложения q различных геометрических прогрессий:
.p+i>f+p(i)’+-+? (-?)"*...........
Т + Yv+l (v)’+-..+ t(-7-)’+-
Первые их члены суть а, р,..., у, а знаменатели соот-
ветственно равны:	-у,...,
< Запишем сумму первых n-f- 1 членов ряда (10.1) в виде:
В каждых квадратных скобках Правой части содержатся
суммы «4-1 первых членов прогрессии (10.3)..
Если положить, что I | х |< | а |, то тогда будут также
выполнены неравенства: |х|<\|6|....|х|<|с|, т. е. все
знаменатели прогрессий (10.3) окажутся меньшими'единицы.
Но это означает, что каждая из Квадратных скобок в пер-
вой части (10.4) будет иметь предел, при п неограниченно
возрастающем, соответственно равный:
а ____— А/а] _ А _______у _ — С/с _ С
1 х ~ х — х — а...... х ~	х^~ х-с'
а	а	~ с ~ с
Следовательно, и левая часть (10.4) будет иметь предел
при п неограниченно возрастающем, равный
lint £(а + р4- .:.у) + (а.-уР-у + ..-|- 7-у) х + ... +
Итак; мы обнаружили, что при |х|<|а\ знак соответ-
ствия в соотношении (10,1) можно заменить знаком равен-
ствй:	.
192
Можно ли утверждать, что при | х | >• | a |z разложе-
ние (1Q-1) будет расходиться? Ответ на этот вопрос зависит,
от того, будет ли число А, т. е. числитель дроби
отличен от нуля или равен нулю. В п. 7 гл. III было
показано, что
, л—
(а — Ь)...(а — с) •
Следовательно, А может обратиться в нуль только
тогда, когда Р(а) — 0, т. е. (по теореме Безу) Р(х) делится
на х — а.
Предположим, что Р(х) и Q (г) взаимно простые много-
члены. Тогда / (х) не может делиться на двучлен х—а,
являющийся делителем Q(<). Поэтому и А\ отлично от
нуля.
Покажем, что при этом условии разложение (ГОЛ) рас-
ходится, Исли |х|>|а|.
Доказательство этого утверждения распадается на два
случая:
1) |а|<|6| и 2)|а| = |Н
Обратимся к случаю 1-му и перепишем выражение для
члена ряда (ГОЛ) в виде:
откуда
1”.1=^КГ1л+в(Я+,+ -:+с(Н+1-
Если ] х | | а то j -£•1 > 1 и	/
М>^\А+в(.-тГ'+-+с(-тГ\ <1а7>
При сделанном предположении: | а | •< | b | < ..	] с |
имеем |	,|-у-1< 1;
поэтому
fa л <	/ а \л-Н к
Нт (-г- )	= 0,..., Нт (— )	= О
ь J	> ’я-оЛ с )
Следовательно, выражение • | А + В \jj~j	4--... +
(а \*+' I -	1 А |
—) будет отличаться от меньше, чем, напри-
13 А. И. Маркушечич	МЙ
мер, на -2~|4|’ ПРИ п Д°гтаточио большом (n>/V) и будет
1 IАI
превосходить поэтому -%
В силу (10.7) заключаем отсюда, что и
~ ।ип।>4“|4|>°» п₽и ь>а и л>м
,а этого, по теореме п. 9, достаточно, чтобы заключить
о расходимости ряда (10.1).
Обратимся теперь ко второму случаю, когда среди нулей
многочлена Q(x) имеется несколько с одним и тем же
наименьшим модулем:
|а| = |&| = ...
Обозначим эти нули через alt а2,.., ат, а остальные
с большими модулями, через am+i, ат+2,...,ад, так, что
= а, а2 = Ь,..., ад = с и
|aj = |a4| = ... = |а„|<|ат+х |<...<\ад\.
Заметим, что	так, что не исключена возмож-
ность того, что все нули имеют один и тот же модуль.
Например, если
Q(x) = x3— 1 = (х — 1) (x3-f-x+ О =
то
л=1,	с = —	+ и |а|=!£|==|с|=1.
Соответственно новым обозначениям дтя нулей Q(t) мы
обозначим по-новому и числителей дробей в формуле (10.2):
А — Ах, В = А2,..., С = Ад.
Тогда выражение для члена ряда (10.1) примет вид:
• Л2
а
я
д"+'	д"+'. .
т ш-t 1
Мы обозначим для краткости сумму -внутри первой
квадратной скобки через vn, а сумму внутри второй квадрат-
ной скобки через w„, так что
1 г®
194
откуда
= «1 (-у)" «я - ®л- *	(Ю.8)
Будем вести доказательство от противного. Предположим,
что ряд (10.1) сходится. Тогда, по теореме п. 9, должно
выполняться соотношение:
11m ип = 0.
Я“>С1О
Так как, при |х |	:1-2Ц <;1 и
откуда следует, что
и далее
11т а, (-^)лВя==0.	(10.9)
Убедимся, что и	’	- '
lira wn = 0.
«-►оо
В самом деле,
'Я ( а1 \п+1	, , / Л] \«+1
w„ = Am+l—Ч-... + Д -Ч
к ЛИ14-1 /	Ч\ач /
и так как I^Klam+il.....|at|<|a |, то |-^-|< 1, . . .,
4	I «И1+1 |
— < 1, откуда следует, что
I aq I
Ит	= 0,.... Нт Лау+1 = 0
л-*со \ ЛлЦ-1 /	л-Хю \аЧ /
и, наконец,
lira — lim ГAm+i (——Y+' ч-... 4- А (	= 0. (10.10)
n-х»	L \ J	’ \ ач J J
Из равенства (10.8) и соотношений (10.9) и (10.10) заклю-
чаем:		
lim v„ = lim at ( --) Л“*ОО	• П"*ОО [_	\ Х /	ап —lim®»„=0. J	Л->ОО	(10.11)
Вспомнив, что		
Vn = Дх4- Д2^у+' 4-.	—«&.г.	
напишем^равенства	1	
^л = А1+Л2(-^)Л+’+---	+^г ?	
^+>=^1+ + ...	•+М5Г	(10.12)
= Д1Н-42	+		1
13*		195

Очевидно, что, числа: 1,	...»-г1 попарно не равны. fl
_	"2	“8 ат	.< Я
(В самом деле, если, например,	= 1, то	а если	-1
-^-=	то а» —ая. Но этого не может быть; так как все	• -я
числа ап а2,..., ат,..., ад— нули многочлена Q (х) — раз-
личны между собой.	?
Образуем многочлен R(x) степени т—1, который удов-
летворял бы условиям:	Л
««'>-»• «ф=°-	(10J3> ч
Такой многочлен имеет вид (сравните ,п. 4 гл. Ill):	- j
(-i)O--)-(-S) ’
<	=со+ял + - • • +Ст-1 Xя1-1.	j
Умножая обе части первого из равенств (10.12) на с»,
второго — на q и т. д. и последнего на cm—i и складывая, j
найдем:	.
А (с0 + сх 4- с2 +... + Cm-t) + А (^)Л+1 [с« + ci ~ +
+ с, (£)•+... + М<Г']+ ••• + Ч ЙГ М ;
==co‘Vn~^~clVn+l^~ • • •~hc»n—1 ®л4-т—!•	(10.14)
ЧНсла в квадратных скобках, очевидно, представляют
значения многочлена/?(%):/?(1), R	।
В силу (10.13) соотношение (10.14) может быть переписан®
в виде: .	-	'	1
I !	А =С0»я-|-С1‘Ул^14~... + Ce—i^n+m—!•	, J
Но мы установили уже, что	ч
lim-v„ = 0.	(10.10)	/’
л-*°°
Следовательно, также и	-?•
_ 11m	= ... = llm Z!n+m_i=0,	- 4
1	Я->оо	Л-*ОО	, <
откуда вытекает, что	>
Ai = llm А! = 11m (с^„ -|- сгч>„+1 +..'.+cm®n+m-i) = 0.
л-*ор Я~*оо
Это и есть искомое противоречие, так как = А^0.
Противоречие получилось потому, что мы допустили выше,
что ряд (10.1) сходится. Следовательно, он не может схо-
196	/	.	,	'1

литься, т. е. расходится йри |	чем и заканчивается
полное доказательство нашего утверждения.
Р (х
Итак, разложение дроби , полученное путем деле-
ния расположенных пр возрастающим степеням х много-
членов Р(х) и Q(x), сходится при Iх|<1а| и дает тогда
р бх)
в сумме дробь и расходится При |х|>|а|. Здесь а
обозначает наименьший по модулю из нулей Q(x).
Аналогичные результаты можно получить и для разло-
жения дроби по убывающим степеням х. Так как
~ Ах-1 -|- Аах~~2 -}-... -|- Аап~ 1х~п	. t,
~ Вхг* + ВЬхг2 +... +	+...,
~ Сх~' + Ссх~2+... 4- Сс"-'х-я 4-...,
' to по теореме п. 1 этой главы:
0\х)—••4_Q-’r*1+('4a4-^4-- ••+^)-^24^—4-
4-(Аа»-,4- ВЬп-'4-,.. 4-Ссл“1)лг-я4" ••• • (10.15)
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения
доказать, что это разложение сходится при |х|>|с| и дает
тогда' в сумме и расходится при |х|<\с|.
Доказательство проводится совершенно аналогично рас-
суждениям, приведенным в этом пункте для случая разло-
жения по возрастающим степеням х.
Итак, для дроби —^4 имеем два разложения:
Р(Х)	1
Q (х)	\ а Ъ
+(-4-£-->+-+
ИЛ "	'	с 7	} (10.16)
^> = (А4-В4-...4-С)г-’4-(Аа4-^+...+
4-Сс)х-24-...4-(Аал-14-дбл-’4-...4- .	• л
4-Ссл_1)х-Я4--•	|х|>|с|.	j
Первое из них расходится при | х | >• | а | и, в частности,
при |х|>-!с| (так как |-с|>|«|); второе расходится при
|х|<;|с| и, в частности, при |х|<|а\.	_
197
Следовательно, они снова, в известном смысле, допол-
няют друг друга. Однако здесь, при |a|<Jc| остается
пробел для значений х, удовлетворяющих условию
|йЦ<|х|<|с|: для последних каждое из этих разложений
расходится.
Не проводя рассуждений в общем виде (они совершенно
аналогичны тому, что выше было изложено), мы покажем
Р(Х\
на примерах, как могут быть получены разложения
в степенные ряды, сходящиеся там, где расходятся оба
разложения (10.16).	z
Пусть Р(х) = 2х-|-1 и Q (х) = х2 — 3x^-2 = (х—1) (х—2).
Чтобы получить разложение Pq^) на простейшие дроби,
представим Р(х) по формуле Лагранжа (п. 4, гл. Ш), по-
лагая в ней п—\, х0 = а = 1 и х}—Ь = 2. Получим:
Р(х) = 2х+1=Р(1)^ + Р(2)^1.
Но Р(1) = 3, Р(2) = 5 и, следовательно,
Р(х) = —3(х—2)Ч-5(х— 1).
Деля обе части этого тождества на Q (х) =
=(х-1Хх-2),
№ — 3^4-2=:
получаем искомое разложение в виде:
2х+1 _ — >3	5
X2_3x + 2— X — 1 + х —2 •
Так как
^~3+3х+3х’+ .-------------А - A....
Р (х)
то для -я; :• получаем следующее разложение по возрастаю-
щим степеням х:
2x4- 1
х« —3x4-2
~4+14* + 24*’+---+
-ь(3~т4т)х"+---
Оно сходится, и соответствие переходит в равенство, \
если | х К | а | = 1. Итак:	, <
♦ _^+Г_=4- + 14хН-24х2+...Н-	V:
+ (3--2&г)хп+---	:
при |х|<1. При|Х|>1 разложение расходится. Если Г-j
будем исходить теперь из разложения для ~и —* <
X 1 X — ~
198
по убывающим степеням х, т. е.
-=Ц- = - Злг1 - Зх~2 - Зх-3 - ...,
•Л ' '	1	л,
+5-2х-24-5-2х-34-...,
то получим:
x,-£'+i ~^’+7^+Пх-=+...+
+ (5-2“-’—3)лг«+...
Это разложение сходится, и соответствие переходит
в равенство, если |х|>|&| = 2. Итак:
2x4-1
х®—3x4-2
= 2х—1 + 7х-5+ 17х~34".. .+
-НЗ-г"-1 —3)х-«4-...,
при |х|>2. При |х|<2 разложение расходится. Для зна-
чений х, удовлетворяющих неравенствам: 1 <|х|<2, не
сходится ни разложение по возрастающим, ни разложение
по убывающим степеням.
Покажем здесь, что можно получить разложения
в обобщенный степенной ряд, отличные от разложений,
полученных делением, и сходящиеся там, где разложения,
получаемые путем деления расходятся. Для этой цели
рассмотрим разложение дроби — - . по убывающим сте-
Л J.
пеням:
——Зх-1 — Зх~2 — Зх~3 —... —Зх-"—...
х 5
и разложение дроби х__2 по возрастающим степеням:
5	5	5	5 л	5	„
х —2	2	22	2» Л	2«-Н *
3
Первое из них сходится , к — -—г, при | х]> 1, а второе
5
СХОДИТСЯ К --J_y , при I X К 2.
Поэтому, при 1<|х|<2 будут сходиться одновременно
и то и другое разложение так, что мы будем иметь:
~Ет = Нт (Зх-1 — Зх-2-.. . — Зх~п)
х 1 л->оо
И
х —2	2 Х	• •• — уН-Т*”)'
199
Следовательно, при 1 <| х| <<2 справедливо соотношение.
х2 — 3х"+^ ~	+7^2 = lim [(—Зх-1 Зх~2—..Зх“»)4-
+ (—|х —, -^j-.x2 —..х")j, что мы можем
условно записать без знака предела в виде бесконечного
в обе стороны рядах	-	\
. л2—Зх”н-2 ~ • • • ~3^~п ~ Зх-Я+1 —. .. Зх-1 2"	2*,х,
~••• - 2«-Н &—•••, 1<|х|<2.
Как видим, долученрое разложение отличается от тех,
которые получаются путем деления многочленов 2х-|-1
на х2—3x-f-2, расположенных, по убывающим или по .воз-
растающим степеням. Вместе с' тем найденное разложение
р (х\
схорркА к дроби р как раз там, где каждое из преды-
дущих разложений расходилось. В этом примере мы полу-
чили всего три разложения для дроби п. , сходящихся
В других случаях, где знаменатель дроби Q(x) являет-
ся многочленом степени выше второй, различных разло-
жений может получи гься больше,.Так, например, для дроби
Ffjc)	х2Ч-х4-1	.
-фф =	2)(х—3) можно найти путем совершенно
таких же рассуждений четыре различных разложения, из
которых одно сходится при |х|<1, другое при 1<1х|<*
<2, третье — при-2<|х|<3 и четвертое—при |х|>3.
Мы предоставляем читателю в качестве упражнения вывести
. эти: разложения.-
А
11. Разложение функции вида —^я-(^>1)
(л и)4
Мы оставили в стороне случай, когда знаменатель дро-
би Q(x) имеет кратные нули. Обращаясь к нему, изучим
сначала разложение простейшей дроби (x^Layf > гДе
афО и Л-/-О. Мы видели в п. 3 этой главы (формула (3.4)),
что разложение	по возрастающим степеням х
имеет вид:	—
1-Х+...+’
+ Л(-О)-«ОД_1^х"+...	<11.1)
200
Покажем, что это разложение сходится при |х|<|а|, -
и сумма его тогда равна	. Для этой цели восполь-
зуемся соотношением (3.3) этой главы:
А = (х~ а)г[А(^-а)~«4-Л(— а)г»С^ ~ х-{-...±	.
+ Д(-аНС^_1^-х»] + ДГ„(^),	(11.2) .
выражающим /связь- между делимым, делителем, частным
и остатком. Переписывая его в виде:	.
0^= А (- 0)г«+. ;.+Л(_а)-.Сй:^, ^х" +
мы заключаем, что достаточно будет доказать соотноше-
ние:
(И.4)
В самом деле, тогдд
Л7Ч Т J
lim ~^г	=0
л_>оо \Х аГ
и, следовательно,
-»-+• • •+Л(-а)-СгД_1 >] =	. (И.5)
'* ' / х
Обращаясь к (11.4), положим — =ги заметим, что. ус-
ловие |х|'<|а |‘ равносильно тому, что |z|< 1.
Итак, нам нужно доказать, что
z	lim r„(z)=0, если |z|<l.	(П-6)
Л_>ОО
Мы знаем (п. 3 этой главы), что многочлен Тп(х) есть
остаток отделения 1 на (1 — х)я, когда в частном полу-
чается многочлен степени п. Заменяя в формуле (3.2) этой
главы х через z, получаем из нее следующее выражение
для многочлена Tn(z):
T„(z)= 1 -(1 - 2)?(1 +c«-'z+...+	z"). (11.7У .
Очевидно, что это многочлен степени n-\-q, так что его
можно записать в виде:
£,(*) = ^-г*1 + гл+2 гл+2 4-.. .4- tn+q zn+<.
201
Мы учли при этом, что Tn(z), будучи остатком от де-
ления 1 на (1—zX, не должен содержать членов степени
ниже «4-1.
Если |z|<l, то
I ВД1=!	4- М^л+24-. . .4- f„+,z»+» 1 <
< |^4-iZn+114- I ^+2Zn+214-.. .4-1 tn+qZn+41 =»| tn+x 11 z |л+’4-... 4-
4-1 6i+?| I Zl”-^ I £„4.1 | I z|”+1 4“ I M-41 Z|n+1 4"" • -4-
44M4 |z|»-H=|z|«+'(IMd4-..-4-IM?l). (И.8)
Поставим своей ближайшей задачей оценить сумму
абсолютных величин коэффициентов 7„(z), т. е. |М-»14“..."г
44М-?1-
Для этого заметим, что коэффициенты £л+ь--.>М? полу-
чатся, если в правой части (11.7) преобразовать (1 — z)«"
по биномиальной формуле:
(1 - z)? = 1 -	4- C2z2 -... 4- (- 1)’ ОД,
затем перемножить многочлены:
1 - c;z 4- су 4-.. .4-(- 1х су
и
1 4-c?-iz4-c«t’z24-. .-4-071
* q 1	<74~1	1	*	ф4*л’~*
и вычесть полученное произведение из единицы. Таким:
образом, для вычисления чисел Мъ	tn+q придется
произвести ряд сложений, вычитаний и умножений над
биномиальными коэффициентами, которые все являются
положительными числами.
Если мы все вычитания заменим сложениями, т. е.
вместо правой части (11.7) будем преобразовывать выра-
жение
ОД)=14-(14-с^4-ОД4-- • -4-ОД) (14-ОД’г4-.. .4-
+ c^JJ_1zn),
то получим многочлен с положительными коэффициентами,
которые, очевидно, будут не меньше, чем соответствующие
абсолютные величины коэффициентов Тп (z):| 4н-11,. .., | tn+p |.
Поэтому и сумма коэффициентов Un(z), при zn+1, z"+2,...,
z“+? будет не меньше, чем |/л_|_114“-•-4-1Мр1.
Но чтобы получить сумму всех коэффициентов неко-
торого многочлена, достаточно взять его значение при
z=l. В данном случае получим сумму всех коэффициентов
£7„(z) в виде:
м (1) = 14-(14-q 4- С2 4-. • -4- ср (14- с»-1+ОД 4-.. .4-
4-ОДи)-
202
Здесь
1 + С'+^+.--+^ = (1 + 1Х = 2*
и
14-ОД + ОД! +• • •+ ОД1 1 = од„
I q ।	<7"т“1 I •	1	4~т“Я
(см. формулу (7.1) гл. П). Следовательно, сумма всех коэф-
фициентов многочлена Un (z) -есть
1+2?ОД„.
Среди них имеется свободный член, равный Z7„(0) =
= 14-1=2.
Поэтому сумма коэффициентов Un(z) при положитель-
ных степенях z ecri:
(14-2’ОД) - 2=2?С^.Л- 1.
Она включает в себя все коэффициенты при zn+’,4..,
z"+9 и, следовательно, превосходит |£„+i 144^+2 |4"--+кп+« 1:
|^|-|-|^2|+.. .+|	| <2»&q+n-1 <2’С^.(11.9>
В соединении с формулой (11.8) это дает:
|T„(z)|<2*C«+„|z|»+’	(11.10}
при |z|< 1.
Докажем, что
lim 2?С’, л | z |л+’ =0, если ]z|<l.	(П.П>
п_>оо ч~г
Полагая, для краткости,
Vn = 2«’Cj+nlz|»+I = 2®	12|л+1 t
получим:
t>„+t = 24.(” + ! + ?) <”+^-(”+2). | z |я+2 t
откуда:
Так как |z|< 1, то |z|<|z|*/>; но lim (14~	) И =
Я->оо \	П "Г 1 /
= |zj. Поэтому и (14-начиная с неко-
торого, достаточно большого значения п. Итак, при п>№
имеем: ^1 4~~ n + 0 'г1 <С/2'Г/’ и, следовательно, —<
< I I1/».	"
Запишем теперь n — N неравенств:
vN+2 । „ .1/. vN+3
vT,<|z|'^<|2
Vn
<|г|Ч
203.
' Перемножая их почленно, найдем:
_^у±2 Рдг+3 v”+1 'z
vN+\ vN+2 ’ vn
ИЛИ
^+1
я, наконец,	- .
0О„+1<И 2 ^+1= —ST (|z|‘/*)«	(11,12)
 -	. 1^Т
Первый" из множителей правой части (11.12) не зависит
от-л, а второй, будучи л-ой степенью положительного
.меньшего единицы числа \z\ 2, стремится при л—»оо к пре-
делу, равному 0. Но отсюда, следует, что lim vn+i = 0 и, на-
	"-*f°
конец, что Иго Тп(г) = 0, если |z|<_ 1.
'П_>оо
Итак, соотношение (11.6) доказано и вместе-с тем дока-
заны и соотношения (11.4) и наше утверждение относи-
тельно сходимости ряда (11.1) при [х|<| л|:
‘	Al"’+( -1)’ 4CJ-1 о-«-’ х+.. .+
,	+( —l)’ACJ+L-7<r^-»-1x«+...	(11.13)
Последнюю формулу можно рассматривать как обобщение
формулы для суммы бесконечной, геометрической прогрес-
сии: ч	ч
-т^ = а + аг4-аг® + ...+ «•*"+••• (И<1).	(И-14)
А
Чтобы подчеркнуть, аналогию, представим	в виде:
А ____ Aj(-—af   а 	л
(х — а)9 —	~•(!—«)’ ’
где мы положили: 5
а = А/( — а)ч и z =	.
Значениям |х|<|а\ соответствуют значения |z|<1, и
мм получаем для этих значений z из формулы (11.13):
(1 gyi~ = о.-|-a Cj z-J~а	z*а С^п—1 -{-... =
= а+а_|1г + а^+1)2а+...+
-f-а y^ + O-^ + n-i) 2„_|_	х (11.15)
204
Очевидно, что формула (И. 14) получается отсюда при
9 = 1. Для q = 2 будем иметь:
__Л__г = а + а2гН-аЗг2,+...+а(п+1)^+...; (11,16)
для ?=3 получаем формулу:
(1= а 4~ 4"	4----F
+ Л+|»" + 3) г.+... .	(11.17)
и т* п,-
Возвращаясь к разложению (11.1),. покажем, что оно
расходится при | х | > | а |. В самом деле, тогда для модулей
членов ряда имеем оценку:
I «„ 1=1 ( -,1.x АС^я_г а-о-’' хп I =
>|Л 4Н>0’ (,х,>,а|),	(11-18)
так как биноминальные коэффициенты , являются на-
туральными числами и, следовательно, Cg-j~* ,>•!. Из (П.18)
по п. 8 этой главы вытекает, что ряд (11.13) расходится,
если |х|>|а|. В частности, и ряд (11.15) расходится, если
j z | > 111 (здесь А = а, а — 1 и х = а).
Итак, разложение (11.13) сходится при |х[_<|а| и расхо-
дится при | х | > | а |.
Остановимся еще на разложении	в ряд по .убы-
вающим степеням. С этой целью снова воспользуемся тр-
ждеством (3.2) этой главы, учитывая при этом, что Т„(х)
есть многочлен .степени n-i~q, не содержащий членов сте-
пени ниже
Т„ (х)=f»+i хп+1 + tn+2 хл+2 -j-... 4-/„+? х"+’ .
Тождество это принимает следующий вид:
1=(1-хХ(14-сг,х4-...4-с?+’_1^)4- •
-Н^х'н-1+..-4-W? хл+’).
Заменим здесь х через -j-. Получим:
'“('-Я'+Т т-+-.+с<й_1-£)+	.
205
или, умножая все члены на Ах®+9 :
Лх"+9 = (х — a)f(Axn-j-AC^~1 ах"—1 4-
+•. •+ACfr^a”) + (#„+t ал+' х9"1 4- ... 4- f„+, а^ч ). (11.19>
Так как (х—а)? есть многочлен степени д, а ^4-1 ап+1 х9-1 4-
4-.. .4-^л+?«я+’ имеет степень не выше ? — 1, то (11.19)
выражает соотношение между делимым Ахл+9, делителем
(х — а)’, частным Axn4'^C9_'axZI—’ 4-.. -4~^fi?~n 'аП и остат-
ком tn+\ ап+х х9-44-.  -+W?ап+я (деление многочленов,
расположенных по убывающим степеням). Отсюда следует
далее; что выражение
Ах” + АС9"1 ах»-1 + ... + АС^_Х а"
хп+ч	I —
= Ах~ч 4- АС9~1 • ах-9-14-  • • 4* 4С’9т1 1 апх~п~ч
1 Я	11 q^n-l
представляет дробь	с точностью до членов, содер-
жащих —-i-— (см. п. 4 гл. II), и так как п здесь обозна-,
хл>"
д
чает произвольное натуральное число, то для -yg- на-
ходим следующее бесконечное разложение по убывающим!
степеням х.
~ АхгЧ + АСч-'ах-ч-' 4-
4-.. .4-^q+L-! л«х-я-94-...	(11.20)
Убедимся, что ряд (11.20) сходится, если |х|>jа|, при-
чем сумма его равна (x—dyi > а ПРИ 1х1'^1а1 он Рас“
ходится. •
В самом деле, полагая Ах~9 = а и -j- = г, перепишем
(11.20) в виде:
а 4-« С9-1 z4-.. .4-а С’т1. , zn4-.. •
Последний ряд, как мы знаем, сходится, если |z|<l и
сумма его есть	[формула (11.15)], а при |z|^>l он
расходится.
Возвращаясь от z к х — находим, что ряд (11.20)
сходится, если ]х|>|а| и сумма его есть;
а	__ А	\
—	— (х^а)Я >
206
и что |х|>|а| он расходится.
Итак:
—^-Т5- = Дх~9 4- ACf'axr^ 4-
+.. .+АС^п_1а"^9+....	(11.21)
если |х|>а|, а при |х| <,а| ряд (11.21) расходится.
12. Общий случай рациональной функции
Нам остается сказать несколько слов о разложении в ряды
р (хУ
самой общей дроби Д (• , где Р(х) и Q(х} некоторые по-
v (X)
линомы, причем нули Q(x), вообще, кратные: а—кратности я,
.б-^-кратности /,..., с— кратности т. Если свободный член Q (х)
отличен от нуля, то ни одно из" чисел а, Ь,..., с не равно
Р (хУ
нулю. В этом случае из разложения п; : на простейшие
V \х)
дроби:
^*(х) _ с z , Др ।	, ^А—1 , Вр _ ,
Q(x) —	+ (х-а)*~+	+ х — а+ (х — Ь)1 +
,	 ,	’ ।	, Q ।	,	1
X — Ь + •••* (х — с)т • • ’ + х — с
Р(х)
мы можем получить следующее разложение по возра-
стающим степеням х (см. п. 3 этой главы):
~Ь*4* + ^2х2Н~• • •Ч_^ЛЛ:П_Ь- • •,	(12.1)
где
<4=‘£яН~а (л) 4л-*- • • ’"Ьт ОО-р*
и s„ коэффициенты многочлена S(x) (эти числа равны нулю,
если индекс п превышает степень многочлена S'(x));a (л),...
7 (п) суть многочлены относительно п:
а (л)=а0	+ ах	+ ... +	,
I (п) = То	+ Ti	+...’+ <(т-.г
«, наконец,
а0 = АЦ — а)к, ах = АЦ—а)к~х= А[— а,...,
.	То ^/( ^)m, • • •, Т®—1 ~
Следовательно, сумму первых л-|-1 членов ряда (12.1)
можно записать в виде:
rfo + ^iX-4-.. .-|-d„xn = (.S'o + Six4-. • •+'$Я-*:П)4-
H-|a(O)-f-a(l)~r * + a(2) -^х*+... +а(п) 4»*'’] +
1-.............................................+
207
' - 1 * '
+ [т(0)+т(1) 4- x-J- т(1) -^х2н- ...+т(и) -^Xn]=
= («о+%*-Ь • •+«пхп)+(аоОД4-ао ед’-J*	'-•
- + ...+«оед_15)+(а1сгна1с^+	5;
+ ...+	^)+-..+	- Z
1 •_	+ (а«-1 ~Ьа№1“-+- • • •~1_а*—1'ай) + •,• • 4"	<,.
+(^<ча+14с--,1+---+с!й->5)+	'
+ •••-*--р + -• *+t<b-i-^s^.	(12.2} , ’ '
Выражение, стоящее в первой круглой скобке правой1 >
части (12.2), совпадает с многочленом S(x),' если
Л>5, г дез степень s(x). Следовательно, мы можем-писать.-
I
lim (s0 -f- s^x + • • • -h s„ xn) = 5 (x).
,	n-»oo	I
, Содержимое каждой из остальных скобок в правой ча-
сти (12.2) представляет собой суммУ первых Л-J-1 членов
ряда (11.15) при различных значениях a, q и z.	-
Так, например, скобке '
«о ед]+ав ед1 v ... + «о едь V(С*-’=°
соответствуют значения: а = а0> q—k, z=-^-; следующей	t
скобке
«од=’) .
*ч	х	5
значения: а = а.х, q— k — 1, z= и т. д.,
Если мы предположим, что обозначения для нулей >1
Q(х) выбраны так, что |а|<; |b|С ... •< |с|, то достаточно-
-взять | х | < | а |, чтобы было | х | <J b |,..., ] х ]	| с |, и, слег . 
довательно,
При этих условиях каждая из скобок правой части (12.2^
будет стремиться к определенному пределу при п неогра-
ниченно возрастающем, а именно, в силу формул (11.15).-
- Нт [«. ОД + «.ОД’ + •'. •+«. ОД-,?] =
, п—>оо L	•	J
__ др________Ло #
Л *\k (x — a)k ’
208
'4
4
lim
*iC“ -y + .-.+^q^'
«1___________az
lim
Л->ОО
in---I ________ I------
’fll-j-fl—1 Qp- I
To___________	(*o	.
x > m (x — c)m ’

lim I Tm-rl-H Ут—l "7Г + • • •+ Ъп—!“□> I “
л _>oo L	a	a J
__	*Y/n—1 _ Cm
1 x ~~x~~c *
a
В итоге и левая часть (12.2) будет стремиться к Ьпре~
деленному пределу при п неограниченно возрастающем, а-
именно
lim (d0-№+ • • -+^>) = 5(х) + -^-°в? 1-7^^ +
л<-оо		'	(х-*— а)
I < ^k—t	। Q>_____|_	 Ст __ Р (,х)
' * ' ’ < х — а-1-"'*-*” (х — i)m "Г” ' * X — С Q(x) '
(W,<>i).
Мы доказали таким образом, что ряд (12.1) сходится-
при \х |< | а |, причем сумма ряда равна ’ -
^ = d.+d1x+...-^d^+.^	(12.3>
р (х\
Итак, разложение любой рациональной функции
(свободный член Q(x) предполагается отличным от 0) сходит-
ся и имеет суммой £^*2 , если IxKMI, где а, наименьший
У (-4	 1 * * * У
йо модулю нуль знаменателя Q(x).
Подобным же образом можно было бы получить и раз-
Р(х\
ложение q\x) по Убывающим степеням |х| и убедиться,
что оно сходится при х |> | с | (где с наибольший по моду-
лю нуль Q(r)) и расходится при | х •< | с |.
Мы не7 будем здесь проводить соответствующих рас-
суждений так как они по сути дела нам уже знакомы из-
предыдущего.

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛЬНЕЙШЕГО ЧТЕНИЯ
Понятия кольца, области целостности и поля, затронутые в первых
двух главах нашей книги (глава I, пп. 1—4, глава П, п. 1), принадлежат
к числу основных алгебраических понятий. Для систематического изу-
чения алгебры мы рекомендуем начать с небольшой книжки П. С. Ал е-
ксандрова, Введение в теорию групп (Библиотека учителя средней
школы. Серия математики. Учпедгиз, Москва, 1938, стр. 124).
. Дальнейшие сведения можно приобрести из университетского курса
А.Т. Куроша. Курс высшей алгебры. Огиз, Государственное Изда-
тельство Технико-теоретическЪй литературы, Москва — Ленинград, 1946,
стр. 314:* из книги Р. О. Кузьмина и Д. К. Фадеева. Алгебра и
арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей средней школы,
Учпедгиз, Ленинградское отделение, Ленинград, 1939, стр. 188.
Вторая половина этой книги (стр. 122 185) цосвящена теории дели-
мости в кольце целых чисел, кольце гауссовых чисел, а также в неко-
торых других специальных кольцах комплексных чисел. Теория разви-
вается путем, несколько отличным от избранного нами, благодаря чему,
например, теорема об однозначности разложения на простые множите-
ли может и не иметь места.
Как уже указывалось в предисловии, теория делимости в кольце
целых чисел охватывает существенную- часть элементарной теории
чисел. В этой связи мы рекомендуем читателю университетский курс
И. М. Виноградова. Основы теории чисел. Изд. 4-е, переработан- •
ное и дополненное. Огиз, Государственное Издательство Технико-теоре-
тической литературы, Москва — Ленинград, 1944, стр. 142.
С алгорифмом Евклида тесно связан алгорифм непрерывных (цеп-
ных дробей), с их теорией читатель может познакомиться но книге
А. Я. Хин чин а. Цепные дроби. ОНТИ. Главная редакция общетех-
нической литературы, Москва — Ленинград, 1935, стр. 104.
В последней главе нашей книжки фигурируют ряды и вопросы их
сходимости. Детальное и притом вполне элементарное изложение со-
ответствующих вопросов и, в частности, обоснование формулы бинома
Ньютона для любого действительного показателя, читатель найдет в на-
шей книжке: А. И. Маркушевич. Ряды. Элементарный очерк. Д4зд.
2-е, исправленное и дополненное. Огиз, Гостем здат, 1947, стр. 156.
. Разложения рациональных функций в степенные ряды (обыкновен-
ные и обобщенные), полученные нами в главе IV элементарным путем,
могут быть выведены из общих соображений теории аналитических
функций. По этому поводу мы отсылаем читателя к нашей книге:
А. И. Маркушевич. Элементы теории аналитических функций. Уч-
педгиз, 1944, стр. 544.
Наконец, отметим, что рекуррентные уравнения, которы и мы за-
нимались во второй и четвертой главах нашей книжки, являются лишь
частными случаями уравнений в конечных разностях. С этой т >чки
зрения читатель может ознакомиться с их теорией по книге А. О. Гель-
фо н д а. Исчисление конечных разностей. Часть 1. ОНТИ, Главная ре-
дакция общетехнической литературы, Москва — Ленинград, 1936, стр. 176.
г- j
к

t'



%

СОДЕРЖАНИЕ
Глава первая
Кольца и поля. Деление с остатком
Стр.
1. Понятие кольца.......................................... 6
*2. Основные свойства когьца. . *...................... 10
. 3. Понятие области целостности . . . . , . .,......•	.	13
4.	Понятие по^я. ...................................... 16
5.	Деление с остатком. Основной постулат............... 18
6	Деление с остатком в узком смыспе слова . . ........ 24
7.	Наибольший общг й делитель. Алгорифм Евклида. Неопределен-
ные линейные уравнения................................. 26
8.	Дальнейшее построение теории делимости.............. 36
9.	Пример кольца, к которому теория делимости неприменима . . 44
Ю. Деление с остатком для целых чисел. Малая теорема Ферма.
Квадратичные вычеты...................................46
11. Деление с остатком для многочленов, расположенных по убы-
вающим степеням ......................................55
12. Раз”ожение многочленов на множители. Теорема Эйзенштейна . 56
13, Деление с остатком для многочленов, расположенных по возрас-
тающим степеням ............................................ 66
14.	Целые комплексные числа................................. 68
Глава вторая
Дроби и их бесконечные разложения
1.	Дроби и операции над ними.............«................
2.	Выделение целой части дроби............................
3.	Приближения дроби в поле рациональных чисел............
4.	Приближения дроби в поле рациональных функций..........
5.	Рекуррентность как обобщение периодичности............
3. Связь между операциями деления многочленов, расположенных
по убывающим и по возрастающим степеням...................
7. Бесконечное разложение дроби	..................
72
78
80
86
91
96
101
Глава третья
Теорема Безу и ее обобщения. Формулы Лагранжа и Тейлора.
Разложение рациональных функций на простейшие дроби
1.	Многочлен, рассматриваемый как	функция.................106
2.	Сравнение операций над многочленами с операциями над значе-
ниями многочленов............................................109
14*	211
Стр~
3.	Теорема Безу. Критерий равенства многочленов.........113
4.	Ингерюляционнзя формула Лагранжа. Остаток от деления
многочлена на многочлен вида с (х — х}) (х — Xj).. .(х— хп) . 116
б.	Остаток от деления многочлена на многочлен вида (х— a)k
Кратные Нули многочлена \ . . .............................129
7.	Отделение кратных-нулей . . ............................13&
8.	Разложение рациональных функций на простейшие дроби . . . 139
/	Глава четвертая
Структура коэффициентов частного от печения многочленов.
Сходимость бесконечных разложений рациональных функций
1.	Теорема о коэффициентах разложения рациональной функции»
представленной в виде суммы дробей.........................149
2.	Коэффициенты разложения для случая, когда знаменатель не
имеет кратных нулей......................................  153
3.	Коэффициенты разложения в общем случае. ......... 166
4.	Обратная задача: отыскание рациональной функции по задан-
ному разложению..........................................  167
$. Структура членов произвольной рекуррентной последователь-
ности ..................................................172
6.	Числа Фибоначчи ........................................176
7.	Теорема Ламэ о количестве операций	в алгорифме	Евклида . . 179
8.	Другйе примеры рекуррентных последовательностей.........182
9.	Ряды. Разложение функций вида --^ _	д ..................187
10.	Разложения рациональной функции в случае простых нулей
знаменателя ..........................................191.
д	'
11.	Разложения функции вида	(<?>1)................200
12.	Общий случай рациональной функции.................267
Литература для дальнейшего чтения......................216
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA